|  |  |
| --- | --- |
|    | **Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.**Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais. |

|  |  |
| --- | --- |
|    | **Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.**Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi. |

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

{\displaystyle \iint \_{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint \_{L}Pdx+Qdy.}

Pavyzdžiai
----------

* Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą {\displaystyle \oint \_{L}(x-y)dx+(x+y)dy,} kur *L* - apskritimas {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Funkcijos {\displaystyle P(x,y)=x-y,} {\displaystyle Q(x,y)=x+y} ir {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=1} netrūkios uždarame rate {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.} Todėl pagal Gryno teoremą turime ({\displaystyle \rho ^{2}=R^{2},} {\displaystyle \rho =R}):
{\displaystyle \oint \_{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\iint \_{D}[1-(-1)]dxdy=2\iint \_{D}dxdy=2s=2\int \_{0}^{2\pi }d\phi \int \_{0}^{R}\rho d\rho =}
{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }\rho ^{2}|\_{0}^{R}d\phi =R^{2}\int \_{0}^{2\pi }d\phi =R^{2}\phi |\_{0}^{2\pi }=2\pi R^{2}.}

* Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

{\displaystyle \int \_{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy,}
kai *L* - apskritimas {\displaystyle x^{2}+y^{2}=ax} (a>0), apeinamas teigiama kryptimi.
Kadangi skritulyje {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq ax} funkcijos {\displaystyle P(x,y)=xy} ir {\displaystyle Q(x,y)=x^{2}+y^{2}} bei jų dalinės išvestinės {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=x} ir {\displaystyle {\partial Q \over \partial x}=2x} yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.
Turime:
{\displaystyle \int \_{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint \_{D}(2x-x)dxdy=\iint \_{D}xdxdy.}
Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas {\displaystyle \phi } kinta nuo {\displaystyle -{\pi \over 2}} iki {\displaystyle {\pi \over 2}.} Vadinasi ({\displaystyle x=\rho \cos \phi ,} {\displaystyle \rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,} {\displaystyle \rho =a\cos \phi }),
{\displaystyle \int \_{D}xdxdy=\iint \_{D}\rho ^{2}\cos \phi d\rho d\phi =\int \_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi d\phi \int \_{0}^{a\cos \phi }\rho ^{2}d\rho =\int \_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi {\rho ^{3} \over 3}|\_{0}^{a\cos \phi }d\phi =}
{\displaystyle ={a^{3} \over 3}\int \_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\int \_{0}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\pi a^{3} \over 8},} 
kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas
--------------------

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:
{\displaystyle D=\oint \_{L}-ydx=\oint \_{L}xdy={1 \over 2}\oint \_{L}xdy-ydx.}
Jos išvedamos šitaip:

{\displaystyle \iint \_{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint \_{L}Pdx+Qdy.}
* Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities *D* (ploksčios figūros ploto). Jei {\displaystyle P(x,y)=-y,} {\displaystyle Q(x,y)=0.} Tada {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=0.} Pagal formulę turime:

{\displaystyle \iint \_{D}(0+1)dxdy=\oint \_{L}-ydx+0dy.}
Integralas {\displaystyle \iint \_{D}dxdy} lygus paaviršiui srities *D* , todėl,
{\displaystyle D=\iint \_{D}dxdy=-\oint \_{L}ydx.}

* Sakykime, {\displaystyle P(x,y)=0,} {\displaystyle Q(x,y)=x,} analoginiu budu randame, kad

{\displaystyle D=\oint \_{L}xdy.}

* Ir, pagaliau, paėmę funkcijas {\displaystyle P(x,y)=-{1 \over 2}y,\;Q(x,y)={1 \over 2}x,} gauname formulę

{\displaystyle D=\iint \_{D}({1 \over 2}+{1 \over 2})dxdy=\iint \_{D}dxdy={1 \over 2}\oint \_{L}xdy-ydx.}

**Pavyzdžiai**

* Apskaičiuosime plotą apribotą elipse {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,} pagal formulę {\displaystyle D=\oint \_{L}xdy.} Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: {\displaystyle x=a\cos t,} {\displaystyle y=b\sin t,} {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,} {\displaystyle dy=b\cos t,} gauname:

{\displaystyle D=\oint \_{L}xdy=\int \_{0}^{2\pi }a\cos tb\cos tdt={ab \over 2}\int \_{0}^{2\pi }(1+\cos(2t))dt={ab \over 2}(2\pi +{\sin(2t) \over 2}|\_{0}^{2\pi })=\pi ab.}

Jėgos darbas
------------

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę
{\displaystyle A=\int \_{BC}Pdx+Qdy.}
Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:
{\displaystyle A=\int \_{BC}Pdx+Qdy+Rdz.}

* Apskaičiuosime darbą jėgos {\displaystyle F(x,y)} persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, {\displaystyle |F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};} Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: {\displaystyle P=-x,} {\displaystyle Q=-y} [ženklas "{\displaystyle -}" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime {\displaystyle A=-\oint \_{L}xdx+ydy,} kur *L* - elipsė {\displaystyle x=a\cos t,} {\displaystyle y=b\sin t,} {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .} Todėl
{\displaystyle A=-\int \_{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin tb\cos tdt=-\int \_{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin t\cos tdt=}
{\displaystyle ={a^{2}-b^{2} \over 2}\int \_{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|\_{0}^{2\pi }=0.}

Jei *t* keistusi nuo 0 iki {\displaystyle {\pi \over 2},} integralas butu lygus {\displaystyle {a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|\_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.}

Taip pat skaitykite
-------------------

* Antrojo tipo kreivinis integralas
* Pilnųjų diferencialų integravimas
* Apibrėžtinis integralas