| Funksjon | Derivert |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin(x)} | {\displaystyle \cos(x)} |
| {\displaystyle \cos(x)} | {\displaystyle -\sin(x)} |
| {\displaystyle \tan(x)} | {\displaystyle \sec ^{2}(x)} |
| {\displaystyle \cot(x)} | {\displaystyle -\csc ^{2}(x)} |
| {\displaystyle \sec(x)} | {\displaystyle \sec(x)\tan(x)} |
| {\displaystyle \csc(x)} | {\displaystyle -\csc(x)\cot(x)} |
| {\displaystyle \arcsin(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arccos(x)} | {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arctan(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arccot}(x)} | {\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}+1}}} |

**Derivasjonen av trigonometriske funksjoner** er den matematiske prosessen for å finne ut hvor fort en trigonometrisk funksjon endres med hensyn til en variabel. Vanlige trigonometriske funksjoner omfatter sin(*x*), cos(*x*) og tan(*x*). For eksempel, ved derivasjon av *f*(*x*) = sin(*x*), beregner man en funksjon *f* ′(*x*) som beregner hvor fort sin(*x*) endrer seg ved et spesielt punkt *a*. Verdien som viser hvor fort funksjonen endrer seg ved *a* er dermed gitt av *f* ′(*a*). Kunnskap om derivasjon fra grunnprinsippene er nødvendig, sammen med kompetanse i bruk av trigonometriske identiteter og grenser. Alle funksjoner involverer den vilkårlige variabelen *x*, med all derivasjon utført med hensyn til *x*.

Det viser seg at med en gang man kjenner de deriverte til sin(*x*) og cos (*x*), kan man enkelt beregne de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene fordi de alle kan uttrykkes ved sinus eller cosinus; regelen for derivasjon av en kvotient blir dermed iverksatt for å derivere dette uttrykket. Beviser for de deriverte av sin(*x*) og cos(*x*) er gitt i avsnittet for beviser. Resultatene er sitert for å gi bevisene til de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene. Å finne de deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene involverer bruk av implisitt derivasjon og de deriverte av vanlige trigonometriske funksjoner er også gitt i avsnittet for beviser.

Deriverte av trigonometriske funksjoner og deres inverse
--------------------------------------------------------

{\displaystyle \left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}
{\displaystyle \left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}
{\displaystyle \left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}
{\displaystyle \left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc ^{2}(x)}
{\displaystyle \left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}
{\displaystyle \left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}
{\displaystyle \left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle \left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle \left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}}
{\displaystyle \left(\operatorname {arccot}(x)\right)'={\frac {-1}{x^{2}+1}}}
{\displaystyle \left(\operatorname {arcsec}(x)\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
{\displaystyle \left(\operatorname {arccsc}(x)\right)'={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Beviser for deriverte av sinus- og cosinusfunksjonene
-----------------------------------------------------

### Bevis for {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}

I diagrammet over, er arealet av trekant OPA < arealet av sektor OPA < arealet av trekant OAQ

La vinkelen utspent av buen AP være *x* og radius i sirkelen være *r*.

Når {\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}

Arealet av trekant OPA er {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\sin(x)}. Arealet av sektor OPA er {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}x}. Arealet av trekant OAQ er {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\tan(x)}. Da har vi

{\displaystyle \sin(x)<x<\tan(x)\,\!}
{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}<1}
{\displaystyle x<\tan(x)\,\!}
{\displaystyle x\cos(x)<\sin(x)\,\!}
{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)}
{\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
Når {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<0,}

{\displaystyle \sin(-x)<-x<\tan(-x)\,\!}
{\displaystyle -\sin(x)<-x<-\tan(x)\,\!}
{\displaystyle \sin(x)>x\,\!}
{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}<1}
{\displaystyle x>\tan(x)\,\!}
{\displaystyle x\cos(x)>\sin(x)\,\!}
{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)}
{\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
Derfor, når {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}} for {\displaystyle x\neq 0}

{\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
Siden{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\cos(x)=1} blir uttrykket «klemt flat» mellom 1 og 1, og vi konkluderer med at

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
### Derivasjon av sinusfunksjonen

Definisjonen av den deriverte av en funksjon *f*(*x*):

{\displaystyle f'(x)=\left(\lim \_{h\to 0}{\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)}\right)\left(\lim \_{h\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}\right)=\cos(x)}
### Derivasjon av cosinusfunksjonen

Fra den trigonometriske identiteten

{\displaystyle \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
Som vist over, siden

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)}
Derfor,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(x))={\frac {d}{dx}}\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin(x)}

Beviser for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner
-----------------------------------------------------------

De følgende deriverte er funnet ved å sette en variabel *y* lik den inverse trigonometriske funksjonen vi vil derivere. Ved å bruke implisitt derivasjon og deretter løse med hensyn på *dy*/*dx*, blir den deriverte til den inverse funksjonen funnet uttrykt ved *y*. For å konvertere *dy*/*dx* tilbake til å være uttrykt ved *x*, kan vi tegne en referansetrekant på enhetssirkelen, og la *θ* være *y*. Ved å bruke Pythagoras' læresetning og definisjonen av de vanlige trigonometriske funksjonene, kan vi endelig uttrykke *dy*/*dx* ved *x*.

### Derivasjon av den inverse sinusfunksjonen

Vi lar

{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
Der

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
Så

{\displaystyle \sin y=x\,\!}
Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
{\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1\,\!}
Ved substitusjon av {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle x=\sin \,y} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
### Derivasjon av den inverse cosinusfunksjonen

Vi lar

{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
Der

{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
Så

{\displaystyle \cos y=x\,\!}
Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
{\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!} fra uttrykket over, får vi

{\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle x=\cos y\,\!} fra uttrykket over, får vi

{\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
### Derivasjon av den inverse tangensfunksjonen

Vi lar

{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
Der

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
Så

{\displaystyle \tan y=x\,\!}
Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
{\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle 1+\tan ^{2}y=\sec ^{2}y\,\!} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle x=\tan y\,\!} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}(1+x^{2})=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
### Derivasjon av den inverse cotangensfunksjonen

Vi lar

{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x\,\!}
Der

{\displaystyle 0<y<\pi }
Så

{\displaystyle \cot y=x\,\!}
Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\cot y={d \over dx}x}
{\displaystyle {dy \over dx}-\csc ^{2}y=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle 1+\cot ^{2}y=\csc ^{2}y\,\!} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}-(1+\cot ^{2}y)=1}
Ved substitusjon av {\displaystyle x=\cot y\,\!} fra uttrykket over,

{\displaystyle {dy \over dx}-(1+x^{2})=1}
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}

Se også
-------

* Trigonometri
* Kalkulus
* Derivasjon
* Tabell over deriverte

Referanser
----------

1. ↑  The Squeeze Theorem Applied to Useful Trig Limits

Bibliografi
-----------

* Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).