환론에서 **단순환**(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다.

정의
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(곱셈 항등원을 갖는) 환 R가 다음 두 성질을 만족시킨다면, R를 **단순환**이라고 한다.

* R\neq \{0\}이다. 즉, 자명환이 아니다.
* R의 모든 (양쪽) 아이디얼 {\mathfrak a}\subset R에 대하여, {\mathfrak a}=\{0\}이거나 {\mathfrak a}=R이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 A의 중심 {\displaystyle \operatorname {Z} (A)}은 항상 체이다. (이는 임의의 a\in A에 대하여, a\neq 0이라면 주 아이디얼 {\displaystyle (a)=A}이므로 a가 가역원이기 때문이다.) 체 K 위의 단위 결합 대수 A 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 K 위의 **중심 단순 대수**(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

* A는 단순환이다.
* {\displaystyle \dim \_{K}A}는 유한하다. 즉, K 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
* {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K}이다. 즉, 중심이 정확하게 K이다.

즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

성질
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극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 R에 대한 행렬환 \operatorname {Mat}(n;R)의 아이디얼은 R의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

### 스콜렘-뇌터 정리

체 K 위의 단순 대수 A와 중심 단순 대수 B가 주어졌다고 하자. **스콜렘-뇌터 정리**(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 임의의 두 K-단위 결합 대수 준동형

{\displaystyle f,g\colon A\to B}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 {\displaystyle b\in \operatorname {Unit} (B)}이 존재한다.

{\displaystyle g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad \forall a\in A}
특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 {\displaystyle a\mapsto bab^{-1}}이다.

분류
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단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환 및 오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. **아르틴-웨더번 정리**(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 R는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.:154, Theorem 5.3

R\cong \operatorname {Mat}(n;D)
여기서 D는 나눗셈환이며, \operatorname {Mat}(n,D)는 환 D에 대한 n\times n 행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, D와 n은 유일하게 결정된다.
구체적으로, R가 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. R는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 {\displaystyle D=\operatorname {End} (\_{R}M)}은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 {\displaystyle \_{D}M}는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 {\displaystyle R\cong \operatorname {End} (\_{D}M)}이다. 즉, {\displaystyle n=\dim \_{D}M}으로 놓으면, R\cong \operatorname {Mat}(n;D)이며, 또한 {\displaystyle \_{R}R\cong {}\_{R}M^{\oplus n}}이다.

만약 R가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 K의 브라우어 군으로 결정된다.

예
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모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다.

역사
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1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며, 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.:189, §5

참고 문헌
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1. ↑  Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **144**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Skolem, Thoralf (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". 《Skrifter Oslo》 (독일어) (12): 50. JFM 54.0154.02.
3. ↑  Noether, Emmy. "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **30** (1): 641–692. doi:10.1007/BF01187794. ISSN 0025-5874.
4. ↑  Bayer, Pilar (2009). 〈Emmy Noether: de l’àlgebra no commutativa a la theoria de nombres〉 (PDF). 《Acte Inaugural Curs Noether: The Emmy Noether Heritatge》 (카탈루냐어). 카탈루냐 공과대학교. 169–203쪽.

* Henderson, D. W. (1965). "A short proof of Wedderburn’s theorem". 《American Mathematical Monthly》 (영어) **72** (4): 385-386. doi:10.2307/2313499. JSTOR 2313499.
* Nicholson, W. Keith (1993). "A short proof of the Wedderburn-Artin theorem" (PDF). 《New Zealand Journal of Mathematics》 (영어) **22**: 83–86.