**Kvadrātvienādojums** ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

ax^{2}+bx+c=0,\,
kur x ir nezināmais un a ≠ 0. Izteiksmi ax^{2}+bx+c sauc par **kvadrāttrinomu**. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes
-------------------------

Kvadrātvienādojuma ax^{2}+bx+c=0 saknes x\_{1} un x\_{2} var aprēķināt pēc formulas

x\_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}
jeb (izvērstā veidā)

x\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad \quad x\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.
Lietot var arī - x\_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}

Kvadrātvienādojuma diskriminants
--------------------------------

Lielumu

D=b^{2}-4ac\,
sauc par kvadrātvienādojuma ax^{2}+bx+c=0 **diskriminantu**. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

* ja D>0, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
* ja D=0, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas x=-b/2a;
* ja D<0, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos
--------------------------------------

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma ax^{2}+bx+c=0 saknes x\_{1} un x\_{2}, tad attiecīgo kvadrāttrinomu ax^{2}+bx+c var sadalīt reizinātājos:

ax^{2}+bx+c=a(x-x\_{1})(x-x\_{2}).\,

Vjeta teorēma
-------------

Ja x\_{1} un x\_{2} ir kvadrātvienādojuma x^{2}+px+q=0 saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu p, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar q:

x\_{1}+x\_{2}=-p,\quad \quad x\_{1}x\_{2}=q.
Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ax^{2}+bx+c=0, kur a ≠ 0, un x\_{1} un x\_{2} ir tā saknes, tad

x\_{1}+x\_{2}=-b/a,\quad \quad x\_{1}x\_{2}=c/a.
Šo apgalvojumu sauc par **Vjeta teorēmu**, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja x\_{1} un x\_{2} ir kvadrātvienādojuma x^{2}+px+q=0 saknes, tad ir spēkā vienādība

(x-x\_{1})(x-x\_{2})=x^{2}+px+q.\,
Atverot iekavas, iegūstam

{\begin{aligned}(x-x\_{1})(x-x\_{2})&=x^{2}-x\_{1}x-x\_{2}x+x\_{1}x\_{2}\\&=x^{2}\underbrace {-(x\_{1}+x\_{2})}\_{{p}}x+\underbrace {x\_{1}x\_{2}}\_{{q}}.\end{aligned}}
Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā ax^{2}+bx+c=0, kur a ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar a un iegūt kvadrātvienādojumu

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.
Šis kvadrātvienādojums ir formā x^{2}+px+q=0, kur p=b/a un q=c/a, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

x\_{1}+x\_{2}=-b/a,\quad \quad x\_{1}x\_{2}=c/a,
kur x\_{1} un x\_{2} ir vienādojuma x^{2}+px+q=0 saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad x\_{1} un x\_{2} ir arī vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 saknes.

Skatīt arī
----------

* Bikvadrātvienādojums
* Diskriminants
* Lineārs vienādojums
* Polinoms
* Vienādojums

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
* Quadratic formula Archived 2009. gada 15. augustā, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.
* Quadratic equation in **C** Archived 2010. gada 27. aprīlī, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.
* Derivation of quadratic formula Archived 2008. gada 2. decembrī, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.
* Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
* Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation Archived 2007. gada 10. novembrī, *Wayback Machine* vietnē. 101 uses of a quadratic equation: Part II Archived 2007. gada 22. oktobrī, *Wayback Machine* vietnē. Plus, 2004.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * s
* d
* l
Polinomi un polinomiālās funkcijas |
| --- |
|  |
| Pēc pakāpes | 
* Nulles polinoms (pakāpe nav definēta vai −1 vai −∞)
* Konstanta funkcija (0)
* Lineāra funkcija (1)
	+ Lineārs vienādojums
* Kvadrātiskā funkcija (2)
	+ Kvadrātvienādojums
* Kubiskā funkcija(3)
	+ Kubiskais vienādojums
* Kvartiskā funkcija (4)
	+ Kvartiskais vienādojums
* Kvintiskā funkcija (5)
* Sekstiskais vienādojums (6)
* Septiskais vienādojums (7)

 |
|  |
| Pēc īpašībām | 
* Univariate
* Bivariate
* Multivariate
* Monoms
* Binoms
* Trinoms
* Nereducējams polinoms
* Bezkvadrāta
* Homogēns
* Kvazihomogēns

 |
|  |
| Rīki un algoritmi | 
* Faktorizācija
* Lielākais kopīgais dalītājs
* Division
* Hornera metode
* Rezultants
* Diskriminants
* Gröbner basis

 |

 |