호몰로지 대수학에서 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 **돌트-칸 대응**(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

정의
--

### 무어 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

* 아벨 범주 {\mathcal A}
* 준단체 대상 {\displaystyle M\_{\bullet }\colon \triangle \_{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}

이제, 다음을 정의하자.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{n}(M)=M\_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
{\displaystyle \partial \_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-)^{i}\partial \_{n,i}M\_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
그렇다면, {\displaystyle (\operatorname {C} \_{\bullet }(M),\partial \_{\bullet })}은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 {\displaystyle M\_{\bullet }}의 **무어 사슬 복합체**(영어: Moore chain complex)라고 한다.:45, Definition 1.6.2

**증명**:

편의상 집합

{\displaystyle S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}}
및

{\displaystyle S\_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}}
{\displaystyle S\_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}}
을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

{\displaystyle S\_{+}\to S\_{-}}
{\displaystyle (j,i+1)\mapsto (i,j)}
가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\partial \_{n-1}\circ \partial \_{n}&=\sum \_{(i,j)\in S}\partial \_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j}\\&=\sum \_{(i,j)\in S\_{+}}(-)^{i+j}\partial \_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j}+\sum \_{(i,j)\in S\_{-}}(-)^{i+j}\partial \_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j}\\&=\sum \_{(i,j)\in S\_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial \_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j}+(-)^{i+j}\partial \_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j}\right)=0\end{aligned}}}

### 사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상

다음이 주어졌다고 하자.

* 아벨 범주 {\mathcal A}
* {\mathcal A} 속의 자연수 등급 사슬 복합체
{\displaystyle \dotsb \to C\_{2}{\xrightarrow {\partial \_{2}}}C\_{1}{\xrightarrow {\partial \_{1}}}C\_{0}\to 0}

이제, C\_{\bullet }에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

{\displaystyle M(n)=C\_{n}}
{\displaystyle M(\partial \_{n,i})\colon C\_{n}\to C\_{n-1}}
{\displaystyle M(\partial \_{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial \_{n}&i=n\end{cases}}}
### 퇴화 복합체와 정규화 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

* 아벨 범주 {\mathcal A}
* 단체 대상 {\displaystyle M\_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}

이제, 다음을 생각하자.

{\displaystyle f\_{n}\colon \coprod \_{i=0}^{n-1}s\_{n,i}\colon M\_{n-1}^{\oplus n}\to M\_{n}}
{\displaystyle g\_{n}\colon \prod \_{i=0}^{n-1}\partial \_{n,i}\colon M\_{n}\to M\_{n+1}^{\oplus n}}
(※ g\_{n}에서, 합이 i=n을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {D} \_{\bullet }(M)=\operatorname {im} f\_{n}}
{\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(M)=\ker g\_{n}}
그렇다면, {\displaystyle (\operatorname {D} \_{\bullet }(M),\partial \_{\bullet })}와 {\displaystyle (\operatorname {N} \_{\bullet }(M),\partial \_{\bullet })} 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. {\displaystyle \operatorname {D} \_{\bullet }(M)}을 **퇴화 사슬 복합체**(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, {\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(M)}을 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.

**퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

{\displaystyle \partial \_{n+1}\circ s\_{n,i}=\sum \_{j=0}^{n}s\_{n,j}\circ \phi \_{i,j}}
여기서 {\displaystyle \phi \_{i,j}}는 임의의 사상이다.

그런데

{\displaystyle {\begin{aligned}\partial \_{n+1}\circ \circ s\_{n,i}&=\sum \_{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial \_{n+1,j}\circ s\_{n,i}\\&=\sum \_{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial \_{n+1,j}\circ s\_{n,i}+\sum \_{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial \_{n+1,j}\circ s\_{n,i}+\sum \_{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial \_{n+1,j}\circ s\_{n,i}\\&=\sum \_{j=0}^{i-1}(-)^{j}s\_{n-1,i-1}\circ \partial \_{n,j}+\sum \_{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum \_{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s\_{n-1,i}\circ \partial \_{n,j-1}\\&=s\_{n-1,i-1}\circ \left(\sum \_{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial \_{n,j}\right)-s\_{n-1,i}\circ \left(\sum \_{j=i}^{n}(-)^{j}\partial \_{n,j}\right)\\\end{aligned}}}
이다.

**정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

g\_{{n+1}}의 핵의 경계가 g\_{n}의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

{\displaystyle \partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1}=\sum \_{j=1}^{n}\phi \_{i,j}\circ \partial \_{n+1,j}\qquad (j<n)}
여기서 {\displaystyle \phi \_{i,j}}는 임의의 사상이다.

그런데

{\displaystyle {\begin{aligned}\partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1}&=\sum \_{j=0}^{n+1}\partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1,j}\\&=\left(\sum \_{j=0}^{n}\partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1,n+1}\\&=\left(\sum \_{j=0}^{n}\partial \_{n,i}\circ \partial \_{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial \_{n,n}\circ \partial \_{n+1,i}\\\end{aligned}}}
이다.

### 준단체 대상에 대응하는 단체 대상

우선, 다음 기호를 정의하자.

* {\displaystyle \operatorname {Surj} (n,m)\subseteq \hom \_{\triangle }(n,m)}은 모든 전사 증가 함수 {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc ,m\}} ({\displaystyle 0\leq m\leq n})들의 집합이다.

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 준단체 대상

{\displaystyle C\colon \triangle \_{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 {\mathcal A} 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \sigma (C\_{n})=\bigoplus \_{m=0}^{n}\bigoplus \_{\operatorname {Surj} (n,m)}C\_{m}}
즉, 각 {\displaystyle \phi \in \operatorname {Surj} (n,m)}에 대하여 포함 사상

{\displaystyle \beta \_{\phi }\colon C\_{m}\hookrightarrow \sigma (C\_{n})}
이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 \triangle  속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

{\displaystyle f\in \hom \_{\triangle }(m,n)}
에 대하여,

{\displaystyle \sigma (f)\colon \sigma (C\_{n})\to \sigma (C\_{m})}
은 다음과 같다.

{\displaystyle \sigma (f)=\coprod \_{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta \_{\phi }\circ C(\iota )}
여기서,

* {\displaystyle \iota \circ \phi =g\circ f}은 {\displaystyle (\iota ,\phi )}가 {\displaystyle g\circ f\in \hom \_{\triangle }(m,k)}의, 단사 함수({\displaystyle \iota \colon \{0,\dotsc ,n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc ,k\}})와 전사 함수({\displaystyle \phi \colon \{0,\dotsc ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dotsc ,n'\}})로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
* {\displaystyle C(\iota )\colon C\_{k}\to C\_{n'}}은 함자 {\displaystyle C\colon \triangle \_{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 아래의, {\displaystyle \iota \in \hom \_{\triangle \_{\operatorname {pre} }}(n',k)}의 상이다.

성질
--

### 짧은 완전열

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 단체 대상 {\displaystyle M\_{\bullet }}에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to \operatorname {D} \_{\bullet }(M)\to \operatorname {C} \_{\bullet }(M)\to \operatorname {N} \_{\bullet }(M)\to 0}
즉,

{\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} \_{\bullet }(M)}{\operatorname {D} \_{\bullet }(M)}}}
이다.

### 정규 사슬 복합체의 표준 분해

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 단체 대상 {\displaystyle M\_{\bullet }}에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

{\displaystyle i\_{n}\colon \bigoplus \_{m=0}^{n}\bigoplus \_{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} \_{k}(M)\cong \operatorname {C} \_{n}(M)}
이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle i\_{n}=\coprod \_{m=0}^{n}\coprod \_{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })}
여기서

{\displaystyle M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} \_{m}(M)\to M\_{n}}
은 함자 {\displaystyle M\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}} 아래 {\displaystyle f^{\operatorname {op} }\in \hom \_{\triangle ^{\operatorname {op} }}(m^{\operatorname {op} },n^{\operatorname {op} })}의 상이다.

### 돌트-칸 대응

아벨 범주 {\mathcal A} 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}는 {\mathcal A} 위의 단체 대상의 범주이다.
* \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})는 {\mathcal A} 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.

* {\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})}는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
* {\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})\to \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

{\displaystyle \operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1\_{\operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})}}
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1\_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}}
가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma } }
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N} }
### 모형 구조

돌트-칸 대응을 사용하여, \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A}) 위의 모형 범주 구조를 {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})와 {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})} 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, {\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사
--

돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) **174**. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
2. ↑  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **301** 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.
3. ↑  Dold, Albrecht (1958년 7월). "Homology of symmetric products and other functors of complexes". 《Annals of Mathematics》 (영어) **68** (1): 54–80. doi:10.2307/1970043. JSTOR 1970043. Zbl 0082.37701.
4. ↑  Kan, Daniel Marinus (1958년 3월). "Functors involving c.s.s. complexes". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **87** (2): 330–346. doi:10.1090/S0002-9947-1958-0131873-8. JSTOR 1993103. MR 0131873. Zbl 0090.39001.
5. ↑  Dold, Albrecht; Puppe, Dieter (1961). "Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen". 《Annales de l’institut Fourier》 (독일어) **11**: 201-312. doi:10.5802/aif.114. MR 150183. Zbl 0098.36005.