Транслација на четириаголникот ABCD за вектор *v* (создаден со Геогебра)

Во геометријата, **транслација** на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).

**Основна поставка:** При транслација, фигурата *не* е ротирана, *не* е превртена, и *не* е растегната. Само се лизга паралелно.

Пресметување на координатите на фигура по транслација

Означување и пресметување
-------------------------

Честопати трансформацијата **транслација за вектор *v*** се означува со: **T*v***.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека *v* е вектор со почетна точка P=(*xp*,*yp*) и крајна точка Q=(*xq*,*yq*).

Го формираме соодветниот полупречник-вектор *r*v на *v*, т.е. *r* е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:

{\displaystyle {\vec {r}}\_{v}=}  каде што  {\displaystyle r\_{x}=x\_{q}-x\_{p}}  и  {\displaystyle r\_{y}=y\_{q}-y\_{p}} , т.е. крајната точка на *r* e   {\displaystyle R=(r\_{x},r\_{y})}  .
Тогаш: 

{\displaystyle T\_{v}(F)=F+(r\_{x},r\_{y})=F+R=F'\,,} {\displaystyle \,\,\,\,F'=\{(x+r\_{x},y+r\_{y})|(x,y)\in F\}}.
**Пример:** Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и *v* нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш 

{\displaystyle {\vec {r}}\_{v}=<4-1,8-4>=<3,4>}  ,  {\displaystyle R=(3,4)}  и  {\displaystyle F'=T\_{v}(F)}  е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).

Особини на транслација
----------------------

Транслација како трансформацијата ги има следните особини:

* Транслација е т.н. **крута трансформација**, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
* Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
* По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
* По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
* По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
* По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
* Две последователни транслации се повторно транслација: TuTv=Tu+v.
* Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. TuTv=TvTu.
* Инверзната транслација на Т*v* е Т*-v* каде што *-v* е вектор со истата должина и правец како *v*, а обратна насока, т.е. Т*v*+Т*-v*=Т0 (нема поместување).

Обопштување
-----------

Нека *v* е вектор во Евклидов простор ℝn, a *r* нека е соодветниот полупречник-вектор со крајната точка R.

* Транслација на ℝn за *v* може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
	+ На пример, за *n*=3, ако A е произволна точка, Т*v*(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т*v*((0,0,0))=R.

Претставување на транслација со матрици
---------------------------------------

Секоја транслација T*v* за вектор *v* може да се претстави со т.н. транслациона матрица. 

Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.

Нека *v* е вектор во Евклидов простор ℝ3, a r=<*r*x,*r*y,*r*z> нека е соодветниот полупречник-вектор. Ја формираме 4х4 **транслациона матрица**: 

{\displaystyle T\_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&r\_{x}\\0&1&0&r\_{y}\\0&0&1&r\_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
Потоа, нека A=(ax,ay,az) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица: 

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a\_{x}\\a\_{y}\\a\_{z}\\1\end{bmatrix}}}
Тогаш:

{\displaystyle T\_{\mathbf {v} }\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0&0&r\_{x}\\0&1&0&r\_{y}\\0&0&1&r\_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\_{x}\\a\_{y}\\a\_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{x}+r\_{x}\\a\_{y}+r\_{y}\\a\_{z}+r\_{z}\\1\end{bmatrix}}}
Значи, (како што треба) имаме:

{\displaystyle T\_{v}(A)=A+R=(a\_{x}+r\_{x}\,,\,a\_{y}+r\_{y}\,,\,a\_{z}+r\_{z})}

Наводи
------

1. ↑  Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 787. Посетено на 1 септември 2013.
2. ↑  „Translate" (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
3. ↑  Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform" (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивeн
4. ↑  Richard, Paul (1981). *Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators*. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827.

Поврзани теми
-------------

* Складност
* Ротација
* Рефлексија
* Изометрија

Надворешни врски
----------------

* Стојановска, Л. (2013). „Транслација". Архивирано од изворникот на 2012-04-26. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
* Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Транслација". Посетено на 1 септември 2013.
* Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор". Посетено на 1 септември 2013.
* Arnold, Lance (2013). „Rigid Motion in the Plane" (PDF) (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[*мртва врска*]
* Zuidema, M. (2013). „Rigid Motion in the Plane" (англиски). GeoGebraTube. Посетено на 1 септември 2013.[*мртва врска*] интерактивен

* Портал: Математика