**Hölder-kontinuitet** angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være **Hölder-kontinuerlig** dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og \gamma  (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i \gamma  og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent {\displaystyle \gamma =1} er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis {\displaystyle \gamma >1} er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

Definisjon
----------

En funksjon {\displaystyle f:X\to Y}, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være *Hölder-kontinuerlig (med eksponent \gamma )* dersom det finnes en konstant {\displaystyle C\geq 0} og en konstant {\displaystyle \gamma >0} slik at

{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\gamma }}
Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom {\displaystyle (X,d\_{X})} og {\displaystyle (Y,d\_{Y})}, der {\displaystyle d\_{X}} og {\displaystyle d\_{Y}} angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon {\displaystyle f:X\to Y} *Hölder-kontinuerlig (med eksponent \gamma )* dersom det finnes en konstant C slik at

{\displaystyle d\_{Y}(f(x\_{1}),f(x\_{2}))\leq Cd\_{X}(x\_{1},x\_{2})^{\gamma }}

Eksempler
---------

Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige
* Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, siden

{\displaystyle |f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(y)|\leq |a||x-y|} der {\displaystyle C=|a|} og {\displaystyle \gamma =1}
* Funksjonen {\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)} er *ikke* Lipschitz-kontinuerlig over {\displaystyle (0,\infty )}, men den er Hölder-kontinuerlig med konstant {\displaystyle C=1} og eksponent {\displaystyle \gamma =1/2}:

{\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|}
Anta {\displaystyle x>y}, da får vi
{\displaystyle |{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|={\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}})}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\Big (}{\frac {\sqrt {x-y}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq {\Big (}{\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq 1|x-y|^{1/2}}

Referanser
----------

1. ↑  Christopher Heil (2019). *Introduction to Real Analysis*. Springer. s. 31. ISBN 978-3-030-26901-2.

Eksterne lenker
---------------

* (en) Stover, Christopher og Weisstein, Eric W. *Hölder condition* i MathWorld.
* Hölder condition på *Encyclopedia of Math*