Matemātikā par divai vairāk vesegdskaitļu **mazāko kopīgo dalāmo** sauc mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma. Piemēram, skaitļu 6 un 15 mazākais kopīgais dalāmais ir MKD(6, 15) = 30, jo 30 dalās gan ar 6, gan 15, bet nav neviena mazāka naturāla skaitļa, kas ar tiem abiem dalītos.

Apzīmējumi
----------

Literatūrā, kas ir latviešu valodā, skaitļu *a* un *b* mazāko kopīgo dalāmo parasti apzīmē ar MKD(*a*, *b*) vai retāk ar md(*a*, *b*). Krievu valodā lieto apzīmējumu НОК(*a*, *b*), kas ir saīsinājums no *наименьшее общее кратное*, bet angļu valodā visbiežāk ir sastopams apzīmējums lcm(*a*, *b*), kas ir saīsinājums no *least common multiple*. Skaitļu teorijā mazāko kopīgo dalāmo īsuma labad mēdz apzīmēt vienkārši ar [*a*, *b*].

Aprēķināšana
------------

Lai atrastu skaitļu *a*, *b* > 0 mazāko kopīgo dalāmo, to reizinājumu izdala ar lielāko kopīgo dalītāju LKD(*a*, *b*), kuru var atrast ar Eiklīda algoritma palīdzību. Ja kāds no skaitļiem ir negatīvs, tad reizinājumam nepieciešams ņemt absolūto vērtību:

\operatorname {MKD}(a,b)={\frac {|ab|}{\operatorname {LKD}(a,b)}}.
Piemēram, skaitļu 6 un 15 reizinājums ir 90 un to lielākais kopīgais dalītājs ir LKD(6, 15) = 3, tātad MKD(6, 15) = 90/3 = 30.

Īpašības
--------

Operācijai MKD piemīt šādas īpašības (šeit *a*, *b*, *c* un *m* > 0 ir naturāli skaitļi):

* MKD(*a*, *a*) = *a* (idempotence).
* MKD(*a*, *b*) = MKD(*b*, *a*) (komutativitāte).
* MKD(*a*, MKD(*b*, *c*)) = MKD(MKD(*a*, *b*), *c*) = LKD(*a*, *b*, *c*) (asociativitāte).
* MKD(*m* · *a*, *m* · *b*) = *m* · MKD(*a*, *b*) (multiplikativitāte).
* Ja *a* vai *b* dalās ar *m*, tad MKD(*a*, *b*) arī dalās ar *m*. Ja gan *a*, gan *b* dalās ar *m*, tad MKD(*a*/*m*, *b*/*m*) = MKD(*a*, *b*) / *m*.
* MKD(*a**m*, *b**m*) = MKD(*a*, *b*)*m*.

Pielietojumi
------------

### Kopīga saucēja atrašana

Lai saskaitītu daļskaitļus ar atšķirīgiem saucējiem, saucējus nepieciešams vienādot (jeb atrast kopīgu saucēju). Kopīgais saucējs ir vienāds ar abu saucēju mazāko kopīgo dalītāju. Piemēram, daļskaitļu 1/6 un 4/9 kopīgais saucējs ir MKD(6, 9) = 18. Lai vienādotu saucējus, pirmā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/6 = 3:

{\frac {1}{6}}={\frac {1\cdot 3}{6\cdot 3}}={\frac {3}{18}},
bet otrā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/9 = 2:

{\frac {4}{9}}={\frac {4\cdot 2}{9\cdot 2}}={\frac {8}{18}}.
Tagad abi saucēji sakrīt, tāpēc daļskaitļus ir viegli saskaitīt:

{\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}={\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}={\frac {11}{18}}.
### Perioda noteikšana

Pieņemsim, ka ir dots liels skaits flīzīšu — katra no tām garumā *a* vai *b* (naturāli skaitļi) — un no tām ir nepieciešams izveidot divas vienāda garuma rindas (katru no sava veida flīzītēm). Kāds ir īsākais iespējamais rindas garums? Skaidrs, ka pirmās rindas garums dalīsies ar *a*, bet otrās rindas garums — ar *b*. Tā kā MKD(*a*, *b*) ir mazākais skaitlis, kas dalās gan ar *a*, gan *b*, tad atbilde ir "MKD(*a*, *b*)". Var ievērot, ka šis lielums ir vienāds arī ar periodu rakstam, kuru iegūst abas flīzīšu rindas neierobežoti turpinot.

Piemēram, ja *a* = 6 un *b* = 9, tad trīs (oranžas) flīzītes garumā 6 veidos tikpat garu rindu kā divas (dzeltenas) flīzītes garumā 9. Abos gadījumos iegūtās rindas garums ir 18 un tas ir mazākais iespējamais, jo MKD(6, 9) = 18. Oranžo un dzelteno flīzīšu veidotais raksts atkārtojas ar periodu 18:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 6 | 6 | 6 |
| 9 | 9 |
|

Šo ideju var nedaudz vispārināt un izteikt abstraktākā formā: ja *a*1, *a*2, *a*3, … un *b*1, *b*2, *b*3, … ir divas periodiskas virknes, kuru periodi ir attiecīgi *T**a* un *T**b*, tad pārīšu virknes (*a*1,*b*1), (*a*2,*b*2), (*a*3,*b*3), … periods ir MKD(*T**a*, *T**b*).

Skatīt arī
----------

* Dalītājs
* Lielākais kopīgais dalītājs
* Eiklīda algoritms
* Paplašinātais Eiklīda algoritms

Atsauces
--------

1. ↑  Parastie daļskaitļi Archived 2010. gada 23. martā, *Wayback Machine* vietnē. liis.lv.

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Least Common Multiple, MathWorld.
* Mazākais kopīgais dalāmais, BOOT.Lv.