모형 범주 이론에서, **바우스필드 국소화**(Bousfield局所化, 영어: Bousfield localization)는 주어진 모형 범주의 약한 동치 모임을 확장시키는 한 방법이다.

정의
--

모형 범주 ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 모임

{\displaystyle {\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}\supseteq {\mathfrak {W}}}
이 존재한다고 하자. 그렇다면, {\mathcal {C}}의 {\displaystyle {\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}}에 대한 **왼쪽 바우스필드 국소화**(영어: left Bousfield localization)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 모형 범주 {\displaystyle ({\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}},{\mathfrak {W}}\_{\text{loc}},{\mathfrak {F}}\_{\text{loc}},{\mathfrak {C}})}이다.

* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}의 약한 동치 모임은 {\displaystyle {\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}}이다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}의 쌍대올뭉치 모임은 {\mathfrak {C}}이다. (즉, {\mathcal {C}}에서와 같다.)
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}의 올뭉치 모임 {\displaystyle {\mathfrak {F}}\_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {F}}}은 오른쪽 올림 성질로부터 결정된다. 즉, {\displaystyle {\mathfrak {F}}\_{\text{loc}}=({\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}\_{\text{loc}})^{\pitchfork }}이다.

이 경우, 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.:58, Proposition 3.3.3

{\displaystyle ({\mathfrak {C}})^{\pitchfork }={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {F}}={\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {F}}\_{\text{loc}}}
또한, 항등 함자 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}는 퀼런 수반 모형 범주 쌍{\displaystyle ({\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}},{\mathcal {C}})}의 왼쪽 성분이 된다.

마찬가지로, **오른쪽 바우스필드 국소화**(영어: right Bousfield localization) {\displaystyle ({\mathcal {C}}\_{\text{loc,right}},{\mathfrak {W}}\_{\text{loc}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}}\_{\text{loc}})}는 올뭉치 모임을 그대로 두고, 쌍대올뭉치 모임을 바꾸는 것이다. 이 경우 마찬가지로

{\displaystyle {\mathfrak {C}}\_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {C}}}
{\displaystyle ^{\pitchfork }({\mathfrak {F}})={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {C}}={\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}\_{\text{loc}}}
가 된다.
또한, 항등 함자 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\_{\text{loc,left}}}는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{loc,right}}}는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathcal {C}}\_{\text{loc,right}})}의 오른쪽 성분이 된다.

### 국소 약한 동치

흔히, {\displaystyle {\mathfrak {W}}\_{\text{loc}}}는 다음과 같이 어떤 사상 집합 S에 대한 **국소 약한 사상**(영어: local weak equivalence)으로 얻어진다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화의 경우 그 쌍대화를 사용한다.)

{\mathcal {C}}가 단체 집합의 범주 위의 풍성한 범주이며, 그 구조가 모형 범주 구조와 호환된다고 하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치 집합 S가 주어졌다고 하자. {\mathcal {C}} 속의 올대상 X가 다음 조건을 만족시킨다면, C-**국소 올대상**(영어: C-local fibrant object)이라고 한다.

* 모든 사상 {\displaystyle (f\in C)\colon A\hookrightarrow B}에 대하여, {\displaystyle f^{\*}\colon \hom \_{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom \_{\mathcal {C}}(A,X)}는 비순환 올뭉치를 이룬다. (즉, 약한 동치이며 칸 올뭉치이다.)

{\mathcal {C}} 속의 쌍대올뭉치 {\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}가 다음 조건을 만족시킨다면, **S-국소 약한 동치**(영어: S-local weak equivalence)라고 한다.

* 모든 S-국소 올대상 X에 대하여, {\displaystyle f^{\*}\colon \hom \_{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom \_{\mathcal {C}}(A,X)}는 비순환 올뭉치를 이룬다.

역사
--

올드리지 나이트 바우스필드(영어: Aldridge Knight Bousfield, IPA: [ɔːldɹɪdʒ naɪt baʊsfiːld])가 1979년에 스펙트럼을 다루기 위하여 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Hirschhorn, Philip S. (2003). 《Model categories and their localizations》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) **99**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4917-0.
2. ↑  Bousfield, Aldridge Knight (1979). "The localization of spectra with respect to homology". 《Topology》 (영어) **18** (4): 257–281. doi:10.1016/0040-9383(79)90018-1.
3. ↑  Bousfield, Aldridge Knight (1975년 6월). "The localization of spaces with respect to homology". 《Topology》 (영어) **14** (2): 133–150. doi:10.1016/0040-9383(75)90023-3.