**Делумната корелација** („парцијална корелација") го покажува степенот на праволиниското слагање на варијации на зависната променлива и едната независна променлива, при што влијанието на другата независна променлива е исклучено.

Формална дефиниција
-------------------

Формално, делумната корелација помеѓу Х и Y за дадена група на n контролни променливи Z={Z1,Z2,…Zn}, запишано ρXY•Z, е корелација помеѓу резидуалите RX и RY кои произлегуваат од линеарната регресија од X со Z и од Y со Z,соодветно. Всушност, корелацијата од прв ред (кога n=1) е ништо друго туку разлика помеѓу корелација и производот од преносливите корелации поделени со производот од коефициентите на отуѓување на преносливите корелации.Коефициентот на отуѓување, и неговата врска со заедничката варијанса преку корелацијата се достапни во Гилфорд(1973, стр.344-345).

Пресметка
---------

### Со користење на линеарна регресија

Едноставен начин да се пресмета делумната корелација за одредени податоци е да се решат проблемите со две поврзани линеарни регресии, да се најдат резидуалите, и да се пресмета корелација помеѓу нив.Ако запишеме xi, yi и zi примероци од одредени заеднички веројатности претставени преку X, Y и Z, решавањето на проблемот со линеарната регресија се сведува на пронаоѓање на n-димензиони вектори   

{\displaystyle \mathbf {w} \_{X}^{\*}=\arg \min \_{\mathbf {w} }\left\{\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} \_{i}\rangle )^{2}\right\}}
{\displaystyle \mathbf {w} \_{Y}^{\*}=\arg \min \_{\mathbf {w} }\left\{\sum \_{i=1}^{N}(y\_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} \_{i}\rangle )^{2}\right\}}
со тоа што N ќе биде бројот на примероци на скаларниот производ помеѓу векторите v и w. Имајте на ум дека во некои имплементации регресијата вклучува константни термини така што матрицата ќе има дополнителна колона од нив.   

Тогаш резидуалите се:  

{\displaystyle r\_{X,i}=x\_{i}-\langle \mathbf {w} \_{X}^{\*},\mathbf {z} \_{i}\rangle }
{\displaystyle r\_{Y,i}=y\_{i}-\langle \mathbf {w} \_{Y}^{\*},\mathbf {z} \_{i}\rangle }
И примерокот за делумна корелација е

{\displaystyle {\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {N\sum \_{i=1}^{N}r\_{X,i}r\_{Y,i}-\sum \_{i=1}^{N}r\_{X,i}\sum \_{i=1}^{N}r\_{Y,i}}{{\sqrt {N\sum \_{i=1}^{N}r\_{X,i}^{2}-\left(\sum \_{i=1}^{N}r\_{X,i}\right)^{2}}}~{\sqrt {N\sum \_{i=1}^{N}r\_{Y,i}^{2}-\left(\sum \_{i=1}^{N}r\_{Y,i}\right)^{2}}}}}.}
**Со користење на рекурзивна формула:**  

Може да биде пресметковно скапо да се решат проблемите со линеарна регресија. Всушност,n-тиот дел од делумната корелација(со |Z| = n) може лесно да се пресмета од третиот (n - 1) дел на делумната корелација. Нултиот дел од делумната корелација ρXY•Ø е дефиниран да биде редовен коефициент на корелација ρXY.  

Таа го зафаќа ,за секој {\displaystyle Z0=Z}:  

{\displaystyle \rho \_{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho \_{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z\_{0}\}}-\rho \_{XZ\_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z\_{0}\}}\rho \_{Z\_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z\_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho \_{XZ\_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z\_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho \_{Z\_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z\_{0}\}}^{2}}}}}.}
Наивно спроведување на оваа пресметка, како рекурзивен алгоритам дава време за експоненцијална комплексност. Како и да е, оваа пресметка има проблеми со преклопување, како што се користење на динамично програмирање или едноставно кеширање на резултатите од рекурзивните повици на приносите на комплексноста{\displaystyle O(n^{3})}.  

Имајте на ум во случај кога Z е една променлива, ова се сведува на:

{\displaystyle \rho \_{XY\cdot Z}={\frac {\rho \_{XY}-\rho \_{XZ}\rho \_{ZY}}{{\sqrt {1-\rho \_{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho \_{ZY}^{2}}}}}.}
### Со користење на матрична инверзија

Во {\displaystyle O(n^{3})} , друг пристап којшто овозможува сите делумни корелации да бидат пресметани помеѓу било кои две променливи Xi и Xj во збир од V од кардиналните n, со оглед на сите останати {\displaystyle V{\begin{Bmatrix}Xi,Xj\end{Bmatrix}}} ,ако корелационата матрица (или алтернативната коваријансна матрица) Ω = (ωij),каде што ωij = ρXiXj,е инверзна. Ако го дефинираме P = Ω−1, ќе добиеме:

{\displaystyle \rho \_{X\_{i}X\_{j}\cdot \mathbf {V} \setminus \{X\_{i},X\_{j}\}}=-{\frac {p\_{ij}}{\sqrt {p\_{ii}p\_{jj}}}}.}

Интерпретација
--------------

### Геометриска

Нека три променливи X, Y, Z (каде x e независна променлива, y e зависна променлива, и z e контролната или екстра променлива) бидат избрани од заедничка дистрибутивна веројатност преку n променливи V.Понатаму нека, vi, 1 ≤ i ≤ N биде N , n-димензионални примероци преземени од заедничката дистрибутивна веројатност преку V.Потоа ги вклучуваме N-димензионалните вектори x(формиранo од страна на последователните вредности на X преку примероците), y( формиранo преку вредностите на Y) и z(формирано преку вредностите на Z). Може да се согледа дека резидуалите RX кои произлегуваат од линеарната регресија на X користејќи го Z, ако биде разгледуван како N-димензионален вектор {\displaystyle r\_{x}}, којшто има нула скаларен производ со векторот z генериран од Z.  

Истото се однесува на резидуалите RY генерирајќи го векторот {\displaystyle r\_{y}}. Посакуваната делумна корелација е косинусна функција од аголот φ помеѓу проекциите rX и rY од x и y, соодветно, кон хипер рамнината и нормално кон z.

### Како условен тест на независност

Со претпоставката дека сите вклучени променливи се многуваријантни Гаусивни, делумната корелација ρXY•Z е нула ако и само ако X e условно независна од Y за даденo Z. Ова својство не се користи за во општ случај. За да се тестира дали примерокот за делумна корелација исчезнува ја користиме Фишеровата Z-трансформација за делумна корелација:  

{\displaystyle z({\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} })={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} }}{1-{\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} }}}\right).}
Нулта хипотеза е {\displaystyle H\_{0}:{\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} }=0} , и е тестирана наспроти двостраната алтернативна хипотеза {\displaystyle H\_{A}:{\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} }\neq 0}. Ја одбиваме нулта хипотеза *H*0 со ниво на значајност α ако:  

{\displaystyle {\sqrt {N-|\mathbf {Z} |-3}}\cdot |z({\hat {\rho }}\_{XY\cdot \mathbf {Z} })|>\Phi ^{-1}(1-\alpha /2),}
Каде што Φ(•) е кумулативно дистрибутивна функција на Гаусовата распределба со средна вредност нула и стандардно отстапување еден, и N како големина на примерокот.Забележете дека оваа Z-трансформација е приближна и дека вистинската распределба на коефициент на корелација кај примерокот(делумен) не е јасна. Сепак точниот t-тест е заснован врз основа на комбинација од коефициентот на делумната регресија, делумниот коефициент на корелација и делумните разлики кои се на располагање. Распределбата на примерокот со делумна корелација бил опишан од страна на Фишер.

### Полуделумна корелација (дел корелација)

Полуделумната корелација е слична на статистика на делумната корелација. Двете мерки на варијанса по одредени фактори се контролирани за, но за да се пресмета полуделумната корелација има трета променлива константа или за X или за Y, додека за делумната корелација има трета променлива и за двете. Полуделумната корелација мери единствена и заедничка варијанса додека делумната корелација мери единствена варијанса. Полуделумната корелација може да се гледа како попрактична и релевантна, бидејќи таа е прилагодена со (т.е во однос на) вкупниот варијабилитет на зависната променлива. Спротивно на тоа, таа е помалку теоретски корисна, бидејќи таа е помалку прецизна за уникатниот придонес на независната променлива. Иако тоа може да изгледа парадоксално, полуделумната корелација од X со Y е секогаш помала или еднаква на делумната корелација од X со Y.

### Употреба во анализа на временските низи

Во анализата на временските низи, функцијата на делумната автокорелација (понекогаш функција на делумната корелација) на временски редови е дефинирана,за заостанат *h*, како   

{\displaystyle \phi (h)=\rho \_{X\_{0}X\_{h}\cdot \{X\_{1},\dots ,X\_{h-1}\}}.}

Наводи
------

1. ↑  Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија", четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје