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대수적 수론에서 **분기화**(分岐化, 영어: ramification)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.

* 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
* 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

데데킨트 정역의 분기화
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데데킨트 정역 D의 분수체 K=\operatorname {Frac} D의 유한 확대 {\tilde {K}}/K가 주어졌으며, D의 {\tilde {K}} 속에서의 정수적 폐포가 {\tilde {D}}라고 하자. 그렇다면 {\tilde {D}} 역시 데데킨트 정역이다.:45, Proposition I.8.1

{\begin{matrix}D&\hookrightarrow &{\tilde {D}}\\{\scriptstyle \operatorname {Frac} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {Frac} \\K&\hookrightarrow &{\tilde {K}}\\\end{matrix}}
D 속의 0이 아닌 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{(0)\}에 대하여, 포함 준동형 \iota \colon D\hookrightarrow {\tilde {D}}에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

\iota ({\tilde {p}})=\prod \_{i=1}^{g({\mathfrak {p}})}{\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}^{e\_{{\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}}}\qquad ({\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\},\;e\_{i}>0\forall i)
그렇다면 e\_{\tilde {\mathfrak {p}}}를 {\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}의 **분기 지표**(分岐指標, 영어: ramification index)라고 한다.

또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.

D/{\mathfrak {p}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}
이 확대의 차수 f\_{\tilde {\mathfrak {p}}}를 {\tilde {\mathfrak {p}}}의 **관성 차수**(慣性次數, 영어: inertia degree)라고 한다.

f\_{\tilde {\mathfrak {p}}}=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}:D/{\mathfrak {p}}]
그렇다면 다음과 같은 **기본 항등식**(영어: fundamental identity)이 성립한다.

[L:K]=\sum \_{{\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}^{{\tilde {\mathfrak {p}}}\mid {\mathfrak {p}}}e\_{\tilde {\mathfrak {p}}}f\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}
### 힐베르트 이론

만약 확대 {\tilde {K}}/K가 갈루아 확대라면, 이에 대한 **힐베르트 이론**(Hilbert理論, 영어: Hilbert theory)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)는 \{{\mathfrak {p}}\_{i}\}\_{i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})} 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 i에 대하여 e\_{i} 및 f\_{i}가 일치한다. 즉,

[L:K]=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})g({\mathfrak {p}})\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}
이다.

#### 분해군

임의의 {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}의 **분해군**(分解群, 영어: decomposition group) G\_{\tilde {\mathfrak {p}}}는 \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)의 작용에 대한 {\tilde {\mathfrak {p}}}의 안정자군이다.:54, Definition I.9.2 {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}의 **분해체**(分解體, 영어: decomposition field) Z\_{\tilde {\mathfrak {p}}}는 분해군에 의해 고정되는 {\tilde {K}}의 원소들로 구성되는 체이다.

Z\_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma {\tilde {a}}={\tilde {a}}\forall \sigma \in G\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}
궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

|G\_{{\tilde {\mathfrak {p}}}\_{i}}|=|G|/g({\mathfrak {p}})=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})\forall i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})
#### 관성군

{\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}가 주어졌고, {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}는 {\tilde {\mathfrak {p}}}\mid \iota ({\mathfrak {p}})인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형

\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\twoheadrightarrow \operatorname {Gal} \left(({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\right)
이 존재한다. 그 핵을 {\tilde {\mathfrak {p}}}의 **관성군**(慣性群, 영어: inertia group) I\_{\tilde {\mathfrak {p}}}이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.:57, Definition I.9.5 관성군의 크기는 항상 e({\mathfrak {p}})와 같으며, 갈루아 군 \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)의 작용에 불변이다.

I\_{\tilde {\mathfrak {p}}}=I\_{\sigma \cdot {\tilde {\mathfrak {p}}}}=e({\mathfrak {p}})\forall \sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)
마찬가지로, {\tilde {\mathfrak {p}}}의 **관성체**(慣性體, 영어: inertia field) T\_{\tilde {\mathfrak {p}}}는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

T\_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in I\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}
즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

K\subseteq Z\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq T\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq {\tilde {K}}
또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

1\to I\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to G\_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\to 1
T\_{\tilde {\mathfrak {p}}}/Z\_{\tilde {\mathfrak {p}}}는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})와 같다.

### 수체의 분기화

데데킨트 정역 D의 분수체 K=\operatorname {Frac} D가 대수적 수체일 경우를 생각하자. (D={\mathcal {O}}\_{K}인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, **상대 판별식**(영어: relative discriminant) \Delta \_{{\tilde {K}}/K}는 {\tilde {D}}의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathfrak {p}}는 분기화된다.
* {\mathfrak {p}}\mid \Delta \_{{\tilde {K}}/K}이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

헨젤 값매김환의 분기화
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분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

헨젤 값매김환 (D,\nu ,{\mathfrak {m}})의 분수체 K=\operatorname {Frac} D의 유한 확대 {\tilde {K}}/K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K의 값매김 \nu 는 {\tilde {K}} 위에 다음과 같이 값매김 {\tilde {\nu }}를 유도한다.:149

{\tilde {\nu }}\colon {\tilde {a}}\mapsto {\frac {1}{[{\tilde {K}}:K]}}\nu (\operatorname {N} \_{{\tilde {K}}/K}({\tilde {a}})
여기서 \operatorname {N} \_{{\tilde {K}}/K}는 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 {\tilde {D}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon {\tilde {\nu }}({\tilde {a}})\geq 0\}라고 하고, 그 극대 아이디얼을 {\tilde {m}}이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.

\nu (K^{\times })\subseteq {\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })
그렇다면, {\tilde {K}}/K의 **분기 지표** e({\tilde {K}}/K)는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.

e({\tilde {K}}/K)=|{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })/\nu (K^{\times })|
마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.

D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}
그렇다면, {\tilde {K}}/K의 **관성 차수** f({\tilde {K}}/K)는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.

f({\tilde {K}}/K)=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}:D/{\mathfrak {m}}]
이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.:150, Proposition II.6.8

[{\tilde {K}}:K]\geq e({\tilde {K}}/K)f({\tilde {K}}/K)
또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 **기본 항등식**(영어: fundamental identity)이라고 한다.

* \nu 는 이산 값매김이며, {\tilde {K}}/K는 분해 가능 확대이다.:150, Proposition II.6.8
* \nu 는 이산 값매김이며, K는 \nu 에 대하여 완비 공간이다.:151

값매김환의 분기화
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데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 {\mathfrak {p}} 대신, {\mathfrak {p}}로 정의되는 {\mathfrak {p}}진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

절댓값 |-|\_{\nu }이 주어진 체 K의 확대 {\tilde {K}}/K가 주어졌다고 하자. 이 경우 \nu 를 {\tilde {K}} 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 {\tilde {K}} 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. {\tilde {\nu }}가 \nu 의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) {\tilde {\nu }}\mid \nu 로 쓴다.

만약 \nu 가 비아르키메데스 자리인 경우, **분기 지표**와 **상대 차수**를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 K와 {\tilde {K}}의 값매김환이 (D,{\mathfrak {m}}) 및 ({\tilde {D}},{\mathfrak {m}})라고 하자. 그렇다면, **분기 지표**는 다음과 같은 부분군의 지표이다.:165

e\_{\tilde {\nu }}=[{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times }):\nu (K^{\times })]
{\tilde {\nu }}의 **상대 차수**(영어: relative degree)는 다음과 같은, 잉여류체의 확대의 차수이다.

f\_{\tilde {\nu }}=[D\_{\tilde {\nu }}/{\mathfrak {m}}\_{\tilde {\nu }}:D/{\mathfrak {m}}]
만약 \nu 가 이산 값매김을 정의하며, {\tilde {K}}/K가 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 **기본 항등식**(영어: fundamental identity)이 성립한다.:165, Proposition II.8.5

\sum \_{{\tilde {\nu }}\mid \nu }e\_{\tilde {\nu }}f\_{\tilde {\nu }}=[L:K]
### 값매김 힐베르트 이론

{\tilde {K}}/K가 갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 \nu 의 확장 {\tilde {\nu }}이 주어졌을 때, {\tilde {\nu }}의 **분해군** G\_{\tilde {\nu }}은 갈루아 군 \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)의 작용에 대한 안정자군이다.:167, Definition II.9.2

G\_{\tilde {\nu }}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\colon {\tilde {\nu }}\circ \sigma ={\tilde {\nu }}\}
이는 |-|\_{\tilde {\nu }}에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.:171 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 **분해체** Z\_{\tilde {\nu }}라고 한다.

Z\_{\tilde {\nu }}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in G\_{\tilde {\nu }}\}
만약 {\tilde {\nu }}가 비아르키메데스 자리인 경우, **관성군**과 **분기군**을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 (D,{\mathfrak {m}}) 및 ({\tilde {D}},{\tilde {\mathfrak {m}}})을 정의한다면, 체의 확대

D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}
는 갈루아 확대임을 보일 수 있다.:172, Proposition II.9.9 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리 {\tilde {\nu }}의 **관성군** I\_{\tilde {\nu }}이라고 한다.

1\to I\_{\tilde {\nu }}\to G\_{\tilde {\nu }}\to \operatorname {Gal} \left({\frac {{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}{D/{\mathfrak {m}}}}\right)\to 1
이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 **관성체** T\_{\tilde {\nu }}라고 한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.