**3차원 직교군**(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

정의
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**3차원 직교군** \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

* **3차원 특수직교군** \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} ). 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )라고 한다.
* **2차원 사영 특수 유니터리 군** \operatorname {PSU} (2).
* **3차원 사영 특수직교군** \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} ). 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

* **2차원 특수 유니터리 군** \operatorname {SU} (2)는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
* **3차원 스핀 군** \operatorname {Spin} (3)
* **1차원 심플렉틱 군** \operatorname {Sp} (1)=\operatorname {USp} (2)\cong \{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

### 복소수 표현

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

\operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)
즉, \operatorname {SU} (2)는 3차원 스핀 군 \operatorname {Spin} (3)과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}-{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-i(+\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }})\\\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta )&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}\end{pmatrix}}
이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, \operatorname {SO} (3)는 2차원 구 \mathbb {S} ^{2} 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, \mathbb {S} ^{2}는 리만 구 {\hat {\mathbb {C} }}로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

\iota \colon \operatorname {SO} (3)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )
이 경우, \iota 의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}
마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

\iota '\colon \operatorname {PSU} (2)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )
\iota '\colon \pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto \left(z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}\right)
따라서, 이는 동형 \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)를 정의한다.

### 사원수 표현

동형 \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)은 다음과 같이 이해할 수 있다. \operatorname {Sp} (1)은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

\operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SU} (2)
a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}a+ib&-c+id\\c+id&a-ib\end{pmatrix}}
마찬가지로, 두 겹 피복군 \operatorname {Sp} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)는 다음과 같이 이해할 수 있다.

\operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SO} (3)
a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}1-2c^{2}-2d^{2}&2bc-2da&2bd+2ca\\2bc+2da&1-2b^{2}-2d^{2}&2cd-2ba\\2bd-2ca&2cd+2ba&1-2b^{2}-2c^{2}\end{pmatrix}}
이는 (b,c,d)를 축으로 하여, 각도 2\theta 만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 \theta 는 다음과 같다.

\cos(\theta )=a
{\displaystyle |\sin(\theta )|=\|a+ib+jc+kd\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 (r,\theta ,\phi ,\chi )로 나타내었을 때, \theta 는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수 a+ib+jc+kd와 -a-ib-jc-kd가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 (t,x,y,z)를 사원수 v=t+ix+iy+iz로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 \operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 \operatorname {SU} (2)의 원소를 단위 사원수 q\_{1}, q\_{2}로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

v\mapsto q\_{1}vq\_{2}
여기서 \mathbb {Z} /2에 대한 몫군을 취하는 것은 (q\_{1},q\_{2})와 (-q\_{1},-q\_{2})가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, t축의 안정자군이다. t축이 고정될 조건은 q\_{1}q\_{2}=1인 것이며, 따라서 q\_{1}=q\_{2}^{-1}={\bar {q}}\_{2}이다. 즉, \operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)/(\mathbb {Z} /2)의 작용은 다음과 같다.

v\mapsto qv{\bar {q}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1)
여기서 \mathbb {Z} /2에 대한 몫군을 취하는 것은 \pm q가 같은 작용을 갖기 때문이다.

### 리 대수

\operatorname {SU} (2)의 리 대수 {\mathfrak {su}}(2)의 기저는 파울리 행렬 {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i}로 주어진다.

[{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon \_{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}
\operatorname {SO} (3)의 리 대수 {\mathfrak {so}}(3)의 기저는 무한소 3차원 회전 L\_{i}로 다음과 같이 주어진다.

L\_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}
{\displaystyle L\_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle L\_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}
L\_{i}는 i번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

[L\_{i},L\_{j}]=\epsilon \_{ijk}L^{k}
이 경우, 리 대수의 동형 \operatorname {su} (2)\cong \operatorname {so} (3)는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{1}\mapsto L\_{i}

성질
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### 대수학적 성질

\operatorname {SU} (2)의 중심은 \{\pm 1\_{2\times 2}\}이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

### 위상수학적 성질

\operatorname {SU} (2)와 \operatorname {SO} (3)는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

\operatorname {SU} (2)는 위상수학적으로 3차원 초구 \mathbb {S} ^{3}이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

\operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {PSU} (2)는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 \mathbb {RP} ^{3}\cong \mathbb {S} ^{3}/(\mathbb {Z} /2)이다. 여기서 \mathbb {Z} /2에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

\operatorname {O} (3)는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

### 표현론

\operatorname {SU} (2)의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 n=0,1,2,\dots 에 대하여, (동형 아래) 유일한 n차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 n이 짝수인 경우, 이는 n차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, n차원 표현은 **스핀** (n-1)/2 표현으로 일컬어진다.

\operatorname {SO} (3)의 유한 차원 표현들은 \operatorname {SU} (2)의 n차원 표현들 가운데, n이 홀수인 것들이다. 예를 들어, n=3인 경우는 \operatorname {SO} (3)를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.