Positio triangulorum specialium in diagrammate Euleri de generibus triangularibus, secundum definitionem ut trianguli isosceles duo minimo latera aequalia haberent, itaque aequilaterales sunt isosceles.
**Praecipuus** est is **triangulus rectus** cuius propter usitatam proprietatem quandam calculationes in eum triangulum sunt faciles sive simplicis formulae: exempli gratia, triangulus rectus cuius anguli simpliciter compararentur, qualis 45°–45°–90°: hic triangulus dicitur "angulariter praecipuus". "Lateraliter praecipui" trianguli recti longitudines laterales faciunt proportiones numerorum naturalium, qualis proportio 3 : 4 : 5, sive aliorum praecipuorum numerorum qualis divina proportio. Comparationibus angularibus vel proportionibus lateralibus trianguli recti praecipui cognitis, multae longitudines in geometria calculentur sine modis multiplicioribus.

Angulariter praecipuus
----------------------

Angulariter praecipuus triangulus recti in circulo unitatis inscripti facile facit videre et recordari functiones trigonometricas multiplicatorum numerorum graduum 30º vel 45º.
"Angulariter praecipuus" triangulus rectus definiatur secundum comparationes angulorum eius. Qui anguli sunt eiusmodi ut maximus (rectus) angulus, nonaginta graduum sive π/2 radiantium dimensus, aequat summa aliorum duorum angulorum.

Longitudines laterales usitate colliguntur ex Formula:Creana sive per alios modos geometricos, at hoc modo celerius imitetur functiones trigonometricas angulorum 30°, 45°, 60°.

Praecipui trianguli auxilio sunt in trigonometricis functionibus usitatis computandis, videlicet:

| gradibus anguli | radiantibus | gradiantibus | revolutionibus | sinus | cos | tan | cotan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0° | 0 | 0g | 0 | √0/2 = 0 | √4/2 = 1 | 0 | indefinitus |
| 30° | π/6 | 33 1/3{{sfrac|33|1|3}}g | 1/12 | √1/2 = 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3{{sqrt|3}} |
| 45° | π/4 | 50g | 1/8 | √2/2 = 1/√2 | √2/2 = 1/√2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 66 2/3{{sfrac|66|2|3}}g | 1/6 | √3/2 | √1/2 = 1/2 | √3{{sqrt|3}} | 1/√3 |
| 90° | π/2 | 100g | 1/4 | √4/2 = 1 | √0/2 = 0 | indefinitus | 0 |

Trianguli angulorum 45°–45°–90°, 30°–60°–90°, et aequilateralis triangulus (60°–60°–60°) sunt tres Möbiani in plano, quod tessellent planum reflectis lateribus; vide gregem triangulorum.

### Angulis 45°–45°–90°

Longitudines laterales trianguli 45°–45°–90°
In geometria planorum, diagonali linea quadrati constructa, fit triangulus cuius anguli sunt proportione 1 : 1 : 2, summati 180° sive π radiantium. Itaque, anguli dimensi sunt 45 graduum (π/4) 45° (π/4), et 90° (π/2), et ut sequatur statim ex Theorema Pythagoreano latera sunt proportione 1 : 1 : √2.

Omnibus ex triangulis rectis, 45°–45°–90° graduum trianguli minima est proportio hypotenusa summae cathetorum, enim √2 / 2.

Omnibus etiam ex triangulis rectis, eiusdem trianguli maxima est proportio altitudinis ex hypotenusa, summae cathetorum, enim √2 / 4.

Horum angulorum unus triangulus rectus potest etiam esse isosceles in geometria Euclideana, sed spherica et hyperbolica in geometria, infinite multae sunt formae triangulorum rectorum isoscelium.

### Angulis 30°–60°–90°

Longitudines laterales trianguli 30°–60°–90°
Huius trianguli anguli sunt proportione 1 : 2 : 3, dimensi 30° (π/6), 60° (π/3), et 90° (π/2); latera proportione 1 : √3 : 2.

Proba huius rei clara est per trigonometriam. Pro proba geometrica:

Scribatur triangulus aequilateralis *ABC* longitudine laterali 2 et puncto *D* medio segmenti *BC*. Scribatur altitudo ab *A* ad *D*. Tum *ABD* est 30°–60°–90° triangulus, hypotenusa longitudinis 2, et basi *BD* longitudinis 1.
Et *AD* catheti est longitudo √3 ut sequatur ex theoremate Pythagoreano.
30°–60°–90° unus triangulus est cuius anguli sunt progressione arithmetica. Proba huius rei simplex sequatur sic: si *α*, *α* + *δ*, *α* + 2*δ* dimensi sunt anguli progressionis, summa angulorum 3*α* + 3*δ* aequat 180°; in tres partes divisus, ergo angulus *α* + *δ* sit 60°. Recto angulo 90° graduum dimenso, superest angulus graduum 30°.

Lateraliter praecipuus
----------------------

Triangulorum rectorum cuius integrae sunt longitudines laterales, (quae longitudines trinae constituere cognoscuntur triplicem Pythagoreanem), anguli non possunt omnes esse rationales gradibus dimensi (ut sequatur ex theoremate Niveni). Utilissimi sunt quod facile eos recordaretur et quod ullus multiplicatus laterum eandem comparationem facit. Secundum formulam Euclidi ad triplices Pythagoreanos computandos, latera sunt proportione

*m² - n² : 2mn : m² + n²*

ubi *m* et *n* est ullus positivus integer ut *m* > *n*.

### Triplices Pythagoreani communes

In nonnullis notis triplicibus Pythagoreanis sunt proportionibus lateralibus

| 3: | 4 | :5 |
| --- | --- | --- |
| 5: | 12 | :13 |
| 8: | 15 | :17 |
| 7: | 24 | :25 |
| 9: | 40 | :41 |

3 : 4 : 5 unus est triangulus rectus cuius latera sunt progressione arithmetica. Trianguli secundum triplices Pythagoreanos sunt Heroniani, quod et aream integram et latera integra haberent.

In Aegypto antiqua, usus possibilis trianguli longitudinum lateralium 3 : 4: 5, triangulo funi constructo, et num theorema Pythagorae iam cognitum esset, multum est disputatum. Primum suppositum esset ab historico Moritz Cantore anno 1882. Cognitum est angulos rectos ad unguem constructos esse in Aegypto antiqua; funibus ad dimensionem constructores usos; Plutarchum in *Moralia* (circa annum 100) Aegyptios admiratos esse triangulum 3 : 4 : 5 descripsisse; Papyrum Berolinensim 6619 ex Regno Medio Aegypti (ante 1700 a.C.n.) dixisse "aream quadrati centum aequat duorum parviorum quadratorum. Unius latus est ½ + ¼ alius lateris." Historicus mathematicae Roger L. Cooke observavit "Difficile est ullius interesse fingere eam conditionem qui theorema Pythagoreanum nescivisset." At nullum textum Aegyptiacum ante 300 a.C.n. observasse vero theorematis usum ad longitudinem lateris trianguli colligendam, et simpliciores esse alios modos trianguli construendi notans, ergo concludit conjecturam cantoris stare incertam: ipse conicit Aegyptios antiquos cognovisse verisimiliter theorema Pythagoreanum, sed "nulla evidentia? per id angulos rectos construxisse."

Sequentur omnes triplicum Pythagoreanorum proportiones, in minima forma, (ultra quinque minimos in minima forma in indice supra,) utrisque cathetis minoribus quam 256:

11: 60 :61

12: 35 :37

13: 84 :85

15: 112 :113

16: 63 :65

17: 144 :145

19: 180 :181

20: 99 :101

21: 220 :221

24: 143 :145

28: 45 :53

28: 195 :197

32: 255 :257

33: 56 :65

36: 77 :85

39: 80 :89

44: 117 :125

48: 55 :73

51: 140 :149

52: 165 :173

57: 176 :185

60: 91 :109

60: 221 :229

65: 72 :97

84: 187 :205

85: 132 :157

88: 105 :137

95: 168 :193

96: 247 :265

104: 153 :185

105: 208 :233

115: 252 :277

119: 120 :169

120: 209 :241

133: 156 :205

140: 171 :221

160: 231 :281

161: 240 :289

204: 253 :325

207: 224 :305

### Triplices Pythagoreani paene-isosceles

Cum trianguli recti isoscelis latera omnia integra non possunt, quia proportio hypotenusae alii lateri est √2, sed √2 quod irrationalis est, non est proportio ullorum duorum integrorum, tamen infinite multi sunt trianguli recti *paene isosceles*: quorum triangulorum rectorum latera sunt integra, quibus in triangulis, longitudines cathetorum differunt uno. Tales trianguli paene isosceles colligantur per recursionem:

*a*0 = 1, *b*0 = 2
*a**n* = 2*b**n*−1 + *a**n*−1
*b**n* = 2*a**n* + *b**n*−1
*a**n* est longitudo hypotenusae. *n* = 1, 2, 3, .... Aequivalet haec aequatio:

{\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}
ubi {*x*, *y*} sunt solutiones aequationis Pell *x² – 2y² = –1*, et hypotenusae longitudo *y* numerus imparis ex numeris Pell **1**, 2, **5**, 12, **29**, 70, **169**, 408, **985**, 2378... (sequentia A000129 in OEIS). Itaque minimi triplices Pythagoreani sunt:

| 3 : | 4 | : 5 |
| --- | --- | --- |
| 20 : | 21 | : 29 |
| 119 : | 120 | : 169 |
| 696 : | 697 | : 985 |
| 4,059 : | 4,060 | : 5,741 |
| 23,660 : | 23,661 | : 33,461 |
| 137,903 : | 137,904 | : 195,025 |
| 803,760 : | 803,761 | : 1,136,689 |
| 4,684,659 : |  4,684,660  | : 6,625,109 |

Aliter, eidem trianguli subducantur ex numeris triangularibus quadratis.

### Progressio arithmetica et geometrica

**Triangulus Kepleri** est rectus formatus tribus quadratis quorum areae sunt progressione geometrica secundum **divinam proportionem**.
Triangulus Kepleri est rectus cuius latera sunt progressione geometrica. Cum si latera formata sunt ex progressione geometrica *a*, *ar*, *ar*2, proportio communis *r*= √φ ubi *φ* est divina proportio, latera ergo sunt proportione 1 : √φ : φ. Itaque, forma trianguli Kepleri est unica determinata (praeter triangulos proportionis) quod latera sint progressione geometrica.

Triangulus lateribus 3–4–5 unicus est ex triangulis rectis (praeter triangulos proportionis) quorum latera sunt progressione arithmetica.

### Latera polygonorum regularium

Latera pentagoni et hexagoni et decagoni in congruentibus circulis inscriptorum conficiunt rectum triangulum.
Aequet a = 2 sin (π / 10) = (–1 + √5) / 2 = 1 / φ = longitudo lateralis decagoni regularis in circulo unitatis inscripti, ubi *φ* est divina proportio. Et b = 2 sin (π / 6) = 1 = longitudo lateralis hexagoni regularis in circulo unitatis. Et c = 2 sin (π / 5) = √((5-√5)/2) = longitudo lateralis pentagoni regularis in circulo unitatis. Ergo quod a² + b² = c², hae tres longitudines sunt laterum trianguli recti, qui idem triangulus est secunda pars rectanguli aurei, etiam reperiatur in icosahedri regularis latere longitudinis *c*: linea parvissima ex ulla vertice *V* ad planum quinque finitimarum est longitudine *a,* cuius lineae fines cum ullis finitimis verticis *V* faciunt vertices trianguli recti lateribus *a*, *b*, and *c*.

Notae
-----

1. ↑  Posamentier, Alfred S. and Lehman, Ingmar.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Rational Triangle". *MathWorld*
3. ↑  Cooke, Roger L. (2011). *The History of Mathematics: A Brief Course* (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0
4. ↑  Gillings, Richard J. (1982). *Mathematics in the Time of the Pharaohs*. Dover. p. 161 .
5. ↑  Forget, T. W.; Larkin, T. A. (1968), "Pythagorean triads of the form *x*, *x* + 1, *z* described by recurrence sequences", *Fibonacci Quarterly* **6** (3): 94–104 .
6. ↑  Chen, C. C.; Peng, T. A. (1995), "Almost-isosceles right-angled triangles", *The Australasian Journal of Combinatorics* **11**: 263–267 .
7. ↑  (sequence {{OEIS|A001652}}OEIS{{OEIS|A001652}}
8. ↑  Nyblom, M. A. (1998), "A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles", *The Fibonacci Quarterly* **36** (4): 319–322 .
9. ↑  Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (1997), "Arithmetic triangles", *Mathematics Magazine* **70** (2): 105–115 .
10. ↑  Euclid's *Elements*, Book XIII, Proposition 10.
11. ↑  nLab: pentagon decagon hexagon identity.

Nexus externi
-------------

* 3 : 4 : 5 triangulus
* 30–60–90 triangulus
* 45–45–90 triangulus cum animationibus interactivis