위상수학에서 **내부**(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. A의 내부의 기호는 {\displaystyle \operatorname {int} A} 또는 A^{\circ }이다.

정의
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위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X의 **내부** {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq X}는 A를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 x\in X들의 집합이다.

* {\displaystyle x\in U\subseteq A}인 열린집합 U\subseteq X가 존재한다.

내부의 원소를 **내부점**(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질
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### 열린집합과의 관계

위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* A는 열린집합이다.
* {\displaystyle A=\operatorname {int} A}
* {\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} A}

반대로 {\displaystyle \operatorname {int} A}는 A의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 A의 최대 열린부분집합이다.:92-101

### 폐포와의 관계

내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} A}
내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {int} A=X\setminus \operatorname {cl} (X\setminus A)}
위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.

{\displaystyle X=\operatorname {int} A\sqcup \partial A\sqcup \operatorname {ext} A}
### 집합 연산과의 관계

내부는 유한 교집합을 보존한다.

{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} A\cap \operatorname {int} B}
그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {int} \bigcap \_{i\in I}A\_{i}\subseteq \bigcap \_{i\in I}\operatorname {int} A\_{i}}
{\displaystyle \operatorname {int} \bigcup \_{i\in I}A\_{i}\supseteq \bigcup \_{i\in I}\operatorname {int} A\_{i}}
### 기저와의 관계

위상 공간 (X,{\mathcal T})의 기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {T}}}가 주어졌을 때, 부분 집합 A\subseteq X 및 점 x\in X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\displaystyle x\in \operatorname {int} A}
* {\displaystyle x\in B\subseteq A}인 B\in {\mathcal B}가 존재한다.

즉, {\displaystyle \operatorname {int} A}는 A에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

예
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실수선 \mathbb {R} 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {int} \bigcap \_{n=1}^{\infty }\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]=\varnothing \subsetneq \{0\}=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\operatorname {int} \left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]}
또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {int} ([0,1]\cup [1,2])=(0,2)\supsetneq (0,1)\cup (1,2)=\operatorname {int} [0,1]\cup \operatorname {int} [1,2]}
### 스콧 위상

연속 dcpo (P,\leq ) 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 a\in P의 상폐포의 내부는 다음과 같다.:136, Proposition II-1.6

{\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a=\mathop {\Uparrow } a=\{b\in P\colon b\gg a\}}

증명:

{\displaystyle \mathop {\Uparrow } a}은 스콧 열린집합: {\displaystyle D\subseteq L}가 상향 집합이며, {\displaystyle \textstyle a\ll \bigvee D}라고 하자. P가 연속 dcpo이므로, {\displaystyle a\ll d}인 d\in D가 존재한다. 즉, {\displaystyle \mathop {\Uparrow } a\cap D\neq \varnothing }이다.

{\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a\subseteq \mathop {\Uparrow } a}: 임의의 {\displaystyle b\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a} 및 상향 집합 {\displaystyle D\subseteq L}가 주어졌으며, 또한 {\displaystyle \textstyle b\leq \bigvee D}라고 하자. {\displaystyle a\leq d}인 d\in D를 찾으면 족하다. {\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a}는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, {\displaystyle \textstyle \bigvee D\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a}이다. 따라서, {\displaystyle D\cap \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a}는 공집합이 아니다.