해밀턴 역학에서 **콜모고로프-아르놀트-모저 정리**(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다.

정의
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2n차원 심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 위의 적분가능계의 작용-각도 변수가 {\displaystyle (I^{i},\theta \_{i})}라고 하자 ({\displaystyle I^{i}\in \mathbb {R} }, {\displaystyle \theta \_{i}\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }). 즉, 해밀토니언 함수 {\displaystyle H\_{0}(I)}는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식은

{\displaystyle {\dot {I}}^{i}=0}
{\displaystyle {\dot {\theta }}\_{i}=\omega \_{ij}I^{j}}
이며, 따라서 {\displaystyle I^{i}}들은 운동 상수이며, 계의 \theta \_{i}에 대한 주기는 {\displaystyle 1/(2\pi \omega \_{ij}I^{j})}이다. 만약 {\displaystyle I^{i}}들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(영어: quasiperiodic) 해를 이룬다.
각 {\displaystyle (I^{1},\dots ,I^{n})}에 대응하는 n차원 원환면을 **불변 원환면**(영어: invariant torus)이라고 한다.

이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자.

{\displaystyle H(I,\theta )=H\_{0}(I)+V(I,\theta )}
그렇다면, 만약 V가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다.

구체적으로, 임의의 벡터 {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 {\displaystyle a,b>0}가 존재한다면, v가 **디오판토스 벡터**(영어: Diophantine vector)라고 하자.

{\displaystyle \forall \mathbf {u} \in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\colon |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\geq a\left(|u\_{1}|+\cdots +|u\_{n}|\right)^{-b}}
르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다.

**콜모고로프-아르놀트-모저 정리**에 따르면, 만약 임의의 {\displaystyle (I^{0},\dots ,I^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여

* {\displaystyle \omega \_{ij}I^{j}}가 디오판토스 벡터이며,
* 헤세 행렬 {\displaystyle \partial ^{2}H\_{0}/\partial I^{i}\partial I^{j}}이 가역 행렬이라면,

충분히 작은 V에 대하여, 섭동된 해밀토니언 {\displaystyle H=H\_{0}+V}에 대하여 주기가 {\displaystyle \omega \_{ij}I^{j}}인 준주기적 해가 존재한다. (만약 H\_{0}에 대한 해가 주기적이더라도, H에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.)

여기서 "충분히 작은 V에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다.

{\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle V\colon (I^{i},\theta \_{i})\mapsto V(I,\theta )}
가 {\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}}의 복소수 닫힌 근방

{\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}\subset U\subset {\bar {U}}\subset \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}
으로 해석적 연속될 수 있다고 하고,

{\displaystyle \|V\|=\sup \_{x\in {\bar {U}}}|V(x)|}
라고 할 때, {\displaystyle \|V\|<\epsilon (a,b)}이라면 (a,b)-디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 {\displaystyle \epsilon (a,b)\in \mathbb {R} ^{+}}이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 (a,b)에 의존한다.)

역사
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안드레이 콜모고로프 · 블라디미르 아르놀트 · 위르겐 모저 가 증명하였다.

참고 문헌
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