위상수학에서 **콤팩트 생성 공간**(compact生成空間, 영어: compactly generated space) 또는 **k-공간**(영어: k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

정의
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위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **k-연속 함수**라고 하자.

* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, f\circ t\colon K\to Y는 연속 함수이다.

위상 공간 X의 부분 집합 A가 다음 조건을 만족시키면 **k-닫힌집합**이라고 하자.

* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, t^{{-1}}(A)는 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 **콤팩트 생성 공간**이라고 한다.:182, Prop. 5.9.1:39

* X를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 Y 및 k-연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, f는 연속 함수이다.
* X의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
* X는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, {\displaystyle X\cong \left(\bigsqcup \_{i\in I}K\_{i}\right)/{\sim }}인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 \{K\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 \bigsqcup \_{{i\in I}}K\_{i} 위의 동치 관계 \sim 가 존재한다.
* 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 \{K\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 함수들의 집합 \{f\_{i}\colon K\_{i}\to X\}\_{{i\in I}}이 존재한다.
	+ 임의의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, A가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 i\in I에 대하여 f\_{i}^{{-1}}(A)\subseteq K\_{i}가 닫힌집합인 것이다.
* X는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 \operatorname {CGTop}라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 \operatorname {Top} 라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 \operatorname {Top\_{k}}라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

\operatorname {CGTop}\to \operatorname {Top}\to \operatorname {Top\_{k}}
이를 합성하여 얻는 함자 \operatorname {CGTop}\to \operatorname {Top\_{k}}는 범주의 동치를 이룬다.

성질
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모든 국소 콤팩트 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.:139, Exercise 4.7.10

### 콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산

포함 관계

\operatorname {CGTop}\to \operatorname {Top}
에 따라, \operatorname {CGTop}는 \operatorname {Top} 의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반

k\colon \operatorname {Top}\to \operatorname {CGTop}
을 **콤팩트 생성화**(영어: kaonization)라고 한다. 위상 공간 X의 콤팩트 생성화 k(X)는 집합으로서 X와 같지만 X보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, k(X)의 닫힌집합은 X의 k-닫힌집합이다.

\operatorname {CGTop}는 (\operatorname {Top} 와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. \operatorname {CGTop}에서의 쌍대극한은 \operatorname {Top} 와 같으며, \operatorname {CGTop}에서의 극한은 \operatorname {Top} 에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, \operatorname {CGTop}에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

X\times \_{{\operatorname {CGTop}}}Y=k(X\times \_{{\operatorname {Top}}}Y)
\operatorname {CGTop}는 (\operatorname {Top} 와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 X, Y 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 {\mathcal {C}}(X,Y)에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

* 임의의 열린집합 U\subseteq Y 및 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 연속 함수 t\colon K\to X에 대하여, \{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}.

만약 X가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, \operatorname {CGTop}에서의 지수 대상 Y^{X}는 {\mathcal {C}}(X,Y)의 콤팩트 생성화이다.

(Y^{X})\_{{\operatorname {CGTop}}}=k({\mathcal C}(X,Y))
### 콤팩트 생성 하우스도르프 공간

위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname {CGHaus}  및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname {CGWH}를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

역사
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이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다. 이후 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.:199 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.

예
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흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

비가산 기수 \kappa \geq \aleph \_{1}에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 {\mathbb R}^{\kappa }는 콤팩트 생성 공간이 아니다.:184:240, Exercise 7J(b)

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Brown, Ronald (2006년 3월). 《Topology and groupoids》 (영어). Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. LCCN 2006901092.
2. ↑  May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2.
3. ↑
4. ↑  Gale, David (1950). "Compact Sets of Functions and Function Rings". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **1**: 303–308. JSTOR 2032373.
5. ↑  Brown, R. (1961). 《Function spaces and FD-complexes》 (영어). 박사 학위 논문. 옥스퍼드 대학교.
6. ↑  Brown, R. (1963). "Ten topologies for X\times Y". 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) **14** (2): 303–319.  `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 20) (도움말)
7. ↑  Brown, R. (1964). "Function spaces and product topologies". 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) **15** (2): 238–250.
8. ↑  Steenrod, Norman E. (1967). "A convenient category of topological spaces". 《The Michigan Mathematical Journal》 (영어) **14**: 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. MR 0210075. Zbl 0145.43002.
9. ↑  Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **27** 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002.