-2 *Latinitas huius rei dubia est. Corrige si potes. Vide {{latinitas}}.*

**Dependentia** distributionis frequentiarum duobus characteribus in statistica est proprietas qua valores unius characteris illos alterius inflectunt.

Singillatim dicitur *distributio frequentiarum dupla* distributio cui inscribuntur frequentiae elementorum binis valoribus duorum characterum, tamquam:

|  | Valor primus,
secundi characteris | Valor secundus,
secundi characteris | Valor tertius,
secundi characteris |
| --- | --- | --- | --- |
| Valor primus,
primi characteris | {\displaystyle f\_{11}} | {\displaystyle f\_{12}} | {\displaystyle f\_{13}} |
| Valor secundus,
primi characteris | {\displaystyle f\_{21}} | {\displaystyle f\_{22}} | {\displaystyle f\_{23}} |
| Valor tertius,
primi characteris | {\displaystyle f\_{31}} | {\displaystyle f\_{32}} | {\displaystyle f\_{33}} |

Tabella haec **tabella duplici ingressu** vel **tabella contingentiae** dicitur.

Itaque licet dependentiam mentiri, exempli gratia, ut investigemus? mulieribusne stipendium minus persolvatur quam viris ("ergo stipendiine? magnitudo a sexu dependat"), vel generane quaedam alumnorum maius examinationibus proficiant alteris, vel quandocumque suspicemur valorem unius characteris ab altero dependere.

Distributiones duplae
---------------------

Distributio dupla fere binis his elementis describitur:

{\displaystyle (x\_{1},y\_{1}),...(x\_{N},y\_{N})}

ubi {\displaystyle x\_{i}} signum valorem characteris X designat atque {\displaystyle y\_{i}} characteris Y. Binis tamen quibusque valoribus adhibere potest **frequentia coniuncta** {\displaystyle n\_{ij}}, quae numerum elementorum designat valoribus characterum {\displaystyle x\_{i},y\_{j}}.

Exempli gratia ita potest tabella contingentiae fieri:

|  | {\displaystyle y\_{1}={\text{stipendio demisso}}} | {\displaystyle y\_{2}={\text{stipendio medio}}} | {\displaystyle y\_{3}={\text{stipendio alto}}} |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle x\_{1}={\text{viri}}} | {\displaystyle n\_{11}=10} | {\displaystyle n\_{12}=20} | {\displaystyle n\_{13}=5} |
| {\displaystyle x\_{2}={\text{mulieres}}} | {\displaystyle n\_{21}=15} | {\displaystyle n\_{22}=24} | {\displaystyle n\_{23}=4} |

Exemplum graphi dispersionis.
Exemplum graphi bullarum.
Hae depingi possunt grapho dispersionis vel graho bullarum, hoc aptiore distributioni frequentiarum. Grapho dispersionis depinguntur omnia elementa singulo puncto coordinatis {\displaystyle (x\_{i},y\_{i})} (nec indecet duobus punctis esse easdem coordinatas); grapho bullarum depinguntur bini valores {\displaystyle (x\_{i},y\_{i})} circulo cuius magnitudo frequentiae coniunctae proportionalis est, coordinataeque valoribus aequales sunt.

### Distributio marginalis

Appellatur **distributio marginalis** characteris X, distributione frequentiarum dupla, distributio simplex elementorum secundum hoc character. Itaque a tabella duplici ingressu deducitur, valores versuum aut columnarum summando.

Exempli gratia, tabella summi huius subcapituli in distributiones has marginales dissolvitur:

Frequentiae stipendiorum|  | {\displaystyle y\_{1}} | {\displaystyle y\_{2}} | {\displaystyle y\_{3}} |
| --- | --- | --- | --- |
| Frequentia | 10+15=25 | 20+24=44 | 5+4=9 |

Frequentiae sexuum|  | Frequentia |
| --- | --- |
| {\displaystyle x\_{1}} | 10+20+5=45 |
| {\displaystyle x\_{2}} | 15+24+4=43 |

Praecipue distributio marginalis characteris X littera {\displaystyle f\_{X}} designatur, eiusque frequentiae signis {\displaystyle n\_{0j}} aut {\displaystyle n\_{i0}}.

### Distributio conditionata

Characteris {\displaystyle Y} **distributio conditionata valori {\displaystyle x\_{i}} characteris {\displaystyle X}** dicitur distributio secundum character {\displaystyle Y} elementorum cuius valor est {\displaystyle x\_{i}} charactere {\displaystyle X}. Itaque e tabella contingentiae educitur versibus aut columnis quibusdam eligendis, fereque {\displaystyle f\_{Y|x\_{i}}} signo designatur.

Exempli gratia, haec sunt distributiones conditionatae stipendiorum ipsius tabellae prioris singulis sexibus:

Stipendia virorum (distributio conditionata valori {\displaystyle x\_{1}})|  | {\displaystyle y\_{1}} | {\displaystyle y\_{2}} | {\displaystyle y\_{3}} |
| --- | --- | --- | --- |
| Frequentia | 10 | 20 | 5 |

Stipendia mulierum (distributio conditionata valori {\displaystyle x\_{2}})|  | {\displaystyle y\_{1}} | {\displaystyle y\_{2}} | {\displaystyle y\_{3}} |
| --- | --- | --- | --- |
| Frequentia | 15 | 24 | 4 |

Independentia
-------------

Charactera {\displaystyle X} atque {\displaystyle Y} distributionis frequentiarum duplae **statistice independentia** dicuntur si subdicta aequatio vera habetur cunctis frequentiis coniunctis:

{\displaystyle n\_{ij}={\frac {n\_{i0}\times n\_{0j}}{N}},\forall (i,j)}

Potest enim demonstrari tabella contingentiae tres has sententias una veras aut falsas esse *(aequivalere):*

1. {\displaystyle f\_{X|y\_{i}}=f\_{X},\forall i};
2. {\displaystyle n\_{ij}=(n\_{i0}\times n\_{0j})/N,\forall (i,j)};
3. {\displaystyle f\_{Y|X\_{i}},\forall j}.

Indipendentia enim *quaeque distributio conditionata aequalis est marginali.* Nisi una earum sententiarum vera est, omnes igitur tres falsae sunt, haberi dicitur **dependentia statistica.**

### Tabella independentiae

Ad dependentiam distributionis duplae mentiendam, fere oportet eius tabellam contingentiae conferre et illam tabellam contingentiae, quae haberetur characteribus duobus ipsis independentibus.

Itaque definimus frequentias **tabellae independentiae:**

{\displaystyle {\hat {n}}\_{ij}={\frac {n\_{i0}\times n\_{0j}}{N}},\forall (i,j)}

Exempli gratia haec est tabella independentiae ipsius distributionis paragraphi prioris:

|  | {\displaystyle y\_{1}} | {\displaystyle y\_{2}} | {\displaystyle y\_{3}} |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle x\_{1}} | {\displaystyle (25\times 45)/88\approx 12.78} | {\displaystyle (44\times 45)/88=22.5} | {\displaystyle (9\times 45)/88\approx 4.6} |
| {\displaystyle x\_{2}} | {\displaystyle (25\times 43)/88\approx 12.21} | {\displaystyle (44\times 43)/88=21.5} | {\displaystyle (9\times 43)/88\approx 4.4} |

Ex his frequentiis etiam licet definire **contingentias:**

{\displaystyle c\_{ij}={\frac {n\_{ij}-{\hat {n}}\_{ij}}{{\hat {n}}\_{ij}}}}

Itaque possumus nunc indicem dependentiae characterum definire per medietatem quadraticam ponderatam contingentiarum ad secundam potentiam dignatarum numeris {\displaystyle {\hat {n}}\_{ij}} ponderibus:

{\displaystyle \psi ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}{\frac {(n\_{ij}-{\hat {n}}\_{ij})^{2}}{{\hat {n}}\_{ij}}}}}={\sqrt {\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}{\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}\times n\_{0j}}}-1}}}

Hic index cum tabella contingentiae longius a tabella independentiae differat, magis augetur, nullusque est independentia.

Alter index priori conexus est:

{\displaystyle \chi ^{2}=N\psi ^{2}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}{\frac {(n\_{ij}-{\hat {n}}\_{ij})^{2}}{{\hat {n}}\_{ij}}}=N\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}{\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}\times n\_{0j}}}-1}

### Normalizatio indicis dependentiae

Primum dicendum est, indicem supradictum valorem suum maximum attingere cum tabella contingentiae sit **tabella dependentiae perfectae.**

Singillatim, si plus est valorum characteri X quam characteri Y, dicitur *tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X* tabella contingentiae cui (si columnae ad character Y pertinent) omni columnae solae frequentiae nullae sint omni versu excepto uno. Exempli gratia:

|  | {\displaystyle y\_{1}} | {\displaystyle y\_{2}} |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle x\_{1}} | {\displaystyle 0} | {\displaystyle 3} |
| {\displaystyle x\_{2}} | {\displaystyle 5} | {\displaystyle 0} |

Si numerus valorum duorum characterum adaequat, potest haberi dependentia perfecta characteris X ab Y versaque vice.

Valorem tamen maximum {\displaystyle {\sqrt {t-1}}}, si {\displaystyle t\leq s}, adipiscitur index {\displaystyle \psi } cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X, ubi {\displaystyle t} littera numerum valorum characteris Y designat, atque {\displaystyle s} valorum characteris X.

Ab hac definitione itaque potest definiri **index Cramérianus**:

{\displaystyle C={\frac {\psi }{\sqrt {min[(s-1),(t-1)]}}}}

Qui inter {\displaystyle [0,1]} comprehenditur.

