**Bidomene-modellen** er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, *bidomene-ligningene*, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.

Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978. Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.

Grunnlag
--------

Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det *intracellulære* området og området som er rundt, utenfor, som det *ekstracellulære* området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.

Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.

Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene. Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.

Matematisk modell
-----------------

### Standardformulering

Bidomene-ligningene er gitt ved

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(M\_{i}+M\_{e}\right)\nabla v\_{e}\right)&=0\\\nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\_{e}\right)&=\chi \left(C\_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I\_{\mathrm {ion} }\right)\end{alignedat}}}
der {\displaystyle \chi } angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum, {\displaystyle C\_{m}} cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal, {\displaystyle v=v\_{i}-v\_{e}} er {\displaystyle v\_{i}} den intracellulære spenningen og {\displaystyle v\_{e}} den ekstracellulære spenningen, og {\displaystyle I\_{\mathrm {ion} }} ionestrømmen over membranen per enhetsareal.

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.

### Utledning

La {\displaystyle \Omega } med rand {\displaystyle \partial \Omega } betegne alle punkter {\displaystyle x} i hjertet. I hvert punkt i {\displaystyle \Omega } kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis {\displaystyle v\_{i}}, {\displaystyle v\_{e}}, {\displaystyle J\_{i}} og {\displaystyle J\_{e}}. Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved {\displaystyle M\_{i}} og {\displaystyle M\_{e}}.

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J\_{i}&=-M\_{i}\nabla v\_{i}\\J\_{e}&=-M\_{e}\nabla v\_{e}.\end{alignedat}}}
Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i {\displaystyle \Omega } – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir

{\displaystyle \nabla \cdot \left(J\_{i}+J\_{e}\right)=0}
som ved ligningene over kan skrives om til

{\displaystyle \nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\_{i}\right)+\nabla \cdot \left(M\_{e}\nabla v\_{e}\right)=0}
Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som {\displaystyle v=v\_{i}-v\_{e}}, er relatert til spenningsforskjellen ved

{\displaystyle v={\frac {q\_{i}-q\_{e}}{2\chi C\_{m}}}}
der {\displaystyle q\_{i}} og {\displaystyle q\_{e}} angir intra- og ekstracellulær ladning, {\displaystyle \chi } angir overflateareal per enhetsvolum og {\displaystyle C\_{m}} cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at

{\displaystyle J\_{t}=\chi \left(C\_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I\_{\mathrm {ion} }\right)}
hvilket kombinert gir

{\displaystyle \nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M\_{i}\nabla v\_{e}\right)=\chi \left(C\_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I\_{\mathrm {ion} }\right).}
som er den andre bidomene-ligningen.

### Konduktansverdier

Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved

{\displaystyle M\_{i}={\begin{bmatrix}\sigma \_{fi}&0&0\\0&\sigma \_{ti}&0\\0&0&\sigma \_{ni}\end{bmatrix}}\qquad M\_{e}={\begin{bmatrix}\sigma \_{fe}&0&0\\0&\sigma \_{te}&0\\0&0&\sigma \_{ne}\end{bmatrix}}},
der {\displaystyle \sigma \_{ij}} angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning {\displaystyle \mathbf {e\_{f}} ,\mathbf {e\_{t}} ,\mathbf {e\_{n}} } (i retning fibrene, på tvers, normalt) for {\displaystyle j\in {i,e}} (intracellulært, ekstracellulært). Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.

Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at {\displaystyle M\_{i}=\lambda M\_{e}} for en skalarverdi {\displaystyle \lambda }, kan modellen reduseres til monodomene-modellen.

### Randbetingelser

For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser. Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som

{\displaystyle n\cdot J\_{i}=0\qquad n\cdot J\_{e}=0}
der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til

{\displaystyle n\cdot (M\_{i}\nabla v+M\_{i}\nabla v\_{e})=0\qquad n\cdot (M\_{e}\nabla v\_{e})=0}

Referanser
----------

1. 1 2  Leslie Tung (Januar 1978). «A bi-domain model for describing ischemic myocardial d-c potentials».
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  Joakim Sundnes, Glenn Terje Lines, Xing Cai, Bjørn Fredrik Nielsen, Kent-Andre Mardal, Aslak Tveito (2006). *Computing the Electrical Activity in the Heart*. New York: Springer. s. 25–30. ISBN 978-3-540-33432-3.
3. ↑  Natalia Trayanova, Jason Constantino, Takashi Ashihara, Gernot Plank. «Modeling Defibrillation of the Heart: Approaches and Insights». IEEE. doi:10.1109/RBME.2011.2173761. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
4. ↑  Shoba Ranganathan, Kenta Nakai, Christian Schonbac, red. (2018). *Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics*. s. 903. ISBN 9780128114148. CS1-vedlikehold: Flere navn: redaktørliste (link)
5. ↑  Barbara M. Johnston. «Six Conductivity Values to Use in the Bidomain Model of Cardiac Tissue». IEEE Transactions on Biomedical Engineering. doi:10.1109/TBME.2015.2498144.

Eksterne lenker
---------------

* Artikkel om bidomene-modellen på Scholarpedia