군론과 대수적 위상수학에서 **교차 가군**(交叉加群, 영어: crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

정의
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교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 군 G
* 군 H
* 군 준동형 {\displaystyle (\cdot )\colon G\to \operatorname {Aut} (H)}
* 군 준동형 {\displaystyle d\colon H\to G}

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\qquad \forall g\in G,\;h\in H}
{\displaystyle d(h)\cdot h'=hh'h^{-1}\qquad \forall h,h'\in H} (**파이퍼 항등식** 영어: Peiffer identity)
가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}G\times H&{\overset {(\cdot )}{\to }}&H\\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {id} \_{G}\times d}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \operatorname {id} \_{G}\times d}\!\!\!\!\!\!\!\!&&{\color {White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle d}\downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}.}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\operatorname {Ad} \_{G}\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}}
{\displaystyle {\begin{matrix}H\times H&{\overset {d\times \operatorname {id} }{\to }}&G\times H\\\|&&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle (\cdot )}\downarrow {\scriptstyle (\cdot )}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H&{\underset {\operatorname {Ad} \_{H}}{\to }}&H\end{matrix}}}
이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 G이며, 사상의 군은 {\displaystyle H\rtimes G}이다. 이 경우

{\displaystyle \operatorname {dom} (h,g)=g}
{\displaystyle \operatorname {codom} (h,g)=d(h)g}
이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 {\displaystyle G\to H\rtimes G}이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 대상의 군 {\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}
* 사상의 군 {\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}
* 항등 사상을 정의하는 군 준동형 {\displaystyle i\colon \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}
* 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 {\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}
* 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}}
* 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 {\displaystyle \{(f,g)\in (\operatorname {Mor} {\mathcal {G}})^{2}\colon \operatorname {dom} f=\operatorname {codom} g\}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}}

이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

| 교차 가군 | 군의 범주의 내적 범주 |
| --- | --- |
| G | {\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} |
| H | {\displaystyle \ker \operatorname {dom} \leq \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}} |
| {\displaystyle H\rtimes G} | {\displaystyle \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}} |
| {\displaystyle d\colon H\to G} | {\displaystyle \operatorname {codom} \upharpoonright (\ker \operatorname {dom} )} |
| {\displaystyle (\cdot )\colon G\times H\to H} | {\displaystyle (g,h)\mapsto i(g)hi(g)^{-1}\in \ker \operatorname {dom} } |
| {\displaystyle H\rtimes G\to G}, {\displaystyle (h,g)\mapsto g} | {\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} |
| {\displaystyle H\rtimes G\to G}, {\displaystyle (h,g)\mapsto d(h)g} | {\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}} |

예
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### 정규 부분군

임의의 군 G의 정규 부분군 N이 주어졌을 때,

{\displaystyle d\colon N\hookrightarrow G}
{\displaystyle g\cdot n=gng^{-1}\qquad (g\in G,\;n\in N)}
로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

### 가군

 이 부분의 본문은 군의 가군입니다.
다음 두 개념이 서로 동치이다.

* 군 G의 군환 \mathbb {Z} [G]의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}H}
* {\displaystyle d=1\_{G}} (치역이 G의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 {\displaystyle (G,H)}

**증명:**

\mathbb {Z} [G]의 왼쪽 가군 H가 주어졌다고 하자. 이제, {\displaystyle d=1\_{G}}으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 (H의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 {\displaystyle d=1\_{G}}일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 H가 아벨 군임을 의미한다.

반대로, {\displaystyle d=1\_{G}}인 교차 가군 {\displaystyle (G,H)}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 H는 아벨 군이며, 작용 {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (H)}는 H 위에 \mathbb {Z} [G]-가군의 구조를 정의한다.

즉, \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군의 범주는 G에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을

{\displaystyle hh'=(d(h)\cdot h')h\qquad \forall h,h'\in H}
와 같이 쓰면, 이는 H가 "뒤틀린 교환 법칙"을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

### 중심 확대

군의 짧은 완전열

{\displaystyle 1\to A\to H\,{\xrightarrow {d}}\,G\to 1}
에서, A가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle g\cdot h=khk^{-1}\qquad \forall k\in d^{-1}(g)\subseteq H}
을 정의하면, {\displaystyle (G,H,d,\cdot )}는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 {\displaystyle G=1}이며 {\displaystyle A=H}가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 {\displaystyle A=1}이며 {\displaystyle G=H}가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우

{\displaystyle d=\operatorname {id} \_{G}}
{\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}}
이다.:Example A.9

### 자기 동형군

임의의 군 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형

{\displaystyle d\colon H\to \operatorname {Aut} (H)}
{\displaystyle d\colon h\mapsto (h'\mapsto hh'h^{-1})}
이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, {\displaystyle (\operatorname {Aut} (H),H)}는 교차 가군을 이루며, 이를 {\displaystyle \operatorname {AUT} (H)}라고 한다.:§2

**증명:**
파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은

{\displaystyle d(f(h))=f\circ d(h)\circ f^{-1}\qquad \forall h\in H,\;f\in \operatorname {Aut} (H)}
이다. 이를 확인하려면, 임의의 {\displaystyle h'\in H}에 대하여, 좌변은

{\displaystyle d(f(h))(h')=f(h)h'f(h)^{-1}}
인데, 우변은

{\displaystyle \left(f\circ d(h)\circ f^{-1}\right)(h')=f(hf^{-1}(h')h^{-1})=f(h)f(f^{-1}(h'))f(h)^{-1}=f(h)h'f(h)^{-1}}
이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.

### 2-기본군

위상 공간 X의 부분 공간 A\subseteq X 및 {\displaystyle x\in A\subseteq X}에 대하여,

{\displaystyle G=\pi \_{1}(A,x)} (기본군)
{\displaystyle H=\pi \_{2}(X,A,x)} (2차 호모토피 군)
을 정의하고,

{\displaystyle d\colon H\to G}
가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

### 리 교차 가군

교차 가군 {\displaystyle (G,H)}에서, 만약 G와 H가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 {\displaystyle (G,H)}의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}}, {\displaystyle \operatorname {Lie} (H)={\mathfrak {h}}}라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.

* 두 유한 차원 실수 리 대수 {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {h}}
* 리 대수 준동형 {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {h}})} (공역은 {\mathfrak {h}}의 미분 리 대수)
* 리 대수 준동형 {\displaystyle d\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}}

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle d(\rho (g)h)=[g,d(h)]}
{\displaystyle \rho (d(h))=[h,-]=\operatorname {ad} \_{\mathfrak {h}}(h)} (무한소 파이퍼 항등식)
특히, 파이퍼 항등식으로부터, {\mathfrak {h}}의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

{\displaystyle [-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes \_{\mathbb {R} }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}
{\displaystyle [g,h]=\rho (g)h}
{\displaystyle \deg {\mathfrak {g}}=0}
{\displaystyle \deg {\mathfrak {h}}=1}
를 정의하면, {\displaystyle ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}},d,[-,-])}는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

역사
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존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(영어: crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.:453, §2 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 편의상, 상대 호모토피 군과 같은 대수적 성질을 갖는 군에 대하여 이름을 붙이고, 이에 대하여 몇몇 보조 정리를 증명하자. 이러한 군을 ‘교차 가군’[……]이라고 부르도록 하자.
It will be convenient to have a name for groups with the algebraic properties of relative homotopy groups, and to have proved some lemmas concerning them. We shall call such a group a *crossed module* […]. | "|
|   | — :453, §2 |

참고 문헌
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1. ↑  Noohi, Behrang (2005). "Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules" (영어). arXiv:math/0512106.
2. 1 2  Baez, John Carlos; Stevenson, Danny (2008). "The Classifying Space of a Topological 2-Group" (영어). arXiv:0801.3843.
3. ↑  Schreiber, Urs; Waldorf, Konrad (2008). "Smooth functors vs. differential forms" (영어). arXiv:0802.0663.
4. ↑  Whitehead, John Henry Constantine (1941). "On adding relations to homotopy groups, Annals of Mathematics" (영어) **42**: 409–428.
5. 1 2  Whitehead, John Henry Constantine (1949). "Combinatorial homotopy Ⅱ". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **55**: 453–496. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. MR 30760.