대수기하학에서 **유리 함수층**(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.

정의
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### 정역 스킴의 경우

정역 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 **유리 함수층** {\mathcal K}\_{X}는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여,

{\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {K}}\_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X}))}
즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

{\displaystyle \Gamma (\varnothing ;{\mathcal {K}}\_{X})=0}
### 일반적 스킴의 경우

임의의 국소환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X})의 **유리 함수층** {\mathcal K}\_{X}는 다음과 같이 정의한다.:140–141, §II.6

각 열린집합 U\subseteq X 및 x\in U에 대하여, 줄기 \mathcal O\_{X,x}로 가는 표준적인 제약 사상

{\displaystyle \operatorname {res} \_{U,x}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}}\_{X})\to {\mathcal {O}}\_{X,x}}
이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

{\displaystyle S\_{U}=\left\{f\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})\colon \operatorname {res} \_{U,x}(f)\in \operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}\_{X,x})\right\}=\bigcap \_{x\in U}\operatorname {res} \_{U,x}^{-1}\left(\operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}\_{X,x})\right)\subset \Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Reg} (-)}는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 X 위의 준층 {\tilde {{\mathcal K}}}\_{X}를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

{\displaystyle \Gamma (U;{\tilde {\mathcal {K}}}\_{X})=S\_{U}^{-1}\Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})}
여기서 S\_{U}^{{-1}}은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. X 위의 **유리 함수층** {\mathcal K}\_{X}는 준층 {\tilde {{\mathcal K}}}\_{X}의 층화이며, 이는 {\mathcal O}\_{X}-가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

성질
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### 줄기

X가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 x에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 U\ni x가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.:205:Lemma 7.1.12b

{\displaystyle {\mathcal {K}}\_{X,x}=\operatorname {Frac} ({\mathcal {O}}\_{X,x})}
### 아핀 스킴의 유리 함수층

가환환 R에 대하여, 전분수환 \operatorname {Frac}(R)에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

{\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\to \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {K}}\_{\operatorname {Spec} R})}
이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.:Remark 7.1.14

만약 R가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.:Lemma 7.1.12b 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

### 코호몰로지

국소환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 1\to {\mathcal {O}}\_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}\_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times }\to 1}
여기서 {\displaystyle (-)^{\times }}는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{2}(X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \cdots }
여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

* {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}: 가역 정칙 함수군
* {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })}: 가역 유리 함수군
* \Gamma (X;{\mathcal K}\_{X}^{\times }/{\mathcal O}\_{X}^{\times }): 카르티에 인자 군
* {\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })/\Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })}: 카르티에 인자 유군
* {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}: 피카르 군

예
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체 K에 대하여, 0차원 아핀 공간 {\mathbb A}\_{K}^{0}\operatorname {Spec}K=\{(0)\}은 한원소 공간이며, 이 경우

\Gamma (\operatorname {Spec}K,{\mathcal K}\_{{\operatorname {Spec}K}})=K
\Gamma (\varnothing ,{\mathcal K}\_{{\operatorname {Spec}K}})=0
이다.

체 K에 대하여, 아핀 직선 {\mathbb A}\_{K}^{1}=\operatorname {Spec}K[x]의 경우,

\Gamma ({\mathbb A}\_{K}^{1},{\mathcal K}\_{{{\mathbb A}\_{K}^{1}}})=K(x)
이다. 즉, K의 계수의 유리 함수들의 체이다.

역사
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알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,:226–227, Propositions 20.1.1–3 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Kleiman, Steven (1979). "Misconceptions about *K**X*". 《L’Enseignement Mathématique》 (영어) **25**: 203–206. doi:10.5169/seals-50379.
2. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
3. 1 2 3  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 1일에 확인함.
4. ↑  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) **32**. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 3일에 확인함.