**국소환**(局所環, 영어: local ring)은 수학의 추상대수학 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 환의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. **국소대수학**(영어: local algebra)은 가환 국소환과 그 위의 가군을 다루는 가환대수학의 세부 분야이다.

정의
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환 R에 대하여 다음 성질들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **국소환**이라 한다.

* 극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
* 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
* 자명환이 아니며, 임의의 r,s\in R에 대하여, r와 s 둘 다 가역원이 아니라면 r+s 또한 가역원이 아니다.
* 자명환이 아니며, 임의의 원소 r\in R에 대해 r가 가역원이거나, 아니면 1-r가 가역원이다. (즉, R\setminus R^\times는 양쪽 아이디얼을 이룬다.)
* 유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 가역원이 아니며, 특히 1≠0이다.)

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다.

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 "유사 국소환"이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다.

### 국소환 준동형

두 국소환 (R,{\mathfrak m}), (R',\mathfrak m') 사이의 **국소환 준동형**(영어: local homomorphism) f\colon(R,\mathfrak m)\to(R',\mathfrak m')은 다음과 같은 함수이다.

* f\colon R\to R'은 환 준동형이다.
* f(\mathfrak m)\subset\mathfrak m'이다.

국소환들과 국소환 준동형들은 범주를 이룬다.

성질
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(비가환일 수 있는) 국소환 (R,{\mathfrak m})에 대하여, 몫환 R/{\mathfrak m}은 항상 나눗셈환이다. 만약 R가 추가로 가환환이라면, 몫환 R/{\mathfrak m}은 체이다.

국소환은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.

* 국소환의 몫환은 국소환이다.
* 가환 국소환의 (유일한 극대 아이디얼에 대한) 완비화는 국소환이다.

### 가군

임의의 (비가환일 수 있는) 국소환 R 위의 (유한 생성 가군이 아닐 수 있는) 사영 가군은 항상 자유 가군이다. 이는 어빙 커플랜스키가 증명하였다.

### 표수

가환 국소환의 표수는 0이거나 (1이 아닌) 소수의 거듭제곱이다. 구체적으로, 가환 국소환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}가 주어졌을 때, R와 K의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. 여기서 p는 임의의 소수를 뜻한다.

| 국소환 R의 표수 | 잉여류체 K의 표수 | R에 포함된 체 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | \mathbb {Q}  |
| *p* | *p* | \mathbb {F} \_{p} |
| 0 | *p* | (없음) |
| *p**k* (*k* ≥ 2) | *p* | (없음) |

{\displaystyle \operatorname {char} R=\operatorname {char} K}인 경우를 **동표수 국소환**(同標數-, 영어: equicharacteristic local ring)이라고 하며, 아니면 {\displaystyle (\operatorname {char} R,\operatorname {char} K)}형의 **혼합 표수 국소환**(영어: mixed characteristic local ring)이라고 한다. R가 동표수 국소환인 것은 R가 어떤 체를 부분환으로 포함하는 것과 동치이다.

분류
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모든 가환 국소환은 완비화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있으며, 뇌터 조건 아래 **코언 구조 정리**(영어: Cohen structure theorem)라는 분류가 존재한다.

가환 국소환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}이 주어졌다고 하자. 이 경우, R의 {\mathfrak m}에서의 국소화 \hat R 역시 국소환이다. 이렇게 얻어진 국소환을 **가환 완비 국소환**이라고 한다. R가 정칙환인 것은 \hat R가 정칙환인 것과 동치이다. R의 표수는 \hat R의 표수와 같으며, \hat R의 잉여류체는 R의 잉여류체 K와 같다.

가환 완비 국소환 {\displaystyle ({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)}의 **계수환**(영어: coefficient ring)은 다음 성질들을 모두 만족시키는 부분환 {\displaystyle C\subseteq {\hat {R}}}이다.

* {\displaystyle (C,{\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)}는 가환 완비 국소환이다.
* C의 잉여류체 {\displaystyle C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)}의 사영 사상 {\displaystyle {\hat {R}}\to K={\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}} 아래의 상은 K이다.
{\displaystyle C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)=K}
* {\displaystyle C\cap {\hat {\mathfrak {m}}}=(\operatorname {char} K)C}

계수환은 유일하지 않을 수 있다.

뇌터 가환 완비 국소환 {\displaystyle ({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)}가 주어졌을 때, **코언 구조 정리**에 따르면 다음이 성립한다.

* \hat R는 적어도 하나의 계수환 C를 갖는다.
	+ 만약 \hat R가 동표수 국소환이라면, {\displaystyle C\cong K}이게 놓을 수 있다.
* 만약 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}=(r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{n})}이 n개의 원소 {\displaystyle r\_{i}\in {\hat {R}}}로 생성되는 유한 생성 아이디얼이라면, {\displaystyle {\hat {R}}\cong C[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]/{\mathfrak {a}}}가 되는 {\displaystyle C[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}-아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq C[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}이 존재한다.
	+ 특히, 만약 \hat R가 뇌터 환이라면 {\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}}은 유한 생성 아이디얼이며, 위 조건이 성립한다.
	+ 특히, 만약 \hat R가 추가로 동표수 정칙 국소환이라면, {\displaystyle {\hat {R}}\cong C[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}이다.

여기서

* {\displaystyle C[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]}은 C 계수의 n개의 변수에 대한 형식적 멱급수환이다.

예
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가환환 R의 임의의 소 아이디얼 {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R에서의 국소화 R\_{{{\mathfrak p}}}는 국소환이다.

모든 나눗셈환은 국소환이다. (이 경우 영 아이디얼은 유일한 진 왼쪽 아이디얼이자 진 오른쪽 아이디얼이다.)

### 비가환 국소환의 예

(비가환환일 수 있는) 환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}의 자기 사상환 {\displaystyle \operatorname {End} (\_{R}M)}이 국소환이라면, M은 분해 불가능 가군이다. 반대로, 만약 {\displaystyle \_{R}M}이 유한한 길이를 가지며 분해 불가능 가군이라면, 자기 사상환 {\displaystyle \operatorname {End} (\_{R}M)}은 (비가환환일 수 있는) 국소환이다.

양의 표수 p>0의 체 K 및 *p*-군 G가 주어졌을 때, 군환 k[G]는 국소환이다.

### 반례

체 K 위의 2×2 행렬환 {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}은 유일한 (극대) 양쪽 아이디얼 \{0\}을 가지지만, 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼은 유일하지 않으며, 따라서 국소환이 아니다.

응용
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대수기하학에서는 (가환) 국소환들이 자주 등장하며, 이는 보통 가환환을 소 아이디얼에서 국소화하여 얻어진다.

국소환을 아핀 스킴으로 여기면, 자리스키 위상에서 극대 아이디얼들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나만의 닫힌 점을 포함하는 아핀 스킴이다. 즉, 이 점의 근방 위의 함수환으로 여길 수 있다. 실제로, 일반적 스킴을 임의의 점 (소 아이디얼)에서 국소화하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다. 즉, 국소환은 자리스키 위상에서의 스킴의 줄기에 해당한다. 마찬가지로, 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 줄기는 순 헨젤 국소환이다.

역사
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국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1938년에 독일어: Stellenring 슈텔렌링[\*](위치환)이라는 명칭으로 도입하였다. "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다.

코언 구조 정리는 어빈 솔 코언이 도입하였다. (코언의 논문이 집필되었을 당시 "국소환"(영어: local ring)이라는 용어는 항상 뇌터 국소환을 의미하였다.)

역사적으로, 1960년대 이전까지는 "국소환"이라는 개념에는 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환이어야 한다는 조건이 첨가되었으며, 뇌터 조건을 만족시키지 않는 경우 "준국소환"(영어: quasilocal ring)이라는 이름으로 불렸다. 그러나 1960년대부터 뇌터 조건이 생략되었다.

참고 문헌
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1. ↑  
Krull, Wolfgang (1938년 1월). "Dimensionstheorie in Stellenringen". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **1938** (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Zariski, Oscar (1943). "Foundations of a general theory of birational correspondences". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **53** (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. ↑  Cohen, Irvin Sol (1946). "On the structure and ideal theory of complete local rings". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **59**: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. MR 0016094.

* Serre, Jean-Pierre (2000). 《Local algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-642-08590-1. ISSN 1439-7382.