일반위상수학에서 **단조 정규 공간**(영어: monotonically normal space)은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.

정의
--

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}\_{X})}
* X의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)}

그렇다면, **단조 정규성 연산자**(영어: monotone normality operator) {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\_{X}}는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.

* {\mathcal A}에 부분 순서 {\displaystyle (A,B)\leq (A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'}를 주었을 때, G는 단조함수이다.
* {\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq \operatorname {cl} G(A,B)\subseteq X\setminus B}

만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, **자기 서로소 단조 정규성 연산자**(영어: self-disjoint monotonical normality operator)라고 한다.

{\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {A}}^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing }
단조 정규성 연산자 {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 주어졌을 때, 만약 {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}^{-1}}라면,

{\displaystyle H\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
{\displaystyle H(E,F)=G(E,F)\setminus \operatorname {cl} G(F,E)}
는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.

{\displaystyle {\mathcal {S}}\_{X}=\{(A,B)\in {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }\colon A\cap \operatorname {cl} B=\operatorname {cl} A\cap B=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle {\mathcal {D}}\_{X}=\{(E,F)\colon \operatorname {Clsd} (X)\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon E\cap F=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle {\mathcal {N}}\_{X}=\{(x,F)\in X\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon x\in X\setminus F\}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
그렇다면, 항상 {\displaystyle {\mathcal {D}}\_{X}\subseteq {\mathcal {S}}\_{X}}이며, X가 T1 공간이라면 {\displaystyle {\mathcal {N}}\_{X}\subseteq {\mathcal {D}}\_{X}}이다.

위상 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}\_{X})}가 다음 조건을 만족시키면, **단조 정규 공간**이라고 한다.

* 단조 정규성 연산자 {\displaystyle {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 존재한다.

T1 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}\_{X})}에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:Lemma 2.2

* 단조 정규성 연산자 {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 존재한다.
* 단조 정규성 연산자 {\displaystyle {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 존재한다.
* 자기 서로소 단조 정규성 연산자 {\displaystyle {\mathcal {N}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 존재한다.

증명:

X가 T1 공간이므로,

{\displaystyle {\mathcal {N}}\_{X}\subseteq {\mathcal {D}}\_{X}\subseteq {\mathcal {S}}\_{X}}
이다. 따라서, 만약 {\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 단조 정규성 연산자라면, {\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {D}}\_{X}\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}} 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, {\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {N}}\_{X}\colon {\mathcal {N}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}} 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자

{\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
{\displaystyle H(A,B)=\bigcup \_{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)}
만약

{\displaystyle (A,B),(A',B')\in {\mathcal {S}}\_{X}}
{\displaystyle A\subseteq A'}
{\displaystyle B\supseteq B'}
라면, 자명하게 {\displaystyle H(A,B)\subseteq H(A',B')}이다. 또한, 임의의 {\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}\_{X}}에 대하여,

{\displaystyle A=\bigcup \_{a\in A}\{a\}\subseteq \bigcup \_{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)=H(A,B)}
{\displaystyle B=\bigcup \_{b\in B}\{b\}\subseteq \bigcup \_{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)=\operatorname {int} \bigcup \_{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {int} (X\setminus H(A,B))=X\setminus \operatorname {cl} H(A,B)}
{\displaystyle H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup \_{a\in A}\bigcup \_{b\in B}(G(a,\operatorname {cl} B)\cap G(b,\operatorname {cl} A))\subseteq \bigcup \_{a\in A}\bigcup \_{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup \_{a\in A}\bigcup \_{b\in B}\varnothing =\varnothing }
이다. 따라서, H는 단조 정규성 연산자이다.

성질
--

### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 거리화 가능 공간 | → | 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) | → | 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) | → | 정규 하우스도르프 공간 (T4) |
|  | ↘ |  |  | ↑ |  | ↑ |
|  |  | 단조 정규 하우스도르프 공간 | → | 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 | → | 집합족적 정규 하우스도르프 공간 |

증명 (거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간):

모든 거리 공간 (X,d)가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
{\displaystyle G(E,F)=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in [0,1/2)\right\}}
그렇다면,

{\displaystyle x\mapsto {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}}
가 연속 함수 X\to [0,1]이므로, {\displaystyle G(E,F)\subseteq X}는 열린집합이다. 만약

{\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}\_{X}}
{\displaystyle E\subseteq E'}
{\displaystyle F\supseteq F'}
라면,

{\displaystyle \forall x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\geq {\frac {d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')}}}
이므로,

{\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}
이다. 또한,

{\displaystyle E=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=0\right\}\subseteq G(E,F)}
{\displaystyle F=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=1\right\}\subseteq \left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in (1/2,1]\right\}\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(E,F)}
이다. 즉, {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}는 단조 정규성 연산자이다.


증명 (단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간):

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자

{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
및 닫힌집합들의 이산 집합족

{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
{\displaystyle \forall x\in X\exists U\in {\mathcal {T}}\_{X}\colon x\in U\land |\{F\in {\mathcal {F}}\colon U\cap F\neq \varnothing \}|<\aleph \_{0}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족

{\displaystyle \{U(F)\}\_{F\in {\mathcal {F}}}\subseteq {\mathcal {T}}\_{X}}
{\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\forall F\in {\mathcal {F}}\setminus \{E\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing }
{\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}\colon F\subseteq {\mathcal {U}}(F)}
을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}에 대하여,

{\displaystyle U(F)=G\left(F,\bigcup {\mathcal {F}}\setminus \{F\}\right)\subseteq X}
라고 하자. G의 정의에 따라, {\displaystyle U(F)}는 열린집합이며, {\displaystyle F\subseteq U(F)}이다. 만약 {\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}이며 {\displaystyle E\neq F}라면,

{\displaystyle U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing }
이다. 즉, {\displaystyle \{U(F)\}\_{F\in {\mathcal {F}}}}는 서로소 집합족이다.

순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 5.3

증명:

임의의 전순서 집합 (X,\le) 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.

* (T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
* (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 {\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 존재한다.

**T1.** 임의의 x\in X에 대하여,

{\displaystyle \{x\}=[x,x]=X\setminus \left((-\infty ,x)\cup (x,\infty )\right)}
이므로 한원소 집합 \{x\}는 닫힌집합이다.

**단조 정규성.** 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, X 위에 임의의 정렬 전순서 W를 주자. 임의의 닫힌집합 F\subseteq X 및 점 x\in X\setminus F에 대하여, 다음과 같이 정의하자.

* {\displaystyle C(x,F)}는 x를 포함하는 {\displaystyle X\setminus F}의 순서 볼록 성분이다.
* 만약 {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing }이라면, {\displaystyle a(x,F)=\min \nolimits \_{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\infty ,x))}
* 만약 {\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )\neq \varnothing }이라면, {\displaystyle b(x,F)=\min \nolimits \_{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\infty ))}

이제,

{\displaystyle G(x,F)={\begin{cases}(a(x,F),b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\(a(x,F),x]&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\\{}[x,b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\\{x\}&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\end{cases}}}
라고 하자. {\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.

* {\displaystyle G(x,F)}는 열린집합이다.
	+ {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) x\in X\setminus F이며 {\displaystyle X\setminus F}가 열린집합이므로, {\displaystyle x\in (a,b)\subseteq X\setminus F}인 a,b\in X가 존재한다. (a,b)는 x를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, {\displaystyle (a,b)\subseteq C(x,F)}이다. {\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )=\varnothing }이므로, {\displaystyle (x,b)=\varnothing }이다. 따라서, {\displaystyle (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)}이다.
* {\displaystyle x\in G(x,F)}
	+ 이는 자명하다.
* {\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)\subseteq X\setminus F}
	+ {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}인 경우를 생각하자. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)=\operatorname {cl} (a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F}이다.
* 만약 E,F\subseteq X가 닫힌집합이며, {\displaystyle x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E}라면, {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}
	+ {\displaystyle C(x,E)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,E)\cap (x,\infty )}이며 {\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, {\displaystyle G(x,E)=(a(x,E),x]}, {\displaystyle G(x,F)=(a(x,F),x]}이다. 만약 {\displaystyle a(x,E)=a(x,F)}라면, {\displaystyle G(x,E)=G(x,F)}이며, 특히 {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}이다. 이제, {\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}라고 가정하자. {\displaystyle X\setminus F\subseteq X\setminus E}이므로, {\displaystyle C(x,F)\subseteq C(x,E)}이다. 따라서, {\displaystyle a(x,E)\leq \_{W}a(x,F)}이며, {\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}이므로 {\displaystyle a(x,E)<\_{W}a(x,F)}이다. {\displaystyle a(x,F)}의 정의에 따라, {\displaystyle a(x,E)}는 {\displaystyle C(x,F)}의 원소일 수 없다. 따라서, {\displaystyle a(x,E)<a(x,F)}이며, {\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}이다.
* 임의의 서로 다른 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing }
	+ {\displaystyle C(x,y)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,y)\cap (x,\infty )}이며 {\displaystyle C(y,x)\cap (-\infty ,y)\neq \varnothing =C(y,x)\cap (y,\infty )}인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, {\displaystyle G(x,y)=[x,b(x,y))}, {\displaystyle G(y,x)=(a(y,x),y]}이다. 귀류법을 사용하여, {\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)\neq \varnothing }이라고 가정하자. {\displaystyle [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\}}, {\displaystyle [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}}이므로, {\displaystyle x<a(y,x)<b(x,y)<y}일 수밖에 없다. 따라서 {\displaystyle a(y,x)=\min \nolimits \_{(X,W)}(x,y)=b(x,y)}이며, 이는 모순이다.

### 연산에 대한 닫힘

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 X가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

증명:

단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 단조 정규성 연산자

{\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}\_{X}\to {\mathcal {\mathcal {T}}}\_{X}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 Y\subseteq X에 대하여,

{\displaystyle {\mathcal {S}}\_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}\_{X}}
이며,

{\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}\_{Y}\to {\mathcal {T}}\_{Y}}
{\displaystyle H(A,B)=G(A,B)\cap Y}
는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 X 및 닫힌 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 그 상 f(X)는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 2.6

증명:

편의상 {\displaystyle f(X)=Y}라고 하자. 단조 정규성 연산자

{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle H\colon {\mathcal {D}}\_{Y}\to {\mathcal {T}}\_{Y}}
{\displaystyle H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))}
이는 자명하게 단조함수이다.

{\displaystyle f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}
{\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}
이므로,

{\displaystyle H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)}
{\displaystyle {\begin{aligned}K&\subseteq Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\&=\operatorname {int} f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (X\setminus H(E,F))\\&=X\setminus \operatorname {cl} H(E,F)\end{aligned}}}
이다. 따라서, H는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 X,Y 및 닫힌집합 {\displaystyle Z\subseteq X} 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon Z\to Y}에 대하여, 붙임 공간 {\displaystyle X\cup \_{f}Y}는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 1.1

증명:

다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.

* {\displaystyle X\cup \_{f}Y}는 T1 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다.
* {\displaystyle X\cup \_{f}Y}는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X\cup \_{f}Y}\to {\mathcal {T}}\_{X\cup \_{f}Y}}가 존재한다.

**T1.** 표준적인 연속 함수

{\displaystyle g\colon X\to X\cup \_{f}Y}
{\displaystyle h\colon Y\to X\cup \_{f}Y}
를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 {\displaystyle U\subseteq X\cup \_{f}Y}이 열린집합일 필요충분조건은 {\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}와 {\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 {\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}와 {\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, {\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}는 열린 위상수학적 매장이며, h는 닫힌 위상수학적 매장이며,

{\displaystyle g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup \_{f}Y}
{\displaystyle g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing }
이다. (그러나 {\displaystyle X\cup \_{f}Y}는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의 {\displaystyle x\in X\setminus Z} 및 y\in Y에 대하여,

{\displaystyle g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X}
{\displaystyle h^{-1}(g(x))=\varnothing \subseteq Y}
{\displaystyle g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X}
{\displaystyle h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y}
이다. 따라서, g(x)와 {\displaystyle h(y)}는 닫힌집합이며, {\displaystyle X\cup \_{f}Y}는 T1 공간이다.

**단조 정규성.** 단조 정규성 연산자

{\displaystyle G\_{1}\colon {\mathcal {S}}\_{X}\to {\mathcal {T}}\_{X}}
{\displaystyle G\_{2}\colon {\mathcal {S}}\_{Y}\to {\mathcal {S}}\_{Y}}
가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 {\displaystyle E,F\subseteq X\cup \_{f}Y}에 대하여,

{\displaystyle (g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}\_{X}\subseteq {\mathcal {S}}\_{X}}
{\displaystyle (h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}\_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}\_{Y}}
이다. 이제,

{\displaystyle A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}
{\displaystyle B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}
라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}\_{X}}이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} \_{X}f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))&\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=Z\setminus (Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} \_{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))&=\operatorname {cl} \_{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\&=\operatorname {cl} \_{Z}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=Z\setminus \operatorname {int} \_{Z}f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq X\setminus \operatorname {int} \_{Z}f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=X\setminus f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} \_{X}g^{-1}(E)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} \_{X\cup \_{f}Y}E)\\&=g^{-1}(E)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(E)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} \_{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} \_{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} \_{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} \_{X}g^{-1}(F)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} \_{X\cup \_{f}Y}F)\\&=g^{-1}(F)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(F)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus \operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} \_{X}f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} \_{X}f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} \_{X}f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}
이제,

{\displaystyle f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z}
인 열린집합 {\displaystyle V(E,F)\subseteq X}을 잡고,

{\displaystyle U(E,F)=G\_{1}(A(E,F),B(E,F))\cap (X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X}
{\displaystyle G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup \_{f}Y}
라고 하자.

{\displaystyle {\begin{aligned}g^{-1}(G(E,F))&=U(E,F)\cup f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=U(E,F)\cup (f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G\_{1}(A(E,F),B(E,F)))\cap \\&=U(E,F)\cup (V(E,F)\cap Z\cap G\_{1}(A(E,F),B(E,F)))\\&=U(E,F)\cup (U(E,F)\cap Z)\\&=U(E,F)\subseteq X\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{-1}(G(E,F))&=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=h^{-1}(g(f^{-1}(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\&=G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y\end{aligned}}}
는 모두 열린집합이므로, {\displaystyle G(E,F)\subseteq X\cup \_{f}Y}는 열린집합이다. 또한,

{\displaystyle {\begin{aligned}E&=(E\cap g(X\setminus Z))\cup (E\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(G\_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq g(U(E,F))\cup h(G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=G(E,F)\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}F&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup (F\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(X\setminus \operatorname {cl} \_{X}G\_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup (X\cup \_{f}Y\setminus h(\operatorname {cl} \_{Y}G\_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&\subseteq X\cup \_{f}Y\setminus \operatorname {cl} \_{X\cup \_{f}Y}G(E,F)\end{aligned}}}
이며 ({\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}가 열린 매장이며 h가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약

{\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}\_{X\cup \_{f}Y}}
{\displaystyle E\subseteq E'}
{\displaystyle F\supseteq F'}
라면

{\displaystyle U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z}
{\displaystyle U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z}
이므로

{\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}
이다. 따라서, {\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\_{X\cup \_{f}Y}\to {\mathcal {T}}\_{X\cup \_{f}Y}}는 단조 정규성 연산자이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. (1973). "Monotonically normal spaces". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **178**: 481–493. doi:10.2307/1996713. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009.
2. ↑  Miwa, Takuo (1983). "Adjunction spaces of monotonically normal spaces and spaces dominated by monotonically normal subsets". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **87** (3): 536-538. doi:10.2307/2043646. ISSN 0002-9939. MR 0684653. Zbl 0512.54011.