Copia *A* numerorum realium (puncta caerulea), copia finium superiorum copiae *A* (puncta rubra), et minimus finis superior, id est, supremum copiae *A* (adamas ruber).
**Supremum** (quod breve *sup* significatur) subcopiae *S* copiae partim ordinatae *T* (quae breve *poset* appellatur), si exsistet, est elementum minimum in copia *T* quod est aequum aut maior quam quodque elementum in copia *S*. Supremum igitur **finis superior minimus** (quae Anglice **least upper bound**, **lub**, aut **LUB** dicitur) appellatur quoque. Si supremum exsistet, sit vel non sit in copia *S*.

Suprema saepe utilia sunt pro subcopiis numerorum realium, numerorum rationalium, vel pro aliis structuris mathematicis ubi obviosum est quod alium elementum esse aequum aut maior quam alium elementum significat. Haec definitio facile accommodat theoriae ordinis, cuius opus est ulla copia partim ordinata.

Supremum non est idem finis superior *minimalis*, elementum maximale, aut elementum maximum. Supremum sensu exacto est duale infimi.

Supremum copiae numerorum realium
---------------------------------

In analyse, **supremum** aut **finis superior minimus** copiae *S* numerorum realium a *sup(S)* breve significatur, et numerus realis minimus esse definitur qui est aequus aut maior quam quique numerus in copia *S*. Magni proprietas momenti copiae numerorum realium est eam esse perfectam: quaeque subcopia nonvacua copiae numerorum realium quae supra finitur supremum habet quod est numerus realis quoque.

### Exempla

{\displaystyle \sup \,\{1,2,3\}=3\,}
{\displaystyle \sup \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup \,\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1\,}
{\displaystyle \sup \,\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} ^{\*}\}=1\,}
{\displaystyle \sup \,\{a+b:a\in A\,{\mbox{,}}\,b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,}
{\displaystyle \sup \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}
In proximo exemplo, supremum copiae numerorum rationalium est irrationalis, quod res significat copia numerorum rationalium esse imperfecta.

Proprietas prima supremi est, pro quibusque functionalibus *f* et *g*:

{\displaystyle \sup \,\{f(t)+g(t):t\in A\}\leq \sup \,\{f(t):t\in A\}+\sup \,\{g(t):t\in A\}}
Si definimus *sup(S)* = −∞ cum *S* est vacua, et *sup(S)* = +∞ cum *S* supra non finitur, quaeque copia numerorum realium supremum habet sub systemate numerorum realium affine extenso:

{\displaystyle \sup \mathbb {Z} =\infty \,}
{\displaystyle \sup \varnothing =-\infty \,}
Si supremum in copia continetur, eum est elementum maximum in copia. Locutio *elementum maximale* idem valet modo pro numeris realibus et quibusque copia in toto ordinata.

Ut *a = sup(S)* monstret, necesse est monstrare *a* esse finis superior unus copiae S, etiam quique alius finis superior copiae *S* esse maior quam *a*. Possibile est quoque monstrare *a* esse finis superior unus copiae S, etiam quique alius numerus minor quam *a* non esse finis superior copiae S.

Suprema in copiis partim ordinatis
----------------------------------

Finites superiores minimi sunt magni proprietates momenti in theoria ordinis in qua *coniunctiones* vocantur, maxime in theoria cancellorum. Supremum cuiusque copia est elementum minimum copiae finitum superiorum eius, si eum elementum exsistet.

Formale, habemus: Pro subcopiis S cuiusque copiae partim ordinatae (P, ≤), **supremum** aut **finis superior minimus** copiae *S* est elementum *u* in copia *P* ut:

1. *x ≤ u* pro omni elemento *x* in copia *S*, et
2. pro quoque elemento *v* in copia *P* ubi *x ≤ v* pro omni elemento *x* in copia *S*, semper verum est *u ≤ v*.

Ergo supremum non exsistet si nullus finis superior exsistet, aut copia finitum superiorum duo plurave elementa habet quorum nullum est elementum minimum copiae eae. Facile est monstrare si *S* supremum habet, supremum esse unicum: si u1 et u2 ambo sunt suprema copiae *S*, necesse est quod u1 ≤ u2 et u2 ≤ u1, etiam quia operatio ≤ est antisymmetrica, profecto u1 = u2.

