이론물리학에서 **BF 모형**(BF模型, 영어: *BF* model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

정의
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{\displaystyle M}이 {\displaystyle d}차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군 {\displaystyle G}인 주다발 {\displaystyle P\twoheadrightarrow M}이 주어졌다고 하자. 또한, {\displaystyle G}의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 위에 비퇴화 쌍선형 형식 {\displaystyle K\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.)

**BF 모형**은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.

* {\displaystyle A}는 {\displaystyle P}의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
* {\displaystyle B\in \Omega ^{d-2}(M;{\mathfrak {g}})}는 {\displaystyle M} 위에 정의된, 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}}에 값을 갖는 {\displaystyle (d-2)}차 미분 형식이다.

두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.

{\displaystyle A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]}
{\displaystyle B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]}
여기서 {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}이며, {\displaystyle \Lambda \in \Omega ^{d-3}(M;{\mathfrak {g}})}이다. 즉, {\displaystyle B}는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle S=\int \_{M}K(B\wedge F)}
여기서 {\displaystyle F=d\_{A}A}는 {\displaystyle A}의 곡률 (장세기)이다.

만약 {\displaystyle d=3,4}일 경우, 특별히 다음과 같은 "우주 상수" {\displaystyle \lambda } 항을 추가할 수 있다.

{\displaystyle S=\int \_{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B)\qquad (d=4)}
{\displaystyle S=\int \_{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B\wedge B)\qquad (d=3)}

성질
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### 장방정식

우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

* {\displaystyle F=0}
* {\displaystyle d\_{A}B=0}

따라서, 고전적으로 {\displaystyle A}는 평탄 주접속이고, {\displaystyle B}는 닫힌 미분 형식이다.

우주 상수 항을 추가하면, {\displaystyle d=4}에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다.

{\displaystyle F+2\lambda B=0}
{\displaystyle d\_{A}B=0}
### 양자화

편의상, 시공간

{\displaystyle M=\mathbb {R} \times \Sigma }
{\displaystyle \dim \Sigma =d-1}
을 생각하자. 그렇다면, {\displaystyle M}은 {\displaystyle \Sigma }와 호모토피 동치이므로, 사실 {\displaystyle \Sigma } 위에 {\displaystyle G}-주다발 {\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma }이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\Sigma }}은 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{\*}{\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}}}
여기서

* {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}}}는 {\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma }의 평탄 주접속들의 공간이다.

이 경우, 주접속 {\displaystyle A\_{\mu }^{a}}에 대응하는 일반화 운동량은 {\displaystyle B\_{\mu \_{1}\dotsb \mu \_{d-2}}^{a}}이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.

{\displaystyle \{B\_{\mu \_{1}\dotso \mu \_{d-2}}^{a}(x),A\_{b\mu \_{d-1}}(y)\}=\delta \_{b}^{a}\operatorname {vol} \_{\mu \_{1}\dotso \mu \_{d-1}}^{\Sigma }\delta (x,y)}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {vol} \_{\mu \_{1}\dotso \mu \_{d-1}}^{\Sigma }}는 {\displaystyle \Sigma }의 부피 형식이다.

따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}({\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}})}
이다.

천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 {\displaystyle \Sigma }가 리만 곡면의 구조를 가지므로, {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}}}는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며, {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}}} 자체가 위상 공간이며, {\displaystyle A}는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }^{\text{flat}}}는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.

### 우주 상수 항이 있는 경우의 양자화

우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 {\displaystyle F=0}이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }}라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}{\mathcal {A}}\_{\Sigma }} 속에서,

{\displaystyle F+2\lambda B=0}
을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 {\displaystyle G}에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인, {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\Sigma }} 위의 함수 {\displaystyle \psi } 가운데,

{\displaystyle 0=\left(F\_{\mu \nu }^{a}-2\mathrm {i} \lambda \operatorname {vol} \_{\mu \nu \rho }^{\Sigma }{\frac {\delta }{\delta A\_{\rho a}}}\right)\psi }
을 만족시키는 것이다. 만약 {\displaystyle \Sigma } 위의 {\displaystyle G}-주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로

{\displaystyle \psi (A)=\exp \left(-\mathrm {i} S\_{\text{CS}}(A)/4\lambda \right)}
이다. 여기서

{\displaystyle S\_{\text{CS}}(A)=\int \_{\Sigma }\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)}
는 {\displaystyle \Sigma } 위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는

{\displaystyle {\frac {\delta S\_{\text{CS}}}{\delta A\_{\rho a}}}=\operatorname {vol} \_{\Sigma }^{\mu \nu \rho }F\_{\mu \nu }^{a}}
이기 때문이다.

성질
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### 양-밀스 이론과의 관계

BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.

양-밀스 이론의 작용은

{\displaystyle S\_{\text{YM}}=\int \_{M}{\frac {1}{g^{2}}}K(F\wedge \*F)}
이다. 여기서 {\displaystyle g^{2}}는 결합 상수이고, {\displaystyle \*}는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장 {\displaystyle B}를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.

{\displaystyle S\_{\text{YM}}'=\int \_{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}K(B\wedge \*B))}
이제, 결합 상수를 0으로 보내자.

{\displaystyle g^{2}\to 0}
그렇다면

{\displaystyle \lim \_{g^{2}\to 0}S\_{\text{YM}}'=\int \_{M}K(B\wedge F)=S\_{BF}}
가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 {\displaystyle \*}를 대신 부피 형식 {\displaystyle \omega }와 내적

{\displaystyle \langle X,Y\rangle \omega =K(X\wedge \*Y)}
로 쓰자. 그렇다면

{\displaystyle S\_{\text{YM}}'=\int \_{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}\omega \langle B,B\rangle )}
이 된다. 이는

{\displaystyle \omega '=g^{2}\omega }
에만 의존하게 된다. 이는 다양체 {\displaystyle M}의 "부피"

{\displaystyle \operatorname {vol} (M)=\int \_{M}\omega '=\int \_{M}g^{2}\omega }
로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 {\displaystyle \omega '}로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

### 초대칭 BF 모형

BF 모형에 초대칭을 추가하여 **초대칭 BF 모형**(영어: supersymmetric BF model)을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 {\displaystyle G}의 딸림표현을 따른다.

* 게이지 초장 {\displaystyle (A,\psi )}. 여기서 {\displaystyle A}는 U(1) 게이지 보손이며, {\displaystyle \psi }는 벡터 페르미온이다. 이 경우 {\displaystyle QA=\psi }이다.
* 라그랑주 승수 초장 {\displaystyle (\chi ,B)}. 여기서 {\displaystyle B}는 {\displaystyle (d-2)}차 미분 형식인 보손이며, {\displaystyle \chi } 역시 {\displaystyle (d-2)}차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 {\displaystyle Q\chi =B}이다.
* 유령 초장 {\displaystyle ({\bar {\phi }},\eta )}. {\displaystyle Q{\bar {\phi }}=\eta }이며 {\displaystyle Q\eta =[{\bar {\phi }},\phi ]}이다.

이에 따라, 작용은 다음과 같다.:§4.1

{\displaystyle S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d\*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d\*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,\*\psi ]-{\bar {\phi }}d\*d\phi \right)}
초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 {\displaystyle M} 위의 {\displaystyle G}-평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 ({\displaystyle d=3}), 이 이론은 추가로 {\displaystyle {\mathcal {N}}\_{T}=2} 위상 초대칭을 갖는다.:§4.1:238 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 {\displaystyle (\chi ,\psi )}는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.:§4.3

참고 문헌
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1. 1 2  Broda, Bogusław (2004). 〈BF system〉. 《Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics》. Springer-Verlag. 54쪽. arXiv:hep-th/0502045. doi:10.1007/1-4020-4522-0\_45. ISBN 978-1-4020-1338-6.
2. ↑  Kaul, R. K.; Govindarajan, T. R.; Ramadevi, P. (2005). "Schwarz type topological quantum field theories" (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K.
3. ↑  Baez, John C. (1996). "4-dimensional *BF* theory with cosmological term as a topological quantum field theory". 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) **38**: 129–143. arXiv:q-alg/9507006. Bibcode:1995q.alg.....7006B. doi:10.1007/BF00398315.
4. ↑  Matthias Blau; George Thompson (1993). "Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques" (영어). arXiv:hep-th/9310144. Bibcode:1993dgtt.rept.....B.
5. 1 2 3  Blau, Matthias; Thompson. "Aspects of *NT* ≥ 2 topological gauge theories and D-branes" (영어). arXiv:hep-th/9612143.
6. ↑  Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). "Topological field theory". 《Physics Reports》 (영어) **209** (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573.