수학에서 **L∞-대수**(L∞-algebra) 또는 **호모토피 리 대수**(영어: homotopy Lie algebra)는 \mathbb {Z}  등급을 갖는 대수이다. 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의
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### 괄호를 통한 정의

표수 0의 체 K가 주어졌다고 하자. K 위의 초벡터 공간 {\displaystyle V=V\_{+}\oplus V\_{-}}이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

{\displaystyle \bigwedge V={\frac {\operatorname {T} (V)}{\mathfrak {I}}}}
여기서 {\mathfrak I}는 텐서 대수 \operatorname T(V)의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

{\displaystyle {\mathfrak {I}}=\left(v\_{1}\otimes v\_{2}\otimes \dotsb \otimes v\_{n}-(-)^{\sigma }(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}v\_{\sigma (1)}\otimes v\_{\sigma (2)}\otimes \dotsb \otimes v\_{\sigma (n)}\colon \sigma \in \operatorname {Sym} (n),\;v\_{1},\dotsc ,v\_{n}\in V\_{+}\cup V\_{-}\right)}
여기서

* {\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}}는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Sym} (2)}에 대한 상이다.
* {\displaystyle (-)^{\sigma ,{\vec {v}}}\in \{\pm 1\}}는 \sigma 가 {\displaystyle (v\_{1},\dotsc ,v\_{n})}에 작용할 때, {\displaystyle V\_{-}}에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 +1, 홀수일 경우 -1이다.

물론 {\displaystyle \textstyle \bigwedge V}는 자연수 등급을 갖는다.

K 위의 **L∞-대수** A는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, K 위의 \mathbb {Z} -등급 벡터 공간

{\displaystyle A=\bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} }A^{i}}
이다.

* 각 n\geq 1에 대하여, 등급 반대칭 n항 연산 {\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]\colon \textstyle \bigwedge ^{n}V\to K}. 그 등급은 n-2이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)
{\displaystyle \deg[a\_{1},\dotsc ,a\_{n}]\_{n}=n-2+\sum \_{i=1}^{n}\deg a\_{i}}

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

0=\sum \_{{i+j=n+1}}\sum \_{{\sigma \in \operatorname {Sh}(i,n-i)}}e(\sigma )(-1)^{{\sigma +i(j-1)}}[[a\_{{\sigma (1)}},\dots ,a\_{{\sigma (i)}}]\_{i},a\_{{\sigma (i+1)}},\dots ,a\_{{\sigma (n)}}]\_{j}
여기서

* \operatorname {Sh}(i,n-i)는 (i,n-i)-셔플 순열의 집합이다.
* e(\sigma )는 순열 \sigma 가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 +1, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 -1이다. 이를 **코쥘 부호**(영어: Koszul sign)라고 한다.

### 미분 등급 대수를 통한 정의

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체 K 위의 위의 **호모토피 리 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 {\displaystyle A=\textstyle \bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A\_{i}}. 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
	+ A^{\*}는 A의 대수적 쌍대 공간이다.
	+ {\displaystyle \operatorname {Sym} (A^{\*})}은 등급 벡터 공간 A^{\*} 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
* {\displaystyle \mathrm {d} \colon \operatorname {Sym} (V^{\*})\to \operatorname {Sym} (V^{\*})}는 {\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{\*})} 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
	+ {\displaystyle \mathrm {d} }는 K-선형 변환이다.
	+ {\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0}
	+ {\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-)^{\deg a}a\mathrm {d} b}이다. 여기서 a는 동차 성분이다.
	+ {\displaystyle \deg(\mathrm {d} a)=1+\deg a}. 여기서 a는 동차 성분이다.

이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.

* 표준 사영 {\displaystyle (\operatorname {Sym} (V^{\*}),\mathrm {d} )\to (K,0)}는 미분 등급 대수의 준동형이다.

(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L∞-대수영어: curved L∞-algebra의 개념을 얻는다.)

### 두 정의 사이의 관계

이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 {\displaystyle [-,-,\dotsc ,-]\_{\bullet }}를 통한 정의에서, A의 임의의 기저

{\displaystyle A=\operatorname {Span} \_{K}\{t\_{i}\}\_{i\in I}}
를 잡자. 그 쌍대 기저는

{\displaystyle A^{\*}=\operatorname {Span} \_{K}\{t^{i}\}\_{i\in I}}
이며, 또한

{\displaystyle \deg t^{i}=\deg t\_{i}+1}
로 놓자. 그렇다면,

{\displaystyle \mathrm {d} \colon t^{i}\mapsto -\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}t^{i}([t\_{i\_{1}},\dotsc ,t\_{i\_{n}}]\_{n})t^{i\_{1}}t^{i\_{2}}\dotsm t^{i\_{n}}}
이다. 이 경우, 멱영 조건

{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}
을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

예
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### 미분 등급 리 대수

 이 부분의 본문은 미분 등급 리 대수입니다.
L∞-대수 {\mathfrak {g}}에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

{\displaystyle [a]\_{1}=\mathrm {d} a}
{\displaystyle [a,b]\_{2}=[a,b]}
{\displaystyle [a,b,\dotsc ,]\_{k}=0\qquad (k\geq 3)}
로 놓으면, {\displaystyle ({\mathfrak {g}},\mathrm {d} ,[-,-])}가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 {\displaystyle [-]\_{1}=\mathrm {d} =0}일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

### 리 n-대수

L∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}}에 속하는 경우를 **리 n-대수**라고 한다. 이 경우,

{\displaystyle n\geq \deg[a\_{1},\dotsc ,a\_{k}]\_{k}\geq k-2}
이므로,

{\displaystyle [-,\dotsc ,-]\_{k}=0\qquad (k>n+2)}
이다.

예를 들어, n=1일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, n=0인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

### 거스틴해버 대수

 이 부분의 본문은 거스틴해버 대수입니다.
모든 거스틴해버 대수는 L∞-대수를 이룬다.

참고 문헌
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1. ↑  Lada, Tom; Jim Stasheff. "Introduction to sh Lie algebras for physicists". 《International Journal of Theoretical Physics》 (영어) **32** (7): 1087–1103. arXiv:hep-th/9209099. Bibcode:1993IJTP...32.1087L. doi:10.1007/BF00671791. ISSN 0020-7748.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Lada, Tom (1994년 6월 15일). "Strongly homotopy Lie algebras" (영어). arXiv:hep-th/9406095. Bibcode:1994hep.th....6095L.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|성-2=` (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: `|이름-2=` (도움말)
3. ↑  Bering, Klaus; Tom Lada (2009년 9월 17일). "Examples of Homotopy Lie Algebras" (영어). arXiv:0903.5433.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)