Gaussiske tall kan angis som diskrete punkt på et kvadratisk gitter i det komplekse planet.
**Gaussisk tall** er et komplekst tall hvor både realdelen og imaginærdelen er heltall. Typiske eksempel er derfor 7 + 6*i*, 5 - 3*i*, men også 2 og -4*i* hvor *i* = √-1 er den imaginære enheten. Tallene utgjør en matematisk ring **Z**[*i* ] hvor man kan utføre addisjon og multiplikasjon på vanlig måte. 

De gaussiske heltallene har mange av de samme egenskapene som de vanlige heltallene **Z**. I den utvidete ringen **Z**[*i* ] kan primtall defineres, og hvert tall har en éntydig faktorisering som produkt av slike primtall i overensstemmelse med aritmetikkens fundamentalteorem. En bestemt klasse av vanlige primtall i **Z** kan faktoriseres i ringen **Z**[*i* ] av gaussiske heltall.

Navnet til tallene viser tilbake til den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss. Han ga en systematisk fremstilling av deres egenskaper i sitt store verk *Disquisitiones Arithmeticae* fra 1801 i forbindelse med studiet av kvadratiske rester og deres utvidelse til kongruenser av høyere grad.

Definisjon
----------

Hvert gaussisk heltall kan skrives som

{\displaystyle z=a+bi}
hvor *i* er den imaginære enheten, mens *a* og *b* er heltall i den vanlige tallringen **Z**. De gaussiske heltallene er derfor spesielle, komplekse tall. Summen av to slike tall er dermed

{\displaystyle z\_{1}+z\_{2}=a\_{1}+b\_{1}i+a\_{2}+b\_{2}i=(a\_{1}+a\_{2})+(b\_{1}+b\_{2})i}
som er et nytt tall av samme sort. Denne egenskapen har også produktet av de to heltallene,

{\displaystyle z\_{1}\cdot z\_{2}=a\_{1}a\_{2}-b\_{1}b\_{2}+(a\_{1}b\_{2}+a\_{2}b\_{1})i}
slik at de danner en ny ring. Den betegnes vanligvis med **Z**[*i* ] som en påminnelse om at den er en utvidelse av de vanlige heltallene **Z** basert på den imaginære enheten.

### Norm

Størrelsen av komplekse tall blir vanligvis angitt ved deres absoluttverdi. For gaussiske heltall er det mer vanlig å benytte kvadratet av denne som gir dets *norm*. For det gaussisk heltallet *z* = *a* + *bi* er den definert ved

{\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)=z^{\*}z}
og er derfor et positivt heltall. Normen av et produkt oppfyller

{\displaystyle N(z\_{1}z\_{2})=N(z\_{1})N(z\_{2})}
som betyr at

{\displaystyle (a\_{1}^{2}+b\_{1}^{2})(a\_{2}^{2}+b\_{2}^{2})=(a\_{1}a\_{2}-b\_{1}b\_{2})^{2}+(a\_{1}b\_{2}+a\_{2}b\_{1})^{2}}
Denne identiteten for summen av to kvadrat kan føres tilbake til Diofant og den indiske matematiker Brahmagupta som levde noen hundre år senere.

Gaussiske heltall som har norm *N* = 1, kalles for **enheter**. Det er fire av dem, nemlig 1, -1, *i* og -*i*. De har også den egenskapen at hver av dem *a* har sin egen invers *a*-1 slik at *a*⋅*a*-1 = 1 i overensstemmelse med den vanlige definisjonen av enheter. For eksempel er (-1)⋅(-1) = 1 og -*i*⋅*i* = 1. Sammen danner disse fire tallene en syklisk gruppe generert av elementet *i*. Blant de vanlige heltallene **Z** er bare 1 og -1 enheter.

Faktorisering
-------------

Gaussiske primtall i det komplekse planet.
Noen vanlige primtall kan skrives som produkt av gaussiske heltall. For eksempel er 2 = (1 + *i* )(1 - *i* ). Ved å ta med enheter kan man også skrive dette som 2 = *i* (1 - *i* )2. På samme måte er 5 = (2 + *i* )(2 - *i* ), mens en slik oppsplitting er umulig for primtallene 3 eller 7. 

Faktorisering av vanlige tall kan systematisk gjennomføres ved bruk av Euklids algoritme. Den kan utvides til å gjelde også for gaussiske heltall. Hvis normen til *z*1 er større enn normen til *z*2, kan man da bestemme to nye gaussiske heltall *w*1 og *w*2 slik at

{\displaystyle z\_{1}=w\_{1}z\_{2}+w\_{2}}
Her må resten *w*2 ha en norm som er mindre enn den til *z*2. Dette kan gjøres på flere forskjellige måter slik at hvert stepp i algoritmen ikke er helt éntydig. Men likevel gir den et éntydig resultat for største felles faktor for de to tallene *z*1 og *z*2. Dermed kan den også benyttes til å gi en éntydig faktorisering av hvert gaussisk heltall når man ser bort fra enheter. Den gaussiske heltallsringen **Z**[*i* ] er derfor euklidsk.

### Gaussiske primtall

Resultatet av en fullstendig faktorisering av et gaussisk heltall *z* er et produkt av «gaussiske primtall». Hvert stepp i en slik faktorisering tilsvarer en oppsplitting *z* = *z*1⋅*z*2. Da normen til til *z* er produktet av normene til *z*1 og *z*2, vil hvert gaussisk heltall med en faktoriserbar norm være faktoriserbart. For eksempel har tallet *z* = 3 + *i* normen *N* = 10 = 2⋅5 og er derfor faktoriserbart. Nå er *N*(1 + *i* ) = 2 og *N*(2 - *i* ) = 5 slik at man har

{\displaystyle 3+i=(1+i)\cdot (2-i)}
hvor begge faktorene er gaussiske primtall. Derimot er 3 + 2*i* et gaussisk primtall da *N*(3 + 2*i* ) = 13 ikke kan faktoriseres i vanlige primtall.

Generelt for det gaussiske heltallet *z* = *a* + *bi* er normen *N*(*z* ) = *a*2 + *b*2. Dette er et primtall når det kan skrives som 4*n* + 1 for et vanlig heltall *n*. Da det er en sum av to kvadrater, kalles det et pytagoreiske primtall. De resterende primtall på formen 4*n* + 3 kan ikke skrives på denne måten.

Hvis man ser bort fra enheter, har man da det minste, gaussiske primtallet som er 1 + *i* med norm 2. Det er et pytagoreisk primtall. Andre slike pytagoreiske primtall kan også faktoriseres i gaussiske primtall. For eksempel er 5 = (2 + *i* )⋅(2 - *i* ) og 13 = (3 + 2*i* )⋅(3 - 2*i* ). Den siste gruppen av gaussiske primtall kan skrives som *a* + *bi* hvor *a* er et vanlig primtall på formen 4*n* + 3 og *b* = 0 eller omvendt. De befinner seg derfor kun langs de to aksene i det komplekse planet.

Referanser
----------

1. 1 2   J. Stillwell, *Elements of Number Theory*, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.
2. 1 2   J.H. Silverman, *A Friendly Introduction to Number Theory*, Pearson Education, New Jersey (2011). ISBN 0-321-81619-6.
3. ↑   J.B. Fraleigh, *A First Course in Abstract Algebra*, Addison-Wesley, Reading MA (1977).

Eksterne lenker
---------------

* E.W. Weisstein, *Gaussian integer*, Wolfram MathWorld
* Youtube, *The Basics of Gaussian Integers* , enkel orientering