Бесконечна низа на реални броеви (сино). Оваа низа не е ниту растечки ниту опаѓачки, ниту конвергентен, ниту Кошиева низа. Меѓутоа тој е ограничен.
Во математиката под поимот **низа** се подразбира секое пресликување кое за аргумент има природен број. Формалната дефиниција е зададена на следниов начин:

Низа од елементи на множеството {\displaystyle \ M} претставува пресликувањето:

{\displaystyle a:\mathbb {N} \rightarrow M} при кое {\displaystyle n\mapsto a(n)}, а тоа е множеството:
{\displaystyle \left(a(n)|n\in \mathbb {N} \right)}
Обично, наместо како на последниот начин, низата се запишува како: {\displaystyle \ (a\_{n})}.

Изразот: {\displaystyle a\_{n}} се вика општ член на низата.

Гранична вредност на низа
=========================

Од особен интерес е да се разгледа и проучи „однесувањето" на низата во бесконечност, т.е. да се утврди што се случува со членовите од низата кога индексот расте во бесконечност. За таа цел се воведува поимот **гранична вредност** или **лимес на низа**. Напомена: овој поим не треба да се меша со граничната вредност или лимес на функција!

Нека е дадена произволна низа {\displaystyle \ (x\_{n})}. За бројот {\displaystyle \ X\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}={\bar {\mathbb {R} }}} велиме дека е *лимес на низата* {\displaystyle \ (x\_{n})} ако за секој {\displaystyle \epsilon >0}, постои {\displaystyle \ n\_{0}\in \mathbb {N} } така што за секој природен број {\displaystyle \ n\geq n\_{0}} е исполнето:

{\displaystyle \ x\_{n}\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )}
или запишано поинаку:

{\displaystyle \left|x\_{n}-x\right|<\epsilon }
Ова значи дека, ако избереме било која околина на претпоставената гранична вредност, тогаш постои индекс - n0 така што сите членови на низата со индекс поголем или еднаков на него се припаѓаат во таа околина.

Ако постои број {\displaystyle \ x}, тогаш пишуваме:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=x}
Граничната вредност на низата нужно и не мора да постои, но доколку постои таа е единствена. Истовремено, допуштено е таа да биде и бесконечност.

* Низата со општ член {\displaystyle a\_{n}=(-1)^{n}} нема гранична вредност зашто има *множество вредности*: {\displaystyle \{-1,1,-1,1,...\}}
* Низата со општ член {\displaystyle b\_{n}=2^{n}} има гранична вредност бесконечност зашто: {\displaystyle \{2,4,8,16,32,64,128,...\}}

Ако низата има лимес кој е *конечен број*, тогаш велиме дека низата е **конвергентна** и дека **конвергира** кон овој конечен број.

Пример
======

Ќе покажеме дека важи:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{n+1}}=1}
Нека {\displaystyle \epsilon >0} е произволен и да претпоставиме дека бројот *еден* е лимес на низата. Треба да ја најдеме индекс {\displaystyle n\_{0}} (и да ја изразиме зависноста меѓу индексот и {\displaystyle \epsilon }) така што сите членови на низата после n0-от се наоѓаат во околината: {\displaystyle (1-\epsilon ,1+\epsilon )}. Во тој случај, по дефиниција, важи:

{\displaystyle \left|{\frac {n}{n+1}}-1\right|<\epsilon }
Од друга страна важи:

{\displaystyle \left|{\frac {n}{n+1}}-1\right|=\left|{\frac {n-n-1}{n+1}}\right|=\left|{\frac {-1}{n+1}}\right|={\frac {1}{n+1}}}
Оттаму следи:

{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}<\epsilon } т.е. {\displaystyle n>{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}}

Бидејќи може да се случи вака изразениот број *n* да не е природен (а мора да биде бидејќи е индекс!), го правиме следниов избор:

{\displaystyle n\_{0}=\left[{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}\right]+1}

односно го избираме целиот дел од изразот и му додаваме единица за да бидеме сигурни во изборот на индексот {\displaystyle n\_{0}}. Штом е воспоставена зависноста меѓу {\displaystyle \epsilon } и {\displaystyle n\_{0}}, тогаш сме покажеле дека бројот *еден* (за кој *претпоставуваме* дека е лимес на низата) е лимес на низата.

Својства и операција на низи
============================

Низи можат да се: собираат, одземаат, множат и делат. Овие операции се извршуваат на следниов начин: нека {\displaystyle (x\_{n})} и {\displaystyle (y\_{n})} се произволни низи така што за секој {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,y\_{n}\neq 0}

* **собирање:** низата {\displaystyle (z\_{n})} се вика збир на низите ако важи:

{\displaystyle z\_{n}=x\_{n}+y\_{n}}
* **одземање:** низата {\displaystyle (z\_{n})} се вика разлика на низите ако важи:

{\displaystyle z\_{n}=x\_{n}-y\_{n}}
* **множење:** низата {\displaystyle (z\_{n})} се вика производ на низите ако важи:

{\displaystyle z\_{n}=x\_{n}\*y\_{n}}
* **делење:** низата {\displaystyle (z\_{n})} се вика количник на низите ако важи:

{\displaystyle z\_{n}={\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}}
Доколку постојат лимесиве:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=a}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }y\_{n}=b}
и тие се конечни броеви и {\displaystyle b\neq 0}, тогаш важи:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(x\_{n}+y\_{n})=a+b}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(x\_{n}\cdot y\_{n})=a\cdot b}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}={\frac {a}{b}}}
Ако секој член на низата *е поголем или еднаков* на својот претходник, тогаш за низата велиме дека монотоно расте. Ако важи релацијата *е поголем*, тогаш велиме дека низата строго монотоно расте. Слично дефинираме и (строго) монотоно опаѓачка низа. Математички ова се изразува на следниот начин:

* Ако низата е монотона растечка:

{\displaystyle x\_{n}-x\_{n-1}\geq 0} или {\displaystyle {\frac {x\_{n}}{x\_{n-1}}}\geq 1}
* Ако низата е монотона опаѓачка:

{\displaystyle x\_{n}-x\_{n-1}\leq 0} или {\displaystyle {\frac {x\_{n}}{x\_{n-1}}}\leq 1}