U matematici, **red** je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih, npr. ovaj aritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili *beskonačni*. Konačni redovi mogu se rešavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{k}(an+b);},
te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{k}a^{n}.}

Apsolutna konvergencija
-----------------------

*Glavni članak: Apsolutna konvergencija*
Za red

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}
se kaže da **konvergira apsolutno** ako red apsolutne vrijednosti

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\left|a\_{n}\right|}
konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su *a**n* realni i ako je *S* bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom *S*.

Neke vrste beskonačnih redova
-----------------------------

* *Geometrijski red* je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}
Općenito, geomtrijski red
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }z^{n}}
konvergira ako i samo ako |*z*| < 1.
* *Harmonijski red* je red

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}
Harmonijski red je divergentan.
* *Alternativni red* je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:

{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}
* Red

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}
konvergira ako je *r* > 1, a divergira ako za *r* ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od *r*, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
* Teleskopski red

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(b\_{n}-b\_{n+1})}
konvergira ako niz *b**n* konvergira u limes *L* kada *n* teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada *b*1 − *L*.

Testovi konvergencije
---------------------

*Glavni članak: Testovi konvergencije*
* Test poređenja 1: Ako je ∑*bn*  apsolutno konvergentan red takav da je |*an* | ≤ *C* |*bn* | za neki broj *C*  i za dovoljno veliki broj *n* , tada i red ∑*an*  konvergira apsolutno. Ako red ∑|*bn* | divergira, a |*an* | ≥ |*bn* | za svaki dovoljno velik *n* , tada red ∑*an*  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu *an*  promijeni znak).
* Test poređenja 2: Ako je ∑*bn*  apsolutno konvergentan red takav da |*an+1* /*an* | ≤ |*bn+1* /*bn* | za dovoljno veliki *n* , tada i red ∑*an*  konvergira apsolutno. ako red ∑|*bn* | divergira, a |*an+1* /*an* | ≥ |*bn+1* /*bn* | za sve dovoljno velike *n* , tada red ∑*an*  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu *an*  promijeni znak).
* D'Alambertov test: Ako se odnos |*a**n*+1/*a**n*| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ *a**n* konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
* Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta *C* < 1 takva da je |*a**n*|1/*n* ≤ *C* za svedovoljno velike *n*, tada red ∑ *a**n* konvergira apsolutno.
* Cauchyjev integralni test: Ako je *f*(*x*) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa *f*(*n*) = *a**n* za sve *n*, tada red ∑ *a**n* konvergira ako i samo ako postoji integral ∫1∞ *f*(*x*) d*x*.
* Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)*n* *a**n* (sa *a**n* ≥ 0) naziva se *alternativni red*. Takvi redovi konvergiraju ako je niz *a**n* monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
* *Potreban uslov konvergencije reda*: Ako je lim*n*→∞ *a* *n* ≠ 0, tada red divergira.
* Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

Potencijalni red
----------------

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
konvergira u {\displaystyle e^{x}} za sve *x*. Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. 
Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red
---------------

*Glavni članak: Dirichletov red*
Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{a\_{n} \over n^{s}},}
gdje je *s* kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od *s* veći od broja koji se naziva *apscisa konvergencije*.

Vidite još
----------

* Konvergentni redovi
* Divergentni redovi
* Transformacije niza
* Beskonačni proizvod
* Neprekidni razlomak
* Spisak matematičkih redova

Literatura
----------

* Bromwich, T.J. *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
* Thomas John I'Anson Bromwich *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
* Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". *Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.* **36** (3): 192–197. DOI:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Vanjske veze
------------

***Red (matematika)*** na Wikimedijinoj ostavi

* Graphical simulation of series convergence Arhivirano 2008-10-24 na Wayback Machine-u
* Many example problems on series, with solutions Arhivirano 2008-11-06 na Wayback Machine-u
* Infinite Series Tutorial
* „Series-TheBasics". Paul's Online Math Notes.