대수기하학에서 **군 스킴**(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.

정의
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**군 스킴**은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

### 군 대상을 통한 정의

스킴 S가 주어졌다고 하자. S 위의 **군 스킴**은 스킴의 범주의 조각 범주 \operatorname {Sch}/S 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 (G,m,e,i)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* {\displaystyle G/S}는 S-스킴이다.
* {\displaystyle m\colon G\times \_{S}G\to G}는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
* {\displaystyle e\colon S\to G}는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
* i\colon G\to G는 S-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

### 함자를 통한 정의

스킴 S 위의 **군 스킴**은 다음 조건을 만족시키는 함자

{\displaystyle G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
이다.

* {\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }는 표현 가능 함자이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\cong \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(-,X)}가 되는 S-스킴 X가 존재한다.

여기서

{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} }
는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, \operatorname {Sch}/S 속의 군 대상 G가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 {\displaystyle \hom(-,G)}는 둘째 정의에 부합한다.

성질
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스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Sch} \to \operatorname {Top} }
를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 K에 대하여, \operatorname{Spec}K 위의 군 스킴 G의 K-유리점의 집합 {\displaystyle G(K)}을 취할 수 있다. 이 경우,

{\displaystyle (G\times \_{\operatorname {Spec} K}G)(K)=G(K)\times \_{\operatorname {Set} }G(K)}
이므로, 집합 {\displaystyle G(K)} 위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체 \mathbb {C}  위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

예
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### 곱셈 군 스킴

스킴 S 위의 군 스킴 {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }}은 스킴으로서 원점을 제거한 S-아핀 직선 {\displaystyle \mathbb {A} \_{S}^{1}\setminus \{0\}}이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}
여기서 \Gamma 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}^{\times }}는 구조층 {\mathcal O}\_{X}의 가역원군층이다. 특히, 만약 {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 R계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\cong \operatorname {Spec} [x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} R[x,y]/(xy-1)}
이 경우, 군 이항 연산

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\times \_{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }}
은 다음과 같은 R-결합 대수의 준동형에 대응한다.

{\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]\star \_{R}R[z,z^{-1}]}
{\displaystyle x\mapsto yz}
마찬가지로, 항등원

{\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }}
은 다음과 같은 R-결합 대수의 준동형에 대응한다.

{\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R}
{\displaystyle x\mapsto 1}
이는 로랑 다항식환 {\displaystyle R[x,x^{-1}]}의 호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴 S 위의 **일반 선형군 스킴**(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme) {\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)}는 함자로서 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\mapsto \operatorname {Mat} (n;\Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X}^{\times }))}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Mat} (;)}는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }=\operatorname {GL} (1;S)}이다.

### 덧셈 군 스킴

스킴 S 위의 군 스킴 {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }}는 스킴으로서 S-아핀 직선 {\displaystyle \mathbb {A} \_{S}^{1}=\operatorname {Spec} (S[x])}이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X})}
여기서 \Gamma 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}가 아핀 스킴이라면, {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }=\mathbb {A} \_{S}^{1}=\operatorname {Spec} R[x]}이다. 이 경우, 군의 이항 연산

{\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }\times \_{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} \_{\operatorname {a} }\to \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }}
은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

{\displaystyle R[x]\to R[y,z]=R[y]\star \_{R}R[z]}
{\displaystyle x\mapsto y+z}
군의 항등원 사상

{\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} \_{\operatorname {a} }}
은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

{\displaystyle R[x]\to R}
{\displaystyle x\mapsto 0}
### 1의 거듭제곱근 군 스킴

양의 정수 n에 대하여, **1의 n제곱근 군 스킴**(영어: group scheme of nth roots of unity) {\displaystyle \mathbb {\mu } \_{n}}은 n제곱 사상 {\displaystyle \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} \_{\operatorname {m} }}의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {\mu } \_{n}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \mathbb {\mu } \_{n}\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\to \{s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X})\colon s^{n}=1\_{\Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X})}\}}
특히, 만약 {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}가 아핀 스킴이라면, {\displaystyle \mathbb {\mu } \_{n}=\operatorname {Spec} (R[x]/(x^{n}-1))}이다.

### 상수 군 스킴

군 G가 주어졌다고 하자. 스킴 S 위의 **상수 군 스킴**(영어: constant group scheme) {\displaystyle G\_{S}}는 스킴으로서 분리합집합 {\displaystyle S^{\sqcup G}}이다 (즉, 위상 공간으로서 G에 이산 위상을 준다면 {\displaystyle G\times S}이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 G의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

{\displaystyle G\_{S}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle G\_{S}\colon X\mapsto G^{\times \operatorname {conn\,comp} (X)}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {conn\,comp} (X)}는 X의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히, G가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 {\displaystyle S/S}는 S 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 S 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

### 대각화 가능 군 스킴

아벨 군 G가 주어졌다고 하자. 스킴 S 위의 **대각화 가능 군 스킴**(영어: diagonalizable group scheme) {\displaystyle \operatorname {Diag} (G)}는 함자로서 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\mapsto \hom \_{\operatorname {Ab} }\left(G,(\Gamma (X,{\mathcal {O}}\_{X})^{\times }\right)}
만약 {\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}가 아핀 스킴이라면, {\displaystyle \operatorname {Diag} G=\operatorname {Spec} (R[G])}는 군환 R[G]의 스펙트럼이다.

### 아핀 군 스킴

가환환 R 위의 가환 호프 대수 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 {\displaystyle \operatorname {Spec} H}는 표준적으로 \operatorname {Spec} R-군 스킴을 이룬다. 반대로, \operatorname {Spec} R 위의 모든 아핀 군 스킴은 R 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

| 군 스킴 | 호프 대수 |
| --- | --- |
| 곱 {\displaystyle \Delta ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\times \_{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes \_{R}H)\to \operatorname {Spec} H} | 쌍대곱 {\displaystyle \Delta \colon H\to H\otimes \_{R}H} |
| 항등원 {\displaystyle \epsilon ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} H} | 쌍대항등원 \epsilon \colon H\to R |
| 역원 {\displaystyle S^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H} | 앤티포드 S\colon H\to H |
| \operatorname {Spec} R-스킴의 구조 사상 {\displaystyle \eta ^{\operatorname {op} }\operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} R} | 항등원 \eta \colon R\to H |
| 대각 사상 {\displaystyle \operatorname {diag} \_{\operatorname {Spec} H/R}=\nabla ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H\times \_{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes \_{R}H)} | 곱 {\displaystyle \nabla \colon H\otimes \_{R}H\to H} |

참고 문헌
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* Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). 《Introduction to algebraic geometry and algebraic groups》 (영어). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-85443-6.
* Conrad, Brian. 〈Reductive group schemes〉. 《Autour des schémas en groupes. École d’été "Schémas en groupes". Volume I》. Panoramas et Synthèses (영어) **42**. Société Mathématique de France. ISBN 978-2-85629-794-0. Zbl 06479627. 2016년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 1일에 확인함.
* Demazure, M.; Grothendieck, A. 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **151**. Springer. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. ISSN 0075-8434.
* Demazure, M.; Grothendieck, A. 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **152**. Springer. doi:10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3-540-05180-0. ISSN 0075-8434.
* Michel, Demazure; Grothendieck, A. 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **153**. Springer. doi:10.1007/BFb0059027. ISBN 978-3-540-05181-7. ISSN 0075-8434.