환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 **아즈마야 대수**([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 **브라우어 군**(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의
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가환 국소환 (R,{\mathfrak m}) 위의 **아즈마야 대수** {\displaystyle \phi \colon R\to A}는 다음 조건을 만족시키는 R-단위 결합 대수이다.:136, §IV.1

* R-가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 R^{n}과 동형이다.
* {\displaystyle a\otimes \_{R}b\mapsto (x\mapsto axb)}에 의하여, {\displaystyle A\otimes \_{R}A^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {Mat} (n;R)=\operatorname {End} (\_{R}A)}이다.

여기서 {\displaystyle A\otimes \_{R}A^{\operatorname {op} }=A^{\operatorname {e} }}는 A의 포락 대수(영어: enveloping algebra)이다.

스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 **아즈마야 대수** {\mathcal A}는 다음 조건을 만족시키는 {\mathcal O}\_{X}-단위 결합 대수 층이다.:140, §IV.2

* {\mathcal A}는 {\mathcal O}\_{X}-가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 x\in X에 대하여, 줄기 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{x}}는 가환 국소환 \mathcal O\_{X,x} 위의 아즈마야 대수이다.

### 브라우어 군

스킴 S 위의 두 아즈마야 대수 {\mathcal A}, {\displaystyle {\mathcal {A}}'}에 대하여, 텐서곱 {\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\mathcal {A}}'} 역시 S 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, S 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴 S 위의 두 아즈마야 대수 {\mathcal A}, {\displaystyle {\mathcal {A}}'}에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 {\mathcal O}\_{X}-국소 자유 가군층 \mathcal E 및 {\displaystyle {\mathcal {E}}'}이 존재한다면, 서로 **브라우어 동치**(영어: Brauer-equivalent)라고 한다.:§2, 141

{\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(\_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\mathcal {E}})\cong {\mathcal {A}}'\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(\_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\mathcal {E}}')}
이는 S-아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 S-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 S의 **브라우어 군**(영어: Brauer group) {\displaystyle \operatorname {Br} (S)}라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 {\displaystyle [{\mathcal {A}}]}의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 {\displaystyle [{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]}이다.

성질
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### 체 위의 아즈마야 대수

체 K 위의 단위 결합 대수 {\displaystyle f\colon K\to A}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* A는 K 위의 아즈마야 대수이다.
* f는 단사 함수이며, {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K}이며, {\displaystyle \dim \_{K}A}는 유한하다.
* A는 양의 정수 차원 K-벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 L/K 및 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}이 존재한다.
	+ {\displaystyle A\otimes \_{K}L\cong \operatorname {Mat} (n;K)}

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 **중심 단순 대수**(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

### 가환환 위의 아즈마야 대수

가환환 R 위의 단위 결합 대수 A에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* A는 R 위의 아즈마야 대수이다.
* {\displaystyle \_{R}A}는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, {\displaystyle A\otimes \_{R}A^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (\_{R}A)}는 R-단위 결합 대수의 동형 사상이다.
* {\displaystyle \_{R}A}는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 {\mathfrak m}\subseteq R에 대하여 {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}A}는 R/{\mathfrak m}-중심 단순 대수이다.:Theorem 1.5.3

### 스콜렘-뇌터 정리

**스콜렘-뇌터 정리**(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.:142, Proposition IV.2.3 즉, 스킴 S 위의 아즈마야 대수 {\mathcal A}의 임의의 자기 동형 {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}에 대하여,

{\displaystyle f|\_{U\_{i}}\colon a\mapsto u\_{i}au\_{i}^{-1}\qquad \forall i\in I}
가 되는 S의 아핀 열린 덮개 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 {\displaystyle u\_{i}\in \operatorname {Unit} (\Gamma (U\_{i},{\mathcal {A}}))}가 존재한다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Unit} (-)}는 환의 가역원군을 뜻하며, \Gamma 는 층의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, S=\operatorname {Spec}K가 체 K의 스펙트럼일 경우, 모든 K-중심 단순 대수 A의 자기 동형 f\colon A\to A에 대하여 {\displaystyle f\colon a\mapsto uau^{-1}}가 되는 가역원 {\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (A)}가 존재한다.

### 브라우어 군과 에탈 코호몰로지

스킴 S의 브라우어 군 {\displaystyle \operatorname {Br} S}에서 {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }} 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.:142–145, Theorem IV.2.5

{\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\to \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} })}
구체적으로, 이는 다음과 같다. S 위의 아즈마야 대수 {\mathcal A}가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 {\displaystyle S\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }} 위에 다음과 같은 올범주 {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{\mathcal {A}}}이 존재한다. 에탈 위치의 대상 {\displaystyle \left(\iota \_{U}\colon (U,{\mathcal {O}}\_{U})\to (S,{\mathcal {O}}\_{S})\right)\in S\_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}에 대하여,

* 올 {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{\mathcal {A}}(U)}의 대상 {\displaystyle ({\mathcal {E}},\alpha )}는 유한 차원 {\mathcal O}\_{U}-국소 자유 가군층 \mathcal E와 동형 사상 {\displaystyle \alpha \colon {\underline {\operatorname {End} }}(\_{{\mathcal {O}}\_{U}}{\mathcal {E}})\to {\mathcal {A}}\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{S}}{\iota \_{U}}\_{\*}{\mathcal {O}}\_{U}}의 순서쌍이다.
* 올 {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{\mathcal {A}}(U)}의 사상 {\displaystyle (E,\alpha )\to (E',\alpha ')}은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 {\displaystyle E\to E'}이다.

이 올범주는 스택이자 제르브이며, {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }}는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}\_{U}^{\times })\to \operatorname {Aut} \_{U}({\mathcal {E}},\alpha )}
{\displaystyle \left(g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}\_{U}^{\times })\right)\mapsto (g\cdot \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}})}
따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} })}의 원소를 표현한다.

또한, 만약 S가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 {\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\hookrightarrow \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} })}의 상은 꼬임 부분군 {\displaystyle \operatorname {Tors} (\operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} }))}에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Br} S\subseteq \operatorname {Tors} (\operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} }))\subseteq \operatorname {H} \_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} \_{\operatorname {m} })}
### 수체 위의 중심 단순 대수

대수적 수체 K 위의 중심 단순 대수 A가 주어졌다고 하자. **앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리**(영어: Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리 v에 대하여

{\displaystyle A\otimes \_{K}K\_{v}\cong \operatorname {Mat} (\dim \_{K}A;K\_{v})}
라면, {\displaystyle A\cong \operatorname {Mat} (\dim \_{K}A;K)}이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사
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체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다.
1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 \mathbb {R} 의 브라우어 군 {\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2}을 계산하였다 (프로베니우스 정리). 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리). 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어: proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.:128:§1.6 (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌
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9. ↑  Grothendieck, A. "Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques". 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) **9**: 287–307. ISSN 0303-1179.

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