Hver egenvektor for spinn-1/2 tilsvarer et punkt på en kuleflate eller Bloch-sfære.
**Pauli-matriser** er tre 2 × 2 matriser som ble innført av Wolfgang Pauli for å beskrive ikke-relativistiske partikler med spinn-1/2. De er hermitiske og kan benyttes til å beskrive alle andre kvantemekaniske system som har et todimensjonalt Hilbert-rom. 

Et viktig eksempel er en qubit som er den minste enheten i en kvantedatamaskin. Tillatte tilstander for slike system kan representeres av punkter på en kuleflate som kalles en «Bloch-sfære».

Matrisene er definerte som:

{\displaystyle \sigma \_{1}=\sigma \_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{2}=\sigma \_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{3}=\sigma \_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
hvor *i* = √-1 er den imaginære enheten. De utgjør den fundamentale representasjonen av generatorene til Lie-gruppen SU(2) som beskriver rotasjoner. Samtidig kan de betraktes som basiselementene i Clifford-algebraen Cℓ(3,0). Dirac-ligningen og dens løsninger for relativistiske partikler med spinn-1/2 er fundert på Pauli-matriser.

Algebraiske egenskaper
----------------------

Ved direkte utregning finner man

{\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}=\sigma \_{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
hvor {\displaystyle I} er 2 × 2 enhetsmatrisen. Den blir ofte utelatt i mange sammenhenger der den ikke har noen betydning. Når matrisene er forskjellige, finner man på samme måte

{\displaystyle \sigma \_{1}\sigma \_{2}=-\sigma \_{2}\sigma \_{1}=i\sigma \_{3}}
{\displaystyle \sigma \_{2}\sigma \_{3}=-\sigma \_{3}\sigma \_{2}=i\sigma \_{1}}
{\displaystyle \sigma \_{3}\sigma \_{1}=-\sigma \_{1}\sigma \_{3}=i\sigma \_{2}}
Det betyr at {\displaystyle \sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{3}=i.} Disse forskjellige produktene kan sammenfattes delvis i kommutatoren

{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma \_{a},\sigma \_{b}\right]&\equiv \sigma \_{a}\sigma \_{b}-\sigma \_{b}\sigma \_{a}\\&=2i\varepsilon \_{abc}\sigma \_{c}\end{aligned}}}
når man benytter det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet og Einsteins summekonvensjon, samt antikommutatoren

{\displaystyle {\begin{aligned}\{\sigma \_{a},\sigma \_{b}\}&\equiv \sigma \_{a}\sigma \_{b}+\sigma \_{b}\sigma \_{a}\\&=2\delta \_{ab}\end{aligned}}}
ved bruk av Kronecker-deltaet. Addisjon av disse to uttrykkene gir den fundamentale sammenhengen

{\displaystyle \sigma \_{a}\sigma \_{b}=\delta \_{ab}+i\varepsilon \_{abc}\sigma \_{c}}
Den inneholder alle de algebraiske egenskapene til Pauli-matrisene.

I tillegg til at matrisene er hermitiske, har også deres determinanter (det) og spor (tr) bestemte verdier,

{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\sigma \_{a}}&=-1\\{\text{tr}}\,\sigma \_{a}&=0\end{aligned}}}
Grunnen for dette er at de alle har de samme to egenverdiene +1 og -1.

Pauli-vektorer
--------------

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å betrakte de tre Pauli-matrisene som komponentene til en vektor {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma \_{x},\sigma \_{y},\sigma \_{z}).} Det gjør det mulig å beregne dens komponent langs en vilkårlig annen vektor **u** = (*ux*, *uy*, *uz* } som

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} =\sigma \_{x}u\_{x}+\sigma \_{y}u\_{y}+\sigma \_{z}u\_{z}={\begin{pmatrix}u\_{z}&u\_{x}-iu\_{y}\\u\_{x}+iu\_{y}&-u\_{z}\end{pmatrix}}}
På denne måten konstrueres en «Pauli-vektor» med determinant 

{\displaystyle \det({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )=-(u\_{x}^{2}+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2})=-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }
Dens kvadrat kan skrives som 

{\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )^{2}={\begin{pmatrix}u\_{x}^{2}+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2}&0\\0&u\_{x}^{2}+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2}\end{pmatrix}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }
når man dropper enhetsmatrisen på høyre side.

Mer generelt produktet mellom to forskjellige Pauli-vektorer

{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {v} )&=\sigma \_{a}\sigma \_{b}u\_{a}v\_{b}=(\delta \_{ab}+i\varepsilon \_{abc}\sigma \_{c})u\_{a}v\_{b}\\&=\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\end{aligned}}}
da vektorproduktet kan uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet som inngår i det siste leddet.

Pauli-matrisene kan benyttes ved Lorentz-transformasjoner slik de opptrer i kovariant relativitetsteori. Sammen med enhetsmatrisen utgjør de da en firevektor med kovariante komponenter {\displaystyle \sigma \_{\mu }=(I,{\boldsymbol {\sigma }}).} Hvis nå {\displaystyle u^{\mu }=(u\_{0},\mathbf {u} )} er en firevektor, kan den fremstilles som en kovariant Pauli-vektor

{\displaystyle u^{\mu }\sigma \_{\mu }=u\_{0}I+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}u\_{0}+u\_{z}&u\_{x}-iu\_{y}\\u\_{x}+iu\_{y}&u\_{0}-u\_{z}\end{pmatrix}}}
Dens determinant er nå

{\displaystyle \det(u^{\mu }\sigma \_{\mu })=u\_{0}^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\eta \_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}
slik at metrikken i Minkowski-rommet kommer riktig ut.

Bloch-sfære
-----------

Wolfgang Pauli viste at en partikkel med spinn *s* = 1/2 har en spinnvektor som kan fremstilles ved de tre matrisene 

{\displaystyle \mathbf {S} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}={\hbar \over 2}(\sigma \_{x},\sigma \_{y},\sigma \_{z})}
hvor *ħ* er den reduserte Planck-konstanten. De to egenverdiene ±1 til *σz* tilhører to ortogonale egenvektorer som representeres ved spinorene

{\displaystyle \psi (+z)=\,\uparrow \;={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \psi (-z)=\,\downarrow \;={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
der {\displaystyle \sigma \_{z}\!\uparrow =+\!\uparrow } og {\displaystyle \sigma \_{z}\!\downarrow =-\!\downarrow .} Man sier derfor at de to tilstandene beskriver et spinnet som peker i retning +*z* eller den motsatte retningen -*z*.

Spinn i andre retninger kan beskrives ved spinorer på den generelle formen {\displaystyle \psi =a\!\uparrow +\,b\!\downarrow } hvor *a* og *b* er komplekse komponenter. For eksempel er

{\displaystyle \psi (+y)={\sqrt {\textstyle {1 \over 2}}}(\uparrow +\,i\!\downarrow )={\sqrt {1 \over 2}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}
en egentilstand for *σy* med egenverdi +1. Spinoren beskriver tilstanden hvor spinnet peker langs *y*-aksen.

Spinn i en vilkårlig retning gitt i kulekoordinater ved enhetsvektoren **n** = (sin*θ*cos*φ*, sin*θ*sin*φ*, cos*θ*), må tilsvare en egentilstand av matrisen

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \,e^{-i\phi }\\\sin \theta \,e^{i\phi }&-\cos \theta \end{pmatrix}}}
med egenverdi +1. Den kan finnes mest direkte ved å rotere egentilstanden {\displaystyle \uparrow } med spinnet langs *z*-aksen slik at det får sin retning langs **n**. Anvendes rotasjonsmatrisene for spinn-1/2, først med *θ* om *y*-aksen og så *φ* om *z*-aksen, går spinoren over til

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (+\mathbf {n} )&=e^{-i\sigma \_{z}\phi /2}e^{-i\sigma \_{y}\theta /2}\uparrow \\&={\begin{pmatrix}e^{-i\phi /2}&0\\0&e^{i\phi /2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}&-\sin {\theta \over 2}\\\sin {\theta \over 2}&\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi /2}\\\sin {\theta \over 2}e^{i\phi /2}\end{pmatrix}}=e^{-i\phi /2}{\big (}\textstyle {\cos {\theta \over 2}}\uparrow +\;e^{i\phi }\sin {\textstyle {\theta \over 2}}\downarrow \!{\big )}\end{aligned}}}
Hver slik egentilstand er éntydig gitt ved koordinatene (*θ*, *φ*) som angir et punkt på en kuleflate. Denne kalles ofte for en «Bloch-sfære» etter Felix Bloch når den anvendes i denne sammenhengen.

Se også
-------

* Kvantisert dreieimpuls
* Pauli-ligning

Referanser
----------

1. ↑   R. Penrose, *The Road to Reality*, Jonathan Cape, London (2004). ISBN 0-224-04447-8.
2. 1 2   D.J. Griffiths, *Quantum Mechanics*, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
3. ↑   J.J. Sakurai, *Modern Quantum Mechanics*, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.
4. ↑   C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, *Gravitation*, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
5. ↑   E.W. Weisstein, *Bloch Sphere*, Wolfram MathWorld.

Eksterne lenker
---------------

* Professor M, The Pauli matrices, Youtube video.
* E.W. Weisstein, Pauli Matrices, Wolfram MathWorld
* B. Zwiebach, Spin One-half, Bras, Kets, and Operators, MIT OpenCourseWare, YouTube video (2013).