일반위상수학에서 **곱위상**(-位相, 영어: product topology)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다.

정의
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위상 공간들의 집합

\{X\_{i}\}\_{{i\in I}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 \prod \_{{i\in I}}X\_{i} 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

* **곱위상**. 이는 위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 에서의 범주론적 곱이다.
* **상자 위상**. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. I가 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다.
* 만약 X\_{i}에 거리 함수가 주어졌다면, **균등 위상**을 정의할 수 있다.
* \operatorname {Top} 의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, I가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

### 곱위상

**곱위상**(-位相, 영어: product topology) 또는 **티호노프 위상**(Тихонов位相, 영어: Tychonoff topology)은 사영 함수

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{i}\colon \prod \_{i\in I}X\_{i}\to X\_{i}}
의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod \_{i\in I}U\_{i}\colon U\_{i}\in {\mathcal {T}}(X\_{i}),\;\aleph \_{0}>|\{i\in I\colon U\_{i}\neq X\_{i}\}|\right\}}
여기서 {\displaystyle {\mathcal {T}}(X\_{i})}는 X\_{i}의 열린집합들의 집합이다. 즉, {\mathcal B}의 원소는 각 X\_{i}의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 X\_{i} 전체와 다른 것이다.

### 상자 위상

위 기저에서 \aleph\_0 (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 \kappa 를 사용하여 위상의 기저

{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\kappa }=\left\{\prod \_{i\in I}U\_{i}\colon U\_{i}\in {\mathcal {T}}(X\_{i}),\;\kappa >|\{i\in I\colon U\_{i}\neq X\_{i}\}|\right\}}
를 정의할 수 있으며, (X\_{i}들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 {\displaystyle \kappa \leq |I|}에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, {\displaystyle \kappa >|I|}일 때), 추가 조건은 자명해진다.

{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\kappa }={\mathcal {B}}\_{\text{box}}=\left\{\prod \_{i\in I}U\_{i}\colon U\_{i}\in {\mathcal {T}}(X\_{i})\right\}\qquad (\kappa >|I|)}
이 기저로 생성되는 위상을 **상자 위상**(箱子位相, 영어: box topology)이라고 한다.:114

따라서, (X\_{i}들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 {\displaystyle \aleph \_{0}\leq \kappa \leq |I|^{+}}에 대하여, \kappa 가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다.

{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}\_{\aleph \_{0}}\subsetneq {\mathcal {B}}\_{\aleph \_{1}}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {B}}\_{|I|}\subsetneq {\mathcal {B}}\_{|I|^{+}}={\mathcal {B}}\_{\text{box}}}
상자 위상을 포함한 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\kappa }}-위상은 만약 I가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

### 균등 위상

거리 공간들의 집합 {\displaystyle \{(X\_{i},d\_{i})\}\_{i\in I}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 {\displaystyle \textstyle \prod \_{i}X\_{i}} 위에 다음과 같이 **균등 거리 함수**(영어: uniform metric) {\displaystyle d\_{\text{unif}}}를 줄 수 있다.

{\displaystyle d\_{\text{unif}}(x,y)=\min\{1,\sup \_{i\in I}d\_{i}(x,y)\}}
그렇다면 {\displaystyle (\textstyle \prod \_{i}X\_{i},d\_{\text{unif}})}는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 **균등 위상**(영어: uniform topology)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.:Theorem 20.4

### 콤팩트 생성 곱위상

위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 의 완비 쌍대 반사 부분 범주 {\displaystyle I\colon {\mathcal {C}}\hookrightarrow \operatorname {Top} }가 주어졌고, {\mathcal {C}}가 한원소 공간을 포함한다고 하자.

쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 I가 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 {\displaystyle R\colon \operatorname {Top} \to {\mathcal {C}}}를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 I는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 R는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 \{\bullet \}은 구체적 범주의 망각 함자 {\displaystyle \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }를 표현하므로, 망각 함자 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} } 역시 극한을 보존하게 된다.

위상 공간의 집합 \{X\_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 {\mathcal {C}}의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 곱을 {\mathcal {C}} 속에서 취할 수 있다. 이를

{\displaystyle \prod \_{i\in I}^{\mathcal {C}}X\_{i}=R\left(\prod \_{i\in I}X\_{i}\right)}
로 표기하자. 망각 함자 {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} 가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 I가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, \operatorname {Top} 에서의 곱)과 다를 수 있다.

