**Svārstības** jeb **oscilācijas** ir kustības, kuras precīzi vai aptuveni atkārtojas pēc noteiktiem laika intervāliem. Ja kustība atkārtojas precīzi, tad tādu kustību sauc par periodisku kustību. Dabā visbiežāk svārstības ar laiku pavājinās (norimst).

Mehāniskās svārstības
---------------------

Mehāniskās svārstības ir kustība, kad ķermenis periodiski novirzās gan uz vienu, gan uz otru pusi. Ir divu pamatveidu mehāniskās svārstības: brīvās svārstības un uzspiestās svārstības. Kā atsevišķu gadījumu izdala harmoniskās svārstības, kas var būt kā brīvas, tā arī uzspiestas. Tāpat pēc tā, vai svārstošais ķermenis atrodas virzes vai griezes kustībā, var izšķirt virzes un griezes svārstības.

### Harmoniskās svārstības

Harmoniskām svārstībām novirzes funkcija pēc laika ir sinusoīda (kosinusoīda), tādēļ {\displaystyle x(t)} minējumā tas arī atspoguļojas. Raustītā līnija atbilst atsvara miera stāvoklim, bet sarkanās bultiņas norāda ātrumu
Harmoniskas svārstības notiek, kad rezultējošais spēks ir proporcionāls novirzei no līdzsvara stāvokļa. Šāds nosacījums izpildās, piemēram, Huka likumā:

{\displaystyle ma=-kx}, kur x ir novirze no līdzsvara un k ir atsperes stinguma koeficients. 

Var uzrakstīt Huka likumu kā diferenciālvienādojumu:

{\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}, jeb {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{m}}x=0}. Tā kā otrais atvasinājums {\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}} atbilst {\displaystyle -c\cdot x(t)}, iespējams minēt, ka atrisinājums izskatīsies formā {\displaystyle x=X\_{max}\cdot cos(\omega \_{0}t+\varphi )}, kur {\displaystyle X\_{max}} ir amplitūda, {\displaystyle \omega \_{0}} ir cikliskā frekvence un {\displaystyle \varphi } ir sākuma novirze.

Minējumu var pārbaudīt, to atvasinot divas reizes un ievietojot izteiksmes Huka likumā. Minējumam:

{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega \_{0}^{2}A\cos(\omega \_{0}t+\varphi )}, tagad šo un {\displaystyle x=A\cdot cos(\omega t+\varphi )} var ievietot Huka likumā:

{\displaystyle -\omega ^{2}A\cos(\omega \_{0}t+\varphi )+{\frac {k}{m}}cos(\omega \_{0}t+\varphi )=0}, jeb

{\displaystyle ({\frac {k}{m}}-\omega \_{0}^{2})\cdot cos(\omega \_{0}t+\varphi )=0}, kas ir patiess, ja {\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}, tātad minējums der. Jāpiebilst, ka var izvēlēties gan {\displaystyle sin}, gan {\displaystyle cos} funkcijas priekš svārstībām, bet šī izvēle ietekmēs sākuma novirzi {\displaystyle \varphi }.

Harmoniskām svārstībām periods būs vienāds ar {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega \_{0}}}} (analoģija ceļš dalīts uz ātrumu priekš leņķiem)

Momentāno ātrumu aprēķina pēc formulas: {\displaystyle v=-\omega \_{0}X\_{max}sin\omega \_{0}t}.

Trajektorijas punktus, kuros {\displaystyle \left\vert x\right\vert =X\_{max}} un {\displaystyle v=0}, sauc par pagrieziena punktiem. Vislielākais ātrums ir līdzsvara punktos.

Momentāno paātrinājumu iegūst pēc formulas: {\displaystyle a=-\omega \_{0}^{2}X\_{max}cos\omega \_{0}t}.

Vislielākā vērtība paātrinājumam ir pagrieziena punktos. Līdzsvara punktos {\displaystyle a=0}.

Harmonisko svārstību piemēri: a) pie atsperes piestiprināta ķermeņa svārstības (atsperes svārsts) b) diegā iekārta ķermeņa (svārsta) svārstības.

Harmonisku svārstību enerģija

Ķermenim svārstoties, tam piemīt kinētiskā {\displaystyle E\_{k}} un potenciālā enerģija {\displaystyle W}. Brīvu nerimstošu svārstību gadījumā svārstību sistēma (ķermenis un spirālatspere vai tamlīdzīgi) ir noslēgta sistēma, kura saņem enerģiju no ārienes tikai sākummomentā, kad sistēma tiek iesvārstīta, pēc tam tā enerģiju no ārienes nesaņem un neatdod to citiem ķermeņiem.

Zinot ķermeņa momentāno ātrumu {\displaystyle v}, ķermeņa kinētisko enerģiju {\displaystyle E\_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}} var aprēķināt pēc

{\displaystyle E\_{k}={\frac {mX\_{max}^{2}sin^{2}\omega \_{0}t}{2}}}.

Potenciālā enerģija ir atkarīga no atgriezējspēka. Atsperes svārstam atgriezējspēks {\displaystyle F\_{a}=-kx}, aprēkinot tā darbu, iegūst

{\displaystyle W={\frac {kx^{2}}{2}}={\frac {kX\_{max}^{2}cos^{2}\omega \_{0}t}{2}}}.

Svārstību sistēmas pilnā mehāniskā enerģija {\displaystyle E} ir nemainīga:

{\displaystyle E={\frac {kX\_{max}^{2}}{2}}=E\_{k}+W=const}.

Svārstību pilnā enerģija ir proporcionāla svārstību amplitūdas kvadrātam ({\displaystyle E\sim X\_{max}^{2}}). Līdzsvara punktā {\displaystyle E\_{k}} ir vislielākā, bet pagrieziena punktos {\displaystyle E\_{k}=0}. Turpretim {\displaystyle W} ir vislielākā pagrieziena punktos, bet līdzsvara punktā {\displaystyle W=0}.

Jebkuru svārstību sistēmu, kurai atgriezējspēks {\displaystyle F\_{a}}, vienīgais pieliktais spēks, ir proporcionāls ķermeņa novirzei x no līdzsvara stāvokļa, sauc par lineāru harmonisku oscilatoru. Ja {\displaystyle F\_{a}\nsim x}, tad to sauc par anharmonisku oscilatoru.

Divu savstarpēji perpendikulāru harmonisku svārstību saskaitīšana

Ja ķermenis vienlaicīgi harmoniski svārstās plaknē x un y asu virzienos un tā līdzsvara punkts ir koordinātu sistēmas sākumpunkts, ķermeņa koordinātas mainās pēc

{\displaystyle x(t)=X\_{max}sin(\omega \_{1}t+\varphi \_{1})}, {\displaystyle y(t)=Y\_{max}sin(\omega \_{2}t+\varphi \_{2})}.

Saskaitot abus materiālā punkta pārvietojumus, iegūst rezultējošo ķermeņa kustību pa trajektoriju xy plaknē. Trajektorijas izskatu ietekmē abu svārstību amplitūdu un periodu (frekvenču) attiecības un kustības sākumfāžu starpība. Šīs trajektorijas sauc par Lisažū figūrām.

Ja {\displaystyle \omega \_{1}=\omega \_{2}} un

* {\displaystyle \varphi \_{1}=\varphi \_{2}}, tad rezultējošā kustība ir harmoniskas svārstības pa taisnes nogriezni, kurš orientēts leņķī \alpha  pret x asi, {\displaystyle tg\alpha ={\frac {Y\_{max}}{X\_{max}}}};
* sākumfāzes atšķiras par {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}, tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass novietota horizontāli, ja {\displaystyle X\_{max}=Y\_{max}}, elipse kļūst par riņķa līniju;
* sākumfāžu starpība atšķiras no 0, {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}, {\displaystyle \pi }, {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}, tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass ir slīpa pret x asi.

Ja {\displaystyle \omega \_{1}\neq \omega \_{2}}, tad rezultējošā kustība nav periodiska un punkts atgriežas sākumstāvoklī tikai tad, ja abi periodi attiecas kā veseli skaitļi (1:2, 2:3 utt.), tad Lisažū figūras ir noslēgtas un komplicētas līknes.

#### Svārstību kustības dinamika

Ķermeņa kustības vienādojums, ja ķermenis svārstās elastības spēka ietekmē  

Ķermeņa paātrinājuma projekcija a ir tieši proporcionāla tā koordinātai x, kas ņemta ar pretēju zīmi.  

{\displaystyle a=-{\frac {k}{m}}x\ },

kur a — paātrinājuma projekcija uz x asi; k — atsperes stinguma koeficients; m — masa.  

