군론에서, **특성 단순군**(特性單純群, 영어: characteristically simple group)은 특성 부분군이 자명 부분군과 자기 자신밖에 없는 군이다.

정의
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군 G가 {\displaystyle \{1\_{G}\}}와 G가 아닌 특성 부분군을 갖지 않는다면, G를 **특성 단순군**이라고 한다.

성질
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유한군 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* G는 특성 단순군이다.
* G는 유한 개의 같은 단순군 N의 직접곱 {\displaystyle N^{\times n}}과 동형이다.

증명:

우선, G가 유한 특성 단순군이라고 하고, G가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 {\displaystyle G\neq \{1\_{G}\}}이라고 하자. G의 임의의 극소 정규 부분군 N을 취하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}에 대하여, \phi (N) 역시 극소 정규 부분군이다. 이제 M이

{\displaystyle \{\phi \_{1}(N)\times \cdots \times \phi \_{k}(N)\leq G\colon \phi \_{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi \_{i}(N)\cap \phi \_{1}(N)\cdots \phi \_{i-1}(N)\phi \_{i+1}(N)\cdots \phi \_{k}(N)=\{1\_{G}\}\}}
의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle M\vartriangleleft G}이며, 임의의 {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}에 대하여, {\displaystyle \phi (N)\cap M\vartriangleleft G}이다. 따라서 {\displaystyle \phi (N)\cap M=\{1\_{G}\}}이거나 {\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}이며, M의 극대성에 의하여 {\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}이다. 즉,

{\displaystyle M=\prod \_{\phi (N)}\phi (N)}
이며, M은 G의 특성 부분군이다. G는 특성 단순군이므로 {\displaystyle G=M}이다. 또한, 임의의 {\displaystyle H\vartriangleleft N}에 대하여, {\displaystyle H\vartriangleleft G}이므로, N의 극소성에 의하여 {\displaystyle H=\{1\_{G}\}}이거나 {\displaystyle H=N}이다. 즉, N은 단순군이며,

{\displaystyle G=\prod \_{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod \_{\phi (N)}N}
이다.

반대로, 임의의 단순군 N 및 음이 아닌 정수 n에 대하여, {\displaystyle N^{\times n}}이 특성 단순군임을 보이자. 만약 N이 아벨 군이라면, |N|은 소수이며, N에 체의 구조를 부여할 수 있고, {\displaystyle N^{\times n}}을 이 체에 대한 n차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우 {\displaystyle N^{\times n}}의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, {\displaystyle N^{\times n}}은 특성 단순군이다.

만약 N이 아벨 군이 아니라면, n개의 자연스러운 단사 군 준동형

{\displaystyle \imath \_{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})}
의 상을 {\displaystyle \imath \_{i}(N)=N\_{i}}로 표기하자. 그렇다면 {\displaystyle N^{\times n}}은 다음과 같은 내직접곱과 같다.

{\displaystyle N^{\times n}=N\_{1}\times \cdots \times N\_{n}}
우선 임의의 {\displaystyle H\vartriangleleft N^{\times n}}를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.

{\displaystyle H=N\_{i\_{1}}\times \cdots \times N\_{i\_{k}}\qquad (1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{k}\leq n)}
이는 임의의 {\displaystyle g\in H} 및 {\displaystyle g\_{i}\in N\_{i}} 및 {\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}에 대하여, 만약 {\displaystyle g=g\_{1}\cdots g\_{n}}이며, {\displaystyle g\_{j}\neq 1\_{N^{\times n}}}일 경우, {\displaystyle N\_{j}\subseteq H}임을 보이는 것으로 족하다. {\displaystyle N\_{j}}는 비아벨 단순군이므로 {\displaystyle \operatorname {Z} (N\_{j})=\{1\_{N^{\times n}}\}}이며, 특히 {\displaystyle g\_{j}\not \in \operatorname {Z} (N\_{j})}이다. 따라서,

{\displaystyle 1\_{N^{\times n}}\neq g\_{j}hg\_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H}
인 {\displaystyle h\in N\_{j}}가 존재하며,

{\displaystyle N\_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g\_{j}hg\_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H}
이다. (여기서 {\displaystyle \langle \operatorname {Cl} (g\_{j}hg\_{j}^{-1}h^{-1})\rangle }는 {\displaystyle g\_{j}hg\_{j}^{-1}h^{-1}}의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제 H가 {\displaystyle N^{\times n}}의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상

{\displaystyle H=N\_{1}\times \cdots \times N\_{k}\qquad (1\leq k<n)}
이라고 하자. 다음과 같은 {\displaystyle N^{\times n}}의 자기 동형 사상을 생각하자.

{\displaystyle \phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}}
{\displaystyle \phi \colon (g\_{1},g\_{2},\dots ,g\_{n})\mapsto (g\_{n},g\_{1},\dots ,g\_{n-1})\qquad (g\_{i}\in N)}
그렇다면

{\displaystyle \phi (H)=N\_{2}\times \cdots \times N\_{k+1}\neq H}
이며, 이는 모순이다. 즉, {\displaystyle N^{\times n}}은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.

예
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유한 개의 소수 p 크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다.

임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다.