Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) **нормални** ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°. Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

* Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои *лежат* отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.
* При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче..


|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |
| Нормални прави. | Нормални прави формираат 4 прави агли. | Нормални отсечки. | Означување на прав агол (нормалност). |

Означување
----------

Симбол за нормалност е  {\displaystyle \perp }. На пример, {\displaystyle AB\perp CD} значи дека правите *AB* и *CD* се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.

* Нормалност како паралелност е *симетрична* особина, односно  {\displaystyle AB\perp CD}  е еквивалентно со  {\displaystyle CD\perp AB} , па затоа едноставно велиме дека *AB* и *CD* се нормални.
* За разлика од паралелност, нормалност **не** е *транзитивна* особина. На против, ако  {\displaystyle AB\perp CD}  и  {\displaystyle CD\perp EF}  тогаш   {\displaystyle AB\parallel EF} .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со ⊥ и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува &perp; или &#x22а5;. За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x. Во уникод има и симболи &#x22BE; (⊾) и &#x221F; (∟).

Во LaTeX, симболот  {\displaystyle \perp }   за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклон
-----------------------

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик *y*=*ax*+*b*, тогаш коефициентот *a* на *x* е наклонот на правата.

**Основна поставка:** Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.

**Пример:** Правите *y*= -3*x*+2 и *y* =*x*/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е *a*1= -3, а наклонот на втората права е *a*2=1/3 така што *a*1·*a*2= -3·1/3 = -1.

**Пример:** Правите 2*x*-*y*+3=0 и *x*-2*y*-1=0 **не** се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).

* Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
* Ако правата *m* е нормална на правата *n*, a правата *n* е нормална на правата *p*, тогаш правите *m* и *p* или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).

Доказ: Нека наклон на *m* e *a*. Од нормалноста на *m* и *n*, наклонот на *n* е -1/*a*. Од нормалноста на *n* и *p*, наклонот на *p* е
{\displaystyle {\frac {-1}{\left({\tfrac {-1}{a}}\right)}}={\frac {1}{\left({\tfrac {1}{a}}\right)}}=a}.

Нормала на права низ точка во рамнина
-------------------------------------

|  |
| --- |
|  |
| Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода! |

### Конструкција со шестар и линијар

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права *m* која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на *m*.

1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
2. Означи ја точката со буквата С.
3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
4. Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
5. Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

### Алгебарска равенка

Нека е дадена точка C со координати С=(*p*,*q*) и права 

{\displaystyle y=ax+b\,}
Равенката на права која минува низ *С*(*p*,*q*) и е нормална на дадената права е 

{\displaystyle y={\frac {-1}{a}}(x-p)+q\,}
**Доказ:** Наклонот на дадената права е *a*. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/*a*. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (*p*,*q*). (Види и Формули за равенка на права.)

**Пример:** Равенката на нормалата на правата *y*=3*x*+2 која минува низ точката (-1,-1) е: *y*=*-x*/3-4/3.

Нормала и растојание
--------------------

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти. 

### Растојание помеѓу точка и права во рамнина

За да се пресмета растојание помеѓу точка *C*=(*p*,*q*) и права *m*, најпрво треба да се најде равенката на правата *n* која е **нормална** на правата *m*, а минува низ точката *C*. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка *D* на правите *n* и *m*. Тогаш растојанието помеѓу *С* и *m* е растојанието помеѓу точките *С* и *D*.

**Пример:** Нека точката *C*=(-4,2), a правата *m* нека е дадена експлицитно *y*=*x*/2-1. Тогаш наклонот на правата *m* e ½, така што наклонот на нормалата *n* е 

{\displaystyle {\frac {-1}{\tfrac {1}{2}}}=-2}
со што равенката на *n* e

{\displaystyle y=-2(x-(-4))+2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,y=-2x-6}
Пресекот на правите *m* и *n* е решение на систем линеарни равенки

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}y={\tfrac {x}{2}}-1\\y=-2x-6\end{array}}\right.}
Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките *С* и *D* е

{\displaystyle \delta ={\sqrt {(-4-(-2))^{2}+(2-(-2))^{2}}}={\sqrt {(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {20}}\approx 4,47}
Следува дека растојанието помеѓу точката *С* и правата *m* е ≈4,47

### Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина

Види паралелни прави

### Растојание во 3Д простор

Види аналитичка геометрија

Нормали на крива
----------------

Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека *y*=*f*(*x*) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката *x*o и дека вредноста на функцијата во таа точка е *y*o=*f*(*x*o), а вредноста на изводот во таа точка е *y*'o=*y*'(*x*o).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е 

{\displaystyle T:\,\,\,y=y\_{o}^{'}(x-x\_{o})+y\_{o}}
а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е

{\displaystyle N:\,\,\,y={\frac {-1}{y\_{o}^{'}}}(x-x\_{o})+y\_{o}}

Нормалност и вектори
--------------------

**Основна поставка:** Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д простор
------------------------

* Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{\*{20}{l}}{x(t)={x\_{1}}+{a}t}\\{y(t)={y\_{1}}+{b}t}\\{z(t)={z\_{1}}+{c}t}\end{array}}\right.}  ,  {\displaystyle t\in \Re }
Рамнина зададена во општ облик е

{\displaystyle Ax+By+Cz=D}
**Поставка:** Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори <*a*,*b*,*c*> и <*A*,*B*,*C*> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

{\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {b}{B}}={\frac {c}{C}}}
**Формула:** Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот <*a*,*b*,*c*>, а врви низ точката C(*x*o,*y*o,*z*o) e

{\displaystyle a(x-x\_{o})+b(y-y\_{o})+c(z-z\_{o})=0}
* Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.

Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

{\displaystyle Ax+By+Cz=D}
{\displaystyle A\_{1}x+B\_{1}y+C\_{1}z=D\_{1}}
**Поставка:** Рамнините се нормални ако полупречничките вектори <*A*,*B*,*C*> и <*A*1,*B*1,*C*1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

{\displaystyle A\cdot A\_{1}+B\cdot B\_{1}+C\cdot C\_{1}=0}

Обопштување
-----------

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот **ортогоналност** во класична математика.

Наводи
------

1. ↑  Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines" (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[*мртва врска*] интерактивен }
2. ↑  C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 599. Посетено на 1 мај 2014.
3. ↑  Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry" (англиски). Math is Fun. Посетено на 1 септември 2013.
4. ↑  „Unicode Entity Codes for Math" (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
5. ↑  „Unicode Input" (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
6. ↑  Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)" (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[*мртва врска*] интерактивен
7. ↑  Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права". Посетено на 1 септември 2013.
8. ↑  Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge" (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивно
9. ↑  Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 555. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзано
--------

* Права (геометрија)
* Прав агол
* Наклон
* Паралелни прави
* Ортогоналност
* Аналитичка геометрија

Надворешни врски
----------------

* Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Нормала". Посетено на 1 септември 2013.
* Стефановска, Л. (2012). „Равенки на тангента и нормала на крива". Connexions. Посетено на 1 септември 2013.
* Стојановска, Л. (2010). „Видеа за калкулус". Архивирано од изворникот на 2013-07-02. Посетено на 1 септември 2013.