«Modul» har flere betydninger.
I algebraen er en **modul** en algebraisk struktur som generaliserer konseptene vektorrom og abelske grupper. I denne strukturen er lineære kombinasjoner av elementer definert, men skalarene kommer fra en vilkårlig ring, og er ikke begrenset til en kropp.

Intuitivt sett er en modul en samling av objekter som kan skaleres og legges sammen på samme måte som vektorer. Mengden av vektorer i planet, **R**2, er et eksempel på en modul. Denne mengden består av tallpar [*x*,*y*], og de har den egenskap at enhver *lineær kombinasjon* av dem også er en vektor, dvs. de kan adderes og skaleres. Tallparene {\displaystyle [1,0],[0,{\frac {1}{2}}],[\pi ,{\sqrt {2}}]} er vektorer i denne mengden, og det er også de lineære kombinasjonene

 {\displaystyle 5[1,0]+4[0,{\frac {1}{2}}]=[5,2]}
 {\displaystyle {\sqrt {3}}[1,0]-2[\pi ,{\sqrt {2}}]+\pi [0,{\frac {1}{2}}]=[{\sqrt {3}}-2\pi ,{\frac {\pi }{2}}-2{\sqrt {2}}]}
Ikke alle moduler oppfører seg som disse vektorene. Eksempler på en annen modul er *heltallsvektorer*, vektorer der komponentene er heltall, og der vi kun kan skalere med heltall. Tallparene [1,2] og [-1,3] er heltallsvektorer, og lineære kombinasjoner som 3[1,2] - 2[-1,3] = [5, 3] er også heltallsvektorer, og siden dette holder helt generelt er også denne mengden en modul. Denne modulen har enkelte egenskaper som vektorer generelt ikke har. Eksempelvis kan alle vektorer i **R**2 skrives som en lineær kombinasjon av to vektorer som ikke ligger på samme linje, mens dette ikke holder for heltallsvektorer. [2,0] og [0,2] ligger ikke på samme linje, men alle lineære kombinasjoner av disse er på formen

 {\displaystyle a[2,0]+b[0,2]=[2a,2b]}
og som konsekvens kan ingen heltallsvektorer som har et oddetall som komponent skrives som en kombinasjon av disse to. Studiet av moduler prøver å finne ut av hvilke egenskaper som gjelder for moduler generelt, inklusive matematiske objekter som heltallsvektorene over. For å gjøre dette, konkretiserer hva man skalering og addisjon betyr ved å benytte seg av algebraiske konsepter som ringer og grupper.

Moduler er et av de sentrale objektene i studiet av kommutativ algebra og homologisk algebra, og blir brukt blant annet i studiene av algebraisk geometri og algebraisk topologi.

Definisjoner
------------

Det skilles generelt mellom *venstremoduler* og *høyremoduler*. Den eneste forskjellen mellom de to konseptene er hvordan ringmultiplikasjonen overføres til modulstrukturen. 

En **venstremodul** (eller ***R*-venstremodul**) består av en abelsk gruppe (*M*,+) , en ring *R* og en avbildning *R* × *M* → *M* kalt skalarmultiplikasjon, som tilfredsstiller de følgende aksiomene: For alle *r*, *s* i *R* og *x*, *y* i *M* har vi

1. {\displaystyle r(x+y)=rx+ry}
2. Distributivitet: {\displaystyle (r+s)x=rx+sx}
3. Assosiativitet: {\displaystyle (rs)x=r(sx)}
4. Enhet: {\displaystyle 1\_{R}x=x} dersom *R* har multiplikativ enhet {\displaystyle 1\_{R}.}

En **høyremodul** (eller ***R*-høyremodul**) består av en abelsk gruppe (*M*,+) , en ring *R* og en avbildning *M* × *R* → *M* kalt skalarmultiplikasjon, som tilfredsstiller de følgende aksiomene: For alle *r*, *s* i *R* og *x*, *y* i *M* har vi

1. {\displaystyle (x+y)r=xr+yr}
2. Distributivitet: {\displaystyle x(r+s)=xr+xs}
3. Assosiativitet: {\displaystyle x(rs)=(xr)s}
4. Enhet: {\displaystyle x1\_{R}=x} dersom *R* har multiplikativ enhet {\displaystyle 1\_{R}.}

