대수적 위상수학에서 **슈티펠-휘트니 특성류**(Stiefel-Whitney特性類, 영어: Stiefel–Whitney class)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 {\mathbb F}\_{2} 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

정의
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위상 공간 X 위의 실수 유한 차원 벡터 다발 E의 **슈티펠-휘트니 특성류**

{\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} \_{2})}
는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.

* (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}에 대하여, {\displaystyle w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')}
* (당김) 임의의 연속 함수 X\to Y에 대하여, {\displaystyle w(f^{\*}E)=f^{\*}w(E)}
* (계수) {\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim \_{\mathbb {R} }E}(X)}이며, {\displaystyle w\_{0}(E)=1}이다.
* (규격화) 실수 사영 직선 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}의 자명 선다발 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1)}의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}의 코호몰로지 환이 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{1};\mathbb {F} \_{2})\cong \mathbb {F} \_{2}[x]/(x^{2})}, {\displaystyle \deg x=1}이라면 {\displaystyle w({\mathcal {O}}\_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1))=1+x}이다.

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

### 정수 슈티펠-휘트니 특성류

아벨 군의 짧은 완전열

{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0}
에 대한 복시테인 준동형

{\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} \_{2})\to \operatorname {H} ^{\bullet +1}(X;\mathbb {Z} )}
를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow X}의 **정수 슈티펠-휘트니 특성류** {\displaystyle \beta w}는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.

{\displaystyle \beta w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim \_{\mathbb {R} }E+1}(X;\mathbb {Z} )}
### 우 특성류

유한 차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow X}의 **우 특성류**([吳]特性類, 영어: Wu class) {\displaystyle W(E)}는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

{\displaystyle W(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} \_{2})}
{\displaystyle w(E)=\operatorname {Sq} (W(E))=\sum \_{i}\operatorname {Sq} ^{i}(W(E))}

구성
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슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

### 톰 동형을 통한 구성

 이 부분의 본문은 톰 공간입니다.
슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

n차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(E,E\setminus X;\mathbb {F} \_{2})={\begin{cases}0&i<n\\\operatorname {H} ^{i-n}(X;\mathbb {F} \_{2})&i\geq n\end{cases}}}
또한, {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} \_{2})} 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 {\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} \_{2})}가 존재한다.

* 모든 x\in X에 대하여, 올 \pi^{-1}(x)에 국한한 코호몰로지류 {\displaystyle \Phi |\_{(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\})}\in \operatorname {H} ^{n}(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\};\mathbb {F} \_{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\};\mathbb {F} \_{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {F} \_{2})\cong \mathbb {F} \_{2}}는 0이 아니다.

이를 **톰 특성류**라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} \_{2}){\xrightarrow {\pi ^{\*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(E;\mathbb {F} \_{2}){\xrightarrow {\smile \Phi }}\operatorname {H} ^{\bullet +n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} \_{2})}
이 경우, {\displaystyle (\smile \Phi )\circ \pi ^{\*}}는 {\mathbb F}\_{2} 벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 **톰 동형**이라고 한다.

기본 코호몰로지류 \Phi의 총 스틴로드 제곱

{\displaystyle \operatorname {Sq} \Phi =\sum \_{i}\operatorname {Sq} ^{i}\Phi \in \operatorname {H} ^{\geq n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} \_{2})}
를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

{\displaystyle w(E)=\left((\smile \Phi )\circ \pi ^{\*}\right)^{-1}(\operatorname {Sq} \Phi )}
### 무한 사영 공간을 통한 구성

선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

n차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 {\displaystyle \operatorname {Gr} \_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 {\displaystyle \operatorname {Gr} \_{1}(\mathbb {R} ^{\infty })=\operatorname {RP} ^{\infty }}에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

{\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} /2,1)}
이다.

실수 선다발 L\twoheadrightarrow X에 대응하는 연속 함수

{\displaystyle f\colon X\to \operatorname {RP} ^{\infty }}
를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {hTop} \_{\bullet }}\left(X,\operatorname {RP} ^{\infty }\right)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} \_{2})}
이다. 그렇다면, 실수 선다발 L의 **슈티펠-휘트니 특성류** {\displaystyle w(L)=1+w\_{1}(L)}는 다음과 같다.

{\displaystyle w\_{1}(L)=[f]\in \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} \_{2})}
여기서 [f]는 f의 호모토피류를 뜻한다.

성질
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일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. **우 정리**([吳]定理, 영어: Wu’s theorem)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

### 방해물 이론

처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* 가향 벡터 다발이다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 M이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* 스핀 구조를 갖는다.
* 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 M이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 M위의 유한 차원 실수 벡터 다발 E에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* 스핀C 구조를 갖는다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류 {\displaystyle w\_{1}(E)\in \operatorname {H} (M;\mathbb {F} \_{2})}가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 {\displaystyle \beta w\_{2}(E)\in \operatorname {H} ^{3}(X;\mathbb {Z} )}가 0이다.

특히, 다양체 M이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

역사
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에두아르트 슈티펠(독일어: Eduard Stiefel)과 해슬러 휘트니가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔(중국어 간체자: 吴文俊, 정체자: 吳文俊, 병음: Wú Wénjùn, 한자음: 오문준)이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés différentiables". 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) **28**: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 24일에 확인함.
2. ↑  Stiefel, Eduard (1935). "Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten". 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) **8** (1): 305–353. doi:10.1007/BF01199559. ISSN 0010-2571.  `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 42) (도움말)
3. ↑  Whitney, Hassler (1937). "Topological properties of differentiable manifolds". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **43**: 785–805. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06642-0. ISSN 0273-0979. MR 1563640. Zbl 0018.23902.
4. ↑  Wu, Wen-Tsun (1955). "On Pontrjagin classes II". 《Scientia Sinica》 (영어) **4**: 455-490.