Tangentar parallelt med x og y-aksen**Partiell derivasjon** er ein operasjon i matematikk for å finne den **partiellderiverte** til ein fleirvariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med omsyn på ein variabel, mens dei andre blir halden konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for ein funksjon f med variablane {\displaystyle x,y...} med omsyn på {\displaystyle x} skriv ein som oftast på forma

{\displaystyle {\partial \over \partial x}f\ eller\ {\partial f \over \partial x},}
men ein også skriva han som {\displaystyle f\_{1},f\_{x},f'\_{x},\partial \_{x}f,D\_{1}f\ eller\ D\_{x}f}. Ein les "den partiellderiverte av f med omsyn på {\displaystyle x}".

∂, ein stilisert kursiv d, blir brukt for å visa til partiellderiverte og skil det frå deriverte av einvariable funksjonar, {\displaystyle {dy \over dx}}.

Den deriverte til ein einvariabla funksjon er stigningstalet til tangenten i punktet {\displaystyle x\_{0}}. I ein funksjon med to variablar er det uendeleg mange tangentar i kvart punkt {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})}, men som oftast er det tangentane parallellt til enten {\displaystyle x} eller {\displaystyle y}-aksen som er av høgst interesse. Når ein partiellderiverer finn vi stigningstalet til ein av desse to tangentane.

Definisjon
----------

### R2

La {\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R} vere ein funksjon av to variablar, {\displaystyle x} og {\displaystyle y}.

Den partiellderiverte til f med omsyn på {\displaystyle x} er definert som

{\displaystyle {\partial f \over \partial x}(x,y)=\lim \_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \over \Delta x}},
dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderande er den pariellderiverte med omsyn på {\displaystyle y} definert slik:

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}(x,y)=\lim \_{\Delta y\to 0}{f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \over \Delta y}}
### Rn

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjonar

La {\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R} vere ein funksjon av n variablar, {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}}.

Vi definerer den partiellderiverte til f med omsyn på {\displaystyle x\_{k}} slik:

{\displaystyle {\partial f \over \partial x\_{k}}(x\_{1},...x\_{n})=\lim \_{\Delta x\_{k}\to 0}{f(x\_{1},...x\_{k}+\Delta x\_{k},...x\_{n})-f(x\_{1},...x\_{n}) \over \Delta x\_{k}}}
Kvar funksjon i {\displaystyle R^{n}} har n partiellderiverte; ein til kvar variabel.

Eksempel i R2
-------------

Vi har funksjonen {\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R}

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}}
Når ein partiellderiverer med hensyn på ein variabel behandlar vi den andre som konstant. Dei to partiellderiverte til f er dermed

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial f \over \partial x}(x,y)=2x+y\\&{\partial f \over \partial y}(x,y)=x-2y\end{aligned}}}
Stigningstalet til tangenten parallelt med {\displaystyle x}-aksen i punkt (1,1) er

{\displaystyle {\partial f \over \partial x}(1,1)=2\cdot 1+1=3}
Tilsvarande har vi stigingstalet til tangenten parallelt med {\displaystyle y}-aksen:

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}(1,1)=1-2\cdot 1=-1}

Partiellderiverte av høgre orden
--------------------------------

Slik som for funksjonar med ein variabel, kan vi definere partiellderiverte av høgre orden for funksjonar med fleire variablar. Dersom ein partiellderivert er deriverbar kan ein fortsette å derivere med omsyn på same eller ein anna variabel så langt det let seg gjere.

Deriverer vi ein *førstepartiellderivert* med same variabel finn vi den *andrepartiellderiverte*, og skriv følgjande notasjonar:

{\displaystyle {\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}\quad eller\quad f\_{11},f\_{xx},\partial \_{xx}f,\partial \_{x}^{2}}
Deriverer vi med ein anna variabel får vi ein *kryssa andrepartiellderivert*

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}\quad eller\quad f\_{12},f\_{xy},\partial \_{xy}f,\partial \_{x}\partial \_{y}f\\\end{aligned}}}
*Symmetrien* eller *likskapen av andre partiellderiverte* fastslår at rekkjefølgja for å oppnå ein kryssa andrepartiellderivert er likegyldig

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )}={\partial \over \partial y}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )}\\&{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}\end{aligned}}}
Deriverer vi ein andrepartiellderivert får vi ein *tredjepartiellderivert*, og så vidare... Deriverer vi ein funksjon n-gongar med same variabel får vi *n-te ordens partiellderivert*

{\displaystyle {\partial ^{n}f \over \partial x^{n}}}
Vi får ein *n-te ordens kryssa partiellderivert* dersom vi deriverer ein funksjon n gongar med m ulike variablar

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{i+j+...+k}f \over \partial x\_{1}^{i}\partial x\_{2}^{j}\cdot ...\cdot \partial x\_{m}^{k}}\\&n=i+j+...+k\end{aligned}}}

Sjå også
--------

* Retningsderivert
* Gradient
* Hessematrisen

Kjelder
-------

1. ↑  Adams, Robert A (2017). «12.4». *Calculus: A Complete Course*. Pearson Canada. s. 698–699. ISBN 9780134154367.