기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러가 소수의 역수의 합이 발산한다는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다. 다시 말해서,

\sum \_{{p{\text{ prime }}}}{\frac 1p}={\frac 12}+{\frac 13}+{\frac 15}+{\frac 17}+{\frac 1{11}}+{\frac 1{13}}+{\frac 1{17}}+\cdots =\infty .
현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다.

\sum \_{{\scriptstyle p{\text{ prime }} \atop \scriptstyle p\leq n}}{\frac 1p}\geq \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}6}

조화급수
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먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.

\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.

\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod \_{{p}}{\frac {1}{1-p^{{-1}}}}=\prod \_{{p}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right).
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.

증명법
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 좀 더 다양한 계산법에 대해서는 en:Proof that the sum of the reciprocals of the primes diverges 문서를 참고하십시오.
### 첫 번째 증명

오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 \ln(1-x)의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.

{\begin{aligned}\ln \left(\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\prod \_{p}{\frac {1}{1-p^{{-1}}}}\right)=\sum \_{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{{-1}}}}\right)=\sum \_{p}-\ln(1-p^{{-1}})\\&{}=\sum \_{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum \_{{p}}{\frac {1}{p}}\right)+\sum \_{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right)\\&{}<\left(\sum \_{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum \_{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum \_{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum \_{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)\\&{}=\left(\sum \_{p}{\frac {1}{p}}\right)+C\end{aligned}}
마지막 등식의 C는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 \ln \ln n에 근접함을 알 수 있다.

### 두 번째 증명

n 번째 소수를 p\_n라 쓰기로 하자.
수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 k가 있다.

\sum \_{{m=k+1}}^{{\infty }}{\frac {1}{p\_{m}}}<{\frac {1}{2}}
그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 Q라고 해 보자. 즉, Q=p\_{1}\cdots p\_{k}라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQ는 p\_{1}부터 p\_{k}까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 n의 값에 관계 없이 1+nQ의 모든 소인수는 p\_{{k+1}} 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

\sum \_{{n=1}}^{{r}}{\frac {1}{1+nQ}}\leq \sum \_{{t=1}}^{{\infty }}\left(\sum \_{{m=k+1}}^{{\infty }}{\frac {1}{p\_{m}}}\right)^{t}<\sum \_{{t=1}}^{{\infty }}\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}
두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p\_{{k+1}}이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.

| * v
* t
* e
수열 및 급수 |
| --- |
| 정수 수열 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 기초 | 
* 등차수열
* 등비수열
* 조화수열
* 정사각수
* 세제곱수
* 계승
* 2의 거듭제곱
* 3의 거듭제곱
* 10의 거듭제곱

 |
| 심화 (목록) | 
* 피보나치 수
* 다각수
* 칠각수
* 육각수
* 뤼카 다항식
* 펠 수
* 오각수
* 다각수
* 삼각수

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| 수열의 속성 | 
* 코시 열
* 단조함수
* 주기수열

 |
| 급수의 속성 | 
* 수렴급수
* 발산 급수
* 조건 수렴
* 절대 수렴
* 균등수렴
* 교대급수
* 망원급수

 |
| 명시 급수 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 수렴 | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (리만 제타 함수)

 |
| 발산 | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디 급수)
* 등차수열
* 1−2+3−4+…
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (조화급수)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (소수의 역수)

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| 모름 | 
* 플린트 힐스 급수

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| 급수의 종류 | 
* 테일러 급수
* 멱급수
* 형식적 멱급수
* 로랑 급수
* 퓌죄 급수
* 디리클레 급수
* 삼각급수
* 푸리에 급수
* 생성함수

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| 초기하급수 | 
* 초기하함수

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* 분류 분류

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