U linearnoj algebri, *n*-sa-*n* (kvadratna) matrica {\displaystyle A} je **invertibilna** ili **nesingularna** ili **regularna** ako postoji *n*-sa-*n* matrica {\displaystyle B}, takva da

{\displaystyle AB=BA=I\_{n}\ }
gde {\displaystyle I\_{n}} označava *n*-sa-*n* jediničnu matricu a množenje je uobičajeno množenje matrica. Ako je ovo slučaj, onda je matrica {\displaystyle B} jedinstveno definisana matricom {\displaystyle A} i naziva se *inverzom* matrice {\displaystyle A}, što se označava sa {\displaystyle A^{-1}}. Sledi iz teorije matrica da ako je

{\displaystyle AB=I\ }
za kvadratne matrice {\displaystyle A} i {\displaystyle B}, onda je takođe

{\displaystyle BA=I\ .}
Kvadratna matrica koja nije invertibilna se naziva **singularnom**. Uobičajeno je da su elementi matrica realni ili kompleksni brojevi, ali ove definicije mogu biti date za matrice nad bilo kojim prstenom.

*Invertovanje matrice* {\displaystyle A} je postupak pronalaženja matrice {\displaystyle B} takve da zadovoljava uslove za invertibilnu matricu matrice {\displaystyle A}.

Svojstva invertibilnih matrica
------------------------------

Neka je {\displaystyle A} kvadratna matrica dimenzije *n*-sa-*n* nad poljem {\displaystyle K} (na primer poljem {\displaystyle R} realnih brojeva). U tom slučaju su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

* {\displaystyle A} je invertibilna.
* {\displaystyle A} se može Gaus-Žordanovom eliminacijom svesti na *n*-sa-*n* jediničnu matricu {\displaystyle I\_{n}}.
* {\displaystyle A} ima *n* pivot pozicija.
* det {\displaystyle A} ≠ 0.
* Rang {\displaystyle A} = *n*.
* Jednačina {\displaystyle Ax=0} ima samo trivijalno rešenje {\displaystyle x=0}
* Jednačina {\displaystyle Ax=b} ima tačno jedno rešenje za svako {\displaystyle b} u {\displaystyle K^{n}}.
* Kolone {\displaystyle A} su linearno nezavisne.
* Kolone {\displaystyle A} grade bazu {\displaystyle K^{n}}.
* Linearno preslikavanje iz x u {\displaystyle Ax} je bijekcija iz {\displaystyle K^{n}} u {\displaystyle K^{n}}.
* Postoji *n*-sa-*n* matrica {\displaystyle B} takva da je {\displaystyle AB=I\_{n}}.
* Transponovana matrica {\displaystyle A^{T}} je invertibilna matrica.
* Matrica puta njoj transponovana matrica, {\displaystyle A^{T}\times A} je invertibilna matrica.
* Broj 0 nije sopstvena vrednost {\displaystyle A}.

Uopšteno, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica u tom prstenu.

Inverz invertibilne matrice {\displaystyle A} je i sam invertibilan, i 

{\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}.
Inverz invertibilne matrice {\displaystyle A} pomnožen skalarom {\displaystyle k}, različitim od nule daje proizvod inverza skalara i matrice

{\displaystyle \left(kA\right)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}.
Za invertibilnu matricu *A*, transponat inverza je inverz transponata: 

{\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }\,}
Proizvod dve invertibilne matrice {\displaystyle A} i {\displaystyle B} iste veličine je i sam invertibilan, i jednak

{\displaystyle \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
(Obratiti pažnju da je redosled činilaca obrnut.) Zbog toga, skup invertibilnih *n*-sa-*n* matrica gradi grupu, poznatu pod imenom opšta linearna grupa Gl(*n*).

Izračunavanje inverzne matrice
------------------------------

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}

Literatura
----------

* Cormen, Thomas H.; Charles E. Leiserson, Ron L. Rivest, Clifford Stein (2001) [1990]. „28.4: Inverting matrices". *Introduction to Algorithms* (2nd izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.