En **følge** er i matematikk en ordnet liste av *objekter* i en mengde. Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig eller tellbart uendelig, og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av de naturlige tallene. 

Dersom det *n*-te leddet i en uendelig følge i et metrisk rom nærmer seg en grenseverdi når *n* øker, sies følgen å være konvergent. En følge som ikke er konvergent er divergent. Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del av matematisk analyse. Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen av irrasjonale tall.

Følger der elementene er reelle eller komplekse tall kalles tallfølger. Tilsvarende er en *funksjonsfølge* en følge der elementene er  funksjoner. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er en database over heltallsfølger.

En  rekke er definert som summen av en endelig eller uendelig følge.

Formell definisjon
------------------

En uendelig følge er en funksjon fra mengden av de naturlige tallene *N*:

{\displaystyle f(n)=x\_{n}\ \ n\in \mathbb {N} \ .}
Følgen sies å være definert i mengden *V*, der *V* er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiene {\displaystyle x\_{n}} kalles *leddene* i følgen. 

Alle de følgende eksemplene viser vanlig notasjon for en følge: 

{\displaystyle \{x\_{n}\}\qquad \quad \{x^{n}\}\qquad \quad \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\qquad \quad \{x\_{n}|n\in \mathbb {N} \}\qquad \quad x\_{1},x\_{2},x\_{3},\dots }
For en endelig følge brukes en endelig delmengde av *N* som indeksmengde istedenfor *N*. Vanligvis brukes mengden {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} eller mengden {\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}} for en følge med *n* elementer.

Grenseverdi og konvergens
-------------------------

En følge {\displaystyle \{x\_{n}\}} i et metrisk rom  konverger mot en grenseverdi *x* dersom det for en hver verdi av epsilon {\displaystyle \epsilon } eksisterer et heltall *N* slik at

{\displaystyle n>N\Rightarrow d(x\_{n},x)<\epsilon \,}
der *d* er  metrikken. For tallfølger er metrikken som regel definert ved hjelp av absoluttverdien:

{\displaystyle d(x\_{n},x)=|x\_{n}-x|\ .}
Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=x\ .}.
«lim» er en forkortelse for det latinske ordet *limes*, med betydning «grense».
Den første kjente bruken av denne notasjonen er fra Simon Antoine Jean L'Huilier i 1786.
I tidlig bruk ble likhetstegn benyttet istedenfor en pil: {\displaystyle n=\infty }.

Definisjonen av grenseverdien kan kompakt skrives som

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=x\iff (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(n>N\Rightarrow d(x\_{n},x)<\epsilon )\ .}

Cauchyfølger
------------

En Cauchyfølge eller en *fundamentalfølge* er en følge i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg:

{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(m,n>N\Rightarrow d(x\_{m},x\_{n})<\epsilon )\ .}
En hver konvergent følge er en Cauchyfølge, men en Cauchyfølge trenger ikke å ha en grense i den verdimengden en studerer. 
Et metrisk rom sies å være *komplett* dersom enhver Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet. Mengden av reelle tall er komplett, mens mengden av rasjonale tall ikke er det. En følge av rasjonale tall kan konvergere mot et irrasjonalt tall, som for eksempel {\displaystyle {\sqrt {2}}}. Dette kan brukes til å definere de irrasjonale tallene. Ved hjelp av en følge av rasjonale tall kan en tilnærme et irrasjonalt tall med så stor nøyaktighet som en måtte ønske.

Begrensede følger
-----------------

En følge {\displaystyle \{x\_{n}\}} i et metrisk rom er *begrenset* dersom verdiområdet er begrenset. Det vil si at det eksisterer et element *x* i det metriske rommet og en konstant *M* slik at 

{\displaystyle d(x,x\_{n})<M\,}.
Alle konvergente følger er begrenset.

Monotone følger
---------------

En følge av reelle tall {\displaystyle \{x\_{n}\}} er *monoton* dersom den er opptil eller nedtil monoton:

{\displaystyle {\begin{array}{lll}x\_{n}&\leq x\_{n+1}&{\mbox{Opptil monoton}}\\x\_{n}&<x\_{n+1}&{\mbox{Strengt opptil monoton}}\\x\_{n}&\geq x\_{n+1}&{\mbox{Nedtil monoton}}\\x\_{n}&>x\_{n+1}&{\mbox{Strengt nedtil monoton}}\\\end{array}}}
En opptil monoton følge kalles også monotont voksende. En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.

En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.

Delfølger
---------

En *delfølge* er avledet fra en følge {\displaystyle \{x\_{n}\}} ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen. 
La {\displaystyle \{n\_{k}\}} være en monoton voksende følge av naturlige tall. En delfølge kan da skrives som

{\displaystyle \{x\_{n\_{k}}\}}
Som eksempel er {\displaystyle \{1/(2n)\}} en delfølge av følgen {\displaystyle \{1/n\}}.

Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdi *x*, sier en at *x* også er en *delfølgegrense* for følgen {\displaystyle \{x\_{n}\}}.

*Bolzano-Weierstrass' teorem* kan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.

Regneregler for konvergente følger
----------------------------------

Gitt to konvergente følger {\displaystyle s\_{n}} og {\displaystyle t\_{n}} av komplekse tall, med grenseverdier henholdsvis {\displaystyle s} og {\displaystyle t}. Da gjelder regnereglene

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim \_{n\to \infty }(s\_{n}+t\_{n})&=s+t\\\lim \_{n\to \infty }(s\_{n}t\_{n})&=st\\\lim \_{n\to \infty }({\frac {1}{s\_{n}}})&={\frac {1}{s}}\end{alignedat}}}
Den siste regelen krever at alle leddene og grensen er ulik null.

Cauchyprodukt
-------------

*Cauchyproduktet* av to følger {\displaystyle \{a\_{n}\}} og {\displaystyle \{b\_{n}\}} er definert som en ny følge {\displaystyle \{c\_{n}\}} der hvert ledd er definert ved summasjonen

{\displaystyle c\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}\ .}
Dette er en diskret konvolusjonssum.

Eksempler på tallfølger
-----------------------

### Eksempel 1: Aritmetiske følger

En aritmetisk følge er en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

{\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+d\ .}
Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstanten *d* ulik null.

### Eksempel 2: Geometriske følger

En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

{\displaystyle a\_{n}=ka\_{n-1}\ .}
Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten *k* er mindre enn 1.

### Eksempel 3: Harmoniske følger

I en harmonisk følge er leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge. Dersom følgen {\displaystyle \{b\_{n}\}} er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil {\displaystyle \{a\_{n}\}=\{1/b\_{n}\}} være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

{\displaystyle a\_{n}={a\_{0} \over 1+nd}\ ,}
der {\displaystyle d} er en konstant slik at {\displaystyle (-1/d)} ikke er et naturlig tall.

### Eksempel 4: Fibonaccifølge

En fibonaccifølge er definert rekursivt ved 

{\displaystyle a\_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}n=0\\1&{\mbox{hvis }}n=1\\a\_{n-1}+a\_{n-2}&{\mbox{ellers}}\end{cases}}}
Fibonaccifølgen er divergent.

### Eksempel 5: Følge for Eulertallet

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}=e}
Grenseverdien er  Eulertallet e.

### Eksempel 6

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1\ .}
### Eksempel 7

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ hvis }}a>0\ .}
### Eksempel 8

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{a}}{(1+p)^{n}}}=1\quad {\hbox{ hvis }}p>0{\hbox{ og }}a{\hbox{ er reell.}}}

Funksjonsfølger
---------------

### Konvergens

En følge av funksjoner {\displaystyle f\_{n}(x)} som for hvert argument {\displaystyle x} i definisjonsmengden konvergerer mot en grense {\displaystyle f(x)} sies å konvergere *punktvis*. Punktvis konvergens trenger ikke medføre konvergens med hensyn på metrikken. For eksempel konvergerer følgen

{\displaystyle f\_{n}(x)=n^{2}x(1-x)^{n}\qquad x\in [0,1]}
punktvis mot null, men følgen er ikke konvergent i metrikken definert ved

{\displaystyle d\_{\infty }(f\_{1},f\_{2})=\max |f\_{1}-f\_{2}|\ .}
Generelt er konvergens med hensyn på metrikken {\displaystyle d\_{\infty }} ekvivalent med uniform konvergens.

### Egenskaper til grensefunksjonen

Et generelt problem i matematisk analyse er å studere om egenskaper til funksjonene {\displaystyle f\_{n}(x)} overføres til grensefunksjonen {\displaystyle f(x)}. For eksempel, vil funksjonen {\displaystyle f(x)} være kontinuerlig dersom alle funksjonene {\displaystyle f\_{n}(x)} er det? Svaret på dette spørsmålet er generelt «nei», det eksisterer følger av kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot funksjoner som ikke er kontinuerlig overalt i definisjonsmengden. Hvis følgen konvergerer uniformt, da er imidlertid svaret «ja» - grensefunksjonen vil være kontinuerlig.

### Polynomfølger

For en kompleks kontinuerlig funksjon {\displaystyle f(x)} definert i et intervall {\displaystyle [a,b]} gjelder Weierstrass' approksimasjonsteorem. Dette sier at det eksisterer en uendelig følge av polynomfunksjoner {\displaystyle p\_{n}(x)}, slik at

{\displaystyle f(x)=\lim \_{n\to \infty }p\_{n}(x)\qquad x\in [a,b]\ .}
Konvergensen er uniform. En generalisering av dette teoremet kalles Stone-Weierstrass' teorem. Teoremet medfører at en kan tilnærme en kontinuerlig funksjon så nøyaktig en måtte ønske ved hjelp av et polynom.

Se også
-------

* Primtallsørken

Referanser
----------

1. 1 2  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.38
2. 1 2  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.49
3. ↑  W. Rudin: *Principles of Mathematical Analysis* s.49
4. ↑   R.D. Milne: *Applied functional analysis, ...* s.114
5. ↑  Steven Schwartzman (1994). *The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English*. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 127. ISBN 0-88385-511-9.
6. ↑  Florian Cajori (2007). *A history of mathematical notations*. II. Princeton, USA: Cosimo. s. 254. ISBN 978-1-60206-684-7.
7. ↑  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.50
8. ↑  W. Rudin: *Principles of Mathematical Analysis* s.52
9. ↑   R.D. Milne: *Applied functional analysis, ...* s.119
10. ↑  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.42
11. ↑  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.43
12. ↑  H.F. Aas: *Matematisk analyse*, Bind I  s.48
13. ↑  E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). *Dictionary of mathematics*. Glasgow: Collins. s. 72. ISBN 0-00-434347-6.
14. 1 2 3  W. Rudin: *Principles of Mathematical Analysis* s.57
15. ↑  W. Rudin: *Principles of Mathematical Analysis* s.143
16. ↑  W. Rudin: *Principles of Mathematical Analysis* s.159

Litteratur
----------

* Adams, Robert (2003). *Calculus : a complete course* **(english)**. Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
* Lindstrøm, T. (2006). *Kalkulus* **(norsk)**. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3.
* Milne, Ronald Douglas (1980). *Applied functional analysis, an introductory treatment*. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.
* Rudin, Walter (1976). *Principles of mathematical analysis*. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.
* Aas, Hans Fredrik (1974). *Forelesningsnotater i matematisk analyse*. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen.

Eksterne lenker
---------------

* «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences» **(engelsk)**. The OEIS Foundation. Besøkt 5. april 2021.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NDL **·** NKC **·** BNE
 |