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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
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| 배경
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* 구양자이론(old quantum theory)
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* 해밀토니언
* 간섭

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* Symmetry
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* 불확정성
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* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
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* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
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* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
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* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
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* 슈뢰딩거
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* 조머펠트
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* 제이만
* 차일링거

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| * v
* t
* e
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양자역학에서 **사다리 연산자**(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 **올림 연산자**(영어: raising operator)와 감소시키는 **내림 연산자**(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의
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주어진 에르미트 연산자 N에 대하여, 연산자 X가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 X를 N의 **사다리 연산자**라고 한다. 

[N,X]=cX
여기서 *c*는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 *N*에 대한 고윳값이 *n* 인 고유벡터 |*n*〉의 고유값을 *c* 만큼 변화시키는 역할을 한다.

\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}

즉, 

X |n\rangle\sim|n+c\rangle
이다. *c* 가 양수인 경우 X는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 X를 올림 연산자, *c*가 음수인 경우 X는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 X를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 X의 에르미트 수반 연산자 X^{\dagger } 또한 사다리 연산자이며

[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }
고유벡터의 고유값을 X의 반대방향인 -*c*만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, N의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, c < 0이며 N의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 |n\_{{{\text{max}}}}\rangle 가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 X를 사용하여

|n\rangle,X |n\rangle, X ^2|n\rangle,\cdots
와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자X^{\dagger }를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예
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### 양자 조화 진동자

 이 부분의 본문은 양자 조화 진동자입니다.
사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

[x,p]=i
의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, **소멸 연산자** a와 **생성 연산자** a^{\dagger } 및 **입자수 연산자** N을 다음과 같이 정의하자.

a=(x+ip)/{\sqrt 2}
a^{\dagger }=(x-ip)/{\sqrt 2}
N=a^{\dagger }a
여기서 N은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, x와 p는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

[N,a]=-a
[H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }
[a,a^{\dagger }]=1
이다. 따라서, N의 고유벡터 |n\rangle 이 주어지면

a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle 
a|n\rangle \propto |n-1\rangle 
N|n\rangle =n|n\rangle 
이 된다. 즉, 바닥 상태 |0\rangle 으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

{\mathcal H}=\operatorname {Span}\left\{|0\rangle ,a^{\dagger }|0\rangle ,(a^{\dagger })^{2}|0\rangle ,\dots \right\}
### 각운동량

 이 부분의 본문은 각운동량 연산자입니다.
양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 J\_{1},J\_{2},J\_{3}은 SU(2)의 리 대수

[J\_{i},J\_{j}]=i\epsilon ^{{ijk}}J\_{k}
를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

J\_{+}=J\_{1}+iJ\_{2},
J\_{-}=J\_{1}-iJ\_{2}=(J\_{+})^{\dagger }
그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

[J\_{3},J\_{\pm }]=\pm J\_{\pm }
따라서, 상태들을 J\_{3}의 고유상태 |m\rangle 로 나타내면,

J\_{\pm }|m\rangle \propto |m\pm 1\rangle 
이 된다. **최고 스핀 상태** |l\rangle 는 J\_{+}로 상쇄되는 상태이다.

J\_{+}|l\rangle =0
그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

{\mathcal H}=\operatorname {Span}\left\{|l\rangle ,J\_{-}^{\dagger }|0\rangle ,(J\_{-})^{2}|0\rangle ,\dots \right\}
SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, l은 정수 또는 반정수이며, 또한

(J\_{-})^{{2l+1}}|l\rangle =0
이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 2l\in {\mathbb N}에 의해 결정되며, 그 차원은 2l+1이다.

### 단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 **최고 무게 상태**(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

### 등각 대수

 이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.
 이 부분의 본문은 등각 장론입니다.
등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

[D,K\_{\mu }]=-iK\_{\mu }
[D,P\_{\mu }]=iP\_{\mu }
[K\_{\mu },P\_{\nu }]=2i\eta \_{\mu \nu }D-2iM\_{\mu \nu }
[K\_{\mu },M\_{{\nu \rho }}]=i(\eta \_{{\mu \nu }}K\_{{\rho }}-\eta \_{{\mu \rho }}K\_{\nu })
[P\_{\rho },M\_{\mu \nu }]=i(\eta \_{\rho \mu }P\_{\nu }-\eta \_{\rho \nu }P\_{\mu })
[M\_{\mu \nu },M\_{\rho \sigma }]=i(\eta \_{\nu \rho }M\_{\mu \sigma }+\eta \_{\mu \sigma }M\_{\nu \rho }-\eta \_{\mu \rho }M\_{\nu \sigma }-\eta \_{\nu \sigma }M\_{\mu \rho })
따라서, -iD에 대하여,

[-iD,K\_{\mu }]=-K\_{\mu }
[-iD,P\_{\nu }]=P\_{\mu }
이므로, 특수 등각 변환 K는 내림 연산자, 운동량 P는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 D가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. K에 의해 상쇄되는 상태를 **일차 상태**(영어: primary state)라고 하며, 이는 D와 M\_{\mu \nu }에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 P를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 **이차 상태**(영어: secondary state)라고 한다.

### 비라소로 대수

 이 부분의 본문은 2차원 등각 장론입니다.
비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

[L\_{m},L\_{n}]=(m-n)L\_{{m+n}}+{\frac c{12}}(m+1)m(m-1)\delta \_{{m+n}}\quad (m,n\in {\mathbb Z})
따라서, L\_{0}에 대하여, L\_{n}은 내림 연산자, L\_{{-n}}은 올림 연산자이다 (n>0).

[L\_{0},L\_{n}]=-nL\_{n}
[L\_{0},L\_{{-n}}]=nL\_{{-n}}
등각 장론에서, 최고 무게 상태는 **일차 상태**(영어: primary state) |h\rangle 로 알려져 있으며, L\_{0}의 고윳값 h로 나타내어진다.

L\_{0}|h\rangle =h|h\rangle 
L\_{n}|h\rangle =0\forall n>0
일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 L\_{{-n}}을 가하여 만들 수 있다.

{\mathcal H}\_{h}=\operatorname {Span}\{|h\rangle ,L\_{{-1}}|h\rangle ,L\_{{-1}}^{2}|h\rangle ,L\_{{-2}}|h\rangle ,L\_{{-1}}^{3}|h\rangle ,\dots \}
이러한 표현을 비라소로 대수의 **베르마 가군**이라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Georgi, Howard (1999년 10월). 《Lie Algebras in Particle Physics from Isospin To Unified Theories》. Frontiers in Physics **54** 2판. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0738202334. Zbl 0505.00036.

* Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.