*y = ex*의 그래프
**지수 함수**(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의
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{\displaystyle a}를 양의 상수, {\displaystyle x}를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 {\displaystyle y=a^{x}}로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 {\displaystyle f(x)=2^{x}}는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 {\displaystyle {\text{exp}}(x)} 또는 {\displaystyle e^{x}}와 같이 쓴다. 이때 {\displaystyle e}를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 {\displaystyle y=e^{x}} 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 {\displaystyle x}의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 {\displaystyle x}축과 만나지 않지만, {\displaystyle x}축에 점점 접근해간다.

*a*가 양의 실수, *x*가 임의의 실수일 때, *a*를 밑, *x*를 지수로 하는 지수함수를 *a**x* 로 쓴다.
특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 *a*의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

* *a**x*는 **R**에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
* *a*0 = 1
* *a**p*+*q* = *a**p**a**q*

극한
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함수 {\displaystyle f(x)=a^{x}}에서 

{\displaystyle a>1}일 때 위 지수함수의 극한은

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=\infty }, {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=0}이고,

{\displaystyle 0<a<1}일 때 위 지수함수의 극한은

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=0}, {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=\infty }이다.siuu

그리고 {\displaystyle a=1}일 때 위 지수함수의 극한은

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=1}, {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=1}이다.

미분
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밑이 *e* 인 지수 함수 *e**x*의 도함수는 *e**x* 자신이 된다. *e**x*를 {\displaystyle \exp(x)} 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 *a**x*는 자연로그 ln 을 사용하여, {\displaystyle e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}} 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 *a**x*의 도함수는 (ln *a*)*a**x* = *a**x* ln *a*가 된다.

{\displaystyle \exp(x)}는 미분방정식 {\displaystyle dy/dx=y}의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 {\displaystyle dy/dx=y,\;y(0)=1}를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 *e*인 것만을 가리킨다.

### 음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}}의 해를 구할 수 있다.

{\displaystyle y=a^{x}} 라 하면 다음이 성립한다:

{\displaystyle \ln y=\ln a^{x}=x\ln a}

좌변을 {\displaystyle x}에 대해 미분하면:

{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}}

로그함수의 역함수로서의 정의
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로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \ln x=\int \_{1}^{x}{1 \over t}\,dt}

이때 {\displaystyle y=\ln x}는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 {\displaystyle y=\exp(x)}라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

{\displaystyle {dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y}

즉, {\displaystyle {d \over dx}\exp(x)=\exp(x)}이다. 또한, {\displaystyle \ln 1=0} 이므로, {\displaystyle \exp(0)=1}이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)}

{\displaystyle \exp(a)=p,\exp(b)=q}로 놓으면
{\displaystyle a=\ln p,b=\ln q}이므로 로그의 성질에 의하여 {\displaystyle a+b=\ln p+\ln q=\ln pq}
따라서 {\displaystyle \exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)}가 성립한다.
로그함수 {\displaystyle y=\ln x}는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 {\displaystyle \ln x=1}를 만족하는 해 {\displaystyle x}가 존재하며, 단사함수이므로 실수 {\displaystyle x}는 단 한개만 존재한다. 방정식 {\displaystyle \ln x=1}의 해를 {\displaystyle x=e}라 하자.

{\displaystyle \therefore \ln e=1,\exp(1)=e}

이제 {\displaystyle \exp(x)=e^{x}}로 놓고 이것을 **지수함수**로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 {\displaystyle x}가 자연수일 때 {\displaystyle \exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} \_{x}}임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 {\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}} {\displaystyle (a>0)}로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 {\displaystyle x}에 대하여 {\displaystyle a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} \_{x}}임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립
{\displaystyle a^{1}=e^{\ln a}=a}
{\displaystyle n}에 대하여 성립한다는 가정 아래, {\displaystyle n+1}에 대하여 성립
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} \_{n}}
양변에 a를 곱하면
{\displaystyle a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} \_{n+1}}
위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
{\displaystyle a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}}
{\displaystyle \therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} \_{n+1}}
따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 {\displaystyle x}에 대하여 {\displaystyle e^{x\ln a}}로 정의된 {\displaystyle a^{x}}는 a를 x번 곱한 것과 같다.