Elektrodinamika| Maksvela diferenciālvienādojumi |
| --- |
| * Integrālie Maksvela vienādojumi
 |
| Elektriskais lauks |
| * Gausa teorēma (elektriskā lauka plūsma)
* Elektriskā lauka cirkulācija
* Kulona likums
* Elektriskā strāva
* Strāvas nepārtrauktības vienādojums
* Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums
* Nobīdes strāva
* Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
* Elektromagnētiskās indukcijas likums
 |
| Magnētiskais lauks |
| * Magnētiskās indukcijas plūsma
* Magnētiskās indukcijas cirkulācija
* Lorenca spēks
 |
| Elektromagnētiskā lauka avoti |
| Elektromagnētiskā lauka enerģija |
| Delta funkcija |
| * s
* d
* l
 |

**Elektromagnētiskā lauka enerģija** ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

Enerģijas bilances vienādojums
------------------------------

Enerģijas bilances vienādojums ir

\int \_{V}p\,{\mathrm {d}}V=-\int \_{V}\operatorname {div}{\vec {S}}\,{\mathrm {d}}V-\int \_{V}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}\,{\mathrm {d}}V\ 
kur
V\  - tilpums
t\  - laiks
p={\vec {j}}{\vec {E}}\ 
{\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\ 
\omega ={\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})\ 
Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus \omega \ , {\vec {S}}\  un p\ , tad vienādojums izskatās šāds:

\int \_{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V=-{\frac {c}{4\pi }}\int \_{V}\operatorname {div}({\vec {E}}\times {\vec {B}})\,{\mathrm {d}}V-{\frac {1}{8\pi }}\int \_{V}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\,{\mathrm {d}}V\ 

  

Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku ({\vec {E}}\ , {\vec {B}}\ ) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums {\vec {j}}=\rho {\vec {v}}\. 

### Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā {\mathrm {d}}V\  darbojas Kulona spēks {\mathrm {d}}{\vec {F}}=\rho {\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\ , tāpēc ka {\mathrm {d}}q=\rho \,{\mathrm {d}}V\ , un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma {\vec {v}}\  un magnētiskās indukcijas {\vec {B}}\. Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks {\vec {E}}\  *laika vienībā* veic darbu {\mathrm {d}}P={\vec {v}}\,{\mathrm {d}}{\vec {F}}=\rho {\vec {v}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V={\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\. Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu V\ , tad elektriskā lauka patērētā jauda

P=\int \_{V}{\mathrm {d}}P=\int \_{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\ 
Saskaņā ar formulu {\vec {F}}\_{L}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}})\  Lorenca spēka vektors {\mathrm {d}}{\vec {F}}\_{L}\  vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa {\mathrm {d}}q\  ātruma {\vec {v}}\  virzienam un tādēļ darbu neveic: {\mathrm {d}}P={\vec {v}}\,{\mathrm {d}}{\vec {F}}\_{L}=0\. No tā var secināt, ka integrālis P=\int \_{V}{\mathrm {d}}P=\int \_{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\  ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma \operatorname {rot}{\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\  izsaka strāvas blīvumu {\vec {j}}\ : {\vec {j}}={\frac {c}{4\pi }}\operatorname {rot}{\vec {B}}-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\. Tātad jaudas blīvums {\vec {j}}{\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\,\operatorname {rot}{\vec {B}}-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}\. Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu, \operatorname {rot}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\. Saskaņā ar to {\vec {B}}\,\operatorname {rot}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {B}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\  un jaudas blīvums {\vec {j}}{\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}({\vec {E}}\,\operatorname {rot}{\vec {B}}-{\vec {B}}\,\operatorname {rot}{\vec {E}})-\left({\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\vec {B}}\right)\. Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka {\vec {E}}\,\operatorname {rot}{\vec {B}}-{\vec {B}}\,\operatorname {rot}{\vec {E}}=-\operatorname {div}({\vec {E}}\times {\vec {B}})\ , bet otro uzraksta formā -{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\vec {B}}\right)=-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\. Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

{\vec {j}}{\vec {E}}=-{\frac {c}{4\pi }}\operatorname {div}({\vec {E}}\times {\vec {B}})-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\ \ 
Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

### Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

-{\frac {{\mathrm {d}}W}{{\mathrm {d}}t}}=\oint \_{\Sigma }{\vec {S}}\,{\mathrm {d}}\Sigma +P\ 
kur
W=\int \_{V}\omega \,{\mathrm {d}}V={\frac {1}{8\pi }}\int \_{V}(E^{2}+B^{2})\,{\mathrm {d}}V\ 
P=\int \_{V}p\,{\mathrm {d}}V=\int \_{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\ 
\oint \_{\Sigma }{\vec {S}}\,{\mathrm {d}}\Sigma =\int \_{V}\operatorname {div}{\vec {S}}\,{\mathrm {d}}V\  (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur \Sigma \  ir tilpumu V\  norobežojoša virsma)
W\  ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir [W]={\frac {m^{2}\cdot kg}{s^{2}}}\ 
\omega \  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir [\omega ]={\frac {kg}{m\cdot s^{2}}}\ 
### Pointinga vektors

Vektoru {\vec {S}}\  sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb **Pointinga vektoru**. Vektora {\vec {S}}\  modulis S={\frac {c}{4\pi }}|{\vec {E}}\times {\vec {B}}|\  ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir [S]={\frac {kg}{s^{3}}}\ .

### Džoula siltums

**Džoula siltums** ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā) P=\int \_{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,{\mathrm {d}}V\ , plūstot strāvai pa vadu. P\  ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu p\  dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija
---------------------------------------------

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā V\  piemīt enerģija W\ , kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:

* enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu \Sigma \ ;
* tās plūsma ir \oint \_{\Sigma }{\vec {S}}\,{\mathrm {d}}\Sigma \ , vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora {\vec {S}}\  plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreiz periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora {\vec {S}}\  plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

Pointinga vienādojums
---------------------

**Pointinga vienādojums** ir šāds: -{\frac {\partial \omega }{\partial t}}=\operatorname {div}{\vec {S}}+p\. Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals V\  ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

### Pointinga vienādojuma interpretācija

Telpas elementi {\mathrm {d}}V\ , kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums ({\frac {\partial \omega }{\partial t}}\neq 0\ ), ir enerģijas plūsmas vektora {\vec {S}}\  līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu p={\vec {j}}{\vec {E}}\  (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).