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미적분학에서 **몫 규칙**(-規則, 영어: quotient rule) 또는 **몫의 미분법**은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다.

정의
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두 함수 {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }가 {\displaystyle x\_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} }에서 미분 가능하다고 하자. 또한, {\displaystyle g(x\_{0})\neq 0}이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle f/g} 역시 x\_0에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x\_{0})={\frac {f'(x\_{0})g(x\_{0})-f(x\_{0})g'(x\_{0})}{g(x\_{0})^{2}}}}
함수의 선형 근사 {\displaystyle d(-)}를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

{\displaystyle \left.d\left({\frac {f}{g}}\right)\right|\_{x=x\_{0}}=\left.{\frac {gdf-fdg}{g^{2}}}\right|\_{x=x\_{0}}}

예
-

* {\frac {(4x-2)}{(x^{2}+1)}}의 미분은:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}

위의 예제에서는

g(x)=4x-2
h(x)=x^{2}+1
로 지정했다.

* \sin(x)/x^{2}의 미분 (x ≠ 0 일 때):

{\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}
또다른 예로 :
f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}를 미분할 경우에:
g(x)=2x^{2} and h(x)=x^{3}, and g'(x)=4x and h'(x)=3x^{2} 라는 것을 볼 수 있고, 따라서

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}\\&={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}\\&={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}}
이다.

증명
--

### 뉴턴의 차분몫의 응용

만약 f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}이며
h(x)\neq 0이 성립하고 g 와 h는 미분 가능한 함수라면:
{\begin{aligned}f'(x)&=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}\\&=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}\\&={\frac {\lim \_{{\Delta x\to 0}}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim \_{{\Delta x\to 0}}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim \_{{\Delta x\to 0}}(x+\Delta x))}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}\end{aligned}}

곱 규칙의 응용
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만약 f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}} 라면

g(x)=f(x)h(x)
g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)
나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 f'(x)를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, f(x)는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}

  

이어서

{\displaystyle f(x)={{g(x)} \over {h(x)}}}에서
{\displaystyle g(x)=1}일때
{\displaystyle (f(x))^{'}=\left({{1} \over {h(x)}}\right)^{'}}
{\displaystyle \;\;\;={{\left(-h(x)\right)^{'}} \over {(h(x))^{2}}}}
{\displaystyle \;\;\;=-{{h'(x)} \over {h^{2}(x)}}}