Комплетен четириаголник (лево) и комплетен четиристраник (десно).
Во математиката, конкретно во геометријата на инцидентност и особено во проективната геометрија, **комплетен четириаголник** е систем на геометриски објекти што се состои од кои било четири точки во рамнината, од кои никои три не се колинеарни, и од шесте прави кои ги поврзуваат шесте пара точки. Дуален поим, *комплетен четиристраник* е систем од четири прави, од кои три не минуваат низ иста точка, и шесте пресечни точки на овие прави. Комплетниот четириаголник бил наречен **тетрастигам** од Лаклан (1893) harvtxt error: no target: CITEREFЛаклан1893 (help), а комплетниот четиристраник бил наречен **тетраграм**; овие термини повремено сè уште се користат.

Диагонали
---------

Шесте прави на комплетен четириаголник се сечат по парови и формираат три дополнителни точки наречени *дијагонални точки* на четириаголникот. Слично, меѓу шесте точки на целосен четириаголник има три пара од точки кои не се поврзани со прави; отсечките што ги поврзуваат овие парови се нарекуваат *диагонали*. За точки и прави во Евклидовата рамнина, диагоналните точки не можат да лежат на една права, а диагоналите не можат да имаат една заедничка точка. Поради откривањето на рамнината на Фано, конечна геометрија во која диагоналните точки на целосниот четириаголник се колинеарни, некои автори ги прошириле аксиомите на проективната геометрија со *аксиомата на Фано* дека диагоналните точки *не* се колинеарни,  додека други биле помалку рестриктивни.

Множеството од скратени изрази за деловите на комплетен четириаголник биле воведени од Г. Б. Халстед: тој темињата на четириаголникот ги нарекол *точки*, а диагоналните точки ги нарекол *коточки*. Правите во проективниот простор се нарекуваат *прави*, а во четириаголникот се нарекуваат *спојки*. „Диагоналните прави" на Коксетер, Халстед ги нарекол *спротивни спојки*. Спротивните спојки се сечат во коточки. Конфигурацијата на комплетниот четириаголник е **тетрастим** .

Проективни својства
-------------------

 KLMN е комплетен четириаголник;  
*D* е проективниот хармоничен конјугат на *C* во однос на *A* и *B.*
Како системи на точки и прави во кои сите точки припаѓаат на ист број на прави и сите прави содржат ист број точки, комплетниот четириаголник и комплетниот четиристраник формираат проективни конфигурации; во ознаката на проективни конфигурации, комплетниот четириаголник се запишува како (4362), а комплетниот четиристраник е се запишува како (6243), каде што броевите во оваа нотација се однесуваат на бројот на точки, прави низ точка, прави, и точки на права од конфигурацијата. Проективниот дуал на комплетен четириаголник е комплетниот четиристраник, и обратно. За кои било два комплетни четириаголници, или за кои било два комплетни четиристраници, постои единствена проективна трансформација која ја пресликува едната од двете конфигурации во другата.

Карл фон Штаудт ги реформирал основите на математиката во 1847 година со комплетниот четириаголник кога забележал дека „својството за хармоничност" може да се заснова на пресеците на страните на четириаголникот: кога паровите од спротивните страни на четириаголникот се сечат на права, тогаш диагоналите ја сечат правата во точки кои се проективно хармонично конјугирани. Четирите точки на правата кои произлегуваат од страните и дијагоналите на четириаголникот се нарекуваат хармоничен опсег. При перспективности и проективности, хармоничното својство е инваријантно. При развојот на модерната геометрија и алгебра, било забележително влијанието на фон Стаудт врз Марио Пјери и Феликс Клајн .

Евклидски својства
------------------

Во Евклидовата рамнина, четирите прави на комплетниот четириаголник не смеат да вклучуваат парови од паралелни прави, така што секој пар прави се сечат.

Wells (1991) harvtxt error: no target: CITEREFWells1991 (help) опишал неколку додатни својства на комплетниот четириаголник кои се однесуваат повеќе на метричките својства на Евклидовата рамнина, отколку што се чисто проективни. Средините на диагоналите се колинеарни и (како што било докажано од Isaac Newton), исто така се колинеарни со центарот на кониката која ги допира сите четири прави на четиристраникот. Секои три од линиите на четиристраникот се страни на триаголник; ортоцентрите на четирите триаголници кои се формирани на овој начин лежат на втора линија, нормална на онаа низ средините. Опишаните кружници од истите овие четири триаголници се сечат во една точка. Уште повеќе, трите кружници чии диаметри се диагоналите на четиристраникот му припаѓаат на ист прамен од кружници чија оска е правата која минува низ ортоцентрите на триаголниците.

Поларните кружници на триаголниците на комплетен четиристраник формираат коаксален систем. :p. 179

Исто така види
--------------

* Права на Њутн
* Коника со девет точки
* Четиристраник

Белешки
-------

1. ↑  Hartshorne 1967 harvnb error: no target: CITEREFHartshorne1967 (help); Coxeter 1987 harvnb error: no target: CITEREFCoxeter1987 (help).
2. ↑  G. B. Halsted (1906) *Synthetic Projective Geometry*, page 14 via Internet Archive
3. ↑  Coxeter 1987 harvnb error: no target: CITEREFCoxeter1987 (help)
4. ↑  Уелс погрешно заклучил дека трите кружници се сечат во пар точки. Но, како што може да се види во анимацијата на Alexander Bogomolny за истите резултати, праменот може да биде хиперболичен наместо елиптичен и во тој случај кружниците не се сечат.
5. ↑  Johnson, Roger A. *Advanced Euclidean Geometry*, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).

Референци
---------

* Coxeter, H. S. M. (1987). *Projective Geometry, 2nd ed*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96532-7.
* Hartshorne, Robin (1967). *Foundations of Projective Geometry*. W. A. Benjamin. стр. 53–6.
* Lachlan, Robert (1893). *An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry*. London, New York: Macmillan and Co. линк од Cornell University Historical Math Monographs. Видете за tetrastigm, стр. 85, и tetragram, стр. 90.
* Wells, David (1991). *The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry*. Penguin. стр. 35–36. ISBN 0-14-011813-6.

Надворешни врски
----------------

* 
* Bogomolny, Alexander. „The Complete Quadrilateral". *Cut-the-Knot*.
* Weisstein, Eric W. "Complete Quadrangle". MathWorld.