Kvadrātiskas, nesingulāras matricas {\displaystyle A} **apgrieztā matrica** jeb **inversā matrica** ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu {\displaystyle A}, iegūst vienības matricu:

{\displaystyle A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E}

Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai
---------------------------------------

### Izmantojot minorus

{\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {A\_{11}}{d}}&{\frac {A\_{21}}{d}}&\cdots &{\frac {A\_{n1}}{d}}\\{\frac {A\_{12}}{d}}&{\frac {A\_{22}}{d}}&\cdots &{\frac {A\_{n2}}{d}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {A\_{1n}}{d}}&{\frac {A\_{2n}}{d}}&\cdots &{\frac {A\_{nn}}{d}}\end{pmatrix}}}

kur {\displaystyle d} ir matricas {\displaystyle A} determinants un {\displaystyle A\_{ij}} ir algebriskais papildinājums matricas minoram {\displaystyle M\_{ij}=\left|a\_{ij}\right|}:  

{\displaystyle A\_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M\_{ij}}.

Šī formula rāda, ka iegūt apgriezto matricu (jeb, citiem vārdiem, invertēt doto matricu) ir iespējams tikai tad, ja matricas determinants nav vienāds nullei. Šo kritēriju izmanto matricas apgriežamības pārbaudei.

### Izmantojot Gausa metodi

Pieņemam, ka esam atraduši matricas T\_{1} līdz {\displaystyle T\_{n}}, kuras secīgi piereizinot matricai {\displaystyle A}, iegūstam vienības matricu {\displaystyle E}:

{\displaystyle T\_{n}\cdot \ldots \cdot \ T\_{2}\cdot T\_{1}\cdot A=E}

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā {\displaystyle T\_{i}} matricu reizinājumu:

{\displaystyle A^{-1}=T\_{n}\cdot \ldots \cdot T\_{2}\cdot T\_{1}(\cdot E)}

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu {\displaystyle T\_{i}} reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu {\displaystyle A} par vienības matricu {\displaystyle E} — pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu {\displaystyle A} un vienības matricu {\displaystyle E} un ar matricu {\displaystyle A} veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par {\displaystyle E}. Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu {\displaystyle E}. Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas {\displaystyle A} apgrieztā:

{\displaystyle (A|E)\sim \ldots \sim (E|A^{-1})}

#### Piemērs

Dota matrica 
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}}

{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)(1)\sim \left({\begin{matrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&-3\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)(2)\sim \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)}

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar {\displaystyle -1} un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar {\displaystyle -3} un pieskaitīta 1. rindiņai.  

(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar {\displaystyle -2} un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu 
{\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}}

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * s
* d
* l
Lineārā algebra |
| --- |
|  |
| Pamata koncepti | 
* Skalārs lielums
* Vektors
* Vektoru telpa
* Skalāra reizināšana
* Vektora projekcija
* Lineārais sprīdis
* Lineārais plāns
* Lineārā projekcija
* Lineārā neatkarība
* Lineārā kombinācija
* Bāze
* Bāzes maiņa
* Rindu un kolonnu vektori
* Rindu un kolonnu lauki
* Kodols
* Īpašvērtības un īpašvektori
* Transponēšana
* Lineārie vienādojumi

 | Trīs dimensiju Eiklīda telpa |
|  |
| Matricas | 
* Bloks
* Sadalīšana
* Apgrieztā
* Minors
* Reizināšana
* Ranks
* Transformācija
* Krāmera formulas (likums)
* Gausa izslēgšanas metode

 |
|  |
| Bilinearitāte | 
* Ortogonalitāte
* Skalārais reizinājums
* Iekšējā reizinājuma telpa
* Vektoriāls reizinājums
* Grama–Šmita process

 |
|  |
| Multilineārā algebra | 
* Determinants
* Vektoriālais reizinājums
* Jauktais reizinājums
* Septiņu-dimensiju vektoriālais reizinājums
* Ģeometriskā algebra
* Ārējā algebra
* Bivektors
* Multivektors
* Tenzors
* Outermorfisms

 |
|  |
| Vektoru lauka konstrukcijas | 
* Duāla
* Tiešā summa
* Funkcijas telpa
* Koeficients
* Apakšlauks
* Tenzorreizinājums

 |
|  |
| kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā | 
* Peldošo punktu
* Skaitliskā stabilitāte
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* Retināta matrica
* Lineārās algebras programmatūras bibliotēkas

 |
|  |
| 
* Kategorija
* Wikibook (En)
* Wikiversity (En)

 |

 |