Fermats prinsipp sier at lyset går korteste vei fra et punkt P til et annet punkt Q, også i et annet medium.
**Fermats prinsipp** ble foreslått av den franske jurist og matematiker Pierre de Fermat (1601 - 1665) rundt 1660 for lysets bevegelse. I utgangspunktet sier prinsippet sier at en lysstråle som beveger seg fra et punkt til et annet, velger den veien som leder raskest frem til målet. I den følgende tid ble tilsvarende prinsipp for mekaniske system funnet av den franske naturviter Pierre Louis Maupertuis (1698 - 1759) og den irske matematiker William Rowan Hamilton (1805 - 1865). Disse virkningsprinsippene danner i dag grunnlaget for all moderne fysikk og fikk først en dypere forklaring med kvantemekanikken. Spesielt har den amerikanske fysiker Richard Feynman (1918 - 1988) bidratt til dette.

Hastigheten *c* til lys som går gjennom et medium, er mindre enn lyshastigheten *c*0 i vakuum. Matematisk uttrykkes dette som *c = c0 /n* hvor *n* > 1 er brytningsindeksen til mediet. Den kan variere med posisjonen **r** i mediet slik at man i alminnelighet har *n* = *n* (**r**). Lyset behøver derfor en tid *dt = ds/c = n ds/c*0 for å tilbakelegge en liten veilengde *ds*. Går lyset langs en bestemt bane fra et punkt A til et punkt B, trenger det da en endelig tid *T = L/c0* hvor

{\displaystyle L=\int \_{A}^{B}\!dsn(\mathbf {r} )}
er den **optiske veilengden**. Denne beskrivelsen er gyldig når bølgelengden til lyset er mye mindre enn karakteristiske lengder i systemet man beskriver. Man kan da benytte denne form for geometrisk optikk.

Fermats prinsipp sier at lyset velger den banen som gir den minste tiden *T*. Mer generelt sier det at denne tiden skal være *ekstremal*, det vil si enten være minimal eller noen ganger også maksimal. Det ekvivalent med å si at denne skal være *stasjonær* under små forandringer. En liten variasjon av banen skal gi en forsvinnende liten variasjon av den optiske veilengden. Matematisk skrives dette som

{\displaystyle \delta L=0\,.}
Den fysiske banen kan nå beregnes ved bruk av variasjonsregning som for andre virkningsprinsipp.

Refleksjon
----------

Lysets gang fra A til B via P tar minst tid når *θ = θ'.*  Da er linjen APB' en rett linje hvor B' ligger like mye under *x*-aksen som B ligger over den.
Fermat foreslo dette nye prinsippet for å forklaring Snells brytningslov for avbøyning av lys når det går fra et medium til et annet. Den franske filosof og matematiker Descartes hadde tidligere forsøkt å gi en mekanisk utledning av denne loven. Men han måtte da anta at lyset beveget seg raskere i et tett medium som vann enn i et tynnere medium som luft. Dette fant Fermat vanskelig å akseptere, delvis kanskje fordi at det strider mot vanlig intuisjon.

I stedet baserte han sin tenkning på bevegelsen av en lysstråle under refleksjon mot grenseflaten til et annet medium. Allerede fra antikken var det kjent at da vil innfallsvinkel *θ* være like stor som utfallsvinkelen *θ'*, begge målt mot normalen til grenseflaten. Går lyset fra punkt A til punkt B, er det ekvivalent med at den tilbakelagte strekningen APB er minst mulig. Det er lett å se ved å betrakte det reflekterte punktet B'. Da linjestykket PB = PB', er også veien APB = APB'. Og linjen APB' mellom A og B' er kortest mulig når den er en rett linje. Kun da vil vinklene *θ = θ'*  som sees direkte ut av figuren for det tilfellet.

Denne refleksjonsloven kan nå vises å være en konsekvens av Fermats prinsipp. La punktet A ligge på *y*-aksen i avstand *y*1 fra *x*-aksen, mens punkt A har koordinatene (*x*2, *y*2). For et vilkårlig punkt P på *x* aksen blir da den optiske lengden mellom A og B

{\displaystyle L={\sqrt {y\_{1}^{2}+x^{2}}}+{\sqrt {y\_{2}^{2}+(x\_{2}-x)^{2}}}}
For at denne skal ha et minimum, må den deriverte med hensyn på koordinaten *x* til punktet P være null. Det gir

{\displaystyle {x \over {\sqrt {y\_{1}^{2}+x^{2}}}}-{x\_{2}-x \over {\sqrt {y\_{2}^{2}+(x\_{2}-x)^{2}}}}=0}
Fra figuren ser man nå at det første leddet er sin*θ*, mens det andre leddet er sin*θ'*. Fermats prinsipp gir derfor

{\displaystyle \sin \theta =\sin \theta '}
som er akkurat det forventete resultatet. I mer kompliserte situasjoner med refleksjon fra krumme flater gjør tilsvarende beregninger også det mulig å beregne lysets gang.

Snells brytningslov
-------------------

Lysets gang fra A til B tar minst tid når det følger en brutt bane med vinkler gitt ved Snells brytningslov.
Når lyset går fra et medium 1 til et annet medium 2, vil det i alminnelighet avbøyes. I enkleste tilfelle kan man tenke seg de to medier adskilt med en plan grenseflate som vist i figuren. Den optiske avstanden langs en vei fra A til B er da

{\displaystyle L=n\_{1}{\sqrt {y\_{1}^{2}+x^{2}}}+n\_{2}{\sqrt {y\_{2}^{2}+(x\_{2}-x)^{2}}}}
hvor *x* er koordinaten for et vilkårlig punkt P langs *x*-aksen hvor lysstrålen treffer grenseflaten, og *n*1 og *n*2 er brytningsindeksene i de to mediene. For at denne skal ha et minimum, må den deriverte med hensyn på *x* være null. Det gir

{\displaystyle n\_{1}{x \over {\sqrt {y\_{1}^{2}+x^{2}}}}-n\_{2}{x\_{2}-x \over {\sqrt {y\_{2}^{2}+(x\_{2}-x)^{2}}}}=0}
Fra figuren ser man nå at det første leddet er sin*θ*1, mens det andre leddet er sin*θ*2. Fermats prinsipp gir derfor

{\displaystyle n\_{1}\sin \theta \_{1}=n\_{2}\sin \theta \_{2}}
som er Snells brytningslov. Hadde lyset gått den motsatte veien fra B til A, ville det opplagt ha fulgt den samme veien.

Variabel brytningsindeks
------------------------

Man generelt kan man tenke seg et medium med et brytningsindeks *n*(**r**) som varierer med posisjonen **r** i mediet. Banen som lyset vil følge, blir da en eller annen kurve **r** = **r**(*σ*) hvor *σ* er en vilkårlig parameter. Hvis begynnelsespunktet A for banen har parameterverdi *σA* og tilsvarende *σB* for sluttpunktet B, kan den optiske veilengden for den søkte banen beregnes fra integralet

{\displaystyle L=\int \_{A}^{B}\!d\sigma \,n(\mathbf {r} ){\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}}
hvor den deriverte {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}} = *d* **r**/*dσ*. Her har man benyttet at den kvadrerte buelengden *ds*2 = *d* **r**⋅*d* **r** med vektornotasjon.

For å beregne en stasjonær verdi for dette integralet, kan man nå benytte standard variasjonsregning for funksjonen {\displaystyle F=n(\mathbf {r} ){\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}}. Direkte derivasjon kan nå gjøres for hver komponent av den variable som her er posisjonsvektoren **r** for hvert punkt på den søkte banen. Resultatet kan sammenfattes på vektorform ved ligningene

{\displaystyle {\partial F \over \partial \mathbf {r} }={\partial n \over \partial \mathbf {r} }{\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}} og
{\displaystyle {\partial F \over \partial {\dot {\mathbf {r} }}}={n{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}}}
slik at Euler-Lagrange-funksjonen blir

{\displaystyle {d \over d\sigma }\!\left({n{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}}\right)=({\boldsymbol {\nabla }}n){\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}}
På denne generelle formen er det vanskelig å si hva slags løsninger differensialligningen har og hva de sier om lysets bevegelse.

