**Криволиниски интеграл** — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од *обичниот* определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката**, криволиниски интеграли од втор ред** се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.

Криволиниски интеграл од прв вид
--------------------------------

 Криволиниски интеграл од прв вид
Ако со {\displaystyle f(x,y,z)} ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со {\displaystyle L} ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:

{\displaystyle \int \limits \_{L}f(x,y,z)\,ds} .
Ако едниот крај на кривата {\displaystyle L} го означиме со {\displaystyle A}, а нејзиниот друг крај со {\displaystyle B}, криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}f(x,y,z)\,ds} .
### Дефиниција

Нека кривата {\displaystyle L} е зададена параметарски на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} :

{\displaystyle x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])} .
Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата {\displaystyle f(x,y,z)}.

Можеме да формираме поделба на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} на {\displaystyle n} делови, со следните ознаки:

{\displaystyle \alpha =t\_{1}<t\_{2}<\dots <t\_{i-1}<t\_{i}<\dots <t\_{n}=\beta } .
Во секој сегмент {\displaystyle [t\_{i},t\_{i-1}]} можеме да избереме по едно {\displaystyle \tau \_{i}}, од кои секое параметарски одредува една точка {\displaystyle M\_{i}(\xi \_{i},\eta \_{i},\zeta \_{i})}, каде е {\displaystyle \xi \_{i}=\varphi (\tau \_{i}),\eta \_{i}=\psi (\tau \_{i}),\zeta \_{i}=\chi (\tau \_{i})}. Со {\displaystyle \Delta s\_{i}} ќе ја означиме должината на кривата на сегментот {\displaystyle [t\_{i},t\_{i-1}]}. Тогаш ја имаме следната ознака:

{\displaystyle \sigma \_{1}(f,L)=\sum \limits \_{i=1}^{n}f(\xi \_{i},\eta \_{i},\zeta \_{i})\Delta s\_{i}}
Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога {\displaystyle \Delta s\_{i}} тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} е „бесконечно густа". На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број {\displaystyle I}, таков што за секого {\displaystyle \varepsilon >0} постои одредено {\displaystyle \delta >0} така што:

{\displaystyle max(\Delta s\_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma \_{1}(f,L)-I|<\varepsilon } ,
тој број {\displaystyle I} ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата {\displaystyle f} на кривата {\displaystyle L}. Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и *лак* на интеграција.

### Особини

Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.

1. {\displaystyle \int \limits \_{L}(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds=\alpha \int \limits \_{L}f(x,y,z)ds+\beta \int \limits \_{L}g(x,y,z)ds} ,
2. Ако е точно за секоја домен точка: {\displaystyle f(x,y,z)<g(x,y,z)}, тогаш: {\displaystyle \int \limits \_{L}f(x,y,z)ds<\int \limits \_{L}g(x,y,z)ds} ,
3. {\displaystyle |\int \limits \_{L}f(x,y,z)ds|\leq \int \limits \_{L}|f(x,y,z)|ds} ,
4. {\displaystyle \int \limits \_{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits \_{AC}f(x,y,z)ds+\int \limits \_{CB}f(x,y,z)ds}, ако точката {\displaystyle C} се наоѓа помеѓу точките {\displaystyle A} и {\displaystyle B}.

Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот *ориентација*, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits \_{BA}f(x,y,z)ds} .
### Пресметување

Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција", се пресметува со следнава формула:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits \_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t),\chi (t)){\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)+\chi '^{2}(t)}}\,dt}
Условите за користење на оваа формула се функцијата {\displaystyle f} да е непрекината и ограничена на кривата {\displaystyle L} и дека кривата {\displaystyle L} е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.

Криволиниски интеграл од втор вид
---------------------------------

 Криволиниски интеграл од втор вид
### Дефиниција

Нека кривата {\displaystyle L} е зададена параметарски на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} :

{\displaystyle x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])} .
Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите {\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z)} јас {\displaystyle R(x,y,z)}.

Можеме да формираме поделба на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} на {\displaystyle n} делови, со следните ознаки:

{\displaystyle \alpha =t\_{1}<t\_{2}<\dots <t\_{i-1}<t\_{i}<\dots <t\_{n}=\beta } .
Во секој сегмент {\displaystyle [t\_{i},t\_{i-1}]} можеме да избереме по едно {\displaystyle \tau \_{i}}, од кои секое параметарски одредува по една точка {\displaystyle M\_{i}(x\_{i},y\_{i},z\_{i})}, каде е {\displaystyle x\_{i}=\varphi (\tau \_{i}),y\_{i}=\psi (\tau \_{i}),z\_{i}=\chi (\tau \_{i})}. Со {\displaystyle \Delta x\_{i}} ќе ја означиме разликата {\displaystyle x\_{i}-x\_{i-1}}, и аналогно на тоа {\displaystyle \Delta y\_{i}} и {\displaystyle \Delta z\_{i}}. Тогаш ги имаме следните ознаки:

{\displaystyle \sigma \_{2}(P,L)=\sum \limits \_{i=1}^{n}P(x\_{i},y\_{i},z\_{i})\Delta x\_{i}}
{\displaystyle \sigma \_{3}(Q,L)=\sum \limits \_{i=1}^{n}Q(x\_{i},y\_{i},z\_{i})\Delta y\_{i}}
{\displaystyle \sigma \_{4}(R,L)=\sum \limits \_{i=1}^{n}R(x\_{i},y\_{i},z\_{i})\Delta z\_{i}}
Во наредниот текст ќе зборуваме за {\displaystyle \sigma \_{2}(P,L)}, имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за {\displaystyle \sigma \_{3}} и {\displaystyle \sigma \_{4}}. Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз {\displaystyle \sigma \_{2}} ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога {\displaystyle \Delta x\_{i}} тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} е „бесконечно густа". На тој начин, ако постои број {\displaystyle I}, таков што за секое {\displaystyle \varepsilon >0} постои одредено {\displaystyle \delta >0} така што:

{\displaystyle max(\Delta x\_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma \_{2}(P,L)-I|<\varepsilon } ,
тој број {\displaystyle I} ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата {\displaystyle P} на кривата {\displaystyle L}. Се запишува на следниов начин:

{\displaystyle \int \limits \_{L}P(x,y,z)\,dx}, или само:
{\displaystyle \int \limits \_{L}Pdx} .
Аналогно се дефинираат интегралите{\displaystyle \int \limits \_{L}Qdy} и {\displaystyle \int \limits \_{L}Rdz}. Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:

{\displaystyle \int \limits \_{L}Pdx+\int \limits \_{L}Qdy+\int \limits \_{L}Rdz} ,
кои обично се означуваат како:

{\displaystyle \int \limits \_{L}Pdx+Qdy+Rdz}. (1)
Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција {\displaystyle {\overrightarrow {r}}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))}, односно {\displaystyle {\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)}, тогаш ознаката (1) ја нарекуваме *(општ) криволиниски интеграл од втор ред на функцијата {\displaystyle {\overrightarrow {r}}}.*

Во случај кривата {\displaystyle L} да е *затворена* т.е. {\displaystyle A=B}, зборуваме за *циркулација* и дефинираниот интеграл го обележуваме со:

{\displaystyle \oint \limits \_{L}Pdx+Qdy+Rdz} ,
иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.

### Особини

За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits \_{BA}f(x,y,z)ds} ,
кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}Pdx+Qdy+Rdz=-\int \limits \_{BA}Pdx+Qdy+Rdz} .
Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека {\displaystyle x\_{i}-x\_{i-1}=-(x\_{i-1}-x\_{i})}. На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме *ориентабилност*, односно *ориентација* на кривата.

### Пресметување

Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред {\displaystyle P} (аналогно на {\displaystyle Q,R}, согласно ознаката во пододделот „Дефиниција" на овој дел) е следна:

{\displaystyle \int \limits \_{AB}P(x,y,z)dx=\int \limits \_{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))\varphi '(t)}
Формулата важи доколку функцијата {\displaystyle P(x,y,z)} е непрекината на кривата {\displaystyle AB}, а кривата {\displaystyle AB} е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата {\displaystyle P} е непрекината дел по дел.

Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.

### Независност на интеграцијата од патеката

Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција {\displaystyle L}, т.е. нејзината „патека". Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:

Следниве искази се еквивалентни:

* За векторска функција {\displaystyle {\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)} постои функција {\displaystyle u}, таква што е {\displaystyle (u\_{x}',u\_{y}',u\_{z}')=(P,Q,R)}
* Криволинискиот интеграл {\displaystyle \int \limits \_{AB}Pdx+Qdy+Rdz} не зависи од траекторијата, туку само од точките {\displaystyle A} и{\displaystyle B}. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде {\displaystyle u(B)-u(A)}
* Циркулација {\displaystyle \oint \limits \_{L}Pdx+Qdy+Rdz} на произволна затворена патека е еднаква на нула.

Поврзано
--------

* Површински интеграл

Наводи
------

1. ↑  Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 185. ↓
2. ↑  Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 186. ↓
3. ↑  Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Посетено на 9. 4. 2013.
4. ↑  Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 189. ↓
5. ↑  Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 190. ↓
6. ↑  Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 193. ↓

Надворешни врски
----------------

Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска