En hyperbolsk paraboloide er en andregradsflate i tre dimensjoner.
En **andregradsflate** er i matematikken definert som løsningsmengden til et kvadratisk polynom med flere ukjente. Den kan betraktes som en hyperflate i et affint rom med en dimensjon som er gitt ved antall ukjente i polynomet. Med to ukjente reduseres denne flaten til et kjeglesnitt i planet. Av den grunn kalles kalles også løsningsmengden med tre ukjente for en **kjeglesnittsflate**. I det generelle tilfellet med *n* ukjente gir polynomet opphav til en hyperflate i *n* dimensjoner og omtales vanligvis som en **kvadrikk**. Den er et eksempel på en matematisk varietet.

Hvis de *n* ukjente kalles *x*1, *x*2, ... , *x**n*, kan de betraktes som koordinater i det omsluttende, affine rommet. Ligningen som definerer andregradsflaten har da den generelle formen

{\displaystyle \sum \_{i,j=1}^{n}a\_{ij}x\_{i}x\_{j}+2\sum \_{i=1}^{n}b\_{i}x\_{i}+c=0}
der *aij* er elementer i en *n* × *n* matrise som man kan anta er symmetrisk. Likedan utgjør *bi* komponentene til en *n*-dimensjonal vektor og *c* er en konstant. Disse parametrene tar vanligvis verdier som er reelle eller komplekse tall. Ligningen kan derfor skrives på den mer kompakte formen

{\displaystyle x^{T}ax+2x^{T}b+c=0}
hvor *xT* er en linjematrise som er den transponerte av kolonnematrisen *x*.

I matematiske undersøkelser av egenskapene til andregradsflater er det ofte av interesse å utvide det omsluttende rommet til å være et projektivt rom med koordinater *X* = (*x*0, *x*1, *x*2, ... , *x**n*). Det affine rommet kan da avgrenses ved å sette *x*0 = 1. Kvadrikken tar da den enda mer kompakte formen

{\displaystyle X^{T}AX=0}
hvor nå *A* er en (*n* + 1)×(*n* + 1) symmetrisk matrise gitt som

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}}
I 
Den opprinnelige ligningen for den tilsvarende hyperflaten fremkommer da ved å benytte at *xT b* = *bT x*.

Tre dimensjoner
---------------

Når det omsluttende rommet har *n* = 3 dimensjoner, representerer løsningsmengden en todimensjonal flate. Ved en diagonalisering vil da den definerende ligningen kunne reduseres til forskjellige *normalformer* hvorav mange er av formen

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
når den har sitt senter i origo (0,0,0). I det tredimensjonale rommet finnes det 16 slike forskjellige normalformer. De mest interessante er følgende:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Flate** | **Ligning** | **Form** |
| Ellipsoide | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}=1\,} | Ellipsoide |
| Rotasjonsellipsoide eller **sfæroide** (spesialtilfelle av ellipsoide)   | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/b^{2}=1\,} |  |
| Kule (spesialtilfelle av rotasjonsellipsoide) | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/a^{2}=1\,} |  |
| Elliptisk paraboloide | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z=0\,} | Elliptisk paraboloide |
| Sirkulær paraboloide (spesialtilfelle av elliptisk paraboloide) | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}-z=0\,} |  |
| Hyperbolsk paraboloide | {\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}-z=0\,} | Hyperbolsk paraboloide |
| Enkappet hyperboloide | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=1\,} | Enkappet hyperboloide |
| Tokappet hyperboloide | {\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=1\,} | Tokappet hyperboloide |
| Kjegle | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=0\,} | Kjegle |
| Elliptisk sylinder | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\,} | Elliptisk sylinder |
| Sirkulær sylinder (spesialtilfelle av elliptisk sylinder) | {\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}=1\,} |  |
| Hyperbolsk sylinder | {\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1\,} | Hyperbolsk sylinder |
| Parabolsk sylinder | {\displaystyle x^{2}+2y=0\,} | Parabolsk sylinder |

Se også
-------

* Kvadratisk form

Eksterne lenker
---------------

* Silvio Levy, *Quadrics in Geometry Formulas and Facts* Arkivert 18. juli 2018 hos Wayback Machine. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, CRC Press, 30. opplag.

* PlanetMath, *Quadratic Surfaces*.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** Encyclopædia Universalis **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NKC
 |