Interpolacija putem **Lagranžovih polinoma** je postupak u kome je za {\displaystyle n+1} tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće). 

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom *L*(*x*), koji je zbir *skaliranih* baznih polinoma y0*l*0(*x*), y1*l*1(*x*), y2*l*2(*x*) i y3*l*3(*x*). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki *skalirani* bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde *x* odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.
Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna. 

Osnova za Langražov polinom je:

{\displaystyle l\_{i}(x)=\prod \_{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x\_{j}}{x\_{i}-x\_{j}}}}
Približna funkcija koja aproksimira {\displaystyle f(x)} je {\displaystyle P(x)}; {\displaystyle x\_{i}} su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

{\displaystyle P(x)=\sum \_{i=0}^{n}f(x\_{i})l\_{i}(x)}
Gledajući {\displaystyle l\_{i}(x)} za **Neuspjeh pri parsiranju (SVG (MathML se može omogućiti putem plugina u pregledniku): Neispravan odgovor ("Math extension cannot connect to Restbase.") sa servera "http://localhost:6011/sh.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle i \in \{1,2,3,4,5\}}**
:

{\displaystyle l\_{0}(x)={x-x\_{1} \over x\_{0}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{0}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{0}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{0}-x\_{4}}}
{\displaystyle l\_{1}(x)={x-x\_{0} \over x\_{1}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{1}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{1}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{1}-x\_{4}}}
{\displaystyle l\_{2}(x)={x-x\_{0} \over x\_{2}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{2}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{2}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{2}-x\_{4}}}
{\displaystyle l\_{3}(x)={x-x\_{0} \over x\_{3}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{3}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{3}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{3}-x\_{4}}}
{\displaystyle l\_{4}(x)={x-x\_{0} \over x\_{4}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{4}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{4}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{4}-x\_{3}}}
postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima {\displaystyle x\_{j\neq i}} polinom ima nulto mesto, a kod {\displaystyle x\_{i}} ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve {\displaystyle P(x\_{i})} da važi {\displaystyle P(x\_{i})=f(x\_{i})}.

Primer
------

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| X | 1 | 2 | 3 |
| Y | 3 | -1 | 1 |

Ekstrapolacijom se dobija polinom : 

{\displaystyle P(x)=3\cdot {x-2 \over 1-2}\cdot {x-3 \over 1-3}+(-1)\cdot {x-1 \over 2-1}\cdot {x-3 \over 2-3}+1\cdot {x-1 \over 3-1}\cdot {x-2 \over 3-2}}