За други значења на поимот, погл. Тавтологија.
**Тавтологија** — исказ во логиката кој содржи повеќе од еден подисказ, кој е вистинит без разлика на вистинитоста на неговите делови. На пример, исказот „Или сите гаврани се црни или не сите од нив се црни" е тавтологија, бидејќи е вистинит без разлика на тоа која боја се гавраните. Формално изразено, како исказ со *X* кој стои за „Сите гаврани се црни" би било

{\displaystyle X\lor \lnot X},
што е тавтологија, обележана како {\displaystyle \top }, бидејќи без разлика на вистинитоста на *X*, еден од дисјунктите е вистинит, а со тоа и целиот исказ. Знакот {\displaystyle \top } значи „генеричка" тавтологија таму каде каква било тавтологија би завршила работа, без конкретно да укаже на тоа каде лежи тавтологијата.

Исказ како

{\displaystyle X\land \lnot X}
кој е секогаш невистинит без разлика на вистинитоста на неговите делови се нарекува контрадикција на недоследост и се бележи како {\displaystyle \bot }.

Кај исказната логика, знакот {\displaystyle \vDash } or {\displaystyle \vdash } може да се постави пред реченица или формули за да означи дека тоа е тавтологија. Празниот простор лево од знакот {\displaystyle \vdash } значи дека не се потребни никакви претпоставки за логично дедуцирање на материјал десно од знакот. Така можеме да се изразиме:

{\displaystyle \lbrace X\lor \lnot X\rbrace \vdash \top ,\lbrace \rbrace \vdash \top ,\top \vdash X\lor \lnot X}
Клучните вистини за тавтологија се 1) {\displaystyle \lnot \top \vdash \bot } и 2) {\displaystyle \lnot \bot \vdash \top }. Значи, не тавтологија е недолседност и не недоследност е тавтологија.

Тавтологии наспроти валидности
------------------------------

Предикатната логика, често разликува помеѓу *тавтологии* и *валидности* (или *логики вистини*). Вака гледан, еден исказ се смета за тавтологија ако и само ако истиот претставува валидност во исказната логика (т.е. кога сè во опсегот на еден квантификатор се гледа како црна кутија). Така на пример исказот

{\displaystyle (\forall x)(x=5)\lor \lnot (\forall x)(x=5)}
е тавтологија бидејќи може да се напише и како

{\displaystyle X\lor \lnot X}
а ова е тавтологија. Наспроти тоа, исказот

{\displaystyle (\forall x){\big (}(x=5)\lor \lnot (x=5){\big )}}
би бил валидност, но не тавтологија, иако е вистинит во било која интерпретација, бидејќи не постои начин истиот да се изрази како тавтологија во исказната логика. Оваа разлика не секогаш се прави.

Откривање на тавтологии
-----------------------

Делотворна постапка за проверка дали една исказна формула е тавтологија или не е по пат на таблици на вистинитост. Меѓутоа како делотворна процедура, таблиците на вистинитост се ограничени од се ограничени од фактот што бројот на *логички интерпретации* (или припишувања на вистинитости) кои се проверени се зголемува како 2*k*, каде *k* е бројот на променливи во формулата. Алгебарски, симболички или трансформациони методи за упростување на едан формула набрзо стануваат решенија за овие сложени пребарувања со таблици.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Логички оператори |
| --- |
|  |
| Тавтологија ( {\displaystyle \top } ) |  |
|  |
| НИ ( {\displaystyle \uparrow } )  **·**  Спротивна импликација ( {\displaystyle \leftarrow } )  **·**  Импликација ( {\displaystyle \rightarrow } )  **·**  ИЛИ ( {\displaystyle \lor } ) |
|  |
| Негација ( {\displaystyle \neg } )  **·**  ИСКИЛИ ( {\displaystyle \oplus } )  **·**  Двоуслов ( {\displaystyle \leftrightarrow } )  **·**  Исказ |
|  |
| НИЛИ ( {\displaystyle \downarrow } )  **·**  неимпликација ( {\displaystyle \nrightarrow } )  **·**  Спротивна неимпликација ( {\displaystyle \nleftarrow } )  **·**  И ( {\displaystyle \land } ) |
|  |
| Контрадикција ( {\displaystyle \bot } ) |

 |