En mengde av terninger er **ikke-transitiv** dersom den inneholder tre terninger A, B og C, slik at A slår B oftere enn B slår A, så A > B, og samtidig er B > C, men også C > A, og *ikke* A > C. Med andre ord er en mengde terninger ikke-transitiv dersom relasjonen «gir minst like høyt resultat i mer enn halvparten av kastene» ikke er transitiv. 

Det er mulig å finne mengder av terninger med den sterkere egenskapen at, for hver terning i mengden, så er det en annen terning i mengden som gir et minst like høyt resultat i mer enn halvparten av kastene. Denne sterkere egenskapen er alltid oppfylt for tre ikke-transitive terninger, men ikke nødvendigvis for fire eller flere ikke-transitive terninger. 

Ved å bruke et slikt sett av terninger, er det mulig å finne opp spill som er partiske på måter som folk uten erfaring med ikke-transitive terninger ikke ville forvente (Se eksempel).

Eksempler
---------

Et eksempel på ikketransitive terninger (Motsatte sider har samme verdi som de viste).
Betrakt det følgende settet av terninger:

* Terning *A* har sidene 2, 2, 4, 4, 9, 9.
* Terning *B* har sidene 1, 1, 6, 6, 8, 8.
* Terning *C* har sidene 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Sjansen for at *A* kaster høyere enn *B*, for at *B* kaster høyere enn *C*, og for at *C* kaster høyere enn *A,* er alle lik *5/9.* Terningsettet er altså ikke transitivt. 

Betrakt nå det følgende spillet som spilles med et sett av terninger. 

1. Den første spilleren velger en terning fra settet.
2. Den andre spilleren velger en av de gjenværende terningene.
3. Begge spillerne kaster sin terning, spilleren med flest øyne vinner.

Hvis dette spillet spilles med et sett transitive terninger, så er det enten et rettferdig spill (for vanlige, like terninger,), eller partisk til fordel for den første spilleren (dersom han kan velge en terning som slår begge de to andre terningene). Hvis spillet derimot spillet med terningsettet fra eksemplet foran, så er det partisk til fordel for den andre spilleren, for han kan finne en terning som slår terningen valgt av den første spilleren i mer enn halvparten av kastene.

Her er et lignende sett av terninger:

* Terning *A* har sidene 3, 3, 3, 3, 3, 6.
* Terning *B* har sidene 2, 2, 2, 5, 5, 5.
* Terning *C* har sidene 1, 4, 4, 4, 4, 4.

Dette er også et ikke-transitivt terningsett. Betrakt det følgende spillet:

1. Den første spilleren velger en terning fra settet.
2. Den andre spilleren velger en av de gjenværende terningene,
3. Den første spilleren bestemmer om de skal trille en eller to terninger.
4. Begge spillerne kaster sin(e) terning(er), spilleren med flest øyne vinner.

I dette tilfellet har den første spilleren en fordel, for det angitte terningsettet. Dette er fordi *A > B > C > A*, men 2*A < 2B < 2C < 2A.* Eksempel: Den første spilleren velger *B*. Hvis den andre velger *A*, så skal de trille to terninger hver. Hvis den andre derimot velger *C*, så skal de trille en terning hver.

Variasjoner av ikke-transitive terninger
----------------------------------------

### Efrons terninger

**Efrons terninger** er et sett av fire ikke-transitive terninger oppfunnet av Bradley Efron. 

Efrons terninger.
De fire terningene A, B, C og D har følgende antall øyne på sine seks sider:

* A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
* B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
* C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
* D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

#### Sannsynligheter

Hver av terningene i settet slås av den foregående terningen i listen, med en sannsynlighet lik 2/3:  :{\displaystyle P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)={2 \over 3}}

Terning B har ett konstant antall øyne; A slår den på 2/3 av kastene fordi fire av dens seks sider har flere øyne.

Tilsvarende så slår B C med sannsynlighet 2/3, for bare to av C sine sider har flere øyne.

P(C>D) kan beregnes ved å summere betingede sannsynligheter for to begivenheter: 

* C kaster 6 (sannsynlighet 1/3); vinner uansett D (sannsynlighet 1)
* C kaster 2 (sannsynlighet 2/3); vinner bare hvis D kaster 1 (sannsynlighet 1/2)

Den totale sannsynligheten for at C vinner er derfor 

{\displaystyle \left({1 \over 3}\times 1\right)+\left({2 \over 3}\times {1 \over 2}\right)={2 \over 3}}
Med en tilsvarende beregning finnar vi sannsynlighetet for at D vinner over A som 

{\displaystyle \left({1 \over 2}\times 1\right)+\left({1 \over 2}\times {1 \over 3}\right)={2 \over 3}}
#### Den totalt sett beste terningen

De fire terningene har forskjellige sannsynligheter for å slå en terning valgt tilfeldig fra de gjenværende tre:

Som vist ovenfor, så vil terning A slå B i to-tredjedeler av kastene, men den slår D bare i en-tredjedel av kastene. Sannsynligheten for at A slår C er 4/9 (A må vise 4 *og* C må vise 2). Så sannsynligheten for A å slå en anen tilfeldig valgt terning er:  :{\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{4 \over 9}\right)={13 \over 27}}

Tilsvarende så vil terning B slå C to-tredjedeler av kastene men slå A bare en-tredjedel av kastene. Sannsynligheten for at B slår D er 1/2 (*Bare* når D kaster 1). Så sannsynligheten for at B slår en tilfeldig valgt annen terning er:  :{\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}

C slår D to tredjedeler av kastene, men slår B bare i en tredjedel av kastene. Sannsynligheten at C slår A er 5/9. Så sannsynligheten for at C skal slå en tilfeldig valgt annen terning er: 

{\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{5 \over 9}\right)={14 \over 27}}
Endelig så vil D slå A to tredjedeler av kastene men C bare en tredjedel av kastene. Sannsynligheten at C slår B er 1/2 (*bare* når D kaster 5). Så sannsynligheten for D å slå en annen tilfeldig valgt terning er:  :{\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}

Derfor er den beste terningen totalt sett C med gevinstsannsynlighet 0,5185. C kaster også det høyeste antall øyne i gjennomsnitt, nemlig 10/3. (Gjennomsnittet til A er 8/3, mens B og D har begge 3 = 9/3 øyne i gjennomsnitt.)

#### Varianter med like gjennomsnitt

Den ikketransitive egenskapen avhenger av hvilke sider som er mindre eller større, men avhenger *ikke* av det absolutte antall øyne på sidene. Vi kan altså finne varianter av Efrons terninger hvor oddsene for å vinne er uendret, men alle terningene har samme gjennomsnittlige antall øyne. For eksempel,

* A: 6, 6, 6, 6, 0, 0
* B: 4, 4, 4, 4, 4, 4
* C: 8, 8, 2, 2, 2, 2
* D: 7, 7, 7, 1, 1, 1

eller

* A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
* B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
* C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
* D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Disse terningvariantene er nyttige, for eksempel for å introdusere for studenter forskjellige måter å sammenligne stokastiske variable (eller hvordan *bare* å sammenligne gjennomsnitt kan overse essensielle detaljer).

### Terninger med antall øyne fra 1 opp til 24

Et sett på fire terninger som bruker alle tallene fra 1 opp til 24 kan konstrueres som ikketransitivt. For nabopar, så vil en terning vinne tilnærmet 2 av 3 ganger.

For å kaste høyt, så vil B slå A, C slå B, D slå C, mens A slår D.

* A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
* B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
* C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
* D: 10, 11, 12, 13, 14, 15

#### Relasjon til Efrons terninger

Disse terningene er grunnleggende de samme som Efrons terninger, ettersom hvert tall i en rekkefølge av på hverandre følgende tall på samme terning, kan erstattes med det laveste tallet i rekkefølgen, og deretter renummerere.

* A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 -> 1, 1, 16, 16, 16, 16 -> 0, 0, 4, 4, 4, 4
* B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 -> 3, 3, 3, 20, 20, 20 -> 1, 1, 1, 5, 5, 5
* C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 -> 6, 6, 6, 6, 23, 23 -> 2, 2, 2, 2, 6, 6
* D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 -> 10, 10, 10, 10, 10, 10 -> 3, 3, 3, 3, 3, 3

### Miwins terninger

Miwins terninger

Utdypende artikkel: Miwins dice

Miwins terninger ble oppfunnet i 1975 av fysikeren Michael Winkelmann.Betrakt tre terninger III, IV og V slik at

* terning III har sidene 1, 2, 5, 6, 7, 9
* terning IV har sidene 1, 3, 4, 5, 8, 9
* terning V har sidene 2, 3, 4, 6, 7, 8

Sannsynligheten for at III slår IV er 17/36, mens IV slår III med sannsynlighet 16/36. III slår altså i gjennomsnitt IV. Dersom vi hadde fjerna de tre felles sidene (1, 5 og 9), så hadde IV slått III i stedet. Tilsvarende er det 17/36 sjanse for at IV slår V eller for at V slår III.

### Sett på tre terninger med minimale endringer i forhold til standardterninger

De følgende ikke-transitive terningene har bare noen få forskjeller med vanlige standardterninger med 1, 2, 3, 4, 5, 6 øyne:

* som med standardterninger er totalt antall øyne alltid 21
* som med standardterninger så varierer antallet øyne på sidene mellom 1 og 6
* sider med samme antall øyne forekommer maksimalt to ganger per terning
* bare to sider på hver terning har antall øyne som skiller seg fra standardterninger:
	+ A: 1, **1**, 3, 5, **5**, 6
	+ B: 2, 3, **3**, 4, **4**, 5
	+ C: 1, 2, **2**, 4, 6, **6**

Som ved Miwins sett er sannsynligheten for at A vinner over B (eller B vs. C, C vs. A) 17/36. Men sannsynligheten for uavgjort er 4/36, slik at bare 15 av 36 kast taper. Derfor er den totale gevinstforventningen høyere.

Freivalds undersøkelser
-----------------------

Den latviske matematikeren og informatikeren Rusins Freivalds har vist at for en mengde på *n* terninger, der hver terning slår neste terning med sannsynlighet *p*, så kan *p* være vilkårlig nær (men ikke lik) 3/4, i grenstilfellet der *n* går mot uendelig.[]

Warren Buffett
--------------

Warren Buffett er kjent som fan av ikketransitive terninger. I boken *Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street,* er det beskrevet en diskusjon mellom ham og Edward Thorp. Buffett og Thorp diskuterer deres felles interesse ikketransitive terninger. «Disse er en matematisk kuriositet, en slags lureterninger som forvirrer folk flests ideer om sannsynlighet.»

Buffett prøvde en gang å vinne et slags terningspill mot Bill Gates ved å bruke ikketransitive terninger. «Buffett foreslo at hver av dem valgte en av terningene, for så å legge bort resten. De vil så vedde om hvem som kaster høyest flest ganger. Buffett tilbød Gates å velge terning først. Dette tilbudet vakte med en gang Gates mistenksomhet. Han krevde å først få undersøke terningene, hvoretter han krevde at Buffett velger først.»

I 2010 siterte Wall Street Journal Buffetts bridgepartner Sharon Osberg, som fortalte at da hun første gang besøkte kontoret hans 20 år tidligere, lurte han henne til å spille et spill med ikketransitive terninger som det var umulig å vinne. Hun «fant det kjempemorsomt.»

Sett av ikketransitive terninger for tre spillere
-------------------------------------------------

M. Oskar van Deventer innførte ett sett på syv terninger (hvor alle sider har sannsynlighet 1/6) som følger:

* A: 2, 2, 14, 14, 17, 17
* B: 7, 7, 10, 10, 16, 16
* C: 5, 5, 13, 13, 15, 15
* D: 3, 3, 9, 9, 21, 21
* E: 1, 1, 12, 12, 20, 20
* F: 6, 6, 8, 8, 19, 19
* G: 4, 4, 11, 11, 18, 18

Man kan verifisere at A slår B,C,E; B slår C,D,F; C slår D,E,G; D slår A, E, F; E slår B, F, G; F slår A, C, G; G slår A, B, D. Følgelig, for hvilke som helst to terninger så er det en tredje som slår begge. Vi finner, 

* G slår A,B; F slår A,C; G slår A,D; D slår A, E; D slår A,F; F slår A,G;
* A slår B,C; G slår B,D; A slår B,E; E slår B,F; E slår B,G;
* B slår C,D; A slår C,E; B slår C,F; F slår C,G;
* C slår D,E; B slår D,F; C slår D,G;
* D slår E,F; C slår E,G;
* E slår F,G.

Uansett hvilke terninger de to motspillerne velger, så kan den tredje spilleren finne en terning som slår begge.

Ikketransitive dodekaedre
-------------------------

Som en analogi til ikketransitive seks-sidete terninger, så finnes det også dodekahedre som kan brukes som ikketransitive twelve-sided dice.
Antall øyne på hver av disse terningene har sum 114. Det er ingen gjentatte tall på noen av dodekaederne.

Miwins dodekahedre (sett 1) vinner syklisk mot hverandre med odds 35:34.

Miwins dodekahedre (sett 2) vinner syklisk mot hverandre med odds på 71:67.

Sett 1:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| D III | with blue dots | 1 | 2 |  |  | 5 | 6 | 7 |  | 9 | 10 | 11 |  |  | 14 | 15 | 16 |  | 18 |
| D IV | with red dots | 1 |  | 3 | 4 | 5 |  |  | 8 | 9 | 10 |  | 12 | 13 | 14 |  |  | 17 | 18 |
| D V | with black dots |  | 2 | 3 | 4 |  | 6 | 7 | 8 |  |  | 11 | 12 | 13 |  | 15 | 16 | 17 |  |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| nontransitive dodecahedron D III | nontransitive dodecahedron D IV |  nontransitive dodecahedron D V |

Sett 2:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| D VI | with yellow dots | 1 | 2 | 3 | 4 |  |  |  |  | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |  |  | 17 | 18 |
| D VII | with white dots | 1 | 2 |  |  | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |  |  |  |  | 15 | 16 | 17 | 18 |
| D VIII | with green dots |  |  | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |  |  | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |  |  |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| nontransitive dodecahedron D VI | nontransitive dodecahedron D VII | nontransitive dodecahedron D VIII |

### Ikketransitive primiske dodekaedre

Det er også mulig å konstruere sett av ikketransitive dodekaedre uten gjentagelser i antall øyne, og slik at antall øyne på hver side alltid er et primtall. Miwins primiske ikketransitive dodekaedre vinner syklisk mot hverandre med odds på 35:34. 

Sett 1: Antall øyne summerer til 564. 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| PD 11 | with blue numbers | 13 | 17 | 29 | 31 | 37 | 43 | 47 | 53 | 67 | 71 | 73 | 83 |
| PD 12 | with red numbers | 13 | 19 | 23 | 29 | 41 | 43 | 47 | 59 | 61 | 67 | 79 | 83 |
| PD 13 | with black numbers | 17 | 19 | 23 | 31 | 37 | 41 | 53 | 59 | 61 | 71 | 73 | 79 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 11 | nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 12 | nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 13 |

Sett 2: Antall øyne summerer til 468.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| PD 1 | with yellow numbers | 7 | 11 | 19 | 23 | 29 | 37 | 43 | 47 | 53 | 61 | 67 | 71 |
| PD 2 | with white numbers | 7 | 13 | 17 | 19 | 31 | 37 | 41 | 43 | 59 | 61 | 67 | 73 |
| PD 3 | with green numbers | 11 | 13 | 17 | 23 | 29 | 31 | 41 | 47 | 53 | 59 | 71 | 73 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 1 | nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 2 | nontransitive prime-numbers-dodecahedron PD 3 |

Se også
-------

* Blotto games
* Freivalds' algorithm
* Nontransitive game

Referanser
----------

1. ↑  *Bill Gates speaks: insight from the world's greatest entrepreneur - Bill Gates, Janet Lowe*. Books.google.ie. Besøkt 29. november 2011.
2. ↑  «like-a-marriage-only-more-enduring: Personal Finance News from Yahoo! Finance». Finance.yahoo.com. 6. desember 2010. Besøkt 29. november 2011.
3. ↑  «Math Games - Tournament Dice by Ed Pegg Jr.». The Mathematical Association of America. 11. juli 2005. Besøkt 6. juli 2012.

Litteratur
----------

* Gardner, Martin. *The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems: Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics.* 1st ed. New York: W. W. Norton & Company, 2001. pp. 286–311.

* *Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln*, Bildungsverlag Lemberger, ISBN 978-3-85221-531-0

Videre lesning
--------------

* Lowe, Janet (2001). *Bill Gates Speaks: Insight from the World's Greatest Entrepreneur*. New York: Wiley. ISBN 9780471401698. Besøkt 15. mars 2013.

Eksterne lenker
---------------

* MathWorld page
* Ivars Peterson's MathTrek - Tricky Dice Revisited (April 15, 2002)
* Jim Loy's Puzzle Page
* Miwin official site (German)
* Open Source nontransitive dice finder Arkivert 2. april 2015 hos Wayback Machine.
* Non-transitive Dice by James Grime
* mgf.winkelmann *Miwins intransitive Dodekaeder*
* Maths Gear