Med stigeoperatorer kan man gå opp eller ned i egenverdier.
**Stigeoperatorer** benyttes i lineær algebra og kvantemekanikk til å heve eller senke egenverdien til en annen operator. Når de benyttes i kvantefeltteori, kalles de vanligvis for **kreasjons-** og **annihilasjonsoperatorer** siden de skaper eller fjerner partikler eller kvant. 

Operatorene spiller en sentral rolle i kvantisering av en harmonisk oscillator. De benyttes også ved kvantisering av dreieimpuls. Dette tilsvarer etablering av representasjoner til Lie-gruppen SU(2) for rotasjoner. Mer generelt opptrer de i klassifikasjon og representasjon av alle Lie-grupper.

Definisjon
----------

Bruk av stigeoperatorer i fysikk kan føres tilbake til Paul Dirac og hans første bidrag til kvantemekanikken. Med sin egen formalisme basert på lineær algebra beskrev han den matematisk ved operatorer som virker i et multidimensjonalt vektorrom.

La {\displaystyle {\hat {N}}} være en hermitisk operator i dette vektorrommet med egenverdi *n*. Ved å benytte Diracs notasjon, vil da

{\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }
Anta at det finnes i tillegg en annen operator {\displaystyle {\hat {S}}} med den spesielle egenskapen

{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {S}}]=s{\hat {S}}\,}
hvor *s* er et reelt tall. Kommutatoren mellom to operatorer er her definert som {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}} i kvantemekanikken. Operatoren {\displaystyle {\hat {S}}} kalles nå for en «stigeoperator» hvor navnet kommer fra egenskapen

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {S}}|n\rangle &=({\hat {S}}{\hat {N}}+s{\hat {S}})|n\rangle \\&=(n+s){\hat {S}}|n\rangle \end{aligned}}}
Det betyr at vektoren {\displaystyle {\hat {S}}|n\rangle } er en ny egenvektor med egenverdi *n* + *s*. Gjentatt bruk av denne operatoren vil da kunne skape nye egenvektorer med tilsvarende egenverdier med samme avstand fra den forangående. Hvis konstanten *s* er positiv, er det naturlig å kalle operatoren {\displaystyle {\hat {S}}} mer spesifikt for en «heveoperator».

Da den hermitisk adjungerte operatoren {\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }} har kommutatoren 

{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {S}}^{\dagger }]=-s{\hat {S}}^{\dagger },}
vil man på samme vis få at denne virker som en tilsvarende «senkeoperator» da den reduserer egenverdien med *s*.

Harmonisk oscillator
--------------------

Hamilton-operatoren for en harmonisk oscillator med frekvens *ω* er

{\displaystyle {\hat {H}}={\Big (}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{1 \over 2}{\Big )}\hbar \omega }
hvor *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. Operatorene {\displaystyle {\hat {a}}} og {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} har den fundamentale kommutatoren

{\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}
Egenvektorene til Hamilton-operatoren er de samme som for den hermitiske operatoren {\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}.} Den har derfor egenvektorer {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle } med egenverdier *n* som er reelle tall. Nå er

{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]={\hat {N}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}=-{\hat {a}}}
slik at {\displaystyle {\hat {a}}} er en senkeoperator som reduserer egenverdien med én. Siden energien til oscillatoren må være positiv, må {\displaystyle {\hat {N}}} ha en minste egenverdi *n* = 0. Den tilsvarende tilstanden må oppfylle {\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0} slik at ikke senkeoperatoren genererer tilstander med negativ energi.

Basert på denne «grunntilstanden» {\displaystyle |0\rangle } med energi *E*0 = (1/2)*ħω* kan man så konstruere tilstander med høyere energi ved å benytte den hermitisk adjungerte operatoren {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }.} Den virker nå som en heveoperator og vil øke energien i stepp med størrelse *ħω*.

### Normering

Bruk av stigeoperatorer forenkles betraktelig når de virker på normerte tilstander, det vil si med vektorer i tilstandsrommet som har samme lengde. Ved å velge denne å være gitt ved {\displaystyle \langle 0|0\rangle =1,} vil også de eksisterte tilstandene få samme normering.

Da tilstanden {\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle } har egenverdi *n* - 1, må den kunne skrives som

{\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle =c|n-1\rangle }
hvor *c* er en normeringskonstant som må bestemmes. Men hvis vektorene på begge sider av ligningen er normerte til én, vil

{\displaystyle |c|^{2}=\langle n|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|n\rangle =n}
Det betyr at *c* = √*n* når man velger dette tallet å være reelt. Derfor har man 

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}\,|n-1\rangle \\{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}\,|n+1\rangle \end{aligned}}}
etter å ha brukt at {\displaystyle {\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+1}
i den siste relasjonen. Denne kan nå brukes til å konstruere en vilkårlig egenvektor som

{\displaystyle {\begin{aligned}|n\rangle &={\sqrt {1 \over n}}\,{\hat {a}}^{\dagger }|n-1\rangle ={\sqrt {1 \over n(n-1)}}\,({\hat {a}}^{\dagger })^{2}|n-2\rangle \\&={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}\,|0\rangle \end{aligned}}}
Den er da automatisk normert og kan benyttes til å gi de tilsvarende bølgefunksjonene på en mye enklere måte enn å finne disse som løsninger av Schrödinger-ligningen.

Referanser
----------

1. ↑   P.A.M. Dirac, *The Principles of Quantum Mechanics*, Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1930).
2. 1 2   R.L. Liboff, *Introductory Quantum Mechanics*, Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.