**크리스토펠 기호**(Christoffel記號, 독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)는 레비치비타 접속의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 공변 미분과 주어진 좌표에 대한 편미분의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.

의의
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리만 다양체 (M,g)를 생각하자. 그렇다면, \nabla g=0이고 꼬임이 없는 유일한 아핀 접속 \nabla 가 존재한다.이를 레비치비타 접속(Levi-Civita connexion)이라고 부른다.

정의
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국소 좌표계 *x**i*, (*i* = 1, 2, ... *n*)가 *n*차원 다양체 *M*위에 주어지고, 그 계량 텐서가 g일 때, 그 접벡터

{\displaystyle \mathrm {e} \_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}=\partial \_{i},\quad i=1,2,\dots ,n}
에 의해 접공간 *M*의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 기저가 정의된다.

### 제1종 크리스토펠 기호

**제1종 크리스토펠 기호**는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어

{\displaystyle \Gamma \_{cab}=g\_{cd}\Gamma ^{d}{}\_{ab}\,,}
처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써,

{\displaystyle \Gamma \_{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g\_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g\_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g\_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,(g\_{ca,b}+g\_{cb,a}-g\_{ab,c})={\frac {1}{2}}\,\left(\partial \_{b}g\_{ca}+\partial \_{a}g\_{cb}-\partial \_{c}g\_{ab}\right)\,.}
처럼 정의될 수도 있다.

다른 표기 방법으로

{\displaystyle \Gamma \_{cab}=[ab,c].}
로 표기하기도 한다.

{\displaystyle [ab,c]=[ba,c]}라는 점은 주목할 필요가 있다.

### 제2종 크리스토펠 기호

**제2종 크리스토펠 기호**는 한 좌표 기저에서 레비치비타 접속의 접속 계수이며, 이 접속은 비틀림이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해,

{\displaystyle \Gamma ^{k}{}\_{ij}=\Gamma ^{k}{}\_{ji}\,}
이 성립한다. 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다.

다시 말해서 제2종 크리스토펠 기호 {\displaystyle \Gamma ^{k}{}\_{ij}}는 (때로는 {\displaystyle \Gamma \_{ij}^{k}} 또는 {\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}}로도 표기한다)

{\displaystyle \nabla \_{i}\mathrm {e} \_{j}=\Gamma ^{k}{}\_{ij}\mathrm {e} \_{k}}
가 성립되는 유일한 접속으로 정의되는데 여기서 {\displaystyle \nabla \_{i}} *M*에서 좌표방향 {\displaystyle \mathrm {e} \_{i}}로의 레비치비타 접속이며, 이것은 {\displaystyle \nabla \_{i}\equiv \nabla \_{\mathrm {e} \_{i}}}일 때를 뜻하고, {\displaystyle \mathrm {e} \_{i}=\partial \_{i}}는 국소 좌표의 홀로노믹 기저이다.

크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서 {\displaystyle g\_{ik}\ }에 의해 표현될 수 있는데,

{\displaystyle 0=\nabla \_{\ell }g\_{ik}={\frac {\partial g\_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g\_{mk}\Gamma ^{m}{}\_{i\ell }-g\_{im}\Gamma ^{m}{}\_{k\ell }={\frac {\partial g\_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-2g\_{mk}\Gamma ^{m}{}\_{i\ell }}
이다.

더 짧은 표기법으로, 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여

{\displaystyle 0=\,g\_{ik;\ell }=g\_{ik,\ell }-g\_{mk}\Gamma ^{m}{}\_{i\ell }-g\_{im}\Gamma ^{m}{}\_{k\ell }}
와 같이도 쓴다.

아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데,

{\displaystyle \Gamma ^{i}{}\_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g\_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g\_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g\_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g\_{mk,\ell }+g\_{m\ell ,k}-g\_{k\ell ,m})}
이고, 여기서 {\displaystyle (g^{jk})}는 {\displaystyle (g\_{jk})\,}의 역행렬이고, 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하면 {\displaystyle g^{ji}g\_{ik}=\delta ^{j}{}\_{k}\ }인 것이다.

크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다. 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다.

역사
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독일의 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Ludvigsen, Malcolm (1999), 《General Relativity: A Geometrical Approach》, 88쪽
2. 1 2  Christoffel, E.B. (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten Grades", 《Jour. fur die reine und angewandte Mathematik》, B. 70: 46–70
3. 1 2 3 4  Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). 《Vector and Tensor Analysis》. 480쪽.
4. ↑  Struik, D.J. (1961). 《Lectures on Classical Differential Geometry》 fir publish in 1988 Dover판. 114쪽.
5. 1 2  Bishop, R.L.; Goldberg (1968), 《Tensor Analysis on Manifolds》, 241쪽
6. ↑  .
7. ↑  (Kreyszig 1991) harv error: 대상 없음: CITEREFKreyszig1991 (help), page 141
8. ↑  Christoffel, Elwin Bruno (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik B》 (독일어) **70**: 46-70. doi:10.1515/crll.1869.70.46.
9. ↑  O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1997년 4월). "Elwin Bruno Christoffel". 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.