Polaren  p  til punktet P går gjennom de to tangeringspunktene fra P på ellipsen.
**Pol og polare** betegner i geometrien et punkt og en linje som befinner seg i forhold til et kjeglesnitt på et harmonisk vis. Punktet kalles polen til linjen, mens linjen kalles polaren til punktet. Når punktet ligger på kjeglesnittet, faller polaren sammen med tangenten i dette punktet. Polen til en linje som går gjennom kjeglesnittets sentrum, ligger uendelig langt vekk.

Polaren til et punkt som ligger utenfor kjeglesnittet kan bestemmes ved å trekke de to tangentene fra punktet til kjeglesnittet. Forbindelslinjen mellom tangeringspunktene er da polaren til punktet. Omvendt kan polen til en linje som skjærer kjeglesnittet, finnes på denne måten. For punkt som ligger innenfor kjeglesnittet eller linjer som ikke skjærer det, kan konstruksjonen foretas mer generelt basert på sekanter og harmonisk deling av punkt på en linje.

Noen av disse sammenhengene mellom punkt og linjer var kjent allerede i den greske geometrien og ble mer detaljert undersøkt i Frankrike ved etablering av projektiv geometri på midten av 1600-tallet. Den fulle betydning ble klarlagt på første del av 1800-tallet, også ved franske matematikere som i stor grad etablerte projektiv geometri som en ny disiplin. 

Etter at Julius Plücker viste hvordan disse geometriene kunne koordinatiseres, fikk teorien for pol og polare et analytisk fundament. De kan nå beskrives i rom med høyere dimensjoner enn i planet. For eksempel vil polaren til et punkt være et plan og omvendt i et tredimensjonalt rom når det inneholder en andregradsflate.

Definisjon
----------

Polaren  p  til punktet  P  når dette er utenfor sirkelen.
For et punkt  P  innenfor sirkelen er polaren  p  gitt ved skjæringspunktene mellom tangentene til sirkelen der linjer gjennom  P  skjærer den.
De fire kjeglesnittene sirkel, ellipse, hyperbel og parabel er alle forbundet med hverandre ved at de kan betraktes som forskjellige projeksjoner av den samme sirkel. Geometriske egenskaper som omhandler tangenter og skjæringspunkt av sekanter til disse kurvene vil derfor gjelde for alle tre så lenge som de ikke omhandler vinkler eller andre metriske egenskaper. Det betyr at når pol og polare beskrives relativt til en sirkel, vil dette også gjelde i forhold til de andre kjeglesnittene.

Lar man en linje fra et punkt *P* utenfor en sirkel skjære denne i to punkt *A* og *B*. Et punkt *S* på korden *AB* bestemmes slik at det deler dette linjestykket harmonisk sammen med punktet *P*. Det betyr at *AS*/*BS* = *AP*/*BP* når man ser bort fra fortegn på linjestykkene. For forskjellige valg av linjen gjennom *P* vil de resulterende punktene *S* ligge på en ny linje som er polaren til punktet *P*. På samme måte kan polen til en linje som skjærer sirkelen, finnes. Den vil da ligge utenfor sirkelen.

Polaren til et punkt *P* som ligger innenfor sirkelen, finnes også ved å trekke sekanter gjennom punktet. Hver av dem vil skjære sirkelen i to punkt. Tangentene i to slike skjæringspunkt vil skjære hverandre i et nytt punkt utenfor sirkelen som man kan kalle *R*. Likedan vil en annen sekant gi opphav til et annet skjæringspunkt utenfor sirkelen mellom de tilsvarende tangentene. Kalles dette for *Q*, vil linjen *QR* være polaren til det opprinnelige punktet *P*. 

Hver linje mellom et vilkårlig punkt *S* på polaren og som går gjennom det gitte punktet *P* innenfor sirkelen, vil skjære sirkelen i to punkt *A* og *B*. De to punktene *S* og *P* deler dermed korden *AB* igjen harmonisk slik at *AS*/*BS* = *AP*/*BP* når man ser bort fra retningene til disse linjestykkene.

Ved lignende bruk av sekanter og tangenter kan pol og polare for andre kjeglesnitt også finnes. For sirkelen har man den alternative fremgangsmåten som følger direkte fra harmonisk deling. Gjennom et vilkårlig punkt *S* trekkes en linje gjennom sirkelens sentrum som skjærer den i to punkt *A* og *B*. På denne linjen bestemmes et punkt *T* som sammen med *S* deler linjestykket *AB* harmonisk. En linje vinkelrett på linjen gjennom *T* er da polaren til *S*, mens en ny linje som står vinkelrett på linjen gjennom *A* og *B* i punktet *S*, er polaren til *T*.

### Generelle egenskaper

I forhold til hvert av kjeglesnittene vil pol og polare ha generelle egenskaper som kan oppsummeres i følgende liste. De er en konsekvens av den geometriske definisjonen eller kan utledes fra en analytisk betraktning.

* Hver linje har nøyaktig en pol og hvert punkt en polare.
* Når et punkt ligger på kjeglesnittet, vil dets polare være tangent til kjeglesnittet i dette punktet.
* Hvis et punkt ligger på sin egen polare, vil det også ligge på kjeglesnittet.
* Hvis man fra et punkt kan trekke to tangenter til kjeglesnittet, vil polaren til punktet gå gjennom begge tangeringspunktene.
* Når et punkt *P* ligger på en linje ℓ, da vil polen *L* til ℓ ligge på polaren *p* til *P*.
* Når et punkt *P* beveger seg langs en linje ℓ, vil dets polare *p* rotere om polen *L* til linjen ℓ.

Analytisk fremstilling
----------------------

Hvert punkt *P* på en linje som skjærer et kjeglesnitt et to punkt *A* = (*x**A*,*y**A*) og *B* = (*x**B*,*y**B*) kan skrives på den kompakte formen **r***P* = (1 - *t* )**r***A* + *t* **r***B* når man benytter vanlig notasjon i affin geometri. Når *P* ligger på selve linjestykket *AB*, vil parameteren 0 < *t* < 1, for andre verdier av parameteren ligger det utenfor.

Lengden til linjestykket *AP* er nå gitt ved differansen **r***P* - **r***A* = *t* (**r***B* - **r***A*), mens *PB* er gitt ved **r***B* - **r***P* = (1 - *t* )(**r***B* - **r***A*). Punktet *P* deler dermed linjestykket *AB* med delingsforholdet *m* = *AP*/*PB* = *t* /(1 - *t* ) slik at *t* = *m*/(1 + *m*) når det har en bestemt posisjon med koordinater (*x*0,*y*0). De kan dermed finnes fra **r***P* = (1 - *t* )**r***A* + *t* **r***B*  som gir 

{\displaystyle x\_{0}={x\_{A}+mx\_{B} \over 1+m},\;\;\;y\_{0}={y\_{A}+my\_{B} \over 1+m}}
For punktet *P* eksisterer det nå et harmonisk konjugert punkt *S* = (*x,y*) som vil dele det samme linjestykket med delingsforholdet *AS*/*SB* = - *m*. Det har derfor koordinatene

{\displaystyle x={x\_{A}-mx\_{B} \over 1-m},\;\;\;y={y\_{A}-my\_{B} \over 1-m}}
Ved direkte multiplikasjon av de to koordinatparene finner man

{\displaystyle xx\_{0}={x\_{A}^{2}-m^{2}x\_{B}^{2} \over 1-m^{2}},\;\;\;yy\_{0}={y\_{A}^{2}-m^{2}y\_{B}^{2} \over 1-m^{2}}}
Disse uttrykkene for de konjugerte delingspunktene er uavhengig av slags kjeglesnitt sekanten gjennom *P* skjærer gjennom.

### Ellipsens polare

Når punktet *P* har polaren *p*, *L* har polaren ℓ, vil skjæringspunkt *M* mellom polarene ha polaren *m* som går gjennom *P* og *L*.
En ellipse med hovedakser *a* og *b* langs koordinataksene har ligningen

{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}
I uttrykket for koordinatene for de konjugerte delingspunktene kan man dele *xx*0 med *a*2 og *yy*0 med *b*2 og addere resultatene. Da skjæringspunktene *A* og *B* ligger på ellipsen slik at deres koordinater oppfyller ellipseligningen, finner man dermed at

{\displaystyle {xx\_{0} \over a^{2}}+{yy\_{0} \over b^{2}}=1}
Dette fremstiller igjen en rett linje som er polaren til punktet *P* = (*x*0,*y*0) i forhold til ellipsen. Når dette punktet ligger på kjeglesnittet, ser man at ligningen fremstiller tangenten til kurven i samme punkt.

