수학에서 **천 정리** (또는 천싱선, 카를 프리드리히 가우스 및 피에르 오시안 보네 이후 **천–가우스–보네 정리** )는 오일러-푸앵카레 특성(위상 불변량을 나타낸다. 닫힌 짝수 차원 리만 다양체의 위상 공간의 베티 수의 교대 합으로 정의되는 는 곡률 형식 ( 해석적 불변량)의 특정 다항식( 오일러 특성류)의 적분 과 같다.

이는 고전적인 가우스-보네 정리(2차원 다양체/ 표면 에 대한)를 더 높은 짝수 차원의 리만 다양체로 매우 간단하게 일반화한 것이다. 1943년에 Carl B. Allendoerfer 와 앙드레 베유는 외재적 다양체의 특별한 사례를 입증했다. 1944년에 출판된 고전 논문에서 천싱선은 전역 위상과 국소적 기하학을 접속하는 완전한 일반성으로 정리를 증명했다.

리만-로흐 정리와 아티야-싱어 지표 정리는 가우스-보네 정리의 또 다른 일반화이다.

진술
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**천 정리**의 유용한 형식 중 하나는 다음과 같다.

{\displaystyle \chi (M)=\int \_{M}e(\Omega )}
여기서 {\displaystyle \chi (M)}는 *{\displaystyle M}*의 오일러 특성을 나타낸다. 오일러 특성류는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}는 파피안이고, *{\displaystyle M}*는 경계가 없는 콤팩트 유향 *2n* 차원 리만 다양체이며, {\displaystyle \Omega }는 레비-치비타 접속의 관련 곡률 형식이다. 이 정리는 {\displaystyle M}의 접다발 또는 다른 벡터 다발의 임의의 계량 접속 {\displaystyle \Omega }에 대해 성립한다.

차원이 *2n*이므로 다음을 얻는다. {\displaystyle \Omega }이다 {\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)} -값이 2개인 미분 형식 *{\displaystyle M}* ( 특수 직교 군 참조) 그래서 {\displaystyle \Omega } 는 항목이 2형식인 비대칭 대칭 *2n* × *2n* 행렬로 간주될 수 있으므로 가환 환에 대한 행렬이다. {\textstyle {\bigwedge }^{\text{even}}\,T^{\*}M}. 따라서 파피안은 *2n* 형이다. 이는 또한 불변 다항식이다.

그러나 일반적으로 천의 정리는 모든 닫힌 {\displaystyle C^{\infty }} 유향 *n*차원 다양체 *{\displaystyle M}*의 경우에 적용된다.

{\displaystyle \chi (M)=(e(TM),[M])}
여기서 위의 쌍(,)은 접다발 {\displaystyle TM}의 오일러 특성류를 갖는 교곱을 나타낸다.

### 증명

1944년, 프린스턴 대학 수학과에서 발행한 고전 논문에서 천이 일반 정리를 처음으로 증명했다.

2013년에는 초대칭 유클리드 장론을 통한 정리 증명도 발견되었다

특수한 상황들
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### 4차원 다양체

{\displaystyle 2n=4}차원에서, 콤팩트 다양체에 대해 다음을 얻는다.

{\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \_{M}\left(|{\text{Riem}}|^{2}-4|{\text{Ric}}|^{2}+R^{2}\right)\,d\mu }
여기서 {\displaystyle {\text{Riem}}}는 리만 곡률 텐서, {\displaystyle {\text{Ric}}}는 리치 곡률 텐서, {\displaystyle R}은 스칼라 곡률이다. 이는 시공간이 4차원 다양체로 여겨지는 일반 상대성 이론에서도 중요하다.

리만 곡률 텐서의 직교 리치 분해 측면에서 이 공식은 다음과 같이 작성할 수도 있다.

{\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int \_{M}\left({\frac {1}{4}}|W|^{2}-{\frac {1}{2}}|Z|^{2}+{\frac {1}{24}}R^{2}\right)\,d\mu }
여기서 {\displaystyle W}는 바일 텐서이고 {\displaystyle Z}는 대각합 0인 리치 텐서이다.

### 짝수 차원 초곡면

```
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} 안의 짝수 차원 콤팩트 초곡면 {\displaystyle M}에 대해
```

{\displaystyle \int \_{M}K\,dV={\frac {1}{2}}\gamma \_{n}\,\chi (M)}
여기서 {\displaystyle dV}는 초곡면의 부피형식이다. {\displaystyle K}는 가우스 사상의 야코비안 행렬식이며, {\displaystyle \gamma \_{n}}는 단위 n-초규의 표면적이다.

### 가우스-보넷 정리

가우스-보네 정리는 2차원 리만 다양체에 대한 특별한 경우다. 이는 위상 지표가 베티 수로 정의되고 해석적 지표가 가우스-보네 적분으로 정의되는 특별한 경우로 발생한다.

2차원 가우스-보네 정리와 마찬가지로 경계가 있는 다양체에 대한 일반화가 있다.

