|  |
| --- |
|  |
| **Бијекција**. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот *B* (од елемент од доменот А). |

Во математиката, **бијективна функција** или **бијекција** е функција *f* : *A* → *B* која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент *b* во кодоменот *B* постои **точно еден** елемент *a* од доменот *A* таков што *f*(*a*)=*b*. Бијекцијата исто така се нарекува **1-1 кореспонденција**.

Терминот *бијективност* и сродните термини *сурјективност* и *инјективност* беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. 

|  |
| --- |
|  |
| **Не е бијекција**. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.) |

Основни својства
----------------

Формално имаме:

{\displaystyle f:A\rightarrow B}  е бијективна функција ако за секој  {\displaystyle b\in B}  постои точно еден  {\displaystyle a\in A}  таков што  {\displaystyle f(a)=b\,.}
Елементот {\displaystyle a} се вика **претслика** на елементот {\displaystyle b}. 

* Функција е бијекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)

**Забелешка:** Сурјекција значи **минимум** една претслика. Инјекција значи **максимум** една претслика. Бијекција значи **точно** една претслика.

Кардиналност
------------

Кардиналноста на едно множество е мерка на *бројот на елементите* во множеството. На пример, ако *A*={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на *А* е 4 и пишуваме #*A*=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со *позната* кардиналност.

* Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
	+ Ако кардиналноста на *A* и *B* е конечен број, #*A*=#*B*=*n* тогаш при доказ дека функцијата *f*:*A* → *B* e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
	+ Ако кардиналноста на *A* и *B* е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

**Пример:** Нека *А*=*B*=ℕ. Идентичната функција *f*(*x*)=*x* e бијекција. Функцијата *f*(*x*)=2*x* е инјекција која не е сурјекција. Функцијата *f*(*x*)=round(*x*/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(*z*) го заокружува *z* така што *f*(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, *f*(2)=round(2/2)=1, *f*(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции
---------------------------

Главна статија: инверзна функција
* Бијекцијата може да се *преврти* со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика **инверзна функција** (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално:
Нека *f* : *A* → *B* е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција *f* е (бијективна) функција *g* : *B* → *A* дефинирана со: ако *f*(*a*)=*b*, тогаш *g*(*b*)=*a*. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени. 

* Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.)
* Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.

**Забелешка:** Нотацијата за инверзна функција на функцијата *f* е проблематична. Имено, со

{\displaystyle f^{-1}(x)}  се означува инверзната функција на **функцијата** *f*, а со
{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} се означува реципрочната вредност на **бројот** *x*.
* Една од најважните особини на бијективните функции е тоа дека **инверзна** релација на бијективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Примери
-------

### Елементарни функции

Нека *f*(*x*):ℝ→ℝ е реална функција *y* од реален аргумент *x*. (Значи влез и излез се броеви.)

* **Графичко толкување**: функцијата *f* е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на *f* во **точно една** точка.
* **Алгебарско толкување**: функцијата *f* е бијекција ако за кој било *y*o постои *x*o таков што *y*o=*f*(*x*o) и ако *f*(*x*o)=*f*(*x*1) значи *x*o=*x*1.

**Пример:** Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно *y*=*ax*+*b* каде што *a*≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.
Инверзна функција: *y*=(*x*-*b*)/*a*
**Пример:** Кубната полиномна функција 
*f*(*x*)=*x*3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива. 

Инверзна функција е *3-ти корен*, односно 
*f*(*x*)= ∛*x*. Слика 5: дебелата зелена крива.

**Пример:** Квадратната функција  
*f*(*x*) = *x*2 **не** е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

### Бијекции и нивните инверзни функции

Нека *f*(*x*):*A*→*B* каде што *A* и *B* се подмножества на ℝ.

* Да претпоставиме дека *f* не е бијекција. За кое било *x* каде што изводот на *f* постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на *f* на δ-околината на *x* е бијекцијата (на сликата на околината).
* Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата *y*=*x*. (Види и Инверзна функција.)

