U matematici, **matrica** je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije
---------------------

Horizontalne se linije u matrici zovu **retcima**, a vertikalne **stupcima** matrice. Matrica sa *m* redaka i *n* stupaca se naziva *m*-sa-*n* matricom (kaže se i zapisuje da je **formata** *m*×*n*) a *m* i *n* su **dimenzije** matrice.

Član matrice *A* koji se nalazi u *i*-tom retku i *j*-tom stupcu se naziva (*i*,*j*)-ti član matrice *A*. Ovo se zapisuje kao *A*i,j ili *A*[*i,j*]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše {\displaystyle A:=(a\_{i,j})\_{m\times n}} kako bi se definirala *m* × *n* matrica *A* čiji se svaki član *A*[*i,j*] naziva *a**i,j* za sve 1 ≤ *i* ≤ *m* i 1 ≤ *j* ≤ *n*. Međutim, konvencija da *i* i *j* počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ *i* ≤ *m* − 1 i 0 ≤ *j* ≤ *n* − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × *n* matrica (jedan redak i *n* stupaca) se naziva *vektor redak*, a *m* × 1 matrica (jedan stupac i *m* redaka) se naziva *vektor stupac*.

Primjer
-------

Matrica

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}}
je 4×3 matrica. Element *A*[2,3] ili *a*2,3 je 7.

Matrica

{\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}
je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Zbrajanje i množenje matrica
----------------------------

### Zbrajanje

Ako su dane matrice *A* i *B*, dimenzija *m*-sa-*n*, njihov **zbroj** *A + B* je *m*-sa-*n* matrica, izračunata zbrajanjem odgovarajućih elemenata (t.j. (*A + B*)[*i, j*] = *A*[*i, j*] + *B*[*i, j*] ). Na primjer:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}
### Množenje skalarom

Ako uzmemo matricu *A* i broj *c*, **skalarni produkt** *cA* se računa množenjem skalarom *c* svakog elementa *A* (t.j. (*cA*)[*i*, *j*] = *cA*[*i*, *j*] ). Na primjer:

{\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}
Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(*m*, *n*, **R**) svih *m*-sa-*n* matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije *mn*.

### Množenje matrica

**Množenje** dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je *A* matrica dimenzija *m*-sa-*n*, a *B* je matrica dimenzija *n*-sa-*p*, tada je njihov **umnožak** *AB* matrica dimenzija *m*-sa-*p* (*m* redaka, *p* stupaca) dan formulom:



{\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}
za svaki par *i* i *j*.

Na primjer:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}}
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}
Množenje matrica ima sljedeća svojstva:

* (*AB*)*C* = *A*(*BC*) za sve *k*-sa-*m* matrice *A*, *m*-sa-*n* matrice *B* i *n*-sa-*p* matrice *C* (asocijativnost).
* (*A + B*)*C* = *AC* + *BC* za sve *m*-sa-*n* matrice *A* i *B* i *n*-sa-*k* matrice *C* (desna distributivnost).
* *C*(*A + B*) = *CA* + *CB* za sve *m*-sa-*n* matrice *A* i *B* i *k*-sa-*m* matrice *C* (lijeva distributivnost).

Valja znati da komutativnost **ne** vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice *A* i *B*, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je *AB* ≠ *BA*.

Posebno, skup M(*n*, **R**) svih kvadratnih matrica reda *n* je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za *n* ≥ 2.

Linearne transformacije, rang, transponirana matrica
----------------------------------------------------

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo **R***n* kao skup *stupaca* ili *n*-sa-1 matrica.
Za svako linearno preslikavanje *f* : **R***n* → **R***m* postoji jedinstvena *m*-sa-*n* matrica *A*, takva da *f*(*x*) = *Ax* za svako *x* u **R***n*.
Kažemo da matrica *A* *predstavlja* linearno preslikavanje *f*.
Ako *k*-sa-*m* matrica *B* predstavlja drugo linearno preslikavanje *g* : **R***m* → **R***k*, tada je njihova kompozicija *g* o *f* također linearno preslikavanje **R***m* → **R***n*, i predstavljeno je upravo matricom *BA*. Ovo slijedi iz gorepomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz *n*-dimenzionog vektorskog prostora u *m*-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno *m*-sa-*n* matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice *A* je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa *A*; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima *A*, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima *A*.

Transponirana matrica, matrice *m*-sa-*n*, *A* je *n*-sa-*m* matrica *A*tr (nekad se zapisuje i kao *A*T ili t*A*), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest *A*tr[*i*, *j*] = *A*[*j*, *i*] za svaki *i* i *j*. Ako *A* predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica *A*tr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).

Vrijedi (*A + B*)tr = *A*tr + *B*tr i (*AB*)tr = *B*tr *A*tr.

Vidjeti također
---------------

* Rang matrice

Eksterni linkovi
----------------

***Matrica (matematika)*** na Wikimedijinoj ostavi