드루드 모형의 전자 (청색) 지속적으로 정적이고 무거운 격자의 이온들 사이에서 운동하고 있다(적색).
응집물질물리학에서 **드루드 모형**(Drude model)은 도체를 다루는 간단한 모형이다. 도체 안의 자유 전자가 무한히 단단한 양이온에 부딪치면서 움직이는 것으로 가정한다.

드루드 모형은 전자의 운동 방정식에 관한 두 가지 중요한 결과를 도출해 낸다.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},}
그리고 전류 밀도 J와 전기장 E의 선형관계를 이용하여,

{\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}
여기서 t는 시간, p, q, n, m, 그리고 \tau 는 각각 전자의 운동량, 전하, 밀도, 질량 그리고 이온사이에 전자가 충돌하는데 걸리는 평균 시간이다. 뒤에 있는 방정식은 특별히 더 중요한데, 이 식으로부터 옴의 법칙이 왜 성립하는지를 유도해 낼 수 있다.

역사
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1900년대에 폴 드루드에 의해 처음 제안되었다. 1905년 헨드릭 로런츠는 **드루드-로렌츠 모형**으로 불리는, 보다 정확한 모형을 제안 하였다. 그 후 1933년 한스 베테와 아르놀트 조머펠트에 의해 양자역학이 반영된 결과로 드루드 모형은 확장되었다.

설명
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### 직류 전류

드루드 모형을 가장간단히 분석해 보려면 일단 전기장 \mathbf{E}를 균일하고 일정하다고 가정해야 한다. 그리고 열적 전자의 속도는 전자가 이온간 충돌평균시간인 \tau  안에 미소의 운동량{\displaystyle d\mathbf {p} } 축적하기에 충분히 빠르다고 가정하자.

이때 전자는 \tau 의 시간동안 지난 충돌로부터 운동량을 축적하게 되고 미소 운동량의 변화량은

{\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}
지난 충돌동안, 이 전자는 앞으로 되 튀긴것 같이 뒤로 튕겨 이전에 전자의 운동량에 기여된 량은 상쇄된다. 따라서

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}
이를 치환하여

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}
{\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}
이전에 언급한 옴의 법칙의 결과를 이용하여 아래와 같이 표현 할 수 있다.

{\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}
### 드루드 모형에 따른 분산

매질이 절연체일 때 전자는 결합력 때문에 분자에 붙어 있으므로, 전자가 상수 k인 용수철 끝에 달린 것이라고 생각한다면 변위 y, 전자 질량 m, 고유진동수{\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}이라고 할 때, 이 전자가 받는 전기장은

{\displaystyle {\vec {E}}=E\_{0}{\hat {y}}e^{i(kx-\omega t)}}
이므로 위치에 따른 전자의 방정식은 아래와 같이 나타난다.

{\displaystyle {\ddot {y}}=-\sigma {\dot {y}}-\omega \_{0}^{2}y+{{E} \over {m}}}
이때 {\displaystyle \omega \_{0}^{2}=k/m}이다. 이때 전기장을

{\displaystyle E=E\_{0}\exp(-i\omega t)}
라고 놓으면 위의 방정식을 풀 수 있다.

이에 따라 y에 대해 식을 풀면 y의 값은 아래와 같다.

{\displaystyle y\_{0}={{q/m} \over {(\omega \_{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E\_{0}}
이때 쌍극자 모멘트는 위에서 구한 y값에 q를 곱한 값이므로 쌍극자 모멘트는 아래와 같다.

{\displaystyle P=qy\_{0}={{q^{2}/m} \over {(\omega \_{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E}
방금까지는 전자에 속박되어 있는 하나의 전자에 대해서만 공식을 전개했지만, 일반적인 원자내에 있는 전자에 대해 공식을 적용시키면 다음과 같다.
{\displaystyle P={{Nq^{2}} \over {m}}\Sigma g\_{j}{1 \over {(\omega \_{j}^{2}-\omega ^{2})-ir\_{j}\omega )}}E\_{0},\Sigma g\_{j}=Z}

여기서 N은 단위부피방 분자의 개수이고, Z는 분자당 전자의 개수, g\_{j}는 진동수 {\displaystyle \omega \_{j}}를 가지는 분자당 전자의 개수, 그리고 \sigma \_{j}는 **감쇠 인자**(damping factor)이다.

이제, 전기장 {\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon \_{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=\varepsilon {\vec {E}}} 이므로, \varepsilon 에 대하여 식을 전개할 수 있다.

{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \_{0}[1+{\frac {Nq^{2}}{m\varepsilon \_{0}}}\sum {\frac {f\_{j}}{(\omega \_{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma \_{j}\omega }}]}
{\displaystyle k={\sqrt {\varepsilon \mu \_{0}}}\omega }이다.
일반적으로 ε의 두 번째 항이 작으므로 아래처럼 근사할 수 있다.

{\displaystyle k\cong {\frac {\omega }{c}}[1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon \_{0}}}\sum {\frac {f\_{j}}{(\omega \_{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma \_{j}\omega }}]}
따라서 굴절률은 다음과 같다.

{\displaystyle n\cong [1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon \_{0}}}\sum {\frac {f\_{j}(\omega \_{j}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega \_{j}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma \_{j}\omega }}]}
위 식에서 진동수가 공명 진동수 근처가 되면 굴절률이 증가하였다 감소하는데, 일반적으로 잘 일어나지 않는다. 그리고 진동수가 공명 진동수와 유사할 때를 제외한다면, 진동수가 커질 때 굴절률이 감소한다는 것을 식을 통해서 확인할 수 있다. 진동수가 커질 수록 굴절률 변화에 관여 할 수 있는 요소가 작아짐으로 진동수가 만약 무한으로 커진다면 오직 전자의 진동만이 굴절률에 관여하기 때문에 굴절률은 1에 수렴 한다는 것을 알 수 있다.

드루드 모형의 정확성
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고전적인 드루드 모형은 금속의 직류 및 교류 전도와 홀 효과 그리고 실온에서의 전자에 의한 열전도에 대해 아주 잘 설명한다.