**Z 변환**(Z-transform)은 수학이나 신호 처리에서 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사
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Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로부터 유래되었다.

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화되었다.

정의
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다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

### 양방향 Z 변환

연속시간 신호 x[n]의 양방향 Z 변환은 X(z)로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum\_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}. 
여기서 n은 정수이고 z는 일반적으로 복소수이다. 즉, z는 복소수의 크기 A와 허수 단위 j, 그리고 편각 \phi 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,
### 단방향 Z 변환

만약 x[n]이 n \ge 0에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum \_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}
이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

#### 예제

* 단위 계단 신호

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

x[n] = 1,\quad n = 0,1,2,\ldots.
그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - 1},\quad 1<|z|.
* 등비수열

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

x[n] = a^{n},\quad n = 0,1,2,\ldots.
그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

X(z) = 1 + (z/a)^{-1} + (z/a)^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - a},\quad a<|z|.

성질
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### 선형성 (Linearity)

두 이산 시간 신호 x\_{1}[n], x\_{2}[n]의 Z 변환을 각각 X\_{1}(z), X\_{2}(z)라 두면, 상수 a\_{1}, a\_{2}에 대해 x[n] = a\_{1}x\_{1}[n] + a\_{2}x\_{2}[n]의 Z 변환은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(a\_{1}x\_{1}[n]+a\_{2}x\_{2}[n])z^{-n}\\&=a\_{1}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{1}[n]z^{-n}+a\_{2}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{2}[n]z^{-n}\\&=a\_{1}X\_{1}(z)+a\_{2}X\_{2}(z).\end{aligned}}}
### 시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)

#### 양방향 Z 변환의 경우

이산 시간 신호 x[n]의 Z 변환을 {\displaystyle Z\{x[n]\}}라 두면 정수 k에 대해 x[n-k]의 Z 변환은 다음과 같다.

\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum\_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum\_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum\_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum\_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\
&= z^{-k}X(z).
\end{align}

#### 단방향 Z 변환의 경우

단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 k \ge 1인 경우

\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum\_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum\_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum\_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= \sum\_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum\_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= \sum\_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z),
\end{align}

k \le -1인 경우

\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum\_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum\_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum\_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= -\sum\_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum\_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= -\sum\_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z).
\end{align}

Z 역변환
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Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

 x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint\_{C} X(z) z^{n-1} dz,
여기서 C는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.

하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

X(z) = \frac{3z^{2} - 7z}{z^{2} - 5z + 6}.

부분분수 분해를 통해 X(z)/z는 다음과 같이 표현된다.

\frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-2} + \frac{2}{z-3}.

따라서, X(z) = z/(z-2) + 2z/(z-3)이고 Z 변환의 선형성으로부터 x[n]은 다음과 같이 구해진다.

x[n] = 2^{n} + 2 \cdot 3^{n},\quad n = 0,1,\ldots.

수렴 반경
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응용
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### 차분방정식의 풀이

다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.

x[n-2] - 5x[n-1] + 6x[n] = 0,\quad x[-1] = 1,\; x[-2] = 0.

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

\begin{align}
&z^{-2}X(z) + x[-2] + z^{-1}x[-1] - 5z^{-1}X(z) - 5x[-1] + 6X(z) = 0,\\
&\frac{X(z)}{z} = \frac{5z-1}{(3z-1)(2z-1)},\\
&X(z) = -\frac{2}{3}\frac{z}{z - \frac{1}{3}} + \frac{3}{2}\frac{z}{z - \frac{1}{2}}.
\end{align}

따라서, x[n] = -\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}이다.

Z 변환 표
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