Осамен бран во лабораториски канал за бранови
Во математиката и физиката, **солитон** или **осамен бран** е самозајакнувачки бранов пакет кој ја одржува својата форма додека се шири со постојана брзина. Солитоните се предизвикани од откажување на нелинеарни и дисперзивни ефекти во медиумот. (Дисперзивните ефекти се својство на одредени системи каде брзината на бранот зависи од неговата честота.) Солитоните се решенија на широко распространета класа на слабо нелинеарни дисперзивни парцијални диференцијални равенки кои ги опишуваат физичките системи.

Феноменот солитон првпат бил опишан во 1834 година од Џон Скот Расел (1808–1882) кој забележал осамен бран во каналот Унион во Шкотска. Тој го репродуцирал феноменот во резервоар за бранови и го нарекол „Бран на преводот".

Дефиниција
----------

Тешко е да се најде единствена, консензусна дефиниција за солитон. Drazin & Johnson (1989, стр. 15) harvtxt error: no target: CITEREFDrazinJohnson1989 (help) им припишува три својства на солитоните:

1. Тие се во постојана форма;
2. Тие се локализирани во рамките на еден регион;
3. Тие можат да комуницираат со други солитони и да излезат од судирот непроменети, освен за фазно поместување.

Постојат повеќе формални дефиниции, но тие бараат суштинска математика. Згора на тоа, некои научници го користат терминот *солитон* за феномени кои ги немаат овие три својства (на пример, „светлосните куршуми" на нелинеарната оптика често се нарекуваат солитони и покрај тоа што губат енергија за време на интеракцијата).

Објаснување
-----------

 Хиперболичен секанс (sech) плик-солитон за водени бранови: На сината линија е носечкиот сигнал, додека црвената линија е пликот-солитон.
Дисперзијата и нелинеарноста можат да комуницираат за да создадат постојани и локализирани бранови форми. Размислете за пулсот на светлина што патува во стакло. Овој пулс може да се смета дека се состои од светлина од неколку различни честоти. Бидејќи стаклото покажува дисперзија, овие различни честоти се движат со различни брзини и затоа обликот на пулсот се менува со текот на времето. Сепак, се јавува и нелинеарниот Кер ефект; показателот на прекршување на материјалот на дадена честота зависи од амплитудата или јачината на светлината. Ако пулсот ја има вистинската форма, Кер ефектот точно го поништува ефектот на дисперзија и формата на пулсот не се менува со текот на времето. Така, пулсот е солитон. Видете солитон (оптика) за подетален опис.

Многу точно решливи модели имаат солитонски решенија, вклучувајќи ја равенката Кортевег-де Врис, нелинеарната Шредингерова равенка, споената нелинеарна Шредингерова равенка и синус-Гордоновата равенка. Солитонските решенија обично се добиваат со помош на инверзна трансформација на расејување, и својата стабилност ја должат на интеграбилноста на равенките на полето. Математичката теорија на овие равенки е широко и многу активно поле на математичко истражување.

Некои типови на плимни отвори, брановиден феномен на неколку реки, вклучувајќи ја и реката Северн, се „влажни": бранова предница проследена со низа од солитони. Други солитони се јавуваат како подморски внатрешни бранови, иницирани од топографијата на морското дно, кои се шират на океанскиот пикноклина. Исто така, постојат и атмосферски солитони, како што е облакот на утринска слава на Заливот Карпентарија, каде солитоните под притисок кои патуваат во слојот со температурна инверзија создаваат огромни линеарни облаци. Неодамнешниот и не широко прифатен солитонски модел во невронауката предлага да се објасни спроведувањето на сигналот во невроните како солитони на притисок.

Тополошки солитон, исто така наречен тополошки дефект, е секое решение на множество парцијални диференцијални равенки што е стабилно против распаѓање до „тривијалното решение". Стабилноста на солитонот се должи на тополошки ограничувања, наместо на интеграбилност на равенките на полето. Ограничувањата се појавуваат скоро секогаш затоа што диференцијалните равенки мора да почитуваат множество гранични услови, а границата има нетривијална хомотописка група, зачувана од диференцијалните равенки. Така, решенијата на диференцијалните равенки може да се класифицираат во класи на хомотопија.

Ниту една континуирана трансформација не пресликува решение од една класа на хомотопија во друга. Решенијата се различни и го задржуваат својот интегритет, дури и во услови на исклучително моќни сили. Примери на тополошки солитони вклучуваат дислокација на завртката во кристална решетка, Диракова низа и магнетниот монопол во електромагнетизмот, моделот Скирмион и Вес-Зумино-Витен во теоријата на квантното поле, магнетниот скирмион во физиката на кондензирана материја и космичките нишки и доменски ѕидови во космологијата.

Историја
--------

Во 1834 година, Џон Скот Расел го опишува неговиот *бран на превод*. 

Скот Расел поминал извесно време правејќи практични и теоретски истражувања на овие бранови. Тој изградил резервоари за бранови во својот дом и забележал некои клучни својства:

* Брановите се стабилни и можат да патуваат на многу големи растојанија (нормалните бранови ќе имаат тенденција или да се израмнат, или да се стрмни и да се соборат)
* Брзината зависи од големината на бранот, а неговата ширина од длабочината на водата.
* За разлика од обичните бранови, тие никогаш нема да се спојат – значи мал бран е престигнат од голем, наместо двата да се спојат.
* Ако бранот е преголем за длабочината на водата, тој се дели на два, еден голем и еден мал.

Експерименталната работа на Скот Расел изгледала спротивна на теориите за хидродинамиката на Исак Њутн и Даниел Бернули. Џорџ Бидел Ери и Џорџ Габриел Стоукс имале потешкотии да ги прифатат експерименталните набљудувања на Скот Расел бидејќи тие не можеле да се објаснат со постојните теории за бранови на вода. Нивните современици поминале извесно време обидувајќи се да ја прошират теоријата, тоа не се случило до 1870-тите пред Џозеф Бусинеск  и Лорд Рејли да објават теоретски третман и решенија.  Во 1895 година, Дидерик Кортевег и Густав де Вриес го дале она што сега е познато како равенка Кортевег-де Ври, вклучувајќи решенија за осамен бран и периодични кноидни бранови.  

 Анимација на претекнување на два осамени бранови според равенката Бенџамин-Бона-Махони - или равенка BBM, модел равенка за (меѓу другите) гравитациони бранови со долга површина. Висините на брановите на осамените бранови се 1,2 и 0,6, соодветно, а нивните брзини се 1,4 и 1,2. *Горниот графикон* е за референтна рамка која се движи со просечната брзина на осамените бранови. *Долниот графикон* (со различна вертикална скала и во стационарна референтна рамка) ја прикажува осцилаторната опашка произведена од интеракцијата. Така, осамените бранови решенија на равенката BBM не се солитони.
Во 1965 година, Норман Забуски од Bell Labs и Мартин Крускал од Универзитетот Принстон првпат демонстрирале однесување на солитон во медиумите кои подлежат на равенката Кортевег-де Ври (KdV равенка) во пресметковно истражување користејќи пристап на конечни разлики. Тие, исто така, покажаа како ова однесување го објаснува збунувачкото претходно дело на Ферми, Паста, Улам и Цингу.

Во 1967 година, Гарднер, Грин, Крускал и Миура открија инверзна трансформација на расејување што овозможува аналитичко решавање на KdV равенката. Работата на Питер Лакс на паровите Лакс и равенката Лакс оттогаш го проширила ова на решавање на многу поврзани системи за генерирање солитон.

Забелешка, дека солитоните, по дефиниција, се непроменети по форма и брзина при судир со други солитони. Значи, осамените бранови на површината на водата се *речиси* - солитони, но не баш - по интеракцијата на два осамени бранови (кои се судираат или претекнуваат), тие малку се промениле во замавот и останува осцилаторниот остаток.

Солитоните се изучуваат и во квантната механика, благодарение на фактот што тие би можеле да дадат нова основа за тоа преку недовршената програма на Де Броље, позната како „Теорија на двојни решенија" или „Нелинеарна бранова механика". Оваа теорија, развиена од Де Броли во 1927 година и оживеана во 1950-тите, е природно продолжение на неговите идеи развиени помеѓу 1923 и 1926 година, кои ја прошириле двојноста на бран-честичка воведена од Алберт Ајнштајн за светлосните кванти, на сите честички на материјата. Во 2019 година, истражувачите од Универзитетот во Тел-Авив измериле забрзан површински гравитациски бран солитон со користење на надворешен хидродинамички линеарен потенцијал. Тие, исто така, успеаја да забрзаат балистички солитони и да ги измерат нивните соодветни фази.

Во оптички влакна
-----------------

Многу експерименти се направени со користење на солитони во апликации за оптички влакна. Солитоните во системот со оптички влакна се опишани со равенките на Манаков. Инхерентната стабилност на солитоните го прави преносот на долги растојанија возможен без употреба на репетитори, а исто така може да го удвои преносниот капацитет.

| година | Откритие |
| --- | --- |
| 1973 година | Акира Хасегава од AT&T Bell Labs бил првиот кој сугерирал дека солитоните може да постојат во оптичките влакна, поради рамнотежата помеѓу модулацијата на самофазата и аномалната дисперзија. Исто така, во 1973 година, Робин Булоу го направил првиот математички извештај за постоењето на оптички солитони. Тој, исто така, ја предложил идејата за систем за пренос базиран на солитон за да ги зголеми перформансите на оптичките телекомуникации. |
| 1987 година | Emplit и др. (1987) harvtxt error: no target: CITEREFEmplitHamaideReynaudFroehly1987 (help) – од универзитетите во Брисел и Лимож – го направиле првото експериментално набљудување на ширењето на темен солитон, во оптичко влакно. |
| 1988 година | Лин Моленауер и неговиот тим пренесувале солитонски импулси преку 4.000 километри користејќи феномен наречен Раман ефект, именуван по Сер Ч. В. Раман кој прв го опишал во 1920-тите, за да обезбеди оптичка добивка во влакното. |
| 1991 година | Истражувачкиот тим на Bell Labs пренесувал солитони без грешка со 2,5 гигабити во секунда на повеќе од 14.000 километри, користејќи засилувачи со оптички влакна од ербиум (споени сегменти на оптичко влакно што го содржи елементот реткоземниот елемент ербиум). Пумпните ласери, споени со оптичките засилувачи, го активираат ербиумот, кој ги активира светлосните импулси. |
| 1998 година | Тиери Жорж и неговиот тим во Францускиот Телеком Центар за истражување и развој, комбинирајќи оптички солитони со различни бранови должини (мултиплексирање со поделба на бранови должини), покажале *композитен* пренос на податоци од 1 терабит во секунда (1.000.000.000.000 единици информации во секунда), што не треба да се меша со Terabit - Етернет.
Горенаведените импресивни експерименти не резултирале со вистински комерцијални распоредувања на солитонски системи, сепак, ниту во копнени, ниту во подморнички системи, главно поради сецкањето на Гордон-Хаус (ГХ). Движењето на GH бара софистицирани, скапи компензаторни решенија кои на крајот го прават преносот на солитонски мултиплексирање со густа бранова должина-поделба (DWDM) на терен непривлечен, во споредба со конвенционалната парадигма без враќање на нула/враќање на нула. Понатаму, веројатното идно прифаќање на спектрално поефикасните формати со поместување на фази/QAM го прави преносот на солитон уште помалку остварлив, поради ефектот Гордон-Моленауер. Следствено, солитонот за пренос со оптички влакна на долги релации остана лабораториски куриозитет. |
| 2000 година | Кандиф го предвидел постоењето на векторски солитон во пасивен режим на пасивно заклучување на шуплината на влакно со двојно прекршување преку полупроводнички заситени впивни огледала (SESAM). Состојбата на поларизација на таков векторски солитон може да биде или ротирачка или заклучена во зависност од параметрите на шуплината. |
| 2008 година | ДИ Танг забележал нова форма на векторски солитон од повисок ред од перспективите на експериментите и нумеричките симулации. Различни типови векторски солитони и состојбата на поларизација на векторските солитони биле истражени од неговата група. |

Во биологијата
--------------

Солитоните може да се појават во белковините и ДНК. Солитоните се поврзани со нискочестотното колективно движење во белковините и ДНК.

Неодамна развиен модел во невронауката предлага дека сигналите, во форма на бранови со густина, се спроведуваат во невроните во форма на солитони. Солитоните може да се опишат како пренос на енергија речиси без загуби во биомолекуларните синџири или решетки како брановидни размножувања на споени конформациски и електронски нарушувања.

Во магнети
----------

Во магнетите, постојат и различни типови на солитони и други нелинеарни бранови. Овие магнетни солитони се точно решение на класичните нелинеарни диференцијални равенки — магнетни равенки, на пр. равенка Ландау-Лифшиц, модел Хајзенберг континуум, равенка на Ишимори, нелинеарна Шредингерова равенка и други.

Во јадрената физика
-------------------

Атомските јадра може да покажат солитонично однесување. Овде се предвидува дека целата јадрена бранова функција постои како солитон под одредени услови на температура и енергија. Се сугерира дека постојат такви услови во јадрата на некои ѕвезди во кои јадрата не реагираат, туку поминуваат едни низ други непроменети, задржувајќи ги нивните солитонски бранови преку судир меѓу јадрата.

Моделот Скирмион е модел на јадра во кој секое јадро се смета за тополошки стабилно солитонско решение на теоријата на поле со зачуван барионски број.

Бионите
-------

*Врзаната* состојба на два солитони е позната како бион, или во системи каде врзаната состојба периодично осцилира, *дише*. Силите од типот на интерференција помеѓу солитоните би можеле да се искористат при создавањето на бионите. Сепак, овие сили се многу чувствителни на нивните релативни фази. Алтернативно, врзаната состојба на солитоните може да се формира со облекување на атомите со високо возбудени нивоа на Ридберг. Резултирачкиот само-генериран потенцијален профил карактеризира со внатрешно привлечно меко јадро кое го поддржува 3D самозаробениот солитон, средно одбивна обвивка (бариера) што го спречува спојувањето на солитоните и надворешен атрактивен слој (бунар) што се користи за завршување на врзаната состојба што резултира со џиновски стабилни солитонски молекули. Во оваа шема, растојанието и големината на поединечните солитони во молекулата може динамички да се контролираат со ласерско прилагодување.

Во теоријата на поле, *бионот* обично се однесува на решението на моделот Борн-Инфелд. Изгледа дека името е измислено од Г. В. Гибонс со цел да се разликува ова решение од конвенционалниот солитон, сфатен како *редовно решение со* конечна енергија (и обично стабилно) на диференцијална равенка која опишува некој физички систем. Зборот *постојано* значи мазно решение кое нема никакви извори. Сепак, решението на моделот Борн-Инфелд сè уште носи извор во форма на функцијата Дирак-делта на почетокот. Како последица на тоа, тој покажува сингуларност во оваа точка (иако електричното поле е насекаде редовно). Во некои физички контексти (на пример, теоријата на струни) оваа одлика може да биде важна, што го мотивирало воведувањето на посебно име за оваа класа на солитони.

Од друга страна, кога се додава гравитацијата (т.е. кога се разгледува спојувањето на Борн-Инфелд-моделот со општата релативност), соодветното решение се нарекува *EBIon*, каде што „E" значи Ајнштајн.

Алкубиеров меур
---------------

Ерик Ленц, физичар од Универзитетот во Гетинген, има теоретизирано дека солитоните би можеле да овозможат генерирање на искривени меурчиња од Алкубиер во време-просторот без потреба од егзотична материја, т.е. материја со негативна маса.

Поврзано
--------

* Компактон, солитон со компактна поддршка
* Убиствените бранови може да се феномен поврзан со перегрин солитон кој вклучува бранови-дишачи кои покажуваат концентрирана локализирана енергија со нелинеарни својства.
* Нематикони
* Нетополошки солитон, во квантната теорија на полето
* Нелинеарна Шредингерова равенка
* Осцилони
* Формирање на шаблон
* Пикон, солитон со недиференцирачки врв
* Q-топка нетополошки солитон
* Синус-Гордонова равенка
* Солитон (тополошки)
* Дистрибуција на солитон
* Солитонова хипотеза за молња со топка, од Дејвид Финкелштајн
* Солитонски модел на размножување на нервните импулси
* Тополошки квантен број
* Векторски солитон

Наводи
------

1. ↑  „Light bullets".
2. ↑  Boussinesq, J. (1871). „Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire". *C. R. Acad. Sci. Paris*. **72**.
3. ↑  Korteweg, D. J.; de Vries, G. (1895). „On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves". *Philosophical Magazine*. **39** (240): 422–443. doi:10.1080/14786449508620739.
4. ↑  Bona, J. L.; Pritchard, W. G.; Scott, L. R. (1980). „Solitary‐wave interaction". *Physics of Fluids*. **23** (3): 438–441. Bibcode:1980PhFl...23..438B. doi:10.1063/1.863011.
5. ↑  Zabusky & Kruskal (1965) harvtxt error: no target: CITEREFZabuskyKruskal1965 (help)
6. ↑  Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967). „Method for Solving the Korteweg–deVries Equation". *Physical Review Letters*. **19** (19): 1095–1097. Bibcode:1967PhRvL..19.1095G. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.
7. ↑  Remoissenet, M. (1999). *Waves called solitons: Concepts and experiments*. Springer. стр. 11. ISBN 9783540659198.
8. ↑  See e.g.:   
  
• Maxworthy, T. (1976). „Experiments on collisions between solitary waves". *Journal of Fluid Mechanics*. **76** (1): 177–186. Bibcode:1976JFM....76..177M. doi:10.1017/S0022112076003194.  
  
• Fenton, J.D.; Rienecker, M.M. (1982). „A Fourier method for solving nonlinear water-wave problems: application to solitary-wave interactions". *Journal of Fluid Mechanics*. **118**: 411–443. Bibcode:1982JFM...118..411F. doi:10.1017/S0022112082001141.  
  
• Craig, W.; Guyenne, P.; Hammack, J.; Henderson, D.; Sulem, C. (2006). „Solitary water wave interactions". *Physics of Fluids*. **18** (57106): 057106–057106–25. Bibcode:2006PhFl...18e7106C. doi:10.1063/1.2205916.
9. ↑  G. G. Rozenman, A. Arie, L. Shemer (2019). „Observation of accelerating solitary wavepackets". *Phys. Rev. E*. **101** (5): 050201. doi:10.1103/PhysRevE.101.050201. PMID 32575227.
10. ↑  „Photons advance on two fronts". EETimes.com. October 24, 2005. Архивирано од изворникот на July 28, 2012. Посетено на 2011-02-15.
11. ↑  Fred Tappert (January 29, 1998). „Reminiscences on Optical Soliton Research with Akira Hasegawa" (PDF).
12. ↑  Cundiff, S. T.; Collings, B. C.; Akhmediev, N. N.; Soto-Crespo, J. M.; Bergman, K.; Knox, W. H. (1999). „Observation of Polarization-Locked Vector Solitons in an Optical Fiber". *Physical Review Letters*. **82** (20): 3988. Bibcode:1999PhRvL..82.3988C. doi:10.1103/PhysRevLett.82.3988. `|hdl-access=` бара `|hdl=` (help)
13. ↑  Tang, D. Y.; Zhang, H.; Zhao, L. M.; Wu, X. (2008). „Observation of high-order polarization-locked vector solitons in a fiber laser". *Physical Review Letters*. **101** (15): 153904. arXiv:0903.2392. Bibcode:2008PhRvL.101o3904T. doi:10.1103/PhysRevLett.101.153904. PMID 18999601.
14. ↑  Davydov, Aleksandr S. (1991). *Solitons in molecular systems*. Mathematics and its applications (Soviet Series). **61** (2. изд.). Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-1029-7.
15. ↑  Yakushevich, Ludmila V. (2004). *Nonlinear physics of DNA* (2 revised. изд.). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40417-9.
16. ↑  Sinkala, Z. (August 2006). „Soliton/exciton transport in proteins". *J. Theor. Biol*. **241** (4): 919–27. Bibcode:2006JThBi.241..919S. CiteSeerX 10.1.1.44.52. doi:10.1016/j.jtbi.2006.01.028. PMID 16516929.
17. ↑  Heimburg, T. Jackson, A.D. (12 July 2005). „On soliton propagation in biomembranes and nerves". *Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A*. **102** (2): 9790–5. Bibcode:2005PNAS..102.9790H. doi:10.1073/pnas.0503823102. PMC 1175000. PMID 15994235.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)
18. ↑  Heimburg, T. Jackson, A.D. (2007). „On the action potential as a propagating density pulse and the role of anesthetics". *Biophys. Rev. Lett*. **2**: 57–78. arXiv:physics/0610117. Bibcode:2006physics..10117H. doi:10.1142/S179304800700043X.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)
19. ↑  Hameroff, Stuart (1987). *Ultimate Computing: Biomolecular Consciousness and Nanotechnology*. Netherlands: Elsevier Science Publishers B.V. стр. 18. ISBN 0-444-70283-0.
20. ↑  Kosevich, A. M.; Gann, V. V.; Zhukov, A. I.; Voronov, V. P. (1998). „Magnetic soliton motion in a nonuniform magnetic field". *Journal of Experimental and Theoretical Physics*. **87** (2): 401–407. Bibcode:1998JETP...87..401K. doi:10.1134/1.558674.
21. ↑  Iwata, Yoritaka; Stevenson, Paul (2019). „Conditional recovery of time-reversal symmetry in many nucleus systems". *New Journal of Physics*. **21** (4): 043010. arXiv:1809.10461. Bibcode:2019NJPh...21d3010I. doi:10.1088/1367-2630/ab0e58.
22. ↑  Belova, T.I.; Kudryavtsev, A.E. (1997). „Solitons and their interactions in classical field theory". *Physics-Uspekhi*. **40** (4): 359–386. Bibcode:1997PhyU...40..359B. doi:10.1070/pu1997v040n04abeh000227.
23. ↑  Gani, V.A.; Kudryavtsev, A.E.; Lizunova, M.A. (2014). „Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ^6 model". *Physical Review D*. **89** (12): 125009. arXiv:1402.5903. Bibcode:2014PhRvD..89l5009G. doi:10.1103/PhysRevD.89.125009.
24. ↑  Gani, V.A.; Lensky, V.; Lizunova, M.A. (2015). „Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ^8 model". *Journal of High Energy Physics* (англиски). **2015** (8): 147. arXiv:1506.02313. doi:10.1007/JHEP08(2015)147. ISSN 1029-8479.
25. 1 2 3  Khazali, Mohammadsadegh (2021-08-05). „Rydberg noisy dressing and applications in making soliton molecules and droplet quasicrystals". *Physical Review Research*. **3** (3): L032033. arXiv:2007.01039. doi:10.1103/PhysRevResearch.3.L032033.
26. ↑  Nguyen, Jason H. V.; Dyke, Paul; Luo, De; Malomed, Boris A.; Hulet, Randall G. (2014-11-02). „Collisions of matter-wave solitons". *Nature Physics*. **10** (12): 918–922. arXiv:1407.5087. doi:10.1038/nphys3135. ISSN 1745-2473.
27. ↑  Gibbons, G. W. (1998). „Born–Infeld particles and Dirichlet *p*-branes". *Nuclear Physics B*. **514** (3): 603–639. arXiv:hep-th/9709027. Bibcode:1998NuPhB.514..603G. doi:10.1016/S0550-3213(97)00795-5.
28. ↑  Physics World: Astronomy and Space. Spacecraft in a 'warp bubble' could travel faster than light, claims physicist. March 19, 2021. <accessed on June 29, 2021>

Надворешни врски
----------------

Поврзано со Џон Скот Расел
* Џон Скот Расел и осамениот бран
* Биографија на Џон Скот Расел Архивирано на 22 април 2005 г.
* Фотографија на солитон на аквадуктот Скот Расел Архивирано на 6 јули 2006 г.

Друго
* Солитон страница на Универзитетот Хериот-Ват
* Солитони Хелмхолц, Универзитетот Салфорд
* Краток дидактички преглед на оптички солитони



1. ↑  "Translation" here means that there is real mass transport, although it is not the same water which is transported from one end of the canal to the other end by this "Wave of Translation". Rather, a fluid parcel acquires momentum during the passage of the solitary wave, and comes to rest again after the passage of the wave. But the fluid parcel has been displaced substantially forward during the process – by Stokes drift in the wave propagation direction. And a net mass transport is the result. Usually there is little mass transport from one side to another side for ordinary waves.
2. ↑  Lord Rayleigh published a paper in *Philosophical Magazine* in 1876 to support John Scott Russell's experimental observation with his mathematical theory. In his 1876 paper, Lord Rayleigh mentioned Scott Russell's name and also admitted that the first theoretical treatment was by Joseph Valentin Boussinesq in 1871. Joseph Boussinesq mentioned Russell's name in his 1871 paper. Thus Scott Russell's observations on solitons were accepted as true by some prominent scientists within his own lifetime of 1808–1882.
3. ↑  Korteweg and de Vries did not mention John Scott Russell's name at all in their 1895 paper but they did quote Boussinesq's paper of 1871 and Lord Rayleigh's paper of 1876. The paper by Korteweg and de Vries in 1895 was not the first theoretical treatment of this subject but it was a very important milestone in the history of the development of soliton theory.