**야코비 삼중곱**(Jacobi triple product)은 수학자 야코비가 발견한 수학 공식으로, 내용은 아래와 같다.

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-q^{2n}\right)\left(1+q^{2n-1}z\right)\left(1+q^{2n-1}z^{-1}\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}}

{\displaystyle {\text{※ }}q,z{\text{는 복소수 , }}q<1,z\neq 0}

성질
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증명
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**1.** 제시된 곱셈 {\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})}은 아래와 같이 무한급수로 바꿀 수 있다.

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }a\_{n}(q)z^{n}}

{\displaystyle =\prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})}

{\displaystyle ={\frac {1+qz}{1+q^{-1}z^{-1}}}\prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n+1}z)(1+q^{2n-3}z^{-1})}

{\displaystyle ={\frac {qz(1+qz)}{qz+1}}\prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}q^{2}z)(1+q^{2n-1}q^{-2}z^{-1})}

{\displaystyle =qz\sum \_{n=-\infty }^{\infty }a\_{n}(q)(q^{2}z)^{n}}

{\displaystyle =\sum \_{n=-\infty }^{\infty }a\_{n}(q)q^{2n+1}z^{n+1}}

{\displaystyle =\sum \_{n=-\infty }^{\infty }a\_{n-1}(q)q^{2n-1}z^{n}}

양변 계수 비교:

{\displaystyle a\_{n}(q)=a\_{n-1}(q)q^{2n-1}{\overset {\text{점화}}{=}}a\_{0}(q)q^{n^{2}}}

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})=a\_{0}(q)\sum \_{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}}

  

**2.** 이번에는 주어진 곱셈을 직접 까보면 아래와 같이 풀리고

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)}

{\displaystyle =1+z\sum \_{n=1}^{\infty }q^{2n-1}+z^{2}\sum \_{\begin{matrix}n\_{1}=1\\n\_{2}=n\_{1}+1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(n\_{1}+n\_{2})-2}+z^{3}\sum \_{\begin{matrix}n\_{1}=1\\n\_{2}=n\_{1}+1\\n\_{3}=n\_{2}+1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(n\_{1}+n\_{2}+n\_{3})-3}+...}

{\displaystyle =1+z\sum \_{n=1}^{\infty }q^{2n-1}+z^{2}\sum \_{\begin{matrix}n\_{1}=1\\n\_{2}'=1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(2n\_{1}+n\_{2}')-2}+z^{3}\sum \_{\begin{matrix}n\_{1}=1\\n\_{2}'=1\\n\_{3}'=1\end{matrix}}^{\infty }q^{2(3n\_{1}+2n\_{2}'+n\_{3}')-3}+...}

{\displaystyle =1+z{\frac {q}{1-q^{2}}}+z^{2}{\frac {q^{4}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+z^{3}{\frac {q^{9}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...}

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1}z)} 역시 위 과정에서 z만 1/z로 바꾸면 되며, 이 식들을 1번식에 대입한 뒤 z랑 1/z가 서로 상쇄되는 항을 추려 양변을 비교하면 아래와 같다.

{\displaystyle a\_{0}(q)=1+{\frac {q^{2}}{(1-q^{2})^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})^{2}(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})^{2}(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...}

**3.** 2번식 양변에 {\displaystyle (1-q^{2})}를 곱하면

{\displaystyle a\_{0}(q)(1-q^{2})=1-q^{2}+{\frac {q^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...}

{\displaystyle =1+{\frac {q^{4}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})^{2}(1-q^{6})^{2}}}+...}

이 되고, 여기에 {\displaystyle (1-q^{4})}를 더 곱하면

{\displaystyle a\_{0}(q)(1-q^{2})(1-q^{4})=1-q^{4}+{\frac {q^{4}-q^{8}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{8}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})^{2}}}+...}

{\displaystyle =1+{\frac {q^{6}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{12}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})^{2}}}+...}

, {\displaystyle (1-q^{6})}를 더 곱하면

{\displaystyle a\_{0}(q)(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})=1-q^{6}+{\frac {q^{6}-q^{12}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{12}-q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{18}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...}

{\displaystyle =1+{\frac {q^{8}}{1-q^{2}}}+{\frac {q^{16}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}}+{\frac {q^{24}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}}+...}

으로 나타나는 것을 보아하니 다음 차례 계산에 대해서도 아래와 같이 예상할 수 있다.

{\displaystyle a\_{0}(q)\prod \_{n=1}^{N}(1-q^{2n})=\sum \_{n=1}^{N-1}{\frac {q^{2Nn}}{\prod \_{k=1}^{n}(1-q^{2k})}}+\sum \_{n=N}^{\infty }{\frac {q^{2n^{2}}}{\prod \_{k=1}^{N-1}(1-q^{2k})\times \prod \_{k=N}^{\infty }(1-q^{2k})^{2}}}}

이 식 양변에 {\displaystyle (1-q^{2N})}을 곱하고 계산한 뒤 양변을 비교하면 수학적 귀납법에 따라 참임을 알 수 있으며, N을 무한으로 놓으면 q(<1)에 대한 항은 최소 2N차임에 따라 0이 되므로

{\displaystyle a\_{0}(q)\prod \_{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})=1}이 된다.