### Parametrisering

Fermats prinsipp gjør det mulig og bestemme banen **r** = **r**(*σ*) til en lysstråle. Den er en kurve i rommet, parametrisert ved *σ* som til nå ikke er nærmere spesifisert. Ved et fornuftig valg av denne parameteren, kan løsningen av bevegelsesligningene forenkles. 

Den naturlige parametrisering for kurver er dens buelengde *s*. Da blir {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=1} og den generelle Euler-Lagrange-ligningen forenkles til

{\displaystyle {d \over ds}\!\left(n{d\mathbf {r} \over ds}\right)={\boldsymbol {\nabla }}n}
Denne er nå mer egnet til å utlede fysiske konsekvenser for lysets utbredelse. For eksempel, i et *laminært* system vil brytningsindeksen bare variere i en koordinatretning. Lar vi denne være *z*-aksen, vil da *n* = *n*(*z*). Høyresiden av bevegelsesligningen gir da null både i *x*- og *y*-retning. Derfor må både *ndx*/*ds* og *ndy*/*ds* være konstante under lysets gang. Det betyr igjen at også *n√(dx2 + dy2)/ds* = *konst*. Her er faktoren som multipliserer *n*, sinus til vinkelen *θ* som lysstrålen danner med *z*-aksen. Resultatet er derfor

{\displaystyle n\sin \theta =konst}
som er Snells brytningslov. Men i dette laminære tilfellet gjelder den *lokalt* i hvert punkt langs lysstrålen.

### Optisk tid

En annen parametrisering er å velge *σ* slik at {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=n^{2}}. Kaller vi denne parameteren for *τ*, blir derfor det differensielle linjeelementet *ds = n dτ*. Dermed opptrer denne nye parameteren som en slags tid og gjør det mulig å betrakte brytningsindeksen *n* som hastigheten til lyset. Selv om *τ* har like lite å gjøre med fysisk tid som *n* har med fysisk hastighet å gjøre, kan man matematisk benytte slike begrep her.

Denne beskrivelsen av lysets gang, tilsvarer nå den som Descartes brukte for å forklare Snells brytningslov. Lyset har en fiktiv hastighet som er gitt ved brytningsindeksen og er derfor større i et tettere medium enn i et tynnere medium. Beveger det seg fra et tynnere medium mot en grenseflate til et tykkere medium, vil det bøyes inn mot normalen til grenseflaten.

Med denne parametriseringen forenkles nå Euler-Lagrange-ligningene til

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=n({\boldsymbol {\nabla }}n)={1 \over 2}{\boldsymbol {\nabla }}n^{2}}
Dette ser ut som Newtons andre lov for en partikkel som beveger seg i et potensial *V = - (1/2)n2*. Den vil bøyes i retning hvor potensialet avtar, det vil si hvor brytningsindeksen øker. Totalenergien til partikkelen 

{\displaystyle E={1 \over 2}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+V(\mathbf {r} )}
er konstant da brytningsindeksen ikke varierer med denne optiske tiden. 

Man kan benytte denne beskrivelsen i praktiske anvendelser. For eksempel, i et optisk fiber avtar brytningsindeksen med avstanden fra sentrum. Det tilsvarer at det ekvivalente potensialet *V* øker utover i fiberet og kan dermed holde lysstrålen på plass.

