추상대수학에서 **호흐실트 호몰로지**(영어: Hochschild homology)와 **호흐실트 코호몰로지**(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의
--

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* K-결합 대수 A
* {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 {\displaystyle \_{A}M\_{A}}. 즉, M은 {\displaystyle (A,A)}-쌍가군이며, 또한 M 위의 왼쪽 K-작용이 오른쪽 K-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

* 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 **호흐실트 (공)사슬 복합체**(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히, {\displaystyle \_{A}M\_{A}={}\_{A}A\_{A}}인 특수한 경우가 자주 사용된다.

### 추상적 정의

A의 **포락 대수**(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

{\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes \_{K}A^{\operatorname {op} }}
를 정의할 수 있다. 이는 K-결합 대수이며, M은 A^{{\operatorname {e}}}-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, A도 A^{{\operatorname {e}}}의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

{\displaystyle (a\otimes \_{K}b^{\operatorname {op} })\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad \forall a,b\in A,m\in M}
{\displaystyle (a\otimes \_{K}b^{\operatorname {op} })\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad \forall a,b,c\in A}
이다.

A의 M계수의 **호흐실트 호몰로지 군** \operatorname {HH}\_{n}(A;M) 및 **호흐실트 코호몰로지 군** \operatorname {HH}^{n}(A;M)은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

\operatorname {HH}\_{n}(A;M)=\operatorname {Tor}\_{n}^{{A^{{\operatorname {e}}}}}(A,M)
\operatorname {HH}^{n}(A;M)=\operatorname {Ext}\_{{A^{{\operatorname {e}}}}}^{n}(A,M)
### 구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* K-가군 범주의 단체 대상 {\displaystyle (X\_{\bullet },\partial \_{\bullet ,i},s\_{\bullet ,i})}

그렇다면,

{\displaystyle \partial \_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-)^{i}\partial \_{n,i}}
를 정의하면,

{\displaystyle \partial \_{n}\circ \partial \_{n+1}=0}
이 되어, 사슬 복합체

{\displaystyle \dotsb {\xleftarrow {\partial }}X\_{2}{\xleftarrow {\partial }}X\_{1}{\xleftarrow {\partial }}X\_{0}\to 0}
를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 {\displaystyle X\_{\bullet }}의 **호흐실트 호몰로지**라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

{\displaystyle X^{n}=\hom \_{K}(X\_{n},K)}
{\displaystyle 0\to X^{1}\to X^{2}\to \dotsb }
의 코호몰로지를 단체 가군 {\displaystyle X\_{\bullet }}의 **호흐실트 코호몰로지**라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 {\displaystyle s\_{\bullet ,i}}이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 K 위의 결합 대수 A와 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 M이 주어졌다면, 다음과 같은 **호흐실트 단체 가군**(영어: Hochschild simplicial module) {\displaystyle C\_{\bullet }(A;M)}을 정의할 수 있다.:45, (1.6.1.2)

{\displaystyle C\_{n}(A;M)=M\otimes \_{K}A^{\otimes \_{K}n}}
{\displaystyle \partial \_{n,i}\colon C\_{n}(A;M)\to C\_{n+1}(A;M)}
{\displaystyle \partial \_{n,i}\colon m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\mapsto {\begin{cases}(ma\_{1})\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}&i=0\\m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i-1}\otimes \_{K}a\_{i}a\_{i+1}\otimes \_{K}a\_{i+2}\otimes \_{K}\cdots \otimes \_{K}a\_{n}&0<i<n\\a\_{n}m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n-1}&i=n\end{cases}}}
{\displaystyle s\_{n,i}\colon C\_{n}(A;M)\to C\_{n-1}(A;M)}
{\displaystyle s\_{n,i}\colon a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\mapsto m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i}\otimes \_{K}1\otimes \_{K}a\_{i+1}\otimes \_{K}a\_{n}}
결합 대수 A의 M계수 **호흐실트 호몰로지**란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

{\displaystyle C\_{\bullet }(A;M)}은 사슬 복합체로서

{\displaystyle M\otimes \_{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} \_{\bullet }(A,A,A)}
의 꼴이다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }(A,A,A)}는 A의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

{\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom \_{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} \_{\bullet }(A,A,A),M)}
를 정의할 수 있으며, A의 {\displaystyle M^{\vee }}계수 **호흐실트 코호몰로지**란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

### 위상수학적 정의

A 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{K}} 속의 단체 대상 {\displaystyle X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} \_{K}}. 여기서 \triangle 은 단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주 {\displaystyle \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K})}은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, X의 **호흐실트 호몰로지**와 **호흐실트 코호몰로지**는 각각 다음과 같다.:§6.2

{\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(X)=\operatorname {Tor} \_{n}^{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K})}(K\_{\bullet },X)}
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(X)=\operatorname {Ext} \_{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K})}^{n}(X,K\_{\bullet })}
여기서 {\displaystyle K\_{\bullet }}는 모든 성분이 1차원 자유 가군 K이며, {\displaystyle s\_{n}^{i}} 및 {\displaystyle d\_{n}^{i}} 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 {\displaystyle A=M}이라면, 호흐실트 단체 가군 {\displaystyle C\_{n}(A;A)}는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 {\displaystyle \hom(\triangle \_{\operatorname {Cyc} }^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K})}에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.:213, Theorem 6.2.8:214, Theorem 6.2.9)

성질
--

가환환 K 위의 결합 대수 A 및 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 M에 대하여, 호흐실트 호몰로지 \operatorname {HH}^{n}(A;M) 및 호흐실트 코호몰로지 \operatorname {HH}^{n}(A;M)는 K-가군이며, 사실 {\displaystyle \operatorname {Z} (A)}-가군을 이룬다.:10, §1.1.5

### 함자성

임의의 가환환 K 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {Alg} \_{K}}와, K-결합 대수 A가 주어졌을 때 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군의 범주 {\displaystyle \_{A}\operatorname {Mod} \_{A}}를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.:10, §1.1.4

{\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}\colon {}\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}\to \operatorname {Mod} \_{\operatorname {Z} (A)}}
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}\colon {}\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}\to \operatorname {Mod} \_{\operatorname {Z} (A)}}
또한, 임의의 K-결합 대수 준동형

{\displaystyle \phi \colon B\to A}
및 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 M에 대하여, {\displaystyle \phi ^{\*}M}은 {\displaystyle (B,K,B)}-쌍가군을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상:10, §1.1.4

{\displaystyle \phi \_{\*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(B;\phi ^{\*}M)\to \operatorname {HH} \_{n}(A;M)}
및 호흐실트 코호몰로지의 사상:38, §1.5.1

{\displaystyle \phi ^{\*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(A;M)\to \operatorname {HH} ^{n}(B;\phi ^{\*}M)}
을 유도한다.

특히, 만약 {\displaystyle M=A}일 때, 이는 K-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 K-가군의 범주로 가는 함자

{\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(-)\colon \operatorname {Alg} \_{K}\to \operatorname {Mod} \_{K}}
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(-)\colon \operatorname {Alg} \_{K}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} \_{K}}
를 정의한다.

예
-

### 0차 호흐실트 (코)호몰로지

가환환 K 위의 결합 대수 A 및 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 M이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

{\displaystyle C\_{0}(A;M)=M}
{\displaystyle C\_{1}(A;M)=M\otimes \_{K}A}
{\displaystyle \partial \_{1}=\partial \_{1,0}-\partial \_{1,1}}
{\displaystyle \partial \_{1,0}\colon m\otimes \_{K}a\mapsto ma}
{\displaystyle \partial \_{1,1}\colon m\otimes \_{K}a\mapsto am}
이에 따라,

{\displaystyle \operatorname {HH} \_{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}}
이다.:10, §1.1.6

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

{\displaystyle C^{0}(A;M)=M}
{\displaystyle C^{1}(A;M)=M\otimes A^{\vee }}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}\colon C^{0}(A;M)\to C^{1}(A;M)}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)(a)=ma-am}
이에 따라,

{\displaystyle \operatorname {HH} ^{0}(A;M)=\{m\in M\colon am=ma\qquad \forall a\in A\}}
는 환의 중심의 개념의 일반화이다.:38, §1.5.2

### 1차 호흐실트 코호몰로지

가환환 K 위의 결합 대수 A 및 {\displaystyle (A,K,A)}-쌍가군 M이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.:38, §1.5.2 1차 호흐실트 공순환은 K-가군 준동형

{\displaystyle \delta \colon A\to M}
가운데

{\displaystyle \delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b}
와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 **미분**(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

{\displaystyle [m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)}
와 같은 꼴의 K-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 **내부 미분**(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 **외부 미분**(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.

### 가환 대수

가환환 K 위의 가환 결합 대수 A 및 A-가군 M에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.:307, Proposition 9.2.2:11, Proposition 1.1.10

\operatorname {HH}\_{0}(A;M)\cong M
{\displaystyle \operatorname {HH} \_{1}(A;M)\cong M\otimes \_{A}\Omega \_{A/K}}
여기서 {\displaystyle \Omega \_{A/K}}는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

### 다항식환

복소수 계수 다항식환 {\displaystyle \mathbb {C} [{\vec {x}}]} ({\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{k}})의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes \_{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})}
여기서 {\displaystyle \Lambda ^{n}(-)}는 외대수이다. 구체적으로, n차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle C\_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}\_{0},{\vec {x}}\_{1},\dotsc ,{\vec {x}}\_{n}]}
호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

{\displaystyle p({\vec {x}}\_{0},\dotsc ,{\vec {x}}\_{n})\mapsto \sum \_{i\_{1}=1}^{k}\sum \_{i\_{2}=1}^{k}\dotsi \sum \_{i\_{n}=1}^{k}\left.{\frac {\partial }{\partial (x\_{1})^{i\_{1}}}}{\frac {\partial }{\partial (x\_{2})^{i\_{2}}}}\dotsm {\frac {\partial }{\partial (x\_{n})^{i\_{n}}}}p\right|\_{{\vec {x}}\_{0}={\vec {x}}\_{1}={\vec {x}}\_{2}=\dotsb ={\vec {x}}\_{n}={\vec {x}}}\mathrm {d} (x\_{1})^{i\_{1}}\wedge \mathrm {d} (x\_{2})^{i\_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} (x\_{n})^{i\_{n}}}

역사
--

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **301** 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.
2. ↑  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **38**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
3. ↑  Hochschild, Gerhard (1945). "On the cohomology groups of an associative algebra". 《Annals of Mathematics》 **46**: 58–67. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969145. MR 0011076.
4. ↑  Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). 《Homological algebra》 (영어). Princeton University Press. OCLC 529171.