**Кејсиева теорема**, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .

Формулација на теоремата
------------------------

{\displaystyle t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}-t\_{13}\cdot t\_{24}=0}
Нека {\displaystyle \,O} е кружница со радиус {\displaystyle \,R}. Нека {\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} се (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на {\displaystyle \,O} и ја допираат. Ја означуваме со {\displaystyle \,t\_{ij}} должината на надворешната заедничка битангента на кружниците {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}}. Важи:

{\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}.}
Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.

Доказ
-----

Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата{\displaystyle \,O\_{i}} со {\displaystyle \,R\_{i}} и допирните точки со кружницата {\displaystyle \,O} со {\displaystyle K\_{i}}. Ќе ги означиме со {\displaystyle \,O,O\_{i}} центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи

{\displaystyle \,t\_{ij}^{2}={\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}.}
Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките {\displaystyle \,K\_{i},K\_{j}}. Според косинусната теорема во триаголникот {\displaystyle \,O\_{i}OO\_{j}} ,

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}={\overline {OO\_{i}}}^{2}+{\overline {OO\_{j}}}^{2}-2{\overline {OO\_{i}}}\cdot {\overline {OO\_{j}}}\cdot \cos \angle O\_{i}OO\_{j}}
Бидејќи кружниците {\displaystyle O} и {\displaystyle O\_{i}} се тангентни една на друга, важи

{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}=R-R\_{i},\,\angle O\_{i}OO\_{j}=\angle K\_{i}OK\_{j}}
Нека {\displaystyle \,C} е точка на кружницата {\displaystyle \,O}. Од синусната теорема во триаголникот {\displaystyle \,K\_{i}CK\_{j}}:

{\displaystyle {\overline {K\_{i}K\_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K\_{i}CK\_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}}
Затоа,

{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K\_{i}K\_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=((R-R\_{i})-(R-R\_{j}))^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
И конечно, должината која ја бараме е

{\displaystyle t\_{ij}={\sqrt {{\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R\_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{j}}}\cdot {\overline {K\_{i}K\_{j}}}}{R}}}
Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник {\displaystyle \,K\_{1}K\_{2}K\_{3}K\_{4}} :

{\displaystyle {\begin{aligned}&t\_{12}t\_{34}+t\_{14}t\_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{2}}}\cdot {\overline {K\_{3}K\_{4}}}+{\overline {K\_{1}K\_{4}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{3}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t\_{13}t\_{24}\end{aligned}}}

Понатамошни воопштувања
-----------------------

Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена:

Ако {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} и двете ја допираат {\displaystyle \,O} од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор), {\displaystyle \,t\_{ij}} е должината на надворешната заедничка тангента.

Ако {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} се ја допираат {\displaystyle \,O} од различни страни (едната однатре, а другата однадвор), {\displaystyle \,t\_{ij}} е должината на внатрешната заедничка тангента.

Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно. Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.

Примени
-------

Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ 
:411 на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.

Наводи
------

1. 1 2  
Casey, J. (1866). „On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". *Proceedings of the Royal Irish Academy*. **9**: 396–423. JSTOR 20488927.
2. ↑  
Bottema, O. (1944). *Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde*. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
3. ↑  
Zacharias, M. (1942). „Der Caseysche Satz". *Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung*. **52**: 79–89.
4. 1 2  
Johnson, Roger A. (1929). *Modern Geometry*. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).Johnson, Roger A. (1929). *Modern Geometry*. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

Надворешни врски
----------------

* „Casey's theorem" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: *Crux Mathematicorum*, Vol. 22, No. 2, pp. 49–53