호몰로지 대수학에서 **미분 등급 대수**(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.

정의
--

가환환 K가 주어졌다고 하자.

### 추상적 정의

음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

**미분 등급 대수**는 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}의 모노이드 대상이다. **가환 미분 등급 대수**(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는 {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 {\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\geq 0}} 및 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\geq 0}}이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 {\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\mathbb {Z} }} 및 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\mathbb {Z} }}라고 표기하자.

### 구체적 정의

K에 대한 **미분 등급 대수** {\displaystyle (A,\mathrm {d} )}는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* {\displaystyle \textstyle A=\bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }A\_{i}}는 결합 K-등급 대수이다.
* d\colon A\_{i}\to A\_{i+1}는 등급이 1인 K-선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

* (멱영성) {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}. 즉, {\displaystyle (A,\mathrm {d} )}는 공사슬 복합체이다.
* (곱 규칙) 모든 동차 원소 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm {d} b)}

K에 대한 **가환 미분 등급 대수**는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, (-)^{\deg }에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,

ab=(-1)^{{\deg a\deg b}}ba
이다.

연산
--

### 직접곱

가환환 K 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 {\displaystyle (A^{(i)})\_{i\in I}}이 주어졌을 때, 이들의 곱집합

{\displaystyle A\_{n}=\prod \_{i\in I}A\_{n}^{(i)}}
{\displaystyle A=\bigoplus \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}}
은 미분 등급 대수를 이룬다.

### 몫

가환환 K 위의 미분 등급 대수 A의 **미분 등급 아이디얼**(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal) {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq A}는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.

* A의 양쪽 아이디얼이다.
* 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 {\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle a=\sum \_{i}a\_{i}}, {\displaystyle a\_{i}\in A\_{i}}라면, 모든 i\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle a\_{i}\in {\mathfrak {a}}}이다.
* 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 {\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}에 대하여, {\displaystyle \mathrm {d} a\in {\mathfrak {a}}}이다.

미분 등급 아이디얼 \mathfrak a가 주어졌을 때, **몫 미분 등급 대수**(영어: quotient differential graded algebra) {\displaystyle A/{\mathfrak {a}}}를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 A\to B의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

### 코호몰로지

미분 등급 대수의 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(A,\mathrm {d} )}는 {\displaystyle \mathrm {d} =0}인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형

{\displaystyle [-]\_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)}
을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 {\displaystyle f\colon A\to B}은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형

{\displaystyle f\_{\*}\colon \operatorname {H} (A)\to \operatorname {H} (B)}
을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 f에 대하여, f\_{\*}가 동형 사상이라면, f를 **유사동형**(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약 {\displaystyle [-]\_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)}가 유사동형이라면, A를 **형식적 미분 등급 대수**(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

성질
--

표수 0인 체 K 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.

* 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\geq 0}}
* 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\geq 0}}
* 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\mathbb {Z} }}
* 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\mathbb {Z} }}

{\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\geq 0}} 및 {\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\geq 0}} 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

* 약한 동치는 유사동형이다.
* 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
	+ 모든 대상이 올대상이다.
* 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다.
	+ 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다.

{\displaystyle \operatorname {DGA} \_{K}^{\geq 0}}의 경우, 망각 함자 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\geq 0}\to \operatorname {DGA} \_{K}^{\geq 0}}는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}^{\mathbb {Z} }}의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.

* 약한 동치는 유사동형이다.
* 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
	+ 모든 대상이 올대상이다.
* 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.

만약 K가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.

예
-

매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식 \Omega ^{\bullet }(M)은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, {\displaystyle \mathrm {d} }는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.

위상 공간 X의 특이 코호몰로지 환 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 {\displaystyle \mathrm {d} }는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 V의 텐서 대수 {\displaystyle \operatorname {T} ^{\bullet }(V)} 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.