**Френелови интеграли** {\displaystyle S(x)} и {\displaystyle C(x)} - математички трансцендентни функции кои Огистен-Жан Френел ги користел во оптиката. Се користат да ја опишат Френеловата дифракција, а се дефинирани со следните интеграли:

```
{\displaystyle S(x)=\int \_{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \_{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}
```

Со истовремен параметарски цртеж на двата интеграла се добива Ојлерова спирала.

Дефиниција
----------

{\displaystyle S(x)=\int \_{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},}
{\displaystyle C(x)=\int \_{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.}
Некои автори го користата {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}t^{2}} како аргумент во интегралот при дефинирање на {\displaystyle S(x)} и {\displaystyle C(x)}. Тогаш интегралите се множат со {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}, а аргументот x со {\displaystyle ({\frac {\pi }{2}})^{1/2}}.

Ојлерова спирала
----------------

Ојлерова спирала
Ојлеровата спирала е позната и како Корнуова спирала или клотоида, а се добива со параметарски приказ на {\displaystyle S(t)} спрема {\displaystyle C(t)}. Со помош на дефинициите на Френеловите интеграли за *dx* и *dy* се добива:

{\displaystyle dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,}
{\displaystyle dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,}
Должината на спиралата мерена од извориштето може да се претстави како:

{\displaystyle L=\int \_{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int \_{0}^{t}{dt}=t}

Својства
--------

* {\displaystyle S(x)} и {\displaystyle C(x)} се непарни функции
* Френеловите интеграли можат да се изразат преку функцијата на грешка {\displaystyle \operatorname {erf} (x)}:

{\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}
{\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right).}
* Интегралите не можат да се пресметаат во затворена форма со помош на елементарни функции, освен во специјални случаи. Како *x* тежи кон бесконечност се добива:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \_{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}

Генерализација
--------------

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\sin({\frac {\pi }{2a}})}{a}}}

Надворешни врски
----------------

* Cephes, Free and open-source software C++/C code to compute Fresnel integrals among other special functions. Used in SciPy and ALGLIB.
* Faddeeva Package, Free and open-source software C++/C code to compute complex error functions (from which the Fresnel integrals can be obtained), with wrappers for Matlab, Python, and other languages.
* Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Fresnel integrals", *Математичка енциклопедија*, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
* „Roller Coaster Loop Shapes". Архивирано од изворникот на September 23, 2008. Посетено на 2008-08-13.
* „Fresnel Integrals" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Cornu Spiral" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4155426-7

 |

 |