Differensialet *dy* til funksjonen *y* = *f*(*x* ) sier hvor mye tangentlinjen i punktet *x* øker over en liten forandring Δ*x*.
**Differensial** benyttes i matematikken til å beskrive variasjon av en kontinuerlig funksjon som skyldes en liten forandring i dens argument. Det er derfor direkte forbundet med den deriverte av funksjonen og betegnes med bokstaven *d* som kan føres tilbake til Gottfried Leibniz. Regning med differensialer omtales som *differensialregning* og kan betraktes som en del av matematisk analyse.

For en funksjon *y* = *f*(*x* ) av en variabel *x* defineres dens differensial som

{\displaystyle dy=f'(x)dx}
Alternativt kan det også skrives som *df* slik at *df*(*x*) er dets verdi i punktet *x*. Her er *dx* differensialet av den trivielle funksjonen *y = x*. Den deriverte *f'* av funksjonen for argumentsverdien *x* kan derfor skrives som

{\displaystyle {dy \over dx}=f'(x)}
og kalles ofte for en *differensialkoeffisient*. I dette og lignende uttrykk betraktes differensialene som vanlige størrelser av samme natur som *x* og *y* selv om de historisk forbindes med å være uendelige små eller *infinitesemale*. Regning med differensialer kalles derfor noen ganger fremdeles for *infinitesimalregning*.

Fra definisjonen følger at differensialet av forskjellige funksjoner kan finnes fra kjennskap til deres deriverte. Et enkelt eksempel er funksjonen *f*(*x*) = *x*3 som på den måten har differensialet *df* = 3*x*2 *dx*. Av samme grunnen kan differensialet av sammensatte funksjoner finnes fra produktregelen for derivasjon som medfører at differensialet til produktet av to funksjoner *f* og *g* er gitt ved

{\displaystyle d(fg)=(df)g+f(dg)}
Denne loven bærer vanligvis navnet til Leibniz som sammen med Isaac Newton regnes som oppfinnerne av differensialregningen.

I fysikk og annen naturvitenskap brukes ofte betegnelsen *dx* for en liten variasjon Δ*x* eller δ*x* av en variabel *x*. Dette kan være en noe forvirrende notasjon og er bare indirekte forbundet med et matematisk differensial i moderne forstand.

Definisjon
----------

Forandringen Δ*y* av funksjonsverdien i to nærliggende punkt er forskjellig fra differensialet *dy*. Dette er gitt ved stigningstallet til tangenten.
Betrakter man en kontinuerlig funksjon *y* = *f*(*x* ), vil den kunne fremstilles som en glatt kurve i *xy*-planet. I et bestemt verdi av *x*0 av argumentet vil den ha en verdi *y*0 = *f*(*x*0) som tilsvarer et punkt (*x*0, *y*0) på kurven. Den vil ha et stigningstall som er gitt ved den deriverte *f'*(*x*0) av funksjonen i dette punktet.

I et nærliggende punkt *x* + Δ*x* hvor økningen Δ*x* er tilstrekkelig liten, har funksjonsverdien forandret seg med

{\displaystyle \Delta y=f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})},
mens tangenten gjennom (*x*0, *y*0) har økt med 

{\displaystyle dy=f'(x\_{0})\Delta x}
Denne økningen kalles for **differensialet** av funksjonen. I det spesielle tilfellet at funksjonen er gitt som *y = x*, vil da *dx* = Δ*x* slik at man i det generelle tilfellet kan skrive at differensialet  *dy* = *f'*(*x*)*dx* i et vilkårlig punkt.

Denne direkte sammenhengen mellom differensialet til funksjon og dens deriverte, gjør det mulig å beregne differensialet av en funksjon *F* som avhenger av flere variable. Når det er *n* av disse og de betegnes med (*x*1,*x*2, .. ,*x**n* ), vil differensialet være

{\displaystyle dF(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})={\partial F \over \partial x^{1}}dx^{1}+{\partial F \over \partial x^{2}}dx^{2}+\cdots {\partial F \over \partial x^{n}}dx^{n}}
hvor ∂*F*/∂*xk* er den partiellderiverte med hensyn på den variable *xk*. Det betegnes noen ganger som det *totale differensialet* av funksjonen.

Som et eksempel kan man betrakte funksjonen *z* = *x*3*y* + 3*xy*2. Da blir

{\displaystyle {\begin{aligned}dz&=d(x^{3}y)+d(3xy^{2})=3x^{2}ydx+x^{3}dy+3y^{2}dx+6xydy\\&=3y(x^{2}+y)dx+x(x^{2}+6y)dy\end{aligned}}}
Beregning av differensialet av slike funksjoner tilsvarer utregning av gradienten til funksjonen slik som den benyttes i vektoranalysen.

Historisk utvikling
-------------------

Første side av Leibniz' verk *Nova Methodus pro Maximis et Minimis* hvor differensialer ble omtalt i 1684
Både integralregning og differensialregning var opprinnelig basert på å betrakte små størrelser som skulle adderes eller subtraheres i grensen der de ble forsvinnende små. Denne fremgangsmåten kan føres helt tilbake til gresk matematikk og spesielt arbeidene til Arkimedes.

Med fremveksten av analytisk geometri på 1600-tallet ble den nærme sammenhengen mellom stigningstallet til en funksjon i et punkt og retningen av tangenten til kurven som funksjonen fremstiller i samme punkt, klarlagt. Denne er gitt ved en sekant som går gjennom to nærliggende punkt på kurven i grensen der separasjonen mellom punktene forsvinner. For en funksjon *y* = *f*(*x* ) vil man dermed ha et tilnærmet uttrykk

{\displaystyle k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}}
for stigningstallet når størrelsen Δ*x* blir forsvinnende liten. Denne fremgangsmåten ble først benyttet av Fermat i Frankrike og omtrent samtidig av Barrow i England. Mer systematisk ble denne tenkemåten videreutviklet av hans elev Newton og av Leibniz i Tyskland som dermed la grunnlaget for moderne, matematisk analyse. Stigningstallet som på dette viset kunne beregnes, er i dag den deriverte av funksjonen.

Selv om denne nye metoden viste seg å gi overbevisende resultat, ble den også mye kritisert. Hovedgrunnen var at det ønskede resultat først kom frem når størrelsen Δ*x* → 0 der også forandringen Δ*y* → 0. I denne grensen kalte Leibniz de infinitesemale størrelsene for *dx* og *dy* slik at den deriverte kan skrives som

{\displaystyle k=\lim \_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y \over \Delta x}={dy \over dx}}
Dette ser ut som det ubestemte uttrykket {\displaystyle {0 \over 0}} og kan derfor ikke ha noen veldefinert verdi. Men da likevel metoden ga meningsfulle resultat, måtte likevel disse størrelsene tillegges betydning. Av den grunn ble differensialene *dx* og *dy* noen ganger omtalt som «gjenferd av forsvunne størrelser» og måtte gis et klarere innhold. Denne usikkerheten ble først fjernet på begynnelsen av 1800-tallet da grundigere behandling av matematiske grenseverdier ble gitt av Cauchy.

I nyere tid har differensialet *df* av en funksjon fått en utvidet betydning som en differensialform **d***f*. Denne kan betraktes som en ny funksjon som i hvert punkt også kan ta en vektor **v** som argument. På den måten vil den gi den retningsderiverte av funksjonen som **d***f*(**v**). Bruk av slike differensialformer er nå utstrakt i moderne differensialgeometri og ble etablert av Élie Cartan på begynnelsen av 1900-tallet.

Referanser
----------

1. 1 2   R. Tambs Lyche, *Matematisk Analyse I*, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
2. ↑   T. Lindstrøm, *Kalkulus*, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.
3. ↑   M. R. Spiegel, *Vector Analysis*, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
4. 1 2   C.B. Boyer, *A history of mathematics*, John Wiley & Sons, Princeton (1968). ISBN 0-691-02391-3.
5. ↑   C.B. Boyer, *The History of Calculus and Its Conceptual Development*, Dover Publications, New York (1959). ISBN 0-486-60509-4.
6. ↑   R. Penrose, *The Road to Reality*, Jonathan Cape, London (2004). ISBN 0-224-04447-8.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Store Danske Encyklopædi **·** GND
 |