Įbrėžtinis kampas *θ* yra lygus pusei centrinio kampo 2*θ*, besiremiančio į tą patį apskritimo lanką 2*θ*. Kampas *θ* nesikeičia, kai jo viršūnė juda aplink apskritimą.
Geometrijoje **įbrėžtinis kampas** – kampas apskritimo viduje, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą.

Lygiai taip pat įbrėžtinį kampą apibrėžia dvi apskritimo stygos, turinčios vieną bendrą tašką.

Kiekvienas įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į apskritimo lanką, iki 180° papildo kitą įbrėžtinį kampą, kuris remiasi į likusį apskritimo lanką.

**Įbrėžtinio** **kampo teorema** susieja įbrėžtinio kampo dydį su centriniu kampu, jungiančiu tą patį lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema yra 20 teiginys Euklido *Pradmenų* 3 tome.

Įbrėžtinio kampo teorema
------------------------

### Teiginys

Fiksuotų taškų *A* ir *B* atveju taškų *M* aibė plokštumoje, kuriai lygus kampas *AMB* *α* yra apskritimo lankas. Matas ∠ *AOB*, kur *O* yra apskritimo centras, yra 2 *α* .
Įbrėžtinio kampo teorema teigia, kad į apskritimą įbrėžtas kampas *θ* lygus pusei centrinio kampo 2*θ*, besiremiančio į tą patį lanką. Todėl kampas nesikeičia, kai jo viršūnė perkeliama į skirtingas apskritimo vietas.

### Įrodymas

#### 1. Įbrėžtiniai kampai, kai viena iš stygų yra skersmuo

Pirmasis atvejis
Tegul *O* yra apskritimo centras, kaip parodyta diagramoje dešinėje. Pasirinkite du apskritimo taškus ir pavadinkite juos *V* ir *A*. Nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją taip, kad ji kirstų apskritimą taške *B*, kuris būtų vienoje tiesėje su *V*. Nubrėžkite kampą, kurio viršūnė yra taškas *V*, o kraštinės eina per taškus *A* ir *B*.

Nubrėžkite liniją *OA*. Kampas *BOA* yra centrinis kampas, žymime *θ*. Tiesės *OV* ir *OA* yra apskritimo spinduliai, todėl jų ilgis yra vienodas. Vadinasi trikampis *VOA* yra lygiašonis, todėl kampas *BVA* (įbrėžtinis kampas) ir kampas *VAO* yra lygūs. Kiekvienas iš jų žymimas kaip *ψ*.

Kampai *BOA* ir *AOV* sudaro 180°, nes linija *VB*, einanti per *O*, yra tiesė. Todėl kampas *AOV* yra 180° − *θ* .

Yra žinoma, kad trys trikampio kampai sudaro 180°, tada trys trikampio *VOA* kampai yra:

180° − *θ*
*ψ*
*ψ*.
Iš to seka

{\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.}
Atimame iš abiejų pusių

{\displaystyle (180^{\circ }-\theta )}
gauname

{\displaystyle 2\psi =\theta ,}
kur *θ* yra centrinis kampas, o *ψ* yra įbrėžtinis kampas.

#### 2. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų viduje

Antrasis atvejis
Duotas apskritimas, kurio centras yra taške *O*, pasirinkite tris apskritimo taškus *V*, *C* ir *D.* Nubrėžkite linijas *VC* ir *VD*: kampas *DVC* yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją už taško *O* taip, kad ji kirstų apskritimą taške *E*. Kampas *DVC* suformuoja apskritimo lanką *DC*.

Tarkime, kad šis lankas apima tašką *E.* Taškas *E* yra vienoje tiesėje su tašku *V.* Kampai *DVE* ir *EVC* taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, todėl jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

{\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}
tada žymime

{\displaystyle \psi \_{0}=\angle DVC,}
{\displaystyle \psi \_{1}=\angle DVE,}
{\displaystyle \psi \_{2}=\angle EVC,}
taip kad

{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{1}+\psi \_{2}.\qquad \qquad (1)}
Nubrėžkite linijas *OC* ir *OD*. Kampas *DOC* yra centrinis kampas, kaip ir kampai *DOE* ir *EOC*, ir

{\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}
Žymime

{\displaystyle \theta \_{0}=\angle DOC,}
{\displaystyle \theta \_{1}=\angle DOE,}
{\displaystyle \theta \_{2}=\angle EOC,}
taip kad

{\displaystyle \theta \_{0}=\theta \_{1}+\theta \_{2}.\qquad \qquad (2)}
Iš 1-ojo atvejo žinome, kad {\displaystyle \theta \_{1}=2\psi \_{1}} ir {\displaystyle \theta \_{2}=2\psi \_{2}}. Sujungus šiuos rezultatus su (2) lygtimi, gauname

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{1}+2\psi \_{2}=2(\psi \_{1}+\psi \_{2})}
todėl pagal (1) lygtį

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{0}.}
#### 3. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų išorėje

Trečiasis atvejis
Ankstesnis atvejis gali būti išplėstas, kad apimtų atvejį, kai įbrėžtinis kampo dydis yra *skirtumas* tarp dviejų įbrėžtinių kampų, kaip aptarta 1-ojoje šio įrodymo dalyje.

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške *O*, pasirinkite tris apskritimo taškus *V*, *C* ir *D.* Nubrėžkite linijas *VC* ir *VD*: kampas *DVC* yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę *VO* ir pratęskite ją už taško *O* taip, kad ji kirstų apskritimą taške *E*. Kampas *DVC* suformuoja apskritimo lanką *DC*.

Tarkime, kad šis lankas neapima taško *E.* Taškas *E* yra vienoje tiesėje su *V.* Kampai *EVD* ir *EVC* taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

{\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}.
tada žymime

{\displaystyle \psi \_{0}=\angle DVC,}
{\displaystyle \psi \_{1}=\angle EVD,}
{\displaystyle \psi \_{2}=\angle EVC,}
taip kad

{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{2}-\psi \_{1}.\qquad \qquad (3)}
Nubrėžkite linijas *OC* ir *OD*. Kampas *DOC* yra centrinis kampas, kaip ir kampai *EOD* ir *EOC*, ir

{\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}
Žymime

{\displaystyle \theta \_{0}=\angle DOC,}
{\displaystyle \theta \_{1}=\angle EOD,}
{\displaystyle \theta \_{2}=\angle EOC,}
taip kad

{\displaystyle \theta \_{0}=\theta \_{2}-\theta \_{1}.\qquad \qquad (4)}
Iš 1-ojo atvejo žinome {\displaystyle \theta \_{1}=2\psi \_{1}} ir tai {\displaystyle \theta \_{2}=2\psi \_{2}}. Sujungus šiuos rezultatus su (4) lygtimi, gauname

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{2}-2\psi \_{1}}
todėl pagal (3) lygtį,

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{0}.}
Įbrėžtinio kampo teoremos įrodymo animacija. Didysis trikampis, įbrėžtas į apskritimą, yra padalintas į tris mažesnius trikampius, kurie visi yra lygiašoniai, nes jų dvi kraštinės yra apskritimo spinduliai. Kiekvieno lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs ir yra pusė 180° atėmus viršūnės kampą apskritimo centre. Sudėjus šiuos lygiašonius pagrindo kampus, gaunama įbrėžtinio kampo teorema, kur {\displaystyle \psi }, yra pusė centrinio kampo, {\displaystyle \theta }.
### Išvada

Pagal panašų teiginį kampas tarp stygos ir liestinės viename iš jos susikirtimo taškų yra lygus pusei centrinio kampo, kurį sudaro styga.

Taikymas
--------

Įbrėžtinio kampo teorema naudojama daugelyje elementariosios Euklidinės plokštumos geometrijos įrodymų. Atskiras teoremos atvejis yra Talio teorema, kuri teigia, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, visada yra 90°, t. y. statusis. Dėl šios teoremos priešingų ciklinių keturkampių kampų suma yra 180°, ir atvirkščiai, bet kuris keturkampis, kuriam tai galioja, gali būti įbrėžtas į apskritimą.

Įbrėžtinių kampų teoremos elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms
-------------------------------------------------------------

Įbrėžtinių kampų teoremos taip pat egzistuoja elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms. Esminiai skirtumai yra kampo išmatavimai. (Kampu yra laikoma susikertančių linijų pora.)

* Elipsė
* Hiperbolė
* Parabolė

Taip pat skaitykite
-------------------

* Centrinis kampas

Šaltiniai
---------

1. ↑  Hoffmann, Manfred (2007). *Didysis matematikos žinynas formulės, taisyklės, teoremos, uždaviniai ir jų sprendimai*. Kaunas. p. 217. ISBN 5-430-04814-3. OCLC 1185091387.`{{cite book}}`: CS1 priežiūra: location missing publisher (link)

Literatūra
----------

* Ogilvy, C. S. (1990). *Excursions in Geometry*. Dover. pp. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
* Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). *The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics*. New York: Van Nostrand Reinhold. pp. 172. ISBN 0-442-22646-2.
* Moise, Edwin E. (1974). *Elementary Geometry from an Advanced Standpoint* (2nd leid.). Reading: Addison-Wesley. pp. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Nuorodos
--------

* Eric W. Weisstein, Inscribed Angle, MathWorld. **(**angl.**)**
* Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle **(**angl.**)**
* Munching on Inscribed Angles **(**angl.**)**
* Arc Central Angle **(**angl.**)**
* Arc Peripheral (inscribed) Angle **(**angl.**)**
* Arc Central Angle Theorem **(**angl.**)**
* At bookofproofs.github.io Archyvuota kopija 2023-02-01 iš Wayback Machine projekto. **(**angl.**)**