**Upravljanje čekanjem** je organizirano odlaganje tražene aktivnosti po unaprijed određenim pravilima, u situacijama kad je potražnja za tom aktivnošću veća od ponude.

Sustav čekanja u osnovi se sastoji od četiri glavne komponente:

* izvorna skupina koja generira čekaoce
* način na koji korisnici ulaze u sustav
* sustav pružanja usluga
* stanje korisnika koji izlaze iz sustava (povratak u izvornu skupinu ili ne)

Ulazak korisnika u sustav
-------------------------

Korisnici mogu ulaziti u sustav iz konačne ili beskonačne skupina. Razlika među njima je bitna jer ih se rješava na različitim načelima.

### Konačna skupina

Konačna skupina odnosi se na ograničenu skupinu korisnika usluge koji formiraju liniju čekanja. Kad korisnik iz konačne skupine dobije uslugu, on napušta skupinu, veličina fonda korisnika smanjuje se za jednog člana, a smanjuje se i vjerojatnost da će on ponovo stati u red. No, ako je veličina konačne skupine vrlo velika, a broj usluženih korisnika mali, tada se i konačna skupina može promatrati i rješavati kao da je beskonačna.

* Primjer konačne skupine: kad korisnik operira kataraktu, više se ne vraća radi tog oka, jer je pojava katarakte na jednom oku jednokratan događaj, baš kao i zahvat uklanjanja katarakte.

Beskonačna skupina U beskonačnoj skupini, kad se korisnik nakon obavljene usluge vrati u korisničku skupinu, skupina korisnika se povećava, a povećava se i vjerojatnost da će korisnik opet tražiti uslugu.

* Primjer beskonačne skupine su pacijenti s dijabetesom: od postavljanja dijagnoze pa do smrti, ti pacijenti će dolaziti na redovne liječničke kontrole više puta godišnje.

### Način na koji korisnici ulaze u sustav

Značajke čekanja su sljedeće: distribucija pristizanja u red; obrazac pristizanja; volumen pristizanja; stupanj strpljenja korisnika (slika 1).

### Distribucija pristizanja u red

Opisivanje sustava čekanja zahtijeva definiranje distribucije, to jest načina na koji se korisnici priključuju redu čekanja. Prije svega, potrebno je znati stopu pristizanja korisnika. Stopa pristizanja korisnika u red čekanja mjeri se brojem novopristiglih korisnika u jedinici vremena. Razlikuju se dva načina pristizanja: konstantni i varijabilni. Distribucija pristizanja u zdravstvu je u pravilu varijabilna (slučajna); naime, prava konstantna distribucija postoji samo kod onih koji ovise o strojnoj kontroli. Pristizanje korisnika u sustav pružanja usluga možemo promatrati s dva stajališta. Prvo, možemo analizirati vrijeme između uzastopnih dolazaka da ustanovimo slijede li dolasci neku statističku distribuciju. Obično pretpostavljamo da je vrijeme između dolazaka je distribuirano eksponencijalno. Drugo, možemo postaviti neku vremensku duljinu (T) i pokušati utvrditi koliko će korisnika ući u sustav tokom vremena T. Obično se pretpostavlja da je broj dolazaka po jedinici vremena distribuiran po je Poissonovoj distribuciji. Drugim riječima, vrijeme između dolazaka je distribuirano eksponencijalno, a broj dolazaka po jedinici vremena distribuiran je po Poissonovoj raspodjeli. Radi jasnoće i kratkoće teksta ovdje se neće razrađivati matematičke implikacije ovih činjenica.

### Obrazac pristizanja

Obrasci pristizanja mogu se mnogo bolje kontrolirati nego što se obično smatra.

* Primjer 1. Liječnik će indicirati manje usluga ako ih mora sam obaviti, nego kad indicira da ih obave drugi. Primjerice, ortoped indicira aloartroplastiku koju će najvjerojatnije obaviti on sam: postrožit će indikacije ako je preopterećen, ili ih ublažiti ako želi više operirati. Sasvim drukčije je ako liječnik ne mora obaviti uslugu koju inidicira: za razliku od ortopeda koji opterećuju samo sebe, radiolog koji očitava CT snimke kralježnice nije sam sebe opteretio, već su ga opteretili obiteljski liječnici, fizijatri, ortopedi, neurokirurzi i neurolozi koji ni na koji način ne sudjeluju u pružanju naručene usluge snimanja CT-a.
* Primjer 2. Plaćanje već i vrlo male novčane participacije za pregled kod obiteljskog liječnika uzrokovat će da pacijenti potraže njegovu pomoć kad je bolest jače uznapredovala, nego što bi bio slučaj da nisu morali plaćati participaciju. Tu treba odvagnuti jesu li posljedice postavljanja gušćeg filtera ulasku u sustav teže i skuplje nego kod rjeđeg ili nikakvog filtera.

Neki zahtjevi za uslugama su očito nekontrolabilni, kao što su zahtjevi hitnih slučajeva prema bolničkim hitnim službama. No čak je i u takim situacijama moguće donekle kontrolirati zahtjev za uslugom, primerice, tako da se vozačima kola zagrebačke hitne pomoći javi stanje na hitnim prijemima u pojedinim zagrebačkim bolnicama.
Veličina mjerne jedinice pristizanja Pojedinačno pristizanje. Svaki pojedini dolazak u red može se smatrati jednom jedinicom pristizanja.

* Primjer pojedinačnog pristizanja je pacijent koji čeka na operaciju žučnjaka.

Grupno pristizanje. Ovdje je mjerna jedinica neki višekratnik osnovne jedinice.

* Primjer grupnog pristizanja: Ulazak pacijenta u palijativnu skrb je jedna jedinica, a tu jedinicu čine pacijent i nekoliko članova njegove obitelji.

### Stupanj strpljivosti kod ulaska u red čekanja

Strpljivi dolazak je dolazak korisnika koji čeka koliko god je potrebno sve dok sustav usluživanja ne bude spreman da mu pruži uslugu. Čak i ako korisnici gunđaju i ponašaju se nestrpljivo, činjenica da oni ipak i dalje čekaju dovoljna je da ih za potrebe ovog razmatranja smatramo čekaocima.

* Primjer strpljivog čekanja su pacijenti koji žele da im kataraktu operira jedan određeni operater, i spremni su čekati dvije godine, pa i dulje, samo da dođu na red kod željenog operatera.

Kod nestrpljivog dolaska razlikuju se dvije podvrste. Članovi prve podvrste će ući u red za čekanje, ispitati duljinu reda i službu pružanja usluge, i potom odlučiti da napuste red. Takve korisnike nazvat ćemo otezačima.

* Primjer otezača reda čekanja su pacijenti koji su se prijavili na listu čekanja za CT u nekoliko ustanova, pa obavili snimanje u samo jednoj ustanovi. Takvi pacijenti obično ne jave ostalim ustanovama da su izašli iz reda, čime je red čekanja umjetno produljen.

Članovi druge podvrste razmotre situaciju u vezi čekanja, pridruže se redu čekanja, a potom ga napuste. Takve korisnike nazvat ćemo otkazivačima. Pacijenti-otkazivači obično ne jave ostalim ustanovama da su izašli iz reda, čime je red čekanja umjetno produljen.

* Primjer otkazivača su pacijenti koji ne žele čekati više tjedana na UZ žučnjaka, pa odu u hitni bolnički prijem, požale se na akutnu bol koja ukazuje na bol žučnjaka, i potom im se učini hitni UZ abdomena.
* Drugi primjer otkazivača su pacijenti koji ne žele više mjeseci čekati na operaciju katarakte u državnoj bolnici, ili se boje da će dospjeti u ruke lošem operateru, pa se odluče platiti zahvat u nekoj privatnoj ustanovi.

Faktori sistema čekanja
-----------------------

Sistem čekanja sastoji se prvenstveno od reda čekanja i raspoloživog broja poslužitelja. Faktori koji određuju red čekanja su duljina reda, broj redova, te disciplina čekanja.
Duljina reda U praktičnom smislu, beskonačan red je svaki red koji je veoma velik u odnosu na kapacitet poslužitelja.
Primjer potencijalno beskonačnog reda je red u kojem se tri godine čeka na operaciju aloartroplastike.
Primjer ograničenog kapaciteta reda čekanja su hitne bolničke ambulante gdje ne tako hitni pacijenti izađu iz reda i vrate se kasnije, kad se gužva smanji.
Primjer ograničenog kapaciteta reda čekanja je i dugo čekanje na UZ srca, gdje pacijent odustane od dugog čekanja i potraži uslugu u drugoj državnoj ustanovi ili kod privatnika.

Broj linija redova čekanja Jasno je što je jednostruk red čekanja. Višestruki red čekanja odnosi se na jednu liniju koja nastaje ispred dva ili više poslužitelja.
Primjer jednostrukog reda čekanja je lista za aloartroplastiku gdje pacijenti čekaju jednog određenog operatera.
Primjer višestrukog reda čekanja je lista za aloartroplastiku gdje pacijenti čekaju na bilo kojega od nekolicine operatera.
Nezgodna strana višestrukih redova čekanja je da su korisnici skloni napustiti svoj red i priključiti se redu koji je kraći ili u kojem se usluge obavljaju brže.
Primjer: pacijenti radije biraju ustanove gdje aloartroplastika i postoperativni oporavak traju kraće.

Disciplina čekanja
------------------

Disciplina čekanja je prioritetno pravilo ili skup pravila za određivanje kojim redom će korisnici na čekanju biti usluženi. Odabir pravila može imati dramatičan učinak na ukupne performanse sustava. Broj korisnika u redu čekanja, prosječno vrijeme čekanja, raspon varijabilnosti vremema čekanja, te efikasnost sustava pružanja usluge, samo su neki od faktora koji ovise o izboru prioritetnih pravila.
Pravilo "tko prije dođe, prije je i uslužen" primjenjuje se kao najpoštenije u većini redova čekanja na hladne zahvate, kao što je katarakta.

Pravilo «tko prije dođe, prije je i uslužen« nije primjenjivo u hitnim službama.

Vjerojatno najčešće prioritetno pravilo je «tko prije dođe, prije je i uslužen«  (first come, first served). Prema ovom pravilu korisnici se uslužuju na temelju njihovog kronološkog dolaska, bez ikakavih drugih obilježja koja bi utjecala na proces odabira korisnika. To pravilo je popularno prihvaćeno kao najpoštenije, iako se time u praksi diskriminiraju, primjerice, korisnici čije usluživanje zahtijeva malo vremena.

Evo nekih primjera prioritetnih pravila: 

* najprije oni s rezervacijom
* najprije hitni slučajevi
* najprije najprofitabilniji korisnici
* najprije oni koji najdulje vrijeme čekaju u redu
* najprije oni kojima je obećan najbliži datum usluge.

Postoje dva glavna praktična problema u korištenju bilo kojeg prioritizacijskog pravila. Prvi je kako osigurati da korisnici znaju i slijede pravilo. Drugi je kako da sustav usluživačima osigura upravljanje redom čekanja.
Primjer: redomat za izdavanje listića s rednim brojem osigurava da korisnici slijede pravilo, i ujedno usluživačima omogućava upravljanje redom.

Distribucija vremena usluživanja
--------------------------------

Druga važna značajka strukture čekanja jest vrijeme koje korisnik (ili jedinica čekanja) provodi s poslužiteljem jednom kada je početo pružanje usluge. Matematičke formule o redovima čekanja općenito definiraju stopu pružanja usluga kao kapacitet poslužitelja izraženu brojem jedinica u vremenskom razdoblju (npr. 12 na sat), a ne kao prosječno vrijeme usluživanja, koje može iznositi 5 minuta po usluzi.
Primjer stope pružanja usluga: broj operacija katarakti u osamsatnom radnom vremenu.
Pravilo konstantnog vremena usluge kaže da je svaka usluga traje točno isto vrijeme. Kao i kod konstantnih dolazaka, to svojstvo je obično ograničeno na postupke koje kontroliraju strojevi. Kad je trajanje vremena usluga slučajno, ono se može aproksimirati eksponencijalnom distribucijom.

Strukture redova čekanja
------------------------

Protok korisnika koje će se uslužiti može ići kroz jednu liniju, više linija, ili neku kombinaciju obojega. Izbor vrste dijelom ovisi o broju korisnika, a dijelom o ograničenjima koje nameću prioritizacijska pravila.

### Jedan kanal, jedna faza

To je najjednostavniji tip strukture reda čekanja, a postoji standardni obrazac distribucije dolaska i usluživanja, on je i matematički najlakše rješiv. Kad su distribucije nestandardne, problem je lako riješiti računalnom simulacijom.
Tipičan primjer jednog kanala i jedne faze je izdavanje nalaza na šalteru.

### Jedan kanal, više faza

Primjer jjednokanalnog jednofaznog sustava čekanja e operacija katarakte gdje se niz usluga (premedikacija, ulazak u salu, anestezija, zahvat, povratak u krevet na odjelu) izvodi u prilično jedinstvenom redosljedu.
Kritičan faktor u slučaju jednog višefaznog kanala je gomilanje u pojedinim fazama, zbog čega praktično nastaju zasebni redovi čekanja.
Primjer je zastoj nastaje u operacijskoj sali kod operacije aloartroplastike gdje operater mora sačekati da anesteziolog oporavi prethodnog pacijenta na operacijskom stolu, kako bi se stol oslobodio da operter na njemu započne idući zahvat.

### Višekanalni, jednofazni

* Primjer je niz šaltera u jedinici za centralno naručivanje pacijenata.

Poteškoća s ovim načinom jest neujednačen protok među linijama čekanja. Zbog toga neki korisnici budu usluženi ranije od korisnika koji su došli prije njih, a donekle dolazi i do preraspoređivanja korisnika među različitim linijama.

* Primjer za to je operiranje katarakte u dnevnoj bolnici: ukupan boravak pacijenta traje jedan dan, dok boravak pacijenata koji su hospitalizirani radi operacije traje tri dana (odnosno pet, ako su zaprimljeni u petak, a operiraju se u ponedjeljak).

Kako bi se osiguralo usluživanje prema kronološkom redu dolaska, potrebna je modifikacija ove strukture tako da se formira jedna linija čekanja iz koje se korisnici uslužuju kod prvog slobodnog poslužitelja.

* Primjer za to je formiranje nacionalne liste čekanja na aloartroplastiku. Pacijentima se omogućava da se operiraju u prvoj bolnici sa slobodnim mjestom. Osim, naravno, ako pacijent ne inzistira na određenoj bolnici ili određenom operateru.

Glavni problem ove strukture je da ona zahtijeva strogu kontrolu reda čekanja kako bi se održao pravedan red i kako bi se korisnika usmjerilo dostupnom poslužitelju. U nekim slučajevima dodjeljivanje brojeva korisnicima kako bi njihova dolaska pomaže ublažiti ovaj problem.

* Primjer: redomat pred vratima laboratorija koji u tri jutarnja sata mora na dva punkta za vađenje krvi opslužiti stotinjak pacijenata.

#### Višekanalni, višefazni

Ovaj slučaj je sličan prethodnom, osim što se dvije ili više usluga izvode u slijedu. Kako je za ove postupke obično dostupno više poslužitelja, istovremeno se može usluživati više pacijenata.

* Primjer: prijem pacijenata u bolnicu odvija se po ovom uzorku višekanalnog, višefaznog reda čekanja, jer obično teče po određenom slijedu koraka slijedi: početni kontakt u prijemnoj ambulanti, ispunjavanje obrazaca, izrada identifikacijske oznake, dodjeljivanje odjela i sobe, praćenje pacijenta u sobu itd.

#### Mješoviti

Pod ovim općim naslovom uzimamo u obzir dvije potkategorije: 1. Struktura „više kanala prem jednom kanalu" strukture 2. Strukture alternativnog puta.

Pod 1. nalazimo ili više linije koje se spajaju u jednu liniju za jednofaznu uslugu.
Primjer strukture „više kanala prem jednom kanalu" jest lista čekanja na CT kičme na koju pacijente upućuju različiti specijalisti s različitih odjela, a ponekad i iz različitih ustanova.

Pod 2. susrećemo se s dvije strukture koje se razlikuju u pravcima toka. Prvi je sličan višekanalnom višefaznom redu, osim što:

* korisnik se može prebaciti s jednog kanala na drugi nakon što mu je pružen prvi dio usluge (primjer: nakon preoperativne obrade u svom malom medicinskom centru, korisnik odlazi na aloartroplastiku u veliki centar).
* broj kanala i faza nakon pružanja prvog dijela usluge mogu se razlikovati (primjer: nakon aloartroplastike neki pacijenti idu na kućnu rehabilitaciju, a neki na rehabilitaciju u toplice, koje imaju ograničeni kapacitet i mogu izazvati zastoj u procesu kirurškog rješavanja korisnika).

#### Izlaz

Nakon što je korisnik uslužen, moguća su dva ishoda:

* korisnik se može vratiti u izvornu skupinu i odmah postali kandidat koji se ponovo natječe za istu uslugu (primjer: pacijenti s glaukomom dolaze na kontrolne preglede bar dvaput godišnje od časa postavljanja dijagnoze pa do smrti).
* vjerojatnost ponovnog traženja usluge je niska (primjer: Žučnjak se odstranjuje samo jednom i nikad više).