Linjen *y* = 2 - *x*/2 i planet har ikke-homogene linjekoordinater (-1/2, 2). 
**Linjekoordinater** benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD.

Rette linjer
------------

En linje i planet med kartesiske koordinater {*x, y* } kan beskrives ved ligningen *y = ax* + *b*. Her angir *a* stigningstallet og *b* gir skjæringspunktet med *y*-aksen der *x* = 0. Dermed kan (*a, b* ) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som (*x, y* ) er koordinatene til et punkt. 

Mens den lineære ligningen *y = ax* + *b* beskriver punkt langs en rett linje med koordinater (*a, b* ), kan man også betrakte den når punktet (*x, y* ) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (*a, b* ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning *f*(*x,y* ) = 0 som har en løsning *y* = *y*(*x*). Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter *t* slik at *x* = *x*(*t*) og *y* = *y*(*t*). På samme måte vil løsningen til en ligning *g*(*a,b* ) = 0 mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som *a* = *a*(*t* ) og *b* = *b*(*t* ). Den beskriver de rette linjene *y* = *a*(*t* )*x* + *b*(*t* ) som utgjør en **linjeskare**. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene..

Homogene koordinater
--------------------

De to linjekoordinatene (*a, b* ) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med *y*-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

{\displaystyle ux+vy+w=0}
Nå vil linjekoordinatene (*u, v, w* ) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon i planet. Men multipliseres de med en konstant *k*, vil (*ku, kv, kw* ) angi den samme linjen som (*u, v, w* ). De sies derfor å være **homogene linjekoordinater** av samme type som benyttes i projektiv geometri.

Som et eksempel har linjen *y* = 2 - *x*/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

### Projektivt plan

I det projektive planet **RP**2 definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (*x, y, z* ). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved *z* = 0, kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge *z* = 1 da disse koordinatene er homogene.

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

{\displaystyle ux+vy+wz=0}
der (*u, v, w* ) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens *x*-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og *y*-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

Linjer i rommet
---------------

På parameterform kan en linje i rommet skrives som **r** = **n***t* + **r**0 hvor vektoren **n** angir dens retning og punktet **r**0  ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen **n** behøver bare to koordinater, mens punktet **r**0  kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være *xz*- og *yz*-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

{\displaystyle x=rz+\rho ,\;\;\;y=sz+\sigma }
hvor (*r, s, ρ, σ* ) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt **x** = (*x*1,*x*2,*x*3) og **y** = (*y*1,*y*2,*y*3) som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene **n** = **x** - **y** og **m** = **x** × **y**. Her gir **n** retningen i rommet til linjen, mens komponentene til **m** angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene **x** og **y** danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed *r* = *nx*/*nz*, *s* = *ny*/*nz*, *ρ* = - *my*/*nz* og *σ* = - *mx*/*nz* slik at de seks komponentene (**n**; **m**) = (*nx*, *ny*, *nz*; *mx*, *my*, *mz*) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren **m** alltid er vinkelrett på **n** som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir *Plücker-betingelsen* **m** ⋅ **n** = 0 og derfor effektivt bare fire frie koordinater.

### Projektivt rom

Hvis hvert punkt **x** i det tredimensjonale, projektive rommet **RP**3 beskrives ved fire homogene koordinater (*x*0,*x*1,*x*2,*x*3), vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta *x*0 = 1. De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt **x** og **y** kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen *P* = (*Pij* ) med elementer

{\displaystyle P\_{ij}=x\_{i}y\_{j}-x\_{j}y\_{i}}
De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette *x*0 = *y*0 = 1 som gir **n** = (*P*10,*P*20,*P*30) og **m** = (*P*23,*P*31,*P*12). Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten det *P* = 0.

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen *u*1*x*1 + *u*2*x*2 + *u*3*x*3 + *u*0 = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren **u** = (*u*1,*u*2,*u*3) retningen til planets normal, mens *u*0 er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

{\displaystyle u\_{0}x\_{0}+u\_{1}x\_{1}+u\_{2}x\_{2}+u\_{3}x\_{3}=0}
som viser at (*u*0,*u*1,*u*2,*u*3) er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen
*P* = (**n**; **m**) er nå gitt ved

{\displaystyle x\_{i}=\sum \_{j=0}^{3}P\_{ij}u\_{j}}
som gir *x*0 = - **n**⋅**u** og **x** = **n***u*0 - **m**×**u**. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene **n** og **u** stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet **n**⋅**u** = 0. Da er den homogene koordinaten *x*0 = 0 som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

### Dualitet

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for *dualitet* som er av sentral betydning i projektiv geometri.

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (*u*0,**u**) og (*v*0,**v**) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet **n** = **u**×**v** som inngår i en ny Plücker-matrise *Q* = (*Qij* ) for linjen. Da punkter (*x*0,**x**) på denne ligger på begge planene, må man ha **u**⋅**x** + *u*0*x*0 = 0 og **v**⋅**x** + *v*0*x*0 = 0. Sammen gir de betingelsen **m**⋅**x** = 0 der **m** = **u***v*0 - **v***u*0. Dermed har man de duale Plücker-koordinatene *Q* = (**n**;**m**) hvor betingelsen **n**⋅**m** = 0 er oppfylt. 

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

{\displaystyle Q\_{ij}=u\_{i}v\_{j}-u\_{j}v\_{i}}
der **n** = (*Q*23,*Q*31,*Q*12) og **m** = (*Q*10,*Q*20,*Q*30). Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (*u*0,**u**) for planet som en vilkårlig linje *Q* = (**n**;**m**) danner med et annet punkt (*x*0,**x**),

{\displaystyle u\_{i}=\sum \_{j=0}^{3}Q\_{ij}x\_{j}}
Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.

Referanser
----------

1. ↑   F. Klein, *Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus*, Verlag von Julius Springer, Berlin (1925).
2. ↑   R. Tambs Lyche, *Matematisk Analyse I*, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
3. 1 2   R. Fenn, *Geometry*, Springer-Verlag, London (2001). ISBN 1-85233-058-9.
4. 1 2   J. Plücker, *Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement*, Teubner, Leipzig (1868).
5. 1 2 3   D. Pedoe, *A Course of Geometry for Colleges and Universities*, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.

Eksterne lenker
---------------

* Kristian Ranestad, *Linjegeometri*, norsk foredrag (2006).