U matematici, a posebno u kombinatorici, **binomni koeficijent** prirodnog broja *n* i celog broja *k* definisan je kao prirodni broj:

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=\prod \_{i=1}^{k}{n+1-i \over i},\quad n\geq k\geq 0\qquad {\mbox{(1)}}}
i

{\displaystyle {n \choose k}=0} ako je k<0 ili k>n.
(Za prirodni broj *m*, *m!* označava faktorijel broja *m*.)

Binomni koeficijent od *n* i *k* se takođe piše i kao C(*n*, *k*) ili C*n**k* i čita kao »*n* nad *k*«. Prema Nikolasu Higamu, notaciju {\displaystyle {n \choose k}} je uveo u upotrebu Albert fon Etinghauzen 1826, iako se za ove brojeve znalo vekovima pre toga (pogledati: Paskalov trougao).

Primer:

{\displaystyle {7 \choose 3}={\frac {7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}=35.}
Binomni koeficijenti su koeficijenti u razvoju binoma (*x* + *y*)*n* (odatle i naziv):

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\qquad (2)}
Ovo je generalizovano binomnom teoremom koja dozvoljava da *n* bude negativan ili realan broj.

Paskalov trougao
----------------

Važna rekurzivna relacija

{\displaystyle C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)\qquad (3)}
sledi direktno iz definicije binomnog koeficijenta. Ovom relacijom, i matematičkom indukcijom se može dokazati da je C(*n*, *k*) prirodni broj, za svako *n* i *k* (što nije najočiglednije odmah iz definicije).

Na taj način se konstruiše Paskalov trougao:
red 0 1
red 1 1 1
red 2 1 2 1
red 3 1 3 3 1
red 4 1 4 6 4 1
red 5 1 5 10 10 5 1
red 6 1 6 15 20 15 6 1
red 7 1 7 21 35 35 21 7 1
red 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n.-ti red sadrži brojeve C(*n*, *k*) za *k* = 0,...*n*. Paskalov trougao se konstruiše tako da se kreće od 1, a novi broj se dobija sabiranjem suseda iz prethodnog reda. Ovako se brzo mogu izračunati binomni koeficijenti bez potrebe za množenjem i deljenjem. Npr. samo gledajući 5. red, možemo konstantovati:

(*x* + *y*)5 = **1***x*5 + **5** *x*4*y* + **10** *x*3*y*2 + **10** *x*2*y*3 + **5** *x* *y*4 + **1***y*5.
1303. godine u delu *Dragoceno ogledalo četiri elementa (Precious Mirror of the Four Elements)* Cu Šiđe (Zhu Shijie) pominje ovaj trougao za rešavanje binomnih koeficijenata, što ukazuje da je ovaj metod bio poznat kineskim matematičarima pet vekova pre Blez Paskala.

Kombinatorika i statistika
--------------------------

Binomni koeficijenti su od velike važnosti u kombinatorici jer nude gotove formule za česte probleme prebrojavanja:

* Svaki skup sa *n* poseduje tačno {\displaystyle {n \choose k}} različitih podskupova koji imaju *k* elemenata
* Broj binarnih brojeva dužine *n* koje sadrže *k* jedinica i *n* − *k* nula je {\displaystyle {n \choose k}}.
* Broj binarnih brojeva koji sadrže *k* jedinica i *n* nula tako da nikoje dve nisu susedne je {\displaystyle {n+1 \choose k}}.
* Broj različitih sekvenci od *n* prirodnih brojeva čiji je ukupni zbir *k* je {\displaystyle {n+k-1 \choose k}}; ovo je takođe broj različitih načina da se iz skupa sa *n* elemenata izabere *k* elemenata ukoliko je dozvoljeno ponavljanje.

Binomni koeficijenti se pojavljuju i u formuli za binomnu raspodelu u statistici, kao i u formuli za Bezijerovu krivu.

Formule sa binomnim koeficijentima
----------------------------------

Sledeće formule mogu biti korisne:

{\displaystyle C(n,k)=C(n,n-k)\qquad \qquad (4)\,}
Ovo sledi iz razvoja (2) koristeći (*x* + *y*)*n* = (*y* + *x*)*n*, i ogleda se u numeričkoj simetričnosti Paskalovog trougla.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)=2^{n}\qquad (5)}
Iz razvoja (2) stavljajući *x* = *y* = 1. Vidi se i iz Paskalovog trougla da je suma svih članova jednog reda jednaka stepenu dvojke.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k\mathrm {C} (n,k)=n2^{n-1}\qquad (6)}
Iz razvoja (2) posle diferenciranja i zamenjujući *x* = *y* = 1.

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{k}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n,k-j)=\mathrm {C} (m+n,k)\qquad (7)}
Razvijajući (*x* + *y*)*n* (*x* + *y*)*m* = (*x* + *y*)*m*+*n* iz (2) (C(*n*, *k*) je definisano kao 0 za *k* > *n*). Ova jednačina generalizuje (3).

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)^{2}=\mathrm {C} (2n,n)\qquad (8)}
Iz razvoja (7) stavljajući *m* = *k* = *n* i koristeći jednačinu (4).

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n-k,k)=\mathrm {F} (n+1)\qquad (9)}
Ovde, *F*(*n* + 1) predstavlja Fibonačijeve brojeve.

{\displaystyle \sum \_{j=k}^{n}\mathrm {C} (j,k)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (10)}
Ova jednačina može biti dokazana indukcijom po *n* koristeći (3).

Generalizacija sa kompleksnim argumentom
----------------------------------------

Binomni koeficijent {\displaystyle {z \choose k}} može se definisati za bilo koji kompleksni broj *z* i bilo koji prirodni broj *k*:

{\displaystyle {z \choose k}={1 \over k!}\prod \_{n=0}^{k-1}(z-n)={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}\qquad (11)}
Ova generalizacija je poznata kao **uopšteni binomni koeficijent** i koristi se pri formulaciji binomne teoreme, a zadovoljava i svojstva (3) i (7).

Za konstantno *k*, izraz {\displaystyle {z \choose k}} je polinom po *z* stepena *k* sa racionalnim koeficijentima. Svaki polimom *p*(*z*) stepena *d* može se napisati u formi

{\displaystyle p(z)=\sum \_{k=0}^{d}a\_{k}{z \choose k}}
sa odgovarajućim koeficijentima *a**k*. Ovo je naročito važno u teoriji diferencijalnih jednačina i može se posmatrati kao diskretna analogija Tejlorove teoreme.

Granice binomnih koeficijenata
------------------------------

Za binomni koeficijent C(*n*, *k*) važe sledeće granice:

* {\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}
* {\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}
* {\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}

***Binomni koeficijent*** na Wikimedijinoj ostavi