수학에서 **미분 연산자**(微分演算子, 영어: differential operator)는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다.

정의
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 두 매끄러운 벡터 다발 {\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M}

그렇다면, E와 F의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간

{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}
을 생각하자.

E와 F 사이의 **미분 연산자**는 특별한 꼴의 실수 선형 변환

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}
이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

### 구체적 정의

임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.

{\displaystyle s\nabla \_{X\_{1}}\nabla \_{X\_{2}}\cdots \nabla \_{X\_{k}}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}
여기서

* k\in \mathbb {N} 는 자연수(음이 아닌 정수)이다.
* \nabla 는 E의 임의의 코쥘 접속이다.
* {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E^{\*}\otimes F)}는 {\displaystyle E^{\*}\otimes F}의 임의의 매끄러운 단면이다.
* {\displaystyle X\_{1},\dots ,X\_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}는 M 위의 매끄러운 벡터장이다.

그렇다면, **미분 연산자**는 위와 같은 꼴의 연산자 {\displaystyle (D\_{i})\_{i\in I}}들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.

* 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{j})\_{j\in J}}에 대하여, 각 j\in J에 대하여 {\displaystyle \{i\in I\colon D\_{i}\upharpoonright U\_{j}\neq \varnothing \}}은 유한 집합이다.

(만약 M이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 k를 미분 연산자의 **차수**(영어: degree)라고 한다. (만약 M이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)

### 제트 다발을 통한 정의

실수 선형 변환

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}
가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, D를 **k차 미분 연산자**라고 한다.

{\displaystyle D=T\circ \mathrm {j} ^{k}}
여기서

* {\displaystyle \mathrm {j} ^{k}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {J} ^{k}E)}는 E의 k차 제트 연장이다.
* {\displaystyle \mathrm {J} ^{k}E}는 E의 k차 제트 다발이다.
* {\displaystyle T\colon \mathrm {J} ^{k}E\to F}는 벡터 다발 사상이다.

**미분 연산자**는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, **미분 연산자**는 위와 같은 꼴의 연산자 {\displaystyle (D\_{i})\_{i\in I}}들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.

* 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{j})\_{j\in J}}에 대하여, 각 j\in J에 대하여 {\displaystyle \{i\in I\colon D\_{i}\upharpoonright U\_{j}\neq \varnothing \}}은 유한 집합이다.

(만약 M이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

### 페트레 정리를 통한 정의

실수 벡터 공간 값의 층 사상

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 매끄러운 단면 {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} s}. 여기서 \operatorname{supp}은 층의 지지 집합이다.

그렇다면, D를 **미분 연산자**라고 한다.

이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, **페트레 정리**(Peetre定理, 영어: Peetre’s theorem)라고 한다.

성질
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콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 두 벡터 다발 {\displaystyle E,F}가 주어졌다고 하자. {\displaystyle E\to F} 미분 연산자의 공간을 {\displaystyle {\mathcal {D}}(E,F)}로 표기하자.

그렇다면, 모든 미분 연산자 {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과

{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E^{\*}\otimes F)={\mathcal {D}}\_{0}(E,F)\subseteq {\mathcal {D}}\_{1}(E,F)\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {D}}\_{\infty }(E,F)={\mathcal {D}}(E,F)}
가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.

{\displaystyle {\mathcal {D}}\_{n}(E',E'')\circ {\mathcal {D}}\_{m}(E,E')\subseteq {\mathcal {D}}\_{m+n}(E,E'')}
매끄러운 다양체 M 위의 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )} 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.

### 등급 대수

콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 벡터 다발 E이 주어졌다고 하자. 편의상 {\displaystyle {\mathcal {D}}(E)={\mathcal {D}}(E,E)}와 같이 표기하자.

이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)=\bigoplus \_{i=0}^{\infty }{\frac {{\mathcal {D}}\_{i}(E)}{{\mathcal {D}}\_{i-1}(E)}}}
(여기서 편의상 {\displaystyle {\mathcal {D}}\_{i-1}(E)=\{0\}}으로 간주한다.)

이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.:64, Proposition 2.1

{\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)\otimes \operatorname {End} (E)\right)\cong \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)}은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다.
* {\displaystyle \operatorname {End} (E)=E\otimes E^{\*}}는 E 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다.

이는 다음과 같다.

{\displaystyle X\_{1}\otimes X\_{2}\otimes \cdots \otimes X\_{k}\otimes T\mapsto [T\nabla \_{X\_{1}}\nabla \_{X\_{2}}\cdots \nabla \_{X\_{k}}]\qquad \forall X\_{1},\dots ,X\_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M),\;T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{\*})}
여기서 \nabla 는 E 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.

### 주표상

**주표상**(主表象, 영어: principal symbol)은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 \partial \_{i}\mapsto \xi \_{i}로 치환한 것이다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 M 위의 두 매끄러운 벡터 다발 E,F\to X 사이의 미분 연산자 {\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 {\displaystyle u\in \Gamma ^{\infty }(E)}에 대하여, 국소 좌표계에서 D가

D\colon u(x)\mapsto \sum \_{I}P^{I}(x)\partial \_{I}u
의 꼴이라고 하자. 여기서 I는 다중지표이고, D^{I}\colon E\to F는 다발 사상이다. 여기서 D^{I}는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다.

D의 차수

k=\max\{|I|\colon P^{I}\neq 0\}
가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 D의 **주표상**

{\displaystyle \sigma \_{D}\in \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} X)\otimes E^{\*}\otimes F\right)}
은 (k,0)차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.

{\displaystyle \sigma \_{D}=\sum \_{|I|=k}P^{I}}
이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

예
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실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle D=\sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}}
여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \exists \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\forall y\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )\exists N\in \mathbb {N} \forall n>N\colon f\_{n}(y)=0}
### 벡터 연산자

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {T} \mathbb {R} ^{n}}의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기

{\displaystyle \operatorname {grad} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}
와 발산

{\displaystyle \operatorname {div} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}
및 회전

{\displaystyle \operatorname {curl} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}
은 모두 1차 미분 연산자이다.

### 라플라스 연산자

 이 부분의 본문은 라플라스 연산자입니다.
준 리만 다양체 (M,g) 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자

\Delta \colon C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)
가 존재하며, 그 주표상은

\sigma \_{\Delta }(\xi )=g^{{-1}}(\xi ,\xi )
이다. 만약 M이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

### 디랙 연산자

 이 부분의 본문은 디랙 연산자입니다.
스핀 다양체 M 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자

D=\gamma ^{i}\nabla \_{i}\colon SM\to SM
의 주표상은

\sigma \_{D}(\xi )=\gamma ^{i}\xi \_{i}
이다. 여기서 SM은 M의 스피너 다발이고, \gamma ^{i}는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

역사
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미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast, 1759~1803)의 1800년 저서가 최초라고 여겨진다.:169, §2.1

페트레 정리는 야크 페트레(에스토니아어: Jaak Peetre, 1935~)가 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **298**. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001.
2. ↑  Arbogast, Louis François Antoine (1800). 《Du calcul des dérivations》 (프랑스어). de l’imprimerie de Levrault, frères.
3. ↑  Pantecki, Maria (2000). 〈The mathematical background of George Boole’s *Mathematical Analysis of Logic* (1847)〉. Gasser, James. 《A Boole anthology: recent and classical studies in the logic of George Boole》. Synthese Library (영어) **291**. Springer-Verlag. 167–212쪽. doi:10.1007/978-94-015-9385-4\_10. ISBN 978-90-481-5491-3.

* Hörmander, Lars (1971). 〈Linear differential operators〉 (PDF). 《Actes du Congrès international des mathématiciens 1970 publiés sous la direction du Comité d’Organisation du Congrès. Tome 1. Documents — Médailles Fields. Conférences générales (G). Logique (A) — algèbre (B)》 (영어). 파리: Gauthier-Villars. 121–133쪽. 2015년 11월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 1월 5일에 확인함.
* Hörmander, L. (1983). 《The analysis of linear partial differential operators I》. Grundl. Math. Wissenschaft. **256**. Springer. ISBN 3-540-12104-8. MR 0717035.
* Wells, R.O. (1973). 《Differential analysis on complex manifolds》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.