리 군 이론에서, **킬링 형식**(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의
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### 추상적 정의

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하고, 또한 {\mathfrak {g}}가 유한 차원 K-자유 가군이라고 하자. 이제, {\mathfrak {g}}의 딸림표현

{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}};k)}
\operatorname {ad}(x)\colon y\mapsto [x,y]
를 생각하자. 그렇다면, {\mathfrak {g}}의 **킬링 형식**

{\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}
는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

{\displaystyle B(a,b)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}
여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

#### 리 초대수의 경우

보다 일반적으로, 체 K 위의 리 초대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하고, 또한 {\mathfrak {g}}가 유한 차원 K-초벡터 공간이라고 하자. 이제, {\mathfrak {g}}의 딸림표현

{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}};K)}
{\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y\}}
를 생각하자. 그렇다면, {\mathfrak {g}}의 **킬링 형식**

{\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}
는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.:§23

{\displaystyle B(a,b)=\operatorname {str} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}
여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

### 성분을 통한 정의

체 위의 유한 차원 리 대수 {\mathfrak {g}}의 기저 (x\_{i})\_{i\in I}를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

{\displaystyle [x\_{i},x\_{j}]=f\_{ij}{}^{k}x\_{k}}
라고 하자. 그렇다면, {\mathfrak {g}}의 **킬링 형식**은 다음과 같다.

{\displaystyle B(x\_{i},x\_{j})=B\_{ij}=\sum \_{k}\sum \_{l}f\_{ik}{}^{l}f\_{jl}{}^{k}}

성질
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킬링 형식은 대각합의 순환성({\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)})에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}
### 리 초대수의 킬링 형식

체 K 위의 유한 차원 리 초대수 {\mathfrak {g}}의 킬링 형식 B는 다음과 같은 성질을 갖는다.:§23

{\displaystyle B({\mathfrak {g}}\_{0},{\mathfrak {g}}\_{1})=0}
{\displaystyle B(x,y)=(-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}\_{0}\cup {\mathfrak {g}}\_{1}}
{\displaystyle B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.:§23

* {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n|n)}
* {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}
* {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2n+2|2n)}
* {\mathfrak p}(n)
* {\mathfrak q}(n)

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

### 직합

체 K 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 {\mathfrak {g}}, {\displaystyle {\mathfrak {g}}'}에 대하여, 그 직합 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}의 킬링 형식은 다음과 같다.

{\displaystyle B\_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}(x\oplus x',y\oplus y')=B\_{\mathfrak {g}}(x,y)+B\_{\mathfrak {h}}(x',y')\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;x',y'\in {\mathfrak {g}}')}
### 실수체 위의 리 대수

만약 {\mathfrak {g}}가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 **카르탕 조건**(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

예
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### 아벨 리 대수

임의의 체 K 위의 유한 차원 아벨 리 대수 {\mathfrak {g}}의 킬링 형식은 항상 0이다.

### 행렬 리 대수

임의의 체 K 및 자연수 n에 대하여, 일반 선형 리 대수 {\displaystyle \operatorname {\mathfrak {gl}} (n;K)}의 킬링 형식은 다음과 같다.

{\displaystyle B\_{{\mathfrak {gl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)-2\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)}
또한, 특수 선형 리 대수 {\displaystyle \operatorname {\mathfrak {sl}} (n;K)}의 킬링 형식은 다음과 같다.

{\displaystyle B\_{{\mathfrak {sl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)}

**증명:**

편의상, {\mathfrak {gl}}(n;K)의 기저 {\displaystyle (e\_{ij})\_{1\leq i,j\leq n}}가 (i,j)번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle [M,e\_{ij}]\_{ab}=\delta \_{jb}M\_{ai}-\delta \_{ia}M\_{jb}}
이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

{\displaystyle [M,[N,e\_{ij}]]+[e\_{ij},[M,N]]+[N,[e\_{ij},M]]=0}
이다. 따라서,

{\displaystyle c\_{ij}=([M,[N,e\_{ij}])\_{ij}}
{\displaystyle B(M,N)=\sum \_{ij}c\_{ij}}
라고 놓으면,

{\displaystyle c\_{ij}=\left(\sum \_{a=1}^{n}M\_{ia}N\_{ai}\right)-M\_{ii}N\_{jj}-N\_{ii}M\_{jj}+\left(\sum \_{a=1}^{n}N\_{ja}M\_{aj}\right)}
가 된다. 따라서,

