이차 형식 이론에서, **클리퍼드 군**(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의
--

### 국소 동차 원소

가환환 K가 주어졌을 때, \mathbb {Z} /2-등급 K-대수 A의 원소 a\in A에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 **국소 동차 원소**(영어: locally homogeneous element)라고 한다.:233, Lemma 5.1.4:149, §III.6.1

* {\displaystyle (1-k)a\in A\_{0}}, {\displaystyle ka\in A\_{1}}인 원소 {\displaystyle k\in K}가 존재한다.
* 모든 소 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}에 대하여, {\displaystyle a\in A\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {p}}}는 동차 원소이다. 여기서 \operatorname{Spec}K는 환의 스펙트럼이며, {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}}는 {\displaystyle K\setminus {\mathfrak {p}}}에서의 가환환의 국소화이다.
* 모든 극대 아이디얼 {\mathfrak m}에 대하여, {\displaystyle a\in A\otimes \_{K}K\_{\mathfrak {m}}}는 동차 원소이다. 여기서 {\displaystyle K\_{\mathfrak {m}}}는 {\displaystyle K\setminus {\mathfrak {m}}}에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 K가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 {\displaystyle A\_{\text{lh}}^{\times }}은 A의 가역원군 {\displaystyle A^{\times }}의 부분군을 이룬다.

{\displaystyle A\_{0}^{\times }\subseteq A\_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }}
국소 동차 가역원 {\displaystyle a\in A\_{\text{lh}}^{\times }}가 주어졌으며, {\displaystyle k\in K}가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, {\displaystyle A=(1-k)A\oplus kA}이며, 다음과 같은 A-자기 동형을 정의할 수 있다.:234:158, §III.6.5

{\displaystyle \Theta \_{a}\colon A\to A}
{\displaystyle \Theta \_{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}}
여기서

{\displaystyle \alpha \colon (a\_{0}+a\_{1})\mapsto (a\_{0}-a\_{1})\qquad \forall a\_{0}\in A\_{0},a\_{1}\in A\_{1}}
는 \mathbb {Z} /2 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

### 클리퍼드 군

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}의 **클리퍼드 군**(영어: Clifford group)

{\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\subseteq (\operatorname {Cliff} (V,Q))\_{\text{lh}}^{\times }}
은 다음과 같은 원소 {\displaystyle x\in \operatorname {Cliff} (V,Q)}로 구성된, 가역원군의 부분군이다.:228, §IV.6.1

* x는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
* {\displaystyle \Theta \_{x}(V)\subseteq V}이다.
* 모든 v\in V에 대하여, {\displaystyle Q(\Theta \_{x}(v))=Q(v)}이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}의 **특수 클리퍼드 군**(영어: special Clifford group)

{\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Cliff} (V,Q)^{\times }}
은 다음과 같다.:228, §IV.6.1

{\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} \_{0}(V,Q;K)}
즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

### 스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 **핀 군**(영어: pin group)이라고 한다.:230, §IV.6.2

{\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}}
마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 **스핀 군**(영어: spin group)이라고 한다.:230, §IV.6.2

{\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)}

성질
--

임의의 가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\subset &\operatorname {Pin} (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\subset &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {Cliff} \_{0}(V,Q;K)^{\times }&\subset &\operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\times }\end{matrix}}}
### 체 위의 클리퍼드 군

K가 체라고 하고, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, Q가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 K-대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu \_{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}
여기서

* {\displaystyle \mu \_{2}(K)=\{a\in K^{\times }\colon a^{2}=1\}}은 K에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 K의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
* {\displaystyle (K^{\times })^{2}\subseteq K^{\times }}는 K^\times 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}는 K의 제곱 유군이다.
* 준동형 {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to K^{\times }}은 스피너 노름이다. 마찬가지로 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}} 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
* {\displaystyle \operatorname {\Omega } (V,Q;K)\subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)}는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)}의 부분군이다.
* 준동형 {\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)}는 클리퍼드 군의 V 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. {\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {\Omega } (V,Q;K)} 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu \_{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}
(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu \_{2}(K)&\to &\mu \_{2}(K)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}
마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &K^{\times }&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}는 딕슨 불변량이며, {\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}는 그 제한이다.
* {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, {\displaystyle \operatorname {SO} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}는 그 제한이다.

### 실수 계수

K=\mathbb {R} 이며, V가 n차원 실수 벡터 공간이며, Q가 비퇴화 이차 형식일 때, {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}의 가역원군 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )^{\times }}은 2^{n}차원 리 군을 이룬다. 만약 Q가 음의 정부호 이차 형식이라면, {\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )}는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 {\displaystyle \Gamma \_{0}(V,Q;\mathbb {R} )}는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1}
{\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {S\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1}
즉, {\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )}는 {\displaystyle n(n-1)/2+1}차원 리 군이다. 전체 가역원군 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )^{\times }}은 2^{n}차원 리 군이므로, 이는 여차원 {\displaystyle 2^{n}-n(n-1)/2-1}의 부분군이다.

### 직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}는 V 위의 K-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 Q를 보존하며, 따라서 직교군

{\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} \_{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}}
으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

{\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)}
클리퍼드 군 {\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}는 {\displaystyle \{v\in V\colon Q(v)\in K^{\times }\}}를 부분 집합으로 포함한다 (K^\times는 K의 가역원군). 이 경우

{\displaystyle v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}}
{\displaystyle vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V}
이다. 즉, v\in V의 작용은 u를 축 v에 대하여 반사시키는 것이다.

### 딕슨 불변량

K가 체이며, V가 유한 차원 벡터 공간이며, Q가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 **딕슨 불변량**(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

{\displaystyle D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}
{\displaystyle D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}}
즉, 이는 u로 인하여 생성되는 V-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 K의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

{\displaystyle D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}}
핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}}
### 갈루아 코호몰로지와의 관계

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 비퇴화 이차 형식 Q에 대하여, 짧은 완전열

{\displaystyle 1\to \mu \_{2}(K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {Pin} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {O} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to 1}
에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);-)}의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

{\displaystyle 1\to \mu \_{2}(K)\to \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {O} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{2}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu \_{2}(-))}
여기서 0차 갈루아 코호몰로지

{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))=\operatorname {Pin} (V,Q;K)}
등은 단순히 K 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu \_{2}(-))\cong K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
는 제곱 유군이며, 연결 사상 {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}는 스피너 노름이 된다.

참고 문헌
-----

1. 1 2  Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.
2. 1 2 3 4 5 6  Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **294**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.

* Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **50**. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9. MR 1369094. Zbl 0855.15019.
* Hanke, Jonathan (2013). 〈Quadratic forms and automorphic forms〉. Alladi, Krishnaswami; Bhargava, Manjul; Savitt, David; Tiep, Pham Huu. 《Quadratic and higher degree forms》. Developments in Mathematics (영어) **31**. Springer-Verlag. 109-168쪽. arXiv:1105.5759. Bibcode:2011arXiv1105.5759H. doi:10.1007/978-1-4614-7488-3\_5. ISBN 978-1-4614-7487-6. ISSN 1389-2177. Zbl 1282.11017.