Grex fundamentalis circuli.
**Topologia algebraica** in mathematica est pars topologiae quae modis et instrumentis algebrae utitur. Notiones magni momenti sunt multiplex, grex fundamentalis, et homologia. Topologia algebraica quantitates invariabiles invenit, quae ad spatium topologicum quodam cohaerent, similes dimensioni in geometria.

Homotopia
---------

Homotopia est relatio inter functiones in spatio topologico. Sit *f* et *g* functiones continuae e spatio X in spatio Y: {\displaystyle f,g:X\rightarrow Y} Sit *I* intervallum [0, 1]. Tunc *f* et *g* homotopicae dicuntur si exstat functio {\displaystyle F:X\times I\rightarrow Y} ubi:

{\displaystyle \forall X\in xF(x,0)=f(x){\text{ et }}F(x,1)=g(x)}
Functio F est homotopia inter f et g; est quasi familia functionum inter X et Y.

Nunc, si X et Y sunt idem spatium (hoc est, si X = Y), functio continua {\displaystyle f:I\rightarrow X} dicitur *iter*; si {\displaystyle f(0)=x\_{0},f(1)=x\_{1}}, f est iter ab x0 ad x1. Homotopia itinerum est notio similis homotopiae sed robustior. Sit {\displaystyle F:I\times I\rightarrow X} talis functio:

{\displaystyle \forall s,t,0\leq s\leq 1F(s,0)=f(s){\text{et}}}
{\displaystyle F(s,1)=g(s){\text{ et}}}
{\displaystyle F(0,t)=x\_{0}{\text{ et}}}
{\displaystyle F(1,t)=x\_{1}}
Tunc *F* est homotopia itinerum inter *f* et *g.*

Grex fundamentalis
------------------

Grex fundamentalis (vel caterva fundamentalis) spatii topologici *X* est grex cuius elementa sunt itinera quaedam in *X* (non autem *omnia* itinera: vide infra) et cuius operatio est compositio itinerum. 

Compositio haec est: Sit *f* iter in *X* ab *x0* ad *x1,* et sit *g* iter ab *x1* ad *x2.* Tunc:

{\displaystyle f\*g(x)=f(2x),0\leq x\leq 1/2}
{\displaystyle =g(2x-1),1/2\leq x\leq 1}
Nova functio *f \* g* est iter ab *x0* ad *x2.* Quia {\displaystyle f(1)=g(0)=x\_{1}} (quod ambo sunt itinera), {\displaystyle f\*g(1/2)=x\_{1}}, quia {\displaystyle f(2\times 1/2)=f(1)=x\_{1},{\text{ et }}g(2\times 1/2-1)=g(0)=x\_{1}}

Idemfactor compositionis est iter "constans": {\displaystyle \forall x\in Iid\_{0}(x)=x\_{0}} Si f est iter ab x0 ad x1, tunc {\displaystyle id\_{0}\*f=f{\text{ et }}f\*id\_{1}=f} Notandum est tantos idemfactores esse quantae sunt puncta in spatio X.

Si autem in mente habemus itinera quae in eodem puncto initium et finem habent, hae itinera sunt grex.

Grex fundamentalis spatii X ad punctum *x0* ergo est copia itinerum ab *x0* ad *x0,* sub operationem compositionem antea definitam, cum idemfactore *id0.* (Etiam "primus grex homotopicus" nominatur.)

Etiamsi definitio gregis fundamentalis ab electione puncti pendet, omnes hi greges inter se isomorphici sunt.

Multiplices
-----------

Multiplex (vel fortasse *manifoldum* vel *varietas*) dimensionis N est spatium Hausdorff ubi omne punctum vicinium habet homeomorphicum copiae inferioris {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} Multiplex dimensionis N dicitur etiam N-multiplex. 1-multiplexus est flexus et 2-multiplex est superficies.

Homologia
---------

Grex fundamentalis est primus grex homotopicus; sunt alii, qui quasi plures dimensiones praebent. Similis gregi homotopico est grex homologicus; spatium topologicum X series habet gregum abelianorum homologicorum.

Utilitas topologiae algebraicae
-------------------------------

Demonstratio simplicissima theorematis fundamentalis algebrae topologia algebraica utitur.

Notae
-----

1. ↑  Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.
2. ↑  Munkres p. 318ff
3. ↑  Munkres, p. 326ff
4. ↑  Munkres p. 222 ff.
5. ↑  Massey p. 237ff.

Nexus interni
-------------

* Algebra abstracta
* Algebra homologica
* Torus (mathematica)

Bibliographia
-------------

* Gowers, Timothy, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. 2008. *The Princeton Companion to Mathematics.* Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
* Massey, W. S. 1967. *Algebraic Topology: An Introduction.* Novi Eboraci et Heidelbergae: Springer Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
* Munkres, James. 1975.*Topology: A First Course.* Englewood Cliffs Novae Caesareae: Prentice-Hall. ISBN 0-13-925495-1.

Nexus externi
-------------


|  |  |
| --- | --- |
|  | **Vicimedia Communia** plura habent quae ad **topologiam algebraicam** spectant. |

* Cursus scholasticus topologiae algebraicae apud MIT Open Course Ware