Den **spesifikke baneenergien** {\displaystyle \epsilon } spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares

{\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=const.}
Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.

Navnet *spesifikk* baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien {\displaystyle E}, men på energien per masse

{\displaystyle \epsilon ={\frac {E}{m}}}
Det betyr at SI-enhet er: m2·s−2. {\displaystyle m} betegner her den reduserte massen {\displaystyle {\frac {1}{m}}={\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}}.

Kraver
------

Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser {\displaystyle m\_{1}} og {\displaystyle m\_{2}} som er i avstand {\displaystyle r} fra hverandre. Tyngdekraften {\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m\_{1}m\_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}} virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at {\displaystyle m\_{1}\gg m\_{2}}. Det betyr at {\displaystyle m\_{1}} er sentrallegemet i origo, og at {\displaystyle m\_{2}} er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik {\displaystyle m\_{2}} og tolegemeproblemets ligning er

{\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
med «gravitasjonsparameteren» {\displaystyle \mu =Gm\_{1}} og avstandsvektor {\displaystyle {\vec {r}}} (lengden er {\displaystyle r}) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi {\displaystyle m\_{1}\gg m\_{2}}.

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren {\displaystyle \mu } med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven {\displaystyle \mu }.

Spesifikk baneenergi
--------------------

Avstandsvektoren {\displaystyle {\vec {r}}}, hastighetsvektoren {\displaystyle {\vec {v}}}, sann anomali {\displaystyle \nu } og flyvinkelen {\displaystyle \phi } av {\displaystyle m\_{2}} i omløpet rundt {\displaystyle m\_{1}}. De viktigste størrelsene til ellipsen er også merket.
Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren {\displaystyle {\vec {v}}}

{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {v}}\cdot {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
Fra bildet til høyre får man

* {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {v}}}}
* {\displaystyle v\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )={\dot {r}}} (Endringen i den radiale komponenten til {\displaystyle {\vec {r}}}, ikke lengden  v  av {\displaystyle {\vec {v}}})
* {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )=r{\dot {r}}}

de følgende differnsialene gjelder

* {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}=v{\dot {v}}}
* {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}}

og altså

{\displaystyle v{\dot {v}}+{\dot {r}}{\frac {\mu }{r^{3}}}r={\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}=0}
Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse {\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{2}}} og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon {\displaystyle -{\tfrac {\mu }{r}}} 

{\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c=const.}
med integrasjonskonstanten {\displaystyle c} som kan velges i forhol til når {\displaystyle \epsilon =0} skal være. Vanligvis velger man {\displaystyle c=0}.

I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget {\displaystyle c=0} betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.

Vis-Viva ligning
----------------

Utdypende artikkel: Vis-Viva ligning

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet {\displaystyle h} blir hastigheten

{\displaystyle v\_{p}={\frac {h}{r\_{p}}}}
For Keplerbaner gjelder i tillegg

* {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}}
* {\displaystyle r\_{p}=a(1-e)}

Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der {\displaystyle e=1}:

{\displaystyle \epsilon ={\frac {v\_{p}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r\_{p}}}={\frac {\mu a(1-e^{2})}{2a^{2}(1-e)^{2}}}-{\frac {\mu }{a(1-e)}}=-{\frac {\mu }{2a}}}
Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen 

{\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}
Den viktige sammenhengen {\displaystyle \epsilon =-{\tfrac {\mu }{2a}}} sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.

Dette gjelder for elliptiske baner: {\displaystyle a>0}, {\displaystyle \epsilon <0} som også inneholder sirkelen som spesialtilfellet med {\displaystyle a=r}; og for hyperboliske baner: {\displaystyle a<0}, {\displaystyle \epsilon >0}. For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom *fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet* og *flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet*.

Eksempler
---------

Banehøyden, den tangensielle hastigheten, omløpsetiden og den spesifikke baneenergien til noen baner rundt Jorden| Omløpsbane | Avstand fra sentrum til sentrum | Høyden over Jordens overflate über der Erdoberfläche | Omløpshastighet | Omløpstid | Spesifik baneenergi |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *Stå på jordens overflate på ekvator (Sammenligningsverdi, ingen omløpsbane)* | *6 378 km* | *0 km* | *465,1 m/s* | *1 døgn (24h)* | *−62,6 MJ/kg* |
| Omløpsbane på høyden av overflaten (ekvator) | 6 378 km | 0 km | 7.9 km/s | 1 h 24 min 18 sec | −31,2 MJ/kg |
| Lav omløpsbane | 6 600 til 8 400 km | 200 til 2000 km | Sirkel: 6,9 til 7,8 km/sEllipse: 6,5 til 8,2 km/s | 1 h 29 min til2 h 8 min | −29,8 MJ/kg |
| Molniya-Bane | 6 900 til 46 300 km | 500 til 39 900 km | 1,5 til 10,0 km/s | 11 h 58 min | −4,7 MJ/kg |
| Geostasjonær bane | 42 000 km | 35 786 km | 3,1 km/s | 23 h 56 min | −4,6 MJ/kg |
| Månens bane | 363 000 til 406 000 km | 357 000 til 399 000 km | 0,97 til 1,08 km/s | 27,3 døgn | −0,5 MJ/kg |

Se også
-------

* Spesifikk relativ drivmoment, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

Fotnoter
--------

1. ↑  Man må ikke anta dette for å utlede den spesifikke baneenergien. Uten det er gravitasjonsparameteren {\displaystyle \mu =G(m\_{1}+m\_{2})}, {\displaystyle m} forblir den reduserte massen (ikke {\displaystyle m\_{2}}) og origo ligger i Massesentrumet. Men forenklingen er nesten alltid god og det blir enklere og gå til Vis-Viva ligningen fra den spesifikke baneenergien.

Referanser
----------

1. 1 2  David A. Vallado (2013). *Fundamentals of Astrodynamics and Applications* **(engelsk)**. Hawthorne, CA: Micorcosm Press. s. 26. ISBN 9781881883180.
2. ↑  David A. Vallado (2013). *Fundamentals of Astrodynamics and Applications* **(engelsk)**. Hawthorne, CA: Micorcosm Press. s. 27. ISBN 9781881883180.