일반위상수학에서 **제2 가산 공간**(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의
--

위상 공간 X의 **무게**(영어: weight) {\displaystyle \operatorname {wt} (X)}는 X의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서는 정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **제2 가산 공간**이라고 한다.

* {\displaystyle \operatorname {wt} (X)\leq \aleph \_{0}}
* X는 가산 기저를 갖는다.
* X 위의 임의의 기저 \mathcal B\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \mathcal B'\subset\mathcal B이며 기저를 이루는 가산 집합 \mathcal B'이 존재한다.

성질
--

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 제1 가산 공간이다.
* 분해 가능 공간이다.
* 린델뢰프 공간이다.

증명:

X가 제2 가산 공간이며, {\mathcal B}가 X 위의 가산 기저라고 하자.

X는 제1 가산 공간. 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}는 x 위의 가산 국소 기저를 이룬다.

X는 분해 가능 공간. 임의의 B\in {\mathcal B}에서 한 점 {\displaystyle x\_{B}\in B}를 골랐을 때, {\displaystyle \{x\_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}}는 X의 가산 조밀 집합이다.

X는 린델뢰프 공간. X의 열린 덮개 {\mathcal {U}}가 주어졌다고 하자. 이제,

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon B\subseteq U\}}
라고 하고, 임의의 {\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}에 대하여

{\displaystyle B\subseteq U\_{B}}
인 {\displaystyle U\_{B}\in {\mathcal {U}}}를 고르자. 이제, {\displaystyle \{U\_{B}\colon B\in {\mathcal {S}}\}}가 X의 덮개임을 보이면 족하다. 임의의 x\in X가 주어졌다고 하자. {\mathcal {U}}가 덮개이므로,

x\in U
인 U\in {\mathcal U}가 존재하며,

{\displaystyle x\in B\subseteq U}
인 기저의 원소 B\in {\mathcal B}가 존재한다. 따라서 사실 {\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}이며, 결국

{\displaystyle x\in U\_{B}}
이다.

거리화 가능 공간 M에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

* M은 제2 가산 공간이다.
* M은 분해 가능 공간이다.
* M은 린델뢰프 공간이다.

**우리손 거리화 정리**에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다.

### 연산에 대한 닫힘

#### 부분 공간

임의의 위상 공간 X 위의 기저 {\mathcal B} 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, \{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}는 Y 위의 기저를 이룬다. 따라서

{\displaystyle \operatorname {wt} (Y)\leq \operatorname {wt} (X)}
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

#### 몫공간

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 X 및 열린집합 U에 대하여, 동치 관계

{\displaystyle x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y}
를 주었을 때, 몫공간 {\displaystyle X/\sim =X/U}은 역시 제2 가산 공간이다.

#### 곱공간

임의의 곱공간

X=\prod\_{i\in I}X\_i
및 각 X\_{i} 위의 기저 \mathcal B\_i\subseteq\mathcal P(X\_i)에 대하여,

\left\{\prod\_{i\in I}B\_i
\colon B\_i\in\mathcal B\_i,\;\{i\in I\colon B\_i\ne X\_i\}<\aleph\_0\right\}
는 X 위의 기저를 이룬다. 따라서

{\displaystyle \operatorname {wt} (X)\leq \sum \_{J\subseteq I}^{J<\aleph \_{0}}\prod \_{i\in J}\operatorname {wt} (X\_{i})\leq \max \left(\{\operatorname {wt} (X\_{i})\colon i\in I\}\cup \{|I|,\aleph \_{0}\}\right)}
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 \kappa 에 대하여 \kappa 개 이하의, 무게가 \kappa  이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 \kappa  이하이다.

#### 분리합집합

위상 공간들의 집합 \{X\_{i}\}\_{{i\in I}}의 분리합집합

X=\bigsqcup\_{i\in I}X\_i
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

{\displaystyle \operatorname {wt} (X)=\sum \_{i\in I}\operatorname {wt} (X\_{i})}
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

### 크기 관련 성질

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 2^{\aleph \_{0}} 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

증명:

제2 가산 공간 X 위의 임의의 기저 {\mathcal B}에 대하여, \mathcal B'\subset\mathcal B인 가산 기저 \mathcal B'을 찾으면 족하다. 제2 가산성에 의하여, X 위에는 가산 기저 {\mathcal D}가 존재한다. {\mathcal B}가 기저이므로, 임의의 D\in {\mathcal D}에 대하여,

{\displaystyle D=\bigcup \_{B\in {\mathcal {B}}\_{D}}B}
인 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{D}\subset {\mathcal {B}}}가 존재한다. D는 X의 부분 집합이므로 제2 가산 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 따라서,

{\displaystyle D=\bigcup \_{B\in {\mathcal {B}}\_{D}'}B}
인 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{D}'\subset {\mathcal {B}}\_{D}}가 존재한다. 이제,

{\displaystyle {\mathcal {B}}'=\bigcup \_{D\in {\mathcal {D}}}{\mathcal {B}}\_{D}'\subset {\mathcal {B}}}
는 X 위의 기저임을 쉽게 알 수 있다. 또한, {\mathcal D}와 모든 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{D}'}가 가산 집합이므로 \mathcal B'는 가산 집합이다.

예
-

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

* 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}
* 힐베르트 차원이 \aleph\_0 이하인 힐베르트 공간
* 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)

### 이산 공간

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

{\displaystyle \operatorname {wt} (X)=|X|}
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

### 비이산 공간

비이산 공간 X의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) {\displaystyle \{X\}}이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {wt} (X)=\min\{1,|X|\}}
특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

### 제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간

긴 직선은 T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

### 제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간

위상 공간

{\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \cdots }
의 몫공간

{\displaystyle X'={\frac {X}{\{0,2,4,\dots \}}}}
을 생각하자. X는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 X'은 {\displaystyle \{0,2,4,\dots \}}에서 국소 지표

{\displaystyle \chi (X',\{0,2,4,\dots \})=2^{\aleph \_{0}}}
를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.

참고 문헌
-----

* Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)