**Бесконечна комбинаторика** или **Комбинаторна теорија на множества** — проширување на идеите за поврзување на комбинаториката со бесконечните множества. Работите коишто се проучуваат во рамки на бесконечната комбинаторика вклучуваат: континуелни графови и дрвја, проширувања на Ремзиевата теорема и Мартиновата аксиома. Скорешните проширувања се однесуваат на комбинаториката на континуум и комбинаториката на кардинални броеви.

Ремзиева теорија за бесконечни множества
----------------------------------------

Ако претпоставиме дека κ, λ се редни броеви, *m* е кардинален број и *n* е природен број, тогаш записот:

{\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )\_{m}^{n}}
претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството [κ]*n* од подмножества со *n* елементи од {\displaystyle \kappa } на *m* делови има хомогено множество од ред λ. Хомогеното множество во овој случај е подмножество од κ, така што секое подмножество со *n* елементи е во истиот елемент на поделбата. Кога *m* е 2, тоа обично се избегнува.

Под претпоставка дека важи аксиомата на избор, тогаш нема редни броеви κ со κ→(ω)ω, па така *n* обично се јавува како конечен број. Проширувањето во коешто *n* се јавува како бесконечен број може да се прикаже со записот:

{\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )\_{m}^{<\omega }},
што претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството на конечни подмножества од κ на *m* делови има подмножество од ред λ, така што за секој конечен *n*, сите подмножества со големина *n* се во истиот елемент на поделба. Кога *m* е 2, тоа обично се избегнува.

Друга варијанта е записот:

{\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}},
што е скратен облик на објаснувањето дека секое обојување на множеството [κ]*n* од подмножества со *n* елементи од κ со 2 бои има подмножество од ред λ, така што сите елементи од [λ]*n* се обоени со првата боја или подмножество од ред μ, така што сите елементи од [μ]*n* се обоени со втората боја.

Некои особини на теоријата, од каде што произлегува дека {\displaystyle \kappa } е кардинален број, се следните:

{\displaystyle \aleph \_{0}\rightarrow (\aleph \_{0})\_{k}^{n}} за сите конечни *n* и *k* (Ремзиева теорема);
{\displaystyle \beth \_{n}^{+}\rightarrow (\aleph \_{1})\_{\aleph \_{0}}^{n+1}} (Ердош-Радоева теорема);
{\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}} (Сјерпинскиева теорема);
{\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)\_{\kappa }^{2}}; и
{\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph \_{0})^{2}} (Ердош-Душник-Милерова теорема).
Во случаите без избор, особините на поделбата со бесконечни експоненти може да биде веродостојна и некои од нив се добиени како последица на аксиомата на одредување. Доналд Мартин докажал дека аксиомата на одредување укажува дека важи: 

{\displaystyle \aleph \_{1}\rightarrow (\aleph \_{1})\_{2}^{\aleph \_{1}}}.

Големи кардинални броеви
------------------------

Како големи кардинални броеви и нивните особини може да се издвојат следните:

* слаби компактни кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)2;
* α-Ердошови кардинални броеви κ коишто се најмалите броеви што го задоволуваат условот κ→(α)<ω; и
* Ремзиеви кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)<ω.

Поврзано
--------

* Комбинаторина
* Теорија на множества
* Кардинален број

Наводи
------

1. ↑  Andreas Blass, *Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum*, Chapter 6 in Handbook of Set Theory, edited by Matthew Foreman and Akihiro Kanamori, Springer, 2010.
2. ↑  Todd Eisworth, *Successors of Singular Cardinals* Chapter 15 in Handbook of Set Theory, edited by Matthew Foreman and Akihiro Kanamori, Springer, 2010