Grafički primer linearne jednačine.
**Linearna jednačina** je algebrska jednačina u kojoj je svaki član bilo konstanta ili proizvod konstante i jedne promenljive prvog reda.

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

**Jednadžba pravca**
--------------------

### Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

{\displaystyle Ax+By+C=0\,}
ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova *x,y* koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu *x0y* određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

### Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

{\displaystyle Ax+By+C=0\,}
u drugi oblik kako slijedi

{\displaystyle By=-Ax-C\,}
{\displaystyle y=-{\frac {A}{B}}x-{\frac {C}{B}}\,}
naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

{\displaystyle y=ax+b\,}
gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

{\displaystyle a=-{\frac {A}{B}}}
{\displaystyle b=-{\frac {C}{B}}}
Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca *a* te odsječak *b* koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

### Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.
Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

{\displaystyle y=ax+b\,}
u treći oblik kako slijedi

{\displaystyle y-ax=b\,}
{\displaystyle {\frac {y}{b}}-{\frac {ax}{b}}=1\,}
{\displaystyle {\frac {y}{b}}+{\frac {x}{\frac {-b}{a}}}=1\,}
naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

{\displaystyle {\frac {x}{m}}+{\frac {y}{n}}=1\,}
gdje su

{\displaystyle m=-{\frac {b}{a}},\,}
{\displaystyle n=b.\,}
### Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

{\displaystyle ax+by+c=0\,}
gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

{\displaystyle y=kx+l\,}
gdje je *k* koeficijent smjer pravca, a *l* odsječak na y-osi.

Određenost pravca
-----------------

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

### Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom {\displaystyle ''T''(x\_{1},y\_{1})} i koeficijentom smjera *a*. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

{\displaystyle y-y\_{1}=a(x-x\_{1})\,}.
### Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke {\displaystyle ''T\_{1}''(x\_{1},y\_{1})} i {\displaystyle ''T\_{2}''(x\_{2},y\_{2})} prikazuje se uobičajeno u obliku

{\displaystyle y-y\_{1}={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}(x-x\_{1})\,}.

Značaj
------

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

{\displaystyle y=ax+b\,}
i ukoliko definiramo da je *x* slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a *y* zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

{\displaystyle y=f(x)=ax+b\,}
Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: {\displaystyle y=ax+b}, 
funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

{\displaystyle y=f(x)=ax\,}
koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

Literatura
----------

* Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), *College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences* (11th izd.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3
* Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
* Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-827-41492-X.
* Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 3-528-66508-4.
* Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9.
* Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, ISBN 3-834-80996-9.
* Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2003, ISBN 3-446-22122-0.
* Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6.

Vanjske veze
------------

* Linear Equations and Inequalities Arhivirano 2014-11-15 na Wayback Machine-u Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
* Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear equation". *Encyclopaedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.