칸토어-번슈타인 정리의 최초의 서술
집합론에서, **칸토어-번슈타인 정리**(영어: Cantor–Bernstein theorem)는 두 집합 사이에 두 방향으로 모두 단사 함수가 존재한다면, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다는 정리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 사용하지 않고 증명할 수 있다. 칸토어-번슈타인 정리에 따라, 기수의 표준적인 순서는 부분 순서이다. 선택 공리를 추가로 가정하면, 기수의 순서가 전순서임을 보일 수 있다.

정의
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**칸토어-번슈타인 정리**는 다음과 같다.:28, Theorem 3.2

* 두 집합 X와 Y 사이에 단사 함수 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to X가 존재한다면, 전단사 함수 {\displaystyle h\colon X\to Y}가 존재한다.

이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

기수는 같은 수의 원소를 포함하는 집합들을 묶은 동치류로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 전단사 함수 X\to Y가 존재한다면, |X|=|Y|라고 정의한다 (|X|는 X의 크기를 나타내는 기수). 만약 단사 함수 X\to Y가 존재한다면, |X|\leq |Y|라고 정의한다. 물론, 기수의 순서 \le의 정의는 기수를 크기로 하는 집합의 선택과 무관하다. 이 순서는 반사 관계이며 (항등 함수는 단사 함수), 추이적 관계이다 (단사 함수의 합성은 단사 함수). 칸토어-번슈타인 정리는 다음과 같이 적을 수 있다.

* 만약 |X|\leq |Y|이며 {\displaystyle |Y|\leq |X|}라면, |X|=|Y|이다.

즉, 기수의 순서는 반대칭 관계이며, 따라서 부분 순서이다.

정렬 집합들 사이에서는 항상 크기를 비교할 수 있다. 선택 공리를 가정하면, 모든 집합은 정렬 집합과 크기가 같으므로, 모든 집합들의 크기는 비교 가능하다. 즉, 기수의 순서는 전순서이다.

증명
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같은 맥락의 여러 증명들이 존재한다.

### 표준적인 증명

다음과 같이 정의하자.:28, Theorem 3.2

X\_{0}=X
{\displaystyle Y\_{0}=g(Y)}
{\displaystyle X\_{n+1}=g(f(X\_{n}))}
{\displaystyle Y\_{n+1}=g(f(Y\_{n}))}
그러면 일련의 X의 부분 집합들

{\displaystyle X\_{0}\supseteq Y\_{0}\supseteq X\_{1}\supseteq Y\_{1}\supseteq X\_{2}\supseteq Y\_{2}\supseteq \cdots }
을 얻는다. (자명하게 {\displaystyle X\_{0}\supseteq Y\_{0}}이다. {\displaystyle Y\supseteq f(X)}이므로 {\displaystyle Y\_{0}\supseteq X\_{1}}이다. {\displaystyle X\_{n}\supseteq Y\_{n}\supseteq X\_{n+1}}에 g\circ f에 대한 상을 씌우면 {\displaystyle X\_{n+1}\supseteq Y\_{n+1}\supseteq X\_{n+2}}를 얻는다.) 이제, 함수 {\displaystyle h\colon X\to Y}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&\exists n=0,1,\dots \colon x\in X\_{n}\setminus Y\_{n}\\g^{-1}(x)&\not \exists n=0,1,\dots \colon x\in X\_{n}\setminus Y\_{n}\end{cases}}}
(g는 전단사 함수일 필요가 없으므로 역함수를 가질 필요가 없지만, 공역을 제한하여 부분적인 역함수 {\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y}를 정의할 수 있다.) 이제 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): h**
가 단사 함수이자 전사 함수임을 보이면 충분하다.

* h는 단사 함수
	+ h는 {\displaystyle (X\_{0}\setminus Y\_{0})\cup (X\_{1}\setminus Y\_{1})\cup \cdots }로 제한되었을 때 f이며, 그 여집합 {\displaystyle (Y\_{0}\setminus X\_{1})\cup (Y\_{1}\setminus X\_{2})\cup \cdots }로 제한하면 {\displaystyle g^{-1}}이다. f와 {\displaystyle g^{-1}}은 단사 함수이다. 따라서, {\displaystyle (X\_{0}\setminus Y\_{0})\cup (X\_{1}\setminus Y\_{1})\cup \cdots }의 서로 다른 원소 또는 {\displaystyle (Y\_{0}\setminus X\_{1})\cup (Y\_{1}\setminus X\_{2})\cup \cdots }의 서로 다른 원소의, h에 대한 상은 서로 다르다. {\displaystyle g\circ h}는 {\displaystyle X\_{n}\setminus Y\_{n}}의 원소를 {\displaystyle X\_{n+1}\setminus Y\_{n+1}}의 원소로 보내고, {\displaystyle Y\_{n}\setminus X\_{n+1}}의 원소를 (스스로로 보내므로) {\displaystyle Y\_{n}\setminus X\_{n+1}}로 보낸다. {\displaystyle X\_{n+1}\setminus Y\_{n+1}}와 {\displaystyle Y\_{n}\setminus X\_{n+1}}는 서로 만나지 않는다. 따라서, {\displaystyle (X\_{0}\setminus Y\_{0})\cup (X\_{1}\setminus Y\_{1})\cup \cdots }의 원소와 {\displaystyle (Y\_{0}\setminus X\_{1})\cup (Y\_{1}\setminus X\_{2})\cup \cdots }원소의, h에 대한 상은 서로 다르다.
* h는 전사 함수
	+ y\in Y라고 하자. {\displaystyle g(y)\in X\_{n}\setminus Y\_{n}}이라면, n>0이다 ({\displaystyle \because g(y)\in g(Y)=Y\_{0}}). 즉, {\displaystyle X\_{n}=g(f(X\_{n-1}))}, {\displaystyle Y\_{n}=g(f(Y\_{n-1}))}이다. g가 단사 함수이므로, {\displaystyle y=f(x)=h(x)}인 {\displaystyle x\in X\_{n-1}\setminus Y\_{n-1}}이 존재한다. {\displaystyle g(y)\in Y\_{n}\setminus X\_{n+1}}이라면, {\displaystyle h(g(y))=g^{-1}(g(y))=y}이다.

### 쾨니그의 증명

편의상 {\displaystyle X\cap Y=\varnothing }이라고 가정하자 (가정이 참이 아니라면, 두 집합을 크기가 같은 두 서로소 집합 {\displaystyle {\tilde {X}}=\{(0,x)\colon x\in X\}}와 {\displaystyle {\tilde {Y}}=\{(1,y)\colon y\in Y\}}로 대체한다). 단사 함수 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to X의 부분적 역함수

{\displaystyle f^{-1}\colon f(X)\to X}
{\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y}
를 정의하자. 임의의 x\in X에 대하여, X\sqcup Y 위의 열

{\displaystyle \dots ,f^{-1}(g^{-1}(x)),g^{-1}(x),x,f(x),g(f(x)),\dots }
을 구성할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 y\in Y에 대하여, {\displaystyle X\cup Y} 위의 열

{\displaystyle \dots ,g^{-1}(f^{-1}(y)),f^{-1}(y),y,g(y),f(g(y)),\dots }
을 구성할 수 있다. 이러한 열은 X와 Y의 원소가 번갈아 가며 나타나며, 오른쪽으로는 끝없이 이어지고, 왼쪽은 끝이 없거나 (f^{{-1}}나 {\displaystyle g^{-1}}가 정의되지 않는) 어떤 X 또는 Y의 원소에서 끝이 난다. 임의의 항은 열을 완전하게 결정하므로, 두 열이 어떤 항을 공유한다면, 두 열은 서로 같다. 즉, 위와 같은 꼴의 열들은 X\sqcup Y을 분할한다. 따라서, 각 열에 등장하는 X의 원소와 Y의 원소 사이의 전단사 함수를 찾으면 충분하다. 임의의 항은 열을 결정하므로, 특히 바로 다음 항을 결정한다. 즉, 임의의 항을 오른쪽의 이웃하는 항으로 대응시키는 함수는 항상 잘 정의된다. 이는 열 속 X의 원소에서 열 속 Y의 원소로 가는 전단사 함수이거나, 반대 방향의 전단사 함수이다.

### 타르스키 고정점 정리를 통한 증명

X의 멱집합 격자 {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}는 완비 격자를 이룬다. 함수

{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
{\displaystyle S\mapsto X\setminus g(Y\setminus f(S))}
는 순서 보존 함수이므로, 타르스키 고정점 정리에 따라 고정점 S\subseteq X를 갖는다. 즉,

{\displaystyle X\setminus S=g(Y\setminus f(S))}
이다. 따라서, 전단사 함수

X\to Y
{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}f(x)&x\in S\\g^{-1}(x)&x\in X\setminus S\end{cases}}}
가 존재한다.

참고 문헌
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1. 1 2  Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002.