Sammenligning av fakultetsfunksjonen med tilnærmingen gitt ved Stirlings formel.
**Stirlings formel** er en approksimasjon til fakultetsfunksjonen for store verdier av argumentet oppkalt etter den skotske matematiker James Stirling. Mest vanlig er det å skrive formelen uttrykt ved logaritmefunksjonen på den korte formen

{\displaystyle \ln n!=n\ln n-n}
hvor man utelater termer av størrelsesorden ln *n*. Ekvivalent kan man derfor skrive at *n* ! = *nn e-n*.

Navnet på denne formelen er til en viss grad misvisende da den først ble funnet av den franske matematiker Abraham de Moivre som viste at

{\displaystyle n!=Cn^{n+1/2}e^{-n}}
hvor *C* er en numerisk konstant med en verdi av størrelsesorden en. Det var Stirling som klarte å beregne denne konstanten og fant *C* = √(2*π* ) = 2,5066... I de aller fleste tilfeller av praktisk betydning er resultatet til de Moivre mer enn godt nok.

Enkel utledning
---------------

Fra definisjonen for  *n* fakultet har man at

{\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\dots +\ln n}
Når argumentet *n* er stort, kan man nå erstatte summasjonen med en integrasjon,

{\displaystyle \ln n!=\int \_{1}^{n}\!dx\ln x=\left|x\ln x-x\right|\_{1}^{n}=n\ln n-n+1}
Det siste ett-tallet her kan neglisjeres i denne approksimasjonen hvor *n* er mye større enn 1.

Systematisk utledning
---------------------

En mer nøyaktig utledning av formelen kan finnes ved bruk av gammafunksjonen til Euler. Den tilsier at

{\displaystyle n!=\int \_{0}^{\infty }\!dx\,x^{n}e^{-x}}
Nå kan man skrive at *xn* = e*n* ln*x* slik at integralet er på formen

{\displaystyle I=\int \_{0}^{\infty }\!dxe^{-f(x)}}
med *f(x)* = *x* - *n* ln*x*. Denne funksjonen har et minimum for *x*0 = *n* og antar positive verdier for større verdier av argumentet og når dette nærmer seg null. Verdien av integralet er derfor med stor nøyaktighet bestemt av hvordan funksjonen *f(x)* varierer rundt *x*0. Dette kommer frem fra en Taylor-utvikling av funksjonen rundt dette punktet,

{\displaystyle f(x)=f(x\_{0})+f'(x\_{0})(x-x\_{0})+{1 \over 2}f''(x\_{0})(x-x\_{0})^{2}+\cdots }
Da *f(x)* har et minimum for *x = x0* , er den førstederiverte *f' (x0)* = 0. Første, ikke-trivielle ledd i Taylor-utviklingen er da gitt verd den andrederiverte *f" (x0)*. Ser vi i denne omgang bort fra høyere ordens ledd, er derved integralet gitt ved

{\displaystyle I=e^{-f(x\_{0})}\int \_{0}^{\infty }\!dxe^{-(1/2)f''(x\_{0})(x-x\_{0})^{2}}}
I denne tilnærmelsen kan vi nå med tilsvarende nøyaktighet ta den nedre integrasjonsgrensen til - ∞ slik at integralet antar formen

{\displaystyle I\_{0}=\int \_{-\infty }^{\infty }\!dxe^{-(1/2)ax^{2}}={\sqrt {2\pi \over a}}}
som bærer navnet Gauss-integralet. 

For funksjonen *f(x)* som opptrer her, er *f(x0) = n - n* ln*n* og *f" (x0)* = 1/*n*. Dermed oppnås resultatet

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}}
og kan med rette kalles **Stirlings formel**. Konstanten *C* som han regnet ut, er ikke noe annet enn verdien av integralet til Gauss.

Denne metoden tillater også beregning av høyere ordens korreksjoner til formelen. Tar man med neste ledd i Taylor-utviklingen som ble benyttet, finner man

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}\left(1+{1 \over 12n}\right)}
Her kan man nå benytte at 1 + 1/12*n* ≈ √(1 + 1/6*n*) som tillater å skrive formelen på formen

{\displaystyle n!=\left({n \over e}\right)^{n}{\sqrt {{\big (}2n+1/3{\big )}\pi }}}
Den er nå nøyaktig selv for små verdier av argumentet *n*. Ved å sette inn numeriske verdier, finner man at for *n* > 2 gir den et resultat som har en nøyaktighet bedre enn 0,1 %. For større verdier av *n*, blir nøyaktigheten tilsvarende enda bedre.

Eksterne lenker
---------------

* Stirlings Approximation in MathWorld

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |