| 대수 구조 |
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| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
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**리 대수**(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

정의
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가환환 K 위에 정의된 **리 대수** ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])는 K-가군 {\mathfrak {g}}와 다음을 만족하는 선형 변환 [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}로 이루어진다.

* (쌍선형성) 모든 x,y,z\in {\mathfrak {g}}와 a,b\in K에 대해 [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]이다.
* (교대성) 모든 x\in {\mathfrak {g}}에 대하여 [x,x]=0이다.
* (야코비 항등식) 모든 x,y,z\in {\mathfrak {g}}에 대해 [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0이다.

이 이항 연산은 **리 괄호**(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 **준동형**은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 K에서 2의 역원 {\displaystyle 2^{-1}}이 존재한다면 (예를 들어, K가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 x,y\in {\mathfrak {g}}에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}} 등으로 나타낸다.

정수환 \mathbb {Z}  위의 리 대수를 **리 환**(Lie環, 영어: Lie ring)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

### 부분 대수와 아이디얼

 이 부분의 본문은 리 대수 아이디얼입니다.
가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **부분 리 대수**(영어: Lie subalgebra) {\mathfrak {h}}는 리 괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}이며 {\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}이다.

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **리 대수 아이디얼** I\subset {\mathfrak {g}}는 {\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}를 만족하는 K-부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 **몫 리 대수**(영어: quotient Lie algebra) {\mathfrak {g}}/I를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 등급 리 대수

환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, **등급 리 대수**(等級Lie代數, 영어: graded Lie algebra)의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 {\displaystyle (D,+)}가 주어졌다고 하자. 가환환 K 위의, D 등급을 갖는 **등급 리 대수** {\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus \_{d\in D}{\mathfrak {g}}\_{d}}
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\_{d}\times {\mathfrak {g}}\_{d'}\to {\mathfrak {g}}\_{d+d'}}
이다.

성질
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### 리 군론적 성질

 이 부분의 본문은 리 대응입니다.
리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 {\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {SO} (5))={\mathfrak {so}}(5)}이다.

### 보편 대수학적 성질

리 군과 달리, 주어진 체 K 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

* 0항 연산:
	+ 0 (덧셈 항등원)
* 1항 연산:
	+ − (덧셈 역원)
	+ 임의의 a\in K에 대하여, 스칼라곱 a\cdot
* 2항 연산:
	+ + (덧셈)
	+ [-,-] (리 괄호)

이는 K 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

* 아벨 리 대수. 이는 항등식 [x,y]=0으로 정의된다.
* k형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 k 이하인 리 대수이다.
* k형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 k 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 {\mathcal {U}}, {\mathcal {V}}가 주어졌을 때, 그 곱 {\mathcal {U}}{\mathcal {V}}는 {\mathcal {V}}의 원소들의, {\mathcal {U}}에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

### 범주론적 성질

주어진 체 K 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 \operatorname {LieAlg} \_{K}는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}의 핵은 0\in {\mathfrak {h}}의 원상 \phi ^{-1}(0)이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. \phi 의 여핵은 그 치역 \phi ({\mathfrak {g}})를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 \operatorname {Ab}  위의 풍성한 범주(영어: enriched category)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 K 위의 단위 결합 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {uAssoc} \_{K}}에서 체 K 위의 리 대수의 범주 \operatorname {LieAlg} \_{K}로 가는 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {uAssoc} \_{K}\to \operatorname {LieAlg} \_{K}}
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자

{\displaystyle {\mathcal {U}}\colon \operatorname {LieAlg} \_{K}\to \operatorname {uAssoc} \_{K}}
이다.

### 오퍼라드 이론적 성질

리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 **리 오퍼라드**(영어: Lie operad) \operatorname {Lie} 가 존재한다. 즉, 체 K 위의 리 대수는 K-벡터 공간의 범주 위의 \operatorname {Lie} -대수이다. 마찬가지로, K-초 벡터 공간의 범주 위의 \operatorname {Lie} -대수는 **리 초대수**라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 **L∞-대수**라고 한다.

