Illustratum planum complexum: quantitates imaginaria sunt in axe directo.
**Quantitas imaginaria**, vel **numerus imaginarius**, est numerus complexus cuius quadratus est negativus. Hic est numerus formae *bi*, ubi {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}. Alii numerum imaginarium hoc modo definiunt; alii definiunt numerum imaginarium esse numerum *a*+*bi* formae, ubi {\displaystyle b\neq 0}, atque **numerum imaginarium purum** esse numerum *bi* formae.

Hieronymus Cardanus primus fuit qui numeros finxit imaginarios, at non perintellexit. Eos proposuit adhibendos ad problemata cubica, sicut x3 + ax = b, solvenda in *Artis Magnae,* expositione eius libri de algebra, anno 1545 editi.

Definitio
---------

Ullus numerus complexus datus, *z*, scribi potest

{\displaystyle z=x+iy,\ }
ubi {\displaystyle x\ } et {\displaystyle y\ } sunt numeri reales et {\displaystyle i} quantitas imaginaria, quae conplet formulam:

{\displaystyle i^{2}=-1.\ }
Hoc autem est *falsum*:

{\displaystyle {-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {{-1}\cdot {-1}}}={\sqrt {1}}=1}
quod non licet dicere {\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {{-1}\cdot {-1}}}}

Scripsit huius rationem simpliciter anno 1781 Nicolaus Fuss, mathematicus Suecicus, qui sub Leonhardo Eulero laboravit, "Tentamen demonstrationis quod omnis quantitas imaginaria ad formam A + B(√—1) reduci possit." 

Tametsi Renatus Cartesius ab intio dixit "numerum imaginarium" esse quempiam numerum complexum, hodie quantitas imaginaria est numerus complexus cuius pars realis valet 0, ergo B(*i*) 

### Plus aequationum

{\displaystyle i^{2}=-1\ ,}
{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\ ,}
{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\ ,}
{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\ ,}

Historia
--------

Ut super scriptum, Hieronymus Cardanus prius finxit numero imaginarios, anno 1545 at confessus est non bene eos intelligere.

Raphael Bombelli primus quantitates imaginarias bene descripsit anno 1572, in sua *Algebra*

Prius quantitates imaginariae, sicut cifra et numeri negativi, putabantur nugae esse. Multi fuerunt mathematici qui aestimabant eas esse vel falsas vel inutiles. Renatus Cartesius scripsit de eis in sua *Geometria*, ubi appellatio ferit quasi irrisio.

Nihilominus, etiam Cartesius vidit utilitatem: "Quemadmodum , tametsi tres imaginari possimus in hac , x3—6xx+13x—10 = 0 ; tamen una tantùm est realis; nempe 2; & quod ad reliquas duas attinet, quamvis illae augeantur , diminuantur, aut multiplicentur, sicut jam exposui ; tamen non nisi imaginariae fieri possunt."

### De usu litterae *i*

Leonhardus Eulerus (1707–1783) littera *i* pro quantitate imaginaria anno 1777 in scriptis suis at non editis uti coepit, quae autem scripta, Eulero mortuo, in libro *Institutione calculi integralis* anno 1794 edita sunt.

Die 5 Maii 1777, Eulerus commentarium *De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet* ad academiam misit, quae etiam in *Institutione calculi integralis* editus est.

* "Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi nisi per imaginaria procedendo, formulam √–1 littera i in posterum designabo, ita ut sit ii = –1 ideoque 1/i = –i."
* "Cum enim numerorum negativorum Logarithmi sint imaginarii. .. erit log(-n) quantitas imaginaria, quae sit = i."

Nexus interni
-------------

* Numerus realis
* Numerus quaternus

Notae
-----

1. ↑  Gauss, Carolus Fridericus (1832). "Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda", *Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiones*, vol. VII. p. 97: "numeros imaginarios, ubi *b* cifrae inaequalis"; "numeri imaginarii absque parte reali, i.e. ubi *a* = 0... si placet numeri imaginarri puri... vocari possunt".
2. ↑  Hieronymus Cardanus *Artis Magnae* (1545).
3. ↑  Nicolaus Fuss. *Acta*. Z 4662-5,1, ex pagina 5. 1781
4. ↑  Raphael Bombellus *L'Algebra*. 1572. (Italiane scripta)
5. ↑  Albertus A. Martinez. *Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent.* Universitas Princetonia. 2005. (Anglice scripta).
6. ↑  Renatus Cartesius, *Geometria,* III, p. 76.
7. ↑  Leonhardus Eulerus, *De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet,* ed. 2 (Petropoli: Impensis Academiae Imperialis Scientiarum, 1794), vol. 4, pp. 183–194.
8. ↑  Constantium explicatio (Anglice scripta).

Nexus externi
-------------

* Exstant re vera numeri imaginarii? de Universitate Torontonensi
* Calculator numerorum imaginariorum