**Statistinė mechanika** – fizikos šaka, aprašanti makroskopinių stebėjimų (pvz. temperatūros ir slėgio) sąryšius su mikroskopiniais parametrais, kurie svyruoja apie vidurkį; tirianti dujų, skysčių ir kietųjų kūnų makroskopinių savybių sąryšį su juos sudarančių mikrodalelių savybėmis.

Statistinė mechanika yra būtina norint atlikti bet kurios fizinės sistemos, turinčios daug laisvės laipsnių, fundamentalų tyrimą. Metodas pagrįstas statistikos metodais, tikimybių teorija ir  mikroskopinės fizikos dėsniais. 

Naudojant statistinę mechaniką galima paaiškinti didelių sistemų termodinaminę elgseną. Ši statistinės mechanikos šaka, kuri apima ir pratęsia klasikinę termodinamiką, yra žinoma kaip „statistinė termodinamika" arba „pusiausvyrinė statistinė mechanika".

Statistinė mechanika taip pat gali būti naudojama tiriant sistemas, kurios nėra pusiausvyros būsenose. Svarbi statistinės mechanikos sritis, žinoma kaip „nepusiausvyrinė statistinė mechanika" (kartais vadinama „statistine dinamika"), nagrinėja negrįžtamų procesų greičių mikroskopinį modeliavimą. Tokių procesų pavyzdžiai yra cheminė reakcija arba dalelių ir šilumos srautai. Svyravimo-išsklaidymo teorema yra gauta taikant nepusiausvyrinę statistinę mechaniką tiriant paprasčiausią nepusiausvyrąją būseną, kai pastovios būsenos srovė teka daugelio dalelių sistemoje.

Principai: mechanika ir ansambliai
----------------------------------

*Pagrindiniai straipsniai – Mechanika ir Statistinis ansamblis*.
Fizikoje žinomi du mechanikos tipai: klasikinė mechanika ir kvantinė mechanika. Abiems mechanikos tipams matematiniai metodai aprašo du aspektus:

1. Visa mechaninės sistemos būsena tam tikru laiku, matematiškai aprašyta kaip fazinis taškas (klasikinėje mechanikoje) arba grynasis kvantinės būsenos vektorius (kvantinėje mechanikoje).
2. Judesio lygtis, kuri perneša būseną į priekį laike:  Hamiltono lygtys (klasikinėje mechanikoje) arba Šriodingerio lygtis (kvantinėje mechanikoje).

Naudojant šias dvi sampratas, iš esmės galima apskaičiuoti sistemos būseną bet kuriuo laiko momentu: praeityje, dabartyje ar ateityje.

Vis dėlto, šie dėsniai būtų sunkiai pritaikomi realybėje, nes, nors ir būtina, teoriškai neįmanoma mikroskopiniu lygmeniu tiksliai žinoti kiekvienos molekulės vienalaikės padėties ir greičio vykdant procesus, pavyzdžiui, vykdant cheminę reakciją. Būtent pasitelkiant statistinę mechaniką yra užpildomos nežinomų faktų spragos, pridedant tam tikrą neapibrėžtumą, kokioje būsenoje yra sistema.

Įprastoje mechanikoje tiriamas tik vienos būsenos elgesys, o statistinėje mechanikoje įvedamas  statistinis ansamblis – didelis virtualių nepriklausomų sistemos kopijų, esančių įvairiose būsenose, rinkinys. Taigi, statistinis ansamblis yra tikimybės pasiskirstymas visose įmanomose sistemos būsenose. Klasikinėje statistinėje mechanikoje ansamblis suprantamas kaip tikimybės pasiskirstymas faziniuose taškuose (pakeičiama vietoj vieno fazinio taško įprastinėje mechanikoje), dažniausiai apibūdinamas kaip pasiskirstymas fazinėje erdvėje kanoninėmis koordinatėmis. Kvantinėje statistinėje mechanikoje ansamblis yra tikimybės pasiskirstymas grynose būsenose  ir gali būti kompaktiškai apibendrintas kaip tankio matrica. 

Kaip yra įprasta tikimybėms, ansamblis gali būti interpretuojamas skirtingai:

* gali būti imamas ansamblis, kuris atstovauja įvairioms galimoms būsenoms, kokiose sistema egzistuoja (episteminė tikimybė, žinių forma), arba
* ansamblio nariai gali būti suprantami kaip sistemų būsenos eksperimento metu, kuris kartojamas nepriklausomose sistemose panašiomis, bet ne visiškai kontroliuojamomis sąlygomis (empirinė tikimybė) begalybę kartų.

Šios dvi reikšmės yra lygiavertės daugeliu atveju ir šiame straipsnyje bus naudojamos pakaitomis.

Nesvarbu, kaip interpretuojama tikimybė, kiekviena ansamblio būsena kinta bėgant laikui pagal judėjimo lygtį. Todėl pats ansamblis (tikimybės pasiskirstymas tarp būsenų) taip pat kinta, virtualiai sistemai ansamblyje nuolat paliekant vieną būseną ir pereinant į kitą. Ansamblio raida aprašoma  Liuvilio (Liouville) lygtimi klasikinėje mechanikoje ir Von Niumano lygtimi kvantinėje mechanikoje. Šios lygtys yra mechaninės judėjimo lygties taikymo kiekvienai virtualiai sistemai ansamblyje atskirai rezultatai.

Viena ypatinga grupė ansamblių nekinta bėgant laikui, tokie ansambliai vadinami *pusiausvyriniais ansambliais*, o jų buvimo sąlyga vadinama *statistine pusiausvyra*. Statistinė pusiausvyra egzistuoja, jei kiekvienai ansamblio būsenai galioja teiginys, kad visų buvusių ir būsimų būsenų tikimybė lygi dabartinės būsenos tikimybei. Izoliuotų sistemų pusiausvyrinių ansamblių tyrinėjimai yra statistinės termodinamikos tikslas. Nepusiausvyrinė statistinė mechanika koncentruojasi į bendresnį kintančių laiko atžvilgiu ansamblių atvejį, kai ansamblių sistemos neįzoliuotos.

Statistinė termodinamika
------------------------

Pirminis statistinės termodinamikos, dar žinomos kaip pusiausvyrinės statistinės mechanikos, tikslas yra paaiškinti medžiagų klasikinę termodinamiką atsižvelgiant į jas sudarančias daleles ir šių tarpusavio sąveiką. Kitaip tariant, statistinė termodinamika pateikia sąryšį tarp makroskopinių medžiagos savybių šiai esant termodinaminėje pusiausvyroje ir mikroskopinių elgesio bei judėjimo medžiagos viduje. 

Jei statistinė mechanika į savo metodus įtraukia dinamiką, tai statistinėje termodinamikoje dėmesys sutelktas į statistinę pusiausvyrą, kitaip – ramybės būseną. Statistinė pusiausvyra nereiškia, kad dalelės nustojo judėti ( tai būtų mechaninė pusiausvyra), bet teigia, kad ansamblis nebekinta.

### Pagrindinis postulatas

Statistinės pusiausvyros izoliuotoje sistemoje pakankama (bet nebūtina) sąlyga: tikimybės pasiskirstymas yra konservatyvių ypatybių, tokių kaip pilnutinė energija ar pilnutinis dalelių kiekis, funkcija. Yra daugybė skirtingų pasiausvyrinių ansamblių, bet tik kai kurie iš jų tinka termodinamikoje. Norint pagrįsti, kodėl tam tikros sistemos ansamblis turėtų turėti vieną ar kitą formą, reikia papildomų postulatų.

Daugelyje vadovėlių įprastai naudojamas „vienodų a priori tikimybių postulatas". Šis postulatas teigia, kad

*Izoliuotai sistemai, kurios energija ir sudėtis tiksliai žinomos, gali būti rasta sistema, kurios tikimybė bet kokioje mikrobūsenoje, atitinkančioje tas žinias, tokia pat.*
Vienodų a priori tikimybių postulatas aprašo toliau apibūdintą mikrokanoninį ansamblį. Yra įvairių argumentų vienodų a priori tikimybių postulatui:

* Ergodinė hipotezė: ergodinė sistema yra besivystanti laiko atžvilgiu visose įmanomose vienodos energijos ir vienodos sudėties būsenose. Ergodinėje sistemoje mikrokanoniniai ansambliai yra vieninteliai įmanomi fiksuotos energijos pusiausvyriniai ansambliai. Šis metodas yra ribotai pritaikomas, nes dauguma sistemų nėra ergodiškos.
* Indiferentiškumo principas: jei nėra jokios papildomos informacijos, kiekvienai lyginamai situacijai galima priskirti tik vienodas tikimybes.
* Didžiausia informacijos entropija: išsamesnė indiferentiškumo principo versija, teigianti, kad teisingas ansamblis yra tas ansamblis, kuris atitinka su žinoma informacija ir kuris turi didžiausią Gibso entropiją (informacijos entropiją).

Yra pasiūlyta ir kitų statistinės mechanikos postulatų.

### Trys termodinaminiai ansambliai

*Pagrindiniai straipsniai – Mikrokanoninis ansamblis, Kanoninis ansamblis ir Didysis kanoninis ansamblis*.
Egzistuoja trys pusiausvyriniai paprastos formos ansambliai, galintys apibrėžti bet kokią galutinio tūrio apribotą izoliuotą sistemą. Tai dažniausiai aptariami statistinės termodinamikos ansambliai. Makroskopinėse ribose jie visi atitinka klasikinės termodinamikos taisykles.

Mikrokanoninis ansamblis
Apibūdina sistemą, kurios tiksli energija ir fiksuota sudėtis (tikslus dalelių skaičius) yra duoti parametrai. Mikrokanoninis ansamblis kiekvienai įmanomai, atitinkančiai energijos ir sudėties parametrus būsenai skiria vienodą tikimybę.
Kanoninis ansamblis
Apibūdina fiksuotos sudėties sistemą, kuri yra terminėje pusiausvyroje. su tikslios temperatūros terminiu rezervuaru. Kanoninis ansamblis taikomas identiškos sudėties, bet skirtingų energijų būsenoms. Skirtingoms ansamblio būsenoms priskiriamos skirtingos tikimybės, priklausomai nuo jų pilnutinės energijos.
Didysis kanoninis ansamblis
Apibūdina neapibrėžtos sudėties sistemą, kurios dalelių skaičius nėra tiksliai žinomas ir kuri yra terminėje bei cheminėje pusiausvyroje su termodinaminiu rezervuaru. Rezervuaras turi tikslią temperatūrą ir konkretų cheminį potencialą skirtingiems dalelių tipams. Didysis kanoninis ansamblis aprašo kintančios energijos ir kintančio dalelių skaičiaus būsenas. Skirtingoms būsenoms ansamblyje priskiriamos skirtingos tikimybės, priklausomai nuo pilnutinės energijos ir pilnutinio dalelių skaičiaus.
Jei sistemos talpina daug dalelių (termodinaminė riba), visi trys aukščiau aprašyti ansambliai duoda vienodą rezultatą. Tokiu atveju naudojamo ansamblio pasirinkimas priklauso nuo matematinio patogumo. Gibso teorema apie ansamblių lygiavertiškumą buvo išvystyta į matavimo koncentracijos reiškinio teoriją, kuri pritaikoma daugelyje mokslo sričių: nuo funkcinės analizės iki dirbtinio intelekto metodų bei didžiųjų duomenų technologijų.

Svarbūs atvejai, kai termodinaminiai ansambliai neduoda vienodų rezultatų:

* Mikroskopinės sistemos.
* Didelės sistemos fazių virsmo metu.
* Didelės sistemos su ilgo nuotolio sąveika.

Šiais atvejais turi būti pasirinktas tinkamas termodinaminis ansamblis, mat tarp ansamblių yra pastebimų skirtumų: ne tik jų svyravimų dydžio, bet ir vidutinių kiekių skirtumų, tokių kaip dalelių pasiskirstymo. Teisingai pasirinktas ansamblis atitinka sistemos paruošimą ir charakterizavimą – kitaip tariant, ansamblis atspindi žinias apie sistemą.

|  | Termodinaminiai ansambliai |
| --- | --- |
| Mikrokanoninis | Kanoninis | Didysis kanoninis |
| Fiksuoti kintamieji |  {\displaystyle E,N,V}  |  {\displaystyle T,N,V}  |  {\displaystyle T,\mu ,V}  |
| Mikroskopinės savybės | 
* Mikrobūsenų skaičius
* {\displaystyle W}

 | 
* Kanoninio skaidinio funkcija
* {\displaystyle Z=\sum \_{k}e^{-E\_{k}/k\_{B}T}}

 | 
* Didžiojo skaidinio funkcija
* {\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum \_{k}e^{-(E\_{k}-\mu N\_{k})/k\_{B}T}}

 |
| Makroskopinė funkcija | 
* Bolcmano entropija
* {\displaystyle S=k\_{B}\log W}

 | 
* Helmholco laisvoji energija
* {\displaystyle F=-k\_{B}T\log Z}

 | 
* Didysis potencialas
* {\displaystyle \Omega =-k\_{B}T\log {\mathcal {Z}}}

 |
|

### Skaičiavimo metodai

Sistema laikoma išspręsta, kai iš charakteristinės būsenos funkcijos galima išreikšti makroskopinius kintamuosius, o tam savo ruožtu reikia apskaičiuoti charakteristinę būsenos funkciją duotajam ansambliui. Kadangi reikia įvertinti kiekvieną įmanomą būsenos padėtį, termodinaminio ansamblio charakteristinės būsenos funkcijos apskaičiavimas nėra lengva užduotis. Nors kai kurios hipotetinės sistemos yra išspręstos, pats bendriausias ir realistiškiausias atvejis yra per sudėtingas gauti konkretų sprendinį. Egzistuoja įvairūs būdai apytiksliai įvertinti tikrąjį ansamblį ir apskaičiuoti vidutinius kiekius.

#### Tikslus skaičiavimas

Yra atvejų, kuriais galima rasti tikslius sprendimus.

* Labai mažose mikroskopinėse sistemose ansamblius galima tiesiogiai apskaičiuoti paprasčiausiai išvardijant visas galimas sistemos būsenas. Tam tikslui naudojamas diagonalizavimas (kvantinėje mechanikoje) arba visą fazinę erdvę apimantis integralas (klasikinėje mechanikoje).
* Kai kurios didelės sistemos susideda iš daug atskiriamų mikroskopinių sistemų ir kiekvieną posistemį galima analizuoti atskirai. Pavyzdžiui, tokia savybė būdinga idealiosioms dujoms, kurių molekulės tarpusavyje nesąveikauja, ir ši savybė leidžia išvesti tikslias Maksvelo-Bolcmano, Fermi-Dirako ir Bose-Einšteino statistikų išraiškas.
* Yra išspręstos kelios didelės sąveikaujančių dalelių sistemos. Naudojant subtilius matematinius metodus, buvo rasti tikslūs kelių supaprastintų modelių (iš kurių pašalinta daug detalių, kad būtų galima glaustai paaiškinti) sprendimai.

#### Monte Karlo metodas

*Pagrindinis straipsnis – Monte Karlo metodas*.
Monte Karlo metodas yra apytikslis metodas, ypač tinkamas kompiuteriams. Ši metodika tiria vos kelias iš galimų sistemos būsenų, kurios parenkamos atsitiktinai. Kol šios būsenos sudaro reprezentatyvų visos sistemos būsenų rinkinį, gaunama apytikslė charakteristikos funkcija. Kuo daugiau atsitiktinių imčių įtraukiama, tuo labiau mažinamos paklaidos.

* Metropolio-Hastingso algoritmas (Metropolis–Hastings algorithm) yra klasikinis Monte Karlo metodas, pačioje pradžioje naudotas kanoninis atrenkti kanoninius ansamblius.
* Kelio integralo Monte Karlo metodas (Path integral Monte Carlo), taip pat naudotas tiriant kanoninius ansamblius.

#### Kiti

* Praretintoms, ne idealiosioms dujoms aprašyti taikomuose metoduose, tokiuose kaip klasterio išplėtimo metodas, naudojama perturbacijų teorija, kad būtų įskaičiuotas silpnosios sąveikos poveikis, lemiantis virialinį išsiplėtimą.
* Tankių skysčių atveju naudojamas kitas apytikslis metodas, pagrįstas sumažintomis pasiskirstymo funkcijomis, ypač radialine pasiskirstymo funkcija.
* Molekulinėje dinamikoje kompiuterinės simuliacijos gali būti naudojamos apskaičiuoti mikrokanoninio ansamblio vidurkius ergodinėse sistemose. Įtraukus jungtį su stochastiniu termodinaminiu rezervuaru, taip pat galima modeliuoti kanoninių ir didžiųjų kanoninių ansamblių būsenas.
* Gali būti naudingi mišrūs metodai, įtraukiantys nepusiausvyrinės statistinės mechanikos rezultatus.

Nepusiausvyrinė statistinė mechanika
------------------------------------

Yra daugybė fizikinių reiškinių, kurie apima pusiau termodinaminius procesus ne pusiausvyros būsenoje, pavyzdžiui:

* šilumos perdavimas vidiniais judesiais medžiagoje, kurį lemia temperatūros disbalansas,
* elektros srovės, kurias lemia krūvių judėjimas laidininke, kurias lemia įtampos disbalansas
* spontaniškos cheminės reakcijos, kurias lemia laisvosios energijos sumažėjimas,
* trintis, išsisklaidymas, kvantinė dekoherencija,
* sistemos, kurias pumpuoja išorinės jėgos (optinis siurbimas ir kt.),
* ir apskritai negrįžtamieji procesai.

Visi šie procesai laikui bėgant vyksta kintant būdingiems rodikliams ir šie rodikliai yra svarbūs inžinerijai. Nepusiausvyrinės statistinės mechanikos sritis siekia suprasti šiuos nepusiausvyrinius procesus mikroskopiniame lygmenyje. (Statistinę termodinamiką gali būti panaudota tik galutiniam rezultatui apskaičiuoti, pašalinus išorinį disbalansą ir ansamblyje nusistovėjus pusiausvyrai.)

Iš esmės, nepusiausvyrinė statistinė mechanika gali būti matematiškai tiksli: izoliuotos sistemos ansambliai laikui bėgant vystosi pagal deterministines lygtis, tokias kaip  Liuvilio lygtį arba jos kvantinį atitikmenį, von Niumano (John von Neumann) lygtį. Šios lygtys yra mechaninių judėjimo lygčių taikymo kiekvienai ansamblio būsenai nepriklausomai rezultatas. Deja, šios ansamblio kitimo lygtys paveldi didžiąją dalį pagrindinio mechaninio judėjimo sudėtingumo, todėl yra labai sunku gauti tikslius sprendimus. Be to, ansamblio kitimo lygtys yra visiškai grįžtamos ir nesunaikina informacijos (ansamblio Gibso entropija išsaugoma). Norint padaryti pažangą negrįžtamų procesų modeliavimo srityje, reikia atsižvelgti, be tikimybės ir grįžtamosios mechanikos, ir į papildomus veiksnius.

Nepusiausvyrinė mechanika yra aktyvi teorinių tyrimų sritis, nes dar reikia ieškoti šių papildomų prielaidų pagrįstumo plačiame diapazone. Keli metodai aprašyti tolesniuose poskyriuose.

### Stochastinis metodas

Viena iš nepusiausvyrinės statistinės mechanikos metodikų yra stochastinio (atsitiktinio) elgesio įtraukimas į sistemą. Stochastiškas elgesys sunaikina ansamblyje esančią informaciją. Nors tai yra techniškai netikslu (išskyrus  hipotetines situacijas, susijusias su juodosiomis skylėmis, sistema savaime negali sukelti informacijos praradimo), atsitiktinumas pridedamas siekiant atspindėti, kad dominanti informacija laikui bėgant virsta subtilia koreliacija pačioje sistemoje arba koreliacija tarp sistemos ir aplinkos. Šios koreliacijos daro  chaotišką arba pseudoatsitiktinę įtaka dominantiems kintamiesiems. Pakeitus šias koreliacijas tinkamais atsitiktinumais, galima daug lengviau atlikti skaičiavimus.

* *Bolcmano transporto lygtis* :

Ankstyvoji stochastinės mechanikos forma pasirodė dar prieš sukuriant „statistinės mechanikos" terminą,  kinetinės teorijos tyrimuose. Džeimsas Klarkas Maksvelas pademonstravo, kad molekulių susidūrimai sukelia chaotišką judėjimą dujų viduje. Liudvigas Bolcmanas vėliau parodė, kad, laikant šį molekulinį chaosą visiškai atsitiktinių imčių atranka, dalelių judėjimas dujose vyks pagal paprastą Bolcmano transporto lygtį, ir šis judėjimas skirtas greitai sugrąžinti dujas į pusiausvyros būseną (žr. H teorema). 

Bolcmano transporto lygtis ir su ja susiję metodai yra svarbūs nepusiausvyrinės statistinės mechanikos įrankiai dėl savo ypatingo paprastumo. Šios aproksimacijos gerai veikia sistemose, kuriose dominanti informacija iškart (vos po vieno susidūrimo) suskaidoma į subtilias koreliacijas, kas iš esmės apriboja sistemas iki praretų dujų apibrėžimo. Buvo nustatyta, kad Boltzmanno transporto lygtis yra labai naudinga imituojant elektronų pernešimą lengvai legiruotuose puslaidininkiuose (tranzistoriuose), kur elektronai iš tikrųjų yra analogiški praretintoms dujoms.

Kvantinė technika, susijusi su aptariama tema, yra atsitiktinės fazės aproksimacija.

* *BBGKY hierarchija*:

Skysčiuose ir tankiose dujose negalima atmesti koreliacijų tarp dalelių po vieno susidūrimo. BBGKY hierarchija (Bogoliubov – Born – Green – Kirkwood – Yvon hierarchija) pateikia metodą, kaip išvesti Bolcmano tipo lygtis, bet taip pat pritaikyti jas plačiau nei vien praskiestų dujų atveju, įtraukiant koreliacijas po kelių susidūrimų.

* *Keldyšo formalizmas*  (dar žinomas kaip NEGF (non-equilibrium Green functions) - nepusiausvyrinės Green'o funkcijos):

Kvantinis požiūris į stochastinės dinamikos įtraukimą randamas Keldyšo formalizme. Šis metodas dažnai naudojamas atliekant elektroninius kvantinio transporto skaičiavimus.

* Stochastiška  Liuvilio lygtis.

### Kvazipusiausvyriniai metodai

Ši svarbi nepusiausvyrinių statistinių mechaninių modelių klasė aprašo labai nežymiai sutrikdytos pusiausvyros sistemas. Esant labai mažiems sutrikdymams, atsaką galima analizuoti naudojantis tiesinio atsako teorija. Svyravimo–išsklaidymo teoremos pagalba suformuluojama išvada, kad sistemos atsakas esant kvazipusiausvyrai yra tiksliai susijęs su  svyravimais, atsirandančiais esant sisteminei pusiausvyrai. Iš esmės, sistema, kuri yra šiek tiek nutolusi nuo pusiausvyros - nesvarbu, ar ją sukuria išorinės jėgos, ar svyravimai, - artėja link pusiausvyros tuo pačiu keliu, mat sistema negali pasakyti skirtumo ar „žinoti", kokiu būdu nutolo nuo pusiausvyros būsenos.

Tai suteikia netiesioginį būdą gauti tokius skaičius kaip  ominį laidumą ir šilumos laidumą, išreiškiant juos naudojant pusiausvyrinę statistinę mechaniką. Kadangi pusiausvyrinė statistinė mechanika yra gerai matematiškai apibrėžta ir kai kuriais atvejais lengviau pritaikoma skaičiavimams, svyravimų ir sklaidos ryšys gali būti patogus skaičiavimo sutrumpinimas kvazipusiausvyrinėje statistinėje mechanikoje.

Keletas teorinių priemonių panaudoti šio ryšio privalumus skaičiavimuose:

* Svyravimo–išsklaidymo teorema
* Onsagerio abipusiai sąryšiai
* Green-Kubo sąryšiai
* Landauer–Büttiker formalizmas
* Mori–Zwanzig formalizmas

### Hibridiniai metodai

Pažangūs metodai naudoja stochastinių metodų ir tiesinio atsako teorijos derinį. Pavyzdžiui, vienas būdas apskaičiuoti kvantinės koherencijos efektus (silpna lokalizacija, laidumo svyravimai) elektroninės sistemos laidumui yra Green-Kubo sąryšių naudojimas, įtraukiama stochastinė sąveika tarp įvairių elektronų naudojant Keldysh metodą.

Taikymas ne termodinamikoje
---------------------------

Ansamblio formalizmas taip pat gali būti naudojamas išanalizuoti bendrąsias mechanines sistemas, nežinant apie sistemos būseną. Ansambliai taip pat naudojami šiais atvejais:

* neapibrėžtumo plitimas laikui bėgant,
* gravitacinių orbitų regresinė analizė,
* ansamblinis orų prognozavimas,
* neuroninių tinklų dinamika,
* riboto racionalumo potencialių žaidimų žaidimų teorijoje (sukurta matematiko Lloyd Stowell Shapley) ir ekonomikoje.

Istorija
--------

1738 m. Šveicarijos fizikas ir matematikas Danielius Bernulis (Daniel Bernoulli) paskelbė knygą "*Hidrodinamika*" ("*Hydrodynamica*"), kuri padėjo pagrindus kinetinei dujų teorijai. Šiame darbe Bernulis pateikė iki šiol naudojamus argumentus: kad dujos susideda iš daugybės molekulių, judančių visomis kryptimis; kad jų poveikis paviršiui sukelia dujų slėgį, kurį jaučiame bei kad tai, ką patiriame kaip šilumą yra tiesiog jų judėjimo kinetinė energija.

1859 m. perskaitęs Rudolfo Klauzijaus straipsnį apie molekulių difuziją, škotų fizikas Džeimsas Klarkas Maksvelas suformulavo molekulinių greičių Maksvelo pasiskirstymą, kuris nurodė molekulių, turinčių tam tikrą greitį tam tikrame diapazone, dalį. Tai buvo pirmasis statistikos dėsnis fizikoje. Maksvelas taip pat pateikė pirmąjį mechaninį argumentą, kad molekuliniai susidūrimai sąlygoja temperatūrų išlyginimą, taigi ir polinkį į pusiausvyrą. 1864 m. praėjus penkeriems metams po publikacijos, Liudvikas Bolcmanas, dar būdamas jaunas studentas Vienoje, perskaitė Maksvelo straipsnį ir didelę savo gyvenimo dalį paskyrė šios srities plėtojimui.

Statistinės mechanikos pradžia laikytini 1870 metai, Bolcmanui pradėjus darbą, kurio didžioji dalis buvo paskelbta 1896 m. jo „*Dujų teorijos paskaitose*". Boltzmanno originalūs straipsniai apie statistinį termodinamikos aiškinimą, H teoremą,  transporto teoriją, šiluminę pusiausvyrą, dujų būsenos lygtį ir panašias temas Vienos Akademijos ir kitų draugijų darbuose užima apie 2000 puslapių. Bolcmanas pristatė pusiausvyrinio statistinio ansamblio sampratą ir taip pat pirmas kartą tyrė nepusiausvyrinę statistinę mechaniką, naudodamas savo  H teoremą.

Terminą *statistinė mechanika* sugalvojo amerikiečių matematikas ir fizikas Džosaja Vilardas Gibsas 1884 m.  Mūsų laikais *tikimybinė mechanika* galėtų pasirodyti tinkamesnis terminas, tačiau *statistinė mechanika* yra tvirtai įsišaknyjęs pavadinimas. Netoli savo mirties, 1902m. Gibsas išleido knygą „*Pagrindiniai statistinės mechanikos principai*" - knygą, kurioje statistinė mechanika buvo įforminta kaip visiškai bendras požiūris į visų mechaninių sistemų - makroskopinių ar mikroskopinių, dujinių ar ne dujinių - nagrinėjimą. Iš pradžių Gibbso metodai buvo naudojami klasikinės mechanikos ribose, tačiau jie buvo tokio bendro pobūdžio, kad vėliau buvo lengvai pritaikyti kvantinėje mechanikoje, ir iki šiol yra statistinės mechanikos pagrindas.

Pastabos
--------

1. ↑  Terminu *statistinė mechanika* kartais vadinama tiktai *statistinė termodinamika*. Šiame straipsnyje kalbama ne vien apie *statistinę termodinamiką*, bet terminas traktuojamas platesne prasme. Pagal kai kuriuos apibrėžimus, *statistinė fizika* laikoma dar platesne sistema, aprašančia bet kokią fizikinę sistemą, tačiau dažnai *statistinė mechanika* laikoma pastarojo termino sinonimu.
2. ↑  Kvantinės statistinės mechanikos tikimybių nereikėtų painioti su kvantine superpozicija. Nors kvantiniame ansamblyje gali būti būsenų su kvantinėmis superpozicijomis, vienos kvantinės būsenos negalima naudoti vaizduojant ansamblį.
3. ↑  Statistinė pusiausvyra neturėtų būti painiojama su *mechanine pusiausvyra*. Pastaroji įvyksta, kai mechaninė sistema visiškai nustoja vystytis net mikroskopiniu mastu dėl to, kad yra būsenoje, kurioje puikiai subalansuotos jėgos. Statistinė pusiausvyra paprastai apima būsenas, kurios yra labai toli nuo mechaninės pusiausvyros.
4. ↑   Čia naudojama šiluminė pusiausvyra ("X yra šiluminėje pusiausvyroje su Y") reiškia, kad pirmosios sistemos ansamblis netrikdomas, kai pirmajai sistemai leidžiama silpnai sąveikauti su antrąja sistema.
5. ↑   stochãstinis (gr. stochasis — nuspėjimas), matematikoje atsitiktinis, tikimybinis, pvz. stochastinis procesas yra tas, kurio kitimas priklauso nuo atsitiktinumo.
6. ↑  Pasak Gibbso, terminą *statistinis* mechanikos kontekste pirmas pavartojo Škotijos fizikas Džeimsas Klarkas Maksvelas 1871 m. Iš: J. Klarko Maksvelo „*Šilumos teorija*" (Londonas, Anglija: Longmans, Green ir Co. 1871), p. & nbsp; 309: "Susidūrę su materijos kiekiais, kadangi nesuvokiame atskirų molekulių, mes esame priversti priimti tai, ką aš apibūdinau kaip statistinį skaičiavimo metodą, ir atsisakyti griežto dinaminio metodo, kuriame mes sekame kiekvieną judesį skaičiavimu."