연산
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### 중심

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **중심**(中心, 영어: center) {\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})}은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

{\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}}
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

### 몫 리 대수

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 리 대수 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {g}}}가 주어졌을 때, **몫 리 대수**(영어: quotient Lie algebra) {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}를 정의할 수 있다. K-가군으로서, {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}는 몫가군 {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

{\displaystyle [x+{\mathfrak {a}},y+{\mathfrak {a}}]=[x,y]+{\mathfrak {a}}}
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

### 직합

가환환 K 위의 두 리 대수 {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {h}}가 주어졌을 때, 그 **직합** {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.

{\displaystyle [g,g']\_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[g,g']\_{\mathfrak {g}}\qquad \forall g,g'\in {\mathfrak {g}}}
{\displaystyle [h,h']\_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,h']\_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {g}}}
{\displaystyle [g,h]\_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,g]\_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=0\qquad \forall g\in {\mathfrak {g}},\;h\in {\mathfrak {h}}}
보다 일반적으로, K-리 대수의 집합 {\displaystyle \{{\mathfrak {g}}\_{i}\}\_{i\in I}}이 주어졌을 때, 그 직합

{\displaystyle \bigoplus \_{i\in I}{\mathfrak {g}}\_{i}}
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, K-리 대수의 집합 {\displaystyle \{{\mathfrak {g}}\_{i}\}\_{i\in I}}이 주어졌을 때, 그 **직접곱**

{\displaystyle \prod \_{i\in I}{\mathfrak {g}}\_{i}}
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

### 리 대수의 확대

군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 **확대**(擴大, 영어: extension)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열

0\to {\mathfrak {h}}{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}{\mathfrak {e}}{\stackrel {q}{\twoheadrightarrow }}{\mathfrak {g}}\to 0
이 주어졌다면, {\mathfrak {e}}를 {\mathfrak {g}}의 {\mathfrak {h}}로의 **확대**라고 한다. 만약 {\displaystyle \ker q}가 {\mathfrak {e}}의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) **중심 확대**(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

### 반직접합

 이 부분의 본문은 리 대수 반직접합입니다.
군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 **반직접합**(영어: semidirect sum)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

### 미분

체 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}} 위의 **미분**(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 K-선형 변환이다.

\delta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

\delta [x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}
리 대수 {\mathfrak {g}} 위의 미분들의 벡터 공간을 {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 **미분 리 대수**(영어: Lie algebra of derivations) {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})라고 한다.

[\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta \qquad \forall \delta ,\delta '\in {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})
이는 {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 {\mathfrak {g}}가 아벨 리 대수라면 {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)={\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})이다.

K=\mathbb {R} 일 경우, {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 x\in {\mathfrak {g}}에 대하여, 딸림표현 \operatorname {ad} \_{x}\colon y\mapsto [x,y]는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 **내부 미분**(內部微分, 영어: inner derivation)이라고 한다.

구조론과 분류
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우선 다음 성질을 정의하자.

* **아벨 리 대수**(Abel Lie代數, 영어: Abelian Lie algebra)는 임의의 x,y\in {\mathfrak {g}}에 대하여 [x,y]=0인 대수다.
* **멱영 리 대수**는 다음을 만족한다. {\mathfrak {g}}\_{0}={\mathfrak {g}}이고, {\mathfrak {g}}\_{k+1}=[{\mathfrak {g}}\_{k},{\mathfrak {g}}]로 정의하자. 그렇다면 {\mathfrak {g}}\_{k}=0인 k\in \mathbb {N} 이 존재한다.
* **가해 리 대수**는 다음을 만족한다. {\mathfrak {g}}\_{0}={\mathfrak {g}}이고, {\mathfrak {g}}\_{k+1}=[{\mathfrak {g}}\_{k},{\mathfrak {g}}\_{k}]로 정의하자. 그렇다면 {\mathfrak {g}}\_{k}=0인 k\in \mathbb {N} 이 존재한다.
* **단순 리 대수**는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
* **반단순 리 대수**는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수
단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수
다음을 보일 수 있다.

