수학에서 **유계형 집합**(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.

정의
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집합 X 위의 **유계형**(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal B\subseteq\mathcal P(X)이다.

* 덮개이다. 즉, {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X}이다.
* 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
	+ {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}
	+ (하집합성) 임의의 B\in {\mathcal B} 및 S\subseteq X에 대하여, {\displaystyle S\cap B\in {\mathcal {B}}}
	+ (상향성) 임의의 {\displaystyle B,B'\in {\mathcal {B}}}에 대하여, {\displaystyle B\cup B'\in {\mathcal {B}}}

{\mathcal B}의 원소를 **유계 집합**이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}를 **유계형 집합**이라고 한다.

같은 집합 X 위의 두 유계형 {\mathcal B}, \mathcal B'에 대하여, 만약 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'}이라면, {\mathcal B}가 더 **엉성하다**(영어: coarser)고 하며, 반대로 \mathcal B'이 더 **섬세하다**(영어: finer)고 한다.

두 유계형 집합 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}\_{X})}, {\displaystyle (Y,{\mathcal {B}}\_{Y})} 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면, **유계형 함수**(영어: bounded map)라고 한다.

* 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 {\displaystyle B\_{X}\in {\mathcal {B}}\_{X}}에 대하여, {\displaystyle f(B\_{X})\in {\mathcal {B}}\_{Y}}이다.

성질
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임의의 유계형 집합 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}에서, X의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.:256, Example III.10(b)

예
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### 집합

집합 X 및 무한 기수 \kappa 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기가 \kappa  미만인 부분 집합들의 족

{\displaystyle {\mathcal {P}}\_{<\kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa \}}
은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

* \kappa =\aleph \_{0}인 경우, {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{<\aleph \_{0}}(X)}-유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 X 위의 가장 엉성한 유계형이다.
* {\displaystyle \kappa >|S|}인 경우, 모든 부분 집합이 {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{<\kappa }(X)}-유계 집합이다. 이는 X 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약 X가 유한 집합일 경우 {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{<\kappa }={\mathcal {P}}(X)}들은 \kappa 에 관계없이 모두 일치하며, 이는 X 위의 유일한 유계형이다.

### 위상 공간

T1 공간 X에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

### 거리 공간

거리 공간 (X,d)에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X\colon \operatorname {diam} \_{d}S<\infty \}}
여기서

{\displaystyle \operatorname {diam} S=\sup \_{s,t\in S}d(s,t)}
는 S의 지름이다.

### 위상 벡터 공간

위상체 K 위의 위상 벡터 공간 V 위의 **폰 노이만 유계형**(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다.

{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall U\in {\mathcal {N}}\_{0}\exists r\in K^{\times }\colon B\subseteq rU}
여기서

* {\displaystyle {\mathcal {N}}\_{0}}는 영벡터의 근방 필터이다.
* K^{\times }=K\setminus \{0\}는 K의 가역원군이다.

두 위상 벡터 공간 V, W 사이의 연속 선형 변환 T\colon V\to W은 폰 노이만 유계 함수이다.

**증명:**

T가 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 {\displaystyle B\subseteq V}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 {\displaystyle U\ni 0\_{W}}에 대하여, {\displaystyle T^{-1}(U)\ni 0\_{V}}는 {\displaystyle 0\_{V}}의 열린 근방이다. B가 폰 노이만 유계 집합이므로, {\displaystyle B\subseteq rT^{-1}(U)}인 {\displaystyle r\in K^{\times }}가 존재한다. 따라서 {\displaystyle T(B)\subseteq rU}이며, 따라서 {\displaystyle T(B)} 역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 V가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 W가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 {\displaystyle V\to W}에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

### 순서 집합

(X,\lesssim )가 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족

{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\gtrsim s\}}
은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, (X,\lesssim )가 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족

{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\lesssim s\}}
은 유계형을 이룬다. 만약 (X,\lesssim )가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, X가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족

{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\text{b}}={\mathcal {B}}\_{\text{ub}}\cap {\mathcal {B}}\_{\text{lb}}}
역시 유계형을 이룬다.

### 측도 공간

측도 공간 (X,\Sigma ,\mu )에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* \mu 는 완비 측도이며, 모든 한원소 집합은 가측 집합이자 그 측도가 0이다.
* 측도가 0인 가측 집합들의 족 {\displaystyle \{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}}은 유계형을 이룬다.

역사
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유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지[\*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네[\*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지[\*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지[\*]의 어미)의 합성어이다.

참고 문헌
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1. ↑  Adámek, Jiří; Herrlich, Horst (1986). "Cartesian closed categories, quasitopoi and topological universes". 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) **27** (2): 235–257. MR 857544. Zbl 0601.18003.

* Hogbe-Nlend, Henri (1971). 《Théorie des bornologies et applications》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **213**. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069416. ISBN 978-3-540-05546-4. ISSN 0075-8434. MR 625157. Zbl 0225.46005.
* Hogbe-Nlend, Henri (1971년 1월 5일). "Les racines historiques de la bornologie moderne". 《Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse》 (프랑스어) **10** (9). MR 625157. Zbl 0225.46005.