Grafisk fremstilling av Gauss-kurven i blått. Gauss-integralet gir størrelsen til arealet i rødt under kurven.
**Gauss-integralet** gir arealet under Gauss-kurven *y* = *e*−*x*2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Beregning
---------

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet *I* direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

{\displaystyle I\_{0}^{2}=\int \_{-\infty }^{+\infty }\int \_{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy}
som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater *x* = *r* cos*θ* og *y* = *r* sin*θ*. Det gir

{\displaystyle I\_{0}^{2}=\int \_{0}^{2\pi }\!d\theta \int \_{0}^{\infty }\!dr\,re^{-r^{2}}=2\pi \cdot {1 \over 2}=\pi }
hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre *t* = *r*2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien *I*0 = √*π*  av Gauss-integralet.

Relaterte integral
------------------

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}
Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren *a*, finner man at

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}{1 \over 2a}}
Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral. 

En videre generalisering av Gauss-integralet er

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}+bx}={\sqrt {\pi \over a}}\;e^{b^{2}/4a}}
som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

{\displaystyle ax^{2}-bx=a(x-b/2a)^{2}-{b^{2} \over 4a}}
og så skifte integrasjonsvariabel til *y* = *x* - *b*/2*a*.

Sammenheng med gammafunksjonen
------------------------------

Ved å bruke *t* = *x*2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int \_{0}^{\infty }\!dt\,t^{-1/2}e^{-t}=\Gamma (1/2)}
Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √*π* for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel, 

{\displaystyle I\_{2n}=\int \_{-\infty }^{\infty }\!dx\,x^{2n}e^{-x^{2}}=\int \_{0}^{\infty }\!dt\,t^{n-1/2}e^{-t}=\Gamma (n+1/2)}
igjen etter substitusjonen *x* → *t* = *x*2 slik at *dt* = 2*xdx*. For *n* = 1 gir dette *I*2 = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √*π* /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Se også
-------

* Normalfordeling
* Gammafunksjon

Litteratur
----------

* T. Lindstrøm, *Kalkulus*, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker
---------------

* K. Conrad, University of Connecticut, *The Gaussian Integral*

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |