대수기하학에서 **가중 사영 공간**(加重射影空間, 영어: weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

정의
--

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* 양의 정수 {\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}}

그렇다면, 등급환인 가환환

{\displaystyle A=K[x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]}
{\displaystyle \deg x\_{i}=a\_{i}}
을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

{\displaystyle \operatorname {Proj} A=\mathbb {P} \_{K}(a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})}
을 무게 {\displaystyle (a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})}의 **가중 사영 공간**이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 K의 곱이다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})=\mathbb {P} \_{\mathbb {Z} }(a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\times K}
즉, 만약 K가 체일 때, K^\times는 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]/(x\_{0},\dotsc ,x\_{n})}에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle \lambda \cdot x\_{i}=\lambda ^{a\_{i}}x\_{i}}
따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(a\_{0},\dotsc ,a\_{n})={\frac {\operatorname {Spec} K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]/(x\_{0},\dotsc ,x\_{n})}{\mathbb {G} \_{\mathrm {m} }^{K}}}}
그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\{(x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}}{(x\_{0},\dotsc ,x\_{n})\sim (\lambda ^{a\_{0}}x\_{0},\dotsc ,\lambda ^{a\_{0}}x\_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}}}

분류
--

K가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

임의의 양의 정수 {\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{+}} 및 {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}}에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

{\displaystyle \mathbb {P} (a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\cong \mathbb {P} (da\_{0},da\_{1},\dotsc ,da\_{i-1},a\_{i},da\_{i+1},\dotsc ,da\_{n})\cong \mathbb {P} (da\_{0},da\_{1},\dotsc ,da\_{i},\dotsc ,da\_{n})}
무게 {\displaystyle (a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})} 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 **잘 만들어진 무게**(영어: well formed weights)라고 하자.

임의의 n개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}}에 대하여, {\displaystyle \gcd\{a\_{0},\dotsc ,{\widehat {a\_{i}}},\dotsc ,a\_{n}\}=1}. (여기서 {\displaystyle {\widehat {a\_{i}}}}는 a\_{i}를 생략하라는 뜻이다.)
따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

성질
--

정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체 K 위의 가중 사영 공간은 K 위의 사영 대수다양체를 이룬다.:Theorem 4.3.9

### 아핀 덮개

가환환 K에 대하여, 가중 사영 공간 {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(a\_{0},\dotsc ,a\_{i})}는 다음과 같이 n+1개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 {\displaystyle i\in \{0,\dotsc ,n\}}에 대하여, x\_i로 정의되는 열린집합

{\displaystyle U\_{i}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} \_{K}(a\_{0},\dotsc ,a\_{n})\colon (x\_{i})\not \subseteq {\mathfrak {p}}\}}
은 아핀 스킴이다.

특히, K가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, U\_{i}에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

{\displaystyle A\_{i}=K[x\_{0},\dotsc ,{\hat {x}}\_{i},\dotsc ,x\_{n}]/\mu \_{a\_{i}}}
여기서 {\displaystyle \mu \_{a\_{i}}=\{\lambda \in K^{\times }\colon \lambda ^{a\_{i}}=1\}}는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은

{\displaystyle \lambda \cdot x\_{j}=\lambda ^{a\_{j}}x\_{j}}
이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(영어: GIT quotient)

{\displaystyle A\_{i}=\operatorname {Spec} \left(K[x\_{0},\dotsc ,{\hat {x}}\_{i},\dotsc ,x\_{n}]^{\mu \_{a\_{i}}}\right)}
이다. 여기서 {\displaystyle R^{G}}는 G의 작용에 불변인 R의 원소들의 부분환이다.

이 경우, 만약 {\displaystyle (a\_{0},\dotsc ,{\hat {a}}\_{i},\dotsc ,a\_{n})\neq (1,\dotsc ,1)}인 경우, 이는 원점 {\displaystyle (x\_{0},\dotsc ,{\hat {x}}\_{i},\dotsc ,x\_{n})=(0,\dotsc ,0)}에서 특이점을 갖는다.

예
-

만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(\underbrace {1,1,\dotsc ,1} \_{n+1})=\mathbb {P} \_{K}^{n}}
0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(n)\cong \mathbb {P} \_{K}^{0}=\operatorname {Spec} K}
1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(m,n)\cong \mathbb {P} \_{K}(m,1)\cong \mathbb {P} \_{K}(1,1)=\mathbb {P} \_{K}^{2}}
### ℙ(1,1,*n*)

2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,1,n)}이다. 이는 닫힌 몰입

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,1,n)\to \mathbb {P} \_{K}^{n+1}}
{\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{n}:x^{n-1}y:y^{n-2}y^{2}:\dotsb :x^{k}y^{n-k}:\dotsb :y^{n}:z]}
을 가지며, 이는 사영 대수다양체

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,1,n)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X\_{0},X\_{1},\dotsc ,X\_{n},Y]}{(\{X\_{i-1}X\_{j}-X\_{i}X\_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})}}}
를 이룬다. 이는 좌표 Y에 의존하지 않으므로, 유리 곡선 {\displaystyle \operatorname {Proj} K[X\_{0},\dotsc ,X\_{n}]/(\{X\_{i-1}X\_{j}-X\_{i}X\_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})} 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 {\displaystyle [0:0:\dotsb :0:1]}이다.

예를 들어, n=2인 경우

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,1,2)\to \mathbb {P} \_{K}^{3}}
{\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{2}:xy:y^{2}:z]}
이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,1,2)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^{2})}}}
이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.

### ℙ(1,2,3,…)

가환환 K에 대하여, 사영 공간 {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]}를 생각하자. 그 위에는 대칭군 {\displaystyle \operatorname {Sym} (n+1)}이 좌표 {\displaystyle (x\_{0},\dotsc ,x\_{n})}에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})}
을 생각하자. 이 경우, {\displaystyle K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)}}은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다.

{\displaystyle X\_{1}=x\_{0}+x\_{1}+\dotsb +x\_{n}}
{\displaystyle X\_{2}=x\_{0}x\_{1}+x\_{0}x\_{2}+\dotsb +x\_{i}x\_{j}+\dotsb +x\_{n-1}x\_{n}}
\vdots
{\displaystyle X\_{n+1}=x\_{0}x\_{1}\dotsm x\_{n}}
{\displaystyle \deg X\_{i}=i\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n+1\})}
따라서 이는 가중 사영 공간

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x\_{0},\dotsc ,x\_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})=\mathbb {P} \_{K}(1,2,\dotsc ,n,n+1)}
을 이룬다.

역사
--

이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(프랑스어: Charles Delorme)이 ‘비등방 사영 공간’(프랑스어: espace projectif anisotrope)이라는 이름으로 연구하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Dolgachev, Igor (1982). 〈Weighted projective varieties〉 (PDF). Carrell, J.B. 《Group actions and vector fields. Proceedings of a Polish-North American Seminar Held at the University of British Columbia, January 15 - February 15, 1981》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **956**. Springer-Verlag. 34–71쪽. doi:10.1007/BFb0101508. ISBN 978-3-540-11946-3. MR 0704986.
2. 1 2  Hosgood, Timothy (2016). "An introduction to varieties in weighted projective space" (영어). arXiv:1604.02441. Bibcode:2016arXiv160402441H.
3. ↑  Delorme, Charles (1975). "Espaces projectifs anisotropes". 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) **103**: 203–223. doi:10.24033/bsmf.1802. MR 404277. Zbl 0314.14016.