C\* 대수 이론에서, **상태**(狀態, 영어: state)는 C\* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C\* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 "확률 측도"로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

**겔판트-나이마르크-시걸 구성**(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 영어: Gelfand–Naimark–Segal construction, 약자 **GNS 구성**)에 따라, 상태들은 C\* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

정의
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(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 {\displaystyle (A,^{\*})} 위의 복소수 선형 변환

{\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }
가 다음 조건을 만족시킨다면, **상태**라고 한다.:27, §1.6:107, Definition 6.2

* 임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle f(a^{\*}a)\in [0,\infty )}이다.
* f(1)=1이다.

C\* 대수 A의 상태들의 공간을 {\displaystyle \operatorname {State} (A)\subseteq A^{\*}}라고 하자 (A^{\*}는 A의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 **순수 상태**(純粹狀態, 영어: pure state):29, §1.6, 아닌 상태들을 **혼합 상태**(混合狀態,영어: mixed state)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

### \*-표현

C\* 대수 A의 **\*-표현**(\*-表現) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* {\mathcal {H}}는 복소수 힐베르트 공간이다.
* {\displaystyle \rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle \rho (a+b)=\rho (a)+\rho (b)}
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle \rho (ab)=\rho (a)\rho (b)}
	+ 임의의 a\in A 및 \lambda \in {\mathbb C}에 대하여, {\displaystyle \rho (\lambda a)=\lambda \rho (a)}
	+ 임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle \rho (a^{\*})=\rho (a)^{\*}} (우변의 ^{\*}는 에르미트 수반)
	+ {\displaystyle \rho (1)=1} (항등 함수)

A의 \*-표현 {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )}에 대하여, 만약 v\in {\mathcal H}가 다음 조건을 만족시킨다면 **순환 벡터**라고 한다.:29, §1.6

{\displaystyle \{\rho (a)x\colon a\in A\}}는 {\mathcal {H}}의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

성질
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### 기초적 성질

복소수 대합 대수 A 위의 상태 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }가 주어졌을 때, 에르미트 형식

{\displaystyle B\_{f}\colon A\times A\to \mathbb {C} }
{\displaystyle B\_{f}\colon (a,b)\mapsto f(a^{\*}b)}
을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

{\displaystyle |B\_{f}(a,b)|^{2}\leq B\_{f}(a,a)B\_{f}(b,b)\qquad \forall a,b\in A}
가 성립한다. 즉,

{\displaystyle |f(a^{\*}b)|^{2}\leq f(a^{\*}a)f(b^{\*}b)\qquad \forall a,b\in A}
이다.

C\* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.:28, Proposition 1.6.2 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

**증명:**

우선, 다음 보조 정리를 증명하자.

**①** C\* 대수 A의 자기 수반 원소 a\in A가 {\displaystyle \|a\|\leq 1}이라면, {\displaystyle b^{2}=1-a}인 자기 수반 원소 {\displaystyle b\in A}가 존재한다.
**①의 증명:** a로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C\* 대수 {\displaystyle B\subseteq A}를 생각하자. 이는 가환 C\* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대한 {\displaystyle B\cong {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )}로 표현되며, 이 표현 아래 x는 치역이 [-1,1]의 부분 집합인 연속 함수 {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }에 대응된다. 이 경우, {\displaystyle {\sqrt {1-f}}}에 대응되는 원소가 {\displaystyle b\in B\subseteq A}이다.
임의의 C\* 대수 A 위의 임의의 상태 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }를 생각하자. {\displaystyle f\colon 1\_{A}\mapsto 1\_{\mathbb {C} }}이므로 {\displaystyle \|f\|\geq 1}이다. 즉, {\displaystyle \|f\|\leq 1}임을 보이면 족하다.

임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle \|a\|\leq 1}이라고 하자. 이제 {\displaystyle |f(a)|\leq 1}임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

{\displaystyle |f(a)|^{2}\leq f(a^{\*}a)}
이다. 즉, {\displaystyle f(a^{\*}a)\leq 1}, 즉 {\displaystyle f(1-a^{\*}a)\geq 0}임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.

### 분해

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* C\* 대수 A
* 유계 작용소 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }

또한, 다음이 성립한다고 하자.

* 임의의 자기 수반 원소 a\in A에 대하여, {\displaystyle f(a)\in \mathbb {R} }

그렇다면, f는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.

{\displaystyle f=\alpha \_{+}f\_{+}-\alpha \_{-}f\_{-}}
여기서

* {\displaystyle f\_{+},f\_{-}\colon A\to \mathbb {C} }는 A 위의 두 상태이다.
* {\displaystyle \alpha \_{+},\alpha \_{-}\in [0,\infty )}는 음이 아닌 두 실수이며, {\displaystyle \|f\|=\alpha \_{+}+\alpha \_{-}}이다.

### 정규 상태

폰 노이만 대수 A 위의 상태 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 **정규 상태**(正規狀態, 영어: normal state)라고 한다.:§12.6, Theorem 12.14

* {\displaystyle f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} \_{A}(0,1)}는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
* {\displaystyle f\upharpoonright \operatorname {cl} \operatorname {ball} \_{A}(0,1)}는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
* 임의의 \*-표현 {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )}에 대하여, {\displaystyle \rho (a)=\operatorname {tr} (T\rho (a))}가 성립하는 대각합류 작용소 T\colon {\mathcal H}\to {\mathcal H}가 존재한다. (이 경우, T를 f의 **밀도 행렬**이라고 한다.)

### 겔판트-나이마르크-시걸 구성

**겔판트-나이마르크-시걸 구성**에 따르면, 다음이 성립한다.

① C\* 대수 A의 상태 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 \*-표현 {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )} 및 그 속의 순환 벡터 v\in {\mathcal H}가 존재한다.:28, Theorem 1.6.3
{\displaystyle \forall a\in A\colon f(a)=\langle \rho (a)v,v\rangle }
② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 \*-표현 {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho ,v)}, {\displaystyle ({\mathcal {H}}',\rho ',v')}에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 U\colon {\mathcal H}\to {\mathcal H}'이 존재한다.:31, Exercise 1.6.B
{\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)=U\rho (a)U^{\*}}
{\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)v'=U\rho (a)v}
즉, C\* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 \*-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.

**구성:**

구체적으로, 상태 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }에 대응하는 \*-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.:73, Theorem I.2.14 우선, 양쪽 아이디얼

{\displaystyle {\mathfrak {I}}=\{a\in A\colon f(a^{\*}a)=0\}}
를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\overline {A/{\mathfrak {I}}}}}
이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

{\displaystyle \langle a+{\mathfrak {I}},b+{\mathfrak {I}}\rangle \_{\mathcal {H}}=f(ab)\qquad \forall a,b\in A}
그 위의 \*-표현은 다음과 같다.

{\displaystyle \rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
{\displaystyle \rho \colon a\mapsto (b+{\mathcal {I}}\mapsto ab+{\mathfrak {I}})}
그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

{\displaystyle v=1\_{A}+{\mathfrak {I}}\in {\mathcal {H}}}

### 순수 상태 ⇔ 기약 \*-표현

C\* 대수 A의 \*-표현 {\displaystyle ({\mathcal {H}},\rho )}가 다음 두 조건을 만족시킨다면 **기약 \*-표현**(영어: irreducible \*-representation)이라고 한다.:16, Exercise 1.3.D

* {\displaystyle {\mathcal {H}}\neq \{0\}}
* 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 {\displaystyle V\subseteq {\mathcal {H}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \{0\}\neq V\neq {\mathcal {H}}}라면, {\displaystyle \rho (a)V\neq V}인 a\in A가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 \*-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.:30, Theorem 1.6.6

예
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임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{N}} 및 모든 {\displaystyle N\times N} 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 {\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )}를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 \rho 를 생각하자.

{\displaystyle \operatorname {tr} \rho =1}
{\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}
또한, \rho 의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자.
그렇다면, 함수

{\displaystyle \operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }
{\displaystyle O\mapsto \operatorname {tr} (\rho O)=\operatorname {tr} (O\rho )}
는 {\displaystyle \operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )} 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 {\displaystyle \rho =|v\rangle \langle v|} ({\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{N}}는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

{\displaystyle \phi \_{|v\rangle \langle v|}\colon O\mapsto \operatorname {tr} (O|v\rangle \langle v|)=\langle v|O|v\rangle }
이다.

역사
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상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(영어: Irving Ezra Segal)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Arveson, William (1976). 《An invitation to C\*-algebras》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **39**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6371-5. ISBN 978-0-387-90176-3. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Powers, Robert T. (1971). "Algebras of unbounded operators". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **21** (2): 84–124. MR 283580. Zbl 0214.14102.
3. ↑  Warner, Garth. 《C\*-algebras》 (PDF) (영어).
4. ↑  Emch, G. (1972). 《Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory》. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-23900-3.
5. ↑  Gelfand, I.; Neumark, Mark A. (1943). "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space". 《Математический сборник》 (영어) **12** (2): 197–217. MR 9426. Zbl 0060.27006.
6. ↑  Segal, Irving Ezra (1947). "Irreducible representations of operator algebras". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **53**: 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5.