**Вигнеров 9-j** симбол дефинисао је Еуген Вигнер као суму преко 6-j симбола:

{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}=\sum \_{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{4}&j\_{7}\\j\_{8}&j\_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\_{2}&j\_{5}&j\_{8}\\j\_{4}&x&j\_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\_{3}&j\_{6}&j\_{9}\\x&j\_{1}&j\_{2}\end{Bmatrix}}}.

Везање угаоних момената
-----------------------

Везањем четири угаона момента добијају се Клебш-Горданови коефицијенти. Три угаона момента можемо да вежемо на неколико начина. Два угаона момента можемо да вежемо исто тако на више начина. Нпр. {\displaystyle \mathbf {j} \_{1}},
{\displaystyle \mathbf {j} \_{2}}, {\displaystyle \mathbf {j} \_{4}} и{\displaystyle \mathbf {j} \_{5}} могу да се вежу тако да најпре вежемо

{\displaystyle \mathbf {j} \_{1}+\mathbf {j} \_{2}=\mathbf {j} \_{3}} и
{\displaystyle \mathbf {j} \_{4}+\mathbf {j} \_{5}=\mathbf {j} \_{6}}
а онда:

{\displaystyle \mathbf {j} \_{3}+\mathbf {j} \_{6}=\mathbf {j} \_{9}}
Ми то пишемо у скраћеном облику као:

{\displaystyle |((j\_{1}j\_{2})j\_{3},(j\_{4}j\_{5})j\_{6})j\_{9}m\_{9}\rangle .}
Други начин да се вежу 3 или 4 угаона момента је:

{\displaystyle \mathbf {j} \_{1}+\mathbf {j} \_{4}=\mathbf {j} \_{7}} и
{\displaystyle \mathbf {j} \_{2}+\mathbf {j} \_{5}=\mathbf {j} \_{8}}
а онда:

{\displaystyle \mathbf {j} \_{7}+\mathbf {j} \_{8}=\mathbf {j} \_{9}}
односно у скраћеном облику:

{\displaystyle |((j\_{1}j\_{4})j\_{7},(j\_{2}j\_{5})j\_{8})j\_{9}m\_{9}\rangle .}
Трансформација између два облика је:

{\displaystyle |((j\_{1}j\_{4})j\_{7},(j\_{2}j\_{5})j\_{8})j\_{9}m\_{9}\rangle =}
{\displaystyle \sum \_{j\_{3}}\sum \_{j6}|((j\_{1}j\_{2})j\_{3},(j\_{4}j\_{5})j\_{6})j\_{9}m\_{9}\rangle \langle ((j\_{1}j\_{2})j\_{3},(j\_{4}j\_{5})j\_{6})j\_{9}|((j\_{1}j\_{4})j\_{7},(j\_{2}j\_{5})j\_{8})j\_{9}\rangle .}
При томе 9-j симбол симбол може да се дефинише као:

{\displaystyle [(2j\_{3}+1)(2j\_{6}+1)(2j\_{7}+1)(2j\_{8}+1)]^{\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}=}
{\displaystyle \langle ((j\_{1}j\_{2})j\_{3},(j\_{4}j\_{5})j\_{6})j\_{9}|((j\_{1}j\_{4})j\_{7},(j\_{2}j\_{5})j\_{8})j\_{9}\rangle .}

Ортогоналност
-------------

9-j симболи задовољавају релацију ортогоналности:

{\displaystyle \sum \_{j\_{7}j\_{8}}(2j\_{7}+1)(2j\_{8}+1){\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}'\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}'\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta \_{j\_{3}j\_{3}'}\delta \_{j\_{6}j\_{6}'}\Delta (j\_{1}j\_{2}j\_{3})\Delta (j\_{4}j\_{5}j\_{6})\Delta (j\_{3}j\_{6}j\_{9})}{(2j\_{3}+1)(2j\_{6}+1)}}.}
где је:

{\displaystyle \Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}}

Симетрије
---------

Вигнеров 9-j симбол је инваријантан на рефлексије око дијагонале:

{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{4}&j\_{7}\\j\_{2}&j\_{5}&j\_{8}\\j\_{3}&j\_{6}&j\_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j\_{9}&j\_{6}&j\_{3}\\j\_{8}&j\_{5}&j\_{2}\\j\_{7}&j\_{4}&j\_{1}\end{Bmatrix}}.}
Ако се пермутирају било која два реда или две колоне :

{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{7}&j\_{8}&j\_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j\_{2}&j\_{1}&j\_{3}\\j\_{5}&j\_{4}&j\_{6}\\j\_{8}&j\_{7}&j\_{9}\end{Bmatrix}}.}
тада се множи фазним фактором {\displaystyle (-1)^{S}}, где је {\displaystyle S=\sum \_{i=1}^{9}j\_{i}.}

Специјални случај
-----------------

За {\displaystyle j\_{9}=0} 9-j симбол пропорционалан је 6-j симболу:

{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{4}&j\_{5}&j\_{6}\\j\_{7}&j\_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta \_{j\_{3},j\_{6}}\delta \_{j\_{7},j\_{8}}}{\sqrt {(2j\_{3}+1)(2j\_{7}+1)}}}(-1)^{j\_{2}+j\_{3}+j\_{4}+j\_{7}}{\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{3}\\j\_{5}&j\_{4}&j\_{7}\end{Bmatrix}}.}

Суме
----

{\displaystyle \sum \_{j\_{13}\,j\_{24}}(-1)^{2j\_{2}+j\_{24}+j\_{23}-j\_{34}}(2j\_{13}+1)(2j\_{24}+1){\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{12}\\j\_{3}&j\_{4}&j\_{34}\\j\_{13}&j\_{24}&j\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{3}&j\_{13}\\j\_{4}&j\_{2}&j\_{24}\\j\_{14}&j\_{23}&j\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j\_{1}&j\_{2}&j\_{12}\\j\_{4}&j\_{3}&j\_{34}\\j\_{14}&j\_{23}&j\end{Bmatrix}}.}
* Лијеве групе
* Ротациона асиметрија
* Квантна механика