En spesiell type spline, bezier kurve
En **spline** er i matematikk en funksjon definert stykkevis av polynom.

Innen data, databasert design og datagrafikk refererer spline til en delvis parametrisk polynomfunksjon. Innen disse feltene er spline en populær måte å representere kurver på, på grunn av dens enkle konstruksjon, som likevel gir mulighet å gjennomføre komplekse en design ved hjelp av kurvetilpassing.

Terminologien spline kommer fra utstyr brukt av skipsbyggere og tegnere for å tegne glatte og jevne former. Utstyret var et langt stivt bånd festet på forskjellige punkter for å gi en ønsket form.

**Typer spline:**

* B-spline
* Bezier-kurve
* Bezier-spline
* Hermite-spline
* Kubisk spline
* Naturlig spline
* Periodisk spline

Definisjon
----------

### Spline

Spline er en funksjon:

{\displaystyle S(t):[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
består **stykkevis av polynomer**:

{\displaystyle P\_{i}(t):[t\_{i},t\_{i+1})\rightarrow \mathbb {R} }
hvor

{\displaystyle a=t\_{0}<t\_{1}<...<t\_{k-2}<t\_{k-1}=b\mathbb {} }
og vi får **splinefunksjonen**

{\displaystyle S(t)={\begin{cases}P\_{0}(t)\quad &,\quad t\_{0}\leq t<t\_{1}\\P\_{1}(t)\quad &,\quad t\_{1}\leq t<t\_{2}\\\quad ...&,\quad ...\\P\_{k-2}(t)\quad &,\quad t\_{k-2}\leq t<t\_{k-1}\end{cases}}}
### Skjøter

Alle de k **skjøtene** {\displaystyle t\_{i}} (også kalt knutene) samles i en **skjøtevektor**

{\displaystyle {\vec {t}}=(t\_{0},t\_{1},...t\_{k-1})}
Hvis avstanden mellom skjøtene er spredd jevnt i intervallet {\displaystyle [a,b]}, sier vi at splinen er **uniform**, ellers **ikke-uniform**.

### Splinens grad

Hvis alle polynomene {\displaystyle P\_{i}} har grad n, sier vi at splinen er av **grad** {\displaystyle \leq n}

### Glatthet {\displaystyle C^{r\_{i}}} og glatthetsvektor

Hvis {\displaystyle S(t)\in C^{r\_{i}}} befinner seg i nabolaget til {\displaystyle t\_{i}}, sies splinen å være av glatthet (minst) {\displaystyle C^{r\_{i}}} ved {\displaystyle t\_{i}}. Dette betyr at de to delene {\displaystyle \{P\_{i-1},P\_{1}\}} deler felles deriverte fra orden null (funksjonsverdi) og opp til orden {\displaystyle r\_{i}}.

Vektoren

{\displaystyle {\vec {r}}=(r\_{1},r\_{2},...r\_{k-2})}
er slik at splinen har glatthet {\displaystyle C^{r\_{i}}} ved {\displaystyle t\_{i}} for {\displaystyle 0<i<k-1}, og kalles **splinens glatthetsvektor**.

Eksempler
---------

Anta at intervallet [*a*,*b*] er [0,3], og delintervallene
er [0,1), [1,2), og [2,3]. Anta at de stykkvise polynomene er av
grad 2, og stykkene [0,1) og [1,2) må møtes i verdi og 1.derivert. (her må
de altså møtes ved t=1). Stykkene [1,2) og [2,3) møtes i verdi t=2 .

Dette definere en type spline {\displaystyle S(t)} hvor

{\displaystyle S(t)={\begin{cases}P\_{0}(t)=-1+4t-t^{2}&{\mbox{ , }}0\leq t<1\\P\_{1}(t)=2t&{\mbox{ , }}1\leq t<2\\P\_{2}(t)=2-t+t^{2}&{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}
vil være medlem av den typen, og

{\displaystyle S(t)={\begin{cases}P\_{0}(t)=-2-2t^{2}&{\mbox{ , }}0\leq t<1\\P\_{1}(t)=1-6t+t^{2}&{\mbox{ , }}1\leq t<2\\P\_{2}(t)=-1+t-2t^{2}&{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}
vil også være medlem av typen.

(Polynomet {\displaystyle 2t} er fortsatt av andre grad fordi det kan skrives {\displaystyle 0+2t+0t^{2}})

Skjøtvektoren til denne typen av spline er her

{\displaystyle {\vec {t}}=(0,1,2,3)}
Den enkleste splinen har grad 0, og den er en **stegfunksjon**.

Den nest enkleste splinen har grad 1, og er også kalt en **lineær spline**. 

En vanlig brukt spline er den naturlige kubiske spline som har grad 3 og kontinuitet 
{\displaystyle C^{2}}.
*Naturlig* betyr i denne sammenhengen at splinen velges slik at den andrederiverte av splinepolynomene er null på endepunktene av interpoleringens intervall

{\displaystyle S''(a)\,=S''(b)=0}.
Dette tvinger splinen til å være en rett linje utenfor intervallet og at kurven alle steder er glatt.

Eksterne lenker
---------------

* 40 år med algoritmen du ikke vet om, men som alle bruker Arkivert 27. september 2019 hos Wayback Machine.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | LCCN
 |