En **rekke** er i matematikk en sum av ledd i en følge. En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være  konvergent, ellers er den  divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Formell definisjon
------------------

La {\displaystyle \{a\_{n}\}} være en følge. En rekke med *n*-te ledd lik {\displaystyle a\_{n}} er definert som summen av alle *N* leddene i følgen, der *N* kan være endelig eller uendelig:

{\displaystyle s=\sum \_{n=1}^{N}a\_{n}\,}
Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge {\displaystyle \{a\_{n}\}} kan en definere en assosiert følge {\displaystyle \{s\_{n}\}} der

{\displaystyle s\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}\,}
Dersom følgen {\displaystyle \{s\_{n}\}} konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og 

{\displaystyle s=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}\iff s=\lim \_{n\to \infty }s\_{n}}
Leddet {\displaystyle s\_{n}} kalles den *n*-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekker
-------------------

### Eksempel 1: Aritmetisk rekke

En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er *x*0 og *n*-te leddet er *xn* = *x*0 + *nd*, så er

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}x\_{n}=\sum \_{n=0}^{N}{(x\_{0}+nd)}={\frac {N+1}{2}}(x\_{0}+x\_{N})=(N+1)x\_{0}+{\frac {1}{2}}N(N+1)d}
En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

### Eksempel 2: Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n}}}
Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av *x* er strengt mindre enn 1, dvs dersom |*x*| < 1:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n}}={1 \over {1-x}}}
En partialsum er gitt ved:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}{x^{n}}={1-x^{N+1} \over {1-x}}}
### Eksempel 3: Harmonisk rekke

En harmonisk rekke er divergent

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}}
Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis {\displaystyle p>1}:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{p}}}}
### Eksempel 4

Den følgende rekken konvergerer for {\displaystyle p>1}:

{\displaystyle \sum \_{n=2}^{\infty }{1 \over {n(\log n)^{p}}}}
### Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen

 Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende konvergente rekken:

{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over {n!}}}
Uttrykket i nevneren i brøken er  n-fakultet. Generelt kan eksponentialfunksjonen defineres ved

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
### Eksempel 6: Endelige heltalsrekker

Summen av de *N* første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}n={N(N+1) \over 2}}
Summen av de *N* første kvadrattallene og  kubikktallene kan skrives tilsvarende

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}n^{2}={\frac {1}{6}}N(N+1)(1+2N)}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}n^{3}=(\sum \_{n=1}^{N}n)^{2}}
Summen av de *N* første potensene av tallet 2:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}2^{n}=2\cdot 2^{N}-1}

Konvergens
----------

En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke {\displaystyle \sum a\_{n}} sies å *konvergere absolutt* dersom rekken {\displaystyle \sum |a\_{n}|} konvergerer. Dersom {\displaystyle \sum a\_{n}} konvergerer, mens {\displaystyle \sum |a\_{n}|} divergerer, sies rekken å *konvergere betinget*.

Dersom {\displaystyle \sum a\_{n}} og {\displaystyle \sum b\_{n}} er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å *konvergere langsommere* enn den første dersom 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {b\_{n}}{a\_{n}}}=\infty }

Konvergenskriterier
-------------------

Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

### Forholdskriteriet

En rekke {\displaystyle \sum a\_{n}} av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall *q* mindre enn 1 og et naturlig tall *N* slik at

{\displaystyle \left|{a\_{n+1} \over a\_{n}}\right|\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N}
### Rotkriteriet

En rekke {\displaystyle \sum a\_{n}} av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall *q* mindre enn 1 og et naturlig tall *N* slik at

{\displaystyle {\sqrt {|a\_{n}|}}\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N}

Alternerende rekker
-------------------

Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt. 

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}}
er konvergent dersom {\displaystyle \{a\_{n}\}} er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null. Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over n}}

Potensrekker
------------

Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}}
Her er *c* kalt senter for rekken og {\displaystyle a\_{n}} er koeffisientene. En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene *x*, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall. Til en hver potensrekke er det assosiert en *konvergenssirkel* i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom *x* ligger innenfor sirkelen. Konvergenssirkelen har sentrum i *c*. Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{x^{n} \over n}}

Taylorrekker og maclaurinrekker
-------------------------------

*Utdypende artikkel: Taylorrekke*
En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon *f(x)* er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi *c* på forma

{\displaystyle p\_{n}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over n!}f^{(n)}(c)(x-c)^{n}}
Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med {\displaystyle f^{(n)}}. 

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil 

{\displaystyle f(x)=p\_{n}(x)\,}
En taylorrekke med senter i null kalles en maclaurinrekke.

Se også
-------

* Abels teorem for potensrekker
* Grandis rekke
* Logaritmer – Seksjonen *Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen*
* Niels Henrik Abel – Seksjonen *Uendelige rekker*

Litteratur
----------

* Adams, Robert (2003). *Calculus : a complete course* **(english)**. Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
* Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). *The Concise Oxford Dictionary of Mathematics*. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016.
* Lindstrøm, T. (2006). *Kalkulus* **(norsk)**. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016.
* Lindström, S.B. (2013). *Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk:* **(svensk)**. Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016.
* Adams, Robert A. (2006). *Calculus: A Complete Course*. ,. ISBN 0-321-27000-2.
* Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: *Gyldendals formelsamling i matematikk*, 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
* Walter Rudin (1953, 1964, 1976). *Principles of mathematical analysis*. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.  Sjekk datoverdier i `|dato=` (hjelp)

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld **·** GND **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NDL **·** NKC **·** BNE
 |