Et **roterende referansesystem** er et referansesystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel er overflaten på jorden.

Fiktive krefter
---------------

Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter: 

* sentrifugalkraft
* corioliskraft

og for ikke-uniforme roterende referansesystem

* eulerkraft

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.

Forhold mellom posisjoner i to referansesystem
----------------------------------------------

For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene {\displaystyle \left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)} i det roterende referansesystemet og koordinatene {\displaystyle \left(x,y,z\right)} i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om {\displaystyle z}-aksen med vinkelfarten \omega og de to referansesystemene samsvarer ved tiden {\displaystyle t=0}, så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

{\displaystyle x=x^{\prime }\ \cos \omega t+y^{\prime }\ \sin \omega t}
{\displaystyle y=y^{\prime }\ \cos \omega t-x^{\prime }\ \sin \omega t}
og den reverse transformasjonen er 

{\displaystyle x^{\prime }=x\ \cos \left(-\omega t\right)-y\ \sin \left(-\omega t\right)}
{\displaystyle y^{\prime }=y\ \cos \left(-\omega t\right)+x\ \sin \left(-\omega t\right)}
Dette resultatet får man ved å bruke en rotasjonsmatrise.

Generell utledning i et roterende referansesystem
-------------------------------------------------

Dersom man har enhetsvektorene {\displaystyle i,j,k} til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten {\displaystyle \omega } så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

{\displaystyle {\frac {dl}{dt}}=\omega \times l},
der {\displaystyle l=\{i,j,k\}}. Så om vi da har en funksjon , {\displaystyle f(t)=f\_{x}(t)i+f\_{y}(t)j+f\_{z}(t)k} og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df\_{x}}{dt}}i+{\frac {di}{dt}}f\_{x}+{\frac {df\_{y}}{dt}}j+{\frac {dj}{dt}}f\_{y}+{\frac {df\_{z}}{dt}}k+{\frac {dk}{dt}}f\_{z}}
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df\_{x}}{dt}}i+{\frac {df\_{y}}{dt}}j+{\frac {df\_{z}}{dt}}k+[\omega \times (f\_{x}i+f\_{y}j+f\_{z}k)]}
{\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}+\omega \times f(t)}
Der {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}} er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom {\displaystyle f(t)} roterer med samme fart som enhetsvektorene (\omega) så er {\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}=0}.

Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene
-------------------------------------------------

Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

{\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

{\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }
der vektoren {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema: 

{\displaystyle \mathbf {v} \_{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} \_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }
### Bevis for ligningen

La oss tenke oss en vektor **a**treghet i treghetssystemet, og **a**roterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. *P*t er posisjonen til vektoren **a** ved tiden *t* i treghetssystemet, *Q* er et punkt som har samme startposisjon som *P*0 (*Q*0 = *P*0) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid *δ* *t*, har vi at vektoren *Q*0 *Q*δ t er

{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t}
ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

{\displaystyle {\overline {P\_{0}P\_{\delta t}}}=\mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }={\overline {P\_{0}Q\_{\delta t}}}+{\overline {Q\_{\delta t}P\_{\delta t}}}={\overline {Q\_{0}Q\_{\delta t}}}+{\overline {Q\_{\delta t}P\_{\delta t}}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t+\mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }}
deriverer vi på tid får vi

{\displaystyle \mathbf {\dot {a}} \_{\mathrm {treghet} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }+\mathbf {\dot {a}} \_{\mathrm {rotasjon} }}
og ser at 

{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }}

Forhold mellom akselerasjon i de to systemene
---------------------------------------------

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

{\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)\_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)\_{\mathrm {treghet} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right]}
Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

{\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }=\mathbf {a} \_{\mathrm {treghet} }-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \_{\mathrm {rotasjon} }-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
der {\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }} er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet. 

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov {\displaystyle F=ma}, får vi

* corioliskraft en

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \_{\mathrm {rotasjon} }}
* sentrifugalkraften

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {sentrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}
* eulerkraften

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
der {\displaystyle m} er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen {\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }} kan man finne ut fra den totale fysiske kraften {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {tot} }} (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {tot} }=m\mathbf {a} \_{\mathrm {inertial} }}