해석적 수론에서 **소수 정리**(素數定理, 영어: prime number theorem, 약자 PNT)는 소수의 분포를 근사적으로 기술하는 정리이다.

개념적으로, 소수 정리는 어떤 큰 수 N에 가까운 정수 하나를 무작위로 골랐을 때 그 정수가 소수일 확률은 \frac 1 {\ln N} 에 근사한다는 것을 보여 준다. (이때 \ln은 자연로그이다.) 이 식의 뜻은 소수의 분포는 더 큰 수로 갈수록 적어진다는 것을 의미한다.

정의
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π(*x*) (적색) 과 *x* / ln *x* ,그리고 Li(*x*) (청색)의 그래프 비교
임의의 실수 x에 대해 소수 계량 함수 \pi(x)는 x 보다 작거나 같은 소수의 개수를 가리키는 함수라고 하자. 

예를 들어, 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로 \pi(10) = 4 가 된다.

작은 몇 개의 값에 대해 소수 계량 함수의 함수값을 써 보면 다음과 같다.

\pi(1) = 0, \pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2, \pi(5) = 3, \pi(6) = 3, \pi(7) = 4
소수 정리는 두 함수 \pi(x)와 \frac x {\ln x}의 비가 *x*가 무한히 커질수록 1에 수렴한다는 것을 말한다. 즉,

\lim\_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1
가 성립한다. 점근 표기법에 의해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}
이것은 두 함수의 차가 x가 무한히 커질수록 0에 수렴한다는 것을 뜻하지는 않는다.

또한, 파프누티 체비쇼프는 소수 정리를 다음과 같이 개량하였다.

1. 만일 어떤 상수 C에 대하여 :\pi(x)\sim\frac{Cx}{\ln x} 이라면, C가 가질 수 있는 값은 1밖에 없다.
2. \pi(x)와 x/\log(x)의 차이는 위아래로 4%를 벗어나지 않는다.

역사
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소수 정리를 처음 제안한 것은 1798년 아드리앵마리 르장드르이다. 카를 프리드리히 가우스도 1792년과 1793년 사이에 소수 정리를 연구한 적이 있지만 발표를 하지는 않았다. 1896년에는 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 각각 독립적으로 증명하였다. 이 증명은 해석적 수론, 즉 리만 제타 함수를 통한 복소해석학적 기법을 바탕으로 하고 있다. 오랫동안 소수 정리의 초등적 (즉, 복소 해석학을 쓰지 않는) 증명 난제로 남아 있었으나, 1949년에 아틀레 셀베르그와 에르되시 팔이 초등적 증명을 발표하였다. 에르되시는 이 결과를 셀베르그와 공저 논문으로 출판하려 하였으나, 셀베르그는 이를 거부하였다. 이 때문에 셀베르그와 에르되시 사이의 관계는 악화되고 말았다.

증명
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### 해석적 증명의 개략

수론적 함수인 소수 계량 함수의 점근적 성장은 리만 제타 함수를 통해 복소해석학적인 명제로 치환할 수 있다. 우선, 다음과 같은 동치 관계는 초등적으로 보일 수 있다.

\pi(x)\sim x\Leftrightarrow\psi(x)\sim x\Leftrightarrow\frac1{x^2}\int\_1^x\psi(x')\,dx'=\frac1{x^2}\sum\_{n\le x}(x-n)\Lambda(n)\sim\frac12
여기서

\psi(x)=\sum\_{n\le x}\Lambda(n)
는 제2종 체비쇼프 함수이며, \Lambda(n)는 폰 망골트 함수이다. 반면, 리만 제타 함수의 로그 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)} = - \sum\_{n =1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^z}
두 합을 서로 연관짓기 위해, 다음과 같은 복소해석학적 보조정리를 사용한다.

\frac1{2\pi i}\int\_{c-\infty i}^{c+\infty i}\frac{(x/n)^zdz}{z(z+1)}=\begin{cases}1-n/x&n\le x\\0&n>x\end{cases}\qquad(c>1)
따라서, 제타 함수와 체비쇼프 함수를 다음과 같이 연관지을 수 있다.

\frac1{x^2}\int\_1^x\psi(x')\,dx' = -\frac{1}{2\pi i} \int\_{c - \infty i}^{c + \infty i} \frac{x^{z-1}}{z(z+1)}\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}\,dz\qquad(c>1)
이제, 우변이 x\to\infty 극한에서 1/2로 수렴함을 경로적분법으로 증명할 수 있다.

### 초등적 증명의 개략

다츠자와 지카오(Tikao Tatuzawa)와 가네시로 이세키(Iseki Kanesiroo)의 등식을 이용하거나 또는 아틀레 셀베르그의 다음 등식

\Lambda(n)\log n + \sum\_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum\_{d|n}\mu(d)\log^2 \frac{n}{d}
을 이용하여 증명의 핵심적이라 할 수 있는, 아틀레 셀베르그가 증명한 다음 점근적 등식을 유도한다.

\sum\_{p\le x}\log^2 p + \sum\_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)
\sigma(x) = e^{-x}\psi(e^x) -1로 치환할 때, 적분형태의 다음 부등식을 유도할 수 있다.

|\sigma(x)|x^2 \le 2 \int\_{0}^{x}\int\_{0}^{y} |\sigma(u)|dudy + O(x)
소수 정리는 \sigma(x) = o(1)과 동치이다. 만약 다음과 같이 이 함수의 상극한을

C = \limsup\_{x\to\infty} |\sigma(x)|
라고 둔다면, 이 상수가 영으로 가는 것을 확인하여 소수 정리를 증명할 수 있다. 만약 이 상수가 양수라고 가정하여 모순임을 증명한다. 정의에 의해 상수부분을 뗀 나머지 영으로 가는 함수를 다음과 같이 정의한다.

|\sigma(x)| \le C + g(x)
위 적분형태의 부등식과 이 부등식을 이용하여 다음과 같은 유사한 형태의 부등식을 유도한다.

|\sigma(x)| \le C' + h(x)
다만 이 경우 0 < C' < C가 된다. 여기서 C < C'임을 유도하여 모순을 이끌어 낸다.

참고 문헌
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1. ↑  Spencer, Joel; Ronald Graham (2009년 6월). "The elementary proof of the prime number theorem". 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) **31** (3): 18–23. doi:10.1007/s00283-009-9063-9. ISSN 0343-6993. Zbl 1235.11005.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2  Apostol, Tom (1998). 《Introduction to Analytic Number Theory》. Springer. ISBN 978-0387901633.
3. ↑  Tatuzawa, Tikao; Iseki Kaneshiro (1951). "On Selberg's elementary proof of the prime number theorem". 《Proc. Japan Acad.》 (영어) **27**: 340–342.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)