수학에서 **쌍곡선 함수**(双曲線函數, 영어: hyperbolic function)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다.

종류
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sinh, cosh, tanh
csch, sech, coth
삼각함수(*원함수*)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

* 쌍곡사인(hyperbolic sine)

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!}
* 쌍곡코사인(hyperbolic cosine)

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!}
* 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent)

{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}}
{\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!}
* 쌍곡코시컨트(hyperbolic cosecant)

{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!}
* 쌍곡시컨트(hyperbolic secant)

{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!}
* 쌍곡코탄젠트(hyperbolic cotangent)

{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}}
{\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!}

삼각함수와의 관계
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2차원 평면상에서 매개변수 t를 사용한 자취 {\displaystyle (\cos t,\,\sin t)}가 단위원 x^{2}+y^{2}=1을 그리는 것처럼, {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)}은 쌍곡선 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다.

{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,}
그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수가 아니라는 차이가 있다.

매개변수 t가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)에 대응한다. 쌍곡각은 x축과 쌍곡선, 그리고 {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)}위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다.

{\displaystyle \cosh \,x}는 짝함수 즉 y축에 대해 대칭이며, {\displaystyle \cosh 0\,=\,1}이다.

{\displaystyle \sinh \,y}는 홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며, {\displaystyle \sinh 0\,=\,0}이다.

쌍곡선 함수는 삼각함수 공식과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 **오스본 법칙**에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다.

* 덧셈 정리
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}
* 반각 공식
{\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}
{\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}

역함수
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쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arccoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\end{aligned}}}

역쌍곡함수의 미분
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{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

역쌍곡함수의 부정적분
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{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arcsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arccosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\operatorname {arctanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arccsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arcsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\end{aligned}}}
*C*는 적분상수이다.

복소수와 쌍곡선 함수
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지수함수가 모든 복소수를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh z와 cosh z는 복소평면 위 어떤 점에서도 해석적인 전해석 함수(entire function)이다.

삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 오일러 공식으로 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}
{\displaystyle \cosh(ix)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)}
{\displaystyle \sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin(x)}
{\displaystyle \tanh(ix)=i\tan(x)\,}
{\displaystyle \sinh(x)=-i\sin(ix)\,}
{\displaystyle \cosh(x)=\cos(ix)\,}
{\displaystyle \tanh(x)=-i\tan(ix)\,}
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=i\arcsin(-ix)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=i\arccos(x)}
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=i\arctan(-ix)}

테일러 급수
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{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, e^{x}와 {\displaystyle e^{-x}}의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다.