En **tallfølge** er en følge hvor elementene er tall. Hvis alle elementene er heltall, kalles følgen en heltallsfølge. Eksempler på slike følger er følgen av primtall og Fibonacci-tallene; slike følger opptrer gjerne i tallteori og kombinatorikk. Mer generelt kan elementene være reelle eller komplekse tall. Slike følger opptrer ofte i analyse og beslektede felt.

Det er vanlig å skrive en følge ved notasjonen

{\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots \}.}
Indekseringen begynner vanligvis enten med 0 eller 1.

Egenskaper til følger
---------------------

* En følge er *monotont voksende* hvis hvert element er like stort eller større enn det foregående; det vil si hvis {\displaystyle a\_{i}\leq a\_{i+1}}. Hvis hvert element er større enn det foregående, kalles følgen *strengt monotont voksende*. Begrepene *monotont synkende* og *strengt monotont synkende* blir analogt definert.
* En følge er *begrenset ovenfra* hvis følgen har en øvre skranke; det vil si at det finnes et tall {\displaystyle S} slik at {\displaystyle a\_{i}\leq S} for alle i. Tilsvarende er en følge *begrenset nedenfra* hvis følgen har en nedre skranke.
* En følge hvor annethvert element er positivt og annethvert element er negativt kalles en *alternerende* følge.
* Hvis alle følgens elementer er like, er følgen en *konstant* følge.
* Hvis følgen består av gjentagelser av en endelig delfølge, kalles følgen *periodisk*.

Konvergens
----------

En følge sies å konvergere mot et tall a hvis tallene i følgen kommer nærmere og nærmere a ettersom indeksen øker. Formelt defineres dette slik: 

Hvis det for ethvert åpent intervall {\displaystyle I} rundt a finnes et tall {\displaystyle N} slik at {\displaystyle a\_{n}\in I} for alle {\displaystyle n\geq N}, så konvergerer følgen mot a, som kalles grenseverdien til følgen.
Alternativt kan man si at ethvert åpent intervall {\displaystyle I} rundt a inneholder alle unntatt et endelig antall av følgens elementer.
Hvis følgen er en følge av komplekse tall, brukes omegn istedenfor intervall.

Et eksempel på en konvergent følge er følgen {\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,\ldots \}} som er definert ved at {\displaystyle a\_{n}=1/n} for {\displaystyle n\geq 1}. Grenseverdien til følgen er 0 fordi hvis man tar et hvilket som helst åpent intervall som inneholder 0, vil alle unntatt et endelig antall av elementene i følgen ligge innenfor intervallet.
En følge som ikke konvergerer, sies å divergere. Et eksempel på en divergent følge er {\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots \}}, hvor {\displaystyle a\_{n}=n}; denne følgen er ikke begrenset og kan dermed ikke konvergere. Et annet eksempel er {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}, hvor elementene er 0 og 1 annenhver gang.
Selv om en følge ikke har noen grenseverdi, kan den besitte opphopningspunkter. Verdien a er et opphopningspunkt for følgen {\displaystyle \{a\_{n}\}} hvis ethvert intervall som inneholder a inneholder uendelig mange elementer i følgen. Følgen {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}, som ble nevnt ovenfor, har to opphopningspunkter, nemlig 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelige følger er en viktig del av grunnlaget for analyse. Blant annet er grenseverdien til funksjoner og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følger.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | NKC
 |