|  |  |
| --- | --- |
|    | **Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.**Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais. |

Dviejų vektorių vektorinė sandauga dešiniosios rankos koordinačių sistemoje
**Vektorinė sandauga** (angl. *cross product*) – dvinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas
-----------

Dviejų vektorių **a** ir **b** vektorinė sandauga yra vektorius **c**, tenkinantis sąlygas:

1. {\displaystyle \mathbf {c} \perp \mathbf {a} } ir {\displaystyle \mathbf {c} \perp \mathbf {b} }, t.y vektorius **c** yra statmenas vektorių **a** ir **b** plokštumai;
2. Vektoriaus **c** ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais **a** ir **b**, plotui, t.y {\displaystyle |\mathbf {c} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )};
3. Vektorius **c** nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius **a**, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus **b** kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} } arba **c** = [**a**, **b**].

Dešiniosis rankos taisyklės taikymas vektoriaus **c** krypčiai nustatyti
Dažnai sakoma, kad vektoriai **a**, **b** ir **c**, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus **a** kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus **b** kryptimi, nykštys rodys vektoriaus **c** kryptį (žr. paveiksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas
-----------------------------------

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai **i**, **j** ir **k** tenkina šias lygybes:

{\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} ;}
{\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} ;}
{\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .}
Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu {\displaystyle \mathbf {a} (a\_{x},a\_{y},a\_{z})} ir {\displaystyle \mathbf {b} (b\_{x},b\_{y},b\_{z})}, tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\\b\_{x}&b\_{y}&b\_{z}\end{vmatrix}}=(a\_{y}b\_{z}-a\_{z}b\_{y};-(a\_{x}b\_{z}-a\_{z}b\_{x});a\_{x}b\_{y}-a\_{y}b\_{x})}

Savybės
-------

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

1. Antikomutatyvumas, t.y {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} };
2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y {\displaystyle \lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}
3. Distributyvumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }
4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai **a** ir **b** yra *kolinearūs*, t.y {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } kai **a** || **b**
5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}

Taikymai
--------

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais **a** ir **b**, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

{\displaystyle S\_{lyg}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}
{\displaystyle S\_{tr}={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}
Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės *ha*, nuleistos į pagrindą **a**, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

{\displaystyle h\_{a}={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} |}}}
Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternijonų daugyba.

  


|  |  |
| --- | --- |
| **Veiksmai su vektoriais** |  |
| Sudėtis ir atimtis  |
Vektorinė sandauga |
Skaliarinė sandauga |
Mišrioji sandauga | |