Оваа статија подетално се занимава со поимот ***Извод на имплицитна функција***.   
 Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално сметање.  
 Препорачуваме да ја консултирате и статијата Имплицитна функција

Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:

{\displaystyle \ F(x,y)=0}
при што со {\displaystyle x} е означен аргументот (независно-променливата), а со {\displaystyle y}-сликата (зависно-променливата)

Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:

Нека {\displaystyle \ A\subseteq \mathbb {R} ^{2}} е отворено множество, нека {\displaystyle (a,b)\in A} и нека важи:

* {\displaystyle F:A\to \mathbb {R} } е непрекината функција;

* {\displaystyle F(a,b)=0};

* постојат парцијалните изводи: {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}} и {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}} истите се непрекинати на целото {\displaystyle A};

* {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0}

Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката {\displaystyle (a,b)} на која е дефинирана и еднозначно определена функција {\displaystyle f} која е непрекината и е таква што важи: {\displaystyle f(a)=b} и (што е поважно) {\displaystyle F(x,f(x))=0} за секој {\displaystyle x} од таа околина. Поинаку кажано таквата функција {\displaystyle f} претставува *експлицитна* (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција {\displaystyle F} на таа околина.

Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:

{\displaystyle f^{\prime }(x)=-{\frac {{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,f(x))}{{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,f(x))}}}
Кружната единица може да се наведе како крива на ниво f (x, y) = 1 од функцијата f (x, y) = x2 + y2. Околу точката А, y може да се изрази како функција y (x). Во овој пример оваа функција може да биде напишана експлицитно како g1(x)=1=+\sqrt{1-x^2}</math>, во многу случаи не постои таков експлицитен израз, но сепак може да се повика на имплицитната функција y (x). Не постои таква функција околу точката Б

Пример
------

Нека е зададена имплицитна функција:

{\displaystyle F(x,y):x^{2}+y^{2}-1=0}
Тогаш:

* функцијата е непрекината за сите вредности на {\displaystyle x} и {\displaystyle y};

* постојат парцијалните изводи:

{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=2x}
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=2y}
и тие се непрекинати за сите {\displaystyle x} и {\displaystyle y} и уште повеќе {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}\neq 0} за {\displaystyle y\neq 0}. Значи функцијата {\displaystyle F} ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со {\displaystyle y}. Тогаш за изводот имаме:

{\displaystyle f^{\prime }(x)=y^{\prime }=-{\frac {{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)}{{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)}}=-{\frac {2x}{2y}}=-{\frac {x}{y}}}

  

Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи {\displaystyle F(x,y)=0} имаме:

{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}, односно: {\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
каде

{\displaystyle y\_{1}=+{\sqrt {1-x^{2}}}} и
{\displaystyle y\_{2}=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.

Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:

* {\displaystyle y\_{1}^{\prime }=({\sqrt {1-x^{2}}})'={\frac {-2x}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{y\_{1}}}}

* {\displaystyle y\_{2}^{\prime }=(-{\sqrt {1-x^{2}}})'=-{\frac {-2x}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{y\_{2}}}}

Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: *нејзините*) експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.

Поврзано
--------

* Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)