Grafik polinoma četvrtog stepena, sa 3 kritične tačke.
U matematici, **funkcija četvrtog stepena** (četverostepena funkcija) je matematička funkcija u obliku:

{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}
gdje je *a* ≠ 0   
što je definisano četvrtim stepenom polinoma, koji se zove **četverostepeni polinom**.

Ponekad pojam **bikvadratna** se koristi umjesto *četverostepena*, ali, često, **bikvadratna funkcija** podrazumijeva kvadratnu funkciju kvadrata (ili, ekvivalentno, funkciju definisanu četverostepenim polinomom bez uslova neparnog stepena), koja ima oblik:

{\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}
**Četverostepena jednačina**, ili jednačina četvrtog stepena, je polinom četvrtog stepena koji je jednak nuli, sa oblikom:

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}
gdje je *a* ≠ 0.

Izvod četverostepene funkcije je kubna (trostepena) funkcija, tj.:

{\displaystyle f'(x)=y'=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d.}

Pošto je četverostepena funkcija definisana polinomom jednakog stepena, ima jednak limes beskonačnosti kada argument ide u pozitivnu ili negativnu beskonačnost. Ako je:

**a > 0** - funkcija raste u pozitivnu beskonačnost na oba kraja; te funkcija ima globalni minimum.
**a < 0** - funkcija opada u negativnu beskonačnost i ima globalni maksimum.
U oba slučaja može imati, ali ne uvijek, još jedan lokalni maksimum i još jedan lokalni minimum.

Četvrti stepen (*četverostepeni* slučaj) je najveći stepen tako da se svaka polinomska jednačina može riješiti korijenima.

Historija
---------

Lodovico Ferrari je 1540. kreditiran za otkriće rješenja za četverostepenu jednačinu, ali od ovog rješenja, kao sva algebarska rješenja četverostepene jednačine, zahtjevaju rješenja kubne jednačine da budu nađena, nije bilo moguće objaviti istovremeno. Rješenje četverostepene jednačine je objavljeno zajedno sa rješenjem kubne jednačine od strane Ferrarijevog mentora Gerolamo Cardano-a u knjizi *Ars Magna* (1545).

Sovjetski historičar I. Y. Depman je tvrdio da je ranije, 1486, španski matematičar Valmes spaljen na lomači zbog tvrdnje da je riješio četverostepenu jednačinu. Veliki inkvizitor Tomás de Torquemada navodno je rekao Valmesu da je to bila Božija volja da takvo rješenje bude nedostupno za ljudski razum. Ipak Beckmann, koji je popularizirao ovu priču Depmana na zapadu, rekao je da je bilo nepouzdano i nagovijestio da je to možda bilo izmišljeno kao Sovjetska protivreligijska propaganda. Beckmannova verzija ove priče je bila naširoko kopirana u nekoliko knjiga i web-sajtova, često bez njegovih ograđivanja i ponekad sa maštovitim ukrasima. Nekoliko pokušaja da se nađe potkrepljujući dokaz za ovu priču, ili čak za postojanje Valmesa, je propalo.

Dokaz da je četiri najveći stepen općeg polinoma za koje se mogu naći rješenja može biti nađeno da je prvi put dato u Abel–Ruffini teoremi iz 1824. godine, dokazujući da svi pokušaje pri rješavanju višeg reda polinoma bivaju uzaludni. Napomene ostavljene od strane Évariste Galois prije smrti u duelu iz 1832. kasnije su vodili ka elegantnoj kompletnoj teoriji korijena polinoma, od kojih je ova teorema bila samo jedan rezultat.

Aplikacije
----------

Polinomi visokih stepena se često javljaju u problemima koji uključuju optimizaciju i ponekad se desi da su ovi polinomi četverostepeni, ali ovo je slučajnost.

Četverostepene funkcije se često javljaju u računarskoj grafici, naprimjer za računanje križanja dvije konične sekcije. Drugi primjer je zračno-praćenje prema kvartičnoj površini kao što je tori.

