Binomialkoeffisientene kan leses ut som elementene i Pascals trekant. Her vises de første.
**Binomialkoeffisienten** er en grunnleggende matematisk funksjon i det matematiske delområdet kombinatorikk. Den angir hvor mange forskjellige kombinasjoner en kan velge k objekter fra en mengde av n ulike objekter (uten tilbakelegging, uavhengig av rekkefølgen). Sagt på en annen måte angir binomialkoeffisienten antall delmengder med k elementer i en mengde med n elementer.

Binomialkoeffisienten av et naturlig tall *n* og et heltall *k* er definert som det naturlige tallet

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{hvis }}n\geq k\geq 0\qquad {\mbox{(1)}}}
og som er null når *k* < 0 eller *k* > *n*. Her betegner *n*! fakultetet av *n*. Ifølge Nicholas J. Higham, ble denne notasjonen introdusert av Albert von Ettinghausen i 1826, selv om disse tallene var kjent i århundrer før dette; se Pascals trekant. 

Binomialkoeffisienten av *n* og *k* blir også skrevet som C(*n*, *k*), *n*C*k* eller {\displaystyle C\_{n}^{k}} (C står for det engelske ordet *combination*) og leses «*n* over *k*». For å spare plass bruker vi den første av disse tre notasjonene.

For eksempel kan binomialkoeffisienten brukes til å beregne hvor mange mulige tallkombinasjoner som finnes i Lotto:

{\displaystyle \mathrm {C} (34,7)={\frac {34!}{7!(34-7)!}}={\frac {34!}{7!27!}}={34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28 \over 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5379616}
Hvilket igjen betyr at sannsynligheten for å få sju rette i Lotto på en gitt rekke er:

{\displaystyle {1 \over 5379616}\approx {1,86\cdot 10^{-7}}}
Binomialkoeffisientene er koeffisienter i utvidelsen av binomet {\displaystyle (x+y)^{n}} (derav navnet):

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}
Dette generaliseres ved binomialformelen, som tillater eksponenten *n* å være et komplekst tall, (spesielt tillater dette *n* å være ethvert reelt tall, ikke nødvendigvis bare positive heltall).

Utledning fra binomutvidelse
----------------------------

Når eksponenten er 1, blir {\displaystyle (x+y)^{1}} til {\displaystyle x+y}. Når eksponenten er 2, blir {\displaystyle (x+y)^{2}} til {\displaystyle (x+y)(x+y)}, som former ledd som følger. Det første leddet får vi ved å gange *x* fra begge faktorene, slik at vi får {\displaystyle x^{2}}; likeså for *y*, slik at vi får leddet {\displaystyle y^{2}}. Men *xy* leddet kan formes av *x* fra den første og *y* fra den andre faktoren, eller *y* fra den første og *x* fra den andre faktoren; derfor får leddet koeffisienten 2.
Når eksponenten er 3, reduseres {\displaystyle (x+y)^{3}} til {\displaystyle (x+y)^{2}(x+y)}, hvor vi allerede vet at {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}. Igjen oppstår ekstremene {\displaystyle x^{3}} og {\displaystyle y^{3}} på et unikt vis. Men leddet {\displaystyle x^{2}y} er enten 2*xy* ganget med *x* eller {\displaystyle x^{2}} ganget med *y*, som gir koeffisienten 3; likeså oppstår {\displaystyle xy^{2}} på to måter, ved å summere koeffisientene 1 og 2 får vi 3.

Dette foreslår en induksjon. Slik at for eksponenten 4, har hvert ledd sammenlagt grad (sum av eksponentene) på 4, med 4-*k* faktorer av *x* og *k* faktorer av *y*. Hvis *k* ikke er 0 eller 1 (leddene {\displaystyle x^{4}} eller {\displaystyle y^{4}}), da oppstår leddet på to måter, fra tilstøtende koeffisienter med sammenlagt grad 3. For eksempel {\displaystyle x^{2}y^{2}} er begge {\displaystyle xy^{2}} ganget med *x* og {\displaystyle x^{2}y} ganget med *y*, slik at leddets koeffisienten blir 3+3. Dette er opprinnelsen til Pascals trekant, som er diskutert nedenfor.

Sett fra et annet perspektiv, for å forme {\displaystyle x^{n-k}y^{k}} fra *n* faktorer av {\displaystyle (x+y)}, må vi velge *y* fra *k* av faktorene og *x* fra resten. Vi teller mulighetene ved å betrakte de *n*! permutasjonene av faktorene. Hver permutasjon fremstilles som en uordnet liste med tall fra 1 til *n*. Vi velger en *x* fra de *n*−*k* første faktorene, og en *y* fra de resterende *k* faktorene; på denne måten vil hver permutasjon bidra til leddet {\displaystyle x^{n-k}y^{k}}. For eksempel, listen ⟨4,1,2,3⟩ velger *x* fra faktorene 4 og 1, og *y* velger faktorer fra 2 og 3, som en måte å forme leddet {\displaystyle x^{2}y^{2}}.

(*x* +1 *y*)(*x* +2 *y*)(*x* +3 *y*)(*x* +4 *y*)
Men den distinkte listen ⟨1,4,3,2⟩ gjør akkurat det samme utvalget; formelen for binomialkoeffisienten må fjerne denne overflødigheten. De *n*-*k* faktorene av *x* har (*n*−*k*)! permutasjoner, og de *k* faktorene av *y* har *k*! permutasjoner. Derfor er *n*!/(*n*−*k*)!*k*! antall virkelig distinkte måter å forme leddet {\displaystyle x^{n-k}y^{k}}.

Diskusjonen kan videreføres til tilfellet hvor hver faktor er en sum av flere variabler, som naturligvis leder til definisjonen av en *multinomialkoeffisient*. En gunstig notasjon bruker en liste av variabler {\displaystyle \mathbf {x} =(x\_{1},...x\_{m})}, med eksponentene gitt i en annen liste, {\displaystyle E=(e\_{1},...e\_{m})}, kjent som et *multi-indeks*. Leddene i utvidelsen av {\displaystyle (x\_{1}+...+x\_{m})^{n}} har formen

{\displaystyle {\mathbf {x} }^{E}=x\_{1}^{e\_{1}}x\_{2}^{e\_{2}}\cdots x\_{m}^{e\_{m}},}
hvor {\displaystyle |E|=e\_{1}+...+e\_{m}=n}, og koeffisienten til et slikt ledd er multinomialkoeffisienten

{\displaystyle {\frac {n!}{e\_{1}!e\_{2}!\cdots e\_{m}!}}.}
Den enkle binomialkoeffisienten er tilfellet der *m*=2.

Pascals trekant
---------------

Pascals regel er det viktige gjentakelsesforholdet 

{\displaystyle \mathrm {C} (n,k)+\mathrm {C} (n,k+1)=C(n+1,k+1),\qquad (3)}
som følger direkte fra definisjonen. Dette gjentakelsesforholdet  kan brukes til å bevise, ved matematisk induksjon, at C(*n*, *k*) er et naturlig tall for alle *n* og *k*, et faktum som ikke er umiddelbart tydelig ut ifra definisjonen.

Den gir også opphav til pascals trekant:

```
row 0                     1
row 1                   1   1
row 2                 1   2   1
row 3               1   3   3   1
row 4             1   4   6   4   1
row 5           1   5   10  10   5   1
row 6         1   6   15  20  15   6   1
row 7       1   7   21  35  35   21  7   1
row 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
```

rad nummer *n* inneholder tallene C(*n*, *k*) for *k* = 0,...*n*. Den konstrueres ved å begynne med enere på utsiden og så legge sammen nabotall og skrive summen rett under. Denne metoden gjør det mulig å raskt regne ut binomial koeffisienter uten å måtte bruke brøk eller multiplikasjon. For eksempel, ved å se på den femte raden i trekanten, kan en straks lese av at

{\displaystyle (x+y)^{5}=\mathbf {1} x^{5}+\mathbf {5} x^{4}y+\mathbf {10} x^{3}y^{2}+\mathbf {10} x^{2}y^{3}+\mathbf {5} xy^{4}+\mathbf {1} y^{5}}.
Differansene mellom elementer på andre diagonaler er elementene på forrige diagonal – slik som følger av gjentakelsesforholdet  (3) ovenfor.

I *Precious Mirror of the Four Elements* (1303), nevner Zhu Shijie trekanten som en eldgammel metode for å løse binomialkoeffisienter, noe som indikerer at metoden var kjent for kinesiske matematikere fem århundrer før Pascal.

Kombinatorikk og statistikk
---------------------------

Binomialkoeffisienter er av stor betydning i kombinatorikk, fordi de gir ferdige formler for visse hyppige telleproblemer:

* Alle mengder med *n* elementer har {\displaystyle \mathrm {C} (n,k)} forskjellige delmengder som har *k* elementer hver (disse kalles *k*-kombinasjoner).
* Antallet strenger av lengde *n* som inneholder *k* ett-tall og *n*−*k* null-tall er {\displaystyle \mathrm {C} (n,k).}
* Det finnes {\displaystyle \mathrm {C} (n+1,k)} strenger som består av *k* ett-tall og *n* null-tall slik at ingen ett-tall er tilstøtende.
* Antallet sekvenser som består av *n* naturlige tall som har summer lik *k* er {\displaystyle \mathrm {C} (n+k-1,k)}; dette er også antallet måter å velge *k* elementer ut av en mengde med *n* hvis tilbakelegging er tillat.
* Catalantallene har en enkel formulering som involverer binomialkoeffisisnter; de kan brukes til å telle diverse strukturer, slik som trær og parentesuttrykk.

Binomialkoeffisienter forekommer også i formelen for binomisk distribusjon i statistikk og i formelen for en Bézier kurve.

Formler som inneholder binomialkoeffisienter
--------------------------------------------

Følgende formler kan være nyttige:

{\displaystyle \mathrm {C} (n,k)=\mathrm {C} (n,n-k)\qquad \qquad (4)\,}
Dette utledes fra (2) ved at {\displaystyle (x+y)^{n}=(y+x)^{n}}, og dette viser seg i den numeriske "symmetrien" i Pascals trekant.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)=2^{n}\qquad (5)}
Fra (2) ved å bruke at *x* = *y* = 1. Dette er det samme som å si at summen av elementene av en rad i Pascals trekant alltid tilsvarer to opphøyd i et heltall.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k\mathrm {C} (n,k)=n2^{n-1}\qquad (6)}
Fra (2), etter å ha derivert og satt inn *x* = *y* = 1.

{\displaystyle \sum \_{j}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n,k)\qquad (7a)}
Siden C(*n*, *k*) er definert som null hvis *k* > *n*, er summen endelig. Ved å utvide (1+*x*)*m* (1+*x*)*n-m* = (1+*x*)*n* med (2). Likning (7a) generaliserer likning (3). Likning (7a) er **Vandermonde's konvolusjonsformel** (etter Alexandre-Théophile Vandermonde) og er essensielt en form for Chu-Vandermonde identiteten. Den kan vises å gjelde for tilfeldige, komplekse {\displaystyle m} og n.

{\displaystyle \sum \_{m}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (7b)}
Likning (7a) gjelder for alle verdier av *m*, mens likning (7b) gjelder for alle verdier av *j*.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)^{2}=\mathrm {C} (2n,n)\qquad (8)}
Fra (7) ved å bruke *m* = *k* = *n* og (4).

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\mathrm {C} (n-k,k)=\mathrm {F} (n+1)\qquad (9)}
Her betegner *F*(*n* + 1) Fibonacci-tallene. Denne formelen om diagonalene i Pascals trekant kan bevises med induksjon ved å bruke (3).

{\displaystyle \sum \_{j=k}^{n}\mathrm {C} (j,k)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (10)}
Dette kan bevises ved induksjon av *n* ved å bruke (3).

Divisorer til binomialkoeffisienter
-----------------------------------

Primtallsdivisorer til C(*n*, *k*) kan tolkes som følger: Hvis *p* er et primtall og *r* er den høyeste eksponenten slik at slik at {\displaystyle p^{r}} er delelig med C(*n*, *k*), da er *r* likt antallet naturlige tall *j* slik at brøkdelen av {\displaystyle k/p^{j}} er større enn brøkdelen av {\displaystyle n/p^{j}}. Særskilt er C(*n*, *k*) alltid delelig med *n*/gcd(*n*, *k*).

Ulikheter for binomialkoeffisienter
-----------------------------------

Følgende grenser for C(*n*, *k*) gjelder:

* {\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}
* {\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}
* {\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}

Generalisering til komplekse verdier
------------------------------------

Binomialkoeffisienten {\displaystyle {z \choose k}} kan defineres for alle komplekse tall *z* og alle naturlige tall *k* som følger:

{\displaystyle {z \choose k}=\prod \_{n=1}^{k}{z-k+n \over n}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}\qquad (11)}
Denne generaliseringen er kjent som *den generelle binomialkoeffisienten* og er brukt i utredningen av binomialformelen og oppfyller egenskapene (3) og (7).

For en konstant *k*, er uttrykket {\displaystyle f(z)={z \choose k}} et polynom av k'te grad med rasjonale koeffisienter.

*f*(*z*) er det unike polynomet av grad *k* som oppfyller

*f*(0)=*f*(1)=...=*f*(*k*-1)=0
og

*f*(*k*)=1.
Ethvert polynom *p*(*z*) av grad *d* kan skrives på formen

{\displaystyle p(z)=\sum \_{k=0}^{d}a\_{k}{z \choose k}}
Dette er viktig i teorien om differenslikninger og kan bli sett på som en diskret analog til Taylors teorem.

Newtons binomserie får den enkle formen

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum \_{r=0}^{\infty }{\alpha \choose r}z^{r}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+..}.
Det er ikke vanskelig å vise at rekkens konvergensradius er 1.

Generalisering til *q*-serie
----------------------------

Binomialkoeffisienten har en q-analog generalisering kjent som Gauss-binomet.

Se også
-------

* Fakultet (matematikk)
* Liste over fakultet- og binomemner

Referanser
----------

*Denne artikkelen bruker materiale fra følgende PlanetMath artikler, som er lisensiert under GFDL:*

* Binomial Coefficient
* Bounds for binomial coefficients
* Proof that C(n,k) is an integer
* Generalized binomial coefficients

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND
 |