Grafiks funkcijai, kuras vērtība *f(x)*, argumentam *x* pārsniedzot vērtību *S*, atrodas attālumā *ε* no *L*
Matemātikā **robeža** ir vērtība, uz kuru tiecas funkcija vai skaitļu virknes elementi. Robežas ir nozīmīga matemātiskās analīzes sastāvdaļa, un tās tiek izmantotas bezgalības, atvasinājumu un integrāļu, kā arī matemātikas konstanšu definēšanā.

Apzīmējums
----------

Formulās robeža parasti tiek apzīmēta, izmantojot vārdu **lim**, pilnajā formā {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=a}, un robežvērtība, kurai tuvojas funkcija, tiek rakstīta aiz labās bultiņas (→), proti, *a**n* → *a*.

Pamatjēdzieni
-------------

Funkcijas y=f(x), kad {\displaystyle x\rightarrow a}, robeža ir skaitlis {\displaystyle b}, ja katram pozitīvam skaitlim {\displaystyle \varepsilon } var atrast tādu pozitīvu skaitli {\displaystyle \delta }, ka ar visām tām x vērtībām, izņemot {\displaystyle x=a}, kurām {\displaystyle |x-a|<\delta }, ir spēkā nevienādība {\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }.

Funkcijas robežu, kad {\displaystyle x\rightarrow a} un {\displaystyle x>a}, sauc par robežu no labās puses {\displaystyle \lim \_{x\to a+0}f(x)}. Funkcijas robežu, kad {\displaystyle x\rightarrow a} un {\displaystyle x<a}, sauc par robežu no kreisās puses {\displaystyle \lim \_{x\to a-0}f(x)}. Abas šīs robežas sauc par vienpusējām. Ja {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=b}, tad {\displaystyle \lim \_{x\to a+0}f(x)={\displaystyle \lim \_{x\to a-0}f(x)}=b}. Ja {\displaystyle \lim \_{x\to a+0}f(x)\neq {\displaystyle \lim \_{x\to a-0}f(x)}}, tad {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)} neeksistē.

Ja {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=0}, tad y=f(x) sauc par bezgalīgi mazu funkciju. Ja {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=\infty }, tad y=f(x) sauc par bezgalīgi lielu funkciju. Šādu funkciju īpašības:

* bezgalīgi mazas funkcijas apgrieztā (inversā) funkcija ir bezgalīgi liela funkcija, savukārt, bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija;
* bezgalīgi mazu funkciju summa ir bezgalīgi maza funkcija;
* bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija;
* bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija;
* bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar funkciju, kuras robeža nav nulle, ir bezgalīgi maza funkcija.

Robežu īpašības
---------------

* {\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)\pm g(x))={\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)}\pm {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)}};
* {\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))={\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)}\cdot {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)}};
* {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)}}}, ja {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)\neq 0};
* ja katram x punkta a apkārtnē {\displaystyle f(x)<M}, tad {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)\leq M};
* ja katram x punkta a apkārtnē {\displaystyle f(x)<g(x)}, tad {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)<{\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)}};
* ja katram x punkta a apkārtnē {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)} un {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)={\displaystyle \lim \_{x\to a}h(x)}=b}, tad {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)=b}.

Nenoteiktības
-------------

Piemēri funkcijām ar vērtībām, kurām nav noteikta limita
Nenoteiktības ir {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}, {\displaystyle {\frac {0}{0}}}, {\displaystyle \infty -\infty }, {\displaystyle 0\cdot \infty }, {\displaystyle 1^{\infty }}, {\displaystyle 0^{0}}, {\displaystyle \infty ^{0}}, šajos gadījumos rezultātā var būt gan bezgalība, gan nulle, gan cits galīgs skaitlis. Lai aprēķinātu robežu ar nenoteiktību, jāpārveido funkcija: dala katru skaitli ar augstāko mainīgā pakāpi vai pārveido un pēc tam saīsina izteiksmi.

Lai novērstu {\displaystyle {\frac {0}{0}}} nenoteiktību, kad izteiksme satur trigonometrisku funkciju, var izmantot pirmo ievērojamo robežu

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {sinx}{x}}=1}.

{\displaystyle 1^{\infty }} nenoteiktību var novērst, izmantojot otro ievērojamo robežu

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }(1+{\frac {1}{x}})^{x}=e} vai {\displaystyle \lim \_{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e},kur {\displaystyle e} ir Eilera skaitlis.

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzināšana
------------------------------------

Robežu aprēķināšanai dažkārt ērti izmantot bezgalīgi mazu funkciju salīdzināšanu.

Divas bezgalīgi mazas funkcijas {\displaystyle \alpha (x)} un {\displaystyle \beta (x)} sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad {\displaystyle x\to 0}, ja

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=C},

kur {\displaystyle C} ir galīgs skaitlis, kurš nav nulle.

Ja {\displaystyle C=1}, {\displaystyle \alpha (x)} un {\displaystyle \beta (x)} ir ekvivalentas funkcijas:

{\displaystyle \alpha (x)\sim \beta (x)}.

Aprēķinot bezgalīgi mazu funkciju attiecības robežu, tās var aizvietot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām. Savsarpēji ekvivalentas ir ({\displaystyle x\to 0}) {\displaystyle sinx\sim x}, {\displaystyle 1-cosx={\frac {x^{2}}{2}}}, {\displaystyle tgx\sim x}, {\displaystyle e^{x}-1\sim x}, {\displaystyle \ln(1+x)\sim x}, {\displaystyle (1+x)^{\alpha }-1=\alpha x}, {\displaystyle arcsinx\sim x}, {\displaystyle arctgx\sim x} un citas funkcijas.

Bezgalīgi mazai funkcijai {\displaystyle \alpha (x)} ir augstāka kārta nekā bezgalīgi mazai funkcijai {\displaystyle \beta (x)} (to pieraksta kā {\displaystyle \alpha =O(\beta )}), ja

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=0}.

Ja {\displaystyle \alpha =o(\beta )}, tad

{\displaystyle \alpha (x)+\beta (x)\sim \beta (x)}.

{\displaystyle \alpha (x)} sauc par n-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājumā ar {\displaystyle \beta (x)}, kad {\displaystyle x\to a} (to pieraksta kā {\displaystyle \alpha =O((\beta (x))^{n})}), ja

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{(\beta (x))^{n}}}=C}.

Funkcijas nepārtrauktība, funkcijas pārtraukumi
-----------------------------------------------

Funkcijas {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} grafiks. Funkcija nav definēta, ja {\displaystyle x=0}, tas ir funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty }, {\displaystyle \lim \_{x\to -0}{\frac {1}{x}}=-\infty }
Funkcija y=f(x) ir nepārtraukta punktā {\displaystyle x\_{0}}, ja 

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}\Delta y(x\_{0})=0},

kur {\displaystyle \Delta x=x\_{1}-x\_{0}} ir argumenta pieaugums, {\displaystyle \Delta y=f(x\_{1})-f(x\_{0})} ir funkcijas pieaugums.

Ja funkcija ir nepārtraukta šajā punktā, tad

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to x\_{0}}f(x)=f(x\_{0})}.

Ja funkcija ir pārtraukta punktā {\displaystyle x\_{0}},

* {\displaystyle x\_{0}} sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja abas vienpusīgās robežas ir galīgas, kad {\displaystyle x\to x\_{0}};
* {\displaystyle x\_{0}} sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusīgajām robežām ir bezgalība vai neeksistē, kad {\displaystyle x\to x\_{0}}.

Atsauces
--------

1. ↑  Inta Volodko. *Augstākā matemātika*. Zvaigzne ABC, 2007. ISBN 978-9984-37-811-4.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritatīvā vadība | 
* GND: 4316404-3
* NDL: 00567231

 |

 |