대수적 위상수학에서 **체흐 코호몰로지**(영어: Čech cohomology)는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 X
* X 위의 아벨 군 준층 {\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )}

그렇다면, 각 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, (X,{\mathcal U})의 {\mathcal F}계수 n차 **체흐 코호몰로지** {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})}는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는 {\mathcal {U}}에 의존한다. 그러나 X 위의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이루며, ({\mathcal {U}}에 의존하지 않는) X의 **체흐 코호몰로지** {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\mathcal {F}})}를 모든 열린 덮개 {\mathcal {U}}에 대한 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}의 귀납적 극한이다. 즉,

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})=\varinjlim {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}
이다.

### 구체적 정의

#### 단체와 사슬

n차 **체흐 단체**(Čech單體, 영어: Čech simplex) \sigma 는 그 교집합이 0이 아닌, n+1개의 {\mathcal {U}}의 원소의 순서쌍 (U\_{0},\dots ,U\_{n})이다. 단체의 **지지 집합**(영어: support) |\sigma |은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다.

{\displaystyle |\sigma |=\bigcap \_{k=0}^{n}U\_{n}}
n차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 {\displaystyle {\check {C}}^{n}}이라고 하자. {\displaystyle {\check {C}}^{n}}의 원소를 n차 **체흐 사슬**(영어: Čech chain)이라고 한다.

n차 체흐 단체 \sigma 의 **부분 경계**(部分境界, 영어: partial boundary) \partial \_{k}\sigma 는 다음과 같다.

\partial \_{k}\sigma =(U\_{0},\dots ,U\_{{k-1}},U\_{{k+1}},\dots ,U\_{n}).
\sigma 의 **경계**(境界, 영어: boundary) \partial \sigma 는 다음과 같다.

{\displaystyle \partial \sigma =\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}\partial \_{k}\sigma \in {\check {C}}^{n-1}}.
마찬가지로 n차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. n차 사슬의 경계는 n-1차 사슬이다.

### 공사슬

n차 **체흐 공사슬**(Čech共-, 영어: Čech cochain) \phi 는 n차 단체 \sigma 를 아벨 군 원소 {\displaystyle \phi (\sigma )\in {\mathcal {F}}(|\sigma |)}와 대응시키는 함수이다. n차 공사슬의 집합을 {\displaystyle {\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 **공경계**(共境界, 영어: coboundary)

{\displaystyle \delta ^{n}\colon {\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{n+1}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}
는 다음과 같다. 단체 \sigma 에 대하여,

{\displaystyle (\delta ^{n}\phi )(\sigma )=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}\operatorname {res} \_{|\sigma |}^{|\partial \_{k}\sigma |}\phi (\partial \_{k}\sigma )}.
여기서

{\displaystyle \operatorname {res} \_{|\sigma |}^{|\partial \_{k}\sigma |}\colon {\mathcal {F}}(|\partial \_{k}\sigma |)\to {\mathcal {F}}(|\sigma |)}
는 부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 {\displaystyle \delta ^{n+1}\circ \delta ^{n}=0}임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지를

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}
라고 하자.

### 유도 함자 구성

체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})=\left\{(\phi \_{U})\_{U\in {\mathcal {F}}}\in C^{0}\colon \forall U,V\in {\mathcal {U}}\colon U\cap V\neq \varnothing \implies \operatorname {res} \_{U\cap V}^{U}\phi \_{U}=\operatorname {res} \_{U\cap V}^{V}\phi \_{V}\right\}}
여기서 {\displaystyle {\check {C}}^{0}}는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 U\in {\mathcal U}에 대하여 {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}의 원소 {\displaystyle \phi \_{U}\in {\mathcal {F}}\_{U}}를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 {\mathcal F}가 층이라면 이는 대역 단면 {\displaystyle \Gamma \_{X}({\mathcal {F}})}과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\colon \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} }
를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.

{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }\left(\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\right)=\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};-)}
여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)}는 단면 함자 {\displaystyle \Gamma \_{X}(-)}와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

성질
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### 특이 코호몰로지와의 관계

임의의 아벨 군 G에 대하여, 그 상수층 \underline G을 생각하자. 만약 위상 공간 X가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 \underline G 계수 체흐 코호몰로지는 G 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\underline {G}})\cong \operatorname {H} \_{\text{sing}}^{\bullet }(X;G)}
그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다.

