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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
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* 역사
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| 배경
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* 구양자이론(old quantum theory)
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

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* Symmetry
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* 불확정성
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	+ 붕괴

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* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
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* 슈뢰딩거
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| 방정식
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* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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* 정합적 역사
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* 앙상블
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* 양자 논리
* 관계적
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* 양자장론
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| * v
* t
* e
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함수해석학에서 **힐베르트 공간**(Hilbert空間, 영어: Hilbert space)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의
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K가 \mathbb {R}  또는 \mathbb {C} 라고 하자. K-**힐베르트 공간** ({\mathcal H},\langle \cdot ,\cdot \rangle )은 완비 거리 공간을 이루는 K-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, K-힐베르트 공간을 다음과 같은 **평행사변형 항등식**(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 K-바나흐 공간 ({\mathcal H},\|\cdot \|)으로 정의할 수 있다.

\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})\qquad \forall u,v\in {\mathcal H}
이 경우, 내적 구조는

\langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac 14}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)&K={\mathbb R}\\{\frac 14}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)&K={\mathbb C}\\\end{cases}}
가 된다.

분류
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힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 **정규 직교 기저** B\subset {\mathcal H}는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

* 모든 e,e'\in B에 대하여,\langle e,e'\rangle ={\begin{cases}0&e\neq e'\\1&e=e'\end{cases}}
* 다음 집합은 {\mathcal {H}} 속의 조밀 집합이다.\operatorname {Span}B=\left\{a\_{1}e\_{1}+\cdots +a\_{n}e\_{n}|n\in {\mathbb N},\;e\_{1},\dots ,e\_{n}\in B,\;a\_{1},\dots ,a\_{n}\in K\right\}\subset {\mathcal H}

초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 **차원** \dim {\mathcal H}이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 \operatorname {Span}B={\mathcal H}를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 \operatorname {Span}B가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 K-힐베르트 공간 {\mathcal {H}}, {\mathcal H}' 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.:1.4.19–1.4.21

* \dim {\mathcal H}=\dim {\mathcal H}'
* {\mathcal {H}}와 {\mathcal H}' 사이에 유니터리 변환 U\colon {\mathcal H}\to {\mathcal H}'이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, K-힐베르트 공간 {\mathcal {H}}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:1.4.23

* {\mathcal {H}}는 분해 가능 공간이다.
* \dim {\mathcal H}\leq \aleph \_{0}이다.

즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 \aleph\_0이다.

성질
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리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}는 스스로의 연속 쌍대 공간 {\mathcal H}^{\*}와 동형이며, 만약 K=\mathbb {R} 일 경우 이는 표준적(영어: canonical) 동형이다.

예
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K가 \mathbb {R}  또는 \mathbb {C} 라고 하고, (X,{\mathcal F},\mu )가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 L^{2}(X,K)는 K-힐베르트 공간을 이룬다.:1.4.9

만약 X가 셈측도가 부여된 집합이라면

\dim L^{2}(X,K)=|X|
이며, 함수

f\_{x}\colon X\to K\qquad (x\in X)
f\_{x}(y)={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y\end{cases}}
는 L^{2}(X,K)의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 {\mathcal F}가 분해가능 시그마 대수(d(A,B)=\mu (A\setminus B\cup B\setminus A)로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 X가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, L^{2}(X,K)는 분해 가능 공간이다.:1.3.9

응용
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힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

역사
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1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 *L*2가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 {\displaystyle (f,g):=\int \_{a}^{b}f(x)g(x)dx}이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 L^{2}공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 \ell ^{2}({\mathbb N})을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

참고 문헌
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* Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **99**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.
* Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) **1**. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Halmos, Paul (1982). 《A Hilbert space problem book》 (영어). Springer. ISBN 0-387-90685-1.
* Young, Nicholas (1988). 《An introduction to Hilbert space》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-33071-8. Zbl 0645.46024.