Во физиката, **релативистичка механика** се однесува на механика која е компатибилна со специјална релативност (СР) и општата релативност (ОР). Тоа обезбедува не-квантно механички опис на системот на честички, или на флуиди, во случаите каде што брзината на објектите кои се движат се споредливи со брзината на светлината. Како резултат на тоа, класичната механика е проширена со честичките кои патуваат со голема брзина и енергии, и обезбедуваат доследно вклучување на електромагнетизмот со механика на честички. Ова не било можно во Галилеевата релативност, каде што ќе биде дозволено честичките и светлината да патуваат со било која брзина, вклучувајќи и побрзо од светлината. Темелите на релативистички механика се постулатите на специјален релативитет и општата релативност. Обединувањето на СР со квантната механика е релативна квантната механика, додека обидите за обединување на ОР е квантната гравитација, еден од нерешените проблеми во физиката.

Како и со класичната механика, субјектот може да се подели на "кинематика"; описот на движење со впишување на позиции, брзини и забрзувања и "динамика"; целосен опис земајќи ги предвид енергиите, импулс и аголниот импулс и нивните конзервативни закони и сили кои дејствуваат на честички или притиснати од самите честички. Но пости и суптилност; она што се чини дека "се движи" и она што е "во мирување"—која се нарекува "статика" во класичната механика—зависи од релативното движење на набљудувачите кои се мерат со појдовен систем.

Иако некои дефиниции и поими од класичната механика се пренесуваат и во СР, како на пример силата во временски дериват на импулсот (вториот закон на Њутн), работа од страна на честички каде линискиот интеграл е притисната од силата на честички по една патека и моќ во временски дериват на работа. Постојат голем број на значајни модификации на преостанатите дефиниции и формули. СР наведува дека движењето е релативно и законите на физиката се исти за сите без оглед на нивната експериментатори, независно од нивниот инерцијален појдовен систем. Во прилог на менување поими на време-простор, СР принудува да се преиспита концептот на маса, импулс, и енергијата кои се важни конструкции во Њутновата механика. СР покажува дека овие концепти се со различни аспекти на иста физичка големина на ист начин на кој тоа го покажува времето и просторот и нивното меѓусебно поврзување. Како резултат на тоа, уште една модификација е концептот на центарот на масата на системот, кој е лесно да се дефинираат во класичната механика, но многу помалку очигледни во релативност - погледнете релативистички центарот на масата за повеќе детали.

Равенките станат покомплицирани во повеќе познатите три-димензионални векторски пресметки, поради нелинеарност во Лоренцоновиот фактор, која точно изнесува релативистички зависноста на брзината и ограничување на брзината на сите честички и полиња. Сепак, тие имаат поедноставен и елегантна форма во четири-димензионален време-просторот, кој вклучува рамен Минковски простор (СР) и закривен време-простор (ОР), бидејќи три-димензионални вектори се изведени од просторот и скаларите потекнуваат од времето каде може да се соберат во четири вектори, или четири-димензионален тензори. Сепак, шест компонентиниот аголен импулс тензор понекогаш се нарекува бивектор бидејќи во 3D гледна точка тоа се два вектора (еден од овие, конвенционален аголен импулс, е осен вектор).

Релативистичка кинематика
-------------------------

Релативистичкo четири-брзина е всушност четири-вектор и ја претставува брзината во релативноста , а се дефинира на следниов начин:

{\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}
Погоре Т е вистинското време на пат низ временскиот простор, наречено и светска линија кое е проследено со брзината на погорепретставениот објект, и

{\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}
четири-позицијата; односно, тоа се координатите на некој настан. Поради временската дилетација, односно временското растегнување, соодветното време е времето помеѓу два настана во референтна рамка во која тие се сретнуваат на иста локација. Соодветното време е поврзано со временската координата Т преку:

{\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}
каде што γ(**v**) е Лоренцовиот фактор:

{\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}
(која било верзија може да се цитира) и тоа на следниов начин:

{\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}
Првите три услови, освен факторот γ(**v**) е брзината која ја гледа набљудувачот во неговата сопствена реферетна рамка. γ(**v**) се утврдува преку брзината **v** помеѓу референтната рамка на набљудувачот и рамката на објектот, а тоа е всушност рамката во која се мери неговото соодветно време. Ова количество на време е непроменливо според Лоренцовата трансформација, така што потребно е да се провери што е она што го гледа набљудувачот во друга референтна рамка, бидејќи едно количество едноставно се множи со четири-векторот од матрицата, според Лоренцовата трансформација, меѓу двете референтни рамки.

Релативистичка динамика
-----------------------

### Релативистичка енергија и динамика

Постојат неколку начини (равенки) со кои се дефинира релативистичката енергија и динамика во СР. Еден од методите ги користи законите на конзервација, односно одржливост. Ако овие закони останат важечи во СР тие мора да бидат точни во секоја можна референтна рамка. Меѓутоа, доколку некој направи едноставни мисловни експерименти користејќи ги дефинициите на Њутн за динамика и енергија, ќе види дека овие количини не се конзервирани во СР. Може и да се пренебрегне идејата за конзервација правејќи некои мали модификации на дефинициите на сметка на релативистичките забрзувања. Тоа се оние нови дефиниции кои се земаат како правилни за оние динамики и енергии во СР.

Четири-импулс на објектот е директна, има истоветен обликкако кај класичната динамика, но се заменува третина-вектор со четири-вектор:

{\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m\_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}
Енергијата и динамиката на некој објект со непроменлива маса *m*0 (се нарекува и маса во мирување), која се движи со Брзината **v** во однос на одредена референтна рамка, соодветно се дадени преку

{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}
Факторот γ(**v**) доаѓа од дефиницијата за четири-брзина која е наведена погоре. Појавата на γ факторот има алтернативен начин, што ќе биде подолу објаснето.

### Маса во мирување и релативистичка маса

Количеството

{\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}}
Често се нарекува и *релативистичка маса* на објектот во дадена референтна рамка.

Тоа всушност го сочинува релативистичкиот однос меѓу просторната брзина и просторната динамика да изгледа истоветно. Сепак, ова може да биде погрешно бидејќи не е соодветно во специјален релативитет во сите околности. На пример, кинетичка енергија и сила во специјален релативитет не може да биде точно запишана како класична аналогија само со замена на масата со релативистичката маса. Покрај тоа, под влијание на Лоренцовите трансформации, ваквата релативистичка маа е непроменлива, додека пак маста во мирување е променлива. Поради оваа прилина многу луѓе сметаат дека е полесно да се користи маса во мирување (што ќе значи дека γ ќе се воведе преку четири-брзина или координирано време), а го отфрлаат концептот на релативистичка маса.

Лав Окуњ предложил дека „оваа терминологија [...] денес нема рационално објаснување", па поради тоа и не треба повеќе да се изучува.

Други физичари пак, вклучувајќи ги Волфганг Риндлер и Т.Р. Сандин, сметаат дека релативистичката маса е корисен концепт и поради тоа постојат малку причини поради кои би се престанало со нејзиното користење. Видете ја статијата маса во специјален релативитет за повеќе информации околу оваа дебата.

Некои автори ја користат ознаката m за релативистичка маса и *m*0 за маса во мирување, додека пак други, едноставно ја употребуваат ознаката m за маса во мирување. Оваа статија ја користи поранешната конфенција поради јасност во изразувањето.

Енергијата и импулсот на објектот со непроменлива маса *m*0 се поврзани со формулите

{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(m\_{0}c^{2})^{2}\,}
{\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} \,.}
Првото е наведено како релативистички однос на *енергија-импулс*. Додека енергијата Е и импулсот р зависат од референтната рамка во која тие се измерени, количината E2 – (pc)2е непроменлива и се јавува како –c2 помножено со квадрираната магнитуда од четири-имплус вектор што е - (m0c)2.

Потребно е да се напомене дека непроменливата маса на системот

{\displaystyle {m\_{0}}\_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E\_{\text{tot}}^{2}-(p\_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}
е различна од збирот на честичките на масите во мирување од кои таа е составена како резултат на кинетичка енергија и врзувачка енергија. Масата во мирување не е конзервиран
квантитет во специјален релативитет за разлика од ситуацијата во Њутновата физика. Меѓутоа, доколку објектот внатрешно не се менува, тогаш неговата маса во мирување нема да се промени и може да се пресмета со истиот резултат во секоја референтна рамка.

Честичка чијашто маса во мирување е нула се нарекува безмасна честичка. Фотоните и гравитоните се сметаат за безмасни; и неутрините се приближно такви.

### Еквивалентност на маса-енергија

Равенката за релативистички енергетски импулс важи за сите честички, дури и за безмасни честички, кај кои *m*0 = 0. Во тој случај:

{\displaystyle E=pc}
Кога ќе се замени во *Ev* = *c*2*p*, добиваме *v* = *c*: чеситчки кои немаат маса (како што се фотоните) секогаш патуваат со брзина на светлината.

Масата на композитен систем ќе биде малку поинаква од остатокот на збирот од масите на остатокот од неговите делови, бидејќи, во негов склоп, нивните кинетички енергии ќе ја зголемат неговата маса и нивните (негативни) обврзувачки енергија ќе ја намалат нејзината маса. Хипотетички "кутија на светлината" ќе има масовен остатокот иако направен од честички, бидејќи нивните импулси би ја откажете.

Гледајќи на горната формула за непроменливата маса на системот, ќе се види дека, кога еден масивен објект е во мирување (**v = 0**, **p = 0**), постои не-нулта маса останатите: *m*0 = *E/c*2. Соодветните енергија, која пак е вкупната енергија кога една честичка во мирување, е позната како "мирувачка енергија". Во системите на честички кои се гледаат од подвижна инертна рамка, вкупната енергија се зголемува, а со тоа и импулсот. Сепак, за едни честички масата на мирување останува константна, а за системите од честички непроменливата маса останува константна, бидејќи во двата случаи, ја зголемува енергијата и динамиката при одзимање од едни на други, и да го поништи. Така, на непроменливата маса на системи на честички е пресметана како константна за сите набљудувачи, како што е масата на честичките во мирување.

### Масата на системи и конзервација на непроменливата маса

За системи на честички, равенката за енергетски интензитет бара собирање на импулс-вектори на честички:

{\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m\_{0}^{2}c^{4}}
Инертен рамка во која сумата на импулсите на сите честички е нула се нарекува центарот на импулсна рамка. Во оваа специјална рамка, релативистички енергетски-импулсна равенкат содржи вредност **p = 0**, каде на тој начин дава непроменлива маса на системот како вкупната енергија на сите делови на системот, поделени со *c*2

{\displaystyle m\_{0,\,{\rm {system}}}=\sum \_{n}E\_{n}/c^{2}}
Ова е непроменливата маса на било кој систем кој се мери во рамка каде што вкупниот интензитет е нула. Во таков систем, масата е непроменливa, а тоа зависи од вкупната енергија на системот. Тоа е повеќе од збирот од остатокот на маси на молекулите, но, исто така, ги вклучува сите енергии во системот. Како енергија и динамика, непроменливата маса на изолирани системи не може да се промени сè додека системот останува целосно затворен (нема дозволено маса или енергија во или надвор од него), бидејќи вкупната релативистичка енергија на системот останува константна толку долго со што ништо не може да влезе или излезе.

Зголемување на енергијата на еден таков систем кој е предизвикан од преведување на системот во инерцијална рамка која не е во центарот на импулсната рамка, предизвикува зголемување на енергија и динамика, без зголемување на непроменливата маса. *E* = *m*0*c*2, сепак, се однесува само на изолирани системи во своите рамки на центар на импулс кога импулсот се сумира на нула.

Преземање на оваа формула по номинална вредност, ќе видиме дека во релативноста, масата е само енергија со друго име (и се мери во различни единици). Ајнштајн во 1927 година за специјален релативитет забележа , "Под оваа теорија маса не е непроменлива големина, но со големина зависна од (и, навистина истоветна со) износот на енергија."

### Затворени (изолирани) системи

Во "целосно затворени" систем (односно, изолиран систем) вкупната енергија, вкупниот импулс, а со тоа и вкупната непроменлива маса се конзервирани. Формула на Ајнштајн за промена во маса преведена во својот наједноставен Δ*E* = Δ*mc*2 форма, сепак, само во не-затворени системи во кои е дозволено енергијата да избега (на пример, како топлина и светлина), а со тоа и непроменливата маса е намалена. Равенка на Ајнштајн, покажува дека таквите системи мора да изгубат маса, во согласност со горната формула, сразмерно на енергија тие губат и на околината. Спротивно на тоа, ако може да се измери разлики во маса меѓу системот пред тој да се подложува на реакција во која се ослободува топлина и светлина, и системот по реакцијата кога топлина и светлина ќе избегаат, може да се процени износот на енергија кој се извлекува од системот.

#### Хемиски и јадрени реакции

И во хемиските и во јадрените реакции, ваквата енергија ја претставува разликата во врзувачката енергија на електроните во атомите (за хемија) или помеѓу нуклеоните во јадрата (при атомски реакции). И во двата случаи, масната разлика помеѓу реактантите и (оладените) производи ја мери масата на топлината и светлината која ќе ја избегне реакцијата, а со тоа (со помош на равенка) дава еквивалентна енергија на топлината и светлината која може да биде емитувана ако реакцијата се одвивала.

Во хемијата, масните разлики кои се поврзани со емитуваната енергија се околу 10−9 од молекуларната маса. Меѓутоа, во јадрените реакции енергиите се толку големи што се поврзани со масните разлики, што пак може да се процени однапред доколку производите и реактантите биле измерени (атомите можат да се измерат индиректно преку користење на атомските маси кои се секогаш исти за секој нуклид. Така, формулата на Ајнштајн станува важна кога еднаш ќе се измери масата на различни атомски јадра. Гледајќи ја разликата на масите, може да се предвиди кои јадра складирале енергија која може да биде ослободена преку некои јадрени реакции, обезбедувајќи важни информации кои биле важни во развојот на јадрената енергија и, последователно и на јадрената бомба. Историски, на пример, Лиза Мајтнер била во можност да ги користи масните разлики во јадрата за да процени дека има доволно енергија на располагање за да направи поволен процес за јадрено цепење. Импликациите од оваа посебна форма на Ајнштајновата формула ја направиле неговата равенка една од најпознатите во сите науки.

#### Центар на импулсна рамка

Равенката *E* = *m*0*c*2 се однесува само на изолирани системи во своите центари на импулсната рамка. Популарна грешка е дека маса може да се претворат во енергија, по што масата се губи. Сепак, популарните објаснувања на равенката се применуваат во системи, кои вклучуваат отворени (не-изолирани) системи во кои се дозволени топлина и светлина да побегнат, коишто инаку би придонеле за маса (непроменливи маса) на системот.

Историски гледано, конфузија настанува околу како масата се „претвора" во енергија, потпомогнато од конфузија помеѓу маса и "материја", каде што материјата е дефинирана како фермион честички. Во таква дефиниција, електромагнетно зрачење и кинетичка енергија (или топлина) не се сметаат за "материја". Во некои ситуации, материјата навистина може да се претвори во облик на нематерија како енергија (види погоре), но во сите овие ситуации, форми на енергија како материја и не-материја сè уште ги задржуваат нивната оригинална маса.

За изолирани системи (затворен за сите размени на маса и енергија), масата никогаш не исчезнува во центарот на импулсната рамката, бидејќи енергијата не може да исчезне. Наместо тоа, оваа равенка, се однесува само кога енергија се додава или бега од, систем на централна импулсна рамка, системот ќе се мери како што ја добива или губи масата, во однос на додавање или отстранување на енергијата. Така, во теорија, ако атомска бомба била пронајдена во кутија доволно силна за да ја одржи својата експлозија и се активира, масата на овој затворен систем нема да се промени. Само кога транспарентен "прозорец" бил отворен во супер силна кутија исполнета со плазма, каде им е дозволено на светлината и топлината да избегаат во сноп, и компоненти на бомбата да се оладат, системот би ја изгубил масата поврзани со енергијата на експлозијата. Во 21 килотон бомба, на пример,се создава околу еден грам светлина и топлина. Ако оваа топлина и светлина им е дозволено да се избегаат, остатоците на бомбата ќе изгубат еден грам на маса, како што се ладат. Во овој мисловен експеримент, светлината и топлината носат грам на маса, а со тоа ќе се депонира овој грам на маса во објекти кои ги апсорбираат.

### Аголен импулс

Во релативистичката механика, варијабилен временски импулс на маса

{\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}

и орбиталата три-аголен импулс

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }

гледано како честичка се комбинираат во четири-димензионален бивектор во однос на четири-позиција X и на четири-импулс P од честичка:

{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }

каде ∧ означува надворешноста на производот. Овој тензор е додаток: вкупниот аголен импулс на системот е збирот на аголните импулс тензори за секој составен дел од системот. Така, на еден собир на дискретни честички се сумира аголните импулсни тензори на честичките, или ја интегрира густината на аголниот импулс по должината на дистрибуција на континуираната маса.

Секоја од шестте компоненти формираат конзервирано количество, кое пак њ сума со соодветните компоненти за други објекти и полиња.

### Сила

Во специјална релативност, вториот Њутнов закон не се држи до формата **F** = *m***a**, но доколку се изрази на следниот начин:

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}

каде **p** = γ(**v**)*m*0**v** е импулсот дефиниран погоре и *m*0 е непроменлива маса. Оттука, силата е претставена како

{\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\perp }}

| Разложено |
| --- |
| Почнувајќи од
{\displaystyle \mathbf {F} =m\_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m\_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).}
Изнесувањето од математичкиот дериват прикажува
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,\mathbf {a} .}
Доколку забрзувањето се подели на дел паралелен од брзината (**a**∥) и делот од правоаголната (**a**⊥), па така:
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} \_{\parallel }+\mathbf {a} \_{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \_{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \_{\parallel }\,,}
се добива
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \_{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,(\mathbf {a} \_{\perp }+\mathbf {a} \_{\parallel })\,.}
По конструкција **a**∥ и **v** се паралели, каде (**v**·**a**∥)**v** е вектор со магнитуда *v*2*a*∥ во насока **v** (оттука **a**∥) со што се дозволува замената:
{\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} \_{\parallel }}
потоа
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} \_{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,(\mathbf {a} \_{\parallel }+\mathbf {a} \_{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} \_{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} \_{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m\_{0}\,\mathbf {a} \_{\perp }\end{aligned}}\,} |

Како резултат во некои стари текстови, γ(**v**)3*m*0 се однесува на *надолжна маса*, каде γ(**v**)*m*0 се смета за *попречна маса*, кое пак бројчено е исто со релативистичка маса. Погледнете повеќе за маса во специјална релативност.

Доколку се сведе на пресметка на забрзување од сила, се добива

{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m\_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}
Силата опишана во оваа секција е класична 3-D сила која не е изразена како четири-вектор. Оваа 3-D силаа е соодветен концепт на сила која ги почитува третиот Њутнов закон за движење. Не треба да биде помешана со т.н. четири-сила, која речиси е 3-D сила на објект трансформиран како четири-вектор. Сепак, густината на 3-D сила (линеарниот импулс пренесен во единица четири-волумен) *е* четири-вектор (густина на тежина +1) кога е комбинирана со негативната густинска вредност од пренесената сила.

### Вртежен момент

Дејството на вртежниот момент од страна на честичка е дефиниран како дериват на аголниот импулсен тензор во однос со времето.

{\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }
или во тензор компоненти:

{\displaystyle \Gamma \_{\alpha \beta }=X\_{\alpha }F\_{\beta }-X\_{\beta }F\_{\alpha }}
каде што **F** е четвртата сила која дејствува врз честичките во настанот **X**. Како и кај аголниот импулс, вртежниот момент е додаток, па оттука за подолги објекти се сумира преку дистрибуцијата на масата.

### Кинетичка енергија

Теоремата за работната енергија вели промената во кинетичката енерија е еднаква со работата направена врз телото. Во специјална релативност:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma \_{1}-\gamma \_{0}]m\_{0}c^{2}.\end{aligned}}}

| Разложено |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W&=\int \_{\mathbf {x} \_{0}}^{\mathbf {x} \_{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m\_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m\_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}-\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\gamma m\_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m\_{0}v^{2}\right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}-m\_{0}\int \_{v\_{0}}^{v\_{1}}\gamma v\,dv\\&=m\_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}-c^{2}\int \_{v\_{0}}^{v\_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m\_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}\\&=\left.{\frac {m\_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}\\&=\left.{\gamma m\_{0}c^{2}}\right|\_{t\_{0}}^{t\_{1}}\\&=\gamma \_{1}m\_{0}c^{2}-\gamma \_{0}mc^{2}.\end{aligned}}} |

Ако во почетната положба телото е во мирување, *v*0 = 0 и γ0(*v*0) = 1, додека во последната состојба има брзина *v*1 = *v*, со што и γ1(*v*1) = γ(*v*), кинетичката енергија е;

{\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m\_{0}c^{2}\,,}
резултат кој се добива директно со одземање на енергијата во мирување *m*0*c*2 од целосната релативистичка енергија γ(*v*)*m*0*c*2.

### Класична граница

Лоренцовиот фактор γ(*v*) може да биде објаснет со Тејлорова формула или биномна формула за (*v*/*c*)2 < 1, добивајќи:

{\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod \_{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }
соодветно

{\displaystyle E-m\_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m\_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m\_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m\_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}
{\displaystyle \mathbf {p} =m\_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m\_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m\_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m\_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}
За брзини помали од брзина на светлината, може да се занемари условот *c*2 и повисоко во именителот. Потоа овие формули се сведени на стандардните Њутнови дефиниции за кинетичка енергија и ипулс. Со тоа за специјален релативитет, мора да се согласиме со Њутновата механика при ниски брзини.

Наводи
------

### Белешки

* C. Chryssomalakos, H. Hernandez-Coronado, E. Okon (2009). "Center of mass in special and general relativity and its role in an effective description of spacetime" (PDF). *J.Phys.Conf.Ser.* (Mexico). arXiv:0901.3349. doi:10.1088/1742-6596/174/1/012026.

### За дополнително читање

Општ опсег за специјална / општа релативност
* P.M. Whelan, M.J. Hodgeson (1978). *Essential Principles of Physics* (2nd ed.). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
* G. Woan (2010). *The Cambridge Handbook of Physics Formulas*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
* P.A. Tipler, G. Mosca (2008). *Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics* (6th ed.). W.H. Freeman and Co. ISBN 9-781429-202657.
* R.G. Lerner, G.L. Trigg (2005). *Encyclopaedia of Physics* (2nd ed.). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
* Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
* C.B. Parker (1994). *McGraw Hill Encyclopaedia of Physics* (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
* T. Frankel (2012). *The Geometry of Physics* (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1107-602601.
* L.H. Greenberg (1978). *Physics with Modern Applications*. Holt-Saunders International W.B. Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0.
* A. Halpern (1988). *3000 Solved Problems in Physics, Schaum Series*. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
* G.A.G. Bennet (1974). *Electricity and Modern Physics* (2nd ed.). Edward Arnold (UK). ISBN 0-7131-2459-8.
* I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics (2008). *Electromagnetism* (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
* D.J. Griffiths (2007). *Introduction to Electrodynamics* (3rd ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley,. ISBN 81-7758-293-3.
* J.R. Forshaw, A.G. Smith (2009). *Dynamics and Relativity*. Wiley,. ISBN 978-0-470-01460-8.
* D. Kleppner, R.J. Kolenkow (2010). *An Introduction to Mechanics*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19821-9.
* L.N. Hand, J.D. Finch (2008). *Analytical Mechanics*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
* P.J. O'Donnell (2015). *Essential Dynamics and Relativity*. CRC Press. ISBN 978-1-466-58839-4.
* D. McMahon (2006). *Relativity DeMystified*. Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145545-0.
* J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). *Gravitation*. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
* J.A. Wheeler, I. Ciufolini (1995). *Gravitation and Inertia*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03323-5.
* R.J.A. Lambourne (2010). *Relativity, Gravitation, and Cosmology*. Cambridge University Press. ISBN 9-780521-131384.