De første tusen leddene og delsummene av 1 − 2 + 3 − 4 + …
I matematikken er **1 − 2 + 3 − 4 + …** den uendelige rekken hvis ledd er de positive heltallene i økende rekkefølge, med alternerende fortegn. Summen av de *m* første leddene i rekken uttrykkes med summenotasjon som

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}
Den uendelige rekken divergerer, i den forstand at følgen av delsummene (1, −1, 2, −2, …) ikke går mot noen endelig grense. Ekvivalent sier man at 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum.

På tross av dette skrev Leonhard Euler på midten av 1700-tallet noe han innrømte var en paradoksal ligning:

{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}
En rigorøs forklaring på denne ligningen kom ikke før langt senere. Fra 1890 av satte Ernesto Cesàro, Émile Borel og andre igang undersøkelser av veldefinerte metoder for å utlede generaliserte summer til divergerende rekker – inkludert nye tolkninger av Eulers forsøk. Mange av disse summeringsmetodene leder greit til at 1 − 2 + 3 − 4 + … har en «sum» på 1/4 likevel. Cesàro-summering er én av få metoder som ikke summerer 1 − 2 + 3 − 4 + …, så denne rekken er et eksempel hvor en litt sterkere metode, som f.eks. abelsk summasjon, er nødvendig.

Rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … er nært relatert til Guido Grandis rekke 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler behandlet disse to som spesialtilfeller av 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + … for en vilkårlig *n*. Dette var en utvidelse av hans arbeid knyttet til Basel-problemet og ledet til funksjonalligningene vi nå kjenner for Riemanns zetafunksjon og Dirichlets etafunksjon.

Divergens
---------

Rekkens ledd (1, −2, 3, −4, …) nærmer seg ikke 0; derfor divergerer 1 − 2 + 3 − 4 + … ved en divergenstest. For senere bruk, vil det også være nyttig å se divergensen på et fundamentalt nivå. Per definisjon er konvergensen eller divergensen til en uendelig rekke bestemt ved konvergensen eller divergensen av dens følge med delsummer, og delsummene av 1 − 2 + 3 − 4 + … er:

1 = **1**,
1 − 2 = **−1**,
1 − 2 + 3 = **2**,
1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,
…
Denne følgen treffer hvert heltall én gang – til og med 0 dersom man regner med den tomme delsummen – og viser dermed at mengden {\displaystyle \mathbb {Z} } med heltall er tellbar. Den konvergerer åpenbart ikke mot et spesifikt tall, så 1 − 2 + 3 − 4 + … divergerer.

Heuristikk for summering
------------------------

### Stabilitet og linearitet

Siden leddene 1, −2, 3, −4, 5, −6, … følger et enkelt mønster, kan rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … manipuleres ved bytting og summeres ledd-for-ledd for å oppnå en numerisk verdi. Hvis man på en logisk måte kan skrive *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + … for et vanlig tall *s*, vil følgende manipulasjoner argumentere for *s* = 1/4:

{\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}

Ved å legge til 4 kopier av 1 − 2 + 3 − 4 + …, ved kun å bruke bytter og legge sammen ledd-for-ledd, blir svaret 1. Både venstre- og høyresiden viser to kopier av 1 − 2 + 3 − 4 + … tillagt 1 − 1 + 1 − 1 + …. Så {\displaystyle s={\frac {1}{4}}}. Denne utledningen vises grafisk på bildet til høyre.

Selv om 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum i egentlig forstand, kan ligningen *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 bli støttet som det mest naturlige svaret, dersom en slik sum skal defineres. En generalisert definisjon av «summen» av en divergent rekke blir kalt *summemetoden* eller *summabilitetsmetoden*, som summerer noen delmengder av alle mulige rekker. Det finnes mange forskjellige metoder (noen av disse blir forklart nedenfor). Disse karakteriseres ved hvilke egenskaper de har til felles med normal summering. De ovenstående manipulasjonene beviser følgende: Gitt en hvilken som helst summemetode som er lineær og stabil og som summerer rekken 1 − 2 + 3 − 4 + …, så vil summen bli 1/4. Videre, siden

{\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)\\{\frac {1}{2}}&=&&1-1+1-1\cdots \\\end{array}}}

må en slik metode også summere Grandis rekke som 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2.

### Cauchy-produkt

I 1891 uttrykte Ernesto Cesàro håp om at divergente rekker ville bli ledet mot infinitesimalregning, og påpekte at «Man skriver allerede (1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … og hevder at begge sidene er lik 1/4.» For Cesàro var denne ligningen en anvendelse av et teorem som han hadde offentliggjort året før, som kanskje var det første teoremet i summerbare divergerende rekkers historie. Detaljene rundt summeringsmetoden vises under; den grunnleggende tanken er at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … med 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Cauchy-produktet av to uendelige rekker defineres selv om begge divergerer. I dette tilfellet, hvor Σ*a**n* = Σ*b**n* = Σ(−1)*n*, er leddene i Cauchy-produktet gitt ved de endelige diagonale summene

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c\_{n}&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}}
Produktrekken er da

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .}
Derfor vil en summeringsmetode som tar hensyn til Cauchy-produktet av to rekker og summer 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2, også summere 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4. Med resultatet fra forrige avsnitt, impliserer dette en ekvivalens mellom summabiliteten av 1 − 1 + 1 − 1 + … og 1 − 2 + 3 − 4 + … med metoder som er lineære, stabile og som respekterer Cauchy-produktet.

Cesàros teorem er et spissfindig eksempel. Rekken 1 − 1 + 1 − 1 + … er Cesàro-summerbar i svakeste forstand, kalt (C, 1)-summerbar, mens 1 − 2 + 3 − 4 + … krever en sterkere form av Cesàros teorem, siden den er (C, 2)-summerbar. Siden alle formene av Cesàros teorem er lineære og stabile, blir verdien av summene akkurat som utregnet.

Spesifikke metoder
------------------

### Cesàro og Hölder

Grafisk visning av (H, 2) summen av 1/4
For å finne (C, 1) Cesàro-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + …, dersom den eksisterer, må man regne ut det aritmetiske gjennomsnittet av delsummene i rekken.
Delsummene er

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,
og de aritmetiske gjennomsnittene av disse delsummene er

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ….
Denne følgen av gjennomsnitt konvergerer ikke, så 1 − 2 + 3 − 4 + … er ikke Cesàro-summerbar.

Det eksisterer to velkjente generaliseringer av Cesàro-summering: den konseptuelt enkleste av disse er følgen av (H, *n*)-metoder for naturlige tall *n*. (H, 1)-summen er Cesàro-summering, og høyere metoder gjentar utregningen av gjennomsnitt. Over konvergerer de like gjennomsnittene mot 1/2, alle de andre gjennomsnittene er lik 0, så gjennomsnittene *av* gjennomsnittene konvergerer mot middelverdien av 0 og 1/2, som er 1/4. Så 1 − 2 + 3 − 4 + … er (H, 2) summerbar til 1/4.

«H» står for Otto Hölder, som først beviste i 1882 hva matematikere nå anser som sammenhengen mellom Abel-summasjon og (H, *n*)-summering; 1 − 2 + 3 − 4 + … var hans første eksempel. Det at 1/4 er (H, 2)-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + … garanterer at det også er den abelske summen; dette vil også bli direkte bevist nedenfor.

Den andre vanlige generaliseringen av Cesàro-summeringen er følgen av (C, *n*)-metoder. Det har blitt bevist at (C, *n*)-summering og (H, *n*)-summering alltid gir samme resultat, men de har forskjellige historiske bakgrunner. I 1887 var Cesàro nær en definisjon på (C, *n*) summeringen, men han ga bare noen få eksempler. I hovedsak; han summerte 1 − 2 + 3 − 4 + …, til 1/4 med en metode som kan omskrives til (C, *n*), men som ikke var godtatt på den tiden. Han definerte formelt (C, n) metoder i 1890, for å kunne underbygge sitt teorem om at Cauchy-produktet av en (C, *n*)-summerbar rekke og en (C, *m*)-summerbar rekke er (C, *m* + *n* + 1)-summerbar.

### Abelsk summasjon

Noen deler av 1−2*x*+3*x*2+…; 1/(1 + *x*)2; og grenser ved 1
I et skriv fra 1749 innrømmer Leonhard Euler at rekken divergerer, men forbereder seg på å summere den likevel:

«...når det blir sagt at summen av denne rekken 1−2+3−4+5−6 etc. er 1/4, må det se paradoksalt ut. For ved å addere 100 ledd i denne rekken får vi −50, og likevel, summen av 101 ledd gir +51, noe som er ganske forskjellig fra 1/4, og den blir enda større når man øker antall ledd. Men jeg har tidligere lagt merke til at det er nødvendig å gi ordet *sum* en mer utfyllende mening….»

Euler ba om en generalisering av ordet «sum» flere ganger. I tilfeller av 1 − 2 + 3 − 4 + …, er ideene hans like med det vi idag kjenner som abelsk summasjon:

«...det er ikke lenger tvil om at summen av denne rekken 1−2+3−4+5 + etc. er 1/4, siden det kommer fra utvidelsen av formelen 1/(1+1)2 som unektelig har en verdi på 1/4. Dette blir klarere hvis man tar for seg den generelle rekken 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + 5*x*4 − 6*x*5 + *&c.* som kommer frem når man utvider uttrykket 1/(1+*x*)2, som denne rekken definitivt er lik med, etter at vi setter *x* = 1.»

