대수학에서 **아이젠슈타인 판정법**(-判定法, 영어: Eisenstein’s criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

정의
--

유일 인수 분해 정역 R에서 계수를 취하는 {\displaystyle n\geq 1}차 다항식

{\displaystyle f(x)=r\_{n}x^{n}+r\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r\_{0}\in R[x]}
가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 p\in R가 존재한다고 하자.

{\displaystyle p\nmid r\_{n}}
{\displaystyle p\mid r\_{0},\dots ,r\_{n-1}}
{\displaystyle p^{2}\nmid r\_{0}}
**아이젠슈타인 판정법**에 따르면, f(x)는 분수체 \operatorname {Frac} R의 다항식환 {\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]} 속에서 기약 다항식이다. 즉, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)가 원시 다항식이라면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.:183, §IV.3, Theorem 3.1:144, §III.10, Proposition 10.9

보다 일반적으로, 정역 R에서 계수를 취하는 {\displaystyle n\geq 1}차 다항식

{\displaystyle f(x)=r\_{n}x^{n}+r\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r\_{0}\in R[x]}
가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 {\mathfrak p}\subsetneq R가 존재한다고 하자.

{\displaystyle r\_{n}\not \in {\mathfrak {p}}}
{\displaystyle r\_{0},\dots ,r\_{n-1}\in {\mathfrak {p}}}
{\displaystyle r\_{0}\not \in \{rs\colon r,s\in {\mathfrak {p}}\}}
그렇다면, f(x)는 더 낮은 차수의 두 R 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 f(x)의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, f(x)는 R[x]에서 기약 다항식이다.:145, §III.10, Exercise 14

증명
--

귀류법을 사용하여, f(x)가 {\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}인 {\displaystyle d,e\geq 1}차 다항식

{\displaystyle g(x)=s\_{d}x^{d}+s\_{d-1}x^{d-1}+\cdots +s\_{0}\in R[x]}
{\displaystyle h(x)=t\_{e}x^{e}+t\_{e-1}x^{e-1}+\cdots +t\_{0}\in R[x]}
가 존재한다.

{\displaystyle p\mid r\_{0}=s\_{0}t\_{0}}
이며, p는 소원이므로, {\displaystyle p\mid s\_{0}}이거나 {\displaystyle p\mid t\_{0}}이다. 편의상 {\displaystyle p\mid s\_{0}}이라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle p^{2}\nmid r\_{0}}이므로 {\displaystyle p\nmid t\_{0}}이다. 이제,

{\displaystyle p\nmid r\_{n}=s\_{d}t\_{e}}
이므로 {\displaystyle p\nmid s\_{d}}이며,

{\displaystyle p\mid s\_{0},\dots ,s\_{k-1}}
{\displaystyle p\nmid s\_{k}}
인 {\displaystyle 1\leq k\leq d}를 취할 수 있다. 따라서

{\displaystyle p\nmid s\_{0}t\_{k}+s\_{1}t\_{k-1}+\cdots +s\_{k-1}t\_{1}+s\_{k}t\_{0}=r\_{k}}
이며, {\displaystyle k\leq d<d+e=n}이므로 이는 모순이다.

예
-

아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 {\displaystyle x^{4}+2\in \mathbb {Z} [x]}는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+} 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 {\displaystyle a\geq 2}에 대하여, {\displaystyle x^{n}\pm a\in \mathbb {Z} [x]}는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 \mathbb {Q} 의 다항식환 \mathbb Q[x]는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 {\displaystyle a\geq 2}의 거듭제곱근 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} ({\displaystyle n\geq 2})는 항상 무리수이다.

### 소수 번째 원분 다항식

소수 p에 대하여,

{\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}\in \mathbb {Q} [x]}
의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 f(x)의 기약성은

{\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=\sum \_{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i-1}\in \mathbb {Q} [x]}
의 기약성과 동치이며,

{\displaystyle p\mid {\frac {p(p-1)\cdots 2\cdot 1}{i!}}={\binom {p}{i}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,p-1\}}
이므로 (이는 분모는 p의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 {\displaystyle f(x+1)\in \mathbb {Q} [x]}는 기약 다항식이다. 따라서 {\displaystyle f(x)\in \mathbb {Q} [x]} 역시 기약 다항식이다. 이는 p번째 원분 다항식과 같다.

### 유리 함수체 위의 다항식

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 {\displaystyle K(t)/K} 속 다항식

{\displaystyle x^{n}-t\in K(t)[x]}
는 기약 다항식이다. 이는 K[t]가 유일 인수 분해 정역이며, {\displaystyle t\in K[t]}가 그 기약원이기 때문이다.

참고 문헌
-----

* John B. Fraleigh, Victor Katz, *A First Course In Abstract Algebra*, Addison-Wesley, 2003.