**Matricu reizināšana** ir bināra operācija, kurā tiek reizināts matricu pāris, šīs operācijas rezultātā tiek iegūta jauna matrica. Skaitļi (piemēram, reāli, kompleksi skaitļi) var tikt reizināti kā elementārajā aritmētikā.

Pastāv vairāki veidi, kā reizināt matricas, no kuriem vienkāršākais ir reizināšana ar skaitli. Matricu reizināšana nav komutatīva, kas nozīmē, ka *A* · *B* ≠ *B* · *A*. Ja tiek reizināta matrica **A** (*n* × *m* matrica) un **B** (*m* × *p* matrica), tad reizināšanas rezultāts **AB** ir *n* × *p* matrica.

Reizināšana
-----------

### Reizināšana ar skaitli

Vienkāršākā reizināšana ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli.

Skaitļa *λ* reizinājums ar matricu **A** ir matrica *λ***A**, kuras izmērs ir tāds pats, kā matricai **A**. Matricas *λ***A** locekļus definē kā

{\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )\_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)\_{ij}\,,}
kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

{\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A\_{11}&A\_{12}&\cdots &A\_{1m}\\A\_{21}&A\_{22}&\cdots &A\_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A\_{n1}&A\_{n2}&\cdots &A\_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A\_{11}&\lambda A\_{12}&\cdots &\lambda A\_{1m}\\\lambda A\_{21}&\lambda A\_{22}&\cdots &\lambda A\_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A\_{n1}&\lambda A\_{n2}&\cdots &\lambda A\_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}
Līdzīgi tiek definēts matricas **A** reizinājums ar skaitli *λ*

{\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )\_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)\_{ij}\lambda \,,}
kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

{\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A\_{11}&A\_{12}&\cdots &A\_{1m}\\A\_{21}&A\_{22}&\cdots &A\_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A\_{n1}&A\_{n2}&\cdots &A\_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A\_{11}\lambda &A\_{12}\lambda &\cdots &A\_{1m}\lambda \\A\_{21}\lambda &A\_{22}\lambda &\cdots &A\_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A\_{n1}\lambda &A\_{n2}\lambda &\cdots &A\_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}
Piemērs ar reālu skaitli un matricu:

{\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}
{\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}
### Divu matricu reizināšana

Ja **A** ir *n* × *m* matrica un **B** ir *m* × *p* matrica,

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A\_{11}&A\_{12}&\cdots &A\_{1m}\\A\_{21}&A\_{22}&\cdots &A\_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A\_{n1}&A\_{n2}&\cdots &A\_{nm}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B\_{11}&B\_{12}&\cdots &B\_{1p}\\B\_{21}&B\_{22}&\cdots &B\_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B\_{m1}&B\_{m2}&\cdots &B\_{mp}\\\end{pmatrix}}}
tad **matricu reizinājums** **AB** (kas tiek apzīmēts bez kaut kādām reizinājuma zīmēm vai punktiem) ir *n* × *p* matrica

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\left(\mathbf {AB} \right)\_{11}&\left(\mathbf {AB} \right)\_{12}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)\_{1p}\\\left(\mathbf {AB} \right)\_{21}&\left(\mathbf {AB} \right)\_{22}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)\_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\mathbf {AB} \right)\_{n1}&\left(\mathbf {AB} \right)\_{n2}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)\_{np}\\\end{pmatrix}}}
kur katrs *i, j* loceklis ir iegūts, reizinot *Aik* elementu ar *Bkj* elementu, kur *k* = 1, 2, ... *m* un tiek saskaitīti rezultāti līdz *k*:

{\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )\_{ij}=\sum \_{k=1}^{m}A\_{ik}B\_{kj}\,.}
Tas nozīmē, ka reizinājums *AB* ir definēts, ja kolonnu skaits *A* matricā sakrīt ar rindu skaitu *B* matricā. Reizinājuma rezultāta matricā rindu skaits ir vienāds ar *A* rindu skaitu, savukārt kolonnu skaits — ar *B* kolonnu skaitu.

#### Ilustrācija

{\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrica}}}{\begin{bmatrix}{\color {Brown}{a\_{11}}}&{\color {Brown}{a\_{12}}}\\\cdot &\cdot \\{\color {Orange}{a\_{31}}}&{\color {Orange}{a\_{32}}}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrica}}}{\begin{bmatrix}\cdot &{\color {Plum}{b\_{12}}}&{\color {Violet}{b\_{13}}}\\\cdot &{\color {Plum}{b\_{22}}}&{\color {Violet}{b\_{23}}}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrica}}}{\begin{bmatrix}\cdot &x\_{12}&x\_{13}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &x\_{32}&x\_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}
Vērtības krustpunktos ir iegūstamas ar šādām darbībām:

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{12}&={\color {Brown}{a\_{11}}}{\color {Plum}{b\_{12}}}+{\color {Brown}{a\_{12}}}{\color {Plum}{b\_{22}}}\\x\_{13}&={\color {Brown}{a\_{11}}}{\color {Violet}{b\_{13}}}+{\color {Brown}{a\_{12}}}{\color {Violet}{b\_{23}}}\\x\_{32}&={\color {Orange}{a\_{31}}}{\color {Plum}{b\_{12}}}+{\color {Orange}{a\_{32}}}{\color {Plum}{b\_{22}}}\\x\_{33}&={\color {Orange}{a\_{31}}}{\color {Violet}{b\_{13}}}+{\color {Orange}{a\_{32}}}{\color {Violet}{b\_{23}}}\end{aligned}}}
### Matricu reizināšanas piemēri

Rindas matrica un kolonnas matrica
Ja

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=ax+by+cz\,,}
un

{\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb&xc\\ya&yb&yc\\za&zb&zc\end{pmatrix}}\,.}
Jāievēro, ka **AB** un **BA** ir divas dažādas matricas. Pirmā ir 1 × 1 matrica, bet otrā — 3 × 3 matrica.

Kvadrātiska matrica un kolonnas matrica
Ja

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\px+qy+rz\\ux+vy+wz\end{pmatrix}}\,,}
savukārt **BA** nav definēts.

Kvadrātiskas matricas
Ja

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{pmatrix}}\,,}
un

{\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{pmatrix}}\,.}
Rindas matrica, kvadrātiska matrica un kolonnas matrica
Ja

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ABC} &={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right]=\left[{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha x+\beta y+\gamma z\\\lambda x+\mu y+\nu z\\\rho x+\sigma y+\tau z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&=a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z\,,\end{aligned}}}
**CBA** nav definēts. Jāievēro, ka **A**(**BC**) = (**AB**)**C**, kas ir viena no matricu reizināšanas īpašībām.

Taisnstūrveida matricas
Ja

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\beta +c\gamma &a\rho +b\sigma +c\tau \\x\alpha +y\beta +z\gamma &x\rho +y\sigma +z\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
un

{\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\rho x&\alpha b+\rho y&\alpha c+\rho z\\\beta a+\sigma x&\beta b+\sigma y&\beta c+\sigma z\\\gamma a+\tau x&\gamma b+\tau y&\gamma c+\tau z\end{pmatrix}}\,.}

Komutativitāte
--------------

Piemērs, kas parāda, ka matricu reizināšana nav komutatīva.

{\displaystyle A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\,B={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},}
{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot B&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\B\cdot A&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}

Atsauces
--------

1. ↑  S. Lipcshutz, M. Lipson. *Linear Algebra*. Schaum's Outlines (4th izd.). McGraw Hill (USA), 2009. 30–31. lpp. ISBN 978-0-07-154352-1.
2. ↑  K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. *Mathematical methods for physics and engineering*. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-86153-3.
3. ↑  R. A. Adams. *Calculus, A Complete Course* (3rd izd.). Addison Wesley, 1995. 627. lpp. ISBN 0 201 82823 5.
4. ↑  Horn, Johnson. *Matrix Analysis* (2nd izd.). Cambridge University Press, 2013. 6. lpp. ISBN 978 0 521 54823 6.

Ārējās saites
-------------

* *MathWorld* ieraksts (angliski)
* *PlanetMath* ieraksts (angliski)
* Kā reizināt matricas (angliski)
* Kā operēt ar matricām (angliski)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * s
* d
* l
Lineārā algebra |
| --- |
|  |
| Pamata koncepti | 
* Skalārs lielums
* Vektors
* Vektoru telpa
* Skalāra reizināšana
* Vektora projekcija
* Lineārais sprīdis
* Lineārais plāns
* Lineārā projekcija
* Lineārā neatkarība
* Lineārā kombinācija
* Bāze
* Bāzes maiņa
* Rindu un kolonnu vektori
* Rindu un kolonnu lauki
* Kodols
* Īpašvērtības un īpašvektori
* Transponēšana
* Lineārie vienādojumi

 | Trīs dimensiju Eiklīda telpa |
|  |
| Matricas | 
* Bloks
* Sadalīšana
* Apgrieztā
* Minors
* Reizināšana
* Ranks
* Transformācija
* Krāmera formulas (likums)
* Gausa izslēgšanas metode

 |
|  |
| Bilinearitāte | 
* Ortogonalitāte
* Skalārais reizinājums
* Iekšējā reizinājuma telpa
* Vektoriāls reizinājums
* Grama–Šmita process

 |
|  |
| Multilineārā algebra | 
* Determinants
* Vektoriālais reizinājums
* Jauktais reizinājums
* Septiņu-dimensiju vektoriālais reizinājums
* Ģeometriskā algebra
* Ārējā algebra
* Bivektors
* Multivektors
* Tenzors
* Outermorfisms

 |
|  |
| Vektoru lauka konstrukcijas | 
* Duāla
* Tiešā summa
* Funkcijas telpa
* Koeficients
* Apakšlauks
* Tenzorreizinājums

 |
|  |
| kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā | 
* Peldošo punktu
* Skaitliskā stabilitāte
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* Retināta matrica
* Lineārās algebras programmatūras bibliotēkas

 |
|  |
| 
* Category Kategorija
* Wikibooks page Wikibook (En)
* Wikiversity page Wikiversity (En)

 |

 |