Во геометријата, **правоаголен триаголник** е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол од 90°. Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со *c*. Другите две страни се викаат **катети** и се означуваат со *a* и *b*. Спротивно на страната *a* е темето А и аголот α, a спротивно на страната *b* е темето В и аголот β.

**Основни поставки:**

* Аглите α и β се остри агли и се комплементни.
* Правиот агол се наоѓа помеѓу страните *a* и *b*. Значи тие се меѓусебно нормални и *a* e висината на правоаголниот триаголник со основа *b*.
* Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако



|  |
| --- |
| {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} |

Формули и особини
-----------------

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · *b* · *h* = ½ × *b* × *h*

Сите агли на правоаголен триаголник
**Периметарот** е збир на должините на трите страни


|  |
| --- |
| {\displaystyle L=a+b+c} |

**Плоштина** е: 

* Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната *а* е висината на основата *b* кај правоаголен триаголник имаме:


|  |
| --- |
| {\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b}. |

**Пример:** Нека е даден правоаголен триаголник со катета *a*=5 cm и хипотенуза *c*=13 cm. Според Питагоровата теорема

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\Rightarrow (5cm)^{2}+b^{2}=(13cm)^{2}\Rightarrow 25cm^{2}+b^{2}=169cm^{2}}
{\displaystyle b^{2}=169cm^{2}-25cm^{2}\Rightarrow b^{2}=144cm^{2}\Rightarrow b={\sqrt {144cm^{2}}}\Rightarrow b=12cm}
Периметарот e: L=*a*+*b*+*c*=5 cm+12 cm+13 cm=30 cm. Плоштината е: ½·*a*·*b*=½·*5cm*·*12cm*=30 cm²
Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).
**Пример:** Нека е даден триаголник со катети *а* = *b* = 10mm. Според Питагоровата теорема

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\Rightarrow (10mm)^{2}+(10mm)^{2}=c^{2}\Rightarrow 100mm^{2}+100mm^{2}=c^{2}}
{\displaystyle 200mm^{2}=c^{2}\Rightarrow c^{2}=200mm^{2}\Rightarrow c={\sqrt {200mm^{2}}}\Rightarrow c=10{\sqrt {2}}\approx 14,14mm}
Периметарот e: L=*a*+*b*+*c*=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: ½·*a*·*b*=½·*10mm*·*10mm*=100mm²
Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите α и β се еднакви, α = β =45°. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.

Тригонометрија
--------------

Главна статија: Тригонометрија
Тригонометријата е гранка на математиката во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180°. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

Впишана кружница
----------------

* Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има впишана кружница (види триаголник).

**Поставка:** Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот *r* на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:

{\displaystyle r={\frac {2P}{L}}={\frac {2\cdot {\tfrac {1}{2}}ab}{a+b+c}}={\frac {ab}{a+b+c}}}

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
| Впишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали. | Опишана кружница како последица од Талесовата теорема. | Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината Mc на хипотенузата *c*. |

Талесова теорема
----------------

Главна статија: Талесова теорема
**Талесова теорема** гласи: Секој периферен агол над пречникот на кружница е прав агол.

Опишана кружница
----------------

**Поставка:** (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата *c* на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:

{\displaystyle R={\frac {c}{2}}}
Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
| Тежиштето e заеднички пресек на тежишните линии. | Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија CMc e c/2 тогаш ΔABC e правоаголен триаголник. |

Тежишна линија на хипотенуза
----------------------------

Во геометријата, **тежишна линија** на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е **медијана.**

* Теорема: Нека CMc е тежнишната линија до најдолгата страна *c*=AB на триаголникот ΔABC. Должината на CMc е еднаква на c/2 ако и само ако ΔABC е правоаголен триаголник. (Доколку триаголник нема *најдолга* страна, тој не е правоаголен.)

Доказ: Талесовата теорема („ако") и инверзната Талесова теорема („само ако").

Наводи
------

1. ↑  Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Right-angled Triangle" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 682. Посетено на 1 септември 2013.
2. ↑  „Правоаголен триаголник" (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
3. ↑  Кој било доказ на косинусовата теорема
4. ↑  „Триаголници: Медијани и правоаголни триаголници". 2010. Архивирано од изворникот на 2012-03-14. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен
5. ↑  „Thales' theorem (converse)" (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 декември 2013.

Поврзани теми
-------------

* Триаголник
* Питагорова теорема, Косинусова теорема
* Рамностран триаголник, Рамнокрак триаголник
* Складност на триаголници, Сличност на триаголници
* Талесова теорема

Надворешни врски
----------------

* Стојановска, Л. (2010). „Правоаголен триаголник". Архивирано од изворникот на 2013-12-17. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен
* Milanoff (2012). „Питагорова тройка 345" (бугарски). Посетено на 1 декември 2013.[*мртва врска*] интерактивен</ref>
* „Right Angle". Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен

* Портал: Математика

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиња на математиката |
| --- |
|  |
| 
Логика **·** 
Теорија на множествата **·** 
Комбинаторика **·** 
Алгебра (елементарна – линеарна – апстрактна) **·** 
Теорија на броевите **·** 
Анализа/Виша анализа **·** 
Геометрија **·** 
Топологија **·** 
Диференцијални равенки/Динамички системи **·** 
Математичка физика **·** 
Нумеричка анализа **·** 
Сметање **·** 
Теорија на информацијата **·** 
Веројатност **·** 
Статистика **·** 
Оптимизација **·** 
Теорија на игрите
 |
|  |
| **Категорија**  **·**  Портал „Математика"  **·**  Теми |

 |