Figur 1 – En trekant

I trigonometrien er **cosinussetningen** en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
der *c* er den motstående siden til vinkel *γ* mellom sidene *a* og *b*.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel *γ* er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cos*γ* = 0, og da reduseres cosinussetningen til

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

Anvendelser
-----------

Figur 2 – Anvendelser av cosinussetningen: ukjent side og ukjent vinkel
Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

* den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:

* vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:

{\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;}
* den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):

{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}
Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis *c* er liten i forhold til *a* og *b* eller *γ* er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen *a*2 − 2*ab* cos*γ* + *b*2 − *c*2 = 0 med hensyn på *a*. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis *b* sin*γ* < *c* < *b*, bare en positiv løsning hvis *c* > *b* eller *c* = *b* sin*γ*, og ingen løsning hvis *c* < *b* sin*γ*.

Bevis
-----

### Med vektorer

La sidene være representert ved vektorene **a**, **b** og **c=a-b**. 
Da har vi at 

{\displaystyle {\begin{aligned}|{\vec {c}}|^{2}&{}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&{}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\&{}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\\&{}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \end{aligned}}}
### Med avstandsformelen

Betrakt en trekant med sider *a*, *b*, *c*, der \theta  er den motstående vinkelen til side *c*. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte {\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{and}}\ C(0,0).} Ved å bruke avstandsformelen har vi {\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}. Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}
En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

### Med trigonometri

Figur 3 – En spiss trekant med inntegnet høyde
Tegn høyden på side *c*; vi får (se figur 3)

{\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}
(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med *c*:

{\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}
Ved å betrakte de andre høydene får vi

{\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,}
{\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}
Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}.
Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos(\beta )-bc\cos(\alpha )+ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}
som kan forenkles til

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,}

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel *γ* separat.

Den utvidede cosinussetningen
-----------------------------

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

{\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}^{2}-2\cdot AD\cdot {\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}})}}\\\end{aligned}}}

Som kan forkortes til:

{\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{AC}})}}\\\end{aligned}}}

Se også
-------

* Triangulering
* Sinussetningen
* Tangenssetningen

Eksterne lenker
---------------

* Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |