해석학과 일반위상수학에서 **볼차노-바이어슈트라스 정리**(Bolzano-Weierstraß定理, 영어: Bolzano–Weierstrass theorem)는 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다.

특례
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### 실수

실수 집합 \mathbb {R} 에 대한 **볼차노-바이어슈트라스 정리**에 따르면, 실수 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.

### 실수에 대한 증명

이는 단조 부분 수열 정리 및 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

**단조 부분 수열 정리**에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다.

실수 수열 {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 대하여, 자연수의 성질 \phi 를 다음과 같이 도입하자.

{\displaystyle \phi (n)\iff \forall m>n\colon x\_{n}>x\_{m}\qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}
즉, n번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다.

만약 \phi 를 만족하는 무한 개의 자연수

{\displaystyle n\_{1}<n\_{2}<n\_{3}<\cdots }
가 존재한다면, {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k\in \mathbb {N} }}은 단조 부분 수열이다.

만약 \phi 를 만족하는 자연수가 유한 개라면,

{\displaystyle n\_{0}=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \phi (n)\}+1}
라고 하였을 때, {\displaystyle \lnot \phi (n\_{0})}이므로,

{\displaystyle x\_{n\_{0}}\leq x\_{n\_{1}}}
인 {\displaystyle n\_{1}>n\_{0}}이 존재한다. 마찬가지로,

{\displaystyle x\_{n\_{0}}\leq x\_{n\_{1}}\leq x\_{n\_{2}}\leq \cdots }
인 {\displaystyle n\_{0}<n\_{1}<n\_{2}<\cdots }가 존재한다. 즉, {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k\in \mathbb {N} }}은 단조 부분 수열이다.

실수 유계 수열 {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k\in \mathbb {N} }}이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, 단조 수렴 정리에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.

### 유클리드 공간

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}에 대한 **볼차노-바이어슈트라스 정리**에 따르면, \mathbb {R} ^{n} 속 유계 수열 {\displaystyle (x\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 닫힌집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}은 점렬 콤팩트 공간이다.

더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* S는 점렬 콤팩트 공간이다.
* S는 유계 닫힌집합이다.

### 유클리드 공간에 대한 증명

유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 속 수열

{\displaystyle (x\_{k}=(x\_{k,1},x\_{k,2},\ldots ,x\_{k,n}))\_{k\in \mathbb {N} }}
에 대하여, {\displaystyle (x\_{k,1})\_{k\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} }은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, {\displaystyle (y\_{k,1})\_{k\in \mathbb {N} }}이 수렴하게 되는, {\displaystyle (x\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}의 부분 수열 {\displaystyle (y\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}이 존재한다.

마찬가지로, {\displaystyle (z\_{k,2})\_{k\in \mathbb {N} }}이 수렴하게 되는, {\displaystyle (y\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}의 부분 수열 {\displaystyle (z\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}이 존재한다. 이때, {\displaystyle (z\_{k,1})\_{k\in \mathbb {N} }} 역시 수렴한다.

이와 같이 반복하면, 임의의 {\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}에 대하여 {\displaystyle (w\_{k,i})\_{k\in \mathbb {N} }}이 수렴하게 되는, {\displaystyle (x\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}의 부분 수열 {\displaystyle (w\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, S가 닫힌집합이므로, 극한은 S의 원소이다.

(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }이 유계가 아니라면,

{\displaystyle x\_{0}\in S}
{\displaystyle x\_{n+1}\in S\setminus B(x\_{0},n)\setminus B(x\_{0},d(x\_{n},x\_{0}))}
이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다.

또한, S 속의, \mathbb {R} ^{n}에서 수렴하는 수열에 대하여, S에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 S에서 수렴한다. 즉, S는 닫힌집합이다.

### 거리 공간에서의 실패

거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 \mathbb {Z} 에 이산 거리 함수를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 {\displaystyle (1,2,3,\ldots )}은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다.

역사
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보헤미아의 베르나르트 볼차노와 독일의 카를 바이어슈트라스가 증명하였다.

참고 문헌
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* Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
* Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)