**Trigonometrijske funkcije** su funkcije ugla. Dobile su ime po grani matematike koja ih koristi za rešavanje trouglova, a koja se naziva trigonometrija. 

Kada je ugao, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije ravninske trigonometrije: sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija ugla često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, zatim, malo ređe se sreću kosekans i sekans, i konačno najređe sinus versus i kosinus versus. Kada je ugao kompleksan broj tada funkcije ugla mogu preći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se *ciklometrijske* funkcije i *arkus-funkcije*.

Definicije
----------

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

{\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .}
*Pozitivan* matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

  

### Trigonometrijska kružnica

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,} koja se zove *trigonometrijska kružnica*. U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas i vani ponekad označava cosec.

Definicija 1Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima
**(a)** {\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,} sinus i kosinus su realni brojevi;
**(b)** {\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},} tangens i kotangens;
**(v)** {\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},} sekans i kosekans.
**(g)** {\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,} kosinus versus i sinus versus.
Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1**(a)** {\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,} kosinus i sinus;
**(b)** {\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,} tangens i kotangens;
**(v)** {\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,} sekans i kosekans.
DokazTačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.
**(a)** Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.
**(b)** Uočimo slične trouglove {\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,} odakle {\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},} tj. {\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;} uočimo slične trouglove {\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,} odatle {\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},} tj. {\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}
**(v)** Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo {\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},} tj. {\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;} zatim {\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},} tj. {\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .} Kraj dokaza.
### Posebni uglovi

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

*Trigonometrijske funkcije po kvadrantima*| Kvadrant | 1. (0°-90°) | 2. (90°-180°) | 3. (180°-270°) | 4. (270°-360°) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sinus | + | + | - | - |
| kosinus | + | - | - | + |
| tangens | + | - | + | - |

Takođe je lako proveriti tačnost formula za *svođenje vrednosti* trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

{\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}
{\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}
{\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}
Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

{\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .}
Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant. Zato su veoma važne trigonometrijske tablice uglova iz prvog kvadranta. Za neke od tih uglova se funkcije lakše izračunavaju:

*Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija*| {\displaystyle \phi \,} | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \phi \,} | 0 | {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | 1 |
| {\displaystyle \cos \phi \,} | 1 | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | 0 |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \phi } | 0 | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} | 1 | {\displaystyle {\sqrt {3}}} | {\displaystyle \pm \infty } |

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod "osnovnih" uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer {\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},} i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Kada tačka -{D}- jednom obiđe kružnicu pređe put 2*π* odnosno napravi 360°. Luk dužine *π* odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine *x* radijana odgovara uglu 360*x*/2*π* stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: -{*partes minutae primae*}- i -{*partes minutae secundae*}-, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

### Redovi

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...}
Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

Osobine
-------

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija. U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za *dvostruke uglove*, zatim *polovine uglova*, te predstavljanje *zbira i razlike* trigonometrijskih funkcija *pomoću proizvoda* i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla. Inače je

{\displaystyle \sin x={\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}},\quad \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}.}
Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine. Ono što sledi jesu dodatne, analitičke osobine funkcija, i neki dokazi.

### Granična vrednost

Na slici (4) levo vidimo tetivu {\displaystyle {\overline {DAH}}} koja je sigurno kraća od luka {\displaystyle {\widehat {DBH}}.} Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva {\displaystyle {\overline {DA}}} kraća od poluluka {\displaystyle {\widehat {DB}}.} Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi {\displaystyle \cos \phi }, kateta DA iznosi {\displaystyle \sin \phi }, hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i {\displaystyle 0<\phi <{\frac {\pi }{2}},} tada je

Teorema 1{\displaystyle \lim \_{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim \_{\phi \to 0}\cos \phi =1.}
**Dokaz**: Sledi iz {\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi } i {\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .} Kraj. 

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: {\displaystyle \lim \_{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim \_{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .} Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Teorema 2{\displaystyle \lim \_{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
DokazNa slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda {\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.} Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) {\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},} dobićemo {\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},} a otuda {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.} Sa {\displaystyle x\to 0} vredi {\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,} pa je {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.} Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.
### Izvod

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost: {\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}

Teorema 3**(a)** {\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}
**(b)** {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}
**(v)** {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}
Dokaz**(a)** {\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},} pa je 
{\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,} kada {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} (teorema 2).
**(b)** Zbog {\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),} biće {\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}
**(v)** Izvod količnika {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}
{\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.} Kraj dokaza 3.

Vidi još
--------

* Trigonometrijske jednačine