Det finnes mange måter å se at, spesielt for absoluttverdier |*x*| < 1, har Euler rett i at

{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}
Man kan ta taylorrekken av høyresiden, eller foreta vanlig polynomdivisjon. Ved å starte på venstresiden, kan man følge den typiske heuristikken ovenfor og prøve å multiplisere to ganger med (1+*x*) eller å ta kvadratroten av den geometriske rekken 1 − *x* + *x*2 − …. Euler ser også ut til å foreslå derivasjon av den siste rekken, ledd for ledd.

Sett fra et moderne ståsted, definerer ikke rekken 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + … en funksjon ved *x* = 1, så den verdien kan ikke omgjøres til det resulterende uttrykket. Siden funksjonen er definert for alle |*x*| < 1, kan man likevel ta grenseverdien når *x* går mot 1, og dette er definisjonen av den abelske summen:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 1^{-}}\sum \_{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim \_{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}
### Euler og Borel

Euler-summering av 1/2 − 1/4
Euler innførte en annen teknikk for rekken som vanligvis omtales som en « Euler-transformasjon». Den består i å begynne med følgen med positive ledd som skaper de alternerende rekkene — i dette tilfellet 1, 2, 3, 4, …. Det første elementet i denne følgen er merket *a*0.

I neste omgang trenger følgen av fremtidige differanser i 1, 2, 3, 4, …; dette er bare 1, 1, 1, 1, …. Det første elementet i *denne* følgen er merket Δ*a*0. Euler-transformasjonen avhenger også av differanser *av* differanser, og høyere gjentakelser, men alle fremtidige differanser i 1, 1, 1, 1, … er 0. Euler-transformasjonen av 1 − 2 + 3 − 4 + … er dermed definert som 

{\displaystyle {\frac {1}{2}}a\_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a\_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a\_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}
I moderne terminologi sier man at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Euler-summerbar med 1/4.

Euler-summeringen impliserer også en annen type summering. Ved å skrive 1 − 2 + 3 − 4 + … som

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}
har man en relatert, «evig-konvergent» rekke

{\displaystyle a(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).}
Borel-summering av 1 − 2 + 3 − 4 + … er derfor

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}
### Separering av skalaer

Saichev og Woyczyński havner på 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 ved å bruke to fysiske lover: *infinitesimalsk avslapping* og *separering av skalaer*. Altså leder disse lovene dem til definisjonen av et bredt system som "*φ*-summeringsmetoder", hvor alle summerer rekken til 1/4:

* Dersom *φ*(*x*) er en funksjon med første- og annenderiverte som er kontinuerlige og integrerbare for (0, ∞), slik at φ(0) = 1 og grenseverdiene til φ(*x*) og *x*φ(*x*) ved +∞ begge er 0, da er

{\displaystyle \lim \_{\delta \downarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}
Dette resultatet generaliserer Abel-summeringen, som kan finnes ved å la *φ*(*x*) = exp(−*x*). Det generelle uttrykket kan finnes ved å sette leddene i par i en rekke over *m* og konvertere uttrykket til et Riemann-integral. For det sistnevnte, vil det tilsvarende beviset for 1 − 1 + 1 − 1 + … gi oss middelverditeoremet, men her trenger man sterkere Lagrange-form av Taylors teorem.

Generaliseringer
----------------

Euler summerer lignende rekker i *Institutiones* fra 1755
Det tredoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 3 + 6 − 10 + …, den alternerende rekken av trekanttall; dens Abel- og Euler-sum er 1/8. Det firedoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 4 + 10 − 20 + …, den alternerende rekken av tetraedriske tall, som har en Abel-sum på 1/16.

En annen generalisering av 1 − 2 + 3 − 4 + … i en litt annen retning er rekken 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + … for andre verdier av *n*. For positive heltall *n*, har rekken følgende Abel-summer:

{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B\_{n+1}}
hvor *B**n* er Bernoulli-tallene. For *n* i partall, reduseres denne til

{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.}
Denne siste summen ble latterliggjort av Niels Henrik Abel i 1826:

«Divergente rekker er djevelens verk, og det er en skam at noen tør å skape eller bevise dem. Man kan få hva man ønsker ut av dem, dersom man bruker dem, og de har skapt masse ulykke og mange paradokser. Kan man komme på noe mer forferdelig enn å si at
0 = 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + etc.
hvor *n* er et positivt tall. Dette er noe å le av, mine venner.»
Cesàros lærer, Eugène Charles Catalan, pratet også nedsettende om divergente rekker. Påvirket av Catalan, refererte Cesàro først til de «konvensjonelle formlene» for 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + … som «absurde likheter», og i 1883 uttrykte Cesàro et typisk synspunkt på den tiden, om at formlene var falske, men merkelig nok likevel nyttige. Til slutt, i hans *Sur la multiplication des séries* fra 1890, tok Cesàro en moderne tilnærming som startet med definisjoner.

