**Diskretna Furijeova transformacija** ili DFT jeste Furijeova transformacija diskretnog i konačnog (ili periodičnog) signala. Diskretna Furijeova transformacija je time i specijalni oblik Z-transformacije kod koje se z nalazi na jediničnom krugu. Često se koristi pri obradi digitalnih signala, a najpoznatiji algoritam za to je brza furijeova transformacija (FFT, Fast Fourier Transformation, engl.). 

Diskretna Furijeova transformacija može da posluži takođe za aproksimaciju (u određenim slučajevima i rekonstrukciju) funkcije koja odgovara signalu ili kao implementacija digitalnih filtera. 

Putem inverzne Furijeove transformacije se iz Furijeovih koeficijenata sklapa izlazni signal, a povezivanjem DFT i inverzne DFT možemo da manipulišemo frekvencijama (nalazi primenu pri ekvilajzerima i filterima).

Definicija
----------

Uzmimo da je {\displaystyle R} komutativan, unitaran prsten, u kojem je broj {\displaystyle N} jedinica. Dalje, u {\displaystyle R} je {\displaystyle w} jedinični koren. 

Za vektor {\displaystyle c=(c\_{0},\dots ,c\_{N-1})\in R^{N}} je diskretna furijeova transformacija {\displaystyle {\hat {c}}} na sledeći način definisana:

{\displaystyle {\hat {c}}\_{k}=\sum \_{j=0}^{N-1}w^{\,j\cdot k}\cdot c\_{j}} za {\displaystyle k=0,\dots ,N-1}

A za {\displaystyle {\hat {c}}\_{k}}, inverzna furijeova transformacija je 

{\displaystyle c\_{k}={1 \over N}\sum \_{j=0}^{N-1}w^{-j\cdot k}\cdot {\hat {c}}\_{j}} za {\displaystyle k=0,\dots ,N-1}

### DFT i IDFT u kompleksnom domenu

U kompleksnom domenu koristimo {\displaystyle w=e^{{2\*\pi \*k} \over n},\quad k=0,1,\ldots ,n-1}. 

Onda je DFT za {\displaystyle c\in \mathbb {C} ^{N}}:
{\displaystyle {\hat {c}}\_{k}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot c\_{j}} za {\displaystyle k=0,\dots ,N-1},

a IDFT za {\displaystyle {\hat {c}}\in \mathbb {C} ^{N}}:
{\displaystyle c\_{k}={\frac {1}{N}}\sum \_{j=0}^{N-1}e^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot {\hat {c}}\_{j}} za {\displaystyle k=0,\dots ,N-1}

### DFT i IDFT u realnom domenu

Računica u realnom domenu je:

{\displaystyle {\hat {c}}\_{N-k}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {j(N-k)}{N}}}\cdot c\_{j}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot ({\frac {jN}{N}}-{\frac {k}{N}})}\cdot c\_{j}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot ({\frac {jN}{N}})}e^{2\pi \mathrm {i} \cdot ({\frac {k}{N}})}\cdot c\_{j}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot j}e^{2\pi \mathrm {i} \cdot ({\frac {k}{N}})}\cdot c\_{j}}

Ojlerov identitet glasi: {\displaystyle e^{2\pi \mathrm {i} }=1}. Takođe važi {\displaystyle {\overline {e^{\mathrm {i} \phi }}}=e^{-\mathrm {i} \phi }} i {\displaystyle {\overline {z\_{1}+z\_{2}}}={\overline {z\_{1}}}+{\overline {z\_{2}}}}.

Stoga možemo još uprostiti izraz:

{\displaystyle {\hat {c}}\_{N-k}=\sum \_{j=0}^{N-1}1\cdot e^{2\pi \mathrm {i} \cdot ({\frac {k}{N}})}\cdot c\_{j}=\sum \_{j=0}^{N-1}e^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {k}{N}}}\cdot c\_{j}=\sum \_{j=0}^{N-1}{\overline {e^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {k}{N}}}}}\cdot c\_{j}={\overline {{\hat {c}}\_{k}}}}

  

Što će reći, {\displaystyle {\hat {c}}\in \mathbb {C} ^{N}} nije realan, ali samo N nezavisnih vrednosti (umesto 2N).

Za IDFT možemo zaključiti sledeće: Ukoliko za {\displaystyle {\hat {c}}\in \mathbb {C} ^{N}} važi {\displaystyle {\hat {c}}\_{N-k}={\overline {{\hat {c}}\_{k}}}} za sve {\displaystyle k=0,\dots ,N-1}, onda je IDFT realan vektor {\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{N}}.

### Pomeranje i skaliranje u vremenu i frekvenciji

Ako je signal periodičan, onda nije bitno da li transformišemo u opsegu {\displaystyle 0,\dots ,N-1} ili {\displaystyle k,\dots ,N-1+k}. Indeksna promenljiva j treba da obuhvati N opseg, ali nije bitno gde on počinje odnosno gde se završava (ovo važi samo za slučaj da je signal periodičan, tj. da se vektor {\displaystyle k,\dots ,N-1+k} periodično ponavlja). 
Prisetimo se: za {\displaystyle w} važi {\displaystyle w^{N}=1}. Onda {\displaystyle w^{N+k}=w^{N}\cdot w^{k}=1\cdot w^{k}=w^{k}}.

U praksi često želimo da razlika u indeksima bude istovremeno i razlika u vremenu ili razdaljini dva merenja

{\displaystyle t\_{n}=nT,n=1-M,\dots ,N-M}, {\displaystyle T} je perioda našeg merenja.
Često želimo i da koeficijentima dodelimo frekvenciju tako da su centrirane oko {\displaystyle 0}

{\displaystyle \omega \_{n}:=2\pi {\frac {n}{NT}},n=1-K,...N-K}, {\displaystyle K} je negde u blizini {\displaystyle {\frac {N}{2}}}.
Uzmimo neku funkciju {\displaystyle f} kojoj dodeljujemo {\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{N}} tako da {\displaystyle x\_{n}=f(t\_{n})}.

DFT je onda {\displaystyle y\_{n}={\hat {f}}(\omega \_{n})=F(\omega \_{n})}.

Iz toga sledi:

{\displaystyle F(\omega \_{n})=\sum \_{j=1-M}^{N-M}e^{-2\pi \mathrm {i} {\frac {njT}{NT}}}x\_{j}=\sum \_{j=1-M}^{N-M}e^{-\mathrm {i} \,\omega \_{n}\cdot t\_{j}}f(t\_{j})}
a IDFT je 

{\displaystyle f(t\_{n})=x\_{n}={\frac {1}{N}}\sum \_{j=1-K}^{N-K}e^{-2\pi \mathrm {i} {\frac {nkT}{NT}}}y\_{j}={\frac {1}{N}}\sum \_{j=1-K}^{N-K}e^{\mathrm {i} \omega \_{j}\cdot t\_{n}}F(\omega \_{j})}

Primeri
-------

### Primer filtera

Naš cilj je da izbacimo sve frekvencije koje su „tiše" (tj. koje imaju amplitudu) od 1 V. 
Prvo pravimo tabelu:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle t\_{i}=\,} | 0.5000 | 0.6000 | 0.7000 | 0.8000 | 0.9000 | 1.0000 | 1.1000 | 1.2000 | 1.3000 | 1.4000 |
| {\displaystyle f(t\_{i})=\,} | 12.5000 | 10.0995 | 7.6644 | 6.8554 | 9.7905 | 13.5000 | 11.7546 | 7.4815 | 8.2905 | 12.0636 |

Imamo 10 vrednosti na 1 sekundu, što će reći perioda našeg merenja je {\displaystyle T=0.1\,}, a frekvencija {\displaystyle freq={\frac {1}{T}}=10Hz}. Stoga mi možemo da rekonstruišemo talas do 5 Hz. Ukoliko u našem originalnom signalu ima frekvencija viših od 5 Hz onda će naša rekonstrukcija imati grešku. Ali, kao i uvek u životu, čovek mora biti optimističan te ćemo mi pretpostaviti da nema viših frekvencija (to je uostalom i jedan od razloga zašto kompakt-disk ima frekvenciju od oko 41 kHz; ljudsko uho može da registruje tek do 20 kHz!). 

Sledi izračunavanje {\displaystyle \omega \_{i}\,}. Nas zanimaju samo vrednosti vezane za pozitivne indekse:

{\displaystyle n=1-K,\ldots ,N-K;K=N/2=5;\,}
{\displaystyle n=-4,\ldots ,5\,}
{\displaystyle N\cdot T=10\cdot .1=1}
{\displaystyle \omega \_{0}=2\pi {\frac {0}{NT}}=0,\omega \_{1}=2\pi ,\omega \_{2}=4\pi ,\ldots ,\omega \_{5}=10\pi }
Sada imamo sve vrednosti i možemo da počnemo sa računanjem:

{\displaystyle F(\omega \_{0}=0)=\sum \_{j=0}^{N-1=9}e^{-\mathrm {i} \cdot 0\cdot t\_{j}}\cdot f(t\_{j})=\sum \_{j=0}^{9}f(t\_{j})=100=y\_{0}={\hat {c}}\_{0}}
{\displaystyle F(\omega \_{1}=2\pi )=\sum \_{j=0}^{N-1=9}e^{-\mathrm {i} \cdot 2\pi \cdot t\_{j}}\cdot f(t\_{j})=\ldots =0-3.5\mathrm {i} =y\_{1}={\hat {c}}\_{1}}

  

{\displaystyle F(\omega \_{2}=4\pi )=\sum \_{j=0}^{N-1=9}e^{-\mathrm {i} \cdot 4\pi \cdot t\_{j}}\cdot f(t\_{j})=\ldots =15+0\mathrm {i} =y\_{2}={\hat {c}}\_{2}}
Izračunavanje ostalih koeficijenata ide analogno, te ćemo ih ovde samo navesti kao rezultate:

{\displaystyle F(\omega \_{3}=6\pi )=2.5-3\mathrm {i} =y\_{3}={\hat {c}}\_{3}}
{\displaystyle F(\omega \_{4}=8\pi )=6.7586e-14+2.8240e-14i=y\_{4}={\hat {c}}\_{4}}
Imamo {\displaystyle {\hat {c}}\,}, sada želimo da izbacimo sve previše „tihe" tonove. Trebaju nam {\displaystyle c\_{k}\,}:

{\displaystyle c={\hat {c}}/N\Rightarrow c\_{i}={\hat {c}}\_{i}/10}
{\displaystyle c\_{i}:\,}
10 -0.35i 1.5 - 0i 0.25 - 0.3i 0 + 0i

  

Znamo da važi: {\displaystyle c\_{0}=a\_{0},c\_{i>0}={\frac {1}{2}}(a\_{i}-b\_{i}\mathrm {i} )}. Na taj način možemo da izračunamo {\displaystyle a\_{i}\,} i {\displaystyle b\_{i}\,}:

{\displaystyle a\_{0}=10\,}
{\displaystyle a\_{1}-b\_{1}\mathrm {i} =-0.7\mathrm {i} \Rightarrow a\_{1}=0,b\_{1}=0.7\,}
Ostale amplitude:

{\displaystyle a\_{2}=3\,}
{\displaystyle a\_{3}=0.5\,}
{\displaystyle b\_{3}=0.6\,}
{\displaystyle a\_{4}=b\_{4}=0\,}
Iz {\displaystyle a\_{4}=b\_{4}=0\,} možemo da zaključimo da frekvencija od 4 Hz nema u našem signalu. Često je vrlo zgodno navesti sve amplitude u grafikonu. Amplituda {\displaystyle A\_{k}\,} za neku frekvenciju {\displaystyle k} je {\displaystyle A\_{k}={\sqrt {(a\_{k}^{2}+b\_{k}^{2})}}}. 

Sve {\displaystyle a\_{i}\,} i {\displaystyle b\_{i}\,} za koje važi {\displaystyle {\sqrt {(a\_{i}^{2}+b\_{i}^{2})}}<1} izbacujemo i na kraju dobijamo rekonstruisanu i obrađenu funkciju:

{\displaystyle f(t)=10+3\cos(2\omega t)\,}
Sada možemo da ponovo da izračunamo {\displaystyle f(t\_{i})\,} ili da se poslužimo IDFT i tako prerađen signal snimimo u memoriju.

