Bilde av det hyperbolske planet dekket med like store trekanter vist på en disk i modellen til Poincaré. På grunn av den variable metrikken ser trekantene ut til å bli jevnt mindre ut mot kanten.
**Hyperbolsk geometri** er en generalisering av euklidsk geometri hvor parallellpostulatet ikke er gyldig. Den er derfor en ikke-euklidsk geometri som beskriver plan eller rom som har konstant, negativ krumning. Den ble etablert av Janos Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij på midten av 1800-tallet og blir derfor også omtalt som **Bolyai-Lobatsjevskij-geometri**. Mange av deres oppdagelser var også kjent av Gauss, men hans resultat ble først kjent etter hans død. Han kalte denne nye geometrien for *ikke-euklidsk geometri*. Navnet hyperbolsk geometri ble innført flere tiår senere av Felix Klein da han kunne vise hvordan den kunne utledes mer generelt fra projektiv geometri.

I euklidsk geometri sier parallellpostulatet at man gjennom et punkt utenfor en linje alltid kan trekke en parallell linje. Den vil aldri skjære den gitte linjen. Men når man oppgir dette postulatet, er det ikke lenger opplagt hva som skjer med to linjer som forlenges i det uendelige. De kan skjære hverandre eller ikke. Det er nærliggende å si at i det siste tilfellet er linjene parallelle. Men Bolyai og Lobatsjevskij viste at en mer presis definisjon av parallellitet er gitt som grensen mellom de linjer som skjærer og de som ikke skjærer den gitte linjen. Gjennom et punkt utenfor en linje i hyperbolsk geometri finnes det derfor uendelig mange linjer som ikke skjærer den gitte linjen, men bare to ekte paralleller. Disse omtales også som **grenseparalleller** eller «horoparalleller» etter det greske ordet *όριο* for grense som også finnes i horisont.

Men summen av vinklene i en trekant i euklidsk geometri er 180° eller *π*  radianer, vil denne summen i hyperbolsk geometri alltid være mindre enn dette. Kalles vinklene for *α*, *β* og *γ*, kan arealet til en hyperbolsk trekant skrives som

{\displaystyle A=(\pi -\alpha -\beta -\gamma )k^{2}}
hvor *k* er en konstant med dimensjon lengde. Selv om det hyperbolske planet er uendelig stort, må alle trekanter ha areal mindre enn *π k*2. Denne formelen tilsvarer arealet 

{\displaystyle A=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )R^{2}}
for en sfærisk trekant hvor summen av vinklene i trekanten alltid er større enn *π*. Disse to formelene går over i hverandre ved å la *k → iR*  hvor *i* er den imaginære enheten. Denne matematiske sammenhengen mellom hyperbolsk og sfærisk geometri viser seg å være av dyp betydning.

Hyperbolske geometrier ble av stor betydning for utviklingen av moderne matematikk. Også innen teoretisk fysikk og kosmologi har disse nye geometriene funnet mange anvendelser.

Historie
--------

De første egenskapene til hyperbolsk geometri ble etablert av Saccheri i første halvdel av 1700-tallet. Han utledet dem på en streng, logisk måte ved å anta at parallellaksiomet ikke var korrekt. Et av hans viktigste resultat var at vinkelsummen i en trekant alltid er mindre enn *π*. Men han håpet på å komme frem til en selvmotsigelse og derved ha bevist riktigheten av dette aksiomet. Det lyktes han ikke helt, men likevel var han overbevist om euklidsk geometri var den eneste mulige.

Noen tiår senere videreførte Lambert dette arbeidet og viste at arealet til en polygon med *n* sider i denne mer generelle geometrien vil ha et areal som er proporsjonalt med differensen mellom 2*n* - 4 rette vinkler og summen av de indre vinklene i mangekanten. Da dette er det samme resulatet som for en slik mangekant i sfærisk geometri, spekulerte han om hyperbolsk geometri kunne forbindes med denne, men da på en kuleflate med imaginær radius. 

På begynnelsen av 1800-tallet tok Taurinus opp dette forslaget og utledet flere matematiske resultat for hyperbolsk geometri fra kjente formler i sfærisk trigonometri. For eksempel, for en trekant med hjørnevinkler *A*, *B* og *C* med motsatt sider *a*, *b* og *c* på en kuleflate med radius *R*, gjelder sinussetningen

{\displaystyle {\sin A \over \sin a/R}={\sin B \over \sin b/R}={\sin C \over \sin c/R}}
Ved nå å la *R → ik* vil sinusfunksjonene som inneholder sidelengdene, gå over til hyperbolske sinusfunksjoner. På den måten kom han frem til

{\displaystyle {\sin A \over \sinh a/k}={\sin B \over \sinh b/k}={\sin C \over \sinh c/k}}
som litt senere med arbeidene til Bolayai og Lobatsjevskij viste seg å være riktig. I de første årene omtalte også Lobatsjevskij sin nye geometri som *imaginær geometri*, noe som også kan ha med å gjøre at det på den tiden var usikkert om den eksisterte andre steder enn i hans eget hode.

Hyperbolsk geometri ble først virkelig kjent etter at Bernhard Riemann på midten av 1800-tallet utviklet riemannsk geometri som beskriver rom eller mangfoldigheter med en krumning som varierer fra sted til sted. I denne formuleringen gjelder da hyperbolsk geometri for det spesielle tilfellet at flaten eller rommet har konstant, negativ krumning på samme måte som elliptisk og sfærisk geometri har konstant, positiv krumning. Med disse nye metodene til disposisjon kunne Eugenio Beltrami lage modeller for hyperbolsk geometri basert på euklidsk geometri. Dette gjorde beregninger og visualiseringer enklere. Felix Klein viste hvordan denne nye geometrien kunne utledes fra projektiv geometri basert på tidligere betraktninger av Arthur Cayley. Sammen med de elegante formuleringene som ble funnet av Henri Poincaré, utgjør disse modellene i dag standardfremstillingen av hyperbolsk geometri.

Grunnlag
--------

Hyperbolsk geometri er bygd på Euklids fire første postulat. De sier at gjennom to punkt går det alltid en linje som kan forlenges i begge retninger samt at man om hvert punkt kan lage en sirkel med gitt radius. Dermed kan man også i hvert punkt konstruere en rett vinkel som skal være den samme overalt. For to linjer som skjærer hverandre, er vinkelen mellom dem veldefinert og kan bestemmes.

Linjene i hyperbolsk geometri er ikke rette linjer som i euklidsk geometri, men heller geodetiske kurver som gir den korteste avstand mellom to punkt. Rent praktisk kan de finnes ved å strekke et målbånd mellom disse punktene. På denne måten kan også lengden av denne linjen bestemmes. Da disse linjene er glatte og kontinuerlige, vil en forvente at geometrien i en liten omegn rundt hvert punkt er tilnærmet euklidsk. I illustrasjoner fremstilles disse linjene ofte med litt krumning som en påminnelse om at de ligger i et ikke-euklidsk plan eller rom.

### Paralleller

Horoparallellen gjennom punktet *P* er tegnet med rødt, mens parallelvinkelen Π  er markert med grønt.
Både Bolyai og Lobatsjevskij erstattet parallellaksiomet med antagelsen at gjennom et punkt utenfor en linje i et hyperbolsk plan går det minst en annen linje som ikke skjærer den gitte linjen. Finnes det kun en slik linje, vil geometrien være euklidsk. Hvis det er flere slike linjer, er planet hyperbolsk. Kalles punktet utenfor linjen *l* for *P*, vil det derfor finnes minst et annet punkt *A* utenfor linjen slik at forlengelsen av linjen *PA* gjennom *P* og *A* ikke skjærer den gitte linjen *l*. Hvis *A* flyttes litt nærmere den gitte linjen, kan man finne flere linjer som ikke skjærer *l*. Geometrien er da hyperbolsk og disse ikke-skjærende linjene sies å være **ultraparallelle** med den gitte linjen.

Derimot, hvis man velger et punkt *B* på *l*, vil linjen *PB* gjennom *P* og *B* selvsagt skjære denne. Det vil den også fortsette å gjøre etter som punktet *B* beveger seg ut til en av sidene. I grensen hvor det bevegelige punktet *B* beveger seg uendelig langt bort, nærmer linjen *PB* seg en ikke-skjærende linje. Denne kritiske linjen kalles en «grenseparallell» eller **horoparallell**. Når det ikke kan oppstå misforståelser, forkortes dette vanligvis ganske enkelt til «parallell». I en hyperbolsk geometri vil derfor hver linje ha to slike paralleller, en til hver side. Disse to sammenfaller når geometrien blir euklidsk.

Endepunktet til en slik parallell ligger uendelig langt borte og kalles ofte for et **ideelt punkt**. Det kan betegnes med en stor, gresk bokstav som *Ω*. Man tenker seg da at ultraparallelle linjer går gjennom punkt enda lenger vekk, det vil si gjennom **ultraideelle punkt**. Disse kan lettere visualiseres i endelige modeller for det uendelig stor hyperbolske planet eller rommet.

### Parallellvinkelen

Avstanden *p* mellom punktet *P* og den gitte linjen *l* er lengden av linjestykket *OP* hvor punktet *O* ligger på den gitte linjen slik at vinkelen *POB* er rett. 
Når punktet *B* har beveget seg uendelig langt vekk, vil grenseparallellen danne en viss vinkel Π  med denne perpendikulæren. Denne «grensevinkelen» eller **parallellvinkelen** vil variere med avstanden *p*, slik at det finnes en sammenheng Π = Π(*p*). Denne funksjonen spiller en fundamental rolle i hyperbolsk geometri og notasjonen ble innført av Lobatsjevskij. Basert på resultatene til Saccheri vet man at dette er en avtagende funksjon med grenseverdiene Π(0) = *π* /2 og Π(∞) = 0. Euklidsk geometri tilsvarer at parallellvinkelen har den konstante verdien *π* /2.

I grensen der *B* har beveget seg uendelig langt bort til det ideelle punktet *Ω*, blir trekanten *POΩ* «asymptotisk» med en vinkel *OΩP* i det ideelle punktet som er null. Summen av vinklene i denne asymptotiske trekanten er da Π + *π* /2. Den er mindre enn *π*  som for alle hyperbolske trekanter.

Horosirkler
-----------

Tangenten *t*  til horosirkelbuen *PQ* som er tegnet i rødt, står vinkelrett på diameteren *PΩ*.
For hvert valg av avstanden *p* til punktet *P* vil det i samme retning finnes en bestemt horoparallell. De vil alle gå gjennom det samme ideelle punktet *Ω* som er bestemt av linjen *l*. Man kan nå tenke seg en sirkel med sentrum i dette punktet og med de tilsvarende horoparallellene som diametre. Dette kalles en **horosirkel** eller «grensesirkel». Det er en sirkel med sitt sentrum i et ideelt punkt uendelig langt borte. En vanlig sirkel i hyperbolsk geometri vil bestå av alle punkt med samme, endelige avstand til et gitt punkt som i euklidsk geometri.

Oppretter man vinkelrette linjer i halveringspunktene til to forskjellige korder på horosirkelen, vil disse være parallelle og gå gjennom samme, ideelle punkt. To punkt på en horosirkelbue *PQ* vil være adskilt med en buelengde som øker med lengden 2*p*  av korden som forbinder dem. Når *p* har den spesielle verdien som tilsvarer parallellvinkelen Π = *π* /4, ser man av figuren at tangenten *t* i den ene enden av horosirkelbuen blir parallell med diameteren *l* gjennom kordens halveringspunkt *O*. Det skyldes at tangenten i et punkt alltid står vinkelrett på diameteren gjennom samme punkt.

### Polare koordinater

Polare koordinater (*r,θ*) med akse *l* og origo *O* for punkt *P* på horosirkel.
En vilkårlig linje *l* kan brukes til å definere polare koordinater i et hyperbolsk plan. Man velger et punkt *O* på linjen som origo. Et vilkårlig annet punkt *P* har da en avstand *r*  til *O*. Dette er den radielle koordinaten til punktet. Forbindelseslinjen *OP*  danner en vinkel *θ* med den gitte linjen *l* i *O*. Punktet *P* har derved fått koordinatene (*r,θ*). I dette koordinatsystemet er ligningen for en vanlig sirkel *r* = konstant.

Ligningen for en horosirkel kan finnes ved å la linjen *l* være en av dens parallelle diametre med origo *O* der denne skjærer horosirkelen. Et annet punkt *P* på horosirkelen er da gitt ved korden *OP* hvis lengde er den radielle koordinat *r*. Normalen på kordens midtpunkt har da en parallellvinkel Π(*r*/2) som er lik med den polare vinkelen *θ*. Alle punktene på horosirkelen er derfor gitt ved ligningen

{\displaystyle \theta =\Pi (r/2)}
i polare koordinater. Denne er derfor den samme for alle horosirkler som dermed alle også er kongruente. En horosirkel kan flyttes og vil falle sammen med en horosirkel på et annet sted. Alle horosirkler ser like ut. I den euklidske grensen går de over til å bli rette linjer med ligningen. Det sees også fra ligningen som da gir *θ = π* /2  i det valgte koordinatsystemet.

### Skalering

Variasjon av buelengdene på tre horo-sirkler med felles sentrum *Ω* .
Betrakter man en bue med lengde *s*  av en horosirkel, vil diameterne gjennom dens endepunkt avskjære kortere buer av horosirkler som ligger nærmere dens sentrum. Hvis avstanden mellom to slike buer er *x*, vil den innerste buen ha en lengde som kan skrives som *s'* = *f*(*x*)  for en eller annen funksjon *f*(*x*). En tilsvarende bue enda nærmere sentrum i avstand *y*  fra den forrige, vil da ha en lengde *s' ' = f*(*y*)*s'* = *f*(*y*)*f*(*x*)*s*. Men samtidig må man ha at *s' ' = f*(*x + y*)*s*, slik at den ukjente funksjonen må oppfylle ligningen

{\displaystyle f(x)f(y)=f(x+y)}
Den har en løsning som er gitt ved eksponentialfunksjonen og kan skrives som

{\displaystyle f(x)=e^{-x/k}}
hvor *k* er en ukjent konstant med samme dimensjon som en lengde. Hver hyperbolsk geometri er derfor karakterisert ved en slik størrelse, noe som allerede Lambert var klar over. Vanligvis velger man å måle alle lengder i denne enheten. Det tilsvarer å sette *k* = 1. Lengden av en horosirkelbue blir da en faktor *e* = 2.781.. kortere når man beveger seg en strekning med lengde *x* = 1 mot sentrum.

### Lobatsjevskij-koordinater

Sammenheng mellom horosirkelbue *s*  og Lobatsjevskij-koordinater (*u,w*).
Ligningen for en horosirkel vil se annerledes ut i andre koordinatsystem. Lobatsjevskij betraktet en buelengde *AB* av en slik sirkel med sentrum i *Ω* og med den spesielle lengden *S* slik at tangenten i endepunktet *B* er parallell med diameteren gjennom *A*.. Hvis man så velger et punkt *C* mellom *A* og *B* med buelengde *BC* lik med *s*, vil diameteren gjennom dette punktet skjære tangenten i *B*  i et punkt *D*. Kaller man lengden av linjestykket *BD* for *w* og setter dette av på diameteren gjennom *C* ut fra punktet *D*, vil man etablere et punkt *B'*. En ny horosirkel gjennom dette punktet og med samme sentrum *Ω* vil skjære diameteren gjennom *A* i et punkt *A'* slik at også buen *A'B'* har den spesielle lengden *S*. Er avstanden mellom punktene *C*  og *D*  lik med *u*, vil *w + u*  være avstanden mellom horosirkelbuene *AB*  og *A'B'*. Skaleringsloven sier da at

{\displaystyle S-s=Se^{-u-w}}
når konstanten *k* = 1. Gjentas nå denne konstruksjonen ved å betrakte punktet *A1* som også ligger på buen *AB*, men i den andre retningen slik at buen *BA1* har lengden *S*. Da vil lengden *A1C* bli *S + s*  som denne gangen må oppfylle

{\displaystyle S+s=Se^{-u+w}}
Lobatsjevskij-koordinater (*u,w*) for punkt *P* på horosirkel og tilsvarende bue *s'*.
Adderes disse to ligningene, får man sammenhengen

{\displaystyle e^{u}=\cosh w}
som igjen betyr at

{\displaystyle s=S(1-e^{-u}e^{-w})=S\tanh w}
Den første ligningen bestemmer hvert punkt *P*  på horosirkelen uttrykt ved **Lobatsjevskij-koordinatene** (*u, w*). Figuren viser at den tilsvarende buelengden er *s' = eus*  som gir

{\displaystyle s'=S\sinh w}
Dette resultatet kan også finnes når metrikken for det hyperbolske planet er funnet og alle buelengder kan beregnes. Da viser det seg at *S = 1*  målt i enheter av konstanten *k*.

Når parallellvinkelen *P'PΩ* = *π* /4, vil buelengden per definisjon være *s' = S*. Den halve korden *w*  må da ha den spesielle verdien *w = p*  som oppfyller sinh *p* = 1  eller *ep* = 1 + √2. Denne lengden er derfor

{\displaystyle p=\ln(1+{\sqrt {2}})}
målt i den samme enheten.

### Horosirkulære koordinater

Horosirkler med felles sentrum *Ω* og deres diametere danner koordinatlinjer for horosirkulære koordinater (*ξ,η*).
Man kan også benytte en horosirkel og dens diametre som koordinatlinjer. Man velger et punkt *O*  på en vilkårlig horosirkel som origo. Den ene koordinaten *ξ*  måles da langs diametrene som går gjennom horosirkelens sentrum *Ω* slik at koordinaten øker i denne retningen, er null i *O* og avtar utover. Langs horosirkelen velges koordinaten *η*  som gir buelengden målt fra origo *O*. Denne koordinaten varierer fra null i dette punktet og går mot pluss uendelig i en retning langs horosirkelen og tar tilsvarende negative verdier i motsatt retning. Punktet *P* har da de **horosirkulære koordinatene** (*ξ,η*)  hvor *ξ*  angir den radielle avstanden fra den gitte horosirkelen, og *η* angir punktet *P'* på denne horosirkelen hvor diameteren gjennom *P* treffer denne.

Det differensielle linjeelementet *ds* i punktet *P* er nå hypotenusen *PR* i en liten, rettvinklet trekant hvor den ene siden *PQ* er *dξ* og man kan benytte euklidsk geometri. Den andre siden er *QR* med lengde *e-ξ dη* hvor skaleringsfaktoen må tas med da *P* ligger i en avstand *ξ* fra den definerende horosirkelen. Fra Pythagoras' læresetning er da

{\displaystyle ds^{2}=d\xi ^{2}+e^{-2\xi }d\eta ^{2}}
Ligningen for en horosirkel er ganske enkelt *ξ* = konstant i dette koordinatsystemet. Ligningen for hyperbolske linjer finnes som geodetiske kurver i denne metrikken.

Denne metrikken er nesten den samme som for en pseudosfære med den forskjell at der varierer koordinaten *η*  bare fra -*π* til + *π*. Derfor kan man betrakte pseudosfæren eller «traktoiden» som en del av det hyperbolske planet rullet sammen som en sylinder.

Arealet av en horosirkulær sektor som spenner over en bue med lengde *s*, blir nå

{\displaystyle A=\int \_{0}^{s}\!d\eta \int \_{0}^{\infty }\!d\xi e^{-\xi }=s}
målt i enheter av *k*2. Dette enkle resultatet for arealet kan også regnes ut i Lobatsjevskij-koordinater, men det er mer omstendelig.

Tre dimensjoner
---------------

Utvidelse av hyperbolsk geometri i et plan til et tredimensjonalt rom kan gjennomføres på samme måte som i euklidsk geometri uten at nye antagelser må gjøres. Både Bolayai og Lobatsjevskij undersøkte denne utvidelsen av geometrien. En linje som skjærer et plan, står vinkelrett på dette hvis den står vinkelrett på alle linjer i planet gjennom skjæringspunktet. Mens to linjer som skjærer hverandre i et plan, definerer et punkt, vil to plan som skjærer hverandre i rommet, definere en linje. Vinkelen mellom planene kan bestemmes utfra vinkelen mellom deres normaler i et vilkårlig punkt på skjæringslinjen. Dette er det samme som den dihedrale vinkelen i euklidsk geometri.

En vanlig kuleflate eller «sfære» i hyperbolsk geometri består av de puktene som har samme avstand til et gitt punkt som er sfærens sentrum. Hyperbolske plan gjennom dette punktet vil skjære kuleflaten i storsirkler og avgrense sfæriske mangekanter. Både Bolayai og Lobatsjevskij viste at vinklene til disse oppfylte de samme lovene som i vanlig, sfærisk trigonometri. På den måten hadde de dermed bevist eksistensen av sfærisk geometri direkte fra postulatene for hyperbolsk geometri. Helt overraskende var det ikke da sfærisk geometri som er konstruert på vanlig måte i euklidsk geometri, ikke gjør bruk av parallellaksiomet.

To parallelle linjer ligger i et plan og skjærer hverandre i et punkt *Ω* uendelig langt borte. En tredje linje som er parallell med den ene av disse, men ligger utenfor planet, vil også være parallell med den andre linjen og gå gjennom det samme, ideelle punktet *Ω*. På same måte kan man definere to parallelle plan som vil skjære hverandre langs en linje uendelig langt borte.

Tre parallelle linjer som ikke ligger i samme plan, definerer tre plan som skjærer hverandre langs de tre samme linjene. Vinklene mellom disse planene kan nå relateres. Da fremkommer det overraskende resultatet at summen av de indre, dihedrale vinklene er 180° eller *π* radianer. Dette resultatet er som i et euklidsk rom og ble funnet av Bolyai og Lobatsjevskij. I dag blir det omtalt som «prismeteoremet».

### Horosfærer

En kuleflate med sitt sentrum i et ideelt punkt *Ω* kalles en *horosfære*. Alle dens diametre (eller radier) vil gå gjennom dette punktet uendelig langt borte og er derfor parallelle med hverandre. Dette er en direkte generalisering til tre dimensjoner av en horosirkel i to dimensjoner. Ethvert tangentplan til denne flaten vil derfor ha normaler som sammenfaller med disse og er derfor også parallelle.

Velger man ut tre av diameterne som ikke ligger i samme plan, vil de sammen definere et trekantet prisme med uendelig lange sidekanter. Horosfæren vil de skjære i tre punkter som utgjør hjørnene i en trekant. Prismeteoremet sier da at summen av de interne vinklene i denne trekanten vil være 180°. Det betyr at horosfæren er en flate hvor euklidsk geometri er gyldig. Alle vanlige trigonometriske resultat kan derfor benyttes på denne. De gjør det mulig å foreta beregninger som da gjelder i det hyperbolske rommet hvor flaten befinner seg.

Rettvinklete trekanter
----------------------

Hyperbolsk trekant *ABC* projisert til euklidsk trekant *AB'C'* på horosfære med sentrum i *Ω*.
All trigonometri er kan bygges opp fra betraktninger rundt en trekant med en rett vinkel. Slik er det også i hyperbolsk geometri. I en hyperbolsk trekant med hjørner i punktene *A*, *B*, *C*  og motsatte sider *a*, *b*  og *c*, kan man la den rette vinkelen være ved *C*. Summen av de to andre må da være mindre enn denne. I punktet *A*  oppretter man en normal som står vinkelrett på planet som trekanten ligger i. Denne linjen definerer et ideelt punkt *Ω* unedelig langt borte. Ved å la dette bli sentrum i en horosfære som tangerer trekanten i punktet *A*, vil de to diametrene *BΩ* og *CΩ* skjære horosfæren i de tilsvarende punktene *B'* og *C'*. 

Trekanten *AB'C'* vil da ha en rett vinkel i hjørnet *C'* og den samme vinkelen *A* i hjørnet *A*. Da trekanten har euklidsk geometri, har man derfor relasjonene *AC'* = *AB'*cos*A*  og *B'C'* = *AB'*sin*A*  mellom sidene. Men disse er også horosirkulære buer med lengdene 
*AB'  = S* tanh*c*  og *AC'  = S* tanh*b*. Siden *B'C'* er den tilsvarende lengden *S* tanh*a*  forkortet med faktoren *eu* = cosh*b*  hvor *u*  er lengden av linjestykket *CC'*. Derfor blir *B'C' = S* tanh*a* /cosh*b*. På denne måten finner man de to trigonometriske relasjonene

{\displaystyle \cos A={\tanh b \over \tanh c},\;\;\;\sin A={\tanh a \over \tanh c\cosh b}}
for en rettvinklet, hyperbolsk trekant. Det tilsvarende resultat for vinkel *B* fremkommer ved å bytte om sidene *a* og *b* i disse uttrykkene.

### Parallelvinkelen

Hyperbolsk, asymptotisk trekant *ABC* med en rett vinkel i *C* og parallelvinkel Π i *A*.
Formelen for parallellvinkelen Π(*p*) som tilsvarer linjestykket *p*, kan nå finnes. Man betrakter en rettvinklet, asymptotisk trekant hvor parallellvinkelen ligger i hjørnet *A*, *B* er et ideelt punkt og hjørnet *C* har den rette vinkelen. Siden *AC* har lengden *p*, mens siden *AB* blir uendelig lang. Den trigonometriske formelen for cos*A* gir da sammenhengen

{\displaystyle \cos \Pi (p)={\tanh AC \over \tanh AB}=\tanh p}
da tanh ∞ = 1. Dette kan omskrives til sin Π(*p*) = 1/cosh *p*  eller cot Π(*p*) = sinh *p*. Ved å innføre den halve vinkelen, tar formelen den alternative formen

{\displaystyle \tan {\Pi (p) \over 2}=e^{-p}}
Dette er et av de mest berømte resultat i nyere matematikk. I grensen *p* → 0  ser man herav at parallelvinkelen nærmer seg 90° som ventet. Det tilsvarer at over små avstander er det hyperbolske planet euklidsk. Men når denne lengden blir veldig stor, avtar vinkelen mot null slik at geometrien blir ikke-euklidsk.

Hyperbolsk trigonometri
-----------------------

Trigonometri for den hyperbolske, rettvinklete trekanten *ABC* finnes ved hjelp av to horosirkler (røde) med sentrum i det ideelle punktet *Ω*.
En trekant er bestemt ved å angi størrelsen av tre variable. Det kan for eksempel være lengden av to sider og vinkelen mellom dem eller en side og vinklene i endepunktene. Ved bruk av formelen for parallelvinkelen kan man uttrykke en vinkel ved lengden av en tilsvarende side. Eller man kan i stedet for en side angi den tilsvarende parallelvinkelen. På den måten kan en trekant relateres til andre med tilsvarende nye relasjoner mellom sider og vinkler.

Tar man utgångspunkt i en rettvinklet trekant *ABC*  med den rette vinkelen i hjørnet *C* og motstående sider *a*, *b* og *c*, kan man forlenge siden fra *A* til *B* videre til et punkt *D* slik at linjestykket *AD* har lengden bestemt ved cosh *d* = 1/sin *A*. Da vil en linje gjennom *D* som står vinkelrett på linjen *AD*, være parallell med forlengelsen av linjen *AC* og møte denne uendelig langt borte i punktet *Ω*. 

Med dette ideelle punktet som sentrum i en horosirkel gjennom *B* og en gjennom *D*, vil de møte linjen *AB* i punktene *B'* og *D'*. Kaller man lengdene av buene *B'E* og *ED* for henholdsvis *s'* og *s"* hvor *E* er skjæringspunktet mellom horosirkelen og diameteren gjennom *B*, vil *s' + s"* = *S* tanh*d*. Her er nå *s" = S* tanh(*d - c*), mens *s'* er buelengden *s = S* sinh*a*  forkortet med faktoren *eu* = cosh(*d - c*)  hvor *u* er lengden av linjestykket *BE* langs diameteren gjennom *B*. På denne måten får man

{\displaystyle \tanh d=\tanh(d-c)+{\sinh a \over \cosh(d-c)}}
som kan forenkles til

{\displaystyle \sinh a\cosh d=\sinh d\cosh(d-c)-\cosh d\sinh(d-c)=\sinh c}
Dermed har man den nye relasjonen

{\displaystyle \sin A={\sinh a \over \sinh c}}
Denne gjelder igjen for en rettvinklet trekant hvor siden *c* står overfor den rette vinkelen i hjørnet *C*. En tilsvarende ligning for sin*B*  finnes ved å bytte siden *a*  med *b* på høyre side.

### Pythagoras' setning

Sammenlignes det tidligere uttrykket for sin*A*  med dette nye resulatet, kommer man frem til ligningen

{\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b}
som må gjelde for de tre sidene i en rettvinklet trekant. Dette er Pythagoras' setning i hyperbolsk geometri. Den kommer frem når man innfører lengdeenheten *k*. I den euklidske grensen er denne mye større enn sidene i trekanten slik at ligningen cosh*c/k* = cosh*a/k*⋅cosh*b/k* går over til *c*2 = *a*2 + *b*2  ved å benytte approksimasjonen cosh*x* = 1 + *x*2/2  når *x* er mye mindre enn 1.

Siden *c* i den rettvinklete trekanten kan også uttrykkes ved de to vinklene *A* og *B* i enden av siden. Ved å kombinere resultatene for sin*A*  og cos*A*, følger at tan*A* = tanh*a* /sinh*b*. På samme måte finnes herav tan*B*  ved å bytte om *a* og *b* på høyre side. Dermed får man

{\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}
Tilsvarende formler finnes også i sfærisk geometri hvor vanlig cosinus opptrer for hyperbolsk cosinus her.

### Sinussetningen

I en vilkårlig, hyperbolsk trekant *ABC* kan man fra hjørnet *C* trekke normalen til siden *AB*. Kalles skjæringspunktet for *D*, har høyden *CD* i trekanten en viss lengde *p*. På den måten fremstår to rettvinklete trekanter med hjørnevinkler gitt ved sin*A* = sinh*p* /sinh*b*  og sin*B* = sinh*p* /sinh*a*. Det betyr at sin*A* /sinh*a* = sin*B* /sinh*b*. Ved å trekke lignende normaler fra de to andre hjørnene, fremkommer tilsvarende relasjoner mellom de andre variable i trekanten. Dermed har man resultatet

{\displaystyle {\sin A \over \sinh a}={\sin B \over \sinh b}={\sin C \over \sinh c}}
Dette er sinussetningen i hyperbolsk geometri. Igjen ser man at den går over til den euklidske versjonen i grensen hvor sidene i trekanten er mye mindre enn den karakteristiske lengden *k* slik at man kan erstatte sinh*x*  med *x*.

### Cosinussetningen

En generell, hyperbolsk trekant *ABC* med inntegnet normal fra hjørnet *A* til siden *CD*.
Kjenner man to sider *a* og *b* i en vilkårlig trekant og vinkelen *C* mellom dem, kan man også beregne den tredje siden *c*. Dette er cosinussetningen i euklidsk geometri. En tilsvarende sammenheng eksisterer også i hyperbolsk geometri. Den kan utledes ved å forme normalen fra hjørnet *A* på siden *CB*. Skjæringspunktet *D* med denne kan antas å ligge mellom *C* og *B*. La lengden til *AD* være *p*, mens *CD* er *d*. Ved å bruke den hyperbolske setningen til Pythagoras på de to rettvinklete trekantene som da oppstår, blir cosh*b* = cosh*p* cosh*d*  og cosh*c* = cosh*p* cosh(*a - d*). Det gir

{\displaystyle \cosh c={\cosh b \over \cosh d}\cosh(a-d)=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b{\tanh d \over \tanh b}}
Men nå er cos*C* = tanh*d* /tanh*b*  slik at man har resultatet

{\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C}
Den tilsvarenede formelen i sfærisk geometri finnes ved å erstatte cosh*x* med cos*x* og sinh*x* med *i* sin*x*.

Lamberts firkant
----------------

En hyperbolsk Lambert-firkant har tre rette vinkler og en spiss. Stiplete linjer er diagonaler.
Når en Saccheri-firkant blir delt i to like deler med en normal midt på grunnlinjen, fremkommer en **Lambert-firkant** oppkalt etter Johann Heinrich Lambert. Den har derfor tre rette hjørnevinkler. I euklidsk geometri er også den fjerde vinkelen rett. Saccheri viste midt på 1700-tallet at den er stump i sfærisk geometri, men spiss i hyperbolsk geometri. I den asymptotiske grensen blir den null og de to tilstøtende sidene er parallelle.

La sidene i Lambert-firkanten *ABCD* med den spisse vinkelen i hjørnet *C,* ha de tilsvarende sidelengdene *u*, *w*, *s* og *v*. Hvis diagonalen *AC* har lengde *r* og vinkelen *BAC* kalles *α*, har man for den rettvinklete trekanten *ABC* at sinh*w* = sin*α* sinh*r*. Men sin*α* = cos*α'* hvor den komplementære vinkel *α'* = *π*/2 - *α*. For denne gjelder at cos*α'* = tanh*v* /tanh*r* . Benyttes så den hyperbolske Pythagoras-setningen på de to trekantene i firkanten, er cosh*r* = cosh*u* cosh*w* = cosh*s* cosh*v*. Det gir sammenhengene

{\displaystyle \sinh w=\sinh v\cosh s,\;\;\;\tanh w=\tanh v\cosh u.}
Man kunne i stedet tatt utgangspunkt i det komplimentære uttrykket sinh*s* = sin*α'* sinh*r*. Det gir da på samme måte

{\displaystyle \sinh s=\sinh u\cosh w,\;\;\;\tanh s=\tanh u\cosh v.}
Den spisse vinkelen *C*  kan finnes fra trekanten *BCD* hvor diagonalen *BD* har en lengde *d*. Kalles vinkelen *ABD* for *β*, sier den hyperbolske sinussetningen at

{\displaystyle {\sin C \over \sinh d}={\sin \beta ' \over \sinh s}={\cos \beta \over \sinh s}}
hvor *β'* er komplementær til *β*. Men her er cos*β* = tanh*u* /tanh*d*  som sammen med cosh*d* = cosh*u* cosh*v*  gir 

{\displaystyle \sin C={\cosh v \over \cosh w}}.
Man kan også beregne denne vinkelen fra de to delvinklene som diagonalen *AC* deler den i. Sinus og cosinus til disse er gitte ved de rette trekantene de tilhører. Resultatet kan skrives som

{\displaystyle \cos C=\tanh w\tanh s=\sinh u\sinh v}
når man benytter trigonometriske relasjoner som allerede er etablert.

### Komplementære lengder

Med en viss lengde *p* kan man assosiere en parallelvinkel *θ* ved relasjonen *θ* = Π(*p*). Fra den komplementære vinkelen *θ'* = *π* /2 - *θ* kan man nå definere en **komplementær lengde** ved *θ'* = Π(*p'*). Da cot*θ* = sinh*p*, vil cot*θ'* = sinh*p'* = tan*θ* slik at to komplementære lengder er forbundet ved relasjonen

{\displaystyle \sinh p'={1 \over \sinh p}}
som også kan skrives som cosh*p'* = coth*p*.

Sammenlignes dette med resultatet for sin*C* i Lamberts firkant, ser man at de to sidene *u* og *v* blir komplementære i grensen hvor vinkelen *C* → 0. Da beveger dette hjørnet seg mot et ideelt punkt i det uendelig fjerne. Dermed blir diagonalen *AC* parallell med sidene *BC* og *DC* slik at de komplementære vinklene *α* og *α'* begge blir parallelvinkler for sidene *u* og *v*.

Koordinatsystem
---------------

Linjeelement *ds* med hyperbolske Lobatsjevskij-koordinater (*u,w* ).
Mange forskjellige koordinatsystem kan benyttes i det hyperbolske planet, avhengig av hvilke problemstillinger som skal undersøkes. De tar alle utgangspunkt i en gitt linje med et visst punkt som origo. Punkter på denne linjen vil da ha den ene koordinaten *u* lik med dets avstand fra origo. Hvis man for et punkt utenfor linjen velger den andre koordinaten lik med dets avstand *w* til denne linjen, kalles koordinatene (*u,w* ) for **Lobatsjevskij-koordinater** eller «hyperbolske koordinater». Metoder fra analytisk geometri kan så benyttes når det differensielle linjeelementet er kjent. 

Det kan finnes ved å betrakte to nærliggende punkt *P* = (*u,w* ) og *P'* = (*u + du,w + dw* ). Her er *du* lengden av linjestykket *AB* på *u*-aksen som tilsvarer projeksjonen av *PP'* på denne aksen. Trekker man normalen *PQ* på linjen *P'B*, vil firkanten *ABQP* være en Lambert-firkant. Det betyr at siden *P'Q* i den lille, rettvinklete trekanten *PQP'* er *dw*, mens siden *PQ* har lengden *du*cosh*w*. Det differensielle linjeelementet *ds* er nå lengden av hypotenusen *PP'* som er gitt ved euklidske Pythagoras-setningen som

{\displaystyle ds^{2}=dw^{2}+\cosh ^{2}\!w\,du^{2}}
Begge disse koordinatene varierer fra minus uendelig til pluss uendelig som tilsvarer at arealet av det hyperbolske planet er uendelig stort.

### Horosirkel

En horosirkel er i Lobatsjevskij-koordinater beskrevet ved ligningen *eu* = cosh*w*. Det betyr at *du* = tanh*w* *dw*  som innsatt i linjelementet gir *ds* = cosh*w* *dw*. Ved direkte integrasjon gir det buelengden *s* = sinh*w*  i overensstemmelse med hva som finnes fra geometriske metoder. Den karakteristiske konstanten *S* = 1 målt i enheter av den underliggende lengdeenheten *k*.

### Polarkoordinater

Sammenhengen mellom Lobatsjevskij-koordinater og polarkoordinater kan leses direkte ut fra en Lambert-firkant *ABCD* med origo i *A*. Den spisse vinkelen er i hjørnet *C* med polarkoordinater (*r,θ*) når den tidligere vinkelen *α* kalles *θ* i standard konvensjon. I den rettvinklete trekanten *ABC*  gir de trigonometriske formlene

{\displaystyle \cos \theta ={\tanh u \over \tanh r},\;\;\;\sin \theta ={\tanh w \over \tanh r\cosh u}}
da sin*θ* = cos*α'* = tanh*v*/tanh*r*. Disse transformasjonsligningene kan nå benyttes til å finne linjeelementet i polarkoordinater ved å beregne differensialene av begge variable. Det gir

{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+\sinh ^{2}\!r\,d\theta ^{2}}
i overensstemmelse med hva som kan utledes fra en pseudosfære generert som en rotasjonsflate. En sirkel med radius *r* i det hyperbolske planet har derfor omkretsen 2*π* sinh*r*, mens arealet av sirkelflaten blir

{\displaystyle A=\int \_{0}^{2\pi }\!d\theta \int \_{0}^{r}\!dr\sinh r=2\pi (\cosh r-1)}
For små radier går omkretsen over i det euklidske resultatet 2*π r*, mens arealet blir *π r*2.

Fra den metriske tensoren kan de hyperbolske linjene beregnes på samme måte som at en rett linje i euklidsk geometri er en geodetisk kurve beskrevet ved polarkoordinater. De er da gitt ved ligningen

{\displaystyle \tanh r\cos(\theta -\theta \_{0})=B}
hvor konstantene *B* < 1 og *θ*0  gir retningen til nærmeste punkt på linjen i avstand *b* fra origo. Geometrisk følger dette direkte fra definisjonen av cosinus til vinkelen *θ* - *θ*0  i en rettvinklet trekant med hosliggende katet *b* og hypotenus *r*. Da er *B* = tanh*b*. I den euklidske grensen går resultatet over til *r* cos(*θ* - *θ*0) = *b*  som er ligningen for en rett linje i polarkoordinater.

Ligningen *θ* = Π(*r*/2)  for en horosirkel blir i de samme koordinatene

{\displaystyle \cos \theta =\tanh {r \over 2}}
som følger av det analytiske uttrykket for parallelvinkelen. I den euklidske grensen går høyresiden mot null slik at horosirkelen går over til en rett linje normalt på *x*-aksen.

### Beltrami-koordinater

Basert på det polare koordinatsystemet kan man definere nye koordinater (*x,y* ) ved definisjonene

{\displaystyle x=\tanh r\cos \theta =\tanh u,\;\;\;y=\tanh r\sin \theta =\tanh v}
Disse tilsvarer kartesiske koordinater i euklidsk geometri, men vil i hyperbolsk geometri bare ta verdier i intervallene - 1 < *x,y* < + 1. Ved direkte utregning blir nå metrikken

{\displaystyle ds^{2}={(1-x^{2})dy^{2}+2xydxdy+(1-y^{2})dx^{2} \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}}
I dette koordinatsystemet blir hele det hyperbolske planet avbildet på innsiden av en sirkel med radius 1. Denne avbildningen kalles vanligvis for Beltrami-Klein-modellen. Punktene på sirkelen tilsvarer ideelle punkt som har en hyperbolsk avstand fra origo som er uendelig stor, mens deres euklidske avstand er 1. De hyperbolske linjene er rette korder innenfor sirkelen. To parallelle linjer vil være korder som skjærer hverandre i samme punkt på omkretsen, mens ultraparallelle linjer skjærer hverandre utenfor sirkelen

### Poincaré-koordinater

Mens vinkelen mellom to linjer i Beltrami-Klein-modellen ikke er lik med den virkelige vinkelen i det hyperbolske planet, er dette tilfelle for den alternative avbildningen

{\displaystyle X=\tanh {r \over 2}\cos \theta ,\;\;\;Y=\tanh {r \over 2}\sin \theta }
som også kan føres tilbake til Beltramis første arbeider. Denne gir linjeelementet

{\displaystyle ds^{2}={4(dX^{2}+dY^{2}) \over (1-X^{2}-Y^{2})^{2}}}
som også Riemann hadde tidligere funnet for en flate med konstant, negative krumning. Igjen er hele det hyperbolske planet avbildet på innsiden av en sirkel som består av ideelle punkt. De hyperbolske linjene er nå euklidske sirkler som skjærer denne sirkelen vinkelrett. Vinkelen mellom to slike linjer som skjærer hverandre på innsiden av sirkelen, er lik med den virkelige, hyperbolske vinkelen. Dette sies derfor å være en konform avbildning av det hyperbolske planet.

Referanser
----------

1. 1 2 3   M. Kline, *Mathematical Thought from Ancient to Modern Times*, Volume 3, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506137-6.
2. 1 2   R. Bonola, *Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development*, Dover Publications, New York (1955). ISBN 0-486-60027-0.
3. ↑   J.N. Cederberg, *A Course in Modern Geometries*, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.
4. 1 2   D.M.Y. Sommerville, *The Elements of Non-Euclidean Geometry*, Dover Publications, New York (1958).
5. 1 2   S. Braver, *Lobachevski Illuminated*, The Mathematical Association of America (2011). ISBN 978-0-88385-573-7.
6. ↑   F. Engel und P. Stöckel, *Die Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss*, Druck und Verlag B.G. Teubner, Leipzig (1895).
7. 1 2 3   G.E. Martin, *The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane*, Springer-Verlag, New York (1975). ISBN 0-387-90694-0.
8. 1 2   H. Leibmann, *Nichteuklidische Geometrie*, Walter de Gruyter & Co, Berlin (1923).
9. ↑   A. Ramsey and R.D. Richtmeyer, *Introduction to Hyperbolic Geometry*, Springer, New York (1995). ISBN 978-0-387-94339-8.
10. ↑   S. Coen (editor), *Mathematicians in Bologna 1861–1960*, Springer, Basel (2012). ISBN 978-3-0348-0226-0

Eksterne lenker
---------------

* A. Papadopoulos, *Lobachevsky's trigonometric formulae*, arXiv:1311.6034.
* Quantum Immortal, *Hyperbolic Geometry*, blogg med meget god fremstilling.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NKC
 |