**Mandelbrotov skup** je skup točaka *c* kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

Konstrukcija
------------

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost *c* odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.
U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj *c*. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve *c* pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

Svojstva
--------

### Osnovna

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini
Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka *c* pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi {\displaystyle |f\_{c}^{n}(0)|\leq 2} za sve {\displaystyle n\geq 0}. Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost {\displaystyle f\_{c}^{n}(0)} za neki {\displaystyle n\geq 0} veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako {\displaystyle {\sqrt {6\pi -1}}-e=1.506591651\ldots }

### Samosličnost

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

### Atraktori perioda-*n*

Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.
Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-*n* ako iz njih "viri" *n*-1 "antena":

### Galerija uvećavanja

Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | I |  II |  III |  IV |
|  V |  VI |  VII |  VIII |  IX |
|  X |  XI |  XII |  XII |  XIV |

Varijacije
----------

*multibrot* skupovi trećeg i četvrtog stupnja
Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije {\displaystyle f(z\_{n-1})=z\_{n}^{b}+c,b>2}. Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vanjske veze
------------

* "Mandelbrot set - The most advanced online generator"

Vidi još
--------

***Mandelbrotov skup*** na Wikimedijinoj ostavi

* Fraktali
* Julijin skup
* Gorući brod (fraktal)