실해석학에서 **유계 변동 함수**(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의
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### 1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 {\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }의 **분할**은 다음과 같은 수열이다.

{\displaystyle P=(p\_{0},p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{|P|})\qquad (a=p\_{0}\leq p\_{1}\leq p\_{2}\leq \dotsb \leq p\_{|P|}=b)}
닫힌구간 [a,b]의 모든 분할들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])}라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])=\bigsqcup \_{N=1}^{\infty }\operatorname {Part} \_{N}([a,b])\cong \bigsqcup \_{N=1}^{\infty }\triangle ^{N-1}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Part} \_{N}([a,b])}은 크기 N의 분할들의 공간이며, 이는 N-1차원 단체 {\displaystyle \triangle ^{N-1}}와 동형이다.

임의의 함수

f\colon [a,b]\to {\mathbb R}
및 분할 {\displaystyle P\in \operatorname {Part} ([a,b])}
에 대하여, 변동

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{|P|}\|f(p\_{i})-f(p\_{i-1})\|\in [0,\infty )}
을 정의할 수 있다. f의 **전변동**(全變動, 영어: total variation) {\displaystyle \|f\|\_{\operatorname {BV} }}는 모든 변동들의 상한이다.:530

{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup \_{P\in \operatorname {Part} ([a,b])}\sum \_{i=1}^{|P|}\|f(p\_{i})-f(p\_{i-1})\|\in [0,\infty ]}
임의의 함수 f\colon [a,b]\to {\mathbb R}에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.

* {\displaystyle \operatorname {V} (f)<\infty }
* {\displaystyle f=g-h}인 두 증가 함수 {\displaystyle g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }, {\displaystyle a\leq s\leq t\leq b\implies g(s)\leq g(t),\;h(s)\leq h(t)}가 존재한다.
* 연속 함수의 공간 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])} 위에 유계 작용소 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])\to \mathbb {R} }, {\displaystyle g\mapsto \textstyle \int g\,\mathrm {d} f}를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

이 조건을 만족시키는 함수를 **유계 변동 함수**라고 한다.:530

유계 변동 함수들의 공간을 {\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}로 표기하자. 그렇다면, {\displaystyle (\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} ),\|-\|\_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (-))}는 노름 공간을 이룬다.

### 다차원 유계 변동 함수

유계 열린집합 {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 {\displaystyle f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )}의 **전변동**을 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup \_{\mathbf {g} \in X}\int \_{\Omega }f(x)\nabla \cdot \mathbf {g} (x)\,\mathrm {d} x}
여기서

{\displaystyle X=\operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{\operatorname {L} ^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}))}(0,1))\cap {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}
는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 {\displaystyle \mathbf {g} \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}로 구성된 공간이다.

* 연속 미분 가능 함수이다 (\mathcal C^1).
* 어떤 콤팩트 집합 {\displaystyle K\subseteq \Omega }에 대하여, {\displaystyle \forall x\in \Omega \setminus K\colon \mathbf {g} (x)=\mathbf {0} }이다.
* 노름이 1 이하이다. 즉, {\displaystyle \forall x\in \Omega \colon \|\mathbf {g} (x)\|\leq 1}이다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {vol} (-)}은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, \mathbf g의 {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }}-노름이 1 이하이다.)

그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 {\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}라고 하자.

{\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )=\{f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\colon \|f\|\_{\operatorname {BV} }<\infty \}}
그렇다면, 그 위에

{\displaystyle \|f\|\_{\operatorname {BV} }=\|f\|\_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (f)}
를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

성질
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### 연산에 대한 닫힘

임의의 열린집합 {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 만약 {\displaystyle f,g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}라면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle f+g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}
{\displaystyle fg\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}
{\displaystyle (|f|+a)^{-1}\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )\qquad \forall a>0}
### 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}
그러나

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\not \subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

### 전변동

만약 {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}([a,b])}일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {V} f=\int \_{a}^{b}\,|f'(x)|\,\mathrm {d} x}
마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 \Omega 에 대하여

* {\displaystyle \operatorname {cl} (\Omega )}가 콤팩트 집합이며,
* \partial \Omega 가 어떤 매끄러운 다양체의 \mathcal C^1 매장이라면,

{\displaystyle f\colon \operatorname {cl} (\Omega )\to \mathbb {R} }의 경우 {\displaystyle f\upharpoonright \Omega }는 유계 변동 함수이며,

{\displaystyle \operatorname {V} (f\upharpoonright \Omega )=\int \_{\Omega }|\nabla f|}
이다.

### 특이점

유계 변동 함수 f\colon [a,b]\to {\mathbb R}는 두 증가 함수의 차이므로, [a,b]의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

### 분해 불가능성

{\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}는 분해 가능 공간이 아니다.

**증명**:

임의의 {\displaystyle \alpha \in (a,b)}에 대하여, 지시 함수

{\displaystyle 1\_{[\alpha ,b]}\in \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.

{\displaystyle \|1\_{[\alpha ,b]}-1\_{[\beta ,b]}\|\_{\operatorname {BV} }=2+|\alpha -\beta |\qquad \forall \alpha ,\beta \in [a,b],\;\alpha \neq \beta }
이제, 임의의 {\displaystyle \alpha \in (a,b)}에 대하여 열린 공들의 족

{\displaystyle \operatorname {ball} (1\_{[\alpha ,b]},1)}
을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 {\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}는 분해 가능 공간이 아니다.

예
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다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고 (0,1]에서 연속 함수지만, [0,1]에서 유계 변동 함수가 아니다.

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| f(x)={\begin{cases}0&x=0\\\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int \_{0}^{1}|x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty } |  |

다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고 [0,1]에서 연속 함수지만 [0,1]에서 유계 변동 함수가 아니다.

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| {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int \_{0}^{1}|\sin x^{-1}-x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty } |  |

다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.

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| f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x^{2}\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int \_{0}^{1}|2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x<\int \_{0}^{1}(2x+1)\,\mathrm {d} x=2} |  |

참고 문헌
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1. 1 2  Frank Jones, *Lebesgue Integration on Euclidean Space*, Jones and Bartlett Mathematics, 2001