**Bernulijeva jednačina** ili **Bernoullijeva jednadžba** prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da *Za vrijeme **stacionarnog strujanja** jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima **konstantnu energiju** duž cijele strujne cijevi.* 

  

Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:
* potencijalne energije ... {\displaystyle \ z+{p \over \rho g}}   
i
* kinetičke energije ... {\displaystyle \ {v^{2} \over 2g}}.

Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe
----------------------------------

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka **H** bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

### Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. jednadžba

**ρ** – Gustoća - {\displaystyle (kg/m^{3})}
**S** - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - {\displaystyle (m^{2})}.
**p** - statički tlak - *(Pa)*
**v** - brzina - *(m/s)*
**m** – masa tekućine - *(kg)*
**R** - mehanički rad - *(W)*
**V** - volumen mase tekućine - {\displaystyle (m^{3})}
* Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.

* + {\displaystyle \ z} geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u {\displaystyle \ (m)}
	+ {\displaystyle \ p \over \rho g} pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u {\displaystyle \ (m)}
	+ {\displaystyle \ {v^{2} \over 2g}} je brzinska visina u {\displaystyle \ (m)}, a brzina {\displaystyle \ v} predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
	+ *Ukupan zbroj energija daje **Bernoullijevu jednadžbu***

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka {\displaystyle S\_{2}} i statičkog tlaka {\displaystyle p\_{2}} tekućina dobije veću brzinu {\displaystyle v\_{2}}.
Masa tekućine *m* ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju: 

{\displaystyle {\frac {m\cdot v\_{1}^{2}}{2}}}
a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:
{\displaystyle {\frac {m\cdot v\_{2}^{2}}{2}}}
Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada *R* koji je nastao radi razlike tlakova ({\displaystyle p\_{1}-p\_{2}}) {\displaystyle s\_{1}} pri gibanju mase *m* tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = ({\displaystyle p\_{1}-p\_{2}}) {\displaystyle s\_{1}} ΔS
R= ({\displaystyle p\_{1}-p\_{2}}) V , gdje je *V* volumen mase tekućine.
Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

({\displaystyle p\_{1}-p\_{2}}) V = {\displaystyle {\frac {m\cdot v\_{2}^{2}}{2}}} - {\displaystyle {\frac {m\cdot v\_{1}^{2}}{2}}}
Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća *ρ* = {\displaystyle {\frac {m}{V}}} dobivamo **Bernoullijevu jednađbu:**

{\displaystyle p\_{1}} + {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{1}^{2}}{2}}} = {\displaystyle p\_{2}} + {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{2}^{2}}{2}}} = {\displaystyle p\_{3}} + {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{3}^{2}}{2}}} = konst.
Izrazi {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{1}^{2}}{2}}} , {\displaystyle p\_{2}} + {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{2}^{2}}{2}}} i {\displaystyle p\_{3}} + {\displaystyle {\frac {\rho \cdot v\_{3}^{2}}{2}}} prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu
-------------------------------------------------

Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:
1. tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

{\displaystyle \ z\_{1}+{p\_{1} \over \rho g}+{v\_{1}^{2} \over 2g}=z\_{2}+{p\_{2} \over \rho g}+{v\_{2}^{2} \over 2g}=H}

* + {\displaystyle \ H} predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u {\displaystyle \ (m)}.

### Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja

Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.
Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

### Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala

Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik
  

{\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta x}}=X-{\frac {du}{dt}}} ... ... ...*(1E)*   

{\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta y}}=Y-{\frac {dv}{dt}}} ... ... ...*(2E)*   

{\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta z}}=Z-{\frac {dW}{dt}}} ... ... ...*(3E)*   

{\displaystyle \ \rho =konst} - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška. 

Osnovna pretpostavka:
* imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - *(1E)* množimo s *dx*, *(2E)* množimo s *dy*, *(3E)* množimo s *dz* i sumiramo dobivene jednadžbe.

{\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}({\frac {\delta p}{\delta x}}dx+{\frac {\delta p}{\delta y}}dy+{\frac {\delta p}{\delta z}}dz)=Xdx+Ydy+Zdz-(du\overbrace {\frac {dx}{dt}} ^{u}+dv\overbrace {\frac {dy}{dt}} ^{v}+dw\overbrace {{\frac {dz}{dt}})} ^{w}}   

pa dobijemo jednadžbu:

{\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {1}{\rho }}\delta p-(udu+vdv+wdw)}   

možemo derivirati

{\displaystyle \ udu={\frac {1}{2}}du^{2}}   

{\displaystyle \ vdv={\frac {1}{2}}dv^{2}}   

{\displaystyle \ wdw={\frac {1}{2}}dw^{2}}   

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

{\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(u^{2}+v^{2}+w^{2})}   

{\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(W^{2})}   

* ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;

{\displaystyle \ X=0,Y=0,Z=-g}   

{\displaystyle \ -gdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(W^{2})=0...operacije/\int /:-g}   

I konačno **Eulerov integral** koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:   

{\displaystyle \ z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {W^{2}}{2g}}=konstanta}

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu
------------------------------------------------

{\displaystyle \ z\_{1}+{p\_{1} \over \rho g}+{\alpha \_{1}v\_{1}^{2} \over 2g}=z\_{2}+{p\_{2} \over \rho g}+{\alpha \_{2}v\_{2}^{2} \over 2g}+\Delta H}

* + {\displaystyle \ \Delta H} je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u {\displaystyle \ (m)}.

### Coriolisov koeficijent

Ili koeficijent kinetičke energije {\displaystyle \ \alpha \_{1,2}}. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake *(srednja brzina)*. Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:
* + kod strujanja u cijevima {\displaystyle \alpha =1,0}
	+ kod strujanja u otvorenim vodotocima {\displaystyle \alpha =1,1}
	+ vrijednost {\displaystyle \alpha } možemo računati ovom formulom:

{\displaystyle \ \alpha ={\frac {\int \_{A}v^{3}dA}{v\_{sr}^{3}A}}} - postavlja se uvjet da je {\displaystyle \alpha \geq 1}

Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe
-----------------------------------------

### Primjer cijevi pod tlakom

cijev pod tlakom
znamo: {\displaystyle \ d=konstantno,Q=konstantno->v=konstantno}.

gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: {\displaystyle z\_{1}=z\_{2}}

{\displaystyle \ z\_{1}+{\frac {p\_{1}}{\rho g}}=z\_{2}+{\frac {p\_{2}}{\rho g}}+\Delta H}   

{\displaystyle \ \Delta H=(z\_{1}+{\frac {p\_{1}}{\rho g}})-(z\_{2}+{\frac {p\_{2}}{\rho g}})}   

### Primjer za otvoreni vodotok

znamo: ako je strujanje jednoliko {\displaystyle \ v=konstantno.}   
   

{\displaystyle \ l\_{0}=l\_{p}=l\_{e}=l}   
   

{\displaystyle \ p\_{1}=p\_{2}=p\_{atm}}   
   

* atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
* u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

*linija vodnog lica je pijezometarska linija*
### Primjer za Venturijev vodomjer

Zaključak
---------

{\displaystyle \ p\_{s}+\ p\_{d}=p\_{u}=konst.}
gdje je {\displaystyle \ p\_{s}} statički tlak, {\displaystyle \ p\_{d}={\frac {\rho \cdot v^{2}}{2}}} dinamički tlak, a {\displaystyle \ p\_{u}} ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

  

* Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.