**Ballistisk koeffisient** (**BC**, fra *engelsk* **ballistic coefficient**) er innen ballistikk et mål på et prosjektils evne til å overvinne luftmotstand. BC er omvendt proporsjonal med den negative akselerasjonen, et høyt BC-tall indikerer med andre ord lav negativ akselerasjon. Selv om det innebærer noen forenklinger, kan man si at en kule med høy BC har liten luftmotstand. BC er en funksjon av masse, diameter og luftmotstandskoeffisient. BC kan uttrykkes med enhetene kilogram per kvadratmeter (kg/m2) eller gammelengelsk pund per internasjonale kvadrattomme (lbs/in2) (hvor 1 lbs/in2 tilsvarer 703,069 581 kg/m2).

Formler
-------

### Generelt

{\displaystyle BC\_{Fysikk}={\frac {M}{C\_{d}\cdot A}}={\frac {\rho \cdot l}{C\_{d}}}}
Hvor:

* *BCFysikk* = formel for ballistisk koeffisient brukt av fysikere og ingeniører
* *M* = massen
* *A* = tverrsnittsareal
* *Cd* = luftmotstandskoeffisient
* *{\displaystyle \rho } (rho)* = gjennomsnittlig tetthet
* *l* = legemets lengde

### Ballistikk

For å kalkulere BC for små og større skytevåpen brukes følgende formel:

{\displaystyle BC\_{prosjektil}={\frac {m}{d^{2}\cdot i}}} 
Hvor

* *BCprosjektil* = ballistisk koeffisient som brukt i punkt-masse-bane fra Siaccis teorem (mindre enn 20 grader)
* *m* = massen til kulen i **kg**
* *d* = tverrsnitt av prosjektilet (diameter) i **meter**
* *i* = formkoeffisient

Formkoeffisienten (*i*) kan brukes uavhengig av kast-modell, og det finnes 6 ulike metoder for å beregene *i:* G-modellen, Bugless/Coxe, 3 Sky Screen, 4 Sky Screen, Target Zeroing eller Doppler radar.

Det finnes flere metoder for å beregne ***i*** eller **Cd**:

{\displaystyle i={\frac {2}{n}}\cdot {\sqrt {\frac {4n-1}{n}}}} 
Hvor

* *i* = formkoeffisient
* *n* = prosjektilets ogival

Hvor *n* er ukjent:
{\displaystyle n={\frac {(4\cdot l^{2}+1)}{4}}} 
Hvor
* *l* = lengden til hodet (ogivalen)

**eller**

luftmotstandskoeffisienten kan også regnes ut matematisk:

{\displaystyle C\_{d}={\frac {8}{\rho \cdot v^{2}\cdot \pi \cdot d^{2}}}} 
Hvor

* *Cd* = luftmotstandskoeffisient
* *{\displaystyle \rho } (rho)* = prosjektilets tetthet
* *v* = prosjektilets hastighet over en gitt avstand
* *π (pi) ≈ 3,141 59*
* *d* = tverrsnitt av prosjektilet (diameter) i **meter**

**eller**

fra standard fysikk, som brukt i G-modellene:

{\displaystyle i={\frac {C\_{G}}{C\_{p}}}} 
Hvor

* *i* = formkoeffisient
* *CG* = luftmotstandskoeffisient på 1,00 for en av G-modellenes referansetegninger
* 
* *Cp* = luftmotstandskoeffisienten til det faktiske testprosjektilet over en viss avstand.

### Kommersiell bruk

Denne formelen brukes for å regne ut ballistisk koeffisient innen skytesport, men er redundant i forhold til ***BCprosjektil***:

{\displaystyle BC\_{Smallarms}={\frac {SD}{i}}} 
Hvor:

* *BCSmåvåpen* = ballistisk koeffisient
* *SD* = tverrsnittbelastning
* *i* = formkoeffisient

Historisk forarbeid med BC og G-modell standarden
-------------------------------------------------

### Bakgrunn

I 1537 utførte Niccolò Tartaglia testskyting for å finne ut hvilken vinkel som gav maksimal skyteavstand. Konklusjonen var at den optimale vinkelen var nær 45 grader, og han noterte at kulebanen var kontinuerlig kurvet

I 1636 publiserte Galileo Galilei resultater i "Dialogues Concerning Two New Sciences", hvor han fant ut at et fallende legeme hadde konstant akselerasjon og beviste dermed at en kulebane var kurvet.

Omtrent i 1665 utledet Isaac Newton loven for luftmotstand, og sa at kulebanen var invers proporsjonal med luftmotstanden. Newton sine eksperimenter på luftmotstand ble utført både i luft og væske, og det ble vist at prosjektilets motstand økte proporsjonalt med tettheten til luften (eller væsken), og prosjektilets tverrsnittareal og vekt. Newton sine eksperiment ble bare gjort i lave hastigheter opp mot ca 260 m/s.

Disse teoriene ble utfordret i 1718 utfordret av John Keill i «Continental Mathematica»: *«For å finne kurven som et prosjektil beskriver gjennom luften, med bakgrunn i antagelsene om gravitasjon og at tettheten til mediet er uniform, kan vi i stedet se på det dupliserte forholdet av hastigheten til luftmotstanden.»* Dette utfordret tankegangen om at luftmotstanden øker eksponentielt i forhold til prosjektilets hastighet, men Keill gav ingen løsning på problemet. Johann Bernoulli tok utfordringen, og løste problemet med luftmotstand som varierte som etter hastighet, kjent som Bernoulli-ligningen. Dette er forløperen til konseptene om standardprosjektiler.

I 1742 fant Benjamin Robins opp den ballistiske pendelen, et enkelt mekanisk verktøy som kunne måle hastigheten til et prosjektil. Robins rapporterte målte munningshastigheter fra 1400 til 1700 ft/s (427 til 518 m/s). Samme året publiserte han boken «New Principles of Gunnery» hvor han brukte numerisk integrasjon fra Eulers metode og fant ut at luftmotstand «varierer med kvadratet av hastigheten, men endrer seg rundt lydens hastighet.»

I 1753 demonstrerte Leonhard Euler hvordan en kulebane kunne kalkuleres teoretisk ved hjelp av hans metode (Eulers metode), som også hadde blitt brukt i Bernoulli-ligningen, men bare for motstand som varierte som kvadratet av hastigheten.

I 1844 ble den elektro-ballisiske kronografen oppfunnet, og i 1867 var den nøyaktig nok til å måle hastighet ned til en tiende milliondels av et sekund.

### Testskyting

Fra midten av 1800-tallet drev mange land og deres militære forsvar med testskyting av forskjellige typer prosjektiler for å undersøke deres egenskaper med tanke på luftmotstand. Testene ble loggført og lagret i store ballistiske tabeller. Noen nevneverdige testskytinger som ble utført er:

* Francis Bashforth ved Woolwich Marshes & Shoeburyness, England (1864-1889) med hastigheter opp til 2800 ft/s (853 m/s).
* M. Krupp (1865-1880) gjennom firmaet Friedrich Krupp AG i Meppen, Tyskland. Testskytingene hos Friedrich Krupp AG fortsatte helt frem til 1930.
* Testfyring utført av general Nikolai V. Mayevski, på den tiden oberst (1868-1869) i St. Petersburg, Russland.
* *Commission d'Experience de Gâvre* (1873-1889) i Le Gâvre, Frankrike, med hastigheter til 1830 m/s.
* British Royal Artillery (1904-1906).

Testprosjektilene som ble brukt varierte mellom helt runde kuler, rotasjonsellipsoider og ogivaler (både hule, solide og med ulike kjerner) i kalibre 1, 1½, 2 og 3. Prosjektilene varierte i størrelse fra 75 mm og 3 kg, til 254 mm og 187 kg

### Metoder og standardprosjektiler

Mange forsvar brukte opp til 1860-tallet metoder fra matematisk analyse for å beregne kulebaner. De numeriske beregningene som trengtes for å beregne bare kulebanen til bare ett skudd måtte gjøres for hånd og tok veldig lang tid, og derfor begynte man å undersøke om man kunne utvikle enklere metoder ved hjelp av modeller for luftmotstand. Utviklingen ledet til store forenklinger i eksperimentell bruk av luftmotstand, nemlig konseptet om referansemodeller kalt standardprosjektil. Standardprosjektiler ble definert ved vekt og form, med spesifikke dimensjoner for ulike kalibre, og nye ballistiske tabeller ble laget ut ifra referansemodellene. Enklere kalkuleringer gjorde at man nå raskt kunne kalkulere ballistiske koeffisienter med god presisjon.

#### Bashforth-metoden

I 1870 publiserte Bashforth en rapport med sine ballistiske tabeller. Han hadde funnet ut at luftmotstanden til testprosjektilene hans varierte med kvadratet av hastigheten (v2) fra 253 m/s til 131 m/s, og med kuben av hastigheten (v3) fra 305 til 253 m/s. I en rapport fra 1880 fant han at luftmotstanden varierte med med v6 335 m/s til 317 m/s. Bashforth brukte riflede våpen med løpsdiameter på 76 mm (3 tommer), 127 mm (5 tommer), 178 mm (7 tommer) og 229 mm (9 tommer), samt glattborrede våpen i tilsvarende kalibre for å skyte sfæriske kuler, og haubitsere for å skyte forlengede prosjektiler med ogival tupp som hadde en radius tilsvarende 1.5 ganger radiusen til kaliberet.

Bashforth bruker *b* som variabel for ballistisk koeffisient. Når b er lik eller mindre enn v2, så er b lik P for luftmotstanden til et prosjektil. Bashforth fant ut at luften som traff prosjektilene fikk forskjellig retning avhengig av prosjektilets form. Dette førte til at man tok med den ekstra faktoren for b som kalles «form-koeffisienten» (i). Dette gjorde seg særlig gjeldende ved hastigheter høyere enn 253 m/s. Derfor introduserte Bashforth det han kalte «den ukjente multiplikatoren» k som kunne ha hvilken som helst størrelse, og som skulle kompensere for ukjente effekter i luftmotstand over 253 m/s, med {\displaystyle k>i}. Bashforth integrerte deretter k og i for å få {\displaystyle K\_{v}}.

Selv om Bashforth ikke klarte å finne ut av alle de «begrensede sonene» så viste han matematisk at det var 5 begrensede soner. Bashforth foreslo ikke et standardprosjektil, men var klar over konseptet.

#### Mayevski-Siacci-metoden

I 1872 publiserte General Mayevski rapporten *Trité Balistique Extérieure* hvor han presenterte Mayevski-modellen.

Forskjellige matematiske modeller og ballistiske koeffisienter
--------------------------------------------------------------

G1-formet standardprosjektil. Alle mål er i forhold til diamteren som er 1.
G7-formet standardprosjektil. Alle mål er i forhold til diamteren som er 1.
 Kalkuleringer av vindavdrift for riflekuler med forskjellige G1 BC-er, skutt med den samme munningshastigheten på 900 m/s i 4,5 m/s sidevind.
Kalkuleringer av energi for 9,1 grams (140 grain) riflekuler med forskjellige G1 BC-er, skutt med 900 m/s munningshastighet.
De fleste ballistiske matematiske modeller (også tabeller eller software) tar for gitt en bestemt funksjon som beskriver luftmotstand korrekt, og beregner dermed flyvekarakteristikken til kulen ut ifra den ballistiske koeffisienten. Modellene gjør ikke forskjell på ulike kuletyper eller former (f.eks. wadcutter, flatbase, spitzer, boat-tail osv.), men antar at luftmotstandsfunksjonen stemmer ut ifra BC som blir publisert av kuleprodusenten. Likevel finnes det flere ulike standardmodeller som har blitt optimalisert for ulike prosjektilformer som:

* G1 eller Ingalls (flatbase, 2 kaliber ogival nese - den mest populære standardmodellen)
* G2 (Aberdeen J prosjektil)
* G5 (kort 7.5° boat-tail, 6.19 kaliber lang-tangent ogival)
* G6 (flatbase, 6 kaliber lang-sekant ogival)
* G7 (lang 7.5° boat-tail, 10 kaliber tangent ogival, foretrukket av noen produsenter for kuler med svært liten motstand)
* G8 (flatbase, 10 kaliber lang-sekant ogival)
* GL (stutt nese)

Siden formene avviker mye mellom standardprosjektilene vil også BC variere ut ifra hvilken referansemodell man bruker for den samme kulen, og for å illustrere dette publiserer kuleprodusenter som Berger, Lapua og Nosler både G1 og G7 BC-er for nesten alle kulene sine. Hvor mye et prosjektil avviker fra referansemodellen er matematisk uttrykt av formkoeffisienten (*i*). Referanseprosjektilet man tar utgangspunkt i har alltid en formkoeffisient (*i*) på nøyaktig 1. Når et annet prosjektil har en lavere formkoeffisient (*i*) enn 1 tyder det på at prosjektilet har en lavere luftmotstand eller referansemodellen, mens en formkoeffisient større enn 1 indikerer at prosjektilet har mer luftmotstand enn referansemodellen. Generelt gir G1-modellen høyere BC-verdier for samme kulen enn G7, og brukes derfor ofte av ammunisjonsindustrien i reklame selv om kuleformen kanskje ligner mer på G7.

### Transienter i kulers ballistiske koeffisient

Variasjoner i påstått BC for den samme kulen kan forklares med forskjeller i lufttetthet brukt for å regne ut spesifikke verdier, eller forskjellige avstand-hastighet-målinger brukt for å regne ut påstått BC. BC endrer seg også under flyving, og deklarert BC fra produsenten er alltid et gjennomsnitt brukt for en bestemt avstand og kulehastighet. I fagfeltet eksternballistikk studerer man blant annet den variable naturen til et prosjektils BC gjennom flyvning, og impliserer dermed at det er like viktig å vite *hvordan* en BC ble bestemt, som å vite BC-verdien i seg selv.

For å beregne BC (eller luftmotstandskoeffisient) presist må man utføre målinger ved hjelp av Dopplerradar, men dette er dyrt utstyr som vanlige skyte- og aerodynamikkentusiaster ikke har tilgang til. Weibel 1000e eller Infinition BR-1001 dopplerradarer brukes av myndigheter, profesjonelle balistikere, forsvar og noen få ammunisjonsprodusenter for å samle reell data om et prosjektils oppførsel. Under er målinger med dopplerradar av en monolittisk dreid .50 BMG kule med svært lav motstand (Lost River J40 13 mm (.510"), 50,1 gram (773 grain) i et løp med 1:380 mm tvist (1:15"):

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Avstand (m) | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 | 1300 | 1400 | 1500 | 1600 | 1700 | 1800 | 1900 | 2000 |
| Ballistisk koeffisient (G1) | 1.040 | 1.051 | 1.057 | 1.063 | 1.064 | 1.067 | 1.068 | 1.068 | 1.068 | 1.066 | 1.064 | 1.060 | 1.056 | 1.050 | 1.042 | 1.032 |

Testresultatene er gjennomsnitt av mange målinger. Den initielle økningen av BC verdi skyldes at prosjektilet alltid gir yaw og presesjon ut av løpet. Kulen hadde på forhånd en beregnet BC på 1,062 av kuleprodusenten Lost River Ballistic Technologies.

Målinger av forskjellige typer kuler med samme oppgitte BC kan gi helt andre resultat. For eksempel kan man se hvordan forskjellige hastigheter gir effekt på forskjellige 8.6 mm (.338) kuler produsert av den finske ammunisjonsprodusenten Lapua i deres .338 Lapua Magnum brosjyre, hvor det er brukt Dopperradar for å etablere BC.

Se også
-------

* Klikktabell
* Ytreballistikk, et prosjektils oppførsel under flyving, påvirket av vind, jordrotasjon m.m.
* Overgangsballistikk, overgangen når et prosjektil går ut fra et løp og over til fri flukt

Referanser
----------

1. ↑  "Recent Trends in Sustainability and Management Strategy" av Dr. V.S. Gajavelli, Dr. Kapil Chaturvedi, Dr. Abhishek Narain Singh
2. ↑  Moss, Leeming and Farrar (1995). *Brassey's Land Warfare Series: Military Ballistics*. Royal Military College of Science, Shrivenham, UK. s. 86. ISBN 978-1857530841.
3. ↑  Cline, Donna (2002). *Exterior Ballistics Explained, Trajectories, Part 3 "Atmosphere"*. Lattie Stone Ballistics. s. 39.
4. ↑  Cline, Donna (2002). *Exterior Ballistics Explained, Trajectories, Part 3 "Atmosphere"*. Lattie Stone Ballistics. s. 43–48.
5. 1 2  Rinker, Robert A. (1999). *Understanding Firearm Ballistics; 3rd Edition*. Mulberry House Publishing. s. 176. ISBN 978-0964559844.
6. 1 2  Cline, Donna (2002). *Exterior Ballistics Explained, Trajectories, Part 3 "Atmosphere"*. Lattie Stone Ballistics. s. 44.
7. ↑  *Textbook of Small Arms 1909* (1909).
8. ↑  Moss, Leeming and Farrar (1995). *Brassey's Land Warfare Series: Military Ballistics*. Reading: Royal Military College of Science, Shrivenham, UK. s. 79. ISBN 978-1857530841.
9. 1 2 3 4 5 6  «Historical Summary». Arkivert fra originalen 8. august 2003. Besøkt 12. mars 2016.
10. ↑  *Reference Notes for Use in the Course in Gunnery and Ammunition* (1917).
11. ↑  *Berger Bullets Reloading Manual 1st Edition* (2012), Berger Bullets LLC, p814
12. ↑  *Hornady Handbook of Cartridge Reloading:Rifle,Pistol Vol.*
13. ↑  Galileo, Galilei, *Dialogues Concerning Two New Science* , 2010; pg Fourth Day , THE MOTION OF PROJECTILES, Digireads.com ISBN 978-1420938159
14. 1 2 3  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 1, Cambridge at the University Press
15. ↑  William and Robert Cambers; *CHAMBERS'S ENCYCLOPAEDIA Vol.*
16. ↑  Pejsa, Arthur, *New Exact Small Arms Ballistics: The Source Book for Riflemen*, 2008; pg29, Kenwood Publishing ISBN 978-0974990262
17. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 4, 6, Cambridge at the University Press
18. ↑  Pejsa, Arthur, *Modern Practical Ballistics 2nd Edition*, 1991; pg6, Kenwood Publishing ISBN 978-0961277635
19. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 6, Cambridge at the University Press
20. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 13, Cambridge at the University Press
21. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 5-11, Cambridge at the University Press
22. ↑  Cline, Donna, *Exterior Ballistics Explained, Trajectories, Part 3 "Atmosphere" The "Point-Mass Trajectory: The Siacci Method Ballistic Coefficient*, 2002; pg 39, Lattie Stone Ballistics
23. ↑  Bashforth, Francis; *Reports on experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1878-1879; pg Protest, 1, H.M Stationary Office, Harrison & Sons, London
24. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 13, 135, Cambridge at the University Press
25. ↑  Ingalls, James M. *Exterior Ballistics in the Plan Fire*, 1886; pg18,19, D. Van Nostrand Publisher
26. ↑  Cline, Donna, *Exterior Ballistics Explained, Trajectories, Part 3 "Atmosphere" The "Point-Mass Trajectory: The Siacci Method Ballistic Coefficient*, 2002; pg 39-40, Lattie Stone Ballistics
27. ↑  Bashforth, Francis; *Reports on experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1878-1879; pg 3-4, H.M Majesty's Stationery Office, Harrison & Sons, London
28. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 36, 135, Cambridge at the University Press
29. 1 2  Ingalls, James M. *Exterior Ballistics in the Plan Fire*, 1886; pg19, D. Van Nostrand Publisher
30. ↑  Ingalls, James M. *Exterior Ballistics in the Plan Fire*, 1886; pg8, D. Van Nostrand Publisher
31. ↑  Coast Artillery School Press, *Reference Notes for Use in the Course in Gunnery and Ammunition*, 1917; pg 12, Coast Artillery School, ASIN:B00E0UERI2
32. ↑  Bashforth, Francis; *Reports on experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1878-1879; pg 4, H.M Majesty's Stationery Office, Harrison & Sons, London
33. ↑  Bashforth, Francis, *A revised account of the experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1890; pg 135-136, Cambridge at the University Press
34. ↑  Bashforth, Francis; *Reports on experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1878-1879; pg 3,5-6, H.M Majesty's Stationery Office, Harrison & Sons, London
35. ↑  Ingalls, James M. *Exterior Ballistics in the Plan Fire*, 1886; pg7-8, 31, 136, D. Van Nostrand Publisher
36. ↑
37. ↑  Bashforth, Francis; *Reports on experiments made with the Bashforth chronograph...*, 1878-1879; pg 5-6, H.M Majesty's Stationery Office, Harrison & Sons, London
38. ↑  JBM Ballistics online trajectory calculator
39. ↑  JBM ballistics online trajectory calculator
40. ↑  Exterior Ballistics and Ballistic Coefficients
41. ↑  A Better Ballistic Coefficient by Bryan Litz, Ballistician Berger Bullets Arkivert 2. august 2009 hos Wayback Machine.
42. ↑  Ballistic Coefficient Basics
43. ↑  «Berger Bullets Technical Specifications». Arkivert fra originalen 6. mars 2016. Besøkt 12. mars 2016.
44. ↑  Lapua bullets technical information Arkivert 17. februar 2012 hos Wayback Machine.
45. ↑  «Nosler AccuBond Longe Range technical information». Arkivert fra originalen 21. mai 2013. Besøkt 12. mars 2016.
46. ↑  Form Factors: A Useful Analysis Tool by Bryan Litz, Chief Ballistician Berger Bullets
47. ↑  .338 Lapua Magnum product brochure Arkivert 27. september 2011 hos Wayback Machine.