**Eulers totientfunksjon** er en aritmetisk funksjon som for hvert heltall *n* teller opp hvor mange postive heltall mindre enn *n* som er relativt primisk med *n*. Den betegnes vanligvis med symbolet φ(*n*) og kalles derfor også for **Eulers φ-funksjon**. Som eksempel er φ(3) = 2 da både 1 og 2 er relativt primiske med 3. Likedan er φ(4) = 2 = φ(6), mens φ(8) = 4 da 1,3,5 og 7 er primiske relativt til 8. For et primtall *p* er φ(*p*) = *p* - 1 fordi alle tallene mindre enn *p* er relativt primiske. Som eksempel er φ(7) = 6. Funksjonen kan beregnes direkte for alle tall som har en kjent primtallsfaktorering. Når *n* > 2 gir den bare like tall som resultat. I dag spiller Eulers φ-funksjon en viktig rolle i moderne kryptografi.

Den sveitsiske matematiker Leonhard Euler har fått sitt navn knyttet til funksjonen som han var den første til å studere og gjøre bruk av på midten av 1700-tallet. Resten av navnet er forbundet med det latinske ordet *tot* som betyr helt eller alt og som opptrer i f.eks. *in toto*. Den greske bokstaven φ ble knyttet til funksjonen av den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss noen tiår senere.

Viktige egenskaper
------------------

Tall *k* som er relativt primiske til et tall *n*, har en største felles divisor gcd(n,k) = 1. Er *n* lik med et primtall *p*, er alle positive heltall *k < p* relativt primiske med *p*, det vil si tallene *k* = 1,2,3,... *p* - 1. Derfor er i dette tilfellet φ(*p*) = *p* - 1. For *p* = 2 gir dette φ(2) = 1 som er et odde tall. Det har sammenheng med at 2 er det eneste like primtall. For konsistens må man definere φ(1) = 1 som betyr at 1 er relativt primisk med seg selv og følger fra gcd(1,1) = 1. 

To relativt primiske heltall *m* og *n* har ingen felles faktorer. Derfor gjelder for disse φ(*m*)⋅φ(*n*) = φ(*mn*). For eksempel, φ(42) = φ(6)⋅φ(7) = 2⋅6 = 12. For produkter som involverer de samme faktorene, er beregningen litt mer omstendelig.

Det enkleste tilfellet er når *n* = *p**k*  hvor *p* er et primtall. De tallene som er mindre og deler *n*, må være et multiplum av *p*. Derfor er tallene *p*, 2*p*, 3*p*, ... *p**k* − 1*p* = *p**k*  ikke primiske med *n*. Det er i alt *p**k* − 1  av disse. Resten *n* - *p**k* − 1  er derfor relativt primiske med *n* slik at

{\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}
som gjelder når *p* > 1. Når *k* = 1, gir den som forventet φ(*p*) = *p* - 1. For eksempel er φ(32) = φ(25) = 25 - 24 = 16. Dermed kan funksjonsverdier beregnes for alle sammensatte tall.

### Generell beregning

Ifølge aritmetikkens fundamentalteorem kan alle heltall *n* faktoreres i potenser av hvert primtall *p* som deler det. Derfor er

{\displaystyle n=\prod \_{p\mid n}p^{e\_{p}}}
hvor eksponentene *ep* er karakteristiske for tallet *n*. Da de forskjellige faktorene her er relativt primiske, følger da fra resultatet over at

{\displaystyle \phi (n)=\prod \_{p\mid n}p^{e\_{p}-1}(p-1)=n\prod \_{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}.
Dette er en generelt anvendbar formel for alle tall som har en kjent faktorisering. Formelen går tilbake til Euler. Den gir, for eksempel at φ(72) = φ(23)⋅φ(32) = 72/3 = 24. For de første 100 heltallene finner man på denne måten:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| {\displaystyle \phi (n)} | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 | 8 | 12 | 10 | 22 | 8 | 20 |

 |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| {\displaystyle \phi (n)} | 12 | 18 | 12 | 28 | 8 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 | 16 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 | 20 |

 |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 |
| {\displaystyle \phi (n)} | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 | 16 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 | 24 | 70 | 24 | 72 | 36 | 40 |

 |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
| {\displaystyle \phi (n)} | 36 | 60 | 24 | 78 | 32 | 54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 | 40 |

 |

Litteratur
----------

* O. Ore, *Number Theory and Its History*, Dover Publications Inc. New York (1988). ISBN 0-486-65620-9.

Eksterne lenker
---------------

* E.W. Weisstein, Totient function, Wolfram MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld
 |