**원함수**는 여기로 연결됩니다. 어떤 함수를 도함수로 하는 함수에 대해서는 부정적분 문서를 참고하십시오.
 **코사인**은 여기로 연결됩니다. 아프리카 남부의 민족에 대해서는 코사족 문서를 참고하십시오.
사인 함수와 코사인 함수
수학에서 **삼각함수**(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 **사인**(영어: sine, 문화어: 시누스, 기호 {\displaystyle \sin }) · **코사인**(영어: cosine, 문화어: 코시누스, 기호 {\displaystyle \cos }) · **탄젠트**(영어: tangent, 문화어: 탕겐스, 기호 {\displaystyle \tan })라고 한다. 이들의 역수는 각각 **코시컨트**(영어: cosecant, 기호 {\displaystyle \csc }) · **시컨트**(영어: secant, 기호 {\displaystyle \sec }) · **코탄젠트**(영어: cotangent, 기호 {\displaystyle \cot })라고 한다.

정의
--

### 직각 삼각형을 통한 정의

직각 삼각형
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 {\displaystyle a,b,h}라고 할 때, **사인**, **코사인**, **탄젠트**의 정의는 다음과 같다.

사인: {\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}}
코사인: {\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}}
탄젠트: {\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}
또한, **코시컨트**, **시컨트**, **코탄젠트**는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: {\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}}
시컨트: {\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}}
코탄젠트: {\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}
### 단위원을 통한 정의

삼각 함수
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A {\displaystyle (x,y)}에 대해, {\displaystyle x}축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 {\displaystyle \theta } 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}}
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
### 복소 삼각함수

오일러의 공식 {\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x}에 {\displaystyle \,x=bi}를 대입하면,

{\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}
{\displaystyle \,x=-bi}를 대입하면,

{\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}
연립하여 풀면, 쌍곡선함수,

{\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b}

{\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,}
{\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}

성질
--

### 주기성과 특이점

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 {\displaystyle 2\pi }인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 {\displaystyle z\in \mathbb {C} }에 대하여,

{\displaystyle \sin z=\sin(z+2\pi )}
{\displaystyle \cos z=\cos(z+2\pi )}
{\displaystyle \csc z=\csc(z+2\pi )}
{\displaystyle \sec z=\sec(z+2\pi )}
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 {\displaystyle \pi }인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 {\displaystyle z\in \mathbb {C} }에 대하여,

{\displaystyle \tan z=\tan(z+\pi )}
{\displaystyle \cot z=\cot(z+\pi )}
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 {\displaystyle {\hat {\infty }}}에서 본질적 특이점을 갖는다.

탄젠트는 실수선의 {\displaystyle \pi /2+n\pi } ({\displaystyle n\in \mathbb {Z} })에서 정의되지 않는다.

* 사인과 코사인의 그래프사인과 코사인의 그래프
* 탄젠트 그래프탄젠트 그래프
* 코시컨트 그래프코시컨트 그래프

### 특별한 값

단위원 위의 각 점의 좌표
특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

{\displaystyle {180^{\circ }}={\pi }\;\mathrm {rad} }(라디안)

| 특수각 | sin | cos | tan |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle 0} (0˚) | {\displaystyle 0} | {\displaystyle 1} | {\displaystyle 0} |
| {\displaystyle \pi /6} (30˚) | {\displaystyle 1/2} | {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} | {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} |
| {\displaystyle \pi /4} (45˚) | {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} | {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} | {\displaystyle 1} |
| {\displaystyle \pi /3} (60˚) | {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} | {\displaystyle 1/2} | {\displaystyle {\sqrt {3}}} |
| {\displaystyle \pi /2} (90˚) | {\displaystyle 1} | {\displaystyle 0} | 정의되지 않음 |

0º , 90º sin, cos, tan
### 부호

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

| 사분면 |  sin과 csc  |  cos과 sec  |  tan와 cot  |
| --- | --- | --- | --- |
| I | + | + | + |
| II | + | − | − |
| III | − | − | + |
| IV | − | + | − |

### 항등식

 이 부분의 본문은 삼각함수 항등식입니다.
삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 **피타고라스 항등식**으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 {\displaystyle r}인 빗변이고 밑변이 {\displaystyle b,} 각 {\displaystyle x}의 대변인 높이 {\displaystyle a}에 대하여 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1}를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

{\displaystyle \,\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
이것은 다음과 같다.

