해석학에서 **타원형 미분 연산자**(楕圓型微分演算子, 영어: elliptic differential operator)는 라플라스형 연산자와 유사한 일종의 양의 정부호성 조건을 만족시키는 짝수차 미분 연산자이다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
* E의 올 위의 매끄러운 양의 정부호 내적 \langle ,\rangle

만약 유한 차수 {\displaystyle k<\infty }의 미분 작용소

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
가 다음 조건을 만족시킨다면, D를 **타원형 미분 연산자**라고 한다.

{\displaystyle \inf \_{(x,\xi )\in \mathrm {T} \_{x}^{\*}X\setminus X,\;v\in E\_{x}}{\frac {\langle \sigma \_{D}(\overbrace {\xi ,\xi ,\ldots ,\xi } ^{k},v),v\rangle }{\langle v,v\rangle (g^{-1}(\xi ,\xi ))^{k/2}}}>0}
여기서 {\displaystyle \sigma \_{D}}는 미분 연산자 D의 주표상이다.

모든 타원형 미분 연산자는 짝수 차수이다. (홀수 차수일 경우 {\displaystyle \sigma \_{D}(-\xi ,\ldots ,-\xi ,v)=-\sigma \_{D}(\xi ,\ldots ,\xi ,v)}가 된다.)

타원형 미분 연산자 D로 정의되는 선형 편미분 방정식, 즉

{\displaystyle Df=g\qquad (f,g\in \Gamma ^{\infty }(E))}
의 꼴의 선형 편미분 방정식을 **타원형 편미분 방정식**(楕圓型偏微分方程式, 영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다.

### 약타원형 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M

만약 모든 x\in X 및 {\displaystyle \xi \in \mathrm {T} \_{x}^{\*}X\setminus \{0\}}에 대하여 {\displaystyle \sigma \_{P}(x,\xi )\colon E\_{x}\to F\_{x}}가 실수 벡터 공간의 동형 사상이라면, P를 **약타원형 미분 연산자**(弱楕圓型微分演算子, 영어: weakly elliptic operator)라고 한다. 유한 개의 약타원형 미분 연산자의 합성은 약타원형 미분 연산자이다.

모든 타원형 미분 연산자는 약타원형 미분 연산자이다.

성질
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### 차수

2차원 이상 매끄러운 다양체 위의 타원형 미분 연산자는 항상 짝수 차수이다.

**증명:**

{\displaystyle n\geq 2}일 때, n차원 다양체의 임의의 점에서, k차 미분 연산자 D의 주표상이 k차 동차 다항식

{\displaystyle \sigma (x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n})}
이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle \sigma (x,1,0,0,\dotsc ,0)=p(x)=\sum \_{i=0}^{k}a\_{i}x^{i}}
를 생각하자. 만약 {\displaystyle a\_{k}=0}이라면,

{\displaystyle \sigma (1,0,0,0,\dotsc ,0)=0}
이므로 D는 타원형 미분 연산자가 아니다. 만약 {\displaystyle a\_{k}\neq 0}이라면,

{\displaystyle p(x)=a\_{k}x^{k}+\dotsb }
는 k차 다항식이다. k가 홀수라면, 이 다항식은 항상 근

{\displaystyle p(\alpha )=0}
을 가진다. 그렇다면

{\displaystyle \sigma (\alpha ,1,0,0,\dotsc ,0)=p(\alpha )=0}
이므로 D는 타원형 미분 연산자가 아니다.

반면, 1차원 매끄러운 다양체 (= 매끄러운 곡선) 위에서는 임의의 홀수 차수의 타원형 미분 연산자가 존재한다. 그러나 이 경우는 상미분 방정식에 해당하므로, 자명한 경우로 취급한다.

### 정칙성

리만 다양체 M위의 매끄러운 벡터 다발 E 위의 자기 수반 타원형 미분 연산자

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다.

* {\displaystyle \dim \ker D<\infty }. 다시 말해, 타원형 연산자로 정의된 동차 편미분 방정식 Df=0은 유한 개의 일차 독립 해를 갖는다.
* {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)=\ker D\oplus \operatorname {im} D}

이를 **타원형 정칙성 정리**(영어: elliptic regularity theorem)라고 한다.

### 준타원성

(매끄러운 함수 계수의) 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

예
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리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 2차 타원형 미분 연산자이며, 그 상수는 1이다. 마찬가지로, 보다 일반적으로 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.

리만 다양체 (M,g) 위의 내적을 갖춘 매끄러운 벡터 다발 E 위의 0차 미분 연산자 D가 타원형 미분 연산자가 될 필요 충분 조건은 모든 올에서 이차 형식 {\displaystyle \langle -,D\_{x}-\rangle }가 양의 정부호 이차 형식이며, 또한 양의 정부호성이 다음과 같이 균등한 것이다.

{\displaystyle \inf \_{x\in X}\inf \_{v\in E\_{x}\setminus \{0\}}{\frac {\langle v,D\_{x}v\rangle }{\langle v,\rangle v}}\geq 0}
즉, {\displaystyle D\_{x}}의 고윳값 가운데 최솟값을 {\displaystyle \lambda \_{\min }(x)}라고 하면,

{\displaystyle \inf \_{x\in X}\lambda \_{\min }(x)>0}
이어야 한다. 이는 연속 함수이므로, 만약 M이 콤팩트 공간이라면 이는 올별 양의 정부호성에 의하여 자동적으로 함의된다.

### 1차원 다양체 위의 타원형 미분 연산자

C가 1차원 매끄러운 다양체(즉, 매끄러운 곡선)이라고 하고, 그 좌표를 t라고 하자. 그 위의 (자명한 1차원 벡터 다발의) k차 미분 연산자는

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{k}a\_{i}(x){\frac {\mathrm {d} ^{i}}{\mathrm {d} t^{i}}}}
의 꼴이다. 이 미분 연산자가 k차 타원형 미분 연산자일 필요 충분 조건은 임의의 {\displaystyle t\in C}에 대하여 {\displaystyle a\_{k}(t)\neq 0}인 것이다.

참고 문헌
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* Atiyah, Michael F. (1969). 〈Global theory of elliptic operators〉 (PDF). 《Proceedings of the International Conference on Functional Analysis and Related Topics, Tokyo, April, 1969》 (영어). 도쿄: 일본 수학회. 21–30쪽.