Piemērs sagaidāmai vērtībai - kolekcionēšana. Kolekcijai sastāvot no *n* elementiem, kāda ir sagaidāmā vērtība novēroto elementu skaitam, pirms ieraudzīta visa kolekcija?
**Sagaidāmā vērtība** (arī **matemātiskā cerība**) varbūtību teorijā ir svērta vidējā vērtība. Ja katra gadījuma lieluma varbūtība notikt ir vienāda, sagaidāmā vērtība neatšķiras no vidējā aritmētiskā. Tā kā sagaidāmā vērtība ir netiešs lielums(aprēķināts nevis izmērīts), tad bieži vien tieši šo vērtību nav iespējams iegūt (piemēram, vidējais cilvēks neeksistē). Ja gadījuma skaits ir galīgs, tad to aprēķina ar summu, bet bezgalīgā gadījumā (piemēram, reālu skaitļu intervālā) izmanto integrāli.

Sagaidāmo vērtību gadījuma lielumam {\displaystyle X} apzīmē ar {\displaystyle E(X)}, {\displaystyle E[X]} vai {\displaystyle EX}.

Vēsture
-------

Vēsturiski sagaidāmo vērtību pētīja punktu problēmā, kurā cenšas sadalīt spēles laimestu godīgi, ja tā tiek pārtraukta. Spēlei ir godīga veiksmes daba, kur abiem spēlētājiem ir vienādas izredzes uzvarēt katru partiju. Spēlētāji vienlīdz daudz piesola laimestam un piekrīt beigt spēli, kad kāds ir sasniedzis noteiktu skaitu uzvaru. Tad, pēkšņi, spēle tiek pārtraukta un nepieciešams sadalīt laimestu pareizi. Lai šo uzdevumu atrisinātu, nepieciešama gan skaitļošana, gan skaidrība par godīgumu. Problēmu pēc mūsdienu standartiem atrisināja 1654. gadā Blēzs Paskāls un Pjērs Fermā.

Lielo skaitļu likums
--------------------

Lielo skaitļu likuma demonstrējums ar monētas varbūtībām
Ja no *n* neatkarīgiem eksperimentiem iegūst gadījuma lielumus *x1, x2, ... xn* un izrēķina to vidējo aritmētisko {\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+...+x\_{n}}{n}}}, tad, pieaugot *n*, rezultāts tieksies uz {\displaystyle E[X]}. Šis izpildās, ja gadījuma lieluma varbūtības nemainās, gadījumi ir neatkarīgi un {\displaystyle E[X]<\infty }.

Sagaidāmās vērtības gadījumi
----------------------------

### Diskrētais gadījums

Ja gadījuma lielums *X* var pieņemt galīgu vērību skaitu {*x1,..xk*}, kur katra lieluma vērtība ir {*p1,...pk*}, tad sagaidāmo vērtību gadījuma lielumam *X* pieraksta kā:

{\displaystyle E[X]=x\_{1}p\_{1}+x\_{2}p\_{2}+...+x\_{k}p\_{k}}

Tā kā visu varbūtību summa ir 1, sagaidāmo vērtību var uzskatīt par svērto vidējo. Īpašajā gadījumā, ja visas varbūtības {p1, p2,...pk} ir vienlīdz iespējamas, sagaidāmā vērtība sakrīt ar vidējo aritmētisko.

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}p\_{i}=1}

### Piemērs

Piemērs ar metamo kauliņu- gaidāmā vērtība vienam metienam ir 3,5, un, metienu skaitam tiecoties uz bezgalību, vidējā vērtība tiecas uz sagaidāmo vērtību.
* Apzīmēsim *X* kā iznākumu metamā kauliņa metienam. Iespējamās *X* vērtības ir 1, 2, 3, 4, 5, 6, kur katrai ir vienāda varbūtība uzkrist {\displaystyle {\frac {1}{6}}}. Sagaidāmā vērtība no *X* ir:{\displaystyle E[X]=1\*{\frac {1}{6}}+2\*{\frac {1}{6}}+3\*{\frac {1}{6}}+4\*{\frac {1}{6}}+5\*{\frac {1}{6}}+6\*{\frac {1}{6}}=3,5}

### Saskaitāmi bezgalīgu gadījumu sagaidāmā vērtība

Neprecīzi var pierakstīt gaidāmo vērtību kā bezgalīgu summu:

{\displaystyle E[x]=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}\*p\_{i}}

Šis pieraksts ir neprecīzs, jo pastāv gadījumi, kad sagaidāmo vērtību šādi nevar definēt. Piemēram, ja absolūto xi vērtība tiecas uz bezgalību. Šādā gadījumā skaitļu secība nosaka rindas gala vērtību.

Piemēram, rinda 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 ... tiecas uz 0; bet rindas locekļu absolūtā summa (1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3...) tiecas uz bezgalību, tādēļ var pārkārtot rindu un iegūt citu robežvērtību. Piemēram, var saskaitīt pirmos divus pozitīvos locekļus un atņemt pirmo negatīvo: 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ... = ln 2

### Nesaskaitāmi bezgalīgu gadījumu sagaidāmā vērtība

Sagaidāmo vērtību nesaskaitāmi bezgalīgā intervālā var pierakstīt kā integrāli:

{\displaystyle E[X]=\int \_{\Omega }^{\,}X(r)\*p(r)\*dr}

Īpašības
--------

Ja gadījuma lielumi *X, Y* rodas vienā procesā, tad izpildās: {\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}; {\displaystyle E[aX+b]=a\*E[X]+b}

Ja {\displaystyle E[X]} un {\displaystyle E[Y]} nav atkarīgi viens no otra, tad {\displaystyle E[X\*Y]=E[X]\*E[Y]}

Atsauces
--------

1. 1 2 3  Kārlis Podnieks. [podnieks.id.lv/slides/mining/varbut1.pdf#page=12 «Varbūtības un informācija (1.daļa)»] Jāpārbauda `|url=` shēma. Skatīts: 10.10.2023.
2. ↑  Glenn Shafer. «The Early Development of Mathematical Probability». Skatīts: 10.10.2023.
3. ↑  Kārlis Podnieks. «Varbūtības un informācija (2.daļa)». Skatīts: 10.10.2023.