**필바인**(독일어: Vielbein) 또는 **테트라드**(영어: tetrad)는, 1800년대 미분기하학에서 다뤄온 프레네 틀장이나 다르부 틀장 같이, 로런츠 다양체에서 정의된 일종의 틀장이며, 카르탕 접속을 응용하여 중력을 다루는 수식체계라 할 수 있다. 국소적으로 평탄한 민코프스키 공간("틀")을 도입하여, 일반적인 장은 이 평탄한 공간 위에 정의한다. 필바인은 중력장을 나타내며, 국소적 평탄한 공간과 굽은 공간 사이를 변환하여 주는 역할을 한다. 국소적 민코프스키 공간을 도입하였으므로, 스피너 등을 자연스럽게 도입할 수 있다. 일반상대론, 아인슈타인-카르탕 이론, 초중력 등에서 쓰인다.

어원 및 명칭
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"필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다.
필바인은 4차원에서는 **피어바인**(독일어: Vierbein), 5차원에서는 **퓐프바인**(독일어: Fünfbein), 11차원에서는 **엘프바인**(독일어: Elfbein) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 대신 그리스어식으로 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다. 다른 차원의 경우, 다음 표와 같다.

| 차원 | 독일어명 | 그리스어명 |
| --- | --- | --- |
| 1 | Einbein 아인바인[\*] | monad 모나드[\*] |
| 2 | Zweibein 츠바이바인[\*] | dyad 다이아드[\*] |
| 3 | Dreibein 드라이바인[\*] | triad 트라이아드[\*] |
| 4 | Vierbein 피어바인[\*] | tetrad 테트라드[\*] |
| 5 | Fünfbein 퓐프바인[\*] | pentad 펜타드[\*] |
| 6 | Sechsbein 젝스바인[\*] | hexad 헥사드[\*] |
| 7 | Siebenbein 지벤바인[\*] | heptad 헵타드[\*] |
| 8 | Achtbein 아흐트바인[\*] | octad 옥타드[\*] |
| 9 | Neunbein 노인바인[\*] | ennead 에네아드[\*] |
| 10 | Zehnbein 첸바인[\*] | decad 데카드[\*] |
| 11 | Elfbein 엘프바인[\*] | hendecad 헨데카드[\*] |
| 12 | Zwölfbein 츠뵐프바인[\*] | dodecad 도데카드[\*] |
| *n* | Vielbein 필바인[\*] | polyad 폴리아드[\*] |

도입 목적
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필바인을 도임하면, 물질장을 굽은 공간(접다발)이 아닌, 국소적인 평평한 공간 (틀다발)으로서 쓸 수 있게 돼, 그 대칭군을 형식적으로 (국소적 로런츠 변환을 포함해) 확장하여, 반정수 표현을 도입할 수 있다. 이는 양자장론의 스핀 ½의 페르미온을 도입하는 데 필수적이고, 또 초중력에서 필요한 스핀 1½의 그래비티노를 도입하는 데도 필수적이다.
다. 또한 필바인은 일반상대론을 게이지 이론으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 아인슈타인-카르탕 이론으로 자연스럽게 확장이 가능하다.

수학적 전개
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### 시공과 필바인

n차원의 매끄러운 다양체 M을 생각하자. 여기에, SO(p,q)의 주다발(principal bundle) B를 놓자 (p+q=n). B는 틀다발(frame bundle)이라고 부른다. 또한, 여기에 n차원 벡터 다발 V를 놓고, 이를 B의 기본 표현으로 한다.

V에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 쌍선형 형식 \eta 를 가정하고, 또 e\colon TM\to V와 같은 가역 선형 변환 e가 있다고 하자 (TM은 접다발). 물리적으로, \eta 는 민코프스키 계량 텐서에 해당하고, e는 필바인으로서 중력장을 나타낸다.

지수를 넣어 쓰자면, 필바인 e\_{\mu }^{a}은 민코프스키 (V) 지수 a와 접다발 지수 \mu 를 지니고, \eta \_{{ab}}는 민코프스키 지수 a,b를 지닌다. 이에 따라, 일반상대론의 리만 다양체 계량텐서 g\_{\mu\nu}는 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle g\_{\mu \nu }=e\_{\mu }^{a}e\_{\nu }^{b}\eta \_{ab}}
필바인은 가역 사상이라고 가정하였으므로, 그 역사상 E\colon V\to TM도 존재한다. 지수로 쓰면 E\_{\mu }^{a}와 같다.

### 스핀 접속

 이 부분의 본문은 스핀 접속입니다.
*V* 안에서 다음 조건을 만족하는 유일한 비틀림없는 코쥘 접속 A가 존재함을 증명할 수 있다.

* 임의의 V의 미분가능 단면 a,b가 주어졌을 때, *d*η(a,b) = η(*d***A***a*,*b*) + η(*a*,*d***A***b*). 이 조건을 이용하여 A를 주다발 B에 대한 주접속으로 연장시킬 수 있다.

이를 **스핀 접속**이라고 한다. (아인슈타인-카르탕 이론에서는 접속이 비틀림을 가질 수 있다.)

필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발 TM으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 단면 X에 대해 다음과 같이 정의한다.

*e*(∇**X**) = *d***A***e*(**X**) for all differentiable sections **X** of T*M*.
필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다.

### 곡률

스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 곡률 (패러데이 텐서) *R*를 정의할 수 있다. 즉

{\displaystyle \mathbf {R} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }
이는 리만 곡률과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다.

R\_{{\mu \nu }}^{{ab}}=2\partial \_{{[\mu }}\omega \_{{\nu ]}}^{{ab}}+\omega \_{\mu }^{{ac}}{\omega \_{{\nu c}}}^{{b}}-\omega \_{\nu }^{{ac}}\omega \_{{\nu c}}^{b}
리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 리치 곡률과 리치 스칼라를 정의할 수 있다. 즉 리치 곡률은

{R\_{\mu }}^{a}=E\_{b}^{\nu }{R\_{{\mu \nu }}}^{{ab}}
리치 스칼라는

R=E\_{a}^{\mu }{R\_{\mu }}^{a}=E\_{a}^{\mu }E\_{\nu }^{b}{R\_{{\mu \nu }}}^{{ab}}
일반상대론의 힐베르트 작용은 단순히 리치 스칼라에 비례한다.

S=-\int d^{4}x\;e{\frac 1{2\kappa }}R
여기서 \kappa =8\pi G다. e=\det e\_{\mu }^{a}는 필바인의 행렬식으로서, 스칼라를 텐서 밀도로 만드는, 일종의 야코비안이다. 힐베르트 작용에 변분법을 적용하여 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다.

역사
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알베르트 아인슈타인이 1928년에, 헤르만 바일이 1929년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Yepez, Jeffrey (2008년 1월 20일). "Einstein’s vierbein field theory of curved space". arXiv:1106.2037. Bibcode:2011arXiv1106.2037Y.
2. ↑  헤르만 바일 "Elektron und Gravitation I", *Zeitschrift Physik*, 56, p330–352, 1929.