이론물리학에서 **최소 모형**(最小模型, 영어: minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.

비초대칭 최소 모형
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유니터리 최소 모형은 하나의 정수

k=0,1,2,\dots 
으로 정의된다. 이는

{\frac {\widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{k}\times \widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{1}}{\widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{{k+1}}}}
잉여류로 정의되며,:104 이 경우 중심 전하는

c={\frac {3k}{k+2}}+1-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac 6{(k+2)(k+3)}}
이 된다.

최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.

h=h\_{{r,s}}(c)={\frac {((k+3)r-(k+2)s)^{2}-1}{4(k+2)(k+3)}}
여기서

r=1,2,3,\dots ,k+1
s=1,2,3,\dots r
이다.

최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 h=0은 생략하였다.)

| *k* | 중심 전하 *c* | 1차장 무게 *h* | 설명 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1/2 | 1/16, 1/2 | 임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다. |
| 2 | 7/10 | 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2 | 삼중 임계(tricritical) 이징 모형 |
| 3 | 4/5 | 1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3 | 임계 3상태 포츠 모형 |
| 4 | 6/7 | 1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5 | 삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형 |

𝒩=1 초등각 최소 모형
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{\mathcal N}=1 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류

{\frac {\widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{k}\times \widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{2}}{\widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{{k+2}}}}\qquad (k=1,2,3,\dots )
에 의하여 정의된다.:175 \widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{k}의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이므로, {\mathcal N}=1 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.:106:174–175

c={\frac {3k}{k+2}}+{\frac 32}-{\frac {3(k+2)}{(k+4)}}={\frac 32}\left(1-{\frac 8{(k+2)(k+4)}}\right)
이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.

h\_{{r,s}}={\frac {((k+4)r-(k+2)s)^{2}-4}{8(k+2)(k+4)}}+{\frac 1{32}}(1-(-1)^{{r-s}})
여기서 r=1,2,\dots ,k+1이며, s에 대한 조건은 다음과 같다.

* 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 r-s는 짝수이며, 1\leq s\leq r이다.
* 라몽(R) 경계 조건에서는 r-s는 홀수이며, 다음이 성립한다.

1\leq s\leq {\begin{cases}r-1&r\leq (k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}}
이에 따라, 진공을 포함해 총 \lfloor (k+2)^{2}/2\rfloor  개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 k의 경우 라몽 바닥 상태(h=c/24인 상태)가 하나 존재한다.

처음 몇 개의 {\mathcal N}=1 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (h=0) 및 G\_{{-1/2}}를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.

| *k* | 중심 전하 *c* | NS 1차장 | R 1차장 | 설명 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 7/10 | 1/10 | 7/16, 3/80 | 삼중 임계 이징 모형 (k=2 비초대칭 최소 모형)의 \mathbb {Z} /2 불변 부분:175 |
| 2 | 1 | 1/16, 1/6, 1 | 3/8, 1/24, 9/16, 1/16 | 반지름이 {\sqrt 3}인 원 위의 시그마 모형. k=1 {\mathcal {N}}=2 최소 모형과 같음 |
| 3 | 81/70 | 3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14 | 27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112 |
| 4 | 5/4 | 1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3 | 5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32 |

𝒩=2 초등각 최소 모형
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{\mathcal {N}}=2 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.:178–179

c={\frac {3k}{k+2}}\qquad (k=1,2,3,\dots )
이들은

{\frac {\widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{k}\times \widehat {{\mathfrak {u}}}(1)\_{2}}{\widehat {{\mathfrak {u}}}(1)\_{{k+2}}}}
잉여류로 정의할 수 있다.:188 이 경우 \widehat {{\mathfrak {su}}}(2)\_{k}의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이며 \widehat {{\mathfrak u}}(1)\_{k}의 중심 전하가 c=1이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.

### 장들의 목록

{\mathcal {N}}=2 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 (l,k,s)로 정해지며,
여기서

l=0,1,2,\dots ,k
m\in {\mathbb Z}/(2k+4)
s\in {\mathbb Z}/4
l+m+s\equiv 0{\pmod 2}
이며,

(l,m,s)\sim (k-l,m+k+2,s+2)
이면 같은 등각장을 나타낸다. s가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약

|m-s|\leq l
이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 q 및 등각 무게 h는 다음과 같다.

q=-{\frac m{k+2}}+{\frac s2}
h={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {s^{2}}8}
스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.

(l,m,s)\mapsto (l,m-2\eta ,s-2\eta )
이에 따라

h\_{{l,m,s}}\mapsto h\_{{l,m,s}}-\eta q+\eta ^{2}c/6
q\_{{l,m,s}}\mapsto q\_{{l,m,s}}-c\eta /3
이 된다.

### NS 장

NS 경계 조건의 초1차장들은

0\leq l\leq k
-l\le m\le l
s=0
에 대응하며, 총 (k+1)(k+2)/2개가 있다.

{\mathcal {N}}=2 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(영어: chiral field, h=q/2인 장)은 l=-m, s=0인 것들이며, 반손지기장(영어: antichiral field, h=-q/2인 장)은 l=m, s=0인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 k개가 있다. 라몽 바닥 상태(h=c/24인 장)는 (m,s)=(\pm (l+1),\pm 1)인 것들이며, 이 경우 q=\pm (k-l)/2(k+2)이다. 이들은 총 k+1개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들의 경우, G\_{{-1/2}}^{+} 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환

H^{\bullet }({\mathcal H}\_{k},G\_{{-1/2}}^{+})\cong {\mathbb C}[x]/(x^{{k+1}})
이다. 여기서 x^{l}은 (l,m,s)=(l,-l,0)에 대응한다.

### R 장

R 경계 조건의 초1차장들은

0\leq l\leq k
m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}
s=1
에 대응하며, 이 가운데 m=l+1인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 (k+1)(k+2)/2개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 k+1개는 라몽 바닥 상태, k(k+1)/2개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

### 예

처음 몇 개의 {\mathcal {N}}=2 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 G\_{{-1/2}}^{\pm } 또는 G\_{{-1/2}}^{+}G\_{{1/2}}^{-}를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.

| *k* | 중심 전하 *c* | 진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 *q* | 기타 NS 장 (h,q) | R 바닥 상태 *q* | 기타 R 장 (h,q) | 설명 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | ±⅓ | (없음) | ±⅙ | (⅜,±½) | 반지름이 {\sqrt 3}인 원 위의 시그마 모형. k=2 {\mathcal N}=1 최소 모형과 같음 |
| 2 | 3/2 | ±¼, ±½ | (½,0) | 0, ±¼ | (5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾) |
| 3 | 9/5 | ±⅕, ±⅖, ±⅗ | (⅖,0), (7/10,±⅕) | ±1/10, ±3/10 | (11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2) |
| 4 | 2 | ±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔ | (⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔) | 0, ±⅙, ±⅓ | (생략) |

예
-

### *c*=½ 최소 모형

c=1/2 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.

#### 이징 모형 표현

(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 \mathbb {Z} /2 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 c=1/2 최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 \sigma \_{{i,j}}=\pm 1이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장\langle \sigma \rangle 을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는

\langle \sigma \_{\alpha }\sigma \_{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{{-\eta }}
의 꼴을 갖는다. 여기서 d(\alpha ,\beta )는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장

\epsilon \_{{\alpha }}=\sum \_{{(\alpha ,\beta )}}\sigma \_{\alpha }\sigma \_{\beta }
를 생각하자. 여기서 \sum \_{{(\alpha ,\beta )}}는 \alpha 와 근접한 모든 \beta에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수

\langle \epsilon \_{\alpha }\epsilon \_{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{{2/\nu -2}}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 \alpha 와 \nu 는 c=1/2 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 (h,{\bar h})=(1/2,1/2)인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 (h,{\bar h})=(1/16,1/16)인 스칼라장에 대응한다.

#### 자유 페르미온

2차원 마요라나-바일 스피너장 \psi (z,{\bar z})는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서

\psi (z,{\bar z})=\psi (z)+{\bar \psi }({\bar z})
와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, \psi (z)는 무게가 (h,{\bar h})=(1/2,0)인 장이며, {\bar \psi }({\bar z})는 무게가 (0,1/2)인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, **뒤틀림장**(영어: twist field)이라고 한다.:§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,{\bar h})=(1/16,0), 반정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,{\bar h})=(0,1/16)이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은 c=1/2 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 \psi (z){\bar \psi }({\bar z})는 무게 (h,{\bar h})=(1/2,1/2)인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

### *c*=7/10 최소 모형

c=7/10 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(영어: tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 \sigma \in \{-1,0,+1\}의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은

H=K\sum \_{{\langle ij\rangle }}\sigma \_{i}\sigma \_{j}-\Delta \sum \_{i}\sigma \_{i}^{2}
이다. 이 이론에서는 온도 T 및 (입자수 \sum \_{i}\sigma \_{i}^{2}에 대응하는) 퓨가시티 z=\exp(-\mu )를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 z\to 0이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 T=T\_{0}(z=0)에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, T=0이며 z>0인 경우 어떤 z=z\_{0}에서 1차 상전이가 존재한다. (z\to 0이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, z\to \infty 라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, T와 z를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 **삼중점**(영어: tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 c=7/10 최소 모형으로 나타내어진다.

이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.

| 무게 (h,{\bar {h}}) | 설명 |
| --- | --- |
| (0,0) | 진공 |
| (3/80,3/80) | 평균 스핀 (자기화) \sigma  |
| (7/16,7/16) | 자기화 준밀도(영어: subleading magnetization density) |
| (1/10,1/10) | 에너지 밀도 |
| (3/5,3/5) | 양공 밀도(영어: vacancy) = 에너지 밀도의 초대칭짝 |
| (3/2,3/2) | 에너지 준밀도(영어: subleading energy density) = 초전류 |

### *c*=1 초대칭 최소 모형

c=1 {\mathcal {N}}=2 초대칭 최소 모형은 반지름이 {\sqrt 3}인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 \phi 의 지수들은 다음과 같다.

O\_{{n,{\bar n}}}=\exp(i(n\psi (z)+{\bar n}{\bar \psi }({\bar z}))/{\sqrt {12}})\qquad (n,{\bar n}\in {\mathbb Z};\;n-{\bar n}\equiv 0{\pmod 6})
\left(h(O\_{{n,{\bar n}}}),{\bar h}(O\_{{n,{\bar n}}})\right)=(n^{2}/24,{\bar n}^{2}/24)
\left(q(O\_{{n,{\bar n}}}),{\bar q}(O\_{{n,{\bar n}}})\right)=(n/6,-{\bar n}/6)
이 경우, n과 {\bar n}이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.

이 이론에서 {\mathcal {N}}=2 초등각 대수의 표현은 다음과 같다.

Q^{\pm }(z)=O\_{{\pm 6,0}}(z)
{\bar Q}^{\pm }({\bar z})=O\_{{0,\mp 6}}({\bar z})
J(z)=i\partial \phi (z)/{\sqrt 3}
{\bar J}({\bar z})=-i{\bar \partial }{\bar \phi }({\bar z})/{\sqrt 3}
이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 h={\bar h}, q={\bar q}이다.

| (h,q) | (n,{\bar n}) |
| --- | --- |
| NS (반)손지기장 (1/6,\pm 1/3) | (\pm 2,\pm 2) |
| 라몽 바닥 상태 (1/24,\pm 1/6) | (\pm 1,\pm 1) |
| 라몽 상태 (3/8,\pm 1/2) | (\pm 3,\pm 3) |

이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 G\_{{-1/2}}^{\pm }를 가하여 얻어진다. 예를 들어, (n,{\bar n})=(4,4)는 (n,{\bar n})=(-2,-2)에 G\_{{-1/2}}^{+}{\bar G}\_{{-1/2}}^{+}를 가하여 얻는다.

이 모형에, \phi \sim -\phi 와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, c=1 {\mathcal N}=1 초대칭 최소 모형을 얻는다.

참고 문헌
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2. 1 2  Friedan, D.; Z. Qiu, S. Shenker (1985). "Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions" (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) **151**: 37. 2015년 9월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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6. ↑   (영어). arXiv:1204.0446.  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)
7. 1 2  Ginsparg, Paul (1988년 11월). "Applied conformal field theory" (영어). arXiv:hep-th/9108028. Bibcode:1991hep.th....8028G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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* Di Francesco, P.; P. Mathieu, and D. Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》. Springer. ISBN 0-387-94785-X.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Cappelli, Andrea; Zuber, Jean-Bernard (2010). "A-D-E classification of conformal field theories". 《Scholarpedia》 (영어) **5** (4): 10314. arXiv:0911.3242. Bibcode:2009arXiv0911.3242C. doi:10.4249/scholarpedia.10314. ISSN 1941-6016.