Triangulum, tria puncta *A, B, C,* tres angulos *α, β, γ,* et tria latera *a, b, c* monstrans.

**Triangulum** sive **trigonum** seu **trigonium** est figura geometrica plana cui sunt tria latera et tres anguli.

Summa anguli
------------

Summa angulorum internorum trianguli est 180°: *a* + *b* + *c* = 180°

Area
----

Area A trianguli datur a formula

{\displaystyle A={1 \over 2}\,c\,h}
ubi *c* est longitudo lateris trianguli in figura supra descripta, et *h* est altitudo puncti C data a formula

{\displaystyle h=b\,\sin \alpha }
Equivalenter, possumus scribere

{\displaystyle A={1 \over 2\,}c\,b\,\sin \alpha ={1 \over 2\,}a\,b\,\sin \gamma ={1 \over 2\,}a\,c\,\sin \beta }.

Triangulum rectum
-----------------

Triangulum rectum.
**Triangulum rectum** seu **triangulum anguli recti** est triangulum cui est unus angulus rectus (i.e. 90°). Latus angulo recto contrarium dicitur *hypotenusa*, et alia duo latera dicuntur *catheti.* Quod ad triangula recta attinet, praesertim haec duo theoremata maximi momenti sunt: theorema Pythagorae et theorema altitudinis.

### Theorema Pythagorae

liber apertus **De historia:** Pythagoras re vera non fuit qui primus theoremate sibi tributo usus est, namque etiam Babylonii id cognoverunt. Alii fontes dicunt Aegyptios seu Indos primos fuisse.

Si in figura prima supra adlata, angulus *γ* = 90°, tunc latus *c* est hypotenusa et latera *a* et *c* sunt catheti. Tunc theorema Pythagorae dicit

{\displaystyle \mathbf {c^{2}=a^{2}+b^{2}} }
vel explicate: 

{\displaystyle {\text{hypotenusa}}^{2}={\text{cathetus primus}}^{2}+{\text{cathetus secundus}}^{2}\ }
### Theorema altitudinis

Triangulum rectum altitudinem *h* monstrans, et quidem punctum *R* et partes *p* et *q*.
liber apertus **De historia:** Euclides, mathematicus Graecus (saec. IV a.C.n.), et theorema altitudinis et theorema Pythagorae in opere suo, quod de *Elementis* scripsit, exhibuit.

Altitudo {\displaystyle h} hypotenusam {\displaystyle c} in partes duas dividit: {\displaystyle p} sub catheto {\displaystyle b} et {\displaystyle q} sub catheto {\displaystyle a}. Ergo {\displaystyle c=p+q}. Tunc theorema altitudinis dicit

{\displaystyle h^{2}=pq}   vel   {\displaystyle h={\sqrt {pq}}}.
#### Demonstratio

Theoremate Pythagorae ad triangula usi habemus

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a^{2}&=&q^{2}+h^{2}\\b^{2}&=&p^{2}+h^{2}\\c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\end{array}}}
Additis aequationibus prima et secunda habemus 

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=p^{2}+q^{2}+2h^{2}.}
Et {\displaystyle c=p+q} in aequatione tertia substituendo obtinemus

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}.}
His aequationibus obtinemus

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}p^{2}+q^{2}+2h^{2}&=&p^{2}+2pq+q^{2}\\2h^{2}&=&2pq\\h^{2}&=&pq\end{array}}}
aut aequivalenter 

{\displaystyle h={\sqrt {pq}}}.
QED.

#### Exemplum

Tectum creare vis quod angulum rectum habet. Si *p* = 4 et *q* = 9 pedes, quae est altitudo *h*?

**Solutio**: 4\*9 = 36, et *h* = 6 pedes.

Triangulum aequilaterum
-----------------------

Triangulum aequilaterum
**Triangulum aequilaterum** tres angulos aequales, tria quoque latera aequalia habet. Sex talia triangula hexagonum faciunt. Totius plani per triangula aequilatera tesselatio est deltilus.

Nexus interni
-------------

* Trigonometria
* Trisceles
* Triangulum arithmeticum Pascalianum
* Triangulus rectus praecipuus

Notae
-----

1. ↑  Lewis, C.T. & Short, C. (1879). *A Latin dictionary founded on Andrews' edition of Freund's Latin dictionary.* Oxford: Clarendon Press.
2. ↑  Kraus, L.A. (1844). *Kritisch-etymologisches medicinisches Lexikon* (Dritte Auflage). Göttingen: Verlag der Deuerlich- und Dieterichschen Buchhandlung.
3. ↑  Saalfeld, G.A.E.A. (1884). *Tensaurus Italograecus. Ausführliches historisch-kritisches Wörterbuch der Griechischen Lehn- und Fremdwörter im Lateinischen.* Wien: Druck und Verlag von Carl Gerold's Sohn, Buchhändler der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften.

Nexus externi
-------------

* De triangulo, Theodisce
* De sententia Pythagorae, Theodisce

Figurae geometricae communes| Triangulum | Parallelogrammum | Rectangulum | Quadrum | Circulus | Pyramis | Cubus | Sphaera |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |