일반위상수학에서 **스톤-체흐 콤팩트화**(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

정의
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위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname {CompHaus}가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자

U\colon \operatorname {CompHaus}\to \operatorname {Top}
가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

\beta \colon \operatorname {Top}\to \operatorname {CompHaus}
\beta \dashv U
이 경우, \beta를 **스톤-체흐 콤팩트화**라고 한다. 이에 따라, \operatorname {CompHaus}는 \operatorname {Top} 의 반사 부분 범주를 이룬다.

### 구성

위상 공간 X가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

{\mathcal C}(X,[0,1])이 연속 함수 X\to [0,1]들의 집합이라고 하자. 그렇다면 [0,1]^{{{\mathcal C}(X,[0,1])}}에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약 X가 티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.)

\phi \colon X\to [0,1]^{{{\mathcal C}(X,[0,1])}}
\phi \colon x\mapsto (f(x))\_{{f\in {\mathcal C}(X,[0,1])}}
[0,1]^{{{\mathcal C}(X,[0,1])}}는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,

\phi (X)\subseteq [0,1]^{{{\mathcal C}(X,[0,1])}}
의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) X의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.

\beta X\cong \operatorname {cl}\_{{[0,1]^{{{\mathcal C}(X,[0,1])}}}}\phi (X)

성질
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수반 함자의 단위원 \eta \colon \operatorname {id}\_{{\operatorname {Top}}}\Rightarrow U\circ \beta 로부터, 임의의 위상 공간 X에 대하여, 표준적인 연속 함수

\eta \_{X}\colon X\to \beta X
가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 X가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 X와 그 상 \eta \_{X}(X) 사이의 위상동형을 정의하며, \eta \_{X}(X)는 \beta X의 조밀 집합을 이룬다. 만약 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 \beta X는 X와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자

D\colon \operatorname {Set}\to \operatorname {Top}
및 망각 함자

|\cdot |\colon \operatorname {Top}\to \operatorname {Set}
가 주어졌다면, |\cdot |\circ U\circ \beta \circ D는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 S의 멱집합 \mathcal P(S)에 대응하는 스톤 공간과 같다.

예
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(순서 위상을 갖춘) 최소의 비가산 순서수 \omega \_{1}의 스톤-체흐 콤팩트화는 \omega \_{1}+1이다.

### 이산 공간

이산 공간 X의 스톤-체흐 콤팩트화 \beta X의 크기·무게·작은 귀납적 차원은 다음과 같다.

{\displaystyle |\beta X|=2^{2^{|X|}}}
{\displaystyle \operatorname {wt} (\beta X)=2^{|X|}}
{\displaystyle \operatorname {ind} (\beta X)=0}
특히, \beta X는 완전 분리 공간이다.

자연수의 이산 공간 {\mathbb N}의 스톤-체흐 콤팩트화 {\displaystyle \beta \mathbb {N} }은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.

* 임의의 무한 닫힌집합 {\displaystyle F\subset \beta \mathbb {N} }은 {\displaystyle \beta \mathbb {N} }과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.:175, Theorem 3.6.14
* 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, {\displaystyle \beta \mathbb {N} }의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다.

역사
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마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) **6** 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
2. ↑  Stone, M.H. (1937). "Applications of the theory of Boolean rings to general topology". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **41** (3): 375–481. doi:10.2307/1989788. JSTOR 1989788.
3. ↑  Čech, E. (1937). "On bicompact spaces". 《The Annals of Mathematics》 (영어) **38** (4): 823–844. doi:10.2307/1968839. JSTOR 1968839.

* Shields, Allen (1987). "Years ago". 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) **9** (2): 61–63. doi:10.1007/BF03025901. ISSN 0343-6993.
* Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998). 《Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) **27**. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-025835-6. MR 1642231. 2015년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 1일에 확인함.
* Walker, Russell C. (1974). 《The Stone–Čech compactification》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **83**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-61935-9. ISBN 978-3-642-61937-3. ISSN 0071-1136.