Венов дијаграм за A ИСКСИЛИ B
**Исклучителна дисјункција** (наречена и **исклучително или** — логичка операција на два операнда која резултира со логичка вредност на *точно* ако и само ако еден од опрандите, но не и двата, имаат вредност *точно*. Се симболизира и со претставниот поератор **J** i со вметочните оператори **ИСКИЛИ** (меѓународно: **XOR** или „ЕКСИЛИ", **EOR**, **EXOR**) и **⊻**, **⊕**,  ↮  и  **≢**. Спротивен на ИСКИЛИ е логичкиот двоуслов, кој дава вистинитост (точно) секогаш кога обата елементи се исти.

Традиционално претставена логичка порта „ИСКСИЛИ"

Дефиниција
----------

Кај многу природни јазици (вклучувајќи го македонскиот), толкувањето на поимот „или" бара извесна доза на внимателност. **Исклучителната дисјункција** на два исказа, (*p*, *q*), значи дека *p* е точно или *q* е точно, но не и двете. На пример, нормалната намера на исказите од типот на „Ќе ги почитуваш правилата или ќе бидеш дисквалификуван" е да се утврди дека точно само еден од условите може да биде вистинит. Меѓутоа во логиката, значењето на зборот „или" под основно е *вклучителна дисјункција*, која значи дека најмалку една од алтернативите е вистинита (точна). латинскиот, јазик како и некои други имаат различни зборови за различните значења на ова „или".

**Исклучителната дисјункција** е операција на две логички вредности, искази, кои даваат вредонст *вистина* (точно) ако и само ако еден, но не и двата операнда се вистинити.

Таблицата на вистинитост за **p ИСКСИЛИ q** е следнава:

**Таблица на вистинитост: Исклучителна дисјункција**| p | q | p ИСКСИЛИ q |
| --- | --- | --- |
| ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | т | т |
| т | ⊥ | т |
| т | т | ⊥ |

Следниве еквиваленти можат да бидат изведени:

{\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)\end{matrix}}}

Алтернативни знаци
------------------

Знакот за исклучителна дисјункција варира во зависност на неговата употреба, па дури и зависи од својствата кои се нагласуваат во даден котекст или дискусија. Покрај кратенката „ИСКСИЛИ", можеме да ги видиме и следниве знаци:

* Знак плус (+). Ова е математички издржано заради тоа што исклучителната дисјункција соодветствува на собирање модул 2, која ја има следнава таблица на собирање, која е воочливо изоморфична со онаа погоре:

**Операциона таблица: Износ на модулот 2**| p | q | p + q |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

* Уппотребата на знакот плус ја има додатната предност во тоа што сите обични алгебарски својства или прстени и полиња можат да се користат без додатни потешкотии.
* Знакот плус, кој е изменет на некој начин, како на пример со заокружување (⊕}. Меѓутоа употребата на овој знак е дискутабилна заради тоа што истиот се поклопува со математичкиот знак за *директен износ* на алгебарски структури.
* Знак за вклучителна дисјункција (∨) кој е изменет на некој начин, како со потцртување (∨).
* Знакот .

Еквивалентни изразувања
-----------------------

Исклучителната дисјункција {\displaystyle p+q\!} може да се изрази како конјункција (∧), дисјункција (∨), и негација (¬) вака:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}
Исклучителната дисјункција {\displaystyle p+q\!} може исто така што се изрази на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}
Оваа претстава на ИСКСИЛИ може да биде корисна за правење на коло или мрежа, бидејќи има само една ¬ операција и мал број на ∧ и ∨ операции. Доказот на овој идентитет е даден подолу:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot q)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}
Понекогаш тоа се користи за пишување на *p* ИСКСИЛИ *q* на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}
Ова еквиваленција може да се воспостави со примена на Де Моргановите закони двапати на четвртата линија на доказот погоре.

Асоцијативност и комутативност
------------------------------

Со оглед на изоморфизмот момеѓу собирањето модула 2 и исклучителната дисјункција, јасно е дека ИСКСИЛИ е и асоцијативна и комутативна операција. Затоа заградите можат да се испуштат во последователните операции и редот на поимите не му прави никаква разлика на резултатот. На пример, еве равенки:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&q+p\\\\(p+q)+r&=&p+(q+r)&=&p+q+r\end{matrix}}}

Својства
--------

Овој оддел ги користи следниве знаци:

{\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\mbox{false}}\\1&=&{\mbox{true}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p+q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}}
Следниве равенки следат од логички аксиоми:

{\displaystyle {\begin{matrix}p+0&=&p\\p+1&=&\lnot p\\p+p&=&0\\p+\lnot p&=&1\\\\p+q&=&q+p\\p+q+p&=&q\\p+(q+r)&=&(p+q)+r\\p+q&=&\lnot p+\lnot q\\\lnot (p+q)&=&\lnot p+q&=&p+\lnot q\\\\p+(\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p+(p\land \lnot q)&=&p\land q\\p+(p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p+(p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p+\lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p+q)&=&p\lor q\end{matrix}}}

Битова операција
----------------

Исклучителните дисјункции често се користат кај битовите операции. Примери:

* 1 ИСКСИЛИ 1 = 0
* 1 ИСКСИЛИ 0 = 1
* 1110 ИСКСИЛИ 1001 = 0111 (ова е исто што и собирање без пренос)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Логички оператори |
| --- |
|  |
| Тавтологија ( {\displaystyle \top } ) |  |
|  |
| НИ ( {\displaystyle \uparrow } )  **·**  Спротивна импликација ( {\displaystyle \leftarrow } )  **·**  Импликација ( {\displaystyle \rightarrow } )  **·**  ИЛИ ( {\displaystyle \lor } ) |
|  |
| Негација ( {\displaystyle \neg } )  **·**  ИСКИЛИ ( {\displaystyle \oplus } )  **·**  Двоуслов ( {\displaystyle \leftrightarrow } )  **·**  Исказ |
|  |
| НИЛИ ( {\displaystyle \downarrow } )  **·**  неимпликација ( {\displaystyle \nrightarrow } )  **·**  Спротивна неимпликација ( {\displaystyle \nleftarrow } )  **·**  И ( {\displaystyle \land } ) |
|  |
| Контрадикција ( {\displaystyle \bot } ) |

 |