**2차원 실수 특수선형군**(二次元實數特殊線型群, 영어: 2×2 real special linear group) \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다.

정의
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다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

* 2×2 실수 특수선형군 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )
* 2×2 실수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2;\mathbb R)
* 부정부호 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(1,1)
* **분할 사원수 대수**(영어: split-quaternion algebra) \left(\bigwedge(i\mathbb R\oplus j\mathbb R\oplus k\mathbb R)\right)/(ij-k,jk+i,ki-j)에서, 절댓값을 |a+ib+jc+kd|^2=a^2+b^2-c^2-d^2로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
* 3차원 스핀 군 \operatorname{Spin}^+(2,1)

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

* 2×2 실수 사영 특수선형군 \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R}). 이는 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )에서, 중심 \{\pm 1\_{2\times 2}\}에 대한 몫군이다.
* 복소수 단위 원판 \mathbb D=\{z\in\mathbb C\colon|z|<1\}의 등각 자기 동형군 \operatorname{Aut}(\mathbb D)
* 뫼비우스 변환 \operatorname {PSL}(2;{\mathbb C}) 가운데, 복소수 상반평면 {\mathbb H}=\{z\in {\mathbb C}\colon \operatorname {Im}z>0\}을 보존하는 부분군
* 실수 사영 직선 \mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}의 방향 보존 사영 변환군
* 3차원 로런츠 군의 연결 성분 \operatorname{SO}^+(2,1)

### 실수 사영 직선 위의 작용

\operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})는 실수 사영 직선 \mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon \mathbb R\cup\{\infty\}\to\mathbb R\cup\{\infty\}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}
### 상반평면 위의 작용

\operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})는 복소수 상반평면 {\mathbb H}=\{z\in {\mathbb C}\colon \operatorname {Im}z>0\} 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon\mathbb H\to\mathbb H
{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}
이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.

### 딸림표현

\operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})는 3차원 리 군이며, 따라서 \mathbb {R} ^{3} 위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{GL}(3;\mathbb R)
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\ ab & ad+bc & cd \\ b^2 & 2bd & d^2 \end{pmatrix}
이는 단사 함수이다.

\operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})와 로런츠 군 \operatorname{SO}^+(2,1) 사이의 동형을 정의한다.

성질
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### 켤레류

\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 임의의 원소 M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb R)는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.

* |\operatorname{tr}M|<2인 경우: \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}, \theta\in[0,2\pi). 이러한 경우를 **타원형 원소**(楕圓型元素, 영어: elliptic element)라고 한다.
* \operatorname{tr}M=\pm2인 경우: \pm\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}, s\in\{-1,0,+1\}. 이러한 경우를 **포물선형 원소**(抛物線型元素, 영어: parabolic element)라고 한다.
* \pm\operatorname{tr}M>2인 경우: \pm\operatorname{diag}(\exp(t),\exp(-t)),t\in\mathbb R^+. 이러한 경우를 **쌍곡선형 원소**(雙曲線型元素, 영어: hyperbolic element)라고 한다.

### 대수학적 성질

\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.

\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 중심은 \{\pm 1\_{2\times 2}\}이며, 이에 대한 몫군 \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})는 단순군이다. \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})의 이산 부분군은 **푹스 군**이라고 하며, 모듈러 군 \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )이 대표적인 예이다.

원군 \operatorname{SO}(2)는 \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}^+(2,1)의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 극대 콤팩트 부분군이다.

### 위상수학적 성질

\operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})와 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로, \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})는 상반평면 {\mathbb H}의 접다발 T\mathbb H 속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

{\mathbb H}는 축약 가능 공간이며, 따라서 \operatorname {PSL}(2;{\mathbb R})와 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )는 원 \mathbb {S} ^{1}과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다.

\pi\_n(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\pi\_n(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\cong\begin{cases}1&n\ne1\\\mathbb Z&n=1\end{cases}
범피복 공간 \widetilde{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.

### 표현론

#### 유한 차원 표현

\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 유한 차원 표현론은 \operatorname {SU} (2)의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 n=0,1,\dots에 대하여 2n+1차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 (n=0인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.

#### 무한 차원 표현

\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 무한 차원 표현론은 \operatorname {SU} (2)의 경우와 전혀 다르다. \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 무한 차원 기약 허용 표현(영어: admissible representation)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.

* 모든 0이 아닌 정수 \mu\in\mathbb Z\setminus\{0\}에 대하여, **이산열 표현**(離散列表現, 영어: discrete series representation) D\_{\mu }
* 이산열 표현의 극한 D\_{+0}, D\_{-0}
* **주열 표현**(主列表現, 영어: principal series representation) I\_{\epsilon,\mu}, \mu\in\mathbb C, \epsilon\in\{\pm1\}, \epsilon\ne-(-1)^\mu. I\_{\epsilon,\mu}는 I\_{\epsilon,-\mu}와 동형이다.

이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.

* 모든 이산열 표현 D\_{\mu } 및 극한 D\_{\pm0}
* 주열 표현 I\_{\pm,i\mu}, \mu\in\mathbb R
* 주열 표현 I\_{+,\mu}, 0<|\mu|<1

참고 문헌
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* Lang, Serge (1985). 《SL2(**R**)》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **105** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5142-2. ISBN 978-1-4612-9581-5. Zbl 0583.22001.
* Kisil, Vladimir V. (2007년 12월). "Starting with the group *SL*2(R)" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **54** (11). Zbl 1137.22006.