Jalur Möbius ialah objek yang mempunyai hanya satu permukaan dan satu sudut. Bentuk sebegini adalah antara bahan kajian dalam topologi.
**Topologi** (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "kajian") ialah cabang utama matematik yang mengkaji sifat rajah yang tidak berubah akibat bengkokan, regangan, dan sebagainya. Ia muncul melalui pembangunan konsep-konsep dari geometri dan teori set, seperti ruang, dimensi, dan transformasi. 

Idea tentang topologi telah mula diutarakan seawal 1736, dan pada penghujung kurun ke-19, satu disiplin khusus telah dibangunkan yang pada awalnya dikenali dengan nama Latinnya *geometria situs* ("geometri tempat") atau *analysis situs* (istilah gabungan Yunani-Latin bermaksud "kajian tempat") sebelum akhirnya dikenali dengan nama modennya, topologi. Menjelang pertengahan abad ke-20, topologi telah menjadi bidang pengajian yang penting di dalam matematik.

Topologi mengandungi banyak cabang. Antara cabang yang paling asas dan tradisional ialah:

  

Perkataan *topologi* merujuk kepada satu disiplin matematik dan juga untuk satu keluarga set dengan sifat-sifat tertentu yang digunakan untuk mentakrifkan ruang topologi, satu objek asas topologi.

Topologi am
-----------

Membentuk aspek asas topologi dan mengkaji konsep-konsep bawaan ruang topologi (contoh asas termasuklah kepadatan dan keterkaitanRuang topologi adalah satu set yang dikurniakan struktur, disebut topologi, yang memungkinkan untuk menentukan ubah bentuk berterusan ruang bawah tanah, dan, lebih umum, semua jenis kesinambungan. Ruang Euclidean, dan, lebih umum, ruang metrik adalah contoh ruang topologi, kerana jarak atau metrik apa pun menentukan topologi. Deformasi yang dipertimbangkan dalam topologi adalah homeomorphism dan homotopies. Harta yang tidak berubah di bawah ubah bentuk tersebut adalah harta topologi. Contoh asas sifat topologi adalah: dimensi, yang membolehkan membezakan antara garis dan permukaan; kekompakan, yang membolehkan membezakan antara garis dan bulatan; keterhubungan, yang membolehkan membezakan bulatan dari dua bulatan yang tidak bersilang.

Topologi algebra
----------------

Menghitung darjah keterkaitan menggunakan kaedah algebra seperti kumpulan homotopi dan homologi Idea-idea yang mendasari topologi kembali ke Gottfried Leibniz, yang pada abad ke-17 membayangkan laman geometri dan laman analisis. Masalah Tujuh Jambatan Leonhard Euler dari Königsberg dan formula polyhedron boleh dikatakan teorema pertama di lapangan. Istilah topologi diperkenalkan oleh Johann Benedict List pada abad ke-19, walaupun tidak sampai dekad pertama abad ke-20 idea tentang ruang topologi dikembangkan.

Topologi geometri
-----------------

Dan mengkaji manifold dan pembenamannya di dalam manifold yang lain di sebalik topologi adalah bahawa beberapa masalah geometri tidak bergantung pada bentuk tepat objek yang terlibat, tetapi pada cara mereka disatukan. Sebagai contoh, segiempat sama dan bulatan mempunyai banyak sifat yang sama: keduanya adalah objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) dan keduanya memisahkan satah menjadi dua bahagian, bahagian di dalam dan bahagian di luar. Dalam salah satu makalah pertama dalam topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahawa mustahil untuk mencari jalan melalui kota Königsberg (sekarang Kaliningrad) yang akan melintasi setiap tujuh jambatannya tepat sekali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jambatan atau jaraknya antara satu sama lain, tetapi hanya pada sifat penyambungan: jambatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tebing sungai mana. Masalah Tujuh Jambatan Königsberg ini menyebabkan cabang matematik dikenali sebagai teori grafik.

**Topology Homeomorphism**

Begitu juga, teorema bola rambut topologi algebra mengatakan bahawa "seseorang tidak boleh menyisir rambut dengan rata pada bola berbulu tanpa membuat cowlick." Fakta ini segera meyakinkan bagi kebanyakan orang, walaupun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahawa tidak ada medan vektor tangen berterusan yang tidak memikat di bidang ini. Seperti Jambatan Königsberg, hasilnya tidak bergantung pada bentuk sfera; ia berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, asalkan tidak ada lubang. Untuk mengatasi masalah-masalah ini yang tidak bergantung pada bentuk objek yang tepat, seseorang harus jelas mengenai sifat-sifat apa yang diandalkan oleh masalah ini. Dari keperluan inilah timbul konsep homeomorphism. Kemustahilan untuk melintasi setiap jambatan hanya berlaku untuk setiap susunan homeomorfik jambatan untuk yang ada di Königsberg, dan teorema bola berbulu berlaku untuk homeomorfik ruang untuk bola. Secara intuitif, dua ruang adalah homeomorfik jika satu dapat berubah bentuk menjadi yang lain tanpa memotong atau melekatkan. Lelucon tradisional adalah bahawa pakar topologi tidak dapat membezakan cangkir kopi dari donat, kerana donat yang cukup lentur dapat dibentuk kembali menjadi cawan kopi dengan membuat lesung pipit dan membesarkannya secara progresif, sambil mengecilkan lubang ke pegangan.

|  |  |
| --- | --- |
| Ikon tunas | Rencana berkaitan matematik ini ialah rencana tunas. Anda boleh membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s



| * l
* b
* s
Bidang utama matematik |
| --- |
| Bidang | 
Aritmetik **·** 
Algebra (Asas – Linear – Abstrak) **·** 
Geometri (Diskret – Algebra – Pembezaan) **·** 
Kalkulus **·** 
Analisis **·** 
Teori set **·** 
Logik **·** 
Teori kategori **·** 
Teori nombor **·** 
Kombinatorik **·** 
Teori graf **·** 
Topologi **·** 
Teori Lie **·** 
Persamaan pembezaan **·** 
Sistem dinamik **·** 
Fizik matematik **·** 
Analisis berangka **·** 
Pengiraan **·** 
Teori maklumat **·** 
Kebarangkalian **·** 
Statistik **·** 
Pengoptimuman **·** 
Teori kawalan **·** 
Teori permainan
 |
| Pembahagian utama | 
Matematik tulen **·** 
Matematik gunaan **·** 
Matematik diskret **·** 
Matematik pengiraan
 |
| **Kategori**  · Portal Matematik  · Senarai |