**Variansanalyse** (**ANOVA**, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

Variansanalyse med én faktor
----------------------------

Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har {\displaystyle I} grupper med like størrelser {\displaystyle J}, og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner {\displaystyle I}

1. {\displaystyle H\_{0}:\ \mu \_{1}=\mu \_{2}=\dots =\mu \_{I}}
2. {\displaystyle H\_{A}:} minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

### Kvadratavvik og varians

De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved   

{\displaystyle SST=\sum \_{i}\sum \_{j}(x\_{ij}-{\overline {x}}\_{..})^{2}=\sum \_{i}\sum \_{j}x\_{ij}^{2}-{\frac {x\_{..}^{2}}{IJ}}}  

{\displaystyle SSTr=\sum \_{i}\sum \_{j}({\overline {x}}\_{i.}-{\overline {x}}\_{..})^{2}={\frac {\sum \_{i}X\_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x\_{..}^{2}}{IJ}}}  

{\displaystyle SSE=\sum \_{i}\sum \_{j}(x\_{ij}-{\overline {x}}\_{i.})^{2}}

Sammenhengen mellom disse gir opphav til *den fundamentale ANOVA-identiteten* SST = SSTr + SSE. Videre har vi at  

{\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}}  

{\displaystyle MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}}

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:

| Variasjonskilde | Frihetsgrader | Kvadratavvik | Varians | f-verdi |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Grupper | I - 1 | SSTr | MSTr = SSTr/(I - 1) | MSTr/MSE |
| Error | I(J - 1) | SSE | MSE = SSE/[I(J - 1)] |  |
| Total | IJ - 1 | SST |  |  |

### Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved  

{\displaystyle f={\frac {MSTr}{MSE}}}

som er tilnærmet {\displaystyle F\_{I-1,I(J-1)}}-fordelt. Forkastningsområdet for {\displaystyle H\_{0}} er {\displaystyle f\geq F\_{\alpha ,I-1,I(J-1)}} for ønsket signifikansnivå {\displaystyle \alpha }

### Tukeys prosedyre

  
F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå {\displaystyle \alpha } definerer vi {\displaystyle w} som

{\displaystyle w=Q\_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}}

De gjennomsnittene som har større differanse enn {\displaystyle w} er være signifikant ulike, med signifikansnivå {\displaystyle \alpha }

### Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen {\displaystyle H\_{0}:\ \mu \_{1}=\mu \_{2}} mot {\displaystyle H\_{A}:\ \mu \_{1}\neq \mu \_{2}}. T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For {\displaystyle I>2} kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.

Referanser
----------

1. ↑  Devore/Berk 2007, side 540.
2. ↑  Devore/Berk 2007, side 544.
3. ↑  Devore/Berk 2007, side 547.
4. 1 2  Devore/Berk 2007, side 545.
5. ↑  Devore/Berk 2007, side 548.
6. ↑  Devore/Berk 2007, side 552.
7. ↑  Devore/Berk 2007, side 557, 563.

Kilder
------

* Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: *Modern Mathematical Statistics with Applications*. Thomson 2007.

| * v
* d
* r
Statistikk |
| --- |
| Deskriptiv statistikk | 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| Kategoriske variabler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Målenivå | Nominalnivå **·** Ordinalnivå |

 |
| Kontinuerlige variabler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Målenivå | Intervallnivå **·** Skalanivå |
| Sentralitet | Gjennomsnitt (Aritmetisk, Geometrisk, Harmonisk) **·** Median **·** Typetall |
| Spredning | Variasjonsbredde **·** Standardavvik **·** Variasjonskoeffisient **·** Kvantiler (Persentiler **·** Desiler  **·** Kvartiler) **·** Ekstremverdi |
| Moment | Varians **·** Kovarians **·** Skjevhet **·** Kurtose |

 |

 |
| Statistiske grafer | Frekvenstabell **·** Krysstabeller **·** Histogram **·**
Søylediagram **·** Sektordiagram **·** Linjediagram **·** Tidsrekkeplott **·** Spredningsplott **·** Steinurplott **·** Korrelogram **·** Geografiske informasjonssystemer **·** Funksjonsgraf **·** Biplot **·** Stilk-og-blad-plott **·** Korrelogram **·** Boksdiagram |
| Statistisk inferens og hypotesetest | 

|  |  |
| --- | --- |
| Inferens | Sentralgrenseteoremet **·** Sannsynlighetsfordeling **·** Konfidensintervall **·** Prediksjonsintervall **·** Bayes’ teorem **·** Signifikans **·** Tetthet **·** Metaanalyse **·** Effisiens |
| Forsøksdesign | Univers (populasjon) **·** Utvalg **·** Stratifisert utvelging **·** Repliserbarhet **·** Sensitivitet og spesifisitet **·** Optimalt design |
| Utvalgsstørrelse | Statistisk styrke **·** Effektstørrelse **·** Standardfeil  **·**
Momentmetodem **·** Tetthetsestimering |
| Statistiske tester | Z-test (normal) **·** T-test **·** F-test **·** Kjikvadrattest **·** Pearsons kjikvadrattest |
| Overlevelsesanalyse | Overleveslsesfunksjon **·** Kaplan–Meier **·** Logrank-test **·** Feilrate **·** Cox-regresjon |

 |
| Korrelasjon ogregresjonsanalyse | 

|  |  |
| --- | --- |
| Korrelasjon | Pearsons produkt-moment korrelasjonskoeffisient **·** Rangkorrelasjon (Spearmans rho, Kendalls tau) **·** Delvis korrelasjon **·** Konfunderingsvariabel **·** Determinasjonskoeffisient |
| Lineær regresjon | Enkel lineær regresjon **·** Minste kvadratsum **·** Generell lineær modell **·** ANOVA **·** ANCOVA |
| Ikke-standard | Ikke-lineær regresjon **·** Ikke-parametrisk **·** Semi-parametrisk **·** Robust |
| Non-normal feilledd | Generalisert lineær modell **·** Binomisk **·** Poisson **·** Logistisk |

 |
| Multivariat statistikk | Multivariat regresjon **·** Prinsipal-komponent **·** Faktoranalyse  **·** Klyngeanalyse |
| Tidsserieanalyse | Dekomponering **·** Trendestimering  **·** Box–Jenkins  **·** ARMA-modeller  **·** Spektraltetthetsestimering |
| **Kategori** **·** **Portal** **·** |


|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | NKC
 |