Grafisk fremstilling av en elliptisk funksjon hvor dens verdier er angitt ved farger. Verdiene gjentar seg periodisk i to retninger i det komplekse planet.
**Abels elliptiske funksjoner** er matematiske funksjoner av en kompleks variabel og med to perioder. De ble først oppdaget og utforsket av Niels Henrik Abel og er en generalisering av de trigonometriske funksjonene. De spiller en meget viktig rolle i moderne matematikk og teoretisk fysikk. Tilsvarende funksjoner ble omtrent samtidig etablert av Carl Gustav Jacobi. Selv om funksjonene til Abel har flere teoretiske fortrinn, har Jacobis elliptiske funksjoner endt opp som standardfunksjoner. Dette kan ha med å gjøre at Abel døde kun et par år etter at han presenterte dem, mens Jacobi kunne fortsette sin bearbeidelse av dem i mange år. Både de elliptiske funksjonene til Abel og Jacobi kan utledes fra en mer generell formulering gitt senere av Karl Weierstrass basert på dobbeltperiodisitet.

Historie
--------

Helt på slutten av 1700-tallet definerte Gauss de første elliptiske funksjoner i forbindelse med delingen av lemniskatens buelengde. De er spesialtilfelle av de mer generelle, elliptiske funksjonene som først ble etablert av Abel i 1823 da han fremdeles var student. Hans utgangspunkt var de elliptiske integral som tidligere var blitt grundig studert av Adrien-Marie Legendre. Året etter kunne han bekjentgjøre den store oppdagelse at funksjonene hadde to perioder. Dette gjorde dem dermed mer interessante enn de vanlige, trigonometriske funksjonene som bare har en periode. Samtidig betydde dette at funksjonene måtte betraktes å være komplekse selv om teorien for komplekse funksjoner ennå ikke var skikkelig etablert.

I de følgende årene fortsatte Abel med å studere disse funksjonene og deres egenskaper. Han prøvde også å generalisere dem til funksjoner med enda flere perioder, men lot være med å publisere sine resultat. Først i begynnelsen av 1827 skrev han sammen sitt første, store arbeid *Recherches sur les fonctions elliptiques* om sine oppdagelser. Helt på slutten av året blir han kjent med at Jacobi arbeider med transformasjoner av elliptiske integral. Han gjør da ferdig den andre delen av sitt verk om elliptiske funksjoner hvor han i et appendiks viser at Jacobis resultat lett følger fra hans egne teorier. Og da Jacobi i enda et arbeid innfører elliptiske funksjoner uten å referere til Abel, opplever denne å være i et kappløp med den tyske matematikeren om æren for deres oppdagelse. Han skynder seg med å gjøre ferdig flere arbeid for å sikre sin posisjon, men dør mindre enn et år senere. I mellomtiden skriver Jacobi sitt store verk *Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum* om elliptiske funksjoner i bokform og som kommer ut i 1829. Dette kom til å bli standardverket om denne nye funksjonsteorien i årene som fulgte.

Matematikk
----------

Under sitt opphold i København i 1823 ble Abel anbefalt av Ferdinand Degen å studere de elliptiske integralene som Legendre tidligere hadde undersøkt i stor detalj. For sin teori om elliptiske funksjoner tok Abel sitt utgangspunkt i det bestemte integralet

{\displaystyle u=\int \_{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}
hvor *c* og *e*  er vilkårlige parametre. De kan foreløbig betraktes å være reelle tall, men vil senere også kunne ta komplekse verdier. I det spesielle tilfellet *c* = 1 og *e* = 0 gir dette integralet buelengden for en sirkel, mens for *c = e* = 1 fremkommer buelengden for en lemniskate. På den måten kunne han skape kontakt både til de trigonometriske funksjonene (sirkulære funksjoner) og de lemniskatiske funksjonene til Gauss.

Verdien *u* av integralet er en funksjon av dets øvre grense *x*. Så lenge som *x* < 1/*c*, øker denne verdien jevnt og antar en maksimal verdi

{\displaystyle {\omega \over 2}=\int \_{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}.
For å frembringe mer av sammenhengen mellom integralet *u* og dets øvre grense *x*, gjør nå Abel det geniale valg å betrakte *x* som en funksjon *u*. Denne funksjonen 
*x* = *φ*(*u*) er dermed entydig i intervallet 0 ≤ *u* ≤ *ω*/2 med *φ*(0) = 0. Da det definerende integralet er en odde funksjon av *x*, vil også funksjonen *φ*(*u*)  være odde. Den kan derfor utvides til å gjelde i hele intervallet -*ω*/2 ≤ *u* ≤ *ω*/2 med *φ*(±*ω*/2) = ±1/*c*.

