Во математиката, **елементарен доказ** е математички доказ кој користи само основни техники. Поконкретно, терминот се користи во теоријата на броеви и се однесува на докази што не се користат кај комплексни анализи. Историски, некогаш се сметало дека одредени теореми, како теоремата на прости броеви, може да се докажат само со повикување на „повисоки" математички теореми или техники. Сепак, со текот на времето, многу од овие резултати, исто така, биле последователно повторно докажани со употреба само на основни техники.

Иако генерално нема консензус за тоа што се смета за основно, терминот е сепак заеднички дел од математичкиот жаргон. Основниот доказ не е нужно едноставен, во смисла да биде лесен за разбирање или тривијален. Всушност, некои основни докази можат да бидат доста комплицирани - и ова е особено точно кога станува збор за изјава од значајна важност.

Теорема на прости броеви
------------------------

Разликата помеѓу основните и неелементарните докази се сметала за особено важна во однос на теоремата на прости броеви. Оваа теорема за првпат била докажана во 1896 година од страна на Жак Адамар и Шарл Жан де ла Вале-Пусен користејќи комплексна анализа. Многу математичари тогаш се обиделе да ја докажат со елементарен доказ, но без успех.

Сепак, во 1948 година, Атле Селберг вовел нови методи што го натерале него и Пал Ердеш да најдат елементарен доказ за теоремата на прости броеви.

Можната формализација на поимот „елементарен" во врска со доказ за бројно-теоретски резултат е ограничувањето дека доказот може да се изврши во аритметиката на Пеано.[] Исто така, во таа смисла, овие докази се елементарни.[]
[  ]

Претпоставка на Фридман
-----------------------

Харви Фридман претпоставил: „Секоја теорема објавена во „*Анали на математика*" чија изјава вклучува само завршни математички предмети (т.е. она што логичарите го нарекуваат аритметичка изјава) може да се докаже со елементарна аритметика". Обликот на елементарната аритметика наведен во оваа претпоставка може да се формализира со мал сет на аксиоми што се однесуваат на целобројна аритметика и математичката индукција. На пример, според оваа претпоставка, последната теорема на Ферма треба да има елементарен доказ; Доказот на Вајлс за последната теорема на Ферма не е елементарен. Сепак, постојат и други едноставни изјави во аритметиката, како што е постоењето на повторувани експоненцијални функции што не можат да се докажат со оваа теорија.

Наводи
------

1. 1 2  „The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon". *Math Vault* (англиски). 2019-08-01. Посетено на 2019-10-19.
2. ↑  Diamond, Harold G. (1982), „Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers", *Bulletin of the American Mathematical Society*, **7** (3): 553–89, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15057-1, MR 0670132.
3. ↑  Zagier, Don. „Newman's Short Proof of the Prime Number Theorem" (PDF). *Mathematical Association of America*.
4. ↑  Goldfeld, Dorian M. (2003), *The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective* (PDF), стр. 3, Посетено на October 31, 2009
5. ↑  Avigad, Jeremy (2003), „Number theory and elementary arithmetic" (PDF), *Philosophia Mathematica*, **11** (3): 257, at 258, doi:10.1093/philmat/11.3.257.