수학에서 **모듈러 람다 함수**(영어: modular lambda function)는 합동 부분군 \Gamma(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

정의
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{\mathbb H}가 복소 상반평면이라고 하자. **모듈러 람다 함수** \lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 \tau =\omega \_{2}/\omega \_{1}이라면,

\lambda(\tau)=\frac{\wp(\omega\_1/2+\omega\_2/2;\omega\_1,\omega\_2)-\wp(\omega\_2/2;\omega\_1,\omega\_2)}{\wp(\omega\_1/2;\omega\_1,\omega\_2)-\wp(\omega\_2/2;\omega\_1,\omega\_2)}
이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\lambda(\tau) = \frac{\theta\_2^4(0,\tau)}{\theta\_3^4(0,\tau)} = \left(\frac{\sqrt2\eta(\tau/2)\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\right)^8

성질
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바이어슈트라스 타원함수 {\displaystyle \wp (-;\omega \_{1},\omega \_{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega \_{1},\omega \_{2}\rangle \to {\widehat {\mathbb {C} }}}는 타원 곡선{\mathbb C}/\langle 1,\tau \rangle 에서 리만 구면 {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

e\_1=\wp(\omega\_1/2;\omega\_1,\omega\_2)
e\_2=\wp(\omega\_2/2;\omega\_1,\omega\_2)
e\_3=\wp(\omega\_1/2+\omega\_2/2;\omega\_1,\omega\_2)
{\displaystyle e\_{4}=\wp (0;\omega \_{1},\omega \_{2})={\widehat {\infty }}}
에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

\lambda(\omega\_2/\omega\_1)=\frac{(e\_3-e\_2)(e\_4-e\_1)}{(e\_1-e\_2)(e\_4-e\_3)}=\frac{e\_3-e\_2}{e\_1-e\_2}
이에 따라, \lambda 는 비조화군(anharmonic group) \Gamma(1)/\Gamma(2)\cong S\_3의 작용에 따라 변환한다.

### 함수 방정식

모듈러 람다 함수 \lambda(\tau)는 합동 부분군 \Gamma(2)에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 **함수 방정식**을 만족시킨다. 모든 \tau\in\mathbb C에 대하여, 다음이 성립한다.

\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau/(1-2\tau))=\lambda(\tau)
이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 X(2)=\mathbb H/\Gamma(2)와 리만 구면 {\hat {\mathbb {C} }} 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다.
모듈러 군 \Gamma(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

\lambda(\tau+1)=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}
\lambda(-1/\tau)=\lambda(\tau)-1
### 급수 전개

q=\exp(\pi i\tau)에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977)

 \lambda(\tau) = 16q - 128q^2 + 704 q^3 - 3072q^4 + 11488q^5 - 38400q^6 + \dots

타원의 모듈러스
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### 정의 및 계산

함수 λ\*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

{\displaystyle {\frac {K[{\sqrt {1-\lambda ^{\*}(x)^{2}}}]}{K[\lambda ^{\*}(x)]}}={\sqrt {x}}}
K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ\*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다: 

{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)={\frac {\vartheta \_{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta \_{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)={\biggl \{}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}^{2}{\biggl [}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)={\biggl \{}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}{\biggl [}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-1}}
함수 λ\*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}
### 성질 및 값

양의 유리수의 모든 λ\*(x)-값은 대수적이다.

{\displaystyle \lambda ^{\*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}
다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:

{\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum \_{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{\*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{\*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}}
표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.

{\displaystyle \lambda ^{\*}(n^{2}x)=\lambda ^{\*}(x)^{n}\prod \_{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{\*}(x)];\lambda ^{\*}(x)\right\}^{2}}
표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)^{2}+\lambda ^{\*}(1/x)^{2}=1}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{\*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{\*}(x)^{2}}}}}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{\*}(x)]/2\}^{2}}
{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(4/x)]\}=1}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)\lambda ^{\*}(4/x)+\lambda ^{\*}(x)+\lambda ^{\*}(4/x)=1}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(x)-\lambda ^{\*}(9x)=2\lambda ^{\*}(x)^{1/4}\lambda ^{\*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{\*}(x)^{3/4}\lambda ^{\*}(9x)^{3/4}}
{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(9x)]\}=}
{\displaystyle =2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(9x)]\}^{3/4}}
{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(25x)]\}^{1/2}=}
{\displaystyle =2\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(25x)]\}^{5/12}}
홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(17)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}})^{3}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(25)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(33)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(41)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {1}{8}}{\sqrt {41}}+{\tfrac {5}{8}}+{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2{\sqrt {41}}+10}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {58{\sqrt {41}}+370}}+3{\sqrt {41}}+3}})^{6}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(49)={\tfrac {1}{1024}}{\sqrt {2}}[2{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {3+{\sqrt {7}}}}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1)]^{4}}
홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(5)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)]}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(13)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)]}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(21)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\}}
홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(3)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(7)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {7}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(15)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(19)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3{\sqrt {19}}+13)[{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})]^{4}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(23)={\tfrac {1}{32}}{\sqrt {2}}(5+{\sqrt {23}})[{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}]^{4}}
짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(2)={\sqrt {2}}-1}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(18)=(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(26)=({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]^{4}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(34)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-2}})^{12}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(42)=(8-3{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}-{\sqrt {6}})(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(50)=({\sqrt {2}}-1)\tan[\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}})-{\tfrac {1}{8}}\pi ]^{4}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(66)=\tan\{{\tfrac {1}{4}}\arcsin[({\tfrac {13}{62}}+{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {33}}-{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {3426{\sqrt {33}}-17790}})^{2}]\}}
짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(14)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {8}{7}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {11}{7}})]}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(30)=(4-{\sqrt {15}})({\sqrt {6}}-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(38)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {2}}-1)^{6}({\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}+52{\sqrt {2}}+36}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}-52{\sqrt {2}}-36}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}})^{12}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(46)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {104}{207}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {49}{69}})]}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(54)=(2-{\sqrt {3}})^{3}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{3}\tan[\arctan({\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{4}}\pi ]^{4}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(62)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {9+5{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {14{\sqrt {2}}+19}}+6{\sqrt {2}}-6}})^{12}]\}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(70)=(3{\sqrt {14}}-5{\sqrt {5}})(8-3{\sqrt {7}})(6-{\sqrt {35}})(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}}
짝수 4z 위치의 람다 값:

{\displaystyle \lambda ^{\*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(8)=({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}}
{\displaystyle \lambda ^{\*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}}

참고 문헌
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* Chandrasekharan, K. (1985), 《Elliptic Functions》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **281**, Springer, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
* Rankin, Robert A. (1977), 《Modular Forms and Functions》 (영어), Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020