Кружен исечок е засенчен со зелено. Неговата крива граница со должина L е кружен лак.
**Кружен лак** — лак на кружница помеѓу две различни точки. Ако двете точки не се директно една спроти друга, еден од овие лакови, **малиот лак**, ќе има агол во центарот на кругот кој е помал од π-радијани (180 степени), а другиот лак, **големиот лак**, ќе има агол поголем од π-радијани. Лакот на кружницата се дефинира како дел или сегмент од обиколката на кружницата. Правата линија што може да се повлече со поврзување на двата краја на лакот е позната како тетива на кружница. Ако должината на лакот е точно половина од кругот, тој е познат како полукружен лак.

Должина
-------

Должината (поточно, должината на лакот) на лак на кружница со полупречник *r* и агол *θ* (мерено во радијани) од центарот на кругот, т.е. централниот агол, е:

{\displaystyle L=\theta r.}
Ова е затоа што:

{\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}
Со замена на обемот (circumference):

{\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}
и, со *α* кој е истиот агол мерен во степени, бидејќи *θ* = *α*180 π, должината на лакот е еднаква на:

{\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}
Практичен начин да се одреди должината на лак во кружница е да се исцртаат две линии од крајните точки на лакот до центарот на кругот, да се измери аголот каде двете линии се сретнуваат со центарот, а потоа да се реши за L со вкрстено множење на исказот:

големина на аголот во степени/360° = *L* /обем.
На пример, ако големината на аголот е 60 степени, а обемот е 24 см, тогаш

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}
Тоа е така затоа што обемот на кружницата и степените на кружницата, од кои секогаш има 360, се правопропорционални.

Горната половина на кружницата може да се параметризира како:

{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}
Потоа должината на лакот од {\displaystyle x=a} до {\displaystyle x=b} е:

{\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}\_{a}^{b}.}

Плоштина на исечок
------------------

Плоштината на исечокот образуван од лакот и средиштето на кружницата (ограничен со лакот и двата полупречници повлечени до неговите крајни точки) е:

{\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}
Плоштината *A* има ист однос со плоштината на кружница и ако аголот *θ* е полна кружница:

{\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}
Можеме да го скратиме π од двете страни:

{\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}
Со множење на двете страни со *r* 2, го добиваме конечниот резултат:

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}
Користејќи го претворањето опишано погоре, откриваме дека површината на исечокот за централен агол измерена во степени е:

{\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}

Плоштина на отсечок
-------------------

Плоштината на обликот ограничен со лакот и правата линија помеѓу неговите две крајни точки е:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}
За да ја добиеме плоштината на кружниот отсечок, треба да ја одземеме плоштината на триаголникот, одредена од центарот на кругот и двете крајни точки на лакот, од областа {\displaystyle A}. Видете Кружен отсечок за детали.

Полупречник
-----------

 Производот на отсечките AP и PB е еднаков на производот на отсечките CP и PD. Ако лакот има ширина AB и висина CP, тогаш пречникот на кругот {\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}
Користејќи ја Теоремата за вкрстени тетиви (исто така позната како Теорема за степен на точка или Секантно-тангента теорема) можно е да се пресмета полупречникот *r* на кругот определен со висината *H* и ширината *W* на лакот:

Да разгледаме тетива со исти крајни точки како и лакот. Неговата нормална симетрала е друга тетива, која е пречник на кругот. Должината на првата тетива е *W*, и таа е поделена со симетралата на две еднакви половини, секоја со должина*W*2. Вкупната должина на пречникот е 2*r*, а со првата тетива е поделен на два дела. Должината на едниот дел е сагита на лакот, *H*, а другиот дел е остатокот од пречникот, со должина 2*r* − *Х.* Примената на теоремата за вкрстени тетиви на овие две тетиви се добива:

{\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}
од каде

{\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}
па

{\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}

Поврзано
--------

* Обем

Надворешни врски
----------------

* Table of contents for Math Open Reference Circle pages
* Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
* Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
* „Arc" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Портал: Геометрија