Posmatrajmo polinom trečeg stepena
{\displaystyle y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cxd} za {\displaystyle a\neq 0}
koja siječe x-osu u taČkama koje su nule odgovarajuće jednačine trečeg stepena (kubne jednačine).
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

### Vieteove formule

Rješenja {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} jednačine {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula
{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}=-{\frac {b}{a}},\ x\_{1}x\_{2}+x\_{2}x\_{3}+x\_{3}x\_{1}={\frac {c}{a}},\ x\_{1}x\_{2}x\_{3}=-{\frac {d}{a}}.}[1]
Primjer
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3=0}
i ima nule, rješenja 

{\displaystyle x=-1}
{\displaystyle x=1}
{\displaystyle x=3}
U jednačini
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} {\displaystyle a\neq 0}
smjenom
{\displaystyle y=b-{\frac {b}{3a}}}
postaje
{\displaystyle y^{3}+py+q=0}
za

{\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}} i {\displaystyle q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{37a^{3}}}}

### Diskriminanta kubne jednačine

Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta [2]
{\displaystyle D=a^{4}(x\_{1}-x\_{2})^{2}(x\_{2}-x\_{3})^{2}(x\_{3}-x\_{1})^{2})}
pripadnog polinoma :{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} gdje su {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi 
{\displaystyle D=-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.}
Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.
I izraz
{\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}} je diskriminanta

### Osobine rješenja jednačine

Za {\displaystyle D<0} ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja
Za {\displaystyle D=0} ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje
Za {\displaystyle D>0} ima sva tri realna i različita rješenja
Primjer
Jednačina

{\displaystyle y=x^{3}-3x^{2}-x+3} smjenom
{\displaystyle y=x+1}
postaje
{\displaystyle y^{3}-4y=0}
Jednačina
{\displaystyle y^{3}+py+q=0} smjenom
{\displaystyle y=u+v}
postaje

{\displaystyle u^{3}+v^{3}+\left(3uv+p\right)\left(u+v\right)+q=0}
Ovdje smo nepoznatu {\displaystyle y} zamjenili sa 2 nove {\displaystyle u} i {\displaystyle v}.
uvodimo novi uslov

{\displaystyle 3uv=p}
pa je
{\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}}
Iz
{\displaystyle y^{3}-4y=0}
dobijamo
{\displaystyle u^{3}+v^{3}=0;uv={\frac {4}{3}}}
Sistem
{\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}} ekvivlentan je sa
{\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;u^{3}v^{3}={\frac {-p^{3}}{27}}}
Iz kojeg dobijamo
{\displaystyle t^{2}+qt-{\frac {-p^{3}}{27}}}
za {\displaystyle t\_{1}=u^{3}it\_{2}=v^{3}}
Njenim rješavanjem dobijamo
{\displaystyle t\_{1},2=-{\frac {q}{27}}\pm {\sqrt {({\frac {q^{2}}{4}})+{\frac {p^{3}}{27}}}}}
Vračanjem druge smjene dobijamo
{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}
IZ
{\displaystyle y^{3}-4y=0}
{\displaystyle p=-4iq=0}
pa je {\displaystyle y=0}
tj. jedno rješenje jednačine je
{\displaystyle y=x^{3}-3x^{2}-x+3}
{\displaystyle x=o}
Parovi (u,v) su rješenja sistema
{\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}}
Iz jednačina
{\displaystyle u^{3}=t\_{1}iv^{3}=t\_{2}}
slijedi
{\displaystyle u\_{1}={\sqrt[{3}]{t}}\_{1}},
{\displaystyle u\_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}},
{\displaystyle u\_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}}
{\displaystyle v\_{1}={\sqrt[{3}]{t}}\_{2}},
{\displaystyle v\_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}},
{\displaystyle v\_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}}
gdje su treči korjeni jedinice
{\displaystyle a^{0}=1,a^{1}={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt[{3}]{3}}),a^{2}={\frac {1}{2}}(-1-i{\sqrt[{3}]{3}})}

Odnosno sva rješenja jednačine

{\displaystyle y^{3}+py+q=0}
data su formulom
{\displaystyle y\_{1}={\sqrt[{3}]{t}}\_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}},
{\displaystyle y\_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}},
{\displaystyle y\_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}}
koje se također nazivaju Kardanove formule.
U našem slučaju (za {\displaystyle D<0}) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj {\displaystyle D<0}) nazivamo nesvodljiv slučaj.
Za {\displaystyle p=}i {\displaystyle q=0} imamo
{\displaystyle D={\frac {-64}{27}}}
pa je {\displaystyle y=0} i imamo 2 slučaja
{\displaystyle y\_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}}, {\displaystyle y\_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}\_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}\_{2}}
Iz ovoga je {\displaystyle t\_{1}=-t\_{2}}
{\displaystyle y\_{2}=(a-a^{2}){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}}
{\displaystyle y\_{3}=(a^{2}-a){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}} =>
{\displaystyle y\_{2}=(i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}}
{\displaystyle y\_{3}=(-i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}} =>
{\displaystyle y\_{2}=2\land y\_{3}=-2}
{\displaystyle x=y+1} pa je rješenje polaznog primjera
{\displaystyle x\_{1}=-1}
{\displaystyle x\_{2}=1,}
{\displaystyle x\_{3}=3}

### Opšta rješenja

Opšte rješenje za svaku kubnu jednačinu

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0}
je
{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x\_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x\_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}

Izvor
-----

Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011.