Piemērs, kas ilustrē saskaitīšanas komutativitāti (3 + 2 = 2 + 3)
Matemātikā **komutativitāte** ir īpašība, kas var piemist vairākargumentu funkcijai un binārai operācijai. Intuitīvi komutativitāte nozīmē to, ka funkcijas vai bināras operācijas vērtība nav atkarīga no tās argumentu secības. Ja argumentus drīkst mainīt vietām, tad saka, ka tie *komutē*. To, cik lielā mērā argumenti komutē, raksturo to *komutators*.

Operācijas, kas nav komutatīvas, sauc par *nekomutatīvām*. Nekomutatīvu operāciju argumenti *nekomutē* (to, cik lielā mērā tie nekomutē, raksturo *antikomutators*). Viens no nekomutatīvu operāciju veidiem ir *antikomutatīvas* operācijas jeb operācijas, kas ir "maksimāli nekomutatīvas" (argumentus mainot vietām parādās mīnusa zīme).

Komutativitātei līdzīga īpašība ir asociativitāte. Asociativitāte nozīmē to, ka operāciju *izpildes* secībai nav nozīmes (nevis operācijas *argumentu* secībai).

Ja grupas operācija ir komutatīva, tad šādu grupu sauc par komutatīvu jeb Ābela grupu.

Definīcija
----------

Vārds "komutativitāte" ir cēlies no franču valodas un pirmo reizi parādījās publikācijā 1814. gadā
Bināru operāciju "∗" kopā *S* sauc par *komutatīvu*, ja jebkuriem diviem kopas *S* elementiem *x* un *y* izpildās īpašība *x* ∗ *y* = *y* ∗ *x*. Formāli to pieraksta šādi:

{\displaystyle \forall x,y\in S:x\ast y=y\ast x,}
kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder"). Līdzīgi definē komutatīvu divargumentu funkciju:

{\displaystyle \forall x,y\in S:f(x,y)=f(y,x).}
Šo definīciju var viegli vispārināt *n* argumentu funkcijai:

{\displaystyle \forall x\_{1},\dots ,x\_{n}\in S,\,\forall \sigma \in S\_{n}:f(x\_{1},\dots ,x\_{n})=f(x\_{\sigma (1)},\dots ,x\_{\sigma (n)}),}
kur *S**n* ir skaitļu no 1 līdz *n* visu permutāciju kopa.

Piemēri ikdienā
---------------

### Komutatīvas darbības ikdienā

* Kurpju uzvilkšana ir komutatīva, jo rezultāts nav atkarīgs no tā, vai vispirms uzvelk labo kurpi un tad kreiso, vai otrādi.
* Monētu iemešana kafijas automātā ir komutatīva, jo nav svarīgi kādā secībā tās tiek iemestas, svarīga ir tikai kopējā summa.

### Nekomutatīvas darbības ikdienā

* Kurpju un zeķu uzvilkšana nav komutatīvas darbības, jo, vispirms uzvelkot kurpes un tad zeķes, iegūst būtiski atšķirīgu rezultātu, nekā vispirms uzvelkot zeķes un tad kurpes.
* Veļas mazgāšana un žāvēšana nav komutatīvas darbības.

Piemēri matemātikā
------------------

### Komutatīvas operācijas

| Operācija | Operācijas īpašība | Piemērs |
| --- | --- | --- |
| Saskaitīšana | *a* + *b* = *b* + *a* | 2 + 3 = 5,  3 + 2 = 5. |
| Reizināšana | *a* · *b* = *b* · *a* | 3 · 5 = 15,  5 · 3 = 15. |

### Nekomutatīvas operācijas

| Operācija | Operācijas īpašība | Piemērs |
| --- | --- | --- |
| Atņemšana | *a* − *b* ≠ *b* − *a* | 2 − 1 = 1,  1 − 2 = −1. |
| Dalīšana | *a / b* ≠ *b / a* | 3 */* 1 = 3,  1 */* 3 = 1 */* 3. |
| Kāpināšana | *a**b* ≠ *b**a* | 23 = 8,  32 = 9. |
| Matricureizināšana | *A* · *B* ≠ *B* · *A* | {\displaystyle A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\,B={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},}
{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot B&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\B\cdot A&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}} |
| Funkciju kompozīcija | *f* ∘ *g* ≠ *g* ∘ *f* | *f*(*x*) = 2*x*, *g*(*x*) = *x* + 1,  (*f* ∘ *g*)(*x*) = *f*(*g*(*x*)) = *f*(*x* + 1) = 2(*x* + 1) = 2*x* + 2,  (*g* ∘ *f*)(*x*) = *g*(*f*(*x*)) = *g*(2*x*) = 2*x* + 1. |
| Kvaternionu reizināšana | *a* · *b* ≠ *b* · *a* | *i* · *j* = *k*,  *j* · *i* = −*k*. |

Skatīt arī
----------

* Komutators
* Antikomutativitāte
* Asociativitāte
* Distributivitāte
* Heizenberga nenoteiktības princips

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Commutative un Commute, MathWorld.
* Commutative Archived 2009. gada 26. februārī, *Wayback Machine* vietnē. un Examples of non-commutative operations Archived 2009. gada 28. septembrī, *Wayback Machine* vietnē. PlanetMath.