E7의 딘킨 도표
리 군론에서 **E7**은 복소수 예외적 단순 리 군의 하나이다. 133차원이며, 예외적 단순 리 군 가운데 E8 다음으로 두 번째로 크다.

정의
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E7은 여러 방법으로 정의할 수 있다.

### 56차원 표현을 통한 정의

E7은 충실한 56차원 실수 표현을 가지며, 따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.:Appendix B:§B.1

V가 8차원 실수 벡터 공간이라고 하고, W를 다음과 같이 정의하자.

W=\bigwedge^2V\oplus\bigwedge^2V^\*
이는 자연스럽게 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 4차 형식을 정의하자.

{\displaystyle q(v^{-,-},w\_{-,-})=v^{ij}w\_{jk}v^{kl}w\_{li}-{\frac {1}{4}}v^{ij}w\_{ij}v^{kl}w\_{kl}+{\frac {1}{96}}\left(\epsilon \_{ijklmnpq}v^{ij}v^{kl}v^{mn}v^{pq}+\epsilon ^{ijklmnpq}w\_{ij}w\_{kl}w\_{mn}w\_{pq}\right)}
그렇다면 심플렉틱 형식과 4차 형식 q를 보존하는 56차원 실수 선형 변환들의 부분군은 E7의 분할 형식 E7(7)과 동형이다.

### 사원수 또는 팔원수를 사용한 정의

한스 프로이덴탈은 팔원수를 사용한 E7의 구성을 제시하였다.
이 밖에도, 팔원수를 사용한 다른 구성 이나, 사원수를 사용한 E7의 구성 또한 알려져 있다.

### Spin(12)를 통한 정의

E7은 Spin(12)×SU(2)를 극대 부분군으로 가지므로, 이로부터 E7을 정의할 수 있다.:§4.11 구체적으로, E7의 딸림표현 **133**은 Spin(12)×SU(2) 아래 딸림표현 및 (**32**, **2**)로 분해된다. 여기서 **32**는 Spin(12)의 바일 스피너 표현이다.

이 경우, A1의 가능한 실수 형식은 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )와 SU(2) 두 가지가 있다.

* 전자 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 경우, 정의 표현 **2**는 실수 표현이다. 따라서, Spin(12)의 표현 **32** 역시 실수 표현이어야 한다. 즉, 이는 마요라나-바일 스피너가 되어야 한다. 12차원에서, 마요라나-바일 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (10,2) 및 (6,6) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D6(−26)⊕A1(1) 및 D6(6)⊕A1(1) (분할)에 해당한다. 이로부터, E7의 두 실수 형식 E7(−25) 및 E7(7) (분할)을 얻는다.
* 후자 SU(2)의 경우, 정의 표현 **2**는 사원수 표현이다. 즉, 이 경우 Spin(12)의 바일 스피너 역시 사원수 표현이어야 한다. 이러한 경우인 계량 부호수는 (12,0) 및 (8,4) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D6(−66)⊕A1(−3) (콤팩트) 및 D6(−2)⊕A1(−3)에 해당한다. 이로부터, E7의 두 실수 형식 E7(−133) (콤팩트) 및 E7(−5)를 얻는다.

### 실수 형식

E7은 네 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

| 기호 | 다른 기호 | 설명 | 기본군 | 외부자기동형군 | 사타케 도표 | 보건 도표 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| E7(−133) |  | 콤팩트 형식 | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | 1 | \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ } |
| E7(7) | EⅤ | 갈린(split) 형식 | {\mathbb Z}/4{\mathbb Z} | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ } | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ } |
| E7(−5) | EⅥ |  | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}\times {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | 1 | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\bullet -\circ -\bullet } | {\displaystyle \bullet -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ } |
| E7(−25) | EⅦ |  | \mathbb {Z}  | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | {\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\circ -\circ } | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\bullet } |

성질
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### 대수적 성질

E7은 133차원의 리 군이다. (중심이 없는) 콤팩트 형식의 기본군은 {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}이며, 자명하지 않은 외부자기동형사상을 가지지 않는다.

