선형대수학과 군론에서 **준반사**(準反射, 영어: pseudoreflection 슈도리플렉션[\*])는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 체에 대하여 일반화한 것이다.

정의
--

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 **준반사**는 다음과 같은 자기 선형 변환 {\displaystyle f\colon V\to V}이다.

* 멱일원이다. 즉, {\displaystyle f^{r}=\operatorname {id} }인 양의 정수 r\in {\mathbb N}이 존재한다.
* 고정점 부분 벡터 공간 {\displaystyle V^{f}=\{v\in V\colon fv=v\}\subseteq V}의 여차원은 1이다.

여기서 {\displaystyle f^{r}=1}이 되는 최소의 양의 정수 r는 f의 **차수**(영어: order)라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다).

성질
--

### 차수

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 준반사 f의 차수 {\displaystyle r\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

* \operatorname {char}K>0이며, {\displaystyle r=2}이다.
* {\displaystyle \{a\in K\colon a^{r}=1\}\supsetneq \{1\}}이다.

즉, 특히 실수체 K=\mathbb {R} 일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.

반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.

### 고윳값

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 준반사 f의 차수가 r이라고 하자. 만약 f가 대각화될 수 있다면, f는 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle f=\operatorname {diag} (1,1,\dotsc ,1,\alpha )}
여기서 \alpha 는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약 f가 대각화될 수 없다면, f는 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle f={\begin{pmatrix}1&1&0&\dotsm &0\\0&1&0&\dotsm &0\\0&0&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\\0&0&0&&1\end{pmatrix}}}
대각화될 수 없는 준반사를 **이환**(移環, 영어: transvection)이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.

만약 {\displaystyle \operatorname {char} K\not \mid n}이라면, f는 항상 대각화될 수 있다.

### 준반사로 생성되는 군

임의의 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군

{\displaystyle G\leq \operatorname {GL} (V;K)}
{\displaystyle |G|<\aleph \_{0}}
이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.

* V 값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수 {\displaystyle K[V]=\operatorname {Sym} (V^{\*})}. 그 위에는 G가 {\displaystyle (g\cdot p)(v)=p(g^{-1}v)\qquad (p\in K[V],\;v\in V,\;g\in G)}와 같이 작용하여, 이는 군환 K[G]의 가군을 이룬다.
* G에 대한 불변 다항식들의 부분 대수 {\displaystyle K[V]^{G}=\{p\in K[V]\colon g\cdot p=p\;\forall g\in G\}}.

또한, 다음을 가정하자.

* {\displaystyle \operatorname {char} K=0}이거나, 또는 {\displaystyle \operatorname {char} K\not \mid |G|}

**슈발레-셰퍼드-토드 정리**(Chevalley-Shepard-Todd定理, 영어: Chevalley–Shepard–Todd theorem)에 따르면, G에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* G를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 {\displaystyle P\subseteq \operatorname {GL} (V;K)}이 존재한다.
* {\displaystyle K[V]^{G}}는 K 위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다.
* {\displaystyle K[V]^{G}}의 모든 소 아이디얼에서의 국소화는 정칙 국소환이다.
* K[V]는 {\displaystyle K[V]^{G}} 위의 자유 가군이다.
* K[V]는 {\displaystyle K[V]^{G}} 위의 사영 가군이다.

이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군을 K-**준반사군**(準反射群, 영어: pseudoreflection group)이라고 한다.

두 K-준반사군의 직접곱은 역시 K-준반사군이다.

**증명:**

두 K-준반사군

{\displaystyle G\leq \operatorname {GL} (V;K)}
{\displaystyle H\leq \operatorname {GL} (W;K)}
이 주어졌을 때, 자연스럽게

{\displaystyle G\times H\leq \operatorname {GL} (V;K)\times \operatorname {GL} (W;K)\leq \operatorname {GL} (V\oplus W;K)}
이다.

역사
--

슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드(영어: Geoffrey Colin Shephard)와 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며, 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다.

이후 장피에르 세르가 이 정리를 양의 표수에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Shephard, Geoffrey Colin; Todd, John Arthur (1954). "Finite unitary reflection groups". 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) **6**: 274–304. doi:10.4153/CJM-1954-028-3. ISSN 0008-414X. MR 0059914.
2. ↑  Chevalley, Claude (1955년 10월). "Invariants of finite groups generated by reflections". 《American Journal of Mathematics》 (영어) **77** (4): 778–782. doi:10.2307/2372597. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372597.

* "Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **34**: 211–250. 1997. doi:10.1090/S0273-0979-97-00724-6. MR 1433171.