리만 곡면 이론에서, **정칙 이차 미분**(正則二次微分, 영어: holomorphic quadratic differential)은 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.

정의
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리만 곡면 \Sigma  위의 **정칙 이차 미분**은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.:§4

{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,K\_{\Sigma }^{\otimes 2})}
여기서 K\_{\Sigma }는 \Sigma 의 표준 선다발이다. 즉, \Sigma 의 국소 좌표를 z라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

{\displaystyle f(z)\,\mathrm {d} z^{2}}
의 꼴이다.

### 표준 좌표계

리만 곡면 \Sigma  위의 정칙 이차 미분 {\displaystyle q(z)=f(z)\;\mathrm {d} z^{2}}가 주어졌다고 하고, 임의의 점 z\_{0}\in \Sigma 에 대하여 {\displaystyle q|\_{z\_{0}}\neq 0}이라고 하자. 그렇다면, z\_{0}의 어떤 (충분히 작은) 근방 U\ni z\_{0}에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

{\displaystyle w\colon U\to \mathbb {C} }
{\displaystyle w\colon z\_{1}\mapsto \int \_{z\_{0}}^{z\_{1}}{\sqrt {q}}=\int \_{z\_{0}}^{z\_{1}}{\sqrt {f(z)}}\,\mathrm {d} z}
이를 q로부터 정의되는 **표준 좌표계**(瓢樽座標系, 영어: canonical coordinate)라고 한다.

또한, {\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|\_{z}\neq 0\}}에서, 리만 계량

{\displaystyle |f(z)|\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} {\bar {z}}=|f(z)|\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}
를 정의할 수 있다 ({\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

### 수직엽과 수평엽

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 곡면 \Sigma
* \Sigma 의 한 점 z\_{0}\in \Sigma
* {\displaystyle \Sigma \setminus \{z\_{0}\}} 위의 정칙 이차 미분 q. 또한, q가 z\_{0} 근처에서 k차 극을 갖는다고 하자. 즉, q는 z\_{0} 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.
{\displaystyle q(z)\sim {\frac {O(1)}{(z-z\_{0})^{k}}}\mathrm {d} z^{2}}

그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선

{\displaystyle \gamma \colon (a,b)\to \Sigma }
에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㉠ {\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|\_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} }
㉡ {\displaystyle \forall t\in (a,b)\colon q|\_{\gamma (t)}\left({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} }
이 두 조건은 매개 변수의 재정의 {\displaystyle \gamma \mapsto \gamma \circ f}에 대하여 (만약 {\displaystyle \forall t\colon f'(t)\neq 0}라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 \Sigma 의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q의 **수평엽**(水平葉, 영어: horizontal leaf)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 q의 **수직엽**(垂直葉, 영어: vertical leaf)이라고 한다.

성질
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리만 곡면 \Sigma  위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면 \Sigma  위의 정칙 이차 미분 q의 수직엽들의 족은 리만 곡면 {\displaystyle \{z\in \Sigma \colon q|\_{z}\neq 0\}}의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, q의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

### 슈트레벨 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 종수 g의 연결 콤팩트 리만 곡면 \Sigma  ({\displaystyle g\geq 0}).
* \Sigma  속의 유한 집합 {\displaystyle \{z\_{1},\dotsc ,z\_{n}\}\subseteq \Sigma }. 또한, {\displaystyle \min\{0,2-2g\}<n}이다. (즉, g=0일 때는 n\geq 3이며, {\displaystyle g\geq 1}일 때는 n\geq 1이다.)
* 각 z\_{i}에 대하여, 양의 실수 {\displaystyle t\_{i}\in \mathbb {R} ^{+}}.

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분

{\displaystyle q\in \Gamma (\Sigma \setminus \{z\_{1},\dotsc ,z\_{n}\},\operatorname {Sym} ^{2}K\_{\Sigma })}
이 존재하며, 이를 q의 **슈트레벨 미분**(Strebel微分, 영어: Strebel differential)이라고 한다.:Theorem 4.2

* q는 각 z\_{i} 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.
{\displaystyle q(z)={\frac {O(1)}{(z-z\_{i})^{2}}}(\mathrm {d} z)^{2}}
* q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
* q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 {\displaystyle \gamma \subseteq M}은 항상 어떤 {\displaystyle z\_{i}\in \{z\_{1},\dotsc ,z\_{n}\}}을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)
{\displaystyle t\_{i}=\oint \_{\gamma }{\sqrt {q}}}

예
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### 상수 정칙 이차 미분

{\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}의 수평엽(푸른 선)과 수직엽(붉은 선)
비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 \mathbb {C}  위의 상수 정칙 이차 적분

{\displaystyle q=\mathrm {d} z^{2}}
을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은

{\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{+}\subsetneq \mathbb {C} }
인 것이다. 즉, {\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.

{\displaystyle \mathbb {R} +\mathrm {i} t\qquad (t\in \mathbb {R} )}
마찬가지로, 수직엽의 조건은

{\displaystyle {\dot {\gamma }}^{2}\in \mathbb {R} ^{-}\subsetneq \mathbb {C} }
인 것이다. 즉, {\displaystyle {\dot {\gamma }}\in \mathrm {i} \mathbb {R} \setminus \{0\}}이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.

{\displaystyle \mathrm {i} \mathbb {R} +t\qquad (t\in \mathbb {R} )}
이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 \Sigma  및 임의의 z\in \Sigma  및 임의의 정칙 이차 적분 q에 대하여, 만약 {\displaystyle q|\_{z}\neq 0}이라면, z의 충분히 작은 근방 {\displaystyle U\ni z}에서 {\displaystyle q\upharpoonright U}는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.:Proposition 4.1

### 2차 극 근처의 정칙 이차 미분

{\displaystyle \mathrm {d} z^{2}/z^{2}}의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원)
복소평면 위의 정칙 이차 미분

{\displaystyle q={\frac {\mathrm {d} z^{2}}{z^{2}}}}
를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은

{\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in z\mathbb {R} }
이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선

{\displaystyle t\mapsto t\exp(\mathrm {i} \theta )\qquad (\theta \in \mathbb {R} )}
이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은

{\displaystyle {\dot {\gamma }}(z)\in \mathrm {i} z\mathbb {R} }
이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원

{\displaystyle t\mapsto r\exp(\mathrm {i} t)\qquad (r\in \mathbb {R} ^{+})}
의 꼴이다.

역사
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슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(독일어: Kurt Strebel, 1921~2013)이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Strebel, Kurt (1984). 《Quadratic differentials》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **5**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02414-0. ISSN 0071-1136.
2. 1 2 3  Mulase, Motohico; Penkava, Michael (1998). "Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄". 《The Asian Journal of Mathematics》 (영어) **2** (4): 875–920. arXiv:math-ph/9811024. Bibcode:1998math.ph..11024M.

* Tynan, P. (2009). "Explicit examples of Strebel differentials" (영어). arXiv:0910.4752.