아핀 평면의 원점의 부풀리기. 회색 직선들은 아핀 평면의 원점을 지나는 직선들이며, 붉은 직선은 부풀리기로 추가된 예외적 곡선이다.
대수기하학에서 **부풀리기**(blowup)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.

정의
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### 추상적 정의

스킴 X 위의 준연접 아이디얼 층 {\mathcal {I}}가 있다고 하자. 그렇다면, X의 {\mathcal {I}}에서의 **부풀리기**는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 스킴 {\displaystyle \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X}
* 스킴 사상 {\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X\to X}. 또한, {\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}}는 {\displaystyle \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X} 위의 가역층이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 {\displaystyle \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X}의 **예외 인자**(例外因子, 영어: exceptional divisor)라고 한다. 만약 이 카르티에 인자가 베유 인자일 경우, 이는 {\displaystyle \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X}의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

* 임의의 스킴 Y 및 스킴 사상 {\displaystyle \varpi \colon Y\to X}에 대하여, 만약 {\displaystyle \varpi ^{-1}{\mathcal {I}}}가 Y 위의 가역층이라면, {\displaystyle \varpi =\pi \circ f}가 되는 스킴 사상 {\displaystyle f\colon Y\to \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X}가 유일하게 존재한다.

이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.

### 구체적 정의

스킴 X 위의 준연접 아이디얼 층 {\mathcal {I}}가 있다고 하자. 그렇다면, X 위의 가환 등급환의 층

{\displaystyle \bigoplus \_{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}={\mathcal {O}}\_{X}\oplus {\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {I}}^{2}\oplus \dotsb }
을 정의할 수 있다.

이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼(영어: relative Proj construction)을 취할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X=\operatorname {\underline {Proj}} \bigoplus \_{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}
이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상

{\displaystyle \pi \_{X}\colon \operatorname {Bl} \_{\mathcal {I}}X\to X}
을 갖는다. 이를 X의 {\mathcal {I}}에서의 **부풀리기**라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킴을 보일 수 있다.

이 스킴 사상은 {\displaystyle X\setminus \operatorname {supp} {\mathcal {I}}}에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층

{\displaystyle \bigoplus \_{n=1}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}
으로 정의되는 카르티에 인자를 **예외 인자**라고 한다.

성질
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X가 국소 뇌터 스킴이며, {\displaystyle Y\hookrightarrow X}와 {\displaystyle Z\hookrightarrow X}가 닫힌 몰입이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기

{\displaystyle \pi \_{X}\colon \operatorname {Bl} \_{Z}X\to X}
를 정의할 수 있다. 이 경우, Y의 부풀리기는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Bl} \_{Y\cap Z}X=\operatorname {cl} \_{\operatorname {Bl} \_{Z}X}(\pi ^{-1}(Y\setminus Z))}

예
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{\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{n}}이 체 K에 대한 n차원 아핀 공간이라고 하고, {\mathbb P}^{{n-1}}이 같은 체에 대한 n-1차원 사영 공간이라고 하자. {\mathbb A}^{n}의 좌표를 x\_{1},\dots ,x\_{n}이라고 하고, {\mathbb P}^{{n-1}}의 동차좌표를 y\_{1},\dots ,y\_{n}이라고 하자.

원점 {\displaystyle 0\in \mathbb {A} \_{K}^{n}}에 대한 부풀리기 {\displaystyle \operatorname {Bl} \_{0}\mathbb {A} \_{K}^{n}\subseteq \mathbb {A} \_{K}^{n}\times \mathbb {P} \_{K}^{n-1}}는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체 {\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{n}\times \mathbb {P} \_{K}^{n-1}\subsetneq \mathbb {P} \_{K}^{2n-1}}의 닫힌 부분 대수다양체이므로, K에 대한 준사영 대수다양체이다.

\operatorname {Bl}\_{0}{\mathbb A}^{n}=\{(x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{n})|x\_{i}y\_{j}=x\_{j}y\_{i}\forall i,j=1,\dots ,n\}.
물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

\pi \colon \operatorname {Bl}\_{0}{\mathbb A}^{n}\to {\mathbb A}^{n}
(x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{n})\mapsto (x\_{1},\dots ,x\_{n}).
이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.

* 원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은 {\displaystyle [y\_{1}:\dotsb :y\_{n}]=[x\_{1}:\dotsb :x\_{n}]}이다. 즉, 올은 한원소 공간이다.

**증명:**

이 경우 {\displaystyle x\_{k}\neq 0}인 {\displaystyle k\in \{1,\dotsc ,n\}}가 존재한다. 그렇다면 임의의 {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여

{\displaystyle y\_{i}={\frac {x\_{i}}{x\_{k}}}y\_{k}}
이다. 즉, {\displaystyle y\_{k}}에 의하여 모든 y들이 결정된다. 사영 공간의 동차 좌표는 모두 0일 수 없으므로, {\displaystyle y\_{k}\neq 0}이다. 그렇다면 임의로 {\displaystyle y\_{k}=x\_{k}}로 놓을 수 있으며, 그렇다면 {\displaystyle y\_{i}=x\_{i}}이다.

* 원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게) {\displaystyle \{0\}\times \mathbb {P} \_{K}^{n-1}}이다.

이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다. 0\in {\mathbb A}^{n}에서는 E=\pi ^{{-1}}(0)\cong {\mathbb P}^{{n-1}}이다. 즉, \operatorname {Bl}\_{0}{\mathbb A}^{n}은 {\mathbb A}^{n}에서 원점만을 사영 공간 {\mathbb P}^{{n-1}}로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.

마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체 {\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상

{\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} \_{0}\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{n}}
아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상 {\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus \{0\})}의 자리스키 폐포이다.

### 아핀 스킴의 부풀리기

아핀 스킴 \operatorname {Spec} R을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼

{\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}
이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환의 사영 스펙트럼이다.

{\displaystyle B=\bigoplus \_{n=0}^{\infty }{\mathfrak {i}}^{n}=R\oplus {\mathfrak {i}}\oplus {\mathfrak {i}}^{2}\oplus \dotsb =R[t{\mathfrak {i}}]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}
만약 \operatorname {Spec} R가 추가로 뇌터 스킴이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼

{\displaystyle {\mathfrak {i}}=(r\_{1},\dotsc ,r\_{n})\subseteq R}
이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환은 다음과 같다.

{\displaystyle B=R[r\_{1}t,r\_{2}t,\dotsc ,r\_{n}t]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}
특히, 만약 {\displaystyle {\mathfrak {i}}=0}(영 아이디얼)인 경우, {\displaystyle B=R}이다. 반대로, {\displaystyle {\mathfrak {i}}=(1)=R}인 경우, {\displaystyle B=R[t]}이다.

### 자명한 경우

스킴 X를 공집합에서 부풀린다면, 이는 X와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 {\mathcal O}\_{X}이다. 구체적으로

{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} \_{X}{\mathcal {O}}\_{X}[t]=\mathbb {P} \_{X}({\mathcal {O}}\_{X})=X}
이다. 보다 일반적으로, 스킴을 ({\mathcal O}\_{X} 등의) 가역층에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질에 의하여 자동적으로 성립한다.

스킴 X를 X 전체에서 부풀린다면, 이는 공집합이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 0이다. 구체적으로

{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} \_{X}({\mathcal {O}}\_{X}\oplus 0\oplus 0\oplus \dotsb )=\operatorname {\underline {Proj}} \_{X}{\mathcal {O}}\_{X}=\mathbb {P} \_{X}(0)=\varnothing }
이다.

역사
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부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’(영어: monoidal transformation) 또는 ‘시그마 과정’(영어: σ-process) 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다.

부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저(독일어: Herwig Hauser)는 다음과 같이 적었다.

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| "| "그 당시 수학자들은 특이점의 해소를 위하여 부풀리기 따위의 서투른 방법을 사용하였다."라고 21세기 후반의 한 수학자 J.H.Φ. 라이히트는 언젠가 적을 수 있을지 모른다. 그러나 우리 시대에는 여전히 해소를 위하여 주로 부풀리기를 사용한다.

"*At that time, blowups were the poor man’s tool to resolve singularities.*" This phrase of the late 21st century mathematician J.H.Φ. Leicht could become correct. In our days, however, blowups are still the main device for resolution purposes. | "|
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참고 문헌
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1. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Fulton, William (1998). 《Intersection Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **2**. Springer. ISBN 0-387-98549-2. MR 1644323.
3. ↑  Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). 《Principles of Algebraic Geometry》 (영어). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32792-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Hauser, Herwig (2005). 〈Seven short stories on blowups and resolutions〉 (PDF). 《Proceedings of 12th Gökova Geometry–Topology Conference》 (영어). 1–48쪽.