이 문서는 어떤 이항 연산에 대하여 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 구성된 리 대수에 관한 것입니다. 사슬 복합체 구조를 갖는 리 초대수에 대해서는 미분 등급 리 대수 문서를 참고하십시오.
리 대수 이론에서, **미분 리 대수**(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2:383, Chapter 16:190, §25 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* K-가군 {\displaystyle A\_{0},A\_{1}}. {\displaystyle A=A\_{0}\oplus A\_{1}}로 표기하자.
* K-가군 준동형 {\displaystyle (\cdot )\colon A\otimes \_{K}A\to A}, {\displaystyle (a\otimes b)\mapsto a\cdot b}
* {\displaystyle \epsilon \in \{0,1\}}

그렇다면, (A,\cdot )의 \epsilon -**미분**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* {\displaystyle d\_{0}\colon A\_{0}\to A\_{1}}
* {\displaystyle d\_{1}\colon A\_{1}\to A\_{0}}

편의상 {\displaystyle d=d\_{0}\oplus d\_{1}\colon A\to A}로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+a\cdot db\qquad \forall a\in A\_{0},\;b\in A}
{\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+\epsilon a\cdot db\qquad \forall a\in A\_{1},\;b\in A}
이는

{\displaystyle \deg a={\begin{cases}0&a\in A\_{0}\\1&a\in A\_{1}\end{cases}}\in \{0,1\}}
을 정의하면

{\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-)^{\epsilon \deg a}a\cdot db}
로 표기될 수 있다.

(A,\cdot ) 위의 \epsilon -미분들의 집합을 {\displaystyle {\mathfrak {der}}\_{\epsilon }(A)}로 표기하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\mathfrak {der}}(a)={\mathfrak {der}}\_{0}(A)\oplus {\mathfrak {der}}\_{1}(A)}
위에 리 초괄호

{\displaystyle [d,d'\}=d\circ d'-(-)^{\epsilon \epsilon '}d'\circ d\qquad (d\in {\mathfrak {der}}\_{\epsilon }(A),\;d'\in {\mathfrak {der}}\_{\epsilon '}(A))}
을 정의하면, 이는 K-리 초대수를 이룬다. 이를 (A,\cdot )의 **미분 리 초대수**(영어: derivation Lie superalgebra)라고 한다.

물론, 만약 {\displaystyle A\_{1}=0}일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 {\displaystyle (A\_{0},\cdot )}의 **미분 리 대수**(영어: derivation Lie algebra) {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A\_{0})}를 정의할 수 있다. 이는 K-리 대수이다.
리 대수 이론에서, **리 대수 미분**(영어: derivation of a Lie algebra)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는 (A,\cdot )가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질
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### 내부 미분

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 임의의 원소 x에 대하여, 딸림표현

{\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]}
은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}
을 정의한다. 그 상 {\displaystyle {\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 K-몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다. 

{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}{{\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})}}=\operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}})}
표수 0의 체 K 위의 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}} 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}
반면, 표수 0의 체 위에서도, {\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.:961, §1

### 리 대수 자기 동형

표수 0의 체 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}} 위의 미분 {\displaystyle d\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}가 멱영원이라고 하자. 즉,

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \colon d^{n}=0\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
라고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \exp(d)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d^{n}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
이는 {\mathfrak {g}}의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

{\displaystyle [\exp(d)(x),\exp(d)(y)]=\exp(d)([x,y])}
가 성립한다.

참고 문헌
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1. ↑  Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). Gauthier-Villars.
2. ↑  Eisenbud, David (1999). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어) 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94269-8.
3. ↑  Matsumura, Hideyuki (1989). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521367646.
4. ↑  Meng, Daoji (1999년 6월). "Complete Lie algebras". 《Chinese Science Bulletin》 (영어) **44** (11): 961–964.