미분기하학에서 **수직 벡터 다발**(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 **에레스만 접속**이라고 한다.

정의
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매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 올다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow M
이 주어졌다고 하고, E 및 E의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분

{\displaystyle \mathrm {T} \pi \colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}
을 정의할 수 있다. 그렇다면, E 위에 다음과 같은 **수직 벡터 다발** {\displaystyle \mathrm {V} E}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {V} E=\ker(\mathrm {T} \pi )}
즉,

{\displaystyle \mathrm {V} \_{e}E=\mathrm {T} \_{e}(E\_{\pi (e)})\qquad \forall e\in E}
{\displaystyle \forall u\in T\_{\mathrm {e} }E\colon \left(u\in \mathrm {V} \_{e}E\iff \forall (\gamma \colon \mathbb {R} \to E,\;\gamma (0)=e)\colon {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(0)=u\implies {\frac {\mathrm {d} (\pi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(0)=0\right)}
즉, 벡터 다발 V의 e\in E에서의 올은 E의 올의 접공간이다.

E 위의 벡터장 X에 대하여, 만약 {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} E)}라면 (즉, 만약 모든 x\in M에 대하여 {\displaystyle X\_{x}\in \mathrm {V} \_{e}E}라면) X를 **수직 벡터장**(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로, E 위의 p차 미분 형식 {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(E)}에 대하여, 만약

{\displaystyle \alpha (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{p})=0\qquad \forall X\_{1},\dots ,X\_{p}\in \Gamma (\mathrm {V} E)}
라면, \alpha 를 **수평 미분 형식**(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다.

성질
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수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열

{\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{\*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{\*}\mathrm {T} M\to 0}
이 존재한다. 이를 **아티야 완전열**(Atiyah完全列, 영어: Atiyah exact sequence)이라고 한다. (여기서 {\displaystyle \pi ^{\*}\mathrm {T} \pi \colon (e,u)\mapsto (e,\mathrm {T} \pi (u))}이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. E 위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

예
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### 자명한 올다발

두 매끄러운 다양체 M과 F가 주어졌고, {\displaystyle E=M\times F}를 M 위의 올다발로 여기자.

{\displaystyle F{\xleftarrow {\operatorname {proj} \_{2}}}E{\xrightarrow {\operatorname {proj} \_{1}}}M}
이 경우, 자연스럽게

{\displaystyle \mathrm {T} \_{(m,f)}E=\mathrm {T} \_{m}M\oplus \mathrm {T} \_{f}F\qquad (\forall m\in M,\;,f\in F)}
이며, 수직 벡터 다발 {\displaystyle \mathrm {V} E}는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {V} E=\operatorname {proj} \_{2}^{\*}\mathrm {T} F\subseteq \mathrm {T} E}
(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발" {\displaystyle \operatorname {proj} \_{1}^{\*}\mathrm {T} M\subseteq \mathrm {T} E} 역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

### 주다발

리 군 G에 대하여, \pi\colon E\twoheadrightarrow M가 G-주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 {\displaystyle \mathrm {V} E}는 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {T} \_{1}G}에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.

{\displaystyle \mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E}
구체적으로, 우선, 임의의 m\in M에 대하여, G의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

{\displaystyle X\colon {\mathfrak {g}}\to \Gamma (\mathrm {T} P)}
{\displaystyle X\colon x\mapsto X\_{x}}
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, X의 상은 P의 수직 벡터 다발 {\displaystyle \mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P}과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

{\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {V} P}
를 정의한다. (좌변은 올이 {\mathfrak {g}}인 자명한 벡터 다발이다.)

### 벡터 다발

매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. 이 경우, E의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 {\displaystyle \pi ^{\*}E=E\times \_{M}E}와 표준적으로 동형이다.:55, §6.11

{\displaystyle \mathrm {V} E\cong \pi ^{\*}E=E\times \_{M}E}

참고 문헌
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1. ↑  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 20일에 확인함.

* Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology and physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Marle, Charles-Michel (2007). 〈The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles〉. 《Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland》. Banach Center Publications (영어) **76**. 바르샤바: Polish Academy of Sciences. 65–86쪽. arXiv:1401.8272. Bibcode:2014arXiv1401.8272M.