I en regulær *n*-kant er *a = π/n* den halve sentralvinkel og *b = π(1/2 - 1/n)* den halve, indre vinkel.

**Eksakte trigonometriske konstanter** er eksakte verdier som brukes for å uttrykke vinkler nøyaktig. Alle konstantene er utledet fra forholdet mellom to sider i en trekant. 

Alle eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens til vinkler med 3-graders inkrementer er det mulig å utlede ved å bruke identitetene for halve vinkler, dobbelte vinkler og sum/differanse med verdiene for 0°, 30°, 36°, og 45°. Det tilsvarer at de er konstruerbare tall og basert på konstruksjon av regulære mangekanter. Disse spesielle vinklene som er listet, er de halve sentralvinklene i de tilsvarende mangekantene. Det er kun mulig å finne eksakte verdier for vinkler på formen m {\displaystyle \pi }/n (gitt i radianer), der m og n er heltall slik at det går an å konstruere et polygoner med n eller m sider.

Konstantene oppgis på eksakt form, dvs. ved hjelp av røtter og brøker, uten avrunding til desimaltall, som kan lede til unøyaktigheter dersom man bruker de i videre beregninger. Mange av verdiene er irrasjonelle. Dersom man evaulerer funksjonene {\displaystyle \sin x} og {\displaystyle \cos x} med et rasjonalt argumenter, er de eneste mulige rasjonale løsningene 0, ±1 og ±1/2.

Velkjente konstanter
--------------------

Eksakte verdier på formen {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} på enhetssirkelen; alle disse er et multiplum av 30° og 45° ({\displaystyle \pi }/6 og {\displaystyle \pi }/4).
Følgende konstanter kan utledes for verdier ut fra en sekstendeling av enhetssirkelen; disse gjelder for verdiene man får av å dele en sirkel i åtte eller tolv like deler. Én hel omdreining er gitt ved 360° eller {\displaystyle 2\pi }.

| Dreining | Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
|
| 1/12 | 30° | {\displaystyle \pi }/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 1/8 | 45° | {\displaystyle \pi }/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 1/6 | 60° | {\displaystyle \pi }/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 1/4 | 90° | {\displaystyle \pi }/2 | 1 | 0 |  |
| 1/3 | 120° | 2{\displaystyle \pi }/3 | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 3/8 | 135° | 3{\displaystyle \pi }/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 5/12 | 150° | 5{\displaystyle \pi }/6 | 1/2 | −√3/2 | −√3/3 |
| 1/2 | 180° | {\displaystyle \pi } | 0 | −1 | 0 |
| 7/12 | 210° | 7{\displaystyle \pi }/6 | −1/2 | −√3/2 | √3/3 |
| 5/8 | 225° | 5{\displaystyle \pi }/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 2/3 | 240° | 4{\displaystyle \pi }/3 | −√3/2 | −1/2 | √3 |
| 3/4 | 270° | 3{\displaystyle \pi }/2 | −1 | 0 |  |
| 5/6 | 300° | 5{\displaystyle \pi }/3 | −√3/2 | 1/2 | −√3 |
| 7/8 | 315° | 7{\displaystyle \pi }/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 11/12 | 330° | 11{\displaystyle \pi }/6 | −1/2 | √3/2 | −√3/3 |
| 1 | 360° | 2{\displaystyle \pi } | 0 | 1 | 0 |

Andre verdier
-------------

Verdier for vinkler utenfor området [0°, 45°] kan utledes fra disse verdiene ved bruk av formlene for symmetri i trigonometriske identiteter. Merk at 1° = π/180 radianer. 

### 0°: fundamental

{\displaystyle \sin 0=0\,}
{\displaystyle \cos 0=1\,}
{\displaystyle \tan 0=0\,}
{\displaystyle \cot 0{\mbox{ er undefinert}}\,}
### 3°: 60-sidet polygon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 6°: 30-sidet polygon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 9°: 20-sidet polygon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
### 12°: 15-sidet polygon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 15°: dodekagon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
### 18°: dekagon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\tfrac {1}{2}}\varphi ^{-1}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
### 21°: summen 9° + 12°

{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 22.5°: oktogon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}),}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}})\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
### 24°: summen 12° + 12°

{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
### 27°: summen 12° + 15°

{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
### 30°: heksagon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
### 33°: summen 15° + 18°

{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 36°: pentagon

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\tfrac {1}{5}}[{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}]\,}
### 39°: summen 18° + 21°

{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
### 42°: summen 21° + 21°

{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})}{2}}\,}
### 45°: kvadrat

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,}
### 60°: trekant

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,}
der {\displaystyle \varphi } er det gylne snitt.

Se også
-------

* Trigonometriske funksjoner
* Liste over trigonometriske identiteter

Litteratur
----------

* (en) Eric W. Weisstein, *Constructible polygon* i MathWorld.
* (en) Eric W. Weisstein, *Trigonometry angles* i MathWorld.
	+ π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
	+ π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
	+ π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
	+ π/7 — *π/14*
	+ π/9 (20°) — π/18 (10°)
	+ π/11
	+ π/13
	+ π/15 (12°) — π/30 (6°)
	+ π/17
	+ *π/19*
	+ π/23
* (en) Eric W. Weisstein, *Niven's Theorem* i MathWorld.
* Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). «Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3». *Int. J. Quantum Chemistry* (1 utg.). 90: 42–53. doi:10.1002/qua.1803. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
* Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». . CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link) *[arXiv]*
* Conway, John H.; Radin, Charles; Radun Lorenzo (1999). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». *Disc. Comput. Geom.* (3 utg.). 22: 321–332. doi:10.1007/PL00009463. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link) MR1706614
* Girstmair, Kurt (1997). «Some linear relations between values of trigonometric functions at k\*pi/n». *Acta Arithmetica*. 81: 387–398.  MR1472818
* Gurak, S. (2006). «On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers». *Mathematics of Computation* (256 utg.). 75: 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. doi:10.1090/S0025-5718-06-01885-0.  MR2240647
* Servi, L. D. (2003). «Nested square roots of 2». *Am. Math. Monthly* (4 utg.). 110: 326–330. doi:10.2307/3647881.  MR1984573 JSTOR 3647881

Eksterne lenker
---------------

* Constructible Regular Polygons
* Naming polygons
* Decimal expansion of sine of \* degrees, OEIS

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |