U različitim područjima matematike, **minimalni polinom** objekta *a* je u određenom smislu normirani polinom *p* najmanjeg mogućeg stupnja takav da je *p*(*a*) = 0. Posebno je značajan pojam minimalnog polinoma u linearnoj algebri i teoriji polja.

Linearna algebra
----------------

U linearnoj algebri, **minimalni polinom** kvadratne matrice *A* je monični polinom *p* najmanjeg mogućeg stupnja takav da je

*p*(*A*) = 0.
Svaka matrica *A* ima jednoznačno određen minimalni polinom; on se najčešće označuje sa μ*A*. Minimalni polinom matrice dijeli svaki od polinoma koji je poništavaju, tako da se može odrediti i kao njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno kao monični generator glavnog ideala

{ *p* ∈*K*[X] : *p*(*A*) = 0 } = (μ*A*)
u prstenu polinoma *K*[*X*].

Slične matrice imaju jednake minimalne polinome. Minimalni polinom linearnog operatora *L* je minimalni polinom bilo koje od njegovih matrica (koje su sve međusobno slične). Istovremeno, to je i monični polinom *p* najmanjeg stupnja takav da je *p*(*L*) = 0.

Minimalni i karakteristični polinom matrice imaju jednake skupove nula, moguće različitih kratnosti. Drugi način da se iskaže ovo svojstvo je relacija

μ*A* | φ*A* | μ*A**n*.
Relacija μ*A* | φ*A* je posljedica Cayley-Hamiltonovog teorema, prema kojem je φ*A*(*A*) = 0. Na osnovu ovog svojstva, minimalni polinom matrice se u praksi najčešće nalazi tako što se prvo izračuna i na čimbenike razloži njen karakteristični polinom, a zatim se minimalni polinom traži među njegovim djeliteljima sa istim skupom nula. Minimalni polinom kvadratne matrice reda *n* je stupnja najviše *n*.

### Minimalni polinom, svojstvene vrijednosti i kanonski oblici matrice

Nule karakterističnog, pa dakle i minimalnog, polinoma matrice su njene svojstvene vrijednosti. Posebice, ako *n* × *n* matrica ima *n* različitih svojstvenih vrijednosti λ1, λ2, ... λ*n*, tada se njen minimalni i karakteristični polinom podudaraju i oba su jednaka

(*X* − λ1)⋅(*X* − λ2) … (*X* − λ*n*).
Općenito, svaka matrica ima Jordanov normalni oblik, jednoznačno određen do na redoslijed blokova, po nekoliko njih za svaku svojstvenu vrijednost matrice, i koja joj je slična, te tako ima isti minimalni i karakteristični polinom. Ako matrica *A* ima svojstvene vrijednosti λ1, λ2, …, λ*k* sa algebarskim kratnostima *r*1, *r*2, …, *r**k* (tako da je *r*1 + *r*2 + ... + *r**k* = *n*), i ako su, za svako 1 ≤ *i* ≤ *k*, ν1(*i*) ≤ ν2(*i*) ≤ …, ≤ ν*si*(*i*) dimenzije Jordanovih blokova koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ*i* (tako da je ν1(*i*) + ν2(*i*) + ... + ν*si*(*i*) = *r**i*), tada je

{\displaystyle \phi \_{A}=(X-\lambda \_{1})^{r\_{1}}(X-\lambda \_{2})^{r\_{2}}\cdots (X-\lambda \_{k})^{r\_{k}}}, {\displaystyle \mu \_{A}=(X-\lambda \_{1})^{\nu \_{s\_{1}}(1)}(X-\lambda \_{2})^{\nu \_{s\_{2}}(2)}\cdots (X-\lambda \_{k})^{\nu \_{s\_{k}}(k)}}.
Posebno se minimalni i karakteristični polinom matrice podudaraju ako i samo ako svakoj njenoj svojstvenoj vrijednosti odgovara po točno jedan Jordanov blok, odnosno ako i samo ako su geometrijske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti (za svojstvenu vrijednost λ*i* to je *s**i*, broj odgovarajućih Jordanovih blokova) jednake 1.

Matrica je dijagonalizabilna nad nekim poljem *F* ako i samo ako je njen minimalni polinom umnožak različitih linearnih faktora nad *F*.

Matrice kod kojih se minimalni i karakteristični polinom podudaraju se pogodno karakteriziraju upravo kao matrice koje su slične nekoj cikličkoj matrici; linearni operatori koji odgovaraju takvim matricama se i sami nazivaju cikličkim operatorima. Općenito, ako su *A*1, *A*2, .... *A**l* kanonski ciklički blokovi matrice *A* i φ1 | φ2 | ... | φ*l* njihovi karakteristični (i istovremeno minimalni) polinomi, tzv. invarijantni djelitelji matrice *A*, tada je

φ*A* = φ1φ2...φ*l*,  μ*A* = φ*l*.
### Poopćenja

Rabeći teorije Galoisa se ustanovljava da minimalni polinom matrice ne ovisi od polja nad kojim se ona promatra: ako je *K* potpolje nekog polja *L* i *A* matrica nad poljem *K*, tada je minimalni polinom matrice *A* kao matrice nad poljem *K* istovremeno i njen minimalni polinom kao matrice nad poljem *L*.

Minimalni polinom se definira i za matrice nad bilo kojim glavnoidealskim prstenom *S* kao generatorom ideala polinoma koji poništavaju matricu *A* u prstenu polinoma *S*[*X*], za koji se pak dokazuje da je onda i sam glavnoidealski; u tom slučaju on je definiran jednoznačno do na množenje jedinicama prstena *S*.

Minimalni polinom se također može definirati i za linearne operatore *L* na prostorima proizvoljne (moguće beskonačne) dimenzije kao monični polinom *p* najmanjeg stupnja takav da je *p*(*L*) = 0, ako takav polinom postoji. Na primjer, u funkcionalnoj analizi, svaki operator projekcije *P* u prostoru proizvoljne dimenzije je idempotentan, pa zadovoljava jednadžbu *P*2 − *P* = 0. Stoga je njegov minimalni polinom uvijek jedan od polinoma *X* (za operator projekcije na nul-potprostor), *X* −1 (za identični operator) ili *X*2 − *X* (za sve ostale operatore projekcije).