미분기하학에서, **스하우턴-네이엔하위스 괄호**(영어: Schouten–Nĳenhuis bracket)는 완전 반대칭 텐서장에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다. 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 거스틴해버 대수를 이룬다.

정의
--

매끄러운 다양체 M 위의 완전 반대칭 (k,0)차 텐서장의 공간

{\displaystyle V^{k}=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\right)}
을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱

{\displaystyle (\wedge )\colon V^{k}\otimes V^{l}\to V^{k+l}}
이 존재하며, 이에 따라서 {\displaystyle \textstyle V=\bigoplus \_{k=0}^{\dim M}V^{k}}는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 **스하우턴-네이엔하위스 괄호**는 다음과 같은 연산이다.

{\displaystyle [-,-]\colon V^{m}\otimes \_{\mathbb {R} }V^{n}\to V^{m+n-1}}
이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle [X,-]={\mathcal {L}}\_{X}\qquad \forall X\in V^{1}}
{\displaystyle [f,g]=0\qquad \forall f,g\in V^{0}}
{\displaystyle [\alpha ,\beta \wedge \gamma ]=[\alpha ,\beta ]\wedge \gamma +(-)^{\deg \beta (\deg \alpha -1)}\beta [\alpha ,\gamma ]\qquad \forall \alpha ,\beta ,\gamma }
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=(-)^{1+(\deg \alpha -1)(\deg \beta -1)}[\beta ,\alpha ]}
이에 따라,

{\displaystyle \Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} M\right)}
는 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

성질
--

거스틴해버 대수의 성질에 따라, 초벡터 공간

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}=\Gamma \left(\bigoplus \_{i}\bigwedge ^{2i+1}\mathrm {T} M\right)}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}=\Gamma \left(\bigoplus \_{i}\bigwedge ^{2i}\mathrm {T} M\right)}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\_{0}\oplus {\mathfrak {g}}}
위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.

{\displaystyle (-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]]=0}
### 푸아송 다양체

 이 부분의 본문은 푸아송 다양체입니다.
푸아송 다양체 {\displaystyle (M,\pi )}의 경우, 정의에 따라 {\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}이다. 이에 따라서 {\displaystyle [\pi ,-]}는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 **푸아송 코호몰로지**라고 한다.

예
-

구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.

| 차수 {\displaystyle (\deg X,\deg Y)} | 대칭성 | 스하우턴-네이엔하위스 괄호 [X,Y] | 비고 |
| --- | --- | --- | --- |
| (0,0) | 대칭 | {\displaystyle 0} | 상수 함수 |
| (0,1) | 반대칭 | {\displaystyle [X,Y]=-(\partial \_{i}X)Y^{i}} | 스칼라장의 벡터장 방향 미분 |
| (1,1) | 반대칭 | {\displaystyle [X,Y]^{i}=X^{l}\partial \_{l}Y^{i}-(\partial \_{l}X^{i})Y^{l}} | 벡터장의 리 미분 |
| (0,2) | 대칭 | {\displaystyle [X,Y]^{i}=-(\partial \_{l}X)Y^{li}} | 스칼라장의 기울기와의 내부곱 |
| (1,2) | 반대칭 | {\displaystyle [X,Y]^{ij}=X^{l}\partial \_{l}Y^{ij}-(\partial \_{l}X^{i})Y^{lj}-(\partial \_{l}X^{j})Y^{il}} | 텐서장의 리 미분 |
| (2,2) | 대칭 | {\displaystyle [X,Y]^{ijk}=X^{lk}\partial \_{l}Y^{ij}+X^{li}\partial \_{l}Y^{jk}+X^{lj}\partial \_{l}Y^{ki}+(\partial \_{l}X^{ki})Y^{lj}+(\partial \_{l}X^{ij})Y^{lk}+(\partial \_{l}X^{jk})Y^{li}} |  |

역사
--

얀 아르놀뒤스 스하우턴(네덜란드어: Jan Arnoldus Schouten)과 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nĳenhuis)가 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Grabowski, Janusz. "Brackets" (영어). arXiv:1301.0227.
2. ↑  Schouten, Jan Arnoldus (1940). "Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen" (PDF). 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) **2**: 449–452.
3. ↑  Schouten, Jan Arnoldus (1953). 〈On the differential operators of the first order in tensor calculus〉. 《Convegno internazionale di geometria differenziale, Italia, 20–26 settembre 1953》 (영어). Edizioni Cremonese. 1–7쪽.
4. ↑  Nĳenhuis, Albert (1955). "Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields Ⅰ". 《Indagationes Mathematicae》 (영어) **17**: 390–403. doi:10.1016/S1385-7258(55)50054-0.