리 군 이론에서, **이와사와 분해**([岩澤]分解, 영어: Iwasawa decomposition)는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.:197–204

정의
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### 리 대수의 이와사와 분해

다음이 주어졌다고 하자.

* 실수 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}
* {\mathfrak {g}}의 카르탕 대합 \theta

그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}
를 정의할 수 있다. 여기서 {\mathfrak k}는 콤팩트 리 대수이며, {\mathfrak {p}}는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

{\mathfrak a}\subset {\mathfrak p}가 {\mathfrak {p}} 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 \mathfrak a에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, {\mathfrak {n}}이 {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})}의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.

{\mathfrak g}={\mathfrak k}\oplus {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak n}
이를 {\mathfrak {g}}의 **이와사와 분해**라고 한다.

### 리 군의 이와사와 분해

G가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 {\mathfrak g}={\mathfrak k}\oplus {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak n}에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상

K=\exp({\mathfrak k})\subset G
A=\exp({\mathfrak a})\subset G
N=\exp({\mathfrak n})\subset G
을 정의할 수 있다. 이 경우

* K는 콤팩트 반단순 리 군이며, G의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. G의 중심을 포함한다.
* A는 단일 연결 아벨 리 군이며, G의 닫힌 부분군이다.
* N은 단일 연결 멱영 리 군이며, G의 닫힌 부분군이다.

그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.:203, Theorem 29.3 (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)

K\times A\times N\to G
따라서, 임의의 원소 g\in G를

g=k(g)a(g)n(g)
k(g)\in K
a(g)\in A
n(g)\in N
과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 **이와사와 분해**이다.

만약 G가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 G의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, K는 G의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 **실수 계수**(영어: real rank)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

성질
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실수 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}의 이와사와 분해

{\mathfrak g}={\mathfrak k}\oplus {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak n}
의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* {\mathfrak k}는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
* {\mathfrak a}\subset {\mathfrak p}는 가환 리 대수이다. 즉, {\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}이다.
* {\mathfrak {n}}은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여 \overbrace {[{\mathfrak n},[{\mathfrak n},[\cdots [{\mathfrak n},{\mathfrak n}]\cdots ]}^{{n{\text{ times}}}}=0이다.

### 카르탕 분해와의 관계

반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}의 카르탕 대합 \theta 이 주어졌을 때, 카르탕 분해

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}
를 정의할 수 있다. 이는 같은 \theta 에 대한 이와사와 분해

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}
와 다음과 같은 관계를 갖는다.

* 카르탕 분해의 {\mathfrak k}는 이와사와 분해의 {\mathfrak k}와 같다.
* 카르탕 분해의 {\mathfrak {p}}는 이와사와 분해의 \mathfrak a를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 {\mathfrak {n}}은 일반적으로 {\mathfrak k}의 부분 대수도, {\mathfrak {p}}의 부분 대수도 아니다.)
* 카르탕 분해에서, {\mathfrak {p}}는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 \mathfrak a와 {\mathfrak {n}}은 둘 다 리 대수이다.
* 카르탕 분해에서, {\mathfrak k}와 {\mathfrak {p}}는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, {\mathfrak k}와 \mathfrak a는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, {\mathfrak {n}}은 {\mathfrak k} 및 \mathfrak a와 직교일 필요가 없다.

예
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대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

| 군 | 콤팩트 성분 | 아벨 성분 | 멱영 성분 |
| --- | --- | --- | --- |
| 실수 일반선형군 \operatorname {GL}(n,{\mathbb R}) | 직교군 \operatorname {O}(n,{\mathbb R}) | 양의 대각행렬군 ({\mathbb R}^{+})^{n} | 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군 |
| 실수 특수선형군 \operatorname {SL}(n,{\mathbb R}) | 특수직교군 \operatorname {SO}(n,{\mathbb R}) | 행렬식이 1인 양의 대각행렬군 ({\mathbb R}^{+})^{{n-1}} | 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군 |
| 2×2 실수 특수선형군 \operatorname {SL}(2,{\mathbb R}) | S^{1}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}\right\} | {\mathbb R}^{+}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{{-1}}\end{pmatrix}}}|y\in {\mathbb R}^{+}\right\} | {\mathbb R}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}}|a\in {\mathbb R}\right\} |
| 복소 일반선형군 \operatorname {GL}(n,{\mathbb C}) | 유니터리 군 \operatorname {U} (n) | 양의 대각행렬군 ({\mathbb R}^{+})^{n} | 대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군 |
| 복소 특수선형군 \operatorname {SL}(n,{\mathbb C}) | 유니터리 군 \operatorname {SU}(n) | 행렬식이 1인 양의 대각행렬군 ({\mathbb R}^{+})^{{n-1}} | 대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군 |
| 콤팩트 반단순 리 군 G | G | 자명군 1 | 자명군 1 |

### 그람-슈미트 과정

 이 부분의 본문은 그람-슈미트 과정입니다.
일반선형군 \operatorname {GL}(n,{\mathbb R})의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 V\cong {\mathbb R}^{n}의 기저 \{v\_{1},\dots ,v\_{n}\}\subset V가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬

B={\begin{pmatrix}v\_{1}&v\_{2}&\cdots &v\_{n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL}(V)\cong \operatorname {GL}(n,{\mathbb R})
을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를

U^{{-1}}B=O
의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 O는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, U는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, U를 추가로 분해하여

U\_{0}^{{-1}}D^{{-1}}B=O
로 놓자. 여기서 U\_{0}은 B를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, D는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,

B=U\_{0}DO
가 되며, 이는 \operatorname {GL}(n,{\mathbb R})의 이와사와 분해이다.

### 상반평면의 이와사와 분해

리 군 \operatorname {SL}(2,{\mathbb R})의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면

{\mathbb H}=\{x+iy|x\in {\mathbb R},y\in {\mathbb R}^{+}\}
은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.

{\mathbb H}=\operatorname {SL}(2,{\mathbb R})/\operatorname {SO}(2,{\mathbb R})
즉, 이는 \operatorname {SL}(2,{\mathbb R})의 이와사와 분해 \operatorname {SO}(2,{\mathbb R})\times {\mathbb R}^{+}\times {\mathbb R}에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.

x+iy\mapsto \left({\scriptstyle {\begin{pmatrix}y^{{1/2}}&0\\0&y^{{-1/2}}\end{pmatrix}}},{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}\right)

역사
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이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **225**. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Knapp, A. W. (1997). 〈Structure theory of semisimple Lie groups〉 (PDF). 《Representation Theory and Automorphic Forms》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) **61**. American Mathematical Society. 1–27쪽. ISBN 978-0-8218-0609-8.
3. ↑  Iwasawa, Kenkichi (1949). "On some types of topological groups". 《Annals of Mathematics》 (영어) **2** (50): 507–558.

* Abbaspour, Hossein; Martin Moskowitz (2007년 9월). 《Basic Lie theory》 (PDF) (영어). doi:10.1142/6462. ISBN 978-981-270-698-0. 2014년 6월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 6월 9일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)