조합론에서 **블록 설계**(block設計, 영어: block design 블록 디자인[\*])는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다. 이 경우, 이러한 부분 집합을 **블록**(영어: block)이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) "k개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 \lambda 개"와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다.

정의
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### 존슨 결합 도식 속의 블록 설계

세 자연수 {\displaystyle t,k,n\in \mathbb {N} }가 주어졌다고 하자. **{\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계** {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 크기 n의 유한 집합 X. 그 원소를 **점**(點, 영어: point)이라고 한다.
* X의, 크기 k의 부분 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} \_{k}(X)}. 그 원소를 **블록**(영어: block)이라고 한다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Pow} \_{k}(X)}는 X의 부분 집합들 가운데 크기가 k인 것들로 구성된, 멱집합의 부분 집합이다.)

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* t개의 서로 다른 점들이 주어졌을 때, 이 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 선택한 점들에 상관없는 값 {\displaystyle \lambda \_{t}>0}이다. (0을 제외하는 것은 피셔 부등식 등을 따르지 않는 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}=\varnothing )}를 배제하기 위함이다.)

두 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}, {\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')}가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수

{\displaystyle \iota \colon X\to X'}
가 존재하여

{\displaystyle \{\iota (B)\}\_{B\in {\mathcal {B}}}={\mathcal {B}}'}
라면, {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}와 {\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')}가 서로 **동형**이라고 한다.

{\displaystyle \lambda \_{t}=1}인 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계는 **{\displaystyle (t,k,n)}-슈타이너 계**(Steiner系, 영어: Steiner system 스타이너 시스템[\*])라고 한다. 보통, {\displaystyle \lambda \_{t}=1}인 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}는 {\displaystyle \operatorname {S} (t,k,n)}로 표기된다.

### 일반적 결합 도식 속의 블록 설계

위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.:2483–2486, §Ⅲ

구체적으로, 결합 도식 {\displaystyle (X,\{D\_{i}\in \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {Z} )\}\_{i\in I})}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{D\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {C} )}
는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합

{\displaystyle (E\_{a})\_{a\in A}}
{\displaystyle E\_{a}E\_{b}=\delta \_{ab}E\_{a}}
{\displaystyle \sum \_{a\in A}E\_{a}=1\_{\mathcal {A}}}
를 정의할 수 있다. 특히,

{\displaystyle E\_{0}={\frac {1}{|X|}}{\mathsf {J}}\_{|X|\times |X|}}
는 항상 최소 멱등원이다. ({\displaystyle {\mathsf {J}}\_{|X|\times |X|}}는 모든 성분이 1인 {\displaystyle |X|\times |X|} 정사각 행렬이다.)

이제, 계수

{\displaystyle E\_{a}=\sum \_{i=0}^{|I|}Q\_{ai}D\_{i}}
들을 정의할 수 있다. X의 부분 집합(즉, X 속의 블록 부호) C\subseteq X가 주어졌을 때, 내부 분포

{\displaystyle \alpha \_{i}={\frac {|C^{2}\cap R\_{i}|}{|C|}}}
및 쌍대 내부 분포

{\displaystyle \beta \_{a}=\sum \_{i\in I}Q\_{ai}\alpha \_{i}}
를 정의할 수 있다.

만약 어떤 부분 집합 {\displaystyle E\subseteq A}가 주어졌을 때, 만약 X의 부분 집합 C\subseteq X가 다음 조건을 만족시킬 경우, **E-블록 설계**(영어: E-block design)라고 한다.:2484, Definition 7

임의의 {\displaystyle a\not \in E}에 대하여, {\displaystyle \beta \_{a}=0}
만약 X가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다.

연산
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### 유도 블록 설계

임의의 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 및 점 x\in X가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle X'=X\setminus \{x\}}
{\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{B\setminus \{x\}\colon x\in B\in {\mathcal {B}}\}}
는 {\displaystyle (t-1,k-1,n-1)}-블록 설계를 이루며,

{\displaystyle \lambda '\_{t-1}=\lambda \_{t}}
이다. 이를 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}의 **유도 블록 설계**(誘導block設計, 영어: derived block design)이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.)

특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다.

### 결합 행렬

{\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}에서, {\displaystyle X=\{x\_{1},\dotsc ,x\_{n}\}}와 {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\_{1},\dotsc ,B\_{\lambda \_{0}}\}} 위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}의 **결합 행렬**(영어: incidence matrix)은 다음과 같은 {\displaystyle n\times \lambda \_{0}} 행렬

{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,\lambda \_{0};\mathbb {F} \_{2})}
이다.

{\displaystyle M\_{ij}={\begin{cases}1&x\_{i}\in B\_{j}\\0&x\_{i}\not \in B\_{j}\end{cases}}}
정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다.

성질
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임의의 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자.

{\displaystyle \lambda \_{i}={\frac {\lambda \_{t}{\binom {n-i}{t-i}}}{\binom {k-i}{t-i}}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,t\})}
그렇다면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle 0\leq i\leq t}가 주어졌을 때, i개의 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 정확히 \lambda\_i이다.

특히, {\displaystyle i=0}일 경우,

* 블록의 수는 {\displaystyle \textstyle \lambda \_{0}=\lambda \_{t}{\binom {n}{t}}/{\binom {k}{t}}}이다.

이에 따라, 모든 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계는 임의의 {\displaystyle 0\leq t'\leq t}에 대하여 {\displaystyle (t',k,n)}-블록 설계이다.

### 존재의 필요 조건

**피셔 부등식**(Fisher不等式, 영어: Fisher’s inequality)에 따르면, 임의의 {\displaystyle (2,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle |X|\geq \lambda \_{0}}
{\displaystyle k\geq \lambda \_{1}}
({\displaystyle X\lambda \_{1}=k\lambda \_{0}}이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 **정사각 블록 설계**(正四角block設計, 영어: square block matrix) 또는 **대칭 블록 설계**(對稱block設計, 영어: symmetric block design)라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \lambda \_{0}\geq {\binom {n}{\lfloor t/2\rfloor }}}
**브룩-라이저-차울라 정리**(Bruck-Ryser-चावला定理, 영어: Bruck–Ryser–Chowla theorem)에 따르면, 임의의 {\displaystyle (t,k,n)}-블록 설계 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}에 대하여, 만약 {\displaystyle |X|=\lambda \_{0}}라면,

* 만약 |X|가 짝수라면, {\displaystyle k-\lambda \_{2}}는 제곱수이다.
* 만약 |X|가 홀수라면, {\displaystyle x^{2}=(k-\lambda \_{2})y^{2}+(-1)^{(|X|-1)/2}\lambda \_{2}z^{2}}를 만족시키는 정수 {\displaystyle (x,y,z)\neq (0,0,0)}가 존재한다.

### 개수

작은 크기의 {\displaystyle (t=2,k=3,n)}-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A30129)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 1 | 3 | 7 | 9 | 13 | 15 | 19 | … |
| {\displaystyle (2,3,n)}-슈타이너 계의 동형류의 수 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 80 | 11084874829 |

작은 크기의 {\displaystyle (t=3,k=4,n)}-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A51390)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 1 | 2 | 4 | 8 | 10 | 14 | 16 | … |
| {\displaystyle (3,4,n)}-슈타이너 계의 동형류의 수 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | 1054163 |

예
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다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자.

{\displaystyle X=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{0123,0124,0156,0257,0345,0367,0467,1267,1346,1357,1457,2347,2356,2456\}}
그렇다면,

* 총 8개의 점이 있다 (n=8).
* 모든 블록의 크기는 4이다 (k=4).
* 블록의 수는 14이다 ({\displaystyle \lambda \_{0}=14}).
* 임의의 한 점은 7개의 블록에 포함된다 ({\displaystyle \lambda \_{1}=7}).
* 임의의 두 점은 3개의 블록에 포함된다 ({\displaystyle \lambda \_{2}=3}).

### 파노 평면

파노 평면 (유한체 {\mathbb F}\_{2} 위의 사영 평면) \mathbb P\_{\mathbb F\_2}^2을 생각하자.

여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자.

{\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6,7\}}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{123,145,167,246,257,347\}}
이는 {\displaystyle (2,3,7)}-슈타이너 계를 이룬다.

* 총 7개의 점이 있다 ({\displaystyle n=7}).
* 모든 블록은 정확히 세 개의 점을 갖는다 ({\displaystyle k=3}).
* 블록의 수는 7이다 ({\displaystyle \lambda \_{0}=7}).
* 모든 점은 정확히 세 개의 블록에 포함된다 ({\displaystyle \lambda \_{1}=3}).
* 임의의 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 이를 포함하는 블록은 정확히 한 개이다. ({\displaystyle \lambda \_{2}=1}).

### 이진 골레 부호

 이 부분의 본문은 이진 골레 부호입니다.
이진 골레 부호 {\displaystyle G\_{24}\subseteq \mathbb {F} \_{2}^{24}}는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,24\}}의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 **비트 설계**(Witt設計, 영어: Witt design)라고 불린다.

### 아다마르 설계

 이 부분의 본문은 아다마르 설계입니다.
{\displaystyle 4m\times 4m} 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 **아다마르 설계**라고 하며, 이는 {\displaystyle \lambda \_{2}=m-1}인 {\displaystyle (2,2m,4m-1)}-블록 설계이다.

### 자명한 블록 설계

임의의 유한 집합 X 및 {\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} \_{k}(X)}에 대하여, {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}는 {\displaystyle \lambda \_{0}=|{\mathcal {B}}|}인 {\displaystyle (0,k,|X|)}-블록 설계를 이룬다.

임의의 유한 집합 X 및 양의 정수 {\displaystyle 1\leq k\leq |X|}에 대하여, {\displaystyle (X,\operatorname {Pow} \_{k}(X))}는 {\displaystyle \textstyle (k,k,|X|)}-블록 설계를 이루며, 이 경우

{\displaystyle \lambda \_{i}={\binom {|X|-i}{k-i}}\qquad (0\leq i\leq k)}
이다. 이는 {\displaystyle t=k}이므로 정사각 블록 설계이며, {\displaystyle \lambda \_{t}=1}이므로 슈타이너 계이다.

역사
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웨슬리 스토커 바커 울하우스
야코프 슈타이너
1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(영어: Wesley Stoker Barker Woolhouse, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》(영어: Lady’s and Gentleman’s Diary)에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다. 그 전문(全文)은 다음과 같다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| XV. 상금 문제 (1733번). 편집부 출제.
n개의 기호들로 만들 수 있는, 각각 p개의 기호를 갖는 조합들의 수를 계산하라. 다만, 임의의 q개의 기호들의 조합은 두 개 이상에 속할 수 없다.
XV. Oʀ PRIZE QUEST. (1733) ; *by the Editor.*
Determine the number of combinations that can be made out of *n* symbols, *p* symbols in each; with this limitation, that no combination of *q* symbols, which may appear in any one of them shall be repeated in any other. | "|
|   | — 
 |

이는 현대적 용어로는 {\displaystyle (q,p,n)}-슈타이너 계를 다루는 것이다.

이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(영어: Thomas Penyngton Kirkman, 1806~1895)이 해결하였다. 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다.

이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다. 이후 그의 이름을 따 {\displaystyle \lambda \_{t}=1}인 t-블록 설계는 "슈타이너 계"로 불리게 되었다.

비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며, 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다.

피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다.

참고 문헌
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