Бомбардерите на американската армија летаат над речиси периодично отекување во плитка вода, блиску до брегот на Панама (1933). Острите гребени и многу рамните корита се карактеристични за кноидалните бранови.
Во хидродинамиката, **кноидалниот бран** е нелинеарно и точно периодично браново решение на равенката Кортевег-де Врис. Овие решенија се во однос на Јакобиевата елиптична функција *cn*, поради што се измислени *cn* кноидалните бранови. Тие се користат за да се опишат површинските гравитациски бранови со прилично долга бранова должина, во споредба со длабочината на водата.

Решенијата на кноидалните бранови биле изведени од Кортевег и де Врис, во нивниот труд од 1895 година во кој тие исто така ја предлагаат нивната дисперзивна равенка со долги бранови, сега позната како равенка Кортевег-де Вриј. Во границата на бесконечна бранова должина, кноидалниот бран станува осамен бран.

Равенката Бенџамин-Бона-Махони го подобрила однесувањето на кратки бранови должини, во споредба со равенката Кортевег-де Вриј, и е уште една еднонасочна бранова равенка со решенија на кноидни бранови. Понатаму, бидејќи равенката Кортевег-де Вриј е приближување на Бусинеск равенките за случајот на еднонасочно ширење на брановите, кноидните бранови се приближни решенија за Бусинеск равенките.

Решенијата на кноидните бранови може да се појават и во други апликации освен површинските гравитациски бранови, на пример за да се опишат јонските акустични бранови во физиката на плазмата.

 Кноиден бран, кој се одликува со поостри гребени и порамни корита отколку во синусен бран. За прикажаниот случај, елиптичниот параметар е *m* = 0,9.

Позадина
--------

### Равенките Кортевег-де Врис и Бенџамин-Бона-Махони

 Валидност на неколку теории за периодични бранови на вода Светло-сината област го дава опсегот на валидност на теоријата на кноидалните бранови; светло-жолта за теоријата на воздушни бранови ; и испрекинати сини линии се разграничуваат помеѓу потребниот ред во теоријата на бранови на Стоукс. Светло-сивото засенчување го дава проширувањето на опсегот со нумерички апроксимации користејќи теорија на функција-проток од петти ред, за високи бранови ( *H* > ¼ H кршење ).
Равенката Кортевег-де Врис (КдВ равенка) може да се користи за да се опише еднонасочното ширење на слабо нелинеарни и долги бранови - каде што долгиот бран значи: има долги бранови должини во споредба со просечната длабочина на водата - на површинските гравитациски бранови на течниот слој. КдВ равенката е дисперзивна бранова равенка, вклучувајќи ги и дисперзиите на честотата и амплитудните ефекти на дисперзија. Во неговата класична употреба, КдВ равенката е применлива за бранови должини *λ* што надминуваат околу пет пати од просечната длабочина на водата *h*, така што за *λ* > 5 *ч* ; а за периодот *τ* поголем од {\displaystyle \scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}} со *g* јачината на гравитациското забрзување. За да се предвиди позицијата на КдВ равенката во опсегот на апроксимации на класичните бранови, таа се разликува на следниве начини:

* **Равенката Кортевег-де Врис** — го опишува напредното ширење на слабо нелинеарни и дисперзивни бранови, за долги бранови со *λ* > 7 *ж*.
* **Равенките за плитка вода** - исто така се нелинеарни и имаат амплитудна дисперзија, но без дисперзија на честотата; тие важат за многу долги бранови, *λ* > 20 *ж*.
* **Равенките** на Бусинеск - го имаат истиот опсег на валидност како и равенката КдВ (во нивната класична форма), но овозможуваат ширење на брановите во произволни насоки, па не само бранови што се шират напред. Недостаток е што равенките на Бусинеск често се потешки за решавање од КдВ равенката; а во многу примени рефлексиите на брановите се мали и може да се занемарат.
* **Теорија на воздушни бранови** — има целосна честотна дисперзија, толку валидна за произволна длабочина и бранова должина, но е линеарна теорија без амплитудна дисперзија, ограничена на бранови со ниска амплитуда.
* **Стоуксова бранова теорија** — пристап од низа на пертурбации за опис на слабо нелинеарни и дисперзивни бранови, особено успешен во подлабока вода за релативно кратки бранови должини, во споредба со длабочината на водата. Меѓутоа, за долгите бранови често се претпочита пристапот на равенките на Бусинеск - како што се применува и во КдВ равенката. Тоа е затоа што во плитка вода, на серијата на пертурбации на Стоукс им требаат многу термини пред да се приближи кон решението, поради големите врвови и долгите рамни корита на нелинеарните бранови..

КдВ равенката може да се изведе од равенките на Бусинеск, но потребни се дополнителни претпоставки за да може да се одвои ширењето на напредниот бран. За практични примени, равенката Бенџамин-Бона-Махони (ББМ равенка) е претпочитана во однос на КдВ равенката, модел кој се шири напред сличен на КдВ, но со многу подобро однесување на дисперзија на честотата на пократки бранови должини. Дополнителни подобрувања во перформансите на кратки бранови може да се добијат со изведување на еднонасочна бранова равенка од современ подобрен модел, валиден за уште пократки бранови должини.

### Кноидни бранови

Решенијата на кноидните бранови на КдВ равенката биле претставени од Кортевег и де Врис во нивниот труд од 1895 година, кој напис е заснован на докторската теза на Де Врис во 1894 година. Солитарните бранови решенија за нелинеарни и дисперзивни долги бранови биле пронајдени порано од Бусинеск во 1872 година и Рејли во 1876 година. Потрагата по овие решенија била поттикната од набљудувањата на овој осамен бран од Расел, и во природата и во лабораториските експерименти. Кноидните бранови решенија на КдВ равенката се стабилни во однос на мали пертурбации.

Површинската кота *η* ( *x*, *t* ), во функција на хоризонталната положба *x* и времето *t*, за кноиден бран е дадена со:

{\displaystyle \eta (x,t)=\eta \_{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),}
каде што *H* е висината на бранот, *λ* е брановата должина, *c* е брзината на фазата и *η 2* е надморската височина. Понатаму, cn е една од елиптичните функции на Јакоби, а *K* (*m* ) е целосниот елиптичен интеграл од првиот вид; и двете се зависни од елиптичниот параметар *m*. Последново, *m*, го одредува обликот на кноидалниот бран. За *m* еднаков на нула, кноидалниот бран станува косинус функција, додека за вредности блиску до еден, ноидалниот бран добива врвови и (многу) рамни корита. За вредности од *m* помали од 0,95, кноидалната функција може да се приближи со тригонометриски функции.

Важен бездимензионален параметар за нелинеарни долги бранови ( *λ* ≫ *h* ) е Урселовиот број:

{\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.}
За мали вредности на *U*, каде *U* < 5, може да се користи линеарна теорија, а при повисоки вредности треба да се користат нелинеарни теории, како теоријата на кноидните бранови. Зоната на разграничување помеѓу - трет или петти ред - теории на Стоукс и каноидни бранови е во опсегот 10-25 од Урселовиот број. Како што може да се види од формулата за Урселовиот број, за дадена релативна висина на бранот *H* / *h* Урселовиот број - а со тоа и нелинеарноста - расте брзо со зголемување на релативната бранова должина *λ* / *h*.

Врз основа на анализата на целосниот нелинеарен проблем на површинските гравитациони бранови во рамките на теоријата на потенцијален проток, горенаведените кноидни бранови може да се сметаат за термин од најнизок ред во серијата на пертурбации. Теориите за кноидни бранови од повисок ред остануваат валидни за пократки и понелинеарни бранови. Теоријата за каноидни бранови од петти ред била развиена од Фентон во 1979 година. Детален опис и споредба на теориите за кноидни бранови од петти и петти ред се дадени во написот за преглед на Фентон.

Описите на кноидните бранови, преку ренормализација, исто така се добро прилагодени на брановите на длабока вода, дури и на бесконечна длабочина на вода; како што открил Кламонд. Опис на интеракциите на кноидните бранови во плитка вода, како што се наоѓа во вистинските мориња, е даден од Озборн во 1994 година.

### Површински напон

Во случај кога ефектите на површинскиот напон се (исто така) важни, тие може да се вклучат во решенијата за кноидни бранови за долги бранови.

Решенија за периодични бранови
------------------------------

### Равенка Кортевег-де Врис

Равенката како што се користи за бранови на вода и во димензионална форма, е:

{\displaystyle \partial \_{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial \_{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial \_{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial \_{x}^{3}\eta =0,}
  *Детали*
Non-dimensionalisation
All quantities can be made dimensionless using the gravitational acceleration *g* and water depth *h*:

{\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}   {\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}  и   {\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}
Добиената недимензионална форма на КдВ равенката е 

{\displaystyle \partial \_{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial \_{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial \_{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial \_{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}
Врска со стандардна форма
Формата

{\displaystyle \partial \_{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial \_{\hat {x}}\phi +\partial \_{\hat {x}}^{3}\phi =0}
се добива преку трансформацијата

{\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}   {\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,}   и   {\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}
но оваа форма повеќе нема да се користи во оваа изведба.

Бранови кои се шират со фиксна форма
Се бараат решенија за периодични бранови, кои се движат со фазна брзина *c*. Овие постојани бранови треба да бидат од следново: 

{\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}   with {\displaystyle \xi } бранова фаза:   {\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}
Следствено, парцијалните деривати во однос на просторот и времето стануваат:

{\displaystyle \partial \_{x}\eta =\eta '\,}   и   {\displaystyle \partial \_{t}\eta =-c\,\eta ',\,}
каде што *η* го означува изводотна *η*(*ξ*) во однос на аргумент *ξ*.

Користејќи ги овие во КдВ равенката, се добива следнава обична диференцијална равенка од трет ред:

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}
Интеграција во обична диференцијална равенка од прв ред
Ова може да се интегрирано еднаш, за да се добие :

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}
со *r* и константа на интеграција. Откако ќе се множи со 4 *η''* и ќе се интегрира уште еднаш 

{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}
.
со *s* уште една константа на интеграција. Ова е напишано во форма


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}   with   {\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(A)** |

Кубниот полином *f*(*η*) станува негативен за големи позитивни вредности на *η*, а позитивен за големи негативни вредности на *η*. Бидејќи површинската кота *η* е реално вреднувано, исто така и константите на интеграција *r* и *s* се реални. Полиномот *f* може да се изрази во однос на неговите корени *η1*, *η2' ' и* η3*:*


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle f(\eta )=-\left(\eta -\eta \_{1}\right)\,\left(\eta -\eta \_{2}\right)\,\left(\eta -\eta \_{3}\right).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(B)** |

Бидејќи *f*(*η*) е реално вреднувана, трите корени *η1*, *η2* и  *η3* се или сите три реални, или инаку едното е реално, а преостанатите две се пар од комплексен конјугат. Во вториот случај, со само еден корен со реална вредност, постои само една елевација *η* на која *f*(*η*) е нула. И, следствено, само една кота на која површината наклон *η* е нула. Како и да е, бараме решенија слични на брановите, со две издигнувања - бранот сртот и коритото (физика) - каде што наклонот на површината е нула. Заклучокот е дека сите три корени на *f*(*η*) треба да бидат реално вреднувани.

Без губење на општоста, се претпоставува дека трите вистински корени се подредени како: 

{\displaystyle \eta \_{1}\geq \eta \_{2}\geq \eta \_{3}.\,}
Решение на обично-диференцијална равенка од прв ред**A**) може да се види дека постојат само реални вредности за наклонот ако *f*(*η*) е позитивно. Ова кореспондира со *η2* ≤ *η*≤ *η1*, што според тоа е опсегот помеѓу висината на површината осцилира, видете го и графикот на *f(*η*). Овој услов е задоволен со следнава претстава за котата* η*(*ξ*) :*

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \eta (\xi )=\eta \_{1}\;\cos ^{2}\,\psi (\xi )+\eta \_{2}\,\sin ^{2}\,\psi (\xi ),} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(C)** |

во согласност со периодичниот карактер на бараните бранови решенија и со *ψ*(*ξ*) фазата на тригонометриските функции sin и cos. Од оваа форма, следните описи на различни поими во равенки (**A**) и (**B**) може да се добијат:

{\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta \_{1}&=-\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta \_{2}&=+\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta \_{3}&=\left(\eta \_{1}-\eta \_{3}\right)-\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}
Using these in equations (**A**) и (**B**), се добива следната обична диференцијална равенка која се однесува на *ψ* и *ξ*, по неколку манипулации :

{\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta \_{1}-\eta \_{3}\right)-\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}
со десната страна сè уште позитивна, бидејќи *η1* − *η3* ≥ *η1* − *η2*. Без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека *ψ*(*ξ*) е монотона функција, бидејќи *f*(*η*) нема нули во интервалот *η2* < *η* < *η1*. Така, горната обична диференцијална равенка може да се реши и во однос на тоа што *ξ*(*ψ*) е функција од *ψ*:

{\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}
со:

{\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta \_{1}-\eta \_{3}}}}   and   {\displaystyle m={\frac {\eta \_{1}-\eta \_{2}}{\eta \_{1}-\eta \_{3}}},}
каде што *m* е таканаречениот елиптичен параметар, задоволува *0* ≤ *m* ≤ 1 (бидејќи *η3* ≤  *η2* ≤ *η1*).


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \xi =\pm \,\Delta \,\int \_{0}^{\psi }{\frac {{\text{d}}{\hat {\psi }}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}{\hat {\psi }}}}}=\pm \,\Delta \,F(\psi |m),} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(D)** |

со *F*(*ψ*|*m*) нецелосен елипсовиден интеграл од првиот вид. Елиптичните функции Јакоби cn и sn се инверзи на *F*(*ψ*|*m*) дадени со

{\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}   и  {\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}
Со употреба на равенка (**C**), е пронајдено добиеното кноидно-брановно решение на КдВ равенката 

{\displaystyle \eta (\xi )=\eta \_{2}+\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}
What remains, is to determine the parameters: *η1*, *η2*, *Δ* and *m*.

Relationships between the cnoidal-wave parameters
First, since *η1* is the crest elevation and *η2* is the trough elevation, it is convenient to introduce the wave height, defined as *H* = *η1* − *η2*. Consequently, we find for *m* and for *Δ*:

{\displaystyle m={\frac {H}{\eta \_{1}-\eta \_{3}}}}   и   {\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}   па  {\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}
Решението на каноидниот бран може да се запише како:

**Не можев да расчленам (непозната функција „\begin{array}"): {\displaystyle \eta(\xi) = \eta\_2 + H\, \operatorname{cn}^2 \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} и m \end{array} \right).}**

Второ, коритото се наоѓа на *ψ* = ½ *π*, така што растојанието помеѓу *ξ* = 0 и *ξ* =&nbsp ;½ *λ* е, со *λ* бранова должина, од равенката ( **D**):

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}   давајќи  {\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}
каде што *K*(*m*) е целосен елипсовиден интеграл од првиот вид. Трето, бидејќи бранот осцилира околу средната длабочина на водата, просечната вредност на *η*(*ξ*) треба да биде нула. Значи

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int \_{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int \_{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta \_{2}+\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int \_{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta \_{2}+\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int \_{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta \_{1}-\left(\eta \_{1}-\eta \_{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int \_{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta \_{1}-m\,\left(\eta \_{1}-\eta \_{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int \_{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta \_{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta \_{1}-\eta \_{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta \_{3}\,K(m)+\left(\eta \_{1}-\eta \_{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta \_{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}
каде што *E*(*m*) е целосен елипсовиден интеграл од вториот вид. Следниве изрази за *η1*, *η2* и *η3* како функција на елиптичниот параметар *m* и висината на бранот *H* резултат:

{\displaystyle \eta \_{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}   {\displaystyle \eta \_{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}   and   {\displaystyle \eta \_{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}
Четврто, од равенките (**A**) and (**B**) a relationship can be established between the phase speed *c* and the roots *η1*, *η2* and *η3*:

{\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta \_{1}+\eta \_{2}+\eta \_{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}
The relative phase-speed changes are depicted in the figure below. As can be seen, for *m* > 0.96 (so for 1 − *m* < 0.04) the phase speed increases with increasing wave height *H*. This corresponds with the longer and more nonlinear waves. The nonlinear change in the phase speed, for fixed *m*, is proportional to the wave height *H*. Note that the phase speed *c* is related to the wavelength *λ* and period *τ* as:

{\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}
Résumé of the solution
All quantities here will be given in their dimensional forms, as valid for surface gravity waves before non-dimensionalisation. 

### Равенка Бенџамин-Бона-Махони

Равенката Бенџамин-Бона-Махони (ББМ равенка), или регуларната равенка на долг бран (RLW) е во димензионална форма дадена со:

{\displaystyle \partial \_{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial \_{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial \_{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial \_{t}\,\partial \_{x}^{2}\eta =0.}
Сите величини имаат исто значење како и за КдВ равенката. Равенката BBM често се претпочита пред равенката КдВ бидејќи има подобро однесување на кратки бранови.

Наводи
------

1. ↑  Nezlin, M.V. (1993), *Physics of intense beams in plasmas*, CRC Press, стр. 205, ISBN 978-0-7503-0186-2
2. ↑  Le Méhauté, B. (1976), *An introduction to hydrodynamics and water waves*, Springer, ISBN 978-0-387-07232-6
3. ↑  Dingemans (1997) pp. 718–721.
4. 1 2  Dingemans (1997) pp. 689–691.
5. ↑  Drazin, P.G. (1977), „On the stability of cnoidal waves", *Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics*, **30** (1): 91–105, doi:10.1093/qjmam/30.1.91
6. ↑  Yunfeng Xu; Xiaohe Xia; Jianhua Wang (2012), „Calculation and approximation of the cnoidal function in cnoidal wave theory", *Computers & Fluids*, **68**: 244–247, doi:10.1016/j.compfluid.2012.07.012
7. ↑  Due to the way it has been normalised, the Ursell parameter indicates linear theory is applicable when *U* ≪ 32 *π2 / 3 ≈ 100.*
8. ↑  Sorensen, R.M. (1993), *Basic wave mechanics: for coastal and ocean engineers*, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-55165-2, p. 61.
9. ↑  Fenton, J.D. (1979), „A high-order cnoidal wave theory", *Journal of Fluid Mechanics*, **94** (1): 129–161, Bibcode:1979JFM....94..129F, doi:10.1017/S0022112079000975
10. ↑  Fenton, J.D. (1990), „Nonlinear wave theories", Во Le Méhauté, B.; Hanes, D.M. (уред.), *Ocean Engineering Science*, The Sea, **9A**, Wiley Interscience, стр. 3–25
11. ↑  Clamond, D. (1999), „Steady finite-amplitude waves on a horizontal seabed of arbitrary depth", *Journal of Fluid Mechanics*, **398** (1): 45–60, Bibcode:1999JFM...398...45C, doi:10.1017/S0022112099006151
12. ↑  Clamond, D. (2003), „Cnoidal-type surface waves in deep water", *Journal of Fluid Mechanics*, **489**: 101–120, Bibcode:2003JFM...489..101C, doi:10.1017/S0022112003005111
13. ↑  Osborne, A.R. (1994), „Shallow water cnoidal wave interactions" (PDF), *Nonlinear Processes in Geophysics*, **1** (4): 241–251, doi:10.5194/npg-1-241-1994
14. ↑  Vanden-Broeck, J.-M.; Shen, M.C. (1983), „A note on solitary and cnoidal waves with surface tension", *Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik*, **34**: 112–117, doi:10.1007/BF00962619
15. 1 2  Dingemans (1997) pp. 692–693.
16. 1 2 3  Dingemans (1997) стр. 701.
17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Dingemans (1997) pp. 708–715.
18. ↑  Abramowitz & Stegun (1965) стр. 590.
19. ↑  Елиптичниот параметар *m* се разликува од елиптичниот модул *k*: *m* = *k2< /sup>*. Видете Abramowitz & Stegun (1965) стр. 590.
20. 1 2  Dingemans (1997) p. 694–696.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Физичка океанографија — Бранови и струи |
| --- |
|  |
| Бранови | 
* Ејрова бранова теорија
* Балантајнова скала
* Бенџамин–Фејрова нестабилност
* Бусинескова апроксимација
* Преломник
* Клапотис
* Кноидален бран
* Накрсно море
* Расејување
* Инфагравитациони бранови
* Крајбрежни копнени бранови
* Екваторски бранови
* Повторливост
* Тежински бранови
* Внатрешни бранови
* Келвинов бран
* Кинематички бран
* Крајбрежен нанос
* Луков принцип на променлвиост
* Равенка на блага накосеност
* Стрес на протегање
* Убиствен бран
* Росбиев бран
* Росбиеви тежински бранови
* Состојба на морето
* Сејш
* Значајна бранова висина
* Подмолен бран
* Солитон
* Стоксова гранична обвивка
* Стоксово пловење
* Стоксов бран
* Сурфање
* Надуеност
* Цунами
* Излив
* Урселов број
* Браново движење
* Основа на бранот
* Браново-струјно заемодејство
* Висина на бран
* Моќност на бран
* Раст на морко ниво
* Раст на бран
* Бранов радар
* Турбуленција на бран
* Бранови и плитка вода
	+ Равенки за плитка вода
	+ 1Д Сенвенанова равенка
* Ветерни бранови
* Модел на ветерни бранови
* Повеќе...

 |  |
|  |
| Кружење | 
* Атмосферско кружење
* Бароклиност
* Гранична струја
* Кориолисов ефект
* Надолно тонење
* Витли
* Екманова обвивка
* Екманова Спирала
* Екманов пренос
* Ел Нињо
* Геострофни струи
* Голфска струја
* Халотермално кружење
* Хумболдтова струја
* Хидротермално кружење
* Општ модел на кружењето
* Лангмуирово кружење
* Јамкова струја
* Маелштром
* Океанска струја
* Океанска динамика
* Океански круг
* Мртва струја
* Термохалинско кружење
* Престанок на термохалинското кружење
* Подповршински бранови
* Свердрупова рамнотежа
* Повеќе...

 |
|  |
| Плима и осека | 
* Амфихидромна точка
* Копнени плими
* Досег на плима
* Подводна плима
* Месечевоплимен интервал
* Перигејска плима
* Плимен млаз
* Правило на дванаесетки
* Мртва вода
* Високи/ниски плими
* Првична плима
* Плимна сила
* Плимна моќност
* Плимен брзак
* Плимен опсег
* Плимна резонанца
* Плима и осека
* Плимна линија
* Плимомер
* Повеќе...

 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Физичка океанографија — Останато |
| --- |
|  |
| Земјишни облици | 
* Подводни делти
* Подводни рамнини
* Атол
* Батиметриска карта
* Ладен извор
* Континентална граница
* Континентален раст
* Континентален гребен
* Контури
* Хидрографија
* Гајот
* Океанска котлина
* Океанска висорамнина
* Океански расед
* Пасивна граница
* Морско дно
* Подводна планина
* Подводни клисури
* Крајбрежна географија
* Повеќе...

 |  |
|  |
| Тектоника на плочите | 
* Црн чадач
* Приближувачка граница
* Разидувачка граница
* Зона на раседи
* Хидротермални извори
* Морска геологија
* Средноокеански гребен
* Мохоровичиев прекин
* Вајн–Метју–Морлиева претпоставка
* Океанска кора
* Надворешно грбенско издигнување
* Гребенско туркање
* Ширење на морското дно
* Влечење на плочата
* Вовлекување на плочата
* Празнина меѓу плочата
* Субдукција
* Граничен расед
* Вулкански лак
* Повеќе...

 |
|  |
| Океански зони | 
* Бентал
* Длабокоокеанска вода
* Длабоко море
* Крајбрежје
* Средноокеанска
* Океанска зона
* Широкоморска
* Осветлена
* Сурферска зона

 |
|  |
| Морско ниво | 
* Моментален раст на морското ниво
* Идно морско ниво
* Крива на морското ниво

 |
|  |
| Звук | 
* Океанска звучна томографија
* Звучна бомба
* Звучен канал
* Звук во вода
* Хидроакустика

 |
|  |
| Останато | 
* Алвин
* Арго
* Бентални истражувачи
* Боја на водата
* Гранично море
* Морска енергија
* Океан
* Истражување на океаните
* Набљудување на океаните
* Океанско загадување
* Океанско преанализирање
* Океанска површинска топографија
* Океанско претворање на топлинската енергија
* Океанографија
* Океански таллог
* Површинска микрообвивка на морето
* Површинска температура на морето
* Морска вода
* Наука на сфера
* Термоклина
* Подводна едрилица
* Воден столб
* Атлас на светските океани
* Повеќе...

 |

 |