**Levi-Civita-symbolet** er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som **permutasjonssymbolet** og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ... *N*. For hver verdi av *N* finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

Definisjon
----------

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor *ε* av rang *n* som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som *εi1i2 ... in* og oppfyller betingelsen

{\displaystyle \varepsilon \_{\dots i\_{p}\dots i\_{q}\dots }=-\varepsilon \_{\dots i\_{q}\dots i\_{p}\dots }}
for hvert ombytte av to vilkårlige indekser. Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være *n*!. De kan alle finnes fra

{\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon \_{12\dots n}}
hvor *p* kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og (−1)*p* er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved *ε*12…*n* som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

{\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}\varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}=n!}
når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

### Determinanter

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en *n × n* matrise *A* med elementer *Aij* kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet. Da er den gitt som

{\displaystyle \det(A)=\varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}A\_{1i\_{1}}\dots A\_{ni\_{n}}}
eller kan finnes fra den ekvivalente formen

{\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}\varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}\varepsilon \_{j\_{1}\dots j\_{n}}A\_{i\_{1}j\_{1}}\dots A\_{i\_{n}j\_{n}},}
når man igjen summerer over alle par med like indekser.

Anvendelser
-----------

Betegnelsen «det *n*-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

### To dimensjoner

Når antall dimensjoner er *n* = 2, har symbolet bare to komponenter *ε*12 = 1 og *ε*21 = -1 som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved matrisen

{\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon \_{11}&\varepsilon \_{12}\\\varepsilon \_{21}&\varepsilon \_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

{\displaystyle \varepsilon \_{ij}\varepsilon \_{mn}=\delta \_{im}\delta \_{jn}-\delta \_{in}\delta \_{jm}}
hvor Kronecker-symbolet *δij* opptrer på høyre side. Den får bare bidrag når *i* ≠ *j* and *m* ≠ *n* og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man *m = i*, blir dermed *εij εin* = *δjn*. Dermed er *εij εij* = *δjj* = 2 som forventet i *n* = 2 dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

{\displaystyle \varepsilon \_{ij}\varepsilon \_{mn}=\left|{\begin{array}{cc}\delta \_{im}&\delta \_{in}\\\delta \_{jm}&\delta \_{jn}\end{array}}\right|}
På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri. Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

### Tre dimensjoner

Verdien *ε* = +1 til Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner er angitt ved      når indeksene opptrer som en positiv permutasjon av (1, 2, 3). Den motsatte verdien *ε* = −1 er angitt ved      og opptrer for negative permutasjoner.
Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra *ε*123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da *ε*213 = -1 og *ε*231 = 1. De tre like komponentene *ε*123 = *ε*231 = *ε*312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene *ε*132 = *ε*321 = *ε*213 = -1 finnes ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen. Kryssproduktet av to vektorer **u** = (*u*1, *u*2, *u*3) og **v** = (*v*1, *v*2, *v*3) er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon \_{ijk}u\_{i}v\_{j}\mathbf {e} \_{k}=(u\_{2}v\_{3}-u\_{3}v\_{2})\mathbf {e} \_{1}+(u\_{3}v\_{1}-u\_{1}v\_{3})\mathbf {e} \_{2}+(u\_{1}v\_{2}-u\_{2}v\_{1})\mathbf {e} \_{3}}
ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer **u**, **v** and **w** blir dermed

{\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =\varepsilon \_{ijk}u\_{i}v\_{j}w\_{k}={\begin{vmatrix}u\_{1}&u\_{2}&u\_{3}\\v\_{1}&v\_{2}&v\_{3}\\w\_{1}&w\_{2}&w\_{3}\\\end{vmatrix}}}
Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{imn}=\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}}
{\displaystyle \varepsilon \_{jmn}\varepsilon \_{imn}=2\delta \_{ij}}
som følger fra det generelle produktet

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{lmn}=\left|{\begin{array}{ccc}\delta \_{il}&\delta \_{im}&\delta \_{in}\\\delta \_{jl}&\delta \_{jm}&\delta \_{jn}\\\delta \_{kl}&\delta \_{km}&\delta \_{kn}\end{array}}\right|}
For eksempel, det vektorielle trippelproduktet reduseres til

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=\varepsilon \_{ijk}\mathbf {e} \_{i}u\_{j}(\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\_{k}=\varepsilon \_{ijk}\mathbf {e} \_{i}u\_{j}\varepsilon \_{kmn}v\_{m}w\_{n}\\&=\mathbf {e} \_{i}(\delta \_{im}\delta \_{jn}-\delta \_{in}\delta \_{jm})u\_{j}v\_{m}w\_{n}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \end{aligned}}}
Resultatet er antisymmetrisk i vektorene **v** og **w** som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon \_{ijk}\mathbf {e} \_{i}a\_{j}b\_{k}\cdot \varepsilon \_{lmn}\mathbf {e} \_{l}c\_{m}d\_{n}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}
når man benytter at **e***i*⋅**e***l* = *δil* og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

### Fire dimensjoner

I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen *ε*1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir *ε*4321 = - *ε*3214 = - *ε*2134 = *ε*1234 = 1, mens *ε*4123 = - *ε*1234 = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater *xμ* = (*ct,x,y,z*) hvor *c* er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene *η*00 = +1 og *η*11 = *η*22 = *η*33 = - 1. Sammen med de kontravariante komponentene *ημν* = (1, -1, -1, -1) kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer *ε*0123 = + 1, vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

{\displaystyle \varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }\eta ^{\rho \gamma }\eta ^{\sigma \delta }\varepsilon \_{\alpha \beta \gamma \delta }}
som gir *ε*0123 = - 1 og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

{\displaystyle \varepsilon \_{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon \_{\;\;\alpha \beta }^{\mu \nu }=-2(\eta \_{\rho \alpha }\eta \_{\sigma \beta }-\eta \_{\rho \beta }\eta \_{\sigma \alpha })}
som ved kontraksjon mellom indeksene *α* og *ρ* gir

{\displaystyle \varepsilon \_{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon \_{\;\;\;\;\beta }^{\mu \nu \rho }=-6\eta \_{\sigma \beta }}
En videre kontraksjon mellom *σ* og *β* gir da som forventet

{\displaystyle \varepsilon \_{\mu \nu \rho \sigma }\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }=-24=-4!}
da {\displaystyle \eta \_{\;\sigma }^{\sigma }=4} i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene {\displaystyle \gamma ^{\mu }} og

{\displaystyle \gamma \_{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon \_{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}.
Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

{\displaystyle {\mbox{Tr}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma \_{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}
Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.

Levi-Civita-tensor
------------------

Determinanten til en *N × N* matrise *A* = (*Aij*) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

{\displaystyle \varepsilon \_{m\_{1}m\_{2}\dots m\_{N}}A\_{m\_{1}n\_{1}}A\_{m\_{2}n\_{2}}\dots A\_{m\_{N}n\_{N}}=\det(A)\varepsilon \_{n\_{1}n\_{2}\dots n\_{N}}}
Hvis man i et *N*-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater *xm*  innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen *xm = xm*(*xμ* ), er elementene til transformasjonsmatrisen *A*

{\displaystyle A\_{\;\;\mu }^{m}={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}}
Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen

{\displaystyle \varepsilon \_{m\_{1}m\_{2}\dots m\_{N}}{\partial x^{m\_{1}} \over \partial x^{\mu \_{1}}}{\partial x^{m\_{2}} \over \partial x^{\mu \_{2}}}\dots {\partial x^{m\_{N}} \over \partial x^{\mu \_{N}}}=\det(A)\varepsilon \_{\mu \_{1}\mu \_{2}\dots \mu \_{N}}}
Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang *N* under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(*A*) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

{\displaystyle g\_{\mu \nu }={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}{\partial x^{n} \over \partial x^{\nu }}g\_{mn}}
hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som *gmn* = *δmn*. Herav følger derfor at determinanten *g* = det(*gμν*)  er gitt som kvadratet av det(*A*). Definerer man derfor størrelsen

{\displaystyle e\_{\mu \_{1}\mu \_{2}\dots \mu \_{N}}={\sqrt {g}}\,\varepsilon \_{\mu \_{1}\mu \_{2}\dots \mu \_{N}},}
vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er **Levi-Civita-tensoren** som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

{\displaystyle e\_{12\dots N}={\sqrt {g}}}
i et generelt koordinatsystem hvor *g* er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

### Volumformen

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell *N*-form

{\displaystyle \mathbf {e} ={1 \over N!}e\_{\mu \_{1}\mu \_{2}\dots \mu \_{N}}\mathbf {d} x^{\mu \_{1}}\wedge \mathbf {d} x^{\mu \_{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {d} x^{\mu \_{N}}={\sqrt {g}}\,\mathbf {d} x^{1}\wedge \mathbf {d} x^{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {d} x^{N}}
som ofte blir omtalt som volumformen. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

{\displaystyle x=r\sin \theta \,\cos \phi }
{\displaystyle y=r\sin \theta \,\sin \phi }
{\displaystyle z=r\cos \theta }
Da blir denne 3-formen

{\displaystyle \mathbf {e} =\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathbf {d} r\wedge \mathbf {d} \theta \wedge \mathbf {d} \phi }
og har størrelsen *dV* = *r*2 sin*θ dr dθ dφ*  som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.

Referanser
----------

1. 1 2  D.C. Kay, *Tensor Calculus*, Schaum’s Outlines, McGraw Hill, New York (1988). ISBN 0-07-033484-6.
2. 1 2  G.E. Hay, *Vector and Tensor Analysis*, Dover Publications, New York (1953). ISBN 0-486-60109-9.
3. ↑  P. Labelle, *Supersymmetry demystified*, McGraw-Hill, New York (2010). ISBN 978-0-07-163641-4.
4. ↑  C. Itzykson and J.B. Zuber, *Quantum Field Theory*, McGraw-Hill International Book Company, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.
5. ↑  C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, *Gravitation*, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |