함수해석학에서 **연속 쌍대 공간**(連續雙對空間, 영어: continuous dual space)은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.

정의
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위상환 {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{K}V}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle V}의 **연속 쌍대 가군**(連續雙對加群, 영어: continuous dual module) {\displaystyle V^{\*}}는 쌍대 가군

{\displaystyle V^{\vee }=\hom(\_{K}V,\_{K}K)}
가운데, 연속 함수 {\displaystyle f\colon V\to K}를 이루는 것들의 부분 집합이다.:48, §II.4:129, §V.1 이는 자연스럽게 {\displaystyle K}-위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다.

만약 {\displaystyle K}가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 **연속 쌍대 공간**이라고 한다.

연속 쌍대 공간 위에는 흔히 **강한 위상**과 **약한-\* 위상**이라는 두 위상이 사용된다.

* 강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 (유계 집합에 제한되었을 때) 균등 연속 함수를 이룬다.
* 약한-\* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 연속 함수를 이룬다.

보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.

만약 어떤 위상 벡터 공간 {\displaystyle V}가 어떤 위상 벡터 공간 {\displaystyle W}의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 {\displaystyle W'}과 동형이라면, {\displaystyle W}를 {\displaystyle V}의 **원쌍대 공간**(原雙對空間, 영어: predual space)이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.

### 강한 위상

위상환 {\displaystyle K}은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다.

{\displaystyle V}의 **유계 집합**은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq V}이다.

* 임의의 {\displaystyle 0\in V}의 근방 {\displaystyle N\ni 0}에 대하여, {\displaystyle B\subseteq \alpha N}이 되는 {\displaystyle \alpha \in K}가 존재한다.

{\displaystyle V}의 유계 집합들의 족 {\displaystyle \operatorname {Born} (V)}은 {\displaystyle V}의 덮개를 이룬다.

그렇다면, 덮개 {\displaystyle \operatorname {Born} (V)}에 대한, 함수 공간 {\displaystyle K^{V}} 위의 균등 수렴 위상을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 {\displaystyle V^{\*}} 위의 **강한 위상**은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 {\displaystyle B\subseteq V}에 제한하였을 때 그 원소들 {\displaystyle \{\phi \upharpoonright B\colon \phi \in V^{\*}\}}이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.

만약 {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며 {\displaystyle V}가 노름 공간이라면, {\displaystyle V^{\*}} 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.

### 약한-\* 위상

연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 **약한-\* 위상**(弱한-\* 位相, 영어: weak-\* topology, "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.)

구체적으로, 위상환 {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{K}V}이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상

{\displaystyle \iota \colon V\to V^{\*\*}}
{\displaystyle \iota \colon v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))}
을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 {\displaystyle V^{\*}} 위의 **약한-\* 위상**은 범함수족 {\displaystyle \{\iota (v)\colon v\in V\}}로 생성되는 시작 위상이다. 즉, 구체적으로 모든 열린집합 {\displaystyle U\subset K}와 모든 {\displaystyle v\in V}에 대하여

{\displaystyle v^{-1}(U)=\{\phi \in V^{\vee }\colon \phi (v)\in U\}\subset V^{\vee }}
꼴의 집합들을 부분 기저로 한다.

약한-\* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.

### 쌍대 노름

만약 {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며, {\displaystyle (V,\|\|\_{V})}가 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle V^{\*}} 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

{\displaystyle \|\phi \|\_{V^{\*}}=\sup \_{\scriptstyle v\in V \atop \scriptstyle \|v\|\_{V}\leq 1}|\phi (v)|}
이를 **쌍대 노름**(雙對norm, 영어: dual norm)이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.

이에 따라, {\displaystyle (V^{\*},\|\|\_{V^{\*}})}은 항상 바나흐 공간을 이룬다.

성질
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### 대수적 쌍대 공간과의 관계

일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 위상환 {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{K}V}에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군 {\displaystyle V^{\vee }}으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사 {\displaystyle K}-선형 변환이 존재한다.

{\displaystyle V^{\*}\to V^{\vee }}
그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.

### 분해 가능성

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}에 대하여, {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 {\displaystyle V}가 주어졌다고 하자. 만약 {\displaystyle V^{\*}}이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면, {\displaystyle V} 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}는 분해 가능 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간 {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}는 분해 가능 공간이 아닌 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이다.

### 제한 사상

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}에 대하여, {\displaystyle \mathbb {K} }-위상 벡터 공간 {\displaystyle V}와 그 부분 벡터 공간 {\displaystyle W\subseteq V}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상

{\displaystyle (\upharpoonright W)\colon V^{\*}\mapsto W^{\*}}
{\displaystyle (\upharpoonright W)\colon \phi \mapsto \phi \upharpoonright W}
이 존재한다. 이는 선형 변환이다.

만약 {\displaystyle V}가 추가로 {\displaystyle \mathbb {K} }-국소 볼록 공간이라면, {\displaystyle (\upharpoonright W)}는 전사 함수이다.:129, Theorem V.3

### 이중 연속 쌍대 공간

임의의 위상환 {\displaystyle K} 위의 위상 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{K}V}에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.

{\displaystyle V\to V^{\*\*}}
{\displaystyle v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))}
만약 {\displaystyle V}가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.

만약 {\displaystyle V}가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, {\displaystyle V}를 **반사 바나흐 공간**(反射Banach空間, 영어: reflexive Banach space)이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

### 바나흐-앨러오글루 정리

**바나흐-앨러오글루 정리**(-定理, 영어: Banach–Alaoglu theorem)에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-\* 위상 아래 콤팩트 집합이다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
* {\displaystyle \mathbb {K} }-위상 쌍대 공간 {\displaystyle V}
* {\displaystyle 0\in V}의 근방 {\displaystyle 0\in N\subseteq V}

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

* {\displaystyle V}의 연속 쌍대 공간 {\displaystyle V^{\*}}. 이 역시 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간을 이룬다.
* 집합 {\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{\*}\colon \forall v\in N\colon |\phi (v)|\leq 1\}\subseteq V^{\*}}.
* {\displaystyle V^{\*}} 위에는 쌍대 노름에 대한 거리 위상 대신 약한-\* 위상을 부여할 수 있다.

**바나흐-앨러오글루-부르바키 정리**(-定理, 영어: Banach–Alaoglu–Bourbaki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle N^{\circ }}에 약한-\* 위상을 부여했을 때, 이는 콤팩트 공간을 이룬다.

**증명:**

다음 위상 공간을 정의하자.

{\displaystyle D=\prod \_{v\in N}\{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}}
절댓값이 1 이하인 스칼라들의 공간 {\displaystyle \{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}}은 콤팩트 공간이다. 티호노프 정리에 따라서, 그 곱공간 {\displaystyle D} 역시 콤팩트 공간이다.

이제, {\displaystyle N^{\circ }}는 다음과 같이 {\displaystyle D}의 부분 집합으로 여겨질 수 있다.

{\displaystyle \iota \colon N^{\circ }\to D}
{\displaystyle \iota \colon \phi \mapsto (\phi (v))\_{v\in N}}
즉,

* {\displaystyle \iota }는 단사 함수이다. (이는 {\displaystyle N}이 {\displaystyle 0\in V}의 근방이기 때문이다.)
* {\displaystyle N^{\circ }}에 약한-\* 위상을 부여한다면, {\displaystyle \iota }는 연속 함수이며, 또한 그 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의한다. (이는 약한-\* 위상의 정의에 의한 것이다.)

이제, {\displaystyle \iota }의 치역이 닫힌집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 그물

{\displaystyle I\to N^{\circ }}
{\displaystyle i\mapsto \phi \_{i}}
의 {\displaystyle \iota }에 대한 상이 극한

{\displaystyle \lim \_{i\in I}(\phi \_{i}(v))\_{v\in N}\to (\alpha \_{v})\_{v\in N}}
을 갖는다면, 이는 (곱위상의 정의에 따라) 대하여 점별 수렴

{\displaystyle \forall v\in N\colon \lim \_{i\in I}\phi \_{i}(v)=\alpha \_{v}}
인 것과 동치이며, 이 경우

{\displaystyle v\mapsto \lim \_{i\in I}\phi \_{i}(v)\in \mathbb {K} }
는 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환이며, (약한-\* 위상의 정의에 따라) 그물 {\displaystyle (\phi \_{i})\_{i\in I}}의 약한-\* 위상에 대한 극한이다.

그 특수한 경우로, 만약 {\displaystyle V}가 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간이며,

{\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|\_{V}\leq 1\}}
이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때,

{\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{\*}\colon \|\phi \|\_{V^{\*}}\leq 1\}}
은 {\displaystyle V^{\*}}의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-\* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 **바나흐-앨러오글루 정리**라고 한다.

바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.

### 골드스틴 정리

임의의 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 {\displaystyle (V,\|\|\_{V})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상

{\displaystyle \iota \colon V\to V^{\*\*}}
을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, {\displaystyle V}의 단위 닫힌 공

{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{V}(0,1))}
의 상은 {\displaystyle V^{\*\*}}의 단위 닫힌 공

{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{V^{\*\*}}(0,1))}
의 부분 집합이다. 이제, {\displaystyle V^{\*\*}}에 약한-\* 위상을 부여했을 때, {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{V}(0,1))}는 {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{V^{\*\*}}(0,1))}의 조밀 집합이다 (**골드스틴 정리** -定理, 영어: Goldstine theorem).

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.

**반례**:

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}라고 하자. {\displaystyle \mathbb {K} }계수 영 수렴 수열 공간 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간은 {\displaystyle \mathbb {K} }-계수 1-르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}이며, {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간은 {\displaystyle \mathbb {K} }계수 ∞-르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}이다.

이제, {\displaystyle \operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )}의 닫힌 단위 공 {\displaystyle \operatorname {ball} \_{\operatorname {\ell } ^{\infty }(\mathbb {K} )}(0,1)}은 집합으로서 곱집합 {\displaystyle \{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}^{\mathbb {N} }} (즉, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인 {\displaystyle \mathbb {K} }-수열)이며, {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 닫힌 단위 공 {\displaystyle \operatorname {ball} \_{\operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}(0,1)}은 그 속에서 0으로 수렴하는 {\displaystyle \mathbb {K} }-수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우, (예를 들어) 0이 아닌 다른 값 {\displaystyle r}로 수렴하는 수열

{\displaystyle \alpha =(\alpha \_{i})\_{i\in \mathbb {N} }\in \operatorname {ball} \_{\operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )}(0,1)}
에 대하여, 반지름 {\displaystyle r}의 열린 공

{\displaystyle \operatorname {ball} \_{\ell ^{0}(\mathbb {C} )}(\alpha ,r)}
는 {\displaystyle \operatorname {ball} \_{\operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}(0,1)}와 겹치지 않는다.

예
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### 유클리드 공간

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이고, {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}이 (곱위상을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, {\displaystyle V}의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 {\displaystyle K}-벡터 공간으로서 같다.

그러나 예를 들어 {\displaystyle V}가 무한 차원 힐베르트 공간이라면 {\displaystyle V}의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.

### 수열 공간

 이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.
다음과 같은 르베그 공간을 생각하자.

{\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )=\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )=\left\{(a\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sum \_{i=0}^{\infty }|a\_{i}|^{p}<\infty \right\}}
이 경우, 노름

{\displaystyle \|a\|\_{p}={\sqrt[{p}]{\sum \_{i=0}^{\infty }|a\_{i}|^{p}}}}
을 부여하면 이는 {\displaystyle 1<p<\infty }에 대하여 바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 만약 {\displaystyle 1/p+1/q=1}이라면, {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )}의 연속 쌍대 공간은 {\displaystyle \ell ^{q}(\mathbb {C} )}이다.

또한, {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {C} )}의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간

{\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {C} )=\left\{(a\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sup \_{i\in \mathbb {N} }|a\_{i}|<\infty \right\}}
이다.

### 수렴 수열 공간

 이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 정의할 수 있다.

* **수렴 수열 공간** {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-수열 가운데 수렴하는 것들의 공간이다.
* **영 수렴 수열 공간** {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-수열 가운데 0으로 수렴하는 것들의 공간이다.

