|  |
| --- |
| **Секанс** |
| y(x)=sec(x) |
| *Основни особини* |
| Домен |  (-π/2+kπ,π/2+kπ), *k* од *Z* |
| Кодомен |  (-∞,1] и [1,∞)  |
| Паритет |  парна  |
| Периода | *2π* |
| *Одредени вредности* |
| Асимптота |  (k + 1/2)π  |
| *Други особини* |
| Извод |  sec²(x)/cosec(x)  |
| 
 |

**Секанс** – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.

Дефиниција
----------

Дефиницијата гласи:

{\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}}
Врската со косеканс е

{\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}
додека *Питагоровиот идентитет*, идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е

{\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}
Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.

|  |
| --- |
| {\displaystyle \operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{b}}}
Тригонометриски триаголник |

На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина

|  |
| --- |
| {\displaystyle \sec \theta ={\overline {OB}}}
Првиот квадрант од единична кружница |

*Некои карактеристични вредности*| степени | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| радијани | 0 | {\displaystyle \pi /6} | {\displaystyle \pi /4} | {\displaystyle \pi /3} | {\displaystyle \pi /2} |
| {\displaystyle \sec \theta \,} | {\displaystyle 1\;} | {\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}} | {\displaystyle {\sqrt {2}}} | {\displaystyle 2\;} | {\displaystyle \pm \infty \;} |

Претставување на функцијата
---------------------------

Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката {\displaystyle x=0}

{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
Односно обопштено

{\displaystyle \sec x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ за }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
каде {\displaystyle E\_{k}\!} во формулата е Ојлерови броеви.

Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:

{\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

Особини на функцијата
---------------------

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

* Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви {\displaystyle \mathbb {R} }, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
* Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1
{\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }
* Парност

функција е парна
{\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}
* Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π
{\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}
* Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти
* Нули на функцијата

функцијата нема нули
* Монотоност на функцијата
* Екстреми

нема глобален екстрем
локален минимум
{\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
локален максимум
{\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
* Конвексност и конкавност на функцијата

функција е конвексна во интервалот
{\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата е конкавна во интервалот
{\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
* Превојни точки

функцијата нема превојни точки
#### Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}}
#### Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е 

{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}}

Историја
--------

Скратеницата ***sec*** првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.

Наводи
------

1. ↑  „секанс" — Дигитален речник на македонскиот јазик
2. ↑  Риста Карљиковић, *Геометрија за више разреде средњих школа*, трећи део, тригонометрија, издање књижарнице Рајковића и Ђурковића, Београд-Теразије, 1931
3. ↑  Миодраг Петковић, Љиљана Петковић, *Математички времеплов, прилози за историју математике*, ЗМАЈ, Нови Сад, 2006

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Секанс" на Ризницата ? |

* Функцијата секанс на wolfram.com