끈 이론| 칼라비-야우 다양체의 예 |
| 보손 끈 이론2차원 등각 장론 · BRST 양자화 |
| 막끈 · D-막 · 천-페이턴 인자 · 보른-인펠트 이론 · 미분 형식 전기역학 · NS5-막 · 오리엔티폴드 · 하나니-위튼 전이 |
| 초끈초대칭  · GSO 사영  · 그린-슈워츠 초끈  · 잡종 끈 이론  · 라몽-라몽 장  · 캘브-라몽 장 (액시온) |
| 축소화칼루차-클레인 이론  · T-이중성  · 칼라비-야우 다양체 · 거울 대칭  · 오비폴드  · 코니폴드  · F이론  · 라디온  · 중력광자 |
| M이론AdS/CFT 대응성 · 홀로그래피 원리 · 행렬 이론 · S-이중성 · 타키온 응축 |
| 양자 중력초중력 · 딜라톤  · 브랜스-딕 이론 · 블랙홀 열역학 |
| 관련 과학자그로스 · M. 그린 · B. 그린 · 더프 · 데이크흐라프 · 라몽 · 랜들 · 만델스탐 · 말다세나 · 무어 · 바파 · 베네치아노 · 서스킨드 · 센 · 셰르크 · 슈워츠 · 스트로민저 · 아르카니하메드 · 위튼 · 자이베르그 · 타운젠드 · 폴랴코프 · 폴친스키 · 카쿠 |
| * v
* t
* e
 |

**칼라비-야우 다양체**(Calabi-丘 多樣體, 영어: Calabi–Yau manifold)는 홀로노미가 SU(*n*)의 부분군인 콤팩트 켈러 다양체다. 미분 기하학과 대수 기하학에서 다룬다. 끈 이론에서 시공의 축소화에 쓰인다.

정의
--

켈러 다양체는 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 갖춘 다양체로, 일반적으로 복소 *n*차원의 켈러 다양체는 U(*n*)의 부분군인 홀로노미를 지닌다. 그 가운데 칼라비-야우 다양체는 콤팩트하고 SU(*n*)의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌 것이다. SU(*n*) 홀로노미를 지녀야 한다는 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

* 어디서도 0이 아닌 n차 정칙 복소 미분 형식 \Omega 가 다양체 위에 존재한다. (이를 **정칙 부피 형식**(영어: holomorphic volume form)이라고 한다.)
* 복소 구조의 구조군(structure group)이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(*n*)이다.)
* 자명한 표준 선다발을 지닌다.

일부 저자는 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로, 대역적 홀로노미 대신 SU(*n*)의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 콤팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

* 다양체의 리치 곡률이 0이다.
* 다양체의 복소 구조의 첫 번째 실수 천 류 c\_{1}(M;{\mathbb R})\in H^{{1,1}}(M;{\mathbb R})이 0이다.
* 표준 선다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다.
* 자명한 표준 선다발을 지닌 유한 피복 공간이 존재한다.

이 정의 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 에우제니오 칼라비가 가설을 제시한 뒤 야우싱퉁이 증명하였고, **칼라비 가설** 또는 **야우 정리**라 불린다.

두 번째 정의는 첫 번째 정의보다 일반적이다. 예를 들어 초타원 곡면(영어: hyperelliptic surface)는 첫 번째 정의는 만족하지 않지만 두 번째 정의는 만족한다. (첫 번째 정의를 만족시키려면 그 이중 피복 공간인 K3 곡면을 취하면 된다.) 다만 단일 연결된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다.

이 밖에도 실수 천 류 대신 정수 천 류 c\_{1}(M,{\mathbb Z})을 쓰거나, 콤팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(*n*)의 부분군이 아니라 SU(*n*) 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 저자도 있다.

두 정의 모두, 고다이라 차원(영어: Kodaira dimension)이 0이고, 첫 번째 실수 및 정수 천 류가 0이다.

특수 라그랑주 부분 다양체
--------------

 이 부분의 본문은 특수 라그랑주 부분 다양체입니다.
칼라비-야우 다양체의 정칙 부피 형식 \Omega 는 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 **특수 라그랑주 부분 다양체**라고 한다. 즉, 칼라비-야우 다양체 M 속의 특수 라그랑주 다양체 N\subset M는

\operatorname {Re}\Omega |\_{N}=\omega |\_{N}
\operatorname {Im}\Omega |\_{N}=0
인 부분다양체이다. 여기서 \omega 는 리만 계량에 따른 부피 형식이다.

정칙 부피 형식 \Omega 는 복소 위상으로

\Omega \to \exp(i\theta )\Omega 
와 같이 재정의할 수 있고, 따라서 이에 따라 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념이 달라진다. 일부 문헌에서는 적어도 한 복소 위상의 정칙 부피 형식에 대하여 측정 부분 다양체를 이루는 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다.

특수 라그랑주 다양체는 거울 대칭 가설의 여러 서술들 가운데 하나인 Strominger-Yau-Zaslow가설을 서술하는데 등장한다.

모듈러스
----

n차원 칼라비-야우 다양체 (M,J,\omega )는 켈러 구조 \omega 와 복소 구조 J를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다.

켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 \epsilon \delta \omega \_{{i{\bar \jmath }}}dz^{i}\wedge d{\bar z}^{{{\bar \jmath }}}의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 O(\epsilon ^{2}) 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 돌보 코호몰로지의 차원인 호지 수 h^{{1,1}}(M)=\dim H^{{(1,1)}}(M)으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 볼록 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 선형결합에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 \omega ^{n}이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 **켈러 뿔**(Kähler cone)이라고 한다.

3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 h^{{2,1}}(M)=\dim H^{{(2,1)}}(M)에 의하여 주어진다.

예
-

복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 (두 정의 다) 원환면밖에 없다. 복소 2차원 칼라비-야우 다양체 가운데 단일 연결된 것은 (역시 두 정의 다) K3 곡면밖에 없다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 아직 잘 알려지지 않았으며, 심지어 유한개인지 아니면 무한개인지도 모른다. 일반적으로, *n*차원 복소 사영 공간 ℂℙ*n*의 동차좌표에서 (*n*+1)차 동차다항식의 해는 (*n*−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

끈 이론에서의 응용
----------

끈 이론에서, 칼라비-야우 다양체는 시공의 축소화를 나타낸다. 끈 이론에서는 10차원의 시공이 필요한데, 이를 실제 세계와 관련짓기 위해서는 이를 {\mathbb R}^{4}\times X 꼴의 곱으로 축소화시켜야 한다. (여기서 X는 콤팩트 다양체다.) 손지기 페르미온을 나타내려면 2개 이상의 초대칭이 있을 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭이 있는 모형이 유력하므로, 초대칭을 4차원에서 하나만 남기고 파괴하는 축소화를 찾아야 하는데, 칼라비-야우 다양체는 이러한 성질을 만족한다. 축소화하는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 다른 입자 및 물리 법칙이 나타난다. 이 사실은 필립 칸델라스(Philip Candelas), 게리 호로위츠(Gary Horowitz), 앤드루 스트로민저, 에드워드 위튼이 1985년에 발견하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Yau, Shing-Tung (2009). "Calabi-Yau manifold". 《Scholarpedia》 (영어) **4** (8): 6524. doi:10.4249/scholarpedia.6524. ISSN 1941-6016. MR 2537089.
2. ↑  Gross, Mark; Daniel Huybrechts, Dominic Joyce (2003). 《Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001》 (영어). Universitext. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-19004-9. ISBN 978-3-540-44059-8. ISSN 0172-5939. MR 1963559. Zbl 1001.00028.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. ↑  Hübsch, Tristan (1992년 3월). 《Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1410. ISBN 978-981-02-0662-8. MR 1177829. Zbl 0771.53002. 2013년 11월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 2월 8일에 확인함.
4. ↑  Joyce, Dominic (2001). "Lectures on special Lagrangian geometry" (영어). arXiv:math/0111111. Bibcode:2001math.....11111J.
5. ↑  Candelas, Philip; Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten (1985). "Vacuum configurations for superstrings". 《Nuclear Physics B》 **258**: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9. ISSN 0550-3213.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

* Joyce, Dominic. "Lectures on Calabi–Yau and special Lagrangian geometry" (영어). arXiv:math/0108088. Bibcode:2001math......8088J.
* Bouchard, Vincent. "Lectures on complex geometry, Calabi-Yau manifolds and toric geometry" (영어). arXiv:hep-th/0702063. Bibcode:2007hep.th....2063B.
* He, Yang-Hui (2013). "Calabi-Yau geometries: algorithms, databases, and physics". 《International Journal of Modern Physics A》 (영어). arXiv:1308.0186. Bibcode:2013arXiv1308.0186H. ISSN 0217-751X.