Varignons parallellogram dannes av midtpunktene på sidene til firkanten.
**Varignons teorem** beskriver en enkel, geometrisk egenskap ved firkanter. Det ble bevist av den franske matematiker Pierre Varignon ved bruk av euklidsk geometri og ble publisert i 1731, ni år etter hans død. Teoremet sier at midtpunktene til firkanten danner et parallellogram. Omkretsen til parallellogrammet er lik summen av diagonalene til firkanten. 

Når firkanten er plan og *konveks*, det vil si at den ikke har noen sider som går 'innover', er arealet av parallellogrammet halvparten av arealet til firkanten. Varignons parallellogram er alltid plant, også når den gitte firkanten ikke er det.

Geometrisk bevis
----------------

Teoremet ble opprinnelig bevist ved bruk av euklidsk geometri. Men det er mer generelt gyldig også i et affint rom. Det tillater et meget enkelt bevis ved bruk av affin geometri og affine kombinasjoner av punkt. Betrakter man de tre midtpunktene *E*, *F* og *G*, så danner de et plan. I dette planet er nå *(E - F)* en vektor som man kan brukes til å finne et nytt punkt *H = G + (E - F)* i samme plan. Dette punktet er nå *(C + D)/2 + (A + B)/2 − (B + C)/2 = (A + D)/2* da det er her tillatt å løse opp parentesene. Men dette er akkurat midtpunktet mellom *A* og *D*. Det beviser at midtpunktene *EFGH* danner et parallellogram som ligger i et plan.

### Omkrets av parallellogrammet

Siden *EF* i parallellogrammet er halvparten av diagonalen *AC*. Det gjelder også for siden *HG*. Summen av disse to sidene er derfor lik *AC*. På samme måte er summen av sidene *FG* og *HE* lik den andre diagonalen *BD*. Det viser at summen av sidene i Varignons parallellogram er lik summen av de to diagonalene i den gitte firkanten.

I affin geometri er ikke lengder av linjestykker definert. Derimot kan man snakke entydig om forhold mellom lengder i samme retning. På denne måten må dette beviset forstås her.

### Areal til parallellogrammet

I euklidsk geometri er lengden til vilkårlige linjestykker veldefinert. På samme måte kan også areal entydig sammenlignes og beregnes. Det kan benyttes til å finne arealet til Varignons parallellogram. Betrakter man derfor en konveks firkant som i øverste figur, vil arealet av for eksempel trekanten *EBF* være 1/4 av arealet til trekanten *ABC* når man trekker diagonalen *AC*. Det er en konsekvens av at sidene i *EBF* er halvparten av de i *ABC*. Det samme gjelder for de tilsvarende trekantene ved de andre hjørnene. Da de to trekantene *ABC* og *ADC* utgjør arealet til hele den gitte firkanten, må parallellogrammet *EFGH* ha halvparten av dens areal.

| Konveks firkant: | Konkav firkant: | Krysset firkant: |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |

Referanser
----------

* M. de Villiers, *Some Adventures in Euclidean Geometry* , Dynamic Mathematics Learning (2009). ISBN 978-0-557-10295-2.
* H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, *Geometry Revisited*, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.

Eksterne lenker
---------------

* P. N. Oliver, *Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem*, Mathematics Teacher, **94**(4), 316-319 (2001).
* Cut the Knot, Wittenbauers parallellogram, analogt til Varignons parallellogram.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |