Триаголник заедно со впишаната кружница во него и поделбата на страните. Симетралите на аглите се сечат во центарот на впишаната кружница.
Според горното резонирање, прикажани се сите шест дела.
**Котангенсна теорема** – во тригонометријата оваа теорема е однос помеѓу должината на секоја од страните на даден триаголник и котангенсот од половинката од аглот наспроти страната.

Слично како што во синусната теорема размерот на секоја страна и синусот на аголот наспроти неа е еднаков на пречникот на опишаната кружница околу триаголникот (или нивните реципрочни вредности, во зависност од тоа како теоремата е изразена), котангенсната теорема е врска помеѓу полупречникот на впишаната кружница во триаголникот и неговите страни и агли.

Тврдење
-------

Ако ги користиме вообичаените ознаки за триаголник при што (види ја сликата горе десно): {\displaystyle a,b,c} се должините на трите страни на триаголникот, {\displaystyle A,B,C} се темињата спротивни на соодветните страни, {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } се соодветните агли при овие темиња, {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} е полуобемот на триаголникот и {\displaystyle r} е полупречник на впишаната кружница, тогаш котангенсната теорема гласи

{\displaystyle {\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,.}
Полупречникот на впишаната кружница е даден со

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}

Доказ
-----

На горната слика, допирните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го делат периметарот на триаголникот на 6 отсечки. Овие отсечки може да се поделат во 3 пара при што отсечките во секој пар имаат еднакви должини. На пример, двете отсечки на кои крајна точка им е темето *A* се еднакви. Ако се земе по една отсечка од секоја пар, нивниот збир е еднаков на полуобемот *s*. Пример за ова се отсечките во боја прикажани на сликата. Двете отсечки кои ја чинат црвената линија имаат збир {\displaystyle a}, па сината отсечка мора да има должина {\displaystyle s-a}. Очигледно, другите пет отсечки мора да имаат должини {\displaystyle s-a}, {\displaystyle s-b} или {\displaystyle s-c} (како што е прикажано на долната слика десно). Од цртежот, користејќи ја дефиницијата за котангенс на агол, се добива

{\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,.}
Аналогно се добиваат равенствата и за другите два агла, со што е докажано првото тврдење.

За второто, т.е. за формулата за полупречникот на впишана кружница, се почнува со формулата за котангенс на збир од три агла:

{\displaystyle {\textrm {ctg}}(u+v+w)={\frac {{\textrm {ctg}}(u)+{\textrm {ctg}}(v)+{\textrm {ctg}}(w)-{\textrm {ctg}}(u){\textrm {ctg}}(v){\textrm {ctg}}(w)}{1-{\textrm {ctg}}(u){\textrm {ctg}}(v)-{\textrm {ctg}}(v){\textrm {ctg}}(w)-{\textrm {ctg}}(w){\textrm {ctg}}(u)}}.}
Применувајќи ја оваа формула на {\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}\right)={\textrm {ctg}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}, се добива дека:

{\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)-{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)=0}

од каде

{\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right).}
(ова е важен идентитет за звирот на три котангенси на аглите во триаголник). Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:

{\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}
Множејќи го равенството со {\displaystyle {\frac {r^{3}}{s}}} се добива {\displaystyle {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}=r^{2}}. Aко на двете страни се побара квадратен корен, следува второто равенство.

Некои докази со користење на котангенсната теорема
--------------------------------------------------

Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.

* Херонова формула. Може да се забележи дека со симетралите на аглите на триаголник *ABC*, неговата плоштина е поделена на три пара од 6 помали триаголника, при што триаголниците од ист пар имаат еднакви плоштини. На пример, двата триаголника кај темето *A*, како правоаголни со страна {\displaystyle s-a} и висина кон неа *r*, имаат плоштини еднакви на {\displaystyle {\frac {1}{2}}(s-a)r}. Така, овие два триаголника имаат вкупна површина од {\displaystyle (s-a)r}, а плоштината {\displaystyle P} на целиот триаголник е

{\displaystyle {\begin{aligned}P&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}
Oттука се добива Хероновата формула за плоштина на триаголник изразена преку неговите страни
{\displaystyle P={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
како што се бараше.
* Молвајдеoва прва формула. Од формулата за синус од збир и разлика и котангенсната теорема се добива

{\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.} Ова го дава резултатот
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}} познат како прва Мовајдеова формула.
* Молвајдеoва втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+1}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}
Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во збир, согласно формулата за збир/производ на котангенси.
Ова го дава резултатот
{\displaystyle {\dfrac {a+b}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}} познат како втора Мовајдеова формула
* Од котангенсната теорема може да се изведе тангенсната теорема (Silvester 2001, стр. 99 harv error: no target: CITEREFSilvester2001 (help)).

Поврзано
--------

* Синусна теорема
* Косинусна теорема
* Тангенсна теорема
* Молвајдеева формула

Наводи
------

1. ↑  The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.

* Silvester, John R. (2001). *Geometry: Ancient and Modern*. Oxford University Press. стр. 313. ISBN 9780198508250.