Šis raksts ir par fizikālu lielumu. Par citām jēdziena **Darbs** nozīmēm skatīt nozīmju atdalīšanas lapu.
Fizikā **darbs** ir enerģija, ko spēka iedarbības rezultātā saņem ķermenis.:151 To parasti apzīmē ar {\displaystyle A} (no vācu: *Arbeit*) vai {\displaystyle W} (no angļu: *work*), SI to mēra džoulos. Terminu *darbs* pirmo reizi minēja franču matemātiķis Gaspārs Gustavs de Korioliss 1830. gadā.

Darbs uz materiālu punktu
-------------------------

Centrtieces spēks **F** ir vērsts perpendikulāri ķermeņa kustības momentānajam ātrumam v (un līdz ar to momentānajām pārvietojumam **d**). Līdz ar to centrtieces spēka paveiktais darbs ir vienāds ar nulli.
Nemainīga spēka padarīto darbu uz materiālu punktu definē kā šī spēka {\displaystyle \mathbf {F} } un punkta pārvietojuma {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } skalāro reizinājumu:

{\displaystyle A=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =F\Delta r\cos \alpha ,}
kur \alpha  ir leņķis starp spēku un pārvietojumu, savukārt F un {\displaystyle \Delta r} ir atbilstošo lielumu absolūtās vērtības.:151

Spēkam, kas kaut daļēji vērsts ķermeņa kustības virzienā, reizinājums {\displaystyle F\cos \alpha } ir pozitīvs un arī tā padarītais darbs ir pozitīvs — šis spēks *palīdz* kustībai (spēka iedarbībā ķermenis saņem papildu enerģiju). Turpretim spēks, kurš vērsts pretēji kustības virzienam, kustībai *traucē* un padara negatīvu darbu. Darbs ir nulle, ja spēks un pārvietojums ir ortogonāli: to virzieni ir perpendikulāri vai kāds no tiem ir nulle.

### Mainīga spēka darbs

Ja spēks nav konstants, iepriekš pausto formulu var pielietot tikai bezgalīgi mazā pārvietojuma posmā {\displaystyle d\mathbf {r} }. Šādā posmā padarīto darbu {\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } sauc par elementārdarbu un apzīmē ar {\displaystyle \delta A}. Vispārīgā gadījumā spēka {\displaystyle \mathbf {F} } darbu, ķermenim pārvietojoties pa trajektoriju {\displaystyle C} definē kā elementārdarba līnijintegrāli pa ķermeņa trajektoriju:

{\displaystyle A=\int \limits \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }
Elementārdarbs {\displaystyle \delta A=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } ir darba nepilnais (angļu — *improper*/*inexact*) diferenciālis. To nointegrējot iegūst darbu, taču pretējais nav spēkā: patvaļīgā gadījumā nav tādas darba funkcijas, kuras pilnais diferenciālis būtu {\displaystyle \delta A} un vispārīgā gadījumā {\displaystyle \mathbf {F} } nav darba atvasinājums.:139

### Kopspēka darbs

Uz materiālu punktu darbojoties vairākiem spēkiem, to kopīgi padarītais darbs būs vienāds ar spēku summas padarīto darbu:

{\displaystyle W=\sum W\_{i}=\sum \int \limits \_{C}\mathbf {F} \_{i}d\mathbf {r} =\int \limits \_{C}\mathbf {F} d\mathbf {r} ,}
kur {\displaystyle \mathbf {F} \_{i}} ir {\displaystyle i}-tais spēks uz ķermeni, {\displaystyle W\_{i}} — {\displaystyle i}-tā spēka darbs uz ķermeni, bet {\displaystyle \mathbf {F} =\sum \mathbf {F} \_{i}} ir kopējais spēks uz punktu.

Darbs uz ķermeni vai mehānisku sistēmu
--------------------------------------

Aplūkojot ķermeņus un citas sarežģītākas mehāniskas sistēmas, bieži jāpievērš uzmanība darbam uz atsevišķiem ķermeņa punktiem. Piemēram, stiepjot atsperi, tās galiem tiek pielikti vienādi, pretēji vērsti spēki un to summa ir nulle. Arī atsperes masas centra pārvietojums ir nulle. Taču kopīgi veiktais darbs nav nulle, jo katrs spēks veic pozitīvu darbu, pārvietojot savu atsperes galu. Šajā gadījumā kopēji padarītais darbs izmaina ķermeņa kinētisko enerģiju.

