Графички приказ на првите 15.000 делумни суми на редот 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...
**1 − 2 + 3 − 4 + ...** — бесконечен ред во математиката, чиишто членови се последователни позитивни броеви со променлив знак. Сумата на првите *m* членови од редот може да се запише како:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}
Овој бесконечен ред дивергира, што значи дека неговата низа од делумни суми, (1, −1, 2, −2, ...), не тежнее кон било која гранична вредност. Сепак, во средината на 18. век, Леонард Ојлер го запишал следново, коешто го окарактеризирал како парадоксално:

{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}
Математички метод, употребен за да се објасни ваквото равенство, бил развиен многу подоцна. Почнувајќи во 1890 година, Ернесто Чезаро, Емил Борел и други математичари строго ги испитувале постоечките методи за утврдување на сумата на дивергентните редови, вклучувајќи и нови толкувања на Ојлеровите обиди. Многу од овие методи за пресметка на сумата на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... лесно доведуваат до решение еднакво на  1⁄4. Сумирањето по Чезаро е еден од неколкуте методи коишто не врши сумирање на 1 − 2 + 3 − 4 + ... така што редот е пример за којшто е потребен многу поприкладен метод, како на пример Абеловото сумирање.

Редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... е многу сличен на Грандиевиот ред 1 − 1 + 1 − 1 + .... Ојлер овие редови ги сметал за посебни случаи од видот на редот 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... којшто го проучувал за произволно *n* работејќи на Базелскиот проблем и притоа добил функционални равенки, денес познати како Дирихлеова ета-функција и Риманова зета-функција.

Дивергенција
------------

Членовите на редот 1, −2, 3, −4, ... не тежнеат кон 0, па затоа 1 − 2 + 3 − 4 + ... дивергира според примена на тестот на општ член. За понатамошо разгледување, корисно би било да се утврди дивергенцијата на основно ниво. По дефииниција, конвергенцијата или дивергенцијата на еден бесконечен ред е условена од конвергенцијата или дивергенцијата на неговите низи од делумни суми. Според тоа, делумните суми на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... се:

1 = **1**,
1 − 2 = **−1**,
1 − 2 + 3 = **2**,
1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,
...
Оваа низа е важна поради присуството на секој цел број по еднаш, дури и 0 ако се брои празната делумна сума, и со тоа воспоставувањето на броивост на членовите од множеството на целите броеви {\displaystyle \mathbb {Z} }. Низата од делумни суми јасно покажува дека редот не конвергира кон одреден број (за секоја гранечна вредност *x*, може да се најде член, после којшто сите последователните делумни суми се надвор од интервалот [*x*-1, *x*+1]), па според тоа 1 − 2 + 3 − 4 + ... дивергира.

Евристика за сумирање
---------------------

### Стабилност и линеарност

Бидејќи членовите 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... следат проста законитост, редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... е можно да се преобрази преку преместување и додавање на член по член, со цел да му се припише некое бројчено значење. Ако изразот *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + ... за некој зададен број *s* има смисол, тогаш следните формални преобразби наведуваат на тоа дека *s* =  1⁄4:

{\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1.\end{array}}}
Со четирикратно додавање на 1 − 2 + 3 − 4 + ... применувајќи преместувања и додавања на член по член, се дбива резултат еднаков на 1. Поради тоа, {\displaystyle s={\frac {1}{4}}}. Ова изведување е графички претставено на цртежот од десната страна.

Иако 1 − 2 + 3 − 4 + ... нема сума во обичен смисол, равенството *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + ... =  1⁄4 дава најдобар одговор на тоа дали таква сума може да се одреди. Воопштеното определување на „сумата" на дивергентен ред се нарекува метод на сумирање, којшто овозможува пресметување на сума на неколку подмножества од сите можни редови. Постојат бројни методи за воопштено сумирање на редовите (некои од нив се опишани подолу), коишто содржат и некои од својствата на обичното сумирање на редови. Всушност, погоре беше докажано следново: Со примена на било кој метод за сумирање којшто е линеарен и стабилен и овозможува да се пресмета сумата на редот, пресметаната сума изнесува  1⁄4. Понатаму, бидејќи:

{\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}
примената на овој метод нуди решение и за пресметка на сумата на Грандиевиот ред, (1 − 1 + 1 − 1 + ... =  1⁄2).

### Кошиев призвод

Во 1891, Ернесто Чезаро изразил надеж дека дивергентните редови ќе бидат вклучени во калкулусот, укажувајќи на следново:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| „ | Некои пишуваат (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... и тврдат дека двете страни се еднакви на  1⁄4. | "|

За Чезаро, ова равенство било примена на теоремата којашто ја објавил една година преттоа и којашто може да се смета за прва теорема во историјата на сумирањето на дивергентните редови. Детали од овој метод на сумирање се прикажани подолу; основната идеја се состои во тоа што 1 − 2 + 3 − 4 + ... е Кошиев производ на 1 − 1 + 1 − 1 + ... и 1 − 1 + 1 − 1 + ....

Кошиевиот производ од два бесконечни реда е определен, па дури и двата реда да се дивергентни. Во случај кога Σ*a**n* = Σ*b**n* = Σ(−1)*n*, членовите од Коишевиот производ се добиваат од конечната дијагонална сума:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c\_{n}&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}}
Тогаш, производот од редот изнесува:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .}
На тој начин, методот за сумирање којшто го содржи Кошиевиот прооизвод на два реда и дава сума 1 − 1 + 1 − 1 + ... =  1⁄2, исто така ја дава и сумата 1 − 2 + 3 − 4 + ... =  1⁄4. Со резултатот добиен во претходниот дел, ова подразбира еквивалентност меѓу сумирањето на 1 − 1 + 1 − 1 + ... и 1 − 2 + 3 − 4 + ... со метои коишто се линеарни, стабилни и го содржат Кошиевиот производ.

Теоремата на Чезаро е префинет пример. Редот 1 − 1 + 1 − 1 + ... може да биде сумиран по Чезаро и е наречен (C, 1)-сумирачки, додека 1 − 2 + 3 − 4 + ... бара подлабока примена на теоремата на Чезаро и се нарекува (C, 2)-сумирачки. Бидејќи сите облици на Чезаровската теорема се линеарни и стабилни, вредностите од сумите се оние коишто веќе се пресметани.

Посебни методи
--------------

### Чезаро и Хелдер

Податоци за сумата (H, 2) од  1⁄4
За да се пресмета сумирањето по Чезаро (C, 1) за 1 − 2 + 3 − 4 + ... ако тоа постои, најпрво е неопходно да се пресмета аритметичката средина од делумните суми од редот. Делумните суми се:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...
а аритметичките срединиод овие делумни суми:

1, 0,  2⁄3, 0,  3⁄5, 0,  4⁄7, ....
Оваа низа од средини не конвергира, па така 1 − 2 + 3 − 4 + ... не може да се сумира по Чезаро.

Постојат две познати воопштувања на сумирањето по Чезаро: концептуално попросто од нив е низата од методи (H, *n*) за природни броеви *n*, акде што сумата (H, 1) е сума по Чезаро, а понатамошните методи ја повторуваат пресметката на средини. Во примерот погоре, парните средни вредности конвергираат до  1⁄2, додека сите непарни средни вредности се еднакви на 0; според тоа, средните вредности од средините конвергираат до средната вредност меѓу 0 и  1⁄2, т.е. до  1⁄4. Така, редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... има сума (H, 2) во износ од  1⁄4.

Буквата „H" претставува кратенка од презимето на Ото Хелдер, којшто во 1882 година прв го докажал она коешто математичарите денес го сметаат за врска меѓу Абеловото сумирање и сумирањето (H, *n*). Редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... бил првиот пример којшто го употребил за таа цел. Фактот што  1⁄4 е сума (H, 2) од 1 − 2 + 3 − 4 + ... потврдува дека станува збор за Абелова сума; ова е директно докажано подолу.

Другото често формулирано воопштување на сумирањето по Чезаро е низата од методи (C, *n*). Веќе беше докажано дека сумирањето (C, *n*) и сумирањето (H, *n*) секогаш даваат ист резултат, но тие всушност имаат различна историска позадина. Во 1887 година, Чезаро бил блиску до определувањето на сумирањето (C, *n*), но тој дал само неколку примери. Подробно, тој ја пресметал сумата на 1 − 2 + 3 − 4 + ... во износ од  1⁄4 со примена на метод којшто може да се преформулира како (C, *n*), но во тоа време не бил познат како таков. Тој формално ги определил методите (C, n во 1890 година, со цел да даде поткрепа на неговата теорема дека Кошиевиот производ од ред со сума (C, *n*) и ред со сума (C, *m*) е еднаков на сумата (C, *m* + *n* + 1).

### Абелово сумирање

Неколку исечоци од 1−2*x*+3*x*2+...; 1/(1 + *x*)2; и гранични вредности во точката 1
Во извештај од 1749 година, Леонард Ојлер признал дека редот дивергира, но во секој случај е подготвен да ја пресмета неговата сума:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| „ | ...кога се вели дека сумата на редот 1−2+3−4+5−6 итн. е еднаква на  1⁄4, тоа мора да звучи парадоксално. Со собирање на 100 членови од овој ред, се добива збир 50, иако со додавањето на 101. член се добива збир +51, што далеку се разликува од  1⁄4 и уште подалеку со зголемувањето на бројот на членови. Но, јас и порано забележав дека е неопходно на поимот *сума* да му се даде пошироко значење.... | "|

Ојлер предложил воопштување на поимот „сума на ред" неколкупати. Во случајот со 1 − 2 + 3 − 4 + ... неговите идеи се слични со она што денес е познато како метод за сумирање по Абел:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| „ | ...повеќе нема сомнение дека сумата на редот 1−2+3−4+5 + итн. е  1⁄4, бидејќи произлегува од разобличување на формулата  1⁄(1+1)2, чијашто вредност неоспорно изнесува  1⁄4. Идејата станува појасна при разгледување на воопштениот облик на редот, 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + 5*x*4 − 6*x*5 + *&c.*, произлезен од разобличувањето на изразот  1⁄(1+*x*)2, кој би бил еквивалентен со редот по воведувањето на замената *x* = 1. | "|

Постојат многу начин на коишто може да се воочи дека најмалку за апсолутните вредности |*x*| < 1, Ојлер е во право дека:

{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}
Можно е да се изврши развој на десната страна во Тејлоров ред или да се примени формалниот процес на делење на полиноми. Започнувајќи од левата страна, може да се следи општата евристика прикажана погоре и двапати да се помножи по (1+*x*) или да се изврши коренување на гемоетрискиот ред 1 − *x* + *x*2 − .... Ојлер, исто така, предложил диференцирање на последниот ред член по член.

Од современа гледна точка, редот 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + ... не определува функција во точката *x* = 1, така што вредноста не може едноставно да се замени во добиениот израз. Поради тоа што функцијата е определена за сите |*x*| < 1,, може да се пресмета гранична вредност за *x* којшто тежнее кон 1, што всушност претставува дефиниција за Абеловата сума:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 1^{-}}\sum \_{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim \_{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}
### Ојлер и Борел

Ојлерово сумирање за  1⁄2 −  1⁄4
Ојлер применил и друг метод за овој ред, познат како Ојлерова трансформација, што претставува еден од неговите изуми. За да се пресмета Ојлеровата трансформација, потребно е да се започне со низа од позитивни членови — во случајов со 1, 2, 3, 4, .... Првиот член од оваа низа е означен како *a*0.

Понатаму, потребно е да се пресмета конечната разлика меѓу членовите од низата 1, 2, 3, 4, ... што е еднакво на 1, 1, 1, 1, .... Првиот член од оваа низа е означен како Δ*a*0. Сепак, Ојлеровата трансформација зависи и од разликите од разликите, но сите понатамошни разлики од членовите во низата 1, 1, 1, 1, ... се еднакви на 0. Во тој случај, Ојлеровата трансформација за редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... е определена како:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}a\_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a\_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a\_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}
Во современата терминологија, се вели дека 1 − 2 + 3 − 4 + ... може да се сумира по Ојлер и притоа да се добие сума еднаква на  1⁄4.

Сумирањето по Ојлер подразбира постоење на уште еден вид на сумирање. Претставувањето на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... како:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}
доведува до конвергентен ред во секоја точка, којшто може да се запише како:

{\displaystyle a(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).}
Поради тоа, Бореловата сума на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... може да се пресмета како

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}
### Поделба на скалите

Саичев и Војчински дошле до решението 1 − 2 + 3 − 4 + ... =  1⁄4 по пат на примена на два физички принципи: *смалување на бесконечно мали* и *поделба на скалите*. Ппрецизно, овие принципи водат кон определување на широко семејство на „методи за *φ*-сумирање", од коишто сите даваат сума еднаква на  1⁄4:

* Ако *φ*(*x*) е функција чијшто прв и втор извод се непрекинато интеграбилни во интервалот (0, ∞), при што φ(0) = 1 и граничните вредности од φ(*x*) и *x*φ(*x*) за +∞ се еднакви на 0, тогаш:

{\displaystyle \lim \_{\delta \rightarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}
Овој резултат претставува воопштување на Абеловото сумирање, коешто се добива со воведување на замената *φ*(*x*) = exp(−*x*). Општото тврдење може да се докажи преку групирање на членовите од редот во парови по *m* и преобразувањео на изразот во Риманов интеграл. Во однос на последниот чекор, доказот за 1 − 1 + 1 − 1 + ... содржи примена на Лагранжовата теорема за средна вредност, но во овој случај е потребна примена на понапреден Лагранжов облик на Тејлоровата теорема.

Воопштувања на редот
--------------------

Извадок од 233. страница од *E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum*. Ојлер врши пресметка на сумите на слични редови, о. 1755.
Трикратниот Кошиев производ на редот 1 − 1 + 1 − 1 + ... изнесува 1 − 3 + 6 − 10 + ... т.е. алтернативен ред од триаголни броеви, чијашто Абелова и Ојлерова сума е еднаква на  1⁄8. Четирикратниот Кошиев производ, пак, од редот 1 − 1 + 1 − 1 + ... изнесува 1 − 4 + 10 − 20 + ... што претставува алтернативен ред од тетраедални бреови, чијшто збир е еднаков на  1⁄16.

Друго воопштување на 1 − 2 + 3 − 4 + ... на малку поразличен начин е редот 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... за други вреднсти на *n*. Во случај *n* да има вредност на позитивен број, редовите од овој облик ги имаат следниве Абелови суми:

{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B\_{n+1}}
каде што *B**n* се Бернулиеви броеви. Кога *n* е парен број, равенството се сведува на:

{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.}
Последната сума станала предмет на потсмен од страна на Абел, којшто во 1826 година запишал:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| „ | Дивергентните редови се целосно работа на ѓаволот, па срамота е некој да се надева дека може да пронајде каков било доказ за нив. Од нив може да се добие што ќе се посака, а тие самите направилие толку многу несреќи и парадокси. Може ли да се претстави нешто поужасно отколку да се каже дека:

0 = 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + итн.
каде што *n* е позитивен број. Овде има нешто за коешто треба да се смееме, пријатели. | "|

Учителот на Чезаро, Ежен Шарл Каталан, исто така ги потценувал дивергентните редови. Под негово влијание, Чезаро „условните формули" за 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... најпрво ги карактеризирал како „апсурдни равенства" и во 1893 година изразил мислење дека формулите се грешни, но сепак пости начин на којшто може да бидат формално полезни. Конечно, во неговото дело *Sur la multiplication des séries* од 1890, Чезаро применил современ пристап, започнувајќи со дефиниции.

Редовите се предмет на проучување и за нецели вредности на *n*, коишто ја сочинуваат Дирихлеовата ета функција. Дел од котивацијата на Ојлер за изучување на редовите поврзани со редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... била функционалната равенка за ета-функцијата, којашто директно води до функционалната равенка за Римановата зета-функција. Ојлер веќе бил познат за наоѓањето на вредностите на овие функции како позитивни парни броеви (вклучувајќи го и Базелскиот проблем), а се обидувал да ги пронајде вредностите и за позитивните непарни броеви (вклучувајќи ја Апериевата константа), птоблем којшто останал нерешен и неразјаснет и до денес. Со методите на Ојлер е полесно да се работи со ета-функцијата, поради тоа што Абеловата сума од нејзиниот Дирихлеов ред може да се пресмета насекаде. Од друга страна, сумата на Дирихлеовиот ред на зета-функцијата може да се пресмета многу потешко онаму каде што дивергира. Така на пример, редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... во зета-функција соответствува на неалтернативниот ред 1 + 2 + 3 + 4 + ... којшто има длабока примена во современата физика, но бара примена на многу посилни методи за пресметка на неговата сума.

