기하학에서 **케일리 변환**(Cayley變換, 영어: Cayley transform)은 환 위의 사영 직선의 특별한 자기 동형이다. 행렬의 경우, 이는 반대칭 행렬과 직교 행렬 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다.

정의
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2가 가역원인 환 {\displaystyle R\ni 2^{-1}} 위의 사영 직선

{\displaystyle \mathbb {P} \_{R}^{1}=R^{2}/\sim }
{\displaystyle [x,y]\sim [ax,ay]\qquad \forall x,y,a\in R}
을 생각하자. 그 위의 **케일리 변환**은 다음과 같다.

{\displaystyle f\colon [x,y]\mapsto [y-x,x+y]}
이는 멱등 함수이다.

{\displaystyle f\circ f=1}
따라서, 이는 R-사영 직선 위의 전단사 함수를 정의한다.

보다 일반적으로, 임의의 가역원 {\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (R)}에 대하여,

{\displaystyle f\_{u}\colon [x,y]\mapsto [yu-x,yu+x]}
를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다.

{\displaystyle f\_{u}^{-1}\colon [x,y]\mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]}

성질
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### 복소수

케일리 변환

{\displaystyle f\colon z\mapsto {\frac {1-z}{1+z}}}
은 리만 구 {\displaystyle \mathbb {P} \_{\mathbb {C} }^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} 위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다.

| *z*=*f*(*f*(z)) | *f*(*z*) |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| i | −i |
| ∞ | −1 |
| {\displaystyle \mathbb {i} \mathbb {R} \cup \{\infty \}} | U(1) |
| {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}} | {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}} |
| {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z\geq 0\}\cup \{\infty \}} | {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}} |
| {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z\leq 0\}\cup \{\infty \}} | {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|\geq 1\}\cup \{\infty \}} |

즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다.

### 행렬

n\times n 실수 정사각 행렬의 환 \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} ) 위의 케일리 변환을 생각하자.

{\displaystyle f\colon \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )\setminus X\to \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}
{\displaystyle M\mapsto (1-M)(1+M)^{-1}=(1+M)^{-1}(1-M)}
여기서 X는 {\displaystyle 1+M}이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다.

이 변환에서, 만약 {\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}이 반대칭 행렬이라면 ({\displaystyle M^{\top }=-M}), {\displaystyle 1+M}은 항상 가역 행렬이며,

{\displaystyle f(M)^{\top }=(1-M)(1+M)^{-1}=(1-M)^{-1}(1+M)}
이므로

{\displaystyle f(M)^{\top }f(M)=f(M)f(M)^{\top }=1}
이 된다. 즉, {\displaystyle f(M)\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )}이며, 특히 {\displaystyle \det f(M)\in \{\pm 1\}}이다.
그런데

{\displaystyle \det \circ (f\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\setminus X\to \{\pm 1\}}
은 연속 함수이며, 그 정의역 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}은 연결 공간이다. 따라서 이는 상수 함수이며, 그 값은 {\displaystyle \det f(0)=1}이다. 즉, 케일리 변환은 매끄러운 함수

{\displaystyle f\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}
{\displaystyle f\colon 0\mapsto 1}
를 정의한다. (물론, 이는 전사 함수가 아니다. {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}는 축약 가능 공간이지만 \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.)

마찬가지로, 복소수 정사각 행렬의 환

{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 매끄러운 함수

{\displaystyle (f\_{1}\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )}
{\displaystyle (f\_{1}\upharpoonright {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {U} (n;\mathbb {C} )}
를 정의할 수 있다. 여기서

* {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )}는 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수이다.
* {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )}는 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수이다.
* \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이다.
* {\displaystyle \operatorname {U} (n;\mathbb {C} )}는 유니터리 군이다.

### 사원수

사원수 대수 {\mathbb H} 위의 케일리 변환

{\displaystyle f\colon \mathbb {H} \cup \{\infty \}\to \mathbb {H} \cup \{\infty \}}
{\displaystyle f\colon q\mapsto {\frac {1-q}{1+q}}}
을 생각하자. ({\displaystyle 1-q}와 {\displaystyle 1+q}는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화

{\displaystyle (\mathrm {i} \mathbb {R} +\mathrm {j} \mathbb {R} +\mathrm {k} \mathbb {R} )\cup \{\infty \}}
를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구

{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\{q\in \mathbb {H} \colon |q|=1\}}
에 대응시킨다. 이는 리 대수 {\mathfrak {su}}(2)(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 리 대응과 다른 사상이다.)

역사
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아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Cayley, Arthur (1846). "Sur quelques propriétés des déterminants gauches". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) **32**: 119–123. doi:10.1515/crll.1846.32.119. ISSN 0075-4102.