기하학에서 **초구**(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.

정의
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n차원 **초구** S^n은 n+1차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \|x\|=1\}}
이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 n차원 리만 다양체를 이룬다.

이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)\cong \operatorname {Spin} (n+1)/\operatorname {Spin} (n)}

성질
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### 넓이와 부피

반지름이 r인 *n*차원 초구의 초부피는

{\displaystyle V\_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}r^{n}={C\_{n}r^{n}}}
이다. 여기서 \Gamma 는 감마 함수이다.

n차원 초구의 겉부피는

{\displaystyle S\_{n-1}={{2\pi ^{{n} \over {2}}} \over {\Gamma \left({{n} \over {2}}\right)}}r^{n-1}}
이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 {{\pi ^{2}r^{4}} \over {2}}이고, 겉부피는 {2\pi ^{2}r^{3}}이다.

### 호몰로지와 호모토피

초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}
드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

|  | π1 | π2 | π3 | π4 | π5 | π6 | π7 | π8 | π9 | π10 | π11 | π12 | π13 | π14 | π15 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *S*0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| *S*1 | ℤ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| *S*2 | 0 | ℤ | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ12 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ3 | ℤ15 | ℤ2 | ℤ22 | ℤ12×ℤ2 | ℤ84×ℤ22 | ℤ22 |
| *S*3 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ12 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ3 | ℤ15 | ℤ2 | ℤ22 | ℤ12×ℤ2 | ℤ84×ℤ22 | ℤ22 |
| *S*4 | 0 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ×ℤ12 | ℤ22 | ℤ22 | ℤ24×ℤ3 | ℤ15 | ℤ2 | ℤ23 | ℤ120×ℤ12×ℤ2 | ℤ84×ℤ25 |
| *S*5 | 0 | 0 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ24 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ30 | ℤ2 | ℤ23 | ℤ72×ℤ2 |
| *S*6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ24 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ60 | ℤ24×ℤ2 | ℤ23 |
| *S*7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ24 | 0 | 0 | ℤ2 | ℤ120 | ℤ23 |
| *S*8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ24 | 0 | 0 | ℤ2 | ℤ×ℤ120 |

초구 S^n의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.:39

{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}
초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.:§3.1

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}
### 세포 복합체 구조

n차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 n차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.

### 리 군과의 관계

#### 초구 위의 리 군 구조

리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\cong \operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \operatorname {U} (1)} (원군)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)} (2차 특수 유니터리 군)

**증명:**

1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.)

#### 동차 공간으로의 표현

초구 \mathbb {S} ^{n}가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong G/H}
여기서

* {\displaystyle \cong }은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
* G는 연결 콤팩트 리 군이다.
* H는 G의 닫힌 부분군이다.
* G는 \mathbb {S} ^{n} 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.

그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.:Theorem 10

| *G* | *H* | 초구의 차원 |
| --- | --- | --- |
| SO(*n*+1) | SO(*n*) | *n* |
| SU(*k*) | SU(*k*−1) | 2*k*−1 (*k*≥2) |
| Sp(*k*) | Sp(*k*−1) | 4*k*−1 (*k*≥2) |
| G2 | SU(3) | 6 |
| Spin(7) | G2 | 7 |
| Spin(9) | Spin(7) | 15 |

특히, {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.

예
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0차원 초구 S^{0}은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다.

1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다.

3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.

참고 문헌
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1. ↑  Zois, Ioannis P. (2010년 8월). "18 lectures on K-Theory" (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
2. ↑  Gukov, Sergei (1999). "K-theory, reality, and orbifolds" (영어). arXiv:hep-th/9901042.
3. ↑  Bletz‐Siebert, Oliver (2005). "Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products" (PDF). 《Journal of Lie Theory》 (영어) **15**: 1–11.