산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명이다.  
PR은 중심이 O인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 *a*와 *b*의 산술 평균이다. 사영 정리를 쓰면, 삼각형 PGR에서 PR을 밑변으로 할 때의 높이 GQ는 기하 평균이다. *a*:*b*의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ이다.
(*x* + *y*)2 ≥ 4*xy*의 시각적인 증명이다. 양변에 제곱근을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.
수학에서 **산술-기하 평균 부등식**(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

정의
--

음이 아닌 실수들 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}\geq 0}이 주어졌다고 하자. **산술-기하 평균 부등식**에 따르면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}}
특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}\iff x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}}

증명
--

### 귀납적 증명

음이 아닌 실수 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n}\geq 0} 및 그 산술 평균

{\displaystyle x={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle x^{n}\geq x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}
{\displaystyle x^{n}=x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}\iff x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}}
이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, n=1인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, n에 대하여 성립한다는 가정 아래, {\displaystyle n+1}에 대한 산술-기하 평균 부등식

{\displaystyle x^{n+1}\geq x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n+1}}
{\displaystyle x^{n+1}=x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n+1}\iff x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n+1}}
{\displaystyle x={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n+1}}{n+1}}}
을 보이자.

만약 {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n+1}}라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, x보다 큰 수와 x보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, {\displaystyle x\_{n}>x>x\_{n+1}}라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

{\displaystyle (x\_{n}-x)(x-x\_{n+1})>0} ①
이다. 또한, 양의 실수

{\displaystyle y=x\_{n}+x\_{n+1}-x\geq x\_{n}-x>0}
를 정의하면, 다음에 따라, x는 n개의 음이 아닌 실수 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n-1},y}의 산술 평균이기도 하다.

{\displaystyle {\begin{aligned}nx&=x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n-1}+x\_{n}+x\_{n+1}-x\\&=x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n-1}+y\end{aligned}}}
귀납 가정에 따라,

{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n-1}yx} ②
이며, 또한 ①에 따라

{\displaystyle yx-x\_{n}x\_{n+1}=(x\_{n}+x\_{n+1}-x)x-x\_{n}x\_{n+1}=(x\_{n}-x)(x-x\_{n+1})>0}
이므로,

{\displaystyle yx>x\_{n}x\_{n+1}} ③
이다. ②와 ③에 따라,

{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n-1}yx\geq x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n-1}x\_{n}x\_{n+1}} ④
④에서, x>0이므로, 만약 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n-1}} 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 {\displaystyle n+1}에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

### 코시의 증명

#### 모든 항이 같은 경우

만약

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}}
이라면, 산술 평균과 기하 평균은 x\_{1}로 같다.

#### 모든 항이 같지는 않은 경우

만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 {\displaystyle n>1}이다.

##### *n* = 2

서로 다른 두 항 x\_{1},x\_{2}가 주어지면,

{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x\_{1}+x\_{2}}{2}}\right)^{2}-x\_{1}x\_{2}&={\frac {1}{4}}(x\_{1}^{2}+2x\_{1}x\_{2}+x\_{2}^{2})-x\_{1}x\_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x\_{1}^{2}-2x\_{1}x\_{2}+x\_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x\_{1}-x\_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}}
이므로,

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}}{2}}>{\sqrt {x\_{1}x\_{2}}}}
이다.

##### *n* = 2*k*

n이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, k에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

{\displaystyle k=1}인 경우, 즉 n=2인 경우는 이미 증명되었다.

{\displaystyle k-1}에 대한 부등식의 가정 아래, k에 대한 부등식을 보이자.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x\_{2^{k-1}+1}+x\_{2^{k-1}+2}+\cdots +x\_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x\_{2^{k-1}+1}x\_{2^{k-1}+2}\cdots x\_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x\_{2^{k-1}+1}x\_{2^{k-1}+2}\cdots x\_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{2^{k}}}}\end{aligned}}}
여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{2^{k-1}}}
{\displaystyle x\_{2^{k}+1}=x\_{2^{k}+2}=\cdots =x\_{2^{k}}}
이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{2^{k}}}
이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{2^{k}}}}}
이다.

##### *n* < 2*k*

n이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, n보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 m을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수 x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n} 및 그 산술 평균 x가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 m개로 확장하자.

{\displaystyle x\_{n+1}=x\_{n+2}=\cdots =x\_{m}=x}
그렇다면, 이미 증명한 m에 대한 부등식에 따라,

{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}+x\_{n+1}+\cdots +x\_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}x\_{n+1}\cdots x\_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}}
따라서,

{\displaystyle x^{m}>x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}x^{m-n}}
즉,

{\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}}
이다.

### 미분을 통한 증명

우선, {\displaystyle n=1,2}인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, n>1에 대하여 성립한다는 가정 아래, {\displaystyle n+1>2}에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 {\displaystyle x\_{1}\neq x\_{2}}이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}+x\_{n+1}}{n+1}}-(x\_{1}\cdots x\_{n}x\_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0}
이는 음이 아닌 실수 {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}\geq 0}을 고정하고, 함수

{\displaystyle f(t)={\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}+t}{n+1}}-(x\_{1}\cdots x\_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)}
를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

{\displaystyle f(x\_{n+1})>0}
극값을 구하기 위해, f의 미분을 취하자.

{\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x\_{1}\cdots x\_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}}
따라서, f는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

{\displaystyle f'(t\_{0})=0\iff t\_{0}=(x\_{1}\cdots x\_{n})^{\frac {1}{n}}}
따라서, f의 가능한 극값은 다음과 같다.

{\displaystyle f(0)={\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}}{n+1}}>0}
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t\_{0})&={\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}+({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x\_{1}\cdots x\_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}}{n}}-({x\_{1}\cdots x\_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}}
{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }f(t)=\infty >0}
여기서, {\displaystyle f(t\_{0})=0}일 수 없는 이유는, 이미 {\displaystyle x\_{1}\neq x\_{2}}이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 {\displaystyle t\geq 0}에 대하여,

{\displaystyle f(t)>0}
이다. 특히, {\displaystyle t=x\_{n+1}}일 경우,

{\displaystyle f(x\_{n+1})>0}
이다. 이렇게 n+1에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

### 볼록성을 통한 증명

산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\dots ,x\_{n}>0}에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

{\displaystyle \ln {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x\_{1}+\ln x\_{2}+\cdots +\ln x\_{n})\qquad (\lnot x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n})}
이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

{\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)}
에 따라 성립한다.

관련 정리
-----

### 가중 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. *n*개의 음수가 아닌 실수들 *x*1, *x*2, …, *x**n*과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, α*n*가 있을 때, 가중치의 합 {\displaystyle \alpha =\alpha \_{1}+\alpha \_{2}+\cdots +\alpha \_{n}}이라 하면 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\frac {\alpha \_{1}x\_{1}+\alpha \_{2}x\_{2}+\cdots +\alpha \_{n}x\_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x\_{1}^{\alpha \_{1}}x\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots x\_{n}^{\alpha \_{n}}}}}
마찬가지로 이 부등식은 모든 *x**k*들이 같을 때 등식이 된다.

### 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명

{\displaystyle \alpha \_{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}를 가중치로 갖는 x\_{k}은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 {\displaystyle \alpha \_{k}}는 양수라고 가정할 수 있다.

{\displaystyle f(x)=lnx}에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

x>0일 때 {\displaystyle f(x)=lnx}는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha \_{1}x\_{1}+\cdots +\alpha \_{n}x\_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha \_{1}}{\alpha }}\ln x\_{1}+\cdots +{\frac {\alpha \_{n}}{\alpha }}\ln x\_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x\_{1}^{\alpha \_{1}}x\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots x\_{n}^{\alpha \_{n}}}}.\end{aligned}}}
이다. {\displaystyle f(x)=lnx}는 단조증가함수이므로

{\displaystyle {\frac {\alpha \_{1}x\_{1}+\alpha \_{2}x\_{2}+\cdots +\alpha \_{n}x\_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x\_{1}^{\alpha \_{1}}x\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots x\_{n}^{\alpha \_{n}}}}}
가 성립함이 증명된다.

### 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}\geq 0}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+{\frac {1}{x\_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}\leq {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots x\_{n}^{2}}{n}}}}
특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+{\frac {1}{x\_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}<{\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots x\_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n})}
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+{\frac {1}{x\_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots x\_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n})}
### 기타

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.