Innen matematikk er **Sobolev-rom** et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et {\displaystyle L^{p}}-rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men *ikke* i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av {\displaystyle L^{p}}-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For {\displaystyle p=2}, altså der funksjonene og deres deriverte er L^{2}-funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon
----------

La {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} for {\displaystyle n\geq 1}, {\displaystyle s} et ikke-negativt heltall og {\displaystyle p} et tall slik at {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }. *Sobolev-rommet* {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )} består av alle lokalt deriverbare funksjoner {\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} } slik at for alle multiindekser {\displaystyle \alpha } slik at {\displaystyle |\alpha |\leq k}, eksisterer de (svake) deriverte {\displaystyle D^{\alpha }u} og tilhører {\displaystyle L^{p}(\Omega )}.

Dersom {\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )} definerer vi den tilhørende *normen* til å være

{\displaystyle ||u||\_{W^{k,p}(\Omega )}={\begin{cases}\sum \_{|\alpha |\leq k}{\Big (}\int \_{\Omega }|D^{\alpha }u|^{p}dx{\Big )}^{1/p}\qquad {\text{hvis }}1\leq p<\infty \\\sum \_{|\alpha |\leq k}\operatorname {ess} \sup \_{\Omega }|D^{\alpha }u|\qquad {\text{hvis }}p=\infty \end{cases}}}
der

{\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial u^{|\alpha |}}{\partial x\_{1}^{\alpha \_{1}}...\partial x\_{n}^{\alpha \_{n}}}}}
for en vektor {\displaystyle \alpha =(\alpha \_{1},...\alpha \_{n})} der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\leq k}.

Normen over er ekvivalent med normen

{\displaystyle ||u||\_{W^{k,p}(\Omega )}=\sum \_{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }||\_{L^{p}(\Omega )}}
for {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }.

Egenskaper
----------

### Lineære egenskaper

La {\displaystyle u,v\in W^{k,p}(\Omega )}, og {\displaystyle |\alpha |\leq k}. Da gjelder

1. {\displaystyle D^{\alpha }u\in W^{k-|\alpha |,p}(\Omega )}
2. {\displaystyle D^{\beta }(D^{\gamma }u)=D^{\gamma }(D^{\beta }u)=D^{\gamma +\beta }u} dersom {\displaystyle \beta } og \gamma  er multiindekser slik at {\displaystyle |\beta |+|\gamma |\leq k}
3. Hvis {\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} } er også {\displaystyle \lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\Omega )}
4. Hvis {\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} } er {\displaystyle D^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha }(u)+\mu D^{\alpha }v}
5. Hvis A er en åpen delmengde av {\displaystyle \Omega } er {\displaystyle u\in W^{k,p}(A)}
6. Dersom {\displaystyle f\in C\_{c}^{\infty }(U)} (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også {\displaystyle fu\in W^{k,p}(\Omega )}, og
{\displaystyle D^{\alpha }(fu)=\sum \_{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }D^{\beta }fD^{\alpha -\beta }u} (Leibniz' formel).

### Kompletthet

For enhver {\displaystyle k=1,2,...} er Sobolev-rommet {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )} komplett, og dermed et Banach-rom.

Utvidelser
----------

Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}, der {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet {\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}, altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i *utvidelsesteoremet*, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

### Utvidelsesteoremet

Dersom {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} er begrenset og randen {\displaystyle \partial \Omega } er kontinuerlig (i {\displaystyle C^{1}}). Da finnes det en begrenset lineær operator E

{\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}
slik at for enhver {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}, er

{\displaystyle Eu=u} nesten overalt i {\displaystyle \Omega },
og

{\displaystyle ||Eu||\_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||\_{W^{1,p}(\Omega )}}
der {\displaystyle C} er en konstant avhengig av {\displaystyle p} og {\displaystyle \Omega }. E kalles for *utvidelsen* av {\displaystyle u} til {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Traser
------

I flere tilfeller er det interessant å studere randen av {\displaystyle \Omega }, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i {\displaystyle {\overline {\Omega }}} (tillukningen av den åpne mengden {\displaystyle \Omega }) har den allerede slike verdier; en generell {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )} kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

### Traseteoremet

Anta at {\displaystyle 1\leq p<\infty }, og at {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} er begrenset og at randen {\displaystyle \partial \Omega } er kontinuerlig (i {\displaystyle C^{1}}). Da finnes det en begrenset lineær operator

{\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}
slik at

1. {\displaystyle Tu=u|\_{\partial U}} dersom {\displaystyle u\in C({\overline {\Omega }})}

og

1. {\displaystyle ||Tu||\_{L^{p}(\partial U)}\leq C||u||\_{W^{1,p}(\Omega )}}

for alle {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}, der C er en konstant avhengig av {\displaystyle p} og {\displaystyle \Omega }. T kalles for *sporet* til {\displaystyle u} på {\displaystyle \partial \Omega }.

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av {\displaystyle \Omega }, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}.

### Traser med verdi 0

Anta at {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} er begrenset og at randen {\displaystyle \partial \Omega } er kontinuerlig (i {\displaystyle C^{1}}), samt at {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}. Da er

{\displaystyle u\in W\_{0}^{1,p}(\Omega )} hvis og bare hvis {\displaystyle Tu=0} på {\displaystyle \partial \Omega }.
Her betegner {\displaystyle W\_{0}^{1,p}(\Omega )} mengden av alle funksjoner {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )} som er slik at det finnes en følge {\displaystyle \{u\_{m}\}\_{m=1}^{\infty }} av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ({\displaystyle u\_{m}\in C\_{c}^{\infty }(\Omega )} for alle m) som konvergerer til {\displaystyle u} med hensyn på normen {\displaystyle ||\cdot ||\_{W^{1,p}(\Omega )}}.

Sobolev-ulikhetene
------------------

Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom *n*, *p* og *k* sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og {\displaystyle L^{p}}-rom.

For {\displaystyle 1\leq p<n} kan man definere *den Sobolev-konjugerte* av p til å være

{\displaystyle p^{\*}:={\frac {np}{n-p}}}
hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom {\displaystyle X,Y} slik at {\displaystyle X\subset Y} sier vi at X er *kompakt embeddet* i Y dersom

1. {\displaystyle ||u||\_{y}\leq C||u||\_{X}} for alle {\displaystyle u\in X}, for en konstant {\displaystyle C}, og
2. for hver begrenset følge {\displaystyle \{u\_{k}\}\_{k=1}^{\infty }} i X har denne en konvergent delfølge:
{\displaystyle \lim \_{j\to \infty }||u\_{k\_{j}}-u||\_{Y}=0}.

### Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten

Anta at {\displaystyle 1\leq p<n}. Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

{\displaystyle ||u||\_{L^{p\*}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||Du||\_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}
for alle {\displaystyle u\in C\_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}.

Her betegner {\displaystyle C\_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})} rommet av *alle kontinuerlige funksjoner {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } med kompakt støtte*. Denne ulikheten ble bevist for {\displaystyle 1<p<\infty } av Sergei Sobolev, og for {\displaystyle p=1} både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )} er slik at {\displaystyle Du=0} nesten overalt i {\displaystyle \Omega }, så er også {\displaystyle u=0} nesten overalt i {\displaystyle \Omega }. Videre impliserer det også at for alle {\displaystyle q\in [1,p\*]} gjelder ulikheten

{\displaystyle ||u||\_{L^{q}(\Omega )}\leq C||Du||\_{L^{p}(\Omega )}}
der C er en konstant (kun) avhengig av {\displaystyle p}, {\displaystyle q}, n og {\displaystyle |\Omega |}.

### Morreys ulikhet

Anta at {\displaystyle n<p<\infty }. Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

{\displaystyle ||u||\_{C^{0,\gamma }(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||\_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}}
for alle {\displaystyle u\in C^{1}(\mathbb {R} )}, der {\displaystyle ||\cdot ||\_{C^{0,\gamma }}} angir Hölder-normen med eksponent \gamma , og \gamma  er gitt ved

{\displaystyle \gamma :=1-{\frac {n}{p}}}.
Hvis {\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}, så er {\displaystyle u} altså også *Hölder-kontinuerlig* med eksponent \gamma , gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l {\displaystyle u} over en mengde med mål 0.

### Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem

Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} og at randen {\displaystyle \partial U} er kontinuerlig. Anta videre at {\displaystyle 1\leq p<n}. Da er {\displaystyle W^{1,p}(U)} en kompakt embeddet i {\displaystyle L^{p}(U)} for alle {\displaystyle q\in [1,p^{\*})}.

Referanser
----------

1. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 260.
2. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 261.
3. ↑  Juha Kinnunen: *Sobolev spaces*, side 5.
4. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 263.
5. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 264.
6. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 270.
7. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, side 274.
8. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, side 275.
9. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, side 261.
10. 1 2  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 279.
11. 1 2  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 288.
12. ↑  Juha Kinnunen: *Sobolev spaces*, side 42.
13. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 281.
14. ↑  Juha Kinnunen: *Sobolev spaces*, side 46.
15. ↑  Evans: *Partial Differential Equations*, s. 282.

Litteratur
----------

* Lawrence C. Evans (2010). *Partial Differential Equations*. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3.
* Juha Kinnunen (2020). «Sobolev spaces» (PDF). Besøkt 13. mai 2020.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld **·** NKC
 |