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6개의 꼭짓점과 7개의 변을 갖는 그래프
수학에서 **그래프**(영어: graph, 문화어: 그라프)는 일련의 꼭짓점들과 그 사이를 잇는 변들로 구성된 조합론적 구조이다. 그래프를 연구하는 수학의 분야를 **그래프 이론**이라고 한다. "그래프"라는 용어는 1878년 J. J. 실베스터에 의해 처음 사용되었다.

정의
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 그래프 이론 용어 문서를 참고하십시오.
**그래프** (V,\sim )는 집합 V와 V 위의 반사 대칭관계 \sim 의 순서쌍이다. 그래프 (V,\sim )의 **꼭짓점**(-點, 영어: vertex 버텍스[\*])은 V의 원소이며, u,v\in V에 대하여 u\sim v라면 u와 v가 **인접**(영어: adjacent)한다고 한다.

두 그래프 G,H 사이의 **준동형**(영어: homomorphism) \phi \colon G\to H은 다음 성질을 만족시키는 함수 V(G)\to V(H)이다.

* 임의의 u,v\in V(G)에 대하여, u\sim v라면 \phi (u)\sim \phi (v)

모형 이론의 관점에서, 그래프는 (반사 법칙·대칭 법칙을 만족시키는) 이항 관계 \sim 가 주어진 구조이며, 이 경우 그래프의 준동형은 구조의 준동형이다. 범주론의 관점에서, 그래프의 범주 \operatorname {Graph}는 다음과 같은 쉼표 범주이다.

\operatorname {Graph}=\operatorname {Set}\downarrow F
여기서 함자 F\colon \operatorname {Set}\to \operatorname {Set}는

F(S)={\frac {S\times S\setminus \{(s,s)\colon s\in S\}}{(s\_{1},s\_{2})\sim (s\_{2},s\_{1})\forall s\_{1},s\_{2}\in S}}
F(f\colon S\to T)\colon \{s\_{1},s\_{2}\}\mapsto \{f(s\_{1}),f(s\_{2})\}
이다.

그래프는 표준적으로 CW 복합체의 구조를 가진다. 이 경우, 그래프의 각 꼭짓점은 0-세포에, 변은 1-세포에 대응한다.

### 기본 정의

(V,\sim )의 **변**(영어: edge 에지[\*]) \{v\_{1},v\_{2}\}은 v\_{1}\sim v\_{2}이지만 v\_{1}\neq v\_{2}인 두 꼭짓점으로 이루어진 집합이며, 흔히 v\_{1}v\_{2}로 표기한다. 그래프 G=(V,\sim )의 꼭짓점의 집합은 V(G)로, 변의 집합은 E(G)로 표기한다.

그래프 G의 꼭짓점 v\in V(G)의 **차수**(영어: degree) \deg v는 기수

\deg v=|\{u\in V(G)\colon u\sim v\}\setminus \{v\}|
이다. 그래프 G의 **최대 차수** \Delta (G)는

\Delta (G)=\sup \_{{v\in V(G)}}\deg(v)
이다.

두 그래프 사이의 전단사 준동형을 **동형사상**이라고 하며, 동형사상이 존재하는 두 그래프를 서로 **동형**이라고 한다. 만약 \iota \colon G\to H가 단사준동형이라면, G를 H의 **부분 그래프**라고 한다. 또한, 만약 u,v\in G에 대하여

u\sim v\iff \phi (u)\sim \phi (v)
라면, G가 H의 **유도 부분 그래프**라고 한다.

꼭짓점의 집합이 유한 집합인 그래프를 **유한 그래프**라고 한다. 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 그래프를 **국소 유한 그래프**(영어: locally finite graph)라고 한다. CW 복합체인 위상 공간)으로서 연결 공간인 그래프를 **연결 그래프**라고 한다.

성질
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어떤 그래프에 있는 모든 꼭짓점 차수의 합은 이 그래프가 가진 변의 수의 두 배가 된다. 따라서, 꼭짓점 차수의 합은 짝수가 되면, 차수가 홀수인 꼭짓점의 수도 짝수가 된다는 성질을 가진다.

### 범주론적 성질

그래프의 범주는 그로텐디크 준토포스를 이룬다. 특히, 그래프의 범주는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

* 모든 유한 극한이 존재한다.
* 국소적으로 작은 범주이다. 즉, 두 그래프 사이의 준동형의 모임은 집합을 이룬다.
* 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 (작은) 쌍대극한이 존재한다.
* 데카르트 닫힌 범주이다.

그러나 이 범주는 부분 대상 분류자를 갖지 않아, 토포스가 아니다.

