**Теореми за средна вредност**, име за четири теореми кои во најопшта смисла ги поврзуваат својствата на функциите и нивниот извод. Преку овие теореми, најчесто, се врши практичната примена на диференцијалното сметање. Сите теореми носат име на познати математичари: Пјер Ферма, Мишел Рол, Жозеф Луј Лагранж и Огистен Луј Коши.

Исто така е можно да има повеќе тангенти паралелно со секантот

Теорема на Ферма
----------------

Теоремата на Ферма, или *Прва теорема за средна вредност*, ја има следнава формулација:

* **Нека {\displaystyle \ f(x)} е реална функција определена на интервалот {\displaystyle \ (a,b)} и нека во точката {\displaystyle \ x\_{0}\in (a,b)} има локален екстрем** (локален минимум или локален максимум). **Ако функцијата е диференцијабилна во точката {\displaystyle \ x\_{0}}, тогаш {\displaystyle \ f^{\prime }(x\_{0})=0}.**

Имајќи го предвид значењето на првиот извод на функцијата во некоја точка, теоремата го има следново (неформално) толкување: во точките кои се екстреми на фунцијата, тангентата на графикот на функцијата е паралелна со {\displaystyle \ x}-оската.

### Доказ

Прво да дефинираме локален екстрем на функција. Постојат два вида локални екстреми: локален минимум и локален максимум.

* **Нека функцијата {\displaystyle \ f(x)} е определена на интервал {\displaystyle \ (a,b)}. За неа велиме дека има *локален максимум* во точка {\displaystyle \ x\_{1}\in (a,b)} ако за секој {\displaystyle \ x\in (a,b)} важи: {\displaystyle \ f(x)\leq f(x\_{1})}. Соодветно, за {\displaystyle \ f(x)} велиме дека има *локален минимум* во точка {\displaystyle \ x\_{2}\in (a,b)} ако за секој {\displaystyle \ x\in (a,b)} важи: {\displaystyle \ f(x)\geq f(x\_{2})}.**

Нека претпоставиме дека функцијата {\displaystyle \ f(x)} има локален максимум во точка {\displaystyle \ x\_{0}\in (a,b)}. Тогаш точно е:

{\displaystyle \exists \delta >0,\forall x\in (x\_{0}-\delta ,\,x\_{0}+\delta ),\,\,f(x)\leq f(x\_{0})}
Тогаш за {\displaystyle \ x\in (x\_{0},\,x\_{0}+\delta )}, важи: {\displaystyle \ f(x)-f(x\_{0})\leq 0} и {\displaystyle \ x-x\_{0}\geq 0}. За изводот имаме:

{\displaystyle \ f^{\prime }(x)=\lim \_{x\to x\_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}\leq 0\,\,\,\,\,(\star )}
Ако пак {\displaystyle \ x\in (x\_{0}-\delta ,\,x\_{0})}, важи: {\displaystyle \ f(x)-f(x\_{0})\leq 0} и {\displaystyle \ x-x\_{0}\leq 0}, па во тој случај за изводот имаме:

{\displaystyle \ f^{\prime }(x)=\lim \_{x\to x\_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}\geq 0\,\,\,\,\,(\star \star )}
Бидејќи лимесот {\displaystyle \ f^{\prime }(x)=\lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}} постои (функцијата е диференцијабилна на целиот интервал), се добива дека постојат и левиот и десниот лимес во точката {\displaystyle \ x\_{0}} и дека тие се еднакви; ова е единствено можно, согласно неравенствата {\displaystyle (\star )} и {\displaystyle (\star \star )}, ако {\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0\,\,\,\blacksquare }

Теорема на Рол
--------------

Теоремата на Рол, или Втора теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:

* **Нека функцијата {\displaystyle \ f(x)} е определена на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилна на {\displaystyle \ (a,b)} и нека {\displaystyle \ f(a)=f(b)=0}. Тогаш постои точка {\displaystyle \ x\in (a,b)} таква што {\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0}.**

Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, во кои пак има вредност еднаква на нула, тогаш таа сигурно има екстрем на тој интервал.

### Доказ

Функцијата {\displaystyle \ f} е непрекината на интервалот {\displaystyle \ [a,b]}, што значи дека постојат точки од интервалот во кои таа ги достигнува својата најмала и најголема вредност. Нека тие вредности ги означиме со {\displaystyle \ m} и {\displaystyle \ M} соодветно, т.е.

{\displaystyle \ m=\inf \_{x\in [a,b]}f(x)}
{\displaystyle \ M=\sup \_{x\in [a,b]}f(x)}
* Ако {\displaystyle \ m=M}, тогаш заради вредноста на функцијата во крајните точки имаме: {\displaystyle \ f(x)=0} за секоја точка од интервалот, што значи дека {\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0}, од каде следи точноста на тврдењето.
* Ако {\displaystyle \ m<M}, тогаш е точно барем едно од следниве тврдења: или {\displaystyle \ m<0} или {\displaystyle \ M>0} (ако {\displaystyle \ M<0}, тогаш сигурно и {\displaystyle \ m<0}; ако пак {\displaystyle \ m>0}, тогаш сигурно и {\displaystyle \ M>0}).

Да претпоставиме {\displaystyle \ M>0}. Тогаш заради непрекинатоста на {\displaystyle \ f}, постои точка {\displaystyle \ x\_{0}\in (a,b)} така што {\displaystyle \ M=f(x\_{0})}. Точката {\displaystyle \ x\_{0}} не се наоѓа на крајот од интервалите, зашто тука функцијата по услов е еднаква на нула, додека {\displaystyle \ M=f(x\_{0})} под претпоставка е различен од нула. Сега избираме вредност {\displaystyle \ \delta =\min\{\left|x-a\right|,\left|x-b\right|\}}. Тогаш на интервалот {\displaystyle \ \left(x\_{0}-\delta ,x\_{0}+\delta \right)\subseteq (a,b)} функцијата {\displaystyle \ f} во точката {\displaystyle \ x\_{0}} има локален максимум, па според Теоремата на Ферма следи дека: {\displaystyle \ f^{\prime }(x\_{0})=0}; значи покажавме дека постои барем една точка од интервалот во која изводот на функцијата е нула. Истата постапка се применува и ако претпоставиме {\displaystyle \ m<0}. {\displaystyle \,\,\,\blacksquare }

Дополнително, тврдењето од теоремата е точно и ако наместо условот {\displaystyle \ f(a)=0=f(b)}, исполнет е условот {\displaystyle \ f(a)=f(b)}.

Теорема на Лагранж
------------------

Теорема на Лагранж, или Трета теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:

* **Нека функцијата {\displaystyle \ f(x)} е определена на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилна на {\displaystyle \ (a,b)}. Тогаш постои точка {\displaystyle \ c\in (a,b)} така што важи:**

{\displaystyle \ f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)}
или поинаку претставено:

{\displaystyle \ f^{\prime }(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, тогаш постои точка од внатрешноста на тој интервал во која тангентата на графикот на функцијата е паралелна со секантата на графикот на функцијата која минува низ крајните точки од интервалот.

**Забелешка:** името *теорема за средна вредност* најчесто се употребува конкретно за оваа теорема. Тоа, меѓутоа, иако е точно не треба да се меша со името на сите *четири* теореми за средна вредност!

### Доказ

Доказот е малку поапстрактен од претходните. Нека се исполнети потребните услови: функцијата {\displaystyle \ f(x)} е определена на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилна на {\displaystyle \ (a,b)}. Специјално ја формираме функцијата

{\displaystyle \ g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}
Функцијата е непрекината на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилна на интервалот {\displaystyle \ (a,b)} бидејќи е „изведена" од функцијата {\displaystyle \ f(x)}, и дополнително важи: {\displaystyle \ g(a)=g(b)=0}. Тогаш, според Теоремата на Рол, постои точка {\displaystyle \ c\in (a,b)} така што {\displaystyle \ g^{\prime }(c)=0}, т.е.

{\displaystyle \ g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0}
Следи:

{\displaystyle \ f^{\prime }(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,\,\,\,\,\blacksquare }

Теорема на Коши
---------------

Теорема на Коши или Четврта теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:

* **Нека функциите {\displaystyle \ f(x)} и {\displaystyle \ g(x)} се определени на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилни на {\displaystyle \ (a,b)}. Тогаш постои точка {\displaystyle \ c\in (a,b)} така што важи:**

{\displaystyle \ \left(f(b)-f(a)\right)g^{\prime }(c)=\left(g(b)-g(a)\right)f^{\prime }(c)}.
или поинаку претставено:

{\displaystyle \ {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
**Забелешка:** ако теоремата на Лагранж се нарекува Теорема за средна вредност, тогаш теоремата на Коши се нарекува *Проширена теорема за средна вредност*.

### Доказ

Ќе примениме слична постапка како при доказот на Теоремата на Лагранж. Нека ни се исполнети потребните услови: нека функциите {\displaystyle \ f(x)} и {\displaystyle \ g(x)} се определени на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилни на {\displaystyle \ (a,b)}. Специјално ја формираме функцијата:

{\displaystyle \ h(x)=[f(b)-f(a)]\cdot g(x)-[g(b)-g(a)]\cdot f(x)}
Оваа функција е непрекината на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} и диференцијабилна на интервалот {\displaystyle \ (a,b)} бидејќи е „изведена" од функциите {\displaystyle \ f(x)} и {\displaystyle \ g(x)} и дополнително {\displaystyle \ h(a)=h(b)}. Тогаш според Теоремата на Рол, постои точка {\displaystyle \ c\in (a,b)} таква што {\displaystyle \ h^{\prime }(c)=0}. Тогаш:

{\displaystyle \ h^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]\cdot g^{\prime }(c)-[g(b)-g(a)]\cdot f^{\prime }(c)=0}
од каде следи:

{\displaystyle \ [f(b)-f(a)]\cdot g^{\prime }(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^{\prime }(c)\,\,\,\,\,\blacksquare }

Интересно
---------

Воочлив е фактот дека сите теореми носат име на некој француски математичар. Честопати на шега се именуваат како *француски теореми*.

Извори
------

* Шекутковски, Никита Архивирано на 21 декември 2007 г.: *Математичка анализа I*, Просветно Дело, Скопје, 1996