Sajaukts Rubika kubs
 Sakārtots Rubika kubs
**Rubika kuba matemātika** ir matemātisko metožu kopums, kas apskata Rubika kuba īpašības no abstraktās matemātiskas skatu punkta. Šī matemātika pēta un novērtē kuba sakārtošanas algoritmus. Balstās uz grafu teoriju, grupu teoriju, rekursīvo funkciju teoriju un kombinatoriku.

Pastāv daudz algoritmu, kas izstrādāti, lai pārvietotu Rubika kubu no patvaļīgas konfigurācijas uz *galīgo konfigurāciju* (sakārtots kubs). 2010. gadā tika stingri pierādīts, ka, lai pārvietotu Rubika kubu no patvaļīgas konfigurācijas uz saliktu konfigurāciju (bieži šis process tiek saukts par "sakārtošanu" vai "risinājumu"), pietiek ar mazāk kā 20 gājieniem, kas ir jebkuras skaldnes viens pagrieziens. Šis skaitlis ir Rubika kuba Kailija skaita diametrs. 2014. gadā tika pierādīts, ka ar 26 gājieniem, pagriežot skaldnes tikai par 90°, vienmēr pietiek, lai atrisinātu Rubika kubu.

Algoritmu, kas atrisina mīklu ar pēc iespējas mazāku gājienu skaitu, sauc par Dieva algoritmu.

Apzīmējumi
----------

Šajā rakstā izmantoti "Singmastera apzīmējumi", ko izstrādājis Deivids Singmasters un publicējis 1981. gadā, lai norādītu Rubika kuba skaldņu pagriešanas secību 3×3×3.

Burti {\displaystyle L,R,F,B,U,D} norāda attiecīgi 90° skaldnes pagriezienu pulksteņrādītāja virzienā pa kreisi (left), pa labi (right), uz priekšu (front), uz aizmuguri (back), augšup (up) un lejup (down). 180° skaldnes pagriešanu norāda, ar ciparu 2 burta labajā pusē vai augšējā indeksā, labajā pusē, norādot ciparu 2. Par 90° skaldnes griešanos pretēji pulksteņa rādītāja virzienam norāda, pievienojot apostrofu ( ′ ) vai pievienojot -1 pa labi no burta. Tā, piemēram, {\displaystyle L^{2}} un {\displaystyle L2} ir ekvivalenti apzīmējumi, kā arī {\displaystyle L'} un {\displaystyle L^{-1}}.

Konfigurācijas skaita metrika
-----------------------------

Pastāv divi visizplatītākie risinājuma garuma mērīšanas veidi (metriskie). Pirmais veids — tiek uzskatīts, ka viens pagrieziens pagriež šķautni par 90° (*quarter turn metric*, **QTM**). Saskaņā ar otro metodi viens gājiens skaitās šķautnes daļēja pagriešana (*face turn metric*, **FTM**,vai **HTM** — *half-turn metric*). Tātad, F2 (priekšējās virsmas pagriešana par 180°) var tikt apzīmēta ar diviem gājieniem QTM metrikā vai vienu gājienu FTM metrikā.

Lai tekstā norādītu izmantotās metrikas risinājuma garumu, tiek izmantots apzīmējums, kas sastāv no gājienu skaita un metrikas apzīmējuma mazā burta. **14f** apzīmē — 14 gājienus FTM metrikā, bet **10q** apzīmē 10 gājienus QTM metrikā. Lai norādītu, ka šajā metrikā gājienu skaits ir minimālais, tiek izmantota zvaigznīte: **10f \*** norāda optimālo risinājumu skaitu — 10 gājienus FTM metrikā.

Rubika kuba grupa
-----------------

Rubika kubu var uzskatīt par matemātiskas grupas piemēru.

Katru no sešām Rubika kuba skaldnēm var sadalīt deviņās daļās un kopumā Rubika kuba 48 etiķešu komplektu var uzskatīt par simetriskās grupas elementu, kas nav skaldņu centri. Precīzāk, jūs varat atzīmēt visas 48 etiķetes ar cipariem no 1 līdz 48 un sagrupēt katru no tām pa gājieniem {\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}, kas būtu elementi simetriskās grupas {\displaystyle S\_{48}}.

Tad Rubika kuba grupa G tiek definēta kā apakšgrupa {\displaystyle S\_{48}}, kas sastāv no sešām skaldnes rotācijām: 

{\displaystyle G=\langle F,B,U,D,L,R\rangle } Secība grupai G vienāda ar: 

{\displaystyle |G|={\dfrac {8!\cdot 12!\cdot 3^{8}\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000=2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11} Katru no {\displaystyle 4{,}325\cdot 10^{19}} risinājumiem var paveikt ne vairāk kā ar 20 gājieniem (ja par gājienu uzskata jebkuru skaldnes pagriezienu).

Grupas G elementu secība vienāda ar 1260. Piemēram, gājienu secību {\displaystyle (R\ U^{2}\ D^{\prime }\ B\ D^{\prime })} ir nepieciešams atkārtot 1260 reizes, lai Rubika kubs atgrieztos sākotnējā stāvoklī.

Dieva algoritms
---------------

Dieva algoritms radās ne vēlāk kā 1980. gadā, kad tika aizsākta sarakste starp Rubika kuba faniem. Kopš tā laika matemātiķi, programmētāji un amatieri ir centušies atrast Dieva algoritmu, lai praksē spētu atrast minimālo gājienu skaits, lai sakārtotu Rubika kubu. Tā kā Rubika kubu ir nepieciešams pilnībā sakārtot, tad no algoritma tika prasīts atrast vajadzīgo gājienu skaitu, lai atrisinātu mīklu.

2010. gadā programmētājs Tomass Rokiki no Palo Alto, matemātikas skolotājs Herberts Kotsemba no Darmštates, Kentas Universitātes matemātiķis Morlijs Deividsons un Google Inc. inženieris Džons Detridžs pierādīja, ka Rubika kubu no jebkura izjaukta stāvokļa var sakārtot atpakaļ sākotnējā stāvoklī vien ar 20 gājieniem. Turklāt jebkurš skaldnes pagrieziens tika uzskatīts par vienu kustību. Lai veiktu aprēķina secību bija nepieciešami 35 gadi no procesora darbības laika, ko ziedoja kompānija Google. Tehniskie dati par datoru skaitu un veiktspēju netika atklāti. Aprēķinu ilgums sasniedza vairākas nedēļas.

Tomass Rokiki un Morlijs Davidsons 2014. gadā pierādīja, ka Rubika kubu var sakārtot ar ne vairāk kā 26 gājieniem, neizmantojot 180° skaldņu pagriezienus. Aprēķins aizņēma 29 gadus no procesora darbības laika Ohaio superdatoru centrā.

### Zemāki Dieva skaita aprēķini

Ir viegli parādīt, ka pastāv atrisinājuma konfigurācijas, kuras nevar atrisināt ar mazāk nekā 17 gājieniem FTM metrikā vai 19 gājieniem QTM metrikā.

Šo atrisinājumu skaitu var uzlabot, ņemot vērā papildu identitātes: divu pretējo virsmu rotācijas (LR = RL, L2 R = R L2 utt.). Līdzīga pieeja ļauj mums iegūt Dieva skaitļa apakšējo robežu 18f vai 21q.

*Super flip* ir pirmā atklātā konfigurācija, kas atrodas 20f \* gājienu attālumā no sākotnējā stāvokļa
Šis atrisinājums jau sen ir palicis kā labākais no zināmajiem. Tas izriet no nekonstruktīviem pierādījumiem, jo tas nenorāda uz konkrētu konfigurācijas piemēru, kura montāžai nepieciešams 18f vai 21q gājienu skaits.

Viena no konfigurācijām, kurai nebija iespējams atrast īsāku risinājumu, bija tā sauktais *Super flip* vai *12-flip*. *Super flip* risinājumā visi stūra un malas klucīši ir savās vietās, bet katrs malas kubs ir vērsts pretējā virzienā. Virsotne, kas atbilst *Super flip* Rubika kuba skaitam, ir lokālā maksimālā vērtība: jebkurš šīs konfigurācijas pārvietojums samazina attālumu līdz sākotnējai konfigurācijai. Tas liek domāt, ka *Super flip* ir maksimālā attālumā no sākotnējās konfigurācijas. Tas ir, *Super flip* ir globālais maksimums.

1992. gadā Diks T. Vinterds atrada "Super flip" risinājumu pie 20f. Maikls Rīds 1995. gadā pierādīja šī risinājuma pietiekamību, kā rezultātā Dieva skaita apakšējā robeža kļuva par 20 FTM. 1995. gadā Maikls Rīds atklāja "Super flip" risinājumu kā 24q. Šī risinājuma pietiekamību pierādīja Džerijs Braiens. Maikls Rīds 1998. gadā atrada konfigurāciju, kuras optimālais risinājums bija 26q \*.

### Dieva skaita augšējie aprēķini

Lai iegūtu Dieva skaitļa augšējo robežu, pietiek norādīt jebkuru mīklas risinājuma algoritmu, kas sastāv no ierobežota skaita gājieniem.

Pirmie augšējie Dieva skaita aprēķini balstījās uz "cilvēka" algoritmiem, kas sastāv no vairākiem posmiem. Augšējo robežu pievienošana katram posmam ļāva iegūt galīgo aprēķinu par vairākiem desmitiem vai simts gājieniem.

Droši vien, pirmo konkrēto novērtējumu no augšējā skaita deva Deivids Singmasters 1979. gadā. Viņa sakārtošanas algoritms ļāva atrisināt mīklu ne vairāk kā ar 277 gājieniem. Vēlāk Singmasters teica, ka Elvin Berlykemp, John Conway un Ričards Guy izstrādātais algoritms, prasa ne vairāk kā 160 gājienus. Drīz vien "Conway's Cambridge Cubists" grupā tika sastādīta vienas skaldnes kombināciju saraksts, atradot 94 gājienu algoritmus. 1982. gadā žurnāls "Quantum" publicēja to kombināciju sarakstu, kas spēja atrisināt Rubika kubu 79 gājienos.

#### Thistletway algoritms

Astoņdesmito gadu sākumā angļu matemātiķis Morvins Tistletvaits izstrādāja algoritmu, kas ievērojami uzlaboja augšējo Dieva robežu. Sīkāka informācija par algoritmu tika publicēta 1981. gadā žurnālā *Scientific American, ko rakstīja Douglas Hofstadter*. Algoritms balstījās uz grupu teoriju un ietvēra četrus posmus.

##### Apraksts

Thistletway izmantoja vairākas apakšgrupas, kuru garums bija 4 

 {\displaystyle G=G\_{0}\supseteq G\_{1}\supseteq G\_{2}\supseteq G\_{3}\supseteq G\_{4}=\{1\}}, kur: 
* {\displaystyle G\_{0}=\langle L,R,F,B,U,D\rangle }

Šī grupa ir tāda pati kā Rubika kuba grupa. G. Tās secība ir
{\displaystyle {\dfrac {8!\cdot 3^{8}}{3}}\cdot {\dfrac {12!\cdot 2^{12}}{2}}\cdot {\dfrac {1}{2}}=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000}
* {\displaystyle G\_{1}=\langle L^{2},R^{2},F,B,U,D\rangle }

Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt, neizmantojot kreisās vai labās puses pagriezienus par ± 90 °. Viņu secība vienāda ar:
{\displaystyle {\dfrac {8!\cdot 3^{8}}{3}}\cdot 12!\cdot {\dfrac {1}{2}}=21\ 119\ 142\ 223\ 872\ 000}
* {\displaystyle G\_{2}=\langle L^{2},R^{2},F^{2},B^{2},U,D\rangle }

Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt, ja ir aizliegta četru vertikālo virsmu pagriešana ± 90 °. Viņu kārtība ir vienāda
{\displaystyle 8!\cdot (8!\cdot 4!)\cdot {\dfrac {1}{2}}=19\ 508\ 428\ 800}
* {\displaystyle G\_{3}=\langle L^{2},R^{2},F^{2},B^{2},U^{2},D^{2}\rangle }

Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt tikai, izmantojot 180° pagriezienus (daļējus pagriezienus). To sauc par "kvadrātu grupu"(squares group). Viņu kārtība ir vienāda
{\displaystyle (4!\cdot 4)\cdot {\dfrac {4!\cdot 4!\cdot 4!}{2}}\cdot 1=663\ 552}
* {\displaystyle G\_{4}=\{1\}}

Šajā apakšgrupā ir iekļauta viena sākotnējā konfigurācija.
Pirmajā posmā patvaļīga konfigurācija no grupas G samazināts līdz konfigurācijai, kas atrodas apakšgrupā {\displaystyle G\_{1}}. Otrās pakāpes mērķis ir panākt kuba konfigurāciju apakšgrupā {\displaystyle G\_{2}} neizmantojot kreisās un labās puses pagriezienus ± 90°. Trešajā posmā Rubika kubs tiek samazināts līdz konfigurācijai, kas pieder grupai {\displaystyle G\_{3}}, savukārt vertikālo virsmu pagriešana ± 90° ir aizliegta. Pēdējā, ceturtajā posmā Rubika kubs ir pilnībā salikts, pagriežot malas par 180°.

Apakšgrupu indeksi {\displaystyle [G\_{i}:G\_{i+1}]}, kur {\displaystyle i=0,1,2,3} vienāds ar attiecīgi 2048, 1082565, 29400 un 663552.

Katrai no četrām blakus esošās klases ģimenēm {\displaystyle G\_{i}/G\_{i+1}} meklēšanas tabula ir izveidota {\displaystyle T\_{i}} kuru lielums sakrīt ar apakšgrupas indeksu {\displaystyle G\_{i+1}} grupā {\displaystyle G\_{i}}. Katrā blakus esošajā klasē pa apakšgrupām {\displaystyle G\_{i}} uzmeklēšanas tabula {\displaystyle T\_{i}} satur kustību secību, kas pārveido jebkuru konfigurāciju no šīs blakus esošās klases uz konfigurāciju, kas atrodas pašā apakšgrupā {\displaystyle G\_{i}}.

Lai samazinātu ierakstu skaitu uzmeklēšanas tabulās, Thistletways izmantoja vienkāršotus sākotnējos gājienus. Sākotnēji viņš saņēma rezultātu 85 gājienos. 1980. gadā šis rādītājs tika samazināts līdz 80 gājieniem, pēc tam līdz 63 un tad jau 52. Thistletway studenti veica pilnīgu katra soļa analīzi. Maksimālās vērtības tabulās ir attiecīgi FTM 7, 10, 13 un 15 gājieni. Tā kā 7 + 10 + 13 + 15 = 45, Rubika kubu vienmēr var atrisināt 45 FTM kustībās.

##### Šreijera skaits

Šreijera skaits — {\displaystyle S(G,X,H)} saistīts ar grupas G ģeneratora komplektu {\displaystyle X=\{x\_{i}|i\in I\}} un apakšgrupu {\displaystyle H\subseteq G}. Katra Šreijera grafika virsotne ir labā robeža {\displaystyle Hg=\{hg|h\in H\}} dažiem {\displaystyle g\in G}. Šreijera skaitam ir pāri {\displaystyle (Hg,Hgx\_{i})}.

Katrs no Thistletway algoritma četriem soļiem ir gājiens pa Šreijera grafika platumu {\displaystyle S\_{i}(G\_{i},X\_{i},G\_{i+1})} kur {\displaystyle X\_{i}} — ģenerējošo grupu komplekts {\displaystyle G\_{i}}.

Tādējādi augšējais punktu skaits 45 kustībās ir vienāds ar

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{3}(\epsilon (v\_{i}))},
kur

{\displaystyle \epsilon (v\_{i})} — virsotnes ekscentriskums {\displaystyle v\_{i}\in S\_{i}} kas atbilst vienībai, kas robežojas ar klasi {\displaystyle G\_{i+1}}.
Šreijera jēdziens tika izmantots Radu, Kankla un Kupermana darbos.

#### Thistletwait algoritma modifikācijas

1990. gada decembrī Hanss Kloostermans izmantoja mainītu Thistletwaita metodes versiju, lai pierādītu 42 gājienu pietiekamību.

1992. gada maijā Maikls Rīds uzrādīja pietiekamību 39f jeb 56q. Tā modifikācijā tika izmantota šāda apakšgrupu ķēde:

* {\displaystyle G\_{0}=\langle U,F,R,L,B,D\rangle }
* {\displaystyle G\_{1}=\langle U,R,F\rangle }
* {\displaystyle G\_{2}=\langle U,R^{2},F^{2}\rangle }
* {\displaystyle G\_{3}=\{1\}}

Dažas dienas vēlāk Diks T. Vinters pazemināja savu rezultātu FTM metrikā līdz 37 gājieniem.

Ryan Hayes 2002. gada decembrī izstrādāja Thistletwaita algoritma variantu, kas paredzēts Rubika kuba ātrdarbīgai sakārtošanai.

#### Kotsomba divfāžu algoritms

Rubika kuba starpposma stāvoklis Kotsomba algoritmā. Otrajā posmā atļautie gājieni saglabā "+" un "-" atzīmju atrašanās vietu
*Thistletwait* algoritmu 1992. gadā uzlaboja Herberts Kotsemba, matemātikas skolotājs no Darmštates.

##### Apraksts

Kotsemba samazināja algoritma posmu skaitu līdz diviem:

* {\displaystyle G\_{0}=\langle U,D,L,R,F,B\rangle }
* {\displaystyle G\_{1}=\langle U,D,L^{2},R^{2},F^{2},B^{2}\rangle }
* {\displaystyle G\_{2}=\{1\}}

Vizuāls grupas apraksts {\displaystyle G\_{1}} var iegūt, veicot šādu marķējumu:

* Atzīmējiet visas **U** un **D** etiķetes ar "+".
* **F** un **B** etiķetes uz šķautņu malu elementiem **FR**, **FL**, **BL** un **BR ir** jāmarķē ar "-".
* Pārējās etiķetes atstājiet bez atzīmēm.

