Innen matematikk er ***L**p*****-rommene** funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for **Lesbesgue-rom**, navngitt etter Henri Lebesgue. *L**p*-rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

Definisjon
----------

La {\displaystyle (\Omega ,A,\mu )} være et målrom og {\displaystyle 0<p\leq \infty } kan man definere en norm gitt ved

{\displaystyle ||f||\_{p}=(\int \_{\Omega }|f|^{p}d\mu )^{1/p}}
for {\displaystyle p<\infty }, og

{\displaystyle ||f||\_{\infty }=inf\{M:|f|\leq M\}}
nesten overalt (med hensyn til målet {\displaystyle \mu }). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).

Man kan tenke på {\displaystyle L^{p}}-rom som en generalisering av *L^{2}-rom*, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis 

{\displaystyle |f|\_{2}=(\int \_{\Omega }|f|^{2}d\mu )^{1/2}}
er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{X}f{\overline {g}}d\mu }
definert over et funksjonsrom.

### Lp-rom over {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Dersom {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} er det vanlig å referere til {\displaystyle L^{p}}-rommet som {\displaystyle L^{p}(\Omega )}.

### Lp-rom over følgerom

Dersom {\displaystyle \mu } er tellemålet er det vanlig å referere til {\displaystyle L^{p}}-rommet som {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}(\Omega )}, eller bare {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}.

Egenskaper
----------

### Grunnleggende egenskaper

For alle Lp-rom gjelder følgende:

1. For alle {\displaystyle f\in L^{p}} og alle skalarer {\displaystyle \alpha } gjelder
{\displaystyle ||\alpha f||\_{p}=|\alpha |||f||\_{p}}
2. {\displaystyle L^{p}} er et vektorrom
3. For alle {\displaystyle f\in L^{p}} finnes det en følge av enkle funksjoner {\displaystyle \{s\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} i Lp som konvergerer til f nesten overalt:
	1. {\displaystyle s\_{n}\to f}
	2. {\displaystyle ||f-s\_{n}||\_{p}\to 0}
	3. {\displaystyle \int \_{\Omega }|s\_{n}|^{p}d\mu \to \int {\Omega }|f|^{p}d\mu }

### Hölders ulikhet

Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } og {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }, og slik at {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}, og {\displaystyle f,g} to A-målbare funksjoner, har vi at

{\displaystyle ||fg||\_{1}=\int \_{\Omega }|fg|d\mu \leq ||f||\_{p}||g||\_{p}}
med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter {\displaystyle \alpha ,\beta } som ikke begge er 0, slik at

{\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}.
Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis {\displaystyle p=q=2} får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over {\displaystyle \mathbb {R} }, der {\displaystyle \Omega } f.eks. kan være et interval {\displaystyle [a,b]} kan ulikheten uttrykkes som

{\displaystyle \int \_{a}^{b}|fg|dx\leq ||f||\_{p}||g||\_{p}.}
### Minkowskis ulikhet

La {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } igjen. Da gjelder 

{\displaystyle ||f+g||\_{p}\leq ||f||\_{p}+||g||\_{p}}
for alle {\displaystyle f,g\in L^{p}(\mu )}.

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

### Riesz' teorem

For {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } er {\displaystyle (L^{p}(\mu ),||\cdot ||\_{p})} et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved {\displaystyle ||\cdot ||\_{p}}, altså et Banach-rom.

Dette kalles for Riesz' teorem. For {\displaystyle 0<p<1} har vi at {\displaystyle L^{p}} fortsatt er et vektorrom, men || · ||p er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for {\displaystyle 0<p<1} er {\displaystyle L^{p}} et metrisk rom. For {\displaystyle p=2} er {\displaystyle L^{p}} også et Hilbertrom.

Referanser
----------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  McDonald og Weiss, *A course in real analysis*, side 475–478.

Litteratur
----------

* John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). *A Course in Real Analysis*. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1.

Eksterne lenker
---------------

* (en) Eric W. Weisstein, *Lp-space* i MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | NKC
 |