Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi
**Fibonačijev niz** je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

{\displaystyle f\_{0}=0}
{\displaystyle f\_{1}=1}
{\displaystyle f\_{n}=f\_{n-1}+f\_{n-2},\;\;n\geq 2}
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao *Fn*, za *n* = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na *F*1 = 1, ali uobičajenije je uključiti *F*0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.

Ako znamo Fibonačijeve brojeve {\displaystyle F\_{m}} i {\displaystyle F\_{n}} onda možemo naći broj {\displaystyle F\_{m+n}} po formuli

{\displaystyle F\_{m+n}=F\_{(m-1)}F\_{n}+F\_{m}F\_{n+1}}

Također imamo

{\displaystyle F\_{2n}=F\_{n}(F\_{n+1}+F\_{n-1})}

{\displaystyle F\_{3n}=F\_{n+1}^{3}+F\_{n}^{3}+F\_{n-1}^{3}}

Uopšteno

{\displaystyle F\_{mn}=\textstyle \sum \_{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F\_{n}^{k}(F\_{n-1}^{m-k}}}

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.

Odnos prema zlatnom odnosu
--------------------------

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} koji je korjen jednačine {\displaystyle x^{2}-x-1=0} i

{\displaystyle x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0}

Iz Binetove formule

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}

Gdje je

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots }
{\displaystyle \varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots }
Dalje imamo

{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}

i

{\displaystyle (\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}}

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

{\displaystyle U\_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}}

Zadovoljena je i relaciija

{\displaystyle U\_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U\_{n-1}+U\_{n-2}}

Neka su {\displaystyle a} i {\displaystyle b} izabrani tako da je {\displaystyle U\_{0}=0} i {\displaystyle U\_{1}=1}onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi {\displaystyle a} i {\displaystyle b} zadovoljavaju relaciju

{\displaystyle a+b=0}

{\displaystyle a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}

Odnosno imamo

{\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a}

Uzimajući {\displaystyle U\_{0}} i {\displaystyle U\_{1}} kao početne varijable imamo

{\displaystyle U\_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}

Odnosno

{\displaystyle a={\frac {U\_{1}-U\_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}}
{\displaystyle b={\frac {U\_{0}\varphi -U\_{1}}{\sqrt {5}}}}.
Posmatrajmo sada

{\displaystyle \left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}
Za {\displaystyle n\geq 0}, broj {\displaystyle F\_{n}} najbliži cio broj je {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}, koji se može dobiti iz funkcije

{\displaystyle F\_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}
ili

{\displaystyle F\_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.}
Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

{\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log \_{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },}
gdje se {\displaystyle \log \_{\varphi }(x)} može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

{\displaystyle \log \_{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log \_{10}(x)/\log \_{10}(\varphi )}

Osobine
-------

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

{\displaystyle F\_{m}} je djeljiv sa {\displaystyle F\_{n}} ako i samo ako je {\displaystyle m} djeljivo sa {\displaystyle n}( bez {\displaystyle n=2})

* {\displaystyle F\_{m}} je djeljivo sa {\displaystyle F\_{3}=2} samo ako je {\displaystyle m=3k}
* {\displaystyle F\_{m}} je djeljivo sa {\displaystyle F\_{4}=3} samo ako je {\displaystyle m=4k}
* {\displaystyle F\_{m}} je djeljivo sa {\displaystyle F\_{5}=5} samo ako je {\displaystyle m=5k}

{\displaystyle F\_{m}} je prost ako je {\displaystyle m} prost broj sa isključenjem {\displaystyle m=4}

{\displaystyle F\_{13}=233}
Obratno ne važi tj ako je {\displaystyle m} prost broj {\displaystyle F\_{m}} ne mora biti prost

{\displaystyle F{19}=4181=37\*113}
Njegov polinom {\displaystyle x^{2}-x-1} ima korjene {\displaystyle \varphi } i {\displaystyle -\varphi ^{-1}}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {F\_{n+1}}{F\_{n}}}=\varphi .}

U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12:
{\displaystyle F\_{0}=0^{2}=0}, {\displaystyle F\_{1}=1^{2}=1}, {\displaystyle F\_{2}=1^{2}=1}, {\displaystyle F\_{12}=12^{2}=144}.

**Generirajuća** funkcija niza fibonaccijevih brojeva je 
{\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum \_{n=0}^{\infty }F\_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}

Fibonnačijev niz brojeva
------------------------

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva {\displaystyle F\_{n}} za {\displaystyle n=0,1,2,3,....20}

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *F*0 | *F*1 | *F*2 | *F*3 | *F*4 | *F*5 | *F*6 | *F*7 | *F*8 | *F*9 | *F*10 | *F*11 | *F*12 | *F*13 | *F*14 | *F*15 | *F*16 | *F*17 | *F*18 | *F*19 | *F*20 |
| 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 |

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

{\displaystyle F\_{n-2}=F\_{n}-F\_{n-1},}
{\displaystyle F\_{-n}=(-1)^{n+1}F\_{n}.}
Niz brojeva {\displaystyle F\_{n}} za {\displaystyle n=-8,-7,....0,1,2,....8}

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *F*−8 | *F*−7 | *F*−6 | *F*−5 | *F*−4 | *F*−3 | *F*−2 | *F*−1 | *F*0 | *F*1 | *F*2 | *F*3 | *F*4 | *F*5 | *F*6 | *F*7 | *F*8 |
| −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 |

Identiteti
----------

* {\displaystyle F\_{1}+F\_{2}+F\_{3}+\dots +F\_{n}=F\_{n+2}-1}
* {\displaystyle F\_{1}+F\_{3}+F\_{5}+\dots +F\_{2n-1}=F\_{2n}}
* {\displaystyle F\_{2}+F\_{4}+F\_{6}+\dots +F\_{2n}=F\_{2n+1}-1}
* {\displaystyle F\_{n+1}F\_{n+2}^{}-F\_{n}F\_{n+3}=(-1)^{n}}
* {\displaystyle F\_{1}^{2}+F\_{2}^{2}+F\_{3}^{2}+\dots +F\_{n}^{2}=F\_{n}F\_{n+1}} (см. рис.)
* {\displaystyle F\_{n}^{2}+F\_{n+1}^{2}=F\_{2n+1}}
* {\displaystyle F\_{2n}=F\_{n+1}^{2}-F\_{n-1}^{2}}
* {\displaystyle F\_{3n}=F\_{n+1}^{3}+F\_{n}^{3}-F\_{n-1}^{3}}
* {\displaystyle F\_{5n}=25F\_{n}^{5}+25(-1)^{n}F\_{n}^{3}+5F\_{n}}

Opšte formule

* {\displaystyle F\_{n+m}^{}=F\_{n-1}F\_{m}+F\_{n}F\_{m+1}=F\_{n+1}F\_{m+1}-F\_{n-1}F\_{m-1}}
* {\displaystyle F\_{(k+1)n}^{}=F\_{n-1}F\_{kn}+F\_{n}F\_{kn+1}}
* {\displaystyle F\_{n}^{}=F\_{l}F\_{n-l+1}+F\_{l-1}F\_{n-l}}

{\displaystyle F\_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}, kao i {\displaystyle \ F\_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}},
gdje matrice imaju oblik {\displaystyle n\times n}, *i*  je imaginarna jedinica.

* Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma

{\displaystyle F\_{n+1}=(-i)^{n}U\_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}
{\displaystyle F\_{2n+2}=U\_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}
Za bilo koji {\displaystyle n}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F\_{n+1}&F\_{n}\\F\_{n}&F\_{n-1}\end{pmatrix}}.}

Posljedica

{\displaystyle (-1)^{n}=F\_{n+1}F\_{n-1}-F\_{n}^{2}.}

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

{\displaystyle F\_{n+1}={\frac {F\_{n}+{\sqrt {5F\_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}}

Fibonnačijev niz u prirodi
--------------------------

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Vidi još
--------

* Fibonačijevi polinomi

Literatura
----------

* Ball, Keith M (2003). „8: Fibonacci's Rabbits Revisited". *Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations*. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0. .
* Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), *The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics*, New York: Springer .
* Bóna, Miklós (2011), *A Walk Through Combinatorics* (3rd izd.), New Jersey: World Scientific .
* Lemmermeyer, Franz (2000). *Reciprocity Laws*. New York: Springer. ISBN 978-3-540-66957-9. .
* Lucas, Édouard (1891) (French), *Théorie des nombres*, **1**, Gauthier-Villars .
* Pisano, Leonardo (2002) (hardback). *Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation*. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sigler, Laurence E, trans. Springer. ISBN 978-0-387-95419-6. , 978-0-387-40737-1 (paperback).
* Arakelяn, Grant (2014). *Matematika i istoriя zolotogo sečeniя*. Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0.

Vanjske veze
------------

***Fibonaccijev niz*** na Wikimedijinoj ostavi

* Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Fibonacci numbers". *Encyclopaedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
* Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature

|  |  |
| --- | --- |
|  | *Ovaj članak o **matematici** je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako da ga proširite*. |