Dersom *R* ikke er en unitær ring er ikke aksiom 4 relevant. Vi kan observere at aksiom 1 i begge tilfeller betyr at r opererer som en endomorfi over *M*, og at de tre resterende aksiomene definerer at ringstrukturen til *R* og ringstrukturen til elementene i *R* som endomorfier stemmer overens. Med andre ord kan vi erstatte de ovennevnte definisjonene med de følgende ekvivalente definisjonene:

En **venstremodul** er en abelsk gruppe *M*, en ring *R* og en homomorfi *R* → End(*M*).
En **høyremodul** er en abelsk gruppe *M*, en ring *R* og en antihomomorfi *R* → End(*M*).

Dersom en ring *R* er kommutativ, sammenfaller de to definisjonene over. En abelsk gruppe *M* og en kommutativ ring *R* som tilfredsstiller aksiomene over kalles en *modul*, eller om man ønsker å spesifisere ringen, en *R-modul*. En abelsk gruppe kan selvsagt gis struktur som både venstre- og høyremodul samtidig, og ikke nødvendigvis over samme ring. En ***R*-*S*-bimodul** er en abelsk gruppe *M* som samtidig har struktur som venstre *R*-modul og høyre *S*-modul.

Eksempler
---------

|  |  |
| --- | --- |
| **Ringer** | Enhver kommutativ ring er en modul over seg selv. Enhver ring er både en venstre- og høyremodul over seg selv. Mer generelt er kartesiske produkter av ringer med seg selv moduler under punktvis skalarmultiplikasjon. Eksempelvis er **Z**2 en **Z**-modul. |
| **Idealer** | Mer generelt har alle idealer i en gitt ring struktur som en modul, og skalarmultiplikasjonen er naturligvis gitt av ringmultiplikasjonen. Eksempelvis er idealet (n) = { ... -2n, -n, 0, n, 2n ...} i **Z** en **Z**-modul. |
| **Vektorrom** | Ethvert vektorrom er en modul over en kropp. Spesifikt er **R**n og **C**n moduler over henholdsvis **R** og **C**. |
| **Abelske grupper** | Enhver abelsk gruppe har en unik struktur som **Z**-modul. Dersom *g* er et element i gruppen og *n* ∈ **Z**, er skalarmultiplikasjonen gitt ved 
{\displaystyle ng=\underbrace {g+\cdots +g} \_{n{\text{ ledd}}}}
Det kan sees at gruppehomomorfier kan utvides til modulhomomorfier på en naturlig måte, og at kategoriene AbGrp og **Z**-Mod dermed er isomorfe. |
| **Algebraer** | En assosiativ algebra er en ring *S* med struktur som *R*-modul indusert av en ringhomomorfi *R* → *S*. For eksempel er polynomalgebraen **R**[x] og algebraen av alle kontinuerlige funksjoner over **R** begge **R**-moduler. |

Undermoduler og modulhomomorfier
--------------------------------

Anta at *M* er en (venstre/høyre) *R*-modul. En **(venstre/høyre) undermodul** *N* av *M* er en undergruppe *N ⊆ M* som er lukket under skalarmultiplikasjon. Hvis *M* er en venstremodul betyr dette at *N* er en undermodul hvis *rn* ∈ *N* for alle *r* ∈ *R* og *n* ∈ *N*. Hvis *M* er en høyremodul, må *nr* ∈ *N* for alle *r* ∈ *R* og *n* ∈ *N*. Hvis *R* er kommutativ sammenfaller igjen disse to definisjonene, og vi snakker kun om en undermodul.

En modulhomomorfi er en avbildning mellom moduler som bevarer modulstrukturen. Mer presist: En avbildning f : M → N mellom to (venstre) *R*-moduler er en **modulhomomorfi** dersom 

{\displaystyle f(m+n)=f(m)+f(n)}
{\displaystyle f(rm)=rf(m)}
for alle *r* ∈ *R* og *m,n* ∈ *M*. Tilsvarende for høyremoduler. Kjernen av en slik avbildning er selv en modul. To moduler sies å være *isomorfe* dersom det eksisterer en bijektiv homomorfi mellom dem. Samlingen av alle *R*-moduler og homomorfiene mellom dem utgjør en kategori *R-Mod*. Videre kan man merke seg at HomR(*M*,*N*), mengden av alle R-modulhomomorfier mellom to gitte *R*-moduler *M* og *N*, selv er *R*-modul under punktvis addisjon og skalarmultiplikasjon.

Viktige typer
-------------

På grunn av konseptets generalitet er man ofte nødt til å studere spesielle undertyper blant modulene. Det følgende er en liste over viktige modultyper.

|  |  |
| --- | --- |
| **Endelig generert** | Endelig genererte moduler har den egenskap at de har en endelig mengde elementer som sammen spenner modulen. En *R*-modul *M* er endelig generert dersom det finnes m1, ... mk ∈ *M* slik at *M* = {r1m1 + ... + rk mk : r1, ... rk ∈ *R*}. Ekvivalent er en *R*-modul *M* endelig generert dersom det finnes en surjektiv avbildning *Rn → M* for en heltall *n*. Dersom *M* er et vektorrom sammenfaller dette konseptet med endelig dimensjonalitet. Til forskjell fra vektorrom er ikke alle undermoduler av en endelig generert modul nødvendigvis endelig genererte. |
| **Endelig presentert** | En *R*-modul *M* er endelig presentert dersom det finnes en surjektiv avbildning *R*n → *M* og kjernen av denne avbildningen er endelig generert. Dette korresponderer til en presentasjon av modulen som en endelig mengde elementer og relasjoner mellom dem. |
| **Fri** | *M* er en fri *R*-modul dersom den er generert (ikke nødvendigvis endelig) av lineært uavhengige elementer. Ekvivalent er *M* fri dersom den er isomorf med en direkte sum 
 {\displaystyle M\cong \bigoplus \_{I}R} |
| **Flat** | *M* er flat dersom tensorproduktet {\displaystyle M\otimes \_{R}-} er venstreeksakt, dvs. bevarer kjerner. Siden alle tensorprodukter er høreeksakte, dvs. bevarer kokjerner, betyr dette at *M* er flat dersom {\displaystyle M\otimes \_{R}-} er eksakt. En viktig klasse flate moduler er lokaliseringer av *R*. |
| **Enkel** | *M* er enkel dersom den ikke har noen undermoduler bortsett fra 0 og *M*. |
| **Noethersk** | *M* er Noethersk dersom alle dens undermoduler er endelig genererte. Ekvivalent er det en modul som tilfredsstiller den *stigende kjedebetingelsen*: Dersom *Mi* er en stigende kjede {\displaystyle M\_{0}\subseteq M\_{1}\subseteq \cdots }
så finnes det en *n* ∈ **N** slik at kjeden stabiliseres, dvs. *Mi = Mn* for alle {\displaystyle i\geq n}. |
| **Artinsk** | *M* er Artinsk dersom den tilfredsstiller den *nedadgående kjedebetingelsen*. Dersom *Mi* er en nedadgående kjede {\displaystyle M\_{0}\supseteq M\_{1}\supseteq \cdots }
så finnes det en *n* ∈ **N** slik at kjeden stabiliseres, dvs. *Mi = Mn* for alle {\displaystyle i\geq n}. |

Konstruksjoner
--------------

### Faktormodul

En undermodul *N ⊆ M*  er en undergruppe av *M*. Faktorgruppen *M/N* har også struktur som en modul, og denne modulen kalles en faktormodul (eller kvotientmodul). Hvis vi uttrykker *M/N* som samlingen av sideklasser *M/N* = { m + *N* : m ∈ *M*}, er skalarmultiplikasjonen gitt som r(m+*N*) = rm + *N*.

