|  |  |
| --- | --- |
|    | **Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.**Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais. |

|  |  |
| --- | --- |
|    | **Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.**Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi. |

**Paviršinis integralas** - integralas, skirtas apskaičiuoti kūno paviršiaus plotą. Paviršiniai integralai būna *pirmojo* ir *antrojo* tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralas
----------------------------------

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei {\displaystyle f[x,y,z(x,y)]=1.}
Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:
{\displaystyle \iint \_{S}f(x,y,z)dS=\iint \_{D}f[x,y,z(x,y)]{\sqrt {1+({\partial z(x,y) \over \partial x})^{2}+({\partial z(x,y) \over \partial y})^{2}}}dxdy.}

Paraboloidas.
* Apskaičiuosime integralą {\displaystyle \iint \_{S}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS,} kur *S* dalis paraboloido {\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},} atpjauto plokštuma {\displaystyle z=0.}

Paviršius *S*, aprašomas lygtimi {\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},} projektuojasi ant plokštumos *xOy* į sritį *D*, apribota apskritimu {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai {\displaystyle z=0}). Todėl sritis *D* yra skritulys {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1.} Šiame skritulyje funkcijos {\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},} {\displaystyle z\_{x}'(x,y)=-2x,} {\displaystyle z\_{y}'(x,y)=-2y} netrūkios. Pagal *pirmojo tipo paviršinio integralo formule* {\displaystyle {\sqrt {1+z\_{x}'^{2}(x;y)+z\_{y}'^{2}(x;y)}},} gauname
{\displaystyle \iint \_{S}f(x,y,z)dS=\iint \_{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\iint \_{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dxdy=} {\displaystyle =\iint \_{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy.}

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates {\displaystyle x=\rho \cos \phi ,} {\displaystyle y=\rho \sin \phi ,} randame
{\displaystyle \iint \_{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy=\int \_{0}^{2\pi }d\phi \int \_{0}^{1}(1+4\rho ^{2})\rho d\rho =\int \_{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}+\rho ^{4})|\_{0}^{1}={3 \over 2}\int \_{0}^{2\pi }d\phi ={3 \over 2}\phi |\_{0}^{2\pi }=3\pi .}

Antrojo tipo paviršinis integralas
----------------------------------

{\displaystyle \iint \_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=}
{\displaystyle =\iint \_{S}P(x,y,z)dydz+\iint \_{S}Q(x,y,z)dzdx+\iint \_{S}R(x,y,z)dxdy.}

Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *xOy*:
{\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(x,y,f(x,y))dxdy.}

Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *yOz*:
{\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(f(y,z),y,z)dydz.}

Paviršius *S* projektuojamas į sritį *D* plokštumoje *xOz*:
{\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(x,f(x,z),z))dzdx.}

### Pavyzdžiai

* Apskaičiuosime integralą {\displaystyle \iint \_{S}(y^{2}+z^{2})dxdy,} kur *S* - viršutinė dalis paviršiaus {\displaystyle z={\sqrt {1-x^{2}}},} atkirsta plokštumomis {\displaystyle y=0,} {\displaystyle y=1.}

Projekcija *D* duotojo paviršiaus į plokštumą *xOy* yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis {\displaystyle -1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1.} Pagal formulę {\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(x,y,f(x,y))dxdy} randame
{\displaystyle \iint \_{S}(y^{2}+z^{2})dxdy=\iint \_{D}[y^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}]dxdy=\int \_{-1}^{1}dx\int \_{0}^{1}(y^{2}+1-x^{2})dy=}
{\displaystyle =\int \_{-1}^{1}({y^{3} \over 3}+y-x^{2}y)|\_{0}^{1}dx=\int \_{-1}^{1}({4 \over 3}-x^{2})dx=({4 \over 3}x-{x^{3} \over 3})\_{-1}^{1}={4 \over 3}-{1 \over 3}-(-{4 \over 3}+{1 \over 3})=1+1=2.}

  

* Apskaičiuosime integralą {\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,} kur *S* viršutinė dalis plokštumos {\displaystyle x+z-1=0,} atkirsta plokštumomis {\displaystyle y=0,} {\displaystyle y=4} ir gulinti pirmajame oktante.

Pagal apibrėžimą,
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=}
{\displaystyle =\iint \_{D\_{1}}x(y,z)dydz+\iint \_{S}ydzdx+\iint \_{D\_{2}}z(x,y)dxdy.}
Čia {\displaystyle D\_{1}} ir {\displaystyle D\_{2}} - projekcijos paviršiaus *S* į plokštumas *yOz* ir *xOy*, o {\displaystyle \iint \_{S}ydzdx=0,} nes plokštuma *S* lygiagreti ašiai *Oy* (ploštumos lygtyje {\displaystyle y=0}). Pagal formules {\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(x,y,f(x,y))dxdy} ir {\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(f(y,z),y,z)dydz} atitinkamai randame
{\displaystyle \iint \_{S}zdxdy=\iint \_{D\_{2}}(1-x)dxdy=\int \_{0}^{4}dy\int \_{0}^{1}(1-x)dx=\int \_{0}^{4}(x-{x^{2} \over 2})|\_{0}^{1}dy={1 \over 2}\int \_{0}^{4}dy=2,}
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz=\iint \_{D\_{1}}(1-z)dydz=\int \_{0}^{4}dy\int \_{0}^{1}(1-z)dz={1 \over 2}\int \_{0}^{4}dy=2.}

Todėl
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.}

Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.
* Apskaičiuosime integralą {\displaystyle \iint \_{S}(z-R)^{2}dxdy} pagal viršutinę pusę pusiasferės {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,} {\displaystyle R\leq z\leq 2R.}

Duotajį paviršių *S* galima aprašyti lygtimi
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,}
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2}=R^{2},}
{\displaystyle (z-R)^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2},}
{\displaystyle z-R={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}},}
{\displaystyle z=R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}.}
Todėl pagal formulę {\displaystyle \iint \_{S}R(x,y,z)dxdy=\iint \_{D}R(x,y,f(x,y))dxdy} turime:
{\displaystyle \iint \_{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint \_{D}(R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}-R)^{2}dxdy=\iint \_{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy,}

kur *D* - skritulys {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq R} plokštumos *xOy*, į kurį projektuojasi paviršius *S*. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime:
{\displaystyle \iint \_{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint \_{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy=\int \_{0}^{2\pi }d\phi \int \_{0}^{R}(R^{2}-\rho ^{2})\rho d\rho =\int \_{0}^{2\pi }({R^{2}\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|\_{0}^{R}d\phi =}
{\displaystyle ={R^{4} \over 4}\phi |\_{0}^{2\pi }={\pi R^{4} \over 2}.}

Plokštuma *S*.
* Apskaičiuosime integralą {\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy} pagal viršutine pusę dalies plokštumos{\displaystyle x+2z=2,} gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma {\displaystyle y=4.}

Pagal nustatymą
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iint \_{S}xdydz+\iint \_{S}ydzdx+\iint \_{S}zdxdy.}
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz=\iint \_{D\_{1}}(2-2z)dydz=2\int \_{0}^{4}dy\int \_{0}^{1}(1-z)dz=4.}

{\displaystyle \iint \_{S}ydzdx=0,} nes plokštuma *S* lygiagreti ašiai *Oy*.
{\displaystyle \iint \_{S}zdxdy=\iint \_{D\_{2}}(1-{x \over 2})dxdy=\int \_{0}^{4}dy\int \_{0}^{2}(1-{x \over 2})dx=\int \_{0}^{4}(x-{x^{2} \over 4})|\_{0}^{2}dy=}
{\displaystyle =\int \_{0}^{4}(2-{2^{2} \over 4})dy=\int \_{0}^{4}dy=y|\_{0}^{4}=4.}

Todėl,
{\displaystyle \iint \_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.}