**Експоненцијална функција** – една од најважните функции во математиката. Се означува како exp(*x*) или *e**x*, при што *e* е приближно еднакво на 2,71828183, што всушност е Неперова константа, основа на природниот логаритам.

Експоненцијалната функција е скоро рамна (бавно расте) за негативни вредности на x, а потоа брзо расте за позитивни вредности на x.
Експоненцијалната функција је реална функција со една променлива, дефинирана за сите реални броеви, која е секогаш позитивна и растечка. Никогаш не ја допира *x*-оската, иако *x*-оската ѝ е единствена асимптота. Нејзината инверзна функција, природниот логаритам, е дефинирана само за позитивни вредности на променливата *x*.

Понекогаш, особено во науката, изразот **експоненцијална функција** се користи да означи функција со облик *a**x*, каде *a*, која се нарекува *база* или *основа*, е кој било позитивен реален број. Оваа статија се фокусира на експоненцијална функција со основа *e*.

Поопшто, *x* може да биде кој било реален или комплексен број, или дури, тотално различен математички објект - види ја формалната дефиниција подолу.

Својства
--------

Со употреба на природниот логаритам, може да се дефинира нешто погенерална експоненцијална функција. Функцијата

{\displaystyle \!\,a^{x}=e^{x\ln a}}
дефинирана за секое *a* > 0, и за секој реален број *x* се нарекува **експоненцијална функција со основа**  ***a***.

Горната еднаквост важи за *a* = *e*, бидејќи

{\displaystyle \!\,e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^{x}.}
Експоненцијалните функции ги „соединуваат" собирањето и множењето, што се гледа од следните *експоненцијални закони*:

{\displaystyle \!\,a^{0}=1}
{\displaystyle \!\,a^{1}=a}
{\displaystyle \!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}}
{\displaystyle \!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}}
{\displaystyle \!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}}
{\displaystyle \!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}}
Горното важи за сите позитивни реални броеви *a* и *b*, и за сите реални броеви *x* и *y*. Изразите кои вклучуваат дропки и коренување често може да се поедностават со користење на експоненцијална нотација бидејќи:

{\displaystyle {1 \over a}=a^{-1}}
и, за секое *a* > 0, реален број *b*, и цел број *n* > 1:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}}
За секоја реална константа *c* важи:

{\displaystyle f'(0)=\lim \_{h\to 0}{\frac {e^{ch}-1}{h}}=c}
за {\displaystyle f(x)=e^{ch}}

Изводи и диференцијални равенки
-------------------------------

Значењето на експоненцијалната функција во математиката и науката воопшто главно потекнува од својствата на нејзиниот извод. Поконкренто,

{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}
Се гледа дека *e**x* е извод на самиот себе, што е единствено својство меѓу сите реални функции. Други начини да се искаже истото вклучуваат:

* Наклонот на графиконот на експоненцијална функција во која било точка е еднаков на вредноста на функцијата во таа точка.
* Стапката на пораст на експоненцијална функција во точката *x* е еднаква на вредноста на функцијата во таа точка.
* Експоненцијалната функција е решение на диференцијалната равенка {\displaystyle y'=y}.

Огромен број диференцијални равенки имаат решенија во експоненцијалните функции, вклучувајќи ја Шредингеровата и Лапласовата равенка, како и равенката на просто хармониско движење.

За експоненцијалните функции со останати основи важи:

{\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}}
Спрема тоа, секоја експоненцијална функција е константен умноженик од сопствениот извод.

Доколку растот или опаѓањето на променливата е пропорционално на нејзината величина – како во случај на неограничен раст на населението, радиоактивен распад, сложени камати – тогаш таа променлива може да се пишува како константа помножена со експоненцијална функција на времето.

Понатаму, за која било диференцијална функција f(x) важи:

{\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}

Формална дефиниција
-------------------

Експоненцијалната функција e*x* може да се дефинира на доста еквивалентни начини, преку бесконечни редови. Поодредено, може да се дефинира преку степени редови:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
или како лимес на следната секвенца:

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}
Во овие дефиниции, {\displaystyle n!} означува факториел на бројот *n*, а *x* е или произволен реален број, комплексен број, елемент од Банаховата алгебра (на пример, квадратна матрица).

Бројчена вредност
-----------------

За да добиеме бројчена вредност на експоненцијалната функција, бесконечниот ред може да се напише како:

{\displaystyle e^{x}={1 \over 0!}+x\,\left({1 \over 1!}+x\,\left({1 \over 2!}+x\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)}
{\displaystyle =1+{x \over 1}\left(1+{x \over 2}\left(1+{x \over 3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}
Овој израз брзо конвергира доколку x е помало од 1.

За да се оствари ова, може да се искористи следната еднаквост.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle e^{x}\,} | {\displaystyle =e^{z+f}\,} |
|  | {\displaystyle =e^{z}\times \left[{1 \over 0!}+f\,\left({1 \over 1!}+f\,\left({1 \over 2!}+f\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)\right]} |

* каде {\displaystyle z} е цел дел од {\displaystyle x}
* каде {\displaystyle f} е дел зад подвижната запирка од {\displaystyle x}
* следи, {\displaystyle f} е секогаш помала од 1 и збирот {\displaystyle f} и {\displaystyle z} го дава {\displaystyle x}.

Вредноста на константата ez може претходно да се пресмета множејќи го *e* само со себе *z* пати.

На комплексна рамнина
---------------------

Кога се посматра како функција на комплексна променлива, експоненцијалната функција ги задржува своите битни својства:

{\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
{\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}
{\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
за секое *z* и *w*.

Ваквата експоненцијална функција е холоморфна со имагинарна периода {\displaystyle 2\pi i} и може да се напише како:

{\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
каде *a* и *b* се реални броеви. Оваа формула ја поврзува експоненцијалната функција со тригонометриските и хиперболичните функции. Со ова се гледа дека сите елементарни функции освен полиномните, се потомци на експоненцијалните функции во една или друга смисла.

Погледајте ја и Ојлеровата формула.

Матрици и Банахова алгебра
--------------------------

Дефиницијата на експоненцијалната функција даден погоре може да се користи и за секоја Банахову алгебра, и поодредено за квадратни матрици. Во овој случај имаме:

{\displaystyle \ e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\mbox{ if }}xy=yx}
{\displaystyle \ e^{0}=1}
{\displaystyle \ e^{x}} има инверзен и тој е {\displaystyle \ e^{-x}}
извод {\displaystyle \ e^{x}} во точката {\displaystyle \ x} е онаа матрица која го пресликува {\displaystyle \ u} во {\displaystyle \ ue^{x}}.

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Експоненцијална функција" на Ризницата ? |