Oskar Klein, 1894–1977.
**Klein-Gordon-ligningen** er en kvantemekanisk bølgeligning for relativistiske partikler uten spinn. Når disse beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, reduseres den til Schrödinger-ligningen.

Partikler uten spinn beskrives i kvantefeltteorien ved skalarfelt. Klein-Gordon-ligningen kan av den grunn betraktes som «feltligningen» for slike partikler. Derfor benyttes den for pioner, Higgs-partikler og andre spinnløse bosoner. For en fri partikkel med masse *m* har ligningen formen

{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\phi \over \partial t^{2}}={\Big (}{mc \over \hbar }{\Big )}^{2}\phi }
hvor *c* er lyshastigheten og *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. Funksjonen *φ* = *φ*(**r**,*t*) beskriver skalarfeltet, men var opprinnelig ment å være partikkelens bølgefunksjon. Den kan være kompleks eller reell etter som partikkelen har elektrisk ladning eller ikke.

Ligningen ble opprinnelig funnet i 1925 av Schrödinger som forkastet den da den ga feil resultat for finstrukturen i spekteret til hydrogenatomet. Den fikk sitt navn etter Oskar Klein som året etter viste hvordan en massiv partikkel i et firedimensjonalt tidrom kan tenkes å være en masseløs partikkel i fem dimensjoner. Samme år utledet Walter Gordon ligningen på en enklere måte som fremdeles benyttes i dag. Han fant at den ga en sannsynlighetstetthet som kan være negativ. Den kan derfor ikke benyttes i kvantemekanikken på samme måte som Schrödinger-ligningen.

Utledning
---------

Schrödinger kom frem til Klein-Gordon-ligningen ved å ta utgangspunkt i en materiebølge med et relativistisk uttrykk for fasehastigheten. Samme fremgangsmåte gir også Schrödinger-ligningen. Mer direkte kan denne formuleres ved å ta utgangspunkt i den ikke-relativistiske energien *E* = **p**2/2*m* for en fri partikkel med masse *m* og impuls **p**. Den kvantemekaniske bølgeligningen for partikkelen finnes nå ved å la **p** → -*iħ* **∇**  og *E* → *iħ* ∂/∂*t*  virke på bølgefunksjonen.

For en relativistisk partikkel er sammenhengen mellom energi og impuls gitt ved Einsteins spesielle relativitetsteori og kan uttrykkes som

{\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2}}
Når partikkelen er i ro, har den energien *E*0 = *mc*2. Så snart den er i bevegelse, øker energien over denne minimalverdien og forblir alltid positiv. Ved å erstatte *E* og **p** med de tilsvarende kvantemekaniske operatorene som virker på en bølgefunksjon *φ* = *φ*(**r**,*t*), fremkommer den partielle differensialligningen

{\displaystyle -\hbar ^{2}{\partial ^{2}\phi \over \partial t^{2}}=m^{2}c^{4}\phi -\hbar ^{2}c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\phi }
Det er Klein-Gordon-ligningen for en fri partikkel utledet slik som Gordon viste. Mens den førstederiverte med hensyn på tiden opptrer i Schrödinger-ligningen, inngår her den andrederiverte på samme måte som i bølgeligningen for det elektromagnetiske feltet.

### Yukawa-potensial

En rent statisk eller tidsuavhengig løsning *φ* = *φ*(**r**) av ligningen må oppfylle

{\displaystyle \hbar ^{2}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\phi =m^{2}c^{2}\phi }
Størst interesse har løsninger som bare avhenger av avstanden *r* = |**r**| fra origo. Ved å benytte kulekoordinater i Laplace-operatoren forenkles til

{\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}{\Big (}r^{2}{\partial \phi \over \partial r}{\Big )}\equiv {1 \over r}{d^{2}r\phi \over dr^{2}}=\kappa ^{2}\phi }
hvor parameteren *κ* = *mc* /*ħ*  er den inverse, reduserte Compton-bølgelengden til partikkelen. Løsningen av differensialligingen er

{\displaystyle \phi (r)={C \over r}e^{-\kappa r}}
der *C* er en integrasjonskonstant. Dette fremstiller Yukawa-potensialet som benyttes i beskrivelsen av den sterke kjernekraften. Det tilsvarer Coulomb-potensialet utenfor en punktladning, men avtar mye raskere enn dette for økende avstander. Man sier i kvantefeltteorien at Yukawa-potensialet skyldes utveksling av en massiv partikkel eller meson, mens Coulomb-potensialet oppstår ved utveksling av et masseløst foton.

Elektromagnetisk kobling
------------------------

Når partikkelen som Klein-Gordon-ligningen har en elektrisk ladning, vil den påvirkes av et elektromagnetisk felt. På samme måte som for Schrödinger-ligningen må denne vekselvirkningen være invariant under en lokal gaugetransformasjon {\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\chi }\phi \,} hvor *χ* = *χ*(**r**,*t*) er en vilkårlig funksjon. Bølgefunksjonen må derfor være kompleks. Det betyr at koblingen til feltene må skje ved det  elektriske potensialet *V* = *V*(**r**,*t*) og det magnetiske potensialet **A** = **A**(**r**,*t*) via de minimale substitisjonene 

{\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\rightarrow i\hbar {\partial \over \partial t}-qV,\quad -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}\rightarrow -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}-q\mathbf {A} }
når partikkelen har ladning *q*. Den utvidete Klein-Gordon-ligningen blir dermed

{\displaystyle \left(i\hbar {\partial \over \partial t}-qV\right)^{2}\!\phi =m^{2}c^{4}\phi +c^{2}(-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}-q\mathbf {A} )^{2}\!\phi }
For en stasjonær løsning kan man erstatte operatoren *iħ* ∂/∂*t*  med energien *E* til den tilsvarende kvantetilstanden. Ser man bort fra vektorpotensialet **A** og lar partikkelen befinne seg i et Coulomb-potensial, har man dermed den differensialligningen som Schrödinger først kom frem til for hydrogenatomet. Den kan løses eksakt og gir en relativistisk oppsplitting av energinivåene som har en lignende form som den Sommerfeld tidligere hadde funnet ved bruk av halv-klassisk kvantisering. Men den numeriske verdien av effekten stemte ikke helt slik at Schrödinger så seg nødt til å forkaste denne relativistiske bølgeligningen.

### Ikke-relativistisk grense

Schrödinger-ligningen kan betraktes som Klein-Gordon-ligningen i den ikke-relativistiske grensen. Da beveger partikkelen seg mye langsommere enn lyshastigheten slik at dens energi kan skrives som *E* = *mc*2 + *ENR* der den ikke-relativistiske energien *ENR* << *mc*2. Det samme må man anta for den potensielle energien *qV*. Da kan man benytte tilnærmingen

{\displaystyle {\begin{aligned}(E-qV)^{2}-m^{2}c^{4}&=m^{2}c^{4}\left(1+{E\_{NR}-qV \over mc^{2}}\right)^{2}-m^{2}c^{4}\\&=2mc^{2}(E\_{NR}-qV)\end{aligned}}}
Den relativistiske bølgefunksjonen har nå den stasjonære formen

{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar },}
slik at den reduserte Klein-Gordon-ligningen dermed tar den ikke-relativistiske formen

{\displaystyle \left[{1 \over 2m}(-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}-q\mathbf {A} )^{2}+qV\right]\psi (\mathbf {r} )=E\_{NR}\psi (\mathbf {r} )}
Det er den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for en partikkel i et ytre, elektromagnetisk felt.

Kovariant form
--------------

Klein-Gordon-ligningen er basert på den relativistiske sammenhengen *E*2 = **p**2*c*2 + *m*2*c*4 mellom energi og impuls. I en kovariant formulering av spesiell relativitetsteori benyttes koordinater *xμ* = (*ct*, **r**) i det firedimensjonale Minkowski-rommet. Det tilsvarer definisjonen *pμ* = (*E*/*c*, **p**) av fireimpulsen til partikkelen. Benyttes den vanlige, metriske tensoren *ημν* med diagonale komponenter (1,-1,-1,-1), kan man skrive denne sammenhengen mellom energi og impuls som

{\displaystyle \eta \_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p^{\mu }p\_{\mu }=m^{2}c^{2}}
når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like par indekser.

Den kvantemekaniske beskrivelsen av den relativistiske partikkelen fremkommer nå ved å la *pμ* → *iħ* ∂/∂*xμ* = *iħ* ∂*μ* virke på bølgefunksjonen. Det gir Klein-Gordon-ligningen
på den kovariante formen

{\displaystyle (\hbar ^{2}\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }+m^{2}c^{2})\phi (x)=0}
Når partikkelen befinner seg i et elektromagnetisk felt, kan dette beskrives ved firevektorpotensialet *Aμ* = (*Φ*/*c*, **A**). Den gaugeinvariante vekselvirkningen fremkommer igjen ved den minimale koblingen som nå kan sammenfattes ved substitusjonen *iħ* ∂*μ* → *iħ* ∂*μ* - *qAμ*. Det gir den kovariante bølgeligningen

{\displaystyle |i\hbar \partial \_{\mu }-qA\_{\mu }|^{2}\phi (x)=m^{2}c^{2}\phi (x)}
Her må *φ*(*x*) være en kompleks bølgefunksjon.

### Bevart strøm

For en fri partikkel beskrevet ved en kompleks bølgefunksjon {\displaystyle \phi ,} vil også den konjugerte bølgefunksjonen {\displaystyle \phi ^{\*}} oppfylle samme bølgeligning. Man har derfor også at

{\displaystyle \phi ^{\*}(\hbar ^{2}\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }+m^{2}c^{2})\phi =0=\phi (\hbar ^{2}\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }+m^{2}c^{2})\phi ^{\*}}
Ved å ta differensen mellom disse to ligningene, faller masseleddet bort. Man står igjen med

{\displaystyle i(\phi ^{\*}\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }\phi -\phi \,\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }\phi ^{\*})=\partial \_{\mu }J^{\mu }=0}
hvor firevektoren

{\displaystyle J^{\mu }=i\left(\phi ^{\*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \,\partial ^{\mu }\phi ^{\*}\right)}
er en bevart strøm da dens firedimensjonale divergens er null. Her inngår *i* = √-1 for å gjøre strømmen reell. Da den romlige delen av vektoren har samme form som sannsynlighetsstrømmen for Schrödinger-ligningen, er det nærliggende å tro at komponenten

{\displaystyle J\_{0}=i\left(\phi ^{\*}{\partial \phi \over \partial t}-\phi {\partial \phi ^{\*} \over \partial t}\right)}
er proporsjonal med en relativistisk sannsynlighetstetthet. Men det kan den ikke være da den ikke er garantert å alltid være positiv slik som den fra Schrödinger-ligningen er. Funksjonen *φ*(*x*) er derfor ikke en sannsynlighetsamplitude for en relativistisk partikkel. Det var dette problemet med Klein-Gordon-ligningen som fikk Paul Dirac til å utvikle den alternative Dirac-ligningen.

Med etableringen av kvantefeltteorien viste det seg at funksjonen *φ*(*x*) som bestemmes av Klein-Gordon-ligningen, er et skalarfelt som beskriver både partikler og deres antipartikler når feltet blir kvantisert. Den bevarte firevektoren *Jμ* representerer da den elektriske strømmen til disse partiklene med *J*0 som deres ladningstetthet. Og denne kan være både positiv og negativ.

### Antipartikler

Bølgefunksjonen til en fri partikkel med energi *E* og impuls **p** har har den kovariante formen

{\displaystyle \phi (x)=N\,e^{-ip^{\mu }x\_{\mu }/\hbar }=N\,e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}
hvor amplituden *N* er en normeringskonstant. Funksjonen er løsning av Klein-Gordon-ligningen når man har sammenhengen *E*2 = *p*2*c*2 + *m*2*c*4 
som ligger til grunn for ligningen. Men som en relativistisk teori må nå begge løsningene med

{\displaystyle E=\pm {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
aksepteres på like fot. Den positive løsningen beskriver opplagt en partikkel som i klassisk fysikk, mens den negative løsningen betyr at ligningen også gjelder for antipartikler. Slike løsninger ble først påvist for Dirac-ligningen. Klassisk tilsvarer de partikler som går bakover i tid. Det følger fra fireimpulsen *pμ* = *m dxμ*/*dτ* hvor *τ* er egentiden. Da energien *E* er gitt ved tidskomponenten av denne impulsen, er derfor *E* = *mc*2*dt* /*dτ*. Når energien til partikkelen er negativ, vil den derfor bevege seg slik at tiden *t* avtar med økende egentid *τ*.

Det er bare når Klein-Gordon-ligningen blir betraktet kvantefeltteoretisk at dens løsninger med negativ energi får sin endelig form som antipartikler. En partikkel med negativ energi som går bakover i tiden, vil da opptre som en antipartikkel som beveger seg fremover i tid med positv energi, men med motsatt, elektrisk ladning nøyaktig som for Dirac-ligningen. Dette ble først vist av Pauli og Weisskopf i 1934. De omtalte da Klein-Gordon-ligningen som «anti-Dirac-ligningen» da den viste at antipartikler ikke var noe spesielt for Dirac-ligningen.

### Normering

Strømmen {\displaystyle J^{\mu }=i\left(\phi ^{\*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \,\partial ^{\mu }\phi ^{\*}\right)} kan ikke lenger betraktes som en bevart sannsynlighetsstrøm, men må forstås som proporsjonal med den elektriske strømmen til feltet som skyldes både partikler og antipartikler med motsatte ladninger. Komponenten {\displaystyle J\_{0}} kan derfor ha begge fortegn. Det kommer tydelig frem når man regner den ut for bølgefunksjonen for en fri partikkel. Den gir

{\displaystyle J\_{0}=N^{2}\cdot 2E/\hbar }
og vil være negativ hvis energien *E* < 0. Den totale ladningen vil være en Lorentz-skalar da det tredimensjonale, romlige integralet over nullte komponent av en firevektor er det samme i alle referansesystem. Det betyr også at normeringskonstanten *N* vil måtte inneholde energien *E*.

Dette kan benyttes til å definere et Lorentz-invariant indre produkt mellom to skalare bølgefunksjoner som

{\displaystyle (\phi \_{1},\phi \_{2})=i\hbar \!\int \!d^{3}x(\phi \_{1}^{\*}\partial \_{0}\phi \_{2}-\phi \_{2}^{\*}\partial \_{0}\phi \_{1})}
For to frie bølgefunksjoner tilsvarende partikler med impulser **p** og **p'** forenkles dette til

{\displaystyle (\phi ,\phi ')=N^{2}\cdot 2E\int \!d^{3}x\,e^{i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\cdot \mathbf {x} /\hbar }}
hvor det gjenstående volumintegralet medfører at energiene {\displaystyle E=E'.} Dets eksplisitte verdi er

{\displaystyle \int \!d^{3}x\,e^{i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\cdot \mathbf {x} /\hbar }=\left\{{\begin{matrix}V\delta \_{\mathbf {p} ,\mathbf {p} '},\quad {\text{endelig volum}}\\(2\pi \hbar )^{3}\delta ({\mathbf {p} -\mathbf {p} '}),V\rightarrow \infty \end{matrix}}\right.}
avhengig av om bølgefunksjonene oppfyller periodiske grensebetingelser i et endelig volum *V* eller eksisterer helt fritt. I det første tilfellet kan man benytte normaliseringen

{\displaystyle N={\sqrt {1 \over 2VE}}}
som er den mest vanlige. Men spesielt for høyenergetisk elementærpartikkelfysikk benyttes normeringen den enklere normeringen {\displaystyle N=1} som i et uendelig stort volum betyr at indreproduktet er

{\displaystyle (\phi \_{p},\phi \_{p'})=2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}\delta ({\mathbf {p} -\mathbf {p} '})}
Her er nå {\displaystyle E\_{\mathbf {p} }={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}}} den relativistiske energien til en partikkel med impuls **p**. Dette er nå en «kovariant normering».

Skalar feltteori
----------------

Maxwells ligninger kan betraktes som Euler-Lagrange-ligningene for en elektromagnetisk Lagrange-funksjon ved bruk av Hamiltons virkningsprinsipp. På samme måte kan Klein-Gordon-ligningen for et reelt skalarfelt utledes fra Lagrange-tettheten

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\hbar ^{2} \over 2c^{2}}\left({\partial \phi \over \partial t}\right)^{2}-{1 \over 2}\hbar ^{2}({\boldsymbol {\nabla }}\phi )^{2}-{1 \over 2}m^{2}c^{2}\phi ^{2}\\&={\hbar ^{2} \over 2}(\partial \_{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{1 \over 2}m^{2}c^{2}\phi ^{2}\end{aligned}}}
Den tilsvarende, kovariante Euler-Lagrange-ligningen er

{\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial x^{\mu }}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial (\partial \_{\mu }\phi )}=0}
Her blir nå

{\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial \phi }=-m^{2}c^{2}\phi ,\quad {\partial {\mathcal {L}} \over \partial (\partial \_{\mu }\phi )}=\hbar ^{2}\partial ^{\mu }\phi }
som gir den ønskede bølgeligningen {\displaystyle \hbar ^{2}\partial ^{\mu }\partial \_{\mu }\phi +m^{2}c^{2}\phi =0.} Da dette feltet er reelt, gir det ikke opphav til noen bevart strøm. Den kvantiserte teorien inneholder antipartikler, men de er identiske med partiklene.

### Komplekst felt

To slike skalarfelt med *φ*1 og *φ*2 med forskjellige masser har en Lagrange-funksjon som er summen av disse funksjonene for hver av feltene. I det spesielle tilfellet at de to massene er like store, vil denne summen 

{\displaystyle {\mathcal {L}}={\hbar ^{2} \over 2}(\partial \_{\mu }\phi \_{1})(\partial ^{\mu }\phi \_{1})+{\hbar ^{2} \over 2}(\partial \_{\mu }\phi \_{2})(\partial ^{\mu }\phi \_{2})-{1 \over 2}m^{2}c^{2}(\phi \_{1}^{2}+\phi \_{2}^{2})}
ha en ny symmetri. Den arter seg ved at denne Lagrange-funksjon forblir uendret når de to feltene forandres til

{\displaystyle {\begin{aligned}\phi \_{1}&\rightarrow \phi \_{1}\cos \chi -\phi \_{2}\sin \chi \\\phi \_{2}&\rightarrow \phi \_{1}\sin \chi +\phi \_{2}\cos \chi \end{aligned}}}
hvor *χ* er en konstant vinkel. Dette tilsvarer en rotasjon av de to feltene i et abstrakt, 2-dimensjonalt «feltrom» beskrevet ved Lie-gruppen SO(2). Ifølge Noethers setning tilsvarer denne symmetrien en bevart størrelse. Det er firestrømmen *Jμ* som ble funnet for det komplekse feltet. Her defineres dette som

{\displaystyle \phi ={\sqrt {1 \over 2}}(\phi \_{1}+i\phi \_{2})}
og gjør det mulig å skrive den samme Lagrange-funksjonen på den mer kompakte måten

{\displaystyle {\mathcal {L}}=\hbar ^{2}\partial \_{\mu }\phi ^{\*}\partial ^{\mu }\phi -m^{2}c^{2}\phi ^{\*}\phi }
Rotasjonen av de to reelle komponentene til feltet tilsvarer nå den komplekse fasetransformasjonen {\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\chi }\phi .} Den er ekvivalent med en global gaugetransformasjon da vinkelen *χ* i dette tilfellet er konstant i hele tidrommet.

Kvantisering
------------

Partikkelinnholdet i det skalare Klein-Gordon-feltet kommer først frem når det blir kvantisert. Da det beskriver relativistiske partikler, blir fremstillingen enklere når man benytter måleenheter hvor lyshastigheten *c* = 1. Den konjugerte impulsen til det nøytrale feltet er da

{\displaystyle \Pi (\mathbf {x} ,t)={\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\phi }}}=\hbar ^{2}{\dot {\phi }}(\mathbf {x} ,t)}
Etter kvantiseringen blir både feltet og denne impulsen operatorer {\displaystyle {\hat {\phi }}} og {\displaystyle {\hat {\Pi }}} som må oppfylle den kanoniske kommutatoren

{\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\Pi }}(\mathbf {x'} ,t)]=i\hbar \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
Dette kan gjennomføres ved å uttrykke det klassiske feltet ved periodiske modefunksjoner i et endelig volum slik at hver mode kan kvantiseres som en harmonisk oscillator. Alternativt kan man Fourier-transformere feltet i et uendelig stort volum ved å skrive

{\displaystyle \phi (x)=\int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}2\pi \hbar \delta (p^{2}-m^{2})a(p)\,e^{-ip\cdot x/\hbar }}
hvor firevektoren {\displaystyle p^{\mu }=(p\_{0},\mathbf {p} )} slik at {\displaystyle p\cdot x=p\_{0}t-\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} .} Da et nøytralt felt tar reelle verdier, må Fourier-komponentene oppfylle betingelsen {\displaystyle a^{\*}(p)=a(-p)} som sees ved å ta den kompleks-konjugerte av feltet etterfulgt av *p* → - *p* i integranden.

Deltafunksjonen opptrer fordi feltet skal beskrive partikler med masse *m*. Ved integrasjonen over komponenten *p*0 vil denne funksjonen gi to bidrag ved at

{\displaystyle {\begin{aligned}\delta (p^{2}-m^{2})&=\delta (p\_{0}^{2}-E\_{\mathbf {p} }^{2})\\&={1 \over 2E\_{\mathbf {p} }}\left[\delta (p\_{0}-E\_{\mathbf {p} })+\delta (p\_{0}+E\_{\mathbf {p} })\right]\end{aligned}}}
Den firedimensjonale Fourier-transformasjonen splittes dermed opp i to tredimensjonale transformasjoner,

{\displaystyle \phi (x)=\int \!{d^{3}p \over 2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\left[a(p)e^{-ip\cdot x/\hbar }+a^{\*}(p)e^{ip\cdot x/\hbar }\right]}
etter man i det siste leddet har latt **p** → - **p**. På denne formen er det tydelig et reelt felt.

### Kreasjon og annihilasjonsoperatorer

Selve kvantiseringen skjer nå ved at Fourier-komponentene til feltet blir operatorer,

{\displaystyle a(p)\rightarrow {\hat {a}}\_{p},\quad a^{\*}(p)\rightarrow {\hat {a}}\_{p}^{\dagger }}
Den kanoniske kommutatoren er nå oppfylt når disse kommuterer med hverandre bortsett fra at

{\displaystyle [{\hat {a}}\_{p},{\hat {a}}\_{p'}^{\dagger }]=2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}
Høyresiden her har denne spesielle verdien på grunn av normaliseringen som er implisitt i uttrykket for den tilsvarende feltoperatoren, 

{\displaystyle {\hat {\phi }}(x)=\int \!{d^{3}p \over 2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\left[{\hat {a}}\_{p}\,e^{-ip\cdot x/\hbar }+{\hat {a}}\_{p}^{\dagger }\,e^{ip\cdot x/\hbar }\right]}
Fra den klassiske Hamilton-tettheten

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {\phi }}\Pi -{\mathcal {L}}}
kan nå Hamilton-operatoren for feltet finnes. Den blir

{\displaystyle {\hat {H}}=\int \!{d^{3}p \over 2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\left({\hat {a}}\_{p}^{\dagger }{\hat {a}}\_{p}+{1 \over 2}\left[{\hat {a}}\_{p},{\hat {a}}\_{p}^{\dagger }\right]\right)E\_{\mathbf {p} }}
hvor det siste leddet er divergent da det inneholder *δ*(0) og er relatert til Casimir-effekten. Et tilsvarende uttrykk kan utledes for den totale impulsoperatoren {\displaystyle {\hat {\mathbf {P} }}.} Herav ser man at operatoren {\displaystyle {\hat {a}}\_{p}^{\dagger }} skaper en partikkel med energi *E***p** og 3-impuls **p**, mens {\displaystyle {\hat {a}}\_{p}} fjerner en slik partikkel. De er begge stigeoperatorer.

Da den tomme tilstanden {\displaystyle |0\rangle } ikke inneholder noen partikler, er

{\displaystyle {\hat {a}}\_{p}|0\rangle =0}
Derimot er nå tilstanden for én partikkel med 4-impuls *p* gitt som

{\displaystyle |p\rangle ={\hat {a}}\_{p}^{\dagger }|0\rangle }
Fra den kanoniske kommutatoren følger dermed normeringen av tilstanden som

{\displaystyle \langle p|p'\rangle =2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}
Det som nå tilsvarer bølgefunksjonen for denne tilstanden er matriseelementet

{\displaystyle \langle 0|{\hat {\phi }}(x)|p\rangle =e^{-ip\cdot x/\hbar }}
Bruk av lignende normalisering gir samme resultat.

### Kvantisert ladning

Når det skalare feltet er reelt, vil dets antipartikler være identiske med partiklene selv. Derimot vil et komplekst felt ha en bevart strøm og en tilsvarende ladning som kan brukes til å skille partikler og antipartikler. Et slikt felt kan formelt beskrives som en superposisjon av to reelle felt, *φ*1 og *φ*2. Den tilsvarende feltoperatoren er

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\phi }}(x)&={\sqrt {1 \over 2}}\left[{\hat {\phi }}\_{1}(x)+i{\hat {\phi }}\_{2}(x)\right]\\&=\int \!{d^{3}p \over 2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\left[{\hat {a}}\_{p}\,e^{-ip\cdot x/\hbar }+{\hat {b}}\_{p}^{\dagger }\,e^{ip\cdot x/\hbar }\right]\end{aligned}}}
hvor stigeoperatorene nå er

{\displaystyle {\hat {a}}\_{p}={\sqrt {1 \over 2}}\left[{\hat {a}}\_{1p}+i{\hat {a}}\_{2p}\right],\quad {\hat {b}}\_{p}^{\dagger }={\sqrt {1 \over 2}}\left[{\hat {a}}\_{1p}^{\dagger }+i{\hat {a}}\_{2p}^{\dagger }\right]}
Fra de to fundamentale kommutatorene

{\displaystyle [{\hat {a}}\_{ip},{\hat {a}}\_{jp'}^{\dagger }]=2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\delta \_{ij}}
følger dermed i stedet kommutatorene 

{\displaystyle [{\hat {a}}\_{p},{\hat {a}}\_{p'}^{\dagger }]=[{\hat {b}}\_{p},{\hat {b}}\_{p'}^{\dagger }]=2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}
mellom de nye stigeoperatorene. Alle andre er null. Mens kreasjonsoperatoren {\displaystyle {\hat {a}}\_{p}^{\dagger }} skaper en partikkel med fireimpuls *p*, vil {\displaystyle {\hat {b}}\_{p}^{\dagger }} skape en antipartikkel med samme fireimpuls, men med motsatt ladning *Q*. Det følger fra

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {Q}}&=ie\!\int \!d^{3}x\,{\big (}{\hat {\phi }}^{\dagger }\partial \_{0}{\hat {\phi }}-{\hat {\phi }}\,\partial \_{0}{\hat {\phi }}^{\dagger }{\big )}\\&=e\!\int \!{d^{3}p \over 2E\_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\left({\hat {a}}\_{p}^{\dagger }{\hat {a}}\_{p}-{\hat {b}}\_{p}^{\dagger }{\hat {b}}\_{p}\right)\end{aligned}}}
hvor *e* er elementærladningen og operatoren {\displaystyle {\hat {a}}\_{p}^{\dagger }{\hat {a}}\_{p}} teller antall partikler, mens {\displaystyle {\hat {b}}\_{p}^{\dagger }{\hat {b}}\_{p}} teller antall antipartikler. For eksempel kan et system med positive og negative pioner beskrives ved et slikt komplekst kvantefelt.

Referanser
----------

1. ↑   H. Kragh, *Equation with many fathers*, American Journal of Physics **52**, 1024–1033 (1984).
2. 1 2   H.A. Bethe, *Intermediate Quantum Mechanics*, W.A. Benjamin, New York (1964).
3. 1 2 3  T.D. Lee, *Particle Physics and Introduction to Field Theory*, World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.
4. ↑   R. Eisberg and R. Resnick, *Quantum Physics*, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-23484-8.
5. ↑   J.J. Sakurai, *Modern Quantum Mechanics*, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.
6. ↑   D. Griffiths, *Introduction to Elementary Particle Physics*, Wiley-VCH Verlag, Weinheim (2008). ISBN 978-3-527-40601-2.
7. ↑   A. Pais, *Inward Bound*, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.
8. ↑   E. F. Taylor and J. A. Wheeler, *Spacetime Physics*, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).
9. ↑   V. Weisskopf, *The development of field theory in the last 50 years*, Physics Today **34** (11), 69–85 (1981).
10. 1 2 3   M.E. Peskin and D.V. Schroeder, *An Introduction to Quantum Field Theory*, Addison-Wesley, Reading MA (1995). ISBN 0-201-50397-2.
11. 1 2   I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, *Gauge Theories in Particle Physics*, Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.
12. ↑   C. Itzykson and J.-B. Zuber, *Quantum Field Theory*, McGraw-Hill, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.

Eksterne lenker
---------------

* Goethe Universität, *Relativistic Quantum Mechanics*, forelesning ved universitetet i Frankfurt.

* Youtube, *Deriving The Klein Gordon Equation*, enkel introduksjon