범주론에서 **요네다 보조정리**([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리
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{\mathcal {C}}가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 A\in {\mathcal C}에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (\operatorname {Set} 는 집합의 범주).

\hom(A,-)\colon {\mathcal C}\to \operatorname {Set}
\hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)
이 함자에서, 사상 f\colon B\to C의 상은 다음과 같다.

{\displaystyle \hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)}
{\displaystyle \hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g}
마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 ({\displaystyle ^{\operatorname {op} }}는 반대 범주).

{\displaystyle \hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle \hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)}
{\displaystyle \hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)}
{\displaystyle \hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f}
그리고 함자 F\colon {\mathcal C}\to \operatorname {Set}가 주어졌다고 하자. **요네다 보조정리**에 따르면, 모든 대상 A\in {\mathcal C}에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)}
이 때,

* \operatorname {Nat}(\hom(A,-),F)은 모든 자연 변환 {\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}들의 집합이다.
* F(A)\in \operatorname {Set}는 A의 상이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

\Phi \mapsto \Phi \_{A}(\operatorname {id}\_{A})\in F(A)
이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (\operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}는 함자 {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} 와 자연 변환의 범주).:61

{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}
{\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}
{\displaystyle \Phi \_{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
{\displaystyle \Phi \_{f}=\Phi \_{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi \_{A}}
즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다.

마찬가지로, 모든 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 및 대상 A\in {\mathcal C}에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)}
이 때

* \operatorname {Nat}(\hom(-,A),F)는 자연 변환 {\displaystyle \Phi \colon \hom(-,A)\Rightarrow F}들의 집합이다.
* F(A)는 A의 상이다.

이 일대일 대응

\Phi \mapsto \Phi \_{A}(\operatorname {id}\_{A})\in F(A)
들은 함자

{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )}
와

{\displaystyle -(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle -(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)}
{\displaystyle \Phi \_{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
{\displaystyle \Phi \_{f}=\Phi \_{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi \_{B}}
사이의 자연 동형을 이룬다.

증명
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쌍대성에 따라, 함자 F가 {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} 인 경우를 증명하면 충분하다. ({\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }의 경우, {\mathcal {C}}를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 {\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}에 대해 {\displaystyle \Phi \_{A}(\operatorname {id} \_{A})}를 생각할 수 있다. {\displaystyle \Phi \_{A}}는 {\displaystyle A\to A} 함자를 F(A)의 원소로 옮겨야 하고, {\displaystyle \operatorname {id} \_{A}\colon A\to A}이므로, {\displaystyle \Phi \_{A}(\operatorname {id} \_{A})\in F(A)}임을 알 수 있다.

이제, 모든 {\displaystyle u\in F(A)}에 대해 {\displaystyle \Phi \_{A}(\operatorname {id} \_{A})=u}인 유일한 자연 변환 \Phi를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

자연 변환

{\displaystyle \Phi \_{X}(f)=(Ff)u}
은 자명하게 {\displaystyle \Phi \_{A}(\operatorname {id} \_{A})=u}를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, {\displaystyle \Phi \_{A}(\operatorname {id} \_{A})=u}를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, {\displaystyle u\in F(A)}의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

요네다 매장
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국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}}가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 A\in {\mathcal C}와 함자 {\displaystyle F=\hom(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.

{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))}
{\displaystyle f\mapsto \hom(-,f)}
사실, 이는 함자 범주 \operatorname {Set}^{{{\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}}}로 가는 함자

\hom(-,-)\colon {\mathcal C}\to \operatorname {Set}^{{{\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}}}
{\displaystyle \hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)}
{\displaystyle \hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)}
를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 {\mathcal {C}}를 그 성질 그대로 \operatorname {Set}^{{{\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}}} 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 **요네다 매장**([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))}
{\displaystyle f\mapsto \hom(f,-)}
는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

{\displaystyle \hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}
{\displaystyle \hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)}
{\displaystyle \hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)}

역사
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일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-0-387-98403-2. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.
2. ↑  Nobuo, Yoneda (1954). "On the homology theory of modules". 《Journal of the Faculty of Science of the University of Tokyo. Section I》 (영어) **7**: 193–227. Zbl 0058.01902.