Eit **roterande referansesystem** er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Fiktive krefter
---------------

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter: 

* sentrifugalkrafta
* corioliskrafta

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

* eulerkrafta.

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Forhold mellom posisjonar i to referansesystem
----------------------------------------------

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane {\displaystyle \left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)} i det roterande referansesystemet og koordinatane {\displaystyle \left(x,y,z\right)} i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om {\displaystyle z}-aksen med vinkelfarten \omega og dei to referansesystema samsvarar ved tida {\displaystyle t=0}, så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast: 

{\displaystyle x=x^{\prime }\ \cos \omega t+y^{\prime }\ \sin \omega t}
{\displaystyle y=y^{\prime }\ \cos \omega t-x^{\prime }\ \sin \omega t}
og den reverse transformasjonen er 

{\displaystyle x^{\prime }=x\ \cos \left(-\omega t\right)-y\ \sin \left(-\omega t\right)}
{\displaystyle y^{\prime }=y\ \cos \left(-\omega t\right)+x\ \sin \left(-\omega t\right)}
Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

Generell utleiing i eit roterande referansesystem
-------------------------------------------------

Visst vi har einingsvektorane {\displaystyle i,j,k} til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten {\displaystyle \omega } så vert kvar einingsvektor styrt av likninga: 

{\displaystyle {\frac {dl}{dt}}=\omega \times l},
der {\displaystyle l=\{i,j,k\}}. Så viss vi då har ein funksjon , {\displaystyle f(t)=f\_{x}(t)i+f\_{y}(t)j+f\_{z}(t)k} og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df\_{x}}{dt}}i+{\frac {di}{dt}}f\_{x}+{\frac {df\_{y}}{dt}}j+{\frac {dj}{dt}}f\_{y}+{\frac {df\_{z}}{dt}}k+{\frac {dk}{dt}}f\_{z}}
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df\_{x}}{dt}}i+{\frac {df\_{y}}{dt}}j+{\frac {df\_{z}}{dt}}k+[\omega \times (f\_{x}i+f\_{y}j+f\_{z}k)]}
{\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}+\omega \times f(t)}
Der {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}} er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss {\displaystyle f(t)} roterer med same fart som einingsvektorane (\omega) så er {\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}=0}.

Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema
--------------------------------------------------

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

{\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

{\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {roterande} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }
der vektoren {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema: 

{\displaystyle \mathbf {v} \_{\mathrm {tregleik} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {roterande} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} \_{\mathrm {roterande} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }
### Prov av likninga

La oss tenkje oss ein vektor **a**tregleik i tregleikssystemet, og **a**roterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. *P*t er posisjonen til vektoren **a** ved tida *t* i tregleikssystemet, *Q* ere it punkt som har same startposisjon som *P*0 (*Q*0 = *P*0) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid *δ* *t*, har vi at vektoren *Q*0 *Q*δ t er

{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }\cdot \delta t}
ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

{\displaystyle {\overline {P\_{0}P\_{\delta t}}}=\mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }={\overline {P\_{0}Q\_{\delta t}}}+{\overline {Q\_{\delta t}P\_{\delta t}}}={\overline {Q\_{0}Q\_{\delta t}}}+{\overline {Q\_{\delta t}P\_{\delta t}}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }\cdot \delta t+\mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }}
deriverar vi på tid får vi

{\displaystyle \mathbf {\dot {a}} \_{\mathrm {tregleik} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }+\mathbf {\dot {a}} \_{\mathrm {rotasjon} }}
og ser at 

{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }}

Forhold mellom akselerasjon i dei to systema
--------------------------------------------

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik 

{\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)\_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)\_{\mathrm {tregleik} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right]}
Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

{\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }=\mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \_{\mathrm {rotasjon} }-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
der {\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {rotasjon} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)\_{\mathrm {rotasjon} }} er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet. 

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov {\displaystyle F=ma}, får vi

* corioliskrafta

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \_{\mathrm {rotasjon} }}
* sentrifugalkrafta

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {sentrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}
* eulerkrafta

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
der m er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på. 

Tregleiksakslerasjonen {\displaystyle \mathbf {a} \_{\mathrm {tregleik} }} kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {tot} }} (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathrm {tot} }=m\mathbf {a} \_{\mathrm {inertial} }}