Definicije
----------

Grupa (G, \*) je skup G sa binarnom operacijom \*, koja zadovoljava sledeće četiri aksiome:

* *Zatvorenost*: Za svako *a*, *b* iz *G*, rezultat *a* \* *b* je takođe u *G*.
* *Asocijativnost*: Za svako *a*, *b* i *c* iz *G*, (*a* \* *b*) \* *c* = *a* \* (*b* \* *c*).
* *Neutral*: Postoji element *e* iz *G* takav da za svako *a* iz *G*, *e* \* *a* = *a* \* *e* = *a*.
* *Inverz*: Za svako *a* iz *G*, postoji element *b*, takođe iz *G*, takav da *a* \* *b* = *b* \* *a* = *e*, gde je *e* neutral.

Najčešće se zahtev za zatvorenošću ne navodi eksplicitno, jer se on podrazumeva u iskazu da je \* binarna operacija.

Može se pokazati da grupa ima tačno jedan neutral.

Može se pokazati da je inverz datog elementa jedinstven, i da je levi i desni inverz elementa isti. Postoje i uže definicije, koje zamenjuju drugu i treću aksiomu konceptom *levog* (ili *desnog*) neutrala i inverza.

Grupa *(G,\*)* se često označava samo sa *G*, kad ne postoji dvosmislenost oko toga šta je operacija.

Osnovni koncepti teorije grupa
------------------------------

### Red grupa i elemenata

**Red grupe *G***, koji se označava sa |*G*|, je broj elemenata u skupu *G*. Ako red nije konačan, tada je grupa *beskonačna grupa*, što se označava sa |*G*| = ∞.

**Red elementa *a*** iz grupe *G* je najmanji pozitivan ceo broj *n* takav da *an = e*, gde je *an* umnožak *a* samim sobom *n* puta (ili druga pogodna kompozicija u zavisnosti od operatora grupe). Ako ne postoji takvo *n*, tada se kaže da je red od *a* beskonačan.

### Podgrupe

Skup *H* je **podgrupa** grupe *G* ako je podskup od *G* i grupa u odnosu na operaciju definisanu na *G*. Drugim rečima, *H* je podgrupa od (*G*, \*) ako je restrikcija od \* na *H* operacija grupe na *H*. Kako su ostala svojstva automatski zadovoljena, *H ⊂ G* je podgrupa grupe *G* ako i samo ako je zatvoren u odnosu na \* i inverz.

Ako je *G* konačna grupa, tada je konačna i *H*. Pri tom red od *H* deli red od *G* (Lagranžova teorema).

### Abelove grupe

Grupa *G* je **Abelova grupa** (ili **komutativna**) ako je operacija komutativna, to jest, za svako *a*, *b* iz *G*, *a* \* *b* = *b* \* *a*. **Ne-Abelova** grupa je grupa koja nije Abelova. Abelove grupe su dobile ime po matematičaru Nilsu Abelu.

### Ciklična grupa

**Ciklična grupa** je grupa čiji elementi mogu da budu generisani uzastopnom primenom operacije koja definiše grupu (i operacije uzimanja inverznog elementa), primenjene na samo jedan element te grupe. Ovaj primitivni element se naziva generatorom, ili primitivnim elementom grupe.

Multiplikativna ciklična grupa gde je *G* grupa, a *a* generator:

{\displaystyle G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}

Aditivna ciklična grupa, sa generatorom *a*:

{\displaystyle G'=\{n\*a\mid n\in \mathbb {Z} \}}

Ako se sukcesivna primena operacije koja definiše grupu primeni na ma koji (moguće neprimitivni) element grupe, dobija se ciklična podgrupa. Red ciklične podgrupe deli red grupe. Stoga, ako je red grupe prost, svi njeni elementi, izuzev neutrala su primitivni elementi grupe.

Važno je napomenuti da grupa sadrži sve ciklične podgrupe generisane svakim od elemenata grupe. Međutim, grupa konstruisana iz cikličnih podgrupa nije obavezno ciklična podgrupa. Na primer, Klajnova četvorna grupa {\displaystyle ({\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} })^{2}} nije ciklična grupa, iako je konstruisana od dve ciklične grupe reda 2.

Svaka konačna Abelova grupa se može predstaviti kao direktan proizvod nekih svojih cikličnih podgrupa, vidi Strukturna teorema za konačne Abelove grupe.

Oznake za grupe
---------------

Moguće je koristiti različite oznake za grupe u zavisnosti od konteksta i operacije.

* Aditivne grupe koriste *+* da označe sabiranje, a *-* da označe inverze. Na primer, *a* + (−*a*) = 0 u **Z**. Prema opšte prihvaćenoj konvenciji, oznaka *+* se koristi isključivo za komutativne grupe.
* Multiplikativne grupe koriste *\** da označe množenje, a *-1* da označe inverze. Na primer, *a* \* *a*-1 = 1. Vrlo često se izostavlja *\** i zapisuje se samo *aa*-1.
* Grupe funkcija koriste *•* da označe kompoziciju funkcija, i -1 da označe inverze. Na primer, *g* • *g*-1 = *e*. Vrlo često se izostavlja *•* i zapisuje se samo *gg*-1.

Izostavljanje simbola za operaciju je načelno prihvatljivo, i na čitaocu je da zna kontekst i operaciju grupe.

Kada se definišu grupe, standardna notacija podrazumeva da se koriste zagrade za definisanje grupe i njene operacije. Na primer, (H, +) označava da je skup H grupa u odnosu na sabiranje. Za grupe kao što su (Zn, +) i (Fn\*, \*) je uobičajeno da se izostave zagrade i operacija, npr. Zn i Fn\*. Takođe je ispravno da se grupa označava oznakom za njen skup, npr.*H* ili {\displaystyle \mathbb {Z} }.

Neutral se označava sa *e*, ali se ponekad koristi i neka druga oznaka u zavisnosti od grupe:

* Kod multiplikativnih grupa, neutral može da se označava sa 1.
* Kod grupa invertibilnih matrica, neutral se obično označava sa I ili E.
* Kod aditivnih grupa, neutral može da se označava sa 0.
* Kod grupa funkcija, neutral se obično označava sa f0 ili id.

Ako je *S* podskup od *G* i *x* je element iz *G*, tada, u multiplikativnoj notaciji, *xS* je skup svih proizvoda {*xs* : *s* iz *S*}; slično, notacija *Sx* = {*sx* : *s* iz *S*}; i za dva podskupa *S* i *T* od *G*, se piše *ST* za {*st* : *s* iz *S*, *t* iz *T*}. U aditivnoj notaciji, zapisuje se *x* + *S*, *S* + *x*, i *S* + *T* za odgovarajuće skupove.

Primeri grupa
-------------

### Abelova grupa: celi brojevi pod sabiranjem

Poznata grupa je grupa celih brojeva pod sabiranjem. Neka je **Z** skup celih brojeva, {... −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, i neka simbol "+" označava operaciju sabiranja. Tada je (**Z**, +) grupa.

Dokaz:

* **Zatvorenost**: Ako su *a* i *b* celi brojevi, tada je *a* + *b* ceo broj.
* **Asocijativnost**: Ako su *a*, *b*, i *c* celi brojevi, tada je (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).
* **Neutral**: 0 je ceo broj, i za svaki ceo broj *a*, 0 + *a* = *a* + 0 = *a*.
* **Inverz**: Ako je *a* ceo broj, tada ceo broj −*a* zadovoljava pravila inverza: *a* + (−*a*) = (−*a*) + *a* = 0.

Ova grupa je Abelova, jer *a* + *b* = *b* + *a*.

Ako proširimo ovaj primer dalje, i razmatramo cele brojeve sa sabiranjem i množenjem, dobijamo komplikovaniju algebarsku strukturu, koja se zove prsten. (Ali celi brojevi sa množenjem nisu grupa, vidi dole.)

### Ciklične multiplikativne grupe

U slučaju ciklične multiplikativne grupe *G*, svi elementi *an* grupe su dobijeni skupom svih celobrojnih eksponenata primitivnog elementa te grupe :

{\displaystyle G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} {\pmod {m\in \mathbb {Z} }}\}}

U ovom primeru, ako je *a* jednako 2, i operacija je operator množenja, tada *G* = {\displaystyle \{..2^{-2},2^{-1},2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},..\}} = {\displaystyle \{..0,25,0,5,1,2,4,8,..\}}. Modulo *m* može da veže grupu u konačan skup sa ne-razlomljenim skupom elemenata, jer bi inverz (i {\displaystyle x^{-2}}, itd.) bio unutar skupa.

### *Nije* grupa: celi brojevi pod množenjem

Sa druge strane, ako posmatramo cele brojeve sa operacijom množenja, označenog sa "·", tada (**Z**, ·) nije grupa. Ovo zadovoljava većinu aksioma, ali nema inverze:

* **Zatvorenost**: Ako su *a* i *b* celi brojevi, tada je *a* · *b* ceo broj.
* **Asocijativnost**: Ako su *a*, *b*, i *c* celi brojevi, onda (*a* · *b*) · *c* = *a* · (*b* · *c*).
* **Neutral**: 1 je ceo broj, i za svaki ceo broj *a*, 1 · *a* = *a* · 1 = *a*.
* Međutim, **nije** tačno da kad god je *a* ceo broj, postoji ceo broj *b* takav da *ab* = *ba* = 1. Na primer, *a* = 2 je ceo broj, ali jedino rešenje jednačine *ab* = 1 u ovom slučaju je *b = 1/2*. Ne možemo da izaberemo *b* = 1/2 jer 1/2 nije ceo broj.

Kako nema svaki element iz (**Z**, ·) inverz, (**Z**, ·) *nije* grupa. Međutim, ovo jeste komutativni monoid, što je struktura koja se definiše slično grupi, ali bez zahteva za postojanjem inverza.

### Abelova grupa: racionalni brojevi bez nule pod množenjem

Posmatrajmo skup racionalnih brojeva **Q**, skup svih razlomaka *a*/*b*, gde su *a* i *b* celi brojevi, a *b* je različito od nule, i operacija množenja se označava sa "·". Kako racionalan broj 0 nema multiplikativni inverz, (**Q**, ·), kao (**Z**, ·), nije grupa.

Međutim, ako koristimo skup svih racionalnih brojeva *različitih od nule*, **Q** \ {0}, tada (**Q** \ {0}, ·) *gradi* Abelovu grupu.

* **Zatvorenost**, **asocijativnost**, i **neutral** je lako proveriti zbog svojstava celih brojeva.
* **Inverz**: Inverz od *a*/*b* je *b*/*a* i aksioma je zadovoljena.

Ne gubimo zatvorenost uklanjanjem nule, jer je proizvod dva racionalna broja različita od nule uvek različit od nule. Kao što celi brojevi daju prsten, racionalni brojevi daju algebarsku strukturu polje, koja dopušta operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja.

### Konačna ne-Abelova grupa: permutacije skupa

Za konkretniji primer grupe, uzmimo tri obojene pločice (crvenu, zelenu i plavu) na početku postavljene u raspored CZP. Neka je *a* dejstvo "zameni prvu i drugu pločicu", i neka je *b* dejstvo "zameni drugu i treću pločicu".

Ciklični dijagram za S3.
U multiplikativnom obliku, tradicionalno zapisujemo *xy* za kombinovano dejstvo u "prvo uradi *y*, a zatim uradi *x*"; tako da je *ab* akcija CZP → CPZ → PCZ, tj, "uzmi plavu pločicu, i pomeri je na početak".
Ako sa *e* označavamo dejstvo "ostavi pločice tamo gde jesu" (neutral), tada možemo da napišemo šest permutacija skupa tri pločice kao sledeća dejstva:

* *e* : CZP → CZP
* *a* : CZP → ZCP
* *b* : CZP → CPZ
* *ab* : CZP → PCZ
* *ba* : CZP → ZPC
* *aba* : CZP → PZC

Dejstvo *aa* ima efekat CZP → ZCP → CZP, što ostavlja pločice tamo gde su i bile; tako da zapisujemo *aa* = *e*.
Slično,

* *bb* = *e*,
* (*aba*)(*aba*) = *e*, i
* (*ab*)(*ba*) = (*ba*)(*ab*) = *e*;

tako da svako od gore navedenih dejstava ima inverz.

