가산 조밀 부분공간을 갖는 공간에 대해서는 분해 가능 공간 문서를 참고하십시오.
일반위상수학에서 **하우스도르프 공간**(영어: Hausdorff space) 또는 **T2 공간**(T2空間, 영어: T2-space) 또는 **분리 공간**(分離空間, 영어: separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

정의
--

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 x,y를 서로소 열린 근방 U,V로 구분할 수 있다.
위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 **하우스도르프 공간**이라고 한다.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\neq y라면 x\in U, y\in V인 서로소 열린 근방 U,V\subseteq X가 존재한다.:98
* 임의의 두 콤팩트 집합 C,D\subseteq X에 대하여, 만약 C와 D가 서로소라면, {\displaystyle C\subseteq U}, {\displaystyle D\subseteq V}인 서로소 열린 근방 U,V\subseteq X가 존재한다.:124
* 그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 x\_{\alpha } 및 점 y\_{1},y\_{2}\in X에 대하여, 만약 x\_{\alpha }\to y\_{1}이며 x\_{\alpha }\to y\_{2}라면 y\_{1}=y\_{2}이다.:86–87
* 필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 {\mathcal F} 및 점 y\_{1},y\_{2}\in X에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)}이며, {\mathcal F}\to y\_{1}이며, {\mathcal F}\to y\_{2}라면 y\_{1}=y\_{2}이다.:86–87
* 임의의 x\in X에 대하여, x의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 \{x\}이다.
* 곱공간 X\times X의 대각 부분 집합 \Delta (X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X은 닫힌집합이다.
* 임의의 집합 I에 대하여, 곱공간 {\displaystyle X^{I}}의 대각 부분 집합은 닫힌집합이다.

증명 (서로 다른 정의의 동치):

각 x\in X에 대하여, {\mathcal N}\_{x}가 x의 근방 필터라고 하자.

두 점의 근방 분리 ⇒ 수렴 진필터의 극한의 유일성: 진필터 {\mathcal F}가 서로 다른 두 점 {\displaystyle y\_{1}\neq y\_{2}}로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 {\displaystyle U\_{1}\ni y\_{1}}, {\displaystyle U\_{2}\ni y\_{2}}에 대하여, {\displaystyle U\_{1},U\_{2}\in {\mathcal {F}}}이므로 {\displaystyle U\_{1}\cap U\_{2}\in {\mathcal {F}}}이며, {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}이므로 {\displaystyle U\_{1}\cap U\_{2}\neq \varnothing }이다. 즉, 서로소 열린 근방으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.

수렴 진필터의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 근방 분리: 서로소 열린 근방을 갖지 않는 서로 다른 두 점 {\displaystyle y\_{1}\neq y\_{2}}가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{U\_{1}\cap U\_{2}\colon U\_{1}\in {\mathcal {N}}\_{y\_{1}},\;U\_{2}\in {\mathcal {N}}\_{y\_{2}}\}}
가 X 위의 필터임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}이므로 {\mathcal F}는 진필터이며, {\displaystyle X\in {\mathcal {N}}\_{y\_{1}},{\mathcal {N}}\_{y\_{2}}}이므로 {\displaystyle {\mathcal {N}}\_{y\_{1}},{\mathcal {N}}\_{y\_{2}}\subseteq {\mathcal {F}}}이다. 즉, {\mathcal F}는 서로 다른 두 점 {\displaystyle y\_{1}\neq y\_{2}}로 수렴한다.

위상 공간 X가 다음 조건을 만족시킨다면, X를 **US 공간**(영어: US space)이라고 한다.:262

* X 속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간 X가 다음 조건을 만족시킨다면, X를 **KC 공간**(영어: KC space)이라고 한다.:262

* X의 모든 콤팩트 부분 공간은 닫힌집합이다.

위상 공간 X가 다음 조건을 만족시킨다면, X를 **약한 하우스도르프 공간**(영어: weakly Hausdorff space)이라고 한다.

* 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간 K 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon K\to X}에 대하여, f의 상 {\displaystyle f(K)\subseteq X}는 X의 닫힌집합이다.

성질
--

### 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T2) ⊊:262, Theorem 3.1 US 공간 ⊊:262, Theorem 3.1 KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T1 공간
하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간 ∩ 차분한 공간
제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* US 공간이다.
* KC 공간이다.
* 하우스도르프 공간이다.

### 연산에 대한 닫힘

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

### 약한 하우스도르프 공간

X를 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 K와 임의의 연속 함수 {\displaystyle f\colon K\to X}에 대하여, f의 상 {\displaystyle f(K)\subseteq X}는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 A\subseteq X가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 C\subseteq X에 대하여 {\displaystyle A\cap C}가 닫힌집합인 것이다.

### 전사 사상

하우스도르프 공간를 대상으로 하고 연속 함수를 사상으로 삼은 범주 \operatorname {Haus}에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다.

증명:

\operatorname {Haus}에서, 조밀 집합을 상으로 하는 연속 함수는 자명하게 전사 사상이다. (조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 참고.) 반대로,

f\colon X\to Y
가 하우스도르프 공간 사이의 전사 사상이라고 가정하고, 상의 폐포

{\displaystyle Y\_{0}=\operatorname {cl} f(X)}
가 Y임을 증명하자.

{\displaystyle Z=Y\cup \_{i}Y}
가 포함 함수 {\displaystyle i\colon Y\_{0}\to Y}에 대한 붙임 공간이라고 하고,

{\displaystyle g,h\colon Y\to Z}
가 두 개의 자연스러운 연속 함수라고 하자. 붙임 공간의 정의에 따라 {\displaystyle g\circ f=h\circ f}임을 알 수 있다. 만약 Z가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 {\displaystyle g=h}이며, 결국 {\displaystyle Y\_{0}=Y}이게 된다. 이제 Z가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.

* {\displaystyle U\subseteq Z}가 열린집합일 필요충분조건은 {\displaystyle g^{-1}(U),h^{-1}(U)\subseteq Y}가 둘 다 열린집합인 것이다.
* {\displaystyle Z=g(Y)\cup h(Y)=g(Y\setminus Y\_{0})\sqcup h(Y)=g(Y)\sqcup h(Y\setminus Y\_{0})}

(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, {\displaystyle g,h}는 닫힌 위상수학적 매장이며, {\displaystyle g\upharpoonright Y\setminus Y\_{0}}과 {\displaystyle h\upharpoonright Y\setminus Y\_{0}}은 열린 위상수학적 매장이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 {\displaystyle \xi ,\eta \in Z}가 서로소 열린 근방을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.

* {\displaystyle \xi ,\eta \in g(Y)}
	+ 이 경우, {\displaystyle \xi =g(x)}, {\displaystyle \eta =g(y)}인 서로 다른 두 점 {\displaystyle x,y\in Y}이 존재한다. Y의 하우스도르프 조건에 따라, U,V가 x,y의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle g(x),g(y)}는 다음과 같은 서로소 열린 근방 {\displaystyle {\tilde {U}},{\tilde {V}}}를 갖는다.
	{\displaystyle {\tilde {U}}={\begin{cases}g(U\setminus Y\_{0})&x\in Y\setminus Y\_{0}\\g(U)\cup h(U)&x\in Y\_{0}\end{cases}}}
	{\displaystyle {\tilde {V}}={\begin{cases}h(V\setminus Y\_{0})&y\in Y\setminus Y\_{0}\\g(V)\cup h(V)&y\in Y\_{0}\end{cases}}}
* {\displaystyle \xi ,\eta \in h(Y)}
	+ 이 증명은 위와 유사하다.
* {\displaystyle \xi \in g(Y)\setminus h(Y)=g(Y\setminus Y\_{0})}, {\displaystyle \eta \in h(Y)\setminus g(Y)=h(Y\setminus Y\_{0})}
	+ 이 경우, {\displaystyle g(Y\setminus Y\_{0})}와 {\displaystyle h(Y\setminus Y\_{0})}은 {\displaystyle \xi ,\eta }의 서로소 열린 근방이다.

예
-

### 우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간

양의 정수의 집합 \mathbb Z^+에, 다음과 같은 기저를 주자.

\left\{(a+{\mathbb Z}b)\cap {\mathbb Z}^{+}\colon \gcd(a,b)=1\right\}
이는 양의 정수의 **서로소 위상**(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.

### 하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.

### 하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간

실수선 \mathbb {R} 에 새로운 점 \bullet 을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

* \mathbb {R} 의 위상에서 열린집합 U는 {\mathbb R}\sqcup \{\bullet \}에서도 열린집합이다.
* S\subset\mathbb R가 유한 집합이라면, ({\mathbb R}\setminus S)\sqcup \{\bullet \}은 열린집합이다.

그렇다면 {\mathbb R}\sqcup \{\bullet \}은 T1 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

### 하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간

비가산 집합에, 모든 가산 집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합은 유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

역사
--

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다:213, §VII.1.

> 
> **근방 공리계**:
> 
> 
> 🄐 각 점 x는 적어도 하나 이상의 근방 {\displaystyle U\_{x}}를 갖는다. 임의의 근방 {\displaystyle U\_{x}}는 점 x를 포함한다.  
> 
> 🄑 {\displaystyle U\_{x}}, {\displaystyle V\_{x}}가 같은 점 x의 근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방 W\_{x}가 존재한다 ({\displaystyle W\_{x}\subseteq U\_{x}\cap V\_{x}}).  
> 
> 🄒 {\displaystyle U\_{x}} 속의 임의의 점 y에 대하여, {\displaystyle U\_{x}}의 부분 집합인 근방 {\displaystyle U\_{y}}가 존재한다 ({\displaystyle U\_{y}\subseteq U\_{x}}).  
> 
> 🄓 서로 다른 두 점 x, y에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방 {\displaystyle U\_{x}}, {\displaystyle U\_{y}}가 존재한다 ({\displaystyle U\_{x}\cap U\_{y}=\varnothing }).  
> 
> 
> **Umgebungsaxiome:**
> 
> 
> 🄐 Jedem Punkt x entspricht mindestens eine Umgebung {\displaystyle U\_{x}}; jede Umgebung {\displaystyle U\_{x}} enthält den Punkt x.  
> 
> 🄑 Sind {\displaystyle U\_{x}}, {\displaystyle V\_{x}} zwei Umgebungen desselben Punktes x, so gibt es eine Umgebung W\_{x}, die Teilmenge von beiden ist ({\displaystyle W\_{x}\subseteqq {\mathfrak {D}}(U\_{x},V\_{x})}).  
> 
> 🄒 Liegt der Punkt y in {\displaystyle U\_{x}}, so gibt es eine Umgebung {\displaystyle U\_{y}}, die Teilmenge von {\displaystyle U\_{x}} ist ({\displaystyle U\_{y}\subseteqq U\_{x}}).  
> 
> 🄓 Für zwei verschiedene Punkte x, y gibt es zwei Umgebungen {\displaystyle U\_{x}}, {\displaystyle U\_{y}} ohne gemeinsamen Punkt ({\displaystyle {\mathfrak {D}}(U\_{x},U\_{y})=0}).
> 
> 

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

약한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(영어: Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
2. 1 2 3  Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
3. 1 2 3 4 5  Wilansky, Albert (1967년 3월). "Between *T*1 and *T*2". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **74** (3): 261–266. doi:10.2307/2316017. JSTOR 2316017.
4. ↑  "What are the epimorphisms in the category of Hausdorff spaces?". 《Stack Exchange》 (영어).
5. ↑  Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
6. ↑  van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits". 《Topology and its Applications》 (영어) **51** (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.
7. ↑  Hausdorff, Felix (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Veit & Comp. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034.
8. ↑  McCord, Michael C. (1969). "Classifying spaces and infinite symmetric products". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **146**: 273–298. doi:10.2307/1995173. MR 0251719.