| *n* | *n*! |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 11 | 39916800 |
| 12 | 479001600 |
| 13 | 6227020800 |
| 14 | 87178291200 |
| 15 | 1307674368000 |
| 16 | 20922789888000 |
| 17 | 355687428096000 |
| 18 | 6402373705728000 |
| 19 | 121645100408832000 |
| 20 | 2432902008176640000 |
| 25 | 1,5511210043 × 1025 |
| 50 | 3,0414093202 × 1064 |
| 70 | 1,1978571670 × 10100 |
| 100 | 9,3326215444 × 10157 |
| 450 | 1,7333687331 × 101000 |
| 1000 | 4,0238726008 × 102567 |
| 3249 | 6,4123376883 × 1010000 |
| 10000 | 2,8462596809 × 1035659 |
| 25206 | 1,2057034382 × 10100000 |
| 100000 | 2,8242294080 × 10456573 |
| 205023 | 2,5038989317 × 101000004 |
| 1000000 | 8,2639316883 × 105565708 |
| 1723508 | 5,2900703070 × 1010000001 |
| 2000000 | 3,7768210576 × 1011733474 |
| 10000000 | 1,2024234005 × 1065657059 |
| 14842907 | 2,7886629747 × 10100000000 |
| 10100 | 109,9565705518 × 10101 |

Matemātikā par naturāla skaitļa *n* ≥ 1 **faktoriālu** sauc visu naturālo skaitļu no 1 līdz *n* reizinājumu. To apzīmē ar *n*!. Piemēram, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 utt.

Apzīmējumu *n*! ieviesis franču matemātiķis K. Kramps 1808. gadā.

Definīcija
----------

Naturāla skaitļa *n* ≥ 1 faktoriālu definē šādi:

{\displaystyle n!=\prod \_{i=1}^{n}i=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n,}
kur simbols "Π" (lielais grieķu burts pī) apzīmē reizinājumu (tāpat kā burts "Σ" apzīmē summu).

Matemātikā ir pieņemts, ka tukšais reizinājums jeb reizinājums, kurā neietilpst neviens skaitlis, ir vienāds ar 1, tāpēc

{\displaystyle 0!=1.\,}
Šī vienošanās nodrošina to, ka daudzas formulas, kurās ietilpst faktoriāls, ir spēkā arī robežgadījumos, kad kāds mainīgais kļūst vienāds ar 0. Piemēri:

* rekurenta sakarība (*n*+1)! = *n*!×(*n*+1) ir pareiza arī pie *n* = 0, ne tikai pie *n* > 0.
* binomiālais koeficients {\displaystyle \scriptstyle C\_{n}^{n}={\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!(n-n)!}}={\tfrac {1}{0!}}=1}, jo *n* elementus no *n* elementiem var izvēlēties tieši vienā veidā.
* tas dod iespēju kompakti pierakstīt dažādas rindas, piemēram

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Faktoriāla rekursīva definīcija
-------------------------------

Faktoriālu ir iespējams definēt arī rekursīvi:

{\displaystyle n!={\begin{cases}1,&{\text{ ja }}n=0;\\n\cdot (n-1)!,&{\text{ ja }}n>0.\end{cases}}}
Piemēram, pēc šīs definīcijas 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6. Šai definīcijai var saskatīt līdzību ar matemātisko indukciju: pirmais gadījums *n* = 0 atbilst *indukcijas bāzei*, bet otrais gadījums *n* > 0 atbilst *induktīvajai pārejai*.

Faktoriāls ir viena no visvienkāršākajām rekursīvi definējamajām funkcijām, tāpēc to bieži izmanto kā piemēru mācot rekursiju programmēšanā. Programmēšanas valodā C funkciju, kas aprēķina faktoriālu, var definēt šādi:

```
int factorial(int n)
{
  if (n == 0)
    return 1;
  else
    return n * factorial(n - 1);
}

```

Īpašības
--------

Svarīga faktoriāla īpašība ir tāda, ka *n* dažādus objektus rindā var izvietot tieši *n*! dažādos veidos. Tātad, *n*! ir permutāciju skaits no *n* elementiem.

### Saistība ar Gamma funkciju

Gamma funkcija (apzīmē ar "Γ" jeb lielo grieķu burtu gamma) ir faktoriāla vispārinājums, jo tai ir spēkā vienādība {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\,}, ja *n* = 0, 1, 2, ... bet tā ir definēta jebkuram kompleksam skaitlim, izņemot veselus negatīvus skaitļus.  

Kompleksam skaitlim *z*, kura reālā daļa ir pozitīva, to definē šādi:

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.}
Ar analītiskā turpinājuma palīdzību šo definīciju var paplašināt visiem kompleksiem skaitļiem, izņemot negatīvus veselus skaitļus. Izmantojot šo definīciju un integrāļu īpašības, var pierādīt, ka

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\,} ja *n* = 0, 1, 2, …
Izmantojot gamma funkciju, faktoriālu var aprēķināt, piemēram, skaitļiem formā {\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}, kur *n* = 0, 1, 2, …:

{\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\prod \_{k=0}^{n}{\frac {2k+1}{2}}.}
Piemēram,

{\displaystyle 3{,}5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11{,}63.}
### Stirlinga formula

Lai aprēķinātu faktoriālu lielam skaitlim, ir jāveic ļoti daudz reizināšanas darbību. Bieži vien (piemēram, datorzinātnē, lai novērtētu kāda algoritma sarežģītību), nav nepieciešams zināt precīzu faktoriāla vērtību, bet pietiek ar aptuvenu tā novērtējumu. Šādos gadījumos lieti noder faktoriāla asimptotiskais novērtējums, ko sauc par Stirlinga formulu:

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\cdot \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} ({\displaystyle n\to \infty }),
kur *π* un *e* ir konstantes pī un *e*. Šo formulu ir ieguvis skotu matemātiķis Džeimss Stirlings.  

No Stirlinga formulas seko, ka {\displaystyle \log(n!)=\Theta (n\log n)\,}.  

Ir pierādīts arī, ka visiem naturāliem *n*

{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\cdot \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}.
### Faktoriāla sadalījums pirmreizinātājos

A. M. Ležandrs ir pierādījis, ka jebkurš pirmskaitlis *p* ietilpst skaitļa *n*! sadalījumā pirmreizinātājos

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots }
reižu, kur {\displaystyle \lfloor x\rfloor } apzīmē x noapaļošanu uz leju. Šajā summā visi saskaitāmie sākot ar kādu būs vienādi ar 0, tāpēc pietiek saskaitīt tikai pirmos saskaitāmos, kuri ir lielāki par 0. Formulā ievietojot {\displaystyle p=5}, iegūst nuļļu skaitu ar ko beidzas *n*!. No šīs formulas izriet arī tas, ka

{\displaystyle n!=\prod \_{p}p^{\lfloor n/p\rfloor +\lfloor n/p^{2}\rfloor +\lfloor n/p^{3}\rfloor +\ldots },}
kur reizinājums ir pār visiem pirmskaitļiem *p* kas nepārsniedz n.

Pielietojums
------------

Faktoriāli ir bieži sastopami kombinatorikā, varbūtību teorijā, skaitļu teorijā, grafu teorijā un matemātiskajā analīzē.

Skatīt arī
----------

* Permutācija
* Gamma funkcija
* Dubultfaktoriāls
* Subfaktoriāls
* Stirlinga formula
* Vilsona teorēma

Piezīmes
--------

1. ↑  Šī funkcija nebeidz darbu, ja tai padotais arguments ir negatīvs. Lai no tā izvairītos, `n == 0` var aizstāt ar `n <= 0`, taču tas nav darīts, lai saglabātu līdzību ar matemātisko definīciju.

Ārējās saites
-------------

* Eric W. Weisstein, Factorial, MathWorld.
* Elizabeth Stapel, Factorials, Purplemath.
* Faktoriāls n! (n≤40000)