미분기하학에서 **아티야-싱어 지표 정리**(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.:§10–11:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의
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M이 m차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E^i가 M 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. M 위의 타원 복합체

\cdots\stackrel{D\_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E\_{i-1}) \stackrel{D\_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E\_i) \stackrel{D\_i}{\longrightarrow}\Gamma(E\_{i+1})\stackrel{D\_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots
의 **해석적 지표**(analytical index)는 다음과 같다.

\operatorname{ind}(D\_{\bullet})=\sum\_i(-1)^i\dim(\ker D\_i/\operatorname{im}D\_{i-1})
이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {ind} }는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 **위상 지표**(영어: topological index)는 다음과 같다.:Theorem 12.2

{\displaystyle \operatorname {ind} (D\_{\bullet })=(-)^{m(m+1)/2}\int \_{M}\operatorname {ch} \left(\bigoplus \_{i}(-1)^{i}E\_{i}\right){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}{\mathrm {e} (\mathrm {T} M)}}}
여기서

* \operatorname{ch}는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
* {\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}는 M의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}의 복소화의 토드 특성류이다.
* {\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)}은 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}의 오일러 특성류이다.

이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

**아티야-싱어 지표 정리**에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, m=\dim M이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자

{\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)}
에 대하여, 이를 타원 복합체

{\displaystyle 0\to \Gamma (E)\,{\overset {D}{\to }}\,\Gamma (F)\to 0}
로 간주하면, 다음을 얻는다.

{\displaystyle \dim \ker D-\dim \ker D^{\dagger }=(-)^{m(m+1)/2}\int \_{M}(\operatorname {ch} E-\operatorname {ch} F){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M^{\mathbb {C} })}{\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}}}

예
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수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

### 오일러 지표

M이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

0\to\Omega^0(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^1(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^2(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\dotsb
에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 \chi(M)이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 e(M)의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)

\chi(M)=\int\_Me(M)
를 얻는다.

**계산:**

미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \mathbb {C} )=\sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\dotsb <i\_{k}\leq m}\exp(-x\_{i})}
여기서 x\_i는 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M\otimes \mathbb {C} }를 분할 원리로 m개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 i번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로

{\displaystyle x\_{i+m/2}=-x\_{i}}
로 놓을 수 있다.

즉

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \mathbb {C} )=\prod \_{i=1}^{k}(1-\exp(-x\_{i}))}
이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각

{\displaystyle \operatorname {Td} =\prod \_{i=1}^{m}{\frac {x\_{i}}{1-\exp(-x\_{i})}}}
{\displaystyle \operatorname {e} =\prod \_{i=1}^{m/2}x\_{i}}
이므로, 지표 밀도는

{\displaystyle (-)^{m(m+1)/2}\left(\sum \_{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \mathbb {C} )\right){\frac {\operatorname {Td} }{\operatorname {e} }}=(-)^{m(m+1)/2}\prod \_{i=m/2+1}^{m}x\_{i}=(-)^{m(m+2)/2}\prod \_{i=1}^{m/2}x\_{i}=\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}
이다.

### 히르체브루흐-리만-로흐 정리

 이 부분의 본문은 히르체브루흐-리만-로흐 정리입니다.
아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다.
M이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

\Omega^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\Omega^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\dotsb
에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 E의 코호몰로지의 오일러 지표

\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb
이고, 그 위상 지표는

\int\_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)
이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

**계산:**

복소수 차원이 {\displaystyle n=m/2}라고 하자.
분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.

{\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M=L\_{1}\oplus \dotsb \oplus L\_{n}}
또한

{\displaystyle \operatorname {c} \_{1}(L\_{i})=x\_{i}}
라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-\*}M\right)=\sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\dotsb <i\_{p}\leq n}\exp(x\_{i})}
이며, 따라서

{\displaystyle \sum \_{p=0}^{n}(-)^{p}\operatorname {ch} \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-\*}M\right)=\operatorname {ch} (E)\prod \_{i=1}^{p}(1-\exp x\_{i})}
이다. 

이제

{\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{-}M)=\prod \_{i=1}^{m}{\frac {x\_{i}(-x\_{i})}{(1-\exp(-x\_{i}))(1-\exp x\_{i})}}}
{\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=x\_{1}x\_{2}\dotsm x\_{n}}
이므로, 지표 밀도는

{\displaystyle (-)^{n(2n+1)}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\prod \_{i=1}^{n}{\frac {(-x\_{i})(1-\exp x\_{i})}{x\_{i}(1-\exp x\_{i})}}=\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)}
이다.

E가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 \operatorname{ind}\bar\partial이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

\operatorname{ind}\bar\partial=\int\_M\operatorname{Td}(TM)
### 디랙 연산자

M이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발

{\displaystyle \mathrm {S} (M)=\mathrm {S} ^{+}(M)\oplus \mathrm {S} ^{-}(M)}
을 생각하자. 그렇다면 **디랙 연산자**

i\gamma^\mu\nabla\_\mu=\begin{pmatrix}
0&D\\D^\dagger&0
\end{pmatrix}
는 다음과 같이 작용한다.

S^+(M)\xrightarrow DS^-(M)
S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger}S^-(M)
이에 따라, 디랙 연산자 D의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int\_M\hat A
여기서 \hat A는 **디랙 종수**(영어: Dirac genus) 또는 **Â 종수**(영어: *Â*-genus 에이 햇 지너스[\*])라고 불리는 특성류로,

{\displaystyle {\hat {A}}=\prod \_{i=1}^{\dim M}{\frac {x\_{i}/2}{\sinh(x\_{i}/2)}}=1-{\frac {1}{24}}p\_{1}+{\frac {1}{5760}}(-4p\_{2}+7p\_{1}^{2})+\dotsb \in \operatorname {H} ^{2\bullet }(M;\mathbb {Q} )}
이다. 여기서 p\_i는 폰트랴긴 특성류이고, x\_i는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 R의 고윳값들

-R/2\pi=\begin{pmatrix}
0&x\_1\\
-x\_1&0\\
&&0&x\_2\\
&&-x\_2&0\\
&&&&0&x\_3\\
&&&&-x\_3&0\\
&&&&&&\ddots
\end{pmatrix}
이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사
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마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다. 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다. 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

참고 문헌
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