호몰로지 대수학에서 **사슬 복합체**(-複合體, 영어: chain complex)는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.

정의
--

아벨 범주 {\mathcal A}가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)

{\mathcal A} 속의 **사슬 복합체** {\displaystyle (C\_{\bullet },\partial \_{\bullet })}는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\mathcal A}의 대상 {\displaystyle C\_{i}\in {\mathcal {A}}}
* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\mathcal A}의 사상 {\displaystyle \partial \_{i}\colon C\_{i}\to C\_{i-1}}
{\displaystyle \cdots \to C\_{i+1}{\xrightarrow {\partial \_{i+1}}}C\_{i}{\xrightarrow {\partial \_{i}}}C\_{i-1}{\xrightarrow {\partial \_{i-1}}}C\_{i-2}\to \cdots }

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\displaystyle \partial \_{i-1}\circ \partial \_{i}=0}

이 경우, 사상 {\displaystyle \partial \_{\bullet }}은 **경계 사상**(境界寫像, 영어: boundary map)라고 하고, C\_{i}의 원소는 *i*차 **사슬**(영어: *i*-chain)이라고 한다. {\displaystyle \partial \_{i}\alpha =0}인 *i*차 사슬 {\displaystyle \alpha \in C\_{i}}을 **i차 순환**(i次循環, 영어: i-cycle 사이클[\*])이라고 한다.

**공사슬 복합체**(共사슬複合體, 영어: cochain complex}) {\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} ^{\bullet })}는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.

{\displaystyle \cdots \to C^{i-2}{\xrightarrow {\mathrm {d} \_{C}^{i-2}}}C^{i-1}{\xrightarrow {\mathrm {d} \_{C}^{i-1}}}C^{i}{\xrightarrow {\mathrm {d} \_{C}^{i}}}C^{i+1}\to \cdots }
이 경우, 사상 {\displaystyle \mathrm {d} ^{\bullet }}은 **공경계 사상**(共境界寫像, 영어: coboundary map)라고 하고, {\displaystyle C^{i}}의 원소는 *i*차 **공사슬**(i次共사슬, 영어: *i*-cochain)이라고 한다. {\displaystyle \mathrm {d} ^{i}\alpha =0}인 *i*차 공사슬 {\displaystyle \alpha \in C^{i}}을 **i차 공순환**(i次共循環, 영어: i-cocycle 코사이클[\*])이라고 한다.

{\mathcal A} 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 \operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A})라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})}라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 {\displaystyle A\_{i}\mapsto A^{-i}}로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.

### 사슬 사상

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 두 사슬 복합체 {\displaystyle (C\_{\bullet },\partial \_{\bullet }^{C})}, {\displaystyle (D\_{\bullet },\partial \_{\bullet }^{D})} 사이의 **사슬 사상**(사슬寫像, 영어: chain map) f\_{\bullet }\colon C\_{\bullet }\to D\_{\bullet }은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\mathcal A} 속의 사상 f\_{i}\colon C\_{i}\to D\_{i}

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\displaystyle \partial \_{i}^{D}\circ f\_{i}=f\_{i-1}\circ \partial \_{i}^{C}}. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C\_{i+1}&{\overset {\partial \_{i+1}^{C}}{\to }}&C\_{i}&{\overset {\partial \_{i}^{C}}{\to }}&C\_{i-1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f\_{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f\_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f\_{i}}\downarrow {\scriptstyle f\_{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f\_{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f\_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D\_{i+1}&{\underset {\partial \_{i+1}^{D}}{\to }}&D\_{i}&{\underset {\partial \_{i}^{D}}{\to }}&D\_{i-1}&\to \cdots \\\end{matrix}}}

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 {\mathcal A} 속의 두 공사슬 복합체 {\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} \_{C}^{\bullet })}, {\displaystyle (D^{\bullet },\mathrm {d} \_{D}^{\bullet })} 사이의 **공사슬 사상**(영어: cochain map) {\displaystyle f^{\bullet }\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\mathcal A} 속의 사상 {\displaystyle f^{i}\colon C^{i}\to D^{i}}

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 각 정수 i\in {\mathbb Z}에 대하여, {\displaystyle \mathrm {d} \_{D}^{i}\circ f^{i}=f^{i+1}\circ \mathrm {d} \_{C}^{i}}. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C^{i-1}&{\overset {\mathrm {d} \_{C}^{i-1}}{\to }}&C^{i}&{\overset {\mathrm {d} \_{C}^{i}}{\to }}&C^{i+1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i}}\downarrow {\scriptstyle f^{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D^{i-1}&{\underset {\mathrm {d} \_{D}^{i-1}}{\to }}&D^{i}&{\underset {\mathrm {d} \_{D}^{i}}{\to }}&D^{i+1}&\to \cdots \\\end{matrix}}}

사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 \operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A}) 또는 {\displaystyle \operatorname {Kom} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 영어: chain 체인[\*] 또는 복합체를 뜻하는 독일어: Komplex 콤플렉스[\*]를 딴 것이다.

### 사슬 호모토피

 이 부분의 본문은 유도 범주입니다.
임의의 두 사슬 복합체 {\displaystyle C\_{\bullet },D\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}(C\_{\bullet },D\_{\bullet })}
위에는 **사슬 호모토피**라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.

### 유계 사슬 복합체

\operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A})의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.

* \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
{\displaystyle \dotsb \to A\_{2}\to A\_{1}\to A\_{0}\to 0\to 0\to \dotsb }
* 마찬가지로, {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.)
{\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A\_{0}\to A\_{1}\to A\_{2}\to \dotsb }
* {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\leq \bullet \leq }}는 **유계 사슬 복합체**(有界사슬複合體, 영어: bounded chain complex), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
{\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A\_{n}\to A\_{n-1}\to \dotsb \to A\_{m+1}\to A\_{m}\to 0\to 0\to \dotsb }

연산
--

### 현수

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 사슬 복합체

{\displaystyle A\_{k}\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
와 정수 k\in {\mathbb Z}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A\_{\bullet }의 **k차 현수**(k次懸垂, 영어: kth suspension) {\displaystyle A[k]\_{\bullet }}는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

{\displaystyle A[k]\_{n}=A\_{n-k}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
{\displaystyle \partial \_{n}^{A[k]}=(-)^{k}\partial \_{n-k}}
즉, 각 성분의 차수를 k만큼 추가하고, 만약 k가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.

### 직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

예를 들어, 두 사슬 복합체 {\displaystyle A\_{\bullet },B\_{\bullet }} 의 **직합** {\displaystyle (A\oplus B)\_{\bullet }}은 다음과 같다.

* {\displaystyle (A\oplus B)\_{n}=A\_{n}\oplus \_{\mathcal {A}}B\_{n}} (n\in {\mathbb Z})
* {\displaystyle \partial \_{n}\colon (A\oplus B)\_{n}\to (A\oplus B)\_{n-1}}
* {\displaystyle \partial \_{n}=\partial \_{n}^{A}\oplus \partial \_{n}^{B}}

마찬가지로, 사슬 복합체 사상

{\displaystyle f\_{\bullet }\colon A\_{\bullet }\to B\_{\bullet }}
의 **핵**

{\displaystyle (\ker f)\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
{\displaystyle (\ker f)\_{n}=\ker(f\_{n})}
및 **여핵**

{\displaystyle (\operatorname {coker} f)\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
{\displaystyle (\operatorname {coker} f)\_{n}=\operatorname {coker} (f\_{n})}
및 **상**

{\displaystyle (\operatorname {im} f)\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
{\displaystyle (\operatorname {im} f)\_{n}=\operatorname {im} (f\_{n})}
및 **여상**

{\displaystyle (\operatorname {coim} f)\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
{\displaystyle (\operatorname {coim} f)\_{n}=\operatorname {coim} (f\_{n})}
이 성분별로 정의된다.

### 호몰로지

 이 부분의 본문은 호몰로지입니다.
 이 부분의 본문은 코호몰로지입니다.
사슬 복합체 {\displaystyle A\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}의 경우, **호몰로지**

{\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(A)={\frac {\ker \_{\bullet }}{\operatorname {im} \_{\bullet }}}\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 **코호몰로지**라고 불린다.

두 사슬 복합체 C\_{\bullet }, D\_{\bullet } 사이의 **유사동형**(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)은 다음과 같은 사슬 사상 {\displaystyle q\colon C\to D}이다.

* q로부터 유도되는 호몰로지 사상 {\displaystyle q\_{\*}\colon \operatorname {H} \_{\bullet }(C)\to \operatorname {H} \_{\bullet }(D)}는 각 성분마다 동형 사상이다.

