**Алтернативен ред** е бесконечен ред во математиката од обликот:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a\_{n},}
каде што *an* ≥ 0 (или *an* ≤ 0) за сите *n*. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума".

Лајбницов критериум
-------------------

Главна статија: Лајбницов критериум
Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите *an* монотоно конвергираат до 0.

Доказ
Да претпоставиме дека низата {\displaystyle a\_{n}} конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако {\displaystyle m} е непарен број {\displaystyle m<n}, проценката {\displaystyle S\_{m}-S\_{n}<a\_{m}} може да се добие преку следнава пресметка:

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{m}-S\_{n}&=\sum \_{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a\_{k}\,-\,\sum \_{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a\_{k}\ =\sum \_{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a\_{k}\\&=a\_{m+1}-a\_{m+2}+a\_{m+3}-a\_{m+4}+\cdots +a\_{n}\\&=\displaystyle a\_{m+1}-(a\_{m+2}-a\_{m+3})-(a\_{m+4}-a\_{m+5})-\cdots -a\_{n}\leq a\_{m+1}\leq a\_{m}\end{aligned}}}
Бидејќи {\displaystyle a\_{n}} е монотоно опаѓачка низа, членовите {\displaystyle -(a\_{m}-a\_{m+1})} се негативни. На тој начин се добива последното неравенство {\displaystyle S\_{m}-S\_{n}\leq a\_{m}}. На сличен начин може да се докаже дека {\displaystyle -a\_{m}\leq S\_{m}-S\_{n}}. Бидејќи {\displaystyle a\_{m}} конвергира до {\displaystyle 0}, делумните суми {\displaystyle S\_{m}} сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај {\displaystyle m} да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција
-------------

### Апсолутна конвергенција

Редот {\displaystyle \sum a\_{n}} конвергира апсолутно ако редот {\displaystyle \sum |a\_{n}|} конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

* **Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.**

Доказ
Да претпоставиме дека редот {\displaystyle \sum a\_{n}} е апсолутно конвергентен. Тогаш, {\displaystyle \sum |a\_{n}|} е конвергентен и следува дека {\displaystyle \sum 2|a\_{n}|}, исто така, конвергира. Бидејќи {\displaystyle 0\leq a\_{n}+|a\_{n}|\leq 2|a\_{n}|}, редот {\displaystyle \sum (a\_{n}+|a\_{n}|)} конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот {\displaystyle \sum a\_{n}} конвергира како разлика од двата конвергентни реда, {\displaystyle \sum a\_{n}=\sum (a\_{n}+|a\_{n}|)-\sum |a\_{n}|}.

### Условна конвергенција

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!}
дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!}
конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери
-------

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+-\ldots =\ln 2}
во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots \to \infty .}
Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

{\displaystyle \sin(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+-\ldots }
{\displaystyle \cos(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+-\ldots .}

Поврзано
--------

* Ред (математика).