**Kāpināšana** ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā *a**n*, kur *a* ir **kāpināmais**, *n* ir **kāpinātājs**, bet iegūtais rezultāts — **pakāpe**. Izteiksmi *a**n* lasa kā "*a* pakāpē *n*".

Pakāpes ar veselu kāpinātāju
----------------------------

### Pozitīvs kāpinātājs

Ja kāpinātājs *n* ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme *a**n* atbilst skaitļa *a* atkārtotai reizināšanai ar sevi *n* reižu:

a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}\_{{n{\text{ reizes}}}}.
Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums *a*·*n* atbilst skaitļa *a* saskaitīšanai ar sevi *n* reižu:

a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a}\_{{n{\text{ reizes}}}}.
Mazām pakāpēm *n* ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

* Ja *n* = 2, tad izteiksmi *a*2 = *a*·*a* sauc par lieluma a *kvadrātu*, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
* Ja *n* = 3, tad izteiksmi *a*3 = *a*·*a*·*a* sauc par lieluma *a* *kubu*, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

### Negatīvs kāpinātājs

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

a^{{-1}}={\frac {1}{a}}.
Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

a^{{-n}}={\frac {1}{a^{n}}}.

Kāpināšana mazās pakāpēs| *n* | *a**n* |
| --- | --- |
| 0 | *a*0 = 1 |
| 1 | *a*1 = *a* |
| 2 | *a*2 = *a*·*a* |
| 3 | *a*3 = *a*·*a*·*a* |

### Kāpinātāji 0 un 1

Lieluma *a* kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā *a* ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar *a*:

a^{1}=a.\,
Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

a^{0}=1.\,
Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 00 ir nenoteiktība).

Pakāpes ar daļveida kāpinātāju
------------------------------

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

a^{{1/2}}={\sqrt {a}}
sauc par kvadrātsakni no *a*. Kāpināšana pakāpē 1/*n*, kur *n* ir naturāls skaitlis, atbilst *n*-tās pakāpes saknes vilkšanai:

a^{{1/n}}={\sqrt[ {n}]{a}}.
Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli *a* kāpina racionālā pakāpē *m*/*n*, kur *m* ir vesels skaitlis un *n* ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

a^{{m/n}}=\left(a^{m}\right)^{{1/n}}={\sqrt[ {n}]{a^{m}}}.
Ja *a* ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja *m* ir pāra skaitlis.

Pakāpju īpašības
----------------

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

a^{m}\cdot a^{n}=a^{{m+n}}.
Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

{\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{{m-n}}.
Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.
Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

(a^{m})^{n}=a^{{m\cdot n}},
taču kāpināšana nav asociatīva:

(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}.

Apgrieztā darbība
-----------------

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

Kāpināšanas tabula
------------------

| *n* | *n*2 | *n*3 | *n*4 | *n*5 | *n*6 | *n*7 | *n*8 | *n*9 | *n*10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **2** | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| **3** | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
| **4** | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
| **5** | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
| **6** | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
| **7** | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
| **8** | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
| **9** | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
| **10** | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |

Skatīt arī
----------

* Kvadrātsakne
* Kubsakne
* Logaritms
* Polinoms
* Saknes vilkšana

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
* Exponential Archived 2010. gada 15. jūnijā, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.
* Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
* Introducing 0th power Archived 2010. gada 20. jūnijā, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.
* Exponentiation, answermath.com.
* Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).