Norme na {\displaystyle R^{2}} su realne funkcije na{\displaystyle R^{2}} koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke. 

Primjer
Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata. 

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, kojeg označavamo s {\displaystyle \pi \_{r}}, generalizira broj {\displaystyle \pi }.

Na {\displaystyle R^{2}} često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za {\displaystyle p=\infty }

{\displaystyle \lVert (x,y)\rVert \_{\infty }=max\{|x|,|y|\}} za {\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}}

Teorema 
za max- normu definisanu sa

{\displaystyle \lVert (x,y)\rVert \_{\infty }=max\{|x|,|y|\}} za {\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}} vazi

{\displaystyle \lim \_{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert \_{p})=\lVert (x,y)\rVert \_{\infty }}
za {\displaystyle \forall (x,y)\in R^{2}}

Dokaz
{\displaystyle \lim \_{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert \_{p})=\lim \_{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}})=}

{\displaystyle {\begin{cases}\lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}\ za\ |x|>|y|\\\lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{2|}}\ za\|x|=|y|\\\lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}\ za\|x|<|y|\end{cases}}}

Za {\displaystyle |x|>|y|} je

{\displaystyle \lVert (x,y)\rVert \_{\infty }=|x|}

{\displaystyle {\frac {y}{x}}<1\Rightarrow \lim \_{p\rightarrow \infty }|{\frac {y}{x}}|^{p}=0}

{\displaystyle \lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert \_{\infty }}

Za {\displaystyle |x|=|y|} je

{\displaystyle \lVert (x,y)\rVert \_{\infty }=|x|=|y|}

{\displaystyle \lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim \_{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim \_{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{2}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert \_{\infty }}

Za {\displaystyle |x|<|y|} je

{\displaystyle {\frac {x}{y}}<1\Rightarrow \lim \_{p\rightarrow \infty }|{\frac {x}{y}}|^{p}=0}

{\displaystyle \lim \_{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}=|y|=\lVert (x,y)\rVert \_{\infty }}

Neka su {\displaystyle T\_{1}=(x\_{1},y\_{1})} i {\displaystyle T\_{2}=(x\_{2},y\_{2})} neke dvije tačke ravni. Udaljenost između {\displaystyle T\_{1}} i {\displaystyle T\_{2}} s obzirom na normu {\displaystyle \lVert .\rVert } računa se kao

{\displaystyle d(T\_{1},T\_{2})=\lVert (x\_{1}-x\_{2}),(y\_{1}-y\_{2})\rVert }

{\displaystyle d(T\_{1},T\_{2})\_{p}=(|x\_{1}|-|x\_{2}|)^{p}+(|y\_{1}|-|y\_{2}|)^{p}}

Za tačke 
{\displaystyle T\_{1}=(2,-3)} i {\displaystyle T\_{2}=(5,1)} imamo

{\displaystyle d(T\_{1},T\_{2})=\lVert (2-5)+(-3-1)\rVert =\lVert (-3-4)\rVert =7}

{\displaystyle d\_{2}(T\_{1},T\_{2})={\sqrt {(|2-5|)^{2}+(|-3-1|)^{2}={\sqrt {9+16}}}}=5}

{\displaystyle d\_{\infty }(T\_{1},T\_{2})=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4}

  

Ako nacrtamo tačke {\displaystyle T\_{1}} i {\displaystyle T\_{2}} u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

{\displaystyle d\_{2}(T\_{1},T\_{2})={\sqrt {(x\_{1}-x\_{2})^{2}+(y\_{1}-<\_{2})^{2}}}} 
jednaka duzini duzi {\displaystyle {\overline {T\_{1}T\_{2}}}} dok je
{\displaystyle d\_{1}(T\_{1},T\_{2})=|x\_{1}-x\_{2}|+|y\_{1}-y\_{2}|} dužina iscrtkanih putova od {\displaystyle T\_{1}} do {\displaystyle T\_{2}}.

 
Uočimo da samo jedan put od {\displaystyle T\_{1}} do {\displaystyle T\_{2}} ima dužinu {\displaystyle d\_{2}(T\_{1},T\_{2})} i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok {\displaystyle d\_{1}(T\_{1},T\_{2})} puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tacke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednu pravouglu mrežu. Želimo li doći
od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke {\displaystyle T\_{1}=(x\_{1},y\_{1})} do {\displaystyle T\_{2}=(x\_{2},y\_{2})},
onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo {\displaystyle d\_{1}(T\_{1},T\_{2})}, a ne zraćna udaljenost {\displaystyle d\_{2}(T\_{1},T\_{2})} između ovih tacaka.

Sada je jasno zasšto se {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert \_{1}} često naziva taxicab -norma, a ponekad i Manhattan norma.

Izvor
-----

p-norme na {\displaystyle R^{2}} , kružnice {\displaystyle S\_{p}} i brojevi {\displaystyle \pi \_{p}} // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)