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수리물리학에서 **기하학적 양자화**(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.

정의
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대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 심플렉틱 다양체 (M,\omega ). 이는 계의 **상태 공간(phase space)**이다.
* 해밀토니언 H\colon M\to {\mathbb R}. 이는 계의 시간 변화를 나타낸다.

고전적 관측가능량들은 M 위의 함수로 나타내어진다.

**기하학적 양자화**는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

1. 준양자화(영어: prequantization)
2. 양자화
3. 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction)

### 준양자화

심플렉틱 형식 \omega 가 다음과 같은 **준양자화 조건**(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle [\omega /2\pi ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )}
즉, \omega /2\pi 의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.)

매끄러운 다양체 (M,\omega ) 위의 **준양자 구조**(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* M 위의 복소수 선다발 L\twoheadrightarrow M
* L 위의 코쥘 접속 \nabla

준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 (M,\omega )에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {c} \_{1}(L)=[\omega /2\pi ]}
{\displaystyle F\_{\nabla }=\mathrm {i} \omega }
여기서 c\_{1}은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)

(M,\omega )의 준양자 구조 {\displaystyle ({\mathcal {L}},\nabla )}가 주어졌다면, {\mathcal L}\to {\mathcal L}^{{\otimes n}}은 {\displaystyle (M,n\omega )}의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 q^{i}를 고정시킨다면 일반화 운동량이

p\_{i}=q\_{j}\omega \_{{ij}}
이므로, 이는

p\_{i}\mapsto np\_{i}
와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 S는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

S/\hbar \mapsto nS/\hbar =S/(\hbar /n)
이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 S/\hbar 에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

\hbar \mapsto \hbar /n
으로 생각할 수 있다. 따라서, n\to \infty  극한은 \hbar \to 0, 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

### 양자화

다양체 M 위의 **극성화**(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 TM^{{{\mathbb C}}}의 부분 벡터 다발 {\displaystyle P\subset TM^{\mathbb {C} }}이다.:Definition 7.4:§4

* (적분 가능성) 모든 {\displaystyle u,v\in P}에 대하여, {\displaystyle [u,v]\in P}이다. 여기서 [\cdot ,\cdot ]는 리 미분이다.
* (극대성) P보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, M이 유한 차원이라면, P의 차원은 {\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }P=\dim M}이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 {\displaystyle (M,L,\nabla ,P)}에 대하여, {\mathcal {H}}는 L의 제곱 적분 가능 단면 가운데, P의 방향으로 일정한 단면들이다.

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\{s\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)\colon \nabla \_{P}s=0\}}
이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. P는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(영어: leaf space) {\displaystyle M/P}를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 M으로부터 유도된 측도가 존재한다. {\displaystyle \nabla \_{P}s=0}을 만족시키는 단면의 경우 {\displaystyle M/P} 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 {\displaystyle M/P} 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

### 메타플렉틱 보정

양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 **메타플렉틱 구조**(영어: metaplectic structure)를 정의해야 한다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega )의 접다발 TM은 심플렉틱 구조로 인해 \operatorname {Sp}(\dim M,{\mathbb R}) 구조를 갖는다. **메타플렉틱 군** \operatorname {Mp}(2k,{\mathbb R})는 \operatorname {Sp}(2k,{\mathbb R})의 연결 두 겹 피복군이다. (\pi \_{1}(\operatorname {Sp}(2k,{\mathbb R}))={\mathbb Z}이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 (M,\omega )의 **메타플렉틱 구조**는 접다발의 \operatorname {Sp}(\dim M,{\mathbb R}) 구조를 메타플렉틱 구조 \operatorname {Mp}(\dim M,{\mathbb R})로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 N\subset M과 그 위에 정의된 L의 단면 {\displaystyle s\in \Gamma (N,L\otimes {\sqrt {\det T^{\*}N}})}이다. s^{2}는 N 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 {\mathcal {H}}의 원소 {\displaystyle {\tilde {s}}\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)}로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 f\colon M\to \mathbb {R}  또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

특히, 이 경우 자주 선다발 L을 {\displaystyle L\otimes {\sqrt {K}}}로 대체한다. 여기서 {\displaystyle K=\textstyle \bigwedge ^{\dim M}(\mathrm {T} M/P)^{\*}}이다. 만약 P가 정칙 극성화라면 K는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 P가 실수 극성화라면 K는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}N}의 실수 극성화의 경우, 상태는 N 위의 함수 f(x) 대신 {\displaystyle f(x){\sqrt {\mathrm {d} ^{\dim N}x}}}의 꼴이게 되며, 그 제곱 {\displaystyle |f(x)|^{2}\,\mathrm {d} ^{\dim N}x}은 자연스럽게 N 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 {\displaystyle n\omega \hbar } 대신 {\displaystyle (n+1/2)\omega \hbar }가 된다.

극성화의 종류
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기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.

* M이 공변접다발 {\displaystyle M=\mathrm {T} ^{\*}N}인 경우. 이는 짜임새 공간 N이 존재하여, 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우다.
* M이 켈러 다양체인 경우.

### 공변접다발

공변접다발

{\displaystyle M=\mathrm {T} ^{\*}N}
의 경우, 심플렉틱 미분 형식 {\displaystyle \omega =\mathrm {d} p\_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}}에 대한 리우빌 미분 형식

{\displaystyle \theta =p\_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}}
이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, {\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta }는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발

{\mathcal L}\cong M\times {\mathbb C}
은 자명하고, 그 위에 \theta 를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 표준적으로

{\displaystyle \mathrm {T} \_{(x,p)}M\cong \mathrm {T} \_{x}N\oplus \mathrm {T} \_{x}^{\*}N\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} \_{x}^{\*}M)}
{\displaystyle \mathrm {T} \_{(x,p)}M^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {T} \_{x}N^{\mathbb {C} }\oplus \mathrm {T} \_{x}^{\*}N^{\mathbb {C} }\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} \_{x}^{\*}M)}
이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

{\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} ^{\*}N^{\mathbb {C} }\subset TM^{\mathbb {C} }}
이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.

따라서 복소수 힐베르트 공간은 N 위의 르베그 공간

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(N,\mathbb {C} )}
과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

{\hat x}^{i}\colon f\mapsto x\_{i}f
{\hat p}\_{i}\colon f\mapsto -i\partial \_{i}f
으로 대응된다.

### 켈러 다양체

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 2\pi 배)인 켈러 다양체 M을 생각하자. 이 경우, \omega /2\pi 에 대응하는 정칙 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재하며, 그 위에 곡률이 i\omega 인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 TM^{{{\mathbb C}}}를 다음과 같이 분해할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {T} M^{\mathbb {C} }=\mathrm {T} M^{+}\oplus \mathrm {T} M^{-}}
여기서 {\displaystyle \mathrm {T} M^{+}}는 정칙 벡터장들의 다발이고, {\displaystyle \mathrm {T} M^{-}}는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

{\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} M^{-}}
로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

{\mathcal H}=H^{0}(M,L)
은 L의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

{\hat z}^{i}\colon f\mapsto z^{i}f
{\displaystyle -\mathrm {i} \partial \_{i}\colon f\mapsto -\mathrm {i} \partial \_{i}f}
에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

예
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### 유클리드 공간의 공변접다발 극성화

구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n}
인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

\mathbb R^{2n}\cong T^\*\mathbb R^n
=\operatorname{Span}\_{\mathbb R}\{x\_1,\dots,x\_n,p\_1,\dots,p\_n\}

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

\theta=\sum\_{i=1}^np\_idx\_i
에 대응하는 접속은 다음과 같다.

\nabla\_{\partial/\partial p\_i}=\frac\partial{\partial p\_i}
\nabla\_{\partial/\partial q\_i}=\frac\partial{\partial q\_i}-2\pi i p\_i
극성화

\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial p}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial p^i}=0\forall i=1,\dots,n\right\}
\cong L^2(\mathbb R^n)
반대로, 운동량 방향의 극성화

\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial x}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.:Example 7.5

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i p\_if(x)=0\forall i=1,\dots,n\right\}
즉,

f(x,p)=f(p)\exp\left(2\pi i\sum\_{i=1}^np\_ix\_i\right)
의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

### 유클리드 공간의 켈러 극성화

평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.:Example 7.10

구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n}인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.

\nabla\_i=\frac\partial{\partial x\_i}+x\_i
여기에 복소구조를 주어

\mathbb R^{2n}\cong\mathbb C^n
z\_i=x\_i+x\_{i+n},\quad i=1,\dots,n
\frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)
\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)
으로 생각하고, 켈러 극성화

\mathcal P=\operatorname{Span}\_{\mathbb C}\left\{\frac\partial{\partial\bar z}\_1,\dots,\frac\partial{\partial\bar z}\right\}
를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 s\colon\mathbb C^n\to\mathbb C가운데

\nabla\_{\partial/\partial z}s(z,\bar z)=
\left(2\frac\partial{\partial\bar z}+z\right)s(z,\bar z)=0

인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는

s(z,\bar z)=f(z)\exp\left(-\sum\_iz\_i\bar z^i/2\right)
의 꼴이며, 여기서 f\colon {\mathbb C}\to {\mathbb C}는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

\int\_{\mathbb C}|f(z)|^2\exp\left(-\sum\_iz\_i\bar z\_i\right)\,d^{2n}z<\infty
이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.

s\_\alpha=z^\alpha\exp(-z\bar z/2),\qquad \alpha\in\mathbb N^n
이들은 n차원 조화 진동자의 \alpha 번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 **시걸-바르그만-포크 공간**(영어: Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다.

### 리만 구의 양자화

리만 구 {\hat {\mathbb {C} }} 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 k의 인자 D에 대응하는 선다발 \mathcal O(D)로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

\mathcal H(k)=\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\}
이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

\dim\_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\{k+1,0\}
이다. 이는 스핀 k/2의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, k를 k-1로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 \Sigma  위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 D에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간

\mathcal H(D)=H^0(\Sigma,\mathcal O(D))
을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.

### 콤팩트 켈러 다양체의 양자화

보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 M 위에, 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여 곡률이 k\omega가 되는 복소수 정칙 선다발 \mathcal L^{\otimes k}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지

\mathcal H(k)=H^0(M,\mathcal L^{\otimes n})
가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 k에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.:Example 7.11

\mathcal H(k)=\int\_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M\qquad(k\gg1)
여기서 \operatorname{Td}M은 토드 특성류이다.

특히, M이 복소수 n차원이라면

\int\_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M
=\sum\_{i=0}^n\int\_M\frac{k^i\omega^i}{i!}\operatorname{Td}M
=k^n\int\_M\omega^n/n!+\frac1{(n-1)!2}k^{n-1}\int\_M\omega c\_1+\cdots
이 되므로, 고전 극한 k\to\infty에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 \int\_M(k\omega)^n/n!에 수렴하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌
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