Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. 
Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. 
Ovo je glavni trigonometrijski problem. 
Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremi
--------------

Kosinusna teorema

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }

{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

Sinusna teorema

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}

Zbir uglova trougla

{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}

Tangensni teorem

{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}

Oštrougli trougao
-----------------

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:

1. date su tri strane (SSS);
2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

### Date su 3 stranice trougla

Date su tri stranice **a , b , c** trougla. Naći njegove uglove.

**I način**

Kosinusna teorema {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A} daje ugao A, jer je {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}

Sinusna teorema {\displaystyle a:\sin \alpha =b:\sin \beta } daje ugao {\displaystyle \beta } , jer je {\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}.}

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva {\displaystyle \gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )} .

**II način**

Iz poluobima {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}},razlika<math>p-a,\;p-b,\;p-c,} i tangensne teoreme imaćemo

{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.}

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. {\displaystyle a+b>c,b+c>a,c+a>b}.

### Date su 2 stranice i ugao između njih

Date su 2 stranice trougla {\displaystyle a,b(a>b)} i ugao {\displaystyle \gamma }. Naći stranicu с i uglove {\displaystyle \alpha }, {\displaystyle \beta }.

Kosinusna teorema daje stranicu {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova {\displaystyle a>b} slijedi da je ugao {\displaystyle \beta } oštar, pa prema tome prvo tražimo 

{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \gamma }{c}}} tj ugao {\displaystyle \beta } pa ugao {\displaystyle \alpha } koji je suplementan uglovima {\displaystyle \beta }, {\displaystyle \gamma }, tj. {\displaystyle \alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )}.

Jednistveno rješenje je ako je {\displaystyle \gamma <180^{o}}.

### Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha. 

Prvo nalazimo ugao {\displaystyle \alpha =180^{o}-(\beta +\gamma )}.

Sinusna teorema daje: {\displaystyle b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}},\;c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }}}.

Za {\displaystyle a>b} je {\displaystyle a>b\sin \alpha } pa je {\displaystyle \sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}<1.}

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao {\displaystyle \beta } oštar nezavisno od toga kakav je ugao {\displaystyle \alpha }.

Kada je {\displaystyle a<b} tada je {\displaystyle A<B}. Trougao je pravougli, ili, ako je {\displaystyle b\sin \alpha <a}, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao. 

{\displaystyle b\sin \alpha >a} tj. {\displaystyle \sin \beta >1} , nema rješenja.

Kada je {\displaystyle a=b} tada je {\displaystyle \alpha <90^{o}} i {\displaystyle B<90^{o}}. Postoji jedinstveno rešenje.