북극에서 본 지구의 지수 사상은 지도 제작에서 극 정거 방위 도법에 해당한다.
리만 기하학에서 **지수 사상**(영어: Exponential map)은 리만 다양체 (또는 준 리만 다양체) M의 접공간 T\_{p}M의 부분 집합에서 *M* 자체로 가는 사상이다. (준) 리만 계량은 표준 아핀 접속을 결정하고 (준) 리만 다양체의 지수 사상은 이 접속의 지수 사상에 의해 제공된다.

정의
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*M*이 미분 다양체이고 *p*는 *M*의 점이라 하자. *M*에 대한 아핀 접속을 통해 점 *p*를 지나는 직선의 개념을 정의할 수 있다.

{\displaystyle v\in T\_{p}M}를 *p*에서 다양체에 대한 접벡터라고 하자. 그러면 *{\displaystyle \gamma \_{v}(0)=p}*, *{\displaystyle \gamma '\_{v}(0)=v}*인 측지선 *{\displaystyle \gamma \_{v}:[0,1]\rightarrow M}*은 유일하다. 해당 **지수 사상**은 *{\displaystyle \exp \_{p}(v):=\gamma \_{v}(1)}*로 정의된다. 일반적으로 지수 사상은 *국소적으로만 정의된다*. 이는 국소적 상미분방정식의 존재정리와 고유성에 의존하기 때문이다. 접다발의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의된 경우 아핀 접속을 완비라고 한다.

성질
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직관적으로 말하면, 지수 사상은 다양체에 대한 주어진 접벡터를 갖고 해당 점에서 시작하여 단위 구간을 측지선을 따라 사상한다. 또한 측지선을 호의 길이로 재매개화할 수 있으므로 동등하게 *{\displaystyle \exp \_{p}(v)=\beta (|v|)}*를 정의할 수 있다. 여기서 *\beta*는 *v*방향으로 가는 호 길이로 매개변수화된 측지선이다. 접벡터 *v를* 변경하면 *{\displaystyle \exp \_{p}}*를 적용할 때 기준점 *p*에서 어느 정도 거리 내에 있는 *M*의 다른 점을 얻을 수 있다. 이것은 다양체에 대한 접공간이 다양체의 "선형화"임을 구체적으로 말해준다.

호프-리노우 정리는 다양체가 거리 공간으로서 완비일 경우에만 전체 접공간에서 지수 사상을 정의하는 것이 가능하다고 주장한다(이 특성을 가진 지수 사상을 갖는 다양체에 대해 **측지 완비**라는 일반적인 단어를 정당화한다. 특히 콤팩트 다양체는 측지 완비다. 그러나 *{\displaystyle \exp \_{p}}* 전체 접공간에서 정의되더라도 일반적으로 전역 미분동형사상이 아니다. 그러나 접공간의 원점에서의 미분은 항등 사상이므로 역함수 정리에 의해 지수 사상이 매장되는 T\_{p}M의 원점 근처를 찾을 수 있다(즉, 지수 사상은 로컬 미분동형사상). *{\displaystyle \exp \_{p}}*를 통해 미분동형적으로 사상될 수 있는 T\_{p}M의 원점에 대한 가장 큰 공의 반경을 *p*에서 *M*의 **단사 반경**이라고 한다. 지수 사상의 절단 궤적은 대략적으로 말하면 지수 사상이 유일한 최소값을 가지지 못하는 모든 점의 집합이다.

*지수* 사상의 *중요한* 성질은 다음과 같은 가우스 보조정리이다: 이중 접공간 {\displaystyle T\_{v}(T\_{p}M)}과 *v*에 직교하는 *w는* *지수* 사상을 통해 앞으로 갈 때 *v*에 직교한 성질을 유지한다. 이는 특히 T\_{p}M의 원점에 대한 작은 공의 경계 구가 해당 벡터에 의해 결정된 *M*의 측지선과 직교한다는 것을 의미한다(즉, 측지선은 *방사형*임). 이것은 리만 다양체에서 측지선 법선 좌표 의 정의에 동기를 부여한다.

곡률의 정의는 다소 추상적이라 할 수 있지만, 지수 사상은 리만이 원래 구상한 곡률을 보다 구체적으로 구현하는 데에도 유용하다. 단면 곡률은 직관적으로 고려 중인 점 *p*을 지나는 어떤 곡면의 가우스 곡률로 정의 된다. 단면 곡률은 T\_{p}M의 2차원 부분 공간 *W*을 *{\displaystyle \exp \_{p}}*로 보낸 상 *{\displaystyle \exp \_{p}(W)}*으로 정의되는 *p를 지나는* 곡면의 가우스 곡률로 정확하게 정의할 수 있다.

리 이론의 지수 사상과의 관계
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**쌍불변 계량**(왼쪽 및 오른쪽 변환 모두에서 준 리만 계량 불변)이 있는 리 군의 경우 준 리만 구조의 지수 사상은 리 군의 지수 사상과 동일하다. 일반적으로 리 군에는 쌍불변 계량이 없지만 모든 연결 반 단순 리 군에는 있다. 쌍불변 *리만* 계량의 존재성은 준 리만 계량의 존재성보다 강력하며, 리 대수가 콤팩트 리 군의 리 대수임을 의미한다. 반대로 모든 콤팩트 (또는 아벨) 리 군에는 이러한 리만 계량이 있다.

"정직한" 지수 사상을 제공하는 예를 보자. 일반적인 곱셈에서 리 군인 양의 실수의 곱셈군 *{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}*를 고려하자. 여기서 각 접공간은 ***\mathbb{R}*** 이다. 점 ***y***에서 ***\mathbb{R}*** 의 각 사본에 수정된 내적을 도입한다.


⟨
u
,
v

⟩

y

=

u
v

y

2



{\displaystyle \langle u,v\rangle \_{y}={\frac {uv}{y^{2}}}}

{\displaystyle \langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}}이는 두 실수를 일반적인 실수처럼 곱하지만, 계량을 왼쪽 불변으로 만들기 위해 ***y^{2}***로 나누어 준다.

점 *{\displaystyle 1\in \mathbb {R} ^{+}}*을 잡고 *{\displaystyle x\in T\_{1}\mathbb {R} ^{+}}*를 1에서 접공간의 원소로 보자. 1에서 나오는 일반적인 직선, 즉 *{\displaystyle y(t)=1+xt}*는 호 길이 재매개화를 하면 측지선과 동일한 곡선을 지난다. 이를 위해 수정된 계량 {\displaystyle |\cdot |\_{y}}에 의해 유도된 호의 길이로 다시 매개변수화한다:


s
(
t
)
=

∫

0

t

|

x

|

y
(
τ
)

d
τ
=

∫

0

t



|

x

|

1
+
τ
x

d
τ
=

|

x

|

∫

0

t


d
τ

1
+
τ
x

=

|

x

|

x

ln
⁡

|

1
+
t
x

|

{\displaystyle s(t)=\int \_{0}^{t}|x|\_{y(\tau )}d\tau =\int \_{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int \_{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|}

{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|}여기서 역함수 ***{\displaystyle t(s)}***를 얻어서


y
(
s
)
=

e

s
x

/

|

x

|


{\displaystyle y(s)=e^{sx/|x|}}

{\displaystyle y(s)=e^{sx/|x|}}를 구한다. 이제 호 길이 재매개화된 곡선의 성질을 사용하여



exp

1

⁡
(
x
)
=
y
(

|

x

|

1

)
=
y
(

|

x

|

)

{\displaystyle \exp \_{1}(x)=y(|x|\_{1})=y(|x|)}

{\displaystyle \exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|)}를 얻고 이는 예상대로 지수 함수 ***e^{x}***가 된다.

이에 의해 정의된 리만 거리 함수는 단순히


dist
⁡
(
a
,
b
)
=

|

ln
⁡

(

b
a

)

|

.

{\displaystyle \operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.}

{\displaystyle \operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.}

참고 문헌
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* Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), 《Comparison Theorems in Riemannian Geometry》, Elsevier . See Chapter 1, Sections 2 and 3.
* do Carmo, Manfredo P. (1992), 《Riemannian Geometry》, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8 . See Chapter 3.
* "Exponential mapping". 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Helgason, Sigurdur (2001), 《Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces》, Graduate Studies in Mathematics **34**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 .
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), 《Foundations of Differential Geometry》 **1** New판, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .