Tres series geometricae.
**Series** in mathematica universe est operatio multarum quantitatum additarum in infinitum, singillatim, usque ad primam quantitatem datam. Investigatio serierum est maior pars calculi et eius generalizationis, analysis mathematicae. Series in plurimis mathematicae regionibus adhibetur, etiam in structuris finitis investigandis (ut in combinatorica) per functiones generantes. Series infinitae, praeter eorum ubiquitate in mathematica, late adhibentur in disciplinis sicut physica, scientia computatrali, statistica, et aerario

Notio summationis infinitae quae exitum finitum efficere potest paradoxum diu a mathematicis videbatur.

Series subtiliter deefinita
---------------------------

Series subtiliter est summa sequentiae. Hoc est, si sequentiam habemus {\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2},...} possumus seriem facere: {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+...} Sigma littera Graeca seriem significat: {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}=a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}....}

Series finita est additio: {\displaystyle \sum \_{i=1}^{i=5}i=1+2+3+4+5=15}. Series autem infinita summam finitam aut infinitam habere potest. Si summa est finita, dicimus seriem ad limitem appropinquare vel vergere; si summa est infinita, series non vergit.

Summa partialis seriei est summa primorum membrorum. Sit series {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}}. Tunc prima summa partialis est {\displaystyle a\_{0}}, altera est {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}}, tertia est {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}}, quarta est {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}}, et similiter. Summae partiales sunt numeri, et fiunt sequentia.

Summa seriei infinitae (per definitionem) est limes sequentiae summarum partialium. Hoc est, sit {\displaystyle s\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}=a\_{0}+a\_{1}+...+a\_{n}} Si sequentia {\displaystyle {s\_{j}}} limitem habet, haec limes est summa seriei; si autem limitem non habet, series summam non habet.

Ecce exemplum. Series {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}...} habet summas partiales: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,. .. Haec sequentia ad limitem 1 vergit; 1 est ergo summa seriei.

Sed series {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=1+1/2+1/3+1/4...} divergit, quod summae partiales sine limite crescunt: 1, 3/2, 11/6, 25/12,. .. Series ergo nullam limitem habet. Nomen seriei est *series harmonica.*

Series cuius forma est {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }{\frac {1}{r^{i}}}} dicitur *series geometrica* et *r* est *ratio communis,* quod est ratio membri cuiusdam et sequentis membri: {\displaystyle {\frac {a\_{i+1}}{a\_{i}}}=r} Series geometrica ad limitem {\displaystyle {\frac {1}{1-r}}} vergit cum {\displaystyle |r|<1}, et aliter divergit.

Nexus interni
-------------

* Anellus
* Series Fourieriana

Notae
-----

1. ↑  Thompson, Silvanus; Gardner, Martin (1998). *Calculus Made Easy*. ISBN 978-0-312-18548-0 .

Nexus externi
-------------


|  |  |
| --- | --- |
|  | **Vicimedia Communia** plura habent quae ad **seriem** spectant. |

* De Seriebus apud Wolfram MathWorld.

Bibliographia
-------------

* Bromwich, T. J. (1908) 1926. *An Introduction to the Theory of Infinite Series.* Macmillan & Co. Iterum impressus 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
* Behnke, H. F. Bachmann, K. Fladt, et W. Süss, eds. 1974. *Fundamentals of Mathematics, vol 1: Foundations of Mathematics: The Real Number System and Algebra.* Convertit S. H. Gould. Cantabrigiae Massachusettae: MIT Press.
* Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". *Proceedings of the National Academy of Sciences (Civitatum Foederatarum)* **36** (3): 192–197
* Hardy, G. H. (1952) 1992. *A Course in Pure Mathematics,* ed. decima. Cantabrigiae. ISBN 0-521-09227-2.
* Pietsch, Albrecht (1972). *Nuclear locally convex spaces*. Berolini, Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0
* Robertson, A. P. (1973). *Topological vector spaces*. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2
* Rudin, Walter. 1964. *Principles of Mathematical Analysis.* Novi Eboraci: McGraw-Hill.
* Ryan, Raymond (2002). *Introduction to tensor products of Banach spaces*. Londinii, Novi Eboraci: Springer. ISBN 1-85233-437-1
* Swokowski, Earl W. (1983), *Calculus with analytic geometry* (Alternate ed.), Bostoniae: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1 .
* Wong. 1979. *Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products.* Berolini, Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.