두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 {\displaystyle \textstyle \|a\|\_{\infty }=\sup \_{i\in \mathbb {N} }|a\_{i}|}이다.

이 경우, {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간과 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}이다. 그러나 {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}와 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 서로 ({\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간으로서) 동형이 아니다.

### 쌍대 내적 공간

내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 (**리스 표현 정리** Riesz表現定理, 영어: Riesz representation theorem).

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
* {\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간 {\displaystyle (V,\langle -,-\rangle \_{V})}

그렇다면, {\displaystyle V}의 연속 쌍대 공간 {\displaystyle V^{\*}}은 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간이다. 이 경우, {\displaystyle V^{\*}}은 항상 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \iota \colon V\to V^{\*}}
{\displaystyle \iota \colon v\mapsto \langle v,-\rangle }
**리스 표현 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \mathbb {R} }-선형 변환이며, 만약 {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} \colon \iota (\lambda v)={\bar {\lambda }}\iota (v)}이다.
* 단사 함수이다.
* ({\displaystyle V^{\*}}의 쌍대 노름에 대하여) 등거리 변환이다.
* {\displaystyle \iota }의 치역은 ({\displaystyle V^{\*}}의 쌍대 노름에 대하여) {\displaystyle V^{\*}}의 조밀 집합이다. 이에 따라, {\displaystyle V}의 내적을 {\displaystyle V^{\*}} 위에 연속적으로 연장할 수 있다.
{\displaystyle \langle \lim \_{i}u\_{i},\lim \_{j}v\_{j}\rangle \_{V^{\*}}=\lim \_{i,j}\langle u\_{i},v\_{i}\rangle }
* 이에 따라 {\displaystyle V^{\*}}은 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간을 이루며, {\displaystyle V}는 그 조밀 집합이다.
* 특히, {\displaystyle V}가 이미 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간일 때, {\displaystyle \iota }는 전단사 함수이며, {\displaystyle \iota }는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(反同型寫像, 영어: anti-isomorphism)을 이룬다. (물론, 만약 {\displaystyle K=\mathbb {R} }라면 이는 동형 사상이다.)

특히, {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간은 항상 {\displaystyle \mathbb {K} }-반사 바나흐 공간이다.

### 연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간

만약 {\displaystyle V}가 국소 볼록 공간이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 {\displaystyle V\to V^{\*\*}}은 단사 함수이며, 따라서 만약 {\displaystyle V\neq \{0\}}라면 {\displaystyle V^{\*}\neq \{0\}}이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, {\displaystyle V\neq \{0\}}이지만 {\displaystyle V^{\*}=\{0\}}일 수 있다.

구체적으로, {\displaystyle 0<p<1}이라고 하자. 그렇다면, 구간 위의 {\displaystyle p}-르베그 공간 {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )}의 연속 쌍대 공간은 자명하다.:816, Theorem 1

{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )^{\*}=\{0\}}

**증명:**

실수 선형 변환

{\displaystyle \phi \colon \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }
가 {\displaystyle \phi \neq 0}이라고 하자. {\displaystyle \phi }가 연속 함수가 아님을 보이면 족하다. 특히,

{\displaystyle \|\phi (f\_{i})\|\_{p}\geq 1\qquad \forall i\in \mathbb {N} }
{\displaystyle \|f\_{i}\|\_{p}=2^{(p-1)i}\|f\_{0}\|\_{p}}
이 되는 코시 함수열

{\displaystyle f\_{0},f\_{1},f\_{2},\ldots \in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )}
을 찾으면,

{\displaystyle f\_{i}\to 0}
{\displaystyle \phi (f\_{i})\not \to 0}
이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

우선, {\displaystyle \phi \neq 0}이므로 정의에 따라 {\displaystyle \phi (f\_{0})\geq 1}인 {\displaystyle f\_{0}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )}를 찾을 수 있다.

이제, 만약 {\displaystyle f\_{i}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )}가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자.

{\displaystyle [0,1]\mapsto \mathbb {R} }
{\displaystyle t\mapsto \int \_{0}^{t}|f\_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x}
이는 연속 함수이다. 따라서, 중간값 정리에 따라

{\displaystyle \int \_{0}^{t\_{i}}|f\_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int \_{0}^{1}|f\_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x}
인 {\displaystyle 0\leq t\_{i}\leq 1}이 존재한다. 이제,

{\displaystyle g\_{i}=2\chi \_{[0,t\_{i}]}f}
{\displaystyle h\_{i}=2\chi \_{[t\_{i},1]}f}
를 정의하자 ({\displaystyle \chi }는 지시 함수). 이제

{\displaystyle f\_{i+1}={\begin{cases}g\_{i}&|\phi (g\_{i})|\geq |\phi (h\_{i})|\\h\_{i}&|\phi (g\_{i})|<|\phi (h\_{i})|\end{cases}}}
를 정의하자. 그렇다면, 삼각 부등식에 따라

{\displaystyle 1\leq |\phi (f\_{i})|={\frac {1}{2}}|\phi (g\_{i})+\phi (h\_{i})|\leq {\frac {1}{2}}(|\phi (g\_{i})|+|\phi (h\_{i})|)\leq \max \left\{|\phi (g\_{i})|,|\phi (h\_{i})|\right\}}
이다. 또한 (편의상 {\displaystyle f\_{i+1}=g\_{i}}라고 하면)

{\displaystyle \|f\_{i+1}\|\_{p}=\int \_{0}^{1}|f\_{i+1}|^{p}=\int \_{0}^{t\_{i}}|2f\_{i}|^{p}=2^{p}\int \_{0}^{t\_{i}}|f\_{i}|^{p}=2^{p-1}\int \_{0}^{1}|f\_{i}|^{p}=2^{p-1}\|f\_{i}\|\_{p}}
이다. ({\displaystyle f\_{i+1}=h\_{i}}인 경우도 마찬가지다.)

따라서 함수열 {\displaystyle f\_{i}}는 필요한 조건들을 만족시킨다.

### 콤팩트 공간 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 {\displaystyle \operatorname {CompHaus} }라고 표기하고, 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주를 {\displaystyle \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }}로 표기하자.

그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon V\mapsto {\mathcal {C}}(V;\mathbb {R} )}
{\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon (f\colon X\to Y)\mapsto (g\in {\mathcal {C}}(Y;\mathbb {R} )\mapsto f\circ g)}
{\displaystyle (-)^{\*}\colon \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }}
{\displaystyle (-)^{\*}\colon V\mapsto V^{\*}}
{\displaystyle (-)^{\*}\colon (T\colon V\to W)\mapsto (T^{\*}\colon W^{\*}\to V^{\*})}
여기서 연속 쌍대 공간 {\displaystyle (-)^{\*}}에는 강한 위상을 부여한다.

이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{\displaystyle M\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }}
콤팩트 하우스도르프 공간 {\displaystyle X}에 대하여, {\displaystyle M(X)}는 {\displaystyle X} 위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합이다. 즉, {\displaystyle X} 위의 베르 시그마 대수 {\displaystyle \operatorname {Baire} (X)} 위의 두 측도 {\displaystyle (\mu \_{1},\mu \_{2})}의 차들의 동치류 집합이다. {\displaystyle M} 위에서 측도의 전변동은 노름을 정의하며, 이에 따라 {\displaystyle M(X)}는 실수 바나흐 공간을 이룬다.

임의의 연속 함수 {\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, {\displaystyle M(f)\colon M(X)\to M(Y)}는 다음과 같다.

{\displaystyle f(\mu )(S)=\mu (f^{-1}(S))\qquad \forall S\in \operatorname {Baire} (Y)}
그렇다면, **리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리**(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, 영어: Riesz–Markov–Kakutani representation theorem)에 따르면, 다음과 같은 자연 동형 {\displaystyle \textstyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{\*}\circ {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}이 존재한다.

{\displaystyle \int \_{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )^{\*}\qquad (X\in \operatorname {CompHaus} )}
{\displaystyle \int \_{X}\colon \mu \mapsto \left(f\mapsto \int \_{X}f\;\mathrm {d} \mu \right)}
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{\*}}\\&\operatorname {CompHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }\end{matrix}}}
### 국소 콤팩트 공간 위의 함수

리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다.

{\displaystyle X}가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle M(X)}를 {\displaystyle X} 위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다.

또한, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X,\mathbb {R} )}가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 {\displaystyle X\to \mathbb {R} }의 집합이라고 하자. 이 역시 실수 바나흐 공간을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

{\displaystyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{\*}\circ {\mathcal {C}}\_{0}(-;\mathbb {R} )}
{\displaystyle \int \_{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}\_{0}(M;\mathbb {R} )\qquad (X\in \operatorname {lcHaus} )}
{\displaystyle \int \_{X}\colon \mu \mapsto \int \_{X}f\;\mathrm {d} \mu }
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}\_{0}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{\*}}\\&\operatorname {lcHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }\end{matrix}}}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {lcHaus} }는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주이다.
* {\displaystyle \operatorname {Ban} \_{\mathbb {R} }}는 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주이다.

특히,
따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 {\displaystyle X}에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )^{\*}\cong {\mathcal {C}}\_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )\cong M(X;\mathbb {R} )}
여기서

* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )}는 콤팩트 지지 실수 값 함수 {\displaystyle X\to \mathbb {R} }들의 실수 노름 공간이다. 이 경우 균등 노름을 부여한다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )}는 무한대에서 0이 되는 연속 함수의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \sup \_{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon }인 콤팩트 집합 {\displaystyle K\subseteq X}가 존재한다. 이 경우 균등 노름을 부여한다. 이는 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )}의 완비화이다.

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{\*}={\mathcal {C}}\_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{\*}=\operatorname {L} ^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )}
여기서

* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \forall i\geq N\colon s\_{i}=0\}}는 유한 지지 실수열들의 노름 공간이다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \lim \_{i\in \mathbb {N} }s\_{i}=0\}}는 유계 수열로 구성된 바나흐 공간이며, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}의 완비화이다.
* {\displaystyle \ell ^{1}=L^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \sum \_{i=0}^{\infty }|s|<\infty \}}는 절대 수렴 실수열들의 바나흐 공간이다.

### 대각합류 작용소

 이 부분의 본문은 대각합류 작용소입니다.
복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle H}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 {\displaystyle H\to H} 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 {\displaystyle \operatorname {B} (H)} 및 그 부분 집합인, 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간 {\displaystyle {\mathfrak {S}}\_{1}(H)\subseteq \operatorname {B} (H)}을 정의할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle {\mathfrak {S}}\_{1}(H)}의 연속 쌍대 공간은 {\displaystyle \operatorname {B} (H)}와 동형이다. 구체적으로, 임의의 {\displaystyle A\in {\mathfrak {S}}\_{1}(H)} 및 {\displaystyle B\in \operatorname {B} (H)}에 대하여,

{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}
이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.)

특히, 이에 따라 {\displaystyle {\mathfrak {S}}\_{1}(H)^{\*}\cong \operatorname {B} (H)} 위에 약한-\* 위상을 정의할 수 있다. 이를 **초약 위상**(超弱位相, 영어: ultraweak topology)이라고 한다.

### 폰 노이만 대수

 이 부분의 본문은 폰 노이만 대수입니다.
C\* 대수 {\displaystyle A}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle A}는 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는다.
* {\displaystyle A}는 폰 노이만 대수이다.

이 경우, {\displaystyle A}의 원쌍대 공간 {\displaystyle A\_{\*}}은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle H}에 대하여 {\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (H)}이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle A}의 원쌍대 공간 {\displaystyle A\_{\*}}는 복소수 선형 변환 {\displaystyle \phi \colon A\to \mathbb {C} } 가운데, {\displaystyle A}에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.

역사
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1907년에 리스 프리제시와 모리스 르네 프레셰가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다. 이후 안드레이 마르코프와 가쿠타니 시즈오가 이를 일반화하였다.

스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,:123, §VIII.4, Théorème VII.3 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다. 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다.

국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테(영어: Gottfried Köthe) · 장 디외도네 · 조지 매키(영어: George Mackey) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.

참고 문헌
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