**Гранична вредност на функција** (**лимес**) — еден од основните и најважни поими кај математичките функции. Иако неговите концептуални основи лежат во доменот на математичката анализа, поимот гранична вредност е мошне битен и во останатите математички дисциплини.

Почесто наместо изразот **гранична вредност на функција** се користи изразот **лимес на функција**, од лат. *limes* - граница. Двата поима се еквивалентни и подеднакво прифатени во македонската математичка терминологија. Поретко се среќава изразот *граница*.

Приближување
------------

При проучувањето на граничните вредности на функциите во некоја рака се работи *приближно*. Ова не значи дека резултатите кои се добиваат се приближни, туку дека точниот резултат се добива како своевидна математичка последица на мноштво приближни вредности. Ова никако не треба да се меша со теоријата на веројатност!

На пример, да ја разгледаме функцијата {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}. Би сакале да знаеме како се однесуваат вредностите на функцијата кога аргументот (а тоа е *x*) расте. Така:

|  |  |
| --- | --- |
| **x** | **f(x)** |
| 1 | 1 |
| 2 | 0,25 |
| 5 | 0,04 |
| 10 | 0,01 |
| 300 | 0,00001 |
| 1.000.000 | 0,00000000001 |

Од табелата јасно може да се забележи дека со растење на аргументот, вредноста на функцијата сѐ повеќе се приближува до нула. Имајќи ги на ум сите можни вакви проценки, може да заклучиме дека ако **аргументот неограничено расте**, т.е. математички кажано - **тежи (се стреми) кон бесконечност**, тогаш вредноста на функцијата се стреми кон нула, но никогаш за никоја вредност на аргументот нема да биде точно нула. Во тој случај пак се вели дека нулата е гранична вредност на функцијата кога аргументот тежи кон бесконечност.

Формална дефиниција
-------------------

Кошиевата, **ε-δ** дефиниција на граничната вредност на функција е следнава: нека {\displaystyle [a,b]} е интервал, нека {\displaystyle x\_{0}\in [a,b]} е произволна точка и нека {\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x\_{0}\}\to \mathbb {R} } е реална функција. Оваа функција има гранична вредност {\displaystyle A} во точката {\displaystyle x\_{0}} ако за секој {\displaystyle \epsilon >0}, постои {\displaystyle \delta >0} така што од:

{\displaystyle \left|x-x\_{0}\right|<\delta }
следи дека важи:

{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\epsilon }
под услов {\displaystyle x\in [a,b]\setminus \{x\_{0}\}}. Тогаш пишуваме:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=A}
Ако функцијата е непрекината во точката {\displaystyle x\_{0}}, тогаш важи:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=f(x\_{0})}
Ова не мора да важи ако функцијата не е непрекината.

Постојат две секундарни дефиниции на лимесот на функција (од кои второнаведената е всушност *критериум* за постоење на лимесот):

* **со околини:** нека {\displaystyle P} е интервал и нека {\displaystyle x\_{0}\in P}. Функцијата {\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x\_{0}\}\to \mathbb {R} } има лимес {\displaystyle L} во точката {\displaystyle x\_{0}} ако за секоја околина {\displaystyle V} на точката {\displaystyle L}, постои околина {\displaystyle U} точката {\displaystyle x\_{0}} така што важи:

{\displaystyle f\left(U\cap \left(P\setminus \{x\_{0}\}\right)\right)\subseteq V}
* **со низи:** нека {\displaystyle P} е интервал, нека {\displaystyle x\_{0}\in P} и нека е зададена функцијата {\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x\_{0}\}\to \mathbb {R} }. За функцијата постои лимесот {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)} ако за секоја низа {\displaystyle (x\_{n})} во {\displaystyle P\setminus \{x\_{0}\}}, од

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x\_{n}=x\_{0}}
следи:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f(x\_{n})=f(x\_{0})}

Својства
--------

Граничната вредност, доколку постои е **еднозначно определена** (единствена) и, во поглед на операциите, е прилично „флексибилна". Точни се равенствата:

* {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}(k\cdot f(x))=k\cdot \lim \_{x\to x\_{0}}f(x),\,\,\ k\in \mathbb {R} }
* {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim \_{x\to x\_{0}}f(x)\pm \lim \_{x\to x\_{0}}g(x)}
* {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\left[\lim \_{x\to x\_{0}}f(x)\right]\cdot \left[\lim \_{x\to x\_{0}}g(x)\right]}
* {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \_{x\to x\_{0}}f(x)}{\lim \_{x\to x\_{0}}g(x)}},\,\,\ g(x)\neq 0,\,\,\ (\forall x)}

под услов да постои десната страна од секое од овие три равенства.

При одредени услови, заради полесно пресметување на лимесот, може да се воведе нова променлива, т.е. да се изврши смена на променливите. Формално:

Нека {\displaystyle [a,b]} и {\displaystyle [c,d]} се интервали и нека {\displaystyle x\_{0}\in [a,b]} и {\displaystyle t\_{0}\in [c,d]}. Нека се дефинирани функции: {\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x\_{0}\}\to \mathbb {R} } и {\displaystyle h:[c,d]\setminus \{t\_{0}\}\to [a,b]\setminus \{x\_{0}\}}. Ако постојат лимесите:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=L} и
{\displaystyle \lim \_{t\to t\_{0}}h(t)=x\_{0}}
тогаш важи:

{\displaystyle \lim \_{t\to t\_{0}}f(h(t))=L}

Пресметување. Позначајни лимеси. Лопиталово правило
---------------------------------------------------

Не постои строг критериум според кој се пресметува лимесот, но постапката треба да е таква што на крајот, почетниот лимес треба да се доведе до лимес чија вредност е позната или очигледна. Сите меѓучекори се сведуваат на математичка манипулација на изразот, наведените својства, некои правила и, многу често, употреба на трикови. Кон пресметување на лимесот според дефиниција се пристапува многу ретко. Најчесто од интерес е да се испитува граничната вредност во точките во кои функцијата не е непрекината, бидејќи лимесот на функција во точка во која таа е непрекината е еднаков на вредноста на функцијата во таа точка.

Следниве неколку лимеси се сметаат за „*познати*" при пресметувањето. Нивната вредност е дадена без доказ.

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {x}{\sin {x}}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\mbox{e}}}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}={\mbox{e}}}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {{\mbox{ln}}(1+x)}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\mbox{ln}}a,\,\,\ a>0,a\neq 1}

специјално, ако {\displaystyle a={\mbox{e}}}, тогаш:
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {{\mbox{e}}^{x}-1}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {(1+x)^{k}-1}{x}}=k,\,\,\ k\in \mathbb {R} ,k\neq 0}

Уште една важна и мошне корисна алатка при пресметувањето лимеси е правилото на Лопитал (Guillaume François Antoine de l'Hôpital). Неформално, правилото е следново: ако при пресметување на лимес од количник на функции ( **f** и **g** ) се добива неопределен израз: {\displaystyle {\frac {0}{0}}} или {\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}, тогаш лимесот може да се пресмета преку изводите на функциите и важи:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f''(x)}{g''(x)}}=...}

Примери
=======

* **Пример 1:** да се пресмета: {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{{\sqrt {x-1}}-{\sqrt {a-1}}}},\,\,\ a>1}

Ако „замениме" **x=a** се добива неопределен израз од видот {\displaystyle {\frac {0}{0}}}. Затоа постапуваме:

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{{\sqrt {x-1}}-{\sqrt {a-1}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}}{{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}}}=\lim \_{x\to a}{\frac {(x^{2}-a^{2})\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)}{x-1-a+1}}=}

{\displaystyle =\lim \_{x\to a}{\frac {(x-a)(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)}{x-a}}=\lim \_{x\to a}\left[(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)\right]=4a{\sqrt {a-1}}}

* **Пример 2:** да се пресмета: {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x{\mbox{e}}^{-x}}

Изразот е неопределен, од типот: {\displaystyle 0\cdot \infty }, затоа лимесот ќе го пресметаме со помош на Лопиталовото правило:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x{\mbox{e}}^{-x}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {x}{{\mbox{e}}^{x}}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {(x)'}{\left({\mbox{e}}^{x}\right)'}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {1}{{\mbox{e}}^{x}}}={\frac {1}{\lim \_{x\to \infty }{\mbox{e}}^{x}}}=0}

* **Пример 3:** да се пресмета: {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}}

Овде ќе дадеме еден **класичен** трик при пресметувањето на лимесите; имено ќе го употребиме равенството:

{\displaystyle x={\mbox{e}}^{\ln {x}}}, или запишано поинаку: {\displaystyle x=\exp {\ln {x}}}
Тогаш: {\displaystyle {\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}=\exp {\left[\ln {\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}}\right]}=\exp {\left[{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\cos {x}}\right]}=\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}}

Имајќи предвид дека функцијата {\displaystyle \exp {x}={\mbox{e}}^{x}} е непрекината, имаме:

{\displaystyle L=\lim \_{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\lim \_{x\to 0}\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}=\lim \_{x\to 0}\exp {\frac {\ln {(1+\cos {x}-1)}}{x^{2}}}=}
{\displaystyle =\lim \_{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{\cos {x}-1}}\right]}=\lim \_{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}=}
{\displaystyle =\exp {\left[\lim \_{x\to 0}{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot \lim \_{x\to 0}{\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}}
Во првиот лимес ставаме смена: {\displaystyle t=\cos {x}-1}. Тогаш {\displaystyle t\to 0} кога {\displaystyle x\to 0}. Вториот лимес го трансформираме според тригонометрискиот идентитет:

{\displaystyle 2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1-\cos {x}}, т.е. {\displaystyle \cos {x}-1=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}
Така следи:

{\displaystyle L=\exp {\left[\lim \_{t\to 0}{\frac {\ln {(1+t)}}{t}}\cdot \lim \_{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}}
Првиот лимес е *единица*, имајќи го предвид петтиот лимес наведен кај позначајните лимеси. Значи се добива:

{\displaystyle L=\exp {\left[1\cdot \lim \_{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}=\exp {\left[(-2)\cdot \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\frac {4x^{2}}{4}}}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \lim \_{x\to 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}=}
{\displaystyle =\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim \_{x\to 0}{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}}
Ставаме смена: {\displaystyle u={\frac {x}{2}}}. Тогаш {\displaystyle u\to 0} кога {\displaystyle x\to 0}. Конечно се добива:

{\displaystyle L=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim \_{u\to 0}{\frac {\sin {u}}{u}}\right)^{2}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}\right]}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\mbox{e}}^{-1/2}}
Значи:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}={\mbox{e}}^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {\mbox{e}}}}}
Поврзано
--------

* Непрекинатост на функција
* Низа