Šaltiniai
---------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Gibbs, Josiah Willard (1902). *Elementary Principles in Statistical Mechanics [Pagrindiniai statistinės mechanikos principai]*. New York: Charles Scribner's Sons.
2. 1 2 3 4 5  Tolman, Richard C. (1938). *The Principles of Statistical Mechanics [Statistinės mechanikos principai]*. Dover Publications. ISBN 9780486638966.
3. 1 2 3 4  Balescu, Radu (1975). *Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics [Pusiausvyrinė ir nepusiausvyrinė statistinė mechanika]*. John Wiley & Sons. ISBN 9780471046004.
4. ↑  Jaynes, E. (1957). „Information Theory and Statistical Mechanics [Informacijos teorija ir statistinė mechanika]". *Physical Review [Fizikos apžvalga]*. **106** (4): 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. doi:10.1103/PhysRev.106.620.
5. 1 2  J. Uffink, "Compendium of the foundations of classical statistical physics. [Klasikinės statistinės fizikos pagrindų sąvadas]" (2006)
6. ↑  Reif, F. (1965). *Fundamentals of Statistical and Thermal Physics [Statistinės ir šiluminės fizikos pagrindai]*. McGraw–Hill. p. 227. ISBN 9780070518001.
7. ↑  Touchette, Hugo (2015). „Equivalence and Nonequivalence of Ensembles: Thermodynamic, Macrostate, and Measure Levels [Ansamblių lygiavertiškumas ir nelygiavertiškumas: termodinaminis, makrobūsenos ir matavimo lygis]". *Journal of Statistical Physics [Statistinės fizikos žurnalas]*. **159** (5): 987–1016. arXiv:1403.6608. Bibcode:2015JSP...159..987T. doi:10.1007/s10955-015-1212-2. S2CID 118534661.
8. ↑  Ledoux, Michel (2005). *The Concentration of Measure Phenomenon [Matavimo koncentracijos reiškinys]*. Mathematical Surveys and Monographs. **89**. doi:10.1090/surv/089. ISBN 9780821837924..
9. ↑  Gorban, A. N.; Tyukin, I. Y. (2018). „Blessing of dimensionality: Mathematical foundations of the statistical physics of data [Matmenų palaiminimas: statistinės duomenų fizikos matematiniai pagrindai]". *Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences [Karališkosios draugijos filosofiniai sandoriai A: matematiniai, fiziniai ir inžineriniai mokslai]*. **376** (2118): 20170237. arXiv:1801.03421. Bibcode:2018RSPTA.37670237G. doi:10.1098/rsta.2017.0237. PMC 5869543. PMID 29555807.
10. ↑  Baxter, Rodney J. (1982). *Exactly solved models in statistical mechanics [Tiksliai išspręsti statistinės mechanikos modeliai]* (PDF). London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-083180-7. MR 0690578. Zbl 0538.60093. Suarchyvuotas originalas (PDF) 2021-04-14. Nuoroda tikrinta 2020-12-10. `{{cite book}}`: Cite has empty unknown parameter: `|1=` (pagalba); Nežinomas parametras `|dead-url=` ignoruotas (`|url-status=` suggested) (pagalba)
11. ↑  Altshuler, B. L.; Aronov, A. G.; Khmelnitsky, D. E. (1982). „Effects of electron-electron collisions with small energy transfers on quantum localisation [Elektrono-elektrono susidūrimų esant mažiems energijos perdavimams poveikis kvantinei lokalizacijai]". *Journal of Physics C: Solid State Physics [Fizikos žurnalas C: kietojo kūno fizika]*. **15** (36): 7367. Bibcode:1982JPhC...15.7367A. doi:10.1088/0022-3719/15/36/018.
12. ↑  Aleiner, I.; Blanter, Y. (2002). „Inelastic scattering time for conductance fluctuations [Laidumo svyravimų netampriosios sklaidos laikas]". *Physical Review B [Fizinė apžvalga B]*. **65** (11): 115317. arXiv:cond-mat/0105436. Bibcode:2002PhRvB..65k5317A. doi:10.1103/PhysRevB.65.115317. S2CID 67801325.
13. ↑  

	* Maxwell, J.C. (1860) "*Illustrations of the dynamical theory of gases. Part I. On the motions and collisions of perfectly elastic spheres*" [„*Dinaminės dujų teorijos iliustracijos. I dalis. Tobulai tamprių sferų judėjimai ir susidūrimai*"], *Philosophical Magazine*, 4th series, **19** : 19–32.
	* Maxwell, J.C. (1860) „*Illustrations of the dynamical theory of gases. Part II. On the process of diffusion of two or more kinds of moving particles among one another*" [„*Dinaminės dujų teorijos iliustracijos. II dalis. Dviejų ar daugiau rūšių judančių dalelių difuzijos procesas*"], *Philosophical Magazine*, 4th series, **20** : 21–37.
14. ↑  Mahon, Basil (2003). *The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell [Žmogus, kuris viską pakeitė - Džeimso Klarko Maksvelo gyvenimas]*. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-86171-4. OCLC 52358254.
15. ↑  Gyenis, Balazs (2017). „Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium [Maksvelas ir normalusis pasiskirstymas: spalvota tikimybės, nepriklausomybės ir polinkio į pusiausvyrą istorija]". *Studies in History and Philosophy of Modern Physics [Šiuolaikinės fizikos istorijos ir filosofijos studijos]*. **57**: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID 38272381.
16. ↑  Ebeling, Werner; Sokolov, Igor M. (2005). Ebeling Werner; Sokolov Igor M. (eds.). *Statistical Thermodynamics and Stochastic Theory of Nonequilibrium Systems*. Series on Advances in Statistical Mechanics. **8**. World Scientific Press. pp. 3–12. Bibcode:2005stst.book.....E. doi:10.1142/2012. ISBN 978-90-277-1674-3. (section 1.2)
17. ↑  Gibbs, J. W.(1884), "*On the Fundamental Formula of Statistical Mechanics, with Applications to Astronomy and Thermodynamics*" ["*Apie pagrindines statistinės mechanikos formules ir taikymą astronomijoje bei termodinamikoje*"], Proceedings of the American Association for the Advancement of Science, **33**, 57-58. Reproduced: *The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol II* (1906), pp. 16.
18. ↑  Mayants, Lazar (1984). *„*The enigma of probability and physics*" [„*Tikimybės ir fizikos mįslė *"]*. Springer. p. 174. ISBN 978-90-277-1674-3.

Nuorodos
--------

* Statistinės mechanikos filosofija angliškas Lawrence Sklar straipsnis Stanfordo Filosofijos Enciklopedijai.
* Sklogwiki - Termodinamikos, statistinės mechanikos ir medžiagų kompiuterinis modeliavimas. SklogWiki yra ypač orientuotas į skysčius ir minkštas tankias medžiagas.
* Statistinės termodinamikos istorinė laiko juosta anglų kalba.
* Termodinamika ir statistinė mechanika anglų kalba, autorius Richard Fitzpatrick.
* Statistinės smechanikos ir mezoskopijos paskaitų užrašai anglų kalba, autorė Doron Cohen.
* Video YouTube svetainėje  video paskaitų anglų kalba apie statistinę mechaniką serija, dėsto Leonard Susskind.
* Vu-Quoc, L. Konfigūracijos integralas (statistinė mechanika).

  


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Ž • A • RFizikos šakos |
| --- |
|  |
| Skyriai | 
Taikomoji fizika · Eksperimentinė fizika · Teorinė fizika |
|  |
| Energija ir judėjimas | 
Klasikinė mechanika · Lagranžo mechanika · Hamiltono mechanika · Kontinuumo mechanika · Dangaus mechanika · Statistinė mechanika · Termodinamika · Skysčių mechanika · Kvantinė mechanika |
|  |
| Bangos ir laukas | 
Gravitacija · Elektrodinamika · Kvantinė lauko teorija · Reliatyvumo teorija · Specialioji reliatyvumo teorija · Bendroji reliatyvumo teorija |
|  |
| Fizikiniai mokslaiir matematika | 
Greitėjimo fizika · Akustika · Astrofizika · Heliofizika · Branduolinė astrofizika · Saulės fizika · Kosmoso fizika · Žvaigždžių fizika · Atominė, molekulinė ir optikos fizika · Cheminė fizika · Skaičiuojamoji fizika · Kondensuotų medžiagų fizika · Kietosios būsenos fizika · Skaitmeninė fizika · Inžinerinė fizika · Medžiagų fizika · Matematinė fizika · Branduolinė fizika · Optika · Geometrinė optika · Netiesinė optika · Fizikinė optika · Kvantinė optika · Dalelių fizika · Astrodalelių fizika · Fenomenologija · Plazma · Polimerų fizika · Statistinė fizika |
|  |
| Fizika ir biologija / geologija / ekonomika | 
Biofizika · Biomechanika · Medicininė fizika · Neurofizika · Agrofizika · Dirvos fizika · Atmosferos fizika · Ekonofizika · Geofizika · Psichofizika |

 |