미분기하학에서 **멀티심플렉틱 다양체**(multisymplectic多樣體, 영어: multisymplectic manifold)는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.:Chapter 2 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의
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자연수 k\in \mathbb {N} 가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M 위의 **k차 멀티심플렉틱 구조**(영어: k-multisymplectic structure)

{\displaystyle \omega \in \Omega ^{k+1}(M)}
은 다음과 같은 성질을 갖는 k+1차 닫힌 미분 형식이다.

* 임의의 점 x\in M 및 접벡터 {\displaystyle v\in \mathrm {T} \_{x}M\setminus \{0\}}에 대하여, {\displaystyle v\lrcorner \omega \_{x}\neq 0\in \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M}이다.

여기서

{\displaystyle \lrcorner \colon \mathrm {T} \_{x}M\times \bigwedge ^{k+1}\mathrm {T} ^{\*}M\to \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{\*}M}
는 x에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

**k차 멀티심플렉틱 다양체**(영어: k-multisymplectic manifold) (M,\omega )는 매끄러운 다양체와 그 위의 k차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

성질
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n차원 매끄러운 다양체 위에 k차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

{\displaystyle k+1\leq n\leq {\binom {n}{k}}}
여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 k+1차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M}의 차원이 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}M}의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, {\displaystyle n\geq 6}차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜{\displaystyle n-4}차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.:Remark 2.7

### 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L∞-대수

k차 멀티심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 위의 **해밀토니언 미분 형식**(영어: Hamiltonian differential form)은 다음 조건을 만족시키는 k-1차 미분 형식 {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k-1}(M)}이다.

{\displaystyle \exists X\in \operatorname {Vect} (M)\colon \mathrm {d} \alpha =X\lrcorner \omega }
그 공간을 {\displaystyle \Omega \_{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)}이라고 하자.

이제, 등급 벡터 공간

{\displaystyle L=\bigoplus \_{i=0}^{n-1}L\_{i}}
{\displaystyle L\_{0}=\Omega \_{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)}
{\displaystyle L\_{i}=\Omega ^{k-1-i}(M)\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n-1\}}
위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.:Theorem 3.14

{\displaystyle [\alpha ]=\mathrm {d} \alpha \qquad \forall \alpha \in L,\;\deg \alpha >0}
{\displaystyle [\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{p}]=(-)^{1+\lceil p/2\rceil }(X\_{1}\wedge \dotsb \wedge X\_{p})\lrcorner \omega \qquad (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k}\in \Omega \_{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M),\;\forall i\colon \mathrm {d} \alpha \_{i}=X\_{i}\lrcorner \omega )}

연산
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(서로 다른 차원일 수 있는) 두 k차 멀티심플렉틱 다양체 (M\_1,\omega\_1), (M\_2,\omega\_2)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간

{\displaystyle M=M\_{1}\times M\_{2}}
{\displaystyle \pi \_{i}\colon M\twoheadrightarrow M\_{i}}
에 대하여,

{\displaystyle \omega =\pi \_{1}^{\*}\omega \_{1}+\pi \_{2}^{\*}\omega \_{2}}
를 정의하자. 만약 k\ge1이라면, 이는 M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

**증명**:

임의의 {\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2})\in M}에서, 접벡터

{\displaystyle v=(v\_{1},v\_{2})\in \mathrm {T} \_{x}M=\mathrm {T} \_{x\_{1}}M\_{1}\oplus \mathrm {T} \_{x\_{2}}M\_{2}}
에 대하여,

{\displaystyle v\lrcorner \omega =v\_{1}\lrcorner \omega \_{1}+v\_{2}\lrcorner \omega \_{2}}
이다. k>0이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 {\displaystyle M\_{1}}과 M\_{2}가 각각 k차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 v\_{1}과 v\_{2}가 각각 0인 것이다.

예
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0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

n차원 n-1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 n차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

### 리 군

콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

G의 실수 리 대수를

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)}
라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(영어: string algebra)

{\displaystyle {\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} [1]}
{\displaystyle [x,y,z]=\mu (x,y,z)\in \mathbb {R} [1]\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 G에 대응되는 L₂-대수

{\displaystyle L(G)=\Omega \_{\operatorname {Ham} }^{1}(G)\oplus \Omega ^{0}(G)[1]}
를 생각하자. G는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수

{\displaystyle L(G)^{G}=\Omega \_{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\oplus \Omega ^{0}(G)^{G}[1]}
를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로

{\displaystyle \Omega \_{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\cong {\mathfrak {g}}^{\*}\cong {\mathfrak {g}}}
{\displaystyle \Omega ^{0}(G)^{G}\cong \mathbb {R} }
이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

### 특수 홀로노미

홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2},\omega \_{3}}이 주어졌을 때

{\displaystyle \omega \_{1}\wedge \omega \_{1}+\omega \_{2}\wedge \omega \_{2}+\omega \_{3}\wedge \omega \_{3}}
은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.:Example 2.11

### 공변접다발의 외대수

매끄러운 다양체 M이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 k차 외대수

{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{\*}M}
을 생각하자. 그 위에는 표준적인 k차 미분 형식

{\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M\right)}
{\displaystyle \theta |\_{(x,p)}=p\_{i\_{1}\dotso i\_{k}}\,\mathrm {d} x^{i\_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i\_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M\right)}
이 존재한다. 그 외미분

{\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M\right)}
{\displaystyle \omega |\_{(x,p)}=\mathrm {d} p\_{i\_{1}\dotso i\_{k}}\,\mathrm {d} x^{i\_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i\_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}^{\*}M\right)}
은 {\displaystyle n+\textstyle {\binom {n}{k}}}차원 매끄러운 다양체 {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{\*}M} 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.:Example 2.10

### 시그마 모형

다음이 주어졌다고 하자.

* m차원 매끄러운 다양체 M
* k차원 매끄러운 다양체 \Sigma
* \Sigma  위의 부피 형식 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(\Sigma )}

그렇다면 벡터 다발

{\displaystyle \mathrm {T} \Sigma \otimes \_{M\times \Sigma }\mathrm {T} ^{\*}M}
의 전체 공간의 국소 좌표를

{\displaystyle (x^{\mu },\phi ^{i},\pi \_{i}^{\mu })\qquad (x\in \Sigma ,\;\phi \in M,\;\pi \in \mathrm {T} \_{x}\Sigma \otimes \mathrm {T} \_{x}^{\*}M)}
위에 다음과 같은 구조를 생각하자.

{\displaystyle \theta =\pi \_{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega }
이는 k차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분

{\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi \_{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega }
은 k+1차 미분 형식이며, 만약 k\geq 2일 경우 k차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

**증명**:

임의의

{\displaystyle x\in \Sigma }
\phi \in M
{\displaystyle v^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\in \mathrm {T} \_{x}\Sigma }
{\displaystyle \chi ^{i}{\frac {\partial }{\partial \phi ^{i}}}\in \mathrm {T} \_{\phi }M}
{\displaystyle \nu \_{\mu }^{i}\,\mathrm {d} \pi \_{i}^{\mu }\in \mathrm {T} \_{\phi }M\otimes \mathrm {T} \_{x}^{\*}N}
에 대하여,

{\displaystyle (v,\chi ,\nu )\lrcorner \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi \_{i}^{\mu }\wedge \mathrm {d} \phi ^{i}\wedge v^{\nu }\psi \_{\nu \mu }-\chi ^{i}\mathrm {d} \pi \_{i}^{\mu }\wedge \psi \_{\mu }+\nu \_{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge \psi \_{\mu }}
이다. 여기서 편의상

{\displaystyle \psi \_{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega }
{\displaystyle \psi \_{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner {\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega }
으로 정의하였다. k\geq 2일 경우 {\displaystyle \psi \_{\nu \mu }\neq 0}이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 v와 \chi와 \nu 가 각각 0인 것이다.

이 구성은 \Sigma \to M 시그마 모형의 공변 위상 공간(영어: covariant phase space)으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 {\displaystyle \pi \_{i}^{\mu }}는 일반화 운동량에 해당한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Rogers, Christopher Lee (2011년 6월). 《Higher symplectic geometry》 (영어). 박사 학위 논문. University of California Riverside. arXiv:1106.4068.