|  |
| --- |
| **Косеканс** |
| y(x)=cosec(x) |
| *Основни особини* |
| Домен |  (k,(k+2)π)  |
| Кодомен |  (-∞,-1] и [1,∞)  |
| Паритет |  непарна  |
| Периода | *2π* |
| *Одредени вредности* |
| Асимптота |  kπ  |
| *Други особини* |
| Извод |  - cosec²(x)/sec(x)  |
| к е цел број |

**Косеканс** – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и спротивната катета во правоаголен триаголник. Косекансот е реципрочна вредност од синус.

Дефиниција
----------

Дефиницијата гласи:

{\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\sin x}}}
Врската со секанс е

{\displaystyle \operatorname {cosec} \;x=\operatorname {sec} \,(x-\pi /2)}
Како и останатите тригонометриски функции и косекансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.

|  |
| --- |
| {\displaystyle \operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{a}}}
Тригонометриски триаголник |

На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина

|  |
| --- |
| {\displaystyle \csc \theta ={\overline {OE}}}
Првиот квадрант од единична кружница |

*Некои карактеристични вредности*| степени | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| радијани | 0 | {\displaystyle \pi /6} | {\displaystyle \pi /4} | {\displaystyle \pi /3} | {\displaystyle \pi /2} |
| {\displaystyle \sec \theta \,} | {\displaystyle \infty \;} | {\displaystyle 2\;} | {\displaystyle {\sqrt {2}}} | {\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}} | {\displaystyle 1\;} |

Претставување на функцијата
---------------------------

Функцијата може да се претстави во следниот вид:

{\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum \_{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}

Особини на функцијата
---------------------

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

* Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви {\displaystyle \mathbb {R} }, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
* Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1
{\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }
* Парност

функција е непарна
{\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}
* Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π
{\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}
* Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките
{\displaystyle x=\left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти
* Нули на функцијата

функцијата нема нули
* Монотоност на функцијата
* Екстреми

нема глобален екстрем
локален минимум
{\displaystyle \operatorname {cosec} ((2n+1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
локален максимум
{\displaystyle \operatorname {cosec} ((2n-1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
* Превојни точки

функцијата нема превојни точки
### Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}}
### Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е 

{\displaystyle \int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C}
### Комплексен аргумент

{\displaystyle \csc(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}}   mit {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }

Наводи
------

1. ↑  „косеканс" — Дигитален речник на македонскиот јазик

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Косеканс" на Ризницата ? |

* Eric W. Weisstein: *Secant* und *Cosecant* auf MathWorld
* Функцијата косеканс на wolfram.com