| 대수 구조 |
| --- |
|  |
| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
 |

순서론에서 **완비 격자**(完備格子, 영어: complete lattice)는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 격자이다.

정의
--

### 순서론적 정의

모든 부분 집합 S\subseteq L이 상한을 갖는 원순서 집합 {\displaystyle (L,\lesssim )}을 **상완비 원반격자**(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다. 마찬가지로, 모든 부분 집합 S\subseteq L이 하한을 갖는 원순서 집합 {\displaystyle (L,\lesssim )}을 **하완비 원반격자**(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 **상/하완비 원반격자 사상**(영어: upper/lower-complete presemilattice morphism)은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다.

원순서 집합 {\displaystyle (L,\lesssim )}에 대하여 다음 다섯 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 L을 **완비 원격자**(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

* 모든 부분 집합의 상한과 하한이 존재한다.
* 모든 부분 집합의 상한이 존재한다.:9, Proposition O-2.2, (i)
* 모든 부분 집합의 하한이 존재한다.:9, Proposition O-2.2, (i)
* 모든 유한 집합의 상한이 존재하며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.:9, Proposition O-2.2, (ii)
* 모든 유한 집합의 하한이 존재하며, 모든 하향 집합의 하한이 존재한다.:9, Proposition O-2.2, (iii)

**완비 원격자 사상**(영어: complete prelattice morphism)은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다. 즉, 완비 원격자 및 상·하 완비 원반격자의 개념은 일치하지만, 그 사이에 주어진 사상은 다르다.

증명:

L의 모든 부분 집합이 상한을 갖는다고 가정하고, S\subseteq L이 임의의 부분 집합이라고 하자. S의 하계들의 집합

{\displaystyle B=\bigcap \_{s\in S}\mathop {\downarrow } s}
을 생각하자. 그렇다면 그 상한 {\displaystyle \textstyle \bigvee B}는 S의 하한이다.

이제, L의 모든 유한 집합과 모든 상향 집합이 상한을 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 집합 S에 대하여, 그 유한 부분 집합들의 상한들의 집합

{\displaystyle \left\{\bigvee F\colon F\subseteq S,\;|F|<\aleph \_{0}\right\}}
은 L의 상향 집합이며, 그 상한은 S의 상한이다.

부분 순서 집합인 완비 원격자를 **완비 격자**라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 S의 상한을 통상적으로 **이음**(영어: join) {\displaystyle \textstyle \bigvee S}이라고 부르며, 부분 집합 S의 하한을 **만남**(영어: meet) {\displaystyle \textstyle \bigwedge S}이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

### 범주론적 정의

원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 이 경우 상한은 쌍대 극한, 하한은 극한에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 범주론적 언어로 재서술할 수 있다.

모든 작은 쌍대 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 **상완비 원반격자**(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다. 상완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

마찬가지로, 모든 작은 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 **하완비 원반격자**(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다. 하완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 극한을 보존하는 함자이다.

작은 범주에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 **완비 원격자**(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

* 쌍대 완비 범주이다.
* 완비 범주이다.
* 모든 작은 곱이 존재한다.
* 모든 작은 쌍대곱이 존재한다.

이는 수반 함자 정리에 의하여 함의된다. 특히, 모든 완비 원격자는 원순서 집합(얇은 범주)이다. 완비 원격자 사이의 사상은 모든 작은 극한 및 모든 작은 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

완비 원격자에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 **완비 격자**(영어: complete lattice)라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

성질
--

이름과 같이, 완비 격자는 격자를 이루며, 또한 항상 유계 격자를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 순서 위상 아래 콤팩트 공간이다.
* 완비 격자이다.

타르스키 고정점 정리에 의하면 완비 격자에서 자신으로 가는 순서 보존 함수가 있을 때, 그 함수의 고정점의 집합은 다시 완비 격자를 이룬다.

예
-

### 집합론

집합 S 위의 멱집합 격자 ({\mathcal P}(S),\subseteq )는 완비 격자이다.

집합 S 위의 동치 관계들의 집합 \operatorname {Eq}(S)에, 만약

a\sim \_{1}b\implies a\sim \_{2}b
라면

{\displaystyle {\sim }\_{1}\leq {\sim }\_{2}}
라고 정의하자. 그렇다면 \operatorname {Eq}(S)는 완비 격자이다.

### 위상수학

위상 공간 X에 대하여, 열린집합들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 헤이팅 대수이다.

닫힌구간 [a,b]\subset {\mathbb R}은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

### 대수학

군 G에 대하여, G의 부분군들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

환 R에 대하여, R의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 \mathbb Z^+에서, 인수 관계 \mid 를 가하면, ({\mathbb Z}^{+},\mid )은 완비 격자를 이룬다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4  Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) **93**. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.

* Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001.