환론에서 **모리타 동치**([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의
--

### 모리타 동치

환 R 위의 오른쪽 가군 {\displaystyle U\_{R}}가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 {\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\psi )}을 다음과 같이 정의할 수 있다.

* {\displaystyle S=\hom \_{R}(U\_{R},U\_{R})}
* {\displaystyle {}\_{R}V=\hom \_{R}(\_{S}U\_{R},\_{R}R\_{R})}
* {\displaystyle \phi \colon U\otimes \_{R}V\to S}, {\displaystyle (u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))}
* {\displaystyle \psi \colon V\otimes \_{S}U\to R}, {\displaystyle (v\otimes u)\mapsto v(u)}

{\displaystyle U\_{R}}가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname {Mod} \_{R}의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle U\_{R}}에 대응되는 모리타 문맥 {\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\chi )}에 대하여,

* {\displaystyle \otimes \_{R}V\_{S}\colon \operatorname {Mod} \_{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} \_{S}\colon \otimes \_{S}U\_{R}}는 범주의 동치를 이룬다.
* {\displaystyle \_{S}U\otimes \_{R}\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \rightleftarrows {}\_{S}\operatorname {Mod} \_{S}\colon \_{S}V\otimes \_{R}}는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname {Mod} \_{R}의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

{\displaystyle F\colon \operatorname {Mod} \_{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} \_{S}\colon G}
가 주어졌을 때,

* {\displaystyle \_{S}U\_{R}=G(\_{S}S\_{S})}
* {\displaystyle \_{R}V\_{S}=F(\_{R}R\_{R})}

로 놓으면, {\displaystyle U\_{R}}는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 \operatorname {Mod} \_{R}의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 {\displaystyle U\_{R}}에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

{\displaystyle F\cong \otimes \_{R}V}
{\displaystyle G\cong \otimes \_{S}U}
또한, 임의의 두 환 {\displaystyle (R,S)}에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

* 가법 동치 {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{R}\to \operatorname {Mod} \_{S}}의 (자연 동형에 대한) 동형류
* 다음 두 조건을 만족시키는 {\displaystyle (S,R)}-쌍가군 {\displaystyle \_{S}U\_{R}}들의 동형류
	+ {\displaystyle U\_{R}}는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 \operatorname {Mod} \_{R}의 생성 대상이다.
	+ {\displaystyle \_{S}U\_{R}}는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 R, S 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 **모리타 동치**(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

{\displaystyle R\approx S}
로 표기한다.

### 모리타 쌍대성

쌍가군 {\displaystyle \_{S}U\_{R}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \hom \_{R}\left((-)\_{R},\_{S}U\_{R}\right)\colon \operatorname {Mod} \_{R}\to {}\_{S}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \hom \_{S}\left(\_{S}(-),\_{S}U\_{R}\right)\colon {}\_{S}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} \_{R}^{\operatorname {op} }}
이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

{\displaystyle \hom \_{R}\left((-)\_{R},\_{S}U\_{R}\right)\dashv \hom \_{S}\left(\_{S}(-),\_{S}U\_{R}\right)}
수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

{\displaystyle M\_{R}\to \hom \_{S}\left(\hom \_{R}(M\_{R},\_{S}U\_{R}),\_{S}U\_{R}\right)}
이 동형 사상일 경우, R-오른쪽 가군 M\_{R}를 **U-반사 가군**(영어: U-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 S-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{R}[U]} 및 {\displaystyle \_{S}\operatorname {Mod} [U]}로 표기하자. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{R}[U]}와 {\displaystyle \_{S}\operatorname {Mod} [U]^{\operatorname {op} }}는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 {\mathcal A}의 충만한 부분 가법 범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열 0\to A\to B\to C\to 0에 대하여, {\displaystyle A,C\in {\mathcal {C}}}라면 {\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}이다.
쌍가군 {\displaystyle \_{S}U\_{R}}에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

* {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{R}[U]}는 \operatorname {Mod} \_{R}의 세르 부분 범주이며, {\displaystyle \_{S}\operatorname {Mod} [U]}는 {\displaystyle \_{S}\operatorname {Mod} }의 세르 부분 범주이며, {\displaystyle R\_{R}\in \operatorname {Mod} \_{R}[U]}이며, {\displaystyle \_{S}S\in \_{S}\operatorname {Mod} [U]}이다.
* {\displaystyle R\_{R}}, {\displaystyle U\_{R}}, {\displaystyle \_{S}S}, {\displaystyle \_{S}U}의 모든 몫가군은 U-반사 가군이다.
* {\displaystyle U\_{R}}는 단사 가군이자 \operatorname {Mod} \_{R}의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 {\displaystyle \_{S}U}는 단사 가군이자 {\displaystyle \_{S}\operatorname {Mod} }의 쌍대 생성 대상이며, 또한 {\displaystyle \_{S}U\_{R}}는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우, U가 **모리타 쌍대성**(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 U-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 U 및 U'에 대하여, U-반사 가군인지 여부는 U'-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 U에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예
-

모든 환 R 및 양의 정수 n에 대하여, R는 \operatorname {Mat}(n;R)와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 R-자유 가군 {\displaystyle U=R^{\oplus n}}에 의하여 생성된다. 즉,

* {\displaystyle S=\operatorname {End} \_{R}(R^{\oplus n})=\operatorname {Mat} (n;R)}
* {\displaystyle \_{R}U\_{S}=R^{\oplus n}}. 이는 행벡터(={\displaystyle 1\times n} 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
* {\displaystyle \_{S}V\_{R}=R^{\oplus n}}. 이는 열벡터(={\displaystyle n\times 1} 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
* {\displaystyle \phi \colon \_{R}U\otimes \_{S}V\_{R}\to {}\_{R}R\_{R}}는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
* {\displaystyle \psi \colon \_{S}V\otimes \_{R}U\_{S}\to \_{S}S\_{S}}는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 R는 유한 개의 나눗셈환 D\_{1},\dots ,D\_{k} 위의 행렬환 {\displaystyle \operatorname {Mat} (n\_{i},D\_{i})}들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

{\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n\_{1};D\_{1})\times \cdots \times \operatorname {Mat} (n\_{k};D\_{k})\approx D\_{1}\times \cdots \times D\_{k}}

역사
--

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Morita, Kiiti (1958). "Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition". 《Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A》 (영어) **6** (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702.

* Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **189**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
* Schwede, Stefan (2004). 〈Morita theory in Abelian, derived and stable model categories〉. Baker, Andrew; Richter, Birgit. 《Structured ring spectra》. London Mathematical Society Lecture Notes (영어) **315**. Cambridge University Press. 33–86쪽. arXiv:math/0310146. Bibcode:2003math.....10146S. ISBN 978-0-52160305-8.
* Müller, Bruno J. (1984). 〈Morita duality — a survey〉. Göbel, R.; Metelli, C.; Orsatti, A.; Salce, L. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984》. International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures (영어) **287**. Springer-Verlag. 395–414쪽. doi:10.1007/978-3-7091-2814-5\_30. ISBN 978-3-211-81847-3. ISSN 0254-1971.
* Phạm Ngọc Ánh (1985). 〈Morita duality, linear compactness and AB5: a survey〉. Facchini, Alberto; Menini, Claudia. 《Abelian groups and modules. Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994》. Mathematics and Its Applications (영어) **343**. Springer-Verlag. 17-28쪽. doi:10.1007/978-94-011-0443-2\_2. ISBN 978-94-010-4198-0.