조합론에서 **목걸이**(영어: necklace)는 순환군의 작용에 대한 문자열의 궤도이다.

정의
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### 목걸이

임의의 집합 C가 주어졌다고 하자. C 위의 길이 n의 문자열 집합 C^{n}을 생각할 수 있다. C^{n} 위에는 n차 순환군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle }은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

{\displaystyle a^{k}\colon c\_{0}c\_{1}\cdots c\_{n-1}\mapsto c\_{k}c\_{k+1}\cdots c\_{n-1}c\_{0}\cdots c\_{k-1}}
보다 일반적으로, 크기 2n의 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=1,\;(ba)^{2}=1\rangle }은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

{\displaystyle a^{k}\colon c\_{0}c\_{1}\cdots c\_{n-1}\mapsto c\_{k}c\_{k+1}\cdots c\_{n-1}c\_{0}\cdots c\_{k-1}}
{\displaystyle b\colon c\_{0}c\_{1}\cdots c\_{n-1}\mapsto c\_{n-1}\cdots c\_{1}c\_{0}}
임의의 집합 C가 주어졌을 때, C 속의 색깔을 갖는, 길이 n의 **목걸이**(영어: necklace)는 C^{n} 위의, \operatorname {Cyc}(n) 작용에 대한 궤도이다. C 속의 색깔을 갖는, 길이 n의 **팔찌**(영어: bracelet)는 C^{n} 위의, \operatorname {Dih}(n) 작용에 대한 궤도이다.

**비주기적 목걸이**(非週期的-, 영어: aperiodic necklace)는 안정자군이 자명군인 목걸이이다. 임의의 목걸이는 비주기적 목걸이의 반복으로 표준적으로 나타낼 수 있다. 즉, 길이 n의 목걸이는 n의 어떤 약수 d에 대하여, 길이 d의 비주기적 목걸이의 {\displaystyle n/d}번 반복으로 나타낼 수 있다.

성질
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목걸이와 팔찌의 수는 포여 열거 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

### 목걸이의 수

x개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n인 목걸이의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

{\displaystyle N\_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle N\_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum \_{d\mid n}\varphi (n/d)x^{d}}
여기서 \varphi는 오일러 피 함수이다.

### 팔찌의 수

x개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

{\displaystyle B\_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle B\_{n}(x)={\frac {1}{2}}N\_{n}(x)+{\begin{cases}(x+1)x^{n/2}/4&2\mid n\\\\x^{(n+1)/2}/2&2\nmid n\end{cases}}}
### 비주기적 목걸이의 수

x개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 n인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

{\displaystyle M\_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle M\_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum \_{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}}
이를 **목걸이 다항식**(-多項式, 영어: necklace polynomial)이라고 한다. 여기서 \mu 는 뫼비우스 함수이다. 모든 목걸이는 비주기적 목걸이로 분해할 수 있으므로

{\displaystyle N\_{n}(x)=\sum \_{d\mid n}M\_{d}(x)}
이다.

목걸이 다항식의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선, x^{n}은 순환군의 작용에 대한 궤도들의 크기의 합이므로, 다음 공식이 성립한다.

{\displaystyle x^{n}=\sum \_{d\mid n}dM\_{d}(x)}
이를 뫼비우스 반전 공식에 따라 풀면 다음과 같다.

{\displaystyle M\_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum \_{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}}
특히, 임의의 소수 p에 대하여,

{\displaystyle M\_{p^{n}}(x)=p^{-n}\left(x^{p^{n}}-x^{p^{n-1}}\right)}
이다.

표
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처음 몇 개의 목걸이 다항식은 다음과 같다.

| n | {\displaystyle N\_{n}(x)} | {\displaystyle B\_{n}(x)} | {\displaystyle M\_{n}(x)} |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | x | x | x |
| 2 | {\displaystyle (x^{2}+x)/2} | {\displaystyle (x^{2}+x^{2}+2x)/4} | {\displaystyle (x^{2}-x)/2} |
| 3 | {\displaystyle (x^{3}+2x)/3} | {\displaystyle (x^{3}+3x^{2}+2x)/6} | {\displaystyle (x^{3}-x)/3} |
| 4 | {\displaystyle (x^{4}+x^{2}+2x)/4} | {\displaystyle (x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x)/8} | {\displaystyle (x^{4}-x^{2})/4} |
| 5 | {\displaystyle (x^{5}+4x)/5} | {\displaystyle (x^{5}+5x^{3}+4x)/10} | {\displaystyle (x^{5}-x)/5} |
| 6 | {\displaystyle (x^{6}+x^{3}+2x^{2}+2x)/6} | {\displaystyle (x^{6}+3x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+2x)/12} | {\displaystyle (x^{6}-x^{3}-x^{2}+x)/6} |

응용
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목걸이 다항식 {\displaystyle M\_{n}(x)}는 다음과 같은 수학 분야에서 등장한다.

* x개의 문자로 구성된 알파벳 위의 길이 n의 린던 단어의 수
* 크기 x의 집합으로 생성되는 자유 리 대수의, 차수 n 부분 공간의 차원
* 크기 {\displaystyle x=p^{k}}의 유한체 위의 n차 일계수 기약 다항식의 수
* 목걸이 항등식은 원분 항등식(영어: cyclotomic identity)에서 지수로 등장한다.

역사
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샤를 폴 나르시스 모로(프랑스어: Charles Paul Narcisse Moreau)가 1872년에 최초로 목걸이의 열거 문제를 연구하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Moreau, C. (1872). "Sur les permutations circulaires distinctes". 《Nouvelles annales de mathématiques》 (프랑스어) **11**: 309–314. JFM 04.0086.01.