미분기하학에서 **호지-라플라스 연산자**(Hodge-Laplace演算子, 영어: Hodge–Laplace operator) 또는 **호지-드람 라플라스 연산자**(Hodge-de Rham-Laplace演算子, 영어: Hodge–de Rham Laplacian) 또는 **라플라스-드람 연산자**(Laplace-de Rham演算子, 영어: Laplace–de Rham operator)는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식을 **조화 미분 형식**(調和微分形式, 영어: harmonic differential form)이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다.

정의
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콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간

\Omega ^{\bullet }(M)
을 생각하자. 임의의 {\displaystyle n\in \{0,1,\dotsc ,\dim M\}}에 대하여, n차 미분 형식의 벡터 다발의 x\in M에서의 올공간

{\displaystyle \bigwedge ^{n}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M}
은 {\displaystyle \textstyle {\binom {\dim M}{n}}}차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 g|\_{x}로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, n차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle ={\frac {1}{(n!)^{2}}}\int \_{M}\alpha \_{i\_{1}i\_{2}\dotsb i\_{n}}\beta \_{j\_{1}j\_{2}\dotsb j\_{n}}g^{i\_{1}j\_{1}}\dotsm g^{i\_{n}j\_{n}}{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{n}(M)}
이에 따라 \Omega (M)의 완비화 {\displaystyle {\bar {\Omega }}(M)}를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분

{\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}
의 에르미트 수반

{\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \operatorname {dom} (\mathrm {d} ^{\dagger })\to {\bar {\Omega }}(M)}
{\displaystyle \langle \alpha |\mathrm {d} ^{\dagger }\beta \rangle =\langle \mathrm {d} \alpha |\beta \rangle \qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega (M)}
{\displaystyle \operatorname {dom} \mathrm {d} ^{\dagger }\subseteq {\bar {\Omega }}^{\bullet }(M)}
을 {\displaystyle {\bar {\Omega }}(M)}의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 {\displaystyle (\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=0}이다.

**호지-라플라스 연산자**는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

{\displaystyle \Delta \_{\text{dR}}=\mathrm {d} \mathrm {d} ^{\dagger }+\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} =(\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}}
그 핵은 **조화 미분 형식**이라고 한다.

성질
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### 스펙트럼

{\displaystyle \Delta \_{\text{dR}}=(\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}}이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

### 접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계

리만 다양체 M 위의 임의의 (p,q)차 텐서장

{\displaystyle X\_{j\_{1}\dotsc j\_{q}}^{i\_{1}\dotso i\_{p}}}
에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 **라플라스-벨트라미 연산자**를 정의할 수 있다.

{\displaystyle (\Delta X)X\_{j\_{1}\dotsc j\_{q}}^{i\_{1}\dotso i\_{p}}=g^{kl}\nabla \_{k}\nabla \_{l}X\_{j\_{1}\dotsc j\_{q}}^{i\_{1}\dotso i\_{p}}}
만약 {\displaystyle p=0}일 경우, {\displaystyle (0,q)}차 텐서장은 q차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 **바이첸뵈크 항등식**(영어: Weitzenböck identity)이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 ({\displaystyle p=q=0}), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

{\displaystyle g^{ij}\nabla \_{j}\partial \_{i}f=-\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f=-\Delta \_{\text{dR}}f}

**증명**:

차수로 인하여, f\in\Omega^0(M)에 대하여 {\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }f=0}이다. 따라서

{\displaystyle \Delta \_{\text{dR}}f=\mathrm {d} \mathrm {d} ^{\dagger }f+\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f=\mathrm {d} ^{\dagger }\mathrm {d} f}
이다. 따라서, 임의의 함수 {\displaystyle g\in \Omega ^{0}(M)}에 대하여 

{\displaystyle \int \_{M}g^{ij}\nabla \_{i}\nabla \_{j}f\,{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} x=\langle \mathrm {d} g|\mathrm {d} f\rangle }
임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여

{\displaystyle \int \_{M}g^{ij}\nabla \_{i}\nabla \_{j}f\,{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} x=-\int \_{M}g^{ij}\nabla \_{i}f\nabla \_{j}g\,{\sqrt {\det g}}=-\langle \mathrm {d} f|\mathrm {d} g\rangle }
이다.

### 조화 미분 형식

{\displaystyle \Delta \_{\text{dR}}}가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} (M;\mathbb {R} )}와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식 \alpha\in\Omega^k(M)의 동치류

{\displaystyle [\alpha ]=\{\beta \in \Omega ^{k}(M)\colon \exists \gamma \in \Omega ^{K-1}(M)\colon \alpha -\beta =\mathrm {d} \gamma \}}
를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

{\displaystyle \|-\|\colon [\alpha ]\to [0,\infty )}
를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

참고 문헌
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* Warner, Frank (1971). 《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. MR 722297.