끈 이론| 칼라비-야우 다양체의 예 |
| 보손 끈 이론2차원 등각 장론 · BRST 양자화 |
| 막끈 · D-막 · 천-페이턴 인자 · 보른-인펠트 이론 · 미분 형식 전기역학 · NS5-막 · 오리엔티폴드 · 하나니-위튼 전이 |
| 초끈초대칭  · GSO 사영  · 그린-슈워츠 초끈  · 잡종 끈 이론  · 라몽-라몽 장  · 캘브-라몽 장 (액시온) |
| 축소화칼루차-클레인 이론  · T-이중성  · 칼라비-야우 다양체 · 거울 대칭  · 오비폴드  · 코니폴드  · F이론  · 라디온  · 중력광자 |
| M이론AdS/CFT 대응성 · 홀로그래피 원리 · 행렬 이론 · S-이중성 · 타키온 응축 |
| 양자 중력초중력 · 딜라톤  · 브랜스-딕 이론 · 블랙홀 열역학 |
| 관련 과학자그로스 · M. 그린 · B. 그린 · 더프 · 데이크흐라프 · 라몽 · 랜들 · 만델스탐 · 말다세나 · 무어 · 바파 · 베네치아노 · 서스킨드 · 센 · 셰르크 · 슈워츠 · 스트로민저 · 아르카니하메드 · 위튼 · 자이베르그 · 타운젠드 · 폴랴코프 · 폴친스키 · 카쿠 |
| * v
* t
* e
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끈 이론과 수리물리학에서 **거울 대칭**(거울對稱, 영어: mirror symmetry 미러 시메트리[\*])은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 초끈 이론이 서로 동치인 현상이다.:411–415 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의
--

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

**거울 대칭**에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 M에 대하여, 이에 대응하는 공간 W가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 H^{{p,q}}는 다음 관계를 만족한다.

H^{{p,q}}(M)=H^{{3-p,q}}(W).
이에 따라, M에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은 W에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

| ⅡA | ⅡB |
| --- | --- |
| 복소구조 모듈라이 | 일반화 켈러 다양체 구조 {\displaystyle (g,B)} 모듈라이 |
| D0-막 | 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막 |
| 호지 수 {\displaystyle h^{1,1}=h^{2,2}} | 호지 수 {\displaystyle h^{2,1}=h^{1,2}} |
| 호지 수 {\displaystyle h^{1,2}=h^{2,1}} | 호지 수 {\displaystyle h^{1,1}=h^{2,2}} |
| h^{{1,1}}개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 벡터 초다중항 {\displaystyle (g\_{i{\bar {\jmath }}},B\_{i{\bar {\jmath }}},C\_{\mu i{\bar {\jmath }}})} | h^{{2,1}}개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 벡터 초다중항 {\displaystyle (g\_{ij},g\_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}},C\_{\mu ij{\bar {k}}})} |
| h^{{2,1}}개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 {\displaystyle (g\_{ij},g\_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}},C\_{ij{\bar {k}}},C\_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}k})}) | h^{{1,1}}+1개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 {\displaystyle (g\_{i{\bar {\jmath }}},B\_{i{\bar {\jmath }}},C\_{i{\bar {\jmath }}},C\_{\mu \nu i{\bar {\jmath }}})}) |
| 1개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 중력 초다중항 {\displaystyle (g\_{\mu \nu },C\_{\mu })} | 1개의 4차원 {\mathcal {N}}=2 중력 초다중항 {\displaystyle (g\_{\mu \nu },C\_{\mu {\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}{\bar {k}}})} |

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  | 1 |
|  |  | 0 |  | 0 |
|  | 0 |  | *h*1,1 |  | 0 |
| 1 |  | *h*1,2 |  | *h*1,2 |  | 1 |
|  | 0 |  | *h*1,1 |  | 0 |
|  |  | 0 |  | 0 |
|  |  |  | 1 |

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

* ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 B\_{{\mu \nu }}(의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 {\displaystyle C\_{ijk}}, {\displaystyle C\_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}{\bar {k}}}}
* ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 B\_{{\mu \nu }}(의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 {\displaystyle C\_{\mu \nu }}(의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 C\_{0}

### 2차원 게이지 선형 시그마 모형

 이 부분의 본문은 위상 끈 이론입니다.
거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(vector supermultiplet)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(chiral supermultiplet), 그리고 비틀린 손지기 초다중항(twisted chiral supermultplet)을 이루는 장세기(field strength)의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로(일본어: 堀 健太朗)와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.:463–479

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model)에 대응한다.

일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 {\mathcal N}=(2,2) 초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 **A모형**(영어: A-model)과 **B모형**(영어: B-model)이라고 한다. 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다.

이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

### 3차원 게이지 이론

 이 부분의 본문은 3차원 거울 대칭입니다.
3차원 {\mathcal {N}}=4 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서도 일종의 거울 대칭이 존재한다. 이는 4차원 {\mathcal {N}}=2 거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.

### 스트로민저-야우-재슬로 가설

**스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설**(영어: Strominger–Yau–Zaslow conjecture)은 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다. SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 *n*차원 칼라비-야우 다양체는 T*n* (실수 *n*차원 원환면) 올화(영어: fibration)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍 X,Y는 같은 공간 B 위의 원환면 올다발 \pi \_{X}\colon X\to B, \pi \_{Y}\colon Y\to B를 이루며, 임의의 올 b\in B에 대하여 X\_{b}=\pi \_{X}^{{-1}}(b)와 Y\_{b}=\pi \_{Y}^{{-1}}(b)는

X\_{b}=H^{1}(Y\_{b};{\mathbb R}/{\mathbb Z})
Y\_{b}=H^{1}(X\_{b};{\mathbb R}/{\mathbb Z})
의 관계를 가진다. 이는 *n*차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다. 이는 **큰 복소 구조 극한**(영어: large complex structure limit)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) {\mathbb C}/(0\sim 1\sim \tau )의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 \tau 의 극한 \tau \to i\infty 를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 **큰 부피 극한**(영어: large volume limit)에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑주 부분 다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 B와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 X\_{b}라면 코호몰로지 H^{1}(X\_{b};{\mathbb R}/{\mathbb Z})에 의하여 주어진다. X에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 Y에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, X에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 Y에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 Y이다. 즉, Y는 올다발 Y\to B 구조를 가지며, 그 올은 Y\_{b}=H^{1}(X\_{b};{\mathbb R}/{\mathbb Z})가 된다.

### 호몰로지 거울 대칭

이 주제 또한 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 **호몰로지 거울 대칭**(영어: homological mirror symmetry)

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.

* 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.
* 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.

하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 (M,W) 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

M의 연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = W의 후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주
여기서 양변은 다음과 같다.

* 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분 다양체를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, **A-모형**(영어: A-model)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는다.
* 연접층의 범주는 **B-모형**(영어: B-model)을 나타낸다.

이 A/B-모형은 **위상 끈 이론**의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

예
-

### 타원 곡선

거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 E는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소구조의 모듈라이 공간은

{\displaystyle \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
이다. 여기서 {\mathbb H}=\{z\in {\mathbb C}\colon \operatorname {Im}z>0\}는 열린 상반평면이며, \operatorname {PSL}(2,{\mathbb Z})는 모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 방향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원

S\colon z\mapsto -1/z
T\colon z\mapsto z+1
가운데 T만이 허용되고, 따라서 복소구조 모듈라이 공간은

{\displaystyle \mathbb {H} /\mathbb {Z} =\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}+(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}
이다.

반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 K\in H^{2}(E;{\mathbb R})\cong {\mathbb R}에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 타원 곡선의 넓이

\langle [E],K\rangle \in {\mathbb R}^{+}
으로 나타낼 수 있다. (여기서 [E]는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 K에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 {\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )}를 더하여 다음과 같은 **복소화 켈러 구조**(영어: complexified Kähler structure) {\mathcal K}를 생각할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {K}}=\mathrm {i} K+{\frac {1}{2\pi }}B\in {\frac {\operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {C} )}{\operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {Z} )}}}
복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다.

{\displaystyle \langle [E],{\mathcal {K}}\rangle \in \mathbb {H} /\mathbb {Z} =\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}+(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}
즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간(**복소화 켈러 뿔** 영어: complexified Kähler cone)은 {\mathbb H}/{\mathbb Z}이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 {\mathbb H}/{\mathbb Z}로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡA종 초끈 이론이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.

### K3 곡면

대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자.:425 K3 곡면의 모듈라이 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 h^{{1,1}}(K3)=20개는 켈러 모듈라이, 나머지 38개는 복소구조 모듈라이에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여

b\_{2}(K3)=h^{{1,1}}(K3)+2=22
개의 모듈라이가 추가된다. 이 가운데 h^{{1,1}}=20개의 모듈라이는 K3 곡면 켈러 모듈라이와 함께 복소수 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈라이들은 (일반화) 복소구조 모듈라이로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈라이가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈라이가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈라이를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈라이와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 ⅡA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈라이(끈 결합 상수)는 바뀌지 않는다.

사실, 이 이론은 4차원 원환면 위에 축소화한 잡종 끈 이론과 동치이다. d차원 원환면 위의 나레인 축소화의 모듈라이의 수는 (딜라톤 진공 기댓값 = 끈 결합 상수를 포함하면) {\displaystyle (16+d)d+1}인데, d=4일 때 이는 ⅡA의 81개의 모듈라이와 대응된다.

역사
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거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 1990년에 필립 칸델라스(영어: Philip Candelas)와 모니카 링커(Monika Lynker), 롤프 심리크(Rolf Schimmrigk)는 4차원 끈 이론 축소화를 연구하기 위하여 가중 사영 공간 속의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 컴퓨터를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 {\displaystyle \chi =2h^{1,1}+-2h^{2,1}}와 초다중항 수 {\displaystyle h^{1,1}+h^{2,1}}를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 {\displaystyle \chi \mapsto -\chi }에 대하여 거의 대칭이 되는 기적적인 현상을 발견하였다. 거의 동시에, 이와 독자적으로 브라이언 그린 · 로넨 플레세르(히브리어: מ. רוֹנֶן פְלֶסֶר)와 폴 스티븐 애스핀월(영어: Paul Stephen Aspinwall) · 카르스텐 안드레브 뤼트켄(노르웨이어: Carsten Andrew Lütken) · 그레이엄 갈런드 로스(영어: Graham Garland Ross) 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다.

1994년에 막심 콘체비치는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다. 이후 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로(Eric Zaslow)가 거울 대칭을 T-이중성의 특별한 경우로 해석하였다.

호몰로지 거울 대칭에 대한 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년에 수상하였다.

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