Distributio frequentiarum, quae character quantitativum discretum in statistica metiatur, **symmetrica** dicitur, cum binis valoribus {\displaystyle x\_{i},x\_{N+1-i}} omnibus, ubi {\displaystyle N} littera cardinalitatem distributionis designet, sit eadem distantia a mediana eademque frequentia; vel distributione in classes subdivisa, sit binis eisdem classibus eadem distantia a mediana eademque densitas frequentiae. Vel rite, appellatis {\displaystyle m} littera mediana et {\displaystyle n\_{i}} signo frequentiis absolutis:

{\displaystyle {\text{N par}}\rightarrow \delta =0,{\text{ N impar}}\rightarrow \delta =1}

{\displaystyle (x\_{i}-m)=-(x\_{N+1-i}-m),n\_{i}=n\_{N+1-i},i=1,2,...(N-\delta )/2}

Una cum medietatibus atque indicibus varietatis, symmetriae indices ad distributionem empiricam adiuvant describendam: cum medietates valorem demostrant distributionis hanc optime efficturum, indicesque varietatis quam bene effingatur, tum indices symmetriae dicunt intendatne distributio infra medietatem an supra eam.

Proprietates distributionis symmetricae
---------------------------------------

1. Medietas arithmetica ac mediana adaequant: {\displaystyle \mu =m}. Ad id demonstrandum, primum sit {\displaystyle k} numerus par; ob definitionem enim scimus {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k/2}(x\_{i}-m)n\_{i}=-\sum \_{i=k/2+1}^{k}(x\_{i}-m)n\_{i}}, e quo deducitur summam membrorum {\displaystyle (x\_{i}-m)n\_{i}} nullam: {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k/2}(x\_{i}-m)n\_{i}+\sum \_{i=k/2+1}^{k}(x\_{i}-m)n\_{i}=\sum \_{i=1}^{k}(x\_{i}-m)n\_{i}=0}. Quod cum valeat modo mediana medietati arithmeticae aequali, sententia demonstrata est. Si {\displaystyle k} impar est, sufficit ut edicamus medianam cardinalitate elementorum impari medio esse elemento aequalem: {\displaystyle m=x\_{\frac {k+1}{2}}}, mediumque igitur membrum (quod enim symmetriae definitionis non interest) est nullum: {\displaystyle (x\_{\frac {k+1}{2}}-m)n\_{\frac {k+1}{2}}=0}, nec priorem demonstrationem inficit.
2. Summa distantiarum elementorum a medietate arithmetica ad potentiam imparem dignatarum nulla est: {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-\mu )^{r}n\_{i}=0,{\text{ r impari}}}. Imparem enim dignata ad potentiam membra {\displaystyle (-)(x\_{i}-m)} positiva aut negativa manent, et a definitione symmetriae deducitur eandem aequationem etiam ad potentiam imparem dignatam valere: {\displaystyle (x\_{i}-m)^{r}n\_{i}=-(x\_{N+1-i}-m)^{r}n\_{N+1-i}}. Cum ante sit demonstratum medietatem arithmeticam medianamque adaequare distributione symmetrica, membrorum igitur summam supradictorum esse nullam, eis id ad potentiam imparem dignatis quoque valet: {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k/2}(x\_{i}-m)^{r}n\_{i}=-\sum \_{i=k/2+1}^{k}(x\_{i}-m)^{r}n\_{i}\rightarrow \sum \_{i=1}^{k}(x\_{i}-m)^{r}n\_{i}=0}, e quo thesim supposita in locum medianae medietate arithmetica demonstramus.
3. Eadem est distantia a mediana primo quartili ac tertio: {\displaystyle m-q\_{1}=q\_{3}-m}.

Indices asymmetriae
-------------------

Patet nisi symmetricae sint, distributiones dici **asymmetricas.** Quae fere in duo genera dividi possunt:

1. **Asymmetricarum positivarum** graphum ad dextram intendit;
2. **Asymmetricarum negativarum** ipsum ad sinistram.

Quia tamen solis graphis spectatis non oportet proprietatem in distributionem indere, potius indices ad asymmetriam mentiendam excogitandi sunt.

Tres fere usitatiores:

{\displaystyle \alpha \_{1}={\frac {\mu -m}{\sigma }}}

Hic index inter {\displaystyle [-1,1]} comprehenditur, quod differentia absoluta medietatis a mediana minor est deviatione canonica: {\displaystyle |\mu -m|\leq \sigma }. Positivus est asymmetria positiva negativusque negativa.

{\displaystyle \alpha \_{2}={\frac {1}{\sigma ^{3}}}({\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-\mu )^{3}n\_{i})}

Huic alteri eadem est proprietas ac supradicta primo. Quamvis varietate distributionis parum avertatur, eius indicis valores numerus realis quilibet esse possunt, quo difficilius magnitudo symmetriae pensatur; et differentiis ad tertiam potentiam dignatis, multo tamen avertitur abnormibus apud distributionem valoribus adsentibus.

Cum index {\displaystyle \alpha \_{2}} distributioni frequentiarum computetur, in valorum {\displaystyle x\_{i}} locum debent classium valores centrales aut medietates arithmeticae supponi.

Tertius index, qui ut duo alii positivus est asymmetria positiva negativusque negativa, e quartilibus exstruitur:

{\displaystyle \alpha \_{3}={\frac {q\_{3}+q\_{1}-2m}{q\_{3}-q\_{1}}}={\frac {(q\_{3}-m)-(m-q\_{1})}{(q\_{3}-m)+(m-q\_{1})}}}

Hic index contra priorem non multo avertitur valoribus abnormibus, et inter {\displaystyle [-1,1]} comprehenditur; singillatim est unus negativus adaequantibus mediana primoque quartili, unusque positivus adaequantibus mediana tertioque quartili. Nullus est, quod ita symmetriam definivimus, adaequantibus differentiis {\displaystyle (q\_{3}-m),(m-q\_{1})}.

Curtosis
--------

**Curtosis** est proprietas distributionis, videaturne similis distributioni normali an declinet.

Distributio normalis definitur curvamine istius aequationis:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

ubi {\displaystyle \mu } punctum est maximo valore, {\displaystyle \sigma } numero tamen aucto curvamen circum {\displaystyle \mu } magis comprimitur.

Haec distributio usitatissima est ad describenda passim dispersa multis rebus, quarum nulla dispergens praestat, reductis igitur ad errorem fortuitum.

Ad curtosim mentiendam, fere semper distributio normalis insumitur {\displaystyle \mu ,\sigma } numeris delectis ut medietati arithmeticae elementorum eorumque deviationi canonicae aequentur. Hoc facto potest valorem curtosis distributionis consideratae pensari, pendendo quam *hyponormalis* aut *hypernormalis* haec sit. Dicitur distributio hypernormalis cum circum medietatem et in caudis (regionibus extremis valoribus minoribus) frequentiae aut densitas frequentiae distributioni normali superstent, hyponormalis diverso casu.

Itaque definitur **index curtosis:**

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sigma ^{4}}}({\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-\mu )^{4}n\_{i})-3}

qui zero adiacet distributione simili distributioni normali, positivus est hypernormali, negativusque hyponormali. Distributione enim normali id accidit:

{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-\mu )^{4}n\_{i}=3\sigma ^{4}}

Distributione autem hypernormali frequentiores differentiae {\displaystyle (x\_{i}-\mu )^{4}} magnae elementorum caudarum magis pendunt, quod caudum elementa longius a medietate absunt, quae si frequentiora sunt, indicem augent.

Nexus interni
-------------

* Indices varietatis statistici

Bibliographia
-------------

* Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. *Statistica: principi e metodi.* Pearson. ISBN 9788891902788. Categoria:Res statisticae