**Laplace-operator** er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon f skrives som regel som \nabla\cdot\nabla f, \nabla^2 f eller \Delta f, der \nabla er nabla-operatoren.

Definisjon
----------

Laplace-operatoren er en andreordens differensial operator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f.}
Merk at f må være to ganger deriverbar og at \nabla er definert ved:

{\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x\_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}\right).}

Forskjellige koordinatsystem
----------------------------

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

### To dimensjoner

I et **kartesisk koordinatsystem** er Laplace operatoren gitt ved

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
der {\displaystyle x} og {\displaystyle y} er standard kartesiske koordinater i {\displaystyle xy}-planet.

I et **polarkoordinatsystem** er Laplace operatoren gitt ved

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}
der r er avstand fra origo og \theta  er vinkel i forhold til det man vil kalle {\displaystyle x}-aksen i et kartesisk koordinatsystem.

### Tre dimensjoner

I et **kartesisk koordinatsystem** er Laplace operatoren gitt ved

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
der {\displaystyle x}, {\displaystyle y} og {\displaystyle z} er standard kartesiske koordinater i {\displaystyle xyz}-rommet.

I **sylinderkoordinater** er Laplace operatoren gitt ved

{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
der r er avstand fra origo til projeksjonen i {\displaystyle xy}-planet, \theta  er vinkel i forhold til det man vil kalle {\displaystyle x}-aksen i et kartesisk koordinatsystem, og {\displaystyle z} er høyden.

I **kulekoordinater** er Laplace operatoren gitt ved

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.}
der r er avstand fra origo og {\displaystyle (\theta ,\phi )} angir vinkelen.

Se også
-------

* Gradient
* Divergens
* Curl

Referanser
----------

1. ↑   Weisstein, Eric W. «Laplacian». Besøkt 15. september 2016.  *From MathWorld--A Wolfram Web Resource.*

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND **·** LCCN **·** NDL
 |