빛의 분산에 대해서는 분산 (광학) 문서를 참고하십시오.
평균은 같지만 분산은 다른 두 확률 분포. 빨간색 분포는 100의 평균값과 100의 분산값을 가지고, 파란색 분포는 100의 확률값과 2500의 분산값을 가진다. SD는 표준편차를 의미한다.
확률론과 통계학에서 어떤 확률변수의 **분산**(分散, 영어: variance,{\displaystyle \operatorname {Var} })은 그 확률변수가 기댓값으로부터 얼마나 떨어진 곳에 분포하는지를 가늠하는 숫자이다. 기댓값은 확률변수의 위치를 나타내고 분산은 그것이 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타낸다. 분산은 표본 평균이나 분산의 제곱근인 표준편차와 보다 밀접한 관련이 있다.

**분산**(variance)은 관측값에서 평균을 뺀 값을 제곱하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 차이값의 제곱의 평균이다. 관측값에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 0이 나오므로 제곱해서 더한다.

**모분산**(population variance) σ2은 모집단의 분산이다. 관측값에서 모 평균을 빼고 그것을 제곱한 값을 모두 더하여 전체 데이터 수 n으로 나눈 것이다.

**표본분산**(sample variance) s2은 표본의 분산이다. 관측값에서 표본 평균을 빼고 제곱한 값을 모두 더한 것을 n-1로 나눈 것이다.

정의
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확률변수 X의 분산은 X의 기댓값 {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}로부터 확률변수가 얼마나 떨어져있는지 그 정도를 제곱한 것의 기댓값과 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}
이를 기댓값에 대해 확장해보면 다음과 같이 정리할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}

따라서 확률변수 X의 분산은 X 제곱의 기댓값에서 X 기댓값의 제곱을 뺀 것과 같다. 이 방식을 통해 어떤 확률변수의 분산을 간단하게 계산할 수 있다. 다만 부동소수점 연산에서는 이러한 방식을 사용하면 정확한 값을 얻지 못할 수도 있다.

이 정의는 이산확률변수, 연속확률변수, 칸토어 분포 등 모든 꼴의 확률분포에 적용된다. 분산은 공분산을 사용해 다음과 같이 나타내기도 한다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)}
분산은 보통 \operatorname {var}(X) 또는 \sigma \_{X}^{2}, 혹은 간단히 \sigma ^{2}\,으로 표현한다. \sigma \,는 표준편차를 가리킨다.

### 이산확률변수에서

만일 확률 변수 X의 생성 원리가 {\displaystyle x\_{1}\mapsto p\_{1},x\_{2}\mapsto p\_{2},\ldots ,x\_{n}\mapsto p\_{n}}의 확률 질량 함수를 따르는 이산확률분포라면, 분산은 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}\cdot (x\_{i}-\mu )^{2}}
이와 다음의 식은 동치이다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}^{2}\right)-\mu ^{2}}
이 때 {\displaystyle \mu =\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}}는 기댓값을 의미한다. 이 가중 산술 평균에 사용되는 가중치 p의 합이 1이 아니라고 한다면, 각 가중치를 총 가중치 합으로 나누어 확률과 같은 성격을 가지게 조정해야 한다.

n번의 동일한 측정을 통해 얻은 데이터에서 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-\mu )^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}\right)-\mu ^{2}}
여기서 {\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}는 평균값을 의미한다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x\_{i}-x\_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{i}\sum \_{j>i}(x\_{i}-x\_{j})^{2}.}
### 완전연속확률변수에서

만일 확률 변수 X의 생성 원리가 확률 밀도 함수 f(x)와 누적 분포 함수 F(x)를 따르는 연속확률분포라면, 분산은 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int \_{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int \_{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int \_{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int \_{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int \_{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int \_{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int \_{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int \_{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int \_{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2}\end{aligned}}}
이는 확률 밀도 함수 f(x)를 이용해 다음과 같이 적을 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \_{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2}}
여기서 {\displaystyle \mu =\int \_{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int \_{\mathbb {R} }x\,dF(x)}는 확률 변수 X의 기댓값이다.

여기서 dx에 대한 적분은 르베그 적분을, {\displaystyle dF(x)}에 대한 적분은 르베그-스틸티어스 적분을 의미한다.

만일 {\displaystyle x^{2}f(x)}가 모든 폐구간 {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }에서 리만 적분 가능한 함수라면 분산은 이상 적분을 통해 다음과 같이 서술할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2}}

성질
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### 기본적인 성질

어떤 실수의 제곱은 0 이상이므로 분산은 항상 0 이상의 값을 가진다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0}
상수의 분산은 0의 값을 가진다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0}
이 역도 성립하여, 만일 어떤 확률변수 X에 해당하는 분산값이 0이라면 그 확률 변수는 늘 상숫값을 출력한다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1}
정의에 의해 분산이 평균값 μ에 대해 독립변수라는 것은 쉽게 알 수 있다. 즉, 전체 집단의 값이 *b*만큼 이동해 *X* + *b*가 되어도 전체 집단의 분산은 변하지 않는다. 그러나 전체 집단에 같은 값 *a*를 곱하면 분산은 *a*2배가 된다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

\operatorname {Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname {Var}(X)
두 확률변수를 더하여 만든 새로운 확률 변수의 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)}
이 때 {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}는 X와 Y의 공분산을 나타낸다. 이를 N개의 확률변수 {\displaystyle \{X\_{1},\dots ,X\_{N}\}}의 경우에 대해 일반화하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}X\_{i}\right)&=\sum \_{i,j=1}^{N}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})\\&=\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}^{2}\operatorname {Var} (X\_{i})+\sum \_{i\not =j}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})\\&=\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}^{2}\operatorname {Var} (X\_{i})+2\sum \_{1\leq i<j\leq N}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j}).\end{aligned}}}
만일 확률 변수 {\displaystyle X\_{1},\dots ,X\_{N}}가 서로 비상관관계라면 다음의 성질을 만족한다.

{\displaystyle \operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j)}
이는 곧 다음을 의미한다.

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X\_{i})}
상호 독립적인 확률변수들은 항상 비상관관계에 놓여있기 때문에 위의 식은 확률 변수 {\displaystyle X\_{1},\dots ,X\_{n}}가 서로 독립적인 경우에도 적용 가능하다. 이처럼 독립적인 확률 변수의 합의 분산이 각각의 분산의 합과 같다는 성질 때문에 분포를 표현할 때 분산을 유용하게 사용할 수 있다.

분산의 단위는 확률변수를 나타내는 데 사용된 단위의 제곱이 되어야 한다. 예를 들면 센티미터로 잰 높이 집단의 분산은 제곱센티미터가 될 것이다. 이것은 여러 가지 불편을 유발하므로 많은 통계학자들은 집단과 같은 단위를 사용하는 표준편차를 주로 쓴다.

통계적 추정
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 통계적 추정 문서를 참고하십시오.
### 표본 분산

모집단의 분산은 \sigma ^{2}로 나타내고, 표본의 분산은 s^{2}로 나타낸다. s^{2}은 모집단 분산의 추정치라고 할 수 있다. 표본 내의 어떤 변인 Y가 가지는 모집단 분산의 추정치인 표본 분산 s^{2}는 다음과 같다.

s^{2}={\frac {\Sigma (y-\overline {y})^{2}}{n-1}}={\frac {SS}{df}}
s^{2}: 표본 분산
y: 변인
\overline {y}: 표본의 평균
n: 표본의 크기
SS: 편차들의 제곱합
df: 자유도
분모를 n-1로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 모집단의 편의 추정량(biased estimator)이 되므로, 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다.

모 분산
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{\displaystyle \sigma ^{2}={{\sum (Y\_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {N}}}
\sigma ^{2} 모집단의 분산(모 분산)
Y: 변인
{\displaystyle {\overline {\mu }}}: 모집단의 평균
N: 표본의 크기

표준 편차
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모집단의 모분산\sigma ^{2}으로부터 편차 단위를 얻기위해 제곱근함으로써 모집단 표준 편차 \sigma 를 얻을수있다.

{\displaystyle {\sqrt {\sigma ^{2}}}=\sigma }
표본집단의 표본분산 s^{2}으로부터 편차 단위를 얻기위해 제곱근함으로써 표본 표준 편차 s를 얻을수있다.

{\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}=s}

컴퓨팅
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컴퓨터 프로그램의 대표적인 경우에서 스프레드시트는 var() 함수로 결과값을 기본적으로는 간단히 처리할 수 있다.