Satu contoh paradoks garis pantai. Jika garis pantai Great Britain diukur dengan unit-unit berkepanjangan 100 km (62 bt), maka panjang garis pantai adalah kira-kira 2,800 km (1,700 bt). Dengan unit-unit berkepanjangan 50 km (31 bt), panjang garis pantai menjadi kira-kira 3,400 km (2,100 bt), kira-kira 600 km (370 bt) lebih panjang.
**Paradoks garis pantai** ialah satu pemerhatian bertentangan dengan logik yang mengatakan garis pantai satu daratan tidak mempunyai satu panjang yang tepat. Ini menunjukkan bahawa pantai mempunyai sifat seperti fraktal. Pemerhatian fenomena ini pertama kali dibuat oleh Lewis Fry Richardson dan ia dikembangkan lagi oleh Benoit Mandelbrot.

Lebih tepat lagi, panjang satu garis pantai bergantung pada cara mengukurnya. Oleh sebab daratan mempunyai ciri-ciri istimewa pada semua skala, daripada skala ratusan kilometer sehingga pecahan kecil satu milimeter ke bawah, tidak ada satu ciri terkecil yang boleh dikira kepanjangannya, maka tidak ada perimeter tertentu daratan. Pelbagai anggaran wujud apabila anggapan tertentu dibuat berkenaan saiz ciri-ciri minimum.

Aspek matematik
---------------

Konsep dasar panjang terbit daripada jarak Euclid. Dalam geometri Euclid, satu garis lurus melambangkan jarak terpendek antara dua titik; garis ini hanya mempunyai satu panjang. Panjang geodesi di atas permukaan sfera, yang dinamakan panjang bulatan besar, diukur sepanjang lengkung permukaan yang terdapat di dalam satah yang mengandungi kedua-dua titik akhir laluan dan pusat sfera. Panjang lengkung ringkas adalah lebih rumit tetapi masih boleh dikira. Dengan menggunakan pembaris, panjang lengkung boleh dianggarkan dengan menambahkan panjang garis-garis lurus yang menghubungkan titik-titik di atas lengkung:

Dengan hanya menggunakan sejumlah kecil garis lurus, anggaran panjang lengkung akan menjadi kurang tepat. Jika panjang garis lurus yang lebih pendek digunakan, jumlah panjang-panjang garis tersebut akan lebih hampir dengan panjang sebenar lengkung tersebut. Nilai tepat bagi panjang lengkung boleh dikira dengan kalkulus, satu bidang matematik yang membolehkan pengiraan panjang yang teramat kecil. Animasi berikut menunjukkan bagaimana lengkung yang licin boleh diberikan panjang yang tepat:

Namun, tidak semua lengkung boleh dikira sebegini. Fraktal ialah, menurut takrifannya, satu lengkung yang akan berubah kekompleksannya mengikut skala ukuran yang berbeza. Panjang fraktal yang diukur boleh berubah dengan sangat banyak, sementara anggaran lengkung licin menjadi lebih tepat semakin tepat ukuran.

S1S2S4S5Lengkung Sierpiński (sejenis lengkung pengisi ruang), yang mengulangi corak yang sama pada skala yang semakin mengecil, terus menaik kepanjangannya. Corak ini akan terus berulang di dalam ruang geometri yang boleh terus terbahagi secara tidak terhingga, maka panjang fraktal ini menghampiri infiniti. Pada masa yang sama, *luas* yang dirangkumi oleh lengkung ini akan mencapai satu bentuk yang tepat—serupa juga, keluasan daratan satu pulau lebih mudah dikira daripada panjang garis pantainya.
Panjang "fraktal sebenar" sentiasa mencapai infiniti. Namun, nilai ini bergantung pada anggapan bahawa ruang ini boleh terus dibahagikan. Betapa benarnya anggapan ini—yang menjadi dasar geometri Euclid dan menjadi model yang berguna dalam ukuran seharian—adalah satu spekulasi bersifat falsafah, dan mungkin atau mungkin tidak menggambarkan perubahan sebenar 'jarak' dan 'ruang' pada skala atom (kira-kira pada skala nanometer). Panjang Planck, beberapa magnitud lebih kecil daripada atom, dikatakan adalah unit boleh diukur terkecil dalam alam semesta.

Garis pantai berbeza daripada fraktal dalam matematik kerana ia dihasilkan oleh banyak kejadian kecil yang hanya menghasilkan corak secara statistik.

Praktikal
---------

Bagi tujuan-tujuan praktikal, pilihan sesuai untuk saiz ciri-ciri minimum adalah pada skala unit yang digunakan untuk mengukur. Jika garis pantai diukur dalam kilometer, maka variasi-variasi kecil yang lebih kecil daripada satu kilometer tidak akan diambil kira. Jika garis pantai dikira dalam sentimeter, variasi-variasi kecil yang bersaiz beberapa sentimeter perlu diambil kira. Namun, pada skala bebera sentimeter pelbagai anggapan tertentu dan bukan fraktal perlu dibuat, seperti di mana muara bertemu dengan laut, atau di mana ukuran garis pinggir perlu dibuat dalam kukup yang luas. Menggunakan metodologi ukuran berbeza bagi unit-unit berbeza juga menghalang unit-unit berbeza ditukar dengan pendaraban mudah.

Keadaan-keadaan ekstrem bagi paradoks garis pantai termasuklah pada garis pantai Norway, Chile dan Barat Laut Pasifik Amerika Utara yang penuh dengan fjord. Pantai di wilayah British Columbia di Kanada hanya berkepanjangan linear 965 km (600 bt) dan merentang daripada takat selatan Pulau Vancouver sehingga takat selatan *panhandle* Alaska, namun kerumitan garis pantai ini menyebabkan panjang garis pantai ini menjadi 25,725 km (15,985 bt)—10 peratus daripada panjang keseluruhan garis pantai Kanada (termasuk garis pantai kepulauan Artik) iaitu 243,042 km (151,019 bt).

Lihat juga
----------

* Pantai#Masalah garis pantai
* Dimensi fraktal
* *How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractal Dimension*
* Paradoks timbunan
* Paradoks-paradoks Zeno
* Pertikaian sempadan Alaska: Tuntutan Alaska dan Kanada terhadap *panhandle* Alaska jauh berbeza, berdasarkan tafsiran berbeza bagi istilah yang tidak jelas yang menetapkan kedudukan sempadan pada "titik yang selari dengan lekukan pinggir pantai" yang digunakan pada kawasan penuh fjord tersebut.

Rujukan
-------

1. ↑  Eric W. Weisstein, *Coastline Paradox* di MathWorld.
2. ↑  Mandelbrot, Benoit (1983). *The Fractal Geometry of Nature*. W.H. Freeman and Co. 25–33. ISBN 978-0-7167-1186-5.
3. ↑  Post & Eisen, p. 550.
4. ↑  Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, *Chaos and Fractals: New Frontiers of Science*; Spring, 2004; p. 424.
5. ↑  Sebert, L.M. and M. R. Munro. 1972. Dimensions and Areas of Maps of the National Topographic System of Canada. Technical Report 72-1. Ottawa: Department of Energy, Mines and Resources, Surveys and Mapping Branch.

### Bibliografi

* Post, David G. and Michael Eisen. "How Long is the Coastline of Law? Thoughts on the Fractal Nature of Legal Systems". *Journal of Legal Studies* XXIX(1), Januari 2000.

Pautan luar
-----------

* "Coastlines" at *Fractal Geometry Diarkibkan 2013-07-26 di Wayback Machine* (ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger; maintained for Math 190a at Yale University)
* The Atlas of Canada – Coastline and Shoreline Diarkibkan 2012-10-10 di Wayback Machine
* NOAA GeoZone Blog on Digital Coast