Norme na {\displaystyle R^{2}} su realne funkcije na {\displaystyle R^{2}} koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme. 

p-norme možemo definisati za svaki realan broj {\displaystyle p\geqslant 1,} te za {\displaystyle p=\infty }. 

2-norma standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom taxicab- norma a {\displaystyle \infty }-normu obično nazivamo max-norma. 
Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Definicija 1
------------

Realna funkcija {\displaystyle \rVert \ast \lVert } : {\displaystyle R^{2}\rightarrow R} naziva se norma na R2 ako ima sljedeće osobine:

{\displaystyle \rVert (x,y)\lVert \geqslant 0}

{\displaystyle \rVert (x,y)\lVert =0<=>(x,y)=0}

{\displaystyle \rVert (x,y)+(u,v)\lVert \leq 0<=>\rVert (x,y)\lVert +\rVert +(u,v)\lVert }

{\displaystyle \rVert c(x,y)\lVert =|c|\rVert (x,y)\lVert }

Za sve {\displaystyle (x,y),(u,v)\in R^{2}} i sve {\displaystyle c\in R} Zadajući neku normu na {\displaystyle R^{2}}, {\displaystyle R^{2}} postaje normirani prostor.

Primjer norme na {\displaystyle R^{2}} je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke ({\displaystyle 0,0)} i {\displaystyle (x,y)}, tj.

{\displaystyle \rVert (x,y)\lVert \_{p}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

koja predstavlja poseban slučaj p-normi {\displaystyle \rVert (x,y)\lVert \_{p}}

Definicija 2
------------

Za svaki realni broj p, {\displaystyle p\geqslant 1} definišimo

{\displaystyle (\rVert (x,y)\lVert \_{p}=|x|^{p}+|y|^{p})^{\frac {1}{p}}}

Funkcija {\displaystyle \rVert (x,y)\lVert \_{p}} je p- norma na {\displaystyle R^{2}} 
Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1.
Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve {\displaystyle a,b\geqslant 0ip,q>1} takve da je {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} vrijedi

{\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}

Teorema 1
---------

  

Za svaki {\displaystyle p\geqslant 1} formulom

{\displaystyle \rVert (x,y)+(u+v)\lVert \_{p}\leq {\sqrt[{p}]{\rVert (x,y)\lVert \_{p}+\rVert (u,v)\lVert \_{p}}}}

Dokaz

Treba dokazati da za svaki {\displaystyle p\geqslant 1} vrijedi

{\displaystyle \rVert (x,y)+(u+v)\lVert \_{p}\leq \rVert (x,y)\lVert \_{p}+\rVert (u,v)\lVert \_{p}}

tj.

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}\leq {\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|u|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|y|^{p}+|uv|^{p}}}}

za sve {\displaystyle (x,y),(u,v)\in R^{2}}

Za {\displaystyle p=1}

{\displaystyle [|x+u|\leq |x|+|u|\land [|y+v|\leq |y|+|v|]=>|x+u|+|y+v|\leq |x|+|u|+|y|+|v|}

Za {\displaystyle p>1}

U nejednakosti

{\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}

uvrstit ćemo izraze za {\displaystyle a} , {\displaystyle b}

{\displaystyle a={\frac {|x|}{\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}} i {\displaystyle b={\frac {|u|}{\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}}
a zatim

{\displaystyle a={\frac {|y|}{\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}} i {\displaystyle b={\frac {|v|}{\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}}

dobijamo nejednakosti

{\displaystyle {\frac {|x|}{\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}\*{\frac {|u|}{\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}\leqslant {\frac {|x|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}\*{\frac {|u|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}}

  

{\displaystyle {\frac {|y|}{\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}\*{\frac {|v|}{\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}\leqslant {\frac {|y|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}\*{\frac {|v|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}}

saberemo li ih dobijamo nejednakosti

{\displaystyle {\frac {|x||u|+|y||v|}{\rVert (x,y)\lVert \_{p}\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}\leqslant {\frac {|x|^{p}+|y|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert \_{p}}}+{\frac {|u|^{q}+|v|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert \_{q}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}

tj

{\displaystyle |x||u|+|y||v|\leqslant {\sqrt[{q}]{x^{p}+y^{p}}}+{\sqrt[{p}]{u^{q}+v^{q}}}}
za svako {\displaystyle x,y,u,v\in R}

  

Ako uzmemo {\displaystyle (x+u)^{p-1}} za {\displaystyle u} i ({\displaystyle y+v)^{q-1}} za {\displaystyle v} 
i smatrajući {\displaystyle (p-1)\_{q}=p}

{\displaystyle |x||x+u|^{p-1}+|y||y+v|^{p-1}\leqslant {\sqrt[{p}]{x^{p}+y^{p}}}+{\sqrt[{q}]{u^{q}+v^{q}}}}

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo

{\displaystyle |u||x+u|^{p-1}+|v||y+v|^{p-1}\leqslant {\sqrt[{p}]{u^{p}+v^{p}}}+{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+p|^{p}}}}

{\displaystyle |x+u|^{p}+|y+v|^{p}=|x+u||x+u|^{p-1}+|y+v||y+v|^{p-1}}

{\displaystyle \leqslant (|x|+|u||x+u|^{p-1}+(|y|+|v|)|y+v|^{p-1}=}

{\displaystyle |x||x+u|^{p-1}+|u||x+u|^{p-1}+|y||y+v|^{p-1}+|v||y+v|^{p-1}=}

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}}{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}}

odnosno

{\displaystyle |x+u|^{p}+|y+v|^{p}\leqslant ({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}})(|x+u|^{p}+|y+v|^{p}))}

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}\leqslant ({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}})}

Izvor
-----

p-norme na {\displaystyle R^{2}} , kružnice {\displaystyle S\_{p}} i brojevi {\displaystyle \pi \_{p}} // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)