지붕의 집합| Pentagonal cupola오각지붕 (예시) |
| 슐레플리 기호 | {*n*} || t{*n*} |
| 면 | 정삼각형 *n*개,정사각형 *n*개,*n*각형 1개,2*n*각형 1개 |
| 모서리 | 5*n* |
| 꼭짓점 | 3*n* |
| 대칭군 | C*n*v, [1,*n*], (\**nn*), 2n차 |
| 회전군 | C*n*, [1,*n*]+, (*nn*), n차 |
| 쌍대 | Trapyramids |
| 특성 | 볼록 |

기하학에서 **지붕**은 하나는 (밑면) 다른 것의 변의 두 배를 가진 두 다각형을 이등변삼각형과 직사각형이 번갈아 나타나는 띠로 연결한 다면체이다. 삼각형이 정삼각형이고, 사각형이 정사각형일 때, 밑면과 그 반대면이 정다각형이라면, 삼각, 사각, 그리고 오각지붕은 모두 존슨의 다면체로 계수되고, 각각 육팔면체, 마름모육팔면체, 그리고 마름모십이이십면체의 일부로 만들어진다.

지붕은 한 쪽 다각형이 교대 꼭짓점을 병합해서 절반으로 만든 각기둥으로 볼 수 있다.

지붕은 확장된 슐레플리 기호로 {*n*} || t{*n*}로 주어질 수 있으며, 정다각형 {n}이 평행한 그 깎은 형태, t{n} 또는 {2n}과 결합한 것을 나타낸다.

지붕은 기둥형 다면체의 부분그룹이다.

예시
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볼록한 지붕족| n | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 이름 | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
| 지붕 | 삼각지붕 | 사각지붕 | 오각지붕 | 육각지붕(평면) |
| 관련된 고른 다면체 | 육팔면체 | 마름모육팔면체 | 마름모십이이십면체 | 마름모삼육각형타일링 |

마름모삼육각형 타일링에서 평면 "육각지붕"이다.
위에서 언급된 세 다면체는 유일한 정다각형 면을 가지는 자명하지 않은 볼록한 지붕이다. "육각지붕"은 평면 도형이다. 하지만, 높은 차수의 지붕은 비정다각형 삼각형과 직사각형 면으로 만들어질 수 있다.

다음은 지붕과 관련된 고른 다면체이다.

삼각지붕과 관련된 고른 다면체:육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임)

사각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음)

오각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모십이이십면체

육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링:마름모삼육각형 타일링

꼭짓점의 좌표
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사십각지붕은 이등변삼각형 (파란색) 40개, 직사각형 (노란색) 40개, 상부의 정사십각형 (빨간색)과 하부의 정팔십각형 (가려짐)을 가진다.
지붕의 정의는 밑면(또는 윗면이라고 불리는 밑면의 반대면)이 정다각형일 필요는 없지만, 지붕이 최대의 대칭 C*n*v를 가질 때는 정다각형으로 고려하는 것이 편리하다. 이 경우에는, 윗면은 정*n*각형이고 밑면이 정2*n*각형이거나 두 다른 길이가 교대로 나타나고 정2*n*각형과 각이 같은 2*n*각형이다. 좌표계를 이동시켜서 밑면이 *xy*평면에 놓이고, 윗면을 *xy*평면에 평행하게 하는 것이 편리하다. *z*축은 *n*-fold 축이고 거울면은 *z*축을 지나면서 밑면의 변을 이등분한다. 이것은 또한 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다. (*n*이 짝수일 때, 거울면의 절반은 윗면의 변을 이등분하고 나머지 절반은 각을 이등분하고, *n*이 홀수이면, 모든 거울면은 한쪽은 윗면의 변을, 한쪽은 각을 이등분 한다.) 밑면의 꼭짓점은 V1에서 V2*n*까지 지정할 수 있고, 윗면의 꼭짓점은 V2*n*+1에서 V3*n*까지 지정할 수 있다. 이 정의로, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다:

* *V*2*j*−1: (*rb* cos[2π(*j* − 1) / *n* + α], *rb* sin[2π(*j* − 1) / *n* + α], 0)
* *V*2*j*: (*rb* cos(2π*j* / *n* − α), *rb* sin(2π*j* / *n* − α), 0)
* *V*2*n*+*j*: (*rt* cos(π*j* / *n*), *rt* sin(π*j* / *n*), *h*)

이때 *j* = 1, 2, ... *n*이다.

또 다각형 *V*1*V*2*V*2*n*+2*V*2*n*+1,등은 직사각형이기 때문에, 이것은 *rb*, *rt*, 그리고 α의 값에 제약을 준다. *V*1*V*2의 길이는 다음과 같다:

*rb*{[cos(2π / *n* − α) − cos α]2 + [sin(2π / *n* − α) − sin α]2}1⁄2
= *rb*{[cos2(2π / *n* − α) − 2cos(2π / *n* − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / *n* − α) − 2sin(2π / *n* − α)sin α + sin2 α]}1⁄2
= *rb*{2[1 − cos(2π / *n* − α)cos α − sin(2π / *n* − α)sin α]}1⁄2
= *rb*{2[1 − cos(2π / *n* − 2α)]}1⁄2
그리고 *V*2*n*+1*V*2*n*+2의 길이는 다음과 같다:

*rt*{[cos(π / *n*) − 1]2 + sin2(π / *n*)}1⁄2
= *rt*{[cos2(π / *n*) − 2cos(π / *n*) + 1] + sin2(π / *n*)}1⁄2
= *rt*{2[1 − cos(π / *n*)]}1⁄2.
이것들은 같으며, 공통 모서리는 *s*로 표시된다,

*rb* = *s* / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}1⁄2
rt = *s* / {2[1 − cos(π / *n*)]}1⁄2
이 값들은 먼저 주어진 꼭짓점의 좌표 공식에 대입할 수 있다.

별 지붕
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별-지붕족| *n* / *d* | 4 | 5 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | {4/3} | {5/3} | {7/3} | {8/3} |
| 5 | — | — | {7/5} | {8/5} |

별-지붕형 다면체족| *n* / *d* | 3 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | 교차 삼각지붕형 다면체 | 별 오각지붕형 다면체 | 별 칠각지붕형 다면체 |
| 4 | — | 별 교차 오각지붕현 다면체 | 별 교차 칠각지붕형 다면체 |

별 지붕은 6/5 < *n*/*d* < 6이고 *d*는 홀수인 모든 밑면 {*n*/*d*}에 대하여 존재한다. 극한에서 지붕은 평면 도형으로 찌그러진다: 극한너머에서는 삼각형과 사각형은 더이상 두 다각형 사이의 거리를 채우지 않는다. *d*가 짝수일 때, 밑면 {2*n*/*d*} 은 불가능해진다: 불가능한 면을 없애고 대신에 삼각형과 사각형을 서로 연결하면 *지붕형 다면체*나 *반지붕*을 만들 수 있다. 특히, 사반육면체는 {3/2}-지붕형 다면체로 볼 수 있다. 지붕은 모두 유향 다양체이고, 지붕형 다면체는 모두 가향 다양체가 아니다. 지붕형 다면체에서 *n*/*d* > 2일 때, 삼각형과 사각형은 밑면 전체를 덮지 않고, 작은 막은 단순히 빈 공간을 덮기 위해 밑면에 남는다. 따라서 위에서 나타낸 {5/2}와 {7/2} 기둥형 다면체는 (채워지지 않은) 막을 가진다. 반면에 위에서 나타낸 {5/4}와 {7/4} 기둥형 다면체는 막을 가지지 않는다.

{*n*/*d*}지붕의 높이 *h*는 다음의 공식으로 주어진다:
{\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}({\frac {\pi d}{n}})}}}}}. 특히, *n*/*d* = 6과 *n*/*d* = 6/5에서 극한적으로 *h* = 0이고, *n*/*d* = 2에서 (삼각기둥,삼각형이 직립일 때) *h*는 최대화된다.

위의 그림에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다: 밑면 *n*/*d*각형은 빨간색, 밑면 2*n*/*d*각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것처럼 *n*/*d*각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다.

역지붕
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역지붕의 집합| 역오각지붕오각형 예시 |
| 슐레플리 기호 | s{*n*} || t{*n*} |
| 면 | 삼각형 3*n*개*n*각형 1개,2*n*각형 1개 |
| 모서리 | 6*n* |
| 꼭짓점 | 3*n* |
| 대칭군 | C*n*v, [1,*n*], (\**nn*), 2*n*차 |
| 회전군 | C*n*, [1,*n*]+, (*nn*), *n*차 |
| 쌍대 | ? |
| 특성 | 볼록 |

*n*각 **역지붕**은 정2*n*각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3*n*개와, 정*n*각형 윗면으로 이루어져있다. *n*=2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 낮은 다각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C*n*v, 2*n*차이다.

역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. *n*각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2*n*각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, *n*=6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 다듬은 정육각형 타일링의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다.

역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 맞붙인 역지붕을 만들 수 있다.

볼록 역지붕족| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 이름 | s{2} || t{2} | s{3} || t{3} | s{4} || t{4} | s{5} || t{5} | s{6} || t{6} |
| 그림 | 이각 | 삼각 | 사각 | 오각 | 육각 |
| 투명 |  |  |  |  |  |
| 전개도 |  |  |  |  |  |

초지붕
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**초지붕** 또는 **다면체 지붕**은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족이고, 지붕과 유사하다. 각각의 밑면은 플라톤의 다면체와 그 확장이다.

| 이름 | 정사면체 지붕 | 정육면체 지붕 | 정팔면체 지붕 | 정십이면체 지붕 | 정육각형 타일링 지붕
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| 슐레플리 기호 | {3,3} || rr{3,3} | {4,3} || rr{4,3} | {3,4} || rr{3,4} | {5,3} || rr{5,3} | {6,3} || rr{6,3} |
| Segmentochora지표 | K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 |  |
| 외접반지름 | 1 | sqrt((3+sqrt(2))/2)= 1.485634 | sqrt(2+sqrt(2))= 1.847759 | 3+sqrt(5)= 5.236068 |  |
| 그림 |  |  |  |  |  |
| 덮개 세포 |  |  |  |  | 
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| 꼭짓점 | 16 | 32 | 30 | 80 | ∞
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| 모서리 | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞
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| 면 | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ |  |
| 세포 | 16 | 정사면체 1개삼각기둥 4개삼각기둥 6개삼각뿔 4개육팔면체 1개 | 28 | 정육면체 1개사각기둥 6개삼각기둥 12개삼각뿔 8개마름모육팔면체 1개 | 28 | 정팔면체 1개삼각기둥 8개삼각기둥 12개사각뿔 6개마름모육팔면체 1개 | 64 | 정십이면체 1개오각기둥 12개삼각기둥 30개삼각뿔 20개마름모십이이십면체 1개 | ∞ | 정육각형 타일링 1개육각기둥 ∞개삼각기둥 ∞개삼각뿔 ∞개마름모삼육각형 타일링 1개
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| 관련고른4차원다포체 | runcinated 정오포체 | runcinated 정팔포체 | runcinated 정이십사포체 | runcinated 정백이십포체 | runcinated 정육각형 타일링 벌집 |

참조
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1. ↑
2. ↑
3. 1 2  Convex Segmentochora Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1-4, 139-181, 2000

* Johnson, N.W. *Convex Polyhedra with Regular Faces.* Canad. J. Math. 18, 169–200, 1966.