Illustrasjon av hvordan verdiene til den sfærisk harmoniske funksjonen *Y*ℓ*m*(*θ,φ*)  for ℓ = 3 varierer på kuleflaten.
**Sfærisk harmoniske funksjoner** er spesielle funksjoner definert på overflaten til en kule. De kalles derfor ofte for **kuleflatefunksjoner**. Når Laplace-operatoren uttrykkes i kulekoordinater, er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange partielle differensialligninger. Dette gjelder også for løsninger av Schrödinger-ligningen slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til atomer og molekyler.

Trigonometriske funksjoner er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av Laplace-ligningen når denne uttrykkes i kartesiske koordinater *x*, *y* og *z*. Løsningene av denne ligningen er da homogene polynom i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i kulekoordinater *r*, *θ* og *φ* som også omtales som «sfæriske koordinater».

Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av rotasjonsgruppen SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved kvantisering av dreieimpuls i kvantemekanikken.

Definisjon
----------

De kartesiske koordinatene *x*, *y* og *z* kan uttrykkes ved kulekoordinater {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} som {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,} {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi } og {\displaystyle z=r\cos \theta .} Laplace-operatoren i tre dimensjoner tar dermed formen 

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}&={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\\&={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{2 \over r}{\partial \over \partial r}+{1 \over r^{2}}\!\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]\end{aligned}}}
Løsninger av Laplace-ligningen {\displaystyle \nabla ^{2}F(x,y,z)=0} kan da skrives som et produkt {\displaystyle F(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )} av en radiell del og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den partielle differensialligningen

{\displaystyle \left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )=-\ell (\ell +1)Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )}
hvor ℓ er et heltall. Samtidig må indeksen *m* ligge i intervallet - ℓ ≤ *m* ≤ ℓ og tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.

Beregning
---------

Grafisk fremstilling av realdelen til de første kuleflate-funksjonene. Rødt og grønt indikerer positive eller negative verdier, mens avstand fra origo angir størrelsen.
Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,

{\displaystyle Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )=\Theta \_{\ell m}(\theta )\Phi \_{m}(\phi )}
Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er

{\displaystyle {d^{2} \over d\phi ^{2}}\Phi \_{m}+m^{2}\Phi \_{m}=0}
som har løsninger av formen {\displaystyle \Phi \_{m}(\phi )=e^{im\phi }} eller reelle kombinasjoner av to slike. For at {\displaystyle \Phi \_{m}(\phi )=\Phi \_{m}(\phi +2\pi ),} må *m* være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle

{\displaystyle {1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta \,{d\Theta \_{\ell m} \over d\theta }\right)+{\Big [}\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\Big ]}\Theta \_{\ell m}=0}
Denne differensialligningen definerer de assosierte Legendre-polynomene {\displaystyle P\_{\ell }^{m}(\cos \theta ).} På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som

{\displaystyle Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P\_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi },\quad -\ell \leq m\leq \ell }
når de normeres ved integralet

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }\!d\phi \!\int \_{0}^{\pi }\!d\theta \sin \theta \,Y\_{lm}^{\*}(\theta ,\phi )\,Y\_{l'm'}(\theta ,\phi )=\delta \_{l\,l'}\,\delta \_{mm'}}
over hele kuleflaten. Da funksjonene er komplekse, er her konvensjonen

{\displaystyle Y\_{\ell m}^{\*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y\_{\ell ,-m}(\theta ,\phi )}
benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.

### Eksempel

De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:

| *Y*ℓ*m* | ℓ = 0 | ℓ = 1 | ℓ = 2 | ℓ = 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *m* = −3 |  |  |  | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3\mathrm {i} \phi }} |
| *m* = −2 |  |  | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2\mathrm {i} \phi }} |
| *m* = −1 |  | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-\mathrm {i} \phi }} |
| *m* = 0 | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)} |
| *m* = 1 |  | {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{\mathrm {i} \phi }} |
| *m* = 2 |  |  | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2\mathrm {i} \phi }} | {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2\mathrm {i} \phi }} |
| *m* = 3 |  |  |  | {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3\mathrm {i} \phi }} |

Noen egenskaper
---------------

På en kuleflate med koordinater {\displaystyle \theta ,\phi } danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon {\displaystyle f(\theta ,\phi )} kan utvikles i en uendelig rekke som

{\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum \_{\ell =0}^{\infty }\sum \_{m=-\ell }^{\ell }C\_{\ell m}\,Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )}
hvor koeffisientene *C*ℓ*m* kan finnes fra integralet

{\displaystyle C\_{\ell m}=\int \_{0}^{2\pi }\!d\phi \int \_{0}^{\pi }\!d\theta \,\sin \theta \,f(\theta ,\phi )Y\_{\ell m}^{\*}(\theta ,\phi )}
Dette tilsvarer å utvikle en funksjon på sirkelen som en uendelig Fourier-rekke med ledd som involverer de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.

