이 곡선은 점 *p* 주위를 두 번 감는다.
수학에서 평면에 주어진 점과 같은 평면에 있는 닫힌 곡선의 **감김 수**(영어: Winding number) 또는 **감김 지수**(영어: winding index)는 곡선이 점 주위에서 시계 반대 방향으로 감는 총 횟수를 나타내는 정수다. 즉, 곡선이 주어진 점 주위를 몇 번 회전하였는지를 나타낸다. 김김 수는 곡선이 점을 감는 방향에 따라 다르다. 시계 반대 방향으로 감는 경우를 양수를 부여하고, 시계 방향으로 점 주위를 감는 경우 음수를 부여한다.

감김 수는 대수적 위상수학의 기본적 대상이며 벡터 미적분학, 복소해석학, 기하학적 위상수학, 미분기하학뿐만 아니라, 수리물리학, 이론물리학(예: 끈 이론)에서도 중요한 역할을 한다.

직관적인 설명
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 빨간색 곡선을 따라 이동하는 물체는 원점에 있는 사람을 중심으로 시계 반대 방향으로 두 번 회전한다.
평면에 방향이 주어진 닫힌 곡선이 있다고 가정하자. 곡선을 한 점 A가 이동하는 자취라고 생각하자. 그러면, 곡선의 감김 수는 점이 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 총 수와 같다.

총 회전 수를 계산할 때 시계 반대 방향은 양수로, 시계 방향은 음수로 계산한다. 예를 들어 점 A가 처음에 시계 반대 방향으로 원점을 네 번 돌고 그 다음 시계 방향으로 원점을 한 번 돌면 곡선이 점을 감은 횟수는 세 번이다.

이 방식에 따르면, 원점 주위를 전혀 이동하지 않는 곡선은 감김 횟수가 0인 반면, 원점 주위를 시계 방향으로 이동하는 곡선은 음의 감김 횟수를 갖는다. 따라서 곡선의 감김 수는 정수가 될 수 있다. 다음 그림은 −2와 3 사이의 감김 수가 있는 곡선을 보여준다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| \cdots  |  |  |  |  |
|  | − 2 | − 1 | 0 |  |
|  |  |  |  | \cdots  |
|  | 1 | 2 | 3 |  |

정의
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{\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}를 한 점 a를 뺀 평면 위에 있는 닫힌 곡선이라 하자. \gamma 가 a 주위를 감는 수는

{\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0)}
이다. 여기서 {\displaystyle (\rho ,s)}는 극좌표로 표현된 곡선, 즉, 다음 덮개 사상을 통해 들어올려진 곡선이다.

{\displaystyle p:\mathbb {R} \_{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho \_{0},s\_{0})\mapsto a+\rho \_{0}e^{i2\pi s\_{0}}.}
감김 수는 들어 올려진 경로의 존재성과 유일성(덮개 공간의 시작점 지정)과 모든 올이 p 형식이다 {\displaystyle \rho \_{0}\times (s\_{0}+\mathbb {Z} )} (따라서 위의 표현은 시작점의 선택에 의존하지 않는다). 곡선이 닫혀 있기 때문에 정수이다.

다른 정의들
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감김 수는 종종 수학의 다양한 부분에서 다른 방식들으로 정의된다. 아래의 모든 정의는 위에 주어진 정의와 동일하다.

### 알렉산더의 감김 수 셈법

1865년 아우구스트 페르디난트 뫼비우스는 감김 수를 정의하기 위한 간단한 조합 규칙을 제안했으며 1928년 제임스 워델 알렉산더가 다시 독립적으로 제안했다. 모든 곡선은 평면을 여러 연결 성분들로 분할하며, 그 중 하나는 유계가 아니다. 같은 연결 성분에 있는 두 점 주위의 곡선의 감김 수는 동일하다. 유계가 아닌 연결 성분 안의 임의의 점에 대한 감김 수는 0이다. 마지막으로, 인접한 두 연결 성분의 감김 수는 정확히 1만큼 다르다. 더 큰 감김 수를 가진 연결 성분이 곡선의 왼쪽에 나타난다.

### 미분기하학

미분기하학에서 매개변수 방정식은 일반적으로 미분 가능(또는 적어도 부분적으로 미분 가능)하다고 가정한다. 이 경우 극좌표 *\theta* 는 다음 방정식에 의해 직교 좌표 *x,y*와 관련된다.

{\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
이는 *\theta* 에 대한 다음 정의를 미분하여 찾을 수 있다.

{\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}
미적분학의 기본정리에 의해 *\theta* 의 전체 변화는 *{\displaystyle d\theta }*의 적분과 같다. 따라서 미분 가능한 곡선의 감김 수를 선적분으로 표현할 수 있다.

{\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint \_{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}
제 1형식 {\displaystyle d\theta }(원점의 여집합에서 정의됨)는 닫힌 형식이지만 완전 형식은 아니며 구멍이 뚫린 평면의 첫 번째 드람 코호몰로지 군을 생성한다. 특히, *\omega* 가 원점의 여집합에 정의된 닫힌 제 1미분형식인 경우 폐곡선을 따라 *\omega* 를 적분하면 감김 수의 배수가 된다.

### 복소해석학

감김 수는 복소해석학에서 아주 중요한 역할을 한다(유수 정리 설명 참조). 복소해석학의 맥락에서 폐곡선 \gamma 의 감김 수를 복소평면에서 복소 좌표 {\displaystyle z=x+yi}로 표현 할 수 있다. 구체적으로, {\displaystyle z=re^{i\theta }}라고 쓰면,

{\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }
따라서,

{\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}
\gamma 가 폐곡선이고 총 변화량은 {\displaystyle \ln(r)} 0이므로 {\textstyle {\frac {dz}{z}}}를 적분한 값은 i에 \theta 의 총 변화량을 곱한 값과 같다. 따라서, 원점에 대한 폐곡선 \gamma 의 감김 수는

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}
일반적으로, \gamma 가 {\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}에 의해 매개변수화된 닫힌 곡선이라 하자. z\_{0}에 대한 \gamma  의 감김 수 또는 z\_{0} 대한 \gamma 의 지표는 복소수{\displaystyle z\_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}에 대해 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle \mathrm {Ind} \_{\gamma }(z\_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z\_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z\_{0}}}dt.}
이것은 유명한 코시 적분 공식의 특별한 경우이다.

복소 평면에서 감김 수의 기본 성질들 중 일부는 다음 정리에 의해 제공된다.

**정리.** *{\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }가 닫힌 곡선이고 \Omega 가. \gamma 의 여집합이라고 하자. 즉, {\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}.* *그러면 z의 지수는 \gamma 에 대하여,*


I
n
d

γ

:
Ω
→

C

,
 
 
z
↦

1

2
π
i

∮

γ


d
ζ

ζ
−
z

,

{\displaystyle \mathrm {Ind} \_{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}

{\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}


I
n
d

γ

:
Ω
→

C

,
 
 
z
↦

1

2
π
i

∮

γ


d
ζ

ζ
−
z


{\displaystyle \mathrm {Ind} \_{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}}

{\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}}는 (i) 정수 값, 즉, 모든 {\displaystyle z\in \Omega }에 대해 {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }; (ii) \Omega 의 각 연결 성분에 대해 상수; (iii) z가 유계가 아닌 \Omega 의 연결 성분에 있으면 0.

즉각적인 결과로서 이 정리는 점 z에 대한 원형 곡선 \gamma 의 감김 수를 제공한다. 예상대로 감김 횟수는 시계 반대 방향으로 z 주위를 도는 고리 \gamma 들의 수를 세는 것이다:

**따름정리.** *\gamma 가 {\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }로 정의된 곡선이라 하자. 그러면,* {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}

### 위상수학

위상수학에서 감김 수는 브라우어르 차수의 다른 이름이다.

위의 한 점을 중심으로 하는 곡선의 예는 간단한 위상수학적 의미를 갖는다. 평면에서 한 점의 여집합은 원과 동등한 호모토피이므로 원에서 그 자체로의 사상이 실제로 고려해야 할 전부이다. 그러한 각각의 사상은 표준 사상 {\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}들 중 하나로 연속적으로 변형될 수 있음을 보여줄 수 있다(호모토픽하다). 여기서 원의 곱셈은 복소 평면에서 단위 원 상의 복소수 {\displaystyle e^{i\theta }}들의 곱으로 정의된다. 원에서 위상 공간으로 가는 사상의 호모토피 동치류 집합은 군을 형성하며, 이를 첫 번째 호모토피 군 또는 해당 공간의 기본군이라고 한다. 원의 기본군은 정수 군 \mathbb {Z} 이다. 일반적 곡선의 감김 수는 이의 호모토피 동치류일 뿐이다.

3차원 구면에서 그 자체로의 사상은 감김 수 또는 때때로 폰트랴긴 지수라고도 하는 정수로 분류된다.

회전 수
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 이 곡선의 전곡률은 6π 이고 *회전 횟수*는 3이지만 회전 *횟수*는 p 에 대해서만 2이다.
또한 곡선의 접벡터와 관련하여 곡선의 감김 수를 고려할 수 있다. 이는 곡선의 접벡터가 만드는 곡선의 원점에 대한 감김 수이다. 이 경우 이 문서의 시작 부분에 설명된 예에서는 작은 고리가 계산되기 때문에 감김 번호가 3이다.

이것은 몰입된 곡선에 대해서만 정의되며(즉, 도함수가 사라지지 않는 미분 가능한 경로에 대해) 접선 가우스 사상의 차수이다.

이것을 **선회수**, **회전수**, **회전 지수** 또는 **곡선의 지수**라고 하며, 전곡률을 π로 나눈 값으로 계산할 수 있다.

### 다각형

다각형에서 **회전 수**는 다각형 밀도라고 한다. 볼록 다각형 및 보다 일반적으로 단순한 다각형 (자기 교차하지 않음)의 경우 조르당 곡선 정리에 따라 밀도는 1이다. 대조적으로 정칙 별 모양 다각형 {*p*/*q*}의 경우 밀도는 *q*이다.

### 3차원 공간 안에서 일반적 곡선

각도에는 일치하는 치수가 필요하므로 3차원 공간 안에 있는 일반적 곡선에 대해 회전 수를 정의할 수 없다. 그러나 국소적으로 볼록하고 닫힌 곡선의 경우 **접선 회전 기호**를 {\displaystyle (-1)^{d}}로 정의할 수 있다. 여기서 d는 탄젠트 표시의 입체 사영의 회전 수이다. 그것의 두 값은 국소적으로 볼록한 곡선의 두 비퇴화 호모토피 동치류에 해당한다.

감김 수와 하이젠베르크 강자성체 방정식
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감김 수는 (2+1) 차원 연속 하이젠베르크 강자성체 방정식과 이 방정식의 적분가능한 확장: 이시모리 방정식 등 마지막 방정식의 해는 감김 수 또는 위상 전하 (위상 불변량 및 위상 양자 수)로 분류된다.

응용
--

 단 선데이의 감김 수 알고리듬 시각화. 감김 수가 0이면 점이 다각형 외부에 있음을 의미한다. 다른 값은 점이 다각형 내부에 있음을 나타낸다.
### 다각형의 점

다각형에 대한 점의 감김 수는 다각형 안의 점 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다. 즉, 점이 다각형 내부에 있는지 여부를 결정하는 데 사용할 수 있다.

일반적으로 레이 캐스팅 알고리듬 은 감김 수 알고리즘과 달리 삼각 함수가 필요하지 않기 때문에 PIP 문제에 대한 더 나은 대안이다. 그럼에도 불구하고 감김 수 알고리듬은 삼각 함수와 관련된 계산이 필요하지 않도록 속도를 높일 수 있다. 단순하지 않은 다각형도 고려해야 하는 경우 선데이 알고리듬이라고도 하는 알고리듬의 속도 향상 버전을 권장한다.

참조
--

1. ↑  Möbius, August (1865). "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders". 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse》 **17**: 31–68.
2. ↑  Alexander, J. W. (April 1928). "Topological Invariants of Knots and Links". 《Transactions of the American Mathematical Society》 **30** (2): 275–306. doi:10.2307/1989123. JSTOR 1989123.
3. ↑  Weisstein, Eric Wolfgang. "Contour Winding Number". 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
4. ↑  Rudin, Walter (1976). 《Principles of Mathematical Analysis》. McGraw-Hill. 201쪽. ISBN 0-07-054235-X.
5. ↑  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 3판. McGraw-Hill. 203쪽. ISBN 0-07-054234-1.
6. ↑  Abelson, Harold (1981). 《Turtle Graphics: The Computer as a Medium for Exploring Mathematics》. MIT Press. 24쪽.
7. ↑  Do Carmo, Manfredo P. (1976). 〈5. Global Differential Geometry〉. 《Differential Geometry of Curves and Surfaces》. Prentice-Hall. 393쪽. ISBN 0-13-212589-7.
8. ↑  Feldman, E. A. (1968). "Deformations of closed space curves". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **2** (1): 67–75. doi:10.4310/jdg/1214501138.
9. ↑  Minarčík, Jiří; Beneš, Michal (2022). "Nondegenerate homotopy and geometric flows". 《Homology, Homotopy and Applications》 (영어) **24** (2): 255–264. doi:10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12.
10. ↑  Sunday, Dan (2001). "Inclusion of a Point in a Polygon". 2013년 1월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서.

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