**Равенка на сложени брзини** — тридимензионална равенка која се однесува на брзината на објекти во различни појдовни системи. Ваквите равенки важат за последователните Лоренцови трансформации, така што и тие се однесуваат на различни системи. Придужната сложена брзина е кинематски ефект познат како Томасовата прецесија, каде подоцнежните неколинеарни Лоренцови поттици стануваат еднакви на составот на ротацијата на координатниот систем и поттик.

Стандардните примени на равенките на сложени брзини вклучуваат: Доплерова смена, Доплерова навигација, аберација на светлината и завлекувањето на светлината во вода во движење набљудувани во Физовиот експеримент во 1851 година.

Историја
--------

Брзината на светлината во течност е побавна од брзината на светлината во вакуум и се менува ако течноста се движи заедно со светлината. Во 1851 година, Физо ја измерил брзината на светлината во течност, кој се движи паралелно на светлината, користејќи Мајкелсонов интерферометар. Резултатите на Физо не се согласувале со тогашните преовладувачки теории. Физо експериментално правилно го утврдил почетниот однос на ширењето на релативистичкиот точен закон за сложување на брзините запишан преку  *V*⁄*c* како што е опишано подолу. Физовите резултати ги довеле физичарите да ја прифатат емпириската важност на прилично незадоволителната теорија на Френел, дека течноста која се движи во однос на стационарениот етер *делумно* ја завлекува светлина со него, односно брзината е *c* + (1 -  1⁄*n*2)*V* наместо *c* + *V*, каде *c* е брзината на светлината во етерот, а *V* е брзината на течноста во однос на етерот.

Аберацијата на светлината, за која најлесно објаснување е релативистичката равенка на сложени брзини, заедно со Физовите резултати предизвикаа развој на теориите како што е Лоренцовата теорија за етерот на електромагнетизмот од 1892 година. Со воведувањето на специјалната релативност во 1905 година, прашањата кои го содржеа зборот етер беа, постепено со текот на годините, разрешени.

Галилеева релативност
---------------------

Галилео забележал дека личност на брод кој се движи со постојана брзина има претстава дека е во мирување кога ќе набљудува тело кое паѓа вертикално надолу. Галилео забележал дека од гледната точка на личноста која стои на брегот, движењето на телото кое паѓа надолу на бродот ќе биде комбинирано или пак на истото ќе биде додадено движењето на бродот. Па така гледано преку брзините може да се каже дека брзината на телото кое е во пад релативно на брегот е еднакво на брзината на тоа тело релативно на брдот плус брзината на бродот релативно на брегот.

Воопштено за три тела A (пр. Галилео), B (пр. брод), C (пр. тело кое е во пад на бродот) векторот на брзината **s** за C релативно на A (брзината на телото во пад што ја набљудува Галилео) е збирот од брзината **v** на C релативно на B (брзината на телото во пад релативно во однос на брегот) плус брзината **u** на B релативно на A (брзината на бродот релативно на брегот). Сложувањето тука е векторското сложување од векторската алгебра и резултантната брзина е вообичаено претставена со равенката:

{\displaystyle \mathbf {s} =\mathbf {v} +\mathbf {u} .}
Во класичната механика:{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {u} } може да се поврзат (користејќи истобројност) со истото потекло и вообичаено се прави тоа. Но по дефиниција тие се релативни брзини кои имаат различно потекло. Ова тврдење е важно при воопштувањето на специјалната релативност каде не важи истобројноста.

Светот на Галилео се состои од апсолутен време-простор и сложувањето на бзините е во согласност со Галилеевите трансормации. Релативистичкиот принцип се нарекува Галилеева релативност. Се раководи според Њутновата механика.

Специјална релативност
----------------------

Според теоријата на специјална релативност, во рамката на бродот има различен часовник и насока, и поимот на истовременост во насоката на движењето е променет, па сложениот закон за брзините е сменет. Оваа промена не се приметува кај малите брзини, но со зголемување на брзината кон брзината на светлината станува важна. Сложениот закон е исто така наречен **композиционен закон на брзините**. За колинеарни движења, брзината на мувата во однос на брегот е дадена со

{\displaystyle s={v+u \over 1+(vu/c^{2})}.}
Сложената равенка може да има алгебарски еквивалентен облик, која лесно може да се изведе со помош на принципот на постојаноста на брзината на светлината:

{\displaystyle {c-s \over c+s}=\left({c-u \over c+u}\right)\left({c-v \over c+v}\right).}
Светот во специјалната релативност се состои од Минковскиев простор и сложувањето на брзинитее цо согласност со Лоренцовите трансормации. Во специјалната теорија на релативноста Њутновата механика е променета во релативистичка механика.

Стандардна конфигурација
------------------------

Формулите за поттиците на стандардната конфигурација произлегуваат правопропорционално од диференцијалите на инверзните Лоренцови поттици во стандардната конфигурација. Ако 'прим' системот се движи со брзина {\displaystyle V} во позитивна {\displaystyle x} насока релативна на 'не-прим' системот, тогаш формулите се

{\displaystyle dx=\gamma \_{V}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma \_{V}\left(dt'+{\frac {V}{c^{2}}}dx'\right).}
Делејќи ги првите три равенки со четвртата,

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma \_{V}(dx'+vdt')}{\gamma \_{V}(dt'+{\frac {V}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma \_{V}(dt'+{\frac {V}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma \_{V}(dt'+{\frac {V}{c^{2}}}dx')}},}
или

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {dx'+vdt'}{dt'(1+{\frac {V}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}}')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma \_{V}dt'(1+{\frac {V}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma \_{V}dt'(1+{\frac {V}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}
следи

|  |
| --- |
| **Трансформација на брзината** (*Декартови компоненти*)
{\displaystyle v\_{x}={\frac {v\_{x}'+V}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}},\quad v\_{y}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v\_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}},\quad v\_{z}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v\_{z}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}}} |

Ако координатите се одбрани така што сите брзини да лежат на (заедничка) *x*-*y* рамнина, тогаш брзините може да се претстават како

{\displaystyle v\_{x}=v\cos \theta ,v\_{y}=v\sin \theta ,\quad v\_{x}'=v'\cos \theta ',\quad v\_{y}'=v'\sin \theta ',}
(Погледајте поларни координати) и се добива

|  |
| --- |
| **Трансформација на брзината** (*Поларни компонентни на рамнината*)
{\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}},\\\tan \theta &={\frac {v\_{y}}{v\_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v\_{y}'}{v\_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v'\sin \theta '}{v'\cos \theta '+V}}.\end{aligned}}} |

Детали за v
{\displaystyle {\begin{aligned}v&={\sqrt {v\_{x}^{2}+v\_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(v\_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})v\_{y}'^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}}={\frac {\sqrt {v\_{x}'^{2}+V^{2}+2v\_{x}'v+(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})v\_{y}'^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {v'^{2}\cos ^{2}\theta '+V^{2}+2Vv'\cos \theta '+v'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}v'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}\end{aligned}}}

Дадениот доказ е многу формален. Постојат и многу други докази кои се поточни, како следниот подолу.

Доказ користејќи 4-вектори и Лоренцови трансформациони матрици
Бидејќи релативистичката трансформација ги ротира просторот и времето меѓусебно исто како геометриската ротација во рамнината која ги ротира *x*- и *y*-оските, погодно е да се користат истите единици за просторот и времето, во спортивно ќе се пројавува единичен фактор на претворање низ релативистичките формули, како брзината на светлината. Во систем каде што должините и времињата се мерат со исти мерни единици, брзината на светлината е бездимензионална и еднаква на 1. Брзината тогаш се изразува како дел од брзината на светлината.

За да се најде релативистичкиот закон за трансформација, корисно е да се воведат четири-брзини *V* = (*V*0, *V*1, 0, 0) и *U* = (*U*0, *U*1, *U*2, *U*3). четири-брзините се дефинирани да бидат четири-вектори со релативистичка должина еднаква на 1, идно-насочена и тангента на светската линија на тело во времепросторот. Овде, *V*0 одговара на компонентата на времето и *V*1 на *x* компонентата на четири-брзините на телото набљудувани од бродот. Погодно е да се земе *x*-оската да биде насоката на движење на бродот и *y*-оската така што *x*–*y* рамнината се протега поради движењето на бродот и телото. Од ова произлегува дека неколку компоненти на брзините се нула; *V*2 = *V*3 = *U*3 = 0.

Обичната брзина е односот на стапката со која просторните координати растат во однос на стапката со која временската координата расте,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v\_{1},v\_{2},v\_{3})=(V\_{1}/V\_{0},0,0),\\\mathbf {u} &=(u\_{1},u\_{2},u\_{3})=(U\_{1}/U\_{0},U\_{2}/U\_{0},0).\end{aligned}}}
Бидејќи релативистичката должина *V* е 1, 

{\displaystyle V\_{0}^{2}-V\_{1}^{2}=1,}
следува 

{\displaystyle V\_{0}=1/{\sqrt {1-v\_{1}^{2}}}\ ,\quad V\_{1}=v\_{1}/{\sqrt {1-v\_{1}^{2}}}.}
Лоренцовите трансформациони матрици што го зголемуваат системот во мирување до четири-брзината *V* е

{\displaystyle {\begin{pmatrix}V\_{0}&V\_{1}&0&0\\V\_{1}&V\_{0}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}
Оваа матрица ја ротира временската векторска оска (1, 0, 0, 0) до (*V*0, *V*1, 0, 0) и сите негови колони се релативистички ортогонални едни на други што се дефинира како Лоренцова трансформација.

Ако телото се движи со четири-брзина*U* во системот на мирување и се зголеми со множење на горе наведената матрица, новата четири-брзина е *S* = (*S*0, *S*1, *S*2, *S*3),

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{0}&=V\_{0}U\_{0}+V\_{1}U\_{1},\\S\_{1}&=V\_{1}U\_{0}+V\_{0}U\_{1},\\S\_{2}&=U\_{2},\\S\_{3}&=U\_{3}.\end{aligned}}}
Делејќи со временската компонента *S*0 и со замена на компонентите на четири-векторите *U* и *V* во однос на компонентите на три-векторите **u** и **v** го дава релативистичкиот состав на законот како

{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{1}&={v\_{1}+u\_{1} \over 1+v\_{1}u\_{1}},\\s\_{2}&={u\_{2} \over (1+v\_{1}u\_{1})}{1 \over V\_{0}}={u\_{2} \over 1+v\_{1}u\_{1}}{\sqrt {1-v\_{1}^{2}}},\\s\_{3}&=0.\end{aligned}}}
Обликот на релативистичкиот закон на сложување може да се сфати како ефект на неуспехот на истовременоста да важи во далечината. За паралелната компонента, временската дилатација ја намалува брзината, контракцијата на должината ја зголемува и двата ефекта се поништуваат. Неуспехот на истовременост значи дека телото менува истовремени парчиња како проекција на **u** кон **v**. Бидејќи во овој ефект целосно се должи на временското режење, истиот фактор се множи со нормалната компонента, така што временската дилатација се множи со фактор  1⁄*V*0 = √(1 − *v*12).

Општа конфигурација
-------------------

Разложувањето на 3-брзината **v** во паралелни и нормални компоненти и пресметка на тие компоненти. Постапката за **v**′ е идентична.
Почнувајќи од изразот во координати за *V* паралелна на *x*-оската, изразите за нормални и паралелни компоненти може да се вметнат во векторска облик како што следува, трик којшто исто така функционира и за Лоренцовите трансформации на други 3Д физички количества првично поставени во стандардната конфигурација. Со воведување на векторот за брзина **v** во не-прим системот и **v**′ во прим системот и да ги поделиме на компоненти паралелни ( ∥ ) и нормални (⊥) на релативистичкио вектор за брзина **V** така што

{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} \_{\parallel }+\mathbf {v} \_{\perp },\quad \mathbf {v} '=\mathbf {v} '\_{\parallel }+\mathbf {v} '\_{\perp },}
потоа со вообичаените основни декартови единици за вектор **e***x*, **e***y*, **e***z*, брзината во не-прим системот ќе биде

{\displaystyle \mathbf {v} \_{\parallel }=v\_{x}\mathbf {e} \_{x},\quad \mathbf {v} \_{\perp }=v\_{y}\mathbf {e} \_{y}+v\_{z}\mathbf {e} \_{z},\quad \mathbf {V} =V\mathbf {e} \_{x},}
што дава

{\displaystyle \mathbf {v} \_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \_{\parallel }'+\mathbf {V} }{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} \_{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {v} \_{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {v} \_{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} \_{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}

каде · е скаларниот производ. Бидејќи овие се векторски равенки, тие сè уште го имаат истиот облик за **V** во *сите* насоки. Единствената разлика од координатните изрази е дека горенаведените изрази се однесуваат на *вектори*, а не на компоненти. 

Алгебра
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {v} '\_{\parallel }+\mathbf {V} }{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha \_{V}\mathbf {v} '\_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {V} +{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}}}\mathbf {V} }{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha \_{V}\mathbf {v} '-\alpha \_{V}{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}}}\mathbf {V} }{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}}}(1-\alpha \_{V})}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {V} +\alpha \_{V}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {V} +\alpha \_{V}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}}}(1-\alpha \_{V})\mathbf {V} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {V} +\alpha \_{V}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}/c^{2}}}(1-\alpha \_{V})\mathbf {V} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {V} +\alpha \_{V}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{(1-\alpha \_{V})(1+\alpha \_{V})}}(1-\alpha \_{V})\mathbf {V} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha \_{V}\mathbf {v} '+\mathbf {V} +(1-\alpha \_{V}){\frac {(\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} ')}{V^{2}}}\mathbf {V} \right].\end{aligned}}}

---

Разложување на парелни и нормални компоненти во однос на *V*Треба да се определи паралелната или нормалната компонента за секој вектор, бидејќи другата компонента ќе биде отстранета со замена на целосните вектори.

Паралелната компонента на **v**′ ќе се најде со проекција на главниот вектор во насока на релативното движење

{\displaystyle \mathbf {v} '\_{\parallel }={\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{V^{2}}}\mathbf {V} ,}
и нормалната компонента на **v**′ ќе се најде со геометриските својства на векторискиот производ (Погледајте ја сликата десно),

{\displaystyle \mathbf {v} '\_{\perp }=-{\frac {\mathbf {V} \times (\mathbf {V} \times \mathbf {v} ')}{V^{2}}}.}
Во секој случај, **V**/*V* е единичен вектор во насока на релативно движење.

Изразите за **v**|| и **v**⊥ ќе се најдат на ист начин. Со замена на паралелната компонента во

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {v} \_{\parallel }'+\mathbf {V} }{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} \_{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} \_{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} \_{\parallel }'}{c^{2}}}}},}
е резултат во горната равенка.

Трансформацијата на брзините се однесува на брзината која е мерена два инетрни системи, едниот систем F′ се движи со брзина **V** релативна на F. Брзините **v** и **v**′ можат да ја претставуваат *константната* брзина на некој масивен обејкт, или трет инерцијален систем (на пример F′′), но во секој случај се означува овој ентитет со X. Тогаш X се движи со брзина **v** релативна на F, или еквивалентна со брзината **v**′ релативна на F′, пак F′ се движи со брзина **V** релативна на F. Ова може да се запише

{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} \_{\parallel }+\mathbf {v} \_{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha \_{V}\mathbf {v} '+\mathbf {V} +(1-\alpha \_{V}){\frac {(\mathbf {V} \cdot \mathbf {v} ')}{V^{2}}}\mathbf {V} \right]\equiv \mathbf {V} \oplus \mathbf {v} ',}
каде *α**V* = 1/*γ**V* е реципрочна вредност на Лоренцовиот фактор. Подредувањето на операнди во дефиниција е избрано за да го одрази подредувањето на додавање на брзините, прво **V** (брзината на F′ релативна на F), потоа **v**′ (брзината на X релативна на F′) за да се добие **v** = **V** ⊕ **v**′ (брзината на X релативна на F).

Со цел да се олесни генерализација и да се избегне зголемувањето на бројот на прости броеви, се променува записот на **V** во **u** и **v**′ во **v**. Дефинирање на *релативистичкото сложување* на новите **u** и **v** од горенаведената формула,

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} +{\frac {\mathbf {v} }{\gamma \_{u}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{1+\gamma \_{u}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} +\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{1+\gamma \_{u}}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right],\end{aligned}}} |

каде што последниот израз е од стандардна формула на векторска анализа **u** × (**u** × **v**) = (**u** ⋅ **v**)**u** − (**u** ⋅ **u**)**v**, а како резултат на крстор производите тоа е точно само во три-просторните димензии. Првиот израз се однесува на било кој број од просторните димензии.

### Својства

Релативистичката сложеност на 3-брзините е нелиниска

{\displaystyle (\lambda \mathbf {u} )\oplus (\mu \mathbf {v} )\neq \lambda \mu (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ),}
за секој реален број *λ* и *μ*, иако е точно дека

{\displaystyle (-\mathbf {u} )\oplus (-\mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ),}
Исто, поради последните поими, не е комутативна

{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \neq \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ,}
ниту асоцијативна

{\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} .}
Ако **u** и **v** се однесуваат на *поттици на брзините*, тогаш и **u** ⊕ **v** и **v** ⊕ **u** се *точни* изрази за комбинираната поттик брзина. Тие се само дадени во различен координатен систем, неприм и (што би бил) двојно примуван соодветно на стариот запис, се поврзани со ротацијата. Овој феномен е познат како Томасова прецесија.

Нормата е дадена со

{\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} +\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right)^{2}\right]=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}.}
За доказ, кликни овде.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}&=\left[\mathbf {u} +\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{1+\gamma \_{u}}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]^{2}\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]+{\frac {u^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]+{\frac {(1-\alpha \_{u})(1+\alpha \_{u})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]+{\frac {(\gamma \_{u}-1)}{c^{2}(\gamma \_{u}+1)}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]+{\frac {(1-\gamma \_{u})}{c^{2}(\gamma \_{u}+1)}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{u}+1}{\gamma \_{u}+1}}\left[(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |^{2}\end{aligned}}}

Јасно е дека некомутативноста се манифестира како дополнителна *ротација* на координатиот систем кога станува збор за два поттици, бидејќи квадратната норма е еднаква за двете големини на поттиците.

