집합론에서 **가측 기수**(可測基數, 영어: measurable cardinal)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의
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### 필터와 측도

음이 아닌 확장된 실수의 집합 {\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}에 대하여, 다음을 정의하자.:129, (10.10)

{\displaystyle \sum S=\sup \_{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph \_{0}}\sum S'\in [0,\infty ]}
임의의 기수 \kappa 와 \kappa -완비 불 대수 B 및 {\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}에 대하여, 함수 {\displaystyle \mu \colon B\to S}가 다음 조건들을 모두 만족시키면, \mu 가 {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;B,S)} 조건을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle \mu (\bot )=0}이다.
* (단조성) a\le b라면 {\displaystyle \mu (a)\leq \mu (b)}이다.
* (\kappa -가법성) 임의의 {\displaystyle S\subseteq B}에 대하여, 만약 {\displaystyle |S|<\kappa }이며 임의의 s,t\in S에 대하여 {\displaystyle s\land t=\bot \_{B}}라면, {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigvee S\right)=\sum \mu [S]}이다.

이 조건을 만족시키는 함수 \mu 를 **B 위의, S 값의 \kappa -가법 측도**(영어: S-valued \kappa -additive measure on B)라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.

* 측도: 시그마 대수 \Sigma  위의 측도 \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]는 {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph \_{1};\Sigma ,[0,\infty ])}를 만족시키는 함수이다.
* 극대 필터: B 위의 극대 필터 {\displaystyle U\subseteq B}에 대하여, 함수 {\displaystyle \mu \colon B\to \{0,1\}}, {\displaystyle \textstyle \mu \colon b\mapsto {\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not \in U\end{cases}}}를 정의하면, \mu 는 {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph \_{0};B,\{0,1\})}를 만족시킨다.

### 가측 기수

기수 \kappa 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 **가측 기수**라고 한다.

* 크기가 \kappa 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 \kappa -완비 극대 필터가 존재한다.:127, Definition 10.3:26, §1.2
* 멱집합 {\displaystyle \operatorname {Pow} (\kappa )} 위에, {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),\{0,1\})}를 만족시키는 함수 {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to \{0,1\}}가 존재하며, 또한 임의의 {\displaystyle \alpha \in \kappa }에 대하여 {\displaystyle \mu (\{\alpha \})=0}이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
* \kappa 는 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 \kappa 에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),[0,1])}를 만족시키는 확률 측도 {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to [0,1]}가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.

* 만약 \mu 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 {\displaystyle a\in \kappa }에 대하여 {\displaystyle \mu (\{a\})=0}이다.)

그렇다면 \kappa 를 **실가 가측 기수**(實價可測基數, 영어: real-valued measurable cardinal)라고 한다.:130, Definition 10.8:24, §2.1

성질
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### 함의 관계

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.:Lemma 10.18 (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.:136, §10 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수
모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 2^{\aleph \_{0}} 이하이다.:131, Corollary 10.10

### 논리적 성질

가측 기수 \kappa 에 대하여, V\_{\kappa } (크기가 \kappa  미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, V\_{\kappa }에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 V=L은 거짓이다.

### 울람 행렬

임의의 두 기수 \kappa ,\lambda 가 주어졌다고 하자.

{\displaystyle (\lambda ,\kappa )}-**울람 행렬**은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

{\displaystyle A\colon \lambda \times \kappa \to \operatorname {Pow} (\lambda )}
{\displaystyle A\colon (\alpha ,\beta )\mapsto A\_{\alpha ,\beta }}
이다.:131, Definition 10.11; 132, (10.14)

* 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 {\displaystyle \alpha \neq \alpha '}라면, 임의의 {\displaystyle \beta <\lambda }에 대하여 {\displaystyle A\_{\alpha ,\beta }\cap A\_{\alpha ',\beta }=\varnothing }
* 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 \kappa  이하이다. 즉, 임의의 {\displaystyle \alpha <\lambda }에 대하여, {\displaystyle \textstyle |\lambda \setminus \bigcup \_{\beta <\lambda }A\_{\alpha ,\beta }|<\kappa }이다.

만약 {\displaystyle (\kappa ,\lambda )}가 주어지지 않았다면, {\displaystyle (\kappa ,\lambda )=(\aleph \_{1},\aleph \_{0})}을 뜻한다.

#### 존재

임의의 기수 \kappa 에 대하여, {\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}-울람 행렬이 존재한다.

**증명:**

각 {\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}}에 대하여, 전사 함수

{\displaystyle f\_{\xi }\colon \kappa \to \xi }
를 고르자. 그렇다면, 행렬 {\displaystyle A\_{\alpha ,\beta }}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \xi \in A\_{\alpha ,\beta }\iff f\_{\xi }(\beta )=\alpha }
그렇다면, A는 {\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}-울람 행렬을 이룬다.

* 임의의 {\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}} 및 {\displaystyle \beta \in \kappa }에 대하여, {\displaystyle \xi \in A\_{\alpha ,\beta }}가 되는 유일한 \alpha 는 {\displaystyle \alpha =f\_{\xi }(\beta )}이다.
* 각 {\displaystyle \alpha \in \kappa ^{+}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \kappa \setminus \bigcup \_{\beta <\kappa }A\_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in \kappa ^{+}\colon \alpha <\xi \}=\min\{\alpha ,\kappa \}}이다.

#### 측도와의 관계

측도 \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]의 **원자**(영어: atom)는 {\displaystyle \mu (S)>0}이지만 임의의 {\displaystyle S'<S}에 대하여 {\displaystyle \mu (S')=0}이 되는 원소 {\displaystyle S\in \Sigma }이다.

임의의 기수 {\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph \_{0}}가 주어졌다고 하자.

{\displaystyle (\lambda ,\kappa )}-울람 행렬이 존재한다면, {\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )} 위의 임의의 \kappa ^{+}-가법 확률 측도 {\displaystyle \Pr }는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

{\displaystyle \Pr(\{\alpha \})>0}
인 {\displaystyle \alpha \in \lambda }가 존재한다.

**증명:**

A가 울람 행렬이라고 하고, {\displaystyle \Pr }가 {\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )} 위의 \kappa ^{+}-가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 {\displaystyle \alpha \in \lambda }에 대하여 {\displaystyle \Pr(\{\alpha \})=0}라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 {\displaystyle \alpha <\lambda }에 대하여,

{\displaystyle \Pr \left(\lambda \setminus \bigcup \_{\beta <\kappa }A\_{\alpha ,\beta }\right)=0}
{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{\beta <\kappa }A\_{\alpha ,\beta }\right)=1}
이다. 따라서, {\displaystyle \Pr(A\_{\alpha ,f(\alpha )})>0}인 {\displaystyle f(\alpha )<\kappa }가 존재한다. 이제, 각 {\displaystyle \beta \in \kappa }에 대하여

{\displaystyle f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda \colon f(\alpha )=\beta \}}
를 생각하자. {\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph \_{0}}이므로, {\displaystyle f^{-1}(\beta \_{0})=\lambda }인 {\displaystyle \beta \_{0}\in \kappa }가 존재한다.

이제,

{\displaystyle {\mathcal {U}}=(A\_{\alpha ,\beta \_{0}})\_{\alpha \in f^{-1}(\beta \_{0})}}
는 \lambda  개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

{\displaystyle \forall m<\omega \colon {\mathcal {U}}\_{m}=\{U\in {\mathcal {U}}\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}}
그렇다면,

{\displaystyle \bigcup \_{m<\omega }{\mathcal {U}}\_{m}={\mathcal {U}}}
이므로, 이 가운데 {\displaystyle |{\mathcal {U}}\_{m\_{0}}|=\lambda }인 {\displaystyle m\_{0}\in \omega }가 존재한다. 따라서,

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup {\mathcal {U}}\_{m}\right)=\infty }
인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히, {\displaystyle \operatorname {Pow} (\omega \_{1})} 위의 임의의 (\sigma -가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 \mathbb {R}  위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.:133, Corollary 10.17

역사
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가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.:138, §10

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
2. 1 2  Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. ↑  Scott, Dana S. (1961). "Measurable cardinals and constructible sets". 《Bulletin de l’Académie polonaise des sciences. Série des Sciences mathématiques, astronomiques et physiques》 (영어) **9**: 521–524. ISSN 0001-4117. Zbl 0154.00702.
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6. ↑  Banach, Stefan (1930). "Über additive Massfunktionen in abstrakten Mengen" (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) **15**: 97–101. ISSN 0016-2736. JFM 56.0920.03. 2016년 9월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 9월 10일에 확인함.