함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 **스펙트럼**(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의
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가환환 R 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 A의 원소 a\in A의 **분해 집합**(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.:252, Definition 10.10

{\displaystyle \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Unit} (A)}는 A의 가역원군이다. 즉, {\displaystyle \lambda -a}가 가역원이 되는 스칼라 \lambda 들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 a의 **스펙트럼** {\displaystyle \sigma (a)}라고 한다.:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)

{\displaystyle \sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)}
이 경우, 원소 {\displaystyle (\lambda -a)^{-1}\in A}를 a의 \lambda 에서의 **분해식**(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체이며, A가 {\displaystyle \mathbb {K} }-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 a\in A의 **스펙트럼 반지름**(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.:253, Definition 10.10

{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\sup \_{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |}
만약 A가 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

### 유계 작용소의 스펙트럼

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V 위의 유계 작용소의 집합 {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V 위의 유계 작용소 T\colon V\to V의 스펙트럼 \sigma (T)는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

\sigma (T)=\sigma \_{{\text{p}}}(T)\sqcup \sigma \_{{\text{r}}}(T)\sqcup \sigma \_{{\text{c}}}(T)
이 성분들은 각각

* **점 스펙트럼**(點spectrum, 영어: point spectrum) \sigma \_{{\text{p}}}(T)
* **잔여 스펙트럼**(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum) \sigma \_{{\text{r}}}(T)
* **연속 스펙트럼**(連續spectrum, 영어: continuous spectrum) \sigma \_{{\text{c}}}(T)

이며, 다음과 같다.

어떤 수 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }에 대하여 \lambda \in \sigma (T)이려면 T-\lambda 가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.

* T-\lambda 가 단사 함수가 아니다. 이러한 \lambda 들의 집합을 **점 스펙트럼** \sigma \_{{\text{p}}}(T)라고 한다. 이 경우 \lambda 는 T의 **고윳값**이며, Tv=\lambda v인 **고유 벡터** v\in V가 존재한다.
* T-\lambda 가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
	+ T-\lambda 는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 \lambda 들의 집합을 **잔여 스펙트럼** \sigma \_{{\text{r}}}(T)라고 한다.
	+ T-\lambda 는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 \lambda 들의 집합을 **연속 스펙트럼** \sigma \_{{\text{c}}}(T)라고 한다. 이 경우, {\displaystyle (T-\lambda )^{-1}\colon (T-\lambda )(V)\to V}는 V의 조밀 집합 {\displaystyle (T-\lambda )(V)} 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

성질
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복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.:253, Theorem 10.13(a):756, Theorem 1

**증명:**

복소수 바나흐 대수 A의 원소 a\in A가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing }이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 A'의 임의의 원소 {\displaystyle f\in A'}를 고르자.

그렇다면, 이제 함수

{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }
{\displaystyle h\colon r\mapsto \int \_{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta }
를 정의하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int \_{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int \_{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int \_{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int \_{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}}
이다. (이는 피적분 함수가 \mathcal C^1이므로 가능하다.) 즉, h는 상수 함수이며, 그 값은

{\displaystyle \lim \_{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})}
이다.

이제, 임의의 {\displaystyle r>\|a\|}에 대하여

{\displaystyle 2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int \_{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}}
가 되므로, 사실 {\displaystyle f(a^{-1})=0}이어야만 한다. 즉, 임의의 {\displaystyle f\in A'}에 대하여 {\displaystyle f(a^{-1})=0}이어야만 한다. 그런데 {\displaystyle a^{-1}\neq 0}이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수 A의 원소 a\in A의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 **겔판트 공식**(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.:195–197

{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}}
(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}에 대하여, {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 위의 유계 작용소 T의 스펙트럼은 항상 {\displaystyle \mathbb {K} } 속의 콤팩트 집합이다.:253, Theorem 10.13(a) 특히

{\displaystyle |\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))}
이다. 여기서 {\displaystyle \|T\|}는 작용소 노름이다.

### 유한 차원

{\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}가 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 V\to V가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 T\colon V\to V(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

### 콤팩트 작용소

복소수 바나흐 공간 V 위의 콤팩트 작용소 T\colon V\to V의 경우, 다음이 성립한다.

* 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 \{0\}이다.
* 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 \{0\}이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

### 정규 작용소

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간 V 위의 정규 작용소 T\colon V\to V의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (T)=\sup \_{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}}
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 **수치 반지름**(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 **스펙트럼형 작용소**(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다.

### 분해식

{\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 대수 A의 원소 a\in A 및 {\displaystyle z\in \rho (a)}에 대하여, 만약 {\displaystyle \|a\|<|z|}라면, 분해식의 다음과 같은 **노이만 급수**(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.:250, Chapter 10

{\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum \_{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}}

**증명:**

위 급수는 당연히 코시 열이며, A가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.

예
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### 행렬

실수 행렬

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}
는 {\mathbb R}^{2} 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 \mathbb {C} ^{2} 위의 작용소로서 점 스펙트럼 {\displaystyle \{\pm \mathrm {i} \}}를 갖는다.

### 시프트

복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle V=\ell ^{2}(\mathbb {C} )}를 생각하자. 그렇다면 사상

T\colon (x\_{1},x\_{2},\dots )\mapsto (0,x\_{1},x\_{2},\dots )
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. T는 고윳값을 가지지 않지만, T는 전사 함수가 아니므로 T의 스펙트럼은 \{0\}이다. 이 경우, T의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

### 곱셈

임의의 1\leq p\leq \infty 에 대하여, 측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 위의 르베그 공간

{\displaystyle V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}
는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

{\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 {\displaystyle N\subseteq X}에 대하여 {\displaystyle f\upharpoonright (X\setminus N)}의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

{\displaystyle T\_{f}\colon V\to V}
{\displaystyle T\_{f}\colon g\mapsto fg}
는 {\displaystyle \mathbb {K} }-유계 작용소이다.

이제, 집합

{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K} }
를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0}
그렇다면, {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f=\sigma (T\_{f})}이다.

**증명 ({\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\supseteq \sigma (T\_{f})}):**

임의의 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} \setminus \operatorname {ess\,ran} f}가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라

{\displaystyle \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0}
인 양의 실수 \epsilon >0이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수

{\displaystyle g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}
{\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}}
를 생각하자. 그렇다면,

{\displaystyle T\_{g}\circ (\lambda -T\_{f})=1}
이다. 따라서 {\displaystyle \lambda \in \rho (T\_{f})}이다.

**증명 ({\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T\_{f})}, {\displaystyle p<\infty }):**

임의의 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

{\displaystyle g\_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi \_{f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
을 정의하자. (여기서 \chi는 지시 함수이다.)

그렇다면,

{\displaystyle \left(\|(\lambda -T\_{f})g\_{n}\|\_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int \_{f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}}
이므로, 특히

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\|(\lambda -T\_{f})g\_{n}\|\_{\operatorname {L} ^{p}}=0}
이다. 이에 따라, {\displaystyle \lambda -T\_{f}}의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

**증명 ({\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T\_{f})}, p=\infty ):**

임의의 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

{\displaystyle g\_{n}=\chi \_{f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
을 정의하자. (여기서 \chi는 지시 함수이다.)

그렇다면,

{\displaystyle \|(\lambda -T\_{f})g\_{n}\|\_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n}
이므로, 특히

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\|(\lambda -T\_{f})g\_{n}\|\_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0}
이다. 이에 따라, {\displaystyle \lambda -T\_{f}}의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

임의의 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}에 대하여, 만약 {\displaystyle \mu ^{-1}(\{\lambda \})>0}이라면, {\displaystyle \lambda \in \sigma \_{\text{p}}(T\_{f})}이며, 만약 그렇지 않다면 {\displaystyle \lambda \in \sigma \_{\text{c}}(T\_{f})}이다. 특히, {\displaystyle T\_{f}}는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

**증명 ({\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0\implies \lambda \in \sigma \_{\text{p}}(T\_{f})}):**

지시 함수 {\displaystyle \chi \_{f^{-1}(\{\lambda \})}}는 \lambda 의 고유 벡터이다.

**증명 ({\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0\implies \lambda \in \sigma \_{\text{c}}(T\_{f})}):**

임의의

{\displaystyle g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

{\displaystyle h\_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi \_{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} \_{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
여기서 \chi는 지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라

{\displaystyle (\lambda -T\_{f})h\_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g}
이다. 즉, {\displaystyle \lambda -T\_{f}}의 상은 항상 조밀 집합이다.

### 결합 대수

가환환 R를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 r\in R의 스펙트럼은

{\displaystyle \sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))}
이다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Unit} (R)=\{r\in R\colon \exists r^{-1}\}}는 가역원군이다.)

사원수 대수 {\mathbb H}는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 {\displaystyle a\in \mathbb {H} }의 스펙트럼은 다음과 같다.

{\displaystyle \sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}}
(특히, 만약 {\displaystyle a\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} }이라면 {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing }이다.)

마찬가지로, 복소수체 \mathbb {C} 를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, z\in \mathbb {C} 의 스펙트럼은 다음과 같다.

{\displaystyle \sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}}
(특히, 만약 {\displaystyle z\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} }이라면 {\displaystyle \sigma (z)=\varnothing }이다.) 물론, \mathbb {C} 를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, {\displaystyle \sigma (z;\mathbb {C} )=\{z\}}이다.

### 연속 함수 대수

콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 대수 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}의 원소 {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}의 스펙트럼은 그 상이다.

{\displaystyle \sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K} }

역사
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유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.

"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[\*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[\*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

응용
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양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )}
위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜

{\displaystyle V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
이 주어졌으며,

{\displaystyle \inf \_{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty }
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자

{\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)}
를 {\mathcal {H}}의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수

{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0}
에 대하여 유계 작용소

{\displaystyle \exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상

{\displaystyle \sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}}
의 꼴이다. 이에 따라, E를 H의 스펙트럼으로 여길 수 있다.

{\displaystyle \Re (\alpha )<0}의 경우, {\displaystyle \exp(\alpha H)}의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. 1 2  Singh, Dinesh (2006년 10월). "The spectrum in a Banach algebra". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **113** (8): 756–758. doi:10.2307/27642038. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642038.
3. ↑  Lax, Peter D. (2002). 《Functional analysis》 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-55604-1.
4. ↑  Fredholm, E. I. (1903). "Sur une classe d’equations fonctionnelles". 《Acta Mathematica》 (프랑스어) **27**: 365–390. doi:10.1007/bf02421317.