해석학에서 **하이네-칸토어 정리**(Heine-Cantor定理, 영어: Heine–Cantor theorem)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의
--

콤팩트 균등 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {E}}\_{X})}와 균등 공간 {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}\_{Y})} 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. **하이네-칸토어 정리**에 따르면, f가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.:198, Theorem 6.31

**증명:**

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 f\colon X\to Y 및 임의의 측근 {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}\_{Y}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx \_{\delta }y\implies f(x)\approx \_{\epsilon }f(y)}
가 성립하는 측근 {\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}\_{X}}를 찾으면 족하다.

우선,

{\displaystyle \forall x,y,z\in Y\colon x\approx \_{\hat {\epsilon }}y\approx \_{\hat {\epsilon }}z\implies x\approx \_{\epsilon }z}
인 대칭 측근 {\displaystyle {\hat {\epsilon }}\in {\mathcal {E}}\_{Y}}를 찾자.

f가 연속 함수이므로, 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 {\displaystyle \delta \_{x}\in {\mathcal {E}}\_{X}}들이 존재한다.

{\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx \_{\delta \_{x}}y\implies f(x)\approx \_{\hat {\epsilon }}f(y)}
이제

{\displaystyle \forall x,y,z,w\in X\colon y\approx \_{{\hat {\delta }}\_{x}}z\approx \_{{\hat {\delta }}\_{x}}w\implies y\approx \_{\delta \_{x}}w}
인 측근 {\displaystyle {\hat {\delta }}\_{x}\in {\mathcal {E}}\_{X}}들을 고르자. 이제,

{\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx \_{{\hat {\delta }}\_{x}}y\}\colon x\in X\right\}}
는 X의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

{\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx \_{{\hat {\delta }}\_{\tilde {x}}}y\}\colon {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\right\}}
{\displaystyle {\tilde {X}}\subseteq X}
{\displaystyle |{\tilde {X}}|<\aleph \_{0}}
가 존재한다. 이제,

{\displaystyle \forall y,z\in X\colon y\approx \_{\delta }z\implies \forall {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\colon y\approx \_{\delta \_{\tilde {x}}}z}
인 측근 {\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}\_{X}}를 고르자.

이제, 임의의 x,y\in X에 대하여 {\displaystyle x\approx \_{\delta }y}이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\tilde {x}}\approx \_{{\hat {\delta }}\_{\tilde {x}}}x\approx \_{\delta }y}
인 {\displaystyle {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}}가 존재한다. 따라서

{\displaystyle {\tilde {x}}\approx \_{{\hat {\delta }}\_{\tilde {x}}}x\approx \_{{\hat {\delta }}\_{\tilde {x}}}y}
이므로

{\displaystyle {\tilde {x}}\approx \_{\delta \_{\tilde {x}}}x}
{\displaystyle {\tilde {x}}\approx \_{\delta \_{\tilde {x}}}y}
이며, 따라서

{\displaystyle f(x)\approx \_{\hat {\epsilon }}f({\tilde {x}})\approx \_{\hat {\epsilon }}f(y)}
이며, 따라서

{\displaystyle f(x)\approx \_{\epsilon }f(y)}
이다.

예
-

균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

* 탄젠트 함수 \tan \colon (-\pi /2,\pi /2)\to {\mathbb R}는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.
* 지수 함수 \exp \colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

역사
--

게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.:188, Lehrsatz B.3.6 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 할레의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […]
Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn *Cantor* in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […]. | "|
|   | — :173 |

참고 문헌
-----

1. ↑  Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **27** 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002.
2. 1 2  Heine, Eduard (1872). "Die Elemente der Functionenlehre". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **74**: 172–188. doi:10.1515/crll.1872.74.172. ISSN 0075-4102.

* Cadenas Aldana, Reinaldo Antonio. "Continuidad y teorema de Heine-Cantor" (PDF). 《Divulgaciones Matemáticas》 (스페인어) **15** (1): 71–76. ISSN 1315-2068. Zbl 1147.26301.