물리학에서 **아딘크라**(영어: adinkra)는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.

정의
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자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, **n차원 아딘크라**(영어: n-dimensional adinkra)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* \Gamma 는 유한 연결 n차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
* \Gamma  위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 {\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, \Gamma 는 이분 그래프이어야 한다.
* 또한, \Gamma 의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 **계수**(영어: rank)라고 하자.
* \Gamma  위에는 {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
* 또한, \Gamma 의 각 변에는 부호 {\displaystyle \{+,-\}}가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* 
* 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
* 각 꼭짓점에 닿은 n개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
* 임의의 두 정수 {\displaystyle 1\leq i<j\leq n}에 대하여, i 또는 j가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 -인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

### 아딘크라의 동형

두 n차원 아딘크라 \Gamma , \Gamma '가 주어졌다고 하자. 또한, 각 {\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 및 각 계수 h\in {\mathbb Z}에 대하여, \Gamma  속의 {\displaystyle (\sigma ,h)}-꼭짓점의 수는 \Gamma ' 속의 {\displaystyle (\sigma ,h)}-꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 {\displaystyle \operatorname {V} \_{\sigma ,h}(\Gamma )} 및 {\displaystyle \operatorname {V} \_{\sigma ,h}(\Gamma ')}로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의 **C-동형**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:§7.2

* 각 {\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}} 및 각 계수 h\in {\mathbb Z}에 대하여, 전단사 함수 {\displaystyle f\operatorname {V} \_{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)\to \operatorname {V} \_{\sigma ,h}(\Gamma ')}
* 각 {\displaystyle v\in \operatorname {V} \_{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)}에 대하여, 부호 {\displaystyle s(v)\in \{\pm 1\}}

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* (색의 보존) 각 변 {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}에 대하여, (u,v)의 색 {\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}}은 {\displaystyle (f(u),f(v))}의 색과 같다.
* (부호의 보존) 임의의 변 {\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}의 부호가 {\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}이라고 할 때, {\displaystyle (f(u),f(v))\in \operatorname {E} (\Gamma ')}의 부호는 {\displaystyle s(u)s(v)\sigma }이다.

이 데이터는 성분이 {\displaystyle \{0,-1,+1\}}에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 **동형**의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.:§7.2

아딘크라의 **크로모토폴로지**(영어: chromotopology)는 아딘크라의 정의에서

* 꼭짓점에 칠해진 색깔 {\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}
* 변에 주어진 부호 {\displaystyle \{\pm \}}
* 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)

를 잊고, 대신

* 그래프 구조
* 변의 색깔 {\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}

만을 남긴 구조이다.

성질
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### 초대칭 표현과의 관계

생성원 {\displaystyle (H,Q\_{1},\dotsc ,Q\_{n})}을 갖는 초대칭 대수

{\displaystyle \{Q\_{i},Q\_{j}\}=2\delta \_{ij}H}
{\displaystyle [Q\_{i},H]=0}
를 생각하자. 이는 리 초대수 {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]−1이며, 따라서 초대칭 연산자 {\displaystyle Q\_{i}}의 단위는 [시간]−½이다.

이 경우, 아딘크라 \Gamma 가 주어졌을 때,

{\displaystyle V=\bigoplus \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}V\_{v}}
{\displaystyle V\_{v}\cong {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}
를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}의 표현을 생각하자.

{\displaystyle H=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}
변
{\displaystyle {\underset {u}{\bullet }}\;{\overset {i,\sigma }{-\!\!\!-\!\!\!-}}\;{\underset {v}{\bullet }}}
{\displaystyle \operatorname {rank} u=\operatorname {rank} v-1=h}
{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}
{\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}
에 대하여, 만약 u가 보손이며 v가 페르미온이라면,
{\displaystyle Q\_{i}\phi \_{u}=\sigma \phi \_{v}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
{\displaystyle Q\_{i}\phi \_{v}=\sigma \mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi \_{u}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
만약 u가 페르미온이며 v가 보손이라면,
{\displaystyle Q\_{i}\psi \_{u}=\sigma \mathrm {i} \psi \_{v}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
{\displaystyle Q\_{i}\psi \_{v}=\sigma {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi \_{u}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
이를 **아딘크라 \Gamma 에 대응하는 초대칭 표현**이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.

| 아딘크라 | 초다중항 |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\mathsf {B}}}가 붙은 꼭짓점 | 보손 장 |
| {\displaystyle {\mathsf {F}}}가 붙은 꼭짓점 | 페르미온 장 |
| 변 | 초대칭의 작용 |
| 변에 붙은 숫자 {\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}} | 작용하는 초대칭 연산자 {\displaystyle Q\_{1},\dotsc ,Q\_{n}} |
| 변에 붙은 부호 {\displaystyle \in \{+,-\}} | 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 ({\displaystyle Q\_{i}\colon \phi \mapsto \pm \psi }) |
| 꼭짓점의 계수 | 장의 단위 ([시간]−*k*/2에서의 *k*) |

이와 같이 n차원 아딘크라로 표시될 수 있는 {\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}의 표현을 **아딘크라 표현**(adinkra表現, 영어: adinkraic representation)이라고 한다.

### 리만 곡면

모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.

구체적으로, N차원 아딘크라와, 이 N개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 **무지개**(영어: rainbow)라고 하기도 한다.) 그렇다면,

* 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다.
* 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
* 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 {\bar {{\mathbb Q}}}-대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다.
* 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다.

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.

| 아딘크라 | 기하학 |
| --- | --- |
| 크로모토폴로지 (그래프 + 변 색칠) + 변의 색 위의 전순서 | 리만 곡면 및 리만 구 위의 분지 피복 |
| 변에 붙은 부호 \pm (의 동치류) | 리만 곡면 위의 스핀 구조 |
| 꼭짓점의 계수 | 리만 곡면 위의 인자 |

분류
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(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

{\mathbb F}\_{2}-벡터 공간 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}^{n}} 속의 선형 부호 {\displaystyle C\subseteq \mathbb {F} \_{2}^{n}}가운데, 만약 모든 원소 c\in C에 대하여 {\displaystyle 4\mid \operatorname {d\_{H}} (c,0)}라면, C를 **겹짝 선형 부호**(영어: doubly even linear code)라고 한다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {d\_{H}} }는 해밍 거리이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 n차원 크로모토폴로지는 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}^{n}/C}의 꼴의 그래프로 나타내어진다.:Theorem 4.5 여기서 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}^{n}}은 초입방체 크로모토폴로지이며, C는 겹짝 선형 부호이다.

예
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### 간단한 예

2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

```
　　Ｂ
 ¹／　＼²
Ｆ　　　Ｆ
 ₂＼　／₁
　　Ｂ
```

여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).

이는 초다중항

{\displaystyle (\phi ,\psi ,\chi ,A)}
{\displaystyle Q\_{1}\phi =\psi }
{\displaystyle Q\_{2}\phi =\chi }
{\displaystyle Q\_{1}\chi =-Q\_{2}\psi =A}
{\displaystyle Q\_{1}\psi =Q\_{2}\chi =H\phi }
{\displaystyle Q\_{1}A=H\chi }
{\displaystyle Q\_{2}A=-H\psi }
을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

```
Ｆ
｜1
Ｂ
```

이는 초다중항

{\displaystyle (\phi ,\psi )}
{\displaystyle Q\_{1}\phi =-\psi }
{\displaystyle Q\_{1}\psi =-H\phi }
를 나타낸다.

### 초입방체 크로모토폴로지

보다 일반적으로, 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, n차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체 {\mathbb F}\_{2} 위의 벡터 공간 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}^{n}}으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색

{\displaystyle c\left((s\_{1},s\_{2},\dotsc ,s\_{i-1},0,s\_{i+1},\dotsc ,s\_{n}),(s\_{1},s\_{2},\dotsc ,s\_{i-1},1,s\_{i+1},\dotsc ,s\_{n})\right)=i}
를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 **초입방체 크로모토폴로지**(超立方體chromotopology, 영어: hypercube chromotopology)라고 한다.:§4

### 초입방체가 아닌 크로모토폴로지

초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.

{\displaystyle \{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb {F} \_{2}^{\oplus 4}}
즉, 다음과 같은 꼴이다.:Figure 5 (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)

```
 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´

```

즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

역사
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아샨티족의 아딘크라 문양
2004년에 마이클 폭스(영어: Michael Faux)와 실베스터 제임스 게이츠 2세(영어: Sylvester James Gates, Jr.)가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다. "아딘크라"라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(아칸어: adinkra)에서 유래하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Zhang, Yan X. (2011). "Adinkras for mathematicians" (영어). arXiv:1111.6055. Bibcode:2011arXiv1111.6055Z.
2. 1 2  Faux, Michael; Gates, Sylvester James, Jr. (2005). "Adinkras: a graphical technology for supersymmetric representation theory". 《Physical Review D》 (영어) **71**: 065002. arXiv:hep-th/0408004. Bibcode:2005PhRvD..71f5002F. doi:10.1103/PhysRevD.71.065002.
3. ↑  Doran, Charles; Iga, Kevin; Landweber, Greg; Méndez-Diez, Stefan (2013). "Geometry of *N*-extended 1-dimensional supersymmetry algebras" (영어). arXiv:1311.3736. Bibcode:2013arXiv1311.3736D.