Поларата *q* на точка **Q** во однос на кружницата со радиус *r* и центар во точката **O.** Точката **P** е точката при инверзија на **Q** во однос на дадената кружница; поларата е правата низ **P** која е нормална на правата која ги содржи **O**, **P** и **Q.**
Во геометријата, **пол** и **полара** се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .

**Поларната реципрочност** во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.

Својства
--------

Полот и поларата имаат неколку корисни својства:

* Ако точката **P** лежи на правата *l*, тогаш полот **L** на правата *l* лежи на поларата *p* на точката **P.**
* Ако точката **P** се движи по права *l*, нејзината полара *p* се врти околу полот **L** од правата *l*.
* Ако може да се повлечат две тангентни прави од полот кон конусниот пресек, тогаш неговата полара поминува низ двете допирни точки.
* Ако точка лежи на конусниот пресек, нејзината полара е тангентата на конусниот пресек која минува низ оваа точка.
* Ако точката **P** лежи на сопствената полара, тогаш **P** е на конусниот пресек.
* Секоја права има, во однос на недегенериран конусен пресек, точно еден пол.

Специјален случај за кружници
-----------------------------

Полот на правата *L* во кружницата *C* е точка **Q** која е инверзна во однос на *C* на точката **P** која лежи на *L* и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, **поларата** (или **поларната** **права**) на точката **Q** во кружницата *C* е правата *L* таква што нејзината најблиска точка **P** до центарот на кружницата е инверзијата на **Q** во *C*.

 Ако точката **A** лежи на поларната права *q* на друга точка **Q**, тогаш **Q** лежи на поларната права *a* на **A.** Поопшто, поларите на сите точки на правата *q* мора да минуваат низ неговиот пол **Q.**
Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката **A** лежи на поларата *q* на точката **Q**, тогаш точката **Q** мора да лежи на поларата *a* на точката **A.** Двете поларни прави *a* и *q* не мора да бидат паралелни.

Постои уште еден опис на поларата на точка **P** во случај таа да лежи надвор од кружницата *C.* Во овој случај, има две прави низ **P** кои се тангенти на кружницата, а поларата на **P** е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата *C.*

Поларна реципрочност
--------------------

 Илустрација на дуалноста помеѓу точките и правите и дуалното значење на „инциденцата". Ако две прави *a* и *k* минуваат низ една точка **Q**, тогаш поларата *q* на **Q** ги поврзува половите **A** и **K** на правите *a* и *k*, соодветно.
Концептите *пол и негова полара* биле унапредени во проективната геометрија. На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како **поларност**.

За некоја точка *P* и нејзината полара *p*, која било друга точка *Q* на *p* е пол на правата *q* која минува низ *P.* Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.

Општи конусни пресеци
---------------------

 Правата *p* е полара на точката **P**, *l* на **L** и *m* на **M**
 *p* е полара на точката **P**; *m* е поларата на **М**
Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .

### Пресметување на поларата на точка

Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (*x*, *y*) на рамнината



A

x
x

x

2

+
2

A

x
y

x
y
+

A

y
y

y

2

+
2

B

x

x
+
2

B

y

y
+
C
=
0

{\displaystyle A\_{xx}x^{2}+2A\_{xy}xy+A\_{yy}y^{2}+2B\_{x}x+2B\_{y}y+C=0}

{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}каде *A* *xx*, *A* *xy*, *A* *yy*, *B* *x*, *B* *y* и *C* се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка (*ξ*, *η*) е дефинирана со равенката


D
x
+
E
y
+
F
=
0

{\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}

{\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}каде што *D*, *E* и *F* се исто така константи кои зависат од координатите на полот (*ξ*, *η*)



D

=

A

x
x

ξ
+

A

x
y

η
+

B

x



E

=

A

x
y

ξ
+

A

y
y

η
+

B

y



F

=

B

x

ξ
+

B

y

η
+
C



{\displaystyle {\begin{aligned}D&=A\_{xx}\xi +A\_{xy}\eta +B\_{x}\\E&=A\_{xy}\xi +A\_{yy}\eta +B\_{y}\\F&=B\_{x}\xi +B\_{y}\eta +C\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}
### Пресметување на пол на права

Полот на правата {\displaystyle Dx+Ey+F=0}, во однос на недегенерираниот конусен пресек



A

x
x

x

2

+
2

A

x
y

x
y
+

A

y
y

y

2

+
2

B

x

x
+
2

B

y

y
+
C
=
0

{\displaystyle A\_{xx}x^{2}+2A\_{xy}xy+A\_{yy}y^{2}+2B\_{x}x+2B\_{y}y+C=0}

{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}може да се пресмета во два чекора.

Прво, се пресметуваат броевите x, y и z од


[

x

y

z

]

=

[

A

x
x


A

x
y


B

x


A

x
y


A

y
y


B

y


B

x


B

y

C

]

−
1

[

D

E

F

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\_{xx}&A\_{xy}&B\_{x}\\A\_{xy}&A\_{yy}&B\_{y}\\B\_{x}&B\_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}Полот е точката со координати {\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}

### Табели за пол-поларни односи

* Релација пол-полара за елипса
* Релација пол-полара за хипербола
* Релација пол-полара за парабола

| коник | равенка | полара на точката {\displaystyle P=(x\_{0},y\_{0})} |
| --- | --- | --- |
| кружница | {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} | {\displaystyle x\_{0}x+y\_{0}y=r^{2}} |
| елипса | {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1} | {\displaystyle {\frac {x\_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y\_{0}y}{b^{2}}}=1} |
| хипербола | {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1} | {\displaystyle {\frac {x\_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y\_{0}y}{b^{2}}}=1} |
| парабола | {\displaystyle y=ax^{2}} | {\displaystyle y+y\_{0}=2ax\_{0}x} |

| коник | равенка | пол на правата *u x* + *v y* = *w* |
| --- | --- | --- |
| кружница | {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} | {\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)} |
| елипса | {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1} | {\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)} |
| хипербола | {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1} | {\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)} |
| парабола | {\displaystyle y=ax^{2}} | {\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)} |

### Преку комплетен четириаголник

За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три диагонални точки. За дадена точка *Z* која не е на коникот *C*, нацртајте две секанти низ *Z* кои го сечат *C* во точките *A*, *B*, *D* и *E*. Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со *Z* како една од диагоналните точки. Правата која ги спојува другите две диагонални точки е поларата на *Z*, а *Z* е полот на оваа права.

Апликации
---------

Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј. 

Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција.  Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .

Исто така види
--------------

* Дуален полигон
* Дуален полиедар
* Поларна крива
* Проективна геометрија
* Проективни хармонични конјугати

Библиографија
-------------

* Johnson RA (1960). *Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle*. New York: Dover Publications. стр. 100–105.
* Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). *Geometry Revisited*. Washington: MAA. стр. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
* Gray J J (2007). *Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century*. London: Springer Verlag. стр. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
* Korn GA, Korn TM (1961). *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*. New York: McGraw-Hill. стр. 43–45. LCCN 59014456. Книжна верзија е издадена од Dover Publications со ISBN 978-0-486-41147-7.
* Wells D (1991). *The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry*. New York: Penguin Books. стр. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

Референци
---------

1. ↑  Edwards, Lawrence; *Projective Geometry*, 2nd Edn, Floris (2003). стp. 125-6.
2. ↑  G. B. Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry, page 25 via Internet Archive
3. ↑  „Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF). Архивирано од изворникот (PDF) на 2008-04-15. Посетено на 2013-06-04.
4. ↑  John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108 Архивирано на 19 јули 2011 г.

Надворешни врски
----------------

* Интерактивна анимација со повеќе полови и полари на Cut-the-Knot
* Интерактивна анимација со еден пол и неговата полара
* Интерактивна 3D со обоени повеќекратни полови/полари - отворен код
* „Polar" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Reciprocation" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Inversion pole" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Reciprocal curve" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)