U algebri, **determinanta** je funkcija koja zavisi od *n*, koja dodeljuje skalarnu vrednost, det(*A*), svakoj *n*×*n* kvadratnoj matrici *A*. Važno svojstvo determinante je da je matrica *A* nad poljem (na primer, realna ili kompleksna matrica) invertibilna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Otuda potiče i naziv „determinanta", jer ova vrednost određuje (determiniše) da li je matrica invertibilna ili ne.

Determinante su važne i u matematičkoj analizi, gde su neophodne za uvođenje smena kod funkcija više promenljivih, kao i u multilinearnoj algebri.

Za fiksiran pozitivni ceo broj *n*, postoji jedinstvena funkcija determinante za *n*×*n* matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom *R*. Specijalno, ova funkcija postoji kada je *R* polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Notacija
--------

Determinanta matrice *A* se takođe nekada označava i kao {\displaystyle |A|}. Ova notacija može da bude dvosmislena, jer se takođe koristi i za određene norme matrice i za apsolutnu vrednost. Međutim, norma matrice se često označava sa dve vertikalne crte (tj. {\displaystyle \|\cdot \|}). Stoga se ovakva notacija (pomoću vertikalnih crta) vrlo često koristi. Na primer, za matricu

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\,}
determinanta {\displaystyle \det(A)} se može označiti kao {\displaystyle |A|} ili eksplicitnije kao

{\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.\,}
To jest, uglaste zagrade se zamenjuju vertikalnim crtama.

Determinante matrica formata 2-sa-2
-----------------------------------

Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma.
Matrica formata 2×2

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,}
ima determinantu

{\displaystyle \det(A)=ad-bc.\,}
Interpretacija kada matrica ima članove koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa temenima (0,0), (*a*,*b*), (*a* + *c*, *b* + *d*), i (*c*,*d*). (Za ovaj paralelogram kažemo da je *razapet* nad vektorima (*a*, *b*) i (*c*,*d*).) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se temena poređaju u pravcu kazaljke na satu.

Formule za veće matrice su date dole.

Determinante matrica formata 3-sa-3
-----------------------------------

Matrica formata 3×3

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}.}
Korišćenjem Laplasovog razvoja po kofaktorima na prvoj vrsti matrice, dobijamo:

{\displaystyle \det(A)=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg,}
što je jednako

{\displaystyle \det(A)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.}
Formula za determinantu formata 3 × 3 se može lako zapamtiti primenom sledećeg „Sarusovog pravila". Determinanta matrice formata 3 × 3 jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od *severozapada* do *jugoistoka*, minus zbir proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od *jugozapada* do *severoistoka*, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano ispod:

{\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}a&\color {red}b&\color {red}c&a&b\\d&\color {red}e&\color {red}f&\color {red}d&e\\g&h&\color {red}i&\color {red}g&\color {red}h\end{matrix}}\quad -\quad {\begin{matrix}a&b&\color {blue}c&\color {blue}a&\color {blue}b\\d&\color {blue}e&\color {blue}f&\color {blue}d&e\\\color {blue}g&\color {blue}h&\color {blue}i&g&h\end{matrix}}}
Sarusovo pravilo je mnemonik, odnosno samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

Primene
-------

Determinante se koriste za opisivanje invertibilnih matrica (to su matrice čije determinante su različite od nule), i da se eksplicitno opiše rešenje sistema sistema linearnih jednačina pomoću Kramerovog pravila. Takođe se mogu koristiti i za pronalaženje sopstvene vrednosti matrice {\displaystyle A} pomoću karakterističnog polinoma

{\displaystyle p(x)=\det(xI-A)\,}
gde je *I* jedinična matrica iste dimenzije kao i *A*.

Ponekad se matrica posmatra kao dodela broja svakom nizu od {\displaystyle n} vektora u {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, korišćenjem kvadratne matrice čije su kolone dati vektori.
Imajući ovo u vidu, znak determinante baze se može koristiti da se definiše pojam orijentacije u Euklidskom prostoru.

Determinante se koriste da se izračunaju zapremine u vektorskoj analizi: apsolutna vrednost determinante realnih vektora je jednaka zapremini paralelepipeda koji grade ti vektori. Kao posledica, ako je linearno preslikavanje {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} predstavljeno matricom {\displaystyle A}, i {\displaystyle S} je bilo koji merljivi podskup od {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, onda je zapremina {\displaystyle f(S)} jednaka {\displaystyle \left|\det(A)\right|\times \operatorname {zapremina} (S)}. Opštije, ako je linearno preslikavanje {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} predstavljeno {\displaystyle m}-sa-{\displaystyle n} matricom {\displaystyle A}, i {\displaystyle S} je bilo koji merljivi podskup od {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, onda je {\displaystyle n}-dimenziona zapremina od {\displaystyle f(S)} jednaka {\displaystyle {\sqrt {\det(A^{\top }A)}}\times \operatorname {zapremina} (S)}.

