U vektorskoj analizi i teoriji polja, **rotor** ili **rotacija** (rot, eng. *curl*) je veličina koja odražava svojstva vektorskoga polja u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

Definicija
----------

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja
Pogledajmo linijski integral vektorskog polja {\displaystyle {\overrightarrow {W}}} duž zatvorne krivulje {\displaystyle C} koja ograničava površinu {\displaystyle S}. Premostimo krivulju
nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije ({\displaystyle C\_{1}+C\_{2}=C}). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne
linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i
za velik broj razdioba početne površine {\displaystyle S}:

{\displaystyle \oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\int \limits \_{C}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\sum \_{i=1}^{N}\int \limits \_{C\_{i}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}\_{i}.}
Uzmimo sada omjer te vrijednosti i *infinitezimalno* malog dijela površine {\displaystyle A\_{i}} koji okružuje krivulja {\displaystyle C\_{i}}. Pustimo li da {\displaystyle N\mapsto \infty }, odnosno {\displaystyle A\_{i}\mapsto 0}, dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je
stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale {\displaystyle {\hat {n}}}, dolazimo upravo do definicije **rotacje** ili
**rotora** vektorskog polja:

{\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}{\stackrel {def.}{=}}\lim \_{A\_{i}\rightarrow 0}{\frac {\int \limits \_{C\_{i}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{A\_{i}}}=\lim \_{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{\Delta S}}.}

Svojstva i pretpostavke
-----------------------

**Nije nužno** da ploha omeđena krvuljom koju promatramo **leži u ravnini**, traži se jedino da ta ploha *nema singularnosti*. 

Nadalje,
pretpostavlja se da se vektor normale {\displaystyle {\hat {n}}} ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. 
Rotor je, kao i Divergencija, također **invarijanta vektorskog**
polja**.**

Rotor u kartezijevu sustavu
---------------------------

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja
Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu
pravokutnika paralelnog s {\displaystyle xOy} - ravinom ({\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}), kao na sl.

{\displaystyle \oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\int \limits \_{C\_{1}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits \_{C\_{2}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits \_{C\_{3}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits \_{C\_{4}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=}
{\displaystyle =\int \limits \_{C\_{1}}W\_{x}(x,y\_{0},z\_{0})dx+\int \limits \_{C\_{2}}W\_{y}(x\_{0}+\Delta x,y,z\_{0})dy-}
{\displaystyle -\int \limits \_{C\_{3}}W\_{x}(x,y\_{0}+\Delta y,z\_{0})dx-\int \limits \_{C\_{4}}W\_{y}(x\_{0},y,z\_{0})dy=}
{\displaystyle =\int {\Bigl [}W\_{x}(x,y\_{0},z\_{0})-W\_{x}(x,y\_{0}+\Delta y,z\_{0}){\Bigr ]}dx+}
{\displaystyle +\int {\Bigl [}W\_{y}(x\_{0}+\Delta x,y,z\_{0})-W\_{y}(x\_{0},y,z\_{0}){\Bigr ]}dy=}
{\displaystyle ={\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}\cdot \Delta x\Delta y-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}\cdot \Delta x\Delta y=}
{\displaystyle =\Delta S\cdot {\Bigl (}{\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.}
Uvršatavanjem u
definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

{\displaystyle {\hat {z}}\cdot {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}=\lim \_{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{\Delta S}}=\lim \_{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}\Delta S}{\Delta S}}={\Bigl (}{\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}=({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{z}.}
{\displaystyle ({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial W\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial W\_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}}
{\displaystyle ({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{y}={\Bigl (}{\frac {\partial W\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial W\_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}}
{\displaystyle ({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{z}={\Bigl (}{\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}}
{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\hat {x}}{\Bigl (}{\frac {\partial W\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial W\_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}+{\hat {y}}{\Bigl (}{\frac {\partial W\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial W\_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}+{\hat {z}}{\Bigl (}{\frac {\partial W\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.}
Očito u danoj
fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu: 

{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}=\left|{\begin{array}{ccc}\displaystyle {\hat {x}}&\displaystyle {\hat {y}}&\displaystyle {\hat {z}}\\\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\\\displaystyle {W\_{x}}&\displaystyle {W\_{y}}&\displaystyle {W\_{z}}\end{array}}\right|.}
Nadalje, očito je 

{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\Bigl (}{\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\Bigr )}\times ({\hat {x}}W\_{x}+{\hat {y}}W\_{y}+{\hat {z}}W\_{z})={\vec {\nabla }}\times {\overrightarrow {W}},}
pa {\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}} često označavamo s
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\overrightarrow {W}}}, gdje je {\displaystyle {\vec {\nabla }}} Hamiltonov operator.

