정의
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실수x에 대한 ψ(n)(x)의. 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다*x*ψ(n)(*x*)
복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)
복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ(1)(z)
복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ(2)(z)
펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ(3)(z)
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) {\displaystyle \psi \_{n}(z)}로 주어진다.

{\displaystyle \psi \_{0}(z)}은 {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}으로도 표기한다.
이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

{\displaystyle {\psi \_{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)}
{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}
{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi \_{0}(z)}
### 오일러의 감마함수

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod \_{k=0}^{n}(z+k)}}\!\;}
### 가우스의 감마함수

{\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod \_{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}
{\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi \_{0}(z)\Gamma (z)}
{\displaystyle \psi \_{0}(z)=\psi (z)={{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}
* {\displaystyle -\Gamma '(1)=\gamma =-\psi \_{0}(1)}

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }\left(\sum \_{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{{\zeta (m)} \over {m}}\;\;(\gamma \;}오일러-마스케로니 상수 {\displaystyle ,\;\zeta \;}리만 제타 함수 )
* m>0에서 감마 함수의 미분

{\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum \_{k=1}^{m}{{1} \over {k}}\right)}
* {\displaystyle \sum \_{z=1}^{\infty }({\frac {1}{z}}-\log \_{e}({\frac {z+1}{z}}))=\gamma }

디감마 함수(Digamma function)
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디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

{\displaystyle \psi \_{n}(z)}에서 n=0
디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

{\displaystyle {\psi \_{0}(z)}}
{\displaystyle ={\psi \_{}(z)}}

트리감마 함수(Trigamma function)
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{\displaystyle \psi \_{n}(z)}
n=1
{\displaystyle {\psi \_{1}(z)}}
### 로랑 급수의 점근적 확장 표현

{\displaystyle \psi \_{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {B\_{k}}{z^{k+1}}}}
{\displaystyle B}는 베르누이 수

감마 함수 미분의 급수 표현과 폴리감마 함수
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{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\sum \_{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{n+1}}}}
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=(-1)^{0+1}\,0!\sum \_{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{0+1}}}}
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=-1\sum \_{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)}}}
{\displaystyle \psi ^{(0)}(1)=-1\sum \_{k=0}^{\infty }{{1} \over {(1+k)}}}
{\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod \_{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}
{\displaystyle \Gamma (1)={1 \over 1}\prod \_{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over 1}\right)^{1}} \over {1+{1 \over 1}}}}
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
{\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi \_{0}(z)\Gamma (z)}
{\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi \_{0}(1)\Gamma (1)}
{\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi \_{0}(1)\cdot 1}
* 후르비츠 제타 함수 표현

{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\,\zeta (n+1,z)}

큐-폴리감마 함수(q-polygamma function)
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큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

{\displaystyle \psi \_{q}^{(n)}(z)={{\partial ^{n}\psi \_{q}(z)} \over {\partial z^{n}}}}
{\displaystyle \psi \_{q}(z)={{\Gamma '\_{q}(z)} \over {\Gamma \_{q}(z)}}\;\;\;,z>0}
* 큐 감마함수(q gamma function)

{\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)}
{\displaystyle q\in \left(0,1\right)} 구간 예약
{\displaystyle f(1)=1}
{\displaystyle }
{\displaystyle \log f(x),x>0}
{\displaystyle f(x)=\Gamma \_{q}(x)}
{\displaystyle \therefore \Gamma \_{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;} 큐-포흐하머 기호{\displaystyle \;(q;q)\infty }
{\displaystyle }:{\displaystyle }:{\displaystyle }:{\displaystyle }