Tad visās grupas konfigurācijās {\displaystyle G\_{1}} būs tāds pats iezīmējums (atbilst marķējumam uz sakārtotā kuba).

Risinājums sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā norādītā konfigurācija {\displaystyle x\in G\_{0}} tulkots ar gājienu secību {\displaystyle s\_{1}} kaut kādā konfigurācijā {\displaystyle x^{\prime }\in G\_{1}}. Citiem vārdiem sakot, pirmā posma uzdevums ir atjaunot marķējumu, kas atbilst sākotnējai konfigurācijai, ignorējot etiķešu krāsas.

Otrajā posmā — konfigurācija {\displaystyle x^{\prime }\in G\_{1}} tulkots ar gājienu secību {\displaystyle s\_{2}} uz sākotnējo konfigurāciju. Šajā gadījumā sānu virsmu pagriezienus par ± 90° neizmanto, kā dēļ marķējums tiek automātiski saglabāts.

Apkopojot secības {\displaystyle s\_{1}} un {\displaystyle s\_{2}}, tas ir suboptimāls sākotnējās konfigurācijas risinājums.

##### Alternatīvi suboptimālie risinājumi

Pēc pirmā risinājuma atklāšanas Kotsomba algoritms neapstājas. Alternatīvi optimāli risinājumi pirmajā posmā var izraisīt īsākus risinājumus otrajā posmā, kas samazinās kopējo risinājuma garumu. Algoritms arī turpina meklēt neoptimālus risinājumus pirmajā posmā to garuma pieaugošā secībā.

##### Ieviešanas funkcijas

Lai rastu risinājumus katrā no diviem posmiem, IDA \* algoritms tiek izmantots ar heiristiskām funkcijām, kuru pamatā ir attiecīgo apakšuzdevumu risināšanas alternatīvas.

Pirmā posma uzdevums ir atrast risinājumu telpā ar trim koordinātām no marķējuma ar koordinātām (*x*1, *y*1, *z*1) līdz marķējumam (0, 0, 0):

1. Orientācija *x*1 astoņiem stūra elementiem (2187 vērtības)
2. Orientācija *y*1 divpadsmit malas elementiem (2048 vērtības)
3. Četru malu elementu **FR**, **FL**, **BL** un **BR** — *z*1 izvietojums (495 vērtības)

Apskatīsim trīs apakšuzdevumus, kā atrast risinājumu no iezīmēšanas (*x*1, *y*1, *z*1) līdz iezīmējumam (*x*1', *y1* ', 0), (*x* 1 ', 0, *z*1'), (0, *y*1 ', *z*1 '). Pirmajā posmā izmantotās heiristiskās funkcijas *h1* vērtība ir vienāda ar šo apakšproblēmu risināšanas alternatīvo maksimālo. Apakšuzdevumu risināšanas alternatīvas ir iepriekš aprēķinātas un saglabātas datu bāzu veidā ar veidnēm.

Otrās pakāpes uzdevums ir atrast risinājumu telpā ar trim koordinātām no konfigurācijas (*x*2, *y*2, *z*2) līdz konfigurācijai (0, 0, 0):

1. Pārkārtot *x* 2 astoņus malu elementus (40,320 vērtības)
2. Pārkārtojiet *y* 2 astoņiem augšējās un apakšējās malas elementiem (40320 vērtības)
3. Pārkārtojiet *z* 2 vidējā slāņa četriem malu elementiem (24 vērtības)

Apsveriet trīs apakšuzdevumus, kā atrast ceļu no konfigurācijas (*x*2, *y*2, *z*2) konfigurācijā (*x*2', *y*2', 0), (*x*2', 0, *z*2'), (0, *y*2', *z*2'). Otrajā posmā izmantotās heiristiskās funkcijas *h*2 vērtība ir vienāda ar šo apakšproblēmu risināšanas alternatīvo maksimālo.

Algoritmā tiek izmantotas papildu optimizācijas, kuru mērķis ir palielināt ātrumu un samazināt atmiņu, ko aizņem tabulas.

##### Programmatūras ieviešana

Cube Explorer ir Windows algoritma programmatūras ieviešana. Lejupielādes saites atrodas Herberta Kotsemba vietnē. 1992. gadā Atari ST personālajā datorā ar 1 MB atmiņu un 8 MHz frekvenci algoritms ļāva atrast risinājumu, kas nepārsniedz 22 pārvietojumus 1—2 minūšu laikā. Mūsdienu datorā Cube Explorer ļauj patvaļīgai konfigurācijai dažās sekundēs atrast ne vairāk kā 20 gājienus.

Pastāv algoritma tiešsaistes versija.

##### Analīze

Maikls Rīds 1995. gadā parādīja, ka Kotsomba algoritma pirmajai un otrajai fāzei var būt nepieciešami attiecīgi ne vairāk kā 12 un 18 gājieni (FTM). No tā izriet, ka Rubika kubu vienmēr var atrisināt 30 gājienos. Papildu analīze parādīja, ka 29f vai 42q vienmēr ir pietiekami.

### Korfa algoritms

Kotsomba algoritms ļauj ātri atrast īsus, suboptimālus risinājumus. Tomēr atrastā risinājuma optimāluma pierādīšana var prasīt daudz laika. Bija nepieciešams specializēts algoritms optimālu risinājumu atrašanai.

1997. gadā Ričards Korfs publicēja algoritmu, kas optimāli atrisina Rubika kuba patvaļīgas konfigurācijas. Desmit izlases veidā atlasītas konfigurācijas tika izšķirtas ne vairāk kā 18 FTM gājienos.

Pats Korfa algoritms darbojas šādi. Pirmkārt, tiek noteikti apakšuzdevumi, kas ir pietiekami vienkārši, lai veiktu pilnīgu uzskaitījumu. Tika izmantoti šādi trīs apakšuzdevumi:

1. Puzles stāvokli nosaka tikai astoņi stūra virsmām, malu pozīcijas un orientācija tiek ignorēta.
2. Puzles stāvokli nosaka seši no 12 malas virsmām, citi bloki tiek ignorēti.
3. Puzles stāvokli nosaka *pārējās* sešas malas virsmām.

Pārvietojumu skaits, kas nepieciešams, lai atrisinātu katru no šiem apakšuzdevumiem, ir zemāk konfigurāciju par pašu skaitu, kas vajadzīgs, lai pabeigtu risinājumu. Patvaļīgi noteikta Rubika kuba konfigurācija tiek atrisināta, izmantojot IDA \* algoritmu, izmantojot šo aprēķinu kā heiristiku. Apakšuzdevumu risināšanas izmaksas tiek glabātas datu bāzes veidā ar veidnēm.

Lai arī šis algoritms vienmēr atradīs optimālus risinājumus, tas tieši nenosaka, cik gājienu sliktākajā gadījumā var būt nepieciešams.

Algoritma ieviešana C valodā ir atrodama.

### Turpmākie uzlabojumi

2005. gadā Maikla Rīda QTM rādītājs uzlaboja Silviu Radu līdz 40q. Silviu Radu 2006. gadā pierādīja, ka Rubika kubu var salikt ar 27f vai 35q.

2007. gadā Daniels Cankle un Gene Cooperman izmantoja superdatoru, lai pierādītu, ka visas neatrisinātās konfigurācijas var atrisināt ne vairāk kā 26 FTM kustībās. Ideja bija apvienot Rubika kubu vienā no 15 752 kvadrātu apakšgrupas konfigurācijām, kuras katru beidzot var atrisināt ar dažiem papildu gājieniem. Lielākā daļa konfigurāciju tika atrisinātas šādā veidā ne vairāk kā 26 reizes. Atlikušās konfigurācijas tika pakļautas papildu analīzei, kas parādīja, ka tās tiek atrisinātas arī 26 gājienos.

Tomass Rokiki 2008. gadā publicēja skaitlisku pierādījumu puzles atrisinājumam ar 25 FTM kustībām. Rokiki 2008. gada augustā paziņoja par pierādījumu ar 23f. Vēlāk šis rādītājs uzlabojās līdz 22f. 2009. gadā viņam izdevās parādīt veikumu ar 29 QTM gājieniem.

2010. gadā Tomass Rokiki, Herberts Kotsomba, Morlijs Deividsons un Džons Detridžs paziņoja par pierādījumiem, ka jebkuru Rubika kuba konfigurāciju var atrisināt ne vairāk kā 20 kustībās FTM metrikā. Kopā ar iepriekš zināmo apakšējo robežu 20f \*, tas bija pierādījums tam, ka FTM metrikā Rubika kuba Dieva numurs ir 20.

2014. gada augustā Rokijs un Deividsons paziņoja, ka Rubika kuba Dieva numurs QTM metrikā ir 26.

### Antipodes meklēšana

Rubika kuba konfigurāciju, kas atrodas maksimālā attālumā no sākotnējās konfigurācijas, sauc par antipodi. Jebkuram antipodam FTM metrikā ir optimāls risinājums 20f \*, un jebkuram antipodam QTM metrikā ir optimāls risinājums 26q \*.

Ir zināms, ka FTM metrikā ir miljoniem antipodu. Viena no šīm konfigurācijām ir "Super flip". Gluži pretēji, QTM metrikā šobrīd ir zināma tikai viena antipoda konfigurācija (neskaitot no tā iegūtās konfigurācijas pēc pagriezieniem) — "Super flip un četru punktu sastāvs" (Super flip sastāv no četriem punktiem). Ir zināmas tikai divas konfigurācijas 25q \* attālumā no sākotnējās konfigurācijas un apmēram 80 tūkstoši konfigurāciju 24q \* attālumā.

### Asimptotiskie aprēķini

2011. gadā tika parādīts, ka Dieva kuba *n* × *n* × *n skaitlis* ir Θ (*n* 2 / log (*n*)).

Citas mīklas
------------

### Void Cube

Void Cube ir 3x3x3 Rubika kubs bez centrāliem elementiem.

FTM metrikā optimālā "Void Super flip" risinājuma garums ir 20f, kas ir pierādījums tam, ka ir nepieciešami 20 gājieni. Tā kā Void Cube ir *vieglāka* Rubika kuba *versija*, tad esošo 20 Rubika gājienu pierādījums var būt attiecināms uz Void Cube. Tāpēc FTM metrikā Void Cube mīkla ir arī attiecināma uz Dieva algoritmu.

### Kubs 4 × 4 × 4

Rubik's Revenge — Rubika atriebība
Mīklas 4 × 4 × 4 konfigurāciju skaits (angļu: *Rubik's Revenge* — Rubika atriebība) ir vienāds ar

{\displaystyle {\frac {8!\times 3^{7}\times 24!^{2}}{4!^{6}\times 24}}\approx 7.40\times 10^{45}}
#### Metrika 4 × 4 × 4

Ir vairāki veidi, kā noteikt metriku 4 × 4 × 4 kubam. Šajā sadaļā tiek izmantota šādi apzīmējumi:

* **q-s** (quarter slice): vienu pagriezienu uzskata par jebkura 12 mīklas skaldņu pagriešanos par ± 90°;
* **q-w** (quarter twist): vienu pagriezienu uzskata par jebkura ārēja bloka (ti, *tikai virsmu* vai *virsmu ar vairākiem blakus esošām skaldnēm, kas tam blakus atrodas*) pagriešanos par ± 90°;
* **q-b** (quarter block): vienā kustībā tiek pagriezts jebkurš ārējs vai iekšējs bloks (t.i. jebkura *secīgu* paralēlu slāņu secība) par ± 90° attiecībā pret pārējo mīklas daļu;
* **h-s**, **h-w**, **h-b** : līdzīgi kā iepriekšējie trīs rādītāji, izņemot to, ka ir atļautas arī 180° rotācijas.

