Функцијата ƒ и нејзината инверзна ƒ–1. Како ƒ ја пресликува *a* во 3, инверзната функција ƒ–1 го пресликува 3 назад во *a*.
Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината **инверзна функција** ƒ−1 е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција {\displaystyle f\circ f^{1}} го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика **инверзибилна**.

На пр. ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ−1 ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност
--------------

1. Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
2. Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ−1.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

* Сурјективно но неинјективно пресликувањеСурјективно но неинјективно пресликување
* Инјективно но несурјективно пресликувањеИнјективно но несурјективно пресликување
* БијекцијаБијекција

На пр. функцијата {\displaystyle f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}, а не цел кодомен {\displaystyle \mathbb {R} }). Истата функција, но дефинирана како {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}} има инверзна функција {\displaystyle {\sqrt {x}}}. Функцијата {\displaystyle f(x)=x^{3}\,\!} има инверзна, а {\displaystyle f(x)=x^{3}-x\,\!} нема бидејќи не е инјективна ({\displaystyle f(0)=f(1)=0\,\!}).

Особини
-------

### Симетрија

Нека id е функција на идентитетот id*X* = x. Тогаш важи

{\displaystyle {\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id\_{X}\\f^{-1}\circ f=id\_{Y}\end{aligned}}}
односно {\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f\,\!}.

### Инверзна функција на сложена функција

При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

{\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}
### Автоинверзија

Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

{\displaystyle id\_{X}^{-1}=id\_{X}\,\!}
### Графичко претставување

Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата {\displaystyle y=x\,\!}.

### Извод на инверзна функција

Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои {\displaystyle f(x)\neq 0\,\!} важи следната формула за извод на инверзна функција:

{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.}

Обележување
-----------

Важно е да се воочи дека −1 во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност {\displaystyle {\tfrac {1}{f(x)}}} се запишува како ƒ(x)−1.

Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ(n) означува n-ти извод на функцијата:

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}
Во тригонометријата, од историски причини, {\displaystyle \sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!} а не {\displaystyle \sin(\sin x)\,\!}, но е {\displaystyle \sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!}, а не {\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}}. Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката *arc*, а за реципрочни потполно други имиња ({\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x}).

Поврзано
--------

* Теорија на множества
* Функција
* Список на инверзни функции
* Инјективна функција
* Сурјективна функција
* Бијективна функција

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* GND: 4186767-1

 |

 |