수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 **닫힘**(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 **폐포**(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 {\displaystyle \operatorname {cl} X} 또는 {\bar {X}}.

정의
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### 닫힘

다음이 주어졌다고 하자.

* 집합 S
* {\displaystyle S\cup \{\bullet \}} 위의 '{\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}항 관계' {\displaystyle R\subset (S\cup \{\bullet \})^{\times ({\operatorname {Ord} }+1)}}. 단, 임의의 r\in R에 대하여, {\displaystyle r\_{\operatorname {Ord} }\in S}이며, {\displaystyle r\_{\alpha }\not \in S\implies r\_{\beta }\not \in S\forall \alpha <\beta <\operatorname {Ord} }
	+ 특히, {\displaystyle \alpha <\operatorname {Ord} }에 대하여, S 위의 \alpha +1항 관계를 위 조건 및 {\displaystyle \min\{\beta \colon r\_{\beta }\not \in S\}=\alpha }를 만족시키는 '{\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}항 관계'로 여길 수 있다. 또한, \alpha 항 연산은 자연스럽게 \alpha +1항 관계로 여길 수 있다.

만약 S의 부분 집합 T\subset S가 다음 조건을 만족시키면, T가 **R에 대하여 닫혀있다**(영어: closed under R)고 한다.

* 임의의 {\displaystyle (t\_{\alpha })\_{\alpha <\operatorname {Ord} }\subset T\cup \{\bullet \}} 및 {\displaystyle t\_{\operatorname {Ord} }\in S}에 대하여, {\displaystyle (t\_{\alpha })\_{\alpha \leq \operatorname {Ord} }\in R}이면 {\displaystyle t\_{\operatorname {Ord} }\in T}

보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, {\displaystyle S\cup \{\bullet \}} 위의 '{\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}항 관계'의 집합 {\mathcal R}가 주어졌을 때, T\subset S가 다음 조건을 만족시키면, **{\mathcal R}에 대하여 닫혀있다**(영어: closed under {\mathcal R})고 한다.

* T는 {\displaystyle \bigcup {\mathcal {R}}}에 대하여 닫혀있다.
	+ 즉, 임의의 {\displaystyle R\in {\mathcal {R}}}에 대하여, T는 R에 대하여 닫혀있다.

### 폐포

다음이 주어졌다고 하자.

* 집합 S
* S의 부분 집합들에 대한 성질 P\subset\mathcal P(S)

S의 부분 집합 T\subset S의 P에 대한 **폐포** {\displaystyle \operatorname {cl} \_{P}T}는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

* {\displaystyle T\subset \operatorname {cl} \_{P}T\in P}
* 임의의 {\displaystyle T\subset U\in P}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {cl} \_{P}T\subset U}

폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. P가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, T에 T의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

예
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### 위상수학

위상 공간 X의 부분 집합 Y\subset X가 다음 {\displaystyle |X|+1}항 관계 R에 대하여 닫혀있다면, X의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 {\displaystyle x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{|X|}\in X}에 대하여,

{\displaystyle (x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{|X|})\in R\iff x\_{|X|}\in \operatorname {acc\,pt} \_{2}(\{x\_{\alpha }\}\_{\alpha <|X|})}
여기서 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} \_{2}}는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. X의 부분 집합 Y\subset X에 대하여, 최소 닫힌집합 {\displaystyle Y\subset \operatorname {cl} Y\subset X}를 Y의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 \omega +1항 관계 R에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 {\displaystyle x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{\omega }\in X}에 대하여,

{\displaystyle (x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{\omega })\in R\iff x\_{n}\to x\_{\omega }}
### 대수학

군 G의 부분 집합 H\subset G가 군의 연산 집합 {\displaystyle \{1\_{G},\cdot ,{}^{-1}\}}에 대하여 닫혀있다면, G의 부분군이라고 한다. S\subset G에 대하여, 최소 부분군 {\displaystyle S\subset \langle S\rangle \subset G}를 S로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 K의 부분체 K/L이 K 속에서 L 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, L 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체
K/L의 대수적 폐포 {\displaystyle {\bar {L}}}는 최소 대수적으로 닫힌 체 {\displaystyle K/{\bar {L}}/L}이다. L이 K의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

### 집합론

집합 X가 (모든 집합의 모임 V 위의) 원소 관계 \in 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 X에 대하여, 최소 추이적 집합 {\displaystyle X\subset \operatorname {cl\_{trn}} X\subset V}를 X의 추이적 폐포라고 한다.

집합 S 위의 이항 관계 {\displaystyle R\subset S\times S}가 {\displaystyle S\times S} 위의 일항 관계 {\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset S\times S}에 대하여 닫혀있다면, 즉, {\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset R}이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 {\displaystyle R\subset S\times S}에 대하여, 최소 반사 관계 {\displaystyle R\subset \operatorname {cl\_{ref}} R\subset S\times S}를 R의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.