기하학에서 **아핀 변환**(-變換, 영어: affine transformation)은 아핀 기하학적 성질들을 보존하는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.

정의
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### 반아핀 변환

체 K 위의 두 벡터 공간 V, V' 및 자기 동형 사상 {\displaystyle \sigma \colon K\to K}가 주어졌다고 하자. 그렇다면 \sigma 에 대한 **반선형 변환**(半線型變換, 영어: semilinear transformation)은 다음 조건을 만족시키는 함수 {\displaystyle T\colon V\to V'}이다.

{\displaystyle T(ku+v)=\sigma (k)T(u)+T(v)\qquad \forall u,v\in V,\;k\in K}
체 K 위의 두 아핀 공간 {\displaystyle (A,V(A))}, {\displaystyle (A',V(A'))} 및 자기 동형 사상 {\displaystyle \sigma \colon K\to K}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 {\displaystyle F\colon A\to A'}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 \sigma 에 대한 **반아핀 변환**(半-變換, 영어: semiaffine transformation)이라고 한다.

* 어떤 점 a\in A에 대하여, {\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)}는 \sigma 에 대한 반선형 변환 {\displaystyle V(A)\to V(A')}이다.
* 모든 점 a\in A에 대하여, {\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)}는 \sigma 에 대한 반선형 변환 {\displaystyle V(A)\to V(A')}이다.

증명:

만약

{\displaystyle T\_{a}\colon V(A)\to V(A')}
{\displaystyle T\_{a}\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)}
가 반선형 변환이라면, 임의의 {\displaystyle b\in A} 및 {\displaystyle v\in V(A)}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}T\_{b}(v)&=F(b+v)-F(b)\\&=(F(b+v)-F(a))-(F(b)-F(a))\\&=T\_{a}((b-a)+v)-T\_{a}(b-a)\\&=T\_{a}(v)\end{aligned}}}
즉, {\displaystyle T\_{a}}는 a\in A의 선택과 무관하다.

반아핀 변환 F로 유도된 반선형 변환

{\displaystyle T(F)\colon V(A)\to V(A')}
{\displaystyle T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)}
는 점 a\in A의 선택과 무관하며, 임의의 a,b\in A에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

{\displaystyle F(b)=F(a)+T(F)(b-a)}
벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.

{\displaystyle {\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {ab}})={\overrightarrow {F(a)F(b)}}}
여기서

{\displaystyle T(F)={\overrightarrow {F}}}
{\displaystyle b-a={\overrightarrow {ab}}}
이다.

### 아핀 변환

**선형 변환**은 항등 함수 {\displaystyle \sigma =\operatorname {id} \_{K}}에 대한 반선형 변환이다.

**아핀 변환**은 항등 함수 {\displaystyle \sigma =\operatorname {id} \_{K}}에 대한 반아핀 변환이다. 즉, {\displaystyle T(F)}가 선형 변환인 반아핀 변환이다.

성질
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모든 반아핀 변환은 공선점과 평행 부분 아핀 공간을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심를 보존하며, 특히 중점을 보존한다.

### 대수적 성질

체 K 위의 아핀 공간 {\displaystyle (A,V(A))}와 벡터 공간 V' 사이의 아핀 변환의 집합 {\displaystyle \operatorname {Hom} \_{K}(A,V')}은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 K 위의 두 아핀 공간 {\displaystyle (A,V(A))}, {\displaystyle (A',V(A'))} 사이의 아핀 변환의 집합 {\displaystyle \operatorname {Hom} \_{K}(A,A')}은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.

