Savijanje `I`-profila

**Savijanje** (ili **fleksija**) opisuje ponašanje vitkih konstrukcijskih elemenata, opterećenih vanjskim silama okomito ili uzdužno na osu elementa. Opterećenje koje djeluje na konstrukciju je moment savijanja, a to je sila koja djeluje na nekoj udaljenosti od posmatranog uklještenja (krak):

{\displaystyle M\_{s}=F\cdot x}
gdje je:

* {\displaystyle M\_{s}} - moment savijanja (Nm)
* {\displaystyle F} - sila koja savija (N)
* x - udaljenost sile od ukliještenja (m)

Pretpostavlja se da konstrukcioni element ima barem jednu od dimenzija dosta manju (obično 1/10, ili manje, od druge dvije). Kada je dužina elementa dosta veća od širine i debljine, element se naziva greda. Šipke za vješalice u ormaru se ugibaju pod težinom gardarobe koja visi na njima i primjer je savijanja u svakodnevnici. S druge strane, ljuska je struktura bilo koje geometrijske forme gdje su dužina i širina istog reda veličine, ali debljina konstrukcije (poznata kao "zid") znatno je manja. Primjer ljuske koja trpi savijanje jeste kratka cijev tankih zidova, ali velikog prečnika, koja je ukliještena na krajevima, a opterećena bočno.

U nedostatku uvjeta, termin "savijanje" je dvosmislen jer može doći do lokalnog savijanja u svim objektima. Stoga, da bi korištenje termina bilo preciznije, inženjeri ga koriste za određene objekte, kao što su *savijanje greda,* *savijanje šipki,* *savijanje ljuski,* *savijanje ploča* itd.

Kvazistatičko savijanje greda
-----------------------------

Kad je opterećena transverzalnim naponom, greda se deformira i naponi se razvijaju unutar nje. U kvazistatičkom slučaju veličina kraka savijanja i naponi koji se razvijaju smatraju se nepromjenljivim u vremenu. U horizontalnoj gredi ukliještenoj na krajevima i opterećenoj nadolje u sredini materijal na unutrašnjoj strani grede je pritisnut, a materijal na vanjskoj strani je zategnut. Postoje dva oblika unutrašnjeg naprezanja uzrokovanih vanjskim opterećenjima:

* Napon smicanja paralelan bočnim operećenjem plus dopunski napon smicanja u ravnima pod pravim uglom na pravac opterećenja;
* Direktan napon pritiska u gornjem području grede i direktni napon zatezanja u donjem području grede.

Posljednje dvije sile čine spreg sila ili moment jer su jednake po veličini i suprotnog su smjera. Ovaj moment savijanja opire se ulegnutoj deformaciji grede koja trpi savijanje. Naponska raspodjela grede može se predvidjeti sasvim precizno, čak i kad se koriste neke pojednostavljene pretpostavke.

### Euler-Bernoullijeva teorija savijanja

Element savijene grede: vlakna čine koncentrične lukove, na vrhu su vlakna pritisnuta, a na dnu zategnuta.
Momenti savijanja kod grede
Kod Euler-Bernoullijeve teorije savijanja vitkih greda, glavna pretpostavka je da 'ravne sekcije ostaju ravne'. Drugim riječima, bilo kakva deformacija usljed smicanja preko odjeljka se ne evidentira (kao da nema smicanja). Također, ova linearna raspodjela je primjenljiva samo ako je maksimalni napon manji od napona tečenja materijala. Za napone koji prelaze granicu tečenja, pogledajte članak plastično savijanje. Na granici tečenja, maksimalni napon u dijelu (na najudaljenijim tačkama od neutralne ose grede) definira se kao savojna čvrstoća.

Euler-Bernoullijeva jednačina za kvazistatičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog presjeka pod primjenom poprečnog opterećenja {\displaystyle q(x)} je:

{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
gdje je:

* {\displaystyle E} - Youngov modul elastičnosti,
* {\displaystyle I} - površinski moment inercije poprečnog presjeka,
* {\displaystyle w(x)} - otklon od neutralne ose grede.

Nakon što je rješenje za izmještanje grede dobijeno, moment savijanja ({\displaystyle M}) i poprečna sila ({\displaystyle Q}) u gredi mogu se izračunati pomoću odnosa:

{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}
Jednostavno savijanje grede se često analizira s Euler-Bernoullijevom jednačinom grede. Uvjeti za korištenje jednostavne teorije savijanja su:

1. Greda je predmet čistog savijanja. To znači da su poprečne sile jednake nuli, a da nema uvojnog ili aksijalnog opterećenja.
2. Materijal je izotropan i homogen.
3. Materijal ispunjava Hookeov zakon (linearno je elastičan i neće se plastično deformisati).
4. Greda je u početnom trenutku ravna sa presjekom koji je konstantan cijelom dužinom.
5. Greda ima osu simetrije u ravni savijanja.
6. Proporcije grede su takve da će se prije prekinuti savijanjem nego drobljenjem, gužvanjem ili bočnim izvijanjem.
7. Presjeci grede ostaju ravni prilikom savijanja.

Otklon grede skrenut simetrično i princip superpozicije.
Pritisne i zatezne sile se razvijaju u smjeru ose grede pod savojnim opterećenjima. Te snage izazivaju naprezanja grede. Najveći napon pritiska se nalazi se nalazi na gornjem rubu grede, dok se maksimalna sila istezanja nalazi na donjem rubu grede. Pošto naponi između ovih dviju suprotnih strana variraju linearno, postoji tačka na linearnom putu između njih gdje nema napona savijanja. Položaj ovih tačaka se naziva neutralna osa. Zbog ovog područja bez napona i susjednih područja sa niskim naponom, koristeći jedinstven presjek grede na savijanje nije posebno efikasno sredstvo podržavanja opterećenja, jer se ne koristi puni kapacitet grede dok je na ivici kolapsa. Široko-prirubne grede (I-profil) i rešetkasti nosači efikasno rješavaju ovu neefikasnost jer minimiziraju količinu materijala u ovoj podnaponskoj regiji.

Klasična formula za određivanje napona savijanja u gredi rpri jednostavnom savijanju je:

{\displaystyle {\sigma }={\frac {My}{I\_{x}}}}
gdje je

* {\displaystyle {\sigma }} - napon savijanja
* *M* - moment savijanja oko neutralne ose
* *y* - normalna udaljenost do neutralne ose
* *I**x* - drugi momenta površine oko neutralne ose 'x'.

### Proširenja Euler-Bernoullijeve teorije savijanja grede

#### Plastično savijanje

Jednačina {\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I\_{x}}}} važi jedino kada je napon u ekstremnim vlaknima (najudaljeniji dio grede od neutralne ose) ispod granice razvlačenja materijala od kojeg je greda napravljena. Pri većim opterećenjima distribucija napona postaje nelinearna, i duktilni materijali će na kraju ući u 'plastično tečenje', stanje gdje je veličina napona jednaka naponu tečenja svuda u gredi, uz prekid u neutralnoj osi, gdje se mijenja napon od zatezanja do pritiska. Ovo stanje plastičnog tečenja se obično koristi kao granični uvjet kod dizajniranja metalnih konstrukcija.

#### Složeno ili asimetrično savijanje

Jednačina iznad vrijedi samo ako je presjek simetričan. Za homogene grede s asimetričnim dijelovima, aksijalni napon u gredi je dat sa:

{\displaystyle {\sigma \_{x}}(y,z)=-{\frac {(M\_{z}~I\_{y}+M\_{y}~I\_{yz})}{I\_{y}~I\_{z}-I\_{yz}^{2}}}y+{\frac {(M\_{y}~I\_{z}+M\_{z}~I\_{yz})}{I\_{y}~I\_{z}-I\_{yz}^{2}}}z}
gdje su {\displaystyle y,z} koordinate tačke na poprečnom presjeku na kojima je napon potrebno odrediti kao što je prikazano desno, {\displaystyle M\_{y}} i {\displaystyle M\_{z}} su momenti savijanja oko y i z težišnih osa, {\displaystyle I\_{y}} i {\displaystyle I\_{z}} su drugi momenti površine (razlikuju se od momenata inercije) oko y i z osa, a {\displaystyle I\_{yz}} je proizvod momenata površine. Koristeći jednačinu moguće je izračunati napon savijanja na bilo kojoj tački poprečnog presjeka grede bez obzira na smjer momenta ili oblika poprečnog presjeka. Napomena: {\displaystyle M\_{y},M\_{z},I\_{y},I\_{z},I\_{yz}} se ne mijenjaju od jedne tačke do druge na poprečnom presjeku.

#### Velika deformacija savijanja

Za velike deformacije tijela, napon u poprečnom presjeku se izračunava primjenom proširene verzije ove formule. Prvo, slijedeće pretpostavke moraju biti:

1. Pretpostavka ravnih pregrada - prije i poslije deformacije se smatra dio tijela ostaje ravnim (tj. nije se kovitlao).
2. Smicanje i normalni naponi u ovom dijelu koji su okomiti na vektor normale presjeka nemaju nikakav utjecaj na napone koji su paralelni sa osom ovog dijela.

Razmatranje velikog savijanja treba biti provedeno kada je prečnik savijanja {\displaystyle \rho } manji od deset visina odjeljka h:

{\displaystyle \rho <10h.}
Uz te pretpostavke napon kod velikih savijanja se računa kao:

{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I\_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}
gdje su:

* {\displaystyle F} - normalna sila
* {\displaystyle A} - površina poprečnog presjeka
* {\displaystyle M} - moment savijanja
* {\displaystyle \rho } - lokalni prečnik savijanja (na trenutnom dijelu)
* {\displaystyle {{I\_{x}}'}} - moment površine inercije duž x-ose, na mjestu {\displaystyle y} (pogledati Steinerovu teoremu)
* {\displaystyle y} - pozicija duž y-ose na dijelu površine gdje je napon {\displaystyle \sigma } izračunat.

Kada prečnik {\displaystyle \rho } teži u beskonačno i {\displaystyle y\ll \rho }, prvobitna formula se vraća:

{\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}.
### Timoshenkova teorija savijanja

Deformisanje Timoshenkove grede. Normala rotira za ugao {\displaystyle \theta } koji nije jednak {\displaystyle dw/dx}.
1921, Stephen Timosenko je poboljšao Euler-Bernoullijevu teoriju greda dodavanjem efekta smicanja unutar jednačine grede. Kinematske pretpostavke Timoshenkove teorije su:

* normale na ose grede ostaju ravne nakon deformacije
* nema promjene u debljini grede nakon deformacije

Međutim, normale na ose ne moraju ostati okomite na ose nakon deformacije.

Jednačina za kvazistatičko savijanje linearno elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim pretpostavkama je

{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}
gdje je

* {\displaystyle I} - površinski moment inercije poprečnog presjeka,
* {\displaystyle A} - površina poprečnog presjeka,
* {\displaystyle G} - modul klizanja i
* {\displaystyle k} - faktor korekcije klizanja/smicanja.

Za materijale sa Poissonovim koeficijentom ({\displaystyle \nu }) blizu 0,3 - faktor korekcije za pravougaoni poprečni presjek je približno:

{\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}
Rotacija ({\displaystyle \varphi (x)}) normale je opisana izrazom:

{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}
Moment savijanja ({\displaystyle M}) i sila smicanja ({\displaystyle Q}) su dati preko sljedećih formula:

{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}

Dinamičko savijanje greda
-------------------------

Dinamičko savijanje greda, također poznato i kao fleksiono vibriranje greda, prvi put je istraživao Daniel Bernoulli krajem 18. vijeka. Bernoullijeva jednačina kretanja vibrirajuće grede je težila da precjenjuje prirodne frekvencije greda i bila je poboljšana marginalno od strane Rayleigh-a 1877. dodavanjem rotacije srednje ravni. 1921. Stephen Timoshenko je još poboljšao teoriju dodavanjem efekta smicanja na dinamički odgovor savijanja greda. Ovo je dopustilo teoriji da bude korištena za probleme uključivanja visokih frekvencija vibracije gdje je dinamička Euler-Bernoullijeva teorija neadekvatna. Euler-Bernoullijeva i Timoshenko teorije za dinamičko savijanje greda nastavljaju da se naširoko koriste u inženjerstvu.

### Euler-Bernoullijeva teorija

Euler-Bernoullijeva jednačina za dinamičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog poprečnog presjeka pod primjenom poprečnog opterećenja {\displaystyle q(x,t)} je:

{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}
gdje je:

* {\displaystyle E} - Youngov modul elastičnosti,
* {\displaystyle I} - površinski moment inercije poprečnog presjeka,
* {\displaystyle w(x,t)} - otklon od neutralne ose grede i
* ***m*** - masa po jedinici dužine grede.

#### Slobodne vibracije

Za situaciju u kojoj ne postoji poprečno opterećenje na gredu, jednačina savijanja ima oblik:

{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}
Slobodne, harmonijske vibracije grede onda mogu biti izražene kao:

{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}
a jednačina savijanja se može zapisati kao

{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}
Opće rješenje navedenih jednačina je:

{\displaystyle {\hat {w}}=A\_{1}\cosh(\beta x)+A\_{2}\sinh(\beta x)+A\_{3}\cos(\beta x)+A\_{4}\sin(\beta x)}
gdje su {\displaystyle A\_{1},A\_{2},A\_{3},A\_{4}} konstante, a {\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}

| Režimni oblici za konzolne I-profilne grede |
| --- |
| Jednostruko bočno savijanje | Jednostruko uvijanje | Jednostruko vertikalno savijanje |
| Dvostruko bočno savijanje | Dvostruko uvijanje | Dvostruko vertikalno savijanje |

### Timoshenko-Rayleighova teorija

1877, Rayleigh je predložio poboljšanje za dinamičku Euler-Bernoullijevu teoriju greda uključujući efekt rotacije inercije poprečnog presjeka grede. Timoshenko je poboljšao osnovu te teorije 1922. dodavanjem efekta smicanja u jednačini grede. Smična deformacija normalna na sredinu površine grede je dozvoljena u Timoshenko-Rayleigh teoriji.

Jednačina za savijanje linearne elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim pretpostavkama je:

{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {Jm}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}
gdje je {\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}} polarni moment inercije poprečnog presjeka, {\displaystyle m=\rho A} je masa po jedinici dužine grede, {\displaystyle \rho } je gustoća grede, {\displaystyle A} je površina poprečnog presjeka, {\displaystyle G} je modul klizanja, i {\displaystyle k} je **korekcioni faktor klizanja**. Za materijale Poisonovog koeficijenta ({\displaystyle \nu }) blizu 0,3 - faktori korekcije su približno:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}k&=&{\tfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{pravougaoni presjek}}\\&=&{\tfrac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{kružni presjek}}\end{array}}}
#### Slobodne vibracije

Za slobodne, harmonijske vibracije, Timoshenko-Rayleigh jednačine imaju oblik:

{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}
Ova jednačina se može riješiti uz napomenu da svi izvodi ​​moraju imati isti oblik da se ponište a time što rješenje obrasca {\displaystyle e^{kx}} može biti očekivano. Ovo zapažanje dovodi do karakteristične jednačine:

{\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}
Rješenja ove četverostepene jednačine su:

{\displaystyle k\_{1}=+{\sqrt {z\_{+}}}~,~~k\_{2}=-{\sqrt {z\_{+}}}~,~~k\_{3}=+{\sqrt {z\_{-}}}~,~~k\_{4}=-{\sqrt {z\_{-}}}}
gdje je:

{\displaystyle z\_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z\_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}
Opće rješenje Timoshenko-Rayleigh gredne jednačine za slobodne vibracije se onda mogu pisati kao:

{\displaystyle {\hat {w}}=A\_{1}~e^{k\_{1}x}+A\_{2}~e^{-k\_{1}x}+A\_{3}~e^{k\_{3}x}+A\_{4}~e^{-k\_{3}x}}

Kvazistatičko savijanje ploča
-----------------------------

 Deformacija tanke ploče naglašavajući pomjeranja, sredine površine (crvena) i normale na sredinu površine (plava)
U definiranje osobina greda je da je jedna od dimenzija mnogo veća od druge dvije. Struktura se zove ploča kada je ravna i jedna od njenih dimenzija je mnogo manja od druge dvije. Postoji nekoliko teorija koje pokušavaju opisati deformacije i napon na ploče pod primjenom opterećenja od kojih su dva bila u širokoj upotrebi. To su:

* Kirchhoff-Love teorija ploča (također se zove klasična teorija ploča)
* Mindlin-Reissner teorija ploča (također nazivana teorija smicanja ploča prvog reda)

### Kirchhoff-Love teorija ploča

Pretpostavke Kirchhoff-Love teorije su:

* ravne linije normalne na sredinu površine ostaju ravne nakon deformacije
* ravne linije normalne na sredinu površine ostaju normalne na sredinu površine nakon deformacije
* debljina ploče se ne menja tokom deformacije.

