체론에서 **유한체**(有限體, 영어: finite field) 또는 **갈루아 체**(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다.

정의
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**유한체**는 유한 집합인 체이다.

유한체는 항상 양의 표수 p를 갖는다 (p는 소수). 표수가 p인 유한체의 크기는 항상 p의 거듭제곱이다. 즉, p^{n}의 꼴이다 (n\in \mathbb {Z} ^{+}). 크기가 p^{n}인 유한체는 \mathbb {F} \_{p^{n}} 또는 \operatorname {GF}(p^{n})이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.

구성
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크기가 p^{n}인 유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}}은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, \mathbb {F} \_{p}는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 {\mathbb Z}/p이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 *p*-합동류이다.

\mathbb {F} \_{p^{n}}은 다음과 같이 정의할 수 있다. f(t)\in {\mathbb F}\_{p}[t]가 \mathbb {F} \_{p} 계수를 가진 *n*차 기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

{\mathbb F}\_{{p^{n}}}\cong {\mathbb F}\_{p}[t]/(f(t))
이다. 여기서 (f(t))는 f(t)로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

성질
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유한체는 순서체가 될 수 없다. \mathbb {F} \_{p^{n}}에서는

\overbrace {1+1+\dots 1}^{p}=0
이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

0<1<1+1<\cdots 
을 만족시킬 수 없다.

### 프로베니우스 자기 동형 사상

 이 부분의 본문은 프로베니우스 사상입니다.
유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}}은 다음과 같은 꼴의 n개의 자기 동형 사상 f\_{k}\colon {\mathbb F}\_{{p^{n}}}\to {\mathbb F}\_{{p^{n}}}을 가진다. 이를 **프로베니우스 자기 동형 사상**이라고 한다.
이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

f\_{k}\colon x\mapsto x^{{p^{k}}}
k=0,1,2,\dots ,n-1
물론 f\_{n}=f\_{0}이 된다.

따라서, 유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}}의 자기동형군은 순환군 \mathbb {Z} /n이다.

### 포함 관계

만약 {\displaystyle m\mid n}이라면, 자연스러운 포함 관계

{\mathbb F}\_{{p^{m}}}\hookrightarrow {\mathbb F}\_{{p^{n}}}
가 존재한다. 이에 따라 표수 *p*의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

\varinjlim \_{n}{\mathbb F}\_{{p^{n}}}={\bar {{\mathbb F}}}\_{p}
이렇게 얻은 체 {\bar {{\mathbb F}}}\_{p}는 임의의 *n*에 대하여 \mathbb {F} \_{p^{n}}의 대수적 폐포이다.

{\bar {{\mathbb F}}}\_{p}={\bar {{\mathbb F}}}\_{{p^{n}}}
이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 {\bar {{\mathbb F}}}\_{p}에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 \mathbb {Z} 의 사유한 완비

\operatorname {Aut}({\bar {{\mathbb F}}}\_{p})={\hat {{\mathbb Z}}}=\varinjlim \_{n}{\mathbb Z}/n
이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

### 덧셈군과 곱셈군

유한체의 가역원군 {\mathbb F}\_{{p^{n}}}^{\times }={\mathbb F}\_{{p^{n}}}\setminus \{0\}은 항상 순환군이다.

{\mathbb F}\_{{p^{n}}}^{\times }\cong \operatorname {Cyc}(p^{n}-1)
유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}}의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

({\mathbb F}\_{{p^{n}}},+)\cong \operatorname {Cyc}(p)^{{\oplus n}}

예
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비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

### 𝔽2

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 | 

| × | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

 |

### 𝔽3

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

 | 

| × | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |

 |

### 𝔽4

이 경우 기약 일계수 다항식 t^{2}+t+1\in {\mathbb F}\_{2}[t]를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\mathbb F}\_{4}\cong {\mathbb F}\_{2}[t]/(t^{2}+t+1)
아래 표에서는 A=t, B=t+1로 표기한다.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | A | B |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | A | B |
| 1 | 1 | 0 | B | A |
| A | A | B | 0 | 1 |
| B | B | A | 1 | 0 |

 | 

| × | 0 | 1 | A | B |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | A | B |
| A | 0 | A | B | 1 |
| B | 0 | B | 1 | A |

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참고 문헌
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* 조성진 (2007). 《유한체 및 그 응용》. 교우사. ISBN 978-8981726935.
* Lidl, Rudolf; Harald Niederreiter (2008년 6월). 《Finite fields》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) **20** 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Menezes, A.J.; I. F. Blake, XuHong Gao, R. C. Mullin, S. A. Vanstone, T. Yaghoobian (1993). 《Applications of finite fields》. The Springer International Series in Engineering and Computer Science (영어) **199**. doi:10.1007/978-1-4757-2226-0. ISBN 978-0-7923-9282-8. ISSN 0893-3405. Zbl 0779.11059.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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