| *n* | *n*! |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 15 | 1307674368000 |
| 20 | 2432902008176640000 |
| 25 | 1.5511210043×1025 |
| 50 | 3.0414093202×1064 |
| 70 | 1.1978571670×10100 |
| 100 | 9.3326215444×10157 |
| 170 | 7.2574156153×10306 |
| 171 | 1.2410180702×10309 |
| 450 | 1.7333687331×101 000 |
| 1000 | 4.0238726008×102 567 |
| 3249 | 6.4123376883×1010 000 |
| 10000 | 2.8462596809×1035 659 |
| 25206 | 1.2057034382×10100 000 |
| 100000 | 2.8242294080×10456 573 |
| 205023 | 2.5038989317×101 000 004 |
| 1000000 | 8.2639316883×105 565 708 |
| 1.0248383838×1098 | 101.0000000000×10100 |
| 10100 | 109.9565705518×10101 |
| 1.7976931349×10308 | 105.5336665775×10310 |

**Fakultet** eller **n-fakultet** er i matematikk ein  funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til *n*. Funksjonen er skriven som symbolet *n!*, som blir lese som **n-fakultet**.

Døme: 

{\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}

Definisjon
----------

Formelt kan ein definere n-fakultet som

{\displaystyle n!=\prod \_{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} \!}
eller rekursivt ved

{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{ viss }}n=0\\n(n-1)!&{\text{ viss }}n>0\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .}.
Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet 

{\displaystyle 0!=1\ }
Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk
----

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne *n* objekt i rekkefølgje er lik *n!*. Mengda måtar ein kan velje ut *k* objekt frå ei samling på *n* objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.}
Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over n!}}

Vekstrate
---------

Plott av den naturlege logaritmen til *n!* 
Når *n* aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom *p(n)* samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument *n*. Ein  asymptotisk tilnærming av *n!* er gjeven ved *Stirlings formel*,

{\displaystyle n!\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}.}
Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til *n!* ,

{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log n}{2}}+{\frac {\log(2\pi )}{2}}.}
Frå dette kan ein sjå at *log n!* er av  orden *n log n*, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

Gammafunksjonen
---------------

Gammafunksjonen

*For meir om dette emnet, sjå gammafunksjonen.*
Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved

{\displaystyle \Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}
For heile, positive tal og null {\displaystyle (n=0,1,2,...)} gjeld det at

{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}

Historie
--------

Notasjonen *n!* vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket *Éléments d'arithmétique universelle*.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Fakultet (matematikk)» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.*

Bakgrunnsstoff
--------------

* factorielle.free.fr