연속 함수의 이론에서, 함수의 **불연속점**(不連續點, 영어: point of discontinuity)은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합이거나 조밀 집합일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.

정의
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실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 **제1종 불연속점**(第一種不連續點, 영어: point of discontinuity of the first kind)과 **제2종 불연속점**(第二種不連續點, 영어: point of discontinuity of the second kind)으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 **제거 가능 불연속점**(除去可能不連續點, 영어: point of removable discontinuity)과 **비약 불연속점**(飛躍不連續點, 영어: point of jump discontinuity)으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 **무한 불연속점**(無限不連續點, 영어: point of infinite discontinuity)과 **진동 불연속점**(震動不連續點, 영어: point of oscillating discontinuity)으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }, 공역이 실수 집합 \mathbb {R} 인 함수 f\colon I\to {\mathbb R}가 주어졌다고 하자.

### 제1종 불연속점

불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **제1종 불연속점**이라고 한다.

* (좌·우극한 존재) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)}와 {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)}가 둘 다 존재한다.

#### 제거 가능 불연속점

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - x.없앨 수 있는 불연속점
제1종 불연속점 a\in I가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 **제거 가능 불연속점** 또는 **없앨 수 있는 불연속점**이라고 한다.

* (좌·우극한 일치) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)=\lim \_{x\to a^{+}}f(x)}
* (극한 존재) {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)}가 존재한다.
* (제거 가능) {\displaystyle f|\_{I\setminus \{a\}}=g|\_{I\setminus \{a\}}}인 연속 함수 {\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }가 존재한다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-x&x>1\end{cases}}}
제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.

f(1)=1
그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

#### 비약 불연속점

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - (x - 1)^2.비약 불연속성
제1종 불연속점 a\in I가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 **비약 불연속점** 또는 **뜀 불연속점**이라고 한다.

* (좌·우극한 불일치) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)\neq \lim \_{x\to a^{+}}f(x)}
* (극한 부재) {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)}가 존재하지 않는다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-(x-1)^{2}&x>1\end{cases}}}
### 제2종 불연속점

불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **제2종 불연속점**이라고 한다.

* (좌/우극한 부재) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)}와 {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)} 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

#### 무한 불연속점

함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = sin(5/(x - 1)), x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 1/(x - 1).무한 불연속점
제2종 불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **무한 불연속점**이라고 한다.

* (좌/우극한 무한대) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)}와 {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)} 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 {\hat \infty }이다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1\\0&x=1\\{\frac {1}{x-1}}&x>1\end{cases}}}
#### 진동 불연속점

제2종 불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **진동 불연속점**이라고 한다.

* (좌·우극한 무한대 아님) {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)}가 사영 무한대 {\hat \infty }가 아니며, {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)}가 사영 무한대 {\hat \infty }가 아니다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x\neq 1\\0&x=1\end{cases}}}

성질
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함수의 연속점의 집합은 항상 Gδ 집합이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 Fσ 집합이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합이다.

증명:

편의상, 실수 구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }에 정의된 실숫값 함수 f\colon I\to {\mathbb R}만을 생각하자. f의 불연속점 집합을 {\displaystyle E\subseteq I}라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle E=\bigcup \_{n=1}^{\infty }E\_{n}}
{\displaystyle E\_{n}=\left\{a\in I\colon w\_{f}(a)>{\frac {1}{n}}\right\}}
{\displaystyle w\_{f}(a)=\limsup \_{x\to a}f(x)-\liminf \_{x\to a}f(x)}
이제 각 E\_{n}이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 {\displaystyle a\in E\_{n}}에 대하여, a에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 \delta >0이 존재한다.

{\displaystyle \left|f(x)-\lim \_{x\to a^{-}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)}
{\displaystyle \left|f(x)-\lim \_{x\to a^{+}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )}
따라서

{\displaystyle w\_{f}(x)\leq \sup \_{s,t\in (a-\delta ,a)}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)}
{\displaystyle w\_{f}(x)\leq \sup \_{s,t\in (a,a+\delta )}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )}
즉, 각 E\_{n}은 고립점의 집합이므로 가산 집합이다. 즉, E는 가산 집합이다.

특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 **프로다의 정리**(영어: Froda's theorem)라고 한다.

증명:

편의상, 실수 구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }에 정의된 실숫값 단조함수 f\colon I\to {\mathbb R}만을 생각하자. 임의의 a\in I에 대하여, 상한 공리에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다.

{\displaystyle \sup \_{x\in I\colon x<a}f(x)}
또한, 상한의 정의에 따라, 이는 a에서의 좌극한이다.

{\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)=\sup \_{x\in I\colon x<a}f(x)}
비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다.

예
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### 불연속점 집합이 실수 집합인 함수

디리클레 함수

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.

### 불연속점 집합이 유리수 집합인 함수

토메 함수

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}};p,q\in \mathbb {Z} ;q>0;\gcd\{p,q\}=1\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

### 불연속점 집합이 유리수 집합인 단조함수

전체 유리수를 나열한 수열 {\displaystyle (r\_{n})\_{n=0}^{\infty }}에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n\in \mathbb {N} \colon r\_{n}<x}{\frac {1}{2^{n}}}\qquad (x\in \mathbb {R} )}
그렇다면, f는 불연속점 집합이 유리수 집합인 증가함수이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.