D е хармонично конјугирана на C во однос на A и B  
 A, D, B, C формираат хармонична четворка.  
 KLMN е целосен четириаголник кој ја генерира.
Во проективната геометрија, **хармонично конјугирана точка** или **хармоничен конјугат** на подредена тројка точки на реалната проективна права се дефинира со следнава конструкција:

За дадени три колинеарни точки A, B, C, нека L е точка која не е колинеарна со нив и нека некоја права низ C ги сече LA, LB во M, N соодветно. Ако AN и BM се сечат во K, а LK се сече со AB во D, тогаш D се нарекува **хармонично конјугирана точка** на C во однос на A, B 
Точката D не зависи од тоа која точка L првично се зема, ниту пак од правата повлечена низ C која се користи за да се најдат M и N. Овој факт произлегува од теоремата на Дезарг .

Во реалната проективна геометрија, хармоничната конјугација може да се дефинира и преку двоен однос како (*A*, *B*; *C*, *D*) = −1 .

Критериум за двоен однос
------------------------

Четирите точки понекогаш се нарекуваат хармонична четворка (на реалната проективна права) бидејќи, како што се докажува, D секогаш ја дели отсечката AB *внатрешно* во ист сооднос како што C ја дели AB *надворешно*. Тоа значи:

{\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}
Ако на овие отсечки им се даде обична метричка интерпретација на реалните броеви, тие ќе одговараат на реални броеви и ќе формираат двојна пропорција позната како двоен однос (понекогаш наречен **двоен сооднос**)

{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.}
кој за хармонична четворка има вредност − 1. Затоа пишуваме:

{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}
Вредноста на двојниот однос генерално не е единствена, бидејќи зависи од редоследот на избор на отсечките (и можни се шест такви избора). Но, специјално за хармоничните четворки постојат само три вредности на двојниот однос: {−1, 1/2, 2}, бидејќи − 1 е инверзна сама на себе па смената на последните две точки само ја враќа секоја од овие вредности, но не произведува нова вредност, и класично е познат како **хармоничен двоен однос**.

Изразен преку двоен однос, за дадени точки a и b на афина права, **односот на делење**  на точка x е:

{\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}
Забележете дека кога *a* < *x* < *b*, тогаш *t*(*x*) е негативен; инаку, *t*(*x*) е позитивен. Двојниот однос {\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}} е однос на односите на делење или двоен однос. Двојниот однос е -1 кога *t*(*c*) + *t*(*d*) = 0, а тогаш c и d се хармониски конјугирани во однос на a и b. Значи, критериумот за односот на поделба е тие да бидат адитивно инверзни .

Хармоничното делење на отсечка е посебен случај на Аполониевата дефиниција за кругот .

Во некои училишни студии конфигурацијата на хармонична четворка се нарекува *хармонска поделба* .

За средината
------------

 Средината и бесконечноста се хармониски конјугирани.
Кога x е средна точка на отсечката од a до b, тогаш

{\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}
Според критериумот за двоен однос, y ќе биде хармониски конјугирана на x кога *t*(*y*) = 1. Но, не постои конечно решение за y на правата преку a и b. Сепак,

{\displaystyle \lim \_{y\to \infty }t(y)=1,}
со што се мотивира вклучување на бесконечна точка на проективната права. Бесконечната точка служи како хармонично конјугирана на средната точка x.

Од комплетен четириаголник
--------------------------

Друг пристап кон хармонискиот конјугат е преку концептот на комплетен четириаголник како што е KLMN на горниот дијаграм. Врз основа на четири точки, комплетниот четириаголник има парови од спротивни страни и дијагонали. Во изразувањето на хармоничните конјугати од H. S. M. Coxeter, дијагоналите се сметаат за пар спротивни страни:

D да е хармониски конјугирана на C во однос на A и B значи дека постои четириаголник IJKL за кој едниот пар спротивни страни се сечат во A, вториот пар се сечат во B, а третиот пар спротивни страни ја сечат AB во C и D.
Карл фон Стаудт прв го употребил хармонискиот конјугат како основа за проективната геометрија независно од метричките размислувања:

.. . Стауд успеа да ја ослободи проективната геометрија од елементарната геометрија. Во неговата Geometrie der Lage, Стауд вовел хармонична четворка на елементи независно од концептот на двоен однос следејќи чисто проективна рута, користејќи комплетен четириаголник или четиристраник.
parallelogram with diagonals*P*1 = *A*, *P*2 = *S*, *P*3 = *B*, *P*4 = *Q*, *D* = *M*  
  
  
  
 (игнорирајте ја зелената точка М).
За да го видите целосниот четириаголник применет за добивање на средната точка, разгледајте го следниов пасус од Џ. В. Јанг:

Ако се повлечат две произволни прави AQ, AS низ A и правите BS, BQ низ B, паралелни со AQ, AS соодветно, правите AQ, SB се сечат, по дефиниција, во бесконечната точка R, додека AS, QB се сечат по дефиниција во бесконечната точка P. Комплетниот четириаголник PQRS тогаш има две дијагонални точки на A и B, додека преостанатиот пар на спротивни страни минуваат низ M и бесконечната точка на AB. Точката M е тогаш по конструкција хармоничен конјугат на бесконечната точка на AB во однос на A и B. Од друга страна, дека M е средната точка на отсечката AB следи од познатата пропозиција дека дијагоналите на паралелограм (PQRS) се преполовуваат една со друга.
### Кватернарни релации

Четири подредени точки на проективен опсег се нарекуваат **хармонични точки** кога има тетрастигма во рамнината таква што првата и третата се коточки, а другите две точки се на конекторите на третата коточка.

Ако p е точка која не е на правата со хармонични точки, спојувањата на p со точките се **хармонични прави**. Слично на тоа, ако оската на сноп од рамнини е закривена кон права со хармонични точки, рамнините на точките се **хармонични рамнини**.

Множеството од четири елемента во таква врска се нарекува **хармонична четворка** .

Проективни коники
-----------------

Коника во проективната рамнина е крива C која го има следново својство: Ако P е точка која не е на C, и ако променлива права низ P се сече со C во точките A и B, тогаш променливата хармонична конјугирана точка на P во однос на A и B формира права. Точката P се нарекува **пол** на таа права на хармонични конјугати, а оваа права се нарекува **поларна права** на P во однос на кониката. Видете ја статијата Пол и полара за повеќе детали.

### Инверзивна геометрија

Главна статија: Inversive geometry
Во случај кога кониката е кружница, на продолжените дијаметри на кружницата, хармоничните конјугати во однос на кружницата се инверзни во однос на кружницата. Овој факт произлегува од една од теоремите на Смогоржевски:

Ако кружниците k и q се меѓусебно ортогонални, тогаш правата која минува низ центарот на k и ја сече q, го прави тоа во точки кои се симетрични во однос на k.
Тоа значи дека, ако правата е продолжен дијаметар на k, тогаш пресеците со q се хармониски конјугирани.

Тетради на Галуа
----------------

Во геометријата на Галуа над полето на <a href="./Галоа\_геометрија" rel="mw:WikiLink" data-linkid="91" data-cx="{&amp;quot;adapted&amp;quot;:false,&amp;quot;sourceTitle&amp;quot;:{&amp;quot;title&amp;quot;:&amp;quot;Galois geometry&amp;quot;,&amp;quot;thumbnail&amp;quot;:{&amp;quot;source&amp;quot;:&amp;quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Fano\_plane.svg/80px-Fano\_plane.svg.png&amp;quot;,&amp;quot;width&amp;quot;:80,&amp;quot;height&amp;quot;:73},&amp;quot;pageprops&amp;quot;:{&amp;quot;wikibase\_item&amp;quot;:&amp;quot;Q1973616&amp;quot;},&amp;quot;pagelanguage&amp;quot;:&amp;quot;en&amp;quot;},&amp;quot;targetFrom&amp;quot;:&amp;quot;mt&amp;quot;}{{Мртва\_врска|date=July 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}" class="cx-link" id="mw\_Q" title="Галоа геометрија">Галуа</a> GF(*q*) правата има *q* + 1 точки, каде што ∞ = (1,0). На оваа права четири точки формираат хармонска тетрада кога две хармонично ги делат другите две. Условот

{\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ еквивалентно }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}
ги карактеризира хармоничните тетради. Вниманието на овие тетради го навело Jean Dieudonné до неговото разграничување на некои случајни изоморфизми на проективните линеарни групи PGL(2, *q*) за *q* = 5, 7, 9 .

Ако *q* = 2*n* и дадени се A и B, тогаш C е хармониски конјугирана на самата себе.

Итерирани проективни хармонични конјугати и златен однос
--------------------------------------------------------

Нека *P*0, *P*1, *P*2 се три различни точки на реалната проективна права. Разгледајте ја бесконечната низа од точки Pn, каде што Pn е хармониски конјугирана на *P**n*-3 во однос на *P**n*-1, *P**n*-2, за *n* > 2.Оваа низа е конвергентна.

За конечна граница P имаме

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {P\_{n+1}P}{P\_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}
каде {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})} е златниот однос, т.e. {\displaystyle P\_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P\_{n}P} за голем n. Граничната вредност кон бесконечност е

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {P\_{n+2}P\_{n+1}}{P\_{n+1}P\_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}
За доказ се зема проективниот изоморфизам:

{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
каде

{\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P\_{n}.}

Наводи
------

1. ↑  R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) *Axiomatic Projective Geometry*, University College Leicester (publisher). This text follows synthetic geometry. Harmonic construction on page 11
2. ↑  Dirk Struik (1953) *Lectures on Analytic and Projective Geometry*, page 7
3. ↑  H. S. M. Coxeter (1942) *Non-Euclidean Geometry*, page 29, University of Toronto Press
4. ↑  John Wesley Young (1930) *Projective Geometry*, page 85, Mathematical Association of America, Chicago: Open Court Publishing
5. 1 2  G. B. Halsted (1906) *Synthetic Projective Geometry*, pages 15 & 16
6. ↑  Luis Santaló (1966) *Geometría proyectiva*, page 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires
7. ↑  A.S. Smogorzhevsky (1982) *Lobachevskian Geometry*, Mir Publishers, Moscow
8. ↑  Emil Artin (1957) *Geometric Algebra*, page 82 via Internet Archive
9. ↑  F. Leitenberger (2016) Iterated harmonic divisions and the golden ratio, Forum Geometricorum 16: 429–430