**Laplacetransformasjon** er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla {\displaystyle s}-planet. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

Definisjon
----------

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt},

der {\displaystyle f(t)} er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, {\displaystyle s=\sigma +j\omega } er kompleks frekvens, j={\sqrt {-1}} er den imaginære eininga, \omega er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet {\displaystyle i} for den imaginære eininga, i staden for {\displaystyle j}. I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet {\displaystyle j}, for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet {\displaystyle i}.

Tosidig Laplace-transform
-------------------------

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}

Invers Laplace-transformasjon
-----------------------------

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet ({\displaystyle s}-planet) attende til tidsplanet:

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{j2\pi }}\int \_{\sigma \_{1}-j\infty }^{\sigma \_{1}+j\infty }F(s)e^{st}\,ds,}

der {\displaystyle \sigma \_{1}} er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til {\displaystyle F(s)}, og {\displaystyle F(s)} er avgrensa på integrasjonsvegen.

Operasjonar i *s*-planet
------------------------

I {\displaystyle s}-planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med {\displaystyle s}, og integrasjon vert erstatta av divisjon med {\displaystyle s}, noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala x(t) og {\displaystyle h(t)} vert i tidsplanet utført som

{\displaystyle y(t)=x(t)\*h(t)=\int \_{-\infty }^{\infty }x(t)h(t-\tau )d\tau ,}

der \* er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I {\displaystyle s}-planet tilsvarar dette multiplikasjon:

{\displaystyle Y(s)=X(s)H(s),}

der {\displaystyle X(s)} og {\displaystyle H(s)} er Laplacetransformasjonane av x(t) respektivt {\displaystyle h(t)}, som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i {\displaystyle s}-planet multiplikasjon i tidsplanet.

Praktisk bruk
-------------

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming og reguleringsteknikk.

Sjå òg
------

* Fouriertransformasjon
* Z-transformasjon

Referansar
----------

1. ↑  Appel, W. *Mathématiques pour la physique et les physiciens*, 4. utg. H&K Editions, 2008.
2. ↑  Arfken, B.B. og Weber, H.J. *Mathematical methods for physicists*, 6. utg. Elsvier Academic Press, 2005.
3. ↑  Dyke, P.P.G. *An introduction to Laplace transforms and Fourier series*, Springer, 2001.
4. 1 2  Kuo, F.F. *Network analysis ans syntesis*, John Wiley & Sons. 2. utg. 1966.
5. ↑  Lathi, B.P. *Linear systems and signals*, Oxford Univ. Press, 2010.
6. ↑  Haykin, S. og van Veen, B. *Signals and systems*, John Wiley & Sons, 1999.
7. ↑  Balken, J.G. *Reguleringsteknikk*, bind 1, Tapir, 1977.
8. ↑  Kuo, B.C. *Automatic control systems*, 6. utg. Prentice-Hall, 1991.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritetsdata | 
* WorldCat
* Store norske leksikon
* LCCN
* BNF
* BNF (data)
* NKC
* NDL

 |