To punkter med tilhørende koordinatsett angitt med polarkoordinater
Et **polarkoordinatsystem** er et koordinatsystem hvor hvert punkt i et  plan er bestemt ut ifra avstanden fra et gitt punkt (vanligvis origo) og vinkel i forhold til X-aksen. I et vanlig kartesisk koordinatsystem blir punktene bestemt ut ifra avstanden til hver koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinater er at man angir alle punkter ved hjelp av følgende informasjon:

* Punktets **vinkel** (grader eller radianer ) i forhold til hva man ville kalle *x*-aksen i et rektangulært koordinatsystem, θ.
* Punktets **avstand** fra origo, *r*.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinater
----------------------------------------------------

Et diagram som viser forholdet mellom polare og karteiske koordinater.
Omregning polarkoordinater til kartesiske koordinater kan gjøres ved:

{\displaystyle x=r\cos \theta \,}
{\displaystyle y=r\sin \theta ,\,}
Mens omregningen fra karteiske koordinater til poolarkoordinater kan gjøres ved:

{\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad } (Gitt ved Pythagoras’ læresetning), og
{\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{hvis }}x\geq 0\\\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\\end{cases}}}
Alle disse formlene forutsetter at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gir en løsning i intervallet [−*π*/2,+*π*/2], så formelen for *θ* vil gi en løsning i intervallet [−*π*/2,+*π*/2]. 
Dersom man vil finne *θ* i intervallet [0, 2*π*) kan man også bruke:

{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y<0\\0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\end{cases}}}

Anvendelse av polarkoordinater
------------------------------

En sirkel
En ligning uttrykt i polarkoordinater er kjent som en polar ligning. Normalt er disse ligningene gitt ved å definere *r* som en funksjon av θ. Denne definisjonen gir visse fordeler i anvendelsen av polarkoordinater i forhold til hva man kan oppnå med rektangulære. Særlig fordelaktig er det å bruke polarkoordinater hvor det inngår noe sirkulært. Det enklest tenkelige eksempel er å fremstille en sirkel. Her er definisjonen av en sirkel med radius 1. 

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=r\cdot \cos \theta \\y=r\cdot \sin \theta \end{matrix}}\right\}\quad ,r=1\quad ,\quad \theta \in [0,2\pi ]}

Lengden til det bevegelige punktet, settes altså konstant til å være lik én, som altså er avstanden fra origo til periferien. Deretter settes vinkelen til å variere mellom 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvor hele sirklen er med.

### Arkimedisk spiral

En arm av en arkimedisk spiral ligningen *r*(θ) = θ for 0 < θ < 6π
En arkimedisk spiral er en spiral som ble oppdaget av Arkimedes, som kan forklares med polarkoordinater. Spiralen har formelen

{\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}
Ved å forandre *a* vil spiralen skifte form, mens ***b*** er distansen mellom kurvene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Den Arkimediske spiralen har to kurver, en for θ > 0 og en for θ < 0. De to kurvene starter i origo. Sett bort fra kjeglesnittene var denne kurven blant de første til å bli beskrevet. Kurven er også et godt eksempel på kurver som blir best beskrevet med polarkoordinater.

### Polar rose

En polar rose med ligning: *r*(θ) = 2 sin 4θ
En polar rose er en matematisk kurve som ser ut som en blomst med kronblader, denne kan defineres som en enkel polar ligning.

{\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi \_{0})\,}
For enhver konstant {\displaystyle \phi \_{0}} (Inkludert 0). Dersom *k* er et heltall vil disse ligningene gi kurver hvor «blomsten» har *k* kronblader når *k* er et oddetall og 2*k* kronblader når *k* er et partall. Dersom *k* er et rasjonalt tall, men ikke et heltall vil man også få frem en blomst hvor kronbladene overlapper hverandre. Her må imidlertid definisjonsintervallet for kurven være større enn [0, 2π) for at «blomsten» skal bli komplett. Merk at det er umulig å definere en kurve hvor man får {\displaystyle 4n+2}, hvor n er et heltall, kronblader.
Variabelen *a* angir lengden på kronbladene.

### Kjeglesnitt

Alle kjeglesnittene kan også uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater gjennom formelen:

{\displaystyle r={p \over {1+e\cos \theta }}}
Hvor *e* er eksentrisiteten og *p* er semi latus rectum

Derson *e* > 1, vil ligningen gi en hyperbel; *e* = 1 gir en parabel mens *e* < 1 gir oss en ellipse. Spesialtilfellet *e* = 0 vil gi en sirkel mad radius *p*.

Anvendelse i tre dimensjoner
----------------------------

Polarkoordinater kan også anvendes til bruk i tre dimensjoner. Kulekoordinater og sylinderkoordinater inneholder begge polarkoordinatplanet, utvidet med en ekstra akse. De er viktige eksempel på mer generelle, krumlinjete koordinater.

### Sylinderkoordinater

Punktet P plottet med sylinderkoordinater
Sylinderkoordinater systemet er en utvidelse av polarkoordinater med en ekstra z-akse, på samme måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjoner. Den tredje koordinaten er vanligvis uttrykt med en *h* eller en *z*, som beskriver høyden til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatene blir da skrevet (*r*, *θ*, *z*).

Sammenhengen mellom de tre sylinderkoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene blir

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}
### Kulekoordinater

Punktet P angitt ved kulekoordinater.
Kulekoordinatsystemet er et koordinatsystem basert på polarkoordinater. Kulekoordinater skiller seg fra polarkoordinater ved at høyden fra xy-planet blir beskrevet av en vinkel *φ* fra z-aksen. Avstanden fra origo er *ρ* slik at radien i xy-planet blir *r* = *ρ* sin*φ*. Vinkelen *φ* varierer med en størrelsene 0°-180° eller 0-π radianer. De tre koordinatene blir da skrevet (*ρ, θ, φ*).

Sammenhengen mellom de tre kulekoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene er dermed

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}
Betegnelsene for disse tre koordinatene varierer. I fysikk og mer praktiske anvendelser er det vanlig å bytte navnene til de to vinklene. Ofte blir også avstanden fra origo gitt ved *r* i stedet for *ρ* slik at de kartesiske koordinatene kan skrives som

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta .\end{aligned}}}

Litteratur
----------

* J. Mathews and R.L. Walker, *Mathematical Methods of Physics*, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
* M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

  


|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND
 |