Menelaja teorēma, 1.gadījums: taisne DEF krusto trijstūri ABC
**Menelaja teorēma**, nosaukta par godu Menelajam no Aleksandrijas, ir teorēma par trijstūri Eiklīda ģeometrijā. Ja dots trijstūris *ABC*, un krustiska taisne, kura krusto *BC*, *AC*, un *AB* attiecīgi punktos *D*, *E*, un *F*, un punkti *D*, *E*, and *F* nesakrīt ar *A*, *B*, un *C*, tad 

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.}
jeb 

{\displaystyle AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.}
Šajā vienādojumā tiek lietoti virzītie nogriežņi, citiem vārdiem sakot, garums *AB* var būt gan pozitīvs, gan negatīvs, atkarībā no tā vai *A* ir pa labi, vai pa kreisi no *B*. Piemēram, *AF*/*FB* būs pozitīvs, ja *F* atradīsies starp *A* un *B*, un negatīvs, ja atradīsies ārpus nogriežņa *AB*.

Eksistē apgrieztā teorēma: Ja punkti *D*, *E*, un *F* tiek izvēlēti attiecīgi uz *BC*, *AC*, un *AB* tā, lai :

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,}

tad *D*, *E*, un *F* ir kolineāri, jeb atrodas uz vienas taisnes.

Teorēma ir ļoti līdzīga Čevas teorēmai. To vienādojumi atšķiras tikai nedaudz.

Pierādījums
-----------

Menelaja teorēma, 2. gadījums: taisne DEF pilnībā atrodas ārpus trijstūra ABC
### Standarta pierādījums

Pirmkārt, vienādojuma kreisā puse būs negatīva tikai tad, ja:

1) visi reizinātāji būs negatīvi (tas būs gadījumā, ja DEF vispār nekrustos trijstūra malas), 

2) vismaz viens reizinātājs būs negatīvs un pārējie divi būs pozitīvi (tas būs gadījumā, kad DEF krustos divas trijstūra malas) 

Lai pārbaudītu attiecību, konstruē perpendikulus no trijstūra virsotnēm *A*, *B*, un *C* uz taisnes *DEF ar* garumiem attiecīgi *a, b,* un *c*. Tad pēc līdzīgiem trijstūriem sanāk: |*AF*/*FB*| = |*a*/*b*|, |*BD*/*DC*| = |*b*/*c*|, un |*CE*/*EA*| = *c*/*a*. Tātad 

{\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.}
Lai vienkāršāk pārbaudītu vienādības attiecību, zīmē *CK* paralēlu *AB*, kur *DEF* krustojas ar *CK* punktā *K*. Tad izmantojot līdzīgus trijstūrus:

{\displaystyle \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\,\left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|}
un rezultātu iegūst, izslēdzot *CK* no šī vienādojuma.

Apgrieztās teorēmas pierādījums izriet no iepriekš secinātā. Ļausim *D*, *E*, un *F* atrasties uz taisnēm *BC*, *AC*, un *AB* tā , lai vienādība būtu patiesa. Ar *F*′ apzīmēsim punktu, kur *DE* krusto *AB*. Tad pēc teorēmas, vienādojums ir patiess arī priekš punktiem *D*, *E*, un *F*′. Salīdzinot abus: 

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}.}
Tikai viens punkts var sadalīt segmentu vajadzīgajā attiecībā. Tātad *F*=*F*′.

### Pierādījums, izmantojot homotētiju

Sekojošajā pierādījumā  tiek izmantoti dažādi jēdzieni par afīno ģeometriju, bet jo īpaši homotētiju.

Neatkarīgi no tā vai *D*, *E*, un *F* ir kolineāri, pastāv trīs homotētijas ar centriem *D*, *E*, *F*, kuras attiecīgi pārveido *B* par *C*, *C* par *A,* un *A* par *B*. Šo triju kompozīcija ir homotētijas pārveidojumu grupas elements, kurš nofiksē punktu *B*, tātad tā ir homotētija ar centru *B*, ar iespējamo attiecību 1 (kura gadījumā tā ir identitāte). Šī kompozīcija nofiksē taisni *DE* tad un tikai tad, ja *F* ir kolineārs ar *D* un *E* (tāpēc, ka pirmās divas homotētijas noteikti fiksē *DE*, un trešā tikai tad, ja *F* atrodas uz *DE*). Tāpēc *D*, *E*, un *F* ir kolineāri tad un tikai tad, ja šī kompozīcija ir identitāte, kas nozīmē, ka šo triju attiecība ir vienāda ar 1:

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}
kas ir ekvivalents ar doto vienādojumu.

Vēsture
-------

Īsti nav zināms, kurš patiesībā atklājis šo teorēmu, kaut gan vissenākais avots, kas ir saglabājies, ir *Spherics*, ko uzrakstījis Menelajs. Šajā grāmatā ir redzama vienkāršota versija, kas lietota kā pierādījums sfēriskai šīs teorēmas versijai.

"Almagest" tekstā, Ptolemajs lieto šo teorēmu vairākām problēmām, kas skar sfērisko astronomiju. Islāma zelta gados musulmaņu zinātnieki veltīja vairākus darbus par Menelaja teorēmu, kuros atsaucās uz teorēmu par sekantēm (*shakl al-qatta'*). Al-Biruni darbs *The Keys of Astronomy*, kas satur vairākus no šiem darbiem, varētu tikt klasificēts studijās kā daļa no komentāriem par Ptolemaja "*Almagest"*. Tāpat arī *al-Nayrizi* un *al-Khazin* darbos, kuri katrs demonstrē atsevišķus Menelaja teorēmas gadījumus, kuri norāda uz sinusu teorēmu vai darbiem, kas radīti kā atsevišķi traktāti, piemēram: 

* "Traktāts par Sekantes Figūrām" (*Risala fi shakl al-qatta'*), ko uzrakstījis *Thabit ibn Qurra*.
* Husama al-Din al-Salarasa darbs "*Noņemot plīvuru no sekantes figūru mistērijām"* (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), zināms arī kā "Grāmata par sekantes figūrām" (*Kitab al-shakl al-qatta'*), vai arī Eiropā pazīstams kā "*The Treatise on the Complete Quadrilateral"*. Pazudušie traktāti tiek piedēvēti al-Tusi un Nasir al-Din al-Tusi.
* Darbs, ko uzrakstījis al-Sijzi.
* *Tahdhib*, ko uzrakstījis *Abu Nasr ibn Iraq*.
* *Roshdi Rashed* un *Athanase Papadopoulos*, "Menelaja Sfēras": Agrākie tulkojumi un al-Mahani'/al-Harawisa versija (Menelaja sfēras arābu manuskriptos ar vēsturiskiem un matemātiskiem komentāriem), De Gruyter, Sērija: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 lappuses. ISBN 978-3-11-057142-4

Atsauces
--------

1. ↑  John Wellesley Russell. «Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"». *Pure Geometry*. Clarendon Press, 1905.
2. ↑  Skatīt George Irving Hopkins. «Art. 983». *Inductive Plane Geometry*. D.C. Heath & Co. 1902.
3. ↑  *Russel* pierādījums ar dažiem vienkāršojumiem
4. ↑  Skatīt: Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, Paris 1998: indication for exercise 1.37, p. 273
5. ↑  D.E. Smith. *History of Mathematics* II. Courier Dover Publications, 1958. 607. lpp. ISBN 0-486-20430-8.
6. 1 2 3  Roshdi Rashed. *Encyclopedia of the history of Arabic science* 2. London : Routledge, 1996. 483. lpp. ISBN 0-415-02063-8.
7. 1 2 3  Moussa, Ali (2011). "Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations". *Arabic Sciences and Philosophy* (Cambridge University Press) 21 (1). doi:10.1017/S095742391000007X.

Ārējās saites
-------------

* Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
* Menelaus From Ceva
* Ceva and Menelaus Meet on the Roads
* Menelaus and Ceva at MathPages
* Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
* Eric W. Weisstein, Menelaus' Theorem, MathWorld.