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미적분학과 위상수학에서 **다르부 함수**(영어: Darboux’s function)는 연결 집합의 상이 연결 집합인 함수이다. 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. **다르부 정리**(영어: Darboux’s theorem) 또는 **다르부 중간값 정리**(영어: Darboux’s intermediate value theorem)에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수의 도함수는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

정의
--

두 위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **다르부 함수**라고 한다.

* 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 A\subseteq X에 대하여, {\displaystyle f(A)\subseteq Y}는 연결 집합이다.

실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 f\colon I\to {\mathbb R}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 다르부 함수이다.
* 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 {\displaystyle a,b\in I} 및 {\displaystyle y\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))}에 대하여, f(x)=y인 {\displaystyle x\in (a,b)}가 존재한다.

### 어디서나 전사 함수

기수 \kappa 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X과 집합 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **\kappa -어디서나 전사 함수**(영어: \kappa -everywhere surjective function)라고 한다.

* 임의의 y\in Y에 대하여, {\displaystyle f^{-1}(y)}는 \kappa -조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여, {\displaystyle |U\cap f^{-1}(y)|\geq \kappa }).

1-어디서나 전사 함수를 **어디서나 전사 함수**(영어: everywhere surjective function)라고 한다. 즉, 임의의 y\in Y에 대하여, {\displaystyle f^{-1}(y)}는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X에 대하여, {\displaystyle f(U)=Y}인 조건과 동치이다. 위상 공간 X 위의 |X|-어디서나 전사 함수 X\to X를 **강하게 어디서나 전사 함수**(영어: strongly everywhere surjective function)라고 한다.

위상 공간 X과 집합 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **완전 어디서나 전사 함수**(영어: perfectly everywhere surjective function)라고 한다.

* 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 {\displaystyle P\subseteq X}에 대하여, {\displaystyle f(P)=Y}

### 둘레 연속 함수

두 위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **둘레 연속 함수**(영어: peripherally continouous function)라고 한다.

* 임의의 x\in X 및 열린 근방 U\ni x, V\ni f(x)에 대하여, {\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq U}, {\displaystyle f(\partial W)\subset V}인 열린 근방 W\ni x가 존재한다.

성질
--

### 함의 관계

중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 \mathbb {R} \to \mathbb {R} 는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다. 

함수 \mathbb {R} \to \mathbb {R} 에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.

완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수
각 함의의 역은 성립하지 않는다.

### 다르부 정리

**다르부 정리**에 따르면, 임의의 폐구간 {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } 및 미분 가능 함수 f\colon [a,b]\to {\mathbb R}에 대하여, 도함수 {\displaystyle f'\colon [a,b]\to \mathbb {R} }는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 {\displaystyle y\in (f'(a),f'(b))\cup (f'(b),f'(a))}에 대하여,

{\displaystyle f'(x)=y}
인 {\displaystyle x\in (a,b)}가 존재한다.:224–225

다르부 정리의 증명:

편의상 {\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}라고 하자.

g\colon [a,b]\to {\mathbb R}
{\displaystyle g\colon t\mapsto yt-f(t)}
라고 하자. 그렇다면 g는 연속 함수이며, 어떤 x\in [a,b]에서 최댓값 g(x)를 갖는다 (최대 최소 정리).

이제, x=a라고 가정하자. 그렇다면 g(a)가 최댓값이므로, 임의의 t\in[a,b]에 대하여 {\displaystyle 0\geq (g(t)-g(a))/(t-a)}이다. 따라서 {\displaystyle 0\geq g'(a)=y-f'(a)}이며, 이는 모순이다. 즉, {\displaystyle x\neq a}이다. 마찬가지로 {\displaystyle x\neq b}임을 보일 수 있다. 이에 따라 {\displaystyle x\in (a,b)}이며,

{\displaystyle 0=g'(x)=y-f'(x)}
이다 (페르마 임계점 정리). 즉, {\displaystyle f'(x)=y}이다.

### 충분히 많은 역의 반례의 존재

모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 \mathbb {R} \to \mathbb {R} 인 2^{2^{\aleph\_0}}차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 K 위의 벡터 공간 V의 부분 집합 {\displaystyle M\subset V}에 대하여, {\displaystyle \lambda (M)}이 {\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}인 \kappa 차원 부분 벡터 공간 {\displaystyle W\subset V}가 존재하지 않는 가장 작은 기수 \kappa 라고 하자. (특히, {\displaystyle \lambda (M)}이 따름 기수 \kappa ^{+}일 경우, \kappa 는 벡터 공간 {\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}의 최대 차원이다.) 그렇다면, {\displaystyle V={\mathbb {R} }^{\mathbb {R} }}에 대하여 다음 결과들이 있다.

| M | {\displaystyle \lambda (M)} |
| --- | --- |
| 완전 어디서나 전사 함수 | {\displaystyle (2^{2^{\aleph \_{0}}})^{+}}:83, Table 1 |
| 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수 | {\displaystyle (2^{2^{\aleph \_{0}}})^{+}}:83, Table 1 |
| 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수 | {\displaystyle (2^{2^{\aleph \_{0}}})^{+}}:83, Table 1 |
| 어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수 | {\displaystyle (2^{2^{\aleph \_{0}}})^{+}}:83, Table 1 |
| 다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수 | {\displaystyle (2^{2^{\aleph \_{0}}})^{+}}:83, Table 1 |
| 전사 연속 함수 | {\displaystyle (2^{\aleph \_{0}})^{+}} |
| 단사 함수 | {\displaystyle 1^{+}}:83, Theorem 2.17 |

예
-

함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}
는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다.

임의의 무한 기수 \kappa  및 크기 \kappa 의 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 어디서나 전사 함수 X\to X가 존재한다.
* 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 \kappa 이며, 또한 \kappa 개의 서로소 조밀 집합을 갖는다.

구체적으로, \kappa 개의 서로소 조밀 집합들의 집합 {\mathcal F}\subset {\mathcal P}(X)와 전단사 함수 {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to X}가 주어졌을 때, 함수

f\colon X\to X
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi (D)&x\in D\in {\mathcal {F}}\\0&x\not \in D\forall D\in {\mathcal {F}}\end{cases}}}
는 어디서나 전사 함수이다. 특히, X={\mathbb R}의 경우 {\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} /\mathbb {Q} }로 취할 수 있다.

### 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수

**콘웨이 13진 함수**(영어: Conway base-13 function) f\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음과 같다.

* 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 {\displaystyle x=a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{p}.b\_{1}b\_{2}\cdots b\_{q}\mathrm {A} c\_{1}c\_{2}\dots c\_{r}\mathrm {C} d\_{1}d\_{2}d\_{3}\cdots \_{(13)}} ({\displaystyle a\_{i},b\_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}, {\displaystyle c\_{i},d\_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}) 꼴이라면, f(x)의 십진법 전개는 {\displaystyle f(x)=c\_{1}c\_{2}\cdots c\_{r}.d\_{1}d\_{2}d\_{3}\cdots }이다.
* 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 {\displaystyle x=a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{p}.b\_{1}b\_{2}\cdots b\_{q}\mathrm {B} c\_{1}c\_{2}\dots c\_{r}\mathrm {C} d\_{1}d\_{2}d\_{3}\cdots \_{(13)}} ({\displaystyle a\_{i},b\_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}, {\displaystyle c\_{i},d\_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}) 꼴이라면, f(x)의 십진법 전개는 {\displaystyle f(x)=-c\_{1}c\_{2}\cdots c\_{r}.d\_{1}d\_{2}d\_{3}\cdots }이다.
* 만약 x\in\mathbb R의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, f(x)=0이다.

콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)
* 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 {\displaystyle y\neq 0}의 원상은 가산 무한 집합이다.)
* 주기 1의 주기 함수이다.
* 유리수의 상은 유리수이다.

### 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수

끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합 {\displaystyle \{(a\_{i},b\_{i})\colon i\in \mathbb {N} \}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합

{\displaystyle C\_{0}\subset (a\_{0},b\_{0})}
{\displaystyle C\_{1}\subset (a\_{1},b\_{1})\setminus C\_{0}}
{\displaystyle C\_{2}\subset (a\_{2},b\_{2})\setminus (C\_{0}\cup C\_{1})}
\vdots
이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간

{\displaystyle \{0,1\}^{\aleph \_{0}}\cong \{0,1\}^{\aleph \_{0}}\times \{0,1\}^{\aleph \_{0}}=\bigcup \_{j\in \{0,1\}^{\aleph \_{0}}}(\{0,1\}^{\aleph \_{0}}\times \{j\})}
과 위상 동형이므로, 각 C\_{i}는 칸토어 집합과 위상 동형인 2^{\aleph \_{0}}개의 서로소 집합들 C\_{{ij}}의 합집합이다.

{\displaystyle C\_{i}=\bigcup \_{j<2^{\aleph \_{0}}}C\_{ij}}
임의의 전단사 함수 {\displaystyle \phi \_{ij}\colon C\_{ij}\to \mathbb {R} }들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.

f\colon\mathbb R\to\mathbb R
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi \_{ij}(x)&x\in C\_{ij}\\0&x\not \in C\_{0}\cup C\_{1}\cup \cdots \end{cases}}}
그렇다면, f는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합 {\displaystyle C\subset \mathbb {R} \setminus (C\_{0}\cup C\_{1}\cup \cdots )}이 존재하기 때문이다).:490, Example 2.8

### 완전 어디서나 전사 함수

실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}로 표기하자. 또한,

{\displaystyle {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} =\{(P\_{i},y\_{i})\colon i<2^{\aleph \_{0}}\}}
이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는 2^{\aleph \_{0}}이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, {\displaystyle |{\mathcal {A}}|=2^{\aleph \_{0}}}이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상 2^{\aleph \_{0}}이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합 {\displaystyle \{x\_{i}\colon i<2^{\aleph \_{0}}\}\subset \mathbb {R} }을 취할 수 있다.

{\displaystyle x\_{i}\in P\_{i}\setminus \{x\_{j}\colon j<i\}}
이제,

f\colon\mathbb R\to\mathbb R
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}y\_{i}&x=x\_{i}\\0&x\neq x\_{i}\forall i<2^{\aleph \_{0}}\end{cases}}}
라고 하자. 그렇다면, f는 완전 어디서나 전사 함수이다.:492, Example 2.12

역사
--

일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수 \mathbb {R} \to \mathbb {R} 의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다.