### Addisjonsteorem

En variant av den vanlige cosinussetningen i planet eksistrer også på en kuleflate med sfærisk geometri. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren **n** i retning punktet (*θ*, *φ*). For to forskjellige retninger **n** og **n'** som danner vinkelen *γ*, gjelder da setningen

{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '=\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}
Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen

{\displaystyle P\_{\ell }(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ')={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \_{m=-\ell }^{\ell }Y\_{\ell m}(\mathbf {n} )\,Y\_{\ell m}^{\*}(\mathbf {n} ')}
med Legendre-polynom. Den kalles for *addisjonsteoremet* for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.

Kvantemekanikk
--------------

En partikkel i posisjon **r** og med impuls **p** har i klassisk mekanikk dreieimpulsen **L** = **r** × **p**. I en kvantemekanisk beskrivelse blir impulsen erstattet med en operator **p** → -*iħ* **∇** der *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator

{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times {\boldsymbol {\nabla }}}
Den kan kvantiseres ved bruk av komponentene {\displaystyle {\hat {L}}\_{\pm }={\hat {L}}\_{x}\pm i{\hat {L}}\_{y}} sammen med {\displaystyle {\hat {L}}\_{z}=-i\hbar (x\partial \_{y}-y\partial \_{x}).} Ved bruk av kulekoordinater tar disse tre operatorene formen

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}\_{\pm }&=\hbar \,e^{\pm i\phi }\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\{\hat {L}}\_{z}&=-i\hbar {\partial \over \partial \phi }\end{aligned}}}
Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&={\hat {L}}\_{-}{\hat {L}}\_{+}+{\hat {L}}\_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}\_{z}\\&=-\hbar ^{2}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]\end{aligned}}}
Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}} og {\displaystyle {\hat {L}}\_{z},}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y\_{\ell m}&=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y\_{\ell m}\\{\hat {L}}\_{z}Y\_{\ell m}&=\hbar mY\_{\ell m}\end{aligned}}}
Indeksen ℓ er derfor et kvantetall som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen *m* samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs *z*-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre magnetfelt, kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».

### Rotasjonsmatriser

En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en ketvektor {\displaystyle |\ell ,m\rangle .} De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som bølgefunksjoner

{\displaystyle Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle }
i en posisjonsbasis dannet av punkter på kuleflaten. En rotasjon av dette koordinatsystemet er nå gitt ved den kvantemekaniske rotasjonsoperatoren

{\displaystyle {\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})=e^{-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {L} }}/\hbar }}
hvor **α** = (*α*,*β*,*γ*) er de tre eulervinklene som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra

{\displaystyle {\begin{aligned}Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )&=\langle \theta ',\phi '|{\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})|\ell ,m\rangle \\&=\sum \_{m'=-\ell }^{\ell }Y\_{\ell m'}(\theta ',\phi ')D\_{m'm}^{(\ell )}({\boldsymbol {\alpha }})\end{aligned}}}
etter å ha innført rotasjonsmatrisene 

{\displaystyle D\_{m'm}^{(\ell )}({\boldsymbol {\alpha }})=\langle \ell ,m'|{\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})|\ell ,m\rangle }
til Eugene Wigner. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har dimensjon (2ℓ +1)×(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en tredimensjonal vektor.

Se også
-------

* Laplace-ligning
* Legendre-polynom
* Kvantisert dreieimpuls

Referanser
----------

1. 1 2   J. Mathews and R.L. Walker, *Mathematical Methods of Physics*, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
2. ↑   M. Abramowitz and I.A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, Dover, New York (1972).
3. ↑   M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
4. 1 2   E.S. Abers, *Quantum Mechanics*, Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.

Eksterne lenker
---------------

* H. Haber, *The Spherical Harmonics*, Phys. 116C, UC Santa Cruz (2012).
* Professor M, *The Spherical Harmonics*, YouTube video
* R.G. Littlejohn, *Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics*, Physics 221A , UC Berkeley (2019).