군론에서 **군의 확대**(群-擴大, 영어: group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.

정의
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군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

1\rightarrow N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\rightarrow 1
즉,

G/\iota (N)\cong Q
이다. 그렇다면 G를 N에 의한 Q의 **확대**(영어: extension of *Q* by *N*)라고 한다.

만약 N이 G의 중심의 부분군이라면, 즉

\iota (N)\subset Z(G)
이라면 이를 **중심 확대**(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

N의 Q로의 두 확대

1\to N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\to 1
1\to N{\xrightarrow {\iota '}}G'{\xrightarrow {\pi '}}Q\to 1
에 대하여, 만약 다음 그림

{\begin{matrix}1&\to &N&{\xrightarrow {\iota }}&G&{\xrightarrow {\pi }}&Q&\to &1\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }\downarrow \!{\wr }&&\|\\1&\to &N&{\xrightarrow[{\iota '}]{}}&G'&{\xrightarrow[{\pi '}]{}}&Q&\to &1\end{matrix}}
을 가환하게 하는 군 동형 \phi \colon G\to G'이 존재한다면, G와 G'을 서로 **동형인 확대**라고 한다.

분류
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군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

### 아벨 군의 범주 속에서의 확대

N과 Q가 아벨 군이며, 확대된 군 G 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)
과 표준적으로 일대일 대응한다.

### 아벨 정칙 부분군의 경우

N이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, N의 Q에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

\bigsqcup \_{\phi \in \hom(Q,\operatorname {Aut} N)}\operatorname {H} \_{\phi }^{2}(Q,N)
여기서 \operatorname {H} \_{\phi }^{2}(Q,N)은 N을 작용 \phi 를 갖춘 Q-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 N\to G\to Q가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

\phi \colon Q\to \operatorname {Aut} N
\phi \colon q\mapsto (n\mapsto qnq^{-1})
이 유도되는데, 주어진 준동형 \phi 에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname {H} \_{\phi }^{2}(Q,N)과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 N\rtimes \_{\phi }Q가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.

특히, Q의 아벨 군 N에 대한 중심 확대는 자명한 작용 {\displaystyle q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N}에 대응하며, 중심 확대는 자명한 Q-가군 계수의 2차 군 코호몰로지 \operatorname {H} ^{2}(Q,N)와 표준적으로 일대일 대응한다.

### 무중심 정칙 부분군의 경우

N의 중심이 자명군일 경우, N의 Q에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N
과 일대일 대응한다.:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1
이는 가환 그림

{\begin{matrix}1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\|&&\downarrow \scriptstyle \phi ^{\*}&&\downarrow \scriptstyle \phi \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\end{matrix}}
에서, \phi ^{\*}\colon G\to \operatorname {Aut} N이 \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, N이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, N의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 **완비군**(完備群, 영어: complete group)이라고 한다.

### 외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우

만약 \operatorname {Out} N이 자명군이라면, 준동형 Q\to \operatorname {Out} N은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))와 표준적으로 일대일 대응하며, 0\in \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))은 직접곱 N\times Q에 대응한다.

구체적으로,

{\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} \_{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} \_{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \!\wr \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\cong &\operatorname {Aut} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}
이므로, 짧은 완전열

1\to \operatorname {Z} (N)\to \operatorname {C} \_{G}(N)\to Q\to 1
이 존재한다. \operatorname {Z} (N)이 아벨 군이며, \operatorname {Z} (N)의 \operatorname {C} \_{G}(N)에 대한 작용은 자명하므로 가능한 \operatorname {C} \_{G}(N)들은 \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 \operatorname {C} \_{G}(N)에 대하여 G는 짧은 완전열

1\to \operatorname {C} \_{G}(N)\to G\to \operatorname {Aut} N\to 1
에서 유일하게 결정된다.

### 일반적 정칙 부분군의 경우

일반적인 N의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

1\to N\to G\to Q\to 1
가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N
이 존재한다. 임의의 준동형 \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:105, Theorem 6.7

* \phi 를 유도하는 군의 확대 G가 존재한다.
* 어떤 특정한 \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )\in \operatorname {H} \_{\phi }^{3}(Q,\operatorname {Z} (N))에 대하여, \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )=0이다.

즉, \phi 를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, \phi 를 통한 임의의 두 확대 G,G'에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 \operatorname {H} \_{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))과 일대일 대응시킬 수 있다.:105, Theorem 6.6 즉, \phi 를 통한 확대들은 \operatorname {H} \_{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, \phi 가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 G=N\times Q를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌 \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )는 다음과 같다.:105, Theorem 6.7 완전열

1\to \operatorname {Z} (N)\to N\to \operatorname {Aut} N\to \operatorname {Out} N\to 1
에 의하여, 원소

u\in \operatorname {H} ^{3}(\operatorname {Out} N,\operatorname {Z} (N))
가 주어진다. 또한, 군 준동형 \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

\phi ^{\*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Out} ,\operatorname {Z} (N))\to \operatorname {H} ^{\bullet }(Q,\operatorname {Z} (N))
이 주어진다. 그렇다면

\theta =\phi ^{\*}u
이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Brown, K. 《Cohomology of groups》 (영어).

* Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **148** 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.
* Brown, R.; T. Porter (1996). "On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations" (PDF). 《Proceedings of the Royal Irish Academy》 **96A**: 213-227. JSTOR 20490219.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)