리 군론에서 **리 대수 근기**(Lie代數根基, 영어: Lie algebra radical)는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

정의
--

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}를 생각하자. 그렇다면, 그 **아이디얼**(영어: ideal)은 부분 리 대수 {\mathfrak {h}} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}
만약 {\mathfrak {g}}의 아이디얼 가운데, 가해 리 대수를 이루는 것들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이를 {\mathfrak {g}}의 **근기**라고 하며,:32, §I.2

{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {g}})}
로 표기한다.

성질
--

### 존재

정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

만약 {\mathfrak {g}}가 K-뇌터 가군일 경우, {\mathfrak {g}}의 근기가 존재한다.

**증명:**

다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.

* ㈎ {\mathfrak {g}}의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
* ㈏ {\mathfrak {g}}의 임의의 부분 가군들의 족 {\mathcal {I}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \sum {\mathcal {I}}=\sum {\mathcal {I}}'}가 되는 유한 집합 {\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}}가 존재한다.

**㈎의 증명**:
{\mathfrak {g}}의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

{\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {g}}}
그렇다면, \mathfrak a+\mathfrak b는 역시 {\mathfrak {g}}의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다.
짧은 완전열

{\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\to {\frac {{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}{\mathfrak {a}}}\cong {\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}}}\to 0}
에 의하여, \mathfrak a+\mathfrak b는 가해 리 대수 {\mathfrak b}의 몫 {\displaystyle {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}의, 가해 리 대수 \mathfrak a에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

**㈏의 증명**:
{\mathfrak {g}}의 K-부분 가군들의 족

{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Pow} ({\mathfrak {g}})}
이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합

{\displaystyle {\mathcal {I}}'\subseteq {\mathcal {I}}}
{\displaystyle |{\mathcal {I}}'|<\aleph \_{0}}
에 대하여

{\displaystyle \sum {\mathcal {I}}'\subsetneq \sum {\mathcal {I}}}
라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, {\mathcal {I}}의 원소들의 열 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{0},{\mathfrak {a}}\_{1},\dotsc }을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.

임의의 i\in \mathbb {N} 에 대하여, 귀류법 가정에 따라 {\displaystyle \textstyle \sum \_{j<i}{\mathfrak {a}}\_{j}\subsetneq \sum {\mathcal {I}}}이므로, {\displaystyle \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum \_{j<i}{\mathfrak {a}}\_{j}\}\neq \varnothing }이다. 선택 공리를 사용하여, {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{i}\in \{{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}\colon {\mathfrak {b}}\not \subseteq \textstyle \sum \_{j<i}{\mathfrak {a}}\_{j}\}}를 임의로 고른다.
그렇다면, 구성에 따라

{\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{0}+{\mathfrak {a}}\_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}\_{0}+{\mathfrak {a}}\_{1}+{\mathfrak {a}}\_{2}\subsetneq \dotsb }
이다. 이는 {\mathfrak {g}}가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.

특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다.:32, Proposition 1.12

### 관련 개념과의 관계

체 K 위의 유한 차원 리 대수 {\mathfrak {g}}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathfrak {g}}의 근기가 0이다.
* {\mathfrak {g}}는 반단순 리 대수이다.

체 K 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 만약

{\displaystyle \operatorname {rad} {\mathfrak {g}}=\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})}
라면, {\mathfrak {g}}를 **가약 리 대수**(可約Lie代數, 영어: reductive Lie algebra)라고 한다.

예
-

가환환 K 위의 가해 리 대수 {\mathfrak {g}}의 근기는 (항상 존재하며) {\mathfrak {g}} 전체이다.

참고 문헌
-----

1. 1 2  Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) **140** 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)