끈 이론에서 **코니폴드**(영어: conifold)는 뿔 꼴의 특이점을 가지는 다양체이다. 특이점에도 불구하고, 이러한 공간 위에서 끈 이론을 정의할 수 있다. 끈 이론에서는 이러한 특이점에 D-막이 감겨 있는 것으로 해석하고, 코니폴드 특이점을 통해 위상수학적으로 서로 다른 두 공간 사이를 매끄럽게 전이할 수 있다.

정의
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**코니폴드**는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 칼라비-야우 대수다양체이다. 이 대수다양체의 특이점은 두 가지의 방법으로 해소할 수 있다. 하나는 이 대수다양체의 복소 모듈러스를 바꾸는 것으로, 이를 **변형**(deformation)이라고 한다. 다른 하나는 대수다양체의 특이점을 부풀리는 것이다. 이를 **분해**(resolution)라고 한다. 6차원 코니폴드의 경우, 코니폴드를 변형시키면 대개 꼭짓점이 3차원 부분공간으로 부풀려지고, 코니폴드를 분해시키면 꼭짓점이 2차원 부분공간으로 부풀려진다.

코니폴드의 변형과 분해는 끈 이론으로 해석할 수 있다. 끈 이론은 특이점에도 불구하고 6차원의 코니폴드에 축소화할 수 있다. 끈 이론에서, 특이점 주위에 D-막이 감겨 있음을 알 수 있다. IIA종 끈 이론의 관점에서는 분해된 코니폴드의 2차원 꼭짓점에 D2-막이 감긴 것으로 해석하고, IIB종 끈 이론의 관점에서는 변형된 코니폴드의 3차원 꼭짓점에 D3-막이 감긴 것으로 해석한다.

이와 같이, 변형된 코니폴드에서 꼭짓점의 크기를 0으로 보내고, 이를 분해하여 위상수학적으로 다른 칼라비-야우 다양체를 얻을 수 있다. 이로써 알려진 대부분의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 연관지을 수 있다.

**코니폴드**는 다음과 같은 3차원 복소수 아핀 대수다양체이다.:488–491

{\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {C} [z\_{1},z\_{2},z\_{3},z\_{4}]}{(z\_{1}^{2}+z\_{2}^{2}+z\_{3}^{2}+z\_{4}^{2})}}}
이는 칼라비-야우 다양체이며, z\_{1}=z\_{2}=z\_{3}=z\_{4}=0에서 2차 특이점(영어: double point)을 가진다.

대신

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}z\_{1}+\mathrm {i} z\_{2}&\mathrm {i} z\_{3}+z\_{4}\\\mathrm {i} z\_{3}-z\_{4}&z\_{1}-\mathrm {i} z\_{2}\end{pmatrix}}}
를 정의하면, 코니폴드를 정의하는 식은

{\displaystyle \det M=z\_{1}^{2}+z\_{2}^{2}+z\_{3}^{2}+z\_{4}^{2}=0}
인 것이 된다.

성질
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### 뿔 구조

이 특이점 근처에서 다음과 같은 국소 좌표계를 도입하자.

z\_{i}=x\_{i}+iy\_{i}
{\mathbf x}=(x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4})\in {\mathbb R}^{4}
{\mathbf y}=(y\_{1},y\_{2},y\_{3},y\_{4})\in {\mathbb R}^{4}
이 좌표로 쓰면 대수다양체를 정의하는 식 \sum \_{i}z\_{i}^{2}=0은 다음과 같다.

\Vert {\mathbf x}\Vert ^{2}-\Vert {\mathbf y}\Vert ^{2}=\operatorname {Re}\psi 
{\mathbf x}\cdot {\mathbf y}=\operatorname {Im}\psi 
따라서, \psi =0일 경우, 2r={\sqrt {\Vert {\mathbf x}\Vert ^{2}+\Vert {\mathbf y}\Vert ^{2}}}에 대하여

\Vert {\mathbf x}\Vert ^{2}=r^{2}
\Vert {\mathbf y}\Vert ^{2}=r^{2}
{\mathbf x}\perp {\mathbf y}
주어진 r에 대하여, \Vert {\mathbf x}\Vert ^{2}=r^{2}는 반지름이 r인 3차원 초구 S3를 정의하고, 주어진 \rho 와 \mathbf x에 대하여 \Vert {\mathbf y}\Vert ^{2}=r^{2}은 ({\mathbf y}는 \mathbf x에 수직이므로) 2차원 구 S2를 정의한다. S3와 S2의 반지름은 둘 다 r이므로, 이는 (위상수학적으로) 밑(base)이 S3×S2인 뿔을 정의한다. (정확히 말하면, 이는 S3 위의 접다발 TS3의 사영화(projectivization)이지만, S3의 접다발은 자명하므로 이는 S3×S2로 간주할 수 있다.)

### 대칭

이 (실수6차원) 코니폴드는 실수5차원 사사키-아인슈타인 다양체에 대한 뿔이다. 이 사사키-아인슈타인 다양체는

{\displaystyle T^{1,1}={\frac {\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {U} (1)}}}
이며, 여기서 U(1)은 두 SU(2)의 카르탕 부분군 {\displaystyle \operatorname {U} (1)\times \operatorname {U} (1)}의 대각 부분군이다. 이는 위상수학적으로 S^{3}\times S^{2}이다. 그 등거리변환군은 SU(2)×SU(2)×U(1)이다.:489,671

구체적으로, 코니폴드를 정의하는 다항식

{\displaystyle \det M=0}
의 일반해는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}A\_{1}&A\_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\_{1}\\B\_{2}\end{pmatrix}}}
이러한 좌표에서, {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)}의 작용은

{\displaystyle (g\_{\text{L}},g\_{\text{R}},\exp(\mathrm {i} \theta ))\colon \left({\begin{pmatrix}A\_{1}\\A\_{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}B\_{1}\\B\_{2}\end{pmatrix}}\right)\mapsto \left(\exp(\mathrm {i} \theta )g\_{\text{L}}{\begin{pmatrix}A\_{1}\\A\_{2}\end{pmatrix}},\exp(\mathrm {i} \theta )g\_{\text{L}}{\begin{pmatrix}B\_{1}\\B\_{2}\end{pmatrix}}\right)}
이다. 

### 특이점의 해소

이 코니폴드의 특이점은 변형을 통해 S^{3}로, 또는 분해를 통해 S^{2}로 해소된다.

#### 코니폴드의 변형

코니폴드의 특이점을 해소하기 위해, 대수다양체를 다음과 같이 변형시키자.

z\_{1}^{2}+z\_{2}^{2}+z\_{3}^{2}+z\_{4}^{2}=\psi 
여기서 \psi 는 복소수인 모듈러스다. 이제, \psi \neq 0인 경우를 생각하자. z\_{i}를 재정의하여 \psi 가 양의 실수이게 놓을 수 있다. 이제 \psi =2r\_{0}^{2}라고 놓으면

\Vert {\mathbf x}\Vert ^{2}=r^{2}+r\_{0}^{2}
\Vert {\mathbf y}\Vert ^{2}=r^{2}-r\_{0}^{2}
{\mathbf x}\perp {\mathbf y}
이다. 따라서 r\geq r\_{0}임을 알 수 있다. r=r\_{0}에서는 {\mathbf y}=0이고, \lVert {\mathbf x}\rVert ={\sqrt 2}r\_{0}이므로, 특이점이 S3로 부풀려진 것을 알 수 있다. 이를 코니폴드의 **변형**(變形, 영어: deformation)이라고 한다.

#### 코니폴드의 분해

특이점을 다른 방법으로 없앨 수도 있다. 대수다양체의 정의식을 다음과 같이 쓰자.

\det {\begin{pmatrix}z\_{1}+z\_{2}&i(z\_{3}+z\_{4})\\i(z\_{3}-z\_{4})&z\_{1}-z\_{2}\end{pmatrix}}=0
여기에 하나의 좌표 (w\_{1},w\_{2})\in {\mathbb C}P^{2}를 추가하자. 여기서 (w\_{1},w\_{2})는 {\mathbb C}P^{2}의 동차좌표이다.

{\begin{pmatrix}z\_{1}+z\_{2}&i(z\_{3}+z\_{4})\\i(z\_{3}-z\_{4})&z\_{1}-z\_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\_{1}\\w\_{2}\end{pmatrix}}=0
특이점 z\_{i}=0 밖에서는 행렬

{\begin{pmatrix}z\_{1}+z\_{2}&i(z\_{3}+z\_{4})\\i(z\_{3}-z\_{4})&z\_{1}-z\_{2}\end{pmatrix}}
가 하나의 교윳값 0의 고유벡터를 가지므로 (w\_{1},w\_{2})\in {\mathbb C}P^{2}는 완전히 결정되고, 이 대수다양체는 원래 코니폴드와 같다. 하지만 원래 특이점 z\_{i}=0에서는 (w\_{1},w\_{2})\in {\mathbb C}P^{2}는 임의의 값을 가질 수 있다. 따라서 특이점이 매끄러운 {\mathbb C}P^{2}로 대체되고, 특이점이 해소된 것을 알 수 있다. 이러한 과정을 코니폴드의 **분해**(分解, 영어: resolution)라고 한다.

응용
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코니폴드 위에 ⅡB 초끈 이론을 축소화한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에 N개의 D3-막을 추가하자. 그렇다면, D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원 {\mathcal N}=1 초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인 {\mathcal N}=1 초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 **클레바노프-위튼 모형**(영어: Клебанов–Witten model)이라고 한다.

구체적으로, 이에 대응하는 4차원 {\mathcal N}=1 장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.

| 종류 | 기호 | 맛깔 SU(2)L 표현 | 맛깔 SU(2)R 표현 | 게이지 U(*N*)×U(*N*) 표현 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| U(*N*)×U(*N*) 게이지 초장 | V | **1** | **1** | 딸림표현 |
| 손지기 초장 | A | **2** | **1** | (***N***, ***N***) |
| 손지기 초장 | B | **1** | **2** | (***N***, ***N***) |

이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle W={\frac {1}{2}}\lambda \epsilon ^{ij}\epsilon ^{kl}\operatorname {tr} (A\_{i}B\_{k}A\_{j}B\_{l})}
여기서

* \lambda 는 고전적으로 [질량]−1의 단위를 갖는 결합 상수이다.
* \operatorname {tr}은 *N*×*N* 정사각 행렬의 대각합이다.
* {\displaystyle \epsilon ^{ij}}는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 {\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {2} =\mathbf {3} \oplus \mathbf {1} }에서 자명한 표현을 고른다.

이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자(영어: marginal operaor)를 이룬다. 즉, 이 항을 켜는 것은 등각 장론의 모듈라이 공간 속을 이동하는 것에 해당한다.

특히, 만약 N=1인 경우를 생각하자. 그렇다면, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 *D* 보조장은 다음과 같다.

{\displaystyle |A\_{1}|^{2}+|A\_{2}|^{2}-|B\_{1}|^{2}-|B\_{2}|^{2}-\zeta }
여기서 \zeta 는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

| 코니폴드 위의 ⅡB 초끈 이론 | 4차원 {\mathcal N}=1 초등각 장론 |
| --- | --- |
| 꼭짓점 위의 D3-막의 수 *N* | 게이지 군 U(*N*)×U(*N*)의 계수 *N* |
| 코니폴드 (하나의 D3-막의 위치) | N=1 모듈라이 공간 |
| 코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭 | A\_{i} 및 B\_{i}의 SU(2)×SU(2) 맛깔 대칭 |
| 코니폴드의 U(1) 대칭 | R대칭 |

역사
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위상수학적으로 서로 다른 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간이 사실 연결되어 있을 수 있다는 가실은 마일스 리드(영어: Miles Reid)가 1987년에 제안하였다. 이후 1988년에 필립 칸델라스(영어: Philip Candelas) 등이 코니폴드에 의한 위상 변환의 가능성을 발견하였다. 곧 당시 알려진 거의 모든 복소3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간들이 코니폴드 변환을 통해 연결되어 있다는 사실이 발견되었다.

‘코니폴드’(영어: conifold)라는 이름은 영어: cone 콘[\*](뿔)과 영어: manifold 매니폴드[\*](다양체)를 합성한 단어이며, 1990년에 최초로 사용되었다. 앤드루 스트로민저 등이 1995년에 이를 D-막을 통해 해석하였다.

참고 문헌
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2. 1 2  Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John Henry (2006년 12월). 《String theory and M-theory: a modern introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 4월 13일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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9. ↑  Strominger, Andrew (1995년 9월 25일). "Massless black holes and conifolds in string theory". 《Nuclear Physics B》 (영어) **451** (1–2): 96–108. arXiv:hep-th/9504090. Bibcode:1995NuPhB.451...96S. doi:10.1016/0550-3213(95)00287-3. ISSN 0550-3213.
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