3×3 마방진
**마방진**(魔方陣, 영어: magic square) 또는 **방진**(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 두 대각선 방향의 수를 더하면 모두 마법 상수가 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. |마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 모두 들어간다. 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.

역사
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최초의 마방진으로 여겨지는 낙서
중국 하나라의 우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.

> 
> 天與禹洛出書，神龜負文而出，列於背，有數至於九。禹遂因而第之，以成九類，常道所以次敘。
> 
> 
> — 상서정의 12권
>

특성
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### 마법 상수

 이 부분의 본문은 마법 상수입니다.
마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n2까지의 자연수 합으로 삼각수 {\displaystyle {\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}}이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다.

{\displaystyle M(n)={\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}\div n={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}
### 자명한 1차 마방진

1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.

### 불가능한 2차 마방진

일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.

다음과 같은 2차 마방진이 있다고 하면, 

|  |  |
| --- | --- |
| a | b |
| c | d |

a + b = a + c 이고,

b = c 로 두 수가 중복된다.

분류
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4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 마법 상수로 같다.
n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.

* **준마방진**(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
* **단순 마방진**(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. **일반적인 마방진**(ordinary magic square) 또는 **평범한 마방진**(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
* **범마방진**(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
* **가장 완벽한 마방진**(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

마방진 만들기
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몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.

### 홀수 차수의 마방진

 시암의 방법 문서를 참고하십시오.
홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈원주민들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다. 그 방법은 다음과 같다.

첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.


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1단계|  | 1 |  |
|   |  |  |
|   |  |  |

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2단계|  | 1 |  |
|   |  |  |
|  |  | 2 |

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3단계|  | 1 |  |
| 3 |  |  |
|  |  | 2 |

 | 

4단계|  | 1 |  |
| 3 |  |  |
| 4 |  | 2 |

  |


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
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5단계|  | 1 |  |
| 3 | 5 |  |
| 4 |  | 2 |

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6단계|  | 1 | 6 |
| 3 | 5 |  |
| 4 |  | 2 |

 | 

7단계|  | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 |  | 2 |

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8단계| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 |  | 2 |

 | 

9단계| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |

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맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.


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Order 3| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |

 | 

Order 5| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |

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Order 9| 47 | 58 | 69 | 80 | 1 | 12 | 23 | 34 | 45 |
| 57 | 68 | 79 | 9 | 11 | 22 | 33 | 44 | 46 |
| 67 | 78 | 8 | 10 | 21 | 32 | 43 | 54 | 56 |
| 77 | 7 | 18 | 20 | 31 | 42 | 53 | 55 | 66 |
| 6 | 17 | 19 | 30 | 41 | 52 | 63 | 65 | 76 |
| 16 | 27 | 29 | 40 | 51 | 62 | 64 | 75 | 5 |
| 26 | 28 | 39 | 50 | 61 | 72 | 74 | 4 | 15 |
| 36 | 38 | 49 | 60 | 71 | 73 | 3 | 14 | 25 |
| 37 | 48 | 59 | 70 | 81 | 2 | 13 | 24 | 35 |

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### 4차 마방진

위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 한 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다.


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
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*M* = Order 4| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |

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*M* = Order 4| 1 | 15 | 14 | 4 |
| 12 | 6 | 7 | 9 |
| 8 | 10 | 11 | 5 |
| 13 | 3 | 2 | 16 |

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변형
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 이 부분의 본문은 마법진 (수학)입니다.
### 2차원

* 원진원진
* 다각진 중 하나인 삼각진다각진 중 하나인 삼각진
* 육각진육각진
* 별진 중 하나인 육각별진별진 중 하나인 육각별진
* 최석정의 지수귀문도최석정의 지수귀문도

### 다차원

* 입체마방진입체마방진