**Divkāršais integrālis** ir noteiktā integrāļa vispārinājums, kad integrēšanas apgabals *D* ir plaknes apgabals, bet zemintegrāļa funkcija ir divu argumentu funkcija *z = f(x, y).* Divkāršo integrāli apzīmē ar simbolu {\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dS.} 

Ja {\displaystyle f(x,y)\geqslant 0}, divkāršajam integrālim ir noteikta ģeometriskā interpretācija: tas vienāds ar tāda ķermeņa tilpumu *V*, ko ierobežo funkcijas *z = f(x, y)* grafiks (tas ir, virsma ar vienādojumu *z = f(x, y)*), *xy* plaknes apgabals *(D)* un cilindriska virsma ar veidotājām paralēlām *Oz* asij, kas iet caur apgabala *(D)* robežlīniju. Tātad

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dS=V.}

Definīcija
----------

Pieņem, ka funkcija *z = f(x, y)* ir definēta *Oxy* apgabalā *(D)*:

1. Ar brīvi izraudzītām līnijām apgabalu *(D)* sadala *n* daļās *(D1), (D2), (D3), ... (Di), ... (Dn).* Šo daļu laukumus apzīmē ar {\displaystyle \bigtriangleup S\_{1},\bigtriangleup S\_{2},\bigtriangleup S\_{3},...\bigtriangleup S\_{i},...\bigtriangleup S\_{n}.}
2. Katrā apgabala daļā *(Di)* brīvi izraugās punktu {\displaystyle M\_{i}(\xi \_{i};\eta \_{i})\in (D\_{i})}, {\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}.
3. Aprēķina funkcijas *z = f(x, y)* vērtības izraudzītajos punktos, tas ir, atrod {\displaystyle f(M\_{i})=f(\xi \_{i};\eta \_{i})}, {\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}.
4. Atrastās funkcijas vērtības {\displaystyle f(\xi \_{i};\eta \_{i})}reizina ar tās apgabala daļas *(Di)* laukumu {\displaystyle \bigtriangleup S\_{i}}, kurā atrodas punkts {\displaystyle M\_{i}}, tas ir, aprēķina{\displaystyle f(\xi \_{i};\eta \_{i})}{\displaystyle \bigtriangleup S\_{i}}, {\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}.
5. Aprēķina visu reizinājumu {\displaystyle f(\xi \_{i};\eta \_{i})}{\displaystyle \bigtriangleup S\_{i}} summu {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}f(\xi \_{i};\eta \_{i})\bigtriangleup S\_{i}.} Šo izteiksmi sauc par funkcijas *z = f(x, y) integrālsummu* apgabalā (*D)*.
6. Aprēķina integrālsummas robežu, kad maksimālais apgabala daļas *(Di)* diametrs *di* tiecas uz 0 (par daļas *(Di)* diametru sauc taisnes nogriezni, kas savieno divus vistālākos *(Di)* robežlīnijas punktus), tas ir aprēķina {\displaystyle \lim \_{d\to 0}\sum \_{i=1}^{n}f(\xi \_{i};\eta \_{i})\bigtriangleup S\_{i}.}

Ja šī robeža eksistē neatkarīgi no dalījuma veida daļās un no punktu izvēles katrā daļā, tad šo robežu sauc par funkcijas *z = f(x, y)* divkāršo integrāli apgabalā *(D)* un apzīmē ar simbolu {\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dS} vai {\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy.}

Tādējādi {\displaystyle \lim \_{d\to 0}\sum \_{i=1}^{n}f(\xi \_{i};\eta \_{i})\bigtriangleup S\_{i}=\iint \limits \_{(D)}f(x,y)dS.}

Ja funkcija *z = f(x, y)* apgabalā *(D)* ir nepārtraukta vai gabaliem pārtraukta, tad šai funkcijai eksistē divkāršais integrālis.

Īpašības
--------

### 1. īpašība

Divkāršais integrālis no funkcijas summas (starpības) ir vienāds ar doto funkciju integrāļu summu (starpību):

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}(f\_{1}(x,y)+f\_{1}(x,y))dxdy=\int \limits \_{(D)}f\_{1}(x,y)dxdy+\int \limits \_{(D)}f\_{2}(x,y)dxdy+...+\int \limits \_{(D)}f\_{n}(x,y)dxdy.}

### 2. īpašība

Konstantu reizinātāju *C* var ņemt pirms integrāļa zīmes:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}Cf(x,y)dxdy=C\iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy.}

### 3. īpašība — Aditivitātes īpašība

Ja apgabals (*D)* sadalīts vairākās daļās, tad integrē pa katru daļu atsevišķi un iegūtos rezultātus saskaita:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy=\int \limits \_{(D\_{1})}f(x,y)dxdy+\int \limits \_{(D\_{2})}f(x,y)dxdy+...+\int \limits \_{(D\_{n})}f(x,y)dxdy.}

### 4. īpašība

Ja apgabalā (*D)* funkcija saglabā zīmi {\displaystyle f(x,y)\geqslant 0} {\displaystyle (\leqslant 0)}, tad divkāršajam integrālim ir tāda pati zīme:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy\geqslant 0} {\displaystyle (\leqslant 0).}

### 5. īpašība

Ja apgabalā (*D)* visiem *(x, y)* izpildās nevienādība {\displaystyle f(x,y)\leqslant g(x,y)}, tad arī divkāršajiem integrāļiem izpildās šāda nevienādība:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy\leqslant \iint \limits \_{(D)}g(x,y)dxdy.}

### 6. īpašība — Divkāršā integrāļa novērtējums

Ja funkcijai *z =* *f(x, y)* slēgtā apgabalā *(D)* ir nepārtraukta un *m* ir funkcijas *z =* *f(x, y)* vismazākā vērtība, bet *M* ir funkcijas *z =* *f(x, y)* vislielākā vērtība apgabalā *(D),* tas ir, {\displaystyle m\leqslant f(x,y)\leqslant M} , tad izpildās nevienādības:

{\displaystyle mS\leqslant \iint \limits \_{(D)}g(x,y)dxdy\leqslant MS,}

kur *S* ir apgabala *(D)* laukums. 

### 7. īpašība — Vidējās vērtības teorēma

Ja funkcija *z =* *f(x, y)* slēgtā apgabalā *(D)* ir nepārtraukta, tad apgabalā (*D*) eksistē vismaz viens tāds punkts *P*, ka divkāršais integrālis pa apgabalu *(D)* ir vienāds ar zemintegrāļa funkcijas vērtību šajā punktā, reizinātu ar apgabala *(D)* laukumu *S*:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy=f(P)\centerdot S.}

Funkcijas *z =* *f(x, y)* vērtību {\displaystyle f(P)} sauc par funkcijas *integrālo vidējo vērtību* apgabalā *(D)*.

Aprēķināšana Dekarta koordinātās
--------------------------------

* Attēlots apgabals (D) regulārs Oy ass virzienā.Attēlots apgabals (D) regulārs Oy ass virzienā.
* Attēlots apgabals (D) regulārs Ox ass virzienā.Attēlots apgabals (D) regulārs Ox ass virzienā.

Apgabalu *(D)* sauc par *regulāru Oy ass virzienā*, ja jebkura taisne, kas paralēla *Oy* asij, šī apgabala robežu krusto ne vairāk kā divos 

punktos.

Apgabalu *(D)* sauc par *regulāru Ox ass virzienā*, ja jebkura taisne, kas paralēla *Ox* asij, šī apgabala robežu krusto ne vairāk kā divos punktos.

