Umumnya, persamaan bagi pangayun ialah penyelesaian bagi persamaan

{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+\omega \_{0}^{2}x=A\_{0}cos(\omega t)\,}
dimana

{\displaystyle b\,} ialah pemalar redaman
{\displaystyle \omega \_{0}\,} ialah frekuensi sudut
{\displaystyle A\_{0}cos(\omega t)\,} ialah faktor luar yang mengayunkan sistem itu

Istilah-istilah penting
-----------------------

* **Amplitud**, {\displaystyle A\,} adalah jarak maksimum dari keseimbangan. Unit SInya ialah meter.
* **Frekuensi**,{\displaystyle f\,} ialah jumlah kitaran dalam satu unit masa. Bagi frekuensi sudut ( {\displaystyle \omega \,} ) pula, ia berhubung kait dengan {\displaystyle f\,} melalui persamaan

{\displaystyle \omega =2\pi f\,}
Unit SI bagi frekuensi ialah hertz,**HZ**, dimana

1 hertz = 1 Hz = 1 kitaran/saat = 1/saat.

* **Tempoh**, {\displaystyle T\,} ialah masa untuk satu kitaran. Unit SInya ialah saat. Perhubungan diantara tempoh dan frekuensi dan frekuensi sudut ialah

{\displaystyle T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}\,}

Gerakan Harmonik Mudah
----------------------

**Pengayun Berharmoni** ialah

* suatu sistem mekanikal dimana daya berkadar terus dengan sesaran, iaitu {\displaystyle F=-kx\,} dimana {\displaystyle k\,} ialah pemalar spring.
* mana-mana sistem yang analogus dengan sistem mekanik ini.

Apabila daya yang pemulih berkadar terus dengan sesaran, maka sistem itu dipanggil **Gerakan Harmonik Mudah**. 

Bagi gerakan harmonik mudah, nilai pemalar redaman adalah kosong dan tiada faktor luar yang mempengaryhi sistem ini. Maka persamaan pembezaannya ialah

{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega \_{0}^{2}x=0\,}
maka penyelesaian bagi persamaan di atas ialah

{\displaystyle x=Acos(\omega t+\phi )\,}
dimana

{\displaystyle \phi \,} ialah sudut fasa
maka halajunya ialah

{\displaystyle v\_{x}={\frac {dx}{dt}}=-\omega Asin(\omega t+\phi )\,}
dan pecutannya ialah

{\displaystyle a\_{x}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}Acos(\omega t+\phi )\,}
dimana persamaan pecutannya ialah 

{\displaystyle a\_{x}={\frac {d^{2}x}{dt}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x\,}
oleh itu dari persamaan diatas, frekuensi sudut ialah

{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}
maka

{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,}
### Tenaga Di Dalam Gerakan Harmonik Mudah

*Untuk rencana lanjutan lihat tenaga*

Tenaga yang terdapat pada gerakan harmonik mudah ialah

{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv\_{x}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}=pemalar\,}
### Gerakan Harmonik Mudah Sudut

Mengikut kinematik sudut,

{\displaystyle \sum \tau \_{z}=I\alpha \_{z}=I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\kappa \theta \,}
Ini adalah anologi dari kinematik linear, dan

{\displaystyle I\,} ialah momen inersia
{\displaystyle \kappa \,} ialah pemalar kilasan dimana
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}\,} dan {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}\,}
Pengayun Berharmonik Pacuan
---------------------------

Ia adalah penyelesaian bagi formula

{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega \_{0}^{2}x=A\_{0}cos(\omega t)\,}
Pengayun Teredam
----------------

Bagi pengayun teredam, persamaan pembezaannya ialah

{\displaystyle \sum F\_{x}=ma\_{x}=-kx-bv\_{x}=-kx-b{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,}
Maka penyelesaian persamaan di atas ialah

{\displaystyle x=Ae^{-{\frac {b}{2m}}t}cos(\omega 't+\phi )\,}
dan frekuensi sudut bagi pengayun teredam ialah

{\displaystyle \omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}}\,}
### Redaman Genting

**Redaman Genting'** ialah situasi dimana {\displaystyle \omega '=0\,}. Maka

{\displaystyle 0={\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}\,} atau {\displaystyle b=2{\sqrt {km}}\,}
Sistem ini tidak lagi berayun dan kembali ke keseimbangan tanpa sebarang ayunan.

### Lebih Redaman

'**Redaman Lebih'** ialah dimana

{\displaystyle b>2{\sqrt {km}}\,}.
Situasi ini ialah dimana ayunan kembali ke keseimbangan tanpa ayunan tetapi secara perlahan-lahan. Formula untuk sesaran ialah

{\displaystyle x=C\_{1}e^{-a\_{1}t}+C\_{2}e^{-a\_{2}t}\,}
dimana {\displaystyle C\_{1}\,} dan {\displaystyle C\_{2}\,} ialah pemalar.

### Kurang Redaman

Bagi redaman kurang

{\displaystyle b<2{\sqrt {km}}\,}
Sistem bagi redaman kurang berayun dengan amplitud yang semakin berkuranngan.

Lihat Juga
----------

* Bandul
* Resonan