U matematici, **polugrupa** je algebarska struktura koja se sastoji od skupa *S* zatvorenog u odnosu na asocijativnu binarnu operaciju.

Operacija polugrupe se najčešće označava multiplikativno, to jest, {\displaystyle x\cdot y} ili jednostavnije *xy* označava rezultat primenjivanja operacije polugrupe na uređeni par (*x*, *y*).

Formalno proučavanje polugrupa je počelo u ranom 20. veku. Od ranih 1950ih, teorija konačnih polugrupa je od velike važnosti za teorijsko računarstvo zbog prirodne veze između konačnih polugrupa i konačnih automata.

Formalna definicija
-------------------

Polugrupa se formalno sastoji od para {\displaystyle (S,\cdot \_{S})} gde je *S* skup, a binarna funkcija {\displaystyle \cdot \_{S}:S\times S\rightarrow S} koja se naziva operacijom polugrupe. Primena funkcije {\displaystyle \cdot \_{S}} na par {\displaystyle (x,y)} se jednostavnije zapisuje {\displaystyle x\cdot \_{S}y} ili {\displaystyle x\cdot y}. Neophodno je da je ova operacija asocijativna, to jest, da zadovoljava uslov {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} za svako {\displaystyle x,y,z\in S}. Uobičajena praksa u apstraktnoj algebri je da se par {\displaystyle (S,\cdot \_{S})} označava kao *S* kada je iz konteksta jasno koja se operacija koristi.

Neki autori zahtevaju da polugrupa bude neprazna. Drugi koriste izraz *polugrupa* kao sinonim sa izrazom *monoid*, to jest, pretpostavljaju da polugrupa ima neutral. U ostatku članka, izraz *polugrupa* će biti korišćen u najširem smislu, to jest, polugrupa može biti prazna, a čak iako nije prazna, ne mora da ima neutral.

Kao što je gore napomenuto, monoid je polugrupa sa neutralom. Svaka polugrupa *S* se može dopuniti do monoide (što se obično označava kao {\displaystyle S^{1}}) jednostavnim dodavanjem elementa *e* koji ne pripada *S* i definisanjem *es* = *s* = *se* za svako *s* ∈ *S* ∪ {e}.

Komutativna polugrupa *S* se može dopuniti do grupe ako i samo ako ima svojstvo poništavanja, u kom slučaju se može videti kao podpolugrupa grupe razlomaka *SS*−1 (na sličan način na koji se integralni domen ulaže u svoje polje razlomaka). U opštem slučaju, da bi se polugrupa mogla uložiti u grupu, ona mora imati svojstvo poništavanja, ali je sveobuhvatan spisak neophodnih i dovoljnih uslova za uloživost, kako je dokazao Maljcev 1939. prebrojivo beskonačan i nijedan njegov konačan podskup nije dovoljan. Postoji veliki broj teorema koje garantuju uloživost polugrupe u grupu u posebnim slučajevima, poput npr. Oreovog svojstva da svaka dva desna koseta imaju neprazan presek; za više informacija o ovom pitanju videti pregled Džona Mikina.

Primeri polugrupa
-----------------

* Svaki monoid i stoga svaka grupa.
* Pozitivni celi brojevi u odnosu na sabiranje.
* Svaki podskup polugrupe zatvoren u odnosu na operaciju polugrupe. Takav podskup je poznat kao podpolugrupa.
* Polugrupa čija operacija je idempotentna i komutativna je polumreža.
* Skup svih konačnih niski nad nekom fiksiranom azbukom Σ, u odnosu na konkatenaciju stringova kao operaciju. Ako je uključena prazna niska, onda se radi o monoidu; ako je prazna niska isključena, onda se radi o polugrupi nad Σ.
* Biciklična polugrupa.
* Regularne polugrupe.
* Inverzne polugrupe.

Literatura
----------

* Ayres, Frank, *Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra*, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.