K이론에서, **뒤틀린 K이론**(뒤틀린K理論, 영어: twisted K-theory)은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 하우스도르프 콤팩트 공간 M
* 3차 특이 코호몰로지류 {\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}

임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 프레드홀름 작용소의 공간을

{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}
{\mathcal {H}}의 사영 유니터리 군

{\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} \_{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1}
을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간 {\displaystyle \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}이다.

{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}
따라서, H에 대응되는 {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}-주다발

{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}
을 고를 수 있다. 그렇다면, {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}는 P 및 {\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})} 위의 오른쪽 군 작용을 갖는다.

{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
{\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}
따라서, 등변 함수

{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
의 개념을 정의할 수 있다.

### 등변 호모토피류를 통한 정의

M의, H에 대한 **뒤틀린 K군**은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합

{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P\_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]\_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}
이다.

### 단면 호모토피류를 통한 정의

연관 벡터 다발

{\displaystyle P\_{H}\times \_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
를 생각하자. M의, H에 대한 **뒤틀린 K군**은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다.

{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P\_{H}\times \_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]\_{M}}

연산
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뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')}
즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다.

예
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일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 즉, 어떤 위상 공간 M의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}
즉, 매끄러운 다양체 M 위의 자명한 {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}-주다발

{\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
을 정의하였을 때, 함수

{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
가운데 {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]\_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}
이제, 위 구성을 자명한 {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}-주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우, {\mathcal {H}}의 사영 유니터리 군 {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}은
따라서, {\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}-주다발은 M의 3차 코호몰로지류 {\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}로 분류된다.

응용
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뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다. 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다.

역사
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막스 카루비(프랑스어: Max Karoubi)와 피터 도노번(영어: Peter Donovan)이 1960년대 말에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Karoubi, Max (2007). "Twisted *K*-theory old and new" (영어). arXiv:math/0701789.
2. ↑  Maldacena, Juan; Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (2010). "D-brane instantons and K-theory charges" (영어). arXiv:hep-th/0108100.
3. ↑  Karoubi, Max (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". 《Ann. Sci. École Normal Superieur》 (프랑스어): 161–270.
4. ↑  Donovan, Peter; Karoubi, Max (1970). "Graded Brauer groups and *K*-theory with local coefficients". 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) **38**: 5–25.