동역학계 이론에서 **피카르-린델뢰프 정리**(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 **피카르 유일성 정리**(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 **코시-립시츠 정리**(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의
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초깃값 문제

y'(t)=f(t,y(t))
y(t\_{0})=y\_{0}
를 생각하자.

### 립시츠 조건

열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n} 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon [t\_{0},t\_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}가 주어졌고, f가 y에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 {\displaystyle L\geq 0}가 존재한다고 하자 (**립시츠 조건**, 영어: Lipschitz condition).

{\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t\_{0},t\_{0}+a]\times U}
**피카르-린델뢰프 정리**에 따르면, 임의의 {\displaystyle y\_{0}\in U}에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 {\displaystyle 0<\delta \leq a}에 대하여 유일한 국소적 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U}를 갖는다. 만약 {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}일 경우, 임의의 {\displaystyle y\_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+a]\to \mathbb {R} ^{n}}를 갖는다.:12, §3.2, Theorem 3.1

증명 (바나흐 고정점 정리를 통한 증명):

우선 {\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)\subseteq U}인 {\displaystyle b>0} 및

{\displaystyle 0<\delta \leq \min \left\{a,{\frac {b}{\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|}}\right\}}
를 취하자. 그렇다면 연속 함수 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}}들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n})} 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

{\displaystyle \Vert \phi \Vert =\Vert t\mapsto \exp(-Lt)\phi (t)\Vert \_{\infty }=\sup \_{t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}\exp(-Lt)|\phi (t)|}
이 노름은 상한 노름 {\displaystyle \Vert \cdot \Vert \_{\infty }}과 동치이므로 {\displaystyle ({\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n}),\Vert \cdot \Vert )}은 바나흐 공간이다. 연속 함수 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}의 집합 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}은 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+a],\mathbb {R} ^{n})}의 닫힌집합이므로 {\displaystyle ({\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)),\Vert \cdot \Vert )} 역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}
{\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y\_{0}+\int \_{t\_{0}}^{t}f(s,\phi (s))\mathrm {d} s}
이 작용소의 공역을 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}로 제한할 수 있는 것은 임의의 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 및 {\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여

{\displaystyle |(T\phi )(t)-y\_{0}|\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq \sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|\cdot \delta \leq b}
이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}는 자명하게 T의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 T가 (노름 \Vert \cdot \Vert 에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 f의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 및 {\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(-Lt)|(T\phi -T\psi )(t)|&\leq \exp(-Lt)\int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int \_{t\_{0}}^{t}L|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&=\exp(-Lt)\int \_{t\_{0}}^{t}Le^{Ls}e^{-Ls}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int \_{t\_{0}}^{t}Le^{Ls}\mathrm {d} s\Vert \phi -\psi \Vert \\&=(1-\exp(-Lt))\Vert \phi -\psi \Vert \\&\leq (1-\exp(-L(t\_{0}+\delta )))\Vert \phi -\psi \Vert \end{aligned}}}
마지막으로, 위 증명은 \delta 가 고정되었을 때 b를 ({\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)\subseteq U}를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U}는 유일하게 존재한다.

만약 {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}일 경우 {\displaystyle b=\infty }와 {\displaystyle \delta =a}를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.


증명 (그뢴발 부등식을 통한 증명):

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. {\displaystyle \phi ,\psi \colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U} ({\displaystyle 0<\delta \leq a})가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, {\displaystyle h=|\phi -\psi |}라고 하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여,

{\displaystyle h(t)\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq L\int \_{t\_{0}}^{t}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s=L\int \_{t\_{0}}^{t}h(s)\mathrm {d} s}
이다. 그뢴발 부등식에 따라 h=0이며, 즉 {\displaystyle \phi =\psi }이다.

### 국소 립시츠 조건

열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n} 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon [t\_{0},t\_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}가 주어졌고, f가 y에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 {\displaystyle y\_{0}\in U}에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 y\_0의 근방 {\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U} 및 음이 아닌 실수 {\displaystyle L\geq 0}가 존재한다고 하자 (**국소 립시츠 조건**, 영어: local Lipschitz condition).

{\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t\_{0},t\_{0}+a]\times {\widetilde {U}}}
**피카르-린델뢰프 정리**에 따르면, 임의의 {\displaystyle y\_{0}\in U}에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 {\displaystyle 0<\delta \leq a}에 대하여 유일한 국소적 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U}를 갖는다.:265 특히, 만약 y에 대한 편미분 {\displaystyle \partial f/\partial y}이 연속 함수라면, f는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

증명:

임의의 {\displaystyle y\_{0}\in U}를 고정하였을 때, f는 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+a]\times {\widetilde {U}}}로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에서 유일한 국소적 해를 갖는다.

### 해의 근사

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 {\displaystyle \phi \_{n}\colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U}을 다음과 같이 구성할 수 있다.

{\displaystyle \phi \_{0}\colon t\mapsto y\_{0}}
{\displaystyle \phi \_{n+1}\colon t\mapsto y\_{0}+\int \_{t\_{0}}^{t}f(s,\phi \_{n}(s))\mathrm {d} s}
이 경우 실제 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U}와의 오차는 다음과 같다.

{\displaystyle |\phi \_{n}(t)-\phi (t)|\leq {\frac {L^{n}}{(n+1)!}}|t-t\_{0}|^{n+1}\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|}

증명:

{\displaystyle |\phi \_{0}(t)-\phi (t)|\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |t-t\_{0}|\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|}
{\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \_{n+1}(t)-\phi (t)|&\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi \_{n}(s))-f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq L\int \_{t\_{0}}^{t}|\phi \_{n}(s)-\phi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq {\frac {L^{n+1}}{(n+1)!}}\int \_{t\_{0}}^{t}|s-t\_{0}|^{n+1}\mathrm {d} s\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|\\&={\frac {L^{n+1}}{(n+2)!}}|t-t\_{0}|^{n+2}\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|\end{aligned}}}

다른 정리와의 관계
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피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사
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샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 증명하였다.

참고 문헌
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* Coddington, Earl A.; Norman Levinson (1955). 《Theory of ordinary differential equations》 (영어). McGraw-Hill.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.