환론에서 **단사 가군**(單射加群, 영어: injective module)은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의
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환 R 위의 왼쪽 가군 Q에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 **단사 왼쪽 가군**이라고 한다.

* 임의의 짧은 완전열 {\displaystyle 0\to Q\to M\to K}은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 R 위의 왼쪽 가군 M에 대하여 {\displaystyle Q\subset M}이라면, {\displaystyle M=Q\oplus N}인 부분 가군 {\displaystyle K\subset M}이 존재한다.
* Q는 범주 R{\text{-Mod}}의 단사 대상이다. 즉, 함자 {\displaystyle \hom(-,Q)\colon R{\text{-Mod}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }은 완전 함자이다.
* 임의의 가군 준동형 {\displaystyle f\colon M\to Q} 및 단사 가군 준동형 \iota \colon M\hookrightarrow {\tilde {M}}에 대하여, {\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota =f}인 가군 준동형 {\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}\to Q}가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &M&\to &{\tilde {M}}\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}}
* (**베어 조건** 영어: Baer’s criterion) 임의의 왼쪽 아이디얼 {\displaystyle I\subseteq R} 및 가군 준동형 {\displaystyle f\colon I\to Q}에 대하여, {\displaystyle {\tilde {f}}|\_{I}=f}인 가군 준동형 {\displaystyle {\tilde {F}}\colon R\to Q}가 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &I&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&Q\\\end{matrix}}}

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 **단사 오른쪽 가군**을 정의할 수 있다.

성질
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임의의 왼쪽 가군들의 집합 \{M\_{i}\}\_{{i\in I}}에 대하여, 다음이 동치이다.

* 직접곱 \prod \_{i\in I}M\_{i}이 단사 왼쪽 가군이다.
* 모든 i\in I에 대하여 M\_{i}가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

**배스-파프 정리** 영어: Bass–Papp theorem에 따르면, 임의의 환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:80–81, Theorem 3.46

* R는 왼쪽 뇌터 환이다.
* R의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
* R의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
* R의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

분류
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단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

### 데데킨트 정역

데데킨트 정역 D 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 D에 대하여, D 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 D 위의 소 아이디얼들의 집합 \operatorname {Spec}D와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D}에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

* 만약 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq (0)}일 경우: {\displaystyle R\_{\mathfrak {p}}/R}
* 만약 {\displaystyle {\mathfrak {p}}=(0)}일 경우: 분수체 {\displaystyle R\_{(0)}=\operatorname {Frac} R}

여기서 R\_{{{\mathfrak p}}}는 R\setminus {\mathfrak p}에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 {\displaystyle \operatorname {Frac} D=R\_{(0)}}는 D의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 {\displaystyle (0)\subset D}에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환 \mathbb {Z}  위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

* 유리수체의 덧셈군 {\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} D}
* 소수 p에 대하여, 프뤼퍼 군 {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} \_{(p)}/\mathbb {Z} }

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

### 뇌터 가환환

뇌터 가환환 R 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 R에 대하여, R 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 R 위의 소 아이디얼들의 집합 \operatorname {Spec} R와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D}에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 R/{\mathfrak p}의 단사 폐포(영어: injective hull, R/{\mathfrak p}를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. R/{\mathfrak p}의 단사 폐포는 표준적으로 R\_{{{\mathfrak p}}}-가군을 이루며, R/{\mathfrak p}의 R-가군으로서의 단사 폐포는 R/{\mathfrak p}의 R\_{{{\mathfrak p}}}-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

예
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자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 **나눗셈군**이라고 한다.

임의의 정역 R 위에서, R를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 \operatorname {Frac} R이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

### 스스로 위의 가군으로서의 환

몫환 \mathbb {Z} /(n)은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 D의 아이디얼 {\mathfrak a}\subsetneq D에 대하여 ({\displaystyle D\neq {\mathfrak {a}}}), {\displaystyle D/{\mathfrak {a}}}는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

역사
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라인홀트 베어(독일어: Reinhold Baer, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다. 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

참고 문헌
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1. ↑  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
2. ↑  Baer, Reinhold (1940). "Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **46** (10): 800–807. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9. MR 0002886. Zbl 0024.14902.

* Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **189**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.