Хиперсфера во Евклидов простор со димензија 3, е сфера во вообичаена смисла.
**Хиперсфера** или ***n*-сфера** – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од *n*-та димензија или ***n*-сфера**, поточно хиперплоштина на Евклидов простор {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}, со општа ознака {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}.

Дефиниција
----------

Нека *E* е Евклидов простор со димензија *n* + 1, *A* точка во *E*, и *R* реален број строго позитивен. Множеството точки *M* чие растојание до *A* е *R* се нарекува хиперсфера со центар *A* и полупречник *R*.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n+1}x\_{i}^{2}=R^{2}}.
На пример :

* за *n* = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата *R* и –*R* ;
* за *n* = 1, хиперсферата е круг ;
* за *n* = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

Својства
--------

### Зафатнина

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија *n* – 1 и полупречник *R*, што е Евклидова топка од *n*-та димензија, важи :

{\displaystyle V\_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}},
каде {\displaystyle \Gamma } е гама-функција. 
Конкретно :

|  | n парни | n непарни |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle V\_{n}} | {\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}} | {\displaystyle 2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}} |

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија *n* и полупречник 1:

| n | Зафатнина |
| --- | --- |
| точна | приближна |
| 1 | {\displaystyle 2} | {\displaystyle 2} |
| 2 | {\displaystyle \pi } | {\displaystyle 3{,}14159} |
| 3 | {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi } | {\displaystyle 4{,}18879} |
| 4 | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}} | {\displaystyle 4{,}93480} |
| 5 | {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}} | {\displaystyle 5{,}26379} |
| 6 | {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}} | {\displaystyle 5{,}16771} |
| 7 | {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}} | {\displaystyle 4{,}72478} |
| 8 | {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}} | {\displaystyle 4{,}05871} |

Зафатнината на една таква топка е максимална за *n* = 5. За *n* > 5, зафатнината опаѓа кога *n* расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }V\_{n}=0}.
Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2*n*. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од *n*.

### Плоштина

Плоштината на хиперсфера со димензија *n-1* и полупречник *R* може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот *R* од зафатнината *Vn* :

{\displaystyle S\_{n-1}={\frac {dV\_{n}}{dR}}={\frac {nV\_{n}}{R}}={2\pi ^{n/2}R^{n-1} \over \Gamma (n/2)}}.
{\displaystyle S\_{n}={2\pi ^{(n+1)/2}R^{n} \over \Gamma ((n+1)/2)}}.

|  | n парен | n непарен |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle S\_{n}} | {\displaystyle 2^{(n/2)+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}}} | {\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}} |

Значи плоштината на единичната *n*-сфера {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} е:

{\displaystyle {2\pi ^{(n+1)/2} \over \Gamma ({n+1 \over 2})}~.}
Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 *n*-сфери со полупречник 1:

| n | Плоштина на {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} |
| --- | --- |
| точна | приближна |
| 1 | {\displaystyle 2\pi } | {\displaystyle 6{,}28318} |
| 2 | {\displaystyle 4\pi } | {\displaystyle 12{,}56637} |
| 3 | {\displaystyle 2\pi ^{2}} | {\displaystyle 19{,}73920} |
| 4 | {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}} | {\displaystyle 26{,}31894} |
| 5 | {\displaystyle \pi ^{3}} | {\displaystyle 31{,}00627} |
| 6 | {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}} | {\displaystyle 33{,}07336} |
| 7 | {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}} | {\displaystyle 32{,}46969} |

Плоштината на единична *n*-сфера е максимална за *n* = 6. За *n* > 6, плоштината опаѓа кога *n* расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S\_{n}=0}.

Поврзано
--------

* Хиперпирамида
* 3-сфера
* Хиперкоцка

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4182221-3

 |

 |