3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice
**Množenje** je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao  ili. [[Operandlli  i  se nazivaju **činioci** (**faktori**), a rezultat množenja **proizvod**.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je  ∈ ℕ, onda je

{\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} \_{n}.}
U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se *3 ·*  može zapisati i kao *3* 

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva
----------------

### Osobine

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

|  |  |
| --- | --- |
| 1. {\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a} | (neutral) |
| 2. {\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0} | (svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli) |
| 3. {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} | (asocijativnost) |
| 4. {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} | komutativnost |
| 5. {\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c} | distributivnost množenja prema sabiranju |

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

{\displaystyle \forall a\ \exists \_{1}b:a\cdot b=1}
Inverzan broj broja {\displaystyle a} se zapisuje kao {\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

{\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a}
### Množenje celih brojeva

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

### Racionalni činioci

*Glavni članak: Racionalan broj*
**Proizvod racionalnih brojeva** je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

{\displaystyle a={\frac {p\_{1}}{q\_{1}}}\land b={\frac {p\_{2}}{q\_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p\_{1}\cdot p\_{2}}{q\_{1}\cdot q\_{2}}}}
### Iracionalni činioci

*Glavni članak: Realni brojevi*
Neka je  ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod  granična vrednost

{\displaystyle a\cdot b=\lim \_{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}}
gde je {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja .

### Množenje kompleksnih brojeva

*Glavni članak: Kompleksni brojevi*
Svaki **kompleksan broj** *z* možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

{\displaystyle z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )}.
Kako je {\displaystyle i^{2}=-1}, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

{\displaystyle (a\_{1},b\_{1})\cdot (a\_{2},b\_{2})=(a\_{1}a\_{2}-b\_{1}b\_{2},a\_{1}b\_{2}+a\_{2}b\_{1})}.
Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

{\displaystyle \rho \_{1}(\cos \phi \_{1}+i\sin \phi \_{1})\cdot \rho \_{2}(\cos \phi \_{2}+i\sin \phi \_{2})=\rho \_{1}\rho \_{2}(\cos \left(\phi \_{1}+\phi \_{2}\right)+i\sin \left(\phi \_{1}+\phi \_{2}\right))}

Množenje vektora
----------------

*Glavni članak: Vektor*
Postoji nekoliko vrsta množenja **vektora**: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·", a vektorski sa „×".

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: {\displaystyle \mathbf {a} =(a\_{x},a\_{y},a\_{z})\in \mathbb {R} ^{3}}.

### Množenje vektora skalarom

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

{\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka\_{x},ka\_{y},ka\_{z})}
### Skalarni proizvod

**Skalarni proizvod vektora** je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a\_{x}b\_{x}+a\_{y}b\_{y}+a\_{z}b\_{z}}
Skalarni proizvod je komutativan.

### Vektorski proizvod

Vektorski proizvod.
**Vektorski proizvod** vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

{\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\\b\_{x}&b\_{y}&b\_{z}\end{vmatrix}}}
gde su {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} } i {\displaystyle \mathbf {k} } ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

### Mešoviti proizvod

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.
Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [**a, b, c**] i po definiciji je:

{\displaystyle []:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\\b\_{x}&b\_{y}&b\_{z}\\c\_{x}&c\_{y}&c\_{z}\\\end{vmatrix}}}

Množenje matrica
----------------

*Glavni članak: Matrica (matematika)*
Neka su date matrice  i  veličine × i ×, respektivno. Proizvod  je definisan ako je  = , a dobijena matrica ima dimenzije ×. Elementi matrice-proizvoda su

{\displaystyle (AB)\_{i,j}=\sum \_{k=1}^{n\_{A}}A\_{i,k}B\_{k,j}}
Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

{\displaystyle [A,B]=A\times B-B\times A}

Vidi još
--------

* Deljenje
* Stepenovanje
* Tablica množenja
* Linearna funkcija
* Egipatsko množenje

***Množenje*** na Wikimedijinoj ostavi