측도론과 확률론에서 **추이 측도**(推移測度, 영어: transition measure)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.

정의
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두 가측 공간 (X,{\mathcal F})와 (Y,{\mathcal G}) 사이의 **추이 측도**는 다음 두 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle \mu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}
이다.

* 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)}는 (Y,{\mathcal G}) 위의 측도이다.
* 임의의 {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}에 대하여, {\displaystyle x\mapsto \mu (x,B)}는 {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} 가측 함수이다.

만약 임의의 x\in X에 대하여 {\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)}가 확률 측도라면, \mu 를 **확률 추이 측도**(確率推移測度, 영어: probability transition measure)이라고 한다.

### 시그마 유한 추이 측도

두 가측 공간 (X,{\mathcal F})와 (Y,{\mathcal G}) 사이의 추이 측도 \mu 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}}가 존재한다면, \mu 를 **시그마 유한 추이 측도**(-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.

{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \aleph \_{0}}
{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}
{\displaystyle \mu (x,B)<\infty \qquad \forall x\in X,\;B\in {\mathcal {B}}}
두 가측 공간 (X,{\mathcal F})와 (Y,{\mathcal G}) 사이의 추이 측도 \mu 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {G}}} 및 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}}가 존재한다면, \mu 를 **균등 시그마 유한 추이 측도**(均等-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.

{\displaystyle |{\mathcal {A}}|,|{\mathcal {B}}|\leq \aleph \_{0}}
{\displaystyle X=\bigcup {\mathcal {A}}}
{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}
{\displaystyle \sup \_{x\in A}\mu (x,B)<\infty \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {B}}}

성질
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### 유한 차원 곱공간 위의 측도

 푸비니 정리 문서를 참고하십시오.
다음이 주어졌다고 하자.

* 유한 개의 가측 공간 {\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {F}}\_{i})\_{i=1,\dots ,n}}
* 각 i=1,\dots ,n에 대하여, {\displaystyle \textstyle (\prod \_{j=1}^{i-1}X\_{j},\prod \_{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}\_{j})}와 {\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {F}}\_{i})} 사이의 시그마 유한 추이 측도 \mu \_{i}. (특히, \mu \_{1}은 {\displaystyle (X\_{1},{\mathcal {F}}\_{1})} 위의 시그마 유한 측도이다.)

그렇다면, 곱 가측 공간 {\displaystyle \textstyle (\prod \_{i=1}^{n}X\_{i},\prod \_{i=1}^{n}{\mathcal {F}}\_{i})} 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.

{\displaystyle \mu \colon S\mapsto \int \_{X\_{1}}\int \_{X\_{2}}\cdots \int \_{X\_{n}}1\_{S}(x\_{1},\dots ,x\_{n})\mu \_{n}(x\_{1},\dots ,x\_{n-1},\mathrm {d} x\_{n})\cdots \mu \_{2}(x\_{1},\mathrm {d} x\_{2})\mu \_{1}(\mathrm {d} x\_{1})\qquad \forall S\in \prod \_{i=1}^{n}{\mathcal {F}}\_{i}}
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.

{\displaystyle \mu \left(\prod \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)=\int \_{A\_{1}}\int \_{A\_{2}}\cdots \int \_{A\_{n}}\mu \_{n}(x\_{1},\dots ,x\_{n-1},\mathrm {d} x\_{n})\cdots \mu \_{2}(x\_{1},\mathrm {d} x\_{2})\mu \_{1}(\mathrm {d} x\_{1})\qquad \forall A\_{1}\in {\mathcal {F}}\_{1},\dots ,A\_{n}\in {\mathcal {F}}\_{n}}
또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 {\displaystyle \textstyle f\colon \prod \_{i=1}^{n}X\_{i}\to \mathbb {(} \mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \int \_{\prod \_{i=1}^{n}X\_{i}}f\mathrm {d} \mu =\int \_{X\_{1}}\int \_{X\_{2}}\cdots \int \_{X\_{n}}f(x\_{1},\dots ,x\_{n})\mu \_{n}(x\_{1},\dots ,x\_{n-1},\mathrm {d} x\_{n})\cdots \mu \_{2}(x\_{1},\mathrm {d} x\_{2})\mu \_{1}(\mathrm {d} x\_{1})}
### 가산 차원 곱공간 위의 확률 측도

다음이 주어졌다고 하자.

* 가산 무한 개의 가측 공간 {\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {F}}\_{i})\_{i=1,2,\dots }}
* 각 {\displaystyle i=1,2,\dots }에 대하여, {\displaystyle \textstyle (\prod \_{j=1}^{i-1}X\_{j},\prod \_{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}\_{j})}와 {\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {F}}\_{i})} 사이의 확률 추이 측도 P\_{i}. (특히, P\_{1}은 {\displaystyle (X\_{1},{\mathcal {F}}\_{1})} 위의 확률 측도이다.)

그렇다면, **이오네스쿠 툴체아 정리**(-定理, 영어: Ionescu Tulcea theorem)에 따르면 곱 가측 공간 {\displaystyle \textstyle (\prod \_{i=1}^{\infty }X\_{i},\prod \_{i=1}^{\infty }{\mathcal {F}}\_{i})} 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 P가 존재한다.

{\displaystyle P\left(\prod \_{i=1}^{n}A\_{i}\times \prod \_{i=n+1}^{\infty }X\_{i}\right)=\int \_{A\_{1}}\int \_{A\_{2}}\cdots \int \_{A\_{n}}P\_{n}(x\_{1},\dots ,x\_{n-1},\mathrm {d} x\_{n})\cdots P\_{2}(x\_{1},\mathrm {d} x\_{2})P\_{1}(\mathrm {d} x\_{1})\qquad \forall n=1,2,\dots ,\;A\_{1}\in {\mathcal {F}}\_{1},\dots ,A\_{n}\in {\mathcal {F}}\_{n}}
### 범주론적 성질

3개의 가측 공간 (X,{\mathcal F}), (Y,{\mathcal G}), {\displaystyle (Z,{\mathcal {H}})} 및 {\displaystyle X\times {\mathcal {G}}} 위의 확률 추이 측도 \mu  및 {\displaystyle Y\times {\mathcal {H}}} 위의 확률 추이 측도 \nu 가 주어졌을 때, {\displaystyle X\times {\mathcal {H}}} 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \nu \circ \mu \colon (x,C)\mapsto \int \_{Y}\nu (y,C)\mu (x,\mathrm {d} y)}
확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.

예
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두 가측 공간 (X,{\mathcal F}), (Y,{\mathcal G}) 및 (Y,{\mathcal G}) 위의 측도 \mu 가 주어졌을 때, 함수

{\displaystyle (x,B)\mapsto \mu (B)}
는 (X,{\mathcal F})와 (Y,{\mathcal G}) 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 \mu 가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 가측 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))}이 주어졌고, 행렬 {\displaystyle p\colon \Omega \times \Omega \to [0,1]}가

{\displaystyle \sum \_{y\in \Omega }p(x,y)=1\qquad \forall x\in \Omega }
를 만족시킬 때, 함수

{\displaystyle (x,B)\mapsto \sum \_{y\in B}p(x,y)}
는 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))} 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

역사
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이오네스쿠 툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠 툴체아(루마니아어: Cassius Tocqueville Ionescu Tulcea)가 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Ionescu Tulcea, Cassius Tocqueville (1949). "Mesures dans les espaces produits". 《Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)》 (프랑스어) **7**: 208–211. MR 36288.

* Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.
* Parthasarathy, K. R. (2005). 《Introduction to Probability and Measure》. Texts and Readings in Mathematics (영어) **33**. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-27-9. ISBN 978-81-85931-55-5. ISSN 2366-8717.