### Paraksial approksimasjon

For et optisk system hvor lyset i hovedsak beveger seg i *z*-retning med mindre avvik i *x*- og *y*-retningene, er det naturlig å bruke koordinaten *z* som parameter. Dermed kan lysets gang beskrives ved de to funksjoner *x* = *x*(*z*) og *y* = *y*(*z*). Da vil

{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=dz{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}
hvor *x' = dx/dz* og *y' = dy/dz* angir lysstrålens retning i forhold til *z*-aksen. Når avviket fra denne er lite, kan man derfor med god nøyaktighet sette *ds = dz*. Denne forenkling omtales som den *paraksiale approksimasjon*. Da vil lysstrålen følge en bane som er gitt ved ligningen

{\displaystyle {d \over dz}\!\left(n{d\mathbf {r} \over dz}\right)={\boldsymbol {\nabla }}n}
Den kan løses for *x* = *x*(*z*) og *y* = *y*(*z*) når retningene *x'* og *y'* er gitt på et sted med parameter *z*0. For *z*-retningen reduseres ligningen til en enkel identitet.

Laminær lysgang
---------------

Med variable brytningsindeks følger lyset en kurve som danner vinkelen *θ* med *y*-aksen.
I et laminært system varierer brytningsindeksen bare i en retning, det vil si at den avhenger bare av en koordinat. Lyset vil da kun avbøyes i denne retningen som her velges å være *y*-aksen slik at *n = n(y)*. De andre koordinatene velges slik at lysets bane ligger i *xy*-planet. Den vil dermed beskrive en kurve *y = y(x)* med differensielt linjeelement

{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=dx{\sqrt {1+y'^{2}}}}
hvor *y' = dy/dx*. Fra den optiske veilengden 

{\displaystyle L=\int \_{A}^{B}\!dxn(y){\sqrt {1+y'^{2}}}}
mellom punktene A og B følger nå Euler-Lagrange-ligningen

{\displaystyle {\sqrt {1+y'^{2}}}{dn \over dy}={d \over dx}\left({ny' \over {\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)}
Den kan noe forenkles ved å gjennomføre derivasjonene. Det gir

{\displaystyle {ny'' \over 1+y'^{2}}={dn \over dy},}
men likevel kan en slik andre ordens differensialligning vanskelig løses for en gitt funksjon *n = n(y)*. I det spesielle tilfellet at denne er konstant, er løsningen for lysbanen en rett linje *y' = konst* som forventet.

Integranden *F = n(y)√(1 + y'2)* inneholder ingen eksplisitt avhengighet av den variable *x* som her spiller rollen som en slags tid som parametriserer banen. Derfor følger fra variasjonsregning at størrelsen *K = F - pyy'* , hvor *py* er den konjugerte impulsen

{\displaystyle p\_{y}={\partial F \over \partial y'}={ny' \over {\sqrt {1+y'^{2}}}},}
har en konstant verdi analogt med bevarelse av energi i et mekanisk problem. Nå er 

{\displaystyle K={n \over {\sqrt {1+y'^{2}}}}=n{dx \over ds}}
hvor *dx/ds* er sinus til vinkelen *θ* som tangenten til lysbanen har, målt fra *y*-aksen. Derfor tilsvarer bevarelsen av denne størrelsen at Snells brytningslov gjelder lokalt i hvert punkt langs banen,

{\displaystyle n(y)\sin \theta (y)=konst}
Variasjonsproblemet er nå redusert til å løse en første ordens differensialligning som vanligvis er enklere.

Man kan alternativt komme mer direkte frem til denne bevegelseskonstanten ved å parametrisere lysbanen ved den variable *y* i stedet for *x* som til nå. Da blir den optiske veilengden

{\displaystyle L=\int \_{y\_{A}}^{y\_{B}}\!dyn(y){\sqrt {1+x'^{2}}}}
hvor nå *x' = dx/dy*. I denne integranden opptrer ikke den variable *x*. Den er derfor syklisk, og den konjugerte impulsen

{\displaystyle p\_{x}={\partial F \over \partial x'}={nx' \over {\sqrt {1+x'^{2}}}}}
må være konstant, i.e. *px = K*. Dette gir igjen den lokale utgaven av Snells brytningslov da *x'/√(1 + x'2) = dx/ds* som er sinus til den lokale brytningsvinkelen.

### Eksempel

Noen optiske fenomen som fata morgana skyldes at brytningsindeksen avtar med høyden på grunn av temperaturinversjon. Antar man en plan jordoverflate, vil da *n = n(y)* og man kan beregne hvordan lyset går ved bruk av formalismen her. Som et enkelt eksempel kan man anta at brytningsindeksen varierer som

{\displaystyle n(y)=n\_{0}{\sqrt {1-ay}}}
hvor *n0* er verdien på jordoverflaten *y* = 0 og *a* er en konstant. Denne beskrivelsen kan da brukes så lenge som *y* < 1/*a*. Brytningsvinkelen til lyset oppfyller nå *n*(*y*) sin*θ* = *n*0 sin*θ*0 hvor verdiene på høyre side er de på jordoverflaten. Det betyr at banen til lyset er gitt ved *dy*/*dx* = cot*θ*. Dette kan uttrykkes ved sin*θ* og sammen med den valgte funksjonen *n*(*y*) finner man at

{\displaystyle {dy \over dx}={1 \over \sin \theta \_{0}}{\sqrt {\cos ^{2}\theta \_{0}-ay}}}
Direkte integrasjon gir nå løsningen

{\displaystyle y={ax(2x\_{0}-x) \over 4\sin ^{2}\theta \_{0}}}
hvor *x*0 = sin2*θ*0 /*a* er en integrasjonskonstant som er bestemt ut fra betingelsen at lyset går ut fra *x* = 0 på jordoverflaten *y* = 0. Denne løsningen viser at det følger en parabel som når sitt høydepunkt *y*0 = cos2*θ*0 /*a* for *x* = *x*0 som definerer parabelens akse.

Dette problemet kan også undersøkes ved bruk av formalismen i forrige seksjon. Det effektive potensialet blir nå

{\displaystyle V=-{1 \over 2}n^{2}=-{1 \over 2}n\_{0}^{2}+{1 \over 2}ayn\_{0}^{2}}
Bevegelsesligningen *d* **v**/*dτ* = - **∇***V* gir da at hastigheten *vx* i *x*-retning er konstant, mens hastigheten *vy* i *y*-retning er utsatt for en konstant akselerasjon *g* = - (1/2)*an*02. Dette tilsvarer problemet med kast av ball i tyngdefeltet. Ved tiden τ = 0 er *vx* = *n*0 sin *θ*0 og *vy* = *n*0 cos *θ*0 da *v*2 = *n*02 ved dette tidspunktet, det vil si for *x* = 0 der *y* = 0. Ved senere tidspunkt blir da *x* = *n*0 sin *θ*0*τ* og

{\displaystyle y=n\_{0}\cos \theta \_{0}\tau -{1 \over 4}an\_{0}^{2}\tau ^{2}}
Eliminerer man her den tidsvariable τ mellom disse to uttrykkene, finner man lett at

{\displaystyle y=x\cot \theta \_{0}-{ax^{2} \over 4\sin ^{2}\theta \_{0}}}
som er akkurat resultatet som ble tidligere funnet.

Referanser
----------

1. ↑   O. Darrigol, *A History of Optics*, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.
2. ↑   E. Hecht, *Optics*, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
3. 1 2   M. Born and E. Wolf, *Principles of Optics*, Pergamon Press, Oxford (1980). ISBN 0-08-026482-4.
4. ↑   J.L. Synge, *Geometrical Optics*, Cambridge University Press (1962). ISBN 978-0-521-06590-0.
5. ↑   E. Grønvoll og Ø. Grøn, *Fra Fysikkens Verden*, no. 3, p. 72 (2012)

Litteratur
----------

* F. A. Jenkins and H. E. White, *Fundamentals of Optics*, McGraw-Hill Book Company, New York (1957).

Eksterne lenker
---------------

* R.P. Feynman, *Principle of Least Time*, Feynman Lectures on Physics

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica
 |