**Накрсно множење** — математичка операција, особено применливо во основната аритметика и елементарната алгебра, за равенки меѓу две дропки или рационални изрази, чие користење е со цел да се поедностави равенката или да се одреди вредноста на променливата.

Примери
-------

Дадена е равенката:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
(каде *b* и *d* не се нула), накрсното множење дава:

{\displaystyle ad=bc\qquad \mathrm {or} \qquad a={\frac {bc}{d}}.}
Во Евклидовата геометрија истиот резултат може да се постигне со користење на односи слично како кај триаголникот.

Постапка
--------

Во пракса, методот на накрсно множење значи да го помножиме броителот на секоја (или една) страна со именителот на другата страна со вкрстување:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}
Математичко оправдување за методот е од следната математичка постапка. Ако почнеме со основната равенка:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
Можеме да ја помножиме секоја страна со ист број и равенството нема да се промени. Значи, ако дропките на секоја страна ги помножиме со *bd*, добиваме:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}
можеме дропката да ја скратиме, бидејќи двете {\displaystyle b} на левата страна можат да се скратат, како и двете поновувања *d*, па останува:

{\displaystyle ad=bc}
и можеме двете страни на равенката да ги поделиме со кој било елемент – во овој случај се зема *d*, па се добива:

{\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}
Друго оправдување на накрсното множење е следното. Да ја земеме равенката:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
ако ја помножиме со *d**d* = 1 на левата и со *b**b* = 1 на десната страна, добиваме:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}}
и така:

{\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}
со кратење на заедничките именители *bd* = *db*, ни останува:

{\displaystyle ad=cb.}
Секој чекор во овие постапки е заснован на единствено, основно својство на равенките. Накрсното множење е скратен пат, лесно разбирлива процедура која ја учат учениците.

Употреба
--------

Накрсното множење е вообичаена процедура во математиката која се користи за да ги скрати дропките или да ја пресмета вредноста на променливата во дропката. Ако имаме равенка, каде *x* е променлива:

{\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}}
можеме да користиме накрсно множење за нејзино одредување:

{\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}
На пример, сакаме да знаеме колку ќе помине автомобил за 7 часа ако знаеме дека неговата брзина е константна и дека веќе изминал 90 километри во последните 3 часа. Со претворање на проблемот во пропорција добиваме:

{\displaystyle {\frac {x}{7\ \mathrm {h} }}={\frac {90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}.}
Со накрсно множење се добива:

{\displaystyle x={\frac {7\ \mathrm {h} \times 90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}}
и така:

{\displaystyle x=210\ \mathrm {km} .}
И поедноставни равенки како што се:

{\displaystyle a={\frac {x}{d}}}
Се решаваат со користење на накрсно множење, недостасува членот *b* кој имплицитно е еднаков на 1:
се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје *b* члан који је имплицитно једнак 1:

{\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}
Која било равенка која содржи дропки или рационални изрази може да се поедностави со множење на двете страни со најмалиот заеднички содржател. Овој чекор се нарекува „дерационализација".

Тројно правило
--------------

**Тројното правило** е скратена верзија за одреден облик на накрсно множење кое учениците го учат напамет. Во францускиот наставен план тоа е застапено во програмата за средно образование.

За равенките во облик:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}}
Каде променливата која се пресметува е десниот именител, тројното правило е:

{\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}
Во тој контекст, *a* се нарекува „крајна" пропорција, а *b* и *c* се нарекуваат „средства".

Ова правило им било познато на Евреите уште од XV век п.н.е. како посебен случај на Кал ва-хомер. Исто така им било познато на индиските (ведски) математичари во VI век п.н.е. како и на кинеските математичари пред VII век п.н.е. додека во Европа почнува да се користи многу подоцна.

Наводи
------

1. ↑  „Socle de connaissances, pilier 3". French ministry of education. 30 декември 2012.
2. ↑  Kangshen, Shen; Crossley, John N; Anthony W.-C. Lun (1999). *The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary*. Oxford: Oxford University Press.

Надворешни врски
----------------

* 

* Накрсно множење на Ризницата ?

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4207136-7

 |

 |