Во математиката, **Гриновата теорема** го дава односот меѓу криволинискиот интеграл околу проста затворена крива *C* и двојниот интеграл над областа *D* ограничена со *C*. Тоа е специјален дводимензионален случај на поопштата Стоксова теорема, а името го добила по британскиот научник Џорџ Грин.

Нека *C* е позитивно ориентирана, дел по дел регуларна, проста затворена крива во рамнина и нека *D*е област ограничена со кривата *C*. Ако *L* и *M* имаат непрекинати парцијални изводи на отворената област која го содржи *D*, тогаш

{\displaystyle \int \_{C}L\,dx+M\,dy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
при што интегрирањето оди спротивно од стрелките на часовникот.
Понекогаш се црта крукче на симболот за интеграл ({\displaystyle \oint \_{C}}) за да се означи дека кривата *C* е затворена. За позитивна ориентација, на ова крукче може да се нацрта стрелка во спротивна насока од стрелките на часовникот.

Доказ кога *D* е проста област
------------------------------

Ако D е проста област чии граници се состојат од кривите *C*1, *C*2, *C*3, *C*4, може да се демонстрира Гриновата теорема.
Следи доказ на теоремата за поедноставена област D, област тип I каде C2 и C4 се вертикални линии. Сличен доказ постои кога D е област тип II, каде C1 и C3 се хоризонтални линии.

Ако може да се покаже дека исказите

{\displaystyle \int \_{C}L\,dx=\iint \_{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }
и

{\displaystyle \int \_{C}M\,dy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }
се точни, тогаш може да се докаже Гриновата теорем во првиот случај.

Област тип I, D на сликата десно, дефинирана со:

{\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g\_{1}(x)\leq y\leq g\_{2}(x)\}}
каде *g*1}- и -{*g*2 се непрекинати функци. Нека се пресмета двојниот интегра од (1):

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \iint \_{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA} | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}\!\!\int \_{g\_{1}(x)}^{g\_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]} |
|  | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}{\Big \{}L[x,g\_{2}(x)]-L[x,g\_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} } |

*C* може да се запише како унија на четири криви: *C*1, *C*2, *C*3, *C*4.

Кај C1, се користат параметарските равенки: *x* = *x*, *y* = *g*1(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Тогаш

{\displaystyle \int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx=\int \_{a}^{b}{\Big \{}L[x,g\_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}
Кај *C*3, се користат параметерските равенки: *x* = *x*, *y* = *g*2(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Тогаш

{\displaystyle \int \_{C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{-C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{2}(x))]\,dx}
Интегралот над *C*3 се негира, бидејќи оди во негативна наоска од *b* до *a*, бидејќи *C* е позитивно ориентирана (во насока спротивна од стрелките на часовникот). На *C*2 и *C*4, *-{x}-* останува константно, што значи дека

{\displaystyle \int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx=\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx=0}
Затоа,

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \int \_{C}L\,dx} | {\displaystyle =\int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{3}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx} |
|  | {\displaystyle =-\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{2}(x))]\,dx+\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} } |

Со комбинирање на (3) се (4), се добива (1). На сличан начин се добива и (2).

Поврзано
--------

* Стоксова теорема
* Криволиниски интеграл

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | „Гринова теорема" на Ризницата ? |

* *Mathworld*
* Флеш демонстрација на Гриновата теорема