Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика **квадратна равенка**. Општиот облик на равенката е:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Графикони на реалните квадратни функции *ax*2 + *bx* + *c*. Секој коефициент варира посебно
Во равенката *a*, *b* и *c* се коефициенти, при што *a ≠ 0*, додека самата равенка е равенка по променлива *x*. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Решавање на квадратната равенка
-------------------------------

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Ја делиме равенката со *a*. Ова е дозволено бидејќи по услов *a ≠ 0* и добиваме:

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
Согласно формулата за бином на квадрат:

{\displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}}
на левата страна на равенката додаваме и одземаме {\displaystyle {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}:

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=0}
{\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+{\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=0}
{\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}=0}
од каде се добива:

{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
{\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата
----------------------------------------------------------

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
кој се нарекува *дискриминанта* на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

* ако *D>0*, равенката има две реални и различни решенија,
* ако *D<0*, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
* ако *D=0*, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

Факторизација на квадратната равенка
------------------------------------

Ако е зададена квадратната равенка:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x\_{1})(x-x\_{2})}
Ваквото *презапишување* на равенката се вика *факторизација на квадратната равенка* или *разложување на квадратната равенка на линеарни множители*. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

Виетови формули
---------------

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}}}
{\displaystyle x\_{1}\cdot x\_{2}={\frac {c}{a}}}
кои се нарекуваат *виетови формули за квадратна равенка* (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

Равенки кои се сведуваат на квадратни
-------------------------------------

Равенките од облик:

{\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0}
може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

{\displaystyle y=x^{n}}
со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

{\displaystyle ay^{2}+by+c=0}
која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета *n*-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат *2n* решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за *n=2*, равенката е од облик:

{\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}
и таа се нарекува *биквадратна равенка*, која јасно има четири решенија.

Примери
-------

* Да се реши равенката: {\displaystyle 2x^{2}+4x-6=0}

Според формулата имаме:

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)}}}{2\cdot 2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {64}}}{4}}={\frac {-4\pm 8}{4}}}
{\displaystyle x\_{1}={\frac {-4+8}{4}}={\frac {4}{4}}=1}
{\displaystyle x\_{2}={\frac {-4-8}{4}}={\frac {-12}{4}}=-3}
Значи решенија на равенката се: *x1*=1 и *x2*=-3

* Да се реши равенката: {\displaystyle x^{2}-6x+13=0}

Имаме:

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {6\pm {\sqrt {36-52}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {16\cdot \mathrm {i} ^{2}}}}{2}}={\frac {6\pm 4\mathrm {i} }{2}}=3\pm 2\mathrm {i} }
{\displaystyle x\_{1}=3+2\mathrm {i} }
{\displaystyle x\_{2}=3-2\mathrm {i} }
Добиените решенија се комплексно конјугирани.

* Да се реши равенката: {\displaystyle x^{4}-24x^{2}-25=0}

Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

{\displaystyle y=x^{2}}
и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

{\displaystyle y^{2}-24y-25=0}
За решенијата на *оваа* равенка имаме:

{\displaystyle y\_{1,2}={\frac {24\pm {\sqrt {576+100}}}{2}}={\frac {24\pm 26}{2}}}
{\displaystyle y\_{1}={\frac {24+26}{2}}=25}
{\displaystyle y\_{2}={\frac {24-26}{2}}=-1}
Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:

{\displaystyle y=x^{2},}
тогаш:

{\displaystyle x={\sqrt {y}}}
Така се добиваат четири решенија, и тоа:

{\displaystyle x\_{1,2}={\sqrt {y\_{1}}}}
{\displaystyle x\_{3,4}={\sqrt {y\_{2}}}}
Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

{\displaystyle x\_{1}=+{\sqrt {y\_{1}}}={\sqrt {25}}=5}
{\displaystyle x\_{2}=-{\sqrt {y\_{1}}}=-{\sqrt {25}}=-5}
{\displaystyle x\_{3}=+{\sqrt {y\_{2}}}={\sqrt {-1}}=\mathrm {i} }
{\displaystyle x\_{4}=-{\sqrt {y\_{2}}}=-{\sqrt {-1}}=-\mathrm {i} }

Поврзано
--------

* Линеарна равенка
* Кубна равенка
* Равенка од четврти степен
* Квадратна функција
* Парабола