**Тангентен четириаголник** е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.

Тангентен четириаголник со впишана кружница
Една од основните својства на тангентниот четириаголник:

Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.
Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница. Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.

Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:

Четириаголникот АБЦД е тангентен ако {\displaystyle |{\overline {AB}}|+|{\overline {CD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {BC}}|}. Точно е и обратното - ако четириаголникот е тангентен, тогаш збирот на спротивните страни е меѓусебно еднаков.
Последицата е следна. Ако страниците се обележани со *a, b, c, d*, тогаш е

{\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s}
каде *s* е полупериметарот.

Ако страните на тангентниот четириаголник се *a, b, c, d*, и *r* е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата

{\displaystyle P={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot r}
Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.

Примери
-------

Примери на тангентни четириаголници се: квадрат, ромб и делтоид.

Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот. Кај рамнокракиот трапез, постои посебен случај кога може да се впише кружница.

Некои својства на тангентниот четириаголник
-------------------------------------------

Нека тангентниот четириаголник {\displaystyle ABCD\,} е трапез ( {\displaystyle {\overline {AB}}\,||\,{\overline {CD}}} ), чии дијагонали се сечат во одредена точка {\displaystyle O\,}.

Ако се {\displaystyle r\_{1}\,}, {\displaystyle r\_{2}\,}, {\displaystyle r\_{3}\,} и {\displaystyle r\_{4}\,} полупречници на кружници впишани во триаголниците {\displaystyle \Delta ABO\,}, {\displaystyle \Delta BCO\,}, {\displaystyle \Delta CDO\,} и {\displaystyle \Delta DAO\,}, тогаш

{\displaystyle {\frac {1}{r\_{1}}}+{\frac {1}{r\_{3}}}={\frac {1}{r\_{2}}}+{\frac {1}{r\_{4}}}}
И, исто така, ако {\displaystyle s\_{1}\,}, {\displaystyle s\_{2}\,}, {\displaystyle s\_{3}\,} и {\displaystyle s\_{4}\,} се полупериметри на триаголниците {\displaystyle \Delta ABO\,}, {\displaystyle \Delta BCO\,}, {\displaystyle \Delta CDO\,} и {\displaystyle \Delta DAO\,}, тогаш

{\displaystyle \ s\_{1}+s\_{3}=s\_{2}+s\_{4}}

Формули
-------

| Математички формули за тангентни четириаголници |
| --- |
| **Плоштина** | {\displaystyle A=r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)} |  |
| {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {p^{2}\cdot q^{2}-(a\cdot c-b\cdot d)^{2}}}} |
| {\displaystyle A={\sqrt {(e+f+g+h)\cdot (e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f)}}} |
| {\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d-(e\cdot g-f\cdot h)^{2}}}} |
| {\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\beta +\delta }{2}}\right)} |
| **Периметар** | {\displaystyle U=2\cdot (a+c)=2\cdot (b+d)} |
| Должина на **дијагоналите** | {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(e+g)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot f\cdot h)}{f+h}}}} |
| {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(f+h)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot e\cdot g)}{e+g}}}} |
| **Полупречник на впишана кружница** | {\displaystyle r={\frac {A}{a+c}}={\frac {A}{b+d}}} |
| {\displaystyle r={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{e+f+g+h}}}} |

Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот

{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta }
Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник, т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница. Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна

{\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}}
Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките {\displaystyle k={\overline {PR}}} и {\displaystyle l={\overline {QS}}}. Се применува

{\displaystyle k={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (g+h)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}}
{\displaystyle l={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+h)\cdot (f+g)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}}
Ова резултира со соодносот на должините

{\displaystyle {\frac {k}{l}}={\sqrt {\frac {(f+g)\cdot (e+h)}{(e+f)\cdot (g+h)}}}={\sqrt {\frac {b\cdot d}{a\cdot c}}}}

Поврзано
--------

* Тетивен четириаголник
* Тетивно-тангентен четириаголник

Наводи
------

1. ↑  Војислав Петровић, *Тетивни и тангентни четвороуглови*, Друштво математичара Србије. Предлошка:Page1

Надворешни врски
----------------

|  |  |
| --- | --- |
| Ризница | „Тангентни четириаголници" на Ризницата ? |