**Diferenciālvienādojums** var būt **homogēns** kādā no diviem gadījumiem: 1) diferenciālā formā dota pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma saskaitāmo koeficienti ir homogēnas mainīgo funkcijas; 2) jebkuras kārtas lineāra diferenciālvienādojuma gadījumā nav konstanta saskaitāmā.

Pirmās pakāpes homogēns diferenciālvienādojums
----------------------------------------------

Vienkāršs pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā:

{\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}
ir homogēns, ja gan *M*(*x, y*), gan *N*(*x, y*) ir homogēnas funkcijas kopīgai pakāpei *n*. Jeb, reizinot katru mainīgo ar  {\displaystyle \lambda }, mēs iegūstam

{\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,} un {\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}
Tātad 

{\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}
### Risināšanas metode

Attiecībā   {\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}},mēs varam ievietot {\displaystyle t=1/x}   lai vienkāršotu šo attiecību par funkciju f no viena mainīgā {\displaystyle y/x}:

{\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}
Ieviešam jaunu mainīgo {\displaystyle y=ux}; to diferencējam, izmantojot reizināšanas likumu:

{\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}
Tādējādi pārveidojot doto diferenciālvienādojumu par diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem:

{\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=f(u)-u\,;}
Šādā formā diferenciālvienādojums var tikt tieši integrēts un tādējādi atrisināts.

Šī piemēra vienādības nevajag izmantot kā formulas atrisinājuma iegūšanai, tās ir šeit pieminētas tikai atrisinājuma gaitas demonstrēšanai.

### Speciālgadījums

Pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā (*a*, *b*, *c*, *e*, *f*, *g* ir konstantes)

{\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,},
kur *af* ≠ *be,* var tikt pārveidots par homogēnu, izmantojot lineāru mainīgo transformāciju abiem mainīgajiem (\alpha  un {\displaystyle \beta } ir konstantes):
{\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}

Lineāri homogēni diferenciālvienādojumi
---------------------------------------

**Definīcija.** Lineāru diferenciālvienādojumu sauc par **homogēnu**, ja izpildās sekojošs nosacījums: ja {\displaystyle \phi (x)}  ir atrisinājums, tad arī {\displaystyle c\phi (x)} ir atrisinājums, kur {\displaystyle c} - nenulles konstante. Jāpievērš uzmanība tam, ka, lai izpildītos šis nosacījums, lineārā atkarīgā mainīgā y diferenciālvienādojumā katram saskaitāmajam jāsatur vai nu y, vai y atvasinājums. Lineārs diferenciālvienādojums, kuram šis nosacījums neizpildās, tiek saukts par **nehomogēnu.**

Lineārs diferenciālvienādojums var būt pasniegts kā lineārs operators, kurš balstās uz y(x), kur parasti x ir neatkarīgais mainīgais un y - atkarīgais. Tātad vispārīgā veidā lineārs homogēns diferenciālvienādojums ir:

{\displaystyle L(y)=0\,}

kur *L* ir diferenciāloperators, atvasinājumu summa (definējot "0. atvasinājumu" kā sākotnējo, neatvasināto funkciju), katru reizinot ar funkciju  {\displaystyle f\_{i}}  no *x*:

{\displaystyle L=\sum \_{i=0}^{n}f\_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}
kur  {\displaystyle f\_{i}}  var būt konstantes, taču visi  {\displaystyle f\_{i}}  vienlaicīgi nevar būt nulles.

Piemēram, šis diferenciālvienādojums ir homogēns:

{\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}
Taču šie divi ir nehomogēni:

{\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}
{\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}
Jāpiemin, ka konstanta saskaitāmā eksistence ir pietiekamais nosacījums, lai vienādība būtu nehomogēna, kā tas parādīts pēdējā piemērā.

Piezīmes
--------

1. ↑  Ince 1956, 18. lpp

Atsauces
--------

* Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th izd.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
* Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)

Ārējās saites
-------------

* Homogeneous differential equations at MathWorld
* Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1