**Irrasjonelle tal** er reelle tal som *ikkje* kan skrivast på brøkform som {\displaystyle {\frac {m}{n}}}, der *m* er eit heiltal og *n* eit naturleg tal. Døme er {\sqrt {2}} og \pi. Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som {\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }, men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

Eigenskapar
-----------

### Det finst irrasjonelle tal

Dersom *N* ikkje er eit kvadrattal, så er {\displaystyle {\sqrt {N}}} eit irrasjonelt tal. Spesielt er {\sqrt {2}} irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {2n-m}{m-n}}={\frac {2n-{\sqrt {2}}n}{2n-n}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}}, men {\displaystyle 2n-m+m-n=n<m+n}. 

Anta at det finst naturlege tal *m* og *n* slik at {\displaystyle {\sqrt {2}}=m/n}. Me vel *m* og *n* slik at *n* er minst mogleg. Då må {\displaystyle 2n^{2}=m^{2}}, så 2 må dela {\displaystyle m^{2}}. Då må 2 også dela *m*, så 4 deler {\displaystyle m^{2}} og dermed også {\displaystyle 2n^{2}}. Det fylgjer at 2 også deler {\displaystyle n^{2}} og dermed også *n*, så både *m* og *n* er partal. Dette vil seia at me også har {\displaystyle {\sqrt {2}}=(m/2)/(n/2)} med naturlege tal *m*/2 og *n*/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er {\displaystyle log2}. Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal *m* og *n* slik at {\displaystyle \log {2}=m/n}. Me vel *m* og *n* slik at *n* er minst mogleg. Då må {\displaystyle 10^{m/n}=2}, så {\displaystyle 2^{m}\cdot 5^{m}=2^{n}}. Sidan 2 er eit primtal, så må då *m* = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x2. Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda *A* = {*x* : *x* 2 < 2}, *x* reelle tal, så må denne ha ei minste øvre grense sup *A*. Det er mogleg å visa at sup *A* korkje er med i *A* eller *A* = {x : x 2 > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

### Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur

Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:

* {\displaystyle (2+{\sqrt {2}})+(2-{\sqrt {2}})=4} er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.
* {\displaystyle (2+{\sqrt {2}})\cdot (2-{\sqrt {2}})=2} er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom *a* og *b* er irrasjonelle, så er nødvendigvis {\displaystyle a^{b}} irrasjonell. Me ser på {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}:

* Dersom {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.
* Dersom {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} er irrasjonell, så er {\displaystyle ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2} det ettersøkte moteksemplet.

### Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling

I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

Sjå også
--------

* Inkommensurabilitet

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* Store norske leksikon
* GND
* LCCN

 |