**Tačka, prava i ravan** su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tačaka. Oni se ne definišu i njihove osobine daju se aksiomima.

Aksiomi prave
-------------

1. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
2. Svaka prava sadrži najmanje dvije različite tačke.
3. Postoje tri nekolinearne tačke

Dvije tačke su uvijek kolinearne

Presjek dvije prave
-------------------

Za dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku kažemo da se sijeku. Zajednička tačka te dvije prave naziva se sjecište ili presječna tačka.
a ∩ b={C}

Kolinearne i nekolinearne tačke
-------------------------------

Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne tačke.
Za tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj kažemo da su nekolinearne.
Postoje tri nekolinearne tačke

Posljedice
----------

1. Dvije različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku

1. Van svake dvije prave postoji bar jedna tačka.

Paralelne i mimoilazne prave
----------------------------

Za dvije prave koje leže u jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka kažemo da su paralelne.
Za prave koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su mimoilazne.
**Za dvije prave a i b važi:**

1. Ako je a ∩ b={A,B}=> a=b
2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
3. Ako a i b nemaju zajedničkih tačaka a ║ b

### Udaljenost paralelnih pravi

Neka je data tačka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Traži se njena projekcija

{\displaystyle M'=B+k{\overrightarrow {v}},k\in R\;\land \;AA'\bot v}.

Iz navedenih uslova određujemo koeficijent k, а sа njime određeno je i M'. Udaljenost tačaka M i M' je јеdnaka udaljenosti između paralelnih pravi a i b.  
  

U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg čine vektori {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} i {\displaystyle {\overrightarrow {v}}}. , a dobije se kao količnik površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.  

{\displaystyle d(a,b)={\frac {|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {v}}|}{|{\overrightarrow {v}}|}}}

### Udaljenost mimoilaznih pravi

Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor između njih, a zatim da se odrede parametri za koje će on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opšte tačke pravih a i b su M i N.odnosno biće:  
  

{\displaystyle M=A+\alpha v=(A\_{1}+\alpha v\_{1},A\_{2}+\alpha v\_{2},...A\_{n}+\alpha v\_{n}),\alpha \in R}
{\displaystyle N=B+\beta u,\beta \in R}  
  

intenzitet vektora {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} je {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|=f(\alpha ,\beta )={\sqrt {(A\_{1}+\alpha v\_{1}-B\_{1}-\beta u\_{1})^{2}+\dots +(A\_{n}+\alpha v\_{n}-B\_{n}-\beta u\_{n})^{2}}}}.
Ovdje korijen ne utiče na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se može izbaciti. Sada ćemo odrediti prve izvode izraza {\displaystyle f(\alpha ,\beta )} pо α i po β.
Dobijamo sistem dvije jednačine sa dvije nepoznate α i β, koji možemo riješiti.  
  

{\displaystyle {\begin{cases}f(\alpha ,\beta )'\_{\alpha }\\f(\alpha ,\beta )'\_{\beta }\end{cases}}}  
  

Određujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednačine prave a i b,
Ove koordinate će predstavljati tačke, nazovimo ih {\displaystyle M\_{0}} i {\displaystyle N\_{0}},
{\displaystyle d(a,b)=d(M\_{0},N\_{0})}.

Aksiom uređenosti prave
-----------------------

Prava je na određen način uređen skup

1. Za tačke X,Y prave a važi X <Y ili Y<X (potpunost)
2. Ako je X <Y onda nije Y<X (antisimetričnost)
3. Ako je (X<Y) i( Y<Z) =>X<Z (tranzitivnost)
4. Za tačku Y prave a postoje tačke X i Z na a tako da je X<Y i Y<Z( produžavanje prave)
5. Za X i Z prave a postoji tačka Y takva da je X <Y( gusto uređen skup)

  

### Dedekindov aksiom

Ako sve tačke prave podijelimo u dvije neprazne klase tako da je svaka klasa prve klase ispred svake tačke druge klase onda ili prva klasa ima svoju poslednju ili druga klasa svoju prvu tačku

Ravan
-----

Ravan je određena sa aksiomama.

  

**Aksiomi ravni**

1. Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.
2. Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.
3. Postoje 4 tačke koje ne pripadaju jednoj ravni

### Komplanarne i nekomplanarne tačke

Za tačke koje leže u jednoj ravni kažemo da su komplanarne.
Za 4 tačke koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su nekomplanarne.

### Aksiom prave i ravni

Ako ravan sadrži dvije različite tačke jedne prave onda ona sadrži tu pravu.

### Posljedica

Ravan i prava koja ne leži u toj ravni mogu imati najviše jednu zajedničku tačku.

Teoreme o određenosti ravni
---------------------------

### Teorema 1

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije prave koje se sijeku.

### Teorema 2

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži datu pravu i datu tačku koja ne pripada toj pravoj.

### Teorma 3

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije paralelne prave

Aksiom dviju ravni
------------------

Presjek dviju različitih ravni je prava.

Međusobni položaj prave i ravni
-------------------------------

1. a i α imaju bar dvije zajedničke tačke, onda a leži u α

1. a i α imaju jednu zajedničke tačke, onda prava a siječe ravan α

1. a i α nemaju zajedničkih tačaka, onda je prava a paralelna sa ravni α