**Бернулиева распределба** во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност {\displaystyle p} и вредноста 0 со веројатност {\displaystyle q=1-p}. Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не". Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех" (1) со веројатност *p* и „неуспех" (0) со веројатност *q*. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава" и „писмо", а *p* би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а *p* ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале {\displaystyle p\neq 1/2.}

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што *n* би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на **двоточкестата распределба**, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

Својства
--------

Ако {\displaystyle X} е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

{\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}
Веројатносната фунција {\displaystyle f} на оваа распределба низ можните исходи *k* е

{\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{ако }}k=1,\\q=1-p&{\text{ако }}k=0.\end{cases}}}
Ова може да се изрази и како

{\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}}
или како

{\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}.}
Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со {\displaystyle n=1.}

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на {\displaystyle p,} но за {\displaystyle p=1/2} двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за {\displaystyle 0\leq p\leq 1} сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на {\displaystyle p} според случаен примерок е примерочната средина.

Средина
-------

Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива {\displaystyle X} е

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=p}
Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива {\displaystyle X} со {\displaystyle \Pr(X=1)=p} и {\displaystyle \Pr(X=0)=q} имаме

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}

Веријанса
---------

Варијансата на Бернулиево распределен {\displaystyle X} е

{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}
Прво имаме

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]}
Од ова следи

{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}
Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на {\displaystyle [0,1/4]}.

Накосеност
----------

Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}. Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива {\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}} излегува дека оваа случајна променлива добива {\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}} со веројатност {\displaystyle p} и добива {\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}} со веројатност {\displaystyle q}. Така добиваме

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \_{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}

Виши моменти и кумуланти
------------------------

Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што {\displaystyle 1^{k}=1} и {\displaystyle 0^{k}=0}. 

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].}

  

Централниот момент со степен {\displaystyle k} се добива со

{\displaystyle \mu \_{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}
Првите шест централни моменти се

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \_{1}&=0,\\\mu \_{2}&=p(1-p),\\\mu \_{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu \_{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu \_{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu \_{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}
Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како {\displaystyle \mu \_{2}} и {\displaystyle \mu \_{3}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \_{4}&=\mu \_{2}(1-3\mu \_{2}),\\\mu \_{5}&=\mu \_{3}(1-2\mu \_{2}),\\\mu \_{6}&=\mu \_{2}(1-5\mu \_{2}(1-\mu \_{2})).\end{aligned}}}
Првите шест кумуланти се

{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa \_{1}&=p,\\\kappa \_{2}&=\mu \_{2},\\\kappa \_{3}&=\mu \_{3},\\\kappa \_{4}&=\mu \_{2}(1-6\mu \_{2}),\\\kappa \_{5}&=\mu \_{3}(1-12\mu \_{2}),\\\kappa \_{6}&=\mu \_{2}(1-30\mu \_{2}(1-4\mu \_{2})).\end{aligned}}}

Поврзани распределби
--------------------

* Ако {\displaystyle X\_{1},\dots ,X\_{n}} се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех *p*, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри *n* и *p*: 
{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}X\_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)} (биномна распределба).

Бернулиевата распределба едноставно е {\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}, и се запишува и како {\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}
* Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
* Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
* Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
* Ако {\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}, тогаш {\textstyle 2Y-1} има Радемахерова распределба.

Поврзано
--------

* Бернулиев опит
* Бернулиев процес

Наводи
------

1. ↑  James Victor Uspensky: *Introduction to Mathematical Probability*, McGraw-Hill, New York 1937, стр. 45
2. 1 2 3 4  Bertsekas, Dimitri P. (2002). *Introduction to Probability*. Tsitsiklis, John N. Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.
3. ↑  McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). *Generalized Linear Models, Second Edition*. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. Section 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5.

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Бернулиева распределба" на Ризницата ? |

* Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Биномна распределба", *Математичка енциклопедија*, Шпрингер, ISBN 978-1556080104.
* „Бернулиева распределба" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Интерактивна графика за односите на еднопроменливата распределба.