조합론에서 **결합 도식**(結合圖式, 영어: association scheme 어소시에이션 스킴[\*]) 또는 **일관 구조**(一貫構造, 영어: coherent configuration)는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 **보스-메스너 대수**(बसु-Mesner代數, 영어: Bose–Mesner algebra)가 존재한다.

정의
--

결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

### 조합론적 정의

**결합 도식** {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:2479, Definition 1:1, §1.1

* 유한 집합 X
* X\times X의, n+1개의 부분 집합들 {\mathcal R}, {\displaystyle |{\mathcal {R}}|=n+1}

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* ㉠ {\mathcal R}는 X\times X의 분할을 이룬다. 즉, {\displaystyle R,R'\in {\mathcal {R}}}이며 {\displaystyle R\neq R'}이라면 {\displaystyle R\cap R'=\varnothing }이며, 또한 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {R}}=X\times X}이다.
* ㉡ {\displaystyle \textstyle \{(x,x)\colon x\in X\}=\bigcup {\mathcal {R}}'}인 부분 집합 {\displaystyle {\mathcal {R}}'\subseteq {\mathcal {R}}}가 존재한다.
* ㉢ {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {R}}}
* ㉣ 임의의 {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}}에 대하여, {\displaystyle R^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {R}}}
* ㉤ 임의의 {\displaystyle R,R',R''\in {\mathcal {R}}} 및 {\displaystyle (x,y)\in R}에 대하여, {\displaystyle |\{z\in X\colon x\sim \_{R'}y\sim \_{R''}z\}|\in \mathbb {N} }는 (x,y)에 의존하지 않는다.

여기서

* {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}}에 대하여, {\displaystyle x\sim \_{R}y}는 {\displaystyle (x,y)\in R}를 뜻한다.
* {\displaystyle R^{\operatorname {op} }=\{(y,x)\colon (x,y)\in R\}}는 R의 반대 이항 관계이다.

흔히, {\mathcal R}의 원소는 {\displaystyle (R\_{0},R\_{1},\dotsc ,R\_{n})}으로 표기되며, 이 경우 {\displaystyle R\_{0}=\{(x,x)\colon x\in X\}}이다. 또한,

{\displaystyle p\_{ij}^{k}=|\{z\in X\colon x\sim \_{i}y\sim \_{j}z\}|\qquad (x\sim \_{k}y)}
는 결합 도식의 **구조 상수**(構造常數, 영어: structure constant)라고 한다.

### 행렬을 통한 정의

**결합 도식** {\displaystyle (X,n,{\mathcal {A}})}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:13–14, §1.3

* 유한 집합 {\displaystyle X=\{0,1,\dotsc ,q-1\}}
* 자연수 n
* n개의, 모든 성분이 0 또는 1인 {\displaystyle q\times q} 정사각 행렬들의 족 {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\_{0},A\_{1},\dotsc ,A\_{n}\}}.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* ㉠ {\displaystyle \textstyle \sum \_{i=0}^{n}A\_{i}}는 모든 성분이 1인 {\displaystyle k\times k} 정사각 행렬이다.
* ㉡ {\displaystyle \textstyle 1\_{k\times k}=\sum {\mathcal {A}}'}인 {\displaystyle {\mathcal {A}}'\subseteq {\mathcal {A}}}가 존재한다.
* ㉢ {\displaystyle 0\_{k\times k}\not \in {\mathcal {A}}}.
* ㉣ 임의의 A\in {\mathcal A}에 대하여, {\displaystyle A^{\top }\in {\mathcal {A}}}
* ㉤ 임의의 {\displaystyle A\_{i},A\_{j}\in {\mathcal {A}}}에 대하여, 그 곱 {\displaystyle A\_{i}A\_{j}}는 {\mathcal A}의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 {\displaystyle 0\leq i,j,k\leq k}에 대하여, {\displaystyle \textstyle A\_{i}A\_{j}=\sum \_{k=0}^{n}p\_{ij}^{k}A\_{k}}인 자연수 {\displaystyle p\_{ij}^{k}}가 존재한다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 {\displaystyle \sim \_{i}}를 대신 정사각 행렬

{\displaystyle (A\_{i})\_{x,y}=x\sim \_{i}y\qquad (x,y\in X)}
로 치환하면 된다.

### 기하학적 정의

결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.:2479, §Ⅱ.A

**결합 도식** {\displaystyle (X,D,\partial )}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 유한 집합 X
* 유한 집합 D
* 함수 {\displaystyle \partial \colon X\times X\to D}. 이는 **거리 함수**(距離函數, 영어: distance)라고 한다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* ㉡ 임의의 x,y,z\in X에 대하여, 만약 {\displaystyle \partial (x,x)=\partial (y,z)}라면, {\displaystyle y=z}이다.
* ㉢ \partial 은 전사 함수이다.
* ㉣ 임의의 {\displaystyle x,y,x',y'\in X}에 대하여, {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x',y')}라면 {\displaystyle \partial (y,x)=\partial (y',x')}
* ㉤ 임의의 {\displaystyle x,y,x',y'\in X}에 대하여, 만약 {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x',y')}라면, {\displaystyle \forall z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x',f(z))}이자 {\displaystyle \forall z\in X\colon \partial (z,y)=\partial (f(z),y')}가 되는 전단사 함수 f\colon X\to X가 존재한다.

이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 {\displaystyle \alpha \in D}에 대하여 이항 관계

{\displaystyle x\sim \_{\alpha }y\iff \partial (x,y)=\alpha }
를 대응시키면 된다.

### 부분 결합 도식

같은 집합 X 위의 두 결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 및 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}}')}에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'}이라면, {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}를 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}}')}의 **부분 결합 도식**(部分結合圖式, 영어: subscheme)이라고 한다.

### 결합 도식 준동형

다음이 주어졌다고 하자.

* 유한 집합 X 위의 결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}
* 유한 집합 X' 위의 결합 도식 {\displaystyle (X',{\mathcal {R}}')}

그렇다면, **결합 도식 사상**(영어: morphism of association schemes) {\displaystyle (f,g)\colon (X,{\mathcal {R}})\to (X',{\mathcal {R}}')}은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:83, Chapter 5

* 함수 {\displaystyle f\colon X\to X'}
* 함수 {\displaystyle g\colon {\mathcal {R}}\to {\mathcal {R}}'}

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 x,y\in X 및 {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle x\sim \_{R}y}라면, {\displaystyle f(x)\sim \_{g(R)}f(y)}이다.
이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.

종류
--

결합 도식 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 **대칭 결합 도식**(對稱結合圖式, 영어: symmetric association scheme)이라고 한다.:2479, §II.A

* 조합론적 정의 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}에서, {\mathcal R}의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}}라면, {\displaystyle R=R^{\operatorname {op} }}이다.
* 행렬을 통한 정의 {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}에서, 모든 A\in {\mathcal A}는 대칭 행렬이다.
* 기하학적 정의 {\displaystyle (X,\partial )}에서, 임의의 x,y\in X에 대하여 {\displaystyle \partial (x,y)=\partial (y,x)}이다.

결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 **가환 결합 도식**(可換結合圖式,영어: commutative association scheme)이라고 한다.

* 그 보스-메스너 대수가 가환환이다.
* 조합론적 정의에서, 임의의 {\displaystyle R,R',R''\in {\mathcal {R}}} 및 {\displaystyle (x,y)\in R}에 대하여, {\displaystyle |\{z\in X\colon x\sim \_{R'}z\sim \_{R''}y\}|=|\{z\in X\colon x\sim \_{R''}z\sim \_{R'}y\}|}
* 행렬을 통한 정의 {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}에서, 임의의 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여 {\displaystyle AB=BA}이다.
* 기하학적 정의 {\displaystyle (X,\partial )}에서, 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle \forall z\in X\colon (\partial (x,z),\partial (z,y))=(\partial (y,f(z)),\partial (f(z),x))}가 되는 자기 전단사 함수 f\colon X\to X가 존재한다.

결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}이 다음 조건을 만족시킨다면, **균등 결합 도식**(均等結合圖式, 영어: homogeneous association scheme)이라고 한다.

* 조합론적 정의 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}에서, {\displaystyle \{(x,x)\colon x\in X\}\in {\mathcal {R}}}이다.
* 행렬을 통한 정의 {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}에서, {\displaystyle 1\_{|X|\times |X|}\in {\mathcal {A}}}이다.
* 기하학적 정의 {\displaystyle (X,\partial )}에서, {\displaystyle \forall x,y\in X\colon \partial (x,x)=\partial (y,y)}이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식

연산
--

### 올

결합 도식 {\displaystyle (X,\partial )}이 주어졌을 때, X 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

{\displaystyle x\approx y\iff \partial (x,x)=\partial (y,y)}
이 동치 관계에 대한 동치류를 X의 **올**(영어: fibre)이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 {\displaystyle (X\_{\alpha })\_{\alpha \in I}}로 표기할 때, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \forall R\in {\mathcal {R}}\exists \alpha ,\beta \in I\colon R\subseteq X\_{\alpha }\times X\_{\beta }}

**증명:**

임의의 {\displaystyle x,y,y'\in X}가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여

{\displaystyle \partial (x,y)=\partial (x,y')}
{\displaystyle \partial (y,y)\neq \partial (y',y')}
이라고 가정하자. 그렇다면,

{\displaystyle \{z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x,y),\;\partial (z,y)=\partial (y,y)\}=\{y\}}
{\displaystyle \{z\in X\colon \partial (x,z)=\partial (x,y),\;\partial (z,y')=\partial (y,y)\}=\varnothing }
이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.

이에 따라, 결합 도식 {\displaystyle (X,\partial )}의 임의의 올 X\_{i}이 주어졌을 때,

{\displaystyle (X\_{i},\partial \upharpoonright X\_{i}^{2})}
는 균등 결합 도식을 이룬다.

### 직접곱

유한 개의 결합 도식

{\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {R}}\_{i})\_{i\in I}}
{\displaystyle |I|<\aleph \_{0}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합

X=\prod\_{i\in I}X\_i
위에 이항 관계

{\displaystyle {\mathcal {R}}=\prod \_{i\in I}{\mathcal {R}}\_{i}}
{\displaystyle (x\_{i})\_{i\in I}\sim \_{(R\_{i})\_{i\in I}}(y\_{i})\_{i\in I}\iff \forall i\in I\colon x\_{i}\sim \_{R\_{i}}y\_{i}}
를 줄 수 있다. 그렇다면, {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}는 결합 도식을 이루며, 이를 {\displaystyle (X\_{i},{\mathcal {R}}\_{i})\_{i\in I}}의 **직접곱**(直接곱, 영어: direct product)이라고 한다.:140, Chapter 7

이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.

성질
--

### 구조 상수

임의의 결합 도식 X의 구조 상수들 {\displaystyle (p\_{ij}^{k})\_{1\leq i,j,k\leq n}}은 다음을 만족시킨다.

{\displaystyle \sum \_{i,j,k=0}^{n}p\_{ij}^{k}|R\_{k}|=|X|^{3}}
만약

{\displaystyle R\_{i}^{\operatorname {op} }=R\_{\bar {\imath }}}
{\displaystyle R\_{j}^{\operatorname {op} }=R\_{\bar {\jmath }}}
{\displaystyle R\_{k}^{\operatorname {op} }=R\_{\bar {k}}}
일 때, 다음이 성립한다.

{\displaystyle p\_{jk}^{i}=p\_{{\bar {k}}{\bar {\jmath }}}^{\bar {\imath }}}
균등 결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}의 구조 상수들 {\displaystyle (p\_{ij}^{k})\_{1\leq i,j,k\leq n}}은 다음을 만족시킨다.:26, Exercise 1.1(a)

{\displaystyle p\_{0i}^{j}=p\_{i0}^{j}=\delta \_{i}^{j}}
{\displaystyle p\_{ij}^{0}=p\_{{\bar {\jmath }}{\bar {\imath }}}^{0}=\delta \_{j}^{\bar {\imath }}p\_{i{\bar {\imath }}}^{0}}
{\displaystyle \sum \_{i,j=0}^{n}p\_{ij}^{0}=\sum \_{i=0}^{n}p\_{i{\bar {\imath }}}^{0}=|X|}
(여기서 {\displaystyle \delta \_{i}^{j}}는 크로네커 델타이다.)

