**Хелмхолцова равенка** – елиптична парцијална диференцијална равенка:

{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=0}
каде {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} претставува Лапласов оператор, {\displaystyle k} е бранов број, а {\displaystyle U} амплитуда.
Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:

{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f}

Извод
-----

Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:

{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.} (1)
Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:

{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).} (2)
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:

{\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.} (3)
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:

{\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}} (4)
и

{\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}} (5)
Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:

{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.} (6)
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција {\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc} се добива:

{\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}
Притоа *k* е бранов вектор, а *ω* е аголна честота.

Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите
---------------------------------------------------------------

За Хелмхолцовата равенка:

{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0} (7)
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}}
Заради тоа равенката (7) станува:

{\displaystyle {1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0} (8)
Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:

{\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,}
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,} (9)
и

{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,} (10)
Решенијата од (9) и (10) се:

{\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,}
{\displaystyle R(r)=\gamma J\_{n}(\rho ),\,}
каде {\displaystyle J\_{n}(\rho )} е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

{\displaystyle \rho ^{2}J\_{n}''+\rho J\_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J\_{n}=0,}
### Тридимензионално решение во сферни координати

Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

{\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum \_{\ell =0}^{\infty }\sum \_{m=-\ell }^{\ell }(a\_{\ell m}j\_{\ell }(kr)+b\_{\ell m}y\_{\ell }(kr))Y\_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).}
каде 
{\displaystyle j\_{\ell }(kr)} и {\displaystyle y\_{\ell }(kr)} се сферни Беселови функции, а :{\displaystyle Y\_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })} ги претставува сферните хармоници.

Нехомогена Хелмхолцова равенка
------------------------------

Нехомогената Хелмхолцова равенка:

{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f}
се решава со помош на Гриновата функција, односно:

{\displaystyle \nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,}
Бидејќи е:

{\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}
{\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}

тогаш е тридимензионална Гринова функција:

{\displaystyle G\_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G\_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

{\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}
а Гриновата функција како:

{\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
{\displaystyle U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}

Поврзано
--------

Лапласова равенка

Надворешни врски
----------------

* Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Helmholtz equation", *Математичка енциклопедија*, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
* Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
* Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Нормативна контрола | 
* WorldCat
* LCCN: sh85060070
* GND: 4159528-2
* BNF: cb122894221 (податоци)

 |

 |