U matematici, **Dekartov (Kartezijanski) proizvod** je direktni proizvod skupova. Ime je dobio po francuskom matematičaru Dekartu, zahvaljujući čijem zasnivanju analitičke geometrije je postavljen temelj za ovaj koncept. 

 Dekartov proizvod A×B skupova A={x,y,z} i B={1,2,3}
Posebno, Dekartov proizvod dva skupa *X* (npr. skup tačaka na x-osi) i *Y* (npr. skup tačaka na y-osi), u oznaci *X* × *Y*, je skup svih mogućih uređenih parova kod kojih je prva komponenta element skupa *X* a druga komponenta element skupa *Y* (u primeru bi to bila cela ravan x0y):

{\displaystyle A\times B=\{(x,y)|x\in A\;\wedge \;y\in B\}.}
Dekartov proizvod dva konačna skupa može se predstaviti tabelom, tako da su elementi jednog skupa raspoređeni u redove, a drugog u kolone. Tada se uređeni parovi mogu shvatiti kao ćelije u tabeli, gde je svaka određena svojim redom i kolonom.

Primeri
-------

### Proizvod nepraznih skupova

Neka su dati skupovi {\displaystyle A=\{1,2,3\}} i {\displaystyle B=\{1,2\}}.

{\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}}

{\displaystyle B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}

U pitanju su različiti skupovi, tj. {\displaystyle A\times B\neq B\times A}.

### Špil karata

Špil od 52 karte
Na špilu od 52 karte se može ilustrovati dekartov proizvod. Špil ima 13 vrsta karata {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} i svaka vrsta se pojavljuje u četiri boje {♠, ♥, ♦, ♣}. Dekartov proizvod ovih skupova se sastoji od 52 uređena para svih mogućih karata.

*Vrsta* × *boja* daje sledeći skup {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ... (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

*Boja* × *vrsta* daje sledeći skup {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ... (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

U pitanju su različiti disjunktni skupovi.

### Dvodimenzionalni koordinatni sistem

Kartezijanske koordinate tačaka
Glavni istorijski primer je kartezijanska ravan u analitičkoj geometriji. U cilju predstavljanja geometrijskih oblika na numerički način i dobijanja numeričkih informacija od ovakvih reprezentacija oblika, Rene Dekart je svakoj tački u ravni dodelio par realnih brojeva, nazvanih koordinatama. Obično se takav par prvih i drugih komponenata naziva x i y koordinata, respektivno. Skup svih takvih parova, odnosno kartezijanski proizvod ℝ × ℝ gde su ℝ realni brojevi, predstavlja skup svih tačaka u ravni.

Implementacija u teoriji skupova
--------------------------------

Formalna definicija Dekartovog proizvoda sa aspekta teorije skupova sledi iz definicije uređenog para. Najčešća definicija uređenog para je {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}, koju je dao Kuratovski. Iz definicije sledi da je {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}, gde je {\displaystyle {\mathcal {P}}} partitivni skup. Dakle, postojanje Dekartovog proizvoda bilo koja dva skupa u Cermelo-Frenkel teoriji skupova je posledica aksiome para, aksiome unije, aksiome partitivnog skupa, i sheme separacije. Pošto se funkcije najčešće definišu kao specijalan slučaj relacija, a relacije se definišu kao podskup Dekartovog proizvoda, sledi da je Dekartov proizvod suštinski neophodan za većinu drugih definicija.

### Nekomutativnost i neasocijativnost

Neka su A, B, C i D skupovi.

Dekartov proizvod **nije** komutativan,

{\displaystyle A\times B\neq B\times A},

jer su koordinate uređenih parova permutovane, osim ako je ispunjen jedan od sledećih uslova:

* A je jednako B,
* bar jedan od skupova A i B je prazan.

Primeri:

* Skupovi A i B su različiti. Na primer: A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

* Skupovi A i B su jednaki. Na primer: A = B = {1,2}

```
A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
```

* Jedan od skupova A ili B je prazan. Na primer: A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

U opštem slučaju, Dekartov proizvod nije asocijativan (osim ako je jedan od skupova prazan). 

{\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}

Na primer, ako je A = {1}, onda je (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).

### Dekartov proizvod u odnosu na presek, uniju, podskup

 Skupovna jednakost (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) ilustrovana na primeru skupova A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, i D={y∈ℝ:2≤y≤4}.
(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D) grafički prikaz
 Skupovne jednakosti A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) i A×(B\C)=(A×B)\(A×C) ilustrovane skupovima A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5} i C={x∈ℝ:4≤x≤7}.
Dekartov proizvod se lepo ponaša u odnosu na presek skupova.

{\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}

Međutim, skupovna jednakost ne važi ukoliko presek zamenimo sa unijom.

{\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}

U stvari, važi sledeća jednakost:
{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}

Za razliku skupova važi identitet:

{\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}

Sledeće skupovne jednakosti ilustruju distributivnost dekartovog proizvoda i skupovnih operacija

{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)},

{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)},

{\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)},

{\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}.

Za podskupove važi sledeće:

Ako je {\displaystyle A\subseteq B} onda je {\displaystyle A\times C\subseteq B\times C},

Ako su A,B {\displaystyle \neq \emptyset } onda je {\displaystyle A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D}.

### Kardinalnost

Kardinalnost (kardinal ili kardinalni broj) je broj elemenata skupa. Na primer, neka su data dva skupa: A = {a, b} i B = {5, 6}. Skupovi A i B imaju po dva elementa. Njihov Dekartov proizvod, u oznaci A × B, daje novi skup koji se sastoji od sledećih elemenata:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

Svaki element skupa A se uparuje sa svakim elementom skupa B. Svaki uređeni par je element u rezultujućem skupu A × B. Broj različitih elemenata u Dekartovom proizvodu skupova jednak je proizvodu broja elemenata skupova čiji se Dekartov proizvod računa; u ovom slučaju je 2·2=4. Kardinalni broj dobijenog skupa, jednak je proizvodu kardinalnih brojeva skupova čiji se Dekartov proizvod računa. Dakle,

||A × B| = |A| · |B|.

Slično,

||A × B × C| = |A| · |B| · |C|

i tako dalje.

Skup A × B je beskonačan ako je bar jedan od skupova A ili B beskonačan a drugi skup je neprazan.

{\displaystyle n}-arni proizvod
-------------------------------

### Dekartovo stepenovanje

**Dekartov kvadrat** (ili binarni Dekartov proizvod) skupa X je Dekartov proizvod X2 = X × X. Primer ovog proizvoda je dvodimenzionalna ravan **R**2 = **R** × **R** gde je **R** skup realnih brojeva: **R**2 je skup svih tačaka (*x*,*y*) gde su *x* i *y* realni brojevi (vidi Dekartov koordinatni sistem).

**Dekartov stepen** skupa *X* može se definisati kao:

{\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} \_{n}=\{(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\ |\ x\_{i}\in X{\text{ za sve }}i=1,\ldots ,n\}.}
Odgovarajući primer je **R**3 = **R** × **R** × **R**, gde je **R** skup realnih brojeva. Opštiji primer je **R***n*.

*n*-arni Dekartov stepen skupa *X* je izomorfan prostoru funkcija koje preslikavaju skup od *n* elemenata u skup *X*. Kao specijalan slučaj, 0-arni Dekartov stepen od *X* može se uzeti jednoelementni skup i odgovarajuće prazno preslikavanje sa kodomenom *X*.

### Konačni n-arni proizvod

Dekartov proizvod može se uopštiti na ***n*-arni Dekartov proizvod** sa *n* skupova *X*1, ... *Xn*:

{\displaystyle X\_{1}\times \cdots \times X\_{n}=\{(x\_{1},\ldots ,x\_{n}):x\_{i}\in X\_{i}\}.}
Ovako definisan proizvod je skup *n*-torki. Ako se *n*-torke definišu kao ugnježdeni uređeni parovi, onda se skup *n*-torki može poistovetiti sa (*X*1 × ... × *Xn−1*) × *Xn*.

### Beskonačni proizvodi

Moguće je definisati Dekartov proizvod za proizvoljnu (beskonačnu) indeksiranu familiju skupova. Ako je *I* proizvoljan skup indeksa, i {\displaystyle \{X\_{i}\}\_{i\in I}} familija skupova indeksiranih sa *I*, tada se Dekartov proizvod skupova u *X* definiše kao

{\displaystyle \prod \_{i\in I}X\_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup \_{i\in I}X\_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X\_{i})\right\},}
što predstavlja skup svih funkcija definisanih na skupu indeksa tako da vrednost funkcije za određeni indeks *i* bude elemenet skupa *Xi*. Čak i kada je svaki od *Xi* neprazan, Dekartov proizvod može biti prazan ako ne pretpostavimo da važi aksioma izbora (koja je ekvivalentna tvrđenju da je svaki takav proizvod neprazan).

Za svako *j* iz *I*, funkcija

{\displaystyle \pi \_{j}:\prod \_{i\in I}X\_{i}\to X\_{j},}
definisana sa {\displaystyle \pi \_{j}(f)=f(j)} naziva se ***j*-ta projekcija**.

Važan slučaj je kada je skup indeksa skup prirodnih brojeva {\displaystyle \mathbb {N} }: ovaj Dekartov proizvod je skup svih beskonačnih sekvenci gde je *i*-ta koordinata iz odgovarajućeg skupa *Xi*. Na primer, svaki element proizvoda

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }
može se predstaviti kao vektor sa prebrojivo mnogo realnih koordinata. Ovaj skup se najčešće označava sa {\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}, ili {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}.

Spoljašnje veze
---------------

* Članak o Dekartovom proizvodu (`en`)