**Integruojantis daugiklis** – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.

Pirmos eilės diferencialinės lygtys
-----------------------------------

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}
Integruojantis daugiklis {\displaystyle M(x)}, turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus

{\displaystyle M(x)=e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}}
Ši išraiška gaunama taip:

{\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}\\(2)\qquad &M(x)y'+M(x)P(x)y\\(3)\qquad &{\underset {\text{total derivative}}{\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} }}\end{aligned}}}

Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad {\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}. Taigi,

{\displaystyle {\begin{aligned}(4)\qquad &M(x)P(x)=M'(x)\\(5)\qquad &P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}\\(6)\qquad &\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds=\ln M(x)\\(7)\qquad &e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}=M(x)\end{aligned}}}

Padauginus iš {\displaystyle M(x)} gaunama:

{\displaystyle y'e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}}
Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal {\displaystyle x}taikymo taisykle gaunama:

{\displaystyle y'e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds})}
Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}\right)=Q(x)e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}}
Toliau abi pusės suintegruojamos pagal {\displaystyle x}, {\displaystyle x} pervadinamas į {\displaystyle t}. Gaunama:

{\displaystyle ye^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}=\int \_{t\_{0}}^{x}Q(t)e^{\int \_{s\_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}
Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:

{\displaystyle y=e^{-\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}\int \_{t\_{0}}^{x}Q(t)e^{\int \_{s\_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}}
Jei {\displaystyle Q(x)=0} (homogeninė diferencialinė lygtis), randama

{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int \_{s\_{0}}^{x}P(s)ds}}}}
Čia {\displaystyle C} yra konstanta.

### Pavyzdys

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}
Matoma, kad {\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}

{\displaystyle M(x)=e^{\int \_{1}^{x}P(s)\,ds}}
{\displaystyle M(x)=e^{\int \_{1}^{x}{\frac {-2}{s}}\,ds}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}
{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}
Padauginus abi lygties puses iš {\displaystyle M(x)} gaunama

{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}
{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}
{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}
{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}
Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:

{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}
arba

{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}
o iš čia gaunama

{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}

Netiesinė antros eilės diferencialinė lygtis
--------------------------------------------

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}
Panaudojus {\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}} kaip integruojantį daugiklį, gaunama:

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}
Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}
Taigi,

{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C\_{0}.}
Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama

{\displaystyle \int \_{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C\_{0}}}}=t}

Nuorodos
--------

* Munkhammar, Joakim, "Integrating Factor", *MathWorld* .