En **elementær funksjon** er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, 
logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. 
I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære. 
Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Elementære grunnfunksjoner
--------------------------

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes

* De rasjonale funksjonene, inkludert polynomfunksjonene
* Eksponentialfunksjonen
* Logaritmefunksjonen
* Trigonometriske funksjoner, inkludert arcus-funksjonene
* Den generelle potensfunksjonen

### Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner
Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen 

{\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+...+a\_{1}x+a\_{0}}
hvor {\displaystyle a\_{i}} er konstanter, og n er graden til polynomet, forutsatt at {\displaystyle a\_{n}} er ulik null. Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele. 

### Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

{\displaystyle f(x)={P(x) \over Q(x)}}
Her er {\displaystyle P} og {\displaystyle Q} polynomfunksjoner. Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av {\displaystyle x} som ikke gjør nevneren 
{\displaystyle Q(x)} lik null. 

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene. 

### Eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjoner
Eksponentialfunksjonen med grunntall b er en funksjon på formen

{\displaystyle f(x)=ab^{x}}
der b er et positivt reelt tall. 

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

{\displaystyle f(x)=e^{x}}
Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{i=0}^{\infty }{x^{i} \over i!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots }
### Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjon
Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

{\displaystyle y=\log \_{b}x\ \iff \ x=b^{y}}
Spesielt viktig er funksjonen med grunntall {\displaystyle e}:

{\displaystyle y=\log \_{e}x=\ln x}
### Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument. Grunnleggende
funksjoner er sinus, cosinus og tangens. De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens. 

### Potensfunksjoner

Den generelle potensfunksjonen har formen

{\displaystyle f(x)=x^{c}}
der {\displaystyle c} er en konstant. Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

{\displaystyle x^{c}=e^{c\ln x}}

Eksempler på elementære funksjoner
----------------------------------

Til de elementære funksjonene hører

* Konstante funksjoner, som {\displaystyle f(x)=2}
* Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som {\displaystyle f(x)=2x^{3 \over 2}+{\sqrt[{4}]{x}}}
* Hyperbolske funksjoner, som {\displaystyle f(x)=\sinh x}
* Inverse hyperbolske funksjoner, som {\displaystyle f(x)=\operatorname {arccosh} x}
* Sammensetninger som

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&={e^{\tan x} \over {x^{2}+1}}\\g(x)&=-i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})\end{alignedat}}}
Den siste funksjonen er lik {\displaystyle \arccos x} i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som *ikke* er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}

Egenskaper til elementære funksjoner
------------------------------------

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.

Refereanser
-----------

1. 1 2 3  
Hans Fredrik Aas (1974). *Forelesningsnotater i matematisk analyse*. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. s. 62.
2. ↑  G. Thomas, R. Finney (1995). *Calculus and Analytic Geometry* (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link) s.573
3. ↑  E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). *Dictionary of mathematics*. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.  [Elementary function]

  


|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld **·** NDL
 |