Гама факторот за комбинираната брзина се пресметува како

{\displaystyle \gamma \_{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma \_{u}\gamma \_{v}\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right).}
Кликни за детален доказ.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \_{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c^{4}}})-u^{2}-v^{2}-2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {1}{c^{2}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c^{4}}}-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {1}{c^{4}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c^{4}}}-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(u^{2}v^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}})(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}{(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{\gamma \_{u}^{2}\gamma \_{v}^{2}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma \_{u}\gamma \_{v}(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}})\end{aligned}}}

Покрај нелинеарноста во сложените брзини, можно е да се добие композицијата на бета векторите **β***u* = **u**/*c* и **β***v* = **v**/*c*, кои се пропорционални на релативните брзини. Дефинирање на **β***u*⊕**β***v* = (**u**⊕**v**)/*c*, следува

{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\_{u}\oplus {\boldsymbol {\beta }}\_{v}={\frac {1}{1+{\boldsymbol {\beta }}\_{u}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\_{v}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}\_{u}+{\frac {{\boldsymbol {\beta }}\_{v}}{\gamma \_{u}}}+{\frac {\gamma \_{u}}{\gamma \_{u}+1}}({\boldsymbol {\beta }}\_{v}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\_{u}){\boldsymbol {\beta }}\_{u}\right]}
### Записи и конвенции

Записите и конвенциите за сложените брзини се разликуваат од автор до автор. Различни симболи можат да се користат за операциите и операндите можат да се вклучат за истиот израз. Бидејќи сложените брзини не се комутативни, не можеме наивно да се префрлиме на операндите без да се промени резултатот.

Од лево кон десно подредување на операндите
Мокану (1986, 1992) се користи во оваа статија,

{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{\mathbf {u} }}{\gamma \_{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}
Унгар (1988, 1989)

{\displaystyle \mathbf {u} \*\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{\mathbf {u} }}{\gamma \_{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}
Од десно кон лево подредување на операндите
Сексл и Урбантке (1992)

{\displaystyle \mathbf {v} \circ \mathbf {u} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {v} }{\gamma \_{\mathbf {u} }}}+\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma \_{\mathbf {u} }}{\gamma \_{\mathbf {u} }+1}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} \right]}

Примени
-------

### Физов експеримент

Иполит Физо (1819 – 1896), француски физичар, во 1851 година, е првиот кој ја измерил брзината на светлината во подвижна вода.
Главна статија: Физов експеримент
Кога светлината се движи низ одредена средина, нејзината брзина се намалува, во рамката на мирување на средината, од *c**m* =  *c*⁄*n**m*, каде *n**m* е показател на прекршување на средината *m*. Брзината на светлината во средината која рамномерно се движи со брзина *V* во позитивната насока на *x*-оската мерена во лабораторискиот систем се определува според равенките за сложени брзини. За движењето во таа насока (стандардна конфигурација, упадниот индекс m на *n*) се добива,

{\displaystyle {\begin{aligned}c\_{m}&={\frac {V+c\_{m}'}{1+{\frac {Vc\_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}(1+{\frac {nV}{c}}){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=({\frac {c}{n}}+V)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}
Собирајќи ги најголемите придонеси експлицитно,

{\displaystyle c\_{m}={\frac {c}{n}}+V(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots ).}
Физо ги определил првите три услови. Класичниот резултат се првите два услови.

### Аберација на светлината

Главна статија: Аберација на светлината
Друга основна примена е да се разгледа отстапувањето на светлината, односно промената на насоката, кога преминува во нов појдовен систем со паралелни оски, појава наречена аберација на светлината. Во овој случај, *v*′ = *v* = *c* и вметнувањето во формулата за tan *θ* се добива

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}
За овој случај може да се пресметаат и sin *θ* и cos *θ* од стандардните формули,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}
Тригонометрија
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v\_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v\_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v\_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}
Џејмс Брадли (1693 – 1762) СКД, дал точно објаснување на аберацијата на светлината во класични нивоа, подоцна била во судир со теориите кои преовладуваат во деветнаесеттиот век, чија оснава е постоењето на етер.
тригонометриските идентитети во суштина се идентични при случајот со cos и идентитетите во случајот со sin. Земете ја предвид разликата,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}}
со премин на  *v*⁄*c*. со цел да се овозможи примена на методот на приближни вредности на мали агли во тригонометриската равенка,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta '-\sin \theta &=2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',\end{aligned}}}
каде cos12(*θ* + *θ*′) ≈ cos *θ*′, sin12(*θ* − *θ*′) ≈ 12(*θ* − *θ*′).

Така

{\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}
**аголот на класичната аберација**, се добива при граничната вредност  *V*⁄*c* → 0.

### Релативистичка Доплерова смена

Кристијан Доплер (1803–1853) бил австриски математичар и физичар кој открил дека набљудуваната честота на еден бран зависи од релативната брзина на изворот и набљудувачот.
Главна статија: Релативистички Доплеров ефект
Овде се користат *компонентите на брзината* наместо *брзината* за поголема општост и со цел да се избегне ад хок воведувањето на минус знаци. Минус знаците што се случуваат овде ќе се користат за да се разјаснат случаите кога брзините се помали од брзината на светлината.

За светлосните бранови во вакуум, временската дилатација заедно со едноставното геометриско набљудување, се доволни за да се пресметаат Доплеровата смена во стандардната конфигурација (колинеарно релативна брзина на оддавачот и набљудувачот, како и од набљудуваниот светлосен бран).

Сите брзини, понатаму, се паралелни на заеднички позитивната *x*-насока, па така индексите на компонентите на брзината се отрфрлени. Во системот на набљудувачот, се воведува геометриското набљудување

{\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}
како просторното растојание или бранова должина, помеѓу два пулса (бранови девијации), каде *T* е поминатото време помеѓу оддавањето на двата пулса. Поминатото време помеѓу преминот од двата пулса *во иста точка во просторот* е *временскиот период* τ, и инверзно *ν* =  1⁄*τ* е набљудуваната (временска) честота. Соодветните величини во системите на оддавачите се означени со прим.

За светлосни бранови 

{\displaystyle s=s'=-c,}
и набљудуваната честота е:

{\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma \_{V}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}
каде *T* = *γ**V**T*′ е стандардна временска дилатациона равенка.

Претпоставувајќи дека наместо бранот да не биде создаден од светлосен бран со брзина *c*, за полесна визуализација, куршумите испукани од релативистичката автоматска пушка, со брзина *s*′ во системот на оддавачот. Тогаш, општо земено, геометриското набљудување е *исто*. Но сега, *s*′ ≠ *s*, и *s* е добиена од сложената брзина,

{\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}
Пресметката тогаш во суштина е иста, освен што тука е полесно да се пресметува со τ =  1⁄*ν* наместо ν.

|  |
| --- |
| {\displaystyle \tau ={1 \over \gamma \_{V}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma \_{V}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)} |

Детали во изведувањето
{\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma \_{V} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma \_{V} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma \_{V} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma \_{V}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}

Забележуваме дека во типичен случај, *s*′ која влегува е *негативна*. Равенката сепак има општа важност. Кога *s*′ = −*c*, формулата се сведува на равенка за директно пресметување на горенаведените светлосни бранови,

{\displaystyle \nu =\nu '\gamma \_{V}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}
Ако оддавачот не испукува куршуми во празниот простор, но оддава бранови во средината, тогаш *равенката сè уште важи*, но сега, потребно е прво да се пресмета *s*′ од брзината на оддавачот релативно на средината.

Во случајот со оддавачот на светлина, во случајот кога набљудувачот и оддавачот не се колинеарни, но сепак се движат во прави линии со релативна брзина, резултатот има мала модификација:

{\displaystyle \nu =\gamma \_{V}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right)}
каде *θ* е аголот помеѓу оддавачот на светлина и набљудувачот. Ова го намалува претходниот резултат за колинеарно движење кога *θ* = 0, но за попречно движење одговара *θ* = *π*/2, честотата е преместена од Лоренцовиот фактор. Ова не се случува кај класичниот оптички Доплеров ефект.

Хиперболична геометрија
-----------------------

Сложениот закон во колинеарна форма е ист со сложениот закон на хиперболично тангенти

{\displaystyle \tanh(a+b)={\tanh a+\tanh b \over 1+\tanh a\tanh b}}
каде

{\displaystyle {v \over c}=\tanh a\ ,\quad {u \over c}=\tanh b\ ,\quad \,{s \over c}=\tanh(a+b),}
која кажува дека композицијата на колинеарните брзини е асоцијативна и комутативна.

Величините *a* и *b* (еднакви на arctanh од брзините поделени со *c*) се познати како брзости. Причината што брзините се хиперболични тангенти е поради тоа што Лоренцовите трансфромации можат да се сметаат за применета хиперболична ротација во хиперболичен агол што паак е брзина. Да претпоставиме дека брзината на права во времепросторот е наклон на правата, што е хиперболична тангента на брзината, исто како и наклонот на *x*-оската откако му е дадена ротација од тангента на вртежниот агол. Кога рамнина е сукцесивно ротирана од два агли, последната ротација е збирот од двата агли. Значи последниот наклон на *x*-оската е тангента од збирот на двата агли. На ист начин, наклонот на временската оска после два поттици е хиперболична тангента од збирот на двете брзини.

Горенаведените *a* и *b* може да се сметаат за радијални координати на 3-димензионалниот потпростор со сферични координати, или норма на декартов вектор, од Лијевата алгебра на Лоренцовата група протегнати од генераторите на поттик. Овој простор е хомеоморфичен со ℝ3 и е одбележан на отворена единица топка *B*3 со

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K\_{1},K\_{2},K\_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}
каде **ζ** е 3-вектор во потпросорен поттик, изразен во декартови координати, наречен поттик на параметар и е норма на брзината. Елементот на линија ℝ3 е даден со

{\displaystyle dl\_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}={\frac {d\mathbf {\zeta } ^{2}-({\boldsymbol {\zeta }}\times d{\boldsymbol {\zeta }})^{2}}{(1-\zeta ^{2})^{2}}}={\frac {d\zeta ^{2}}{1-\zeta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}
Со воведување на β во

{\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}
каде *θ* и φ основните сферични аголни координати, и линискиот елемент на отворената единица топка стануваат

{\displaystyle dl\_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\beta ^{2}+\sinh ^{2}\beta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}

Поврзано
--------

* Бикватернион

Белешки
-------

1. ↑  These formulae follow from inverting *αu* for *u*2 and applying the difference of two squares to obtain

*u*2 = *c*2(1 − *α**u*2) = *c*2(1 − *α**u*)(1 + *α**u*)

so that

(1 − *α**u*)*u*2 = 1*c*2(1 + *α**u*) = *γ**u**c*2(1 + *γ**u*).
2. ↑  Note that *s*′ is negative in the sense for which that the problem is set up, i.e. emitter with *positive* velocity fires *fast* bullets *towards* observer in unprimed system. The convention is that −*s* > *V* should yield *positive* frequency in accordance with the result for the ultimate velocity, *s* = −*c*. Hence the minus sign is a convention, but a very natural convention, to the point of being canonical.

The formula may also result in negative frequencies. The interpretation then is that the bullets are approaching from the negative *x*-axis. This may have two causes. The emitter can have large positive velocity and be firing slow bullets. It can also be the case that the emitter has small negative velocity and is firing fast bullets. But if the emitter has a large negative velocity and is firing slow bullets, the frequency is again positive.

For some of these combination to make sense, it must be required that the emitter has been firing bullets for sufficiently long time, in the limit that the *x*-axis at any instant has equally spaced bullets everywhere.

Наводи
------

1. ↑  Kleppner & Kolenkow 1978, Chapters 11–14 harvnb error: no target: CITEREFKleppnerKolenkow1978 (help)
2. ↑  Galileo 1632 *Dialogue on the two World Systems* This observation is now regarded as the first clear statement of the principle of mechanical relativity.
3. ↑  Galileo 1638 in *Two New Sciences* who used this insight to show that the path of the weight when seen from the shore would be a parabola.
4. ↑  Mermin, N. David (2005). It's About Time: Understanding Einstein's Relativity. Princeton University Press, p. 37. ISBN 0-691-12201-6.
5. ↑  Landau & Lifshitz 2002, стр. 13 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help)
6. ↑  Kleppner & Kolenkow 1978, стр. 457 harvnb error: no target: CITEREFKleppnerKolenkow1978 (help)
7. ↑  Jackson 1999, стр. 531 harvnb error: no target: CITEREFJackson1999 (help)
8. ↑  Lerner & Trigg 1991, стр. 1053 harvnb error: no target: CITEREFLernerTrigg1991 (help)
9. ↑  Friedman 2002, стр. 1–21 harvnb error: no target: CITEREFFriedman2002 (help)
10. ↑  The so-called "Mocanu paradox". See Mocanu, C. I. (1992). "On the relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation". Foundations of Physics (Plenum) 5: 443–456.
11. ↑  Landau & Lifshitz 2002, стр. 37 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help) Equation (12.6) This is derived quite differently by consideration of invariant cross sections.
12. ↑  Kleppner & Kolenkow 1978, стр. 474 harvnb error: no target: CITEREFKleppnerKolenkow1978 (help)
13. ↑  Fizeau & 1851E harvnb error: no target: CITEREFFizeau1851E (help)
14. ↑  Fizeau 1860 harvnb error: no target: CITEREFFizeau1860 (help)
15. ↑  Landau & Lifshitz 2002, стр. 14 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help)
16. ↑  Bradley 1727–1728 harvnb error: no target: CITEREFBradley1727–1728 (help)
17. ↑  Kleppner & Kolenkow 1978, стр. 477 harvnb error: no target: CITEREFKleppnerKolenkow1978 (help) In the reference, the speed of an *approaching* emitter is taken as *positive*. Hence the sign difference.
18. ↑  Tipler & Mosca 2008, стр. 1328–1329 harvnb error: no target: CITEREFTiplerMosca2008 (help)
19. ↑  Mansfield & O'Sullivan 2011, стр. 491–492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 (help)
20. ↑  Lerner & Trigg 1991, стр. 259 harvnb error: no target: CITEREFLernerTrigg1991 (help)
21. ↑  Parker 1993, стр. 312 harvnb error: no target: CITEREFParker1993 (help)
22. ↑  Jackson 1999, стр. 547 harvnb error: no target: CITEREFJackson1999 (help)
23. ↑  Landau & Lifshitz 2002, стр. 38 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help)

Наводи
------

* Jackson, J. D. (1999) [1962]. *Classical Electrodynamics*. Chapter 11 (3d. изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X. (graduate level)
* Kleppner, D.; Kolenkow, R. J. (1978) [1973]. *An Introduction to Mechanics*. London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-035048-5. (introductory level)
* Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2002) [1939]. *The Classical Theory of Fields*. Course of Theoretical Physics. **2** (4. изд.). Butterworth–Heinemann. ISBN 0 7506 2768 9. (graduate level)
* Lerner, R.G.; Trigg, G.L. (1991). *Encyclopaedia of Physics* (2. изд.). VHC Publishers, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
* Parker, S. P. (1993). *McGraw Hill Encyclopaedia of Physics* (2. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0070514003.
* Friedman, Yaakov; Scarr, Tzvi (2005). *Physical applications of homogeneous balls*. Birkhäuser. стр. 1&ndash21. ISBN 0-8176-3339-1.
* Sexl, R. U.; Urbantke, H. K. (2001) [1992]. *Relativity, Groups Particles. Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics*. Springer. стр. 38–43. ISBN 978-3211834435.
* Tipler, P.; Mosca, G. (2008). *Physics for Scientists and Engineers* (6. изд.). Freeman. стр. 1328–1329. ISBN 978-1429202657.
* Mansfield, M.; O'Sullivan, C. (2011). *Understanding Physics* (2. изд.). Wiley. стр. 491–492. ISBN 978-0-470-74637-0.

### Историски

* Bradley, James (1727–1728). „A Letter from the Reverend Mr. James Bradley Savilian Professor of Astronomy at Oxford, and F.R.S. to Dr.Edmond Halley Astronom. Reg. &c. Giving an Account of a New Discovered Motion of the Fix'd Stars". *Phil. Trans. R. Soc.* (PDF). **35** (399–406): 637–661. doi:10.1098/rstl.1727.0064.
* Doppler, C. (1903) [1842], *Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels* [*About the coloured light of the binary stars and some other stars of the heavens*] (германски), **2**, Prague: Abhandlungen der Königl. Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften, стр. 465–482
* Fizeau, H. (1851F). „Sur les hypothèses relatives à l'éther lumineux" [The Hypotheses Relating to the Luminous Aether]. *Comptes Rendus* (француски). **33**: 349–355.
* Fizeau, H. (1851E). „The Hypotheses Relating to the Luminous Aether". *Philosophical Magazine*. **2**: 568–573.
* Fizeau, H. (1859). „Sur les hypothèses relatives à l'éther lumineux" [On the Effect of the Motion of a Body upon the Velocity with which it is traversed by Light]. *Ann. de Chim. et de Phys.* (француски). **57**: 385–404.
* Fizeau, H. (1860). „On the Effect of the Motion of a Body upon the Velocity with which it is traversed by Light". *Philosophical Magazine*. **19**: 245–260.
* Einstein, A: Zur Elektrodynamik bewegter Körper (On the Electrodynamics of moving bodies) Ann. der Physik 1905, vol,322(10), pp. 891–921, See section 5 "The composition of velocities" url=

Надворешни врски
----------------

* Sommerfeld, Arnold (1909): On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity, Verh. der DPG, 21: 577-582