측도론에서, **가측 공간**(可測空間, 영어: measurable space)은 **가측 집합**(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 **가측 함수**라고 한다.

정의
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임의의 집합 X에 대하여, 그 멱집합 {\mathcal P}(X)는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.

**가측 공간** (X,\Sigma )은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* X는 집합이다.
* {\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}는 시그마 대수 {\mathcal P}(X)의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
	+ (여집합에 대한 닫힘) 모든 {\displaystyle S\in \Sigma }에 대하여, {\displaystyle X\setminus S\in \Sigma }이다.
	+ (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma } ({\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph \_{0}})에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma }이다. (특히, 만약 {\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }일 경우 {\displaystyle \textstyle \bigcup \varnothing =\varnothing \in \Sigma }이다.)

\Sigma 의 원소를 X의 **가측 집합**이라고 한다.

가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 {\displaystyle \operatorname {Measble} }를 이룬다.

### 분리 가측 공간

가측 공간 (X,\Sigma )가 다음 조건을 만족시킨다면 **분리 가측 공간**(分離可測空間, 영어: separated measurable space)이라고 한다.

* {\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(\Sigma )}, {\displaystyle f\colon x\mapsto \{S\in \Sigma \colon x\in S\}}는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여, 만약 x\neq y라면, {\displaystyle x\in S\not \ni y}인 {\displaystyle S\in \Sigma }가 존재한다.

성질
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임의의 가측 공간 X에서, 공집합 \varnothing 과 전체 집합 X은 항상 가측 집합이다.

### 연산에 대한 닫힘

집합 X 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 {\displaystyle \{\Sigma \_{i}\}}이 주어졌을 때, 그 교집합

{\displaystyle \bigcap \_{i\in I}\Sigma \_{i}}
역시 X 위의 가측 공간 구조이다.:Exercise 1.4.13 (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대해, {\mathcal F}의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.:Definition 1.4.14 구체적으로, 이는 {\mathcal F}를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 \sigma ({\mathcal F})로 표기하자.

따라서, 주어진 집합 X 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

### 크기

가측 공간 (X,\Sigma )의 가측 집합의 수는 항상 2^{n} 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 2^{\aleph \_{0}} 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.

**증명:**

(X,\Sigma )가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.

1. {\displaystyle X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i})}가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
2. {\displaystyle X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i})}에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 {\displaystyle \varnothing \neq E\_{i+1}\subsetneq X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i})}을 고른다.
3. {\displaystyle X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i})}는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon S\subseteq E\_{i+1}\}} 또는 {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon S\subseteq X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i}\cup E\_{i+1})\}} 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 {\displaystyle X\setminus (S\_{0}\cup \cdots \cup S\_{i+1})} 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.
{\displaystyle S\_{i+1}={\begin{cases}E\_{i+1}&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E\_{i+1}\}|<\aleph \_{0}\\X\setminus (S\_{0}\cap \cdots \cup S\_{i}\cup E\_{i+1})&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E\_{i+1}\}|\geq \aleph \_{0}\end{cases}}}

따라서, {\displaystyle S\_{0},S\_{1},\dots \in \Sigma }는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,

{\displaystyle \left\{\bigcup \_{i\in I}S\_{i}\colon I\subseteq \mathbb {N} \right\}\subseteq \Sigma }
는 크기 2^{\aleph \_{0}}의, \Sigma 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 {\displaystyle |\Sigma |\geq 2^{\aleph \_{0}}}이다.

집합 X의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\mathcal A}로부터 생성되는 가측 공간 구조 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})}의 크기의 상계는 다음과 같다.:Exercise 1.4.16

{\displaystyle |\sigma ({\mathcal {A}})|\leq |{\mathcal {A}}|^{\aleph \_{0}}}
이는 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})}를 초한 귀납법으로 구성할 때 \omega \_{1}번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 \omega \_{1}은 최소의 비가산 순서수이다.)

### 딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리

집합 X 속의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

* (π) {\mathcal A}는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여, {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {A}}}이다. 이를 만족시키는 집합족을 **π계**(영어: π-system)라고 한다.
* (λ) {\mathcal A}는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A}}}이다.) 이를 만족시키는 집합족을 **λ계**(영어: λ-system)라고 한다.
* (π′) {\mathcal P}(X)의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A}}}이다. 이를 만족시키는 집합족을 **집합체**(영어: field of sets)라고 한다.
* (λ′) X\in {\mathcal A}이며, 임의의 {\displaystyle A\_{0},A\_{1},\dots \in {\mathcal {A}}}에 대하여, {\displaystyle A\_{0}\subseteq A\_{1}\subseteq \cdots }라면, {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=0}^{\infty }A\_{i}\in {\mathcal {A}}}이며, 임의의 {\displaystyle A\_{0},A\_{1},\dots \in {\mathcal {A}}}에 대하여, {\displaystyle A\_{0}\supseteq {\mathcal {A}}\_{1}\supseteq \cdots }라면, {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i=0}^{\infty }A\_{i}\in {\mathcal {A}}}이다. 이를 만족시키는 집합족을 **단조류**(영어: monotone class)라고 한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

집합 X 속의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* 시그마 대수이다.
* (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
* (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.

집합 X 속의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, 다음이 성립한다.

* (**딘킨 π-λ 정리** 영어: Dynkin π–λ theorem) {\mathcal A}가 (π) 조건을 만족시킨다면, {\mathcal A}로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.:42, §1.3, Theorem 3.3
* (**단조류 정리** 영어: monotone class theorem) {\mathcal A}가 (π′) 조건을 만족시킨다면, {\mathcal A}로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.:43, §1.3, Theorem 3.4

증명 (딘킨 π-λ 정리):

{\mathcal A}로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족을 {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})}라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})}가 (π) 조건을 만족시킴을 보이면 된다.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{1}=\{B\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall A\in {\mathcal {A}}\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}}
라고 하자. 그렇다면, {\mathcal A}가 (π) 조건을 만족시키므로 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}\_{1}}이다. 또한 {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{1}}는 (λ) 조건을 만족시킨다. 따라서, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})}이다.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{2}=\{A\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall B\in \lambda ({\mathcal {A}})\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}}
라고 하자. {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})}이므로 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}\_{2}}이며, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{2}}는 (λ) 조건을 만족시키므로, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{2}=\lambda ({\mathcal {A}})}이다. 즉, {\displaystyle \lambda ({\mathcal {A}})}는 (π) 조건을 만족시킨다.


증명 (단조류 정리):

위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다.

### 범주론적 성질

가측 집합과 가측 함수의 범주 {\displaystyle \operatorname {Measble} }은 구체적 범주

{\displaystyle F\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set} }
{\displaystyle F\colon (X,\Sigma )\mapsto X}
를 이루며, F는 위상 함자이다. 따라서, {\displaystyle \operatorname {Measble} }은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

{\displaystyle \operatorname {Measble} }의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, {\displaystyle \operatorname {Measble} }의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

예
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X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 X 위의 가측 공간 구조이다.

* 양의 정수가 아닌 임의의 기수 \kappa 에 대하여, {\displaystyle \left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\leq \kappa \right\}}는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 X의 부분집합 가운데 크기가 \kappa  이하이거나 그 여집합의 크기가 \kappa  이하인 집합들의 족이다.
	+ 만약 \kappa=0이라면, 이는 \{\varnothing ,X\}이다. 이 집합족은 **자명 가측 공간** 구조이며, X 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
	+ 만약 \kappa \geq |X|라면, 이는 X의 멱집합 {\mathcal P}(X)이다. 이를 **이산 가측 공간**이라고 하며, 이는 X 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
* X의 분할 {\displaystyle \textstyle X=\bigsqcup \_{A\in {\mathcal {P}}}A}이 주어진다면, {\displaystyle \{\textstyle \bigcup {\mathcal {Q}}|{\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {P}}\}}는 X 위의 가측 공간 구조를 이룬다.

### 유한 집합 위의 시그마 대수

유한 집합 X 위의 모든 가측 공간 구조는 X의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 n=0,1,2,\dots 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)
이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 \{a,b,c\} 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

| 분할 | 가측 집합 | 비고 |
| --- | --- | --- |
| {a, b, c} | {}, {a, b, c} | 자명 가측 공간 |
| {a}, {b, c} | {}, {a}, {b, c}, {a, b, c} |  |
| {a, b}, {c} | {}, {a, b}, {c}, {a, b, c} |  |
| {a, c}, {b} | {}, {a, c}, {b}, {a, b, c} |  |
| {a}, {b}, {c} | {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} | 이산 가측 공간 |

### 보렐 시그마 대수

 이 부분의 본문은 보렐 집합입니다.
위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 **보렐 시그마 대수** {\displaystyle \operatorname {Borel} (X)}라고 한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}는 분리 가측 공간이다.
* X는 콜모고로프 공간이다.

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다. 구체적으로, S가 크기 2^{\aleph \_{0}}의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 \{0,1\}의 비가산 곱공간 {\displaystyle \{0,1\}^{S}}을 생각하자. 이 곱위상은 기저

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod \_{s\in S}U\_{s}\colon U\_{s}\subseteq \{0,1\}\forall s\in S,\;|\{s\in S\colon U\_{r}\neq \{0,1\}\}|<\aleph \_{0}\right\}}
로 생성된다. 그렇다면, {\mathcal B}로 생성되는 가측 공간 구조는 {\displaystyle \{0,1\}^{S}} 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

**증명:**

우선, {\displaystyle |{\mathcal {B}}|=|S|=2^{\aleph \_{0}}}이므로,

{\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})\leq |S|^{\aleph \_{0}}=2^{\aleph \_{0}}}
이다. 귀류법을 사용하여 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})=\operatorname {Borel} ({\mathcal {U}})}가 되는 위상 {\mathcal {U}}가 존재한다고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})}가 분리 시그마 대수이므로 {\mathcal {U}}는 콜모고로프 위상이다. 그러므로

{\displaystyle \{0,1\}^{S}\to \sigma ({\mathcal {B}})}
{\displaystyle x\mapsto \operatorname {cl} \_{\mathcal {U}}(\{x\})}
(한원소 집합의 {\mathcal {U}}-폐포)는 단사 함수이며,

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}=|\sigma ({\mathcal {B}})|\geq |\{0,1\}^{S}|=2^{2^{\aleph \_{0}}}}
인데, 이는 모순이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) **126**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.
2. ↑  Hadad, Yaron (2012년 9월 6일). "Why aren't there infinitely countable sigma-algebras?" (영어).
3. 1 2  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
4. ↑  Ascherl, Albert (1984년 4월). "On the problem of generating sigma-algebras by topologies". 《Statistics & Decisions》 (영어) **2** (3–4): 377-388. doi:10.1524/strm.1984.2.34.377. ISSN 0721-2631.
5. ↑  Lang, Robert (1986년 1월). "A simple example of a non-Borel σ-field". 《Statistics & Decisions》 (영어) **4** (1): 97–98. doi:10.1524/strm.1986.4.1.97. ISSN 0721-2631.