수학에서 **갈루아 군**(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의
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체의 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 L의 자기 동형 f\colon L\to L 가운데 f(k)=k\forall k\in K인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 L/K의 **자기 동형군** \operatorname{Aut}(L/K)라고 한다.

만약 L/K가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 **갈루아 군** \operatorname {Gal} (L/K)이라고 한다.

체 K의 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep}}의 자기 동형군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)을 **절대 갈루아 군**(영어: absolute Galois group) \operatorname{Gal}K이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 \operatorname{Spec}K의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

\operatorname{Gal}K\cong\pi\_1^{\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K)
K^{\operatorname{sep}}/K는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

### 갈루아 군의 위상

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 L/K에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 \operatorname{Sub}(L/K) 및 갈루아 부분 확대들의 격자

\operatorname{Sub\_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)
를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 \operatorname {Gal} (L/K)은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

\operatorname {Gal}(L/K)=\varprojlim \_{{M\in \operatorname {Sub\_{{Gal}}}(L/K)}}^{{[M:K]<\aleph \_{0}}}\operatorname {Gal}(M/K)
이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 **크룰 위상**(영어: Krull topology)이라고 한다.

성질
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**갈루아 이론의 기본 정리**(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

| 체론 | 군론 |
| --- | --- |
| K^{\operatorname{sep}}/K의 부분 확대 L/K | 절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K |
| K^{\operatorname{sep}}/K의 유한 부분 확대 L/K | 절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K |
| 유한 확대 L/K에서, K를 고정시키는 매장 L\hookrightarrow K^{\operatorname{sep}} | \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K의 (왼쪽) 잉여류 |
| 갈루아 확대 L/K | 절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\vartriangleleft\operatorname{Gal}K |
| K^{\operatorname{sep}}/K의 부분 확대 L/K의 켤레 확대(영어: conjugate extension) \sigma(L)/K | \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)의 켤레 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/\sigma(L))=\sigma\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\sigma^{-1} |

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

### 갈루아 코호몰로지

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 K의 스펙트럼 \operatorname{Spec}K의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, 자기 동형군 \operatorname{Aut}(L/K)는 정의에 따라 L 위에 자연스럽게 작용하며, {\displaystyle (L,+)}은 군환 {\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Aut} (L/K)]} 위의 가군을 이룬다.

{\displaystyle (n\_{1}g\_{1}+n\_{2}g\_{2}+\cdots +n\_{k}g\_{k})\cdot a=n\_{1}g\_{1}(a)+n\_{2}g\_{2}(a)+\cdots +n\_{k}g\_{k}(a)\qquad \forall g\_{1},\dots ,g\_{k}\in \operatorname {Aut} (L/K),\;n\_{1},\dots ,n\_{k}\in \mathbb {Z} }
**가법 힐베르트 90번 정리**(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대 L/K에 대하여, L 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (L/K);L)={\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}}}
(이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, 자기 동형군 \operatorname {Gal} (L/K)는 가역원군 {\displaystyle L^{\times }} 위에 자연스럽게 작용하며, {\displaystyle L^{\times }}는 군환 {\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Gal} (L/K)]} 위의 가군을 이룬다.

{\displaystyle (n\_{1}g\_{1}+n\_{2}g\_{2}+\cdots +n\_{k}g\_{k})\cdot a=(g\_{1}(a))^{n\_{1}}(g\_{2}(a))^{n\_{1}}\cdots (g\_{k}(a))^{n\_{k}}\qquad \forall g\_{1},\dots ,g\_{k}\in \operatorname {Gal} (L/K),\;n\_{1},\dots ,n\_{k}\in \mathbb {Z} }
**승법 힐베르트 90번 정리**(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대 L/K의 자기 동형군 \operatorname{Aut}(L/K)가 유한군이라면, {\displaystyle L^{\times }} 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K);L^{\times })=0}
(이 경우 L/K가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

예
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* 임의의 체 K에 대하여, \operatorname{Gal}(K/K)는 자명군이다.
* \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q)은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 a+b{\sqrt 2}\mapsto a-b{\sqrt 2}이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

### 절대 갈루아 군의 예

* 대수적으로 닫힌 체 K의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/K)은 자명군이다.
* 실수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 z\mapsto {\bar z}이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
* 유리수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb Q)는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 \mathbb {Z} /2밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.