**Лапласова равенка** — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:

{\displaystyle \qquad \nabla ^{2}\varphi =0}
Решенијата на Лапласовата равенка се хармонични функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

Дефиниција
----------

Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи.
Во Декартовиот координатен систем го има обликот:

{\displaystyle \Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.}
Во цилиндричниот координатен систем е:

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0}
Во сферниот координатен систем е:

{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}
Во закривениот координатен систем е:

{\displaystyle \Delta f={\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\partial f \over \partial \xi ^{k}}g^{ki}\right)\!+\!{\partial f \over \partial \xi ^{j}}g^{jm}\Gamma \_{mn}^{n}=0,}
или 

{\displaystyle \Delta f={1 \over {\sqrt {|g|}}}{\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi ^{j}}\right)=0,\quad (g=\mathrm {det} \{g\_{ij}\}).}

Дводимензионален систем
-----------------------

Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:

{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}}=0}
Во дводимензионалниот Декартов систем е:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}

Гринова функција
----------------

Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:

{\displaystyle \int \_{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int \_{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}.}
Дефиницијата на Гриновата функција е:

{\displaystyle \nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x').}
Ако во Гриновата теорема се стави {\displaystyle \psi =G} се добива:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int \_{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int \_{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.\end{aligned}}}
Сега може да се реши Лапласовата равенка {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0} во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:

{\displaystyle \int \limits \_{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}=\phi (x)}
равенката се сведува на:

{\displaystyle \phi (x)=\int \_{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int \_{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.}
Кога нема рабни услови Гриновата функција е:

{\displaystyle G(x,x')={\dfrac {1}{|x-x'|}}.}

Надворешни врски
----------------

* Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Laplace equation", *Математичка енциклопедија*, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
* Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Example initial-boundary value problems Архивирано на 3 јули 2017 г. using Laplace's equation from exampleproblems.com.
* „Laplace’s Equation" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method Архивирано на 7 февруари 2012 г.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* NKC: ph135790

 |

 |