Kulekoordinater angir et punkt *P* ved retningen (*θ,φ*) og avstanden *r*.
**Kulekoordinater** er et tredimensjonalt koordinatsystem. Posisjonen til et punkt er gitt ved en radiell koordinat *r* som angir avstanden fra et fast origo samt to vinkler (*θ,φ*) som angir retningen til punktet. Disse tre koordinatene tilsvarer derfor et punkt på en kuleflate med radius *r*, noe som har gitt opphav til navnet kulekoordinater. Alternativt blir også navnet **sfæriske koordinater** benyttet.

Vinkelen *θ* måles ut fra en polar akse som står loddrett på et plan. Projeksjonen av punktet ned i dette planet har en azimutal vinkel som er *φ*.
Denne varierer derfor i intervallet 0° - 360°, mens den polare vinkelen *θ* varierer i intervallet 0° - 180°. Uttrykt i radianer tilsvarer det at *θ* varierer mellom 0 og π , mens *φ* varierer mellom 0 og 2π . På Jordens overflate tilsvarer disse to vinklene geografiske koordinater hvor *φ* er lengdegrad og 90° - *θ* er breddegrad.

Benyttes et kartesisk koordinatsystem (*x,y,z*) med *z*-aksen langs den polare aksen, vil sammenhengen mellom koordinatene i disse to systemene være gitt som

{\displaystyle x=r\sin \theta \,\cos \varphi }
{\displaystyle y=r\sin \theta \,\sin \varphi }
{\displaystyle z=r\cos \theta }
når den azimutale vinkelen måles ut fra *x*-aksen.

Kulekoordinater kan generaliseres til rom med et vilkårlig antall dimensjoner. For to dimensjoner tilsvarer de polarkoordinater. I alle dimensjoner vil en av koordinatene angi avstanden til et punkt fra origo, mens de andre angir et punkt på en multidimensjonal kuleflate. De kan benyttes også i generell relativitetsteori og kalles da for **Schwarzschild-koordinater** etter Karl Schwarzschild som benyttet dem til å finne den første beregning av et sort hull. Den radielle koordinaten *r* angir da ikke lenger en avstand fra et origo, men har en mer abstrakt betydning.

Ulike konvensjoner
------------------

Det finnes ulike konvensjoner for hvilke symboler som brukes for de tre kulekoordinatene. I denne artikkelen viser *r* til radius, *θ* til polar vinkel og *φ* til azimutal vinkel. Dette er i tråd med ISO-standard 31-11, og er vanlig i fysikk og mer praktiske anvendelser. Noen ganger benyttes *ρ* for den radielle koordinaten. I matematisk litteratur kan det forekomme at vinklene *θ* og *φ* byttes om eller får andre betegnelser.

Differensielle egenskaper
-------------------------

Kulekoordinater blir brukt ved løsninger av differensialligninger og integrasjon av funksjoner som har enkle egenskaper under rotasjoner. Dette kan da lettere utføres ved å benytte egenskapene til koordinatene uttrykt ved det differensielle linjeelementet. I det omsluttende, kartesiske koordinatsystemet er dette *d* **r** = *dx* **e***x* + *dy* **e***y* + *dz* **e***z*. Ved direkte utregning fra transformasjonsligningene finner man da at det kvadrerte linjeelementet *ds2* = *d* **r**⋅*d* **r** = *dx2 + dy2 + dz2* kan skrives som

{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}
Et differensielt flateelement på en kule med radius *r* er derfor *dS = r2*sin*θdφdθ*. Hele kuleflaten har arealet

{\displaystyle S=r^{2}\int \_{0}^{2\pi }\!d\varphi \int \_{0}^{\pi }\!\sin \theta d\theta =4\pi r^{2}}
På tilsvarende vis er blir det differensielle volumelementet *dV = r2*sin*θdφdθdr*. Det kan benyttes til å finne volumet av en kule med radius *R*,

{\displaystyle V=\int \_{0}^{R}\!r^{2}dr\int \_{0}^{2\pi }\!d\varphi \int \_{0}^{\pi }\!\sin \theta d\theta =4\pi \int \_{0}^{R}\!r^{2}dr={4 \over 3}\pi R^{3}}
På denne måten kan man utføre alle integrasjoner hvor integranden bare avhenger av den radielle koordinaten *r*.

Dette kvadrerte linjeelementet kan også skrives som *ds2 = gμνdxμdxν* for krumlinjete koordinater *xμ* = (*r,θ,φ*) når man benytter Einsteins summekonvensjon over like indekser. Den metriske matrisen i kulekoordinater er derfor

{\displaystyle g\_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}
Denne diagonale formen kan brukes til å konstruere Laplace-operatoren i kulekoordinater. Når den virker på en skalar funksjon {\displaystyle \Phi =\Phi (r,\theta ,\varphi )}, gir den Laplace-ligningen

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.}
I det spesielle tilfellet at funksjonen er uavhengig av den radielle koordinaten *r*, blir løsningen av differensialligningen gitt ved sfærisk harmonisk funksjoner.

### Sfæriske basisvektorer

Ortogonale basisvektorer {\displaystyle \mathbf {e} \_{r},\mathbf {e} \_{\theta },\mathbf {e} \_{\varphi }}.
I kulekoordinater kan det differensielle linjeelementet nå skrives som *d* **r** = *dxμ* **e***μ*  hvor de nye basisvektorene **e***μ* = ∂**r**/∂*xμ*  er tangenter til koordinatlinjene i dette koordinatsystemet. Ved å sammenligne med linjeelementet i kartesiske koordinater, finner man da direkte fra transformasjonsligningene at

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} \_{r}&=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} \_{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} \_{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} \_{z}\\\mathbf {e} \_{\theta }&=r\cos \theta \,\cos \varphi \,\mathbf {e} \_{x}+r\cos \theta \,\sin \,\varphi \,\mathbf {e} \_{y}-r\sin \theta \,\mathbf {e} \_{z}\\\mathbf {e} \_{\varphi }&=-r\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} \_{x}+r\sin \theta \cos \,\varphi \,\mathbf {e} \_{y}\\\end{aligned}}}
Mens basisvektoren **e***r*  peker i radiell retning, er de angulære basisvektorene **e***θ*  og **e***φ*  tangentvektorer til en kule. Disse tre vektorene står i hvert punkt vinkelrett på hverandre. Det kommer til uttrykk ved at den metriske tensoren *gμν* = **e***μ*⋅**e***ν*  har bare diagonale elementer. Disse angir de relative lengdene til vektorene.

### Christoffel-symbol

Basisvektorene har forskjellige retninger i forskjellige punkt. Flytter man seg fra et punkt til et nærliggende punkt separert med *d* **r** = *dxα* **e***α*  , vil forandringen av vektorene være en lineærkombinasjon av de eksisterende basisvektorene. Dette kan skrives som

{\displaystyle d\mathbf {e} \_{\mu }=\mathbf {e} \_{\nu }\Gamma \_{\;\mu \alpha }^{\nu }dx^{\alpha }}
hvor koeffisientene Γ*νμα* = Γ*ναμ* er Christoffel-symbolene for dette koordinatsystemet. De kan finnes ved en direkte derivasjon av basisvektorene som gir

{\displaystyle \Gamma \_{\;\theta \theta }^{r}=-r,\quad \Gamma \_{\;\varphi \varphi }^{r}=-r\sin ^{2}\theta ,}
{\displaystyle \Gamma \_{\;r\theta }^{\theta }=\Gamma \_{\;r\varphi }^{\varphi }=1/r,}
{\displaystyle \Gamma \_{\;\varphi \varphi }^{\theta }=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma \_{\;\theta \varphi }^{\varphi }=\mathrm {cot} \,\theta ,}
mens alle andre er null.

Referanser
----------

1. ↑  P. M. Morse and H. Feshbach, *Methods of Theoretical Physics*, Part 1, McGraw-Hill, New York (1953). ISBN 0-07-043316-X.
2. 1 2  C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, *Gravitation*, W.H. Freeman, San Francisco (1972). ISBN ISBN 0-7167-0344-0.
3. ↑  T.M. Apostol, *Calculus*, Volume 2, Wiley, New York (1969). ISBN 978-0-471-00007-5.

Litteratur
----------

* M. R. Spiegel, *Vector Analysis*, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker
---------------

* E. Weisstein, *Spherical Coordinates*, Wolfram MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND
 |