Црвената засенчана област е блиску до -{*h*}- патот -{*f*(*x*)}-. Атернативно кога функциите *A*(*x*) би биле познати, и двете површини би биле *A*(*x* + *h*) − *A*(*x*). Овие две вредности се апроксимативно еднакви, особено за малото -{*h*}-.
Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.

Иако теоремата е позната како **Формула на Њутн-Лајбниц**, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.

Формулација на теоремата
========================

Формално, теоремата е зададена на следниов начин:

* **Нека {\displaystyle \ [a,b]\subseteq \mathbb {R} } е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција {\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} }, нека оваа функција е интеграбилна на {\displaystyle \ [a,b]} и нека функцијата {\displaystyle \ F} е примитивна функција за {\displaystyle \ f} на {\displaystyle \ [a,b]}. Тогаш важи равенството:**

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
или почесто запишано како:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|\_{a}^{b}}

Доказ
=====

Доказот на тврдењето е следниов:

Нека {\displaystyle \ \epsilon >0} е фиксен. Бидејќи функцијата {\displaystyle \ f(x)} е интеграбилна на интервалот {\displaystyle \ [a,b]}, според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој {\displaystyle \ \epsilon }, постои {\displaystyle \ \delta >0} такво што за секоја поделба {\displaystyle T:\,\,a=x\_{0}<x\_{1}<...<x\_{n}=b\,\,\,} на интервалот и секој избор на точките {\displaystyle \ \xi \_{i}\in [x\_{i},x\_{i+1}]} важи:

{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\xi \_{i})\Delta x\_{i}-\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}
Нека {\displaystyle \ F(x)} е примитивна функција на функцијата {\displaystyle \ f(x)} на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки {\displaystyle \psi \_{i}\in [x\_{i},x\_{i+1}]} така што важи:

{\displaystyle F(x\_{i+1})-F(x\_{i})=F^{\prime }(\psi \_{i})(x\_{i+1}-x\_{i})}
односно, бидејќи {\displaystyle \ F} е примитивна на {\displaystyle \ f}, може да запишеме:

{\displaystyle F(x\_{i+1})-F(x\_{i})=f(\psi \_{i})(x\_{i+1}-x\_{i})}
Тогаш, ако сумираме за {\displaystyle i=0,1,2,...n-1}, следи:

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}f(\psi \_{i})\Delta x\_{i}=F(b)-F(a)}
Од друга страна и точките {\displaystyle \psi \_{i}\in [x\_{i},x\_{i+1}]} се „*произволни*", исто како и точките {\displaystyle \xi \_{i}\in [x\_{i},x\_{i+1}]}, па и за нив е исполнето неравенството:

{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\psi \_{i})\Delta x\_{i}-\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}
Тогаш, конечно, имаме:

{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\xi \_{i})\Delta x\_{i}-(F(b)-F(a))\right|=\left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\xi \_{i})\Delta x\_{i}-\sum \_{i=0}^{n-1}f(\psi \_{i})\Delta x\_{i}\right|=}
{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\xi \_{i})\Delta x\_{i}-\int \_{a}^{b}f(x)\,dx-\sum \_{i=0}^{n-1}f(\psi \_{i})\Delta x\_{i}+\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq }
{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(\xi \_{i})\Delta x\_{i}-\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\right|+\left|\int \_{a}^{b}f(x)\,dx-\sum \_{i=0}^{n-1}f(\psi \_{i})\Delta x\_{i}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }
од каде следи:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)|\_{a}^{b}},
каде {\displaystyle \ F} е една примитивна функција на {\displaystyle \ f} на интервалот {\displaystyle [a,b]}. Со тоа доказот е завршен.