En **stokastisk prosess** er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess {\displaystyle X} er en samling
{\displaystyle X=\{X\_{t}\}\_{t\in T}} av stokastiske variabler
{\displaystyle X\_{t}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} ,} som er
definert i samme sannsynlighetsrom {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}. Hvis indeksmengden {\displaystyle T} er
diskret, sier man at {\displaystyle X} er en stokastisk prosess i
diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at
{\displaystyle X} er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et
sannsynlighetsmål {\displaystyle \mu \_{t}} på Borel
sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene
{\displaystyle \mathbb {R} }: 

{\displaystyle \mu \_{t}(A)=P(X\_{t}\in A),\qquad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden {\displaystyle \{\mu \_{(t\_{1},\dots ,t\_{n})}\}\_{t\_{1},\dots ,t\_{n}\in T,n\geq 1}}
av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres
med den stokastiske prosessen:

{\displaystyle \mu \_{(t\_{1},\dots ,t\_{n})}(A\_{1},\dots ,A\_{n})=P(\{X\_{t\_{1}}\in A\_{1}\}\cap \cdots \cap \{X\_{t\_{n}}\in A\_{n}\}),}

der index {\displaystyle t\_{1},\dots ,t\_{n}\in T} og mengdene
{\displaystyle A\_{1},\dots ,A\_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),} for hvert valg av heltallet {\displaystyle n\geq 1.}

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

{\displaystyle m:T\longrightarrow \mathbb {R} }

og dens kovariansfunksjon 

{\displaystyle c:T\times T\longrightarrow \mathbb {R} .}

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet {\displaystyle P}.

{\displaystyle m(t)=E[X\_{t}]=\int \_{\Omega }X\_{t}(\omega )\,dP(\omega )}

og

{\displaystyle c(s,t)=E[X\_{s}X\_{t}]-E[X\_{s}]E[X\_{t}]},

der forventningsverdien {\displaystyle E[X\_{s}X\_{t}]} beregnes i produktrommet {\displaystyle (\Omega \times \Omega ,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}},P\times P):}

{\displaystyle E[X\_{s}X\_{t}]=\int \_{\Omega \times \Omega }X\_{s}(\omega )X\_{t}(\eta )\,d(P\times P)(\omega ,\eta ).}

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

{\displaystyle E[X\_{t}]=\int \_{-\infty }^{\infty }xf\_{X\_{t}}(x)\,dx}

og

{\displaystyle E[X\_{s}X\_{t}]=\int \_{-\infty }^{\infty }\int \_{-\infty }^{\infty }xyf\_{(X\_{s},X\_{t})}(x,y)\,dx\,dy,}

der funksjonen {\displaystyle f\_{X\_{t}}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen {\displaystyle X\_{t}} med hensyn på Lebesgue-målet på {\displaystyle \mathbb {R} }

{\displaystyle f\_{X\_{t}}={\frac {d\mu \_{t}}{dx}}.}

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen {\displaystyle f\_{X\_{s},X\_{t}}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } Radon-Nikodym-derivatet

{\displaystyle f\_{X\_{s},X\_{t}}={\frac {\mu \_{s,t}}{dxdy}}}

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen {\displaystyle (X\_{s},X\_{t})} med hensyn på Lebesgue-målet i området {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}

  

Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.

Eksterne lenker
---------------

* (en) Stochastic processes – kategori av bilder, video eller lyd på Commons Rediger på Wikidata

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** Encyclopædia Universalis **·** GND **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NDL **·** NKC **·** BNE
 |