기하학에서 **들리뉴-베일린손 코호몰로지**(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, 영어: Deligne–Beilinson cohomology) 또는 **들리뉴 코호몰로지**는 접속을 갖는 원군 n-주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.

정의
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매끄러운 다양체 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1)){\xrightarrow {\frac {\mathrm {d} \ln }{2\pi \mathrm {i} }}}\Omega ^{1}(X){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb {\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{n}(X)}
여기서

* n은 임의의 자연수이다. (특히, X의 차원과는 관련이 없다.)
* {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))}는 X를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
* {\displaystyle \Omega ^{k}(X)}는 X의 k차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
* {\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(X)\to \Omega ^{\bullet +1}(X)}는 X 위의 미분 형식의 외미분이다.
* {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))\to \Omega ^{1}(X)}는 다음과 같다. 우선, 원군을 {\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 U\subseteq X에서, 함수 {\displaystyle f\upharpoonright U\colon U\to \operatorname {U} (1)}의 자연 로그 {\displaystyle \ln f}는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\log f\colon U\to \mathbb {R} }는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 2\pi 씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 {\displaystyle -\mathrm {i} \mathrm {d} \log f\in \Omega ^{1}(X)}은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 {\displaystyle (1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln f\in \Omega ^{1}(X)}을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 **들리뉴-베일린손 공사슬 복합체**(영어: Deligne–Beilinson cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지를 n차 **들리뉴-베일린손 코호몰로지**라고 한다.

위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, k차 미분 형식 대신 (k,0)차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분 {\displaystyle \mathrm {d} } 대신 정칙 외미분 {\displaystyle \partial \colon \Omega ^{\bullet ,\bullet }(-)\to \Omega ^{\bullet +1,\bullet }(-)}을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체 X 위의, {\mathbb C}^{\times }={\mathbb C}\setminus \{0\} 값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 {\mathcal O}\_{X}의 가역원층 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}^{\times }}의 단면에 해당한다.)

{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}\_{X}^{\times };X){\xrightarrow {\mathrm {d} \ln }}\Omega ^{1,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\Omega ^{2,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\dotsb }

성질
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매끄러운 다양체 X 위의 n차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)}는 X 위의, 접속을 갖는 원군 (n-1)-주다발을 나타낸다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)\cong [X,\mathrm {B} ^{n}\operatorname {U} (1)]}
### 다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계

들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} \_{\operatorname {sing} }^{n}(X;\mathbb {Z} )}
가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.)

보다 일반적으로, 완전열

{\displaystyle 0\to \Omega \_{\text{int}}^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} \_{\text{sing}}^{n}(X;\mathbb {Z} )\to 0}
이 존재한다. 여기서, 사상 {\displaystyle \Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)}은 원군 n-주다발 위의 접속이 (n-1)차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 {\displaystyle \Omega \_{\operatorname {int} }^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)}은 같은 접속을 나타내는 두 (n-1)차 미분 형식의 차이는 정수 주기(영어: integral period)의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)}
이 존재한다. 여기서

* {\displaystyle \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)}은 접속을 갖는 n-주다발의 곡률이 n차 미분 형식임을 뜻한다.
* {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} \_{\operatorname {conn} }^{n}(X)}은 같은 곡률을 갖는 두 n-주다발의 차는 평탄한 n-주다발임을 뜻한다.

역사
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피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski)가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.:§5

참고 문헌
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1. ↑  Deligne, Pierre (1971). "Théorie de Hodge Ⅱ". 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) **40**: 5–57. MR 498551. Zbl 0219.14007.
2. ↑  Brylinski, Jean-Luc (1993). 《Loop Spaces, Characteristic Classes and geometric Quantization》 (영어). Birkhäuser.

* Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988). 〈Deligne–Beilinson cohomology〉 (PDF). 《Beilinson’s conjectures on special values of *L*-functions》. Perspectives in Mathematics (영어) **4**. Academic Press. 43–91쪽. ISBN 0-12-581120-9.
* Bunke, Ulrich (2012). "Differential cohomology" (영어). arXiv:1208.3961. Bibcode:2012arXiv1208.3961B.