환론에서 **반단순환**(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

정의
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환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **반단순환**이라고 한다.

* 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
* 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
* R의 왼쪽 가군들의 범주 R{\text{-Mod}}에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
* R의 오른쪽 가군들의 범주 {\text{Mod-}}R에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
* R 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
* R 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
* 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
* 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
* 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
* (**아르틴-웨더번 정리** 영어: Artin–Wedderburn theorem) 유한 개의 나눗셈환들 D\_{1},\dots ,D\_{k}에 대한 직접곱 \textstyle \prod \_{i}\operatorname {Mat}(n\_{i};D\_{i})과 동형이다.

성질
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모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.:173

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 반단순환 | ⇒ | 반원시환 | ⇒ | 반소환 |
|  |  | ⇑ |  | ⇑ |
| 단순환 | ⇒ | 左·右 원시환 | ⇒ | 소환 |

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.:173, Proposition 11.7

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 반단순환 | ⇔ | 아르틴 반원시환 | ⇔ | 아르틴 반소환 |
|  |  | ⇑ |  |
| 아르틴 단순환 | ⇔ | 아르틴 원시환 | ⇔ | 아르틴 소환 |

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 반단순환이다.
* 왼쪽 아르틴 환이다.
* 오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 반단순환이다.
* 아르틴 축소환이다.
* 유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

분류
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반단순환의 구조는 **아르틴-웨더번 정리**(영어: Artin–Wedderburn theorem)로서 완전히 알려져 있다.:40, Theorem 1.11 구체적으로, 반단순환 R가 주어졌을 때, 정의에 따라 {\displaystyle \_{R}R}는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다.

{\displaystyle \_{R}R=\bigoplus \_{i=1}^{k}{}\_{R}M\_{i}^{\oplus n\_{i}}\qquad (i\neq j\implies M\_{i}\not \cong M\_{j})}
이 경우,

{\displaystyle R^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {End} (\_{R}R)\cong \prod \_{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n\_{i};\operatorname {End} \_{R}(M\_{i}))}
{\displaystyle R\cong \operatorname {End} (\_{R}R)^{\operatorname {op} }\cong \prod \_{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n\_{i};\operatorname {End} (\_{R}M\_{i}))^{\operatorname {op} }\cong \prod \_{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n\_{i};\operatorname {End} (\_{R}M\_{i})^{\operatorname {op} })}
가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 {\displaystyle \operatorname {End} (\_{R}M\_{i})^{\operatorname {op} }}는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

예
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정수환 \mathbb {Z} 는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다.

바일 대수 {\mathbb Q}\langle x,p\rangle /(xp-px-1)는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다.

### 복소수 행렬 대수

자연수 n\in \mathbb {N} 이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 n\times n 행렬 대수

{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )=\operatorname {End} \_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}
가 주어졌을 때, 만약

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A^{\*}\colon A\in {\mathcal {A}}\}}
라면, {\mathcal A}는 반단순 대수이다. (여기서 {\displaystyle (-)^{\*}}는 에르미트 수반이다.)

**증명:**

{\mathcal A}는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서 {\mathcal A}가 반원시환임(즉, 제이컵슨 근기가 \{0\}임)을 보이면 족하다.

임의의 {\displaystyle M\in {\sqrt {\mathcal {A}}}}라고 하자. 그렇다면,

1. {\mathcal A}가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기 {\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {A}})}는 멱영 아이디얼이다.
2. 따라서 {\displaystyle (M^{\*}M)^{k}=0}인 양의 정수 k\in\mathbb Z^+가 존재한다.
3. 그런데 {\displaystyle M^{\*}M}은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서 {\displaystyle M^{\*}M=0}이다.
4. 이에 따라, 임의의 {\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}에 대하여 {\displaystyle \|Mv\|^{2}=v^{\*}M^{\*}Mv=0}이며, 즉 {\displaystyle Mv=0}이다.
5. 따라서 {\displaystyle M=0}이다.

### 마슈케 정리

유한군 G와 체 K가 주어졌고, 또

{\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}
라고 하자. (즉, G의 크기는 K의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 K[G]를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 K-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. **마슈케 정리**(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 K[G]는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **131** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **144**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285.
3. ↑  Maschke, Heinrich (1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **50** (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.
4. ↑  Maschke, Heinrich (1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **52** (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.