호몰로지 대수학에서 **막대 복합체**(막대複合體, 영어: bar complex 바 콤플렉스[\*])는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다.:§4 Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

정의
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### 결합 대수에 대한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* (항등원을 갖는) K-결합 대수 A
* A-오른쪽 가군 {\displaystyle M\_{A}}
* A-왼쪽 가군 {\displaystyle \_{A}M'}

그렇다면, **막대 복합체** {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(M,A,M')}는 다음과 같은, K-가군의 범주 속의 단체 대상이다.

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{n}(M,A,M')=M\otimes \_{K}A^{\otimes \_{K}n}\otimes \_{K}M'}
{\displaystyle \partial \_{n,i}\operatorname {Bar} \_{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} \_{n-1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)}
{\displaystyle \partial \_{n,i}\colon m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\otimes \_{K}m'\mapsto {\begin{cases}ma\_{1}\otimes \_{K}a\_{2}\otimes \_{K}\otimes \dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\otimes \_{K}\otimes m'&i=0\\m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i-1}\otimes \_{K}a\_{i}a\_{i+1}\otimes \_{K}a\_{i+1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\otimes \_{K}m'&0<i<n\\m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n-1}\otimes \_{K}a\_{n}m'&i=n\end{cases}}}
{\displaystyle s\_{n,i}\colon \operatorname {Bar} \_{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} \_{n+1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)}
{\displaystyle s\_{n,i}\colon m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\otimes \_{K}m'\mapsto m\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i}\otimes \_{K}1\otimes \_{K}a\_{i+1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\otimes \_{K}m'}
특히,

{\displaystyle \partial \_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-)^{i}\partial \_{n,i}}
로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

### 일반적 정의

보다 일반적으로, 모노이드 범주 ({\mathcal C},\otimes ) 속의 모노이드 대상 A 및 그 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{A}M}과 오른쪽 가군 {\displaystyle M'\_{A}}이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathcal {C}}(M,A,M')}은 {\mathcal {C}} 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 A와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 {\displaystyle \_{A}M} 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 {\displaystyle M'\_{A}}이 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Set} }(M,A,M')}은 단체 집합을 이룬다.

성질
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### 완전성

가환환 K 위의 결합 대수 A 및 그 위의 오른쪽 가군 {\displaystyle M\_{A}}과 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{A}M'}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(M,A,M')}를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{0}^{K}(M,A,M')=M\otimes \_{K}M'\to \operatorname {Bar} \_{-1}^{K}(M,A,M')=M\otimes \_{A}M'}
을 추가할 수 있다. 그렇다면,

{\displaystyle \dotsb \to \operatorname {Bar} \_{1}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} \_{0}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} \_{-1}^{K}(M,A,M')\to 0}
은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} (M,A,M')}은 {\displaystyle M\otimes \_{A}M'}의 분해를 정의한다.

특히, {\displaystyle M=M'=A}인 경우, {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(A,A,A)}는 A의 ({\displaystyle (A,A)}-쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.:12, Proposition–definition 1.1.12

예
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### 호흐실트 호몰로지

 이 부분의 본문은 호흐실트 호몰로지입니다.
가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(A,A,A)}의 각 성분은 모두 {\displaystyle (A,A)}-쌍가군이므로, 포락 대수 {\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes \_{K}A^{\operatorname {op} }}를 정의하였을 때 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(A,A,A)}는 A^{{\operatorname {e}}}-사슬 복합체를 이룬다. 임의의 {\displaystyle (A,A)}-쌍가군 M에 대하여,

{\displaystyle C\_{\bullet }(A;M)=M\otimes \_{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(A,A,A)}
는 A의 M계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

{\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom \_{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} \_{\bullet }^{K}(A,A,A),M)}
은 A의 M계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

### 군 코호몰로지

 이 부분의 본문은 군 코호몰로지입니다.
군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

### 분류 공간

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.
위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 G가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 \bullet  위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )}를 정의할 수 있다. 또한, G는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)}를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)\twoheadrightarrow \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )}
이 존재한다. 이는 G-주다발을 이루며, 또한 위상군 G의 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {E} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {B} (G)}을 이룬다.

역사
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사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. "막대 복합체"라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 "\otimes "로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 "{\displaystyle |}"로 표기하였기 때문이다.:§4.3

참고 문헌
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1. 1 2  Ginzburg, Victor (2005). "Lectures on noncommutative geometry" (영어). arXiv:math/0506603. Bibcode:2005math......6603G.
2. ↑  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **301** 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.
3. ↑  Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1953). "On the groups *H*(Π, *n*). Ⅰ". 《Annals of Mathematics》 (영어) **58**: 55–106. doi:10.2307/1969820. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969820. MR 0056295. Zbl 0050.39304.