비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.
비틀린 아핀 딘킨 도표들.
리 대수 이론에서, **아핀 리 대수**(affine Lie代數, 영어: affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의
--

아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

* 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다.
* 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다.
* 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다.

이 정의들은 서로 동치이다.

### 카츠-무디 대수로서의 정의

**아핀 리 대수**는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 A가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}가 n+1개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 (n+1)\times (n+1) 정사각 행렬이며 그 계수는 l이다.

### 대수적 구성

다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 {\displaystyle ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} },\langle |\rangle \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes \_{K}{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to \mathbb {C} )}. (만약 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)

그렇다면, **아핀 리 대수** {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}는 K-벡터 공간으로서 다음과 같다.

{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}}.
즉, {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}의 계수를 가진 로랑 다항식 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}에 중심 확대 {\displaystyle {\mathsf {k}}}를 더한 것이다. 물리학적으로 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}는 대칭의 보존류들을 나타내고, {\displaystyle {\mathsf {k}}}는 대칭의 변칙을 나타낸다.

{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }} 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. {\displaystyle a,b\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}라고 하면,

{\displaystyle [a{\mathsf {z}}^{m},b{\mathsf {z}}^{n}]=[a,b]{\mathsf {z}}^{m+n}+\delta \_{m+n,0}m\langle a|b\rangle {\mathsf {k}}}
{\displaystyle [{\mathsf {k}},a{\mathsf {z}}^{n}]=[{\mathsf {k}},{\mathsf {k}}]=0}
{\displaystyle {\mathsf {k}}}는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

{\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\otimes \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0}
이 존재한다.

형식적 변수 {\displaystyle {\mathsf {z}}} 대신, {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 정규 직교 기저 g^a를 잡아, 직접

{\displaystyle g\_{m}^{a}=g^{a}{\mathsf {z}}^{m}}
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.

{\displaystyle [g\_{m}^{a},g\_{n}^{b}]=f^{ab}{}\_{c}g\_{m+n}^{c}+\delta \_{m+n,0}m\delta ^{ab}{\mathsf {k}}}
{\displaystyle [{\mathsf {k}},g\_{m}^{a}]=0}
여기서 f^{{ab}}{}\_{c}는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 구조 상수이다.

#### 실수 형태

{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}가 실수 이차 리 대수 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

{\displaystyle {\mathsf {z}}\mapsto {\mathsf {z}}^{-1}}
{\displaystyle \mathrm {i} \mapsto -\mathrm {i} }
{\displaystyle {\mathsf {k}}\mapsto {\mathsf {k}}}
{\displaystyle x\mapsto x\qquad \forall x\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}
즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(영어: antilinear) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]+\mathbb {R} {\mathsf {k}}}
은 실수 리 대수를 이룬다.

#### 미분 연산의 추가

복소수 벡터 공간

{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }={\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

{\displaystyle [{\mathsf {d}},az^{m}]=-\mathrm {i} ma{\mathsf {z}}^{m}\qquad \forall a\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
{\displaystyle [{\mathsf {d}},{\mathsf {c}}]=0}
즉,

{\displaystyle [{\mathsf {d}},-]=-\mathrm {i} {\mathsf {z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {z}}}}}
이다. 만약 형식적으로 {\displaystyle {\mathsf {z}}=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})}로 놓는다면,

{\displaystyle [{\mathsf {d}},-]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {t}}}}}
가 된다.

또한,

{\displaystyle [{\mathsf {d}},a(z+z^{-1})]=-a\mathrm {i} (z-{\mathsf {z}}^{-1})}
{\displaystyle [{\mathsf {d}},\mathrm {i} a(z-z^{-1})]=a(z+{\mathsf {z}}^{-1})}
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}에도 잘 정의된다.

#### 뒤틀린 아핀 리 대수

{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, {\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})}로 놓으면, {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}를 주기적 함수 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}로 해석할 수 있다. 즉, a(0)=a(2\pi )의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}가 자명하지 않은 자기 동형 \sigma \in \operatorname {Aut} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

\sigma a(0)=a(2\pi ).
이와 같은 경우를 **뒤틀린 아핀 리 대수**(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 **뒤틀린 카츠-무디 대수**(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.

### 아핀 리 대수의 기하학적 정의

아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.:824, §4.1

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간

{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}
을 정의할 수 있다. 이는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.

{\displaystyle \iota \colon \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\otimes \_{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subseteq \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
{\displaystyle \iota ({\mathsf {z}}^{n}\otimes x)\colon t\mapsto \exp(\mathrm {i} tn)x\qquad (x\in {\mathfrak {g}},\;t\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} =\mathbb {S} ^{1})}
이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는

{\displaystyle \iota \_{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes \_{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
이다.

고리 리 대수 {\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

{\displaystyle \alpha \colon \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\times \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle \alpha \colon (x,y)\mapsto {\frac {\delta ^{2}}{2\pi }}\int \_{\mathbb {S} ^{1}}\langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm {d} t}
여기서

* {\displaystyle \langle -|-\rangle }은 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}} 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\*}} 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
* {\displaystyle \delta ^{2}}는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 {\displaystyle \langle -|-\rangle }에 따른 것이다.
* \mathbb {S} ^{1}의 측도 {\displaystyle \mathrm {d} t}에 따르면, {\displaystyle \textstyle \int \_{\mathbb {S} ^{1}}\mathrm {d} t=2\pi }이다.

이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열

{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to {\bar {\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to 0}
을 정의한다. 이 경우, {\mathfrak {g}}에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}는 자연스럽게 다음과 같이 {\displaystyle {\bar {\mathfrak {g}}}}의 부분 리 대수가 된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &\mathbb {R} &\to &{\hat {\mathfrak {g}}}&\to &{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\mathbb {R} &\to &{\bar {\mathfrak {g}}}&\to &\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}&\to &0\end{matrix}}}
### 리 군의 기하학적 정의

실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.:825, §4.1

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}}와 그 실수 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{G}})}
즉, 이는 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}}값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 {\displaystyle \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes \_{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열

{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}\to 1}
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 {\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}를 생각하자. 이제,

{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}=G\_{\mathbb {D} ^{2}}/{\mathcal {G}}}
{\displaystyle G\_{\mathbb {D} ^{2}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)}
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\alpha \in G\_{\mathbb {D} ^{2}}\colon \alpha \upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{2}=1\_{\stackrel {\circ }{G}}\}\cong {\mathcal {C}}\_{\bullet }^{\infty }(\mathbb {S} ^{2},{\stackrel {\circ }{G}})}
이다. 여기서 \mathcal G는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, {\displaystyle G\_{\mathbb {D} ^{2}}} 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.

{\displaystyle \gamma \colon G\_{\mathbb {D} ^{2}}\times G\_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle \gamma (g,h)={\frac {1}{4\pi \delta ^{2}}}\int \_{\mathbb {D} ^{2}}\langle g^{-1}\mathrm {d} g|h^{-1}\mathrm {d} h\rangle }
여기서

* {\displaystyle \langle -|-\rangle }는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}} 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 {\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {tr} (xy)}으로 여길 수 있다.
* {\displaystyle \delta ^{2}}는 {\displaystyle \langle -|-\rangle }에 따른, {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.

그렇다면,

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} l\gamma (-,-))\colon G\_{\mathbb {D} ^{2}}\times G\_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {C} \qquad (l\in \mathbb {Z} )}
는 (자명한 계수의) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)}의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 {\displaystyle G\_{\mathbb {D} ^{2}}}의 중심 확대

{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\_{\mathbb {D} ^{2}}\to G\_{\mathbb {D} ^{2}}\to 1}
를 정의한다. 

이제, 임의의 {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {G}}}에 대하여,

{\displaystyle \iota \_{l}\colon {\mathcal {G}}\to {\hat {G}}\_{\mathbb {D} ^{2}}}
{\displaystyle \iota \_{l}\colon \alpha \mapsto \left(\alpha ,\exp \left({\frac {\mathrm {i} l}{12\pi \delta ^{2}}}\int \_{\mathbb {D} ^{3}}\operatorname {tr} ({\bar {\alpha }}^{-1}\mathrm {d} {\bar {\alpha }})^{3}\right)\right)}
를 정의할 수 있다. 여기서

{\displaystyle {\bar {\alpha }}\colon \mathbb {D} ^{3}\to {\stackrel {\circ }{G}}}
{\displaystyle ({\bar {\alpha }}\upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{3})=\alpha }
는 {\displaystyle \alpha \colon \mathbb {S} ^{2}\to {\stackrel {\circ }{G}}}의, 3차원 공 {\displaystyle \mathbb {D} ^{3}}으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 {\displaystyle {\bar {\alpha }}}의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, {\displaystyle \iota \_{l}({\mathcal {G}})}는 {\displaystyle {\hat {G}}\_{\mathbb {D} ^{2}}}의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군

{\displaystyle {\hat {G}}\_{l}={\frac {{\hat {G}}\_{\mathbb {D} ^{2}}}{\iota \_{l}({\mathcal {G}})}}}
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열

{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\_{l}\to \mathrm {L} G\to 1}
을 구성한다. (정수 {\displaystyle l\in \mathbb {Z} }은 {\hat {\mathfrak {g}}}의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, {\displaystyle {\hat {G}}\_{l}}의 리 대수는 ({\displaystyle l\neq 0}일 경우, l의 값에 상관없이) {\hat {\mathfrak {g}}}이다.

성질
--

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

### 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수

아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 단순근들이 \alpha \_{0},\dots ,\alpha \_{n}이며, 단순 쌍대근들이 \alpha \_{0}^{\vee },\dots ,\alpha \_{n}^{\vee }라고 하자. **콕서터 라벨**(영어: Coxeter label) a\_{i}와 **쌍대 콕서터 라벨**(영어: dual Coxeter label) a\_{i}^{\vee }는 카르탕 행렬 A에 대하여

0=a^{\top }A=Aa^{\vee }
를 만족시키는 벡터이다.:96, (2.1.16) 이 경우, a 및 a^{\vee }의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 **콕서터 수**(영어: Coxeter number) h와 **쌍대 콕서터 수**(영어: dual Coxeter number) h^{\vee }는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

{\displaystyle {\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}}
{\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}^{\vee }}
아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **표준 중심 원소**(標準中心元素, 영어: canonical central element) k\in {\mathfrak {h}}는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}의 원소이다.

k=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}^{\vee }\alpha \_{i}^{\vee }
그렇다면, {\mathfrak {g}}의 중심은 1차원 부분 대수

{\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\mathbb {C} {\mathsf {k}}}
이다. 마찬가지로,

\delta =\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}\alpha \_{i}
를 정의하자.

### 근계의 구조

아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 기본 단순 리 대수가 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}라고 하자. r가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, {\tilde {D}}\_{4}^{(3)}의 경우, r=3이다. 그렇다면, {\mathfrak {g}}의 실근들의 집합 \Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})는 구체적으로 다음과 같다.:83, Proposition 6.3a,b,c

\Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})={\begin{cases}{\stackrel {\circ }{\Delta }}+\mathbb {Z} \delta &r=1\\({\stackrel {\circ }{\Delta }}\_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta )\cup ({\stackrel {\circ }{\Delta }}\_{\text{long}}+r\mathbb {Z} \delta )&r\in \{2,3\},\;{\mathfrak {g}}\not \cong A\_{2n}^{(2)}\\{\frac {1}{2}}\left({\stackrel {\circ }{\Delta }}\_{\text{long}}+(2\mathbb {Z} -1)\delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}\_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}\_{\text{long}}+2\mathbb {Z} \delta \right)&{\mathfrak {g}}\cong A\_{2n}^{(2)}\end{cases}}
{\mathfrak {g}}의 허근들의 집합 \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})는 다음과 같다.:64, Theorem 5.6b

{\displaystyle \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})=(\mathbb {Z} \setminus \{0\})\delta }
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, \delta 는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.:64, Theorem 5.6b

