환론에서 **뇌터 환**(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

정의
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### 뇌터 가군

범주 {\mathcal {C}} 속의 대상 X\in {\mathcal {C}}의 부분 대상들의 부분 순서 집합 \operatorname {Sub}(X)가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, X를 **뇌터 대상**(영어: Noetherian object)이라고 한다.:146

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **왼쪽 뇌터 가군**(영어: left Noetherian module)이라고 한다.

* M은 왼쪽 가군 범주 \_{R}\operatorname {Mod}  속의 뇌터 대상이다. 즉, M의 부분 가군들의 격자 \operatorname {Sub}(M)가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.:20
* M의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 N\subseteq M에 대하여 N=Rm\_{1}+\cdots +Rm\_{k}인 m\_{1},\dots ,m\_{k}\in M이 존재한다.:20, (1.18)

**오른쪽 뇌터 가군**(영어: right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

### 뇌터 환

환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **왼쪽 뇌터 환**(영어: left Noetherian ring)이라고 한다.

* {\displaystyle \_{R}R}는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.)
* 모든 R-유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.:21, Proposition 1.21
* R-왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.:19
* (배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem) R의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46
* (배스-파프 정리) R의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46
* (배스-파프 정리) R의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.:80–81, Theorem 3.46

마찬가지로 **오른쪽 뇌터 환**(영어: right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 **(양쪽) 뇌터 환**(영어: (two-sided) Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **뇌터 가환환**(영어: Noetherian commutative ring)이라고 한다.

* 왼쪽 뇌터 환이다.
* 오른쪽 뇌터 환이다.
* 양쪽 뇌터 환이다.
* 그 스펙트럼 \operatorname {Spec} R는 뇌터 스킴이다.:83, Proposition II.3.2
* 그 스펙트럼 \operatorname {Spec} R는 국소 뇌터 스킴이다.
* (코언 정리 영어: Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R이 유한 생성 아이디얼이다.

### 뇌터 스킴

스킴 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 **국소 뇌터 스킴**(局所-, 영어: locally Noetherian scheme)이라고 한다.

* 뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.:83
* 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.:83, Proposition II.3.2:58, Exercise 2.3.16

스킴 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 **뇌터 스킴**(영어: Noetherian scheme)이라고 한다.

* 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.:83
* 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.

성질
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### 뇌터 가군의 성질

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M} 및 그 부분 가군 N\subseteq M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:20, (1.20)

* M이 뇌터 가군이다.
* N과 M/N 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:20, (1.19)

* M은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
* M은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, M\_{0}\subsetneq M\_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M\_{k}=M이 존재하며, M\_{i}/M\_{{i-1}}은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

### 뇌터 환의 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환
유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환
만약 R가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.

* (힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{k}]
* 임의의 양쪽 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\vartriangleleft R}에 대하여, 몫환 R/{\mathfrak a}

만약 R가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.

* 형식적 멱급수환 R[[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{k}]]
* 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 S^{{-1}}R

환 S의 부분환 {\displaystyle R\subseteq S}가 주어졌으며, R가 가환환이며, {\displaystyle \_{R}S}가 R-유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* S가 왼쪽 뇌터 환이다.
* R가 뇌터 환이다.

그러나 만약 R가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

### 뇌터 스킴의 성질

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.:55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 X에 대하여, 유일한 스킴 사상 X\to \operatorname {Spec}{\mathbb Z}는 준분리 사상이다).

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

X가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.

* X 위의 국소 유한형 스킴 Y\to X
* X의 닫힌 부분 스킴
* X의 열린 부분 스킴

X가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.

* X 위의 유한형 스킴 Y\to X:96, Exercise 3.2.1
* X의 닫힌 부분 스킴:55, Proposition 2.3.46(a)
* X의 열린 부분 스킴:55, Proposition 2.3.46(a)

특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

예
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모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

### 뇌터 벡터 공간

체 K 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* 뇌터 가군이다.
* 아르틴 가군이다.
* 유한 차원 벡터 공간이다.

### 뇌터 군환

임의의 군 G 및 환 R에 대하여, 군환 R[G]를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 R가 가환환이라면 R-결합 대수를 이룬다. 만약 R가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* R[G]는 왼쪽 뇌터 환이다.
* R[G]는 오른쪽 뇌터 환이다.

이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 R-결합 대수 준동형

{\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G)}
에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군 G 및 환 R가 주어졌다고 하자. 만약 R[G]가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, R는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, G는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 R가 뇌터 가환환이며, G가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, R[G]는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 G가 존재한다.:423, Theorem 38.1

* G는 뇌터 군이다.
* 임의의 뇌터 가환환 R에 대하여, R[G]는 양쪽 뇌터 환이 아니다.

증명 (뇌터 군환의 환과 군의 뇌터성):

R가 환, G가 군이며, R[G]가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 R의 왼쪽 아이디얼들의 열

{\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{2}\subsetneq \cdots }
이 주어졌을 때,

{\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{0}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{1}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{2}[G]\subsetneq \cdots }
는 엄격하게 상승하는 R[G]의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약

{\displaystyle H\_{0}\subsetneq H\_{1}\subsetneq H\_{2}\subsetneq \cdots }
가 엄격하게 상승하는 G의 부분군들의 열이라면,

{\displaystyle {\mathfrak {b}}\_{0}\subsetneq {\mathfrak {b}}\_{1}\subsetneq {\mathfrak {b}}\_{2}\subsetneq \cdots }
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\_{i}=\left\{\sum \_{g\in G}r\_{g}g\in R[G]\colon \forall gH\_{i}\in G/H\_{i}\colon \sum \_{h\in gH\_{i}}r\_{h}=0\right\}}
는 엄격하게 상승하는 R[G]의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 R[G]가 왼쪽 뇌터 환이라면, R는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, G는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, R는 왼쪽 뇌터 환이며, G는 뇌터 군이다.

### 오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환

무한 차수의 체의 확대

L/K
\dim \_{K}L\geq \aleph \_{0}
가 주어졌다고 하자. (예를 들어, L/K={\mathbb R}/{\mathbb Q}를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

{\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}
를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.:22, Corollary 1.24

### 뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환

D가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 \operatorname{Frac}(D)는 (체이므로) 뇌터 환이며, D는 그 부분환이다.

삼각환 {\displaystyle R=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})}은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 {\displaystyle S=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})}의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.:20, Corollary 1.23)

### 뇌터 조건의 비국소성

임의의 무한 기수 \kappa\ge\aleph\_0에 대한 직접곱 {\displaystyle R=\mathbb {F} \_{2}^{\kappa }}을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R에서의 국소화 {\displaystyle R\_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} \_{2}}는 뇌터 환이다.

역사
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에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

참고 문헌
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6. 1 2 3 4 5  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 10일에 확인함.
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