Normala na površinu
**Normala** je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. *normala na krivulju*, *normala na površinu* i sl.)

Pravi ugao
----------

Ako imamo dvije normalne prave {\displaystyle a} i {\displaystyle b} i uglove koje one čine α1; α2; α3 i α4,. U simetriji sb preslikava ugao α1 na α4, ugao α2; na α3. Iz ovog zaključujemo da je **α1 = α4 i α2 = α3.**

Definicija 1
Svaki od uglova koje čine normalne prave je **pravi ugao**.

Teorema 1
Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su **paralelne prave**.

Definicija 2
Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a.
Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 prave
----------------

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su {\displaystyle p} i {\displaystyle q} dvije mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku {\displaystyle A} na pravoj {\displaystyle p}. Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom {\displaystyle q} (prema Petom Euklidovom
aksiomu). Označimo tu pravu sa {\displaystyle q\_{1}}.
Kažemo da su pravci
{\displaystyle p} i {\displaystyle q} su norrmalne ako su prave {\displaystyle p} i {\displaystyle q\_{1}} normalne.Pišemo 
{\displaystyle p\perp q}.

Normalnost prave i ravni
------------------------

Kažemo da je prava {\displaystyle p} normalna na ravan {\displaystyle \alpha } ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema
Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravni
----------------------

Definicija
Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku {\displaystyle T} i datu ravan {\displaystyle \pi } postoji jedinstvens prava kroz {\displaystyle T} koja je normalna na ravan {\displaystyle \pi }

Definicija
Ortogonalna projekcija tačke {\displaystyle T} na ravan {\displaystyle \pi } je probodište ravni {\displaystyle \pi } i prave
{\displaystyle q} koja prolazi kroz {\displaystyle T} i normalna je na {\displaystyle \pi }.

Teorema o tri normale
---------------------

Ako je ortogonalna projekcija {\displaystyle p'} prave {\displaystyle p} na ravan {\displaystyle \pi } normalna na neku pravu
{\displaystyle q} te ravni, onda je i prava {\displaystyle p} normalna na {\displaystyle q}. 

Vrijedi i obratno

Ako je prava {\displaystyle p} normalna na {\displaystyle q}, onda je {\displaystyle p'} normalna na {\displaystyle q}.

Normala na krivulju
-------------------

Normalom na krivulju {\displaystyle y=f(x)} u točki {\displaystyle x\_{0}} nazivamo pravac koji prolazi kroz točku {\displaystyle (x\_{0},f(x\_{0}))} i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

{\displaystyle y-f(x\_{0})=-{\frac {1}{f'(x\_{0})}}(x-x\_{0}),}
uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki {\displaystyle x\_{0}}, tj. {\displaystyle (f'(x\_{0})\neq 0).}

Ukoliko je {\displaystyle f'(x\_{0})=0}, tada je jednadžba normale {\displaystyle x=x\_{0}}, tj. normala je očito paralelna s {\displaystyle y}-osi. 

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

Tangenta na površinu
--------------------

Vektorsko polje normala na površinu
Vektor normale na površinu u točki {\displaystyle T} je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki {\displaystyle T}. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera. 

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)}, gdje su {\displaystyle s} i {\displaystyle t} realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.}
Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom 

{\displaystyle f(x,y,z)=0,}
u točki {\displaystyle T=(x,y,z)} dana je gradijentom:

{\displaystyle \nabla f(x,y,z).}

Iznimke
-------

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr. valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija {\displaystyle f(x)=|x|} nema definiranu normalu u ishodištu.

Jedinstvenost
-------------

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj. rečeno intuitivno, "gleda prema van".

Vanjske veze
------------

* Tangenta i normala
* Java applet za traženje normale Arhivirano 2008-05-16 na Wayback Machine-u