동역학계 이론에서 **샤르코우스키 정리**(Шарковський 定理, 영어: Sharkovskii’s theorem)는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다.

정의
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양의 정수의 집합 \mathbb Z^+ 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} }
{\displaystyle f\colon 2^{a}(2b+3)\mapsto (a,b)\qquad (a,b\in \mathbb {N} )}
{\displaystyle f\colon 2^{a}\mapsto (\infty ,-a)\qquad (a\in \mathbb {N} )}
{\displaystyle (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} } 위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 f를 통해 \mathbb Z^+에 부여할 수 있는데, 이를 **샤르코우스키 순서**(Шарковський順序, 영어: Sharkovskii order)라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle 3\prec 5\prec 7\prec 9\prec \cdots \prec 2\cdot 3\prec 2\cdot 5\prec 2\cdot 7\prec \cdots \prec 2^{2}\cdot 3\prec 2^{2}\cdot 5\prec \cdots \prec 2^{3}\prec 2^{2}\prec 2^{1}\prec 2^{0}}
구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수

{\displaystyle \phi \colon I\to I}
의 **주기점**(영어: periodic point)은

{\displaystyle \overbrace {\phi \circ \cdots \circ \phi } ^{k}(x)=\phi ^{k}(x)=x}
인 k\in\mathbb Z^+가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 k를 주기점의 **최소 주기**(영어: least period)라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

**샤르코우스키 정리**에 따르면, 만약 {\displaystyle \phi \colon I\to I}가 연속 함수이며, \phi 가 최소 주기가 n\in \mathbb {Z} ^{+}인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 {\displaystyle m\succ n}에 대하여 최소 주기가 m인 \phi 의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, {\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} ^{+}\colon m\succeq n\}}이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 {\displaystyle f\colon I\to I}가 존재한다.

### 리-요크 정리

구간 I 위의 연속 함수 {\displaystyle \phi \colon I\to I}가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. **리-요크 정리**([李]-Yorke定理, 영어: Li–Yorke theorem)에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 {\displaystyle S\subset I}가 존재한다.

* S는 주기점들을 포함하지 않는다.
* {\displaystyle |S|=2^{\aleph \_{0}}}이다.
* 임의의 x,y\in S에 대하여 (x\neq y),
{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0}
{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|=0}
* 임의의 x\in S 및 주기점 {\displaystyle y\in I\setminus S}에 대하여,
{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0}

예
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로지스틱 사상의 경우, {\displaystyle r\gtrsim 1+{\sqrt {8}}}인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다. 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 {\mathbb R}/{\mathbb Z} 위에서 {\displaystyle x\mapsto x+1/3}의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

역사
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샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(우크라이나어: Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський, 러시아어: Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키[\*])가 1964년에 증명하였다.

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(중국어: 李天岩, 병음: Lǐ Tiānyán, 한자음: 이천암, 영어: Tien-Yien Li)과 제임스 요크(영어: James A. Yorke)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다. 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"(영어: chaos 케이오스[\*])이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1975년 12월). "Period three implies chaos". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **82** (10): 985–992. doi:10.2307/2318254. JSTOR 2318254.
2. ↑  Zhang, Cheng (2010년 10월). "Period three begins". 《Mathematics Magazine》 (영어) **83**: 295–297.
3. ↑  Шарковский, А. Н. (1964). "Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя". 《Украинский математический журнал》 (러시아어) **16** (1): 61-71. ISSN 0041-6053.

* Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* Misiurewicz, Michał (1997년 11월). "Remarks on Sharkovsky’s theorem". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **104** (9): 846-847. doi:10.2307/2975290. JSTOR 2975290.
* Sharkovsky, Aleksandr Nikolayevich (2008). "Sharkovsky ordering". 《Scholarpedia》 (영어) **3** (5): 1680. doi:10.4249/scholarpedia.1680. ISSN 1941-6016.
* "Remarks on Sharkovsky’s theorem". 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) **15** (2): 565–570. doi:10.1216/RMJ-1985-15-2-565. ISSN 0035-7596. MR 823266. Zbl 0585.58031.