Теорема „пеперутка"
**Теоремата „пеперутка"** е класичен резултат во Евклидовата геометрија, кој може да се формулира на следниов начин::стp. 78

Нека {\displaystyle PQ} е тетива во кружница и {\displaystyle M} е нејзината средина. Низ {\displaystyle M} се нацртани други две тетиви - {\displaystyle AB} и {\displaystyle CD}. Отсечките {\displaystyle AD} и {\displaystyle BC} ja сечат тетивaтa {\displaystyle PQ} во точките {\displaystyle X} и {\displaystyle Y} соодветно. Точката {\displaystyle M} е средина на отсечката {\displaystyle XY}.

Доказ
-----

Доказ на теорема „пеперутка"Proof of Butterfly theorem
Формалниот доказ на теоремата е како што следува:

Нека од точката {\displaystyle X} се повлечени нормалите {\displaystyle XX'} и {\displaystyle XX''} кон правите {\displaystyle AM} и {\displaystyle DM} соодветно. Слично, нека {\displaystyle YY'} и {\displaystyle YY''} се нормали повлечени од точката {\displaystyle Y} кон правите {\displaystyle BM} и {\displaystyle CM} соодветно.

Од сличноста {\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',} важи

{\displaystyle (1)\quad \quad {{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}={{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}.}
Слично, заради {\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',} важи

{\displaystyle (2)\quad \quad {{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}={{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}.}
Од равенките (1) и (2) имаме дека

{\displaystyle (3)\quad \quad \left({{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}\right)^{2}={{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}{{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}.}
Понатаму, од {\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',} имаме

{\displaystyle (4)\quad \quad {{\overline {XX'}} \over {\overline {YY''}}}={{\overline {AX}} \over {\overline {CY}}},}
a од {\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',} важи

{\displaystyle (5)\quad \quad {{\overline {XX''}} \over {\overline {YY'}}}={{\overline {DX}} \over {\overline {BY}}}.}
Со множење на (4) и (5) добиваме 

{\displaystyle (6)\quad \quad {{\overline {XX'}} \over {\overline {YY'}}}{{\overline {XX''}} \over {\overline {YY''}}}={{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}\,.}

Сега, Oд (3) и (6) имаме

{\displaystyle (6)\quad \quad \left({{\overline {MX}} \over {\overline {MY}}}\right)^{2}={{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}\,.}
Од теоремата за тетиви кои се сечат (степен на точка), имаме дека

{\displaystyle {{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}={{\overline {PX}}\cdot {\overline {QX}} \over {\overline {PY}}\cdot {\overline {QY}}}={({\overline {PM}}-{\overline {XM}})\cdot ({\overline {MQ}}+{\overline {XM}}) \over ({\overline {PM}}+{\overline {MY}})\cdot ({\overline {QM}}-{\overline {MY}})}\,.}
Бидејќи {\displaystyle {\overline {PM}}={\overline {MQ}}}, имаме

{\displaystyle (7)\quad \quad {{\overline {AX}}\cdot {\overline {DX}} \over {\overline {CY}}\cdot {\overline {BY}}}={({\overline {PM}}-{\overline {XM}})\cdot ({\overline {PM}}+{\overline {XM}}) \over ({\overline {PM}}+{\overline {MY}})\cdot ({\overline {PM}}-{\overline {MY}})}={({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MY}})^{2}}\,.}
Значи, од (6) и (7), добиваме

{\displaystyle {({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {MY}})^{2}}={({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2} \over ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MY}})^{2}}.}
Со накрсно множење во последната равенка, добиваме

{\displaystyle {({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}={({\overline {MY}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}.}
Со елиминација на заедничкиот член {\displaystyle {-({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {MY}})^{2}}} од двете страни на добиената равенка, се добива

{\displaystyle {({\overline {MX}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}}={({\overline {MY}})^{2}\cdot ({\overline {PM}})^{2}},}
бидејќи {\displaystyle {\overline {MX}}}, {\displaystyle {\overline {MY}}} и {\displaystyle {\overline {PM}}} се сите позитивни реални броеви, важи {\displaystyle {\overline {MX}}={\overline {MY}}}.

Така, {\displaystyle M} е средина на {\displaystyle XY} .

Постојат и други докази, вклучувајќи го и оној во кој се користи проективна геометрија.

Историја
--------

Докажувањето на теоремата „пеперутка" било поставено како проблем од Вилијам Уолас во *„Математички придружник на господата*" од 1803 г. Во 1804 година биле објавени три решенија, а во 1805 година сер Вилијам Хершел повторно го поставил прашањето во писмо до Уолас. Свештеникот Томас Скур повторно го поставил истото прашање во 1814 година во *„Дневникот на господата или математичкото складиште*".

Наводи
------

1. ↑  Johnson, Roger A. *Advanced Euclidean Geometry*, Dover Publ. 2007 (orig. 1929).
2. ↑  Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", *Forum Geometricorum* 16, 2016, 337–338.
3. ↑  , problem 8.
4. ↑  William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem, cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

Надворешни врски
----------------

* Теоремата „пеперутка" на cut-the-knot
* Подобра теорема за пеперутки на cut-the-knot
* Доказ за теоремата „пеперутка" во PlanetMath
* Теорема „пеперутка" од Џеј Варендорф, Проект за демонстрации на Волфрам .
* „Butterfly Theorem" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)