유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.
3차원 유클리드 공간에 매장된 구의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.
미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 **접다발**(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

정의
--

M이 n차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

{\displaystyle (U\_{i},\phi \_{i}\colon U\_{i}\to \mathbb {R} ^{n})\_{i\in I}}
가 주어졌다고 하자 ({\displaystyle (U\_{i})\_{\in I}}는 M의 열린 덮개).

그렇다면, M의 **접다발**은 다음과 같은 위상 공간이다.

{\displaystyle \mathrm {T} M={\frac {\bigsqcup \_{i\in I}U\_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim }}}
여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 \sim 은 다음과 같다.

{\displaystyle (x,u)\sim (x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u^{\mu }=\sum \_{\nu =1}^{n}v^{\nu }{\frac {\partial \phi \_{i}(x)^{\mu }}{\partial \phi \_{j}(x)^{\nu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U\_{i}\cap U\_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}
여기서 {\displaystyle \phi \_{i}(x)^{\mu }}는 {\displaystyle \phi \_{i}(x)\in \mathbb {R} ^{n}}의 \mu 번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

{\displaystyle \pi \colon \mathrm {T} M\twoheadrightarrow M}
{\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x}
을 통해 M 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

x\in M의 **접공간**(接空間, 영어: tangent space) {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}M}은 접다발의 올이다. 만약 M에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 M에 "접하는" n차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 M의 접다발의 쌍대 벡터 다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M}을 **공변접다발**(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 **여접다발**(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

{\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M={\frac {\bigsqcup \_{i\in I}U\_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim '}}}
{\displaystyle (x,u)\sim '(x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u\_{\mu }=\sum \_{\nu =1}^{n}v\_{\nu }{\frac {\partial \phi \_{j}(x)^{\nu }}{\partial \phi \_{i}(x)^{\mu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U\_{i}\cap U\_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}
와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, x\in M의 **공변접공간**(共變接空間, 영어: cotangent space) {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{\*}M}은 공변접다발의 올이다.

### 벡터장과 텐서장

M의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}의 매끄러운 단면을 **벡터장**이라고 한다.
M의 공변접다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M}의 매끄러운 단면을 **1차 미분 형식**이라고 한다.
M의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

{\displaystyle \overbrace {\mathrm {T} M\otimes \cdots \mathrm {T} M} ^{p}\otimes \overbrace {\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \cdots \otimes \mathrm {T} ^{\*}M} ^{q}}
의 매끄러운 단면을 **(p,q)차 텐서장**이라고 한다.

예
-

만약 어떤 매끄러운 다양체 M의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, M을 **평행화 가능 다양체**(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구 \mathbb {S} ^{n} 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 \mathbb {S} ^{0}, \mathbb {S} ^{1}, \mathbb {S} ^{3}, {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

### 리만 다양체

준 리만 다양체 (M,g)의 경우, 각 점 x\in M에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

{\displaystyle (-)^{\flat }\colon \mathrm {T} \_{x}M\to \mathrm {T} \_{x}^{\*}M}
{\displaystyle (-)^{\flat }\colon v\mapsto g(v,-)}
{\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \mathrm {T} \_{x}^{\*}M\to \mathrm {T} \_{x}M}
{\displaystyle (-)^{\sharp }\colon g(v,-)\mapsto v}
이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 **음악 동형**(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자({\displaystyle ^{\mu }}), 공변접다발의 단면은 아랫첨자({\displaystyle \_{\mu }})로 표기하므로, {\displaystyle (-)^{\flat }}은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", {\displaystyle (-)^{\sharp }}는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

참고 문헌
-----

* Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) **1**. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2.