환론에서 **극대 아이디얼**(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의
--

### 극대 부분 가군

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 부분 가군 N\subseteq M에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 **극대 부분 가군**(極大部分加群, 영어: maximal submodule)이라고 한다.

* {\displaystyle N\neq M}이며, M의 임의의 부분 가군 {\displaystyle N'\subseteq M}에 대하여, 만약 {\displaystyle N'\supseteq N}이라면 {\displaystyle N'=M}이거나 {\displaystyle N'=N}이다. 즉, N은 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}}의 극대 원소이다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Sub} (M)\setminus \{M\}}은 M의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
* 몫가군 M/N은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 극대 부분 가군들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Max} (\_{R}M)}이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 **근기**라고 한다.

### 극대 아이디얼

환 R가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}R}의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, {\displaystyle \_{R}R}의 극대 부분 가군을 **극대 왼쪽 아이디얼**(영어: maximal left ideal)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {M}}\neq R}이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 R의 임의의 왼쪽 아이디얼 {\displaystyle \_{R}{\mathfrak {A}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subseteq {\mathfrak {A}}}라면 {\displaystyle {\mathfrak {A}}=R}이거나 {\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {M}}}이라는 것이다. 마찬가지로 **극대 오른쪽 아이디얼**(영어: maximal right ideal)은 1차 자유 오른쪽 가군 {\displaystyle R\_{R}}의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 **국소환**이라 한다.

가환환 R의 아이디얼 {\mathfrak m}\subseteq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 **극대 아이디얼**이라고 한다.

* 극대 왼쪽 아이디얼이다.
* 극대 오른쪽 아이디얼이다.
* R/{\mathfrak m}은 체이다.
* 환의 스펙트럼 \operatorname {Spec} R의 자리스키 위상에서, \{{\mathfrak m}\}은 닫힌 집합이다.

즉, {\displaystyle \operatorname {Max} R\subseteq \operatorname {Spec} R}는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 **잉여류체**라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.

성질
--

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

### 존재

**크룰 정리**(영어: Krull’s theorem)에 따르면, 환 R 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M\neq 0}은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Max} (\_{R}M)}은 공집합이 아니다.

**증명:**

초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Sub} (\_{R}M)\setminus \{M\}}에 대하여,

{\displaystyle A=\bigcup \_{S\in {\mathcal {S}}}S}
를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.

* A는 M-부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
	+ 증명: 임의의 a,a'\in A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle a\in S} 및 {\displaystyle a'\in S'}이 되는 S,S'\in {\mathcal S}를 찾을 수 있다. 그렇다면 {\displaystyle a,a'\in \max\{S,S'\}}이므로 {\displaystyle a+a'\in \max\{S,S'\}\subseteq A}이다.
* {\displaystyle A\neq M}이다.
	+ 증명: M이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, {\displaystyle Rm\_{1}+Rm\_{2}+\cdots +Rm\_{k}=M}이 되는 m\_{1},\dots ,m\_{k}\in M을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 {\displaystyle A=M}이라면, {\displaystyle m\_{i}\in S\_{i}}가 되는 {\displaystyle S\_{1},\dots ,S\_{k}\in {\mathcal {S}}}를 찾을 수 있는데, 이 경우 {\displaystyle M=\max\{S\_{1},\dots ,S\_{k}\}\in {\mathcal {S}}}이 되며, 이는 모순이다.

또한, 환 R 위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M\neq 0}은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}은 그 사영 덮개 {\displaystyle \_{R}P}의 잉여적 부분 가군 {\displaystyle S\subseteq P}에 대한 몫가군 {\displaystyle M\cong P/S}이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, 자유 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}R}는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, R가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, R는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

환 R의 모든 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다.

* 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.:Corollary 1.1
* M의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.)

예
-

정수환 \mathbb {Z} 의 극대 아이디얼들은 소수 p에 대한 주 아이디얼 (p)이다.

체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 \{0\}밖에 없다.

**힐베르트 영점 정리**에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 K 위의 유한 차원 다항식환 {\displaystyle K[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{k}]}의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다.

{\displaystyle (x\_{1}-a\_{1},x\_{2}-a\_{2},\dots ,x\_{k}-a\_{k})\qquad (a\_{1},\dots ,a\_{k}\in K)}
### 극대 부분 가군을 갖지 않는 가군

정수환 \mathbb {Z}  위의 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

역사
--

크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Faith, Carl (1995). "Rings whose modules have maximal submodules". 《Publicacions Matemàtiques》 (영어) **39** (1): 201–204. doi:10.5565/PUBLMAT\_39195\_12. ISSN 0210-2978. MR 1336364.
2. ↑  Krull, Wolfgang (1929). "Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **101**: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831.