### Mehāniskas sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas teorēma

Ja uz punktu darbu var pastrādāt, tikai to pārvietojot, tad cietam ķermenim var arī pārvietot atsevišķus punktus tā, ka tas nepārvietojas, bet tikai pagriežas. Šādu situāciju var novērot, griežot velosipēda stūri: vienā pusē spiežot stūri prom, bet otrā velkot pie sevis, katra roka padara savu darbu un pārvieto rokturi. Kopējais spēks uz stūri ir vienāds ar nulli, taču darbs ir padarīts.

Cietam ķermenim pieliktie spēki izmaina tā kinētisko enerģiju — mainās tā pārvietošanās vai griešanās ātrums. Kopējais ķermenim pielikto jeb ārējo spēku darbs vienāds ar kinētiskās enerģijas izmaiņu:

{\displaystyle A=T\_{2}-T\_{1},}
kur {\displaystyle T\_{1},T\_{2}} — kinētiskā enerģija sākuma un beigu stāvokļos, {\textstyle A} — uz ķermeni pastrādāto darbu summa.

Ja ķermenis deformējas (attālumi starp tā punktiem mainās), tad kopējais darbs var nebūt proporcionāls kopējam ķermenim pieliktajam spēkam. Šāda situācija ir gan elastīgās deformācijās (piemēram, stiepjot gumiju), gan plastiskās (piemēram, saplacinot plastmasas pudeli). Te jāņem vērā, ka savu darbu pastrādā arī ķermeņa iekšējie spēki (elastība, spiediens) un var būt, ka ārējo spēku darbs tiek pilnībā vai daļēji kompensēts ar pretēju iekšējo spēku darbu.

Šādas mehāniskas sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņa galīgā sistēmas pārvietojumā no viena stāvokļa uz otru ir

{\displaystyle \Delta T=T\_{2}-T\_{1}=A\_{e}+A\_{i},}
kur {\displaystyle T\_{1},T\_{2}} — kinētiskā enerģija sākuma un beigu stāvokļos, {\displaystyle A\_{e},A\_{i}} — kopējais ārējo un kopējais iekšējo spēku darbs. Protams, sakarība ir spēkā arī absolūti cietu ķermeņu gadījumā, jo tajos punktu savstarpējie attālumi nemainās un iekšējo spēku kopējais darbs {\displaystyle A\_{i}} ir vienāds ar nulli.

Stāvvilnis stīgā.Stīga var būt iesvārstīta tā, ka tā nedz kustas, nedz rotē, bet tā deformējas un tai piemīt un mainās kinētiskā enerģija.
Jāņem vērā, ka vispārīgā gadījumā ķermeņa kinētiskā enerģija ir visu tā punktu kinētisko enerģiju summa. Materiāla punkta modelī tā ir vienāda ar {\textstyle mv^{2}/2}, absolūti cieta ķermeņa gadījumā ir pieskaitāma arī rotācijas kinētiskā enerģija, bet deformējama sistēma, kā stīga, vairākatomu molekula vai gāze traukā var būt apveltīta ar kinētisko enerģiju sistēmai nepārvietojoties un nerotējot.

Potenciālu spēku darbs
----------------------

Potenciālu spēku, piemēram, gravitācijas un elektrostatiskā spēka, veiktais darbs nav atkarīgs no trajektorijas, bet tikai no ķermeņa sākuma un beigu stāvokļiem. Ķermenim potenciāla spēka laukā eksistē potenciālā enerģija — tāda no koordinātām atkarīga funkcija {\displaystyle V(\mathbf {r} )}, ka tās izmaiņa ir pretēja šī spēka padarītajam darbam::177

{\displaystyle A=-\Delta V=V(\mathbf {r} \_{1})-V(\mathbf {r} \_{2}),}
kur {\displaystyle \mathbf {r} \_{1},\mathbf {r} \_{2}} — ķermeņa sākuma un beigu koordinātas (vispārīgā gadījumā — ķermeņa visu punktu koordinātas).

Piemēram, ķieģelim krītot smaguma spēka ietekmē, šis spēks padara darbu un piešķir ķermenim kinētisko enerģiju, bet tā potenciālā enerģija samazinās. Šajā gadījumā potenciālā enerģija un darbs atkarīgi tikai no ķieģeļa smaguma centra atrašanās vietas. Savukārt, mazliet saspiežot basketbola bumbu, elastības spēks traucē — padara negatīvu darbu —, bet tā potenciālā enerģija palielinās: elastība ir gatava palīdzēt bumbai atgūt iepriekšējo formu. Šis ir gadījums, kad nozīmīgas ir ķermeņa visu punktu koordinātas, jo aplūkota tiek ķermeņa deformācija un spēks, kas tai pretojas. Redzams, ka, ja sākuma un beigu stāvokļi ir vienādi, veiktais darbs ir nulle, tātad potenciāla spēka veiktais darbs pārvietojumā pa noslēgtu trajektoriju ir vienāds ar nulli.

Potenciālu spēku elementārdarbs {\displaystyle \delta A=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } sakrīt ar kādas funkcijas pilno diferenciāli: {\displaystyle \delta A=dU}. Šādu funkciju {\displaystyle U(\mathbf {r} )} sauc par spēka funkciju. Veiktais darbs ir vienāds ar šīs funkcijas izmaiņu:

{\displaystyle A=U(\mathbf {r} \_{2})-U(\mathbf {r} \_{1}),}
kur {\displaystyle \mathbf {r} \_{1},\mathbf {r} \_{2}}, kā iepriekš, ir ķermeņa sākuma un beigu stāvokļi. Pats spēks ir vienāds ar šīs funkcijas gradientu: {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla U}. Redzam, ka spēka funkcija un potenciālā enerģija atšķiras tikai ar zīmi: {\displaystyle U(\mathbf {r} )=-V(\mathbf {r} )}, bieži lieto sakarību, ka spēks ir pretējs potenciālās enerģijas gradientam: {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.}

Visas šeit paustās īpašības un sakarības ir ekvivalentas. Ikvienu no tām iespējams arī izmantot kā definīciju potenciāla spēka jēdzienam.

Mērvienības
-----------

Darba SI mērvienība ir džouls (J). Viens džouls ir darbs, ko vienu metru garā pārvietojumā padara vienu ņūtonu liels spēks, kas vērsts pārvietojuma virzienā.:137 Džoula saistību ar citām SI mērvienībām mēdz izteikt dažādos veidos:

{\displaystyle J=N\cdot m={\frac {kg\cdot m^{2}}{s^{2}}}=W\cdot s}
Bieži iekārtu veikto darbu mēra kilovatstundās, kas nav SI mērvienība bet ir izteikta SI sistēmā. Kilovatstunda ir darbs, ko mašīna, strādājot ar 1 kilovatu (kW) lielu jaudu, padara 1 stundas (h) laikā. Parasti to apzīmē ar kWh, lai arī pēc SI standarta būtu ar atstarpi vai punktu jāattēlo reizināšana: kW h vai kW·h.:147 Skaitliski kilovatstunda ir vienāda ar 3,6 megadžouliem.

Citās mērvienību sistēmās lieto tādas mērvienības kā ergs (*erg*, CGS sistēmā), kilogrammetrs (kgf·m, tehniskajā jeb gravitācijas mērvienību sistēmā), pēdmārciņa (ft·lbf), zirgspēkstunda (hp·h), kalorija (cal vai Cal).

Sakarības
---------

### Jauda

Jauda tiek definēta kā elementārā laika sprīdī {\displaystyle dt} padarītais elementārdarbs, no kā viegli seko jaudas, spēka un ātruma sakarība materiālam punktam:

{\displaystyle P={\frac {\delta A}{dt}}={\frac {\mathbf {F} d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} \mathbf {v} ,}
kur {\displaystyle v} ir ātrums. Attiecīgi darbu var iegūt kā jaudas integrāli: {\displaystyle A=\int Pdt}.

Absolūti cietus ķermeņus izdevīgi aprakstīt, izmantojot jaudu. Ja ķermenis virzās kopā ar kādu polu {\displaystyle C} vienlaicīgi rotējot ap asi {\displaystyle MC}, kas iet caur šo punktu un tam pielikto ārējo spēku summa ir {\displaystyle \mathbf {F} } un to radītais spēka moments pret asi {\displaystyle MC} ir {\displaystyle \mathbf {\tau } }, tad jauda:

{\displaystyle P=\mathbf {F} \mathbf {v} +\tau \omega ,}
kur {\displaystyle \mathbf {v} } ir pola ātrums un {\displaystyle \omega } — leņķiskais ātrums.

### Dažu potenciālu spēku darbs

Potenciālu spēku darbs ir atkarīgs tikai no sākuma un beigu stāvokļiem. Šeit dotas formulas pašu spēku veiktajam darbam. Darbs, ko veic, pārvarot šos spēkus (piem. paceļot smagumu, izstiepjot atsperi) ir tikpat liels, bet ar pretēju zīmi.

#### Smaguma spēks

Smaguma spēka darbs ir proporcionāls ķermeņa masai m un augstuma h izmaiņai:

{\displaystyle A=mg(h\_{1}-h\_{2}),}
kur {\displaystyle g} ir brīvās krišanas paātrinājums.

Smaguma spēka darbu bieži saista arī ar smaguma spēka potenciālo enerģiju {\displaystyle V(h)=mgh}:

{\displaystyle A=V(h\_{1})-V(h\_{2}).}
#### Gravitācija

Ja uz punktu ar masu {\displaystyle m\_{1}} gravitācijas spēku rada punkts ar masu {\displaystyle m\_{2}}, tad šī spēka veiktais darbs ir

{\displaystyle A=Gm\_{1}m\_{2}\left({\frac {1}{r\_{2}}}-{\frac {1}{r\_{1}}}\right),}
kur {\displaystyle r\_{1},r\_{2}} ir sākuma un beigu attālums starp šiem punktiem, bet {\displaystyle G} — gravitācijas konstante.

#### Elektrostatiskais spēks

Ja uz lādiņu {\displaystyle q\_{1}} (precīzāk — punktu ar lādiņu {\displaystyle q\_{1}}) Kulona spēku rada lādiņš {\displaystyle q\_{2}}, tad šī spēka veiktais darbs ir

{\displaystyle A={\frac {q\_{1}q\_{2}}{4\pi \varepsilon \varepsilon \_{0}}}\left({\frac {1}{r\_{2}}}-{\frac {1}{r\_{1}}}\right),}
kur {\displaystyle r\_{1},r\_{2}} ir sākuma un beigu attālums starp šiem punktiem, {\displaystyle \varepsilon } — vides relatīvā dielektriskā caurlaidība, bet {\displaystyle \varepsilon \_{0}} — vakuuma dielektriskā caurlaidība jeb dielektriskā konstante.:234

Lādiņam q kustoties elektriskajā laukā ar intensitāti {\displaystyle \mathbf {E} } pa trajektoriju {\displaystyle C} lauka veiktais darbs ir

{\displaystyle A=q\int \limits \_{C}\mathbf {E} d\mathbf {r} .}:234
Homogēnā elektriskajā laukā {\displaystyle A=q\mathbf {E} \Delta \mathbf {r} =qE\Delta r\cos \alpha ,}kur \alpha  — leņķis starp pārvietojuma un elektriskā lauka intensitātes virzieniem.

Pārvietojot lādiņu q elektriskajā laukā, kur definēta potenciālā enerģija {\displaystyle V(\mathbf {r} )}, potenciāls {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )} un spriegums {\displaystyle U}, darbu var izteikt šādi:

{\displaystyle A=V(\mathbf {r} \_{1})-V(\mathbf {r} \_{2})=q\left(\varphi (\mathbf {r} \_{1})-\varphi (\mathbf {r} \_{2})\right)=qU.}:166-168
#### Elastība

Elastības spēkus (spēkus, kas rodas stiepjot, spiežot, liecot, griežot objektu) nelielu deformāciju gadījumā mēdz aprakstīt ar lineāru modeli — Huka likumu, pēc kura elastības spēks ir proporcionāls deformācijai x un vērsts tai tieši pretēji. Tad deformācijas virzienā vērstā komponente{\displaystyle F\_{x}=-cx}, kur {\displaystyle c} ir proporcionalitātes koeficients. Šajā modelī elastības spēka veiktais darbs ir

{\displaystyle A={\frac {c(x\_{1}^{2}-x\_{2}^{2})}{2}},}
kur {\displaystyle x\_{1},x\_{2}} ir sākuma un beigu deformācija.

### Berzes darbs

Slīdes berze darbojas tieši pretēji kustības virzienam, tāpēc tās darbs ir negatīvs un proporcionāls ceļam (trajektorijas garumam) l. Aprakstot slīdes berzes spēku ar Kulona modeli {\displaystyle F\_{b}=\mu F\_{N}}, kur berzes spēks {\displaystyle F\_{b}} ir proporcionāls berzes koeficientam {\displaystyle \mu } un virsmas reakcijas spēkam {\displaystyle F\_{N}}, bet nav atkarīgs no ķermeņa ātruma, berzes spēku veiktais darbs ir

{\displaystyle A=-F\_{b}l=-\mu F\_{N}l.}:64
### Darbs termodinamikā

#### Pirmais termodinamikas likums

Pirmais termodinamikas likums saista sistēmas pastrādāto darbu ar tās saņemto siltumu {\displaystyle Q} un iekšējās enerģijas {\displaystyle E} izmaiņu:

{\displaystyle Q=A+\Delta E.}:101
Sarežģītākiem procesiem aplūko diferenciālos lielumus:

{\displaystyle \delta Q=\delta A+dE.}:139
#### Gāzes izplešanās darbs

Gāzei izplešoties, tā uz apkārtējo vidi padara darbu. Piemēram, izplešoties cilindrā, gāze bīda virzuli. Slēgtā sistēmā kvazistatiskā procesā (gana lēnā, lai varētu konkrētā brīdī definēt spiediena p vērtību) elementārdarbs pie mazas tilpuma izmaiņas {\displaystyle dV} ir proporcionāls spiedienam: {\displaystyle \delta A=pdV}, bet kopējais darbs procesā iegūstams, to nointegrējot no sākuma stāvokļa līdz beigu stāvoklim:

{\displaystyle A=\int \limits \_{V\_{1}}^{V\_{2}}pdV.}:137
Izoparametriskos procesos var papildus iegūt tiešākas un dažreiz arī vienkāršākas sakarības.:137-141

| Process | Elementārdarbs | Darbs |
| --- | --- | --- |
| Izohorisks | {\displaystyle \delta A=0} | {\displaystyle A=0} |
| Izobārisks |  | {\displaystyle A=p(V\_{2}-V\_{1})}

Ideālai gāzei:
{\displaystyle A={\frac {m}{\mu }}R(T\_{2}-T\_{1})} |
| Izotermisks | {\displaystyle \delta A=\delta Q} | Ideālai gāzei:
{\displaystyle A={\frac {m}{\mu }}RT\ln {\frac {V\_{2}}{V\_{1}}}={\frac {m}{\mu }}RT\ln {\frac {p\_{1}}{p\_{2}}}} |
| Adiabātisks | {\displaystyle \delta A=-dE} | {\displaystyle A=E\_{1}-E\_{2}}
{\displaystyle A={\frac {m}{\mu }}{\frac {i}{2}}R(T\_{1}-T\_{2})} |
| Politropisks |  | {\displaystyle A={\frac {p\_{1}V\_{1}-p\_{2}V\_{2}}{n-1}}} |

Tabulā m ir gāzes masa, {\displaystyle \mu } ir gāzes molmasa, {\displaystyle i} ir molekulas brīvības pakāpju skaits un R ir universālā gāzu konstante un n — politropas rādītājs (adiabātiskā procesā sakrīt ar adiabātas rādītāju).

#### Lietderības koeficients

Siltuma mašīnas lietderības koeficientu definē kā sistēmas veiktā mehāniskā darba un saņemtā siltuma attiecību:

{\displaystyle \eta ={\frac {A}{Q}}.}:107
Siltuma sūkņa un dzesēšanas mašīnas lietderības koeficientu definē kā pārsūknētā siltuma un ieguldītā darba attiecību:

{\displaystyle \eta ={\frac {Q}{A}}.}:112
### Darbs elektrībā

Pārvietojot lādiņu potenciālā laukā, tiek veikts darbs. Strāvas ar stiprumu {\displaystyle I(t)} un spriegumu {\displaystyle U(t)} jauda ir

{\displaystyle P(t)=I(t)U(t).}
Līdzstrāvas padarīto darbu laika intervālā {\displaystyle \Delta t} var izteikt kā {\displaystyle A=IU\Delta t} (Džoula-Lenca likums), bet, ja spēkā Oma likums, iespējamas arī citas formas:

{\displaystyle A=IU\Delta t=I^{2}R\Delta t={\frac {U^{2}}{R}}\Delta t,}:192
kur R — vadītāja pretestība.

Strāvas avota (piemēram, ģeneratora, baterijas) iekšpusē neelektrostatiskas dabas (piemēram, elektromagnētiski, ķīmiski) spēki veic darbu, lai lādiņus pārvietotu no viena kontakta uz otru un nodrošinātu spriegumu starp kontaktiem. Darbu {\displaystyle A\_{\varepsilon }}, kas paveikts, lai lādiņu {\displaystyle q\_{0}} pārvietotu starp kontaktiem avota iekšpusē, izmanto, lai definētu elektrodzinējspēku:

{\displaystyle \varepsilon ={\frac {A\_{\varepsilon }}{q\_{0}}}.}:184
Strāvas avots veic darbu uzlādējot kondensatoru ar kapacitāti {\displaystyle C} no sprieguma {\displaystyle U\_{1}}līdz spriegumam {\displaystyle U\_{2}}:

{\displaystyle A={\frac {C(U\_{2}^{2}-U\_{1}^{2})}{2}}}:270
vai izmainot strāvas stiprumu spolē ar induktivitāti {\displaystyle L} no {\displaystyle I\_{1}} līdz stiprumam {\displaystyle I\_{2}}:

{\displaystyle A={\frac {L(I\_{2}^{2}-I\_{1}^{2})}{2}}.}:374

Skatīt arī
----------

* Enerģija
* Jauda

Atsauces
--------

1. 1 2 3  Walker, Jearl, 1945-. *Halliday & Resnick fundamentals of physics* (extended edition izd.). Hoboken, NJ. 151, 177. lpp. ISBN 978-1-119-46013-8. OCLC 1119740042.
2. ↑  Max Jammer. *Concepts of Force*. Dover Publications, Inc. 1957. ISBN 0-486-40689-X.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Olafs Kepe, Jānis Vība. *Teorētiskā mehānika*. Rīga : Zvaigzne, 1982. 362.—373. lpp.
4. 1 2 3 4 5 6 7 8  A. Valters, A. Apinis, M. Ogriņš, A. Danenbergs, Dz. Lūsis, A. Okmanis, J. Čudars. *Fizika*. Rīga : Zvaigzne, 1992. ISBN 5-405-00110-4.
5. ↑  «derivatives - Why in physics the elementary work is written as $\delta W$ instead of $dW$?». *Mathematics Stack Exchange*. Skatīts: 2020-02-16.
6. 1 2  *The International System of Units (SI)* (9th edition izd.). Bureau International des Poids et Mesures. 2019. 137, 147. lpp. ISBN 978-92-822-2272-0.
7. 1 2 3 4 5 6 7  Viktors Fļorovs, Imants Kolangs, Pēteris Puķītis, Edvīns Šilters, Emīls Vainovskis. *Fizikas rokasgrāmata*. Rīga : Zvaigzne, 1985.
8. ↑  «thermodynamics - Derivation of the equation of the work done in a polytropic process». *Engineering Stack Exchange*. Skatīts: 2020-02-16.