**Cauchy–Schwarz’ ulikhet** er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten
------------

For vektorer {\displaystyle \mathbf {u} =(u\_{1},u\_{2})} og {\displaystyle \mathbf {v} =(v\_{1},v\_{2})} i planet sier ulikheten at:

{\displaystyle |u\_{1}v\_{1}+u\_{2}v\_{2}|\leq {\sqrt {u\_{1}^{2}+u\_{2}^{2}}}{\sqrt {v\_{1}^{2}+v\_{2}^{2}}}}.
Generelt gjelder: For vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} i et reelt vektorrom med indreprodukt \cdot, eksempelvis 
det Euklidske n-rommet {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, er

{\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}.
Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{2}\right)\left(\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}^{2}\right)\geq \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}b\_{k}\right)^{2}}

Der elementene i følgende {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}}og {\displaystyle b\_{1},b\_{2},\dots ,b\_{n}}er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i *Course d’analyse* (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler
---------

### Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik {\displaystyle 0}, er veldefinert. Denne vinkelen \theta 
er spesifisert ved

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}} og {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }.
### Amplitude for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon {\displaystyle f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)}, hvor a og b er parametere.
Ved å se på {\displaystyle (a,b)} og {\displaystyle (\cos(x),\sin(x))} som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

{\displaystyle |f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
siden {\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}.

Bevis
-----

Dersom \mathbf{u} eller \mathbf{v} er lik {\displaystyle 0}, så er ulikheten opplagt.
Anta derfor at begge vektorene er ulik {\displaystyle 0}.

La {\displaystyle t} være en skalar, og se på vektoren {\displaystyle t\mathbf {u} +\mathbf {v} }. Vi har

{\displaystyle (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\geq 0}.
Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i {\displaystyle t}, får vi

{\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )t+\|\mathbf {v} \|^{2}\geq 0}.
Et annengradspolynom {\displaystyle at^{2}+bt+c} er større enn eller lik {\displaystyle 0} for alle {\displaystyle t} dersom
{\displaystyle a\geq 0} og diskriminanten {\displaystyle D=b^{2}-4ac} er mindre enn eller lik {\displaystyle 0}. I vårt tilfelle fås:

{\displaystyle (2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ))^{2}-4\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq 0}.
En rydder opp og ser at:

{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}}.
Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

{\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}.

Referanser
----------

Eksterne lenker
---------------

* Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |