**정수열**은 여기로 연결됩니다. 대한민국 방송인에 대해서는 정수열 (1950년) 문서를 참고하십시오.ㅊㅌㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋㅊㅋ

실수의 무한수열
수학에서 **수열**(數列) 또는 **열**(列, sequence)은 수 또는 다른 대상의 순서 있는 나열이다. 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 짝수의 크기 순 나열 2, 4, 6, 8, ...은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다.

정의
--

### 수열의 항

수열을 이루는 구성원을 수열 **항**(term) 또는 **원소**(element)라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 **첫째항**(first term) 또는 **첫항**, **초항**이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째, ...로 오는 항을 **둘째항**, **셋째항**, **넷째항**, ... 다르게는 **제2항**, **제3항**, **제4항**, ...이라고 부른다.

수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 **길이**(length)라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 **유한수열**(finite sequence), 무한하면 **무한수열**(infinite sequence)이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 **끝항**(final term) 또는 **마지막항**, **말항**이라고 부른다.

특정되지 않은 일반적인 **제*n*항**(nth term)을 수열의 **일반항**이라고 한다. 많은 경우에 *n*과 제*n*항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 예를 들어 1, 3, 5, ...처럼 홀수를 오름차순으로 나열한 수열의 일반항은 {\displaystyle 2n-1}이다. 여기의 *n*에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다.

자연수는 일부 문헌에서는 1부터, 일부 문헌에서는 0부터 시작한다. 만약 0부터 시작한다고 정할 경우 수열에서 처음 오는 항은 '제0항'이 된다

### 수열의 표현

수열의 원소를 순서대로 나열하는 것은 수열의 한 가지 표현법이다. 홀수열은 1, 3, 5, ...와 같이 표현할 수 있다. {\displaystyle \{1,\ 3,\ 5,\ \dots \}} 또는 {\displaystyle (1,\ 3,\ 5,\ \dots )}처럼 괄호를 씌워도 된다.

구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타내어 (무한수열의 예를 들면) {\displaystyle a\_{1},\ a\_{2},\ a\_{3},\ \dots } , 또는 {\displaystyle \{a\_{1},\ a\_{2},\ a\_{3},\ \dots \}} , {\displaystyle (a\_{1},\ a\_{2},\ a\_{3},\ \dots )}와 같이 표현된다. 이때 수열의 일반항은 a\_n이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 조건제시법과 유사하게) \{a\_{n}\} 또는 (a\_{n})으로 표현할 수 있다. 첨자의 범위를 명시하기 위해 {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }} 또는 {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} 등으로 표현하기도 한다.

일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 {\displaystyle \{2n-1\}}과 같이도 표현한다. 일반항에 관한 공식 {\displaystyle a\_{n}=2n-1}이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다.

### 함수로서의 정의

수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 *n*개의 집합을 정의역으로 하는 함수 {\displaystyle n\mapsto a\_{n}}으로 정의된다. 즉, 각 자연수 n의 함수값을 수열의 제*n*항 a\_n으로 정의한 함수이다. 실수열의 예를 들면, 수열 1, 1/2, 1/3, ... 1/*n*, ...은 곧 함수 {\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto 1/n}와 같다.

### 귀납적으로 정의된 수열

 점화식 및 귀납적 정의 문서를 참고하십시오.
구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 *an*과 *n* 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 *an*을 *a*1부터 *a**n* - 1까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다.

피보나치 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉,

{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=1,}
{\displaystyle a\_{n+2}=a\_{n+1}+a\_{n}.}
피보나치 수열의 일반항 공식

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\,\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)}
은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다.

수열의 귀납적 정의의 유효성은 자연수 위의 귀납 정리가 보장한다.

예
-

다음 두 (유한) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ
ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ
다음 두 (무한) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
다음은 몇 가지 정수열의 예이다.

|  |  |
| --- | --- |
| 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... | 양의 짝수열. 각 항 간의 차가 일정하다. (등차수열) |
| 3, 9, 27, 81, 243, ... | 3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 비가 일정하다. (등비수열) |
| 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... | 소수열. |
| 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... | "*an* = (7*n*의 일의 자리의 숫자)"로 정의되는 수열. |
| 3, 7, 5, 4, -1, ... | 규칙이 뚜렷하지 않은 수열. |
| 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... | 사각수열, 즉 *an* = *n*2 |
| 0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ... | *an* = *n*(*n* - 1)(*n* - 2)(*n* - 3)로 정의되는 수열. |

수열의 성질
------

다음은 주로 실수열의 예를 들어 설명한, 수열의 여러 속성들이다.

### 단조성

 이 부분의 본문은 단조수열입니다.
실수열 \{a\_{n}\}이 모든 {\displaystyle m>n}인 두 자연수 m,n에 대해 a\_{m}\geq a\_{n}을 만족시킬 때, \{a\_{n}\}을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 {\displaystyle m>n}인 두 자연수 m,n에 대해 {\displaystyle a\_{m}\leq a\_{n}}을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 {\displaystyle a\_{n+1}\geq a\_{n}} 또는 {\displaystyle a\_{n+1}\leq a\_{n}}이 모든 자연수 n에 대해 성립한다는 것이다.

홀수열 {\displaystyle a\_{n}=2n-1}은 단조증가수열의 예이다: {\displaystyle 1<3<5<7<\dots }

순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다.

수열의 단조성은, 실수 이외에도 순서구조가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다.

### 유계성

 이 부분의 본문은 유계집합입니다.
실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열 \{a\_{n}\}의 모든 항이 어떤 일정한 값(상계라 부른다)보다 작을 때, 즉 {\displaystyle \exists M}이어서 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }에 대해 {\displaystyle a\_{n}\leq M}일 때, \{a\_{n}\}이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 M보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 {\displaystyle |a\_{n}|\leq M,\ n\in \mathbb {N} }을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다.

수열 {\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{n}}}은 유계수열의 예이다. {\displaystyle 0<a\_{n}\leq 1}이 모든 자연수 n에 대해 성립하기에 그렇다.

### 수렴성

 이 부분의 본문은 수열의 극한입니다.
실수열 \{a\_{n}\}이 단조수열이면서 유계일 때, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해 항상 수렴한다. 실수열 \{a\_{n}\}에 대해 n이 한없이 커질 때, 그리고 그 일반항 a\_n이 어떤 상수 L에 한없이 가까워지면, **수열 \{a\_{n}\}이 극한 L로 수렴한다**라고 한다. 기호로는

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}
과 같이 나타낸다. 반대로, 수열 \{a\_{n}\}이 수렴하지 않을 때 **수열 \{a\_{n}\}이 발산한다**고 한다. 이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.

* 양의 무한대로 발산, 즉 n이 커짐에 따라 a\_n이 한없이 커짐. {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty }로 표기.
* 음의 무한대로 발산, 즉 n이 커짐에 따라 a\_n이 한없이 작아짐. {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=-\infty }로 표기.
* 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음.

수열 {\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{n}}}은 수렴수열의 예이다.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}

수열로부터 새 수열 만들기
--------------

### 부분수열

 이 부분의 본문은 부분수열입니다.
수열 \{a\_{n}\}의 부분수열은, 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는 {\displaystyle \{a\_{n\_{k}}\}} ({\displaystyle n\_{k}}는 순증가 자연수열) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 소수열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다.

### 계차수열

 이 부분의 본문은 계차수열입니다.
수열 \{a\_{n}\}의 계차수열 {\displaystyle \{\Delta a\_{n}\}}은 제*n*항을 바로 다음 항에서부터 뺀 차 {\displaystyle a\_{n+1}-a\_{n}}를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열 {\displaystyle \{\Delta ^{2}a\_{n}\}}을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4, ...계차수열이 정의된다.

수열 {\displaystyle a\_{n}=n^{2}}의 계차수열은 {\displaystyle \Delta a\_{n}=2n+1}, 2, 3계차수열은 {\displaystyle \Delta ^{2}a\_{n}=2}, {\displaystyle \Delta ^{3}a\_{n}=0}이다.

### 수열의 합, 급수

 이 부분의 본문은 총합 및 급수입니다.
수열 \{a\_{n}\}의 제1항부터 제*n*항까지의 합

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}a\_{k}=a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}+\cdots +a\_{n}}
은, *n* = 1, 2, 3, ...를 취할 때 새로운 수열 {\displaystyle \left\{\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\right\}}을 이룬다. 이를 때로는 **부분합 수열**이라고 한다.

계차수열이 쉽게 구해지는 것과 다르게, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 요구된다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 *n*까지의 자연수의 합 공식이 있다.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
부분합 수열 {\displaystyle \left\{\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\right\}}이 수열로서 상수 L로 수렴할 때, 무한급수 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}}이 L로 수렴한다고 하고 이를 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}=L}과 같이 나타낸다.