Во математиката резултатот од делењето е **количник** и **остаток**. Остатокот е нула ако количникот на двата броја на делењето е точен, во спротивно овој количник е приближен. Делењето се нарекува **Евклидово** кога неговиот деленик, делител и количник се природни броеви. Во Евклидовото делење, производот на количникот и делителот плус остатокот е еднаков на деленикот, а остатокот е природен број строго помал од делителот. Цел број е повеќекратник на друг ненулов цел број ако и само ако, во Евклидовото делење, количникот на апсолутната вредност на првиот со апсолутната вредност на вториот е точен, со други зборови, ако и само ако остатокот од ова Евклидово делење е нула. Во компјутерската наука, таков остаток се добива од операторот на модуло.

Природни броеви
---------------

Ако *a* и *d* се природни броеви, при што *d* е различен од нула, се докажува дека постојат два единствени цели броеви *q* и *r*, така што *a* = *qd* + *r* и 0 ≤ *r* < *d*. Бројот *q* се нарекува количник, додека *r* е **остаток**.

Евклидовото делење дава доказ за овој резултат, како и метод за негово добивање.

### Примери

* Со делење на 13 со 10, добиваме 1 како количник и 3 како остаток, бидејќи 13 = 1×10 + 3.
* Со делење на 26 со 4, добиваме 6 како количник и 2 како остаток, бидејќи 26 = 6×4 + 2.
* Со делење на 56 со 7, добиваме 8 како количник и 0 како остаток, бидејќи 56 = 7×8 + 0.

Цели броеви
-----------

Ако *a* и *d* се цели броеви, при што *d* е различен од нула, тогаш остатокот *r* е цел број таков што *a* = *qd* + *r*, *q* е цел број и 0 ≤ | *r* | < |*d*|.

Оваа дефиниција овозможува да се формираат два различни остатоци за исто делење. На пример, делењето на −42 со −5 се изразува со:

−42 = 9×(−5) + 3
или

−42 = 8×(−5) + (−2).
Остатокот е 3 или −2.

Оваа двојност не е многу битна во пракса. Тоа е затоа што со одземање 5 од позитивниот остаток, *d*, се добива негативниот остаток. Ова е генерално точно. Делејќи со *d*, ако позитивниот остаток е именуван *r*1, а негативниот остаток е именуван *r*2, тогаш

r1 = *r2* + *d* .

Реални броеви
-------------

Кога *a* и *d* се реални броеви, при што *d* е различен од нула, *d* не може да го дели *a* без остаток, ако количникот е друг реален број. Меѓутоа, ако количникот е цел број, концептот остаток сè уште е валиден. Докажано е дека постои единствен цел број *q* и реален остаток *r* таков што *a* = *qd* + *r* со 0 ≤ *р* < |*d*|. Како и во случајот со делењето на цели броеви, остатокот може да биде негативен, односно -|*d*| < *р* ≤ 0.

Обопштувањето на поимот остаток за реални броеви како што е опишано во претходниот пасус нема теоретско значење во математиката. Сепак, неколку програмски јазици го нудат тоа.

За неравенствата
----------------

Во дадените дефиниции, постои неравенка 0 ≤ *р* < | *г* | или -| *г* | < *р* ≤ 0. Неопходно е да се осигура дека остатокот е единствен. Изборот на таква неравенка е произволен: кој било услов од обликот *x* < *р* ≤ *x* + |*d*| (или *x* ≤ *р* < *x* + |*d*|), каде што *x* е константна, гарантира дека остатокот е единствен.

Поврзано
--------

* Евклидов алгоритам
* Модуларна аритметика

Наводи
------

1. ↑  „остаток" — Дигитален речник на македонскиот јазик
2. ↑  „остаток" — Официјален дигитален речник на македонскиот јазик

* Портал: Математика