{\displaystyle B(M,N)=\sum \_{i,j=1}^{n}\left(\left(\sum \_{a=1}^{n}M\_{ia}N\_{ai}\right)-M\_{ii}N\_{jj}-N\_{ii}M\_{jj}+\left(\sum \_{a=1}^{n}N\_{ja}M\_{aj}\right)\right)=2n\operatorname {tr} (MN)-2\operatorname {tr} M\operatorname {tr} N}
이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;K)\oplus K\cong {\mathfrak {gl}}(n;K)}
아래, 아벨 리 대수 K의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

| 리 대수 | 설명 | 킬링 형식 |
| --- | --- | --- |
| **gl**(*n*, ℂ) | *n*×*n* 복소수 행렬 | 2*n* tr(*XY*) − 2 tr(*X*)tr(*Y*) |
| **sl**(*n*, ℝ) | *n*×*n* 무대각합 복소수 행렬 | 2*n* tr(*XY*) |
| **su**(*n*) | *n*×*n* 반에르미트 행렬 | 2*n* tr(*XY*) |
| **so**(*n*, ℝ) | *n*×*n* 반대칭 실수 행렬 | (*n*−2) tr(*XY*) |
| **so**(*n*, ℂ) | *n*×*n* 반대칭 복소수 행렬 | (*n*−2) tr(*XY*) |
| **sp**(2*n*, ℝ) | 2*n*×2*n* 실수 해밀턴 행렬 | (2*n*+2) tr(*XY*) |
| **sp**(2*n*, ℂ) | 2*n*×2*n* 복소수 해밀턴 행렬 | (2*n*+2) tr(*XY*) |

### 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 {\sqrt {2}}가 되게 규격화한다.:27:§13.1.10 이 경우 짧은 근의 길이는 B*n*, C*n*, F4인 경우 1 또는 G2의 경우 {\sqrt {2/3}}이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.

| 리 대수 | 행렬 표현 | 규격화 계량 형식 |
| --- | --- | --- |
| **su**(*n*) | *n*×*n* 반에르미트 행렬 | − tr(*XY*) |
| **so**(*n*, ℝ) | *n*×*n* 반대칭 행렬 | − ½tr(*XY*) |
| **usp**(2*n*) | 2*n*×2*n* 반에르미트 해밀턴 행렬 | − tr(*XY*) |
| *n*×*n* 사원수 반에르미트 행렬 | − tr(*XY* + *YX*) |
| **e**6 | 27×27 반에르미트 행렬 | − (9/4) tr(*XY*) |
| **e**7 | 56×56 반대칭 행렬 | − (3/2) tr(*XY*) |
| **e**8 | 248×248 반대칭 행렬 | − (41/10) tr(*XY*) |
| **f**4 | 26×26 반대칭 행렬 | − (4/3) tr(*XY*) |
| **g**2 | 7×7 반대칭 행렬 | − (5/8) tr(*XY*) |

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{3}\to G}에 대하여 항상

{\frac 1{48\pi }}\int \_{G}\langle g^{{-1}}dg,[g^{{-1}}dg,g^{{-1}}dg]\rangle \in {\mathbb Z}
이다.

이렇게 규격화한 계량 형식을 \langle \cdot ,\cdot \rangle 로 놓으면,

K=-2h^{\vee }\langle \cdot ,\cdot \rangle 
이다.:§6.1:§13.1.2 여기서 h^{\vee }는 단순 리 대수의 **이중 콕서터 수**(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 리 대수 | **a***n* | **b***n* | **c***n* | **d***n* | **e**6 | **e**7 | **e**8 | **f**4 | **g**2 |
| 다른 이름 | SU(*n*+1) | SO(2*n*+1) | USp(2*n*) | SO(2*n*) | — |
| 이중 콕서터 수 | *n*+1 | 2*n*−1 | *n*+1 | 2*n*−2 | 12 | 18 | 30 | 9 | 4 |

역사
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엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

참고 문헌
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1. ↑  Bump, Daniel (2004). 《Lie Groups》. Graduate Texts In Mathematics (영어) **225**. Springer. ISBN 978-0-387-21154-1.
2. ↑  Fuchs, Jurgen (1992). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X.
3. 1 2 3  Frappat, L.; Sciarrino, A.; Sorba, P. (1996년 7월). "Dictionary on Lie superalgebras" (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.
4. ↑  Slansky, R. (1981년 12월). "Group theory for unified model building". 《Physics Reports》 (영어) **79** (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. ISSN 0370-1573.
5. 1 2  Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-7475-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
6. 1 2  Hori, Kentaro. "Some notes on compact Lie groups" (PDF). 2013년 12월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 3일에 확인함.
7. ↑  Kac, Victor G. (1990). 《Infinite Dimensional Lie Algebras》 3판. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 9780521466936.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
8. ↑  Cartan, Élie (1894). 《Sur la structure des groupes de transformations finis et continus》. Thesis. Nony.