I matematikk er **kvadratrota** til eit positivt, reelt tal *a*, det positive reelle talet som ganga med seg sjølv gjev *a* som resultat. Kvadratroten til *a* blir skrive {\displaystyle {\sqrt {a}}}. Til dømes er {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}, sidan 3 × 3 = 9. *a* vert her kalla *radikand*. Å ganga eit tal med seg sjølv vert òg kalla å *kvadrere*.

Om *a* ≠ 0, finst det to tal *x* som tilfredsstiller likninga *x*2 = *a*, og nokre gonger vert begge desse tala skrivne som kvadratrøtene til *a*. Om *a* er eit positivt reelt tal, er kvadratrøtene eit positivt og eit negativt tal med same absoluttverdi. Til dømes er kvadratrøtene til 9 lik 3 og -3. Symbolet √a refererer likevel alltid til den *positive* kvadratrota. Om *a* er eit negativt tal, er begge kvadratrøtene imaginære, og om *a* er kompleks, er begge kvadratrøtene òg komplekse.

Ein annan måte å skrive kvadratrota av x på, er å opphøge i ein halv, altså: {\displaystyle x^{1 \over 2}={\sqrt {x}}}, eller meir generelt: {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1 \over n}}.

Symbolet {\displaystyle {\sqrt {}}} vart først nytta på 1500-talet.

Nokre reknereglar
-----------------

Følgjande eigenskapar for kvadratrøter gjeld for alle positive, reelle tal x og y, og kan utleiiast frå potensreglane

{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
{\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|} for alle reelle tal *x* (sjå absoluttverdi)
{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
### Metode for å rekne ut kvadratrot utan kalkulator

Dette er ein fleire tusen år gammal metode frå babylonsk matematikk.

La {\displaystyle x} vere {\displaystyle {\sqrt {a}}}.

Først gjettar ein seg fram til eit tal {\displaystyle x\_{0}}, deretter set ein det inn i ein formel:

{\displaystyle x\_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x\_{0}+{\frac {a}{x\_{0}}}\right)}
deretter går ein vidare med same metode, denne gongen med {\displaystyle x\_{2}}:
{\displaystyle x\_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x\_{1}+{\frac {a}{x\_{1}}}\right)}
{\displaystyle x\_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x\_{2}+{\frac {a}{x\_{2}}}\right)} osv.
Grunnen til at ein held fram med {\displaystyle x\_{2}}, {\displaystyle x\_{3}}, etc, er at jo lenger ein kjem, dess meir nøyaktig vert svaret.

Døme:

Vi skal finne kvadratrota av 7. Vi veit at 2 er roten av 4, og 3 er roten av 9. Derfor må roten av 7 ligge i mellom 2 og 3, vel derfor {\displaystyle x\_{0}=2,5}.

{\displaystyle x\_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2,5+{\frac {7}{2,5}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2,5+2,8)=2,65}
{\displaystyle x\_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2,65+{\frac {7}{2,65}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2,65+2,64)=2,645}
{\displaystyle x\_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2,645+{\frac {7}{2,645}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2,645+2,646)=2,645}
Ved å bruke 3 desimalar, ser vi at den tredje desimalen ikkje endrar seg frå {\displaystyle x\_{2}} til {\displaystyle x\_{3}}, som tyder at vi har funne svaret med 3 desimalar. Reknar ein ut rota av 7 på kalkulatoren, får ein svaret 2,64575.. Vi ser derfor at metoden stemmer ganske nøyaktig.

### Kvadratrota av dei 20 første heiltala

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\sqrt {1}}} | {\displaystyle =\,} | 1 |
| {\displaystyle {\sqrt {2}}} | {\displaystyle \approx } | 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 |
| {\displaystyle {\sqrt {3}}} | {\displaystyle \approx } | 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 |
| {\displaystyle {\sqrt {4}}} | {\displaystyle =\,} | 2 |
| {\displaystyle {\sqrt {5}}} | {\displaystyle \approx } | 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 |
| {\displaystyle {\sqrt {6}}} | {\displaystyle \approx } | 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 |
| {\displaystyle {\sqrt {7}}} | {\displaystyle \approx } | 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 |
| {\displaystyle {\sqrt {8}}} | {\displaystyle \approx } | 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 |
| {\displaystyle {\sqrt {9}}} | {\displaystyle =\,} | 3 |
| {\displaystyle {\sqrt {10}}} | {\displaystyle \approx } | 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 |
| {\displaystyle {\sqrt {11}}} | {\displaystyle \approx } | 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 |
| {\displaystyle {\sqrt {12}}} | {\displaystyle \approx } | 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 |
| {\displaystyle {\sqrt {13}}} | {\displaystyle \approx } | 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 |
| {\displaystyle {\sqrt {14}}} | {\displaystyle \approx } | 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 |
| {\displaystyle {\sqrt {15}}} | {\displaystyle \approx } | 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 |
| {\displaystyle {\sqrt {16}}} | {\displaystyle =\,} | 4 |
| {\displaystyle {\sqrt {17}}} | {\displaystyle \approx } | 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 |
| {\displaystyle {\sqrt {18}}} | {\displaystyle \approx } | 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 |
| {\displaystyle {\sqrt {19}}} | {\displaystyle \approx } | 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 |
| {\displaystyle {\sqrt {20}}} | {\displaystyle \approx } | 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 |

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Kvadratrot» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.*


|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* Store norske leksikon

 |