네 개의 임계점을 가지는 오차함수의 그래프
**오차 방정식**(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\;a\neq 0}
와 같다. 여기에서 {\displaystyle a,b,c,d,e}는 각각 x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x의 계수라고 한다. 또한 f는 상수항이라고 부른다.

그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.

오차방정식의 근
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갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

근과 계수와의 관계
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 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.
오차방정식 {\displaystyle \textstyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}의 다섯 근을 {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon }라고 하면,
다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )(x-\epsilon )=0}
{\displaystyle x^{5}-(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon )x^{4}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon )x^{3}}
{\displaystyle -(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \gamma \delta +\beta \gamma \epsilon +\beta \delta \epsilon +\gamma \delta \epsilon )x^{2}}

{\displaystyle +(\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon )x-\alpha \beta \gamma \delta \epsilon =0}
또한,

{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =-{b \over a}}
{\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon ={c \over a}}
{\displaystyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \delta \epsilon +\beta \delta \gamma +\beta \gamma \epsilon +\gamma \delta \epsilon =-{d \over a}}
{\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon ={e \over a}}
{\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \epsilon =-{f \over a}} 의 관계가 있다.
특히 각 항({\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x,f})에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 {\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon }라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{1!\cdot (5-1)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {1!\cdot (5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}={5 \over 1}=5}
2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {2!\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10}
3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {3!\cdot (2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10}
4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{4!\cdot (5-4)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {4!\cdot (1)}}={{5} \over {1}}=5}이다.
5개씩의 조합의 경우의 수는 ,

{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{5!\cdot (5-5)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5!\cdot 0!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={120 \over 120}=1}이다.

차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)
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{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}
다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항(n차항)의 x의 계수, a로 나눈 다음 {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.

이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다.
먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

{\displaystyle x^{5}+{b \over a}x^{4}+{c \over a}x^{3}+{d \over a}x^{2}+{e \over a}x+{f \over a}=0}

그리고 y로 치환한다.

{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {5} a}}

그러면, 방정식은

{\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}

의 꼴로 정리된다. 여기서 {\displaystyle p,q,r,s}는 다음과 같다.

{\displaystyle p={{-2b^{2}+5ac} \over {5a^{2}}}}
{\displaystyle q={{4b^{3}-15abc+25a^{2}d} \over {25a^{3}}}}
{\displaystyle r={{-3b^{4}+15ab^{2}c-50a^{2}bd+125a^{3}e} \over {125a^{4}}}}
{\displaystyle s={{625a^{3}be+4b^{5}-25ab^{3}c+125a^{2}b^{2}d+3125a^{5}f} \over {3125a^{5}}}}

일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들
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**상반방정식**
5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식 장제법으로 {\displaystyle (x\pm a)}의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) :{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}
이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 -1임을 알아야 한다. -1이 나올 수 있는 인수는 {\displaystyle (x+1)}이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은

{\displaystyle ax^{4}+(-a+b)x^{3}+(a-b+c)x^{2}+(-a+b)x+a=0}
가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

**이항방정식**

{\displaystyle x^{5}\pm a=0}의 꼴은 이항방정식으로 a와 근의 계수 \omega 를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.

오차방정식의 판별식
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오차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}을
{\displaystyle a\_{5}x^{5}+a\_{4}x^{4}+a\_{3}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}x^{1}+a\_{0}=0}으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 {\displaystyle M=(2n-1)\cdot (2n-1)}

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0&0&0\\0&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0&0\\0&0&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0\\0&0&0&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\5a\_{5}&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0a\_{0}&0&0&0\\0&5a\_{5}&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0a\_{0}&0&0\\0&0&5a\_{5}&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0a\_{0}&0\\0a\_{0}&0&0&5a\_{5}&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0\\0&0a\_{0}&0&0&5a\_{5}&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}\\\end{bmatrix}}}
{\displaystyle D=(-1)^{n(n-1) \over 2}a\_{n}^{-1}M}
{\displaystyle D=(-1)^{5(5-1) \over 2}a\_{5}^{-1}M}
{\displaystyle D=(-1)^{20 \over 2}a\_{5}^{-1}M}
{\displaystyle D=(-1)^{10}a\_{5}^{-1}M}

브링-제라드 형태
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오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다:

{\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x={\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}}
그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다:

{\displaystyle x={\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}+2\nu -1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
{\displaystyle -{\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}-2\nu +1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다:

{\displaystyle x^{5}+15x=12}
{\displaystyle x={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arcosh}}({\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}})]-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arsinh}}({\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}})]}
매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다:

{\displaystyle x^{5}+x={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}}
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
{\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.

모듈러 타원 함수를 통한 해결책
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다음에서 이 방정식을 일반화한다:

{\displaystyle x^{5}+x=w}
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
{\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
이 공식은 아래에 설명되어 있다.

위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다:

{\displaystyle w={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}}
방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다:

{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}={\sqrt {{\frac {3125}{256}}w^{4}+1}}-{\frac {25}{16}}{\sqrt {5}}\,w^{2}}
{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}=\sin {\bigl \{}2\arcsin {\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}}
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}}{2\vartheta \_{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}-{\frac {1}{2}}}{\displaystyle y={\frac {5\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수를 나타낸다:

{\displaystyle \vartheta \_{00}(z)=1+2\sum \_{k=1}^{\infty }z^{k^{2}}}
{\displaystyle \vartheta \_{00}(z)=\prod \_{k=1}^{\infty }(1-z^{2k})(1+z^{2k-1})^{2}}
놈 함수는 문자 q로 표시된다:

{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}
문자 K는 제1종 완전 타원 적분을 나타낸다:

{\displaystyle K(r)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi }
약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트(lemniscate) 함수가 표시된다:

{\displaystyle \mathrm {sl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\sin {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
{\displaystyle \mathrm {cl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\cos {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
{\displaystyle [{\text{sl}}(\varphi )^{2}+1][{\text{cl}}(\varphi )^{2}+1]=2}
{\displaystyle {\text{ctlh}}(\varrho )=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho ){\biggl [}{\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}}
{\displaystyle {\text{aclh}}(s)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi \,G-\int \_{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {s^{4}t^{4}+1}}}\,\mathrm {d} t}
{\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-2}}
{\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}^{2}=(2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s)}
{\displaystyle {\text{sl}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}-s^{2}}}}
문자 G는 가우스 상수를 나타낸다.

로저스 라마누잔 연속 분수
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로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는 다음과 같이 정의된다:

{\displaystyle R(z)=z^{1/5}{\frac {(z;z^{5})\_{\infty }(z^{4};z^{5})\_{\infty }}{(z^{2};z^{5})\_{\infty }(z^{3};z^{5})\_{\infty }}}}
두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다.

{\displaystyle R(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
{\displaystyle R(z^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z)^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z)^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
{\displaystyle S(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z)^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta \_{00}(z)^{2}}{2\vartheta \_{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
{\displaystyle S(z)={\frac {R(z^{4})}{R(z^{2})R(z)}}}
이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다:

{\displaystyle x^{5}+x=w}
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}
첫 번째 계산 예:

{\displaystyle x^{5}+x=3}
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}{\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909}
{\displaystyle x\approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727}
두 번째 계산 예:

{\displaystyle x^{5}+x=7}
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta \_{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}{\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236}
{\displaystyle x\approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989}