Vektorsko polje oblika f(*x*,*y*)=(−*y*, *x*)
U matematici i fizici **vektorsko polje** je polje, koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija
-------------------

Neka je {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} i neka {\displaystyle X\_{0}} označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu {\displaystyle \left(O,x\_{1},x\_{2},x\_{3},...x\_{k}\right);k=\dim D}, tj. 

{\displaystyle X\_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x\_{1},x\_{2},x\_{3},...x\_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}}.
Kažemo da je **funkcija skalarne varijable** (kraće: **vektorska funkcija** ili **vektorsko polje**) svaka funkcija

{\displaystyle {\overrightarrow {\textbf {W}}}:D\mapsto X\_{0}.}
Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Potencijalno vektorsko polje
Solenoidno vektorsko polje
Laplaceovo vektorsko polje
Opće vektorsko polje

Transformacije sustava
----------------------

Neka je {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} i {\displaystyle V\_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}} vektorsko polje u euklidskim
koordinatama. Ukoliko je {\displaystyle Y} neki drugi koordinatni sustav na *S*, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu
{\displaystyle Y}:

{\displaystyle V\_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V\_{x}.}

Napomene
--------

Za *V* se kaže da je C*k* vektorsko polje, ako je ono *k* puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati **vektorsko** i **skalarno** polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u *koordinatnim transformacijama*: skalar sam po sebi *jest* koordinata, dok je vektor *opisan* koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje *koordinate*, a vektorsko vektore.

Primjene
--------

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr. 

* Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: {\displaystyle \left(v\_{x},v\_{y},v\_{z},t,x,y,z\right)} (polje je zavisno o vremenu!).
* Brzina protjecanja fluida kroz cijev.
* Opis magnetskog djelovanja.
* Opis električnog djelovanja.
* Gravitacija.

Podjela
-------

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

* Potencijalno ili bezvrtložno:

{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}
* Solenoidno ili bezizvorno:

{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
* Laplaceovo:

{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
* Polje općeg oblika ili složeno polje:

{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}

Povezani pojmovi
----------------

* Tok polja
* Divergencija
* Rotacija polja
* Električno polje
* Magnetsko polje
* Elektromagnetsko polje

Vanjske veze
------------

* Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
* Skalarna i vektorska polja.
* Wolfram: Vector Fields
* 2D Vector Field Simulation
* 3D Vector Field Simulation