En **lineærkombinasjon** er i matematikk en endelig sum av ledd der hvert ledd er lik en konstant koeffisient multiplisert med en vektor. Uttrykket (3*u* + *v* - 2*w*) vil for eksempel være en lineærkombinasjon av de tre vektorene *u*, *v* og *w*. Lineærkombinasjoner er svært viktige i fagfeltet lineær algebra.

Formell definisjon
------------------

La *V* være et vektorrom med en tilhørende kropp *K* av skalarer. Dersom *v*1,...*v**n* er vektorer i *V* og *a*1,...*a**n* er skalarer i *K*, så er en lineærkombinasjon i *V* et uttrykk på formen 

{\displaystyle a\_{1}v\_{1}+a\_{2}v\_{2}+a\_{3}v\_{3}+\cdots +a\_{n}v\_{n}.\,}
Fra definisjonen av et vektorrom følger det at lineærkombinasjonen er inneholdt i vektorrommet.

Det eksisterer en viss tvetydighet i om begrepet lineærkombinasjon refererer til sum-uttrykket eller til *resultatet* av summasjonen. Vanligvis vil bruken referere til resultatet, slik som i utsagnet Alle lineærkombinasjoner av *u*, *v* og *w* utgjør et underrom. I visse tilfeller kan en også referere til formen på uttrykket, som i formuleringen Vektoren *u* kan uttrykkes med to ulike lineærkombinasjoner.

Lineær utspenning
-----------------

Den lineære utspenningen av en mengde vektorer *S* = {*v*1,...*v**n* } i vektorrommet *V* er definert som mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene i mengden. Adjektivet «lineær» er ofte underforstått, slik at en bare bruker begrepet «utspenning» alene. Den lineære utspenningen er et underrom i *V*.

Som notasjon for utspenningen til mengden *S* brukes både *span S*, *sp S* og [*S*].

Et endelig-dimensjonalt vektorrom *V* er selv utspent av en mengde av basisvektorer i rommet. Det vil si at alle vektorer i *V* kan skrives som en lineærkombinasjon av basisvektorer.

Eksempler
---------

### Koordinatvektorer

La *V* være det euklidske vektorrommet **R**3, definert over mengden av reelle tall. Som basisvektorer for dette rommet kan en velge *e*1 = (1,0,0), *e*2 = (0,1,0) og *e*3 = (0,0,1).
En vilkårlig vektor i **R**3 kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse basisvektorene. Som eksempel kan vektoren (3,-1,2) skrives som lineærkombinasjonen (3*e*1 - *e*2 + 2*e*3). 

### Funksjoner

La *V* være vektorrommet av alle relle kontinuerlige funksjoner. De to funksjonen *f(x) = sin x* og *g(x) = cos x* er begge elementer i dette vektorrommet. Den tredje funksjonen *h(x) = sin (x + π) + sin(x + π/2)* er en lineærkombinasjon av funksjonen *f* og *g*, noe som følger av kjente trigonometriske identiteter:

{\displaystyle h(x)=\sin(x+\pi )+\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x+\cos x=-f(x)+g(x)}
Den konstante funksjonen *j(x) = 3* er derimot ikke en lineærkombinasjon av *f* og *g*.

Spesialtilfeller av lineærkombinasjoner
---------------------------------------

Ved å legge ytterlige føringer på koeffisientene i lineærkombinasjonene kan en definere spesialtilfeller eller undermengder av lineærkombinasjonene. I en *affin* lineærkombinasjon er summen av alle koeffisientene *a*i lik 1. I en konveks lineærkombinasjon er alle koeffisientene ikke-negative.

Litteratur
----------

  

* Fr. Fabricius-Bjerre (1977). *Lærebog i geometri. Del 1: Analytisk geometri. Lineær algebra*. Lyngby,: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8.

* Ronald Douglas Milne (1980). *Applied functional analysis, an introductory treatment*. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.

Eksterne lenker
---------------

* Lineær algebra, støttesider for studenter ved Universitetet i Oslo.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |