**Тригонометриска функција** — функција на агол. Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.

Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.

Инверзните тригонометриски функции се викаат *циклометриски* функции и *аркус-функции*, т.е. *функција-1*.

Дефиниции
---------

Сл.1. Тригонометриски триаголник
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник, слика десно.

{\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .}
*Позитивен* математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.

Тригонометриска кружница
------------------------

На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток, т.е. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,} која се вика *тригонометриска кружница*.

Сл.2. Тригонометриска кружница
Дефиниција 1
Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките

**(а)** {\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,} синус и косинус се реални броеви;
**(б)** {\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},} тангенс и котангенс;
**(в)** {\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},} секанс и косеканс.
**(г)** {\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,} косинус версус и синус версус.
Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.

Теорема 1
**(а)** {\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,} косинус и синус;
**(б)** {\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,} тангенс и котангенс;
**(в)** {\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,} секанс и косеканс.
ДоказТочката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D.
**(а)** Следи непосредно заради полупречникот r = 1.
**(б)** Да ги воочиме сличните триаголници {\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,} од каде {\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},} т.е. {\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;} да ги воочиме сличните триаголници {\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,} одатле {\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},} т.е. {\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}
**(в)** Од истите слични триаголници (б) добиваме {\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},} т.е. {\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;} потоа {\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},} т.е. {\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .}
Крај на доказот.

Посебни агли
------------

Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.

### Предзнак

На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:

*Тригонометриските функции по квадранти*| Квадрант | 1. (0°-90°) | 2. (90°-180°) | 3. (180°-270°) | 4. (270°-360°) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| синус | + | + | - | - |
| косинус | + | - | - | + |
| тангенс | + | - | + | - |

### Сведување на првиот квадрант

Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за *сведување на вредностите* на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:

{\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}
{\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}
{\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}
Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:

{\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .}
Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}

Така периодот на функцијата е {\displaystyle \sin {2\alpha }} еднаков {\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}, односно {\displaystyle \pi }.

Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \beta \,} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha } | {\displaystyle \pi +\alpha \,} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha } | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha } | {\displaystyle \pi -\alpha \,} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha } | {\displaystyle 2\,\pi -\alpha } |
| {\displaystyle \sin \beta \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} |
| {\displaystyle \cos \beta \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } |

Во општ случај тоа може да се запише вака:

{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
Притоа *f* — е произволна тригонометриска функција, *g* — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а *n* — цел број.

Вредности на тригонометриските функции
--------------------------------------

Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:

*Најчести вредности на тригонометриските функции*| {\displaystyle \phi \,} | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \phi \,} | 0 | {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | 1 |
| {\displaystyle \cos \phi \,} | 1 | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | 0 |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \phi } | 0 | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} | 1 | {\displaystyle {\sqrt {3}}} | {\displaystyle \pm \infty } |

Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните" агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример {\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},} и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.

Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \alpha \,} | {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }} |
| {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} |
| {\displaystyle \cos \alpha \,} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} | {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}} | {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}} | {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}} |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} | {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}} | {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}} | {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}} | {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} |

Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2*π* односно прави 360°. Лак со должина *π* одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина *x* радијани одговара на агол од 360*x*/2*π* степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: *partes minutae primae* и *partes minutae secundae*, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.

Редови
------

Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции.

Имајќи ги предвид равенките {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},} {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:

{\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B\_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
{\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B\_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
{\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {E\_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
{\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B\_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}

Графикони
---------

Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:

Графикони на тригонометриски функции: синусо, косинусо, тангенсо, секансо, косекансо, котангенсо

Парност
-------

Косинус и секанс се парни функции, додека останатите четири се непарни функции:

{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
{\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}

Гранична вредност
-----------------

Тетивата е пократка од лакот На сликата лево се гледа тетивата {\displaystyle {\overline {ADB}}} која сигурно е пократка од лакот {\displaystyle {\widehat {ACB}}.} Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата {\displaystyle {\overline {AD}}} е пократка од полулакот {\displaystyle {\widehat {AC}}.} Триаголникот ODA, со остар агол {\displaystyle alpha} е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува {\displaystyle \cos \phi }, катетата DA изнесува {\displaystyle \sin \alpha }, хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и {\displaystyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},} тогаш

Теорема 1{\displaystyle \lim \_{\alpha \to 0}\sin \alpha =0,\;\lim \_{\alpha \to 0}\cos \alpha =1.}
**Доказ**: Следи од {\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi } и {\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .} Крај.

Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс: {\displaystyle \lim \_{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim \_{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .} Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.

Тригонометриски кругТригонометриски круг
Теорема 2{\displaystyle \lim \_{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
ДоказНа сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука {\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.} Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен) {\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},} ќе добиеме {\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},} а оттука {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.} Со {\displaystyle x\to 0} вреди {\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,} па е {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.} Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.

Извод
-----

Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност: {\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}

Теорема 3**(а)** {\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}
**(б)** {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}
**(в)** {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}
**(г)** {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}
Доказ**(а)** {\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},} па 
{\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,} када {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} (теорема 2).
**(б)** Заради {\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),} биће {\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}
**(в)** Извод на количник {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}
{\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}
**(г)** Извод на количник {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}
{\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.} Крај на доказот 3.

Интеграли на тригонометриски функции
------------------------------------

Главна статија: Список на интеграли на тригонометриски функции
Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \ \ \ \ f(x)} | {\displaystyle \ \ \ \ f'(x)} | {\displaystyle \int f(x)\,dx} |
| {\displaystyle \,\ \sin x} | {\displaystyle \,\ \cos x} | {\displaystyle \,\ -\cos x+C} |
| {\displaystyle \,\ \cos x} | {\displaystyle \,\ -\sin x} | {\displaystyle \,\ \sin x+C} |
| {\displaystyle \,\ \tan x} | {\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x} | {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} |
| {\displaystyle \,\ \cot x} | {\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)} | {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} |
| {\displaystyle \,\ \sec x} | {\displaystyle \,\ \sec x\tan x} | {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} |
| {\displaystyle \,\ \csc x} | {\displaystyle \,\ -\csc x\cot x} | {\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C} |

Други особини
-------------

Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.

Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за *двојни агли*, потоа *половини агли*, како и претставување на *збир и разлика* на тригонометриски функции со *помош на производ* и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.

Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.

Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки
---------------------------------------------------------------

Тригонометриските функции **косинус** и **синус** може да се претстават како решенија на диференцијални равенки:

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}
со почетним условом {\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}.

{\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}
{\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}

Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки
-------------------------------------------------------------

Функциите **косинус** и **синус** може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}

Инверзни тригонометриски функции
--------------------------------

Главна статија: Инверзни тригонометриски функции
*Инверзни тригонометриски функции* се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Претставката *аркус* потекнува од латинскиот збор *arcus* - лак, агол. Се нарекуваат и *циклометриски* функции.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ако}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{за}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ако}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ако}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ако}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{за}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ако}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{за}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ако}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}}

Примена во физиката
-------------------

Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.

Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.

Поврзано
--------

* Тригонометриски равенки
* Рамнинска тригонометрија
* Функција
* Список на интеграли на тригонометриски функции
* Инверзни тригонометриски функции

|  |
| --- |
| **Тригонометриски и хиперболични функции** |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Синус | Косинус | Тангенс | Котангенс | Секанс | Косеканс |
| Функција | sin(x) | cos(x) | tg(x) | ctg(x) | sec(x) | cosec(x) |
| Инверзна | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) | arcctg(x) | arcsec(x) | arccosec(x) |
| Хиперболична | sinh(x) | cosh(x) | tgh(x) | ctgh(x) | sech(x) | cosech(x) |
| Инв. хиперболична | arcsinh(x) | arccosh(x) | arctgh(x) | arcctgh(x) | arcsech(x) | arccosech(x) |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85137518
* GND: 4186137-1
* BNF: cb12168469v (податоци)
* NDL: 00570156
* NKC: ph923034

 |

 |