순서론에서 **닫힌 원순서 집합**(-原順序集合, 영어: closed preordered set)이란 모든 사슬이 상계를 갖는 원순서 집합이다.

정의
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원순서 집합 (X,\lesssim )의 **정렬 사슬**은 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다. X의 정렬 사슬들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {woChain} (X)}로 표기하자.

원순서 집합 (X,\lesssim )가 다음 조건을 만족시킨다면, **닫힌 원순서 집합**(영어: closed proset)이라고 한다.

임의의 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 C가 정렬 전순서 집합이라면, C는 상계 x\in X를 갖는다.
사실, 모든 전순서 집합은 공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {Ord} }에 대하여, 원순서 집합 (X,\lesssim )가 다음 조건을 만족시킨다면, **\lambda -닫힌 원순서 집합**(영어: \lambda -closed proset)이라고 한다.:214, Definition VII.6.12

임의의 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 C가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이 \lambda  미만이라면, C는 상계 x\in X를 갖는다.
만약 {\displaystyle \lambda >|X|}라면, X가 \lambda -닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

성질
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### 초른 보조정리

 이 부분의 본문은 초른 보조정리입니다.
**초른 보조정리**에 따르면, 닫힌 원순서 집합 (X,\lesssim )에 대하여, {\displaystyle X=\downarrow \max X}이다. 여기서 {\displaystyle \downarrow }는 하폐포이며, {\displaystyle \max X}는 X의 극대 원소들의 집합이다.

### 부르바키-비트 정리

원순서 집합 (X,\lesssim )가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 f\colon X\to X가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x}
**부르바키-비트 정리**(Bourbaki-Witt定理, 영어: Bourbaki–Witt theorem)에 따르면, 임의의 x\in X에 대하여, f는 {\displaystyle \uparrow x}에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

{\displaystyle \exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x}

**초른의 보조 정리를 통한 증명:**

임의의 x\in X에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 {\displaystyle m\in \uparrow x\cap \max X}을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 {\displaystyle f(m)\sim m\gtrsim x}이다.

**직접적인 증명:**

x\in X가 주어졌다고 하자. 함수

{\displaystyle g\colon \operatorname {woChain} (X)\to X}
가, X 속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자.

귀류법을 사용하여, X가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 {\displaystyle y\gtrsim x}에 대하여 {\displaystyle f(y)\gtrsim y\not \gtrsim f(y)}라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 \alpha \in \operatorname {Ord}에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

{\displaystyle x\_{\alpha }={\begin{cases}f(x\_{\beta })&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\g(\{x\_{\beta }\colon \beta <\alpha \})&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}
귀류법 가정 아래 {\displaystyle \{x\_{\beta }\colon \beta <\alpha \}}는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 {\displaystyle x\_{\bullet }\colon \operatorname {Ord} \to X}를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 \operatorname {Ord}은 집합이 될 수 없으므로, {\displaystyle x\_{\alpha +1}\sim f(x\_{\alpha })\sim x\_{\alpha }}인 \alpha \in \operatorname {Ord}가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

### 강제법

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* ZFC의 표준 추이적 모형 M
* 두 집합 {\displaystyle X,Y\in M}
* {\displaystyle \lambda \in \operatorname {Card} ^{M}}. 여기서 {\displaystyle \operatorname {Card} ^{M}\subseteq \operatorname {Ord} \cap M}는 M에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다.
* 원순서 집합 P\in M
* P의 부분 집합 {\displaystyle G\subseteq M}

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

* {\displaystyle M\models (|X|<\lambda )}
* {\displaystyle M\models (}P는 \lambda -닫힌 원순서 집합이다)
* {\displaystyle M\models (}G는 P의 포괄적 순서 아이디얼이다)

그렇다면, X\to Y 함수들은 M과 강제법 모형 M[G] 사이에서 절대적이다. 즉, M[G] 속의 임의의 함수 f\colon X\to Y는 이미 M의 원소이다.:214, Theorem 2.6.14

{\displaystyle (Y^{X})^{M[G]}=(Y^{X})^{M}}
특히, 이와 같은 경우 M 속의, \lambda  이하의 공종도 및 \lambda  이하의 기수들이 보존된다.:215, Corollary 2.6.15

역사
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부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키와 에른스트 비트가 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) **102**. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함.
2. ↑  Bourbaki, Nicolas (1949). "Sur le théorème de Zorn". 《Archiv der Mathematik》 (프랑스어) **2** (6): 434–437. doi:10.1007/BF02036949. ISSN 0003-889X.
3. ↑  Witt, Ernst (1951). "Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. Herrn Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet". 《Mathematische Nachrichten》 (독일어) **4**: 434–438. doi:10.1002/mana.3210040138.