순서론에서 **순서 위상**(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

정의
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원순서 집합 (X,\lesssim )이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를

{\displaystyle x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x}
로 표기하고, 이에 대한 동치류를

{\displaystyle [x]\_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}}
로 표기하자. X 위의 **열린 반직선**(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle \mathop {\uparrow } a\setminus [a]\_{\sim }=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}}
{\displaystyle \mathop {\downarrow } a\setminus [a]\_{\sim }=\mathop {\downarrow } a\setminus \mathop {\uparrow } a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}}
여기서 {\displaystyle \mathop {\uparrow } }는 상폐포이며, {\displaystyle \mathop {\downarrow } }는 하폐포이다.

### 순서 위상

X 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 **순서 위상**이라고 한다.

{\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}\_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}\_{b\in X}}
즉, X의 기저는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle (\mathop {\uparrow } a\_{1}\setminus \mathop {\downarrow } a\_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\uparrow } a\_{m}\setminus \mathop {\downarrow } a\_{m})\cap (\mathop {\downarrow } b\_{1}\setminus \mathop {\uparrow } b\_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\downarrow } b\_{n}\setminus \mathop {\uparrow } b\_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a\_{1},\dots ,a\_{m},b\_{1},\dots ,b\_{n}\in X)}
(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 X 전체이다.)

만약 X가 격자라면, X의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}\_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}\_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}\_{b\in X}\cup \{X\}}
다음과 같이 구간 표기법

{\displaystyle (a,\infty )=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b}
{\displaystyle (a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)}
(-\infty ,\infty )=X
{\displaystyle (\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing }
을 적용하면, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \{(a,b)\}\_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}}
만약 X가 유계 격자라면, X의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle \{(a,b)\}\_{a,b\in X}}
### 하위상과 상위상

(X,\lesssim ) 위의 **하위상**(영어: lower topology) 또는 **좌위상**(영어: left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

{\displaystyle \{X\setminus \mathop {\uparrow } b\}\_{a\in X}}
만약 X가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선

{\displaystyle X\setminus \mathop {\uparrow } b=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b=(-\infty ,b)}
들이다.

마찬가지로, (X,\lesssim ) 위의 **상위상**(영어: upper topology) 또는 **우위상**(영어: right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

{\displaystyle \{X\setminus \mathop {\downarrow } a\}\_{a\in X}}
만약 X가 전순서 집합이라면,

{\displaystyle X\setminus \mathop {\downarrow } a=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=(a,\infty )}
이다.

### 하극한 위상과 상극한 위상

(X,\lesssim ) 위의 **하극한 위상**(영어: lower limit topology) 또는 **하 조르겐프라이 위상**(영어: lower Sorgenrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다.

{\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}\_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\}\_{a\in X}}
이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \{[a,b)\}\_{a\in X,b\in X\sqcup \{\infty \}}}
만약 X가 격자이거나, X의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다.

{\displaystyle \{[a,b)\}\_{a,b\in X}}
마찬가지로, (X,\lesssim ) 위의 **상극한 위상**(영어: upper limit topology) 또는 **상 조르겐프라이 위상**(영어: upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다.

{\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap \mathop {\downarrow } b\}\_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\}\_{b\in X}}
즉,

{\displaystyle \{(a,b]\}\_{a\in X\sqcup \{-\infty \},b\in X}}
만약 X가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.

{\displaystyle \{(a,b]\}\_{a,b\in X}}

성질
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순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이다.

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

예
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### 유한 집합

\{a,b\}의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}
{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \{\varnothing \}}
\varnothing 
\{a,b\}의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}
\varnothing 
\{a,b\}의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}}
{\displaystyle \left\{\varnothing \right\}}
\varnothing 
### 자명한 순서

집합 X 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

### 순서체

실수체 \mathbb {R} , 유리수체 \mathbb {Q} , 정수환 \mathbb {Z}  자연수 집합 {\mathbb N} 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (\mathbb {Z} 와 {\mathbb N}의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 {}^\*\mathbb R에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 {}^\*\mathbb R는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 \mathbb {R}  위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 **조르겐프라이 직선**(영어: Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
* 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
* 이다.
* 완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 **조르겐프라이 평면**(영어: Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니며, 파라콤팩트 공간이 아니다. (따라서 린델뢰프 공간이 아니다.)

### 순서수의 위상

순서수 \alpha 는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, \alpha 의 극한점은 \alpha 보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 \omega \_{1}은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega \_{1}+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega \_{1}+1은 \omega 의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

### 전순서 집합의 부분 집합

전순서 집합 (X,\le)의 부분 집합 Y\subseteq X 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.

* (X,\le) 위에 순서 위상을 주었을 때, Y 위의 부분 공간 위상
* {\displaystyle (Y,\leq \upharpoonright Y)} 위의 순서 위상

전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 \mathbb {R} 의 부분 집합

{\displaystyle (0,1)\cup [2,3)}
에서,

{\displaystyle [2,3)}
는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.

만약 Y가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.

참고 문헌
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* Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)