Matematikoje **aritmetinė progresija** – tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra {\displaystyle a\_{1}}, o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus *d*, tai *n*-tąjį progresijos narį ({\displaystyle a\_{n}}) galima apskačiuoti pagal formulę:

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d,}
o bendruoju atveju pagal formulę:

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d.}
čia dydis {\displaystyle d=a\_{n+1}-a\_{n}} vadinamas **aritmetinės progresijos skirtumu**.

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, vadinama **baigtine aritmetine progresija**. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo *d*. Jei skirtumas yra

* Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
* Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Aritmetinės progresijos **charakteringoji savybė** - seka yra aritmetinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:

{\displaystyle \ a\_{n}={\frac {a\_{n-1}+a\_{n+1}}{2}}}

Suma
----

Baigtinės aritmetinės progresijos narių, esančių vienodu atstumu nuo jos galų, suma yra lygi kraštinių narių sumai:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {(a\_{1}+a\_{n})}{2}}n,}
kur *n* – sudedamų narių skaičius, o {\displaystyle a\_{1}+a\_{n}} – pirmojo ir *n*-tojo narių suma.

Pavyzdžiui progresijos

{\displaystyle 2+5+8+11+14}
suma randama:

{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\cdot 16}{2}}=40.}
### Išvedimas

Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}.}
Sudėjus abi puses gaunama lygybė:

{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n}).}
Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}.}
Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačius *n*-tojo nario formulę {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d}:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n(2a\_{1}+(n-1)d)}{2}}.}
Skaičių eilutės vidurkio radimas per formulę {\displaystyle S\_{n}/n}:

{\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a\_{1}+a\_{n}}{2}}.}
499 m. pr. m. e. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale *Aryabhatiya* (2.18 skyrius).

Taip pat skaitykite
-------------------

* Geometrinė progresija

Šaltiniai
---------

1. ↑  Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI-XII klasei. Suaugusiųjų ir savarankiškam mokymuisi. – Kaunas: Šviesa, 2007. – 60 p. ISBN 5-430-04629-9
2. ↑  Autorių kolektyvas. Matematika 11. II dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 76 p. ISBN 9955-491-28-0
3. ↑  Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 94 p. ISBN 5-430-03932-2
4. ↑  Valentinas Matiuchinas. Matematika. Teorija. Praktika. – Tiklis:, 2008. – 27 p. ISBN 978-9955-672-08-1