Torus je obrtna ploha koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose koplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.

Torus 

1. Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu ploha ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.
2. U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena ploha se naziva rog torus
3. kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća ploha je vretenasti torus.

Jednačina
---------

 
Kao takva ploha torus ima "rupu". Ako označimo sa c radijus od centra "rupe" do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine:

{\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}} za {\displaystyle u,v\in [0,2\pi )} 
gdje su {\displaystyle u} i {\displaystyle v} uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački

{\displaystyle c} je udaljenost od centra cijevi do središta torusa, 
{\displaystyle a} je promjer cijevi.
{\displaystyle c} je glavni radijus, a {\displaystyle a} sporedni radijus.

Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je

{\displaystyle \left(c-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=a^{2},}

Površina i zapremina
--------------------

Površina torusa je

{\displaystyle P=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}ca}

a zapremina

{\displaystyle V=\left(\pi a^{2}\right)\left(2\pi c\right)=2\pi ^{2}ca^{2}}

{\displaystyle \ V=2\pi ^{2}Rr^{2},}

Dokaz

{\displaystyle \ S=S\_{1}-S\_{2},}

{\displaystyle \ S\_{1}=\pi (R+a)^{2},}

{\displaystyle \ S\_{2}=\pi (R-a)^{2}}

Prema Pitagorinoj teoremi imamo

{\displaystyle \ a={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}

{\displaystyle \ S\_{1}=\pi (R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}
  

{\displaystyle \ S\_{2}=\pi (R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}

{\displaystyle \ S=\pi (R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}-\pi (R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}

{\displaystyle \ S=\pi [(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}-(R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}]}

{\displaystyle \ S=\pi (R^{2}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+r^{2}-z^{2}-R^{2}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}-r^{2}+z^{2})}

{\displaystyle \ S=\pi (2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})}

{\displaystyle \ S=4\pi R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}

{\displaystyle \ V=\int \limits \_{-r}^{r}S(z)\,dz}

{\displaystyle \ V=\int \limits \_{-r}^{r}4\pi R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}

{\displaystyle \ V=4\pi R\int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}

{\displaystyle \ {du \over dz}={d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over dz}}

{\displaystyle {d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over dz}{d(r^{2}-z^{2}) \over d(r^{2}-z^{2})}}

{\displaystyle {d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over d(r^{2}-z^{2})}{d(r^{2}-z^{2}) \over dz}}

{\displaystyle \ {du \over dz}={1 \over 2(r^{2}-z^{2})}({dr^{2} \over dz^{2}}-{dz^{2} \over dz})={1 \over 2(r^{2}-z^{2})}(0-2z)={-2z \over 2(r^{2}-z^{2})}=-{z \over (r^{2}-z^{2})}}

{\displaystyle \ du=-{z \over r^{2}-z^{2}}dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}-\int \limits \_{-r}^{r}-{z^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}-\int \limits \_{-r}^{r}{-z^{2}-r^{2}+r^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}-\int \limits \_{-r}^{r}{r^{2}-z^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz+\int \limits \_{-r}^{r}{r^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}-\int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}dz+r^{2}\int \limits \_{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz+\int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}+r^{2}\int \limits \_{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {r^{2}(1-{z^{2} \over r^{2}})}}}dz}

{\displaystyle \ 2\int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}\_{-r}^{r}+r^{2}\int \limits \_{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {(1-({z \over r})^{2})}}}d({z \over r})}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+r^{2}\arcsin({z \over r}) \over 2}{\bigg |}\_{-r}^{r}}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r{\sqrt {r^{2}-r^{2}}}+r^{2}\arcsin({r \over r}) \over 2}-{-r{\sqrt {r^{2}-(-r)^{2}}}+r^{2}\arcsin({(-r) \over r}) \over 2}}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2}\arcsin({1})-r^{2}\arcsin({-1}) \over 2}}

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2} \over 2}({\pi \over 2}-(-{\pi \over 2}))}

  

{\displaystyle \ \int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2}\pi \over 2}}

{\displaystyle \ V=4\pi R\int \limits \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz\to V=4\pi R{r^{2}\pi \over 2}}

{\displaystyle \ V=2\pi ^{2}Rr^{2},}

Prstenasti torus
----------------

* 

Parametarska jednačina prstenastog torusa je

{\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}

za {\displaystyle u,v\in [0,2\pi )} {\displaystyle ia>c}

Koficienti prve kvadratne forme su

{\displaystyle E=(c+acosv)^{2}}
{\displaystyle F=0}
{\displaystyle G=a^{2}}
dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo

{\displaystyle L=-(c+acosv)cosv}
{\displaystyle M=0}
{\displaystyle N=-a}
Gausova i srednja kriva su date sa:

{\displaystyle K\_{G}={\frac {cosv}{a(c+acosv)}}}

{\displaystyle K\_{S}={\frac {-c+2acosv}{2a(c+acosv)}}}

Rog torus
---------

* 

Uzimajući u jednačini

{\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}

da je {\displaystyle c=a} dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa 

{\displaystyle {\begin{cases}x=a(1+cosv)cosu\\y=a(1+cosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}

Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:

{\displaystyle E=4a^{2}cos^{4}({\frac {1}{2}}v)}
{\displaystyle F=0}
{\displaystyle G=a^{2}}
dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:

{\displaystyle L=-2acos^{2}({\frac {1}{2}})cosv}
{\displaystyle M=0}
{\displaystyle N=-a}

Vretenasti torus
----------------

* 

Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov {\displaystyle c<a}.

Izvori
------

Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Niš, novembar 2013.[*mrtav link*]