### Direkte produkt

Gitt en familie med *R*-moduler Mα, α ∈ I, kan vi konstruere det direkte produktet 

{\displaystyle M=\prod \_{\alpha \in I}M\_{\alpha }}
Dette produktet er som en mengde gitt av det kartesiske produktet av modulene Mα, og addisjon og skalarmultiplikasjon er definert punktvis. Dersom (xα), (yα) ∈ *M* og r ∈ *R* er operasjonene definert som

{\displaystyle (x\_{\alpha })+(y\_{\alpha })=(x\_{\alpha }+y\_{\alpha })}
{\displaystyle r(x\_{\alpha })=(rx\_{\alpha })}
### Direkte sum

Gitt en familie med *R*-moduler Mα, α ∈ I, kan vi konstruere den direkte summen

{\displaystyle M=\bigoplus \_{\alpha \in I}M\_{\alpha }}
Som mengde består *M* av følger (xα) der xα ∈ *M*α og kun endelig mange av elementene i følgen er ulik 0. Operasjonene er definert punktvis, dvs

{\displaystyle (x\_{\alpha })+(y\_{\alpha })=(x\_{\alpha }+y\_{\alpha })}
{\displaystyle r(x\_{\alpha })=(rx\_{\alpha })}
Merk at den direkte summen og det direkte produktet av en familie av endelig mange moduler er identiske. Det er kun for uendelige familier at de to konstruksjonene skiller seg fra hverandre.

### Frie moduler over en mengde

La *S* være en vilkårlig mengde, og la *R*s = *R* for alle *s* ∈ *S*. Vi definerer den frie *R*-modulen over *S* F[*S*] til å være

{\displaystyle F[S]=\bigoplus \_{s\in S}R\_{s}}
Vi kan se på elementene i denne modulen som endelige lineære kombinasjoner av elementer i *S* med koeffisienter i *R*. F er funktoriell, og tar en mengdefunksjon f : *S*→ *T* mellom mengdene *S* og *T* til en modulhomomorfi *Ff* som er gitt unikt ved *Ff*(*r*) = *r* ∈ *R**f*(*x*) når *r* ∈ *R**x*. Denne funktoren er venstreadjunkten til den glemske funktoren *U* : ***R*-mod** → **Set**.

### Hom-moduler

Gitt to *R*-moduler *M* og *N*, er mengden av modulhomomorfier mellom dem, Hom*R*(*M*,*N*), en *R*-modul. Mengden har også en ringstruktur som gjør den til en *R*-algebra. Addisjonen av morfier er gjort punktvis. Dersom φ,ψ ∈ Hom*R*(*M*,*N*) og r ∈ *R* definerer vi addisjon og skalarmultiplikasjon ved

{\displaystyle (\varphi +\psi )(m)=\varphi (m)+\psi (m)}
{\displaystyle (r\varphi )(m)=r\phi (m)}
Det er enkelt å verifisere at disse avbildningene faktisk er modulhomomorfier. Man kan se at for en gitt *R*-modul *M* er Hom(*M*,-) funktoriell, og tar en avbildning f: *K* → *M* til avbildningen {\displaystyle \phi \mapsto f\circ \phi }. Denne funktoren er høyreadjunkten til tensorfunktoren *M*⊗-. Likeledes er Hom(-,*M*) en kontravariant funktor.

### Tensorprodukt

Tensorproduktet av to *R*-moduler *M* og *N*, {\displaystyle M\otimes \_{R}N}, er modulen med et minimum av relasjoner slik at en bilineær avbildning *M* × *N* → P inn i en modul *P* gir en unik modulhomomorfi {\displaystyle M\otimes \_{R}N\to P}. Vi kan konstruere modulen som følger: La *B* være undermodulen av den frie modulen F[*M* × *N*] generert av relasjonene

 {\displaystyle (m+m^{\prime },n)-(m,n)-(m^{\prime },n)}
 {\displaystyle (m,n+n^{\prime })-(m,n)-(m,n^{\prime })}
 {\displaystyle r(m,n)-(rm,n)}
 {\displaystyle r(m,n)-(m,rn)}
for alle m, m' ∈ *M*, N, N' ∈ *N* og r ∈ *R*. Hvis *R* ikke er kommutativ og *M* har struktur som høyremodul, benyttes tilsvarende generatorer med multiplikasjon på høyre side. 
Vi lar tensorproduktet være

 {\displaystyle M\otimes \_{R}N=F[M\times N]/B}
avbildningen av (m,n) ∈ *M* × *N* i {\displaystyle M\otimes \_{R}N} skrives {\displaystyle m\otimes n}, og samlingen av alle elementene på denne formen kalles *generatorene* av {\displaystyle M\otimes \_{R}N\to P}, siden ethvert element i tensorproduktet kan skrives som en lineær kombinasjon av generatorene. Gitt en *R*-modul M er tensorproduktet *M*⊗- funktorielt, og tar en avbildning f: *K* → *M* til avbildningen id*M*⊗f. Denne tensoren er venstreadjunkten til homfunktoren Hom(*M*,-).

### Skalarrestriksjon og skalarutvidelse

Hvis vi har en *S*-modul *M* og en ringhomomorfi  *f : R* → *S*, kan vi enkelt gi *M* en *R*-modulstruktur. Skalarmultiplikasjonen er da gitt ved

 {\displaystyle rm=f(r)m}
for alle *r* ∈ *R* og *m* ∈ *M*. Dette kalles skalarrestriksjon. Det finnes en tilsvarende konstruksjon som vi kaller skalarutvidelse: Hvis vi har en *R*-modul *M* og en ringhomomorfi *R* → *S*, kan vi gi *M* struktur som en *S*-modul. Siden avbildningen *R* → *S* gjør *S* til en *R*-modul, gir det mening å snakke om tensorproduktet {\displaystyle S\otimes \_{R}M}. Denne modulen har en naturlig gitt *S*-modulstruktur, som kan beskrives over alle generatorene ved 

 {\displaystyle t(s\otimes m)=(ts)\otimes m}
for alle *s,t* ∈ *S* og *m* ∈ *M*. Det kan sees at dersom *U* er en multiplikativt lukket delmengde av *R* og *R[U-1* lokaliseringen, så har vi en naturlig inklusjon *R* → *R[U-1]*. For enhver *R*-modul *M*, gir skalarutvidelse til lokaliseringen en *R[U-1]*-modulisomorfi med lokaliseringen av *M*

{\displaystyle R[U^{-1}]\otimes \_{R}M\cong M[U^{-1}]}
Videre, gitt en ringhomomorfi  *f : R* → *S* og to *R*-moduler *M* og *N*, har man en viktig *S*-modulhomomorfi 

{\displaystyle \alpha \_{M}:S\otimes \_{R}{\rm {Hom}}\_{R}(M,N)\to {\rm {Hom}}\_{S}(S\otimes \_{R}M,S\otimes \_{R}N)}
definert ved {\displaystyle s\otimes \phi \mapsto \alpha \_{s}\otimes \phi }, hvor {\displaystyle \alpha \_{m}(s)=ms}. Dersom *S* er flat over *R* og *M* er endelig presentert, er {\displaystyle \alpha \_{M}} en isomorfi.

Se også
-------

* Kommutativ algebra
* Representasjonsteori
* Enkel modul (matematikk)
* Fri modul (matematikk)
* Undermodul (matematikk)
* Ring (matematikk)
* Vektorrom

Litteratur
----------

* Module (Moduler) - ekstrakt av artikkel av L.V. Kuz'min, i verket: Michiel Hazewinkel, *Encyclopedia of Mathematics*. ISBN 1-402006098. (engelsk)
* F.W. Anderson og K.R. Fuller, *Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics*, volum 13, andre utgave. Springer-Verlag, New York, 1992. (engelsk)
* N. Bourbaki, *Éléments de mathématique : Algèbre*, kapittel 4-7, Springer-Verlag, 2006, 432 sider. ISBN 3-540343989. (fransk)
* Siegfried Bosch, *Algebra*, 7. opplag. Springer-Verlag, 2009. ISBN 3-540-40388-4. (tysk)
* I. Kaplansky, «Elementary Divisors and Modules», i tidsskriftet *Trans. Amer. Math. Soc.*, volum 66, 1949, side 464-491. (engelsk)
* M. D. Larsen, W. J. Lewis og T. S. Shores, «Elementary Divisor Ring and Finitely Presented Modules», i tidsskriftet *Trans. Amer. Math. Soc.*, volum 187, nummer 1, 1974, side 231-248. (engelsk)
* Robert Wisbauer, *Grundlagen der Modul- und Ringtheorie*. Reinhard Fischer forlag, München 1988. ISBN 3-88927-044-1. (tysk)

Eksterne lenker
---------------

* *Einführung in die Modultheorie* (Innføring i modulteorien) - Alexander Hölzle (tysk).

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** SUDOC **·** NDL **·** NKC **·** BNE
 |