Ernestus Zermelo, Friburgi anno 1953.
**Axiomata Zermelo-Fraenkel** (saepius **ZF** aut **ZFC** si receptum est axioma electionis) sunt axiomata theoriae copiarum ab Ernesto Zermelo et Adopho Abrahamo Halevi Fraenkel edita, quae plerumque a mathematicis hodiernis pro fundamento huius doctrinae asciscunt. Theoria formalis est cum signis ∅ (quod copiam inanem signat) et ∈ (quod aliam copiam ali appertinere signat).

Index axiomatum
---------------

1. **Extensionalitas.** Si S et T eadem elementa habent, tum S = T.

2. **Iunctio parium.** Datis *a* et *b,* exstat copia {a, b} cuius elementa sunt *a* et *b* et nulla alia.

3. **Separatio.** Si P est proprietas et S est copia data, exstat copia {\displaystyle \{a\in S:P(a)\}}; est copia omnium elementorum copiae S quae proprietatem P habent.

4. **Coniunctio.** Exstat copia {\displaystyle \cup S}, quae est conunctio omnium elementorum copiae S.

5. **Copia potens.** Exstat copia {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}, quae est copia omnium copiarum inferiorium copiae S.

6. **Infinitas.** Exstat copia infinita.

7. **Substitutio.** Si F est functio et S est copia, exstat copia {\displaystyle T=F(S)=\{F(a):a\in S\}}

8. **Regularitas.** Si S non est vacua, habet elementum quaedam *a* quae *ε-minimum elementum* est. Hoc est,

{\displaystyle \forall S(S\neq \emptyset )\to (\exists x\in S:S\cap x=\emptyset ))}

9. **Electio.** Si {\displaystyle {\mathcal {F}}} est familia copiarum et {\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {F}}}, est *functio electionis* huius familiae; hoc est, exstat functio *f* quae elementum elegit e copiis familiae:
{\displaystyle f(S)\in S,{\text{si }}S\in {\mathcal {F}}}.

Theoria **ZFC** (Zermelo-Fraenkel cum electionis axiomate: C significat "choice," hoc est "electio") nominata hae novem axiomata habet; theoria **ZF** (Zermelo-Fraenkel) modo octo prima, sine axiomata electionis.

### Extensionalitas

*Axioma extensionalitatis* significat copiam modo ab elementis suis definiri. Etiamsi elementa alio modo scripta, est eadem copia: {a, b, c} = {c, b, a}.

### Iunctio parium

*Axioma iunctionis* nobis permittit copias definire, elementis datis. Si copiam volumus quae unum tantum elementum habet, est {a, a}: hoc axioma dicit hanc copiam exstare; tunc axioma extensionalitatis dicit {a, a} = {a}. Per inductionem possumus copias definire quas habebunt quamlibet cardinalitatem finitam.

### Separatio

*Axioma separationis* nobis permittit copias definire etiamsi non possumus (aut non volumus) omnia elementa enumerare. Exempli gratia, {\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :2|x\}} est copia numerorum parium. Maximi momenti est *S* in axiomate: nihil possumus dicere de elementis sine copia universale e qua veniunt. Si talem copiam non nominamus, paradoxa Russell resultat: Puta S esse copiam, cuius elementa sunt omnes copiae quae non sunt elementa ipsarum, et nullae aliae. Hoc est, {\displaystyle S=\{T:T\notin T\}} Nunc, estne {\displaystyle S\in S}, annon? Si {\displaystyle S\in S}, secundum definitionem huius copiae scimus {\displaystyle S\notin S}. Sed si {\displaystyle S\notin S}, secundum eandem definitionem scimus {\displaystyle S\in S}. Haec est paradoxa a Bertrando Russell explicata. Axioma separationis tales definitiones non permittit.

Axiomate separationis possumus *copiam vacuam* definire: est copia {\displaystyle \{x:x\neq x\}}.

### Coniunctio

*Axioma coniunctionis* operationem definit quem *coniunctionem* nominamus. Copia S data, {\displaystyle T=\cup S{\text{si }}\forall a\{a\in T\leftrightarrow \exists V:V\in S\land a\in V\}}. Hoc est, elementa T sunt elementa elementorum S. Si {\displaystyle S=\{\{a\},\{b\}\}}, tum {\displaystyle \cup S=\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}.}

### Copia potens

Si S = {x, y, z}, haec est copia potens S
*Axioma copiae potentis* dicit copiam esse cuius elementa sunt copiae inferiores copiae cuidam datae. Exempli gratia, sit S = {x, y, z}. Copiae inferiores illius S sunt copia vacua {} vel {\displaystyle \emptyset }; tres copiae unius elementi {x}, {y}, {z}; tres duorum elementarum {x, y}, {y, z}, {x, z}; et S ipsa. {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} est ergo {\displaystyle \{\emptyset ,\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\},\{x,y,z\}\}}. Quod S tria elementa habet, copia potens S habet 23 = 8 elementa.

### Infinitas

*Axioma infinitatis* dicit esse copiam infinitam. Alia axiomata nobis dicunt esse copiam vacuam, et, copia vacua data, possumus facere {\displaystyle \{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},} et alias tales copias, sed nescimus utrum copiae infinitae exstent. Eas igitur postulamus.

### Substitutio

*Axioma substitutionis,* vel melius *schema substitutionis,* nobis permittit substituere valores functionis pro elementis datis. Hoc est schema:

{\displaystyle \forall a,b,c,{\text{si }}f(a,b)=f(a,c)\to b=c,:{\text{tum }}\exists T(d\in t\leftrightarrow \exists a\in S\land f(a,d)}
ubi *f(a, b)* est formula logica quae idem significat quod *F(a) = b.*

Stricte, axioma separationis est consecutio huius axiomatis: non necesse est regulam separationis axioma nominare.

### Regularitas

*Axioma regularitatis* significat relationem inter copias {\displaystyle A\in B} bonum sensum habere. Ex hoc axiomate scimus non esse sequentiam circularem talem {\displaystyle a\_{1}\in a\_{2}\in a\_{3}\dots \in a\_{1}}, nec sequentiam infinitam talem {\displaystyle a\_{1}\ni a\_{2}\ni a\_{3}\dots }. Relatio {\displaystyle A\in B} est ergo ordo partialis inter copias. Et inter elementa copiae data S, est elementum minimum secundum huius ordinis, quod dicitur *ε-minimum elementum.*

### Electio

*Axioma electionis* ab aliis non pendet: sunt exemplara axiomatum ZF in quibus hoc axioma verum est, et exemplares in quibus falsum est, ut demonstravit Paulus Cohen anno 1963. Secundum hoc axioma, si habemus familiam F copiarum, possumus elementum eligere ex omni copia familiae. Quamquam facile est dictu, hoc axioma non dicit quomodo talis functio fiat, ut sint mathematici qui id vetare malunt. Conferre possumus axioma Euclidis de lineis parallelis: hoc axioma quoque differt ab aliis, nec ab eis pendet. Sicut geometria saeculo undevicesimo, theoria copiarum saeculo vicesimo debebat nova exemplara et novas theorias invenire.

Hoc axioma a Zermelo aeque ac legem boni ordinibus valere, a Max August Zorn ac lemma suo nomine nominatum monstratum est. Consequitur autem ab eo Paradoxon Banach-Tarski, theorema permirum quod nulla ratione in natura comprobatum videtur, sed nihilominus id axioma recipiunt mathematici hodierni, theoremata mirabilia quae ab eo consequuntur haud minus vera esse credentes.

Bibliographia
-------------

* Jech, Thomas. 2003. *Set Theory,* editio tertia. Springer. ISBN 3-540-44085-2.