Divkāršo integrāli Dekarta koordinātu sistēmā reducē uz atkārtotiem integrāļiem. Tos var pierakstīt divos veidos pēc tā, kādā virzienā apgabals *(D)* ir pareizs:

{\displaystyle I\_{1}=\int \limits \_{a}^{b}dx\int \limits \_{y\_{1}(x)}^{y\_{2}(x)}f(x,y)dy} (regulārs *Oy* ass virzienā)

un

{\displaystyle I\_{2}=\int \limits \_{c}^{d}dy\int \limits \_{x\_{1}(y)}^{x\_{2}(y)}f(x,y)dx} (regulārs *Ox* ass virzienā).

Ārējās integrāļa robežas vienmēr ir konstantas. 

Ja apgabals nav pareizs ne *Oy,* ne *Ox* ass virzienā*,* tad apgabalu *(D)* sadala atsevišķā daļās, integrē pa katru daļu atsevišķi un iegūtos rezultātus saskaita. 

Atkārtotos integrāļus aprēķina šādi:

{\displaystyle I\_{1}=\int \limits \_{a}^{b}dx\int \limits \_{y\_{1}(x)}^{y\_{2}(x)}f(x,y)dy=\int \limits \_{a}^{b}{\biggl (}\int \limits \_{y\_{1}(x)}^{y\_{2}(x)}f(x,y)dy{\biggr )}dx=\int \limits \_{a}^{b}F\_{1}(x,y)|\_{y=y\_{1}(x)}^{y=y\_{2}(x)}dx=\int \limits \_{a}^{b}{\Biggl (}F\_{1}(x,y\_{2}(x))-F\_{1}(x,y\_{1}(x)){\Biggr )}dx=\phi \_{1}(x)|\_{a}^{b}=\phi \_{1}(b)-\phi \_{1}(a)=K\_{1}} (iekšējo integrāli rēķina pēc *y*, bet mainīgo *x* uzskata par konstanti)

un{\displaystyle I\_{2}=\int \limits \_{c}^{d}dy\int \limits \_{x\_{1}(y)}^{x\_{2}(y)}f(x,y)dx=\int \limits \_{c}^{d}{\biggl (}\int \limits \_{x\_{1}(y)}^{x\_{2}(y)}f(x,y)dx{\biggr )}dy=\int \limits \_{c}^{d}F\_{2}(x,y)|\_{x=x\_{1}(y)}^{x=x\_{2}(y)}dy=\int \limits \_{c}^{d}{\Biggl (}F\_{2}(x\_{2}(y),y)-F\_{2}(x\_{1}(y){\Biggr )}dx=\phi \_{2}(y)|\_{c}^{d}=\phi \_{2}(d)-\phi \_{2}(c)=K\_{2}}

(iekšējo integrāli rēķina pēc x, bet mainīgo y uzskata par konstanti).

Jaunu mainīgo ieviešana
-----------------------

Divkāršā integrāļa aprēķināšanu var vienkāršot, ieviešot jaunus mainīgos *(u, v)* ar formulām:

{\displaystyle {\begin{cases}x=x(u,v);\\y=y(u,v).\end{cases}}}

Iegūst:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy=\iint \limits \_{(D)}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv,}

kur {\displaystyle J(u,v)} ir *Jakobi determinants* jeb *jakobiāns:*

{\displaystyle J(u,v)={\begin{vmatrix}{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\end{vmatrix}}.}

Aprēķināšana polārajās koordinātās
----------------------------------

Polārās un Dekarta koordinātas
Ja integrācijas apgabalu *(D)* ierobežo riņķa līnijas vai arī līniju vienādojumi un zemintegrāļa izteiksme satur kvadrātu summu {\displaystyle x^{2}+y^{2}}, aprēķinus var vienkāršot, pārejot uz polārajām koordinātām {\displaystyle (\varphi ,r)}, izmantojot formulas:

{\displaystyle {\begin{cases}x=rcos\varphi ;\\y=rsin\varphi .\end{cases}}\Longrightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}}

Jakobiānu aprēķina pēc formulas:

{\displaystyle J(u,v)={\begin{vmatrix}{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos\varphi &-rsin\varphi \\sin\varphi &rcos\varphi \end{vmatrix}}=r.}

