Teorem Pythagoras mempunyai sekurang-kurangnya 370 bukti yang diketahui.
**Teorem**  ialah satu pernyataan yang telah dibuktikan berdasarkan pernyataan – pernyataan terdahulu, contohnya teorem-teorem yang lain, dan pernyataan-pernyataan yang telah diterima sebelumnya, seperti aksiom-aksiom. Penerbitan sesuatu teorem sering diinterpretasikan sebagai bukti kebenaran sesebuah ungkapan, tetapi jika sistem deduksi yang berbeza digunakan, ia boleh menghasilkan interpretasi yang berbeza, bergantung pada maksud-maksud hukum penerbitannya. Teorem mempunyai dua komponen, iaitu hipotesis dan kesimpulan. Bukti kepada teorem matematik ialah satu hujah logik yang menunjukkan kesimpulan adalah natijah yang perlu untuk setiap hipotesis, jika hipotesis adalah benar maka kesimpulan mesti juga benar, tanpa sebarang anggapan-anggapan yang lain. Jadi konsep sesebuah teorem secara asasnya adalah *deduktif* , berbeza dengan konsep teori saintifik yang *empirikal*. 

Walaupun boleh ditulis dalam bentuk simbolik sepenuhnya seperti kalkulus berkadar, teorem sering diungkapkan dalam bahasa sejadi seperti bahasa Inggeris. Perkara sama juga berlaku kepada bukti-bukti matematik, yang sering diungkap dalam bentuk hujah tidak formal yang disusun secara logik dan dengan kata-kata yang jelas, bertujuan untuk menunjuk yang bukti simbolik yang formal boleh dibina. Hujah-hujah sebegini biasanya mudah untuk diperiksa berbanding yang simbolik sepenuhnya – sememangnya, ramai ahli matematik lebih memilih bukti yang bukan sahaja menunjukkan kesahihan sesebuah teorem, tetapi juga yang menerangkan perkara seperti *kenapa* kesahihannya sangat ketara. Dalam sesetengah kes, sekeping gambar sahaja sudah cukup untuk menerangkan sesebuah teorem. Oleh kerana teorem berada pada teras matematik, ia juga penting kepada nilai estetik matematik. Teorem sering disebut sebagai sesuatu yang "remeh", atau "sukar", "dalam", dan juga "cantik". Hujah yang subjektif ini berlainan bukan sahaja antara indvidu, tetapi juga antara masa: contohnya, apabila satu bukti telah diringkaskan atau lebih difahami, teorem yang dahulunya sukar boleh menjadi perkara yang remeh. Selain itu, satu teorem yang dalam mungkin dinyatakan dengan ringkas, tetapi buktinya mungkin melibatkan kaitan yang mengejutkan antara bidang-bidang yang berlainan dalam matematik. Teorem terakhir Fermat adalah antara contohnya yang terkenal.

Anggapan formal dan tak formal
------------------------------

Secara logik, banyak teorem adalah dalam bentuk indikatif bersyarat: *Jika A, maka B*. Teorem seperti ini tidak menyatakan *B* sentiasa benar, sebaliknya *B* mesti menjadi benar hanya jika *A* adalah benar. Dalam kes ini *A* dipanggil **hipotesis** teorem (ambil perhatian yang "hipotesis" di sini adalah berbeza dengan satu konjektur) dan *B* adalah **kesimpulan** (*A* dan *B* boleh juga disebut *antejadian* dan *akibat*). Teorem "jika *n* adalah satu nombor asli yang genap, maka *n*/2 adalah satu nombor asli", merupakan contoh tipikal di mana hipotesisnya ialah "*n* adalah satu nombor asli yang genap" dan kesimpulannya ialah "*n*/2 juga adalah nombor asli". 
Untuk dibuktikan, satu teorem mesti dapat diungkapkan dalam pernyataan yang formal dan tepat. Walau bagaimanapun, teorem biasanya diungkapkan dalam bahasa asli, bukan di dalam bentuk simbolik sepenuhnya, bertujuan membolehkan pembaca mampu menghasilkan pernyataan yang formal dari yang tidak formal. Selain itu, ada hipotesis yang boleh difahami dalam konteks, bukan seperti yang tersurat dinyatakan. 
Menjadi perkara biasa dalam Matematik untuk memilih beberapa hipotesis yang dianggap benar dalam teori yang diberi, dan kemudian isytiharkan yang teori itu terdiri dari semua teorem yang boleh dibuktikan menggunakan hipotesis-hipotesis tersebut sebagai andaian. Dalam kes ini, hipotesis-hipotesis yang membentuk asas ini dikenali sebagai aksiom (atau postulat) kepada teori. Bidang matematik yang dikenali sebagai teori bukti mengkaji sistem-sistem aksiom formal dan bukti-bukti yang boleh dilakukan di dalamnya. 

Sebuah peta satah dengan lima warna yang mana tiada dua bahagian yang sama warna bertemu. Ia sebenarnya boleh diwarnakan dengan hanya empat warna. Teorem empat warna menyatakan yang pewarnaan sebegini adalah munasabah untuk setiap peta satah, tetapi setiap bukti yang diketahui adalah melibatkan pengiraan berkomputer yang terlalu panjang untuk diperiksa secara manual.
Beberapa teorem akan dianggap "remeh" jika ia mengikut dari definisi, aksiom, dan teorem yang lain secara ketara dan tidak mengandungi sebarang pemahaman yang mengejutkan. Ada juga teorem yang dianggap "dalam": bukti-buktinya mungkin panjang dan sukar, melibatkan bidang matematik yang berbeza dari pernyataan teorem itu sendiri, atau menunjukkan hubungan yang mengejutkan antara bidang-bidang yang berbeza sama sekali dalam matematik. Sebuah teorem mungkin mudah dinyatakan tetapi mendalam. Contoh terbaik adalah teorem terakhir Fermat, dan terdapat banyak contoh dalam bidang matematik yang lain seperti teori nombor dan kombinatorik. 
Terdapat teorem lain yang buktinya diketahui tetapi tidak mudah dicatat. Contoh terkenal ialah teorem empat warna dan konjektur Kepler. Kedua-dua teorem ini dibuktikan benar hanya selepas melibatkan proses pengiraan berkomputer. Pada awalnya, ramai ahli matematik tidak dapat menerima bukti dalam bentuk ini, tetapi ia telah diterima dengan meluas kemudiannya. Meskipun begitu, banyak teorem matematik sebenarnya boleh diselesaikan dengan pengiraan yang lebih ringkas, termasuklah identiti polinomial, trigonometri, dan hipergeometri.

Hubungan dengan bukti
---------------------

Konsep Teorem adalah sangat berkait rapat dengan konsep bukti. Sememangnya, teorem akan menjadi benar hanya setelah ia memiliki bukti. Jadi, untuk membentuk satu pernyataan matematik menjadi sebuah teorem, kewujudan satu penaakulan dari aksiom di dalam sistem (dan teorem lain yang telah terbina) kepada pernyataan yang diberi mesti ditunjukkan. 
Walaupun bukti adalah perlu untuk membentuk sebuah teorem, ia biasanya tidak dianggap sebahagian dari teorem. Dan walaupun lebih dari satu bukti diketahui untuk sesebuah teorem, cuma satu sahaja yang diperlukan untuk mengesahkan teorem tersebut. Teorem Pythagoras dan hukum kesalingan kuadratik merupakan antara teorem yang memilki bukti-bukti yang paling banyak.

Teorem dalam logik
------------------

Logik terutamanya dalam bidang teori bukti, menganggap teorem sebagai satu pernyataan (dipanggil **formula** atau **formula yang dibentuk dengan baik**) kepada bahasa formal. Satu set untuk **hukum deduksi**, juga dikenali sebagai **hukum transformasi** atau hukum pentaabiran, mesti diberikan. Hukum deduksi ini menyatakan dengan tepat bila formula dapat diterbitkan daripada satu set premis. 
Set hukum penerbitan yang berlainan memberi ruang wujudnya interpretasi yang berbeza tentang apa maksudnya untuk sebuah ungkapan menjadi teorem. Beberapa hukum penerbitan dan bahasa formal adalah bertujuan untuk penaakulan matematik; contoh biasanya ialah penggunaan logik tertib pertama. Sistem deduktif yang lain menerangkan penulisan semula istilah, seperti hukum pengurangan untuk λ kalkulus. 
Takrifan teoram sebagai elemen bahasa formal memberi ruang kepada keputusan-keputusan dalam teori bukti yang mengkaji struktur bukti formal dan struktur formula yang boleh dibuktikan. Keputusan yang paling terkenal ialah teorem ketaklengkapan Gödel; dengan mewakili teorem tentang teori nombor asas sebagai ungkapan dalam bahasa formal. dan kemudiannya mewakili bahasa ini di dalam teori nombor itu sendiri, Gödel membina contoh-contoh pernyataan yang tidak boleh dibuktikan dan tidak dipersetujui dari pengaksiomisasi teori nombor.

Hubungan dengan teori saintifik
-------------------------------

Teorem dalam matematik dan teori dalam sains pada dasarnya adalah berbeza dalam epistemologi. Teori saintifik tidak boleh dibuktikan; ciri utamanya ialah kebolehpalsuan, bererti, ia membuat ramalan tentang alam sekitar yang boleh diuji dengan eksperimen. Sebarang percanggahan antara ramalan dan eksperimen menunjukkan kesalahan teori saintifik, atau sekurang-kurangnya menghadkan ketepatan atau kesahihannya. Teorem matematik, sebaliknya adalah pernyataan formal yang abstrak sepenuhnya: bukti teorem tidak boleh melibatkan eksperimen atau bukti empirik sepertimana ia digunakan untuk menyokong teori santifik. 

Konjektur Collatz: salah satu cara untuk menunjukkan betapa kompleksnya ia, adalah dengan menambah lelaran dari nombor asli kepada nombor kompleks.
Walau bagaimanapun, penemuan teorem matematik juga melibatkan sedikit empirisisme dan pengumpulan data. Dengan membentuk paten, kadangkala penggunaan komputer yang berkuasa membolehkan ahli matematik mendapat idea tentang apa yang hendak dibuktikan, dan dalam sesetengah kes merancang bagaimana melakukan bukti. Sebagai contoh, konjektur Collatz telah disahkan untuk nilai permulaan sehingga 2.88 × 1018. Hipotesis Riemann telah disahkan untuk 10 trilion sifar yang pertama dalam fungsi zeta. Namun, kedua-dua pernyataan ini dianggap tidak dibuktikan. 
Bukti sebegini tidak membentuk bukti matematik. Contohnya, konjektur Mertens adalah satu pernyataan tentang nombor asli yang sekarang diketahui salah, namun tiada contoh penyangkal tersurat (satu nombor asli *n* di mana fungsi Merten *M*(*n*) bersamaan atau melebihi punca kuasa dua *n*) yang diketahui: semua nombor kurang daripada 1014 memiliki sifat Merten, dan nombor terkecil yang tidak memiliki sifat ini cuma diketahui kurang dari eksponen 1.59 × 1040, yang bersamaan 10 kuasa 4.3 × 1039. Contoh; oleh kerana jumlah partikel dalam alam semesta secara umumnya dianggap kurang daripada 10 kuasa 100 (googol), tiada harapan untuk mencari satu contoh penyangkal tersurat dengan carian habisan pada masa kini. 
Perlu diingat yang perkataan "teori" juga digunakan dalam matematik untuk merujuk kepada badan aksiom-aksiom matematik, definisi dan teorem, seperti dalam, contohnya teori kumpulan. Terdapat juga "teorem" dalam sains, terutamanya fizik dan dalam kejuruteraan, tetapi ia sering mempunyai pernyataan dan bukti di mana andaian fizikal dan intuisi memainkan peranan yang penting; aksiom fizikal di mana "teorem" ini didasarkan adalah boleh menjadi palsu.

Peristilahan
------------

Teorem sering dinyatakan dalam istilah-istilah lain: label "teorem" dikhaskan untuk keputusan-keputusan yang terpenting, sementara keputusan yang kurang penting atau berbeza, dinamakan dengan peristilahan yang lain.

* ***Proposisi*** ialah satu pernyataan yang tidak berkaitan dengan sebarang teorem khas. Istilah ini kadang-kadang membawa konotasi satu pernyataan dengan bukti yang ringkas, atau satu akibat asas definisi yang perlu dinyatakan, tetapi sangat jelas tidak memerlukan sebarang bukti. Perkataan proposisi kadangkala digunakan untuk bahagian pernyataan untuk *teorem*.
* ***Lema*** ialah "pra-teorem", satu pernyataan yang membentuk sebahagian dari bukti untuk teorem yang lebih besar. Perbezaan antara teorem dan lema ialah secara arbitrari, kerana keputusan utama seorang ahli matematik mungkin menjadi minor kepada yang lain. Contohnya lema Gauss dan lema Zorn menjadi sangat menarik sehingga beberapa penulis membentang lema nominal itu tanpa menggunakannya dalam membuktikan teorem.
* ***Korolari*** ialah satu proposisi yang mengikut dengan bukti yang sedikit atau tiada langsung dari satu teorem lain atau definisi. Iaitu, proposisi *B* ialah korolari untuk proposisi *A* jika *B* boleh dideduksi dari *A*.
* ***Dakwaan*** ialah keputusan bebas yang menarik, yang mungkin sebahagian dari bukti untuk pernyataan yang lain.

Terdapat istilah lain yang jarang digunakan yang secara konvensional digabung pada pernyataan yang terbukti, jadi sesetengah teorem dirujuk dengan nama bersejarah atau nama biasa. Contohnya:

* ***Identiti***, digunakan untuk teorem yang menyatakan satu kesamaan antara dua ungkapan matematik. Antara contohnya ialah, Identiti Euler dan Identiti Vandermonde.
* ***Petua***, digunakan untuk sesetengah teorem seperti petua Bayes dan petua Cramer, yang membina formula-formula berguna.
* ***Hukum***. Antara contohnya ialah hukum bilangan besar, hukum kosinus dan hukum sifar-satu Kolmogorov.
* ***Prinsip***. Antara contohnya ialah prinsip Archimedes, prinsip Harnack, prinsip batas atas terkecil, prinsip petak isih.
* ***Penukaran*** ialah teorem songsang. Contohnya, jika satu teorem menyatakan yang A berkaitan dengan B, penukarannya akan menyatakan yang B berkaitan dengan A. Penukaran sesebuah teorem tidak semestinya sentiasa benar.

Beberapa teorem yang terkenal mempunyai nama yang lebih idiosinkratik. **Algoritma pembahagian** ialah satu teorem yang mengungkapkan hasil pembahagian dalam nombor asli dan gegelang yang lebih umum. **Paradoks Banach–Tarski** ialah satu teorem dalam teori ukuran yang menjadi paradoks dalam erti kata ia bertentangan dengan intuisi biasa tentang isipadu dalam ruang tiga dimensi. 
Satu pernyataan yang dipercayai benar tetapi tidak dibuktikan, dikenali sebagai ***konjektur*** (atau kadangkala disebut **hipotesis**, tetapi dengan maksud yang berbeza dari apa yang dibincangkan di atas). Untuk menjadi konjektur, pernyataan mesti biasanya dicadangkan secara umum, di mana nama pencadang akan digabungkan pada konjektur tersebut, sepertimana konjektur Goldbach. Konjektur lain yang terkenal ialah konjektur Collatz dan hipotesis Riemann.

Tradisi
-------

Dianggarkan terdapat suku juta teorem telah dibuktikan setiap tahun. Pengelasan kumpulan ringkas terbatas dianggap oleh sesetengah pihak sebagai bukti terpanjang bagi teorem; ia terdiri dari sepuluh ribu muka surat dalam 500 artikel jurnal oleh beberapa orang penulis. Kesemua kertas kerja ini dipercayai memberi bukti yang lengkap, dan terdapat beberapa projek yang sedang dijalankan untuk memendekkan dan meringkaskan bukti ini. Teorem lain dalam jenis ini ialah teorem empat warna janaan komputer yang terlalu panjang untuk dibaca oleh manusia. Walaupun ia merupakan bukti teorem yang sangat panjang, pernyataannya boleh difahami dengan mudah oleh orang biasa.

Lihat juga
----------

* Pentaabiran
* Daftar Teorem
* Teorem meta

Nota
----

1. ↑  Bagaimanapun, kedua-dua Teorem dan teori adalah sejenis siasatan. Lihat Heath 1897 Pengenalan, peristilahan Archimedes, p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"
2. ↑  Lihat Teorem Dalam, dipetik di bawah.
3. ↑  Petkovsek et al. 1996.
4. ↑  Perkataan *hukum* boleh juga merujuk kepada aksiom, petua pentaabiran, atau, dalam teori kebarangkalian, satu taburan kebarangkalian.
5. ↑  Hoffman 1998, p. 204.
6. ↑  Teorem yang sangat besar: pengelasan kumpulan ringkas terbatas, Richard Elwes, Plus Magazine, Isu 41 Disember 2006.

Rujukan
-------

* Heath, Sir Thomas Little (1897), *The works of Archimedes*, Dover, dicapai pada 2009-11-15
* Hoffman, P. (1998). *The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth*. Hyperion, New York.
* Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). *"A = B"*. A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. External link in `|title=` (bantuan)CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Pautan luar
-----------

* Eric W. Weisstein, *Deep Theorem* di MathWorld.
* Eric W. Weisstein, *Theorem* di MathWorld.
* Theorem of the Day