**Ermiteovi polinomi** predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

Definicija
----------

Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:

{\displaystyle (1)\ \ {\mathit {He}}\_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
(**"probabilistički' Ermiteovi polinomi"**), i

{\displaystyle (2)\ \ H\_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!}
(**"fizikalni' Ermiteovi polinomi"**). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

{\displaystyle H\_{n}(x)=2^{n/2}{\mathit {He}}\_{n}({\sqrt {2}}\,x),\qquad {\mathit {He}}\_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H\_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
Prvih šest probabilističkih Ermiteovih polinoma *He**n*(*x*).
Prvih jedanaest polinoma je:

{\displaystyle {\mathit {He}}\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{2}(x)=x^{2}-1\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{3}(x)=x^{3}-3x\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}
{\displaystyle {\mathit {He}}\_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}
Prvih šest fizikalnih Ermiteovih polinoma *H**n*(*x*).
Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

{\displaystyle H\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle H\_{1}(x)=2x\,}
{\displaystyle H\_{2}(x)=4x^{2}-2\,}
{\displaystyle H\_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}
{\displaystyle H\_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}
{\displaystyle H\_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
{\displaystyle H\_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}
{\displaystyle H\_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}
{\displaystyle H\_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}
{\displaystyle H\_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}
{\displaystyle H\_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:

{\displaystyle H\_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}

Ortogonalnost
-------------

*H**n*(*x*) i *He**n*(*x*) predstavljaju polinome *n*toga-stepena za *n* = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}   (*He*)
ili

{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}   (*H*)
tj. mi immo:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}(x)H\_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}
kada je *m* ≠ *n*. Dalje,

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}\_{m}(x){\mathit {He}}\_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}n!\delta \_{nm}}   (probabilistički)
ili

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}(x)H\_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta \_{nm}}   (fizikalna).
Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.

Rekurzivne relacije
-------------------

Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

{\displaystyle {\mathit {He}}\_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}\_{n}(x)-{\mathit {He}}\_{n}'(x).\,\!} (probabilistička)
{\displaystyle H\_{n+1}(x)=2xH\_{n}(x)-H\_{n}'(x).\,\!} (fizikalna)
Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

{\displaystyle {\mathit {He}}\_{n}'(x)=n{\mathit {He}}\_{n-1}(x),\,\!} (probabilistička)
{\displaystyle H\_{n}'(x)=2nH\_{n-1}(x),\,\!} (fizikalna)
ili ekvivalentno,

{\displaystyle {\mathit {He}}\_{n}(x+y)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}{\mathit {He}}\_{k}(y)} (probabilistička)
{\displaystyle H\_{n}(x+y)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}H\_{k}(x)(2y)^{(n-k)}=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}H\_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H\_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).} (fizikalna)
Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

{\displaystyle {\mathit {He}}\_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}\_{n}(x)-n{\mathit {He}}\_{n-1}(x),\,\!} (probabilistička)
{\displaystyle H\_{n+1}(x)=2xH\_{n}(x)-2nH\_{n-1}(x).\,\!} (fizikalna)
Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.

Generirajuće funkcije
---------------------

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

{\displaystyle \exp(xt-t^{2}/2)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}\_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!} (probabilistička)
{\displaystyle \exp(2xt-t^{2})=\sum \_{n=0}^{\infty }H\_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!} (fizikalna).

Eksplicitni izraz
-----------------

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

{\displaystyle H\_{n}(x)=n!\sum \_{\ell =0}^{n/2}{\frac {(-1)^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell }}
za parne *n* i

{\displaystyle H\_{n}(x)=n!\sum \_{\ell =0}^{(n-1)/2}{\frac {(-1)^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell +1}}
za neparne *n.* Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

{\displaystyle H\_{n}(x)=n!\sum \_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}

Ermiteova diferencijalna jednačina
----------------------------------

Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:

{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}
gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da *u* treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je
*u*(*x*) = *H*λ(*x*). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:

{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}
Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:

{\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u}
čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.

Ermiteova funkcija
------------------

Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

{\displaystyle \psi \_{n}(x)=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}H\_{n}(x)=(-1)^{n}(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}}
Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\psi \_{n}(x)\psi \_{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta \_{n\,m}\,}
Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

{\displaystyle \psi \_{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi \_{n}(x)=0\,.}
Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

Ermiteove funkcije 0 (crna), 1 (crvena), 2 (plava), 3 (žuta), 4 (zelena), and 5 (ljubičasta).
Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

{\displaystyle \psi \_{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi \_{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi \_{n+1}(x)}
kao i

{\displaystyle x\;\psi \_{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi \_{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi \_{n+1}(x)}

Literatura
----------

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0