삼각형의 외접원과 외심
기하학에서 **외접원**(外接圓, 영어: circumscribed circle, circumcircle)은 주어진 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. **외심**(外心, 영어: circumcenter)은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.

정의
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다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 **외접원**이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 **외심**이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 **내접 다각형**(內接多角形, 영어: cyclic polygon, inscribed polygon)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) 사각형을 **내접 사각형**이라고 한다.

성질
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다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

### 예각·직각·둔각 삼각형의 외심

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 둔각 삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.

### 반지름

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 R라고 하고, 세 변의 길이를 {\displaystyle a=BC}, {\displaystyle b=CA}, {\displaystyle c=AB}라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 (사인 법칙).

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
삼각형의 넓이를 S라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

{\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}

증명:

삼각형의 넓이는 한 변의 길이 a와 그 변 위의 높이 {\displaystyle b\sin C}의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}={\frac {abc}{4R}}}
이다. 

삼각형의 내접원의 반지름을 r라고 하자. 그렇다면 외심 O와 내심 I 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

{\displaystyle OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}
특히 다음 부등식이 성립한다 (오일러 부등식).

{\displaystyle R\geq 2r}
### 오일러 직선

 이 부분의 본문은 오일러 직선입니다.
삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

### 사각형

 이 부분의 본문은 내접 사각형입니다.
(볼록) 사각형 {\displaystyle ABCD}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
* (두 대각의 합은 180^{\circ }) {\displaystyle \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }}
* (원주각) {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}
* (방멱 정리) 두 대각선 {\displaystyle AC}, {\displaystyle BD}의 교점을 E라고 할 때, {\displaystyle EA\cdot EC=EB\cdot ED}
* (프톨레마이오스 정리) {\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD}

### 미켈 정리

삼각형 ABC 및 직선 BC, CA, AB 위의 점 D, E, F가 주어졌다고 하자. **미켈 정리**(영어: Miquel theorem)에 따르면, 삼각형 {\displaystyle AEF}, {\displaystyle BFD}, {\displaystyle CDE}의 외접원은 한 점 P에서 만난다. 이 경우 점 P를 삼각형 ABC에 대한 점 D, E, F의 **미켈 점**(영어: Miquel point)이라고 한다. 만약 D, E, F가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 DEF를 삼각형 ABC에 대한 점 P의 한 **미켈 삼각형**(영어: Miquel triangle)이라고 한다.

증명:

편의상 D, E, F가 변 BC, CA, AB 위의 점이며, 삼각형 {\displaystyle AEF}, {\displaystyle BFD}의 외접원의 다른 한 교점 P가 삼각형 ABC의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 {\displaystyle AEPF}, {\displaystyle BDPF}는 내접 사각형이므로

{\displaystyle \angle CEP=\angle AFP=\angle BDP}
이다. 따라서 사각형 {\displaystyle CDPE} 역시 내접 사각형이다.

네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 D, E, F가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.

삼각형 ABC 및 직선 BC, CA, AB 위의 점 D, E, F 및 점 P에 대하여, 삼각형 DEF가 점 P의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 유향각 {\displaystyle \angle PFA}, {\displaystyle \angle PDB}, {\displaystyle \angle PEC}의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 ABC 및 직선 BC, CA, AB 위의 점 D, E, F 및 미켈 점 P가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:133, §VII.186

{\displaystyle \angle BPC=\angle BAC+\angle EDF}
{\displaystyle \angle CPA=\angle CBA+\angle FED}
{\displaystyle \angle APB=\angle ACB+\angle DFE}
여기서 모든 각도는 유향각이다.

증명:

편의상 D, E, F가 변 BC, CA, AB 위의 점이며, 삼각형 {\displaystyle AEF}, {\displaystyle BFD}의 외접원의 다른 한 교점 P가 삼각형 ABC의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 {\displaystyle BDPF}, {\displaystyle CDPE}는 내접 사각형이므로

{\displaystyle \angle BPC=\angle BPD+\angle DPC=\angle BFD+\angle DEC=\angle BAC+\angle EDF}
이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 ABC에 대한 점 P의 모든 미켈 삼각형은 P를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.:134, §VII.188

증명:

위 등식에 따라 삼각형 ABC에 대한 점 P의 미켈 삼각형 DEF의 세 내각의 크기

{\displaystyle \angle EDF=\angle BPC-\angle BAC}
{\displaystyle \angle FED=\angle CPA-\angle CBA}
{\displaystyle \angle DFE=\angle APB-\angle ACB}
는 미켈 삼각형 DEF의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한

{\displaystyle \angle PDE=\angle PCA}
{\displaystyle \angle PEF=\angle PAB}
{\displaystyle \angle PFD=\angle PBC}
역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 P를 고정점으로 갖는다.

### 키페르트 포물선과의 관계

삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위의 점이다.:47, §5.5 특히 삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명:

내접 포물선의 초점 F가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 F를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 F를 지나는, 포물선 위 임의의 점 P에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 V에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점 P 또는 초점 F를 지나는 준선의 수선의 발을 D, E라고 하고, 꼭짓점 V에서의 접선과 {\displaystyle DF}의 교점을 M이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 V는 선분 {\displaystyle EF}의 중점이며, {\displaystyle VM}과 {\displaystyle DE}는 평행하므로 M은 선분 {\displaystyle DF}의 중점이다. {\displaystyle PD=PF}이므로 {\displaystyle PM}은 {\displaystyle DF}의 수선이자 {\displaystyle \angle DPF}의 이등분선이다. 이에 따라 광선 {\displaystyle FP}가 직선 {\displaystyle PM}에 반사된 광선은 {\displaystyle DP}의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 {\displaystyle FP}가 포물선에 반사된 광선은 {\displaystyle DP}의 연장선이므로, {\displaystyle PM}은 포물선의 P에서의 접선이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.
2. ↑  Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) **37**. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.