**Kepler-problemet** er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene.

Matematisk definisjon
---------------------

Den sentrale krafta **F** som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden *r* mellom dei:

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
der *k* er ein konstant og {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } syner til einingsvektoren langs linja mellom dei. Krafta kan vere anten tiltrekkjande (*k*<0) eller fråstøytande (*k*>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

{\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}

Løysinga på Kepler-problemet
----------------------------

Rørslelikninga for radien r til ein partikkel med masse m som flyttar seg i eit sentralt potensial {\displaystyle V(r)} er gjeven av Lagrange-likningane

{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}
{\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}} og vinkelmomentet {\displaystyle L=mr^{2}\omega } er bevart. For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta {\displaystyle {\frac {dV}{dr}}} er lik sentripetalkrafta {\displaystyle mr\omega ^{2}}, som venta.
Om *L* er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå t til \theta 

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}
gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

{\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}
Utvidinga av første leddet er

{\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {{2}L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane {\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}} og multipliserer begge sider med {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}

{\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d^{2}\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}
Etter å byte inn og omarrangere:

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)}
For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}
Banen {\displaystyle u(\theta )} kan ein få frå den generelle likninga

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {km}{L^{2}}}}
der løysinga er konstanten {\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}} pluss ei enkel sinuskurve

{\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta \_{0}\right)\right]}
der {\displaystyle e} (**eksentrisiteten**) og {\displaystyle \theta \_{0}} (**faseforskyvinga**) er konstantar i integrasjonen. 

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio; {\displaystyle e=0} svarar til ein sirkel, {\displaystyle e<1} svarar til ein ellipse, {\displaystyle e=1} svarar til ein parabel, og {\displaystyle e>1} svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten {\displaystyle e} er knytt til den totale energien E (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

{\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}
Samanliknar ein desse likningane syner ein at {\displaystyle E<0} svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), {\displaystyle E=0} varar til ein parabel, og {\displaystyle E>0} svarar til ein hyperbel. {\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}} for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (*k* > 0) gjeld berre *e* > 1.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Kepler problem» frå Wikipedia på engelsk, den 20. juni 2016.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*

1. ↑  Arnold, VI (1989). *Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed*. New York: Springer-Verlag. s. 38. ISBN 0-387-96890-3.