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다변수 미적분학에서 **음함수 정리**(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입
--

2차원 유클리드 공간 {\mathbb R}^{2} 위에서 원점 (0,0)을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식

{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}
을 생각하자. 이 방정식은 {\displaystyle [-1,1]\times [0,\infty )}에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]}
또한 이 방정식은 {\displaystyle [-1,1]\times (-\infty ,0]}에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]}
이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 {\displaystyle [-1,1]\times \mathbb {R} }에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 (0,1)을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
이렇게 정의한 F의 그래프는 \mathbb {R} ^{3}에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 z=0의 교선이다. (0,1) 주변에서 {\displaystyle x'^{2}+y'^{2}-1=0}인 점 {\displaystyle (x',y')}을 임의로 취하자. 여기에는 특히 {\displaystyle (x',y')=(0,1)} 역시 포함된다. x=x'가 고정되었을 때, {\displaystyle z={x'}^{2}+y^{2}-1}는 {\displaystyle y=y'} 주변에서 y에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 {\displaystyle y<y'}에 대하여 {\displaystyle z<0}이 성립하며, {\displaystyle y>y'}에 대하여 z>0이 성립한다. 따라서 {\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1}의 영점 집합은 (0,1)에서 국소적으로 어떤 함수 {\displaystyle y=y(x)}의 그래프와 일치한다. z가 y에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 {\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0}이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 (1,0)을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 {\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0}은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립

{\displaystyle z\_{1}(x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{m})=0}
\vdots
{\displaystyle z\_{m}(x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{m})=0}
에서 {\displaystyle (y\_{1},\dots ,y\_{m})}가 국소적으로 (x\_{1},\dots ,x\_{n})의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.

{\displaystyle \det {\frac {\partial (z\_{1},\dots ,z\_{m})}{\partial (y\_{1},\dots ,y\_{m})}}\neq 0}
이 부등식의 좌변은 함수 {\displaystyle z\_{1},\dots ,z\_{m}}의 변수 y\_{1},\dots ,y\_{m}에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약

{\displaystyle z\_{1}=a\_{11}x\_{1}+\cdots a\_{1n}x\_{n}+b\_{11}y\_{1}+\cdots +b\_{1m}y\_{m}}
\vdots
{\displaystyle z\_{m}=a\_{m1}x\_{1}+\cdots +a\_{mn}x\_{n}+b\_{m1}y\_{1}+\cdots +b\_{mm}y\_{m}}
일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 x\_{1},\dots ,x\_{n}을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 {\displaystyle \det(b\_{ij})\_{m\times m}}이다.

정의
--

열린 근방 {\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}와 {\displaystyle \mathbf {b} \in V\subseteq \mathbb {R} ^{m}} 및 연속 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}}, {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} ({\displaystyle \mathbf {x} \in U}, {\displaystyle \mathbf {y} \in V})가 다음을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} } 역시 연속 함수이다. 여기서 {\displaystyle (\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} )\_{ij}=\partial f\_{i}/\partial y\_{j}}이다.
* {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {0} }
* {\displaystyle \det \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 {\displaystyle \mathbf {a} \in W\subseteq U} 및 유일한 연속 함수 {\displaystyle \mathbf {g} \colon W\to \mathbb {R} ^{m}}가 존재한다.

* {\displaystyle \mathbf {g} (W)\subseteq V}
* {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {g} (\mathbf {a} )}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in W}에 대하여, {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=\mathbf {0} }

또한, {\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}에 대하여, 만약 {\mathbf f}가 {\mathcal C}^{k} 함수라면, \mathbf g 역시 {\mathcal C}^{k} 함수이며, \mathbf g의 도함수 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} }는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=-(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} )))^{-1}\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in W}
여기서 {\displaystyle (\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} )\_{ij}=\partial f\_{i}/\partial x\_{j}}이다. 이를 **음함수 정리**라고 한다. {\mathbf f}가 {\mathcal C}^{k} 함수임을 가정하지 않을 경우, \mathbf g의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 가장 간단한 경우

두 열린구간 {\displaystyle a\in U\subseteq \mathbb {R} }와 {\displaystyle b\in V\subseteq \mathbb {R} } 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon U\times V\to \mathbb {R} }가 다음을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle \partial f/\partial y} 역시 연속 함수이다.
* {\displaystyle f(a,b)=0}
* {\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)\neq 0}

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 {\displaystyle a\in W\subseteq U} 및 유일한 연속 함수 {\displaystyle g\colon W\to \mathbb {R} }가 존재한다.

* {\displaystyle g(W)\subseteq V}
* {\displaystyle b=g(a)}
* 임의의 {\displaystyle x\in W}에 대하여, {\displaystyle f(x,g(x))=0}

또한, {\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}에 대하여, 만약 f가 {\mathcal C}^{k} 함수라면, g 역시 {\mathcal C}^{k} 함수이며, g의 도함수 {\displaystyle g'}는 다음과 같다.

{\displaystyle g'(x)=-{\frac {(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}}\qquad \forall x\in W}
이는 음함수 정리에서 {\displaystyle n=m=1}을 취한 가장 간단한 경우이다.

증명
--

### 수학적 귀납법을 통한 증명

수학적 귀납법을 사용하자.

#### m=1

먼저 m=1일 경우를 증명하자. 편의상 {\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)>0}라고 가정하자. 그러면 {\displaystyle \partial f/\partial y}에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 {\displaystyle \delta \_{1}>0}가 존재한다.

* {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})\subseteq U}
* {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta \_{1})\subseteq V}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})} 및 {\displaystyle y\in \operatorname {B} (b,\delta \_{1})}에 대하여, {\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ,y)>0}

이에 따라 {\displaystyle f(\mathbf {a} ,y)}가 {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta \_{1})}에서 순증가 함수이며, 또한 {\displaystyle f(\mathbf {a} ,b)=0}이므로, {\displaystyle f(\mathbf {a} ,b-\delta \_{1})<0<f(\mathbf {a} ,b+\delta \_{1})}이다. 따라서 다음을 만족시키는 {\displaystyle 0<\delta \_{2}<\delta \_{1}}가 존재한다.

* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle f(\mathbf {x} ,b-\delta \_{1})<0<f(\mathbf {x} ,b+\delta \_{1})}

따라서, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle f(\mathbf {x} ',y)}는 {\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta \_{1})}에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 {\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))=0}인 유일한 {\displaystyle g(\mathbf {x} ')\in \operatorname {B} (b,\delta \_{1})}가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 {\displaystyle g\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})\to \mathbb {R} }는 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여 {\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=0}를 만족시키며, 특히 {\displaystyle b=g(\mathbf {a} )}이다. 이제 g의 연속성을 증명하자. 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})} 및 충분히 작은 \epsilon >0에 대하여, {\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')+\epsilon )}이므로, 다음을 만족시키는 {\displaystyle \delta \_{3}>0}가 존재한다.

* {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta \_{3})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta \_{3})}에 대하여, {\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')+\epsilon )}

따라서, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}에 대하여, {\displaystyle g(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (g(\mathbf {x} '),\epsilon )}이다. 이제 g의 유일성을 증명하자. 연속 함수 {\displaystyle h\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})\to \mathbb {R} }가 다음을 만족시킨다고 가정하자.

* {\displaystyle h(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2}))\subseteq V}
* {\displaystyle b=h(\mathbf {a} )}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=0}

그렇다면, 다음과 같은 집합이 {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

{\displaystyle A=\{\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})\colon g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )\}}
우선 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in A}에 대하여, 다음을 만족시키는 {\displaystyle \delta \_{4}>0}가 존재한다.

* {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta \_{4})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta \_{4})}에 대하여, {\displaystyle h(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (b,\delta \_{1})}

따라서, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta \_{4})}에 대하여, {\displaystyle h(\mathbf {x} )=g(\mathbf {x} )}이다. 즉, A는 {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}의 열린집합이다. 또한 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in A'\cap \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle g,h}의 연속성에 의하여 {\displaystyle \mathbf {x} '\in A}이다. 즉, A는 {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}의 닫힌집합이다. {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}는 연결 집합이며, 또한 A\neq \varnothing 이므로, {\displaystyle A=\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}이다. 즉, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )}이다. 이제 f가 {\mathcal C}^{k} 함수일 때 g의 {\mathcal C}^{k}성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}} 및 {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j}\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle \Delta y(\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j})=g(\mathbf {x} '+\Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j})-g(\mathbf {x} ')}
그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j})<1}가 존재한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(\mathbf {x} '+\Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j},g(\mathbf {x} ')+\Delta y)-f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))\\&={\frac {\partial f}{\partial x\_{j}}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta x\_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta y\end{aligned}}}
따라서, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x\_{j}}}(\mathbf {x} ')&=\lim \_{\Delta x\_{j}\to \mathbf {0} }{\frac {\Delta y}{\Delta x\_{j}}}\\&=\lim \_{\Delta x\_{j}\to \mathbf {0} }\left(-{\frac {(\partial f/\partial x\_{j})(\mathbf {x} '+\theta \Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} '+\theta \Delta x\_{j}\mathbf {e} \_{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}}\right)\\&=-{\frac {(\partial f/\partial x\_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}}\end{aligned}}}
또한 {\displaystyle (\partial f/\partial x\_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}와 {\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}가 연속 함수이므로, g는 연속 미분 가능 함수이다.

#### m>1

이제 m>1일 경우를 증명하자. V의 원소를 {\displaystyle \mathbf {y} =(y\_{1},{\tilde {\mathbf {y} }})}로 쓰고, {\displaystyle \mathbf {f} =(f\_{1},{\tilde {\mathbf {f} }})}와 같이 표기하자. 또한 편의상 {\displaystyle \det(\mathrm {D} \_{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}\!(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))\neq 0}이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {g} }}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})\times \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})\to \mathbb {R} ^{m-1}}가 존재하게 되는 {\displaystyle \delta \_{1}>0}가 존재한다.

* {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})\subseteq U}
* {\displaystyle \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})\times {\tilde {\mathbf {g} }}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})\times \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1}))\subseteq V}
* {\displaystyle \mathbf {b} '={\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b\_{1})}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})} 및 {\displaystyle y\_{1}\in \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})} 및 {\displaystyle i\in \{2,\dots ,m\}}에 대하여, {\displaystyle f\_{i}(\mathbf {x} ,y\_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y\_{1}))=0}

다음과 같은 함수 {\displaystyle F\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})\times \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})\to \mathbb {R} ^{m}}를 정의하자.

{\displaystyle F(\mathbf {x} ,y\_{1})=f\_{1}(\mathbf {x} ,y\_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y\_{1}))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1}),\;y\_{1}\in \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})}
그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{1})} 및 {\displaystyle y\_{1}\in \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})}에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial y\_{1}}}&={\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{1}}}+\sum \_{j=2}^{m}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{j}}}{\frac {\partial h\_{j-1}}{\partial y\_{1}}}\\&={\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{1}}}+\mathrm {D} \_{\tilde {\mathrm {y} }}f\_{1}(\mathrm {D} \_{\tilde {\mathrm {y} }}{\tilde {f}})^{-1}\mathrm {D} \_{y\_{1}}{\tilde {f}}\\&={\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{1}}}+\sum \_{i=2}^{m}\sum \_{j=2}^{m}(-1)^{i+j}{\frac {1}{\det \mathrm {D} \_{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}{\frac {\partial f\_{i}}{\partial y\_{1}}}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{j}}}\det \mathrm {D} \_{(y\_{2},\dots ,y\_{j-1},y\_{j+1},\dots ,y\_{m})}(f\_{2},\dots ,f\_{i-1},f\_{i+1},\dots ,f\_{m})\\&={\frac {\det \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} }{\det \mathrm {D} \_{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}\end{aligned}}}
따라서 {\displaystyle (\partial F/\partial y\_{1})(\mathbf {a} ,b\_{1})\neq 0}이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 {\displaystyle g\_{1}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})\to \mathbb {R} }가 존재하게 되는 {\displaystyle 0<\delta \_{2}<\delta \_{1}}가 존재한다.

* {\displaystyle g\_{1}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2}))\subseteq \operatorname {B} (b\_{1},\delta \_{1})}
* {\displaystyle b\_{1}=g\_{1}(\mathbf {a} )}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle F(\mathbf {x} ,g\_{1}(\mathbf {x} ))=0}

이제 {\displaystyle \mathbf {g} \colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})\to \mathbb {R} ^{m}}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(g\_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g\_{1}(\mathbf {x} )))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}
그렇다면, \mathbf g는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mathbf {g} (\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2}))\subseteq V}
{\displaystyle f\_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=F(\mathbf {x} ,g\_{1}(\mathbf {x} ))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}
{\displaystyle f\_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=f\_{i}(\mathbf {x} ,g\_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g\_{1}(\mathbf {x} )))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2}),\;i\in \{2,\dots ,m\}}
{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {a} )=(g\_{1}(\mathbf {a} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b\_{1}))=\mathbf {b} }
이러한 \mathbf g의 유일성은 m=1의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 {\mathbf f}가 {\mathcal C}^{k} 함수라면, 각 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}} 및 {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}에 대하여, {\displaystyle f\_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=0}의 양변에 {\displaystyle \partial /\partial x\_{j}}를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

{\displaystyle {\frac {\partial f\_{i}}{\partial x\_{j}}}+\sum \_{k=1}^{m}{\frac {\partial f\_{i}}{\partial y\_{k}}}{\frac {\partial g\_{k}}{\partial y\_{j}}}=0}
이를 행렬로 표기하면 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} }의 공식을 얻으며, 따라서 \mathbf g 역시 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

### 바나흐 고정점 정리를 통한 증명

다음과 같은 함수 {\displaystyle \mathbf {F} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}}를 정의하자.

{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {y} -(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V}
그러면 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1\_{m\times m}-(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V}
따라서 {\displaystyle \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0\_{m\times m}}이다. 또한 {\displaystyle \det \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}이므로, {\displaystyle 0<c<1}를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 {\displaystyle \delta \_{1}>0}가 존재한다.

* {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{1})\subseteq U}
* {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})\subseteq V}
* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{1})} 및 {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}에 대하여, {\displaystyle \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<c}이며 {\displaystyle \det \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0}

또한, {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {b} }이므로, 다음을 만족시키는 {\displaystyle 0<\delta \_{2}<\delta \_{1}}가 존재한다.

* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert <(1-c)\delta \_{1}}

이제 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}가 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})} 위의 c-립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}에 대하여, 다음을 만족시키는 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )<1}가 존재한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {b} \Vert &\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&\leq \Vert \mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {b} ))\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {b} \Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&<(1-c)\delta \_{1}+c\delta \_{1}\\&=\delta \_{1}\end{aligned}}}
따라서 {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )\in \operatorname {B} (\mathbf {b} ,\delta \_{1})\subseteq {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}이다. 또한, 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}에 대하여, 다음을 만족시키는 {\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} ,\mathbf {z} )<1}가 존재한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} )\Vert &\leq \Vert \mathrm {D} \_{\mathrm {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {z} )\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \end{aligned}}}
즉, {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}는 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})} 위의 c-립시츠 연속 함수이다. 또한 {\displaystyle ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1}),\Vert \cdot \Vert )}는 바나흐 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}는 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}에서 유일한 고정점 {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} ')\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))=\mathbf {0} }
이제 이렇게 정의한 {\displaystyle \mathbf {g} \colon {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{2})\to \mathbb {R} ^{m}}가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert &=\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert +c'\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert \end{aligned}}}
{\displaystyle c'=\sup \_{\mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{2}),\;\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta \_{1})}\Vert \mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\Vert }
즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {c'}{1-c}}\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert }
따라서 \mathbf g는 연속 함수가 맞다. \mathbf g의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 {\mathbf f}가 {\mathcal C}^{k} 함수일 때 \mathbf g의 {\mathcal C}^{k}성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta \_{2})}에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle \Delta \mathbf {y} (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {g} (\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} )}
그러면 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \Delta \mathbf {y} +(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert &\leq \Vert (\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert (\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} +\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=\Vert (\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\Delta \mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} -\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=o(\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )\end{aligned}}}
마지막 등호는 {\displaystyle \Vert \Delta \mathbf {y} \Vert \leq (c'/(1-c))\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert } 때문이다. 즉,

{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} ')=-(\mathrm {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} \_{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))}
가 성립하며, \mathbf g는 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

예
-

### 닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수

어떤 {\displaystyle 0<\epsilon <1}에 대하여, 케플러 방정식

{\displaystyle x=y-\epsilon \sin y}
을 생각하자. 다음과 같은 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }를 정의하자.

{\displaystyle f(x,y)=y-x-\epsilon \sin y\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
그렇다면, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여,

{\displaystyle \lim \_{y\to -\infty }f(x,y)=-\infty ,\;\lim \_{y\to \infty }f(x,y)=\infty }
{\displaystyle f\_{y}(x,y)=1-\epsilon \cos y>0\qquad \forall y\in \mathbb {R} }
이므로, {\displaystyle f(x,g(x))=0}인 유일한 {\displaystyle g(x)\in \mathbb {R} }가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }는 {\mathcal C}^{\infty } 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 ({\mathcal C}^{\infty }) 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수 g는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

### 충분 조건의 비필요성

다음과 같은 연속 함수 {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } 및 {\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }를 생각하자.

{\displaystyle f(x,y)=|y|\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
{\displaystyle g(x,y)=y^{3}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
{\displaystyle h(x)=0\qquad \forall x\in \mathbb {R} }
그러면 {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.

* {\displaystyle f(x,y)=0}
* {\displaystyle g(x,y)=0}
* {\displaystyle y=h(x)}

즉, h는 f 또는 g가 유도하는 음함수이다. 그러나 {\displaystyle f\_{y}(0,0)}는 존재하지 않으며, {\displaystyle g\_{y}(0,0)=0}이다.