미분기하학에서 **푸아송 다양체**(Poisson多樣體, 영어: Poisson manifold)는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

정의
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푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

### 푸아송 괄호를 통한 정의

체 K 위의 가환 결합 대수 A 위의 **푸아송 괄호**(Poisson括弧, 영어: Poisson bracket)는 다음 조건을 만족시키는 K-리 대수 구조이다.

* 임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle (A,\{a,-\})}는 K-미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다.
{\displaystyle \{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad \forall a,b,c\in A}

**푸아송 다양체**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 매끄러운 다양체 M
* 실수 가환 결합 대수 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R}) 위의 푸아송 괄호 {\displaystyle \{,\}}

푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\{,\})} 위에서, 임의의 f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)에 대하여 {\displaystyle \{f,-\}}는 M 위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 **해밀턴 벡터장**이라고 한다. {\displaystyle X=\{f,-\}}라면 f를 X의 **해밀토니언**(영어: Hamiltonian)이라고 한다.

리 대수 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R})의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 **카시미르 함수**라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)

### 텐서장을 통한 정의

매끄러운 다양체 M 위의 **푸아송 텐서장**(Poisson tensor場, 영어: Poisson tensor field) \pi는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다.

* (반대칭성) {\displaystyle \pi ^{ij}=\pi ^{ji}}
* (멱영성) {\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}. 여기서 [-,-]는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다.

구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는

{\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
의 꼴로 주어진다.

여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle \pi ^{[i|l}\partial \_{l}\pi ^{|jk]}=0}
여기서 {\displaystyle [...]}는 지표 {\displaystyle i,j,k}의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,

{\displaystyle \pi ^{il}\partial \_{l}\pi ^{jk}+\pi ^{jl}\partial \_{l}\pi ^{ki}+\pi ^{kl}\partial \_{l}\pi ^{ij}=0}
이다.

### 리 준대수를 통한 정의

**푸아송 다양체**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 매끄러운 다양체 M
* {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M} 위의 리 준대수 구조 {\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{\*}M\to \mathrm {T} M}. 이 경우, 리 괄호는 다음과 같다.
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}\_{\sharp \alpha }\beta -{\mathcal {L}}\_{\sharp \beta }\alpha -\mathrm {d} \langle \sharp \alpha ,\beta \rangle \in \Omega ^{1}(M)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M)}

여기서 {\mathcal L}은 1차 미분 형식의 리 미분이다.

이 정의에서의 {\displaystyle \sharp }는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장 \pi와 같은 데이터를 정의한다.

{\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{\*}M\to \mathrm {T} M}
{\displaystyle \sharp \colon \alpha \mapsto \pi (\alpha ,-)}
이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉, {\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{\*}M} 사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)

### 푸아송 사상

두 푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\{,\}\_{M})}, {\displaystyle (N,\{,\}\_{N})} 사이의 **푸아송 사상**(Poisson寫像, 영어: Poisson map) \phi \colon M\to N은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

{\displaystyle \{f,g\}\_{N}\circ \phi =\{f\circ \phi ,g\circ \phi \}\_{M}\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N,\mathbb {R} )}
푸아송 텐서장으로는

{\displaystyle \pi \_{N}\circ \phi =\phi \_{\*}\pi \_{M}\in \Gamma ^{\infty }\left(\bigwedge ^{2}\phi ^{\*}\mathrm {T} N\right)}
이어야 한다. 여기서 {\displaystyle \phi \_{\*}}는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 {\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }라고 표기하자.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 **푸아송 미분 동형 사상**(Poisson微分同形寫像, 영어: Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism)이라고 한다. 이는 {\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }의 동형 사상이다.

성질
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푸아송 다양체 M의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입) {\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow M}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 **푸아송 부분 다양체**(영어: Poisson submanifold)라고 한다.

* \iota 를 푸아송 사상으로 만드는 C 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
* \iota 를 푸아송 사상으로 만드는 C 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
* 임의의 {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}에 대하여, 만약 {\displaystyle f\upharpoonright C=0}이라면, {\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}이다. (즉, {\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}는 {\mathcal C}^{\infty }(M,{\mathbb R})의 리 대수 아이디얼을 이룬다.)

푸아송 다양체 M의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다.

심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.

### 공등방성 부분 다양체

매끄러운 다양체 M의 부분 다양체 {\displaystyle C\hookrightarrow M}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, C의 **쌍대 법다발**(영어: conormal bundle)은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {N} ^{\*}C=\{\alpha \in \mathrm {T} ^{\*}M\colon \langle \alpha ,v\rangle =0\;\forall v\in \mathrm {T} C\}\subseteq \mathrm {T} ^{\*}M}
이제, {\displaystyle (M,\pi )}이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 **공등방성 부분 다양체**(共等方性部分多樣體, 영어: coisotropic submanifold)라고 한다.

* {\displaystyle \sharp (\mathrm {N} ^{\*}C)\subseteq \mathrm {T} C}
* 임의의 {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}에 대하여, 만약 {\displaystyle f\upharpoonright C=g\upharpoonright C=0}이라면, {\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}이다. (다시 말해서, {\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\}}의 부분 리 대수이다.)

정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼이 부분 리 대수이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.

### 푸아송 사상

세 푸아송 다양체 M, N, P 사이의 매끄러운 함수 {\displaystyle f\colon M\to N}, {\displaystyle g\colon N\to P}가 주어졌다고 하자.

* 만약 f와 g가 푸아송 사상이라면 g\circ f 또한 푸아송 사상이다.
* 만약 f가 전사 함수인 푸아송 사상이며 g\circ f도 푸아송 사상이라면, g 역시 푸아송 사상이다.

특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}이 주어졌을 때,

{\displaystyle \phi ^{\vee }\colon {\mathfrak {h}}^{\vee }\to {\mathfrak {g}}^{\vee }}
는 푸아송 사상이다. 여기서 (-)^{\vee }는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.

연산
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### 곱공간

임의의 두 푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\pi \_{M})}, {\displaystyle (N,\pi \_{N})}에 대하여, 곱공간 M\times N 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.

{\displaystyle \pi ((u,v),(u',v))=\pi \_{M}(u,u')+\pi \_{N}(v,v')\qquad \forall (x,y)\in M\times N,\;(u,v),(u',v')\in \mathrm {T} \_{(x,y)}M\times N=\mathrm {T} \_{x}M\oplus \mathrm {T} \_{y}N}
이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{1}\colon M\times N\to M}
{\displaystyle \operatorname {proj} \_{2}\colon M\times N\to N}
역시 푸아송 사상을 이룬다.

### 분리합집합

임의의 푸아송 다양체들의 집합 {\displaystyle (M\_{i})\_{i\in I}}에 대하여, 분리합집합 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{i\in I}} 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.

### 시작 대상과 끝 대상

푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 \varnothing 이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간 \{\bullet \}이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 M에 대하여 유일한 두 함수

{\displaystyle \varnothing \to M}
{\displaystyle M\to \{\bullet \}}
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

### 망각 함자

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.

{\displaystyle \operatorname {PoissDiff} \to \operatorname {Diff} }
반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Diff} \hookrightarrow \operatorname {PoissDiff} }
{\displaystyle M\mapsto (M,0)}
그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 {\displaystyle \operatorname {SympDiff} }에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 {\mathbb R}^{2}, \mathbb {R} ^{4}에 표준적인 심플렉틱 형식을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.

분류
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### 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현

푸아송 다양체 M의 **심플렉틱 실현**(symplectic實現, 영어: symplectic realization)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 심플렉틱 다양체 N
* 전사 함수이자 침몰인 푸아송 사상 {\displaystyle \phi \colon N\to M}

모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.

### 심플렉틱 잎

푸아송 다양체 M 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 두 점 x, y 사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a\_{0},a\_{N}]\to M}이 존재한다면, x\sim y라고 하자.

* {\displaystyle \gamma (a\_{0})=x}
* {\displaystyle \gamma (a\_{N})=y}
* \gamma 의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 {\displaystyle \gamma \_{i}\colon [a\_{i},a\_{i+1}]\to M}에 대하여, {\displaystyle {\dot {\gamma }}\_{i}(t)=\{h\_{i}(\gamma \_{i}(t)),-\}\in \mathrm {T} \_{\gamma \_{i}(t)}M}이 되는 매끄러운 함수 {\displaystyle h\_{i}\colon M\to \mathbb {R} }가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.:528, Proposition 1.3

* \sim 은 동치 관계를 이룬다.
* \sim 의 각 동치류는 M의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
* 푸아송 구조 \pi를 \sim 의 동치류 {\displaystyle \iota \_{i}\colon M\_{i}\hookrightarrow M}에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 M의 **심플렉틱 잎**(영어: symplectic leaf)이라고 한다.
* 심플렉틱 잎 M\_{i}의 임의의 점 {\displaystyle x\in M\_{i}}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {rank} \pi |\_{x}=\dim M\_{i}}이다. 특히, {\displaystyle \operatorname {rank} \pi }는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.

다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.

### 국소 구조

n차원 푸아송 다양체 M의 임의의 점 x\_{0}\in M이 주어졌을 때, x의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계

{\displaystyle (q\_{1},q\_{2},\dotsc ,q\_{r},p\_{1},p\_{2},\dotsc ,p\_{r},c\_{1},\dotsc ,c\_{n-2r})}
를 항상 찾을 수 있다.:Theorem 2.1

{\displaystyle \{q\_{i},q\_{j}\}=\{p\_{i},p\_{j}\}=\{q\_{i},c\_{k}\}=\{p\_{i},c\_{k}\}=0}
{\displaystyle \{q\_{i},p\_{j}\}=\delta \_{ij}}
{\displaystyle \{c\_{k},c\_{l}\}(x\_{0})=0}
즉, 이는 국소적으로 어떤 2r차원 심플렉틱 다양체 S와 푸아송 다양체 N의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 N의 푸아송 구조는 x\_0(의 상)에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 {\displaystyle (S,N)}은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체인 S는 다르부 정리에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 N는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 N의 점 {\displaystyle x\_{0}\in N}에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수

{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}
의 부분 리 대수

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0,x\_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon f(x\_{0})=0\}}
의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.

{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{f\in {\mathcal {C}}\_{0,x\_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon \partial \_{i}\partial \_{j}f(x\_{0})=0\}}
이에 따라, 공변접공간

{\displaystyle \mathrm {T} \_{x\_{0}}^{\*}N={\frac {{\mathcal {C}}\_{0,x\_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}{\mathfrak {m}}}}
위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x\_{0}}N} 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 N의 {\displaystyle x\_{0}\in N}에서의 **선형 근사**(線型近似, 영어: linear approximation)라고 한다.:535–536, §4 이는 대략 x\_0 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

예
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### 자명한 푸아송 다양체

임의의 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 ({\displaystyle \{f,g\}=0}), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 {\displaystyle \pi =0}에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호가 모두 0인 것)에 해당한다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.

### 2차원 이하 푸아송 다양체

매끄러운 다양체 M의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우, M 위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\pi )}의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.

* 2차원 잎들은 {\displaystyle \{x\in M\colon \pi \_{x}\neq 0\}}의 연결 성분이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.
* 0차원 잎들은 {\displaystyle \{x\in M\colon \pi \_{x}=0\}}의 점들이다.

### 심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 (M,\omega )가 주어졌을 때, 푸아송 괄호

{\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)}
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 M의 연결 성분들이다.

### 선형 푸아송 다양체

유클리드 공간 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} 및 V^{\*} 위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 {\displaystyle \pi (-,-)}을 고르자. 그렇다면, 모든 점 x\in V에서 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}V=V}이므로, {\displaystyle (V,\pi )}는 푸아송 다양체를 이룬다.

실수 선형 변환 {\displaystyle \pi ^{\#}\colon V^{\*}\to V}의 계수가 2r라고 하자. 그렇다면, V의 적절한 기저

{\displaystyle (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\subseteq V}
및 그 쌍대 기저

{\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})\subseteq V^{\*}}
에 대하여,

{\displaystyle \pi \left(\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}x^{i},\sum \_{j=1}^{n}b\_{j}x^{j}\right)=\sum \_{i=1}^{r}(a\_{2i-1}b\_{2i}-a\_{2i}b\_{2i-1})}
가 되게 할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle x\_{2r+1},\dotsc ,x\_{n}}에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각

{\displaystyle c\in \operatorname {Span} \{x\_{2r+1},\dotsc ,x\_{n}\}}
에 대하여

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2r}\times \{c\}}
의 꼴이다. 특히, 만약 {\displaystyle n=2r}일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

### 리 대수의 쌍대 공간

 이 부분의 본문은 리-푸아송 구조입니다.
유한 차원 실수 리 대수 {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[,])}의 쌍대 공간 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}} 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{\*};\mathbb {R} )} 및 {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{\*}}에 대하여,

{\displaystyle \{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])}
여기서

{\displaystyle \mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} \_{x}^{\*}{\mathfrak {g}}^{\*}\cong {\mathfrak {g}}}
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 **리-푸아송 구조**(영어: Lie–Poisson structure)라고 한다.

리 지수 사상에 따라 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)}가 되는 단일 연결 리 군 G를 정의하자. 그렇다면, {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}}는 물론 리 군 G의 표현을 이룬다. {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}}의 심플렉틱 잎들은 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}} 속의, G에 대한 궤도에 해당한다. 이를 **쌍대딸림표현 궤도**(영어: coadjoint orbit)라고 한다.

예를 들어, {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)}(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. ({\mathfrak {g}}가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 {\displaystyle B(-,-)}에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \mathbb {S} \_{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))}
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 r의 구이다. r>0일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, r=0일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.

### 리 대수의 족

실수 t\in \mathbb {R} 에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각하자.:550–551, §11.A

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{t}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {R} }\{x,y,z\}}
{\displaystyle [x,y]=tz}
{\displaystyle [y,z]=x}
{\displaystyle [z,x]=y}
만약 {\displaystyle t>0}일 때, 이는 (x,y,z)의 재정의를 통해 3차원 회전군의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)}를 이룬다. 만약 {\displaystyle t<0}일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}와 동형이다. t=0일 때, 이는 유클리드 평면의 등거리 변환군의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {io}}(2)}와 같다.

이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간

{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}}
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.

{\displaystyle \{x,y\}=tz}
{\displaystyle \{y,z\}=x}
{\displaystyle \{z,x\}=y}
{\displaystyle \{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0}
그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.

이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.

t
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+tz^{2}}
이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,

{\displaystyle M\_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\colon x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}}
의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.

| 카시미르 함수의 값 | 추가 조건 | 차원 | 설명 | 미분 동형인 다양체 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle t\neq 0}, r=0 | z=0 | 0 | 한원소 공간 {\displaystyle \{(0,0,0,t)\}} | 한원소 공간 \{\bullet \} |
| t=0, r=0 |  | 0 | 한원소 공간 {\displaystyle \{(0,0,z,0)\}} |
| {\displaystyle t>0}, r>0 |  | 2 | 타원면 | 구 \mathbb {S} ^{2} |
| {\displaystyle t<0}, {\displaystyle r<0} | z>0 | 2 | 쌍곡면 | 평면 {\mathbb R}^{2} |
| {\displaystyle t<0}, {\displaystyle r<0} | {\displaystyle z<0} | 2 | 쌍곡면 |
| {\displaystyle t<0}, r>0 |  | 2 | 쌍곡면 | 원기둥 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} } |
| {\displaystyle t<0}, r=0 | z>0 | 2 | (꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 미래 빛원뿔) |
| {\displaystyle t<0}, r=0 | {\displaystyle z<0} | 2 | (꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 과거 빛원뿔) |
| t=0, r>0 |  | 2 | z축에 대한 반지름 r의 원기둥 |

### 국소 선형 모형

다음이 주어졌다고 하자.

* 심플렉틱 다양체 (M,\omega )
* 매끄러운 주다발 {\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M}
* P의 주접속 {\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}

그렇다면,

{\displaystyle {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{1}(P\times {\mathfrak {g}}^{\*})}
{\displaystyle {\tilde {\theta }}\_{(p,\alpha )}=\langle \alpha ,\theta \rangle }
를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는 G의 {\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}^{\*}} 위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상

{\displaystyle (\pi ,0)\colon P\times {\mathfrak {g}}^{\*}\twoheadrightarrow M}
에 대한 당김을 통하여

{\displaystyle {\tilde {\omega }}=(\pi ,0)^{\*}\omega -\mathrm {d} {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{2}(P\times {\mathfrak {g}}^{\*})}
를 정의할 수 있다. 이는 G-불변인 닫힌 2차 미분 형식이며, 또한 {\displaystyle P\times \{0\}}의 어떤 G-불변 근방

{\displaystyle M\times \{0\}\subseteq U\subseteq M\times {\mathfrak {g}}^{\*}}
{\displaystyle U\cdot G=U}
에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는 U 위의 G-불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간 {\displaystyle U/G} 위에는 푸아송 다양체 구조 {\displaystyle {\tilde {\omega }}/G}가 존재한다. 이 구성은 주접속에 의존하지만, 서로 다른 주접속을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.:Remark 5.17 (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)

이 푸아송 다양체를 주다발 P의 **국소 선형 모형**(局所線型模型, 영어: local linear model)이라고 한다.:§5.8

역사
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시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 H\colon M\to {\mathbb R}가 주어졌을 때, 벡터장 {\displaystyle \{H,-\}}은 다양체 M 위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다.

참고 문헌
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2. ↑  Guillemin, V.; Sternberg, S. (1984). 《Symplectic techniques in Physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3.
3. ↑  Weinstein, Alan (1998년 8월). "Poisson geometry". 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) **9** (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9.
4. ↑  Crainic, Marius; Mărcuț, Ioan (2011). "On the existence of symplectic realizations". 《Journal of Symplectic Geometry》 (영어) **9** (4): 435–444. arXiv:1009.2085.
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6. 1 2 3 4 5  Weinstein, Alan (1983). "The local structure of Poisson manifolds". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **18** (3): 523–557. doi:10.4310/jdg/1214437787. MR 723816. Zbl 0524.58011.  Weinstein, Alan (1983). "Errata and addenda: "The local structure of Poisson manifolds"". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **18** (3): 523–557. doi:10.4310/jdg/1214439822. MR 834280.
7. 1 2  Crainic, Marius; Loja Fernandes, Rui; Martínez Torres, David (2015). "Poisson manifolds of compact types" (영어). arXiv:1510.07108.