**Квадратен корен од 3** — позитивен реален број кој, кога ќе се помножи со себе, го дава бројот 3. Поточно, тој се нарекува **главен квадратен корен од 3**, за да се разликува од негативниот број со исто својство. Се означува со **√3**.

Квадратниот корен од 3 е ирационален број. Познат е и како **Теодорова константа**, именувана по Теодор Киренски, кој ја докажал неговата ирационалност.

Првите шеесет цифри од неговото децимално проширување се:

1,73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (низа A002194 во OEIS)
Од декември 2013 година, нејзината бројна вредност во децимални броеви е пресметана најмалку на десет милијарди цифри.

Дропката 9756 ( 1,732.142.857...) за квадратен корен од три може да се користи како приближна вредност. И покрај тоа што има именител од само 56, тој се разликува од точната вредност за помалку од110.000 (приближно 9,2⋅10-5). Заокружената вредност 1,732 е точна до 0,01% од стварната вредност.

Архимед пријавил (1351780)2  
 > 3 > (265153)2  
 со точност од 1608400 (шест децимални места) и 223409 (четири децимални места) соодветно. 

Може да се изрази како верижна дропка [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (низа A040001 во Енциклопедија на низи цели броеви на мрежата), проширена на десната страна. Значи, точно е да се каже:

{\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a\_{22}}{a\_{12}}}-1}
тогаш кога {\displaystyle n\to \infty }:

{\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a\_{22}}{a\_{12}}}-1}
Може да се изрази преку обопштена верижна дропка како

{\displaystyle [2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}}

  

што е [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] оценето на секој друг член.

Следниве вгнездени низи квадратни изрази конвергираат кон √3:

{\displaystyle \!\ {\sqrt {3}}=2-2\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.}

Доказ на ирационалноста
-----------------------

Овој доказ за ирационалност за √3 го користи методот на Пјер де Ферма за бесконечно потекло:

Да претпоставиме дека √3 е рационален и да се изрази во најнизок можен начин (т.е. како целосно намалена дропка) како *m**n* за природните броеви *m* и *n*.

Затоа, множењето со 1 ќе даде израз еднаков на: 

{\displaystyle {\frac {m({\sqrt {3}}-q)}{n({\sqrt {3}}-q)}}}
каде што q е најголемиот цел број помал од √3. Треба да се има на ум дека и броителот и именителот се множат со број помал од 1.

Користејќи го ова и множејќи ги и броителот и именителот, добиваме:

{\displaystyle {\frac {m{\sqrt {3}}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}}
Следи дека *m* може да се замени со √3*n*:

{\displaystyle {\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}}
Потоа √3 може да се замени со *m**n* во именителот:

{\displaystyle {\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\frac {m}{n}}-nq}}}
Квадратот од √3 може да се замени со 3. Како *m**n* се множи со *n*, нивниот производ еднаков е на *m*:

{\displaystyle {\frac {3n-mq}{m-nq}}}
Тогаш √3 може да се изрази со пониски изрази од *m**n* (бидејќи првиот чекор ги смали големините на броителот и именителот, а следните чекори не ги променија) како 3*n* − *mq**m* − *nq*, што е спротивно на хипотезата дека *m**n* е најнизок.

Алтернативен доказ за ова е претпоставката дека √3 = *m**n* со *m**n* потполно сведена дропка:

Со множење со *n* на двете страни, а потоа со квадрирање се добива:

{\displaystyle 3n^{2}=m^{2}.}
Бидејќи левата страна е делива со 3, така е и десната страна, што изискува *m* да се дели со 3. Тогаш *m* може да се изрази како 3*k*:

{\displaystyle 3n^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}}
Според тоа, со делење на двете страни со 3 се добива:

{\displaystyle n^{2}=3k^{2}}
Бидејќи десната страна е делива со 3, таква е и левата страна, така што и *n* е делив со 3. Значи, бидејќи и *n* и *m* се делат со 3, тие имаат заеднички делител, и *m**n* не е потполно сведена дропка, што е спротивно на изворната премиса.

Геометрија и тригонометрија
---------------------------

Висината на рамностран триаголник со раб со должина 2 еднаква е на √3. (Еквивалентно со подолгата катета на 30-60-90 триаголник со хипотенуза  еднаква на 2.)
Дијагоналата на единичната коцка е √3 .
 Оваа проекција на Билински на додекаедар е ромб со дијагонален однос √3.
Квадратен корен од 3 може да се најде како должина на висината на рамностран триаголник со страна 2. 

Должината на просторната дијагонала на единична коцка е √3.

Ако рамностран триаголник со страни со должина 1 се подели на два еднакви дела со делење на внатрешниот агол за да се направи прав агол со едната страна, правиот агол на хипотенузата на триаголникот е со должина еден, а страните се со должина 12 и √32 Од ова, тригонометриската функција на тангентата од 60° е еднаква на √3, а синусот од 60° и косинусот од 30° се еднакви√32

Квадратниот корен од 3 се појавува и во алгебарските изрази за разни други тригонометриски константи, вклучувајќи го синусот од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° и 87°.

Тоа е растојанието помеѓу паралелните страни на правилен шестаголник со страни со должина 1. На комплексна рамнина, тоа растојание е изразено како *i*√3 споменато подолу.

Vesica piscis има однос на главната оска со помалата оска еднаков на 1: √3, што може да се покаже со изградба на два рамнострани триаголници во неа.

### Квадратен корен од −3

Со множење на √3 со имагинарна единица се добива квадратен корен од -3, што е имагинарен број. Поточно,

{\displaystyle {\sqrt {-3}}=\pm {\sqrt {3}}i}
(види квадратен корен на негативни броеви). Тоа е цел Ајзенштајнов број. Имено, тој се изразува како разлика на два нереални кубни корени од 1 (кои се Ајзенштајнови цели броеви).

Други намени
------------

### Енергетика

Во електроенергетиката, напонот помеѓу две фази во трифазен систем е еднаков на √3 пати од линискиот неутрален напон. Тоа е затоа што било кои две фази се оддалечени 120°, а две точки на круг од 120 степени се одделени со √3 пати од полупречникот (види примери од геометрија погоре).

Поврзано
--------

* Квадратен корен од 2
* Квадратен корен од 5

Наводи
------

1. ↑  Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta". *komsta.net*. Архивирано од изворникот на 2016-11-04. Посетено на 24. 9. 2016. Проверете ги датумските вредности во: `|access-date=` (help)
2. ↑  Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation", *Archive for History of Exact Sciences*, **15** (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462.
3. ↑  Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational". *Mathematical Gazette*. **83** (497): 263–267. doi:10.2307/3619054. Проверете ги датумските вредности во: `|date=` (help)
4. ↑  Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

Надворешни врски
----------------

* Теодорова константа на Math World
* Кевин Браун
* Е.Б. Давис