Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква {\displaystyle \aleph } (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број". Втората хебрејска буква {\displaystyle \beth } (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа {\displaystyle \aleph }.

Определба
---------

**Бет-броевите** се утврдуваат вака:

нека
{\displaystyle \beth \_{0}=\aleph \_{0}}
е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви {\displaystyle \mathbb {N} }. Со *P*(*A*) го означуваме партитивното множество на *A*, т.е. множеството на сите подмножества на *A*. Потоа задаваме

{\displaystyle \beth \_{\alpha +1}=2^{\beth \_{\alpha }},}
што е кардиналноста на партитивното множество на *A* ако {\displaystyle \beth \_{\alpha }} е кардиналноста на *A*.

Така зададено,

{\displaystyle \beth \_{0},\ \beth \_{1},\ \beth \_{2},\ \beth \_{3},\ \dots }
се кардиналностите на

{\displaystyle \mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .}
па вториот бет-број {\displaystyle \beth \_{1}} е еднаков на {\displaystyle {\mathfrak {c}}} (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број {\displaystyle \beth \_{2}} е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

{\displaystyle \beth \_{\lambda }=\sup\{\beth \_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}
Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија {\displaystyle V\_{\omega +\alpha }\!} има кардиналност {\displaystyle \beth \_{\alpha }\!}.

Поврзаност со алеф-броевите
---------------------------

Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу {\displaystyle \aleph \_{0}} и {\displaystyle \aleph \_{1}}, следи дека 

{\displaystyle \beth \_{1}\geq \aleph \_{1}.}
Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме 
{\displaystyle \beth \_{\alpha }\geq \aleph \_{\alpha }} 
за сите ординали {\displaystyle \alpha }.

Хипотезата за континуумот е еднаква на

{\displaystyle \beth \_{1}=\aleph \_{1}.}
Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е. 
{\displaystyle \beth \_{\alpha }=\aleph \_{\alpha }} 
за сите ординали {\displaystyle \alpha }.

Поединечни кардинали
--------------------

### Бет-нула

Бидејќи ова по дефиниција е {\displaystyle \aleph \_{0}} (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност {\displaystyle \beth \_{0}} се следниве:

* природните броеви **N**
* рационалните броеви **Q**
* алгебарските броеви
* пресметливите броеви и пресметливите множества
* множеството на конечни множества на цели броеви

### Бет-еден

Главна статија: Кардиналност на континуумот
Кардиналност {\displaystyle \beth \_{1}} имаат следниве множества:

* трансцендентните броеви
* ирационалните броеви
* реалните броеви **R**
* комплексните броеви **C**
* Евклидов простор **R***n*
* партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
* множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции **N** → **Z**, честопати означени како **Z****N**)
* множеството на низи од реални броеви, **R****N**
* множеството на сите непрекинати функции од **R** до **R**
* мноежството од конечни подмножества на реални бреови

### Бет-два

{\displaystyle \beth \_{2}} се нарекува и **2*c*** (изг. „на степен це").

Множества со кардиналност {\displaystyle \beth \_{2}} се:

* Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
* Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
* Множеството на сите функции од **R** до **R** (**R****R**)
* Множеството на сите функции од **R***m* до **R***n*
* Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
* Стоун-Чеховите компактификации на **R**, **Q** и **N**

### Бет-омега

{\displaystyle \beth \_{\omega }} (pronounced *beth omega*) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

Воопштување
-----------

Понекогаш се користи поопштиот симбол {\displaystyle \beth \_{\alpha }(\kappa )} за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

{\displaystyle \beth \_{0}(\kappa )=\kappa ,}
{\displaystyle \beth \_{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth \_{\alpha }(\kappa )},}
{\displaystyle \beth \_{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth \_{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}} ако λ е лимесен ординал.
Значи, {\displaystyle \beth \_{\alpha }=\beth \_{\alpha }(\aleph \_{0}).}

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

{\displaystyle \kappa \leq \beth \_{\alpha }(\mu ).}
Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

{\displaystyle \beth \_{\beta }(\beth \_{\alpha }(\kappa ))=\beth \_{\alpha +\beta }(\kappa ).}
Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

{\displaystyle \beth \_{\beta }(\kappa )=\beth \_{\beta }(\mu )}
важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

Поврзано
--------

* Алеф-број

Наводи
------

* T. E. Forster, *Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe*, Oxford University Press, 1995, стр. 5.