Si supremum exsistet, sit vel non sit in copia *S*. Si *S* elementum maximum habet, eum elementum est supremum. Si non, supremum non est in copia *S*.

Sententia dualis supremi, quod est finis inferior maximus, *infimum* aut *congressus* vocatur.

Si supremum copiae *S* exsistet, scribi ut *sup(S)* potest, sed maxime in theoria ordinis, ut {\displaystyle \vee }*S*. Similiter infima scribi ut *inf(S)* aut {\displaystyle \wedge }*S* possunt. In theoria cancellorum, vulgare est uti supremum/coniunctionem et infimum/congressum ut operationes binariae:
{\displaystyle a\vee b=\sup ~\{a,b\}} (et similiter infimum).

Cancelli perfecti est copia partim ordinata in qua *omnis* subcopia et supremum (coniunctionem) et infimum (congressum) habet.

In sectionibus inferioris, differentia inter suprema, elementa maximalia, et finites superiores minimales monstrat. Quia possibile est supremum abesse, classis copiarum partim ordinatarum in quibus quaedam genera subcopiarum finitem superiorem minimum semper habent est iucunda. Haec res ad proprietates perfectas et multas definitiones copiarum partim ordinatarum singularum ducit.

Comparatio alios notiones theoriae ordinis
------------------------------------------

### Elementum maximum

Distinctio inter supremum copiae et elementum maximum copiae non sit statim obvia. Necesse est elementum maximum esse in copia, quandoquidem necesse non est supremum esse in copia. Exempli gratia, copia numerorum negativorum realium (sine zero) elementum maximum non habet quia pro omni numero in ea est alius numerus maior in ea. Exempli gratia, pro omni numero *x* in copia est maior numerus *x/2* in copia quoque. Sed omnes numerus realis qui est zero aut maior quam zero profecto est finis superior copiae. Ita 0 est finis superior minimus copiae; 0 est supremum copiae. Ea copia supremum habet, sed elementum maximum non habet.

Haec res pro omni copia sine elemento maximo generaliter fit. Si autem copia elementum maximum habet, supremum habet quoque, et supremum est elementum maximum.

### Elementum maximale

Ecce exemplum ubi non est elementum maximum, sed sunt elementa maximalia. Considera copiam omnium subcopiarum copiae numerorum naturalium, quae *powerset* vocatur. Pro ordine, ut solet copia est maior quam alia copia si copia prima omnem elementum copiae secundae continet. Nunc considera copia *S* omnium copiarum quae decem minoresve numeros naturales continent. Copia *S* multa elementa maximalia habet, id est, elementa quibus non est elementum maiorem. Vero, omnis copia decem elementa habens est maximalis. Supremem autem copiae S est sola copia (ergo copia minima) quae omnem numerum naturalem continet. Possibile est finitem superiorem minimum subcopiae *A* copiae powerset (id est, *A* est copia copiae) computare coniunctionem elementorum copiae *A* capiendo.

### Finis superior minimalis

Copia multos finites superiores *minimales* sine finite superiori *minimo* habeat. Finis superior *minimalis* est finis superior cui non est elementum severe minor quod est quoque finis superior. Haec res non significat quod omnis finis superior minimalis est minor quam omnis alius finis superior; ei modo non est maior. Solum possibile est esse distinctionem inter *minimalem* et *minimum* si ordo non est tota. In copia in toto ordinata, ut numeri reales de quibus supra dicti sunt, notiones sunt idem.

Exempli gratia, *S* est copia omnium subcopiae finitae numerorum naturalium, et considera copiam partim ordinatam quae ex omni subcopia de copia *S*, et ex copia integrorum *Z*, et ex copia numerorum positivorum realium *R+* facta est, et ordinata est ut supra. Certe et *R+* et *Z* sunt maior quam omnis copia finita numerorum naturalium. Sed nec *R+* minor quam *Z*, nec *Z* minor quam *R+*. Ergo, ambo copiae sunt finites superiores minimales, sed neutra est supremum.

Notae
-----

* Walter Rudin, *Principles of Mathematical Analysis, Third Edition*, McGraw-Hill, 1976.