Во математиката постојат многу **логаритамски идентитети**. Во продолжение е дадена компилација на позначајните од нив, од кои многу се користат за пресметковни цели.

Тривијални идентитети
---------------------

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(1)=0} | бидејќи | {\displaystyle b^{0}=1}, под претпоставка дека *b* не е еднакво на 0 |
| {\displaystyle \log \_{b}(b)=1} | бидејќи | {\displaystyle b^{1}=b} |

### Објаснувања

По дефиниција, знаеме дека: {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}}, каде {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\neq 0} .

Ако се земе {\displaystyle \color {red}x\color {black}=0}, може да се види дека: {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(0)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}1\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}1\color {black}}. Значи, заменувајќи ги овие вредности во формулата, гледаме дека: {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {blue}1\color {black})=\color {red}0\color {black}}, што ни го дава првото својство.

Ставајќи {\displaystyle \color {red}x\color {black}=1}, може да се види дека: {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(1)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}b\color {black}}. Значи, заменувајќи ги овие вредности во формулата, се гледа дека: {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {blue}b\color {black})=\color {red}1\color {black}}, што ни го дава второто својство.

Многу математички идентитети се нарекуваат *тривијални*, само затоа што се релативно едноставни (обично од перспектива на искусен математичар). Ова не значи дека нарекувањето идентитет или формула *тривијални* значи дека тие не се важни.

Поништување на степени
----------------------

Логаритмите и експонентите со иста основа се поништуваат едни со други. Ова е точно бидејќи логаритмите и степените се инверзни операции - слично како што множењето и делењето се инверзни операции, а собирањето и одземањето се инверзни операции.

{\displaystyle b^{\log \_{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}\_{b}(\log \_{b}(x))=x}
{\displaystyle \log \_{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log \_{b}({\mbox{antilog}}\_{b}(x))=x} 
И двете горенаведени идентитети се изведени од следните две равенки кои дефинираат логаритам: (треба да се напомене дека во ова објаснување, променливите на {\displaystyle \color {red}x\color {black}} и {\displaystyle x} можеби не се однесуваат на истиот број)

{\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}}

Гледајќи ја равенката {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}}, и заменувајќи ја вредноста за {\displaystyle \color {red}x\color {black}} на {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}}, се добива следната равенка: {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\log \_{b}(y)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})}\color {black}=\color {green}y\color {black}}, што ни ја дава првата равенка. Друг погруб начин да се размислува за тоа е {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\text{something}}\color {black}=\color {green}y\color {black}}, и дека "{\displaystyle \color {red}{\text{something}}}" е {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})} .

Гледајќи ја равенката {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}}, и заменувајќи ја вредноста за {\displaystyle \color {green}y\color {black}} на {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}}, се добива следната равенка: {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}b^{x}\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}({\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}}\color {black})=\color {red}x\color {black}}, што ни ја дава втората равенка. Друг погруб начин да се размислува за тоа е {\displaystyle \color {black}\log \color {blue}\_{b}\color {black}(\color {green}{\text{something}}\color {black})=\color {red}x\color {black}} и дека тоа нешто "{\displaystyle \color {green}{\text{something}}}" е {\displaystyle \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}}.

Користење на поедноставни операции
----------------------------------

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(xy)=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)} | бидејќи | {\displaystyle b^{c}b^{d}=b^{c+d}} |
| {\displaystyle \log \_{b}({\tfrac {x}{y}})=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)} | бидејќи | {\displaystyle {\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}} |
| {\displaystyle \log \_{b}(x^{d})=d\log \_{b}(x)} | бидејќи | {\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}} |
| {\displaystyle \log \_{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log \_{b}(x)}{y}}} | бидејќи | {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}} |
| {\displaystyle x^{\log \_{b}(y)}=y^{\log \_{b}(x)}} | бидејќи | {\displaystyle x^{\log \_{b}(y)}=b^{\log \_{b}(x)\log \_{b}(y)}=(b^{\log \_{b}(y)})^{\log \_{b}(x)}=y^{\log \_{b}(x)}} |
| {\displaystyle c\log \_{b}(x)+d\log \_{b}(y)=\log \_{b}(x^{c}y^{d})} | бидејќи | {\displaystyle \log \_{b}(x^{c}y^{d})=\log \_{b}(x^{c})+\log \_{b}(y^{d})} |

Каде {\displaystyle b}, {\displaystyle x}, и {\displaystyle y} се позитивни реални броеви и {\displaystyle b\neq 1}, и {\displaystyle c} и {\displaystyle d} се реални броеви.

Законите произлегуваат од поништување на степените и соодветниот закон на степени. Почнувајќи од првиот закон:

{\displaystyle xy=b^{\log \_{b}(x)}b^{\log \_{b}(y)}=b^{\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)}\Rightarrow \log \_{b}(xy)=\log \_{b}(b^{\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)})=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)}

Законот за степенување користи уште еден од законите на степени:

{\displaystyle x^{y}=(b^{\log \_{b}(x)})^{y}=b^{y\log \_{b}(x)}\Rightarrow \log \_{b}(x^{y})=y\log \_{b}(x)}

Потоа следува законот кој се однесува на количниците:

{\displaystyle \log \_{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log \_{b}(xy^{-1})=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y^{-1})=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)}

{\displaystyle \log \_{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log \_{b}(y^{-1})=-\log \_{b}(y)}

Слично на тоа, законот за коренување е изведен со пишување на коренот како реципрочна вредност на степен:

{\displaystyle \log \_{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log \_{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log \_{b}(x)}

### Изведувања на правила за производ, количник и степен

Ова се трите главни логаритамски закони/правила/принципи, од кои може да се докажат другите својства наведени погоре. Секое од овие логаритамски својства одговара на нивниот соодветен закон за експоненти, а нивните изведувања/докази ќе зависат од тие факти. Постојат повеќе начини да се изведе/докаже секој логаритамски закон—ова е само еден можен метод.

#### Логаритам на производ

Формално запишување на законот на *логаритам на производ*:

{\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} \_{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} \_{+},\log \_{b}(xy)=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)}

Така, изведбата за законот за производ на логаритми е завршена!

Нека {\displaystyle b\in \mathbb {R} \_{+}}, каде {\displaystyle b\neq 1}, и нека {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \_{+}} .

Целта е некако да се поврзат изразите {\displaystyle \log \_{b}(x)} и {\displaystyle \log \_{b}(y)}. Нема многу алатки за работа со логаритми, па ако ги преработиме како експоненти, веројатно ќе биде полесно да се справи со нив. Дополнително, бидејќи ќе се осврнеме на {\displaystyle \log \_{b}(x)} и {\displaystyle \log \_{b}(y)} доста често, ќе им дадеме некои имиња на променливи за да ја олесниме работата со нив.

Нека {\displaystyle m=\log \_{b}(x)}, и нека {\displaystyle n=\log \_{b}(y)} .

Препишувајќи ги овие како експоненти, се гледа дека:

{\displaystyle m=\log \_{b}(x)\iff b^{m}=x} и {\displaystyle n=\log \_{b}(y)\iff b^{n}=y}

Оттука, може да се види дека може да се поврзат {\displaystyle b^{m}} (т.е. {\displaystyle x}) и {\displaystyle b^{n}} (т.е. {\displaystyle y}) користејќи ги законите за експоненти, како {\displaystyle xy=(b^{m})(b^{n})=b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}}. Значи, може да се поедностави на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{aligned}&&xy&=xy\\&\iff &xy&=(b^{m})(b^{n})\\&\iff &xy&=b^{m}\cdot b^{n}\\&\iff &xy&=b^{m+n}\\\end{aligned}}}

Сега, бидејќи сакаме да ги дознаеме својствата на логаритмите, треба да ја имаме функцијата логаритам некаде во нашата равенка. Значи, ќе ја аплицираме {\displaystyle \log \_{b}} на двете страни на еднаквоста.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}(xy)&=\log \_{b}(b^{m+n})\end{aligned}}}

Оттука, всушност можеме да го поедноставиме изразот на десната страна! Користејќи едно од логаритамските својства од претходно, знаеме дека {\displaystyle \log \_{b}(b^{m+n})=m+n} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}(xy)&=m+n\end{aligned}}}

Откако ќе дојдеме до оваа фаза, ќе ги замениме вредностите за {\displaystyle m} и {\displaystyle n} во нашата равенка, така што нашиот конечен израз е само во однос на {\displaystyle x}, {\displaystyle y}, и {\displaystyle b} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}(xy)&=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)\\&\iff &\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)&=\log \_{b}(xy)\end{aligned}}}

Изведување:

#### Логаритам на количник

Формално запишување на законот за *логаритам на количник*:

{\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} \_{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} \_{+},\log \_{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)}

Така, изводувањето на законот за количник за логаритми е завршено!

Нека {\displaystyle b\in \mathbb {R} \_{+}}, каде {\displaystyle b\neq 1}, и нека {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \_{+}} .

Целта е некако да се поврзат изразите {\displaystyle \log \_{b}(x)} и {\displaystyle \log \_{b}(y)}. Нема многу алатки за работа со логаритми, па ако ги преработиме како експоненти, веројатно ќе биде полесно да се справи со нив. Дополнително, бидејќи ќе се осврнеме на {\displaystyle \log \_{b}(x)} и {\displaystyle \log \_{b}(y)} доста често, ќе им дадеме некои имиња на променливи за да ја олесниме работата со нив.

Нека {\displaystyle m=\log \_{b}(x)}, и нека {\displaystyle n=\log \_{b}(y)} .

Препишувајќи ги овие како степени, се гледа дека:

{\displaystyle m=\log \_{b}(x)\iff b^{m}=x} и {\displaystyle n=\log \_{b}(y)\iff b^{n}=y}

Оттука, може да се види дека може да се поврзат {\displaystyle b^{m}} (т.е. {\displaystyle x}) и {\displaystyle b^{n}} (т.е. {\displaystyle y}) користејќи ги законите за степени, како {\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}}. Значи, можеме да се поедностави на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{aligned}&&{\frac {x}{y}}&={\frac {x}{y}}\\&\iff &{\frac {x}{y}}&={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}\\&\iff &{\frac {x}{y}}&={\frac {b^{m}}{b^{n}}}\\&\iff &{\frac {x}{y}}&=b^{m-n}\\\end{aligned}}}

Сега, бидејќи сакаме да ги дознаеме својствата на логаритмите, треба да ја имаме функцијата логаритам некаде во нашата равенка. Значи, ќе ја аплицираме {\displaystyle \log \_{b}} на двете страни на еднаквоста.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}\left({\frac {x}{y}}\right)&=\log \_{b}\left(b^{m-n}\right)\end{aligned}}}

Оттука, всушност можеме да го поедноставиме изразот на десната страна! Користејќи едно од логаритамските својства од претходно, знаеме дека {\displaystyle \log \_{b}(b^{m-n})=m-n} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}\left({\frac {x}{y}}\right)&=m-n\end{aligned}}}

Откако ќе дојдеме до оваа фаза, ќе ги замениме вредностите за {\displaystyle m} и {\displaystyle n} во нашата равенка, така што нашиот конечен израз е само во однос на {\displaystyle x}, {\displaystyle y}, и {\displaystyle b} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}\left({\frac {x}{y}}\right)&=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)\\&\iff &\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)&=\log \_{b}\left({\frac {x}{y}}\right)\end{aligned}}}

Така, изводувањето на законот за количник за логаритми е завршено!

#### Логаритам на степен

Формално запишување на законот за *логаритам на степен*,

{\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} \_{+},b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} \_{+},\forall r\in \mathbb {R} ,\log \_{b}(x^{r})=r\log \_{b}(x)}

Изведување:

Нека {\displaystyle b\in \mathbb {R} \_{+}}, каде {\displaystyle b\neq 1}, нека {\displaystyle x\in \mathbb {R} \_{+}}, и нека {\displaystyle r\in \mathbb {R} } .

За ова изведување, сакаме да го поедноставиме изразот {\displaystyle \log \_{b}(x^{r})}. За да се направи ова, прво ќе се обидеме да започнеме со нешто поедноставно, {\displaystyle \log \_{b}(x)}, и да видиме дали можеме да се обидеме и да го изведеме оттаму. Бидејќи ќе го користиме {\displaystyle \log \_{b}(x)} често, ќе го дефинираме како нова променлива.

Нека {\displaystyle m=\log \_{b}(x)} .

Бидејќи навистина не можеме да манипулираме со овој израз толку многу, ќе биде корисно да го преработиме како експонент.

{\displaystyle m=\log \_{b}(x)\iff b^{m}=x}

Оттука, да видиме каде можеме да одиме.

{\displaystyle {\begin{aligned}&&b^{m}&=x\\\end{aligned}}}

Сега, навистина не изгледа дека имаме многу да работиме во моментот, сепак, слично како што ги користиме законите за експоненти во наша корист во претходните изведувања за логаритам на производ и логаритам на количник, можеме да направиме нешто слично и овде со искористување на друг експонентен закон.

Сега, сакаме да го имаме {\displaystyle x^{r}} некаде во нашиот последен израз. Забележете дека ако ги подигнеме двете страни на равенството на степен {\displaystyle r}, ќе добиеме {\displaystyle x^{r}} на левата страна од равенката. Значи, она што ќе го направиме е да ги подигнеме двете страни на степен {\displaystyle r} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\\&\iff &b^{mr}&=x^{r}\end{aligned}}}

Како референца, го искористивме законот за степенување за степен за да ја поедноставиме левата страна на равенката. Овој експонентен закон го покажува тоа {\displaystyle (b^{m})^{r}=b^{mr}} .

Сега, оттука, изгледа како да сме заглавени. Сепак, ние сме всушност многу блиску до завршување на изведувањето. Бидејќи ни се потребни логаритми во последниот израз, ние применуваме {\displaystyle \log \_{b}} на двете страни на еднаквоста, и видете какви поедноставувања се добиваат со тоа.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}(b^{mr})&=\log \_{b}(x^{r})\\\end{aligned}}}

Овде, можеме да ја поедноставиме левата страна на еднаквоста користејќи го логаритамскиот закон. Овој логаритамски закон ни кажува дека {\displaystyle \log \_{b}(b^{mr})=mr}. Па, со замена се добива:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &mr&=\log \_{b}(x^{r})\\\end{aligned}}}

Оттука, можеме да ја замениме во нашата почетна вредност {\displaystyle m}, и да се преуреди и поедностави.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\left(log\_{b}(x)\right)r&=\log \_{b}(x^{r})\\&\iff &rlog\_{b}(x)&=\log \_{b}(x^{r})\\&\iff &log\_{b}(x^{r})&=r\log \_{b}(x)\end{aligned}}}

Така, стигнавме до последниот чекор, кој го комплетира изведувањето на логаритамскиот закон за *логаритам на степен*.

Менување на основата
--------------------

Формално запишување на логаритамската формула за промена на основата:

{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \_{+},a,b\neq \forall x\in \mathbb {R} \_{+},\log \_{b}(x)={\frac {\log \_{a}(x)}{\log \_{a}(b)}}}

Овој идентитет е корисен за пресметување на логаритми на калкулаторите. На пример, повеќето калкулатори имаат копчиња за ln и за log10, но не сите калкулатори имаат копчиња за логаритам на произволна основа.

### Доказ/Изведување

Нека {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \_{+}}, каде {\displaystyle a,b\neq 1} нека {\displaystyle x\in \mathbb {R} \_{+}} .

{\displaystyle a} и {\displaystyle b} се двете основи кои ќе ги користиме за логаритмите. Не може да бидат 1, бидејќи логаритамската функција не е добро дефинирана за основа 1.

Бројот {\displaystyle x} ќе биде ведноста на логаритамот што се бара, па затоа мора да биде позитивен број.

Бидејќи ќе се користиме со изразот {\displaystyle \log \_{b}(x)} доста често, ќе го дефинираме како нова променлива.

Нека {\displaystyle m=\log \_{b}(x)} .

Сега, да видиме какви манипулации можеме да направиме со оваа еднаквост, што би нè довело до посакуваниот резултат. Во моментов, не може многу да се стори со оваа еднаквост, па ќе ја преработиме како експоненцијална.

{\displaystyle {\begin{aligned}&&m&=\log \_{b}(x)\\&\iff &b^{m}&=x\\\end{aligned}}}

На крајот ќе треба некаде во равенката да имаме {\displaystyle \log \_{a}}, па ќе се обидеме да примениме {\displaystyle \log \_{a}} на двете страни на еднаквоста.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{a}(b^{m})&=\log \_{a}(x)\\\end{aligned}}}

Сега, користејќи го својството логаритам на степен, можеме да го поедноставиме, бидејќи {\displaystyle \log \_{a}(b^{m})=m\log \_{a}(b)}

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &m\log \_{a}(b)&=\log \_{a}(x)\\\end{aligned}}}

Решвајќи по {\displaystyle m} (што е еднакво на {\displaystyle \log \_{b}(x)}), го добиваме следново:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &m&={\frac {\log \_{a}(x)}{\log \_{a}(b)}}\\\end{aligned}}}

Сега, можеме да ја замениме вредноста на {\displaystyle m} назад во равенката ({\displaystyle m=\log \_{b}(x)}).

{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff &\log \_{b}(x)&={\frac {\log \_{a}(x)}{\log \_{a}(b)}}\\\end{aligned}}}

Така, дојдовме до нашиот конечен заклучок дека {\displaystyle \log \_{b}(x)={\frac {\log \_{a}(x)}{\log \_{a}(b)}}}

Оваа формула има неколку последици:

{\displaystyle \log \_{b}a={\frac {1}{\log \_{a}b}}}
{\displaystyle \log \_{b^{n}}a={\log \_{b}a \over n}}
{\displaystyle b^{\log \_{a}d}=d^{\log \_{a}b}}
{\displaystyle -\log \_{b}a=\log \_{b}\left({1 \over a}\right)=\log \_{1/b}a}
{\displaystyle \log \_{b\_{1}}a\_{1}\,\cdots \,\log \_{b\_{n}}a\_{n}=\log \_{b\_{\pi (1)}}a\_{1}\,\cdots \,\log \_{b\_{\pi (n)}}a\_{n},}
каде {\textstyle \pi } е која било пермутација на 1, ... *n*. На пример

{\displaystyle \log \_{b}w\cdot \log \_{a}x\cdot \log \_{d}c\cdot \log \_{d}z=\log \_{d}w\cdot \log \_{b}x\cdot \log \_{a}c\cdot \log \_{d}z.}
### Собирање/одземање

Следното правило за собирање/одземање е особено корисно во теоријата на веројатност кога се работи со збир на логаритамски веројатности:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(a+c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)} | бидејќи | {\displaystyle \left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)} |
| {\displaystyle \log \_{b}(a-c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)} | бидејќи | {\displaystyle \left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)} |

Треба да се забележи дека идентитетот на одземање не е дефиниран ако {\displaystyle a=c}, бидејќи логаритамот од нула не е дефиниран. Исто така, треба да се има предвид дека кога се програмира, {\displaystyle a} и {\displaystyle c} можеби ќе треба да се префрлат на десната страна на равенките ако {\displaystyle c>>a} за да се избегне губење на „1 +" поради грешки во заокружувањето. Многу програмски јазици имаат специфична функција `log1p(x)` која пресметува {\displaystyle \log \_{e}(1+x)} без грешка на поттекување/заокрушување (кога {\displaystyle x} е мал).

