*Za ostala značenja, vidi Gradijent (razvrstavanje).*
Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.
U vektorskoj analizi, **gradijent** skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta
-------------------------

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem {\displaystyle \phi }, tako da je u svakoj tački {\displaystyle (x,y,z)} temperatura {\displaystyle \phi (x,y,z)} (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Na primjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija
-------------------

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije {\displaystyle f(x)} po vaktorskoj varijabli {\displaystyle x=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} se označava kao {\displaystyle \nabla f} ili {\displaystyle {\vec {\nabla }}f} gdje je {\displaystyle \nabla } (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka {\displaystyle \operatorname {grad} (f)} se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije {\displaystyle f}. To jest:

{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x\_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x\_{n}}}\right).}
Skalarni proizvod {\displaystyle (\nabla f)\_{x}\cdot v} gradijenta u tački *x* sa vektorom *v* daje izvod po pravcu funkcije *f* u *x* u pravcu *v*.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnom teoremom. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije
---------------------------------

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

{\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
U cilindričnim koordinatama:

{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
(gdje je {\displaystyle \theta } azimutalni ugao, a {\displaystyle z} je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}
(gdje je {\displaystyle \theta } azimutalni ugao, a {\displaystyle \phi } je zenitni ugao).

### Primjer

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

{\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}
je:

{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}

Gradijent i izvod ili diferencijal
----------------------------------

### Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije {\displaystyle f} iz Euklidovog prostora {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} u {\displaystyle \mathbb {R} } i bilo kojoj tački *x*0 u {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od *f* u *x*0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

{\displaystyle f(x)\approx f(x\_{0})+(\nabla f)\_{x\_{0}}\cdot (x-x\_{0})}
za x koje je blizu {\displaystyle x\_{0}}, gdje je {\displaystyle (\nabla f)\_{x\_{0}}} gradijent funkcije *f* izračunat u {\displaystyle x\_{0}}, gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Povezano
--------

* Rotor
* Divergencija
* Laplaceov operator
* Electrohemijska gradijent
* Muzički izomorfizam
* Nabla operator
* Sobel operator
* Stepen (nagib)
* Nagib
* Površinski gradijent

Izvori
------

1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review*. New York: Dover Publications. str. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.