| 통계역학 |
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| 제2법칙에 따른 엔트로피의 증가 |
| 열역학열역학 법칙 (제1 · 제2 · 제3)
열역학 퍼텐셜 (엔트로피  ·  내부 에너지 · 엔탈피 · 헬름홀츠 · 기브스 · 큰 퍼텐셜)  · 맥스웰 관계식
상태 방정식 · 이상 기체 (보일-샤를의 법칙 · 이상 기체 법칙)  · 반반데르발스 상태 방정식 |
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앙상블 (작은 바른틀 · 바른틀 · 큰 바른틀) |
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란다우 이론  ·  평균장 이론 |
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| * v
* t
* e
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통계역학에서 **보스 기체**(Bose氣體, Bose gas)는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 보손으로 이루어진 기체다. 고전적 이상 기체에 대응하는 두 가지 양자역학적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 보스-아인슈타인 통계를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 상전이를 거쳐 보스-아인슈타인 응축 상태가 된다.

정의
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콤팩트 리만 다양체 (M,g)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 로런츠 다양체 {\displaystyle M\times \mathbb {R} } 위의, 질량 m의 자유 보손 장 \phi 를 생각하자. 이는 다음과 같은 작용에 의하여 나타내어진다.

{\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\,\int \_{M}{\sqrt {\det g}}{\frac {1}{2}}({\dot {\phi }}^{2}-g^{ij}\partial \_{i}\phi \partial \_{j}\phi -m^{2}\phi ^{2})}
여기서 윗점은 시간 좌표 t에 대한 미분이며, \partial \_{i}는 공간 좌표에 대한 미분이다. 이에 대한 해밀토니언은 다음과 같다.

{\displaystyle H[\phi ,\pi ]=\int \_{M}{\sqrt {\det g}}{\frac {1}{2}}(g\_{ij}\pi ^{i}\pi ^{j}+g^{ij}\partial \_{i}\phi \partial \_{j}\phi +m^{2}\phi ^{2})}
여기서 {\displaystyle \pi ^{i}}는 \phi ^{i}에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 힐베르트 공간은 포크 공간을 구성하게 된다. 구체적으로, 1입자 힐베르트 공간과 그 위의 1입자 해밀토니언 {\displaystyle ({\mathcal {H}}\_{1},H\_{1})}을 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{1}=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )}
{\displaystyle \langle f|H\_{1}|g\rangle =\int \_{M}{\sqrt {m^{2}+g^{ij}(\partial \_{j}f)(\partial \_{i}g)}}\,{\sqrt {\det g}}}
그렇다면, 다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언 {\displaystyle ({\mathcal {H}},H)}은 그 위의 포크 공간으로 주어진다.

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Sym} {\mathcal {H}}\_{1}=\mathbb {C} \oplus \operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Sym} ^{2}\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )\oplus \dotsb }
이 위의 해밀토니언 연산자 H는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성된다. 또한, 입자수 연산자

{\displaystyle N|f\rangle =n|f\rangle \qquad \forall |f\rangle \in \operatorname {Sym} ^{n}{\mathcal {H}}\_{1}}
를 정의할 수 있다. 이는 등급 벡터 공간의 등급에 해당하며, 그 고윳값들은 자연수이다.

이제, 이 계의 큰 분배 함수

{\displaystyle Z(\beta ,z)=\operatorname {tr} \left(z^{N}\exp(-\beta H)\right)=\operatorname {tr} (-\beta H+\beta \mu N)}
를 정의할 수 있다. 이는 큰 바른틀 앙상블에 해당한다. 여기서

{\displaystyle \beta ={\frac {1}{k\_{\mathrm {B} }T}}}
는 절대 온도의 역수이며,

{\displaystyle z=\exp(\beta \mu )}
는 퓨가시티이며, \mu 는 화학 퍼텐셜이다. 이 큰 분배 함수로 나타내어지는 통계역학적 계를 **이상 보스 기체**라고 한다. ‘이상 기체’라는 것은 포크 공간 위의 해밀토니언 연산자에 입자 사이의 상호 작용을 나타내는 항을 추가하지 않았기 때문이다 (즉, 입자 사이의 상호 작용이 없어, 입자들은 자유 입자이다).

큰 분배 함수는 다음과 같이 표현된다. (중복수를 고려한) H\_{1}의 고윳값들의 중복집합을 I라고 하면, 큰 분배 함수는 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle Z(\beta ,z)=\prod \_{i\in I}\left(1+z\exp(-\beta E\_{i})+z^{2}\exp(-2\beta E\_{i})+\dotsb \right)=\prod \_{i\in I}{\frac {1}{1-z(\exp(-\beta E\_{i}))}}}
큰 분배 함수의 로그 × −1인 큰 퍼텐셜 {\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)}는 다음과 같다.

{\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)=\sum \_{i\in I}\ln \left(1-z\exp(-\beta E\_{i})\right)}
### 열역학적 극한

편의상, 진공 에너지를 0으로 놓자.

(M,g) 위의 라플라스-벨트라미 연산자

{\displaystyle \nabla ^{2}=g^{ij}\partial \_{i}\partial \_{j}}
의 스펙트럼은 다음 조건을 만족시킨다.

{\displaystyle N(E)=(2\pi )^{-\dim M}E^{D/2}\operatorname {vol} (\mathbb {B} ^{D})V+O(E^{D/2-1})\qquad (E\gg 1)}
(유클리드 공간 속의 매끄러운 경계를 가진 닫힌집합에서, 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 가했을 때도 이 조건이 성립한다.)
여기서 N(E)는 H\_{1}의 E 이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다. {\displaystyle D\in \mathbb {N} }는 M의 차원이며, V는 M의 D차원 부피이며,

{\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {B} ^{D})={\frac {\pi ^{(\dim M)/2}}{\Gamma ((\dim M)/2+1)}}}
는 D차원 단위 공의 부피이다. 편의상 비례 상수를

{\displaystyle C={\frac {D}{2}}(2\pi )^{D}\operatorname {vol} (\mathbb {B} ^{D})}
라고 적자. 즉,

{\displaystyle N\_{\Delta }(E)\sim \int \_{0}^{E}\mathrm {d} E'\,6C\operatorname {vol} (M){E'}^{D/2-1}}
이다. 이 표현을 통하여, 디랙 델타로 구성된 측도

{\displaystyle \mathrm {d} N(E)}
를

{\displaystyle C\operatorname {vol} (M){E'}^{(\dim M)/2-1}}
로 근사할 수 있다. 이는 E가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된 {\displaystyle (\beta ,z)}의 값에 대하여 {\displaystyle (z>1)},

{\displaystyle g\mapsto \alpha g}
{\displaystyle \alpha \to \infty }
와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는 g의 등각 다양체 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는

{\displaystyle V\propto \alpha ^{D/2}}
이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.

다만, {\displaystyle z\to 1^{+}}일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서 {\displaystyle \ln \left(1-z\exp(-\beta E)\right)}가 {\displaystyle E\to 0}에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우 {\displaystyle E=0}인 경우는 따로 고려해야 한다.

즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 토머스-페르미 근사라고 한다.)

{\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)=\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} N(E)\,\ln \left(1-z\exp(-\beta {\sqrt {m^{2}+E}})\right)\approx C\operatorname {vol} (M)\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln \left(1-z\exp(-\beta {\sqrt {m^{2}+E}})\right)}
이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한

{\displaystyle m\beta \gg 1}
및 상대론적인 극한

{\displaystyle m\beta \ll 1}
의 경우 이는 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서

{\displaystyle {\sqrt {m^{2}+E}}=m{\sqrt {1+E/m^{2}}}=m+{\frac {1}{2m^{2}}}E+\dotsb }
이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면

{\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)=C\operatorname {vol} (M)\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln \left(1-z\exp(-\beta m-\beta E/2m^{2})\right)}
이 된다. 여기서, 첫 항 m은 입자의 정지 에너지이므로, 이는 퓨가시티가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우

{\displaystyle z'=z\exp(-\beta m)}
{\displaystyle \beta '=\beta /2m^{2}}
를 정의하면,

{\displaystyle -\ln Z(\beta ',z')=C\operatorname {vol} (M)\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln \left(1-z'\exp(-\beta 'E)\right)}
이다. 이를 계산하면 다음과 같다.
{\displaystyle -\ln Z\approx -C\operatorname {vol} (M){\beta '}^{-D/2}\Gamma ((\dim M)/2)\operatorname {Li} \_{(\dim M)/2}(z)}
여기서

{\displaystyle \operatorname {Li} \_{s}(z)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}}
는 다중로그 함수이며, {\displaystyle \Gamma (-)}는 감마 함수이다.

**적분의 계산:**

{\displaystyle D=\dim M}으로 놓자.

{\displaystyle {\begin{aligned}-\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E\,E^{D/2-1}\,\ln \left(1-z\exp(-\beta E)\right)&=-\beta ^{-D/2}\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} x\,x^{D/2-1}\,\ln \left(1-z\exp(-x)\right)\\&=\beta ^{-D/2}\left(\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\right)\left(\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} x\,x^{D/2-1}\,\exp(-nx)\right)\\&=\beta ^{-(D/2}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}n^{-D/2}\left(\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} y\,y^{D/2-1}\,\exp(-y)\right)\\&=\beta ^{-D/2}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}n^{-D/2}\Gamma (D/2)\\&=\beta ^{-D/2}\Gamma (D/2)\operatorname {Li} \_{D/2+1}(z)\end{aligned}}}
여기서

{\displaystyle x/\beta =E}
{\displaystyle y/n=x}
와 같은 치환을 사용하였으며, 테일러 급수

{\displaystyle \ln(1-z)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}
를 사용하였다.

이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.

* {\displaystyle z\to 1}일 때, 피적분량이 {\displaystyle E\to 0} 극한에서 발산한다. 따라서, 이 경우를 따로 다루어야 한다.

이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.

{\displaystyle \Omega =-\ln Z(\beta ,z)=g\_{0}\ln(1-z)-(E\_{\text{c}}\beta )^{-\alpha }\operatorname {Li} \_{\alpha +1}(z)}
여기서 g\_{0}은 바닥 상태의 고윳값의 {\displaystyle E\_{0}=0}의 중복수이며, C를 비롯한 다른 비례 상수들을 {\displaystyle E\_{\text{c}}}에 흡수하였다. 또한 변수

{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\dim M}
를 정의하였다. 이 표현은 \Delta 가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.

#### 상대론적 입자

반대로, {\displaystyle m\to 0} 극한을 생각하자. 이 경우

{\displaystyle {\sqrt {m^{2}+E}}={\sqrt {E}}{\sqrt {1+m^{2}/E}}={\sqrt {E}}+{\frac {m^{2}}{2{\sqrt {E}}}}+\dotsb }
가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,

{\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)=C\operatorname {vol} (M)\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln \left(1-z\exp(-\beta {\sqrt {E}})\right)}
이다. 이 경우 변수 E를

{\displaystyle E'=E^{2}}
{\displaystyle \mathrm {d} E={\frac {1}{2E'^{1/2}}}\mathrm {d} E'}
로 치환하면,

{\displaystyle -\ln Z(\beta ,z)=C\operatorname {vol} (M)\int \_{0}^{\infty }\mathrm {d} E'^{(\dim M)/4}\,\ln \left(1-z\exp(-\beta E')\right)}
가 된다. 즉, 이 경우

{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4}}\dim M}
이 된다.

성질
--

### 바닥 상태와 상전이

만약 {\displaystyle \dim M\geq 3}일 경우, 보스 기체는 어떤 유한한 온도에서 **보스-아인슈타인 응집**이라는 상전이를 겪는다. 이는 큰 분배 함수의 표현에 등장하는 다중로그의 발산으로 나타난다. (반면, {\displaystyle \dim M\leq 2}일 경우 상전이가 발생하지 않는다. 이는 2차원 이하에서는 입자들이 장거리 상호 작용을 갖기 때문이다.)

총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.

N=-z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}\approx {\frac {{\textrm {Li}}\_{\alpha }(z)}{(\beta E\_{c})^{\alpha }}}
이 식에서 다중로그 부분은 양의 실수이어야 하고, z=1이면 리만 제타 함수 ζ(α)와 같아지게 되는, 최댓값을 얻을 수도 있다. 고정된 *N*에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 βc을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.

N={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta \_{c}E\_{c})^{\alpha }}}
이 식은 임계온도 Tc=1/kβc 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.

T\_{c}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{{1/\alpha }}{\frac {E\_{c}}{k}}
예를 들어, \alpha =3/2이고, 위에서 언급되었던 E\_{c}를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

T\_{c}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{{2/3}}{\frac {h^{2}}{2\pi mk}}
다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 바닥 상태에서의 겹침을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 들뜬 상태에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 바닥 상태 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.

N=N\_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}\_{\alpha }(z)}{(\beta E\_{c})^{\alpha }}}
*N0*는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.

N\_{0}={\frac {g\_{0}\,z}{1-z}}
이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.

\tau ={\frac {T}{T\_{c}}}
이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τα에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τα에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다.
입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.

N={\frac {g\_{0}\,z}{1-z}}+N~{\frac {{\textrm {Li}}\_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}}~\tau ^{\alpha }
*N*과 τ이 주어지면, 이 식은 τα에 대하여 정리가 되고, *z*에 대한 급수해는 τα의 급수 또는 τα의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 *T =0*근처인 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.

### 열역학

다음과 같은 값들을 계산할 수 있다.

* 평균 입자 수:
{\displaystyle N(\beta ,z)=z{\frac {\partial }{\partial z}}\ln Z}
* 평균 에너지:
{\displaystyle E(\beta ,z)={\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln Z}

입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 바닥 상태에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.

\Omega =g\_{0}\ln(1-z)-{\frac {{\textrm {Li}}\_{{\alpha +1}}(z)}{\left(\beta E\_{c}\right)^{\alpha }}}
모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 \tau ^{\alpha }의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.

| 물리량 | 일반적 경우 | T\ll T\_{c} | T\gg T\_{c} |
| --- | --- | --- | --- |
| z | Vapor fraction | =1 | \approx {\frac {\zeta (\alpha )}{\tau ^{\alpha }}}-{\frac {\zeta ^{2}(\alpha )}{2^{\alpha }\tau ^{{2\alpha }}}} |
| Vapor fraction1-{\frac {N\_{0}}{N}}\, | ={\frac {{\textrm {Li}}\_{{\alpha }}(z)}{\zeta (\alpha )}}\,\tau ^{\alpha } | =\tau ^{\alpha } | =1 |
| 상태 방정식{\frac {PV\beta }{N}}=-{\frac {\Omega }{N}}\, | ={\frac {{\textrm {Li}}\_{{\alpha +1}}(z)}{\zeta (\alpha )}}\tau ^{\alpha } | ={\frac {\zeta (\alpha \!+\!1)}{\zeta (\alpha )}}\tau ^{\alpha } | \approx 1-{\frac {\zeta (\alpha )}{2^{{\alpha +1}}\tau ^{\alpha }}} |
| 기브스 자유 에너지G=\ln(z) | =\ln(z) | =0 | \approx \ln \left({\frac {\zeta (\alpha )}{\tau ^{\alpha }}}\right)-{\frac {\zeta (\alpha )}{2^{{\alpha }}\tau ^{\alpha }}} |

표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.

U={\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}=\alpha PV
비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.

C\_{v}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k(\alpha +1)\,U\beta 
엔트로피는 다음의 식으로 표현된다.

TS=U+PV-G\,
주의할 점은 높은 온도의 극한에서는

TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)
의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로더 방정식(영어: Sackur-Tetrode equation)으로 재기술된다.

역사
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보스-아인슈타인 통계를 제창한 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다.

참고 문헌
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* Huang, Kerson (1967). 《Statistical Mechanics》. New York: John Wiley and Sons.
* Isihara, A. (1971). 《Statistical Physics》. New York: Academic Press.
* Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
* Pethick, C. J.; H. Smith (2004). 《Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases》. Cambridge: Cambridge University Press.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Yan, Zijun (2000). "General Thermal Wavelength and its Applications". 《European Journal of Physics》 **21** (6): 625-631. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.

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