**Greens teorem** uttrykker en sammenheng mellom et integral i planet langs en lukket kurve og et integral over flaten som kurven omslutter. For to vilkårlige, men glatte funksjoner {\displaystyle P=P(x,y)} og {\displaystyle Q=Q(x,y)} kan det skrives som 

{\displaystyle \oint \_{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint \_{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
hvor *C* = ∂*D* er randen eller omkretsen til flaten *D*. Det er en enkel utgave av det mer generelle Stokes' teorem for det spesielle tilfelle at den lukkete kurven ligger i et plan.

Teoremet har sitt navn fra den engelske matematiker George Green som levde på begynnelsen av 1800-tallet. Han skrev et stort arbeid som ble publisert i 1828 med mange viktige resultat innen vektoranalysen, men ikke noe om dette spesielle teoremet. Derimot gjorde han bruk av divergensteoremet som derfor ofte bærer hans navn i tillegg til Gauss' navn. Greens teorem kan betraktes som divergensteoremet i et plan.
Flere år senere benyttet Cauchy teoremet i forbindelse med komplekse integrasjoner i planet. Først i 1851 ga Riemann et bevis for det.

Todimensjonalt divergensteorem
------------------------------

Betrakter man et vektorfelt **F** = (*Q*, -*P* ) i et todimensjonalt plan der *Q* = *Q*(*x,y*) og *P* = *P*(*x,y*), sier divergensteoremet at

{\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,ds=\int \_{D}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \,dA}
hvor **n** er en normalvektor til kurven *C* = ∂*D* som er randen eller omkretsen til flaten *D*. For et differensielt linjeelement {\displaystyle d\mathbf {s} =(dx,dy)} vil da {\displaystyle \mathbf {n} \,ds=(dy,-dx)} da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dermed blir

{\displaystyle \oint \_{C}(P\,dx+Q\,dy)=\int \_{D}\left({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}\right)dx\,dy}
som er Greens teorem.

Et lengre bevis
---------------

Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

{\displaystyle \oint \_{\partial R}Pdx+Qdy=\iint \_{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy}

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

{\displaystyle \iint \_{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\iint \_{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy-\iint \_{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy}

Siden R er et rektangel lar vi {\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}, betrakt først integralet:

{\displaystyle \iint \_{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy=\int \_{a}^{b}\int \_{c}^{d}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dxdy=\int \_{c}^{d}(\int \_{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy}

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

{\displaystyle \int \_{c}^{d}(\int \_{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy=\int \_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy}

Og for {\displaystyle -\iint \_{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy} får vi at 

{\displaystyle -\iint \_{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy=-\int \_{a}^{b}(\int \_{c}^{d}{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}dy)dx=-\int \_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx}

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

{\displaystyle \iint \_{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\int \_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy-\int \_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx}

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

{\displaystyle C\_{1},C\_{2},C\_{3},C\_{4}}

Vi kan parametrisere den første kurven med 

{\displaystyle \alpha (t)=(t,c)} hvor {\displaystyle t\in [a,b]}

den andre kurven med

{\displaystyle \beta (t)=(b,t)} hvor {\displaystyle t\in [c,d]}

den tredje kurven med

{\displaystyle \gamma (t)=(b+a-t,d)} hvor {\displaystyle t\in [a,b]}

og til slutt:

{\displaystyle \delta (t)=(a,d+c-t)} med {\displaystyle t\in [c,d]}

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

{\displaystyle \oint \_{\partial R}Pdx+Qdy=\oint \_{\cup \_{i=1}^{4}C\_{i}}Pdx+Qdy=\sum \limits \_{j=1}^{4}\oint \_{C\_{i}}Pdx+Qdy}

Vi betrakter først

{\displaystyle \sum \limits \_{j=1}^{4}\oint \_{C\_{i}}P(x,y)dx=\oint \_{C\_{1}}P(x,y)dx+\oint \_{C\_{2}}P(x,y)dx+\oint \_{C\_{3}}P(x,y)dx+\oint \_{C\_{4}}P(x,y)dx}

Vi ser umiddelbart at integralene over {\displaystyle C\_{2}} og {\displaystyle C\_{4}} vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

{\displaystyle \sum \limits \_{j=1}^{4}\oint \_{C\_{i}}P(x,y)dx=\oint \_{C\_{1}}P(x,y)dx+\oint \_{C\_{3}}P(x,y)dx}

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at 

{\displaystyle \oint \_{C\_{1}}P(x,y)dx+\oint \_{C\_{3}}P(x,y)dx=\int \_{a}^{b}P(t,c)dt-\int \_{a}^{b}P(b+a-t,d)dt}

{\displaystyle \int \_{a}^{b}P(t,c)dt-\int \_{a}^{b}P(b+a-t,d)dt=\int \_{a}^{b}P(t,c)dt-\int \_{a}^{b}P(t,d)dt}

{\displaystyle \int \_{a}^{b}P(t,c)dt-\int \_{a}^{b}P(t,d)dt=\int \_{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt}

Ser vi på {\displaystyle \sum \limits \_{j=1}^{4}\oint \_{C\_{i}}Q(x,y)dy} observerer vi at integralene over {\displaystyle C\_{1}} og {\displaystyle C\_{3}} blir null. Vi får derfor at

{\displaystyle \oint \_{C\_{2}}Q(x,y)dy+\oint \_{C\_{4}}Q(x,y)dy=\int \_{c}^{d}Q(b,t)dt-\int \_{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt}

{\displaystyle \int \_{c}^{d}Q(b,t)dt-\int \_{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt=\int \_{c}^{d}Q(b,t)dt-\int \_{c}^{d}Q(a,t)dt}

{\displaystyle \int \_{c}^{d}Q(b,t)dt-\int \_{c}^{d}Q(a,t)dt=\int \_{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt}

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik: {\displaystyle \int \_{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt+\int \_{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt} , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

{\displaystyle \int \_{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt+\int \_{a}^{b}P(t,c)-P(t,d)dt=\int \_{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt-\int \_{a}^{b}(P(t,d)-P(t,c))dx} Som er ekvivalent til at {\displaystyle 0=0}, altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler {\displaystyle R\_{1}} og {\displaystyle R\_{2}}

som tangerer hverandre med {\displaystyle R=R\_{1}\cup R\_{2}} så vil {\displaystyle \oint \_{\partial R\_{1}}Pdx+Qdy+\oint \_{\partial R\_{2}}Pdx+Qdy=\oint \_{\partial R}Pdx+Qdy}, dermed kan vi si at beviset er fullført. {\displaystyle \blacksquare }

Eksterne lenker
---------------

* E.W. Weisstein, *Green's Theorem*, Wolfram MathWorld.
* HaraldHVL, «Greens teorem - Eksempler», Youtube video

Referanser
----------

1. ↑   M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
2. ↑   V.J. Katz, *The History of Stokes' Theorem*, Mathematics Magazine, **52** (3), 146-156 (1979).

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |