군론에서 **켤레류**(-類, 영어: conjugacy class)는 켤레 원소를 취하는 군의 작용의 궤도이다.

정의
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군 G의 원소 g\in G의 **켤레류**는 다음과 같다.:196

{\displaystyle \operatorname {Cl} (g)=\{hgh^{-1}\colon h\in G\}\subseteq G}
즉, 이는 G의 자기 자신 위의 켤레 작용

{\displaystyle G\times G\to G}
{\displaystyle (h,g)\mapsto hgh^{-1}}
의 궤도이다. 즉 G 위의 켤레 관계

{\displaystyle g\sim g'\iff \exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}}
의 동치류이다. **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): G**
의 모든 켤레류들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)}로 표기하자.

만약 G가 위상군이라면, {\displaystyle \operatorname {Cl} (G)}는 그 몫공간이므로 자연스러운 위상 공간 구조를 가진다.

성질
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### 켤레류의 크기

유한군 G의 원소 g\in G의 켤레류의 집합의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다.

{\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(g)|={\frac {|G|}{|{\operatorname {C} }\_{G}(g)|}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(-)}는 중심화 부분군이다.

### 켤레류의 수

유한군 G의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리에 따라 다음과 같다.

{\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(G)|={\frac {1}{|G|}}\sum \_{g\in G}|{\operatorname {C} }\_{G}(g)|}
여기서 {\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(-)}는 중심화 부분군이다.

### 켤레류 방정식

유한군 G의 켤레류들은 G의 분할을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 **켤레류 방정식**(-類方程式, 영어: class equation)이라고 한다.

{\displaystyle |G|=\sum \_{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}|{\operatorname {Cl} }(g)|=|G|\sum \_{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }\_{G}(g)|}}=|{\operatorname {Z} }(G)|+|G|\sum \_{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)\setminus \{\{c\}\colon c\in \operatorname {Z} (G)\}}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }\_{G}(g)|}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(-)}는 중심화 부분군이며, {\displaystyle \operatorname {Z} (-)}는 군의 중심이다.

특히,

{\displaystyle 1=\sum \_{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }\_{G}(g)|}}}
이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 이러한 이집트 분수 분해는

{\displaystyle 1=\underbrace {{\frac {1}{|G|}}+{\frac {1}{|G|}}+\dotsb +{\frac {1}{|G|}}} \_{|G|}}
이다.

### 콤팩트 리 군

G가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, G는 항상 극대 원환면 {\displaystyle T\leq G}을 가지며, 모든 원소 g\in G는 T의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 g\in G의 켤레류와 T의 교집합은 T의 어떤 원소 t\in T의 바일 군 궤도와 같다.

{\displaystyle \forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname {Cl} (g)\cap T=\operatorname {Weyl} (T,G)\cdot t}
다시 말해, G의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드

{\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong T/\operatorname {Weyl} (T,G)}
와 표준적인 일대일 대응을 갖는다.

특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다.

예
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### 아벨 군

아벨 군 G의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합이며, 따라서

{\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong G}
이다.

### 대칭군

n차 대칭군 \operatorname {Sym} (n)을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자.

{\displaystyle (a\_{1,1}\dotsm a\_{1,n\_{1}})(a\_{2,1}\dotsm a\_{2,n\_{2}})\dotsb (a\_{k,1}\dotsm a\_{k,n\_{k}})}
즉,

* k개의 순환이 존재한다.
* 각 순환의 길이는 {\displaystyle n\_{1},n\_{2},\dotsc ,n\_{k}}이다. 편의상 {\displaystyle 1\leq n\_{1}\leq n\_{2}\leq \dotsc \leq n\_{k}}이며 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i=1}^{k}n\_{i}=n}이라고 하자. 즉, {\displaystyle (n\_{1},n\_{2},\dotsc ,n\_{k})}는 n의 자연수 분할을 이룬다.

그렇다면, 대칭군의 두 원소 g, h에 대하여, 만약

{\displaystyle k(g)=k(h)}
{\displaystyle n\_{i}(g)=n\_{i}(h)\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,k(g)\}}
일 경우, 두 원소가 같은 **순환형**(영어: cycle type)이라고 하자.

그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Cl} (\operatorname {Sym} (n))\cong \operatorname {Part} (n)}
여기서 우변은 n의 자연수 분할들의 집합이다.

자연수 분할 {\displaystyle (n\_{1},n\_{2},\dotsc ,n\_{k})}이 주어졌을 때,

{\displaystyle a(p)=|\{i\in \{1,\dotsc ,k\}\colon p=n\_{i}\}|\in \mathbb {N} }
를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할에 대응하는 켤레류의 크기는

{\displaystyle {\frac {n!}{\prod \_{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}}}
이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군의 크기는

{\displaystyle \prod \_{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}
이다.

### SU(2)

리 군 \operatorname {SU} (2)를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구 \mathbb {S} ^{3}와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 (1차원) 원군 {\displaystyle T=\operatorname {U} (1)}이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군

{\displaystyle T=\left\{{\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}\colon \theta \in \mathbb {R} \right\}\leq \left\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )\colon \det M=1,\;M^{\dagger }M=1\_{2\times 2}\right\}=\operatorname {SU} (2)}
으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 대칭군이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle \theta \mapsto -\theta }
즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원 {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합과 행렬식은 유함수이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉,

{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}=2\cos \theta }
이므로, 대각합의 값은 {\displaystyle [-2,+2]}의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 {\displaystyle \pm 2}가 되는 경우, 즉 {\displaystyle \theta \in \{0,\pi \}}인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합 \{\pm 1\_{2\times 2}\}이다.

### 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군

켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.:Table 1

| 켤레류의 수 | 군 | 이집트 분수 분해 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 자명군 1 | {\displaystyle {\tfrac {1}{1}}} |
| 2 | 2차 대칭군 \operatorname {Sym}(2) | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}} |
| 3 | 3차 교대군 | {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}} |
| 3차 대칭군 \operatorname {Sym}(3) | {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}} |
| 4 | 4차 교대군 {\displaystyle \operatorname {Alt} (4)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}} |
| 5차 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (5)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{2}}} |
| 4차 순환군 \operatorname {Cyc}(4) | {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}} |
| 클라인 4원군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)^{2}} |
| 5 | 5차 순환군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (5)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}} |
| 4차 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}} |
| 사원수군 Q\_{8} |
| 5차 교대군 {\displaystyle \operatorname {Alt} (5)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{60}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}} |
| 4차 대칭군 \operatorname{Sym}(4) | {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}} |
| 7차 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (7)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{14}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{2}}} |
| 프로베니우스 군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (5)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{20}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}} |
| 프로베니우스 군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (3)} | {\displaystyle {\tfrac {1}{21}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}} |

정확히 n개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A73043)

1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …

참고 문헌
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1. ↑  Carmina, A. R.; Carmina, R. D. "The influence of conjugacy class sizes on the structure of finite groups: a survey" (PDF) (영어).
2. ↑  Artin, Michael (2011). 《Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-241377-0.
3. ↑  López, Antonio Vera; López, Juan Vera (1985년 12월). "Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes". 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) (4): 305–338. doi:10.1007/BF02764723. ISSN 0021-2172.