De 3-adiske heltallene i **Z**3 kan organiseres i grupper som har en fraktal struktur.
***p*-adiske tall** er en utvidelse av de rasjonale tallene som er forskjellig fra deres generalisering til reelle tall. Da må *p* være et primtall og størrelsen av et tall må defineres på en annen måte. To *p*-adiske tall kan dermed sies å være nær hverandre når deres differens kan divideres med en høy potens av *p*. Desto større potensen er, desto nærmere er tallene hverandre. På denne måten kan tilsynelatende divergente rekker gjøres konvergente.

Denne utvidelsen av de rasjonale tallene ble først beskrevet av den tyske matematiker Kurt Hensel for vel hundre år siden. De ble først møtt med liten interesse, men har siden fått stadig større oppmerksomhet og betydning.

Slike tall inngår nå i moderne tallteori. For eksempel utgjorde de en del av beviset som Andrew Wiles fant for Fermats siste teorem i 1993. De gjør det mulig å videreutvikle aritmetisk geometri og kan benyttes i formulering av en ny kalkulus for tilsvarende matematiske funksjoner.

Motivasjon
----------

Desimaltall er skrevet i et posisjonssystem basert på grunntallet 10. For eksempel er 342 = 3⋅102 + 4⋅101 + 2⋅100 og tilsvarende for andre heltall. Men et slikt tallsystem kan også være basert på andre grunntall. Kanskje det mest kjente er totallssystemet. For et vilkårlig grunntall *b* kan man da skrive et positivt heltall *x* som

{\displaystyle x=\sum \_{k=0}^{n}x\_{k}b^{k}=x\_{n}b^{n}+x\_{n-1}b^{n-1}+\cdots +x\_{0}}
hvor *n* > 0. Heltallet er spesifisert ved sekvensen (*x**n*,*x**n* -1,...*x*0)*b* hvor man ofte kan utelate komma mellom hver term. Disse koeffisientene må oppfylle 0 ≤ *xk* < *b*. Med denne notasjonen er derfor (3,4,2)10 = 342, mens (342)5 = 3⋅52 + 4⋅51 + 2⋅50 = 97. For et gitt grunntall kan man addere og derfor også multiplisere slike heltall. 

Negative tall defineres ved at de kan adderes til et positivt tall med resultatet 0 = (0,0,...0)*b*. Med bruk av totallsystemet som har *b* = 2, kan man benytte toerkomplement for å konstruere representasjon av negative tall. For eksempel i en datamaskin som representerer hvert heltall med fire biter, er 3 = (0011)2. Den inverterte verdi er (1100)2 slik at toerkomplementet blir -3 = (1100)2 + 1 = (1101)2. Derfor er også -1 = (1110)2 + 1 = (1111)2 i denne sammenhengen. Hvis datamaskinen i stedet benyttet 8 biter for hvert heltall, ville -1 = (11111111)2 på samme måte.

Resultatet av mer kompliserte regneoperasjoner kan skrives som desimaltall. De kan generaliseres til tallsystem med grunntall *b* og har da formen

{\displaystyle x=\sum \_{k=-\infty }^{n}x\_{k}b^{k}=x\_{n}b^{n}+x\_{n-1}b^{n-1}+\cdots +x\_{0}+x\_{-1}b^{-1}+x\_{-2}b^{-2}+\cdots }
Tallet kan uttrykkes ved koeffisientene (*x**n* *x**n* -1 ... *x*0 . *x*-1*x*-2 .... )*b* når man benytter et punktum for desimaltegn i det generelle tilfellet. Et vilkårlig, reelt tall vil ha uendelig mange siffer etter dette tegnet, mens rasjonale tall har siffer som gjentar seg periodisk. For eksempel er 1/6 = (0.1666....)10 = (0.16)10 når man benytter en overlinje for det repeterende tallet. Med denne notasjonen er da 1/11 = (0.09)10 = (0.090)10. Bruk av et annet grunntall gir en annen representasjon av tallet. Eksempelvis er 1/3 = (0.3)10 = (0.13)5 når *b* = 5. Denne generaliseringen av vanlige desimaltall kan gjøres systematisk for alle grunntall.

### *p*-adisk utvikling

Mens et desimaltall inneholder en uendelig sum av stadig mindre potenser av grunntallet, kan man betrakte en tilsvarende sum av uendelig mange økende potenser. For eksempel med grunntall *p* kan tall på formen 

{\displaystyle x=\sum \_{k=0}^{\infty }x\_{k}p^{k}=x\_{0}+x\_{1}p+\cdots +x\_{n}p^{n}+x\_{n+1}p^{n+1}+\cdots }
adderes og derfor også multipliseres sammen på helt vanlig måte selv om den uendelige rekken ikke konvergerer på vanlig måte når *p* > 1. For at dette skal ha noen mening, må derfor kriteriene for konvergens forandres. Det kan gjøres slik at den uendelige rekken er en veldefinert, *p*-adisk ekspansjon. Tallet *x* sies da på samme måte å være et *p*-adisk heltall som da kan skrives som (... *x**n* *x**n* -1 ... *x*0)*p*. Vanlige heltall kan da uttrykkes i denne representasjonen ved å addere uendelige mange nuller til venstre. For eksempel er 342 = (...000342)10 = (0342)10 som ved den vanlige fremstillingen. 

Da nå 1 = (01)*p*, er den enkle, 3-adiske summen (2)3 + 1 = (...222)3 + 1 = (...000)3 = (0)3 = 0 når man gjenomførrer addisjon fra høyre mot venstre. Derfor må man ha -1 = (2)3 = (...222)3. Andre negative tall kan skrives på tilsvarende måte. For eksempel er -2 = (-1)⋅2 = (...221)3 = (21)3 som stemmer med at -2 + 1 = -1. Hadde grunntallet vært *p* i stedet, ville -1 = (*p* - 1)*p* = (*p* - 1)(1)*p* . Negative, *p*-adiske tall skrives derfor på samme måte som de positive.

Disse *p*-adiske tallene danner en matematisk ring hvor addisjon og multiplikasjon kan utføres. Noen av tallene kan også divideres med hverandre. For eksempel kan brøken 1/3 = (0.3)10 representeres ved det 10-adiske tallet (67)10 fordi (...6667)10⋅3 = (...0001)10 = 1. Derimot kan man ikke skrive 1/2 på denne måten. I tillegg inneholder ringen nulldivisorer slik at produktet *x*⋅*y* mellom to tall kan være null uten at *x* eller *y* er null. Samme problem kan oppstå i modulær aritmetikk. Dette kan unngås ved å kun betrakte *p*-adiske tall der *p* er et primtall som 2, 3, 5 og så videre. For å samtidig kunne representere resultatet av alle divisjoner, må definisjonen av et *p*-adisk tall også utvides til å kunne skrives som den uendelige rekken

{\displaystyle x={x\_{-m} \over p^{m}}+\cdots +{x\_{-1} \over p}+x\_{0}+x\_{1}p+x\_{2}p^{2}+\cdots }
Det kan da skrives som (... *x**n* *x**n* -1 ...*x*0.*x*-1...*x-m*)*p* som tilsvarer måten å skrive desimaltall når et punktum benyttes som desimaltegn. Ringen er dermed utvidet til en tallkropp hvor alle de fire regningsartene kan utføres. De opprinnelige tallene tilsvarer at *m* = 0 og er naturlig å kalle for *p*-adiske heltall.

### Uendelige rekker

For tallet -1 har man den *p*-adiske utviklingen

{\displaystyle -1=(p-1)({\overline {1}})\_{p}=(p-1)(1+p+p^{2}+\cdots )}
som er en divergent rekke og derfor ikke har en veldefinert sum. Men ordner man leddene på en litt annen måte, ser man at alle potenser av *p* kansellerer hverandre gjensidig. Derfor har man rent formelt summen

{\displaystyle S=1+p+p^{2}+\cdots ={1 \over 1-p}}
hvor leddene utgjør en geometrisk rekke der *p* > 1. Slike divergente rekker ble først systematisk undersøkt av Euler.

