Elektrodinamika| Maksvela diferenciālvienādojumi |
| --- |
| * Integrālie Maksvela vienādojumi
 |
| Elektriskais lauks |
| * Gausa teorēma (elektriskā lauka plūsma)
* Elektriskā lauka cirkulācija
* Kulona likums
* Elektriskā strāva
* Strāvas nepārtrauktības vienādojums
* Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums
* Nobīdes strāva
* Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
* Elektromagnētiskās indukcijas likums
 |
| Magnētiskais lauks |
| * Magnētiskās indukcijas plūsma
* Magnētiskās indukcijas cirkulācija
* Lorenca spēks
 |
| Elektromagnētiskā lauka avoti |
| Elektromagnētiskā lauka enerģija |
| Delta funkcija |
| * s
* d
* l
 |

**Gausa teorēma** elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma {\displaystyle S\ }, tad elektriskā lauka intensitātes plūsma {\displaystyle N\ } caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam q\  virsmas ierobežotajā tilpumā.

Nosaukums
---------

Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas *žiperīgas* teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs, kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.

Skalārā forma
-------------

{\displaystyle N={\frac {q}{\epsilon \_{0}}}\ }
kur
{\displaystyle N\ } - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V\*m)
q\  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
{\displaystyle \epsilon \_{0}\approx } 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante
Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte {\vec {E}}\  visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

{\displaystyle {\vec {N}}={\vec {E}}S\ }
kur
{\displaystyle S\ } - sfēras virsmas laukums m2
Tā kā

{\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ }
{\displaystyle {\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{2}}}\ }
un

{\displaystyle S=4\pi r^{2}\ }
tad

{\displaystyle {\vec {N}}={\vec {E}}S={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}4\pi r^{2}={\frac {q}{\epsilon \_{0}}}\ }

Vektoriālā forma
----------------

{\displaystyle N=\oint \_{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon \_{0}}}\ }
kur
{\displaystyle N\ } - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V\*m)
{\vec {E}}\  - elektriskā lauka intensitāte (N/C)
{\displaystyle {\vec {S}}\ } - virsmas vektors (m2)
q\  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
{\displaystyle \epsilon \_{0}\approx } 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums
--------------------------

* Gausa teorēmu var pamatot, lietojot elektrisko lauku superpozīcijas principu.
* Punktveida lādiņam q\  pierādījums izriet no Kulona likuma. Elektriskā lauka intensitāte uz virsmas ir

{\displaystyle {\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\ }
Savukārt

{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\mathrm {d} S\ }
kur {\displaystyle {\vec {n}}\ } - virsmas normāle.
Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}} ir 

{\displaystyle \mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\ }
* {\displaystyle \mathrm {d} S\_{r}=\mathrm {d} S\cos \alpha \ }

{\displaystyle \mathrm {d} S\_{r}\ } - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir {\displaystyle r\ }
{\displaystyle \alpha \ } - leņķis starp intensitātes vektoru {\vec {E}}\  un normāles vektoru {\displaystyle {\vec {n}}\ }
Līdz ar to formula

{\displaystyle \mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\ }
pārvēršas šādi:

{\displaystyle \mathrm {d} N={\vec {E}}\mathrm {d} S\_{r}\ }
{\displaystyle \mathrm {d} S\_{r}\ } var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

{\displaystyle \mathrm {d} S\_{r}=r^{2}\mathrm {d} \Omega \ }
{\displaystyle \mathrm {d} \Omega \ } - telpas leņķa elements
Līdz ar to var iegūt, ka

{\displaystyle \mathrm {d} N=k{\frac {q}{r^{2}}}r^{2}\mathrm {d} \Omega =kq\mathrm {d} \Omega \ }
Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu {\displaystyle S\ }, tas ir:

{\displaystyle N=\int \_{S}\mathrm {d} N=\int \_{S}kq\mathrm {d} \Omega =kq\Omega \ }
{\displaystyle \Omega =4\pi \ } sr
{\displaystyle N=kq4\pi ={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}q4\pi ={\frac {q}{\epsilon \_{0}}}\ }

Gausa teorēmas secinājumi
-------------------------

* Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
* Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu {\displaystyle \Delta q\ } kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam {\displaystyle \Delta q\ }, pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {{\vec {F}}({\vec {r}})}{q}}\ }, kurā {\displaystyle q=\Sigma \Delta q\ }

Atsauces
--------

1. ↑  Carl Friedrich Gauss. *Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata* (Latin). (Gauss, *Werke*, vol. V, p. 1).
2. ↑  Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" (French). *Mémoires de l'Académie de Berlin*: 125.
3. ↑  Pierre Duhem. *Leçons sur l'électricité et le magnétisme* (French). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
4. ↑  V. Fļorovs, I. Kolangs, P. Puķītis, E. Šilters, E. Vainovskis. *Fizikas rokasgrāmata*. Zvaigzne, 1985. 162. lpp.