Поопшто:

{\displaystyle \log \_{b}\sum \limits \_{i=0}^{N}a\_{i}=\log \_{b}a\_{0}+\log \_{b}\left(1+\sum \limits \_{i=1}^{N}{\frac {a\_{i}}{a\_{0}}}\right)=\log \_{b}a\_{0}+\log \_{b}\left(1+\sum \limits \_{i=1}^{N}b^{\left(\log \_{b}a\_{i}-\log \_{b}a\_{0}\right)}\right)}
### Степени

Корисен идентитет кој вклучува степени:

{\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}
или поуниверзално:

{\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}
### Други/резултатни идентитети

{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log \_{x}(a)}}+{\frac {1}{\log \_{y}(a)}}}}=\log \_{xy}(a)}
{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log \_{x}(a)}}-{\frac {1}{\log \_{y}(a)}}}}=\log \_{\frac {x}{y}}(a)}

Нееднаквости
------------

Врз основа на, и

{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}{-1}<x}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ for }}0\leq x{\text{, reverse for }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}}
Сите се точни околу {\displaystyle x=0}, но не за големи броеви.

Калкулусни идентитети
---------------------

### Гранични вредности

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{b}\log \_{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\log \_{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}
Последната граница често се сумира како „логаритмите растат побавно од кој било степен или корен од *x* ".

### Изводи на логаритамски функции

{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}
{\displaystyle {d \over dx}\log \_{b}x={1 \over x\ln b},}
Каде {\displaystyle x>0}, {\displaystyle b>0}, и {\displaystyle b\neq 1} .

### Интегрална дефиниција

{\displaystyle \ln x=\int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}
### Интеграли на логаритамски функции

{\displaystyle \int \log \_{a}x\,dx=x(\log \_{a}x-\log \_{a}e)+C}
За да запомнат повисоки интеграли, погодно е да се дефинираат

{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H\_{n})}
каде {\displaystyle H\_{n}} е *n* -тиот хармониски број :

{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}
{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}
Потоа

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}
{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}

Апроксимирање на големи броеви
------------------------------

Идентитетите на логаритмите може да се користат за апроксимирање на големи броеви. Забележуваме дека log*b*(*a*) + log*b*(*c*) = log*b*(*ac*), каде *a*, *b* и *c* се произволни константи. Да претпоставиме дека некој сака да го апроксимира 44-от Мерсенов прост број, 232,582,657 −1. За да го добиеме логаритамот со база - 10, би помножиле 32,582,657 со log10(2), добивајќи 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. Потоа можеме да добиеме 109,808,357 × 100.09543 ≈ 1.25 × 109,808,357 .

Слично на тоа, факториелите може да се апроксимираат со собирање на логаритмите на членовите.

Комплексни логаритамски идентитети
----------------------------------

Комплексниот логаритам е комплексен број аналоген на логаритамската функција. Ниту една функција на комплексната рамнина не може да ги задоволи нормалните правила за логаритми. Сепак, може да се дефинира повеќезначна функција која ги задоволува повеќето идентитети. Вообичаено е ова да се смета како функција дефинирана на Риманова површина. Може да се дефинира единечна вреднувана верзија, наречена главна вредност на логаритамот, која е дисконтинуирана на негативната оска x и е еднаква на повеќезначната верзија на една точка на гранање.

### Дефиниции

Во продолжение, големата прва буква се користи за главната вредност на функциите, а малата верзија се користи за функцијата со повеќе вредности. Прво секогаш се дава единствената вреднувана верзија на дефиниции и идентитети, а потоа следи посебен дел за повеќекратните вреднувани верзии.

ln(*r*) is the standard natural logarithm of the real number *r*.
Arg(*z*) is the principal value of the arg function; its value is restricted to (−π, π]. It can be computed using Arg(*x* + *iy*) = atan2(*y*, *x*).
Log(*z*) is the principal value of the complex logarithm function and has imaginary part in the range (−π, π].
{\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}
{\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}
Каде *k* е кој било цел број:

{\displaystyle \log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)}
{\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}
{\displaystyle e^{\log(z)}=z}
### Константи

Облици на главна вредност:

{\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}
{\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}
Облици со повеќе вредности, за кој било *k* цел број:

{\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}
{\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}
### Сумирање

Облици на главна вредност:

{\displaystyle \operatorname {Log} (z\_{1})+\operatorname {Log} (z\_{2})=\operatorname {Log} (z\_{1}z\_{2}){\pmod {2\pi i}}}
{\displaystyle \operatorname {Log} (z\_{1})+\operatorname {Log} (z\_{2})=\operatorname {Log} (z\_{1}z\_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z\_{1})+\operatorname {Arg} (z\_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g. }}\operatorname {Re} z\_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z\_{2}>0)} 
{\displaystyle \operatorname {Log} (z\_{1})-\operatorname {Log} (z\_{2})=\operatorname {Log} (z\_{1}/z\_{2}){\pmod {2\pi i}}}
{\displaystyle \operatorname {Log} (z\_{1})-\operatorname {Log} (z\_{2})=\operatorname {Log} (z\_{1}/z\_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z\_{1})-\operatorname {Arg} (z\_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g. }}\operatorname {Re} z\_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z\_{2}>0)} 
Облици со повеќе вредности:

{\displaystyle \log(z\_{1})+\log(z\_{2})=\log(z\_{1}z\_{2})}
{\displaystyle \log(z\_{1})-\log(z\_{2})=\log(z\_{1}/z\_{2})}
### Степени

Комплексен степен на комплексен број може да има многу можни вредности.

Облик за главна вредност:

{\displaystyle {z\_{1}}^{z\_{2}}=e^{z\_{2}\operatorname {Log} (z\_{1})}}
{\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z\_{1}}^{z\_{2}}\right)}=z\_{2}\operatorname {Log} (z\_{1}){\pmod {2\pi i}}}
Облици со повеќе вредности:

{\displaystyle {z\_{1}}^{z\_{2}}=e^{z\_{2}\log(z\_{1})}}
Каде *k*1, *k*2 се кои било цели броеви:

{\displaystyle \log {\left({z\_{1}}^{z\_{2}}\right)}=z\_{2}\log(z\_{1})+2\pi ik\_{2}}
{\displaystyle \log {\left({z\_{1}}^{z\_{2}}\right)}=z\_{2}\operatorname {Log} (z\_{1})+z\_{2}2\pi ik\_{1}+2\pi ik\_{2}}

Поврзано
--------

* Список на формули кои го содржат π
* Список на интеграли на логаритамски функции
* Список на математички идентитети
* Список на математички теми
* Список на тригонометриски идентитети

Наводи
------

1. ↑  Weisstein, Eric W. „Logarithm". *mathworld.wolfram.com* (англиски). Посетено на 2020-08-29.
2. ↑  
„Properties and Laws of Logarithms". *courseware.cemc.uwaterloo.ca/8*. Посетено на 2022-04-23.
3. ↑  „Архивиран примерок" (PDF). Архивирано од изворникот (PDF) на 2016-10-20. Посетено на 2016-12-20.
4. 1 2  Abramowitz, Milton (1965). *Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables*. Irene A. Stegun. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. OCLC 429082.

Надворешни врски
----------------

* Образовни материјали поврзани со A lesson on logarithms can be found on Wikiversity на Викиуниверзитетот
* Logarithm in Mathwords