**Euklidska udaljenost** je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru. U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi

Definicija
----------

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta prave koja ih povezuje {\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}.

U Kartezijevim koordinatama, ako su {\displaystyle p=(p\_{1},p\_{2},...p\_{n})} i {\displaystyle q=(q\_{1},q\_{2},...q\_{n})} dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathrm {d} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )&={\sqrt {(q\_{1}-p\_{1})^{2}+(q\_{2}-p\_{2})^{2}+\cdots +(q\_{n}-p\_{n})^{2}}}\\[8pt]&={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(q\_{i}-p\_{i})^{2}}}.\end{aligned}}}

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

{\displaystyle \left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p\_{1}^{2}+p\_{2}^{2}+\cdots +p\_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }},}
Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

{\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =(q\_{1}-p\_{1},q\_{2}-p\_{2},\cdots ,q\_{n}-p\_{n})}
U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

{\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}.}

ili

{\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}

Jednodimenzionalna udaljenost
-----------------------------

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

{\displaystyle {\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.}

Dvodimenzionalna udaljenost
---------------------------

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta: {\displaystyle x=x\_{1}-x\_{2}\,.} 

Dužina vertikalne linije je kateta: {\displaystyle y=y\_{1}-y\_{2}\,.} 

Prema tome udaljenost je hipotenuza: {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x\_{1}-x\_{2})^{2}+(y\_{1}-y\_{2})^{2}}}\,.} 

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost.

Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

{\displaystyle {\sqrt {r\_{1}^{2}+r\_{2}^{2}-2r\_{1}r\_{2}\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})}}.}

Trodimenzionalna udaljenost
---------------------------

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+(p\_{3}-q\_{3})^{2}}}}

n - domenzionalna udaljenost
----------------------------

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{i}-q\_{i})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}}}.}{\displaystyle }

Kvadrat Euklidske udaljenosti
-----------------------------

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

{\displaystyle d^{2}(p,q)=(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{i}-q\_{i})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}.}

Izvor
-----

Cluster Analysis /March 2, 2011.