호몰로지 대수학에서 **에일렌베르크-질버 사상**(Eilenberg-Zilber寫像, 영어: Eilenberg–Zilber map)과 **알렉산더-휘트니 사상**(Alexander-Whitney寫像, 영어: Alexander–Whitney map)은 아벨 범주 위의 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다. 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피를 이루어, 호몰로지 군의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 아벨 범주 {\mathcal A}
* {\mathcal A} 위의 두 단체 대상 {\displaystyle A\_{\bullet },B\_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

* \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})는 {\mathcal A} 위의, 자연수 등급의 사슬 복합체의 범주이다.
* 단체 대상 {\displaystyle A\_{\bullet }\in \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}에 대하여, 무어 사슬 복합체 {\displaystyle \operatorname {C} \_{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})} 및 정규화 사슬 복합체 {\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} \_{\geq 0}({\mathcal {A}})}를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.

### 에일렌베르크-질버 사상

아벨 범주 {\mathcal A} 위의 두 단체 대상 A\_{\bullet }, B\_{\bullet }에 대한 **에일렌베르크-질버 사상**은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

{\displaystyle \operatorname {C} (A\_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B\_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)}
{\displaystyle a\otimes b\mapsto \sum \_{(\mu ,\nu )\in \operatorname {Shuffle} (m,n)}(-)^{(\mu ,\nu )}s\_{m,\nu }(a)\otimes s\_{n,\mu }(b)\qquad a\in A\_{m},\;b\in B\_{n}}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)}은 모든 (m,n)-셔플 순열 {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}\to \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}}들의 집합이다. 셔플 순열 {\displaystyle (\mu ,\nu )}의 성분은 {\displaystyle (\mu \_{m-1},\dotsc ,\mu \_{1},\mu \_{0})} 및 {\displaystyle (\nu \_{n-1},\dotsc ,\nu \_{1},\nu \_{0})}이다.
* {\displaystyle s\_{n,\mu }=s\_{n+m-1\mu \_{m-1}}\circ \dotsb \circ s\_{n+1,\mu \_{1}}\circ s\_{n,\mu \_{0}}\colon B\_{n}\to B\_{m+n}}이며 {\displaystyle s\_{m,\nu }\colon A\_{m}\to A\_{m+n}} 역시 마찬가지로 정의된다.
* {\displaystyle (-)^{(\mu ,\nu })}는 순열의 부호 {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\twoheadrightarrow \{\pm 1\}}를 셔플 순열 {\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)\leq \operatorname {Sym} (m+n)}에 적용한 것이다.

이 사상은 무어 사슬 복합체에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{\bullet }(A)\otimes \operatorname {N} \_{\bullet }(B)\to \operatorname {N} \_{\bullet }(A\otimes B)}
### 알렉산더-휘트니 사상

아벨 범주 {\mathcal A} 위의 두 단체 대상 A\_{\bullet }, B\_{\bullet }에 대한 **알렉산더-휘트니 사상**은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

{\displaystyle \operatorname {C} (A\_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B\_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)}
{\displaystyle a\otimes b\mapsto \bigoplus \_{p+q=n}(\partial \_{\leftarrow }a)\otimes (\partial \_{\rightarrow }b)\qquad n\in \mathbb {N} ,\;a\in A\_{n},\;b\in B\_{n}}
여기서

* {\displaystyle \partial \_{\leftarrow }\colon A\_{p+q}\to A\_{p}}는 **앞면 사상**(영어: 앞面寫像, 영어: front-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 {\displaystyle \in \hom \_{\triangle }(p,p+q)}에서 유도된 것이다.
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,p\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}}
{\displaystyle i\mapsto i}
* {\displaystyle \partial \_{\leftarrow }\colon B\_{p+q}\to B\_{q}}는 **뒷면 사상**(영어: 뒷面寫像, 영어: back-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 {\displaystyle \in \hom \_{\triangle }(q,p+q)}에서 유도된 것이다.
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,q\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}}
{\displaystyle i\mapsto i+p}

성질
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### 호모토피

에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상이다.

{\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
그 반대 합성은 항등 사상이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피이다. 즉, 모형 범주 \operatorname {Ch}\_{{\geq 0}}({\mathcal A})의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지를 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
이 사실을 **에일렌베르크-질버 정리**(영어: Eilenberg–Zilber theorem)라고 한다.

### 대칭성

에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.

### 모노이드 돌트-칸 대응

가환환 K가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.

* K-결합 대수들의 범주 {\displaystyle \operatorname {Alg} /K} (즉, 가환환의 범주의 조각 범주)의 단체 대상의 범주 {\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Alg} \_{K})}. 이는 {\displaystyle (\operatorname {s} (\operatorname {Mod} \_{K}),\otimes \_{K})} 속의 모노이드 대상들의 범주이다.
* K-미분 등급 대수의 범주 {\displaystyle \operatorname {dgAlg} \_{K}}. 이는 K-사슬 복합체의 모노이드 범주 {\displaystyle (\operatorname {Ch} \_{K}^{+},\otimes \_{K})} 속의 모노이드 대상이다.

그렇다면, 돌트-칸 대응으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치를 정의하며, 이를 **모노이드 돌트-칸 대응**(영어: monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응과 달리, 이는 범주의 동치가 아니다.)

구체적으로, 돌트-칸 대응의 함자

{\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} \_{K}^{+}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Mod} \_{K})\colon \operatorname {N} }
에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자를 얻는다.

{\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {dgAlg} \_{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} \_{K})\colon \operatorname {N} '}
{\displaystyle \operatorname {N} '\dashv \operatorname {\Gamma } }
{\displaystyle \Gamma '\colon \operatorname {dgAlg} \_{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} \_{K})\colon \operatorname {N} }
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } '\dashv \operatorname {N} }
여기서 등장하는 자연 변환의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상

{\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
과 에일렌베르크-질버 사상

{\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)}
이다.

### 가환 모노이드 돌트-칸 대응

다음이 주어졌다고 하자.

* 표수 0의 체 K

그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.

* K 위의 가환 결합 대수들의 범주 {\displaystyle K\backslash \mathrm {CRing} } (즉, 가환환의 범주의 쌍대 조각 범주)
* K-가환 미분 등급 대수의 모형 범주 {\displaystyle \operatorname {cdgAlg} \_{K}}

그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 **가환 모노이드 돌트-칸 대응**(영어: commutative-monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} (K\backslash \mathrm {CRing} )\leftrightarrows \operatorname {cdgAlg} \_{K}\colon \Gamma '}
이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).

(여기서, K를 표수 0의 체로 가정하는 것은, 아닐 경우 {\displaystyle \operatorname {CDGA} \_{K}}에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)

역사
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에일렌베르크-질버 사상은 사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(영어: Joseph Abraham Zilber, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 제임스 워델 알렉산더와 해슬러 휘트니의 이름을 땄다.

참고 문헌
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1. ↑  Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) **174**. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.