리 군론에서 **리 대수 코호몰로지**(Lie代數cohomology, 영어: Lie algebra cohomology)는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다.

정의
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가환환 R 위의 리 대수  {\mathfrak {g}}의 보편 포락 대수가 U{\mathfrak {g}}라고 하고, M이 {\mathfrak {g}}의 표현(즉, U 위의 가군)이라고 하자.

R를 {\mathfrak {g}}의 자명한 표현이라고 여기면, **리 대수 코호몰로지**는 다음과 같은 Ext 함자이다.

\operatorname {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Ext} \_{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R;M)
즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자

M\mapsto M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\colon {\mathfrak {g}}m=0\}
의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, **리 대수 호몰로지**(영어: Lie algebra homology)는 다음과 같은 Tor 함자이다.

\operatorname {H} \_{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Tor} \_{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R;M)
즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

M\mapsto M\_{\mathfrak {g}}=M/{\mathfrak {g}}M
의 왼쪽 유도 함자이다.

성질
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연결 콤팩트 리 군 G에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 \operatorname {Lie} (G)의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

\operatorname {H} ^{\bullet }(G;\mathbb {R} )\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Lie} (G);\mathbb {R} )
(같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.)

### 슈발레-에일렌베르크 복합체

체 K 위의 리 대수 코호몰로지는 **슈발레-에일렌베르크 복합체**(Chevalley-Eilenberg複合體, 영어: Chevalley–Eilenberg complex)라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다.

구체적으로, **n차 슈발레-에일렌베르크 공사슬**(영어: Chevalley–Eilenberg n-cochain)은 K-선형 변환

\hom \_{K}\left(\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}};M\right)
이며, 그 공경계는 다음과 같다.

(\delta f)(x\_{1},\ldots ,x\_{n+1})=\sum \_{i}(-1)^{i+1}x\_{i}\,f(x\_{1},\ldots ,{\hat {x}}\_{i},\ldots ,x\_{n+1})+\sum \_{i<j}(-1)^{i+j}f([x\_{i},x\_{j}],x\_{1},\ldots ,{\hat {x}}\_{i},\ldots ,{\hat {x}}\_{j},\ldots ,x\_{n+1})
여기서 {\hat {x}}\_{i}는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.

만약 {\mathfrak {g}}가 콤팩트 단일 연결 리 군 G의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 G 위의 M 계수 G-불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

낮은 차원의 리 대수 코호몰로지
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### 0차 코호몰로지

정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

\operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid {\mathfrak {g}}m=0\}
### 1차 코호몰로지

리 대수의 **미분**(영어: derivation)은 다음 조건을 만족시키는 R-가군 준동형이다.

\delta \colon {\mathfrak {g}}\to M
\delta [x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}
미분들은 R-가군을 이루며, 이를 \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 m\in M에 대하여, x\mapsto xm\;\forall x\in {\mathfrak {g}}는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 **내부 미분**(영어: inner derivation)이라고 한다. 내부 미분들 역시 R-가군을 이루며, 이를 \operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)이라고 쓰자.

그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.

\operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};M)\cong \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)/\operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)
### 2차 코호몰로지

2차 리 대수 코호몰로지 군 \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {g}};M)은 리 대수의 확대

0\to M\to {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}\to 0
의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 M은 아벨 리 대수로 간주한다.)

예
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### 아벨 리 대수

체 K 위의 아벨 리 대수 V와 그 자명한 표현 W를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;W)=\hom \_{K{\text{-Vect}}}(\bigwedge ^{\bullet }V;W)}
특히, {\displaystyle W=K}라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)=\bigwedge ^{\bullet }V^{\*}}
이며, V가 유한 차원일 경우

{\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)={\binom {\dim V}{\bullet }}}
이다.

기하학적으로, K=\mathbb {R} 라고 하고, 아벨 리 군 {\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}}을 생각하자. 이는 위상수학적으로 n차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

{\displaystyle \operatorname {H} \_{\text{dR}}^{\bullet }(\mathbb {T} ^{n})\cong \mathbb {R} ^{\binom {n}{\bullet }}}
이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.

### 코쥘 복합체

 이 부분의 본문은 코쥘 복합체입니다.
가환환 R 위의 가군 M 및 가군 준동형 {\displaystyle \phi \in \hom \_{R{\text{-Mod}}}(M,R)}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M을 R 위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한 R 위에

{\displaystyle m\cdot r=\phi (m)r}
로 정의하여 R를 아벨 리 대수 M의 표현으로 생각하자. 이 경우, R 계수의 M의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 {\displaystyle (R,M,\phi )}에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

### 2차원 비아벨 리 대수

체 K 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y\}}
{\displaystyle [x,y]=x}
가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면, K 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

{\displaystyle \delta \_{1}\colon C\_{1}\to C\_{0}}
{\displaystyle \delta \_{1}\colon x,y\mapsto 0}
{\displaystyle \delta \_{2}\colon C\_{2}\to C\_{1}}
{\displaystyle \delta \_{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-x}
즉, K 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{0}=C\_{0}\cong K}
{\displaystyle \operatorname {H} \_{1}=C\_{1}/\operatorname {im} \delta \_{2}=\operatorname {Span} \{y\}\cong K}
{\displaystyle \operatorname {H} \_{2}=\ker \delta \_{2}=\{0\}}
즉, 호몰로지 베티 수는 각각 {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} \_{0}=1}, {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} \_{1}=1}, {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} \_{2}=0}이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

{\displaystyle d\_{0}\colon C^{0}\to C^{1}}
{\displaystyle d\_{0}\colon a\mapsto (x,y\mapsto 0)}
{\displaystyle d\_{1}\colon C^{1}\to C^{2}}
{\displaystyle d\_{1}\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto (x\wedge y\mapsto -a)}
따라서, 코호몰로지의 차원도 {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} ^{0}=1}, {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} ^{1}=1}, {\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {H} ^{2}=0}이다.

### 3차원 직교 대수

3차원 직교군의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. {\mathfrak {so}}(3)의 기저는 다음과 같다.
{\displaystyle [x,y]=z}

{\displaystyle [y,z]=x}
{\displaystyle [z,x]=y}
따라서, \mathbb {R}  계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

{\displaystyle \partial \_{1}\colon C\_{1}\to C\_{0}}
{\displaystyle \partial \_{1}\colon x,y,z\mapsto 0}
{\displaystyle \partial \_{2}\colon C\_{2}\to C\_{1}}
{\displaystyle \partial \_{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z}
{\displaystyle \partial \_{2}\colon y\wedge z\mapsto -[y,z]=-x}
{\displaystyle \partial \_{2}\colon z\wedge x\mapsto -[z,x]=-y}
{\displaystyle \partial \_{3}\colon C\_{3}\to C\_{2}}
{\displaystyle \partial \_{3}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto 0}
따라서, 이 경우

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }\operatorname {H} \_{0}=1}
{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }\operatorname {H} \_{1}=0}
{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }\operatorname {H} \_{2}=0}
{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }\operatorname {H} \_{3}=1}
이다. 리 군 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)}은 3차원 초구 \mathbb {S} ^{3}와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

역사
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클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948). "Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **63** (1): 85–124. doi:10.2307/1990637. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990637. MR 0024908.