**다포체**(多胞體, 영어: Polytope 폴리토프[\*])는 다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리킨다.
n차원에서 정의되는 다포체를 **n차원 다포체**(n-polytope)로 부른다. 예를 들어, 다각형은 2차원 다포체, 다면체는 3차원 다포체, 폴리코론은 4차원 다포체이다.

정의
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다포체를 정의하는 방법은 다양하며 이 정의의 차이에 따라 포함하는 도형의 범위도 달라진다. 어떠한 경우는 다포체의 정의에 테셀레이션과 같은 무한한 크기의 도형을 포함하기도 하며, 또한 자기 자신을 통과하는 도형을 포함하는 경우도 존재한다.

그 차원에서 포의 수가 가장 적은 정다포체인 단체의 경우 6차원 이상의 단체부터는 한 이포각의 크기가 72° 초과, 90° 미만이다. 그러므로 3개나 4개가 모일 수 있고, 초입방체의 경우에는 무조건 90° 이므로 3개가 모이게 된다. 참고로, 4개가 모이면 다 다포체의 테셀레이션이 된다. 따라서 7차원과 그 이후로는 3 종류의 정다포체 즉, 단체, 초입방체, 정축체와 한 가지의 정규 허니컴만 존재한다. 여기에서 단체와 초입방체 벌집은 자기쌍대이고, 초입방체와 정축체는 서로 쌍대 관계이다. 단체는 꼭짓점 도형과 셀이 모두 단체이며, 단채 3개가 한 모서리에 모인다. 초입방체는 셀이 초입방체이고, 꼭짓점 도형이 단체인데, 한 모서리에 초입방체 3개가 만난다. 또한 그의 쌍대인 정축체의 경우는 한 모서리에 단체 4개가 만나고, 꼭짓점 도형이 정축체이며, 셀이 단체이다. 그리고 하이퍼 큐브 벌집의 경우 초입방체 4개를 한 모서리에 모이개 하여 만들 수 있으며, 셀이 초입방체이며, 꼭짓점 도형이 이것의 쌍대인 정축체이다. 6차원 이상의 차원의 정축체의 경우는 한 이포각의 크기가 120° 이상이며, 초입방체 허니컴은 이포각의 크기가 무조건 180°라 이들로는 7차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다. (단, 4차원 정다포체에서 정십육포체와 정이십사포체는 테서랙트와 마찬가지로, 테셀레이션을 할 수 있다). 또한 0차원의 면은 점이고, 1차원의 면은 선이고, 2차원은 다각형 면, 3차원은 포체 또는 셀이라고 한다. 또한 4차원에서의 면은 하이퍼 셀이며, 5차원 이상의 면은 그냥 n-face(n차원의 면) 이라고 한다.

이를 비유클리드 초공간으로 확장시켜서 유클리드 기하학에서는 불가능한 하이퍼볼릭 허니콤이라는 벌집을 만들 경우 n-1차원 정다포체로 이루어져 있고, 꼭짓점 도형도 정다포체인 유클리디안 콤팩트 하이퍼볼릭 허니콤, n-1차원 면이나 꼭짓점 도형이 정규 허니컴인 파라콤팩트 허니콤, 꼭짓점 도형과 n-1차원의 면 중 적어도 하나가 하이퍼볼릭인 논콤팩트 허니콤도 비유클리드 기하학에서는 가능하다.

가장 일반적으로 사용하는 정의는 한 단계 아래의 다포체를 이용하는 것이다.
0차원 다포체는 점이며, 1차원 다포체는 직선에서 점으로 범위를 제한한 도형, 2차원 다포체는 평면에서 1차원 다포체로 범위를 제한한 도형 등으로 구성한다.
즉, n차원 다포체는 n차원 공간에서 (n-1)차원 다포체로 범위를 제한한 도형을 가리키게 된다.

| 차원 | 영어 | 발음 | - |
| --- | --- | --- | --- |
| 임의 | polytope | 폴리토프 | （다포체） |
| *n* | *n*-polytope | *n*-폴리토프 | （n차원 다포체） |
| 0 | point | 포인트 | 점 |
| 1 | segment | 세그멘트 | 선분 |
| 2 | polygon | 폴리곤 | 다각형 |
| 3 | polyhedron | 폴리헤드론 | 다면체 |
| 4 | polychoron | 폴리코론 | （다포체） |
| 5 | polyteron | 폴리테론 |
| 6 | polypeton | 폴리페톤 |
| 7 | polyexon | 폴리엑손 |
| 8 | polyzetton | 폴리제톤 |
| 9 | polyyotton | 폴리요톤 |  |
| 10 | polyxetton | 폴리세톤 |  |
| 11 | polyggopton | 폴리곱톤 |  |

다포체를 여러 단체(simplex)를 서로 연결한 도형들의 집합으로 정의하는 경우도 있다. 이때 두 단체의 교집합은 반드시 점, 선, 면 등이어야 한다. 하지만 이 정의는 자기 자신을 통과하는 도형을 허용하지 않는다.

**볼록 다포체**는 다포체가 볼록 집합을 이루는 경우로 정의한다. 이외에도 유한 개의 점에 대한 최소볼록집합으로 정의할 수 있지만, 이 경우 유계인 다포체만 고려한다는 가정을 포함한다.

출처
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1. ↑  Grünbaum, Branko (2003). 《Convex polytopes (2nd ed.)》. New York & London: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00424-6.

n차원 볼록 정다포체 및 볼록 정규 허니컴의 종류
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정다포체

* 정축체 {3^^n-2^^, 4} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 정축체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개, 초입방체의 쌍대
* 초입방체 {4, 3^^n-2^^} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개, 정축체의 쌍대
* 단체 {3^^n-1^^} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개이며, 자기쌍대

벌집

* 큐브 허니컴 {4, 3^^n-(2+1)^^, 4} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 정축체 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개이며, 단체와 마찬가지로 자기쌍대

n차원의 경우
단체는 n+1개의 면과 꼭짓점을 가짐, 초입방체는 2n개의 면과 2^n개의 꼭짓점을 가지고 있으며, 정축체는 이에 쌍대이므로 서로 반대, 입방체 벌집의 경우는 무수히 많은 면과 꼭짓점의 개수를 가지고 있으므로 표현할 수 없다.

| 정다포체의 종류
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| 종류 | An | BCn | Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn |
| 정다각형 | 정삼각형 | 정사각형 |  | 정육각형 | 정오각형 |
| 정다면체 | 정사면체 | 정팔면체 • 정육면체 | 데미큐브 |  | 정십이면체 • 정이십면체 |
| 4차원 다포체 | 정오포체 | 정십육포체 • 정팔포체 (테서랙트) | 데미테서랙트 | 정이십사포체 | 정백이십포체 • 정육백포체 |
| 5차원 다포체 | 5-단체 | 5-교차다포체 • 5-초입방체 | 5-데미큐브 |  |  |
| 6차원 다포체 | 6-단체 | 6-교차다포체 • 6-초입방체 | 6-데미큐브 | 122 • 221 |  |
| 7차원 다포체 | 7-단체 | 7-교차다포체 • 7-초입방체 | 7-데미큐브 | 132 • 231 • 321 |  |
| 8차원 다포체 | 8-단체 | 8-교차다포체 • 8-초입방체 | 8-데미큐브 | 142 • 241 • 421 |  |
| 9차원 다포체 | 9-단체 | 9-교차다포체 • 9-초입방체 | 9-데미큐브 |  |  |
| 10차원 다포체 | 10-단체 | 10-교차다포체 • 10-초입방체 | 10-데미큐브 |  |  |
| 11차원 다포체 | 11-단체 | 11-교차다포체 • 11-초입방체 | 11-데미큐브 |  |  |
| 12차원 다포체 | 12-단체 | 12-교차다포체 • 12-초입방체 | 12-데미큐브 |  |  |
| *n*차원 다포체 | *n*-단체 | *n*-교차다포체 • *n*-초입방체 | *n*-데미큐브 | 1k2 • 2k1 • k21 | *n*-오각다포체 |
| 다포체의 종류 • 정다포체 • 정다포체의 목록 |

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