**London-ligningen** beskriver egenskapene til magnetfeltet i en superleder. Spesielt forklarer den Meissner-effekten der et ytre magnetfelt under en kritisk temperatur tvinges ut av dens indre. Ligningen inneholder bare en parameter som er «penetrasjonsdybden» *λ* og angir hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i superlederen. Denne fenomenologske beskrivelsen kan utledes fra den senere mer velfunderte Ginzburg-Landau-teorien.

Ligningen ble funnet av brødrene Fritz og Heinz London i 1935 mens de var i Oxford etter å ha flyktet fra Tyskland.

Utledning
---------

Da det var kjent at superledning først opptrer under en viss, kritisk temperatur, var det nærliggende å tro at fenomenet hadde noen felles trekk med Bose-Einstein-kondensasjon. Selv om elektronene i et metal er fermioner og ikke bosoner, tenkte man seg likevel at en del av disse med tetthet *ns* kunne danne et superledende kondensat. Over den kritiske temperaturen er denne lik null, mens for lavere temperaturer er *ns* > 0 og materialet er superledende.

Kondensatet er antatt å bestå av ladningsbærere med masse *m* og elektrisk ladning *q*. De beveger seg i et magnetfelt som alltid kan uttrykkes ved vektorpotensialet **A** ved den fundamentale sammenhengen **B** = **∇** × **A**. Den sier at de magnetiske feltlinjene er lukkete kurver. Fra klassisk mekanikk vil hver slik partikkel i dette feltet ha en hastighet **v** og impuls **p** som er forbundet ved relasjonen **p** = *m* **v** + *q* **A** som følger fra elektromagnetisk gaugeinvarians.

Bevegelsen til de superledende partiklene i kondensatet gir opphav til en elektrisk strømtetthet **J***s* = *qns* **v**. London-ligningen kommer nå frem ved å anta at i et uniformt kondensat må partiklene ha impulsen **p** som også gjelder for partiklene i et Bose-Einstein-kondensat. Dermed har man sammenhengen

{\displaystyle \mathbf {J} \_{s}=-{n\_{s}q^{2} \over m}\mathbf {A} }
som gir opphav til ligningen. På denne formen er den ikke gaugeinvariant, men bare for vektorpotensial som oppfyller betingelsen **∇**⋅**A** = 0. Vanligvis sier man at dette tilsvarer å benytte Coulomb-gauge, men ved utledningen her kalles betingelsen likså ofte for bruk av «London-gauge». Uansett skyldes den at strømmen må tilfredsstille **∇**⋅**J** = 0 som følger fra kontinuitetsligningen under stasjonære forhold.

London-ligningen på denne formen kommer frem på samme form fra den mer velbegrunnete Ginzburg-Landau-teorien og har derfor en gyldighet utover de enkle antagelsene gjort i denne utledningen. Den er også derfor konsistent med den mer fundamentale BCS-teorien hvorav det fremgår at de superledende ladningsbærerne er Cooper-par med tetthet *ns* bestående av to elektroner slik at ladningen *q* = 2*e*.

### Formulert som differensialligning

Ligningen kan formuleres for magnetfeltet alene ved å bruke Ampères sirkulasjonslov **∇** × **B** = *μ*0**J***s* når man benytter SI-systemet hvor *μ*0 er den magnetiske konstanten. Tar man nå curl av London-ligningen og benytter fra vektoranalysen identiteten **∇** ×(**∇** × **B**) = **∇** (**∇**⋅**B**) - ∇2 **B**, fremkommer differensialligningen

{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={1 \over \lambda ^{2}}\mathbf {B} }
da **∇**⋅**B** = 0 gjelder alltid. Her er inngår parameteren *λ*2 = *m*/*μ*0*nsq*2 som omtales som «penetrasjonslengden». Den sier hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i en superleder. Når temperaturen øker og nærmer seg den kritiske verdien, vil *ns* → 0. Det betyr at da vil *λ* → ∞ og magnetfeltet kan da gå gjennom hele superlederen. Det er da ingen Meissner-effekt, og superlederen er gått over i den normale fasen.

Enkel anvendelse
----------------

Man tenker seg en superleder som fyller rommet *x* > 0 som ellers består av et normalt materiale eller luft. Hele systemet befinner seg i et ytre magnetfelt som man kan anta er parallelt med *z*-aksen. Dette har en størrelse *B*0 i området *x* < 0 utenfor superlederen. Inni denne forenkles nå London-ligningen til

{\displaystyle {d^{2}B \over dx^{2}}={B \over \lambda ^{2}}}
Den eneste løsningen som er kompatibel med de gitte gremnsebetingelsene, er

{\displaystyle B(x)=B\_{0}e^{-x/\lambda }}
Magnetfelt inni superlederen går derfor mot null i avstander fra overflaten som er mye større en penetrasjonslengden *λ*. Dette er Meissner-effekten.

Litteratur
----------

* F. London and H. London, *The Electromagnetic Equations of the Supraconductor*, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A **149** (866), 71-88 (1935).
* M. Tinkham, *Introduction to Superconductivity*, Dover Books, New York (2004). ISBN 978-0-486-43503-9.