**Prirodni logaritam**, od prijepoznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam zbbba [[baza (matematika)|bazu]v *e*, gdje je *e* iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije.
Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja *x* je stepen na kojeg se diže broj *e* kako bi se dobio taj broj *x* — na primjer, prirodni logaritam broja *e* je 1 zato što je *e*1 = *e*, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je *e*0 = 1. Prirodni logaritam može se definirati za sve pozitivne realne brojeve *x* kao površina ispod krive *y* = 1/*t* u granicama od 1 do *x*, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod. 

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada *x* raste, a polako ide na negativnog beskonačnosti kada *x* teži ka nula 0.
Šablon:E (broj)

Funkcija prirodnog logaritma može se difinisati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

{\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{ako je }}x>0\,\!}
{\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}
Drugim riječima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

{\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}
Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu *e*, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakama
---------------------

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(*x*)" ili "ln(*x*)" u značenju loge(*x*), npr. prirodni logaritam od *x*, i pišu "log10(*x*)" ako se traži logaritam baze 10 od *x*.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(*x*)" (ili ponekad "loge(*x*)") kada koriste prirodni logaritam od *x*, a koriste "log(*x*)" kada koriste log10(*x*) ili, u slučaju nekih informatičara, log2(*x*) (iako se ovo piše kao lg(*x*)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa **ln**, a **log** predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(*x*)" označava "log2(*x*)".

Osobine
-------

* {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {za}}\quad 0<x<y\;}

* {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {za}}\quad h>-1\;}

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,}

Derivacija, Taylorov red
------------------------

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}
Taylorovi polinomi za {\displaystyle \log \_{e}}(*1+x*) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu *-1 < x ≤ 1*. Uočite da su, za *x > 1*, Taylorovi polinomi višeg stepena ***gore*** aproksimacije.
Ovo vodi do Taylorovog reda za {\displaystyle \ln(1+x)} oko {\displaystyle 0}; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

{\displaystyle \ln(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {za}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad }
{\displaystyle {\rm {osimakoje}}\quad x=-1}
Desno je slika funkcije {\displaystyle \ln(1+x)} i nekih njenih Taylorovih polinoma oko {\displaystyle 0}. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti *-1 < x ≤ 1*; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su ***gore*** aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem *x*-1 umjesto *x*, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

{\displaystyle \ln(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}}
{\displaystyle \ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots }
{\displaystyle {\rm {za}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {osimakoje}}\quad x=0.}
Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

{\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots }
Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je {\displaystyle x \over {x-1}} također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja *y*, jednostavno uvrstimo u {\displaystyle y \over {y-1}} za *x*.

Prirodni logaritam u intergraciji
---------------------------------

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika *g*(*x*) = *f* '(*x*)/*f*(*x*): antiderivacija od *g*(*x*) je data sa ln(|*f*(*x*)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

{\displaystyle \ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.}
Drugim riječima,

{\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}
i

{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}
Slijedi primjer u slučaju kada je *g*(*x*) = tan(*x*):

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx}.
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}
Neka je *f*(*x*) = cos(*x*), a *f'*(*x*)= - sin(*x*):

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C}
gdje je *C* konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}

Povezano
--------

* John Napier, izumitelj logaritma
* Logaritamska integralna funkcija
* Nicholas Mercator, pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
* Polilogaritam
* Von Mangoldtova funkcija
* Broj *e*

Vanjske veze
------------

* Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained