**Rotasjon** (ofte kalla *curl* på fagspråket) er i vektoranalyse ein vektoroperator som skildrar rotasjonen til eit vektorfelt. I kvart punkt i feltet er rotasjonen representert av ein vektor. Eigenskapane til denne vektoren (lengd og retning) skildrar rotasjonen i dette punktet.

Rotasjonsretninga er rotasjonsaksen, som skildra av høgrehandsregelen, og storleiken til curlen er rotasjonsstorleiken. Om vektorfeltet representerer væskestraum til ei væske i rørsle, så er rotasjonen sirkulasjonstettleiken til væska. Eit vektorfelt med rotasjon lik null vert kalla ikkje-roterande. Rotasjonen er ei form for differensiering for vektorfelt. Den tilsvarande forma av fundamentalteoremet i analyse er stokesteoremet, som knyter overflateintegralet til rotasjonen av eit vektorfelt til eit linjeintegral til vektorfeltet rundt ei avgrensa kurve.

Notasjonar som vert nytta for rotasjonen eller curlen er {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {rot} \ \mathbf {F} } og {\displaystyle \scriptstyle \nabla \times \mathbf {F} } (sistnemnde er mykje nytta i Europa).

Definisjon
----------

Rotasjonen til eit vektorfelt **F**, skrive {\displaystyle \scriptstyle \nabla \times \mathbf {F} }, i eit punkt er definert som projeksjonen av forskjellige linjer gjennom dette punktet. Om {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} } er ein vilkårleg einingsvektor, så er projeksjonen av rotasjonen av **F** på {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} } definert som grenseverdien av eit lukka linjeintegral på eit plan ortogonalt til {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} } når ein i integralet kjem uendeleg nært punktet, delt på arealet som vert omslutta.

Slik sett mappar rotasjonsoperatoren C1-funksjonar frå **R**3 til **R**3 til C0-funksjonar frå **R**3 til **R**3. 

Vektororientering av eit linjeintegral
Implisitt er rotasjonen eller curlen definert som :

{\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim \_{A\to 0}{\frac {\oint \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }{A}}}
Her er {\displaystyle \scriptstyle \oint \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } eit linjeintegral langs grensa til området det er snakk om (t.d. {\displaystyle \scriptstyle C=\partial {\mathcal {A}}}), og {\displaystyle \scriptstyle \,A} er storleiken til området {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}. Om {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {\nu }} } peikar utover i normalplanet, der {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} } er einingsvektoren perpendikulær til planet (sjå figur til høgre), så er orienteringa av C vald slik at vektoren {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {\omega }} }-tangent til C er positivt orientert visst og berre visst {\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {\hat {n}} ,\mathbf {\hat {\nu }} ,\mathbf {\hat {\omega }} \}} dannar ein positiv orientert base for **R**3 (høgrehandsregelen).

### Intuitiv tolking

Tenk at vektorfeltet skildrar fartsfeltet til ein væskestraum (som ein stor tank med vatn eller gass) og ein liten ball som ligg i væska eller gassen (senteret av ballen ligg i ro på eit fast punkt). Om ballen har ei ru overflate vil han rotere når væska strøymer forbi. Rotasjonsaksen (orientert i forhold til høgrehandsregelen) peikar i retninga til curlen av feltet i senteret av ballen, og vinkelsnøggleiken til rotasjonen er halve verdien av curlen i dette punktet.

Sjølv om alle straumlinjene er parallelle, kan ballen starta å rotere om væska renn raskare på eine sida enn den andre.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Curl (mathematics)» frå Wikipedia på engelsk, den 30. november 2009.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*
* Arfken, George B. and Hans J. Weber. *Mathematical Methods For Physicists*, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0120598762.
* Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn. *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review*. New York: Dover Publications. s. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.

1. ↑  «curl». Wolfram MathWorld. Henta 1. juli 2008.

Bakgrunnsstoff
--------------

* Divergens og rotasjon

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* Store norske leksikon
* GND

 |