호몰로지 대수학에서 **복시테인 준동형**(Бокштейн準同型, 영어: Bockstein homomorphism)은 아벨 군의 짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다.

정의
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공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.

{\displaystyle 0\to C^{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}D^{\bullet }{\xrightarrow {\pi }}E^{\bullet }\to 0}
그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.

{\displaystyle \Sigma \operatorname {H} \_{\bullet }(E){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {\iota \_{\*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(D){\xrightarrow {\pi \_{\*}}}\operatorname {H} \_{\bullet }(E)}
연결 사상 \beta을 **복시테인 준동형**이라고 한다. 여기서

{\displaystyle (\Sigma C)\_{\bullet }=C\_{\bullet -1}}
는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 {\displaystyle \deg d}라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 {\displaystyle \deg d}이다.

### 복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 C\_{\bullet }의, 등급 n의 단사 자기 사상

{\displaystyle f\colon \Sigma ^{n}C^{\bullet }\to C^{\bullet }}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다.

{\displaystyle 0\to \Sigma ^{n}C^{\bullet }{\xrightarrow {f}}C^{\bullet }{\xrightarrow {q}}\operatorname {coker} f\to 0}
그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다.

{\displaystyle \Sigma ^{n}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {f\_{\*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {q\_{\*}}}\operatorname {H} \_{\bullet }(\operatorname {coker} f){\xrightarrow {\beta }}\Sigma ^{-1}\operatorname {H} \_{\bullet }(\operatorname {coker} f)}
이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열을 **복시테인 스펙트럼 열**(Бокштейн spectrum列, 영어: Bockstein spectral sequence)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.:Theorem 3.8(a)

{\displaystyle E\_{1}^{p,q}={\begin{cases}\operatorname {H} ^{p(1-n)+q}(\operatorname {coker} f)&p\geq 0\\0&p<0\end{cases}}}
{\displaystyle d^{n}=q\_{\*}\circ \beta }
{\displaystyle \deg d^{n}=(r,1-r)}
만약 n>0이며 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {coker} f)}가 하계를 갖는다면 (즉, {\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} \colon \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {coker} f)\neq 0\}}가 하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.:Theorem 3.8(b)

{\displaystyle E\_{n}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(C)}
마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.

예
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### 스틴로드 연산

가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다.

0\to {\mathbb Z}/n\to {\mathbb Z}/n^{2}\to {\mathbb Z}/n\to 0
그렇다면, 위상 공간 X 위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n^{2}\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to 0}
이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.

\beta \colon H^{n}(X,{\mathbb Z}/n)\to H^{{n+1}}(X,{\mathbb Z}/n)
이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

* \beta ^{2}=0 (n은 3 이상의 소수)
* \beta (a\smile b)=\beta (a)\smile b+(-)^{{\deg a}}a\smile \beta (b)

따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다.

### 정수 슈티펠-휘트니 특성류

이와 비슷하게, 짧은 완전열

0\to {\mathbb Z}/n\to {\mathbb Z}\to {\mathbb Z}\to 0
에 대한 복시테인 준동형

\beta \colon H^{n}(X,{\mathbb Z}/n)\to H^{{n+1}}(X,{\mathbb Z})
또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 W^{n}(X)\in H^{n}(X,{\mathbb Z})는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 w^{{n-1}}(X)\in H^{{n-1}}(X,{\mathbb Z}/2)에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.

역사
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메예르 펠릭소비치 복시테인(러시아어: Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн, 1913~1990)이 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Palmieri, J. H. (2005). "A user’s guide to the Bockstein spectral sequence" (PDF) (영어).
2. ↑  Bockstein, M. (1942). "Universal systems of ∇-homology rings". 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) **37**: 243–245. MR 0008701. Zbl 0060.40901.
3. ↑  Bockstein, M. (1943). "A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension". 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) **38**: 187–189. MR 0009115. Zbl 0060.40902.
4. ↑  Bockstein, Meyer (1958). "Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie". 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) **247**: 396–398. MR 0103918. Zbl 0082.16501.

* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.