미분기하학에서 **제트 군**(jet群, 영어: jet group) 또는 **미분군**(微分群, 영어: differential group)은 원점을 보존하는 유클리드 공간의 자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.:§18, 128–138 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다.

정의
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자연수 n과 k가 주어졌다고 하자.

{\displaystyle \operatorname {Aut} \_{\operatorname {Diff} \_{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)=\left\{f\in \operatorname {Aut} \_{\operatorname {Diff} }(\mathbb {R} ^{n}),\;f(0)=0\right\}}
가 미분 동형 사상 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 가운데, f(0)=0인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.

**n차원 k차 제트 군**(n次元k次jet群, 영어: n-dimensional kth-order jet group) {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}는 {\displaystyle \operatorname {Aut} \_{\operatorname {Diff} \_{\bullet }}(\mathbb {R} ,0)}의 원소들의, {\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}에서의 k차 제트들의 집합이다.:119, §12.6:Definition 3.1

{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\left\{\mathrm {j} \_{0}^{k}f\colon f\in \operatorname {Aut} \_{\operatorname {Diff} \_{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\right\}}
이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{k}f)(\mathrm {j} \_{0}^{k}g)=\mathrm {j} \_{0}^{k}(f\circ g)}
즉, 자연스러운 전사 군 준동형

{\displaystyle \mathrm {j} \_{0}^{k}\colon \operatorname {Aut} \_{\operatorname {Diff} \_{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\to \operatorname {Jet} (n,k)}
이 존재한다.

성질
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{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}의 차원은 다음과 같다.

{\displaystyle \dim \operatorname {Jet} (n,k)=n\left({\binom {n+k}{k}}-1\right)}
n>0이며 k>0일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

n차원 매끄러운 다양체의 k차 틀다발은 자연스럽게 {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}를 구조군으로 갖는다.

### 반직접곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리 군 G
* 자연수 n과 k

그렇다면, 제트 공간

{\displaystyle \mathrm {T} \_{n}^{k}G=\{\mathrm {j} \_{0}^{k}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}}
을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.:Definition 3.3

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{k}g)(\mathrm {j} \_{0}^{k}g')=\mathrm {j} \_{0}^{k}(gg')}
여기서

{\displaystyle gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)}
는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}는 {\displaystyle \mathrm {T} \_{n}^{k}G} 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{k}g)\cdot (\mathrm {j} \_{0}^{k}f)=\mathrm {j} \_{0}^{k}(g\circ f)\qquad (f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\;g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G)}
이는 군 준동형

{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Aut} (\mathrm {T} \_{n}^{k}G)}
을 이룬다. 따라서, 반직접곱

{\displaystyle \mathrm {T} \_{n}^{k}G\rtimes \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }}
을 정의할 수 있다.:Definition 3.4

예
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k=0이거나 또는 n=0인 경우, 제트 군은 자명군이다.

{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,0)=\operatorname {Jet} (0,k)=1\qquad \forall n,k\in \mathbb {N} }
k=1일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,1)=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\qquad \forall n\in \mathbb {N} }

참고 문헌
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1. 1 2  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.
2. 1 2 3  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Reductive *G*-structures and Lie derivatives". 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) **47**: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.