양자장론에서 **초등각 장론**(超等角場論, 영어: superconformal field theory, 약자 SCFT)은 등각 대칭과 초대칭을 동시에 갖는 양자장론이다.

4차원 초등각 장론
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4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 양자장론이며, 4차원 초대칭 양자장론의 재규격화군흐름의 적외선 극한으로 얻어진다.

### 4차원 초등각 대수

4차원에서, 초전하의 수가 4{\mathcal N}개인 초등각 대수는 \operatorname {PSU}(2,2|{\mathcal N})이다. 그 보손 성분은

\operatorname {PSU}(2,2)\times \operatorname U({\mathcal N})
이다. 다만, {\mathcal {N}}=4일 경우 U(1) R대칭이 깨져,

\operatorname {PSU}(2,2)\times \operatorname {SU}(4)
가 된다.

4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다.

| 생성원 | 기호 | \Delta  | \operatorname U({\mathcal N}) R대칭 표현 | 로런츠 표현 | 에르미트 수반 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 운동량 | P\_{\mu } | +1 | **1** | (½,½) | {\displaystyle (P\_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }} |
| 왼손 초전하 | Q\_{\alpha }^{i} | +½ | {\mathcal N} | (½,0) | {\displaystyle (Q\_{\alpha }^{i})^{\dagger }=S\_{i}^{\alpha }} |
| 오른손 초전하 | {\displaystyle {\bar {Q}}^{{\dot {\alpha }}i}} | +½ | {\bar {{\mathcal N}}} | (0,½) | {\displaystyle ({\bar {Q}}\_{i}^{\dot {\alpha }})^{\dagger }={\bar {S}}\_{\dot {\alpha }}^{i}} |
| 확대 | D | 0 | **1** | (0,0) | {\displaystyle D^{\dagger }=-D} |
| 각운동량 | J\_{{\mu \nu }} | 0 | **1** | (1,0) ⊕ (0,1) | {\displaystyle (J\_{\mu \nu })^{\dagger }=J^{\mu \nu }} |
| R대칭 | R^{i}{}\_{j} | 0 | {\mathfrak u}({\mathcal N}) | (0,0) | {\displaystyle (R^{i}{}\_{j})^{\dagger }=R\_{j}{}^{i}} |
| 왼손 특수 초전하 | S\_{i}^{\alpha } | −½ | {\bar {{\mathcal N}}} | (½,0) | {\displaystyle (S\_{i}^{\alpha })^{\dagger }=Q\_{\alpha }^{i}} |
| 오른손 특수 초전하 | {\bar S}^{{{\dot \alpha }i}} | −½ | {\mathcal N} | (0,½) | {\displaystyle ({\bar {S}}\_{\dot {\alpha }}^{i})^{\dagger }={\bar {Q}}\_{i}^{\dot {\alpha }}} |
| 특수 등각 변환 | K\_{\mu } | −1 | **1** | (½,½) | {\displaystyle (K^{\mu })^{\dagger }=P\_{\mu }} |

J\_{{\mu \nu }}, P\_{\mu }, {\displaystyle K^{\mu }}, D 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.

{\displaystyle \{Q\_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}\_{{\dot {\beta }}j}\}=2\delta \_{j}^{i}\sigma \_{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P\_{\mu }}
{\displaystyle \{{\bar {S}}\_{i}^{\dot {\alpha }},S^{\beta j}\}=2\delta \_{i}^{j}{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}K\_{\mu }}
\{Q\_{\alpha }^{i},S\_{j}^{\beta }\}=\delta \_{j}^{i}(\sigma ^{\mu }{\bar \sigma }^{\nu })\_{\alpha }{}^{\beta }J\_{{\mu \nu }}+\delta \_{\alpha }^{\beta }({\frac 32}R\_{j}^{i}+\delta \_{j}^{i}D)
\{{\bar Q}\_{{{\dot \alpha }i}},{\bar S}^{{{\dot \beta }i}}\}=\delta \_{i}^{j}({\bar \sigma }^{\mu }\sigma ^{\nu })^{{{\dot \alpha }}}{}\_{{{\dot \beta }}}J\_{{\mu \nu }}+\delta \_{{{\dot \alpha }}}^{{{\dot \beta }}}({\frac 32}R\_{j}^{i}-\delta \_{j}^{i}D)
[K^{\mu },Q\_{\alpha }^{i}]=i\sigma \_{{\alpha {\dot \beta }}}^{\mu }{\bar S}^{{{\dot \beta }i}}
{\displaystyle [K^{\mu },{\bar {Q}}\_{\dot {\alpha }}^{i}]=i{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}\beta }S\_{\beta }^{i}}
[P^{\mu },S\_{{\alpha i}}]=i\sigma \_{{\alpha {\dot \beta }}}^{\mu }{\bar Q}^{{{\dot \beta }i}}
[P^{\mu },{\bar S}^{{{\dot \alpha }i}}]=i{\bar \sigma }^{{\mu {\dot \alpha }\beta }}Q\_{\beta }^{i}
[P,Q]=[P,{\bar Q}]=[K,S]=[K,{\bar S}]=\{Q,Q\}=\{{\bar Q},{\bar Q}\}=\{Q,{\bar S}\}=\{{\bar Q},S\}=\{S,S\}=\{{\bar S},{\bar S}\}=0
여기서

P\_{{\alpha {\dot \beta }}}=\sigma \_{{\alpha {\dot \beta }}}^{\mu }P\_{\mu }
K\_{{\alpha {\dot \beta }}}=\sigma \_{{\alpha {\dot \beta }}}^{\mu }K\_{\mu }
이다.

### 표현

4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 \Delta  및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 **유니터리 하한**(영어: unitarity bound)이라는 부등식들이 존재한다.

3차원 초등각 장론
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3차원 초등각 대수는 {\mathfrak {osp}}({\mathcal N}|4)이며, 그 보손 부분군은

\operatorname {SO}({\mathcal N})\times \operatorname {Sp}(4,{\mathbb R})\cong \operatorname {SO}({\mathcal N})\times \operatorname {Spin}^{+}(3,2)
이다. 즉, R대칭군은 \operatorname {SO}({\mathcal N})이다.

2차원 초등각 장론
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 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.
 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.
2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.

성질
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4차원 {\mathcal N}=1 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 **a-최대화**(영어: a-maximization)라는 방법으로 계산할 수 있다. 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다.

예
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{\mathcal {N}}=4 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 {\mathcal {N}}=4 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, **𝒮류 이론**(영어: theories of class 𝒮)이라는 {\mathcal {N}}=2 초등각 장론들을 얻는다. 4차원 {\mathcal N}=1 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다.

3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다. 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다.

6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다.

참고 문헌
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2. ↑  Gates, S. J.; Grisaru, Marcus T.; Rocek, M.; Siegel, W. (1983). 《Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry》. Frontiers in Physics (영어) **58**. arXiv:hep-th/0108200. Bibcode:2001hep.th....8200G.
3. ↑  Minwalla, Shiraz (1998). "Restrictions imposed by superconformal invariance on quantum field theories". 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) **2**: 781-846. arXiv:hep-th/9712074.
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5. ↑  Intriligator, Kenneth; Wecht, Brian. "The exact superconformal R-symmetry maximizes a" (영어). arXiv:hep-th/0304128. doi:10.1016/S0550-3213(03)00459-0.  `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 47) (도움말)
6. ↑  Intriligator, Kenneth; Wecht, Brian. "Exploring the 4d Superconformal Zoo" (영어). arXiv:hep-th/0402084.
7. ↑  Gaiotto, Davide; Gregory W. Moore, Andrew Neitzke (2013년 2월 15일). "Wall-crossing, Hitchin systems, and the WKB approximation". 《Advances in Mathematics》 (영어) **234**: 239–403. arXiv:0907.3987. Bibcode:2009arXiv0907.3987G. doi:10.1016/j.aim.2012.09.027. ISSN 0001-8708.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
8. ↑  West, Peter C. (1997). "Introduction to rigid supersymmetric theories". arXiv:hep-th/9805055.

* Shnider, Steven (1988년 11월). "The superconformal algebra in higher dimensions". 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) **16** (4): 377–383. doi:10.1007/BF00402046.