가환대수학에서 **으뜸 아이디얼**(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 **으뜸 분해**(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의
--

### 으뜸 부분 가군

환 R의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 다음 성질을 만족시킨다면, {\displaystyle \_{R}M}을 **여으뜸 왼쪽 가군**(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.:185, §3

* 임의의 r\in R 및 m\in M\setminus \{0\}에 대하여, 만약 {\displaystyle rRm=\{0\}}이라면, {\displaystyle r\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (\_{R}M)}}}이다.

여기서 {\displaystyle \operatorname {Ann} }은 소멸자이며, {\sqrt {}}은 소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 R가 가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 r\in R 및 m\in M에 대하여, 만약 rm=0이라면, m=0이거나 아니면 충분히 큰 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여 r^{n}M=\{0\}이다.
R의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 **으뜸 부분 가군**(영어: primary submodule) N\subseteq M은 M/N이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

{\displaystyle \_{R}R}의 으뜸 부분 가군을 **으뜸 왼쪽 아이디얼**(영어: primary left ideal)이라고 한다.

### 삼종 아이디얼

환 R의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {ter} \_{R}M\subseteq R}을 다음과 같이 정의하자.:185, §3:22-02, Définition 1.1

{\displaystyle \operatorname {ter} \_{R}M=\{r\in R\colon \forall m\in M\setminus \{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\neq 0\}}
환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **여삼종 가군**(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다.:185, §3:22-02, Définition 2.1

* 임의의 r\in R 및 m\in M\setminus \{0\}에 대하여, 만약 {\displaystyle rRm=\{0\}}이라면, {\displaystyle r\in \operatorname {ter} \_{R}M}이다.

소 아이디얼 {\mathfrak {p}}이 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {Ass} (\_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\}}인 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}을 **{\mathfrak {p}}-여삼종 가군**(영어: {\mathfrak {p}}-cotertiary module)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 R위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:186:Théorème 2:161, §VII.1

* 여삼종 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

환 M의 가군 M의 부분 가군 N에 대하여, 만약 몫가군 M/N이 여삼종 가군이라면, N을 **삼종 부분 가군**(영어: tertiary submodule)이라고 한다.

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여 항상

{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} \_{R}M}}\subseteq \operatorname {ter} \_{R}M}
이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 R가 가환환이라면

{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} \_{R}M}}=\operatorname {ter} \_{R}M}
이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

### 가환환의 경우

가환환 R의 아이디얼 {\mathfrak q}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 R의 **으뜸 아이디얼**이라고 한다.

* R의 으뜸 부분 가군이다.
* R의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in {\mathfrak q}라면 r\in {\mathfrak q}이거나, s^{n}\in {\mathfrak q}인 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}이 존재한다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in {\mathfrak q}라면 r\in {\mathfrak q}이거나, s\in {\mathfrak q}이거나, 아니면 r,s\in {\sqrt {{\mathfrak q}}}이다. 여기서 {\sqrt {}}는 소근기이다.
* R/{\mathfrak q}의 모든 영인자는 멱영원이다.

성질
--

가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 R의 전체 아이디얼 (1)=R 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 {\mathfrak q}의 소근기가 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}이면, {\mathfrak q}를 **{\mathfrak {p}}-으뜸 아이디얼**(영어: {\mathfrak {p}}-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

### 공으뜸 가군

뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 M에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 공으뜸 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

### 으뜸 분해

왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 R 위의 유한 생성 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 부분 가군 {\displaystyle \_{R}N}에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 {\displaystyle N\_{1},\dots ,N\_{k}\subseteq M} 및 소 아이디얼 {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\_{i}\}=\operatorname {Ass} (\_{R}M/N\_{i})}들이 존재한다.:186:162, Proposition VII.1.13

* {\displaystyle N=N\_{1}\cap N\_{2}\cap \cdots \cap N\_{k}}
* 임의의 i=1,\dots ,k에 대하여, {\displaystyle N\neq N\_{1}\cap N\_{2}\cap N\_{i-1}\cap N\_{i+1}\cap \cdots \cap N\_{k}}
* {\displaystyle \operatorname {Ass} (\_{R}N)}은 유한 집합이며, 그 크기는 k이며, 또한 {\displaystyle \operatorname {Ass} \_{k}(N\_{i})=\{{\mathfrak {p}}\_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}\_{k}\}}이다.
* 임의의 {\displaystyle 1\leq i,j\leq k}에 대하여, i\neq j라면 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\_{i}\neq {\mathfrak {p}}\_{j}}이며 {\displaystyle N\_{i}\neq N\_{j}}이다.

이를 N의 **삼종 분해**(영어: tertiary decomposition)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.:186:162, Proposition VII.1.13

* N의 두 삼종 분해 {\displaystyle \{(N\_{i},{\mathfrak {p}}\_{i})\}\_{1\leq i\leq k}}, {\displaystyle \{(N\_{j}',{\mathfrak {p}}\_{j}')\}\_{1\leq j\leq k'}}가 주어졌을 때, {\displaystyle k=k'}이며, {\displaystyle {\mathfrak {p}}\_{i}={\mathfrak {p}}'\_{\sigma (i)}}가 되는 순열 {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} \{1,\dots ,k\}}이 존재한다. (그러나 {\displaystyle N\_{i}=N'\_{\sigma (i)}}일 필요는 없다.)

만약 R가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 **으뜸 분해**라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 **라스커-뇌터 정리**(영어: Lasker–Noether theorem)라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

1. 만약 \mathfrak a가 으뜸 아이디얼이라면, {\displaystyle \{{\mathfrak {a}}\}}는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, {\displaystyle rs\in {\mathfrak {a}}}인 {\displaystyle r,s\in R\setminus {\sqrt {\mathfrak {a}}}}를 찾을 수 있다.
2. {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }={\mathfrak {a}}:r^{n}}이 되는 충분히 큰 자연수 n\in \mathbb {N} 을 찾는다.
3. 그렇다면, {\displaystyle {\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}+r^{n}R)\cap ({\mathfrak {a}}:r^{n})}이므로, {\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R} 및 {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}}의 으뜸 분해를 찾으면 \mathfrak a의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. ({\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R}와 {\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}}는 \mathfrak a보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

{\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }=\bigcup \_{n=0}^{\infty }({\mathfrak {a}}:r^{n})}
{\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}=\{s\in R\colon sr^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}
이다.

예
-

정수환 \mathbb {Z} 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 p로 생성되는 주 아이디얼 (p)이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 p^{n} (n\in \mathbb {Z} ^{+})으로 생성되는 주 아이디얼 (p^{n})이다.

### 소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼

대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, K[x,y,z]/(xy-z^{2})를 생각하자. 이 경우,

{\mathfrak p}=(x,z)
라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, {\mathfrak p}^{2}=(x^{2},z^{2},xz)의 소근기 {\sqrt {{\mathfrak p}^{2}}}={\mathfrak p}는 소 아이디얼이다. 그러나 {\mathfrak p}^{2}는 으뜸 아이디얼이 아니다.

xy=z^{2}\in {\mathfrak p}^{2}
이지만,

x\not \in {\mathfrak p}^{2}
y^{n}\not \in {\mathfrak p}^{2}\forall n\in {\mathbb Z}^{+}
이기 때문이다. {\mathfrak p}^{2}의 으뜸 분해는

{\mathfrak p}^{2}=(x)\cap (x^{2},xz,y)
이다.

역사
--

소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.:44, §5, Satz IX 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6  Riley, John A. (1962년 11월). "Axiomatic primary and tertiary decomposition theory". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **105** (2): 177–201. doi:10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4. ISSN 0002-9947. MR 0141683.
2. 1 2 3  Croisot, Robert (1957년 5월 20일). "Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)". 《Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) **10**. Zbl 0116.02405.
3. 1 2  Lesieur, Léonce (1958년 2월 17일). "Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires". 《Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) **11** (2). Zbl 0116.26405.
4. 1 2 3  Stenström, Bo (1975). 《Rings of quotients: an introduction to methods of ring theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **217**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-66066-5. ISBN 978-3-540-07117-4. ISSN 0072-7830.
5. ↑  Lasker, E. (1905). "Zur Theorie der Moduln und Ideale". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **60**: 19–116. doi:10.1007/BF01447495. ISSN 0025-5831.
6. ↑  Noether, E. (1921). "Idealtheorie in Ringbereiche". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **83**: 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 2015년 7월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 14일에 확인함.
7. ↑  Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1960). "Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60e anniversaire". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) **204**: 216–220. doi:10.1515/crll.1960.204.216. ISSN 0075-4102. MR 0131436.
8. ↑  Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1963). 《Algèbre nœthérienne non commutative》. Mémorial des sciences mathématiques (프랑스어) **154**. Gauthier-Villars & Cie. MR 155861. Zbl 0115.02903.

* Fisher, Joe W. (1969). "Decomposition theories for modules". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **145**: 241–269. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0252436-7. ISSN 0002-9947. MR 0252436.