|  |  |
| --- | --- |
|    | **Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.**Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais. |

**Mišrioji vektorių sandauga** yra trinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas
-----------

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (**a** × **b**)·**c**. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

Mišriosios sandaugos skaičiavimas
---------------------------------

Tegu vektorių **a**, **b** ir **c** koordinatės yra (*ax*, *ay*, *az*), (*bx*, *by*, *bz*) ir (*cx*, *cy*, *cz*). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y

{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\\b\_{x}&b\_{y}&b\_{z}\\c\_{x}&c\_{y}&c\_{z}\\\end{vmatrix}}}
Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais **a**, **b** ir **c**, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai **a** = (1; 0; 0), **b** = (1; 1; 0) ir **c** = (1; 1; 1), tūrį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:

{\displaystyle V=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{vmatrix}}=1}
Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

Savybės
-------

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:

1. {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} =(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =-(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {a} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {c} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {b} };
2. Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =0}
3. Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} >0}
4. Jeigu vektoriai **a**, **b** ir **c** sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} <0}

Taikymai
--------

Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais **a**, **b** ir **c**, tūrio *V*3p skaičiavimo formulė yra:

{\displaystyle V\_{3p}={\frac {1}{6}}|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |}
Tarkime, turime keturkampę piramidę *EABDC*, kurios pagrindą *ABCD* sudaro vektoriai *AB* = **a** ir *AD* = **b**, o šoninė kraštinė *AE* = **c**. Šios piramidės tūrio *V*4p skaičiavimo formulė yra:

{\displaystyle V\_{4p}={\frac {1}{3}}|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |}
Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė *h*, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai *a* ir *b*, gali būti apskaičiuota pagal formulę:

{\displaystyle h={\frac {|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |}{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}}
Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.

  


|  |  |
| --- | --- |
| **Veiksmai su vektoriais** |  |
| Sudėtis ir atimtis  |
Vektorinė sandauga |
Skaliarinė sandauga |
Mišrioji sandauga | |