Lorentzov faktor kao funkcija brzine (u prirodnim jedinicama gdje je *c* = 1). Napominjemo da je za male brzine (manje od 0,1) *γ* približno jednak 1.
Lorentzove transformacije: prostorno-vremenske koordinate događaja, koje mjeri svaki promatrač u svom inercijalnom referentnom okviru (u standardnoj konfiguraciji), prikazane su u govornim oblacima.   
 **Gore**: okvir *F'*  se kreće brzinom *v* duž osi *x* okvira *F*.   
**Dolje:** okvir *F* kreće se brzinom −*v* duž osi *x* okvira *F'* .
Lijevo: promatrač u mirovanju mjeri vrijeme 2*L/c* između lokalnih događaja stvaranja svjetlosnog signala u A i dolaska u A. Desno: događaji prema promatraču koji se kreće lijevo od postavke: donje ogledalo A kada se signal stvara u trenutku *t* '= 0, gornje ogledalo B kad se signal reflektira u vremenu *t* ' = *D/c*, donje ogledalo A kad signal vraća u vremenu *t* '= 2*D/c*.
S obzirom na referentni sustav (plavi sat), u relativno ubrzanom crvenom satu vrijeme će teći sporije.
**Lorentzov faktor** (oznaka *γ*) je uobičajen pojam u posebnoj teoriji relativnosti, nazvan po nizozemskom fizičaru H. A. Lorentzu. Uobičajeno se određuje kao:

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
gdje je: *v* - je relativna brzina između promatrača i objekta koji se kreće, *c* - brzina svjetlosti.

Lorentzove transformacije
-------------------------

*Glavni članak: Lorentzove transformacije*
**Lorentzove transformacije** (po H. A. Lorentzu) su algebarske linearne relacije koje povezuju koordinate (*x, y, z, t*) nekoga fizičkog događaja u mirnome sustavu S (*x, y, z, t*) s pripadajućim koordinatama (*x', y', z', t'* ) u sustavu S' (*x', y', z', t'* ) koji se prema sustavu S giba uzduž osi *x* stalnom brzinom *v*. One se danas izvode, dokazuju i tumače iz dva postulata Einsteinove posebne teorije relativnosti (1905.): 

1. postulata o konstantnosti brzine svjetlosti *c* u svim inercijskim sustavima bez obzira na brzinu sustava, izvora ili detektora svjetlosti, te
2. postulata kovarijantnosti da prirodni zakoni moraju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima.

Polazeći od toga da svjetlosni signali (fotoni) putuju brzinom *c* u oba sustava i da se pravocrtna gibanja iz jednoga, kao takva, vide i u drugom sustavu i obratno (*x = c∙t* i *x' = c∙t'* ), kao i od načela relativnosti (zamjene uloge sustava S i S' i koordinata u njima), dobivaju se uz odgovarajući algebarski formalizam Lorentzove transformacije u obliku:

{\displaystyle t'=\gamma \cdot (t-{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x)}
{\displaystyle x'=\gamma \cdot (x-v\cdot t)}
{\displaystyle y'=y}
{\displaystyle z'=z}
gdje se *γ* uobičajeno naziva Lorentzovim faktorom i vrijedi: 

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
Obratne (inverzne) transformacije dobivaju se zamjenom *v* s –*v* u već napisanim odnosima, na primjer: 

{\displaystyle t=\gamma \cdot (t'+{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x')}
{\displaystyle x=\gamma \cdot (x'+v\cdot t')}
{\displaystyle y=y'}
{\displaystyle z=z'}
Jedna je od temeljnih simetrija u fizici invarijantnost fizičkih zakona na Lorentzove transformacije (relativistička invarijantnost): jednadžbe fizike u svakom teoretskom pokušaju trebaju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima. U modernoj fizici elementarnih čestica, invarijantnost se općenito postiže zapisom veličina i jednadžbi u 4-vektorskoj formulaciji, po uzoru na 4 koordinate prostor–vremena u posebnoj teoriji relativnosti. 

### Vremenska dilatacija

*Glavni članak: Vremenska dilatacija*
Na temelju svojih dvaju postulata Einstein je dobio jednadžbe identične Lorentzovim jednadžbama. Iz dobivenih jednadžbi izveo je Lorentzovu kontrakciju dužina i takozvanu dilataciju vremena, to jest rezultat da sat u gibanju ide polaganije ako ga usporedimo sa satovima sustava u kojem mjerimo. U sustavu koji se giba brzinom *v* sat će ići sporije *t* od isto takva sata *t0* u sustavu koji miruje. Taj se učinak naziva relativistička dilatacija vremena:

{\displaystyle t=\gamma \cdot t\_{0}={\frac {t\_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}
### Kontrakcija dužine

*Glavni članak: Kontrakcija dužine*
Druga je posljedica Lorentzovih transformacija kontrakcija dužine u smjeru gibanja. Njezina duljina *L* u sustavu mirovanja mjeri se kraćom od one vlastite *L0* u sustavu koji se giba brzinom *v*, po jednakosti:

{\displaystyle l={\frac {l\_{0}}{\gamma }}=l\_{0}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
gdje je: *v* - je relativna brzina između promatrača i objekta koji se kreće, *c* - brzina svjetlosti. Dimenzije nekoga tijela ne mogu se isto tako apsolutno odrediti kao ni vrijeme, jer i one ovise o stanju opažača. Einstein je izveo i teorem adicije brzina, kojim pokazuje da superpozicijom dviju brzina manjih od brzine svjetlosti opet izlazi brzina manja od brzine svjetlosti makar svaka od njih prelazi polovicu brzine svjetlosti. Dok su u Lorentza transformirane koordinate samo pomoćne varijable, u Einsteina su to prave fizičke veličine. Lorentzovo lokalno vrijeme, koje on razlikuje od pravoga vremena, u Einsteina postaje vrijeme dotičnoga sustava i ravnopravno je s vremenskim podatcima bilo kojega drugog sustava. Preračunavanje takvih podataka iz sustava u sustav sadržano je u jednadžbama transformacije. Time je karakteriziran možda najveći misaoni korak koji je učinio Einstein. Odbacio je koncepciju Newtonova apsolutnoga vremena označenu riječima: "Apsolutno, istinsko i matematičko vrijeme teče jednoliko po sebi i po svojoj prirodi i bez odnosa spram bilo čega izvanjskoga, a drugim se imenom zove trajanje". Jedan je od najdubljih rezultata Einsteinove pronicave analize spoznaja da istodobnost dvaju prostorno udaljenih događaja nije apsolutna činjenica, već da ovisi o tome u kojem se koordinatnom sustavu ti događaji promatraju.

Izvori
------

1. ↑   **Lorentzove transformacije**,  "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2019.