E7의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.

* (E\_6\times\operatorname U(1))/(\mathbb Z/3).:§4.10 이는 E7 딘킨 도표에서, 흰 색의 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
* (\operatorname{Spin}(12)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2).:§4.11 이는 E7 딘킨 도표에서, 
\scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
* \operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2).:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
* \left(\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)\right)/(\mathbb Z/3).:§4.13 이는 E7 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet\qquad\bullet-\bullet

E7은 E8의 부분군이다. 구체적으로, E8은 (E\_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2) 부분군을 갖는다.:§5.7 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.

\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}
### 위상수학적 성질

E7의 무중심 콤팩트 형식은 133차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \pi \_{1}(E\_{7})\cong \mathbb {Z} /2}
{\displaystyle \pi \_{3}(E\_{7})\cong \pi \_{11}(E\_{7})\cong \mathbb {Z} }
{\displaystyle \pi \_{n}(E\_{7})\cong 0,\qquad n<11,n\neq 1,3}
\mathfrak e\_7의 불변 다항식의 차수는 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18이다. 즉, E7의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 19차 · 23차 · 27차 · 35차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

### 근계

E7의 126개의 근들은 고른 폴리토프 231을 이룬다.
E7의 근계는 126개의 7차원 벡터로 구성된다. E7의 SU(8) 부분군을 사용하여 8차원 벡터로 나타내면, 그 근들은 구체적으로 다음과 같다.

* 다음 8\times7=56개의 근 (이는 SU(8) 근계를 이룬다):
(1,-1,0,0,0,0,0,0)의 모든 순열
* 다음 \textstyle\binom84=70개의 근 (이는 SU(8)의 **70** 표현의 무게를 이룬다):
(1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2)의 모든 순열

이는 E7의 딸림표현의 분해

\mathbf{133}\_{E\_7}\to\mathbf{63}\_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}\_{\operatorname{SU}(8)}
를 바탕으로 한 것이다. 여기서 **70**은 SU(8)에서, 영 타블로

\begin{matrix}\square\\\square\\\square\\\square\end{matrix}
에 대응하는 \textstyle\binom84=70차원 표현이다.

E7의 126개의 근들은 7차원에 존재하는 고른 폴리토프 231을 이룬다. 이는 126개의 꼭짓점, 2016개의 변, 10080개의 정삼각형 면, 20160개의 정사면체 3차원 초면, 16128개의 4차원 초면, 4788개의 5차원 초면, 632개의 6차원 초면으로 구성된다.

E7의 바일 군의 크기는 2^{10}\cdot3^4\cdot5\cdot7=293040이다. 이는 2차 순환군 \mathbb {Z} /2와 크기 1451520의 유일한 단순군의 직접곱이다. 후자는 {\displaystyle \operatorname {PSp} (6;\mathbb {F} \_{2})} 또는 {\displaystyle \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} \_{2})}로 표기할 수 있다.:46

{\displaystyle \operatorname {Weyl} (E\_{7})\cong (\mathbb {Z} /2)\times \operatorname {PSp} (6;\mathbb {F} \_{2})\cong (\mathbb {Z} /2)\times \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} \_{2})}
E7의 딘킨 도표는 다음과 같이 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다(영어: simply laced). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.

\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
E7의 아핀 딘킨 도표는 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다. 길이가 2인 팔에 \scriptstyle \otimes 로 표시된 새 꼭짓점이 추가되어, E7 아핀 딘킨 도표는 \mathbb {Z} /2 대칭을 보인다.

{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
### 표현론

E7의 기약 표현의 차원들은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121736).:112, Table 52

1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840, …
E7의 바일 군은 v\mapsto-v를 포함하므로, 모든 기약 표현은 실수 표현이거나 사원수 표현이다. E7의 기본 표현들은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이며, 딸림표현은 **133**이다. 딸림표현은 물론 실수 표현이며, 56차원 정의 표현은 사원수 표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.:112, Table 52

\begin{matrix}
\overset{\mathbf{133}}\bullet&-&\overset{\mathbf{8645}}\bullet\\
&&\underset{\mathbf{912}}\bullet\end{matrix}\rangle\underset{\mathbf{365750}}\bullet-\underset{\mathbf{27664}}\bullet-\underset{\mathbf{1539}}\bullet-\underset{\mathbf{56}}\bullet
E7은 E8의 부분군이다. 정확히 말하면, (E7×SU(2))/(−1,−1)은 E8의 극대 부분군(maximal subgroup)이다. 이는 딘킨 도표로 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라, E8의 딸림표현 **248**은 다음과 같이 분해된다.

\mathbf{248}\_{E\_8}\to(\mathbf{133}\_{E\_7},\mathbf{1}\_{SU(2)})\oplus(\mathbf{56}\_{E\_7},\mathbf 2\_{SU(2)})\oplus(\mathbf1\_{E\_7},\mathbf 3\_{SU(2)})
즉, E8의 딸림표현 **248**은 E7의 딸림표현 **133**과 기본 표현 **56** 및 자명한 표현 **1**로 분해된다.

마찬가지로, E7의 표현들은 그 부분군의 표현으로 다음과 같이 분해된다.:112, Table 52

{\displaystyle \mathbf {56} \_{E\_{7}}\to \mathbf {27} \_{E\_{6}}\oplus {\overline {\mathbf {27} }}\_{E\_{6}}\oplus \mathbf {1} \_{E\_{6}}\oplus \mathbf {1} \_{E\_{6}}}
{\displaystyle \mathbf {133} \_{E\_{7}}\to \mathbf {78} \_{E\_{6}}\oplus \mathbf {27} \_{E\_{6}}\oplus {\overline {\mathbf {27} }}\_{E\_{6}}\oplus \mathbf {1} \_{E\_{6}}}
{\displaystyle \mathbf {56} \_{E\_{7}}\to \mathbf {28} \_{\operatorname {SU} (8)}\oplus {\overline {\mathbf {28} }}\_{\operatorname {SU} (8)}}
\mathbf{133}\_{E\_7}\to\mathbf{63}\_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}\_{\operatorname{SU}(8)}
{\displaystyle \mathbf {56} \_{E\_{7}}\to (\mathbf {12} ,\mathbf {2} )\_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {32} ,\mathbf {1} )\_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}}
{\displaystyle \mathbf {133} \_{E\_{7}}\to (\mathbf {66} ,\mathbf {1} )\_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {3} )\_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {32'} ,\mathbf {2} )\_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}}
{\displaystyle \mathbf {56} \_{E\_{7}}\to (\mathbf {6} ,\mathbf {3} )\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus ({\bar {\mathbf {6} }},{\bar {\mathbf {3} }})\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {20} ,\mathbf {1} )\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}}
{\displaystyle \mathbf {133} \_{E\_{7}}\to (\mathbf {35} ,\mathbf {1} )\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {8} )\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {3} ,{\overline {\mathbf {15} }})\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus ({\overline {\mathbf {3} }},\mathbf {15} )\_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}}
### 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{7}(\mathbb {Z} )} 및 군 {\displaystyle E\_{7}(\mathbb {Z} )}을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 R에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 \mathbb {F} \_{q}에 대한 계수의 슈발레 군 {\displaystyle E\_{7}(\mathbb {F} \_{q})}을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.

* E\_{7}의 범피복군 {\tilde {E}}\_{7}의 유한체 계수 형식 {\displaystyle {\tilde {E}}\_{7}(\mathbb {F} \_{q})}
* E\_{7}의 무중심 형식의 유한체 계수 형식 {\displaystyle E\_{7}(\mathbb {F} \_{q})}

이들의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |{\tilde {E}}\_{7}(\mathbb {F} \_{q})|=q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)}
{\displaystyle |E\_{7}(\mathbb {F} \_{q})|={\frac {1}{\gcd\{2,q-1\}}}|{\tilde {E}}\_{7}(\mathbb {F} \_{q})|}
{\displaystyle E\_{7}(\mathbb {F} \_{q})}는 모든 유한체 \mathbb {F} \_{q}에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 두 군의 크기는 다음과 같다 (OEIS의 수열 A008870).

{\displaystyle |E\_{7}(\mathbb {F} \_{2})|\approx 8.00\times 10^{39}}
{\displaystyle |E\_{7}(\mathbb {F} \_{3})|\approx 1.27\times 10^{63}}
{\displaystyle E\_{7}(\mathbb {F} \_{3})}은 이미 괴물군보다 더 크다.

응용
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11차원 초중력을 4차원으로 축소화할 경우, E7 U-이중성 대칭군이 존재한다. 이는 11차원 초중력 대신 M이론 전체를 생각할 경우 이산 부분군으로 깨지게 된다.

E7은 또한 일부 4차원 {\mathcal N}=1 초등각 장론의 자이베르그 이중성으로 등장한다.

참고 문헌
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1. ↑  Adams, John Frank (1996년 12월). 《Lectures on exceptional Lie groups》 (영어). Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-00526-3. MR 1428422. 2012년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 9월 13일에 확인함.
2. 1 2 3 4 5 6 7  Yokota, Ichiro (2009년 2월). "Exceptional Lie groups" (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y.
3. 1 2  Cremmer, Eugene; Julia, Bernard (1979년 11월). "The SO(8) supergravity". 《Nuclear Physics B》 (영어) **159** (1–2): 141–212. doi:10.1016/0550-3213(79)90331-6. 2015년 9월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 24일에 확인함.
4. ↑  Pacheco, Paulo Pires; Waldram, Daniel. "M-theory, exceptional generalised geometry and superpotentials" (영어). arXiv:0804.1362.
5. ↑  Baez, John (2002). "The octonions". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 **39** (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087.  오류 정정 Baez, John (2005). "Errata for "The octonions"". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 **42** (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
6. ↑  Dray, Tevian; Manogue, Corinne A.; Wilson, Robert A. (2014). "A symplectic representation of E7". 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) **55** (3): 387–399.
7. ↑  Cacciatori, Sergio L.; Dalla Piazza, Francesco; Scotti, Antonio. "E7 groups from octonionic magic square" (영어). arXiv:1007.4758.
8. ↑  Wilson, Robert A. (2014). "A quaternionic construction of E7". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **142**: 867–880. doi:10.1090/S0002-9939-2013-11838-1. ISSN 0002-9939. MR 3148521.
9. ↑  Petrov, Victor. "A rational construction of Lie algebras of type *E*7" (영어). arXiv:1309.7325.
10. ↑  Kachi, Hideyuki (1968). "Homotopy groups of compact Lie groups *E*6, *E*7 and *E*8". 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) **32**: 109–139. MR 0233924. Zbl 0159.24802.
11. ↑  Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985). 《Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0.
12. 1 2 3  Slansky, Richard (1981년 12월). "Group theory for unified model building". 《Physics Reports》 (영어) **79** (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2.
13. ↑  de Wit, Bernard; Nicolai, Hermann (1986). "*D*=11 supergravity with local SU(8) invariance". 《Nuclear Physics B》 (영어) **274**: 363.
14. ↑  Graña, Mariana; Louis, Jan; Sim, Aaron; Waldram, Daniel. "*E*7(7) formulation of *N*=2 backgrounds" (영어). arXiv:0904.2333.
15. ↑  Dimofte, Tudor; Gaiotto, Davide. "An *E*7 enterprise" (영어). arXiv:1209.1404.