|  |  |
| --- | --- |
|    | **Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.**Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais. |

{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} - hiperbolė. x ir y ašys yra asimptotės.
**Asimptotė** – tiesė vadinama kreivės y=f(x) *asimptote*, jei kreivės taško *M* atstumas iki tiesės, judant taškui *M* kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1. Jei {\displaystyle \lim \_{x\to a+0(a-0)}f(x)} lygi {\displaystyle +\infty } ar {\displaystyle -\infty }, tai x=a - *vertikalioji asimptotė*.
2. Jei {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty (-\infty )}f(x)=A,} tai tiesė y=A - *horizontalioji asimptotė*.
3. Jei {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty (-\infty )}{\frac {f(x)}{x}}=k(\not =0)}, {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty (-\infty )}[f(x)-kx]=b,} tai tiesė y=kx+b - *pasviroji asimptotė*.

Pavyzdžiai
----------

Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz. {\displaystyle y=x^{|x|/x}+1/x.}
Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.
* Rasime kreivės {\displaystyle y={\frac {x^{2}+1}{x}}} asimptotes.

Funkcija {\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{x}}} neapibrėžta tik kai x=0, {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty ,} taigi jos grafikas turi *vertikaliąją asimptotę* x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}=1(=k\not =0)}
tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim \_{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,}
tai tiesė y=x yra *pasviroji asimptotė* abiem kreivės šakoms ir kai {\displaystyle x\rightarrow +\infty ,} ir kai {\displaystyle x\rightarrow -\infty .}

* Rasime kreivės {\displaystyle y={\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}} asimptotes.

Kreivė turi dvi *vertikaliasias asimptotes* {\displaystyle x=\pm 1}, kadangi

{\displaystyle \lim \_{x\to \pm 1}{\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}=\infty .}
Kadangi

{\displaystyle \lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}}{x(1-x^{2})}}=-1(=k),}
{\displaystyle \lim \_{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim \_{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),}
tai tiesė y=-x yra *pasviroji asimptotė*.

  

* Raskime funkcijos {\displaystyle y={\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}} asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes {\displaystyle \lim \_{x\to -7\pm 0}y=\pm \infty .}

Apskaičiuosime koeficientus:

{\displaystyle k=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {-x^{2}-3x+2}{(x+7)\cdot x}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}(-x^{2}/x^{2}-3x/x^{2}+2/x^{2})}{x^{2}(x^{2}/x^{2}+7x/x^{2})}}={\frac {-1-0+0}{1+0}}=-1,}

{\displaystyle b=\lim \_{x\to \pm \infty }\left({\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}-(-1)\cdot x\right)=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {4x+2}{x+7}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {4+2/x}{1+7/x}}=4.}
Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: {\displaystyle y=-x+4.}

  

* Raskime kreivės {\displaystyle y={\frac {5x}{x-3}}} asimptotes.

Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to 3}{\frac {5x}{x-3}}=\infty ,} tai tiesė x=3 yra *vertikalioji asimptotė*. Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {5x}{x-3}}=5,} tai tiesė y=5 yra *horizontalioji asimptotė*. Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {5}{x-3}}=0,} tai pasvirųjų asimptočių nėra.

  

* Rasime kreivės {\displaystyle y={\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}} asimptotes.

Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to 3}{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,} tai x=3 yra *vertikalioji asimptotė*. Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,} tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus *k* ir *b*:

{\displaystyle k=\lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x(x-3)}}=1,}
{\displaystyle b=\lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}-x=\lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3-x^{2}+3x}{x-3}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {-3x+3}{x-3}}=-3.}
*Pasviroji asimptotė* yra {\displaystyle y=x-3.}

  

* Raskime funkcijos {\displaystyle y={\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}} asimptotes.

Tiesės {\displaystyle x=\pm 2} yra *vertikaliosios asimptotės*, nes

{\displaystyle \lim \_{x\to \pm 2}{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty .}
Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty ,} tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
Kadangi

{\displaystyle k=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {y}{x}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {2x^{2}}{x^{2}-4}}=2,\qquad b=\lim \_{x\to \pm \infty }(y-2x)=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {8x}{x^{2}-4}}=0,}
tai tiesė {\displaystyle y=2x} yra *pasviroji asimptotė*.

  

* Rasime kreivės {\displaystyle y={\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}} asimptotes.

Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to -1\pm 0}y=-\infty ,} tai tiesė {\displaystyle x=-1} yra *vertikalioji asimptotė. Kadangi {\displaystyle \lim \_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty ,} tai horizontaliųjų asimptočių nėra.*

{\displaystyle k=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}}{2(x+1)^{2}}}={\frac {1}{2}},}
{\displaystyle b=\lim \_{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim \_{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\lim \_{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{2}-x}{(x+1)^{2}}}=-1.}
Vadinasi, kreivė turi *pasvirąją asimptotę* {\displaystyle y={\frac {1}{2}}x-1.}

  

* Raskime kreivės {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}} asimptotes.

{\displaystyle \lim \_{x\to \pm 1\pm 0}f(x)=\infty ,} todėl tiesės {\displaystyle x=-1} ir {\displaystyle x=1} yra *vertikaliosios asimptotės*.
Kadangi

{\displaystyle k=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=1,}
{\displaystyle b=\lim \_{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim \_{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}
{\displaystyle =\lim \_{x\to +\infty }{\frac {x(x^{2}-(x^{2}-1))}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}(1+{\sqrt {1-1/x^{2}}})}}=0,}
tai tiesė {\displaystyle y=x} yra *pasviroji asimptotė*. Be to

{\displaystyle k=\lim \_{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim \_{x\to -\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-1;}
{\displaystyle b=\lim \_{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim \_{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim \_{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}
{\displaystyle =\lim \_{x\to -\infty }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim \_{x\to -\infty }{\frac {-|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(-|x|-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=}
{\displaystyle =\lim \_{x\to -\infty }{\frac {|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim \_{x\to -\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}/x^{2}-1/x^{2}}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=0,}
todėl ir tiesė {\displaystyle y=-x} yra *pasviroji asimptotė*.