유체론에서 **아르틴 상호 법칙**(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의
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K가 대수적 수체이며, L/K가 유한 아벨 확대라고 하자.

K의 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 소 아이디얼 {\mathfrak p}\subset {\mathcal O}\_{K}에 대하여, 만약 {\mathfrak {p}}가 L/K에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

\left({\frac {L/K}{{\mathfrak p}}}\right)\in \operatorname {Gal}(L/K)
가 존재한다. {\mathfrak {p}} 위의, {\mathcal O}\_{L}의 모든 소 아이디얼 {\mathfrak P}에 대하여,

\left({\frac {L/K}{{\mathfrak p}}}\right)({\mathfrak P})={\mathfrak P}
\left({\frac {L/K}{{\mathfrak p}}}\right)(\alpha )\equiv \alpha ^{{N\_{{L/K}}({\mathfrak p})}}{\pmod {\mathfrak P}}
S가 L/K에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I\_{K}^{S}에서 갈루아 군 \operatorname {Gal} (L/K)으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 **아르틴 사상**(영어: Artin map)이라고 한다.

\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right)\colon I\_{K}^{S}\to \operatorname {Gal}(L/K)
\prod \_{{i=1}}^{m}{\mathfrak p}\_{i}^{{n\_{i}}}\mapsto \prod \_{{i=1}}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}\_{i}}}\right)^{{n\_{i}}}
**아르틴 상호 법칙**은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 {\mathfrak c}에 대하여, 군 준동형

I\_{K}^{S}\to \operatorname {Gal}(L/K)
의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle i(K\_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} \_{L/K}(I\_{L}^{\mathfrak {m}})}
여기서 K\_{{{\mathfrak m},1}}은 {\mathfrak m}에 대한 반직선이며, \operatorname N\_{L/K}는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L/K의 **정의 모듈러스**(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 L/K의 **인도자**(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

예
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### 이차 수체

이차 수체 L={\mathbb Q}[{\sqrt m}]을 생각하자 (m은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 K/{\mathbb Q}에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

* 만약 m\equiv 1{\pmod 4}인 경우, p\mid m인 소수 p. 이 경우, 판별식은 \Delta =m이다.
* 만약 m\not \equiv 1{\pmod 4}인 경우, p\mid m인 홀수 소수 p 및 2. 이 경우, 판별식은 \Delta =4m이다.

이 경우, 갈루아 군은

\operatorname {Gal}({\mathbb Q}[{\sqrt m}]/{\mathbb Q})=\{+1,-1\}
이다. 이 경우, 아르틴 사상은 m의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

\left({\frac m\cdot }\right)\colon p\mapsto \left({\frac \Delta p}\right)
### 원분체

원분체 L={\mathbb Q}[\zeta \_{m}]을 생각하자 (m은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

\operatorname {Gal}({\mathbb Q}[\zeta \_{m}]/{\mathbb Q})\cong ({\mathbb Z}/(m))^{\times }
이다. 여기서 ({\mathbb Z}/(m))^{\times }은 \mathbb {Z} /(m)의 가역원군이다. 구체적으로, a\in ({\mathbb Z}/(m))^{\times }은 갈루아 군의 원소 \zeta \_{\mapsto }\zeta \_{m}^{a}에 대응된다.

이 경우, m의 인수가 아닌 소수 p에 대하여, 아르틴 사상은

({\bmod m})\colon p\mapsto (p{\bmod m})\in ({\mathbb Z}/(m))^{\times }
이다.

역사
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에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Artin, Emil (1924). "Über eine neue Art von *L*-Reihen". 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) **3** (1): 89–108. doi:10.1007/BF02954618. ISSN 0025-5858.
2. ↑  Artin, Emil (1927). "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes". 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) **5** (1): 353–363. doi:10.1007/BF02952531. ISSN 0025-5858.
3. ↑  Artin, Emil (1930). "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes". 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) **7** (1): 46–51. doi:10.1007/BF02941159. ISSN 0025-5858.

* Artin, Emil; John Tate (1990). 《Class field theory》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51011-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Childress, Nancy (2008). 《Class field theory》. Universitext (영어). doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. ISSN 0172-5939. Zbl 1165.11001.
* Lenstra, H.W. Jr.; P. Stevenhagen (2000년 3월). "Artin reciprocity law and Mersenne primes" (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde (serie 5)》 (영어) **1** (1): 44–54.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Frei, Günther (2004). 〈On the History of the Artin Reciprocity Law in Abelian Extensions of Algebraic Number Fields: How Artin was Led to his Reciprocity Law〉. 《The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 2002》 (영어). 267–294쪽. doi:10.1007/978-3-642-18908-1\_8. ISBN 978-3-642-62350-9.