Sebuah bulatan berisi warna merah di dalam sebuah segi empat. Luas luar bulatan tidak terisi. Sempada kedua-dua bulatan dan segi empat adalah hitam.Jika {\displaystyle A} ialah luas berwarna merah dalam gambar ini...Sebuah bulatan kosong di dalam sebuah segi empat. Luas di dalam pesegi tidak dilitupi bulatan merah. Sempadan kedua-dua bulatan dan segi empat adalah hitam.… maka pelengkap {\displaystyle A} ialah segala sesuatu yang lain.
Dalam teori set, **pelengkap** set {\displaystyle A}, sering kali dilambangkan oleh {\displaystyle A^{c}} (atau {\displaystyle A'}), adalah unsur yang bukan di {\displaystyle A}.

Ketika semua set dalam pertimbangan dianggap menjadi subset diberikan set {\displaystyle U}, **pelengkap mutlak** {\displaystyle A} ialah set unsur di {\displaystyle U}, tetapi bukan di {\displaystyle A}.

**Pelengkap relatif** {\displaystyle A} terhadap sebuah set {\displaystyle B}, juga disebut **beza set** {\displaystyle B} dan {\displaystyle A}, ditulis {\displaystyle B\setminus A}, adalah set unsur-unsur di {\displaystyle B} tapi bukan di {\displaystyle A}.

Pelengkap mutlak
----------------

**Pelengkap mutlak** {\displaystyle A} (bulatan sebelah kiri) di {\displaystyle U}: {\displaystyle A^{c}=U\setminus A}.
### Takrifan

Jika {\displaystyle A} ialah sebuah set, maka **pelengkap mutlak {\displaystyle A}**) ialah set unsur-unsur yang bukan di {\displaystyle A} (dalam sebuah set lebih besar yang secara implisit ditakrifkan). Dengan kata lain, misalkan {\displaystyle U} menjadi sebuah set yang berisi semua unsur-unsur yang diperhatikan, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan {\displaystyle U}, sama ade kerana telah ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka pelengkap mutlak {\displaystyle A} ialah pelengkap relatif {\displaystyle A} di {\displaystyle U}:

{\displaystyle A^{c}=U-A}
Atau secara formal:

{\displaystyle A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}}.
Pelengkap mutlak {\displaystyle A} biasanya dilambangkan oleh {\displaystyle A^{c}}. Notasi lainnya termasuk {\displaystyle {\overline {A}}}, {\displaystyle A'}, {\displaystyle \complement \_{U}A}, dan {\displaystyle \complement A}.

Sebagai contoh, andaikan bahawa semesta ialah set nombor bulat. Jika {\displaystyle A} ialah set nombor ganjil, maka pelengkap {\displaystyle A} adalah set nombor genap. Jika {\displaystyle B} ialah set gandaan 3, maka pelengkap {\displaystyle B} ialah set bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, secara ringkasnya, nombor bulat bukan gandaan 3).

### Sifat-sifat

Andaikan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} menjadi dua set dalam sebuah semesta {\displaystyle U}. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat pelengkap mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:

* {\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}.
* {\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}.

* {\displaystyle A\cup A^{c}=U}.
* {\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing }.
* {\displaystyle \varnothing ^{c}=U}.
* {\displaystyle U^{c}=\varnothing }.
* Jika {\displaystyle A\subseteq B}, maka {\displaystyle B^{c}\subseteq A^{c}}.

(ini diikuti daripada kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum pelengkap involusi atau ganda:

* {\displaystyle (A^{c})^{c}=A}.

Hubungan antara pelengkap mutlak dan relatif:

* {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}}.
* {\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A)}.

Hubungan dengan sebuah beza set:

* {\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A}.

Dua hukum pelengkap pertama di atas menunjukkan bahawa jika {\displaystyle A} adalah sebuah set bukan kosong, subset {\displaystyle U}, maka {\displaystyle \{A,A^{c}\}} ialah pemetakan {\displaystyle U}.

Pelengkap relatif
-----------------

### Takrifan

Jika {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} ialah set, maka **pelengkap relatif** {\displaystyle A} dalam {\displaystyle B}, juga disebut **beza set** {\displaystyle B} dan {\displaystyle A}, adalah set unsur-unsur di {\displaystyle B} tapi bukan di {\displaystyle A}.

**Pelengkap relatif** {\displaystyle A} (bulatan sebelah kiri) di {\displaystyle B} (bulatan sebelah kanan): {\displaystyle B\cap A^{c}=B\setminus A}.
Pelengkap relatif {\displaystyle A} di {\displaystyle B} dilambangkan {\displaystyle B\setminus A} berdasarkan piawai ISO 31-11. Kadangkala, ini ditulis sebagai {\displaystyle B-A}, tapi notasi ini bersifat samar kerana dalam beberapa konteks, ini dapat difahami sebagai set semua unsur {\displaystyle b-a}, di mana {\displaystyle b} diambil dari {\displaystyle B} dan {\displaystyle a} diambil dari {\displaystyle A}.

Secara formal:

{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}}.
### Contoh

* {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}.
* {\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}.
* Jika {\displaystyle \mathbb {R} } ialah set nombor nyata dan {\displaystyle \mathbb {Q} } ialah set nombor nisbah, maka {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } ialah set nombor bukan nisbah.

### Sifat-sifat

Andaikan {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C} menjadi tiga set. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat penting pelengkap relatif:

* {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}.
* {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}.
* {\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)}, dengan kes khusus penting {\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)} menunjukkan bahawa persilangan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi pelengkap relatif.
* {\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}.
* {\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}.
* {\displaystyle A\setminus A=\emptyset }.
* {\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset }.
* {\displaystyle A\setminus \emptyset =A}.
* {\displaystyle A\setminus U=\emptyset }.

Hubungan pelengkap
------------------

Sebuah hubungan binari {\displaystyle R} dapat ditakrifkan sebagai sebuah subset darab set {\displaystyle X\times Y}. **Hubungan pelengkap** {\displaystyle {\bar {R}}} merupakan pelengkap set {\displaystyle R} di {\displaystyle X\times Y}. Pelengkap relatif {\displaystyle R} dapat ditulis

{\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R}.
Di sini, {\displaystyle R} sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logik dengan baris mewakili unsur-unsur {\displaystyle X}, dan unsur-unsur lajur {\displaystyle Y}. Kebenaran mengenai {\displaystyle aRb} berpadanan dengan 1 dalam baris {\displaystyle a}, lajur {\displaystyle b}. Menghasilkan hubungan pelenkap ke {\displaystyle R}, kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 bagi matriks logik dari pelengkap.

Bersama dengan pelengkap relatif dan hubungan songsang, hubungan pelengkap dan algebra set merupakan operasi-operasi asas dalam kalkulus relatif.

Notasi LaTeX
------------

Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah `\setminus` biasanya digunakan dalam mewakili sebuah simbol beza set yang serupa dengan sebuah simbol garis palang terbalik. Ketika diucapkan, perintah `\setminus` terlihat serupa dengan `\backslash`, kecuali bahawa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang palang, sama dengan barisan LaTeX `\mathbin{\backslash}`. Sebuah varian `\smallsetminus` tersedia dalam pek amssymb.

Rujukan
-------

1. 1 2 3 4  "Compendium of Mathematical Symbols". *Math Vault* (dalam bahasa Inggeris). 2020-03-01. Dicapai pada 2020-09-04.
2. ↑  "Complement and Set Difference". *web.mnstate.edu*. Diarkibkan daripada yang asal pada 2021-01-23. Dicapai pada 2020-09-04. Unknown parameter `|dead-url=` ignored (bantuan)
3. 1 2  "Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". *www.mathsisfun.com*. Dicapai pada 2020-09-04.
4. ↑  Set yang pelengkapnya dianggap sedemikian secara implisit ditentukan dalam sebuah pelengkap mutlak, dan secara eksplisit ditentukan dalam sebuah pelengkap relatif.
5. ↑  Bourbaki 1970, halaman E II.6.
6. 1 2  Halmos 1960, halaman 17.
7. ↑  Devlin 1979, halaman 6.
8. ↑   The Comprehensive LaTeX Symbol List

Bibliografi
-----------

* Bourbaki, N. (1970). *Théorie des ensembles* (dalam bahasa Perancis). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
* Devlin, Keith J. (1979). *Fundamentals of contemporary set theory*. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
* Halmos, Paul R. (1960). *Naive set theory*. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.

Pautan luar
-----------

* Eric W. Weisstein, *Complement* di MathWorld.
* Eric W. Weisstein, *Complement Set* di MathWorld.Templat:Teori set