가환대수학과 체론에서 **프로베니우스 사상**(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

정의
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가환환 R의 환의 표수가 p>0이며, p가 소수라고 하자. 그렇다면 R의 **프로베니우스 사상** \operatorname {Frob}\_{R}\colon R\to R은 다음과 같다.

\operatorname {Frob}\_{R}\colon r\mapsto r^{p}
이는 환 준동형을 이룬다. 이는

{\displaystyle (r+s)^{p}=\sum \_{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}r^{i}s^{p-i}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R\qquad \left(\because p\mid {\binom {p}{i}}\qquad \forall 1\leq i\leq p-1\right)}
이기 때문이다. 위 항등식은 **신입생의 꿈**(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 **1학년의 꿈**이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, {\displaystyle (1+1)^{p}=2^{p}\neq 2=1^{p}+1^{p}}이다).

### 스킴의 프로베니우스 사상

소수 p가 주어졌을 때, 유한체 \mathbb {F} \_{p} 위의 스킴 {\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}가 주어졌다고 하자. X의 임의 아핀 부분 스킴 U에 대하여, \Gamma (U,{\mathcal O}\_{X})는 K-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 \mathbb {F} \_{p}-스킴 사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{X}\colon X\to X}을 X의 **절대 프로베니우스 사상**이라고 한다.:94, Definition 3.2.21 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{/\mathbb {F} \_{p}}\colon \operatorname {Id} \_{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}\Rightarrow \operatorname {Id} \_{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Id} \_{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}}는 \mathbb {F} \_{p}-스킴의 범주 {\displaystyle \operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}의 항등 함자이다.

#### 산술·기하 프로베니우스 사상

\mathbb {F} \_{p}-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S의 절대 프로베니우스 사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{S}\colon S\to S}와의 올곱을 취하면

{\displaystyle X^{(p/S)}=X\times \_{S}\operatorname {Frob} \_{S}}
를 정의할 수 있다. 이는 함자

{\displaystyle \operatorname {Sch} /S\to \operatorname {Sch} /S}
를 이루며, **프로베니우스 스칼라 확대**(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\operatorname {a} ,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X}
을 **산술 프로베니우스 사상**(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p/S)}&{\overset {\operatorname {Frob\_{a}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} }{\to }}&S\end{matrix}}}
만약 S의 절대 프로베니우스 사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{S}\colon S\to S}이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, S가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{S}^{-1}}에 대한 올곱

{\displaystyle X^{(p^{-1}/S)}=X\times \_{S}\operatorname {Frob} \_{S}}
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\operatorname {g} ,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X}
을 **기하 프로베니우스 사상**(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p^{-1}/S)}&{\overset {\operatorname {Frob\_{g}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} ^{-1}}{\to }}&S\end{matrix}}}
#### 상대 프로베니우스 사상

\mathbb {F} \_{p}-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{/S}\colon X\to X^{(p/S)}}이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&X\\&{\scriptstyle f}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !&\searrow \scriptstyle {\operatorname {Frob} }\\S&\leftarrow &X^{(p/S)}&{\underset {\operatorname {Frob\_{a}} }{\to }}&X\\&\scriptstyle {\operatorname {Frob} }\searrow &&\swarrow \scriptstyle f\\&&S\end{matrix}}}
이를 **상대 프로베니우스 사상**(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.:94, Definition 3.2.23 이는 자연 변환

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{/S}\colon \operatorname {Id} \_{\operatorname {Sch} /S}\to \operatorname {Id} \_{\operatorname {Sch} /S}}
을 이룬다.

물론, {\displaystyle S=\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p}}라면 (또는 보다 일반적으로 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{S}=\operatorname {id} \_{S}}라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

성질
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소수 표수의 가환환 R 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 R가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 K에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 K가 완전체인 것이다.

### 고정점

유한체 \mathbb {F} \_{p} 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

{\displaystyle a^{p}=a\qquad \forall a\in \mathbb {F} \_{p}}
양의 표수 p>0의 체 {\displaystyle K/\mathbb {F} \_{p}} 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 {\displaystyle x^{p}-x\in K[x]}의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 p차 다항식의 근의 수는 p개 이하이며, {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}\subseteq K}는 이미 p개의 근을 이루므로, K 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 \mathbb {F} \_{p}이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 p>0의 정역 D에 대해서, 항상 분수체 {\displaystyle \operatorname {Frac} D\supseteq D\supseteq \mathbb {F} \_{p}}를 취할 수 있으므로, 표수 p의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 \mathbb {F} \_{p}이다.

{\displaystyle \{a\in D\colon a^{p}=a\}=\mathbb {F} \_{p}}
### 갈루아 군

유한체 \mathbb {F} \_{p}의 유한 확대 {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{n}}/\mathbb {F} \_{p}}의 갈루아 군은 순환군이다.

{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{n}}/\mathbb {F} \_{p})\cong \mathbb {Z} /n}
프로베니우스 자기 동형

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\mathbb {F} \_{p^{n}}}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{n}}/\mathbb {F} \_{p})}
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{m}}}의 유한 확대 {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{mn}}/\mathbb {F} \_{p^{m}}}의 갈루아 군은 순환군

{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{mn}}/\mathbb {F} \_{m})\cong \mathbb {Z} /n}
이며, 프로베니우스 자기 동형의 m제곱

{\displaystyle \overbrace {\operatorname {Frob} \_{\mathbb {F} \_{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} \_{\mathbb {F} \_{p^{m}}}} ^{m}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{mn}}/\mathbb {F} \_{m})}
은 그 생성원을 이룬다.

### 스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}} 위의 스킴 {\displaystyle X/\mathbb {F} \_{p^{n}}}가 주어졌다고 하자.
유한체 \mathbb {F} \_{p^{n}}은 완전체이므로 \mathbb {F} \_{p^{n}}의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, {\displaystyle X^{(p/\mathbb {F} \_{p^{n}})}} 및 {\displaystyle X^{(p^{-1}/\mathbb {F} \_{p^{n}})}}은 X와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 X 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, X의 \mathbb {F} \_{p^{n}}-점들의 집합 {\displaystyle X(\mathbb {F} \_{p^{n}})} 위에는 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{n}}/\mathbb {F} \_{p})\cong \mathbb {Z} /n}(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

{\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p^{n}}{\xrightarrow {\operatorname {Frob} }}\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)}
또한, {\displaystyle X(\mathbb {F} \_{p^{n}})} 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

{\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X{\xrightarrow {\operatorname {Frob\_{a}} }}X)}
이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\operatorname {a} ,X/\mathbb {F} \_{p^{n}}}\colon (X^{(p/\mathbb {F} \_{p^{n}})}\cong X)\to X}은 \mathbb {F} \_{p^{n}}-점의 집합 위의 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} \_{p^{n}}\mathbb {F} \_{p})\cong \mathbb {Z} /n}의 작용을 나타낸다.

### 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

유한체 \mathbb {F} \_{p} 위의 스킴 {\displaystyle X/\mathbb {F} \_{p}}가 주어졌다고 하자. {\displaystyle {\bar {X}}=X\otimes \_{\mathbb {F} \_{p}}\operatorname {Spec} {\bar {\mathbb {F} }}\_{p}} 위의 작은 에탈 위치 {\displaystyle {\bar {X}}\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}를 생각하자. 그렇다면, X 위의 상대 프로베니우스 사상

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}
과 기하 프로베니우스 사상

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}X\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}
은 토포스 {\displaystyle {\bar {X}}\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위의 같은 기하학적 사상

{\displaystyle f\colon \operatorname {Frob} \_{X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}=\operatorname {Frob} \_{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}\colon {\bar {X}}\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }\to {\bar {X}}\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}을 유도한다.
특히, {\displaystyle {\bar {X}}\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위의 아벨 군 값의 층 {\mathcal F}이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 {\mathcal F}의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}^{\*}=\operatorname {Frob} \_{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}\_{p}}^{\*}\colon \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};{\mathcal {F}})\to \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};f^{\*}{\mathcal {F}})}
### 수론적 성질

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 **프로베니우스 원소**(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

#### 국소체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 두 비아르키메데스 국소체 L, K 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 L/K

대수적 정수환 {\mathcal O}\_{L}의 유일한 극대 아이디얼을 {\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}\_{L}}라고 하고, {\mathcal {O}}\_{K}의 유일한 극대 아이디얼을 {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}\_{K}라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{L}/{\mathfrak {P}}}와 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}/{\mathfrak {p}}}는 둘 다 유한체이며,

{\displaystyle [{\mathcal {O}}\_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}\_{K}/{\mathfrak {p}}]=[L:K]}
이다. (여기서 {\displaystyle [:]}는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{L/K}\in \operatorname {Gal} \left({\frac {{\mathcal {O}}\_{L}/{\mathfrak {P}}}{{\mathcal {O}}\_{K}/{\mathfrak {p}}}}\right)}
가 존재하며, 이를 L/K의 **프로베니우스 원소**라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {Frob} \_{L/K}(x)\equiv x^{|{\mathcal {O}}\_{K}/{\mathfrak {p}}|}{\pmod {\mathfrak {P}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}\_{L}}
#### 대역체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* K/{\mathbb Q}가 갈루아 확대인 대수적 수체 K
* 소 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}\_{K})} ({\mathcal {O}}\_{K}는 대수적 정수환). 소수 p에 대하여 \mathfrak p\mid p이며, \mathfrak p\mid p가 비분기라고 하자.

{\mathfrak {p}}가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}은 {\mathfrak {p}}를 고정시킨다. 즉, {\mathfrak {p}}에서의 분해군(영어: decompsition group)

{\displaystyle G\_{\mathfrak {p}}=\{g\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\colon g\cdot {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\}}
은 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )} 전체이다.

이 경우,

{\displaystyle g(x)\equiv x^{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}}
를 만족시키는 유일한 원소

{\displaystyle g\in \operatorname {Gal} (K\_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} \_{p})}
가 존재한다. (여기서 {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}}는 {\mathfrak {p}}진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 \mathbb {F} \_{p}인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 {\mathfrak {p}}의 **프로베니우스 원소** {\displaystyle \operatorname {Frob} \_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Gal} (K\_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} \_{p})}라고 한다.

예
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유한체 계수의 유리 함수체 {\mathbb F}\_{p}(t)의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, t는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 {\mathbb F}\_{p}(t)는 완전체가 아니다.

역사
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페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. 번역 Erne, Reinie 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.
2. ↑  Frobenius, F. G. (1896). "Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe". 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 (독일어): 689–703. JFM 27.0091.04. 2016년 4월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 6월 1일에 확인함.