**플라스마 가림효과**(Plasma screening)란 이온화 된 전자 즉, 플라스마가 들뜨게 되면 전자 간의 상호작용했던 쿨롱 퍼텐셜이 서로 가림을 받는 현상이 일어나게 되는데 이러한 현상을 가리켜 플라즈마 가림효과라 일컫는다. **플라즈마 가림현상**으로 나타나는 대표적인 특징은 물질의 유전상수 변화이다. 주어진 퍼텐셜에서 플라즈마 가림현상으로 일어나게 되는 유전상수의 변화를 나타내는 식이 **린드하드 식**이다. 1954년 린드하드가 알아낸 이 유전함수는 흔히 RPA (Random Phase Approximation)이라고 많이 불린다. 이는 동적상태인 {\displaystyle \epsilon (q,\omega )\,\!}와 정적상태인 {\displaystyle \epsilon (q)\,\!}로 나누어 모델링 한 것인데 특히, 전자 가스와 같은 플라즈몬에 대해서 잘 예측하게 해준다. 그 린드하드식은 아래와 같다.

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| {\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V\_{q}\sum \_{k}{\frac {f\_{k-q}-f\_{k}}{\hbar (\omega +i\delta +E\_{k-q}-E\_{k})}}} |

여기서, {\displaystyle \epsilon \,\!}은 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)이고 {\displaystyle f\_{k}\,\!}는 페르미-디락 분포를 따르는 캐리어 분포 함수를 {\displaystyle V\_{q}\,\!}는 {\displaystyle V(r)\,\!}을 푸리에 변환한 함수이다.

Random Phase Approximation
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어떤 시스템의 Dynamic Electronic Response를 보기 위한 방법으로 주로 사용되는 것이 Random Phase Approximation이다. RPA에서 전자는 외부 퍼텐셜 {\displaystyle V\_{ext}(r)\,\!} 과 가림효과를 받은 가림 퍼텐셜 {\displaystyle V\_{sub}(r)\,\!}을 합친 {\displaystyle V(r)\,\!}에 의해서만 반응을 하고 외부 퍼텐셜{\displaystyle V\_{ext}(r)\,\!}이 특정한 단일 주파수 {\displaystyle \omega \,\!}로 진동한다고 가정을 한 방법이다. 따라서, 전체 퍼텐셜 {\displaystyle V(r)\,\!}이 동적 유전상수에 대한 기여는 평균화되어 특정한 Wave Vector {\displaystyle k\,\!} 만이 기여를 하게 된다.

린드하드 식의 유도
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전자 플라즈자에서 다체계 상호작용의 대표적인 특징이 플라즈마 가림효과이다. 플라즈마 가림효과는 양자역학적으로 접근을 해야한다. 단일 입자에 관한 해밀토니안을 아래와 같이 표현 할 수 있다. 여기에서 {\displaystyle V\_{eff}(r)=V(r)+V\_{ind}(r)\,\!}이다. {\displaystyle V(r)\,\!} 은 쿨롱 퍼텐셜이고, {\displaystyle V\_{ind}(r)\,\!}는 가림을 받는 입자들에 의해 유도된 퍼텐셜이다.

{\displaystyle H=\int d^{3}r\,\psi ^{\dagger }({\vec {r}})\,\left(-{\frac {\nabla ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\right)\psi ({\vec {r}})+\int d^{3}r\,V\_{eff}(r)\,\psi ^{\dagger }({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}})\,}
위에 있는 해밀토니안을 푸리에 변환을 하면 아래와 같은 식이 된다. (일반적으로 전자 플라즈마에 대해서 분석하기 위해서 Charge Density Fluctuation을 계산해야 한다. 그런데 Second Quantization Formalism을 이용하면 Charge Density Operatior의 기대값을 구할 수 있다. 따라서 {\displaystyle a^{\dagger }\,\!} 나 {\displaystyle a\,\!}와 같은 Operator가 수식에 나오게 되는 것이다.)

  

{\displaystyle H=\sum \_{k}E\_{k}a\_{k}^{\dagger }a\_{k}+\sum \_{p}V\_{eff}(p)\sum \_{k}a\_{k+p}^{\dagger }a\_{k}\,}
이제, 하이젠버그 운동방정식을 이용하면 {\displaystyle a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}\,\!}의 운동에 대해 기술 할 수 있게 된다.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}={i \over \hbar }[H,a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}]}
{\displaystyle =i(E\_{k-q}-E\_{k})a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}-{i \over \hbar }\sum \_{p}V\_{eff}(p)(a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k-p}-a\_{k+p-q}^{\dagger }a\_{k})}
앞의 결과와 Random Phase Approximation을 한다면, {\displaystyle a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}\,\!}에 대한 기대값을 구할 수 있게 되고,

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}<a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>=i(E\_{k-q}-E\_{k})<a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>-{i \over \hbar }V\_{eff}(p)(f\_{k-q}-f\_{k})}
또한 전자가 {\displaystyle e^{-i(\omega +i\delta )t}\,\!}에 비례해서 움직인다고 가정을 하면 즉, {\displaystyle <a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>\,\propto \,e^{\,\!-i(\omega +i\delta )t}\,\!} 이라고 생각 할 수 있다. 따라서 앞의 식을 바탕으로 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

{\displaystyle \hbar (\omega \delta +E\_{k-q}-E\_{k})<a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>=V\_{eff}(q)(f\_{k-q}-f\_{k})}
결국, {\displaystyle <a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>\,\!}에 대해서 정리하면 아래와 같게 된다.

{\displaystyle <a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}>=V\_{eff}(q){{f\_{k-q}-f\_{k}} \over \ {\hbar (\omega +i\delta +E\_{k-q}-E\_{k})}}\,\!}
더 나아가기 이전에, 두 가지 함수를 정의해 보도록 하겠다.
먼저 Polarization Function으로 {\displaystyle P^{1}(q,\omega )\,\!}으로 표현을 하며, 그 꼴을 아래와 같다.

{\displaystyle P^{1}(q,\omega )\equiv \sum \_{k}{\frac {f\_{k-q}-f\_{k}}{\hbar (\omega +i\delta +E\_{k-q}-E\_{k})}}}
다음으로 Electron Charge Denisty Operator이다.

{\displaystyle <\rho \_{q}>\equiv -{\frac {|e^{2}|}{L^{3}}}\sum \_{k}{a\_{k-q}^{\dagger }a\_{k}}}
따라서 위에서 정의한 두 식과 앞의 유도한 식을 이용하면 Electron Charge Denisty Operator은 아래와 같이 새롭게 정의가 된다.

{\displaystyle <\rho \_{q}>=-{\frac {|e^{2}|}{L^{3}}}V\_{eff}(q)P^{1}(q,\omega )}
가림효과를 받은 입자의 퍼텐셜은 포아송 방정식을 만족하므로 다음과 같이 쓰여 질 수 있다.

{\displaystyle \nabla ^{2}V\_{ind}(r)={\frac {4\pi |e|\rho (r)}{\epsilon \_{o}}}}
위 식을 푸리에 변환을 하고, 앞서 구한 Electron Charge Denisty Operator을 대입하면,

{\displaystyle V\_{ind}(q)=-{\frac {4\pi |e|}{\epsilon q^{2}}}\rho \_{q}={\frac {4\pi |e|^{2}}{\epsilon \_{o}q^{2}L^{3}}}V\_{eff}(q)P^{1}(q,\omega )=V\_{q}V\_{eff}(q)P^{1}(q,\omega )}
맨 처음에 {\displaystyle V\_{eff}(r)=V(r)+V\_{ind}(r)\,\!}이라고 했으므로, 위의 결과 들을 이용하면 {\displaystyle V\_{eff}\,\!}를 가림을 받게되는 실질적인 퍼텐셜(Dynamically Screened Coulomb Potential)인 {\displaystyle V\_{s}\,\!}으로 새로 정의할 수 있다.

{\displaystyle V\_{eff}(q)=V(q)[1+V\_{eff}(q)P^{1}(q,\omega )]={\frac {V\_{q}}{1-V\_{q}P^{1}(q,\omega )}}={\frac {V\_{q}}{\epsilon (q,\omega )}}\equiv V\_{s}(q,\omega )}
이 때,
{\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V\_{q}P^{1}(q,\omega )\,\!}
으로 {\displaystyle \epsilon \,\!} 이 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)로 정의 된다.

그러므로, 우리는 Polarization Function {\displaystyle P^{1}(q,\omega )\,\!}의 꼴을 알고 있으므로 린드하드식을 다음과 같이 유도할 수 있게 되는 것이다.

{\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V\_{q}\sum \_{k}{\frac {f\_{k-q}-f\_{k}}{\hbar (\omega +i\delta +E\_{k-q}-E\_{k})}}.}

린드하드 식의 적용범위
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여기에 언급한 린드하드 식은 3차원과 2차원에 한 해서 적용이 가능하다. 그리고 {\displaystyle q\,\!}와 {\displaystyle \omega \,\!}에 대한 의존성이 있기 때문에 공간과 시간에 대한 분포를 포함한 식이라고 볼 수 있다. 식에서 사용된 입자의 밀도 함수 {\displaystyle f\_{k}\,\!}는 플라즈마의 경우에는 페르미-디락 함수{\displaystyle f\,\!}와 같다. 바로 아래에서 차원에 따라서, 또 공간과 시간의 극한영역에서는 린드하드식이 어떻게 되는지 알아보도록 하겠다.

  

### 3차원

#### 긴파장 영역

긴파장 영역은 {\displaystyle q\to 0\,\!}으로 가능 영역이다. 왜냐하면, {\displaystyle q\,\!}는 파수이기 때문에 {\displaystyle \lambda \,\!}가 커지면 0으로 가기 때문이다.

린드하드 식의 분모를 보면,

{\displaystyle E\_{k-q}-E\_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}},
린드하드 식의 분자를 보면,

{\displaystyle f\_{k-q}-f\_{k}=f\_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla \_{k}f\_{k}+\cdots -k\_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla \_{k}f\_{k}}.
위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 {\displaystyle \delta \to 0}으로 가는 경우를 취하면,

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}{\hbar \omega \_{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V\_{q}}{\hbar \omega \_{0}}}\sum \_{k,i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega \_{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V\_{q}}{\hbar \omega \_{0}}}\sum \_{k,i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega \_{0}}}\\&=1-V\_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}\sum \_{k}{f\_{k}}\\&=1-V\_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega \_{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega \_{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega \_{pl}^{2}}{\omega \_{0}^{2}}}\end{alignedat}}},
여기서 {\displaystyle E\_{k}=\hbar \epsilon \_{k}}, {\displaystyle V\_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q^{2}L^{3}}}}, {\displaystyle \omega \_{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{\epsilon \_{0}L^{3}m}}}이다. 이는 고전적인 유전상수 모델(즉, Drude 모델)과 같은 결과이다.

#### 정적 상태

정적인 상태는 {\displaystyle \omega +i\delta \to 0} 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다.

{\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V\_{q}\sum \_{k}{\frac {f\_{k-q}-f\_{k}}{E\_{k-q}-E\_{k}}}=1-V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {-q\_{i}{\frac {\partial f}{\partial k\_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}{\frac {\partial f}{\partial k\_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}
평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면,

{\displaystyle \sum \_{i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}=-\sum \_{i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon \_{k}}{\partial k\_{i}}}}=-\sum \_{i}{q\_{i}k\_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}}}
여기서 {\displaystyle \epsilon \_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}, {\displaystyle {\frac {\partial \epsilon \_{k}}{\partial k\_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k\_{i}}{m}}}이다.

그러므로, 정적 상태인 3차원 린드하드식은 아래와 같이 유도된다.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}k\_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V\_{q}\sum \_{k}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum \_{k}{f\_{k}}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}}
여기서 {\displaystyle \kappa \,\!}를 새롭게 정의 했는데 이를 3D Screening Wave Number라고 한다.
{\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}

또한, 앞의 결과를 이용하여 3차원 일 때 가림효과를 고려한 새로운 쿨롱 포텐션을 구할 수 있다.

{\displaystyle V\_{s}(q,\omega =0)={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}={\frac {V\_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}}
이 퍼텐셜은 주파수 도메인으로 표현되었으므로, 푸리에 변환을 해 공간 상에서 어떤 함수를 갖는지 알아보도록 하면,

{\displaystyle V\_{s}(r)=\sum \_{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{\epsilon \_{0}r}}e^{-\kappa r}}
이 되어 우리가 흔히 보았던 유카와 퍼텐셜이 됨을 알 수 있다. 두가지 퍼텐셜을 비교하면, 아래 그래프와 같다.

3D Screening Wave Number를 축퇴 상태와 비축퇴 상태 두 가지 경우에 대해서 생각해 볼 수 있다. 먼저 축퇴상태를 생각해보면, 온도가 0이 상태이므로 종종 이러한 상태의 가림을 Thomas-Fermi Screening이라고 한다. 축퇴상태의 전자기체는 다음과 같은 밀도함수를 가진다.

{\displaystyle n={\frac {1}{2\pi ^{2}}}({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {2}{3}}E\_{f})^{\frac {3}{2}}}.
이 상태에서 페르미 에너지는 {\displaystyle \mu \,\!}와 같아 지므로,

{\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E\_{f}}}}
을 얻을 수 있다.
따라서 축퇴상태의 3D Screening Wave Number는 아래와 같이 된다. 이와 같은 상태를 Thomas-Fermi Screening이라고 하므로 3D Thomas-Fermi Screening Wave Number라고 부른다.

{\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon \_{0}E\_{f}}}}}
다음으로 비축퇴 상태를 생각해 보면, 페르미 분포로부터 다음 식을 유도할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E\_{f}}}}
따라서 아래와 같이 비축퇴 상태의 3D Screening Wave Number를 구할 수 있고, 이를 Debye-Hückel Screening Wave Number라고 부른다.

{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon \_{0}}}}}
### 2차원

#### 긴파장 영역

긴파장 영역은 {\displaystyle q\to 0}으로 가능 영역이다. 왜냐하면, q는 파수이기 때문에 {\displaystyle \lambda }가 커지면 0으로 가기 때문이다.

린드하드 식의 분모를 보면,

{\displaystyle E\_{k-q}-E\_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}},
린드하드 식의 분자를 보면,

{\displaystyle f\_{k-q}-f\_{k}=f\_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla \_{k}f\_{k}+\cdots -k\_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla \_{k}f\_{k}}.
위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 {\displaystyle \delta \to 0}으로 가는 경우를 취하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}{\hbar \omega \_{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V\_{q}}{\hbar \omega \_{0}}}\sum \_{k,i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega \_{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V\_{q}}{\hbar \omega \_{0}}}\sum \_{k,i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega \_{0}}}\\&=1+{\frac {V\_{q}}{\hbar \omega \_{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum \_{i,j}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}{\frac {\hbar k\_{j}q\_{j}}{m\omega \_{0}}}\\&=1+{\frac {V\_{q}L^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum \_{i,j}{q\_{i}q\_{j}k\_{j}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}\\&=1+{\frac {V\_{q}L^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}\sum \_{i,j}{q\_{i}q\_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k\_{j}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}\\&=1-{\frac {V\_{q}L^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}\sum \_{i,j}{q\_{i}q\_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k\_{k}{\frac {\partial f\_{j}}{\partial k\_{i}}}}\\&=1-{\frac {V\_{q}L^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}\sum \_{i,j}{q\_{i}q\_{j}n\delta \_{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega \_{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega \_{pl}^{2}(q)}{\omega \_{0}^{2}}},\end{alignedat}}}
여기서 {\displaystyle E\_{k}=\hbar \epsilon \_{k}}, {\displaystyle V\_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}qL^{2}}}}이고, 특히 2D plasma frequency를 {\displaystyle \omega \_{pl}(q)={\sqrt {\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon \_{0}m}}}} 와 같이 정의하였다.

#### 정적 상태

정적인 상태는 {\displaystyle \omega +i\delta \to 0} 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다.

{\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V\_{q}\sum \_{k}{\frac {f\_{k-q}-f\_{k}}{E\_{k-q}-E\_{k}}}=1-V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {-q\_{i}{\frac {\partial f}{\partial k\_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}{\frac {\partial f}{\partial k\_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}.
평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면,

{\displaystyle \sum \_{i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial k\_{i}}}}=-\sum \_{i}{q\_{i}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon \_{k}}{\partial k\_{i}}}}=-\sum \_{i}{q\_{i}k\_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}}}
여기서 {\displaystyle \epsilon \_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}, {\displaystyle {\frac {\partial \epsilon \_{k}}{\partial k\_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k\_{i}}{m}}}이다.

따라서, 2D 유전상수를 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V\_{q}\sum \_{k,i}{\frac {q\_{i}k\_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V\_{q}\sum \_{k}{\frac {\partial f\_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum \_{k}{f\_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}
여기서 {\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}} 로 정의를 했다. 3차원일 때와 마찬가지로 {\displaystyle \kappa \,\!}를 알면 가림효과를 고려한 쿨롱 퍼텐셜을 쉽게 유도 할 수 있다. 그 결과는 아래와 같다.

{\displaystyle V\_{s}(q,\omega =0)={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}
2차원 페르미 기체의 Chemical Potenital은 {\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}} 이므로 {\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}} 가 된다.

따라서 {\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon \_{0}}}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\epsilon \_{0}\hbar ^{2}}}f\_{k=0}} 가 됨을 알 수 있다. 수식을 보면 2차원 Screening Wave Number는 3차원이 밀도에 의존하는데 반해, 그렇지 않다는 것을 확인할 수 있다.

참고 문헌
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* Hartmut Hang, "Quantum Theory of the optical and electronic Properties of Semiconductors", World Scientific (2004)
* Gerald D. Mahan, "Many-particle physics", New York : Kluwer Academic/Plenum Publishers (2000)
* Lindhard, J. K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 28, (8) (1984)