{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
{\displaystyle \left({a \over r}\right)^{2}+\left({b \over r}\right)^{2}=1}
{\displaystyle \left({a^{2} \over r^{2}}\right)+\left({b^{2} \over r^{2}}\right)=1}
{\displaystyle {a^{2}+b^{2} \over r^{2}}={r^{2} \over r^{2}}=1}
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}=1\;\because \;r=1}
따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

{\displaystyle \left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}+\left({1 \over 2}\right)^{2}=1}
### 삼각함수의 덧셈정리

서로 다른 삼각함수의 관계는 **삼각함수의 덧셈정리**이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

{\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,}
{\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y} (복부호 동순)
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

|   | sin | cos | tan | cot | sec | csc |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| sin | {\displaystyle \sin x} | {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} | {\displaystyle (\tan x)/{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} | {\displaystyle 1/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} | {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}/(\sec x)} | {\displaystyle 1/(\csc x)} |
| cos | {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} | {\displaystyle \cos x} | {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} | {\displaystyle (\cot x)/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} | {\displaystyle 1/(\sec x)} | {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}/(\csc x)} |
| tan | {\displaystyle (\sin x)/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} | {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}/(\cos x)} | {\displaystyle \tan x} | {\displaystyle 1/(\cot x)} | {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} | {\displaystyle 1/{\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} |
| cot | {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}/(\sin x)} | {\displaystyle (\cos x)/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} | {\displaystyle 1/(\tan x)} | {\displaystyle \cot(x)} | {\displaystyle 1/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} | {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} |
| sec | {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} | {\displaystyle 1/(\cos x)} | {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} | {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}/(\cot x)} | {\displaystyle \sec x} | {\displaystyle (\csc x)/{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} |
| csc | {\displaystyle 1/(\sin x)} | {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} | {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}/(\tan x)} | {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} | {\displaystyle (\sec x)/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} | {\displaystyle \csc x} |

### 미분과 적분

 미분표 및 적분표 문서를 참고하십시오.
다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

| 함수 {\displaystyle f(x)} | 도함수 {\displaystyle f'(x)} | 부정적분 {\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx} |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin x} | {\displaystyle \cos x} | {\displaystyle -\cos x+C} |
| {\displaystyle \cos x} | {\displaystyle -\sin x} | {\displaystyle \sin x+C} |
| {\displaystyle \tan x} | {\displaystyle \sec ^{2}x} | {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} |
| {\displaystyle \cot x} | {\displaystyle -\csc ^{2}x} | {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} |
| {\displaystyle \sec x} | {\displaystyle \sec {x}\tan {x}} | {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} |
| {\displaystyle \csc x} | {\displaystyle -\csc {x}\cot {x}} | {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C} |

응용
--

### 사인 법칙

 이 부분의 본문은 사인 법칙입니다.
사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 **A**, **B**, **C**의 대변 *a*, *b*, *c*에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}
마찬가지로,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
도 성립한다. 여기서 *R*은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

### 코사인 법칙

 이 부분의 본문은 코사인 법칙입니다.
코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

**코사인 제 1 법칙**에 따르면,

{\displaystyle c=b\cos A+a\cos B}
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

**코사인 제 2 법칙**은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
가 성립하고, 위의 식을 변형하면

{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

### 탄젠트 법칙

 이 부분의 본문은 탄젠트 법칙입니다.
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 **A**, **B**의 대변 *a*, *b*에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}}

역사
--

기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.

삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

어원
--

영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(*jayb*)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(*jyā*, 베다 *jiyā́*)를 음차한 것이다.

‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터(영어판)의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉(영어판)이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 **정현**(正弦)·**여현**(餘弦)·**정절**(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 **여절**(餘切)·**정할**(正割)·**여할**(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

참고로, **삼각함수**의 동의어는 **원함수**이다.