Ei **talfølgje** er ei følgje der elementa er tal. Viss alle elementa er heiltal, blir følgja kalla ei heiltalsfølgje. Døme på slike følgjer er følgja av primtal og Fibonacci-tala; slike følgjer opptrer gjerne i talteori og kombinatorikk. Meir generelt kan elementa vere reelle eller komplekse tal. Slike følgjer opptrer ofte i analyse og nærskylde felt.

Det er vanleg å skrive ei følgje ved notasjonen

{\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots \}.}
Indekseringa byrjar vanlegvis anten med 0 eller 1.

Eigenskapar til følgje
----------------------

* Ei følgje er *monotont veksande* viss kvart element er like stort eller større enn det føregåande; det vil seie viss {\displaystyle a\_{i}\leq a\_{i+1}}. Viss berre element er større enn det føregåande, kallast følgja *strengt monotont voksende*. Omgrepa *monotont fallande* og *strengt monotont falane* blir analogt definert.

* Ei følgje er *avgrensa ovanfrå* viss følgja har ein øvre skranke; det vil seie at det finst eit tal {\displaystyle S} slik at {\displaystyle a\_{i}\leq S} for alle {\displaystyle i}. Tilsvarande er ei følgje *avgrensa nedanfrå* viss følgja har ein nedre skranke.

* Ei følgje der annakvart element er positivt og annakvart element er negativt kallast ei *alternerande* følgje.
* Viss elementa til alle følgjene er like, er følgja ei *konstant* følgje.
* Viss følgja består av gjentakingar av ei endeleg delfølgje, blir følgja kalla *periodisk*.

Konvergens
----------

Ei følgje blir sagt å konvergere mot eit tal a om tala i følgja kjem nærare og nærare a ettersom indeksen aukar. Formelt definerast dette slik: 

Viss det for kvart opent intervall I rundt a finst eit tal {\displaystyle N} slik at {\displaystyle a\_{n}\in I} for alle {\displaystyle n\geq N}, så konvergerer følgja mot a, som kallast grenseverdien til følgja.
Alternativt kan ein seie at kvart ope intervall I rundt a inneheld alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja. 
Viss følgja er ei følgje av komplekse tal, blir omegn nytta i staden for intervall.

Eit døme på ei konvergent følgje er følgja {\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,\ldots \}} som er definert ved at {\displaystyle a\_{n}=1/n} for {\displaystyle n\geq 1}. Grenseverdien til følgja er 0 fordi viss ein tek eit kva for eit som helst ope intervall som inneheld 0, vil alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja liggje innanfor intervallet. Ei følgje som ikkje konvergerer, blir sagt å divergere. Eit døme på ei divergent følgje er {\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots \}}, der {\displaystyle a\_{n}=n}; denne følgja er ikkje avgrensa og kan dermed ikkje konvergere. Eit anna døme er {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}, der elementa er 0 og 1 annakvar gong. 

Sjølv om ei følgje ikkje har nokon grenseverdi, kan han besitte opphopingspunkt. Verdien a er eit opphopingspunkt for følgja {\displaystyle \{a\_{n}\}} viss kvart intervall som inneheld a inneheld uendeleg mange element i følgja. Følgja {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}, som vart nemnt ovanfor har to opphopingspunk, nemleg 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelege følgjer er ein viktig del av grunnlaget for analyse. Blant anna er grenseverdien til funksjonar og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følgjer.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Tallfølge» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.*