**Variansanalyse** (**ANOVA**, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

Variansanalyse med éin faktor
-----------------------------

Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har I grupper med like storleikar {\displaystyle J}, og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonar I

1. {\displaystyle H\_{0}:\ \mu \_{1}=\mu \_{2}=\dots =\mu \_{I}}
2. {\displaystyle H\_{A}:} minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

### Kvadratavvik og varians

Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert ved   

{\displaystyle SST=\sum \_{i}\sum \_{j}(x\_{ij}-{\overline {x}}\_{..})^{2}=\sum \_{i}\sum \_{j}x\_{ij}^{2}-{\frac {x\_{..}^{2}}{IJ}}}  

{\displaystyle SSTr=\sum \_{i}\sum \_{j}({\overline {x}}\_{i.}-{\overline {x}}\_{..})^{2}={\frac {\sum \_{i}X\_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x\_{..}^{2}}{IJ}}}  

{\displaystyle SSE=\sum \_{i}\sum \_{j}(x\_{ij}-{\overline {x}}\_{i.})^{2}}

Samanhengen mellom desse gjev opphav til *den fundamentale ANOVA-identiteten* SST = SSTr + SSE. Videre har vi at  

{\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}}  

{\displaystyle MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}}

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:

| Variasjonskjelde | Fridomsgrader | Kvadratavvik | Varians | f-verdi |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Grupper | I - 1 | SSTr | MSTr = SSTr/(I - 1) | MSTr/MSE |
| Feil | I(J - 1) | SSE | MSE = SSE/[I(J - 1)] |  |
| Total | IJ - 1 | SST |  |  |

### Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved  

{\displaystyle f={\frac {MSTr}{MSE}}}  

som ein reknar har ein {\displaystyle F\_{I-1,I(J-1)}}-fordeling. Forkastingsområdet for {\displaystyle H\_{0}} er {\displaystyle f\geq F\_{\alpha ,I-1,I(J-1)}} for ønskt signifikansnivå {\displaystyle \alpha }

### Tukeys prosedyre

F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå {\displaystyle \alpha } definerer vi {\displaystyle w} som 

{\displaystyle w=Q\_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}}

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn {\displaystyle w} vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå {\displaystyle \alpha }

### Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen {\displaystyle H\_{0}:\ \mu \_{1}=\mu \_{2}} mot {\displaystyle H\_{A}:\ \mu \_{1}\neq \mu \_{2}}. T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna. 

For {\displaystyle I>2} kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Variansanalyse» frå Wikipedia på bokmål, den 12. september 2011.*
	+ *Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:*
* Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: *Modern Mathematical Statistics with Applications*. Thomson 2007.

1. ↑  Devore/Berk 2007, side 540.
2. ↑  Devore/Berk 2007, side 544.
3. ↑  Devore/Berk 2007, side 547.
4. 1 2  Devore/Berk 2007, side 545.
5. ↑  Devore/Berk 2007, side 548.
6. ↑  Devore/Berk 2007, side 552.
7. ↑  Devore/Berk 2007, side 557, 563.