Вовед
-----

  

Mодулација е трансформирањe на електричниот сигнал кој во себе содржи корисни информации во облик соодветен за преносот т.е. транспонирање на висока честота се нарекува модулација. Постојат аналогни и дигитални модулациски техники. 
Дигиталните модулациски техники се делат на:

* Дигитална амплитудна модулација - ASK
* Дигитална честотна модулација - FSK
* Дигитална Фазна модулација - PSK

Дигитална фазна модулација - PSK е модулациска шема која ги пренесува податоците со тоа што ја менува или модулира фазата на референтниот сигнал.

Дигитална фазна модулација PSK
------------------------------

Секоја дигитална модулациска шема користи конечен број од различни сигнали за претставување на дигиталните податоци.
  

PSK користи конечен број на фази, на секоја доделен уникатен модел од бинарни цифри. Обично секоја фаза енкодира еднаков број на битови.
  

Секој модел од битови формира симбол кој е претставен од одредена фаза.
  

Демодулаторот, кој е дизајниран посебно за множеството симболи користени од модулаторот, ја одредува фазата на примениот сигнал и го враќа во симболот што го претставува, со што ги враќа назад оригиналните податоци. Ова побарува примачот да биде во можност да ги спореди примениот сигнал со референтниот сигнал и ваквиот систем е наречен поврзан (кохерентна шема) CPSK систем. Алтернативно, наместо да се користат бит-моделите за промена на фазата на бранот, може да се користат за промена според одреден износ. Потоа демодулаторот ги одредува промените во фазата од примениот сигнал наместо самата фаза. Откако оваа шема зависи на разликитe помеѓу последователните фази, наречена е диференцијална дигитална модулација DPSK. DPSK може да биде значајно поедноставен од обичната PSK поради тоа што нема потреба демодулаторот да има копија од референтниот сигнал за да ја одреди истата фаза од примениот сигнал (некохерентна шема). За разлика, произведува повеќе неправилни демодулации.
  

Во PSK, фазата се менува за да се претстават податочните сигнали. Постојат два основни начини за искористување на фазата на сигналот на овој начин:

* Со гледање на самата фаза како за пренос за информации, со што демодулаторот мора да има референтен сигнал за да го спореди со примениот сигнал, или
* Со гледање на промената во фазата како пренос на информации - диференцијални шеми;

Пример за констелациски дијаграм
Погоден начин за да се претстави PSK шемата е констелациски дијаграм. Констелацискиот дијаграм е приказ на модулиран сигнал од страна на дигитална модулациска шема како на пример PSK. Ги претставува можните симболи коишто можат да бидат избрани од страна на некоја дигитална модулациска шема.

### Дефиниции

За одредување на стапката на грешките математички некои од следниве дефиниции ќе ни бидат потребни:

* {\displaystyle E\_{b}} = Енергија по бит
* {\displaystyle E\_{s}} = Енергија по симбол = {\displaystyle nE\_{b}} со *n* битови по симбол
* {\displaystyle T\_{b}} = Времетраење на бит
* {\displaystyle T\_{s}} = Времетраење на симбол
* {\displaystyle N\_{0}/2} = Бучава на спектрална густина (W/Hz)
* {\displaystyle P\_{b}} = Веројатност на грешка по бит
* {\displaystyle P\_{s}} = Веројатност на грешка по симбол

{\displaystyle Q(x)} ќе ја даде веројатноста дека еден пример земен случајно од некој процес со нула значење ќе биде поголем или еднаков на {\displaystyle x}

{\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{x}^{\infty }e^{-t^{2}/2}dt={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq {}0}.

Бинарна дигитална модулација BPSK
---------------------------------

Пример на констелациски дијаграм за BPSK (2-PSK)
Бинарната дигитална модулација BPSK ги користи фазите на синусните бранови за кодирање на битовите.
Бинарната дигитална модулација BPSK е наједноставната и најфлексибилна форма од PSK. Користи само две фази кои се меѓусебно разделени за 180о, поради што може да се нарече 2-PSK. Не е посебно важно каде се поставени двете констелациски точки, на оваа слика се поставени на 0о и 180о. Оваа модулација е една од најробусните модулации на PSК поради тоа што го зема највисокото ниво на шум за да демодулаторот постигне неточна одлука. Со оваа модулација можно е само да се модулира 1 бит/симбол како што се гледа на сликата и не е погодна за поголеми податочни стапки каде што пропусниот опсег е ограничен. Во присуство на произволна фаза за промена воведени од страна на комуникациски канал, демодулаторот не е во можност да одреди која констелациска точка кому му припаѓа и како резултат на ова често податоците се различно кодирани пред модулацијата.
Бинарната дигитална модулација BPSK наоѓа широка примена во сателитската комуникација.

### Имплементација

Равенка за општата форма на бинарната дигитална фазна модулација - BPSK

{\displaystyle s\_{b}(t)={\sqrt {\frac {2E\_{b}}{T\_{b}}}}\cos(2\pi f\_{c}t+\pi (1-n)),n=0,1.}
Две фази 0 и π. Во специфичната форма бинарните податоци се понекогаш пренесени со следниве сигнали:

{\displaystyle s\_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E\_{b}}{T\_{b}}}}\cos(2\pi f\_{c}t+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E\_{b}}{T\_{b}}}}\cos(2\pi f\_{c}t)} за бинарно "0"
{\displaystyle s\_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E\_{b}}{T\_{b}}}}\cos(2\pi f\_{c}t)} за бинарно "1"
каде што *f**c* е честотата на пренесувањето на бранот.  

Оттаму, просторниот сигнал може да се претстави со една основна функција

{\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T\_{b}}}}\cos(2\pi f\_{c}t)}
каде што 1 е претставен со {\displaystyle {\sqrt {E\_{b}}}\phi (t)} и 0 - та е претставена со {\displaystyle -{\sqrt {E\_{b}}}\phi (t)}. 

### Веројатноста за погрешни битови

Веројатноста на погрешни битови во BPSK може да биде пресметан на следниов начин:

{\displaystyle P\_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E\_{b}}{N\_{0}}}}\right)} or {\displaystyle P\_{b}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E\_{b}}{N\_{0}}}}\right)}
Врз основа на тоа што имаме еден бит за симбол, оваа формула претставува и веројатност на погрешен бит на симбол

Квадратна дигитална модулација QPSK
-----------------------------------

Констелациски дијаграм за QPSK
Позната како квадратна модулација, 4-PSK или 4-QAM.
  

QPSК користи четири точки на констелацискиот дијаграм на точно разделени места на кругот како што се гледа на сликата. Со четири фази, QPSK може да енкодира 2 бит/симбол како што се гледа на сликата за да ја намали големината на грешката. Математичките анализи покажуваат дека QPSK може да се користи за да ја зголеми брзината на проток на податоци во споредба со BPSK со задржување на истиот пропусен опсег на сигналот или да ја задржи брзината на проток од BPSK ама со преполовување на потребниот пропусен опсег.

### Имплементација

Имплементацијата на QPSK е многу поошта од BPSK и исто така укажува на имплементацијата на PSK на повисоко ниво. Пишувањето на симболите во констелацискиот дијаграм во однос на синусните и косинусните бранови користени за да ги префрли:

{\displaystyle s\_{i}(t)={\sqrt {\frac {2E\_{s}}{T}}}\cos \left(2\pi f\_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}
Ова ги дава четирите фази π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4 колку и што е потребно.
Ова резултира во дводимензионален сигнален простор со основна функција за единица.

{\displaystyle \phi \_{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{T\_{s}}}}\cos(2\pi f\_{c}t)}
{\displaystyle \phi \_{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{T\_{s}}}}\sin(2\pi f\_{c}t)}
Првата основна функција се користи како фазна компонента од сигналот, а втората како квадратна компонента на сигналот.
Оттука, констелацискиот дијаграм се состои од четири сигнално просторни точки.

{\displaystyle \left(\pm {\sqrt {E\_{s}/2}},\pm {\sqrt {E\_{s}/2}}\right).}
QPSK може да биде имплементиран на повеќе начини. Илустрација на главните компоненти на структурата на предавателот и приемникот е дадена долу.

Структура на приемник за QPSK. Нагодените филтри (matched filters) можат да се заменат со корелатори. Секое детектирачко коло користи вредност на референтен праг за да определи дали се детектира 1 или 0.
### Веројатноста за погрешни битови

Веројатноста на погрешни битови во QPSК се пресметува на ист начин како и кај BPSK:

{\displaystyle P\_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E\_{b}}{N\_{0}}}}\right)} or {\displaystyle P\_{b}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E\_{b}}{N\_{0}}}}\right)}
За наоѓање на веројатноста на грешка по симбол се употребува следнава формула:


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \,\!P\_{s}} | {\displaystyle =1-\left(1-P\_{b}\right)^{2}} |
|  | {\displaystyle =2Q\left({\sqrt {\frac {E\_{s}}{N\_{0}}}}\right)-Q^{2}\left({\sqrt {\frac {E\_{s}}{N\_{0}}}}\right)}. |

### Варијанти на QPSK

#### Офсет QPSK (OQPSK)

Сигналот не поминува низ нула поради тоа што се менува само еден бит по симбол
Офсет QPSK или OQPSK e варијанта од дигиталната фазна модулација PSK која користи четири различни вредности од фазата за пренесување на податоци.

Разликата на фазата помеѓу QPSK и OQPSK
Со земање на четири вредности на фазата (два бита) во исто време за да се конструира QPSK симбол и овозможува фазата од сигналот да се преместува за 180 степени. Кога сигналот е слабо филтриран (како што е случајот во предавателот) овие фазни поместувања резултираат во големи амплитудни флуктуации, непожелен квалитет во комуникациските системи. Со неутрализирање на тајмингот на парни и непарни битови со еден бит-период, или со половина симбол-период, влезната фаза и квадратурните компоненти нема никогаш да се променат во исто време.
На констелацискиот дијаграм што стои на десна страна се покажува дека ова ќе го лимитира фазното поместување на не повеќе од 90 степени.
Другата слика на десната страна ја покажува разликата на однесувањето на фазата помеѓу обичните QPSK и OQPSK. Може да се види дека на првиот дијаграм фазата може да се помести за 180 степени, додека на вториот дијаграм на истата слика не може да се помести повеќе од 90 степени.
Подолу е даден за пример дел од модулиран сигнал според OQPSK.

Временски дијаграм за OQPSK
#### π/4–QPSK

Двоен констелациски дијаграм за π/4-QPSK. Овде се прикажани двата констелациски дијаграми, соодветните бои припаѓаат за едниот и другиот дијаграм и како што се гледа одвоени се со 45 степени
π/4–QPSK e финална варијанта од QPSK која користи две идентични констелации кои се ротирани за 45 степени. Обично, парните и непарните симболи се земаат за да се изберат точките на констелацискиот дијаграм и тоа од кој констелациски дијаграм да се земат. Ако парните симболи се користат за земање точки од едниот дијаграм, тогаш, непарните служат за одбирање точки од другиот дијаграм. 
Пример на констелациски дијаграм е даден од десната страна и пример за модулиран сигнал според π/4–QPSK е даден подолу.

Временски дијаграм за π/4-QPSK.

PSK од повисок ред
------------------

Констелациски дијаграм за 8-PSK.
Кој било број од фазите може да биде употребен за конструирање на констелацискиот дијаграм, ама 8-PSK е констелациски дијаграм направен на повисок ред. Со повеќе од осум фази големината на грешката е многу висока. Кој било број од фазата може да биде искористен само што фактот дека констелацискиот дијаграм мора да работи со бинарни податоци значи дека ова овозможува ист број на битови по симбол. 

### Веројатноста за погрешни битови

За општата M-PSK нема едноставна равенка за веројатноста за грешките по симбол ако М>4.
За жал може да се добие од следново равенство

{\displaystyle P\_{s}=1-\int \_{-{\frac {\pi }{M}}}^{\frac {\pi }{M}}p\_{\theta \_{r}}\left(\theta \_{r}\right)d\theta \_{r}}
каде што

{\displaystyle p\_{\theta \_{r}}\left(\theta \_{r}\right)={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma \_{s}\sin ^{2}\theta \_{r}}\int \_{0}^{\infty }Ve^{-\left(V-{\sqrt {4\gamma \_{s}}}\cos \theta \_{r}\right)^{2}/2}dV},
{\displaystyle V={\sqrt {r\_{1}^{2}+r\_{2}^{2}}}},
{\displaystyle \theta \_{r}=\tan ^{-1}\left(r\_{2}/r\_{1}\right)},
{\displaystyle \gamma \_{s}={\frac {E\_{s}}{N\_{0}}}} and
{\displaystyle r\_{1}\sim {}N\left({\sqrt {E\_{s}}},N\_{0}/2\right)} and {\displaystyle r\_{2}\sim {}N\left(0,N\_{0}/2\right)}
Грешка по битови BPSK, QPSK, 8-PSK и 16-PSK, AWGN канал.
Ова може да биде апроксимирано за високо {\displaystyle M} и високо {\displaystyle E\_{b}/N\_{0}} со:

{\displaystyle P\_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma \_{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right)}.
Графот од левата страна ги споредува грешките по битови за BPSK, QPSK (коишто се исти), 8-PSK и 16-PSK. Се гледа дека модулациите од повисок ред се изложени на повисоки грешки по бит.

Капацитет на канал
------------------

Како сите М-арни модулациски шеми со М=2b симболи, капацитетот на каналот за која било фазна дигитална модулациска шема достигнува максимално b бита по симбол.

Наводи
------

Овој материјал се заснова и е преземен од следниве извори:

* Proakis, John G. (1995). *Digital Communications*. Singapore: McGraw Hill. ISBN 0-07-113814-5.
* Couch, Leon W. II (1997). *Digital and Analog Communications*. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-081223-4.
* Haykin, Simon (1988). *Digital Communications*. Toronto, Canada: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62947-2.