그래프의 범주 \operatorname {Graph}는 그래프를 그 꼭짓점 집합으로 대응시키는 망각 함자 V\colon \operatorname {Graph}\to \operatorname {Set}를 갖는다. 이 함자는 극한과 쌍대극한을 보존시키며, 왼쪽·오른쪽 수반 함자를 갖는다.

{\bar K}\dashv V\dashv K
여기서 K\colon \operatorname {Set}\to \operatorname {Graph}는 완전 그래프 함자이며, {\bar K}\colon \operatorname {Set}\to \operatorname {Graph}는 무변 그래프(완전 그래프의 여 그래프) 함자이다.

그래프의 범주에서, 쌍대곱은 그래프의 분리합집합 G\sqcup H이며, 구체적으로 다음과 같다.

V(G\sqcup H)=V(G)\sqcup V(H)
u\sim v\iff (u,v\in V(G)\land u\sim \_{G}v)\lor (u,v\in V(H)\land u\sim \_{H}v)
그래프의 범주에서, 곱은 **텐서곱**(영어: tensor product) G\times H이라고 하며, 다음과 같다.

V(G\times H)=V(G)\times V(H)
(u\_{1},u\_{2})\sim (v\_{1},v\_{2})\iff u\_{1}\sim v\_{1}\land u\_{2}\sim v\_{2}
그래프의 범주에서, 시작 대상은 공 그래프 \varnothing 이다 (V(\varnothing )=E(\varnothing )=\varnothing ). 그래프의 범주에서, 끝 대상은 하나의 꼭짓점만을 갖는 그래프 K\_{1}이다.

데카르트 닫힌 범주로서, 두 그래프 G,H 사이의 지수 대상 H^{G}은 다음과 같다.

V(H^{G})=\hom \_{{\operatorname {Graph}}}(G,H)
\phi \chi \in E(H^{G})\iff \forall u,v\in V(G)\colon u\sim v\implies \phi (u)\sim \chi (v)
또한, 이 범주는 자연수 대상 {\bar K}({\mathbb N})을 갖는다. 이는 자연수 집합에 대한 무변 그래프이다. 이 경우, 바로 다음 수 함수 s\colon {\bar K}({\mathbb N})\to {\bar K}({\mathbb N})은 n번째 꼭짓점을 n+1번째 꼭짓점으로 대응시키는 그래프 준동형이다.

### 위상수학적 성질

그래프는 CW 복합체이므로, 하우스도르프 파라콤팩트 공간이다.

그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* G는 국소 콤팩트 공간이다.
* G는 국소 유한 그래프이다.

그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* G는 콤팩트 공간이다.
* G는 유한 그래프이다.

그래프의 경우, CW 복합체이므로 세포 호몰로지를 정의할 수 있다. (이는 특이 호몰로지와 일치한다.) 그래프는 0-세포 및 1-세포만으로 구성되어 있으므로, 0차 및 1차 호몰로지 H\_{0}(G), H\_{1}(G)만이 자명하지 않다. 0차 베티 수는 연결 성분의 수, 1차 베티 수는 선형독립 순환의 수이다.

### 논리학적 성질

그래프의 1차 논리 모형 이론은 상당히 약하다. 하나의 1차 논리 명제로 정의할 수 있는 성질들은 다음을 들 수 있다.

* 완전 그래프의 모임 \forall u\forall v\colon u\sim v
* 임의의 자연수 n에 대하여, n-정규 그래프의 모임
* 임의의 하나의 유한 그래프 G만을 포함하는 집합 \{G\}
* 임의의 자연수 n에 대하여, n개의 꼭짓점을 갖는 그래프들의 집합

하나의 1차 논리 명제로 정의할 수 없는 성질들은 다음을 들 수 있다.

* 연결 그래프의 모임
* 유한 그래프의 집합
* 짝수 개의 꼭짓점을 갖는 유한 그래프의 집합
* 이분 그래프의 모임

유한 그래프에 대하여, 기본 동치(영어: elementary equivalence)는 그래프의 동형과 같다.

G\cong H\iff \operatorname {Th}(G)=\operatorname {Th}(H)
또한, 임의의 유한 그래프 G에 대하여,

H\models \phi \_{G}\iff H\cong G
인 1차 논리 명제 \phi \_{G}가 존재한다.

무한 그래프의 경우, 기본 동치이지만 서로 동형이지 않는 두 그래프가 존재한다. 예를 들어, 꼭짓점 집합이 \mathbb {Z} 이고, 변 집합이 \{(n,(n+1))\colon n\in {\mathbb Z}\}인 그래프 C\_{\infty }를 생각해 보자. 이 경우, C\_{\infty }와 C\_{\infty }\sqcup C\_{\infty }는 동형이 아니지만 기본 동치이다.

