수학에서 **거리 공간**(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의
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집합 X 위의 **거리 함수**(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

d\colon X \times X \to[0,\infty)
이다.

* (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 x,y\in X에 대하여, d(x,y)=0\iff x=y
* (대칭성) 임의의 x,y\in X에 대하여, d(x,y)=d(y,x)
* (삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의 x,y,z\in X에 대하여, d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

* (삼각 부등식) d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)

여기서 y=x로 잡으면 d(y,x)=d(x,y)가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 {\displaystyle d(x,y)=0\Longleftarrow x=y}로 약화시키면 **유사 거리 함수**의 개념을 얻는다.

**거리 공간** (X,d)은 거리 함수가 주어진 집합이다.

### 거리 공간의 특별한 집합

 이 부분의 본문은 공 (수학)입니다.
거리 공간 X에서, 점 x\in X를 중심으로 하는, 반지름이 r\in\mathbb R^+인 **열린 공** B\_{r}(x)는 다음과 같다.

B\_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}
점 x\in X를 중심으로 하는, 반지름이 r\in\mathbb R^+인 **닫힌 공** {\bar B}\_{r}(x)는 다음과 같다.

{\bar B}\_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\leq r\}
거리 공간 X의 **유계 집합** S\subset X는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

* \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty 인 점 x\in X가 존재한다.

### 거리 위상

거리 공간 (X,d)의 **거리 위상**(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 U\subset X이다.

모든 x\in U에 대하여, B(x,r\_{x})\subset U인 r\_{x}>0가 존재한다.
거리 위상은 거리 함수 {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 {\displaystyle (d(x,-)\colon X\to [0,\infty ))\_{x\in X}}의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

### 완비 거리 공간

 이 부분의 본문은 완비 거리 공간입니다.
모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 **완비 거리 공간**이라고 한다.

### 지름

거리 공간 (X,d)의 **지름**(영어: diameter) \operatorname{diam}X는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

\operatorname{diam}X=\sup\_{x,y\in X}d(x,y)\in[0,\infty]
마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 **유계 공간**이라고 한다.

성질
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거리 공간 (X,d)의 임의의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, (Y,d|\_{{Y\times Y}})는 거리 공간을 이룬다.

### 위상수학적 성질

 이 부분의 본문은 거리화 가능 공간입니다.
모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 하우스도르프 공간이다.
* 파라콤팩트 공간이다.
* T6 공간이다.
* 제1 가산 공간이다.

거리 공간 (X,d)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* X는 분해 가능 공간이다.
* X는 제2 가산 공간이다.
* X는 린델뢰프 공간이다.

예
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* 실수 \mathbb{R}에서, 거리가 절댓값을 이용하여, d(x,y)=|x-y|로 정의되었을 때, ({\mathbb {R}},d)는 완비 거리 공간이다.
* 유리수의 집합 {\mathbb Q}\subset {\mathbb R}은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
* 유클리드 공간에서, \mathbb {R} ^{n}에서, 거리를 d(x,y)={\sqrt {\sum \_{{i=1}}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}}}로 정의하면, ({\mathbb {R}}^{n},d)는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 **유클리드 거리**, 이 공간을 **n차원 유클리드 공간**이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
* \mathbb {R} ^{n}에서 d\_{0}(x-y)=\max \_{{1\leq i\leq n}}{|x\_{i}-y\_{i}|}을 거리로 정의하면, ({\mathbb {R}}^{n},d\_{0})는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 (V,\Vert \cdot \Vert )에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\|x-y\|
로 정의한다면, (V,d)는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 (V,\Vert \cdot \Vert )에 대하여 거리 함수를

d\_{{{\text{post}}}}(x,y)=\|x\|+\|y\|
로 정의한다면, (V,d\_{{{\text{post}}}})는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 **우체국 거리**(영어: post-office metric)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 (M,g)에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\inf \_{{\gamma \in C^{1}([0,1],M)}}\int \_{0}^{1}{\sqrt {g^{{-1}}(\gamma '(s),\gamma '(s))}}\,ds
로 정의한다면, (M,d)는 거리 공간이다.

임의의 집합 X 및 양의 실수 r에 대하여,

d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\r&x\neq y\end{cases}}
는 초거리 함수를 이룬다. 이를 **이산 거리 함수**라고 한다.

임의의 연결 그래프 G에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌
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* Bryant, Victor (1985년 5월). 《Metric Spaces: Iteration and Application》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052131897-6.
* Ó Searcóid, Mícheál (2006). 《Metric Spaces》. Springer Undergraduate Mathematics Series (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-84628-627-8. ISBN 978-1-84628-369-7. ISSN 1615-2085.