일반위상수학에서 **수슬린 수**(영어: Suslin number)는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

정의
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### 무게

 이 부분의 본문은 제2 가산 공간입니다.
위상 공간 X의 **무게**(영어: weight) w(X)는 X의 기저의 최소 크기이다. **제2 가산 공간**은 w(X)\le\aleph\_0인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

| 집합족의 조건 | 최소 크기 | 기호 |
| --- | --- | --- |
| 기저 | 무게 | w |
| 유사 기저 | 유사 무게 | {\displaystyle \psi w} |
| π-기저 | π-무게 | \pi |
| 망 | 망 무게 | {\displaystyle nw} |

#### 유사 무게

위상 공간 X의 **유사 기저**(영어: pseudo-base) 또는 **ψ-기저**(영어: ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}이다.

* 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle \{x\}=\bigcap \_{x\in B\in {\mathcal {B}}}B}

위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T1 공간인 것이다.

T1 공간 X의 **유사 무게**(영어: pseudo-weight) 또는 **ψ-무게**(영어: ψ-weight) {\displaystyle \psi w(X)}는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

#### π-무게

위상 공간 X의 **π-기저**(영어: π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}이다.

* {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}의 공시작 집합이다. 즉, {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}이며, 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, 만약 {\displaystyle U\neq \varnothing }라면, {\displaystyle B\subseteq U}인 B\in {\mathcal B}가 존재한다.

위상 공간 X의 **π-무게**(영어: π-weight) {\displaystyle \pi (X)}는 그 π-기저의 최소 크기이다.

#### 망 무게

위상 공간 X의 **망**(영어: network)은 다음 조건을 만족시키는 집합족 {\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}이다.

* 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, {\displaystyle U=\bigcup {\mathcal {S}}}인 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {N}}}이 존재한다.

따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 X의 **망 무게**(영어: network weight, net weight) {\displaystyle nw(X)}는 그 망의 최소 크기이다.

### 밀도

 이 부분의 본문은 분해 가능 공간입니다.
위상 공간 X의 **밀도**(영어: density) d(X)는 X의 조밀 집합의 최소 크기이다. **분해 가능 공간**은 {\displaystyle d(X)\leq \aleph \_{0}}인 위상 공간이다.

#### 유전적 밀도

위상 공간 X의 **유전적 밀도**(영어: hereditary density) {\displaystyle d^{\*}(X)} 또는 **너비**(영어: width) {\displaystyle z(X)}의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

* {\displaystyle d^{\*}(X)}는 X의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph\_0을 취한다).
{\displaystyle d^{\*}(X)=\max \left\{\aleph \_{0},\sup \_{Y\subset X}d(Y)\right\}}
* {\displaystyle z(X)}는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y\subseteq X의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph\_0을 취한다).
	+ 모든 상집합이 열린집합이 되는 Y 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

{\displaystyle d^{\*}(X)=z(X)}
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.

증명:

{\displaystyle d^{\*}(X)\geq z(X)}의 증명. Y\subseteq X가 부분 집합이며, \le가 Y 위의 정렬 전순서이며, Y의 모든 상집합이 Y의 열린집합이라고 하자. {\displaystyle |Y|\leq d^{\*}(X)}를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 {\displaystyle \kappa <|Y|}에 대하여, {\displaystyle \kappa ^{+}\leq d^{\*}(X)}임을 보이면 충분하다. \alpha 가 {\displaystyle (Y,\leq )}의 순서형이라고 하자. {\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }이므로, 순서형이 \kappa ^{+}인 부분 집합

{\displaystyle Z\subseteq Y}
가 존재한다. 임의의 상집합 {\displaystyle S\subseteq Z}는 S의 Y에서의 상폐포와 Y의 교집합이므로, Z의 열린집합이다. {\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 {\displaystyle D\subseteq S}가 조밀 집합이라면, D는 S의 공종 집합이며, {\displaystyle |D|\geq \kappa ^{+}}이다. 즉,

{\displaystyle \kappa ^{+}=d(Z)\leq d^{\*}(X)}
이다.

{\displaystyle d^{\*}(X)\leq z(X)}의 증명. 임의의 Y\subseteq X에 대하여, {\displaystyle d(Y)\leq z(X)}임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 {\displaystyle (y\_{\alpha })\_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y}을 만들 수 있다.

{\displaystyle y\_{\alpha }\in Y\setminus \operatorname {cl} \{y\_{\beta }\colon \beta <\alpha \}\qquad (\forall \alpha <d(Y))}
이제,

{\displaystyle Z=\{y\_{\alpha }\colon \alpha <d(Y)\}}
라고 하자. Z 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 {\displaystyle d(Y)}인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 {\displaystyle S\subseteq Z}에 대하여, 그 최소 원소가 {\displaystyle \min S=y\_{\alpha }}라고 하면,

{\displaystyle S=\{y\_{\beta }\colon \alpha \leq \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \operatorname {cl} \{y\_{\beta }\colon \beta <\alpha \})}
이므로, {\displaystyle S\subseteq Z}는 열린집합이다. 따라서,

{\displaystyle d(Y)=|S|\leq z(X)}
이다.

### 수슬린 수

 이 부분의 본문은 강하향 반사슬입니다.
위상 공간 X이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}의 강하향 반사슬들은 정확히 X의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 X의 **수슬린 수**(영어: Suslin number) 또는 **세포도**(영어: cellularity) {\displaystyle c(X)}는 {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

#### 유전적 수슬린 수

위상 공간 X의 **유전적 수슬린 수**(영어: hereditary Suslin number, hereditary cellularity) {\displaystyle c^{\*}(X)} 또는 **퍼짐**(영어: spread) {\displaystyle s(X)}의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.

* {\displaystyle c^{\*}(X)}는 X의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.
{\displaystyle c^{\*}(X)=\sup \_{Y\subseteq X}c(Y)}
* {\displaystyle s(X)}는 X의 이산 집합의 크기의 상한이다.

즉,

{\displaystyle c^{\*}(X)=s(X)}
이다.

증명:

{\displaystyle c^{\*}(X)\leq s(X)}의 증명. X의 부분 집합 Y\subseteq X 및 Y의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (Y)}가 주어졌을 때, 임의의 U\in {\mathcal U}에 대하여

{\displaystyle x\_{U}\in U}
를 고르면,

{\displaystyle D=\{x\_{U}\colon U\in {\mathcal {U}}\}\subseteq Y\subseteq X}
는 X의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

{\displaystyle c^{\*}(X)\geq s(X)}의 증명. X의 이산 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때,

{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq \operatorname {Open} (D)}
는 D의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

### 린델뢰프 수

 이 부분의 본문은 린델뢰프 공간입니다.
위상 공간 X의 임의의 열린 덮개 {\mathcal {U}}에 대하여, L(\mathcal U)가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 X의 **린델뢰프 수**(영어: Lindelöf number) L(X)는 다음과 같다.

{\displaystyle L(X)=\sup \_{\mathcal {U}}L({\mathcal {U}})}
**린델뢰프 공간**은 {\displaystyle L(X)\leq \aleph \_{0}}인 위상 공간이다.

#### 유전적 린델뢰프 수

위상 공간 X의 **유전적 린델뢰프 수**(영어: hereditary Lindelöf number) {\displaystyle L^{\*}(X)} 또는 **높이**(영어: height) {\displaystyle h(X)}의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

* {\displaystyle L^{\*}(X)}는 X의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph\_0을 취한다).
{\displaystyle L^{\*}(X)=\max \left\{\aleph \_{0},\sup \_{Y\subseteq X}L(Y)\right\}}
* {\displaystyle h(X)}는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 Y\subseteq X의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 \aleph\_0을 취한다).
	+ 모든 하집합이 열린집합이 되는 Y 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

{\displaystyle L^{\*}(X)=h(X)}
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)

증명:

