대수기하학에서 **힐베르트 다항식**(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

정의
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### 힐베르트 급수와 힐베르트 함수

체 K 위의 등급 벡터 공간 S가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

S=\bigoplus \_{{i\in {\mathbb N}}}S\_{i}
\dim \_{K}S\_{i}<\aleph \_{0}\forall i\in {\mathbb N}
S의 **힐베르트 급수**(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 **힐베르트-푸앵카레 급수**(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

\operatorname {HS}\_{S}(t)=\sum \_{{i\in {\mathbb N}}}(\dim \_{K}S\_{i})t^{i}\in {\mathbb Z}[[t]]
S의 **힐베르트 함수**(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.:42:51

\operatorname {HF}\_{S}\colon {\mathbb N}\to {\mathbb N}
\operatorname {HF}\_{S}\colon i\mapsto \dim \_{K}S\_{i}
### 힐베르트 다항식

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 \operatorname {HP}\_{S}(t)\in {\mathbb Q}[t] 및 자연수 r\in {\mathbb N}가 존재한다면, 이를 S의 **힐베르트 다항식**이라고 한다.:42:52

\operatorname {HP}\_{S}(i)=\operatorname {HF}\_{S}(i)\forall i\geq r
위 조건을 만족시키는 최소의 r를 S의 **힐베르트 정칙성**(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다.

성질
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### 가법성

힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 K 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 A, B, C가 주어졌고, 이들이 등급 K-가군의 짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0
을 이룬다면, 다음이 성립한다.

\operatorname {HS}\_{A}(t)+\operatorname {HS}\_{C}(t)=\operatorname {HS}\_{B}(t)
\operatorname {HP}\_{A}(t)+\operatorname {HP}\_{C}(t)=\operatorname {HP}\_{B}(t)
이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

### 힐베르트-세르 정리

S가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. **힐베르트-세르 정리**(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면, S는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.:42, Theorem 1.11:51, Theorem I.7.5

구체적으로, 생성원들이 s\_{1},\dots ,s\_{h}\in S\_{1}라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 P\_{S}(t)는 양의 정수 계수의 다항식이다.

\operatorname {HS}\_{S}(t)=P\_{S}(t)\prod \_{{k=1}}^{h}(1-t^{{\deg s\_{i}}})^{{-1}}
P\_{S}=\sum \_{{i=0}}^{{\deg P\_{S}}}P\_{i}t^{i}\in {\mathbb Z}[t]
만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

\operatorname {HS}\_{S}(t)={\frac {P\_{S}(t)}{(1-t)^{h}}}=P\_{S}(t)\sum \_{{i=0}}^{\infty }{\binom {i+h-1}{h-1}}t^{i}
따라서,

\operatorname {HF}\_{S}(i)=\sum \_{{j=0}}^{{\deg P\_{S}}}P\_{j}{\binom {i-j+h-1}{h-1}}
이다. 이는 i에 대한 다항식이므로,

\operatorname {HP}\_{S}(t)=\sum \_{{j=0}}^{{\deg P\_{S}}}P\_{j}{\frac {(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}}\in {\mathbb Q}[t]
로 놓으면

\operatorname {HF}\_{S}(i)=\operatorname {HP}\_{S}(i)\quad \forall i\geq \deg P\_{S}+1-h
이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 \deg P\_{S}+1-h 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

응용
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대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

### 사영 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 K 위의 n차원 사영 공간

{\mathbb P}\_{k}^{n}=\operatorname {Proj}K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]
은 다항식 등급환 K[x\_{0},\dots ,x\_{n}]의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 \operatorname {Proj}(K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]/I)는 동차 아이디얼 I\subset K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

X=\operatorname {Proj}(K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]/I)
의 동차 좌표환 K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]/I의 힐베르트 다항식 \operatorname {HP}\_{X}는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.

* \operatorname {HP}\_{X}의 (다항식으로서의) 차수는 X의 차원과 같다.:51, Theorem I.7.5
* \operatorname {HP}\_{X}의 최고차항의 계수는 X의 (대수다양체로서의) 차수와 X의 차원의 계승의 비이다.:52–54
\operatorname {HP}\_{X}(d)={\frac {\deg X}{(\dim X)!}}d^{{\dim X}}+{\mathcal O}(d^{{\dim X-1}})

### 리만-로흐 문제

대수적으로 닫힌 체 K 위의 비특이 대수다양체 X 위에 선다발 {\mathcal L}이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

\chi ({\mathcal L}^{{\otimes n}})=\int \_{X}\exp(c\_{1}({\mathcal L}^{{\otimes n}})\operatorname {Td}(X)=\int \_{X}\sum \_{{i=1}}^{{\dim X}}{\frac {n^{i}}{i!}}c\_{1}({\mathcal L})\operatorname {Td}(X)=P(n)\in {\mathbb Q}[n]
이며, P(n)은 차수 \dim X의 유리수 계수 다항식이다. 만약 {\mathcal L}이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 n에 대하여 H^{i}(X,{\mathcal L}^{{\otimes n}})=0\forall i>0이며, 또한 사영 공간으로의 매장

\iota \colon X\hookrightarrow {\mathbb P}^{k}
\iota ^{\*}{\mathcal O}(1)={\mathcal L}
이 존재한다. P(n)은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.:170, Exercise II.7.6

\chi (X,{\mathcal L}^{{\otimes n}})=\operatorname {HP}\_{{\iota (X)}}(n)\qquad \forall n
\dim \Gamma (X,{\mathcal L}^{{\otimes n}}=\chi (X,{\mathcal L}^{{\otimes n}})=\operatorname {HP}\_{{\iota (X)}}(n)\qquad \forall n\gg 1
이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 X의 오일러 지표가 된다.

\chi (X)=\operatorname {HP}\_{{\iota (X)}}(0)
보다 일반적으로, 만약 {\mathcal L}이 풍부한 선다발이라면, 여전히 \chi (X,{\mathcal L}^{{\otimes n}})은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

### 힐베르트-사뮈엘 함수

뇌터 가환 국소환 (R,{\mathfrak m})의 유한 생성 가군 M 및 R의 으뜸 아이디얼 {\mathfrak q}가 주어졌을 때, 등급 R-가군

\bigoplus \_{{i=0}}^{\infty }{\mathfrak q}^{i}M/{\mathfrak q}^{{i+1}}M
을 정의하자. (여기서 {\mathfrak m}^{0}=R로 정의한다.) 이 경우, R-가군을 가군의 길이로 측정한다면, **힐베르트-사뮈엘 함수**(영어: Hilbert–Samuel function)

\operatorname {HF}\_{M}^{{{\mathfrak q}}}(i)=\operatorname {length}\left({\mathfrak q}^{i}M/{\mathfrak q}^{{i+1}}M\right)
를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 **힐베르트-사뮈엘 다항식**(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.:272, Proposition 12.2

힐베르트-사뮈엘 다항식 \operatorname {HP}\_{M}^{{{\mathfrak q}}}(t)의 차수는 M의 크룰 차원보다 1만큼 작다.:274, Theorem 12.4

\deg \operatorname {HP}\_{M}^{{{\mathfrak q}}}(t)=\dim M-1

예
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### 사영 공간

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.:52, Proposition I.7.6(c) 다항식환

R=K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]
에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

{\displaystyle \dim \_{K}R\_{d}={\binom {n+d}{n}}={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)}
따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

{\displaystyle \operatorname {HP} \_{R}(d)={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)={\frac {1}{n!}}d^{n}+\cdots }
대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 n차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

### 여차원 1의 초곡면

다항식환

R=K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]
속에서, k차 동차다항식 f\in R\_{k}로 생성되는 동차 아이디얼 (f)에 대한 몫등급환 R/(f)의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.:52, Proposition I.7.6(d) 짧은 완전열

0\to R(-k){\xrightarrow {\cdot f}}R\to R/(f)\to 0
으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

\operatorname {HP}(d)=\dim \_{K}(R/(f))\_{d}=\dim \_{K}R\_{d}-\dim \_{K}R\_{{d-k}}={\binom {n+d}n}-{\binom {n+d-k}n}={\frac k{(n-1)!}}d^{{n-1}}+{\mathcal O}(d^{{n-2}})
이를 대수기하학적으로 해석하면 k차 동차다항식의 영점 집합은 n차원 사영 공간 속에서 n-1차원 k차 사영 대수다양체를 정의한다.

### 대수 곡선

종수 g의 비특이 대수 곡선 C 위의 매우 풍부한 선다발 {\mathcal L}을 통하여, C를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

\iota \colon C\hookrightarrow {\mathbb P}^{n}
{\mathcal L}=\iota ^{\*}{\mathcal O}(1)
이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

\operatorname {HF}\_{C}(t)=(\deg {\mathcal L})t+(g-1)
여기서 \deg {\mathcal L}은 {\mathcal L}을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

### 대수 곡면

산술 종수 p\_{{{\text{a}}}}=\chi (X;{\mathcal O}\_{X})-1의 대수 곡면 X 위에, 매우 풍부한 선다발 {\mathcal L}이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 D라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

\iota \colon X\hookrightarrow {\mathbb P}^{{\dim \Gamma (X,{\mathcal L})-1}}
\iota ^{\*}{\mathcal O}(1)={\mathcal L}
이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

\operatorname {HP}\_{{\iota (X)}}(n)=\chi (X;{\mathcal L}^{{\otimes n}})={\frac 12}n^{2}D.D-{\frac 12}nD.K+p\_{{{\text{a}}}}(X)+1
여기서 K\_{X}는 X의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 D.D이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 \iota ^{\*}{\mathcal O}(1)과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **150**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

* Schenck, Hal (2003). 《Computational Algebraic Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53650-9. MR 011360.
* Stanley, Richard (1978). 《Hilbert functions of graded algebras》. 《Advances in Mathematics》 (영어) **28**. 57–83쪽. doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2. MR 0485835.