De mulige permutasjonene til Rubiks kube utgjør en gruppe.
En **gruppe** i matematikken er en mengde elementer sammen med en binæroperasjon. Den må være slik at fire aksiomer er oppfylt. For det første må den være lukket slik at kombinasjonen av to element alltid gir et element i samme gruppe. Videre må den være assosiativ, og det må finnes et enhetselement slik at hvert element har en *invers*. Et av de mest velkjente eksemplene på en gruppe er mengden av heltall hvor den binære operasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er da tallet 0. 

Ved å gi en abstrakt formulering av gruppeaksiomene som er uavhengig av konkrete grupper og deres operasjoner, kan en på en fleksibel måte behandle objekter med svært ulikt matematisk opphav. Dette kan gjøres samtidig som man beholder deres vesentlige strukturelle egenskaper. Studiet av grupper kalles gruppeteori.

Grupper har et fundamentalt slektskap med begrepet symmetri. For eksempel, symmetrigruppen til et geometrisk objekt danner en gruppe. Den består av mengden alle transformasjoner som ikke endrer objektet og operasjonen som kombinerer to slike transformasjoner ved å foreta den ene etter den andre.

Definisjon
----------

Grupper er definert på en slik måte at den gjelder for en vid klasse av objekter som deler en del strukturelle egenskaper. Man har en mengde {\displaystyle G}, og en binæroperasjon {\displaystyle \times }. Denne operasjonen er slik at man kan kombinere hvilke som helst to elementer {\displaystyle a} og {\displaystyle b} fra {\displaystyle G} og få et annet element {\displaystyle a\times b}. Symbolet {\displaystyle \times } representerer her en generell operasjon, og kan for eksempel stå for addisjon eller multiplikasjon.

For at mengden {\displaystyle G} og binæroperasjonen {\displaystyle \times } skal være en gruppe må følgende fire aksiomer være oppfylt:

1. *Lukkethet*. Hvis {\displaystyle a} og {\displaystyle b} er elementer i {\displaystyle G}, er også {\displaystyle a\times b} et element i {\displaystyle G}.
2. *Assosiativitet*. Hvis {\displaystyle a}, {\displaystyle b} og {\displaystyle c} er elementer i {\displaystyle G} så gjelder ligningen {\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}.
3. *Identitetselement*. Det finnes et element {\displaystyle e} i {\displaystyle G} slik at for ethvert element {\displaystyle a} i {\displaystyle G}, så holder ligningen {\displaystyle e\times a=a\times e=a}.
4. *Invers*. For enhver {\displaystyle a} i {\displaystyle G} finnes et element {\displaystyle b} i {\displaystyle G} slik at {\displaystyle a\times b=b\times a=e}, hvor {\displaystyle e} er identitetslementet.

I allminnelighet er ikke operasjonen kommutativ, det vil si at {\displaystyle a\times b=b\times a}. Hvis gruppen har denne egenskapen, sies den å være abelsk. Dette adjektivet kommer av den norske matematikeren Niels Henrik Abel. Antall element i gruppen, kalles dens **orden**. Avhengig av størrelsen på dette tallet, snakker man derfor om små eller store grupper.

Enkle eksempel
--------------

Betegnes mengden av heltallene med **Z**, så danner de en gruppe hvor binæroperasjonen er addisjon. Den betegnes da med symbolet + på vanlig vis. Elementene i gruppen består av tallene

{\displaystyle \{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}.
Det første aksiomet er tilfredsstilt siden summen av to heltall også er et heltall. At addisjon er assosiativ, er også velkjent. Enhetselementet er tallet 0 siden {\displaystyle a+0=a} for alle heltall {\displaystyle a}. Det inverse elementet til {\displaystyle a} er nå det negative tallet {\displaystyle -a} da {\displaystyle a+(-a)=0}. Denne gruppen er abelsk

De positive heltallene danner ingen gruppe da de ikke inneholder inverse element. Men derimot danner de rasjonelle tallene **Q** en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon. De har formen {\displaystyle r=a/b} hvor {\displaystyle a} og {\displaystyle b} er heltall der man ikke tar med 0. Enhetselementet er her {\displaystyle e=1}, mens det inverse elementet til {\displaystyle r=a/b} er {\displaystyle r^{-1}=b/a}. Det oppfyller kravet {\displaystyle r\times r^{-1}=1}.

På samme måte danner de reelle tallene **R** en gruppe under addisjon. Summen av to slike tall {\displaystyle x} og {\displaystyle y} tilsvarer kombinasjonen av to element og skrives som {\displaystyle x+y}. Dette er også et reelt tall slik at enhetselementet er {\displaystyle 0}. Derfor er det inverse elementet til {\displaystyle x} ganske enkelt {\displaystyle -x}. På samme måte kan også elementene i et vektorrom betraktes som en slik abelsk gruppe. Disse gruppene inneholder uendelig mange element som varierer kontinuerlig seg imellom. Slike kontinuerlige grupper kalles vanligvis for Lie-grupper.

### Klokkearitmetikk

Tidsregning på denne klokken bruker aritmetikk modulo 12.
Den måten vi teller timer på en vanlig klokke med tallene

{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}},
definerer en abelsk gruppe av orden 12 når binæroperasjonen addisjon modulo 12. Hvis klokken er 9 og vi venter 4 timer, vil klokken bli 2, altså er {\displaystyle 9\oplus 4=1} når man lar {\displaystyle \oplus } betegne operasjonen å «addere på en klokke». Mer vanlig er det å skrive dette som {\displaystyle a\equiv b} når {\displaystyle a=b+n\cdot 12} der *n* er et heltall. Enhetselementet er her {\displaystyle 12\equiv 0}, mens elementet invers til for eksempel 5, er 7 fordi 5 + 7 = 12.

Klokkearitmetikk er et eksempel på modulær aritmetikk. For hvert positivt heltall *m* har man da på samme måte en abelsk gruppe med *m* element som kombineres ved modulær addisjon analogt med klokken der *m* = 12.

Undergrupper
------------

I enhver gruppe {\displaystyle G} finnes det en undermengde {\displaystyle H\subseteq G} med element som seg imellom oppfyller de fire gruppeaksiomene. Et av disse elementene må være enhetselementet {\displaystyle e}. Denne delmengden kalles da en **undergruppe** eller mer sjelden en *delgruppe*. For eksempel inneholder gruppen **Z** av alle heltall under addisjon en undergruppe 2**Z** som består av alle like tall {... -4, -2, 0, 2, 4, ... }. Summen av to slike tall er et nytt partall. Derimot danner ikke oddetallene noen undergruppe da de gir et liketall under en binær addisjon.

Et teorem som først ble bevist av Lagrange, sier at ordenen til en undergruppe av en endelig gruppe, må være en faktor av dennes orden. For eksempel kan en gruppe med 6 element, kun ha undergrupper med 1, 2 eller 3 element. Gruppen med ett element er triviell og består bare av enhetselementet {\displaystyle e}. Formelt sett kan man også betrakte hele gruppen {\displaystyle G} som en slik triviell undergruppe av seg selv. En endelig gruppe hvis orden er et primtall, vil derfor ikke ha noen ikke-trivielle undergrupper. Den er en syklisk gruppe.

Den minste, ikke-trivielle gruppen til **Z**, består av de to elementene {0,1} når de addereres som binære tall. Det vil si at 0 + 1 = 1 og 1 + 1 = 0 slik at den også er syklisk. Vanligvis betegnes den med *C*2 eller eventuelt **Z**2. Den samme gruppen kommer frem ved å kombinere de to elementene {1, -1} ved vanlig multiplikasjon. Da er 1⋅(-1) = -1 og (-1)⋅(-1) = 1. Begge disse to algebraiske strukturene tilsvarer derfor samme gruppe *C*2 med to element (*e, g*) som kombineres ved *e* × *g* = *g* og *g* × *g* = *e*.

Homomorfier
-----------

Funksjoner eller avbildninger mellom to grupper som bevarer gruppestrukturen, kalles for *homomorfier*. Dette betyr at hvis {\displaystyle G} og {\displaystyle H} er to grupper, så er en gruppehomomorfi mellom dem en funksjon {\displaystyle \varphi :G\to H} slik at {\displaystyle \varphi (gg^{\prime })=\varphi (g)\cdot \varphi (g^{\prime })} for alle {\displaystyle g,g^{\prime }\in G}. Hvis funksjonen er både injektiv og surjektiv, så er den en isomorfi. Det betyr at gruppene er essensielt like.

Eksemplet med gruppene bestående av {0, 1} som kombineres ved en binær addisjon og gruppen {1, -1} hvor elementene kombineres ved multiplikasjon, viser en isomorfi dem imellom. Begge kan da karakteriseres som den abstrakte gruppen *C*2. Likedan kan alle de like elementene i heltallsgruppen **Z** avbildes på +1, mens de odde tallene avbildes på -1. Dermed har man en homomorfi
{\displaystyle \varphi :\mathbf {Z} \to C\_{2}} hvor uendelig mange element avbildes på en gruppe med bare to element. Dette tilsvarer ikke noe annet enn med at summen av et odde tall og et like tall alltid er et odde tall, mens summen av to odde tall er et liketall.

Sykliske grupper
----------------

De seks løsningene av ligningen *x*6 = 1 utgjør den sykliske gruppen *C*6 = < *z* = *e**π i*/3 >   og danner en regulær sekskant.
En endelig, syklisk gruppe er en abelsk gruppe hvor alle elementene er potenser av et bestemt element. Hvis dette elementet kalles *g* og gruppens orden er *n*, inneholder den elementene 

{\displaystyle G=\{e,g,g^{2},\ldots ,g^{n-1}\}}
når man benytter multiplikativ notasjon og skriver *g*2 = *g* × *g* og så videre. Da er enhetselementet *e* = *g*0 = *g**n*. Elementet *g* kalles for gruppens **generator** eller *primitive* element. Hvis man istedet hadde brukt additiv notasjon, ville *g* × *g* = 2*g* etc. Enhetselementet blir da *e* = *ng* = 0 og kombinasjonen av element tilsvarer modulær addisjon.

Når gruppen *G* er generert av elementet *g*, skrives dette vanligvis som *G* = < *g* >. Den vanlige betegnelsen på den sykliske gruppen av orden *n*, er *Cn* eller **Z***n*.

De to tallene {1, -1} danner den sykliske gruppen *C*2 = < -1 > under vanlig multiplikasjon. Nå er disse to tallene løsningen av den enkle ligningen *x*2 = 1. Den sykliske gruppen *C*3 har element som er løsninger av den tilsvarende ligningen *x*3 = 1. De er det reelle tallet *z*0 = 1 og de to komplekse tallene

{\displaystyle {\begin{aligned}z\_{1}&=e^{+2\pi i/3}=\cos {2\pi \over 3}+i\sin {2\pi \over 3}\\z\_{2}&=e^{-2\pi i/3}=\cos {2\pi \over 3}-i\sin {2\pi \over 3}\end{aligned}}}
der *i* = √-1 er den  imaginære enheten. Da *z*12 = *e*4*π i*/3 = *e*-2*π i*/3 = *z*2 og *z*13 = *e*2*π i* = 1 når man benytter Eulers likhet, er *z*1 et primitivt element slik at *C*3 = < *z*1 >.

På lignende måte består kan man illustrere den sykliske gruppen av fjerde orden med de fire tallene *C*4 = {1, *i*, -1, -*I* } som kombineres ved vanlig multiplikasjon av kompelse tall. Den er generert av elementet *i* da *i*2 = - 1 og *i*3 = - *i* slik at *i*4 = 1. Likedan er den sykliske gruppen med seks element generert av det komplekse tallet *z* = *e**π i*/3. Den består da av elementene {1, *z*, *z*2, *z*3, *z*4, *z*5}. De er løsninger av ligningen *x*6 = 1 og danner en regulær sekskant i det komplekse planet.

Symmetrigrupper
---------------

En matematisk gruppe kan uttrykke symmetrien til en geometrisk figur, et regelmessig mønster eller et molekyl sammensatt av mindre atomer. Slike **symmetrigrupper** er viktige innen fysikk og kjemi.

Som et enkelt eksempel kan man se på bokstaven A i et plan hvor den står på en horisontal *x*-akse mens en *y*-akse står vinkelrett på denne gjennom dens toppunkt. Bokstaven er nå symmetrisk om *y*-aksen. Man kan tenke seg et speil langs denne aksen stående vinkelrett på *xy*-planet slik at bokstaven blir reflektert i speilet. Det er derfor vanlig å si at *y*-aksen er et symmetrisk speilingsplan for denne bokstaven. Derimot er en tilsvarende refleksjon i *x*-aksen ingen symmetrioperasjon. 

Betegner man denne operasjonen eller transformasjonen av bokstaven med symbolet *s*, vil den ha to symmetrier *e* og *s* der *e* beskriver enhetstransformasjonen som betyr at bokstaven forblir i sin opprinnelig stilling. Disse to symmetritransformasjonene danner nå den sykliske gruppen *C*2 = {*e, s*} da *s* × *s* = *s*2 = *e* fordi to speilinger er det samme som ingen speiling.

### Dihedral gruppe *D*2

| *D*2 | *e* | *r* | *sx* | *sy* |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *e* | *e* | *r* | *sx* | *sy* |
| *r* | *r* | *e* | *sy* | *sx* |
| *sx* | *sx* | *sy* | *e* | *r* |
| *sy* | *sy* | *sx* | *r* | *e* |

En langstrukket bokstav H har den samme symmetrien. Men denne har også en slik refleksjonssymmetri om *x*-aksen slik at man har to speilingsoperasjoner *sx* og *sy* i dette tilfellet. Begge er refleksjoner slik at *sx*2 = *sy*2 = *e*. 

Nå kan disse to symmetrioperasjonene også kombineres. Hvis man først utfører *sy* og så *sx*, er det vanlig å skrive dette som *sx* × *sy* = *sx* *sy*. For å se hva som skjer under denne kombinerte operasjonen, tenker man seg at objektet H i dette tilfellet har tall 1, 2, 3, og 4 i hvert hjørne eller eventuelt bokstavene *A, B, C* og *D*. Da vil man se at den doble speilingen er det samme som en rotasjon *r* på 180° mot klokken om en *z*-akse vinkelrett på *xy*-planet. En dobbel slik rotasjon tilsvarer en dreievinkel 360° som er ingen rotasjon slik at *r*2 = *e*. Hvis de to speilingene blir gjort i motsatt rekkefølge, kommer man frem til samme resultat. Matematisk kan det nå skrives som *sx* *sy* = *sy* *sx* = *r*. Lignende betraktninger viser at *r sx* = *sx r* = *sy* og *r sy* = *sy r* = *sx*.

Bokstaven H er derfor symmetrisk eller invariant under fire transformasjoner som utgjør den **dihedrale gruppen** med fire element *D*2 = {*e*, *r*, *sx*, *sy*}. Egenskapene til gruppen følger fra alle mulige kombinasjoner av to og to gruppeelement og kan sammenfattes i det som vanligvis kalles en *Cayley-tabell* etter Arthur Cayley. Denne gruppen er abelsk som man kan se fra tabellen ved at den er symmetrisk om diagonalen. Da den er generert av *r* og *s* = *sx*, kunne den likså godt være beskrevet som *D*2 = {*e*, *r*, *s*, *rs*} fordi *sy* = *r sx* der *r*2 = *s*2 = *e* og *rs* = *sr*. Både gruppen {*e, r*} og {*e, s*} er undergrupper. Ofte blir denne gruppen også omtalt som Kleins *Vierergruppe* eller 4-gruppe *V*4.

Navnet *dihedral* har samme bakgrunn som dihedral vinkel og kommer av at man kan tenke seg at plane figurer har to sider, en forside og en bakside.

### Dihedral gruppe *D*3

De tre speilingsaksene i trekanten ligger fast under symmetritransformasjonene.
Regulære polygoner har mange symmetrier som kan uttrykkes ved større, dihedrale grupper. For eksempel, en likesidet trekant forblir uforandret hvis den

1. roteres 120°, 240° eller 360° = 0° mot urvisesen om en akse vinkelrett på trekantens plan
2. speiles gjennom tre akser *S*1, *S*2 og *S*0 som går gjennom hvert av hjørnene og vinkelrett mot motsatt side

| *D*3 | *r*0 | *r*1 | *r*2 | *s*0 | *s*1 | *s*2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *r*0 | *r*0 | *r*1 | *r*2 | *s*0 | *s*1 | *s*2 |
| *r*1 | *r*1 | *r*2 | *r*0 | *s*1 | *s*2 | *s*0 |
| *r*2 | *r*2 | *r*0 | *r*1 | *s*2 | *s*0 | *s*1 |
| *s*0 | *s*0 | *s*2 | *s*1 | *r*0 | *r*2 | *r*1 |
| *s*1 | *s*1 | *s*0 | *s*2 | *r*1 | *r*0 | *r*2 |
| *s*2 | *s*2 | *s*1 | *s*0 | *r*2 | *r*1 | *r*0 |

Rotasjonen på 120° kan man tenke seg utført mot klokkeretningen og kalles *r*1. Da tilsvarer *r*2 = *r*12 en rotasjon på 240° i samme retning, mens *r*13 = *r*0 er enhetselementet da denne rotasjonen tar trekanten tilbake til den opprinnelige posisjonen. Elementet *r*1 er det inverse av *r*2 da *r*1 × *r*2 = *r*0. De tre rotasjonene {*r*1, *r*2, *r*0} danner den sykliske gruppen *C*3.

De tre speilingsaksene *S*1, *S*2 og *S*0 ligger fast i rommet og blir ikke påvirket av transformasjonene. Kaller mann de tilsvarende speilingsoperasjonene for 
*s*1, *s*2 og *s*0 vil hver av dem generere en *C*2 undergruppe da *s*12 = *r*0  og tilsvarende for de to andre elementene.

Man finner for eksempel at Produktet av to rotasjoner er alltid en ny rotasjon, mens produktet av en rotasjon og en speiling er en ny speiling. Man finner for eksempel at *r*1 × *s*0 = *s*1, *r*1 × *s*1 = *s*2 og *r*1 × *s*2 = *s*0. Samtidig er *s*0 × *r*1 = *s*2, *s*1 × *r*1 = *s*0 og *s*2 × *r*1 = *s*1, Den dihedrale gruppen *D*3 = {*r*0, *r*1, *r*2, *s*0, *s*1, *s*2} med seks element er derfor ikke abelsk. Den er den minste, ikke-abelske gruppen.

### Dihedrale grupper

Den dihedrale gruppen *D*3 er generert av de to elementene *r* = *r*1 og *s* = *s*0 da de to andre speilingstransformasjonene er gitt som *s*1 = *s* × *r*  og *s*2 = *s*  × *r*2 hvis rotasjonen *r* er med klokken. Den består derfor av de seks elementene {*e*, *r*, *r*2, *s*, *sr*, *sr*2} i den vanlige notasjon hvor man utelater multiplikasjonstegnet.

Tilsvarende symmetrigrupper finnes for alle regulære polygoner, for eksempel kvadratet og femkanten. Den regulære *n*-kanten forblir uforandret under en rotasjon *r* på 360/*n* grader vinkelrett på dens plan. Samtidig er den invariant under refleksjon i *n* forskjellige speilingsakser gjennom hjørnene og vinkelrett på motsatt side. Kaller man en av disse speilingsoperasjonene for *s*, så består den fulle, dihedrale symmetrigruppen *D**n* av 2*n* element som kan skrives som

{\displaystyle D\_{n}=\{e,r,r^{2},\ldots ,r^{n-1},s,sr,sr^{2},\ldots ,sr^{n-1}\}}
Gruppen kan betraktes som et produkt av de to sykliske gruppene *Cn* = < *r* > med *r**n* = *e* og *C*2 = < *s* > hvor *s*2 = *e*. Alle disse gruppene har den egenskap at produktet av en speiling og en rotasjon er en ny speiling, mens produktet av to speilinger er det samme som en rotasjon. Mange dihedrale symmetrier kan sees i kunst og arkitektur.

Hvert gruppelement tilsvarer en symmetritransformasjon. Dette kan illustreres ved å betrakte *D*4 som er symmetrigruppen for et kvadrat. Ved å tenke seg tall i dets hjørner, kan man følge med effekten av de åtte forskjellige transformasjonene. 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|   *r*0 (gjør ingenting) |   *r*1 (rotasjon 90° til høyre) |   *r*2 (rotasjon 180° til høyre) |   *r*3 (rotasjon 270° til høyre) |
|   *s*0 (horisontal speiling) |   *s*1 (speiling i 24-diagonal) |   *s*2 (vertikal speiling) |   *s*3 (speiling i 13-diagonal) |
| Elementene i symmetrigruppen *D*4 til et kvadrat. Hjørnene er bare fargelagt og nummerert for å visualisere operasjonene. |

Disse består først av fire rotasjoner med klokken på 0°, 90°, 180° og 360° om dets sentrum beskrevet ved gruppelementene *r*0 = *e*, *r*1 = *r*, *r*2 = *r*2 og *r*3 = *r*3. I tillegg inneholder gruppen fire speilingstransformasjoner. Hvis *s*0 = *s* beskriver en speiling om den horisontale midtlinjen mellom to sidekanter, vil *s*1 = *s r*1 speile om diagonalen som går fra sydvest til nordøst, *s*2 = *s r*2 speile om den vertikale midtlinjen, mens *s*3 = *s r*3 speiler om diagonalen fra det sydøstre til nordvestre hjørnet.

Transformasjonsgrupper
----------------------

Når de fire elementene til den dihedrale gruppen *D*2 virker på den usymmetriske bokstaven F, vil den transformeres over i andre stillinger.
Når en symmetrigruppe virker på en figur eller et objekt som har gruppens fulle symmetri, blir det transformert over i en identisk utgave av seg selv. Men hvert gruppeelement representerer en bestemt operasjon eller transformasjon i rommet og kan også virke på andre objekt med mindre eller ingen tilsvarende symmetri. Når dette objektet er i en viss tilstand, vil det derfor kunne bli bragt over i andre tilstander ved at gruppens element eller operasjoner virker på det. 

Gruppelementene kombineres på samme måte som før og er gitt ved dens Cayley-tabell. Men i dette generelle tilfellet er det mer korrekt å si at gruppen ikke lenger er en symmetrigruppe, men virker som en *transformasjonsgruppe*. De opptrer i mange sammenhenger i teoretisk fysikk.

På lignende måte kan man illustrere effekten av den dihedrale gruppen *D*3 = < *r*, *s* > med *r*3 = *s*2 = *e*. Man kan tenke seg at *r* står for en rotasjon på 120° i det komplekse planet og derfor er representert ved det komplekse tallet *r* = *e*2*π i*/3. Videre kan *s* representere kompleks konjugasjon. Begge disse operasjonene virker på det komplekse tallet *e**iθ*  hvor *θ* er en vilkårlig vinkel. Denne vil da forandres når de seks gruppelementene virker på tallet. For eksempel ser man at

{\displaystyle {\begin{aligned}rse^{i\theta }&=e^{2\pi i/3}e^{-i\theta }=e^{-i(\theta -2\pi i/3)}\\&=se^{i(\theta +4\pi /3)}=sr^{2}e^{i\theta }\end{aligned}}}
Derfor er *rs* = *sr*2 oppfylt eller *r*1*s*0 = *s*0*r*2 i den opprinnelig notasjonen. Det viser at denne avbildningen av *D*3 på operasjoner i det komplekse planet er en isomorfi.

Permutasjonsgrupper
-------------------

Symmetritransformasjoner av likesidet trekant. Rotasjonselementene er her *d*, *d*2 og *d*3 = *e*, mens de tre speilingstransformasjonene er *s*1, *s*2 og *s*3. 
For å se hvordan transformasjonene i gruppen *D*3 virker på en likesidet trekant, kan man merke dens hjørner med tall slik at utgangsposisjonen er 123, det vil si at tallene 1, 2 og 3 følger etter hverandre i en retning mot urviseren på en klokke. En rotasjon på 120° vil da transformere trekanten til 312, mens en speiling om en akse vinkelrett på siden 12, vil bringe den over i posisjon 213. Hver posisjon av trekanten er derfor gitt ved en permutasjon av de tre tallene 1, 2 og 3. Det er ialt 3! = 6 forskjellige slike posisjoner som i dette tilfellet er lik med antall element i symmetrigruppen.

De seks forskjellige posisjonene til trekanten kan genereres ved to enkle operasjoner som er transposisjoner. Den ene *a* = (12) bytter om tallene 1 og 2 og *b* = (13) bytter om tallene 1 og 3. Geometrisk kan man tenke seg at *a* er en refleksjon om speilingsaksen gjennom hjørne 3 når denne følger med trekanten under de forskjellige transformasjonene, mens *b* er en speiling rundt aksen gjennom hjørne 2 på samme måte. Effekten av disse elementære operasjonene blir dermed

* *e* : 123 → 123
* *a* : 123 → 213
* *b* : 123 → 321
* *ab* : 123 → 312
* *ba* : 123 → 231
* *aba* : 123 → 132

hvor *e* = *a*2 = *b*2 er enhetselementet. Produktet *ab* representerer en rotasjon 120° mot klokken, mens *ba* er en tilsvarende rotasjon i motsatt retning. Det inverse elementet til *ab* er derfor (*ab*)-1 = *ba* som bekreftes ved at *abba* = *aea* = *a*2 = *e*. På samme vis gir (*ab*)2 = *abab* en rotasjon 240° mot klokken slik at (*ab*)3 = *e* tar trekanten tilbake til utgangsposisjonen.

Permutasjon av *n* forskjellige objekt gir opphav til *permutasjonsgruppen* *S**n*  med *n* ! element. I det spesielle tilfellet at *n* = 3 ser man at *S*3 er isomorf med den dihedrale gruppen *D*3. Dette gjelder ikke for de større, dihedrale gruppene. Men generelt har Cayley vist at enhver gruppe av orden *n* er isomorf med en undergruppe til *S**n*.

Kontinuerlige grupper
---------------------

De reelle tallene **R** danner en kontinuerlig gruppe under addisjon med 0 som enhetselement. Den kan også betraktes som en transformasjonsgruppe definert ved at det reelle tallet *x* blir transformert til *x'* = *x* + *a* hvor *a* også et reelt tall. Det er her en parameter som karakteriserer transformasjonen *x* → *x'*. Tenker man seg *x* som et punkt på den reelle tallinjen, så representerer denne transformasjonen en translasjon *T*(*a*) definert ved 

{\displaystyle T(a):x\rightarrow x'=x+a}
Produktet av to translasjoner er *T*(*a*)*T*(*b*) = *T*(*a* + *b*) og *T*(*a*) har et invers element som er *T* -1(*a*) = *T*(-*a*). Denne kontinuerlige gruppen er det enkleste eksempel på det som kalles en 1-parameter Lie-gruppe etter den norske matematiker Sophus Lie.

Ved bruk av eksponentialfunksjonen har man isomorfien *T*(*a*) = *e**ka* hvor *k* er en vilkårlig konstant som er den samme for alle elementene i gruppen. Denne funksjonen spiller en sentral rolle i beskrivelsen av alle Lie-grupper.

### Rotasjoner

Når det komplekse tallet *z* multipliseres med et annet komplekst tall *w*, roteres det til punktet *wz* = *zw*. 
Et punkt på enhetssirkelen kan angis ved en vinkel *θ* som varierer fra 0° til 360°. Roterer man dette punktet en vinkel *φ* mot klokken, ender det opp i punktet *θ* + *φ*. Slik rotasjoner danner også en 1-parameter Lie-gruppe hvor rotasjonsvinkelen *φ* er parameteren til gruppen. Skriver man et element i denne trappen som *R*(*φ*), vil da produktet av to rotasjoner gi en tredje rotasjon *R*(*φ*1)*R*(*φ*2) = *R*(*φ*1 + *φ*2). Hvert element kan derfor skrives på en tilsvarende måte som for 1-parameter translasjoner, men med den forskjell at en rotasjon på 360° skal føre punktet tilbake til utgangspunktet og derfor representere enhetselementet i gruppen. Det oppnås nå ved å skrive hvert element som

{\displaystyle R(\phi )=e^{in\phi }}
hvor *n* er et heltall og vinkelen *φ* uttrykkes i radianer. Enhetselementet *e* = *R*(2*π* ) følger nå fra Eulers likhet *e*2*π i* = 1.

Tallet *n* sies å angi representasjonen man benytter av denne rotasjonsgruppen. I det enkleste tilfelle er *n* = 1 som gir den *fundamentale* representasjonen. Den kan illustreres i det komplekse planet ved å rotere det komplekse tallet *z* = *e**iθ* som danner vinkelen *θ* med *x*-aksen. En rotasjon *R*(*φ*) tilsvarer da å multiplisere *z* med *w* = *e**iφ* som gir det nye tallet *z* → *z'* = *wz*. Skriver man *z* = *x* + *iy* og benytter Eulers formel til å skrive *w* = cos*φ* + *i* sin*φ*, finner man at resultatet blir *z'* = *x'* + *iy'* hvor

{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi \\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi \end{aligned}}}
Dette er den vanlige formen for en rotasjon *φ* i *xy*-planet.

Translasjoner i rommet kommuterer med hverandre. Beveger man seg for eksempel 10 m langs *x*-aksen og så 20 m langs *y*-aksen, kommer man frem til samme punkt som når man først flytter seg like langt langs *y*-aksen og så langs *x*-aksen. Den tredimensjonale translasjonsgruppen er derfor abelsk. Det er derimot ikke den tredimensjonale rotasjonsgruppen. Roterer man for eksempel en bok 180° om *x*-aksen og så 180° om *y*-aksen, blir ikke resultatet det samme om man gjør de to operasjonene i motsatt rekkefølge.

Historie
--------

Den opprinnelige motivasjonen for gruppeteori var å finne løsninger av polynomligninger av grad høyere enn fjerdegradsligningen.
På slutten av 1700-tallet viste Lagrange at ombytte eller permutasjoner av røttene kunne gi bedre innsikt i egenskapene til løsningene. Dette arbeidet ble videreført av Ruffini som ved århundreskiftet viste at femtegradsligningen generelt ikke lar seg løse ved algebraiske metoder. 

Noen år senere fant Abel en feil i dette beviset selv om konklusjonen var korrekt. Men noen femtegradsløsninger lar seg løse. Abel kom frem til visse egenskaper som ligningen da må ha. Omtrent samtidig klarte Galois å komme frem til en mer generell klassifisering av løsbare polynomligninger ved å kunne assosiere en viss Galois-gruppe med hver slik ligning. Denne er basert på permutasjoner av røttene til ligningen. Hvis denne har grad *n*, er Galois-gruppen en undergruppe av den symmetriske gruppen *Sn*. Ligningen har en algebraisk løsning for spesielle egenskaper ved denne gruppen.

Ideene til Galois ble først avvist av hans samtidige, og de ble publisert etter hans død. De regnes ofte som begynnelsen på gruppeteorien. Mer generelle undersøkelser av permutasjonsgruppen ble i de følgende årene gjennomført av Cauchy. På midten av 1800-tallet ga Cayley den første abstrakte, definisjonen av en endelig gruppe.

Geometri var det andre feltet hvor grupper ble brukt systematisk. Dette var spesielt en sentral del av Kleins Erlangen-program fra 1872. Etter som hyperbolsk og projektiv geometri ble oppdaget, brukte Klein gruppeteori til å systematisere dem. Lie hadde nær kontakt med Klein i disse årene og begynte å studere kontinuerlige grupper i forbindelse med transformasjoner av differensialligninger. Siden har disse gruppene blitt omtalt som Lie-grupper.

Se også
-------

* Gruppeteori
* Lie-grupper

Referanser
----------

1. 1 2 3 4 5 6   J. Reed og J. Aarnes, *Matematikk i vår tid: En introduksjon*, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
2. 1 2 3 4   W. Ledermann, *Introduction to the Theory of Finite Groups*, Oliver & Boyd, London (1961).
3. 1 2 3   J.B. Fraleigh, *A First Course in Abstract Algebra*, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1976).
4. 1 2   H. Weyl, *Symmetry*, Princeton University Press, Princeton NJ (1969).
5. ↑   R. Gilmore, *Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications*, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5.
6. ↑   H. Wussing, *The Genesis of the Abstract Group Concept*, Dover Publications, New York (1984). ISBN 0-486-45868-7.

Eksterne lenker
---------------

* MT3818, *Symmetry groups of plane figures*, forelesning ved University of St. Andrews, Scotland.
* F. Oggier and A.M. Bruckstein, *Groups and symmetries* Arkivert 4. mars 2021 hos Wayback Machine. forelesninger ved NTU, Singapore (2014).

| * v
* d
* r
Hovedområder i matematikk |
| --- |
| Algebra **·** Analyse **·** Anvendt matematikk **·** Geometri **·** Kombinatorikk **·** Numerisk analyse **·** Topologi **·** Statistikk |

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** Brockhaus Enzyklopädie **·** Encyclopædia Universalis **·** Encyclopædia Universalis **·** GND
 |