**Kebarangkalian binomial** melibatkan kebarangkalian bagi keputusan kejayaan yang mempunyai dua kesudahan.

Takrifan
--------

Kebarangkalian bagi satu peristiwa boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian binomial jika kesudahannya boleh dipecahkan kepada dua kebarangkalian *p* dan *q*, iaitu p dan q dalah pelengkap (*p* + *q* = 1). Sebagai contoh, balingan sekeping syiling boleh memberikan kesudahan sama ada kepala atau ekor, yang kedua-duanya (secara teori) mempunyai kebarangkalian 0.5. Mendapatkan empat pada dadu bermuka enam boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian (1/6) bagi mendapatkan 4 atau kebarangkalian (5/6) bagi mendapatkan yang lain.

Pengiraan
---------

Jika satu peristiwa mempunyai kebarangkalian, *p*, untuk terjadi, maka kebarangkalian untuk ia terjadi dua kali adalah *p*2, dan secara umumnya *p**n* bagi n cubaan yang berjaya. Jika kita mahu mengetahui kebarangkalian bagi membaling dadu dan mendapatkan dua 'empat' dan satu nombor lain (dalam susunan tertentu) ia menjadi:

{\displaystyle {\begin{matrix}P({\mbox{2 balingan dapat 4 dan 1 lain}})&=&P({\mbox{2 balingan dapat 4}})P({\mbox{1 lain}})\\\ &=&P({\mbox{balingan dapat 4}})^{2}P({\mbox{lain}})^{1}\\\ &=&({\frac {1}{6}})^{2}({\frac {5}{6}})^{1}\\\ &=&2.6\%\end{matrix}}}
Walau bagaimanapun, ini hanya sesuai bagi masalah yang susunannya adalah tertentu. Jika susunan tidak penting dalam contoh di atas, maka terdapat 3 cara untuk mendapatkan 2 balingan 4 dan 1 yang lain:

110  

101  

011  

1 mewakili balingan yang mendapat empat manakala 0 mewakili balingan yang tidak memperoleh empat. Memandangkan terdapat tiga cara memperoleh keputusan yang sama, maka kebarangkaliannya adalah 3 kali sebelumnya, atau 7.8%. Jika susunan tidak penting, maka terdapat {\displaystyle {n \choose r}} (n pilih r) tatarajah yang mungkin. Ini menghasilkan persamaan umum bagi percubaan binomial:

### Persamaan am

{\displaystyle P({\mbox{k berjaya daripada n cubaan}})={n \choose k}p^{k}q^{n-k}}
Iaitu *p* adalah kebarangkalian berjaya, dan *q* adalah kebarangkalian gagal (yang merupakan pelengkap kepada *p*, iaitu *q*=1-*p*.) Maka, ini adalah teorem binomial.

### Contoh

Dalam ujian sepuluh soalan aneka pilihan, dengan 4 pilihan setiap soalan, kebarangkalian untuk mendapatkan 5 dan hanya 5 jawapan betul jika jawapan yang diteka boleh dikira sebagai:  

{\displaystyle p=0.25}  

{\displaystyle q=1-p=0.75}  

{\displaystyle k=5}  

{\displaystyle n=10}  
  

{\displaystyle {\begin{matrix}P(lulus)&=&{n \choose k}p^{k}q^{n-k}\\\ &=&{10 \choose 5}(0.25)^{5}(0.75)^{5}\\\ &\approx &5.8\%\end{matrix}}}  

Maka, jika seseorang meneka 10 jawapan pada ujian aneka pilihan dengan 4 pilihan, mereka mempunyai lebih kurang 5.8% peluang untuk memperoleh 5 dan hanya 5 jawapan yang betul. Jika 5 atau lebih jawapan betul yang diperlukan untuk lulus, maka, kebarangkalian untuk lulus boleh dikira dengan menambah kebarangkalian mendapat 5 (dan hanya 5) jawapan betul, 6 (dan hanya 6) jawappan betul, dan seerusnya hinggal 10 jawapan betul. Jumlah kebarangkalian adalah lebih kurang 7.8%.

Penganggaran
------------

Terdapat pelbagai kaedah untuk menganggar kebarangkalian binomial jika eksponen terlalu besar untuk dikira

### Penghampiran binomial

Rencana utama: Taburan binomial
Satu kaedah adalah dengan menganggar kebarangkalian kepada taburan binomial. Apa yang diperlukan adalah {\displaystyle np\geq 5} dan {\displaystyle nq\geq 5} bagi jawapan yang jitu. Penghampirannya adalah seperti berikut:  

{\displaystyle z\approx {\frac {(k-\mu )\pm 0.5}{\sigma }}}  

Iaitu {\displaystyle \mu =np} dan {\displaystyle \sigma ={\sqrt {npq}}} (sisihan piawai bagi penghampiran binomial) dan *z* tatarajah skor-z.

### Fungsi kebarangkalian Poisson

Rencana utama: Taburan Poisson
Kaedah kebarangkalian lain adalah dengan menganggarkannya dengan taburan Poisson. Apa yang diperlukan adalah {\displaystyle n\geq 150} dan *np* dan *npq* adalah lebih kurang 10% satu sama lain. Rumusnya adalah

{\displaystyle \Pr(n{\mbox{ daripada }}k)\approx {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!}
iaitu {\displaystyle \lambda =np}.

Perkaitan dengan teorem binomial
--------------------------------

Persamaan bagi kebarangkalian binomial adalah sama dengan persamaan teorem binomial, yang boleh diguna untuk mengira sebutan dalam segi tiga Pascal dan pengembangan persamaan binomial dalam bentuk {\displaystyle (a+b)^{n}}. Maka, jika binomial dikembangkan bagi *n* = 2, kita akan memperoleh

{\displaystyle {\begin{matrix}(a+b)^{2}&=&{2 \choose 0}a^{2}b^{0}+{2 \choose 1}a^{1}b^{1}+{2 \choose 2}a^{0}b^{2}\\\ &=&a^{2}+2ab+b^{2}\end{matrix}}}
Dengan menulis semula persamaan:

{\displaystyle 1aa+2ab+1bb}
Jika *a* mewakili kepala dan *b* ekor, maka, yang atas ini akan menunjukkan semua kebarangkalian dan bilangan gabungan yang mungkin. Itu bermaksud, terdapat satu cara untuk memperoleh dua kepala (*aa*), dua cara untuk memperoleh satu kepala dan satu ekor (2*ab*) dan satu cara untuk memperoleh dua ekor (*bb*). Ini boleh digunakan untuk sebarang n. Memandangkan jumlah pekali dalam persamaan (*a*0 + *a*1 + *a*2) adalah jumlah kebarangkalian, dan memandangkan setiap kes *unik* mempunyai kebarangkalian yang sama, kebarangkalian untuk mendapatkan 1 *a* dan 1 *b* (1 kepala dan 1 ekor pada sekeping syiling) adalah 2 daripada 4, atau 0.5. Jumlah pekali bagi mana-mana binomial adalah 2*n* − 1.

Lihat juga
----------

* Kebarangkalian
* Teorem binomial
* Segi tiga Pascal
* Peristiwa pelengkap
* Taburan binomial
* Taburan Poisson

Pautan luar
-----------

* Pengira Javascript