Rekken blir også undersøkt for verdier av *n* som ikke er heltall; disse utgjør Dirichlets etafunksjon. Deler av Eulers motivasjon for å undersøke rekker som er relatert til 1 − 2 + 3 − 4 + … var funksjonalligningen for etafunksjonen, som leder direkte til funksjonalligningen for zetafunksjonen. Euler hadde allerede blitt kjent for å finne verdiene av disse funksjonene for positive partall (inkludert Basel-problemet), og han prøvde å finne verdiene av positive oddetall (inkludert Apérys konstant), et problem som fortsatt er unnvikende. Spesielt eta-funksjonen er lettere å hanskes med i Eulers metoder, siden dens Dirichlet-rekker er Abel-summerbare overalt; zeta-funksjonens Dirichlet-rekke er mye vanskeligere å summere der den divergerer. For eksempel, motparten av 1 − 2 + 3 − 4 + … i zeta-funksjonen er den ikke-alternerende rekken 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, som har store anvendelsesområder i moderne fysikk, men krever kraftigere metoder for å summere.

Referanser
----------

1. ↑  Hardy p.8
2. ↑  Beals p.23
3. ↑  Hardy (p.6) presenterer denne utledelsen i forbindelse med evalueringen av Grandis rekke 1 − 1 + 1 − 1 + ….
4. ↑  Ferraro, p.130.
5. ↑  Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
6. ↑  Hardy, p.9. For den detaljerte utregningen, se Weidlich, pp.17–18.
7. ↑  Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro kritiserer Tucciarones forklaring (p.7) om hva Hölder selv mente om det generelle resultatet, men de to forfatternes forklaringer av Hölders behandling av 1 − 2 + 3 − 4 + … er like.
8. ↑  Ferraro, pp.123–128.
9. ↑  Euler et al, p.2. Selv om dette ble skrevet i 1749, ble det ikke gitt ut før i 1768.
10. ↑  Euler et al, pp.3, 25.
11. ↑  For eksempel; Lavine (p.23) forsvarer lang divisjon, men fullfører ikke; Vretblad (p.231) regner ut Cauchy-produktet. Eulers tips er vagt; se Euler et al, pp.3, 26. John Baez foreslår til og med en kategoriteoretisk metode som involverer «pointed sets» og «quantum harmonic oscillator». Baez, John C. Eulers bevis for at 1 + 2 + 3 + … = - 1/12 (PDF). Arkivert 13. oktober 2017 hos Wayback Machine. math.ucr.edu (19. desember 2003). Hentet ut 11. mars 2007.
12. ↑  Weidlich p. 59
13. ↑  Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
14. ↑  Kline, p.313.
15. ↑  Knopp, p.491; there appears to be an error at this point in Hardy, p.3.
16. ↑  Grattan-Guinness, p.80. Se Markushevich, p.48, for en annerledes oversettelse fra den franske originalen; tonen forblir den samme.
17. ↑  Ferraro, pp.120–128.
18. ↑  Euler et al, pp.20–25.

Litteratur
----------

* (en) Beals, Richard (2004). *Analysis: an introduction*. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
* (en) Davis, Harry F. (1989). *Fourier Series and Orthogonal Functions*. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
* (en) Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). «Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series». The Euler Archive. Besøkt 22. mars 2007. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link) Opprinnelig publisert som Euler, Leonhard (1768). «Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques». *Memoires de l'academie des sciences de Berlin*. 17: 83–106.
* (en) Ferraro, Giovanni (1999). «The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics». *Archive for History of Exact Sciences*. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
* (en) Grattan-Guinness, Ivor (1970). *The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann*. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
* (en) Hardy, G.H. (1949). *Divergent Series*. Clarendon Press.
* (en) Kline, Morris (1983). «Euler and Infinite Series». *Mathematics Magazine*. 56 (5): 307–314.
* (en) Lavine, Shaughan (1994). *Understanding the Infinite*. Harvard UP. ISBN 0674920961.
* (en) Markushevich, A.I. (1967). *Series: fundamental concepts with historical exposition* (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian utg.). Hindustan Pub. Corp.
* (en) Saichev, A.I. and W.A. Woyczyński (1996). *Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1*. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
* (en) Tucciarone, John (1973). «The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925». *Archive for History of Exact Sciences*. 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
* (en) Vretblad, Anders (2003). *Fourier Analysis and Its Applications*. Springer. ISBN 0387008365.
* (en) Weidlich, John E. (1950). *Summability methods for divergent series*. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.

Eksterne lenker
---------------

* Om rekker og uendelige rekker fra Wolfram's Mathworld (engelsk)