보다 일반적으로, ({\mathcal {C}}에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 \{X\_{i}\}\_{{i\in I}}의 **{\mathcal {C}}-곱공간**을

{\displaystyle R\left(\prod \_{i\in I}X\_{i}\right)=\prod \_{i\in I}^{\mathcal {C}}R(X\_{i})}
로 정의할 수 있다.

이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 \operatorname {CGTop}이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 \operatorname {Top} 의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 **콤팩트 생성화** k\colon \operatorname {Top}\to \operatorname {CGTop}라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 {\displaystyle k(X\times Y)}는 일반적으로 곱위상 X\times Y보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상 X\times Y보다 콤팩트 생성 곱공간 {\displaystyle k(X\times Y)}이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 (\operatorname {Top} ) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

성질
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곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

| 성질 | 곱위상 | 상자 위상 |
| --- | --- | --- |
| 콤팩트 공간 | 예 (티호노프 정리) | 아니오 (반례: {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph \_{0}}}) |
| 연결 공간 | 예 | 아니오 (반례: {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph \_{0}}}) |
| 경로 연결 공간 | 예 | 아니오 (반례: {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph \_{0}}}) |
| 콜모고로프 공간 | 예 | 예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |
| T1 공간 | 예 | 예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |
| 하우스도르프 공간 | 예 | 예:171, Proposition 1.2(iii) (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립) |
| 정칙 공간 | 예 | 예:171, Proposition 1.2(iii) |
| 완비 정칙 공간 | 예 | 예:171, Proposition 1.2(iii) |
| 정규 공간 | 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱) | 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱) |
| 이산 공간 | 아니오 | 예 |
| 비이산 공간 | 예 | 예 |

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

예
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가산 무한 개의 실수선 \mathbb {R} 들의 곱집합 {\displaystyle \mathbb {R} ^{\aleph \_{0}}}에서 상자 위상을 부여하자.:Counterexample 109
이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 콤팩트 공간이 아니다.
* 연결 공간이 아니다.
* 제1 가산 공간이 아니다.
* 분해 가능 공간이 아니다.
* 이는 완비 정칙 공간이다.
* 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

역사
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상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.:300, Historical Notes §8

곱위상은 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 1930년에 도입하였다.:300, Historical Notes §8

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(영어: Edwin Henry Spanier)가 1959년에 "약한 위상"(영어: weak topology)이라는 이름으로 도입하였다. 스패니어는 {\displaystyle \langle X\times Y\rangle }라는 기호를 사용하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
2. 1 2 3  Williams, Scott W. (1984). 〈Chapter 4. Box products〉. Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. 《Handbook of set-theoretic topology》 (영어). North-Holland. doi:10.1016/B978-0-444-86580-9.50007-0. ISBN 978-0-444-86580-9.
3. ↑  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
4. ↑  Tietze, Heinrich (1923). 《Über Analysis situs》. Hamburger mathematische Einzelschriften (독일어) **2**. Im verlag des Mathematischen Seminars der Hamburgischen Universität. 27–70쪽. JFM 49.0398.01.
5. 1 2  Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581.
6. ↑  Tychonoff, A. (1930). "Über die topologische Erweiterung von Räumen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **102** (1): 544–561. doi:10.1007/BF01782364. ISSN 0025-5831.
7. ↑  Spanier, E. (1959년 1월). "Infinite symmetric products, function spaces, and duality" (영어) **69** (1): 142–198. doi:10.2307/1970099. JSTOR 1970099.

* Brown, Ronald (1963). "Ten topologies for *X*×*Y*". 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) **14** (1): 303–319. doi:10.1093/qmath/14.1.303.
* Knight, C. J. (1964). "Box topologies". 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) **15** (1): 41–54. doi:10.1093/qmath/15.1.41.
* van Douwen, Eric K. (1980). 〈Covering and separation properties of box products〉. Reed, George M. 《Surveys in General Topology》 (영어). Academic Press. 55–129쪽. doi:10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9. ISBN 978-0-12-584960-9.
* Przymusiński, Teodor C. (1980). 〈Product spaces〉. Reed, George M. 《Surveys in General Topology》 (영어). Academic Press. 399–429쪽. doi:10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9. ISBN 978-0-12-584960-9.