I matematisk analyse gir **det omvendt funksjonsteorem** betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremet
-----------------------

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at f er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at {\displaystyle f^{\prime }(a)\neq 0} i et punkt a. Da finnes en omegn {\displaystyle U} om a slik at f restringert til {\displaystyle U} er injektiv, og slik at om {\displaystyle V=f(U)} er verdimengden til f, så er den omvendte funksjonen {\displaystyle g:V\to U} kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

{\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}.}
For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} er en åpen mengde og at {\displaystyle \mathbf {F} :U\to \mathbb {R} ^{m}} har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at {\displaystyle {\bar {x}}\in U} og at Jacobi-matrisen {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})} er inverterbar. Da finnes en åpen omegn {\displaystyle U\_{0}\subset U} om {\displaystyle {\bar {x}}} slik at \mathbf{F} restringert til {\displaystyle U\_{0}} er injektiv. Verdimengden V til denne restriksjonen er en omegn om {\displaystyle {\bar {y}}=\mathbf {F} ({\bar {u}})}, og den omvendte funksjonen {\displaystyle \mathbf {G} :V\to U\_{0}} er deriverbar i {\displaystyle {\bar {y}}} med Jacobi-matrise

{\displaystyle \mathbf {G} ^{\prime }({\bar {y}})=\mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})^{-1}.}

Eksempel
--------

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} være definert ved {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(x^{4}-y^{4},xy)}. Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet {\displaystyle (1,0)}. Jacobi-matrisen gitt ved

{\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)={\begin{pmatrix}4x^{3}&4y^{3}\\y&x\end{pmatrix}}.}
Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved {\displaystyle \det \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)=4x^{4}-4y^{4}}. Setter vi inn for {\displaystyle (1,0)}, får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om {\displaystyle (1,0)} slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}}, som er

{\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.}
Dette viser at funksjonen har en *lokal invers*, men den har ingen *global* invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om {\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}, så er {\displaystyle \mathbf {F} (a,b)=\mathbf {F} (-a,-b)}, så funksjonen kan ikke være injektiv.

Referanser
----------

* Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). *Flervariabel analyse med lineær algebra*. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |