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| * v
* t
* e
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통계 물리학에서 **바른틀 앙상블**(canonical ensemble) 또는 **정준 앙상블**(正準-)은 온도와 계의 부피, 계 내부에 있는 입자의 수가 고정된 고립계로 이루어진 앙상블, 즉 확률 분포를 일컫는다. 입자 수 *N*, 부피 *V*, 온도 *T*의 약자를 따서 **NVT 앙상블**이라고도 한다. 온도를 고정시키기 위해서 각각의 계는 커다란 열원(heat reservoir)안에 들어있는 것으로 생각한다.

어떤 미시계 j가 에너지 E\_{{j}}를 가지고 있을 확률 p\_{j}은 볼츠만 분포를 따른다.
p\_{j}\propto e^{{-E\_{j}/kT}}. 여기에서 k는 볼츠만 상수이다.

분배 함수
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 이 부분의 본문은 분배 함수 (통계 역학)입니다.
바른틀 앙상블에서, 계의 모든 미시상태에 일련 번호 j(j=1,2,3, ...)를 붙이고, 계가 미시상태 j에 있을 때 계의 총 에너지를 E\_{{j}}로 표기하자. 일반적으로 계의 불연속적인 양자상태를 미시상태로 간주한다.

**바른틀 분배함수**는 다음과 같다.

Z=\sum \_{{j}}e^{{-\beta E\_{j}}}
여기서 *β*는 보통 다음과 같이 정의한다.

\beta \equiv {\frac {1}{k\_{B}T}}
*T*는 계의 온도를 뜻하며, *kB*은 볼츠만 상수다. 미시상태에 겹침(degeneracy) 상태가 존재할 경우, 분배함수는 다음과 같이 쓴다.

Z=\sum \_{{j}}g\_{j}\cdot e^{{-\beta E\_{j}}}
여기서 g\_{j}는 겹침 인자다.

### 물리적 의미

분배 함수는 온도 *T*와 미시상태 i의 에너지 *E*i의 함수다. 또한 미시상태의 에너지는 입자의 개수, 계의 부피와 같은 열역학적 변수의 함수다. 미시상태의 에너지를 계산해서 분배함수를 구성할 수 있으면, 그 분배함수에서 계의 다른 열역학적 특성을 계산해낼 수 있다.

또한 분배 함수에는 중요한 통계적 의미가 있다. 계가 미시상태 *j*에 있을 확률 *Pj*은 다음과 같이 쓸 수 있다.

P\_{j}={\frac {1}{Z}}e^{{-\beta E\_{j}}}.
여기서 e^{{-\beta E\_{j}}}는 볼츠만 인자다. 여기서 분배함수는 확률값의 합을 1로 만드는 틀맞춤(Normalization) 상수로 쓰였다.

\sum \_{j}P\_{j}={\frac {1}{Z}}\sum \_{j}e^{{-\beta E\_{j}}}={\frac {1}{Z}}Z=1.
"분배 함수"라는 이름은 각각 다른 미시상태의 확률을 '분배'한다고 해서 붙여진 이름이다. *Z*란 문자는 독일어 단어 *Zustandssumme*에서 왔으며 "상태의 합(영어: "sum over states")"이란 뜻이다.

헬름홀츠 자유에너지
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바른틀 앙상블과 관계있는 자유에너지로, 헬름홀츠 자유에너지 *A* 가 있다.

{\displaystyle A=-k\_{b}T~\ln Z\,}
이는 에너지와 다음과 같은 관계를 만족한다.

{\displaystyle A=<E>-TS\,}
여기에서 S는 엔트로피이다. 엔트로피는

S=-k\_{b}<\ln p\_{i}>=-k\_{b}\sum \_{{i}}p\_{i}\ln p\_{i}\,
=-k\_{b}\sum \_{{i}}{\frac {1}{Z}}\,e^{{-\beta E\_{i}}}(-\beta E\_{i}-\ln Z)\,
={\frac {1}{T}}<E>+k\_{b}{\frac {\ln Z}{Z}}\sum \_{{i}}e^{{-\beta E\_{i}}}
={\frac {1}{T}}<E>+k\_{b}\ln Z
이므로 따라서 아래와 같이 자유에너지를 분배함수로부터 구할 수 있다.

{\displaystyle A=<E>-TS=-k\_{b}T\ln Z\,}

밀도 행렬의 대각선 성분
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바른틀 앙상블에서 에너지의 고윳값이 E\_{n}인 양자상태에 있을 확률은 볼츠만 인자, e^{{-\beta E\_{n}}}로 주어진다. 밀도 행렬의 대각선 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\rho \_{n}={{e^{{-\beta E\_{n}}}} \over {\sum \_{n}e^{{-\beta E\_{n}}}}}

밀도 연산자
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밀도 연산자 표현식은 다음과 같다.

\rho ={{e^{{-\beta H}}} \over {Tr(e^{{-\beta H}})}}

자유에너지의 유도
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엔트로피와 자유에너지의 정의로부터 분배함수로 표현된 자유에너지를 유도할 수 있다.

S=<-k\_{B}ln\rho >=-k\_{B}<ln\rho >
<G>=Tr[\rho G]이므로,

S=-k\_{B}Tr[\rho ln\rho ]
=-k\_{B}Tr[\rho (-\beta H-lnZ))]
=k\_{B}\beta Tr[\rho H]+k\_{B}Tr[\rho lnZ]
=k\_{B}\beta <H>+k\_{B}<lnZ>
TS=k\_{B}T\beta <H>+k\_{B}T<lnZ>
=U+k\_{B}TlnZ
자유에너지의 정의에 의해,

{\displaystyle A=U-TS=-k\_{B}TlnZ}

응용
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바른틀 앙상블과 분배 함수는 일정한 온도를 가지고 있는 계의 열역학적 변수를 계산하는 데 쓰인다. 양자 통계 역학의 포츠 모델은 바른틀 앙상블을 확률 측도로 이용한다.