1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
 poslije izravnanja
**1 + 1 + 1 + 1 + · · ·**, može se pisati i kao {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }n^{0}}, {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }1^{n}}, ili {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }1}, je divergentni red.To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz {\displaystyle 1^{n}} može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom {\displaystyle 1}. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1),
ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za {\displaystyle s=0}

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,} {\displaystyle ={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}
Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

 Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je {\displaystyle -1/2} 
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je {\displaystyle \Gamma (1)=1}),

{\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim \_{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)=}

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim \_{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!} [1]

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2.

U Dekartovom koordinantnom sistemu
----------------------------------

Dekartov koordinantni sistem 
U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija {\displaystyle \ f(x)=\sum \_{n=1}^{x}n^{0}} sadrži iste tačke kao funkcija {\displaystyle \ f(x)=x}

Za {\displaystyle \ x>0}

Funkcija {\displaystyle \ f(x)=k\sum \_{n=1}^{x}n^{0}} predstavlja linije u I kvadrantu za {\displaystyle :\ k\geq 0}

Funkcija {\displaystyle \ f(x)=k\sum \_{n=1}^{x}n^{0}} predstavlja linije u IV kvadrantu za {\displaystyle \ k\leq 0} .

Za {\displaystyle x<0}:

Funkcija {\displaystyle \ f(x)=k\sum \_{n=1}^{-x}n^{0}} predstavlja linije u II kvadrantu {\displaystyle \ k\geq 0} .

Funkcija {\displaystyle \ f(x)=k\sum \_{n=1}^{-x}n^{0}} predstavlja linije u III kvadrantu za {\displaystyle \ k\leq 0} .

Demonstracija zbira
-------------------

Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=1}^{m}n-\sum \_{n=0}^{m-1}n}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=m}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n={\frac {m(m+1)}{2}}}

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{m-1}n={\frac {m(m-1)}{2}}}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}={\frac {m(m+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {m}{2}}(m+1-m+1)={\frac {m}{2}}(2)=m}

{\displaystyle {\frac {m(m+1)}{2}}={\binom {m+1}{2}}} što je trouglasti broj koji je otkrio Gauus

Formule
-------

### Razlika između zbirova

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n-\sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=0}^{m-1}n}

Za {\displaystyle \ m=1,2}

{\displaystyle \ m=1}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{1}n-\sum \_{n=1}^{1}n^{0}=\sum \_{n=0}^{0}n} koji odgovara

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{1}1-\sum \_{n=1}^{1}1=\sum \_{n=0}^{0}0=1-1=0} što znači {\displaystyle \ 0=0}

{\displaystyle \ m=2}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{2}n-\sum \_{n=1}^{2}n^{0}=\sum \_{n=0}^{1}n} koji odgovara

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{2}1+2-\sum \_{n=1}^{2}2=\sum \_{n=0}^{1}1=3-2=1} što znači {\displaystyle \ 1=1}

### Formule koje se odnose na razliku

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=1}^{m}n-\sum \_{n=0}^{m-1}n}

možemo dobiti slične

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=0}^{m-1}n-\sum \_{n=-1}^{m-2}n}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=-1}^{m-2}n-\sum \_{n=-2}^{m-3}n}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=-2}^{m-3}n-\sum \_{n=-3}^{m-4}n}

za {\displaystyle \ m=1,2}:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{1}n^{0}=\sum \_{n=0}^{0}n-\sum \_{n=-1}^{-1}n=\sum \_{n=1}^{1}1=\sum \_{n=0}^{0}0-\sum \_{n=-1}^{-1}-1} što znači {\displaystyle \ 1=0+1} odnosno {\displaystyle \ 1=1} .

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{2}n^{0}=\sum \_{n=0}^{1}n-\sum \_{n=-1}^{0}n=\sum \_{n=1}^{1}2=\sum \_{n=0}^{2}1-\sum \_{n=-1}^{0}-1} što znači {\displaystyle \ 2=1+1} odnosno {\displaystyle \ 2=2}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{1}n^{0}=\sum \_{n=-1}^{-1}n-\sum \_{n=-2}^{-2}n=\sum \_{n=1}^{1}1=\sum \_{n=-1}^{-1}-1-\sum \_{n=-2}^{-2}-2} što znači {\displaystyle \ 1=-1+2} odnosno {\displaystyle \ 1=1.}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{2}n^{0}=\sum \_{n=-1}^{0}n-\sum \_{n=-2}^{-1}n=\sum \_{n=1}^{2}2=\sum \_{n=-1}^{0}-1-\sum \_{n=-2}^{-1}-3} što znači {\displaystyle \ 2=-1+3} odnosno {\displaystyle \ 2=2} .

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{1}n^{0}=\sum \_{n=-2}^{-2}n-\sum \_{n=-3}^{-3}n=\sum \_{n=1}^{1}1=\sum \_{n=-2}^{-2}-2-\sum \_{n=-3}^{-3}-3} što znači {\displaystyle \ 1=-2+3} odnosno {\displaystyle \ 1=1}

  

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{2}n^{0}=\sum \_{n=-2}^{-1}n-\sum \_{n=-3}^{-2}n=\sum \_{n=1}^{2}2=\sum \_{n=-2}^{-1}-3-\sum \_{n=-3}^{-2}-5} što znači {\displaystyle \ 2=-3+5} odnosno a {\displaystyle \ 2=2}

### Opšta formula koja se odnosi na razliku

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n^{0}=\sum \_{n=-k+1}^{m-k}n-\sum \_{n=-k}^{m-(k+1)}n}

{\displaystyle \ k=0,1,2,3,...} na skupu {\displaystyle \mathbb {N} }.

### Formule koje se odnose na proizvod

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m+1}n^{0}\cdot \prod \_{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})=1}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m+1}n^{0}=m+1e\prod \_{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})={\frac {1}{m+1}}}

kad pomnožimo dobijemo {\displaystyle \ m+1\cdot {\frac {1}{m+1}}=1}

{\displaystyle \sum \_{m=1}^{s}(\sum \_{n=1}^{s+1}n^{0}\cdot \prod \_{p=1}^{s}({\frac {p}{p+1}}))=\sum \_{n=1}^{s}n^{0}}

Izvor
-----

* The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation/ 10.april 2010
* Cosmology: Techniques and Observations /