대수적 수론에서 **아이디얼 노름**(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

정의
--

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 데데킨트 정역 R
* R의 분수체 {\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}의 유한 분해 가능 확대 L/K

그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 R의 L 속의 정수적 폐포 {\displaystyle R\subseteq S\subseteq K} 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, **상대 아이디얼 노름**(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (-)}은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다.
이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

### 공리적 정의

**상대 아이디얼 노름** {\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)}은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.:Proposition 1.5.14

* {\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}((0)\_{S})=(0)\_{R}}. 여기서 (0)은 영 아이디얼이다.
* 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq S} 및 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}라면,
{\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}}

여기서 {\displaystyle [S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다.
여기서 {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}라는 것은 분기화에 대하여 {\mathfrak q}가 {\mathfrak {p}} 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, {\mathfrak {p}}를 S에서 소인수 분해하면 {\mathfrak q}는 그 소인수 가운데 하나이다.

### 체 노름을 통한 정의

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.:Proposition I.8.2:25, §4 분수 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {A}}\in \operatorname {FracIdeal} S}의 **아이디얼 노름** {\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}({\mathfrak {A}})\in \operatorname {FracIdeal} R}은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}({\mathfrak {A}})=\{r\_{1}\operatorname {N} \_{L/K}(a\_{1})+r\_{2}\operatorname {N} \_{L/K}(a\_{1})+\cdots +r\_{n}\operatorname {N} \_{L/K}(a\_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;a\_{1},\dots ,a\_{n}\in {\mathfrak {A}},\;r\_{1},\dots ,r\_{n}\in R\}\in \operatorname {FracIdeal} (R)}
즉, \operatorname N\_{L/K} 아래 {\displaystyle {\mathfrak {A}}}의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 \operatorname N\_{L/K}는 체의 확대 L/K에 대한 체 노름이다.

### 절대 아이디얼 노름

대수적 수체 {\displaystyle L/\mathbb {Q} }이 주어졌을 때, {\displaystyle K=\mathbb {Q} }, {\displaystyle S={\mathcal {O}}\_{L}}, R={\mathbb Z}로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, (\mathbb {Z} 는 주 아이디얼 정역이므로) {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (\mathbb {Z} )}은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{\geq 0}}로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

{\displaystyle \operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}\_{L})\to \mathbb {Q} \_{\geq 0}}
을 정의하며, **절대 아이디얼 노름**이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 {\displaystyle L/\mathbb {Q} }의 대수적 정수환 {\mathcal O}\_{L}의 아이디얼 \mathfrak a의 **절대 아이디얼 노름**은 다음과 같다.:34, §I.6

{\displaystyle \operatorname {N} \_{L}({\mathfrak {a}})={\begin{cases}|{\mathcal {O}}\_{L}/{\mathfrak {a}}|\\0&{\mathfrak {a}}=(0)\end{cases}}}
즉, 만약 \mathfrak a가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{L}/{\mathfrak {a}}}의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}\_{L})\to \mathbb {N} }
{\displaystyle \operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=\operatorname {N} \_{L}({\mathfrak {a}})\operatorname {N} \_{K}({\mathfrak {b}})}
{\displaystyle \operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }({\mathcal {O}}\_{L})=1}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}\_{L})}은 {\mathcal O}\_{L}의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, {\mathbb N}은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, {\mathcal O}\_{L}-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 {\mathcal O}\_{L}-분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{L}({\mathfrak {a}}/b)=\operatorname {N} \_{L}(\operatorname {a} )/\operatorname {N} \_{L}((b))\qquad \left({\mathfrak {a}}/b\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}\_{L}),\;b\in {\mathcal {O}}\_{L}\right)}
(여기서 {\displaystyle (b)}는 b로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{L}\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}\_{L})\to \mathbb {Q} \_{\geq 0}}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}\_{L})}은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) {\mathcal O}\_{L}의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} \_{\geq 0}}는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

### 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름

대수적 수체 L의 무한 또는 유한 자리 {\displaystyle {\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}} ({\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{2,3,5,7,\dots ,\infty \}})에 대하여 다음을 정의하자.

