**Hilbertov sistem aksioma** je prvi put objavljen na samom kraju 19. veka u delu: Dr David Hilbert, Osnove geometrije (*David Hilbert, Grundlagen der Geometrie*, 1899), kao odgovor na tadašnje fundamentalne probleme Euklidske geometrije. Knjiga koja je mnogo puta prevođena i prerađivana, da bi danas bila poznata pod imenom Hilbertove osnove geometrije. Kod nas je 1957. godine izašla pod uredništvom akademika Radivoja Kašanina, tadašnjeg upravnika Matematičkog instituta SANU, i u prevodu Ž. Garašanina sa 8. nemačkog izdanja, koje ovde sledimo. Iste Hilbertove aksiome geometrije su štampane u serijama izdanja udžbenika srednjih škola, uglavnom u skraćenom obliku. To je osnova za onaj deo matematike koji nazivamo elementarna geometrija.

Pet grupa aksioma
-----------------

DefinicijaMi zamišljamo tri različita sistema stvari: stvari prvog sistema nazivamo *tačkama* i označavamo ih sa A, B, C,...; stvari drugog sistema nazivamo *pravama* i označavamo ih sa a, b, c,...; stvari trećeg sistema nazivamo *ravnima* i označavamo ih sa α, β, γ,...; tačke se nazivaju i *elementima linearne geometrije*, tačke i prave se nazivaju elementima *elementima ravne geometrije*, a tačke, prave i ravni se nazivaju *elementima prostorne geometrije*, ili *elementima prostora*.
Mi zamišljamo tačke, prave i ravni u izvesnim međusobnim odnosima i označavamo ove odnose rečima „ležati", „između", „podudarno", „paralelno", „neprekidno"; tačan i za matematičke svrhe potpun opis ovih odnosa postiže se pomoću *aksioma geometrije*.

Aksiome geometrije možemo podeliti u pet grupa; svaka pojedinačno od ovih grupa izražava izvesne povezane osnovne činjenice našeg opažanja. Mi ćemo ove grupe aksioma nazivati na sledeći način:

I 1-8. aksiome *veze*,
II 1-4. aksiome *rasporeda*,
III 1-5. aksiome *podudarnosti*,
IV aksioma *paralelnih*,
V 1-2. aksiome *neprekidnosti*.
### Aksiome veze

Aksiome ove grupe predstavljaju vezu između gore navedenih stvari: tačaka, pravih i ravni. Nazivaju se i *aksiome incidencije*.

Za dve tačke *A* i *B* postoji tačno jedna prava *a = b* koja pripada svakoj od ovih dveju tačaka.
**I-1** Za dve tačke A, B, postoji uvek prava **a** koja pripada svakoj od ovih dveju tačaka A, B.
**I-2** Za dve tačke A, B, ne postoji više od jedne prave koja bi pripadala svakoj od dveju tačaka A, B.
Ovde, i dalje, pod dvema, trima, ... tačkama odnosno pravama, ravnima uvek se podrazumevaju različite tačke, odnosno prave, ravni. Umesto *pripadati* reći ćemo i npr. prava **a** prolazi kroz A i B, ili vezuje A sa B, A leži na **a**, A je tačka prave **a**, postoji tačka A na **a** itd. Ako tačka A leži na pravoj **a** i, osim toga, na drugoj pravoj **b**, upotrebićemo takođe izraze: prave **a** i **b** se seku u tački A, imaju tačku A zajedničku itd.

**I-3** Na pravoj postoje uvek najmanje dve tačke. Postoje najmanje tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj.
**I-4** Ma za koje tri tačke A, B, C, koje ne leže na istoj pravoj, postoji uvek ravan α koja pripada svakoj od ove tri tačke A, B, C. Za svaku ravan uvek postoji tačka koja joj pripada.
Mi ćemo upotrebljavati i izraze A leži u α, A je tačka ravni α itd.

**I-5** Za ma koje tri tačke A, B, C, koje ne leže na istoj pravoj ne postoji više od jedne ravni koja pripada svakoj od ovih triju tačaka A, B, C.
**I-6** Ako dve tačke A, B prave **a** leže u ravni α, onda svaka tačka prave **a** leži u ravni α.
U ovom slučaju kažemo prava **a** leži u ravni α itd.

**I-7** Ako dve ravni α, β imaju zajedničku tačku A, onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku B.
**I-8** Postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u jednoj ravni.
Aksioma I-7 izražava da prostor nema više od tri dimenzije, aksioma I-8 izražava da prostor nema manje od tri dimenzije.

Aksiome I-1-3 mogu se nazvati aksiomama ravni grupe I za razliku od aksioma I-4-8 koje nazivamo prostornim aksiomama grupe I.

Stav 1Dve prave koje leže u istoj ravni imaju ili jednu zajedničku tačku, ili nemaju nijednu zajedničku tačku; dve ravni ili nemaju nijednu zajedničku tačku, ili imaju zajedničku pravu i osim toga nijednu drugu zajedničku tačku; ravan i prava koja ne leži u ovoj ravni ili nemaju nijednu zajedničku tačku ili imaju jednu zajedničku tačku.
Stav 2Kroz pravu i tačku koja ne leži na ovoj pravoj, kao i kroz dve različite prave sa zajedničkom tačkom, prolazi uvek jedna i samo jedna ravan.
Postoji još stavova koji proizlaze iz aksioma I-1-8.

### Aksiome rasporeda

Aksiome ove grupe definišu pojam „između" i omogućavaju na osnovu ovog pojma raspored tačaka na pravoj, u ravni i u prostoru.

DefinicijaTačke neke prave stoje u izvesnim međusobnim odnosima. Za opis ovih odnosa služimo se naročito rečju „između".
**II-1** Ako tačka B leži između tačaka A i C, onda su A, B, C tri različite tačke prave i B leži takođe između C i A.
**II-2** Za dve tačke A i C uvek postoji najmanje jedna tačka B na pravoj AB, tako da C leži između A i B.
**II-3** Od ma kojih triju tačaka prave ne postoji više od jedne koja leži između one druge dve.
DefinicijaNeka su na pravoj **a** date dve tačke A i B; sistem dveju tačaka A i B zvaćemo duž i označavati sa AB ili BA. Tačke između A i B zvaćemo tačkama duži AB ili tačkama koje leže u *unutrašnjosti* duži AB; tačke A i B nazivaju se *krajnjim* tačkama duži AB. Sve ostale tačke prave **a** nazivaju se tačkama koje leže *van* duži AB.

**II-4** Neka su A, B, C tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj i neka je **a** prava u ravni ABC koja ne prolazi ni kroz jednu od tih tačaka; ako tada data prava prolazi kroz jednu od tačaka duži AB, ona mora prolaziti kroz jednu od tačaka duži AC, ili tačaka duži BC.
Ove aksiome je prvi detaljno ispitao M. Paš u svojim *Vorlesungen uber neuere Geometrie, Leipzig* 1882. godine. Naročito je aksioma II-4 Pašova, i slobodno izrečena ona glasi: ako prava ulazi u unutrašnjost trougla, ona i izlazi iz njega. Da prava **a** pri tome ne može presecati obe duži AC i BC, može se dokazati.

### Aksiome podudarnosti

Aksiome ove grupe definišu pojam podudarnosti a time i pojam kretanja.

DefinicijaDuži stoje u izvesnim odnosima među sobom, za čija nam označavanja služe reči *podudarno* (kongruentno) ili *jednako*.
**III-1** Ako su A, B dve tačke na pravoj a i ako je, dalje, A' tačka na istoj ili na drugoj pravoj a', onda se može uvek naći takva tačka B' prave a' na datoj strani od tačke A', da duž AB bude podudarna ili jednaka duži A'B', što označavamo na sledeći način: AB≡A'B'.
Poredak tačaka u definiciji nije uzet u obzir, zato sledeće formule imaju isto značenje: AB≡A'B', AB≡B'A', BA≡A'B', BA≡B'A'. Sama aksioma III-1 zahteva mogućnost *prenošenja duži*, za koju je potrebna *jednoznačnost* takvog prenošenja, a koju ćemo dokazati kasnije. 

**III-2** Ako su duži A'B' i A"B" podudarne jednoj istoj duži AB, biće i duž A'B' podudarna duži A"B", ili kratko: ako su dve duži podudarne trećoj, podudarne su i među sobom.
Da je podudarnost duži relacija *ekvivalencije* sledi neposredno iz dve prethodne aksiome. Refleksivnost, tj. osobina da je svaka duž podudarna samoj sebi, sledi kada prenesemo duž AB na proizvoljnu polupravu tako da je konstruisana druga duž A'B' podudarna prvoj AB i tada prema aksiomi III-2 sledi podudarnost prve sa prvom. Zatim neposredno sledi osobina *simetrije*, ako je prva podudarna sa drugom, onda je druga podudarna sa prvom. Konačno sledi i relacija *tranzitivnosti*, ako je druga od duži podudarna sa trećom, tj. A'B'≡A"B", tada je prva od duži podudarna sa trećom, tj. AB≡A"B".

**III-3** Neka su AB i BC dve duži na pravoj a bez zajedničkih tačaka i neka su, dalje, A'B' i B'C' dve duži na istoj pravoj a ili na nekoj drugoj pravoj a' koje isto tako nemaju zajedničkih tačaka; ako je tada AB≡A'B' i BC≡B'C', biće uvek i AC≡A'C'.
Ova aksioma izražava *mogućnost sabiranja* duži. Što se tiče uglova, osim *mogućnosti* prenošenja, aksiomima se mora zahtevati i relacija *jednoznačnost*, da bi se relacija tranzitivnosti, i mogućnost sabiranja, mogli dokazati.

DefinicijaNeka je {\displaystyle \alpha \,} proizvoljna ravan, a {\displaystyle h\,} i {\displaystyle k\,} neka su ma koje različite poluprave koje izlaze iz tačke O u ravni {\displaystyle \alpha \,} i pripadaju *raznim* pravama. Sistem od dve poluprave {\displaystyle h,\;k,} nazivaćemo uglom i označavaćemo ga sa {\displaystyle \angle (h,k)} ili sa {\displaystyle \angle (k,h).}
DefinicijaUglovi stoje u izvesnim međusobnim odnosima za čije nam označavanje takođe služe reči *podudarno* (kongruentno) ili *jednako*.
Poluprave h, k nazivaju se *kracima* ugla, a tačka O naziva se *temenom* ugla. Položeni i (ispruženi) i ispupčeni (tupi) uglovi isključeni su ovom definicijom. Neka poluprava {\displaystyle h} pripada pravoj {\displaystyle {\bar {h}},} a poluprava {\displaystyle k} pravoj {\displaystyle {\bar {k}}.} Poluprave {\displaystyle h} i {\displaystyle k} uzete zajedno sa tačkom O, dele ostale tačke ravni u dve oblasti: za sve tačke koje sa {\displaystyle h} leže sa istoj strani sa {\displaystyle {\bar {k}}} i sa {\displaystyle k} sa iste strane sa {\displaystyle {\bar {h}},} kažemo da leže u *unutrašnjosti* ugla {\displaystyle \angle (h,k);} za sve druge tačke kažemo da leže u *spoljašnosti* ili van ovog ugla.

**III-4** Neka je dat ugao {\displaystyle \angle (h,k)} u ravni {\displaystyle \alpha } i prava {\displaystyle a'} u ravni {\displaystyle \alpha '} kao i određena strana ravni {\displaystyle \alpha '} prema pravoj {\displaystyle a'}. Neka {\displaystyle h'} označava polupravu prave {\displaystyle a'} koja polazi iz tačke O'; onda u ravni {\displaystyle \alpha '} postoji jedna i samo jedna poluprava {\displaystyle k'} tako da je ugao {\displaystyle \angle (h,k)} podudaran ili jednak uglu {\displaystyle \angle (h',k')} i u isto vreme sve unutrašnje tačke ugla {\displaystyle \angle (h',k')} nalaze se na datoj strani od prave {\displaystyle a'}, što ćemo označiti na ovaj način {\displaystyle \angle (h,k)\equiv \angle (h',k').} Svaki je ugao podudaran samom sebi.
Ugao sa temenom u tački B na čijem jednom kraku leži tačka A, a na drugom tačka C, označava se sa {\displaystyle \angle ABC,} ili kratko {\displaystyle \angle B}. Uglovi se označavaju i malim grčkim slovima.

### Aksioma paralelnih

**IV** (Euklidova aksioma). Neka je **a** proizvoljna prava i A tačka van **a**: tada postoji u ravni, određenoj pravom **a** i tačkom A, najviše jedna prava koja prolazi kroz A i ne preseca **a**.
### Aksiome neprekidnosti

**V-1** (Aksioma merenja ili Arhimedova aksioma). Ako su AB i CD ma koje dve duži, onda postoji neki takav broj n, da kada se duž CD prenese n od A jedno za drugim po polupravoj koja prolazi kroz tačku B prelazi se preko tačke B.
**V-2** (Aksioma linearne potpunosti). Sistem tačaka neke prave sa svojim relacijama rasporeda i kongruencije ne može se tako proširiti, da ostanu očuvane relacije koje postoje između prethodnih elemenata kao i osnovne osobine linearnog rasporeda i kongruencije koje proističu iz aksioma I-III, i aksiome V-1.