양자장론에서 **리우빌 장론**(Liouville場論, 영어: Liouville field theory)은 비임계 끈 이론의 세계면 이론으로 등장하는 2차원 등각 장론이다.
무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 상관 함수들이 알려져 있다.

역사와 어원
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이 이론의 운동 방정식이 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사해 이러한 이름이 붙었다.

정의
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**리우빌 장론**은 스칼라장 \phi 와 실수 매개 변수 b\in {\mathbb R}를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다.

S={\frac {1}{4\pi }}\int \_{\Sigma }d^{2}x{\sqrt g}\,(g^{{\mu \nu }}\partial \_{\mu }\phi \partial \_{{\nu }}\phi +(b+b^{{-1}})R[g]\phi +4\pi e^{{2b\phi }})
여기서 g\_{\mu\nu}는 2차원 곡면 \Sigma 의 계량 텐서이며, R[g]는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장 \phi 를 **리우빌 장**(영어: Liouville field)이라고 한다.

성질
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### 운동 방정식

리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.

\Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}(b+b^{{-1}})R(x)+4\pi be^{{2b\phi (x)}}
여기서

\Delta =g^{{-1/2}}\partial \_{{\mu }}(g^{{1/2}}g^{{\mu \nu }}\partial \_{{\nu }})
는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\phi (x,y)=4\pi be^{2b\phi (x,y)}}
### 등각 대칭

리우빌 장의 비라소로 대수의 중심 전하(영어: central charge)는 다음과 같다.:(2.11)

c=1+6(b+1/b)^{2}
보통

Q=b+1/b
로 정의한다.

### 스펙트럼

리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.:13

\exp((Q+2ip)\phi )
여기서 p\in {\mathbb R}이다. 이러한 상태의 등각 차원은

\Delta =Q^{2}/4+p^{2}
이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.:§5.5

또한, 일반적으로

\exp(2\alpha \phi )
\operatorname {Re}\alpha \leq Q/2
의 형태의 연산자가 존재하지만, \operatorname {Re}\alpha \neq Q/2라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다. 이 부등식을 **자이베르그 한계**(영어: Seiberg bound)라고 한다.

### 3점 상관 함수 계수

2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 **DOZZ 공식**(영어: DOZZ formula)라고 한다. 이는 하랄트 도른(독일어: Harald Dorn), 한스외르크 오토(독일어: Hans-Jörg Otto), 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프(러시아어: Алексей Борисович Замолодчиков) 가 발견하였다.

응용
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### 끈 이론

끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 **비임계 끈 이론**(영어: non-critical string theory)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.

끈 이론에서, d차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은

c=26-d
Q={\sqrt {(25-d)/6}}
인 리우빌 이론이다.:(2.12)

### 2차원 양자 중력

리우빌 이론은 또한 (만약 계량 텐서 g 또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 **리우빌 중력**(영어: Liouville gravity)이라고 한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Nakayama, Yu (2004). "Liouville field theory: a decade after the revolution". 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) **19** (17–18): 2771–2930. arXiv:hep-th/0402009. Bibcode:2004IJMPA..19.2771N. doi:10.1142/S0217751X04019500. ISSN 0217-751X.
2. ↑  Teschner, J (2001). "Liouville theory revisited". 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) **18** (23): R153. arXiv:hep-th/0104158. Bibcode:2001CQGra..18R.153T. doi:10.1088/0264-9381/18/23/201.
3. ↑  Lützen, J. (1990). 《Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics》 (영어). Springer. ISBN 0387971807.
4. ↑  Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri, Yaron Oz (2000년 1월). "Large *N* Field Theories, String Theory and Gravity". 《Physics Reports》 **323** (3–4): 183–386. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode:1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. ISSN 0370-1573.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
5. ↑  Seiberg, Nathan (1990). "Notes on quantum Liouville theory and quantum gravity". 《Progress in Theoretical Physics Supplements》 (영어) **102**: 319-349. Bibcode:1990PThPS.102..319S. doi:10.1143/PTPS.102.319.
6. ↑  Dorn, H.; H.J. Otto (1994). "Two and three point functions in Liouville theory". 《Nucl. Phys. B》 (영어) **429**: 375-388. arXiv:hep-th/9403141.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
7. ↑  Zamolodchikov, A. B.; Al. B. Zamolodchikov. "Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory" (영어). arXiv:hep-th/9506136. Bibcode:1996NuPhB.477..577Z. doi:10.1016/0550-3213(96)00351-3.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|ㅁarxiv=` (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
8. ↑  Polyakov, A.M. (1981). "Quantum geometry of bosonic strings". 《Physics Letters B》 (영어) **103** (3): 207. Bibcode:1981PhLB..103..207P. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.

* D’Hoker, E.; R. Jackiw (1982년 12월 15일). "Classical and quantal Liouville field theory". 《Physical Review D》 (영어) **26**: 3517. Bibcode:1982PhRvD..26.3517D. doi:10.1103/PhysRevD.26.3517.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)