Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна ***a*** и пократката страна ***b***, кога е поставена во прилог на квадратот на должината ***а***, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна ***a + b*** и пократката страна ***a***. Ова го илустрира односот на {\displaystyle }.
Во математиката две величини се во **златниот** однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините *a* и *b* и *a* > *b* > 0,

{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,}
грчката буква фи ({\displaystyle \varphi } ili {\displaystyle \phi }) е константна. Неговата вредност е:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339887\ldots .}
Златниот однос се нарекува и  **златен пресек** (латински: *sectio aurea*).. Други имиња вклучуваат **екстремен однос**, **среден пресек**, **златен сразмер**, **златен број**. **божествен пресек**. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек".

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи phyllotaxis (спирално сортирање листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

Пресметка
---------

Две величини *a* и *b* се во златниот однос *φ* ако

{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}
Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}
Затоа,

{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}
Множење со*φ* дава

{\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}
што може да се изрази како

{\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}
Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots }
и

{\displaystyle \varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0,6180\,339887\dots }
Бидејќи *φ* е однос меѓу двете позитивни вредности *φ* е секогаш позитивна вредност:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots } .

Алгебра
-------

### Ирационалнот

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

#### Контрадикција на израз во најниска вредност

Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.
Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;
целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.
Ако некој број се нарекува *n* а подолгиот дел *m*, тогаш втората изјава станува:

*n* спроти *m* , исто како што и *m* спроти *n* − *m*,
или, во алгебрата:

{\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (\*)}
Да се каже дека *φ* е рационално значи дека *φ* односите *n*/*m* каде *n* и *m* се integers. Ние може да се каже дека *n*/*m* имаат најниски вредности, и дека *n* и *m се* позитивни броеви. Но, ако дел *n*/*m* ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (\*) до врвот равенката *m*/(*n* − *m*), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека *φ* е рационално.

#### Извод од ирационалноста на бројот √5

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако {\displaystyle } е рационално, и {\displaystyle } е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

### Најмал полином

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

{\displaystyle x^{2}-x-1.}
Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

### Роднина на златниот пресек

Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1

{\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}
Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b*/a*), е понекогаш познат под името *роднина на златниот пресек*. Се означува со голема буква Фи (**{\displaystyle \Phi }**):

{\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}

Поврзано
--------

* Златен правоаголник
* Сребрен пресек

Наводи
------

1. 1 2  OEIS A001622
2. ↑  „Golden Ratio Conjugate" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Ирационални броеви |
| --- |
|  |
| 
* Хајтинов (Ω)
* Лиувилов
* Простоброen (ρ)
* Омега
* Каенов
* Логаритам од 2
* Гаусов (G)
* Дванаесетти корен од 2
* Апериев (*ζ*(3))
* Пластичен (ρ)
* Квадратен корен од 2

* Суперзлатен пресек (ψ)
* Ердеш-Борвејнов (E)
* Златен пресек (φ)
* Квадратен корен од 3
* Квадратен корен од 5
* Сребрен пресек (*δ**S*)
* Квадратен корен од 6
* Квадратен корен од 7
* Ојелров (e)
* Пи (π)

 |  |
|  |
| 
* Шизофрен
* Трансцендентен
* Тригонометриски

 |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85055763
* GND: 4021529-5
* BNF: cb11932633k (податоци)
* NDL: 00568792
* NKC: ph327607
* BNE: XX537288

 |

 |