**Kvadrātfunkcija** ir funkcija, kuru apraksta vienādojums {\displaystyle y={ax^{2}+bx+c}}, kur a,b,c ∈ R un a≠0.
 
 Funkcijas grafiks ir parabola.
 

 Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi.

Saknes un diskriminants
-----------------------

Funkcija ar 2 saknēmFunkcija ar divām saknēmFunkcija ar vienu sakniFunkcija ar vienu sakniFunkcija bez saknēmFunkcija bez saknēm
Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.
 

 Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas : {\displaystyle D={b^{2}-4ac}} 

* Ja {\displaystyle D>0} , tad vienādojumam ir 2 saknes,
* Ja {\displaystyle D=0} , vienādojumam ir viena sakne,
* bet, ja {\displaystyle D<0} , sakņu nav.

Saknes var aprēķināt pēc formulas
 
 :  
     {\displaystyle x\_{\text{1,2}}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}} 

Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas
 
 :  
     {\displaystyle {x\_{1}\*x\_{2}}={\frac {c}{a}}}  
     {\displaystyle {x\_{1}+x\_{2}}={-{\frac {b}{a}}}}

Krustpunkts ar y asi
--------------------

 Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0. 

 Piemēram: 

 {\displaystyle y={x^{2}+3x+1}} 

 {\displaystyle y={0^{2}+3\*0+1}} 

 {\displaystyle y={0+0+1}} 

 {\displaystyle y=1} 

 Funkcijas {\displaystyle y={x^{2}+3x+1}} grafiks krusto y asi punktā (0;1) 

 Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas {\displaystyle x={x\_{y}+2x\_{v}}}

Parabolas zaru vērsums
----------------------

Zari ir vērsti uz augšuParabolas zari ir vērsti uz augšuZari ir vērsti uz lejuParabolas zari ir vērsti uz leju
 Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa. 

 Ja {\displaystyle a>0}, **zari ir vērsti uz augšu** (piemēram, {\displaystyle y={x^{2}}}), bet ja {\displaystyle a<0}, **zari ir vērsti uz leju** (piemēram, {\displaystyle y={-x^{2}}}).

Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtība
---------------------------------------------------------

Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (xv;yv) vai (xo;yo).

 Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:  
     {\displaystyle x\_{\text{v}}={-{\frac {b}{2a}}}}

Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā:  
     {\displaystyle y\_{\text{v}}={ax\_{v}^{2}+bx\_{v}+c}} 

Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību. 

Ja **zari ir vērsti uz augšu**, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja **zari ir vērsti uz leju**, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma.

Paritāte
--------

{\displaystyle y={x^{2}+3x-6}} un{\displaystyle y={x^{2}-3x-6}} grafiki
Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.

Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra. 

 

### Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojuma

Funkcija ir pāra, ja:  
     {\displaystyle f(x)=f(-x)}

 

Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija {\displaystyle y={x^{2}-6}} ir pāra funkcija:

  
     {\displaystyle {x^{2}-6}={(-x)^{2}-6}}  
     {\displaystyle {x^{2}-6}={x^{2}-6}}

 

Abas puses sakrīt, tātad funkcija {\displaystyle y={x^{2}-6}} ir pāra funkcija.

Tagad pārbaudīsim vai funkcija {\displaystyle y={x^{2}+3x-6}} ir pāra funkcija:

  
     {\displaystyle f(x)={x^{2}+3x-6}}
  
     {\displaystyle f(-x)={(-x)^{2}+3\*(-x)-6}}
  
     {\displaystyle {x^{2}+3x-6}\neq {x^{2}-3x-6}}

 

Abas puses nesakrīt, tātad funkcija {\displaystyle y={x^{2}+3x-6}} nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

### Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafika

Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb {\displaystyle x\_{v}=0}, 

{\displaystyle {\color {blue}{y={{\frac {1}{10}}x^{2}-4}}}}

 {\displaystyle {\color {red}{y={-5x^{2}+8}}}}

  Šīs ir pāra funkcijas 

{\displaystyle {\color {red}{y={-x^{2}+{\frac {2}{3}}x+6}}}}

 {\displaystyle {\color {blue}{y={{\frac {4}{5}}x^{2}+5x+3}}}}

  Šīs ir ne pāra, ne nepāra funkcijas

Vienādzīmju intervāli
---------------------

Funkcijas 

  {\displaystyle y={x^{2}+4x+5}} 

 grafika zari ir vērsti uz augšu 

Funkcijas

  {\displaystyle y={-x^{2}+2x-2}} 

  grafika zari ir vērsti uz leju 

Funkcijas 

  {\displaystyle y={{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {6}{13}}x-{\frac {17}{20}}}} 

 grafika zari ir vērsti uz augšu 

Funkcijas

  {\displaystyle y={-6x^{2}-7x+4}} 

  grafika zari ir vērsti uz leju 

Ar zaļu ir iekrāsotas funkcijas pozitīvās vērtības, ar sarkanu - negatīvās.
 Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un {\displaystyle D\geq 0}, tad {\displaystyle y>0,ja} {\displaystyle x\in (-\infty ;x\_{1})\cup (x\_{2};+\infty )}  
                          un {\displaystyle y<0,ja} {\displaystyle x\in (x\_{1};x\_{2})} 

 Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un {\displaystyle D\geq 0}, tad {\displaystyle y>0,ja} {\displaystyle x\in (x\_{1};x\_{2})}  
                       un {\displaystyle y<0,ja} {\displaystyle x\in (-\infty ;x\_{1})\cup (x\_{2};+\infty )} 

### Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēm

 Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva. 

 Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva. 

 Piemēram, funkcijai {\displaystyle y={x^{2}+4x+5}} sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls {\displaystyle y>0}, ja {\displaystyle x\in (+\infty ;-\infty )}

Monotonitāte
------------

Parabolas zari ir vērsti uz augšuParabolas zari ir vērsti uz lejuZaļais apgabals apzīmē intervālu, kurā funkcija ir augoša, bet sarkanais - , kurā funkcija ir dilstoša.
Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.

Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā {\displaystyle x\in (-\infty ;x\_{v})}, bet augoša {\displaystyle x\in (x\_{v};+\infty )}.

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā {\displaystyle x\in (x\_{v};+\infty )}, bet augoša {\displaystyle x\in (-\infty ;x\_{v})}.

Pārbīdes
--------

Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

| Koeficients | Kādu pārbīdi tas veic | Attēls |
| --- | --- | --- |
| a | Mainot a koeficientu, mainās zaru vērsums un platums.  Zari ir vērsti uz augšu, ja {\displaystyle a>0}, bet uz leju, ja {\displaystyle a<0}.   Jo lielāks a koeficients, jo tuvāk parabolas zari atradīsies pie funkcijas simetrijas ass.  |  |
| b | B koeficients nosaka pārbīdi pa x asi. Parabola būs pa kreisi no y ass, ja {\displaystyle b>0}, parabolas virsotne atradīsies uz x ass, ja {\displaystyle b=0}, parabola būs pa labi no y ass, ja {\displaystyle b<0}.  |  |
| c | C koeficients nosaka pārbīdi pa y asi un nosaka y koordinātas krustpunktā ar y asi. Ja {\displaystyle c>0}, tad parabola tiks virzīta uz augšu pa y asi, ja {\displaystyle c<0}, tad parabola tiks virzīta uz leju pa x asi,  bet ja {\displaystyle c=0} parabola krustos y asi punktā (0;0).  |  |

Skatīt arī
----------

* Kvadrātvienādojums
* Diskriminants
* Lineāra funkcija
* Funkcija

Atsauces
--------

1. ↑   "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 21. lpp, ISBN 978-0883857830
2. ↑   "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 616 lpp. ISBN 978-1133365419
3. ↑   "Elementary and Intermediate Algebra", Ron Larson, 638. lpp, ISBN 978-0547102160
4. ↑   "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 29. lpp, ISBN 978-0883857830
5. ↑  "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 582 lpp. ISBN 978-1133365419"
6. ↑   "Technical Shop Mathematics", Thomas Achatz, John G. Anderson, Kathleen McKenzie, 276. lpp, ISBN 978-0736087360
7. ↑   "Quadratic Equation" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. , Weisstein, Eric W.
8. ↑   "Mathematics: quadratic equations.: How solve a quadratic equation.", Marilù Garo, 5. lpp
9. ↑   "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 622 lpp. ISBN 978-1133365419

Ārējās saites
-------------

* Teorija par kvadrātfunkciju
* DZM materiāls par kvadrātfunckiju
* materiāli par kvadrātfunkciju atbilstoši 9. klases standartam
* Funkciju grafiku kalkulators (angļu valodā)