Во математиката, едно од основните и најважни равенства во теоријата на комплексите броеви и комплексната анализа. Со неа е изразена зависноста помеѓу експоненцијалната и тригонометриските функции.

Равенството е едноставно и го има следниот облик:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}}
каде {\displaystyle \ {\mbox{e}}} е основата на природниот логаритам, а {\displaystyle i} имагинарната единица. Равенството е наречено според Леонард Ојлер, швајцарски математичар.

Доказ
=====

Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{x}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}
{\displaystyle \sin {x}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}
{\displaystyle \cos {x}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}
Сега имаме:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{ix}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}}
Бидејќи:

{\displaystyle i^{k}={\begin{cases}1,&k=4n\\i,&k=4n+1\\-1,&k=4n+2\\-i,&k=4n+3\end{cases}}}

Следствено:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{ix}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}=1+i{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...=}

{\displaystyle \ =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...\right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+...\right)=}
{\displaystyle \ =\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+i\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\cos {x}+i\sin {x}}
со што ја покажавме точноста на равенството.

Важност
=======

Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{x+iy}={\mbox{e}}^{x}\cdot {\mbox{e}}^{iy}={\mbox{e}}^{x}(\cos {y}+i\sin {y})}
Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме {\displaystyle \ x=\pi }. Тогаш се добива следново:

{\displaystyle \ {\mbox{e}}^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1+i\cdot 0=-1}, односно, конечно:
{\displaystyle {\mbox{e}}^{i\pi }+1=0}
Последново равенство се нарекува **равенство на Ојлер** и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува **девет** основни концепти на математиката: **три операции:** собирање, множење, степенување; **пет основни константи:** единицата, нулата, односот на периметарот и пречникот на кружницата - {\displaystyle \pi }, основата на природниот логаритам - {\displaystyle {\mbox{e}}}, имагинарната единица - {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} и **една основна релација:** еднаквост {\displaystyle \ =}.

Интересно
=========

* Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: ***Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?***
* Ова равенство било докажано за првпат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котс (Roger Cotes) во алтернативен облик:

{\displaystyle \ {\mbox{ln}}(\cos {x}+i\sin {x})=ix}
Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.