Ein **hyperbolsk funksjon** er funksjonane *sinh* (sinus hyperbolicus), *cosh* (cosinus hyperbolicus), *tanh* (tangens hyperbolicus), *coth* (cotangens hyperbolicus), *sech* (secans hyperbolicus) og *csch* (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som {\displaystyle \sin x} og {\displaystyle \cos x} kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane {\displaystyle \sinh x} og {\displaystyle \cosh x} parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk
----------------------------

sinh, cosh og tanh
csch, sech og coth
Dei hyperbolske funksjonane er :

* Hyperbolsk sinus:

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}
* Hyperbolsk cosinus:

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}
* Hyperbolsk tangens:

{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
* Hyperbolsk cotangens:

{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
* Hyperbolsk secans:

{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
* Hyperbolsk cosecans:

{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

* Hyperbolsk sinus:

{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
* Hyperbolsk cosinus:

{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
* Hyperbolsk tangens:

{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
* Hyperbolsk cotangens:

{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
* Hyperbolsk sekant:

{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
* Hyperbolsk cosecant:

{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
der *i* er den imaginære eininga definert som *i*2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold
---------------

{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
Dermed:

{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
{\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}
Ein kan sjå at cosh *x* og sech *x* er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}}
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}}
Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

{\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}
{\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}
for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
Det kan visast at arealet under kurva til cosh *x* alltid er like bogelengda:

{\displaystyle {\text{areal}}=\int \_{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{bogelengd}}.}

Inverse funksjonar som logaritmar
---------------------------------

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}

Deriverte
---------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

Standardintegral
----------------

{\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}
{\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
Where *C* is the constant of integration.

Taylorrekkjer
-------------

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
Funksjonen sinh *x* har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for *x*. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh *x* = sinh(−*x*), og sinh 0 = 0.

{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
Funksjonen cosh *x* har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for *x*. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til *y*-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Laurentrekkje)
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Laurentrekkje)
der

{\displaystyle B\_{n}\,} er det *n*-te Bernoullitalet
{\displaystyle E\_{n}\,} er det *n*-te Eulertalet

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå Wikipedia på engelsk, den 21. november 2011.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*

1. ↑  Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. Henta 21. november 2011.
2. ↑  N.P. Bali (2005). *Golden Intergral Calculus*. Firewall Media. s. 472. ISBN 8-170-08169-6. , Extract of page 472

Bakgrunnsstoff
--------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* Store norske leksikon
* LCCN
* BNF
* BNF (data)
* NKC
* NDL

 |