```
i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž.
```

Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i 
označavamo sa AB ili BA
Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

Orjentisana duž
---------------

Orjentisana duž je duž ćiji su krajevi uređen par tačaka.nazivamo je i vektor. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži.
Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kažemo da vektori{\displaystyle {\vec {A}}B} i {\displaystyle {\vec {C}}D} imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektori {\displaystyle {\vec {A}}B} i {\displaystyle {\vec {C}}D} imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor {\displaystyle {\vec {0}}}

Sadržavanje duži
----------------

Teoreme

1. Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda

duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

* duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
* ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB

2.
Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB
Posljedica

1. duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
2. ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka

Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.

Aksioma prenošenja duži
Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

Sredina duži
------------

Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži
**Teorema** 
Duž može da ima samo jednu sredinu.
Dokaz
Neka duž AB ima dvije sredineM i N.
AM=MB
AN=NB 

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B.
Posmatrajmo 
A<M<N<B odnosno imamo niz relacija
AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguće jer je AM=BM
Ako je m sredina duži onda je AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duži
--------------

Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo **zbirom**Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo **zbirom** duži a i b.

**Aksiom zbira duži**

Ako su tačke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tačke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

**Teorema (pravilo zamjene)**

Ako su odgovarajući sabirci dvaju zbirova duži jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a1 & b=b1) => a+b=a1 + b1
Na osnovu ove teoreme proizlazi
a=b=>a+c=b+c
Komutativnost zbira duži
a+b=b+a
Asocijativnost
(a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na.
Za proizvod na važ:
m(na)=(mn)a
(m+n)a=ma + na
m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

Upoređivanje duži
-----------------

Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b. 
Za A<B<C kažemo da je duž a manja od duži b( a<b) ili 
duž b je veća od duži a (b>a) 

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B1, C1 na drugoj sa početkom u A1 takve da je
AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A<B<C onda je i A1,B1<C1

**Teorema**

Ako je a=a1; b=b1 i a<a1 onda je i a<b1
Teorema
Za proizvoljne duži a,b isključivo je a**b**

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. 
Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

* A=B onda je a=b
* O<A<B onda je a<b
* O<B<A onda je b<a

**Teorema( Zakon tranzitivnosti)**

Za duži a,b,c važi ( a<b & b<c) => a<c

**Teorema(Zakon monotonije)**

Za duži a,b,c važi ako je a<b onda je a+c<b+c

odnosno ako nejednakosti duži dodamo s jedne i s druge strane istu duž dobićemo tačnu nejednakost.

Razlika duži
------------

Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo **razlika** duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.