Во математиката, концепт, или поточно, својство кое ги опишува функциите и нивното однесување во точка или околина. Тесно поврзан со поимот на непрекинатост е поимот гранична вредност на функција (лимес).

Структурно, концептот на непрекинатост на функција претставува своевиден вовед во ε-δ (***ипсилон-делта***) излагањето на математичката анализа, практика која понатаму се обопштува на широка палета поими.

Изучувањето на непрекинатоста и непрекинатите пресликувања е од клучно значење за природните и техиничките науки зашто процесите во природата се одвиваат непрекнато.

Дефиниција
----------

Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар Огистен Луј Коши. Неговата дефиниција е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:

Нека е даден интервал {\displaystyle \ [a,b]} и функција {\displaystyle \ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } определена (дефинирана) на него. Да избереме точка {\displaystyle \ u\in [a,b]}. Тогаш:

Фунцијата {\displaystyle \ f} е непрекината во точката {\displaystyle \ u\in [a,b]} ако {\displaystyle \forall \epsilon >0,\,\,\ } {\displaystyle \exists \delta >0} така што за секој {\displaystyle \ x\in [a,b]} за кој важи:

  

{\displaystyle \left|x-u\right|<\delta } важи и {\displaystyle \left|f(x)-f(u)\right|<\epsilon }

  

Со строга математичка нотација:

  

{\displaystyle \ f} е непрекината во {\displaystyle \ u\in [a,b]} ако {\displaystyle \left(\forall \epsilon >0\right),\left(\exists \delta >0\right)} така што   
 {\displaystyle \ \left|x-u\right|\Rightarrow \left|f(x)-f(u)\right|<\epsilon }

  

Визуелизација на концептот на непрекинатостВизуелизација на концептот на непрекинатост
Практично, тоа е следново: имаме интервал - {\displaystyle \ [a,b]}, функција дефинирана на тој интервал - {\displaystyle \ f} и произволна точка од тој интервал - {\displaystyle \ u\in [a,b]}. Фунцијата {\displaystyle \ f} ќе биде непрекината во избраната точка ако: за секоја позитивна вредност - {\displaystyle \epsilon >0}, постои друга позитивна вредност {\displaystyle \delta >0,\delta =\delta (\epsilon )} - зависна од првата таква што сликата на интервалот {\displaystyle \ (u-\delta ,u+\delta )} е подмножество од интервалот {\displaystyle \ (f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon )}, т.е.

{\displaystyle f\left((u-\delta ,u+\delta )\right)\subseteq \left(f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon \right)}
Ако функција **не е непрекината** во точка, тогаш велиме дека функцијата **има прекин** во таа точка.

Алтернативна дефиниција на непрекинатоста, со помош на лимеси, дал Хајне: функцијата {\displaystyle \ f} е непрекината во точката {\displaystyle \ x\_{0}} ако за секоја низа {\displaystyle (x\_{n})} од {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=x\_{0}} следи:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f(x\_{n})=f(x\_{0})}
Оваа дефиниција е далеку попрактична од Кошиевата, но сепак зависи од дефиницијата и својствата на друг поим: низа реални броеви.

Примери
-------

Ќе се послужиме со дефиницијата на непрекинатост за да испитаме непрекинатост на функција во точка.

* **Пример 1:** да се испита непрекинатоста на функцијата {\displaystyle \ f(x)={\sqrt {x}}}

За функцијата да е непрекината во точката {\displaystyle \ u} мора за секој {\displaystyle \epsilon >0} да постои вредност {\displaystyle \delta >0}, која зависи од изборот на {\displaystyle \epsilon } и точката {\displaystyle \ u}, таква што за секој {\displaystyle \ x\in (u-\delta ,u+\delta )\Leftrightarrow |x-u|<\delta } истовремено важи {\displaystyle \ f(x)\in (f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon )\Leftrightarrow |f(x)-f(u)|<\epsilon }.

Нека {\displaystyle \epsilon >0} го избереме произволно и нека за некое {\displaystyle \delta >0} (чија зависност од {\displaystyle \epsilon } и {\displaystyle \ u} треба да ја определиме!!!) е исполнето:

{\displaystyle \ |x-u|<\delta }
Тогаш следи:

{\displaystyle \ |f(x)-f(u)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {u}}|=\left|{\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {u}}}{1}}\cdot {\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}}\right|=}
{\displaystyle \left|{\frac {x-u}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}}\right|={\frac {|x-u|}{|{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}|}}\leq {\frac {|x-u|}{\sqrt {u}}}<{\frac {\delta }{\sqrt {u}}}}
Ако сега, бидејќи {\displaystyle \epsilon } е произволен, вредноста на {\displaystyle \delta } ја определиме како: {\displaystyle \delta =\epsilon {\sqrt {u}}} тогаш важи:

{\displaystyle \ |x-u|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(u)|<{\frac {\delta }{\sqrt {u}}}={\frac {\epsilon {\sqrt {u}}}{\sqrt {u}}}=\epsilon }
од каде следи дека функцијата {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} е непрекината во сите точки во кои е дефинирана, освен, можеби, во нулата.

* **Пример 2:** да се испита непрекинатост на функцијата на Дирихле која е зададена како:

{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\-1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
Ќе разгледаме два случаја. Од математичката логика го имаме следново:

За функција да **не е** непрекината во точка {\displaystyle \ u} треба **да постои** {\displaystyle \epsilon >0} таков што **за секој** {\displaystyle \delta >0} за кој важи {\displaystyle \ |x-u|<\delta }, важи и {\displaystyle \ |D(x)-D(u)|\geq \epsilon }

**Прв случај:** нека {\displaystyle \ u\in \mathbb {Q} }, нека избереме {\displaystyle \epsilon =1} и нека {\displaystyle \delta >0} e произволно. Тогаш постои ирационална точка {\displaystyle x\in (u-\delta ,u+\delta )} т.е. ирационален број {\displaystyle \ x} за кој е исполнето {\displaystyle \ |x-u|<\delta }. Но тогаш следи:

{\displaystyle \ |D(x)-D(u)|=|1-(-1)|=2>\epsilon }
што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки

**Втор случај:** постапката е слична како претходната: нека {\displaystyle \ u\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }, нека избереме {\displaystyle \epsilon =1} и нека {\displaystyle \delta >0} e произволно. Тогаш постои рационална точка {\displaystyle x\in (u-\delta ,u+\delta )} т.е. рационален број {\displaystyle \ x} за кој е исполнето {\displaystyle \ |x-u|<\delta }. Но тогаш следи:

{\displaystyle \ |D(x)-D(u)|=|-1-1|=2>\epsilon }
што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) и во сите ирационални точки. 
Тогаш можеме да заклучиме дека **функцијата на Дирихле има прекин во сите точки од својата дефинициона област.**

Рамномерна непрекинатост
------------------------

Главна статија: Рамномерна непрекинатост
Во математичката анализа се јавува уште еден поим: *рамномерна непрекинатост на функција*. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.

Нека {\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} } е реална функција определена на интервалот {\displaystyle \ [a,b]}. За функцијата {\displaystyle \ f} се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} ако: за секој {\displaystyle \epsilon >0}, постои {\displaystyle \delta >0} така што за сите точки {\displaystyle x^{\prime },x^{\prime \prime }} за кои важи {\displaystyle \ |x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta } важи и {\displaystyle \ |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon }.

Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:

* непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
* при разгледување на непрекинатост, изборот на величината {\displaystyle \delta } зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот {\displaystyle \epsilon }. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова {\displaystyle \delta } треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од {\displaystyle \epsilon }, односно да е фиксно за сите можни избори на точките {\displaystyle x^{\prime },x^{\prime \prime }};

Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:

* Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
* Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.

Пример
------

* Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата {\displaystyle \ f(x)=x^{2}} на симетричен интервал {\displaystyle (-M,M)}

Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека {\displaystyle \epsilon >0} е произволен и нека {\displaystyle \delta >0} величина чија зависност од {\displaystyle \epsilon } треба да ја утврдиме. Нека за точките {\displaystyle \ x,y\in (-M,M)} важи: {\displaystyle \ |x-y|<\delta }. Тогаш:

{\displaystyle \ |f(x)-f(y)|=|x^{2}-y^{2}|=|(x-y)(x+y)|=|x-y||x+y|<\delta |M+M|=2M\delta }
Ако сега за {\displaystyle \delta } избереме вредност: {\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{2M}}}, тогаш важи: {\displaystyle \ |f(x)-f(y)|<\epsilon }

што значи дека функцијата {\displaystyle \ f(x)=x^{2}} е рамномерно непрекината на интервалот {\displaystyle \ (-M,M)}.

Забелешка: величината {\displaystyle \delta } зависи само од изборот на {\displaystyle \epsilon } и (полу)должината на интервалот - {\displaystyle \ M}.

Својства на непрекинатите функции
---------------------------------

* Непрекината функција на затворен интервал е рамномерно непрекината на тој интервал;
* Непрекината функција на затворен интервал е ограничена на тој интервал;
* Збир, разлика, производ, количник и состав (композиција) од непрекинати функции, доколку постојат, се исто така непрекинати функции;
* Слика на (затворен) интервал при непрекинато пресликување е исто така (затворен) интервал;
* Слика на затворена крива при непрекинато пресликување е затворена крива

Поврзано
--------

* Гранична вредност на функција

  

Ова е избрана статија. Стиснете тука за повеќе информации.

|  |  |
| --- | --- |
|  | Статијата „**Непрекинатост на функција**" е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии). |