**Решавање триаголник** значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.

Остроаголен триаголник
----------------------

Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:

1. дадени се три страни (ССС);
2. дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
3. дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
4. дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).

Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.

Задача СССДадени се три страни {\displaystyle a,\;b,\;c} на триаголникот. Да се најдат неговите агли.
1. начинКосинусната теорема {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,} го дава аголот А, бидејќи {\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.} Синусната теорема {\displaystyle a:\sin A=b:\sin B} го дава аголот B, бидејќи {\displaystyle \sin B={\frac {b\sin A}{a}}.} На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. {\displaystyle C=180^{o}-(A+B).} Формулата за проверка е {\displaystyle a:sinA=c:\sin C.}
2. начинПрво се пресметува полуобемот {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}},} потоа разликите {\displaystyle p-a,\;p-b,\;p-c,} и тангенсната теорема ги дава аглите:
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.}
Формулата за проверка е {\displaystyle A+B+C=180^{o}.}
Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. {\displaystyle a+b>c,\;b+c>a,\;c+a>b.} Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.

Задача САСДадени се две страни {\displaystyle a,\;b\;(a>b)} и аголот *С*. Да се најде стрната *с* и аглите *A, B*.
РешениеКосинусната теорема ја дава страната {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}.} Синусната теорема ги дава аглите. Од a>b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара {\displaystyle \sin B={\frac {b\sin C}{c}},} па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. {\displaystyle A=180^{o}-(B+C).} Формула за проверка: {\displaystyle a:\sin A=b:\sin B.}
Задачата има единствено решение ако {\displaystyle C<180^{o}.}

Задача АСАДадена е страната *а* и аглите *B* и *C*. Да се најдат страните *b, c* и аголот *А*.
РешениеПрво се наоѓа аголот {\displaystyle A=180^{o}-(B+C).} Потоа, синусната теорема, дава: {\displaystyle b={\frac {a\sin B}{\sin A}},\;c={\frac {a\sin C}{\sin A}}.} Формулата за проверка е {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.} Задачата има единствено решение ако {\displaystyle B+C<180^{o}.}
Задача ССАДадени се две страни *a, b* и аголот *А*. Да се најде страната *с* и аглите *B, C*.
РешениеСинусната теорема {\displaystyle \sin B={\frac {b\sin A}{a}}} го дава аголот *B*. Потоа, аголот *С* се наоѓа како суплемент на аглите *А* и *B*, т.е. {\displaystyle C=180^{o}-(A+B).} На крајот, уште еднаш, синусната теорема {\displaystyle c={\frac {a\sin C}{\sin A}},} ја дава страната *с*. Формулата за проверка е: {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.}
*Кога a>b* тогаш {\displaystyle a>b\sin A,} па {\displaystyle \sin B={\frac {b\sin A}{a}}<1.} Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.
*Кога a<b* тогаш A<B. Триаголникот е правоаголен, или, ако {\displaystyle b\sin A<a,} задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, {\displaystyle b\sin A>a,} т.е. {\displaystyle \sin B>1,} нема решение.
*Кога a=b* тогаш A<90° и B<90°. Тогаш задачата има единствено решение.

Поврзано
--------

* Математика
* Геометрија
* Тригонометрија
* Синусна теорема
* Косинусна теорема
* Тангенсна теорема
* Триаголник