Pojam **efektivne vrijednosti** električnog napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona, odn. struje. 
Efektivna vrijednost napona i struje kvantitativno povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s veličinom rada i snage u električnim strujnim krugovima.

Rad i snaga u mehanici
----------------------

Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao:: 

{\displaystyle \!W=Fs,\,}
gdje je *W* rad, *F* sila, a *s* put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila *F* tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:

{\displaystyle \!W=\int \_{s=0}^{s=s}F(s)ds,\,}
gdje je sila djelovala na putu od *s*=0 do *s*=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom *F=F(s)*. Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:

{\displaystyle \!P={\frac {W}{t}},\,}
gdje je *W* ukupan rad izvršen u vremenu *t*, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:

{\displaystyle \!P={\frac {dW}{dt}},\,}

Rad i snaga u elektrostatici
----------------------------

Kako bi se električni naboj *+q* pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:

{\displaystyle \!W=Fs=Eqs=Uq\,}
gdje je *W* rad izvršen u električnom polju, *F* sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, *E* jakost električnog polja, a *U* razlika potencijala između točaka na putu *s*, od *Us=0* do *Us=s*.

Rad i snaga istosmjerne električne struje
-----------------------------------------

Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:

{\displaystyle \!W=UIt.\,}
Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja *I* kroz neki otpornik otpora *R* tijekom vremena *t*. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:

{\displaystyle \!P={\frac {W}{t}}=UI={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R.\,}

Rad i snaga izmjeničnog napona i struje
---------------------------------------

Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora *R*, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

{\displaystyle \vartriangle W=ui\vartriangle t={\frac {u^{2}}{R}}\vartriangle t=i^{2}R\vartriangle t,\,}
gdje su *u*, odn. *i* neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama *u(t)*, odn. *i(t)*. Međutim, kada: 

{\displaystyle \vartriangle t\to 0\,}
možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu *T* jednak:

{\displaystyle \!W=\int \_{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt=\int \_{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt.}
Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje. 

### Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje

Razmotramo li pravokutni napon amplitude {\displaystyle \pm } *Um*, perioda *T*, nalazimo da je u vremenu od *t*=0 do *t*=*T* izvršen ukupan rad:

{\displaystyle \!W={\frac {U\_{eff}^{2}}{R}}T=\int \_{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt.}
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

{\displaystyle {\begin{aligned}U\_{eff}^{2}T&=\int \_{t=0}^{t=T}u^{2}(t)dt\\U\_{eff}^{2}T&=\int \_{t=0}^{t=T/2}U\_{m}^{2}dt+\int \_{t=T/2}^{t=T}(-U\_{m})^{2}(t)dt\\U\_{eff}^{2}T&=\int \_{t=0}^{t=T/2}U\_{m}^{2}dt+\int \_{t=T/2}^{t=T}U\_{m}^{2}(t)dt\\U\_{eff}^{2}T&=U\_{m}^{2}{\frac {T}{2}}+U\_{m}^{2}T-U\_{m}^{2}{\frac {T}{2}}\\U\_{eff}^{2}T&=U\_{m}^{2}T/(:T)\\U\_{eff}^{2}&=U\_{m}^{2}/^{(1/2)}\\U\_{eff}&=U\_{m},\end{aligned}}}
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.

### Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje

Razmotramo li periodički promjenljiv napon:

{\displaystyle u(t)=U\_{m}\sin(\omega t)\,}
odn. struju:

{\displaystyle i(t)=I\_{m}\sin(\omega t)\,}
gdje su *Um*, odn. *Im* vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda *T*, nalazimo da je u vremenu od *t*=0 do *t=T* izvršen ukupan rad:

{\displaystyle \!W={\frac {U\_{eff}^{2}}{R}}T=\int \_{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,} odn.
{\displaystyle \!W=I\_{eff}^{2}RT=\int \_{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt.}
Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s *R* nalazimo, redom:

{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=\int \_{t=0}^{t=T}U\_{m}^{2}\sin ^{2}(\omega t)dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=\int \_{t=0}^{t=T}U\_{m}^{2}{\frac {1}{2}}(1-\cos(2\omega t))dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T={\frac {1}{2}}U\_{m}^{2}\int \_{t=0}^{t=T}dt-{\frac {1}{2}}U\_{m}^{2}\int \_{t=0}^{t=T}\cos(2\omega t)dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T={\frac {T}{2}}U\_{m}^{2}-{\frac {1}{2\omega }}U\_{m}^{2}\int \_{t=0}^{t=T}\cos(2\omega t)d(2\omega t)}
Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom: 

{\displaystyle {\begin{aligned}U\_{eff}^{2}T&={\frac {T}{2}}U\_{m}^{2}/(:T)\\U\_{eff}^{2}&={\frac {1}{2}}U\_{m}^{2}/^{(1/2)}\\U\_{eff}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}U\_{m},\end{aligned}}}
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno: 

{\displaystyle U\_{eff}=0,707U\_{m},\,}
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:

{\displaystyle I\_{eff}=0,707I\_{m}.\,}
### Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje

Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti {\displaystyle \pm }
*Um* perioda *T*, u vremenu od *t*=0 do *t=T* izvršen je ukupni rad:

{\displaystyle \!W={\frac {U\_{e}^{2}ff}{R}}T=\int \_{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,}
Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:

{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=2\int \_{t=0}^{t=T/2}{\Bigg (}U\_{m}{\frac {t}{\frac {T}{2}}}{\Bigg )}^{2}dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=2\int \_{t=0}^{t=T/2}U\_{m}^{2}{\frac {4t^{2}}{T^{2}}}dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=8{\frac {U\_{m}^{2}}{T^{2}}}\int \_{t=0}^{t=T/2}t^{2}dt}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=8{\frac {U\_{m}^{2}}{T^{2}}}\left.{\frac {t^{3}}{3}}\right\vert \_{t=0}^{t=T/2}}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}T=8{\frac {U\_{m}^{2}}{T^{2}}}{\frac {T^{3}}{3\cdot 8}}/:T}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}={\frac {U\_{m}^{2}}{T^{3}}}{\frac {T^{3}}{3}}}
{\displaystyle U\_{eff}^{2}={\frac {U\_{m}^{2}}{3}}/^{(1/2)}}
{\displaystyle U\_{eff}={\frac {U\_{m}}{\sqrt {3}}},}
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno: 

{\displaystyle U\_{eff}=0,577U\_{m},\,}
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:

{\displaystyle I\_{eff}=0,577I\_{m}.\,}