Pagrindinę aritmetikos teoremą 1801 metais įrodė Gausas. Gausas panaudojo šią teoremą Ležandro simbolių aritmetikoje.
**Pagrindinė aritmetikos teorema**, teigia, kad bet kuris sveikasis skaičius gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga (faktorizuotas) vieninteliu būdu. Pavyzdžiui,

{\displaystyle 1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2}
Teorema teigtų, kad 1200 *gali* būti išskleistas pirminių skaičių sandauga. Ir visada tame skleidinyje bus tik keturi 2, vienas 3, du 5, kitų variantų nėra.

Jei daugikliai nebūtų pirminiai skaičiai, faktorizavimas gali nebūti vienintelis (pvz. 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Ši teorema yra vienintelė priežastis, kodėl 1 nėra laikomas pirminiu skaičiumi. Jei jis toks būtų, faktorizavimas nebūtų vienintelis, pavyzdžiui 2 = 2×1 = 2×1×1 = ...

Praktiniai taikymai
-------------------

### Kanoninis skaidinys

Kiekvieną natūralųjį skaičių *n* vieninteliu būdu išskaidome pirminių skaičių sandauga:

{\displaystyle n=p\_{1}^{n\_{1}}p\_{2}^{n\_{2}}\cdots p\_{k}^{n\_{k}}=\prod \_{i=1}^{k}p\_{i}^{n\_{i}}}
kur 
*p*1 < *p*2 < ... < *p*k yra pirminiai skaičiai, o *n* yra natūralieji skaičiai. Šis skaidinys tinka visiems teigiamiems skaičiams, tarp jų ir 1. Pagal susitarimą, jei daugiklių nėra (situacija *k* = 0), {\displaystyle p\_{0}=1}.

Tokio tipo skaidinys vadinamas **kanoniniu n skaidiniu** arba kartais **standartine n forma**. Pavyzdžiui,

999 = 33×37,
1000 = 23×53,
1001 = 7×11×13.
Jei postuluosime, kad galimi ir neigiami laipsniai, tokiu būdu galėsime apibrėžti ir racionaliųjų skaičių kanoninius skaidinius.

### Aritmetinės operacijos

Kanoninis sandaugos skaidinys, dviejų skaičių *a* ir *b* didžiausias bendrasis daliklis (DBD) ir mažiausias bendras kartotinis (MBK) gali būti išreikštas *a* ir *b* kanoniniais skaidiniais:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a\cdot b&{}={}2^{a\_{1}+b\_{1}}3^{a\_{2}+b\_{2}}5^{a\_{3}+b\_{3}}7^{a\_{4}+b\_{4}}\cdots &&{}={}\prod p\_{i}^{a\_{i}+b\_{i}},\\\operatorname {DBD} (a,b)&{}={}2^{\min(a\_{1},b\_{1})}3^{\min(a\_{2},b\_{2})}5^{\min(a\_{3},b\_{3})}7^{\min(a\_{4},b\_{4})}\cdots &&{}={}\prod p\_{i}^{\min(a\_{i},b\_{i})},\\\operatorname {MBK} (a,b)&{}={}2^{\max(a\_{1},b\_{1})}3^{\max(a\_{2},b\_{2})}5^{\max(a\_{3},b\_{3})}7^{\max(a\_{4},b\_{4})}\cdots &&{}={}\prod p\_{i}^{\max(a\_{i},b\_{i})}.\end{alignedat}}}
Žinoma, dideliems skaičiams šios formulės praktinės naudos turi mažai.

Įrodymas
--------

### Skaidinio egzistavimas

Mes norime parodyti, kad bet kokį natūralųjį skaičių, didesnį už 1 galime išskaidyti pirminių skaičių sandauga.
Panaudojame matematinę indukciją. Tarkime, kad prielaida teisinga visiems skaičiams tarp 1 ir *n*. Jei *n* yra pirminis tai daugiau nieko įrodinėti nebereikia. Jei ne, tai visada yra *a* ir *b*, tokie, kad *n* = *ab* ir 
1 < *a* ≤ *b* < *n*.
Tuomet,

*a* = *p*1*p*2...*p**j*
ir

*b* = *q*1*q*2...*q**k* yra pirminių skaičių sandaugos. Iš to seka, kad

*n* = *ab* = *p*1*p*2...*p**j**q*1*q*2...*q**k* irgi yra pirminių skaičių sandauga.

### Skaidinio vienatis

Tarkime, kad *s* > 1 galima išreikšti pirminių skaičių sandauga dviem būdais:

{\displaystyle {\begin{aligned}s&=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{m}\\&=q\_{1}q\_{2}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
Mes norime parodyti, kad *m* = *n*, o kiekvienam *q**j* atitinka vienas *p**i*.

Kadangi *p*1 yra skaičiaus *s* daliklis, iš Euklido lemos išplaukia, kad vienas iš *q**j* taip pat dalinasi iš *p*1; Jei reikia, pakeičiame *q**j* indeksus taip, kad *p*1 dalijasi iš *q*1. Tačiau *q*1 yra pirminis skaičius, todėl jo vieninteliai dalikliai yra jis pats ir 1. Tuo būdu, *p*1 = *q*1,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p\_{1}}}&=p\_{2}\cdots p\_{m}\\&=q\_{2}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
Panašiai samprotaudami padarysime išvadą, jog, *p*2 turi būti lygus vienam iš likusių *q**j*. Jei būtina, pakeičiame indeksus taip, kad *p*2 = *q*2. Tuomet

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p\_{1}p\_{2}}}&=p\_{3}\cdots p\_{m}\\&=q\_{3}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
Taip galime padaryti kiekvienam skaičiaus *m* daugikliui *p**i*, parodydami, kad *m* ≤ *n*, o kiekvienam *p**i* atitinka *q**j*. Pritaikydami tokius pat argumentus {\displaystyle p} ir {\displaystyle q} kita tvarka, gautume *n* ≤ *m* (taigi iš to seka *m* = *n*), o kiekvienam *q**j* atitinka *p**i*.

Apibendrinimai
--------------

Pirmasis apibendrinimus pateikė Gausas savo antrojoje 1832 metų monografijoje. Joje jis nagrinėjo kompleksinius skaičius *a* + *bi*, kai *a* ir *b* yra sveikieji skaičiai. Šiuolaikinėje matematikoje tos struktūros vadinamos žiedais ir žymimos {\displaystyle \mathbb {Z} [i].} Gausas parodė, kad tokiame žiede yra keturi vienetai ±1 and ±*i*, o nenulinius ir nevienetinius žiedo elementus taip pat galima suskaidyti į dvi klases - pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pastarieji gali būti vieninteliu būdu išskaidyti pirminių skaičių sandauga.

Panašiai, 1844 metais Eizenšteinas nagrinėjo žiedą {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}, kuriame {\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},}   {\displaystyle \omega ^{3}=1} ir yra šeši vienetiniai elementai {\displaystyle \pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}}. Tame žiede taip pat galima vienintelė bet kokio nenulinio žiedo elemento faktorizacija.

Tačiau yra žinoma žiedų, kur ši teorema negalioja. Jei turime, pavyzdžiui, žiedą {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}.
Jame

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}
Tokie pavyzdžiai privertė peržiūrėti pirminio skaičiaus sąvoką žieduose. Daugikliai čia gali netenkinti Euklido lemos. Pavyzdžiui, 2 nėra (1 + √−5) arba (1 − √−5) daliklis, nors iš 2 dalijasi jų sandauga 6. Todėl 2 žiede {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} vadinamas neredukuojamu (dalinasi iš savęs ir 1), bet nėra pirminis {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}. Tačiau bet kuris pirminis skaičius žiede turi būti neredukuojamas.

Nagrinėdamas tokius žiedus 1843 metais Ernestas Kumeris įvedė idealiojo skaičiaus sąvoką, kurią vėliau vystė Ričardas Dedekindas 1876.

Taip pat žiūrėkite
------------------

* Oilerio begalinė sandauga
* Faktorizavimas

Šaltiniai
---------

The *Disquisitiones Arithmeticae* has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

* Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986). *Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition)*. New York: Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
* Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965). *Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition)*. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § *n*". Footnotes referencing the *Disquisitiones Arithmeticae* are of the form "Gauss, DA, Art. *n*".

* Gauss, Carl Friedrich (1828). *Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima*. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6.
* Gauss, Carl Friedrich (1832), *Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda*, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's *Werke*, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the *Disquisitiones*.

* Baker, Alan (1984). *A Concise Introduction to the Theory of Numbers*. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28654-1.
* Euclid (1956). *The thirteen books of the Elements*. 2 (Books III-IX). Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged ed.). New York: Dover. ISBN 978-0-486-60089-5.
* A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004). *Fundamental theorem of arithmetic*. *Formalized Mathematics* **12**. pp. 179–185.
* Long, Calvin T. (1972). *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77-171950. .
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). *Elements of Number Theory*. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77-81766. .
* Riesel, Hans (1994). *Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition)*. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.
* Weil, André (2007) [1984]. *Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre*. Modern Birkhäuser Classics. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64565-6.

Nuorodos
--------

* Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
* GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
* PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
* Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
* "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* Pirminiai skaičiai[neveikianti nuoroda]