U matematičkoj analizi, kod računanja integrala po podskupovima Euklidskog prostora *R'**n* u dimenzijama *n* ≥ 2, prilikom uvođenja smene se u integrandu pojavljuje i dodatni faktor, „jakobijan", koji predstavlja determinantu Jakobijeve matrice za datu smenu:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y\_{1}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y\_{1}}{\partial x\_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y\_{n}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y\_{n}}{\partial x\_{n}}}\end{bmatrix}}.}
Jakobijan se slično pojavljuje u definiciji integracije na diferencijabilnim mnogostrukostima, gde ulogu smene imaju preslikavanja promene koordinata između pojedinih mapa u atlasu.

Opšta definicija i računanje
----------------------------

Definicija determinante potiče od sledeće teoreme:

Neka *M**n*(*K*) označava skup svih {\displaystyle n\times n} matrica nad poljem *K*. Postoji tačno jedna funkcija

{\displaystyle F:M\_{n}(K)\longrightarrow K}
sa sledeća dva svojstva:

* {\displaystyle F} alternira multilinearno u odnosu na kolone;
* {\displaystyle F(I)=1}.

Determinanta se može definisati kao jedinstvena funkcija sa navedenim svojstvima.

U dokazivanju gornje teoreme, takođe se dobija Lajbnicova formula:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}A\_{i,\sigma (i)}.}
Suma se računa nad svim permutacijama {\displaystyle \sigma } brojeva {1,2,...*n*} a {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )} označava znak permutacije {\displaystyle \sigma }: +1 ako je {\displaystyle \sigma } parna permutacija, a −1 ako je neparna. Ova formula sadrži {\displaystyle n!} (faktorijel) sabiraka, i stoga je nepraktična za numeričko izračunavanje determinanata kada je {\displaystyle n} veliko.

Za male matrice se dobijaju sledeće formule:

* ako je {\displaystyle A} matrica formata 1-sa-1, onda {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}.\,}
* ako je {\displaystyle A} matrica formata 2-sa-2, onda {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}A\_{2,2}-A\_{2,1}A\_{1,2}.\,}
* za matrice {\displaystyle A} formata 3-sa-3, formula je komlikovanija:

{\displaystyle {\begin{matrix}\det(A)&=&A\_{1,1}A\_{2,2}A\_{3,3}+A\_{1,3}A\_{2,1}A\_{3,2}+A\_{1,2}A\_{2,3}A\_{3,1}\\&&-A\_{1,3}A\_{2,2}A\_{3,1}-A\_{1,1}A\_{2,3}A\_{3,2}-A\_{1,2}A\_{2,1}A\_{3,3}.\end{matrix}}\,}
Takođe je moguće razložiti determinantu duž neke vrste ili kolone, korišćenjem *Laplasovog razvoja*, koji je efikasan za relativno male matrice. Kako bismo razložili matricu duž vrste {\displaystyle i}, pišemo

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{j=1}^{n}A\_{i,j}C\_{i,j}=\sum \_{j=1}^{n}A\_{i,j}(-1)^{i+j}M\_{i,j}}
gde {\displaystyle C\_{i,j}} predstavlja matricu kofaktora, to jest, {\displaystyle C\_{i,j}} je jednako {\displaystyle (-1)^{i+j}} puta minor {\displaystyle M\_{i,j}}, koji je determinanta matrice koja se dobije kada se iz matrice {\displaystyle A} ukloni {\displaystyle i}-ta vrsta i {\displaystyle j}-ta kolona. U opštem slučaju, ponovljena primena Laplasovog razvoja po vrstama ili kolonama za numeričko izračunavanje determinante formata *n* × *n* pri velikom *n* nije praktična, jer zahteva više od *n*! operacija.

U opštem slučaju, determinantu možemo izračunati korišćenjem Gausove eliminacije pomoću sledećih pravila:

* Ako je {\displaystyle A} trougaona matrica, tj. {\displaystyle A\_{i,j}=0\,} kada god je {\displaystyle i>j} ili alternativno kada god je {\displaystyle i<j}, onda {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}A\_{2,2}\cdots A\_{n,n}\,} (proizvod dijagonalnih članova matrice {\displaystyle A}).
* Ako se matrica {\displaystyle B} dobija od matrice {\displaystyle A} zamenom mesta dvema vrstama ili kolonama, onda {\displaystyle \det(B)=-\det(A).\,}
* Ako se matrica {\displaystyle B} dobija od matrice {\displaystyle A} množenjem jedne vrste ili kolone brojem {\displaystyle c}, onda {\displaystyle \det(B)=c\,\det(A).\,}
* ako se matrica {\displaystyle B} dobija od matrice {\displaystyle A} dodavanjem umnoška jedne vrste drugoj, ili jedne kolone drugoj, onda {\displaystyle \det(B)=\det(A).\,}

Eksplicitno, ako se pođe od neke matrice, mogu se koristiti poslednja tri pravila da se ona transformiše u trougaonu matricu, a zarim je pomoću prva tri pravila lako izračunati njenu determinantu.

Primer
------

Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.}
Možemo direktno da iskoristimo Lajbnicovu formulu:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \det(A)\,} | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle (-2\cdot 1\cdot -1)+(-3\cdot -1\cdot 0)+(2\cdot 3\cdot 2)} |
|  |  | {\displaystyle -(-3\cdot 1\cdot 2)-(-2\cdot 3\cdot 0)-(2\cdot -1\cdot -1)} |
|  | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle 2+0+12-(-6)-0-2=18.\,} |

Takođe, možemo da iskoristimo Laplasov razvoj duž vrste ili kolone. Najpodesnije je izabrati vrstu ili kolonu sa što više nula, pa biramo drugu kolonu:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \det(A)\,} | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle (-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}-1&3\\2&-1\end{bmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot \det {\begin{bmatrix}-2&-3\\2&-1\end{bmatrix}}} |
|  | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle (-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))} |
|  | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle (-2)(-5)+8=18.\,} |

Treći način (najpraktičniji za veće matrice) bi koristio Gausov algoritam. Kada se račun vrši ručno, obično se postupak može značajno skratiti dodavanjem umnožaka kolona ili vrsta drugim kolonama ili vrstama; ovo ne menja vrednost determinante, a daje nule koje uprošćavaju kasnija računanja. U ovom slučaju, dodavanje druge kolone prvoj je vrlo korisno:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-3\\0&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}
i ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \det(A)\,} | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle (-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}2&-3\\1&3\end{bmatrix}}} |
|  | {\displaystyle =\,} | {\displaystyle 2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.\,} |

Svojstva
--------

Determinanta je *multiplikativno preslikavanje* u smislu da

{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)\,} za sve *n*-sa-*n* matrice {\displaystyle A} i {\displaystyle B}.
Lako je videti da je {\displaystyle \det(rI\_{n})=r^{n}\,} i stoga

{\displaystyle \det(rA)=\det(rI\_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,} za svaku *n*-sa-*n*matricu {\displaystyle A} i za svaki skalar {\displaystyle r}.
Matrica nad komutativnim prstenom *R* je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u *R*. Specijalno, ako je *A* matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je *A* invertibilna akko je det(*A*) različita od nule. U ovom slučaju imamo

{\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,}
Izraženo na drugi način: vektori *v*1,...*v**n* u **R***n* formiraju bazu akko det(*v*1,...*v**n*) nije jednako nuli.

Matrica, i njena transponovana matrica imaju istu determinantu:

{\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,}
Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi:

{\displaystyle \det(A^{\*})=\det(A)^{\*}.\,}
Determinanta matrice {\displaystyle A} ispoljava sledeća svojstva u odnosu na elementarne transformacije matrice {\displaystyle A}:

1. Zamena mesta vrstama ili kolonama množi determinantu sa −1.
2. Množenje vrste ili kolone sa {\displaystyle m} množi determinantu sa {\displaystyle m}.
3. Dodavanje umnoška vrste ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.

Ako su {\displaystyle A} i {\displaystyle B} slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica {\displaystyle X}, takva da {\displaystyle A} = {\displaystyle X^{-1}BX}, onda po multiplikativnom svojstvu,

{\displaystyle \det(A)=\det(B).\,}
Zbog ovoga, determinanta matrice nekog linearnog operatora *T* : *V* → *V* na konačno dimenzionom vesktorskom prostoru *V* ne zavisi od izbora baze u *V*. Zajednička vrednost svih matrica datog linearnog operatora *T* naziva se determinantom linearnog operatora *T* i označava sa det *T*. Ovaj odnos je jednosmeran: postoje matrice čije determinante su iste, ali one nisu slične.

### Izvod

Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} na {\displaystyle \mathbb {R} }, i kao takve su uvek diferencijabilne. NJihov izvod se može izraziti pomoću *Jakobijeve formule*:

{\displaystyle d\,\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)}
gde adj(*A*) označava adjungovanu matricu od *A*. Specijalno, ako je *A* invertibilna, imamo

{\displaystyle d\,\det(A)=\det(A)\,\operatorname {tr} (A^{-1}\,dA)}
ili, 

{\displaystyle \det(A+X)-\det(A)\approx \det(A)\,\operatorname {tr} (A^{-1}X)}
ako su članovi matrice {\displaystyle X} suviše mali. Specijalan slučaj kada je {\displaystyle A} jednaka jediničnoj matrici, {\displaystyle I} dobija se

{\displaystyle \det(I+X)\approx 1+\operatorname {tr} (X).}
Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase

{\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A\_{ij}}}=\det(A)(A^{-1})\_{ij}.}

Spoljašnje veze
---------------

* Determinante Arhivirano 2014-05-15 na Wayback Machine-u
* Hazewinkel, Michiel, ur. (2001), „Determinant", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W. "Determinant", *MathWorld*.
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Matrices and determinants". *MacTutor History of Mathematics archive*.  (`en`)
* WebApp to calculate determinants and descriptively solve systems of linear equations Arhivirano 2014-02-21 na Wayback Machine-u
* Determinant Interactive Program and Tutorial
* Online Matrix Calculator
* Linear algebra: determinants. Arhivirano 2008-12-04 na Wayback Machine-u Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.