**Furijeov red** je matematička operacija kojom se periodična funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente" radi jednostavnije analize. Nekoliko prvih članova takvog razvoja se u tehnici često uzimaju kao veoma korisna vrsta aproksimacije.

Diskretna furijeova transformacija pretvara diskretne vrednosti (vektor) u Furijeove koeficijente. Neprekidna furijeova transformacija radi to isto sa funkcijom. Naziv je dobila po francuskom matematičaru Žozefu Furijeu (1768—1830).

Matematička osnova
------------------

Uzmimo neku periodičnu funkciju {\displaystyle f(t)\,} sa periodom T, za koju važi {\displaystyle f(t+T)=f(t)\,}.
Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:

{\displaystyle f(t)=A\_{0}+A\_{1}\cos(\omega t+\varphi \_{1})+A\_{2}\cos(2\omega t+\varphi \_{2})+\ldots +A\_{N}\cos(N\omega t+\varphi \_{N})=\sum \_{n=0}^{N}A\_{n}\cos(n\omega t+\varphi \_{n}).}, {\displaystyle \omega :=2\cdot \pi \cdot freq}, gde je {\displaystyle freq} osnovna frekvencija, odnosno harmonik.
Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{N}A\_{n}\cos(n\omega t+\varphi \_{n})=A\_{0}+\sum \_{n=1}^{N}(A\_{n}\cos \varphi \_{n}\cdot \cos(n\omega t)-A\_{n}\sin \varphi \_{n}\cdot \sin(n\omega t))}
Kada definišemo {\displaystyle a\_{0}:=A\_{0}\,}, a potom {\displaystyle a\_{n}:=A\_{n}\cos \varphi \_{n}} i {\displaystyle b\_{n}:=A\_{n}\sin \varphi \_{n}} dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:

{\displaystyle f(t)=a\_{0}+\sum \_{n=1}^{N}(a\_{n}\cos(n\omega t)-b\_{n}\sin(n\omega t)).}
Zašto se ne uzima  ili recimo ? Zašto baš  i ? Razlog je ortogonalnost  i  funkcija. 
{\displaystyle cos(t)\cdot sin(t)=\int \_{0}^{2\pi }cos(t)\cdot sin(t){d}t=0}

Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne" ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno ({\displaystyle [A\_{0},\ldots ,A\_{N}]}). 

Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:

{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)} i {\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)}
Iz toga dalje sledi

{\displaystyle f(t)=a\_{0}+\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a\_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b\_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}
{\displaystyle =a\_{0}+\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a\_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b\_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}
{\displaystyle =a\_{0}+\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a\_{n}+\mathrm {i} b\_{n})e^{\mathrm {i} n\omega t}+(a\_{n}-\mathrm {i} b\_{n})e^{-\mathrm {i} n\omega t}\right)}
Zamenimo realne koeficijente kompleksnim: 

{\displaystyle c\_{0}:=a\_{0}\,}, {\displaystyle c\_{n}:={\frac {1}{2}}(a\_{n}+\mathrm {i} b\_{n})} i {\displaystyle c\_{-n}:={\frac {1}{2}}(a\_{n}-\mathrm {i} b\_{n})={\overline {c\_{n}}}}
dobijamo sumu sa negativnim indeksima:

{\displaystyle f(t)=\sum \_{k=-N}^{N}c\_{k}e^{\mathrm {i} k\omega t}}
Takođe, ne treba gubiti iz vida da su {\displaystyle e^{\mathrm {i} jt}} funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):

U slučaju {\displaystyle j=k}

{\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} jt})={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} jt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} jt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }1dt=1}
A za {\displaystyle j\neq k} važi: 

{\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} kt})={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} kt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} kt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} (j-k)t}}
{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left[e^{\mathrm {i} (j-k)t}\right]\_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left(e^{\mathrm {i} (j-k)2\pi }-1\right)=}
{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\cdot 0=0}

Furijeovi redovi
----------------

No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do {\displaystyle c\_{j}}; gornju jednačinu množimo sa {\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}} i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:

{\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)=\sum \_{n=-N}^{N}c\_{n}\left(e^{\mathrm {i} (n\omega t)}e^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\sum \_{n=-N-m}^{N-m}c\_{n+m}e^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}=\sum \_{n=-N-m}^{N-m}c\_{n+m}e^{\mathrm {i} n\omega t}}
{\displaystyle \Leftrightarrow \int \_{0}^{T}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)dt=\sum \_{n=-N-m}^{N-m}c\_{n+m}\int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}
Za integrale sa desne strane važi:

kada je *n=0*: {\displaystyle \int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt=\int \_{0}^{T}e^{0}=\left[1\right]\_{0}^{T}=T}
a kada je *n≠0*: {\displaystyle \int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=\left[{\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}e^{\mathrm {i} n\omega t}\right]\_{0}^{T}} {\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(e^{\mathrm {i} n\omega T}-1)}
Iz {\displaystyle \omega T=2\pi } sledi {\displaystyle e^{\mathrm {i} n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm {i} })^{n}=1}, a to dalje možemo da primenimo na gore navedeni integral: 

{\displaystyle \int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=0}
Na kraju se cela računica uprošćava:

{\displaystyle \int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt=\sum \_{n=-N-m}^{N-m}c\_{n+m}\int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}
{\displaystyle =\sum \_{n=-N-m}^{-1}c\_{n+m}\int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt+c\_{m}\cdot \int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt+\sum \_{n=1}^{N-m}c\_{n+m}\int \_{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}
{\displaystyle =0+c\_{m}T+0=c\_{m}T=\int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt}
{\displaystyle \Leftrightarrow c\_{m}={\frac {1}{T}}\int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt.}

U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive {\displaystyle m}, njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način. 

Na kraju, Furijeov red definišemo:

{\displaystyle f\_{N}(t)=\sum \_{n=-N}^{N}c\_{n}e^{in\omega t}}

Konvergentnost Furijeovog reda
------------------------------

Furijeov red konvergira ka mnogim funkcijama; tu spadaju pored ostalih sve funkcije koje imaju izvod ili su kvadratno integrabilne (2 prostor). 

Pretpostavimo da je {\displaystyle f(t)} jedna takva funkcija. Kada namestimo {\displaystyle N\rightarrow \infty }, onda ona takođe može da se napiše i ovako:

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=-N}^{N}c\_{n}e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum \_{n=-N}^{N}{\frac {1}{T}}(\int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum \_{n=-N}^{N}{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}
{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int \_{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}

Vidi još
--------

* Dualnost po Pontrjaginu

Literatura
----------

* William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2005). *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems* (8th izd.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-43338-5.
* Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). *The Analytical Theory of Heat*. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49531-6.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work *Théorie Analytique de la Chaleur*, originally published in 1822.
* Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). „Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series". *American Mathematical Monthly* **99** (5): 427-441. DOI:10.2307/2325087.
* Katznelson, Yitzhak (1976). *An introduction to harmonic analysis* (Second corrected izd.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-63331-2.
* 
* Walter Rudin (1976). *Principles of mathematical analysis* (3rd izd.). New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN 978-0-07-054235-8.
* A. Zygmund (2002). *Trigonometric series* (third izd.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89053-3.  The first edition was published in 1935.