미분기하학에서 **평탄 주접속**(平坦主接續, 영어: flat principal connection)은 곡률이 0인 주접속이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M

그렇다면, P의 주접속

{\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
에 대하여, 곡률

{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}
을 정의할 수 있다. 만약 F=0이라면, A를 P의 **평탄 주접속**이라고 한다.

### 제르브의 경우

보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체 M과 L∞-대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 {\mathfrak {g}} 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형

{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}
이다 (정의역은 {\mathfrak {g}}의 베유 대수, 공역은 M의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 {\mathfrak {g}}-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})&\to &\Omega (M)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega \_{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\end{matrix}}}
여기서

* {\displaystyle \triangle ^{1}}은 1차원 단체에 해당한다. 즉, {\displaystyle \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})}은 {\displaystyle \Omega (M)\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]}이며, {\displaystyle \mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]=\operatorname {\Omega } (\triangle ^{1})}은 하나의 0차 생성원 s로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
* {\displaystyle \operatorname {\Omega \_{vert}} (M\times \triangle ^{1})}는 {\displaystyle \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})} 속의, {\displaystyle \mathrm {d} t}로 생성되는 아이디얼이다.
* 사상 {\displaystyle \operatorname {\Omega \_{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\to \operatorname {\Omega } (M)}은 포함 사상이다.
* {\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})}와 {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}와 {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}는 각각 L∞-대수 {\mathfrak {g}}의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 {\mathfrak {g}}-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

{\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})}
가 존재한다.

성질
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### 평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조

만약 밑공간 M 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

#### 복소구조

만약 M에 복소구조

{\displaystyle J\_{M}\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M}
가 존재한다고 하면, {\mathcal M}(\Sigma ) 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 \delta A\in T\_{A}{\mathcal M}(\Sigma )를 \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak g})의 원소로 나타내면,

{\displaystyle J\colon \mathrm {T} \_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )\to \mathrm {T} \_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )}
{\displaystyle [J(\delta A)]^{j}=(J\_{M})\_{i}{}^{j}(\delta A)\_{i}}
여기서, 우변의 J\_{i}{}^{j}는 M의 복소구조다.

#### 심플렉틱 구조

G의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 {\displaystyle K(-,-)}을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 {\displaystyle K(AB)=\operatorname {tr} (AB)}의 스칼라배다.)

만약 M에 심플렉틱 구조

{\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}
가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}(M;G)} 역시 심플렉틱 구조를 가진다.{\mathcal M}(\Sigma )는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.:85–87 구체적으로, 임의의 {\mathcal {M}}의 접공간의 원소 {\displaystyle \delta \_{1}A,\delta \_{2}A\in T\_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )}가 주어졌다고 하자. 이들을 {\mathfrak {g}}

{\displaystyle \omega (\delta A\_{1},\delta A\_{2})=\int \_{\Sigma }\omega ^{ij}K\_{ab}\delta \_{1}A\_{i}^{a}\wedge \delta \_{2}A\_{j}^{a}}
로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 M이 켈러 다양체이라면, {\displaystyle {\mathcal {M}}(M,G)}는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, M이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

### 반단순 리 군의 경우

G가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자.
콤팩트 곡면 \Sigma  위의 평탄 G-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

{\mathcal M}(\Sigma )\cong \hom(\pi \_{1}(\Sigma ),G)/G
이다. 여기서 \pi \_{1}(\Sigma )는 \Sigma 의 기본군이고, \hom(\cdot ,\cdot )은 군 준동형들의 공간이며, /G는 동치관계 \phi \sim g\phi g^{{-1}}에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, G가 아벨 군이면

{\mathcal M}(\Sigma )\cong \hom(\pi \_{1}(\Sigma ),G)\cong G^{{2g}}
이다. 여기서 g는 \Sigma 의 곡면 종수이다. 반면, G가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, {\mathcal {M}}은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 \Sigma 의 기본군은 다음과 같이 표시된다.

\pi \_{1}(\Sigma )=\langle a\_{1},b\_{1},\dots ,a\_{g},b\_{g}|a\_{1}b\_{1}a\_{1}^{{-1}}b\_{1}^{{-1}}\cdots a\_{g}b\_{g}a\_{g}^{{-1}}b\_{g}^{{-1}}\rangle 
따라서, \hom(\pi \_{1}(\Sigma ),G)의 한 원소는 \pi \_{1}(\Sigma )의 생성원 \{a\_{i},b\_{i}\}\_{{i=1,\dots ,g}}의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 2g(\dim G)개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 \phi (a\_{1})\phi (b\_{1})\phi (a\_{1})^{{-1}}\phi (b\_{1})^{{-1}}\cdots =1은 \dim G개의 제약을 가하고, 또한 G의 켤레 작용 \phi \sim g\phi g^{{-1}} 또한 차원을 \dim G만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

\dim {\mathcal M}=-\chi (\Sigma )\cdot \dim G=(2g-2)\cdot \dim G
이다.:368 여기서 \chi (\Sigma )=2-2g는 \Sigma 의 오일러 지표다.

분류
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평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, M이 연결 공간일 경우, 임의의 점 x\in M에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

{\displaystyle \operatorname {\pi } \_{1}(M,x)\to G}
게이지 변환에 따라서, M 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

{\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {\hom(\pi \_{1}(M,x),G)}{G}}}
이다. 여기서 G의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.

{\displaystyle g\cdot \phi =([\gamma ]\mapsto [t\mapsto g\gamma (t)^{-1}])}
평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 G가 아벨 군일 경우 이는 단순히 {\displaystyle {\mathcal {M}}=\hom(\pi \_{1}(M,x))}이며, 만약 {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{n}}이 원환면일 경우 이는 {\displaystyle {\mathcal {M}}=G^{n}}이다.

예
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### 단일 연결 공간

연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M을 생각하자. 그 위의 G-주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 \Sigma =S^{2}의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간

{\mathcal M}(S^{2};G)=\{\bullet \}
이다.

### 원환면

원환면 {\displaystyle \Sigma =\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}의 경우, 반단순 리 군 G에 대하여

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname {Weyl} (G)}
이다. 여기서 C(G)\cong U(1)^{{\operatorname {rank}(G)}}는 G의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, \operatorname {Weyl}(G)는 C(G)에 작용하는 바일 군이다.

#### 원환면 위의 U(*N'*) 및 GL(*N*;ℂ) 주접속

\mathbb {T} ^{n} 위의 \operatorname U(N) 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, n개의 가환 홀로노미들은 n개의 서로 가환하는 {\displaystyle N\times N} 유니터리 행렬

{\displaystyle M\_{1},\dotsc ,M\_{n}}
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

{\displaystyle M\_{i}=\operatorname {diag} (\lambda \_{i,1},\dotsc ,\lambda \_{i,N})}
{\displaystyle \lambda \_{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}
로 놓을 수 있다. 이제

{\displaystyle {\vec {\lambda }}\_{j}=(\lambda \_{1,j},\dotsc ,\lambda \_{n,j})}
로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {U} (N))=\operatorname {Sym} (N)}의 작용)은 {\displaystyle {\vec {\lambda }}\_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}\_{N}} 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}(\mathbb {T} ^{n})}
{\displaystyle G=\operatorname {U} (N)} 대신 {\displaystyle G=\operatorname {GL} (N;\mathbb {C} )}의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 {\displaystyle \lambda \_{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 대신

{\displaystyle \lambda \_{i,j}\in \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}\left((\mathbb {C} ^{\times })^{\times n}\right)}
#### 원환면 위의 U(*N'*) 및 SL(*N*;ℂ) 주접속

\operatorname U(N)의 경우와 마찬가지로, {\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)}의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (\mathbb {T} ^{n}의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, \mathbb {T} ^{n} 위의 N개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SU} (N))={\frac {\{({\vec {\lambda }}\_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}\_{N})\in (\mathbb {T} ^{n})^{\times N}\colon \sum \_{i=1}^{N}{\vec {\lambda }}\_{i}=0\}}{\operatorname {Sym} (N)}}}
특히, {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{2}}일 때, \mathbb {T} ^{2} 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 N개의 점들은 \mathbb {T} ^{2} 위의, 차수 N의 인자를 정의하며, 이들은 M 위의, 차수 N의 복소수 선다발 L\twoheadrightarrow M의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {\mathbb {P} } (\operatorname {H} ^{0}(L))}
이다. 리만-로흐 정리에 의하여, L의 차수가 N이므로, 그 차원은

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{0}(L)=N-g(\mathbb {T} ^{2})+1=N}
이다. 즉,

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {Proj} (\operatorname {H} ^{0}(L))=\operatorname {\mathbb {C} P} ^{N-1}}
이다.

{\displaystyle \operatorname {SL} (N;\mathbb {C} )}의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 대신 곱셈 아벨 군 \mathbb C^\times가 들어가게 된다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SL} (N;\mathbb {C} ))={\frac {\{({\vec {\lambda }}\_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}\_{N})\in ((\mathbb {C} ^{\times })^{n})^{\times N}\colon \prod \_{j=1}^{N}\lambda \_{i,j}=0\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,n\}\}}{\operatorname {Sym} (N)}}}

응용
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물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

참고 문헌
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1. ↑  Michiels, Daan (2013). 《Moduli spaces of flat connections》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. Katholieke Universiteit Leuven.
2. ↑  Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). "The Yang–Mills equations over Riemann surfaces". 《Philosophical Transactions of the Royal Society A》 (영어) **308** (1505): 523–615. doi:10.1098/rsta.1983.0017. Zbl 0509.14014.
3. ↑  Cannas da Silva, Ana (2006). 〈Symplectic geometry〉. Dillen, Franki J.E.; Verstraelen, Leopold C.A. 《Handbook of Differential Geometry. Volume 2》 (영어). Elsevier. 79–188쪽. arXiv:math/0505366. Bibcode:2005math......5366C. doi:10.1016/S1874-5741(06)80006-3.
4. ↑  Witten, Edward (1989). "Quantum field theory and the Jones polynomial". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **121** (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007/BF01217730. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005.