Kvadratkomplettering
**Kvadratkomplettering** er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Avledning
---------

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

{\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q}.
Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd: 

{\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q.}

Oversikt
--------

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen 

{\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}
endres til et av formen

{\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}
Legg merke til at koeffisientene *a*, *b*, *c*, *d* og *e* overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn *x*.

Vanlig formel
-------------

For 

{\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e\,\!}

har vi 

{\displaystyle c={\sqrt {a}}\,\!}
{\displaystyle d={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\,\!}
{\displaystyle e=-d^{2}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
eller

{\displaystyle ax^{2}+bx=\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}

Eksempler
---------

### Eksempel 1

Et meget enkelt eksempel er:

{\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4\,\!}
### Eksempel 2

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av: 

{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+6x-16&=&0&\\x^{2}+6x&=&16&\\x^{2}+6x+({\frac {6}{2}})^{2}&=&16+({\frac {6}{2}})^{2}&\*\\x^{2}+6x+9&=&16+9&\\(x+3)^{2}&=&25&\\(x+3)&=&{\sqrt {25}}&\\x+3&=&\pm 5&\\x&=&\pm 5-3&\\x&=&-8,2&\\\end{matrix}}}
\* **kvadratkompletteringen**

### Eksempel 3

Si at man vil finne løsningen av ligningen {\displaystyle x^{2}+3x-4=0}. Man kan da anvende kvadratkomplettering: 

{\displaystyle x^{2}+3x-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}}
sett overforstående lik null og løs:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}=0\\&{}\Leftrightarrow \left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {25}{4}}\\&{}\Leftrightarrow x+{\frac {3}{2}}=\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-4\end{aligned}}}
### Eksempel 4

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}\,\!}.
Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er 

{\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241\,\!}.
Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til *x*² - 10*x* fås det perfekte kvadratet *x*² - 10*x* + 25 = (*x* - 5)². Derfor fås:

{\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16\,\!}.
Dermed er integralet

{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\,\!}.
### Eksempel 5

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

{\displaystyle x^{2}+bx+c=0\,\!}
finnes ved å omforme ligningen slik at *x* og *x2* ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til *x*, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+bx+c&=&0&\\x^{2}+bx&=&-c&\\x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2}&=&-c+({\frac {b}{2}})^{2}&\*\\(x+{\frac {b}{2}})^{2}&=&({\frac {b}{2}})^{2}-c&\\(x+{\frac {b}{2}})&=&\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\\x&=&-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\end{matrix}}}
\* **kvadratkomplettering**

### Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

{\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\end{matrix}}\,\!}.
hvorav

{\displaystyle {\begin{matrix}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {\pm {\sqrt {4a^{2}({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}})}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!}

Komplekse versjoner av kvadratkomplettering
-------------------------------------------

Betrakt uttrykket

{\displaystyle |z|^{2}-b^{\*}z-bz^{\*}+c,\,}
der {\displaystyle z} og b er komplekse tall, {\displaystyle z^{\*}} og {\displaystyle b^{\*}} er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis {\displaystyle z} og b, og {\displaystyle c} er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,}
som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

{\displaystyle {\begin{matrix}|z-b|^{2}&=&(z-b)(z-b)^{\*}\\&=&(z-b)(z^{\*}-b^{\*})\\&=&zz^{\*}-zb^{\*}-bz^{\*}+bb^{\*}\\&=&|z|^{2}-zb^{\*}-bz^{\*}+|b|^{2}\end{matrix}}}
På samme måte kan uttrykket

{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,}
der a, {\displaystyle x}, b, {\displaystyle y} og {\displaystyle c} er reelle tall og {\displaystyle a>0} samt {\displaystyle b>0}, uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

{\displaystyle z={\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y,}
slik

{\displaystyle {\begin{matrix}|z|^{2}&=&zz^{\*}\\&=&({\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y)({\sqrt {a}}x-i{\sqrt {b}}y)\\&=&ax^{2}-i{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}xy+i{\sqrt {b}}{\sqrt {a}}yx-i^{2}by^{2}\\&=&ax^{2}+by^{2}\end{matrix}}}
, noe som gir

{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,}

Bruk
----

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

{\displaystyle x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} \_{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}.}
Denne ulikheten viser at den minste verdien {\displaystyle q-(p/2)^{2}} antas ettersom tallet *x* er lik tallet {\displaystyle -p/2}.

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

{\displaystyle x^{2}+2xy=(x+y)^{2}-y^{2}\,}
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,}

Se også
-------

* Kvadratsetningene