Punktene *A*, *B*, *C*, *D* og *A*′, *B*′, *C*′, *D*′ er forbundet i et sentralperspektiv. Dobbeltforholdene (*A*,*B*;*C*,*D*) og (*A*′,*B*′;*C*′,*D*′) er derfor like.
**Dobbeltforholdet** uttrykker matematisk hvordan fire punkt på en rett linje er plassert i forhold til hverandre. Hvis de fire punktene kalles *A*, *B*, *C* og *D*, er det definert som forholdet mellom delingsforholdene (*A,B;C*) og (*A,B;D*) slik at det kan skrives som

{\displaystyle (A,B;C,D)={(A,B;C) \over (A,B;D)}={AC \over BC}\cdot {BD \over AD}}
Det er fra denne definisjonen dobbeltforholdet har fått sitt navn. Her betegner *AC* lengden av linjestykket mellom punktene *A* og *C*. De forskjellige linjestykkene som her inngår, er orienterte slik at for eksempel *AC* = *AB* + *BC* = - *CA*.

Avhengig av hvordan man betrakter de fire punktene, kan det samme forholdet gis forskjellig innhold. For eksempel kan man si at *A* og *B* deler linjestykket *CD*. Men fra definisjonen er nå (*C,D*;*A,B*) = (*A,B*;*C,D*) = 1/(*A,B*;*D,C*) sammen med flere lignende relasjoner.

Når kun ett av punktene *C* og *D* ligger mellom *A* eller *B*, er dobbeltforholdet et negativt tall. I det spesielle tilfellet at (*A,B;C,D*) = - 1, sier man at punktene *C* og *D* deler linjestykket *AB* harmonisk. Dette er grunnlaget for pol og polare til kjeglesnitt.

Mens delingsforholdet mellom tre punkt bare er uforandret under parallelle projeksjoner, er dobbeltforholdet også invariant under sentralprojeksjoner. Det er denne egenskapen som gir det en spesiell betydning i projektiv geometri der det av denne grunn er uforandret under mer generelle, projektive transformasjoner.

Allerede på 300-tallet kjente Pappos fra Alexandria til egenskapene til dobbeltforholdet. I tiden etterpå ser denne innsikten ut til å ha forsvunnet før den igjen ble gjenoppdaget i Frankrike på 1600-tallet. Ved den mer systematiske formuleringen av projektiv geometri på 1800-tallet viste det seg at denne invariante størrelsen er den underliggende grunn for tilsynelatende forskjellige regelmessigheter i denne verden hvor lengder og vinkler ikke har noen mening.

Definisjoner
------------

Med samme avstand mellom punktene er her dobbeltforholdet (*A,B*;*C,D*) = -1/3.
Med samme avstand mellom punktene i en annen orden er nå (*A,B*;*C,D*) = 2/(3/2) = 4/3.
Dobbeltforholdet ble oppdaget i euklidsk geometri hvor hvert forhold mellom lengden av linjestykker langs en linje kan uttrykkes ved en koordinat langs denne linjen. For de fire punktene *A*, *B*, *C*, *D* kan denne angis med tilsvarende små bokstaver *a*, *b*, *c*, *d*. Da kan man skrive *AB* = *b - a* og så videre slik at dobbeltforholdet tar formen

{\displaystyle (A,B;C,D)={(c-a)(d-b) \over (c-b)(d-a)}}
Det samme uttrykk fremkommer i affin geometri hvor ikke absolutte lengder er veldefinerte, men bare deres innbyrdes forhold. Koordinatene representerer da verdiene til en affin parameter langs linjen hvor punktene ligger.

### Symmetrier

Fra definisjonen følger også sammenhengen

{\displaystyle (A,B;C,D)+(A,C;B,D)=1}
I alt kan de fire punktene permuteres på 4! = 24 forskjellige måter. Ved hjelp av de forskjellige symmetriene som ligger i definisjonen av dobbeltforholdet, kan disse deles i seks grupper hver med sin egen verdi av *k* = (*A,B;C,D*). For eksempel har man da (*A,C;B,D*) = 1 - *k*, mens man fra før har at (*A,B;D,C*) = 1/*k*.

De seks forskjellige verdiene kan samles sammen i tabellen

*AB* er delt harmonisk slik at (*A,B*;*C,D*) = -1.
{\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=k&(A,B;D,C)&={1 \over k}\\[6pt](A,C;D,B)&={1 \over 1-k},&(A,C;B,D)&=1-k\\[6pt](A,D;C,B)&={k \over k-1}&(A,D;B,C)&={k-1 \over k}\end{aligned}}}
Bare i det spesielle tilfellet med harmonisk deling der *k* = -1 vil to av disse falle sammen.

### Kopunktuale linjer

Zum Berechnen des Doppelverhältnisses mit Winkel
Flere linjer som går gjennom samme punkt sies å være *kopunktuale*. Hvis fire slike linjer gjennom et punkt skjæres av en femte linje, vil dobbeltforholdet for de fire skjæringspunktene kunne uttrykkes ved trigonometriske funksjoner av vinklene mellom linjen ved bruk av euklidsk geometri.

Hvis nå skjæringspunktene for de fire linjene gjennom *Z* igjen betegnes som *A*, *B*, *C*, *D*, kan deres dobbeltforhold skrives som

{\displaystyle (A,B;C,D)={(AC/ZA)\cdot (BD/ZB) \over (BC/ZB)\cdot (AD/ZA)}}
De forskjellige lengdene som her inngår utgjør alle sidekanter i trekanter med et felles hjørne i punktet *Z*. Ved bruk av sinussetningen kan forholdet mellom sidene i en trekant uttrykkes ved forholdet mellom de motstående vinklene. For eksempel er

{\displaystyle {AC \over ZA}={\sin AZC \over \sin ACZ}}
når man betegner vinkelen mellom sidene *AZ* og *ZC* som *AZC*. På figuren har den verdien *α* + *β*. Dette gir resultatet

{\displaystyle (A,B;C,D)={\sin AZC \over \sin BZC}\cdot {\sin BZD \over \sin AZD}}
da de andre vinklene langs skjæringslinjen faller ut. Det skyldes at *ACZ* = *BCZ* og tilsvarende *ADZ* = *BDZ*. Som en konsekvens kan man dermed definere dobbeltforholdet (*ZA*,*ZB*;*ZC*,*ZD*) mellom fire linjer *ZA*, *ZB*, *ZC* og *ZD* som går gjennom et felles punkt *Z* ved sammenhengen

{\displaystyle (ZA,ZB;ZC,ZD)=(A,B;C,D)}
når punktene *A*, *B*, *C* og *D* ligger på en rett linje. Dette gjør det mulig å definere en *harmonisk bunt* av fire kopunktuale linjer ved at skjæringspunktene med enhver annen linje er harmonisk.

Sykliske punkt og kjeglesnitt
-----------------------------

Dobbeltforholdet for punktene *A*, *B*, *C*, *D* på sirkelen er veldefinerte og uavhengig av det femte, kopunktuale punktet på sirkelen. Forholdet er det samme som for (*E,F;G,H*) på en vilkårlig skjæringslinje av linjebunten.
Dobbeltforholdet for fire vilkårlige punkt *A*, *B*, *C*, *D* i planet er ikke veldefinert. Men i det spesielle tilfellet at de ligger på en sirkel, det vil si at de er *sykliske*, har de et bestemt dobbeltfeorhold. Hvert punkt *P* på samme sirkel har da dobbeltforholdet (*PA, PB; PC, PD*) som er uavhengig av posisjonen til *P* og følger fra setningen om periferivinkler.

Under en romlig projeksjon vil sirkelen gå over til å bli en ellipse hvor punktene i linjebunten *P*(*A,B,C,D*) vil få en annen plassering, men forbli på ellipsen. Da dobbeltforholdet forblir uforandret ved projeksjoner, betyr det at dette også kan tilordnes en viss verdi for fire punkt på en ellipse.

Dobbeltforholdet (*k, l; m, n*) for linjebunten fra *P* er det samme som (*K,L;M,N*) på en ellipse. Likedan er dette forholdet for tangentene *a*,*b*,*c* og *d* det samme som (*A,B;C,D*)
Mer generelt kan man vise at dobbeltforholdet for fire punkt på et generelt kjeglesnitt har en veldefinert verdi når det beregnes fra et femte punkt på den samme kurven. Det skyldes at de forskjellige kjeglesnittene kan forbindes ved projektive transformasjoner. Relasjoner mellom linjer og skjæringspunkt som kan kan bevises for en sirkel, vil da automatisk også gjelde for de andre kjeglesnittene.

Projektiv i planet har en dualitet som betyr at alle utsagn som gjelder for punkt og linjer skal forbli gyldige når deres roller byttes om. Punkt på en linje går over til pensel av linjer gjennom et punkt og omvendt. Under en slik transformasjon går et punkt på et kjeglesnitt over til en tangentlinje i et annet punkt. Det betyr at eksistensen av dobbeltforholdet til fire punkt på et kjeglesnitt medfører at det også eksisterer for fire tangenter til den samme kurven. Forholdet kan bestemmes ved de fire skjæringspunktene som tangentene har med en femte, vilkårlig tangentlinje.

Ved hjelp av dobbeltforholdet kan linjene i to forskjellige linjebunter relateres. Skjæringspunktene mellom tilsvarende linjer vil da ligge på et kjeglesnitt. Dette kan igjen brukes til å gi en definisjon av kjeglesnitt som er mer generell enn den vanlige definisjonen basert på euklidsk geometri.

Projektiv geometri
------------------

Projektiv geometri har ingen metriske egenskaper slik at begreper som lengden av et linjestykke og størrelsen til en vinkel ikke kan benyttes. På tross av dette er dobbeltforholdet av avgjørende betydning i denne geometrien.

Hvert punkt på en linje gjennom to referansepunkt *O* og *Q* kan da skrives *P* = *μO* + *λQ*  hvor de reelle tallene (*μ,λ*) er de homogene koordinatene til punktet. Det betyr at (*μ,λ*) og (*kμ,kλ*) representerer det samme punktet for alle verdier av *k*. Forutsatt at *P* ikke er et av referansepunktene, kan man da skrive *P* = *O* + *xQ*  hvor *x* = *λ*/*μ* nå er en entydig koordinat.

For to andre punkt *P*1 og *P*2 på samme linje er nå forholdet mellom linjestykkene *PP*1 og *PP*2 definert som (*x*1 - *x*)/(*x*2 - *x*). Dobbeltforholdet for fire punkt *P*1, *P*2, *P*3 og *P*4 på denne projektive linjen **RP**1 er dermed

{\displaystyle (P\_{1},P\_{2};P\_{3},P\_{4})={(x\_{3}-x\_{1})(x\_{4}-x\_{2}) \over (x\_{3}-x\_{2})(x\_{4}-x\_{1})}}
og har samme form som i affin geometri. På denne formen forblir forholdet uforandret under en projektiv transformasjon som her tilsvarer å benytte andre referansepunkt *O'* og *P'* på samme linje.

### Koordinattransformasjoner

En forandring av referansepunktene tilsvarer en *passiv* koordinattransformasjon. Det er det motsatte av en *aktiv* transformasjon der de homogene koordinatene (*μ,λ*) til punktet *P* under betraktning forandres. På samme måte som i det todimensjonale, projektive planet kan en slik projektiv transformasjon for **RP**1 skrives som

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda '\\\mu '\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}\lambda \\\mu \end{pmatrix}}}
hvor *A* er en reell, 2×2 matrise på formen

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
Transformasjonen er ikke-triviell når determinanten det *A* = *ad - bc* ≠ 0 som betyr at matrisen også kan inverteres.

For to punkt *P*1 og *P*2 kan deres homogene koordinater samles i en ny, 2×2 matrise *M* som transformerer til *M'* = *AM* eller

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda '\_{1}&\lambda '\_{2}\\\mu '\_{1}&\mu '\_{2}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}\lambda \_{1}&\lambda \_{2}\\\mu \_{1}&\mu \_{2}\end{pmatrix}}}
I projektiv geometri kan man tilordne linjestykket mellom disse to punktene en størrelse *P*1*P*2 = det *M*. Ved å skrive ut denne determinanten, har man

{\displaystyle P\_{1}P\_{2}=\det {\begin{pmatrix}\lambda \_{1}&\lambda \_{2}\\\mu \_{1}&\mu \_{2}\end{pmatrix}}=\lambda \_{1}\mu \_{2}-\lambda \_{2}\mu \_{1}}
Under en koordinattransformasjon vil det *M'* = det *A*⋅det *M* slik at dobbeltforholdet

{\displaystyle (P\_{1},P\_{2};P\_{3},P\_{4})={P\_{1}P\_{3} \over P\_{2}P\_{3}}\cdot {P\_{2}P\_{4} \over P\_{1}P\_{4}}}
forblir det samme da den felles faktor med det *A* kansellerer mellom teller og nevner.