Iegūst pārejas formulu no Dekarta uz polārajām koordinātām:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy=\iint \limits \_{(D)}f(rcos\varphi ,rsin\varphi )rdrd\varphi .}

Ja plaknes apgabalu ierobežo stari {\displaystyle \varphi =\alpha ;\varphi =\beta } un līnijas {\displaystyle r=r\_{1}(\varphi );r=r\_{2}(\varphi )}, iegūst:

{\displaystyle \iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy=\int \limits \_{\alpha }^{\beta }d\varphi \int \limits \_{r\_{1}(\varphi )}^{r\_{2}(\varphi )}f(rcos\varphi ,rsin\varphi )rdr.}

Pielietojumi
------------

### Plaknes figūras laukuma aprēķināšana

Ja zemintegrāļa funkcija {\displaystyle f(x,y)=1}, tad divkāršais integrālis ir vienāds ar integrēšanas apgabala *(D)* laukumu Dekarta un polārajās koordinātās:

{\displaystyle S=\iint \limits \_{(D)}dS=\iint \limits \_{(D)}dxdy=\iint \limits \_{(D)}rdrd\varphi .}

### Tilpuma aprēķināšana

Ķermeni ierobežo funkcijas {\displaystyle z=f\_{1}(x,y),z=f\_{2}(x,y)}.
Ja ķermeni ierobežo funkcijas {\displaystyle z=f(x,y)}grafiks, kur {\displaystyle f(x,y)\geqslant 0}, *Oxy* plakne un *Oz* asij paralēla cilindriska virsma, kas iet caur apgabala *(D)* robežlīniju. Šāda ķermeņa tilpums ir vienāds ar

{\displaystyle V=\iint \limits \_{(D)}f(x,y)dxdy.}

Ja ķermeni ierobežo *Oz* asij paralēla cilindriska virsma, kas iet caur apgabala *(D)* robežlīniju un divu funkciju {\displaystyle z=f\_{1}(x,y),z=f\_{2}(x,y)} grafiki, turklāt {\displaystyle 0\leqslant f\_{1}(x,y)\leqslant f\_{2}(x,y)}, tad ķermeņa tilpums ir 

{\displaystyle V=\iint \limits \_{(D)}(f\_{2}(x,y)-f\_{1}(x,y))dxdy.}

### Virsmas laukuma aprēķināšana

Ja dota virsma {\displaystyle z=f(x,y)}, kur funkcija {\displaystyle z=f(x,y)} ir nepārtraukta apgabalā *(D)* — virsmas {\displaystyle z=f(x,y)} projekcija *Oxy* plaknē — un tai eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi {\displaystyle z'\_{x}} un {\displaystyle z'\_{y}}. Šīs virsmas laukumu var aprēķināt ar formulu

{\displaystyle S=\iint \limits \_{(D)}{\sqrt {1+(z'\_{x})^{2}+(z'\_{y})^{2}}}dxdy.}

### Nehomogēnas plakanas plāksnītes masas aprēķināšana

Ja nepārtraukta funkcija {\displaystyle \rho (x,y)} ir nehomogēnas plakanas plāksnītes *(D)* virsmas blīvuma sadalījums, tad plāksnītes masa ir

{\displaystyle m=\iint \limits \_{(D)}\rho (x,y)dxdy.}

Atsauces
--------

1. 1 2 3 4 5 6  Inta Volodko. *Augstākā matemātika* II. Rīga : Zvaigzne ABC, 2009. 123.—135. lpp. ISBN 978-9984-40649-7.
2. 1 2 3 4  Kārlis Šteiners. *Augstākā matemātika* V. Rīga : Zvaigzne ABC, 2000. 7. lpp. ISBN 9984-17-930-3.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  V. Barkāns. *Vairākargumentu funkciju integrāļi*. Rīga : Latvijas Jūras akadēmija, 2010. 5.—16. lpp.