**Trigonometrisks vienādojums** ir vienādojums, kurā ir trigonometriskā funkcija. Lai risinātu trigonometrisku vienādojumu, izmanto inversās trigonometriskās funkcijas.

Vienāda nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumi
----------------------------------------------------------------

Vienādība **sinα = sinβ** ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+2πn vai α=π-β+2πn, n∈Z; 

Vienādība **cosα = cosβ** ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+2πn vai α=-β+2πn, n∈Z; 

Vienādība **tgα = tgβ** ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+πn, n∈Z; 

Vienādība **ctgα = ctgβ** ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+πn, n∈Z.

Vienādojuma sin *x* =a atrisināšana
-----------------------------------

1. Ja a<-1 vai a>1 (|a|>1), tad vienādojumam atrisinājumu nav.

2. Speciālie gadījumi: 

1. ja a = -1, tad {\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z}
2. ja a = 0, tad {\displaystyle x=\pi n,n\in Z}
3. ja a = 1, tad {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z}

3. Ja a∈ [-1;1] 

{\displaystyle x={\begin{cases}arcsina+2\pi n\\\pi -arcsina+2\pi n\end{cases}}} {\displaystyle ,n\in Z} jeb {\displaystyle x=(-1)^{k}arcsina+\pi n,n\in Z}

Ievērot, ka {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq arcsina\leq {\frac {\pi }{2}}} un {\displaystyle arcsin(-a)=-arcsina}

**Piemērs:**

{\displaystyle sinx={\frac {1}{2}}}

{\displaystyle x={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\\{\frac {5\pi }{6}}+2\pi n\end{cases}}}{\displaystyle ,n\in Z}

Vienādojuma cos *x* =a atrisināšana
-----------------------------------

1. Ja a<-1 vai a>1 (|a|>1), tad vienādojumam atrisinājumu nav.

2. Speciālie gadījumi:

1. ja a = -1, tad {\displaystyle x=\pi +2\pi n,n\in Z}
2. ja a = 0, tad {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in Z}
3. ja a = 1, tad {\displaystyle x=2\pi n,n\in Z}

3. Ja a∈ [-1;1]

{\displaystyle x={\begin{cases}arccosa+2\pi n\\-arccosa+2\pi n\end{cases}}} {\displaystyle ,n\in Z} jeb {\displaystyle x=\pm arccosa+2\pi n,n\in Z}

Ievērot, ka {\displaystyle 0\leq arccosa\leq \pi } un {\displaystyle arccos(-a)=\pi -arccosa}

**Piemērs:**

{\displaystyle cosx={\frac {\sqrt {2}}{2}}}

{\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z}

Vienādojumu tg *x* = a un ctg *x* =a atrisināšana
-------------------------------------------------

Vienādojumiem tg x = *a* un ctg *x* =*a* ir atrisinājums ar jebkuru reālu *a* vērtību. Šo vienādojumu atrisinājumi ir šādi:

{\displaystyle x=arctga+\pi n,n\in Z}

{\displaystyle x=arcctga+\pi n,n\in Z}

Ievērot, ka

1. {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<arctga<{\frac {\pi }{2}}} un {\displaystyle arctg(-a)=-arctga}
2. {\displaystyle 0<arcctga<\pi } un {\displaystyle arcctg(-a)=\pi -arcctga}

**Piemēri:**

1) {\displaystyle tgx=1}

{\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,n\in Z}

2) {\displaystyle ctgx={\sqrt {3}}}

{\displaystyle x={\frac {\pi }{6}}+\pi n,n\in Z}

Raksturīgākie trigonometrisko vienādojumu veidi, to atrisināšana
----------------------------------------------------------------

1. veids. Vienādojumi, kurus risina, pārveidojot par kvadrātvienādojumiem un izmantojot substitūciju.

Atrisina, izmantojot pamatidentitātes vai divkāršā argumenta formulas. Jāpāriet uz viena nosaukuma funkciju no viena un tā paša argumenta, piemēram,

1. {\displaystyle Asin^{2}z+Bcosz+C=0;sin^{2}z=1-cos^{2}z;cosz=t}
2. {\displaystyle Atgz+Bctgz+C=0;ctgz={\frac {1}{tgz}};tgz=t}
3. {\displaystyle Acos2z+Bsinz+C=0;cos2z=1-2sin^{2}z;sinz=t}

2. veids. Lineāra vienādojuma {\displaystyle Acosz+Bsinz=C} atrisināšana.

Šos vienādojumus var atrisināt divejādi:

1. izmantojot palīgargumentu un pāriet uz vienādojumu

{\displaystyle cos(z+\phi )={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},} kur 

{\displaystyle cos\phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}} un {\displaystyle sin\phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}};

1. izmantojot pusargumenta tangensa formulas. Šādā gadījumā pēc iegūtā kvadrātvienādojuma atrisināšanas jāpārbauda, vai dotā vienādojuma atrisinājums nav tās argumenta vērtības, ar kurām pusargumenta tangenss nav definēts.

**3. veids. Homogēna vienādojuma {\displaystyle Asin^{2}z+Bsinz\cdot cosz+Ccos^{2}z=D}atrisināšana.**

Vispirms skaitlis {\displaystyle D} jāaizstāj ar izteiksmi {\displaystyle Dsin^{2}z+Dcos^{2}z} un jāsavelk līdzīgie locekļi, tad vienādojumu drīkst dalīt ar {\displaystyle cos^{2}z} un risināt kvadrātvienādojumu attiecībā uz {\displaystyle tgz}. Ja {\displaystyle A-D=0}, tad {\displaystyle cosz} var paņemt pirms iekavām un katru no reizinātājiem pielīdzināt nullei.

**4. veids. Reizinājuma vienādība ar nulli.**

Šeit izmanto kā pazīstamos paņēmienus, t.i. kopīgā reizinātāja ņemšanu pirms iekavām, grupēšanas paņēmienu, tā arī trigonometrisko funkciju summas pārveidošanu reizinājumā. Jāievēro, ka reizinājums ir vienāds ar 0 tad un tikai tad, ja viens no reizinātājiem ir 0, bet pārējiem reizinātājiem ar šo vērtību ir jēga. Risinot vienādojumus, kuri nav definēti ar visām argumenta vērtībām, atrisinājumu kopa, kā arī vērtības, ar kurām vienādojumam nav jēgas, ir jāattēlo uz TRL vai koordinātu ass viena perioda virzienā.

**5. veids. Vienādojumi, kuru pakāpi var pazemināt.**

Pēc attiecīgo formulu izmantošanas vienādojums reducējas uz kādu no iepriekšaplūkotiem variantiem.

Skatīt arī
----------

* trigonometriska nevienādība

Atsauces
--------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  D. Kriķis, P.Zariņš, V.Ziobrovskis. *Diferencēti uzdevumi matemātikā*. Rīga : Zvaigzne ABC, 1996. ISBN 5-405-01338-2.
2. 1 2  B.Āboltiņa, D.Kriķis, K. Šteiners. *Matemātika 11. klasei*. Rīga : Zvaigzne ABC, 2012. ISBN 978-9934-0-2256-2.