대수기하학에서 **야코비 다양체**(Jacobi多樣體, 영어: Jacobian variety)는 대수 곡선 위에 존재하는 0차 선다발들의 모듈라이 공간이다. 피카르 군에서 단위원을 포함한 연결 성분이며, 이에 따라 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.

카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 땄다.

정의
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복소수체에 대한 완비 비특이 대수 곡선 (리만 곡면)의 경우, 야코비 다양체는 다음과 같이 작도할 수 있다. 이 작도는 닐스 헨리크 아벨이 정의하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 작도가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보였다. 이를 **아벨-야코비 정리**(영어: Abel–Jacobi theorem)라고 한다.

곡면 종수가 {\displaystyle g\in \mathbb {N} }인 복소수 대수 곡선 \Sigma \_{g}를 생각하자. 그 호지 수들은

|  |  |
| --- | --- |
|  | 1 |
| g |  | g |
|  | 1 |

이다. 즉, 위상수학적으로

{\displaystyle \Lambda =\operatorname {H} \_{1}(\Sigma \_{g};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}}
이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 꼬임 부분군이 없다.) 또한,

{\displaystyle V=(\operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma \_{g}))^{\*}=(\operatorname {H} ^{0}(\Sigma \_{g},{\mathcal {K}}\_{\Sigma \_{g}}))^{\*}\cong \mathbb {C} ^{g}}
를 정의할 수 있다. 여기서

* {\displaystyle \operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma \_{g})=\operatorname {H} ^{0}(\Sigma \_{g},{\mathcal {K}}\_{\Sigma \_{g}})}는 (1,0)차 복소수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이며, ((1,−1)차 복소수 미분 형식이 존재하지 않으므로) (1,0)차 돌보 코호몰로지와 같다. ({\displaystyle {\mathcal {K}}\_{\Sigma \_{g}}}는 대수 곡선의 표준 선다발이며, 기하학적으로 그 단면은 (1,0)차 복소수 미분 형식이다.)
* {\displaystyle (-)^{\*}}는 유한 차원 복소수 벡터 공간의 쌍대 공간이다.

정수 계수 코호몰로지가 꼬임 부분군을 갖지 않으므로, 자연스럽게 {\displaystyle \Lambda \subseteq V}이다. 이는 (1,0)차 복소수 미분 형식을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다.

이 경우, **야코비 다양체** {\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma \_{g})}는 g차원 복소수 아벨 다양체

{\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma \_{g})=V/\Lambda \cong \mathbb {T} ^{2g}}
이다.

### 주극성화

야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화 아벨 다양체의 구조를 갖는다.

구체적으로, 복소수 벡터 공간 V^{\*}에는 교차 형식(intersection form)에 의하여 다음과 같은 반쌍선형 심플렉틱 형식이 존재한다.

\omega ^{{-1}}\colon {\bar V}^{\*}\times V^{\*}\to {\mathbb C}
{\displaystyle \omega ^{-1}\colon ({\bar {a}},b)=\int \_{\Sigma \_{g}}{\bar {a}}\wedge b\qquad (a,b\in V^{\*}=\Omega ^{1,0}(\Sigma \_{g}))}
이 형식이 비퇴화이므로, 그 역 \omega \colon {\bar V}\times V\to {\mathbb C}는 V 위의 반쌍선형형 심플렉틱 형식이다. 또한, \omega (\Lambda ,\Lambda )={\mathbb Z}임을 알 수 있다.
구체적으로, \Lambda 의 적절한 기저 \{\alpha \_{i},\beta \_{i}\}\_{{i=1,\dots ,g}}에서

\omega (\alpha \_{i},\beta \_{i})=-\omega (\beta \_{i},\alpha \_{i})=\delta \_{{ij}}
\omega (\alpha \_{i},\beta \_{i})=\omega (\beta \_{i},\beta \_{j})=\delta \_{{ij}}
로 놓을 수 있다. 즉, {\displaystyle \omega (\mathrm {i} a,b)}는 V 위의 켈러 형식이며, 동형

{\bar V}\cong V^{\*}
{\displaystyle {\bar {\alpha }}\mapsto \omega (\alpha ,-)}
을 정의한다. 따라서, {\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma \_{g})}는 \omega 에 의하여 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.

성질
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야코비 다양체는 차수 0의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간이다. 여기서 차수란 기하학적으로 천 특성류의 적분이며, 차수가 0인 것은 그 천 접속의 곡률이 0임을 뜻한다. 이러한 선다발들은 텐서곱에 따라서 아벨 군을 이루는데, 야코비 다양체의 (아벨 다양체로서의) 군 구조는 이와 일치한다.

모든 차수의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간은 **피카르 다양체**라고 하며, 야코비 다양체는 그 속의, 항등원을 포함하는 연결 성분이다.

### 아벨-야코비 사상

리만 곡면 \Sigma 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \Sigma 의 0차 인자의 공간 {\displaystyle \operatorname {Div} \_{0}(\Sigma )}에서 야코비 다양체로 가는 다음과 같은 사상이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {AJ} \_{\Sigma }\colon \operatorname {Div} \_{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
{\displaystyle \operatorname {AJ} \_{\Sigma }\colon \sum \_{i=1}^{k}(p\_{i}-q\_{i})\mapsto \left[\omega \mapsto \sum \_{i=1}^{k}\int \_{q\_{i}}^{p\_{i}}\omega \_{1}\right]\qquad p\_{1},\dotsc ,p\_{k},q\_{1},\dotsc ,q\_{k}\in \Sigma ,\;\omega \in \Omega ^{1,0}(\Sigma )=V^{\*}}
여기서 {\displaystyle \textstyle \int \_{q\_{i}}^{p\_{i}}\omega }는 {\displaystyle q\_i}와 p\_i를 끝점으로 갖는 \Sigma  속의 임의의 곡선

{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma }
{\displaystyle \gamma (0)=q\_{i}}
{\displaystyle \gamma (1)=p\_{i}}
에 대한 1차 미분 형식 \omega 의 적분이다. 이는 물론 사용한 곡선 \gamma 의 호모토피류에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용하였을 때의 차는 \Lambda 에 속한다. 즉, 이는 야코비 다양체 속의의 점을 잘 정의한다.

이 사상은 전사 함수이자 두 아벨 군 사이의 군 준동형이며, 그 핵은 주인자의 부분군 {\displaystyle \operatorname {PDiv} (\Sigma )\leq \operatorname {Div} \_{0}(\Sigma )}이다. 즉, 다음과 같은, 아벨 군의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to \operatorname {PDiv} (\Sigma )\to \operatorname {Div} \_{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )\to 0}
0차 정칙 선다발은 인자류 {\displaystyle [\textstyle \sum \_{i}p\_{i}-q\_{i}]\operatorname {Div} \_{0}(\Sigma )/\operatorname {PDiv} (\Sigma )}에 의하여 분류되므로, 이는 0차 선다발의 모듈라이 공간과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.

특히, {\displaystyle g\geq 1}인 경우를 생각하자. 이 경우, 임의의 {\displaystyle q\in \Sigma }에 대하여,

{\displaystyle \overbrace {\Sigma \times \dotsb \times \Sigma } ^{g}\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
{\displaystyle (p\_{1},\dotsc ,p\_{g})\mapsto \operatorname {AJ} \_{\Sigma }\left(\sum \_{i=1}^{g}(p\_{g}-q)\right)}
를 생각하자. 이는 대칭군 {\displaystyle \operatorname {Sym} (g)}의 작용에 대하여 불변이므로, 이는 짜임새 공간 {\displaystyle \operatorname {Conf} (\Sigma ,g)=\Sigma ^{g}/\operatorname {Sym} (g)} 위에 정의된다. 이 사상

{\displaystyle \operatorname {Conf} (\Sigma ,g)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
은 항상 전사 함수이며, 거의 어디서나 단사 함수이다. 즉, 이 사상이 단사 함수가 아닌 점들은 양의 여차원의 부분 다양체를 이룬다.

예
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종수 1의 리만 곡면 \Sigma 의 야코비 다양체는 원래 리만 곡면과 동형이며, 그 동형 사상은 아벨-야코비 사상 {\displaystyle \Sigma =\operatorname {Conf} (\Sigma ,1)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}에 의하여 주어진다.

종수 0의 리만 곡면(즉, 리만 구)의 야코비 다양헤는 0차원 아벨 다양체이므로 한원소 공간이다. 다시 말해, 리만 구 위에서, 모든 0차 인자는 주인자이며, 유일한 0차 정칙 선다발은 자명하다. (천 접속의 곡률이 0이므로, 이러한 정칙 선다발은 모노드로미로 정의되는데, 리만 구는 단일 연결 공간이므로 모노드로미가 존재하지 않는다.)

참고 문헌
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* J.S. Milne (1986). 〈Jacobian Varieties〉 (PDF). 《Arithmetic Geometry》. New York: Springer. 167–212쪽. ISBN 0-387-96311-1.