En del av kvadratrisen (i rødt) fremkommer som skjæringspunktet mellom to bevegelige linjestykker.
**Kvadratrise** er en matematisk kurve som opprinnelig ble konstruert i antikkens Hellas for å løse problemet med vinkelens tredeling. Dette tilskrives Hippias fra Elis slik at den opprinnelig ble kalt **trisektrisen til Hippias**. Noe senere ble det vist at den kunne også løse problemet med sirkelens kvadratur, det vil si å konstruere et kvadrat med samme areal som innenfor en sirkel. Det var denne anvendelsen som ga kurven navnet **kvadratrise**. Etter linjen og sirkelen var dette den tredje kurven som fikk sitt eget navn.

Kurven fremkommer ved å betrakte to linjestykker i planet. Det ene roterer med jevn hastighet om et fast punkt *A*, mens det andre beveger seg med konstant hastighet parallelt til et annet linjestykke *AB* og vinkelrett på dette. Skjæringspunktet *F* mellom disse to linjestykkende genererer kvadratrisen når begge linjestykkende når den horisontale posisjonen samtidig. Det roterende linjestykket beskriver en kvart sirkelbue *DB* etter at det har rotert 90° fra utgangspunktet.

Matematisk beskrivelse
----------------------

For en matematisk beskrivelse av kvadratrisen er det enklest å tenke seg at den fremkommer ved den motsatte bevegelsen hvor de begge beveger seg fra en horisontal utgangsposisjon. Det roterende linjestykket vil da i hvert tidspunkt *t* danne en vinkel *φ = ωt* med den horisontale aksen hvor *ω* er den konstante rotasjonshastigheten. Punktet *F* vil samtidig ha beveget seg et stykke *y = vt* i vertikal retning når begge bevegelsene starter ved tiden *t = 0*.

Etter en viss tid *T* er rotasjonen på 90° fullført. Da dette tilsvarer *π/2* radianer, må derfor vinkelhastigheten være slik at *π/2 = ωT*. Den parallelle bevegelsen av linjestykket *AB* må da være slik at ved samme tidspunkt *T* har det tilbakelagt en strekning *a = vT* hvor *a* er lengden av sidene *AB = AD*. Det betyr at *ω/v = π /2a* slik at kvadratrisen er gitt ved den matematiske betingelsen

{\displaystyle {y \over a}={2 \over \pi }\phi }
som alltid må være oppfylt. En fullstendig ligning for kurven avhenger av hvilke koordinater man vil benytte.

Ved bruk av polarkoordinater innfører man avstanden *r* = |*AF* | som en ny koordinat. Da er *y = r* sin*φ*. Dermed kan ligningen for kvadratrisen i koordinatsystemet *(r,φ)* skrives som

{\displaystyle {r \over a}={2 \over \pi }{\phi \over \sin \phi }}
Når helningsvinkelen *φ → 0*, vil sin*φ → φ* slik punktet *F* blir liggende på den horisontale aksen i en avstand *r/a = 2/ π* fra *A*. Denne ligningen er nå gyldig for  *- π < φ < π* . I grensen *φ → ± π* vil punktet *F* bevege seg uendelig langt ut til venstre i diagrammet.

Kvadratrisen for *a = 1* plotted med *x*-aksen rettet i horisontal retning mot høyre og *y*-aksen pekende oppover.
Hvis man i stedet benytter et kartesisk koordinatsystem *(x,y)* med *x*-aksen langs *AB*, origo i det faste punktet *A* og med *y*-aksen langs *AD*, vil man ha at *x = r* cos*φ* i tillegg til at *y = r* sin*φ*. Derfor er *x/y* = cot*φ* som etter innsettelse for *φ* gir den kartesiske ligningen for kurven,

{\displaystyle x=y\cot {\pi y \over 2a}\,.}
Når *y* øker, går *x* mot null for *y = a*. For større verdier av *y* blir *x* stadig mer negativ og går mot minus uendelig når *y → 2a*. Det tilsvarer at *y* går mot grensen *φ = π*.

På denne formen kan kurveligningen nå også plottes for *y > 2a*. Man finner da en ny gren av funksjonen når *y* øker i intervallet *2a < y < 4a*, mens *x* avtar fra positiv uendelig til minus uendelig. Slik vil kvadratrisen i kartesiske koordinater fremstå som en kurve bestående av uendelig, ikke-sammenhengende grener som vist i figuren til venstre.

Sirkelens kvadratur
-------------------

Hvordan kvadratrisen med *a = 1* kan brukes til å løse problemet med sirkelens kvadratur.
Den greske filosof Proklos skriver at det var Hippias fra Elis som konstruerte denne kurven for å løse problemet med vinkelens tredeling. Noe senere gjorde en annen, gresk matematiker Dinostratos bruk av den til å løse problemet med sirkelens kvadratur. Han var bror til Menaikhmos og begge hadde vært elever av Platon. Siden den tid er kurven blitt omtalt som **kvadratrisen**.

Sirkelens kvadratur går ut på å bestemme siden i et kvadrat som har like stort areal som innenfor en sirkel. I moderne notasjon betyr det å bestemme verdien på konstanten *π* eller mer nøyaktig, bestemme √π . Løsningen til Hippias tilsvarer den geometriske konstruksjonen vist i figuren til høyre. Hvis man setter lengden til siden *AB* lik med *a = 1*, vil lengden *AJ* være lik *2/π*  ut fra hvordan kvadratrisen er definert. Det gir i praksis allerede verdien på *π* .

En mer eksplisitt verdi fåes ved å trekke et linjestykke *JK* med lengde *a = 1*, parallelt til siden *BC* og dens forlengelse. Skjæringspunktet *L* med denne og forlengelsen av *AK* gir da linjestykket *BL* med lengde *π/2*. Dette linjestykket sammen med et av lengde *1/2* brukes så som diameter *NQ* i en halvsirkel. Normalen *OR* på denne diameteren vil dermed bli *mellomproporsjonalen* eller den geometriske middelverdien av lengdene *NO* og *OQ*. Og det er *√π/2* som inneholder løsningen på problemet.

Litteratur
----------

* A. Holme, *Matematikkens historie, vol. 1*, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
* C. B. Boyer, *A History of Mathematics*, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker
---------------

* E.W. Weisstein, Quadratrix of Hippias, MathWorld.
* MacTutor, Quadratrix of Hippias, University of St. Andrews, Scotland.