Den deriverte av Abels elliptiske funksjon *φ*(*u*) kan finnes ved å derivere begge sider av integralet som definerer den, med hensyn på den variable *u*. Venstresiden blir da ganske enkelt lik med 1, mens på høyresiden inngår *dx/du* = *φ'*(*u*) sammen med kvadratroten for *t* = *φ*(*u*). Sammen gir dette

{\displaystyle \phi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\phi ^{2}(u))(1+e^{2}\phi ^{2}(u))}}}
som nå er en like funksjon *φ'*(*u*) = *φ'*(-*u*) med de spesielle verdiene *φ'*(±*ω*/2) = 0  og *φ'*(0) = 1.

For de to kvadratrøttene som opptrer i den deriverte funksjonen, innførte Abel de to nye funksjonene

{\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\phi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\phi ^{2}(u)}}}
som også er symmetriske om origo. De har de spesielle verdiene *f*(0) = *F*(0) = 1 sammen med *f*(±*ω*/2) = 0  og *F*(±*ω*/2) = √(1 + *e*2/*c*2). Hvis man betrakter *φ*(*u*) som en generalisert sinusfunksjon, så kan disse to like funksjonene betraktes som generaliserte cosinusfunksjoner som det nå finnes to av. Med deres hjelp kan den deriverte skrives på den mer kompakte formen *φ'*(*u*) = *f*(*u*)*F*(*u*). Tilsvarende følger fra definisjonene av de nye funksjonene at deres deriverte er gitt som *f'*(*u*) = - *c*2*φ*(*u*)*F*(*u*)  og *F'*(*u*) = *e*2*φ*(*u*)*f*(*u*)  ved bruk av kjerneregelen for derivasjon.

### Addisjonsformler

Fra tidligere arbeid av Euler og Legendre med elliptiske integral var det på Abels tid kjent at disse oppfylte visse addisjonsteorem. Det vil derfor også være tilfelle for integralet som Abel benyttet for sin definisjon av elliptiske funksjoner. Likevel kunne han presentere en ny utledning av teoremet i dette tilfellet som ga

{\displaystyle \phi (u\_{1}+u\_{2})={\phi (u\_{1})f(u\_{2})F(u\_{2})+\phi (u\_{2})f(u\_{1})F(u\_{1}) \over 1+c^{2}e^{2}\phi ^{2}(u\_{1})\phi ^{2}(u\_{2})}}
For de to andre elliptiske funksjonene fant han på samme måte

{\displaystyle f(u\_{1}+u\_{2})={f(u\_{1})f(u\_{2})-c^{2}\phi (u\_{1})\phi (u\_{2})F(u\_{1})F(u\_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\phi ^{2}(u\_{1})\phi ^{2}(u\_{2})}}
{\displaystyle F(u\_{1}+u\_{2})={F(u\_{1})F(u\_{2})+e^{2}\phi (u\_{1})\phi (u\_{2})f(u\_{1})f(u\_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\phi ^{2}(u\_{1})\phi ^{2}(u\_{2})}}
Ved hjelp av disse ligningene kan man nå utvide gyldighetsområdet for de tre funksjonene. For eksempel, setter man *u*1 = ±*ω*/2 i den første formelen, gir den at

{\displaystyle \phi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)}}
og tilsvarende for de andre funksjonene,

{\displaystyle f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\phi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}}
Med *u* = *ω*/2 har man dermed *φ*(*ω*) = 0. På denne måten blir nå funksjonene definerte i hele intervallet -*ω* ≤ *u* ≤ *ω*. Ved å foreta et slikt stepp til med bruk av addisjonsformlene, finner man at *φ*(*u + ω*) = -*φ*(*u*). Det betyr at denne funksjonen er periodisk da *φ*(*u* + 2*ω*) = *φ*(*u*) hvor 2*ω* er dens periode. På samme måte finnes *f*(*u + ω*) = -*f*(*u*) og *F*(*u + ω*) = *F*(*u*). Perioden til *f*(*u*) er derfor også 2*ω*, mens *F*(*u*) har perioden *ω*.

### Kompleks utvidelse

Gauss hadde tidligere vist at gyldighetsområdet for de lemniskatiske funksjonene lett kunne utvides til å gjelde også for komplekse verdier av argumentet. Abel viste at dette kunne også gjøres for de mer generelle, elliptiske funksjoner som han hadde funnet. For det formål definerte han det konjugerte integralet

{\displaystyle v=\int \_{0}^{y}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}
hvor parametrene *c* og *e* er byttet om. Her kan den øvre grensen *y* betraktes som en funksjon av integralets verdi *v*. Denne er reell og øker jevnt fra null til en maksimal verdi

{\displaystyle {\omega ' \over 2}=\int \_{0}^{1/e}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}
for *y* = 1/*e*. Ved å skifte integrasjonsvariabel fra *t* til *it* i integralet hvor *i* = √-1, fant Abel at *iy* = *φ*(*iv*). Denne elliptiske funksjonen kan derfor beregnes også for rent imaginære verdier av argumentet. Spesielt har man verdien *φ*(*iω'*/2) = *i/e*. Addisjonsformlene gjør det så mulig å beregne funksjonen for komplekse argument på formen *w = u + iv*.

