| Функција | Извод |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin(x)} | {\displaystyle \cos(x)} |
| {\displaystyle \cos(x)} | {\displaystyle -\sin(x)} |
| {\displaystyle \tan(x)} | {\displaystyle \sec ^{2}(x)} |
| {\displaystyle \cot(x)} | {\displaystyle -\csc ^{2}(x)} |
| {\displaystyle \sec(x)} | {\displaystyle \sec(x)\tan(x)} |
| {\displaystyle \csc(x)} | {\displaystyle -\csc(x)\cot(x)} |
| {\displaystyle \arcsin(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arccos(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arctan(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arccot}(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} |

**Вадење извод на тригонометриски функции** — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(*a*) = cos(*a*), што значи дека брзината на промена на sin(*x*) за одреден агол *x = a* е дадена со косинус на тој агол.

Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(*x*) и cos(*x*) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(*x*) = sin(*x*)/cos(*x*). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .

Докази за изводи на тригонометриски функции
-------------------------------------------

### Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Круг, центар *O*, полупречник 1
Дијаграмот десно покажува кружница со центар *O* и полупречник *r =* 1. Нека двата полупречници *OA* и *OB* прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога *θ* се стреми кон нула, може да претпоставиме дека *θ* е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.

На дијаграмот, нека *R*1 е триаголникот *OAB*, *R*2 кружниот исечок *OAB*, и *R*3 триаголникот *OAC*. Плоштината на триаголникот *OAB* е:

{\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}
Плоштината на кружниот исечок *OAB* е {\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }, додека плоштината на триаголникот *OAC* е дадена со:

{\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:

{\displaystyle {\text{Area}}(R\_{1})<{\text{Area}}(R\_{2})<{\text{Area}}(R\_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
Покрај тоа, бидејќи sin *θ* > 0 во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ sin *θ*, со што се добива:

{\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}
Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.

Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината sin(*θ*)/*θ* е *секогаш* помала од 1 и *секогаш* поголема од cos(θ). Така, како што *θ* се приближува до 0, sin(*θ*)/*θ* се „стиска" помеѓу горна граница 1 и долна граница cos *θ*, која расте кон 1; оттука sin(*θ*)/ *θ* мора да се стреми кон 1 како што *θ* се стреми кон 0 од позитивната страна:

> {\displaystyle \lim \_{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}
> 
> 

За случајот кога *θ* е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}
### Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0

Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот *θ* е неважен.

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
Користејќи cos2*θ* – 1 = –sin2*θ*, фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim \_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
### Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim \_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim \_{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
### Извод на синусна функција

Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}
Користејќи ја формулата за збир на агли sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, имаме:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}
Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
### Извод на косинусна функција

#### Од дефиницијата за извод

Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
Користејќи ја формулата за збир на агли cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, имаме:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}
#### Од правилото за извод на сложена функција

За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:

{\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
{\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција. Ако {\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }, имаме:

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .
Значи, докажавме дека

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta } .
### Извод од функцијата тангенс

#### Од дефиницијата за извод

За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan *θ*, ги користиме првите принципи. По дефиниција:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), имаме:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim \_{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}
Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan *δ* се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}
Веднаш гледаме дека:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
#### Од правилото за количник

Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:

{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
Значи,

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }

Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции
----------------------------------------------------

Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива *y* еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по *dy*/*dx*, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на *y*. За да го претвориме *dy*/*dx* назад да биде во однос на *x*, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи *θ* да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме *dy*/*dx* во однос на *x*.

### Диференцирање на инверзна синусна функција

Нека

{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
Каде

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
Потоа

{\displaystyle \sin y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на {\displaystyle x} на двете страни и решавање по dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
{\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}
Заменувајќи {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}} во погорниот израз, добиваме:

{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена {\displaystyle x=\sin y} ,

{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
### Диференцирање на инверзна косинусна функција

Нека

{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
Каде

{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
Потоа

{\displaystyle \cos y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на {\displaystyle x} на двете страни и решавање по dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
{\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!} , добиваме

{\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
Со замена {\displaystyle x=\cos y\,\!}, добиваме

{\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Алтернативно, еднаш добиен изводот на {\displaystyle \arcsin x}, изводот на {\displaystyle \arccos x} веднаш следи со диференцирање на идентитетот {\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2} така што {\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'} .

### Диференцирање на инверзна тангенсна функција

Нека

{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
Каде

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
Потоа

{\displaystyle \tan y=x\,\!}
Диференцирајќи во однос на {\displaystyle x} на двете страни и со решавање по dy/dx:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
Левата страна:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}} користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:

{\displaystyle {d \over dx}x=1}
Следува,

{\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}
Со замена {\displaystyle x=\tan y\,\!}, добиваме

{\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
### Диференцирање на инверзна котангенсна функција

Нека

{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
каде {\displaystyle 0<y<\pi }. Потоа

{\displaystyle \cot y=x}
Диференцирајќи во однос на {\displaystyle x} на двете страни и решавање по dy/dx:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}
Левата страна:

{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}} користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:

{\displaystyle {d \over dx}x=1}
Следува,

{\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}
Со замена {\displaystyle x=\cot y} ,

{\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
### Диференцирање на инверзна секансна функција

#### Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}
Потоа

{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
#### Со користење на правилото на извод на сложена функција

Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.

Нека

{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
Каде

{\displaystyle |x|\geq 1} и {\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на {\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)} :

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
### Диференцирање на инверзна косекансна функција

#### Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}
Потоа

{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
#### Со користење на правилото за извод на сложена функција

Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.

Нека

{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
Каде

{\displaystyle |x|\geq 1} и {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на {\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Поврзано
--------

* Калкулус
* Извод
* Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
* Список на тригонометриски идентитети
* Таблица на изводи
* Тригонометрија

Библиографија
-------------

* *Handbook of Mathematical Functions*, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)