Eksponencijalna funkcija {\displaystyle y=e^{x}}
**Eksponencijalna funkcija** jedna je od najvažijih u matematici, izražena kao *y* = *e**x* gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. 
Funkcija *y* = *e**x* je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable *x*, gdje se brzina rasta povećava kako raste *x*. 

Graf funkcije (slika desno) leži iznad *x*-osi, ali joj se asimptotski približava kako *x* teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma *y* = ln(*x*) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

Definicija
----------

Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).
Eksponencijalna funkcija e*x* može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .}
Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}
Kako *n* raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti *e**x* (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

{\displaystyle e^{(x+y)}=e^{x}\cdot e^{y}\,}
odnosno napisano drukčije

{\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}

Derivacija
----------

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

{\displaystyle \,{d \over dx}e^{x}=e^{x}}
što znači da je funkcija *e**x* ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika *Ke**x* gdje je *K* konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

* strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
* brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable *x* jednaka vrijednosti funkcije u *x*,
* eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe *y* ′ = *y*.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom
-----------------------------------------------------

Graf funkcije *y*=*a**x* za različite baze *a*:
baza10 (zeleno), baza *e* (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za *x*=1 vrijednost *y* funkcije upravo je jednaka bazi.
Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

{\displaystyle y=a^{x}\,}
gdje baza *a* može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj *e*.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

{\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini
----------------------------------------------

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

{\displaystyle \,\!\,e^{z}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

{\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}
vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

{\displaystyle \,\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
{\displaystyle \,\!\,e^{0}=1}
{\displaystyle \,\!\,e^{z}\neq 0}
{\displaystyle \,\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda {\displaystyle 2\pi i} jer vrijedi

{\displaystyle \,\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
i

{\displaystyle \,e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}
gdje su *a* i *b* realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika *a**b*, gdje su i *a* i *b* kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(*z*), gdje možemo definirati općenitije da je

{\displaystyle \,\!\,z^{w}=e^{w\ln z}}
za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

{\displaystyle \,\!\,(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}}

Literatura
----------

***Eksponencijalna funkcija*** na Wikimedijinoj ostavi

* Gusić J. Mladinić P. Pavković B. "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
* Antoliš S. Copić A. "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.