조화해석학에서 **유사 미분 연산자**(類似微分演算子, 영어: pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.

정의
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유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}이라고 쓰자. {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 위에 작용하는 **유사 미분 연산자**는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다.

{\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
{\displaystyle P(x,D)\colon u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }
여기서

{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-ix\cdot \xi )u(x)\,d^{n}x}
는 u의 푸리에 변환이며,

{\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle {\tilde {P}}\colon (x,\xi )\mapsto P(x,\xi )}
는 매끄러운 함수이다. {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}를 유사 미분 연산자 {\displaystyle P(x,D)}의 **표상**(表象, 영어: symbol)이라고 한다.

\mathbb {R} ^{n} 위의 다중지표의 집합을 {\mathbb N}^{n}으로 쓰자. 어떤 정수 m\in {\mathbb Z}에 대하여 유사 미분 연산자 {\displaystyle P(x,D)}의 표상 {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}가

{\displaystyle \sup \_{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}{\frac {|\partial \_{\xi }^{\alpha }\partial \_{x}^{\beta }P(x,\xi )|}{(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}}<\infty \qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}
를 만족시킨다면, {\displaystyle P(x,D)}를 **m차 유사 미분 연산자**라고 한다. m차 표상들의 집합은 보통 {\displaystyle S^{m}}으로 쓰며, m차 유사 미분 연산자의 집합은 {\displaystyle \operatorname {\Psi DO} ^{m}(\mathbb {R} ^{n})}으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 함수로서 연속 함수이다.

### 유사 미분 연산자의 분포 위의 작용

\mathbb {R} ^{n} 위의 분포

{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} }
가 주어졌다고 하자. \mathbb {R} ^{n} 위의 유사 미분 연산자 P의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면, P를 분포 T 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.

{\displaystyle PT\colon \mathbb {C} \_{0}^{\infty }\to \mathbb {R} }
{\displaystyle \langle PT|u\rangle =\langle T|P^{\*}u\rangle }
여기서

{\displaystyle P^{\*}\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
은 P의 에르미트 수반이다.

이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간 {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})} 위에 작용한다.

{\displaystyle P\colon {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}
### 다양체 위의 유사 미분 연산자

매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}들을 매끄러운 추이 사상

{\displaystyle \phi \_{ij}\colon U\_{i}\cap U\_{j}\to U\_{i}\cap U\_{j}}
으로 이어붙여 만든다.

유클리드 공간의 열린집합 {\displaystyle U,V,U',V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 유사 미분 연산자

{\displaystyle P\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(U)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}
및 미분 동형 ("좌표 변환")

{\displaystyle \iota \_{U}\colon U\to U'}
{\displaystyle \iota \_{V}\colon V\to V'}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환

{\displaystyle P'\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(U')\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V')}
{\displaystyle P'\colon u\mapsto \iota \_{V}\circ P(f\circ \iota \_{U}^{-1})}
를 정의할 수 있으며, 또한 {\displaystyle P'} 역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약 P가 m차 유사 미분 연산자라면 {\displaystyle P'} 역시 m차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의 m차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.:§8

### 고전 유사 미분 연산자

m차 표상 {\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열 {\displaystyle ({\tilde {P}}\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}가 존재한다면, {\displaystyle {\tilde {P}}}를 **고전 표상**(영어: classical symbol)이라고 한다.:Definition 5.1

* {\displaystyle {\tilde {P}}\_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }는 i차 동차함수이다. 즉, {\displaystyle {\tilde {P}}\_{i}(\alpha x,\alpha \xi )=\alpha ^{i}{\tilde {P}}\_{i}(x,\xi )}이다.
* 콤팩트 지지 매끄러운 함수 {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }에 대하여, 만약 {\displaystyle \phi (x)=1\forall x\in U}가 되는 0의 근방 {\displaystyle U\ni 0}가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
{\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )-\sum \_{i=0}^{N-1}(1-\phi (\xi )){\tilde {P}}\_{m-i}(x,\xi )\in S^{m-N}\qquad \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}}

**고전 유사 미분 연산자**(영어: classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을 {\displaystyle \operatorname {\Psi DO} \_{\operatorname {cl} }^{m}}으로 쓰자.

성질
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\mathbb {R} ^{n} 위의, 표상이 {\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }인 유사 미분 연산자 {\displaystyle P(x,D)}에 대하여, 만약 {\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}가 콤팩트 지지 함수라면, {\displaystyle P(x,D)}의 상은 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}에 속한다. 즉,

{\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}\_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
이다.:Theorem 4.2

예
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임의의 미분 연산자

{\displaystyle \sum \_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c\_{\alpha }\partial \_{x}^{\alpha }}
의 경우, 그 표상

{\displaystyle {\tilde {P}}(\xi )=\sum \_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c\_{\alpha }\xi ^{\alpha }}
을 정의하면 유사 미분 연산자

{\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(\xi ){\hat {u}}(x)\,d^{n}\xi }
로 나타낼 수 있다.

마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수 f\colon {\mathbb R}^{n}\to {\mathbb R}에 대하여, 곱셈 연산자

{\displaystyle u(x)\mapsto f(x)u(x)}
역시 표상이 f(x)인 유사 미분 연산자

{\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }

역사
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1960년대에 조지프 존 콘(영어: Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이
유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Joshi, M. S. (1999). "Introduction to pseudo-differential operators" (영어). arXiv:math/9906155. Bibcode:1999math......6155J.

* Taylor, Michael Eugene. 《Pseudodifferential operators》. Princeton Mathematical Series (영어) **34**. Princeton Univ. Press 1981. ISBN 978-0-691-08282-0.
* Shubin, Mkhail A. (2001). 《Pseudodifferential operators and spectral theory》 (영어). S.I. Andersson 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-642-56579-3. ISBN 3-540-41195-X.
* Treves, Jean-François (1980). 《Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators》. The University Series in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4684-8780-0. ISBN 978-1-4684-8782-4.
* Friedlander, F. G.; Joshi, Mark Suresh (1999년 1월). 《Introduction to the theory of distributions》 (영어) 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64015-2.
* Hörmander, Lars (1987). 《The analysis of linear partial differential operators III: Pseudo-differential operators》 (영어). Springer. ISBN 3-540-49937-7.