Линеарен систем со три променливи одредува множество рамнини. Пресекот на сите рамнини е решение
**Систем на линеарни равенки** — множество на линеарни равенки од типот:

{\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcc}3x\_{1}&+&2x\_{2}&-&x\_{3}&=&1\\2x\_{1}&-&2x\_{2}&+&4x\_{3}&=&-2\\-x\_{1}&+&{\frac {1}{2}}x\_{2}&-&x\_{3}&=&0\end{array}}}
Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}\,\!}, кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\_{1}&=&1\\x\_{2}&=&-2\\x\_{3}&=&-2\end{alignedat}}}
Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.

Воопштено, систем со *m* линеарни равенки и *n* непознати се запишува на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{array}{rcrcccrcl}a\_{11}x\_{1}&+&a\_{12}x\_{2}&+&\cdots &+&a\_{1n}x\_{n}&=&b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}&+&a\_{22}x\_{2}&+&\cdots &+&a\_{2n}x\_{n}&=&b\_{2}\\&&&\vdots &&&&&\vdots \\a\_{m1}x\_{1}&+&a\_{m2}x\_{2}&+&\cdots &+&a\_{mn}x\_{n}&=&b\_{m}\end{array}}}
каде {\displaystyle x\_{1},\ x\_{2},...x\_{n}} се непознатите, а броевите {\displaystyle a\_{11},\ a\_{12},...\ a\_{mn}} се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{bmatrix}}}
Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
каде *A* е матрица *m*×*n*, **x** е вектор колона со *n* члена, а **b** е вектор колона со *m* члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.

Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:

* системот нема решение (системот е противречен)
* системот има точно едно решение
* системот има бесконечно многу решенија

Систем со облик:

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
се нарекува *хомоген* систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата *A*.

Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност *O*(*n*2). Некои од највообичаените специјални случаи се:

* За проблеми од обликот *A***x** = **b**, каде *A* е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
* За проблеми од обликот *A***x** = **b**, каде *A* е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата *A* се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.

Поврзано
--------

* Гаус-Зајделов метод
* Крамерово правило
* Метод со замена

Надворешни врски
----------------

* (македонски) Систем на линеарни равенки и неравенки на мрежното место е-математика
* Онлајн линеарен решавач
* Систем линеарни равенки со калкулатор Архивирано на 22 јули 2013 г.
* Системи линеарни диференцијални равенки Архивирано на 14 февруари 2007 г.
* (француски) Решавање линеарни системи

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4035826-4

 |

 |