**Caterva** (aut **gruppus** aut **grex**) est structura algebraica abstracta: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est *idemfactor,* hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto *e* idemfactor et *a* aliud elementum; deinde *e + a = a.* Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si *a* et *b* sunt elementa catervae, deinde *a + b* est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si *a* et *b* sunt elementa catervae, deinde *a + b = b + a*. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris corporis.

Definitio
---------

Caterva est copia {\displaystyle G} cum operatione {\displaystyle (\cdot )} inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

###### Clausitas

Pro omnia elementa {\displaystyle a,b} in caterva, {\displaystyle a\cdot b} quoque in caterva est.

###### Associativitas

Pro omnia elementa {\displaystyle a,b,c} in caterva, haec identitas est apta: {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}.

###### Elementum Idemfactor

Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe {\displaystyle e} scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta: {\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}

###### Elementum Inversum

Pro omnia elementa {\displaystyle a} in caterva, est alium elementum, {\displaystyle a^{-1}}, cum ita sit {\displaystyle a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}

Caterva numerorum
-----------------

Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si *a* et *b* sunt integri, *a + b* quoque integer est; 0 est idemfactor; et *-a* est elementum inversum elementi *a.*

Caterva matricum, vel caterva linearis
--------------------------------------

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.

Caterva symmetrica
------------------

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si *a* et *b* sunt transformationes, *a + b* est transformatio nova ubi facimus *b,* dein *a.* Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est *caterva dihedralis.* Haec sunt elementa:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|   idemfactor: omnia puncta manent |   r1: rotatio 90° ad dexteram partem |   r2: rotatio 180° |   r3: rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem |
|   fv: reflexio verticalis |   fh: reflexio horizontalis |   fd: reflexio in uno diagonale |   fc: reflexio in altero diagonale |
| Transformationes quadratae: elementa caterva dihedralis. |

Notae
-----

1. ↑   Fons nominis Latini desideratur *(addito fonte, hanc formulam remove)*

Bibliographia
-------------

* Saunders MacLane and Garret Birkhoff, *Algebra.* New York: Macmillan, 1979.

* David S. Dummit and Richard S. Foote, *Abstract Algebra*, 3rd edition. Wiley and Sons Inc. 2004.