추상대수학에서 **중심화 부분 모노이드**(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 **중심화 부분군**(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, **중심화 부분환**(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

정의
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모노이드 M의 부분 집합 S\subseteq M의 **중심화 부분 모노이드**는 다음과 같은 M의 부분 집합이다.:41, §1.4:AI.7, Définition A1.9

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(S)=\{x\in M\colon \forall s\in S\colon sx=xs\}}
이는 M의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 {\displaystyle (-)'}으로 표기한다.)

S의 **이중 중심화 부분 모노이드**(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) {\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S))\subseteq M}은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.:AI.8

성질
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일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(\varnothing )=\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {Z} (M))=M}
{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(M)=\operatorname {Z} (M)}
{\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} \_{M}(S)=\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S)))}:AI.8
{\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {Z} (M)\subseteq \operatorname {C} \_{M}(S)}
{\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} \_{M}(S)=\bigcap \_{s\in S}\operatorname {C} \_{M}(\{s\})}
{\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} \_{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)=\bigcap \_{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} \_{M}(S)}:AI.7
{\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} \_{M}(S)\supseteq \operatorname {C} \_{M}(T)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Z} (-)}는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(-)\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)^{\operatorname {op} }}
를 이룬다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Pow} (M)}은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

### 이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(\varnothing ))=\operatorname {Z} (M)}
{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(M))=M}
{\displaystyle \forall S\subseteq M\colon S\subseteq \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S))=\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S))))}
{\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} \_{M}\left(\operatorname {C} \_{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\right)=\bigcup \_{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S))}
{\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(S))\subseteq \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(T))}
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(\operatorname {C} \_{M}(-))\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)}
를 이룬다.

특히, 집합 {\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)} 위에 폐포

{\displaystyle \operatorname {cl} (S)=\operatorname {C} \_{M}(S)\setminus \operatorname {Z} (M)\qquad (S\subseteq M\setminus \operatorname {Z} (M))}
를 정의하면, 이는 {\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)} 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

### 군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, **중심화 부분군**이라고 한다.

군 G의 부분 집합 S의 중심화 부분군은 항상 S의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

{\displaystyle \operatorname {Z} (G)\trianglelefteq \operatorname {C} \_{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} \_{G}(S)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Z} (-)}는 군의 중심이며, {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(-)}는 정규화 부분군이다.

군 G의 부분군 H\leq G의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 H의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (**N/C 정리**, 영어: N/C theorem).

{\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(H)/\operatorname {C} \_{G}(H)\lesssim \operatorname {Aut} (H)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Aut} (-)}는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(\{g\})=\operatorname {N} \_{G}(\{g\})\qquad \forall g\in G}
군 G의 부분군 H\leq G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle H=\operatorname {C} \_{G}(\operatorname {C} \_{G}(H))}. 즉, H는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
* {\displaystyle H=\operatorname {C} \_{G}(S)}가 되는 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq G}가 존재한다. 즉, H는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 H, K 및 군 준동형

{\displaystyle \phi \colon K\to \operatorname {Aut} (H)}
에 대하여, 반직접곱 {\displaystyle H\rtimes \_{\phi }K} 및 포함 사상 {\displaystyle H,K\subseteq H\rtimes \_{\phi }K}을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{H\rtimes \_{\phi }K}(K)\cap H=\operatorname {N} \_{H\rtimes \_{\phi }K}(K)\cap H}
{\displaystyle \operatorname {C} \_{H\rtimes \_{\phi }K}(H)\cap K=\ker \phi }
### 환

환 R의 부분 집합 S\subseteq R의 (곱셈에 대한) 가환식 {\displaystyle S'\subseteq R}는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 **중심화 부분환**(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.

임의의 나눗셈환 K의 임의의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq K}에 대하여, 중심화 부분환 {\displaystyle \operatorname {C} \_{K}(S)} 역시 나눗셈환이다.

**증명:**

{\displaystyle \operatorname {C} \_{K}(S)}는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 {\displaystyle a\in \operatorname {C} \_{K}(S)\setminus \{0\}} 및 s\in S에 대하여, {\displaystyle a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}}이다.

### 가군

 이 부분의 본문은 균형 잡힌 쌍가군입니다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 환 R
* 환 S
* {\displaystyle (R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}}

그렇다면, S-오른쪽 가군의 자기 사상환

{\displaystyle \operatorname {End} (M\_{S})}
을 정의할 수 있으며, M은 {\displaystyle \operatorname {End} (M\_{S})}-왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

{\displaystyle \phi \_{M}\colon R\to \operatorname {End} (M\_{S})}
{\displaystyle \phi \_{M}r\colon m\mapsto rm\qquad (r\in R,\;m\in M)}
이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

{\displaystyle \operatorname {C} \_{\operatorname {End} (M\_{\mathbb {Z} })}(\phi \_{M}(R))=\operatorname {End} (M\_{R})}
이다. (여기서 우변은 R-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)

만약 {\displaystyle \phi \_{M}(R)}가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

{\displaystyle \operatorname {C} \_{\operatorname {End} (M\_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} \_{\operatorname {End} (M\_{\mathbb {Z} })}(\phi \_{M}(R)))=\phi \_{M}(R)}
이라면, M을 균형 잡힌 가군이라고 한다.

### 폰 노이만 대수

 폰 노이만 대수 문서를 참고하십시오.
복소수 힐베르트 공간 V 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}의 부분 대합 대수 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {B} (V,V)}를 생각하자. (즉, S는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, **폰 노이만 이중 중심화 정리**(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

* S의 이중 중심화 부분환 {\displaystyle \operatorname {C} \_{\operatorname {B} (V,V)}(\operatorname {C} \_{\operatorname {B} (V,V)}(S))}
* S의 약한 작용소 위상에서의 폐포
* S의 강한 작용소 위상에서의 폐포
* S로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만, S의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C\* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

예
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만약 M이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 S\subseteq M에 대하여 {\displaystyle S'=M}이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 {\displaystyle M=\Sigma ^{\*}}가 \Sigma 로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{\Sigma ^{\*}}(S)=\{s\in \Sigma ^{\*}\colon \{s\}^{\*}\supseteq S\}^{\*}}
사원수 대수 {\mathbb H}에서, {\displaystyle \mathrm {i} }의 중심화 부분환은 {\mathbb R}+{\mathbb R}i이다. 보다 일반적으로, 임의의 {\displaystyle x\in \mathbb {H} }에 대하여, {\displaystyle \operatorname {Im} x=(x-{\bar {x}})/2}를 생각하면, {\displaystyle \operatorname {C} \_{\mathbb {H} }(\{x\})=\mathbb {R} +\mathbb {R} \operatorname {Im} x}이다. 만약 {\displaystyle \operatorname {Im} x\neq 0}이라면 {\displaystyle \operatorname {C} \_{\mathbb {H} }(\{x\})}는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.

참고 문헌
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1. ↑  Jacobson, Nathan (1985). 《Basic algebra I》 (영어) 2판. W. H. Freeman and Company.
2. 1 2 3 4  Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.