구면 상의 평행 운송의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다.
미분기하학에서, 매끄러운 다양체 상에 주어진 코쥘 접속 또는 에레스만 접속의 **홀로노미**(holonomy)는 곡률의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 평행 운송을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 모노드로미의 일종이며, 본질적으로 대역적인(global) 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\to M
* E 속의 코쥘 접속 \nabla
* 점 x\in M

그렇다면, x를 통과하는 조각마다 매끄러운 폐곡선 \gamma \in {\mathcal L}\_{x}에 대하여, 코쥘 접속은 평행 운송 사상

P\_{\gamma }\colon E\_{x}\to E\_{x}
을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, 일반 선형군 {\displaystyle \operatorname {GL} (E\_{x})}의 원소이다. 점 x\in M에서의 **(대역) 홀로노미**(영어: global holonomy) \operatorname {Hol}\_{x}(\nabla )는 다음과 같은 부분군이다.

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{x}(\nabla )=\{P\_{\gamma }\in {\mbox{GL}}(E\_{x})\mid \gamma \in {\mathcal {L}}\_{x}\}\leq \operatorname {GL} (E\_{x})}
(폐곡선들을 이으면 {\displaystyle P\_{\gamma \gamma '}=P\_{\gamma }P\_{\gamma '}}이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면 {\displaystyle P\_{\bar {\gamma }}=P\_{\gamma }^{-1}}이 되므로, 이는 부분군을 이룬다.)

여기서 {\mathcal L}\_{x} 대신 상수 함수와 호모토픽한 조각마다 매끄러운 고리의 집합 {\mathcal L}\_{x}^{0}\subset {\mathcal L}\_{x}를 쓰면 **국소 홀로노미**(영어: local holonomy)

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{x}^{0}(\nabla )=\{P\_{\gamma }\in {\mbox{GL}}(E\_{x})\mid \gamma \in {\mathcal {L}}\_{x}^{0}\}\leq \operatorname {Hol} \_{x}(\nabla )}
를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.

엠브로즈-싱어 정리
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엠브로즈-싱어 정리는 워렌 엠브로즈(Warren Ambrose)와 이사도어 싱어(Isadore M. Singer)의 정리로, 주다발안에서 접속의 홀로노미와 접속의 곡률 형식에 대한 정리다. 예를 들어 아핀 접속에서 곡률은 미소평행사변형을 따라서 생긴다.

일반적으로, 리 군 구조 *G*를 갖춘 *P*위의 주다발*P* → *M* 안에서 접속의 홀로노미를 보자. {\mathfrak {g}}를 *G*의 리 대수라고 하자. 이 접속의 곡률 형식은 *P*위의 {\mathfrak {g}}-값 2-형식 Ω이다. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다:

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )}의 리 대수는 형식 {\displaystyle \Omega \_{q}(X,Y)}의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 *q*는 *p*와 수평곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(*q* ~ *p*), *X* 와 *Y*는 *q*에서 수평 접벡터들이다.

리만 다양체의 홀로노미
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리만 다양체는 그 접다발과 레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. n차원 리만 다양체의 홀로노미는 O(n)의 닫힌 리 부분군이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 SO(n)의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.

### 가약 홀로노미와 드 람 분해

### 베르제 분류

"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제(프랑스어: Marcel Berger)가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다. 여기서 "일반적"이란 것은 단일 연결이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 대칭 공간이 아닌 다양체다.

| 홀로노미 | 차원 | 종류 |
| --- | --- | --- |
| SO(*n*) | *n* | 가향 다양체 |
| U(*n*) | 2*n* | 켈러 다양체 |
| SU(*n*) | 2*n* | 칼라비-야우 다양체 |
| Sp(*n*)·Sp(1) | 4*n*  | 사원수-켈러 다양체 |
| Sp(*n*) | 4*n* | 초켈러 다양체 |
| G2 | 7 | (이름 없음) |
| Spin(7) | 8 | (이름 없음) |

Sp(*n*) ⊂ SU(2*n*) ⊂ U(2*n*) ⊂ SO(4*n*)이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체이고, 모든 켈러 다양체는 가향다양체다.

준 리만 다양체의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다.

| 홀로노미 | 차원 |
| --- | --- |
| SO(*p*,*q*) | (*p*,*q*) |
| SO(*n*,ℂ) | (*n*, *n*) |
| U(*p*,*q*) | (2*p*, 2*q*) |
| SU(*p*,*q*) | (2*p*, 2*q*) |
| Sp(*p*,*q*)·Sp(1) | (4*p*, 4*q*) |
| Sp(*p*,*q*) | (4*p*, 4*q*) |
| 분할 G₂ | (4,3) |
| G₂(ℂ) | (7,7) |
| Spin(4,3) | (4,4) |
| Spin(7,ℂ) | (7,7) |

(국소) 대칭 공간은 정의상 국소적으로 *G*/*H*의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 *G*는 리 군, *H*는 특정한 성질을 지닌 부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 *H*이다.

### 홀로노미와 스피너

스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 스핀 접속 *ω*를 지니므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(*ω*)를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2*n*차원 스핀 다양체를 생각하자.

* Hol(*ω*) ⊂ U(*n*)의 필요 충분 조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
* Hol(*ω*) ⊂ SU(*n*)의 필요 충분 조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
* 7차원에서, Hol(*ω*) ⊂ G₂의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
* 8차원에서, Hol(*ω*) ⊂ Spin(7)의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.

#### 끈 이론에 응용

이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.

참고 문헌
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1. ↑  Sternberg 1964, Theorem VII.1.2 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFSternberg1964 (help)
2. ↑  Berger, M. (1955). "Sur les groupes d’holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes". 《Bull. Soc. Math. France》 **83**: 225–238. Zbl 0068.36002.
3. ↑  Joyce, Dominic. "Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry". arXiv:math/0108088.

* 김홍종 (2000). "리만 다양체의 홀로노미군". 《Communications of the Korean Mathematical Society》 **15** (4): 555–585. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
* Beauville, Arnaud (1999). "Riemannian holonomy and algebraic geometry". arXiv:math/9902110.
* Gubser, Steven S. (2004년 3월). 〈Special holonomy in string theory and M-theory〉. 《Strings, Branes And Extra Dimensions: TASI 2001》. River Edge, New Jersey: World Scientific. 197–234쪽. arXiv:hep-th/0201114. doi:10.1142/9789812702821\_0003. ISBN 978-981-238-788-2.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Bryant, Robert J. (1988년 3월). 〈A survey of Riemannian metrics with special holonomy groups]〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986》. American Mathematical Society. ISBN 978-0821801109. 2017년 8월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 2월 21일에 확인함.
* Galaev, Anton; Thomas Leistner. "Recent developments in pseudo-Riemannian holonomy theory" (PDF).  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Salamon, Simon M. (1989). 《Riemannian geometry and holonomy groups》 (PDF). Pitman Research Notes in Mathematics 201. Harlow: Longman Scientific & Technical. ISBN 0-582-01767-X. MR 1004008. Zbl 0685.53001.