Et **opphopningspunkt** (akkumuleringspunkt, grensepunkt) er i matematikk et element i en mengde som har uendelig mange andre elementer i en mengde nær seg. Et opphopningspunkt kan dermed tilnærmes med andre elementer i mengden, og et opphopningspunkt kan betraktes som en generalisering av en grenseverdi.

I en formell matematisk definisjon må en presisere hva en mener med «nær» og «tilnærme». Dette lar seg gjøre i et metrisk rom, der en har definert et avstandsmål, en metrikk. Opphopningspunkt er også grunnleggende i topologi. 

Et opphopningspunkt til en delmengde trenger ikke selv være et element i mengden, men det eksisterer da uendelig mange elementer i delmengden nær punktet. Prosessen å utvide en mengde *S* til å inneholde alle sine opphopningspunkter kalles en *tillukning av S* og skrives cl(*S*), Cl(*S*), {\displaystyle \scriptstyle {\bar {S}}} eller *S*{\displaystyle ^{-}}. En mengde som inneholder alle sine opphopningspunkter kalles  lukket, og for slike mengder er cl(*S*) = *S*.

Formell definisjon
------------------

Både for metriske rom og for topologiske rom defineres opphopningspunkt formelt ved hjelp av begrepet omegn:

Et element *p* i mengden *V* er et opphopningspunkt for delmengden *W* i *V* dersom en hver punktert omegn om *p* inneholder et element *q* i fra *W*.

Et element som ligger i *W* og som ikke er et opphopningspunkt for *W*, kalles for et *isolert punkt*.

Bolzano-Weierstrass’ teorem
---------------------------

Bolzano-Weierstrass' teorem kan for reelle tall formuleres som at hver begrenset uendelig mengde av reelle tall har minst ett opphopningspunkt.
Satsen gjelder også i et generelt euklidsk rom.

Teoremet er navnsatt etter Bernhard Bolzano (1781-1848) og Karl Weierstrass (1815-1897).

Opphopningspunkt og topologi
----------------------------

En mengde *S* har en topologi (er topologisert) dersom det for et hvert element *p* i *S* er mulig å svare på spørsmålet *Er p et opphopningspunkt i S?* Som definisjon er denne imidlertid for generell til å være praktisk, fordi den ikke stiller krav til egenskapene til opphopningspunkt. Det er for eksempel mulig for en gitt mengde å alltid svare «ja», slik at et hvert element i mengden er et opphopningspunkt. Det er også mulig
å alltid svare «nei», slik at mengden ikke har noen opphopningspunkter. Denne siste topologien kalles den diskrete topologien. For å få et mer brukbart utgangspunkt defineres topologi som regel ved hjelp av begrepet åpne mengder. 

En homeomorfi er en bijektiv transformasjon *f* mellom to topologiserte mengder *S* og *V*, der transformasjonen har egenskapen at *f(p)* er et opphopningspunkt i *V* hvis og bare hvis
*p* er et opphopningspunkt i *S*. Dersom det er mulig å definere en homeomorfi mellom to mengder, så vil de ha de samme topologiske egenskapene.

Referanser
----------

1. ↑  Walter Rudin (1976). *Principles of Mathematical Analysis*. Auckland: McGraw-Hill Book Company. s. 32. ISBN 0-07-085613-3.
2. 1 2 3  John G. Hocking, Gail S. Young (1988). *Topology*. New York: Dover Publications. s. 1ff. ISBN 0-486-65676-4.
3. ↑  E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). *Dictionary of mathematics*. Glasgow: Collins. s. 58. ISBN 0-00-434347-6.

  


|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** MathWorld
 |