정수론에서 **오일러-마스케로니 상수**(-常數, 영어: Euler–Mascheroni constant)는 조화급수를 자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수이다. 줄여서 **오일러 상수**라고도 불리나, 자연로그의 밑에 해당하는 오일러 수 e=2.718…과는 다르다.

정의
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**오일러-마스케로니 상수** {\displaystyle \gamma }는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int \_{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx}
그 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A001620)

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

역사
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스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(라틴어: De Progressionibus harmonicis observationes)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 *C* 또는 *O*로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(이탈리아어: Lorenzo Mascheroni)도 1790년 이 수를 언급하였고, *A* 또는 *a*라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 *γ*로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.

성질
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오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있다.

### 감마 함수와의 관계

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

{\displaystyle -\gamma =\lim \_{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim \_{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}
### 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}\\&=\lim \_{s\to 1^{+}}\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim \_{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\end{aligned}}}
### 적분식

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx\\&=-\int \_{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int \_{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0.\end{aligned}}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

알려진 자릿수
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레온하르트 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...**181**12090082**39**을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...**065**12090082**40**이였다.

**오일러-마스케로니 상수 γ의 알려진 십진 자릿수**| 일자 | 십진 자릿수 | 발견자 | 비고 |
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| 1734년 | 5 | 레온하르트 오일러 |  |
| 1735년 | 15 | 레온하르트 오일러 |  |
| 1781년 | 16 | 레온하르트 오일러 |  |
| 1790년 | 32 | 로렌초 마스케로니, 소수점 아래 20-22와 31-32 자릿수 오계산 |  |
| 1809년 | 22 | 요한 게오르크 폰 졸트너 |  |
| 1811년 | 22 | 카를 프리드리히 가우스 |  |
| 1812년 | 40 | 프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이 |  |
| 1857년 | 34 | 크리스티안 프레드릭 린드만 |  |
| 1861년 | 41 | 루드윅 오팅거 |  |
| 1867년 | 49 | 윌리엄 샹크스 |  |
| 1871년 | 99 | 제임스 위트브레드 리 글레이셔 |  |
| 1871년 | 101 | 윌리엄 샹크스 |  |
| 1877년 | 262 | 존 쿠치 애덤스 |  |
| 1952년 | 328 | 존 렌치 |  |
| 1961년 | 1050 | 헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러 |  |
| 1962년 | 1271 | 도널드 커누스 |  |
| 1962년 | 3566 | 듀라 W. 스위니 |  |
| 1973년 | 4879 | 윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼 |  |
| 1977년 | 20700 | 리차드 P. 브렌트 |  |
| 1980년 | 30100 | 리차드 P. 브렌트와 에드윈 맥밀런 |  |
| 1993년 | 172000 | 조나단 보웨인 |  |
| 1999년 | 108000000 | 페르릭 데미첼과 하비에르 구르동 |  |
| 2009년 3월 13일 | 29844489545 | 알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬 | Yee 2011, y-cruncher 2017 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFy-cruncher2017 (help) |
| 2013년 12월 22일 | 119377958182 | 알랙산더 J. 리 | Yee 2011, y-cruncher 2017 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFy-cruncher2017 (help) |
| 2016년 3월 15일 | 160000000000 | 페터 트뤼프 | y-cruncher 2017 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFy-cruncher2017 (help) |
| 2016년 5월 18일 | 250000000000 | 론 왓킨스 | y-cruncher 2017 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFy-cruncher2017 (help) |
| 2017년 8월 23일 | 477511832674 | 론 왓킨스 | y-cruncher 2017 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFy-cruncher2017 (help) |
| 2020년 5월 26일 | 600000000100 | 김승민과 이언 커트리스 |  |

참고 문헌
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1. ↑  Bretschneider, Carl Anton (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (라틴어) **1837** (17): 257–285. doi:10.1515/crll.1837.17.257. ISSN 0075-4102.
2. ↑  Euler–Mascheroni constant world record by Seungmin Kim
3. ↑  y-cruncher by Alexander Yee

* Yee, Alexander J. (2011년 3월 7일). "Nagisa - Large Computations". 《www.numberworld.org》.
* "Records Set by y-cruncher". 《www.numberworld.org》. 2017년 8월 24일. 2018년 4월 30일에 확인함.