U geometriji dvije figure su identične ako imaju istu veličinu i oblik.

Dva skupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne mijenja veličina i oblik.

Podudarnost se označava sa {\displaystyle \cong }

U osnovnoj geometrije reč jednako cesto se koristi umesto podudaran.[1]
Podudaran ima značenje:

1. Dve duži  su podudarne ako imaju istu dužinu {\displaystyle d\_{1}=d\_{2}} tj {\displaystyle d\_{1}\cong d\_{2}}
2. Dva ugla su podudarna ako imaju istu meru {\displaystyle \alpha \_{1}=\alpha \_{2}} tj {\displaystyle \alpha \_{1}\cong \alpha \_{2}}
3. Dva kruga su podudarna ako imaju isti prečnik {\displaystyle R\_{1}\cong R\_{2}} tj {\displaystyle R\_{1}\cong R\_{2}}

Aksiome podudarnosti
--------------------

Aksiome podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relaciju uvodimo kao polazni pojam.

* Aksiom 1

Ako je {\displaystyle (A,B)\cong (C,D)} i {\displaystyle A=B}, tada je i {\displaystyle C=D}.

* Aksiom 2

Za svake dvije tačke {\displaystyle A} i {\displaystyle B} je {\displaystyle (A,B)\cong (B,A)}.

* Aksiom 3

Ako je {\displaystyle (A,B)\cong (C,D)} i {\displaystyle (A,B)\cong (E,F)} tada je {\displaystyle (C,D)\cong (E,F)}

* Aksiom 4

Ako su **C** i **C'** tačke otvorenih duži **AB** i **A'B'**, takve da je 
{\displaystyle (A,C)\cong (A',C')} i {\displaystyle (B,C)\cong (B',C')}, tada je i {\displaystyle (B,C)\cong (A',B')}

* Aksiom 5

Ako su **A** i **B** dvije tačke i **CX** poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka **D** takva da je {\displaystyle (A,B)\cong (C,D)}

* Aksiom 6

Ako su **A, B, C** tri nekolinearne tačke i {\displaystyle A',B'} tačke ruba neke poluravni {\displaystyle \pi }, takve da je {\displaystyle (A,B)\cong (A',B')} tada u toj poluravni 
postoji jedinstvena tačka **C'** takva da je 
{\displaystyle (A,C)\cong (A',C')} i {\displaystyle (B,C)\cong (B',C')}

* Aksiom 7

Ako su **A, B, C** i **A', B', C'** dvije trojke nekolinearnih tačaka i **D** i **D'** tačke polupravih **BC** i **B'C'** takve da je {\displaystyle (AB)\cong (A',B')} , {\displaystyle (BC)\cong (B',C')}, {\displaystyle (A,C)\cong (A',C')} i {\displaystyle (B,D)\cong (B',D')}
, tada je i {\displaystyle (A,D)\cong (A',D')}

Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.

1. {\displaystyle (A,B)\cong (A,B)} relacija je refleksivna.
2. Neka je {\displaystyle (AB)\cong (C,D)} [{\displaystyle (A,B)\cong (A,B)}] => {\displaystyle (CD)\cong (A,B)} relacija je simetrična
3. {\displaystyle (A,B)\cong (C,D)} i {\displaystyle (C,D)\cong (E,F)=>} {\displaystyle (A,B)\cong (E,F)}[slijedi na osnovu simetričnosti]

Teorema 1
Ako su **A** i **B** dvije tačke i **CX** poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka **D** takva da je '{\displaystyle (A,B)\cong (CD)}

Teorema 2
Ako su **A,B,C** tri razne tačke prave **p** i **A',B'** dvije tačke prave **p'** takve da je {\displaystyle (A,B)\cong (A',B')}, tada postoji jedinstvena tačka **C'** takva da je A',B' i {\displaystyle (A,C)\cong (A',C')}.

Pri tome, tačka **C'** pripada pravoj **p'** i:

1. ako je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(A,C,B)}, tada je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(A',C',B')}
2. ako je ako je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(A,B,C)}, tada je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(A',B',C')}
3. ako je ako je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(B,C,A)}, tada je {\displaystyle {\mathfrak {B}}(B',C',A')}

Definicija 1
Kažemo da je uređena n-torka tačaka {\displaystyle (A\_{1},A\_{2},...A\_{n})} podudarna sa n- torkom {\displaystyle (A'\_{1},A'\_{2},...A'\_{n})} u oznaci 
{\displaystyle (A\_{1},A\_{2},...A\_{n})\cong (A'\_{1},A'\_{2},...A'\_{n})}

ako je za svako {\displaystyle (i,k)\in {\begin{Bmatrix}{1,2,...n}\end{Bmatrix}}(A\_{i},A\_{k})\cong (A'\_{i},A'\_{k})}

Definicija 2
Neka su A i B dvije razne tačke neke ravni {\displaystyle \alpha }. Skup svih tačaka {\displaystyle X} te ravni takvih da je {\displaystyle (A,B)\cong (A,X)},naziva se krug, u oznaci {\displaystyle k(A,AB)}, sa centrom **A** i čiji je poluprečnik duž **AB**.

Podudarnost duži
----------------

Ako su dvije duži AB i CD su podudarne označavamo 
sa {\displaystyle AB\cong CD},

Teorema 3
{\displaystyle (A,B)\cong (A',B')=>A,B\cong A',B'},

Definicija 3
Tačka S je središte duži {\displaystyle AB} ako pripada toj duži i važi {\displaystyle AS\cong SB}

Teorema 4
Za svaku duž postoji jedinstveno središte.

Definicija 4
Duž **AB** je manja od duži **CD** u oznaci **AB < CD** ako unutar duži **CD** postoji tačka **E** takva da je **AB ≅ CE**. Takođe u tom slučaju kažemo i da je duž **CD** veća od duži **AB** u oznaci **CD > AB**.

Definicija 5
Duž **EF** jednaka je zbiru duži **AB** i **CD** u oznaci **EF = AB + CD** ako unutar duži **EF** postoji tačka **G** takva da je 
**AB≅EG** **CD ≅GF**.
Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja

Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih
-------------------------------------------------------------

Dva konveksna ili konkavna ugla {\displaystyle pOq} i {\displaystyle p\_{1}O\_{1}q\_{1}} su podudarna ako i samo ako na kracima {\displaystyle p} i {\displaystyle q} {\displaystyle p\_{1}}, {\displaystyle q\_{1}} redom postoje tačke {\displaystyle P,Q,P\_{1},Q\_{1}} takve da je: {\displaystyle (P,O,Q)\cong (P\_{1},O\_{1},Q\_{1}}).

Teorema 5
* Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
* Za svaki **∠pq** i svaku polupravu **p'** neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži **p'**, jedinstvena poluprava **q'** takva da **∠pq ≅ ∠p'q'**.

Teorema 6
Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu

Definicija 5
Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci {\displaystyle \angle AOB<\angle CSD} ako unutar ugla **CSD** postoji poluprava **SE** takva da je {\displaystyle \angle AOB\cong \angle CSE}. U tom slučaju kažemo ia je ugao **CSD** veći od ugla **AOB** u oznaci {\displaystyle \angle CSD>\angle AOB}.

Definicija 6
Uglom dviju mimoilaznih pravih **p** i **q** u prostoru {\displaystyle E^{3}} nazivamo ugao što ga određuju njima paralelene prave **a** i **b** koje se sjeku u nekoj tački **O**. Specijalno, ako je ugao dviju mimoilaznih pravih u prostoru
{\displaystyle E^{3}} prav, tada kažemo da su prave
{\displaystyle p} i **q** normalne među sobom, i simbolički označavamo sa {\displaystyle p\perp q}

Teorema 7
1. Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
2. Pravi uglovi su među sobom podudarni.
3. Postoji jedna i samo jedna prava koja siječe svaku od dvije mimoilazne prave **a** i **b** pod pravim uglom.

Podudarnost poligona
--------------------

Iako sva tri poligona imaju isti obim i površinu podudarni su samo narandžasti i zelani
Dva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.[2]

Dva poligoni sa **n** strane su podudarni ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.

Podudarnost nekih pravilnih četveuglova
---------------------------------------

1. Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice i jedan ugao.
2. Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice.
3. Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
4. Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.

Podudarnost trouglova
---------------------

Dva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine,odgovarajući uglovi jednake veličine.
Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisujemo

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }

Određivanje podudarnostosti
---------------------------

* **SUS**

Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj: 
{\displaystyle AB\cong A'B',AC\cong A'C',\angle BAC\cong \angle B'A'C'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}

* **SSS**

Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.
{\displaystyle AB\cong A'B',BC\cong B'C',AC\cong A'C'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}

Dokaz:

Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je 
{\displaystyle AB\cong A'B',BC\cong B'C',AC\cong A'C'}. Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj. {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'.}

Postoji izometrija te ravni, koja tačke **A,B,C** preslikava redom u tačke **A', B', C'.** Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao **ABC** u trougao **A'B'C'**, pa je {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'.}

* **USU**

Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom 
ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj: 
{\displaystyle BC\cong B'C',\angle ABC\cong \angle A'B'C',\angle ACB\cong \angle A'C'B'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}

* **SSU**

Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla [3]

Izvori
------

***Podudarnost (geometrija)*** na Wikimedijinoj ostavi

Geometrija (za I razred gimnazije)/1998 god.