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수학에서 **유한합**(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 {\displaystyle \textstyle \sum }가 쓰인다.

정의
--

유한 수열 {\displaystyle (a\_{m},a\_{m+1},\dots ,a\_{n})}의 **유한합**


∑

k
=
m

n

a

k

=

∑

m
≤
k
≤
n

a

k

=

a

m

+

a

m
+
1

+
⋯
+

a

n

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}a\_{k}=\sum \_{m\leq k\leq n}a\_{k}=a\_{m}+a\_{m+1}+\cdots +a\_{n}}

{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n}}
은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{m-1}a\_{k}=0}
{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}a\_{k}=a\_{n}+\sum \_{k=m}^{n-1}a\_{k}\qquad (n\in \{m,m+1,m+2,\dots \})}
보다 일반적으로, 유한 집합 I로 첨수된 수들의 집합 {\displaystyle \{a\_{i}\colon i\in I\}}의 **유한합**은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}=\sum \_{k=1}^{|I|}a\_{f(k)}}
여기서 |I|는 I의 크기이며, {\displaystyle f\colon \{1,\dots ,|I|\}\to I}는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 f의 선택과 무관하기 때문이다.

집합 I 및 그 위의 성질 P에 대하여, 원소 i\in I가 성질 P를 만족시킨다는 것을 {\displaystyle P(i)}로 쓰자. 만약 집합 {\displaystyle \{i\in I\colon P(i)\}}가 유한 집합일 경우, 유한합

{\displaystyle \sum \_{i\in \{j\in I\colon P(j)\}}a\_{i}}
는

{\displaystyle \sum \_{i\in I\colon P(i)}a\_{i}}
와 같이 표기할 수 있다.

성질
--

### 항등식

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

* (점화식) 

∑

k
=
1

n

a

k

=

∑

k
=
1

m

a

k

+

∑

k
=
m
+
1

n

a

k

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}a\_{k}=\sum \_{k=1}^{m}a\_{k}+\sum \_{k=m+1}^{n}a\_{k}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{m}a_{k}+\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}
* (덧셈의 보존) 

∑

k
=
1

n

(

a

k

±

b

k

)
=

∑

k
=
1

n

a

k

±

∑

k
=
1

n

b

k

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}(a\_{k}\pm b\_{k})=\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\pm \sum \_{k=1}^{n}b\_{k}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\pm \sum _{k=1}^{n}b_{k}}
* (분배 법칙) 

∑

k
=
1

n

c

a

k

=
c

∑

k
=
1

n

a

k

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}ca\_{k}=c\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
* (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) 

∑

k
=
1

n

(
c

a

k

+

c
′

b

k

)
=
c

∑

k
=
1

n

a

k

+

c
′

∑

k
=
1

n

b

k

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}(ca\_{k}+c'b\_{k})=c\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}+c'\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(ca_{k}+c'b_{k})=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}+c'\sum _{k=1}^{n}b_{k}}
* (푸비니 정리) 

∑

i
=
1

m

∑

j
=
1

n

a

i
,
j

=

∑

j
=
1

n

∑

i
=
1

m

a

i
,
j

=

∑

1
≤
i
≤
m

1
≤
j
≤
n


a

i
,
j

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i,j}=\sum \_{j=1}^{n}\sum \_{i=1}^{m}a\_{i,j}=\sum \_{{1\leq i\leq m} \atop {1\leq j\leq n}}a\_{i,j}}

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}=\sum _{{1\leq i\leq m} \atop {1\leq j\leq n}}a_{i,j}}

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

### 부등식

실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

* (코시-슈바르츠 부등식) 


(

∑

k
=
1

n

a

k

b

k

)

2

≤

(

∑

k
=
1

n

a

k

2

)

(

∑

k
=
1

n

b

k

2

)

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}b\_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{2}\right)\left(\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}^{2}\right)}

{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}
* (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) 

∑

k
=
1

n

|

a

k

b

k

|

≤

(

∑

k
=
1

n

|

a

k

|

p

)

1
p


(

∑

k
=
1

n

|

b

k

|

q

)

1
q

p
,
q
>
1
,

1
p

+

1
q

=
1

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}b\_{k}|\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum \_{k=1}^{n}|b\_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\qquad p,q>1,\;{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\qquad p,q>1,\;{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
* (민코프스키 부등식) 


(

∑

k
=
1

n

|

a

k

+

b

k

|

p

)

1
p

≤

(

∑

k
=
1

n

|

a

k

|

p

)

1
p

+

(

∑

k
=
1

n

|

b

k

|

p

)

1
p

p
>
1

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}+b\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum \_{k=1}^{n}|b\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad p>1}

{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad p>1}

증명 (코시-슈바르츠 부등식):

{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}(a\_{i}b\_{j}-a\_{j}b\_{i})^{2}\\&=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}(a\_{i}^{2}b\_{j}^{2}-2a\_{i}a\_{j}b\_{i}b\_{j}+a\_{j}^{2}b\_{i}^{2})\\&=2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}^{2}b\_{j}^{2}-2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}a\_{j}b\_{i}b\_{j}\\&=2\left(\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}^{2}\right)\left(\sum \_{j=1}^{n}b\_{j}^{2}\right)-2\left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}b\_{k}\right)^{2}\end{aligned}}}

증명 (횔더 부등식):

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}b\_{k}|}{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}|a\_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum \_{j=1}^{n}|b\_{j}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}}=\sum \_{k=1}^{n}\left({\frac {|a\_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}|a\_{i}|^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}\left({\frac {|b\_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum \_{j=1}^{n}|b\_{j}|^{q}}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \sum \_{k=1}^{n}\left({\frac {1}{p}}{\frac {|a\_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}|a\_{i}|^{p}}}+{\frac {1}{q}}{\frac {|b\_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum \_{j=1}^{n}|b\_{j}|^{q}}}\right)={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}

증명 (민코프스키 부등식):

다음과 같은 q>1를 취하자.

{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}+b\_{k}|^{p}&\leq \sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}||a\_{k}+b\_{k}|^{p-1}+\sum \_{k=1}^{n}|b\_{k}||a\_{k}+b\_{k}|^{p-1}\\&\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}+b\_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\sum \_{k=1}^{n}|b\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}+b\_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\left(\left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum \_{k=1}^{n}|b\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\sum \_{k=1}^{n}|a\_{k}+b\_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}

예
-

일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

### 다항식

* (상수열의 유한합) 

∑

k
=
1

n

c
=
c
n

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}c=cn}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c=cn}
* (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) 

∑

k
=
1

n

k
=

n
(
n
+
1
)

2

=

n

2

2

+

n
2

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}}
* (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) 

∑

k
=
1

n

k

2

=

n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)

6

=

n

3

3

+

n

2

2

+

n
6

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}
* (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.) 

∑

k
=
1

n

k

3

=

(

∑

k
=
1

n

k

)

2

=

(

n
(
n
+
1
)

2

)

2

=

n

4

4

+

n

3

2

+

n

2

4

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum \_{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}
* (네제곱수의 유한합) 

∑

k
=
1

n

k

4

=

n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3

n

2

+
3
n
−
1
)

30

=

n

5

5

+

n

4

2

+

n

3

3

−

n
30

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}
* (다섯제곱수의 유한합) 

∑

k
=
1

n

k

5

=

n

2

(
n
+
1

)

2

(
2

n

2

+
2
n
−
1
)

12

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}
* (여섯제곱수의 유한합) 

∑

k
=
1

n

k

6

=

n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3

n

4

+
6

n

3

−
3
n
+
1
)

42

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}
* (일곱제곱수의 유한합) 

∑

k
=
1

n

k

7

=

n

2

(
n
+
1

)

2

(
3

n

4

+
6

n

3

−

n

2

−
4
n
+
2
)

24

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{7}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{7}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}}}
* (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서 B\_{k}는 k번째 베르누이 수이다.) 

∑

k
=
1

n

k

p

=

∑

k
=
0

p

B

k


(

p
k

)



(
n
+
1

)

p
−
k
+
1

p
−
k
+
1


{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{p}=\sum \_{k=0}^{p}B\_{k}{\binom {p}{k}}{\frac {(n+1)^{p-k+1}}{p-k+1}}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}B_{k}{\binom {p}{k}}{\frac {(n+1)^{p-k+1}}{p-k+1}}}

증명 (세제곱 합):

항등식

{\displaystyle (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1\qquad (k\in \{1,\dots ,n\})}
을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

### 유리식

* (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) 

∑

k
=
1

n

1
k

=

∫

0

1


1
−

x

n

1
−
x

d
x
=

H

n

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\int \_{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx=H\_{n}}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx=H_{n}}

### 지수 함수

* (등비수열의 유한합) 

∑

k
=
0

n

a

k

=

1
−

a

n
+
1

1
−
a

a
≠
1

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}a^{k}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\qquad a\neq 1}

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a^{k}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\qquad a\neq 1}
* (등차-등비 수열의 유한합) 

∑

k
=
1

n

k

a

k

=

a
−
(
n
+
1
)

a

n
+
1

+
n

a

n
+
2

(
1
−
a

)

2



a
≠
1

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}ka^{k}={\frac {a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^{2}}}\qquad a\neq 1}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ka^{k}={\frac {a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^{2}}}\qquad a\neq 1}
* (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.) 

∑

k
=
1

n

cos
⁡
k
θ
=
−

1
2

+

sin
⁡

(

n
+

1
2

)

θ

2
sin
⁡

θ
2


θ
≠
0

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}\cos k\theta =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\theta }{2\sin {\dfrac {\theta }{2}}}}\qquad \theta \neq 0}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos k\theta =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\theta }{2\sin {\dfrac {\theta }{2}}}}\qquad \theta \neq 0}

### 이항 계수

* (이항 계수의 유한합) 

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

=

2

n

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}

∑

p
=
k

n


(

p
k

)

=

(

n
+
1

k
+
1

)


{\displaystyle \sum \_{p=k}^{n}{\binom {p}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}

{\displaystyle \sum _{p=k}^{n}{\binom {p}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}
* (하강 계승의 유한합) 

∑

k
=
0

n

n

k
\_

=
⌊
n
!
e
⌋

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}n^{\underline {k}}=\lfloor n!e\rfloor }

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}n^{\underline {k}}=\lfloor n!e\rfloor }