| Правилен тетраедар |
| --- |
| Тетраедар(вртечки модел) |
| Тип | правилен полиедар |
| Елементи | *F* = 4, *E* = 6*V* = 4 (χ = 2) |
| Страни | 4{3} |
| Шлефлиев симбол | {3,3} и s{2,2} |
| Витхофов симбол | 3 | 2 3| 2 2 2 |
| Коксетер–Динкин |  |
| Симетрија | Td, A3, [3,3], (\*332) |
| Вртежна група | T, [3,3]+, (332) |
| Наводи | U01, C15, W1 |
| Својства | правилен испакнат |
| Диедарски агол | 70,528779° = arccos(1/3) |
| Тетраедар3.3.3(темена фигура) | самодуално(дуален полиедар) |
| Тетраедармрежа |

**Тетраедарот** е полиедар составен од четири триаголни страни, од кои три се среќаваат во секое теме. Има шест рабови и четири темиња. Тетраедарот е единствениот испакнат (конексен) полиедар што има четири страни.

Ова тело претставува тридимензионален случај на поопштиот концепт на симплексот.

Тетраедарот е вид на пирамида, која е полиедар со рамна многуаголна основа и триаголни страни што ја поврзуваат во заедничка точка. Кај тетраедарот, основата е триаголна (било која од четирите страни), па затоа се нарекува и „**триаголна пирамида**".

Како и сите испакнати полиедри, тетраедарот може да се превитка од еден лист хартија. Има две мрежи.

За секој тетраедар постои сфера на чија површина лежат неговите темиња (опишана сфера).

Посебни случаи
--------------

**Правилен тетраедар** е оној каде сите четири страни се рамнострани триаголници, и претставува едно од Платонските тела (правилни полиедри). **Рамнокрак тетраедар** (дисфеноид) е тетраедар каде сите четири страни се триаголници што се сечат во една точка. Кај **триправоаголниот тетраедар**, трите страни во темето имаат прави агли. Ако сите три пара на спротивни рабови се правоаголни, тогаш ова ќе биде **ортоцентарски тетраедар**. Кога истото важи само за еден пар, тоа се нарекува **полуортоцентричен тетраедар**.

Формули за правилен тетраедар
-----------------------------

Следниве Декартови координати ги дефинираат четирите темиња на тетраедарот со раб со должина 2, и а сосредоточен во координатниот почеток:

(±1, 0, -1/√2)
(0, ±1, 1/√2)
За правилен тетраедар со раб *a*:

|  |  |
| --- | --- |
| Плоштина на основата | {\displaystyle A\_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}\,} |
| Плоштина | {\displaystyle A=4\,A\_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,} |
| Висина | {\displaystyle H={{\sqrt {6}} \over 3}a={\sqrt {2 \over 3}}\,a\,} |
| Волумен | {\displaystyle V={1 \over 3}A\_{0}h={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}={a^{3} \over {6{\sqrt {2}}}}\,} |
| Агол помеѓу раб и страна | {\displaystyle \arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})\,}(прибл. 54,7356°) |
| Агол помеѓу две страни | {\displaystyle \arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})\,}(прибл. 70,5288°) |
| Агол помеѓу отсечките што ги поврзуваат центарот и темињата, наречен и „тетраедарски агол" | {\displaystyle \arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})\,}(прибл. 109,4712°) |
| Просторен агол на темето опфатено од страна | {\displaystyle \arccos \left({23 \over 27}\right)}(прибл. 0,55129 стерадијани) |
| Полупречник на опишана сефера | {\displaystyle R={{\sqrt {6}} \over 4}a={\sqrt {3 \over 8}}\,a\,} |
| Полупречник на впишана сфера тангентна на страните | {\displaystyle r={1 \over 3}R={a \over {\sqrt {24}}}\,} |
| Полупречник на полувпишана сфера тангентна на рабовите | {\displaystyle r\_{M}={\sqrt {rR}}={a \over {\sqrt {8}}}\,} |
| Полупречник на опишаните сфери | {\displaystyle r\_{E}={a \over {\sqrt {6}}}\,} |
| Растојание до центарот на опишаната сфера од темето | {\displaystyle d\_{VE}={{\sqrt {6}} \over 2}a={\sqrt {3 \over 2}}\,a\,} |

Треба да се напомене дека, во однос на основната рамнина, коефициентот на правата (косината) на страната ({\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {2}}}) е двапати поголема од онаа на работ ({\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}), што одговара на фактот дека *хоризонталното* растојание од основата до темето долж работ е двојно поголемо од она долж медијаната на страната. Со други зборови, ако *C* е тежиштето на основата, растојанието од *C* до темето на основата е двапати поголемо од растојанието од *C* до средишната точка на раб на основата. Ова се должи на тоа дека медијаните на еден триаголник се сечат во неговото тежиште, и дека оваа точка ги дели на две отсечки, од кои едната е двапати подолга од другата.

Поврзано
--------

* Дисфеноид
* Симплекс
* Тетрапак
* Триаголна бипирамида

Наводи
------

1. 1 2  „Тетраедар" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)
2. ↑  „тетраедар" — Лексикон на македонскиот јазик
3. 1 2 3 4 5 6  Coxeter, Harold Scott MacDonald; *Regular Polytopes*, Methuen and Co. 1948, Table I(i)
4. ↑  Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001
5. ↑  Агол помеѓу два крака на тетраедарот Архивирано на 3 октомври 2018 г. - Maze5.net (англиски)

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Тетраедар" на Ризницата ? |

* „Тетраедар" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* „Ојлерови точки" од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

* Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, x3o3o - tet
* Правилни полиедри (англиски)

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиедри |
| --- |
|  |
| 
* Диедар
* Тетраедар
* Пентаедар
* Хексаедар
* Хептаедар
* Октаедар
* Енеаедар
* Декаедар
* Гендекаедар
* Додекаедар
* Тетрадекаедар
* Октадекаедар
* Икосаедар

 |

 |