«Potens» omdirigeres hit. For annen bruk, se Potens (andre betydninger).
Grafen b^x for ulike verdier for b: 10, e, 2 og 1/2 for henholdsvis grønn, rød, blå og turkis kurve.
En **potens** i matematikken er et tall eller en funksjon uttrykt som en relasjon mellom to tall eller variabler, et grunntall og en eksponent. Man sier at grunntallet er *opphøyd i* eksponenten. En potens med grunntall b og eksponent n skrives:

{\displaystyle b^{n}}
Dersom n er et positivt heltall, tilsvarer dette å gange grunntallet med seg selv *n* ganger, dvs.

{\displaystyle b^{n}=b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}
der man utfører multiplikasjonen på høyre side n ganger. For eksempel kan man skrive tallet 8 som {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}; her vil {\displaystyle 2^{3}} være en potens og 3 tallets eksponent.

Dersom n er et positivt heltall, defineres {\displaystyle b^{-n}} ved hjelp av brøk, slik at

{\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}
og {\displaystyle b^{1/n}} som n-te-roten av grunntallet,

{\displaystyle b^{1/n}={\sqrt[{n}]{b}}}
Definisjonen av eksponenter kan utvides til å gjelde for alle reelle og komplekse tall.

Regneregler
-----------

En potens med grunntall b og eksponent n, multiplisert med en annen potens med grunntall b og eksponent m:

{\displaystyle b^{n}\cdot b^{m}=b^{n+m}}
En potens med grunntall b og eksponent n, dividert med en annen potens med grunntall b, og eksponent m:

{\displaystyle {\frac {b^{n}}{b^{m}}}=b^{n-m}}
Negative eksponenter gir den inverse til tallet opphøyd i eksponenten:

{\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}
for alle b ulik 0

Potens av potens regnes ut ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene:

{\displaystyle (b^{n})^{m}=b^{nm}}
For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning:

{\displaystyle b^{0.4}=b^{2/5}={\sqrt[{5}]{b^{2}}}}
For eksponenter lik null gjelder:

{\displaystyle b^{0}=b^{n-n}={\frac {b^{n}}{b^{n}}}=1}
for alle b ulik 0

Notasjon for funksjoner
-----------------------

Dersom et tall angis som opphøyd for en funksjon, før argumentet, betegner dette vanligvis enten en invers (for -1) eller at man anvender samme funksjon et visst antall ganger (for et positivt heltall). F.eks. vil man kunne angi den inverse funksjonen av {\displaystyle f(x)=x} som {\displaystyle f^{-1}(x)=1/x} (for x > 0), og funksjonen {\displaystyle f(f(f(x)))} som {\displaystyle f^{3}(x)}. 

For trigonometriske og hyperbolske funksjoner har slike eksponenter, etter konvensjon, en noe annen betydning: *-1* betegner den trigonometriske inverse funksjonen, og et positivt heltall betegner at man opphøyer funksjonen i dette tallet n ganger. F.eks. vil {\displaystyle \sin ^{-1}x} brukes ekvivalent med {\displaystyle \arcsin x}, og {\displaystyle \sin ^{2}x} ekvivalent med {\displaystyle (\sin x)^{2}}. Tilsvarende konvensjon for positive heltall gjelder også for logaritmiske funksjoner, der {\displaystyle \log ^{2}x} vanligvis refererer til {\displaystyle (\log x)^{2}}, ikke {\displaystyle \log \log x}.

Se også
-------

* Eksponensialfunksjon

Eksterne lenker
---------------

* (en) Eric W. Weisstein, *Exponentiation* i MathWorld.
* (en) Eric W. Weisstein, *Inverse Trigonometric Functions* i MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** MathWorld **·** LCCN
 |