대수기하학과 범주론에서 **그로텐디크 위상**(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 **위치**(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있다.

그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다.

정의
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그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다.

* 일반적인 범주에서 그로텐디크 위상은 체의 개념을 통해 정의되며, 그로텐디크 위상은 어떤 체들이 **덮개체**(영어: covering sieve)를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다.
* 만약 범주가 당김을 가진다면, 체 대신 단순히 사상들의 집합을 사용할 수 있다. 이 경우, 그로텐디크 (준)위상은 어떤 사상 집합들이 덮개를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. 이 정의는 더 직관적이지만, 일반적 범주에 적용할 수 없어 덜 일반적이다.

두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다.

* (덮개의 제한) U의 덮개를, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): U**
의 부분 V로 국한하여도 이는 V의 덮개를 이룬다.
* (덮개의 세분) U가 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}들로 덮히며, 덮개의 각 성분 U\_{i}를 또 그 위의 덮개 \{U\_{i,j}\}\_{j\in J\_i}로 세분한다면, 세분된 덮개 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i\in I}\{U\_{i,j}\}\_{j\in J\_{i}}} 역시 U의 덮개를 이룬다.
* (자명한 덮개) 모든 대상은 스스로의 덮개이다.

그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다.

그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 **위치**라고 한다. 작은 위치 위의 층의 범주와 동치인 범주를 **그로텐디크 토포스**라고 한다.

집합 위의 위상을 더 섬세함·엉성함에 따라 비교할 수 있는 것처럼,
주어진 범주 위의 그로텐디크 위상들의 모임 위에는 부분 순서가 존재한다. 즉, 같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에 대하여, 첫째가 둘째보다 더 **섬세**(영어: finer)하다고 할 수 있다. (이는 둘째가 첫째보다 더 **엉성**(영어: coarser)하다는 것과 같다.) 더 섬세한 위상에서는

* 더 많은 수의 덮개들이 존재한다.
* 준층이 층을 이루는 것이 더 어렵다. (이는 각 덮개에 대하여 층의 짜깁기 공리가 성립하여야 하기 때문이다.)

반대로, 더 엉성한 위상에서는

* 더 적은 수의 덮개들이 존재한다.
* 준층이 층을 이루는 것이 더 쉽다.

### 체를 통한 정의

국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 **그로텐디크 위상**(영어: Grothendieck topology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

* 각 대상 U\in {\mathcal C}에 대하여, U에 대한 체들의 모임 {\displaystyle {\mathfrak {J}}(U)\subseteq \operatorname {Sieve} \_{\mathcal {C}}(U)}. 이를 U의 **덮개체**(영어: covering sieve)의 모임이라고 한다.

이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 U\in {\mathcal C}에 대하여,

* (덮개의 제한) 덮개체의 제한은 덮개체이다. 즉, 모든 덮개체 {\displaystyle S\subseteq \hom(-,U)} 및 사상 f\colon V\to U에 대하여, S를 V로 제한하여 얻는 체 {\displaystyle f^{\*}S\subseteq \hom(-,V)} 역시 덮개체이다. 여기서 제한체는 구체적으로 {\displaystyle \textstyle g\in f^{\*}S{\stackrel {\operatorname {def} }{\iff }}f\circ g\in S}이다.
* (덮개의 세분) 덮개체의 각 성분의 덮개체를 짜기워 더 섬세한 덮개체를 얻을 수 있다. 즉, U 위의 체 {\displaystyle T\subseteq \hom(-,U)}가 덮개체가 될 충분 조건은 어떤 덮개체 {\displaystyle S\in {\mathfrak {J}}(U)} 및 모든 대상 V\in {\mathcal C} 및 모든 {\displaystyle f\in S(V)\subseteq \hom(V,U)}에 대하여, {\displaystyle f^{\*}T\subseteq \hom(-,V)}가 덮개체가 되는 것이다.
{\displaystyle W\_{i,j}{\overset {\in f^{\*}T}{\to }}V{\overset {f\in S}{\to }}U}
* (자명한 덮개) 요네다 체 \hom(-,U)는 덮개체이다.

{\mathcal {C}} 위의 두 그로텐디크 위상 {\mathfrak J}, {\displaystyle {\mathfrak {J}}'}에 대하여, 만약 모든 U\in {\mathcal C}에 대하여 {\displaystyle {\mathfrak {J}}(U)\subseteq {\mathfrak {J}}'(U)}라고 한다면, {\mathfrak J}가 {\displaystyle {\mathfrak {J}}'}보다 더 **엉성**하며, 반대로 {\displaystyle {\mathfrak {J}}'}이 {\mathfrak J}보다 더 **섬세**하다고 한다.

### 사상 집합을 통한 정의

체는 함자 조건에 의하여, 매우 많은 수의 사상들을 포함한다. 이를 대신하여, 주어진 체를 생성하는 더 적은 수의 사상만으로 그로텐디크 위상을 정의할 수 있다. 이러한 데이터를 그로텐디크 준위상이라고 한다. (그러나 서로 다른 두 그로텐디크 준위상이 같은 그로텐디크 위상을 생성할 수 있다.)

국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 **그로텐디크 준위상**(Grothendieck準位相, 영어: Grothendieck pretopology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

* 각 대상 U\in {\mathcal C}에 대하여, U로 향하는 사상들의 집합들의 모임 \mathfrak D(U). \mathfrak D(U)의 원소를 U의 **덮개**라고 한다.

이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.

* (덮개의 제한) 임의의 사상 f\colon V\to U 및 U의 덮개 \{f\_{i}\}\_{{i\in I}}에 대하여, 이를 V에 제한하여 얻은 {\displaystyle \{f\_{i}\times \_{U}V\colon U\_{i}\times \_{U}V\to V\}}는 V의 덮개이다. 또한, 이 정의에서 등장하는 당김 {\displaystyle \{U\_{i}\times \_{U}V\}\_{i\in I}}가 항상 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}U\_{i}\times \_{U}V&{\overset {f\_{i}\times \_{U}V}{\to }}&V\\\downarrow &&\downarrow \\U\_{i}&{\underset {f\_{i}}{\to }}&U\end{matrix}}}
* (덮개의 세분) 임의의 대상 U\in {\mathcal C} 및 덮개 \{f\_i\colon U\_i\to U\}\_{i\in I} \in\mathfrak D(U) 및 덮개 \{f\_{i,j}\colon U\_{i,j}\to U\_i\}\_{j\in J\_i}\in\mathfrak D(U\_i)에 대하여, {\displaystyle \{f\_{i}\circ f\_{i,j}\}} 역시 U의 덮개이다.
{\displaystyle U\_{i,j}{\overset {f\_{i,j}}{\to }}U\_{i}{\overset {f\_{i}}{\to }}U}
* (자명한 덮개) 임의의 동형 사상 i\colon U\to V에 대하여, {\displaystyle \{i\}}는 V의 덮개이다.

국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 그로텐디크 준위상 \mathfrak D가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 {\displaystyle {\mathfrak {J}}\_{\mathfrak {D}}}를 정의할 수 있다. {\displaystyle {\mathfrak {J}}\_{\mathfrak {D}}}에서 U\in {\mathcal C}의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다.

{\displaystyle S\in {\mathfrak {J}}\_{\mathfrak {D}}(U)\iff \exists d\in {\mathfrak {D}}(U)\colon S(U)\supset d\neq \varnothing }
### 로비어-티어니 위상

**로비어-티어니 위상**(영어: Lawvere–Tierney topology)의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 준층의 범주 {\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 {\mathcal {C}} 위의 그로텐디크 위상과 동치이다.

토포스 \mathcal T 위의 부분 대상 분류자 {\displaystyle (\Omega ,\top )\in {\mathcal {T}}}가 주어졌다고 하자. \mathcal T 위의 **로비어-티어니 위상** {\displaystyle j\colon \Omega \to \Omega }은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다.

* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}1&{\overset {\top }{\to }}&\Omega \\&{\scriptstyle \top }\searrow &\downarrow \scriptstyle j\\&&\Omega \end{matrix}}}
* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}\Omega &{\overset {j}{\to }}&\Omega \\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle j\\&&\Omega \end{matrix}}}
* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}\Omega &{\overset {\land }{\to }}&\Omega \\&{\scriptstyle j\times j}\searrow &\downarrow \scriptstyle j\\\Omega \times \Omega &{\underset {\land }{\to }}&\Omega \end{matrix}}}

부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 {\displaystyle j\colon \Omega \to \Omega }을 고르는 것은 \Omega 의 부분 대상 {\displaystyle J\hookrightarrow \Omega }을 고르는 것과 같다.

작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 준층 범주 {\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}에서 부분 대상 분류자 {\displaystyle \operatorname {Sieve} }는 대상 U\in {\mathcal C}에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합 {\displaystyle \operatorname {Sieve} (U)}를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자 {\displaystyle \operatorname {Sieve} }의 부분 대상 J는 각 대상 U\in {\mathcal C}에 대하여, 그 위의 체들의 집합 {\displaystyle J(U)\subseteq \operatorname {Sieve} (U)}을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.

예
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### 이산 위상과 비이산 위상

범주 {\mathcal {C}} 위의 **이산 위상**(영어: discrete topology)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다.

범주 {\mathcal {C}} 위의 **비이산 위상**(영어: indiscrete topology)은 덮개체가 \mathfrak J(U)=\{\hom(-,U)\}인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 \mathfrak D(U)=\{\operatorname{id}\_U\}인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 준층은 층을 이룬다.

### 표준 위상

임의의 국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 위의 준층들의 모임 {\mathfrak {F}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\mathfrak {F}}들이 모두 층을 이루는, 가장 섬세한 그로텐디크 위상이 존재한다.:14, Lemma 0.35

표현 가능 준층은 임의의 대상 U\in {\mathcal C}에 대하여 \hom(-,U)의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 **표준 위상**(영어: canonical topology)이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 **준표준 위상**(영어: subcanonical topology)이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다.

그로텐디크 토포스 \mathcal T 위에 표준 위상을 부여한다면, \mathcal T 위의 모든 층은 표현 가능하다. 즉, 이 경우 \mathcal T와 {\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {T}})}는 서로 동치이다.

### 조각 범주

국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 및 대상 {\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}가 주어졌다고 하자.

{\mathcal {C}} 속의 임의의 사상 {\displaystyle u\colon U\to B} 및 체 {\displaystyle S\subseteq \hom(-,U)}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}/B}의 대상 u 위에 체 {\displaystyle S/B}를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle S/B=\left\{{\begin{matrix}V&{\overset {f}{\to }}&U\\&{\scriptstyle v}\searrow &\downarrow \scriptstyle u\\&&B\end{matrix}}\colon f\in S\right\}}
{\mathcal {C}} 위의 그로텐디크 위상 {\mathfrak J}가 주어졌을 때, 각 {\displaystyle u\in {\mathcal {C}}/B}에 대하여

{\displaystyle ({\mathfrak {J}}/B)(u)=\{S/B\colon S\in {\mathfrak {J}}(U)\}}
로 정의하면, {\displaystyle {\mathfrak {J}}/B}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}/B} 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}/B} 위의 **유도 위상**(영어: induced topology)이라고 한다.

### 위상 공간의 작은 위치

위상 공간 X의 열린집합들의 범주 \operatorname {Open}(X)를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린집합들이고, 사상은 포함 관계 \iota \_{{UV}}\colon U\hookrightarrow V들이다. 즉, 임의의 U,V\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, \hom(U,V)는 공집합이거나 아니면 \iota \_{{UV}}\colon U\hookrightarrow V 하나의 원소만을 포함한다.

#### 열린집합 범주에서의 체

\operatorname {Open}(X)에서 열린집합 U\in \operatorname {Open}(X) 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 \mathcal S\subset\operatorname{Open}(X)으로 주어진다.

* (상계) 모든 V\in\mathcal S에 대하여, V\subseteq U
* (하향 닫힘) 모든 V,W\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, 만약 V\subseteq W이며 W\in\mathcal S라면 V\in\mathcal S

구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 S\colon\operatorname{Open}(X)^{\operatorname{op}}\to\operatorname\operatorname{Set}가 주어진다면,

\mathcal S=\{V\in\operatorname{Open}(X)\colon S(V)\ne\varnothing\}
이다. 즉, 열린집합의 범주에서 U 위의 체는 하향으로 닫힌 U의 부분 집합들의 모임과 같다.

V\subset U이며, U 위의 체 {\mathcal S}가 주어졌다고 하자. 포함 관계 \iota\colon V\hookrightarrow U에 따른 체의 당김 \iota^\*\mathcal S는 다음과 같은 체이다.

\iota^\*\mathcal S=\{W\in\mathcal S\colon W\subseteq V\}
#### 열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상

\operatorname {Open}(X)에서는 모든 당김이 존재하며, 열린집합의 교집합과 같다. 즉, V,W\subseteq U일 때, V\times\_UW=V\cap W이다. 따라서, 사상 집합을 통한 정의를 사용할 수 있다.

* (덮개의 국한) \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}가 열린집합 U의 덮개이고, V\subseteq U라면, \{U\_i\cap V\}\_{i\in I}는 V의 덮개이다.
* (덮개의 세분) 열린집합 U의 덮개 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 각 i\in I에 대하여 U\_{i}의 덮개 \{U\_{i,j}\}\_{j\in J\_i}가 주어졌을 때, \{U\_{i,j}\}\_{i\in I,j\in J\_i}는 U의 덮개이다.
* (자명한 덮개) \{U\}는 U의 덮개이다.

즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다.

#### 열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상

\operatorname {Open}(X)에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.

* (덮개체의 올곱) V\subseteq U이며, U의 덮개체 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌다면, \{U\_i\cap V\}\_{i\in I}는 V의 덮개체이다.
* (덮개체의 합성) U의 덮개체 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 U 위의 임의의 체 \{T\_j\}\_{j\in J}가 주어졌다고 하자. 임의의 i\in I에 대하여 \{T\_j\cap U\_i\}\_{j\in J}가 U\_{i}의 덮개체를 이룬다고 하자. 그렇다면 \{T\_j\}\_{j\in J}는 U의 덮개체이다.
* (자명한 덮개체) \{V\colon V\subseteq U\}는 U의 덮개체이다.

\operatorname {Open}(X) 위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 X의 **작은 위치**(영어: small site)라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.

### 위상 공간의 큰 위치

위상 공간과 연속 함수들의 범주 \operatorname {Top} 를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 X\in \operatorname {Top}의 덮개 \Phi =\{\phi \colon \operatorname {dom}\phi \to X\}\_{{\phi \in \Phi }}는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다.

\bigcup \_{{\phi \in \Phi }}\phi (\operatorname {dom}\phi )=X
이는 준표준 위상을 이룬다.

위상 공간 X\in \operatorname {Top}가 주어졌을 때, \operatorname {Top}/X는 X로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, \operatorname {Top}/X의 두 대상 (연속 함수)

\phi \_{1}\colon Y\_{1}\to X
\phi \_{2}\colon Y\_{2}\to X
사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 \chi \colon Y\_{1}\to Y\_{2}이다.

\phi \_{1}=\phi \_{2}\circ \chi 
이 경우, \operatorname {Top}/X는 \operatorname {Top} 로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 \operatorname {Top}/X를 X의 **큰 위치**(영어: big site)라고 한다.

### 스킴의 범주의 그로텐디크 위상

 이 부분의 본문은 스킴 (수학) § 그로텐디크 위상입니다.
스킴들의 범주 \operatorname {Sch} 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다.

* 자리스키 위상 \operatorname {Zar}. 이는 스킴 위의 고전적인 위상이나 매우 엉성하다.
* 니스네비치 위상. 이는 예브세이 니스네비치(러시아어: Евсей А. Нисневич)가 도입하였으며, 대수적 K이론과 모티브 이론에서 사용된다.
* 에탈 위상 \operatorname{\acute Et}. 이 경우, 덮개는 에탈 사상을 통한 덮개이다. 에탈 코호몰로지를 정의할 때 쓰인다.
* 평탄 위상(영어: flat topology)
	+ fppf 위상
	+ fpqc 위상

이들은 섬세함에 따라 다음과 같이 전순서를 이룬다. (즉, 왼쪽으로 갈 수록 더 엉성한 위상이며, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세한 위상이다.)

비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상
이들 모두 준표준 위상이다.
스킴 X에 대하여, 그 위의 조각 범주 \operatorname {Sch}/X 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다.

각 표수 p에 대하여, 유한체 \mathbb {F} \_{p} 또는 \mathbb {Q}  위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, 영어: divided power thickening)들의 범주 위에, \operatorname {Sch} 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 **무한소 위치**(영어: infinitesimal site, crystalline site)라고 하며, 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)를 정의하는 데 쓰인다.

역사
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1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다. 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다.

1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복(영어: isotrivial cover)의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다. 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다.:321

1960년대 초에 그로텐디크는 에탈 사상을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지 및 에탈 기본군 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 위상 공간의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 하버드 대학교를 방문하여 마이클 아틴 · 오스카 자리스키 · 데이비드 멈퍼드와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다. 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며, 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 《마리 숲 대수기하학 세미나》(프랑스어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie) 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다.

그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, 그로텐디크 토포스(위치 위의 층 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "토포스라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"(프랑스어: version technique provisoire de la notion cruciale de topos):P24에 불과하다고 평했다.

1970년 세계 수학자 대회에서 프랜시스 윌리엄 로비어(영어: Francis William Lawvere)와 마일스 티어니(영어: Myles Tierney)는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Johnstone, Peter T. (1977). 《Topos theory》. London Mathematical Society Monographs (영어) **10**. Academic Press. MR 0470019. Zbl 0368.18001.
2. ↑  Weil, André (1949). "Numbers of solutions of equations in finite fields". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (프랑스어) **55** (5): 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393.
3. 1 2 3  McLarty, Colin (2007). 〈The rising sea: Grothendieck on simplicity and generality〉 (PDF). Gray, Jeremy J.; Parshall, Karen Hunger. 《Episodes in the history of modern algebra (1800–1950)》. History of Mathematics (영어) **32**. American Mathematical Society. 301–325쪽. ISBN 978-0-8218-6904-8.
4. ↑  Artin, Michael (1962). "Grothendieck topologies. Notes on a seminar by M. Artin, Spring, 1962" (PDF) (영어). Harvard University Department of Mathematics. Zbl 0208.48701.
5. ↑  Grothendieck, Alexander. 《Récoltes et semailles》 (프랑스어). 몽펠리에: Université des Sciences et Techniques du Languedoc.
6. ↑  Lawvere, F. W.; Tierney, Myles. 〈Quantifiers and sheaves〉 (PDF). 《Actes du Congrès international des mathématiciens, 1/10 Septembre, 1970. Tome 1》 (영어). Gauthier-Villars. 329–334쪽. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 17일에 확인함.

* Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). 《Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0927-0. ISBN 978-0-387-97710-2. ISSN 0172-5939. Zbl 0822.18001.