집합론에서 **공종도**(共終度, 영어: cofinality)는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

정의
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임의의 원순서 집합 (X,\lesssim )에 대하여, X의 **공종도** {\displaystyle \operatorname {cf} X}는 X의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.:198, §1 마찬가지로, X의 **공시작도** {\displaystyle \operatorname {cf} (X^{\operatorname {op} })}는 X의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

### 순서수의 공종도

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 \alpha 의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 \alpha 의 공종도와 일치한다.:32, Definition I.10.30

### 기수의 공종도

기수 \kappa 의 **공종도** \operatorname {cf}\kappa 는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 \kappa 의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

\operatorname {cf}\kappa =\min \left\{|I|\colon \kappa =\sum \_{{i\in I}}\lambda \_{i},\;\forall i\colon \lambda \_{i}<\kappa \right\}
즉, \kappa 를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 \alpha 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 **정칙 기수**(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다.

* 공종도 함수의 고정점이다. 즉, {\displaystyle \alpha =\operatorname {cf} \alpha }이다.:198, §1:33, Definition I.10.34
* 임의의 순서수들의 집합 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {Ord} }에 대하여, {\displaystyle \textstyle \alpha =\sup \_{\operatorname {Ord} }S}라면 (즉, {\displaystyle S\subseteq \alpha }가 공종 집합이라면) \alpha 는 (S,\leq )와 순서 동형이다.
* \alpha 는 기수이며, {\displaystyle \alpha \neq 2}이며, \alpha 개 미만의, \alpha  미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 {\displaystyle (\kappa \_{i})\_{i\in I}}에 대하여 {\displaystyle \textstyle \alpha \leq \sum \_{i\in I}\kappa }라면 {\displaystyle |I|\geq \alpha }이거나, {\displaystyle \kappa \_{i}\geq \alpha }인 i\in I가 존재한다. (여기서 {\displaystyle \textstyle \sum }은 기수의 합이다.)
* {\displaystyle \alpha \neq 2}는 기수이며, 크기가 \alpha  미만인 집합들의 범주 {\displaystyle \operatorname {Set} \_{<\alpha }}는 크기 \kappa  미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.

(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.)
만약 \kappa >\operatorname {cf}\kappa 라면, \kappa 를 **특이 기수**(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다. \kappa <\operatorname {cf}\kappa 는 불가능하다.

성질
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공종도 함수는 멱등 함수이다.:33, Corollary I.10.33 즉, 모든 순서수 \alpha 에 대하여

\operatorname {cf}\operatorname {cf}\alpha =\operatorname {cf}\alpha 
이다. 즉, \operatorname {cf}\alpha 는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 \alpha 에 대하여 다음이 성립한다.

\operatorname {cf}\alpha \leq \alpha 
이는 \alpha  전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 \kappa 에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

{\displaystyle \operatorname {cf} \kappa \leq \kappa <\min \left\{\operatorname {cf} (2^{\kappa }),\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}\right\}\leq 2^{\kappa }}
1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

예
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### 유한 순서수

임의의 양의 자연수 n>0의 경우, (따름 순서수이므로) \operatorname {cf}n=1이다. 0의 경우 \operatorname {cf}0=0이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 \alpha 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

* \operatorname {cf}\alpha =0
* \alpha =0

### 따름 순서수

임의의 순서수 \alpha 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

* \operatorname {cf}\alpha =1
* \alpha 는 따름 순서수이다.

이는 \{\alpha \}가 \alpha +1의 공종 집합이기 때문이다.

### 극한 순서수

임의의 극한 순서수 \lambda 에 대하여,

\aleph \_{\lambda }=\sum \_{{\alpha <\lambda }}\aleph \_{\alpha }
이므로

\operatorname {cf}\aleph \_{\lambda }=\operatorname {cf}\lambda 
이다.

\operatorname {cf}\aleph \_{0}=\aleph \_{0}이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 \alpha 에 대하여

\operatorname {cf}\aleph \_{{\alpha +1}}=\aleph \_{{\alpha +1}}
이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 \aleph \_{\omega }이며,

\operatorname {cf}\aleph \_{\omega }=\operatorname {cf}\omega =\aleph \_{0}
이다. 반면

\aleph \_{0}<\operatorname {cf}(2^{{\aleph \_{0}}})
이므로,

2^{{\aleph \_{0}}}\neq \aleph \_{\omega }
이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 2^{\aleph \_{0}}은 \aleph \_{\omega }보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

* \aleph\_0
* 임의의 순서수 \alpha 에 대하여, \aleph \_{{\alpha +1}}
* 임의의 기수 \kappa 에 대하여, \operatorname {cf}\kappa

### 정렬 전순서 집합이 아닌 경우

실수의 전순서 집합 \mathbb {R} 의 공종도는 {\displaystyle \operatorname {cf} (\mathbb {R} )=\aleph \_{0}}이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {R} }이 \mathbb {R} 의 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수의 전순서 집합 {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}의 공종도는 1이다. 이는 {\bar {{\mathbb R}}}가 최대 원소 \infty를 갖기 때문이다.

집합 S의 진부분 집합들의 멱집합 {\displaystyle \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}}의 공종도는 |S|이다. 이는 공종 집합

{\displaystyle \{S\setminus \{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}}
이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 (X,\lesssim )의 공종도는 X의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Shelah, Saharon (1992년 4월). "Cardinal arithmetic for skeptics". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **26** (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424.
2. 1 2 3  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) **102**. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 12일에 확인함.