En lignende sum er

{\displaystyle S'=\cdots +{1 \over p^{2}}+{1 \over p}+1+p+p^{2}+\cdots }
Når den multipliseres med *p'*, ser man at *pS'* = *S'*. Da *p* > 1, er denne ligningen kun oppfylt når *S'* = 0. Samtidig utgjør den første delen av summen en konvergent, geometrisk rekke. Derfor er

{\displaystyle S'={1/p \over 1-1/p}+S=0}
som igjen betyr at *S* = 1/(1 - *p*). Da denne summen inngår i alle *p*-adiske ekspansjoner, må konvergens av slike divergente rekker gis et nytt innhold.

Matematisk grunnlag
-------------------

De rasjonale tallene utgjør tallkroppen **Q** og består av alle mulige brøker av formen *a*/*b* hvor både *a* og *b* ≠ 0 er heltall i ringen **Z**. For å kunne gi løsning av alle polynomligninger må **Q** utvides til å inneholde alle reelle tall. Denne større tallkroppen betegnes vanligvis ved **R** og kan defineres på forskjellige måter. De gjør det mulig å beregne entydige grenser av uendelige summer ved å betrakte dem som Cauchy-følger. Hvert reelt tall *x* har da en størrelse |*x*| = *x* når *x* ≥ 0 og |*x*| = -*x* i det motsatte tilfellet. For to reelle tall *x* og *y* oppfyller denne absoluttverdien *trekantulikheten*

{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}
sammen med at {\displaystyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|}. Dette utgjør grunnlaget for fastsettelse av konvergens og grenseverdier av uendelige rekker i vanlig, reell analyse.

### *p*-adisk absoluttverdi

For vel over hundre år siden viste Kurt Hensel at de rasjonale tallene **Q** kan utvides til en annen, fullstendig tallkropp som skiller seg sterkt fra de reelle tallene **R**. Den kan konstrueres for hvert primtall *p* og betegnes med **Q***p*. Grunnantagelsen den bygger på, er definisjonen av en ny absoluttverdi for hvert tall *x* i **Q**. Fra aritmetikkens fundamentalteorem følger at det kan skrives på den generelle formen *x* = *m⋅p**n* hvor *m* er relativt primisk med *p* og *n* er et heltall. Den *p*-adiske absoluttverdien av dette tallet settes nå til å være

{\displaystyle |mp^{n}|\_{p}=p^{-n}}
sammen med {\displaystyle |0|\_{p}=0}. Hvis for eksempel *x* = 24⋅3⋅52, så er |*x* |2 = 2-4 = 1/16, |*x* |3 = 1/3 og |*x* |5 = 1/25, mens |*x* |*p* = 1 for *p* ≥ 7. Desto flere potenser et tall innholder av primtallet *p*, desto mindre er dets *p*-adiske størrelse.

Denne nye absoluttverdien oppfyller den *sterke trekantulikheten*

{\displaystyle |x+y|\_{p}\leq {\text{max}}\{|x|\_{p},|y|\_{p}\}}
Da {\displaystyle |x\cdot y|\_{p}=|x|\_{p}\cdot |y|\_{p}}, er {\displaystyle |1|\_{p}=1} som også følger direkte fra definisjonen. Slike tall oppfyller ikke Arkimedes' aksiom og sies derfor å være *ikke-arkimediske*. Når {\displaystyle |x|\_{p}\neq |y|\_{p}}, kan man anta at {\displaystyle |x|\_{p}>|y|\_{p}} slik at {\displaystyle |x+y|\_{p}\leq |x|\_{p}}. Samtidig er {\displaystyle |x|\_{p}=|x+y-y|\_{p}\leq {\text{max}}\{|x+y|\_{p},|y|\_{p}\}=|x+y|\_{p}.} Derfor må man da ha at {\displaystyle |x+y|\_{p}=|x|\_{p}.} Størrelsen av en sum er derfor gitt ved det største leddet alene.

### Tallmengden **Q***p* og heltall **Z***p*

Med denne nye absoluttverdien kan rekken

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sum \_{k=-m}^{\infty }x\_{k}p^{k}\\&=x\_{-m}p^{-m}+\cdots x\_{-1}p^{-1}+x\_{0}+x\_{1}p+x\_{2}p^{2}+\cdots \end{aligned}}}
hvor {\displaystyle 0\leq x\_{k}<p}, betraktes som en konvergent Cauchy-følge da de stadig nye leddene som kommer inn, blir mindre og mindre. Rekken definerer dermed et *p*-adisk tall med størrelse |*x* |*p* = *pm*. Det kan skrives mer kompakt som (...*x*2*x*1*x*0.*x*-1... *x-m*)*p*. Hele tallkroppen **Q***p* består av slike tall hvor *m* > 0 har forskjellige verdier. 

Når *m* = 0 er absoluttverdien {\displaystyle |x|\_{p}\leq 1}. Denne undermengden til **Q***p* sies å innholde *p*-adiske *heltall* og danner en ring **Z***p*. De er gitt ved den uendelige rekken

{\displaystyle x=\sum \_{k=0}^{\infty }x\_{k}p^{k}=x\_{0}+x\_{1}p+x\_{2}p^{2}+\cdots }
og kan skrives som (...*x*2*x*1*x*0). Så lenge *x*0 ≠ 0, er disse tallene invertible og danner derfor en tallkropp **Z***p*×. Hvis derimot *x*0 = 0, vil |*x* |*p* = 1/*p*  < 1 når *x*1 ≠ 0. Men man kan da skrive *x* = *p⋅y* hvor heltallet *y* er invertibelt såfremt koeffisienten *y*0 ≠ 0.

Periodiske utviklinger
----------------------

Det sentrale tallet (...111)*p* = (1)*p* er gitt ved den uendelige, geometriske rekken 

{\displaystyle S=1+p+p^{2}+\cdots }
som nå er konvergent da |*p* |*p* = 1/*p* < 1 når *p* ≥ 2. Summen er derfor *S* = 1/(1 - *p*) som er en brøk i intervallet mellom - 1 og 0. Dette går tilbake til Euler.. For eksempel, så er

{\displaystyle {\begin{aligned}-1&=1+2+4+8+\cdots \\-{1 \over 2}&=1+3+9+27+\cdots \end{aligned}}}
for henholdsvis *p* = 2 og *p* = 3. Alle periodiske, *p*-adiske tall er brøker i det samme intervallet. Det tilsvarer at at hvert rasjonalt tall kan skrives som et periodisk desimaltall.

Denne egenskapen kan man se ved å betrakte det periodiske tallet *x* = (... *ababab*)*p* = (*ab*)*p* hvor 0 ≤ *a,b* < *p* med *b* ≠ 0. Ved en *p*-adisk utvikling kan dette skrives som

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=(a\cdot p+b)\cdot (1+p^{2}+p^{4}+\cdots )\\&={(ab)\_{p} \over 1-p^{2}}\end{aligned}}}
da denne geometriske rekken er konvergent på tilsvarende måte. For eksempel, det 3-adiske tallet *x* = (12)3 gir brøken

{\displaystyle x={3+2 \over 1-3^{2}}=-{5 \over 8},}
mens (12)5 = - 7/24 på samme måte. 

I det generelle tilfellet der perioden er *k* lang, er

{\displaystyle ({\overline {n\_{k-1}n\_{k-2}\cdots n\_{0}}})\_{p}={(n\_{k-1}n\_{k-2}\cdots n\_{0})\_{p} \over 1-p^{k}}}
Det gir for eksempel, at (1012)3 = - 2/5 da (1012)3 = 1⋅33 + 0⋅32 + 1⋅31 + 2 = 32 og 1 - 34 = 80.

Positive brøker i intervallet mellom 0 og 1 kan finnes ved negasjon av den *p*-adiske representasjonen for den tilsvarende, negative brøken. Som for binære tall gjøres det ved *p*-komplementering av hvert siffer i representasjonen etterfulgt addisjon av 1. Dette kan illustreres med komplementet av (1012)3 som derfor blir (1210)3 = (...12101210)3. Ved å legge til 1 får man (...12101211)3 = (01211)3 = + 2/5. Det verifiseres ved at (1012)3 + (01211)3 = (0)3 = 0. På samme vis er -1/3 = (13)5, mens +1/3 = (132)5. Den positive brøken er ikke fullstendig periodisk.