서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 텐서곱과 내적 사상 대상

 이 부분의 본문은 텐서곱입니다.
가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 {\displaystyle (A,A)}-쌍가군들의 아벨 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체

{\displaystyle C\_{\bullet },D\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 {\displaystyle E\_{\bullet ,\bullet }}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle E\_{m,n}=C\_{m}\otimes \_{A}D\_{n}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial \_{m}^{C}\otimes \operatorname {id} \_{D\_{n}}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} \_{C\_{m}}\otimes \partial \_{n}^{D}}
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 {\displaystyle (C\otimes D)\_{\bullet }=\operatorname {Tot} \_{\bullet }(E)}를 C\_{\bullet }와 D\_{\bullet }의 **텐서곱**이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle (C\otimes D)\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
{\displaystyle (C\otimes D)\_{n}=\bigoplus \_{p+q=n}C\_{p}\otimes \_{A}D\_{q}}
{\displaystyle \partial \_{n}\colon (C\otimes D)\_{n}\to (C\otimes D)\_{n-1}}
{\displaystyle \partial \_{n}\colon \bigoplus \_{p+q=n}\left(\partial \_{p}^{C}\otimes \_{A}\operatorname {id} \_{D\_{q}}+(-)^{p}\operatorname {id} \_{C\_{p}}\otimes \partial \_{p}^{D}\right)}
이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.

{\displaystyle 1\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}
{\displaystyle 1\_{n}={\begin{cases}0&n\neq 0\\A&n=0\end{cases}}}
그렇다면, {\displaystyle (\operatorname {Ch} (\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,1\_{\bullet })}은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로,

* {\displaystyle (\operatorname {Ch} \_{\geq 0}(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,1^{\bullet })}
* {\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,1\_{\bullet })}
* {\displaystyle (\operatorname {Ch} \_{\leq \bullet \leq }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,1\_{\bullet })}

역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

특히, {\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,1^{\bullet })} 속의 모노이드 대상을 **미분 등급 대수**라고 한다.

또한, {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}의 두 사슬 복합체 C\_{\bullet }, D\_{\bullet }에 대하여, 다음과 같은 **내적 사상 대상**(內的寫像對象, 영어: internal homomorphism-object)

{\displaystyle \hom \_{\bullet }(C,D)\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \hom \_{n}(C,D)=\prod \_{i\in \mathbb {Z} }\hom \_{\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}}(C\_{i},D\_{i+n})}
{\displaystyle \partial \_{n}^{\hom(C,D)}f=\prod \_{i\in \mathbb {Z} }(\partial \_{i+n}^{D}\circ f-(-)^{n}f\circ \partial \_{i}^{X})}
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 {\displaystyle (\operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A}),\otimes ,\hom \_{\bullet })}는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

### 유도 범주

 이 부분의 본문은 유도 범주입니다.
사슬 복합체의 범주 \operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A})에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, **유도 범주** {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}를 얻으며, 표준적 함자

{\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
가 존재한다.

성질
--

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

### 모형 범주 구조

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A} 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

|  |  |
| --- | --- |
| 약한 동치 | 사슬 복합체의 유사동형 |
| 올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상 |
| 쌍대올뭉치 | 각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상 |
| 올대상 | 모든 사슬 복합체 |
| 올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |
| 쌍대올대상 | 모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체 |
| 쌍대올대상 분해 | 사영 분해 |

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A} 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

|  |  |
| --- | --- |
| 약한 동치 | 공사슬 복합체의 유사동형 |
| 올뭉치 | 각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상 |
| 쌍대올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상 |
| 올대상 | 모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체 |
| 올대상 분해 | 단사 분해 |
| 쌍대올대상 | 모든 공사슬 복합체 |
| 쌍대올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |

이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.

예
-

### 돌트-칸 대응

 이 부분의 본문은 정규화 사슬 복합체입니다.
아벨 범주 위의 단체 대상 {\displaystyle X\_{\bullet }}에 대하여, 항상 **정규화 사슬 복합체** {\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(X)}라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})와 단체 대상의 범주 {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}} 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}}
이를 **돌트-칸 대응**이라고 한다.

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}는 쌍대 단체 대상의 범주 {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle }}와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle }}
### 이중 사슬 복합체

 이 부분의 본문은 이중 사슬 복합체입니다.
아벨 범주 {\mathcal A} 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A}) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)라고 한다.

역사
--

(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.

참고 문헌
-----

* Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **82**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.