조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 *y* = 1 / *x*, *x* ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

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미적분학에서 **적분 판정법**(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

정의와 증명
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음이 아닌 실수 값 감소함수

{\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}
{\displaystyle \forall x,y\in [0,\infty )\colon x\leq y\implies f(x)\geq f(y)}
가 주어졌다고 하자. (특히, {\displaystyle f}는 임의의 {\displaystyle [0,a]\subseteq [0,\infty )}에서 리만 적분 가능하다.) **적분 판정법**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:138–139, Exercise 8:290, Proposition 11.6.4

* 급수 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)}는 수렴한다.
* 이상 적분 {\displaystyle \int \_{0}^{\infty }f(n)\,dx}은 수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }f(n)\,dx\leq \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)\leq f(0)+\int \_{0}^{\infty }f(n)\,dx}

증명:

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} 및 {\displaystyle n\leq x\leq n+1}에 대하여,

{\displaystyle f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}
이다. {\displaystyle [n,n+1]} 위의 리만 적분을 취하면

{\displaystyle f(n+1)\leq \int \_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}
이 된다. {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}에 대한 급수를 취하면

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }f(n)\leq \int \_{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)}
이 된다. 이는

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=0}^{\infty }\int \_{n}^{n+1}f(x)\,dx&=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{i=0}^{n}\int \_{i}^{i+1}f(x)\,dx\\&=\lim \_{n\to \infty }\int \_{0}^{n+1}f(x)\,dx\\&=\int \_{0}^{\infty }f(x)\,dx\end{aligned}}}
임에 따른다. 따라서, 만약

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }
라면

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }
이며, 만약

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }
라면

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }f(n)=f(0)+\sum \_{n=1}^{\infty }f(n)\leq a\_{0}+\int \_{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }
이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

예
-

급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}\qquad (p\in \mathbb {R} )}
를 생각하자. (혹자는 이를 **p-급수**(영어: p-series)라고 부른다.) 만약 {\displaystyle p\leq 0}이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, {\displaystyle p>0}이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}}
만약 {\displaystyle p=1}이라면,

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim \_{x\to \infty }\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\lim \_{x\to \infty }(\ln x-\ln 1)=\infty }
이다. 만약 {\displaystyle p\neq 1}이라면,

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim \_{x\to \infty }\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t^{p}}}=\lim \_{x\to \infty }\left({\frac {x^{1-p}}{1-p}}-{\frac {1}{1-p}}\right)={\begin{cases}\infty &p<1\\1/(p-1)&p>1\end{cases}}}
이다. 따라서, 이 급수는 {\displaystyle p>1}일 때 수렴하며, {\displaystyle p\leq 1}일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 {\displaystyle p}에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )}
를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 {\displaystyle p>1}일 때 수렴하며, {\displaystyle p<1}일 때 발산한다. 이제 {\displaystyle p=1}이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}}
의 수렴 여부와 같다. 이는

{\displaystyle (x^{-1}\ln ^{-q}x)'=-x^{-2}\ln ^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln ^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln ^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad (x\gg 1)}
임에 따른다. 만약 {\displaystyle q=1}이라면,

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}=\lim \_{x\to \infty }\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t\ln t}}=\lim \_{x\to \infty }(\ln \ln x-\ln \ln 1)=\infty }
이다. 만약 {\displaystyle q\neq 1}이라면,

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}=\lim \_{x\to \infty }\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{q}t}}=\lim \_{x\to \infty }\left({\frac {\ln ^{1-q}x}{1-q}}-{\frac {\ln ^{1-q}1}{1-q}}\right)={\begin{cases}\infty &q<1\\0&q>1\end{cases}}}
이다. 따라서, 이 급수는 {\displaystyle p>1}이거나 {\displaystyle p=1}, {\displaystyle q>1}일 때 수렴하며, {\displaystyle p=1}, {\displaystyle q\leq 1}이거나 {\displaystyle p<1}일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 {\displaystyle (p,q)}에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p\_{0}}(\ln n)^{p\_{1}}\cdots (\underbrace {\ln \cdots \ln } \_{k}\,n)^{p\_{k}}}}}
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. {\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}} 위의 사전식 순서를 {\displaystyle \preceq }로 적을 때, 이 급수는 {\displaystyle (p\_{0},\dots ,p\_{k})\succ (1,\dots ,1)}일 때 수렴하며, {\displaystyle (p\_{0},\dots ,p\_{k})\preceq (1,\dots ,1)}일 때 발산한다.

참고 문헌
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1. ↑  Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. ↑  Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) **37** 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.