대수기하학에서 **풍부한 가역층**(豐富한可逆層, 영어: ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.

정의
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### 매우 풍부한 가역층

스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 {\mathcal L}이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

* Y 위의 준연접층 \mathcal E
* Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E)

가 존재한다면, {\mathcal L}이 **q에 대하여 매우 풍부한 가역층**(영어: very ample invertible sheaf relative to q, 프랑스어: faisceau inversible très ample pour q)이라고 한다.:79, Définition 4.4.2

\mathcal L\cong\iota^\*\mathcal O\_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)
\mathcal O\_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.
**매우 풍부한 인자**(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼:120과 류칭:167, Definition 5.1.26이 사용하는 "매우 풍부한 가역층"의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 **H-매우 풍부한 가역층**이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 {\mathcal L}이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여 Y-스킴의 몰입

\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P\_Y^n
이 존재한다면, {\mathcal L}이 **q에 대하여 H-매우 풍부한 가역층**이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P\_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 풍부한 가역층

콤팩트 분리 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 가역층 {\mathcal L}이 다음 조건을 만족시킨다면, **풍부한 가역층**(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.:84, Définition 4.5.3:153

* X 위의 임의의 유한형 준연접층 {\mathcal F}에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.:85, Proposition 4.5.5(d):153:169, Definition 5.1.33
* X 위의 임의의 유한형 준연접층 {\mathcal F}에 대하여, {\mathcal F}가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O\_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.:85, Proposition 4.5.5(d′)
* X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 {\mathcal {I}}에 대하여, {\mathcal {I}}가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O\_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.:85, Proposition 4.5.5(d″)

**풍부한 인자**(豊富한因子, 영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.:153, Remark II.7.4.1

### 대역적 단면으로 생성되는 층

국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 층 {\mathcal F}가 다음 조건을 만족시킨다면, **대역적 단면으로 생성되는 층**(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

* 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, \Gamma ({\mathcal F},U)=\operatorname {Span}\operatorname {res}\_{{X,U}}(\Gamma ({\mathcal F},X))이다.

여기서 \operatorname {res}\_{{X,U}}\colon \Gamma ({\mathcal F},X)\to \Gamma ({\mathcal F},U)는 제약 사상이며, \Gamma ({\mathcal F},-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질
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뇌터 환 R 위의 사영 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R가 주어졌을 때, p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.:154, Example II.7.4.3 뇌터 환 R 위의 유한형 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R 및 X 위의 가역층 {\mathcal L}이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:154, Theorem II.7.6

* {\mathcal L}이 풍부한 가역층이다.
* 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, {\mathcal L}^{{\otimes n}}은 p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

### 풍부함의 필요 충분 조건

주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to \operatorname {Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌다고 하자. **나카이-모이셰존 조건**([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* D에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
* 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여, 다음이 성립한다.
\overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0

**클라이먼 조건**(Kleiman條件, 영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 *X* 위의 카르티에 인자 *D*에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* D는 풍부한 가역층이다.
* X 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 \operatorname {NE}(X)라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C\in \overline {\operatorname {NE}(X)}에 대하여, D.C>0이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

**카르탕-세르-그로텐디크 정리**(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* L은 풍부한 가역층이다.
* X 위의 임의의 연접층 {\mathcal F}에 대하여, {\mathcal F}\otimes L^{n}이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재한다.

### 해석기하학에서의 풍부

복소수 n차원 복소다양체 M 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식

\omega\in\Omega^{1,1}(M)\cap\Omega^2(M;\mathbb R)
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 **양의 (1,1)-미분 형식**(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다.

* 임의의 x\in M에서, 정칙 접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{1,0}M}의 쌍대 공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{1,0\*}M}의 기저 {\displaystyle (\mathrm {d} z^{1},\dotsc ,\mathrm {d} z^{n})}을 잡았을 때, {\displaystyle \mathrm {i} \omega |\_{x}=\textstyle \sum \_{i}\alpha \_{i}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{i}}의 꼴이며, \alpha\_1,\dots,\alpha\_n\ge0는 음이 아닌 실수이다.
* 임의의 x\in M 및 {\displaystyle v\in \mathrm {T} \_{x}^{1,0}(M)}에 대하여, {\displaystyle -\mathrm {i} \omega (v,{\bar {v}})\geq 0}이다.
* \operatorname{Im}h=-\omega인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 h가 존재한다.

즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.

복소다양체 M 위의 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M에 대하여, \nabla^{0,1}=\bar\partial인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 **천 접속**(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 F는 항상

{\displaystyle F\in \Omega ^{1,1}(M)\cap \mathrm {i} \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )}
이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 {\displaystyle \mathrm {i} F}가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), L을 **양의 선다발**(영어: positive line bundle)이라고 한다. F는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} } 위의 가역층 {\mathcal L}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 X^{\operatorname{an}}는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an}}은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathcal L}은 풍부한 가역층이다.
* \mathcal L^{\operatorname{an}}은 양의 선다발이다.

예
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### 아핀 스킴 위의 가역층

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.:154, Example II.7.4.2

### 사영 공간 위의 가역층

체 K 위의 사영 공간 {\mathbb P}\_{K}^{n} 및 정수 k\in {\mathbb Z}에 대하여, 가역층

{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\mathbb {P} \_{K}^{n}}(k)={\mathcal {O}}\_{\mathbb {P} \_{K}^{n}}(-1)^{\otimes -k}}
을 정의할 수 있다. 여기서 {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.:155, Example II.7.6.1

* \mathcal O(k)는 풍부한 가역층이다.
* \mathcal O(k)는 스킴 사상 \mathbb P^n\_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
* k>0이다.

### 대수 곡선

대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 {\displaystyle \deg D>0}인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 g의 대수 곡선의 경우, 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은

{\displaystyle \deg D\geq 2g+1}
인 것이다.

예를 들어, 사영 직선(g=0)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}이다 (버코프-그로텐디크 정리 영어: Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우 {\displaystyle d\geq 1}인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, {\displaystyle d\leq 0}인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} 위의 가역층 {\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}을 생각하자. {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}의 동차 좌표계 {\displaystyle [s:t]}에 대하여, 그 단면의 공간은

{\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1};{\mathcal {O}}(2))=Ks^{2}\oplus Kst\oplus Kt^{2}}
이다. 즉, 사상

{\displaystyle [s:t]\to [s^{2}:st:t^{2}]}
는 매장 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{2}}을 정의하며, 그 상은 대수 곡선

{\displaystyle \operatorname {Proj} {\frac {K[x,y,z]}{xz-y^{2}}}}
이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

### 대수 곡면

나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 D는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.

* D의 자기 교차수 D.D>0
* X 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 C\subset X에 대하여 D.C>0

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.

역사
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나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 喜和 (なかい よしかず))와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н) 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.

참고 문헌
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