Når graden til Taylorpolynomet stig, nærmar han seg den korrekte funksjonen. Denne figuren syner \sin x (i svart) og Taylor-tilnærmingar, polynomgrader 1, 3, 5, 7, 9, 11 og 13.
Eksponentialfunksjonen (i blått) og summen av dei første *n*+1 ledda av Taylorrekkja til funksjonen ved 0 (i raudt).
**Taylorrekkjer** er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma. Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor. Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla **maclaurinrekkjer** etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin.

Definisjon
----------

Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon *ƒ*(*x*) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal *a*, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast: 

\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}\,(x-a)^{{n}}
der *n*! står for fakultetsverdien til *n* og *ƒ*(*n*)(*a*) står for *n*-te deriverte av *ƒ* vurdert i punktet *a*; den nullte deriverte av *ƒ* er definert til å vere *ƒ* sjølv og (*x* − *a*)0 og 0! er begge definerte til å vere 1.

I spesialtilfellet der *a* = 0 vert rekkna òg kalla ei **maclaurinrekkje**.

Døme
----

Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv. 

Maclaurinrekkje for (1 − *x*)−1 er den geometriske rekkja. 

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!
så Taylorrekkjene for *x*−1 ved *a* = 1 er 

1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!
Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − *x*), der log er den naturlege logaritmen.

x+{\frac {x^{2}}2}+{\frac {x^{3}}3}+{\frac {x^{4}}4}+\cdots \!
og den tilsvarande taylorrekkja for log(*x*) ved *a* = 1 er 

(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}2}+{\frac {(x-1)^{3}}3}-{\frac {(x-1)^{4}}4}+\cdots .\!
Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen e*x* ved *a* = 0 er 

1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!
Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av e*x* er lik e*x* og e0 er lik 1. Dette gjev att leddet (*x* − 0)*n* i teljaren og *n*! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

Maclaurinrekkjer for nokre vanlege funksjonar
---------------------------------------------

Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument *x*.

Eksponentialfunksjonen:

{\mathrm {e}}^{{x}}=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!
Naturleg logaritme:

\ln(1-x)=-\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}n}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1
\ln(1+x)=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}(-1)^{{n+1}}{\frac {x^{n}}n}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =-1

  

Endeleg geometrisk rekkje:

{\frac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \_{{n=0}}^{{m}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ og }}m\in {\mathbb {N}}\_{0}\!
Uendeleg geometrisk rekkje:

{\frac {1}{1-x}}=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!
Variantar av uendelege geometriske rekkjer: 

{\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum \_{{n=m}}^{{\infty }}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ og }}m\in {\mathbb {N}}\_{0}\!
{\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!
Kvadratrot:

{\sqrt {1+x}}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!
Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for *α* = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for *α* = −1):

(1+x)^{\alpha }=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for alle }}|x|<1{\text{ og alle komplekse }}\alpha \!
med generaliserte binomkoeffisientar

{\alpha \choose n}=\prod \_{{k=1}}^{n}{\frac {\alpha -k+1}k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!
Trigonometriske funksjonar:

\sin x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!
\cos x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{{2n}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!
\tan x=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {B\_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{2n-1}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!
der *Bs* er Bernoullital.
\sec x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E\_{{2n}}}{(2n)!}}x^{{2n}}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!
\arcsin x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}{\text{ for }}|x|\leq 1\!
\arctan x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{{2n+1}}{\text{ for }}|x|\leq 1\!
Hyperbolske funksjonar:

\sinh x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!
\cosh x=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{{2n}}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!
\tanh x=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {B\_{{2n}}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{{2n-1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!
\operatorname {arsinh}(x)=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}{\text{ for }}|x|\leq 1\!
\operatorname {artanh}(x)=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{{2n+1}}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!
Lambert sin W-funksjon:

W\_{0}(x)=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}x^{n}{\text{ for }}|x|<{\frac {1}{{\mathrm {e}}}}\!
Tala *B**k* som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(*x*) og tanh(*x*) er bernoullital. *E**k* i utvidinga av sec(*x*) er eulertal.

Kjelder
-------

* *Denne artikkelen bygger på «Taylor series» frå Wikipedia på engelsk, den 1. juli 2009.*