#### Demonstratio indicis Cramériani valendi

Primum ad secundam dignemus indicem dependentiae potentiam:

{\displaystyle \psi ^{2}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}{\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}n\_{0j}}}-1}

Cum uno sit fractio {\displaystyle n\_{ij}/n\_{i0}} minor, scribi potest:

{\displaystyle {\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}n\_{0j}}}\leq {\frac {n\_{ij}}{n\_{0j}}}\rightarrow \psi ^{2}\leq \sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=2}^{t}{\frac {n\_{ij}}{n\_{0j}}}-1=\sum \_{j=1}^{t}{\frac {1}{n\_{0j}}}\sum \_{i=1}^{s}n\_{ij}-1=\sum \_{j=1}^{t}1-1}

quod scimus {\displaystyle \sum \_{i=1}^{s}n\_{ij}=n\_{0j}}. Valet igitur: {\displaystyle \psi ^{2}\leq t-1}; quae duo membra modo adaequant, si {\displaystyle {\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}n\_{0j}}}={\frac {n\_{ij}}{n\_{0j}}}\rightarrow n\_{ij}=n\_{i0}}, quod sola dependentia perfecta characteris Y a charactere X evenit.

Item a disaequatione supradicta videmus valere {\displaystyle {\frac {n\_{ij}^{2}}{n\_{i0}n\_{0j}}}\leq {\frac {n\_{ij}}{n\_{i0}}}}, et eisdem computationibus edici potest {\displaystyle \psi ^{2}\leq s-1} membraque adaequare sola dependentia perfecta characteris X a charactere Y.

E quo duobus deducitur:

{\displaystyle \psi ^{2}\leq min(s-1,t-1),\exists \psi :\psi ^{2}=min(s-1,t-1)\rightarrow max\psi ={\sqrt {min(s-1,t-1)}}}

Dependentia media
-----------------

Notandum est facilius computari ita medietas arithmetica distributionum conditionatarum marginaliumque:

{\displaystyle \mu \_{Y}(x\_{i})={\frac {1}{n\_{i0}}}\sum \_{j=1}^{t}y\_{j}n\_{ij}}

{\displaystyle \mu \_{Y}={\frac {1}{N}}\sum \_{j=0}^{t}y\_{j}n\_{0j}}

Itaque ab his potest definiri **dependentia media**. Singillatim character Y dicitur medie dependere a charactere X medietatibus arithmeticis distributionum conditionatarum characteris Y inter se differentibus.

Ad hanc mentiendam, oportet scire medietatem distributionis marginalis esse medietatem ponderatam medietatum distributionum conditionatarum:

{\displaystyle \mu \_{Y}={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{s}\mu \_{Y}(x\_{i})n\_{i0}}

Itaque dependentiam mediam sumus mensuri *deviantia medietatum conditionatarum*:

{\displaystyle D\_{E}=\sum \_{i=1}^{s}(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})n\_{i0}}

### Decompositio deviantiae

Index supradictus invenitur in **decompositio deviantiae totalis** distributionis marginalis, in *deviantiam explicitam* ac *deviantiam residuam*:

{\displaystyle D\_{Y}=D\_{E}+D\_{R}=\sum \_{i=0}^{t}(y\_{i}-\mu \_{Y})^{2}n\_{0j}=\sum \_{i=1}^{s}(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})^{2}n\_{i0}+\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))^{2}n\_{ij}}

Ab hac definiri potest **corrationalitas correlationis**:

{\displaystyle \eta \_{Y}^{2}={\frac {D\_{E}}{D\_{Y}}}=1-{\frac {D\_{R}}{D\_{Y}}}}

quae inter {\displaystyle [0,1]} comprehenditur.

#### Demonstratio decompositionis deviantiae

Patet:

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y})^{2}n\_{0j}=\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y})^{2}\sum \_{i=1}^{s}n\_{ij}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y})^{2}n\_{ij}}

Medietatesque conditionatas cum addiderimus subtraxerimusque in differentiam illam, id fit:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}((y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))+(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y}))^{2}n\_{ij}}

Et binomio quadrato evoluto sic membrum expanditur:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{i}-\mu \_{Y})^{2}n\_{ij}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))^{2}n\_{ij}+\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})^{2}n\_{ij}+2\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})n\_{ij}}

Ubi postremum membrum nullum. Multiplicatio enim est differentiarum inter elementa medietatesque:

{\displaystyle 2\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})n\_{ij}=2\sum \_{i=1}^{s}(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))n\_{ij}=0}

Computationibus peractis videmus:

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y})^{2}n\_{0j}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y})^{2}n\_{ij}=\sum \_{i=1}^{s}\sum \_{j=1}^{t}(y\_{j}-\mu \_{Y}(x\_{i}))^{2}n\_{ij}+\sum \_{i=1}^{s}(\mu \_{Y}(x\_{i})-\mu \_{Y})^{2}n\_{i0}}

quod erat demonstrandum.

Bibliographia
-------------

* Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. *Statistica: principi e metodi.* Pearson. ISBN 9788891902788.