**Fourier-transformasjon** (ofte forkorta til **FT**) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som {\displaystyle \cos }- og {\displaystyle \sin }-funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

Definisjon
----------

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen: 

{\displaystyle X(\omega ):=\int \_{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt,}  for t ∈ {\displaystyle [-\infty ,\infty ]},
der j={\sqrt {-1}}. Når variabelen x(t) representerer *tid* (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen {\displaystyle X(\omega )} vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens {\displaystyle f=\omega /(2\pi )} (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet x(t) i frekvenskomponentar {\displaystyle X(\omega )}, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla *analyselikninga*.

Invers Fourier-transformasjon
-----------------------------

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som

{\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\infty }^{\infty }X(\omega )\ e^{j\omega t}d\omega ,}   for alle reelle *t*.
Faktoren {\displaystyle 1/(2\pi )} er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet x(t) i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) {\displaystyle X(\omega )}, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla *symteseselikninga*.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen
----------------------------------------

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse {\displaystyle s}-planet, der {\displaystyle s=\sigma +j\omega } er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen {\displaystyle \sigma } sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen {\displaystyle j\omega }, som ligg på den imaginære aksen i {\displaystyle s}-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet x(t) er periodiskt.

Eigenskapar
-----------

### Linearitet

Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[af(t)+bg(t)\right]=a{\mathcal {F}}[f(t)]+b{\mathcal {F}}[g(t)]=aF(\omega )+bG(\omega )}
### Funksjonsprodukt og folding

For produkt av funksjonar gjeld

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t)\*g(t)]&=F(\omega )G(\omega )\\{\mathcal {F}}[f(t)g(t)]&={\frac {1}{2\pi }}F(\omega )\*G(\omega ),\\\end{alignedat}}}
her markerer \* ein foldingsoperator (konvolusjon).

### Tids- og frekvensforskyving

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t-T)]&=e^{-i\omega T}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[e^{i\Omega t}f(t)]&=F(\omega -\Omega ).\\\end{alignedat}}}
### Derivasjon

For deriverte av funksjonar gjeld

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}\left[{\frac {d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}}\right]&=(i\omega )^{(n)}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[(-it)^{n}f(t)]&={\frac {d^{(n)}F(\omega )}{d\omega ^{(n)}}}.\\\end{alignedat}}}

Referansar
----------

1. ↑  Champeney, D.C. *A handbook of Fourier theorems*, Cambridge University Press, 1987.
2. ↑  Bracewell, R.N. *The Fourier transform and its applications*, McGraw-Hill, 1986.
3. ↑  Dyke, P.P.G. *An introduction to Laplace transforms and Fourier series*, Springer, 2001.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* GND
* LCCN
* BNF
* BNF (data)
* NKC
* NDL

 |