I plasmaer og elektrolytter er **Debye-lengden** (også kalt **Debye-radius**), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En **Debye-kule** er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde {\displaystyle \lambda \_{D}}, det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren {\displaystyle k\_{D}={1 \over \lambda \_{D}}} for partikler med tetthet {\displaystyle n}, ladning {\displaystyle q} ved temperatur {\displaystyle T} er gitt ved {\displaystyle k\_{D}^{2}={4\pi q^{2} \over k\_{B}T}} i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer ({\displaystyle T\rightarrow 0}) er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.

Fysisk opprinnelse
------------------

Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av {\displaystyle N} forskjellige specier av ladninger, {\displaystyle j} specier som bærer ladning {\displaystyle q\_{j}} og har konsentrasjon {\displaystyle n\_{j}(\mathbf {r} )} ved possisjon {\displaystyle \mathbf {r} }. Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet. {\displaystyle \varepsilon \_{r}}. Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} som tilfredsstiller Poissons ligningen:

{\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum \_{j=1}^{N}q\_{j}\,n\_{j}(\mathbf {r} )-\rho \_{\rm {ext}}(\mathbf {r} )},
hvor {\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon \_{r}\varepsilon \_{0}}, {\displaystyle \varepsilon \_{0}}er den elektriske konstanten, og {\displaystyle \rho \_{\rm {ext}}} er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,{\displaystyle -q\_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}.Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur {\displaystyle T}, deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, {\displaystyle n\_{j}(\mathbf {r} )}, kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av {\displaystyle j} ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

{\displaystyle n\_{j}(\mathbf {r} )=n\_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q\_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k\_{\rm {B}}T}}\right)},
hvor {\displaystyle k\_{\rm {B}}} er Boltzmanns konstant og hvor {\displaystyle n\_{j}^{0}} er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie {\displaystyle j}.

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

{\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum \_{j=1}^{N}q\_{j}n\_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q\_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k\_{\rm {B}}T}}\right)-\rho \_{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}.
Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), {\displaystyle q\_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k\_{\rm {B}}T},av Taylorutvidelsen eksponentiell:

{\displaystyle \exp \left(-{\frac {q\_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k\_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q\_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k\_{\rm {B}}T}}}.
Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

{\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum \_{j=1}^{N}{\frac {n\_{j}^{0}\,q\_{j}^{2}}{k\_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum \_{j=1}^{N}n\_{j}^{0}q\_{j}-\rho \_{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}
som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på {\displaystyle \varepsilon }, har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

{\displaystyle \lambda \_{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k\_{\rm {B}}T}{\sum \_{j=1}^{N}n\_{j}^{0}\,q\_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}
som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, {\displaystyle \lambda \_{D}} setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda \_{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho \_{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}
For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning {\displaystyle \rho \_{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )} is

{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda \_{\rm {D}}}}
Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden {\displaystyle \lambda \_{\rm {B}}} som

{\displaystyle \lambda \_{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda \_{\rm {B}}\,\sum \_{j=1}^{N}n\_{j}^{0}\,z\_{j}^{2}\right)^{-1/2}},
hvor {\displaystyle z\_{j}=q\_{j}/e} er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på {\displaystyle j} ioniske specier til elementærladningen {\displaystyle e}.

I plasma
--------

I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum ({\displaystyle \varepsilon \_{r}=1}), og Debye-lengden er

{\displaystyle \lambda \_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \_{0}k\_{\rm {B}}/q\_{e}^{2}}{n\_{e}/T\_{e}+\sum \_{j}z\_{j}^{2}n\_{j}/T\_{i}}}}}
hvor

λD er Debye-lengden,
ε0 er permittiviteten til ledig plass,
*k*B er Boltzmanns konstant,
*q**e* er ladningen til et elektron,
*Te* og *Ti* er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,
*ne* er tettheten til elektroner,
*nj* er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning *zjq**e*
Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

{\displaystyle \lambda \_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \_{0}k\_{\rm {B}}T\_{e}}{n\_{e}q\_{e}^{2}}}}}
selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.

### Vanlige verdier

I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:

| Plasma | Tetthet*n*e(m−3) | Elektrontemperatur*T*(K) | Magnetfelt*B*(T) | Debye lengde*λ*D(m) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Solkjerne | 1032 | 107 | - | 10−11 |
| Tokamak | 1020 | 108 | 10 | 10−4 |
| Gassutslipp | 1016 | 104 | - | 10−4 |
| Ionosfæren | 1012 | 103 | 10−5 | 10−3 |
| Magnetosfæren | 107 | 107 | 10−8 | 102 |
| Sol-vind | 106 | 105 | 10−9 | 10 |
| Interstellar medium | 105 | 104 | 10−10 | 10 |
| Intergalaktisk medium | 1 | 106 | - | 105 |
|

I en elektrolyttløsning
-----------------------

I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet *κ*−1

{\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon \_{\rm {r}}\varepsilon \_{0}k\_{\rm {B}}T}{2\times 10^{3}N\_{\rm {A}}e^{2}I}}}}
hvor

*I* er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),
ε0 er permittiviteten til vaccum,
εr er den dielektriske konstant,
*k*B er Boltzmanns konstant,
*T* er den absolutte temperaturen i kelvin,
*N*A er Avogadros tall.
{\displaystyle e} er elementærladningen,
eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

{\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon \_{\rm {r}}\varepsilon \_{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C\_{0}}}}}
hvor 

*R* er gasskonstanten,
*F* er Faradays konstant,
*C*0 er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).
Alternativt,

{\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda \_{\rm {B}}N\_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}}
hvor

{\displaystyle \lambda \_{\rm {B}}} er Bjerrum-lengden på mediet.
For vann ved romtemperatur, *λ*B ≈ 0.7 nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

{\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}
hvor

*κ*−1 er utrykt i nanometer (nm)
*I* er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)
Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.

I halvledere
------------

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.

Debye-lengden på halvledere er gitt:

{\displaystyle L\_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k\_{\rm {B}}T}{q^{2}N\_{\rm {dop}}}}}}
hvor

*ε* er den dielektriske konstanten,
*k*B er Boltzmanns konstant,
*T* er den absolutte temperaturen i kelvin,
*q* er elementærladning, og
*N*dop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).
Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.

Referanser
----------

1. ↑  Braus, Michael (18. juli 2019). «The theory of electrolytes. I. Freezing point depression and related phenomena (Translation)» **(engelsk)**. Besøkt 16. februar 2021.
2. ↑  Kirby, B. J. (2010). *Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices*. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. ↑  Li, D. (2004). *Electrokinetics in Microfluidics*. Academic Press. ISBN 0-12-088444-5.
4. ↑  PC Clemmow & JP Dougherty (1969). *Electrodynamics of particles and plasmas*. Redwood City CA: Addison-Wesley. s. § 7.6.7, p. 236 ff. ISBN 978-0-201-47986-7.
5. ↑  RA Robinson &RH Stokes (2002). *Electrolyte solutions*. Mineola, NY: Dover Publications. s. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.
6. ↑  See Brydges, David C.; Martin, Ph. A. (1999). «Coulomb Systems at Low Density: A Review». *Journal of Statistical Physics*. 96 (5/6): 1163–1330. Bibcode:1999JSP....96.1163B. arXiv:cond-mat/9904122 Åpent tilgjengelig. doi:10.1023/A:1004600603161.
7. ↑  I. H. Hutchinson *Principles of plasma diagnostics* ISBN 0-521-38583-0
8. ↑  Kip Thorne (2012). «Chapter 20: The Particle Kinetics of Plasma» (PDF). *Applications of Classical Physics*. Besøkt 7. september 2017.
9. 1 2   International Standard ISO 13099-1, 2012, "Colloidal systems – Methods for Zeta potential determination- Part 1: Electroacoustic and Electrokinetic phenomena"
10. 1 2  Dukhin, A. S.; Goetz, P. J. (2017). *Characterization of liquids, nano- and micro- particulates and porous bodies using Ultrasound*. Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
11. ↑  Russel, W. B.; Saville, D. A.; Schowalter, W. R. (1989). *Colloidal Dispersions*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42600-6.
12. ↑  Israelachvili, J. (1985). *Intermolecular and Surface Forces*. Academic Press. ISBN 0-12-375181-0.
13. ↑  Stern, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (1. november 2007). «Importance of the Debye Screening Length on Nanowire Field Effect Transistor Sensors». *Nano Letters*. 7 (11): 3405–3409. Bibcode:2007NanoL...7.3405S. PMC 2713684 Åpent tilgjengelig. PMID 17914853. doi:10.1021/nl071792z.
14. ↑  Guo, Lingjie; Effendi Leobandung; Stephen Y. Chou (199). «A room-temperature silicon single-electron metal–oxide–semiconductor memory with nanoscale floating-gate and ultranarrow channel». *Applied Physics Letters*. 70 (7): 850. Bibcode:1997ApPhL..70..850G. doi:10.1063/1.118236.
15. ↑  Tiwari, Sandip; Farhan Rana; Kevin Chan; Leathen Shi; Hussein Hanafi (1996). «Single charge and confinement effects in nano-crystal memories». *Applied Physics Letters*. 69 (9): 1232. Bibcode:1996ApPhL..69.1232T. doi:10.1063/1.117421.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** GND
 |