산란 이론에서, **만델스탐 변수**(영어: Mandelstam variable)는 두 입자가 산란하여 튕겨나오는 과정에서, 각 입자의 초기 4차원 운동량과 나중 4차원 운동량의 관계를 나타내는 세 변수 *s*, *t*, *u*다. 단위는 에너지의 제곱. 남아공의 물리학자 스탠리 만델스탐(Stanley Mandelstam)이 도입하였다.

정의
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+−−− 계량 부호수를 사용하자. 사차원 운동량이 각각 p\_{1}와 p\_{2}인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 p\_{3}와 p\_{4}의 사차원 운동량을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 **만델스탐 변수** s, t, u는 다음과 같다.

s=(p\_{1}+p\_{2})^{2}=(p\_{3}+p\_{4})^{2}
t=(p\_{1}-p\_{3})^{2}=(p\_{2}-p\_{4})^{2}
u=(p\_{1}-p\_{4})^{2}=(p\_{2}-p\_{3})^{2}.
여기서 *s*는 무게중심 기준틀에서 관측한 에너지의 제곱과 같다. *t*는 한 입자에서 다른 입자로 옮겨간 운동량의 정도(의 제곱)으로 해석할 수 있다.

세 만델스탐 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

s+t+u=m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2}+m\_{3}^{2}+m\_{4}^{2}
여기서 m\_{i}^{2}=p\_{i}^{2}는 각 입자의 제곱 불변 질량이다.

만약 산란 뒤 입자가 산란 이전 입자와 다를 경우, 서로 유사한 입자의 운동량을 p\_{1}과 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): p\_{3}**
 (또는 p\_{2}와 p\_{4})로 간주한다. 예를 들어,

e++e− \to  μ++μ−
와 같은 경우, 전자 (e−)와 뮤온(μ−)이 서로 유사하므로 이들을 각각 p\_{1}과p\_{3}로 간주한다.

파인먼 도형의 모양
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이 세 변수에 비례하는 산란 진폭 성분을 나타내는 파인먼 도형은 다음과 같이 특정한 모양을 지닌다. 이런 모양의 파인먼 도형에 해당하는 산란 진폭 성분을 **s 채널** · **t 채널** · **u 채널**로 부른다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
| s 채널 | t 채널 | u 채널 |

임의의 차원에서의 만델스탐 변수
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일반적으로, D차원에서 N>2개의 입자의 산란을 생각하자. 초기 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 양수로, 최종 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 음수로 놓자. 운동량들을 p\_{1},\dots ,p\_{N}이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 **만델스탐 변수** s\_{{ij}}는 다음과 같다.

s\_{{ij}}=(p\_{i}+p\_{j})^{2}\qquad (1\leq i<j\leq N)
즉, 총 N(N-1)/2개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다.

\sum \_{{j\neq i}}s\_{{ij}}=\sum \_{{j=1}}^{N}m\_{j}^{2}+(N-4)m\_{i}^{2}
4차원에서는

s=s\_{{12}}
t=s\_{{13}}
u=s\_{{14}}
이므로, 이 상관관계는 4차원에서의 상관관계

s+t+u=\sum \_{{i=1}}^{4}m\_{i}^{2}
의 일반화이다.

### 독립 만델스탐 변수들의 수

편의상

D'=D-\min\{N,D\}
로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다.

* (질량껍질 조건) p\_{i}^{2}=m\_{i}^{2}\;\forall i=1,\dots ,N
* (운동량 보존 법칙) \sum \_{{i=1}}^{N}p\_{i}=0

또한, 로런츠 변환을 통해

D(D-1)/2
개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데

D'(D'-1)/2
개는 자명하게 작용한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는

ND-N-D+D'-D(D-1)/2+D'(D'-1)/2={\begin{cases}N(D-1)-D(D+1)/2&D\leq N\\N(N-3)/2&D-1\geq N\end{cases}}
이다.

다양한 차원에서 독립 만델스탐 변수들의 수| 입자 수 *N* | *D* = 2 | *D* = 3 | *D* = 4 | *D* = 5 | *D* = 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 5 | 2 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 3 | 6 | 8 | 9 | 9 |

### 2차원 만델스탐 변수

2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나만의 독립적 만델스탐 변수가 존재하며, 이는 신속도로 쓸 수 있다.

네 입자의 신속도를 각각 \theta \_{1}, \theta \_{2}, \theta \_{3}, \theta \_{4}로 쓰자. 그렇다면 각 입자의 2차원 운동량은

p\_{i}=m\_{i}(\cosh \theta \_{i},\sinh \theta \_{i})
이다.

편의상 모든 입자의 질량이 m\_{1}=m\_{2}=m\_{3}=m\_{4}=m으로 놓고, 로런츠 변환을 가해

\theta \_{1}+\theta \_{2}=0
\theta \_{3}+\theta \_{4}=0
으로 놓자. 그렇다면 운동량 보존에 따라서

\theta \_{1}=-\theta \_{2}=\pm \theta \_{3}=\mp \theta \_{4}
임을 알 수 있다.

2\theta =\theta \_{1}-\theta \_{2}=\pm (\theta \_{3}-\theta \_{4})
로 놓자. 그렇다면

s=4m^{2}\cosh ^{2}\theta 
t=-m^{2}(1\mp 1)^{2}\sinh ^{2}\theta 
u=-m^{2}(1\pm 1)^{2}\sinh ^{2}\theta 
이 된다 (복호 동순).

참고 문헌
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1. ↑  Mandelstam, Stanley (1958). "Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. General Theory" (PDF). 《Physical Review》 **112** (4): 1344–1360. Bibcode:1958PhRv..112.1344M. doi:10.1103/PhysRev.112.1344. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 10월 5일에 확인함.

* Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
* Perkins, Donald H. (2000). 《Introduction to High Energy Physics》 4판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.