호모토피 이론에서 **단체 집합**(單體集合, 영어: simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.

정의
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**단체 집합**은 집합과 함수의 범주 \operatorname {Set}  속의 단체 대상, 즉 함자

{\displaystyle X\_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
이다. 마찬가지로, **첨가 단체 집합**(添加單體集合, 영어: augmented simplicial set)은 \operatorname {Set}  속의 첨가 단체 대상, 즉 함자

{\displaystyle X\_{\bullet }\colon \triangle \_{+}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
이다.

여기서 \triangle 은 단체 범주이며, {\displaystyle \triangle \_{+}}는 첨가 단체 범주이다.

다시 말해, {\displaystyle X\_{-1}=S}인 첨가 단체 집합 {\displaystyle X\_{\bullet }}은 조각 범주 {\displaystyle \operatorname {Set} /S} 위의 단체 대상과 같다.

연산
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### 범주론적 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합

{\displaystyle \varnothing \_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle \varnothing \_{\bullet }\colon n\mapsto \varnothing \qquad \forall n\in \triangle }
이며, 끝 대상은 한원소 공간

{\displaystyle 1\_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle 1\_{\bullet }\colon n\mapsto \{\bullet \}\qquad \forall n\in \triangle }
이다. (여기서 \{\bullet \}은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

### 기하학적 실현과 특이 단체

단체 집합의 범주 {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )}와 위상 공간의 범주 \operatorname {Top}  사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )\,{\overset {S}{\underset {|\cdot |}{\leftrightarrows }}}\,\operatorname {Top} }
{\displaystyle |\cdot |\dashv \operatorname {Sing} }
여기서 {\displaystyle \operatorname {Sing} }을 **특이 단체 함자**(特異單體函子, 영어: singular simplex functor), |\cdot |을 **기하학적 실현 함자**(幾何學的實現函子, 영어: geometric realization functor)라고 한다.

#### 특이 단체

 이 부분의 본문은 특이 호몰로지입니다.
위상 공간 Y가 주어졌을 때, 이에 대응하는 **특이 단체 집합**(영어: singular simplicial set) {\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)\_{n}=\hom \_{\operatorname {top} }(\triangle ^{n},Y)}
여기서 \triangle ^{n}은 n차원 단체이다. 즉, 함자 {\displaystyle \operatorname {Sing} (Y)}의 n차 성분은 Y의 n차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

#### 기하학적 실현

단체 집합 X에 대응하는 **기하학적 실현** |X|는 다음과 같은 위상 공간이다.

{\displaystyle |X|=\left(\bigsqcup \_{n}X\_{n}\times \triangle ^{n}\right)/{\sim }}
여기서 \triangle ^{n}은 n차원 표준 단체이며, \sim 은

(x,S\_{i}(p))\sim (s\_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}
(x,D\_{i}(p))\sim (d\_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}
로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

d\_{i}\colon \{0,1,\dots ,n-1\}\to \{0,1,\dots ,n\}
는 상이 \{0,1,\dots ,n\}\setminus \{i\}인 유일한 증가 단사 함수이며,

s\_{i}\colon \{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,n-1\}
는 i\in \{0,1,\dots ,n\}를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. D\_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{{n+1}} 및 S\_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{{n-1}}는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

### 단체 호몰로지

단체 집합 {\displaystyle X\_{\bullet }}이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.

{\displaystyle C\_{n}=\mathbb {Z} ^{\oplus X\_{n}}}
그렇다면, 이 위에 {\displaystyle \partial \_{n,i}} 및 {\displaystyle s\_{n,i}}를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, C\_{n}은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

{\displaystyle \partial \_{n}\colon C\_{n}\to C\_{n-1}}
{\displaystyle \partial \_{n}=\sum \_{i=0}^{n}\partial \_{n,i}}
의 호몰로지를 단체 집합 X의 **단체 호몰로지**(單體homology, 영어: simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

### 유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체

{\displaystyle \triangle ^{n}=\left\{{\vec {t}}\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \sum \_{i=0}^{n}t\_{i}=1\right\}}
위의 **유리수 계수 다항식 미분 형식**(영어: rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

{\displaystyle \phi \_{i\_{0},i\_{1},\dotsc ,i\_{n}}\mathrm {d} t\_{i\_{0}}\wedge \mathrm {d} t\_{i\_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} t\_{i\_{n}}\qquad (\phi \_{i\_{0},i\_{1},\dotsc ,i\_{n}}\in \mathbb {Q} [t\_{0},\dotsc ,t\_{n}],\;i\_{0}<i\_{1}<\dotsb <i\_{n})}
이들의 유리수 벡터 공간을 {\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}(n)}으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이제, 함자

{\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}\colon \triangle \to \operatorname {CDGA} \_{\geq 0}^{\operatorname {op} }}
를 다음과 같이 정의할 수 있다.

* {\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}\colon n\mapsto \Omega \_{\text{PL}}(n)}
* 임의의 증가 함수 {\displaystyle f\colon \{0,1,\dotsc ,m\}\to \{0,1,\dotsc ,n\}}에 대하여,
{\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}(f)\colon t\_{i}\mapsto \sum \_{j\in f^{-1}(i)}t\_{j}}
{\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}(f)\colon \mathrm {d} t\_{i}\mapsto \sum \_{j\in f^{-1}(i)}\mathrm {d} t\_{j}}

그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자

{\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}\colon \operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {CDGA} \_{\geq 0}^{\operatorname {op} }}
를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 **유리수 계수 다항식 미분 형식**들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.

이는 오른쪽 수반 함자

{\displaystyle R\colon \operatorname {CDGA} \_{\geq 0}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {s} (\operatorname {Set} )}
를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자

{\displaystyle \Omega \_{\text{PL}}\dashv R}
를 이룬다.:§8

성질
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### 범주론적 성질

단체 집합의 범주 {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )}는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

### 위상수학적 성질

기하학적 실현 함자 {\displaystyle |\cdot |:\operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {Top} }는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname {CGHaus}  따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.:49

또한, 단체 집합 X의 기하학적 실현 |X|는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.:p. 46

### 모형 범주 구조

단체 집합의 범주 {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Set} )}는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

* 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
* 올뭉치는 **칸 올뭉치**(Kan올뭉치, 영어: Kan fibration)이다.
* 올대상은 **칸 복합체**(Kan複合體, 영어: Kan complex)이다.

#### 칸 올뭉치

단체 집합 E, B 사이의 사상 \pi \colon E\to B가 다음 조건을 만족시킨다면, **칸 올뭉치**(영어: Kan fibration)라고 한다.

임의의 단체 \triangle ^{n}의 뿔 \iota \colon \wedge \_{k}^{n}\hookrightarrow \triangle ^{n} 및 사상 {\tilde f}\_{0}\colon \wedge \_{k}^{n}\to X 및 f\colon \triangle ^{n}\to B에 대하여, 만약 f\circ \iota =\pi \circ {\tilde f}\_{0}라면, {\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota ={\tilde {f}}\_{0}}이고 {\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}=f}인 {\tilde f}\colon \triangle ^{n}\to E가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.
{\begin{matrix}\wedge \_{k}^{n}&{\xrightarrow {{\tilde f}\_{0}}}&E\\{\scriptstyle \iota }\downarrow &\nearrow \scriptstyle \exists {\tilde f}&\downarrow \scriptstyle \pi \\\triangle ^{n}&{\xrightarrow[ {f}]{}}&B\end{matrix}}
이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

\bullet 이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, **칸 복합체**(Kan複合體, 영어: Kan complex)는 \bullet 으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

예
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### 표준 단체와 뿔

자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 단체 집합의 범주에서 **표준 n차원 단체**(영어: standard n-simplex) \triangle ^{n}는 {\displaystyle \hom \_{\triangle }(-,\Delta \_{n})}로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {s} (\operatorname {Set} )}(\triangle ^{n},Y)\cong Y(n)}
가 성립한다.

표준 n차원 단체 \triangle ^{n}가 주어졌을 때, k\in \{0,\dots ,n\}에 대하여, \wedge \_{k}^{n}가 \partial \triangle ^{n}에서 k번째 면들을 제거한 n-1차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 **뿔**(영어: horn)이라고 한다.

### 구체적 범주 속의 단체 대상

만약 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }가 구체적 범주일 경우, {\mathcal {C}} 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

### 단체 복합체

 이 부분의 본문은 단체 복합체입니다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* (추상적) 단체 복합체 {\displaystyle (\Sigma \_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}. 여기서 \Sigma \_{0}은 꼭짓점들의 집합이며, {\displaystyle \Sigma \_{i}\subseteq {\mathcal {P}}(\Sigma \_{0})}는 i+1개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
* 꼭짓점 집합 \Sigma \_{0} 위의 전순서 \le

그렇다면, 다음을 정의하자.

* 양의 정수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 집합 {\displaystyle \Delta \_{n}}의 원소 M은 \Sigma \_{0}의 원소들로 구성된, 크기 n+1의 중복집합 M 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 {\displaystyle |M|}이 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{n=0}^{\infty }\Sigma \_{n}}에 속하는 것이다.
* 꼭짓점 중복집합 {\displaystyle M\in \Delta \_{n}}이 주어졌다고 하자. M에서, i+1번째로 작은 원소를 {\displaystyle m\_{i}\in \Sigma \_{0}}라고 하자 (0\leq i\leq n). 그렇다면, {\displaystyle \partial \_{n}^{i}(M)} 및 {\displaystyle s\_{n}^{i}(M)}을 다음과 같이 정의하자.
	+ {\displaystyle \partial \_{n}^{i}(M)=M\setminus \{m\_{i}\}\in \Delta \_{n-1}}
	+ {\displaystyle s\_{n}^{i}(M)=M\sqcup \{m\_{i}\}\in \Delta \_{n+1}}

그렇다면, {\displaystyle (\Delta \_{n},\partial \_{n}^{i},s\_{n}^{i})\_{n,i}}는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 {\displaystyle (\Sigma \_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

### 신경

 이 부분의 본문은 신경 (범주론)입니다.
작은 범주 {\mathcal {C}}가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 {\displaystyle \operatorname {nerve} {\mathcal {C}}}가 존재하며, 이를 {\mathcal {C}}의 **신경**이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

{\displaystyle \operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet} }
를 정의한다.

역사
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단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) **174**. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
2. ↑  Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12492-5.
3. ↑  Curtis, Edward B. (1971년 4월). "Simplicial homotopy theory". 《Advances in Mathematics》 (영어) **6** (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808.
4. ↑  Friedman, Greg (2012). "An elementary illustrated introduction to simplicial sets". 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) **42** (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442.
5. ↑  Bousfield, Aldridge Knight; Gugenheim, Victor K. A. M. (1976). 《On PL De Rham theory and rational homotopy type》. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) **179**. American Mathematical Society. doi:10.1090/memo/0179. ISBN 978-0-8218-2179-4. MR 425956.
6. 1 2  Gabriel, Peter; Zisman, Michel (1967). 《Calculus of fractions and homotopy theory》 (PDF). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85844-4. ISSN 0071-1136.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|권3=` (도움말)