수론에서 **이차 상호 법칙**(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다.

정의
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**이차 상호 법칙**에 따르면, p와 q가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식

{\begin{cases}x^{2}\equiv p{\pmod q}\\y^{2}\equiv q{\pmod p}\end{cases}}
에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

* 만약 p\equiv q\equiv 3{\pmod 4}라면 두 합동식 가운데 하나는 해가 존재하고, 다른 하나는 해가 존재하지 않는다.
* 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

서로 다른 두 홀수 소수 p와 q에 대하여 르장드르 기호 \left({\frac {p}{q}}\right)는 p가 q에 대한 제곱잉여일 때 1, 그렇지 않을 때 -1로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면, **이차 상호 법칙**을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

\left({\frac pq}\right)\left({\frac qp}\right)=(-1)^{{(p-1)(q-1)/4}}
우변은 p와 q를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 -1이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 m과 n이 서로소일 때,

\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{{(m-1)(n-1)/4}}
이 성립한다.

또한, p>2가 소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.

\left({\frac {-1}p}\right)=(-1)^{{(p-1)/2}}
\left({\frac 2p}\right)=(-1)^{{(p^{2}-1)/8}}
이를 각각 **이차 상호 법칙의 제1 보충**(二次相互法則의第一補充, 영어: first supplement to quadratic reciprocity)과 **이차 상호 법칙의 제2 보충**(二次相互法則의第二補充,영어: second supplement to quadratic reciprocity)이라고 한다.

### 가우스 정수의 이차 상호 법칙

가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다.
p\in {\mathbb Z}[i]가 2가 아닌 가우스 소수이며, k\in {\mathbb Z}[i]가 p의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

\left[{\frac kp}\right]\_{2}={\begin{cases}+1&p\nmid k\land \exists n\in {\mathbb Z}[i]\colon n^{2}\equiv k{\pmod p}\\-1&p\nmid k\land \nexists n\in {\mathbb Z}[i]\colon n^{2}\equiv k{\pmod p}\\0&p\mid k\end{cases}}
그렇다면 다음이 성립한다.

\left[{\frac kp}\right]\_{2}\equiv k^{{(N\_{{{\mathbb Q}[i]/{\mathbb Q}}}(p)-1)/2}}{\pmod p}
여기서

N\_{{{\mathbb Q}[i]/{\mathbb Q}}}\colon a+bi\mapsto a^{2}+b^{2}
는 가우스 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 가우스 소수 p,q\in {\mathbb Z}[i]에 대하여,

\operatorname {Re}p\equiv \operatorname {Re}q\equiv 1{\pmod 2}
\operatorname {Im}p\equiv \operatorname {Im}q\equiv 0{\pmod 2}
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\left[{\frac pq}\right]\_{2}=\left[{\frac qp}\right]\_{2}
또한, i 및 1+i에 대하여 다음이 성립한다.

\left[{\frac {i}{p}}\right]\_{2}=(-1)^{{\operatorname {Im}p/2}}
\left[{\frac {1+i}p}\right]\_{2}={\Bigg (}{\frac {2}{\operatorname {Re}p+\operatorname {Im}p}}{\Bigg )}
### 아이젠슈타인 정수의 이차 상호 법칙

아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다.
p\in {\mathbb Z}[\omega ]가 아이젠슈타인 소수이며, N(p)\neq 3이라고 하자. 또한, k\in {\mathbb Z}[\omega ]가 p의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

{\displaystyle \left[{\frac {k}{p}}\right]\_{2}={\begin{cases}+1&\exists n\in \mathbb {Z} [\omega ]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\\-1&\nexists n\in \mathbb {Z} [\omega ]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\end{cases}}}
그렇다면 다음이 성립한다.

\left[{\frac kp}\right]\_{2}\equiv k^{{(N(p)-1)/2}}{\pmod p}
여기서

N\colon a+b\omega \mapsto a^{2}-ab+b^{2}=(a+b\omega )(a+b{\bar \omega })
는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 아이젠슈타인 소수 p,q\in {\mathbb Z}[\omega ]가

p=a+b\omega \qquad (3\nmid a,\;3\mid b)
q=c+d\omega \qquad (3\nmid c,\;3\mid d)
의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\left[{\frac pq}\right]\_{2}\left[{\frac qp}\right]\_{2}=(-1)^{{(N(p)-1)(N(q)-1)/4)}}
또한, 다음이 성립한다.