Multiplikasjon av et *p*-adisk tall i **Z***p* med en potens *p**n* betyr at å addere *n* nuller til høyre i representasjonen av tallet. Det tilsvarer å flytte separasjonstegnet til høyre. Derimot når *n* < 0 må dette flyttes *n* plasser til venstre som tilsvarer at det blir et tall i kroppen **Q***p*. For eksempel er -2/45 = (-2/5⋅9) som dermed blir

{\displaystyle {\begin{aligned}{1 \over 3^{2}}({\overline {1012}})\_{3}&={2 \over 3^{2}}+{1 \over 3}+0+1\cdot 3+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{3}+\cdots \\&={5/9}+(1210)\_{3}(1+3^{4}+3^{8}+\cdots )\\&={5 \over 9}+{48 \over 1-3^{4}}=-{2 \over 45}=({\overline {1210}}.12)\_{3}\end{aligned}}}
da (1210)3 = 1⋅33 + 2⋅32 + 1⋅31 + 0 = 48.

Metriske egenskaper
-------------------

De reelle tallene utgjør en tallkropp **R** hvor hvert tall kan fremstilles ved et punkt på en linje. Avstanden mellom to slike tall *x* og *y* er gitt ved den vanlige absoluttverdien *d*(*x,y*) =. Denne metrikken kan benyttes til å ordne tallene langs linjen. Man sier derfor for eksempel at tallet 4 er nærmere 8 enn tallet 31 er.

For tallmengden **Q***p* er en tilsvarende beskrivelse ikke så enkel. Avstanden mellom to tall i denne mengden må da defineres ved bruk av den *p*-adiske absoluttverdien slik at 

{\displaystyle d\_{p}(x,y)=|x-y|\_{p}}
Det betyr at avstanden mellom 4 og 8 er 1 i **Q**3, mens den er 1/27 mellom 4 og 31. Derfor er 31 «nærmere» 4 enn 8 for *p* = 3, mens for *p* = 5 ville 8 og 31 være i samme avstand fra dette tallet.

En *ball* eller kule består av alle punkter som har samme avstand *r* fra et bestemt punkt *c* som er kulens sentrum. Den består derfor av alle punkt *x* som oppfyller 

{\displaystyle |x-c|\_{p}=r}
Hvis *r* = 1/*p**n*, vil kulen derfor bestå av alle tall som har de *n* første siffer lik med de i representasjonen av *c*. Men dette betyr igjen at hvert punkt i kulen kan være dens sentrum. Hvis to slike kuler overlapper, vil den ene være inneholdt i den andre. Tallmengden **Z***p* får dermed en struktur som har noen likhetspunkter med en fraktal.

Referanser
----------

1. ↑   J. Reed og J. Aarnes, *Matematikk i vår tid*, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
2. 1 2   L. Childs, *A Concrete Introduction to Higher Algebra*, Springer-Verlag, New York (1984). ISBN 0-387-90333-X
3. 1 2   E.B. Burger, *Exploring the Number Jungle*, American Mathematical Society (2000). ISBN 0-8218-2640-9.
4. 1 2 3 4   F.Q. Gouvêa, *p-adic Numbers: An Introduction*, Springer-Verlag, Berlin (2003). ISBN 3-540-62911-4.
5. 1 2   L. Euler, *De Seriebus divergentibus*, (1760). Oversatt til engelsk.
6. ↑   J. Stillwell, *The Real Numbers*, Springer, New York (2013). ISBN 978-3-319-01577-4.

Eksterne lenker
---------------

* Alexa Pomerantz, An introduction to *p*-adic numbers, University of Chicago.
* G. Ellingsrud, Komplette kropper og *p*-adiske tall, MAT4250, Universitetet i Oslo (2013).
* K. Houston-Edwards, *An Infinite Universe of Number Systems*, Quanta Magazine (2020).
* R.E. Borcherds, *p*-adic numbers, Youtube lecture series.