{\displaystyle \Delta ^{{\text{im}},+}({\mathfrak {g}})=\mathbb {Z} ^{+}\delta }
### 기본 단순 리 대수

단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, {\mathfrak {g}}의 **축척 원소**(영어: scaling element) d\in {\mathfrak {h}}는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

\langle \alpha \_{i},d\rangle =\delta \_{i,0}
축척 원소를 선택하였다면, {\mathfrak {g}}와 그 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
{\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} \{\alpha \_{0}^{\vee },\dots ,\alpha \_{r}^{\vee },d\}
{\mathfrak {h}}에서, k 및 d에 수직이 되는 부분 공간을 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}라고 하자.

{\displaystyle {\mathfrak {h}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 슈발레 생성원을

(e\_{0},f\_{0}),\dots ,(e\_{n},f\_{n})
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **기본 단순 리 대수**(영어: underlying simple Lie algebra) {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subsetneq {\mathfrak {g}}는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}} 및 (e\_{1},f\_{1}),\dots ,(e\_{n},f\_{n})로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 카르탕 부분 대수는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

{\stackrel {\circ }{\Delta }}=\Delta \cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}^{\*}
{\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }=\Delta ^{\vee }\cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

\{\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{n}\}
\{\alpha \_{1}^{\vee },\dots ,\alpha \_{n}^{\vee }\}
이다.

### 바일 군

아핀 리 대수 {\mathfrak {g}}의 바일 군 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 바일 군 {\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.:88, Proposition 6.5

{\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})\rtimes M}
여기서

M={\begin{cases}\operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}&r=1\\\operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }&r\in \{2,3\}\end{cases}}
는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}} 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 \circ {\mathfrak {h}}\cong \circ {\mathfrak {h}}^{\*}를 암묵적으로 사용하였다.

### 표현론

{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}의 유한 차원 유니터리 표현

{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(n)}
이 주어졌으며, 자연수 k\in \mathbb {N} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}에서, 포함 관계 {\displaystyle \iota \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}}에 대하여

{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}=\rho \circ \iota }
이며

{\displaystyle \rho ({\mathsf {k}})=k}
가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현

{\displaystyle \rho \colon {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathcal {L}}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
이 유일하게 존재한다.

### 스가와라 구성

단순 리 대수 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=\mathbb {g} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {c}}}의 표현 V가 주어졌다고 하자.

이 경우, V에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{n}={\frac {1}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum \_{m\in \mathbb {Z} }\eta \_{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})\qquad (n\neq 0)}
{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{0}={\frac {2}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum \_{m=0}^{\infty }\eta \_{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})}
{\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}}
이를 **스가와라 구성**([菅原]構成, 영어: Sugawara construction)이라고 한다.:(4.15), §4.2 여기서

* {\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}는 단순 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 이중 콕서터 수이다.
* \eta \_{{ab}}는 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 {\mathfrak {g}}의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
* {\displaystyle {\mathsf {k}}}는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
* 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
* {\displaystyle {\mathsf {L}}\_{0}}의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}의 표현 V 및 부분 단순 리 대수 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\subseteq {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\hat {\mathfrak {g}}}에 대응하는 스가와라 구성

{\displaystyle ({\mathsf {L}}'\_{n},{\mathsf {c}}')\_{\mathbb {Z} }}
및 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}에 대응하는 스가와라 구성

{\displaystyle ({\mathsf {L}}''\_{n},{\mathsf {c}}'')\_{\mathbb {Z} }}
이 주어진다. 이 경우,

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{n}={\mathsf {L}}'\_{n}-{\mathsf {L}}''\_{n}}
{\displaystyle {\mathsf {c}}={\mathsf {c}}'-{\mathsf {c}}''={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}-{\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}})}}}
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 **공액류 구성**(영어: coset construction) 또는 **고더드-켄트-올리브 구성**(영어: Goddard–Kent–Olive construction) 또는 **GKO 구성**(영어: GKO construction)이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든 c<1 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, {\displaystyle c=1-6/(k+2)(k+3)} 유니터리 표현을 구현하려면,

{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)\_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)\_{1}}
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)\_{k+1}}
를 취하면 된다. 여기서 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}={\mathfrak {su}}(2)}는 {\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}의 대각 성분이다. 이 경우

{\displaystyle \dim {\mathfrak {su}}(2)=3}
{\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {su}}(2))=2}
이므로,

{\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3\times 1}{1+2}}-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}}
임을 계산할 수 있다.

분류
--

단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 \Delta 에서, \delta 를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. ({\tilde {A}}\_{2n}^{(2)}의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 {\sqrt {2}}로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 A\_{{ij}}A\_{{ji}}=4인 경우)는 {\xrightarrow {4}} 및 {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}로 표기하였다. 이 경우 A\_{{ij}}=A\_{{ji}}=-2인 경우는 {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}이며, {\displaystyle A\_{ij}=-1,\;A\_{ji}=-4}인 경우는 {\xrightarrow {4}}이다.

| 기호:53–55 | 타 기호:24 | 타 기호:6–12 | 타 기호:94–95 | 바일 군 궤도 수 | 긴 실근의동치류 수 | 짧은 실근의동치류 수 | 딘킨 도표 | 콕서터 라벨:94–95 | 쌍대 콕서터 라벨:94–95:24–25 | 콕서터 수:80 | 쌍대 콕서터 수:80 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\tilde {A}}\_{1} | A\_{1}^{u}=A\_{1}^{t} | A\_{1} | A\_{1}^{(1)} | 2 | 2 | 0 | \bullet {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}\bullet  | 1{\stackrel {4}{\leftrightarrow }}1 | 2 |
| {\tilde {A}}\_{n}(n\geq 2) | A\_{n}^{u}=A\_{n}^{t} | A\_{n} | A\_{n}^{(1)} | 1 | n(n+1) | 0 | \bullet <{\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\cdots -\bullet }>\bullet  | 1<{1-\cdots -1 \atop 1-\cdots -1}>1 | n+1 |
| {\tilde {B}}\_{n} | B\_{n}^{u} | B\_{n} | B\_{n}^{(1)} | 2 | 2n(n-1) | 2n (길이 1) | \bullet \Leftarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet } | 2\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1} | 1\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1} | 2n | 2n-1 |
| {\tilde {C}}\_{n} | C\_{n}^{u} | C\_{n} | C\_{n}^{(1)} | 3 | 2n | 2n(n-1) (길이 1) | \bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Leftarrow \bullet  | 1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Leftarrow 1 | 1\Rightarrow 1-1-\cdots -1-1\Leftarrow 1 | 2n | n+1 |
| {\tilde {D}}\_{n} | D\_{n}^{u}=D\_{n}^{t} | D\_{n} | D\_{n}^{(1)} | 1 | 2n(n-1) | 0 | {\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet } | {1 \atop 1}>2-2-\cdots -2<{1 \atop 1} | 2n-2 |
| {\tilde {E}}\_{6} | E\_{6}^{u}=E\_{6}^{t} | E\_{6} | E\_{6}^{(1)} | 1 | 72 | 0 | {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet  | {1-2 \atop 1-2}>3-2-1 | 12 |
| {\tilde {E}}\_{7} | E\_{7}^{u}=E\_{7}^{t} | E\_{7} | E\_{7}^{(1)} | 1 | 126 | 0 | {\bullet -\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet  | {1-2-3 \atop 1-2-3}>4-2 | 18 |
| {\tilde {E}}\_{8} | E\_{8}^{u}=E\_{8}^{t} | E\_{8} | E\_{8}^{(1)} | 1 | 240 | 0 | {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet  | {2 \atop {}}{- \atop {}}{4 \atop 3}>6-5-4-3-2-1 | 30 |
| {\tilde {F}}\_{4} | F\_{4}^{u} | F\_{4} | F\_{4}^{(1)} | 2 | 24 | 24 (길이 1) | \bullet -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet  | 1-2-3\Rightarrow 4-2 | 1-2-3\Rightarrow 2-1 | 12 | 9 |
| {\tilde {G}}\_{2} | G\_{2}^{u} | G\_{2} | G\_{2}^{(1)} | 2 | 6 | 6 (길이 {\sqrt {2/3}}) | \bullet -\bullet \Rrightarrow \bullet  | 1-2\Rrightarrow 3 | 1-2\Rrightarrow 1 | 6 | 4 |
| {\tilde {A}}\_{2n-1}^{(2)} | C\_{n}^{t} | B\_{n}^{\vee } | C\_{n}^{(2)} | 3 | 2n | 2n(n-1) (길이 1) | \bullet \Rightarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet } | 1\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1} | 2\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1} | 2n-1 | 2n |
| {\tilde {A}}\_{2}^{(2)} | BC\_{1}^{m} | BC\_{1} | {\tilde {B}}\_{1}^{(2)} | 2 | 2 | 2 (길이 1/{\sqrt {2}}) | \bullet {\xrightarrow {4}}\bullet  | 1{\xrightarrow {4}}2 | 2{\xrightarrow {4}}1 | 3 |
| {\tilde {A}}\_{2n}^{(2)}(n\geq 2) | BC\_{n}^{m} | BC\_{n} | {\tilde {B}}\_{n}^{(2)} | 3 | 2n | 2n(n-1) (길이 1)2n (길이 1/{\sqrt {2}}) | \bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet  | 1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 2 | 2\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1 | 2n+1 |
| {\tilde {D}}\_{4}^{(3)} | G\_{2}^{t} | G\_{2}^{\vee } | G\_{2}^{(3)} | 2 | 6 | 6 (길이 {\sqrt {2/3}}) | \bullet -\bullet \Lleftarrow \bullet  | 1-2\Lleftarrow 1 | 1-2\Lleftarrow 3 | 4 | 6 |
| {\tilde {D}}\_{n+1}^{(2)} | B\_{n}^{t} | C\_{n}^{\vee } | B\_{n}^{(2)} | 2 | 2n(n-1) | 2n (길이 1) | \bullet \Leftarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet  | 1\Leftarrow 1-1-\cdots -1-1\Rightarrow 1 | 1\Leftarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1 | n+1 | 2n |
| {\tilde {E}}\_{6}^{(2)} | F\_{4}^{t} | F\_{4}^{\vee } | F\_{4}^{(2)} | 2 | 24 | 24 (길이 1) | \bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\bullet  | 1-2\Rightarrow 3-2-1 | 2-4\Rightarrow 3-2-1 | 9 | 12 |

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

### Ã*n*

n\geq 2일 경우, {\tilde {A}}\_{n}의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times (n+1) 대칭 정사각 행렬이다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}\_{n})={\begin{pmatrix}2&-1&0&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&0&\cdots &0&0\\0&-1&2&-1&\dots &0&0\\0&0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&0&\cdots &-1&2\end{pmatrix}}
{\tilde {A}}\_{1}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}\_{1})={\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}
{\tilde {A}}\_{n}의 딘킨 도표는 n\geq 2일 경우 n+1개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

### Ã2*n*(2)

n\geq 2일 때, {\tilde {A}}\_{2n}^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times (n+1) 비대칭 정사각 행렬이다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}\_{2n}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots &0&0&0\\-2&2&-1&\cdots &0&0&0\\0&-1&2&\dots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1&0\\0&0&0&\cdots &-1&2&-1\\0&0&0&\cdots &0&-2&2\end{pmatrix}}
여기서 행·열 0,1,\dots ,n의 순서는 다음과 같다.

\alpha \_{0}\Rightarrow \alpha \_{1}-\cdots -\alpha \_{n-1}\Rightarrow \alpha \_{n}
{\tilde {A}}\_{2}^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}\_{2}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}}
여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

\alpha \_{0}{\xrightarrow {4}}\alpha \_{1}
### G̃2와 D̃4(3)

{\tilde {G}}\_{2}의 근계. 여기서 \alpha =\alpha \_{2}는 G\_{2}의 유일한 짧은 근, \beta =\alpha \_{1}는 G\_{2}의 유일한 긴 근이며, \gamma =a\_{1}\alpha \_{1}+a\_{2}\alpha \_{2}=\delta 이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 \psi \_{\alpha }, \psi \_{\beta }, \psi \_{\gamma }는 {\tilde {G}}\_{2}의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 직각삼각형 {\mathcal {C}}이다.
{\tilde {G}}\_{2}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {G}}\_{2})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

\alpha \_{0}-\alpha \_{1}\Rrightarrow \alpha \_{2}
이다.

{\tilde {D}}\_{4}^{(3)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname {Cartan} ({\tilde {D}}\_{4}^{(3)})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-3\\0&-1&2\end{pmatrix}}
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

\alpha \_{0}-\alpha \_{1}\Lleftarrow \alpha \_{2}
이다.

예
-

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} }가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수

{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대

{\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}\to \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0}
에서

{\displaystyle [{\mathsf {z}}^{m},{\mathsf {z}}^{n}]=\delta \_{m+n,0}m{\mathsf {k}}}
{\displaystyle [{\mathsf {k}},{\mathsf {z}}^{m}]=0}
이 된다. 이 경우,

{\displaystyle {\mathsf {z}}^{-n}={\sqrt {n}}{\mathsf {p}}\_{n}\qquad (n>0)}
{\displaystyle {\mathsf {z}}^{n}={\sqrt {n}}{\mathsf {q}}\_{n}\qquad (n>0)}
{\displaystyle {\mathsf {k}}=\hbar }
로 놓으면,

{\displaystyle [{\mathsf {q}}\_{m},{\mathsf {p}}\_{n}]=\delta \_{m,n}\hbar }
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 ({\displaystyle {\mathsf {z}}^{0}}으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다.:§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {x}}\_{1},{\mathsf {x}}\_{2},\dotsb ]} 위에 표준적으로 작용한다.:(2.19)

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.:(2.23)

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{n}=-{\frac {1}{2}}\sum \_{m\in \mathbb {Z} }{\mathsf {z}}^{\min\{m,n-m\}}{\mathsf {z}}^{\max\{m,n-m\}}}
{\displaystyle {\mathsf {c}}=1}
물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

역사
--

아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(영어: Robert Moody)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카(일본어: 菅原 寛孝 (すがわら ひろたか))가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(영어: Peter Goddard, 1945〜) · 에이드리언 켄트(영어: Adrian Kent) · 데이비드 올리브(영어: David Olive, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022.
2. 1 2 3 4 5  Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016.
3. 1 2 3  Frenkel, I. B. (1987). 〈Beyond affine Lie algebras〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986. Volume Ⅰ》 (영어). 821–839쪽.
4. ↑  Di Francesco, P.; Mathieu, P.; Sénéchal, D. (1997). 《Conformal field theory》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94785-X.
5. ↑  Kohno, Toshitake (1998). 《Conformal field theory and topology》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2130-X.
6. ↑  Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). 《Loop groups》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X.
7. 1 2 3 4  Schlichenmaier, Martin (1998). "Sugawara construction for higher genus Riemann surfaces" (영어). arXiv:math/9806032.
8. ↑  Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). "Conformal field theory: a case study" (영어). arXiv:hep-th/9904145.
9. 1 2  Goddard, Peter; Kent, Adrian; Olive, David (1986). "Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **103** (1): 105–119. doi:10.1007/BF01464283. ISSN 0010-3616. MR 0826859. Zbl 0588.17014.
10. 1 2  Nauta, Jan S. (2012년 4월 20일). 《Affine Lie algebras and affine root systems》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. 암스테르담 대학교. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
11. ↑  Macdonald, I. G. (2003). 《Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) **157**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542824. ISBN 978-052182472-9.
12. ↑  Sugawara, Hirotaka (1968). "A field theory of currents". 《Physical Review》 (영어) **176**: 2019–2025. Bibcode:1968PhRv..170.1659S. doi:10.1103/PhysRev.170.1659.
13. ↑  Goddard, Peter; Kent, A.; Olive, D. (1985). "Virasoro algebras and coset space models". 《Physics Letters B》 (영어) **152**: 88.