**Fizičko klatno** je sistem koji obrazuje čvrsto telo koje može da osciluje pod uticajem Zemljine teže oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tog tela.

Diferencijalna jednačina oscilovanja
------------------------------------

Ukoliko se zanemari otpor sredine može se pisati:

{\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta }.
Ukoliko se u prethodnu jednakost zameni {\displaystyle {\frac {r^{2}}{h}}+h=l}, dobija se:

{\displaystyle l{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta }
Iz dobijenog obrasca se vidi direktna analogija između oscilovanja matematičkog klatna i fizičkog klatna preko veličine {\displaystyle l} koja se naziva redukovana dužina fizičkog klatna.

Period oscilovanja
------------------

Pojednostavljen metod određivanja približne formule za period oscilovanja fizičkog klatna se sastoji u primeni analogije sa harmonijskim oscilovanjem i njenom daljem korišćenju u zakonima održanja.

Nešto složeniji princip zasniva se na primeni prethodno date diferencijalne jednačine oscilovanja.

Najpre levu stranu treba pomnožiti sa {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}dt=d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}, a desnu sa {\displaystyle d\theta \,}. Tako se dobija:

{\displaystyle l{\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta }.
Integralisanjem:

{\displaystyle l\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C},
gde je {\displaystyle C\,} konstanta. Vrednost iste se nalazi iz:

{\displaystyle \theta =\pm \alpha \,\,\,,{\frac {d\theta }{dt}}=0}.
Odakle se daljim sređivanjem dobija:

{\displaystyle C=-2g\cos \alpha \,}
{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{l}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}.
Izdvajanjem promenljivih i integralisanjem:

{\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{l}}}t=\int \limits \_{0}^{\theta }{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}}.
Zamenom {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi } dobija se:

{\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int \limits \_{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {l}{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right)}.
Za period oscilovanja pronalazi se formula:

{\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\int \limits \_{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}.

Ova formula se može dalje pojednostaviti uz korišćenje izvesnih aposkrimacija na sledeću:
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}}

Redukovana dužina fizičkog klatna
---------------------------------

*Glavni članak: Redukovana dužina fizičkog klatna*
Zbog svođenja opšte formule za period oscilovanja kod fizičkog klatna na formulu za određivanje istog kod matematičkog klatna uvodi se veličina koja se naziva *redukovana dužina fizičkog klatna*.

Definiše se kao dužina niti koju ima ono matematičko klatno koje ima isti period oscilovanja kao i dato fizičko klatno.

U vidu formule se to piše u obliku {\displaystyle l\_{0}={{I} \over {ml}}},
gde je {\displaystyle l\_{0}} pomenuta veličina, m- masa, l- rastojanje centra mase od ose oscilovanja, I-moment inercije datog tela za obrtnu osu.

Ovaj obrazac se dobija direktnim upoređivanjem formula za period oscilovanja fizičkog i matematičkog klatna.

{\displaystyle T\_{m}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
{\displaystyle T\_{f}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}}

Matematičko klatno
------------------

*Glavni članak: Matematičko klatno*
Prethodno sprovedena analogija između fizičkog i matematičkog klatna je sasvim opravdana. Matematičko klatno je u stvari samo oblik fizičkog. Tu se telo može smatrati materijalnom tačkom momenta inercije{\displaystyle I={mr^{2}}}. Zamenom ove formule u {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}} (gde je {\displaystyle r=l} ) se dobija {\displaystyle T\_{m}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}, što upravo i predstavlja obrazac za period oscilovanja matematičkog klatna.

Vidi još
--------

* Matematičko klatno
* Oscilacije
* Periodično kretanje
* Period oscilovanja