예
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* **공 그래프**는 꼭짓점과 변이 둘 다 없는 그래프이다. 즉, (V,E)=(\varnothing ,\varnothing )이다.
* **한원소 그래프**는 한 개의 꼭짓점을 가지고, 변이 없는 그래프이다. 즉, V(G)=\{\bullet \}, E(G)=\varnothing 이다.
* **무변 그래프**는 변이 없는 그래프이다. 즉, E(G)=\varnothing 이다.
* **완전 그래프**는 그래프에 속하는 모든 꼭짓점이, 다른 꼭짓점과 인접해 있는 그래프이다.
	+ 완전 그래프의 꼭짓점들은 모두 같은 개수의 꼭짓점과 연결되어 있기 때문에 완전 그래프는 정규 그래프이다. n개의 꼭짓점을 가진 완전 그래프는 n(n-1)/2개의 변을 가진다.
* **완전 이분 그래프**는 꼭짓점의 집합이 V\_{1}과 V\_{2}의 합집합이고, 모든 V\_{1}의 꼭짓점이 V\_{2}의 꼭짓점 각각과 변으로 연결되어 있는 경우이다.
* **이분 그래프**: 그래프 G=(V,E)에서, 꼭짓점 집합 V를 두 개의 집합 V\_{1}와 V\_{2}로 나누되 모든 변은 V\_{1}의 꼭짓점과 V\_{2}의 꼭짓점과 동시에 접하도록 할 수 있는 경우 G를 이분 그래프라고 한다.
* **정규 그래프**는 모든 꼭짓점이 동일한 수의 이웃(즉, 동일한 차수)을 가지는 그래프이다. 정규 그래프에서 꼭짓점에 연결된 이웃이 k 개인 경우, **k-정규 그래프**라 불린다.
* **평면 그래프**는 평면 상에 꼭짓점과 변을 그리되 변과 변이 꼭짓점이 아닌 곳에서는 교차하지 않도록 그릴 수 있는 그래프이다.
* **나무**는 모든 꼭짓점들이 연결되어 있고 순환을 포함하지 않는 그래프이다.
* **숲**은 순환을 포함하지 않는 그래프이다.

관련 개념
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**유향 그래프**는 각 변이 방향을 갖춘 그래프이다. 유향 그래프와 구별하기 위해, 그래프를 **무향 그래프**로 부르는 경우도 있다. 이는 각 변에 방향 구조를 갖춘 그래프로 볼 수 있다.

**고리 그래프**(영어: loop graph)는 양끝이 같은 꼭짓점인 변을 허용하는 그래프이며, 이러한 변을 **고리**(영어: loop 루프[\*])라고 한다. 이는 각 꼭짓점에 \{0,1\}의 원소(고리의 유무 여부)를 추가한 그래프로 볼 수 있다.

**다중 그래프**(영어: multigraph)는 무향 또는 유향 그래프의 정의와 유사하나, 변 집합 E가 집합 대신 중복집합이다. 즉, 두 꼭짓점 사이에 여러 개의 변이 있을 수 있다. 이는 각 변에 양의 정수(변의 중복수)를 추가한 그래프로 볼 수 있다. 그래프를 다중 그래프와 구별하기 위해 **단순 그래프**(영어: simple graph)라고 하기도 한다.

마찬가지로, **고리 다중 그래프**나 **유향 다중 그래프** 등을 정의할 수 있다.

응용
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그래프의 개념은 정보과학 등에서 다양한 데이터를 나타내기 위해 응용된다.

참고 문헌
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1. ↑  See:

	* J. J. Sylvester (February 7, 1878) "Chemistry and algebra," *Nature*, *17* : 284. doi 10.1038/017284a0. From page 284: "Every invariant and covariant thus becomes expressible by a *graph* precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph."
	* J. J. Sylvester (1878) "On an application of the new atomic theory to the graphical representation of the invariants and covariants of binary quantics, — with three appendices," *American Journal of Mathematics, Pure and Applied*, *1* (1) : 64–90. doi 10.2307/2369436. JSTOR 2369436. The term "graph" first appears in this paper on page 65.
2. ↑  Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay (2004). 《Handbook of graph theory》. CRC Press. 35쪽. ISBN 978-1-58488-090-5.
3. ↑  "Is non-connectedness of graphs first order axiomatizable?". 《Math Overflow》 (영어).