대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 **양자 코호몰로지**(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다.

정의
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M이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자.

### 노비코프 환

격자 \operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z})/\operatorname {Tors}(\operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z}))의 기저 \{\alpha \_{i}\}\_{{i=1,\dots ,b\_{2}(M)}}를 M의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.

M의 **노비코프 환**(영어: Novikov ring)

\Lambda ={\mathbb Z}[q\_{i},q\_{i}^{{-1}}]\_{{i=1,\dots ,b\_{2}(M)}}
은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.

* 각 i=1,\dots ,b\_{2}(M)에 대하여, {\displaystyle q\_i}. 이들의 등급은 \deg q\_{i}=2c\_{1}(M)(q\_{i})이다.

임의의

\beta =\sum \_{i}c\_{i}\alpha \_{i}\in \operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z})/\operatorname {Tors}(\operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z}))
에 대하여,

q\_{\beta }=\prod \_{i}q\_{i}^{{c\_{i}}}
로 쓰자. q\_{\alpha } 대신 \exp(\alpha )로 쓰기도 한다.

만약 M이 칼라비-야우 다양체인 경우 c\_{1}(M)=0이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

### 작은 양자 코호몰로지

M 위의 **작은 양자 코호몰로지**(영어: small quantum cohomology) \operatorname {QH}(M;\Lambda )는 아벨 군으로서 다음과 같다.

\operatorname {QH}(M;\Lambda )=\operatorname H(M;\Lambda )\otimes \_{{{\mathbb Z}}}\Lambda 
이 위의 곱

\*\colon \operatorname {QH}(M;\Lambda )\times \operatorname {QH}(M;\Lambda )\to \operatorname {QH}(M;\Lambda )
은 코호몰로지의 합곱 \smile 과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.

\int \_{M}(a\*b)\smile c=\sum \_{{\alpha \in \operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z})/\operatorname {Tors}(\operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z}))}}\operatorname {GW}\_{{0,3}}^{{M,\alpha }}(a,b,c)q\_{\alpha }
이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.

(a\*b)\*c=a\*(b\*c)
a\*b=(-1)^{{\deg a\deg b}}b\*a
\deg(a\*b)=\deg a+\deg b
M 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 \operatorname {QM}^{{2\bullet }}(M)에서, 0의 (충분히 작은) 근방

0\in U\subset \operatorname {QM}^{{2\bullet }}(M)
은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 \*은 U의 접다발 T 위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.

### 큰 양자 코호몰로지

임의의 a\in U에 대하여, 다음과 같은 **큰 양자 코호몰로지 곱**을 정의하자.

\*\_{a}\colon U\times U\to U
\langle x\*\_{a}y,z\rangle =\sum \_{{n=0}}^{\infty }\sum \_{{\alpha \in \operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z})/\operatorname {Tors}(\operatorname H\_{2}(M;{\mathbb Z}))}}{\frac 1{n!}}\operatorname {GW}\_{{0,n+3}}^{{X,\alpha }}(x,y,z,\overbrace {a,\ldots ,a}^{n})
그렇다면, (U,\*\_{a})를 **큰 양자 코호몰로지**(영어: big quantum cohomology)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

예
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복소수 사영 공간 \mathbb {CP} ^{n}은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는

\operatorname H^{\bullet }({\mathbb {CP}}^{n};{\mathbb Z})={\mathbb Z}[p]/(p^{{n+1}})
\deg p=2
이다.

\operatorname H\_{2}({\mathbb {CP}}^{n};{\mathbb Z})={\mathbb Z}
이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 q가 존재하며,

c\_{k}({\mathbb {CP}}^{n})={\binom {n+1}k}c\_{1}({\mathcal O}\_{{{\mathbb C}P^{n}}}(1))
이므로

\deg q=2{\binom {n+1}1}=2(n+1)
이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H^{\bullet }({\mathbb {CP}}^{n};{\mathbb Z})={\mathbb Z}[p,q]/(p^{{n+1}}-q)
\deg p=2
\deg q=2(n+1)
이다. q\to 0이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.

응용
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양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원 {\mathcal N}=(2,2) 시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.

참고 문헌
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* 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
* 조용승 (2000). "심플렉틱 다양체의 불변량". 《Communications of the Korean Mathematical Society》 **15** (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
* McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《J-holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) **52** 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2.  `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 1) (도움말)
* Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). "Notes on stable maps and quantum cohomology" (영어). arXiv:alg-geom/9608011.