수학에서 **보형 형식**(保型 形式) 또는 **자기동형 형식**(自己同型 形式, 영어: automorphic form)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석 함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다.

정의
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임의의 리 군 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): G**
은 이와사와 분해(영어: Iwasawa decomposition)를 통해 멱영군 N, 아벨 군 A, 콤팩트 반단순 군 K로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): g\in G**
는 이와사와 분해에 따라

**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): g=n(g)a(g)k(g)**

n(g)\in N,\;a(g)\in A,\;k(g)\in K
와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): G**
가 이산 부분군 \Gamma \subset G를 갖는다고 하자. G 위의, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): \Gamma** 
에 대한 **보형 형식** **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): f\colon G\to {\mathbb C}**
는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끄러운 함수이다.

* 모든 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): \gamma \in \Gamma** 
, g\in G에 대하여, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): f(\gamma g)=f(g)**
* (K-유한성) **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): f**
를 K의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터 공간이 유한 차원이다.
* ({\mathcal Z}-유한성) {\mathcal Z}가 G의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 보편 포락 대수 U({\mathfrak g})의 중심이라고 하자. 그렇다면, f를 상쇄시키는,{\mathcal Z}의 유한 여차원 아이디얼 J\subset {\mathcal Z}이 존재한다.
* (첨점에서의 완만한 성장 영어: moderate growth at cusp) 첨점 근처에서, |f(g)|=O(\Vert a(g)\Vert ^{\lambda })인 \lambda \in {\mathbb R}가 존재한다.

이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

### 고전적 정의와의 관계

고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형 함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 **보형 인자**(영어: factor of automorphy) j라는 인자가 포함되었다. 즉,

f(\gamma \cdot z)=j(\gamma ,z)^{{-m}}f(x)
의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식은 상반평면 {\mathbb H} 위에, 모듈러 군 \Gamma =\operatorname {PSL}(2,{\mathbb Z})에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 G=\operatorname {SL}(2,{\mathbb R})의 부분군 K=\operatorname {SO}(2,{\mathbb R})에 대한 잉여류 공간

\operatorname {SL}(2,{\mathbb R})/\operatorname {SO}(2,{\mathbb R})\cong {\mathbb H}
위의 함수로 재해석된다.

역사
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보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈가 랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론의 갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.

참고 문헌
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* Bump, Daniel (1997). 《Automorphic Forms and Representations》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **55**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511609572. ISBN 9780521550987.
* Jacquet, Hervé; Robert P. Langlands (1970). 《Automorphic forms on GL(2)》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) **114**. Springer. doi:10.1007/BFb0058988. ISBN 978-3-540-04903-6. MR 0401654.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Iwaniec, Henryk (1997). 《Topics in Classical Automorphic Forms》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **17**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0777-4.