U matematici, za skup se kaže da je **zatvoren u odnosu na neku operaciju** ako ta operacija nad članovima skupa daje kao rezultat ponovo člana tog skupa. Na primer, realni brojevi su zatvoreni u odnosu na oduzimanje, ali prirodni brojevi nisu: 3 su 7 prirodni brojevi, ali rezultat 3 − 7 nije.

Slično, za skup se kaže da je **zatvoren u odnosu na *kolekciju* operacija** ako je zatvoren za svaku od operacija pojedinačno.

Za skup koji je zatvoren u odnosu na operaciju ili kolekciju operacija se kaže da zadovoljava **svojstvo zatvorenja**. Često se svojstvo zatvorenja uvodi kao aksioma, koja se tada naziva **aksiomom zatvorenja**. Treba imati u vidu da definicije moderne teorije skupova obično operacije definišu kao preslikavanja između skupova, tako da je dodavanje zatvorenosti u strukturu u vidu aksioma bespotrebno, ali i dalje ima smisla da se pita da li su podskupovi zatvoreni. Na primer, realni brojevi su zatvoreni u odnosu na oduzimanje, dok njihov podskup (kao što je već napomenuto) prirodnih brojeva nije.

Kada skup *S* nije zatvoren u odnosu na neku operaciju, obično je moguće naći najmanji skup koji sadrži *S*, a koji je zatvoren. Ovaj najmanji zatvoren skup se naziva **zatvorenjem** od *S* (u odnosu na posmatrane operacije). Na primer, zatvorenje u odnosu na oduzimanje, skupa prirodnih brojeva, posmatranog u vidu podskupa realnih brojeva, je skup celih brojeva. Važan je primer topološkog zatvorenja.

Treba imati u vidu da skup *S* mora da bude podskup zatvorenog skupa kako bi operator zatvorenja mogao da bude definisan. U prethodnom primeru je važna činjenica da su realni brojevi zatvoreni za oduzimanje; u domenu prirodnih brojeva, oduzimanje nije uvek definisano.

Ne treba mešati dve upotrebe izraza *zatvorenje*. Prva upotreba se odnosi na svojstvo skupa da je zatvoren, a druga se odnosi na najmanji zatvoren skup koji sadrži onaj koji nije zatvoren. Ukratko, zatvorenje skupa zadovoljava svojstvo zatvorenja.

Zatvoreni skupovi
-----------------

Skup je zatvoren za neku operaciju, ako ta operacija daje kao rezultat element skupa svaki put kada joj se kao argumenti proslede elementi tog skupa. Ponekada se ovaj zahtev eksplicitno navodi, i u tom slučaju se radi o **aksiomi zatvorenja**. Na primer, moguće je definisati grupu kao skup sa binarnim proizvodom koji zadovoljava nekoliko aksioma, uključujući i aksiomu da je proizvod bilo koja dva elementa grupe ponovo element grupe. Međutim, moderna definicija operacije čini ovu aksiomu nepotrebnom; *n*-arni operator na *S* je samo podskup od *S**n*+1. Po samoj svojoj definiciji, operator na skupu ne može da ima vrednosti izvan skupa.

Uprkos tome, svojstvo zatvorenja operatora na skupu i dalje ima smisla. Zatvorenje na skupu ne implicira obavezno zatvorenje na svim podskupovima. Stoga, podgrupa grupe je podskup na kome binarni proizvod i unarna operacija invertovanja zadovoljavaju aksiomu zatvorenja.

Operator zatvorenja
-------------------

*Glavni članak: operator zatvorenja*
Ako je data operacija na skupu *X*, može da se definiše zatvorenje *C*(*S*) podskupa *S* u *X*, kao najmanji podskup zatvoren u odnosu na tu operaciju, koji sadrži *S* kao podskup. Na primer, zatvorenje podskupa grupe je podgrupa generisana tim skupom.

Zatvorenje skupova u odnosu na neku operaciju definiše **operator zatvorenja** na podskupovima od *X*. Zatvoreni skupovi mogu da se odrede iz operatora zatvorenja; skup je zatvoren ako je jednak sopstvenom zatvorenju. Tipična strukturna svojstva svih operacija zatvorenja su:

* Zatvorenje je **povećavajuće** ili **ekstenzivno**: zatvorenje objekta sadrži sam objekat.
* Zatvorenje je **idempotentno**: zatvorenje zatvorenja je jednako zatvorenju.
* Zatvorenje je **monotono**, to jest, ako se *X* sadrži u *Y*, onda se i *C*(*X*) sadrži u *C*(*Y*).

Objekat koji je sam svoje zatvorenje se naziva **zatvorenim**. Po idempotenciji, objekat je zatvoren akko je zatvorenje nekog objekta.

Primeri
-------

* U teoriji matroida, zatvorenje od *X* je najveći nadskup od *X* koji ima isti rang kao i *X*.
* U teoriji skupova, tranzitivno zatvorenje binarne relacije.
* U apstraktnoj algebri, algebarsko zatvorenje polja.
* U geometriji, konveksni omotač skupa tačaka *S* je najmanji konveksan skup čiji je *S* podskup.
* U teoriji formalnih jezika, Klinijevo zatvorenje jezika se može opisati kao skup niski koje se mogu napraviti dopisivanjem nula ili više niski tog jezika.
* U teoriji grupa, normalno zatvorenje skupa elemenata grupe je najmanja normalna podgrupa koja sadrži skup.