Поврзано
--------

* Дивергентен ред;
* Грандиев ред.

Наводи
------

1. ↑  Hardy стр. 8
2. ↑  Beals стр. 23
3. ↑  Hardy (стр. 6) го користи ова изведување во враска со проценувањето на вредноста на Грандиевиот ред 1 − 1 + 1 − 1 + ....
4. ↑  Ferraro, стр. 130.
5. ↑  Hardy, стр. 3
6. ↑  Weidlich, стр. 52–55.
7. ↑  Hardy, стр. 9.
8. ↑  Weidlich, стр. 17–18.
9. ↑  Ferraro, стр. 118; Tucciarone, стр. 10. Ferraro го критикува објаснувањето на Tucciarone (стр. 7) за резултат на Хелдер, но објаснувањата на двајцата автори за Хелдеровото решавање на 1 − 2 + 3 − 4 + ... се исти.
10. ↑  Ferraro, стр. 123–128.
11. ↑  Euler et al. стр. 2. Иако записот бил напишан во 1749 година, тој не бил издаден сè до 1768 година.
12. ↑  Euler et al. стр. 3, 25.
13. ↑  На пример, Lavine (стр. 23) се залага за долга поделба, но истата не ја спроведува.
14. ↑  Vretblad (стр. 231) врши пресметка на Кошиевиот производ. Советот на Ојлер е нејасен (Euler et al. стр. 3, 26.), а Baez дури предложува примена на категорично-теоретски метод, којшто вклучува множење на точковни множества и квантен хармонички осцилатор (Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... =-1/12 (PDF). math.ucr.edu, 19 декември 2003.).
15. ↑  Weidlich стр. 59
16. ↑  Saichev and Woyczyński, стр. 260–264.
17. ↑  Kline, стр. 313.
18. ↑  Knopp, стр. 491; во Hardy, стр. 3 се чини дека постои грешка на истото ова место.
19. ↑  Grattan-Guinness, стр. 80.
20. ↑  Видете во Markushevich, стр. 48 за друг превод на францускиот оригинал со иста содржина.
21. ↑  Ferraro, стр. 120–128.
22. ↑  Euler et al. стр. 20–25.

Користена литература
--------------------

* Beals, Richard (2004). *Analysis: an introduction*. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
* Davis, Harry F. (1989). *Fourier Series and Orthogonal Functions*. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
* Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). „Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. Посетено на 2007-03-22.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link) Originally published as Euler, Leonhard (1768). „Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". *Memoires de l'academie des sciences de Berlin*. **17**: 83–106.
* Ferraro, Giovanni (1999). „The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". *Archive for History of Exact Sciences*. **54** (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
* Grattan-Guinness, Ivor (1970). *The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann*. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
* Hardy, G.H. (1949). *Divergent Series*. Clarendon Press. LCCN 9175377 Проверете ја вредноста `|lccn=` (help).
* Kline, Morris (1983). „Euler and Infinite Series". *Mathematics Magazine*. **56** (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371.
* Lavine, Shaughan (1994). *Understanding the Infinite*. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1.
* Markushevich, A.I. (1967). *Series: fundamental concepts with historical exposition* (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. изд.). Hindustan Pub. Corp. LCCN 6817528 Проверете ја вредноста `|lccn=` (help).
* Saichev, A.I. and W.A. Woyczyński (1996). *Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1*. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)
* Tucciarone, John (1973). „The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". *Archive for History of Exact Sciences*. **10** (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
* Vretblad, Anders (2003). *Fourier Analysis and Its Applications*. Springer. ISBN 0-387-00836-5.
* Weidlich, John E. (1950). *Summability methods for divergent series*. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.

Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.

|  |  |
| --- | --- |
|  | Статијата „**1 − 2 + 3 − 4 + …**" е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии). |