Kompleksās plaknes vienības riņķis, kur {\displaystyle y} ass ir imagināra un {\displaystyle x} ass ir reāla. Riņķi atlikta eilera formula.
**Eilera formula**, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista triganometriskas funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim {\displaystyle x} izpildās:

{\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}}, kur {\displaystyle e} ir eilera skaitlis, {\displaystyle i} ir imaginārā vienība un {\displaystyle \cos }, {\displaystyle \sin } ir triganometriskās funkcijas kosinuss un sinuss. Formula ir arī spēkā, ja {\displaystyle x} ir komplekss skaitlis.

Kad {\displaystyle x=\pi }, Eilera formula ir vienāda ar {\displaystyle e^{i\pi }=-1}.

Kompleksas pakāpes definīcijas
------------------------------

### Diferenciālvienādojums

Pakāpes funkcija {\displaystyle f(z)=e^{z}}, kur {\displaystyle z} ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

{\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f} un

{\displaystyle f(0)=1}

### Teilora rinda

Priekš kompleksiem mainīgajiem {\displaystyle z} izpildās Teilora rinda:

{\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}.

### Robeža

Priekš kompleksiem mainīgajiem {\displaystyle z} izpildās robeža:

{\displaystyle e^{z}=\lim \_{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {z}{n}})^{n}}

Robežās definīcijas izmantotie {\displaystyle n} ir pozitīvie veselie skaitļi.

Pierādījumi
-----------

Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

### Izmantojot atvasināšanau

Apskatīsim funkciju {\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}} jeb {\displaystyle f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })}, kur {\displaystyle \theta } ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc {\displaystyle \theta } ar reizināšanas kārtulu iegūst: 

{\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta }}=-ie^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })+e^{-i\theta }(-\sin {\theta }+i\cos {\theta }))}, iznesot pirms iekavām {\displaystyle e^{-i\theta }} iegūst {\displaystyle e^{-i\theta }(-i\cos {\theta }+\sin {\theta }-\sin {\theta }+i\cos {\theta })}. Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad {\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta }}} ir nulle, jeb {\displaystyle f(\theta )} ir konstanta funkcija. Tā kā {\displaystyle f(0)=1}, tad pie jebkuras vērtības {\displaystyle \theta } izpildās {\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}=1}, jeb {\displaystyle \cos {\theta }+i\sin {\theta }=e^{i\theta }}.

### Izmantojot Teilora rindu

Teilora rindas pierādījuma animācija
Izmantojot imaginārās vienības {\displaystyle i} pakāpju īpašības:

{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem {\displaystyle x}:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz {\displaystyle \cos {x}} un {\displaystyle \sin {x}} funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

Saistība ar trigonometriju
--------------------------

Saistība sinuss, kosinuss un imaginārās pakāpes funkcijai.
Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}

Šīs divas izteiksmes var iegūt saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot {\displaystyle \cos } vai {\displaystyle \sin }:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}

Atsauces
--------

1. ↑  «Eilera formula | Tēzaurs». *tezaurs.lv*. Skatīts: 2024-01-26.
2. 1 2  «RTU Kompleksā mainīgā funkciju teorijas nozīme». 6. lpp.