*Ова не е исто што и Линеарна равенка.*
Линеарна функција
Постојат повеќе дефиниции за **линеарна функција** во светот.

* Линеарна функција се дефинира како  полиномна функција од прв степен од една независно променлива *х* , од што следува дека:
	+ Во експлицитен облик имаме:   {\displaystyle f(x)=ax+b}  или  {\displaystyle y(x)=ax+b}  или  {\displaystyle y=ax+b,\,a\neq 0}.
	+ Бидејќи тука *а*≠0, опаѓаат константни функции (хоризонтални прави) и остануваат само **коси** прави во рамнината.
	+ Оваа дефиниција има природно место помеѓу константна функција и квадратна функција.

  

* Линеарна функција се дефинира како функција чиј графикон е права во рамнина , од што следува дека:
	+ Во експлицитен облик имаме:   {\displaystyle f(x)=ax+b}  или  {\displaystyle y(x)=ax+b}  или  {\displaystyle y=ax+b}.
	+ Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави *y*=*b*, односно константни полиноми. (Вертикални прави *x*=*b* не се функции.)
	+ Забелешка: оваа дефиниција е **без условот *a*≠0**.

  


---

* Потоа, во линеарна аглебра понекогаш се користи изразот *линеарна функција* за поимот *линеарно пресликување*.
	+ Линеарно пресликување е пресликување *f* со услов дека *f*(*a**x*+*b**y*)=*a**f*(*x*)+*b**f*(*y*).
	+ Како комбинација на сите погорни дефиниции во одредени места се дефинира линеарна функција како функција: *у*(*x*)=*ax*, т.е. права која врви низ (0,0).

---

  

Во Р Македонија најчесто се користат првите дефиниции, односно **линеарна функција е функција чиј графикон е права (или коса права)**.

  

Забелешка: Честопати наизменично се користат термините *линеарна равенка* и *линеарна функција*, но тие не се исти термини. **Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи.** (При *линеарна равенка*, зборот *линеарна* се однесува на степенот на полиномот кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, *линеарна равенка во две променливи е права во рамнина*, линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види линеарна равенка.

  

Три линеарни функции во експлицитен облик (црвената и кафеавата го имаат истиот наклон (коефициент на правец, градиент, косина), а црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со *у*-оската.

Основни својства
----------------

Коефициентите *a* и *b* се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат *x* и *y* како променливи. На пример: *у*(*x*) = -*x*+2 е линеарна функција со *a*=-1 и *b*=2. Множеството на допуштени вредности на секоја линеарна функција е **R**, т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влезе" во линеарна функција, односно да биде замената за *х* во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности исто така е **R**, т.е. сите реални броеви.

Формално, функција, *f*:**R**→**R** дефинирана со *f*(*x*) = *ax*+*b* каде што *a*,*b*∈**R** е линеарна функција. Линеарна функција е 1-1 бијективна функција.

Правата која е графиконот на линеарна функција е множеството на сите точки: (*x*,*y*(*x*)). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за *x* во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на *y*, соодветните точки (*x*1,*y*(*x*1)) и (*x*2,*y*(*x*2)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив.

Линеарна функција има точно еден пресек со *у*-оската во точката (0,*b*) и (доколку е коса права, *a*≠0) точно еден пресек со *х*-оската во точката (-b⁄a,0). Вредноста *x*=-b⁄a е единствениот корен на функцијата *y*=*ax*+*b*, т.е е единственото решение на равенката *ax*+*b*=0.

Има три облици на линеарна функција: **стандарден облик**, **експлицитен облик** и **вектор - параметарски облик**

Примена на линеарна функција - Пример: Брзина *v* како функција на време *t* на предмет истрелан директно нагоре со почетна брзина *v*0 се опишува со линеарната функција: *v*(*t*)= -9,81*t*+*v*0  [m/s], каде што -9,81  [m/s2] e гравитациска константа. Тука времето *t* ја игра улогата на независно променливата *х*, а брзината *v* е зависно променливата *y*.

  

Стандарден облик

Стандарден облик
----------------

   {\displaystyle Ax+By=C,\,B\neq 0}   (додатен услов за коса права:  {\displaystyle A\neq 0}  ).

Овој облик се користи најповеќе во геометрија и во системи на две линеарни равенки во две непознати. Стандарден облик има 2 променливи *x* и *у* и 3 константни, т.е. коефициенти *A*, *B*, и *C* кои однапред се заменуваат со реални броеви. На пример: 3*x*-2*y*=1. Константите *A*, *B*, и *C* **не** се еднозначно определени. Ако се множат со фактор *k*, коефициентите се менуваат, но правата останува истата. На пример: правите 3*x*-2*y*=1 и 6*x*-4*y*=2 ја претставуваат истата права. Тука факторот *k*=2.

  

Експлицитен облик

Експлицитен облик
-----------------

   {\displaystyle y(x)=ax+b}  или  {\displaystyle y=ax+b}   (додатен услов за коса права:     {\displaystyle {a\neq 0}}  ).

Експлицитен облик има 2 променливи *x* и *у* и 2 константни, т.е. коефициенти *а* и *b* кои унапред се заменуваат со реални броеви. На пример: *y*(*х*)=-2*х*+4. Константите *a* и *b* се уникатни (еднозначно определени), т.е. ако било кој од *a* или *b* се менува, правата се менува. Ова значи дека секоја линеарна функција може да се пиши на единствен начин во експлицитен облик.

Константниот коефициент *b* е т.н. *у*-пресек, односно точката **(0,*b*)** е точката каде што правата врви низ *у*-оската. Бројот -b⁄а е т.н. **корен** на функцијата, односно точката (-b⁄а,0) е точката каде што правата врви низ *х*-оската.

Коефициентот *а* е т.н. *наклон* или *коефициент на правец* или *градиент* или *косина* на правата и ја опишува брзината на промена на функцијата *у* во однос на променливата *х*. 

* Наклонот на линеарна функција *у*(*x*)=*ax*+*b* е константен и е еднаков на *a*.
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се паралелни или се совпаѓаат.
* Ако наклонот на една права е *a*, тогаш за било која точка (*х*,*у*) на правата, точката (*х*+1, *y*+*a*) лежи на правата. (Види слика надесно.)
* Ако наклонот *a*>0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако *a*&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |*a*|<1 тогаш наклонот е благ, а ако |*a*|>1 тогаш наклонот е остар.

  

Пример: *y*(*x*)=-2*x*+4. Тука *a*=-2 и *b*=4. Имаме (0,*b*)=(0,4) е пресекот на правата со *у*-оската, (-b⁄а,0)=(-4⁄-2,0)=(2,0) e пресекот на правата со *х*-оската и *а* = -2 е наклонот на правата, односно за секој чекор *х*=1 надесно, *у* се менува за -2 односно слегува надолу.

  

Во математичката дисциплина диференцијално сметање (калкулус) е дефиниран поимот извод, а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна функција брзината на промената на *у* во односно на *х* е константна, т.е. иста во сите точки, односно е *а* за сите (реални) вредности *х*, и пишуваме изводот на *у*(*x*)=*ax*+*b* постои секаде и е константната функција *у*'(*x*)=*a*.

  

'Вектор - параметарски облик

Параметарски облик
------------------

Параметарски: {\displaystyle \left\{{\begin{array}{\*{20}{l}}{x(t)={x\_{1}}+{a\_{1}}t}\\{y(t)={y\_{1}}+{a\_{2}}t}\end{array}}\right.}    или

Векторски: {\displaystyle {\mathbf {X} }=({x\_{1}},{y\_{1}})+t({a\_{1}},{a\_{2}})}  или  {\displaystyle r(t)=<x\_{1}+a\_{1}t,\,y\_{1}+a\_{2}t>,\,{a\_{1}\neq 0}}    (додатен услов за коса права:   {\displaystyle {a\_{2}\neq 0}}  ).

  

Вектор-параметарски облик (или само параметарски облик) има 1 параметар *t*, 2 променливи *x* и *у*, и 4 константни, т.е. коефициенти *а*1, *а*2, *x*1, и *y*1. Константите *а*1, *а*2, *x*1, и *y*1 не се уникатни (еднозначно определени). Правата врви низ точките *А*=(x1,y1) и *B*=(*x*1+*a*1,*y*1+*a*2) така да земајќи други две точки на истата права ќе резултира во различни константни за истата права. Со вектор-параметарски облик едноставно се дефинира отсечката {\displaystyle {\overline {AB}}} ограничувајќи го параметарот *t*∈[0,1]. На ваков начин се моделира патувањето по права линија од една точка до друга во времето. Исто така едноставно овој облик се проширува за права во простор. Обичајно е инженери да ја користат буквата *t* за параметарот; математичари да ја користат буквата λ.

  

Пример: **X**=(-1,1)+*t*(2,3). Тука: *a*1=2, *a*2=3, *x*1=-1 и *y*1=1. Правата врви низ точката (*x*1,*y*1)=(-1,1) и точката (x1+a1,y1+a2)=(1,4). Соодветниот параметарски облик на оваа права е: *x*(*t*)=-1+2*t*, *y*(*t*)=1+3*t*. Експлицитен облик на оваа права е: *y*(*x*)=1,5*x*+2,5   (решејќи ја првата равенка по *t* и заменувајќи го резултатот во втората равенка). Една форма на стандарден облик за оваа права е: -3*x*+2*y*=5.

Формули за равенки на линеарна функција
---------------------------------------

За формулите за равенка на права види права.

Други наводи
------------

* 
* Архивирано на 2 март 2013 г. (на македонски со видео објаснување)
* (на англиски со интерактивност)
* (на англиски со интерактивност)

Поврзани теми
-------------

* Права (геометрија)
* Полином
* Константна функција
* Квадратна функција
* Линеарна равенка

* Портал: Математика

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиња на математиката |
| --- |
|  |
| 
Логика **·** 
Теорија на множествата **·** 
Комбинаторика **·** 
Алгебра (елементарна – линеарна – апстрактна) **·** 
Теорија на броевите **·** 
Анализа/Виша анализа **·** 
Геометрија **·** 
Топологија **·** 
Диференцијални равенки/Динамички системи **·** 
Математичка физика **·** 
Нумеричка анализа **·** 
Сметање **·** 
Теорија на информацијата **·** 
Веројатност **·** 
Статистика **·** 
Оптимизација **·** 
Теорија на игрите
 |
|  |
| **Категорија**  **·**  Портал „Математика"  **·**  Теми |

 |