| {\displaystyle n} | {\displaystyle n!} |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 15 | 1307674368000 |
| 20 | 2432902008176640000 |
| 25 | 15511210043330985984000000 |
| 50 | 3,04140932... · 1064 |
| 70 | 1,19785717... · 10100 |
| 450 | 1,73336873... · 101 000 |
| 3249 | 6,41233768... · 1010 000 |
| 25206 | 1,205703438... · 10100 000 |

Faktorijel prvih nekoliko brojeva i faktorijel nekih većih brojeva

**faktorijel** (engl. *factorial*, prema lat. *factor*), u matematici, funkcija koja svakom nenegativnom cijelom broju {\displaystyle n} pridružuje proizvod svih pozitivnih brojeva manjih ili jednakih {\displaystyle n}. Na primjer,

{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ }

i

{\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720\ }
gdje {\displaystyle n!} predstavlja n-faktorijel.
Oznaku {\displaystyle n!} je prvi uveo Kristijan Kramp, 1808. godine.

Definicija
----------

Faktorijel se formalno definiše na sljedeći način

{\displaystyle n!=\prod \_{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!}
Gornja definicija pretpostavlja da je:

{\displaystyle 0!=1\ }
Ova definicija je korisna jer rekurzivna definicija faktorijela glasi

{\displaystyle (n+1)!=n!(n+1)},
za šta je neophodno da faktorijel broja 0 bude 1.

Kombinatorika
-------------

Faktorijel je važan u kombinatorici. Na primjer, postoji ukupno {\displaystyle n!} različitih načina da se rasporedi {\displaystyle n} različitih objekata (ovi različiti načini rasporeda se zovu *permutacije*). Broj načina na koji se može izvući {\displaystyle k} objekata iz skupa od {\displaystyle n} objekata (broj *kombinacija*), je dat takozvanim binomnim koeficijentom:

{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}

Teorija brojeva
---------------

Faktorijel se mnogo koristi u teoriji brojeva. Konkretno, {\displaystyle n!} je uvijek djeljiv svim prostim brojevima do i uključujući {\displaystyle n}. Posljedično, {\displaystyle n>5} je kompozitan broj ako i samo ako

{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0\ ({\rm {mod}}\ n)}.
Štaviše, imamo Vilsonovu teoremu koja tvrdi

{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\rm {mod}}\ p)}
ako i samo ako je {\displaystyle p} prost broj.

Jedini faktorijel broja a koji je istovremeno i prost broj je broj 2, ali ima mnogo prostih brojeva oblika {\displaystyle n!\pm 1}.

Dvostruki faktorijel n!!
------------------------

{\displaystyle n!!} nije jednako {\displaystyle (n!)!}

{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
* 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
* 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Brzina rasta funkcije
---------------------

Grafik prirodnog logaritma faktorijela
Kako {\displaystyle n} raste, faktorijel {\displaystyle n!} postaje veći od svih polinomijalnih i eksponencijalnih funkcija od {\displaystyle n}.

Kad je {\displaystyle n} veliko, {\displaystyle n!} se procjenjuje sa velikom preciznošću koristeći Stirlingovu aproksimaciju:

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Logaritam faktorijela se može iskoristiti da bi se izračunalo koliko će cifara u datom brojnom sistemu imati faktorijel zadatog broja. {\displaystyle log(n!)} se može lako izračunati na sljedeći način:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\log k}.}
Treba obratiti pažnju da ova funkcija, kad joj se nacrta grafik, izgleda približno linearna, za male vrijednosti; ali faktor {\displaystyle {\log n!} \over n} raste do prilično velikih vrijednosti, premda jako sporo. Grafik {\displaystyle log(n!)} za {\displaystyle n} između 0 i 20,000 je prikazan desno.

Izračunavanje
-------------

Vrijednost {\displaystyle n!} se može izračunati množenjem svih prirodnih brojeva do {\displaystyle n}, ako {\displaystyle n} nije veliko. Najveći broj za kojeg većina kalkulatora može izračunati vrijednost je {\displaystyle 69!}, jer je {\displaystyle 70!>10^{100}}. {\displaystyle 11!} i {\displaystyle 20!} su, tim redom, najveći brojevi čiji faktorijel može da stane u standardne cjelobrojne promjenljive kod tridesetdvobitnih i šezdesetčetvorobitnih računara. U praksi, većina programa računa ove male brojeve direktnim množenjem ili vađenjem rezultata iz tabele. Faktorijeli većih brojeva se računaju obično aproksimacijom, koristeći Stirlingovu formulu.

U teoriji brojeva i kombinatorici, često su potrebne tačne vrijednosti faktorijela velikih brojeva. Faktorijeli velikih brojeva se mogu izračunati direktnih množenjem, ali množenje redom {\displaystyle 1\cdot 2\cdot ...\cdot n} odozdo nagore je neefikasno; bolje je rekurzijom podijeliti sekvencu tako da je veličina svakog potproizvoda manja.

Vidi još
--------

* gama funkcija
* lijevi faktorijel
* Stirlingova formula