Monumentum in aedibus ubi Gödel Vindobonae annis 1937–1939 habitabat.
**Theoremata Gödeliana de imperfectione** sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

Theorema primum
---------------

### Expositio

**Theorema.** Sit theoria {\displaystyle T}, quae est copia sententiae primi ordinis, signatura {\displaystyle S:=\{0,+,\cdot ,<,E\}}. Si {\displaystyle T} est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum {\displaystyle T} non est copia RE.

Nota bene:

* {\displaystyle T} perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis {\displaystyle \sigma }, aut {\displaystyle T\vdash \sigma } aut {\displaystyle T\vdash \neg \sigma }.
* {\displaystyle T} congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis {\displaystyle \sigma }, ut {\displaystyle T\vDash (\sigma \land \neg \sigma )}.

### Demonstratio brevis

#### Numeri Gödel

Sit signatura primi ordinis ut {\displaystyle S}, quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem {\displaystyle \sharp :L\_{S}\to \mathbb {N} } esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in {\displaystyle L\_{S}}. Ut, exempli gratia, operatio {\displaystyle \land }
, quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in {\displaystyle S} utens numerus formulae {\displaystyle (\phi \land \psi )} calculat ab numeris formularum \phi  et {\displaystyle \psi }. Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem \phi  formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae \phi  ab formulis in {\displaystyle T} concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae \phi , dicamus {\displaystyle T\vdash \phi }. Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur {\displaystyle \operatorname {Prv} \_{T}(n)} nancisci possumus, ut

{\displaystyle T\vdash \phi \implies T\vdash \operatorname {Prv} \_{T}(\sharp \phi )}
Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae \phi .

#### Lemma de puncto immobili

Sit theoria {\displaystyle T} congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam {\displaystyle \gamma } nanciscamur, ut {\displaystyle T\vdash (\gamma \leftrightarrow \neg \operatorname {Prv} \_{T}(\sharp \gamma ))}.

#### Demonstratio theorematis

Sit theoria {\displaystyle T} congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae {\displaystyle \sigma }, aut {\displaystyle T\vdash \sigma } aut {\displaystyle T\vdash \neg \sigma }. Sit {\displaystyle \gamma } ut dixi. Sed,

* Si {\displaystyle T\vdash \gamma }, igitur {\displaystyle T\vdash \neg \operatorname {Prv} \_{T}(\sharp \gamma )}. Sed est scilicet demonstratio formalis formulae {\displaystyle \gamma }, igitur {\displaystyle T\vdash \operatorname {Prv} \_{T}(\sharp \gamma )}. Igitur {\displaystyle T} non est congruens.
* Si {\displaystyle T\vdash \neg \gamma }, igitur {\displaystyle T\vdash \operatorname {Prv} \_{T}(\sharp \gamma )}. Ergo est demonstratio formalis formulae {\displaystyle \gamma }, ergo {\displaystyle T\vdash \gamma }. Ergo {\displaystyle T} non est congruens.

Ergo nulla theoria {\displaystyle T} est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum
-----------------

### Expositio

**Theorema.** Sit theoria RE {\displaystyle T}, quae axiomata PA continet. Si {\displaystyle T} se esse congruentem demonstrat, tum {\displaystyle T} non est congruens.

Nota bene:

* {\displaystyle T} est congruens, si nulla formula \phi  inveniri potest, ut {\displaystyle T\vdash (\phi \land \neg \phi )}.
* Ergo, {\displaystyle T} se esse congruentem demonstrat, si {\displaystyle T\vdash \operatorname {Cons} \_{T}}, in quo {\displaystyle \operatorname {Cons} \_{T}} sententia est ut:

{\displaystyle \operatorname {Cons} \_{T}:=\neg \exists n\,(\operatorname {Prv} \_{T}(n)\land \operatorname {Prv} \_{T}(\operatorname {neg} (n)))}
ubi {\displaystyle \operatorname {neg} (\sharp \phi ):=\sharp (\neg \phi )} cuique \phi. Hoc igitur theorema alio modo exponitur:
"Si {\displaystyle T\vdash \operatorname {Cons} \_{T}}, tum {\displaystyle T} non est congruens."

Bibliographia
-------------

### Theoremata ipsa

* Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." *Monatshefte für Mathematik und Physik* 38 (1931): 173-98.

### De theorematis

* Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. *Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth.* Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
* Berto, Francesco. 2008. *Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza.* Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
* Delessert, André. 2000. *Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens.* Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
* Deutsch, Michael. 2003. *Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen.* Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
* Díaz Estévez, Emilio. 1975. *El teorema de Goedel.* Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
* Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. *Gödel's Proof.* Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

Nexus interni
-------------

* *Entscheidungsproblem*
* Ignoramus et ignorabimus
* Philosophia mathematicae