**Abels konvergensteorem** i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene. Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem
------

La *a* = {*a**i*: *i* ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, 
og la

{\displaystyle G\_{a}(z)=\sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}z^{i}\!}
være potensrekken med koeffisientene *a*. Anta at rekken 
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}\!} konvergerer. Da

{\displaystyle \lim \_{z\rightarrow 1^{-}}G\_{a}(z)=\sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}.\qquad (\*)\!}
I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene *a**i*
er reelle og *a**i* ≥ 0 for alle *i*, vil uttrykket overfor
{\displaystyle (\*)} gjelde også når rekken {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}\!} ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av
uttrykket lik +∞.

Bemerkning
----------

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis *r* er et tilfeldig reelt tall ulik null
og rekken {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}r^{i}\!} konvergerer for dette tallet, da følger det at 

{\displaystyle \lim \_{z\to r}G\_{a}(z)=\sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}r^{i}\!}
forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, 
fra venstre hvis *r* er positiv og fra høyre hvis *r* er negativ.

Eksempler
---------

La {\displaystyle f(x)=\sum \_{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).} Da {\displaystyle \sum \_{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}} konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

{\displaystyle \lim \_{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum \_{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}

  

La {\displaystyle g(x)=\sum \_{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).} Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at {\displaystyle \sum \_{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} konvergerer, og at

{\displaystyle \lim \_{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum \_{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}

Anvendelsesområder
------------------

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. *z*) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius *R*, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

*G**a*(*z*) kalles den genererende funksjon for sekvensen *a*. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter
--------------------

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av *abelsk type* og av *tauberisk type*.

Eksterne lenker
---------------

* Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
* A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |