**Природниот логаритам**, порано познат како хиперболичен логаритам е логаритам со основа *е*, каде *е* е ирационален број, приближно еднаков на 2.718281828. понекогаш се нарекува и Неперов логаритам, иако вистинското значење на овој термин е малку поразлично.
Со едноставни зборови, природниот логаритам од бројот ***x*** е степенот до кој мора да се дигне ***e*** за да стане еднакво на ***x*** - на пример, природен логаритам од *e* е еднаков на 1, бидејќи *e*1 = *e*, додека природен логаритам од 1 е еднаков на 0, бидејќи *e*0 = 1. Природниот логаритам може да се дефинира како сите позтивни реални броеви *x* за површината под кривата *y* = 1/*t* од 1 до *x*, и може да биде дефиниран како комплексни броеви различни од нула како што е објаснето подолу. 

Графикот на функцијата на природниот логаритам. Функцијата бавно расте до пизитивна бесконечност, како што *x* се зголемува и се движи до негативна бесконечност, како што *x* се приближува до 0.
Функцијата на природниот логаритам може да се дефинира и како инверзна функција на експоненцијалната функција, што води до следниве идентитети:

{\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!}
{\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}
Со други зборови, логаритамската функција е биекција од множеството на позитивни реални броеви од множеството на сите реални броеви. Попрецизно, тоа е изоморфизам од групата на позитивни реални броеви за множење со групата на реални броеви за собирање. Претставен како функција, природниот логаритам е:

{\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}
Логаритмот има вредност за секоја вредност на основата, која е позитивен број, различен од 1 и не само *e*. Тој е корисен за решавање на равенки, чијашто непозната се јавува како експоненцијал.

Историја
--------

Првото споменување на природниот логаритам било од страна на Николас Меркатор во неговото дело *Логаритмотехниа* (*Logarithmotechnia*) издадено во 1668, иако учителот по математика Џон Спајдел составил табела на природниот логаритам уште во 1619. Тој бил порано познат како хиперболичен логаритам.

Спогодба за нотација
--------------------

Матемматичарите, статистичарите и некои инженери, главно користат или „log(*x*)" или „ln(*x*)" за да го обележат loge(*x*), т.е. природниот логаритам од *x* и пишуваат „log10(*x*)" ако логаритамот има основа 10 или *x* е определен.

Некои инженери, биолози и други запишуваат „ln(*x*)" (или во одредени случаи „loge(*x*)") кога мислат на природниот логаритам со *x* и „log(*x*)" за log10(*x*).

Во најупотребуваните програмски јазици, вклучувајќи ги и С, C++, MATLAB, Pascal, Fortran и BASIC, „log" или „LOG" се однеува на природниот логаритам.

На рачните дигитрони, природниот логаритам е означен со **ln**, каде **log** е логаритам со основа 10.

Во теориската информатика, информациската теорија и криптографијата, „log(*x*)" главно значи „log2(*x*)" (иако наместо ова често се запишува lg(*x*)).

Зошто се нарекува природен?
---------------------------

Во почетокот, како што нашиот систем е десетичен, така основата 10 изгледала „поприродна" отколку основата *e*. Но, математички бројот 10 не е особено значаен. Неговата примена како основа за мнопгу општествено бројчени-системи е како фактот за десетте прсти на човековите раце. Други култури ги основале своите системи на броење на изборот за 5, 12, 20 и 60.

Log*e* е „природен" логаритам, бидејќи автоматски и често се појавува во математиката. На пр. го разгледуваме проблемот на изводите од логаритамска функција:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{b}(x)={\frac {\log \_{b}(e)}{x}}={\frac {1}{\ln(b)x}}}
Ако основата *b* е еднаква на *e*, тогаш изводот е едноставно 1/*x*, и за *x* = 1 овој извод е 1. Друго значење, во кое основата *e* на логаритмот е најприродна е дека може да се одредеи многу полесно со едноставен интеграл или со Тејолоровиот ред и ова не важи за другите логаритми.

Други значења н оваа природност ја отфрлаат потребата од анализа. На пример, има борјни едноставни редови, кои го вклучуваат природниот логаритам. Всушност, Пјетро Менголи и Николас Меркатор го нарекле *logarithmus naturalis*, неколку децении пред Њутн и Лајбниц.

Дефиниции
---------

Ln(x) дефиниран со површината под кривата f(*x*) = 1/*x*.
Обично, ln(*a*) може да се дефинира со површината под графикот на 1/*x* од 1 до *a*, којшто е претставен со интегралот,

{\displaystyle \ln(a)=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}
Ова дефинира логаритам, бидејќи го задоволува основно својство на,логаритамот:

{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}
Ова може да биде прикажано со замената {\displaystyle t={\tfrac {x}{a}}}, по што следува:

{\displaystyle \ln(ab)=\int \_{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \_{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \_{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}
Бројот *e* може да се дефинира како единствен реален број *a*, за којштоln(*a*) = 1.

Алтернативно, ако експоненционалната функција е дефинирана прво со примена на бесконечни редови, природниот логаритам може да биде дефиниран како неговата инверзна функција, т.е. ln(*x*) е функција од типот {\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!}. Додека интервалот на експоненционалната функција на реални аргументи се сите позитивни броеви аи додека експоненционалната функција е растечка, ова е дефинирано за сите вредности на *x*.

Својства
--------

* {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\;}
* {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {for}}\quad h>-1\;}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,}

Изводи, Тејлоров ред
--------------------

Изводот од природниот логаритам е

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}
Тејлоровите полиноми за {\displaystyle \log \_{e}}(*1+x*) овозможуваат точни accurate приближни вредности во интервалот *-1 < x ≤ 1*. Се забележува дека за *x > 1*, Тејлоровите полиноми од повисок ред се ***полоши*** приближни вредности.
Ова води до Тејлоровиот ред за {\displaystyle \ln(1+x)} околу {\displaystyle 0}; познат и како Меркаторов ред

{\displaystyle \ln(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad }
{\displaystyle {\rm {unless}}\quad x=-1}
Десно е дадена слика на {\displaystyle \ln }{\displaystyle (1+x)} и некои од меговите Тејлорови полиноми околу{\displaystyle 0}. Овие приближни вредности конвергираат до функцијата само во интервалот *-1 < x ≤ 1*; надвор од овој интервал, Тејлоровите полиноми од повисок степен се ***полоши*** приближувања за функцијата.

Со замената *x*-1 за *x*, го добиваме алтернативниот облик ln(x). Имено

{\displaystyle \ln(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}}
{\displaystyle \ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots }
{\displaystyle {\rm {for}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {unless}}\quad x=0.}
Со примената на Ојлеровата трансформација на Меркаторовиот ред, се добива следново, што важи за сите вредности на x со апсолутна вредност поголема од 1:

{\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots }
Овој ред е сличен со Бејли-Борвејн-Плуфовата формула.

Исто така се забележува дека {\displaystyle x \over {x-1}} е инверзна функција самата на себе, па за да се добие природниот логаритам од некој број *y*, едноставно се заменува во {\displaystyle y \over {y-1}} за *x*.

Природниот логаритам во интегрирањето
-------------------------------------

Природниот логаритам овозможува еднсотавна интегрирање на функцијата во формата *g*(*x*) = *f* '(*x*)/*f*(*x*): неопределениот интерал од *g*(*x*) е даден со ln(|*f*(*x*)|). Ова е вака поради изводот од сложена функција и податокот дека:

{\displaystyle \ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.}
Со други збороив,

{\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}
и

{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}
Ова е пример во случајот кога *g*(*x*) = tg(*x*):

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx}
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}
Нека *f*(*x*) = cos(*x*) and *f'*(*x*)= - sin(*x*):

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C}
каде *C* е константа од интегрирање.

Природниот логаритам може да биде интегриран со примена на интегрирањето по делови:

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}

Бројчена вредност
-----------------

За да се пресмета бројчената вредност на природниот логаритам од број, Тејлоровиот ред може да се запише повторно како:

{\displaystyle \ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\ldots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|<1.\,\!}
За да се добие подобар степен на конвергентност, може да се примени следниот идентитет.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)} | {\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\ldots \right)} |
|  | {\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\ldots \right)\right)\right)\right)\right)} |

обезбедувајќи дека *y* = (*x*−1)/(*x*+1) и *x* > 0.
За ln(*x*) каде *x* > 1, поблиската вредност на *x* е до 1, најбрзиот степен на конвергентност. Идентитетите поврзани со логаритам може да влијаат во искористувањето на ова:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ln(123.456)\!} | {\displaystyle =\ln(1.23456\times 10^{2})\,\!} |
|  | {\displaystyle =\ln(1.23456)+\ln(10^{2})\,\!} |
|  | {\displaystyle =\ln(1.23456)+2\times \ln(10)\,\!} |
|  | {\displaystyle \approx \ln(1.23456)+2\times 2.3025851\,\!} |

Ваквите техники биле употребувани пред појавата на калкулаторите, со примена на бројчени таблици и вршејќи множења како овие горе.

### Најголема точност

За да се пресмета вредноста на природниот логаритам со точност од голем број на децимали, примената на Тејлоровиот ред не е ефикасна, бидејќи конвергентноста е бавна. Алтернатива е примената на Њутновиот метод за пресметување на експоненцијалната функција, чијшто ред ковергира многу побрзо.

Алтернатива за екстремно точна пресметка е формулата []

{\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2}
каде *M* е аритметичко-геометриска средина и

{\displaystyle s=x\,2^{m}>2^{p/2},}
со *m* избрано така шшто *p* точноста е постигната. (За најмногу резултати, вредноста на 256 m е доволна.) Всушност, ако се применува овој метод, Њутновата инверзија на природниот логаритам може да се користи за делотворно да се експоненцијалната функција. (Константите ln 2 и π може да се пресметаат до точност по желба со примена на некој од познатите конвергирачки редови.)

### Пресметковна сложеност

*Погледајте ја главната статија: Комплексност на математичките операции*   

Комплексноста од пресметувањето на природниот логаритам (со примена аритметичко-геометриската средина) iе O(*M*(*n*) ln *n*). Овде *n* е број на цифри со точност на која природниот логаритам се проценува и *M*(*n*) е комплексноста од множењето на два *n*-0цифрени броеви.

Комплексни логаритми
--------------------

Главна статија: Комплексен логаритам
Експоненционалната функција може да се пшротега до функција даена со комплексен број како *e**x* за секој комплексен број *x*; едноставна примена на бесконечните редови со комплексниот број *x*. Експоненцијалната функција може да биде сведена во облик на комплексен логаритам кој прикажува најмнопгу од својствата на редниот логаритам. Во ова има две тешкотии: ниту едно *x* нема *e**x* = 0; и дека *e*2*πi* = 1 = *e*0. Додека својствата на множење сѐ уште работат за комплексна експоненцијална функција, *e**z* = *e**z*+2*nπi*, за сите комплексни *z* и цели броеви *n*.

Така, логаритамот не може да се дефинира за цела комплексна рамнина и дури тогаш кога е со повеќе вредности, секој логаритам може да биде променет во „еквивалентен" логаритам со додавање на цел број омножен со 2*πi*. Комплексниот логаритам може да биде со една вредност на комплексната рамнина. На пример, ln *i* = 1/2 *πi* или 5/2 *πi* или −3/2 *πi*, итн.; и иако *i*4 = 1, 4 log *i* може да се дефинира како 2*πi* или 10*πi* или −6 *πi* итн.

Поврзано
--------

* Џон Непер - изумител на логаритмите
* Интегрален логаритам
* Николас Меркатор - прв го употребил терминот природен логаритам
* Полилогаритам
* Фон Манголтова функција
* Бројот *e*

Наводи
------

1. 1 2  Flashman, Martin. „Estimating Integrals using Polynomials". Архивирано од изворникот на 2012-02-11. Посетено на 2008-03-23.
2. ↑  J J O'Connor and E F Robertson (2001-09). „The number e". The MacTutor History of Mathematics archive. Посетено на 2009-02-02. Проверете ги датумските вредности во: `|date=` (help)
3. ↑  Cajori, Florian (1991). *A History of Mathematics, 5th ed*. AMS Bookstore. стр. 152. ISBN 0821821024.
4. ↑  Boyers, Carl (1968). *A History of Mathematics*. Wiley.
5. ↑  Harris, John (1987). „Australian Aboriginal and Islander mathematics" (PDF). *Australian Aboriginal Studies*. **2**: 29–37. Архивирано од изворникот (PDF) на 2007-08-31. Посетено на 2008-02-12. Укажано повеќе од еден `|accessdate=` и `|access-date=` (help)
6. ↑  Large, J.J. (1902). „The vigesimal system of enumeration". *Journal of the Polynesian Society*. **11**: 260–261.
7. ↑  Cajori, Florian (1922). „*Sexagesimal fractions among the Babylonians*". *American Mathematical Monthly*. **29**: 8–10. doi:10.2307/2972914.
8. ↑  Ballew, Pat. „Math Words, and Some Other Words, of Interest". Архивирано од изворникот на 2017-12-05. Посетено на 2007-09-16. Укажано повеќе од еден `|accessdate=` и `|access-date=` (help)
9. ↑  "Logarithmic Expansions" at Math2.org

Надворешни врски
----------------

* Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained