끈 이론| 칼라비-야우 다양체의 예 |
| 보손 끈 이론2차원 등각 장론 · BRST 양자화 |
| 막끈 · D-막 · 천-페이턴 인자 · 보른-인펠트 이론 · 미분 형식 전기역학 · NS5-막 · 오리엔티폴드 · 하나니-위튼 전이 |
| 초끈초대칭  · GSO 사영  · 그린-슈워츠 초끈  · 잡종 끈 이론  · 라몽-라몽 장  · 캘브-라몽 장 (액시온) |
| 축소화칼루차-클레인 이론  · T-이중성  · 칼라비-야우 다양체 · 거울 대칭  · 오비폴드  · 코니폴드  · F이론  · 라디온  · 중력광자 |
| M이론AdS/CFT 대응성 · 홀로그래피 원리 · 행렬 이론 · S-이중성 · 타키온 응축 |
| 양자 중력초중력 · 딜라톤  · 브랜스-딕 이론 · 블랙홀 열역학 |
| 관련 과학자그로스 · M. 그린 · B. 그린 · 더프 · 데이크흐라프 · 라몽 · 랜들 · 만델스탐 · 말다세나 · 무어 · 바파 · 베네치아노 · 서스킨드 · 센 · 셰르크 · 슈워츠 · 스트로민저 · 아르카니하메드 · 위튼 · 자이베르그 · 타운젠드 · 폴랴코프 · 폴친스키 · 카쿠 |
| * v
* t
* e
 |

**보손 끈 이론**(boson끈理論, 영어: bosonic string theory)은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다.

전개
--

**끈**이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) **닫힌 끈**(영어: closed string)과 끊어진 (선분과 동형인) **열린 끈**(영어: open string)이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 \xi ^{a} (a\in \{0,1\})로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원).

끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과 D-1 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 D=4이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 X^{\mu } (\mu \in \{0,1,\dots ,D-1\})로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 G\_{{\mu \nu }}로 표기하자.

끈의 시공 속의 위치를 매장 X^{\mu }(\xi ^{a})로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서

{\displaystyle h\_{ab}=\partial \_{a}X^{\mu }\partial \_{b}X^{\nu }G\_{\mu \nu }}
를 정의할 수 있다.

### 작용

끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용

S[X^{\mu }]=-T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}
이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용

S[X^{\mu },h\_{{ab}}]=-{\frac 12}T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}h^{{ab}}\partial \_{a}X\cdot \partial \_{b}X
를 쓴다. 여기서 T=1/(2\pi \alpha ')는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. \alpha '는 **레제 기울기**(영어: Regge slope) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다.

보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식

{\displaystyle p^{2}=0}
만으로 결정된다.:§2 (여기서 p^{\mu }는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 {\displaystyle \xi =(\tau ,\sigma )}에 대하여, 세계면 위의, {\displaystyle \partial \_{a}X^{\mu }}에 대응하는 정준 운동량장 {\displaystyle P\_{a}^{\mu }(\xi )}를 정의하자. 그렇다면, 작용

{\displaystyle S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}h\_{ab}g^{\mu \nu }(X(\xi ))P\_{\mu }^{a}(\xi )P\_{\nu }^{b}(\xi )+P\_{\mu }^{a}(\xi )\partial \_{a}X^{\mu }(\xi )}
을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 {\displaystyle p^{2}=0}에서 오며, 둘째 항은 {\displaystyle P\_{\mu }^{a}}와 {\displaystyle \partial \_{a}X^{\mu }} 사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, {\displaystyle P\_{\mu }^{a}(\xi )}의 오일러-라그랑주 방정식은

{\displaystyle P\_{\mu }^{a}(\xi )=-g\_{\mu \nu }(X(\xi ))\eta ^{ab}\partial \_{b}X^{\nu }}
가 된다. 이를 작용에 대입하면, 폴랴코프 작용

{\displaystyle S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}G\_{\mu \nu }(X(\xi )\eta ^{ab}\partial \_{a}X^{\mu }(\xi )\partial \_{b}X^{\nu }(\xi )}
를 얻는다.

사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 {\displaystyle \xi ^{1}=\sigma \in [0,2\pi )}라고 할 때, {\displaystyle P(\tau ,\sigma )}는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 {\displaystyle P^{\pm }(\tau ,\sigma )}이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 {\displaystyle \xi ^{1}=\sigma \in [0,\pi ]}라고 할 때, 하나의 {\displaystyle P\_{\mu }^{a}}가 {\displaystyle \sigma \in [-\pi ,\pi ]}에 정의되게 된다. 두 경우 모두, {\displaystyle P\_{\mu }^{a}}는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 (\sigma 의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.

### 게이지 대칭

보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 {\displaystyle h\_{ab}}에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정

{\displaystyle h\_{ab}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
을 가할 수 있다. 사실, 흔히 빛원뿔 좌표계가 사용된다.

이 게이지 대칭은 작용 {\displaystyle L\propto \eta P^{2}+P\partial X}에서 생성원 {\displaystyle P^{2}(\sigma )}에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는

{\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ),{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right]=\mathrm {i} \delta '(\sigma '-\sigma )\left({\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma )+{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right)}
이다.:(2.2b) (여기서 {\displaystyle \delta '(-)}은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장 C에 대하여

{\displaystyle Q=\int \mathrm {d} ^{1}\sigma \,\left({\frac {1}{2}}P(\sigma )^{2}C(\sigma )+\mathrm {i} C'(\sigma ){\frac {\delta }{\delta C(\sigma )}}\right)}
이다.:(2.4) 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 {\displaystyle C(\sigma )}, {\displaystyle \delta /\delta C}는 양자화 이후 {\displaystyle (c,b)} 유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

### 방식 전개

폴랴코프 작용을 h\_{{ab}}=\operatorname {diag}(-1,1)인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

\square X^{\mu }=0
과 게이지 조건

(\partial \_{0}\pm \partial \_{1}X)^{2}=0
을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1})=X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1}+2\pi )의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계

\xi ^{\pm }=\xi ^{0}\pm \xi ^{1}
를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식(영어: mode)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)

X^{\mu }(\xi )=X\_{{\mathrm L}}^{\mu }(\xi ^{+})+X\_{{\mathrm R}}^{\mu }(\xi ^{-})
X\_{{\mathrm L}}^{\mu }(\xi ^{+})={\frac 12}x^{\mu }+{\frac 12}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {{\frac {\alpha '}2}}}\sum \_{{n\neq 0}}{\frac 1n}\exp(-{\mathrm i}n\xi ^{+})\alpha \_{n}^{\mu }
X\_{{\mathrm R}}^{\mu }(\xi ^{-})={\frac 12}x^{\mu }+{\frac 12}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {{\frac {\alpha '}2}}}\sum \_{{n\neq 0}}{\frac 1n}\exp(-{\mathrm i}n\xi ^{-})\beta \_{n}^{\mu }
이 된다. 여기서 p^{\mu }는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 (\partial \_{\pm }X)^{2}=0을 적용하면 임의의 m\in {\mathbb Z}에 대하여

0=\sum \_{{n=-\infty }}^{\infty }\exp(-{\mathrm i}n\xi ^{+})\alpha \_{{-n+m}}\cdot \alpha \_{n}=\sum \_{{n=-\infty }}^{\infty }\exp(-{\mathrm i}n\xi ^{-})\beta \_{{-n+m}}\cdot \beta \_{n}
의 조건을 얻는다. (여기서

\alpha \_{0}^{\mu }=\beta \_{0}^{\mu }={\sqrt {{\frac {\alpha '}2}}}p^{\mu }
로 정의한다.) 이 가운데 m=0인 조건으로부터 끈의 질량 공식

M^{2}=-p^{2}={\frac 4{\alpha '}}\sum \_{{n=1}}^{\infty }\alpha \_{{-n}}\cdot \alpha \_{n}={\frac 4{\alpha '}}\sum \_{{n=1}}^{\infty }\beta \_{{-n}}\cdot \beta \_{n}
을 얻는다.

### 양자화

끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표

X^{\pm }={\frac 1{{\sqrt 2}}}(X^{0}\pm X^{1})
을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로

X^{+}(\xi )=x^{\mu }+\alpha 'p^{\mu }\xi ^{0}
으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 x^{\pm }, p^{+}, x^{i},p^{i},\alpha ^{i},\beta ^{i} (i\in \{2,\dots ,D-2\})이다.
다음에 바른틀 교환자 관계 (영어: canonical commutation relation)를 적용시킨다.

[x^{i},p^{i}]={\mathrm i}\delta ^{{ij}}
[x^{\pm },p^{\mp }]=-{\mathrm i}
[\alpha \_{m}^{i},\alpha \_{n}^{j}]=n\delta ^{{ij}}\delta \_{{m+n,0}}.
(p^{-}는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성(영어: ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이

M^{2}={\frac 4{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum \_{{n=1}}^{\infty }\alpha \_{{-n}}\cdot \alpha \_{n}\right)={\frac 4{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum \_{{n=1}}^{\infty }\beta \_{{-n}}\cdot \beta \_{n}\right)
가 된다. 여기서 연산자

N=\sum \_{{n=1}}^{\infty }\alpha \_{{-n}}\cdot \alpha \_{n}
{\tilde N}=\sum \_{{n=1}}^{\infty }\beta \_{{-n}}\cdot \beta \_{n}
을 **준위**(準位, 영어: level) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. N={\tilde N}=0인 경우 M^{2}<0이므로 이는 타키온을 나타낸다. N={\tilde N}=1인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 M^{2}=0이어야 하므로, D=26임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 G\_{{\mu \nu }}, 스핀 1의 캘브-라몽 장 B\_{{\mu \nu }} (영어: Kalb–Ramond field), 스핀 0의 딜라톤 \Phi을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (영어: Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)으로 부른다. N=2이상의 입자는 질량이 \propto 1/{\sqrt {\alpha '}}이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.

성질
--

보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다.

* 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다.
* 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)
* 보손 초끈 이론은 임계 차원이 {\displaystyle 26=3^{3}-1}차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 \beta, \gamma  유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

역사
--

보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 \alpha '은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. \alpha '의 이름인 "레제 기울기"는 툴리오 레제의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다.

보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스(영어: Claud Lovelace, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3  Siegel, Warren (1985년 1월 13일). "Classical superstring mechanics". 《Nuclear Physics B》 (영어) **263** (1): 93–104. Bibcode:1986NuPhB.263...93S. doi:10.1016/0550-3213(86)90029-5.
2. ↑  Lovelace, Claud (1971년 3월 29일). "Pomeron form factors and dual Regge cuts". 《Physics Letters B》 **34** (6): 500–506. doi:10.1016/0370-2693(71)90665-4.
3. ↑  Lovelace, Claud (2012). 〈Dual amplitudes in higher dimensions: a personal view〉. 《The Birth of String Theory》. Cambridge: Cambridge University Press. 198–201쪽. doi:10.1017/CBO9780511977725.018. ISBN 9780521197908.