유체론에서 **모듈러스**(영어: modulus)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.

정의
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### 대역체의 아라켈로프 인자

대역체 K의 **아라켈로프 인자**(Аракелов因子, 영어: Arakelov divisor) 또는 **충만 아이디얼**(充滿ideal, 영어: replete ideal) {\displaystyle {\mathfrak {A}}}은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:34, §I.6

* 각 아르키메데스 자리 {\mathfrak {p}}에 대하여, 정수 {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {Z} }
* 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) {\mathfrak {p}}에 대하여, 실수 {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {R} }

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다.
{\displaystyle \left|\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}\_{K})\colon \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0\}\right|<\aleph \_{0}}

이를 자리의 **중복수**(영어: multiplicity)라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.

{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod \_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}\_{K})}{\mathfrak {p}}^{\operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}}
이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.

### 모듈러스

대역체 K의 **모듈러스** {\mathfrak m}은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.

* 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.
{\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}\_{K})\colon \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\geq 0}
* 만약 K가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.

만약 K가 유한체 \mathbb {F} \_{q} 위의 고유 대수 곡선 {\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} \_{q}}의 유리 함수체라면, K 위의 모듈러스는 X의 효과적 베유 인자 (즉, X 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다.

대역체의 모듈러스 {\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}\_{0}{\mathfrak {m}}\_{\infty }}는 **유한 부분** (유한 위치들의 부분 중복집합) {\mathfrak m}\_{0}와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) {\mathfrak m}\_{\infty }로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 K의 모듈러스 {\mathfrak m}의 유한 부분 {\mathfrak m}\_{0}는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 아이디얼과 같다.

### 합동

대역체 K의 0이 아닌 두 원소 a,b\in K^{\times } 및 K의 모듈러스 {\mathfrak m}에 대하여, 만약 {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0}인 모든 자리 {\mathfrak {p}}에 대하여 다음 조건이 성립한다면, a와 b가 m에 대하여 **합동**(영어: congruent)이라고 하고, a\equiv b{\pmod m}으로 적는다.

* {\mathfrak {p}}가 유한 자리이라면, {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {p}}(a/b-1)\geq \operatorname {ord} \_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}
* {\mathfrak {p}}가 실수 매장 \sigma \colon K\hookrightarrow {\mathbb R}에 대한 실수 자리라면, \sigma (a/b)>0

여기서 {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {p}}}는 {\mathfrak {p}}에 대응되는 절댓값이

{\displaystyle |a|\_{\mathfrak {p}}=\exp(-\operatorname {ord} (a))}
와 동치가 되는 전사 함수 {\displaystyle \operatorname {ord} \_{\mathfrak {p}}\colon K\to \mathbb {Z} \sqcup \{\infty \}}이다.

### 대수 곡면의 아라켈로프 인자

대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.:71–76

대수적 수체 K가 주어졌다고 하자. {\mathcal {O}}\_{K}-스킴 {\displaystyle p\colon X/\operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}\_{K})}이 2차원 정역 정칙 스킴이며, p가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, {\mathcal O}\_{X}의 일반점이 \eta 라고 하자.

K의 아르키메데스 자리 {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Places} \_{\infty }(K)}에 대하여, X의 \sigma 에서의 올 {\displaystyle X\_{\sigma }}는 다음과 같다.

{\displaystyle X\_{\sigma }=X\times \_{{\mathcal {O}}\_{K}}{\bar {K}}\_{\sigma }}
이는 리만 곡면을 이룬다.

X 위의 **아라켈로프 인자**의 아벨 군 {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}은 다음과 같다.

{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)=\operatorname {Div} (X)\oplus \bigoplus \_{\sigma \in \operatorname {Places} \_{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma }
여기서 {\displaystyle \textstyle \bigoplus \_{\sigma \in \operatorname {Places} \_{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma }는 K의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다.

가역 유리 함수 {\displaystyle f\in \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })=\left(\operatorname {Frac} \Gamma (X;{\mathcal {O}}\_{X})\right)^{\times }}에 대응하는 **주 아라켈로프 인자**(영어: principal Arakelov divisor) {\displaystyle (f)\in {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}는 다음과 같다.:75–76

{\displaystyle (f)=(f)\_{0}+\sum \_{\sigma \in \operatorname {Places} \_{\infty }(K)}(f)\_{\sigma }\sigma }
{\displaystyle (f)\_{\sigma }=-\int \_{X\_{\sigma }}\ln |f\_{\sigma }|\;\mathrm {d} \mu \_{\sigma }}
여기서

* {\displaystyle \mathrm {d} \mu \_{\sigma }}는 콤팩트 리만 곡면 {\displaystyle X\_{\sigma }} 위의, {\displaystyle \textstyle \int \_{X\_{\sigma }}\mathrm {d} \mu \_{\sigma }=1}이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, {\displaystyle X\_{\sigma }} 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 \alpha 에 대하여 {\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\alpha }}}는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다.
* {\displaystyle (f)\_{0}}은 베유 주인자를 뜻한다.

이는 군 준동형

{\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })\to {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}
을 이루며, 그 여핵을 **아라켈로프 인자 유군**(영어: Arakelov divisor class group)이라고 한다.:76

예
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유리수체 \mathbb {Q} 의 아라켈로프 인자는

{\displaystyle (r)\infty ^{a}\qquad (r\in \mathbb {Q} ^{\times },\;a\in \mathbb {R} )}
의 꼴이다. 유리수체 \mathbb {Q} 의 모듈러스는

{\displaystyle (n)\infty ^{a}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;a\in \{0,1\})}
의 꼴이다. 만약 n\in \mathbb {Z} ^{+}의 소인수 분해가

n=\prod \_{i}p^{{n\_{i}}}
라면, a,b\in {\mathbb Q}에 대하여

a\equiv b{\pmod {(n)}}\iff \exists m,k\colon m(a-b)\in n{\mathbb Z},\qquad m\nmid n
이며,

a\equiv b{\pmod {(n)\infty }}\iff \left(a/b>1\land a\equiv b{\pmod {(n)}}\right)
이다.

역사
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아라켈로프 인자의 개념은 수렌 유리예비치 아라켈로프가 도입하였다.

L/K의 "정의 모듈러스"와 "인도자"
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이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다.

K가 대수적 수체이며, L/K를 유한 아벨 확대로 가정하면,
S가 L/K에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I\_{K}^{S}에서 갈루아 군 \operatorname {Gal} (L/K)으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 **아르틴 사상**(영어: Artin map)이라고 한다.

I\_{K}^{S}\to \operatorname {Gal}(L/K)
아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 c 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다.

{\displaystyle i(K\_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} \_{L/K}(I\_{L}^{\mathfrak {m}})}
여기서 K\_{{{\mathfrak m},1}}은 {\mathfrak m}에 대한 반직선이며, \operatorname N\_{L/K}는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L/K의 **정의 모듈러스**(영어: defining modulus)라고 하며, 여기서, 최소한의 L/K정의모듈러스를 L/K의 **인도자**(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
2. 1 2 3  Lang, Serge (1988). 《Introduction to Arakelov theory》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.
3. ↑  Аракелов, Сурен Ю. (1974). "Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности". 《Известия Академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) **38** (6): 1179–1192. ISSN 0373-2436. MR 472815.  영역 Arakelov, Suren Yu. (1974). "Intersection theory of divisors on an arithmetic surface". 《Mathematics of the USSR-Izvestiya》 (영어) **8** (6): 1167–1180. doi:10.1070/IM1974v008n06ABEH002141. ISSN 0025-5726. Zbl 0355.14002.
4. ↑  Arakelov, Suren J. (1975). 〈Theory of intersections on the arithmetic surface〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974》 (영어). 405–408쪽. 2014년 10월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 30일에 확인함.