**Black-Scholes** er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

* Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
* Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
* Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess
---------------------------------------

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

{\displaystyle dS\_{t}=\alpha S\_{t}dt+\sigma S\_{t}dW\_{t},}
under antagelsene at både driften {\displaystyle \alpha } og volatiliteten {\displaystyle \sigma } er konstante. Videre er "støyen" {\displaystyle W\_{t}} en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

* Short-salg er tillatt.
* Det er ingen transaksjonskostnader.
* Markedet er arbitrasje-fritt.
* Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
* Handel foregår kontinuerlig.
* Man kan handle fraksjoner av en aksje.
* Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen {\displaystyle S\_{0}}. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [*død lenke*].

Black-Scholes som en partiell differensialligning
-------------------------------------------------

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker. 

### Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

{\displaystyle u\_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}u\_{xx}+rxu\_{x}-xu=0}
med sluttbetingelsen 

{\displaystyle u(x,T)=\max(S-K,0).}
### Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

{\displaystyle dS\_{t}=\alpha S\_{t}dt+\sigma S\_{t}dW\_{t},}
og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at 

{\displaystyle V:=V(S,t)=\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW\_{t}}
ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og n aksjer, og får da følgende:

{\displaystyle \Pi =V+nS}.
Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall {\displaystyle dt} vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

{\displaystyle d\Pi =dV+ndS.}
Setter vi nå inn for {\displaystyle dV} og {\displaystyle dS} gitt over finner vi at 

{\displaystyle d\Pi =\sigma S\left({\frac {\partial V}{\partial S}}-n\right)dW\_{t}+\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}-\alpha nS\right)dt.}
Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi {\displaystyle n={\frac {\partial V}{\partial S}}} i starten av tidsintervallet {\displaystyle dt.} Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

{\displaystyle d\Pi =\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}
Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være {\displaystyle r\Pi dt}, og vi finner at 

{\displaystyle r\Pi dt=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}
Setter vi nå inn for {\displaystyle \Pi } og n finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.}

Kritikk
-------

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel som omhandler denne modellen.

Referanser
----------

1. ↑  Inside Wall Street's Black Hole

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi
 |