Di dalam matematik, **persamaan serentak** adalah suatu set persamaan yang mengandungi pelbagai pemboleh ubah. Set ini selalu dirujuk sebagai suatu **sistem persamaan**. Satu penyelesaian kepada satu sistem penyelesaian adalah suatu nilai spesifik tertentu kepada semua pemboleh ubah yang boleh memuaskan semua persamaan. Untuk menari suatu penyelesaian, penyelesai perlu unutk menggunakan persamaan yang diberi untuk mencali nilai tepat bagi setiap pemboleh ubah. Umumnya, penyelesai meggunakan samada kaedah grafik, kaedah matriks, kaedah penggantian, atau kaedah penyingkiran. Beberapa buku teks merujuk kepada kaedah penyingkiran sebagai kaedah penambahan, kerana ia melibatkan penambahan persamaan (atau pemalar pelbagai persamaan) ke atas satu sama, seperti yang diperincikan lagi di dalam artikel ini.

Ini adalah set persamaan linear, juga dikenali sebagai sistem persamaan linear:

{\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}
Menyelesaikan masalah ini melibatkan penolakan *x* + *y* = 6 daripada 2*x* + *y* = 8 (menggunakan kaedah penyingkiran) untuk membuang pemboleh ubah-*y*, kemudian permudah hasil penambahan untuk mencari nilai *x*, kemudian menggantikan nilai *x* ke dalam persamaan lain untuk mendapatkan *y*.

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah:

{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}
yang mana ia juga boleh ditulis sebagai satu pasangan berturutan (2, 4), yang mewakili koordinati titik persilangan dua garis yang diwakili oleh persamaan-persamaan di atas graf.

Mencari penyelesaian
--------------------

Kadang-kadang tidak semua pemboleh ubah boleh diselesaikan, dan jadi jawapan untuk sekurang-kurangnya satu pemboleh ubah mesti dinyatakan dari segi pemboleh ubah lain dan sebagainya. Ada set di mana semua penyelesaian adalah tak terhingga; ini adalah khas bagi kes-kes di mana sistem ini mempunyai lebih sedikit persamaan daripada pemboleh ubah. Jika bilangan persamaan adalah sama seperti bilangan pemboleh ubah, maka mungkin (tetapi tidak semestinya) sistem adalah tepat dalam erti kata bahawa set penyelesaian adalah terbatas; sistem persamaan linear ini sekiranya ada tepat satu penyelesaian, untuk sistem lain untuk mempunyai beberapa penyelesaian juga biasa. Kadang-kadang sistem mempunyai tiada penyelesaian, ini adalah khas bagi kes-kes di mana sistem mempunyai lebih banyak persamaan daripada pemboleh ubah. Jika peraturan-peraturan tentang hubungan antara bilangan penyelesaian dan nombor persamaan dan pemboleh ubah tidak memegang, maka situasi seperti itu sering dirujuk sebagai pergantungan antara persamaan atau di antara bahagian kiri mereka. Sebagai contoh, ini berlaku dalam sistem linear jika satu persamaan adalah gandaan yang mudah (selain mewakili barisan yang sama, contohnya 2 *x* + *y* = 3 dan 4 *x* + 2 *y* = 6) atau jika nisbah pemboleh ubah seperti dalam dua persamaan linear yang sama (yang mewakili garis selari, contohnya 2 *x* + *y* = 3 dan 6 *x* + 3 ' 'y *= 7 di mana nisbah surat setanding 3).*

Sistem dua persamaan dalam dua nilai sebenar tidak diketahui biasanya muncul sebagai salah satu daripada lima jenis, mempunyai hubungan kepada bilangan penyelesaian:

1. Sistem yang mewakili menyilangkan set tempat seperti garis dan keluk, dan yang tidak adalah salah satu jenis di bawah. Ini boleh dianggap jenis biasa, orang lain yang luar biasa dalam beberapa berkenaan. Sistem ini biasanya mempunyai nombor terhingga penyelesaian, masing-masing dibentuk oleh koordinat satu titik persilangan.
2. Sistem yang memudahkan ke palsu (contohnya, persamaan seperti 1 = 0). Sistem sedemikian tidak mempunyai titik persilangan dan tiada penyelesaian. Jenis ini didapati, sebagai contoh, apabila persamaan yang mewakili garis selari.
3. Sistem di mana kedua-dua persamaan memudahkan identiti (contohnya, *x* = *2x* - *x* dan 0 *y* = 0). Mana-mana penetapan nilai kepada pemboleh ubah yang tidak diketahui memuaskan persamaan. Oleh itu, terdapat nombor terhingga penyelesaian: semua mata pesawat.
4. Sistem di mana dua persamaan mewakili set mata yang sama: mereka adalah matematik setara (satu persamaan biasanya boleh ditukar kepada yang lain melalui manipulasi algebra). Sistem sedemikian mewakili sepenuhnya bertindih baris, atau lengkung, dan lain-lain Salah satu daripada dua persamaan adalah berlebihan dan boleh dibuang. Setiap titik set mata sepadan dengan penyelesaian. Biasanya, ini bermakna terdapat nombor terhingga penyelesaian.
5. Sistem di mana satu (dan satu sahaja) dua persamaan memudahkan ke identiti. Oleh itu, ia adalah berlebihan, dan boleh dibuang, seperti setiap jenis sebelumnya. Setiap titik set mata yang diwakili oleh persamaan lain adalah satu penyelesaian yang terdapat kemudian biasanya nombor terhingga.

