리 이론에서, **카츠-무디 대수**(Кац-Moody代數, 영어: Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.

정의
--

**카츠-무디 대수** (A,{\mathfrak {h}},\{(\alpha \_{i},\alpha \_{i}^{\vee })\}\_{i\in \{1,2,\dots ,n\}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )는 정수 성분의 n\times n 정사각 행렬이며, 그 계수는 r이다. 이를 **(일반화) 카르탕 행렬**(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다.
* {\mathfrak {h}}는 2n-r차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 **카르탕 부분 대수**(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다.
* \alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{n}\in {\mathfrak {h}}^{\*}은 n개의 선형 독립 벡터이며, \alpha \_{1}^{\vee },\dots ,\alpha \_{n}^{\vee }\in {\mathfrak {h}}는 n개의 선형 독립 벡터이다. \alpha \_{i}를 **단순근**(單純根, 영어: simple root), \alpha \_{i}^{\vee }를 **단순쌍대근**(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 i,j\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, \alpha \_{i}(\alpha \_{j}^{\vee })=A\_{ij}
* 모든 i\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, A\_{{ii}}=2
* 모든 i,j\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, 만약 i\neq j라면 A\_{ij}\leq 0
* 모든 i,j\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, 만약 A\_{{ij}}=0이라면 A\_{{ji}}=0

이 경우, **카츠-무디 대수** {\mathfrak {g}}는 {\mathfrak {h}} 및 생성원 e\_{1},\dots ,e\_{n}, f\_{1},\dots ,f\_{n}으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

[h,h']=0\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}
[h,e\_{i}]=\alpha \_{i}(h)e\_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}
[h,f\_{i}]=-\alpha \_{i}(h)f\_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}
[e\_{i},f\_{i}]=\delta \_{ij}\alpha \_{i}^{\vee }\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}
\overbrace {[e\_{i},[e\_{i},\cdots ,[e\_{i},} ^{1-A\_{ij}}e\_{j}]\cdots ]]=\overbrace {[f\_{i},[f\_{i},\dots ,[f\_{i},} ^{1-A\_{ij}}f\_{j}]\cdots ]]=0\qquad \forall i\neq j
여기서 (e\_{i},f\_{i})를 **슈발레 생성원**(영어: Chevalley generator)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}의 카르탕 행렬 A에 대하여, A=DS인 대각 행렬 D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )와 대칭 행렬 S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )가 존재한다면, {\mathfrak {g}}를 **대칭화 가능 카츠-무디 대수**(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다.

카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}의 **계수**(영어: rank) \operatorname {rank} {\mathfrak {g}}는 그 카르탕 행렬의 계수 r=\operatorname {rank} A와 같다.

### 근계

카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌을 때, 만약 x\in {\mathfrak {g}}\setminus \{0\} 및 \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\*}\setminus \{0\}에 대하여

[h,x]=\lambda (h)x\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}}
라면, \lambda 를 {\mathfrak {g}}의 **근**(根, 영어: root)이라고 하고, x를 \lambda 의 **근 벡터**(根vector, 영어: root vector)라고 한다. {\mathfrak {g}}의 모든 근들의 집합을 \Delta \subset {\mathfrak {h}}^{\*}라고 하자.

{\mathfrak {g}}의 근 \lambda \in \Delta 에 대응하는 **근공간**(영어: root space) {\mathfrak {g}}\_{\lambda }은 \lambda 에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

{\mathfrak {g}}\_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon [h,x]=\lambda (h)x\}
이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \_{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}\_{\lambda }
또한, 모든 근 \lambda 는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

\lambda =\sum \_{i=1}^{n}z\_{i}\alpha \_{i}\qquad (z\_{1},\dots ,z\_{n}\in \mathbb {Z} ,\;\operatorname {sgn} z\_{1}=\cdots =\operatorname {sgn} z\_{n}\neq 0)
이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 **양근**(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 **음근**(陰根, 영어: negative root)이라고 한다.

모든 단순근 \alpha \_{i}는 양근이며, -\alpha \_{i}는 음근이다. 또한, e\_{i} 및 f\_{i}는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

e\_{i}\in {\mathfrak {g}}\_{\alpha \_{i}}
f\_{i}\in {\mathfrak {g}}\_{-\alpha \_{i}}
### 딘킨 도표

카츠-무디 대수는 **딘킨 도표**(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

* 딘킨 도표의 꼭짓점은 n개가 있으며, 1,\dots ,n에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
* i\neq j일 때, 두 꼭짓점 i,j 사이의 변의 수는 A\_{{ij}}A\_{{ji}}이다.
* 만약 A\_{ij}\leq -2라면, i와 j 사이의 변에 i로 향하는 화살표를 그린다.

### 실근과 허근

카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}의 근 \alpha \in \Delta ({\mathfrak {g}})는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.

* 만약 w(\alpha )가 단순근인 바일 군 원소 w\in W({\mathfrak {g}})가 존재한다면, \alpha 를 **실근**(實根, 영어: real root)이라고 한다.
* 실근이 아닌 근을 **허근**(虛根, 영어: imaginary root)이라고 한다.

분류
--

대칭화 가능 카츠-무디 대수 {\mathfrak {g}}의 카르탕 행렬 A는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 A=DS로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 S의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다.

* 만약 S가 양의 정부호일 경우, {\mathfrak {g}}는 (유한 차원) **단순 리 대수**이다. 이 경우, r=n이다.
* 만약 S가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, {\mathfrak {g}}는 **아핀 리 대수**이다. 이 경우, r=n-1이다.
* 만약 S가 부정부호일 경우, {\mathfrak {g}}는 **부정부호 카츠-무디 대수**(영어: indefinite Kač–Moody algebra)이다.
* 대각선 성분들이 양수이므로, S는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 **쌍곡선형 카츠-무디 대수**(영어: hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

역사
--

캐나다의 로버트 본 무디(영어: Robert Vaughan Moody) 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; COBBS, Leigh; McRae, Robert; Nandi, Debajyoti; Naqvi, Yusra; Penta, Diego. "Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits" (영어). arXiv:1003.0564.
2. ↑  Moody, Robert V. (1967). "Lie algebras associated with generalized Cartan matrices". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **73** (2): 217–222. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11688-4. ISSN 0273-0979. MR 0207783.
3. ↑  Moody, Robert V. (1968년 10월). "A new class of Lie algebras". 《Journal of Algebra》 (영어) **10** (2): 211–230. doi:10.1016/0021-8693(68)90096-3. ISSN 0021-8693.
4. ↑  Кац, В. Г. (1968). "Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста". 《Известия Академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) **32**: 1923–1967. MR 259961. Zbl 0222.17007.  영역 Kac, V.G. (1968). "Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth". 《Mathematics of the USSR-Izvestiya》 (영어) **2** (6): 1271–1311. doi:10.1070/IM1968v002n06ABEH000729. ISSN 0025-5726.

* Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022.
* Wassermann, Antony. "Kac-Moody and Virasoro algebras" (영어). arXiv:1004.1287.