대수기하학에서, **안정점**(安定點, 영어: stable point)은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수 벡터 공간 V
* 가약 대수군 {\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V)}

그렇다면, 점 x\in V가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **안정점**이라고 한다.

1. 군의 작용의 궤도 {\displaystyle G.x}의 차원이 G의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)
2. {\displaystyle G.x}가 V의 닫힌집합이다.

안정점의 집합을 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }}라고 표기하자.

점 x\in V가 다음 조건을 만족시킨다면, **준안정점**(영어: semistable point)이라고 한다.

* 어떤 k차 G-불변 동차 다항식 p에 대하여 (k\ge1), {\displaystyle p(x)\neq 0}이다.

준안정점의 집합을 {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}라고 표기하자.

V에 대한 복소수 사영 공간 {\displaystyle \mathbb {P} (V)}의 점 {\displaystyle [x]\in \mathbb {P} (V)}의 경우, 그 점의 대표원 x\in V이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. X가 {\displaystyle \mathbb {P} (V)} 속의, G의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

성질
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사영 대수다양체 {\displaystyle X\subseteq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]}를 정의하는 동차 아이디얼

{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {C} [x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]}
을 생각하자. 그렇다면, G는 {\displaystyle \mathbb {C} [x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]/{\mathfrak {I}}} 위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합

{\displaystyle (\mathbb {C} [x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]/{\mathfrak {I}})^{G}}
을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 {\displaystyle X/\!/G}라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\subseteq &X^{\operatorname {ss} }&\subseteq X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\subseteq &X/\!/G\end{matrix}}}
여기서, {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}와 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }}는 X의 열린집합이며, 마찬가지로 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G}는 {\displaystyle X/\!/G}의 열린집합이다.

### 안정성의 수치 조건

n차원 복소수 벡터 공간 V의 복소수 사영 공간 {\displaystyle \operatorname {P} (V)} 위에 {\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V;\mathbb {C} )}가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

{\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}
에 대하여, V를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

{\displaystyle V\_{i}=\{v\in V\colon \lambda (t)v=t^{i}v\}}
{\displaystyle V=\bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} }V\_{i}}
(일부 i에 대하여 {\displaystyle V\_{i}=0}일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

{\displaystyle \pi \_{i}\colon V\twoheadrightarrow V\_{i}}
라고 하자.

그렇다면, 임의의 v\in V에 대하여

{\displaystyle \mu \_{\lambda }(v)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon \pi \_{i}(v)\neq 0\}}
을 정의하자. **힐베르트-멈퍼드 수치 조건**(Hilber-Mumford數値條件, 영어: Hilbert–Mumford numerical condition for stability)에 따르면, 임의의 v\in V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 임의의 {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}에 대하여 {\displaystyle \mu \_{\lambda }(v)<0}이다.
* v는 안정점이다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 임의의 {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}에 대하여 {\displaystyle \mu \_{\lambda }(v)\leq 0}이다.
* v는 준안정점이다.

역사
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1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(독일어: Nullform 눌포름[\*])이라는 이름으로 연구하였다. 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970). "Invariant theory, old and new". 《Advances in Mathematics》 (영어) **4**: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. ISSN 0001-8708. MR 0255525.
2. 1 2  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, Frances (1994). 《Geometric invariant theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **34** 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57916-5. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.
3. ↑  Hilbert, David (1893). "Über die vollen Invariantensysteme". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **42**: 313. doi:10.1007/BF01444162.