U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, **parcijalna integracija** je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo
-------

Pretpostavimo da su *f*(*x*) i *g*(*x*) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama *a* i *b*, dobijamo
{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]\_{a}^{b}-\int \_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}
gdje koristimo standardne oznake

{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]\_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}
Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle f(b)g(b)-f(a)g(a)\,} | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx} |
|  | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int \_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.} |

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,}
ili u kraćoj formi, ako napišemo *u* = *f*(*x*), *v* = *g*(*x*) i diferencijali *du* = *f*′(*x*) *dx* i *dv* = *g*′(*x*) *dx*. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}

Primjeri
--------

Kako bi izračunali

{\displaystyle \int x\cos(x)\,dx}
napišemo:

*u* = *x*, tako da je *du* = *dx*,
*dv* = cos(*x*) *dx*, tako da je *v* = sin(*x*).
Zatim:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}}
gdje je *C* arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

{\displaystyle \int x^{3}\sin(x)\,dx\quad {\mbox{and}}\quad \int x^{2}e^{x}\,dx}
mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju *x* za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx}
gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

*u* = cos(*x*); thus d*u* = -sin(*x*)d*x*
d*v* = e*x*d*x*; thus *v* = e*x*
Zatim:

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx}
Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

*u* = sin(*x*); d*u* = cos(*x*)d*x*
*v* = e*x*; d*v* = e*x*d*x*
Zatim:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx} | {\displaystyle =e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx} |
|

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx}
Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

{\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}(\sin(x)+\cos(x))}
{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}}
Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(*x*) d*x*. Ovo pišemo kao:

{\displaystyle \int \ln(x)\cdot 1\,dx}
Napišimo:

*u* = ln(*x*); d*u* = 1/*x* d*x*
*v* = *x*; d*v* = 1·d*x*
Zatim:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \int \ln(x)\,dx} | {\displaystyle =x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx} |
|  | {\displaystyle =x\ln(x)-\int 1\,dx} |

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-{x}+{C}}
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C}
gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(*x*) d*x*, gdje je arctan(*x*) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:

{\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx}
Napišimo:

*u* = arctan(*x*); d*u* = 1/(1+*x*2) d*x*
*v* = *x*; d*v* = 1·d*x*
Zatim:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \int \arctan(x)\,dx} | {\displaystyle =x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx} |
|  | {\displaystyle =x\arctan(x)-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C} |

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Više dimenzije
--------------

Kulturološke reference
----------------------

* Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu *Stand and Deliver* iz 1988. godine.

Vanjski linkovi
---------------

* Parcijalna integracija - sa MathWorld
* Tabularna parcijalna integracija
* Demonstrirana tabularna parcijalna integracija Arhivirano 2007-03-10 na Wayback Machine-u