### 체흐-유도 함자 스펙트럼 열

체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 **마이어-피토리스 스펙트럼 열**(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 **체흐-유도 함자 스펙트럼 열**(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.:Théorème 5.4.1

구체적으로, 위상 공간 X 위의 아벨 군 값의 층 {\mathcal F} 및 열린 덮개 {\mathcal {U}}가 주어졌다고 하자. {\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})}가 다음과 같은 준층이라고 하자.

{\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\colon U\mapsto \operatorname {H} ^{q}(U;{\mathcal {F}})}
그렇다면, **마이어-피토리스 스펙트럼 열**의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}=\operatorname {\check {H}} ^{p}\left(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\right)}
만약 {\mathcal {U}}가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

{\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\hookrightarrow \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)}}\operatorname {Ab} }
여기서 {\displaystyle \operatorname {Sh} }는 층 범주, {\displaystyle \operatorname {PSh} }는 준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})}
특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 {\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{p}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})}는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

* 모든 유한 부분 집합 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}에 대하여 {\displaystyle {\mathcal {F}}|\_{\bigcap {\mathcal {A}}}}는 비순환층이다 (즉, {\displaystyle \textstyle \operatorname {H} ^{i}(\bigcap {\mathcal {A}};{\mathcal {F}})=0\quad \forall i>0}이다).

이를 **르레 정리**(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 **르레 덮개**(영어: Leray cover)라고 한다.

예
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### 낮은 차수의 체흐 공사슬

편의상 체흐 공사슬 \phi 의 값을

{\displaystyle \phi (U\_{i\_{0}},\dotsc ,U\_{i\_{n}})=\phi \_{i\_{0}\dotso i\_{n}}}
으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)

| 차수 | 공경계 | 공순환 조건 |
| --- | --- | --- |
| 0 | {\displaystyle (\delta ^{0}\phi )\_{ij}=\phi \_{j}-\phi \_{i}} | {\displaystyle \phi \_{i}=\phi \_{j}} |
| 1 | {\displaystyle (\delta ^{1}\phi )\_{ijk}=\phi \_{jk}-\phi \_{ik}+\phi \_{ij}} | {\displaystyle \phi \_{ik}=\phi \_{ij}+\phi \_{jk}} |
| 2 | {\displaystyle (\delta ^{2}\phi )\_{ijkl}=\phi \_{jkl}-\phi \_{ikl}+\phi \_{ijl}-\phi \_{ijk}} | {\displaystyle \phi \_{jkl}+\phi \_{ijl}=\phi \_{ikl}+\phi \_{ijk}} |
| 3 | {\displaystyle (\delta ^{2}\phi )\_{ijklm}=\phi \_{jklm}-\phi \_{iklm}+\phi \_{ijlm}-\phi \_{ijkm}+\phi \_{ijkl}} | {\displaystyle \phi \_{jklm}+\phi \_{ijlm}+\phi \_{ijkl}=\phi \_{iklm}+\phi \_{ijkm}} |

### 위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선

{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin(1/x)\right)\colon x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}}
의 폐포

{\displaystyle \operatorname {cl} (T)=T\cup (\{0\}\times [-1,1])}
의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,

{\displaystyle \operatorname {\check {H}} ^{1}(\operatorname {cl} T;{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {H} \_{\text{sing}}^{1}(\operatorname {cl} T;\mathbb {Z} )\cong 0}
이다.

### 스킴

분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.

* 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
* 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

역사
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러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.

참고 문헌
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2. ↑  Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) **1252** 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010.
3. 1 2  Leray, Jean (1950). "L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue". 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 (프랑스어) **29**: 1–139.
4. ↑  Alexandroff, Paul (1929). "Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension". 《Annals of Mathematics》 (독일어) **30** (2): 101–187. doi:10.2307/1968272. JFM 54.0609.02. JSTOR 1968272.
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* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
* Edwards, David; Hastings, Harold M. (1980). "Čech Theory: Its past, present, and future". 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) **10** (3): 429-468. doi:10.1216/RMJ-1980-10-3-429. MR 590209. Zbl 0464.55001.