**Darwins vekselvirkning** beskriver energien til ladete partikler i bevegelse som skyldes de elektriske og magnetiske kreftene mellom dem. Hvis hastighetene til partiklene har en omtrentlig verdi *v*, har denne energien en størrelsesorden som er en brøkdel *v*2/*c*2 av den vanlige Coulomb-energien til partiklene når *c*  er lyshastigheten. Darwin-vekselvirkningen kan derfor betraktes som en relativistisk korreksjon til den elektriske energien og skyldes at en partikkel i bevegelse skaper et magnetfelt som påvirker andre partikler ved Lorentz-kraften.

Dette bidraget til den klassiske elektrodynamikken ble beregnet av den engelske fysiker Charles Galton Darwin et par år før moderne kvantemekanikk var etablert. Man visste allerede da fra Bohrs atommodell at elektronene i et atom har meget høye hastigheter som kan nærme seg lyshastigheten. Det var derfor av viktighet å forstå hvordan dette ville påvirke de elektriske kreftene som holdt elektronene på plass i atomet. I kvantemekanisk sammenheng er denne vekselvirkningen senere benyttet til å beregne korreksjoner til energien av atomer med flere elektroner og andre systemer med mange ladete partikler i bevegelse.

Klassisk beregning
------------------

En partikkel med masse *m* og elektrisk ladning *q* som beveger seg med hastighet **v** i en kombinasjon av et elektrisk skalarpotensial Φ = Φ(**r**,*t*)  og et magnetisk vektorpotensial **A** = **A**(**r**,*t*), er beskrevet ved Lagrange-funksjonen

{\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}
Den gjelder også for relativistisk bevegelse der partikkelens hastighet nærmer seg lyshastigheten, *v* → *c*. Mens både potensialene Φ  og **A** forandres under gaugetransformasjoner, vil denne Lagrange-funksjonen forbli uforandret. Denne friheten tillater at man kan påtvinge vektorpotensialet betingelsen **∇** ⋅ **A** = 0. Det kalles valg av Coulomb-gauge fordi det elektriske potensialet fra en ladning *q* da vil være Φ = *q*/4*π ε*0*r*  selv om den er i bevegelse.

### Vektorpotensial

En slik ladning i bevegelse vil samtidig skape et magnetfelt **B** = **∇** × **A**. Så lenge hastigheten er ikke-relativistsisk *v* << *c*, er dette gitt ved Biot-Savarts lov

{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu \_{0}q}{4\pi }}{\mathbf {v} \times \mathbf {r} \over r^{3}}={\frac {q\,\mathbf {v} \times \mathbf {n} }{4\pi \varepsilon \_{0}c^{2}r^{2}}}}
der enhetsvektoren **n** = **r**/*r* peker fra ladningen til det punkt hvor feltet opptrer. Det tilsvarende vektorpotensialet er

{\displaystyle \mathbf {A} ={q\,\mathbf {v} \over 4\pi \varepsilon \_{0}c^{2}r}}
På grunn av faktoren *c*2 i nevneren vil dette magnetiske bidraget til energien være mye mindre enn Coulomb-leddet. Men de to bidragene kan ikke uten videre sammenlignes da denne formen av vektorpotensialet ikke oppfyller gaugebetingelsen **∇** ⋅ **A** = 0. Det kan nå gjøres ved gaugetransformasjon **A** → **A** + **∇** *χ*  hvis man velger *χ* = - **r**⋅**v**/2*r* multiplisert med konstanten *q*/4*π ε*0*c*2. Det transformerte vektorpotensialet blir dermed

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={q \over 4\pi \varepsilon \_{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v} \over r}-{\mathbf {v} \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\\&={q \over 4\pi \varepsilon \_{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v} \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\end{aligned}}}
Dette kan nå benyttes til å finne Darwin-vekselvirkningen.

### Lagrange-funksjon

Hvis man betrakter en ladet partikkel *q*1 med hastighet **v**1 som beveger seg under påvirkning av en annen partikkel med *q*2 og hastighet **v**2, vil den fulle Lagrange-funksjonen splittes opp i to deler som *L* = *Lkin* + *Lint* . Ved å ta med den første relativistiske korreksjonen til den kinetiske energien, blir denne for begge partiklene

{\displaystyle L\_{kin}={1 \over 2}m\_{1}\mathbf {v} \_{1}^{2}{\Big (}1+{\mathbf {v} \_{1}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}+{1 \over 2}m\_{2}\mathbf {v} \_{2}^{2}{\Big (}1+{\mathbf {v} \_{2}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}}
Darwin-vekselvirkningen mellom partiklene kan nå sies å følge fra potensialene som partikkel 2 skaper og som virker på partikkel 1. Den er derfor gitt ved

{\displaystyle {\begin{aligned}L\_{int}&=q\_{1}\mathbf {v} \_{1}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} \_{1},t)-q\_{1}\Phi (\mathbf {r} \_{1},t)\\&=-{q\_{1}q\_{2} \over 4\pi \varepsilon \_{0}r}+{q\_{1}q\_{2} \over 8\pi \varepsilon \_{0}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {v} \_{1}\cdot \mathbf {v} \_{2}+(\mathbf {v} \_{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {v} \_{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}\end{aligned}}}
hvor nå vektoren **r** = **r**1 - **r**2  gir separasjonen mellom partiklene. Denne koblingen avhenger både av partiklenes avstand og deres hastigheter. Dette er i overensstemmelse med resultatet til Darwin som ble utledet på en litt annen måte.

### Hamilton-funksjon

Denne vekselvirkningen tilsvarer også en bestemt vekselvirkningsenergi. Den følger fra den tilsvarende Hamilton-funksjonen

{\displaystyle H=\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {v} \_{1}+\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {v} \_{1}-L}
hvor de konjugerte impulsene finnes fra definisjonen **p** = ∂*L*/∂**v**. Det gir

{\displaystyle \mathbf {p} \_{1}=m\_{1}\mathbf {v} \_{1}{\Big (}1+{\mathbf {v} \_{1}^{2} \over 2c^{2}}{\Big )}+{q\_{1}q\_{2} \over 8\pi \varepsilon \_{0}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {v} \_{2}+\mathbf {n} (\mathbf {v} \_{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}
og tilsvarende for den andre partikkelen. Resultatet kan igjen skrives på formen *H* = *Hkin* + *Hint* . Den kinetiske energien er nå gitt som

{\displaystyle H\_{kin}={\Big (}1-{\mathbf {p} \_{1}^{2} \over 4m\_{1}^{2}c^{2}}{\Big )}{\mathbf {p} \_{1}^{2} \over 2m\_{1}}+{\Big (}1-{\mathbf {p} \_{2}^{2} \over 4m\_{2}^{2}c^{2}}{\Big )}{\mathbf {p} \_{2}^{2} \over 2m\_{2}},}
mens vekselvirkningsenergien er

{\displaystyle H\_{int}={q\_{1}q\_{2} \over 4\pi \varepsilon \_{0}r}-{q\_{1}q\_{2} \over 8\pi \varepsilon \_{0}m\_{1}m\_{2}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {p} \_{2}+(\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {p} \_{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}
Denne kan uttrykkes ved hastighetene til partiklene ved å skrive **p** = *m* **v** i det siste leddet samtidig som det skifter fortegn.

Kvantemekanisk beregning
------------------------

Den relativistiske korreksjonen til Coulomb-energien som Darwin-vekselvirkningen beskriver, har lignende form som bidraget fra den kvantemekaniske utveksling av transverse fotoner mellom de to partiklene. Dette kommer spesielt tydelig frem i Coulomb-gaugen **∇** ⋅ **A** = 0. For et foton med fireimpuls *kμ* = (*ω* /*c*, **k**) vil da den Fourier-transformerte Coulomb-energien tilsvare vekselvirkningen

{\displaystyle H\_{int}^{C}(\mathbf {k} )={q\_{1}q\_{2} \over \varepsilon \_{0}\mathbf {k} ^{2}}}
I tillegg vil et transvers foton kunne utveksles mellom de to partiklene. Har det en polarisjonsvektor **e***λ*, vil det koble til en partikkel med styrken  -*q* **e***λ*⋅**p**/*m* når den har impuls **p**. Denne kan være impulsen enten før eller etter koblingen da **k**⋅**e***λ* = 0  i denne gaugen. Ved å ta i bruk propagatoren for dette transverse fotonet, gir koblingen nå vekselvirkningsenergien

{\displaystyle H\_{int}^{tr}(\mathbf {k} )={q\_{1}q\_{2} \over m\_{1}m\_{2}}{1 \over \varepsilon \_{0}(\omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2})}\sum \_{\lambda =1,2}(\mathbf {e} \_{\lambda }\cdot \mathbf {p} \_{1})(\mathbf {e} \_{\lambda }\cdot \mathbf {p} \_{2})}
Frekvensen *ω* i nevneren er forbundet med forandringen av energien til partikkelen som fotonet kobler til, og kan neglisjeres i forhold til *c* **k** med den nøyaktighet som benyttes her. Summen over polarisasjonsvektorene er gitt ved

{\displaystyle \sum \_{\lambda =1,2}e\_{\lambda i}e\_{\lambda j}=\delta \_{ij}-{k\_{i}k\_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}}
slik at den transverse vekselvirkningsenergien blir

{\displaystyle H\_{int}^{tr}(\mathbf {k} )=-{q\_{1}q\_{2} \over \varepsilon \_{0}m\_{1}m\_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}{\Big [}\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {p} \_{2}-{1 \over \mathbf {k} ^{2}}(\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {k} )(\mathbf {p} \_{2}\cdot \mathbf {k} ){\Big ]}}
Den representerer bidraget fra de magnetiske koblingene i den klassiske beskrivelsen.

### Fourier-integral

Vekselvirkningen i det fysiske rommet følger fra en tredimensjonal Fourier-transformasjon. På den måten fremkommer det vanlige Coulomb-potensialet,

{\displaystyle \int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }={1 \over 4\pi r}}
hvor *r* = |**x**|. Den deriverte av dette integralet med hensyn til *xi* gir

{\displaystyle \int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{k\_{i} \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }={ix\_{i} \over 4\pi r^{3}}}
Tilsvarende fremgangsmåte kan også brukes til å beregne integralet som inngår i den transverse vekselvirkningen,

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{k\_{i}k\_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }&={i \over 2}{\partial \over \partial x\_{i}}\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }{\partial \over \partial k\_{j}}{1 \over \mathbf {k} ^{2}}\\&={\partial \over \partial x\_{i}}{x\_{j} \over 8\pi r}={1 \over 8\pi r}\left(\delta \_{ij}-{x\_{i}x\_{j} \over r^{2}}\right)\end{aligned}}}
etter en partiell integrasjon i *k*-rommet der overflatetermen kan neglisjeres. Tilsammen gir nå disse bidragene

{\displaystyle {\begin{aligned}H\_{int}(\mathbf {r} )&={q\_{1}q\_{2} \over 4\pi \varepsilon \_{0}r}-{q\_{1}q\_{2} \over 4\pi \varepsilon \_{0}m\_{1}m\_{2}c^{2}r}{\Big [}\delta \_{ij}-{1 \over 2}\left(\delta \_{ij}-{x\_{i}x\_{j} \over r^{2}}\right){\Big ]}p\_{1i}p\_{2j}\\&={q\_{1}q\_{2} \over 4\pi \varepsilon \_{0}r}-{q\_{1}q\_{2} \over 8\pi \varepsilon \_{0}m\_{1}m\_{2}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {p} \_{2}+{1 \over r^{2}}(\mathbf {p} \_{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {p} \_{2}\cdot \mathbf {r} ){\Big ]}\end{aligned}}}
som er den opprinnelige Darwin-vekselvirkningen. Selv om dette representerer en kvantemekanisk utledning, er Plancks konstant *ħ* falt ut av resultatet. Det følger også fra en lignende beregning hvor partiklene er beskrevet ved Dirac-ligningen. Da vil i tillegg ekstra termer avhengig av deres spinn opptre i den effektive vekselvirkningen.

Referanser
----------

1. 1 2   C.G. Darwin, *The Dynamical Motions of Charged Particles*, Philosophical Magazine **39**, 537-551 (1920).
2. 1 2 3   V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, *Relativistic Quantum Theory*, Pergamon Press, Oxford (1971).
3. ↑   L.D. Landau and E.M. Lifshitz, *Classical Theory of Fields*, Pergamon Press, London (1971).
4. ↑   J. D. Jackson, *Classical Electrodynamics*, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
5. ↑   K.T. McDonald, *Darwin Energy Paradoxes*, Princeton University (2019).
6. ↑   J.J. Sakurai, *Advanced Quantum Mechaniics*, Addison -Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).