### Primer u C-u

```
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>

#define pi 3.14159265
#define N 1000
#define T 0.001
#define FREQ 25

double my_function (double t )
{
	 /* violina svira ton od 25 Hz */
	 double ugaona_brzina = 2 * pi * FREQ;
	 return 5 + 10 * cos(ugaona_brzina * t) + 15 * cos(2 * (ugaona_brzina * t) ) 
			+ 20 * sin (3 * (ugaona_brzina * t) );

}

complex double get_fourier_coef (double omega_n, double* t, double* f  )
{
	 complex double coeff = 0;

	int k = 0;

	for (k = 0; k < N; k ++ )
	{
		// f[k] == f(t[k] );
		coeff += cexp (- I * omega_n * t[k]) * f[ k] ;
	}
	return coeff;
}

int main()
{
	double t[N];
	double omega[N];
	double f[N];

	double a[N/2+1];
	double phi[N/2+1];
	int n = 0;

	complex double coeff[N];
	
	/* pripremi vektore t i f_t -> nas signal je f_t !*/
	t[0] = 0;
	f[0] = my_function (t[0] );
	omega[0] = 0;

	for (n = 1; n < N; n ++ )
	{
		omega[n] = 2 * pi * n / (N * T );
		t[n] = n * T;
		f[n] = my_function (t[n] );	
	}

 
	/* izracunavanje koeficijenata */
	for (n = 0; n < N/2+1; n ++ )
	{
		coeff[n] = get_fourier_coef (omega[n], t, f );
		if (cabs(coeff[n]) > 0.1 ){
			printf ("# Koeficijent %d:  %e * e^i*%e\n", n, cabs(coeff[n]), carg(coeff[n]) ); 
		}
	}
	
	

	/* krece inverzija: */		
	a[0] = cabs(coeff[0]) / N;
	phi[0] = 0;
	for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
	{
		if (cabs(coeff[n]) > 0.1 )
		{
			// c = 1/2 (a + ib ), zato a = 2 * |c|, b == 0 
			a[n] = 2  * cabs(coeff[n]) / N; 

			if (abs (carg(coeff[n])) > 0.001 )
			{
				phi[n] = carg(coeff[n] );
			}
			 else 
			{
				phi[n] = 0;
			}
		} 
		else 
		{
			a[n] = 0;
			phi[n] = 0;
		}
	}

	/* predstavljanje rezultata: */
	printf ("Nasa rekonstrukcija:\n f (t) = %e", a[0] );
	for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
	{

		if (a[n] )
		{
			if (phi[n] )
			{
				printf (" + %e * cos (%d * (2 * pi * t + %e) )", a[n], n, phi[n] );
			}
			else
			{
				printf ("+ %e * cos (%d * 2 * pi * t )", a[n], n );
			}
		}
	}
	printf ("\n" );
	

	return 0;
}
```

Literatura
----------

* Brigham, E. Oran (1988). *The fast Fourier transform and its applications*. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-307505-2.
* Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Buck, J. R. (1999). *Discrete-time signal processing*. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-754920-7.
* Smith, Steven W. (1999). „Chapter 8: The Discrete Fourier Transform". *The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing* (Second izd.). San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2.
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). „Chapter 30: Polynomials and the FFT". *Introduction to Algorithms* (Second izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. 822-848. ISBN 978-0-262-03293-3.  esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830-838.
* P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). „On computing the inverse DFT". *IEEE Trans. Acoust. Speech and Sig. Processing* **36** (2): 285-286. DOI:10.1109/29.1519.
* J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). „Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation". *IEEE Trans. Audio Electroacoust.* **20** (1): 66-74. DOI:10.1109/TAU.1972.1162342.
* Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). „Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform". *IEEE Trans. Acoust. Speech and Sig. Processing* **30** (1): 25-31. DOI:10.1109/TASSP.1982.1163843.
* F. A. Grünbaum (1982). „The eigenvectors of the discrete Fourier transform". *J. Math. Anal. Appl.* **88** (2): 355-363. DOI:10.1016/0022-247X(82)90199-8.
* Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). „Fractional Fourier-Kravchuk transform". *J. Opt. Soc. Am. A* **14** (7): 1467-1477. DOI:10.1364/JOSAA.14.001467.
* C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). „The discrete fractional Fourier transform". *IEEE Trans. on Signal Processing* **48** (5): 1329-1337. DOI:10.1109/78.839980.
* Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). „Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices". *IEEE Trans. Circ. Syst. I* **51** (11): 2245-2254. DOI:10.1109/TCSI.2004.836850.
* Shamgar Gurevich and Ronny Hadani (2009). „On the diagonalization of the discrete Fourier transform". *Applied and Computational Harmonic Analysis* **27** (1): 87-99. DOI:10.1016/j.acha.2008.11.003. preprint at.
* Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen (2008). „The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar". *IEEE Transactions on Information Theory* **54** (9): 4239-4253. DOI:10.1109/TIT.2008.926440. preprint at.
* Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). „On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform". *IEEE Sig. Proc. Lett.* **12** (4): 273-276. DOI:10.1109/LSP.2005.843762.
* James Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). „The finite Fourier transform". *IEEE Trans. Audio Electroacoustics* **17** (2): 77-85. DOI:10.1109/TAU.1969.1162036.
* F.N. Kong (2008). „Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals". *IEEE Trans. Circuits and Systems –II: Express Briefs.* **55** (1): 56-60. DOI:10.1109/TCSII.2007.909865.

Vidi još
--------

* Dualnost po Pontrjaginu