수학에서, 산술-기하 수열은 등차수열의 항과 대응하는 등비수열의 항을 항별로 곱한 수열이다. 더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론에서 기댓값을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열

{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)

이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열의 프랑스식 개념은 {\displaystyle u\_{n+1}=au\_{n}+b}와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 선형 계차 방정식의 특별한 경우이다.

수열의 항
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공차가 d이고 초항이 a인 등차수열(파란색)과 초항이 b이고 공비가 r인 등비수열로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:

{\displaystyle {\begin{aligned}t\_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t\_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t\_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t\_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}
### 예

예를 들어, 수열

{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
은 {\displaystyle d=b=1}, a=0, {\displaystyle r={\frac {1}{2}}}에 의해 정의된다.

부분합
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산술-기하 수열의 첫 *n*개 항의 합은 다음 형태를 가진다.

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&=\sum \_{k=1}^{n}t\_{k}=\sum \_{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A\_{1}G\_{1}+A\_{2}G\_{2}+A\_{3}G\_{3}+\cdots +A\_{n}G\_{n},\end{aligned}}}
이 때 A\_{i}와 G\_{i}는 등차수열과 등비수열의 *i*항을 각각 의미한다.

이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현을 갖는다.

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A\_{1}G\_{1}-A\_{n+1}G\_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G\_{1}-G\_{n+1}).\end{aligned}}}
### 증명

다음에 r을 곱한 다음,

{\displaystyle S\_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}
*rSn* 을 *Sn*에서 빼고 망원 급수의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S\_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n},\end{aligned}}}
이 때 마지막 등식은 등비수열의 합으로부터 얻어진다. 마지막으로 1 − *r* 을 나누면 결론을 얻는다.

급수
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만일 −1 < *r* < 1이면, 산술-기하 급수 *S*는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum \_{k=1}^{\infty }t\_{k}=\lim \_{n\to \infty }S\_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A\_{1}G\_{1}}{1-r}}+{\frac {dG\_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}
만일 *r* 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.

* 발산한다 (*r* > 1 또는 *r* = 1이고 등차수열의 *a*와 *d*가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 *a*와 *d*가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)
* 또는 교대급수 (when *r* ≤ −1).

### 예 : 기댓값에 대한 응용

예를 들어, 합

{\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots },
는 {\displaystyle d=b=1}, a=0, {\displaystyle r={\frac {1}{2}}}로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 {\displaystyle S=2}로 수렴한다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기의 기댓값과 관련있다. *k*번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 {\displaystyle T\_{k}}는 다음과 같다:

{\displaystyle T\_{1}={\frac {1}{2}},\ T\_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T\_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}.
따라서 동전 던지기의 기댓값은

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }kT\_{k}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2} .

참고 문헌
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1. 1 2 3  K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). 《Mathematical methods for physics and engineering》 3판. Cambridge University Press. 118쪽. ISBN 978-0-521-86153-3.

더 읽을거리
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* D. Khattar. 《The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)》. Pearson Education India. 10.8쪽. ISBN 81-317-2876-5.
* P. Gupta. 《Comprehensive Mathematics XI》. Laxmi Publications. 380쪽. ISBN 81-7008-597-7.