Tam tikrai loginei funkcijai *f* **dualioji funkcija** yra tokia funkcija *f\**, kad kiekvienam parametrų rinkiniui galioja lygybė {\displaystyle f^{\*}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=\neg f(\neg x\_{1},\neg x\_{2},...\neg x\_{n})}.

Pavyzdžiui, Būlio algebros funkcijai *IR* dualioji funkcija yra *ARBA*, nes {\displaystyle x\land y=\neg (\neg x\lor \neg y)}

Dualumo dėsnis
--------------

*Formuluotė:* Jei {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=g(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})}, tai {\displaystyle f^{\*}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=g^{\*}(x\_{1},...x\_{n})}

*Įrodymas:* {\displaystyle f^{\*}(x\_{1},...x\_{n})=\neg f(\neg x\_{1},...\neg x\_{n})=\neg g(\neg x\_{1},...\neg x\_{n})=g^{\*}(x\_{1},...x\_{n})}. Remėmės prielaida, kad {\displaystyle f(x\_{1},...x\_{n})=g(x\_{1},...x\_{n})\Rightarrow f(\neg x\_{1},...\neg x\_{n})=g(\neg x\_{1},...\neg x\_{n})}, o tai teisinga, nes su bet kokias argumentais f ir g reikšmės sutampa.

Išvada: {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=g(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})} tada ir tik tada, kai {\displaystyle f^{\*}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=g^{\*}(x\_{1},...x\_{n})}

Savybės
-------

(f\*)\* =flengva įsitikinti…
Dualumo dėsnisĮrodymas ankstesnioje pastraipoje
Jei {\displaystyle f(x\_{1},...x\_{n})=g(f\_{1}(x\_{11},...x\_{1n}),...f\_{n}(x\_{n1},...x\_{nn})}, tai {\displaystyle f\*(x\_{1},...x\_{n})=g\*(f\_{1}\*(x\_{11},...x\_{1n}),...f\_{n}\*(x\_{n1},...x\_{nn}))}{\displaystyle f\*(x\_{1},...x\_{n})=\neg g(f\_{1}(\neg x\_{11},...\neg x\_{1n}),...f\_{n}(\neg x\_{n1},...\neg x\_{nn})} {\displaystyle =\neg g(\neg \neg f\_{1}(\neg x\_{11},...\neg x\_{1n}),...\neg \neg f\_{n}(\neg x\_{n1},...\neg x\_{nn})} {\displaystyle =\neg g(\neg f\_{1}\*(x\_{11},...x\_{1n}),...\neg f\_{n}\*(x\_{n1},...x\_{nn})} {\displaystyle =g\*(f\_{1}\*(x\_{11},...x\_{1n}),...f\_{n}\*(x\_{n1},...x\_{nn})}

Autodualių funkcijų klasė
-------------------------

*Apibrėžimas:* {\displaystyle f\_{1}(x\_{1},...x\_{n})\in S\Leftrightarrow f^{\*}=f}

*Teorema:* Jei {\displaystyle f(x\_{1},...x\_{n})\notin S}, tai pakeitę joje kai kuriuos kintamuosius į x ir {\displaystyle \neg x} galime gauti funkciją - konstantą
,
*Pavyzdys:* {\displaystyle f(\neg x,x,x,\neg x)=s(x)=c}

*Įrodymas:* Jei {\displaystyle f(x\_{1},...x\_{n})\notin S}, tai atsiras toks {\displaystyle a\_{1},...a\_{n}(a\_{i}=0\lor a\_{i}=1,1\leq i\leq n}reikšmių rinkinys, kad {\displaystyle f(a\_{1},...a\_{n})=f(\neg a\_{1},...\neg a\_{n})}. Pažymėkime visus a kaip {\displaystyle x^{a\_{i}}}, kas ai=1 reikštų x, o ai =0 – {\displaystyle \neg x} ir apibrėžkime {\displaystyle \phi (x)=f(x^{a\_{1}},\ldots ,^{a\_{n}})}. Tada {\displaystyle \phi (x)=f(x^{a\_{1}},\ldots ,^{a\_{n}})=f(\neg x^{a\_{1}},\ldots ,\neg x^{a\_{1}})=\phi (\neg x)}. Matome, jog {\displaystyle \phi } funkcija nepriklauso nuo x, todėl ji yra konstanta

Aibė S yra uždaraTarkime, kad {\displaystyle f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\in S,f\_{1}(x\_{1}^{1},\ldots ,x\_{n}^{1})\in S,\ldots ,f\_{m}(x\_{1}^{m},\ldots ,x\_{n}^{m})\in S}, {\displaystyle g=f(f\_{1},\ldots ,f\_{m})}. Tada pagal 3 dualių funkcijų savybę ir autodualių funkcijų apibrėžimą: {\displaystyle g^{\*}=f^{\*}(f\_{1}^{\*}(\ldots ),\ldots ,f\_{m}^{\*}(\ldots ))}. Autoduali funkcija g egzistuos tada ir tik tada kai, f ir fi funkcijos bus autodualios, todėl ši aibė yra uždara

Šaltiniai
---------

1. ↑  „Duality Principle (Boolean Algebras) - ProofWiki". *proofwiki.org*. Nuoroda tikrinta 2024-02-03.

Literatūra
----------

* Richard Lassaigne, Michel de Rougemont „Logika ir Informatikos pagrindai". vert. Stanislovas Norgėla. 1996 Leidykla „Žodynas"