일반위상수학에서 **칸토어 교점 정리**(Cantor交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다.

정의
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위상 공간 X 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 {\mathcal K}가 주어졌다고 하자. **칸토어 교점 정리**에 따르면, {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }인 것은 {\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }인 것과 동치이다.:428, Lemma A.2.2

**증명:**

{\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }이라면 자명하게 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }이다. 반대로 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }이라고 하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle K\_{0}\in {\mathcal {K}}}에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

{\displaystyle \bigcap \_{L\in {\mathcal {K}}}^{L\subseteq K\_{0}}K=\bigcap \_{K,L\in {\mathcal {K}}}^{K\supseteq L\subseteq K\_{0}}K=\bigcap \_{K\in {\mathcal {K}}}K=\varnothing }
이다. 따라서

{\displaystyle \{K\_{0}\setminus L\colon L\in {\mathcal {K}},\;L\subseteq K\_{0}\}}
는 K\_{0}의 열린 덮개이다. 그런데 K\_{0}는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

{\displaystyle \{K\_{0}\setminus L\_{1},\dots ,K\_{0}\setminus L\_{n}\}}
를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 {\displaystyle \{L\_{1},\dots ,L\_{n}\}}의 하계

{\displaystyle L\in {\mathcal {K}}}
{\displaystyle L\subseteq L\_{1}\cap \cdots \cap L\_{n}}
를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

{\displaystyle L\_{1}\cap \cdots \cap L\_{n}=\varnothing }
이므로 {\displaystyle L=\varnothing }이다.

특히, X 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

{\displaystyle K\_{0}\supseteq K\_{1}\supseteq K\_{2}\supseteq \cdots }
은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 X가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합 X 속의 부분 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다.

* 임의의 유한 부분 집합 {\displaystyle S\_{1},S\_{2},\dots ,S\_{n}\in {\mathcal {S}}}에 대하여, {\displaystyle S\_{1}\cap S\_{2}\cap \cdots \cap S\_{n}\neq \varnothing }

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X는 콤팩트 공간이다.
* X 속의 임의의 닫힌집합들의 족 {\mathcal S}가 유한 교차성을 만족시킨다면, {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\neq \varnothing }이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

### 차분한 공간

호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 X 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 {\mathcal K}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:302, Corollary 2:381, Theorem 2.28

* {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}} 역시 콤팩트 포화 집합이다.
* 만약 U\subseteq X가 열린집합이며, {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U}라면, {\displaystyle K\subseteq U}인 {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}가 존재한다.
* 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }라면, {\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }이다.

증명:

임의의 {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}의 열린 근방 필터 {\displaystyle {\mathcal {U}}(K)}는 열린집합 격자 \operatorname {Open}(X)의 스콧 열린 필터이다. {\mathcal K}가 하향 집합이므로,

{\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup \_{K\in {\mathcal {K}}}{\mathcal {U}}(K)}
역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

{\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}=\bigcap \_{K\in {\mathcal {K}}}\bigcap {\mathcal {U}}(K)=\bigcap {\mathcal {K}}}
는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, {\mathcal F}는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {K}}\right)}
만약 U가 열린집합이며, {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U}라면, {\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}이므로, U는 어떤 {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}의 열린 근방이다. 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }이라면, U=\varnothing 는 어떤 {\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}의 열린 근방이며, 이 경우 {\displaystyle K=\varnothing }이다.

T1 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T1 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

역사
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게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

참고 문헌
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1. ↑  de Vries, Jan (2014). 《Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) **59**. ISBN 978-3-11-034240-6. 2016년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 14일에 확인함.
2. ↑  Keimel, Klaus; Paseka, Jan (1994). "A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **120** (1): 301–303. doi:10.2307/2160199. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160199. MR 1195723. Zbl 0789.54030.
3. ↑  Martin, Keye (1999). "Nonclassical techniques for models of computation" (PDF). 《Topology Proceedings》 (영어) **24** (Summer): 375–405. ISSN 0146-4124. MR 1876383. Zbl 1029.06501. 2021년 5월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2022년 5월 18일에 확인함.