**Пример:** Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)

{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}  каде што  {\displaystyle f(x)=x^{2}}
е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

**Пример:** Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞) 

{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}  каде што  {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: *x**2*. Слика 6: дебелата зелена крива.

**Забелешка:** Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

* доменот на функцијата
* *машината* на функцијата
* кодоменот на функцијата

**Пример:** Нека *машината* биде *f*(*x*)=*x*². 

* Оваа *машина* со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
* оваа иста *машина* со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

**Пример:** Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞) 

{\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )}  каде што  {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}
е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е *a*=10).

**Пример:** Логаритамската функција со основа *a* дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

{\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} }  каде што  {\displaystyle f(x)=\log \_{a}x\,,\,\,a>1}
е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: *a**x*. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е *a*=10).


|  |
| --- |
| Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка. |
| 

---

1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции *f*(*x*):ℝ→ℝ, *f*(*x*)=*ax*+*b*, *a*≠0. | 

---

2. Бијекција. *f*(*x*):ℝ→ℝ. *f*(*x*)=*x*³. | 

---

3. Не е бијекција. *f*(*x*):ℝ→ℝ. *f*(*x*)=*x*². (Не е сурјекција, ниту инјекција). |
| 

---

4. Бијекции. *f*(*x*):ℝ→ (0,+∞). *f*(*x*)=10*x* (тенка жолта) и своја инверзна функција *f*(*x*):(0,+∞)→ℝ. *f*(*x*)=log10*x* (дебела зелена). | 

---

5. Бијекции. *f*(*x*):ℝ→ℝ. *f*(*x*)=*x*³ (тенка жолта) и своја инверзна функција *f*(*x*)=∛*x* (дебела зелена). | 

---

6. Бијекции. *f*(*x*):[0,+∞)→[0,+∞). *f*(*x*)=*x*² (тенка жолта) и своја инверзна функција *f*(*x*)=√*x* (дебела зелена). |

Наводи
------

1. ↑  Weisstein, Eric. „Bijective function" (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 January 2014.[*мртва врска*]
2. ↑  C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 88. Посетено на 1 January 2014.
3. ↑  Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics" (англиски). Tripod. Посетено на 1 February 2014. `|contribution=` е занемарено (help)
4. 1 2  Tanton, James (2005). *Encyclopedia of Mathematics, Cardinality*. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)
5. ↑  „Inverse of Bijection is Bijection" (англиски). Посетено на 1 February 2014.
6. ↑  „Injection iff Left Inverse" (англиски). Посетено на 1 February 2014.
7. ↑  „Surjection iff Right Inverse" (англиски). Посетено на 1 February 2014.
8. ↑  „Bijection iff Left and Right Inverse" (англиски). Посетено на 1 February 2014.

Поврзано
--------

* Функција
* Сурјективна функција
* Инјективна функција
* Инверзна функција

Надворешни врски
----------------

* „Injective, Surjective, Bijective" (англиски). 2013. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен квиз
* „Injectivity, Surjectivity" (англиски). Wolfram Alpha. Посетено на 1 декември 2013.[*мртва врска*] интерактивно

* Портал: Математика

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиња на математиката |
| --- |
|  |
| 
Логика **·** 
Теорија на множествата **·** 
Комбинаторика **·** 
Алгебра (елементарна – линеарна – апстрактна) **·** 
Теорија на броевите **·** 
Анализа/Виша анализа **·** 
Геометрија **·** 
Топологија **·** 
Диференцијални равенки/Динамички системи **·** 
Математичка физика **·** 
Нумеричка анализа **·** 
Сметање **·** 
Теорија на информацијата **·** 
Веројатност **·** 
Статистика **·** 
Оптимизација **·** 
Теорија на игрите
 |
|  |
| **Категорија**  **·**  Портал „Математика"  **·**  Теми |

 |