* 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (**아도 정리** 영어: Ado’s theorem)
* 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (**레비 분해** 영어: Levi decomposition)
* (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 **콤팩트 리 대수**라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
* 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

낮은 차원의 리 대수
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3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, **비앙키 분류**(영어: Bianchi classification)라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

### 2차원 이하 리 대수

임의의 체 K에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

* 0차원 아벨 리 대수 \{0\}
* 1차원 아벨 리 대수 K
* 2차원 아벨 리 대수 {\displaystyle K^{\oplus 2}}
* 2차원 비아벨 가해 리 대수 {\displaystyle K\oplus \_{\psi }K}. 여기서 {\displaystyle \psi \colon K\times K\to K}는 곱셈 {\displaystyle \psi (a,b)=ab}으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

* 특수 상삼각 행렬 대수 {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )\subset {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} ). 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
* 1차원 아핀 대수 {\mathfrak {aff}}(1;\mathbb {R} )

### 3차원 실수 리 대수

모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )와 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)} 두 개가 있다. 전통적으로 {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )는 **VIII형**, {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )는 **IX형**으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 \mathbb {R} ^{2}\oplus \_{\psi }\mathbb {R} 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용

\psi \colon \mathbb {R} \to {\mathfrak {der}}(\mathbb {R} ^{2})={\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )
\psi \colon t\mapsto t\psi (1)
는 2×2 실수 정사각 행렬 \psi (1)\in {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )에 의하여 완전히 결정된다. \psi (1)과 \alpha M^{-1}\psi (1)M (\alpha \in \mathbb {R} ^{\times }, M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} ))는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 \psi (1)의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 **I형**~**VII형**으로의 이름이 붙어 있다.

\psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {R} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda \_{1}&0\\0&\lambda \_{2}\end{pmatrix}},\;\lambda \_{1},\lambda \_{2}\in \mathbb {R} ,\;\lambda \_{1}\leq \lambda \_{2}&{\begin{cases}\lambda \_{1}=\lambda \_{2}=0&{\text{I}}\\\lambda \_{1}=\lambda \_{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda \_{1}=-\lambda \_{2}\neq 0&{\text{VI}}\_{0}\\\lambda \_{1}=0<\lambda \_{2}\lor \lambda \_{1}<\lambda \_{2}=0&{\text{III}}\\\lambda \_{1}\neq \pm \lambda \_{2},\;\lambda \_{1}\neq 0\neq \lambda \_{2}&{\text{VI}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix}},\;a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} ^{+}&{\begin{cases}a=0&{\text{VII}}\_{0}\\a\neq 0&{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}
이 가운데 **I형**은 아벨 리 대수이며, **II형**은 하이젠베르크 대수 {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )이자 2차원 갈릴레이 대수 {\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. **III형**은 직합 \mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )와 같다. **V형**은 평면의 닮음 변환군(영어: homothety, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 {\mathfrak {id}}(2;{\mathfrak {R}})이며, **VI0형**은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 {\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )와 같으며, **VII0형**은 2차원 유클리드 대수 {\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )와 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. **VI형**과 **VII형**은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,

\psi (1)={\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}
일 경우, {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y,t\}로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle [t,x]=ax}
{\displaystyle [t,y]=t(bx+cy)}

| 형 | 다른 이름 | 단일 연결 리 군의 중심 | 외부자기동형군 | 성질 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| I형 | 아벨 리 대수 \mathbb {R} ^{3} | \mathbb {R} ^{3} | \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} ) | 아벨 리 대수 |
| II형 | 하이젠베르크 대수 {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} ), 갈릴레이 대수 {\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} ) | \mathbb {R}  | \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} ) | 멱영 리 대수 |
| III형 | \mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} ) | \mathbb {R}  | \mathbb {R} ^{\times } | 가해 리 대수 |
| IV형 |  | 0 | \mathbb {R} \times (\mathbb {Z} /2) |
| V형 | 닮음 변환 대수 {\displaystyle {\mathfrak {id}}(2;\mathbb {R} )} | \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\colon \det M=\pm 1\} |
| VI형 |  | \mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2) |
| VI0형 | 푸앵카레 대수 {\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} ) | \mathbb {R} \times \operatorname {Dih} (\mathbb {Z} /4) |
| VII형 |  | \mathbb {R} ^{\times } |
| VII0형 | 유클리드 대수 {\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} ) | \mathbb {Z}  | \mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2) |
| VIII형 | 특수 선형 대수{\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} ) | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /2 | 단순 리 대수 |
| IX형 | 직교 대수/유니터리 대수 {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {u}}(2) | \mathbb {Z} /2 | 1 |

### 3차원 복소수 리 대수

3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} ) 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 **VIII/IX형**으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다.

\psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda \_{1}&0\\0&\lambda \_{2}\end{pmatrix}},\;\lambda \_{1},\lambda \_{2}\in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda \_{1}=\lambda \_{2}=0&{\text{I}}\\\lambda \_{1}=\lambda \_{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda \_{1}=-\lambda \_{2}\neq 0&{\text{VI}}\_{0}/{\text{VII}}\_{0}\\\lambda \_{1}=0\neq \lambda \_{2}\lor \lambda \_{1}\neq \lambda \_{2}=0&{\text{III}}\\\lambda \_{1}\neq \pm \lambda \_{2},\;\lambda \_{1}\neq 0\neq \lambda \_{2}&{\text{VI}}/{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}
### 4차원 이상

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.

예
-

### 아벨 리 대수

가환환 K 위의 자명한 가군 \{0\} 위에, 자명한 리 괄호 {\displaystyle [0,0]=0}를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 K 위의 가군 V 위에 자명한 리 괄호 {\displaystyle [a,b]=0}을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 **아벨 리 대수**(영어: Abelian Lie algebra)라고 한다. 만약 K가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

### 단위 결합 대수의 리 대수 구조

 이 부분의 본문은 단위 결합 대수입니다.
가환환 K 위의 단위 결합 대수 (A,\cdot )가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, A는 리 대수를 이룬다.

{\displaystyle [a,b]=a\cdot b-b\cdot a}
특히, K 위의 n\times n 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 {\mathfrak {gl}}(n;K)이다.

### 미분

 이 부분의 본문은 미분 (대수학)입니다.
가환환 K 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 A가 주어졌다고 하자. A 위의 미분들의 집합을 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}라고 쓰자. {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.

{\displaystyle [\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta }
그렇다면 {\displaystyle [\delta ,\delta ']} 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}는 K-리 대수를 이룬다.

### 자유 리 대수

 이 부분의 본문은 자유 리 대수입니다.
리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, **자유 리 대수**(영어: free Lie algebra)를 정의할 수 있다. 집합 S 위의 자유 리 대수를 {\displaystyle L(S)}라고 하고, S 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 {\displaystyle K\langle S\rangle }라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle L(S)}는 자연스럽게 {\displaystyle K\langle S\rangle }의 부분 집합을 이루며, {\displaystyle K\langle S\rangle }는 {\displaystyle L(S)}의 보편 포락 대수이다. {\displaystyle L(S)}는 {\displaystyle K\langle S\rangle } 속의, S로 생성되는 부분 리 대수이다.

### 벡터장

매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 {\displaystyle \operatorname {Vect} M}은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 G 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 {\displaystyle \operatorname {Lie} G}를 이룬다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Lie} G}는 {\displaystyle \operatorname {Vect} G}의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 위의 매끄러운 함수 {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.

{\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(df,dg)}
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 {\mathcal C}^{\infty }(M,{\mathbb R})는 \mathbb {R} -리 대수를 이룬다. {\displaystyle \{f,-\}}의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, {\mathcal C}^{\infty }(M,{\mathbb R})는 해밀턴 벡터장들로 구성된 {\displaystyle \operatorname {Vect} M}의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\{,\})}가 주어졌을 때, {\mathcal C}^{\infty }(M,{\mathbb R})는 \mathbb {R} -리 대수를 이룬다.

### 형식적 벡터장

표수가 0인 체 K 위의 형식적 멱급수환 K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 n차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 {\displaystyle \operatorname {Der} K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}은 리 대수를 이룬다. {\displaystyle \operatorname {Der} K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}의 부분 리 대수를 **형식적 벡터장 리 대수**(영어: Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.

두 형식적 벡터장 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq \operatorname {Der} K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}가 K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 **좌표 변환 아래 동치**(영어: equivalent under coordinate transformation)라고 한다.

{\displaystyle X\in \operatorname {Der} K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}의 **차수**는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {ord} X=-1+\min \_{i=1}^{n}\operatorname {ord} X(x\_{i})\in \{-1,0,1,2,\dots \}}
여기서 우변에서 {\displaystyle \operatorname {ord} \left(x^{n}(c+O(x))\right)=n}이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, {\displaystyle \operatorname {ord} [X,Y]\geq \operatorname {ord} X+\operatorname {ord} Y}가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 {\mathfrak {g}} 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}}는 부분 리 대수를 이룬다. L\_{0}의 L 속의 여차원은 n 이하이다. 만약 L\_{0}의 여차원이 n이라면, L을 **추이적 형식적 벡터장 리 대수**(영어: transitive Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.

* {\displaystyle \langle x^{i}\partial \_{x}\rangle }, {\displaystyle i=0,1,2,3,\dots }. 이는 1차원 아벨 리 대수이다.
* {\displaystyle \langle x\partial \_{x},x^{i}\partial \_{x}\rangle }, {\displaystyle i=0,2,3,4,\dots }. 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다.
* {\displaystyle \langle \partial \_{x},x\partial \_{x},x^{2}\partial \_{x}\rangle }. 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;K)}와 동형이다.

이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 {\displaystyle \langle \partial \_{x}\rangle }, {\displaystyle \langle \partial \_{x},x\partial \_{x}\rangle }, {\displaystyle \langle \partial \_{x},x\partial x,x^{2}\partial \_{x}\rangle } 세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.

### 반단순 리 대수

 이 부분의 본문은 반단순 리 대수입니다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 \mathfrak a\_n, \mathfrak b\_n, {\displaystyle {\mathfrak {c}}\_{n}}, \mathfrak d\_n 4개의 무한 족과 {\mathfrak e}\_{6}, \mathfrak e\_7, \mathfrak e\_8, {\mathfrak f}\_{4}, {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{5}} 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K 위의 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}} 속에 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}를 잡자. 그렇다면, \mathfrak a 속의 {\mathfrak {g}}의 근계 {\displaystyle \Phi \subset {\mathfrak {h}}^{\*}}를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 {\mathfrak {g}}는 {\displaystyle \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }\Phi }-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, {\displaystyle g\in {\mathfrak {g}}}의 등급은

{\displaystyle (\deg g)h=[h,g]}
이다.

### 중심렬

군 G 속의 한 중심렬

G=G\_{0}\geq G\_{1}\geq \cdots 
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 i\in \mathbb {N} 에 대하여

[G\_{i},G\_{j}]\leq G\_{i+j}
라고 하자. 그렇다면, G\_{i}/G\_{i+1}은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.

L=\bigoplus \_{i=0}^{\infty }G\_{i}/G\_{i+1}
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.

[xG\_{i},yG\_{j}]=x^{-1}y^{-1}xyG\_{i+j}
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

### 호모토피 군

점을 가진 공간 X 위의 호모토피 군 {\displaystyle \pi \_{k}(X)} 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

{\displaystyle [,]\colon \pi \_{k}(X)\times \pi \_{l}(X)\to \pi \_{k+l-1}(X)}
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{k}=\pi \_{k-1}(X;\mathbb {Q} )}
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

### 기타 예

* 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
* 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
* 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.

역사
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소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(러시아어: И́горь Дми́триевич Адо́)가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(이탈리아어: Eugenio Elia Levi)가 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Адо, Игорь Дмитриевич (1935). "О представлении конечных непрерывных групп помощью линейных подстановок". 《Известия Физико-математического общества при Казанском университете》 (러시아어) **7**: 1–43.
2. ↑  Адо, Игорь Дмитриевич (1947). "Представление алгебр Ли матрицами". 《Успехи математических наук》 (러시아어) **2** (6): 159–173. ISSN 0042-1316. MR 0027753.
3. 1 2  Levi, Eugenio Elia (1950). "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui". 《Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino》 (이탈리아어) **40**: 551–565. JFM 36.0217.02.
4. 1 2  Bianchi, L. (1898). "Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti". 《Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze》 (이탈리아어) **11**: 267.
5. ↑  Glas, Manuel; Konstantis, Panagiotis; Krause, Achim; Loose, Frank (2014). "Bianchi’s classification of 3-dimensional Lie algebras revisited" (영어). arXiv:1403.2278. Bibcode:2014arXiv1403.2278G.
6. ↑  Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 5월). "The construction of solvable Lie algebras from equidimensional nilpotent algebras". 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) **133**: 89–120. doi:10.1016/0024-3795(90)90243-6. ISSN 0024-3795.
7. ↑  Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 12월). "Solvable Lie algebras of dimension ≤4 over perfect fields". 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) (142): 1. doi:10.1016/0024-3795(90)90251-7. ISSN 0024-3795.
8. ↑  de Graaf, W. A. (2005). "Classification of solvable Lie algebras". 《Experimental Mathematics》 (영어) **14** (1): 15–25. arXiv:math/0404071. Bibcode:2004math......4071D. doi:10.1080/10586458.2005.10128911. ISSN 1058-6458. MR 2146516. Zbl 05122031.
9. 1 2  Draisma, Jan (2012년 4월). "Transitive Lie algebras of vector fields: an overview". 《Qualitative Theory of Dynamical Systems》 (영어) **11** (1): 39–60. arXiv:1107.2836. Bibcode:2011arXiv1107.2836D. doi:10.1007/s12346-011-0062-9. ISSN 1575-5460.
10. ↑  González-López, Artemio; Kamran, Niky; Olver, Peter J. (1992). "Lie algebras of vector fields in the real plane" (PDF). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **64** (2): 339–368. doi:10.1112/plms/s3-64.2.339. ISSN 0024-6115.
11. ↑  Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957). 〈The Jacobi identity for Whitehead products〉. 《Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz》 (영어). Princeton University Press. 361–377쪽. MR 0091473.
12. ↑  Cartan, Élie (1894). "Sur la structure des groupes de transformations finis et continus" (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02.

* Erdmann, Karin; Mark J. Wildon (2006). 《Introduction to Lie Algebras》. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/1-84628-490-2. ISBN 978-1-84628-040-5. ISSN 1615-2085.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Iachello, Francesco (2006). 《Lie Algebras and Applications》. Lecture Notes in Physics **708**. Springer. doi:10.1007/3-540-36239-8. ISBN 978-3-540-36236-4. ISSN 0075-8450.
* Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Graduate Texts in Mathematics **222**. Springer. arXiv:math-ph/0005032. doi:10.1007/978-0-387-21554-9. ISBN 978-0-387-40122-5. ISSN 0072-5285.
* Serre, Jean-Pierre (1992). 《Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University》. Lecture Notes in Mathematics **1500** 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2. ISSN 0075-8434.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Steeb, Willi-Hans (2007년 7월). 《Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra》 2판. World Scientific. ISBN 978-981-270-809-0.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Varadarajan, V.S. (1974). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations》. Graduate Texts in Mathematics **102**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1126-6. ISBN 978-0-387-90969-1. ISSN 0072-5285.
* Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan; Tenorio, Ángel F. (2013). "A historical review of the classifications of Lie algebras" (PDF). 《Revista de la Unión Matemática Argentina》 (영어) **54** (2): 75–99.
* Alekseevsky, Dmitri; Michor, Peter W.; Ruppert, Wolfgang (2000). "Extensions of Lie algebras" (영어). arXiv:math/0005042. Bibcode:2000math......5042A.