Rotacija i Stokesov teorem
--------------------------

Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem

{\displaystyle \int \limits \_{S}{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {A}}=\int \limits \_{C}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}.}

Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima
--------------------------------------------------

* u cilindričnom:

{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{\rho }|={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W\_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial W\_{\varphi }}{\partial z}}}
{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{\varphi }|={\frac {\partial W\_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial W\_{z}}{\partial \rho }}}
{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{z}|={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho W\_{\varphi })-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W\_{\rho }}{\partial \varphi }}}
{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\biggl [}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W\_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial W\_{\varphi }}{\partial z}}{\biggr ]}{\hat {\rho }}+{\biggl [}{\frac {\partial W\_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial W\_{z}}{\partial \rho }}{\biggr ]}{\hat {\varphi }}+{\biggl [}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho W\_{\varphi })-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W\_{\rho }}{\partial \varphi }}{\biggr ]}{\hat {z}}}
* u sfernom:

{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{r}|={\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(W\_{\varphi }\sin \vartheta )-{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W\_{\vartheta }}{\partial \varphi }}}
{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{\vartheta }|={\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W\_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW\_{\varphi })}
{\displaystyle |({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})\_{\varphi }|={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW\_{\vartheta })-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial W\_{r}}{\partial \vartheta }}}
{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\biggl [}{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(W\_{\varphi }\sin \vartheta )-{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W\_{\vartheta }}{\partial \varphi }}{\biggr ]}{\hat {r}}+{\biggl [}{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W\_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW\_{\varphi }){\biggr ]}{\hat {\vartheta }}+{\biggl [}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW\_{\vartheta })-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial W\_{r}}{\partial \vartheta }}{\biggr ]}{\hat {\varphi }}.}

Rotacija i algebarske operacije
-------------------------------

Neka su dana vektorska polja {\displaystyle {\vec {u}}} i {\displaystyle {\vec {v}}}, skalar {\displaystyle U},
skalarna funkcija {\displaystyle f(U)} i radij-vektor {\displaystyle {\vec {r}}}. Tada vrijedi:

* {\displaystyle {\textrm {rot}}({\vec {u}}+{\vec {v}})={\textrm {rot}}{\vec {u}}+{\textrm {rot}}{\vec {v}}}
* {\displaystyle {\textrm {rot}}(U\cdot {\vec {v}})=U\cdot {\textrm {rot}}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\mbox{grad}}U}
* {\displaystyle {\textrm {rot}}[f(U)\cdot {\vec {v}}]=f(U)\cdot {\textrm {rot}}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times f\_{U}^{'}(U){\textrm {grad}}U}
* {\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {r}}=0}
* {\displaystyle {\mbox{rot}}({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}{\mbox{div}}{\vec {v}}-{\vec {v}}{\mbox{div}}{\vec {u}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}}
* {\displaystyle {\mbox{grad}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {v}}\times {\mbox{rot}}{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\mbox{rot}}{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}}
* {\displaystyle {\mbox{div}}({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {v}}{\mbox{rot}}{\vec {u}}-{\vec {u}}{\mbox{rot}}{\vec {v}}.}

Primjeri
--------

* **Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja**, {\displaystyle {\overrightarrow {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}}:

{\displaystyle {\mbox{rot}}{\overrightarrow {E}}={\mbox{rot}}{\Bigl (}{\frac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}{\Bigr )}{\stackrel {(2.)}{=}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{3}}}{\mbox{rot}}{\vec {r}}-{\vec {r}}\times {\mbox{grad}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{3}}}=-{\frac {3q}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{4}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {r}}=[{\vec {r}}\times {\vec {r}}=0]=0.}
* **Rotor vektorskog polja obodne kružne brzine**, {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}} (v. sl.).

Shematski prikaz uz rotaciju polja obodne brzine
{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\\omega \_{x}&\omega \_{y}&\omega \_{z}\\x&y&z\end{array}}\right|={\hat {x}}(z\omega \_{y}-y\omega \_{z})+{\hat {y}}(x\omega \_{z}-z\omega \_{x})+{\hat {z}}(y\omega \_{x}-x\omega \_{y});}
{\displaystyle {\mbox{rot}}{\vec {v}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\(z\omega \_{y}-y\omega \_{z})&(x\omega \_{z}-z\omega \_{x})&(y\omega \_{x}-x\omega \_{y})\end{array}}\right|=2\omega \_{x}{\hat {x}}+2\omega \_{y}{\hat {y}}+2\omega \_{z}{\hat {z}}=2{\vec {\omega }}.}
Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:

{\displaystyle \omega \_{x}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v\_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}}
{\displaystyle \omega \_{y}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v\_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}}
{\displaystyle \omega \_{z}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v\_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.}
Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine
{\displaystyle {\vec {v}}} je polarni vektor, a vektor
{\displaystyle {\mbox{rot}}{\vec {v}}} je aksijalni vektor. Međutim, to
vrijedi i
općenito: *rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.*

Vezani pojmovi
--------------

* Tok polja
* Gradijent
* Divergencija
* Vektorsko polje
* Elektromagnetizam
* Električno polje
* Magnetsko polje
* Hidrodinamika
* Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama

Vanjske poveznice
-----------------

* Gradijent, divergencija i rotacija
* Divergencija i rotacija. Specijalna polja
* Wolfram: Curl