* {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {q}})}는 값매김환 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{L\_{\mathfrak {q}}}}의 잉여류체이다. (만약 {\mathfrak q}가 무한 위치라면 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{L\_{\mathfrak {q}}}=L\_{\mathfrak {q}}}이다.) 마찬가지로 {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}는 값매김환 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K\_{\mathcal {p}}}}의 잉여류체이다.
* {\displaystyle f\_{\mathfrak {p}}=[\kappa ({\mathfrak {q}}):\kappa ({\mathfrak {p}})]}는 분기화 {\displaystyle S/R}에 대한 {\mathfrak q}의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {q}})={\begin{cases}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathrm {e} ^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}}
그렇다면 임의의 아라켈로프 인자

{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod \_{\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}\qquad \nu ({\mathfrak {q}})\in {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathbb {R} &{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}}
의 **아이디얼 노름**은 다음과 같다.:186, Definition III.1.5

{\displaystyle \operatorname {N} ({\mathfrak {A}})=\prod \_{\mathfrak {q}}\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})^{\nu ({\mathfrak {q}})}\in \mathbb {R} ^{+}}
이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 \mathbb R^+으로 가는 군 준동형을 정의한다.

### 이델 노름

보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 L/K가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 **상대 이델 노름**(영어: relative idèle norm)이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{L/K}\colon \mathbb {A} \_{L}^{\times }\to \mathbb {A} \_{K}^{\times }}
{\displaystyle \operatorname {N} \_{L/K}\colon (a\_{\mathfrak {q}})\_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} L}\mapsto \prod \_{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}\operatorname {N} \_{L\_{\mathfrak {q}}/K\_{\mathfrak {p}}}(a\_{\mathfrak {q}})}
여기서

* {\displaystyle \textstyle \prod \_{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}}는 K의 모든 자리 {\mathfrak {p}} 및 {\mathfrak {p}}가 분기화하는 모든 L의 자리 {\mathfrak q}들에 대한 곱이다.
* {\displaystyle \operatorname {N} \_{L\_{\mathfrak {q}}/K\_{\mathfrak {p}}}}는 완비체의 확대 {\displaystyle L\_{\mathfrak {q}}/K\_{\mathfrak {p}}}에 대한 체 노름이다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. {\displaystyle a\in L^{\times }}에 의하여 정의되는 주 이델 {\displaystyle (a)\in \mathbb {A} \_{L}^{\times }}의 상은 K의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

{\displaystyle C\_{L}\to C\_{K}}
을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 **절대 이델 노름**(영어: absolute idèle norm)이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{K}\colon \mathbb {A} \_{K}^{\times }\to \mathbb {R} ^{+}}
{\displaystyle \operatorname {N} \_{K}\colon (a\_{\mathfrak {q}})\_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} K}\mapsto \prod \_{\mathfrak {p}}|a|\_{\mathfrak {p}}}
이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a\in K^\times에 의하여 생성되는 주 이델 {\displaystyle (a)\in \mathbb {A} \_{K}^{\times }}의 절대 이델 노름은 항상 1이다.:185, Proposition III.1.3 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

{\displaystyle C\_{K}\to \mathbb {R} ^{+}}
을 정의한다.

성질
--

### 체 노름과의 관계

임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 {\mathcal O}\_{L}에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 {\displaystyle \operatorname {N} \_{K/\mathbb {Q} }}의 절댓값이다. 보다 일반적으로, {\displaystyle L=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}\_{L}}의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 {\displaystyle (a{\mathcal {O}}\_{L})}의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }(a{\mathcal {O}}\_{L})=|\operatorname {N} \_{K/\mathbb {Q} }(a)|\qquad (a\in K)}
그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

### 복소수 자리의 수

임의의 대수적 수체 {\displaystyle L/\mathbb {Q} }에 대하여, L의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {CRing} }(L,\mathbb {C} )}의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 {\displaystyle s\_{\mathbb {C} }(L)}라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}\_{L}}에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.:35, Lemma I.6.2

{\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s\_{\mathbb {C} }(L)}\leq {\frac {{\sqrt {\left|\Delta \_{L}\right|}}\operatorname {N} \_{{\mathcal {O}}\_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}})}{\min \_{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}|\operatorname {N} \_{L/\mathbb {Q} }(a)|}}}
여기서 {\displaystyle \Delta \_{L}}은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

역사
--

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.:Proposition 1.5.14

참고 문헌
-----

1. 1 2  Serre, Jean-Pierre (1979). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **67**. Marvin Jay Greenberg 역. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR 554237.
2. ↑  Janusz, Gerald J. (1996). 《Algebraic number fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **7** 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.
3. ↑  Swinnerton-Dyer, Peter (2001년 2월). 《A brief guide to algebraic number theory》. London Mathematical Society Student Texts (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139173360. ISBN 978-0-52100423-7.
4. 1 2 3 4  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.