미적분학에서 **교대급수**(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. **교대급수 판정법**(交代級數判定法, 영어: alternating series test)에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다.

정의
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### 교대급수

음이 아닌 실수의 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }} ({\displaystyle a\_{n}\geq 0\forall n\geq 0})에 대한 **교대급수**는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}=a\_{0}-a\_{1}+a\_{2}-a\_{3}+\cdots }
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a\_{n}=-a\_{0}+a\_{1}-a\_{2}+a\_{3}-\cdots }
### 교대급수 판정법

음이 아닌 실수의 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }} ({\displaystyle a\_{n}\geq 0\forall n\geq 0})에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.

* 감소수열이다. 즉, {\displaystyle a\_{0}\geq a\_{1}\geq a\_{2}\geq \cdots }
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0}

그렇다면, 교대급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}=a\_{0}-a\_{1}+a\_{2}-\cdots }
는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.:183

{\displaystyle \left|\sum \_{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a\_{i}\right|\leq a\_{n}}
이를 **교대급수 판정법**이라고 한다.

디리클레 판정법을 통한 증명:

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-\cdots }
는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.


직접적인 증명:

교대급수의 부분합

{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-1)^{i}a\_{i}}
을 생각하자.

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n+2}&=S\_{n}+(-1)^{n+1}a\_{n+1}+(-1)^{n+2}a\_{n+2}\\&=S\_{n}+(-1)^{n+1}(a\_{n+1}-a\_{n+2})\end{aligned}}}
이므로, {\displaystyle n}이 홀수일 때 {\displaystyle S\_{n+2}\geq S\_{n}}이며, {\displaystyle n}이 짝수일 때 {\displaystyle S\_{n+2}\leq S\_{n}}이다. 즉, {\displaystyle (S\_{2k+1})\_{k=0}^{\infty }}는 증가수열이며, {\displaystyle (S\_{2k})\_{k=0}^{\infty }}은 감소수열이다. 또한,

{\displaystyle S\_{2k+1}=S\_{2k}+(-1)^{2k+1}a\_{2k+1}=S\_{2k}-a\_{2k+1}\leq S\_{2k}}
이므로,

{\displaystyle S\_{1}\leq S\_{3}\leq S\_{5}\leq \cdots \leq S\_{4}\leq S\_{2}\leq S\_{0}}
이다. 특히, {\displaystyle S\_{1}}과 {\displaystyle S\_{0}}은 수열 {\displaystyle (S\_{n})\_{n=0}^{\infty }}의 하계와 상계이다. 따라서 {\displaystyle (S\_{2k+1})\_{k=0}^{\infty }}과 {\displaystyle (S\_{2k})\_{k=0}^{\infty }}은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

{\displaystyle S=\lim \_{k\to \infty }S\_{2k+1}\in \mathbb {R} }
{\displaystyle S'=\lim \_{k\to \infty }S\_{2k}\in \mathbb {R} }
라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle 0=\lim \_{k\to \infty }a\_{2k+1}=\lim \_{k\to \infty }(S\_{2k}-S\_{2k+1})=S-S'}
이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 {\displaystyle (S\_{n})\_{n=0}^{\infty }}은 ({\displaystyle S=S'}으로) 수렴한다. 항상

{\displaystyle 0\leq a\_{0}-a\_{1}=S\_{1}\leq S\_{n}\leq S\_{0}=a\_{0}}
이므로,

{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a\_{i}\right|\leq a\_{0}}
이다. 수열 {\displaystyle (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots )}을 수열 {\displaystyle (a\_{n},a\_{n+1},a\_{n+2},\dots )}로 대체하면 부등식

{\displaystyle \left|\sum \_{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a\_{i}\right|\leq a\_{n}}
을 얻는다.

예
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모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }
를 생각하자. 수열 {\displaystyle (1/n)\_{n=0}^{\infty }}은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2}
이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

{\displaystyle \sum \_{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )}
를 생각하자.

* 만약 {\displaystyle p>1}이거나 {\displaystyle p=1}, {\displaystyle q>1}이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.
* 만약 {\displaystyle p=1}, {\displaystyle q\leq 1}이거나 {\displaystyle 0<p<1}이거나 {\displaystyle p=0}, {\displaystyle q>0}이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 {\displaystyle x\gg 1}에 대하여 {\displaystyle (x^{-p}\ln ^{-q}x)'=x^{-p-1}\ln ^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0}이므로, {\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)}은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 {\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)}은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다.
* 만약 {\displaystyle p=0}, {\displaystyle q\leq 0}이거나 {\displaystyle p<0}이라면, {\displaystyle (-1)^{n}/(n^{p}\ln ^{q}n)}은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.

참고 문헌
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1. ↑  김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.