Hvis skjæringspunktene *A* og *B* istedet hadde fremkommet ved å la linjen gjennom *P* skjære gjennom en hyperbel orientert på samme måte, ville ligningen for polaren få samme form, men med et minustegn mellom de to leddene på venstre side.

### Polarer fra tangenter

En linje gjennom punktet *P* og ellipsens sentrum skjærer den i to punkt og definerer derfor en av dens diametre. Hvis det ene har koordinatene (*x*1,*y*1), har tangenten til ellipsen i dette punktet stigningstallet *k* = - (*b*2/*a*2)*x*1/*y*1. Men siden dette punktet ligger på samme linje som *P* gjennom sentrum, er *x*1/*y*1 = *x*0/*y*0. Derfor er tangenten i dette punktet parallell med polaren gjennom *P*.

Polaren til et punkt *P* utenom ellipsen går gjennom de to tangeringspunktene for linjer fra *P* til ellipsen. Likedan vil skjæringspunktet mellom tangentene til en fritt valgt sekant gjennom *P* gå gjennom polaren til dette punktet. Dette gjelder også når *P* ligger inne i ellipsen. Det eneste unntaket er origo som ikke har noen polare. I dette tilfellet vil sekanten definere en korde langs en diameter med tangenter i endepunktene som er parallelle og derfor ikke skjærer hverandre. Formelt ligger da polaren uendelig borte.

### Parabelen

En parabel i normalstilling med akse langs *x*-aksen og toppunkt i origo, er gitt ved ligningen *y*2 = 2*px* hvor parameteren *p* er dens semi-latus rectum, Parabelens brennpunkt er dermed (*p*/2, 0). Alle diametrene til dette kjeglesnittet er parallelle med *x*-aksen.

Polaren til et punkt *P* = (*x*0,*y*0) kan igjen bestemmes ved en linje gjennom *P* som skjærer parabelen i punktene *A* og *B*. Koordinatene til det fjerde punktet *S* = (*x,y*) som sammen med *P* deler korden *AB* harmonisk med forholdet *m*, er de samme som for de andre kjeglesnittene. Derfor har man også her sammenhengen

{\displaystyle yy\_{0}={y\_{A}^{2}-m^{2}y\_{B}^{2} \over 1-m^{2}}}
Da ligningen for parabelen er lineær i koordinaten *x*, må dette resultatet kombineres med *x* + *x*0 som blir

{\displaystyle x+x\_{0}={x\_{A}-mx\_{B} \over 1-m}+{x\_{A}+mx\_{B} \over 1+m}=2{x\_{A}-m^{2}x\_{B} \over 1-m^{2}}}
og ikke *xx*0 som for ellipsen og hyperbelen. Da skjæringspunktene *A* og *B* ligger på parabelen, blir dermed ligningen for polaren

{\displaystyle yy\_{0}=p(x+x\_{0})}
Når punktet *P* ligger på polaren, faller den derfor sammen med tangenten i dette punktet. I det spesielle tilfellet at det ligger i brennpunktet slik at *P* = (*p*/2, 0), blir polaren linjen *x* = - *p*/2 som er styrelinjen til parabelen.

Polen til en generell, rett linje *ax* + *by* + *c* = 0 kan analytisk bestemmes ved å identifisere den med ligningen for polaren. Det gir koordinatene *x*0 = *c* /*a* og *y*0 = - *bp* /*a* for polen. En rett linje parallell med *x*-aksen har *a* = 0 og derfor ingen pol da den ligger uendelig langt borte. 

Når *b* ≠ 0, er *k* = - *a* /*b* stigningstallet til denne linjen. Dens pol har dermed koordinaten *y*0 = *p* /*k* som bare avhenger av *k*. Polene til alle parallelle linjer ligger derfor på en diameter som halverer alle korder med samme stigningstall som linjene.

Generelt kjeglesnitt
--------------------

I analytisk geometri kan alle kjeglesnitt angis ved nullpunktene til en kvadratisk form. De er derfor generelt bestemt av ligningen

{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0}
hvor typen av kjeglesnitt er gitt ved den relative størrelsen til de seks parametrene i formen. 

Polaren til et punkt *P* = (*x*0,*y*0) kan igjen bli funnet fra skjæringspunktene den har med en rett linje som går gjennom dette punktet sammen med kravet om at punktet på polaren inngår i en harmonisk deling av det avskårne linjestykket. Den generelle ligningen for polaren blir dermed

{\displaystyle axx\_{0}+b(xy\_{0}+yx\_{0})+cyy\_{0}+d(x+x\_{0})+e(y+y\_{0})+f=0}
Når punktet *P* ligger på kjeglesnittet, faller dets polare igjen sammen med tangentlinjen i dette punktet.

### Homogene koordinater

Polaren til et punkt *D* går gjennom de to tangeringspunktene *S* og *T* på hyperbelen.
Kjeglesnitt fremstilt ved en slik kvadratisk form i koordinatene (*x,y*) befinner seg i det affine planet. Her eksisterer det parallelle linjer som formelt ikke skjærer hverandre i dette planet, men i det uendelige. Derfor vil det for kjeglesnittene også være enkelte punkt som ikke har en relatert polar. Omvendt vil det også finnes linjer som ikke har en relatert pol.

For å ta med disse spesielle tilfellene, kan affine planet utvides et et projektivt plan som inneholder punkt som ligger uendelig langt bort samt en linje i det uendelige fjerne. Ligningen for kjeglesnittet i dette planet kan finnes ved å erstatte de to affine koordinatene (*x,y*) med de tre homogene koordinatene (*x,y,z*) ved substititusjonen *x* → *x*/*z* *y* → *y*/*z*. Det gir den homogene, kvadratiske formen

{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0}
Punkter i det uendelige er nå formelt gitt ved *z* = 0, mens de som ligger i det endelige, affine planet kan velges å ha  *z* = 1 eller en annen, konstant verdi forskjellig fra null.

Denne homogene ligningen for kjeglesnittet kan skrives på en mer kompakt form ved å introdusere den symmetriske matrisen

{\displaystyle C={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}}
med elementer *Cij* = *Cji*. Et punkt *X* på kjeglesnitt med de homogene koordinatene *Xi* = (*x,y,z*) er da bestemt ved en kvadratisk form som da kan skrives som *Cij Xi Xj* = 0 når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser..

### Polaritet

En symmetrisk matrise *C* = (*Cij*) kalles en polaritet og relaterer hvert punkt *Pi* = (*x*0,*y*0,*z*0) i det projektive planet til en linje ℓ. Den er polaren til punktet *P* og kan angis ved tre homogene linjekoordinatene ℓ*j* = (*u,v,w*). De kan utledes fra sammenhengen ℓ*i* = *Cij Pj* . Settes her inn komponentene til matrisen *C*, finner man {\displaystyle u=ax\_{0}+by\_{0}+dz\_{0}}, {\displaystyle v=bx\_{0}+cy\_{0}+ez\_{0}} og {\displaystyle w=dx\_{0}+ey\_{0}+fz\_{0}}. Et vilkårlig punkt *Xi* = (*x,y,z*) på polaren er da bestemt ved ligningen {\displaystyle \ell \_{i}X\_{i}=ux+vy+wz=0} i overensstemmelse med hva som ble funnet fra utledningen basert på to vilkårlige skjæringspunkt med en rett linje. 

Polaren til *P* oppfyller derfor den lineære ligningen

{\displaystyle C\_{ij}X\_{i}P\_{j}=0}
og sies å være dual til punktet *P*. Selve kjeglesnittet er gitt som de punkt som ligger på sin egen polare og derfor er gitt ved ligningen *Cij Xi Xj* = 0. 

Fra den inverse matrisen *M* = *C* -1 kan man likedan for hver linje ℓ*j* = (*u,v,w*) finne det duale punktet med koordinater *Xi* = *M**ij* ℓ*j*. Dette punktet er polen til linjen ℓ og dens polare er den opprinnelige linjen da matrisen *M* er den inverse til polariteten *C*.

Som et enkelt eksempel kan man betrakte kjeglesnittet {\displaystyle x^{2}+2xy-y^{2}+4x-6=0}. Det ligger i den affine delen av det projektive planet med *z* = 1. Polaren til et punkt *P* = (1, 0) vil nå ha ligningen 

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-1&0\\2&0&-6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}=3x+y-4=0}
som vil være i overensstemmelse med hva man kunne finne ved en geometrisk konstruksjon.

Elliptisk plan
--------------

Et dobbeltelliptisk plan har sfærisk geometri hvor en storsirkel *a* har to diametralt motsatte poler *A* og *A'*.
Et elliptisk plan er definert ved at det inneholder et absolutt kjeglesnitt av formen

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}
Det kan derfor ikke inneholde noen reelle punkt, men bestemmer likevel sammenhengen mellom pol og polare i denne geometrien. Punktene ligger på en kuleflate og linjene tilsvarer storsirkler som fremkommer ved plan gjennom kulens sentrum. Hvert punkt er dermed gitt ved en vektor med komponenter **r** = (*x,y,z*) i det tredimensjonale rommet **E**3, mens hver linje har koordinatene **n** = (*u,v,w*). De kan betraktes som dens linjekoordinater og tilsvarer retningen til normalen til planet som skjærer ut storsirkelen på kuleflaten.

Det absolutte kjeglesnittet definerer en polaritet *Cij* slik at polaren til et punkt *P* med koordinatene (*x,y,z*) har linjekoordinatene ℓ*i* = *Cij Pj*  = (*x,y,z*). De tilsvarende vektorene **r** og **n** er derfor sammenfallende. Polen til en storsirkel tilsvarer dermed et punkt på kuleflaten som ligger på en diameter gjennom kulen og som står vinkelrett på planet storsirkelen ligger i. Dette er det man vanligvis mener med nordpol og sydpol i forhold til ekvator i sfærisk geometri.

På denne måten vil hver linje gi opphav til to poler. Derfor kalles sfærisk geometri også for en *dobbeltelliptisk* geometri hvor teorien for pol og polare benyttes i beskrivelsen av sfæriske trekanter. Hvis man forlanger at hver linje bare skal ha en dual pol, vil det resultere i *enkeltelliptisk* geometri. Da vil de to punktene på kuleflaten som en vektor **r** i **E**3 skjærer gjennom, identifiseres med hverandre. Selv om det resulterende, elliptiske planet dermed har denne ønskede egenskapen, er det omtrent umulig å forestille seg det.

Polaren til to linjer
---------------------

Polaren til et punkt med hensyn til to linjer kan konstrueres ved hjelp av egenskapene til en fullstendig firkant.
To linjer som skjærer hverandre, kan betraktes som et spesielt kjeglesnitt som fremkommer ved at det skjærende planet går gjennom toppunktet til kjeglen. Men likevel kan den generelle definisjonen benyttes til å konstruere polaren til et punkt med hensyn til dette kjeglesnittet.

Fremgangsmåten er basert på egenskapene til en fullstendig firkant. Gjennom punktet som man skal finne polaren til, trekkes to vilkårlige linjer. Skjæringspunktene med de to gitte linjene definerer da en slik firkant. To av dens diagonaler vil dermed dele den tredje harmonisk. 

Dette kan illustreres i en figur hvor de to gitte linjene går gjennom punktet I. Gjennom det gitte punktet M trekkes to linjer som skjærer disse i punktene P og P' samt Q og Q'. Hvis nå linjene PQ' og QP' trekkes, vil de skjære hverandre i et punkt J. Da er linjen IJ den søkte polaren. Den er uavhengig av hvilke vilkårlige linjer som ble trukket gjennom M.

Den fullstendige firkanten som her benyttes, består av de to gitte linjene gjennom I pluss linjene PQ' og QP'. Den har seks hjørner I, J, P, P’, Q og Q'. Da vil de to diagonalene PP' og IJ skjære den tredje QQ' i to punkt M og M2 slik at M2 er harmonisk konjugert til M relativt til Q og Q’ på den samme linjen.

På tilsvarende vis kan polen til en linje i forhold til to andre linjer finnes ved konstruksjon av en fullstendig firkant.

Referanser
----------

1. 1 2   R. Courant and H. Robbins, *What is Mathematics?*, Oxford University Press, New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.
2. 1 2   D. Pedoe, *Geometry: A Comprehensive Course*, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.
3. ↑   Projekt Runeberg, *Pol*, Salmonsens konservationsleksikon (1915-1930).
4. 1 2   A. Søgaard og R. Tambs-Lyche, *Matematikk for Realgymnaset*, Bind III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
5. 1 2   H.S.M. Coxeter, *Projective Geometry*, Springer-Verlag, New York (1987). ISBN 978-0-387-40623-7.
6. ↑   J.W. Russell, *An elementary treatise on pure geometry with numerous examples*, Clarendon Press, Oxford (1893).

Eksterne lenker
---------------

* E. Weisstein, *Polar*, Wolfram MathWorld
* Cut the Knot, *Poles and Polars*

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld
 |