Ein **laplace-operator** er i matematikk og fysikk ein differensialoperator, kalla opp etter Pierre-Simon de Laplace, som er eit særleg viktig tilfelle av ein elliptisk operator som kan nyttast på mange område. Han vert skrive Δ, ∇2 eller ∇·∇. I fysikk vert han nytta i modellering av bølgjeforplanting, varmestraum og væskemekanikk. Han er sentral i elektrostatikk der han representerer ladinga til eit visst potensial. Han er ein viktig del av laplacelikninga for å bevare potensial, poissonlikninga for tyngdepontensialet tilknytt ein viss masse, og i helmholtzlikninga for vibrasjonane til ein sylinder. I kvantemekanikk representerer han den kinetiske energileddet i schrödingerlikninga. I matematikk vert funksjonar som inneheld forsvinnande laplaceoperatorar kalla harmoniske funksjonar. Laplaceoperatorane er kjernen i hodgeteori og resultatet av de Rham-kohomologi.

Definisjon
----------

Laplaceoperatoren er ein andreordens differensialoperator i *n*-dimensjonalt euklidsk rom, definert som divergensen (\nabla \cdot ) til gradienten ({\displaystyle \nabla f}). Så om *f* er ein dobbelderiverbar funksjon med reell verdi, så er laplaceoperatoren *f* definert som 

{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f,}   (1)
Tilsvarande er laplaceoperatoren *f* summen av alle dei *ublanda* andregrads partiellderiverte i kartesiske koordinatar {\displaystyle x\_{i}}:

{\displaystyle \Delta f=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}^{2}}}.}   (2)
Som ein andreordens differnsialoperator mappar laplaceoperatoren *C*k-funksjonar til *C*k−2-funksjonar for *k* ≥ 2. Uttrykket (1) (er tilsvarande for (2)) definerer ein operator Δ : *C*k(**R**n) → *C*k−2(**R**n), eller meir generelt ein operator Δ : *C*k(Ω) → *C*k−2(Ω) for alle opne sett Ω.

Laplaceoperatoren til ein funksjon er òg sporet til hessematrisa til funksjonen: 

{\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}

Motivasjon
----------

### Diffusjon

Innan diffusjon oppstår laplaceoperatoren (via laplacelikninga) naturleg i den matematiske skildringar av likevekt. Meir spesifikt, om *u* er tettleiken ved likevekt av ein storleik som ein kjemisk konsentrasjon, så er nettofluksen til *u* gjennom grensa til ein glatt region *V* lik null, om det ikkje finst kjelder eller sluk i *V*:

{\displaystyle \int \_{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}
der **n** er utoverretta einingsnormal til grensa til *V*. Med divergensteoremet,

{\displaystyle \int \_{V}\mathrm {div} \nabla u\,dV=\int \_{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}
Sidan dette gjeld for alle glatte regionar *V*, kan det visast at dette impliserer

{\displaystyle \mathrm {div} \nabla u=\Delta u=0.}
Venstrehandssida av likninga i laplaceoperatoren. Sjølve laplaceoperatoren har ei fysisk tolking for ikkje-likevektsdiffusjon som graden eit punkt representerer ei kjelde eller eit sluk av ein kjemisk konsentrasjon, gjort presist av diffusjonslikninga.

### Tettleik tilknytt eit potensial

Om φ er elektrostatisk potensial tilknytt til ei ladingsfordeling *q*, så er ladingsfordelinga sjølv gjeven av laplaceoperatoren φ:

{\displaystyle q=\Delta \phi .\,}

Dette er ei følgje av gausslova. Så om *V* er eit glatt område, så får ein av gausslova at fluksen til det elektrostatiske feltet **E** er lik ladinga i feltet (medhøvande einingar):

{\displaystyle \int \_{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} =\int \_{\partial V}\nabla \phi \cdot \mathbf {n} =\int \_{V}q\,dV,}
der den første likskapen nyttar faktumet at det elektrostatiske feltet er gradienten til det elektrostatiske potensialet. Divergensteoremet gjev no at 

{\displaystyle \int \_{V}\Delta \phi \,dV=\int \_{V}q\,dV,}
og sidan dette gjeld for alle område *V*, følgjer (**1**).

Den same tilnærmingsmåten gjev at laplaceoperatoren til eit tyngdepotensial er massefordelinga. Ofte er ladingsfordelinga (eller massefordelinga) gjeven, og det tilknytte potensialet ukjent. Å finne potensialfunksjonen som høver til passande grenseviklåer er det same som å løyse poissonlikninga.

### Energiredusering

Ein annan motivasjon for laplaceoperatoren i fysikk er at løysinga til {\displaystyle \Delta f=0} i eit område *U* er funksjonar som gjev dirichletenergi funksjonell stasjonært:

{\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int \_{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\mathrm {d} x.}
For å sjå dette må ein tenkje seg at
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } er ein funksjon, og 
{\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} } er ein funksjon som forsvinn på grensa til *U*. Då har ein

{\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Big |}\_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int \_{U}\nabla f\cdot \nabla u\,\mathrm {d} x=-\int \_{U}u\Delta f\mathrm {d} x}
der den siste likskapen følgjer av den første greenidentiteten.
Denne utrekninga syner at om {\displaystyle \Delta f=0}, så er 
*E* stasjonær rundt *f*. Motsett, om *E* er stasjonær rundt f, så er {\displaystyle \Delta f=0} av den grunnleggjande hjelpesetninga av variasjonsutrekning.

Koordinatuttrykk
----------------

### To dimensjonar

Laplaceoperatoren i to dimensjonar er gjeven som

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
der *x* og *y* står for dei vanlege kartesiske koordinatane i *xy*-planet.

I polarkoordinatar,

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}
### Tre dimensjonar

I tre dimensjonar er det vanleg å arbeide med laplaceoperatorar i fleire forskjellige koordinatsystem. 

I kartesiske koordinatar,

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
I sylindriske koordinatar

{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
I sfæriske koordinatar

{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
(her representerer φ asimutvinkelen og θ polarvinkelen).

### *N* dimensjonar

I sfæriske koordinatar i *N* dimensjonar, med parametriseringa *x* = *r*θ ∈ **R***N* med *r* som ein positiv reell radius og θ som eit element av einingssfæreen *S**N*−1,

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta \_{S^{N-1}}f}
der {\displaystyle \Delta \_{S^{N-1}}} er Laplace–Beltrami-operatoren på ein (*N*−1)-sfære, òg kalla ein sfærisk laplaceoperator. Dei to radielle uttrykka kan skrivast om som

{\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}
Som følgje av dette er den sfæriske laplaceoperatoren ein funksjon definert som *S**N*−1 ⊂ **R***N* og kan reknast ut som den ordinære laplaceoperatoren til ein funksjon utvida til **R***N*\{0} slik at han er konstant langs stråler, t.d. , homogen i nulte grad.

Generaliseringar
----------------

Laplaceoperatoren kan generaliserast på to måtar for ikkje-euklidske rom, der han kan vere elliptisk, hyperbolsk eller ultrahyperbolsk. 

I minkowskirom vert laplaceoperatoren d'Alembert-operatoren:
{\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}.}

D'Alembert-operatoren vert òg kalla bølgjeoperatoren, fordi han er den differensialoperatoren som dukkar opp i den firdimensjonale bølgjelikninga. Han er òg ein vesentleg del av Klein–Gordon-likninga. Forteiknet føre dei romleg deriverte er negative, medan dei ville ha vore positive i eit euklidsk rom. Tilleggsfaktoren *c* må ein ha om rom og tid er målt i forskjellige einingar. 

### Laplace–Beltrami-operator

Laplaceoperatoren kan òg generaliserast til ein elliptisk operator kalla **Laplace–Beltrami-operatoren** definert på ein riemannsk manifold. D'Alembert-operatoren vert generalisert til ein hyperbolsk operator på pseudo-riemannsk manifold. Laplace–Beltrami-operatoren kan òg generaliserast til ein operator som opererer på tensorfelt.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Laplace operator» frå Wikipedia på engelsk, den 25. november 2009.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*
* Evans, L (1998), *Partial Differential Equations*, American Mathematical Society, ISBN 978-0821807729 .
* Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970), «Chapter 12: Electrostatic Analogs», *The Feynman Lectures on Physics*, Volume 2, Addison-Wesley-Longman  CS1 maint: Multiple names: authors list (link).
* Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), *Elliptic partial differential equations of second order*, Springer, ISBN 978-3540411604 .
* Schey, H. M. (1996), *Div, grad, curl, and all that*, W W Norton & Company, ISBN 978-0393969979 .
* M.A. Shubin (2001), «Laplace operator», i Hazewinkel, Michiel, *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 .

1. ↑  Evans 1998, §2.2

Bakgrunnsstoff
--------------

* Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates av Swapnil Sunil Jain

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* Store norske leksikon
* GND
* LCCN
* NDL

 |