En **binær relasjon**, eller en **relasjon**, er i matematikk en sammenheng mellom to og to objekter i en mengde. For hvert par av objekter vil relasjonen enten være sann eller ikke. Eksempler på relasjoner er «lik», «større enn», «kongruent» og «ortogonal til».

Binære relasjoner er brukt i alle deler av matematikk. En funksjon er definert som en spesiell type binær relasjon.

Formell definisjon
------------------

Dersom *M* er en vilkårlig mengde, og *S* er en delmengde av det kartesiske produktet *M* × *M*, så er *S* en binær relasjon i *M*..

For ethvert ordnet par (*a*,*b*) av objekt i *M* kan en si at paret er med i *S* eller ikke. Dette er ekvivalent til å si at relasjonen mellom *a* og *b* er oppfylt eller ikke. En relasjon kan generelt skrives på formen *aSb* eller *S(a,b)*, men ofte erstattes *S* med et mer standard symbol, som for eksempel et likhetstegn.

Egenskaper
----------

En matematisk relasjon kan karakteriseres med følgende egenskaper:

* Relasjonen er *refleksiv* dersom *aSa* for alle *a* i mengden *M*.
	+ Relasjonen er *irrefleksiv* dersom det ikke finnes noen *a* i *M* slik at *aSa*
* Relasjonen er *symmetrisk* dersom *aSb* medfører *bSa*.
	+ Relasjonen er *asymmetrisk* dersom *aSb* medfører *ikke bSa*.
* Relasjonen er *antisymmetrisk* dersom *aSb* og *bSa* medfører at *a = b*.
* Relasjonen er *transitiv* dersom *aSb* og *bSc* medfører *aSc*.

Relasjonen «større eller lik» er refleksiv, mens relasjonen «større enn» ikke er det. Relasjonen «lik» er symmetrisk, mens relasjonen «større eller lik» er antisymmetrisk. En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon. En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.

### Refleksivitet

En relasjon *S* er refleksiv dersom ethvert element i en gitt mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på refleksive relasjoner:

* Likhet (=) på tall
* Større eller lik (≤) på tall
* Delmengde-relasjonen ({\displaystyle \textstyle {}\subseteq })

### Irrefleksivitet

En relasjon *S* er *irrefleksiv* dersom ingen objekter i en mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på irrefleksive relasjoner:

* Ekte større (<) på tall
* Er ikke lik (≠) på tall

### Symmetri

En relasjon *S* er *symmetrisk* dersom en relasjon er slik at dersom x er relatert til y, så er y også relatert til x. Merk at symmetri er *ikke* det motsatte av antisymmetri.

Eksempler på symmetriske relasjoner:

* Likhet (=) på tall
* «Søsken-relasjonen»

### Asymmetri

En relasjon er *asymmetrisk* den har egenskapen hvis *x* er relatert til *y*, så er det *ikke* slik at *y* er relatert til *x*.

Eksempler på asymmetriske relasjoner:

* Mindre enn (<) på tall: {\displaystyle \textstyle {}2<3}, men {\displaystyle \textstyle {}3\not <2}
* Delmengde-relasjonen {\displaystyle \textstyle {}\subseteq }

### Antisymmetri

En relasjon er *antisymmetrisk* dersom den er slik at hvis to objekter er relatert med hverandre, så må de være samme objekt. Merk at antisymmetri *ikke* er det motsatte av symmetri.

Eksempler på antisymmetriske relasjoner:

* Mindre eller lik (≤) på tall, hvis *x≤y* og *y≤x*, så er *x=y*
* Likhet på tall, hvis *x=y* og *y=x*, så er *x=y*
* Ekte mindre (<) på tall, det finnes ingen tilfeller slik at x < y og y < x, så det blir en tom sannhet.

### Transitivitet

En relasjon er *transitiv* dersom den er slik at hvis *x* er relatert til *y* og *y* er relatert til *z*, så er *x* relatert til *z*.

* Likhet (=) på tall
* Mindre eller lik (≤) på tall

Se også
-------

* Relasjonsalgebra

Referanser
----------

1. ↑  Ronald Douglas Milne (1980). *Applied functional analysis, an introductory treatment*. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.

Eksterne lenker
---------------

* Encyclopedia of Mathematics: *Binary Relation* **(engelsk)**. Springer/The European Mathematical Society. 2001. ISBN 1402006098.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica
 |