En kule har Euler-karakteristikk *χ* = 2.
**Euler-karakteristikk** er et tall som benyttes innen geometri og topologi for å beskrive den generelle formen til et legeme uavhengig av hvordan det blir bøyet og tøyet. Denne blir betegnet med den greske bokstaven *χ*. For eksempel kan en smultring kontinuerlig deformeres til en kopp med hanke. De har derfor samme Euler-karakteristikk. Det har også en kube og en kule.

Dette topologiske tallet har fått sitt navn fra Leonhard Euler som først innførte det i forbindelse med sine studier av formen til forskjellige polyeder. Han viste at antall hjørner *V*, antall kanter *E* og antall sideflater *F* alltid er forbundet med formelen *V - E + F = 2*. Ut fra dette ble disse legemene sagt å ha Euler-karakteristikk *χ* = 2. Det gjelder også for en kule eller en murstein. Denne oppdagelsen kalles nå for Eulers polyedersetning og kan benyttes til å vise at det finnes kun fem platonske legemer.

Definisjon
----------

For mer kompliserte legemer med hull kunne setningen utvides til den mer generelle formen

{\displaystyle \chi =V-E+F=2-2g}
hvor tallet *g* er genus til legemet og sier hvor mange hull eller hanker det har. En smultring har genus 1 og derfor Euler-karakteristikk 0.

I moderne matematikk kan man bruk homologi for rom eller legemer med vilkårlig høy dimensjon *d*  til å dele dette opp i underrom med hvert sitt Betti-tall *bk*. Euler-karakteristikken til legemet er da gitt som

{\displaystyle \chi =\sum \_{k=0}^{d}(-1)^{k}b\_{k}=b\_{0}-b\_{1}+b\_{2}-b\_{3}+\cdots }
hvor Betti-tallene kan beregnes ved bruk av algebraisk homologi. Dette resultatet går tilbake til Henri Poincaré.

Utledning
---------

Hver kant teller som *E* = 1 og har i utgangspunktet *V* = 2 hjørner. Er denne kanten uforbundet med andre, er derfor *V - E* = 1. Kobler man to slike kanter sammen med et hjørne fra hver av dem, er etter sammnekoblingen *E* = 2, men *V* = 3 da et hjørne er felles. Fremdeles er derfor *V - E* = 1. Hekter man sammen flere og flere kanter slik sammen, vil *V - E* = 1 fortsatt holde så lenge ingen av kantene inngår i en lukket kurve som avgrenser en flate, det vil si at nettverket er *åpent*.

Men så snart nettverket inneholder en avgrenset flate, blir *V - E* = 0. Dette ser man for eksempel med *E* = 3 kanter som kobles sammen til en trekant med *V* = 3 hjørner. Dette resultatet kan skrives mer formelt som *V - E + F* = 1 hvor *F* teller hvor mange flater som er avgrenset. 

Dette forutsetter at flatene ikke kobles sammen slik at de avgrenser et volum. Det ser man for eksempel fra et tetraeder som har *V* = 4 hjørner, *E* = 6 kanter og *F* = 4 flater slik at *V - E + F* = 2. Men kuttes denne opp langs tre tilstøtende sider, blir *V* = 6, *E* = 9 og *F* = 4 slik at *V - E + F* = 1. Generelt kan man derfor for et slikt nettverk i tre dimensjoner skrive *V - E + F - S* = 1 hvor *S* teller hvor mange lukkete rom flatene avgrenser. Denne argumentasjon kan da benyttes til å konkludere at *V - E + F* = 2 - 2*g* for et polyeder i tre dimensjoner med *g* hull eller hanker.

Referanser
----------

1. ↑   H.G. Flegg, *From Geometry to Topology*, Dover Publications, New York (1974). ISBN 0-486-41961-4.
2. ↑   A.S. Schwarz, *Topology for Physicists*, Springer, New York (1996). ISBN 978-3-642-08131-6.

Litteratur
----------

* D. W. Blackett, *Elementary Topology*, Academic Press, London (1982). ISBN 0-12-103060-1

Eksterne lenker
---------------

* F. Rønning, *Hvor mange kanter har en firedimensjonal terning*? Tangenten, **2**, 5-17 (2010).

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |