**Паскалово правило** — комбинаторно равенство за биномни коефициенти. Според правилото, за секој природен број *n* важи:

{\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n}
каде {\displaystyle {n \choose k}} е биномен коефициент. Ова обично се запишува и како:

{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n+1}
Правилото е именувано по францускиот математичар Блез Паскал.

Комбинаторен доказ
------------------

Паскаловото правило има интуитивно комбинаторно значење. Ако се потсетиме дека {\displaystyle {a \choose b}} означува на колку многу начини може да се избере подмножество со *b* елементи од множество со *a* елементи. Поради тоа, десната страна на равенството {\displaystyle {n \choose k}} претставува пребројување за тоа на колку начини може да се избере подмножество со *k* елементи од множество со *n* елементи.

Претпоставуваме дека во множеството со *n* елементи се разликува некој член *x*. На тој начин, секој пат кога се избира подмножество со *k* елементи, постојат две можности: *x* се наоѓа во подмножеството или не. Ако *x* се наоѓа во подмножеството, потребно е да се изберат уште само *k* - 1 елементи (затоа што е познато дека *x* ќе биде во подмножеството) од преостанатите *n* - 1 елементи. Ова може да биде направено на {\displaystyle n-1 \choose k-1}. Ако *x* не се наоѓа во подмножеството, потребно е да се изберат сите *k* елементи од *n* - 1 елементи што се разликуваат од *x*. Ова може да биде направено на {\displaystyle n-1 \choose k} начини. Оттука може да се заклучи дека бројот на начини за да избере подмножество со *k* елементи од множество со *n* елементи, што изнесува {\displaystyle {n \choose k}}, е исто така еднакво на {\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}

Алгебарски доказ
----------------

Во алгебарскиот доказ е потребно да се докаже следното:

{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}.}
Со разложување на десната страна од равенството се добива:

{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}+{n \choose k-1}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\&=n!\left[{\frac {n+1-k}{k!(n+1-k)!}}+{\frac {k}{k!(n+1-k)!}}\right]\\&={\frac {n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}}={\binom {n+1}{k}}\end{aligned}}}

Воопштување
-----------

Нека {\displaystyle n,k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p},p\in \mathbb {N} ^{\*}\,\!} и {\displaystyle n=k\_{1}+k\_{2}+k\_{3}+\cdots +k\_{p}\,\!}. Тогаш, следува дека:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k\_{1}-1,k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}+{n-1 \choose k\_{1},k\_{2}-1,k\_{3},\dots ,k\_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k\_{1}-1)!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k\_{1}!(k\_{2}-1)!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots (k\_{p}-1)!}}\\&={\frac {k\_{1}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+{\frac {k\_{2}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+\cdots +{\frac {k\_{p}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={\frac {(k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{p})(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}\\={\frac {n(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={n \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}.\end{aligned}}}

Поврзано
--------

* Паскалов триаголник

Користена литература
--------------------

* Merris, Russell. *Combinatorics*. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

Надворешни врски
----------------

* 

* Central binomial coefficient - PlanetMath (англиски)
* 

* Binomial coefficient - PlanetMath (англиски)
* 

* Pascal's triangle - PlanetMath (англиски)

* Портал: Математика

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * п
* р
* у
Полиња на математиката |
| --- |
|  |
| 
Логика **·** 
Теорија на множествата **·** 
Комбинаторика **·** 
Алгебра (елементарна – линеарна – апстрактна) **·** 
Теорија на броевите **·** 
Анализа/Виша анализа **·** 
Геометрија **·** 
Топологија **·** 
Диференцијални равенки/Динамички системи **·** 
Математичка физика **·** 
Нумеричка анализа **·** 
Сметање **·** 
Теорија на информацијата **·** 
Веројатност **·** 
Статистика **·** 
Оптимизација **·** 
Теорија на игрите
 |
|  |
| **Категорија**  **·**  Портал „Математика"  **·**  Теми |

 |