해석학에서 **아벨 극한 정리**(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.:41-42, §2.5

정의
--

중심이 0인 실수 멱급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}\qquad (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots \in \mathbb {R} )}
의 수렴 반지름이 {\displaystyle 0<r<\infty }이라고 하자. **아벨 극한 정리**에 따르면, 만약

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}r^{n}}
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.:177, §20, Theorem 100

{\displaystyle \lim \_{x\to r^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}r^{n}}
또한, 만약

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(-r)^{n}}
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.:178, §20

{\displaystyle \lim \_{x\to (-r)^{+}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(-r)^{n}}

증명
--

편의상 r=1이고:220, §11.2

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}
이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 [0,1]에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 {\displaystyle (f\_{n},g\_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )\_{n=0}^{\infty }}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle f\_{n}(x)=a\_{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)}
{\displaystyle g\_{n}(x)=x^{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)}
그렇다면,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}(x)}
는 [0,1]에서 균등 수렴하고, 임의의 {\displaystyle x\in [0,1]}에 대하여, {\displaystyle (g\_{n}(x))\_{n=0}^{\infty }}는 감소 수열이다. 또한, 임의의 {\displaystyle x\in [0,1]} 및 {\displaystyle n\geq 0}에 대하여,

{\displaystyle |g\_{n}(x)|\leq 1}
이다. 아벨 판정법에 의하여,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}}
은 [0,1]에서 균등 수렴한다.

따름정리
----

아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.:221, §11.2, 따름정리2 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

예
-

아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이 이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-\cdots }
를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 {\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }를 정의하자.

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{3n+1}}{3n+1}}\qquad (x\in [0,1])}
그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 f는 연속 함수이다. 임의의 {\displaystyle x\in [0,1)}에 대하여

{\displaystyle f'(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{3n}={\frac {1}{1+x^{3}}}}
이므로, 임의의 {\displaystyle x\in [0,1)}에 대하여

{\displaystyle f(x)=f(0)+\int \_{0}^{x}f'(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{6}}\ln {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}}
이다. 따라서,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=f(1)=\lim \_{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {1}{3}}\ln 2+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
이다.

일반화
---

### 경계점에서 무한대로 발산하는 경우

중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}\qquad (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots \geq 0)}
의 수렴 반지름이 {\displaystyle 0<r<\infty }이고,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}r^{n}=\infty }
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:178, §20

{\displaystyle \lim \_{x\to r^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=\infty }
### 경계점에서 수렴하지 않는 경우

중심이 0인 실수 멱급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}\qquad (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots \in \mathbb {R} )}
의 수렴 반지름이 {\displaystyle 0<r<\infty }라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:189, Exercise 70

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}r^{k}\leq \limsup \_{x\to r^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}\leq \limsup \_{n\to \infty }\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}r^{k}}
### 복소수의 경우

중심이 0인 복소수 멱급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}z^{n}\qquad (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots \in \mathbb {C} )}
의 수렴 반지름이 {\displaystyle 0<r<\infty }이고, {\displaystyle |\zeta |=r}인 어떤 {\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }에 대하여

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\zeta ^{n}}
이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \lim \_{t\to 1^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(t\zeta )^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\zeta ^{n}}
보다 일반적으로, 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \operatorname {ball} \_{\mathbb {C} }(0,r)\cup \{\zeta \}}가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 {\displaystyle \operatorname {ball} }은 열린 공이다.)

* {\displaystyle \gamma (1)=\zeta }
* {\displaystyle \sup \_{t\in [0,1)}{\frac {|\zeta -\gamma (t)|}{|\zeta |-|\gamma (t)|}}<\infty }

그렇다면, 다음이 성립한다.:41, §2.5, Theorem 3

{\displaystyle \lim \_{t\to 1^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\gamma (t)^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\zeta ^{n}}

역사
--

독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다.

참고 문헌
-----

* 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.