삼각형의 내접원과 내심
내접원을 갖는 사각형
**내접원**(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. **내심**(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 I로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 r로 표기한다.

정의
--

다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 **내접원**이라고 한다. 내접원의 중심을 **내심**이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 **외접 다각형**(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.

성질
--

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

### 반지름

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 r은 넓이 S와 반둘레 s를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle r={\frac {S}{s}}}
삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c, 반둘레가 s, 넓이가 S, 외접원의 반지름이 R, 방접원의 반지름이 r\_{A}, r\_{B}, {\displaystyle r\_{C}}라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\\&={\frac {abc}{4sR}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{r\_{A}}}+{\frac {1}{r\_{B}}}+{\frac {1}{r\_{C}}}}}\\&=r\_{A}+r\_{B}+r\_{C}-4R\end{aligned}}}
첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

### 접점과 중심각

삼각형 ABC의 내심을 I라고 하고, 내접원과 두 변 {\displaystyle AC}, BC의 접점을 각각 {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}라고 하고, 직선 AI와 {\displaystyle T\_{B}T\_{C}}의 교점을 P라고 할 때, {\displaystyle BP}는 AI의 수선이다.:31, §3.4

삼각형 ABC의 내접원의 A, B, C의 대변에서의 접점을 각각 {\displaystyle T\_{A}}, {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}라고 하고, 반둘레를 s, A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 다음이 성립한다.

{\displaystyle AT\_{B}=AT\_{C}=s-a}
{\displaystyle BT\_{C}=BT\_{A}=s-b}
{\displaystyle CT\_{A}=CT\_{B}=s-c}
삼각형 ABC의 내심 I와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle \angle AIB=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle ACB}
{\displaystyle \angle BIC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BAC}
{\displaystyle \angle CIA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle CBA}
### 외접원과의 관계

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 R, r라고 할 때, 내심 I와 외심 O 사이의 거리는 다음과 같다 (**오일러 삼각형 정리**).

{\displaystyle OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}
특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (**오일러의 부등식**).

{\displaystyle R\geq 2r}
삼각형 ABC의 내심을 I, 외접원의 호 BC의 중점 M이라고 할 때, 다음이 성립한다 (**맨션 정리**).

MI=MB=MC
### 내심 삼각형

삼각형 ABC의 내각 이등분선 {\displaystyle AI\_{A}}, {\displaystyle BI\_{B}}, {\displaystyle CI\_{C}}의 발 {\displaystyle I\_{A}}, I\_B, I\_C를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **내심 삼각형**(內心三角形, 영어: incentral triangle) {\displaystyle I\_{A}I\_{B}I\_{C}}라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

### 제르곤 점과 제르곤 삼각형

제르곤 점과 제르곤 삼각형
삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 {\displaystyle T\_{A}}, {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 {\displaystyle AT\_{A}}, {\displaystyle BT\_{B}}, {\displaystyle CT\_{C}}는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ABC의 **제르곤 점**(영어: Gergonne point) {\displaystyle X\_{7}}이라고 한다. 삼각형 ABC의 내접원의 세 접점 {\displaystyle T\_{A}}, {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **제르곤 삼각형**(영어: Gergonne triangle) 또는 **내촉 삼각형**(영어: intouch triangle) 또는 **접촉 삼각형**(영어: contact triangle) {\displaystyle T\_{A}T\_{B}T\_{C}}라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

증명:

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 {\displaystyle AT\_{A}}, {\displaystyle BT\_{B}}, {\displaystyle CT\_{C}}는 한 점에서 만난다.

{\displaystyle {\frac {AT\_{C}}{T\_{C}B}}\cdot {\frac {BT\_{A}}{T\_{A}C}}\cdot {\frac {CT\_{B}}{T\_{B}A}}={\frac {s-a}{s-b}}\cdot {\frac {s-b}{s-c}}\cdot {\frac {s-c}{s-a}}=1}

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.:62, §7.4, (iv)

삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 {\displaystyle T\_{A}}, {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}라고 하고, 제르곤 점을 {\displaystyle X\_{7}}라고 하자. 제르곤 점 {\displaystyle X\_{7}}을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 {\displaystyle T\_{A}T\_{B}}, {\displaystyle T\_{B}T\_{C}}, {\displaystyle T\_{C}T\_{A}}의 평행선 {\displaystyle PS}, {\displaystyle RU}, {\displaystyle TQ}와 원래 삼각형 ABC의 두 변 BC와 CA, CA와 AB, AB와 BC의 교점을 각각 P와 S, R와 U, T와 Q라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 ABC의 **애덤스 원**(영어: Adams’ circle)이라고 한다.:62, §7.4, (v) 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.:62, §7.4, (v)

증명:

6개의 점 P, Q, R, S, T, U와 내심 I사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 {\displaystyle IT\_{A}P}, {\displaystyle IT\_{A}Q}, {\displaystyle IT\_{B}R}, {\displaystyle IT\_{B}S}, {\displaystyle IT\_{C}T}, {\displaystyle IT\_{C}U}의 빗변이다. {\displaystyle IT\_{A}=IT\_{B}=IT\_{C}}는 내접원의 반지름이므로

{\displaystyle PT\_{A}=T\_{A}Q=RT\_{B}=T\_{B}S=TT\_{C}=T\_{C}U}
를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 {\displaystyle PT\_{A}=T\_{A}Q=ST\_{B}}를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 {\displaystyle CT\_{A}=CT\_{B}}이다. 직선 {\displaystyle PS}와 {\displaystyle T\_{A}T\_{B}}는 평행하므로 {\displaystyle CP=CS}이다. 따라서 {\displaystyle PT\_{A}=ST\_{B}}이다.

선분 {\displaystyle T\_{A}T\_{B}}, {\displaystyle T\_{A}T\_{C}}의 연장선과 점 A를 지나는 직선 BC의 평행선의 교점을 각각 D, E라고 하자. 그렇다면 직선 {\displaystyle DE}와 BC는 평행하며 삼각형 {\displaystyle CT\_{A}T\_{B}}, {\displaystyle BT\_{A}T\_{C}}는 이등변 삼각형이므로

{\displaystyle DA=AT\_{C}=AT\_{B}=EA}
이며, 선분 {\displaystyle T\_{A}A}는 삼각형 {\displaystyle T\_{A}DE}의 중선이다. 직선 {\displaystyle DE}, {\displaystyle PS}, {\displaystyle QT}는 각각 직선 BC, {\displaystyle T\_{A}T\_{B}}, {\displaystyle T\_{A}T\_{C}}와 평행하므로, 삼각형 {\displaystyle T\_{A}DE}와 선분 {\displaystyle T\_{A}A}의 합집합은 삼각형 {\displaystyle X\_{7}PQ}와 선분 {\displaystyle X\_{7}T\_{A}}의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 {\displaystyle X\_{7}T\_{A}} 역시 삼각형 {\displaystyle X\_{7}PQ}의 중선이다. 즉, {\displaystyle PT\_{A}=T\_{A}Q}이다.

삼각형 ABC의 내접원과 꼭짓점 A, B, C의 대변의 접점을 각각 {\displaystyle T\_{A}}, {\displaystyle T\_{B}}, {\displaystyle T\_{C}}라고 하고, 제르곤 점을 {\displaystyle X\_{7}}라고 하자. 제르곤 점 {\displaystyle X\_{7}}을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 {\displaystyle T\_{A}T\_{B}}, {\displaystyle T\_{B}T\_{C}}, {\displaystyle T\_{C}T\_{A}}의 평행선 {\displaystyle PS}, {\displaystyle RU}, {\displaystyle TQ}와 원래 삼각형 ABC의 두 변 BC와 CA, CA와 AB, AB와 BC의 교점을 각각 P와 S, R와 U, T와 Q라고 하자. 직선 {\displaystyle UP}와 {\displaystyle QR}, {\displaystyle QR}와 {\displaystyle ST}, {\displaystyle ST}와 {\displaystyle UP}의 교점을 각각 X, Y, Z라고 하자. 그렇다면 삼각형 ABC의 제르곤 점 {\displaystyle X\_{7}}은 삼각형 XYZ의 대칭 중점이며, 삼각형 ABC의 애덤스 원은 삼각형 XYZ의 제1 르무안 원이다.:98, Exercise 9.2

역사
--

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.:62, §7.4, (v)