**Kryssprodukt** er i matematikk ein tostilt operasjon på vektorar i eit tredimensjonalt euklidsk rom. Operasjonen vert òg kalla **vektorprodukt** eller **ytterprodukt**, og er nært relatert til utvendig produkt. Han skil seg frå punktproduktet ved at svaret vert ein vektor, og ikkje ein skalar. Kryssproduktet til to vektorar er ortogonalt til begge to.

Definisjon
----------

Kryssproduktet av vektorane **a** og **b** vert skrive **a** × **b** (handskrive brukar enkelte matematikarar **a**∧**b** for å unngå å blande saman kryssproduktet med bokstaven **x**). Den er definert som vektoren som er *perpendikulær* til både **a** og **b** med ein storleik som er lik arealet til parallellogrammet dei spenner over. Likninga er 

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }
der θ er vinkelen mellom **a** og **b** (0° ≤ θ ≤ 180°) i planet definert ut frå spennflata mellom vektorane, og **n** er ein einingsvektor perpendikulær til både **a** og **b**. 

Problemet med denne definisjonen er at der er *to* einingsvektorar som er perpendikulær til både **a** og **b**: visst **n** er prependikulær er òg **−n** det. 

Kva vektor som er den «rette» er avhengig av *orienteringa* til vektorrommet—t.d. kva retning dei tre vektorane i koordinatsystemet peikar i (**i**, **j**, **k**). Kryssproduktet **a** × **b** er definert på ein slik måte at (**a**, **b**, **a** × **b**) vert høgrehandorientert (peikefingeren er ei retning, langfingeren ei anna retning og tommelen peikar oppover og representerer kryssproduktet) (**i**, **j**, **k**) er høgrehandsorientert, eller venstrehandsorientert viss (**i**, **j**, **k**) er venstrehandsorientert slik at **i**×**j**=**k**, **j**×**k**= **i** og **k**×**i**=**j**.

Ein enkel måte å finne retninga av resultatvektoren er «høgrehandsregelen». Viss koordinatsystemet er høgrehandsorientert, peikar ein rett og slett peikefingeren i retning til den første operanden, langefingeren i retninga til den andre operanden, og resultatvektoren vil då vere tommelen. 

Sidan kryssproduktet er avhengig av kva koordinatsystem ein vel, vert resultatet kalla ein «uekte vektor». I naturen har heldigvis dei fleste storleikar som vert målt to stykk kryssprodukt, slik at når ein gjer det andre kryssproduktet så har ikkje valet av koordinatsystem noko å sei. 

Kryssproduktet kan representerast grafisk, med omsyn på eit høgrehandsorientert koordinatsystem, som vist på figuren under.

Eigenskap
---------

### Geometrisk tyding

Storleiken på kryssproduktet kan tolkast som arealet av eit parallelogram der **a** og **b** er sidene: 

{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta \,\!}
Trippelproduktet gjev volumet *V* av ein parallelepiped forma av **a**, **b**, og **c**:

{\displaystyle V=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).\,\!}
### Døme 1

Vi har to vektorar, *a* = (1,2,3) og *b* = (4,5,6). Kryssproduktet *a* × *b* er 

*a* × *b* = (1,2,3) × (4,5,6) = ((2 × 6 - 3 × 5), (3 × 4 - 1 × 6), (1 × 5 - 2 × 4)) = (-3,6,-3).
### Døme 2

Vi har to vektorar, *a* = (3,0,0) og *b* = (0,2,0). Kryssproduktet *a* × *b* er

*a* × *b* = (3,0,0) × (0,2,0) = ((0 × 0 - 2 × 0), -(3 × 0 - 0 × 0), (3 × 2 - 0 × 0)) = (0,0,6).
Svaret har følgjande tolkingar: 

1. Arealet av parallelogrammet (eit rektangel i dette tilfellet) er 2 × 3 = 6.
2. Den andre vektoren ligg i retning mot klokka i forhold til den første vektoren sidan svaret er positivt.
3. Normalvektoren til *alle* vektorpar i *xy*-planet vil alltid peike i *z*-retninga.

### Algebraiske eigenskapar

Kryssproduktet er antikommutativt,

**a** × **b** = −**b** × **a**,
fordelt ved addisjon

**a** × (**b** + **c**) = (**a** × **b**) + (**a** × **c**),
og samsvarar med skalar multiplisering slik at 

(*r***a**) × **b** = **a** × (*r***b**) = *r*(**a** × **b**).
Han er ikkje assosiativ, men oppfyller *Jacobi-identitet*:

**a** × (**b** × **c**) + **b** × (**c** × **a**) + **c** × (**a** × **b**) = **0**.
Han følgjer ikkje kanselleringslova:

Viss **a** × **b** = **a** × **c** og **a** ≠ **0** så kan vi skrive:
(**a** × **b**) − (**a** × **c**) = **0** og ut frå fordelingslova over:
**a** × (**b** − **c**) = **0**
Visst **a** no er parallel til (**b** − **c**), og viss **a** ≠ **0** er det mogeleg at (**b** − **c**) ≠ **0** og derfor at **b** ≠ **c**.
Men viss derimot både **a** · **b** = **a** · **c** *og* **a** × **b** = **a** × **c**, så *kan* vi konkludere at **b** = **c**. Dette kjem av at (**b** − **c**) ≠ **0**, slik at den sjølvsagt ikkje kan vere *både parallel og perpendikulær* til ein annan vektor **a** ulik null.

Men fordelinga, lineariteten, og Jacobi-identiteten viser at **R**3 i lag med vektoraddisjon og kryssproduktet dannar eit Lie algebra.

Vidare har vi at to vektorar **a** og **b**, som er ulik null, er parallel viss og berre viss **a** × **b** = **0**.

### Matrisenotasjon

Einingsvektoren **i**, **j** og **k** frå det ortogonale koordinatsystemet oppfyller følgjande likskapar: 

**i** × **j** = **k**           **j** × **k** = **i**           **k** × **i** = **j**.
Med desse reglane kan ein enkelt rekne ut koordinatane til kryssproduktet av to vektorar utan at ein treng vite vinklane først. 

**a** = *a*1**i** + *a*2**j** + *a*3**k** = [*a*1, *a*2, *a*3]
og

**b** = *b*1**i** + *b*2**j** + *b*3**k** = [*b*1, *b*2, *b*3].
Slik at 

**a** × **b** = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
Komponentnotasjonen over kan og skrivast som determinanten til ei matrise: 

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{bmatrix}}.}
Determinanten til dei tre vektorane kan skrivast som 

det (**a**, **b**, **c**) = **a** · (**b** × **c**).
Kryssproduktet kan skildrast ved hjelp av Sarrus sitt skjem. Vi har tabellen

{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} &\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}&b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\end{matrix}}}
Vi multipliserar dei tre første einingsvektorane med elementa på diagonalen til høgre (t.d. den første diagonalen vil innehalde **i**, *a*2 og *b*3). Dei tre siste einingsvektorane vert multiplisert med element langs diagonalen til venstre, og så omgjer vi produktet (t.d. den siste diagonalen inneheld **k**, *a*2 og *b*1). Kryssproduktet vert definert av summen av desse produkta: 

{\displaystyle \mathbf {i} (a\_{2}b\_{3})+\mathbf {j} (a\_{3}b\_{1})+\mathbf {k} (a\_{1}b\_{2})-\mathbf {i} (a\_{3}b\_{2})-\mathbf {j} (a\_{1}b\_{2})-\mathbf {k} (a\_{2}b\_{1}).}
Sjølv om det her er skrive i form av koordinatar gjev den geometriske definisjonen over at kryssproduktet er invariant under rotasjon om aksen definert ved
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }, og vert invers ved å byte {\displaystyle \mathbf {a} } og {\displaystyle \mathbf {b} }.

Sjå òg
------

* Lagrange sin formel
* Trippelprodukt
* Punktprodukt
* Kartesisk produkt