대수기하학과 미분기하학에서 **안정 벡터 다발**(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 복소다양체 M
* 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 {\displaystyle M\hookrightarrow \operatorname {\mathbb {C} P} ^{N}}. 이에 따라, M 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 {\displaystyle [\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )}는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
* M 위의 정칙 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M

### 다발의 기울기

{\displaystyle E\neq 0}이라고 할 때, E의 **기울기**(영어: slope 슬로프[\*])는 다음과 같은 유리수이다.

{\displaystyle \mu (E)={\frac {\int \_{M}[\omega ]^{\dim \_{\mathbb {C} }M-1}\smile \operatorname {c} \_{1}(E)}{\dim \_{M}E}}\in \mathbb {Q} }
이 식에서, 분자가 정수인 것은 M이 사영 대수다양체이기 때문이다.

### 에르미트-아인슈타인 접속

콤팩트 리 군

{\displaystyle \operatorname {U} (1)\_{\operatorname {diag} }\leq G\leq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
이 주어졌으며, {\displaystyle E\twoheadrightarrow M}가 M 위의, G 구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 G-주다발이

P\twoheadrightarrow M
이라고 하자.

그렇다면, E 위의 어떤 벡터 다발 접속 \nabla 의 곡률

{\displaystyle F\_{i{\bar {\jmath }}}^{a}\in \Omega ^{1,1}(M;{\mathfrak {ad}}(P))}
을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발

{\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)=P\times \_{G}{\mathfrak {lie}}(G)}
이다. 표현에 따라서

{\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)\subseteq \operatorname {End} E}
이다. {\displaystyle \operatorname {End} E}에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발

{\displaystyle \mathbb {C} \operatorname {id} \_{E}\subseteq \operatorname {End} E}
을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을

{\displaystyle m\colon M\times \mathbb {C} \hookrightarrow \operatorname {End} (E)}
이라고 하자. 이제, 만약

{\displaystyle F\in \mathrm {i} \mathbb {R} m(\omega )\subseteq \Omega ^{1,1}(M;\operatorname {End} E)}
라면, \nabla 를 **에르미트-아인슈타인 접속**이라고 한다. {\displaystyle \mathrm {i} \lambda }는 허수이므로, 이 경우 E 위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, \nabla 는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

### 안정 벡터 다발

{\displaystyle E\neq 0}일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 **안정 벡터 다발**이라고 한다.

* E의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 {\displaystyle 0\subsetneq F\subsetneq E}에 대하여, {\displaystyle \mu (F)<\mu (E)}이다.
* E는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ({\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})}에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
* E는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ({\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})}에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, {\displaystyle \mu (F)<\mu (E)}를 {\displaystyle \mu (F)\leq \mu (E)}로 약화시키면, **준안정 벡터 다발**(영어: semistable vector bundle)의 개념을 얻는다.

### 리만 곡면의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 리만 곡면 \Sigma
* 정칙 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }

이 경우, {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\Sigma )}가 1차원이므로, \Sigma  위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 \Sigma 의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, E의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

성질
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다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 \Sigma
* 정칙 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }
* E 위의 에르미트 구조 {\displaystyle \eta \in \Gamma \_{\Sigma }(E^{\*}\otimes {\bar {E}}^{\*})}

만약 E 위에 벡터 다발 접속 \nabla 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선

{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma }
{\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)\in \Sigma }
에 대하여, 모노드로미

{\displaystyle T\_{\gamma }\in \operatorname {GL} (E\_{\gamma (0)};\mathbb {C} )}
를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군

{\displaystyle \operatorname {U} (E\_{\gamma (0)})\leq \operatorname {GL} (E\_{\gamma (0)};\mathbb {C} )}
에 속한다면, 이러한 접속을 **유니터리 접속**(영어: unitary connection)이라고 하자. 유니터리 접속 \nabla 이 주어졌을 때, 그 곡률

{\displaystyle F\_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\Sigma ;\operatorname {u} (E))}
를 생각하자. ({\displaystyle \operatorname {u} (E)}는 E 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대

{\displaystyle \*F\_{\nabla }\in \Gamma (\operatorname {u} (E))}
를 생각하자.

**나라심한-세샤드리 정리**(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, 영어: Narasimhan–Seshadri theorem)에 따르면, E가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, {\displaystyle (E,\eta )}가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 {\displaystyle \*F\_{\nabla }=-2\pi \mathrm {i} \mu (E)}인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 z\in \Sigma 에 대하여 군 준동형

{\displaystyle \pi \_{1}(\Sigma ,z)\to \operatorname {PU} (E\_{z})={\frac {\operatorname {U} (E\_{z})}{\mathbb {C} ^{\times }}}}
이 존재한다.

### 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간

다음이 주어졌다고 하자.

* 종수 g의 리만 곡면 \Sigma
* 자연수 r\in {\mathbb N} (정칙 벡터 다발의 차원)
* 정수 {\displaystyle d\in \mathbb {Z} } (정칙 벡터 다발의 차수)

그렇다면, \Sigma  위의 r차원 d차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)}
을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }에서, 그 접공간은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {T} \_{E}{\mathcal {M}}=\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}

**증명 개략**:

어떤 매개 변수 t\in \mathbb {R}  및 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in I}}에 대하여 전이 함수가 {\displaystyle \phi \_{ij}(t)\colon U\_{i}\cap U\_{j}\to \operatorname {Aut} (E\upharpoonright U\_{i}\cap U\_{j})}라면,

{\displaystyle \partial \_{t}\ln \phi \_{ij}\colon U\_{i}\cap U\_{j}\to \operatorname {End} (E)}
이며, 이러한 함수들의 족은 (t=0에서) 층 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}의 원소를 정의한다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {End} E=E^{\*}\otimes \_{\mathbb {C} }E}이다.

그 복소수 차원은 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing \implies \dim \_{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)=r^{2}(g-1)+1}
여기서 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing }일 필요 충분 조건은 {\displaystyle g\geq 2}이거나, {\displaystyle g=1}이며 {\displaystyle \gcd\{r,d\}=1}이거나, {\displaystyle g=0}이며 {\displaystyle r=1}인 것이다.
여기서 정칙 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }의 차수는 {\displaystyle \deg E=\textstyle \int \_{\Sigma }\operatorname {c} \_{1}(E)\in \mathbb {Z} }이며, {\displaystyle \operatorname {c} \_{1}}은 1차 천 특성류이다.

**증명:**

{\mathcal {M}}의 차원은 물론 어떤 임의의 {\displaystyle E\in {\mathcal {M}}}에서의 접공간의 차원과 같다.

리만-로흐 정리에 따라서,

{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=\deg(\operatorname {End} E)+(1-g)\dim(\operatorname {End} E)}
이다. 그런데 {\displaystyle \det(E^{\*}\otimes E)}는 대역적 단면을 가지므로

{\displaystyle \deg(\operatorname {End} E)=0}
이며, E가 안정 벡터 다발이므로

{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=1}
이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.)
물론

{\displaystyle \dim(\operatorname {End} E)=r^{2}}
이다. 따라서

{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=r^{2}(g-1)+1}
이다.

만약 {\displaystyle g=0}일 경우 ({\displaystyle \Sigma \cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \bigoplus \_{i}{\mathcal {O}}(d\_{i})}
여기서 {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}는 보편 선다발의 -d차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 i에 대하여 {\displaystyle d\_{1}=d\_{2}=\dotsb }인 것이다 (즉, {\displaystyle \dim E\mid \deg E}). 즉,

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},r,d)={\begin{cases}\{\bullet \}&r\mid d\\\varnothing &r\nmid d\end{cases}}}
이다.

만약 {\displaystyle g=1}일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 E가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.

{\displaystyle \gcd\{\deg E,\dim E\}=1}
이 경우,

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\cong \Sigma \qquad (\gcd\{r,d\}=1)}
이다.

### 하더-나라삼한 여과

리만 곡면 \Sigma  위의 임의의 정칙 벡터 다발 E에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과

{\displaystyle 0=E\_{0}\subseteq E\_{1}\subseteq \dotsb \subseteq E\_{k}=E}
가 존재한다.

* 임의의 {\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}}에 대하여, {\displaystyle E\_{i+1}/E\_{i}}는 \Sigma  위의 준안정 벡터 다발이다.

이를 **하더-나라심한 여과**(영어: Harder–Narasimhan filtration)라고 한다.

역사
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데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(타밀어: முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன், 영어: Mudumbai Seshacharlu Narasimhan)과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(타밀어: காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி, 영어: Conjeevaram Srirangachari Seshadri)가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.

예
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모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 E, F의 직합 {\displaystyle E\oplus F}은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.:269 이 경우,

{\displaystyle \operatorname {c} \_{1}(E\oplus F)=\operatorname {c} \_{1}(E)+\operatorname {c} \_{1}(F)}
{\displaystyle \dim(E\oplus F)=\dim E+\dim F}
이므로,

{\displaystyle \min\{\mu (E),\mu (F)\}\leq \mu (E\oplus F)\leq \max\{\mu (E),\mu (F)\}}
이기 때문이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Donaldson, Simon K. (1985). "Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles". 《Proceedings of the London Mathematical Society》. Third Series (영어) **50** (1): 1–26. doi:10.1112/plms/s3-50.1.1. ISSN 0024-6115. MR 765366.
2. 1 2 3  Donaldson, S. K. (1983). "A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri". 《Journal of Differential Geometry》 **18** (2): 269–277. doi:10.4310/jdg/1214437664. ISSN 0022-040X. MR 710055.
3. ↑  Atiyah, Michael (1957). "Vector bundles over an elliptic curve". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **7**: 414–452. doi:10.1112/plms/s3-7.1.414.
4. ↑  Harder, G.; Narasimhan, M. S. (1975). "On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves". 《Mathematische Annalen》 (영어) **212** (3): 215–248. doi:10.1007/BF01357141. ISSN 0025-5831. MR 0364254.
5. ↑  Narasimhan, Mudumbai Seshacharlu; Seshadri, Conjeevaram Srirangachari (1965). "Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface". 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) **82**: 540–567. doi:10.2307/1970710. ISSN 0003-486X. MR 0184252.