수학에서 **삼각함수 항등식**(三角函數恒等式, 영어: trigonometric identity)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 {\displaystyle \sin ^{2}}, {\displaystyle \cos ^{2}} 등의 함수는 {\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}}와 같이 정의된다.

삼각함수의 정의에서
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{\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)}
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}}
{\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}}

주기성, 대칭성, 이동(Shifts)
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다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

{\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )}
{\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )}
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.

{\displaystyle -sin\theta ,cos\theta }
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}}
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}}
또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
여기서

{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}}

피타고라스 정리
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다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

{\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}}

덧셈 정리
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다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin {x}\cos {y}\pm \cos {x}\sin {y}\,}
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos {x}\cos {y}\mp \sin {x}\sin {y}\,}
(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan {x}\pm \tan {y}}{1\mp \tan {x}\tan {y}}}}
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot {y}\cot {x}\mp 1}{\cot {y}\pm \cot {x}}}}
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x+y)={\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}\,{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x-y)={{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x} \over {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}}
여기서

{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}=\exp(ix)=e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,}
{\displaystyle i^{2}=-1.\,}
### 두배각 공식

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 {\displaystyle x=y}로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 n=2로 놓아도 된다.

{\displaystyle \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}\,}
{\displaystyle \cos {2x}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}=2\cos ^{2}{x}-1=1-2\sin ^{2}{x}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}\,}
{\displaystyle \tan {2x}={\frac {2\tan {x}}{1-\tan ^{2}{x}}}}
{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}{x}-1}{\tan {x}}}={\frac {-2}{\tan {2x}}}}
{\displaystyle \cot {2x}={\frac {\cot ^{2}{x}-1}{2\cot {x}}}}
### 세배각 공식

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

{\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}\,}
{\displaystyle \cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}\,}
{\displaystyle \tan {3x}={\frac {3\tan {x}-\tan ^{3}{x}}{1-3\tan ^{2}{x}}}}
### 네배각 공식

아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.

{\displaystyle \sin {4x}=4\sin {x}\cos {x}-8\sin ^{3}{x}\cos {x}}
{\displaystyle \cos {4x}=8\cos ^{4}{x}-8\cos ^{2}{x}+1}
{\displaystyle \tan {4x}={\frac {4\tan {x}-4\tan ^{3}{x}}{1-6\tan ^{2}{x}+\tan ^{4}{x}}}}
### 다섯배각 공식

{\displaystyle \sin {5x}=5\sin {x}-20\sin ^{3}{x}+16\sin ^{5}{x}}
{\displaystyle \cos {5x}=5\cos {x}-20\cos ^{3}{x}+16\cos ^{5}{x}}
{\displaystyle \tan {5x}={\frac {\tan ^{5}{x}-10\tan ^{3}{x}+5\tan {x}}{1-10\tan ^{2}{x}+5\tan ^{4}{x}}}}
### 여섯배각 공식

{\displaystyle \sin {6x}=6\sin {x}\cos {x}-32\sin ^{3}{x}\cos ^{3}{x}}
{\displaystyle \cos {6x}=32\cos ^{6}{x}-48\cos ^{4}{x}+18\cos ^{2}{x}-1}
### n배각 공식

T\_{n}이 n번째 체비쇼프 다항식일 때,

{\displaystyle \cos {nx}=T\_{n}(\cos {x})}
드무아브르의 공식:

{\displaystyle \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}}
디리클레 핵{\displaystyle D\_{n}(x)} 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

{\displaystyle 1+2\cos {x}+2\cos {2x}+2\cos {3x}+\cdots +2\cos {nx}={\frac {\sin {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}}{\sin {x \over 2}}}}
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

차수 줄이기
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n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

### 이차식 공식

두배각 공식의 코사인 공식을 {\displaystyle \cos ^{2}{x}} 과 {\displaystyle \sin ^{2}{x}}으로 푼다.

{\displaystyle \cos ^{2}{x}={1+\cos {2x} \over 2}}
{\displaystyle \sin ^{2}{x}={1-\cos {2x} \over 2}}
{\displaystyle \tan ^{2}{x}={\frac {1-\cos {2x}}{1+\cos {2x}}}}
{\displaystyle \cot ^{2}{x}={\frac {1+\cos {2x}}{1-\cos {2x}}}}
### 삼차식 공식

{\displaystyle \sin ^{3}{x}={\frac {3\sin {x}-\sin {3x}}{4}}}
{\displaystyle \cos ^{3}{x}={\frac {3\cos {x}+\cos {3x}}{4}}}
### 사차식 공식

{\displaystyle \sin ^{4}{x}={\frac {3-4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}}
{\displaystyle \cos ^{4}{x}={\frac {3+4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}}
### 오차식 공식

{\displaystyle \sin ^{5}{x}={\frac {10\sin {x}-5\sin {3x}+\sin {5x}}{16}}}
{\displaystyle \cos ^{5}{x}={\frac {10\cos {x}+5\cos {3x}+\cos {5x}}{16}}}
### 반각 공식

차수 줄이기 이차식 공식에서 x에 {\displaystyle \textstyle {\frac {x}{2}}}을 대입하고, {\displaystyle \textstyle \cos {\frac {x}{2}}} 과 {\displaystyle \textstyle \sin {\frac {x}{2}}}으로 푼다.

{\displaystyle \left|\cos {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos {x}}{2}}}}
{\displaystyle \left|\sin {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{2}}}}
{\displaystyle \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{1+\cos {x}}}}}
또한, {\displaystyle \textstyle \tan {\frac {x}{2}}}는 {\displaystyle \textstyle {\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 {\displaystyle \textstyle 2\cos {\frac {x}{2}}}을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 \sin x이 되고, 분모는 {\displaystyle \textstyle 2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1+1} 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 {\displaystyle \cos x+1} 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 \sin x를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}+1}}={\frac {1-\cos {x}}{\sin {x}}}=\csc {x}-\cot {x}}

곱을 합으로 바꾸는 공식
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우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

{\displaystyle \sin {x}\cos {y}={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}}
{\displaystyle \cos {x}\sin {y}={\sin(x+y)-\sin(x-y) \over 2}}
{\displaystyle \cos {x}\cos {y}={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}
{\displaystyle \sin {x}\sin {y}=-{\cos(x+y)-\cos(x-y) \over 2}}

합을 곱으로 바꾸는 공식
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위 식의 x를 {\displaystyle \textstyle {\frac {x+y}{2}}}로, y를 {\displaystyle \textstyle {\frac {x-y}{2}}} 로 바꾼다.

{\displaystyle \sin {x}\pm \sin {y}=2\sin \left({\frac {x\pm y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x\mp y}{2}}\right)}
{\displaystyle \cos {x}+\cos {y}=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \cos {x}-\cos {y}=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \tan {x}\pm \tan {y}={\frac {\sin {(x\pm y)}}{\cos {x}\cos {y}}}}

  

그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\sin {x}-\sin {y}}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(x+y)}}{\tan {{1 \over 2}(x-y)}}}}
{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}-\cos {y}}}=\cot {{1 \over 2}(y-x)}}
{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x+y)}}
{\displaystyle {\frac {\sin {x}-\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x-y)}}

삼각함수의 역함수
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역삼각함수라고도 한다.

x>0 이면

{\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}.}
만약 x<0 이면, 등식 우변이 {\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}}가 된다.

{\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

{\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}}

변수 없는 항등식
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리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. ({\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3}을 넣고, {\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)}를 이용 우변을 정리한다.)

{\displaystyle \prod \_{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}}
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}}
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}}
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21⁄2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

미적분학
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미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1}
과

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0}
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}})}

{\displaystyle {d \over dx}\sin {x}=\cos {x}}
나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

{\displaystyle {d \over dx}\cos {x}=-\sin {x}}
{\displaystyle {d \over dx}\tan {x}=\sec ^{2}{x}}
{\displaystyle {d \over dx}\csc {x}=-\csc {x}\cot {x}}
{\displaystyle {d \over dx}\sec {x}=\sec {x}\tan {x}}
{\displaystyle {d \over dx}\cot {x}=-\csc ^{2}{x}}
{\displaystyle {d \over dx}\arcsin {x}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle {d \over dx}\arccos {x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle {d \over dx}\arctan {x}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} {x}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} {x}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} {x}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
적분식은 적분표를 참고하라.

참고 문헌
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* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1972), *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0