{손석구는 잘생겼다

정의
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실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.

### 상한 공리

실수 부분 집합 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의 한 상계는 다음을 만족시키는 실수 {\displaystyle u\in \mathbb {R} }이다.

* 임의의 {\displaystyle s\in S}에 대하여, {\displaystyle s\leq u}

실수 부분 집합 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의 상한은 다음 두 조건을 만족시키는 실수 {\displaystyle u\in \mathbb {R} }이다.

* {\displaystyle u}는 {\displaystyle S}의 상계이다.
* 만약 {\displaystyle u'}가 {\displaystyle S}의 상계라면, {\displaystyle u\leq u'}이다.

비슷하게, 실수 부분 집합의 하계와 하한을 정의할 수 있다.

**상한 공리**는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.

* (상한 공리) 공집합이 아닌, 상계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한을 갖는다.
* (하한 공리) 공집합이 아닌, 하계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한을 갖는다.
* 공집합이 아닌 유계 실수 부분 집합은 항상 상한과 하한을 갖는다.

증명 (세 가지 서술의 동치):

상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} }이 하계를 갖는다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle -\sup(-S)}
는 {\displaystyle S}의 하한이다.

비슷하게, 하한 공리 가정 아래 상한 공리를 증명할 수 있다.

### 단조 수렴 정리

 이 부분의 본문은 단조 수렴 정리입니다.
**단조 수렴 정리**는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.

* 단조 증가하며 상계를 갖는 실수 수열은 수렴 수열이다.
* 단조 감소하며 하계를 갖는 실수 수열은 수렴 수열이다.
* 단조 유계 수열은 수렴 수열이다.

증명 (세 가지 서술의 동치):

바로 위 증명과 비슷하게, 단조 감소하며 하계를 갖는 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 단조 증가하며 상계를 갖는 수열 {\displaystyle (-a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 대응한다는 데 주의하여 증명할 수 있다.

### 축소 구간 정리

 이 부분의 본문은 축소 구간입니다.
닫힌구간의 열

{\displaystyle (I\_{n}=[a\_{n},b\_{n}])\_{n\in \mathbb {N} }\qquad (a\_{n}\leq b\_{n}\forall n\in \mathbb {N} )}
이

* {\displaystyle I\_{1}\supset I\_{2}\supset I\_{3}\supset \cdots }
* {\displaystyle |I\_{n}|\to 0\qquad (n\to \infty )}

를 만족한다고 하자. **축소 구간 정리**에 따르면,

{\displaystyle \textstyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=\{c\}}
이게 되는 {\displaystyle c\in \mathbb {R} }이 존재하며, 더 일반적으로, 두 번째 전제를 제거하였을 때,

{\displaystyle \textstyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=[a,b]\qquad (a\leq b)}
이게 되는 {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }이 존재한다.

정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.

### 하이네-보렐 정리

 이 부분의 본문은 하이네-보렐 정리입니다.
실수 부분 집합 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} }에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i\in I}C\_{i}\supset S}를 만족시키는 실수 부분 집합족 {\displaystyle \{C\_{i}\}\_{i\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}을 {\displaystyle S}의 덮개라고 한다.

**하이네-보렐 정리**에 따르면, 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.

### 극한점 성질

실수 부분 집합 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 {\displaystyle x\in \mathbb {R} }이다.

* 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, {\displaystyle S\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}\neq \varnothing }이다.
* 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, {\displaystyle S\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}}는 무한 집합이다.

극한점 성질에 따르면, 실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.

### 볼차노-바이어슈트라스 정리

 이 부분의 본문은 볼차노-바이어슈트라스 정리입니다.
**볼차노-바이어슈트라스 정리**에 따르면, 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

### 코시 성질

실수 코시 수열은 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, 다음을 만족시키는 {\displaystyle N\in \mathbb {N} }이 존재하는 실수 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이다.

* 임의의 {\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }에 대하여, {\displaystyle n,m>N}이면 {\displaystyle |a\_{n}-a\_{m}|<\epsilon }

코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.

성질
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### 함의 관계

순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)

* 상한 공리
* 단조 수렴 정리
* 축소 구간 정리
* 하이네-보렐 정리
* 극한점 성질
* 볼차노-바이어슈트라스 정리
* 코시 성질 + 아르키메데스 성질
* 약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질

또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

* 상한 공리 ⇍ 코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리

즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.

증명 (상한 공리 ⇒ 단조 수렴 정리):

상한 공리 가정 아래, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한 {\displaystyle a}가 존재한다. 즉,

{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq a}
이며, 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, {\displaystyle a-\epsilon }은 상계가 아니다. 즉,

{\displaystyle a-\epsilon <a\_{N}\leq a\_{N+1}\leq a\_{N+2}\leq \cdots \leq a}
이게 되는 {\displaystyle N\in \mathbb {N} }이 존재한다. 따라서, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 {\displaystyle a}로 수렴한다.

증명 (단조 수렴 정리 ⇒ 축소 구간 정리):

단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}과 {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은

{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq b\_{2}\leq b\_{1}}
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤 {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,

{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq a\leq b\leq \cdots \leq b\_{2}\leq b\_{1}}
이며, 따라서 {\displaystyle \textstyle [a,b]\subset \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}}이다.

이제 {\displaystyle c\in \mathbb {R} \setminus [a,b]}라고 하자. 그러면 {\displaystyle c<a}라고 가정하여도 무방하다. 극한의 성질에 따라, {\displaystyle c<a\_{n}}이게 되는 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재하므로, {\displaystyle \textstyle c\notin \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}}이다.

증명 (축소 구간 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):

(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대하여 {\displaystyle nx\leq y}이게 되는 {\displaystyle x,y>0}이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열

{\displaystyle (I\_{n}=[nx,2y-nx])\_{n\in \mathbb {N} }}
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,

{\displaystyle \textstyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=[a,b]\qquad (a\leq b)}
이게 되는 {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }이 존재한다. 또한, 임의의 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대하여 {\displaystyle nx\leq a}이다. 그러나, {\displaystyle a-x\notin [a,b]}이므로, {\displaystyle a-x\notin [nx,2y-nx]}, 즉, {\displaystyle a-x<nx}, 즉, {\displaystyle a<(n+1)x}인 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재하며, 이는 모순이 된다.

증명 (축소 구간 정리 ⇒ 하이네-보렐 정리):

축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간 {\displaystyle J\_{0}=[a,b]}의 어떤 열린 구간 덮개 {\displaystyle \{C\_{i}\}\_{i\in I}}가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간 {\displaystyle \textstyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}와 {\displaystyle \textstyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]} 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 {\displaystyle J\_{1}}이 존재한다. 마찬가지로, {\displaystyle J\_{1}}을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 {\displaystyle J\_{2}}가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌구간의 열 {\displaystyle (J\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라

{\displaystyle |J\_{n}|={\frac {|J\_{0}|}{2^{n}}}\to 0\qquad (n\to \infty )}
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,

{\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }J\_{n}=\{c\}}
이게 되는 {\displaystyle c\in \mathbb {R} }이 존재하며, 사실

{\displaystyle c\in \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }J\_{n}\subset [a,b]\subset \bigcup \_{i\in I}C\_{i}}
이다. 따라서, {\displaystyle c\in C\_{i}}이게 되는 {\displaystyle i\in I}가 존재한다.

{\displaystyle C\_{i}}가 열린 구간이므로, {\displaystyle c}는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 {\displaystyle C\_{i}}의 양끝점과 {\displaystyle c}와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 {\displaystyle \epsilon }이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle |J\_{n}|\to 0}이므로,

{\displaystyle J\_{n}\subset (c-\epsilon ,c+\epsilon )\subset C\_{i}}
이게 되는 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재한다. 이는 {\displaystyle \{C\_{i}\}}가 {\displaystyle J\_{n}}의 덮개라는 의미이며, 이는 {\displaystyle J\_{n}}이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.

증명 (하이네-보렐 정리 ⇒ 극한점 성질):

하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합 {\displaystyle S\subset [a,b]}이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의 {\displaystyle x\in \mathbb {R} }에 대하여,

{\displaystyle |S\cap I\_{x}|\leq 1}
이게 되는

{\displaystyle I\_{x}=(x-\epsilon \_{x},x+\epsilon \_{x})\qquad (\epsilon \_{x}>0)}
이 존재한다. 그렇다면,

{\displaystyle \{I\_{x}\colon x\in [a,b]\}}
는 {\displaystyle [a,b]}의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개

{\displaystyle \{I\_{x\_{1}},I\_{x\_{2}},\ldots ,I\_{x\_{n}}\}}
을 갖는다. 이에 따라,

{\displaystyle |S|\leq \left|(S\cap I\_{1})\cup (S\cap I\_{2})\cup \cdots (S\cap I\_{n})\right|\leq n}
이며, 이는 {\displaystyle S}가 무한 집합인 데 모순이다.

증명 (극한점 성질 ⇒ 볼차노-바이어슈트라스 정리):

첫번째 명제 아래, {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 유계 수열이라고 하자.

만약 {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 서로 같은 무한 개의 항이 존재한다면, 당연히 그들은 수렴 부분 수열을 이룬다.

만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 {\displaystyle x}를 갖는다. 즉, 임의의 {\displaystyle \epsilon }에 대하여,

{\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )}
은 무한 집합이다. 따라서, 

{\displaystyle n\_{0}=0}
{\displaystyle n\_{k}=\min \left\{n\in \mathbb {N} \colon n>n\_{k-1}\land x\_{n}\in \left(x-{\frac {1}{k}},x+{\frac {1}{k}}\right)\right\}}
로 정의된 {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k\in \mathbb {N} }}은 {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}의 수렴 부분 수열이다.

증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 코시 성질):

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열 {\displaystyle a\_{n\_{k}}\to a}를 갖는다. 따라서, 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, 임의의 {\displaystyle k>K}에 대하여 {\displaystyle \textstyle |a\_{n\_{k}}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}이게 되는 {\displaystyle K\in \mathbb {N} }이 존재한다. 또한, 임의의 {\displaystyle n,m>N}에 대하여 {\displaystyle \textstyle |a\_{n}-a\_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}}이게 되는 {\displaystyle N>K}가 존재한다. 따라서, 임의의 {\displaystyle n>N}에 대하여,

{\displaystyle |a\_{n}-a|\leq |a\_{n}-a\_{n\_{K+1}}|+|a\_{n\_{K+1}}-a|<\epsilon }
이게 된다. 즉, {\displaystyle a\_{n}\to a}이다.

증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대하여 {\displaystyle nx\leq y}인 {\displaystyle x,y>0}이 존재한다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (nx)\_{n\in \mathbb {N} }}은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열 {\displaystyle n\_{k}x\to y\_{0}}이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의 {\displaystyle k\in \mathbb {N} }에 대하여 {\displaystyle n\_{k}x\leq y\_{0}}이며, 따라서 임의의 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대하여 {\displaystyle nx\leq y\_{0}}이다. 그러나, 극한의 정의에 따라 {\displaystyle y\_{0}-x<n\_{k}x}, 즉, {\displaystyle y\_{0}<(n\_{k}+1)x}인 {\displaystyle k\in \mathbb {N} }이 존재하며, 이는 모순이다.

증명 (코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리):

코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle \max\{|a\_{n}-a\_{m}|,|b\_{n}-b\_{m}|\}\leq b\_{\min\{n,m\}}-a\_{\min\{n,m\}}\to 0\qquad (n,m\to \infty )}
이다. 즉, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를 {\displaystyle c}라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라

{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq c\leq \cdots \leq b\_{2}\leq b\_{1}}
이며, 따라서 {\displaystyle \textstyle c\in \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}}이다.

이제 {\displaystyle \textstyle c'\in \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}}이라고 하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, {\displaystyle |I\_{n}|<\epsilon }이게 되는 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재하므로,

{\displaystyle |c-c'|\leq |I\_{n}|<\epsilon }
이다. 따라서, {\displaystyle c'=c}이다.

증명 (약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질 ⇒ 상한 공리):

축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래, {\displaystyle a\_{0}\in S\subset \mathbb {R} }이 상계 {\displaystyle b\_{0}}를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌구간의 열 {\displaystyle (I\_{n}=[a\_{n},b\_{n}])\_{n\in \mathbb {N} }}이

{\displaystyle I\_{0}=[a\_{0},b\_{0}]}
{\displaystyle I\_{n+1}={\begin{cases}\left[a\_{n},{\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}}\right]&\forall s\in S\colon s\leq {\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}}\\\left[{\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}},b\_{n}\right]&\not \forall s\in S\colon s\leq {\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}}\end{cases}}}
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서, {\displaystyle \textstyle \cap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=\{c\}}인 {\displaystyle c\in \mathbb {R} }이 존재한다. 또한, 임의의 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대하여, {\displaystyle a\_{n}}은 {\displaystyle S}의 원소, {\displaystyle b\_{n}}은 {\displaystyle S}의 상계이다.

임의의 {\displaystyle s\in S} 및 {\displaystyle \epsilon >0}에 대하여,

{\displaystyle s\leq b\_{n}\leq c+\epsilon }
인 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재하며,

{\displaystyle c-\epsilon <a\_{n}\leq c}
인 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }이 존재하므로, {\displaystyle c}는 {\displaystyle S}의 상한이다.

예
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### 아르키메데스 순서체 ⇏ 실수체

유리수 순서체 {\displaystyle \mathbb {Q} }는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 유리수 상계 {\displaystyle 2\in \mathbb {Q} }를 갖는 유리수 부분 집합

{\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}
는 실수 부분 집합으로서는 상한 {\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {R} }을 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열

{\displaystyle (3,3.14,3.141,3.1415,\ldots )}
는 실수 수열로서는 원주율 {\displaystyle \pi \in \mathbb {R} }로 수렴하지만, 유리수에 수렴하지 못한다.

### 모든 코시 수열이 수렴하는 순서체 ⇏ 실수체

{\displaystyle \mathbb {R} } 위의 형식적 로랑 급수들의 집합 {\displaystyle \mathbb {R} ((t))} 위에 통상적인 연산 및 다음과 같은 크기를 주면 이는 순서체가 된다.

{\displaystyle \sum \_{n=k}^{\infty }a\_{n}t^{n}>0\Leftrightarrow a\_{k}>0\qquad (a\_{k}\neq 0)}
이 경우 모든 코시 수열이 수렴한다. 왜냐 하면, {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }}이 코시 수열이라면 임의의 {\displaystyle r\in \mathbb {Z} }에 대해 {\displaystyle n,m\geq N\Rightarrow |x\_{n}-x\_{m}|<t^{r}}이 되게 하는 {\displaystyle N\in \mathbb {N} }이 존재하므로 각 항의 계수는 결국 상수 수열이 되기 때문이다.

그러나 {\displaystyle 1-nt>0\quad \forall n\in \mathbb {N} }이므로 {\displaystyle \mathbb {R} ((t))}는 아르키메데스 원리를 충족시키지 않으며, 따라서 실수체와 동형이 아니다.

참고 문헌
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* 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.