Implus koji se prostire kroz žicu sa fiksiranim krajevima modelovan preko talasne jednačine
**Talasna jednačina** je važna parcijalna diferencijalna jednačina kojom se opisuje prostiranje talasa. Talasi mogu biti zvučni, eletromagnetni, vodeni itd. ali se svi prostiru na istom principu sažetom u talasnu jednačinu. Talasna jednačina se javlja i koristi u akustici, elektromagnetizmu, optici, dinamici fluida. Najznačajniji doprinos rešenju problema opisivanja oscilacija i prostiranja talasa dali su Žan dAlamber, Leonard Ojler, Danijel Bernuli i Žoze-Luj Lagranž.

Uvod
----

Talasna jednačina je tipični primer hiperbolične parcijalne diferencijalne jednačine. U najjednostavnijem obliku, talasna jednačina se odnosi na skalarnu veličinu *u* koja zadovoljava:

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\Delta u,}
gde je **c** (konstantna) brzina talasa a {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} je Laplasijan. Za zvučne talase u vazduhu na 20 °C iznosi oko 343 m/s (videti brzina zvuka). Za oscilujuću žicu brzina može da se menja u velikom opsegu jer zavisi od linearne gustine žice i njene zategnutosti. Mnogo realističniji model jednačine talasa uzima u obzir disperziju, tj, zavisnost brzine talasa od njegove frekvencije. Tada se *c* zamenjuje faznom brzinom:

{\displaystyle v\_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\Delta u}
{\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}

Skalarna talasna jednačina u jednoj prostornoj dimenziji
--------------------------------------------------------

### Izvođenje talasne jednačine

Talasna jednačina u jednodimenzionalnom slučaju možemo da izvedemo na sledeći način: Zamislimo niz malih tegova, svaki mase *m*, povezanih oprugama od kojih svaka ima dužinu *h* i koeficijent elastičnosti *k*:

Ovde *u(x)* predstavlja otklon od ravnotežnog položaja male mase na koordinati *x*. Sile koje deluju na masu {\displaystyle m} na položaju {\displaystyle x+h} su:

{\displaystyle F\_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}}
{\displaystyle F\_{Hooke}=F\_{x+2h}+F\_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]}
Jednačina kretanja materijalne tačke na lokaciji *x+h* je:

{\displaystyle m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}
gde je vremenska zavisnost *u*(*x*) data eksplicitno.

Ako se niz tegova sastoji od *N* tegova ravnomerno raspoređenih na dužini *L* = *N* *h* tada je ukupna masa *M* = *N* *m*, i ukupni koeficijent elastičnosti niza *K* = *k*/*N* pa gornju jednačinu možemo da napišemo kao:

{\displaystyle {\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}
Izračunavanjem limesa {\displaystyle N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0} (podrazumevanjem uniformnosti) nalazimo:

{\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}
gde je (*KL2)*/*M* kvadrat brzine kojom se deformacija prostire duž niza.

### Rešenje problema početnih vrednosti

Opšte rešenje jednodimenzionalne skalarne talasne jednačine je

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}
izveo je Dalamber. U faktorskom obliku talasna jednačin amože da se napiše kao

{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.\,}
Ako su *F* i *G* proizvoljne funkcije sledi da svaki zbir oblika 

{\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\,}
zadovoljava talasnu jednačinu. Dva člana predstavljaju dva talasa u pokretu: deformacija data argumentom *F* ili *G* kreće se brzinom *c* u smeru napred (za *F*) i nazad (za *G*). Ove funkcije mogu bliže da se odrede na osnovu proizvoljnih početnih uslova:

{\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}
{\displaystyle u\_{t}(x,0)=g(x)\,}
Rezultat je Dalamberova formula: 

{\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}

Skalarna talasna jednačina u tri prostorne dimenzije
----------------------------------------------------

Rešenje trodimenzionalnog problema početnih vrednosti može da se dobije iz rešenja jednačine za sferne talase. Taj rezultat onda može da se svede na dvodimenzionalni slučaj.

### Sferni talasi

Skalarna talasna jednačina ostaje neizmenjena pri rotaciji prostornih koordinata i stoga može da se očekuje da postoji rešenje koje zavisi samo od radijalnog rastojanja od odabrane tačke. Takvo rešenje mora da zadovolji

{\displaystyle u\_{tt}-c^{2}\left(u\_{rr}+{\frac {2}{r}}u\_{r}\right)=0.\,}
Ova jednačina može da se napiše i kao

{\displaystyle (ru)\_{tt}-c^{2}(ru)\_{rr}=0;\,}
veličina *ru* zadovoljava jednodimenzionalnu talasnu jednačinu Stoga, postoje rešenja u obliku 

{\displaystyle u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,}
gde su *F* i *G* proizvoljne funkcije. Svaki član može da se tumači kao sferni talas koji se širi ili skuplja (kontrahuje) brzinom *c*. Takve talase stvara tačkasti izvor.

### Rešenje opšteg problema početnih vrednosti

Talasna jednačina je linearna po *u* i ostaje neizmenjena pri translaciji u prostoru i vremenu. Stoga, možemo da generišemo veliki broj rešenja tranlacijom i sumiranjem sferičnih talasa. Neka je φ(ξ,η,ζ) proizvoljna funkcija tri nezavisne promenljive, i neka je sferični talas *F* delta funkcija: tojest, neka je *F* slaba granica kontinualne funkcije čiji je integral jednak jedinici, a čiji opseg gde je funkcija veća od nule skupljen u koordinatni početak. Neka familija sfernih talasa sgernih talasa ima centar u tački (ξ,η,ζ) i neka je *r* radijalno rastojanje od te tačke. Tada je

{\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,}
Ako je *u* superpozicija takvih talasa sa težinskom funkcijom φ, dobijamo

{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,}
gde je imenilac 4πc uveden zbog pogodnosti. 

Koristeći definiciju delta funkcije, *u* može isto da se predstavi kao

{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint \_{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,}
gde su α, β, i γ koordinate na jediničnoj sferi *S*, a ω element površine na sferi *S*. Ovaj rezultat može da se tumači kao da je *u*(*t*,*x*) srednja vrednost funkcije φ pomožena sa *t* na sferi radijusa *ct* centriranoj na *x*:

{\displaystyle u(t,x,y,z)=tM\_{ct}[\phi ].\,}
Sledi da je 

{\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u\_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,}
Srednja vrednost je parna funkcija od *t*, i stoga ako je 

{\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM\_{ct}[\psi ]\right),\,}
tada je

{\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v\_{t}(0,x,y,z)=0.\,}
Ove formule daju rešenje za problem početnih vrednosti talasne jednačine. One pokazuju da rešenje u datoj tački *R*, za dato (*t*,*x*,*y*,*z*) zavisi samo od podataka na sferi radijusa *ct* presečenoj **svetlosnim konusom** nacrtanim unazad iz tačke *R*. Rešenje ne zavisi od podataka unutar te sfere.

Skalarna talasna jednačina u dve prostorne dimenzije
----------------------------------------------------

U dve prostorne dimenzije, talasna jednačina je oblika

  

{\displaystyle u\_{tt}=c^{2}\left(u\_{xx}+u\_{yy}\right).\,}

  

Ovaj problem možemo da rešimo na osnovu trodimenzionalnog rešenja ako smatramo da je *u* rešenje u tri dimenzije koje je nezavisno od treće dimenzije. Ako je 

{\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u\_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),\,}
tada formula za trodimenzionalno rešenje postaje 

{\displaystyle u(t,x,y)=tM\_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint \_{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,\,}
gde su α i β prve dve koordinate jedinične sfere, a dω element površine sfere. Ovaj integral može da se napiše kao integral po disku *D* sa centrom u (*x*,*y*) i radijusom *ct*:

{\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint \_{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,}
Očigledno je da rešenje na (*t*,*x*,*y*) zavisi ne samo od podataka na svetlosnom konusu gde je 

{\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},\,}
nego isto i od podataka unutar tog konusa.

Problem s granicama
-------------------

### Jedna prostorna dimenzija

{\displaystyle -u\_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,}
{\displaystyle u\_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,}
{\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).\,}
{\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,}
{\displaystyle v''+\lambda v=0,\,}
{\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,}
### Nekoliko prostornih dimenzija

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}
{\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u\_{t}=g(x),\,}
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}
u *D*, i

{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}
na *B*.

Nehomogena talasna jednačina u jednoj dimenziji
-----------------------------------------------

{\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}
{\displaystyle u\_{t}(x,0)=g(x).\,}
{\displaystyle \int \int \_{R\_{C}}\left(c^{2}u\_{xx}(x,t)-u\_{tt}(x,t)\right)dxdt=\int \int \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt.}
{\displaystyle \int \_{L\_{0}+L\_{1}+L\_{2}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)=\int \int \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt.}
{\displaystyle \int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}-u\_{t}(x,0)dx=-\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx.}
{\displaystyle \int \_{L\_{1}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)\,}
{\displaystyle =\int \_{L\_{1}}\left(cu\_{x}(x,t)dx+cu\_{t}(x,t)dt\right)\,}
{\displaystyle =c\int \_{L\_{1}}du(x,t)=cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}+ct\_{i}).\,}
{\displaystyle \int \_{L\_{2}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)}
{\displaystyle =-\int \_{L\_{2}}\left(cu\_{x}(x,t)dx+cu\_{t}(x,t)dt\right)}
{\displaystyle =-c\int \_{L\_{2}}du(x,t)=-\left(cf(x\_{i}-ct\_{i})-cu(x\_{i},t\_{i})\right)}
{\displaystyle =cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i}).\,}
{\displaystyle -\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx+cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}+ct\_{i})+cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i})=\int \int \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt}
{\displaystyle 2cu(x\_{i},t\_{i})-\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx-cf(x\_{i}+ct\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i})=\int \int \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt}
{\displaystyle 2cu(x\_{i},t\_{i})=\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx+cf(x\_{i}+ct\_{i})+cf(x\_{i}-ct\_{i})+\int \int \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt}
{\displaystyle u(x\_{i},t\_{i})={\frac {f(x\_{i}+ct\_{i})+f(x\_{i}-ct\_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int \_{0}^{t\_{i}}\int \_{x\_{i}-c\left(t\_{i}-t\right)}^{x\_{i}+c\left(t\_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt.\,}

Drugi koordinatni sistemi
-------------------------

Vidi još
--------

* Helmholcova jednačina
* Jednačina zvučnih talasa
* Jednačina elektromagnetnih talasa
* Nehomogena jednačina elektromagnetnih talasa
* Doplerov efekat
* Šredingerova jednačina
* Matematički aspekt talasne jednačine je diskutovan na Disperzivne parcijalne diferencijalne jednačine Wiki Arhivirano 2007-04-25 na Wayback Machine-u.

Literatura
----------

* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, **124** (1970), 109–189.
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", *Acta Math.*, **131** (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "Linear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "Nonlinear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", *Project PHYSNET*.