I lineær algebra sies en symmetrisk, reell *n* × *n*-matrise {\textstyle M} å være **positivt bestemt** (også kalt **positivt definitt**) dersom skalaren {\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz} er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor {\displaystyle z} av n reelle tall. Her symboliserer {\displaystyle z^{\mathrm {T} }} den transponerte av {\displaystyle z}.

Mer generelt sies en Hermitsk *n* × *n*-matrise {\textstyle M} å være **positivt bestemt** hvis skalaren {\textstyle z^{\*}Mz} er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer {\displaystyle z} av n komplekse tall. Her symboliserer {\displaystyle z^{\*}} den konjungerte transponeringen av {\displaystyle z}.

En Hermitesk matrise sies å være **negativt bestemt**(**negativt definitt**) dersom uttrykket {\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz} eller {\textstyle z^{\*}Mz} alltid er negativt. Matrisen kalles **semi-positivt bestemt** dersom uttrykket {\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz} eller {\textstyle z^{\*}Mz} er ikke-negativ (større enn eller lik null), og **semi-negativt bestemt** dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles **ubestemt** (**indefinitt**).

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

Egenverdier
-----------

* En Hermitesk *n* × *n-*matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er positive.
* En Hermitesk *n* × *n-*matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
* En Hermitesk *n* × *n-*matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
* En Hermitesk *n* × *n-*matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
* En Hermitesk *n* × *n-*matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

Eksempler
---------

* Identitetsmatrisen {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor *z* med reelle elementer *a* og *b*, har vi

{\displaystyle z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}}.
Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer *a* og *b,* har vi
{\displaystyle z^{\*}Iz={\begin{bmatrix}a^{\*}&b^{\*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{\*}a+b^{\*}b=|a|^{2}+|b|^{2}}.
Uansett er resultatet positivt, siden *z* ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene *a* og *b* er forskjellig fra null).
* Den reelle symmetriske matrisen

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}
er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor *z* med elementer *a*, *b* og *c*, har vi
{\displaystyle {\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}.\end{aligned}}}
Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis *a* = *b* = *c* = 0, men det skjer kun hvis *z* er nullvektoren.
* Den reelle symmetriske matrisen

{\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}
er ikke positivt bestemt. Hvis *z* er vektoren {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}, har vi {\displaystyle z^{\mathrm {T} }Nz={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0.}
* For enhver ikke-singulær matrise A er produktet {\displaystyle A^{\mathrm {T} }A} en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor {\displaystyle z}, gjelder{\displaystyle z^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Az=\|Az\|\_{2}^{2}>0,} siden den ikke-singulære matrisen A betyr at {\displaystyle Az\neq 0.}

Eksemplene *M* og *N* ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.

Referanser
----------

1. ↑