측도론에서, 가측 공간 위의 **보편 완비 가측 공간**(普遍完備可測空間, 영어: universally complete measurable space)은 모든 시그마 유한 완비화에 대하여 가측 집합이 되는 부분 집합들만을 가측 집합으로 삼는 가측 공간이다.

정의
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측도 공간 (X,\Sigma ,\mu )이 다음 조건을 만족시킨다면, **시그마 유한 측도 공간**(영어: sigma-finite measure space)이라고 한다.

* {\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {S}}}인 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{S\in \Sigma \colon \mu (S)<\infty \}}가 존재한다.

가측 공간 (X,\Sigma ) 위의 시그마 유한 측도들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )}라고 표기하고, (X,\Sigma ) 위의 확률 측도들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {probMeas} (X,\Sigma )}라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}=\bigcap \_{\mu \in \operatorname {probMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}\_{\mu }=\bigcap \_{\mu \in \operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}\_{\mu }}
이다. 여기서 {\displaystyle {\bar {\Sigma }}\_{\mu }}는 측도 \mu 에 대한 \Sigma 의 완비화이다.

**두 항의 일치의 증명:**

시그마 유한 완비 측도 공간 (X,\Sigma ,\mu )에 대하여, 같은 가측 집합들과 영집합들을 갖는 확률 공간 구조 {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu '')}를 구성하면 족하다.

시그마 유한 조건의 정의에 따라

{\displaystyle X=\bigcup \_{i=0}^{\infty }S\_{i}}
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon (S\_{i}\in \Sigma \land \mu (S\_{i})<\infty )}
라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle S\_{i}'=S\_{i}\setminus (S\_{0}\cup S\_{1}\cup \cdots \cup S\_{i-1})}
를 정의하고, 또한 \Sigma  위에 다음과 같은 두 측도를 정의하자.:524, §4.6

{\displaystyle \mu '(A)=\sum \_{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\mu (A\cap S'\_{i})}{\mu (S'\_{i})+1}}\qquad \forall A\in \Sigma }
{\displaystyle \mu ''(A)={\frac {\mu '(A)}{\mu '(X)}}\qquad \forall A\in \Sigma }
그렇다면, {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu '')}는 확률 공간을 이룬다. 또한,

{\displaystyle \forall A\in \Sigma \colon \mu (A)=0\iff \mu ''(A)=0}
인 것은 쉽게 확인할 수 있다.

{\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}}의 원소를 **\Sigma -보편 가측 집합**(\Sigma -普遍可測集合, 영어: \Sigma -universally measurable set)이라고 한다.:155, §21.D {\displaystyle \Sigma ^{\text{univ}}} 역시 X 위의 가측 공간 구조를 이루며, {\displaystyle (X,\Sigma ^{\text{univ}})}를 (X,\Sigma )의 **보편 완비화**(普遍完備化, 영어: universal completion)라고 한다.:526–527, §4.6 만약 {\displaystyle \Sigma =\Sigma ^{\text{univ}}}라면, (X,\Sigma )를 **보편 완비 가측 공간**이라고 한다.

성질
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만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 2^{\aleph \_{0}} 개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 준열린집합이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.:21

예
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유클리드 공간의 보렐 가측 공간 위의 르베그 측도는 시그마 유한 완비 측도이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 르베그 가측 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다.

폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 해석적 집합은 보편 가측 집합이다.:155, Theorem 21.10 사영 결정 공리를 가정한다면, 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 사영 집합은 보편 가측 집합이다.:326, §38.17(ii)

참고 문헌
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1. 1 2  Doberkat, Ernst-Erich (2015). 《Special topics in mathematics for computer scientists: sets, categories, topologies and measures》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-22750-4. ISBN 978-3-319-22749-8.
2. 1 2 3  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
3. 1 2  Larson, Paul; Neeman, Itay; Shelah, Saharon. "Universally measurable sets in generic extensions". 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) **208** (2): 173–192. arXiv:1003.2479. Bibcode:2010arXiv1003.2479L. doi:10.4064/fm208-2-4. ISSN 0016-2736. Zbl 1196.03064.