Pytagoreisk trippel i en rettvinklet trekant
Et **pytagoreisk trippel** er tre positive heltall a, b og {\displaystyle c} som oppfyller den pytagoreiske ligningen

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er {\displaystyle (a,b,c)}, med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5).
Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær diofantisk ligning.

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren Pytagoras og Pytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i en rettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel der *a* og *b* utgjør katetene og *c* hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusen *c* alltid er et oddetall, vil de to katetene *a* og *b* alltid være et like og et ulike tall.

I et *primitivt* pytagoreisk trippel har tallene a, b og {\displaystyle c} ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både
primitive og ikke-primitive. 

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før Pytagoras levde.
For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se Pytagoras’ læresetning.

Primitive pytagoreiske tripler
------------------------------

### Definisjon

Dersom {\displaystyle (a,b,c)} er et pytagoreisk trippel, så vil også {\displaystyle (na,nb,nc)} være det, for et vilkårlig heltall n. Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange
pytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene a, b, og {\displaystyle c} ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et *primitivt* trippel. 
Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2. 

### Elementære egenskaper

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

* *c* er alltid oddetall. Ett av tallene *a* og *b* er oddetall, det andre er partall.

### Eksempler

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med {\displaystyle c\leq 100}:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med {\displaystyle 100<c\leq 300}:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (20, 99, 101) | (60, 91, 109) | (15, 112, 113) | (44, 117, 125) |
| (88, 105, 137) | (17, 144, 145) | (24, 143, 145) | (51, 140, 149) |
| (85, 132, 157) | (119, 120, 169) | (52, 165, 173) | (19, 180, 181) |
| (57, 176, 185) | (104, 153, 185) | (95, 168, 193) | (28, 195, 197) |
| (84, 187, 205) | (133, 156, 205) | (21, 220, 221) | (140, 171, 221) |
| (60, 221, 229) | (105, 208, 233) | (120, 209, 241) | (32, 255, 257) |
| (23, 264, 265) | (96, 247, 265) | (69, 260, 269) | (115, 252, 277) |
| (160, 231, 281) | (161, 240, 289) | (68, 285, 293) |

Konstruksjon av pytagoreiske tripler
------------------------------------

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X av Euklids *Elementer* beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler. I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket

{\displaystyle (a,b,c)=(\ 2uv,u^{2}-v^{2},u^{2}+v^{2})}
hvor {\displaystyle u} og {\displaystyle v} er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er {\displaystyle u>v}, og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

En lignende formel var tidligere funnet av Pytagoras,

{\displaystyle (a,b,c)={\big (}m,{\tfrac {1}{2}}(m^{2}-1),{\tfrac {1}{2}}(m^{2}+1){\big )}}
der *m* er et oddetall. En lignende formel ble foreslått av Platon ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltallet *m*. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.

Rasjonale punkt på en enhetssirkel
----------------------------------

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

{\displaystyle \left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1}
Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på enhetssirkelen *x*2 + *y*2 = 1, der koordinatene er gitt ved to rasjonale tall.

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en rett linje *y* = *t* (*x* + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et stigningstall *t* som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed *x*-koordinaten til skjæringspunktet fra

{\displaystyle (x+1)\left[(x-1)+t^{2}(x+1)\right]=0}
Bortsett fra den trivielle løsningen *x* = -1, er den andre løsningen

{\displaystyle x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}\;\;\;{\text{som betyr at}}\;\;y={2t \over 1+t^{2}}}.
Ved å uttrykke det rasjonale tallet *t* ved to heltall *u* og *v* som *t* = *v*/*u*, får man fra denne løsningen (*x,y*) = (*a*/*c*, *b*/*c*) at 

{\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)=\left({\frac {u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}},{\frac {2uv}{u^{2}+v^{2}}}\right)}
som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.

Pytagoreiske primtall
---------------------

Hypotenusen *c* i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (*a,b,c*) er alltid et oddetall. Mange av dem er primtall *p*. De ti første er *p* = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4*n* + 1 hvor *n* et et naturlig tall. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,

{\displaystyle p=u^{2}+v^{2}}
i overensstemmelse med Euklids formel. For eksempel er 5 = 12 + 22 og 89 = 52 + 82. 

Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4*n* + 1 eller 4*n* + 3 der *n* et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekte Fermat at primtall av formen 4*n* + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.

Generaliseringer
----------------

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
når {\displaystyle n=2}. Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for {\displaystyle n>2}, uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kalt Fermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt av Andrew Wiles i 1994.

Referanser
----------

1. ↑  G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). *An introduction to the theory of numbers*. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8.
2. ↑  Judith D. Sally, Paul Sally (2007). *Roots to research: A vertical development of mathematical problems* **(engelsk)**. American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8.
3. ↑   A. Holme: *Matematikkens historie* (Bind 1) s.49
4. ↑  T. Heath *A history of Greek mathematics* (Vol. I) s.81
5. ↑   A. Holme: *Matematikkens historie* (Bind 1) s.21ff
6. 1 2   J. Stillwell, *Elements of Number Theory*, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.

Litteratur
----------

* Holme, Audun (2008). *Matematikkens historie*. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1.
* Thomas Heath (1981). *A history of Greek mathematics*. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8.

Eksterne lenker
---------------

* «Pythagorean Triple». Wolfram Math World. Besøkt 19. mars 2021.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND
 |