U teoriji grupa, za datu grupu *G* u odnosu na binarnu operaciju \*, kažemo da je neki podskup *H* od *G* **podgrupa** od *G* ako *H* takođe gradi grupu u odnosu na operaciju \*. Preciznije, *H* je podgrupa *G* ako je restrikcija \* na *H* operacija grupe na *H*.

**Prava pogrupa** grupe *G* je podgrupa *H*, koja je pravi podskup od *G* (t. j. *H* ≠ *G*). **Trivijalna podgrupa** bilo koje grupe je podgrupa {*e*} koja se sastoji samo od neutrala. Ako je *H* podgrupa od *G*, ponekad se kaže da je *G* *nadgrupa* od *H*.

Iste definicije važe u opštijem obliku kada je *G* proizvoljna polugrupa, ali ovaj članak se bavi samo podgrupama grupa. Grupa *G* se ponekad označava uređenim parom (*G*,\*), obično da naglasi operaciju \* kada *G* nosi više algebarskih ili drugih struktura.

U ostatku članka ćemo koristiti uobičajenu konvenciju izostavljanja simbola \* i pisanja proizvoda *a*\**b* jednostavno kao *ab*.

Osnovna svojstva podgrupa
-------------------------

* *H* je podgrupa grupe *G* ako i samo ako je neprazna i zatvorena za proizvod i inverze. (Zatvorenost znači sledeće: kad god su *a* i *b* unutar *H*, tada je i *ab* i *a*−1 su takođe unutar *H*. Ova dva uslova mogu da se spoje u jedan ekvivalentan uslov: kad god su *a* i *b* unutar *H*, tada je i *ab*−1 unutar *H*.) U slučaju kada je *H* konačno, tada je *H* podgrupa ako i samo ako je *H* zatvoreno u odnosu na proizvode. (U ovom slučaju, svaki element *a* iz *H* generiše konačnu cikličnu podgrupu od *H*, i inverz od *a* je tada *a*−1 = *a**n* − 1, gde je *n* red od *a*.
* Gornji uslov se može izreći u terminima homomorfizama; to jest, *H* je podgrupa grupe *G* ako i samo ako je *H* podskup od *G* i postoji inkluzioni homomorfizam (t. j. i(*a*) = *a* za svako *a*) iz *H* u *G*.
* Neutral podgrupe je neutral grupe: ako je *G* grupa sa neutralom *e**G*, i *H* je podgrupa od *G* sa neutralom *e**H*, tada je *e**H* = *e**G*.
* Inverz elementa podgrupe je inverz elementa grupe: ako je *H* podgrupa od *G*, i *a* i *b* su elementi iz *H*, takvi da *ab* = *ba* = *e**H*, tada *ab* = *ba* = *e**G*.
* Presek podgrupa *A* i *B* grupe *G* je takođe podgrupa. Unija *A* i *B* je podgrupa ako i samo ako ili *A* sadrži *B* ili obratno, jer na primer 2 i 3 su u uniji 2Z i 3Z ali njihova suma 5 nije.
* Ako je *S* podskup od *G*, tada postoji minimalna podgrupa koja sadrži *S*, koja se može naći uzimanjem preseka svih podgrupa koje sadrže *S*; ovo se označava sa <*S*> i naziva se podgrupom generisanom sa *S*. Element iz *G* je unutar <*S*> ako i samo ako je konačan proizvod elemenata *S* i njihovih inverza.
* Svaki element *a* iz grupe *G* određuje (generiše) cikličnu podgrupu <*a*>. Ako je <*a*> izomorfno sa **Z**/*n***Z** za neki pozitivan ceo broj *n*, onda je *n* najmanji pozitivan ceo broj za koji *a**n* = *e*, i *n* se naziva *redom* od *a*. Ako je <*a*> izomorfno sa **Z**, tada se kaže da je *a* *beskonačnog reda*.

Primer
------

Neka je *G* Abelova grupa čiji su elementi

*G*={0,2,4,6,1,3,5,7}
i čija je operacija grupe sabiranje po modulu osam. Njena Kejlijeva tabela je

| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7 |
| 2 | 2  | 4  | 6  | 0  | 3  | 5  | 7  | 1 |
| 4 | 4  | 6  | 0  | 2  | 5  | 7  | 1  | 3 |
| 6 | 6  | 0  | 2  | 4  | 7  | 1  | 3  | 5 |
| 1 | 1  | 3  | 5  | 7  | 2  | 4  | 6  | 0 |
| 3 | 3  | 5  | 7  | 1  | 4  | 6  | 0  | 2 |
| 5 | 5  | 7  | 1  | 3  | 6  | 0  | 2  | 4 |
| 7 | 7  | 1  | 3  | 5  | 0  | 2  | 4  | 6 |

Ova grupa ima par netrivijalnih podgrupa: *J*={0,4} i *H*={0,2,4,6}, gde je *J* takođe podgrupa od *H*. Kajlijeva tabela za *H* je gornji levi kvadrant Kajlijeve tabele za *G*. Grupa *G* je ciklična, pa su i njene podgrupe ciklične. Uopšteno, podgrupe cikličnih grupa su ciklične..

Koseti i Lagranžova teorema
---------------------------

Ako je data podgrupa *H* i neko *a* iz G, definišemo **levi koset** *aH* = {*ah* : *h* iz *H*}. Kako je *a* inverzibilno, preslikavanje φ : *H* → *aH* definisano kao φ(*h*) = *ah* je bijekcija. Štaviše, svaki element iz *G* se nalazi u tačno jednom levom kosetu od *H*; levi koseti su klase ekvivalencije u odnosu na relaciju ekvivalencije *a*1 ~ *a*2 ako i samo ako je *a*1−1*a*2 u *H*. Broj levih koseta *H* se naziva *indeksom* *H* u *G*, i označava se sa [*G* : *H*].

Lagranžova teorema glasi da za konačnu grupu *G* i njenu podgrupu *H*,

{\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}
gde red(*G*) i red(*H*) označavaju redove od *G* i *H*. Red svake podgrupe od *G* (i red svakog elementa *G*) obavezno deli red(*G*).

**Desni koseti** su definisani analogno: *Ha* = {*ha* : *h* u *H*}. Oni su takođe klase ekvivalencije za odgovarajuću relaciju ekvivalencije, i njihov red je jednak [*G* : *H*].

Ako je *aH* = *Ha* za svako *a* iz *G*, tada se kaže da je *H* normalna podgrupa. Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna: levi i desni koseti su jednostavno podgrupa i njen komplement.