Persamaan *x*2  + *y*2  = 0 boleh dianggap sebagai persamaan bulatan yang berjejari telah merosot kepada sifar, dan supaya ia merupakan satu titik: (*x* = 0, *y* = 0), seperti bulatan normal mengandungi infiniti mata. Ini dan contoh yang sama menunjukkan sebab mengapa dua jenis terakhir yang dihuraikan di atas memerlukan kelayakan "biasanya". Satu contoh sistem persamaan jenis pertama yang diterangkan di atas dengan bilangan tak terhingga penyelesaian yang diberikan oleh *x* = | *x* |, *y* = | *y* | ( mana notasi | • | menandakan nilai mutlak fungsi), penyelesaian yang membentuk satu kuadran *x* - *y pesawat*. Satu lagi contoh adalah *x* = | *y* |, *y* = | *x* |, yang mewakili penyelesaian sinaran. Satu lagi contoh adalah ( *x* 1)( *x* + *y*) = 0, ( *y* 1)( *x* + *y*) = 0, penyelesaian yang mewakili garis dan titik.

Kaedah penyelesaian
-------------------

### Kaedah penggantian

Persamaan-persamaan contoh bertembung dua kali apabila dilakarkan sebagai graf. Oleh itu, dua penyelesaian dapat diperoleh.
Sistem persamaaan serentak mungkin sukar untuk diselesaikan melainkan sebuah cara yang sistemaik digunakan. Teknik yang lazim digunakan ialah **kaedah penggantian**. Dalam teknik ini, suatu persamaan dengan satu pemboleh ubah sebagai subjek ditulis, di mana pemboleh ubah di sebelah kiri tidak wujud di sebelah kanan persamaan. Kemudian, persamaan itu digunakan untuk menggantikan pemboleh ubah dalam persamaan lain lalu mendapatkan sistem yang lebih kecil dengan sedikit pemboleh ubah. Setelah sistem tersebut diselesaikan sama ada melalui penggunaan kaedah penggantian mahupun kaedah lain, penyelesaian itu digunakan untuk menggantikan pemboleh ubah sebelah kanan lain.

Dalam set persamaan ini,

{\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\2x+4y=0\end{cases}}}
*x* dijadikan subjek dalam persamaan kedua:

{\displaystyle x=-2y\,}
Kemudian, hasil itu digunakan untuk menggantikan pemboleh ubah dalam persamaan pertama:

{\displaystyle (-2y)^{2}+y^{2}=1.\,}
Setelah itu, hasil yang diperoleh ialah:

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1 \over 5}}}
Selepas itu, melalui penggantian dalam persamaan *x = -*2*y*, nilai-nilai *x* diperoleh: Oleh itu, penyelesaian persamaan sistem tersebut ialah:

{\displaystyle x=-2{\sqrt {1 \over 5}},\ y={\sqrt {1 \over 5}}\qquad {\mbox{dan}}\qquad x=2{\sqrt {1 \over 5}},\ y=-{\sqrt {1 \over 5}}.\,}
### Kaedah penyingkiran

Penyingkiran melalui pendaraban yang adil juga merupakan kaedah yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Kaedah ini menggunakan prinsip bahawa Kedua-dua belah persamaan adalah masih sama apabila kedua-dua belah didarabkan atau dibahagikan oleh kuantiti yang sama, atau apabila kuantiti sama ditambahkan atau ditolak, Apabila persamaan menjadi lebih ringkas melalui penyinkiran beberapa pemboleh ubah, suatu pemboleh ubah dapat diselesaikan secara sepenuhnya, dan nilai tersebut boleh menggantikan persamaan lain. Cara tersebut membolehkan penyelesaian bagi nilai pemboleh ubah lain.

### Matriks

Sistem persamaan juga boleh diwakili dalam bentuk matriks, membolehkan pelbagai prinsip matriks digunakan terhadap masalah itu. Sistem persamaan linear serentak dikaji dalam algebra linear, di mana kaedah penyingkiran Gaussan dan penguraian Cholesky digunakan untuk menyelesaikan masalah. Untuk menentukan penyelesaian anggaran dalam sistem umum secara numerik, kaedah Newton berdimensi *n* boleh dipakai. Geometri algebra secara asasnya merupakan teori persamaan polinomial serentak. Persoalan berkenaan keberkesanan pengiraan melalui persamaan-persamaan tersebut tergolong dalam teori penyingkiran. Lihat juga petua Cramer yang mengunakan hasil bahagi dua penentu untuk mencari penyelesaian.

Model persamaan serentak merupakan sejenis model statistik dalam bentuk set persamaan serentak linear dan sering digunakan dalam ekonometrik.

Dalam aritmetik modular, sistem mudah kongruens serentak boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian berturutan. Persamaan-persamaan serentak adalah lebih mudah untuk diselesaikan melalui kaedah ini.

### Kuasa dua terkecil linear

Rencana utama: Kuasa dua terkecil linear
Sebuah set persamaan serentak linear boleh ditulis dalam bentuk matriks sebagai **Ax** = **y**. Sekiranya terdapat lebih banyak persamaan daripada pemboleh ubah, sistem itu dianggap memiliki penentu berlebihan dan oleh itu, secara umumnya tiada penyelesaian. Sistem itu boleh diubah menjadi (**A**T**A**)**x** = **A**T**y**. Sistem baharu itu mempunyai jumlah persamaan sama dengan pemboleh ubah (matriks **A**T**A** ialah matriks segi empat) dan boleh diselesaikan seperti biasa. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kuasa dua terkecil daripada persamaan asal dengan penentu berlebihan lalu meminimumkan norma Euclidan, ||**Ax** − **y**||, ukuran percanggahan antara kedua-dua belah dalam sistem asal.

Lihat juga
----------

* Sistem-sistem persamaan polinomial

Pautan luar
-----------

* Simultaneous equations
* Simultaneous linear equations solver
* Simultaneous Equation Solver Juga mengira penentu, songsangan dan penguraian LU bagi matriks [A].