I CIM-u, Torus je čest oblik povezan sa endmill rezačem. Za proračun njegove lokacije u odnosu na trostranu površinu, pozicija horizontalnog torusa na Z-osi mora se nalaziti gdje je to tangenta prema nepokretnoj liniji, i ovo zahtijeva rješenje opće kvartične jednačine za proračunavanje. Preko 10% računarskog vremena u CAM sistemu može biti korišteno samo za računanje rješenja za milione četverostepenih jednačina.

Rješavanje četverostepene jednačine
-----------------------------------

### Priroda korijena

Za datu standardnu četverostepenu jednačinu

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
sa realnim koeficijentima i {\displaystyle a\neq 0,} priroda njenih korijena je uglavnom određena znakom njene diskriminante: 

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \ =\ &256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
Ovo može biti dotjerano s obzirom na znakove tri ostala polinoma:

{\displaystyle P=8ac-3b^{2}}
tako da je {\displaystyle {\tfrac {P}{8a^{2}}}} dvostepeni koeficijent povezanih deprimiranih četverostepenih funkcija (pogledati ispod);

{\displaystyle \Delta \_{0}=c^{2}-3bd+12ae}
što je jednako 0 ako četverostepena funkcija ima trostruki korijen; i:

{\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}
što je jednako 0 ako četverostepena funkcija ima dva kvadratna korijena.

Mogući slučajevi za prirodu korijena su prema slijedećem:

* Ako je {\displaystyle \Delta <0} tada jednačina ima dva realna korijena i dva konjugovano kompleksna korijena.
* Ako je {\displaystyle \Delta >0} tada su četiri korijena jednačine svi realni ili svi kompleksni.
	+ Ako je *P* < 0 i *D* < 0 tada su sva četiri korijena realna i različita.
	+ Ako je *P* > 0 ili *D* > 0 postoje dva para konjugovano kompleksnih korijena.
* Ako je {\displaystyle \Delta =0} tada ili polinom ima višestruki korijen, ili je kvadrat kvadratne jednačine. Postoji nekoliko različitih slučajeva koji se mogu pojaviti:
	+ Ako je *P* < 0 i *D* < 0 i {\displaystyle \scriptstyle \Delta \_{0}} ≠ 0, postoji realni dupli korijen i dva realna jednostavna korijena.
	+ Ako je (*P* > 0 i *D* ≠ 0) or *P* > 0, postoji realni dupli korijen i dva konjugovano kompleksna korijena.
	+ Ako je {\displaystyle \scriptstyle \Delta \_{0}} = 0 i *D* ≠ 0, postoji trostruki korijen i jednostavni korijen, svi realni.
	+ Ako je *D* = 0, onda:
		- Ako je *P* < 0, postoje dva realna dupla korijena.
		- Ako je *P* > 0, postoje dva konjugovano kompleksna dupla korijena.
		- Ako je{\displaystyle \scriptstyle \Delta \_{0}} = 0, sva četiri korijena su jednaka {\displaystyle -{\tfrac {b}{4a}}}.

Postoji nekoliko slučajeva koja nisu prikazana, ali se mogu pojaviti. Naprimjer {\displaystyle \scriptstyle \Delta } > 0, *P* = 0 i *D* ≤ 0 nije jedan od slučajeva. Ipak ako je {\displaystyle \scriptstyle \Delta } > 0 i *P* = 0, onda *D* > 0 tako da ova kombinacija nije moguća.

### Opće (generalne) formule za korijene

Kvartična formula zapisana u punom obliku. Ova formula je previše nezgrapna za opću upotrebu, stoga druge metode ili jednostavnije formule se uglavnom koriste.
Četiri korijena ({\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4}}) za opću četverostepenu jednačinu:

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}
sa *a* ≠ 0 datim u slijedećoj formuli, koja je izvedena iz jedne formule u odjeljku Rješavanje faktoriranjem u kvadratike sa smjenom varijabli (pogledati #Pretvorba u deprimirane četverostepene funkcije) i korištenjem formula za kvadratne i kubne jednačine.

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x\_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}
gdje su *p* i *q* koeficijenti drugog i prvog stepena respektivno u pridružene deprimirane četverostepene jednačine.

