Grafisk fremstilling av en elliptisk funksjon i det komplekse planet hvor fargen angir verdiene. Mønsteret gjentar seg i begge retninger da funksjonen er dobbeltperiodisk.
**Elliptiske funksjoner** er en generalisering av trigonometriske funksjoner slik at de har to perioder *ω*1 og *ω*2 istedenfor én. De er i alminnelighet komplekse funksjoner med verdier som derfor kun avhenger av argumentet innen et fundamentalt parallellogram i det komplekse planet definert ved de to periodene. Det tilsvarer at verdien av en trigonometrisk funksjon er gitt ved argumentet innen et intervall med lengde 2*π*  på den reelle tallinjen. Funksjonene har stor betydning innen den rene matematikk, men er også viktige for mer praktiske anvendelser i fysikk.

De elliptiske funksjonene ble første oppdaget av Niels Henrik Abel som oppdaget dem ved å invertere elliptiske integral. Disse oppsto i forbindelse med beregningen av buelengden til en ellipse som dermed ga opphav til funksjonenes navn. Carl Friedrich Gauss hadde tidligere studert lignende funksjoner som oppsto i forbindelse med buelengden til en lemniskate. Mens Abel vanligvis får æren for oppdagelsen av de elliptiske funksjonene og deres viktigste egenskaper, var det Carl Gustav Jacobi som omtrent samtidig ga deres teoretiske grunnlag på en slik måte at hans beskrivelse i ettertiden er blitt standard. En mer abstrakt, men også mer elegant formulering av slike funksjoner ble senere gitt av Karl Weierstrass.

Basert på Abels addisjonsteorem kunne Jacobi også vise veien til generaliseringer av de elliptiske funksjonene til komplekse funksjoner med mer enn to perioder. Dette viste seg mulig etter at han kunne uttrykke de elliptiske funksjonene ved mer fundamentale theta-funksjoner som viste seg å være av stor betydning i tallteori. Alt dette fikk en dypere forankring etter at komplekse funksjoner kunne defineres entydig på Riemann-flater. I dag er dette ren matematikk som benyttes ved kryptering av elektronisk kommunikasjon og innen moderne teoretisk fysikk.

Matematiske bakgrunn
--------------------

Mange av egenskapene til elliptiske funksjoner kan finnes analogt til hvordan de trigonometriske funksjonene kan utledes analytisk. Vanligvis defineres de geometrisk utfra sammenhengen mellom vinkler og sider i en rettvinklet trekant. Men man kan også komme frem til dem ved en beregning av lengden *s* til en sirkelbue. Den kan finnes fra det differensielle linjeelementet *ds2 = dx2 + dy2*. Da ligningen for en enhetssirkel er *x2 + y2 = 1*, vil man derfor ha sammenhengen *xdx + ydy = 0*  mellom de to differensialene av koordinatene *x* og *y* for punkt som ligger på sirkelen. Derfor er *ds2* = (*y/x*)*2**dy2 + dy2*  som forenkles til *ds = dy/x*  eller

{\displaystyle ds={dy \over {\sqrt {1-y^{2}}}}}
når man benytter ligningen for sirkelen. Hvis man måler buelengden fra punktet (1,0) på *x*-aksen til et vilkårlig punkt (*x,y*) på sirkelen, vil den være gitt ved integralet

{\displaystyle s=\int \_{0}^{y}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}}.
Dette er en jevnt voksende funksjon *s = θ*(*y*)  fra *y* = 0 til *y* = 1, altså når sluttpunktet beveger seg mot klokken. Den kan lett utvides til å være en kontinuerlig funksjon i hele intervallet (-1,+1) ved å la den bli en *odde* funksjon slik at *θ*(-*y*) = - *θ*(*y*) hvor *θ*(0) = 0. Det betyr at buelengden avtar når punktet beveger seg på sirkelen med klokken. Lengden av hele sirkelbuen mellom punktene (0,-1) og (0,+1) har nå en bestemt verdi som vanligvis kalles *π* = 3,1415... gitt ved integralet

{\displaystyle {\pi \over 2}=\int \_{0}^{1}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}}.
Alternativt kan dette skrives som *θ*(±1) = ±*π* /2. Denne funksjonen *θ*(*y*)  er velkjent og heter arcus sinus og skrives vanligvis som arcsin(*y*) eller ganske enkelt som arcsin *y*.

### Den inverse funksjon

Siden *θ*-funksjonen er jevnt voksende i hele intervallet (-1,+1), vil det for hver verdi av buelengden *s = θ*(*y*)  finnes en entydig verdi *y*. En slik sammenheng betyr at man dermed også har en invers funksjonen *y = ψ*(*s*)  med egenskapen *ψ*(*θ*(*y* )) = *y*. På samme måte vil også *θ*(*ψ*(*s* )) = *s*. Utfra egenskapen at *θ*(*y*)  er en odde funksjon, vil *ψ*(*s*)  også være en odde funksjon med de spesielle verdiene *ψ*(±*π* /2) = ±1.

Denne nye *ψ*-funksjonen er definert i argumentintervallet (-*π* /2, +*π* /2) med de spesielle verdiene. Den viser seg å være mye mer anvendlige enn den opprinnelige *θ*-funksjonen og har mange matematiske egenskaper av stor betydning. Av disse er den viktigste at *ψ*(*s*)  er en **periodisk funksjon** i motsetning til *θ*(*y*)  som er jevnt økende. Det følger fra et addisjonsteorem som det definerende integralet tilfredsstiller. Har man to buelengder *s1*  og *s2*  med tilsvarende *y*-koordinater *y1*  og *y2*, vil summen *s3 = s1 + s2*  av buelengdene ha en koordinat gitt som

{\displaystyle y\_{3}=y\_{1}{\sqrt {1-y\_{2}^{2}}}+y\_{2}{\sqrt {1-y\_{1}^{2}}}}.
Da dette er et konstruerbart uttrykk, kan man derfor addere sammen punkt på sirkelen ved bruk av en linjal og passer. Matematisk betyr det at de tilsvarende integralene oppfyller

{\displaystyle \int \_{0}^{y\_{1}}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}+\int \_{0}^{y\_{2}}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}=\int \_{0}^{y\_{3}}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}}
Denne identiteten var kjent av Euler allerede på midten av 1700-tallet. Uttrykt ved *ψ*-funksjonen har man derfor resultatet

{\displaystyle \psi (s\_{1}+s\_{2})=\psi (s\_{1}){\sqrt {1-\psi ^{2}(s\_{2})}}+\psi (s\_{2}){\sqrt {1-\psi ^{2}(s\_{1})}}}.
Ved å starte med to kjente verdier av *ψ*-funksjonen, kan den derfor beregnes for stadig større verdier av argumentet. Ved å velge *s1*  og *s2*  tilstrekkelig små og gjenta beregningen, kan man prinsipielt finne verdien av funksjonen for enhver verdi av argumentet med den ønskelige nøyaktighet.

For den spesielle verdien *s1* = *π*/2 og *s2 = - s* gir addisjonsformelen

{\displaystyle \psi (\pi /2-s)={\sqrt {1-\psi ^{2}(s)}}}.
Når *s* > *π*/2, må derfor kvadratroten tas med negativt fortegn. For den spesielle verdien *s* = - *π*/2, ser man også at *ψ*(*π* ) = 0. For enda større verdier av argumentet må funksjonen bli negativ for å forbli kontinuerlig. Det bekreftes også av addisjonsformelen som gir at at *ψ*(*π + s*) = - *ψ*(*s*). Det viser at *ψ*-funksjonen er periodisk da det betyr at *ψ*(*s + 2π* ) = *ψ*(*s*).

Ved å derivere integralet som definerer *θ*-funksjonen med hensyn på *s*, får man

{\displaystyle 1={1 \over {\sqrt {1-y^{2}}}}{dy \over ds}}.
Hvis nå dette resultatet uttrykkes ved *ψ*-funksjonen, finner man dennes deriverte som *ψ' = dψ/ds* = √(1 - *ψ2*). Derfor tilfredsstiller den ligningen

{\displaystyle \psi ^{2}(s)+\psi '^{2}(s)=1}.
Det vil derfor forenkle fremstillingen ved å definere denne kvadratroten med *ψ*-funksjonen som en ny funksjon. Den vil også automatisk være periodisk.

### Trigonometriske funksjoner

Mens det vanlige navnet på *θ*-funksjonen er arcsin, er den periodiske *ψ*-funksjonen lik med den vanlige sinusfunksjonen. Den oppfyller derfor

{\displaystyle s=\int \_{0}^{\sin s}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{2}}}}}
På samme måte blir da *ψ'*-funksjonen den samme som cosinusfunksjonen. Den er derfor gitt som cos *s* = *d* sin *s*/*ds* = sin(*π /2 - s*)  og oppfyller

{\displaystyle \sin ^{2}\!s+\cos ^{2}\!s=1}.
som geometrisk sett er en omskrivning av Pythagoras' læresetning. Addisjonsteoremet tar nå også den mer gjenkjennelige formen

{\displaystyle \sin(s\_{1}+s\_{2})=\sin s\_{1}\cos s\_{2}+\sin s\_{2}\cos s\_{1}}.
Andre trigonometriske identiteter og funksjoner kan så konstrueres videre basert på denne rent analytiske fremstillingen.

Gauss' lemniskatiske funksjoner
-------------------------------

Da Gauss i 1827 fikk vite om Abels oppdagelse av de elliptiske funksjonene, mente han at han allerede kjente til det meste av dette. Senere ble det kjent fra hans dagbøker at han i 1797 hadde beregnet buelengden til en lemniskate fra integralet

{\displaystyle s=\int \_{0}^{r}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}}.
Det definerer en jevnt økende funksjon *s* = *θ*(*r* ). Den variable *r* er her radius til et punkt på kurven beskrevet ved polarkoordinater og har en maksimalverdi *r* = 1. Funksjonen kan utvides til å bli odde med *θ*(0) = 0. Halve omkretsen til kurven er gitt ved det bestemte integralet

{\displaystyle {\omega \over 2}=\int \_{0}^{1}\!{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}}
som har en numerisk verdien *ω* = 2.6220.... Det tilsvarer at *θ*(±1) = ±*ω*/2.

I stedet for å betrakte funksjonen *s* = *θ*(*r* ), hadde også Gauss valgt å studere nærmere den inverse funksjonen. Basert på analogi med det trigonometriske integralet, kalte han denne funksjonen *sinus lemnicatus* og betegnet den med sl. Dermed kan man skrive *r* = sl(*s*)  med de spesielle verdiene sl(±*ω*/2) = ±1. På samme måte som for den vanlige sinus-funksjonen, har denne funksjonen en derivert som blir

{\displaystyle {\mbox{sl}}'(s)={d \over ds}{\mbox{sl}}(s)={\sqrt {1-{\mbox{sl}}^{4}(s)}}}
Selv om sl(*s*)  er en odde funksjon, blir dette en like funksjon med verdien sl'(±*ω*/2) = 0.

Euler hadde tidligere vist at også dette integralet tilfredsstiller et addisjonsteorem, men av en litt mer komplisert form. Ved bruk av det viste Gauss at det var hensiktsmessig å definere enda en ny funksjon

{\displaystyle {\mbox{cl}}(s)={\mbox{sl}}(\omega /2-s)={\sqrt {1-{\mbox{sl}}^{2}(s) \over 1+{\mbox{sl}}^{2}(s)}}}
som utfra samme anologi han kalte *cosinus lemniscatus*. Ved å kvadrere begge sidene av denne definisjonen, følger at

{\displaystyle {\text{sl}}^{2}(s)+{\text{cl}}^{2}(s)+{\text{sl}}^{2}(s){\text{cl}}^{2}(s)=1}.
Det tilsvarer Pythagoras' læresetning for lemniskaten.

### Kompleks utvidelse

Gauss viste videre at begge disse funksjonen er periodiske med periode 2*ω*. Men ved å betrakte funksjonene som komplekse, fulgte fra observasjonen

{\displaystyle {d(it) \over {\sqrt {1-(it)^{4}}}}=i{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}}
at sl(*is*) = *i* sl(*s*) hvor *i* = √-1 er den imaginære enheten. Det er i motsetning til den vanlige sinus-funksjonen hvor sin(*is*) = *i* sinh(*s*)  som er en hyperbolsk funksjon. Dermed har begge funksjonene også en annen periode som er 2*iω*. I alminnelighet vil derfor

{\displaystyle {\mbox{sl}}(s+\omega \pm i\omega )={\mbox{sl}}(s)}.
Alternativt kan man si at disse lemniskatiske funksjonene hver har to komplekse perioder *ω*1,2 = (1 ± *i* )*ω*. Selv om funksjonene er spesielle for lemniskaten, så er denne dobble periodisiteten karakteristisk for alle elliptiske funksjoner. Det ble vist av Abel og Jacobi.

Abels elliptiske funksjoner
---------------------------

Da Abel i 1827 publiserte sitt første arbeid om elliptiske funksjoner, tok han sitt utgangspunkt i de elliptiske integralene til Legendre. Han hadde tidligere vist at de kunne klassifiseres i tre forskjellige hovedklasser som alle involverte en kvadratrot av et polynom av fjerde grad. Integralet av første type valgte Abel å skrive som

{\displaystyle u=\int \_{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}
hvor *c* og *e* er to parametre. Dette er en generalisering av integralet som gir buelengden for lemniskaten som kommer frem ved å sette *c = e* = 1. På samme måte gir det buelengden for sirkelen når *c* = 1 og *e* = 0.

Dette integralet kan behandles på samme måte som tidligere. Så lenge *x* < 1/*c*, er *u* en jevnt økende funksjon av *x* og antar en maksimal verdi

{\displaystyle {\omega \over 2}=\int \_{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}.
Abels genistrek var nå å betrakte den inverse funksjonen *x* = *φ*(*u*) som dermed er entydig i intervallet 0 ≤ *u* ≤ *ω*/2. Da det definerende integralet er en odde funksjon av *x*, vil også funksjonen *φ*(*u*)  være odde med de spesielle verdiene *φ*(0) = 0 og *φ*(±*ω*/2) = ±1/*c*. Den deriverte *φ'*(*u*) = *dφ/du*  av funksjonen finnes som ovenfor og blir

{\displaystyle {d\phi \over du}={\sqrt {(1-c^{2}\phi ^{2})(1+e^{2}\phi ^{2})}}}
som nå er en like funksjon. De to kvadratrøttene her kan tas å være to nye og like funksjoner av argumentet *u*. Abel definerte dem som

{\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\phi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\phi ^{2}(u)}}}
som nå gjør det mulig å skrive den deriverte på den mer kompakte formen *φ'*(*u*) = *f*(*u*)*F*(*u*). Tilsvarende følger nå fra definisjonene av de nye funksjonene at deres deriverte er gitt som *f'*(*u*) = - *c*2*φ*(*u*)*F*(*u*)  og *F'*(*u*) = *e*2*φ*(*u*)*f*(*u*). Alle disse funksjonene avhenger av parametrene *c*  og *e*  selv om de her som ofte ellers ikke eksplisitt blir skrevet i ligningene.

Selv om Euler hadde tidligere vist at integralet som definerer *φ*(*u*), tilfredsstiller et addisjonsteorem, kom Abel frem til dette på sin egen måte. Ved bruk av det viste han at disse tre funksjonene er periodiske med periode 2*ω*. Videre observerte han at ved å la *t → it* går integralet over i et tilsvarende integral hvor parametrene *c* og *e* er ombyttet. Denne egenskapen betyr at funksjonen også har den imaginære perioden 2*iω'* med

{\displaystyle {\omega ' \over 2}=\int \_{0}^{1/e}{\frac {dt}{\sqrt {(1-e^{2}t^{2})(1+c^{2}t^{2})}}}}.
slik at den er dobbeltperiodisk. Ekvivalent kan man si at den har to komplekse perioder *ω*1,2 = *ω* ± *i* *ω'*. Tilsvarende egenskaper har også de to andre *f*(*u*) og *F*(*u*) av Abels elliptiske funksjoner. Med argumentet *u*  som en kompleks variabel, vil de være funksjoner definert over hele det komplekse planet. Deres nullpunkt danner et todimensjonalt gitter. De samme betraktningene viste også at funksjonene har regelmessig fordelte punkt eller «poler» hvor de tar uendelige verdier. Tilsvarende egenskaper ved de lemniskatiske funksjonene viste det seg senere at Gauss også hadde påvist.

Jacobis elliptiske funksjoner
-----------------------------

Omtrent på samme tidspunkt som Abel publiserte sitt arbeid om de elliptiske funksjoner, kom Jacobi frem til lignende resulat som etterhvert har dannet en standard for elliptiske funksjoner. Han tok også utgangspunkt i det elliptiske integralet av første type

{\displaystyle u=\int \_{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}
som bare inneholder en parameter 0 ≤ *k* ≤ 1 som er den «elliptiske modulus». Her må den øvre grensen i integralet være *x* < 1. Det gir *u*  som en økende funksjon av *x* og antar en maksimalverdi

{\displaystyle K=\int \_{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}
for *x* = 1. Det betyr at den inverse funksjonen *x* = *x*(*u*)  er definert i intervallet -*K* ≤ *u* ≤ *K*  da den er odde. For den spesielle verdien *k = i*  går integralet over i det tilsvarende lemniskatiske integralet.

Jacobi innførte her «amplituden» *φ* til integralet ved definisjonen *x* = sin *φ*. Ved samtidig å skifte integrasjonsvariabel til *t* = sin *θ*, blir

{\displaystyle u=\int \_{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
Dette gjør *u* til en funksjon av amplituden *φ*. Den inverse funksjonen skrev Jacobi som *φ* = am(*u*)  da den gir verdien til amplituden. På den måten kom han frem til sin elliptiske funksjon *sinus amplitudinis* *x* = sin am(*u*). I dag blir den skrevet som *x* = sn *u*  med de spesielle verdiene sn(0) = 0 og sn(±*K*) = ±1. I alminnelighet vil verdien til funksjonen også avhenge av parameteren *k* slik at en mer fullstendig notasjon sn(*u,k*) blir ofte benyttet. I grensen *k* → 0 går sn *u*  over i den trigonometriske funksjonen sin *u*. Når modulus *k* er imaginær, er Jacobis elliptiske funksjon ekvivalent med den som Abel definerte.

Ved å derivere det definerende integralet på begge sider finner man den deriverte funksjonen

{\displaystyle {dy \over du}={\sqrt {(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}}}
Derfor er det naturlig å innføre de to nye funksjonene

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{cn}}\ u&={\sqrt {1-{\mbox{sn}}^{2}u}},\\{\mbox{dn}}\ u&={\sqrt {1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u}}\end{aligned}}}
slik at den deriverte kan skrives som sn' *u* = cn *u* dn *u*. Her er cn *u* = cos am(*u*)  og kalles *cosinus amplitudinis*, mens dn *u* er *delta amplitudinis*. På samme måte som cn *u*  er dette en like funksjon. For *k* = 0  går cn(*u,k*)  og dn(*u,k*)  over til henholdsvis cos *u* og konstanten 1. Da sn(*K,k*) = 1  følger de spesielle verdiene cn(*K,k*) = 0 og dn(*K,k*) = *k'* = √(1 - *k*2)  som er den komplimentære modulus.

### Perioder

Jacobi viste at disse nye funksjonene også tilfredsstiller forskjellige addisjonsteorem slik at man kan uttrykke sn(*u + v*) ved sn*u*  og sn *v*. Derav følger med en gang at sn(*u* + 2*K*,*k*) = - sn(*u,k*)  slik at denne elliptiske funksjonen er periodisk med periode 4*K*. Funksjonen *K* = *K*(*k*)  blir derfor ofte omtalt som en *kvartperiode*. Han kunne også utvide argumentet i funksjon til komplekse verdier selv om dette var mer omstendelig enn for Abels funksjoner. Han fant da at sn(*u* + 2*iK'*) = sn(*u,k*)  hvor *K'* = *K*(*k'*) er den komplimentære kvartperioden. Denne funksjonen har derfor også en kompleks periode av størrelse 2*iK'* og er derfor dobbeltperiodisk. Disse to periodene danner et *fundamentalt parallellogram*  i det komplekse planet. Det ene nullpunktet *u* = 0  for sn *u*  gjentas da regelmessig i uendelig mange punkt *u* = 2*mK* + 2*niK'*  hvor *m* og *n* er hele tall. Nullpunktene danner derfor et rektangulært gitter. Fra de samme addisjonsteoremene kan et meget stort antall relasjoner nå utledes mellom funksjonene.

I tillegg til nullpunktene har funksjonene også et uendelig antall med regulært plassert divergenser som er enkle poler i det komplekse planet. For funksjonen sn *u*  befinner disse seg i *u* = 2*mK* + (2*n* + 1)*iK'*  hvor *m* og *n* igjen er hele tall. Noen er vist i figuren til høyre. I et fundamentalt rektangel begrenset av periodene 4*K*  og 2*iK'* ligger to enkle nullpunkt og to enkle poler. Det er typisk for elliptiske funksjoner at antall nullpunkt er lik med antall poler og kan bevises generelt.

Referanser
----------

1. 1 2 3  J. Stillwell, *Mathematics and Its History*, Springer, New York (2010). ISBN 978-1441960528.
2. 1 2  M. Kline, *Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2*, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 0-19-506136-5.
3. ↑  Ø. Ore, *Niels Henrik Abel - et geni og hans samtid*, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1954).
4. 1 2 3  J. Gray, *The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century*, Springer, Heidelberg (2015). ISBN 978-3-319-23714-5.
5. ↑  A.C. Dixon, *The Elementary Properties of Elliptic Functions*, MacMillan and Co, London (1894).

Litteratur
----------

* T.L. Lindstrøm, *Kalkulus*, Universitetesforlaget, Oslo (1996). ISBN 8200228231.
* J. V. Armitage, W. F. Eberlein, *Elliptic Functions*, Cambridge University Press, Cambridge (2006). ISBN 978-0-521-78563-1.

Eksterne lenker
---------------

* Paramanand's Math Notes, *Elliptic Functions: Introduction*, meget nyttig blog.

|  |  |
| --- | --- |
| Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon **·** Encyclopædia Britannica **·** MathWorld **·** GND **·** LCCN **·** BNF **·** BNF (data) **·** NDL **·** NKC
 |