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물리학과 수학에서 **갈릴레이 군**(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의
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n차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n} 위의 **갈릴레이 변환**(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

(t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))
이들은 함수의 합성 아래 {\displaystyle (n+1)(n+2)/2}차원 리 군을 이루며, 이를 **갈릴레이 군**(Galilei群, 영어: Galilean group) \operatorname {Gal} (n+1)이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

\operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )
여기서 \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)은 유클리드 군이다. \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}
그렇다면, 반직접곱에서 \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )의 \mathbb {R} ^{n+1} 위의 작용은 다음과 같다.

\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})
{\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}
갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

\operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}
이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}
### 갈릴레이 대수

갈릴레이 군 \operatorname {Gal} (n+1)의 리 대수를 **갈릴레이 대수**(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(n+1)}이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

| 생성원 | 기호 | 단위 |
| --- | --- | --- |
| 시간 변화 | H | [시간]−1 |
| 공간 병진 이동 | P\_{i} (i=1,\dots ,n) | [길이]−1 |
| 공간 회전 | J\_{{ij}} (i,j=1,\dots ,n, {\displaystyle J\_{ij}=-J\_{ji}}) | 1 |
| 갈릴레이 변환 | C\_{i} (i=1,\dots ,n) | [시간] [길이]−1 |

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 i가 곱해져 있다.)

{\displaystyle [H,P\_{i}]=[P\_{i},P\_{j}]=[J\_{ij},H]=[C\_{i},C\_{j}]=[C\_{i},P\_{j}]=0}
{\displaystyle [J\_{ij},J\_{kl}]=i[\delta \_{ik}J\_{jl}-\delta \_{il}J\_{jk}-\delta \_{jk}J\_{il}+\delta \_{jl}J\_{ik}]}
[J\_{ij},P\_{k}]=i[\delta \_{ik}P\_{j}-\delta \_{jk}P\_{i}]
[J\_{ij},C\_{k}]=i[\delta \_{ik}C\_{j}-\delta \_{jk}C\_{i}]
[C\_{i},H]=iP\_{i}

성질
--

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.:191, §Ⅳ.7

{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1}
이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 M을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

{\displaystyle [H,P\_{i}]=[P\_{i},P\_{j}]=[J\_{ij},H]=[C\_{i},C\_{j}]=0}
{\displaystyle [J\_{ij},J\_{kl}]=i[\delta \_{ik}J\_{jl}-\delta \_{il}J\_{jk}-\delta \_{jk}J\_{il}+\delta \_{jl}J\_{ik}]}
[J\_{ij},P\_{k}]=i[\delta \_{ik}P\_{j}-\delta \_{jk}P\_{i}]
[J\_{ij},C\_{k}]=i[\delta \_{ik}C\_{j}-\delta \_{jk}C\_{i}]
[C\_{i},H]=iP\_{i}
{\displaystyle [C\_{i},P\_{j}]=iM\delta \_{ij}}
따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

표현론
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3+1차원 갈릴레이 대수 {\displaystyle {\mathfrak {gal}}(3+1)}의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.

* 중심 전하 M. 이는 질량에 해당한다.
* 질량껍질 불변량 {\displaystyle ME-P^{2}/2}. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
* {\displaystyle W\_{ij}=MJ\_{ij}+P\_{i}C\_{j}-P\_{j}C\_{i}}
* {\displaystyle W\_{ijk}=P\_{i}J\_{jk}+P\_{j}J\_{ki}+P\_{k}J\_{ij}}

{\displaystyle W\_{ij}} 및 {\displaystyle W\_{ijk}}는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

* m
* {\displaystyle mE\_{0}}
* {\displaystyle w\_{ij}}
* {\displaystyle w\_{ijk}}

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, m은 실수이다. 물리학적으로 {\displaystyle E\_{0}\geq 0}이어야만 한다.

### 유질량 표현

m\neq 0인 경우를 생각하자. {\displaystyle (E,\mathbf {P} )} 공간 위에 질량껍질 제약 {\displaystyle mE=mE\_{0}+P^{2}/2}을 가한 초곡면을 **질량껍질**이라고 하며, 갈릴레이 변환 C\_{i}는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, C\_{i}의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 J\_{{ij}}에 의해 생성되는 스핀 군 \operatorname {Spin} (n)이다 (n\geq 3). n=3인 경우, 3차원 스핀 군 {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)}의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 {\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}}에 의하여 완전히 분류된다. 즉, m\neq 0인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 \operatorname {Spin} (n)의 유니터리 표현 s 및 질량 m, 정지 에너지 E\_{0}에 의하여 분류된다.

### 무질량 표현

m=0인 경우, 유니터리 표현이므로 {\displaystyle mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0}이다. 유도 표현 방법에 따르면, {\displaystyle (E,\mathbf {P} )} 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

* {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=0}인 경우: 이 경우 안정자군은 J\_{{ij}}와 C\_{i}에 의하여 생성되는 유클리드 군 {\displaystyle \operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
* {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}>0}인 경우: 이 경우 안정자군은 {\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}이며, 이는 {\displaystyle \mathbf p}에 대하여 수직인 방향의 C\_{i} 및 P\_{i}에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 {\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

예
-

### 1차원 갈릴레이 군

0+1차원 갈릴레이 대수 {\mathfrak {gal}}(1)은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 \operatorname {Gal} (1)은 1차원 아벨 리 군 \mathbb {R} 이다.

### 2차원 갈릴레이 군

1+1차원 갈릴레이 대수 {\mathfrak {gal}}(1+1)은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

{\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}
[x,p]=i\hbar 
[x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0
가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle C\mapsto x}
{\displaystyle H\mapsto p}
P\mapsto \hbar 
이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용
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갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사
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갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.:191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

참고 문헌
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1. ↑  Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1990). 《Geometric asymptotics》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) **14** 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1633-0.
2. ↑  Galilei, Galileo (1638). 《Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuoue ſcienze Attinenti alla Mecanica & i Movimenti Locali. Con vna Appendice del centro di grauità d’alcuni Solidi》 (이탈리아어). 레이던: Appreſſo gli Elſevirii.

* Arnold, Vladimir I. (1997). 《Mathematical methods of classical mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Bargmann, Valentine (1954). "On unitary ray representations of continuous groups". 《Annals of Mathematics》. 2 (영어) **59** (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831.
* Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967). "Nonrelativistic particles and wave equations". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **6** (4): 286–311. Bibcode:1967CMaPh...6..286L. doi:10.1007/bf01646020.