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해석학에서 **바이어슈트라스 M-판정법**(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.

정의
--

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

### 실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수

집합 S 및 함수열 {\displaystyle f\_{n}\colon S\to \mathbb {K} } (n\in \mathbb {N} )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 {\displaystyle (M\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}이 존재한다고 하자.

* 임의의 n\in \mathbb {N}  및 s\in S에 대하여, {\displaystyle |f\_{n}(s)|\leq M\_{n}}
* {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }M\_{n}<\infty }

**바이어슈트라스 M-판정법**에 따르면, 함수항 급수 {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}}는 균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }M\_{n}}의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 {\displaystyle N\_{\epsilon }\in \mathbb {N} }가 존재한다.

임의의 {\displaystyle m,n>N\_{\epsilon }}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \left|\sum \_{k=m+1}^{n}M\_{k}\right|<\epsilon }
삼각 부등식에 따라, 임의의 {\displaystyle m,n>N\_{\epsilon }} 및 s\in S에 대하여,

{\displaystyle \left|\sum \_{k=m+1}^{n}f\_{k}(s)\right|\leq \sum \_{k=m+1}^{n}|f\_{k}(s)|\leq \sum \_{k=m+1}^{n}M\_{n}<\epsilon }
이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}}은 균등 수렴한다.

### 바나흐 공간 값의 함수항 급수

보다 일반적으로, 집합 S 및 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 및 함수열 f\_{n}\colon S\to X (n\in \mathbb {N} )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 {\displaystyle (M\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}이 존재한다고 하자.

* 임의의 n\in \mathbb {N}  및 s\in S에 대하여, {\displaystyle \Vert f\_{n}(s)\Vert \leq M\_{n}}
* {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }M\_{n}<\infty }

**바이어슈트라스 M-판정법**에 따르면, 함수항 급수 {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}}는 균등 수렴한다.

증명:

유계 함수 S\to X의 벡터 공간 {\mathcal {B}}(S,X) 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

{\displaystyle \Vert f\Vert \_{\infty }=\sup \_{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))}
이 경우 {\mathcal {B}}(S,X)는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 n\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle \Vert f\_{n}\Vert \_{\infty }\leq M\_{n}}이며, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }M\_{n}<\infty }이므로, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }\Vert f\_{n}\Vert \_{\infty }<\infty }이다. 즉, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}}은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}}은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

예
-

다음과 같은 함수열 {\displaystyle f\_{n}\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } (n\in \mathbb {Z} ^{+})을 생각하자.

{\displaystyle f\_{n}\colon x\mapsto x^{2}\exp(-nx)}
그렇다면

{\displaystyle f\_{n}'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)}
이므로 각 f\_{n}은 {\displaystyle \textstyle x={\frac {2}{n}}}에서 최댓값 {\displaystyle \textstyle \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}\exp(-2)}을 가진다. {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty }이므로, {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=1}^{\infty }f\_{n}}은 균등 수렴한다.

역사
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카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

참고 문헌
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* Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크): 148.