Sfēras vispārinājumu *n* > 3 dimensijās sauc par **hipersfēru**, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par **sfēru**. Tāpat kā trīs dimensijās, arī *n* dimensijās (jebkuram *n* ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar *r*.

Hipersfēras vienādojums
-----------------------

### Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (*a*1, *a*2, …, *a**n*) un rādiusu *r* > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (*x*1, *x*2, …, *x**n*), kas apmierina vienādojumu

{\displaystyle \,\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-a\_{i})^{2}=r^{2}.}
### Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1}=a\_{1}&+r\cos \alpha \_{1},\\x\_{2}=a\_{2}&+r\sin \alpha \_{1}\,\cos \alpha \_{2},\\x\_{3}=a\_{3}&+r\sin \alpha \_{1}\,\sin \alpha \_{2}\,\cos \alpha \_{3},\\&{}\,\,\,\vdots \\x\_{n-1}=a\_{n-1}&+r\sin \alpha \_{1}\,\sin \alpha \_{2}\,\sin \alpha \_{3}\,\cdots \,\sin \alpha \_{n-2}\,\cos \alpha \_{n-1},\\x\_{n}\,\,\,\,\,\,=a\_{n}\,\,\,\,\,&+r\sin \alpha \_{1}\,\sin \alpha \_{2}\,\sin \alpha \_{3}\,\cdots \,\sin \alpha \_{n-2}\,\sin \alpha \_{n-1},\end{aligned}}}
kur parametri {\displaystyle \alpha \_{i}\,} apmierina nevienādības

{\displaystyle 0\leq \alpha \_{1},\alpha \_{2},\dots ,\alpha \_{n-2}\leq \pi } un {\displaystyle 0\leq \alpha \_{n-1}<2\pi .}

Hipersfēras laukums un lodes tilpums
------------------------------------

### Virsmas laukuma elements

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu *r* hipersfēriskajā koordinātu sistēmā *n* dimensijās ir

{\displaystyle {\begin{aligned}dS&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x\_{1}}{\partial r}}&{\frac {\partial x\_{1}}{\partial \alpha \_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x\_{1}}{\partial \alpha \_{n-1}}}\\[3pt]{\frac {\partial x\_{2}}{\partial r}}&{\frac {\partial x\_{2}}{\partial \alpha \_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x\_{2}}{\partial \alpha \_{n-1}}}\\[3pt]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[3pt]{\frac {\partial x\_{n}}{\partial r}}&{\frac {\partial x\_{n}}{\partial \alpha \_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x\_{n}}{\partial \alpha \_{n-1}}}\end{vmatrix}}\,d\alpha \_{1}\,d\alpha \_{2}\,\cdots \,d\alpha \_{n-1}\\&=r^{n-1}\left(\prod \_{i=1}^{n-2}\sin ^{n-1-i}\alpha \_{i}\,d\alpha \_{i}\right)d\alpha \_{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}\alpha \_{1}\,\sin ^{n-3}\alpha \_{2}\,\cdots \,\sin \alpha \_{n-2}\,d\alpha \_{1}\,d\alpha \_{2}\,\cdots \,d\alpha \_{n-1}.\end{aligned}}}
### Virsmas laukums

Virsmas laukumu sfērai *n* dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:

{\displaystyle S=\underbrace {\int \_{\alpha \_{1}=0}^{\pi }\int \_{\alpha \_{2}=0}^{\pi }\cdots \int \_{\alpha \_{n-2}=0}^{\pi }} \_{n-2}\int \_{\alpha \_{n-1}=0}^{2\pi }dS.}
Integrējot iegūst

{\displaystyle S={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\,r^{n-1}.}
Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Formulas izvedums[1]

Ieviesīsim funkciju

{\displaystyle f(x\_{1},\dots ,x\_{n})=e^{-(x\_{1}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2})}}
un ar *A* apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot *f* no *-∞* līdz *+∞* visās *n* dimensijās:

{\displaystyle A=\underbrace {\int \_{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \_{-\infty }^{+\infty }} \_{n}e^{-(x\_{1}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2})}dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\left(\int \_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{n}.}
Funkcijas *f* vērtība ir atkarīga tikai no vektora (*x*1, *x*2, …, *x**n*) garuma *r*, tāpēc tā ir konstanta uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir *r*, tad funkcija *f* pieņem vērtību exp(−*r*2) uz tās virsmas. Ievērosim, ka *n* dimensijās sfērai ar rādiusu *r* virsmas laukums *S* ir proporcionāls vienības sfēras laukumam *s* jeb *S* = *sr**n*−1. Tātad tilpuma elements ir *dV* = *sr**n*−1*dr*. Tas nozīmē, ka lielumu *A* var aprēķināt arī šādi:

{\displaystyle A=\int \_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}sr^{n-1}dr.}
Izteiksim šos integrāļus izmantojot Gamma funkciju. Gamma funkciju no *z* > 0 definē ar integrāļa palīdzību:

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=2\int \_{0}^{\infty }r^{2z-1}e^{-r^{2}}dr,}
kur otrā izteiksme ir iegūta ar substitūciju *t* = *r*2. Ievērosim, ka

{\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=2\int \_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr=\int \_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx.}
Tātad pirmajā gadījumā lielumu *A* var izteikt pavisam vienkāršā veidā:

{\displaystyle A={\bigl (}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\bigr )}^{n}={\bigl (}{\sqrt {\pi }}{\bigr )}^{n}.}
Otrajā gadījumā lielumu *A* var izteikt šādi:

{\displaystyle A={\frac {s}{2}}\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}.}
Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu *s*:

{\displaystyle s={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}.}
Tātad laukums sfērai ar rādiusu *r* ir

{\displaystyle S={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}}\,r^{n-1}.}

Laukums un tilpums lodei *n* dimensijās| *n* | *S* | *V* |
| --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle 2\,} | {\displaystyle 2r\,} |
| 2 | {\displaystyle 2\pi r\,} | {\displaystyle \pi r^{2}\,} |
| 3 | {\displaystyle 4\pi r^{2}\,} | {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,} |
| 4 | {\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}\,} |
| 5 | {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}\,} | {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}\,} |
| 6 | {\displaystyle \pi ^{3}r^{5}\,} | {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}\,} |
| 7 | {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}\,} | {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}\,} |
| 8 | {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}\,} | {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}\,} |
| 9 | {\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}\,} | {\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}\,} |

### Lodes tilpums

Tilpumu *n*-dimensionālai lodei ar rādiusu *r* atrod integrējot:

{\displaystyle V=\int \_{0}^{r}S\,dr={\frac {rS}{n}}.}
Izmantojot Gamma funkcijas īpašību {\displaystyle {\tfrac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})=\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}, iegūst

{\displaystyle V={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\,r^{n}.}
### Izteiksmes bez Gamma funkcijas

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma *S* izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][3]

{\displaystyle S={\begin{cases}{\dfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}-1{\bigr )}!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{(n-2)!!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ nepāra}},\end{cases}}}
bet tilpuma *V* izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][4]

{\displaystyle V={\begin{cases}{\dfrac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}!}}\,r^{n}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}\,r^{n}&n{\mbox{ nepāra}}.\end{cases}}}

Hipersfēra un lode mazās dimensijās
-----------------------------------

1. nogrieznis, divi punkti
2. riņķis, riņķa līnija
3. lode, sfēra

Skatīt arī
----------

* Riņķa līnija
* Sfēra

Atsauces
--------

1. ↑  Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3 izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-48-661480-9, §7.3. The general sphere, 125. lpp.
2. 1 2  Skatīt Hyperkoule čehu Vikipēdijā.
3. ↑  Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
4. ↑  Skatīt Hiperkula poļu Vikipēdijā.

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
* Howard Haber, The volume and surface area of an *n*-dimensional hypersphere, lekcijas konspekts.
* Al Lehnen, Properties of Spherical Coordinates in *n* Dimensions.