**Декартов производ** или **Картезијански производ** — во математиката е директен производ на множества. Името го добил по францускиот математичар Декарт, благодарение на чие засновање на аналитичката геометрија била поставена основата за овој концепт.

 Декартов производ A×B на множествата A={x,y,z} и B={1,2,3}
Декартов производ на две множества *X* (на пр. множество точки на x-оската) и *Y* (на пр. множеството точки на y-оската), означен како *X* х *Y*, е множество од сите можни подредени парови во кои првата компонента е елемент на множеството *X*, а втората компонента е елемент на множеството *Y* (во примерот тоа би била целата рамнина):

{\displaystyle A\times B=\{(x,y)|x\in A\;\wedge \;y\in B\}.} 
Декартов производ од две конечни множества може да се претстави со табела, така што елементите на едното множество се распоредени во редови, а на другото во колони. Тогаш подредените парови може да се разберат како ќелии во табела, каде што секој се одредува според неговиот ред и колона.

Примери
-------

### Производ од непразни комплети

Нека се дадат множествата {\displaystyle A=\{1,2,3\}} и {\displaystyle B=\{1,2\}} .

{\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}}

{\displaystyle B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}

Тоа се различни множества, т.е. {\displaystyle A\times B\neq B\times A} .

### Шпил карти

 Шпил од 52 карти
Декартовиот производ може да се илустрира на шпил од 52 карти. Шпилот има 13 вида карти {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} и секој вид се појавува во четири бои {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартовскиот производ на овие множества се состои од 52 подредени пара од сите можни карти.

*Вид* × *боја го* дава следното множество {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ... (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

*Боја* × *вид* го дава следното множество {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ... (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Ова се различни, дисјунктни множества.

### Дводимензионален координатен систем

 Декартови координати на точки
Главен историски пример е Декартовата рамнина во аналитичката геометрија. Со цел да се претстават геометриските форми на нумерички начин и да се добијат нумерички информации од таквите претстави на форми, Рене Декарт на секоја точка во рамнината и доделил пар реални броеви, наречени координати. Обично такви парови од први и втори компоненти се нарекуваат координати. Множеството од сите такви парови, т.е. Декартов производ ℝ × ℝ каде ℝ се реални броеви, го претставува множеството од сите точки во рамнината.

Имплементација во теоријата на множества
----------------------------------------

Формалното дефинирање на Декартов производ од аспект на теоријата на множества произлегува од дефиницијата за подреден пар. Најчеста дефиниција за подреден пар е {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}, дадена од Куратовски. Од дефиницијата произлегува дека е {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}, при што {\displaystyle {\mathcal {P}}} е партитивно множество. Така, постоењето на Декартовиот производ од кои било две множества во Цермело-Френкеловата теорија на множества е последица на аксиомата на пар, аксиомата на унија, аксиомата на партитивно множество и шемата за раздвојување. Бидејќи функциите најчесто се дефинираат како посебен случај на релации, а релациите се дефинираат како подмножества на Декартов производ, следува дека Декартов производ е суштински неопходен за повеќето други дефиниции.

### Некомутативност и неасоцијативност

Нека A, B, C и D се множества.

Декартовиот производ **не е** комутативен,

{\displaystyle A\times B\neq B\times A} ,

бидејќи координатите на подредените парови се пермутирани, освен ако е исполнет еден од следниве услови  :

* A е еднакво на B,
* барем едно од множествата A и B е празно.

Примери:

* Множествата се различни. На пример: A = {1,2}; B = {3,4}

= {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

= {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

* Множествата се еднакви. На пример: A = B = {1,2}

= {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

* Еден од комплетите е или празен. На пример: A = {1,2}; B = ∅

= {1,2} × ∅ = ∅

= ∅ × {1,2} = ∅

Во општ случај, Декартовиот производ не е асоцијативен (освен ако едно од множествата е празно).

{\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}

На пример, ако A = {1}, тогаш (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A)..

### Декартов производ во однос на пресек, унија, подмножество

Еднаквост на множества (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) илустрирана на примерот на множествата A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, и D={y∈ℝ:2≤y≤4}.
 Графички приказ на (A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D)
 Еднаквост на множествата A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) и A×(B\C)=(A×B)\(A×C) илустрирани на множествата A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5} и C={x∈ℝ:4≤x≤7}.
Декартовиот производ се однесува убаво во однос на пресек на множества .

{\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)} 

Меѓутоа, еднаквоста на множествата не важи ако пресекот се замени со унија.

{\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}

Всушност, важи следнава равенка: {\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}

За разлика од множествата, важи идентитетот:

{\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}

Следниве еднаквости на множества ја илустрираат дистрибутивноста на Декартовиот производ и операциите со множества

{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)} ,

{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)} ,

{\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)} ,

{\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}  .

За подмножествата важи:

Ако е {\displaystyle A\subseteq B} тогаш {\displaystyle A\times C\subseteq B\times C} ,

Ако A,B {\displaystyle \neq \emptyset } тогаш {\displaystyle A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D}  .

### Кардиналност

Кардиналност (кардинал или кардинален број) е бројот на елементи од множеството. На пример, нека бидат дадени две множества: A = {a, b} и B = {5, 6}. Множествата имаат по два елементи. Нивниот Декартов производ, означен како A × B, дава ново множество кое се состои од следниве елементи:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

Секој елемент на множеството A е спарен со секој елемент на множеството B. Секој подреден пар е елемент во добиеното множество A × B. Бројот на различни елементи во Декартовиот производ на множества е еднаков на производот од бројот на елементи на множества чиј Декартов производ е пресметан; во овој случај тоа е 2 · 2 = 4. Кардиналниот број на добиеното множество е еднаков на производот од кардиналните броеви на множествата чиј Декартов производ е пресметан. Значи,

|A × B| = |A| · |B|..

Слично,

|A × B × C| = |A| · |B| · |C|

и така натаму.

Множеството е бесконечно ако барем едно од множествата е или бесконечно, а другото множество не е празно.

{\displaystyle n}-арни производ
-------------------------------

### Декартово степенување

**Декартов квадрат** (или бинарен Декартов производ) на множество X е Декартовиот производ X2 = X × X. Пример за овој производ е дводимензионална рамнина **R**2 = **R** × **R** каде **R** е множеството реални броеви: **R**2 е множество од сите точки (*x*,*y*) каде се реалните броеви (види Декартов координатен систем).

**Декартовиот степен** на множество може да се дефинира како:

{\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} \_{n}=\{(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\ |\ x\_{i}\in X{\text{ за све }}i=1,\ldots ,n\}.}
Соодветен пример е **R**3 = **R** × **R** × **R**, каде што **R е** множество од реални броеви. Поопшт пример е **R** *n*.

*n*-арниот Декартов степен на множество е изоморфен во однос на просторот на функциите кои пресликуваат множество од *n* елементи во множество *X*. Како посебен случај, 0-арни Декартов степен од *X* може да се земе како едноелементно множество и соодветното празно пресликување со кодомен *X.*

### Конечен n-арен производ

Декартовиот производ може да се обопшти на ***n*-арен Декартов производ** со *n* множества *X*1, ... *Xn*:

{\displaystyle X\_{1}\times \cdots \times X\_{n}=\{(x\_{1},\ldots ,x\_{n}):x\_{i}\in X\_{i}\}.}
Вака дефиниран производ е множество од *n*-торки. Ако *n*-торките.се дефинирани како вгнездени подредени парови, тогаш множеството *n*-торки.може да се поистовети со (*X*1 × ... × *Xn−1*) × *Xn*.

### Бесконечни производи

Можно е да се дефинира Декартов производ за произволно (бесконечно) индексирано семејство на множества. Ако *I* е произволно множеството индекси, и {\displaystyle \{X\_{i}\}\_{i\in I}} семејството на множества индексирани со *I*, тогаш Декартовиот производ на множествата во *X* се дефинира како

{\displaystyle \prod \_{i\in I}X\_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup \_{i\in I}X\_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X\_{i})\right\},}
што претставува множество од сите функции дефинирани на множеството индекси така што вредноста на функцијата за одреден индекс *i* е елемент од множеството *Xi*. Дури и кога секој од производите *Xi* не е празен, Декартовиот производ може да биде празен ако не претпоставиме дека важи аксиомата на избор (што е еквивалентно на тврдењето дека секој таков производ не е празен).

За секое *j* од *I*, функцијата

{\displaystyle \pi \_{j}:\prod \_{i\in I}X\_{i}\to X\_{j},}
дефинирано од {\displaystyle \pi \_{j}(f)=f(j)} се нарекува ***j*-та проекција**.

Важен случај е кога множеството индекси е множеството на природни броеви {\displaystyle \mathbb {N} }: овој Декартов производ е множество од сите бесконечни секвенци каде што *i*-тата координата е од соодветното множество *Xi*. На пример, секој елемент на производот

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }
може да се претстави како вектор со пребројливо многу реални координати. Ова множество обично се означува со {\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}, или {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} .

Наводи
------

1. ↑  Merriam-Webster Online Dictionary Посетено на 23.11.2015.
2. ↑  Warner, S: *Modern Algebra*, page 6. Dover Press, 1990.
3. 1 2  Singh, S. Cartesian product. Посетено на 24. 11. 2015.
4. 1 2  Декартов производ на PlanetMath.org.
5. ↑  Декартов производ подскупова на  Посетено на 29.11.2015.
6. ↑  Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. *St. John's Review, 44*(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from

Надворешни врски
----------------

* Статија за Декартов производ (англиски)