Matemātiskā svārsta kustības vienādojums  

Matemātiskais svārsts ir idealizēts svārsts, kuru veido neizstiepjamā bezmasas diegā iekārts materiāls punkts. Šāda svārsta gadījumā

{\displaystyle a=-{\frac {g}{l}}s\ },

kur g — brīvās krišanas paātrinājums; l — diega garums; s — loka garums.

Svārstību periods {\displaystyle T} šādam svārstam:

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}.

Brīvas rimstošas svārstības
Fiziskā svārsta kustības vienādojums

Neidealizētu svārstu sauc par fizisko svārstu, tas ir jebkurš ķermenis, kas nostiprināts iekarē un var svārstīties. Matemātiskā svārsta periods ir atkarīgs tikai no svārsta garuma, bet fiziskā svārsta periodu ietekmē ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi (ķermeņa masas izvietojums). Ja svārstību amplitūda ir neliela, šāda svārsta periods

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgR}}}},

kur {\displaystyle J} ir inerces moments, m ir masa, R ir masas centra attālums līdz rotācijas asij. Izmantojot fiziskā svārsta nosacīto garumu {\displaystyle l'={\frac {J}{mR}}}, fiziskā svārsta perioda izteiksmi var uzrakstīt līdzīgi kā matemātiskajam svārstam:

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l'}{g}}}}.

#### Rimstošas svārstības

Rimstošu svārstību koordinātas x atkarība no laika tRimstošas svārstības ir svārstības ar berzi. Berzes (pretestības) spēka {\displaystyle F\_{b}} dēļ svārstību amplitūda pakāpeniski samazinās. Rimstošo svārstību sistēma ir lineārs oscilators ar berzi. Parasti uzskata, ka berzes spēks ir proporcionāls ātrumam ({\displaystyle F\_{b}\sim v}), tad svārstību amplitūda samazinās eksponenciāli un svārstību formula ir

{\displaystyle x=X\_{max}e^{-\gamma t}cos\omega t},

kur {\displaystyle \gamma } ir rimšanas koeficients. Lēni rimstošām svārstībām {\displaystyle \gamma \ll \omega \_{0}}, kur {\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}. Neievērojot pretestības spēkus, {\displaystyle \omega \approx \omega \_{0}}.

Dažādi rimstošu svārstību veidi
Laiku, kurā svārstību amplitūda samazinās e (naturāllogaritma bāze) reizes, sauc par oscilatora laika konstanti {\displaystyle \tau ={\frac {1}{\gamma }}}. No svārstību sākšanās momenta {\displaystyle t\_{0}} līdz momentam {\displaystyle t=\tau } rimstošo svārstību sistēma izdara {\displaystyle N={\frac {\tau }{T}}} pilnas svārstības. Skaitli {\displaystyle Q=2\pi N} sauc par oscilatora labumu, kurš skaitliski vienāds ar oscilatorā uzkrātās pilnās enerģijas attiecību pret enerģiju, ko tas zaudē viena svārstību perioda laikā, tādējādi {\displaystyle Q} raksturo svārstību sistēmas spēju saglabāt tajā uzkrāto enerģiju.

Ik pēc perioda svārstību amplitūda samazinās {\displaystyle e^{\gamma T}} reizes, naturālo logaritmu no šī skaitļa sauc par logaritmisko dekrementu {\displaystyle d=\ln e^{\gamma T}=\gamma T}.

### Uzspiestās svārstības

Uzspiestās svārstības ir svārstības, ko ķermeņi veic ārējo spēku iedarbībā (tie var būt periodiski mainīgi). Šīs svārstības nenorimst, kamēr darbojas ārējais spēks, piemēram, šūpoļu iešūpināšana ar periodiskiem grūdieniem.

Uzspiesto svārstību amplitūda atkarīga no tā, kā kāda ir uzspiedējspēka frekvence {\displaystyle \omega } salīdzinājumā ar brīva bezberzes oscilatora pašsvārstību frekvenci {\displaystyle \omega \_{0}}. Svārstību amplitūdu nosaka komplicētas likumsakarības, tačū, ja oscilatora berze ir maza ({\displaystyle \gamma \ll \omega \_{0}}), uzspiesto svārstību amplitūda savu vislielāko vērtību sasniedz tad, kad {\displaystyle \omega =\omega \_{0}}. Tā ir amplitūdas rezonanse — stacionārs svārstību režīms, kad uzspiedējspēka darbu katrā periodā kompensē berzes izraisītie zudumi.

Svārstību veidi
---------------

Svārstības var iedalīt, izmantojot dažādas pazīmes.

Daži svārstību veidi pēc novirzes maiņas rakstura: sinusoidālas, kvadrāta, trijstūra, zāģveida svārstības
Pēc fizikālās dabas izšķir šādas svārstības:

* **mehāniskās**, kad fizikāls ķermenis periodiski novirzās. Mehānisko svārstību piemēri ir šūpoles, stīgu instrumenti un kamertonis, atsperes svārsts, Vilberforsa svārsts, Fuko svārsts, dubultais svārsts, Helmholca rezonators, zemestrīces, zvaigžņu svārstības (helioseismoloģija, astroseismoloģija, griezes vibrācija, svārsta pulkstenis;
* **elektriskās**, to izpausme ir maiņstrāva, tās apraksta, izmantojot svārstību kontūru, elektriskās svārstības sastopamas tādās ierīcēs kā Ārmstronga oscilators, multivibrators, bloķējošais oscilators, Batlera oscilators, Klapa oscilators, Kolpica oscilators, aizkavēšanas līnijas oscilators, elektroniskais oscilators, paplašinātās mijiedarbības oscilators, Hārtlija oscilators, oscilistors, fāžu nobīdes oscilators, Pīrsa oscilators, relaksācijas oscilators, Rojera oscilators, Vačkara oscilators, Vina tilta oscilators;
* **elektriski mehāniskās**, piemēram, kvarca rezonatorā;
* **optiskās** — lāzers, Todas oscilators;
* **bioloģiskās**, starp kurām ir cirkādes ritms, cirkādes oscilators, Lotkas—Volteras vienādojumi, neirālās svārstības, svārstīgie gēni, segmentācijas pulkstenis;
* atsevišķi no bioloģiskajām svārstībām var izdalīt **cilvēciskās** — hormonu svārstības, piemēram, insulīna svārstības, pilotinducētās svārstības, balss (arī mehāniskās svārstības);
* **saimnieciskās** (ekonomiskās) un **sabiedriskās** (sociālās), kā ekonomiskie cikli, paaudžu atstarpe, maltusiānās norises sabiedrībā;
* **klimatiskās** un **ģeofiziskās** — Atlantijas desmitgažu svārstības, citu okeānu klimata svārstības, Čandlera svārstības, klimata svārstības;
* **astrofiziskās**, tostarp cikliskais modelis, neitronu zvaigznes svārstības;
* **kvantu mehāniskās** — kvantu harmoniskais oscilators (var arī attiecināt pie optiskajām svārstībām), neitrālo daļiņu svārstības;
* **ķīmiskās**, kas izpaužas kā Belousova—Žabotinska reakcija, dzīvsudraba pukstošā sirds, Brigsa—Raušera reakcija, Breja—Lībhafski reakcija;
* **informātiskās** — oscilators (šūnu automāts).

Pēc novirzes maiņas rakstura (pēc svārstību grafika formas) var tikt izšķirtas gadījuma, rimstošas, augošas, pēc amplitūdas modulētas, pēc frekvences modulētas un citas svārstības.

Skatīt arī
----------

* Amplitūda
* Atsperes svārsts
* Brīvās harmoniskās svārstības
* Fizikālais svārsts
* Frekvence
* Matemātiskais svārsts
* Periods
* Svārstību raksturlielumi

Atsauces
--------

1. ↑  A. Valters, A. Apinis, M. Ogriņš, A. Danebergs, Dz. Lūsis, A. Okmanis, J. Čudars. *Fizika*. Zvaigzne, 1992. 380. lpp. ISBN 5-405-00110-4.
2. ↑  «RTU Mehāniskās svārstības». Skatīts: 17.01.2024.
3. ↑  Douglas C. Giancoli. *Physics for scientists & engineers with Modern Physics Third Edition*, 2000. 364.365.. lpp.
4. ↑  V. Fļorovs, I. Kolangs, P. Puķītis, E. Šilters, E. Vainovskis. *Fizikas rokasgrāmata*. Zvaigzne, 1985. 248. — 258. lpp.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritatīvā vadība | 
* WorldCat
* LCCN: sh85095898
* GND: 4053999-4
* BNF: cb12262181m (data)
* NDL: 00571015
* NKC: ph121653

 |

 |