Дефиниција
----------

Функцијата {\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }, каде {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }, а функцијата е непрекината во множеството {\displaystyle X}, се нарекува **рамномерно (униформно) непрекината** во тоа множество, ако за секое {\displaystyle \varepsilon >0}, може да се најде позитивно {\displaystyle \delta }, така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од {\displaystyle \delta }, важи {\displaystyle |f(x\_{1})-f(x\_{2})|<\varepsilon }.

Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата {\displaystyle f} во множеството {\displaystyle X} може да се запише како: 

{\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\_{1},x\_{2}\in X)(|x\_{1}-x\_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x\_{1})-f(x\_{2})|<\varepsilon )}.

Дискусија на дефиницијата
-------------------------

Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен {\displaystyle X}, потребно е да се најде најмалото {\displaystyle \delta =\delta \_{0}} од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:

{\displaystyle (\forall x,x\_{0}\in X)(|x-x\_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x\_{0})|<\varepsilon ).}
Ако множеството {\displaystyle X} е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога {\displaystyle X} не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало {\displaystyle \delta =\delta \_{0}}. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.

Критериум за одредување рамномерна непрекинатост
------------------------------------------------

Главна статија: Канторов став за рамномерна непрекинатост
Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава  Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.

Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите. 

### Теорема

Ако функцијата {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } е непрекината во интервалот {\displaystyle [a,b]}, таа е и рамномерно непрекината во него.

### Доказ

Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } е непрекината во интервалот {\displaystyle [a,b]} (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка {\displaystyle x} од тој сегмент постои некоја околина {\displaystyle U(x)=(x-\delta ,x+\delta )} и за сите точки {\displaystyle x\_{1}\in U(x)} важи: {\displaystyle |f(x)-f(x\_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})}.

Да избереме 2 точки, {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in U(x)}. Тогаш имаме:

{\displaystyle |f(x\_{1})-f(x\_{2})|\leq |f(x)-f(x\_{1})|+|f(x)-f(x\_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}
Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, {\displaystyle U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})}. Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот {\displaystyle [a,b]}, ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент {\displaystyle [a,b]}, па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот {\displaystyle [a,b]}. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}} така што нивните околини {\displaystyle U'\_{1},U'\_{2},...U'\_{n}} образуваат потпокривач на сегментот {\displaystyle [a,b]}. Бидејќи точки {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}} има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата {\displaystyle {\frac {\delta \_{i}}{2}}} и ја означуваме со {\displaystyle \delta }.

Да избереме сега некоја точка {\displaystyle x'} од интервалот {\displaystyle [a,b]} кој му припаѓа на некој од интервалите {\displaystyle U'\_{1},U'\_{2},...U'\_{n}}, кое го запишуваме: {\displaystyle |x\_{i}-x'|<{\frac {\delta \_{i}}{2}}}.

Да избереме и точка {\displaystyle x''} од интервалот {\displaystyle [a,b]} која се наоѓа во {\displaystyle \delta }-околинат на точката {\displaystyle x'}, т.е. {\displaystyle |x'-x''|<\delta }. Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е {\displaystyle \delta \leq {\frac {\delta \_{i}}{2}}}, тогаш сигурно е и {\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta \_{i}}{2}}}.

Сега од {\displaystyle |x\_{i}-x'|<{\frac {\delta \_{i}}{2}}} и {\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta \_{i}}{2}}} имаме дека:

{\displaystyle |x\_{i}-x''|\leq |x'-x\_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta \_{i}}{2}}+{\frac {\delta \_{i}}{2}}=\delta \_{i},}
т.е. двете точки, и {\displaystyle x'} и {\displaystyle x''}, припаѓаат на околината {\displaystyle \delta \_{i}}-на точката {\displaystyle \delta \_{i}}, односно, двете се наоѓаат во некоја околина {\displaystyle (x-\delta \_{i},x+\delta \_{i})},
па тогаш имаме дека
{\displaystyle |f(x')-f(x'')|<\varepsilon }, што и требаше да се докаже.

Поврзано
--------

* Непрекината функција
* Борел-Лебегова лема
* Канторов став за рамномерна непрекинатост