군론에서 **쉴로브 정리**(영어: Sylow theorems) 또는 **실로우 정리**는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의
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소수 p가 주어졌을 때, *p*-군은 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱인 군이다. **쉴로브 *p*-부분군**(영어: Sylow *p*-subgroup)은 극대 *p*-부분군이다. 즉, 군 G의 *p*-부분군 H가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 *p*-부분군이라고 한다.

* 임의의 *p*-부분군 {\displaystyle K\subseteq G}에 대하여, 만약 {\displaystyle H\subseteq K}라면, {\displaystyle K=G} 또는 {\displaystyle K=H}이다.

쉴로브 *p*-부분군의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)}로 표기하자.

유한군 G와 소수 p가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 n\in {\mathbb Z}^{+}\cup \{0\}와 양의 정수 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여

|G|=p^{n}m
이며 p와 m이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 k\in \{0,\dots ,n\}에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

* **제1 쉴로브 정리**(영어: first Sylow theorem): 크기가 {\displaystyle p^k}인 G의 부분군이 존재한다.
* **제2 쉴로브 정리**(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G 및 *p*-부분군 {\displaystyle K\subseteq G}에 대하여, {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}인 g\in G가 존재한다. 특히, G의 모든 쉴로브 *p*-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 *p*-부분군의 크기는 p^{n}이다.
* **제3 쉴로브 정리**(영어: third Sylow theorem): 크기가 {\displaystyle p^k}인 G의 부분군의 총수가 {\displaystyle n(p^{k};G)}이며 (특히 {\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|}), H가 G의 임의의 쉴로브 *p*-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
	+ {\displaystyle n(p^{k};G)\equiv 1{\pmod {p}}}
	+ {\displaystyle n(p^{n};G)\mid m}
	+ {\displaystyle n(p^{n};G)=|G:\operatorname {N} \_{G}(H)|}. (여기서 {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(-)}는 정규화 부분군이다.)

증명
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다음은 k=n인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 k에 대한 경우에도 적용 가능하다.

### 제1 정리

#### 켤레 작용을 통한 증명

크기가 p^{n}인 G의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 |G|에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. {\displaystyle \{g\_{1},\dots ,g\_{k}\}\subseteq G}가 한원소 집합이 아닌 G의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

{\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum \_{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} \_{G}(g\_{i})}|}}}
이 경우 각 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}에 대하여 {\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(g\_{i})}는 G의 진부분군이다.

만약 p^{n}이 {\displaystyle |{\operatorname {C} \_{G}(g\_{i})}|}의 약수가 되는 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 {\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(g\_{i})}는 {\displaystyle |H|=p^{n}}인 부분군 H를 가지며, 이는 자명하게 G의 부분군이다.

이제, 임의의 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}에 대하여, p^{n}이 {\displaystyle |{\operatorname {C} \_{G}(g\_{i})}|}의 약수가 아니라고 하자. n=0인 경우는 자명하다. 만약 n>0이라면, p는 {\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|}의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 \operatorname Z(G)는 {\displaystyle |K|=p}인 부분군 K를 가지며, 이는 G의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 G/K는 크기가 {\displaystyle p^{n-1}}인 쉴로브 *p*-부분군 {\displaystyle H/K}를 가지며, 이 경우 H는 크기가 p^{n}인 G의 부분군이다.

#### 빌런트의 증명

헬무트 빌런트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 n>0이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{S\subseteq G\colon |S|=p^{n}\}}
이 위에 G는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle G\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}
{\displaystyle (g,S)\mapsto gS\qquad (g\in G,\;S\in {\mathcal {S}})}
이 작용의 궤도들의 대표원을 {\displaystyle \{S\_{1},\dots ,S\_{k}\}\subset {\mathcal {S}}}라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle |{\mathcal {S}}|=\sum \_{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G\_{S\_{i}}|}}}
또한

{\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod \_{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}}
은 p와 서로소이므로 (이는 각 {\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}}에 대하여 {\displaystyle p^{n}m-k}와 {\displaystyle p^{n}-k}의 소인수 p의 중복도가 k의 소인수 p의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 {\displaystyle {\frac {|G|}{|G\_{S\_{i}}|}}}가 p와 서로소인 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}가 존재한다. S\_{i}의 안정자군을 {\displaystyle H=G\_{S\_{i}}}라고 하자. 그렇다면, H는 G의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 {\displaystyle |H|}는 p^{n}을 약수로 갖는다. 또한 s\in S에 대하여,

{\displaystyle H\to S}
{\displaystyle h\mapsto hs\qquad (h\in H)}
는 단사 함수이므로, {\displaystyle |H|=p^{n}}이다.

#### 정규화 부분군을 통한 증명

임의의 쉴로브 *p*-부분군(즉, 극대 *p*-부분군) H\subseteq G에 대하여 {\displaystyle |H|=p^{n}}임을 보이는 것으로 족하다. H의 정규화 부분군 \operatorname N\_{G}(H)를 생각하자. 그렇다면 H는 \operatorname N\_{G}(H)의 정규 부분군이므로, 몫군 {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(H)/H}를 취할 수 있다.

우선, p가 {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}{|H|}}}의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 p가 {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}{|H|}}}의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 {\displaystyle |K/H|=p}인 부분군 {\displaystyle K/H\subseteq \operatorname {N} \_{G}(H)/H}가 존재한다. 이 경우 부분군 {\displaystyle H\subseteq K\subseteq \operatorname {N} \_{G}(H)}는 G의 부분군이며, {\displaystyle |K|=p|H|>|H|}를 만족시킨다. 이는 H가 쉴로브 *p*-부분군인 데 모순이다.

이제, p가 {\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}}의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 {\displaystyle G/\operatorname {N} \_{G}(H)} 위에서 H가 다음과 같이 작용한다고 하자.

{\displaystyle H\times G/\operatorname {N} \_{G}(H)\to G/\operatorname {N} \_{G}(H)}
{\displaystyle (h,g\operatorname {N} \_{G}(H))\mapsto hg\operatorname {N} \_{G}(H)\qquad (h\in H,\;g\in G)}
그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

{\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}\equiv |\{g\operatorname {N} \_{G}(H)\in G/\operatorname {N} \_{G}(H)\colon Hg\operatorname {N} \_{G}(H)=g\operatorname {N} \_{G}(H)\}|{\pmod {p}}}
따라서, \operatorname N\_{G}(H)가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 g\in G가 임의의 h\in H에 대하여

{\displaystyle hg\operatorname {N} \_{G}(H)=g\operatorname {N} \_{G}(H)}
를 만족시킨다면, {\displaystyle g^{-1}hg\in \operatorname {N} \_{G}(H)}이며, H는 *p*-군이므로 h의 위수는 p의 거듭제곱이다. 따라서 {\displaystyle g^{-1}hgH}의 ({\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(H)/H}에서의) 위수 역시 p의 거듭제곱이며, 또한 이는 {\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}{|H|}}}의 약수이므로, {\displaystyle g^{-1}hgH}의 위수는 1이다. 즉, {\displaystyle g^{-1}hgH=H}이며, {\displaystyle g^{-1}hg\in H}이다. 즉, {\displaystyle g\in \operatorname {N} \_{G}(H)}가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 {\displaystyle |H|=p^{n}}을 얻는다. 이는

{\displaystyle |G|={\frac {|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}{|H|}}\cdot {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}\cdot |H|}
때문이다.

### 제2 정리

#### 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명

크기가 {\displaystyle |H|=p^{n}}인 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G를 취하자. 임의의 *p*-부분군 {\displaystyle K\subseteq G}에 대하여, {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}인 g\in G의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 G/H 위에서 K가 다음과 같이 작용한다고 하자.

{\displaystyle K\times G/H\to G/H}
{\displaystyle (k,gH)\mapsto kgH\qquad (k\in K,\;g\in G)}
또한, G/H의 크기는 p와 서로소이므로, 궤도의 크기가 p와 서로소인 원소 {\displaystyle gH\in G/H}를 가지며, 이에 대한 안정자군은 K 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle K=K\_{gH}=G\_{gH}\cap K=gG\_{H}g^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}}
#### 이중 잉여류를 통한 증명

크기가 {\displaystyle |H|=p^{n}}인 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G를 취하자. 임의의 *p*-부분군 {\displaystyle K\subseteq G}에 대하여, {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}인 g\in G의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

{\displaystyle K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}}
는 G의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

{\displaystyle |G|=\sum \_{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum \_{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}
즉,

{\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=\sum \_{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}
이다. 또한 {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}}는 p와 서로소이므로, {\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}가 p와 서로소가 되는 g\in G가 존재한다. 즉, 이 g에 대하여

{\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}=1}
이다. 따라서,

{\displaystyle K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}}
이 성립한다.

### 제3 정리

#### 켤레 작용을 통한 증명

쉴로브 *p*-부분군의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)}라고 하고, 이 위의 켤레 작용

{\displaystyle G\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)}
{\displaystyle (g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad (g\in G,\;H\in \operatorname {Syl} (p;G))}
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 {\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)}에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 \operatorname N\_{G}(H)이다. 따라서

{\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}}
이며, 이는

{\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=m}
의 약수이다.

이제, 임의의 {\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)}에 제한된 켤레 작용

{\displaystyle H\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)}
{\displaystyle (h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in \operatorname {Syl} (p;G))}
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

{\displaystyle n(p^{n};G)\equiv |\{K\in \operatorname {Syl} (p;G)\colon \forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|{\pmod {p}}}
가 성립한다. 이제 H가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 {\displaystyle K\in \operatorname {Syl} (p;G)}가 임의의 h\in H에 대하여 {\displaystyle hKh^{-1}=K}를 만족시킨다면, {\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} \_{G}(K)}이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 {\displaystyle g\in \operatorname {N} \_{G}(K)}가 존재한다.

{\displaystyle H=gKg^{-1}=K}
따라서, 합동식

{\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}}
가 성립한다.

#### 빌런트의 증명

집합

{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{S\in {\mathcal {S}}\colon |G\_{S}|=p^{n}\}}
을 생각하자. 그렇다면, \mathcal T는 정확히 다음과 같은 집합이다.

{\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigsqcup \_{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in \operatorname {Syl} (p;G),\;g\in G\}}
여기서 {\displaystyle H\backslash G}는 H의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 *p*-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

{\displaystyle |{\mathcal {T}}|=\sum \_{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}{\frac {|G|}{|H|}}=n(p^{n};G)m}
이다.

임의의 {\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}의 안정자군 {\displaystyle G\_{S}}은 *p*-부분군이다. 이는 임의의 s\in S에 대하여, {\displaystyle G\_{S}s\subseteq S}이므로, S가 {\displaystyle G\_{S}}의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}의 원소들의 안정자군은 *p*-부분군이다. 또한, {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}는 G의 작용에 대하여 닫혀있으므로, {\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}} 속 궤도들의 대표원 {\displaystyle \{S\_{1},\dots ,S\_{k}\}\subseteq {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}를 취할 수 있으며, 이 경우

{\displaystyle |{\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}|=\sum \_{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G\_{S\_{i}}|}}\equiv 0{\pmod {pm}}}
가 성립한다.

또한,

{\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod \_{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}\equiv m{\pmod {pm}}}
가 성립한다. 이는 임의의 {\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}}에 대하여, k의 소인수 p의 중복도가 e라고 할 때,

{\displaystyle p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not \equiv 0{\pmod {p}}}
이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

{\displaystyle n(p^{n};G)m\equiv m{\pmod {pm}}}
을 얻으며, m>0이므로

{\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}}
가 성립한다.

쉴로브 부분군의 성질
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유한군 G와 소수 p가 주어졌다고 하자.

### 연산에 대한 닫힘

만약 H가 G의 쉴로브 *p*-부분군이며, N이 G의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle H\cap N}은 N의 쉴로브 *p*-부분군이다.
* {\displaystyle HN/N}은 G/N의 쉴로브 *p*-부분군이다.

증명:

K가 N의 쉴로브 *p*-부분군이라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}인 g\in G가 존재한다. 따라서

{\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}}
이며,

{\displaystyle |H\cap N|\geq |K|}
이다. {\displaystyle H\cap N}은 N의 *p*-부분군이므로,

{\displaystyle |H\cap N|=|K|}
이며, {\displaystyle H\cap N}은 N의 쉴로브 *p*-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

{\displaystyle |HN/N|={\frac {|H|}{|H\cap N|}}}
으로부터 유도된다.

### 충분 조건

만약 H가 G의 *p*-부분군이며, {\displaystyle H=\operatorname {N} \_{G}(H)}라면, H는 G의 쉴로브 *p*-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

증명:

H가 H의 켤레 부분군의 집합

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}}
위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.

{\displaystyle H\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}
{\displaystyle (h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in {\mathcal {S}})}
그렇다면, 각 궤도의 크기는 {\displaystyle |H|}의 약수이며, 특히 p의 거듭제곱이다.

이제, H가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 {\displaystyle K\in {\mathcal {S}}}가 임의의 h\in H에 대하여 {\displaystyle hKh^{-1}=K}를 만족시킨다면, {\displaystyle K=gHg^{-1}}인 g\in G를 취하면

{\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} \_{G}(K)=g\operatorname {N} \_{G}(H)g^{-1}=gHg^{-1}=K}
이므로, {\displaystyle K=H}이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여

{\displaystyle 1\equiv |{\mathcal {S}}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}={\frac {|G|}{|H|}}{\pmod {p}}}
이며, 특히 H는 G의 쉴로브 *p*-부분군이다.

### 교집합

만약 {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}가 G의 모든 쉴로브 *p*-부분군의 교집합이라고 하면, {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}는 G의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 *p*-부분군이다. 만약 H가 G의 정규 쉴로브 *p*-부분군이라면, {\displaystyle n(p^{n};G)=1}이며, {\displaystyle H=\operatorname {O} (p;G)}는 G의 유일한 쉴로브 *p*-부분군이다.

증명:

우선, {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}가 G의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {O} (p;G)=\bigcap \_{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname {Core} \_{G}(H)}
가 H의 정규핵이기 때문이다.

이제, {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}가 G의 모든 정규 *p*-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 *p*-부분군 {\displaystyle N\subseteq G} 및 쉴로브 *p*-부분군 H\subseteq G에 대하여, {\displaystyle N\subseteq H}임을 보이면 된다. {\displaystyle NH}이 G의 부분군이며,

{\displaystyle |NH|={\frac {|N||H|}{|N\cap H|}}}
이므로 이는 *p*-부분군이다. 따라서 {\displaystyle NH=H}이며, 특히 {\displaystyle N\subseteq H}이다.

이에 따라 {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}는 G의 유일한 극대 정규 *p*-부분군이다. 극대 정규 *p*-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 {\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}에 대하여, {\displaystyle \phi (\operatorname {O} (p;G))} 역시 G의 극대 정규 *p*-부분군이며, 따라서 {\displaystyle \phi (\operatorname {O} (p;G))=\operatorname {O} (p;G)}이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}는 G의 특성 부분군이다.

만약 H가 G의 정규 쉴로브 *p*-부분군이라면, {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(H)=G}이므로,

{\displaystyle n(p^{n};G)={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} \_{G}(H)}|}}=1}
이며, 따라서 {\displaystyle H=\operatorname {O} (p;G)}이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

* {\displaystyle \operatorname {O} (p;G)=H\cap K}인 두 쉴로브 *p*-부분군 {\displaystyle H,K\subseteq G}가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.

* p는 홀수 비(非)메르센 소수이다.
* |G|는 홀수이다.
* p=2이며, |G|는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

### 프라티니 논증

 이 부분의 본문은 프라티니 논증입니다.
만약 N이 G의 정규 부분군이며, H가 N의 쉴로브 *p*-부분군이라면, {\displaystyle G=N\operatorname {N} \_{G}(H)}이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 H가 G의 쉴로브 *p*-부분군, K가 G의 부분군이며, {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(H)\subseteq K}라면, {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(K)=K}이다. 특히, {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(\operatorname {N} \_{G}(H))=\operatorname {N} \_{G}(H)}가 성립한다.

응용
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실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. p와 q가 소수이며, p<q라고 하자.

* p\nmid q-1일 경우, 크기가 pq인 군은 순환군과 동형이다.
* p\mid q-1일 경우, 크기가 pq이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
* 크기가 p^{m}q^{n} (m,n\in \{1,2\})인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사
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노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.