Numeri et eorum quadrati
**Numerus quadratus** in mathematica, etiam **quadratus perfectus** appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.. Integer positiva cui non sunt divisores quadrati perfect praeter 1 sine quadrato appellatur.

Proprietates
------------

### De visu

Numerus *n* est quadratus solum si *n* puncta in quadro ordinentur:

|  |  |
| --- | --- |
| 12 = 1 | 1 = 12 |
| 22 = 4 | 4 = 22 |
| 32 = 9 | 9 = 32 |
| 42 = 16 | 16 = 42 |
| 52 = 25 | 25 = 52 |

### Formulae et res pertinentes

Formula pro *n* numero quadrato est *n*2. Etiam haec aequat summam primorum *n* numerorum imparum ({\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1)}), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus *+*).
E.g. 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

*n* quadratus ex duobus prioribus calculetur addendo (*n* − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (*n* − 2)um quadratum, et addendo 2.  

I.e. ({\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}).  

E.g. 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + *n* − 1 + *n* − 1 + *n*, ut monstratur super in picturis.  

E.g. 42 aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.  

Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g. 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16. 

Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus; exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.

Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.

### De notis ultimis

Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:

1. Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
2. Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
3. Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
4. Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
5. Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar.
6. Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.

  

Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.

### Pares quadrati et impares

Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2*n*)2 = 4*n*2.

Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1.

Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.

Brevis index
------------

Primi 51 quadrati sunt: 02 = 0

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400

212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900

312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600

412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500

Nexus interni
-------------

* Coniectura Legendre
* Numerus triangularis
* Quadrilaterale

Bibliographia
-------------

* Conway, J. H. et R. K. Guy. 1996. *The Book of Numbers.* Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

Nexus externi
-------------

* http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit
* Disce Numeros Quadratos
* Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org
* Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum