Други изрази за наклон на права: коефициент на правец, градиент, косина

**Наклон** на една права е број кој прецизно го опишува правецот и стрмнината на правата.

* Наклонот на линеарна функција {\displaystyle y(x)=ax+b} е константната вредност {\displaystyle a}. На пример, правата   {\displaystyle y(x)=-2x+4}   има наклон   {\displaystyle a=-2}.
* Наклонот *a* на права e мерило на правецот на правата.
	+ Ако *a*>0, т.е. ако *a* е **позитивен** број, тогаш правата оди **нагоре** надесно (линеарната функција монотоно расте). Стави ги твоите пари во оваа банка.
	+ Ако *a*<0, т.е. ако *a* е **негативен** број, тогаш правата оди **надолу** надесно (линеарната функција монотоно опаѓа). Банката опаѓа = пропаѓа.
	+ Ако *a*=0 тогаш функцијата ниту расте, ниту опаѓа, односно правата е хоризонтална (константна функција).
* Апсолутната вредност на наклонот е мерило на стрмнината на правата.
	+ Ако |*a*|<1 тогаш наклонот е благ.
	+ Ако |*a*|>1 тогаш наклонот е остар.
	+ Ако |*a*|=1 тогаш наклонот е 1 спрема 1, т.е. 45°.
* Ако *а* е наклонот на една права и точката (*х*,*у*) лежи на правата, тогаш лежи и точката (*х*+1, *у*+*а*).
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се паралелни или се совпаѓаат (се преклопуваат).

|  |
| --- |
| **Примери** |
| {\displaystyle y=3x-2} | {\displaystyle y=-3x} | {\displaystyle y=-6x+100} | {\displaystyle y=0,001x+0,001} |
|  |  |  |  |
| {\displaystyle a=3} | {\displaystyle a=-3} | {\displaystyle a=-6} | {\displaystyle a=0,001} |
| **Правец** |
| {\displaystyle a=3>0} | {\displaystyle a=-3<0} | {\displaystyle a=-6<0} | {\displaystyle a=0,001>0} |
| позитивен наклон, расте | негативен наклон, опаѓа | негативен наклон, опаѓа | позитивен наклон, расте |
| **Стрмнина** |
| {\displaystyle |a|=3>1} | {\displaystyle |a|=3>1} | {\displaystyle |a|=6>1} | {\displaystyle |a|=0,001<1} |
| стрмна | стрмна | стрмна | блага (100-пати поблага од што е
прикажана. (Размерот е 100:1) |

Пример за примена на наклон: Брзината {\displaystyle v=v(t)} на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина {\displaystyle v\_{0}} се опишува со линеарната функција: {\displaystyle v(t)=-9.81t+v\_{0}}  [m/s], каде што 9,81  [m/s2] e гравитациска константа, a {\displaystyle v\_{0}} е почетна брзина. Тука времето *t* ја игра улогата на независно променливата *х*, а брзината *v* ја игра улогата на зависно променливата *y*. Коефициентот пред *t*, односно наклонот на функцијата е {\displaystyle a=-9.81}. Според горе наведената дефиниција на наклон ова значи: за секое зголемување на времето *t* за 1, брзината *v* на предметот опаѓа за 9,81 [m/s]. На пример, ако {\displaystyle v\_{0}=0} (предметот е испуштен без почетна брзина), после 1 секунда брзината на предметот е -9,81[m/s], после 2 секунди брзината е -19,62[m/s],... Ова одговара на физиката, односно предметот паѓа побрзо и побрзо.

Графичко претставување на права со наклон
-----------------------------------------

Нека е дадена равенката на една права во екплицитен облик:   {\displaystyle y(x)=ax+b}. 

* Пресекот на правата со *у*-оската е точката (0,*b*). Внеси ја оваа точка во координатниот систем.
* Тргнувајќи од **таа точка**, оди хоризонтално надесно за растојание 1, па потоа вертикално за растојание *а* и тоа нагоре ако *a*>0 или надолу ако *a*<0. Оваа точка ги има координатите (0+1,*b*+*a*)=(1,*b*+*a*).
* Сега имаме две точки, па ја цртаме соодветната права.

Забелешки: 

* Доколку правата е зададена во друг облик, или треба да се постави во експлицитен облик (решејќи ја равенката за *у*) или да се користи друг метод за графичко претставување (на пример, табела со замена на две вредности). Целта е секогаш истата, т.е. најде две посебни точки, па цртај ја правата.
* Поради тоа што на права задена во експлицитен облик, веднаш се воочуваат и наклонот *a* и *у*-пресекот *b*, честопати овој облик се нарекува *наклон-пресек облик*.
* При константна функција *у*=*b*, наклонот е *а*=0. Нацртај ја точката (0,*b*), па одејќи хоризонтално надесно за растојание 1, па вертикално 0 (ниту нагоре, ниту надолу) се добива втора точка (1,*b*) на истата хоризонатала со *у*-пресекот. Споејќи ги двете точки се добива хоризонтала права (како што треба).

Наклон: {\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\Theta )}

Пресметување на наклон
----------------------

{\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}    каде што Δ*y* се чита *промена на y* и Δ*х* се чита *промена на х*.
За две точки (*x*1,*y*1) and (*x*2,*y*2) имаме Δ*х*=*x*2 − *x*1, додека Δ*у*=*y*2 − *y*1. Многу е битно да се запази редоследот во заменувањето на вредностите, т.е. „втората - првата". (Види и Формули за равенка на права.)

{\displaystyle a={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}    е формулата за пресметување на наклон.
Оваа формула не работи за вертикални прави *x*=*c* поради тоа што сите точки на оваа права ја имаат истата *х*-кооридината со што именителот на наклонот е 0. Пишуваме *а*=∞, а велиме дека наклонот не е дефиниран.

### Наклон на паралела

Две прави се паралелни, т.е. две прави немаат ниту една заедничка точка ако и само ако наколните на двете прави е ист број. Види паралелни прави.

### Наклон на нормала

Нормала на една права во одредена точка е друга права која врви низ дадената точки и е нормална на првата права, т.е. правите се сечат под прав агол. Независно од зададената точка, ако наклонот на првобитната права е *а*, тогаш наклонот на нормалата е -1⁄a. Види нормални прави.

Пресметување на наклон
### Примери

**Пример:** Една права врви низ точките: *P* = (1, 2) and *Q* = (13, 8). Наклонот на правата е  {\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}, а користејќи ги формулите за равенка на права следува дека равенката на правата низ P и Q e: {\displaystyle y={\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}}   односно  {\displaystyle y=0,5x+1,5}.  

**Пример:** Уште еден пример за правата која врви низ точки A(4, 15) и B(3, 21). Наклонот на правата   {\displaystyle {\overset {\longleftrightarrow }{AB}}}   е:   {\displaystyle a={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6}, а равенката на правата е: {\displaystyle y=-6x+39}.

**Напомена:** Поимот *наклон на права* има смисла само во 2-димензионален простор (рамнина); наклон на права во 3-димензионален простор нема смисла.

Наклон на пат или железничка пруга
----------------------------------

Наклонот {\displaystyle a} на пат или железничка пруга може да се опише со агол во степени или со процент каде што клучно е дека 100%=45°. Формулите за меѓусебно претворување се: 

{\displaystyle \Theta =\arctan({\frac {a}{100\%}})\,,}  и  {\displaystyle a=100\%\cdot \tan(\Theta ),\,}  каде што Θ е во степени.
Понекогаш се користат промили каде што 100%=1000‰. Трет начин за опишување на наклон е 1 единица нагоре (вертикално) спрема 10, 20, 50 или 100 хоризонтални единици, на пример 1:10. 1:20, 1:50 or 1:100 итн. Забележете дека 1:10 е пострмно од 1:100.

**Пример:** Стрмнина од 10% значи дека патот е 1:10, односно дека е под агол 5,7°.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  Знак за внимание во Холандија | Знак за внимание во Полска | Железнички знак во Чешка со 20‰ = 2% наклон |

Во секоја точка извод е наклонот на права која е тангентата на кривата во таа точка.

Наклон и диференцијално сметање
-------------------------------

Во математичката дициплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод, а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка.

### Наклон на права и извод

Кај линеарна фунцкија брзината на промената на *у* во односно на *х* е константна, т.е. иста во сите точки, односно е *а* за сите (реални) вредности *х*, и пишуваме изводот на *у*(*x*)=*ax*+*b* постои секаде и е константната функција *у*'(*x*)=*a*. Се разбира дека оваа форумула важи и за константна функција *y*=*b*, односно права каде што наклон е 0. Тука нема никаква промена во функцијата, следува дека изводот е 0 во секоја точка и имаме *у*'(*x*)=0.

### Наклон на тангента на функција

Сега нека *y*=*f*(*x*) е функција од една реална променлива *х*, т.е. *f*:**R**→**R** и нека *f*(*x*) е диференцијабилна (има извод) во точката (*x0*,f(*x0*)). Тогаш тангентата на функцијата во точката *х0* постои, е права, врви низ точката (*x0*,f(*x0*)) и има наклон *f*'(*x0*). Kористејќи ја стандардната нотација каде што 
{\displaystyle y\_{0}=f(x\_{0})}   и    {\displaystyle y'\_{0}=f'(x\_{0})}   и    следува дека равенката на тангентата на *f*(*x*) во оваа точка е:    {\displaystyle y=y'\_{0}(x-x\_{0})+y\_{0}}.

### Наклон на нормала на функција

|  |
| --- |
|  |
| Испрекината црвена права е тангентата, а точкеста кафеава права е нормалата во точката. |

Користејќи ги истите услови и означување како во погорното, равенката на нормалата на *f*(*x*) во точката (*х0*,*y0*) е:    {\displaystyle y={\frac {-1}{y'\_{0}}}(x-x\_{0})+y\_{0}}.

**Пример:** Нека е дадена квадратната функција {\displaystyle y=x^{2}+3x+2}. Оваа функција е диференцијабилна секаде (во секоја точка) со извод: {\displaystyle y'=2x+3}.

За *х0*= -2,5, вредноста на функцијата е: *y0*= 0,75 и вредноста на изводот е: *y'0*= -2.

Во точката (-2,5; 0,75), равенката на тангентата е:   {\displaystyle y=-2\cdot (x-(-2,5))+0,75}  односно  {\displaystyle y=-2x-4,25}, а равенката на нормалата е:   {\displaystyle y={\frac {1}{2}}x+2}. (Нема врска дека нормалата ја пресекува функцијата во *у*-пресекот. Така се погодиле броевите.)

Наводи
------

1. ↑  Gelfand; Glagoleva; Shnol (2002). *Functions and Graphs* (англиски). Dover Books. ISBN 978-0486425641.
2. ↑  „Slope Slider Activity" (англиски). Shodor Educational Foundation, Inc. Посетено на 1 септември 2013./
3. ↑  Стојановска, Л. (2009). „Линеарна Функција". Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување
4. ↑  Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 348–349. Посетено на 1 септември 2013.
5. ↑  „Slope" (англиски). Wikipedia. 2013. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми
-------------

* Права (геометрија)
* Паралелни прави
* Нормални прави
* Линеарна функција
* Калкулус (диференцијално сметање)

Надворешни врски
----------------

* Стојановска, Л. (2009). „Линеарна Функција". Архивирано од изворникот на 2013-03-02. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување
* Bogomolny, A. (2010). „Equations of a Straight Line" (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивнa
* Стефановска, Л. (2012). „Равенки на тангента и нормала на крива". Connexions. Посетено на 1 септември 2013.