| 대수 구조 |
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| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
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| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
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순서론에서 **모듈러 격자**(영어: modular lattice)는 일종의 약한 결합 법칙을 만족시키는 격자이다.

정의
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**오각형 격자**(영어: pentagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

격자 L에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 격자를 **모듈러 격자**라고 한다.

* (A) 모든 a,b,c\in L에 대하여, 만약 a\leq c라면 a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c이다.
* (B) 모든 a,b,c\in L에 대하여, (a\wedge c)\vee (b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c이다.
* (C) 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않는다.:11, Theorem 3.5:89, Theorem 4.10(i)

두 번째 조건은 항등식으로 서술되므로, 모듈러 격자의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 즉, 모듈러 격자의 경우 격자 준동형사상에 대한 상 · 부분 격자 · 곱 격자 연산에 대하여 닫혀 있다.

증명:

조건 (A) ⇔ 조건 (B). a\leq c는 {\displaystyle a\wedge c=a}와 동치이므로 자명하다.

조건 (A) ⇒ 조건 (C). 오각형 격자

{\displaystyle N\_{5}=\{\bot ,a,b,c,\top \}}
{\displaystyle \bot \leq a\leq c\leq \top }
{\displaystyle \bot \leq b\leq \top }
에서,

a\leq c
{\displaystyle (a\vee b)\wedge c=\top \wedge c=c}
{\displaystyle a\vee (b\wedge c)=a\vee \bot =a}
이다. 따라서, L은 오각형 격자를 부분 격자로 할 수 없다.

조건 (C) ⇒ 조건 (A). 임의의 격자 위에서, 만약 a\leq c라면, {\displaystyle a\vee (b\wedge c)\leq (a\vee b)\wedge c}이다. a\leq c이며 {\displaystyle a\vee (b\wedge c)<(a\vee b)\wedge c}인 a,b,c\in L이 존재한다고 가정하자.

{\displaystyle a'=a\vee (b\wedge c)}
{\displaystyle c'=(a\vee b)\wedge c}
라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle a\vee b=a'\vee b\leq c'\vee b\leq (a\vee b)\vee b=a\vee b}
{\displaystyle b\wedge c=c'\wedge b\geq a'\wedge b\geq (b\wedge c)\wedge b=b\wedge c}
이다. 즉,

{\displaystyle a'\vee b=c'\vee b=a\vee b}
{\displaystyle a'\wedge b=c'\wedge b=b\wedge c}
이다. 따라서,

{\displaystyle \{b\wedge c,a',b,c',a\vee b\}}
는 L의 오각형 부분 격자를 이룬다.

성질
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모든 분배 격자는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다. 모든 데자르그 격자(영어: Arguesian lattice)는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다.

예
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환의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 격자는 분배 격자이며, 따라서 모듈러 격자이다. 환의 가군의 부분가군들의 (포함 관계에 대한) 격자는 모듈러 격자이다.

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다.

역사와 어원
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모듈러 항등식은 리하르트 데데킨트가 아이디얼의 격자 및 부분가군의 격자를 연구하면서 최초로 발견하였다. 데데킨트는 격자를 "이중군"(독일어: Dualgruppe)라고 불렀으며, 모듈러 격자를 "가군형 이중군"(독일어: Dualgruppe vom Modultypus 두알그루페 폼 모둘튀푸스[\*])이라고 불렀고, 분배 격자를 "아이디얼형 이중군"(독일어: Dualgruppe vom Idealtypus 두알그루페 폼 이데알튀푸스[\*])이라고 불렀다. 오늘날 쓰이는 용어 "모듈러 격자"(영어: modular lattice)은 "가군"(영어: module 모듈[\*])에서 왔다.

참고 문헌
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1. ↑  Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **78**. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 2022년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 8월 8일에 확인함.
2. ↑  Davey, Brian A.; Priestley, Hilary A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. MR 1902334. Zbl 1002.06001.
3. ↑  Dedekind, Richard (1897). "Über Zerlegungen von Zahlen Durch Ihre Grössten Gemeinsamen Theiler". 《Fest-Schrift der Herzoglichen Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina》 (독일어) (Vieweg): 1–40. doi:10.1007/978-3-663-07224-9\_1. ISBN 978-3-663-06311-7. JFM 28.0186.04.
4. ↑  Dedekind, Richard (1900). "Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **53** (3): 371–403. doi:10.1007/BF01448979. JFM 31.0211.01.