**Skalarni proizvod vektora** je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora *a* i *b* iz vektorskog prostora *V*, zapis ove operacije je sledeći:

{\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}
Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

{\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}
{\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}
{\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}
{\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}
Pri čemu su *u*, *v* i *w* vektori iz *V* a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora
Skalarni proizvod vektora {\displaystyle {\vec {x}}} i {\displaystyle {\vec {y}}} se definiše na sledeći način:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x\_{1}\,y\_{1}+x\_{2}\,y\_{2}+\ldots +x\_{n}\,y\_{n}}
Pri tom su {\displaystyle |{\vec {x}}|} i {\displaystyle |{\vec {y}}|} intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

{\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},x\_{2},\dots x\_{n})} i {\displaystyle {\vec {y}}=(y\_{1},y\_{2},\dots y\_{n})}
Primer skalarnog množenja vektora *(1, 3, −5)* i *(4, −2, −1)* u trodimenzionalnom prostoru: 

{\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Dokaz
-----

Formula :{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)} se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je {\displaystyle \gamma }, ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

{\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Pošto je {\displaystyle {\vec {c}}} jednak {\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}}, sledi: 

{\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Odakle se nalazi:

{\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Odatle se dobija konačna formula:

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}

Ortogonalni vektori
-------------------

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori {\displaystyle {\vec {x}}} i {\displaystyle {\vec {y}}} uzajamno normalni dobija se:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}.
Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

Osobine
-------

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

* komutativnost

{\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}

* distributivan je u odnosu na sabiranje

{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}

* u opštem slučaju nije asocijativan
* za njega važi sledeće:

{\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora
-----------------------------------------------

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}={x\_{1}}{y\_{1}}+{x\_{2}}{y\_{2}}+\dotsb +{x\_{n}}{y\_{n}}.}
Za specijalan slučaj kada je {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}} jednakost prelazi u:
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x\_{1}}^{2}+{x\_{2}}^{2}+{x\_{3}}^{2}+\dots +{x\_{n}}^{2}}

Na osnovu toga se zaključuje:
{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x\_{1}}^{2}+{x\_{2}}^{2}+\dots +{x\_{n}}^{2}}}.}
Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fizici
----------------

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj.
Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

{\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }

Geometrijska interpretacija
---------------------------

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,} {\displaystyle \Longrightarrow } {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}

Vidi još
--------

* Vektor
* Skalar
* Vektorski proizvod vektora
* Mešoviti proizvod vektora

Literatura
----------

* Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd