**조르당 분해**는 여기로 연결됩니다. 선형대수학 용어에 대해서는 조르당 표준형 문서를 참고하십시오.
측도론에서 **부호 측도**(符號測度, 영어: signed measure)는 측도를 음의 값을 취할 수 있도록 일반화한 개념이다.

정의
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가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 **부호 측도**는 다음 조건들을 만족시키는 함수 {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to {\bar {\mathbb {R} }}}이다.

* (가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset \Sigma } ({\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph \_{0}})에 대하여, {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)=\sum \_{A\in {\mathcal {A}}}\mu (A)}
	+ 특히, 이는 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0}을 함의한다.
	+ 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다.

증명:

가산 가법성에서 {\mathcal {A}}=\varnothing 을 취하면 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0}을 얻는다.

만약

{\displaystyle \mu (A)=\infty }
{\displaystyle \mu (B)=-\infty }
인 두 가측 집합 {\displaystyle A,B\in \Sigma }가 존재한다면,

{\displaystyle \infty =\mu (A)+\mu (B\setminus A)=\mu (A\cup B)=\mu (B)+\mu (A\setminus B)=-\infty }
이며, 이는 모순이다.

성질
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### 한 분해와 조르당 분해

가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 부호 측도 \mu 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 X의 두 가측 집합 {\displaystyle X^{+},X^{-}\in \Sigma }가 존재하며, 이를 \mu 의 **한 분해**(-分解, 영어: Hahn decomposition)라고 한다.

{\displaystyle X^{+}\cap X^{-}=\varnothing }
{\displaystyle X=X^{+}\cup X^{-}}
{\displaystyle \mu (A\cap X^{-})\leq 0\leq \mu (A\cap X^{+})\qquad \forall A\in \Sigma }
한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, \mu 의 두 한 분해 {\displaystyle (X\_{1}^{+},X\_{1}^{-})}, {\displaystyle (X\_{2}^{+},X\_{2}^{-})}에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mu (A\cap (X\_{1}^{+}\bigtriangleup X\_{2}^{+}))=\mu (A\cap (X\_{1}^{-}\bigtriangleup X\_{2}^{-}))=0\qquad \forall A\in \Sigma }
여기서 {\displaystyle \bigtriangleup }은 대칭차이다.

가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 부호 측도 \mu 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, (X,\Sigma ) 위의 특이 측도 {\displaystyle \mu ^{+}}, {\displaystyle \mu ^{-}}가 유일하게 존재하며, 이를 \mu 의 **조르당 분해**(-分解, 영어: Jordan decomposition)라고 한다.

{\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}
만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, {\displaystyle \mu =\nu -\lambda }를 만족시키는 두 측도 \nu , \lambda 에 대하여, 항상

{\displaystyle \mu ^{+}\leq \nu }
{\displaystyle \mu ^{-}\leq \lambda }
이다.

조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle \mu ^{+}(A)=\mu (A\cap X^{+})=\sup \_{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}\mu (B)}
{\displaystyle \mu ^{-}(A)=\mu (A\cap X^{-})=\sup \_{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}(-\mu (B))\qquad \forall A\in \Sigma }
### 전변동

가측 공간 (X,\Sigma ) 속의 가측 집합 {\displaystyle A\in \Sigma }에 대하여, {\displaystyle \operatorname {Part} (A)}가 A의 가산 가측 분할들의 집합이라고 하자.

가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 부호 측도 \mu 의 **전변동 측도**(全變動測度, 영어: total variation measure) {\displaystyle |\mu |}는 다음과 같다.

{\displaystyle |\mu |(A)=\mu ^{+}(A)+\mu ^{-}(A)=\sup \_{{\mathcal {P}}\in \operatorname {Part} (A)}\sum \_{P\in {\mathcal {P}}}|\mu (P)|\qquad \forall A\in \Sigma }
가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 부호 측도 \mu 의 **전변동 노름**(全變動-, 영어: total variation norm)은 다음과 같다.

{\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}
### 시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도

**시그마 유한 부호 측도**(-有限符號測度, 영어: sigma-finite signed measure)는 전변동 측도가 시그마 유한 측도인 부호 측도이다. **유한 부호 측도**(有限符號測度, 영어: finite signed measure)는 전변동 측도가 유한 측도인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 {\displaystyle \mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |}를 가지며, 이는 {\displaystyle |\mu |}-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 {\displaystyle \mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |}가 적분 가능한 조건과 동치이다. 시그마 유한 부호 측도 \mu 에 대하여,

{\displaystyle X^{+}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}\geq 0\right\}}
{\displaystyle X^{-}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}<0\right\}}
은 \mu 의 한 분해를 이루며, \mu 의 조르당 분해는

{\displaystyle \mu ^{+}=\int \_{X}\max \left\{{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |}
{\displaystyle \mu ^{+}=\int \_{X}\max \left\{-{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |}
이다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 부호 측도에 대하여, 모든 시그마 유한 부호 측도는 르베그 분해를 갖는다.

가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.:124, Proposition 4.2.6

함수 f\colon [a,b]\to {\mathbb R}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 유계 변동 함수이다.
* 어떤 ({\mathbb R},{\mathcal B}({\mathbb R})) 위의 유한 부호 측도 \mu 에 대하여 {\displaystyle f\colon x\mapsto \mu ([a,x])} (x\in [a,b]) 꼴로 나타낼 수 있다.

참고 문헌
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1. 1 2  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.