Ja {\displaystyle f} ir nepārtraukta un diferencējama jebkur intervālā {\displaystyle (a;b)}, tad pastāv tāds {\displaystyle c}, ka šī punkta atvasinājuma taisne būs paralēla sekantes taisnei, kas savieno punktus {\displaystyle a} un {\displaystyle b}
**Lagranža teorēma** apgalvo, ka, ja funkcija {\displaystyle f} ir nepārtraukta nogriežņa intervālā {\displaystyle [a;b]} un diferencējamā intervālā {\displaystyle (a;b)}, tad eksistē tāds punkts {\displaystyle c\in (a;b)}, ka

```
{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}.
```

*Mehāniski to var definēt kā* lai {\displaystyle f(t)}- punkta attālums momentā {\displaystyle t} no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a){\displaystyle f(b)-f(a)} ir attālums no momenta {\displaystyle t=a} līdz momentam {\displaystyle t=b}. Attiecība {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā {\displaystyle t\in (a,b)}, tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums
-----------

**Funkcijai ar vienu mainīgo:**

Ievadām funkciju {\displaystyle F(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}. Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts {\displaystyle c}, kurā funkcijas F atvasinājums ir vienāds ar nulli:

{\displaystyle f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),}

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi
-------------------------------------

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā {\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}, kreiso pusi apzīmējam kā {\displaystyle \Delta y}, bet labajā pusē faktoru {\displaystyle (b-a)} apzīmējam ar {\displaystyle \Delta x}, tad mēs iegūsim formulu: {\displaystyle \Delta y=f'(c)\Delta x}

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

{\displaystyle dy=f'(x)dx}

Pielikums
---------

* Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums
------------------------

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

**Pierādījums.** Visiem x un y piemīt punkts {\displaystyle c}, tāda kas {\displaystyle f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0}.

Tātad pie visiem x un y būs patiesā vineādība kur {\displaystyle f(y)=f(x)}.

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija f(x) pieaug/dilst nogrieznī {\displaystyle [a,b]} tikai tad, kad tās {\displaystyle f'(x)} atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

* No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad {\displaystyle n=1} iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. {\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{(n-1)}(x){\frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}+f^{(n)}(x+\theta h){\frac {h^{n}}{n!}}}

* Ja funkcija ar n mainīgiem {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})} divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{j}\partial x\_{i}}}}

**Pierādījums priekš {\displaystyle n=2}.** Piefiksēsim vienību {\displaystyle \Delta x} un {\displaystyle \Delta y} un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

{\displaystyle \Delta \_{x}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}} un {\displaystyle \Delta \_{y}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}}

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0{\displaystyle \theta \_{1},\theta \_{2}\in (0,1)}, tādi ka: {\displaystyle \Delta \_{y}\Delta \_{x}f(x,y)=\Delta \_{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta \_{1}\Delta x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta \_{1}\Delta x,y+\theta \_{2}\Delta y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)}

Pie {\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0} nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu {\displaystyle f(x,y)}.

Analoģiski pierādās, ka {\displaystyle \Delta \_{x}\Delta \_{y}f(x,y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}.

Bet tā kā {\displaystyle \Delta \_{y}\Delta \_{x}f(x,y)=\Delta \_{x}\Delta \_{y}f(x,y)}, tad tās robežas sakrīt.

Atsauces
--------