### 대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠

대칭 결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 K\_{X} 위에, {\displaystyle {\mathcal {R}}\setminus \{R\_{0}\}}의 원소를 색으로 하는 변 색칠 {\displaystyle c\colon \operatorname {E} (K\_{X})\to {\mathcal {R}}\setminus \{R\_{0}\}}을 정의할 수 있다.

{\displaystyle c\colon (x,y)\mapsto R\iff (x,y)\in R\qquad (R\in {\mathcal {R}},\;R\neq R\_{0})}
이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.:7–8, §1.2

### 보스-메스너 대수

(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}이 주어졌을 때, {\mathcal A}의 선형 생성

{\displaystyle \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }{\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {Z} )}
은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 X에 대응하는 **보스-메스너 대수**라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).:2480, Definition 2

에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다.

{\displaystyle \prod \_{a=1}^{k}\operatorname {Mat} (m\_{a},m\_{a};\mathbb {C} )}
이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원

{\displaystyle E\_{a}=(0,0,\dotsc ,0,1\_{m\_{a}\times m\_{a}},0,\dotsc ,0)}
들을 정의할 수 있으며, 이들은

{\displaystyle E\_{a}E\_{b}=\delta \_{ab}E\_{a}\qquad (a,b\in \{0,\dotsc ,k\})}
를 만족시킨다 ({\displaystyle \delta \_{ab}}는 크로네커 델타). 또한, 편의상

{\displaystyle E\_{0}={\frac {1}{|X|}}{\mathsf {J}}\_{|X|\times |X|}.}
로 놓는다. 여기서 {\displaystyle {\mathsf {J}}\_{|X|\times |X|}}는 모든 성분이 1인 {\displaystyle |X|\times |X|} 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다.

특히, E\_{a}를 D\_i로 전개하였을 때의 계수

{\displaystyle |X|E\_{a}=\sum \_{i=0}^{n}Q\_{ai}D\_{j}}
를 정의할 수 있다.

### 가환 결합 도식의 쌍대성

가환 결합 도식 X의 경우, 최소 멱등원의 수는 {\displaystyle |X|=n}와 같으며, 멱영원들 {\displaystyle (E\_{a})\_{0\leq a\leq n}}은 보스-메스너 대수 {\mathcal A}의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다.

{\displaystyle D\_{i}=\sum \_{a=0}^{n}P\_{i,a}E\_{a}}
또한, D\_i들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, E\_{a}들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수

{\displaystyle E\_{a}\bigcirc E\_{b}=q\_{ab}^{c}E\_{c}}
를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 {\displaystyle q\_{ab}^{c}=q\_{ba}^{c}}이다.)

이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 이항 연산 | 아다마르 곱 {\displaystyle \bigcirc } | 행렬의 곱 |
| 기저 | D\_i | E\_{a} |
| 기저의 직교성 | {\displaystyle D\_{i}\bigcirc D\_{j}=\delta \_{ij}D\_{i}} | {\displaystyle E\_{a}E\_{b}=\delta \_{ab}E\_{a}} |
| 멱등원 조건 | D\_i의 모든 성분은 0 또는 1 (아다마르 곱의 멱등원) | E\_{a}의 모든 고윳값은 0 또는 1 (행렬곱의 멱등원) |
| 항등원 | {\displaystyle D\_{0}=1\_{n\times n}} | {\displaystyle E\_{0}={\mathsf {J}}\_{n\times n}/|X|} |
| 기저 원소의 쌍대성 | {\displaystyle D\_{\bar {\imath }}=D\_{i}^{\top }} | {\displaystyle E\_{\bar {a}}=E\_{a}^{\top }={\bar {E}}\_{a}} (각 성분의 복소켤레) |
| 기저의 합 | {\displaystyle \textstyle \sum \_{i}D\_{i}={\mathsf {J}}\_{|X|\times |X|}} | {\displaystyle \textstyle \sum \_{a}E\_{a}=1\_{|X|\times |X|}} |
| 차수 | {\displaystyle v\_{i}=\{y\in X\colon x\sim \_{i}y\}\;(\forall x\in X)} | {\displaystyle m\_{a}=\dim \_{\mathbb {C} }\operatorname {im} E\_{a}} |
| 차수의 합 | {\displaystyle \textstyle \sum \_{i}v\_{i}=|X|} | {\displaystyle \textstyle \sum \_{a}m\_{a}=|X|} |
| 구조 상수 | {\displaystyle D\_{i}D\_{j}=p\_{ij}^{k}D\_{k}} | {\displaystyle |X|E\_{a}\bigcirc E\_{b}=q\_{ab}^{c}E\_{c}} |
| 기저 변환 | {\displaystyle \textstyle D\_{i}=\sum \_{a=0}^{n}P\_{ia}E\_{a}} | {\displaystyle \textstyle E\_{a}=\sum \_{i=0}^{n}Q\_{ai}D\_{i}} |

이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다.

이에 따라, 만약 두 결합 도식 X, Y의 복소수 계수 보스-메스너 대수 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{X}}, {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{Y}}가 각각

{\displaystyle ({\mathcal {A}}\_{X},\cdot ,\bigcirc ,(D\_{i})\_{i})\cong ({\mathcal {A}}\_{Y},\bigcirc ,\cdot ,(E\_{a})\_{a})}
라면, 서로 **쌍대**(영어: dual)라고 한다. 즉, 반선형 변환(영어: antilinear map)

{\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\_{X}\to {\mathcal {A}}\_{Y}}
{\displaystyle f(\lambda M)={\bar {\lambda }}f(M)\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;M\in {\mathcal {A}}\_{X})}
{\displaystyle f(MN)=f(M)\bigcirc f(N)}
{\displaystyle f(M\bigcirc N)=f(M)f(N)}
를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다.

아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.

특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.:2482, Example 1 (continued)

예
-

다음은 n=3인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 {\displaystyle X=\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}},{\mathsf {D}},{\mathsf {E}},{\mathsf {F}}\}}이다.

|  | A | B | C | D | E | F |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 |
| B | 1 | 0 | 1 | 3 | 2 | 3 |
| C | 1 | 1 | 0 | 3 | 3 | 2 |
| D | 2 | 3 | 3 | 0 | 1 | 1 |
| E | 3 | 2 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| F | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 |

그 구조 상수는 다음과 같다.

{\displaystyle 1=p\_{00}^{0}=p\_{01}^{1}=p\_{02}^{2}=p\_{03}^{3}=p\_{11}^{1}=p\_{23}^{1}=p\_{33}^{1}=p\_{22}^{2}=p\_{12}^{3}=p\_{13}^{3}}
{\displaystyle 2=p\_{11}^{0}=p\_{33}^{0}=p\_{13}^{2}}
여기서 {\displaystyle p\_{ij}^{k}}가 수록되었다면 {\displaystyle p\_{ji}^{k}}는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.

### 자명한 결합 도식

크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 X 위에

{\displaystyle R\_{0}=\{(x,x)\colon x\in X\}}
{\displaystyle R\_{1}=X\times X\setminus R\_{0}}
{\displaystyle {\mathcal {R}}=\{R\_{0},R\_{1}\}}
을 정의하면, {\displaystyle (X,2,{\mathcal {R}})}는 결합 도식을 이루며, 이를 **자명한 결합 도식**(自明-結合圖式, 영어: trivial association scheme)이라고 한다.:§1.1 그 구조 상수는 다음과 같다.

{\displaystyle p\_{00}^{0}=p\_{01}^{1}=p\_{10}^{1}=1}
{\displaystyle p\_{00}^{1}=p\_{01}^{0}=p\_{10}^{0}=0}
{\displaystyle p\_{11}^{0}=|X|-1}
{\displaystyle p\_{11}^{1}=|X|-2}
이는 사실 n=1인 해밍 결합 도식과 같다.

### 이산 결합 도식

임의의 유한 집합 X 위에,

{\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\{(x,y)\}\colon x,y\in X\}}
를 정의하면, {\displaystyle (X,{\mathcal {R}})} 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 **이산 결합 도식**(離散結合圖式, 영어: discrete association scheme)이라고 한다.:§1.1 그러나 {\displaystyle |X|\geq 2}일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.

### 작은 결합 도식

크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다.

|  | A |
| --- | --- |
| A | 0 |

크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.

(가)|  | A | B |
| --- | --- | --- |
| A | 0 | 1 |
| B | 1 | 0 |

(나)|  | A | B |
| --- | --- | --- |
| A | 0 | 2 |
| B | 3 | 1 |

(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.

주어진 집합 X 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.:Table 1

| |X| | 균등 결합 도식의 수(OEIS의 수열 57495) | 대칭 결합 도식의 수 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 1 |
| 4 | 4 | 3 |
| 5 | 3 | 2 |
| 6 | 8 | 4 |
| 7 | 4 | 2 |
| 8 | 21 | 10 |
| 9 | 12 | 6 |
| 10 | 13 | 8 |
| 11 | 4 | 2 |
| 12 | 59 | 21 |

### 해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식

 이 부분의 본문은 해밍 결합 도식입니다.
 이 부분의 본문은 존슨 결합 도식입니다.
임의의 곱집합 {\displaystyle X=F^{n}} 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 {\displaystyle 0,1,\dotsc ,n}인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 **해밍 결합 도식**이라고 한다.

특히, {\displaystyle F=\{0,1\}}일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 **존슨 결합 도식**이라고 한다.

### 정추이적 작용

유한군 G의, 유한 집합 X 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, {\displaystyle |G|=|X|}이다.) 그렇다면,

{\displaystyle n=|G|}
{\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\{(x,gx)\colon x\in X\}\colon g\in G\}}
를 정의하면, {\displaystyle (X,n,{\mathcal {R}})}는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는

{\displaystyle p\_{gh}^{k}={\begin{cases}1&gh=k\\0&gh\neq k\end{cases}}\qquad (g,h,k\in G)}
이다.

이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환

\mathbb {Z} [G]
과 동형이다.

또한, G에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 G가 아벨 군인 것이다.

### 일반적 군 작용

유한군 G의, 유한 집합 X 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, G는 {\displaystyle X^{2}=X\times X} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle g\cdot (x,y)=(g\cdot x,g\cdot y)\qquad (x,y\in X,\;g\in G)}
그렇다면, G의 작용에 대한 궤도들은 {\displaystyle X^{2}}의 분할 {\displaystyle X^{2}/G}을 정의한다.

이 경우, {\displaystyle (X,X^{2}/G)}는 결합 도식을 이룬다.:2482, §II.D 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다.

| 결합 도식 | 군의 작용 |
| --- | --- |
| 올 | X 위의 G-작용의 궤도 |
| 균등 결합 도식 | {\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X)}가 추이적 작용 |
| 대칭 결합 도식 | 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle (g\cdot x,g\cdot y)=(y,x)}가 되는 g\in G가 존재 |
| 자명 결합 도식 | {\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X)}가 2-추이적 작용 |
| 이산 결합 도식 | {\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X)}가 자명한 작용 (즉, {\displaystyle g\cdot x=x\forall g\in G,\;x\in X}) |

역사
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1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, "결합 도식"(영어: association scheme)이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다.

1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너(영어: Dale Marsh Mesner)는 보스-메스너 대수를 도입하였다.

이후 도널드 고든 히그먼(영어: Donald Gordon Higman, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 "일관 구조"(영어: coherent configuration)라고 불렀다.:6, §3

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Bailey, Rosemary Anne (2004). 《Association schemes: designed experiments, algebra and combinatorics》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511610882. ISBN 978-0-521-82446-0. MR 2047311.
2. 1 2 3  Zieschang, Paul-Hermann (2005). 《Theory of association schemes》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-30593-9. ISBN 978-3-540-26136-0. ISSN 1439-7382.
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8. ↑  Bose, Raj Chandra; Mesner, Dale Marsh (1959). "On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs". 《Annals of Mathematical Statistics》 (영어) **30** (1): 21–38. doi:10.1214/aoms/1177706356. ISSN 0003-4851. JSTOR 2237117. MR 102157. Zbl 0089.15002.
9. ↑  Higman, Donald Gordon (1970). "Coherent configurations Ⅰ". 《Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova》 (영어) **44**: 1–25. MR 325420. Zbl 0279.05025.