확률론에서 **레비 확률 과정**(Lévy確率過程, 영어: Lévy stochastic process)은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다.

정의
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### 확률 연속 확률 과정

S가 균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. T가 어떤 위상 공간이라고 하자.

확률 과정 {\displaystyle (X\_{t}\colon \Omega \to S)\_{t\in T}}이 다음 조건을 만족시킨다면, X를 **확률 연속 확률 과정**(確率連續確率過程, 영어: stochatically continous stochastic process)이라고 한다.

* S의 임의의 측근 {\displaystyle \sim \_{\epsilon }}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \lim \_{s\to t}\Pr(X\_{s}\sim \_{\epsilon }X\_{t})=0}이다.

예를 들어, 만약 {\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}가 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다.

* 임의의 \epsilon >0 및 t\in [0,\infty )에 대하여, {\displaystyle \textstyle \lim \_{s\to t}\Pr(\|X\_{s}-X\_{t}\|>\epsilon )=0}

### 무한 분해 가능 과정

S가 보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. (T,\le)가 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, [0,\infty ), {\mathbb N}, \mathbb {R} , \mathbb {Z}  등)라고 하자.

확률 과정 {\displaystyle (X\_{t}\colon \Omega \to S)\_{t\in T}}이 다음 조건을 만족시킨다면, X를 **무한 분해 가능 확률 과정**(無限分解可能確率過程, 영어: infinitely divisible stochastic process)이라고 한다.

* (증분의 독립성) 임의의 {\displaystyle t\_{0}\leq t\_{1}\leq t\_{2}\leq \dotsb \leq t\_{n}}에 대하여, {\displaystyle \{X\_{t\_{0}}-X\_{t\_{1}},\dotsc ,X\_{t\_{n-1}}-X\_{n}\}}은 서로 독립인 확률 변수의 족이다.
	+ 특히, {\displaystyle t\_{i}=t\_{i+1}}일 경우, {\displaystyle X\_{t\_{i}}^{-1}X\_{t\_{i+1}}=0}은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다.
* (증분의 정상성) 임의의 {\displaystyle s\in T}에 대하여, {\displaystyle X\_{t}^{-1}X\_{s+t}}의 확률 분포는 X\_{s}의 확률 분포와 같다.
	+ 특히, s=t일 경우, {\displaystyle \Pr(X\_{0}=1\_{S})=1}이다.

여기서 ‘증분’(영어: increment)이란 {\displaystyle s,t\in T}에 대한 확률 변수 {\displaystyle X\_{t}^{-1}X\_{t+s}}를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 {\displaystyle X\_{t+s}-X\_{t}}와 같이 표기된다.

### 레비 과정

모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

위상군 S를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 [0,\infty )를 지표 공간으로 삼은 확률 과정

{\displaystyle (X\_{t}\colon \Omega \to S)\_{t\in [0,\infty )}}
이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, **레비 확률 과정**이라고 한다.

성질
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모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다.

### 레비-힌친 공식

\mathbb {R}  값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.

{\displaystyle \mathbb {E} \left(\exp(\mathrm {i} \theta X(t))\right)=\exp \left(t\left(a\mathrm {i} \theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int \_{\mathbb {R} \setminus \{0\}}\left(\exp(\mathrm {i} \theta x)-1-\mathrm {i} \theta x[|x|<1]\right)\Pi (\mathrm {d} x)\right)\right)}
여기서

* a\in\mathbb R는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
* {\displaystyle \sigma ^{2}\in [0,\infty )}는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다.
* {\displaystyle [\dotso ]}는 아이버슨 괄호이다.
* \Pi 는 {\mathbb R}\setminus \{0\} 위의 시그마-유한 측도이다.

즉, 레비 확률 과정의 확률 분포는 {\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}에 의하여 결정된다.

예
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위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 \Pi 는 거의 어디서나 0이 된다.

역사
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폴 피에르 레비의 이름을 땄다.

참고 문헌
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* Applebaum, David (2004년 12월). "Lévy processes — from probability to finance and quantum Groups" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **51** (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477.
* Applebaum, David (2004). 《Lévy Processes and Stochastic Calculus》 (영어). Cambridge University Press.
* Sato, Ken-Iti (2011). 《Lévy processes and infinitely divisible distributions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025.
* Kyprianou, Andreas E. (2014). 《Fluctuations of Lévy processes with applications. Introductory lectures》 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3642376313.