대수적 위상수학에서 **특이 호몰로지**(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[\*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의
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X가 위상 공간이며, R가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, X의, R 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

### 사슬

n차원 **표준 단체**(標準單體, 영어: standard simplex) \Delta ^{n}\subset {\mathbb R}^{{n+1}}은 다음과 같다.

\Delta ^{n}=\left\{(x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n})|0\leq x\_{i}\leq 1,\;\sum \_{i}x\_{i}=1\right\}.
이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

X 위의 n차원 **특이 단체**(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수

\sigma \_{n}\colon \Delta ^{n}\to X
를 뜻한다. X 위의, R 계수의 n차원 **사슬**(영어: chain)은 모든 n차원 특이 단체로 의하여 생성되는, R 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 C\_{n}(X;R)라고 쓰자. (만약 R={\mathbb Z}일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

### 경계

표준 단체 \Delta ^{n}의 꼭짓점들을 p\_{1},\dots ,p\_{n}이라고 하자. 표준 단체 \Delta ^{n}의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 n+1개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

[p\_{0},p\_{2},\dots ,p\_{{k-1}},p\_{{k+1}},\dots ,p\_{n}]
의 꼴이다. 이를 편의상

[p\_{0},p\_{1},\dots ,p\_{{k-1}},{\hat p}\_{k},p\_{{k+1}},\dots ,p\_{n}]
로 쓰자.

n차원 특이 단체 \sigma \_{n}\colon \Delta ^{n}\to X의 **경계**(境界, 영어: boundary) \partial \_{n}\sigma \_{n}\in C\_{{n-1}}(X;R)는 다음과 같다.

{\displaystyle \partial \_{n}\sigma \_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma |\_{[p\_{0},\dots ,{\hat {p}}\_{k},\dots ,p\_{n}]}}.
경계 연산자 \partial \_{n}는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 \partial \_{n}\colon C\_{n}\to C\_{{n-1}}이다. 이는 R 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, \partial \_{{n-1}}\circ \partial \_{n}\colon C\_{n}(X)\to C\_{{n-2}}(X)는 항상 0이다. 따라서 (C\_{\bullet }(X),\partial \_{\bullet })은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

\operatorname H\_{n}(X)=\ker \partial \_{n}/\operatorname {im}\partial \_{{n+1}}
들을 **특이 호몰로지**라고 한다. 이는 R 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

### 특이 코호몰로지

X 위의 **공사슬**(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형 \phi ^{n}\colon C\_{n}(X;R)\to R이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, C^{n}(X;R)=\hom(C\_{n}(X;R),R)으로 쓴다. 공사슬의 **공경계**(共境界, 영어: coboundary) \delta \_{n}\colon C^{n}(X;R)\to C^{{n+1}}(X;R)은 다음과 같다.

\delta \_{n}(\phi ^{n})(\sigma \_{{n+1}})=\phi ^{n}(\partial \_{{n+1}}\sigma \_{{n+1}}).
(C^{\bullet }(X;R),\delta \_{\bullet })은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

\operatorname H^{n}(X)=\ker \delta \_{n}/\operatorname {im}\delta \_{{n-1}}
들을 **특이 코호몰로지**(영어: singular cohomology)라고 한다.

성질
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K가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

\operatorname H^{\bullet }(X;K)=\operatorname H\_{\bullet }(X;K)^{\*}=\hom \_{{K{\text{-Vect}}}}(\operatorname H\_{\bullet }(X;K),K)
그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

예
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### 초구

n차원 초구 S^n의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H\_{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)
\operatorname H^{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)
\operatorname H\_{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}
\operatorname H^{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}
### 사영 공간

복소수 사영 공간 {\mathbb C}P^{n}의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H\_{k}({\mathbb C}P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}
\operatorname H^{k}({\mathbb C}P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}
실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H\_{k}({\mathbb R}P^{n};{\mathbb Z})={\begin{cases}{\mathbb Z}&k=0\lor 2\nmid i=n\\{\mathbb Z}/(2)&0<k<n,\;2\nmid k\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}
\operatorname H\_{k}({\mathbb R}P^{n};{\mathbb F}\_{2})={\begin{cases}{\mathbb F}\_{2}&k\leq n\\0&k\geq n\end{cases}}
\operatorname H\_{k}({\mathbb R}P^{n};K)={\begin{cases}K&k=0\lor 2\nmid i=n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}
여기서 K는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.

### 원환면

**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): n**
차원 원환면 T^{n}의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

\operatorname H\_{k}(T^{n};{\mathbb Z})={\mathbb Z}^{{{\binom nk}}}.
여기서 {\binom nk}는 이항계수로, k>n인 경우 0으로 정의한다.

참고 문헌
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* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.
* 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 4월 7일에 확인함.