Триаголник со страни *a*, *b* и *c*.
Во геометријата, **Хероновата формула** служи за пресметување на плоштината {\displaystyle P} на триаголник за кој се познати должините на трите страни {\displaystyle a}, {\displaystyle b} и {\displaystyle c} и гласи 

{\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}

каде што {\displaystyle s} e полупериметар на триаголникот:

{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}

Забелешка: Полупериметарот ***{\displaystyle s}*** на триаголникот е поголем од секоја од страните {\displaystyle a}, {\displaystyle b} и {\displaystyle c} (ова следува од неравенството на триаголник). Значи, сите четири множитела под квaдратниот корен во Хероновата формула се позитивни.

**Пример:** Нека {\displaystyle \triangle ABC} е триаголник со страни {\displaystyle a=7}, {\displaystyle b=4} и {\displaystyle c=5}. 

 Полупериметарот на {\displaystyle \triangle ABC} е: 
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8},   
а плоштината му е:

{\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9,8\,.}
**Пример:** Нека {\displaystyle \triangle ABC} е триаголник со страни {\displaystyle a=3}, {\displaystyle b=4} и {\displaystyle c=5}. 

 Неговиот полупериметар е: {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(3+4+5)=6}, а плоштината му е: {\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {6\cdot (6-3)\cdot (6-4)\cdot (6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6}.   
Ова е правоаголен триаголник познат под името египетски. Во него страната *{\displaystyle b}* е и висина во однос на основата {\displaystyle a}. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник, следи

{\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}ah\_{a}={\tfrac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4=6}. 

Хероновата формула може да се напише и во кој било од следниве облици:

{\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}}

{\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}}

{\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}}

Тука и во доказите се користат формулите:

{\displaystyle s-a={\frac {1}{2}}(-a+b+c),\,\,s-b={\frac {1}{2}}(a-b+c),\,\,s-c={\frac {1}{2}}(a+b-c)}.

Историја
--------

Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика" (*Metrica*), која е напишана во 60 година н.е. Постои мислење дека формулата ја знаел и Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика" е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само да ја забележал, а да не ја открил оваа формула.

Формула која е еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:

{\displaystyle P={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}
била позната во древна Кина и е откриена независно од Грците. Може да се најде во делото „Девет книги за математичката вештина" објавена во 1247 година.

Доказ
-----

Во доказот на Херон, тој користел тетивни четириаголници..

Следи модерен доказ на формулата во кој се користи алгебра и тригонометрија и потполно е поинаков од оригиналниот доказ на Херон.

Нека {\displaystyle a}, {\displaystyle b} и {\displaystyle c} се страните на еден триаголник, а {\displaystyle \alpha \,}, {\displaystyle \beta \,} и {\displaystyle \gamma \,} се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти нив. Без губење на општоста, ќе ја сметаме страната *{\displaystyle a}* за основа на триаголникот. Според косинусната теорема:

{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}.
Оттаму се добива алгебарската равенка:

{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}.
Висината на триаголникот која одговара на основата {\displaystyle a} има должина {\displaystyle h\_{a}=b\sin \gamma }, па следува

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle P\,} | {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h\_{a}} |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b\sin \gamma } |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}} |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}} |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))((a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2})}}} |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}} |
|  | {\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}} |
|  | {\displaystyle ={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(-a+b+c))\cdot {\tfrac {1}{2}}(a-b+c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b-c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}}} |
|  | {\displaystyle ={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.} |

Во горните трансформации полиномите се разложуваат според формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

### Доказ со користење на Питагоровата теорема

Триаголник со висина *h* која на страната *c* прави отсечки со должини *d* и (*c*−*d*).
Почнуваме од формулата за плоштина 

{\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}ch\_{c}={\tfrac {1}{2}}ch} односно {\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}}.

каде страната {\displaystyle c} ја земаме како основа, а со {\displaystyle h} ја означуваме висината спуштена кон неа. Подножјето на висината ја дели страната {\displaystyle c} на два дела со должини {\displaystyle d} и {\displaystyle c-d}, како на цртежот десно.

Од Питагоровата теорема следува: {\displaystyle h^{2}+d^{2}=b^{2}} и {\displaystyle h^{2}+(c-d)^{2}=a^{2}}.

Заменувајќи го првиот израз од Питагоровата теорема во равенката {\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}}, следи: 

{\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}=c^{2}\cdot (b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2}}.

Значи, треба да се докаже дека: {\displaystyle (cb)^{2}-(cd)^{2}=4P^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Десната страна на последното равенство може да ја запишеме како:

{\displaystyle 4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}}

Следи:

{\displaystyle 4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb}

или

{\displaystyle (s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}=(cb)^{2}}.

Слично се добива и дека

{\displaystyle 4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd} или {\displaystyle (s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}=(cd)^{2}}

каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.

Бројчена стабилност
-------------------

Хероновата формула во зададениот облик е бројчено нестабилна за триаголници со многу мали агли. Постои стабилна алтернатива во која се именуваат страните, но така што: {\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}, а потоа плоштината се пресметува по формулата

{\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.}
Заградите се користат за да се спречи нумеричката нестабилност при пресметување на квадратен корен.

Обопштување
-----------

Хероновата формула е специјален случај на Брамагуптината формула за плоштина на тетивни четириаголници, а двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаја, Хероновата формула се добива ако должината на една страна од четириаголникот се земе дека е еднаква на нула.

Исто така, Хероновата формула е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во неа се става должината на помалата основа да е еднаква на нула.

Хероновата формула може да се изрази со помош на детерминантата

{\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}
од каде се гледа сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.

Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.

Наводи
------

1. ↑  Интерактивна страна за Херонова формула Архивирано на 28 октомври 2013 г. (македонски)
2. ↑  „Статија за Хероновата формула". WolframAlpha. (англиски) Последен пристап 29. 4. 2013
3. ↑  C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. стр.365 (англиски)
4. ↑  Дискусија за доказот на Хероновата формула (англиски) Последен пристап 06.08.2013
5. ↑  Предавање за грешки при пресметување плоштина на триаголници со еден многу остар агол, Последен пристап 06.08.2013
6. ↑  D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.

Поврзано
--------

* Периметар
* Плоштина
* Херонов триаголник
* Херон Александриски

Надворешни врски
----------------

* Интерактивна страна за Херонова формула Архивирано на 28 октомври 2013 г. (македонски)
* Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула Архивирано на 5 март 2016 г. (македонски)
* Херонова формула (англиски)
* Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема (англиски)
* Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула (англиски)
* Херонова формула и обопштување на Брамагупте Архивирано на 9 мај 2008 г. (англиски)