환론에서, 가군의 **근기**(根基, 영어: radical 래디컬[\*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 **주각**(柱脚, 영어: socle 소클[\*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 **제이컵슨 근기**(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

정의
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환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 주어졌다고 하자. M의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 **극대 부분 가군**이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 {\displaystyle \_{R}N\subsetneq {}\_{R}M}은 {\displaystyle \_{R}(M/N)}이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, M의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 **극소 부분 가군**(영어: minimal submodule)이라고 하자.

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 **근기**(根基, 영어: radical) {\displaystyle \operatorname {rad} M}와 **주각**(柱脚, 영어: socle) {\displaystyle \operatorname {soc} M}을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 M의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 M의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 M의 **근기** {\displaystyle \operatorname {rad} M\subseteq M}라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 M과 같다.) 왼쪽 가군 M의 모든 극소 부분 가군들의 합은 M의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 M의 **주각** {\displaystyle \operatorname {soc} M\subseteq M}이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

### 환의 근기와 주각

환 R를 스스로 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}R} 또는 오른쪽 가군 {\displaystyle R\_{R}}으로 생각할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle \_{R}R}와 {\displaystyle R\_{R}}의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

{\displaystyle \_{R}R}와 {\displaystyle R\_{R}}의 근기는 R의 동일한 부분 집합을 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {rad} (\_{R}R)=\operatorname {rad} (R\_{R})\subseteq R}
이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, R의 **제이컵슨 근기**(영어: Jacobson radical)라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 {\displaystyle \operatorname {soc} (\_{R}R)}(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 {\displaystyle \operatorname {soc} (R\_{R})}(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 R의 **왼쪽 주각**(영어: left socle) 및 **오른쪽 주각**(영어: right socle)이라고 한다.

성질
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임의의 R-가군 준동형 {\displaystyle f\colon {}\_{R}M\to {}\_{R}N}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N}
{\displaystyle f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N}
모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 경우 {\displaystyle M\neq \operatorname {rad} (\_{R}M)}이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합

{\displaystyle M=\bigoplus \_{i\in I}M\_{i}}
에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {soc} M\cong \bigoplus \_{i\in I}\operatorname {soc} M\_{i}}
{\displaystyle \operatorname {rad} M\cong \bigoplus \_{i\in I}\operatorname {rad} M\_{i}}
모든 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {rad} \left(\_{M}R/\operatorname {rad} (\_{R}M)\right)=0}
{\displaystyle \operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (\_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (\_{R}M)}
### 환·가군 성질의 필요충분조건

왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 반단순 가군이다.
* {\displaystyle \operatorname {soc} (\_{R}M)=M}이다.

환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 반단순환이다.
* {\displaystyle \operatorname {soc} (\_{R}R)=R}이다.
* {\displaystyle \operatorname {soc} (R\_{R})=R}이다.
* 모든 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}에 대하여 {\displaystyle \operatorname {soc} (\_{R}M)=M}이다.
* 모든 오른쪽 가군 M\_{R}에 대하여 {\displaystyle \operatorname {soc} (M\_{R})=M}이다.

환 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 반원시환이다.
* {\displaystyle \operatorname {rad} R=0}이다.

### 아이디얼성

제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 R의 경우 {\displaystyle R\neq \operatorname {rad} (R)}이다.

환 R의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

### 나카야마 보조정리

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}이 주어졌다고 하자. {\displaystyle \operatorname {rad} R}는 아이디얼이므로,

{\displaystyle (\operatorname {rad} R)M=\left\{r\_{1}m\_{1}+r\_{2}m\_{2}+\cdots +r\_{k}m\_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r\_{1},\dots ,r\_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m\_{1},\dots ,m\_{k}\in M\right\}\subseteq M}
는 {\displaystyle \_{R}M}의 부분 가군을 이룬다. **나카야마 보조정리**(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.

* M은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
* {\displaystyle (\operatorname {rad} R)M\subsetneq M}이다.
* {\displaystyle M=0}이다.

**증명:**

{\displaystyle \_{R}M}이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. m\_{1},\dots ,m\_{k}\in M가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* (생성 집합) {\displaystyle Rm\_{1}+Rm\_{2}+\cdots +Rm\_{k}=M}
* (극소성) 임의의 {\displaystyle 1\leq i\leq k}에 대하여, {\displaystyle Rm\_{1}+Rm\_{2}+\cdots +Rm\_{i-1}+Rm\_{i+1}+\cdots +Rm\_{k}\neq M}

M이 영가군이 아니므로 k\ge1이다.

귀류법을 사용하여, {\displaystyle \operatorname {rad} (R)M=M}이라고 가정하자. 그렇다면,

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}m\_{i}=\sum \_{i=1}^{k}j\_{i}r\_{i}m\_{i}}
가 되는 {\displaystyle r\_{1},\dots ,r\_{k}\in R} 및 {\displaystyle j\_{1},\dots ,j\_{k}\in \operatorname {rad} (R)}가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 {\displaystyle 1\leq i\leq k}에 대하여 {\displaystyle 1-j\_{i}r\_{i}\in R^{\times }}는 가역원이다. 따라서,

{\displaystyle m\_{1}=-(1-j\_{1}r\_{1})^{-1}\sum \_{i=2}^{k}(1-j\_{i}r\_{i})m\_{i}}
가 되며, 이는 {\displaystyle \{m\_{1},\dots ,m\_{k}\}}의 극소성과 모순된다.

### 제이컵슨 근기의 원소의 성질

환 R의 원소 r\in R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\displaystyle r\in \operatorname {rad} R}이다.
* 임의의 왼쪽 단순 가군 M에 대하여, rM=\{0\}이다.
* 임의의 오른쪽 단순 가군 M에 대하여, Mr=\{0\}이다.
* 모든 왼쪽 극대 아이디얼 {\mathfrak m}에 대하여, r\in {\mathfrak m}
* 모든 오른쪽 극대 아이디얼 {\mathfrak m}에 대하여, r\in {\mathfrak m}
* 모든 s\in R에 대하여, 1-rs는 가역원이다.
* 모든 s\in R에 대하여, 1-sr는 가역원이다.
* 모든 s,s'\in R에 대하여, 1-srs'는 가역원이다.

즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 R의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

{\displaystyle {\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R}
만약 가환환 R가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

예
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### 환의 근기와 주각

체 K는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

{\displaystyle \operatorname {rad} K=0}
{\displaystyle \operatorname {soc} K=K}
보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 \mathbb {Z} 의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 (R,{\mathfrak m})의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 {\mathfrak m}이다.

정수환의 몫환 \mathbb {Z} /(n)의 극대 아이디얼들은 n\in\mathbb Z의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, n의 소인수 분해가

n=\prod \_{i}p\_{i}^{{n\_{i}}}
라면, \mathbb {Z} /(n)의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 n이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

{\displaystyle \operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod \_{i}p\_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)}
### 아벨 군의 근기와 주각

아벨 군은 정수환 \mathbb {Z}  위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

#### 순환군

무한 순환군 \mathbb {Z} 은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 p에 대하여 {\displaystyle p\mathbb {Z} }의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.

{\displaystyle \operatorname {rad} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0}
임의의 자연수 n의 소인수 분해

{\displaystyle n=p\_{1}^{n\_{1}}p\_{2}^{n\_{2}}\cdots p\_{k}^{n\_{k}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기

{\displaystyle \operatorname {rad} (n)=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{k}}
를 정의할 수 있다. n차 순환군 \mathbb {Z} /n의 극소 부분군은 n의 소인수 p\_i 크기의 순환군 {\displaystyle (n/p\_{i})\mathbb {Z} /n}이며, 극대 부분군은 {\displaystyle n/p\_{i}} 크기의 순환군 {\displaystyle (p\_{i})\mathbb {Z} /n}에 대응한다. 따라서, 이 경우

{\displaystyle \operatorname {rad} (\_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))}
{\displaystyle \operatorname {soc} (\_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)}
이다.

#### 나눗셈군

나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

{\displaystyle \operatorname {rad} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }
{\displaystyle \operatorname {soc} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0}
프뤼퍼 군의 부분군들은

{\displaystyle 0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })}
이므로, 그 유일한 극소 부분군은 {\displaystyle p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }이며, 이는 그 주각과 같다.

{\displaystyle \operatorname {rad} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })}
{\displaystyle \operatorname {soc} (\_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }

역사
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환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.:168

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Dieudonné, Jean (1942). "Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis". 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) **70**: 46–75. ISSN 0037-9484. Zbl 0060.07203.
2. ↑  Lambek, Joachim (1986). "Lectures on rings and modules" (영어) 3판. Chelsea Publishing Company. MR 0206032.
3. ↑  Jacobson, Nathan (1945). "The radical and semi-simplicity for arbitrary rings". 《American Journal of Mathematics》 (영어) **67**: 300–320. doi:10.2307/2371731. ISSN 0002-9327. MR 12271.
4. ↑  Nakayama, Tadasi (1951). "A remark on finitely generated modules". 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) **3**: 139–140. ISSN 0027-7630. MR 0043770. Zbl 0044.26304.