**고차 함수**(高次函數, higher-order function)는 수학과 컴퓨터 과학에서 적어도 다음 중 하나를 수행하는 함수이다.

* 하나 이상의 함수를 인수로 취한다. (예: 절차적 매개변수)
* 함수를 결과로 반환한다.

다른 모든 함수들은 일차(first order) 함수이다. 수학에서 고차 함수들은 연산자, 범함수라고도 한다. 미적분에서 미분 연산자가 일반적인 예인데, 그 이유는 함수를 그 미분에 연결시키기 때문이다.

형식화되지 않은 람다 대수에서 모든 함수들은 고차 함수이다. 대부분의 함수형 프로그래밍 언어를 파생시키는 형식화된 람다 대수에서 하나의 함수를 인수로 취하는 고차 함수들은 {\displaystyle (\tau \_{1}\to \tau \_{2})\to \tau \_{3}}의 형태의 값이다.

일반적인 예
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수많은 함수형 프로그래밍 언어에서 볼 수 있는 `map` 함수는 고차 함수의 한 예이다.

프로그래밍 언어에서의 지원
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### 직접적인 지원

#### 파이썬

```
>>> def twice(function):
...     return lambda x: function(function(x))

>>> def f(x):
...     return x + 3

>>> g = twice(f)

>>> print g(7)
13

```

#### F#

```
let twice f = f >> f

let f = (+) 3

twice f 7 |> printf "%A" // 13

```

#### 하스켈

```
twice :: (a -> a) -> (a -> a)
twice f = f. f

f :: Num a => a -> a
f = subtract 3

main :: IO ()
main = print (twice f 7) -- 1

```

#### 클로저

```
(defn twice [function x]
 (function (function x)))

(twice #(+ % 3) 7) ;13

```

#### 스킴

```
(define (add x y) (+ x y))
(define (f x)
 (lambda (y) (+ x y)))
(display ((f 3) 7))
(display (add 3 7))

```

#### 얼랭

```
or\_else([], \_) -> false;
or\_else([F | Fs], X) -> or\_else(Fs, X, F(X)).

or\_else(Fs, X, false) -> or\_else(Fs, X);
or\_else(Fs, \_, {false, Y}) -> or\_else(Fs, Y);
or\_else(\_, \_, R) -> R.

or\_else([fun erlang:is\_integer/1, fun erlang:is\_atom/1, fun erlang:is\_list/1],3.23).

```

#### 자바스크립트

```
var twice = function(f, v) {
 return f(f(v));
};

var f = function(v) {
 return v + 3;
};

console.log(twice(f, 7)); // 13

```

#### 고

```
func twice(f func(int) int, v int) int {
 return f(f(v))
}

func main() {
 f := func(v int) int {
 return v + 3
 }
 twice(f, 7) // returns 13
}

```

#### 스칼라

```
def twice(f:Int=>Int) = f compose f

twice(\_+3)(7) // 13

```

#### 자바 (1.8 이상)

```
Function<Function<Integer, Integer>, Function<Integer, Integer>> twice = f -> f.andThen(f);
twice.apply(x -> x + 3).apply(7); // 13

```

#### 스위프트

```
func f(x: Int) -> Int {
    return x + 3
}

func g(function: (Int) -> Int, paramX: Int) -> Int {
    return function(paramX) \* function(paramX)
}

g(function: f, paramX: 7)

```

#### 러스트

```
// Take function f(x), return function f(f(x))
fn twice<A, F>(function: F) -> Box<Fn(A) -> A>
 where F: 'static + Fn(A) -> A
{
 Box::new(move |a| function(function(a)))
}

// Return x + 3
fn f(x: i32) -> i32 {
 x + 3
}

fn main() {
 let g = twice(f);
 println!("{}", g(7));
}

```

#### C++

```
// Generic lambdas provided by C++14.
#include <iostream>

auto twice = [](auto f, int v)
{
 return f(f(v));
};

auto f = [](int i)
{
 return i + 3;
};

int main()
{
 std::cout << twice(f, 7) << std::endl;
}

// Or, use std::function in C++11
#include <iostream>
#include <functional>

auto twice = [](const std::function<int(int)>& f, int v)
{
 return f(f(v));
};

auto f = [](int i)
{
 return i + 3;
};

int main()
{
 std::cout << twice(f, 7) << std::endl;
}

```

#### 콜드퓨전 마크업 언어 (CFML)

```
twice = function(f, v) {
    return f(f(v));
};

f = function(v) {
    return v + 3;
};

writeOutput(twice(f, 7)); // 13

```

#### PHP

```
$twice = function($f, $v) {
    return $f($f($v));
};

$f = function($v) {
    return $v + 3;
};

echo($twice($f, 7)); // 13

```

#### R

```
twice <- function(func) {
 return(function(x) {
 func(func(x))
 })
}

f <- function(x) {
 return(x + 3)
}

g <- twice(f)

> print(g(7))
[1] 13

```

### XACML

```
rule allowEntry{
 permit
 condition anyOfAny(function[stringEqual], citizenships, allowedCitizenships)
}

```

### 대안

#### 함수 포인터

```
#include <stdio.h>

double square(double x)
{
 return x \* x;
}

double cube(double x)
{
 return x \* x \* x;
}

/\* Compute the integral of f() within the interval [a,b] \*/
double integral(double f(double x), double a, double b, int n)
{
 int i;
 double sum = 0;
 double dt = (b - a) / n;
 for (i = 0; i < n; ++i) {
 sum += f(a + (i + 0.5) \* dt);
 }
 return sum \* dt;
}

int main()
{
 printf("%g\n", integral(square, 0, 1, 100));
 printf("%g\n", integral(cube, 0, 1, 100));
 return 0;
}

```

#### 오브젝트

```
program example;

type
 int = integer;
 Txy = record x, y: int; end;
 Tf = function (xy: Txy): int;

function f(xy: Txy): int;
begin
 Result := xy.y + xy.x;
end;

function g(func: Tf): Tf;
begin
 result := func;
end;

var
 a: Tf;
 xy: Txy = (x: 3; y: 7);

begin
 a := g(@f); // return a function to "a"
 writeln(a(xy)); // prints 10
end.

```

#### 기능상실

```
// Defunctionalized function data structures
template<typename T> struct Add { T value; };
template<typename T> struct DivBy { T value; };
template<typename F, typename G> struct Composition { F f; G g; };

// Defunctionalized function application implementations
template<typename F, typename G, typename X>
auto apply(Composition<F, G> f, X arg) {
 return apply(f.f, apply(f.g, arg));
}

template<typename T, typename X>
auto apply(Add<T> f, X arg) {
 return arg + f.value;
}

template<typename T, typename X>
auto apply(DivBy<T> f, X arg) {
 return arg / f.value;
}

```