일부 1-구들. {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|\_{2}}은 아래의 첫 번째 부분에서 이야기되는 유클리드 공간의 노름이다.
수학에서 **단위구**는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 **단위공**은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간에서 단위구와 공
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*n*차원 공간의 유클리드 공간에서, (*n*−1)차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 {\displaystyle (x\_{1},\ldots ,x\_{n})}이다:

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}=1}
*n*차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}<1}
그리고 *n*차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}\leq 1}
### 일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 *x*-, *y*-, 또는 *z*-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:

{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}
*n*차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. *n*차원 단위공의 부피 *V**n*은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다:

{\displaystyle V\_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}
이 때 *n*!!은 이중 팩토리얼이다.

(*n*−1)차원 단위구의 초부피 *A**n*(*즉*, *n*차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

{\displaystyle A\_{n}=nV\_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}
여기서 마지막 등식은 *n* > 0일 때만 성립한다.

일부 n값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

| n | A\_{n} (표면적) | V\_{n} (부피) |
| --- | --- | --- |
| 0 | {\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}} | 0 | {\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}} | 1 |
| 1 | {\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}} | 2 | {\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}} | 2 |
| 2 | {\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi } | 6.283 | {\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi } | 3.141 |
| 3 | {\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi } | 12.57 | {\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi } | 4.189 |
| 4 | {\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}} | 19.74 | {\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}} | 4.935 |
| 5 | {\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}} | 26.32 | {\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}} | 5.264 |
| 6 | {\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}} | 31.01 | {\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}} | 5.168 |
| 7 | {\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}} | 33.07 | {\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}} | 4.725 |
| 8 | {\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}} | 32.47 | {\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}} | 4.059 |
| 9 | {\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}} | 29.69 | {\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}} | 3.299 |
| 10 | {\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}} | 25.50 | {\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}} | 2.550 |

*n* ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

#### 재귀

*A**n*값은 재귀를 만족시킨다:

{\displaystyle A\_{0}=0}
{\displaystyle A\_{1}=2}
{\displaystyle A\_{2}=2\pi }
{\displaystyle A\_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A\_{n-2}} for {\displaystyle n>2}.
*V**n*값도 재귀를 만족시킨다:

{\displaystyle V\_{0}=1}
{\displaystyle V\_{1}=2}
{\displaystyle V\_{n}={\frac {2\pi }{n}}V\_{n-2}} for {\displaystyle n>1}.
#### 분수 차원

 이 부분의 본문은 하우스도르프 측도입니다.
*A**n*과 *V**n*의 공식은 어떤 실수 *n* ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, *n*이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.

이것은 (*x*–1)차원 구의 초부피(*즉*, *x*차원 단위공의 표면의 "넓이")를 *x*에 대한 연속 함수로 나타낸다.
이것은 *x*차원 공의 부피를 *x*에 대한 연속 함수로 나타낸다.
#### 다른 반지름

 이 부분의 본문은 구입니다.
반지름이 *r*인 (*n*–1)차원 구의 표면적은 *A**n* *r**n*−1이고, 반지름이 *r*인 *n*차원 공의 부피는 *V**n* *r**n*이다. 예를 들어, 반지름이 *r*인 삼차원 공의 표면적은 *A* = 4*π* *r*2이다. 반지름이 *r*인 삼차원 공의 부피는 *V* = 4*π* *r*3 / 3이다.

노름 벡터 공간의 단위공
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더 정확하게, 노름이 \|\cdot \|의 노름 벡터 공간 V의 **열린 단위구**는 다음과 같다:

{\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}
이것은 (*V*,||·||)의 **닫힌 단위공**의 내부이다:

{\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}
후자는 전자와 그 공통 경계인 **단위구**의 서로소 연합이고, (*V*,||·||)의 **단위구**는 다음과 같다:

{\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}
*단위공*의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 *R**n*의 노름 *l*∞의 경우에는[−1,1]*n*처럼 보일 수도 있다. *둥근 공*은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 *단위구*를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 *p*에 대한 이차원 \ell ^{p} 공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 *p* < 1일 때는 오목하고 *p* ≥ 1일 때는 볼록하다):

다른 민코프스키 거리 측도를 사용하는 단위원.
모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 *p* ≥ 1이 \ell ^{p}의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 C\_{p}에 대해서 주목하라:

{\displaystyle C\_{0}=C\_{\infty }=8}은 최대값이다.
{\displaystyle C\_{1}=4{\sqrt {2}}}은 최솟값이다.
{\displaystyle C\_{2}=2\pi \,.}

일반화
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### 측도 공간

위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

### 이차 형식

*V*가 실이차 형식 *F*:*V* → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ *V* : *F*(p) = 1 }은 단위구또는 *V*의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 {\displaystyle x^{2}-y^{2}}에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

참조
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1. ↑  Takashi Ono (1994) *Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps*, chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press, ISBN 0-306-44789-4
2. ↑  F. Reese Harvey (1990) *Spinors and calibrations*, "Generalized Spheres", page 42, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1

* Mahlon M. Day (1958) *Normed Linear Spaces*, page 24, Springer-Verlag.
* Deza, E.; Deza, M. (2006), 《Dictionary of Distances》, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2 . Reviewed in *Newsletter of the European Mathematical Society* **64** (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.