대수학에서 **형식적 멱급수**(중국어: 形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의
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환 R에 대한 **형식적 멱급수환** R[[x]]는 집합으로서 R^{{{\mathbb N}}}이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

(r\_{0},r\_{1},r\_{2},\dots )
는 통상적으로

\sum \_{{n=0}}^{\infty }r\_{n}x^{n}=r\_{0}+r\_{1}x+r\_{2}x^{2}+\cdots 
으로 쓴다.

R^{{{\mathbb N}}} 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 R-가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }r\_{n}x^{n}\right)\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }s\_{n}x^{n}\right)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\sum \_{{k=0}}^{n}r\_{k}s\_{{n-k}}x^{n}
이에 따라 R[[x]]는 결합 R-대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 **형식적 멱급수**라고 한다. R[[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]]은 R[[x\_{1}]][[x\_{2}]]\cdots [[x\_{n}]]을 뜻한다.

### 미분

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 R-선형 연산

D\colon R[[x]]\to R[[x]]
D\colon \sum \_{{n=0}}^{\infty }r\_{n}x^{n}\mapsto \sum \_{{n=0}}^{\infty }nr\_{n}x^{{n-1}}
이 존재하며, 이를 **미분**이라고 한다.

### 합성

임의의 a,b\in R[[x]]가 주어졌고, b\_{0}=0이라고 하자 (즉, b\in (x)). 그렇다면 a와 b의 **합성** a\circ b\in R[[x]]은 다음과 같다.

a\circ b=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\sum \_{{k=0}}^{\infty }\sum \_{{j\in ({\mathbb Z}^{+})^{k}}}^{{j\_{1}+\cdots +j\_{k}=n}}a\_{k}b\_{{j\_{1}}}b\_{{j\_{2}}}\cdots b\_{{j\_{k}}}x^{n}
만약 R가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질
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환 R에 대하여,

* 만약 R가 가환환이라면, R[[x]] 역시 가환환이다.
* 만약 R가 가환 뇌터 환이라면, R[[x]] 역시 가환 뇌터 환이다.
* 만약 R가 정역이라면, R[[x]] 역시 정역이다.
* 만약 R가 체라면, R[[x]]는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

a=\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}\in R[[x]]
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* a\in R[[x]]는 가역원이다.
* a\_{0}\in R는 가역원이다.

구체적으로, a의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

(a^{{-1}})\_{0}=a\_{0}^{{-1}}
(a^{{-1}})\_{n}=-a\_{0}^{{-1}}\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{i}(a^{{-1}})\_{{n-i}}=-\sum \_{{i=1}}^{n}(a^{{-1}})\_{{n-i}}a\_{i}a\_{0}^{{-1}}\qquad (n\geq 1)
### 거리 공간 구조

형식적 멱급수환 R[[x]] 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a\_{n}\neq b\_{n}\}}\qquad (a\neq b)}
형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.:132, §III.7, Exercise 5 이는 다항식환 R[x]의 완비화이다.:132, §III.7, Exercise 6

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

a=\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}\in R[[x]]
는 부분합의 점렬

{\displaystyle (a\_{0},a\_{0}+a\_{1}x,a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2},\dots )}
의 극한이다.

형식적 로랑 급수
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체 K에 대하여, **형식적 로랑 급수체** K((x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}))은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

K((x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}))=\operatorname {Frac}(K[[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]])=\operatorname {Frac}(K[[x\_{1}]][[x\_{2}]]\cdots [[x\_{n}]])
정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, p\in K((x))는

p=\sum \_{{i=m}}^{\infty }p\_{i}x^{i}
의 꼴로 전개할 수 있다 (m\in {\mathbb Z}). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

K[x][y]\cong K[x,y]
K(x)(y)\cong K(x,y)
K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]
가 성립하지만, K((x,y))와 K((x))((y))는 서로 다른 체이다. 일반적으로, K((x,y))는 K(x)((y))의 부분환이며, 단사 준동형

K((x,y)){\stackrel {\iota \_{x}}{\hookrightarrow }}K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))
K((x,y)){\stackrel {\iota \_{y}}{\hookrightarrow }}K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))
이 존재한다. 예를 들어,

\iota \_{x}\colon {\frac 1{x-y}}\mapsto x^{{-1}}+x^{{-2}}y+x^{{-3}}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))
\iota \_{y}\colon {\frac 1{x-y}}\mapsto -y^{{-1}}-y^{{-2}}x-y^{{-3}}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))
이다.
그러나 \iota \_{x} 및 \iota \_{y}는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

\sum \_{{n=0}}^{\infty }x^{{-n^{2}}}y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota \_{x}(K((x,y)))
이다.