Tall i perspektiv
**0,999…** (også {\displaystyle 0.{\bar {9}}} eller {\displaystyle 0.{\dot {9}}}) er innen matematikk en periodisk desimalutveksling som er eksakt det samme som tallet 1. Med andre ord representerer symbolene 0,999… og 1 samme reelle tall. Matematikere har formulert flere matematiske bevis for dette, med forskjellig grad av hardhet, foretrukket konstruksjon av de reelle tallene, bakgrunnsantakelse, historisk sammenheng og målgruppe.

Bevis
-----

### Brøktallsbevis

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}0,333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0,333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0,999\dots &=1\end{aligned}}} |  | {\displaystyle {\begin{aligned}0,111\dots &={\frac {1}{9}}\\9\times 0,111\dots &=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0,999\dots &=1\end{aligned}}} |

### Algebrabevis

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\0,999\ldots &=1\end{aligned}}}
i motsetning til
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\\10x&=9,99\\10x-x&=9,99-0,999\\9x&=9,99-0,999\\9x&=8,991\\x&=0,999\\0,999&=0,999\end{aligned}}}
der endeligheten fører til at tallene ikke får like mange desimaler når én blir trukket foran desimaltegnet, og da differensen ikke et naturlig tall.

### Filosofiaspekt

{\displaystyle {\begin{aligned}1,000...-0,999...=0,000...(1?)\end{aligned}}}

Legg merke til det lille 1-tallet med spørsmålstegn. Dette er noe en kunne tro beviser at det finnes en forskjell. Problemet er at det ikke gir mening å plassere et tall i enden av en uendelighet, da den enden ikke finnes. Rekken av 0-er fortsetter nemlig for alltid, og gjør ikke plass til noe 1.

### Omtale

Selv om dette beviser at 0,999... = 1, i den grad de *forklare*r ligningen avhenger av brukergruppen. I innledende aritmetikk, slike bevis hjelpe til å forklare hvorfor vi har 0,999... = 1, men 0,333... < 0,4. Og i innledende algebra, hjelper bevisene å forklare hvorfor den generelle metoden for konvertering mellom fraksjoner og gjentakende desimaler fungerer. Men de kaster også lys på forholdet mellom desimaler og tallene de representerer, som ligger til grunn for spørsmålet om hvordan to ulike desimaler i det hele tatt kan sies å være like. [A] William Byers hevder at en som er enig i at 0,999... = 1 på grunn av de ovennevnte bevis, men har ikke løst flertydigheten, ikke egentlig forstår ligningen. [B] Fred Richman hevder at det første argumentet "får sin styrke fra det faktum at folk flest har blitt opplært til å akseptere den første ligningen uten å tenke". [C]

Når en fremstilling ordningen er definert, kan den brukes til å forsvare reglene i desimal-aritmetikk brukt i ovennevnte bevis. Dessuten kan man direkte påvise at desimaltallene 0.999... og 1.000... begge representerer samme reelle tall, det er innebygd i definisjonen.

Se også
-------

* Desimaltall
* Reelle tall

Fotnoter
--------

* **A** Dette argumentet er funnet i Peressini og Peressini s. 186
* **B** Byers s. 39-41
* **C** Richman s. 396

Eksterne lenker
---------------

* (en) 0.999… – kategori av bilder, video eller lyd på Commons Rediger på Wikidata

* (en) 0.999… – galleri av bilder, video eller lyd på Commons Rediger på Wikidata
* .999999… = 1? fra cut-the-knot
* Why does 0.9999… = 1 ?
* Proof of the equality based on arithmetic
* David Tall's research on mathematics cognition
* What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?
* Theorem 0.999…[*død lenke*] på Metamath