Планковиот закон (обоени криви) прецизно го опишуваат зрачењето на црното тело и ја разрешува ултравиолетовата катастрофа (црната крива).
**Планков закон** — физички закон кој го опишува електромагнетното зрачење на црно тело во топлинска рамнотежа на одредена температура. Законот е именуван по Макс Планк, кој првично го опишал во 1900 година. Станува збор за пионерски обид во современата физика и квантната теорија.

Спектралното зрачење на едно тело, {\displaystyle B\_{\nu }}, го опишува количеството на енергија кое телото го оддава како зрачење при различи честоти. Се мери како моќност оддадена на единица површина од телото, во единица просторен агол во кој се мери зрачењето, во единица честота. Планк покажал дека спектралното зрачење на телото при апсолутна температура *T* е определено со:

{\displaystyle B\_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k\_{\mathrm {B} }T}}-1}}}
каде *k*B е Болцмановата константа, *h* е Планковата константа, и *c* е брзината на светлината во средината, без разлика дали станува збор за вакуум или материјална средина. Спектралното зрачење може да се измери во единица бранова должина, наместо во единица честота. Во овој случај, се добива дека:

{\displaystyle B\_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k\_{\mathrm {B} }T}}-1}}}.
Законот може да се запише и на други начини, како што е бројот на фотони оддадени при одредена бранова должина, или густина на енергија во единица зафатнинско зрачење. SI единиците за *B**ν* се W·sr−1·m−2·Hz−1, додека оние на *B**λ* се W·sr−1·m−3.

Во границите на ниските честоти (т.е. долги бранови должини), Планковиот закон се приближува кон Рејли–Џинсовиот закон, додека во границите на високите честоти (т.е. малите бранови должини) се приближува кон Виновиот закон.

Макс Планк го осмислил законот во 1900 година, првично со искуствено определените константи, а подоцна покажал дека, изразени како енергетска распределба, ова е единствената стабилна распределба на зрачењето при топлинска рамнотежа како енергетска распределба, е една од групите на распределба на топлинската рамнотежа која ги вклучува Бозе–Ајнштајновата, Ферми-Дираковата и Максвел-Болцмановата распределба.

Вовед
-----

Секое физичко тело спонтано и непрекинато оддава електромагнетно зрачење. Во близина на топлинската рамнотежа, оддаденото зрачење е опишано со помош на Планковиот закон. Поради зависноста од температурата, за Планковото зрачење се вели дека е топлинско зрачење. Колку е повисока температурата, толку повеќе телото ќе зрачи на секоја бранова должина. Планковото зрачење има максимална јачина при одредена бранова должина која зависи од температурата. На пример, на собна температура (~300 K), телото оддава топлинско зрачење кое најверојатно е во областа на инфрацрвеното зрачење и е невидливо. При повисоки температури количеството на инфрацрвено зрачење се зголемува и може да се почувствува како топлина, и телото започнува да свети со црвена боја која може да се забележи. На повисоки температури, телото е зашеметувачки жолтеникаво или сино-бело и оддава значителни количества на краткобраново зрачење, вклучувајќи ултравиолетово зрачење па дури и рендгенско зрачење. Површината на Сонцето (~6.000 K) оддава големи количества на инфрацрвено и ултравиолетово зрачење, неговото зрачење го достигнува својот максимум во видливиот дел на спектарот.

Планковото зрачење е најголемото количество на зрачење што едно тело може да го оддаде при топлинска рамнотежа од својата површина, без разлика на хемискиот состав или површинска структура. Минувањето на зрачењето на преку граничната површина на средините може да се опише со емисивноста на границата (односот на вистинската зрачност и теориската зрачност на Планковото зрачење), и вообичаено се означува со буквата *ε*. Зависи од хемискиот состав и физичката структура, температурата, и брановата должина, аголот на премин, и поларизацијата. Емисивноста на природните премини е секогаш меѓу *ε* = 0 и 1.

Тело кое заемодејствува со друга средина и притоа двете имаат *ε* = 1 и го впиваат целото зрачење кое ќе упадне на тоа тело, се вели дека станува збор црно тело. Површината на црното тело може да се моделира како мала дупка во ѕидот на голем затворен простор кој се одржува на постојана температура со непропустливи за светлината ѕидови и со целосна неможност за одбивање на светлината при секоја бранова должина. При рамнотежа, зрачењето во внатрешноста на затворениот простор ќе се покорува на Планковиот закон, а со тоа и зрачењето кое ќе се оддава од малиот отвор.

Како што и Максвел–Болцмановата распределба е единствената максимална ентропија на енергетската распределба за гасот на масивните честички при топлинска рамнотежа, на тој начин е и Планковата распределба за гас на фотони. За споредба со вистински гас каде масата и бројот на честичките играат главна улога, спектралното зрачење, притисокот и енергетската густина на фотонскиот гас при топлинската рамнотежа се целосно определени од температурата. Ако фотонскиот гас на почетокот не е Планков, Вториот закон на термодинамиката гарантира дека заемодејствата (меѓу фотоните и останатите честички или пак меѓу самите фотони) ќе предизвикаат фотонската енергетската распределба да се измени и да се приближи до Планковата распределба. При овој пристап до топлинската рамнотежа,фотоните се создадени или уништени во определените броеви и при определените енергии за да се исполни празнината со Планковата распределба сè додека не се постигне рамнотежна температура.

Количеството *B**ν*(*ν*, *T*) е спектралното зрачење како функција од температурата и честотата. Се мери во единица W·m−2·sr−1·Hz−1 во SI системот. Бесконечно мала количина на моќ *B**ν*(*ν*, *T*) cos *θ* d*A* dΩ dν е зрачено во насока опишана од аголот *θ* од површината нормална на бесконечно малата површина d*A* при бесконечно малиот просторен агол dΩ при бесконечно мал честотен пакет со должина d*ν* центриран при честота *ν*. Целата моќност која се зрачи во просторниот агол е интеграл од *Bν*(*ν*, *T*) од овие три количества, и може да се запише како Штефан-Болцмановиот закон. Спектралното зрачење на Планковото зрачење од црното тело ја има истата вредност во секоја насока и агол на поларизација, па така се вели дека црното тело е Ламбертов зрачител.

Поинакви облици
---------------

Планковиот закон може да се сретне во неколку облици во зависност од употребата во различни научни полиња. Различните облици на законот за спектрално зрачење се запишани во табелата подолу. Облиците од лево се најчесто употребувани во експерименти, додека пак равенките од десно се употребуваат во теоријата.


Планковиот закон изразен преку различни спектрални променливи| со *h* | со *ħ* |
| --- | --- |
| Променлива | Распределба | Променлива | Распределба |
| Честота{\displaystyle \nu } | {\displaystyle B\_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} | Аголна честота{\displaystyle \omega } | {\displaystyle B\_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} |
| Бранова должина{\displaystyle \lambda } | {\displaystyle B\_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} | Аголна бранова должина{\displaystyle y} | {\displaystyle B\_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} |
| Бранов број{\displaystyle {\tilde {\nu }}} | {\displaystyle B\_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} | Аголен бранов број{\displaystyle k} | {\displaystyle B\_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k\_{\mathrm {B} }T)}-1}}} |

Овие распределби ги прикажуваат спектралните зрачења на црните тела, односно моќноста оддадена од површината, од единица површина, во единица просторен агол, во спектрална единица (честота, бранова должина, бранов број или нивните аголни поистоветеници). Бидејќи зрачноста е изотропна (т.е. независна од насоката), моќноста оддадена од агол на нормалата е пропорционална на површината, а со тоа на косинусот од аголот според Ламбертовиот закон, и е неполаризиран.

### Поврзаност меѓу спектралните променливи облици

Различни спектрални променливи побаруваат различни соодветни облици за изразување на законот. Воопшто, не може да се изврши смена меѓу различните променливи облици на Планковиот закон со едноставна замена на променливата со друга, бидејќи на тој начин нема да се земат предвид различните облици кои имаат различни единици. Брановата должина и честотата се реципрочни.

Поврзаните облици на изразот се поврзани бидејќи изразуваат еден ист физички факт: за одредено физичко спектрално зголемување, соодветно се израчува одредено зголемување на физичка енергија.

Ова се случува без разлика дали е изразено во услови на зголемување на честотата, d*ν*, или, соодветно, брановата должина, d*λ*. Воведувањето на знакот минус е показател на зголемувањето на честотата кое соодветствува со намалувањето на брановата должина. За погорните поврзани облици со кои се изразува спектралното зрачење, може да се извлече еден заклучок, за моменталната пресметка. Тогаш, за одредено спектрално зголемување, одреденото зголемување на физичка енергија може да се запише:

{\displaystyle B\_{\lambda }(\lambda ,\ T)\ \mathrm {d} \lambda =-B\_{\nu }(\nu (\lambda ),\ T)\ \mathrm {d} \nu \ ,}     што дава     {\displaystyle B\_{\lambda }(\lambda ,\ T)\ =\ -\ {\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \lambda }}B\_{\nu }(\nu (\lambda ),\ T).}
Исто така, *ν*(*λ*) = *c*/*λ*, па следи d*ν*/d*λ* = − *c*/*λ*2. Замената ја покажува поврзаноста меѓу честотните и брановите облици, со нивните различни димензии и единици.
Последователно:

{\displaystyle {\frac {B\_{\lambda }(T)}{B\_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}
Очигледно, местоположбата на врвот на спектралната распределба за Планковиот закон зависи од изборот на спектралната променлива. Сепак на некаков начин, оваа равенка значи дека обликот на спектралната распределба е независна од температурата, според виновиот закон на поместувањето, како што е прикажано подолу во текстот кај **перцентили** во делот својства.

### Облика на спектралната енергетска густина

Планковиот закон исто така може да се запише и преку спектралната енергетска густина (*u*) преку множењето на *B* со 4π/*c*:

{\displaystyle u\_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B\_{i}(T).}
Овие распределби имаат единици на енергија по единица зафатнина при спектрална единица.

### Прва и втора зрачна константа

Кај гореспоменатите облици на Планковиот закон, облиците со *брановата должина* и *брановиот број* ги користат записите *2hc2* и*hc/kB* кои се составено целосно од физички константи. Последователно, овие записи и самите можат да се сметаат за физички константи, и од оваа причина се наречени **прва зрачна константа c1L** и **втора зрачна константа c2** со:

*c1L = 2hc2*
и

*c2 = hc/kB*
Користејќи ги зрачните константи, обликот со *брановата должина* може да се упрости и доведе во облик:

{\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c\_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c\_{2}}{{\lambda }T}}\right)-1}}}
и обликот со *брановиот број* може да се упрости на истиот начин.

Овде се користи *L* на местото на *B* бидејќи во SI системот е симболот за *спектралното зрачење*. *L* во *c1L* се однесува токму на тоа. Ова е потребно бидејќи на овој начин Планковиот закон може да се презапише на начин со кој се определува зрачниот тек *M(λ,T)* наместо *спектралното значење* *L(λ,T)*, во чиј случај **c1** го заменува **c1L**, со:

*c1 = 2πhc2*
па така Планковиот закон за *зрачниот тек* може да се запише во обликот:

{\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c\_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c\_{2}}{{\lambda }T}}\right)-1}}}

Изведување
----------

Поврзано: Фотонски гас
Замислете си коцка со страна *L* со проводни ѕидови исполнети со електромагнетно зрачење во топлинска рамнотежа на температура T. Ако има мала отвор на еден од ѕидовите, зрачењето емитувано од дупката ќе биде карактеристично на она на црно тело. Првично ќе се пресмета спектралната енергетска густина во празнината и ќе се определи спектралното зрачење на оддаденото зрачење.

На ѕидовите од коцката, паралелната компонента на електричното поле и нормалната компонента на магнетното поле мора да исчезнат. слично како и кај брановата функција на честичка во кутија, ќе се забележи дека полињата се во суперпозиција на периодични функции. Трите бранови должини *λ*1, *λ*2, и *λ*3, во трите насоки се ортогонални на ѕидовите и се добива:

{\displaystyle \lambda \_{i}={\frac {2L}{n\_{i}}},}
каде *n*i се цели броеви. За секој избор на цели броеви *n*i постојат две линеарни независни решенија (модови). Според квантната теорија, нивоата на енергија на модот се определени со:

{\displaystyle E\_{n\_{1},n\_{2},n\_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n\_{1}^{2}+n\_{2}^{2}+n\_{3}^{2}}}.\qquad {\text{(1)}}}
Квантниот број *r* може да се протолкува како бројот на фотони во еден мод. Двата мода за секој избор на цели броеви *n*i соодвествува на две состојби на поларизација на фотонот кој има спин 1. Треба да се забележи дека *r* = 0 енергијата на модот е различна од нула. Оваа енергија во вакуумот на електромагнетното поле е причината за постоењето на Касимировиот ефект. Во продолжение ќе се пресмета внатрешната енергија на кутијата при апсолутна температура *T*.

Според статистичката механика, веројатноста за распределба на енергетските нивоа на одреден мод е дадено со изразот:

{\displaystyle P\_{r}={\frac {\exp \left(-\beta E\left(r\right)\right)}{Z\left(\beta \right)}}.}
Тука

{\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 1/\left(k\_{\mathrm {B} }T\right).}
Ознаката *Z*(*β*), е статистичката сума на единствен мод и го прави *P**r* соодветно нормализиран:

{\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum \_{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}}.}
Тука истото е имплицитно дефинирано

{\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n\_{1}^{2}+n\_{2}^{2}+n\_{3}^{2}}},}
што пак е енергијата на единствен фотон. Како што е објаснето тука, просечната енергија во еден мод може да се изрази преку статистичката сума:

{\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}
Оваа равенка, покрај што е првиот услов за енергија во вакуумот, е и специјален случај на општата равенка за честички кои се покоруваат на Бозе-Ајнштајновата статистика. Бидејќи не постои ограничување на вкупниот број на фотони, хемискиот потенцијал е еднаков на нула.

Ако се мери енергијата во однос на основната состојба, вкупната енергија во кутијата се пресметува со сумирање {\displaystyle \scriptstyle {\left\langle E\right\rangle }-{\frac {\varepsilon }{2}}} на сите дозволени единични фотонски состојби. Ова може да се направи подеднакво исто како и со термодинамичката граница *L* која се стреми кон бесконечност. Во оваа граница, *ε* станува непрекината и може да се интегрира {\displaystyle \scriptstyle {\left\langle E\right\rangle }-{\frac {\varepsilon }{2}}} преку овој параметар. За да се пресмета енергијата во кутијата на овој начин, ние треба да пресметаме колку состојби на фотонот има во еден определен енергетски опфат. Ако се запише вкупниот број на единствени фотонски состојби со енергии меѓу *ε* и *ε* + *dε* како *g*(*ε*)*dε*, каде *g*(*ε*) е густината на состојбите (кои подоцна ќе бидат пресметани), може да се запише:

{\displaystyle U=\int \_{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .\qquad {\mbox{(2)}}}
За да се пресмета густината на состојбите ќе се презапише равенката (1) на следниот начин:

{\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}n,}
каде *n* е нормата на векторот **n** = (*n*1, *n*2, *n*3):

{\displaystyle n={\sqrt {n\_{1}^{2}+n\_{2}^{2}+n\_{3}^{2}}}.}
За секој вектор **n** со целобројни компоненти поголеми или еднакви на нула, постојат две состојби на фотоните. Ова значи дека бројот на состојбите на фотоните во одредени области на *n*-просторот е двапати од зафатнината на таа област. Енергетскиот опфат на *dε* соодветствува на слој или дебелина од *dn* = (2*L*/*hc*)*dε* во *n*-просторот. Бидејќи компонентите на **n** мора да се позитивни, слојот се простира како октант на сферата. Бројот на состојби на фотоните *g*(*ε*)*dε*, во енергетскиот опфат *dε*, е определен со:

{\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}
Заменувајќи го ова во равенката (2) се добива:

{\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{e^{\beta \varepsilon }-1}}\,d\varepsilon .\qquad {\text{(3)}}}
Од оваа равенка може да се изведе спектралната енергетска густина на функцијата со честота {\displaystyle u\_{\nu }(T)} и како функција со бранова должина *u**λ*(*T*):

{\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int \_{0}^{\infty }u\_{\nu }(T)\,d\nu ,}
каде:

{\displaystyle u\_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k\_{\mathrm {B} }T}-1}.}
и:

{\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int \_{0}^{\infty }u\_{\lambda }(T)\,d\lambda ,}
каде

{\displaystyle u\_{\lambda }(T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda k\_{\mathrm {B} }T}-1}.}
Ова е исто така функцијата на спектралната енергетска густина со единици енергија во единица бранова должина во единица волумен. Интегралите од овој тип за Бозевите и Фермиевите гасови можат да се изразат преку полилогаритми. Во овој случај, сепак, е можно да се пресмета интегралот во затворен облик користејќи ги само основните функции. Заменувајќи

{\displaystyle \varepsilon =k\_{\mathrm {B} }Tx,}
во равенката (3), итерационата променлива станува бездимензионална при што се добива:

{\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (k\_{\mathrm {B} }T)^{4}}{(hc)^{3}}}J,}
каде *J* е Бозе–Ајнштајнов интеграл определен од:

{\displaystyle J=\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}
Целокупната електромагнетна енергија во внатрешноста на кутијата може да се добие преку:

{\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(k\_{\mathrm {B} }T)^{4}}{15(hc)^{3}}},}
каде *V* = *L*3 е зафатнината на кутијата.

Комбинацијата *hc*/*k*B ја има вредноста 14 387,770 μm·K.

Ова не е Штефан-Болцмановиот закон (кој ја одредува вкупната енергија која се *зрачи* од црно тело од единична површина во единица време), но може да се запише поелегантно со употреба на Штефан-Болцмановата константа *σ*, со што се добива:

{\displaystyle {U \over V}={\frac {4\sigma T^{4}}{c}}.}
Константата 4*σ*/*c* понекогаш се нарекува зрачна константа.

Бидејќи зрачењето е подеднакво во сите насоки, и се простира со брзината на светлината (*c*), спектралното зрачење на зрачењето од малиот отвор е:

{\displaystyle B\_{\nu }(T)={\frac {u\_{\nu }(T)\,c}{4\pi }},}
од каде се добива

{\displaystyle B\_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k\_{\mathrm {B} }T}-1}}.}
Може да се изведе во израз за *B**λ**(T*) во единици бранова должина со замена на {\displaystyle \nu } со *c/λ* и да се пресмета:

{\displaystyle B\_{\lambda }(T)=B\_{\nu }(T)\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|.}
Се забележува дека димензионалната анализа покажува дека единицата во стерадијани, прикажани во дропката на левата страна на равенката погоре, се создава во равенката и се пренесува низ изведувањето но не се појавува во ниедна од димензиите на елементите на левата страна на равенката.

Ова изведување е засновано на Brehm & Mullin 1989.

Физика
------

### Преглед

Закочни состојби на високоенергетски осцилатори.
Планковиот закон го опишува единственото и карактеристично распределување на спектралното електромагнетно зрачење при топлинска рамнотежа, кога нема збирен тек на материја и енергија. Физиката во прашање најмногу се разбира доколку зрачењето се разгледува во празнина со непроѕирни ѕидови. Движењето на ѕидовите може да влијае на зрачењето. Доколку ѕидовите не се непроѕирни, тогаш топлинската рамнотежа не е изолирана. Од интерес е да се објасни како се добива топлинската рамнотежа. Постојат два значајни начини: (а) кога пристапот до топлинската рамнотежа е во присуство на материјата, и кога ѕидовите на празнината се нееднакво ги одбиваат сите бранови должини или кога ѕидовите целосно го одбиваат кога празнината содржи мало црно тело (ова бил начинот кој го разгледувал Планк), или (б) кога се постигнува рамнотежа во отсуство на материја, кога ѕидовите целосно ги одбиваат сите бранови должини и празнината не содржи материја. За материјата која не е затворена во ваква празнина, топлинското зрачење може приближно да се објасни со соодветната употреба на Планковиот закон.

Класичната физика довела од теоремата за рамнораспределбата до ултравиолетовата катастрофа, предвидување со кое целата енергија на зрачењето на црното тело е бесконечна. Доколку се замени со класичната неоправдана претпоставка дека од некаква причина зрачењето е конечно, класичната термодинамика дава одредени законитости од Планковата распределба, како што се Штефан-Болцмановиот закон, и Виновиот закон за поместувањето. За случајот со присуството на материја, квантната механика обезбедува добра законитост, која може да се најде во делот за Ајнштајнови коефициенти. Овде станува збор за случај кој бил разгледуван од Ајнштајн,и денес се користи во квантната оптика. Во случајот со отсуство на материја, се користи квантната теорија за полето, бидејќи квантната механика самата по себе не обезбедува доволно податоци.

Теориското квантно објаснување на Планковиот закон гледа на зрачењето како на гас од безмасени, ненаелектризирани, бозонски честички, најчесто фотони, во топлинска рамнотежа. Фотоните се сметаат за носители на електромагнетното заемодејство меѓу електрично наелектризираните основни честички. Фотонските броеви не се запазуваат. Фотоните се создаваат или уништуваат во вистинскиот број и со вистинските енергии за да се исполни празнината со Планковата распределба. За фотонски гас во топлинска рамнотежа, внатрешната густина на енергијата е целосно определена од температурата, дополнително, притисокот е целосно определен од внатрешната густина на енергијата. Ова е поразлично од топлинската рамнотежа за материјалните гасови, за кои внатрешната енергија е определена не само од температурата, туку и независно, од соодветната бројност на различните молекули, и независно повторно, од специфичните одлики на различните молекули. За различни материјални гасови на одредена температура, притисокот и внатрешната густина на енергијата можат да се менуваат независно, бидејќи различните молекули можат да имаат независно различни енергии на возбудување.

Планковиот закон произлегува како гранична вредност на Бозе-Ајнштајновата распределба, енергетската распределба која ги опишува незаемодејствувачките бозони во термодинамичка рамнотежа. Во случајот со безмасените бозони како што се фотоните и глуоните, и хемискиот потенцијал е нула и Бозе-Ајнштајновата распределба се сведува на Планковата распределба. Постои и уште една основна распределба: Ферми-Дираковота распределба, која ги опишува фермионите, како што се електроните, во топлинска рамнотежа. Двете распределби се разликуваат бидејќи повеќе бозони може да ја имаат истата квантна состојба, додека повеќе фермиони не можат. При мали густини, бројот на достапните квантни состојби за една честичка е голем, и оваа разлика станува незабележителна. Во границата на малите густини, Бозе-Ајнштајновата и Ферми-Дираковата распределба можат да се сведат на Максвел-Болцмановата распределба.

### Кирхофов закон за топлинското зрачење

Главна статија: Кирхофов закон за топлинското зрачење
Кирхофовиот закон за топлинското зрачење е краток и јасен за една сложена физичка ситуација. Следствено станува збор за воведен изглед за таа ситуација и е многу далеку од тоа да биде строг физички аргумент. Целта овде е да се сумираат главните физички фактори во ситуацијата и главните заклучоци.

#### Спектрална зависност на топлинското зрачење

Постои разлика меѓу преносот на топлината и зрачниот пренос на топлината. Зрачниот пренос на топлината може да се филтрира да минува низ конечна големина од зрачни честоти.

Општо е познато дека како што едно тело станува потопло толку поголема топлина зрачи на секоја честота.

Во празнината на непроѕирно тело со неподвижни ѕидови кои не се совршено рефлектирачки на ниту една честота, при топлинска рамнотежа, постои само една топлинска рамнотежа, и мора да биде распределена подеднакво на секоја честота.

Може да се замислат две вакви празнини, секоја со сопствена изолирана зрачна и топлинска рамнотежа. Исто така може да се замисли оптичка направа која дозволува зрачен топлински пренос меѓу двете празнини, филтрирани да минат само низ определен број на зрачни честоти. Ако вредностите на спектралните зрачења кое доаѓа од празнините се разликува по опфатот на честотите, може да се очекува топлината да минува од потоплата кон поладната празнина. Може да се предложи и употребата на таков филтриран пренос на топлина со таков опфат да покрене топлински мотор. Ако двете тела се на иста температура, вториот закон на термодинамика не дозволува овој мотор да функционира. Може да се каже дека за температура еднаква за двете тела, вредностите на спектралните зрачења мора да се еднакви. Ова мора да важи за секоја честота. ова му било познато на Балфор Стјуарт а подоцна и на Кирхоф. Балфор Стјуарт експериментално покажал дека од сите површини, црната оддавала најголемо топлинско зрачење за секое количество на зрачење, гледано низ одредени филтри.

Размислувајќи теориски, Кирхоф понатаму го развил и напоменал дека спектралното зрачење, како функција од зрачната честота, на секоја таква празнина во топлинска рамнотежа мора да биде единствена функција од температурата. Тој укажал на законитоста за идеално црно тело кое така поставено во средината што го впива целото зрачење што паѓа на телото. Според принципот за реципроцитет на Хелмхолц, зрачењето од внатрешноста на такво тело ќе мине непречено, директно без одбивање од граничната површина. При топлинска рамнотежа, топлинското зрачење оддадено од такво тело ќе го има единственото сеопфатно спектрално зрачење како функција од температурата. Ова тврдење е основата на Кирхофовиот закон за топлинско зрачење.

#### Односот меѓу впивањето и оддавањето

Може да се замисли мало хомогено топчесто материјално тело означено како *X* на температура *TX*, кое се наоѓа во зрачно поле во голема празнина со ѕидови изработени од материјал *Y* на температура *TY*. Телото *X* оддава сопствено зрачење. На одредена честота *ν*, зрачењето оддадено од одреден пресек низ центарот на *X* во насока нормална на тој пресек може да се запише *Iν, X* (*TX*), карактеристично за материјалот *X*. На таа честота *ν*, зрачната моќност од ѕидовите на тој пресек може да се обележи со *Iν, Y* (*TY*), за температурата на ѕидовите *TY*. За материјалот *X*, со кој се дефинира впивливоста *αν, X,Y* (*TX, TY*) како дел од тоа упадно зрачење апсорбирано од *X*, оваа упадна енергија е впиена со чекор *αν, X,Y* (*TX*, *TY*) *Iν, Y* (*TY*).

Чекорот *q*(*ν, TX, TY*) на насобирање на енергијата на еден начин во пресекот на телото може да се изрази како:

{\displaystyle q(\nu ,T\_{X},T\_{Y})=\alpha \_{\nu ,X,Y}(T\_{X},T\_{Y})I\_{\nu ,Y}(T\_{Y})-I\_{\nu ,X}(T\_{X}).}
Кирхофовите размислувања спомнати погоре, се дека при топлинска рамнотежа при температурата *T*, постои единствено сеопфатно зрачно распределување, денес запишано *Bν*(*T*), ова е независно од хемиските одлики на материјалите *X* и *Y*, што доведува до многу важно разбирање на размената на зрачење при рамнотежа на секое тело, како што следи во продолжение.

Кога постои топлинска рамнотежа на температура *T*, зрачењето од празнината од ѕидовите ја има таа сеопфатна вредност, па така *Iν, Y* (*TY*) = *Bν*(*T*). Понатамошно, може да се дефинира емисивноста *εν, X* (*TX*) на материјалот на телото *X* така што при топлинска рамнотежа при температура *TX* = *T*, се добива *Iν, X* (*TX*) = *Iν, X* (*T*) = *εν, X* (*T*) *Bν*(*T*) .

Кога топлинската рамнотежа преовладува на температура *T* = *TX* = *TY*, чекорот на собирање на енергијата исчезнува па така *q*(*ν,TX,TY*) = 0. Од тука следи:

**дека при термодинамичка рамнотежа** {\displaystyle T=T\_{X}=T\_{Y}} **е вистинито дека** {\displaystyle 0=\alpha \_{\nu ,X,Y}(T,T)B\_{\nu }(T)\,-\,\epsilon \_{\nu ,X}(T)B\_{\nu }(T).}

Кирхоф посочил оттука дека:

**при термодинамичка рамнотежа** {\displaystyle T=T\_{X}=T\_{Y}} **е вистинито дека** {\displaystyle alpha\_{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon \_{\nu ,X}(T).}

Воведувајќи го специјалниот запис *αν, X* (*T* ) за впивливоста на материјалот *X* за топлинска рамнотежа при температура *T* (објаснет од откритие на Ајнштајн, подолу во текстот), се добива равенството

{\displaystyle \alpha \_{\nu ,X}(T)=\epsilon \_{\nu ,X}(T)} **при термодинамичка рамнотежа**
Еднаквоста на впивањето и оддавањето прикажано погоре е специфично за топлинската рамнотежа при температура *T* и се очекува да не важи кога условите за топлинска рамнотежа не се воспоставени. Впивливоста и оддавањето се различни својства на молекулите на материјалот но зависат различно од распределбата на состојбите при возбудувањето на молекулите, поради појава позната како „стимулирана емисија", која била откриена од Ајнштајн. Во случаи кога материјалот е во топлинска рамнотежа или во состојба позната како месна топлинска рамнотежа, впивањето и оддавањето се изедначени. Многу силното упадно зрачење или другите фактори можат да ја нарушат топлинската рамнотежа или месната топлинска рамнотежа. Месната топлинска рамнотежа кај гасот значи дека судирите на молекулите далеку ги надминуваат малото оддавање и впивање во определувањето на распределбата на состојбите при возбудувањето на молекулите.

Кирхоф посочил дека не го знаел точното однесување на *Bν*(*T*), но мислел дека е важно и дека истото треба да се пресмета. Четири декади по Кирхофовите мисли за општите принципи за постоењето и карактерот, Планковиот придонес бил прецизното математичко определување на изразот за таа рамнотежна распределба *Bν*(*T*).

### Црно тело

Главна статија: Црно тело
Во физиката, за идеално црно тело со ознака *B*, дефинирано како тело кое целосно го впива електромагнетното зрачење кое упаѓа на телото во сите честоти *ν* (па оттука и потекнува поимот „црно"). Според Кирхофовиот закон за топлинско зрачење, ова значи дека за секоја честота *ν*, при топлинска рамнотежа на температура *T*, се добива *αν, B* (*T*) = *εν, B* (*T*) = 1, па така топлинското зрачење од црно тело е еднакво на целото зрачење според Планковиот закон. Ниедно физичко тело не може да зрачи енергија поголема од онаа на црно тело, бидејќи доколку е во рамнотежа со полето на зрачење, ќе емитува повеќе енергија од онаа што упаднала.

Иако не постојат совршено црни материјали, во практиката црната површина може приближно да се претстави. Додека пак за внатрешноста, тело од кондензирана материја, течност цврсто тело или плазма со ограничена гранична површина со околината, е целосно црно тело во однос на зрачењето доколку е целосно непроѕирно. Тоа значи дека го впива целото зрачење кое продира низ граничната површина на телото со околината, и влегува во телото. Ова не е многу тешко да се добие во практиката. Од друга страна, совршено црна гранична површина не може да се сретне во природата. Совршено црна гранична површина на одбива зрачење, но го оддава целокупното зрачење без разлика од која страна упаѓа. Најдобриот практичен начин да се направи делотворна црна гранична површина е да се симулира 'гранична површина' од мала дупка во ѕидот на непроѕирно цврсто тело со голема празнина изработено од материјал кој не го одбива зрачењето на ниедна честота, со ѕидовите на контролирана температура. Ова се сите потребни побарувања, материјалот од кој се изработени ѕидовите е неограничен. Зрачењето кое влегува низ дупката нема никаква можност да избега од празнината без притоа да биде впиено од повеќето судири со ѕидовите.

### Ламбертов закон

Главна статија: Ламбертов закон
Како што е објаснето од страна на Планк, тело кое зрачи има внатрешност која се состои од материја, и гранична површина со непрекината блиска материјална средина, која е вообичаено средината од која зрачењето од површината на телото се набљудува. Граничната површина не се состои од физичка материја туку станува збор за теориски концепт, математичка дводимензионална површина, заедничко својство на две сврзани средини, кои строго не припаѓаат на ниедна од средините. Таквата гранична површина не може ниту да впива ниту да оддава, бидејќи не се состои од физичка материја, но е местото од кое се одбива и пренесува зрачењето, бидејќи е површина со прекин на оптичките својства. Одбивањето на зрачењето и граничната површина се покоруваат на Стокс–Хелмхолцовиот реципрочен принцип.

Во секоја точка од внатрешноста на црно тело сместена во внатрешноста на празнината при топлинска рамнотежа на температура *T* зрачењето е хомогено, изотропно и неполаризирано. Црното тело ги впива целото зрачење и не одбива ни дел од електромагнетното зрачење кое паѓа на телото. Според Хелмхолцовиот реципрочен принцип, зрачењето од внатрешноста на црното тело не се одбива од неговата површина, туку целосно се пренесува во неговата внатрешност. Поради изотропноста на внатрешноста на телото, спектралното зрачење кое се пренесува од внатрешноста преку површината е независно од насоката.

Ова може да се изрази велејќи дека зрачењето од површината на црното тело е во топлинска рамнотежа и се покорува на Ламбертовиот закон. Ова значи дека спектралниот тек dΦ(d*A*, *θ*, dΩ, d*ν*) за определен бесконечно мал дел од површината d*A* од површината преку која оддава зрачење црното тело, забележано од дадена насока која образува агол *θ* нормална на површината од која се оддава зрачењето d*A*, во дел од просторниот агол на набљудување dΩ центрирано на насоката означена со *θ*, во дел со честота d*ν*, може да се претстави како:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi (\mathrm {d} A,\theta ,\mathrm {d} \Omega ,\mathrm {d} \nu )}{\mathrm {d} \Omega }}=L^{0}(\mathrm {d} A,\mathrm {d} \nu )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\cos \theta }
каде *L*0(d*A*, d*ν*) го означува текот, на единица површина во единица честота во просторен агол, кој површината d*A* би го оддала во нејзината нормална насока *θ* = 0.

Факторот cos *θ* е присутен бидејќи областа чие спектрално зрачење се одбива директно ја означува проекцијата на векторот, од површината од која се оддава зрачењето, на рамнина нормална на насоката означена со *θ*. Оттука и потекнува причината за името *косинусов закон*.

Земајќи ја предвид насоката на спектралното зрачење од површината на црното тело при топлинска рамнотежа, се добива

*L*0(d*A*, d*ν*) = *B**ν* (*T*) и од тука:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi (\mathrm {d} A,\theta ,\mathrm {d} \Omega ,\mathrm {d} \nu )}{\mathrm {d} {\Omega }}}=B\_{\nu }(T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\cos \theta .}
Па така Ламбертовиот закон ја изразува независноста на насоката на спектралното зрачење *B**ν* (*T*) од површината на црното тело во топлинска рамнотежа.

### Штефан–Болцманов закон

Главна статија: Штефан–Болцманов закон
Вкупната моќност оддадена од единица површина на црното тело (*P*) може да се определи со интегрирање на спектралниот тек на црното тело одреден од Ламбертовиот закон за сите честоти, и за просторните агли кој соодветствуваат на полутопката (*h*) над површината.

{\displaystyle P=\int \_{0}^{\infty }d\nu \int \_{h}d\Omega \,B\_{\nu }\cos(\theta )}
Бесконечниот мал просторен агол изразен во сферни поларни координати:

{\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}
Па така:

{\displaystyle P=\int \_{0}^{\infty }d\nu \int \_{0}^{\pi /2}d\theta \int \_{0}^{2\pi }d\phi \,B\_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma \,T^{4}}
каде

{\displaystyle \sigma ={\frac {2k\_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5,670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }
е позната како Штефан–Болцманова константа.

### Пренос на зрачењето

Главна статија: Пренос на зрачењето
Равенката за преносот на зрачењето го опишува начинот на кој се влијае на зрачењето додека истото минува низ материјалната средина. За специјалниот случај во кој материјалната средина е во топлинска рамнотежа во близина на точка од средината, Планковиот закон е од витално значење.

Едноставно, може да се земе линиската стабилна состојба, без расејување. Равенката на преносот вели дека зрак светлина кој минува мало растојание *ds*, му се зачувува енергијата: Промената на (спектрално) зрачењето на тој зрак ({\displaystyle I\_{\nu }}) е еднакво на количеството одведено од материјалната средина плус количеството доведено во материјалната средина. Ако полето на зрачењето е во рамнотежа со материјалната средина, овие два придонеси ќе бидат еднакви. Материјалната средина ќе има одреден коефициент на емисија и коефициент на апсорпција.

Коефициентот на апсорпција {\displaystyle \alpha } е фрактална промена на интензитетот на светлинскиот зрак како што го минува растојанието *ds*, и има единици со должина 1/должина. Се состои од два дела, намалувањето поради апсорпцијата и зголемувањето поради стимулираната емисија. Стимулираната емисија од материјалното тело која е предизвикана од и е пропорционална на упадното зрачење. Се вбројува како впивање бидејќи впивањето е пропорционално на интензитетот на упадното зрачење. Бидејќи количеството што се впива, општо ќе се менува линеарно како што се менува густината {\displaystyle \rho } на материјалот, па може да се дефинира „масениот коефициент на апсорпција" {\displaystyle \kappa \_{\nu }=\alpha /\rho } кој е својство на самиот материјал. Промената на интензитетот на светлинскиот рак поради впивањето како што минува мало растојание *ds* ќе биде: {\displaystyle dI\_{\nu }=-\kappa \_{\nu }\,\rho \,I\_{\nu }\,ds}

„Масениот коефициент на емисија" {\displaystyle j\_{\nu }} е еднаков на зрачењето од единица зафатнина на мал зафатнински елемент поделен со неговата маса (бидејќи, како и за масениот коефициент на апсорпција, оној за емисија е пропорционален со емитувачката маса) и има единици за моќност/просторен агол/честота/густина. Како и масениот коефициент на апсорпција, и е дел од својствата на самата материјална средина. Промената на светлинскиот зрак како што минува мало растојание *ds* ќе биде:{\displaystyle dI\_{\nu }=j\_{\nu }\,\rho \,ds}

Равенката на преносот на зрачење ќе биде сума од овие два придонеси:

{\displaystyle {\frac {dI\_{\nu }}{ds}}=j\_{\nu }\rho -\kappa \_{\nu }\rho I\_{\nu }.}
Ако полето на зрачењето е во рамнотежа со материјалната средина, зрачењето ќе биде хомогено (независно од местоположбата) па така {\displaystyle dI\_{\nu }=0} и:

{\displaystyle \kappa \_{\nu }B\_{\nu }=j\_{\nu }\,}
што е друг начин за искажување на Крхофовиот закон, поврзувајќи ги двете материјална својства на средината, и се добива равенката за пренос на зрачењето во точка во средината која е во топлинска рамнотежа:

{\displaystyle {\frac {dI\_{\nu }}{ds}}=\kappa \_{\nu }\rho (B\_{\nu }-I\_{\nu }).}
### Ајнштајнови коефициенти

Главна статија: Атомска спектрална линија
Принципот за детална рамнотежа тврди дека, при топлинска рамнотежа, секој основен процес е урамнотежен од обратниот процес.

Во 1916 година, Алберт Ајнштајн го применил овој принцип на атомско ниво во случајот кога атомот оддава или впива зрачење поради премините меѓу две одредени енергетски нивоа, со што се добива увид во равенката на преносот на зрачење и Кирхофовиот закон за овој вид на значење. Ако нивото 1 е пониското енергетско ниво со енергија {\displaystyle E\_{1}}, а нивото 2 е повисокото енергетско ниво со енергија {\displaystyle E\_{2}}, тогаш честотата {\displaystyle \nu } на зрачењето впиено или оддадено ќе се определи од условот за Боровата честота: {\displaystyle E\_{2}-E\_{1}=h\nu }.

Ако {\displaystyle n\_{1}} и {\displaystyle n\_{2}} се броевите на густините на состојбите на атомите при состојбите 1 и 2 соодветно, тогаш чекорот со кој се менуваат овие густини со текот на времето ќе доведе до следниве три процеси:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left({\frac {dn\_{1}}{dt}}\right)\_{\mathrm {spon} }=A\_{21}n\_{2}} | Спонтана емисија |
| {\displaystyle \left({\frac {dn\_{1}}{dt}}\right)\_{\mathrm {stim} }=B\_{21}n\_{2}I\_{\nu }(T)} | Стимулирана емисија |
| {\displaystyle \left({\frac {dn\_{2}}{dt}}\right)\_{\mathrm {abs} }=B\_{12}n\_{1}I\_{\nu }(T)} | Фотоапсорпција |

каде {\displaystyle I\_{\nu }(T)} е спектралното зрачење на полето на зрачењето. Трите параметри {\displaystyle A\_{21}}, {\displaystyle B\_{21}} и {\displaystyle B\_{12}}, се познати како Ајнштајнови коефициенти, и се поврзани со честотата на фотонот {\displaystyle (\nu )} добиена при преминот меѓу двете енергетски нивоа (состојби). Како резултат, секоја линија од спектарот има свои одредени коефициенти. Кога атомите и полето на зрачењето се во рамнотежа, зрачењето ќе се пресмета со Планковиот закон и, со принципот на детална рамнотежа и збирот на овие чекори треба да биде нула:

{\displaystyle 0=A\_{21}n\_{2}+B\_{21}n\_{2}B\_{\nu }(T)-B\_{12}n\_{1}B\_{\nu }(T)\,}
Бидејќи атомите се во рамнотежа, населеностите на двете нивоа се поврзани преку Болцтмановиот фактор:

{\displaystyle {\frac {n\_{2}}{n\_{1}}}={\frac {g\_{2}}{g\_{1}}}e^{-h\nu /k\_{\mathrm {B} }T}}
каде {\displaystyle g\_{1}} и {\displaystyle g\_{2}} се производи на соодветните енергетски нивоа. Комбинирајќи ги двете погорни равенки со условот истите да бидат важечки при секоја температура се добиваат две врски меѓу Ајнштајновите коефициенти:

{\displaystyle {\frac {A\_{21}}{B\_{21}}}={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {B\_{21}}{B\_{12}}}={\frac {g\_{1}}{g\_{2}}}}
па така знаејќи го едниот коефициент ќе се добијат останатите два. За случајот на изотропно впивање и оддавање, коефициентот на емисија ({\displaystyle j\_{\nu }}) и коефициентот на апсорпција ({\displaystyle \kappa \_{\nu }\,}) кои се дефинирани во делот за преносот на зрачење спомнат погоре, можат да се изразат преку Ајнштајновите коефициенти. Врската меѓу Ајнштајновите коефициенти ќе даде израз на Кирхофовиот закон изразен преку *преносот на зрачењето* од делот погоре, поточно

{\displaystyle j\_{\nu }=\kappa \_{\nu }B\_{\nu }.\,}
Овие коефициенти важат и за атомите а и за молекулите.

Својства
--------

### Максимуми

Распределбите {\displaystyle B\_{\nu },B\_{\omega },B\_{\tilde {\nu }}} и {\displaystyle B\_{k}} го достигнуваат максимумот при фотонска енергија

{\displaystyle E=\left[3+W\left({\frac {-3}{e^{3}}}\right)\right]k\_{\mathrm {B} }T\approx 2,821\ k\_{\mathrm {B} }T,}
каде *W* е Ламбертовата омега функција и *e* е Ојлеровиот број.

Распределбите {\displaystyle B\_{\lambda }} и {\displaystyle B\_{y}} сепак со максимум на различна енергија

{\displaystyle E=\left[5+W\left({\frac {-5}{e^{5}}}\right)\right]k\_{\mathrm {B} }T\approx 4,965\ k\_{\mathrm {B} }T,}
Причината за ова е следна, како што беше споменато погоре, не може да се мине од (на пример) {\displaystyle B\_{\nu }} во {\displaystyle B\_{\lambda }} едноставно со замена на {\displaystyle \nu } со {\displaystyle \lambda }. Во продолжение, треба да се помножи резултатот на замената со {\displaystyle \left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|=c/\lambda ^{2}}. Факторот {\displaystyle 1/\lambda ^{2}} го менува максимумот на распределбата на повисоки енергии.

Делејќи го *hc* со овој енергетски израз ја определува брановата должина на максимумот. Овде може да се употреби {\displaystyle hc/k\_{\mathrm {B} }={\text{14 387,770 }}\mu {\text{m·K}}.}

Спектралното зрачење при овие максимуми е определен со:

{\displaystyle B\_{\nu ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k\_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}(3+W(-3\exp(-3))^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{3+W(-3\exp(-3))}-1}}\approx \left(1,896\times 10^{-19}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{Hz}}\cdot {\text{K}}^{3}}}\right)\times T^{3}}
{\displaystyle B\_{\lambda ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k\_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}(5+W(-5\exp(-5))^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{5+W(-5\exp(-5))}-1}}\approx \left(4,096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{3}\cdot {\text{K}}^{5}}}\right)\times ~T^{5}}
### Приближни пресметки

Логаритамски криви на зрачењето во однос на честотата за Планковиот закон (зелена), споредена со кривите на Рејли-Џинсовиот закон (црвено) и Виновиот закон (сина) за црно тело при температура од 8 mK.
Во границите на ниските честоти (т.е. долги бранови должини), Планковиот закон преминува во Рејли-Џинсовиот закон

{\displaystyle B\_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}\,k\_{\mathrm {B} }T}     или     {\displaystyle \qquad B\_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}\,k\_{\mathrm {B} }T.}
Зрачењето се зголемува како квадрат оф честотата, прикажувајќи ја ултравиолетовата катастрофа. Во границите на високите честоти (т.е. мали бранови должини) Планковиот закон преминува во Виновиот закон:

{\displaystyle B\_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\,e^{-{\frac {h\nu }{k\_{\mathrm {B} }T}}}}     или     {\displaystyle B\_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\,e^{-{\frac {hc}{\lambda k\_{\mathrm {B} }T}}}.}
Двете приближни записи му биле познати на Планк пред да го развие својот закон. Тој бил воден од овие приближни записи за да развие закон кој ги вклучувал двете гранични вредности, закон кој станал познат како Планков закон.

### Проценти

Сонцето е одлична приближност за црно тело. Неговата делотворна температура е ~5.777 K.
Виновиот закон за поместувањето во неговата поизразит облик покажува дека обликот на Планковиот закон е независен од температурата. Па можно е да се наведат процентните точки на вкупното зрачење како и максимумите за брановата должина и честотата, во облик кој ја дава брановата должина *λ* кога е поделена со температурата *T*. Вториот ред ги дава вредностите за соодветните вредности на *λT*, всушност, оние вредности на *x* за кои брановата должина *λ* е *x*/*T* изразена во микрометри на процентната вредност внесена во првиот ред.


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Процент | 0,01% | 0,1% | 1% | 10% | 20% | **25,0%** | 30% | 40% | **41,8%** | 50% | 60% | **64,6%** | 70% | 80% | 90% | 99% | 99,9% | 99,99% |
| *λT* (μm·K) | 910 | 1110 | 1448 | 2195 | 2676 | **2898** | 3119 | 3582 | **3670** | 4107 | 4745 | **5099** | 5590 | 6864 | 9376 | 22884 | 51613 | 113374 |

Оттука се гледа, дека 0,01% од зрачењето е со бранова должина под 910/*T* µm, 20% под 2676/*T* µm, итн. Максимумите на брановата должина и честотата се со задебелени бројки и се на 25% и 64,6% соодветно. Точката на 41,8% е за неутрален максимум на брановата должина и честотата. Ова се точките за кои соодветните функции на Планковиот закон {\displaystyle 1/\lambda ^{5}}, {\displaystyle \nu ^{3}}, и {\displaystyle \nu ^{2}/\lambda ^{2}} поделени со exp(*hν*/*k*B*T*) − 1 го постигнуваат својот максимум. Се забележува дека постои и мала разлика во односот меѓу 0,1% и 0,01% отколку што е меѓу 99,9% и 99,99%, што соодветствува на експоненцијалнот распад на енергијата при кратки бранови должини и полиномски распад при долги бранови должини.

Кој максимум да се користи зависи од примената. Вообичаениот избор е максимумот на брановата должина на 25% која е определена од страна на Виновиот закон за поместувањето во својот слаб облик. За некои цели средишната точка од 50% која го дели зрачењето на две половини може да биде попогодна за употреба. Втората точка е поблиску до максимумот на честотата отколку на брановата должина, бидејќи зрачењето се намалува експоненцијално за кратки бранови должини и полиномски за долги бранови должини. Неутралниот максимум се случува за пократки бранови должини отколку средниот од истата причина.

За Сонцето, *T* е 5778 K, со што процентните точки на сончевото зрачење се изразени во нанометри, може да се претстави во табела како да се работи за модел на црнотелесно зрачење. За споредба планета моделирана како црно тело зрачи со номинална температура од 288 K (15 °C) за споредба Земјата има доста променливи температури и бранови должини поголеми дваесетина пати од оние на Сонцето, претставени во третиот ред во микрометри (илјадити дел од нанометарот).


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Процент | 0,01% | 0,1% | 1% | 10% | 20% | **25%** | 30% | 40% | **41,8%** | 50% | 60% | **64,6%** | 70% | 80% | 90% | 99% | 99,9% | 99,99% |
| Сонце *λ* (nm) | 157 | 192 | 251 | 380 | 463 | **502** | 540 | 620 | **635** | 711 | 821 | **882** | 967 | 1188 | 1623 | 3961 | 8933 | 19620 |
| Планета 288 K *λ* (µm) | 3,16 | 3,85 | 5,03 | 7,62 | 9,29 | **10,1** | 10,8 | 12,4 | **12,7** | 14,3 | 16,5 | **17,7** | 19,4 | 23,8 | 32,6 | 79,5 | 179 | 394 |

Се согледува дека, само 1% од сончевото зрачење е со бранова должина пократка од 251 nm, и само 1% со подолга бранова должина од 3961 nm. Изразена во микрометри следува дека 98% сончевото зрачење е во опсегот од 0,251 до 3,961 µm. Соодветните 98% на енергии израчени од планета на 288 K е од 5,03 до 79,5 µm, доста повисоко над опсегот на сончевото зрачење (или под доколку се изрази преку честотите {\displaystyle \nu =c/\lambda } наместо бранови должини {\displaystyle \lambda }).

Последицата на оваа разлика на величините кај брановите должини меѓу сончевото и планетарното зрачење е изградбата на филтри низ кои би минувале или би биле блокирани зрачењата на еден од изворите. На пример низ прозорците изработени од обично стакло или проѕирни пластики минува 80% од упадното сончево зрачење со температура од 5778 K, кое е пак со бранови должини под 1,2 µm, додека пак блокира 99% од одбиеното зрачење на 288 K со бранови должини над 5 µm, бранови должини на кои повеќето видови на стакло и пластика со квалитет и дебелина својствена за градежното стакло е делотворно непроѕирно.

Зрачењето на Сонцето е она кое пристигнува на горните слоеви на атмосферата. Како што може да се види од табелата, зрачењето под 400 nm, или ултравиолетовото зрачење, е околу 12%, додека пак она над 700 nm, или инфрацрвеното зрачење, започнува на околу 49% и е 51% од вкупното зрачење. Затоа само 37% од тоа упадно зрачење е видливо за човековото око. Атмосферата ги менува овие проценти значително во корист на видливата светлина впивајќи поголем дел од ултравиолетовото зрачење и дел од инфрацрвеното зрачење.

Историја
--------

### Претходници

#### Балфур Стјуарт

Во 1858, Балфур Стјуарт ги опишал неговите експерименти за топлинското зрачење и неговите оддавачки и впивачки својства на полирани плочи од различни супстанции, споредбено со својствата на црните површини, при иста температура. Стјуарт избрал зацрнети површини како појдовни поради претходните експериментални сознанија, особено оние како Пјер Превост и Џон Лесли. Тој запишал „зацрнетите, кои ги впиваат сите зраци кои ќе упаднат, а следи дека ја поседува најголемата впивачка моќ, па ќе ја поседува и најголемата зрачна моќ."

Стјуарт ја мерел зрачната моќ со топлосноп и осетлив галванометар со микроскоп. Тој се занимавал со избрано топлинско зрачење, кој тој го истражувал со плочки на супстанции кои зрачеле и впивале избрани количества на зрачење наместо максимално за сите количества на зрачење. Тој ги дискутирал експериментите во услови на зраци кои можеле да бидат одбиени или прекршени, и кои се покорувале на Хелмхолцовото начело за реципроцитет. Во својот труд тој не спомнува дека квалитативно зраците можат да се опишат со помош на нивните бранови должини, ниту пак со употребата на спектрален апарат како што се призми и дифракциони решетки. Неговата работа била квантитавна со ограничувањата. Тој мерењата ги извршил во просторија на собна температура, на начин кој му овозможил да ги обезбеди телата во состојба на топлинска рамнотежа, која се постигнувала со загревање до рамнотежната точка во зовриена вода. Неговите мерења потврдиле дека супстанциите кои оддаваат или впиваат избрано соодветно начелото за изборно начело за еднаквост за оддавањето или впивањето при топлинска рамнотежа.

Стјуарт понудил теориски доказ дека ова треба да се случува за секое избрано количество на топлинско зрачење, но неговата математика не била строго точна. Според историчарот Д.М. Сигел: „Тој не ги познавал посложените техники во математичката физика на XIX век, тој дури не употребил на функциска забелешка во справувањето со спектралните распределби." Тој не спомнува термодинамика во својот труд, но сепак се спомнува зачувувањето на *vis viva*. Тој преложил дека неговите мерења покажале дека зрачењето било впиено и оддадено од честичките на материја низ длабочината низ средината низ која се движи. Го употребил Хелмхолцовото начело за реципроцитет за да се објаснат процесите на површината на средината со оние кои се случуваат во внатрешноста на средината. Тој заклучил дека неговите експерименти го покажувале токму ова, во внатрешноста на затворот во топлинската рамнотежа, зрачната топлина, одбиена и одадена истовремено, го напушта секој дел о површината, без разлика на супстанцијата, била иста со количеството од површината доколку би се споредувала со зацрнета површина. Тој не ја спомнувал можноста за идеални рефлектирачки ѕидови, туку мислел дека високо полираните метали впиваат мало количество зрачење.

#### Густав Кирхоф

Во 1859 година, не знаејќи за Стјуартовата работа, Густав Кирхоф ја забележал поврзаноста на брановите должини на спектралните линии за впивање и оддавање на видливата светлина. Значајно за топлинската физика,е дека тој исто така набљудувал светли линии или темни линии во зависност од температурните разлики мегу оддавачот и впивачот.

Кирхоф подоцна започнал да разгледува тела кои оддаваат и впиваат зрачење во непроѕирен затворен простор или празнина, во рамнотежа при температура *T*.

Овде се користи поинаков запис од оној на Кирхоф. Во овој случај, енергијата при оддавањето *E*(*T*, *i*) го означува димензионалното количество, вкупното зрачење оддадено од телото означено со показател *i* при температура *T*. Односот на вкупното впивање *a*(*T*, *i*) на тоа тело е бездимензионална величина, односот на впиеното и упадното зрачење во празнината при температура *T* (За споредба со резултатите на Балфор Стјуарт, Кирхофовото дефинирање на неговиот однос за впивањето не се однесувал само за затемнета површина како извор на упадното зрачење). Така, односот *E*(*T*, *i*) / *a*(*T*, *i*) на моќноста на зрачењето и односот на впивањето е димензионално количество, со димензии моќноста при оддавањето, бидејќи *a*(*T*, *i*) е бездимензионална величина. Исто така, тука специфичната оддавачка моќност по бранови должини на телото при температура *T* е означена со *E*(*λ*, *T*, *i*) и специфичниот однос на впивањето при бранови должини *a*(*λ*, *T*, *i*). Повторно, односот *E*(*λ*, *T*, *i*) / *a*(*λ*, *T*, *i*) на моќноста при оддавањето и впивањето е димензионално количество, со димензиите на моќноста при оддавањето.

Во вториот извештај во 1859 година, Кирхоф објавил ново општо начело за кое тој понудил и теориски и математички доказ, но сепак не дал квантитативни мерења на моќта на зрачењето. Неговиот теориски доказ од некои автори сè уште се смета за неточен. Неговото начело, сепак, опстојало: според него топлинските зраци со иста бранова должина, при рамнотежа на дадена температура, односот на специфичната моќност на оддавањето по бранови должини, има една и единствена вредност за сите тела кои зрачат или впиваат енергија при таа бранова должина. Со симболи, законот покажувал дека специфичниот однос по бранови должини *E*(*λ*, *T*, *i*) / *a*(*λ*, *T*, *i*) има една и иста вредност за сите тела, т.е. за сите тела со исти вредности за показателот *i*. Во овој извештај не се спомнуваат црни тела.

Во 1860 година, сè уште не знаејќи за Стјуартовите мерења за одредени количества на зрачење, Кирхоф изјавил дека од одамна било воспоставено експериментално дека целокупното топлинско зрачење, од неодредено количество, оддадено или впиено од телото при рамнотежа, димензионалниот однос на вкупното зрачење *E*(*T*, *i*) / *a*(*T*, *i*), има една иста вредност за сите тела, односно, за секоја вредност на материјалниот показател *i*. Повторно без мерења на зрачната моќ или други нови експериментални податоци, Кирхоф понудил нов теориски доказ за неговото ново начело за универзалноста на вредноста на специфичниот однос по бранови должини *E*(*λ*, *T*, *i*) / *a*(*λ*, *T*, *i*) при топлинска рамнотежа. Неговите свежи теориски докази сè уште се сметаат од некои автори за неважечки.

Најважно од сè е дека новото начело се потпирало на нов поим **„идеално црно тело"**, причината поради која се зборува за Кирхофовиот закон. Ваквите црни тела имале можност целосно да го впијат зрачењето во нивната бесконечно тенка површина. Ова било во целосна согласност со Балфуровиот поим за црно тело, со внатрешно зрачење, со затемнета површина. Тие не биле претставители на црни тела кои подоцна биле разгледувани од Планк. Планковите црни тела впивале и оддавале зрачење само од материјалот во нивната внатрешност, нивните пресеци со непосредната средина биле само математички површини, кои не биле способни да впијат или да оддадат зрачење, туку можеле да ја одбијат или да ја пренесат со прекршување на зрачењето.

Кирхофовиот доказ се сметал за посредно неидеално тело со ознака *i* како и различни идеални црни тела со ознака BB. Било потребно телата да се чуваат во празнина при топлинска рамнотежа на температура *T*. Неговиот доказ покажал дека односот *E*(*λ*, *T*, *i*) / *a*(*λ*, *T*, *i*) од природата на *i* неидеалното тело, колку и да било истото делумно провидно или пак го одбивало зрачењето.

Неговиот доказ првично тврдел дека за бранова должина *λ* при температура *T*, во топлинска рамнотежа, сите идеални црни тела од иста големина и облик имаат една и единстена вредност за моќноста при оддавањето *E*(*λ*, *T*, BB), со димензиите на моќноста. Неговиот доказ тврдел дека бездимензионалниот однос за специфичното впивање по бранови должини *a*(*λ*, *T*, BB) на идеално црно тело по дефиниција изнесува точно 1. Тогаш за идеално црно тело, односот на специфичното оддавање по бранови должини со односот на впивањето *E*(*λ*, *T*, BB) / *a*(*λ*, *T*, BB) е повторно само *E*(*λ*, *T*, BB), со димензиите на моќноста. Кирхоф сметал дела, последователно, при топлинска рамнотежа со помошното неидеално тело, и со идеалното црно тело од иста големина и облик, сместени во шуплината во рамнотежа при температура *T*. Тој велел дека текот на топлината при зрачењето мора да е подеднаква во кој и да е случај. Тој тврдел дека односот при топлинска рамнотежа *E*(*λ*, *T*, *i*) / *a*(*λ*, *T*, *i*) бил еднаков на *E*(*λ*, *T*, BB), што се означувал со *B**λ* (*λ*, *T*), непрекината функција, која зависи само од *λ* при одредена температура *T*, и растечка функција на *T* при одредена *λ*, при ниски температури преминува во видливиот дел но не и за поголеми бранови должини, со позитивни вредности за видливите бранови должини при повисоки температури, што не зависи од природата на *i* помошното неидеално тело. (Геометриските фактори, кои биле разгледани детално од страна на Кирхоф, биле занемарени во почетокот.)

Па така **Кирхофовиот закон за топлинско зрачење** може да гласи: *За секој материјал воопшто, зрачењето и впивањето при топлинска рамнотежа на која и да е температура T, за секоја бранова должина λ, односот на моќноста при одавањето и впивањето има единствена сеопфатна вредност, која е карактеристична за идеалното црно тело, и е моќноста на оддавањето која може да се претстави со Bλ (λ, T).* (Како забелешка за *B**λ* (*λ*, *T*), Кирхофовата ознака била едноставно само *e*.)

Кирхоф објавил дека определувањето на функцијата *B**λ* (*λ*, *T*) бил проблем од најголема важност, но сепак признавал дека ќе има проблеми од експериментална природа кои ќе треба да бидат надминати. Тој претпоставил дека како и сите други функции кои не зависат од својствата на поединечните тела, таа ќе биде едноставна функција. Функцијата *B**λ* (*λ*, *T*) и понекогаш била нарекувана Кирхофова (оддавачка, сеопфатна) функција', но сепак прецизниот математички облик не би бил познат во наредните четириесет години, сè додека не бил откриен од страна на Планк во 1900 година. Теорискиот доказ за Кирхофовото сеопфатно начело било тема на разговор на многу физичари во тој период и подоцна. Кирхофовиот подоцна, во 1860 година, бил подобар од оној на Балфур Стјуарт и во некои гледишта бил во право. Кирхофовиот труд од 1860 година не го спомнува вториот закон на термодинамиката, а со тоа и замислата за ентропијата која во тој период сè уште не била позната. Во поопширна книга во 1862 година, Кирхоф ја спомнува врската на неговиот закон со „Карноовото начело", што е облик на Вториот закон на термодинамиката.

Според Хелге Краг, „Квантната теорија го должи своето потекло на изучувањето на топлинското зрачење, особено зрачењето на „црното тело" кое Роберт Кирхоф првично го опишал во 1859–1860 година."

### Емпириски и теориски поставки за научното воведување на Планковиот закон

Во 1860 година, Кирхоф предвидел експериментални тешкотии за емпириското определување на функцијата со која се опишувала зависноста на спектарот на црното тело како функција само од температурата и брановата должина. И навистина било така. Биле потребни четириесет години да се развијат и подобрат методите за мерење на електромагнетното зрачење, а да се добие точен резултат.

Во 1865 година, Џон Тиндал го опишал зрачењето од електрично загреаните светлински влакна и од јаглеродните искри кои можно е да биле и видливи и невидливи. Тиндал спектрално го разложил зрачењето со употреба на призма од камена сол, низ која минувала топлината како и видливата светлина, и ја измерил јачината на зрачењето со користење на термосноп.

Во 1880 година, Андре Проспер Пол Крова објавил дијаграм на тридимензионална слика на графикот на топлинското зрачење како функција на брановата должина и температурата. Тој ја определил спектралната променлива со употреба на призми. Тој ја анализирал површината низ таканаречените „изотермни" криви, делови за определена температура, со спектралната променлива на апсисатаи променливата моќност на ординатата. Тој поставил криви низ точките од експерименталните податоци. Тие имале еден врв за спектралната вредност карактеристична за температурата и се простирала странично подеднакво кон хоризонталната оска. Ваквите спектрални отсечоци се во широка употреба и денес.

Во низа на трудови од 1881 до 1886 година, Ленгли спровел мерења на спектарот на топлинското зрачење, користејќи дифракциони решетки и призми, и најосетливите детектори кои можел да ги направи. Тој запишал дека постоела максимална јачина која се зголемувала со зголемувањето на температурата, па така обликот на спектарот не бил симетричен при врвот, односно дека постои силно намалување на јачината кога брановата должина била пократка од приближната отсечна вредност за секоја температура, па така приближната отсечна бранова должина се намалувала со зголемувањето на температурата, и дека брановата должина при врвот на јачината се намалува со температурата, на таков начин што јачината се зголемувала нагло со температурата за кратки бранови должини кои биле подолги од приближните за отсечните за таа температура.

Читајќи го Лангли, во 1888 година, рускиот физичар В.А. Мајкелсон објавил размислување за идејата дека непознатата функција на Кирхофовото зрачење може да се објасни физички и со математички записи ги запишал „целосна неправилност на вибрациите на ... атомите". Во овој период, Планк не го изучувал зрачењето одблизу, и не верувал во постењето на атомите ниту пак во статистичката физика. Мајкелсон запишал равенка за спектарот за температура:

{\displaystyle I\_{\lambda }=B\_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6}\,,}
каде *I**λ* означува специфична зрачна јачина на бранова должина *λ* и температура *θ*, и каде *B*1 и *c* се емпириски константи.

Во 1898 година, Ото Лумер и Фердинанд Курлбаум објавиле пресметка за нивното зрачење чиј извор е шуплината. Нивната замисла била користена во голем дел непроменета при мерењето на зрачењата до денес. Станува збор за кутија од платина, поделена со прегради, при што внатрешноста била зацрнета со железо оксид. Станувало збор за важна состојка за понатамошно подобрување на мерењата што довело до откривањето на Планковиот закон. Верзија опишана во 1901 година имала затемнета внатрешност со мешавина од оксиди на хром, никел и кобалт.

Важноста на шуплината како извор на зрачењето на Лумер и Курлбаум била во тоа што истата била достапна експериментално како извор на црнотелесно зрачење, поразлично од зрачењето добиено од едноставно сјајно цврсто тело, што претходно била единствената блиска достапна експериментална приближност за црнотелесното зрачење на одредено ниво на температури. Едноставните сјајни цврсти тела, кои претходно биле користени, оддавале зрачење со значајни разлики од она на црното тело со што било невозможно да се определи вистинското зрачење на спектарот на црното тело со помош на експерименти.

### Планковите гледишта пред самите емпириски факти да го доведат да го открие законот

Теорискиот и емпирискиот напредок им овозможиле на Лумер и Прингсхајм да запишат во 1899 година дека достапните експериментални докази биле приближно подеднакви со законот за специфичниот интензитет *Cλ−5e(−c/λT)* каде *C* и *c* ги означуваат емпириски измерените константи, и каде *λ* и *T*ги означуваат брановата должина и температурата. Од теориски причини, Планк во тој период го прифатил овој запис, што има делотворна отсечност за кратките бранови должини.

### Пронаоѓањето на емпирискиот закон

Макс Планк првично го објавил законот на 19 октомври 1900 година како подобрување на Виновиот закон, објавен во 1896 година од страна на Вилхелм Вин, кој бил соодветен за експерименталните податоци при кратк бранови должини (високи честоти) но не се совпаѓал при долги бранови должини (ниски честоти). Во јуни 1900 година, врз основа на евристички теориски пресметки, Рејли предложил равенка која можела да се потврди експериментално. Предлогот бил дека сеопфатната Стјуарт-Кирхофова функција може да биде со облик *c*1*T λ*−4exp(–*c*2/(*λ T*)). Ова не била познатата Рејли-Џинсова равенка 8*π k*B*T λ*−4, која бе произлегла сè до 1905 година,, но сепак подоцна се сведувала на таа равенка за подолги бранови должини, кои се од интерес. Според Клајн, може да се шпекулира дека е веројатно дека Планк го видел овој предлог, но сепак не го спомнал во својот труд во 1900 и 1901 година. Планк би бил свесен за различните предложени равенки. На 7 октомври 1900 година, Рубенс му рекол на Планк дека во соодветниот домен (долги бранови должини, ниски честоти), и само таму, важела равенката на Рејли за добиените податоци од 1900 година.

За подолгите бранови должини, Рејлиевата равенка од 1900 година приближно значела дека енергијата е пропорционална со температурата, *Uλ* = const. *T*. Познато е дека d*S*/d*Uλ* = 1/*T* и ова доведува до d*S*/d*Uλ* = const./ *Uλ* па така за долгите бранови должини важи d2*S* /d*Uλ*2 = − const. / *Uλ*2. Но за кратките бранови должини, Виновата равенка води до 1 / *T* = − const. ln *Uλ* + const. а оттаму за кратките бранови должини до d2*S* /d*Uλ* 2 = − const. / *Uλ*. Планк можно е да ги споил заедно овие две евристички равенки, за долги и за кратки бранови должини, за да се добие равенката:

{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S/\mathrm {d} U\_{\lambda }^{2}={\frac {\alpha }{U\_{\lambda }(\beta +U\_{\lambda })}}.}
Ова го довело Планк да ја запише равенката:

{\displaystyle B\_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}
каде Планк ги искористил симболите *C* и *c* за да ги означи емпириските константи.

Планк овој резултат го испратил до Рубенс, кој го споредил со неговите набљудувања и оние на Курлбаум и забележал дека важел за сите бранови должини подеднакво. На 19 октомври 1900 година, Рубенс и Курлбаум објавиле дека се совпаѓа со податоците, и Планк додал куса презентација за да даде теориско објаснување за неговата равенка. За една недела, Рубенс и Курлбаум дале подетален извештај за нивните мерења со кои го потврдиле Планковиот закон. Нивната техника за спектрално разделување на зрачењето при подолги бранови должини било наречено остаточен зрачен метод. Зраците биле постојано одбивани од полирани кристални површини, и зраците кои опстанале при овој процес биле наречени 'остаточни', и биле со бранови должини кои се одбивале од кристали на соодветно одредени материјали.

### Во обид да се најде физичкото објаснување за законот

Поврзано: Планк–Ајнштајнов сооднос
Кога Планк ја забележал емпириската функција, тој го извел физички законот. Неговото мислење се засегало околу ентропијата наместо да биде за температурата. Планк замислил празнина со целосно рефлектирачки ѕидови, празнината содржела конечен број на хипотетски добро одделени и препознатливи со иста градба, со конечна големина, резонантни осцилаторни тела, неколку такви осцилатори на секоја од многуте карактеристични честоти. Хипотетските осцилатори биле за Планк чисто замислени теориски испитувачки сонди, и велел дека овие осцилатори не мора да „навистина некаде да постојат во природата, доколку се земе предвид нивното постоење и нивните својства да се во согласност со законите на термодинамиката и електродинамиката.". Планк не и дал никакво физичко значење на неговата хипотеза за резонантните осцилатори, туку предложил математички апарат кој овозможил да изведе единствен израз за спектарот на црното тело кој бил во согласност со емпириските податоци за сите бранови должини. Тој упорно ја спомнувал можната поврзаност на ваквите осцилатори со атомите. На некаков начин, осцилаторите биле во согласност со Планковите прашинки јаглерод, големината на прашинката е мала независно од големината на празнината, доколку прашинката делотворно ја пренесувала енергијата меѓу зрачните модови на бранови должини.

Делумно следејќи хеврситички метод за пресметка осмислен од страна на Болцман за молекулите на гасот, Планк ги разгледувал можните начини за распределба на електромагнетната енергија над различни модови на неговиот хипотетички наелектризирани материјални осцилатори. Ова прифаќање на веројатносниот пристап, следејќи го Болцман, за Планк била радикална промена на неговото поранешно гледиште, кој до тогаш намерно се противел на ваквото размислување предложено од Болцман. Евристички, Болцман ја распределил енергијата во преодно математички квант *ϵ*, за кој тој предложил да има големина нула, поради конечната големина на *ϵ*, служел само за да се дозволи конечно броење за математичката пресметка на веројатностите, и нема никакво физичко значење. Зборувајќи за нова сеопфатна константа за природата, *h*, Планк претпоставил, во неколку осцилатори за секоја од конечно многуте карактеристични честоти, вкупната енергија била распределена до секоја како целобројна вредност на конечна физичка единица на енергија, *ϵ*, но не придружно како во Болцмановиот метод, но сега за Планк, на нов начин, карактеристичен за соодветните честоти. Неговата нова сеопфатна константа за природата, *h*, денес е позната како Планкова константа.

Планк понатамошно објаснил дека соодветната конечна единица, *ϵ*, на енергија треба да е пропорционална на соодветната карактеристична осцилаторна честота *f* на хипотетскиот осцилатор, и во 1901 тој го запишал ова со константата на пропорционалноста *h*:

{\displaystyle \epsilon =h\nu .}
Планк не предложил дека светлината која се движи во слободен простор е квантувана. Идејата за квантување на слободното електромагнетно поле била развиена подоцна, и подоцна била вклучена во она што денес го знаеме како квантна теорија за полето.

Во 1906 година Планк признал дека неговите замислени резонатори, имаат линеарна динамика, не обезбедиле физичко објаснување за преносот на енергијата меѓу честотите. Денешната физика го објаснува преносот меѓу честотите во присуство на атомите според нивното квантно возбудување, следејќи го Ајнштајн. Планк верувал дека во празнина со целосно рефлектирачки ѕидови и во кои не постои материја, електромагнетното поле не може да ја размени енергијата меѓу компонентите на честотите. Ова се должи на линеарноста на Максвеловите равенки. Денешната квантна теорија за полето предвидува дека, во отсуство на материјата, електромагнетното поле зависи од нелинеарни равенки и во одредена смисла се во меѓусебно заемодејство. Ваквото заемодејство во отсуство на материјата сè уште не е измерена директно бидејќи потребни се многу високи јачини и многу чувстителни детектори, кои се во процес на производство. Планк верувал дека поле кое не зеамодејствува ниту се покорува ниту пак ги прекршува класичните принципи на еднаква распределба на енергијата, и останала иста како во моментот кога била воведена, наместо да се развие во поле на црно тело. Па така, линеарноста на неговите механички претпоставки го спречиле Планк да има механичко објаснување за максимизација на ентропијата при термодинамичка рамнотежа на топлинското зрачно поле. Од оваа причина тој морал да посегне да ги употреби Болцмановите веројатносни аргументи.

Планковиот закон може да се смета како исполнување на предвидувањето на Густав Кирхоф дека неговиот закон за топлинско зрачење бил од најголемо значење. Во неговиот прикажување на неговиот сопствен закон, Планк понудил темелен и детален теориски доказ за Кирхофовиот закон, теорискиот доказ дотогаш бил тема на расправи, делумно поради тоа што се велело дека се поткрепува на нефизички теориски тела, како што е на пример Кирхофовата целосно впивлива бесконечно тенка црна површина.

### Последователни настани

Дури по пет години од хеврестичката претпоставка на Планк за апстрактни елементи на енергија или за дејство кое било осмислено од Алберт Ајнштајн за постоечките кванти на светлина во 1905 година како револуционерно објаснување за зрачењето на црното тело, при фотолуминисценција, на фотоелектричниот ефект, и јонизацијата на гасовите под дејство на ултравиолетовата светлина. Во 1905 година, „Ајнштајн верувал дека Планковата теорија не можела да се усогласи с идејата за светлински кванти, грешка која ја исправил во 1906 година." Спротивно на верувањата на Планк во тој период, Ајнштајн предложил модел и равенка каде светлината оддадена, впиена или пак онаа која што се движи во просторот како кванти енергија локализирани точки во просторот. Како вовед во ова размислување, Ајнштајн се навратил на Планковиот модел за хипотетички резонантни материјални електрични осцилатори како извори и впивачи на зрачењето, но подоцна понудил ново тврдење, неповрзано со тој модел, но делумно заснован на термодинамичкото тврдење на Вин, во кој Планковата равенка за *ϵ* = {\displaystyle h\nu } немала никаква улога. Ајнштајн енергијата на овие кванти ја запишал со равенката{\displaystyle R\beta \nu /N}. Па така Ајнштајн се спротивставил на брановата теорија на светлината предложена од Планк. Во 1910 година, критикувајќи запис испратен до него од Планк, знаејќи дека Планк бил умерен поддржувач на Ајнштајновата теорија на специјалната релативност, Ајнштајн му пишал на Планк: „Мене ми изгледа неверојатно енергијата непрекинато да се распредели во просторот без да се земе предвид етерот."

Според Томас Кун, сè до 1908 година Планк во поголем или помал дел прифатил дел од забелешките на Ајнштајн од 1908 година за физичките дискретности како различни од апстракните математички дискретности во топлинската зрачна физика. Сепак сè уште во 1908 година, разгледувајќи го Ајнштајновиот предлог за квантно движење, Планк мислел дека ваков револуционерен чекор е можеби непотребен. Дотогаш, Планк бил во согласност со мислењето дека дискретните на дејствувачките кванти не можеле да се забележат ниту во неговите резонантни осцилатори ниту пак во движењето на топлинското зрачење. Кун запишал дека, во Планковите први трудови и монографијата од 1906 година, не се спомнува „непрекинатост, [ниту] се зборува за ограничување на енергијата на осцилаторот, [ниту пак] за равенка со облик *U* = *nhν*." Кун посочил дека неговото проучување на Планковите трудови од 1900 и 1901 година и неговата монографија од 1906 година, го довеле до „еретичките" заклучоци, спротивни со широко прифатените претпоставки на другите кои ги гледале Планковите пишувања од перспективата на подоцнежните анахронистички гледишта. Куновите заклучоци, кои се однесуваат на периодот од 1908 година, кога Планк се придржува до својата 'прва теорија', била прифатена од останатите историчари.

Во второто издание на неговата монографија, во 1912 година, Планк и понатаму не го прифаќа Ајнштајновиот предлог за светлински кванти. Тој предложил дека на одреден начин впивањето на светлината од неговите виртуелни материјални резонатори може да е непрекинато и се случува при постојан чекор во рамнотежа, поразлично од квантното впивање. Само оддавањето било квантно. Оваа теорија во одреден период се нарекувала Планкова „втора теорија".

Сè до 1919 година Планк во своето трето издание на својата монографија или 'трета теорија', запишал дека и оддавањето и впивањето на светлината се квантни појави.

Живописниот поим „ултравиолетова катастрофа" бил предложен од Паул Еренфест во 1911 година за парадоксалниот резултат според кој вкупната енергија во празнината се стреми кон бесконечност кога теоремата за рамнораспределбата во класичната статистичка механика е (грешно) применетз за зрачењето на црното тело. Но ова не било дел од Планковото размислување, бидејќи тој не се обидел да ја примени доктрината за рамнораспределба: кога го објавил своето откритие во 1900 година, тој не забележал никаква „катастрофа". Првпат била забележана од Лордот Рејли во 1900 година, и подоцна во 1901 година од страна на Сер Џејмс Џинс; и подоцна во 1905 година од страна на Ајнштајн кога тој сакал да ја поддржи идејата дека светлината се движи во дискретни пакети, подоцна наречени 'фотони', од страна на Рејли и Џинс.

Во 1913 година Бор дал поинаков запис со поинакво физичко значење за количеството *hν*. Во споредба со Планковите и Ајнштајновите равенки, Боровата равенка се однесувала експлицитно и категорично само на енергетските нивоа на атомите. Боровата равенка гласи {\displaystyle W\_{\tau \_{2}}-W\_{\tau \_{1}}=h\nu } каде {\displaystyle W\_{\tau \_{2}}} и {\displaystyle W\_{\tau \_{1}}} ја означуваат енергијата на квантните состојби на атомот, со квантни броеви {\displaystyle \tau \_{2}\ } и {\displaystyle \tau \_{1}\ }. Ознаката {\displaystyle \nu \ } ја означува честотата на зрачењето на квантот кој може да биде оддаден или пак впиен како што атомот минува меѓу тие две квантни состојби. За споредба во Планковиот модел, честотата {\displaystyle \nu \ } нема непосредна поврзаност со честотите кои можат да ги опишат тие квантни состојби.

Подоцна, во 1924 година, Шатјендранат Бозе ја развил теоријата за статистичката механика на фотоните, што овозможило теориско изведување на Планковиот закон. Самиот збор 'фотон' бил осмислен, подоцна, од страна на Гилберт Луис во 1926 година, кои погрешно веруувал дека фотоните се запазуваат, спротивно на Бозе-Ајнштајновата статистика,сепак зборот 'фотон' бил усвоен за да се искаже Ајнштајновото начело за движењето на светлината во облик на пакети енергија. Во електромагнетно поле изолирано во вакуум во сад со целосно рефлектирачки ѕидови, онаков каков што го користел Планк, и навистина фотоните ќе се запазат според Ајнштајновиот модел од 1905 година, но Луис разгледувал поле на фотони како ситем затворен во однос на значајно количество материја но се овозможувала размена на електромагнетната енергија со непосредниот систем на значајно количество на енергија и погрешно замислил дека фотоните се запазувале, односно се складирале во атомите.

Конечно, Планковиот закон за зрачењето на црното тело придонело за Ајнштајновата замисла за кванти светлина носители на линискиот импулс, што станал основа за развој на квантната механика.

Гореспоменатата линеарност на Планковите механички претпоставки, не дозволувајќи енергетски заемодејства меѓу честотните компоненти, ѝ претходела на првичната квантна механика на Хајзенберг од 1925 година. Во неговиот труд поднесен на 29 јули 1925 година, Хајзенберговата теорија ја потврдила гореспоменатата Борова равенка од 1913 година. Тој зборува за нелинеарни осцилатори како модели за атомските квантни состојби, дозволувајќи енергетско заемодејство меѓу нивните сопствени повеќекратни внатрешни дискретни Фуриеови честотни компоненти, во случаите на оддавање и впивање на кванти зрачење. Честотата на зрачење на квантот била еднаква на спарувањето меѓу внатрешните атомски метастабилни осцилаторни квантни состојби. Во тој период, Хајзенберг не ја познавал матричната алгебра, но Макс Борн го прочитал трудот на Хајзенберг и го препознал матричниот карактер на Хајзенберговата теорија. Подоцна Борн и Јордан објавиле експлицитна матрична теорија за квантната механика, заснована на, но со облик драстично поразличен од, Хајзенберговата квантна механика, токму овој запис преку матрици на Бор и Јордан денес се нарекува матрична механика. Хајзенберговото објаснување на Планковите осцилатори, како нелинеарни ефекти како Фуриеови модови на минливи процеси на оддавање или впивање на зрачењето, својство на Планковите осцилатори, разгледувани како издржливи физички тела, како оние замислени од класичната физика, кои не дале задоволително објаснување на појавите.

Денес, како изјава за енергијата на светлинскиот квант, честопати се користи равенката *E* = *ħω*, каде *ħ* = *h*/2π, и *ω* = {\displaystyle 2\pi \nu } ја означуваат аголната честота, и поретко употребуваната подеднаква равенка *E* = {\displaystyle h\nu }. Оваа изјава за вистински постоечки движечки светлински кванти, засновани на Ајнштајновите, имаат физичко значење различно од она на Планк во погорната изјава *ϵ* = {\displaystyle h\nu } за апстрактните единици енергија да се распределат меѓу неговите хипотетички резонантни материјални осцилатори.

Статија напишана од страна на Хелге Краг објавена во *Physics World* исто така дава историски осврт на оваа теорија.

Поврзано
--------

* Зрачност
* Емисивност
* Сакума–Хаториева равенка
* Винов закон за поместување

Наводи
------

1. ↑  Planck 1914, стр. 6, 168
2. 1 2 3  Chandrasekhar 1960, стр. 8
3. ↑  Rybicki & Lightman 1979, стр. 22
4. 1 2 3  Planck 1914, стр. 42
5. ↑  Hapke 1993, стр. 362–373
6. ↑  Planck 1914
7. ↑  Loudon 2000, стр. 3–45
8. ↑  Caniou 1999, стр. 117
9. ↑  Kramm & Mölders 2009
10. 1 2  Sharkov 2003, стр. 210
11. ↑  Goody & Yung 1989, p. 16.
12. ↑  Fischer 2011
13. ↑  Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). „CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2010" (PDF). стр. 1591.
14. ↑  Loudon 2000
15. ↑  Mandel & Wolf 1995
16. ↑  Wilson 1957, стр. 182
17. ↑  Adkins 1983, стр. 147–148
18. ↑  Landsberg 1978, стр. 208
19. ↑  Siegel & Howell 2002, стр. 25
20. ↑  Planck 1914, стр. 9–11
21. ↑  Planck 1914, стр. 35
22. ↑  Landsberg 1961, стр. 273–274
23. ↑  Born & Wolf 1999, стр. 194–199
24. ↑  Born & Wolf 1999, стр. 195
25. ↑  Rybicki & Lightman 1979, стр. 19
26. ↑  Chandrasekhar 1960, стр. 7
27. ↑  Chandrasekhar 1960, стр. 9
28. 1 2 3  Einstein 1916
29. 1 2  Bohr 1913
30. 1 2  Jammer 1989, стр. 113, 115
31. 1 2  Kittel & Kroemer 1980, стр. 98
32. 1 2 3  Jeans 1905a, стр. 98
33. 1 2  Rayleigh 1905
34. 1 2  Rybicki & Lightman 1979, стр. 23
35. 1 2  Wien 1896, стр. 667
36. ↑  Planck 1906, стр. 158
37. ↑  Lowen & Blanch 1940
38. ↑  Stewart 1858
39. 1 2 3 4  Siegel 1976
40. ↑  Kirchhoff 1860a harvnb error: no target: CITEREFKirchhoff1860a (help)
41. ↑  Kirchhoff 1860b harvnb error: no target: CITEREFKirchhoff1860b (help)
42. 1 2 3  Schirrmacher 2001
43. 1 2  Kirchhoff 1860c
44. ↑  Planck 1914, стр. 11
45. ↑  Milne 1930, стр. 80
46. ↑  Rybicki & Lightman 1979, стр. 16–17
47. ↑  Mihalas & Weibel-Mihalas 1984, стр. 328
48. ↑  Goody & Yung 1989, стр. 27–28
49. ↑  Friedrich Paschen (1896), personal letter cited by Hermann 1971, p. 6
50. ↑  Hermann 1971, p. 7
51. ↑  Kuhn 1978, стр. 8, 29
52. ↑  Mehra and Rechenberg 1982, стр. 26, 28, 31, 39 harvnb error: no target: CITEREFMehra\_and\_Rechenberg1982 (help)
53. ↑  Kirchhoff & 1862/1882, стр. 573 harvnb error: no target: CITEREFKirchhoff1862/1882 (help)
54. ↑  Kragh 1999, стр. 58
55. 1 2  Kangro 1976
56. ↑  Tyndall 1865a
57. ↑  Tyndall 1865b
58. ↑  Kangro 1976, стр. 8–10
59. ↑  Crova 1880
60. ↑  Crova 1880, стр. 577, Plate I
61. ↑  Kangro 1976, стр. 10–15
62. ↑  Kangro 1976, стр. 15–26
63. ↑  Michelson 1888
64. ↑  Kangro 1976, стр. 30–36
65. ↑  Kangro 1976, стр. 122–123
66. ↑  Lummer & Kurlbaum 1898
67. ↑  Kangro 1976, стр. 159
68. ↑  Lummer & Kurlbaum 1901
69. ↑  Kangro 1976, стр. 75–76
70. ↑  Paschen 1895, стр. 297–301
71. ↑  Lummer & Pringsheim 1899, стр. 225
72. ↑  Kangro 1976, стр. 174
73. 1 2  Planck 1900d
74. 1 2  Rayleigh 1900, стр. 539
75. 1 2  Kangro 1976, стр. 181–183
76. 1 2 3  Planck 1900a
77. 1 2 3  Planck 1900b
78. 1 2  Rayleigh 1900
79. 1 2 3  Klein 1962
80. 1 2 3 4 5  Dougal 1976
81. ↑  Planck 1943, стр. 156
82. ↑  Hettner 1922
83. ↑  Rubens & Kurlbaum 1900a
84. ↑  Rubens & Kurlbaum 1900b
85. ↑  Kangro 1976, стр. 165
86. ↑  Mehra & Rechenberg 1982, стр. 41
87. ↑  Planck 1914, стр. 135
88. ↑  Kuhn 1978, стр. 117–118
89. ↑  Hermann 1971, p. 16
90. ↑  Planck 1900c
91. ↑  Kangro 1976, стр. 214
92. ↑  Kuhn 1978, стр. 106
93. 1 2  Kragh 2000
94. ↑  Planck 1901
95. ↑  Planck 1915, стр. 89
96. ↑  Ehrenfest & Kamerlingh Onnes 1914, стр. 873
97. ↑  ter Haar 1967, стр. 14
98. ↑  Stehle 1994, стр. 128
99. ↑  Scully & Zubairy 1997, стр. 21.
100. ↑  Planck 1906, стр. 220
101. ↑  Kuhn 1978, стр. 162
102. ↑  Planck 1914, стр. 44–45, 113–114
103. 1 2  Stehle 1994, стр. 150
104. 1 2  Jauch & Rohrlich 1980, Chapter 13
105. ↑  Karplus & Neuman 1951
106. ↑  Tommasini et al. 2008
107. ↑  Jeffreys 1973, стр. 223
108. ↑  Planck 1906, стр. 178
109. ↑  Planck 1914, стр. 26
110. ↑  Boltzmann 1878
111. ↑  Kuhn 1978, стр. 38–39
112. ↑  Planck 1914, стр. 1–45
113. ↑  Cotton 1899
114. 1 2 3  Einstein 1905
115. ↑  Kragh 1999, стр. 67
116. ↑  Stehle 1994, стр. 132–137
117. ↑  Einstein 1993, стр. 143, писмо од 1910 година.
118. ↑  Planck 1915, стр. 95
119. 1 2  Planck 1906
120. ↑  Kuhn 1984, стр. 236 harvnb error: no target: CITEREFKuhn1984 (help)
121. ↑  Kuhn 1978, стр. 196–202
122. ↑  Kuhn 1984 harvnb error: no target: CITEREFKuhn1984 (help)
123. ↑  Darrigol 1992, стр. 76 harvnb error: no target: CITEREFDarrigol1992 (help)
124. ↑  Kragh 1999, стр. 63–66
125. ↑  Planck 1914, стр. 161
126. ↑  Kuhn 1978, стр. 235–253
127. ↑  Kuhn 1978, стр. 253–254
128. ↑  Ehrenfest 1911
129. ↑  Kuhn 1978, стр. 152
130. ↑  Kuhn 1978, стр. 151–152
131. ↑  Kangro 1976, стр. 190
132. ↑  Kuhn 1978, стр. 144–145
133. ↑  See footnote on p. 398 in Jeans 1901.
134. ↑  Jeans 1905b
135. ↑  Jeans 1905c
136. ↑  Jeans 1905d
137. ↑  Sommerfeld 1923, стр. 43
138. ↑  Heisenberg 1925, стр. 108
139. ↑  Brillouin 1970, стр. 31
140. ↑  Lewis 1926
141. ↑  Heisenberg 1925
142. ↑  Razavy 2011, стр. 39–41
143. ↑  Born & Jordan 1925
144. ↑  Stehle 1994, стр. 286
145. ↑  Razavy 2011, стр. 42–43
146. ↑  Messiah 1958, стр. 14
147. ↑  Pauli 1973, стр. 1
148. ↑  Feynman, Leighton & Sands 1963, стр. 38-1
149. 1 2  Schwinger 2001, стр. 203
150. 1 2  Bohren & Clothiaux 2006, стр. 2
151. ↑  Schiff 1949, стр. 2
152. ↑  Mihalas & Weibel-Mihalas 1984, стр. 143
153. ↑  Rybicki & Lightman 1979, стр. 20

### Користена литература

* Adkins, C. J. (1983), *Equilibrium Thermodynamics* (3. изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-25445-0
* Bohr, N. (1913), „On the constitution of atoms and molecules" (PDF), *Philosophical Magazine*, **26**: 1–25, doi:10.1080/14786441308634993, Архивирано од изворникот (PDF) на 2017-08-09, Посетено на 2015-09-27
* Bohren, C. F.; Clothiaux, E. E. (2006), *Fundamentals of Atmospheric Radiation*, Wiley-VCH, ISBN 3-527-40503-8
* Boltzmann, L. (1878), „Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respective den Sätzen über das Wärmegleichgewicht", *Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien*, **76** (2): 373–435
* Born, M.; Wolf, E. (1999), *Principles of Optics* (7. изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1
* Born, M.; Jordan, P. (1925), „Zur Quantenmechanik", *Zeitschrift für Physik*, **34**: 858–888, Bibcode:1925ZPhy...34..858B, doi:10.1007/BF01328531
* Brehm, J. J.; Mullin, W. J. (1989), *Introduction to the Structure of Matter*, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60531-X
* Brillouin, L. (1970), *Relativity Reexamined*, Academic Press, ISBN 978-0-12-134945-5
* Caniou, J. (1999), *Passive Infrared Detection: Theory and Applications*, Springer, ISBN 978-0-7923-8532-5
* Chandrasekhar, S. (1960) [1950], *Radiative Transfer* (Revised reprint. изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60590-6
* Cotton, A. (1899), „The present status of Kirchhoff's law", *The Astrophysical Journal*, **9**: 237–268, Bibcode:1899ApJ.....9..237C, doi:10.1086/140585
* Crova, A. P. P. (1880), „Étude des radiations émises par les corps incandescents. Mesure optique des hautes températures", *Annales de chimie et de physique*, Série 5, **19**: 472–550
* Dougal, R. C. (September 1976), „The presentation of the Planck radiation formula (tutorial)", *Physics Education*, **11** (6): 438–443, Bibcode:1976PhyEd..11..438D, doi:10.1088/0031-9120/11/6/008
* Ehrenfest, P. (1911), „Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?", *Annalen der Physik*, **36**: 91–118, Bibcode:1911AnP...341...91E, doi:10.1002/andp.19113411106
* Ehrenfest, P.; Kamerlingh Onnes, H. (1914), „Simplified deduction of the formula from the theory of combinations which Planck uses as the basis of his radiation theory", *Proceedings of the Royal Dutch Academy of Sciences in Amsterdam*, **17** (2): 870–873, Bibcode:1914KNAB...17..870E
* Einstein, A. (1905), „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt", *Annalen der Physik*, **17** (6): 132–148, Bibcode:1905AnP...322..132E, doi:10.1002/andp.19053220607
* Einstein, A. (1916), „Zur Quantentheorie der Strahlung", *Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich*, **18**: 47–62 и Einstein, A. (1917), „Zur Quantentheorie der Strahlung", *Physikalische Zeitschrift*, **18**: 121–128, Bibcode:1917PhyZ...18..121E
* Einstein, A. (1993), *The Collected Papers of Albert Einstein*, **3**, English translation by Beck, A. Princeton University Press, ISBN 0-691-10250-3
* Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1963), *The Feynman Lectures on Physics, Volume 1*, Addison-Wesley, ISBN 0-201-02010-6
* Fischer, T. (1 November 2011), *Topics: Derivation of Planck's Law*, ThermalHUB, Посетено на 2015-06-19
* Goody, R. M.; Yung, Y. L. (1989), *Atmospheric Radiation: Theoretical Basis* (2. изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510291-8
* Guggenheim, E.A. (1967), *Thermodynamics. An Advanced Treatment for Chemists and Physicists* (fifth revised. изд.), North-Holland Publishing Company
* Haken, H. (1981), *Light* (Reprint. изд.), Amsterdam: North-Holland Publishing, ISBN 0-444-86020-7
* Hapke, B. (1993), *Theory of Reflectance and Emittance Spectroscopy*, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-30789-9
* Heisenberg, W. (1925), „Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen", *Zeitschrift für Physik*, **33**: 879–893, Bibcode:1925ZPhy...33..879H, doi:10.1007/BF01328377
* Heisenberg, W. (1930), *The Physical Principles of the Quantum Theory*, Eckart, C.; Hoyt, F. C. (transl.), University of Chicago Press
* Hermann, A. (1971), *The Genesis of Quantum Theory*, Nash, C.W. MIT Press, ISBN 0-262-08047-8
* Hettner, G. (1922), „Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel", *Naturwissenschaften*, **10**: 1033–1038, Bibcode:1922NW.....10.1033H, doi:10.1007/BF01565205
* Jammer, M. (1989), *The Conceptual Development of Quantum Mechanics* (second. изд.), Tomash Publishers/American Institute of Physics, ISBN 0-88318-617-9
* Jauch, J. M.; Rohrlich, F. (1980) [1955], *The Theory of Photons and Electrons. The Relativistic Quantum Field Theory of Charged Particles with Spin One-half* (second printing of second. изд.), Springer, ISBN 0-387-07295-0
* Jeans, J. H. (1901), „The Distribution of Molecular Energy", *Philosophical Transactions of the Royal Society A*, **196** (274–286): 397, Bibcode:1901RSPTA.196..397J, doi:10.1098/rsta.1901.0008, JSTOR 90811
* Jeans, J. H. (1905a), „XI. On the partition of energy between matter and æther", *Philosophical Magazine*, **10** (55): 91, doi:10.1080/14786440509463348
* Jeans, J. H. (1905b), „On the Application of Statistical Mechanics to the General Dynamics of Matter and Ether", *Proceedings of the Royal Society A*, **76** (510): 296, Bibcode:1905RSPSA..76..296J, doi:10.1098/rspa.1905.0029, JSTOR 92714
* Jeans, J. H. (1905c), „A Comparison between Two Theories of Radiation", *Nature*, **72** (1865): 293, Bibcode:1905Natur..72..293J, doi:10.1038/072293d0
* Jeans, J. H. (1905d), „On the Laws of Radiation", *Proceedings of the Royal Society A*, **76** (513): 545, Bibcode:1905RSPSA..76..545J, doi:10.1098/rspa.1905.0060, JSTOR 92704
* Jeffreys, H. (1973), *Scientific Inference* (3. изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-08446-8
* Kangro, H. (1976), *Early History of Planck's Radiation Law*, Taylor & Francis, ISBN 0-85066-063-7
* Karplus, R.; Neuman, M. (1951), „The Scattering of Light by Light", *Physical Review*, **83** (4): 776–784, Bibcode:1951PhRv...83..776K, doi:10.1103/PhysRev.83.776
* Kirchhoff, G. R.; [27 October 1859] (1860a), „Über die Fraunhofer'schen Linien", *Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin*: 662–665
* Kirchhoff, G. R.; [11 December 1859] (1860b), „Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme", *Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin*: 783–787
* Kirchhoff, G. R. (1860c), „Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme and Licht", *Annalen der Physik und Chemie*, **109**: 275–301, Bibcode:1860AnP...185..275K, doi:10.1002/andp.18601850205
* Kirchhoff, G. R. (1882) [1862], *Gessamelte Abhandlungen*, Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme und Licht, Johann Ambrosius Barth, стр. 571–598
* Kittel, C.; Kroemer, H. (1980), *Thermal Physics* (2. изд.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1088-9
* Klein, M.J. (1962), „Max Planck and the beginnings of the quantum theory", *Archive for History of Exact Sciences*, **1** (5): 459–479, doi:10.1007/BF00327765
* Kragh, H. (1999), *Quantum Generations. A History of Physics in the Twentieth Century*, Princeton University Press, ISBN 0-691-01206-7
* Kragh, H. (December 2000), „Max Planck: The reluctant revolutionary", *Physics World*, Архивирано од изворникот на 2012-04-01, Посетено на 2015-09-27
* Kramm, Gerhard; Mölders, N. (2009), „Planck's Blackbody Radiation Law: Presentation in Different Domains and Determination of the Related Dimensional Constant", *Journal of the Calcutta Mathematical Society*, **5** (1–2): 27–61, arXiv:0901.1863, Bibcode:2009arXiv0901.1863K
* Kuhn, T. S. (1978), *Black–Body Theory and the Quantum Discontinuity*, Oxford University Press, ISBN 0-19-502383-8
* Landsberg, P.T. (1961), *Thermodynamics with Quantum Statistical Illustrations*, Interscience Publishers
* Landsberg, P.T. (1978), *Thermodynamics and Statistical Mechanics*, Oxford University Press, ISBN 0-19-851142-6
* Lewis, G. N. (1926), „The Conservation of Photons", *Nature*, **118** (2981): 874, Bibcode:1926Natur.118..874L, doi:10.1038/118874a0
* Loudon, R. (2000), *The Quantum Theory of Light* (3. изд.), Oxford University Press, ISBN 0-19-850177-3
* Lowen, A. N.; Blanch, G. (1940), „Tables of Planck's radiation and photon functions", *Journal of the Optical Society of America*, **30** (2): 70, doi:10.1364/JOSA.30.000070
* Lummer, O.; Kurlbaum, F. (1898), „Der electrisch geglühte "absolut schwarze" Körper und seine Temperaturmessung", *Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft*, **17**: 106–111
* Lummer, O.; Pringsheim, E. (1899), „1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und des blanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper", *Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft*, **1**: 215–235
* Lummer, O.; Kurlbaum, F. (1901), „Der elektrisch geglühte "schwarze" Körper", *Annalen der Physik*, **310** (8): 829–836, Bibcode:1901AnP...310..829L, doi:10.1002/andp.19013100809
* Mandel, L.; Wolf, E. (1995), *Optical Coherence and Quantum Optics*, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2
* Mehra, J.; Rechenberg, H. (1982), *The Historical Development of Quantum Theory*, **1**, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90642-8
* Messiah, A. (1958), *Quantum Mechanics*, Temmer, G. G. (transl.), John Wiley & Sons
* Michelson, V. A. (1888), „Theoretical essay on the distribution of energy in the spectra of solids", *Philosophical Magazine*, Series 5, **25**: 425–435, doi:10.1080/14786448808628207
* Mihalas, D.; Weibel-Mihalas, B. (1984), *Foundations of Radiation Hydrodynamics*, Oxford University Press, ISBN 0-19-503437-6
* Milne, E.A. (1930), „Thermodynamics of the Stars", *Handbuch der Astrophysik*, **3** (1): 63–255
* Paltridge, G. W.; Platt, C. M. R. (1976), *Radiative Processes in Meteorology and Climatology*, Elsevier, ISBN 0-444-41444-4
* Paschen, F. (1895), „Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnentemperatur", *Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse)*: 294–304
* Pauli, W. (1973), Enz, C. P. (уред.), *Wave Mechanics*, Margulies, S.; Lewis, H. R. (transl.), MIT Press, ISBN 0-262-16050-1
* Planck, M. (1900a), „Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung", *Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft*, **2**: 202–204
* Planck, M. (1900b), „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum", *Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft*, **2**: 237–245
* Planck, M. (1900c), „Entropie und Temperatur strahlender Wärme", *Annalen der Physik*, **306** (4): 719–737, Bibcode:1900AnP...306..719P, doi:10.1002/andp.19003060410
* Planck, M. (1900d), „Über irreversible Strahlungsvorgänge", *Annalen der Physik*, **306** (1): 69–122, Bibcode:1900AnP...306...69P, doi:10.1002/andp.19003060105
* Planck, M. (1901), „Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum", *Annalen der Physik*, **4**: 553, Bibcode:1901AnP...309..553P, doi:10.1002/andp.19013090310
* Planck, M. (1906), *Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung*, Johann Ambrosius Barth, LCCN 07004527
* Planck, M. (1914), *The Theory of Heat Radiation*, Masius, M. (transl.) (2. изд.), P. Blakiston's Son & Co. OL 7154661M
* Planck, M. (1915), *Eight Lectures on Theoretical Physics*, Wills, A. P. (transl.), Dover Publications, ISBN 0-486-69730-4
* Planck, M. (1943), „Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums", *Naturwissenschaften*, **31** (14–15): 153–159, Bibcode:1943NW.....31..153P, doi:10.1007/BF01475738
* Rayleigh, Lord (1900), „LIII. Remarks upon the law of complete radiation", *Philosophical Magazine*, Series 5, **49** (301): 539, doi:10.1080/14786440009463878
* Rayleigh, Lord (1905), „The Dynamical Theory of Gases and of Radiation", *Nature*, **72** (1855): 54–55, Bibcode:1905Natur..72...54R, doi:10.1038/072054c0
* Razavy, M. (2011), *Heisenberg's Quantum Mechanics*, World Scientific, ISBN 978-981-4304-10-8
* Rubens, H.; Kurlbaum, F. (1900a), „Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper", *Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft*, **2**: 181
* Rubens, H.; Kurlbaum, F. (1900b), „Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen", *Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin*: 929–941
* Rybicki, G. B.; Lightman, A. P. (1979), *Radiative Processes in Astrophysics*, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-82759-2
* Sharkov, E. A. (2003), *Passive Microwave Remote Sensing of the Earth* (PDF), Black-body radiation, Springer, ISBN 978-3-540-43946-2
* Schiff, L. I. (1949), *Quantum Mechanics*, McGraw-Hill
* Schirrmacher, A. (2001), *Experimenting theory: the proofs of Kirchhoff's radiation law before and after Planck*, Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte
* Schwinger, J. (2001), Englert, B.-G. (уред.), *Quantum Mechanics: Symbolism of Atomic Measurements*, Springer, ISBN 3-540-41408-8
* Scully, M. O.; Zubairy, M.S. (1997), *Quantum Optics*, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43458-0
* Siegel, D.M. (1976), „Balfour Stewart and Gustav Robert Kirchhoff: two independent approaches to "Kirchhoff's radiation law"", *Isis*, **67**: 565–600, doi:10.1086/351669
* Siegel, R.; Howell, J. R. (2002), *Thermal Radiation Heat Transfer, Volume 1* (4. изд.), Taylor & Francis, ISBN 978-1-56032-839-1
* Sommerfeld, A. (1923), *Atomic Structure and Spectral Lines*, Brose, H. L. (transl.) (from 3rd German. изд.), Methuen Publishing
* Stehle, P. (1994), *Order, Chaos, Order. The Transition from Classical to Quantum Physics*, Oxford University Press, ISBN 0-19-507513-7
* Stewart, B. (1858), „An account of some experiments on radiant heat", *Transactions of the Royal Society of Edinburgh*, **22**: 1–20
* ter Haar, D. (1967), *The Old Quantum Theory*, Pergamon Press, LCCN 66-029628
* Thornton, S. T.; Rex, A. F. (2002), *Modern Physics*, Thomson Learning, ISBN 0-03-006049-4
* Tisza, L. (1966), *Generalized Thermodynamics*, MIT Press
* Tommasini, D.; Ferrando, F.; Michinel, H.; Seco, M. (2008), „Detecting photon-photon scattering in vacuum at exawatt lasers", *Physical Review A*, **77**: 042101, arXiv:quant-ph/0703076, Bibcode:2008PhRvA..77a2101M, doi:10.1103/PhysRevA.77.012101
* Tyndall, J. (1865a), „Über leuchtende und dunkle Strahlung", *Annalen der Physik und Chemie*, **200**: 36–53, Bibcode:1865AnP...200...36T, doi:10.1002/andp.18652000103
* Tyndall, J. (1865b), *Heat considered as a Mode of Motion* (PDF), D. Appleton & Company
* Wien, W. (1896), „Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers", *Annalen der Physik und Chemie*, **294**: 662–669, Bibcode:1896AnP...294..662W, doi:10.1002/andp.18962940803
* Wilson, A. H. (1957), *Thermodynamics and Statistical Mechanics*, Cambridge University Press

Надворешни врски
----------------

* Краток разглед на зрачењето (англиски)
* Зрачењето на едно црно тело — интерактивна симулација за Планковиот закон (англиски)
* Планков закон — Scienceworld (англиски)

Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.

|  |  |
| --- | --- |
|  | Статијата „**Планков закон**" е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии). |