집합론에서 **클럽 집합**(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, **정상 집합**(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의
--

### 클럽 집합

극한 순서수 \alpha 가 주어졌다고 하자. 부분 집합

{\displaystyle C\subseteq \alpha }
가 다음 두 조건을 만족시키면 \alpha -**클럽 집합**(영어: \alpha -club set)이라고 한다.

* 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 {\displaystyle 0<\beta <\alpha }에 대하여, {\displaystyle \sup(C\cap \beta )=\beta }라면, {\displaystyle \beta \in C}이다.
* {\displaystyle \textstyle \sup \_{\operatorname {Ord} }C=\alpha }이다. 즉, 임의의 순서수 {\displaystyle \beta <\alpha }에 대하여, {\displaystyle \beta <\beta '\in C}가 존재한다.

### 정상 집합

임의의 기수 \kappa  및 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }가 주어졌으며, \kappa 의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 S와 임의의 \kappa -클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, S를 **정상 집합**이라고 한다.

성질
--

### 연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 \kappa  및 두 \kappa -클럽 집합 {\displaystyle C,C'\subseteq \kappa }가 주어졌을 때, {\displaystyle C\cap C'} 역시 \kappa -클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 \kappa 의 **클럽 필터**(영어: club filter)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 \kappa  및 \kappa -정상 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }와 \kappa -클럽 집합 {\displaystyle C\subseteq \kappa }가 주어졌을 때, {\displaystyle S\cap C} 역시 정상 집합이다.

### 솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 정칙 비가산 기수 \kappa
* 정상 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }

그렇다면, **솔로베이 정상 집합 분할 정리**(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, S는 \kappa 개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

### 포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 정칙 비가산 기수 \kappa
* 정상 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }
* 함수 {\displaystyle f\colon S\to \kappa }

또한, 다음이 성립한다고 하자.

* 임의의 {\displaystyle 0<\alpha \in S}에 대하여, {\displaystyle f(\alpha )<\alpha }

**포도르 정리**(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, {\displaystyle f|\_{S'}=\alpha '}인 정상 부분 집합 S'\subseteq S와 순서수 {\displaystyle \alpha '<\kappa }가 존재한다.:Theorem 1.5

### 말로 기수

\kappa -정상 집합들의 모임을 {\displaystyle {\mathfrak {S}}\_{\kappa }}로 표기하자.

기수의 모임 \operatorname {Card}의 부분 모임 {\displaystyle P\subseteq \operatorname {Card} }에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}\_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega }
이를 **말로 연산**(Mahlo演算, 영어: Mahlo operation)이라고 한다.:18

기수 \kappa 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 **말로 기수**(Mahlo基數, 영어: Mahlo cardinal)라고 한다.

* 만약 P가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)}이다.:21
* 임의의 {\displaystyle R\subseteq V\_{\kappa }}에 대하여, {\displaystyle \langle V\_{\alpha },\in ,R\cap V\_{\alpha }\rangle \prec \langle V\_{\kappa },\in ,R\rangle }가 되는 도달 불가능한 기수 {\displaystyle \alpha <\kappa }가 존재한다.:57, Proposition 6.2(b)

여기서 V\_{\alpha }는 폰 노이만 전체의 단계이며, {\displaystyle \langle V\_{\kappa },\in ,R\rangle }는 이항 연산 \in 과 상수 기호 R를 갖춘 구조이며, {\displaystyle \prec }는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 P가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, {\displaystyle \operatorname {Mahlo} (P)}의 원소를 **약한 말로 기수**(弱-Mahlo基數, 영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.:17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,:18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Mahlo} ^{\alpha }(P)={\begin{cases}\operatorname {Mahlo} (\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P))&\beta +1=\alpha \\P\cap \bigcap \_{\beta <\alpha }\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P)&\nexists \beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}
이를 사용하여, **\alpha -말로 기수**의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)

도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.:§9

{\displaystyle \operatorname {Inaccble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Inaccble} )\supseteq \operatorname {Measble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Measble} )\supseteq \operatorname {Supercomp} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Supercomp} )\supseteq \operatorname {Extble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Extble} )\supseteq \operatorname {Superhuge} }
여기서

* {\displaystyle \operatorname {Inaccble} }: 도달 불가능한 기수의 모임
* {\displaystyle \operatorname {Measble} }: 가측 기수의 모임
* {\displaystyle \operatorname {Supercomp} }: 초콤팩트 기수의 모임
* {\displaystyle \operatorname {Extble} }: 확장 가능 기수(영어: extendible cardinal)의 모임
* {\displaystyle \operatorname {Superhuge} }: 초거대 기수(영어: superhuge cardinal)의 모임

### 다이아몬드 원리

기수 \kappa  및 \kappa -정상 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }에 대하여, **{\displaystyle (\kappa ,S)}-다이아몬드 집합렬**(영어: {\displaystyle (\kappa ,S)}-diamond sequence) {\displaystyle A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )}은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

* 임의의 {\displaystyle \alpha \in S}에 대하여, {\displaystyle A\_{\alpha }\subseteq \alpha }
* 임의의 {\displaystyle T\subseteq \kappa }에 대하여, {\displaystyle \{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A\_{\alpha }\}}는 \kappa -정상 집합이다.

**{\displaystyle (\kappa ,S)}-다이아몬드 원리**({\displaystyle (\kappa ,S)}-diamond原理, 영어: {\displaystyle (\kappa ,S)}-diamond principle) {\displaystyle \diamondsuit \_{\kappa }(S)}는 {\displaystyle (\kappa ,S)}-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.

{\displaystyle \diamondsuit \_{\omega \_{1}}(\omega \_{1})}은 흔히 **다이아몬드 원리** {\displaystyle \diamondsuit }라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

{\displaystyle V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})}
즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사
--

1911년에 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ0-수"(독일어: ρ0-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.:§1.1

포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다.

"클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: **cl**osed and **u**n**b**ounded)의 머리글자를 딴 것이다.:Definition 1.1

참고 문헌
-----

1. 1 2 3  Jech, Thomas (2010). 〈Stationary sets〉 (PDF). Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro. 《Handbook of set theory》 (영어). Springer-Verlag. 93–128쪽. doi:10.1007/978-1-4020-5764-9\_2. ISBN 978-1-4020-4843-2. 2016년 4월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
2. 1 2 3 4 5  Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. ↑  Shulman, Michael A. (2008). "Set theory for category theory" (영어). arXiv:0810.1279. Bibcode:2008arXiv0810.1279S.
4. ↑  Rinot, Assaf (2011). 〈Jensen’s diamond principle and its relatives〉. Babinkostova, L.; Caicedo, A. E.; Geschke, S.; Scheepers, M. 《Set Theory and Its Applications》. Contemporary Mathematics (영어) **533**. arXiv:0911.2151. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. doi:10.1090/conm/533/10506. ISBN 978-0-8218-4812-8. MR 2777747.
5. ↑  Mahlo, Paul (1911). "Über lineare transfinite Mengen". 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) **63**: 187–225. Zbl 42.0090.02.
6. ↑  Mahlo, Paul (1912). "Zur Theorie und Anwendung der ρ0-Zahlen". 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) **64**: 108–112. Zbl 43.0113.01.
7. ↑  Mahlo, Paul (1913). "Zur Theorie und Anwendung der ρ0-Zahlen II". 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) **65**: 268–282. JFM 44.0092.02.
8. ↑  Bloch, Gérard (1953). "Sur les ensembles stationnaires de nombres ordinaux et les suites distinguées de fonctions régressives". 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **236**: 265–268.
9. ↑  Fodor, G. (1956). "Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen". 《Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis》 (독일어) **17**: 139-142. 2016년 8월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
10. ↑  Solovay, Robert M. (1971). 〈Real-valued measurable cardinals〉. Scott, Dana S. 《Axiomatic set theory. Part 1》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) **13.1**. American Mathematical Society. 397–428쪽. doi:10.1090/pspum/013.1/0290961. MR 0290961.
11. ↑  Jensen, Ronald Björn (1972). "The fine structure of the constructible hierarchy". 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) **4**: 229–308. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0. MR 0309729.