Tangenter parallelt med x og y-aksen**Partiell derivasjon** er en operasjon i matematikk for å finne den **partiellderiverte** til en flervariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med hensyn på en variabel, mens de andre blir holdt konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for en funksjon f med variablene {\displaystyle x,y...} med hensyn på {\displaystyle x} skriver en som oftest på formen

{\displaystyle {\partial \over \partial x}f\ eller\ {\partial f \over \partial x},}
men en kan også skrive han som {\displaystyle f\_{1},f\_{x},f'\_{x},\partial \_{x}f,D\_{1}f\ eller\ D\_{x}f}. En les "den partiellderiverte av f med hensyn på {\displaystyle x}".

∂, en stilisert kursiv d, blir brukt for å vise til partiellderiverte og skiller det fra deriverte av envariable funksjoner, {\displaystyle {dy \over dx}}.

Den deriverte til en envariablet funksjon er stigningstallet til tangenten i punktet {\displaystyle x\_{0}}. I en funksjon med to variabler er det uendelig mange tangenter i hvert punkt {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})}, men som oftest er det tangentene parallelt til enten {\displaystyle x} eller {\displaystyle y}-aksen som er av høyest interesse. Når en partiellderiverer finner vi stigningstallet til en av disse to tangentene.

Definisjon
----------

### R2

La {\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R} være en funksjon av to variabler, {\displaystyle x} og {\displaystyle y}.

Den partiellderiverte til f med hensyn på {\displaystyle x} er definert som

{\displaystyle {\partial f \over \partial x}(x,y)=\lim \_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \over \Delta x}},
dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderende er den pariellderiverte med hensyn på {\displaystyle y} definert slik:

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}(x,y)=\lim \_{\Delta y\to 0}{f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \over \Delta y}}
### Rn

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjoner

La {\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R} vere en funksjon av n variabler, {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}}.

Vi definerer den partiellderiverte til f med hensyn på {\displaystyle x\_{k}} slik:

{\displaystyle {\partial f \over \partial x\_{k}}(x\_{1},...x\_{n})=\lim \_{\Delta x\_{k}\to 0}{f(x\_{1},...x\_{k}+\Delta x\_{k},...x\_{n})-f(x\_{1},...x\_{n}) \over \Delta x\_{k}}}
Hver funksjon i {\displaystyle R^{n}} har n partiellderiverte; en til hver variabel.

Eksempel i R2
-------------

Vi har funksjonen {\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R}

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}}
Når en partiellderiverer med hensyn på en variabel behandler vi den andre som konstant. De to partiellderiverte til f er dermed

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial f \over \partial x}(x,y)=2x+y\\&{\partial f \over \partial y}(x,y)=x-2y\end{aligned}}}
Stigningstalet til tangenten parallelt med {\displaystyle x}-aksen i punkt (1,1) er

{\displaystyle {\partial f \over \partial x}(1,1)=2\cdot 1+1=3}
Tilsvarende har vi stigingstalet til tangenten parallelt med {\displaystyle y}-aksen:

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}(1,1)=1-2\cdot 1=-1}

Partiellderiverte av høyere orden
---------------------------------

Slik som for funksjoner med en variabel, kan vi definere partiellderiverte av høyere orden for funksjoner med flere variabler. Dersom en partiellderivert er deriverbar kan en fortsette å derivere med hensyn på samme eller en annen variabel så langt det lar seg gjøre.

Deriverer vi en *førstepartiellderivert* med samme variabel finner vi den *andrepartiellderiverte*, og skriver følgende notasjoner:

{\displaystyle {\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}\quad eller\quad f\_{11},f\_{xx},\partial \_{xx}f,\partial \_{x}^{2}}
Deriverer vi med en annen variabel får vi en *krysset andrepartiellderivert*

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}\quad eller\quad f\_{12},f\_{xy},\partial \_{xy}f,\partial \_{x}\partial \_{y}f\\\end{aligned}}}
*Symmetrien* eller *likheten av andre partiellderiverte* fastslår at rekkefølgen for å oppnå en krysset andrepartiellderivert er likegyldig

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )}={\partial \over \partial y}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )}\\&{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}\end{aligned}}}
Deriverer vi en andrepartiellderivert får vi en *tredjepartiellderivert*, og så videre... Deriverer vi en funksjon n-ganger med samme variabel får vi *n-te ordens partiellderivert*

{\displaystyle {\partial ^{n}f \over \partial x^{n}}}
Vi får en *n-te ordens kryssene partiellderivert* dersom vi deriverer en funksjon n ganger med {\displaystyle m} ulike variabler

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{i+j+...+k}f \over \partial x\_{1}^{i}\partial x\_{2}^{j}\cdot ...\cdot \partial x\_{m}^{k}}\\&n=i+j+...+k\end{aligned}}}

Se også
-------

* Retningsderivert
* Gradient
* Hessematrisen

Referanser
----------

1. ↑  Adams, Robert A (2017). «12.4». *Calculus: A Complete Course*. Pearson Canada. s. 698–699. ISBN 9780134154367.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND
 |