2*i* × 2*j* (*i*, *j* = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬
수학에서 **블록 행렬**(block行列, 영어: block matrix) 또는 **분할 행렬**(分割行列, 영어: partitioned matrix)은 더 작은 행렬 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다. 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다. 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.

정의
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체 K 위의 m\times n 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}가 주어졌다고 하자. 또한,

{\displaystyle m=m\_{1}+m\_{2}+\cdots +m\_{p}}
{\displaystyle n=n\_{1}+n\_{2}+\cdots +n\_{q}\qquad (m\_{i},n\_{i}\in \mathbb {Z} ^{+})}
라고 하자. 그렇다면 M은 다음과 같은 **블록 행렬**로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}M\_{11}&M\_{12}&\cdots &M\_{1q}\\M\_{21}&M\_{22}&\cdots &M\_{2q}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M\_{p1}&M\_{p2}&\cdots &M\_{pq}\end{pmatrix}}}
여기서 {\displaystyle M\_{ij}}는 다음과 같은 {\displaystyle m\_{i}\times n\_{j}} 행렬이다.

{\displaystyle M\_{ij}(k,l)=M(m\_{1}+\cdots +m\_{i-1}+k,n\_{1}+\cdots +n\_{j-1}+l)}

종류
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특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다.

* **블록 대각 행렬**(block對角行列, 영어: block diagonal matrix): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다.
* **블록 상(하)삼각 행렬**(block上(下)三角行列, 영어: block upper (lower) triangular matrix): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.

성질
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### 행렬 곱셈

블록 행렬의 곱셈의 예시
행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}가 체 K 위의 m\times n 행렬이며, 임의의 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,q\}} 및 {\displaystyle j\in \{1,\dots ,r\}}에 대하여, 블록 {\displaystyle M\_{ij}}가 {\displaystyle m\_{i}\times n\_{j}} 행렬이라고 하자. 마찬가지로, {\displaystyle N\in \operatorname {Mat} (n,p;K)}가 K 위의 n\times p 행렬이며, 임의의 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,q\}} 및 {\displaystyle j\in \{1,\dots ,s\}}에 대하여, 블록 {\displaystyle N\_{ij}}가 {\displaystyle n\_{i}\times p\_{j}} 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 {\displaystyle MN}의 각 블록 {\displaystyle (MN)\_{ij}}는 다음과 같은 {\displaystyle m\_{i}\times p\_{j}} 행렬이다.

{\displaystyle (MN)\_{ij}=\sum \_{k=1}^{r}M\_{ik}N\_{kj}\qquad (i\in \{1,\dots ,q\},j\in \{1,\dots ,s\})}
이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}M\_{11}&M\_{12}&\cdots &M\_{1r}\\M\_{21}&M\_{22}&\cdots &M\_{2r}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M\_{q1}&M\_{q2}&\cdots &M\_{qr}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\_{11}&N\_{12}&\cdots &N\_{1s}\\N\_{21}&N\_{22}&\cdots &N\_{2s}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\N\_{r1}&N\_{r2}&\cdots &N\_{rs}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum \_{k=1}^{r}M\_{1k}N\_{k1}&\sum \_{k=1}^{r}M\_{1k}N\_{k2}&\cdots &\sum \_{k=1}^{r}M\_{1k}{ks}\\\sum \_{k=1}^{r}M\_{2k}N\_{k1}&\sum \_{k=1}^{r}M\_{2k}N\_{k2}&\cdots &\sum \_{k=1}^{r}M\_{2k}{ks}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\sum \_{k=1}^{r}M\_{qk}N\_{k1}&\sum \_{k=1}^{r}M\_{qk}N\_{k2}&\cdots &\sum \_{k=1}^{r}M\_{qk}{ks}\end{pmatrix}}}
### 항등식

다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.)

{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A\_{m\times m}&B\_{m\times n}\\C\_{n\times m}&D\_{n\times n}\end{pmatrix}}=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A\_{m\times m}&B\_{m\times n}\\C\_{n\times m}&D\_{n\times n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}}}

예
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행렬

{\displaystyle P={\begin{pmatrix}2&1&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}
는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle P={\begin{pmatrix}J\_{2\times 2}(2)\\&J\_{3\times 3}(1)\end{pmatrix}}}
여기서

{\displaystyle J\_{n\times n}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda \_{1}&1\\&\lambda \_{2}&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\lambda \_{n-1}&1\\&&&&\lambda \_{n}\end{pmatrix}}\qquad (\lambda \_{1}=\cdots =\lambda \_{n}=\lambda )}
따라서, P는 블록 대각 행렬이다.