대수적 위상수학에서 **코호몰로지 연산**(cohomology演算, 영어: cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.

정의
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### 1차 코호몰로지 연산

자연수 m,n\in {\mathbb N} 및 아벨 군 {\displaystyle G,H\in \operatorname {Ab} }에 대하여, **{\displaystyle (m,n;G,H)}형 1차 코호몰로지 연산**(영어: primary cohomology operation of type {\displaystyle (m,n;G,H)})은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

{\displaystyle A\colon K(G,m)\to K(H,n)}
이다. {\displaystyle (m,n;G,H)}형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}
를 이룬다. {\displaystyle (m,n;G,H)}형 1차 코호몰로지 연산 \alpha 는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

{\displaystyle A\_{\*}\colon \operatorname {H} ^{m}(-;G)\Rightarrow \operatorname {H} ^{n}(-;H)}
을 유도한다.

### 2차 코호몰로지 연산

에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

{\displaystyle K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow {\mathcal {P}}K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)}
여기서 {\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]\_{\bullet }}는 고리 공간, {\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]\_{\bullet }}는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 {\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}에 대하여, 올뭉치의 당김

{\displaystyle K(H,n-1){\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\alpha ^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n){\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}K(G,m)}
을 정의할 수 있다. A 위의 **{\displaystyle (H',n')}형 2차 코호몰로지 연산**은 {\displaystyle A^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n)} 위의 코호몰로지류

{\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}
이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}K(H,n-1)&{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}&A^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n)&{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}&K(G,m)\\&&\downarrow \scriptstyle B\\&&K(H',n')\end{matrix}}}
그렇다면,

{\displaystyle B\circ \iota \colon K(H,n-1)\to A^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n)\to K(H',n')}
를 사용하여

{\displaystyle (B\circ \iota )\_{\*}\colon \operatorname {H} ^{n-1}(X;H)\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}
를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 {\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{\*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}는 코호몰로지류 위의 함수

{\displaystyle B\_{\*}\colon (\ker A\_{\*}\subseteq \operatorname {H} ^{m}(X,G))\to {\frac {\operatorname {H} ^{n'}(X;H')}{(B\circ \iota )\_{\*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}}}
를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

{\displaystyle \alpha \colon X\to K(G,m)}
가 주어졌을 때,

{\displaystyle B\_{\*}(\alpha )=B\circ \pi ^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}
이다. 여기서 사용한 역함수 {\displaystyle \pi ^{-1}}는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,

* {\displaystyle \pi ^{-1}}는 {\displaystyle \ker A\_{\*}} 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
* {\displaystyle \pi ^{-1}}는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 {\displaystyle (B\circ \iota )\_{\*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}에 속한다.

### 고차 코호몰로지 연산

보다 일반적으로, k차 코모홀로지 연산에 대응하는 k+1차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 {\displaystyle A\_{1}\colon K(G\_{0},n\_{0})\to K(G\_{1},n\_{1})}에 대한 2차 코호몰로지 연산 {\displaystyle A\_{2}\colon A\_{1}^{\*}{\mathcal {P}}K(G\_{1},n\_{1})\to K(G\_{2},n\_{2})}이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 {\displaystyle A\_{3}\colon A\_{2}^{\*}{\mathcal {P}}K(G\_{2},n\_{2})\to K(G\_{3},n\_{3})}이다. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}K(G\_{1},n\_{1}-1)&{\stackrel {\iota \_{1}}{\hookrightarrow }}&A\_{1}^{\*}{\mathcal {P}}K(G\_{1},n\_{1})&{\stackrel {\pi \_{1}}{\twoheadrightarrow }}&K(G\_{0},n\_{0})\\&&\downarrow \scriptstyle A\_{2}\\&&K(G\_{2},n\_{2})\end{matrix}}}
{\displaystyle {\begin{matrix}K(G\_{2},n\_{2}-1)&{\stackrel {\iota \_{2}}{\hookrightarrow }}&A\_{2}^{\*}{\mathcal {P}}K(G\_{2},n\_{2})&{\stackrel {\pi \_{2}}{\twoheadrightarrow }}&A\_{1}^{\*}{\mathcal {P}}K(G\_{1},n\_{1})\\&&\downarrow \scriptstyle A\_{3}\\&&K(G\_{3},n\_{3})\end{matrix}}}
이는 연산

{\displaystyle A\_{3}^{\*}\colon \left(\ker A\_{2}^{\*}\subseteq \operatorname {H} ^{n\_{0}}(-;G\_{0})\right)\to {\frac {\operatorname {H} ^{n\_{3}}(-;G\_{3})}{(A\_{3}\circ \iota \_{2})^{\*}\operatorname {H} ^{n\_{2}-1}(-;G\_{2})}}}
을 정의한다.

예
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특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.

* 합곱 {\displaystyle \smile \colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)}. 이는 불안정 연산이다.
* 스틴로드 제곱 {\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon K(\mathbb {Z} /2,n)\to K(\mathbb {Z} /2,n+i)}
* 스틴로드 축소 제곱 {\displaystyle P^{i}\colon K(\mathbb {Z} /p,n)\to K(\mathbb {Z} /p,n+2i(p-1)}, p 소수
* 폰트랴긴 제곱 {\displaystyle K(\mathbb {Z} /p^{r},2n)\to K(\mathbb {Z} /p^{r+1},2pn)}
* 아벨 군의 짧은 완전열 {\displaystyle G/N=H}에 대하여, 복시테인 준동형 {\displaystyle K(H,n)\to K(N,n+1)}
* 포스트니코프 제곱
* 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

참고 문헌
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* Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (1968). 《Cohomology operations and applications in homotopy theory》 (영어). Harper & Row. MR 0226634.
* Steenrod, N. E. (1962). 《Cohomology operations》. Annals of Mathematics Studies (영어) **50**. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07924-0. MR 0145525.
* Baues, Hans-Joachim (2006). 《The algebra of secondary cohomology operations》. Progress in Mathematics (영어) **247**. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7448-8. MR 2220189.
* Harper, John R. (2002). 《Secondary cohomology operations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **49**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3198-4. MR 1913285.