양자장론에서 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**(Källén–Lehmann spectral representation)은 상호작용하는 양자장론의 2점 함수의 특이점들을 이론에 존재하는 상태들의 정지 질량들의 스펙트럼으로 표현하는 공식이다.

역사
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스웨덴의 군나르 켈렌(스웨덴어: Gunnar Källén)이 1952년에 도입하고, 독일의 해리 레만(독일어: Harry Lehmann)이 1954년에 개량하였다.

정의
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푸앵카레 대칭을 깨지 않는 양자장론에서 에르미트 스칼라장 \phi (x)를 생각하자. 이 스칼라장은 자유장이 아니고 상호작용하는 이론의 하이젠베르크 묘사로 나타난나고 하자. 그렇다면 이 입자의 2점 함수의 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**은 다음과 같다.

\langle 0|{\mathcal T}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int \_{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta \_{{{\text{F}}}}(x-y;M).
여기서 |0\rangle 는 상호작용하는 장의 진공이고, \Delta \_{{{\text{F}}}}(x-y;M)은 질량 M을 갖는 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자다. \rho (M^{2})는 이론에 따라 다른 함수로, **스펙트럼 밀도**(spectral density)라고 한다. 스펙트럼 함수 \rho (M^{2})의 디랙 델타 함수 꼴의 특이점은 하나의 입자를 포함하는 상태들이다. 스펙트럼 함수가 0이 아니고 연속적인 부분들은 다입자 상태들을 나타낸다. 스핀을 가지는 장의 경우에도 유사한 스펙트럼 표현이 존재한다.

전개
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푸앵카레 대칭을 따르고 (푸앵카레 자발 대칭 깨짐이 일어나지 않고), 진공 |0\rangle 을 가진 양자장론을 생각하자. \phi (x)가 국소 에르미트 로런츠 스칼라 연산자라고 하자. 이 연산자는 병진 변환을 사용하여

\phi (x)=\exp(i{\hat P}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat P}\cdot x)
로 나타낼 수 있다. 여기서 {\hat P}^{\mu }는 사차원 운동량 연산자이다. U(\Lambda )가 로런츠 변환이라고 하자. \phi 는 로런츠 스칼라라고 가정하였으므로,

U(\Lambda )\phi (x)U^{{-1}}(\Lambda )=\phi (\Lambda \_{\nu }^{\mu }x^{\nu })
이다. 여기서 \Lambda \_{\nu }^{\mu }는 x^{\nu }에 대한 로런츠 변환 행렬이다.

|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 가, 총 사차원 운동량이 p^{\mu }=(E\_{{{\mathbf p}}},{\mathbf p})=({\sqrt {m^{2}+{\mathbf p}^{2}}},{\mathbf p})인 상태라고 하자. 그렇다면

{\hat P}|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle =p^{\mu }|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 
이다. U\_{p}가 p^{\mu }의 질량 중심 관성계로 변환시키는 로런츠 변환 연산자라고 하자. 즉,

{\displaystyle U\_{p}|\lambda \_{\mathbf {p} }\rangle =|\lambda \_{\mathbf {0} }\rangle }
이다. 진공은 푸앵카레 대칭에 대하여 불변이므로,

{\hat P}|0\rangle =0
U\_{p}|0\rangle =|0\rangle 
이다. 따라서

\langle 0|\phi (x)|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 
=\langle 0|\exp(i{\hat P}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat P}\cdot x)|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 
=\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 
=\exp(-ip\cdot x)\langle 0|U\_{p}^{{-1}}\phi (0)U\_{p}|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle 
=\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle 
이다. 또한, \phi (x)의 진공 기댓값이 \langle 0|\phi (x)|0\rangle =\langle 0|\phi (0)|0\rangle =0이라고 가정하자. (그렇지 않는 경우, {\tilde \phi }(x)=\phi (x)-\langle \phi \rangle 로 장을 재정의할 수 있다.)

\phi 의 2점 함수는 다음과 같다.

\langle 0|{\mathcal T}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle .
여기에 다음과 같은 단위 연산자

{\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+\sum \_{\lambda }\int {\frac {d^{3}{\mathbf p}}{(2\pi )^{3}2E\_{{{\mathbf p}}}}}|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle \langle \lambda \_{{{\mathbf p}}}|
를 삽입하고, 병진 변환을 사용하면 다음과 같다.

\langle 0|{\mathcal T}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle 
=\sum \_{\lambda }{\mathcal T}\left[\int {\frac {d^{3}{\mathbf p}}{(2\pi )^{3}2E\_{{{\mathbf p}}}}}\langle 0|\phi (x)|\lambda \_{{{\mathbf p}}}\rangle \langle \lambda \_{{{\mathbf p}}}|\phi (y)|0\rangle \right]
=\sum \_{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{3}{\mathbf p}}{(2\pi )^{3}2E\_{{{\mathbf p}}}}}\exp \left(ip\cdot (y-x)\operatorname {sgn}(x\_{0}-y\_{0})\right)
여기에 경로적분법을 역으로 사용하여 \int dp^{0}/2\pi 를 추가하자.

=\sum \_{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac i{p^{2}-m\_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)
=\sum \_{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac i{p^{2}-m\_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)
=\sum \_{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle \right|^{2}\Delta \_{{{\text{F}}}}(x-y;m\_{\lambda }).
여기서 \Delta \_{{{\text{F}}}}(x-y;m\_{\lambda })는 정지 질량이 m\_{\lambda }인 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자이다.

이제 **스펙트럼 밀도**(spectral density) \rho (M^{2})를 다음과 같이 정의하자.

\rho (M^{2})\equiv 2\pi \sum \_{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda \_{{{\mathbf 0}}}\rangle \right|^{2}\delta (M^{2}-m\_{\lambda }^{2}).
여기서 \delta ()는 디랙 델타 함수이다. 그렇다면

\langle 0|{\mathcal T}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int \_{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta \_{{{\text{F}}}}(x-y;M)
이다. 이를 **켈렌-레만 스펙트럼 표현**이라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Källén, Gunnar (1952). "On the definition of the renormalization constants in quantum electrodynamics". 《Helvetica Physica Acta》 (영어) (Birkhäuser) **25** (4): 417–434. doi:10.5169/seals-112316.
2. ↑  Lehmann, Harry (1954년 4월 1일). "Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder". 《Il Nuovo Cimento》 (독일어) **11** (4): 342–357. doi:10.1007/BF02783624.

* Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995년 10월). 《An introduction to quantum field theory》 (영어). Westview Press. 211쪽. ISBN 9780201503975. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 1월 3일에 확인함.