Во геометрија, **трапез** е испакнат четириаголник со **точно** еден пар паралелни страни. Има три „типа" на трапези.

* Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
* Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.


|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |
| Трапези | Рамнокрак трапез | Правоаголен трапез |

* Паралелните страни се викаат **основи** и (обично) се означуваат со *a* и *b*. (За полесно означување земаме *a*>*b*.)
* Непаралелните страни се викаат **краци** и (обично) се означуваат со *c* и *d*
* Растојанието помеѓу паралелните страни се вика **висина** и (обично) се означува со *h*.

Формули и особини за општ трапез
--------------------------------

Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) *a* и *b*, со краци *c* и *d* и со висина *h*.

**Периметар**

{\displaystyle L=a+b+c+d}
**Плоштина**

{\displaystyle P={\frac {(a+b)}{2}}\cdot h}

* Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
* Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
* Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
* Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: ***a*≠*b***. (Доколку *a*=*b*, четириаголникот би имал *два пара на паралелни страни*, па би бил паралалелограм, а не трапез.)
* Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).

**Висина** 

{\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}}}
**Основна поставка**: Трапез со основи *a* и *b* и краци *c* и *d* постои ако и само ако *h* постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за *h* е позитивен број.

Во подолните примери, *a* и *b се основите (паралелните страни).*

**Пример:** Нека е *a*=12m, *b*=10m, и *h*=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m2. Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

**Пример:** Нека е *a*=19mm, *b*=8mm, *c*=7mm и *d*=6mm. Користејќи ја формулата за висина *h*, поткорениот израз е 5760>0 и *h*=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm2 (приближно)

**Пример:** Нека е *a*=19mm, *b*=7mm, *c*=4mm и *d*=5mm. Користејќи ја формулата за висина *h*, поткорениот израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.

Терминологија
-------------

Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни). Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М. односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.

Рамнокрак трапез
----------------

Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со иста должина се вика **рамнокрак трапез**. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, *h*, *d*, или *a-b* каде што α е кој било агол, *h* е висината , *c* е (кој било) крак и *a-b* е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината *b-a* може да се знае и должината на *другата* основа.

**Пример:** Нека е *a*=9 cm, *h*=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу *a* и *c*. Тогаш *(a - b)/2* = *h*/tan(45°) = 3 cm/1 = 3 cm и *a - b*=6 cm и *b*=3 cm. *c* = *h*/sin(45°) = 3√2 cm =4,24 cm. *Горните* внатрешни агли се по 180°-45°=135°.

**Пример:** Нека е *a*=5 cm, *h*=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу *a* и *c*. Тогаш *(a - b)/2* = *h*/tan(45°) = 3 cm/1 = 3 cm и *a - b*=6 cm и *b*= -1 cm. Таков трапез не постои.

Правоаголен трапез
------------------

Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика **правоаголен трапез**. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, *h*, *d*, или *a-b* каде што α е кој било од неправите агли, *h* е висината (и едниот крак), *d* е косиот крак и *a-b* е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината *b-a* може да се знае и должината на *другата* основа.

**Пример:** Нека е *a*=7 cm, *d*=4 cm и α=30° e аголот помеѓу *a* и *d*. Тоѓаш *a-b* = *d* · sin(30°) = 4 cm · 0,5 = 2 cm и *b*=5 cm; *h*=*d* · cos(30°) = 2√3 cm =3,46 cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |   |  |
| Рамнокрак трапез | Правоаголен трапез |   | Средна линија *m* на трапез |

Плоштина, средна линија и висина на трапез
------------------------------------------

Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика **средна линија**.

* Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
* Должината на средната линија *m* е половина од збирот на основите *a* и *b*:

{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
Плоштината *Р* на трапез со средна линија *m*:

{\displaystyle P={\frac {a+b}{2}}\cdot h=m\cdot h}
Плоштината *Р* на трапез со основи *a*, *b* и краци *c* и *d*:

{\displaystyle P={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}
Кога една од паралелните страни „се смалува" на точка (на пример *b* = 0), трапезот „станува" триаголник со страни 'a*,* c *и* d *и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник.*

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:

{\displaystyle P={\frac {a+b}{|a-b|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}},}   каде што   {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}   е полуобем на трапезот.
Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)

Дијагонали на трапез
--------------------

Должините на дијагоналите се:

{\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{a-b}}}}
{\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{a-b}}}}

Карактеризации на трапез
------------------------

За даден испакнат четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:

* Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
* Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
* Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
* Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
* Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.:Prop.5

Понатаму, на еден трапез:

* Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.:Thm.15
* Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.

Друго
-----

Во калкулус и бројчена математика се користи таканаречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интеграл на соодветната функција *f*:**R**->**R** во одреден интервал.

Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание *x* од поголемата основа каде што:

{\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {a+2b}{a+b}}\right).}

Наводи
------

1. 1 2  C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. стр.791 (англиски)
2. ↑  Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, *Математика за II година гимназиско образование*. Скопје: Алби, 2009, стр. 129.
3. 1 2 3  „Trapezoid". MathWorld.
4. ↑  „Quadrilateral Formulas". The Math Forum, Drexel University. 2012. Не се допушта закосување или задебелување во: `|publisher=` (help) (англиски)
5. ↑  „Trapezoid". Math Open Reference. интерактивен (англиски)
6. ↑  Aryabhatiya Архивирано на 15 август 2011 г. Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9 **(marathi)**
7. ↑  Л.Стојановска. „Трапез - Интерактивност 3". (македонски)
8. 1 2  Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35. (англиски)
9. ↑  „efunda: Трапез и физика". Пристапен 2013-09-05. (англиски)

Поврзани теми
-------------

* Четириаголник
* Паралелограм
* Паралелни прави
* Испакнат многуаголник
* Тежиште

Надворешни врски
----------------

* Интерактивно објаснување за трапез Архивирано на 16 септември 2013 г. (македонски)
* Интерактивно објаснување за рамнокрак трапез Архивирано на 26 април 2012 г. (македонски)
* Trapezoid definition   Area of a trapezoid   Медијана на трапез интерактивни (англиски)
* *Numerical Methods for STEM Undergraduates* (англиски)

* Портал: Математика

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиња на математиката |
| --- |
|  |
| 
Логика **·** 
Теорија на множествата **·** 
Комбинаторика **·** 
Алгебра (елементарна – линеарна – апстрактна) **·** 
Теорија на броевите **·** 
Анализа/Виша анализа **·** 
Геометрија **·** 
Топологија **·** 
Диференцијални равенки/Динамички системи **·** 
Математичка физика **·** 
Нумеричка анализа **·** 
Сметање **·** 
Теорија на информацијата **·** 
Веројатност **·** 
Статистика **·** 
Оптимизација **·** 
Теорија на игрите
 |
|  |
| **Категорија**  **·**  Портал „Математика"  **·**  Теми |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85137116
* GND: 1156515645

 |

 |