I lineær algebra er **Cramers regel** et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer. 

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket *Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques* (*Introduksjon til analyse av algebraiske kurver*). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen *Treatise of Algebra*, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet. 

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 system
---------------------------------

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

{\displaystyle {\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}.}
På matriseform skrives ligninssystemet som

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}
De to ukjente *x* og *y* er gitt ved Cramers regel som

{\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}
{\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}

Cramers regel for et 3 × 3 system
---------------------------------

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

{\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}.}
Matriseforma er 

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}
Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente *x* og *y* og *z* er gitt ved 

{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}

Cramers regel for et generelt system
------------------------------------

Et generelt ligningssystem med *n* ligninger og *n* ukjente kan skrives på matriseforma

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \,}
Matrisen *A* er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til *A* er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren **x** = (*x*1, ... *x**n*)*T* inneholder de ukjente i ligningssystemet. 

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

{\displaystyle x\_{k}={\frac {\det A\_{k}}{\det A}}\qquad k=1,\ldots ,n\,}
der *Ak* er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer *k* i matrisen *A* med kolonnevektoren **b**.

Litteratur
----------

* C.B.Boyer (1968). *A history of mathematics*. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.

* Fr Fabricius-Bjerre (1977). *Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra*. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8.

  

  


| * v
* d
* r
Hovedområder i lineær algebra |
| --- |
| Affin transformasjon **·** Basis **·** Determinant **·** Egenvektor **·** Lineært ligningssystem **·** Lineær transformasjon **·** Matrise **·** Norm **·** Skalar **·** Vektor **·** Vektorrom |

| * v
* d
* r
Hovedområder i matematikk |
| --- |
| Algebra **·** Analyse **·** Anvendt matematikk **·** Geometri **·** Kombinatorikk **·** Numerisk analyse **·** Topologi **·** Statistikk |

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** Nationalencyklopedin
 |