이론물리학과 수학에서 **베스-추미노-위튼 모형**(영어: Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 **베스-추미노-노비코프-위튼 모형**(영어: Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의
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### 리 군 위의 제르브

다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G. 그 리 대수가 {\mathfrak {g}}라고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(G;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }
임을 보일 수 있다. 그 생성원을 {\displaystyle [\mu ]}라고 하자. 기하학적으로, 이는 G 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, {\mathfrak {g}}의 킬링 형식

{\displaystyle B\colon \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }
및 3차 형식

{\displaystyle {\tilde {\mu }}|\_{1}\in \bigwedge ^{3}{\mathfrak {g}}^{\*}}
{\displaystyle {\tilde {\mu }}|\_{1}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])}
을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 G 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\tilde {\mu }}=B(\theta \wedge [\theta \wedge \theta ])\in \Omega ^{3}(G)}
여기서 {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}는 G의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 {\displaystyle [\mu ]}에 비례한다.

{\displaystyle [\mu ]=\alpha [{\tilde {\mu }}]}
그렇다면, {\displaystyle [\mu ]}의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

{\displaystyle \mu =\alpha {\tilde {\mu }}}
로 정의할 수 있다.

### 베스-추미노-위튼 작용

임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) \Sigma  및 매끄러운 함수(스칼라장)

{\displaystyle \phi \colon \Sigma \to G}
가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

* {\displaystyle \partial M\_{3}=\Sigma }가 되는 3차원 유향 경계다양체 {\displaystyle M\_{3}}
* {\displaystyle f\upharpoonright \sigma =\phi }가 되는 연속 함수 {\displaystyle f\colon M\_{3}\to G}
* {\displaystyle \mathrm {d} \omega =f^{\*}\mu }가 되는 2차 미분 형식 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M\_{3})}

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 {\displaystyle (M\_{3},f,\omega )}, {\displaystyle (M\_{3}',f',\omega ')}가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

{\displaystyle {\tilde {M}}\_{3}=M\_{3}\cup \_{\Sigma }M\_{3}'}
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}\_{3}\to G}
이에 따라, {\displaystyle {\tilde {M}}\_{3}}은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, \mu 가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

{\displaystyle \int \_{{\tilde {M}}\_{3}}{\tilde {f}}^{\*}\mu =[{\tilde {M}}\_{3}]\frown [\mu ]\in \mathbb {Z} }
이다. (\frown 은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

{\displaystyle \int \_{\Sigma }(\alpha -\alpha ')=\int \_{M\_{3}}\phi ^{\*}\mu -\int \_{M\_{3}'}\phi '^{\*}\mu \in \mathbb {Z} }
임을 알 수 있다.

따라서,

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} S\_{2})=\exp \left(2\pi \mathrm {i} \int \_{\Sigma }\alpha \right)}
는 {\displaystyle (M\_{3},\phi ,\alpha )}의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, \Sigma 에 임의의 리만 계량 g를 부여하자. G의 **베스-추미노-위튼 작용**은

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)=\exp(\mathrm {i} S\_{1}+k\mathrm {i} S\_{2})\qquad (k\in \mathbb {Z} )}
{\displaystyle S\_{1}\propto \int \_{\Sigma }-B(g^{-1}(\theta ,\theta ))}
이다. (S\_{1}의 양의 실수 스칼라배는 g의 재정의로 흡수될 수 있다.) k는 **준위**(영어: level)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 **고전적 베스-추미노-위튼 모형**이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

* 리 대수 {\mathfrak {g}}의 지표 a,b,c,\dots
* \Sigma 의 지표 i,j,k,\dots
* {\displaystyle M\_{3}}의 지표 I,J,K,\dots

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

S=S\_{1}+S\_{2}
S\_{1}=-{\frac {k}{8\pi }}\int \_{{S^{2}}}d^{2}x\,(Dg)^{2}
S\_{2}=-{\frac k{24\pi }}\int \_{{B^{3}}}d^{3}y\,\epsilon ^{{ijk}}f\_{{abc}}D\_{I}g^{a}D\_{J}g^{b}D\_{K}g^{c}
여기서 \epsilon ^{{IJK}}는 레비-치비타 기호, f\_{{abc}}는 리 대수의 구조 상수다.

물론, S\_{2}로 인하여 오직 {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)\in \mathbb {C} }만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 \Sigma 에 n개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 {\displaystyle C\_{1},\dotsc ,C\_{n}}이라고 할 때, 일반적으로 {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)}는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.:§3.4

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)\in \bigotimes \_{i=1}^{n}{\mathcal {L}}\_{g\upharpoonright C\_{i}}}
여기서

* {\mathcal L}은 고리군 {\displaystyle {\mathcal {L}}G={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},G)} 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
* {\displaystyle g\upharpoonright C\_{i}\colon \mathbb {S} ^{1}\cong C\_{i}\to G}는 g의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
* {\mathcal L}\_{x}는 선다발 {\mathcal L}의, {\displaystyle x\in {\mathcal {L}}G}에서의 올이다.
* {\mathcal L} 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 G가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

### 양자화

베스-추미노-위튼 모형의 보존류(h=1인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{k}=\bigoplus \_{R\in \operatorname {IrRep} (G,k)}{\overline {V\_{R\_{k}}\otimes \_{\mathbb {C} }V\_{{\bar {R}}\_{k}}}}}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {IrRep} (G)}는 G의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
* {\displaystyle \operatorname {IrRep} (G,k)\subsetneq \operatorname {IrRep} (G)}는 G의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 {\displaystyle \lambda \_{R}\in {\mathfrak {h}}}가 {\displaystyle \langle \phi \_{\mathfrak {g}},\lambda \_{R}\rangle \leq k}를 만족시키는 것이다.:(49) 여기서 {\displaystyle \phi \_{\mathfrak {g}}}는 {\mathfrak {g}}의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 \Delta 의 양근의 집합 {\displaystyle \Delta ^{+}}에 대하여, {\displaystyle \forall \alpha \in \Delta ^{+}\colon \alpha +\phi \}}이다.)
* {\displaystyle R\in \operatorname {IrRep} (G)} 및 k\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle R\_{k}}는 아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 {\displaystyle {\mathsf {k}}\in {\hat {\mathfrak {g}}}}의 값이 k가 된다.
* {\displaystyle {\overline {\color {White}V}}}는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우

{\displaystyle c={\frac {k\dim G}{k+h^{\vee }(G)}}}
이다. 여기서 h^{\vee }(G)는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 {\mathcal L}G의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 {\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

{\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2))=\{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}}
{\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2),k)=\{0,1/2,1,\dotsc ,k/2\}}
이다.

성질
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### 장방정식

베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은

{\displaystyle \partial (g^{-1}{\bar {\partial }}g)=0}
이다.:(3.18) (편의상, \Sigma  위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

### 천-사이먼스 이론과의 관계

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.

### D막

위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류

{\displaystyle J=-\partial gg^{-1}}
{\displaystyle {\bar {J}}=g^{-1}{\bar {\partial }}g}
를 생각하자. 이 경우, 조건

{\displaystyle J=-{\bar {J}}}
은 풀어 쓰면

{\displaystyle 0=(\partial g)g^{-1}-g^{-1}{\bar {\partial }}g=\operatorname {Ad} (g)g^{-1}\partial g-g^{-1}{\bar {\partial }}g}
이다. 이는

{\displaystyle (\operatorname {Ad} (g)+1)g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g+(\operatorname {Ad} (g)-1)g^{-1}(\partial +{\bar {\partial }})g=0}
로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, G의 g에서의 접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{g}G}를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{g}^{\parallel }G}과 수직한 부분 공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{g}^{\perp }G}으로 구분할 수 있다. 그렇다면, {\displaystyle \mathrm {T} \_{g}^{\perp }G}에 제한하였을 때 {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)=1}이므로,

{\displaystyle \left(g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g\right)^{\perp }=0}
이 된다. 즉, 이는 접벡터 {\displaystyle g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g}의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 \lambda 가 정수 무게이어야 한다.:§7.1 즉, G의 극대 원환면 {\displaystyle T\leq G}을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 {\mathfrak {h}}라고 하자. 그렇다면, 무게 {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {\mathfrak {h}}}^{\vee }}에 대하여, 켤레류

{\displaystyle \{g\exp(2\pi \lambda /k)g^{-1}\colon g\in G\}}
를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 \lambda 가 정수 무게인 것, 즉 G의 모든 근 \alpha 에 대하여 {\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {Z} }인 것이다.

역사
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율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

참고 문헌
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