집합론에서 **쾨니그의 정리**(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.

정의
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집합 I 및 기수의 집합 \{\kappa \_{i}\}\_{{i\in I}}, \{\lambda \_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌고, 또한 모든 i\in I에 대하여

\kappa \_{i}<\lambda \_{i}
라고 하자. **쾨니그의 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.

\sum \_{{i\in I}}\kappa \_{i}<\prod \_{{i\in I}}\lambda \_{i}

따름정리
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쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.

### 칸토어의 정리

 이 부분의 본문은 칸토어의 정리입니다.
\kappa \_{i}=1이며 \lambda \_{i}=2라고 하자. 그렇다면

|I|<2^{{|I|}}
이다. 이는 칸토어의 정리다.

### 선택 공리

 이 부분의 본문은 선택 공리입니다.
\kappa \_{i}=0이고, \lambda\_i가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면

0<\prod \_{{i\in I}}\lambda \_{i}
이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.

### 공종도의 지수

I가 어떤 무한 기수 \mu \geq \aleph \_{0}의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, \kappa \_{i}=|i|로 놓고, \lambda \_{i}=\mu 라고 하자. 그렇다면

\mu =\left|\bigcup \_{{i\in I}}i\right|\leq \sum \_{{i\in I}}|i|<\mu ^{{|I|}}=\mu ^{{\operatorname {cf}\mu }}
이다. 즉, 무한 기수 \mu 에 대하여

\mu <\mu ^{{\operatorname {cf}\mu }}{\stackrel {{\text{def}}}=}\gimel (\mu )
이다. 여기서 \gimel (\mu )를 **기멜 함수**라고 한다.

### 공종도의 하한

어떤 무한 기수 \kappa\ge\aleph\_0와 기수 \lambda \geq 2에 대하여, 항상

\kappa <\operatorname {cf}(\lambda ^{\kappa })
이다.

증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라

\left(\lambda ^{\kappa }\right)^{\kappa }=\lambda ^{\kappa }<\left(\lambda ^{\kappa }\right)^{{\operatorname {cf}(\lambda ^{\kappa })}}
이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서

\kappa <\operatorname {cf}(\lambda ^{\kappa })
이다.

증명
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집합족 \{A\_{i}\}\_{i\in I}와 \{B\_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌고, 임의의 i\in I에 대하여 전사 함수

A\_{i}\twoheadrightarrow B\_{i}
가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수

f\colon \bigsqcup \_{{i\in I}}A\_{i}\twoheadrightarrow \prod \_{{i\in I}}B\_{i}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 f가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.

사영 함수

\sigma \_{i}\colon A\_{i}\hookrightarrow \bigsqcup \_{{i\in I}}A\_{i}
\pi \_{i}\colon \prod \_{{i\in I}}B\_{i}\twoheadrightarrow B\_{i}
를 정의하여,

f\_{i}=\pi \_{i}\circ f\circ \sigma \_{i}\colon A\_{i}\to B\_{i}
를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,

b\_{i}\in B\_{i}\setminus f\_{i}(A\_{i})
를 고르자. 그렇다면

(b\_{i})\_{{i\in I}}\in \prod \_{{i\in I}}B\_{i}\setminus f\left(\bigsqcup \_{{i\in I}}A\_{i}\right)
이므로, f는 전사 함수가 아니다.

역사
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헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  König, J. (1904). 〈Zum Kontinuum-Problem〉. Adolf Krazer. 《Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904》 (독일어). 144–147쪽. 2015년 1월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 4일에 확인함.
2. ↑  König, J. (1905). "Zum Kontinuum-Problem". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **60** (2): 177–180. doi:10.1007/BF01677263. ISSN 0025-5831.

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