Når forholdet *AP*/*BP* mellom lengdene i trekanten er konstant, ligger punktet *P* på en sirkel.
**Apollonios' sirkel** er det geometriske sted for alle punkt som har avstander til to gitte punkt slik at forholdet mellom avstandene er konstant. Radius til sirkelen er gitt ved størrelsen til det konstante forholdet.

Dette kan benyttes som definisjon av en sirkel og ble først omtalt av Apollonios fra Perge. Hans navn er derfor knyttet til setningen.

Geometrisk bevis
----------------

Apollonios' sirkel går gjennom de to punktene *Ti* og *Ta* som er harmonisk konjugerte med de gitte punktene *A* og *B*.
Det geometriske stedet er definert ved punkt *X* slik at forholdet *λ* = *AX*/*BX* mellom avstandene til de to gitte punktene *A* og *B* er konstant. For å vise at dette er en sirkel, kan man konstruere et indre punkt *Ti* og et ytre punkt *Ta* som begge deler linjestykket *AB* med delingsforholdet *λ*. Disse to punktene er dermed harmonisk konjugerte med *A* og *B*. Dermed vil *ATi* /*TaB* = *λ* som igjen er lik med forholdet *XA*/*XB*.

Halveringslinjesetningen sier nå at linjen *XTi* halverer den indre vinkelen til hjørnet *X* i trekanten *AXB*. Da det samme argumentet viser at linjen *XTa* halverer den ytre vinkelen til *X* i samme trekant, vil vinkelen *Ti XTa* være en rett vinkel. Fra Tales’ teorem følger da at punktet *X* må ligge på en sirkel med linjestykket *TiTa* som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.

### Inversjonssirkel

Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i *M* som er midtpunktet mellom punktene *Ti* og *Ta*. Vinkelen *MAX* vil da være like stor som *MXB* fordi linjene *XTi* og *XTa* halverer de to vinklene i *X*. De to trekantene *MAX* og *MXB* er derfor likeformede da de har vinkelen *AMX* felles. Dermed er forholdene

{\displaystyle {AX \over BX}=\lambda ={MX \over MB}={MA \over MX}}
også like store.

Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

{\displaystyle MA\cdot MB=MX^{2}}
De to gitte punktene *A* og *B* er derfor inverse av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius *r* = *MX*.

Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at *MA*/*MB* = *λ*2. Hvis lengden av det gitte linjestykket *AB* = *a*, vil da *MB* = *a* /(*λ*2 - 1) når *λ* > 1. Radius i Apollonios-sirkelen er dermed *r* = *aλ* /(*λ*2 - 1). Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at *λ* = 1 og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på *AB* og halverer den.

Analytisk fremstilling
----------------------

Man kan benytte et kartesiske koordinater med origo i *A* og *x*-aksen langs linjen som forbinder den med *B*. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand *a*, Kravet til et punkt *X* = (*x,y*) på det geometriske stedet er da at *XA*/*XB* = *λ* skal være konstant. Det betyr at

{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\lambda {\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}},
Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

{\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {2\lambda ^{2}ax}{\lambda ^{2}-1}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{\lambda ^{2}-1}}=0}.
Den beskriver en sirkel med sentrum i {\displaystyle a\lambda ^{2}/(\lambda ^{2}-1)} på *x*-aksen og med radius {\displaystyle r=a\lambda /|\lambda ^{2}-1|}. Når {\displaystyle \lambda \ll 1} ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i *A*. Etterhvert som {\displaystyle \lambda } øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien {\displaystyle \lambda =1} forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for *B*. For enda større verdier av {\displaystyle \lambda } nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.

Referanser
----------

1. ↑  R. Bix, *Topics in Geometry*, Academic Press, San Diego (1994). ISBN 0-12-102740-6.
2. ↑  D. Pedoe, *A Course of Geometry for Colleges and Universities*, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.

Eksterne lenker
---------------

* Cut-the-Knot, *Locus of Points in a Given Ratio to Two Points*
* P. Pamfilos, *Apollonian Circles*, Geometrikon.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |