Fjerner lyskilden seg fra mottageren, oppstår det en **rødforskyvning**. Motsatt oppstår det en **blåforskyvning** når lyskilden nærmer seg mottageren.
**Relativistisk Doppler-effekt** beskriver hvordan frekvensen eller bølgelengden for lys eller annen elektromagnetisk stråling forandres ved at lyskilden eller mottageren beveger seg relativt til hverandre. 
I den akustiske Doppler-effekten inngår både hastigheten til lydkilden og hastigheten til mottageren som måler frekvensen av lyden. Samme relativhastighet mellom kilde og mottager gir i alminnelighet ikke samme frekvensforskyving. Det skyldes at hastighetene måles i forhold til mediet (luften) som lydbølgen beveger seg gjennom. Luften er en eter for lydbølgene. Hvis det fantes en eter for lysbølger, ville man for dem forvente en lignende Doppler-effekt som for lyd. Det er aldri blitt observert. 

I den spesielle relativitetsteorien er det ingen eter og lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer. Albert Einstein viste i 1905 at Doppler-forskyvningen kun avhenger av den *relative* hastighet mellom kilde og mottager. Denne symmetrien er en direkte konsekvens av at også oppfatning av tid er forskjellig for forskjellige observatører og kommer til uttrykk ved tidsdilatasjonen i den spesielle relativitetsteorien.

Longitudinell effekt
--------------------

Man kan først anta at lyskilden beveger seg med hastighet *v* langs den positive *x*-aksen mot mottageren som er lokalisert på denne aksen. Etter å ha mottatt en bølgetopp, må han vente en tid *TR* til han mottar neste. Nå er *c - v* den *relative* hastigheten mellom kilde og mottager slik at *(c - v)TR = λ'* er bølgelengden han ser at lyset har. Frekvensen til det observerte lyset er *ν' = c/λ'* som nå blir

{\displaystyle \nu '={1 \over 1-v/c}{1 \over T\_{R}}}
Nå er tiden *TR* mellom to bølgetopper målt i et inertialsystem hvor mottageren er i ro og kilden beveger seg. På grunn av tidsdilatasjonen tilsvarer det tiden *T = TR /γ* i et system hvor kilden ligger i ro og *γ = 1/√(1 - v2/c2)* er den berømte Lorentz-faktoren. Men tiden *T* mellom to bølgetopper i dette systemet er direkte gitt ved frekvensen *ν = 1/T*. Innsatt gir det den observerte frekvensen

{\displaystyle \nu '={{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over 1-v/c}\,\nu ={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\nu }
for mottageren som ser lyskilden nærme seg. Som ventet er den større enn hvilefrekvensen. Faktoren foran *ν* som gir denne Doppler-forskyvningen, kalles noen ganger for *K-faktoren* og danner grunnlaget for K-kalkulus.

### Bevegelig mottager

I dette tilfellet kan man tenke seg at lyskilden sitter i ro i *x = 0*, mens mottageren nærmer seg med hastighet *v*. Er perioden til det utsendte lyset *T* i dette referansesystemet, så er frekvensen *ν = 1/T* og bølgelengden *λ = cT*. Perioden *T* er tiden mellom utsendelsen av to bølgetopper som ankommer mottageren med en tidsforskjell *TS* observert i kildens hvilesystem. Denne kan beregnes fra sammenhengen *λ = (c + v)TS* siden relativhastigheten mellom en bølgetopp som blir sendt ut og mottageren som nærmer seg, nå er *c + v*. 

Frekvensen av lyset som mottageren registrerer, er gitt som *ν' = 1/T'* hvor tiden *T'*  er tiden mellom to bølgetopper målt i hans eget inertialsystem. Igjen fra formelen for tidsdilatasjon følger at *T' = TS /γ* som nå gir den observerte frekvensen

{\displaystyle \nu '={1+v/c \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\nu ={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\nu }
Det er det samme resultatet som for bevegelig kilde. Frekvensforsandringen kalles for den **longitudinelle Doppler-effekten** da mottageren beveger seg direkte mot lyskilden. For lys avhenger den kun av den relative hastigheten mellom lyskilde og mottager.

### Utledning fra Lorentz-transformasjonen

Lys med perioden *T* blir sendt ut fra kilden i origo *x = 0* og blir mottatt med periode *T'* av observatøren som nærmer seg origo.
Det er interessant å se hvordan dette resultatet for Doppler-forskyvningen følger fra Lorentz-transformasjonen. I det siste tilfellet med bevegelig mottaker, vil dennes avstand fra origo være *x = x0 - vt*  hvor *x0* er avstanden ved tiden *t = 0*. Ved dette tidspunktet blir første bølgetopp sendt ut fra origo og ved tiden *t = T* sendes den neste. Derfor kan man betrakte *T* som perioden til lyset målt i dette referansesystemet som er lyskildens hvilesystem. Ankomsten av de to bølgetoppene hos mottakeren er hendelsene 1 og 2 i figuren til høyre.

Den første bølgetoppen ankommer ved mottakeren ved tiden *t1* etter å ha tilbakelagt en strekning *x1 = ct1*. Men samtidig er *x1 = x0 - vt1*  slik at *t1 = x0/(c + v)*. Den andre bølgetoppen blir sendt ut *T* sekunder senere og ankommet mottakeren ved tiden *t2*. Den har derfor tilbakelagt *x2 = c(t2 - T)*  meter. Herfra kan *t2* beregnes på samme måte som for *t1*. Differansen *TS = t2 - t1 = T/(1 + v/c)*  mellom de to ankomsttidene stemmer med hva som ble utledet over.

Fra disse koordinatene i det stasjonære inertialsystemet kan man nå beregne de samme ankomsttidene målt av mottageren i hans hvilesystem ved bruk av Lorentz-transformasjonen. Den første bølgetoppen ankommer derfor ved den lokale tiden

{\displaystyle t'\_{1}=\gamma (ct\_{1}+vx\_{1}/c)}
hvor den negative hastigheten *-v* inngår da mottageren her beveger seg mot origo. Innsetning av resultatene for *t1* og *x1* gir etter litt ordning at *ct1' = γ(vx0 /c + ct1(1 - v2/c2))*. Et tilsvarende resultat finnes for *t2'* uttrykt ved *t2*. I mottagerens hvilesystem er nå 

{\displaystyle T'=t\_{2}'-t\_{1}'=\gamma {1-v^{2}/c^{2} \over 1+v/c}\,T={\sqrt {1-v/c \over 1+v/c}}\,T}
perioden til lyset da det er tiden mellom to bølgetopper. Den er kortere enn perioden i kildens hvilesystem og tilsvarer derfor en høyere frekvens *ν' = 1/T'*. Dette er i overensstemmelse med resultatet funnet over fra en mer intuitiv beregningsmetode.

Generell Doppler-effekt
-----------------------

I det mer generelle tilfellet vil lysbølgene bevege seg i en annen retning enn det mottageren eller kilden gjør. En plan lysbølge i det stasjonære referansesystemet med bølgelengde *λ* er beskrevet ved det elektriske feltet

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} \_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}
hvor **E**0 er en konstant vektor. Retningen til bølgen er gitt ved bølgevektoren **k** hvor *k* = |**k**| = *2π/λ* er bølgetallet, mens *ω = 2πν* er vinkelfrekvensen med *ν = c/λ*. Fasen **k**⋅**x** - *ωt* inneholder informasjon om hvor mange bølgetopper passerer et punkt i tidrommet med disse koordinatene. I det følgende er det enklest å anta at bølgevektoren ligger i *(x,y)* - planet og danner vinkelen *θ* med *x*-aksen. Da er **k**⋅**x** = *kxx + kyy* hvor komponentene er *kx = k*cos*θ* og *ky = k*sin*θ*.

Man kan nå betrakte denne bølgene fra det bevegelige intertialsystemet som beveger seg med hastighet *v* langs *x*-aksen. Det fjerner seg altså lyskilden. Forandringen av fasen kan finnes ved å innføre de Lorentz-transformerte uttrykkene for *t* og *x*. Det gir

{\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t=\gamma k\_{x}(x'+vt')+k\_{y}y-\omega \gamma (t'+vx'/c^{2})}
Dette kan skrives som **k'**⋅**x'** - *ω' t'* hvis man innfører de transformerte størrelsene 

{\displaystyle \omega '=\gamma (\omega -vk\_{x})\,,\;\;\;k\_{x}'=\gamma (k\_{x}-v\omega /c^{2})}
sammen med *k'y = ky* da den transverse koordinaten *y* forblir uforandret. I det bevegelige referansesystemet ser man derfor også en plan lysbølge, men med litt andre verdier for frekvens og bølgevektor.

Ved å benytte at *k = ω/c* i uttrykket for den transformerte frekvensen, ser man at denne kan skrives som

{\displaystyle \omega '={1-(v/c)\cos \theta \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\omega }
Dette generelle resultatet kan utledes mye mer direkte ved bruk av kovariant relativitetsteori.

Fra uttrykket for *k'x* = *k* cos*θ'* hvor *k' =ω'/c*, finnes nå også sammenhengen mellom retningen til bølgen i de to inertialsystemene,

{\displaystyle \cos \theta ={\cos \theta '+v \over 1+(v/c)\cos \theta '}}
Denne gjør det mulig å uttrykke frekvensforskyvningen ved vinkelen *θ'* i det bevegelige systemet,

{\displaystyle \omega ={1+(v/c)\cos \theta ' \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\omega '}
som ikke er noe annet enn den inverse transformasjonen fra det bevegelige systemet til det stasjonære. Disse formlene er de generelle uttrykk for den «relativistiske Doppler-effekten». 

Man kan nå se på noen spesielle tilfeller. Ved å sette *θ = 0*, finner man igjen det tidligere resultatet for den longitudinelle effekten i dette tilfellet hvor mottageren fjerner seg og ser en rødforskyvning *ω' < ω* av lyset. Dette resultatet må være ekvivalent med at en lyskilde i det bevegelige systemet sender ut en bølge med frekvens *ω'* bakover mot mottakeren i det stasjonære systemet ved *x = 0*. Da må *θ' = π* som i den siste formelen igjen gir *ω < ω'*. Som ventet er dette den samme rødforskyvningen.

### Transversell effekt

Når lyset observeres vinkelrett på bevegelsesretningen, er det rødforskjøvet.
Den transverselle Doppler-effekten opptrer når det utsendte lyset blir registrert vinkelrett på mottakerens bevegelsesretning. Hvis vinkelen *θ = π/2*, vil det beskrive en slik situasjon hvor en bevegelig kilde med egenfrekvens *ω'* sender ut lys. I det stasjonære systemet blir dette lyset da observert med frekvensen 

{\displaystyle \omega =\omega '{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
som igjen er en rødforskyving *ω' < ω*. Denne transverselle effekten er ikke noe annet enn en tidsdilatasjon. Mottageren ser lyskilden i bevegelse og vil derfor se alle elektromagnetiske svingninger i den foregå langsommere. På samme måte hvis man setter *θ' = π/2*, vil det gi den observerte frekvensen i det bevegelige systemet når lyset blir sendt ut med frekvens *ω* i det stasjonære referansesystemet. Man ser da at *ω' < ω* med den samme rødforskyvningen.

Effekten kan påvises eksperimentelt ved å betrakte emisjon av lys fra ioner i sirkulær bevegelse i en partikkelakselerator eller ved å registrere radiosignal fra en satellitt i banebevegelse omkring Jorden. I dette siste tilfellet må man også ta hensyn til den gravitasjonelle rødforskyvningen som er en konsekvens av generell relativitsteori.

### Aberrasjon

Mens retningen til lysbølgen i det stasjonære systemet er gitt ved vinkelen *θ*, vil retningen i det bevegelige systemet være litt annerledes og bestemt ved vinkelen *θ'*. Sammenhengen mellom disse to kan nå finnes ved å beregne tan*θ' = k'y/k'x*. Det gir

{\displaystyle \tan \theta '={\sin \theta {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over \cos \theta -v/c}}
og er den relativistiske formelen for aberrasjon. Man kan skrive om dette uttrykket på den mer symmetriske formen

{\displaystyle \tan {\theta ' \over 2}={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}\,\tan {\theta \over 2}}
Dette er en effekt som er viktig ved observasjoner innen astronomi hvor bevegelsen av Jorden vil påvirke de målte verdiene for retningene til forskjellige objekter eller hendelser ute i Universet.

Litteratur
----------

* W. G. V. Rosser, *Introduction to Special Relativity*, Taylor & Francis Ltd, London (1991). ISBN 0-85066-839-7.
* H. D. Young and R. A. Freedman, *University Physics*, Addison Wesley, New York (2004). ISBN 0-321-20469-7.