Skaitļu teorijā perfekts skaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir vienāds ar tā pozitīvo īsto dalītāju summu, tas ir, dalītāji, izņemot pašu skaitli.
Piemērs:
Skaitli 6 bez atlikuma var dalīt ar 1, 2 un 3 (neskaitiet skaitli 6).
dalītāju summa ir = 1 + 2 + 3 = 6.
Tāpēc skaitlis 6 ir ideāls skaitlis.

  

Starp 0 un 100 ir tikai vēl viens ideāls skaitlis: 28.
28 => 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (neskaitiet skaitli 28) = 28.

  

Izmēģiniet skaitli 10 => 1, 2, 5 => 8.
Skaitlis 10 nav ideāls skaitlis.

  

Dodieties līdz 10000, un jūs atradīsiet nākamos 2 ideālos skaitļus: 496 un 8128.
Šie 4 skaitļi bija vienīgie ideālie skaitļi, ko senie grieķi zināja ap 300. gadu p.m.ē.
Kas ir kopīgs visos šajos skaitļos?

 6
 28
 496
 8128

1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk.
2) Pēdējie cipari mainās starp vērtībām 6 un 8.
3) Visi šie skaitļi ir pāra.

  

Bet paskatīsimies, ko vēl mēs varam atrast?
Skatiet, cik tas ir pārsteidzoši: tie visi ir līdzīgu secīgu skaitļu secību summa:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31
8128 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31 + ... + 126 + 127

Bet kas ir vēl interesantāks: visi, izņemot 6, ir nepāra kubu summa:
28 = 13 + 33 = 1 + 28
496 = 13 + 33 + 53 + 73
8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + ... + 153

Bet tas, kas jūs satriektu, ir tas, ka, ierakstot tos binārā kodā:

6 = 110 = 22 + 21
28 = 11100 = 24 + 23 + 22
496 = 111110000 = 28 + 27 + 26 + 25 + 24
8128 = 1111111000000 = 212 + 211 + 210 + 29 + 28 + 27 + 26

un, kā redzat, tās ir secīgas jaudas skaitļa 2.

  

Apmēram 300. gadu pirms mūsu ēras Eiklīds pamanīja rakstu:

a) Paņemiet skaitli 1 un dubultojiet to. Jums ir 2. Tagad turpiniet tos dubultot. Jums bus šāda secība:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... un tā tālāk.

b) Tagad, sākot no 1, pievienojiet tam nākamo skaitli:
1 + 2 = 3

ja tas beidzas ar pirmskaitļu, jūs to reiziniet ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 2):
3 x 2 = 6 - pirmais ideālais skaitlis!

c) Tagad turpināsim to darīt:
1 + 2 + 4 = 7, kas atkal ir pirmskaitlis.

Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 4):
7 x 4 = 28 - otrais ideālais skaitlis!

d) Nākamais solis sniedz mums:
1 + 2 + 4 + 8 = 15, kas nav pirmskaitlis, tāpēc mēs turpinām:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, kas atkal ir pirmskaitlis.

Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 16):
31 x 16 = 496 - trešais ideālais skaitlis!

Tagad varat turpināt to darīt, lai atrastu arvien lielākus perfektus skaitļus.

Bet mēs varam arī uzrakstīt , ka:

6 = (1 + 2) x 21 = (22 - 1) x 21
28 = (1 + 2 + 4) x 22 = (23 - 1) x 22
496 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) x 24 = (25 - 1) x 24
.. .. .

Saskaņā ar šo pieeju Eiklīds secināja, kā:
Perfekts skaitlis = (2p - 1)  2p-1, ja (2p - 1) ir pirmskaitlis.

Un šeit mēs nonākam pie ceturtā vispārīgā secinājuma par ideālajiem skaitļiem:
4) Tā kā jūs to reizini ar 2p-1, kas vienmēr ir pāra, arī ideālajiem skaitļiem vienmēr jābūt pāriem.

Pēdējais vispārīgais secinājums ir šāds:
5) Perfekto skaitļu skaits ir bezgalīgs.

  

1230. gadā matemātika Ibn Falluss publicēja pirmo 10 ideālo skaitļu sarakstu:

```
  |  Perfekta skaitlis
```

p | (2p - 1)  2p-1

---

2 | 6
3 | 28
5 | 496
7 | 8128
9 | 130816
11 | 2096128
13 | 33550336
17 | 8589869056
19 | 137438691328
23 | 35184367894528

Piemēram:
p = 19 => (219 - 1)  219-1 = 524287 x 262144 = 137438691328.

Bet vēlāk izrādījās, ka trīs viņa ideālie skaitļi:

9 | 130816
11 | 2096128
23 | 35184367894528

tie nekad nav bijuši ideāli skaitļi! Bet atlikušie tomēr ir:

1. p (2p - 1)  2p-1

1 2 6
2 3 28
3 5 496
4 7 8128
5 13 33550336
6 17 8589869056
7 19 137438691328

Šis rezultāts noraida divus pirmos iepriekšējos vispārīgos apgalvojumus:
1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk -> no 4. līdz 5.: no 4 cipariem līdz 8 cipariem.
2) Las cipari ir pārmaiņus starp 6 un 8 -> no 5. līdz 6.

Daudzus gadsimtus liela grupa slavenu pasaules matemātiku neveiksmīgi mēģināja atrast vēl vienu perfektu skaitli. Un tikai 1903. gada 31. oktobrī Frenks Nelsons Kols [3] sniedza prezentāciju Amerikas Matemātikas biedrībai. Ne vārda nesakot, viņš uzrakstīja uz vienas tāfeles puses:

267 — 1 = 147573952589676412927

Tad viņš pārcēlās uz tāfeles otru pusi un rakstīja:

193707721 \* 761838257287 = 147573952589676412927

Viņš apsēdās ne vārda neteicis un publika sajūsminājās! Viņš vēlu atzina, ka viņam bija vajadzīgi trīs gadi svētdienās, lai atrisinātu šo problēmu.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

JavaScript funkcija, lai noskaidrotu, vai dotais skaitlis ir perfekta skaitlis
const irPerfektaSkaitlis = (n) => {
 //////////////[ PĀRBAUDE ]//////////////
 // Ja ievadītais skaitlis nav vesels, vai nav pozitīvs
 if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
 return "Lūdzu, norādiet derīgu pozitīvu veselu skaitli!";
 }
 /////////////////////////////////////////
 // Sāciet ar 1, jo visiem skaitļiem ir 1 kā dalītājs
 let sum = 1;
 // Veiciet cilpu, lai atrastu visus dalītājus un aprēķinātu summu
 for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
 if (n % i === 0) {
 sum += i;
 if (i !== n / i) {
 sum += n / i;
 }
 }
 }
 // Pārbaudiet, vai dalītāju summa ir vienāda ar sākotnējo skaitli
 const irPerfekts = sum === n;
 // Izvadiet rezultātu
 if (irPerfekts) {
 return `${n} ir perfekts skaitlis.`;
 } else {
 return `${n} nav perfekts skaitlis.`;
 }
};
//////////////////////////////////////
// 1. piemērs
irPerfektaSkaitlis(28);
// 2. piemērs
irPerfektaSkaitlis(13);

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Atsauces:
[ 1 ] -  
[ 2 ] -  
[ 3 ] -  
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -