Matematička funkcija *y=f(x)*, pojednostavljeno, podrazumijeva ovisnost jedne veličine o drugoj. Pri tome razlikujemo slobodnu veličinu ili nezavisnu varijablu *x* koja poprima vrijednosti iz skupa domene funkcije (skupa elemenata vrijednosti varijable za koje je funkcija definirana) i zavisnu varijablu *y* koja poprima vrijednosti iz skupa kodomene funkcije. O kodomeni funkcije govorimo često kao i o skupu vrijednosti funkcije, a o funkciji kao o procesu pridruživanja gdje se svakom elementu iz domene funkcije pridružuje jedan i samo jedan odgovarajući element iz kodomene funkcije. Uobičajeno je govoriti i o preslikavanju elemenata iz domene funkcije u kodomenu funkcije. Postoje brojne vrste funkcija, gdje su jedne od njih polinomne funkcije gdje je funkcija *y=f(x)* izražena u obliku polinoma određenog stupnja

{\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0},\,}
a kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija *n*=2.

Karakteristične vrijednosti kvadratne funkcije
----------------------------------------------

{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}
Kvadratna funkcija se najčešće zapisuje u obliku

{\displaystyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c\,}
te u nekom konkretnom slučaju može imati na primjer oblik

{\displaystyle y=f(x)=x^{2}-x-2\,}
gdje je grafički prikaz takve funkcije u koordinatnom sustavu prikazan na priloženoj slici (gore desno).

### Nulišta funkcije

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe

{\displaystyle x^{2}-x-2=0\,}
rješenja koje su :

{\displaystyle x\_{1}=2,x\_{2}=-1.\,}
Točke {\displaystyle (2,0)} i {\displaystyle (-1,0)} predstavljaju zato nultočke grafa funkcije

{\displaystyle y=x^{2}-x-2\,}.
U jednostavnijim slučajevima nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju

{\displaystyle y=x^{2}-x-2\,}
na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao

{\displaystyle y=(x+1)(x-2)\,}
gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za {\displaystyle x=-1} i {\displaystyle x=2}.

Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.

### Tjeme grafa funkcije

U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika

{\displaystyle x^{2}=2py\,}
no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je *p* poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa

{\displaystyle y=x^{2}-x-2\,}
može se naći redom

{\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}-x-2\\y+2&=x^{2}-x\\y+2&=x^{2}-x+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\\y+2+{\frac {1}{4}}&=(x-{\frac {1}{2}})^{2}\\y+2,25&=(x-{\frac {1}{2}})^{2}\end{aligned}}}
odakle slijedi da su koordinate tjemena *T* grafa funkcije određene koordinatama *x*=0,5 i *y*=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.

### Ekstremi kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju

{\displaystyle y=x^{2}-x-2\,}
to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije *T*. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je

{\displaystyle dy=2xdx-dx\,} odakle slijedi da je
{\displaystyle dy=(2x-1)dx\,}
{\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=2x-1.\,}
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za *x*=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki *x* veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.

Parabola i kvadratna funkcija
-----------------------------

Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra *p* parabole.

Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika

{\displaystyle x^{2}=2py\,}
odakle slijedi da je

{\displaystyle y={\frac {1}{2p}}x^{2}.\,}
Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je

{\displaystyle y={\frac {1}{2p}}x^{2}=ax^{2}\,}
gdje je evidentno

{\displaystyle {\frac {1}{2p}}=a\,}, odnosno {\displaystyle {\frac {1}{2a}}=p\,}
što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole *p* i vodećeg člana *a* polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.

Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom

{\displaystyle y^{2}=2px\,}
odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika

{\displaystyle x=f(y)=ay^{2}+by+c=0\,}
gdje će sada, naravno, članovi *a*, *b* i *c* poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.

Značaj kvadratne funkcije
-------------------------

Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.

Literatura
----------

* Gusić J. Mladinić P. Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
* Antoliš S. Copić A. "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.