**Reductio ad absurdum** (latin for «tilbakeførsel til det meningsløse»), **apagogisk argument** (gresk ἀπαγωγή [*apagōgē*] = «bortledning») eller **bevis ved kontradiksjon** (latin *contradictio* = «motsigelse») er en form for bevisførsel i logikken. Beviset går ut på at *usannheten* av et utsagn er vist når man kan *dedusere* (avlede) en *kontradiksjon* (selvmotsigelse) fra dette utsagnet. *Sannheten* av et utsagn kan bevises indirekte når dette utsagnets *negasjon* (nektelse) på denne måten kan «føres ad absurdum» (eller «reduseres ad absurdum»).

Eksempler
---------

1. Vi ønsker å bevise utsagnet «det eksisterer ikke noen minste positiv brøk». Vi bruker negasjonen av dette utsagnet som premiss og utleder en selvmotsigende konklusjon:
	* Premiss: «Det eksisterer en minste positiv brøk *x*»
	* Konklusjon 1: «Tallet *x* er den minste positive brøken»
	* Definisjon: «Tallet *y* defineres som halvparten av *x*»
	* Konklusjon 2: «Tallet *y* er en positiv brøk og mindre enn *x*»
	* Konklusjon 2 strider mot konklusjon 1. Altså må premisset være usant, og vårt opprinnelige utsagn sant.
2. Det klassiske eksempelet på en reductio ad absurdum er Euklids bevis for at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall (se beviset her).

Formalisering
-------------

Utsagnslogisk kan en reductio ad absurdum formaliseres på en av de følgende måtene (der «∧» står for «og», «¬» for «ikke», og «→» for «hvis–så»):

1. {\displaystyle [(A\rightarrow B)\land (A\rightarrow \neg B)]\Rightarrow \neg A}
2. {\displaystyle [(\neg A\rightarrow B)\land (\neg A\rightarrow \neg B)]\Rightarrow A}
3. {\displaystyle \{[(A\land B)\rightarrow C]\land [(A\land B)\rightarrow \neg C)]\land B\}\Rightarrow \neg A}
4. {\displaystyle \{[(\neg A\land B)\rightarrow C]\land [(\neg A\land B)\rightarrow \neg C)]\land B\}\Rightarrow A}

Eksempelet med en minste positiv brøk er et tilfellet av den første formaliseringen:

*A* = «Det eksisterer en minste positiv brøk *x*»
*B* = «Tallet *x* er den minste positive brøken»
*A* → *B*
*A* → «*x* er en positiv brøk» → «{\displaystyle {\tfrac {x}{2}}} er en positiv brøk og mindre enn *x*» → ¬*B*
*A* impliserer altså både *B* og ¬*B* og må dermed være usann.
Hvis en kontradiksjon er utledet fra et *sett* med premisser, viser dette at minst ett premiss er usant; men andre metoder må benyttes for å avgjøre hvilket.

I intuisjonistisk logikk anerkjennes bevisførslene 1 og 3, men ikke 2 og 4.

Varianter
---------

Det fins noen varianter av bevisførselen, som ofte omtales som «reductio ad absurdum» (i vid forstand), men egentlig utgjør svakere bevisformer:

1. (egentlig) *reductio ad absurdum* («slutning til det meningsløse»): avledning av en selvmotsigelse;
2. *reductio ad falsum* («slutning til det usanne»): avledning av en (annen) usannhet;
3. *reductio ad impossibile* («slutning til det umulige»): avledning av en *empirisk* umulighet;
4. *reductio ad incommodum* («slutning til det ubeleilige»): avledning av en (annen) uforklarlig påstand.
5. *reductio ad ridiculum* («slutning til det latterlige»): avledning av en (annen) usannsynlig påstand;

De to første formene er logisk allmenngyldige og kan derfor regnes som tvingende bevis.

Den tredje formen er bare gyldig i den grad det er absolutt *sikkert* at utledningen representerer en umulighet – men siden empiriske (f.eks. fysiske) utsagn aldri er sikre, kan ikke en *reductio ad impossibile* regnes som noe bevis i egentlig forstand. «Beviset» er uansett aldri sikrere enn den empiriske kunnskapen som legges til grunn.

De to sistnevnte formene kan ikke kalles bevis i det hele tatt, men fungerer kun som et mer eller mindre plausibelt argument eller som et retorisk virkemiddel. I hverdagsspråket brukes «reductio ad absurdum» gjerne i en av disse siste betydningene.

Historie
--------

Uttrykket kan spores tilbake til gresk (ἡ ἐις ἄτοπον ἀπαγωγη [*hē eis átopon apagōgē*] = «reduksjon til det umulige»). Det ble bl.a. brukt av Aristoteles.

Litteratur
----------

* C. Thiel (1995). «reductio ad absurdum». I J. Mittelstraß. *Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 3: P–So*. Stuttgart: Metzler. s. 516.
* N. Rescher (2016). «Reductio ad Absurdum». *The Internet Encyclopedia of Philosophy*. Besøkt 13. juli 2016.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Encyclopædia Britannica **·** Brockhaus Enzyklopädie
 |