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양자역학에서 **WKB 근사**(WKB近似, 영어: WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

1차원 퍼텐셜 속의 입자
-------------

1차원 공간에서 에너지 E를 가지고 퍼텐셜 V(x)에 영향을 받는 입자의 파동 함수 \Psi (x)는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\mathrm {d}}^{2}}{{\mathrm {d}}x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x).
이제 파동 함수 \Psi 를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.

\Psi (x)=\exp \left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right).
이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)
B'(x)+2A(x)B(x)=0.
이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분A와 B를 디랙 상수 \hbar 에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 A,B=O(1/\hbar )이므로 그 첫 항은 \hbar ^{0}이 아니라 \hbar ^{{-1}}이 된다.)

A(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\hbar ^{{n-1}}A\_{n}(x)
B(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\hbar ^{{n-1}}B\_{n}(x).
디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.

A\_{0}(x)^{2}-B\_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)
A\_{0}(x)B\_{0}(x)=0.
두 번째 방정식에 따라 A\_{0}=0 또는 B\_{0}=0이다. 첫 번째 방정식에 따라 V(x)<E이면 A\_{0}=0, B\_{0}\neq 0으로, V(x)>E이면 A\_{0}\neq 0, B\_{0}=0으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

A\_{0}'(x)+2A\_{0}(x)A\_{1}(x)-2B\_{0}(x)B\_{1}(x)=0
B\_{0}'(x)+2A\_{0}(x)B\_{1}(x)+2A\_{1}(x)B\_{0}(x)=0.
첫 번째 식에 의해, A\_{0}=0이면 B\_{1}=0이다. 두 번째 식에 의해, B\_{0}=0이어도 B\_{1}=0이다.

### 고전적인 경우

이 경우는 총 에너지 E가 위치 에너지 V(x)보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 A\_{0}=0이고,

B\_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}
이다. 이는 파동 함수의 진폭(A)은 별로 변하지 않지만 그 위상(B)이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 A\_{1}을 구하면 다음과 같다.

A\_{1}=-B\_{0}'/2B\_{0}=-{\frac 12}(\ln B\_{0})'.
따라서 파동 함수 \Psi (x)는 대략

\Psi (x)\approx CB\_{0}^{{-1/2}}\exp \left(i\int B\_{0}\,dx\right)={\frac {C\_{+}\exp \left(i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)+C\_{-}\exp \left(-i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}
으로 근사할 수 있다. 여기서 C\_{+}와 C\_{-}는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

### 터널 효과

이 경우는 위치 에너지 V가 총 에너지 E보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널 효과에 해당한다. 여기에는 B\_{0}(x)=0이고,

A\_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}
이다. 다음 차수의 항 A\_{1}을 구하면 다음과 같다.

A\_{1}=-A\_{0}'/2A\_{0}=-{\frac 12}(\ln A\_{0})'.
따라서 파동 함수 \Psi (x)는 대략

\Psi (x)\approx DA\_{0}^{{-1/2}}\exp \left(\int A\_{0}\,dx\right)={\frac {D\_{{+}}\exp \left(\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)+D\_{{-}}\exp \left(-\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}
으로 근사할 수 있다. 여기서 D\_{+}와 D\_{-}는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.

### 연결 공식

고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는 V\approx E가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 **연결 공식**(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 C\_{\pm }, D\_{\pm }를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 x\_0에서 만난다고 하자. 즉,

V(x\_{0})=E
이라고 하자. 그렇다면 x\_0 근처에서 퍼텐셜 V(x)를

V(x)\approx V'(x\_{0})(x-x\_{0})+E
와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''=V'(x\_{0})\Psi (x)(x-x\_{0}).
이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.

\Psi (x)=aAi({\sqrt[ {3}]{2mV'(x\_{0})/\hbar ^{2}}}x)+bBi({\sqrt[ {3}]{2mV'(x\_{0})/\hbar ^{2}}}x).
여기서 a와 b는 임의의 상수이다.

x\gg 1일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac 23}x^{{3/2}})}{2{\sqrt {\pi }}x^{{1/4}}}} (분모에 2가 있는 것에 주의!)
Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac 23}x^{{3/2}})}{{\sqrt {\pi }}x^{{1/4}}}}
Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac 23}x^{{3/2}}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{{1/4}}}}
Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac 23}x^{{3/2}}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{{1/4}}}}.
이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 **연결 공식**이라고 한다. 예를 들어, x<x\_{0}은 고전적인 영역이고, x>x\_{0}은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면

D\_{+}-2iD\_{-}=2C\_{+}\exp(-i\pi /4)
D\_{+}+2iD\_{-}=2C\_{-}\exp(i\pi /4)
이다. 그 반대로, x>x\_{0}이 고전적이고 x<x\_{0}이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

일반적 경우
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n차원 리만 다양체 M 위의 입자가 퍼텐셜 V\colon M\to {\mathbb R} 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, 파동 함수에 대하여 다음과 같은 가설 풀이를 고르자.

\psi(x)=\exp(iS(x)/\hbar)\sum\_{k=0}^\infty a\_k(x)\hbar^k
여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다.

* S(x)는 작용의 단위를 갖는다.
* a\_k(x)는 [길이]−*n*/2[작용]−k의 단위를 갖는다.

이를 슈뢰딩거 방정식

0=\left(-\hbar^2\nabla^2+2m(V(x)-E)\right)\psi
에 대입하여 \hbar 의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.:§2.2

\nabla^\mu S(x)\nabla\_\mu S(x)=2m\left(E-V(x)\right)
\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial\_\mu\right)a\_0(x)=0
\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial\_\mu\right)a\_k(x)=i\nabla^2a\_{k-1}(x)
고전적 영역에서는 S는 실수이며, 터널 영역에서는 S는 허수가 된다.

처음 두 개의 편미분 방정식은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체 T^{\*}M의 다음과 같은 라그랑주 부분 다양체를 정의하자.

L=\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial\_\mu S(x)\in T\_x^\*M\}\subset T^\*M
이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다.

\pi\colon L\to M
\pi\colon (x,p)\mapsto x
그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.:§2.2

* S에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언을 L에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다.
H|\_L=E
* a\_{0}에 대한 방정식 \nabla^\mu(a^2\partial\_\mu S)=0은 수송 방정식(영어: transport equation)이며, 이는 L 위에 정의된 밀도 \pi^\*\left(a\_0^2(x)\sqrt{\det g(x)} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)가 해밀토니언 벡터장 (X\_H)^I=(\omega^{-1})^{IJ}\partial\_JH에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 L의 접벡터이다.) 여기서 {\mathcal L}은 밀도의 리 미분이며, \pi^\*는 \pi에 대한 당김이다.
\mathcal L\_{X\_H}\pi^\*\left(a\_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)=0

따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.

역사
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1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(영어: Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다. 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(독일어: Gregor Wentzel), 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스, 프랑스의 레옹 브릴루앵 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

참고 문헌
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1. 1 2  Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) **8**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9.
2. ↑  Jeffreys, Harold (1925). "On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어). s2-23 (1): 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.
3. ↑  Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) **38** (6–7): 518–529. doi:10.1007/BF01397171.
4. ↑  Kramers, Hendrik Anthony (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) **39** (10–11): 828–840. doi:10.1007/BF01451751.
5. ↑  Brillouin, Léon (1926년 7월 5일). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale de résolution par approximations successives". 《Comptes Rendus de l’Academie des Sciences》 (프랑스어) **183**: 24–26.

* Gough, Douglas Owen (2004년 3월). "An elementary introduction to the JWKB approximation". 《Astronomische Nachrichten》 (영어) **328** (3–4): 273–285. arXiv:astro-ph/0702201. doi:10.1002/asna.200610730.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)