가환대수학과 대수기하학에서 **크룰 차원**(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의
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### 위상 공간의 차원

위상 공간 X의 **기약 집합**(영어: irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.:3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) X의 **크룰 차원**은 X의 기약 집합들의 사슬

I\_{0}\subsetneq I\_{1}\subsetneq \cdots I\_{{n-1}}\subsetneq I\_{n}
의 길이들의 상한 n\in {\mathbb N}\cup \{+\infty ,-\infty \}이다.:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 -\infty 이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 -\infty 이다.

위상 공간 X의 열린 덮개 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

\dim X=\sup \_{{i\in I}}\dim U\_{i}
### 가군의 차원

가환환 R 위의 가군 M의 **크룰 차원**은 다음과 같다.:226

\dim \_{R}M=\dim \operatorname {Spec}(R/\operatorname {Ann}\_{R}(M))
여기서 \operatorname {Ann}\_{R}(M)은 M의 소멸자이며, \operatorname {Spec} 은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 M을 \operatorname {Spec} R 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

### 아이디얼의 높이

가환환 R의 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}의 **높이**(영어: height) \operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak p}는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 n이다.

{\displaystyle {\mathfrak {p}}\_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}\_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}\_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}\_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}}
이는 국소화 R\_{{{\mathfrak p}}}의 크룰 차원과 같다.

\dim R\_{{{\mathfrak p}}}=\operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak p}
가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 **높이**(영어: height) \operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak a}는 \mathfrak a를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

\operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak a}=\inf \_{{{\mathfrak a}\subseteq {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R}}\operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak p}
(초른 보조정리에 따라, \mathfrak a를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 \operatorname {Spec}(R/{\mathfrak a})\subseteq \operatorname {Spec}R의 여차원과 같다.

\operatorname {codim}\_{R}(R/{\mathfrak a})=\operatorname {ht}\_{R}{\mathfrak a}

성질
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### 가환환의 차원

R가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R의 소 아이디얼들 {\mathfrak p}\_{i}가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

{\mathfrak p}\_{0}\subsetneq {\mathfrak p}\_{1}\subsetneq {\mathfrak p}\_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak p}\_{n}
을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset {\mathbb N}의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R의 **크룰 차원**은 H(R)의 상한이다.:6 즉,

\dim R=\sup H(R)\in {\mathbb N}\sqcup \{\infty \} 자명환의 경우, 크룰 차원은 -\infty 이다.
그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

* R의 환으로서의 크룰 차원
* 스펙트럼 \operatorname {Spec} R의 크룰 차원
* R를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, R의 가군 크룰 차원

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 체이다.
* 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:227, Corollary 9.1:90, Theorem 8.5

* 아르틴 환이다.
* 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 R에 대하여, 다음이 성립한다.

\dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1
만약 R가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.:Corollary 10.13

\dim R[x]=1+\dim R
### 대수다양체의 차원

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V=\operatorname {Spec}K[x\_{1},\dots ,x\_{n}]/{\mathfrak p} ({\mathfrak {p}}는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:124–125

* V의 크룰 차원이 d이다.
* V의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 d이다.
* V의 유리 함수체 \Gamma (V,{\mathcal K}\_{V})=\operatorname {Frac}(K[x\_{1},\dots ,x\_{n}/{\mathfrak p})의 K에 대한 초월 차수가 d이다.
* K[x\_{1},\dots ,x\_{n}]/{\mathfrak p}의 힐베르트 다항식이 d차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 대수다양체 V=\operatorname {Proj}K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]/{\mathfrak p} ({\mathfrak {p}}는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* V의 크룰 차원이 d이다.
* V의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 d이다.
* K[x\_{0},\dots ,x\_{n}]/{\mathfrak p}의 K에 대한 초월 차수가 d+1이다.

### 뇌터 국소환의 차원

뇌터 국소환 (R,{\mathfrak m})의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.

* R의 크룰 차원 \dim R
* R에서, R/(r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{\delta })가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 (r\_{1},\dots ,r\_{\delta })의 생성원들의 최소 크기 \delta
* {\mathfrak q}가 임의의 {\mathfrak m}-으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수P(t)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\ell ({\mathfrak q}^{n}/{\mathfrak q}^{{n+1}}))t^{n}\in {\mathbb Z}[[t]]를 정의할 수 있다 ({\mathfrak q}^{0}=R, \ell 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, P(t)\in {\mathbb Z}(t)의 t=1에서의 극점의 차수를 d라고 하자. 이 값은 {\mathfrak q}의 선택에 관계없다.

이렇게 정의하면, 항상

\dim R=\delta =d<\infty 
이다.

### 정칙 국소환의 차원

정칙 국소환 (R,{\mathfrak m})의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.:123, Theorem 11.22

* 뇌터 국소환으로서의 차원 \dim R (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
* \dim \_{{R/{\mathfrak m}}}({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^{2}). 여기서 \dim \_{{R/{\mathfrak m}}}은 체 R/{\mathfrak m} 위의 벡터 공간의 차원이다.
* {\mathfrak m}의 최소 생성 집합의 크기
* \textstyle \bigoplus \_{{n=0}}^{\infty }{\mathfrak m}^{n}/{\mathfrak m}^{{n+1}}\cong (R/{\mathfrak m})[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{d}]일 때, d. 여기서 {\mathfrak m}^{0}=R이다.

예
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### 가환환의 차원

크룰 차원이 -\infty 인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]는 주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]=n이다.:6

자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 가환환 \mathbb {Z} /(n)의 크룰 차원은 다음과 같다.

\dim {\mathbb Z}/(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}
### 위상 공간의 차원

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 X=\{0,1\}, {\mathcal T}=\{\varnothing ,\{1\},X\}의 기약 집합은 \{0\} 및 \{0,1\}이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

### 벡터 공간의 크룰 차원

체 K 위의 벡터 공간 V의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 \operatorname {Ann}\_{K}(V)=(0)이며, \operatorname {Spec}(K/(0))=\operatorname {Spec}K는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

### 무한 차원의 뇌터 가환환

체 K에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

R=K[x\_{1},x\_{2},x\_{3},\dots ]
를 생각하자. 임의의 증가 정수열

0=n\_{1}<n\_{2}<n\_{3}<n\_{4}<\cdots 
가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

{\mathfrak p}\_{i}=(x\_{{n\_{{i-1}}+1}},x\_{{n\_{{i-1}}+2}},\dots ,x\_{n})\qquad (i=1,2,3,\dots )
을 생각하자. 그렇다면 R를

S=K[x\_{1},x\_{2},x\_{3},\dots ]\setminus \bigcup \_{{i=1}}^{\infty }{\mathfrak p}\_{i}
에 국소화하면, S^{{-1}}R는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

\dim S^{{-1}}R=\sup\{n\_{i}-n\_{{i-1}}\colon i\in {\mathbb Z}^{+}\}
이다. 만약 \sup\{n\_{i}-n\_{{i-1}}\colon i\in {\mathbb Z}^{+}\}=\infty 라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.:Appendix, Example E1:229, Exercise 9.6

역사
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볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. 1 2 3 4  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **150**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
3. 1 2 3 4  Atiyah, Michael; Ian G. MacDonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Nagata, Masayoshi (1962). 《Local rings》. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) **13**. Wiley Interscience.
5. ↑  Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). "Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **28** (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179.