Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)
**Елипса** (старогрч. *ἔλλειψις*, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат *фокуси на елипсата*, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Елипсата има два *пречници* (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. *Оските на елипсата* се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

Елипсата се добива како пресек на конус и рамнина
Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

Параметарска равенка на елипса
------------------------------

Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на **малата полуоска**.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем *Oxy* и нејзината главна оска е по оската *x*, е определена со канонската равенка:

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема *a*² = *b*² + *c*² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (*x* = 0, *y* = b).

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:

{\displaystyle x=a\,\cos t}
{\displaystyle y=b\,\sin t}
{\displaystyle 0\leq t<2\pi }
При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската *x*, истата може да биде претставена со равенката

{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}
каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

Ексцентрицитет
--------------

Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со *e*. Ексцентрицитетот е поврзан со *a* и *b* преку равенството

{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
каде {\displaystyle c} (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.

{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на *a* со *b* и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2*ae*.

Површина
--------

Површината на елипсата е:

{\displaystyle P=ab\pi }
каде *a* и *b* се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа.
До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

**Доказ**. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е 

{\displaystyle P=4\int \_{0}^{a}ydx=4\int \_{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}
{\displaystyle =4\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt}
{\displaystyle =4ab\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t}
{\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}\_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .}
Со што доказот е завршен.

Обем
----

Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:

{\displaystyle O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}
Што е исто што и:

{\displaystyle O=2\pi a\sum \_{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod \_{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }}
Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:

{\displaystyle O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
Која може да се запише и како:

{\displaystyle O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}
Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:

{\displaystyle O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,}

Својства како рефлектор
-----------------------

Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

Елипсата во физиката
--------------------

Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

Елипсоид
--------

Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика **елипсоид**. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.

Наводи
------

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Елипса" на Ризницата ? |

* Логото на Викицитат Мисли поврзани со Елипса на Викицитат
* Елипса на Ризницата ?
* Ellipse (mathematics) — Енциклопедија Британика (англиски)
* „ellipse" - PlanetMath (англиски)
* „Ellipse" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Ellipse as special case of hypotrochoid" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
* *The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C.* by Clark Kimberling
* Ellipse circumference calculator
* Collection of animated ellipse demonstrations
* Ivanov, A.B. (2001), „Ellipse", Во Хацевинкел, Михил (уред.), *Математичка енциклопедија*, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
* Trammel according Frans van Schooten

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85042604
* GND: 4194779-4
* BNF: cb11981967h (податоци)

 |

 |