Dalam algebra permulaan, **teorem binomial** (atau **pengembangan binomial**) menerangkan pengembangan algebra bagi kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan polinomial (*x* + *y*)*n* kepada hasil tambah yang melibatkan sebutan bagi bentuk *ax**b**y**c*, di mana eksponen b dan c ialah integer bukan negatif dengan *b* + *c* = *n*, dan pekali a bagi setiap sebutan ialah integer positif tertentu yang bergantung pada n dan b. Contohnya, untuk *n* = 4,



(
x
+
y

)

4

=

x

4

+
4

x

3

y
+
6

x

2

y

2

+
4
x

y

3

+

y

4

{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}

{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}
Pekali a dalam sebutan *ax**b**y**c* dikenali sebagai pekali binomial {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} atau {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama). Pekali-pekali ini untuk n dan b yang berbeza boleh disusun bagi membentuk segi tiga Pascal. Nombor-nombor ini juga berlaku dalam kombinatorik, di mana {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} memberikan bilangan gabungan berbeza bagi unsur b yang boleh dipilih daripada set unsur n. Oleh itu, {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} sering kali disebut sebagai "n memilih b".

Pernyataan
----------

Menurut teorem binomial, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa integer bukan negattif bagi *x* + *y* kepada suatu hasli tambah bagi bentuk



(
x
+
y

)

n

=

(

n
0

)

x

n

y

0

+

(

n
1

)

x

n
−
1

y

1

+

(

n
2

)

x

n
−
2

y

2

+
⋯
+

(

n

n
−
1

)

x

1

y

n
−
1

+

(

n
n

)

x

0

y

n

,

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}
di mana {\displaystyle n\geq 0} merupakan suatu integer dan setiap {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} adalah suatu integer positif yang dikenali sebagai pekali binomial. (Apabila eksponen adalah sifar, ungkapan kuasa yang sepadan diambil sebagai 1 dan faktor pendaraban ini sering diabaikan daripada sebutan. Oleh itu seseorang sering melihat sisi sebelah kanan ditulis sebagai {\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }.) Rumus ini juga dirujuk sebagai **rumus binomial** atau **identiti binomial**. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, ia boleh ditulis sebagai



(
x
+
y

)

n

=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

n
−
k

y

k

=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

k

y

n
−
k

.

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}
Ungkapan terakhir mengikuti dari yang sebelumnya dengan simetri bagi x dan y dalam ungkapan pertama, dan sebagai perbandingan, jujukan pekali binomial dalam rumus adalah simetri. Suatu varian ringkas rumus binomial diperoleh dengan menggantikan 1 untuk y supaya ia hanya melibatkan satu pemboleh ubah. Dalam bentuk ini, rumus itu dibaca



(
1
+
x

)

n

=

(

n
0

)

x

0

+

(

n
1

)

x

1

+

(

n
2

)

x

2

+
⋯
+

(

n

n
−
1

)

x

n
−
1

+

(

n
n

)

x

n

,

{\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}

{\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}
atau secara setara



(
1
+
x

)

n

=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

k

,

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},}

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},}
atau lebih tersurat



(
1
+
x

)

n

=
1
+
n
x
+

n
(
n
−
1
)

2
!

x

2

+

n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)

3
!

x

3

+
⋯
+
n

x

n
−
1

+

x

n

.

{\displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.}

{\displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.}

Rujukan
-------

1. ↑  *Mathematical Methods for Physicists* (dalam bahasa Inggeris). 2013. m/s. 34. doi:10.1016/c2009-0-30629-7. ISBN 9780123846549.

|  |  |
| --- | --- |
| Kawalan kewibawaan: Perpustakaan negara Sunting ini di Wikidata | 
* Jerman
* Jepun

 |

Portal:* icon Matematik