추상대수학에서 **요르단 삼항 대수**(Jordan三項代數, 영어: Jordan triple algebra)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 "등각 변환"으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 **칸토르-쾨허-티츠 구성**(Кантор-Koecher-Tits構成, 영어: Kantor–Koecher–Tits construction)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.

정의
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### 요르단 삼항 대수

표수가 2가 아닌 체 K 위의 **요르단 삼항 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K-벡터 공간 A
* K-선형 변환 {\displaystyle \langle -\rangle \colon A\otimes \_{K}A\otimes \_{K}A\to A}, {\displaystyle x\otimes y\otimes z\mapsto \langle xyz\rangle }

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* (대칭성) {\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle z,y,x\rangle }
* {\displaystyle \langle u,v,\langle x,y,z\rangle \rangle -\langle x,y,\langle u,v,z\rangle \rangle =\langle \langle u,v,x\rangle ,y,z\rangle -\langle x,\langle y,u,v\rangle ,z\rangle }

성질
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### 요르단 대수 → 요르단 3항 대수

요르단 대수 {\displaystyle (A,\star )}가 주어졌을 때

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\star y)\star z+x\star (y\star z)-y\star (x\star z)}
를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

### 리 대수 → 요르단 3항 대수

K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}} 가 {\displaystyle \{-1,0,+1\}} 값의 등급을 갖는다고 하자.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}\_{0}\oplus {\mathfrak {g}}\_{1}}
{\displaystyle [{\mathfrak {g}}\_{0},{\mathfrak {g}}\_{i}]\subseteq {\mathfrak {g}}\_{i}}
{\displaystyle [{\mathfrak {g}}\_{1},{\mathfrak {g}}\_{1}]=[{\mathfrak {g}}\_{-1},{\mathfrak {g}}\_{-1}]=0}
{\displaystyle [{\mathfrak {g}}\_{1},{\mathfrak {g}}\_{-1}]\subseteq {\mathfrak {g}}\_{0}}
또한, K-선형 변환 {\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* \tau 는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
* (대합) {\displaystyle \tau (\tau (x))=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}
* (등급과의 호환) {\displaystyle \tau (x)\in {\mathfrak {g}}\_{-i}\forall i\in \{0,\pm 1\},\;x\in {\mathfrak {g}}\_{i}}

그렇다면,

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle =[[x,\tau (y)],z]}
를 정의하면 {\mathfrak {g}}는 요르단 3항 대수를 이룬다.

### 요르단 3항 대수 → 리 대수

이제, 요르단 3항 대수 {\displaystyle (A,\langle -,-,-\rangle )}가 주어졌을 때, 다항 함수 {\displaystyle A\to A}의 결합 대수

{\displaystyle A\otimes K[A]}
를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 {\displaystyle [a,b]=ab-ba}만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 K-벡터 공간을 정의하자.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{-1}=\{x\mapsto a\colon a\in A\}=(A\otimes \_{K}K[A])\_{0}}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}=\operatorname {Span} \_{K}\{x\mapsto \langle a,b,x\rangle \colon a,b\in A\}\subseteq (A\otimes \_{K}K[A])\_{1}}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}=\left\{x\mapsto -{\frac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle \colon u\in A\right\}\subseteq (A\otimes \_{K}K[A])\_{2}}
이는 A 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 {\displaystyle A\otimes \_{K}K[A]}의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다.
즉, 이는 K-리 대수를 이루며, 또한 {\displaystyle \{-1,0,+1\}} 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는

{\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}\_{i}\mapsto {\mathfrak {g}}\_{-i}}
{\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto u)\in {\mathfrak {g}}\_{-1})\mapsto ((x\mapsto -{\tfrac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}\_{1}}
{\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}\_{0})\mapsto ((x\mapsto \langle \tau (u),\tau (v),x\rangle )\in {\mathfrak {g}}\_{0})}
와 같은 대합이 주어진다.

이를 A에 대응되는 **칸토르-쾨허-티츠 구성**이라고 하며, {\displaystyle {\mathfrak {con}}(A)}로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 {\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}(A)}로 표기한다.

만약 A가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형

{\displaystyle K\to {\mathfrak {con}}\_{0}(A)}
{\displaystyle \alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)}
이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를

{\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}'({\mathfrak {A}})={\frac {{\mathfrak {con}}\_{0}}{K}}}
로 표기하자. 사실, {\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}(A)}의 모든 원소는

{\displaystyle T={\frac {1}{\dim \_{K}A}}\operatorname {tr} (T)+\left(T-{\frac {1}{\dim \_{K}A}}\operatorname {tr} (T)\right)}
와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합

{\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}(A)=K\oplus {\mathfrak {con}}'\_{0}(A)}
을 이룬다.

또한, A가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 {\displaystyle \star }을 보존하는 미분 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}가 존재하며, 이는 {\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}'(A)}의 부분 대수를 이룬다.

{\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\subseteq {\mathfrak {con}}\_{0}'(A)}

예
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요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.:§§4–5

| 요르단 대수 A | {\displaystyle {\mathfrak {con}}(A)} | {\displaystyle {\mathfrak {con}}\_{0}'(A)} | {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\mathbb {R} } | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )={\mathfrak {o}}(1,2)} | 0 | 0 |
| {\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2+\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} )} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1+\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} )} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1+\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} ;\mathbb {R} )} |
| {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )} (앨버트 대수) | {\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{7(-25)}} (E₇ 리 대수) | {\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{6(-26)}} (E₆ 리 대수) | {\mathfrak f}\_{4} (콤팩트 F₄ 리 대수) |
| {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {H} )} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}^{\*}(12)} | {\displaystyle {\mathfrak {su}}^{\*}(6)={\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {H} )} | {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(6)={\mathfrak {su}}(3;\mathbb {H} )} |
| {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {C} )} | {\displaystyle {\mathfrak {su}}(3,3)} | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )} | \mathfrak{su}(3) |
| {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {R} )} | {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )} | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)} |

여기서

* {\displaystyle \operatorname {H} (n,\mathbb {K} )}는 K 계수의 n\times n 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
* {\displaystyle \mathbb {K} }는 실수체 (\mathbb {R} ), 복소수체 (\mathbb {C} ), 사원수 대수 ({\mathbb H}), 팔원수 대수 ({\mathbb O}) 가운데 하나이다.
* {\displaystyle {\mathfrak {con}}(\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))}의 {\displaystyle \{0,\pm 1\}} 등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 {\displaystyle 2+\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} \in \{3,4,6,10\}}차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.

역사
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칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠 · 이사이 리보비치 칸토르(러시아어: Исай Львович Кантор, 1936~2006) · 막스 쾨허(독일어: Max Koecher, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Palmkvist, Jakob (2008). "A generalization of the Kantor-Koecher-Tits construction" (PDF). 《Journal of generalized Lie theory and applications》 (영어) **2** (3): 226–230.
2. ↑  Sudbery, A. (1984년 4월). "Division algebras, (pseudo)orthogonal groups and spinors". 《Journal of physics A》 (영어) **17** (5): 939–955. Bibcode:1984JPhA...17..939S. doi:10.1088/0305-4470/17/5/018.
3. ↑  Tits, Jacques (1962). "Une classe d’algèbres de Lie en relation avec les algèbres de Jordan". 《Indagationes Mathematicae》 (프랑스어) **24**: 530–535. MR 0146231.
4. ↑  Кантор, Исай Львович (1964). "Классификация неприводимых транзитивно-дифференциальных групп". 《Доклады академии наук Союза Советских Социалистических Республик》 (러시아어) **158** (6): 1271–1274. ISSN 0002-3264. MR 0175941. Zbl 0286.17011.
5. ↑  Koecher, Max (1967). "Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras Ⅰ". 《American Journal of Mathematics》 (영어) **89**: 787–816. doi:10.2307/2373242. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373242. MR 0214631.