기하학에서, **탈레스 정리**(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

정의
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평면 위 3개의 서로 다른 평행선 l, {\displaystyle l'}, {\displaystyle l''}이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 l, {\displaystyle l'}, {\displaystyle l''}과 하나는 각각 점 A, A', {\displaystyle A''}에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 B, {\displaystyle B'}, {\displaystyle B''}에서 만난다고 하자. **탈레스 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AA''}}{\overrightarrow {AA'}}}={\frac {\overrightarrow {BB''}}{\overrightarrow {BB'}}}}
특히, 만약 {\displaystyle A''}이 A에 대하여 A'과 같은 쪽에 있다면, {\displaystyle B''} 역시 B에 대하여 {\displaystyle B'}과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 {\displaystyle A''}이 A에 대하여 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): A'**
과 다른 쪽에 있다면, {\displaystyle B''} 역시 B에 대하여 {\displaystyle B'}과 다른 쪽에 있다.

증명
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우선 {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=1/2}인 경우를 보이자. A를 지나는 {\displaystyle BB'}의 평행선과 {\displaystyle l''}의 교점을 {\displaystyle C''}이라고 하고, {\displaystyle A''}을 지나는 {\displaystyle BB'}의 평행선과 {\displaystyle l'}의 교점을 {\displaystyle C'}이라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \angle A''AC''=\angle A'A''C'}, {\displaystyle AA''=A''A'}, {\displaystyle \angle AA''C''=\angle A''A'C'}이므로, 삼각형 {\displaystyle AA''C''}과 {\displaystyle A''A'C'}은 합동이며, 특히 {\displaystyle {\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}}이다. 사각형 {\displaystyle ABB''C''}, {\displaystyle A''B''B'C'}은 모두 평행 사변형이므로,

{\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}={\overrightarrow {AC''}}={\overrightarrow {A''C'}}={\overrightarrow {B''B'}}}
이다. 즉, {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=1/2}가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m과 양의 정수 n에 대하여 {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=m/n}이라고 하자. 선분 {\displaystyle AA'}을 n등분하고, 직선 {\displaystyle AA'}의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 n등분점을 지나는 l의 평행선과 직선 {\displaystyle BB'}의 교점 역시 선분 {\displaystyle BB'}을 n등분하며, 또한 직선 {\displaystyle BB'}의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=m/n}이 성립한다.

이제 {\displaystyle {\overrightarrow {AA''}}/{\overrightarrow {AA'}}=\lambda }가 일반적인 실수인 경우를 보이자. {\displaystyle {\overrightarrow {BB''}}/{\overrightarrow {BB'}}=\mu }이라고 가정하자. 임의의 유리수 q에 대하여, 직선 {\displaystyle AA'} 위에서 {\displaystyle {\overrightarrow {AP}}=q{\overrightarrow {AA'}}}인 점 P를 취하고, P를 지나는 l의 평행선과 직선 {\displaystyle BB'}의 교점을 Q라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle {\overrightarrow {BQ}}=q{\overrightarrow {BB'}}}이다. {\displaystyle A''B''}과 {\displaystyle PQ}는 평행하므로, 만약 {\displaystyle \lambda <q}라면 {\displaystyle \mu <q}, 만약 {\displaystyle \lambda =q}라면 {\displaystyle \mu =q}, 만약 {\displaystyle \lambda >q}라면 {\displaystyle \mu >q}이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, {\displaystyle \mu =\lambda }가 성립한다.

따름정리와 일반화
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### 닮음 삼각형의 성질

삼각형 ABC의 두 변 AB, {\displaystyle AC}의 직선과 점 {\displaystyle B'}, {\displaystyle C'}에서 만나는 직선 {\displaystyle B'C'}이 다른 한 변 BC에 평행한다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}}
이다.:25, §I.3, Corollary 3.3

증명:

점 A를 지나는 BC의 평행선과 직선 BC, {\displaystyle B'C'}에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AB}}{\overrightarrow {AB'}}}={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC'}}}=\lambda }
라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {B'C'}}}={\frac {{\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}={\frac {\lambda {\overrightarrow {AC'}}-\lambda {\overrightarrow {AB'}}}{{\overrightarrow {AC'}}-{\overrightarrow {AB'}}}}=\lambda }
이다.

### 중심 닮음 변환의 성질

평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

증명:

우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 O라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A, B를 취하자. A의 상을 A'이라고 하고, A'을 지나는 AB의 평행선과 직선 {\displaystyle OB}의 교점을 {\displaystyle B'}이라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {OB'}}{\overrightarrow {OB}}}={\frac {\overrightarrow {OA'}}{\overrightarrow {OA}}}}
이므로, {\displaystyle B'} 역시 B의 상이다. 따라서 직선 AB의 상직선 {\displaystyle A'B'}은 원래 직선에 평행한다.

### 다차원 아핀 공간 일반화

체 K 위의 아핀 공간 A의 서로 다른 평행 아핀 초평면 {\displaystyle H,H',H''\subseteq A}가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 {\displaystyle L\subseteq A}가 H, H', {\displaystyle H''}과 각각 점

{\displaystyle a=H\cap L}
{\displaystyle a'=H'\cap L}
{\displaystyle a''=H''\cap L}
에서 만난다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\frac {\overrightarrow {aa''}}{\overrightarrow {aa'}}}\in K}
은 아핀 초평면 H, H', {\displaystyle H''}에만 의존하며, 아핀 직선 L의 선택과 무관하다.:49, §2.5, Proposition 2.5.1

증명:

아핀 초평면 H의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 {\displaystyle V(H)}에 대한 몫아핀 공간 {\displaystyle A/V(H)}로 가는 아핀 사영 변환

{\displaystyle P\colon A\to A/V(H)}
를 생각하자. 그렇다면 P는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 {\displaystyle {\overrightarrow {P}}}를 갖는다. 이제

{\displaystyle {\overrightarrow {aa''}}=\lambda {\overrightarrow {aa'}}\qquad (\lambda \in K)}
라고 가정하자. 그렇다면

{\displaystyle {\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa''}})=\lambda {\overrightarrow {P}}({\overrightarrow {aa'}})}
이며, {\displaystyle {\overrightarrow {P}}}의 정의에 의하여

{\displaystyle {\overrightarrow {P(a)P(a'')}}=\lambda {\overrightarrow {P(a)P(a')}}}
이다. 따라서,

{\displaystyle \lambda ={\frac {\overrightarrow {P(a)P(a'')}}{\overrightarrow {P(a)P(a')}}}={\frac {\overrightarrow {P(H)P(H'')}}{\overrightarrow {P(H)P(H')}}}}
은 아핀 직선 L의 선택과 무관하다.

역사
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고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.