Нека е дадено непразно множество {\displaystyle \ X\neq \emptyset } и нека во него воведеме пресликување

{\displaystyle \ d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}
такво што {\displaystyle \ \forall x,y,z\in X}:

* {\displaystyle \ d(x,y)\geq 0}
* {\displaystyle \ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}
* {\displaystyle \ d(x,y)=d(y,x)}
* {\displaystyle \ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}

Тогаш подредениот пар {\displaystyle \ (X,d)} го нарекуваме **метрички простор**, а пресликувањето {\displaystyle \ d}, **метрика** или **растојание** во метричкиот простор.

Неформално, метричкиот простор може да го сфатиме како непразно множество во кое на секој пар елементи му се придружува позитивен реален број; овој број е нула само ако елементите на парот се меѓусебно еднакви.

Значење
-------

Метричките простори се многу битен концепт во математичката анализа и топологијата. Некои резултати од теоријата на метричките простори се клучни во обопшувањето на некои (на пример: интегрално сметање во n-димензии, формалното дефинирање на топка итн) или пак воведување на нови поими (отворени/затворени множества, концептот на мера итн). Најопшто следи заклучокот дека сѐ она со кое математиката се занимава во рамките на реалните n-димензионални Евклидови простори може да се обопшти на произволен метрички простор (диференцирање, интегрирање, геометрија во произволен метрички простор). Токму тука се границите на математичката анализа и делот каде таа преминува во топологија.

Со воведувањето на поимот за метрички простор се постигнува апстракција во поглед на поимот *растојание*, слично како што со векторските простори се постигнува апстракција на поимот вектор.

Примери
-------

Улогата на метрика може да ја игра било кое пресликување кое за сите аргументи дава ненегативни резултати; тоа значи дека, во најмала рака, може да се конструираат „чудни" метрички простори.
Еве неколку примери за метрички простори:

* Множеството реални броеви: {\displaystyle \ \mathbb {R} } со метриката {\displaystyle \ d(x,y)=|x-y|} е метрички простор.
* Множеството од подредени n-торки реални броеви:

{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}={\big \{}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})|x\_{i}\in \mathbb {R} ,i=1,2,...n{\big \}}}
со метриката

{\displaystyle \ d(x,y)=d{\big (}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n}),(y\_{1},y\_{2},...y\_{n}){\big )}={\big [}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}{\big ]}^{\frac {1}{2}}}
е метрички простор.

* Множеството {\displaystyle \ C\_{[a,b]}}, т.е. множеството од непрекинати функции дефинирани на интервалот {\displaystyle \ [a,b]} со метриката:

{\displaystyle \ d\_{p}(f,g)=\left(\int \_{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{p}\,dx\right)^{\frac {1}{p}},\,\,\,\,\,\,\ p\geq 1}
претставува метрички простор.

* Било кое непразно множество {\displaystyle \ X} со метриката:

{\displaystyle \ d(x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y\\0,&x=y\end{cases}}}
претставува метрички простор. Вака *конструираниот* метрички простор се нарекува **Дискретен метрички простор**, а метриката во него: **Дискретна метрика**.

Особено „чуден" е последниов пример затоа што, буквално, по волја се задава растојанието меѓу два елемента од множеството.

Поврзано
--------

* Векторски простор
* Апсолутна вредност
* Реален број

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85084441
* GND: 4169745-5
* BNF: cb119444311 (податоци)
* NDL: 00567250
* NKC: ph122785

 |

 |