Koordinate na jediničnom krugu
**Jedinični krug** je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) {\displaystyle r=1} i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama {\displaystyle (-1,0)} i {\displaystyle (1,0)} i y-osu u tačkama {\displaystyle (0,1)} i {\displaystyle (0,-1)}.

Ortogonalna projekcija tačke {\displaystyle A(x,y)}
na x osu je {\displaystyle A\_{1}(x,0)}, a na y- osu {\displaystyle A\_{2}(0,y)}. Duži {\displaystyle OA\_{1}} i {\displaystyle OA\_{2}} su katete pravouglog trougla {\displaystyle OA\_{1}A\_{2}} čije su dužine x i y.

{\displaystyle cos\theta } je horizontalna a {\displaystyle sin\theta } vertikalna dužina. Ugao {\displaystyle \theta } je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

{\displaystyle sin\theta =y/1=y}

{\displaystyle cos\theta =x/1=x}

{\displaystyle tg\theta =y/x}

Ako su (*x*, *y*) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su *x* i *y* katete pravouglog trougla (isječci na *x* i *y* osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi *x* i *y* zadovoljavajujednačinu

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

Pošto je {\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}} prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije
-------------------------

Trigonometrijske funkcije kod jediničnog kruga (Animacija)
Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu.
Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

{\displaystyle cos\theta =x}
{\displaystyle sin\theta =y}
Jednačina {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} daje poznatu relaciju

{\displaystyle cos^{2}\theta +sin^{2}\theta =1}

|   | α | sin α | cos α | tg α | cotg α |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. kvadrant | 0–90° | + | + | + | + |
| 2. kvadrant | 90–180° | + | − | − | − |
| 3. kvadrant | 180–270° | − | − | + | + |
| 4. kvadrant | 270–360° | − | + | − | − |

Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

{\displaystyle \cos t=\cos(2k\pi +\theta )\,\!}
{\displaystyle \sin t=\sin(2k\pi +\theta )\,\!}
za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = {\displaystyle 2\pi } radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od {\displaystyle \pi /2}. Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla.
Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

{\displaystyle A(0)=A(2\pi )=(1,0)}
{\displaystyle A(\pi /2)=(0,1)}
{\displaystyle A(\pi )=(-1,0)}

Druge tačke su određene koordinatama {\displaystyle \left({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}}\right)}

Zamjenom {\displaystyle t=p/q} dobijamo pitagorine trojke {\displaystyle (q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})}.

Kompleksna ravan
----------------

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom {\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}

Povezano
--------

* Ugao

Izvori
------

Unit Circle

Jedinični krug Arhivirano 2016-07-20 na Wayback Machine-u

***Jedinični krug*** na Wikimedijinoj ostavi