For alle endelige punkt kan man sette *μ* = 1 slik at den ikke-homomogene koordinaten *x* = *λ*/*μ* = *λ*. Uttrykket for dobbeltforholdet går dermed over i det forrige som ble funnet i projektiv geometri. Under den samme transformasjonen tar denne koordinaten en ny verdi som er gitt ved den spesielle, rasjonale funksjonen

{\displaystyle x'={ax+b \over cx+d}}
Ved direkte utregning kan man vise at dobbeltforholdet forblir uforandret under slike transformasjoner.

### Komplekse koordinater

Punkter på en linje kan generelt ta andre verdier enn reelle tall. Spesielt vanlig er det i algebraisk geometri hvor komplekse tall har en helt avgjørende rolle. Hvert punkt på den komplekse, projektive linjen **CP**1 kan dermed angis ved en kompleks, ikke-homogen koordinat *z*. En projektive transformasjon er da gitt ved den rasjonale funksjonen

{\displaystyle z'={az+b \over cz+d}}
hvor de komplekse parametrene *a*, *b*, *c* og *d* må oppfylle *ac - bd* ≠ 0 slik at transformasjonen er invertibel. Dette kalles nå en Möbius-transformasjon og har stor betydning i kompleks analyse.

Hvert punkt *z* = *x* + *iy* på den projective linjen **CP**1 tilsvarer et punkt med reelle koordinater (*x,y*) i det komplekse planet. Det geometriske innholdet som karakteriserer Möbius-transformasjon, er at den transformerer linjer og sirkler i dette planet over i hverandre.

For fire punkt *P*1, *P*2, *P*3 og *P*4 i det komplekse planet kan man nå definere dobbeltforholdet

{\displaystyle (P\_{1},P\_{2};P\_{3},P\_{4})={(z\_{3}-z\_{1})(z\_{4}-z\_{2}) \over (z\_{3}-z\_{2})(z\_{4}-z\_{1})}}
som i alminnelighet vil være et komplekst tall. Det forblir uforandret under en Möbius-transformasjon på samme måte som i det reelle tilfellet. Men i det spesielle tilfellet at de fire punktene ligger på en linje, vil det være reelt. Etter transformasjonen vil de bli liggende på en sirkel, men med samme, reelle verdi for dobbeltforholdet. Dette ble først innsett av Möbius og som er en av grunnene til at hans navn er knyttet til denne transformasjonen.

Denne egenskapen ved det komplekse dobbeltforholdet kan vises direkte ved å plassere origo i senteret til sirkelen hvor punktene ligger. Hver av koordinatene kan da skrives som *z* = *e**iφ* da sirkelens radius vil kansellere ut. Dermed blir

{\displaystyle (P\_{1},P\_{2};P\_{3},P\_{4})={(e^{i\phi \_{3}}-e^{i\phi \_{1}})(e^{i\phi \_{4}}-e^{i\phi \_{2}}) \over (e^{i\phi \_{3}}-e^{i\phi \_{2}})(e^{i\phi \_{4}}-e^{i\phi \_{1}})}={\sin {\phi \_{3}-\phi \_{1} \over 2}\sin {\phi \_{4}-\phi \_{2} \over 2} \over \sin {\phi \_{3}-\phi \_{2} \over 2}\sin {\phi \_{4}-\phi \_{1} \over 2}}}
Her er (*φ*3 - *φ*1)/2 periferivinkelen mellom punktene *P*1 og *P*3 og tilsvarende for de andre differansene. Dermed er dette resultatet i overensstemmelse med hva som ble funnet for fire sykliske punkt i euklidsk geometri.

Referanser
----------

1. 1 2  J. Stillwell, *The Four Pillars of Geometry*, Springer, New York (2005). ISBN 978-0-387-25530-9.
2. 1 2  R. Courant and H. Robbins, *What is Mathematics?*, Oxford University Press, New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.
3. 1 2 3  T.E. Faulkner, *Projective Geometry*, Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.
4. ↑  J. N. Cederberg, *A Course in Modern Geometries*, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.
5. ↑  D. Pedoe, *A Course of Geometry for Colleges and Universities*, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.
6. ↑  J.L. Coolidge, *A History of Geometrical Methods*, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-49524-8.

Eksterne lenker
---------------

* E. Weisstein, *Cross Ratio*, Wolfram MathWorld
* P. Pamfilos, *Cross Ratio*, Geometrikon, geometriske websider

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |