Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922).
U trouglu {\displaystyle ABC} tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži {\displaystyle AP}, {\displaystyle BP} i {\displaystyle CP} i stranica {\displaystyle c},{\displaystyle a} i {\displaystyle b} redom, jednaki, tj.

{\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle PBC=\measuredangle PCA=\omega }

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu {\displaystyle ABC}, a ugao {\displaystyle \omega } Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka {\displaystyle Q}, trougla {\displaystyle ABC} takva da su jednaki uglovi između duži {\displaystyle AQ}, {\displaystyle BQ}, {\displaystyle CQ} i stranica {\displaystyle b}, {\displaystyle c} i{\displaystyle a} redom, tj.

{\displaystyle \measuredangle QCB=\measuredangle QBA=\measuredangle QCA=\omega }

Teorema
Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi {\displaystyle \measuredangle TAB=\measuredangle TBC=X}
tada je

{\displaystyle \measuredangle TBA=\measuredangle B-X=>\measuredangle BTA=180-\measuredangle B}

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž {\displaystyle AB} vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, {\displaystyle T}. To je {\displaystyle C\_{c}}. Na isti način nacrtajmo kružnicu {\displaystyle C\_{a}}.
Izabereno tačku U tako da važi:

{\displaystyle \measuredangle UBC=\measuredangle UCA}

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku {\displaystyle P} važi: 
{\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle =PBC=\measuredangle PCA}

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

{\displaystyle cot\omega =cot\measuredangle A+cot\measuredangle B+cot\measuredangle C}

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla {\displaystyle ABC}. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

{\displaystyle {\frac {CP}{sin(A-\omega }}={\frac {AC}{sin(\measuredangle APC}}} i

{\displaystyle {\frac {CP}{sin\omega }}={\frac {BC}{sin\measuredangle BPC}}}

Iz ranije dokazanog

{\displaystyle \measuredangle APC=180-\measuredangle A} i

{\displaystyle \measuredangle BPC=180-\measuredangle C}

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

{\displaystyle {\frac {sin\omega }{sin(A-\omega )}}={\frac {AC}{BC}}{\frac {sin\measuredangle C}{sin\measuredangle A}}=>}{\displaystyle sin(A-\omega )={\frac {a}{b}}{\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle C}}}

Iz sinusne teoreme znamo da važi

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle B}}=>sin(A-\omega )={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}}

{\displaystyle sin(A-\omega )=sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega }

{\displaystyle sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega ={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}}

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema
Važi: {\displaystyle cot\omega ={\frac {s^{2}+b^{2}+c^{2}}{4P}}} gde je P površina trougla {\displaystyle ABC}.

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

{\displaystyle P{\begin{bmatrix}c/b:a/c:b/a\end{bmatrix}}}

{\displaystyle Q{\begin{bmatrix}b/c:c/a:a/b\end{bmatrix}}}

Neka je {\displaystyle ABCD} tetivni četvorougao. Prave {\displaystyle AB} i {\displaystyle CD}
se sijeku u tački E, prave {\displaystyle AD} i {\displaystyle BC} se sijeku u tački F a prave
{\displaystyle AC} i {\displaystyle BD} u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla {\displaystyle ABCD} ortocentar trougla {\displaystyle EFG}.

**Dokaz**

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[**Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice**

Presjek tetiva {\displaystyle ab} i {\displaystyle cd} jedninične kružnice je tačka

{\displaystyle t={\frac {ab(c+d)-cd(a+b}{ab-cd}}} ]

važe jednakosti:

{\displaystyle e={\frac {ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd}}}
{\displaystyle f={\frac {ad(b+c)-bc(a+d)}{ad-bc}}}
{\displaystyle g={\frac {ac(b+d)-bd(a+c)}{ac-bd}}}
Da bismo pokazali da je {\displaystyle o} ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je
{\displaystyle of\perp eg} i {\displaystyle og\perp ef}.

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

{\displaystyle {\frac {f-o)}{f-{\bar {o}}}}={\frac {e-g)}{e-{\bar {g}}}}}
{\displaystyle {\frac {f-o)}{f-{\bar {o}}}}={\frac {f)}{\bar {f}}}={\frac {{\frac {ad(b+c)-bc(a+a)}{ad-bc}})}{\frac {(b+c)-(a+d)}{ad-bc}}}=<math>f={\frac {ad(b+c)-bc(a+d)}{(b+c)-(a+d)}}}
{\displaystyle e-g={\frac {(a-d)(ab^{2}d-ac^{2}d)-(b-c)(bcd^{2}-a^{2}bc)}{(ab-cd)(ac-bd)}}=}
{\displaystyle {\frac {(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)}}}
Konjugovanjem dobijamo

{\displaystyle {\bar {e}}-{\bar {g}}={\overline {({\frac {(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)}})}}={\frac {(a-d)(b-c)(b+c)-(a+d)}{(ab-cd)(ac-bd)}}}

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je
dokazana Brokardova teorema.

Izvor
-----

Značajne tačke i linije u trouglu