위상수학에서 **주다발**(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 X이고 올이 위상군 G인 주다발은 국소적으로 X\times G와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 X
* 위상군 G

그렇다면, 올이 G이고 밑이 X인 **주다발**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 올이 G인 올다발 {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X}
* 연속 오른쪽 작용 P\times G\to P

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 g\in G, p\in P에 대하여, {\displaystyle \pi (p\cdot g)=\pi (p)}. 즉, 각 x\in X에 대하여, G는 올 {\displaystyle P\_{x}} 위에 작용한다.
* 임의의 {\displaystyle p,p'\in G}에 대하여, 만약 {\displaystyle \pi (p)=\pi (p')}이라면, {\displaystyle p\cdot g=p'}인 g\in G가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 x\in X에 대하여, 오른쪽 작용 {\displaystyle P\_{x}\times G\to P\_{x}}는 정추이적 작용이다. 여기서 {\displaystyle P\_{x}=\pi ^{-1}(\{x\})}는 x 위의 P의 올이다.

두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\!\!P\times G\!\!&{\overset {\cdot }{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {proj} \_{1}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\operatorname {proj} \_{1}}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle \color {White}\pi }\downarrow \scriptstyle \pi \!\!\!\!\\P&{\underset {\pi }{\to }}&X\end{matrix}}}
두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname {proj} \_{1}}}\!\!\!\!\swarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}^{\operatorname {proj} \_{1}}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\exists !}\uparrow \scriptstyle \exists !\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color {White}^{\cdot }}\searrow ^{\cdot }\!\!\!\!\\P&{\xleftarrow {p}}&\bullet &{\xrightarrow {p'}}&P\\&{\_{\pi }}\searrow {\color {White}\_{\pi }}&&{\color {White}\_{\pi }}\swarrow {\_{\pi }}\\&&X\end{matrix}}}
만약

* G가 리 군이며,
* P와 X가 매끄러운 다양체이며,
* {\displaystyle \pi \colon P\to X}가 매끄러운 함수이며,
* G의 작용 P\times G\to P 역시 매끄러운 함수라면

{\displaystyle (X,G,P,\pi )}를 **매끄러운 주다발**(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.

### 주다발 사상

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 두 위상 공간 X, Y
* 위상군 G와 H
* G-주다발 {\displaystyle \pi \_{P}\colon P\twoheadrightarrow X}, {\displaystyle \pi \_{Q}\colon Q\twoheadrightarrow Y}

이 두 주다발 사이의 **주다발 사상**(영어: principal bundle morphism) (f,\phi )는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:§1

* 연속 함수 f\colon X\to Y
* 연속 함수 {\displaystyle \Phi \colon P\to Q}
* 연속 군 준동형 \phi \colon G\to H

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \Phi (p\cdot g)=\Phi (p)\cdot \phi (g)\qquad \forall (p,g)\in P\times G}
{\displaystyle f\circ \pi \_{P}=\pi \_{Q}\circ \Phi }
즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\xrightarrow {(\Phi ,\phi )}}&Q\times H\\{\scriptstyle \cdot }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\cdot }&&{\scriptstyle \color {White}\cdot }\downarrow \scriptstyle \cdot \\P&{\xrightarrow {\Phi }}&Q\\{\scriptstyle \pi \_{P}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\pi \_{P}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\pi \_{Q}}}\downarrow {\scriptstyle \pi \_{Q}}\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}
주다발 사상 {\displaystyle (f,\Phi ,\phi )}에서, 만약 X=Y이며, f=\operatorname {id}\_{X}가 항등 함수이며, \phi 가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) {\displaystyle (\Phi ,\phi )}를 **구조군 축소**(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.

### 주연장

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* n차원 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* X 위의 매끄러운 G-주다발 {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X}
* 자연수 (음이 아닌 정수) {\displaystyle 0\leq q\leq p}

그렇다면, 다음과 같은, M 위의 올다발을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P=\mathrm {F} ^{p}M\times \_{M}\mathrm {J} ^{q}P}
여기서

* {\displaystyle \mathrm {F} ^{p}M}은 M 위의 p차 틀다발이다. 이는 M 위의 주다발이며, 그 올군은 p차 n차원 제트 군 {\displaystyle \operatorname {Jet} (p,n)}이다.
* {\displaystyle \mathrm {J} ^{q}P}는 P 위의 q차 제트 다발이다. 이는 P 위의 벡터 다발이다.
* {\displaystyle \times \_{M}}은 M 위의 두 올다발의 곱이다.

즉, 국소적으로 {\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P}의 점은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{p}f,\mathrm {j} \_{x}^{h}g)}
여기서

* {\displaystyle f\colon U\to V}은 단사 매끄러운 함수이며, {\displaystyle 0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}은 열린집합이며, {\displaystyle x\in V\subseteq M} 역시 열린집합이다.
* {\displaystyle \mathrm {j} \_{0}^{p}f}는 f의, {\displaystyle 0\in U}에서의 p차 제트이다.
* {\displaystyle s\colon V\to P}는 {\displaystyle P\upharpoonright V}의 단면이다.

이는 P 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,p)\rtimes \mathrm {T} ^{q}G}
이다. 여기서

{\displaystyle \mathrm {T} ^{q}G=\{\mathrm {j} \_{0}^{q}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}}
이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{p}f,\mathrm {j} \_{0}^{q}g)(\mathrm {j} \_{0}^{p}f',\mathrm {j} \_{0}^{q}g')=\left(\mathrm {j} \_{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} \_{0}^{q}\left(\left(\mathrm {g} \circ f'\right)g'\right)\right)}
이 군은 {\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P} 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{p}f,\mathrm {j} \_{x}^{q}s)(\mathrm {j} \_{0}^{p}f',\mathrm {j} \_{x}^{q}g)=\left(\mathrm {j} \_{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} \_{0}^{q}\left(\sigma \cdot (g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)}
이를 P의 (p,q)차 **주연장**(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.:150–151, §15.3:Definition 3.4

성질
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### 대역적 자명화의 존재

위상 공간 X 위의 주다발 P에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 {\displaystyle P\cong X\times G})가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 {\displaystyle s\in \Gamma (P)}가 존재하는 것이다. (이는 {\displaystyle s\colon x\mapsto (x,1\_{G})}로 여길 수 있다.)

### 분류

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.
위상군 G에 대하여, 분류 공간 {\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}을 구성할 수 있다. 그렇다면, (X에 대한 적절한 조건 아래) X 위의 G-주다발들의 동형류들은 연속 함수 {\displaystyle X\to \mathrm {B} G}들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 {\displaystyle f\colon X\to \mathrm {B} G}에 대응하는 G주다발은 {\displaystyle f^{\*}\mathrm {E} G}이다.

예
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### 자명 주다발

임의의 위상 공간 X와 위상군 G에 대하여, X\times G는 군 작용

{\displaystyle (x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)}
과 사영 사상

{\displaystyle (x,h)\mapsto x}
을 주면 주다발을 이룬다. 이를 **자명 주다발**(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다.

### 틀다발

 이 부분의 본문은 틀다발입니다.
위상 공간 X 위의 k차원 벡터 다발 E가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 {\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )}-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 **틀다발**이라고 한다.

응용
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주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

참고 문헌
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1. ↑  "Reductive *G*-structures and Lie derivatives". 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) **47** (1): 66–86. 2003년 7월. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2.
2. ↑  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.
3. ↑  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Reductive *G*-structures and Lie derivatives". 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) **47**: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.

* Kobayaschi, Shoshichi (1957). "Theory of connections". 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) **43** (1): 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ISSN 0373-3114. Zbl 0124.37604.
* Collinucci, Andres; Alexander Wijns. "Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories" (영어). arXiv:hep-th/0611201. Bibcode:2006hep.th...11201C.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)