실수 범위에서 그린 1/Γ(*x*)의 그래프
 복소평면 위에 그린 1/Γ(*z*)의 그래프.
수학에서 **감마 함수의 역수**는 감마 함수 Γ(*z*)에 역수를 취한 함수이다.

{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}
감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다.

이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.

카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.

무한곱 전개
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감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 *z*에서 성립하며, *γ*는 오일러-마스케로니 상수이다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}

테일러 급수
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*z*=0에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }
여기서 *γ* 는 오일러-마스케로니 상수이다. *n* > 2일 때 *z**n* 항의 계수 *a**n*은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다. *ζ* 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.

{\displaystyle a\_{n}={\frac {\ {a\_{2}\ a\_{n-1}+\sum \_{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a\_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a\_{n-1}-\zeta (2)\ a\_{n-2}+\zeta (3)\ a\_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}
{\displaystyle a\_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int \_{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}
처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.

| *n* | *a**n* |
| --- | --- |
| 1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
| 2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
| 3 | −0.6558780715202538810770195151453904812798 |
| 4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
| 5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
| 6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
| 7 | −0.0096219715278769735621149216723481989754 |
| 8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |
| 9 | −0.0011651675918590651121139710840183886668 |
| 10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
| 11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
| 12 | −0.0000201348547807882386556893914210218184 |
| 13 | −0.0000012504934821426706573453594738330922 |
| 14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |
| 15 | −0.0000002056338416977607103450154130020573 |
| 16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |
| 17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |
| 18 | −0.0000000011812745704870201445881265654365 |
| 19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |
| 20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |
| 21 | −0.0000000000036968056186422057081878158781 |
| 22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |
| 23 | −0.0000000000000205832605356650678322242954 |
| 24 | −0.0000000000000053481225394230179823700173 |
| 25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |
| 26 | −0.0000000000000001181259301697458769513765 |
| 27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |
| 28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |
| 29 | −0.0000000000000000002298745684435370206592 |
| 30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |

a\_n의 근사공식은 다음과 같다.

{\displaystyle a\_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z\_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz\_{0}}\ }{\sqrt {1+z\_{0}\ }}}\right)\ ,}
여기서 {\displaystyle z\_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W\_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,} {\displaystyle W\_{-1}} 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.

이상적분
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양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다.

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024}
또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int \_{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}

참고자
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1. ↑  Weisstein, Eric W. "Gamma function". 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2021년 6월 15일에 확인함.
2. ↑  Wrench, J.W. (1968). "Concerning two series for the gamma function". 《Mathematics of Computation》 **22** (103): 617–626. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4.  and   
  
Wrench, J.W. (1973). "Erratum: Concerning two series for the gamma function". 《Mathematics of Computation》 **27** (123): 681–682. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9.
3. 1 2 3  Fekih-Ahmed, L. (2014). "On the power series expansion of the reciprocal gamma function". 《HAL archives》.
4. ↑  Henri Cohen (2007). 《Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **240**. doi:10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. ISSN 0072-5285.