Typisk tidsutvikling av en epidemi i SIR-modellen i en popu-lasjon med 1000 individer. Usmittette *S* vises i **blått**, infiserte *I* i **rødt** og resistente *R* i **grønt**.
**SIR-modellen** er en enkel, matematisk modell for å beskrive hvordan en epidemi kan utbre seg. Den befatter seg med en endelig populasjon av individer som kan deles opp i tre grupper. De består av de som er usmittet, smittet og de som er blitt resistente. Denne siste gruppen kan inkludere de som har vært syke og deretter blitt friske igjen, men kan også omfatte de som eventuelt har dødd av sykdommen.

Modellen bygger på flere urealistiske antagelser, som for eksempel at det er så stor mobilitet i populasjonen at alle kan smitte alle. Videre er det antatt at det ikke er noen *latenstid* mellom det tidspunkt at man blir smittet til man selv er smittefarlig. Likedan bygger modellen på at en som er blitt resistent, ikke mister denne immuniteten senere.

Matematiske modeller for å beskrive utbredelse av epidemier kan føres tilbake til Daniel Bernoulli på midten av 1700-tallet. SIR-modellen ble utviklet av A. G. McKendrick og W. O. Kermack i 1927 og forbedret i de følgende årene. Modellen er blitt aktuell i forbindelse med koronaviruspandemien i 2019–2020.

Matematisk beskrivelse
----------------------

Man antar at det totale antall individer i populasjonen er konstant, det vil si man inkluderer også de som eventuelt dør. Dette antallet kan varierer fra sted til sted og ha forskjellige verdier. Det kan heller ikke være for stort da modellen bygger på den underliggende antagelsen at et individ i prinsippet kan smitte alle andre i populasjonen. For at det skal kunne skje, må det være store mobilitet som ikke vil være tilstede hvis populasjonen er for stor.

Siden det totale antall individer kan variere fra situasjon til situasjon, er det mer praktisk å benytte de relative antall med individer i hver gruppe. Benytter man *S* (en:*susceptible*) for dette tallet med usmittete, *I* for det relative antall smittete (en:*infected*) og *R* for det tilsvarende antall resistente, vil man da ha sammenhengen

{\displaystyle S+I+R=1}
da disse tre størrelsene er relative antall hvis sum forblir konstant. Det er disse betegnelsene som har gitt navnet til modellen.

### Vekstligninger

Etterhvert som epidemien utvikler seg, vil tallene *S*, *I* og *R* bli funksjoner av tiden *t*. Dette kan beskrives ved vekstligninger på samme måte som for eksponentiell vekst. Antall smittete *S* vil jevnt avta med en hastighet som er proporsjonal med antall infiserte. Man har dermed den første vekstligningen

{\displaystyle {dS \over dt}=-bSI}
hvor *b* er *smittefrekvensen* som karakteriserer sannsynligheten for at en usmittet skal få smitten fra en som allerede er infisert. Antall smittete øker i tilsvarende takt. Men samtidig har hver smittet også en viss sannsynlighet for å bli ferdig med sykdomsforløpet og deretter være resistent. Betegnes denne *helbredelsesfrekvensen* med *a*, vil antall infiserte forandre seg ifølge ligningen

{\displaystyle {dI \over dt}=bSI-aI}
Antall resistente øker med samme frekvens som infiserte blir helbredet slik at

{\displaystyle {dR \over dt}=aI}
Adderer man de tre ligningene, ser man at den tidsderiverte av *S + I + R* er null som den skal være da denne summen skal forbli konstant under utbredelsen.

I modellen antas at de to parametrene *a* og *b* forblir konstant under epidemien. Dette er ofte urealistisk da spesielt smittefrekvensen kan forandres ved forskjellige tiltak mot spredning.

De tre vekstligningene er alle første ordens differensialligninger og kan behandles ved standard metoder. Spesielt lar de seg løse med ønsket nøyaktighet ved bruk av numeriske metoder.

Tidsforløp
----------

Tidsutviklinger I SIR-modellen for forskjellig verdier av reproduksjonstallet. Maksimalt antall infiserte blir mindre når dette blir mindre. Usmittette *S* vises i **blått**, infiserte *I* i **rødt** og resistente *R* i **grønt**.
Helt i begynnelsen av smitteutbredelsen kan man anta at alle er usmittet unntatt et svært lite antall infiserte som starter epidemien. Den tilsvarende brøkdelen *S* av hele populasjonen er derfor svært tett opptil 100%. Betegner man denne verdien med *S*0, vil man derfor med meget god nøyaktighet kunne skrive at *S*0 = 1. Det tilsvarer å sette brøkdelen av infiserte ved samme tidspunkt *I*0 = 0 da det på begynnelsen er ingen helbredete slik at også *R*0 = 0,

Men antall infiserte vil begynne å vokse. Det følger fra den andre vekstligningen som kan skrives som

{\displaystyle {dI \over dt}=(bS-a)I}
Så lenge man befinner seg helt i begynnelsen av utbredelsen, kan man her sette *S*0 = 1. Antall smittede vil derfor starte å vokse eksponentielt under den forutsetning at *b - a* > 0. Definerer man **reproduksjonstallet** som

{\displaystyle r\_{0}={b \over a},}
vil derfor smitten bre seg når *r*0 > 1. Hvis denne viktige parameteren ligger under grenseverdien, vil ikke smitten kunne bre seg. Da vil smittete bli raskere helbredet enn nye infeksjoner oppstår.

### Maksimum av infiserte

I denne første fasen av epidemien der *bS - a* > 0 slik at smitten brer seg, vil derfor brøkdelen av usmittete måtte tilfredsstille betingelsen *S* > 1/*r*0. Når *S* ikke lenger oppfyller denne ulikheten, begynner infeksjonen å avta ved at *dI*/*dt* < 0. Det maksimale antall smittete skjer derfor når *S* = 1/*r*0.

Dette maksimumet kan finnes ved å kombinere de to første vekstligningene. Man finner da den ekvivalente ligningen

{\displaystyle {dI \over dS}=-1+{1 \over Sr\_{0}}}
som lett kan løses ved direkte integrasjon. Det gir

{\displaystyle I+S-{1 \over r\_{0}}\ln S=C}
hvor integrasjonskonstanten *C* kan finnes ut fra verdiene ved epidemiens begynnelse. Det gir *C* = 1 da *S*0 = 1 og *I*0 = 0  ved dette tidspunktet. Da det maksimale antall smittete skjer for *S* = 1/*r*0, finner man den maksimale verdien

{\displaystyle I\_{max}=1-{1 \over r\_{0}}{\big (}1+\ln r\_{0}{\big )}}
for brøkdelen av infiserte under epidemien når *r*0 > 1. Desto lavere dette reproduksjonstallet er, desto lavere vil maksimumet være. For eksempel, hvis  *r*0 = 2, vil maksimum være omtrent 15% av hele populasjonen, mens det blir 44% for  *r*0 = 4 ifølge denne modellen.

### Sluttfase

Når epidemien etter lang tid har fått rast ut, vil ikke flere bli smittet slik at *I* vil gå mot null. De som engang var smittete, vil ha blitt helbredet og dermed også resistente. Sluttfasen vil derfor bestå av disse og eventuelt noen som fremdeles er usmittet. Dette antallet kan også finnes fra den samme ligningen som forbinder *I* og *S*, men nå ved svært sene tidspunkt som angis ved indeksen ∞. Ved å sette inn at *I*∞ = 0, har man da at *S*∞ - (1/*r*0) ln*S*∞ = 1 eller

{\displaystyle S\_{\infty }=e^{-r\_{0}(1-S\_{\infty })}}
Dette er en implisitte ligning for brøkdelen *S*∞. Den kan løses numerisk eller med god tilnærmelse grafisk ved å plotte begge sidene av den. Man finner da at brøkdelen av usmittete vil være større enn null. Derfor vil alltid et endelig antall individer kunne unngå smitten uansett hvor lenge den får fortsette. Men dette antallet blir mindre når reproduksjonstallet *r*0  blir større. Typisk er *S*∞ = 20% for  *r*0 = 2, mens *S*∞ = 2% når  *r*0 = 4. Dette er som intuitivt forventet.

Forbedringer
------------

Denne enkle modellen kan forbedres og dermed bli mer realistisk. En mulighet er å skille mellom infiserte og smittefarlige. Det ene vil ikke alltid føre til det andre. Hvis epidemien er dødelig for noen, vil det være ønskelig å skille disse fra de som lever videre med immunitet. Likedan må man inkludere effekten av at det totale antall i populasjonen vil forandre seg når epidemien varer lenge og noen dør av naturlige årsaker samtidig som at individer forlater populasjonen eller kommer til utenfra.

Referanser
----------

1. 1 2  N.F. Britten, *Essential Mathematical Biology*, Springer-Verlag, London (2003). ISBN 1-85233-536-6.
2. ↑  E. Kreyszig, *Advanced Engineering Mathematics*, John Wiley & Sons, New York (1083). ISBN 0-471-88941-5.
3. ↑  J.H. Jones, *Models of Infectious Disease*, Spring Workshop in Formal Demography, Stanford University (2008).
4. ↑  J.C. Miller, *A note on the derivation of epidemic final sizes*, Bulletin of Mathematical Biology. **74**, 2125–2141 (2012).
5. ↑  P. van den Driessche, *Reproduction numbers of infectious disease models*, Infectious Disease Modelling, **2**(3), 288–303 (2017).

Eksterne lenker
---------------

* 3Blue1Brown, *How is COVID-19 currently growing*? Arkivert 26. mars 2020 hos Wayback Machine. amerikansk video
* Numberphile, *The Coronavirus Curve*, YouTube
* I.S. Kristiansen, E.A. Burger og B.F. De Blasio, *Covid-19: Simuleringsmodeller ved epidemier*, Tidsskriftet for Den norske legeforening, 22/4 -2020.