Patvaļīgas konfigurācijas optimālā risinājuma garums **q-b** metrikā nav lielāks kā **q-w** vai **q-s** metrikā, jo **q-b** metrikā ir atļauti visi pārējo divu q-metriku gājieni. Tas pats attiecas uz h-metriku.

#### Aprēķins par Dieva kuba konfigurāciju skaitu 4 × 4 × 4

2006.-2007. gadā Brūss Norskogs veica 4 × 4 × 4 kuba 5-pakāpju analīzi, līdzīgi kā Tistletwaits veiktā 4-pakāpju analīze 3 × 3 × 3 Rubika kubam. Analīzes rezultātā tika iegūtas augšējās robežas 82 kustībām metriskajā **h-w** 77 kustībām metriskajā **h-s** un 67 kustībām metriskajā **h-b**.

2013. gadā Šuangs Čens (陈 霜) pazemināja aprēķinu **h-w** metrikā no 82 līdz 57 pagriezieniem.

Tomass Rokiki 2015. gadā apstiprināja savu labāko rezultātu 57 **h-w** pagriezienos un saņēma jaunus rezultātus 56 **h-s** un 53 **h-b**. Dažas dienas vēlāk Šuangam Čenam (陈 霜) izdevās iegūt augšējās robežas 55 **h-w** un 53 **h-s**, no jauna definējot pierādīšanas posmus.

2011. gadā Tomass Rokiki, balstoties uz vairākām esošām idejām, sešās metrikās noteica zemākas Dieva skaita robežas kubveida mīklām ar izmēriem no 2 × 2 × 2 līdz 20 × 20 × 20. Rezultāti par 4 × 4 × 4 kubu ir parādīti tabulā (kopā ar zināmajām augšējām robežām).

12 krāsu Megaminks

Dieva kuba konfigurāciju skaits 4 × 4 × 4| metriskā | **hs** | **hw** | **hb** | **qs** | **qw** | **qb** |
| zemāks rezultāts | 32 | 35 | 29 | 37 | 41 | 33 |
| labākais rezultāts | 53 | 55 | 53 |  ? |  ? |  ? |

### Megaminks

Megaminks ir vienkāršākais Rubika kuba analogs dodekaedra formā. 12 krāsu Megaminks konfigurāciju skaits ir 1,01 · 10 68.

Herberts Kotsemba 2012. gadā Megaminks noteica Dieva skaitļa apakšējo robežu, kas ir vienāda ar 45 virsmu pagriešanu uz jebkura leņķa vai 55 pagriezieniem pa aptuveni 72° leņķi. Herberts Kotsomba 2016. gadā noskaidroja Megaminks zemāko Dieva algoritma skaitu, palielinot to līdz 48 šķautņu rotācijām jebkurā leņķī.

Atsauces
--------

1. 1 2 3 4 5 6  *Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J.* God's Number is 20 (англ.). Дата обращения 19 июля 2013.
2. ↑  По системе образующих, состоящей из поворотов граней на ±90° и на 180°.
3. 1 2 3 4 5  *Rokicki, T. and Davidson, M.* God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric (англ.). Дата обращения 4 июля 2015.
4. ↑  Joyner, 2002, 7. lpp.
5. 1 2  *Jerry Slocum, David Singmaster, Wei-Hwa Huang, Dieter Gebhardt, Geert Hellings.* The Cube: The Ultimate Guide to the World's Bestselling Puzzle — Secrets, Stories, Solutions[novecojusi saite]. — 2009. — С. 26. — 142 с.
6. ↑  *Jaap Scherphuis.* Useful Mathematics Archived 2012. gada 24. novembrī, *Wayback Machine* vietnē..Metrics (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 17 июля 2013. Архивировано 24 ноября 2012 года.
7. ↑  *Schönert, Martin* Analyzing Rubik's Cube with GAP (англ.). Дата обращения 19 июля 2013.
8. ↑  *Jaap Scherphuis.* Rubik's Cube 3x3x3 Archived 2013. gada 28. jūlijā, *Wayback Machine* vietnē. (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 19 июля 2013. Архивировано 28 июля 2013 года.
9. ↑  Joyner, 2008, 93, 108. lpp.
10. 1 2  *Herbert Kociemba.* Two-Phase-Algorithm and God's Algorithm: God's number is 20 Archived 2013. gada 2. maijā, *Wayback Machine* vietnē. (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 23 июля 2013. Архивировано 2 мая 2013 года.
11. 1 2 3  *Rik van Grol.* The Quest For God’s Number (англ.). Math Horizons (November 2010). Дата обращения 26 июля 2013.
12. ↑  *Stefan Edelkamp, Stefan Schrōdl.* Heuristic search: theory and applications. — Morgan Kaufmann Publishers, 2012. — 712 с. — ISBN 978-0-12-372512-7.
13. ↑  SIAM J. Discrete Math. 27(2), 1082—1105
14. ↑  «Разрешимой» конфигурацией называется конфигурация, которая может быть переведена в собранную. Так как граф кубика Рубика ненаправленный, из этого следует, что любая конфигурация, полученная из исходной произвольной последовательностью ходов разрешима. Но существуют неразрешимые конфигурации. Например, если в собранном состоянии повернуть одну из вершин кубика на 120°, то получится неразрешимая конфигурация.
15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  *В. Дубровский, А. Калинин.* Новости кубологии // Квант. — 1992. — № 11. — С. 52-56.
16. 1 2  *Jaap Scherphuis.* Useful Mathematics Archived 2012. gada 24. novembrī, *Wayback Machine* vietnē.. God's Algorithm (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 17 июля 2013. Архивировано 24 ноября 2012 года.
17. ↑  *Michael Reid.* Michael Reid's Rubik's cube page. M-symmetric positions (англ.) (May 24, 2005). Дата обращения 17 июля 2013.
18. ↑  *David Singmaster.* Cubic Circular (англ.). — 1982. — Iss. 5 & 6. — P. 24.
19. ↑  Joyner, 2002, 149. lpp.
20. 1 2 3 4  *Stefan Pochmann.* Analyzing Human Solving Methods for Rubik’s Cube and similar Puzzles (Diploma Thesis) Archived 2014. gada 9. novembrī, *Wayback Machine* vietnē. (англ.).
21. ↑  *Dik T. Winter.* Kociemba's algorithm (англ.) (Mon, 18 May 92 00:49:48 +0200). Дата обращения 17 июля 2013.
22. ↑  *Michael Reid.* superflip requires 20 face turns (англ.) (Wed, 18 Jan 95 10:13:45 -0500). Дата обращения 17 июля 2013.
23. ↑  *Michael Reid.* superflip (англ.) (Tue, 10 Jan 95 18:57:20 -0500). Дата обращения 17 июля 2013.
24. ↑  *Jerry Bryan.* Qturn Lengths of M-Symmetric Positions (англ.) (Sun, 19 Feb 95 23:20:22 -0500 (EST)). Дата обращения 17 июля 2013.
25. 1 2  *Michael Reid.* superflip composed with four spot (англ.) (Sun, 2 Aug 1998 08:47:44 -0400). Дата обращения 4 июля 2015.
26. ↑  *Л. А. Калужнин, В. И. Сущанский.* Преобразования и перестановки. — М, 1985. — С. 143. — 160 с.
27. ↑  *David Singmaster.* Notes on Rubik's Magic Cube. — Enslow Publishers, 1981. — P. 30.
28. ↑  *В. Дубровский.* Алгоритм волшебного кубика // Квант. — 1982. — № 7. — С. 22-25.
29. ↑  Порядок этой и следующих трёх групп вычисляется как произведение трёх множителей, указывающих соответственно количество разрешимых конфигураций углов, количество разрешимых конфигураций рёбер и общее ограничение «чётности» разрешимой конфигурации.
30. ↑  *Jaap Scherphuis.* Cube subgroups Archived 2013. gada 20. janvārī, *Wayback Machine* vietnē.. Subgroups generated by face moves (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 19 июля 2013. Архивировано 20 января 2013 года.
31. ↑  *Mark Longridge.* Progressive Improvements in Solving Algorithms Archived 2013. gada 9. oktobrī, *Wayback Machine* vietnē. (англ.). Дата обращения 28 июля 2013.
32. ↑  *В. Дубровский.* Математика волшебного кубика // Квант. — 1982. — № 8. — С. 22-27, 48.
33. ↑  *Jaap Scherphuis.* Thistlethwaite's 52-move algorithm (англ.). Дата обращения 17 июля 2013.
34. 1 2  *silviu.* Rubik can be solved in 27f Archived 2013. gada 27. augustā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (04/01/2006). Дата обращения 20 июля 2013.
35. 1 2  *Kunkle, D.*; *Cooperman, C.* (2007). "Twenty-Six Moves Suffice for Rubik's Cube Archived 2019. gada 18. februārī, *Wayback Machine* vietnē." (PDF). *Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '07)*, ACM Press.
36. ↑  *Michael Reid.* an upper bound on god's number (англ.) (Wed, 29 Apr 92 01:37:26 -0700 (PDT)). Дата обращения 17 июля 2013.
37. ↑  *Michael Reid.* new upper bound (англ.) (Fri, 22 May 92 22:56:34 -0700 (PDT)). Дата обращения 19 июля 2013.
38. ↑  *Dik T. Winter.* Corrected calculations are now done. (англ.) (Thu, 28 May 92 15:00:49 +0200). Дата обращения 19 июля 2013.
39. ↑  *Ryan Heise.* The Human Thistlethwaite Algorithm (англ.). Дата обращения 19 июля 2013.
40. 1 2 3  *Herbert Kociemba.* Two-Phase Algorithm Details (англ.). Дата обращения 20 июля 2013.
41. 1 2 3 4  *Jaap Scherphuis.* Computer Puzzling Archived 2020. gada 25. maijā, *Wayback Machine* vietnē.. Kociemba's Algorithm (англ.). Дата обращения 23 июля 2013.
42. ↑  *Herbert Kociemba.* The Subgroup H and its cosets (англ.). Дата обращения 23 июля 2013.
43. 1 2 3  *Herbert Kociemba.* The Two-Phase-Algorithm (англ.). Дата обращения 23 июля 2013.
44. ↑  Биекция между конфигурациями и тройками координат установлена таким образом, что целевой разметке первого этапа (т.е. любой конфигурации из группы *G*1) соответствует тройка (0, 0, 0).
45. 1 2 3  *Стюарт Рассел, Питер Норвиг.* Составление допустимых эвристических функций // Искусственный интеллект: современный подход = Artificial Intelligence: A Modern Approach. — 2-е изд.. — М.: Вильямс, 2006. — С. 170 — 173. — 1408 с. — ISBN 5-8459-0887-6.
46. ↑  Англ. *pattern databases*. В изложении автора алгоритма — «pruning tables».
47. ↑  Из-за ограничения, связанного с чётностью перестановки элементов, встречается только половина всех троек координат.
48. ↑  *Herbert Kociemba.* Pruning Tables (англ.). Дата обращения 23 июля 2013.
49. ↑  *Herbert Kociemba.* Download (англ.). Дата обращения 20 июля 2013.
50. ↑  *Eric Dietz.* Solve Your Cube In Less Than 25 Moves (англ.). Дата обращения 20 июля 2013.
51. ↑  *Michael Reid.* new upper bounds (англ.) (Sat, 07 Jan 95 20:24:35 -0500). Дата обращения 19 июля 2013.
52. 1 2  *Richard E. Korf.* Finding Optimal Solutions to Rubik's Cube Using Pattern Databases Archived 2019. gada 19. augustā, *Wayback Machine* vietnē.. — 1997.
53. ↑  Arthur Fisher. «Rubik's Reduced». *Popular Science* (angļu), 1997-10. 58. lpp.
54. ↑  *Michael Reid.* Rubik's cube page. Optimal Rubik's cube solver **(неопр.)** (October 28, 2006). Дата обращения 20 июля 2013.
55. ↑  Silviu Radu, "A New Upper Bound on Rubik's Cube Group", *arΧiv:math/0512485*
56. ↑  *silviu.* Rubik can be solved in 35q Archived 2019. gada 29. aprīlī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (03/22/2006). Дата обращения 20 июля 2013.
57. ↑  Northeastern University Researchers Solve Rubik’s Cube in 26 Moves Archived 2019. gada 23. oktobrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Дата обращения 20 июля 2013.
58. ↑  
Tom Rokicki, "Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube", *arΧiv:0803.3435*
59. ↑  *rokicki.* Twenty-Three Moves Suffice Archived 2013. gada 27. augustā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (04/29/2008). Дата обращения 20 июля 2013.
60. ↑  *rokicki.* Twenty-Two Moves Suffice Archived 2011. gada 5. decembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)** (недоступная ссылка). Domain of the Cube Forum (08/12/2008). Дата обращения 20 июля 2013. Архивировано 5 декабря 2011 года.
61. ↑  *rokicki.* Twenty-Nine QTM Moves Suffice Archived 2011. gada 26. jūlijā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (06/15/2009). Дата обращения 20 июля 2013.
62. 1 2  *Adam P. Goucher.* Superflip composed with fourspot **(неопр.)**. Complex Projective 4-Space (25 сентября 2015).
63. 1 2  *Jaap Scherphuis.* Cayley Graphs. Distances (англ.). Дата обращения 4 июля 2015.
64. ↑  Known Distance-20 Positions in the Half-Turn Metric. Known Distance-24 or Greater Positions in the Quarter-Turn Metric
65. ↑  «Pretty Patterns Rubik's Cube | Edge Flip, Dot | Superflip, With 4 Dots».
66. ↑  Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Eisenstat, Sarah; Lubiw, Anna & Winslow, Andrew (2011), "Algorithms for Solving Rubik's Cubes", *arΧiv:1106.5736v1* [cs.DS]
67. ↑  
*Larry Hardesty.* The math of the Rubik’s cube. New research establishes the relationship between the number of squares in a Rubik’s-cube-type puzzle and the maximum number of moves required to solve it (англ.). MIT News Office (June 29, 2011). Дата обращения 23 июля 2013.
68. ↑  *rokicki.* Void cube diameter at least 20 (face turn metric) Archived 2016. gada 6. martā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (01/19/2010). Дата обращения 28 июля 2013.
69. ↑  *rokicki.* Void cube diameter at least 20 (probably 20) **(неопр.)**. Speedsolving.com (01/19/2010). Дата обращения 28 июля 2013.
70. ↑  *Jaap Scherphuis.* Rubik's Revenge (англ.). Дата обращения 28 июля 2013.
71. ↑  *Bruce Norskog.* New upper bounds: 82 twist turns, 67 block turns Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (08/13/2007). Дата обращения 28 июля 2013.
72. ↑  *Bruce Norskog.* The 4x4x4 can be solved in 77 single-slice turns Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (07/26/2007).
73. ↑  Bigger rubik cube bound Archived 2014. gada 29. maijā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)** (недоступная ссылка). Project Euler. Дата обращения 28 июля 2013. Архивировано 29 мая 2014 года.
74. ↑  *CS.* Solving the 4x4x4 in 57 moves(OBTM) Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (09/30/2013). Дата обращения 19 ноября 2013.
75. ↑  *rokicki.* 4x4x4 upper bounds: 57 OBTM confirmed; 56 SST and 53 BT calculated. Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (03/03/2015). Дата обращения 1 июля 2015.
76. ↑  *CS.* 4x4x4 new upper bound: 55 OBTM Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (03/07/2015). Дата обращения 1 июля 2015.
77. ↑  *CS.* 4x4x4 new upper bound: 53 SSTM Archived 2017. gada 9. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (03/09/2015). Дата обращения 1 июля 2015.
78. ↑  *rokicki.* Lower Bounds for n x n x n Rubik's Cubes (through n=20) in Six Metrics Archived 2019. gada 20. oktobrī, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (07/18/2011). Дата обращения 28 июля 2013.
79. ↑  *Herbert Kociemba.* Megaminx needs at least 45 moves Archived 2017. gada 23. jūlijā, *Wayback Machine* vietnē. **(неопр.)**. Domain of the Cube Forum (02/28/2012). Дата обращения 28 июля 2013.
80. ↑  *Herbert Kociemba.* Lower bound for Megaminx in htm and qtm **(неопр.)**. Speedsolving.com (03-01-2012). Дата обращения 28 июля 2013.
81. ↑  Lower bound for Megaminx in htm and qtm
82. Veidne:Статья
83. Jaap Scherphuis. «Puzzle Statistics». Skatīts: 2013-07-17. Ignorēts nezināms parametrs `|lang=` (tiek ieteikts `|language=`)
84. Jerry Bryan. «Notational convention», 05/27/2006. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2014-11-09. Skatīts: 2013-07-28.

Ārējās saites
-------------

* Константин Кноп. «Кубик Рубика: штурм твердыни» (krievu). Arhivēts no oriģināla, laiks: 2009-10-20. Skatīts: 2013-07-20.
* Rik van Grol. «The Quest For God’s Number» (angļu). Math Horizons, November 2010. Skatīts: 2013-07-26.
* Jaap Scherphuis. «Jaap's Puzzle Page» (angļu). Skatīts: 2013-07-20.
* Herbert Kociemba. «Cube Explorer 5.01» (angļu). Skatīts: 2013-07-20.
* Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, John Dethridge. «God's Number is 20» (angļu). Skatīts: 2013-07-20.
* Martin Schönert. «Cube Lovers archives converted to HTML» (angļu). Skatīts: 2013-07-20.
* Mark Longridge. «Domain of the Cube Forum» (angļu). Arhivēts no oriģināla, laiks: 2013-09-22. Skatīts: 2013-07-20.
* W. D. Joyner. «Lecture notes on the mathematics of the Rubik's cube» (angļu). Arhivēts no oriģināla, laiks: 2013-09-05. Skatīts: 2013-07-22.
* Tomas Rokicki. «Computers and the Cube (slides)» (angļu), 2009. gada 3. novembris. Skatīts: 2013-07-30.