{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}
i gdje je:

{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta \_{0}}{Q}}\right)}}\quad \qquad \ &{\text{(if }}S=0{\text{, pogledati Specijalne slučajeve formule, ispod)}}\\Q\ &=\ {\sqrt[{3}]{\frac {\Delta \_{1}+{\sqrt {\Delta \_{1}^{2}-4\Delta \_{0}^{3}}}}{2}}}&{\text{(if }}Q=0{\text{, pogledati Specijalne slučajeve formule, ispod)}}\end{aligned}}}
sa:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \_{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta \_{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}
i:

{\displaystyle \Delta \_{1}^{2}-4\Delta \_{0}^{3}=-27\Delta \,} gdje je {\displaystyle \Delta } ranije spomenuta *diskriminanta*. Matematički izrazi ovih zadnjih četiri termina su veoma slični sa onima od njihovih kubnih partnera.
#### Specijalni slučajevi formule

Ako je {\displaystyle \Delta >0,} korištenje {\displaystyle Q} može se dokazati nepogodnim, pošto je vrijednost iste sada kompleksni broj. Ipak, ako su sva četiri korijena realna, vrijednost {\displaystyle S} je također realna, i bilo bi jednostavnije prikazati ga uz pomoć trigonometrijskih funkcija, kako slijedi:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta \_{0}}}\cos {\frac {\phi }{3}}}}}
gdje je:

{\displaystyle \phi =\arccos \left({\frac {\Delta \_{1}}{2{\sqrt {\Delta \_{0}^{3}}}}}\right).}
Ako je {\displaystyle \Delta \neq 0} i {\displaystyle \Delta \_{0}=0,} znak od {\displaystyle {\sqrt {\Delta \_{1}^{2}-4\Delta \_{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta \_{1}^{2}}}} mora biti odabran da ima {\displaystyle Q\neq 0,} što znači da treba definirati {\displaystyle {\sqrt {\Delta \_{1}^{2}}}} kao {\displaystyle \Delta \_{1},} ostavljajući znak od {\displaystyle \Delta \_{1}.}

Ako je {\displaystyle S=0,} onda se mora izmijeniti izbor kubnog korijena u {\displaystyle Q} zbog {\displaystyle S\neq 0.} Ovo je uvijek moguće osim ako se 4-stepena jednačina može faktorizirati u {\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.} Rezultat je onda tačan, ali dovodi u zabludu skrivajući činjenicu da kubni korijen nije potreban u ovom slučaju. Ustvari, ovaj slučaj se može pojaviti samo ako je numerator od {\displaystyle q} jednak nuli, i povezana deprimirana funkcija bikvadratna; to ipak može biti riješeno po metodi opisanoj ispod.

Ako su {\displaystyle \Delta =0} i {\displaystyle \Delta \_{0}=0,} a time i {\displaystyle \Delta \_{1}=0,} najmanje tri korijena su jednaka, i korijeni su racionalnefunkcije koeficijenata.

Ako su {\displaystyle \Delta =0} i {\displaystyle \Delta \_{0}\neq 0,} izraz iznad za korijene je tačan ali zbunjujući, skrivajući činjenicu da je polinom reducibilan i nije potreban kubni korijen da predstavi korijene.

### Jednostavniji slučajevi

#### Reducibilne četverostepene funkcije

Uzimajući u obzir opće četverostepene funkcije:

{\displaystyle Q(x)=a\_{4}x^{4}+a\_{3}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}.}
Reducibilno je ako je *Q*=*RS*, gdje su *R* i *S* nekonstantni polinomi sa racionalnim koeficijentima (ili općenitije sa koeficijentima u istom polju kao koeficijenti od *Q*). Postoje dva načina pisanja poput faktorizacije: Ili:

{\displaystyle Q(x)=(x-x\_{1})(b\_{3}x^{3}+b\_{2}x^{2}+b\_{1}x+b\_{0})}
ili:

{\displaystyle Q(x)=(c\_{2}x^{2}+c\_{1}x+c\_{0})(d\_{2}x^{2}+d\_{1}x+d\_{0}).}
U oba slučaja, korijeni od *Q* su korijeni faktora, koji mogu biti izračunati rješavanjem kvadratnih ili kubnih jednačina.

Pronalaženje takvih faktorizacija može biti obavljeno korištenjem *factor* funkcije na svakom računarskom algebarskom sistemu. Ali, u više slučajeva, može biti obavljeno ručnim računanjem. U prethodnoj sekciji, moguće je vidjeti da je polinom uvijek reducibilan ako je njegova diskriminanta {\displaystyle \Delta } jednaka nuli (ovo je istinito za polinome svakog stepena).

Veoma poseban slučaj prvog slučaja faktorizacije je kada je *a*0=0. Ovo implicira da je *x*1=0 prvi korijen, *b*3=*a4,* b*2=*a3, *b*1=*a2,* b*0=*a1, a ostali korijeni mogu biti izračunati rješavanjem kubne jednačine.

Ako je {\displaystyle a\_{4}+a\_{3}+a\_{2}+a\_{1}+a\_{0}=0,} onda {\displaystyle Q(1)=0} i ima se faktorizacija prve vrste sa *x*1=1. Jednako, ako {\displaystyle a\_{4}-a\_{3}+a\_{2}-a\_{1}+a\_{0}=0,} onda {\displaystyle Q(-1)=0} i ima se faktorizacija prve vrste sa *x*1=-1.

Jednom kada je korijen *x*1 poznat, drugi faktor faktorizacije prve vrste je kvocijent Euklidove divizije od *Q* sa *x*-*x*1. To je:

{\displaystyle a\_{4}x^{3}+(a\_{4}x\_{1}+a\_{3})x^{2}+(a\_{4}x\_{1}^{2}+a\_{3}x\_{1}+a\_{2})x+a\_{4}x\_{1}^{3}+a\_{3}x\_{1}^{2}+a\_{2}x\_{1}+a\_{1}.}
Ako su {\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}} mali cijeli brojevi, faktorizacija prve vrste je lahka za pronaći: ako {\displaystyle x\_{1}={\frac {p}{q}}\,} sa *p* i *q* koprimiranim cijelim brojevima, onda *q* dijeli podjednako *a*4, i *p* dijeli podjednako *a*0. Tako, računanje {\displaystyle Q\left({\frac {p}{q}}\right)} za sve moguće vrijednosti *p* i *q* dopušta nalaženje racionalnih korijena, ako postoje.

U slučaju dva kvadratična fatora ili koeficijenta velikog cijelog broja, faktorizacija je teža za izračunati, i općenito, bolje je koristiti *factor* funkciju na računarskom algebarskom sistemu.

#### Bikvadratne jednačine

Ako je {\displaystyle a\_{3}=a\_{1}=0,\,} onda **bikvadratna funkcija**

{\displaystyle Q(x)=a\_{4}x^{4}+a\_{2}x^{2}+a\_{0}\,\!}
definira **bikvadratnu jednačinu**, koja je lahka za rješavanje.

Pustimo {\displaystyle z=x^{2}.\,} Tada *Q* postaje kvadratik *q* u {\displaystyle z,\,}

{\displaystyle q(z)=a\_{4}z^{2}+a\_{2}z+a\_{0}.\,\!}
Pustimo {\displaystyle z\_{+}\,} i {\displaystyle z\_{-}\,} da budu korijeni od *q*. Tada su korijeni od naše četverostepene funkcije *Q*:

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1}&=+{\sqrt {z\_{+}}},\\x\_{2}&=-{\sqrt {z\_{+}}},\\x\_{3}&=+{\sqrt {z\_{-}}},\\x\_{4}&=-{\sqrt {z\_{-}}}.\end{aligned}}}
#### Kvazisimetrične jednačine

{\displaystyle a\_{0}x^{4}+a\_{1}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}mx+a\_{0}m^{2}=0\,}
Koraci:

1. Podijeliti sex *x* 2.
2. Koristiti smjenu varijabli: *z* = *x* + *m*/*x*.

### Pretvorba u deprimirane četverostepene

U svrhu rješavanja, generalno je bolje pretvoriti četverostepenu funkciju u *deprimiranu četverostepenu funkciju* slijeđenjem jednostavne smjene varijabli. Sve formule su jednostavnije i neke metode rade samo u ovom slučaju. Korijeni originalne četverostepene funkcije se jednostavno vraćaju od deprimirane četverostepene funkcije povratnom smjenom varijabli.

Pustimo da

{\displaystyle a\_{4}x^{4}+a\_{3}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}=0\qquad \qquad (1')}
bude opća četverostepena jednačina koja se treba riješiti.

Dijeljenje sa *a*4 daje ekvivalentnu jednačinu

{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}
sa:

{\displaystyle a={\frac {a\_{3}}{a\_{4}}},\quad b={\frac {a\_{2}}{a\_{4}}},\quad c={\frac {a\_{1}}{a\_{4}}},\quad d={\frac {a\_{0}}{a\_{4}}}.}
Smjenom *x* sa {\displaystyle y-{\frac {a\_{3}}{4a\_{4}}}} daje, nakon jednostavne regrupacije, jednačinu:

{\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0,}
gdje je:

{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {8b-3a^{2}}{8}}&=&{\frac {8a\_{2}a\_{4}-3a\_{3}^{2}}{8a\_{4}^{2}}}\\q=&{\frac {a^{3}-4ab+8c}{8}}&=&{\frac {a\_{3}^{3}-4a\_{2}a\_{3}a\_{4}+8a\_{1}a\_{4}^{2}}{8a\_{4}^{3}}}\\r=&{\frac {-3a^{4}+256d-64ca+16a^{2}b}{256}}&=&{\frac {-3a\_{3}^{4}+256a\_{0}a\_{4}^{3}-64a\_{1}a\_{3}a\_{4}^{2}+16a\_{2}a\_{3}^{2}a\_{4}}{256a\_{4}^{4}}}\end{aligned}}}
Ako su *y*1, *y*2, *y*3, *y*4 korijeni ove *deprimirane četverostepene jednačine*, onda korijeni od originalne jednačine su:{\displaystyle y\_{1}-{\frac {a}{4}}=y\_{1}-{\frac {a\_{3}}{4a\_{4}}},\;y\_{2}-{\frac {a}{4}}=y\_{2}-{\frac {a\_{3}}{4a\_{4}}},\;y\_{3}-{\frac {a}{4}}=y\_{3}-{\frac {a\_{3}}{4a\_{4}}},\;y\_{4}-{\frac {a}{4}}=y\_{4}-{\frac {a\_{3}}{4a\_{4}}}.}

### Ferrarijevo rješenje

Kako je objašnjeno u prethodnoj sekciji, počinjemo sa *deprimiranom četverostepenom jednačinom:*

{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0.\qquad \qquad (1)}
Ova deprimirana jednačina može biti riješena u smislu metode otkrivene od strane Lodovico Ferrari. deprimirana jednačina može biti ponovo napisana (ovo se lahko provjerava proširivanjem kvadrata i pregrupisanjem svih faktora na lijevoj strani):

{\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}=\alpha u^{2}+\alpha ^{2}-\beta u-\gamma .\qquad \qquad (2)}
Onda, predstavlja se varijabla *y* u faktoru na lijevoj strani dodavanjem {\displaystyle 2u^{2}y+2\alpha y+y^{2}} na obje strane. Nakon pregrupisavanja koeficijenata od vrijednosti *u* na desnoj strani, ovo daje jednačinu: 

{\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ),\qquad \qquad (3)\,}
što je ekvivalentno originalnoj jednačini, bilo koja vrijednost da je data za *y*.

Kako vrijednost *y* može biti proizvoljno izabrana, bira se s ciljem da se dobije savršen kvadrat na desnoj strani. Ovo implicira da je diskriminanta od *u* ove četverostepene jednačine jednaka nuli, tj. *y* je korijen jednačine:

{\displaystyle (-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0.\,}
koja se može napisati i kao:

{\displaystyle y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)}
Vrijednost od *y* može tako biti dobijena iz formula prikazanih u članku Kubna jednačina.

Kada je *y* korijen jednačine (4), jednačina na desnoj strani (3) je korijen od:

{\displaystyle \left(u{\sqrt {\alpha +2y}}-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha +2y}}}}\right)^{2}.}
Ipak, ovo izaziva podjelu sa nulom ako je {\displaystyle \alpha +2y=0.} Ovo implicira {\displaystyle \beta =0,} i s tim da je deprimirana jednačina bikvadratna, i može biti riješena jednostavnijom metodom (pogledati iznad). Ovo nije bio problem za vrijeme Ferrarija, kada se rješavalo samo eksplicitno sa brojnim koeficijentima. Za generalne formule koje su uvijek tačne, potrebno je odabrati korijen kubne jednačine takav da je {\displaystyle \alpha +2y\not =0.} Ovo je uvijek moguće osim ako važi: *x*4=0.

Sada, ako je *y* korijen kubne jednačine takav da je {\displaystyle \alpha +2y\not =0,} jednačina (3) može biti napisana:

{\displaystyle \left(u^{2}+\alpha +y+u{\sqrt {\alpha +2y}}-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha +2y}}}}\right)\left(u^{2}+\alpha +y-u{\sqrt {\alpha +2y}}+{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha +2y}}}}\right)=0,}
i jednačinu je lahko riješiti primjenom formule za kvadratne jednačine za svaki faktor. Rješavanjem njih mogu se napisati četiri korijena kao:

{\displaystyle u={\pm \_{1}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{2}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm \_{1}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2},}
gdje {\displaystyle \pm \_{1}} i {\displaystyle \pm \_{2}} bivaju + ili -. Pošto dvije pojave {\displaystyle \pm \_{1}} moraju označavati isti znak, ovo ostavlja četiri mogućnosti, po jednu za svaki korijen.

Stoga rješenja iz originalne četverostepene jednadžbe su:

{\displaystyle x=-{a\_{3} \over 4a\_{4}}+{\pm \_{1}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{2}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm \_{1}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.\qquad \qquad (8')}
### Rješavanje faktoriziranjem u kvadratike

Moguće je riješiti četverostepenu jednačinu faktoriziranjem iste u proizvod dva kvadratika. Puštajući

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}0=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d&=&(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)\\&=&x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{array}}}
Izjednačavanjem koeficijenata, ovo rezultira u slijedeći set simultanih jednadžbi:

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&p+r\\b&=&q+s+pr\\c&=&ps+qr\\d&=&qs\end{array}}}
Ovo može biti pojednostavljeno počinjanjem ispočetka sa deprimiranom četverostepenom funkcijom gdje je {\displaystyle a=0}, što može biti dobiveno smjenom {\displaystyle (x-a/4)} za x, kasnije {\displaystyle r=-p}, i:

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}b+p^{2}&=&s+q\\c&=&(s-q)p\\d&=&sq\end{array}}}
Sada je lahko eliminirati i {\displaystyle s} i {\displaystyle q} radeći slijedeće:

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}p^{2}(b+p^{2})^{2}-c^{2}&=&p^{2}(s+q)^{2}-p^{2}(s-q)^{2}\\&=&4p^{2}sq\\&=&4p^{2}d\end{array}}}
Ako se postavi da je: {\displaystyle P=p^{2}}, onda ova jednačina se pretvara u razloženu kubnu jednačinu:

{\displaystyle P^{3}+2bP^{2}+(b^{2}-4d)P-c^{2}=0\,}
što je riješeno na drugom mjestu. Dalje, ako je *p* kvadratni korijen ne-nultog korijena ovog razložitelja (takva nula korijena ne postoji, osim za četverostepenu funkciju *x*4, koje je trivijalno faktorizirano),

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&-p\\2s&=&b+p^{2}+c/p\\2q&=&b+p^{2}-c/p\end{array}}}
Simetričnosti u ovom rješenju je lahko zapaziti. Postoje tri korijena kubne jednačine, odgovarajuće u tri načina da quartic može biti faktorisane u dvije kvadratike, i birajući pozitivne ili negativne vrijednosti od {\displaystyle p} za kvadratni korijen od {\displaystyle P} prosto razmjenjuje dvije kvadratike međusobno.

Rješenje iznad pokazuje da je četverostepeni polinom sa nultim koeficijentom na kubnom stepenu moguć za faktoriziranje u kvadratike sa racionalnim koeficijentima ako i samo ako rezolvent kubne jednačine {\displaystyle P^{3}+2bP^{2}+(b^{2}-4d)P-c^{2}\,} ima ne-nulte korijene što je kvadrat racionalne, ili {\displaystyle b^{2}-4d} je kvadrat racionalne i *c* = 0; to se lahko može provjeriti pomoću racionalnog testa korijena.

### Rješavanje pomoću Lagrange-ovog rezolventa

Simetrična grupa S4 sa četiri elementa ima Klein četvero-grupu kao normalnu podgrupu. Ovo nalaže korištenje rezolventnog kubika čiji korijeni mogu biti različito opisani kao diskretna Fourierova transformacija ili Hadamard matrična transformacija korijena. Označeno sa *x**i*, za *i* od 0 do 3, četiri korijena od:

{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)}
Ako se postavi:

{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x\_{0}+x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}),\\s\_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x\_{0}-x\_{1}+x\_{2}-x\_{3}),\\s\_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x\_{0}+x\_{1}-x\_{2}-x\_{3}),\\s\_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x\_{0}-x\_{1}-x\_{2}+x\_{3}),\end{aligned}}}
onda pošto je transformacija involucija, mogu se izraziti korijeni u smislu četiri *s**i* na upravo isti način. Pošto je poznata vrijednost *s*0 = -*a*/2, potrebno je znati samo vrijednosti za *s*1, *s*2 i *s*3. Ovo su korijeni polinoma:

{\displaystyle (s^{2}-s\_{1}^{2})(s^{2}-s\_{2}^{2})(s^{2}-s\_{3}^{2}).\qquad (2)}
Smjenom *s**i* sa njihovim vrijednostima od *x**i*, ovaj polinom može biti proširen u polinom *s* čiji koeficijenti su simetrični polinomi u *x**i*. Prema fundamentalnoj teoremi simetričnih polinoma, ovi koeficijenti se mogu izraziti kao polinomi u koeficijentima mono-četverostepenih jednačina. Ako, radi pojednostavljenja, pretpostavimo da je četverostepena jednačina deprimirana, tj. *a*=0, ovo rezultira u polinom:

{\displaystyle {s}^{6}+2b\,{s}^{4}+({b}^{2}-4d)\,{s}^{2}-{c}^{2}\qquad (3)}
Ovaj polinom je šestog stepena, ali samo stepena tri u *s*2, i tako je odgovarajuća jednačina rješiva metodom opisanom u članku Kubna funkcija. Smjenom korijena u prikazu *x**i* u smislu *s**i*, dobiva se izraz za korijene. U principu dobiva se, očigledno, nekoliko izraza, zavisno od numeracije korijena kubnog polinoma i od znakova datih za njihov kvadratni korijen. Svi ovi različiti izrazi mogu biti zakljuleni iz jednog od njih jednostavnim izmjenama numeracije od *x**i*.

Ovi izrazi su bezuslovno komplikovani, uključujući kubne korijene jedinstva, koji mogu biti zaobiđeni prema slijedećem. Ako je *s* bilo koji ne-nulti korijen od (3), i ako se postavi: 

{\displaystyle F\_{1}={x}^{2}+sx+{\frac {b}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {c}{2s}}}
{\displaystyle F\_{2}={x}^{2}-sx+{\frac {b}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {c}{2s}}}
onda:

{\displaystyle F\_{1}F\_{2}=x^{4}+bx^{2}+cx+d}
Moguće je riješiti četverostepenu jednačinu rješavanjem za *s,* a zatim za korijene dva faktora koristeći kvadratnu formulu.

Napomena: Ovo daje updavo istu formulu za korijene kao i prethodna sekcija.

### Rješavanje sa algebarskom geometrijom

Alternativno rješenje korištenjem algebarske geometrije je dato u (Faucette 1996), i prihodi slijedećim redoslijedom (više detalja u referenci). Ukratko, interpretiraju se korijeni kao presjek dvije kvadratne krivulje, pa se traže tri reducibilnekvadratne krivulje (par linija) koje prolaze kroz ove tačke (ovo odgovara razloženom kubiku, parovima linija što je Lagrangeov rezolvent), a zatim koriste ove linearne jednačine za rješavanje kvadratne.

Četiri korijena deprimirane četverostepene jednačine {\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0} mogu također biti izražena kao *x* koordinate presjeka dvije kvadratne jednačine {\displaystyle y^{2}+py+qx+r=0,} {\displaystyle y-x^{2}=0;} npr. koristeći smjenu {\displaystyle y=x^{2};} te dva kvadratična presjeka u četiri tačke je instanca Bézoutove teoreme. Eksplicitno, četiri tačke su {\displaystyle P\_{i}:=(x\_{i},x\_{i}^{2})} za četiri korijena {\displaystyle x\_{i}} četverostepene funkcije.

Ove četiri tačke nisu kolinearne jer leže na nesvodljivim (ireducibilnim) kvadratima {\displaystyle y=x^{2},} i na taj način postoji 1-parametarska familija kvadratika (olovka krivulja) koja prolazi kroz ove tačke. Pišući projektivizaciju dvije kvadratike kao kvadratnu formu u tri varijable:

{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F\_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}
*olovka* je data oblicima {\displaystyle \lambda F\_{1}+\mu F\_{2}} za bilo koju tačku {\displaystyle [\lambda ,\mu ]} u projektivnoj liniji – drugim riječima, gdje nisu {\displaystyle \lambda } i {\displaystyle \mu } oba nula, i multipliciranjem kvadratne forme konstantom ne mijenja kvadratnu krivulju u nulama.

Olovka sadrži tri reducibilne kvadratike, svaka odgovara paru linija, svaka prolazeći kroz dvije od četiri tačke, što se može uraditi sa {\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2}}=6}} različitih načina. Označavajući ove {\displaystyle Q\_{1}=L\_{12}+L\_{34},} {\displaystyle Q\_{2}=L\_{13}+L\_{24},} {\displaystyle Q\_{3}=L\_{14}+L\_{23}.} Kada su date dvije ove, njihov presjek je tačno u četiri tačke.

Reducibilne kvadratike, zauzvrat, mogu biti opisane izražavajući kvadratnu formu {\displaystyle \lambda F\_{1}+\mu F\_{2}} kao matricu 3×3: reducibilne kvadratike odgovaraju ovoj singularnoj matrici, koja je ekvivalentna svojoj determinanti koja je jednaka nuli, i determinanta je homogenog stepena tri polinoma u {\displaystyle \lambda } i {\displaystyle \mu ,} i odgovara rezolventnom kubiku.

Povezano
--------

* Linearna funkcija
* Kvadratna funkcija
* Kubna funkcija
* Polinom
* Newtonova metoda

Literatura
----------

* Cardano, Gerolamo (1545), *Ars magna or The Rules of Algebra*, Dover (izdano 1993), ISBN 0-486-67811-3
* Faucette, William Mark (1996), „A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", *The American Mathematical Monthly* **103** (1): 51–57, DOI:10.2307/2975214, CiteSeerX: 10.1.1.111.5574
* Nickalls, R. W. D. (2009). „The quartic equation: invariants and Euler's solution revealed". *Mathematical Gazette* **93**: 66–75.
* Carpenter, W. (1966). „On the solution of the real quartic". *Mathematics Magazine* **39**: 28–30. DOI:10.2307/2688990.
* Shmakov, S.L. (2011). „A Universal Method of Solving Quartic Equations". *International Journal of Pure and Applied Mathematics* **71**: 251–259.

Vanjski linkovi
---------------

* Quartic formula as four single equations at PlanetMath.org.
* Ferrari's achievement
* Calculator for solving Quartics (also solves Cubics and Quadratics)