Nombor kuasa dua 16 sebagai jumlah gnomon.
Dalam matematik, nombor **kuasa dua sempurna** ialah integer yang merupakan kuasa dua integer; dengan kata lain, ia adalah hasil darab suatu integer dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 9 ialah nombor kuasa dua sempurna, kerana ia sama dengan 32 dan boleh ditulis sebagai 3 × 3.

Notasi lazim kuasa dua nombor *n* bukanlah hasil darab *n* × *n*, tetapi eksponen setara *n*2, biasanya disebut sebagai "*n* kuasa dua". Unit luas ditakrifkan sebagai luas unit persegi (1 × 1). Oleh itu, segi empat sama dengan panjang sisi n mempunyai luas *n*2. Jika nombor kuasa dua diwakili oleh *n* titik, titik boleh disusun dalam baris sebagai segi empat sama setiap sisinya mempunyai bilangan titik yang sama dengan punca kuasa dua *n.*

Nombor kuasa dua sempurna besifat bukan negatif. Integer bukan negatif ialah nombor kuasa dua apabila punca kuasa duanya sekali lagi ialah integer. Sebagai contoh, {\displaystyle {\sqrt {9}}=3,} jadi 9 ialah nombor kuasa dua sempurna.

Integer positif yang tidak mempunyai pembahagi kuasa dua kecuali 1 dipanggil bebas kuasa dua.

Bagi integer bukan negatif *n*, nombor kuasa dua ke-*n* ialah *n*2, dengan 02 = 0 ialah nombor sifar. Konsep segi empat sama boleh diperluaskan terhadap beberapa sistem nombor lain. Jika nombor nisbah disertakan, maka nombor kuasa dua sempurna ialah nisbah dua integer kuasa dua, dan, sebaliknya, nisbah dua integer kuasa dua ialah nombor kuasa dua, sebagai contoh, {\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}.

Bermula dengan 1, ada {\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor } nombor kuasa dua hingga dan termasuk m, di mana ungkapan {\displaystyle \lfloor x\rfloor } mewakili lantai nombor *x*.

Contoh
------

Nombor kuasa dua sempurna (jujukan A000290 dalam OEIS) lebih kecil daripada 602 = 3600 ialah:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81

102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361

202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841

302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521

402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401

502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
Perbezaan antara mana-mana kuasa dua sempurna dan pendahulunya diungkapkan dengan rumus *n*2 − (*n* − 1)2 = 2*n* − 1. Secara setara, adalah mungkin untuk mengira nombor kuasa dua dengan menambah bersama kuasa dua terakhir, punca kuasa dua terakhir, dan punca semasa, iaitu, *n*2 = (*n* − 1)2 + (*n* − 1) + *n*.

Sifat
-----

Nombor *m* ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya jika seseorang boleh menyusun *m* titik dalam segi empat sama:

|  |  |
| --- | --- |
| m = 12 = 1 |  |
| m = 22 = 4 |  |
| m = 32 = 9 |  |
| m = 42 = 16 |  |
| m = 52 = 25 |  |

Ungkapan bagi nombor kuasa dua ke-*n* ialah *n*2. Ini juga sama dengan jumlah nombor ganjil *n* pertama seperti yang boleh dilihat dalam gambar di atas, di mana nombor kuasa dua terhasil daripada yang sebelumnya dengan menambah bilangan mata ganjil (ditunjukkan dalam magenta). Sifat ini menuruti formula berikut:

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1).}
Contohnya, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Ganjil genap
------------

Kuasa dua nombor genap adalah genap, dan boleh dibahagi dengan 4, kerana (2*n*)2 = 4*n*2. Kuasa dua nombor ganjil pula adalah ganjil, dan adalah kongruen dengan 1 modulo 8, kerana (2*n* + 1)2 = 4*n*(*n* + 1) + 1, dan *n*(*n* + 1) sentiasa genap. Dengan kata lain, semua nombor kuasa dua ganjil mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 8.

Nota
----

1. ↑  Sesetengah penulis juga memanggil hasil kuasa dua nombor nisbah sebagai nombor kuasa dua sempurna.