Proverom, možemo takođe da utvrdimo asocijativnost i zatvorenost; obratimo pažnju na primer da

* (*ab*)*a* = *a*(*ba*) = *aba*, i
* (*ba*)*b* = *b*(*ab*) = *bab*.

Ova grupa se naziva *simetričnom grupom nad 3 slova*, ili *S*3.
Ima red 6 (ili 3 faktorijel), i nije Abelova (jer, na primer *ab* ≠ *ba*).
Kako je *S*3 dobijeno od osnovnih dejstava *a* i *b*, kažemo da je skup {*a*, *b*} *generatorni skup grupe*.

Opštije, možemo da definišemo simetričnu grupu od svih permutacija *N* objekata. Ova grupa se označava sa *S**N* i reda je *N* faktorijel.

Jedan od razloga zašto su permutacione grupe važne je što se svaka konačna grupa *G* može predstaviti kao podgrupa simetrične grupe *S**N* (gde je *N* broj elemenata grupe *G*); ovaj rezultat je Kejlijeva teorema.

Jednostavne teoreme
-------------------

* Grupa ima tačno jedan neutral.

*Dokaz*: Pretpostavimo da su i *e* i *f* neutrali. Tada po definiciji neutrala, *fe* = *ef* = *e* i takođe *ef* = *fe* = *f*. Ali onda je *e* = *f*.
Sledi da je neutral jedinstven.
* Svaki element ima tačno jedan inverz.

*Dokaz*: Pretpostavimo da su i *b* i *c* inverzi elementa *x*. Tada, po definiciji inverza, *xb* = *bx* = *e* i *xc* = *cx* = *e*. Ali onda:

|  |
| --- |
| {\displaystyle xb=e=xc} |
| {\displaystyle xb=xc} |
| {\displaystyle bxb=bxc} | (množenjem sleva sa *b*) |
| {\displaystyle eb=ec} | (korišćenjem *bx* = *e*) |
| {\displaystyle b=c} | (aksioma neutralnog elementa) |

Sledi da je inverz jedinstven.
Prva dva svojstva u stvari proizlaze iz asocijativnosti binarnih operacija definisanih na skupu. Ako je data binarna operacija na skupu, postoji najviše jedan neutral i najviše jedan inverz za svaki element (bez obzira na to imaju li ostali elementi inverze).

* Može se vršiti deljenje u grupama; to jest, ako su dati elementi *a* i *b* grupe *G*, postoji tačno jedno rešenje *x* iz *G* jednačine *x* \* *a* = *b* i tačno jedno rešenje *y* iz *G* jednačine *a* \* *y* = *b*. Oprez: u ne-Abelovim grupama, ovi elementi *x* i *y* ne moraju biti jednaki, te tako u opštem oznaka *b/a* nema smisla.
* Izraz "*a*1 \* *a*2 \* ··· \* *a**n*" je nedvosmislen, jer će rezultat biti isti nevezano od toga gde postavimo zagrade. (Rezultat primene principa matematičke indukcije na asocijativno svojstvo.)
* (*Čarape i cipele*) Inverz proizvoda je proizvod inverza u suprotnom redosledu: (*a* \* *b*)−1 = *b*−1 \* *a*−1.

*Dokaz*: Pokazaćemo da (ab)(b-1a-1) = (b-1a-1)(ab) = e, kao što se traži po definiciji inverza.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle (ab)(b^{-1}a^{-1})} | = | {\displaystyle a(bb^{-1})a^{-1}} | (asocijativnost) |
|  | = | {\displaystyle aea^{-1}} | (definicija inverza) |
|  | = | {\displaystyle aa^{-1}} | (definicija neutralnog elementa) |
|  | = | {\displaystyle e} | (definicija inverza) |

I slično za drugi smer.

Vidi još
--------

* Grupoid
* Monoid
* Polugrupa
* Podgrupa