해석학에서 **횔더 부등식**(Hölder's inequality)은 르베그 적분과 L*p* 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.

정의
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*S*,*Σ*,*μ*가 측도 공간이고, *p*, *q* ∈ **R**가 1 ≤ *p*, *q* ≤ ∞ 이고 1/*p* + 1/*q* = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 *S*에서 가측 함수 *f*, *g*에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

\|fg\|\_{1}\leq \|f\|\_{p}\|g\|\_{q}.
부등식은 ||*fg*||1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 *f* ∈ L*p*(*μ*) , *g* ∈ L*q*(*μ*)일 때, *fg* ∈ L1(*μ*)가 성립한다.

1 < *p*, *q* < ∞ and *f* ∈ L*p*(*μ*) and *g* ∈ L*q*(*μ*)일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |*f*|*p* 과 |*g*|*q*이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, *α*, *β* ≥ 0 인 *α*, *β* 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 *α*|*f*|*p* = *β*|*g*|*q*가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.

(||*f*||*p* = 0 인 경우, *β* = 0이다.||*g*||*q* = 0 인 경우,*α* = 0이다.)

이때 *p*와 *q*는 **횔더 켤레**(**Hölder conjugates**)이다. *p* = *q* = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

횔더 부등식은 L*p*(*μ*)에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L*p*(*μ*)의 쌍대공간 L*q*(*μ*)를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ *q* < ∞)

횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.

* 횔더 켤레의 정의에 의하면, 1/∞은 0을 뜻한다.
* 만약 1 ≤ *p*, *q* < ∞ 이면, ||*f*||*p* , ||*g*||*q*는 다음과 같이 정의한다.

{\biggl (}\int \_{S}|f|^{p}\,{\mathrm {d}}\mu {\biggr )}^{{1/p}}   and   {\biggl (}\int \_{S}|g|^{q}\,{\mathrm {d}}\mu {\biggr )}^{{1/q}}.
* 만약 *p* = ∞ 이면, ||*f*||∞는 |*f*|의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 ||*g*||∞도 정의한다.
* 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.

### 일반화 횔더 부등식

*r* ∈ (0,∞) 이고 *p*1, …, *pn* ∈ (0,∞]이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

\sum \_{{k=1}}^{n}{\frac 1{p\_{k}}}={\frac 1r}.
이때, *S*에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 *f*1, …, *fn*에 대하여,

{\biggl \|}\prod \_{{k=1}}^{n}f\_{k}{\biggr \|}\_{r}\leq \prod \_{{k=1}}^{n}\|f\_{k}\|\_{{p\_{k}}}.
가 성립한다.

또한, 다음도 성립한다.

f\_{k}\in L^{{p\_{k}}}(\mu )\;\;\forall k\in \{1,\ldots ,n\}\implies \prod \_{{k=1}}^{n}f\_{k}\in L^{r}(\mu ).
**주의:** *r* ∈ (0,1)에 대해, ||.||*r*는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.

### 역 횔더 부등식

*p* ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (*S*,*Σ*,*μ*)이 *μ*(*S*) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, *S*에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 *f*, *g* (이때, *g*(*s*) ≠ 0 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 *s* ∈ *S*)에 대하여 다음이 성립한다.

\|fg\|\_{1}\geq \|f\|\_{{1/p}}\,\|g\|\_{{-1/(p-1)}}.
만약, ||*fg*||1 < ∞ 이고 ||*g*||−1/(*p*−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 *α* ≥ 0 에 대해

|f|=\alpha |g|^{{-p/(p-1)}}\,    
이 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.

**주의:** ||*f*||1/*p* 와 ||*g*||−1/(*p*−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.

{\biggl (}\int \_{S}|f|^{{1/p}}\,{\mathrm {d}}\mu {\biggr )}^{{\!p}}   ,   {\biggl (}\int \_{S}|g|^{{-1/(p-1)}}\,{\mathrm {d}}\mu {\biggr )}^{{-(p-1)}}.
### 조건부 횔더 부등식

(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})를 확률 공간이라 하고, {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 *p*, *q* ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 *X*, *Y*에 대하여 다음이 성립한다.

\operatorname {E}{\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\operatorname {E}{\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{{1/p}}\,{\bigl (}\operatorname {E}{\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{{1/q}}\qquad {\mathbb {P}}{\text{-almost surely.}}
**특이 사항:**

* 만약 음이 아닌 확률변수 *Z*가 기댓값이 무한이라면, 이때 *Z*의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.

\operatorname {E}[Z|{\mathcal {G}}]=\sup \_{{n\in {\mathbb {N}}}}\,\operatorname {E}[\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}
* 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. *a* > 0 에 ∞를 곱해도  ∞으로 생각한다.

예
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*p*와 *q*가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.

* *n*차원 유클리드 공간의 집합 *S* = {1, …, *n*} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.

\sum \_{{k=1}}^{n}|x\_{k}\,y\_{k}|\leq {\biggl (}\sum \_{{k=1}}^{n}|x\_{k}|^{p}{\biggr )}^{{\!1/p\;}}{\biggl (}\sum \_{{k=1}}^{n}|y\_{k}|^{q}{\biggr )}^{{\!1/q}}{\text{ for all }}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),(y\_{1},\ldots .y\_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}{\text{ or }}{\mathbb {C}}^{n}.
* 만약 S={\mathbb N}이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

\sum \limits \_{{k=1}}^{{\infty }}|x\_{k}\,y\_{k}|\leq {\biggl (}\sum \_{{k=1}}^{{\infty }}|x\_{k}|^{p}{\biggr )}^{{\!1/p\;}}{\biggl (}\sum \_{{k=1}}^{{\infty }}|y\_{k}|^{q}{\biggr )}^{{\!1/q}}{\text{ for all }}(x\_{k})\_{{k\in {\mathbb N}}},(y\_{k})\_{{k\in {\mathbb N}}}\in {\mathbb {R}}^{{{\mathbb N}}}{\text{ or }}{\mathbb {C}}^{{{\mathbb N}}}.
* 만약 *S*가 르베그 측도를 측도로 갖는 **R***n*의 가측 집합일 때, **f**, **g**는 **S**에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

\int \_{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,{\mathrm {d}}x\leq {\biggl (}\int \_{S}|f(x)|^{p}\,{\mathrm {d}}x{\biggr )}^{{\!1/p\;}}{\biggl (}\int \_{S}|g(x)|^{q}\,{\mathrm {d}}x{\biggr )}^{{\!1/q}}.
* 확률 공간 (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})에서 , \operatorname {E}를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 *X*와 *Y*에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

\operatorname {E}|XY|\leq {\bigl (}\operatorname {E}|X|^{p}{\bigr )}^{{1/p}}\;{\bigl (}\operatorname {E}|Y|^{q}{\bigr )}^{{1/q}}.
0 < *r* < *s*이고, *p* = s/r라 정의하자. 이때, *q* = *p*/(*p*−1)는 *p*의 횔더 켤레다. 횔더 부등식을 확률 변수 |*X*|*r* 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.
\operatorname {E}|X|^{r}\leq {\bigl (}\operatorname {E}|X|^{s}{\bigr )}^{{r/s}}.
*s*의 절대 모멘트가 유한할 때, *r*의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)

증명
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### 횔더 부등식의 증명

횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.

만약 ||*f*||*p* = 0 이라면, *f*는 측도 *μ*값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 *fg*도 *μ*값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||*g*||*q* = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||*f*||*p* > 0 , ||*g*||*q* > 0 이라고 가정할 수 있다.

만약 ||*f*||*p* = ∞ 또는 ||*g*||*q* = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||*f*||*p* , ||*g*||*q* 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.

만약 *p* = ∞ , *q* = 1이면, 거의 모든 점에서 |*fg*| ≤ ||*f*||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, *p* = 1 and *q* = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 *p*, *q* ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.

아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 *a*, *b*에 대하여 *ap* = *bq*일 때이다.

ab\leq {\frac {a^{p}}p}+{\frac {b^{q}}q},
이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

{\displaystyle a={\frac {\left\vert f(s)\right\vert }{\lVert f(s)\rVert \_{p}}},b={\frac {\left\vert g(s)\right\vert }{\lVert g(s)\rVert \_{q}}}}를 대입하면

{\displaystyle {\frac {|f(s)|}{\|f\|\_{p}}}{\frac {|g(s)|}{\|g\|\_{q}}}\leq {\frac {({\frac {|f(s)|}{\|f\|\_{p}}})^{p}}{p}}+{\frac {({\frac {|g(s)|}{\|g\|\_{q}}})^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||*f*||*p* 와 ||*g*||*q*는 상수 취급을 받는다.

{\displaystyle {\frac {\|fg\|\_{1}}{\lVert f\rVert \_{p}\lVert g\rVert \_{q}}}\leq {\frac {1}{p(\|f\|\_{p})^{p}}}\int \_{S}^{}|f|^{p}+{\frac {1}{q(\|g\|\_{q})^{q}}}\int \_{S}^{}|g|^{q}}
이때, 가정에서 *p* ,*q*∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||*f*||*p* and ||*g*||*q* 의 정의에 의해,

{\displaystyle (\lVert f\rVert \_{p})^{p}=\int \_{S}^{}|f|^{p},\quad (\lVert g\rVert \_{q})^{q}=\int \_{S}^{}|g|^{q}}이므로,

{\displaystyle {\frac {\lVert fg\rVert \_{1}}{\lVert f\rVert \_{p}\lVert g\rVert \_{q}}}\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}

그리고, 양변에 ||*f*||*p*||*g*||*q* 을 곱하면 증명이 끝난다.

등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 {\displaystyle {\frac {\left\vert f\right\vert }{\lVert f\rVert \_{p}}}={\frac {\left\vert g\right\vert }{\lVert g\rVert \_{q}}}}가 성립할 때이다.

### 일반화된 횔더 부등식의 증명

횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. *n* = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. *n* − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 *p*1 ≤ … ≤ *pn라 가정할 수 있다.*

1 : *pn* = ∞ 일 때,

\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}{\frac 1{p\_{k}}}={\frac 1r}.
가정과 |*fn*|의 본질적 상한을 사용하면,

{\begin{aligned}\|f\_{1}\cdots f\_{n}\|\_{r}&\leq \|f\_{1}\cdots f\_{{n-1}}\|\_{r}\|f\_{n}\|\_{\infty }\\&\leq \|f\_{1}\|\_{{p\_{1}}}\cdots \|f\_{{n-1}}\|\_{{p\_{{n-1}}}}\|f\_{n}\|\_{\infty }.\end{aligned}}
을 얻을 수 있다.

2 : *pn* < ∞ 일 때,

p:={\frac {p\_{n}}{p\_{n}-r}}   and   q:={\frac {p\_{n}}r}
는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,

{\bigl \|}|f\_{1}\cdots f\_{{n-1}}|^{r}\,|f\_{n}|^{r}{\bigr \|}\_{1}\leq {\bigl \|}|f\_{1}\cdots f\_{{n-1}}|^{r}{\bigr \|}\_{p}\,{\bigl \|}|f\_{n}|^{r}{\bigr \|}\_{q}.
이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.

\|f\_{1}\cdots f\_{n}\|\_{r}\leq \|f\_{1}\cdots f\_{{n-1}}\|\_{{pr}}\|f\_{n}\|\_{{qr}}.
*qr* = *pn*이고,

\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}{\frac 1{p\_{k}}}={\frac 1r}-{\frac 1{p\_{n}}}={\frac {p\_{n}-r}{rp\_{n}}}={\frac 1{pr}}\,,
이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

### 역 횔더 부등식의 증명

*p*와

q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )
가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

{\begin{aligned}{\bigl \|}|f|^{{1/p}}{\bigr \|}\_{1}&={\bigl \|}|fg|^{{1/p}}\,|g|^{{-1/p}}{\bigr \|}\_{1}\\&\leq {\bigl \|}|fg|^{{1/p}}{\bigr \|}\_{p}\,{\bigl \|}|g|^{{-1/p}}{\bigr \|}\_{q}=\|fg\|\_{1}^{{1/p}}\,{\bigl \|}|g|^{{-1/(1-p)}}{\bigr \|}\_{1}^{{(p-1)/p}}.\end{aligned}}
양변을 *p*제곱하여, ||*fg*||1에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

*g*가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |*fg*| = *α*|*g*|−*q*/*p*를 만족하는 상수 *α* ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

### 조건부 횔더 부등식의 증명

확률변수를 다음과 같이 정의하자.

U={\bigl (}\operatorname {E}{\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{{1/p}},\qquad V={\bigl (}\operatorname {E}{\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{{1/q}}
이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때

\operatorname {E}{\bigl [}|X|^{p}1\_{{\{U=0\}}}{\bigr ]}=\operatorname {E}{\bigl [}1\_{{\{U=0\}}}\underbrace {\operatorname {E}{\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}\_{{=\,U^{p}}}{\bigr ]}=0,
집합 {*U* = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |*X*| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {*V* = 0}에서 거의 확실하게 |*Y*| = 0이다. 따라서,

\operatorname {E}{\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}
이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

\{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}
우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.

{\frac {\operatorname {E}{\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad  집합 H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}에서 거의 확실하게 성립.
이제 임의의 집합

G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.
에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.

*U*, *V*, 1*G*가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

{\begin{aligned}\operatorname {E}{\biggl [}{\frac {\operatorname {E}{\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1\_{G}{\biggr ]}&=\operatorname {E}{\biggl [}\operatorname {E}{\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1\_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\operatorname {E}{\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1\_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1\_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\operatorname {E}{\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1\_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{{\!1/p\;}}{\biggl (}\operatorname {E}{\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1\_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{{\!1/q}}\\&={\biggl (}\operatorname {E}{\biggl [}\underbrace {{\frac {\operatorname {E}{\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}}}\_{{=\,1{\text{ a.s. on }}G}}1\_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{{\!1/p\;}}{\biggl (}\operatorname {E}{\biggl [}\underbrace {{\frac {\operatorname {E}{\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}}}\_{{=\,1{\text{ a.s. on }}G}}1\_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{{\!1/q}}\\&=\operatorname {E}{\bigl [}1\_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}

역사
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횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.

참고 문헌
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* Hardy, G.H.; J. E. Littlewood, G. & Pólya (1934). 《Inequalities》. Cambridge Univ. Press. ISBN 0521358809.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Hölder, O. (1889). "Ueber einen Mittelwerthsatz". 《Nachr. Ges. Wiss. Göttingen》: 38–47.
* Rogers, L J. (1888). "An extension of a certain theorem in inequalities". 《Messenger of math》 **17**: 145–150.
* Kuttler, Kenneth (2007). 《An introduction to linear algebra》 (PDF). Online e-book in PDF format, Brigham Young University.