수학에서, 특히 타원 함수의 이론인 **놈**(nome)은 특별한 함수이며 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}=e^{\frac {{\rm {i}}\pi \omega \_{2}}{\omega \_{1}}}=e^{{\rm {i}}\pi \tau }\,}
여기서 K 와 {\displaystyle iK'}는 {\displaystyle 1/4}기간(주기) 이고, \omega \_{1} 과 {\displaystyle \omega \_{2}}는 기본 기간 쌍이다. 표기상, 1/4 기간{\displaystyle K} 와 {\displaystyle iK'}는 야코비 타원 함수의 문맥에서만 일반적으로 사용되는 반면, 절반 기간(반기,{\displaystyle 1/2}주기) \omega \_{1} 과 \omega \_{2}는 보통 바이어슈트라스(Weierstrass) 타원 함수의 맥락에서만 사용된다. 일부 저자들은 \omega \_{1} 과 \omega \_{2}를 사용하여 반기가 아닌 전체 기간(주기,구간)을 나타낸다.

기본 설명
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놈(nome)은 타원 함수와 모듈 형식을 설명 할 수 있는 값으로 자주 사용된다. 반면에 {\displaystyle 1/4}주기는 타원 계수의 함수이기도 하기 때문에 함수로 생각할 수도 있다. 이러한 모호함은 타원 계수의 실제 값에 대해 {\displaystyle 1/4}주기를 따라서 놈이 고유하게 결정되기 때문에 발생한다.

함수 {\displaystyle \tau ={{iK'} \over {K}}={{\omega \_{2}} \over {\omega \_{1}}}} 은 종종 타원 함수의 두 절반주기(반기) \omega \_{1} 과 \omega \_{2} 의 비율이므로 반주기 비율이라고도 한다.

보완적인 {\displaystyle n1} 은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle q\_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}}
그러나 일부 출처는 관습에 따라 다음을 그대로 사용하기도 한다. {\displaystyle q=e^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }} 또는 {\displaystyle q=e^{{2{\rm {i}}}\pi z}}

놈(nome)에 대한 추가 정의 및 관계에 대해서는 분기({\displaystyle 1/4}주기) 및 타원 적분에 대한 항목을 참조할 수 있다.

정의
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변수에 대한 함수로 타원 놈은 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle q(x)=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-x^{2}}})\,K(x)^{-1}{\bigr ]}}
그리고 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle K(\varepsilon )=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }
{\displaystyle K(\varepsilon )=\int \_{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(w^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}w^{2}}}}\,\mathrm {d} w}
두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

무한급수
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놈 기능의 무한 시리즈는 다음과 같이 표시될 수 있다:

{\displaystyle q(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}
이 무한급수의 수렴 반경은 1이다. 여기서 {\displaystyle {\text{Kt}}(n)} (OEIS A005797)는 배타적으로 자연수 {\displaystyle {\text{Kt}}(n)\in \mathbb {N} } 의 시퀀스다. 모든 자연수 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 대해 이 정수 시퀀스는 기본적으로는 아니다. 정수열 Kt(n)의 정의는 다음과 같다:

{\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1}
{\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{Ap}}(n+1-k)-{\text{Ap}}(n+2-k)]}
{\displaystyle {\text{Ap}}(n)=\sum \_{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}}
이 정수열 *{\displaystyle {\text{Kt}}(n)}*는 1956년에 태어난 체코 수학자이자 체스 작곡가 Václav Kotěšovec에 의해 연구되었다. 특별히 수정된 Apéry 시퀀스(OEIS A036917)를 나타내는 정수 시퀀스 *{\displaystyle {\text{Ap}}(n)}*를 추가함으로써 Kotěšovec 시퀀스 숫자 *{\displaystyle {\text{Kt}}(n)}*를 생성할 수 있다. 시퀀스 *{\displaystyle {\text{Kt}}(n)}*의 시작 값은 *{\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1}* 값이고 이 시퀀스의 다음 값은 모든 숫자 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }에 유효한 두 수식으로 생성된다. 다음 표는 일련 번호를 보여준다:

| 위치 n | 정수 시퀀스의 수 Ap(n) | 정수 시퀀스의 수 Kt(n) |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 8 | 8 |
| 3 | 88 | 84 |
| 4 | 1088 | 992 |
| 5 | 14296 | 12514 |
| 6 | 195008 | 164688 |
| 7 | 2728384 | 2232200 |
| 8 | 38879744 | 30920128 |
| 9 | 561787864 | 435506703 |
| 10 | 8206324928 | 6215660600 |
| 11 | 120929313088 | 89668182220 |
| 12 | 1794924383744 | 1305109502496 |
| 13 | 26802975999424 | 19138260194422 |
| 14 | 402298219288064 | 282441672732656 |
| 15 | 6064992788397568 | 4191287776164504 |
| 16 | 91786654611673088 | 62496081197436736 |
| 17 | 1393772628452578264 | 935823746406530603 |

놈의 경우 두 번째 시리즈를 개발할 수 있다:

{\displaystyle q(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}
정수 시퀀스 {\displaystyle Sw(n)}은 Schwarz 수를 나타낸다. 실레지아 독일 수학자 Hermann Amandus Schwarz는 54-56페이지의 *"Berechnung der Grösse k"* 장에서 *"Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen"* 이라는 저서에서 정수 수열을 썼다. 이 슈바르츠 수열 {\displaystyle Sw(n)}은 20세기 수학자 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass와 Louis Melville Milne-Thomson에 의해 분석되었다. 수학자 Adolf Kneser는 다음 패턴을 기반으로 이 시퀀스에 대한 합성 방법을 결정했다.

{\displaystyle {\text{Sw}}(1)=1}
{\displaystyle {\text{Sw}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum \_{m=1}^{n}{\text{Sw}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}
Schwarz 시퀀스 {\displaystyle Sw(n)}은 번호 A002103 아래의 숫자 시퀀스의 온라인 백과사전에서 입력되고 Kneser 시퀀스 {\displaystyle Kn(n)}은 번호 A227503 아래에 입력된다. Kneser 정수 시퀀스 {\displaystyle Kn(n)}은 다음과 같이 정의된 특수 Apéry 시퀀스 {\displaystyle Ap(n)}(OEIS A036917)를 사용하여 구성할 수 있다.

{\displaystyle {\text{Ap}}(n)=\sum \_{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}}
이러한 방식으로 모든 자연수 n에 대해 Kneser 수열을 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\text{Kn}}(n+1)=2^{4n+1}-{\tfrac {1}{8}}{\text{Ap}}(n+2)-\sum \_{b=1}^{n}{\text{Kn}}(b){\text{Ap}}(n+2-b)}
Kneser 시퀀스는 생성 함수에 의해 다음과 같이 생성될 수도 있다.

{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}
다음 표에는 슈바르츠 수와 크네저 수와 아페리 수가 포함되어 있다.

Kneser에 따른 시퀀스 구성 방법| 인덱스 n | Ap(n) (A036917) | Kn(n) (A227503) | Sw(n) (A002103) |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 8 | 13 | 2 |
| 3 | 88 | 184 | 15 |
| 4 | 1088 | 2701 | 150 |
| 5 | 14296 | 40456 | 1707 |
| 6 | 195008 | 613720 | 20910 |
| 7 | 2728384 | 9391936 | 268616 |
| 8 | 38879744 | 144644749 | 3567400 |

값 목록
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다음에서 놈의 일부 기능 값이 제공된다. 다음은 렘니스케이트 값이다.

{\displaystyle q(0)=0}
{\displaystyle q(1)=1}
{\displaystyle q(-1)=1}
{\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }}
{\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2\pi }}
{\displaystyle q[2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)]=\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\text{e}}^{-3\pi }}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3-2{\sqrt[{4}]{5}})]={\text{e}}^{-5\pi }}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3+2{\sqrt[{4}]{5}})]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )}
일부 비 렘니스케이트 값은 다음과 같다:

{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {7}}\pi }}
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {11}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {13}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}+2}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {17}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}+2}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{17}}{\sqrt {17}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {37}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{37}}{\sqrt {37}}\,\pi )}
다음 값은 홀수의 제곱근과 함께 Gelfold 상수의 역수의 거듭제곱으로 발생한다:

{\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }}
{\displaystyle q({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}})=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi )}
{\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }}
{\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}
{\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-{\sqrt {10}}\pi }}
{\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}{\bigr )}^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {14}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}{\bigr )}^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )}
{\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {22}}\pi }}
{\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {26}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {26}}\,\pi )}{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {6{\sqrt {17}}+10}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {34}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}+{\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {6{\sqrt {17}}+10}}{\bigr )}^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{17}}{\sqrt {34}}\,\pi )}
{\displaystyle q[(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}]={\text{e}}^{-{\sqrt {58}}\pi }}
{\displaystyle q[(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}+1)^{6}]=\exp(-{\tfrac {1}{29}}{\sqrt {58}}\,\pi )}
놈를 제곱하면 다음 값이 된다:

{\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {2}}\pi }}
{\displaystyle q[({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2{\sqrt {3}}\pi }}
{\displaystyle q[({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {5}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}
{\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{4}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]={\text{e}}^{-2{\sqrt {7}}\pi }}
{\displaystyle q[({\sqrt {2}}-1)^{4}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]=\exp(-{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {13}}\pi }}
{\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}5{\sqrt {13}}-18{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {2}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )}
가치의 특정 사중주가 아래에 나열되어 있다:

|  |
| --- |
| {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )} |
| {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {42}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {42}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{21}}{\sqrt {42}}\,\pi )} |
| {\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {70}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {70}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {70}}\,\pi )}
{\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {70}}\,\pi )} |

지수 정리
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대수 숫자의 놈를 밑수로 하고 양의 유리수를 지수로 사용하는 모든 거듭제곱은 대수 숫자의 놈이 된다:

{\displaystyle q(x\_{1}\in \mathbb {A} )^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(x\_{2}\in \mathbb {A} )^{}}
야코비 타원 함수를 사용하여 정리를 설명하는 경우 정리에 대해 다음 공식을 설정할 수 있다:

{\displaystyle q(x)^{2}=q[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}
{\displaystyle q(x)^{3}=q\{x^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(x);x]^{4}\}}
{\displaystyle q(x)^{5}=q\{x^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(x);x]^{4}\}}
{\displaystyle q(x)^{7}=q\{x^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(x);x]^{4}\}}
실수 값 구간 [-1;1]의 대수적 x 값의 경우 표시된 야코비 사인 진폭 표현식은 항상 대수적이다. 일반적으로 모든 자연수 n에 대해:

{\displaystyle q(x)^{2n+1}=q{\biggl \{}x^{2n+1}\prod \_{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(x);x{\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}
입방체에 대한 정리는 단순화된 방식으로 매개변수화할 수도 있다:

{\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}
이 공식은 모든 값 ​{\displaystyle -1<u<1}에 유효하다. 다음 반사 정리는 타원 놈에 대해 유효하다:

{\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}
{\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}
{\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}
{\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}

미분법
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타원 놈 함수는 다음과 같이 파생된다:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)}
2차 도함수는 다음과 같다:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}q(x)}
그리고 3차 도함수는 다음과 같은 형식을 취한다:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}+12\pi ^{2}K(x)E(x)[-\pi ^{2}-2(1+x^{2})K(x)^{2}+2K(x)E(x)]}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}q(x)}
두 번째 종류의 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle E(\varepsilon )=\int \_{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\mathrm {d} \varphi }
{\displaystyle E(\varepsilon )=2\int \_{0}^{1}{\frac {\sqrt {(w^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}w^{2}}}{(w^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} w}
두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

제2종 완전 타원 적분을 지우면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

{\displaystyle 3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}}
따라서 이 3차 미분방정식은 유효하다:

{\displaystyle x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}}

무한 합과 무한 곱
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타원 놈는 Richard Dedekind에 의해 연구되었으며 이것은 그의 에타 함수 이론의 기초를 형성한다. 타원형 놈는 Lambert 급수의 구성에서 시작점을 형성하고 산술 기하 평균의 대수적 조합에 대한 Carl Gustav Jacobi의 테타 함수에서 가로 좌표로 지정된다. 일반적으로 많은 시리즈 확장은 타원 놈로 설명된다:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q(x)^{n^{2}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta \_{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q(x)^{(2n-1)^{2}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta \_{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta \_{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta \_{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta \_{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta \_{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\,\pi ^{-1}K(x)}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }n^{2}q(x)^{n^{2}}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}}
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}}
{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}
{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}

테타 함수
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세 가지 주요 테타 함수는 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle \vartheta \_{00}(y)=1+2{\biggl (}\sum \_{n=1}^{\infty }y^{n^{2}}{\biggr )}}
{\displaystyle \vartheta \_{01}(y)=1+2{\biggl [}\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}y^{n^{2}}{\biggr ]}}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(y)=2{\biggl [}\sum \_{n=1}^{\infty }y^{(n-1/2)^{2}}{\biggr ]}}
야코비 정체성는 이 세 가지 함수을 수학적 조합으로 제공한다:

{\displaystyle \vartheta \_{10}(y)={\sqrt[{4}]{\vartheta \_{00}(y)^{4}-\vartheta \_{01}(y)^{4}}}}
테타 함수와 타원형 놈 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖는다:

{\displaystyle \vartheta \_{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}
{\displaystyle \vartheta \_{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}
{\displaystyle \vartheta \_{00}[q(x)^{2}]=\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(x){\bigr ]}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}
{\displaystyle \vartheta \_{01}[q(x)^{2}]={\sqrt[{8}]{1-x^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}

오차 방정식
------

Abel-Ruffini 정리에 따르면 5차 방정식의 일반적인 경우는 기본적으로 풀 수 없다. 그러나 타원 명사와 세타 함수의 조합으로 모든 오차 방정식을 풀 수 있다. 다음의 브링-제라드 정규형의 5차 다항식에 대해 언급된 타원 함수가 있는 실제 솔루션이 이제 표현된다:

{\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}
{\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}}
{\displaystyle x={\frac {{\bigl [}\vartheta \_{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta \_{00}(Q^{5})^{2}{\bigr ]}{\sqrt {\vartheta \_{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta \_{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta \_{00}(Q)^{2}-2\,\vartheta \_{00}(Q^{1/5})\,\vartheta \_{00}(Q^{5})}}}{4\,\vartheta \_{10}(Q)\,\vartheta \_{01}(Q)\,\vartheta \_{00}(Q)}}}
기본 함수로 풀 수 있는 방정식의 예:

첫 번째 계산 예:

|  |
| --- |
| {\displaystyle x^{5}+5\,x=2{\sqrt {3}}}
{\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}(c={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}})=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )} {\displaystyle {\color {JungleGreen}x={\frac {\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}}{4\,\vartheta \_{10}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{01}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}}}\times }} {\displaystyle {\color {JungleGreen}\times {\sqrt {\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+5\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-4\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-2\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}}}}} {\displaystyle \vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl [}{\frac {4}{3}}\sin {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}\pi {\bigr )}{\frac {{\sqrt[{3}]{10}}+1}{\sqrt[{6}]{80}}}+{\frac {1}{3}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi ){\biggr ]}\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}} {\displaystyle {\sqrt {5}}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl [}{\frac {4}{3}}\cos {\bigl (}{\tfrac {1}{10}}\pi {\bigr )}{\frac {{\sqrt[{3}]{10}}+1}{\sqrt[{6}]{80}}}-{\frac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\biggr ]}\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}}
{\displaystyle {\color {ForestGreen}x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,({\sqrt[{3}]{10}}-1)}} |

두 번째 계산 예:

|  |
| --- |
| {\displaystyle x^{5}+5\,x=3{\sqrt {7}}}
{\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}(c={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {7}})=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )} {\displaystyle {\color {JungleGreen}x={\frac {\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}}{4\,\vartheta \_{10}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{01}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}}}\times }} {\displaystyle {\color {JungleGreen}\times {\sqrt {\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+5\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-4\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}-2\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}}}}} {\displaystyle \vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {3}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}}){\bigr ]}\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}} {\displaystyle {\sqrt {5}}\,\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {5}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {3}}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}}){\bigr ]}\vartheta \_{00}{\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}}
{\displaystyle {\color {ForestGreen}x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}}){\bigr ]}}} |

타원 함수로만 풀 수 있는 계산 예:

{\displaystyle x^{5}+5\,x=2{\sqrt[{4}]{2}}}
{\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}(c=2^{-3/4})=q{\bigl [}\cos {\bigl (}{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}
{\displaystyle Q\approx 0.11785793531185771914155254110648923544545944879394196130445}
{\displaystyle x={\frac {\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}}{4\,\vartheta \_{10}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\,\vartheta \_{01}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}}}\times }
{\displaystyle \times {\sqrt {\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}^{2}+5\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}-4\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-2\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{1/5}{\bigr \}}\,\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}^{5}{\bigr \}}}}}
{\displaystyle x\approx 0.4710447387949811740242434591671230417409496435087081512857}
이제 솔루션이 타원 함수의 도움으로만 표현될 수 있는 두 번째 예가 표시된다:

{\displaystyle x^{5}+5\,x=4}
{\displaystyle Q=q{\bigl [}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}c=1{\bigr )}=q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}}
{\displaystyle Q\approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625}
{\displaystyle x={\frac {\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}-5\,\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}}{4\,\vartheta \_{10}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta \_{01}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}\,\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\frac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}}}\times }
{\displaystyle \times {\sqrt {\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}^{2}+5\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}^{2}-4\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}\}^{2}-2\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{1/5}\}\,\vartheta \_{00}\{q{\bigl [}{\tfrac {\sqrt[{4}]{2}}{2}}+\sin({\tfrac {\pi }{8}}){\bigr ]}^{5}\}}}}
{\displaystyle x\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913}

참고
--

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