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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
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* 역사
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| 배경
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* 구양자이론(old quantum theory)
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

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| 기본
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* 상태(state)
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* Symmetry
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* 불확정성
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	+ 붕괴

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| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

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| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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| 해석
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* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
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* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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| 고급 주제
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* 양자장론
* 양자 정보 과학
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물리학에서 **부분파 방법**(部分波方法, method of partial waves)은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 **부분파**(部分波, partial wave)로 분해하여 푸는 방법이다.

전개
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파수 k={\sqrt {2mE}}/\hbar 를 가지고 z방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 \langle {\mathbf r}|\phi \rangle =\exp({\mathrm i}kz)가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 V(r)에 의하여 |\psi\rangle으로 산란된다고 하자.

(H\_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .
퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,\theta ,\phi )=0
을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 j\_{l}(x), y\_{l}(x)와 구면 조화 함수 Y\_l^m(\theta,\phi)의 곱들의 선형결합이다.

\psi (r,\theta ,\phi )=\sum \_{{l,m}}B\_{l}^{m}j\_{l}(kr)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )+C\_{l}^{m}ki^{{l+1}}\left(j\_{l}(kr)+iy\_{l}(kr)\right)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi ).
여기서 B\_{l}^{m}과 C\_{l}^{m}은 미지의 계수이다.

**레일리 공식**(Rayleigh formula)에 따라

\phi (r,\theta ,\phi )=\exp(ikr\cos \theta )=\sum \_{{l,m}}i^{l}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}j\_{l}(kr)Y\_{l}^{0}(\theta ,\phi )
이고,

ki^{{l+1}}\left(j\_{l}(kr)+iy\_{l}(kr)\right)\approx \exp(ikr)/r (kr\gg 1)
은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.

B\_{l}^{m}={\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta \_{{m0}}.
따라서

\psi (r,\theta ,\phi )=\sum \_{{l,m}}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta \_{{m0}}j\_{l}(kr)Y\_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C\_{l}^{m}ki^{{l+1}}\left(j\_{l}(kr)+iy\_{l}(kr)\right)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )
이다. 여기서 각각의 C\_{l}^{m}i^{{l+1}}\left(j\_{l}(kr)+iy\_{l}(kr)\right)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi ) 성분을 **부분파**라고 하고, C\_{l}^{m}을 **부분파 산란 진폭**이라고 한다.

**부분파 방법**은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 C\_{l}^{m}을 구하면 그 총 산란 진폭 f(\theta ,\phi )는

f(\theta ,\phi )=\sum \_{{l,m}}C\_{l}^{m}Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )
와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 \sigma 와 미분 단면적 d\sigma /d\Omega 를 다음과 같이 구할 수 있다.

\sigma =\oint |f|^{2}\,d\Omega =\sum \_{{l,m}}|C\_{l}^{m}|^{2}
{\frac {d\sigma (\theta ,\phi )}{d\Omega }}=\sum \_{{l',m'}}\sum \_{{l,m}}C\_{l}^{m}Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )(C\_{{l'}}^{{m'}}Y\_{{l'}}^{{m'}}(\theta ,\phi ))^{\*}.
### 낮은 에너지에서의 근사

퍼텐셜의 "크기"가 대략 a라고 하자. 즉, V(r)가 대략 다음과 같은 꼴이다.

V(r)\approx {\begin{cases}0&r>a\\\infty &r<a.\end{cases}}
이런 경우에는 \psi (r=a,\theta ,\phi )\approx 0이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.

0\approx \sum \_{{l,m}}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta \_{{m0}}j\_{l}(ka)Y\_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C\_{l}^{m}ki^{{l+1}}\left(j\_{l}(ka)+iy\_{l}(ka)\right)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi ).
이에 따라

C\_{l}^{m}\approx -{\frac {{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta \_{{m0}}j\_{l}(ka)}{ki^{{l+1}}\left(j\_{l}(ka)+iy\_{l}(ka)\right)}}
이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 E=\hbar ^{2}k^{2}/2m가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,

ka\ll 1
E\ll {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}
라고 하자. 그렇다면

j\_{l}(x)\propto x^{l} (x\ll 1)
y\_{l}(x)\propto x^{{-l-1}} (x\ll 1)
이므로,

C\_{l}^{m}\propto a(ka)^{{2l}}
이다. 따라서 ka\ll 1이므로 l=0인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 l,m=0인 부분파만 고려하면 된다.

위상 변화
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위에서 정의한 부분파 진폭 C\_{m}^{l}은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.

C\_{m}^{l}={\sqrt {4\pi }}\exp(i\delta \_{m}^{l})\sin \delta \_{m}^{l}.
여기서 \delta \_{m}^{l}을 (l,m) 부분파의 **위상 변화**(phase shift)라고 한다.

참고 문헌
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* Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.
* Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.
* Peters, Klaus (2006). "A primer on partial wave analysis". 《International Journal of Modern Physics A》 **21** (27): 5618. arXiv:hep-ph/0412069. doi:10.1142/S0217751X06034811.