Во математиката **најголем заеднички делител** (НЗД) на два ненулта цели броја е најголемиот позитивен цел број што ги дели двата броја без остаток.

Преглед
-------

Најголемиот заеднички делител на броевите *a* и *b* се означува како НЗД(*a*, *b*), или понекогаш поедноставно како (*a*, *b*). На пример, НЗД(12, 18) = 6, НЗД(-4, 14) = 2 и НЗД(5, 0) = 5. Два броја се *заемно прости* ако нивниот најголем заеднички делител е еднаков на 1. На пример, 9 и 28 се прости.

Најголемиот заеднички делител е корисен за скратување на дропки. На пример, НЗД(42, 56)=14, затоа,

{\displaystyle {42 \over 56}={3\cdot 14 \over 4\cdot 14}={3 \over 4}}

Пресметување
------------

Најголемиот заеднички делител начелно може да се пресмета со множење на два броја и споредување на множителите, како во следниот пример: за да се најде НЗД(18, 84), ги наоѓаме простите множители од 18 = 2·3 2 и 84 = 2 2 ·3·7 и забележуваме дека *преклопувањето на* двата израза е 2·3; па НЗД(18, 84) = 6. Во пракса, овој метод е изводлив само за многу мали броеви; разлагањето на прости множители начелно може да биде многу комплицирано.

Многу поефикасен метод е Евклидовиот алгоритам, кој користи алгоритам за делење комбиниран со фактот дека НЗД на два броја ја дели и нивната разлика: ако 84 се подели со 18 се добива количник 4 и остаток 12. Потоа се дели 18 со 12 и се добива количник 1 и остаток 6. Потоа се дели 12 со 6 и добиваме остаток 0, што значи дека 6 е НЗД.

Ако *a* и *b* не се еднакви на нула, најголемиот заеднички делител на *a* и *b* може да се пресмета со користење на најмалиот заеднички содржател (НЗС) од броевите *a* и *b*:

{\displaystyle \operatorname {nzd} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {nzs} (a,b)}}.}

Својства
--------

* Секој заеднички делител на броевите *a* и *b* го дели и НЗД(*a*, *b*).
* НЗД, каде што *a* и *b* не се еднакви на нула може да се дефинира алтернативно и еквивалентно како најмал позитивен цел број *d*, кој може да се напише во облик *d* = *a*·*p* + *b*·*q* каде *p* и *q* се цели броеви. Овој израз се нарекува Безуов идентитет. Броевите *a* и *b* може да се добијат со помош на проширениот Евклидов алгоритам.
* НЗД(*a*, 0) = |*a*|, за *a* ≠ 0, бидејќи секој број ја дели 0, а најголемиот делител *a* е |*a*|. Ова обично се користи како основен случај на Евклидов алгоритам.
* Ако *a* го дели производот *b*·*c*, и нзд(*a*, *b*) = *d*, тогаш *a*/*d* го дели *c*.
* Ако *m* е кој било цел број, тогаш нзд(*m*·*a*, *m*·*b*) = *m*·нзд(*a*, *b*) и нзд(*a* + *m*·*b*, *b*) = нзд(*a*, *b*). Ако *m* е различно од нула, и заедничкиот делител на броевите *a* и *b*, тогаш нзд(*a*/*m*, *b*/*m*) = нзд(*a*, *b*)/*m*.
* НЗД е мултипликативна функција во следнава смисла: ако *a*1 и *a*2 се заемно прости, тогаш нзд(*a*1·*a*2, *b*) = нзд(*a*1, *b*)·нзд(*a*2, *b*).
* НЗД на три броја може да се пресмета како нзд(*a*, *b*, *c*) = нзд(нзд(*a*, *b*), *c*) = нзд(*a*, нзд(*b*, *c*)). Затоа велиме дека НЗД е асоцијативна операција.
* НЗД е тесно поврзан со најмалиот заеднички содржател нзс: имаме

нзд(*a*, *b*)·нзс(*a*, *b*) = *a*·*b*.
Оваа формула често се користи за пресметување на најмал заеднички содржател: прво се пресметува НЗД со помош на Евклидовиот алгоритам, а потоа производот на двата броја се дели со нивниот НЗД. Важат следните верзии на дистрибутивност:
нзд(*a*, нзс(*b*, *c*)) = нзс(нзд(*a*, *b*), нзд(*a*, *c*))
нзс(*a*, нзд(*b*, *c*)) = нзд(нзс(*a*, *b*), нзс(*a*, *c*)).

Веројатности и очекувана вредност
---------------------------------

Веројатноста дека два случајно избрани цели броеви {\displaystyle A} и {\displaystyle B} имаат даден најголем заеднички делител {\displaystyle d} е {\displaystyle 6 \over {\pi ^{2}d^{2}}}. Ова произлегува од карактеризацијата на nzd() како цел број {\displaystyle d} такво да {\displaystyle d|A,B} и {\displaystyle A/d} и {\displaystyle B/d} се меѓусебно прости. Веројатноста дека два цели броеви делат фактор {\displaystyle d} е {\displaystyle d^{-2}}. Веројатноста два цели броја да се заемно прости е {\displaystyle 1/\zeta (2)=6/\pi ^{2}}.

Користејќи ги овие податоци, може да се пресмета очекуваната вредност на функцијата НЗД. Тоа е:

{\displaystyle \mathrm {E} (\mathrm {nzd} )=\sum \_{d=2}^{\infty }d{\frac {6}{\pi ^{2}d^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\sum \_{d=2}^{\infty }{\frac {1}{d}}}
Последната сума е хармониски ред, кој дивергира. Затоа, очекуваната вредност на најголемиот заеднички делител на две променливи не е добро дефинирана. Сепак, ова не е секогаш точно. За најголем заеднички делител на променливи {\displaystyle k\geq 3}, очекуваната вредност е добро дефинирана и е еднаква на:

{\displaystyle \mathrm {E} (\mathrm {nzd} (X\_{1},\cdots ,X\_{k}))=\sum \_{d=2}^{\infty }d^{1-k}\zeta (k)^{-1}={\frac {\zeta (k-1)}{\zeta (k)}}}.
За {\displaystyle k=3}, ова е приближно еднакво на 1,3684. За {\displaystyle k=4}, е приближно 1,1106.

Поврзано
--------

* Најмал заеднички содржател
* Проширен Евклидов алгоритам

Надворешни врски
----------------

* Имплементација на НЗД во јазикот ++
* Онлајн калкулатор
* Онлајн nzd калкулатор
* НЗД на