Aproksimacija funkcije *f*(*x*) = 1/(1 + *x*2) njenim Tejlorovim polinomom *Pk* reda *k* = 1, ... 16 centrirana u *x* = 0 (crvena boja) i *x* = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.
**Tejlorova formula**, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.

Tejlorov polinom
----------------

*Glavni članak: Tejlorov polinom*
Tejlorov polinom za neku funkciju {\displaystyle f(x)} i datu tačku {\displaystyle a} je definisan na sledeći način:

{\displaystyle T\_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}\left({\frac {f^{k}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)}
Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom {\displaystyle R\_{n}^{a}(x)} polinoma i on iznosi:

{\displaystyle R\_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt}
Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku {\displaystyle a} koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

{\displaystyle f(x)=T\_{n}(x)+R\_{n}(x)}

Dokaz
-----

Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom. 

Baza indukcije:

{\displaystyle n=0}
{\displaystyle f(x)=f(a)+\int \_{a}^{x}1\cdot f'(t)dt.}
Da Tejlorova formula važi za {\displaystyle n=1} možemo dokazati putem parcijalne integracije:

{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\int \_{a}^{x}(x-t)^{1}\,f''(t)\,dt}
Korak indukcije:
Uzmimo onda da za neko {\displaystyle n-1} važi:

{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+\int \_{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt}
Dokaz:

{\displaystyle n-1\rightarrow n}
{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)=\int \_{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt={\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)dt}
Koristimo {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {(x-t)^{n}}{n}}\right)=-(x-t)^{n-1}}:

{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)=-{\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n}}){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)dt}
{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)=-\int \_{a}^{x}\underbrace {{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n!}})} \_{u'}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} \_{v}dt}
Parcijalnom integracijom:

{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)=-\left[\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} \_{u}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} \_{v}\right]\_{a}^{x}+\int \_{a}^{x}\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} \_{u}\underbrace {{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)} \_{v'}dt}
{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+{\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}(x-t)^{n}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)dt}
{\displaystyle R\_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+\int \_{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}dt}
{\displaystyle \Rightarrow f(x)=T\_{n-1}(x)+R\_{n-1}(x)=T\_{n}(x)+R\_{n}(x)},
što smo i hteli da dokažemo.

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku
--------------------------------------

**Tejlorova formula u Lagranžovom obliku** se dobija kada se na izraz Tejlorove formule

{\displaystyle \Rightarrow f(x)=T\_{n-1}(x)+R\_{n-1}(x)=T\_{n}(x)+R\_{n}(x)}
primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:

{\displaystyle R\_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt=f^{(n+1)}(\xi )\int \_{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}dt=f^{(n+1)}(\xi ){\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}}, gde je {\displaystyle a<\xi <x}

Primer
------

Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:

{\displaystyle f(x)=\sin(x),f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x)}
Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:

{\displaystyle n=1,a=0}
{\displaystyle \sin(x)\approx T\_{1}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\cdot (x-a)=\sin(0)+\cos(0)\cdot x=x}
U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:

{\displaystyle R\_{1}(x)=\int \_{0}^{x}(x-t)f''(t)dt=\sin(x)-x} najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:
{\displaystyle R\_{1}(0.5)=-0.020574}, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.
Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke {\displaystyle a}. 

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji. 

Prikazane su aproksimacije funkcije {\displaystyle \sin(x)} za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):

Vidi još
--------

* Maklorenova formula
* Tejlorov red
* Tejlorov polinom

Literatura
----------

* Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.