**Логаритамска равенка** – равенка каде непознатата големина е содржана во логаритмот или е база на логаритмот.

Подрачје на дефиниција
----------------------

Логаритамската равенка е дефинирана соодветно на подрачјето во кое е дефинирана и логаритамската функција. Во таа смисла, базата на логаритмот мора да биде позитивен број поголем од нула, што исто така важи и за изразот на кој се однесува логаритмот (во доменот на реалните броеви не е дефиниран логаритам на негативен број).

Едноставна логаритамска равенка
-------------------------------

Едноставна логаритамска равенка може да се смета логаритамска равенка каде непознатата големина се појавува во рамките на еден израз на логаритмот или се појавува како база на логаритмот.

### Пример 1

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle \log {\frac {2x}{x-4}}=1\,}
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{x-4}}&=10\\2x&=10(x-4)\\2x&=10x-40\\-8x&=-40/:(-8)\\x&=5\end{aligned}}}
### Пример 2

Зададена е логаритамската равенка:
{\displaystyle \log \_{x-2}1000=3\,} 
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=1000\\(x-2)^{3}&=10^{3}\\x-2&=10\\x&=12\\\end{aligned}}}
### Пример 3

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle \log \_{5}|2x-3|=3\,}
од каде следи:

{\displaystyle |2x-3|=5^{3}\,} односно,
{\displaystyle |2x-3|=125.\,}
Решавајќи ја оваа равенка со апсолутни вредности, лесно се наоѓа дека постојат две можни решенија на почетната логаритамска равенка: *x1* = 64 и *x2* -61.

Посложена логаритамска равенка
------------------------------

Посложените логаритамски равенки содржат поголем број членови каде непознатата големина се наоѓа во логаритмот или е база на логаритмот, а каде логаритамската равенка може да се појави во бројни облици и каде секоја равенка во решавањето може да бара посебна постапка за решавање.

### Пример 1

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle \log ^{2}x-\log x^{2}-8=0\,}
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}\log ^{2}x-2\log x-8&=0/{\text{супституција:}}\log x=y\\y^{2}-2y-8&=0\end{aligned}}}
Решавајќи ја најдената квадратна равенка по *y*, се добиваат решенијата на квадратната равенка *y1* = 4 и *y2* = -2. Согласно супституцијата *logx=y*, следат и решенијата на почетно зададената логаритамска равенка: *x1* = 10.000 и *x2* = 0,01.

### Пример 2

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle \log \_{2}(x^{2}+4)=2+\log \_{2}x\,}
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}2^{(2+\log \_{2}x)}&=x^{2}+4\\4\cdot 2^{\log \_{2}x}&=x^{2}+4\\4x&=x^{2}+4\\-x^{2}+4x-4&=0/\cdot (-1)\\x^{2}-4x+4&=0\end{aligned}}}
Решавајќи ја најдената квадратна равенка по *x* се добива решението *x1* = *x2* = 2, што воедно е решение на почетната логаритамска равенка.

### Пример 3

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle 3\log \_{2}x-2\log \_{x}2=1\,}
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}3\log \_{2}x-2{\frac {\log \_{2}2}{\log \_{2}x}}&=1\\3\log \_{2}x-2{\frac {1}{\log \_{2}x}}&=1/\cdot (\log \_{2}x)\\3\log \_{2}^{2}x-\log \_{2}x-2&=0/{\text{супституција:}}\log \_{2}x=y\\3y^{2}-y-2&=0\\\end{aligned}}}
Решавајќи ја најдената квадратна равенка по *y*, се добиваат решенијата *y1* = 1 te *y2* = -2/3. Согласно супституцијата 2x=y*, следат и решенијата на почетно зададената логаритамска равенка:* x1 *= 2 te* x2 *= 2(-2/3).*

### Пример 4

Зададена е логаритамската равенка:

{\displaystyle \log(\log x)+\log(\log x^{3}-2)=0\,}
Согласно правилата за сметање со логаритми редоследно се доаѓа до:

{\displaystyle {\begin{aligned}\log x(\log x^{3}-2)&=1\\\log x(3\log x-2)&=1\\3\log ^{2}x-2\log x-1&=0\end{aligned}}}
Решавајќи ја најдената квадратна равенка по *logx*, се добиваат решенијата *logx1* = 1 и *log x2* = -1/3. Бидејќи еден од членовите на почетната логаритамска равенка е изразен како *log(logx)*, второто решение очигледно нема смисла според дефиницијата на логаритам. Постои значи, само едно решение каде *logx* = 1, од каде следи дека *x* = 10, што е и единствено решение на почетната логаритамска равенка.

Надворешни врски
----------------

(македонски)Логаритамски равенки на мрежното место „е-математика"