**Einstein-forholdet** (også kjent som **Wright-Sullivan-forholdet**) er i fysikk (spesielt den kinetiske teorien om gasser) en tidligere uventet forbindelse avslørt uavhengig av William Sutherland i 1904, Albert Einstein i 1905, og av Marian Smoluchowski i 1906 i deres arbeid på Brownsk bevegelse. Den mer generelle formen på ligningen er

{\displaystyle D=\mu \,k\_{\text{B}}T,}
hvor 

*D* er diffusjonskoeffisienten;
*μ* er "mobiliteten", eller forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og en påført kraft, *μ* = *v*d/*F*;
*k*B er Boltzmanns konstant;
*T* er den absolutte temperaturen.
Denne ligningen er et tidlig eksempel på et forhold mellom svingninger og spredning.

To ofte brukte viktige spesielle former for forholdet er:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,k\_{\text{B}}T}{q}}} (**elektrisk mobilitetsligning**, for diffusjon av ladede partikler)
{\displaystyle D={\frac {k\_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}} (**Stokes-Einstein-ligning**, for diffusjon av sfæriske partikler gjennom en væske med lavt Reynolds-antall) Hvor
* *q* er den elektriske ladningen til en partikkel;
* *μq* er den elektriske mobiliteten til den ladede partikkelen;
* *η* er den dynamiske viskositeten;
* *r* er radien til den sfæriske partikkelen.

Spesielle tilfeller
-------------------

### Elektrisk mobilitetsligning

For en partikkel med elektrisk ladning *q*, dets elektriske mobilitet *μq* er relatert til den generelle mobiliteten *μ* ved ligningen *μ* = *μq*/*q*. Parameteren *μq* er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,k\_{\text{B}}T}{q}},}
hvor

* {\displaystyle D} er diffusjonskoeffisienten ({\displaystyle \mathrm {m^{2}s^{-1}} }).
* {\displaystyle \mu \_{q}} er den elektriske mobiliteten({\displaystyle \mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}} }).
* {\displaystyle q} er den elektriske ladningen til partikkel (C, coulomb)
* {\displaystyle T} er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i plasma (K).

Hvis temperaturen er gitt i Volt, som er mer vanlig for plasma:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,T}{Z}},}
hvor

* {\displaystyle Z} er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
* {\displaystyle T} er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

### Stokes–Einstein ligning

I grensen for lavt Reynolds-tall er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten{\displaystyle \zeta }. En dempende konstant{\displaystyle \gamma =\zeta /m} brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius *r*, Stokes lov gir

{\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r,}
hvor {\displaystyle \eta } er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

{\displaystyle D={\frac {k\_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.}
Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet.

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen {\displaystyle \zeta \_{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}}, og rotasjonsdiffusjonskonstanten {\displaystyle D\_{\text{r}}} er

{\displaystyle D\_{\text{r}}={\frac {k\_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.}
### Halvleder

I en halvleder med en vilkårlig tilstandstetthet, dvs. et forhold mellom formen {\displaystyle p=p(\varphi )} mellom tettheten til hull eller elektroner {\displaystyle p} og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller elektrokjemisk potensial) {\displaystyle \varphi }, Einstein-forholdet er

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},}
hvor {\displaystyle \mu \_{q}} er den elektriske mobiliteten. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og Maxwell-Boltzmann-statistikken, som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

{\displaystyle p(\varphi )=N\_{0}e^{\frac {q\varphi }{k\_{\text{B}}T}},}
hvor {\displaystyle N\_{0}} er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

{\displaystyle D=\mu \_{q}{\frac {k\_{\text{B}}T}{q}}.}
### Nernst-Einstein ligningen

Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av kationene og anionene fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en elektrolytt, blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

{\displaystyle \Lambda \_{e}={\frac {z\_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D\_{+}+D\_{-}).}

Referanser
----------

1. ↑  *Introduction to Nanoscience* by Stuart Lindsay, p. 107.
2. ↑  World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.
3. ↑  Sutherland William (1905). «LXXV. A dynamical theory of diffusion for non-electrolytes and the molecular mass of albumin». *Philosophical Magazine*. Series 6. 9 (54): 781–785. doi:10.1080/14786440509463331.
4. ↑  P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation".
5. ↑  Einstein, A. (1905). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen». *Annalen der Physik*. 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806.
6. ↑  von Smoluchowski, M. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». *Annalen der Physik*. 326 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405.
7. ↑  Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). *Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology* **(engelsk)**. Garland Science. s. 327. ISBN 9780815320517.
8. ↑  Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".
9. ↑  Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 Arkivert 6. mai 2021 hos Wayback Machine..
10. ↑  Raizer, Yuri (2001). *Gas Discharge Physics*. Springer. s. 20–28. ISBN 978-3540194620.
11. ↑  Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (14. januar 2019). «Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter». *The Journal of Chemical Physics*. 150 (2): 021101. PMID 30646717. doi:10.1063/1.5080662.
12. ↑  *Solid State Physics*. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. 1988. s. 826.
13. ↑  Bonnaud, Olivier (2006). *Composants à semiconducteurs* **(fransk)**. Paris (France): Ellipses. s. 78.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica
 |