**Скаларен производ** — бинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

{\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}
Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

{\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}
{\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}
{\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}
{\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}
Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.

 Приказ на стандарден скаларен производ на вектори
Скаларен производ на векторите {\displaystyle {\vec {x}}} јас {\displaystyle {\vec {y}}} се дефинира на следниов начин:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x\_{1}\,y\_{1}+x\_{2}\,y\_{2}+\ldots +x\_{n}\,y\_{n}}
Притоа {\displaystyle |{\vec {x}}|} и {\displaystyle |{\vec {y}}|} се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

{\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},x\_{2},\dots x\_{n})} јас {\displaystyle {\vec {y}}=(y\_{1},y\_{2},\dots y\_{n})}
Пример за скаларно множење на вектори *(1, 3, −5)* и *(4, −2, −1)* во тридимензионален простор:

{\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Доказ
-----

Формулата : {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)} може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако {\displaystyle \gamma } е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

{\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Бидејќи {\displaystyle {\vec {c}}} е еднаков на {\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}}, следи:

{\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Од каде се наоѓа:

{\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Оттука се добива конечната формула:

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}

Ортогонални вектори
-------------------

Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите {\displaystyle {\vec {x}}} и {\displaystyle {\vec {y}}} да се заемно нормално добиваме:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0} .
Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

Својства
--------

Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

* комутативност

{\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}

* дистрибутивност во однос на собирањето

{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}

* во општ случај не е асоцијативен
* за него важи следново:

{\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}

Користење за пресметување на интензитет на вектор
-------------------------------------------------

Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.

Бидејќи:

{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}={x\_{1}}{y\_{1}}+{x\_{2}}{y\_{2}}+\dotsb +{x\_{n}}{y\_{n}}.}
За посебен случај кога {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}} еднаквоста се претвора во: {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x\_{1}}^{2}+{x\_{2}}^{2}+{x\_{3}}^{2}+\dots +{x\_{n}}^{2}}

Врз основа на тоа се заклучува:
{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x\_{1}}^{2}+{x\_{2}}^{2}+\dots +{x\_{n}}^{2}}}.}
Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.

Примена во физиката
-------------------

Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:

{\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }

Геометриска интерпретација
--------------------------

Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектора и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,} {\displaystyle \Longrightarrow } {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}

Троен производ
--------------

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),} Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

Проекција на вектор врз вектор
------------------------------

Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор, т.е.

* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b\_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a\_{b}}}} скаларна проекција на векторот {\displaystyle {\overrightarrow {a}}} врз векторот {\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b\_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b\_{a}}}} скаларна проекција на векторот {\displaystyle {\overrightarrow {b}}} врз векторот {\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
* {\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b\_{0}}})\*{\overrightarrow {b\_{0}}}=a\_{b}{\overrightarrow {b\_{0}}}} векторска проекција на векторот {\displaystyle {\overrightarrow {a}}} врз векторот {\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
* {\displaystyle ({\overrightarrow {a\_{0}}}{\overrightarrow {b}})\*{\overrightarrow {a\_{0}}}=b\_{a}{\overrightarrow {a\_{0}}}} векторска проекција на векторот {\displaystyle {\overrightarrow {b}}} врз векторот {\displaystyle {\overrightarrow {a}}}

Последици од скаларното множење
-------------------------------

* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}
* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}
* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}
* {\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}} или барем еден од векторите е {\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
* {\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}} ( {\displaystyle 0<\omega <\pi } )

Поврзано
--------

* Вектор
* Скалар
* Векторски производ

Наводи
------

1. ↑  Lipschutz, M.; Lipson (2009). *Linear Algebra (Schaum’s Outlines)* (4. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
2. ↑  M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). *Vector Analysis (Schaum’s Outlines)* (2. изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
3. ↑  A I Borisenko; I E Taparov (1968). *Vector and tensor analysis with applications*. Преведено од Richard Silverman. Dover. стр. 14.
4. ↑  projekcija vektora na vektor
5. ↑  skalami proizvod a b= 0