Ove pretpostavke ukazuju na to da je:

{\displaystyle {\begin{aligned}u\_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x\_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x\_{\alpha }}}=-x\_{3}~w\_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u\_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x\_{1},x\_{2})\end{aligned}}}
gdje je {\displaystyle \mathbf {u} } pomak tačke u ploči, a {\displaystyle w^{0}} pomak od srednje površine.

Jednačine pomaka:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\alpha \beta }&=-x\_{3}~w\_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon \_{\alpha 3}&=0\\\varepsilon \_{33}&=0\end{aligned}}}
Jednačine ravnoteže su:

{\displaystyle M\_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M\_{\alpha \beta }:=\int \_{-h}^{h}x\_{3}~\sigma \_{\alpha \beta }~dx\_{3}}
gdje je {\displaystyle q(x)} primenjeno opterećenje normalno na površinu ploče.

Što se tiče pomaka, jednačine ravnoteže za izotropne, linearno elastične ploče u odsustvu vanjskog opterećenja se mogu zapisati kao:

{\displaystyle w\_{,1111}^{0}+2~w\_{,1212}^{0}+w\_{,2222}^{0}=0}
U direktnom tenzorskom zapisu:

{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
### Mindlin-Reissnerova teorija ploča

Posebna pretpostavka ove teorije je da normale do sredine površine ostaju ravne i neproširive, ali ne nužno i normalne na sredinu površine nakon deformacije. Pomjeranja ploče su data sa:

{\displaystyle {\begin{aligned}u\_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x\_{3}~\varphi \_{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u\_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x\_{1},x\_{2})\end{aligned}}}
gdje su {\displaystyle \varphi \_{\alpha }} rotacije normale.

Relacije zateznog izmještanja koji rezultiraju iz ovih pretpostavki su:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\alpha \beta }&=-x\_{3}~\varphi \_{\alpha ,\beta }\\\varepsilon \_{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w\_{,\alpha }^{0}-\varphi \_{\alpha }\right)\\\varepsilon \_{33}&=0\end{aligned}}}
gdje je {\displaystyle \kappa } korekcioni faktor za zatezanje.

Ravnotežne jednačine su:

{\displaystyle {\begin{aligned}&M\_{\alpha \beta ,\beta }-Q\_{\alpha }=0\\&Q\_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}
gdje je:

{\displaystyle Q\_{\alpha }:=\kappa ~\int \_{-h}^{h}\sigma \_{\alpha 3}~dx\_{3}}

Dinamičko savijanje ploča
-------------------------

### Dinamika tankih Kirchhoffovih ploča

Dinamička teorija ploča određuje prostiranje talasa u pločama, kao i proučavanje stojećih talasa i načina vibracije. U jednačine koji regulišu dinamično savijanje Kirchhoffovih ploča su:

{\displaystyle M\_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J\_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J\_{3}~{\ddot {w}}\_{,\alpha \alpha }^{0}}
gdje je, za ploču sa gustoćom {\displaystyle \rho =\rho (x)},

{\displaystyle J\_{1}:=\int \_{-h}^{h}\rho ~dx\_{3}~;~~J\_{3}:=\int \_{-h}^{h}x\_{3}^{2}~\rho ~dx\_{3}}
i 

{\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}\_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x\_{\alpha }\partial x\_{\beta }}}}
Figure ispod pokazuju načine vibriranja okruglih tanjira/ploča.

* način k = 0, p = 1način *k* = 0, *p* = 1
* način k = 0, p = 2način *k* = 0, *p* = 2
* način k = 1, p = 2način *k* = 1, *p* = 2

Povezano
--------

* Moment savijanja
* Savijanje (prerada metala)
* Mehanika kontinuuma
* Vibracija

Vanjske veze
------------

* Flexure formulae
* Beam flexure, stress formulae and calculators