Paul Dirac under en forelesning.
**Dirac-formalisme** elller **bra-ket-notasjon** benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst
vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En vektor **v** omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet {\displaystyle |v\rangle }, mens en dual vektor **u**\* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen {\displaystyle \langle u|}. Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som {\displaystyle \langle u|v\rangle .} På denne formen minner dette om en engelsk *bracket* hvor bokstaven *c* er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.

Matrisenotasjon
---------------

I et komplekst vektorrom {\displaystyle \mathbf {C} ^{N}} med en basis kan operatorer representeres som *N* × *N* matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er *vn* hvor indeksen *n* = 1, 2, ... *N*, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

{\displaystyle |v\rangle =(v\_{1},v\_{2},\ldots ,v\_{N})^{T}}
hvor *T* står for transponering.

Når en operator {\displaystyle {\hat {A}}} virker på denne, vil den gi en ny ketvektor {\displaystyle |v'\rangle ={\hat {A}}|v\rangle .} Da operatoren er representert ved matrisen *A* = (*Amn*) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

{\displaystyle v'\_{m}=\sum \_{n=1}^{N}A\_{mn}v\_{n}}
Den duale vektoren til ket-vektoren {\displaystyle |v\rangle } er bra-vektoren {\displaystyle \langle v|} med komponenter i en radvektor,

{\displaystyle \langle v|=(v\_{1}^{\*},v\_{2}^{\*},\ldots ,v\_{N}^{\*})}
Formelt finnes den fra kolonnevektoren {\displaystyle |v\rangle } ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.

Indreproduktet mellom en bra-vektor {\displaystyle \langle u|} og ket-vektoren {\displaystyle |v\rangle } kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle u|v\rangle &=\sum \_{n=1}^{N}u\_{n}^{\*}v\_{n}\\&=u\_{1}^{\*}v\_{1}+u\_{2}^{\*}v\_{2}+\ldots +u\_{N}^{\*}v\_{N}\end{aligned}}}
Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk
--------------

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor {\displaystyle |\psi \rangle } i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis I Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

{\displaystyle \langle m|n\rangle =\delta \_{mn}}
hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \_{n}\psi \_{n}|n\rangle }
hvor komponenten {\displaystyle \psi \_{n}=\langle n|\psi \rangle } er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» for at systemet befinner seg i tilstand {\displaystyle |n\rangle .}

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat *x*, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander {\displaystyle |x\rangle }. Deres normering er nå

{\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}
hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side. 

Bølgefunksjon til partikkelen er formelt komponenten {\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle .} Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet *x*. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer {\displaystyle |\psi \rangle } og {\displaystyle |\phi \rangle } er nå gitt som

{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\int \_{-\infty }^{\infty }\!dx\,\phi ^{\*}(x)\psi (x)}
Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.

Referanser
----------

1. ↑   P.A.M. Dirac, *The Principles of Quantum Mechanics*, Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).
2. ↑   M.L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
3. ↑   D.J. Griffiths, *Quantum Mechanics*, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |