**내적**은 여기로 연결됩니다. 유클리드 공간 위 내적에 대해서는 스칼라곱 문서를 참고하십시오.
내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석
선형대수학과 함수해석학에서 **내적 공간**(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.

정의
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{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

{\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 V 위의 **내적**(內積, 영어: inner product)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수

{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {K} }
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle }
이다.

* (양의 정부호성) 임의의 {\displaystyle 0\neq v\in V}에 대하여, {\displaystyle \langle v,v\rangle >0}
* (에르미트성) 임의의 u,v\in V에 대하여, \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}
* (왼쪽 선형성) 임의의 {\displaystyle a,b\in \mathbb {K} } 및 u,v,w\in V에 대하여, {\displaystyle \langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle }

이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.

* (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 {\displaystyle a,b\in \mathbb {K} } 및 u,v,w\in V에 대하여, {\displaystyle \langle w,au+bv\rangle ={\bar {a}}\langle w,u\rangle +{\bar {b}}\langle w,v\rangle }

내적이 주어진 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 {\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}을 **{\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간**이라고 한다. 특히 {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 **유니터리 공간**(영어: unitary space)이라고 부르기도 한다.

성질
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### 극화 항등식

{\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간 V 위에 자연스러운 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.

{\displaystyle \Vert v\Vert ={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}

증명:

노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 u,v\in V에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert u+v\Vert ^{2}&=\Vert u\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\Vert v\Vert ^{2}\\&\leq \Vert u\Vert ^{2}+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert +\Vert v\Vert ^{2}\\&=(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert )^{2}\end{aligned}}}
이므로,

\Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert 

반대로, {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간이 {\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙

{\displaystyle 2\Vert u\Vert ^{2}+2\Vert v\Vert ^{2}=\Vert u+v\Vert ^{2}+\Vert u-v\Vert ^{2}\qquad \forall u,v\in V}
이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 **극화 항등식**(極化恒等式, 영어: polarization identity)이라고 한다.

{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}+{\frac {i}{4}}\Vert u+iv\Vert ^{2}-{\frac {i}{4}}\Vert u-iv\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}

증명:

실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.

{\displaystyle \langle v,v\rangle >0\qquad \forall 0\neq v\in V}
{\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle \qquad \forall u,v\in V}
{\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle \qquad \forall u,v,w\in V}
{\displaystyle \langle au,v\rangle =a\langle u,v\rangle \qquad \forall a\in \mathbb {R} ,\;u,v\in V}
첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle u+v,w\rangle &={\frac {1}{4}}(\Vert u+v+w\Vert ^{2}-\Vert u+v-w\Vert ^{2})\\&={\frac {1}{4}}\left(\Vert u+w\Vert ^{2}+\Vert v+w\Vert ^{2}+\Vert u\Vert ^{2}+\Vert v\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert u-v+w\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert v-u+w\Vert ^{2}\right)\\&\qquad -{\frac {1}{4}}\left(\Vert u-w\Vert ^{2}+\Vert v-w\Vert ^{2}+\Vert u\Vert ^{2}+\Vert v\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert u-v-w\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert v-u-w\Vert ^{2}\right)\\&={\frac {1}{4}}(\Vert u+w\Vert ^{2}-\Vert u-v\Vert ^{2})-{\frac {1}{4}}(\Vert v+w\Vert ^{2}-\Vert v-w\Vert ^{2})\\&=\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle \end{aligned}}}
넷째 조건의 a\in {\mathbb N}의 경우는 다음과 같이 증명된다.

{\displaystyle \langle au,v\rangle =\langle \underbrace {u+\cdots +u} \_{a},v\rangle =\underbrace {\langle u,v\rangle +\cdots +\langle u,v\rangle } \_{a}=a\langle u,v\rangle }
또한, {\displaystyle a\in \mathbb {Z} }일 경우의 증명은 다음과 같다.

{\displaystyle 0=\langle 0,v\rangle =\langle au-au,v\rangle =\langle au,v\rangle +\langle -au,v\rangle =\langle au,v\rangle -a\langle u,v\rangle }
만약 {\displaystyle a\in \mathbb {Q} }일 경우, {\displaystyle a=p/q} ({\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0})이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다.

{\displaystyle q\langle au,v\rangle =\langle qau,v\rangle =\langle pu,v\rangle =p\langle u,v\rangle }
마지막으로, a\in\mathbb R일 경우는 u,v\in V를 고정하였을 때 {\displaystyle a\mapsto \langle au,v\rangle -a\langle u,v\rangle }가 연속 함수임에 따라 성립한다.

### 코시-슈바르츠 부등식

 이 부분의 본문은 코시-슈바르츠 부등식입니다.
내적 공간 V의 벡터 v\in V에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 **코시-슈바르츠 부등식**이라고 한다.

{\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \Vert u\Vert \Vert v\Vert }
{\displaystyle |\langle u,v\rangle |=\Vert u\Vert \Vert v\Vert \iff \operatorname {rank} \{u,v\}<2}
이에 따라, 두 벡터 u,v\in V 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle \arccos {\frac {\operatorname {Re} \langle u,v\rangle }{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }}}
또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

### 정규 직교 기저

 힐베르트 공간의 개념에 대해서는 정규 직교 기저 문서를 참고하십시오.
내적 공간 V의 **정규 직교 기저**(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 {\displaystyle B\subseteq V}이다.

* (직교성) 만약 e,e'\in B이며 {\displaystyle e\neq e'}라면, {\displaystyle \langle e,e'\rangle =0}
* (정규성) 임의의 {\displaystyle e\in B}에 대하여, {\displaystyle \Vert e\Vert =1}

유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다.

내적 공간 V의 벡터 v\in V의 정규 직교 기저 B에 대한 좌표는 다음과 같다.

{\displaystyle v=\sum \_{e\in B}\langle v,e\rangle e}
또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle \langle u,v\rangle =\sum \_{e\in B}\langle u,e\rangle {\overline {\langle v,e\rangle }}}
내적 공간 V 속의 유한 정규 직교 집합 {\displaystyle S\subseteq V\setminus \{0\}} 및 벡터 v\in V에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.

{\displaystyle \sum \_{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}\leq \Vert v\Vert ^{2}}
{\displaystyle \sum \_{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}=\Vert v\Vert ^{2}\iff v=\sum \_{e\in S}\langle v,e\rangle e}
### 선형 범함수

유한 차원 내적 공간 V의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 v\in V와의 내적

{\displaystyle V\to \mathbb {K} }
{\displaystyle u\mapsto \langle u,v\rangle }
이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 {\displaystyle B\subseteq V}가 주어졌을 때, 선형 범함수 {\displaystyle f\colon V\to F}를 나타내는 벡터는 다음과 같다.

{\displaystyle v=\sum \_{e\in B}{\overline {f(e)}}e}
이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 T\colon V\to V의 수반 선형 변환 {\displaystyle T^{\*}\colon V\to V}은 다음과 같이 항상 존재한다.

{\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{\*}v\rangle \qquad \forall u,v\in V}
그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 {\mathbb C}[x]에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \langle p,q\rangle =\int \_{a}^{b}p(x){\overline {q(x)}}dx=\sum \_{k=0}^{\deg p}\sum \_{k'=0}^{\deg q}{\frac {p\_{k}{\overline {q\_{k'}}}}{k+k'+1}}}
이 경우, 임의의 c\in {\mathbb C}가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.

{\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} }
{\displaystyle p\mapsto p(c)}
또한 미분 선형 변환

{\displaystyle D\colon \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [x]}
{\displaystyle D\colon x^{n}\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots }
의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

예
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### 유클리드 공간

유클리드 공간 또는 유니터리 공간 {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}의 표준적인 내적은 다음과 같다. 유클리드 공간의 경우 이를 스칼라 곱이라고 한다.

{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \_{k=1}^{n}x\_{k}{\overline {y\_{k}}}}
이 내적이 유도하는 노름은 L2 노름이다. 그러나 p\neq 2의 경우, Lp 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.

마찬가지로, 실수 또는 복소수 행렬의 공간 {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {K} )}에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {tr} (X^{\operatorname {T} }{\bar {Y}})=\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}X\_{ij}{\overline {Y\_{ij}}}}
보다 일반적으로, 만약 M이 양의 정부호 행렬일 경우, {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }M{\bar {y}}=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}M\_{ij}x\_{i}{\overline {y\_{j}}}}
### 함수 공간

연속 함수의 공간 {\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b];\mathbb {K} )}에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}
또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{a}^{b}x^{2}f(x){\overline {g(x)}}dx}

참고 문헌
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* Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.