추가 일반화
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### 아티야-싱어 지표 정리

아티야-싱어 지표 정리는 가우스-보네 정리의 광범위한 일반화이다.

{\displaystyle D}를 벡터 다발 사이의 약한 타원 미분 연산자라 하자. 이는 주 기호가 동형사상이라는 것을 의미한다. 또한 강한 타원성은 기호가 양의 정부호이어야 함을 의미한다.

{\displaystyle D^{\*}}를 수반 연산자라 하자. 그런 다음 **해석 지표**는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \dim(\ker(D))-\dim(\ker(D^{\*}))}
타원성에 따르면 이는 항상 유한하다. 지표 정리는 타원 연산자가 매끄럽게 변하기 때문에 이것이 일정하다고 말한다. 이는 오일러 특성류와 같은 특성류로 표현될 수 있는 **위상 지표**와 같다.

천-가우스-보네 정리는 디랙 연산자를 고려하여 도출된다.

{\displaystyle D=d+d^{\*}}
### 홀수 차원

홀수 차원에서는 오일러 특성이 0이기 때문에 천 공식은 짝수 차원에서만 정의된다. 홀수 차원에 대해 자명하지 않은 결과를 제공하기 위해 K이론의 지표 정리를 '비틀기'에 대한 일부 연구가 진행되고 있다.

오비폴드에 대한 천의 공식 버전도 있다.

역사
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천싱선은 고등연구소에 있는 동안 1944년에 정리에 대한 증명을 발표했다. 이것은 역사적으로 다양체가 유클리드 공간에 매장되어 있다고 가정하지 않고 공식이 증명된 최초의 사례였으며, 이는 "내재적"이라는 의미이다. 초곡면 (n차원 유클리드 공간의 (n-1)차원 부분 다양체)에 대한 특수 사례는 H. Hopf에 의해 입증되었으며, 여기서 피적분 함수는 가우스-크로네커 곡률(한 점에서 모든 주 곡률의 곱)이다. 초표면의). 이것은 1939년 Allendoerfer와 1940년 Fenchel에 의해 모든 여차원의 유클리드 공간의 리만 부분 다양체로 독립적으로 일반화되었으며, 이에 대해 그들은 리프시츠-킬환 곡률(단위에 대한 각 단위 법선 벡터를 따른 가우스-크로네커 곡률의 평균)을 사용했다. 일반 공간의 구; 짝수 차원 부분 다양체의 경우 이는 부분 다양체의 리만 계량에만 의존하는 불변량이다. 내쉬 매장 정리가 가정될 수 있다면 그들의 결과는 일반적인 경우에 유효할 것이다. 그러나 존 내쉬가 1956년에 리만 다양체에 대한 유명한 매장 정리를 발표했기 때문에 이 정리는 당시에는 사용할 수 없었다. 1943년에 Allendoerfer와 베유은 일반적인 경우에 대한 증명을 발표했는데, 여기서 그들은 먼저 H. 휘트니의 근사 정리를 사용하여 사례를 해석 리만 다양체로 축소한 다음, 다양체의 "작은" 이웃을 등장적으로 유클리드 공간에 매장했다. 카르탕-자네 국소 매장 정리의 도움으로 이러한 매장된 이웃을 함께 패치하고 위의 Allendoerfer 및 Fenchel 정리를 적용하여 전역 결과를 설정할 수 있다. 물론 이것은 정리가 다양체의 고유 불변량만을 포함하므로 정리의 타당성은 유클리드 공간에 포함되는 것에 의존해서는 안 되기 때문에 만족스럽지 않다. 베유은 천이 1943년 8월 도착한 후 프린스턴에서 천을 만났다. 그는 천에게 본질적인 증거가 있어야 한다고 믿었으며 천은 2주 이내에 이를 얻을 수 있었다. 그 결과는 내년에 Annals of Mathematics에 게재된 천의 고전 논문 "닫힌 리만 다양체에 대한 가우스-보네 공식의 간단한 고유 증명"이다. 이 문서에서는 천이 Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer 및 베유의 초기 작업을 인용했다. Allendoerfer와 베유의 작업은 동일한 주제와 관련된 천의 두 번째 논문에서도 인용되었다.

응용
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천-가우스-보네 정리는 특성류 이론의 특별한 사례로 볼 수 있다. 천 적분은 오일러 특성류이다. 이는 최고차 미분 형식이므로 닫힌 형식이다. 오일러 특성류의 자연성은 리만 계량을 바꿀 때 코호몰로지 특성류는 불변임을 뜻한다. 즉, 오일러 특성류의 적분은 계량이 바뀔 때 일정하게 유지되며 따라서 매끄러운 구조의 전역 불변량이다.

이 정리는 또한 다음을 포함하여 물리학에서 수많은 응용을 발견했다:

* 단열 페이즈 또는 베리 페이즈
* 끈이론
* 응집물질물리학
* 위상 양자장론
* 물질의 위상수학적 페이즈(Duncan Haldane et al.의 2016년 노벨 물리학상 참조).