Epitrokoide med *R* = 3, *r* = 1 og *s* = 1/2.
En **epitrokoide** er en trokoide hvor den bevegelige sirkelen ruller utenpå en annen, stasjonær sirkel. Hvis denne har radius *R* og den rullende sirkelen har radius *r*, er kurven gitt ved den komplekse koordinaten

{\displaystyle z(\theta )=(R+r)e^{i\theta }-se^{i(1+R/r)\theta }}
hvor vinkelen 0 < *θ* ≤ 2*π* og lengden *s* angir avstanden fra senter i den bevegelige sirkelen til punktet som beskriver kurven.

Spesielle epitrokoider er Pascals snegle der *R = r* og episykloide når *s = r*.

Den rullende sirkelen ble i gresk astronomi omtalt som en episykel og benyttet til å forklare planetenes bevegelse i det geosentriske verdensbildet. Hvis man antar at planetene beveger seg langs sirkler i samme plan om Solen, vil hver av planetene observert fra Jorden følge en epitrokoide.

Forbrenningskammeret til en Wankelmotor er utformet som en epitrokoide.

Matematisk beskrivelse
----------------------

En rotasjon av et punkt *z'* i det komplekse planet, vil føre punktet over til et punkt med den komplekse koordinaten *z* = *z' e**iθ* der *θ* er rotasjonsvinkelen. Det tilsvarer bruk av fasevektorer for periodiske bevegelser. Hvis man nå betrakter senteret til en sirkel med radius *r* som ruller utenpå en sirkel med radius *R* med senter i origo, har dette avstanden *R + r* til origo. Et punkt med avstand *s* fra senteret vil da ha en koordinat *z'* = *R + r* - *se**iα*  hvor vinkelen *α* angir hvor mye dette punktet har rotert i et koordinatsystem som følger med den rullende sirkelen. Her er antatt at punktet tidligere har ligget på forbindelseslinjen mellom det bevegelige senteret og origo. Har senteret beveget seg en vinkel *θ*, vil man da ha sammenhengen *αr* = *θR* da rullingen antas å skje uten at glidning.

I det stasjonære koordinatsystemet hvor senteret for den rullende sirkelen beveger seg, vil det beskrivende punktet ha koordinaten *z* = *z' e**iθ*  eller

{\displaystyle z(\theta )=(R+r)e^{i\theta }-se^{i(1+R/r)\theta }}
Da *z* = *x* + *iy* kombinert med Eulers formel {\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi }, kan de reelle koordinatene (*x,y*) til punktet på epitrokoiden finnes og blir

{\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -s\cos(1+R/r)\theta }
{\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta \;-s\sin(1+R/r)\theta }
Samme formler kan utledes ved geometriske betraktninger som benyttes til å finne de tilsvarende ligningene for en episykloide. I det spesielle tilfellet er *s = r*  som tilsvarer at det beskrivende punktet ligger på periferien til den rullende sirkelen.

Episykler
---------

En epitrokoide med *s* > *r* kan forklare at en planet noen ganger synes å ha en retrograd bevegelse om Jorden plassert i origo.
I det moderne verdensbildet der Jorden beveger seg om Solen sammen med de andre planetene, kan man med en viss nøyaktighet anta at de går i sirkler og i samme plan. Ved å bruke kompleks notasjon er da posisjonen til Jorden med Solen i origo gitt som {\displaystyle z\_{0}=r\_{0}e^{i\omega \_{0}t}} der *r*0 er radius til banen og vinkelhastigheten *ω*0 = 2*π* /*T*0 når omløpstiden i denne banen er *T*0. På samme måte er den komplekse koordinaten for en planet {\displaystyle z\_{1}=r\_{1}e^{i\omega \_{1}t}} når man regner tiden fra et tidspunkt at den var på samme linje gjennom Solen og Jorden. Avstanden mellom dem er da *r*1 - *r*0.

På et senere tidspunkt når planeten observeres fra den bevegelig Jorden, vil dens posisjon være gitt ved den relative koordinaten

{\displaystyle z=z\_{1}-z\_{0}=r\_{1}e^{i\omega \_{1}t}-r\_{0}e^{i\omega \_{0}t}}
Dette uttrykket beskriver en epitrokoide som er generert av to sirkler med radier *R* og *r* hvis relative størrelse kan beregnes fra forholdet *ω*1/*ω*0. Den absolutte størrelsen er da bestemt fra *R + r* = *r*1, mens lengden *s* kan identifiseres med *r*0. Avhengig av de numeriske verdiene til disse størrelsene, kan dette forklare at planeten synes å ha en tilsynelatende retrograd bevegelse ved bestemte tidspunkt.

For en ytre planet som Jupiter ville man i gresk astronomi forklare denne bevegelsen ved at planeten beveget på en episykel med radius *r*0 samtidig med at senteret til denne sirkelen beveget seg i samme retning langs en sirkulær deferent med radius *r*1. Fra de observerte omløpstidene og lengden til den retrograde bevegelsen kunne Ptolemaios ha beregnet forholdet mellom radiene *r*1/*r*0 med god nøyaktighet for de forskjellige planetene. Han ville da ha visst deres avstand fra Solen uttrykt ved Jordens avstand til samme, heliosentriske referansepunkt.

Referanser
----------

1. ↑   C.G. Gibson, *Elementary Geometry of Differentiable Curves*, Cambridge University Press, England (2001). ISBN 0-521-01107-8.
2. ↑   A. Aaboe, *Episodes from the Early History of Astronomy*, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-95136-9.

Litteratur
----------

* J.D. Lawrence, *A catalog of special plane curves*, Dover Publications, New York (1972). ISBN 0-486-60288-5.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |