양자역학과 양자장론에서 **순간자**(瞬間子, 영어: instanton 인스턴톤[\*]) 또는 **잠깐알**은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다. 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

역사
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알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(러시아어: Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다. 이들은 유사입자(영어: pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.:271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(영어: instanton)라고 이름붙였다.:271

양자역학에서의 순간자
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양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 V(x)가 두 개의 극소점 a,b를 갖는다고 하고, V(a)=V(b)=0으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다.

WKB 근사에 따라, 질량이 m이며 에너지가 E인 입자가 a에서 b로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다.

\langle b|a\rangle \sim \exp \left(-{\frac 1\hbar }\int \_{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx\right)
이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.

S\_{E}=\int \left({\frac 12}m{\dot x}^{2}+V(x)\right)\,dt
즉, 이는 퍼텐셜 -V(x) 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)

{\frac 12}m{\dot x}^{2}-V(x)=0
다. a에서 b로 가는, 유클리드 작용의 해를 **순간자**라고 하며, 그 작용은

S\_{E}=\int m{\dot x}^{2}\,dt=\int \_{a}^{b}m{\dot x}\,dx=\int \_{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx
이다. 따라서,

\langle b|a\rangle \sim \exp(-S\_{E}/\hbar )
임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 S\_{E}로 계산된다.

양-밀스 이론의 순간자
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 이 부분의 본문은 양-밀스 순간자입니다.
순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 G를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.

S={\frac 1{2e^{2}}}\int \_{{{\mathbb R}^{4}}}\operatorname {tr}F^{2}\,d^{4}x
여기서

F\_{{ij}}=t^{a}F\_{{ij}}^{a}=\partial \_{\mu }A\_{\nu }-\partial \_{\nu }A\_{\mu }+i[A\_{\mu },A\_{\nu }]
는 게이지 장세기이고, t^{a}는 리 대수 {\mathfrak {g}}의 기저이다. 리 대수의 기저는

\operatorname {tr}(t^{a}t^{b})={\frac 12}t^{a}t^{b}
[t^{a},t^{b}]=if^{{abc}}t^{c}
가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳\Vert x\Vert \to \infty 에서는 F\to 0이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 A\_{\mu }는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,

A\_{\mu }(x)=g(x)^{{-1}}\partial \_{\mu }g(x) (g(x)\in G)
의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{4}의 무한대는 S^{3}이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수

A\colon S^{3}\to G
를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

[A]\in \pi \_{3}(G)
흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

\pi \_{3}(\operatorname {SU}(N))={\mathbb Z} (N\geq 2)
\pi \_{3}(\operatorname {SO}(N))={\mathbb Z} (N=3 또는 N>5)
이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 **순간자수**(영어: instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(영어: anti-instanton)가 존재함을 뜻한다. SU(N)의 경우, 순간자수 k는 다음과 같다.

k={\frac 1{24\pi ^{2}}}\int \_{{\Vert x\Vert =\infty }}d^{3}x\,{\hat n}\_{\mu }\operatorname {tr}\left(A\_{\nu }A\_{\rho }A\_{\sigma })\epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}\right)
A\_{\mu }=(\partial \_{\mu }g)g^{{-1}}
여기서 {\hat n}^{\mu }는 S^{3}의 단위 수직 벡터이며, \epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

4차원 리만 다양체 M에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라

\*\colon \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{2}(M)
가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여

\*^{2}=1
이므로, 호지 쌍대 연산자 \*의 고윳값은 \pm 1이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라

\Omega ^{2}(M)=\Omega \_{+}^{2}(M)\oplus \Omega \_{-}^{2}(M)
으로 분해된다. 여기서 \Omega \_{+}^{2}(M)의 원소는 **자기쌍대**(영어: self-dual), \Omega \_{-}^{2}(M)의 원소는 **반자기쌍대**(영어: anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 F가 주어지면,

F=F\_{+}+F\_{-}
\*F\_{\pm }=\pm F\_{\pm }
F\_{\pm }=(F\pm \*F)/2
으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 \langle ,\rangle 이 존재한다.

\langle A,B\rangle ={\frac 1{2e^{2}}}\int \_{M}d^{4}x\,\operatorname {tr}(A\_{{\mu \nu }}B^{{\mu \nu }})
이에 따라 양-밀스 작용은

S=\langle F,F\rangle 
가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.

F=F\_{+}+F\_{-}
그렇다면

S=\langle F,F\rangle =\langle F\_{+},F\_{+}\rangle +\langle F\_{-},F\_{-}\rangle \geq |\langle F\_{+},F\_{+}\rangle -\langle F\_{-},F\_{-}\rangle |=|\langle F,\*F\rangle |={\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|
이다. 여기서 k는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 k를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 **BPS 부등식**을 만족시킨다.

S\geq {\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|
이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 **순간자**라고 한다. 이들은

F\_{+}=0 또는 F\_{-}=0,
즉

F\_{{\mu \nu }}=\pm \*F\_{{\mu \nu }}
를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식

D\_{\mu }F^{{\mu \nu }}=D\_{\mu }(\*F)^{{\mu \nu }}=0
을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

참고 문헌
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