| Основно сметање |
| --- |
| Собирање (+) |
| собирок + собирок = | збир |
| Одземање (−) |
| намаленик − намалител = | разлика |
| Делење (:) |
| деленик : делител = | количник |
| Множење (⋅) |
| множител ⋅ множеник = | производ |
| Степенување (^) |
| основастепен = | степен |
| Коренување (√) |
| показ √поткор. гол. = | корен |
| Логаритам |
| logосн(степен) = | показател |

**Делител** на еден цел број {\displaystyle n}, наречен и **фактор** на {\displaystyle n}, е цел број кој го дели {\displaystyle n} без да има остаток.

Објаснување
-----------

Поимот „делител" е изведен од аритметичката операција делење: ако {\displaystyle a/b=c} тогаш {\displaystyle a} е деленик, {\displaystyle b} е **делител**, а {\displaystyle c} е количник.

Делителите на 10 илустрирани со кујнски стапчиња : 1, 2, 5, и 10
Општо земено, за сите ненуларни цели броеви {\displaystyle m} и {\displaystyle n}, {\displaystyle m} го дели {\displaystyle n}, што се пишува:

{\displaystyle m\mid n,}
ако постои цел број {\displaystyle k} така што {\displaystyle n=km}. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, *n* и −*n* се нарекуваат **тривијални делители** на *n*. Делителот на *n* кој не е тривијален делител се нарекува **нетривијален делител**. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.

Примери
-------

* 7 е делител на 42 бидејќи {\displaystyle 42/7=6}, па така велиме дека {\displaystyle 7\mid 42}. Ова значи дека бројот 42 е **делив** со 7, 42 е содржател на 7, 7 **го дели** 42, или дека 7 е **фактор** на 42.
* Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
* Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* Множеството од сите позитивни делители на 60, {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:

Други поимувања и факти
-----------------------

Постојат извесни елементарни правила: 

* Ако {\displaystyle a\mid b} и {\displaystyle b\mid c}, тогаш {\displaystyle a\mid c}. Ова е транзитивна релација.
* Ако {\displaystyle a\mid b} и {\displaystyle b\mid a}, тогаш {\displaystyle a=b} или {\displaystyle a=-b}.
* Ако {\displaystyle a\mid b} и {\displaystyle c\mid b}, тогаш НЕ е секогаш точно дека {\displaystyle (a+c)\mid b} (на пр. {\displaystyle 2\mid 6} и {\displaystyle 3\mid 6} но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога {\displaystyle a\mid b} и {\displaystyle a\mid c}, тогаш {\displaystyle a\mid (b+c)} е точно, како и {\displaystyle a\mid (b-c)}.

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели", кодно место U+2223 во TeX се пишува како `\mid`: {\displaystyle \mid }. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX `\nmid`: {\displaystyle \nmid }. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|", која е малку пократка

Ако {\displaystyle a\mid bc}, а НЗД{\displaystyle (a,b)=1}, тогаш {\displaystyle a\mid c}. Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако {\displaystyle p} е прост број и {\displaystyle p\mid ab} тогаш {\displaystyle p\mid a} или {\displaystyle p\mid b} (или обете).

Еден позитивен делител на {\displaystyle n} што е различен од {\displaystyle n} се нарекува **вистински делител** или **аликвотен дел** на {\displaystyle n}. Бројот кој не може рамномерно да го подели {\displaystyle n}, туку има остаток, се нарекува **аликвантен дел** на {\displaystyle n}.

Еден цел број {\displaystyle n>1} чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на {\displaystyle n} е производ од прости делители на {\displaystyle n} дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на {\displaystyle n} е мултипликативна функција {\displaystyle d(n)}, што значи кога два броја {\displaystyle m} и {\displaystyle n} се односно прости, тогаш {\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}. На пример, {\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја {\displaystyle m} и {\displaystyle n} имаат заеднички делител, тогаш {\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)} може да не е точно. Збирот на позитивните делити на {\displaystyle n} е друга мултипликативна функција {\displaystyle \sigma (n)} (на пр. {\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на {\displaystyle n} е дадена со

{\displaystyle n=p\_{1}^{\nu \_{1}}\,p\_{2}^{\nu \_{2}}\cdots p\_{k}^{\nu \_{k}}}
тогаш бројот на позитивни делители на {\displaystyle n} изнесува

{\displaystyle d(n)=(\nu \_{1}+1)(\nu \_{2}+1)\cdots (\nu \_{k}+1),}
и секој од делителите го има обликот

{\displaystyle p\_{1}^{\mu \_{1}}\,p\_{2}^{\mu \_{2}}\cdots p\_{k}^{\mu \_{k}}}
каде {\displaystyle 0\leq \mu \_{i}\leq \nu \_{i}} за секој {\displaystyle 1\leq i\leq k.}

Може да се види дека за секој природен број {\displaystyle n} важи неравенството {\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}.

Можеме и да покажеме

дека

{\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}
Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број *n* има очекуван
околу {\displaystyle \ln n} очекувани делители.

Деливост на броевите
--------------------

Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви {\displaystyle N} во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група {\displaystyle Z}.

Поврзано
--------

* Аритметичка функција
* Евклидов алгоритам
* Дропка

Наводи
------

1. ↑  {\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)}
Така имаме и {\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)}
2. ↑  
Hardy, G. H.; E. M. Wright (17 април 1980). *An Introduction to the Theory of Numbers*. Oxford University Press. стр. 264. ISBN 0-19-853171-0.

Надворешни врски
----------------

* Делител Архивирано на 17 март 2011 г. - Математика за сите (македонски)