유체론에서 **아델 환**(adèle環, 영어: adèle ring)은 유리수체나 다른 대수적 수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 **아델**(영어: adèle)이라고 한다.

정의
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### 정수 아델 환

정수환 \mathbb {Z} 의 사유한 완비 \hat{\mathbb Z}는 다음과 같다.

{\hat {{\mathbb Z}}}{\stackrel {{\text{def}}}=}\varprojlim {\mathbb Z}/n=\prod \_{p}{\mathbb Z}\_{p}
여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

**정수 아델 환**(영어: ring of integral adèles) {\mathbb A}\_{{{\mathbb Z}}}는 다음과 같다.

{\mathbb A}\_{{{\mathbb Z}}}={\mathbb R}\times {\hat {{\mathbb Z}}}
### 대역체의 이델 환

대역체 K의 아델 환은 다음과 같다.:357

\mathbb A\_K=\prod\_v'K\_v
여기서 K\_v는 자리 v에 대한 완비화 국소체이며, \prod\_v'는 모든 자리에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.

\forall a\in\mathbb A\_K\colon\{v\colon v(a\_v)>0\}<\aleph\_0
즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.

만약 K가 대수적 수체 K인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나타낼 수도 있다.

\mathbb A\_K=K\otimes\_{\mathbb Z}\mathbb A\_{\mathbb Z}
예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

{\mathbb A}\_{{{\mathbb Q}}}={\mathbb R}\times \prod \_{p}'{\mathbb Q}\_{p}
여기서 \mathbb Q\_p는 p진수체이고, \prod '는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. {\mathbb A}\_{{{\mathbb Q}}}의 원소 (a\_{\infty },a\_{2},a\_{3},a\_{5},\dots ) 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

### 성질

수체 K에 대하여, 아델 환 \mathbb A\_K의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다.

이델 군
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아델 환 \mathbb A\_K의 가역원들의 군 {\mathbb A}\_{K}^{\times }를 **이델 군**(idèle群, 영어: idèle group)이라고 한다.:357 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다.:361 우선, 아델 환의 곱집합 \mathbb A\times\mathbb A에 곱공간 위상을 주자. 이델 군 {\displaystyle \mathbb {K} ^{\times }}는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다.

{\displaystyle \iota \colon \mathbb {A} \_{K}^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} \_{K}\times \mathbb {A} \_{K}}
\iota\colon x\mapsto(x,x^{-1})
이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, {\mathbb A}\_{K}^{\times }는 위상군을 이룬다.

대역체 K의 이델 군 {\mathbb A}\_{K}^{\times }의 경우, 가역원군 K^\times로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

{\displaystyle i\colon K^{\times }\to \mathbb {A} \_{K}^{\times }}
i\colon a\mapsto (a,a,a,\dots )\in \prod \_{p}'K\_{p}^{\times }
이 준동형의 상을 **주 이델**(영어: principal idèle)이라고 한다.:359, Definition VI.1.2 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군 C\_K를 **이델 유군**(idèle類群, 영어: idèle class group)이라고 한다.:359, Definition VI.1.2

### 성질

이델 군은 국소 콤팩트 위상군을 이룬다.:361, Proposition IV.1.5

유체론에 따라서, 임의의 대역체 K에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군 준동형이 존재하며, 이를 **대역 아르틴 준동형**이라고 한다.

{\displaystyle C\_{K}\to \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {ab} }/K)}
여기서 {\displaystyle K^{\operatorname {ab} }}는 K의 극대 아벨 확대이다.
이를 통하여, 다음과 같은 사유한군의 동형이 존재한다. (여기서 좌변은 이델 유군의 사유한 완비이다.)

{\displaystyle {\hat {C}}\_{K}\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {ab} }/K)}

역사
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"이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 도입하였다.:357 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"(프랑스어: élément idéal 엘레망티데알[\*])이라는 이름으로 도입하였고, 1940년에는 헬무트 하세의 의견을 따라 프랑스어: idèle 이델[\*]로 축약하였다. 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.:357

앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다. 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"(영어: valuation vector)라고 불렸고, 클로드 슈발레는 이를 재분배(영어: repartition)라고 불렀다. "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며, 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"(프랑스어: idèle additif 이델 아디티프[\*])을 줄인 것이다.:357

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
2. ↑  Chevalley, Claude (1936). "Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies". 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 (프랑스어) **15**: 359–371. JFM 62.1153.02.
3. ↑  Chevalley, Claude (1940). "La théorie du corps de classes". 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (프랑스어) **41**: 394–418. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969013. MR 0002357.
4. ↑  Weil, André (1938). "Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen". 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 (독일어) **179**: 129–133. doi:10.1515/crll.1938.179.129. ISSN 0075-4102.
5. ↑  Tate, John T. (1950). 〈Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions〉. 《Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf. Brighton, 1965)》 (영어). Thompson, Washington, D.C. 305–347쪽. ISBN 978-0-9502734-2-6. MR 0217026.
6. ↑  Chevalley, Claude (1951). 《Introduction to the theory of algebraic functions of one variable》. Mathematical Surveys (영어) **6**. American Mathematical Society. MR 0042164.
7. ↑  Jaffard, Paul (1954년 12월). "Anneaux d’adèles (d’après Iwasawa)". 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) **3** (103): 23–33. MR 1611369. Zbl 0138.03301.

* Fröhlich, Albrecht; J. W. Cassels (1967). 《Algebraic number theory》 (영어). Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9. Zbl 0153.07403.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **110** 2판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723. Zbl 0811.11001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)