수론에서 **곱셈적 함수**(-的函數, 영어: multiplicative function) 또는 **곱산술 함수**(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

정의
--

함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }가 다음 조건을 만족시키면, **곱셈적 함수**라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}이라면, {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}이다.

함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }가 다음 조건을 만족시키면, **완전 곱셈적 함수**(完全-的函數, 영어: completely multiplicative function)라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여, {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 \mathbb {Z} 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.:413

성질
--

### 연산에 대한 닫힘

곱셈적 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.:417

* {\displaystyle n\mapsto f(n^{k})\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}
* {\displaystyle n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad (k\in \mathbb {Z} )}

### 항등식

곱셈적 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }에 대하여, 만약 n\in \mathbb {Z} ^{+}의 소인수 분해가

{\displaystyle n=p\_{1}^{a\_{1}}p\_{2}^{a\_{2}}\cdots p\_{k}^{a\_{k}}}
일 경우, 다음이 성립한다.

{\displaystyle f(n)=f(p\_{1}^{a\_{1}})f(p\_{2}^{a\_{2}})\cdots f(p\_{k}^{a\_{k}})}
만약 추가로 f가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

{\displaystyle f(n)=f(p\_{1})^{a\_{1}}f(p\_{2})^{a\_{2}}\cdots f(p\_{k})^{a\_{k}}}
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.:416

곱셈적 함수 {\displaystyle f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.:415; 417; 421, 따름정리3

{\displaystyle f(1)=1\vee f(x)=k\delta \_{1,x}}
{\displaystyle f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname {lcm} \{m,n\})}
{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod \_{p\mid n}(1-f(p))}
{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\mu (d)^{2}f(d)=\prod \_{p\mid n}(1+f(p))}
여기서 \mu 는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }의 정의역 {\displaystyle A\subseteq \mathbb {Z} }이 {\displaystyle -1\in A}를 만족한다면,

{\displaystyle f(-1)=\pm 1}
이다.:417

### 디리클레 합성곱

곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 {\displaystyle f,g\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }의 디리클레 합성곱

{\displaystyle f\*g\colon n\mapsto \sum \_{d\mid n}f(d)g(n/d)}
와 디리클레 역원

{\displaystyle f^{-1}\qquad (f^{-1}\*f=f\*f^{-1}=\delta \_{\bullet ,1})}
은 곱셈적 함수이다.:423, 정리5; 429, 문제22

곱셈적 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }에 대하여, 만약 n\in \mathbb {Z} ^{+}의 소인수 분해가

{\displaystyle n=p\_{1}^{a\_{1}}p\_{2}^{a\_{2}}\cdots p\_{k}^{a\_{k}}}
일 경우, 다음이 성립한다.:418, 정리1; 423, 식(27)

{\displaystyle \sum \_{d\mid n}f(d)=\prod \_{j=1}^{k}(1+f(p\_{j})+\cdots +f(p\_{j}^{a\_{j}}))}
{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod \_{j=1}^{k}(f(p\_{j}^{a\_{j}})-f(p\_{j}^{a\_{j}-1}))}
만약 추가로 f가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \sum \_{d\mid n}f(d)=\prod \_{j=1}^{k}(1+f(p\_{j})+\cdots +f(p\_{j})^{a\_{j}})}
{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod \_{j=1}^{k}(f(p\_{j})^{a\_{j}}-f(p\_{j})^{a\_{j}-1})}

예
-

다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.

* {\displaystyle n\mapsto n^{k}} (k는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
	+ {\displaystyle n\mapsto 1}: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 k=0인 경우이다.
	+ {\displaystyle n\mapsto n}: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 k=1인 경우이다.
* {\displaystyle n\mapsto \delta \_{n,1}}: n이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
* {\displaystyle n\mapsto (n/p)} (p는 소수): 르장드르 기호. n이 p에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, p의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.

* {\displaystyle n\mapsto \phi (n)}: 오일러 피 함수. n보다 작고 n과 서로소인 양의 정수의 개수
* {\displaystyle n\mapsto \mu (n)}: 뫼비우스 함수. n이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, n의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. n이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
* {\displaystyle n\mapsto \sigma \_{k}(n)} (k는 음이 아닌 정수): 약수 함수. n의 모든 양의 약수의 k제곱의 합
	+ {\displaystyle n\mapsto d(n)}: n의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 k=0인 경우이다.
	+ {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)}: n의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 k=1인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

{\displaystyle n\mapsto r\_{2}(n)}
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

{\displaystyle 1=1^{2}+0^{2}=0^{2}+1^{2}=(-1)^{2}+0^{2}=0^{2}+(-1)^{2}}
즉,

{\displaystyle r\_{2}(1)=4\neq 1}
이다.

폰 망골트 함수

{\displaystyle n\mapsto \Lambda (n)}
는 n이 어떤 소수 p의 양의 정수 제곱일 경우 {\displaystyle \ln p}를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

{\displaystyle \Lambda (1)=0\neq 1}
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.