For denne komplekse utvidelsen behøver man også verdiene til de to andre, elliptiske funksjonene for imaginære argument. Man finner at *f*(±*iω'*/2) = √(1 + *c*2/*e*2) og *F*(±*iω'*/2) = 0. Det gir

{\displaystyle \phi {\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm {i \over e}{F(u) \over f(u)}}
og for de andre funksjonene,

{\displaystyle F{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm i{\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\phi (u) \over f(u)},\;\;f{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over e}{1 \over f(u)}}
Da *f*(±*ω*/2) = 0, ser man disse tre elliptiske funksjonene divergerer i punktene *ω*/2 ± *iω'*/2 og i andre relatert ved symmetri. Nærmere undersøkelser viser at dette er enkle poler, men denne delen av matematisk analyse var ikke særlig utviklet på Abels tid.

### Dobbeltperiodisitet

Med den komplekse utvidelsen ble funksjonene opprinnelig definert for imaginære argument i området -*ω'*/2 ≤ *v* ≤ *ω'*/2. Med bruk av addisjonsformlene er dette gyldighetsområdet utvidet til -*ω'* ≤ *v* ≤ *ω'*. Ved å la *u* erstattes med *u + iω'*/2 i de ovenstående ligningene, følger at *φ*(*u + iω'*) = -*φ*(*u*). Denne elliptiske funksjonen er da periodisk i imaginær retning med periode 2*iω'*. I tillegg har man da også

{\displaystyle \phi (u+\omega \pm i\omega ')=\phi (u)}
slik at man kan ekvivalent si at den har to komplekse perioder *ω*1,2 = *ω* ± *i* *ω'*. Da *φ*(0) = 0, vil funksjonen også være null i alle punkt *w* = *mω + inω'* hvor *m* og *n* er vilkårlige heltall, positive som negative eller null. Disse nullpunktene danner derfor et regelmessig gitter i det komplekse planet. Det gjelder også for polene til funksjonen.

For de to andre funksjonene til Abel finner man på tilsvarende måte at *f*(*u + iω'*) = *f*(*u*) og *F*(*u + iω'*) = -*F*(*u*). Perioden til *f*(*u*) er derfor *iω'* i imaginær retning, mens den er 2*iω'* for *F*(*u*). Igjen vil nullpunktene og polene til disse to elliptiske funksjonene danne et gitter som avspeiler deres dobbeltperiodisitet. Etter at Gauss var død, viste det seg at han hadde funnet tilsvarende egenskaper ved de lemniskatiske funksjonene.

### Jacobis elliptiske funksjoner

Fra definisjonene ser man at Abels elliptiske funksjoner er relaterte til Jacobis elliptiske funksjoner med imaginær modulus *k = ie/c*. Den nøyaktige sammenhengen finnes ved et skifte av integrasjonsvariabel i de definerende integralene som gir

{\displaystyle \phi (u;c,e)={1 \over c}{\mbox{sn}}(cu,ie/c)}
De to sekundære funksjonene blir dermed

{\displaystyle f(u;c,e)={\mbox{cn}}(cu,ie/c),\;\;F(u;c,e)={\mbox{dn}}(cu,ie/c)}
Etter at Abel døde i 1829 fortsatte Jacobi med sine undersøkelser av de elliptiske funksjonene. Etterhvert kom de til å bli numerisk tabulert og benyttes som en standard frem til i dag. Fra relasjoner mellom disse funksjonene for imaginære verdier av modulus, kan de tilsvarende funksjonene til Abel beregnes.

Referanser
----------

1. 1 2  J. Stillwell, *Mathematics and Its History*, Springer, New York (2010). ISBN 978-1441960528.
2. ↑  A. Stubhaug, *Et foranskutt lyn: Niels Henrik Abel og hans tid*, Aschehoug, Oslo (1996). ISBN 82-03-16697-0.
3. ↑  Ø. Ore, *Niels Henrik Abel - et geni og hans samtid*, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1954).
4. ↑  N.H. Abel, *Recherches sur les fonctions elliptiques*, Journal für die reine und angewandte Mathematik, **2**, 101-181 (1827).
5. ↑  N.H. Abel, *Recherches sur les fonctions elliptiques*, Journal für die reine und angewandte Mathematik, **3**, 160-190 (1828).
6. 1 2  J. Gray, *The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century*, Springer, Heidelberg (2015). ISBN 978-3-319-23714-5.
7. ↑  M. Abramowitz and I.A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, Dover Publications, New York (1983). ISBN 0-486-61272-4.

Litteratur
----------

* C. Houzel, *The Work of Niels Henrik Abel*, in O.A. Laudal and R. Piene, *The Legacy of Niels Henrik Abel - The Abel Bicentennial, Oslo 2002*, Springer Verlag, Berlin (2004). ISBN 3-540-43826-2.