볼록 집합
볼록 집합이 아닌 집합
기하학에서 **볼록 집합**(영어: convex set)은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간의 부분 집합이다.

정의
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**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle K\in\{\mathbb R,\mathbb K\}}**
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. {\displaystyle K}-위상 벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq V}가 다음 조건을 만족시키면, **볼록 집합**이라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle u,v\in S} 및 {\displaystyle t\in [0,1]}에 대하여, {\displaystyle (1-t)u+tv\in S}

**국소 볼록 집합**(영어: locally convex set)은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.

### 다각 연결 집합

실수 위상 벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq V}가 다음 조건을 만족시키면, **다각 연결 집합**(영어: polygonally connected set)이라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle u,v\in S}에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 {\displaystyle u\_{0},u\_{1},u\_{2},\dotsc ,u\_{n}\in S}가 존재한다.
	+ {\displaystyle u\_{0}=u}
	+ {\displaystyle u\_{n}=v}
	+ 각 {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} 및 임의의 {\displaystyle t\in [0,1]}에 대하여, {\displaystyle (1-t)u\_{i-1}+tu\_{i}\in S}

위 정의에서 {\displaystyle n}을 어떤 자연수로 고정하면, **{\displaystyle n}-다각 연결 집합**(영어: {\displaystyle n}-polygonally connected set)의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.

성질
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### 함의 관계

모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든 {\displaystyle n}-다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤 {\displaystyle n}에 대하여 {\displaystyle n}-다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.

실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.:81, Exercise 3.4.2

유클리드 공간 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 만약 {\displaystyle S}가 닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면, {\displaystyle S}는 볼록 집합이다 (**티체-나카지마 정리**, 영어: Tietze–Nakajima theorem).:1306 보다 일반적으로, 만약 {\displaystyle S}가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, {\displaystyle n}개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, {\displaystyle S}는 {\displaystyle (n+1)}-다각 연결 집합이다.:1305, Theorem 1 보다 일반적으로, 만약 {\displaystyle S}가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, {\displaystyle S}의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는) {\displaystyle n}개의 볼록 집합의 합집합이라면, {\displaystyle S}는 {\displaystyle (2n+1)}-다각 연결 집합이다.:1305, Theorem 2

### 부분 집합의 극대 볼록 집합

실수 위상 벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq V}가 주어졌다고 하자. {\displaystyle S}의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 {\displaystyle S}의 **볼록 성분**(영어: convex component)이라고 한다. {\displaystyle S}의 임의의 볼록 집합은 {\displaystyle S}의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 연결 집합이므로, {\displaystyle S}의 유일한 연결 성분에 포함된다. 그러나 연결 성분과 달리, 볼록 성분들은 서로소일 필요가 없다. 다시 말해, {\displaystyle S}의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다.

만약 {\displaystyle S}가 닫힌집합이라면, 모든 볼록 성분 역시 닫힌집합이다.

실수 위상 벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq V}가 가산 개의 {\displaystyle S}의 서로소 볼록 닫힌집합 {\displaystyle S\_{i}}들의 합집합이라면, {\displaystyle S}의 볼록 성분들은 정확히 {\displaystyle S\_{i}}들이며, 특히 {\displaystyle S}의 볼록 성분들은 {\displaystyle S}의 분할을 이룬다.:Theorem 2.10

예
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실수선 {\displaystyle \mathbb {R} }의 볼록 집합은 단순히 구간이다.

집합

{\displaystyle \{(x,x^{2})\colon x\in \mathbb {R} \}}
은 경로 연결 공간이지만, {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}의 다각 연결 집합이 아니다.

역사
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티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)와 나카지마(영어: S. Nakajima)가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. 1 2 3  Valentine, F. A. (1965). "Local convexity and Ln sets". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **16**: 1305–1310. doi:10.2307/2035920. ISSN 0002-9939. MR 0185510. Zbl 0135.40702.
3. ↑  García-Pacheco, F. J. (2015). "Convex components and multi-slices in real topological vector spaces". 《Annals of Functional Analysis》 (영어) **6** (3): 73–86. doi:10.15352/afa/06-3-7. ISSN 2639-7390. MR 3336906. Zbl 1391.15002.
4. ↑  Tietze, Heinrich (1928). "Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **28**: 697–707. doi:10.1007/BF01181191. ISSN 0025-5874. JFM 54.0797.01. MR 1544985.
5. ↑  Nakajima, S. (1928). "Über konvexe Kurven und Flächen". 《Tohoku Mathematical Journal》 (독일어) **29**: 227–230. ISSN 0040-8735. JFM 54.0799.04.