U teoriji grupa, **ciklična grupa** ili **monogena grupa** je grupa koja može biti generisana samo od jednog svog elementa, u smislu da je da grupa ima element *g* ("generator" grupe) takav da, kada se zapiše multiplikativno, svaki element grupe je stepen od *g* (umnožak od *g* u slučaju aditivne notacije).

Definicija
----------

Grupa *G* se naziva cikličnom ako postoji element *g* u *G*, takav da *G* = <*g*> = { *g**n* za svaki ceo broj *n* }. Kako je svaka grupa generisana elementom grupe podgrupa te grupe, pokazivanjem da je jedina podgrupa grupe G koja sadrži *g* sama *G*, pokazuje se da je G ciklična.

Na primer, ako je *G* = { *e*, *g*1, *g*2, *g*3, *g*4, *g*5 }, onda je *G* ciklična, i *G* je u suštini ista kao (do na izomorfizam) grupa { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } sa sabiranjem po modulu 6. To jest 1 + 2 mod 6 = 3, 2 + 5 mod 6 = 1, i tako dalje. Može se koristiti izomorfizam φ definisan kao φ(*g*) = 1.

Za svaki pozitivan ceo broj *n* postoji tačno jedna ciklična grupa (do na izomorfizam) čiji red je *n*, i postoji tačno jedna beskonačna ciklična grupa (celi brojevi u odnosu na sabiranje). Stoga su ciklične grupe najjednostavnije grupe.

Ime 'ciklična' može da dovede u zabunu: moguće je generisati beskonačno mnogo elemenata i ne napraviti nijedan ciklus; to jest, svako {\displaystyle g^{n}} može biti različito. Grupa generisana na ovaj način je **beskonačna ciklična grupa**, koja je izomorfna aditivnoj grupi celih brojeva **Z**.

Grupe se obično označavaju aditivno na sledeći način: **Z**/*n* ili **Z**/*n***Z**. Multiplikativno, označavaju se kao *C**n*. (Na primer, *g*3*g*4 = *g*2 u *C*5, gde je 3 + 4 = 2 (mod 5) u **Z**/5.)

Sve konačne ciklične grupe su periodične grupe.

Svojstva
--------

Svaka ciklična grupa je izomorfna grupi { 0, 1, 2, ... *n* − 1 } u odnosu na sabiranje po modulu *n*, ili **Z**, aditivnoj grupi svih celih brojeva. Zbog toga su ciklična grupe najjednostavnije grupe za izučavanje i imaju brojna *zgodna* svojstva. data je ciklična grupa *G* reda *n* (*n* može biti beskonačno). Za svako *g* iz *G*,

* G je Abelova grupa; to jest, operacija grupe je komutativna: *gh* = *hg*. Ovo važi, jer je *g* + *h* mod *n* = *h* + *g* mod *n*.
* Ako je *n* beskonačno, tada {\displaystyle g^{n}=e} jer *n* mod *n* = 0.
* Ako je *n* = ∞, tada postoje tačno dva generatora: 1 i −1 za **Z**, a svi ostali se preslikavaju u njih pod izomorfizmom u drugim cikličnim grupama.
* Ako je *n* konačno, tada postoji tačno φ(n) generatora, gde je φ() Ojlerova fi funkcija
* Svaka podgrupa od *G* je ciklična. Zaista, svaka konačna podgrupa od G je grupa { 0, 1, 2, 3, ... *m* − 1} u odnosu na sabiranje po modulu m. A svaka beskonačna podgrupa od G je *m***Z** za neko m, koje je bijektivno (izomorfno) sa **Z**.
* *C**n* je izomorfno sa **Z**/*n*, jer **Z**/*n* = {0 + *n***Z**, 1 + *n***Z**, 2 + *n***Z**, 3 + *n***Z**, 4 + *n***Z**, ... *n* − 1 + *n***Z**} {\displaystyle \cong } { 0, 1, 2, 3, 4, ... *n* − 1} u odnosu na sabiranje po modulu *n*.

Generatori **Z**/*n* su klase ostataka celih brojeva koji su uzajamno prosti sa *n*; broj tih generatora je poznat kao φ(*n*), gde je φ Ojlerova fi funkcija.

Opštije, ako *d* deli *n*, tada je broj elemenata u **Z**/*n*, koji su reda *d* jednak φ(*d*). Red klase ostatka od *m* je *n* / NZD(*n*,*m*).

Ako je *p* prost broj, tada je jedina grupa (do na izomorfizam) sa *p* elemenata ciklična grupa *C**p* ili **Z**/*p*.

Direktan proizvod dve ciklične grupe **Z**/*n* i **Z**/*m* je cikličan ako i samo ako su *n* i *m* uzajamno prosti. Stoga, na primer **Z**/12 je direktan proizvod **Z**/3 i **Z**/4, ali nije direktan proizvod **Z**/6 i **Z**/2.

Definicija implicira da ciklične grupe imaju vrlo jednostavnu prezentaciju grupe *C**n* = < *x* | *x**n* >.

Strukturna teorema za konačne Abelove grupe kaže da je svaka konačno generisana Abelova grupa direktan proizvod konačno mnogo cikličnih grupa.

**Z**/*n* i **Z** su takođe komutativni prsteni. Ako je *p* prost, onda je **Z**/*p* konačno polje, što se takođe označava sa **F***p* ili **GF**(*p*). Svako polje sa *p* elemenata je izomorfno ovom polju.

Jedinice prstena **Z**/*n* su brojevi uzajamno prosti sa *n*. Oni grade grupu u odnosu na množenje po modulu *n* sa φ(*n*) elemenata. To se zapisuje kao (**Z**/n)×. na primer, dobijamo (**Z**/n)× = {1, 5} kada je *n* = 6, i (**Z**/n)× = {1, 3, 5, 7} kada je *n* = 8.

Poznato je da je (**Z**/n)× ciklična ako i samo ako je *n* jednako 2 ili 4 ili *p**k* ili 2 *p**k* za prost broj veći od dva *p* i *k* ≥ 1, u kom slučaju se svaki generator **Z**n× naziva primitivnim korenom po modulu *n*. Stoga, (**Z**/n)× je ciklično za *n* = 6, ali ne za *n* = 8, kada je izomorfno Klajnovoj četvornoj grupi.

Grupa (**Z**/p)× je ciklična sa *p* − 1 elemenata za svako prosto *p*, što se zapisuje i kao (**Z**/p)\* jer se sastoji od ne-nula elemenata. Opštije, svaka *konačna* podgrupa multiplikativne grupe bilo kog polja je ciklična.

Primeri
-------

U dve i tri dimenzije simetrija grupe za *n*-puta rotacionu simetriju je *C**n*, apstraktnog tipa grupe Zn. U tri dimenzije postoje i druge simetrije grupe koje su algebarski iste.

Treba imati u vidu da grupa *S*1 svih rotacija kruga (kružna grupa) *nije* ciklična, jer nije ni prebrojiva.

*n*ti De Moavrov broj gradi cikličnu grupu reda *n* u odnosu na množenje, na primer, {\displaystyle 0=z^{3}-1=(z-s^{0})(z-s^{1})(z-s^{2})} gde je {\displaystyle s^{i}=e^{2\pi i/3}} i grupa {\displaystyle \{s^{0},s^{1},s^{2}\}} u odnosu na množenje je ciklična.

Predstavljanje
--------------

Ciklični grafovi konačnih cikličnih grupa su svi *n*-tostrani poligoni. Crna tačka u cikličnom grafu predstavlja neutral, a ostali čvorovi su elementi grupe. Cikl se sastoji od uzastopnih stepena bilo kog elementa povezanog sa neutralom.

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 | C7 | C8 |

Vidi još
--------

* Ciklični moduo
* Modularna aritmetika