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벡터 미적분학에서 **야코비 행렬**(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. **야코비 행렬식**(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다.

정의
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열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n}에 정의된 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}가 점 {\displaystyle \mathbf {a} \in U}에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 {\mathbf f}의 {\displaystyle \mathbf {a} }에서의 **야코비 행렬** {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}은 다음과 같다.

{\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )={\begin{pmatrix}(\partial f\_{1}/\partial x\_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f\_{1}/\partial x\_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f\_{1}/\partial x\_{n})(\mathbf {a} )\\(\partial f\_{2}/\partial x\_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f\_{2}/\partial x\_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f\_{2}/\partial x\_{n})(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(\partial f\_{m}/\partial x\_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f\_{m}/\partial x\_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f\_{m}/\partial x\_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nabla f\_{1}(\mathbf {a} )\\\nabla f\_{2}(\mathbf {a} )\\\vdots \\\nabla f\_{m}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\partial \mathbf {f} /\partial x\_{1})(\mathbf {a} )&(\partial \mathbf {f} /\partial x\_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial \mathbf {f} /\partial x\_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}
즉, 각 {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )\_{ij}=(\partial f\_{i}/\partial x\_{j})(\mathbf {a} )}는 {\mathbf f}의 i번째 성분의 j번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 {\displaystyle n=m}일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 {\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}을 취할 수 있다. 이를 {\mathbf f}의 {\displaystyle \mathbf {a} }에서의 **야코비 행렬식**이라고 한다.

특히, 열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n}에 정의된 미분 가능 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}의 야코비 행렬 {\displaystyle J(\mathbf {f} )}은 다음과 같다.

{\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon U\to \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}
{\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon \mathbf {x} \mapsto J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U}
야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.

* {\displaystyle J(\mathbf {f} )}
* {\displaystyle \mathbf {f} '}
* {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }
* {\displaystyle {\frac {\partial (f\_{1},\dotsc ,f\_{m})}{\partial (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})}}}

마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

성질
--

열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n}에 정의된 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}가 점 {\displaystyle \mathbf {a} \in U}에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} +\Delta x)-\mathbf {f} (\mathbf {a} )=J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )\Delta \mathbf {x} +\mathbf {o} (\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )}
즉, {\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}는 {\mathbf f}의 {\displaystyle \mathbf {a} }에서의 프레셰 도함수이다.

예
-

다음과 같은 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}를 생각하자.

{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(xy,\sin xy)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
모든 편도함수는 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\partial f\_{1}}{\partial x}}=y,\;{\frac {\partial f\_{1}}{\partial y}}=x,\;{\frac {\partial f\_{2}}{\partial x}}=y\cos xy,\;{\frac {\partial f\_{2}}{\partial y}}=x\cos xy\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
따라서, {\mathbf f}의 야코비 행렬은 다음과 같다.

{\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}y&x\\y\cos xy&x\cos xy\end{pmatrix}}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
또한, {\mathbf f}의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

{\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )=0\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }