호모토피 이론에서 **스펙트럼**(영어: spectrum)은 일반화 코호몰로지 이론을 나타내는 위상수학적 구조이다. 서로 특정 연속 함수들로 연결된 점을 가진 공간들의 열로서 표현될 수 있다.

정의
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**스펙트럼 범주**(영어: category of spectra)는 다음 조건들을 만족시키는 모형 범주 {\mathcal S}이다.

* 함자 {\displaystyle \Sigma ^{\infty }\colon \operatorname {Top} \_{\bullet }\to {\mathcal {S}}}를 자연스럽게 갖추며, 이는 호모토피 범주의 함자 {\displaystyle \operatorname {hTop} \_{\bullet }\to \operatorname {ho} ({\mathcal {S}})}를 유도한다. 또한 이는 오른쪽 수반 함자 {\displaystyle \Omega ^{\infty }\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {S}})\to \operatorname {hTop} \_{\bullet }}를 가진다.
* 현수 함자 {\displaystyle \Sigma \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}가 존재하며, 이는 자기 동치이다. 그 역을 {\displaystyle \Omega \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}라고 하자.
* 영 대상 · 유한 쌍대곱 · 유한 곱을 가지며, 가법 범주를 이룬다. (즉, 유한 쌍대곱과 곱이 일치한다.) 쌍대곱을 \vee  (쐐기합)이라고 쓰자.
* 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 또한, 이 닫힌 모노이드 범주 구조는 모형 범주 구조와 호환된다.
	+ 텐서곱 연산을 \wedge  (분쇄곱)라고 쓴다.
	+ 지수 대상을 [-,-]로 쓴다.
	+ 모노이드 범주의 항등원은 {\displaystyle \mathbb {S} } (초구 스펙트럼)라고 쓴다.
	+ {\displaystyle [\mathbb {S} ,X]=\pi (X)} (안정 호모토피 군)으로 쓴다.
* \Sigma 에 대한 삼각 분할 범주를 이룬다.

이 조건들을 모두 만족시키는 모형 범주는 모두 서로 동형인 호모토피 범주를 유도한다. 따라서, 정확히 어떤 스펙트럼 범주를 사용하는지는 이론적으로 크게 중요하지 않다.

구성
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스펙트럼 범주는 여러 방법으로 구성할 수 있다. 흔히 사용되는 구성들은 다음이 있다.

* **S-가군**(영어: S-module)의 범주. 이는 오퍼라드 이론을 사용하며 대수적이다.
* **직교 스펙트럼**(영어: orthogonal spectrum)의 범주. 더 위상수학적이며, 직교군의 연속적 작용을 갖춘 위상 공간들로 구성된다. 위상 공간 대신 단체 집합을 사용하기 힘들다.
* **대칭 스펙트럼**(영어: symmetric spectrum)의 범주. 대칭군의 작용을 갖춘 위상 공간 또는 단체 집합들로 구성된다.

이들 사이에는 다음과 같은 퀼런 동치가 존재한다. (퀼런 동치의 존재는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아님에 주의하자.)

준스펙트럼 ⇆ 대칭 스펙트럼 ⇆ 직교 스펙트럼 ⇆ S-가군
여기서 {\displaystyle {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 방향의 함자 (왼쪽 퀼런 함자)가 쌍대올뭉치를 보존하고 {\displaystyle {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} 방향의 함자(오른쪽 퀼런 함자)가 올뭉치를 보존한다는 뜻이다.

### 준스펙트럼

**준스펙트럼**(準spectrum, 영어: prespectrum)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 점을 가진 공간의 열 {\displaystyle (X\_{i},x\_{i})\_{i\in \mathbb {N} })}
* 점을 보존하는 연속 함수 {\displaystyle (s\_{i}\colon \Sigma X\_{i}\to X\_{i+1})\_{n\in \mathbb {N} }}. 여기서 \Sigma 는 축소 현수이다.

두 준스펙트럼이 유한 개의 성분을 제외하고 서로 동일하다면, 서로 **동치**(영어: equivalent)라고 한다.

점을 가진 공간 X에 대하여, 함자 {\displaystyle \Sigma ^{\infty }}를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \Sigma ^{\infty }X=(X,\Sigma X,\Sigma \Sigma X,\dots )}
여기서 함수 {\displaystyle s\_{i}}는 모두 항등 함수이다.

두 준스펙트럼 {\displaystyle X\_{\bullet }}, {\displaystyle Y\_{\bullet }} 사이의 **사상** {\displaystyle f\colon X\_{\bullet }\to Y\_{\bullet }}은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 {\displaystyle f\_{i}\colon X\_{i}\to Y\_{i}}들의 열이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\Sigma X\_{i}&\to &X\_{i+1}\\{\scriptstyle \Sigma f\_{i}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\_{i+1}\\\Sigma Y\_{i}&\to &Y\_{i+1}\\\end{matrix}}}
준스펙트럼의 분쇄곱과 쐐기합을 성분별로 정의할 수 있다. 준스펙트럼의 분쇄곱은 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 서로 다르게 괄호를 씌워 계산한 값은 항상 호모토피 동치이다. 준스펙트럼의 호모토피 범주는 닫힌 모노이드 범주를 이루며, 스펙트럼 범주의 호모토피 범주를 이룬다.

### 대칭 스펙트럼

**대칭 스펙트럼**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 점을 가진 단체 집합들의 열 {\displaystyle (X\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}
* 대칭군 \operatorname {Sym} (n)의 X\_{n} 위의 작용
* 각 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 점을 보존하는 사상 {\displaystyle \sigma \_{n}\colon \mathbb {S} ^{1}\wedge X\_{n}\to X\_{n+1}}. 이를 **구조 사상**이라고 한다. 이 경우 구조 사상으로부터 얻어지는 사상 {\displaystyle \mathbb {S} ^{m}\wedge X\_{n}\to X\_{m+n}}은 항상 {\displaystyle \operatorname {Sym} (m)\times \operatorname {Sym} (n)}-등변 함수이어야 한다 (m>0, {\displaystyle n\geq 0}).

대칭 스펙트럼 X, Y 사이의 **사상**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 각 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 사상 {\displaystyle f\colon X\_{n}\to Y\_{n}}

이는 다음과 같은 그림들을 가환하게 만들어야 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X\_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}&{\xrightarrow {f\_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}}}&Y\_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}\\\downarrow &&\downarrow \\X\_{n+1}&{\xrightarrow[{f\_{n+1}}]{}}&Y\_{n+1}\end{matrix}}}
### 직교 스펙트럼

 이 부분의 본문은 직교 스펙트럼입니다.
대칭 스펙트럼의 개념과 유사하지만, 대칭ᄀᆍᆫ 대신 직교군을 사용한 개념을 **직교 스펙트럼**이라고 한다. (이 경우, 대칭군의 경우와 달리, 단체 집합 대신 위상 공간을 사용해야 한다.)

예
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### 초구 스펙트럼

가장 기본적인 예는 **초구 스펙트럼**

{\displaystyle \mathbb {S} =\Sigma ^{\infty }(\mathbb {S} ^{0})}
이다. (\mathbb {S} ^{0}은 임의의 밑점을 가진 0차원 초구이다.) 이에 대하여 정의되는 코호몰로지는 안정 호모토피 군이다.

### 특이 코호몰로지

아벨 군 G 계수의 특이 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(-;G)}는 브라운 표현 정리에 따라서 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;G)\cong [X,K(G,n)]\_{\bullet }}
여기서 {\displaystyle [,]\_{\bullet }}은 적절한 점을 가진 공간의 범주에서의 점 보존 호모토피류 집합이며, K(G,n)은 에일렌베르크-매클레인 공간이다.

에일렌베르크-매클레인 공간 사이에는 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

{\displaystyle \Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)}
따라서, 이들은 **에일렌베르크-매클레인 스펙트럼** {\displaystyle \mathrm {H} G}를 이룬다. 준스펙트럼의 구조 사상

{\displaystyle \Sigma K(G,n-1)\to K(G,n)}
은 임의의 X에 대하여 사상

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n-1}(X;G)=[X,\mathbb {S} ^{1}\wedge K(G,n-1)]\to [X,K(G,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;G)}
을 유도하는데, 이는 축소 현수의 코호몰로지 사상이다.

### 위상 K이론

 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.
위상 K이론 역시 스펙트럼으로 나타내어진다.

### 위상 공간의 현수 스펙트럼

점을 가진 CW 복합체 {\displaystyle (X,\bullet \_{X})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle X\_{i}=\mathbb {S} ^{n}\wedge X}
를 정의하자 (\wedge 는 분쇄곱). 즉,

{\displaystyle X\_{0}=\mathbb {S} ^{0}\wedge X=X}
{\displaystyle X\_{1}=\mathbb {S} ^{1}\wedge X=\Sigma X} (축소 현수)
{\displaystyle X\_{i+1}=\Sigma X\_{i}}
이다. 이 경우 축소 현수의 표준적 사상 {\displaystyle X\_{i}\to \Sigma X\_{i}=X\_{i+1}}이 주어져, 이는 준스펙트럼을 이룬다. 이를 X의 **현수 스펙트럼**(영어: suspension spectrum)이라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Elmendorf, Anthony; Kriz, Igor; Mandell, Michael; May, J. Peter (1997). 《Rings, modules and algebras in stable homotopy theory》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) **47**. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/047. ISBN 978-0-8218-4303-1.
2. ↑  Mandell, M. A.; May, J. Peter; Schwede, S.; Shipley, B. (1998). "Diagram spaces, diagram spectra, and FSP’s" (영어).
3. ↑  Hovey, Mark; Shipley, Brooke; Smith, Jeff (2000). "Symmetric spectra". 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) **13**: 149–208. arXiv:math/9801077. Bibcode:1998math......1077H.
4. ↑  Mandell, M. A.; May, J. P. "Orthogonal spectra and *S*-modules" (영어).
5. ↑  Mandell, M. A.; May, J. P. "Equivariant orthogonal spectra and *S*-modules" (영어). Zbl 1025.55002.

* Elmendorf, A. D.; Kříž, I.; Mandell, M. A.; May, J. Peter (1995). 〈Modern foundations for stable homotopy theory〉 (PDF). James, I. M. 《Handbook of algebraic topology》 (영어). North-Holland. 213–253쪽. doi:10.1016/B978-044481779-2/50007-9. ISBN 978-0-444-81779-2. MR 1361891.