이차 형식 이론에서, **종수**(種數, 영어: genus)는 대역체의 대수적 정수환 계수의 이차 형식 위에 정의되는 동치 관계이다. 이는 이차 형식의 동치보다 더 엉성하다.

정의
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대역체 K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K} 위의 유한 생성 자유 가군 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}^{n}} 위의 두 이차 형식 Q, {\displaystyle Q'}이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 **종수**에 속한다고 한다.

* K의 모든 (유한 또는 무한) 자리 {\mathfrak {p}}에서, {\displaystyle Q\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{K}}{\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}}는 {\displaystyle Q'\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{K}}{\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}}와 동치이다. (여기서 {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}}는 {\mathfrak {p}}에서의 국소체를 뜻하며, {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}}는 그 대수적 정수환이다. 만약 {\mathfrak {p}}가 아르키메데스 자리라면, {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}=K\_{\mathfrak {p}}}이다.)

이는 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}^{n}} 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

즉, V=K^n 위의 이차 형식 Q 및 V 속의 두 {\mathcal {O}}\_{K}-자유 가군 {\displaystyle L,L'\subset V}가 주어졌을 때, {\displaystyle (L,Q|\_{L})}와 {\displaystyle (L',Q|\_{L'})}이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}에 대하여

{\displaystyle L\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}}=f\_{\mathfrak {p}}(L'\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}})\subset V\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}}}
가 되는

{\displaystyle f\_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {O} (V\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}},Q;K\_{\mathfrak {p}})}
가 존재한다는 것과 같다.

### 질량

대역체 K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K} 위의 n차원 자유 가군 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}^{n}} 위의 이차 형식 종수 \mathcal G의 **질량**(영어: mass)은 다음과 같다.

{\displaystyle m({\mathcal {G}})=\sum \_{Q\in {\mathcal {G}}}{\frac {1}{|\operatorname {O} (n,Q;\mathbb {O} \_{K})|}}}
여기서

* {\displaystyle \textstyle \sum \_{Q\in {\mathcal {G}}}}는 종수 g에 속한 모든 이차 형식의 동치류 Q에 대한 합이다.
* {\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;\mathbb {O} \_{K})=\{f\in \operatorname {GL} (n;{\mathcal {O}}\_{K})\colon Q\circ f=Q\}}는 Q에 대한 직교군이다. 즉, {\displaystyle ({\mathcal {O}}\_{K}^{n},Q)}의 자기 동형군이다.
* {\displaystyle |\cdots |}는 집합의 크기이다.

즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.

### 스피너 종수

대역체 K가 주어졌다고 하자. {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}^{n}} 위의 두 이차 형식

{\displaystyle Q,Q'\colon {\mathcal {O}}\_{K}^{n}\to {\mathcal {O}}\_{K}}
및

{\displaystyle g\in \operatorname {O} (n,Q;K)}
{\displaystyle f\_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {\Omega } (n,Q;K)\qquad ({\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K))}
에 대하여,

{\displaystyle Q(v)=Q'\left(g(f\_{\mathfrak {p}}(v))\right)\qquad \forall v\in K\_{\mathfrak {p}}^{n}}
가 성립한다면, Q와 {\displaystyle Q'}이 같은 **스피너 종수**에 속한다고 한다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {\Omega } (V,Q;K)=\ker \operatorname {sn} \subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)}는 스피너 노름

{\displaystyle \operatorname {sn} \colon \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
의 핵이다.

성질
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{\mathcal {O}}\_{K} 계수의 이차 형식들에 대하여 정의되는 동치 관계들은 다음과 같다. 왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계이다.

{\mathcal {O}}\_{K}-동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 → K-동치 (= 모든 자리에 대하여 {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}}-동치)
이차 형식을 이차 형식 Q\colon V\to K가 주어진 벡터 공간 {\displaystyle V={\mathcal {O}}\_{K}^{n}} 속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;K)} → {\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;K)\times \prod \_{\mathfrak {p}}'\operatorname {\Omega } (n,Q;K\_{\mathfrak {p}})} → {\displaystyle \prod \_{\mathfrak {p}}'\operatorname {O} (n,Q;K\_{\mathfrak {p}})} → \operatorname {GL} (n;K)
사실, 종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론을 사용하여 아델 직교군

{\displaystyle \operatorname {O} (V\_{\mathbb {A} },Q)=\prod \_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}'\operatorname {O} (V\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}},Q;K\_{\mathfrak {p}})}
로 생각할 수 있다. (여기서 {\displaystyle \textstyle \prod '}은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.) {\displaystyle \operatorname {O} (V\_{\mathbb {A} })}는 V 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 하세-민코프스키 정리에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

* K^{n} 속의 {\mathcal {O}}\_{K}-격자 {\displaystyle L\subset K^{n}}
* 각 자리에 대한 격자들의 열 {\displaystyle (L\_{\mathfrak {p}}\subseteq K\_{\mathfrak {p}}^{n})\_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}} 가운데, 여유한 개의 {\mathfrak {p}}에 대하여 {\displaystyle L\_{\mathfrak {p}}={\mathcal {O}}\_{K\_{\mathfrak {p}}}^{n}\subset K\_{\mathfrak {p}}^{n}}인 것.

따라서, {\displaystyle (g\_{\mathfrak {p}})\_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}\in \operatorname {O} (V\_{\mathbb {A} },Q)}는 {\displaystyle L\mapsto (L\_{\mathfrak {p}})\_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}} 위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.

{\displaystyle (L\_{\mathfrak {p}})\_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}\mapsto \left(g\_{\mathfrak {p}}(L\_{\mathfrak {p}})\right)\_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}}
같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.

주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.

### 질량 공식

주어진 종수의 질량은 **스미스-민코프스키-지겔 질량 공식**(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, 영어: Smith–Minkowski–Siegel mass formula)으로 구체적으로 계산할 수 있다.

구체적으로, n\geq 2일 때, {\mathbb Q}^{n} 속의 \mathbb {Z} -격자 \Lambda 가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.

{\displaystyle m(\Lambda )=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod \_{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod \_{p}2m\_{p}(\Lambda )}
{\displaystyle m\_{p}(\Lambda )={\frac {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^{r})}}\qquad (r\gg 1)}
{\displaystyle N(p^{r})=\operatorname {Aut} \_{\mathbb {F} \_{p^{r}}}(Q\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {F} \_{p^{r}})=\{M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {F} \_{p^{r}})\colon M^{\top }AM\}}
여기서

* {\displaystyle \textstyle \prod \_{p}}는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
* {\displaystyle (r\gg 1)}은 충분히 큰 r에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
* A는 격자 \Lambda 의 그람 행렬이다.

이 공식은 자명한 경우인 {\displaystyle n=0,1}일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.

* {\displaystyle m(\Lambda )}의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군 \operatorname {SO} (n)의 다마가와 수(영어: Tamagawa number)인데, 이는 {\displaystyle n<2}일 때 1이다.
* {\displaystyle m\_{p}(\Lambda )}의 공식 맨 앞의 2는 지표 {\displaystyle [\operatorname {O} (n):\operatorname {SO} (n)]}를 뜻한다. 이는 n=0일 때 1이다.

역사
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2항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(라틴어: genus 게누스[\*], 복수 라틴어: genera 게네라[\*])는 카를 프리드리히 가우스가 1801년에 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 도입하였다.:Art. 231:11, Definition 1.2.5

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Gavss, Carolus Fridericus (1801). 《Disqvisitiones arithmeticae》 (라틴어). 라이프치히: in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun.
2. ↑  Frei, Günther (1979). 《On the development of the genus of quadratic forms》 (PDF). 《Annales des sciences mathématiques du Québec》 (영어) **3**. 5–62쪽. ISSN 2195-4755. 2020년 7월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 13일에 확인함.
3. ↑  Smith, H. J. Stephen (1867). "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates". 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) **16**: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491.
4. ↑  Minkowski, Hermann (1885). "Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält". 《Acta Mathematica》 (독일어) **7**: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01.
5. ↑  Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). "Über die analytische Theorie der quadratischen Formen". 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) **36** (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703.

* Beintema, Mark; Khosravani, Azar (2009). "The origins of the genus concept in quadratic forms" (PDF). 《The Montana Mathematics Enthusiast》 (영어) **6** (1–2): 137–150. ISSN 1551-3440. 2015년 5월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 28일에 확인함.