**Transferfunksjon**, **systemfunksjonen** eller **overføringsfunksjon** definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i {\displaystyle s}-planet eller {\displaystyle z}-planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i {\displaystyle s}-planet og {\displaystyle z}-planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

Kontinuerleg system
-------------------

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidskontinuerleg system.
Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma 

{\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\{y(t)\}}{{\mathcal {L}}\{u(t)\}}}={\frac {B(s)}{A(s)}}}
{\displaystyle ={\frac {b\_{0}+b\_{1}s^{-1}+b\_{2}s^{-2}++b\_{3}s^{-3}+\cdots +b\_{M}s^{-M}}{1+a\_{1}s^{-1}+a\_{2}s^{-2}+a\_{3}s^{-3}+\cdots +a\_{N}s^{-N}}}}
{\displaystyle ={\frac {\sum \_{i=0}^{M}b\_{i}s^{-i}}{1+\sum \_{j=1}^{N}a\_{j}s^{-j}}},}
der {\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\{y(t)\}} er Laplace-transforma til utgangssignalet y(t) og {\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\{u(t)\}} er Laplace-transforma til inngangssignalet u(t). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:

{\displaystyle Y(s)=H(s)U(s).}
I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen {\displaystyle h(t)} og inngangssignalet u(t):

{\displaystyle y(t)=h(t)\*u(t)=\int \_{-\infty }^{\infty }h(t)u(t-\tau )d\tau .}
Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

### Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena {\displaystyle B(s)} respektivt {\displaystyle A(s)} får vi {\displaystyle H(s)}
på forma:

{\displaystyle H(s)=b\_{0}{\frac {(s-z\_{1})(s-z\_{2})\cdots (s-z\_{M})}{(s-p\_{1})(s-p\_{2})\cdots (s-p\_{N})}}s^{N-M}=b\_{0}{\frac {\prod \_{i=1}^{M}(s-z\_{i})}{\prod \_{i=1}^{N}(s-p\_{i})}}s^{N-M}.}
Når {\displaystyle s} er lik en av røtene til tellarpolynomet ({\displaystyle s=z\_{i})} ser vi at
{\displaystyle H(s)=0}. Dei M komplekse verdiene {\displaystyle z\_{i}}, som resulterer i at {\displaystyle H(s)} blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen {\displaystyle H(s)}. Tilsvarende ser vi at når {\displaystyle s} er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når {\displaystyle s=p\_{i})} går verdien til {\displaystyle H(s)} mot {\displaystyle \infty }. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen {\displaystyle H(s)} er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten {\displaystyle b\_{0}}.

Diskret system
--------------

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidsdiskret system.Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma

{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y(n)\}}{{\mathcal {Z}}\{u(n)\}}}={\frac {B(z)}{A(z)}},}
{\displaystyle ={\frac {b\_{0}+b\_{1}z^{-1}+b\_{2}z^{-2}++b\_{3}z^{-3}+\cdots +b\_{M}z^{-M}}{1+a\_{1}z^{-1}+a\_{2}z^{-2}+a\_{3}z^{-3}+\cdots +a\_{N}z^{-N}}}}
{\displaystyle ={\frac {\sum \_{i=0}^{M}b\_{i}z^{-i}}{1+\sum \_{j=1}^{N}a\_{j}z^{-j}}},}
der {\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\{y(n)\}} er Z-transformasjonen til utgangssekvensen y(n) og {\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\{u(n)\}} er Z-transformasjonen til inngangssekvensen {\displaystyle u(n)} (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:

{\displaystyle Y(z)=H(z)U(z).}
I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen {\displaystyle h(n)} og inngangssignalet {\displaystyle u(n)}:

{\displaystyle y(n)=h(n)\*u(n)=\Sigma \_{m=-\infty }^{\infty }h(m)u(n-m).}
Føremonen med å arbeida i {\displaystyle z}-planet er den same som for {\displaystyle s}-planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

### Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena {\displaystyle B(z)} respektivt {\displaystyle A(z)} får vi {\displaystyle H(z)}
på forma:

{\displaystyle H(z)=b\_{0}{\frac {(z-z\_{1})(z-z\_{2})\cdots (z-z\_{M})}{(z-p\_{1})(z-p\_{2})\cdots (z-p\_{N})}}z^{N-M}=b\_{0}{\frac {\prod \_{i=1}^{M}(z-z\_{i})}{\prod \_{i=1}^{N}(z-p\_{i})}}z^{N-M}.}
Når {\displaystyle z} er lik en av røtene til tellarpolynomet ({\displaystyle z=z\_{i})} ser vi at
{\displaystyle H(z)=0}. Dei M komplekse verdiene {\displaystyle z\_{i}}, som resulterer i at {\displaystyle H(z)} blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen {\displaystyle H(z)}. Tilsvarende ser vi at når {\displaystyle z} er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når {\displaystyle z=p\_{i})} går verdien til {\displaystyle H(z)} mot {\displaystyle \infty }. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen {\displaystyle H(z)} er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten {\displaystyle b\_{0}}.

Referansar
----------

1. ↑  Kuo, F.F. *Network analysis ans syntesis*, John Wiley & Sons. 2. utg. 1966.
2. ↑  Lathi, B.P. *Linear systems and signals*, Oxford Univ. Press, 2010.

Sjå òg
------

* Impulsrespons
* s-planet
* z-planet
* Laplace-transformasjon
* Z-transformasjon

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* GND
* LCCN

 |