To punkt med tilhøyrande koordinatsett gjevne med polarkoordinatar.
Eit **polarkoordinatsystem** er eit koordinatsystem der kvart punkt i eit plan er avgjort ut ifrå avstanden frå eit gjeve punkt (vanlegvis origo) og vinkel i tilhøve til x-aksen. I eit vanleg kartesisk koordinatsystem blir punkta avgjort ut ifrå avstanden til kvar koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinatar er at ein angjev alle punkt ved hjelp av følgjande informasjon:

* Punktet sin **vinkel** (gradar eller radianar ) i tilhøve til kva ein ville kalle *x*-aksen i eit rektangulært koordinatsystem, θ.
* Punktet sin **avstand** frå origo, *r*.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinatar
----------------------------------------------------

Ein figur som viser tilhøvet mellom polare og kartesiske koordinatar.
Omrekning av polarkoordinatar til kartesiske koordinatar kan gjerast ved:

{\displaystyle x=r\cos \theta \,}
{\displaystyle y=r\sin \theta ,\,}
Medan omrekninga frå kartesiske koordinatar til polarkoordinatar kan gjerast ved: 

{\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad } (gjeven ved Pythagoras’ læresetning), og
{\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{viss }}x\geq 0\\\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{viss }}x<0\\\end{cases}}}
Alle desse formlene føreset at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gjev ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gje ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2]. 
Dersom ein vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan ein òg bruke:

{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{viss }}x>0{\mbox{ og }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{viss }}x>0{\mbox{ og }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{viss }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y<0\\0&{\mbox{viss }}x=0{\mbox{ og }}y=0\end{cases}}}

Bruk av polarkoordinatar
------------------------

En sirkel

  

Ei likning uttrykt i polarkoordinatar er kjent som ei polar likning. Normalt er desse likningane gjevne ved å definere *r* som ein funksjon av θ. Denne definisjonen gjev visse fordeler i bruken av polarkoordinatar i tilhøve til kva ein kan oppnå med rektangulære. Særleg fordelaktig er det å bruke polarkoordinatar der det inngår noko sirkulært. Det enklaste tenkjelege dømet er å framstille ein sirkel. Her er definisjonen av ein sirkel med radius 1. 

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=r\cdot \cos(\varphi )\\y=r\cdot \sin(\varphi )\end{matrix}}\right\}\quad ,r=1\quad ,\quad \varphi \in [0,2\pi ]}

Lengda til det rørlege punktet vert altså sett til konstant å vere lik éin, som altså er avstanden frå origo til periferien. Deretter blir sett vinkelen til å variere mellom dei 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinklar), der heile sirkelen er med.

### Arkimedisk spiral

Ein arm av ein arkimedisk spiral likninga *r*(θ) = θ for 0 < θ < 6π
Ein arkimedisk spiral er ein spiral som vart oppdaga av Arkimedes, som kan forklarast med polarkoordinatar. Spiralen har formelen 

{\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}
Ved å forandre *a* vil spiralen skifte form, medan ***b*** er distansen mellom kurvene, som for ein gjeven spiral alltid er konstant. Den arkimediske spiralen har to kurver, ein for θ > 0 og ein for θ < 0. Dei to kurvene startar i origo. Sett bort frå kjeglesnitta var denne kurven av dei første til å bli skildra. Kurva er òg eit godt døme på kurver som blir best skildra med polarkoordinater.
  

### Polar rose

Ei polar rose med likning: *r*(θ) = 2 sin 4θ
Ei polar rose er ei matematisk kurve som ser ut som ein blome med kronblad og kan defineres som ei enkel polar likning: 

{\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi \_{0})\,}
For ein kvar konstant {\displaystyle \phi \_{0}} (inkludert 0). Dersom *k* er eit heiltal vil desse likningane gje kurver der «blomen» har *k* kronblad når *k* er eit oddetal og 2*k* kronblad når *k* er eit partal. Dersom *k* er eit rasjonalt tal, men ikkje eit heiltal vil ein òg få fram ein blome der kronblada overlappar kvarandre. Her må derimot definisjonsintervallet for kurva vere større enn [0, 2π) for at «blomen» skal bli komplett. Merk at det er umogeleg å definere ei kurve der ein får {\displaystyle 4n+2}, der n er eit heiltal, kronblad.
Variabelen *a* gjev lengda på kronblada.
  

### Kjeglesnitt

Alle kjeglesnitta kan òg uttrykkast ved hjelp av polarkoordinatar gjennom formelen:

{\displaystyle r={\ell \over {1+e\cos \theta }}}
Der *e* er eksentrisiteten. og {\displaystyle \ell } er semi latus rectum

Dersom *e* > 1, vil likninga gje ein hyperbel; *e* = 1 gjev ein parabel medan *e* < 1 gjev ein ellipse. Spesialtilfellet *e* = 0 vil gje ein sirkel mad radius {\displaystyle \ell }.

Bruk i tre dimensjonar
----------------------

Polarkoordinatar kan òg nyttast til bruk i tre dimensjonar. Kulekoordinatar og sylinderkoordinatar inneheld begge polarkoordinatplanet, utvida med ein ekstra akse.

### Sylinderkoordinatar

Punktet P plotta med sylinderkoordinatar
Sylinderkoordinatsystemet er ei utviding av polarkoordinatar med ein ekstra z-akse, på same måte som det kartesiske koordinatsystemet i tre dimensjonar. Den tredje koordinaten er vanlegvis uttrykt med ein *h* eller ein *z*, som skildrar høgda til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatane blir då skrive (*r*, θ, *h*).

Samanhengen mellom dei tre sylinderkoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=h.\end{aligned}}}
### Kulekoordinatar

Punktet P plotta med kulekoordinatar
Kulekoordinatsystemet er eit koordinatsystem basert på polarkoordinatar. Kulekoordinatar skil seg frå polarkoordinatar ved at høgda frå xy-planet blir skildra av ein vinkel φ frå z-aksen, og at radiusen på xy-planet *r* er skildra med *ρ* som er radiusen frå origo til flata til ein lekam på eit vilkårleg punkt. Vinkelen til φ varierer med storleikane 0°-180° eller 0-π radianar. Alle dei tre koordinatane blir då skrive (ρ, θ, φ).

Samanhengen mellom dei tre kulekoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir;

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Polarkoordinatsystem» frå Wikipedia på bokmål, den 9. januar 2012.*