U matematici, pojam **inverznog elementa** predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da *poništi* efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Formalna definicija
-------------------

Neka je {\displaystyle S} skup sa binarnom operacijom {\displaystyle \*}. Ako je {\displaystyle e} neutralni element za {\displaystyle (S,\*)} i {\displaystyle a\*b=e}, onda je {\displaystyle a} **levi inverz** od {\displaystyle b} a {\displaystyle b} je **desni inverz** od {\displaystyle a}. Ako je element x ujedno i levi i desni inverz od {\displaystyle y}, onda se x naziva **dvostranim inverzom**, ili prosto **inverzom**, od {\displaystyle y}. Element koji ima dvostrani inverz u {\displaystyle S} se naziva **invertibilnim** u {\displaystyle S}. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je **levo invertibilan**, ili **desno invertibilan**.

Kao što je za {\displaystyle (S,\*)} moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, {\displaystyle e}). Element može čak da ima više levih inverza *i* više desnih inverza.

Ako je operacija {\displaystyle \*} asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od {\displaystyle S}, u oznaci {\displaystyle U(S)} ili {\displaystyle S^{\*}}.

Računanje
---------

Svaki realan broj x ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak {\displaystyle -x}. Svaki realan broj različit od nule, x ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak {\displaystyle {\frac {1}{x}}}. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija {\displaystyle g} je levi (ili desni) inverz funkcije {\displaystyle f} (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je {\displaystyle gof} (ili {\displaystyle fog}) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije {\displaystyle f}.

Kvadratna matrica {\displaystyle M} sa elementima iz polja {\displaystyle K} je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice {\displaystyle M} jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom {\displaystyle R} je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u {\displaystyle R}.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:

* Za {\displaystyle A:m\times n\mid m>n} postoji levi inverz: {\displaystyle \underbrace {(A^{T}A)^{-1}A^{T}} \_{A\_{\text{left}}^{-1}}A=I\_{n}}
* Za {\displaystyle A:m\times n\mid m<n} postoji desni inverz: {\displaystyle A\underbrace {A^{T}(AA^{T})^{-1}} \_{A\_{\text{right}}^{-1}}=I\_{m}}

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

Primer
------

{\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}
  

Dakle, kako je {\displaystyle m<n}, postoji desni inverz. {\displaystyle A\_{desni}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}}
  

{\displaystyle AA^{T}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}}  
{\displaystyle (AA^{T})^{-1}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}}

{\displaystyle A^{T}(AA^{T})^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A\_{desni}^{-1}}

Levi inverz ne postoji, jer {\displaystyle A^{T}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.

Izvori
------

1. ↑  Predavanje iz linearne algebre profesora Gilberta Stranga sa MIT; Predavanje #33 - Levi i desni inverzi; Pseudoinverz[*mrtav link*]