**Целите броеви** се состојат од позитивни природни броеви (1, 2, 3, …), нивните негативи (−1, −2, −3, ...) и бројот нула. Како и природните броеви, целите броеви сочинуваат преброиво бесконечно множество.

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to 5Црвените точки претставуваат наредени парови на природни броеви. Поврзаните црвени точки се класи на еквивалентност кои што ги претставуваат целите броеви во сино на крајот од линијата
{\displaystyle \mathbb {Z} } = {\displaystyle \mathbb {Z} }-∪{0}∪{\displaystyle \mathbb {Z} }+

Множеството од сите цели броеви во математиката се изразува преку здебелената буква **Z** (или {\displaystyle \mathbb {Z} }), кое доаѓа од *Zahlen* (германски за „броеви").

Изразот **цел рационален број** се користи во алгебарската теорија на броевите за да се разликуваат овие „обични" цели броеви кај рационалните броеви кај другите концепти како Гаусовите цели броеви.

Алгебарски својства
-------------------

Како и природните броеви, **Z** се затвора под операциите собирање и множење, т.е. збирот и производот од било кои два цели броја мора де е цел број. Меѓутоа, со придодавање на негативните природни броеви, и, особено, нула, **Z** (за разлика од природните броеви) исто така се затвора под одземање. **Z** не се затвора под операцијата делење, бидејќи количникот од двата цели броја (*на пр.*, 1 делено со 2), не мора да биде цел број.

Еве некои од основните својства за собирање и множење на било кои цели броеви *a*, *b* и *c*.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | собирање | множење |
| затвореност: | *a* + *b*   е цел број | *a* × *b*   е цел број |
| асоцијативност: | *a* + (*b* + *c*)  =  (*a* + *b*) + *c* | *a* × (*b* × *c*)  =  (*a* × *b*) × *c* |
| комутативност: | *a* + *b*  =  *b* + *a* | *a* × *b*  =  *b* × *a* |
| постоење на идентитетен елемент: | *a* + 0  =  *a* | *a* × 1  =  *a* |
| постоење на обратни елементи: | *a* + (−*a*)  =  0 |  |
| дистрибутивност: | *a* × (*b* + *c*)  =  (*a* × *b*) + (*a* × *c*) |

На јазикот на апстрактната алгебра, првите пет својства погоре велат дека **Z** под собирање е абелова група. Како група под собирање, **Z** е цикличка група, бидејќи секој цел број кој не е нула може да се изрази како конечен износ 1 + 1 + ... 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1). Впрочем, **Z** под собирање е *единствената* бесконечна циклична група, бидејќи бесконечната цикличка група е изоморфична на **Z**.

Првите четири својства погоре во колоната за множење велат дека **Z** под множење е комутативен моноид. Меѓутоа, треба да се забележи дека не секој цел број има помножителен обратен број; на пр. не постои цел број *x* кај кој 2*x* = 1, бидејќи левата страна е парна, додека десната е непарна. Ова значи дека **Z** под множење не е група.

Сите својства споменати во табелата погоре велат дека **Z** заедно со множењето и собирањето е коло со унија. Впрочем, **Z** ни дава мотивација за дефинирање на таквата структура. Отсуството на помножителни обратни броеви, што е еквивалентно на фактот дека **Z** не се затвора под делење, значи дека **Z** не е поле. Најмалото поле кое ги содржи целите броеви е полето на рационалните броеви. Овој процес може да се имитира за обликување на дробно поле од секоја целосна област, каде целосната област е комутативно коло со таква унија што со било кое *ab* = 0, или *a* = 0 или *b* = 0.

Иако редното делење не се дефинира на **Z**, содржи важно својство наречено делбен алогаритам: т.е. ако имаме два цели броја *a* и *b* со *b* ≠ 0, постојат уникатни цели броеви *q* и *r* при кои *a* = *q* × *b* + *r* и 0 ≤ *r* < |*b*|, каде |*b*| ја означува апсолутната вредност на *b*. Целиот број *q* се нарекува *количник* и *r* се нарекува *остаток*, кој резултира од делењето на *a* со *b*. Ова е основата на Евклидовиот алогаритам за пресметка на најголеми заеднички содржатели.

Повторно, на јазикот на апстрактната алгебра, гореспоменатово вели дека **Z** е Евклидова област. Ова имплицира дека **Z** е проста идеална област и секој позитивен цел број може да се искаже како производ на прости броеви на уникатен начин. Ова е фундаменталната аритметичка теорема.

Редно-теоретски својства
------------------------

**Z** е тотално подредено множество без горна или долна граница. Подредувањето на **Z** е 

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
Еден цел број е *позитивен* ако е поголем од нула, а *негативен* ако е помал од нула. Нулата е дефинирана како ниту позитивна, ниту негативна.

Подредувањето на целите проеви е соодветно на алгебарските операции на следниов начин:

1. ако *a* < *b* и *c* < *d*, тогаш *a* + *c* < *b* + *d*
2. ако *a* < *b* и 0 < *c*, тогаш *ac* < *bc*. (Од овој факт, можеме да докажеме дека ако *c* < 0, тогаш *ac* > *bc*.)

Надворешни врски
----------------

* Својства на позитивните цели броеви: 1 до 2000+ Архивирано на 24 јули 2017 г.
* Позитивните цели броеви - табели за поделба и алатки за бројчен приказ

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Видови броеви |
| --- |
|  |
| Основни | Природни броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }) **·**  Цели броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }) **·**  Рационални броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }) **·**  Ирационални броеви **·**  Реални броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }) **·**  Имагинарни броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} \,}) **·**  Комплексни броеви ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }) **·**  Алгебарски броеви ({\displaystyle \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}}) **·**  Трансцендентни броеви **·**  Кватерниони ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }) **·**  Октониони ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }) **·**  Седениони ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }) **·**  Кејли–Диксонова постапка **·**  Хиперболични броеви |
|  |
| Комплексни  проширувања | Бикомплексни броеви **·**  Бикватерниони **·**  Кокватерниони **·** 
Тесарини **·**  Хиперкомплексни броеви **·**  Мизееви хиперброеви **·**  Суперреални броеви **·**  Хиперреални броеви **·**  Натприродни броеви **·**  Надреални броеви |
|  |
| Други проширувања | Дуални броеви **·**  Трансконечни броеви **·**  Продолжена реална бројна оска **·** 
Кардинални броеви **·**  Редни броеви **·**  *p*-адични броеви |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4134668-3
* NDL: 00570428
* NKC: ph135364

 |

 |