{\displaystyle L^{\*}(X)\geq h(X)}의 증명. Y\subseteq X가 부분 집합이며, \le가 Y 위의 정렬 전순서이며, Y의 모든 하집합이 Y의 열린집합이라고 하자. {\displaystyle |Y|\leq L^{\*}(X)}를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 {\displaystyle \kappa <|Y|}에 대하여 {\displaystyle \kappa ^{+}\leq L^{\*}(X)}임을 보이면 충분하다. \alpha 가 {\displaystyle (Y,\leq )}의 순서형이라고 하자. {\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }이므로, 순서형이 \kappa ^{+}인 부분 집합

{\displaystyle Z\subseteq Y}
가 존재한다. Z의 모든 하집합 역시 Z의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. {\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, Z의 열린 덮개

{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\mathop {\downarrow } z\setminus \mathop {\uparrow } z\colon z\in Z\}}
의 모든 부분 덮개의 크기는 \kappa ^{+}이다. 즉,

{\displaystyle \kappa ^{+}=L({\mathcal {U}})\leq L(Z)\leq L^{\*}(X)}
이다.

{\displaystyle L^{\*}(X)\leq h(X)}의 증명. 임의의 부분 집합 Y\subseteq X 및 무한 기수 {\displaystyle \kappa <L(Y)}에 대하여, {\displaystyle \kappa ^{+}\leq h(X)}임을 보이면 충분하다. {\displaystyle L({\mathcal {U}})>\kappa }인 Y의 열린 덮개 {\mathcal {U}}를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 {\displaystyle (y\_{\alpha })\_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq Y} 및 {\displaystyle (U\_{\alpha })\_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq {\mathcal {U}}}을 만들 수 있다.

{\displaystyle y\_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup \_{\beta <\alpha }U\_{\beta }\qquad (\forall \alpha <\kappa ^{+})}
이제,

{\displaystyle Z=\{y\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa ^{+}\}\subseteq Y}
라고 하자. Z는 자연스럽게 순서형이 \kappa ^{+}인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, Z의 임의의 하집합

{\displaystyle S=\bigcup \_{y\_{\alpha }\in S}\{y\_{\beta }\colon \beta \leq \alpha \}=\bigcup \_{y\_{\alpha }\in S}\left(Z\cap \bigcup \_{\beta \leq \alpha }U\_{\beta }\right)=Z\cap \bigcup \_{y\_{\alpha }\in S}\bigcup \_{\beta \leq \alpha }U\_{\beta }}
은 Z의 열린집합이다. 따라서,

{\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|\leq h(X)}
이다.

### 지표

 이 부분의 본문은 제1 가산 공간입니다.
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 지표**(영어: local character) {\displaystyle \chi (S,X)}는 S의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 X의 **지표**(영어: character) \chi (X)는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.

\chi(X)=\sup\_{x\in X}\chi(x,X)
**제1 가산 공간**은 {\displaystyle \chi (X)\leq \aleph \_{0}}인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

| 집합족의 조건 | 개념 | 기호 |
| --- | --- | --- |
| 국소 기저 | (국소) 지표 | \chi |
| 국소 유사 기저 | (국소) 유사 지표 | \psi  |
| 국소 π-기저 | (국소) π-지표 | {\displaystyle \pi \chi } |

#### 유사 지표

위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 기저**(영어: local pseudo-base) 또는 **국소 ψ-기저**(영어: local ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}이다.

{\displaystyle S=\bigcap {\mathcal {B}}}
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X의 **국소 유사 지표**(영어: local pseudo-character) 또는 **국소 ψ-지표**(영어: local ψ-character) {\displaystyle \psi (S,X)}는 S의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T1 공간 X의 **유사 지표**(영어: pseudo-character) 또는 **ψ-지표**(영어: ψ-character) {\displaystyle \psi (X)}는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.

{\displaystyle \psi (X)=\sup \_{x\in X}\psi (x,X)}
#### π-지표

위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-기저**(영어: local π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}이다.

* {\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}이며, x의 임의의 근방 U\ni x에 대하여, {\displaystyle B\subseteq U}인 B\in {\mathcal B}가 존재한다.

위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 π-지표**(영어: local π-character) {\displaystyle \pi \chi (x,X)}는 x의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 X의 **π-지표**(영어: π-character)는 {\displaystyle \pi \chi (X)}는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.

{\displaystyle \pi \chi (X)=\sup \_{x\in X}\pi \chi (x,X)}
### 밀착도

 이 부분의 본문은 가산 생성 공간입니다.
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X 및 그 폐포의 점 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}에 대하여, {\displaystyle t(x,S,X)}가 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} T}인 {\displaystyle T\subseteq S}의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 X의 점 x\in X의 **국소 밀착도**(영어: local tightness)는 다음과 같다.

{\displaystyle t(x,X)=\sup \_{x\in \operatorname {cl} S\subseteq X}t(x,S,X)}
위상 공간 X의 **밀착도**(영어: tightness)는 {\displaystyle t(X)}는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.

{\displaystyle t(X)=\sup \_{x\in X}t(x,X)}
**가산 생성 공간**은 {\displaystyle t(X)\leq \aleph \_{0}}인 위상 공간이다.

성질
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위상 공간 X이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

* (ㄱ) {\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq \pi (X)\leq w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq \min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}}
* (ㄴ) {\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}}
* (ㄷ) {\displaystyle \max\{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)}
* (ㄹ) {\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)\leq w(X)\leq |X|\chi (X)}
* (ㅁ) {\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)}
* (ㅂ) {\displaystyle t(X)\leq |X|}
* (ㅅ) {\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \min\{\pi (X)^{c(X)},2^{d(X)}\}}

증명 (ㄱ):

{\displaystyle c(X)\leq d(X)}의 증명. {\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. D\subseteq X가 조밀 집합이라고 하자. {\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|}임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 U\in {\mathcal U}에 대하여

{\displaystyle x\_{U}\in U\cap D}
를 고를 수 있다. {\mathcal {U}}가 서로소이므로, {\displaystyle U\mapsto x\_{U}}는 {\displaystyle {\mathcal {U}}\to D} 단사 함수이다. 따라서 {\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|}이다.

{\displaystyle d(X)\leq \pi (X)}의 증명. {\mathcal B}가 X의 π-기저라고 하자. {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {B}}|}인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 B\in {\mathcal B}에 대하여 {\displaystyle x\_{B}\in B}를 고르자. 그렇다면,

{\displaystyle D=\{x\_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq X}
는 조밀 집합이며, {\displaystyle |D|\leq |B|}이다.

{\displaystyle \pi (X)\leq w(X)}의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

{\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}의 증명. \operatorname {Open}(X)는 X의 기저를 이루므로 자명하다.

{\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|X|}}의 증명. {\displaystyle \operatorname {Open} (X)\leq {\mathcal {P}}(X)}이므로 자명하다.

{\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{nw(X)}}의 증명. {\mathcal N}이 X의 망이라고 하자. {\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|{\mathcal {N}}|}}임을 보이면 족하다. 이는

{\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {N}})\to \operatorname {Open} (X)}
{\displaystyle {\mathcal {S}}\mapsto \bigcup {\mathcal {S}}}
가 전사 함수이므로 자명하다.


증명 (ㄴ):

{\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}}
{\displaystyle d(X)\leq nw(X)}의 증명. {\mathcal N}이 X의 망이라고 하자. {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|}인 조밀 집합 D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의 {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}에 대하여 {\displaystyle x\_{N}\in {\mathcal {N}}}을 고르자. 그렇다면,

{\displaystyle D=\{x\_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}\subseteq X}
는 조밀 집합이며, {\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|}이다.

{\displaystyle L(X)\leq nw(X)}의 증명. {\mathcal N}이 X의 망이라고 하자. {\mathcal {U}}가 X의 열린 덮개라고 하자. {\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|}인 부분 덮개 {\displaystyle {\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {U}}}를 찾으면 족하다.

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{N\in {\mathcal {N}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon N\subseteq U\}}
라고 하자. 임의의 {\displaystyle N\in {\mathcal {S}}}에 대하여

{\displaystyle N\subseteq U\_{N}}
인 {\displaystyle U\_{N}\in {\mathcal {U}}}를 고르자. 그렇다면,

{\displaystyle {\mathcal {V}}=\{U\_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}}
은 {\mathcal {U}}의 부분 덮개이며, {\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|}이다.

{\displaystyle nw(X)\leq |X|}의 증명. {\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}}가 X의 망이므로 자명하다.

{\displaystyle nw(X)\leq w(X)}의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.


증명 (ㄷ):

{\displaystyle t(x,X)\leq \chi (x,X)}의 증명. {\mathcal B}가 x의 국소 기저라고 하자. S\subseteq X이며 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}라고 하자.

{\displaystyle x\in \operatorname {cl} T}
{\displaystyle |T|\leq |{\mathcal {B}}|}
인 {\displaystyle T\subseteq S}를 찾으면 족하다. 임의의 B\in {\mathcal B}에 대하여, {\displaystyle x\_{B}\in B\cap S}를 고르자. 그렇다면,

{\displaystyle T=\{x\_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq S}
는 위 조건들을 만족시킨다.

{\displaystyle \pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)}의 증명. x의 임의의 국소 기저 {\mathcal B}에 대하여,

{\displaystyle \{\operatorname {int} B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}
는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 x의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.


증명 (ㄹ):

{\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)}의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

{\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}의 증명. X의 임의의 기저 {\mathcal B} 및 임의의 x\in X에 대하여,

{\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
는 x의 국소 기저이므로 자명하다.

{\displaystyle w(X)\leq |X|\chi (X)}의 증명. 모든 x\in X에 대하여 국소 기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{x}}가 주어졌을 때,

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\operatorname {int} B\colon B\in \bigcup \_{x\in X}{\mathcal {B}}\_{x}\right\}}
는 X의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.


증명 (ㅁ):

{\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)}의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

{\displaystyle \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)}의 증명. 모든 점 x\in X에 대하여 국소 π-기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{x}}가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때,

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\bigcup \_{x\in D}{\mathcal {B}}\_{x}}
는 X의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.


증명 (ㅂ):

임의의 S\subseteq X에 대하여 {\displaystyle |S|\leq |X|}이므로 자명하다.


증명 (ㅅ):

{\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \pi (X)^{c(X)}}의 증명. X의 임의의 π-기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq X}가 주어졌다고 하자. {\mathcal B}의 크기 {\displaystyle c(X)} 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

{\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}\_{\leq c(X)}({\mathcal {B}})}
를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 F\subseteq X에 대하여,

{\displaystyle {\mathcal {U}}\_{F}\subseteq {\mathcal {B}}}
가 {\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} F}인 {\mathcal B} 속의 서로소 열린집합 {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수

{\displaystyle F\mapsto {\mathcal {U}}\_{F}}
를 생각하자. 자명하게 {\displaystyle |{\mathcal {U}}\_{F}|\leq c(X)}이다. 만약 {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{E}={\mathcal {U}}\_{F}}라면,

{\displaystyle E=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}\_{E}=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}\_{F}=F}
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

{\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq 2^{d(X)}}의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수

{\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}(D)}
를 찾으면 족하다. 함수

{\displaystyle F\mapsto F\cap D}
를 생각하자. 만약 {\displaystyle E\cap D=F\cap D}라면,

{\displaystyle E=\operatorname {cl} U}
{\displaystyle F=\operatorname {cl} V}
인 열린집합 U,V\subseteq X를 골랐을 때,

{\displaystyle E=\operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} U\cap D)=\operatorname {cl} (E\cap D)=\operatorname {cl} (F\cap D)=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} V\cap D)=\operatorname {cl} V=F}
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

콜모고로프 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* (ㄱ) {\displaystyle |X|\leq 2^{w(X)}}

증명 (ㄱ):

X의 임의의 기저 {\mathcal B}가 주어졌다고 하자. 단사 함수

{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수

{\displaystyle x\mapsto \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
는 단사 함수이다.

T1 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* (ㄱ) {\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}\leq |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}
* (ㄴ) {\displaystyle \psi (x,X)\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)}
* (ㄷ) {\displaystyle \psi (X)\leq \min\{\chi (X),\psi w(X)\}}
* (ㄹ) {\displaystyle |X|\leq \min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi (X)}\}}
* (ㅁ) {\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)^{L(X)}}

증명 (ㄱ):

{\displaystyle \psi w(X)\leq |X|}의 증명. T1 조건에 따라 {\displaystyle \{X\setminus \{x\}\colon x\in X\}}가 X의 유사 기저이므로 자명하다.

{\displaystyle \psi w(X)\leq w(X)}의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

{\displaystyle |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}의 증명. T1 조건에 따라 모든 {\displaystyle X\setminus \{x\}}은 X의 열린집합이므로 자명하다.


증명 (ㄴ):

T1 조건에 따라 x의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.


증명 (ㄷ):

{\displaystyle \psi (X)\leq \chi (X)}의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

{\displaystyle \psi (X)\leq \psi w(X)}의 증명. X의 임의의 유사 기저 {\mathcal B} 및 임의의 x\in X에 대하여,

{\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
는 x의 국소 유사 기저이므로 자명하다.


증명 (ㄹ):

{\displaystyle |X|\leq 2^{\psi w(X)}}의 증명. X의 임의의 유사 기저 {\mathcal B}가 주어졌다고 하자. 단사 함수

{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}
를 찾으면 족하다. 함수

{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {\{}}B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
를 생각하자. 만약 {\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}}라면,

{\displaystyle \{x\}=\bigcap \_{x\in B\in {\mathcal {B}}}B=\bigcap \_{y\in B\in {\mathcal {B}}}B=\{y\}}
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

{\displaystyle |X|\leq nw(X)^{\psi (X)}}의 증명. X의 임의의 망 {\mathcal N}이 주어졌다고 하자. {\mathcal N}의 크기 {\displaystyle \psi (X)} 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

{\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}\_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}
를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle |{\mathcal {B}}\_{x}|\leq \psi (X)}인 x의 국소 유사 기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{x}}를 고르자. 임의의 x\in X 및 {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\_{p}}에 대하여, {\displaystyle x\in N\_{x,B}\subseteq B}인 {\displaystyle N\_{x,B}\in {\mathcal {N}}}을 고르자. 이제, 함수

{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {S}}\_{x}=\{N\_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq {\mathcal {N}}}
생각하자. ({\displaystyle |{\mathcal {S}}\_{x}|\leq |{\mathcal {B}}\_{x}|\leq \psi (X)}이므로 {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{x}\in {\mathcal {P}}\_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}이다.) 만약 {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{x}={\mathcal {S}}\_{y}}라면,

{\displaystyle \{x\}=\bigcap {\mathcal {B}}\_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}\_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}\_{y}=\bigcap {\mathcal {B}}\_{y}=\{y\}}
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.


증명 (ㅁ):

X의 임의의 유사 기저 {\mathcal B}에 대하여,

{\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{X\setminus \bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}},\;|{\mathcal {S}}|\leq L(X)\right\}}
는 X의 망을 이루며,

{\displaystyle |{\mathcal {N}}|\leq |{\mathcal {B}}|^{L(X)}}
이다.

하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* (ㄱ) {\displaystyle |X|\leq \min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi (X)}\}}
* (ㄴ) {\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|,nw(X)\}}

증명 (ㄱ):

{\displaystyle |X|\leq 2^{2^{d(X)}}}의 증명. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수

{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(D))}
를 찾으면 족하다. 함수

{\displaystyle x\mapsto \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}
를 생각하자. 만약

{\displaystyle \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}
라면, 하우스도르프 조건에 따라

{\displaystyle \{x\}=\bigcap \_{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\bigcap \_{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap \_{y\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap \_{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\{y\}}
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 {\displaystyle \operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)}이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

{\displaystyle |X|\leq d(X)^{\chi (X)}}의 증명. 만약 {\displaystyle \chi (X)<\aleph \_{0}}이라면, X는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, {\displaystyle \chi (X)\geq \aleph \_{0}}이라고 하자. 임의의 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수

{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}\_{\leq \chi (X)}({\mathcal {P}}\_{\leq \chi (X)}(D))}
를 찾으면 족하다. 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle |{\mathcal {B}}\_{x}|\leq \chi (X)}인 국소 기저 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{x}}를 고르자. 임의의 {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\_{x}}에 대하여

{\displaystyle s\_{x,B}\in B\cap D}
를 고르고,

{\displaystyle S\_{x}=\{s\_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\_{x}\}\subseteq D}
{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{x}=\{B\cap S\_{x}\colon B\in {\mathcal {B}}\_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(S\_{x})\subseteq {\mathcal {P}}(D)}
라고 하자. 이제, 함수

{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {A}}\_{x}}
를 생각하자. 자명하게

{\displaystyle |S\_{x}|\leq \chi (X)}
{\displaystyle |{\mathcal {A}}\_{x}|\leq \chi (X)}
이다. 하우스도르프 조건에 따라

{\displaystyle \{x\}=\bigcap \_{B\in {\mathcal {B}}\_{x}}\operatorname {cl} B\supseteq \bigcap \_{B\in {\mathcal {B}}\_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S\_{x})\supseteq \{x\}}
이다. 따라서, 만약

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{x}={\mathcal {A}}\_{y}}
라면,

**구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle \{x\}=\bigcap\_{B\in\mathcal B\_x}\operatorname{cl}(B\cap S\_x)=\bigcap\_{B\in\mathcal B\_y}\operatorname{cl}(B\cap S\_y)=\{y\} 이다. 즉, 이 함수는 [[단사 함수]]이다. {{증명 끝}} {{증명|부제=ㄴ}} <math>\psi w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|}**
의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
{\displaystyle \psi w(X)\leq nw(X)}의 증명. 만약 {\displaystyle nw(X)<\aleph \_{0}}라면, X는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, {\displaystyle nw(X)\geq \aleph \_{0}}이라고 하자. X의 임의의 망 {\mathcal N}이 주어졌다고 하자. {\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|}인 유사 기저 {\mathcal B}를 찾으면 족하다.

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(M,N)\in {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}\colon \exists U,V\in \operatorname {Open} (X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing \}}
라고 하자. 임의의 {\displaystyle (M,N)\in {\mathcal {S}}}에 대하여,

{\displaystyle M\subseteq U\_{(M,N)}}
{\displaystyle N\subseteq V\_{(M,N)}}
{\displaystyle U\_{(M,N)}\cap V\_{(M,N)}=\varnothing }
인 열린집합 {\displaystyle U\_{(M,N)},V\_{(M,N)}\subseteq X}를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{U\_{(M,N)}\colon (M,N)\in {\mathcal {S}}\}}
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게

{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|^{2}=|{\mathcal {N}}|}
이다.

정칙 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|}

증명 (ㄱ):

정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

콤팩트 T1 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* (ㄱ) {\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)}

증명 (ㄱ):

T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.

콤팩트 하우스도르프 공간 X에서, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \psi (X)=\chi (X)}

위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

* w(Y)\le w(X)
* {\displaystyle nw(Y)\leq nw(X)}
* X가 T1 공간일 때, {\displaystyle \psi w(Y)\leq \psi w(X)}
* {\displaystyle \chi (Y)\leq \chi (X)}
* X가 T1 공간일 때, {\displaystyle \psi (Y)\leq \psi (X)}
* {\displaystyle t(Y)\leq t(X)}

만약 f\colon X\to Y가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle t(Y)\leq t(X)}

참고 문헌
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* Juhász, István (1980). 《Cardinal functions in topology—ten years later》. Mathematical Centre Tracts (영어) **123** 2판. Amsterdam: Mathematisch Centrum. ISBN 90-6196-196-3. MR 0576927. Zbl 0479.54001.