호모토피 이론에서 **설리번 대수**(Sullivan代數, 영어: Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 **유리수 호모토피 이론**(有理數homotopy理論, 영어: rational homotopy theory)이라고 한다.

정의
--

체 K 위의 **설리번 대수** {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}는 다음과 같은 데이터로 주어진다.:Definition 1.10

* 정렬 집합 {\displaystyle (B,\leq )}. 이로부터 K-벡터 공간 {\displaystyle V=\operatorname {Span} \_{K}B}을 정의할 수 있다.
* 함수 {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }. 이로부터 등급 벡터 공간 {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }V\_{i}}, {\displaystyle \textstyle V\_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
* 함수 {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to \bigwedge (V)}. 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)}로 연장된다.

이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 임의의 b\in B에 대하여, {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in \bigwedge (\operatorname {Span} \_{K}\{c\in B\colon c<b\})}이다.
* {\displaystyle \textstyle (\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )}는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

설리번 대수 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}가 다음 조건을 만족시킨다면, **최소 설리번 대수**(最少Sullivan代數, 영어: minimal Sullivan algebra)라고 한다.

{\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}는 증가 함수이다. 즉, 임의의 {\displaystyle b,c\in B}에 대하여 {\displaystyle b\leq c}라면 {\displaystyle \deg b\leq \deg c}이다.:Definition 1.10
### 상대 설리번 대수

보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.

체 K 위의 가환 미분 등급 대수 A 위의 **상대 설리번 대수**(相對Sullivan代數, 영어: relative Sullivan algebra)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 정렬 집합 {\displaystyle (B,\leq )}. 이로부터 K-벡터 공간 {\displaystyle V=\operatorname {Span} \_{K}B}을 정의할 수 있다.
* 함수 {\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }. 이로부터 등급 벡터 공간 {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }V\_{i}}, {\displaystyle \textstyle V\_{i}=\operatorname {Span} \{b\in B\colon \deg b=i\}}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
* 함수 {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon B\to A\otimes \_{K}\bigwedge (V)}. 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \colon A\otimes \_{K}\bigwedge (V)\to A\otimes \_{K}\bigwedge (V)}로 연장시킬 수 있다.

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* 임의의 a\in A 및 b\in B에 대하여, {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} b\in A\otimes \_{K}\bigwedge (\operatorname {Span} \_{K}\{c\in B\colon c<b\})}이다.
* {\displaystyle \textstyle (A\otimes \_{K}\bigwedge (V),\wedge ,\mathrm {d} )}는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이 정의에서, 만약 {\displaystyle \deg \colon (B,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}가 증가 함수라면, 이를 **최소 상대 설리번 대수**(最小相對Sullivan代數, 영어: minimal relative Sullivan algebra)라고 한다.

설리번 대수는 {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)} 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)} 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

연산
--

가환 미분 등급 대수 A에 대한 임의의 상대 설리번 대수 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}에 대하여, 임의의 b\in B에 대하여, {\displaystyle B'=\{b'\in B\colon b'<b\}}를 정의하면, {\displaystyle (B',\leq \upharpoonright B'^{2},\deg \upharpoonright B',\mathrm {d} \upharpoonright B')} 역시 A 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 {\displaystyle \upharpoonright }은 함수의 제한을 뜻한다.)

또한, 만약 B가 최소 상대 설리번 대수라면 {\displaystyle B'} 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

성질
--

### 낮은 차수가 자명한 설리번 대수

집합 B 및 함수

{\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }
및 임의의 함수

{\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to V=\bigwedge (\operatorname {Span} \_{K}B)}
가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여

{\displaystyle \mathrm {d} \colon V\to V}
로 연장시킬 수 있다. {\displaystyle (V,\mathrm {d} ,\wedge )}가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:Remark 1.11

* 만약 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}라면, B 위에는 항상 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.
* 만약 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}이며, 임의의 b\in B에 대하여 {\displaystyle \mathrm {d} b\in \textstyle \bigoplus \_{n\geq 2}(\operatorname {Span} \_{K}B)^{\wedge n}}이라면 (즉, {\displaystyle \mathrm {d} b}가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), B 위에는 항상 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.

또한, 만약 {\displaystyle \forall b\in B\colon \deg b\geq 2}일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

### 위상 공간의 설리번 대수

임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간) X에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 A\_{{{\text{PL}}}}(X)를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. **형식적 공간**(영어: formal space)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 **유리수 호모토피 동치**(영어: rational homotopy equivalence)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

### 위상 공간의 호모토피 군

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}와 유사동형이라고 하자. 또한, X가 멱영 공간이라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \pi \_{i}(X)\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \operatorname {Span} \_{\mathbb {Q} }\deg ^{-1}(i)}
즉, X의 i차 호모토피 군의 계수는 차수 i를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

### 이분율

코호몰로지

{\displaystyle \bigoplus \_{i}\operatorname {H} ^{i}(X)}
의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 X는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.

* **타원형**(영어: elliptic): {\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus \_{i}\pi \_{i}(X)<\infty }
* **쌍곡형**(영어: hyperbolic): {\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus \_{i}\pi \_{i}(X)=\infty }

타원형 최소 설리번 대수 X에 대하여, 그 생성원의 차수들이

{\displaystyle 2a\_{1},2a\_{2},\dotsc ,2a\_{p}}
및

{\displaystyle 2b\_{1}-1,2b\_{2}-2,\dotsc ,2b\_{q}-1}
라고 하자. 즉, p개의 짝수 차수 생성원과 q개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.:Theorem 2.27

{\displaystyle \sum \_{i}(2b\_{i}-1)-\sum \_{j}(2a\_{j}-1)=\operatorname {fdim} X}
{\displaystyle \sum \_{j}a\_{j}\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {fdim} X}
{\displaystyle \sum \_{i}(2b\_{i}-1)\leq 2(\operatorname {fdim} X)-1}
{\displaystyle p\leq q}
여기서

{\displaystyle \operatorname {fdim} X=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{n}(X)\neq 0\}}
은 X의 **형식적 차원**(영어: formal dimension)이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.

* 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, {\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum \_{i}^{n}\pi \_{n}(X)\geq C^{n}}이 되는 실수 {\displaystyle C>1} 및 자연수 N\in \mathbb {N} 이 존재한다.:Theorem 2.33
* 임의의 k\ge1에 대하여, {\displaystyle \pi \_{i}(X)\neq 0}이며 {\displaystyle k<i<k+n}인 i\in {\mathbb Z}가 존재한다.:Theorem 2.34
* 임의의 {\displaystyle k\gg 1}에 대하여, {\displaystyle \forall n\geq N\colon \sum \_{i=k+1}^{k+n-1}\dim \pi \_{i}(X)\geq {\frac {\dim \pi \_{k}(X)}{\dim \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}}}인 {\displaystyle k<i<k+n}가 존재한다.:Theorem 2.34

예
-

### 자명한 설리번 대수

임의의 정렬 집합 {\displaystyle (B,\leq )} 및 임의의 증가 함수

{\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }
에 대하여, 자명한 미분

{\displaystyle \mathrm {d} b=0}
을 부여하자. 그렇다면, {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,0)}은 최소 설리번 대수를 이룬다.

특히, {\displaystyle B=\varnothing }일 때, {\displaystyle (K,\mathrm {d} =0)}은 K 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.

### 홀수 차원 초구

n차원 초구 \mathbb {S} ^{n}의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {S} ^{n})\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}
따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a 하나만을 가지며, 이 경우 {\displaystyle \mathrm {d} a=0}이다.:259–260, Example 19.1 즉,

{\displaystyle B=\{a\}}
{\displaystyle \deg \colon a\mapsto 1}
{\displaystyle \mathrm {d} a=0}
이다.

### 짝수 차원 초구

짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a를 가지지만, a가 짝수 차수를 가지므로 a^{2}\neq 0이다. 따라서, a^{2}가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, 2n-1차의 생성원 b를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.:260, Example 19.2

{\displaystyle B=\{a,b\}}
a<b
{\displaystyle \deg \colon a\mapsto n}
{\displaystyle \deg \colon b\mapsto 2n-1}
{\displaystyle \mathrm {d} a=0}
{\displaystyle \mathrm {d} b=a^{2}}
이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)

### 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 \mathbb {CP} ^{n}의 유리수 계수 코호몰로지는

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {CP} ^{n})\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,2,\dots ,2n\\0&k\neq 0,2,\dots ,2n\end{cases}}}
이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.:260, Example 19.3

{\displaystyle B=\{a,b\}}
a<b
\deg a=2
\deg b=2n+1
{\displaystyle \mathrm {d} a=0}
{\displaystyle \mathrm {d} b=a^{n+1}}
무한 차원 복소수 사영 공간 \mathbb {CP} ^{\infty }의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 b가 없어져 더 간단하다.

\deg a=2
{\displaystyle \mathrm {d} a=0}
### 비형식적 최소 설리번 대수

형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.

{\displaystyle B=\{a,b,x,y\}}
{\displaystyle a<b<x<y}
\deg a=2,\quad \deg b=\deg x=3,\quad \deg y=4
{\displaystyle \mathrm {d} a=\mathrm {d} b=0,\qquad \mathrm {d} x=a^{2},\qquad \mathrm {d} y=ab}
이 설리번 대수의 코호몰로지는 [a], [b], [xb-ay]로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 f는 차수의 제약에 따라

f(a)\propto [a]
f(y)=0
f(b)\propto [b]
f(x)\propto [b]
가 되는데, 따라서

f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0
이 된다. 따라서, f는 유사동형이 될 수 없다.

### 설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조

다음과 같은 구성을 생각하자.

{\displaystyle B=\{x,y,z\}}
{\displaystyle \deg x=\deg y=\deg z=1}
{\displaystyle V=\bigwedge (\operatorname {Span} \_{K}B)}
{\displaystyle \mathrm {d} x=yz}
{\displaystyle \mathrm {d} y=zx}
{\displaystyle \mathrm {d} z=xy}
이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, V는 B로 생성되는 외대수이지만, B 위에는 {\displaystyle (B,\leq ,\deg ,\mathrm {d} )}가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 \le를 줄 수 없으며, {\displaystyle \operatorname {Span} \_{K}B}의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.:Example 1.12

역사
--

데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Griffiths, Philip Augustus; Morgan, John Willard (1981). 《Rational homotopy theory and differential forms》 (영어). Birkhäuser. MR 0641551. Zbl 0474.55001.
2. 1 2 3 4  Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **82**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8  Hess, Kathryn (2006). "Rational homotopy theory: a brief introduction" (영어). arXiv:math/0604626. Bibcode:2006math......4626H.
4. ↑  Sullivan, Dennis (1977). "Infinitesimal calculations in topology". 《Publications mathématiques de l’Institut des hautes études scientifiques》 (영어) **47**: 269–331. ISSN 0073-8301. MR 646078. Zbl 0374.57002.