조합론과 표현론에서 **영 타블로**(영어: Young tableau; 복수: tableaux)는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

정의
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**페러스 그림**(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.

페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.
**영 타블로**(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.

영 타블로의 예.
**표준 영 타블로**(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

**준표준 영 타블로**(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, (i,j)번째 칸의 **고리 길이**(영어: hook length) \operatorname {hook}(i,j)는 i'\geq i,j=j' 또는 i'=i,j'\geq j인 칸 (i',j') (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.

페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

표현론에서의 응용
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### 대칭군

대칭군 S\_{n}의 복소수 기약 표현은 총 n개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.

* 각 칸의 숫자는 1,\dots ,n 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.

이 경우, S\_{n} 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

\dim r={\frac {n!}{\prod \_{{i,j}}\operatorname {hook}(i,j)}}
예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다.

| 페러스 그림 | 고리 길이 | S4 표현 차원 |
| --- | --- | --- |
| □□□□ | 4321 | 1 |
| □□□□ | 4211 | 3 |
| □□□□ | 3221 | 2 |
| □□□□ | 4121 | 3 |
| □□□□ | 4321 | 1 |

### 선형군과 유니터리 군

일반선형군 GL(n,{\mathbb C})의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

* 각 열의 길이는 n 이하다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.

* 각 칸의 숫자는 1,\dots ,n 가운데 하나다.

이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\dim r=\prod \_{{(i,j)}}{\frac {n-i+j}{\operatorname {hook}(i,j)}}
특수선형군 SL(n,{\mathbb C})의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

* 각 열의 길이는 n 미만이다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 SU(n)의 복소화는 특수선형군 SL(n,{\mathbb C})이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

| 페러스 그림 | 고리 길이 | SU(*n*) 표현 차원 |
| --- | --- | --- |
| · | · | 1 |
| □ | 1 | n |
| □□ | 21 | n(n+1)/2 |
| □□ | 21 | n(n-1)/2 |
| □□□ | 321 | n(n+1)(n+2)/6 |
| □□□ | 311 | n(n^{2}-1)/3 |
| □□□ | 321 | n(n-1)(n-2)/6 |

이들 표현들은 *N*차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 *N*차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면

* 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.

예를 들어,

`i⃞ j⃞ k⃞  
l⃞ m⃞`
의 꼴의 영 타블로는

T^{{ijklm}}
꼴의 텐서에 대응한다. 이는

T^{{ijklm}}=T^{{(ijk)(lm)}}=T^{{[i|jk|l]m}}=T^{{i[j|kl|m]}}
의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

### 직교군

SO(*n*)의 경우, \operatorname {SO}(n)\subset \operatorname {SU}(n)을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(*n*)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

* 각 열의 길이가 \lfloor n/2\rfloor

만약 n이 짝수이고, 길이가 n/2인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(*n*) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. i번째 열의 길이를 r\_{i}, i번째 행의 길이를 c\_{i}라고 하자 (i\geq 1). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 **내용 함수**(영어: content function)을 정의하자.:10

C(i,j)={\begin{cases}r\_{i}+r\_{j}-i-j&i\geq j\\-c\_{i}-c\_{j}+i+j-2&i<j\end{cases}}
그렇다면 SO(*n*) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18

\dim r=\sum \_{{(i,j)}}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook}(i,j)}}
만약 n이 짝수이며 길이가 n/2인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.

예를 들어,

`i⃞ j⃞ k⃞  
l⃞ m⃞`
의 꼴의 영 타블로는

T^{{ijklm}}
꼴의 텐서에 대응하며,

T^{{ijklm}}=T^{{(ijk)(lm)}}=T^{{[i|jk|l]m}}=T^{{i[j|kl|m]}}
0=\delta \_{{ij}}T^{{ijklm}}=\delta \_{{ik}}T^{{ijklm}}=\delta \_{{jk}}T^{{ijklm}}=\delta \_{{lm}}T^{{ijklm}}
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

SO(*n*)의 경우, SU(*n*)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.

| 페러스 그림 | 고리 길이 | 내용 | SO(*n*) 표현 차원 | 페러스 그림 | Spin(*n*) 표현 차원 (n>6) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| · | · | · | 1 | · (s) | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }} |
| □ | 1 | +0 | n | □ (s) | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}(n-1) |
| □□ | 21 | +2 −1 | (n+2)(n-1)/2 | □□ (s) | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}n(n-1)/2 |
| □□ | 21 | +0−1 | n(n-1)/2 | □ (s)□ | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}n(n-3)/2 |
| □□□ | 321 | +4 −1 +0 | (n+4)(n-1)n/6 | □□□ (s) | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}n(n-1)(n+1)/6 |
| □□□ | 311 | +2 −2+0 | (n+2)(n-2)n/3 | □□ (s)□ | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}(n-2)(n-1)(n+3/2) |
| □□□ | 321 | +0−1−2 | n(n-1)(n-2)/6 | □ (s)□□ | 2^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}n(n-1)(n-5)/6 |

예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

| 스핀 | 0 | ½ | 1 | 1½ | 2 | 2½ | 3 | 3½ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 차원 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| SU(2) 영 타블로 | · | □ | □□ | □□□ | □□□□ | □□□□□ | □□□□□□ | □□□□□□□□ |
| SO(3) 영 타블로 | · | · (s) | □ | □ (s) | □□ | □□ (s) | □□□ | □□□ (s) |

마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

| 차원 | 1 | 4 | 4 | 6 | 10 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| SU(4) 영 타블로 | · | □ | □□□ | □□ | □□ | □□□□□□ |
| SO(6) 영 타블로 | · | · (s) | · (s) | □ | □ (SD)□□ | □ (ASD)□□ |

마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다.

| 스핀 | (0, 0) | (½, 0) | (0, ½) | (½, ½) | (1, 0) | (0, 1) | (1, ½) | (½, 1) | (1½, 0) | (0, 1½) | (1, 1) | (1½, ½) | (½, 1½) | (2, 0) | (0, 2) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| SU(2) 영 타블로 | (·, ·) | (□, ·) | (·, □) | (□, □) | (□□, ·) | (·, □□) | (□□, □) | (□, □□) | (□□□, ·) | (·, □□□) | (□□, □□) | (□□□, □) | (□, □□□) | (□□□□, ·) | (·, □□□□) |
| SO(4) 영 타블로 | · | s | s | □ | □ (SD)□ | □ (ASD)□ | □ (s) | □ (s) | □ (s)□ | □ (s)□ | □□ | □□ (SD)  □ | □□ (ASD)  □ | □□ (SD)  □□ | □□ (ASD)  □□ |

### 심플렉틱 군

짝수 n에 대하여, USp(*n*)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우

\operatorname {USp}(n)\subset \operatorname {SU}(n)
을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(*n*)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

* 각 열의 길이가 n/2 이하이다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(*n*) 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 \lambda 의 행의 길이가 r\_{1},r\_{2},\dots 이며, 열의 길이가 c\_{1},c\_{2},\dots 라고 하자. 우선, 다음과 같은 **내용 함수**(영어: content function)를 정의하자.:6

C(i,j)={\begin{cases}r\_{i}+r\_{j}-i-j+2&i>j\\-c\_{i}-c\_{j}+i+j&i\leq j\end{cases}}
그렇다면 USp(*n*) 표현의 차원은 다음과 같다.:Cor. 9

\dim r=\prod \_{{(i,j)}}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook}(i,j)}}
영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, \omega \_{{\mu \nu }}에 의한 축약이 모두 0이다.

예를 들어,

`i⃞ j⃞ k⃞  
l⃞ m⃞`
의 꼴의 영 타블로는

T^{{ijklm}}
꼴의 텐서에 대응하며,

T^{{ijklm}}=T^{{(ijk)(lm)}}=T^{{[i|jk|l]m}}=T^{{i[j|kl|m]}}
0=\omega \_{{il}}T^{{ijklm}}=\omega \_{{jm}}T^{{ijklm}}=0
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

| 페러스 그림 | 고리 길이 | 내용 | USp(*n*) 표현 차원 |
| --- | --- | --- | --- |
| · | 1 |
| □ | 1 | 0 | n |
| □□ | 21 | +0 +1 | n(n+1)/2 |
| □□ | 21 | −2+1 | {\displaystyle (n-2)(n+1)/2} |
| □□□ | 321 | +0 +1 +2 | n(n+1)(n+2)/6 |
| □□□ | 311 | −2 +0+2 | (n-2)n(n+2)/3 |
| □□□ | 321 | −4+0+1 | (n-4)n(n+1)/6 |

예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 차원 | 1 | 4 | 5 | 10 | 14 | 16 |
| SO(5) 영 타블로 | · | · (s) | □ | □□ | □□ | □ (s) |
| USp(4) 영 타블로 | · | □ | □□ | □□ | □□□□ | □□□ |

역사
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영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Campbell, Peter S.; Anna Stokke. "Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux" (영어). arXiv:0710.4155.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2  "Group theory for physicists" (PDF). 2011년 1월 12일. 2013년 10월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 11월 22일에 확인함.  이름 목록에서 `|이름1=`이(가) 있지만 `|성1=`이(가) 없음 (도움말)
3. ↑  O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001년 9월). "Alfred Young". 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

* Yong, Alexander (2007년 2월). "What is … a Young tableau?" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **54** (2): 240–241.
* Fulton, William (1997). 《Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-56724-6. MR 1464693. Zbl 0878.14034.
* Cvitanović, Predrag (2008). 《Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 9780691118369. MR 2418111. Zbl 1152.22001.
* Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group Theory: A Physicist’s Survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001.