Et **dualrom** er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen {\displaystyle \mathbb {F} }, der {\displaystyle \mathbb {K} } er de relle tallene {\displaystyle \mathbb {R} } eller de komplekse tallene {\displaystyle \mathbb {C} }. Dualrommet til et vektorrom V betegnes gjerne {\displaystyle V^{\*}} eller {\displaystyle V^{'}}, og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom *algebraiske dualrom*, definert generelt, og *kontinuerlige dualrom*, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.

Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.

Algebraiske dualrom
-------------------

### Definisjon

La X være et vektorrom definert over en skalarkropp {\displaystyle \mathbb {K} }, der {\displaystyle \mathbb {K} } er {\displaystyle \mathbb {R} } eller {\displaystyle \mathbb {C} }. En lineær funksjon

{\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }.
kalles for en *lineær funksjonal*, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for *dualrommet* til X. For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for *algebraiske dualrom*.

### Egenskaper

#### Vektorrom

La X være et vektorrom over {\displaystyle \mathbb {K} }, {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} } være skalarer, og {\displaystyle f,g\in X^{\*}}. Da er også {\displaystyle \alpha f+\beta g} en funksjonal i {\displaystyle X^{\*}}, definert ved

{\displaystyle (\alpha f+\beta g)(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}.
Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen {\displaystyle 0} være nullelement, gir dette at {\displaystyle X^{\*}} også i seg selv er et vektorrom.

#### Dualbasis

Dersom X er endelig-dimensjonal med basis

{\displaystyle \{e\_{1},...e\_{n}\}}
kan man definere en basis for dualrommet {\displaystyle X^{\*}} {\displaystyle \{f\_{1},...f\_{n}\}} slik at

{\displaystyle (e\_{i},f\_{j})=\delta \_{ij}}
der {\displaystyle \delta \_{ij}} er funksjonen Kronecker-delta gitt ved

{\displaystyle \delta \_{ij}={\begin{cases}1\qquad {\text{hvis }}i=j\\0\qquad {\text{hvis }}i\neq j\end{cases}}}.
Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i {\displaystyle X^{\*}}, og disse definerer også en *basis* for {\displaystyle X^{\*}}. Spesielt impliserer dette at X og {\displaystyle X^{\*}} har samme dimensjon. Basisen {\displaystyle \{f\_{1},...f\_{n}\}} kalles for *dualbasisen* korresponderende til {\displaystyle \{e\_{1},...e\_{n}\}}.

##### Eksempel

Hvis {\displaystyle \{e\_{1},...e\_{n}\}} er standardbasisen bestående av enhetsvektorene

{\displaystyle \{[1,0,...0],[0,1,...0],...[0,0,...1]\}}
gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene

{\displaystyle \{[1,0,...0],[0,1,...0],...[0,0,...1]\}}
gitt som radvektorer, ettersom {\displaystyle (e\_{i},e\_{j})=1} hvis og bare hvis {\displaystyle i=j}.

Kontinuerlige dualrom
---------------------

### Definisjon

Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La X være et normert vektorrom definert over en skalarkropp {\displaystyle \mathbb {K} }, der {\displaystyle \mathbb {K} } er {\displaystyle \mathbb {R} } eller {\displaystyle \mathbb {C} }. En kontinuerlig lineær funksjon

{\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }.
kalles for en *lineær funksjonal*, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for *dualrommet* til X.

Hvis man definerer en norm over {\displaystyle X^{\*}}, vanligvis gitt ved

{\displaystyle ||f||\_{X^{\*}}:=\sup \_{x\in X,x\neq 0}{\frac {|f(x)|}{||x||\_{X}}}}
er {\displaystyle X^{\*}} også et normert vektorrom. Denne normen kalles for *dualnormen* indusert av normen til X.

### Egenskaper

Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er {\displaystyle X^{\*}} (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både {\displaystyle \mathbb {R} } og {\displaystyle \mathbb {C} } er komplette.

### Riesz'–Fréchet-teoremet

Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom {\displaystyle H} er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler {\displaystyle f\in H^{\*}} har et unikt korrepsonderende element {\displaystyle y\in H}. Mer presist, la H være et Hilbert-rom og {\displaystyle x,y} være elementer i {\displaystyle H}. Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for {\displaystyle H},

{\displaystyle f\_{y}(x)=(x,y)}.
Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i {\displaystyle H^{\*}} kan kan skrives slik:

La {\displaystyle H} være et Hilbert-rom og {\displaystyle f\in H^{\*}}. Da finnes en unik {\displaystyle y\in H} slik at
{\displaystyle f(x)=f\_{y}(x)=(x,y)}
for alle {\displaystyle x\in H}. Videre er {\displaystyle ||f||=||y||}.

Eksempler
---------

### Lp-rom

Utdypende artikkel: Lp-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom {\displaystyle 1\leq p<\infty }, og q enten slik at

{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}=1}
dersom {\displaystyle p>1}, og {\displaystyle q=\infty } hvis {\displaystyle p=1}, så er

{\displaystyle (L^{p})^{\*}=L^{q}}
og

{\displaystyle ({\mathcal {l}}^{p})^{\*}={\mathcal {l}}^{q}}.
For {\displaystyle L^{p}}-rom kan man, for et gitt element {\displaystyle f\in L^{p}} og enhver {\displaystyle g\in L^{q}}, definere en funksjonal ved

{\displaystyle \int \_{\Omega }f(t)g(t)dt}
som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for {\displaystyle L^{p}}-funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver {\displaystyle g\in L^{p}} finnes en slik {\displaystyle f\in L^{p}}.

For {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}-rom kan man, for et gitt element {\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}} og enhver {\displaystyle x\in {\mathcal {l}}^{q}}, definere en funksjonal ved

{\displaystyle f\_{a}(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}x\_{n}}
og det kan videre bevises at for enhver {\displaystyle x\in {{\mathcal {l}}^{p}}^{\*}} finnes en slik {\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}}.

Referanser
----------

1. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 31.
2. 1 2  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 77.
3. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 32.
4. ↑  Y. Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications, side 33.
5. 1 2  Y. Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications, side 34.
6. 1 2  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Linear Functional Analysis*, side 105.
7. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 78.
8. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 79.
9. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Linear Functional Analysis*, side 123.
10. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 80.
11. ↑  Y. Yamamoto: *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*, side 81.
12. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Linear Functional Analysis*, side 125.

Litteratur
----------

* Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). *Linear Functional Analysis*. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9.
* Yutaka Yamamoto (2012). *From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications*. Philidelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM. ISBN 1-61197-231-0.

Eksterne lenker
---------------

* (en) Mohammad Sal Moslehian, *Dual Normed Space* i MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |