I matematikk er en **kompakt operator** en lineær operator {\displaystyle T:X\to Y}, der *X* og *Y* er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

Definisjon
----------

La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon {\displaystyle T:X\to Y} er kompakt dersom for enhver begrenset følge {\displaystyle \{x\_{n}\}} i X, inneholder følgen {\displaystyle \{Tx\_{n}\}} i Y en konvergent delfølge.

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde {\displaystyle A\subset X}, er {\displaystyle T(A)\subset Y} relativt kompakt.

Egenskaper
----------

La X, Y og Y være normerte vektorrom, og {\displaystyle B(\cdot ,\cdot )} og {\displaystyle K(\cdot ,\cdot )} betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

### Forhold til mengden av begrensede operatorer

En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer {\displaystyle K(X,Y)} er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis {\displaystyle S,T\in K(X,Y)}, og {\displaystyle a,b} skalarer, så er også operatoren definert ved {\displaystyle aS+bT} kompakt, og hvis {\displaystyle S\in B(X,Y)} og {\displaystyle T\in B(Y,Z)} og minst en av de er kompakt, er også operatoren {\displaystyle TS} kompakt.

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og {\displaystyle \{T\_{k}\}} en følge i {\displaystyle K(X,Y)} som konvergerer til en operator {\displaystyle T\in B(X,Y)} er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.

### Endelig-dimensjonale rom

Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.

### Verdimengden til T er separabel

Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) {\displaystyle Im(T)} samt verdimengden til tillukningen {\displaystyle {\overline {Im(T)}}} separable.

### Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom

Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og {\displaystyle \{T\_{k}\}} en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at {\displaystyle \{T\_{k}\}} konvergerer til T, er T kompakt. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge {\displaystyle \{T\_{k}\}} av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T\* er kompakt.

Referanser
----------

1. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 205.
2. 1 2 3  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 208.
3. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 206.
4. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 207.
5. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 210.
6. ↑  B.P. Rynne og M.A. Youngson: *Real analysis*, side 211–212.

Litteratur
----------

* Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). *Real Analysis*. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9.

Eksterne lenker
---------------

* (en) Eric W. Weisstein, *Compact Operator* i MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |