*Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima.*
U kalkulusu, **nepravi integral** je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

U nekim slučajevima, integral

{\displaystyle \int \_{a}^{c}f(x)\,dx\,}
se *definiše* bez obzira na granicu

{\displaystyle \lim \_{b\to c^{-}}\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\,}
ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija *f*, koja se integriše od *a* do *c*, ima vertikalnu asimptotu u *c*, ili ako *c* = ∞ (pogledajte: **Slika 1** i **Slika 2**).

U nekim slučajvima, integral od *a* do *c* nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova *f*(*x*) *dx* od *a* do *c* beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.
  

Integral

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}
*može* se interpretirati kao

{\displaystyle \lim \_{b\to \infty }\int \_{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim \_{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}
ali, prema matematičkoj analizi, nije *neophodno* interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}
*ne može* biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}
Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim \_{b\rightarrow \infty }\int \_{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}
Možemo govoriti o *singularitetima* nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa *beskonačnosti* kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

Beskonačne granice integracije
------------------------------

Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa: 

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }{dx \over x^{2}+1}.}
Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog *izračunavanja* ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka ∞.
Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan *x*. Integral je

{\displaystyle \lim \_{b\rightarrow \infty }\int \limits \_{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim \_{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 0=\pi /2-0=\pi /2.}
Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:

{\displaystyle \int \limits \_{1}^{\infty }{dx \over x}=\lim \_{b\rightarrow \infty }\int \limits \_{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\lim \_{b\rightarrow \infty }\ln b=\infty }
Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:

{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits \_{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int \limits \_{a}^{+\infty }f(x)\,dx}
gdje je *a* arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Vertikalne asimptote u granicama integracije
--------------------------------------------

Razmotrimo

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}.}
Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u *x* = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od *b* (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada *b* teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo {\displaystyle 3x^{1/3},}, tako da se integral može računati kao

{\displaystyle \lim \_{b\rightarrow 0^{+}}\int \_{b}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}=3\cdot 1^{1/3}-\lim \_{b\rightarrow 0^{+}}3b^{1/3}=3-0=3.}
Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{dx \over x}=\lim \_{b\rightarrow 0^{+}}\int \_{b}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim \_{b\rightarrow 0^{+}}-\ln b=\infty }
Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

{\displaystyle \int \_{a}^{c}f(x)\,dx=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx+\int \_{b}^{c}f(x)\,dx}
gdje je *b* lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Cauchyjeva principijalna vrijednost
-----------------------------------

*Glavni članak: Cauchyjeva principijalna vrijednost*
Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow 0+}\left(\int \_{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int \_{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}
{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow 0+}\left(\int \_{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int \_{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}
Prethodni je **Cauchyjeva principijalna vrijednost** predhodno nedefinisanog izraza

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}
Slično tome, imamo

{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow \infty }\int \_{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}
ali

{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow \infty }\int \_{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}
Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}
Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi ∞ − ∞.