Ein **tilknytt legendre-funksjon** er i matematikk ei kanonisk løysing av **den generelle legendre-likninga**

{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}
eller

{\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}
der indeksane {\displaystyle \ell } og *m* (som generelt er komplekse storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytte legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [−1, 1] berre visst {\displaystyle \ell \,} og *m* er heiltal med 0 ≤ *m* ≤ {\displaystyle \ell }, eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når *m* i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit polynom. Når *m* er null og {\displaystyle \ell \,} eit heiltal er desse funksjonane identiske til legendre-polynom.

Denne ordinære differensiallikninga er ofte nytta i fysikk og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Dei første tilknytte legendre-polynoma
--------------------------------------

Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av *m*, er:

{\displaystyle P\_{0}^{0}(x)=1}
{\displaystyle P\_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P\_{1}^{1}(x)}
{\displaystyle P\_{1}^{0}(x)=x}
{\displaystyle P\_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}
{\displaystyle P\_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P\_{2}^{2}(x)}
{\displaystyle P\_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P\_{2}^{1}(x)}
{\displaystyle P\_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}
{\displaystyle P\_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}
{\displaystyle P\_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}
{\displaystyle P\_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P\_{3}^{3}(x)}
{\displaystyle P\_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P\_{3}^{2}(x)}
{\displaystyle P\_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P\_{3}^{1}(x)}
{\displaystyle P\_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}
{\displaystyle P\_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}
{\displaystyle P\_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}
{\displaystyle P\_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}
{\displaystyle P\_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P\_{4}^{4}(x)}
{\displaystyle P\_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P\_{4}^{3}(x)}
{\displaystyle P\_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P\_{4}^{2}(x)}
{\displaystyle P\_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P\_{4}^{1}(x)}
{\displaystyle P\_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
{\displaystyle P\_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}
{\displaystyle P\_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}
{\displaystyle P\_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}
{\displaystyle P\_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}

Gjentakingsformel
-----------------

Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar: 

{\displaystyle (\ell -m+1)P\_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP\_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P\_{\ell -1}^{m}(x)}
{\displaystyle 2mxP\_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P\_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P\_{\ell }^{m-1}(x)\right]}
{\displaystyle P\_{\ell +1}^{m}(x)=P\_{\ell -1}^{m}(x)-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P\_{\ell }^{m-1}(x)}
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P\_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP\_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P\_{\ell -1}^{m}(x)}
{\displaystyle (x^{2}-1){P\_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP\_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P\_{\ell -1}^{m}(x)}
{\displaystyle (x^{2}-1){P\_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P\_{\ell }^{m+1}(x)+mxP\_{\ell }^{m}(x)}
{\displaystyle (x^{2}-1){P\_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P\_{\ell }^{m-1}(x)-mxP\_{\ell }^{m}(x)}
Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen): 

{\displaystyle P\_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}}
{\displaystyle P\_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P\_{\ell }^{\ell }(x)}
med !! som dobbelfaktor.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Associated Legendre function» frå Wikipedia på engelsk, den 1. desember 2009.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*
	+ Arfken G.B. Weber H.J. *Mathematical methods for physicists*, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 *See Section 12.5*. (Uses a different sign convention.)
	+ A.R. Edmonds, *Angular Momentum in Quantum Mechanics*, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 *See chapter 2*.
	+ E. U. Condon and G. H. Shortley, *The Theory of Atomic Spectra*, (1970) Cambridge, England: The University Press. *See chapter 3*
	+ F. B. Hildebrand, *Advanced Calculus for Applications*, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
	+ Belousov, S. L. (1962), *Tables of normalized associated Legendre polynomials*, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Bakgrunnsstoff
--------------

* Legendre-polynom på MathWorld