Pierre de Fermat, 1601 - 1665.
**Fermats lille teorem** sier at hvis *p* er et primtall, så vil for hvilket som helst heltall *a*

{\displaystyle a^{p}\equiv a\ (\operatorname {mod} \ p)}
når det uttrykkes ved modulær aritmetikk. Det betyr at om man tar et tall *a*, multipliserer det med seg selv *p* ganger og subtraherer *a*, så er resultatet delbart med *p*. Teoremet ble etablert av Pierre de Fermat rundt 1636. Det kalles hans lille teorem for å skille det fra Fermats store teorem.

For eksempel, for *p* = 3 og *a* = 6 finner man at 63 - 6 = 210 som er delelig med 3. Hvis primtallet *p* er stort, er teoremet mer kraftfullt.

Når *a* i tillegg er relativt primisk med *p*, kan teoremet skrives som

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1\;(\operatorname {mod} \ p)}
En enkel illustrasjon er å velge *p* = 5 og *a* = 7. Da er 74 = 2401 = 5×480 + 1 som viser at det er oppfylt.

Fermat ga ikke noe bevis for teoremet. Det gjorde først Leibniz noen tiår senere i et brev til en kollega. Euler ga sitt eget bevis i 1736 og publiserte noen år senere en viktig generalisering til ikke-primiske tall *p*. Det opprinnelige teoremet ble først kalt Fermats lille teorem i boken *Zahlentheorie* av Kurt Hensel som kom ut i 1913.

Bevis
-----

Det lille teoremet til Fermat kan bevises på flere måter. Mest direkte kan man benytte at *p* - 1 av restklassene modulo *p* til et tall *a* danner en syklisk gruppe når *p* er et primtall som ikke er en faktor i *a*. 

En annen mulighet er å betrakte tallene

{\displaystyle m\_{1}=a,\;m\_{2}=2a,\;m\_{3}=3a,\ldots ,m\_{p-1}=(p-1)a}
som alle er forskjellige. De vil være kongruente modulo *p* til tallene 1, 2, 3, ... , *p* - 1, men generelt opptre i en annen rekkefølge. Hvis man så multipliserer dem sammen, må man derfor ha

{\displaystyle m\_{1}\cdot m\_{2}\cdot \ldots \cdot m\_{p-1}=(p-1)!a^{p-1}}
der (*p* - 1)! = 1⋅2⋅... ⋅(*p* - 1). Men dette er samtidig verdien av produktet på venstresiden modulo *p*. Derfor må man ha

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1\;(\operatorname {mod} \ p)}
som er innholdet av teoremet.

Eulers teorem
-------------

Når man betrakter modulær aritmetikk med en modulus *n* som ikke er et primtall, vil hvert tall *a* i settet {1, 2, 3, ... *n* - 1} som er relativt primisk til *n*, utgjøre en restklasse **a**. Antall slike tall er gitt ved Eulers totientfunksjon *φ*(*n*). De tilsvarende restklassene utgjør en abelsk gruppe (**Z**/*n***Z**)× med **1** som multiplikativt enhetselement.

Denne gruppen inneholder i alt *φ*(*n*) element. Da den er abelsk, sier Lagranges teorem at for hvert element **a** vil

{\displaystyle \mathbf {a} ^{\phi (n)}=\mathbf {1} }
Dette er en form av **Eulers teorem**. Skrevet som en kongruensrelasjon, vil det tilsvare den ekvivalente måten

{\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
der tallene *a* og *n* ikke har noen felles faktorer. I det spesielle tilfellet at *n* er et primtall, vil *φ*(*n*) =  *n* - 1 og teoremet går over til Fermats lille teorem.

Som et eksempel kan man betrakte modulus *n* = 14. De relativt primiske tallene er da {1, 3, 5, 9, 11, 13} som definerer de seks restklassene som utgjør gruppen. Dette antall element stemmer med at *φ*(14) = 14(1 - 1/2)⋅(1 - 1/7) = 6. Hvis man så velger å betrakte elementet **9**, vil man ha **9**2 = **11** da 92 = 81 ≡ 11 (mod 14) slik at **9**4 = **9** på samme måte. Det betyr at **9**6 = **9**⋅**11** = **1** i overensstemmelse med teoremet.

### RSA-kryptering

For at Alice skal kunne motta hemmelige meldinger fra Bob ved RSA-kryptering, finner hun to store primtall *p* og *q* og danner produktet *n* = *pq*. Dette tallet blir gjort offentlig sammen med et annet tall *e*. De to tallene *n* og *e* utgjør den offentlige nøkkelen til Alice. Samtidig beregner hun et tall *d* som oppfyller

{\displaystyle ed\equiv 1\;\;\;({\text{mod}}\;\phi (n))}
Da primtallene *p* og *q* er forskjellige, er *φ*(*n*) = *φ*(*pq*) = *φ*(*p*)⋅*φ*(*q*) = (*p* - 1)⋅(*q* - 1). Dette tallet *d* er den private nøkkelen som hun beholder.

Når Bob skal sende en melding til Alice, omformer han denne først til et tall *x*. Den krypterte meldingen beregnes så ved

{\displaystyle y\equiv x^{e}{\pmod {n}}}
og sendes avgårde til Alice. Hun kan da dekryptere den ved beregningen

{\displaystyle x\equiv y^{d}{\pmod {n}}}
Det fungerer fordi {\displaystyle y^{d}\equiv x^{ed}\;\;({\text{mod}}\;n)} hvor {\displaystyle ed=1+k\phi (n)} for et eller annet heltall *k*. Derfor er

{\displaystyle x^{ed}=x^{1+k\phi (n)}=xx^{k\phi (n)}\equiv x\;\;({\text{mod}}\;n)}
da Eulers teorem sier at {\displaystyle x^{\phi (n)}\equiv 1\;\;({\text{mod}}\;n)}.

Referanser
----------

1. 1 2   O. Ore, *Number Theory and its History*, Dover Publications, New York (1988). ISBN 0-486-65620-9.
2. ↑   C.B. Boyer, *A History of Mathematics*, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.
3. ↑   R. Courant and H. Robbins, *What is Mathematics: An Elementary Approach to Ideas and Methods*, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.
4. ↑   S. Singh, *The Code Book*, Random House, New York (1999). ISBN 0-385-49532-3.

Eksterne lenker
---------------

* E.W. Weisstein, *Fermat's Little Theorem*, Wolfram MathWorld

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** NKC
 |