Za uređenu trojku {\displaystyle (a,b,c)} prirodnih brojeva kažemo da je Heronova ako[[ trougao čije stranice imaju dužine a, b i c ima cjelobrojnu površinu. Smatračemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su: {\displaystyle (3,4,5)}, {\displaystyle (5,5,6)}, {\displaystyle (13,14,15)}, {\displaystyle (11,13,20)}

Heronova trojka koja je aritmetički niz
---------------------------------------

Neka je {\displaystyle (a,b,c)} Heronova trojka koja je ujedno i rastući aritmetički niz.
Tada je {\displaystyle a=b-d} ¡ {\displaystyle c=b+d}, {\displaystyle d\in N}, pa je prema Heronovom obrascu
{\displaystyle P={\sqrt {{\frac {3b}{2}}\*{\frac {b-2d}{2}}\*{\frac {b}{2}}\*{\frac {2b+2d}{2}}}}=>3b^{2}(b^{2}-4d^{2}=16P^{2}}
Smjenom {\displaystyle P={\frac {1}{2}}bh\_{b}} i skračivanjem sa {\displaystyle b^{2}} dobijamo
{\displaystyle 3b^{2}(b^{2}-4d^{2})=4{h\_{b}}^{2}}
Kako je {\displaystyle b} parno {\displaystyle b=2m} za {\displaystyle m\in N} dobijamo
{\displaystyle 3(m^{2}-d^{2})=4{h\_{b}}^{2}}
Da bi rješenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
Za {\displaystyle k=1}
{\displaystyle (m-d)(m+d)=3}
{\displaystyle m-d=1}
{\displaystyle m+d=3}
pa je
{\displaystyle m=2} , {\displaystyle d=1} i {\displaystyle b=4}. Dobili smo trojku ({\displaystyle 3,4,5)} koja je osnovna Pitagorina trojka
Za {\displaystyle k=2} dobijamo trojku ({\displaystyle 6,8,10)} ujedno je i Pitagorina
Za {\displaystyle k=3} dobijamo trojku ({\displaystyle 9,12,15)} i {\displaystyle (5,28,41)}
Za {\displaystyle k=4} dobijamo trojku ({\displaystyle 15,26,37)}, {\displaystyle (12,16,20)} i {\displaystyle (13,14,15)}

Prave Heronove trojke
---------------------

Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne čine Pitagorinu trojku, kazemo da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rješenja jednačine
{\displaystyle m^{2}-d^{2}=3k^{2}} za {\displaystyle k\in N} dobijaju prave Heronove trojke.
U slučaju da je vrijednost izraza {\displaystyle m^{2}-d^{2}} neparno {\displaystyle NZD(m-d,m+d)=1}
U slučaju da je vrijednost izraza {\displaystyle m^{2}-d^{2}} parno {\displaystyle NZD(m-d,m+d)=2}
Neka je {\displaystyle NZD(m-d,m+d)=p>=2}
Ako je {\displaystyle p} parno onda je {\displaystyle p=2i} za {\displaystyle i\in N} i {\displaystyle i>1}
{\displaystyle m-d=2iq}
{\displaystyle m-d=2ir} za {\displaystyle r>q} i {\displaystyle r,q\in N}
{\displaystyle b=2i(q+r)}
{\displaystyle d=i(r-q)}
{\displaystyle a=b-d=i(3q+r)}
{\displaystyle c=b+d=i(q+3r)}
Brojevi {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c}, {\displaystyle d} nisu uzajamno prosti

Heronove trojke sa uzastopnim članovima
---------------------------------------

Poseban slucaj jednačine
{\displaystyle m^{2}-d^{2}=3k^{2}} za {\displaystyle k\in N} se dobija za {\displaystyle d=1}. On se odnosi na Heronove trojke koje čine aritmetički niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slučaju dobija se
{\displaystyle m^{2}-1=3k^{2}}
Osnovno rješenje je {\displaystyle (m\_{1},l\_{1})=(2,1)}, jer je {\displaystyle (2-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {2}})=1}
{\displaystyle (m\_{n}-k\_{n}{\sqrt {3}})(m\_{n}+k\_{n}{\sqrt {3}})=(2-{\sqrt {3}})^{n}(2+{\sqrt {3}})^{n}=1} za {\displaystyle n\in N}
{\displaystyle m\_{n}=2^{n}+{\binom {n}{2}}2^{n-2}({\sqrt {3}})^{2}+{\binom {n}{4}}2^{n-4}({\sqrt {3}})^{4}+...}
Kako je {\displaystyle b\_{n}=2m\_{n}} imamo
{\displaystyle b\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(1+(-1)^{i})\*{\binom {n}{i}}\*2^{n-i}\*3^{i/2}=(2+{\sqrt {3}})^{n}(2-{\sqrt {3}})^{n}}
što je uslov {\displaystyle a\_{n}=b\_{n}-1} i {\displaystyle c\_{n}=b\_{n}+1} daje niz Heronovih trojki (a\_n, b\_n, c\_n) čiji su članovi tri uzastopna prirodna broja.
U sljedečoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin

  


|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| n | {\displaystyle a\_{n}} | {\displaystyle b\_{n}} | {\displaystyle c\_{n}} | {\displaystyle O\_{n}} |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 13 | 14 | 15 | 84 |
| 3 | 51 | 52 | 53 | 1170 |
| 4 | 193 | 194 | 195 | 16296 |
| 5 | 723 | 724 | 725 | 226974 |

Rekurentna formula za niz površina Heronovih trouglova
------------------------------------------------------

Posmatrajući posllednju kolonu prethodne tabele, empirijskom indukcijom može se zaključiti da važi formula
{\displaystyle P\_{n+2}=14P\_{n+1}-P\_{n}}
Neka je {\displaystyle n\ N} i {\displaystyle b\_{n}} srednja po veličini stranica n-tog Heronovog trougla kome su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule može se izraziti niz površina {\displaystyle P\_{n}} tih trouglova u funkciji od {\displaystyle b\_{n}}.
Nije teško utvrditi da je
{\displaystyle P\_{n}={\frac {\sqrt {3}}{4}}b\_{n}{\sqrt {{b\_{n}}^{2}-4}}}
Za {\displaystyle b\_{n}=(2+{\sqrt {3}})^{n}+(2-{\sqrt {3}})^{n}} dobijamo
{\displaystyle P\_{n}={\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n}-(7-4{\sqrt {3}})^{n}))}
{\displaystyle 14P\_{n+1}-P\_{n}=14\*{\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n+1}-(7-4{\sqrt {3}})^{n+1}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n}-(7-4{\sqrt {3}})^{n})=}
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n+2}-(7-4{\sqrt {3}})^{n+2})}