K이론에서 **그로텐디크 군**(Grothendieck群, 영어: Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.

정의
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### 그로텐디크 군

작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) {\mathcal A}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열

{\displaystyle A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C}
에 대하여, 형식적 관계

{\displaystyle [A]+[C]=[B]}
를 정의하자. 그렇다면, {\mathcal A}의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 {\mathcal A}의 **그로텐디크 군**이라고 하며, {\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})}로 표기한다. (이 기호 {\displaystyle \operatorname {K} (-)}는 K이론에서 딴 것이다.)

### "최소" 퀼런 완전 범주의 경우

작은 가법 범주 {\mathcal A} 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자.

{\displaystyle A\to A\oplus B\to B}
(여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. \oplus 는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.) 이는 {\mathcal A} 위에 존재하는 "최소의" (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, {\mathcal A}의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 {\displaystyle \operatorname {CMon} }와 아벨 군의 아벨 범주 \operatorname {Ab}  사이의 포함 함자

{\displaystyle \operatorname {Ab} \to \operatorname {CMon} }
는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를

{\displaystyle F\colon \operatorname {CMon} \to \operatorname {Ab} }
라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.

**함자 F의 구성**:

가환 모노이드 (M,+)의 상은 다음과 같다.

{\displaystyle F(M)\cong \left({\frac {M\times M}{\sim }},+\right)}
{\displaystyle (m,n)\sim (m+p,n+p)\qquad (m,n,p\in M)}
{\displaystyle [(m,n)]\_{\sim }+[(m',n')]\_{\sim }=[(m+m',n+n')]\_{\sim }}
여기서 순서쌍 (m,n)의 동치류는 보통 {\displaystyle m-n}으로 표기된다. 위 연산에서, (m,n)의 의 동치류의 역원은 (n,m)의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의 m\in M에 대하여) {\displaystyle (m,m)}의 동치류이다.

두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 f\colon M\to N의 상은 다음과 같다.

{\displaystyle F(f)\colon [(m,m')]\_{\sim }\mapsto [(f(m),f(m')]\_{\sim }}

그렇다면, {\mathcal A}의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 {\displaystyle \operatorname {Iso} ({\mathcal {A}})}을 생각하면, {\displaystyle (\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 {\mathcal A}의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {K} ({\mathcal {A}})=F(\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}
간혹 일부 문헌에서는 함자 F 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

예
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### 위상 K이론

 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 다발들의 범주 \operatorname{Vect}(X)를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 X의 **{\displaystyle \mathbb {K} }-위상 K이론**이라고 한다.

### 가군

가환환 R 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 \operatorname {fgMod}\_{R}를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 {\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} \_{R})}를 취할 수 있다.

또한, 가환환 R 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 {\displaystyle \operatorname {fgpMod} \_{R}}를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 {\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} \_{R})}를 취할 수 있다.

또한, 가환환 R 위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} \_{R})}}을 생각할 수 있다.

만약 R가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {K} (\operatorname {fgMod} \_{R})\cong \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} \_{R})\cong \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} \_{R})}}
### 유한 차원 벡터 공간

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 {\displaystyle \operatorname {fgMod} \_{K}}를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.

{\displaystyle \dim \_{K}\colon \operatorname {Iso} (\operatorname {fgMod} \_{K})\to \mathbb {N} }
{\displaystyle \dim \_{K}\colon K^{\oplus n}\mapsto n}
벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, {\displaystyle \operatorname {fgMod} \_{K}}의 그로텐디크 군은 무한 순환군 {\displaystyle F(\mathbb {N} )=\mathbb {Z} }이다.

역사
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알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.