고전역학| {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})뉴턴의 제2법칙 |
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| * v
* t
* e
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**푸아송 괄호**(영어: Poisson bracket)란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다.

정의
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일반화 좌표 (q\_{i},\;p\_{i},\;t)에서, 다음과 같은 두 함수 F(q\_{i},\;p\_{i},\;t), G(q\_{i},\;p\_{i},\;t)에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

\{F,\;G\}=\sum \_{i}\left[{\partial F \over \partial q\_{i}}{\partial G \over \partial p\_{i}}-{\partial F \over \partial p\_{i}}{\partial G \over \partial q\_{i}}\right]
몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.

\{F,\;G\}=\sum \_{i}\left[{\partial F \over \partial p\_{i}}{\partial G \over \partial q\_{i}}-{\partial F \over \partial q\_{i}}{\partial G \over \partial p\_{i}}\right]
두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자.

성질
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일반화 좌표 (q\_{i},\;p\_{i},\;t)에서, 다음과 같은 세 함수 A(q\_{i},\;p\_{i},\;t), B(q\_{i},\;p\_{i},\;t), C(q\_{i},\;p\_{i},\;t)에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다.

\{A,\;B\}=-\{B,\;A\}
또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다.

\{A,\;\{B,\;C\}\}+\{B,\;\{C,\;A\}\}+\{C,\;\{A,\;B\}\}\ =\ 0
일반화 좌표 {\displaystyle q\_i}와 일반화 운동량 p\_i사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며

\{p\_{i},\;q\_{j}\}=\delta \_{{ij}}
\{p\_{i},\;p\_{j}\}=\{q\_{i},\;q\_{j}\}=0
함수 A(q\_{i},\;p\_{i},\;t)와 일반화 좌표 {\displaystyle q\_i}와 운동량 p\_i사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다.

\{A,\;q\_{i}\}=-{\partial A \over \partial p\_{i}}
\{A,\;p\_{i}\}={\partial A \over \partial q\_{i}}

해밀턴 방정식과 푸아송 괄호
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푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 (q\_{i},\;p\_{i},\;t)에서의 해밀턴 방정식

{\dot {p}}\_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}
{\dot {q}}\_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}
은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\dot {p}}\_{i}=-\{H,\;p\_{i}\}
{\dot {q}}\_{i}=-\{H,\;q\_{i}\}
원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 {\displaystyle q\_i}와 일반화 운동량 p\_i사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 {\displaystyle q\_i}와 p\_i사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

운동상수와 푸아송 괄호
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만약 어떤 동역학적 물리량 F(q\_{i},\;p\_{i},\;t)가 운동상수, 즉 보존되는 물리량

{dF \over dt}=0
이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며

{\partial F \over \partial t}=0
해밀토니안 H와 물리량 F의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다.

\{H,\;F\}=0
이는, 맨 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다.

{\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}F(q\_{i},\;p\_{i})\\&=\sum \_{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q\_{i}}}{\frac {dq\_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p\_{i}}}{\frac {dp\_{i}}{dt}}\right]\\&=\sum \_{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q\_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}\right]\\&=\{F,\;H\}\\&=-\{H,\;F\}\end{aligned}}

물리량의 시간적 변화
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어떤 동역학적 물리량 F(q\_{i},\;p\_{i},\;t)가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\frac {d}{dt}}F(q\_{i},\;p\_{i}\;,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum \_{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q\_{i}}}{\frac {dq\_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p\_{i}}}{\frac {dp\_{i}}{dt}}\right]
여기에 해밀턴 방정식 {\dot {q}}\_{i}={\partial H}/{\partial p\_{i}} 와 {\dot {p}}\_{i}=-{\partial H}/{\partial q\_{i}}을 대입하면

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}F(q\_{i},\;p\_{i},\;t)&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum \_{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q\_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}\right]\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}-\{H,\;F\}\end{aligned}}
이 된다. 따라서 물리량 F의 시변(시간변화 부분)은

{\frac {d}{dt}}F=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\;\cdot \}\right)F
와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 -\{H,\;\cdot \}는 리우빌리안이라 불리기도 한다.

참고 문헌
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* 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽.