일반위상수학에서 **점렬 공간**(點列空間, 영어: sequential space)은 위상수학적 구조를 그물 대신 점렬만으로 다룰 수 있는 위상 공간이다. 점렬성은 제1 가산 공간의 조건을 매우 약화시킨 것이다. 점렬 공간의 범주는 범주론적으로 여러 좋은 성질들을 갖는다.

정의
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위상 공간 X의 부분 집합 U\subseteq X이 다음 조건을 만족시키면, **점렬 열린집합**(點列-集合, 영어: sequentially open set)이라고 한다.

* 임의의 점렬 (x\_i)\_{i=0}^\infty\subseteq X에 대하여, 만약 x\_i\to u인 u\in U가 존재한다면, 충분히 큰 i에 대하여 x\_i\in U이다.

위상 공간 X의 부분 집합 C\subseteq X이 다음 조건을 만족시키면, **점렬 닫힌집합**(點列-集合, 영어: sequentially closed set)이라고 한다.

* 임의의 점렬 {\displaystyle (x\_{i})\_{i=0}^{\infty }\subseteq C}에 대하여, 만약 x\_{i}\to x인 x\in X가 존재한다면, x\in C이다.

위 정의에서, "점렬"을 그물 또는 필터로 대체하면 표준적인 열린집합·닫힌집합의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 열린집합은 점렬 열린집합이며 모든 닫힌집합은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

임의의 위상 공간 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **점렬 공간**이라고 한다.

* 모든 점렬 열린집합은 열린집합이다.
* 모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다.
* 제1 가산 공간의 몫공간이다.
* 거리화 가능 공간의 몫공간이다.
* 임의의 위상 공간 Y 및 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 f가 점렬 연속 함수라면 f는 연속 함수이다.

즉, 점렬 공간에서는 열린집합 · 닫힌집합 · 연속 함수의 개념을 그물 또는 필터 대신 점렬만으로 다룰 수 있다.

### 점렬 폐포

위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X의 **점렬 폐포**(點列閉包, 영어: sequential closure) \operatorname{cl\_{seq}}A는 A 속의 점렬들의 극한들로 구성된 X의 부분 집합이다.

\operatorname{cl\_{seq}}A=\left\{x\in X\colon\exists(a\_i)\_{i=0}^\infty\subseteq A\colon a\_i\to x\right\}
점렬 폐포는 멱등 연산이 아니다. 즉, 일반적으로

\operatorname{cl\_{seq}}\operatorname{cl\_{seq}}A\ne \operatorname{cl\_{seq}}A
이다. 위상 공간 X의 부분 집합 A에 대하여, **초한 점렬 폐포열**(超限點列閉包列, 영어: transfinite sequential closure sequence) A\_\alpha는 다음과 같이 정의된다.

* A\_0=A
* 따름 순서수 \alpha +1에 대하여, A\_{\alpha+1}=\operatorname{cl\_{seq}}A\_\alpha이다.
* 극한 순서수 \alpha 에 대하여,
A\_\alpha=\bigcup\_{\beta<\alpha}A\_\beta

임의의 위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, A\_\alpha=A\_{\alpha+1}이 되는 최소의 순서수 \alpha 가 존재하며, 또한 항상 \alpha\le\omega\_1이다. (\omega \_{1}은 최소의 비가산 순서수이다.) 이 경우 A\_\alpha를 A의 **초한 점렬 폐포**(超限點列閉包, 영어: transfinite sequential closure)라고 한다.

점렬 공간 속에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) 폐포와 일치한다. 점렬 공간 X의 **점렬 순서수**(點列順序數, 영어: sequential order)는 모든 A\subseteq X에 대하여 A\_\alpha=\operatorname{cl}A가 되는 최소의 순서수 \alpha 이다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **프레셰-우리손 공간**(Fréchet-Урысон空間, 영어: Fréchet–Urysohn space)이라고 한다..

* X의 모든 부분 집합은 점렬 공간이다.
* X의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, X의 점렬 순서수는 1이다.

성질
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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간
### 점렬성을 보존하는 연산

점렬 공간에 다음과 같은 연산을 가하여도 점렬 공간을 얻는다.

* 점렬 공간의 몫공간은 점렬 공간이다.
* 점렬 공간 X 및 위상 공간 Y 및 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌고, f가 닫힌 사상이거나 열린 사상이라고 하자. 그렇다면 f(X)는 점렬 공간이다. (그러나 f가 닫힌 사상도, 열린 사상도 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.
* 임의의 수의 점렬 공간들의 분리합집합은 점렬 공간이다.
* 점렬 공간의 열린집합과 닫힌집합은 점렬 공간이다. (그러나 일반적인 부분 공간에 대하여 이는 성립하지 않을 수 있다.)

점렬 공간의 곱공간은 일반적으로 점렬 공간이 아니다.

### 범주론적 성질

점렬 공간과 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 따라서 모든 위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 범주론적 곱은 (위상 공간의 범주에서의) 곱공간과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 노먼 스틴로드가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"(영어: convenient category)를 이룬다.

데카르트 닫힌 범주를 넘어서, 점렬 공간을 충만한 부분 범주로 갖는 토포스를 정의할 수 있으며, 이를 **존스톤 토포스**(영어: Johnstone’s topos)라고 한다.

예
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수학에서 다루는 거의 모든 위상 공간은 점렬 공간이다. 모든 CW 복합체와 모든 다양체는 점렬 공간이다.

### 제1 가산 공간이 아닌 프레셰-우리손 공간

가산 무한 개의 원들의 쐐기합 {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} =\{\{r\}\colon r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \}\cup \{\mathbb {N} \}} (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 몫공간)은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 {\mathbb N}\in {\mathbb R}/{\mathbb N}은 가산 국소 기저를 갖지 않기 때문이다.

### 프레셰-우리손 공간이 아닌 점렬 공간

**아렌스 공간**(영어: Arens space)

{\displaystyle S\_{2}={\frac {\mathbb {N} \times (\{0\}\cup \{1/i\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\})}{\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (0,1/i)\sim (i,0)}}}
은 (제1 가산 공간의 몫공간이므로) 점렬 공간이며, 완전 정규 하우스도르프 공간이지만, 프레셰-우리손 공간이 아니다.:54–55, Example 1.6.19 구체적으로, 점 (0,0)은 집합 {\displaystyle S\_{2}\setminus \{(0,1/i)\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}}의 폐포에 속하지만, (0,0)으로 수렴하는 점렬은 상수 점렬과 {\displaystyle ((0,1),(0,1/2),\dots )}의 부분 점렬밖에 없다.

### 점렬 공간이 아닌 위상 공간

비가산 집합에서, 닫힌집합을 가산 부분 집합으로 정의하자. 이 위상 공간에서, 수렴하는 점렬은 충분히 큰 첨자에 대하여 상수 점렬인 것 밖에 없다. 따라서, 모든 부분 집합은 점렬 열린집합이며, 이 위상 공간은 점렬 공간이 아니다.

아렌스 공간의 부분 공간 {\displaystyle S\_{2}\setminus \{(0,1/i)\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}}은 점렬 공간이 아니다.:55, Example 1.6.20

역사
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오랫동안 제1 가산 공간에서는 일반적으로 그물을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 점렬을 사용하여 정의되는 것들과 동치인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린(영어: Stanley P. Franklin)은 제1 가산 공간에서 이 성질이 성립하는 조건을 추상화하여 점렬 공간의 개념을 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Arhangel’skiĭ, A. V.; Franklin, S. P. (1968). "Ordinal invariants for topological spaces". 《Michigan Mathematics Journal》 (영어) **15** (3): 313–320. doi:10.1307/mmj/1029000034.
2. ↑  Steenrod, Norman E. (1967). "A convenient category of topological spaces". 《The Michigan Mathematical Journal》 (영어) **14**: 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. MR 0210075. Zbl 0145.43002.
3. ↑  Johnstone, Peter (1979). "On a topological topos". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **38**: 237–271. doi:10.1112/plms/s3-38.2.237. ISSN 0024-6115.
4. ↑  Lin, Shou (1997년 12월 16일). "A note on the Arens’ space and sequential fan". 《Topology and its Applications》 (영어) **81** (3): 185–196. doi:10.1016/S0166-8641(97)00031-X.
5. 1 2  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) **6** 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
6. ↑  Franklin, Stanley P. (1965). "Spaces in which sequences suffice" (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) **57**: 107-115.
7. ↑  Franklin, Stanley P. (1967). "Spaces in which sequences suffice II" (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) **61**: 51-56.