리 대수의 표현론에서 **최고 무게 가군**(最高무게加群, 영어: highest weight module)은 리 대수의 표현 가운데 모든 양근으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 정수 우세 무게이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}
* 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}. 이에 따라 근계 {\displaystyle \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }}를 정의할 수 있다.
* {\mathfrak {h}}의 무게 {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }}.
* {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}에 대한 양근 집합 {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }}. 이에 따라, {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\vee }} 위에 부분 순서 {\displaystyle \lambda \leq \mu \iff \forall \alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\colon 0\leq \langle \alpha |\mu -\lambda \rangle }를 줄 수 있다.

{\mathfrak {g}}의 표현 {\displaystyle \_{\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}V}에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 v\in V가 존재한다면, V를 **최고 무게 가군**이라고 한다.

1. 모든 양근 {\displaystyle \lambda \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }} 및 v\in V에 대하여, \lambda^\vee\cdot v=0
2. {\displaystyle V={\mathfrak {g}}v}이다.

성질
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최고 무게 가군 V의 무게의 집합

{\displaystyle \{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }\colon V\_{\lambda }\neq 0\}}
{\displaystyle V\_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon (\lambda (h)-h)v=0\}}
을 생각하자. 이 경우, V의 무게들의 부분 순서 집합은 항상 유일한 최대 원소를 가지며, 이를 V의 **최고 무게**(영어: highest weight)라고 한다. 만약 V가 유한 차원이라면, 이는 항상 정수 무게이자 우세 무게이다.

복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}와 그 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}} 및 양근의 집합 {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}가 주어졌다고 하자. **최고 무게 정리**(영어: theorem of the highest weight)에 따르면, 다음이 성립한다.

* {\mathfrak {g}}의 모든 유한 차원 기약 표현은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다.
* {\mathfrak {g}}의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다.
* 임의의 정수 우세 무게에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

이에 따라, {\mathfrak {g}}의 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}} 및 양근 {\displaystyle \operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\*}}를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.

* {\mathfrak {g}}의 유한 차원 기약 표현들의 동형류들의 집합
* {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}))}에 대한 정수 우세 무게 \lambda

예
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### *A*n

단순 리 대수 \mathfrak a\_n=\mathfrak{sl}(n+1)의 카르탕 부분 대수는 n차원이며, 따라서 총 n개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게

(k\_1,k\_2,\dots,k\_n)\qquad(k\_i\in\mathbb N)
에 대응하는 영 타블로는 길이가 i인 열을 k\_i개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.

| 표현 | 최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수) | 영 타블로 |
| --- | --- | --- |
| 기본 \mathbf n | (1,0,\dots,0) | □ |
| 반기본 \bar{\mathbf n} | (0,0,\dots,1) | □⋮□ |
| k차 대칭 텐서 \textstyle\operatorname{Sym}^k\mathbf n | (k,0,\dots,0) | □…□ |
| k차 반대칭 텐서 \textstyle\bigwedge^k\mathbf n | \textstyle(\overbrace{0,\dots,0}^{k-1},1,0,\dots,0) | □⋮□ |
| 딸림 표현 \mathfrak a\_n | (1,1,0,\dots,0) | □□□ |

### *B*n

단순 리 대수 \mathfrak b\_n=\mathfrak o(2n+1)은 n개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, \mathfrak b\_n의 기본 무게들은 다음과 같다.

q^1=(1,0,0,\dots,0,0)
q^2=(1,1,0,\dots,0,0)
\vdots
q^{n-1}=(1,1,1,\dots,1,0)
q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1)
q^k (1\le k\le n-1)는 k차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q^n은 디랙 스피너 표현이다.

### *D*n

단순 리 대수 \mathfrak d\_n=\mathfrak o(2n)은 n개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, \mathfrak d\_n의 기본 무게들은 다음과 같다.

q^1=(1,0,0,\dots,0,0,0)
q^2=(1,1,0,\dots,0,0,0)
\vdots
q^{n-2}=(1,1,1,\dots,1,0,0)
q^{n-1}=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,-1)
q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,1)
q^k (1\le k\le n-2)는 k차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q^{n-1}과 q^n은 바일 스피너 표현이다.

참고 문헌
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* Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **129**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001.