일반위상수학에서 **조밀 집합**(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다.

정의
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위상 공간 X의 부분 집합 D\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **조밀 집합**이라고 한다.

* 임의의 열린집합 U에 대하여, 만약 U\subseteq X\setminus D라면 U=\varnothing 이다.
* 임의의 닫힌집합 C에 대하여, 만약 D\subseteq C\subseteq X라면 C=X이다.
* \operatorname {cl}(D)=X.:191, §30:7, §1 여기서 \operatorname {cl} 은 폐포이다.
* {\displaystyle \operatorname {int} (X\setminus D)=\varnothing }. 여기서 \operatorname {int}는 내부이다.
* 모든 x\in X 및 x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, D\cap U\neq \varnothing .
* X의 모든 점들은 D의 원소이거나 D의 극한점이다.:7, §1

성질
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### 연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간 X 속의 조밀 집합 D\subseteq X 및 {\displaystyle D\subseteq E\subseteq X}에 대하여, E 역시 D의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 {\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)}은 X의 멱집합 {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 D와 조밀 열린집합 U가 주어졌을 때, 그 교집합 {\displaystyle D\cap U}는 조밀 집합이다.

**증명:**

임의의 열린집합 {\displaystyle V\subseteq X}가 주어졌으며, {\displaystyle V\neq \varnothing }이라고 하자. 그렇다면 U가 조밀 열린집합이므로 U\cap V\neq \varnothing 이며, 따라서 {\displaystyle D\cap (U\cap V)\neq \varnothing }이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족 {\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\cap \operatorname {Open} (X)}은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 {\displaystyle \operatorname {Pow} (X)} 속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 X, Y 사이의 전사 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, 조밀 집합 D\subseteq X의 상 {\displaystyle f[D]\subseteq Y} 역시 조밀 집합이다.

**증명:**

임의의 y\in Y에 대하여, f가 전사 함수이므로 f(x)=y인 x\in X가 존재하며, D가 조밀 집합이므로 x로 수렴하는 그물 {\displaystyle (x\_{i})\_{i\in I}\subseteq D}가 존재하며, f가 연속 함수이므로 {\displaystyle f(x\_{i})\to f(x)=y}이다. 따라서 {\displaystyle f[D]}는 Y의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 X\subseteq Y\subseteq Z이며, X가 Y의 조밀 집합이고 Y가 Z의 조밀 집합이라면 X는 Z의 조밀 집합이다.

증명:

{\displaystyle U\subseteq Z}가 Z의 열린집합이며 {\displaystyle U\subseteq Z\setminus X}라고 하자. 그렇다면 U\cap Y는 Y의 열린집합이며, {\displaystyle U\cap Y\subseteq Y\setminus X}이다. X가 Y의 조밀 집합이므로 {\displaystyle U\cap Y=\varnothing }이다. 즉, {\displaystyle U\subseteq Z\setminus Y}이다. Y가 Z의 조밀집합이므로 U=\varnothing 이다.

### 함의 관계

모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합
### 조밀 집합은 연속 함수를 결정한다

임의의 위상 공간 X와 하우스도르프 공간 Y 및 조밀 집합 D\subseteq X와 두 연속 함수 f,g\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 만약 {\displaystyle f\upharpoonright D=g\upharpoonright D}라면, f=g이다. (여기서 {\displaystyle \upharpoonright }은 함수의 제한을 뜻한다.)

**증명:**

임의의 {\displaystyle x\not \in D}에 대하여, f=g임을 보이면 족하다. D가 조밀 집합이므로, x로 수렴하는, D 속의 점들로 구성된 그물 (x\_{i})\_{i\in I}가 존재한다. f가 연속 함수이므로

{\displaystyle g(x\_{i})=f(x\_{i})\to f(x)}
{\displaystyle f(x\_{i})=g(x\_{i})\to g(x)}
이며, Y가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 {\displaystyle f(x)=g(x)}이다.

예
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위상 공간 X는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, X 전체가 아닌 X의 모든 닫힌집합은 X의 조밀 집합이 아니다.

### 유한 부분 집합의 여집합

자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

**증명:**

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 x\in X에 대하여 {\displaystyle X\setminus \{x\}}가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.

* {\displaystyle X\setminus \{x\}}는 T1 조건에 의하여 열린집합이다.
* {\displaystyle X\setminus \{x\}}는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 {\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \{x\})=X}이며, {\displaystyle X\setminus \{x\}}는 조밀 집합이다.

### 이산 공간

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 이산 공간이다.
* 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 X 전체이다.)

**증명:**

이산 공간 X에서 조밀 집합이 X 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 X가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 {\displaystyle \{x\}\subseteq X}가 존재한다. 그렇다면, {\displaystyle X\setminus \{x\}}는 X의 조밀 집합이다.

### 비이산 공간

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 비이산 공간이다.
* X의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.

**증명:**

비이산 공간 X에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, X가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 {\displaystyle \varnothing \neq F\subsetneq X}가 존재한다고 하자. 그렇다면 F는 조밀 집합이 아니다.

### 실수선의 조밀 집합

실수선 \mathbb {R} 의 부분 집합들을 생각하자.

* 유리수의 집합 \mathbb {Q} 는 실수선의 조밀 집합이다.
* 무리수의 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q 역시 실수선의 조밀 집합이다.
* 반면, 자연수의 집합 {\mathbb N}, 정수의 집합 \mathbb {Z} 는 \mathbb {R} 의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 {\displaystyle a<b<c}에 대하여, {\displaystyle [a,b)\cup (b,c]=[a,c]\setminus \{b\}}는 {\displaystyle [a,c]} 안의 조밀 집합이다.

참고 문헌
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1. ↑  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
2. 1 2  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)