{\displaystyle V(\operatorname {Hom} \_{K}(A,A'))=\operatorname {Hom} \_{K}(A,V(A'))}
{\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} \_{K}(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)}
### 아핀 군

 이 부분의 본문은 아핀 군입니다.
아핀 변환 {\displaystyle F\colon A\to A'} 및 {\displaystyle G\colon A'\to A''}에 대하여, 합성 {\displaystyle G\circ F\colon A\to A''} 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 {\displaystyle F\colon A\to A'}에 대하여, 역함수 {\displaystyle F^{-1}\colon A'\to A} 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 {\displaystyle (A,V(A))} 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 군을 이루며, 이를 **아핀 군** {\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}라고 한다. 아핀 군은 평행 이동들의 벡터 공간 {\displaystyle V(A)}와 그 일반 선형군 {\displaystyle \operatorname {GL} (V(A))}의 반직접곱과 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {Aff} (A)\cong V(A)\rtimes \operatorname {GL} (V(A))}
만약 A가 벡터 공간일 경우 위 동형은 자연스럽다.

### 유한 차원

#### 아핀 기하학의 기본 정리

**아핀 기하학의 기본 정리**(-畿何學-基本定理, 영어: fundamental theorem of affine geometry)에 따르면, 체 K 위의 유한 {\displaystyle d\neq 1}차원 아핀 공간 A 위의 전단사 함수 {\displaystyle F\colon A\to A}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 공선점을 보존한다. 즉, 만약 a,b,c\in A가 공선점이라면, {\displaystyle F(a),F(b),F(c)\in A} 역시 공선점이다.
* 반아핀 변환이다.

특히, 실수체 \mathbb {R} 의 자기 동형 사상은 항등 함수밖에 없으므로, 유한 {\displaystyle d\neq 1}차원 실수 아핀 공간 A 위의 전단사 함수 {\displaystyle F\colon A\to A}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 공선점을 보존한다.
* 아핀 변환이다.

마찬가지로, 복소수체 \mathbb {C} 의 연속 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 z\mapsto {\bar z}밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 {\displaystyle d\neq 1}차원 복소수 아핀 공간 A 위의 연속 전단사 함수 {\displaystyle F\colon A\to A}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 공선점을 보존한다.
* 아핀 변환이거나, 켤레 복소수에 대한 반아핀 변환이다.

1차원에서는 모든 함수가 공선점을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.

#### 행렬 표현

체 K 위의 두 유한 n, m차원 아핀 공간 {\displaystyle (A,V(A))}, {\displaystyle (A',V(A'))} 사이의 아핀 변환 {\displaystyle F\colon A\to A'}은 아핀 틀 {\displaystyle (o,B)}, {\displaystyle (o',B')}에 대하여 다음과 같은 꼴의 행렬로 표현할 수 있다.

{\displaystyle M\_{(o,B),(o',B')}(F)={\begin{pmatrix}1&0\_{1\times n}\\a\_{m\times 1}&{M\_{B,B'}(T(F))}\_{m\times n}\end{pmatrix}}}
여기서 {\displaystyle M\_{B,B'}(T(F))}는 기저 B, {\displaystyle B'}에 대한 {\displaystyle T(F)}의 행렬이다.

특히, 유한 차원 아핀 군 {\displaystyle \operatorname {Aff} (n;K)}는 일반선형군 {\displaystyle \operatorname {GL} (n+1;K)}의 부분군으로 여길 수 있다.

### 유클리드 공간

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{d} 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식의 절댓값과 같다. 다시 말해, \mathbb {R} ^{d} 위의 르베그 측도를 \mu 라고 할 때, 임의의 가측 집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{d}} 및 아핀 변환 {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mu (F(S))=|{\det T(F)}|\mu (S)}

예
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아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

* 상수 함수
* 평행 이동
* 중심 닮음 변환
* 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 반사
* 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 사영

모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환은 아핀 변환이다.

유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

* 등거리 변환
* 닮음 변환

1차원 복소수 벡터 공간 \mathbb {C}  위의 켤레 복소수 함수

{\mathbb C}\to {\mathbb C}
z\mapsto {\bar z}
는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.

참고 문헌
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1. ↑  Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.
2. ↑  Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.
3. ↑  Gallier, Jean (2011). 《Geometric Methods and Applications》. Texts in Applied Mathematics (영어) **38** 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.