De Moivres formel er en direkte konsekvens av Eulers formel i det komplekse planet.
**De Moivres formel** er et matematisk uttrykk som forbinder komplekse tall med trigonometri. Den sier at for hvert reelt tall *x* og heltall *n* har man sammenhengen

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx}
hvor *i* er den imaginær enhet, det vil si *i*2 = -1.

En indirekte utgave av formelen ble først publisert av Abraham de Moivre på begynnelsen av 1700-tallet, men ble mer systematisk formulert av Leonhard Euler noen tiår senere. Den er da en direkte konsekvens av Eulers formel {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} og egenskapen {\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{inx}} til eksponentialfunksjonen.

Formelen kan utvides til å gjelde for det mer generelle tilfellet der *n* er et rasjonalt tall. Den man da benyttes til å beregne *n*-te enhetsrøtter, det vil si komplekse løsninger av ligningen *z**n* = 1. Historisk har disse spilt en viktig rolle innen tallteori.

Noen anvendelser
----------------

Når *n* = 2 sier formelen at

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos ^{2}x+2i\sin x\cos x-\sin ^{2}x=\cos 2x+i\sin 2x}
Ved å sammenligne de reelle og imaginære leddene på begge sider, finner man sammenhengene

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\\\sin 2x&=2\sin x\cos x\end{aligned}}}
De er to av de viktigste, trigonometriske identitetene.

På samme måte kan binomialformelen benyttes for *n* = 3 og gir

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{3}=\cos ^{3}x+3i\sin x\cos ^{2}x-3\sin ^{2}x\cos x-i\sin ^{3}x=\cos 3x+i\sin 3x}
Nå betyr dette at

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3x&=4\cos ^{3}x-3\cos x\\\sin 3x&=3\sin x-4\sin ^{3}x\end{aligned}}}
som man finner etter å ha benyttet Pythagoras' setning {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.} Slik kan man fortsette og finne uttrykk for {\displaystyle \sin nx} og {\displaystyle \cos nx} ved enklere, trigonometriske funksjoner.

### Enhetsrøtter

De tre enhetsrøttene i det komplekse planet for *n* = 3.
Da cos*nφ* = 1 og sin*nφ* = 0 når *φ* = 2*π k*/*n* når både *k* og *n* er heltall, gir de Moivres formel at løsningene til ligningen *z**n* = 1 med *z* = cos*φ* + *i* sin*φ* er gitt som

{\displaystyle z=\cos {2\pi k \over n}+i\sin {2\pi k \over n}}
Det finnes *k* slike forskjellige røtter som er verdiene til disse komplekse tallene for *k* = 0,1,2,..*n* - 1. I det komplekse planet tilsvarer de en oppdeling av enhetssirkelen i *n* like store deler. Ligningen omtales derfor også som *sirkeldelingsligningen*.

Enhetsrøttene spiller en avgjørende rolle ved løsning av mer generelle polynomligning. For eksempel gjorde Niels Henrik Abel bruk av dem i forbindelse med løsninger av femtegradsligningen. Galois-teori sier at de alle kan reduseres til de tre basale regneartene, det vil si addisjon, multiplikasjon og rotuttrekning.

Referanser
----------

1. ↑   T. Lindstrøm, *Kalkulus*, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.
2. 1 2   J. Reed og J. Aarnes, *Matematikk i vår tid: En introduksjon*, Universitetsforlaget, Oslo (1967).

Litteratur
----------

* A. de Moivre, *De sectione anguli*, Phil. Trans. **32**(374), 228–230 (1723).
* L. Euler, *Introductio in analysin infinitorum*, Vol I, Kap.8, §133 (1748).

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** MathWorld
 |