\left[{\frac {1-\omega }{p}}\right]\_{2}=\left({\frac a3}\right)
\left[{\frac 2p}\right]\_{2}=\left({\frac {2}{N(p)}}\right)

역사
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이차 상호 법칙을 다루고 있는 《산술 연구》의 쪽
레온하르트 오일러와 아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones arithmeticae 디스퀴시티오네스 아리트메티카이[\*])에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(라틴어: Theorema fundamentale 테오레마 푼다멘탈레[\*])라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 이 종류의 정리들 가운데 가장 우아한 정리인 기본 정리는 나 이전의 그 누구도 이렇게 간단한 형태로 서술하지 못하였다.Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum. | "|
|   | — 〈151. De aliorum laboribus circa has investigationes〉. 《Disquisitiones arithmeticae》.  |

가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.

예
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두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.

범례| **R** | *q*는 제곱잉여 (mod *p*) |    *q* ≡ 1 (mod 4) 또는 *p* ≡ 1 (mod 4)   |
| **N** | *q*는 제곱잉여가 아님 (mod *p*)   |
| **R** | *q*는 제곱잉여 (mod *p*) | *q* ≡ *p* ≡ 3 (mod 4) |
| **N** | *q*는 제곱잉여가 아님 (mod *p*)   |

|  |  |
| --- | --- |
|  | *q* |
| 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |
| *p* | 3 |   | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** |
| 5 | **N** |   | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** |
| 7 | **N** | **N** |   | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** |
| 11 | **R** | **R** | **N** |   | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** |
| 13 | **R** | **N** | **N** | **N** |   | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** |
| 17 | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** |   | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** |
| 19 | **N** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** |   | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** |
| 23 | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** |   | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** |
| 29 | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** |   | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** |
| 31 | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** |   | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** |
| 37 | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** |   | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** |
| 41 | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** |   | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** |
| 43 | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** |   | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** |
| 47 | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** |   | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** |
| 53 | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** |   | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** |
| 59 | **R** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** |   | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** |
| 61 | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** |   | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** |
| 67 | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** |   | **R** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** |
| 71 | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** |   | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** |
| 73 | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** |   | **R** | **N** | **R** | **R** |
| 79 | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **R** |   | **R** | **R** | **R** |
| 83 | **R** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** |   | **N** | **N** |
| 89 | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **R** | **N** |   | **R** |
| 97 | **R** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **N** | **N** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **R** | **N** | **R** | **N** | **N** | **R** | **R** | **N** | **R** |   |

제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.

| (*p*, *q*) | p{\stackrel {?}{\equiv }}3{\stackrel {?}{\equiv }}q{\pmod 4} | x^{2}\equiv p{\pmod q} | x^{2}\equiv q{\pmod p} |
| --- | --- | --- | --- |
| (3,7) | p\equiv 3\equiv q{\pmod 4} | 해 없음 | y\equiv \pm 1{\pmod 3} |
| (3,5) | p\equiv 3\not \equiv q{\pmod 4} | 해 없음 | 해 없음 |
| (5,11) | p\not \equiv 3\equiv q{\pmod 4} | x\equiv \pm 4{\pmod {11}} | y\equiv \pm 1{\pmod 5} |
| (5, 13) | p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod 4} | 해 없음 | 해 없음 |
| (13, 17) | p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod 4} | x\equiv \pm 8{\pmod {17}} | y\equiv \pm 2{\pmod {13}} |

### 제곱잉여의 판별

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

x^{2}\equiv 57{\pmod {127}}
이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 \left({\frac {57}{127}}\right)의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

\left({\frac {57}{127}}\right)=\left({\frac {3}{127}}\right)\left({\frac {19}{127}}\right)
이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

\left({\frac {3}{127}}\right)=(-1)^{{{\frac {(3-1)(127-1)}{4}}}}\left({\frac {127}{3}}\right)=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)=-1
이고

\left({\frac {19}{127}}\right)=(-1)^{{{\frac {(19-1)(127-1)}{4}}}}\left({\frac {127}{19}}\right)=(-1)\left({\frac {13}{19}}\right)
=(-1)(-1)^{{{\frac {(13-1)(19-1)}{4}}}}\left({\frac {19}{13}}\right)=(-1)\left({\frac {6}{13}}\right)=(-1)\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {3}{13}}\right)
=(-1)(-1)(-1)^{{{\frac {(3-1)(13-1)}{4}}}}\left({\frac {13}{3}}\right)=\left({\frac {1}{3}}\right)=1
이다. 따라서

\left({\frac {57}{127}}\right)=-1
이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

참고 문헌
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1. 1 2  Lemmermeyer, Franz. "Proofs of the Quadratic Reciprocity Law" (영어).

* Lemmermeyer, Franz (2000). 《Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-12893-0. ISBN 978-3-540-66957-9. ISSN 1439-7382.
* Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **84** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-0-387-97329-6. ISSN 0072-5285.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)