**팔원수**(八元數, 영어: octonion 옥토니언[\*]) 또는 **케일리 수**(영어: Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 나눗셈 대수이다.

정의
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팔원수 대수는 실수체 위의 8차원의 유일한 노름 나눗셈 대수이다. 그 기저를 1,e\_1,e\_2,\dots,e\_7이라고 잡으면, 팔원수의 곱셈표는 다음과 같다.:Table 1

팔원수 곱셈표   
*ab* =|  *a*╲*b* | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e1 | −1 | +e4 | +e7 | −e2 | +e6 | −e5 | −e3 |
| e2 | −e4 | −1 | +e5 | +e1 | −e3 | +e7 | −e6 |
| e3 | −e7 | −e5 | −1 | +e6 | +e2 | −e4 | +e1 |
| e4 | +e2 | −e1 | −e6 | −1 | +e7 | +e3 | −e5 |
| e5 | −e6 | +e3 | −e2 | −e7 | −1 | +e1 | +e4 |
| e6 | +e5 | −e7 | +e4 | −e3 | −e1 | −1 | +e2 |
| e7 | +e3 | +e6 | −e1 | +e5 | −e4 | −e2 | −1 |

팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

팔원수 곱셈은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.:§2 여기서 e\_{i}의 첨자 i는 유한체 \mathbb F\_7의 원소로 해석한다.

* (반대칭성) e\_ie\_j=\begin{cases}-1&i=j\\-e\_je\_i&i\ne j\end{cases}
* (사원수 부분 대수) 만약 e\_ie\_j=e\_k라면, \{\pm1,\pm e\_i,\pm e\_j,\pm e\_k\}는 사원수군을 이룬다. 즉, e\_je\_k=e\_i이며 e\_ke\_i=e\_j이다.
* (첨자의 순환성) 만약 e\_ie\_j=\pm e\_k라면, e\_{i+1}e\_{j+1}=\pm e\_{k+1}
* (첨자 2배 항등식) 만약 e\_ie\_j=\pm e\_k라면, e\_{2i}e\_{2j}=\pm e\_{2k}

\mathbb F\_7에서 2^3=8\equiv1\pmod7이므로, 첨자 2배 항등식은 팔원수 대수의 \mathbb Z/3 대칭을 정의한다.

### 파노 평면 표현

팔원수의 곱셈은 다음과 같이 파노 평면 \mathbb P\_{\mathbb F\_2}^2(2차 유한체 {\mathbb F}\_{2} 위의 사영 평면)으로 나타낼 수 있다.:§2

여기서, 같은 직선 위에 놓인 세 점 (e\_i,e\_j,e\_k)은 사원수군을 생성한다. 즉, e\_ie\_j=e\_k이다. 파노 평면의 시계 방향 120° 회전 대칭은 팔원수의 첨자 2배 항등식에 의한 자기 동형 e\_i\mapsto e\_{2i}을 나타낸다.

### 7차원 벡터곱

벡터의 스칼라곱은 임의의 차원에서 정의되지만, 벡터곱은 3차원과 7차원에서만 정의될 수 있다. (1차원의 "벡터곱"은 값이 항상 0인 상수 함수이다.) 3차원 벡터의 벡터곱은 잘 알려져 있으며, 사원수의 존재를 가능케 한다. 마찬가지로, 7차원 벡터의 벡터곱의 존재는 팔원수의 존재와 관련있다.

팔원수를 실수 (스칼라) 성분 a와 7차원 허수 (벡터) 성분 \mathbf v의 합으로 나타내자. 그렇다면, 팔원수의 곱은 다음과 같다.

(a+\mathbf u)(b+\mathbf v)=(ab-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(a\mathbf v+b\mathbf u+\mathbf u\times\mathbf v)
이는 사원수의 곱과 같은 꼴이지만, 3차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱 대신 7차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱을 사용한다.

7차원 벡터의 벡터곱은 3차원 벡터곱과 마찬가지로 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

\mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf v=0
\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\|\mathbf u\|^2\|\mathbf v\|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\angle(\mathbf u,\mathbf v)
\mathbf u\times\mathbf v=-\mathbf v\times\mathbf u
\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)=\mathbf v\cdot(\mathbf w\times\mathbf u)=\mathbf w\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)
그러나 3차원 벡터곱과 달리, 7차원 벡터의 3중 스칼라곱 -\cdot(-\times-)은 3×3 행렬식으로 나타낼 수 없다. 또한, 벡터 3중곱에 대한 다음 항등식들이 3차원에서는 성립하지만, 7차원에서는 성립하지 않는다.

* (벡터 3중곱 항등식) \mathbf u\times(\mathbf v\times\mathbf w)=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf u\cdot\mathbf v)\mathbf w
* (야코비 항등식) \mathbf u\times(\mathbf v\times\mathbf w)+\mathbf v\times(\mathbf w\times\mathbf u)+\mathbf w\times(\mathbf u\times\mathbf v)=0

야코비 항등식의 실패에 따라, 7차원 벡터곱은 리 대수의 리 괄호를 정의하지 않는다. (그러나 이는 리 대수보다 약한 개념인 말체프 대수(영어: Mal’cev algebra)를 이룬다.)

성질
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팔원수 대수의 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 따르지 않는다. 그러나 팔원수 대수는 실수체 위의 교대 대수이다. 즉, 다음 항등식이 성립한다.

x(xy)=x^2y
(yx)x=yx^2
팔원수 대수는 나눗셈 대수이다. 즉, 모든 원소는 역원을 갖는다. 따라서, 0이 아닌 팔원수들은 곱셈에 대하여 무팡 고리를 이룬다.

### 노름과 켤레

팔원수의 **노름**(영어: norm)은 다음과 같다.

|\cdot|\colon\mathbb O\to\mathbb R\_{\ge0}
|a\_0+a\_1e\_1+\cdots+a\_7e\_7|=\sqrt{a\_0^2+a\_1^2+\cdots+a\_7^2}
이에 따라, 팔원수 대수는 실수체 위의 노름 나눗셈 대수를 이룬다.

주어진 팔원수의 **켤레**(영어: conjugate)는 허수 성분의 부호를 바꾸는 \mathbb {R} -선형 변환이다.

\bar{}\colon\mathbb O\to\mathbb O
\overline{a\_0+a\_1e\_1+\cdots+a\_7e\_7}=a\_0-a\_1e\_1-\cdots-a\_7e\_7
그렇다면, 임의의 팔원수 a,b\in\mathbb O에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

a\bar a=\bar aa=|a|^2
|ab|=|a||b|
두 번째 항등식은 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같다.

### 자기 동형

팔원수의 집합 {\mathbb O}를 곱셈 연산 {\mathbb O}\times {\mathbb O}\to {\mathbb O}가 갖추어진 8차원 실수 벡터 공간으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 자기 동형군 \operatorname {Aut}({\mathbb O})을 생각할 수 있다. 이는 단순 리 군 G2의 콤팩트 형식과 같다.

역사
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1818년 10월 7일에 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐(덴마크어: Carl Ferdinand Degen, 1766~1825)은 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 발견하였다. 이는 팔원수의 노름이 팔원수 곱셈과 호환된다는 것과 같다.

1843년 10월 6일에 윌리엄 로언 해밀턴은 사원수를 발견하였고, 다음날에 이 발견에 대하여 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)에게 편지로 적어 보냈다. 같은 해 크리스마스 경에 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"(영어: octave)라고 명명하였다. 그레이브스는 이 발견을 윌리엄 로언 해밀턴에게 서편으로 거론하였으나, 대외적으로 발표하지 않았다.

해밀턴은 사원수의 발견을 1844년에 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다. 이 논문은 타원 함수에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.:§1 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만, 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Baez, John (2002). "The octonions". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **39** (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. Zbl 1026.17001.  오류 정정 Baez, John (2005). "Errata for "The octonions"". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **42** (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
2. ↑  Degen, C. F. (1818). "Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici maxime universalis". 《Mémoires de l’Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (cinquième série)》 (라틴어) **8**: 207–219.
3. ↑  Cayley, Arthur (1845). "XXVIII. On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions. To the editors of the Philosophical Magazine and Journal". 《Philosophical Magazine (Series 3)》 **26** (172): 208–211. doi:10.1080/14786444508645107.  재판 Cayley, Arthur (2009). 〈21. On Jacobi's Elliptic Functions, in reply to the Rev. B. Bronwin: and on Quaternions〉. 《The Collected Mathematical Papers, Volume 1》. Cambridge: Cambridge University Press. 127–127쪽. doi:10.1017/CBO9780511703676.022. ISBN 9781108004930.  `|제목=`에 라인 피드 문자가 있음(위치 35) (도움말)
4. ↑  Graves, John T. (1845). "XLVI. On a connection between the general theory of normal couples and the theory of complete quadratic functions of two variables". 《Philosophical Magazine (Series 3)》 **26** (173): 315–320. doi:10.1080/14786444508645136.

* Okubo, Susumu (1995년 8월). 《Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics》. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics (영어) **2**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511524479. ISBN 978-052147215-9. MR 1356224. Zbl 0841.17001.
* Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003년 1월 23일). 《On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry》 (영어). A.K. Peters. ISBN 978-156881134-5. MR 1957212. Zbl 1098.17001.