**생존분석**(生存分析, 영어: survival analysis)은 통계학의 한 분야로, 어떠한 현상이 발생하기까지에 걸리는 시간에 대해 분석하는 것이다. 예를 들면, 생명체의 관찰시작부터 사망에 이르는 시간을 분석하는 것이 있다.

생존분석에 쓰이는 함수들
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### 생존함수

생존분석의 주된 관심사는 **생존함수**(survival function) *S(t)*이며, 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)}
*t*는 시간변수, *T*는 사망에 이르는 시점으로 정의되며, "Pr"은 확률함수이다. 즉, 생존함수는 특정한 시간 *t* 보다 오래 생존할 확률을 뜻한다. 생존함수는 생물학 분야에서 쓰일 때 *survivor function*, *survivorship function*이라고도 하며, 공학 분야에서 쓰일 때 *reliability function*이라고도 한다. 후자의 경우에는 reliability function은 *R(t)*라고 쓴다.

일반적으로{\displaystyle S(0)=1}이며 {\displaystyle S(0)}은 1보다 작을 수 있는데, 이러한 경우는 연구를 시작하자 마자 표본이 사망한 경우에 가능하다.

생존함수는 단조감소함수이다: {\displaystyle S(u)\leq S(t)} if {\displaystyle u\geq t}.

### 생존분포함수와 사건밀도

**사건분포함수**(lifetime distribution function) *F(t)*는 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t)=1-S(t).}
만약 *F(t)*가 미분가능하다면, 그 미분된 함수는 생존분포의 밀도 *f(t)*라 하고 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).}
*f(t)*는 사건밀도라고도 하며, 이는 단위 시간당 사망 비율을 뜻한다.

앞에서 정의한 함수들로 생존함수를 다시 표현할 수 있다.

{\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int \_{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}
### 위험함수와 누적위험함수

**위험함수**(hazard function) *h(t)*는 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle h(t)=\lim \_{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t\leq T<t+dt)}{dt\cdot S(t)}}={\frac {f(t)}{S(t)}}=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}.}
**누적위험함수**(cumulative hazard function) *H(t)*는 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle H(t)=\int \_{0}^{t}h(u)\,du}

중도절단
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 중도절단 문서를 참고하십시오.
**중도절단**(censoring)은 생존 분석에서 손실된 데이터를 처리하는 방법이다. 이상적으로는 표본의 생일과 사망일을 통해 생존 기간을 파악하는 것이 좋지만, 그렇지 못한 경우에 중도절단을 사용한다.

만약 사망일이 특정 시기(연구가 끝난 시기) 이후라면 이를 *right censoring*이라고 한다. 만약 표본의 생존기간이 연구자가 설정한 특정 기간(연구 기간)에 미치지 못할 경우 이를 *left-censored*라고 표현한다.


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