I matematikk er den **imaginære enhet** i et komplekst tall med egenskapen {\displaystyle i^{2}=-1}. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall {\displaystyle z} kan skrives på formen {\displaystyle z=a+bi}, der a og b er  reelle tall. Dersom a er lik null sies det komplekse tallet å være *rent imaginært*

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en  rot i andregradsligningen {\displaystyle x^{2}=-1}.

*i* og −*i*
-----------

Likningen {\displaystyle x^{2}=-1} har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning i av likningen er fastslått, er også {\displaystyle -i\,(\neq i)} en løsning. 

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved
{\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}, identiteten og automorfismen som sender X til {\displaystyle -X}. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til {\displaystyle \mathbb {C} }; men de er de eneste feltautomorfismene til {\displaystyle \mathbb {C} } hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}{\mbox{ og }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}} er løsninger av likningen {\displaystyle x^{2}=-1}. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen {\displaystyle \mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )} har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger
-----------------------

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som \sqrt{-1}. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle {\displaystyle x>0}, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}
Beregningsreglen

{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}} er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall a og b.

Potenser av *i*
---------------

Potensene av i gjentas i en syklus:

{\displaystyle i^{1}=i}
{\displaystyle i^{2}=-1}
{\displaystyle i^{3}=-i}
{\displaystyle i^{4}=1}
{\displaystyle i^{5}=i}
{\displaystyle i^{6}=-1}
Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor n er et vilkårlig heltall:

{\displaystyle i^{4n}=1}
{\displaystyle i^{4n+1}=i}
{\displaystyle i^{4n+2}=-1}
{\displaystyle i^{4n+3}=-i}

*i* og Eulers formel
--------------------

Hvis man tar Eulers formel {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}, og setter inn {\displaystyle x=\pi /2}, får man

{\displaystyle e^{i\pi /2}=i}
Hvis begge sider opphøyes i potensen i, idet man husker at {\displaystyle i^{2}=-1}, får man følgende identitet:

{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}=0{,}2078795763\dots }
Det er lett å fastslå at {\displaystyle i^{i}} har et uendelig antall løsninger på formen

{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}}
hvor {\displaystyle N} er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol
------------------

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som j for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |