바이어슈트라스 타원함수의 그래프. (g\_{2},g\_{3})=(1+i,2-3i)인 경우이며, 이 경우 주기는 (\omega \_{1},\omega \_{2})\approx (0.79+2.26i,2.44+0.31i)이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.
**바이어슈트라스 타원함수**(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 \wp .

정의
--

**바이어슈트라스 타원함수** \wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

### 격자합

z\in \mathbb {C} , \tau \in {\mathbb H}/\operatorname {PSL}(2;{\mathbb Z})에 대하여, **바이어슈트라스 타원함수** \wp (z;\tau )는 다음과 같다.

\wp (z;\tau )={\frac 1{z^{2}}}+\sum \_{{(m,n)\neq (0,0)}}\left({\frac 1{(z+m+\tau n)^{2}}}-{\frac 1{(m+\tau n)^{2}}}\right)
타원곡선 모듈러스 \tau  대신 격자 주기 \omega \_{1},\omega \_{2}를 써서 다음과 같이 \wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})를 정의하기도 한다.

\wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})={\frac 1{z^{2}}}+\sum \_{{(m,n)\neq (0,0)}}\left({\frac 1{(z+m\omega \_{1}+n\omega \_{2})^{2}}}-{\frac 1{(m\omega \_{1}+n\omega \_{2})^{2}}}\right)=\omega \_{1}^{{-2}}\wp (z/\omega \_{1};\omega \_{2}/\omega \_{1})
### 미분 방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

\wp '(z;\omega \_{1},\omega \_{2})^{2}=4\wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})^{3}-g\_{2}(\omega \_{1},\omega \_{2})\wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})-g\_{3}(\omega \_{1},\omega \_{2})
여기서 {\displaystyle \wp '(z;\omega \_{1},\omega \_{2}u)={{\partial \wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})} \over {\partial z}}}이다. g\_{2}와 g\_{3}는 **타원 불변량**(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 (\omega \_{1},\omega \_{2})와 다음과 같은 관계를 가진다.

g\_{2}(\omega \_{1},\omega \_{2})=60\sum \_{{(m,n)\neq (0,0)}}(m\omega \_{1}+n\omega \_{2})^{{-4}}
g\_{3}(\omega \_{1},\omega \_{2})=140\sum \_{{(m,n)\neq (0,0)}}(m\omega \_{1}+n\omega \_{2})^{{-6}}
이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

f\colon {\mathbb C}/\Lambda \to {\mathbb {CP}}^{2}
f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]
를 정의하면, 이는 원환면 {\mathbb C}/\Lambda 로부터 타원곡선 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g\_{2}x-g\_{3}}으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 \Lambda 는 \tau 에 대한 격자

\Lambda =\{m+n\tau \colon m,n\in {\mathbb Z}\}
이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질
--

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 n\_{1},n\_{2}\in {\mathbb Z}에 대하여,

\wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})=\wp (z+n\_{1}\omega \_{1}+n\_{2}\omega \_{2};\omega \_{1},\omega \_{2})
또한, 모듈러 매개변수 \tau 에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

\wp (z;\tau )=\wp (z;\tau +1)=\wp (z;-1/\tau )
또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

\wp (z;\omega \_{1},\omega \_{2})=\wp (-z;\omega \_{1},\omega \_{2})
\wp ;(z;\omega \_{1},\omega \_{2})=-\wp '(-z;\omega \_{1},\omega \_{2})
바이어슈트라스 타원함수 \wp (-;\omega \_{1},\omega \_{2})는 타원 곡선 {\mathbb C}/\langle \omega \_{1},\omega \_{2}\rangle 에서 리만 구면 {\hat {\mathbb {C} }}로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 e\_{1},e\_{2},e\_{3}이라고 쓰며, 다음과 같다.

\widehat \infty =\wp (0;\omega \_{1},\omega \_{2})
e\_{1}(\omega \_{1},\omega \_{2})=\wp (\omega \_{1}/2;\omega \_{1},\omega \_{2})
e\_{2}(\omega \_{1},\omega \_{2})=\wp (\omega \_{2}/2;\omega \_{1},\omega \_{2})
e\_{3}(\omega \_{1},\omega \_{2})=\wp (\omega \_{1}/2+\omega \_{2}/2;\omega \_{1},\omega \_{2})
### 덧셈 공식

삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 **덧셈 공식**(영어: addition formula)을 만족시킨다.

\wp (z+y)={\frac 14}\left({\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right)^{2}-\wp (z)-\wp (y)
만약 z=y인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

\wp (2z)={\frac 14}\left({\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right)^{2}-2\wp (z)
### 야코비 타원함수와의 관계

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

\wp (z)=e\_{3}+{\frac {e\_{1}-e\_{3}}{\operatorname {sn}^{2}(w;m)}}=e\_{2}+\left(e\_{1}-e\_{3}\right){\frac {\operatorname {dn}^{2}(w;m)}{\operatorname {sn}^{{2}}(w;m)}}=e\_{{1}}+\left(e\_{1}-e\_{3}\right){\frac {\operatorname {cn}^{2}(w;m)}{\operatorname {sn}^{2}(w;m)}}
여기서

w=z{\sqrt {e\_{1}-e\_{3}}}
m=(e\_{2}-e\_{3})/(e\_{1}-e\_{3})
이다.

### 역함수

바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

{\displaystyle u=\int \_{\wp (u;\tau )}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g\_{2}(\tau )s-g\_{3}(\tau )}}}}
이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, \{e\_{1},e\_{2},e\_{3},\widehat \infty \}에서 분지점을 갖는다.

역사
--

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

참고 문헌
-----

* Brizard, Alain J. "A primer on elliptic functions with applications in classical mechanics" (영어). arXiv:0711.4064. Bibcode:2007arXiv0711.4064B.