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수학에서 **조합**(組合, 문화어: 무이, 영어: combination)은 유한 개의 원소에서 주어진 수만큼의 원소들을 고르는 방법이다. 조합의 수는 이항 계수로 주어진다.

조합
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### 정의

5개 원소의 집합의 3원소 부분집합의 수는 {\displaystyle \textstyle {\binom {5}{3}}=10}이다.
집합 S와 자연수 k가 주어졌을 때, S의 **(중복 없는) k-조합**(영어: k-combination (without repetition))은 S의 k개의 원소로 이루어진 부분집합을 일컫는다. 만약

{\displaystyle S=\{s\_{1},s\_{2},\dots ,s\_{n}\}}
가 n개 원소의 유한 집합이며, 0\leq k\leq n이라면, S의 k-조합의 수는 이항 계수

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
와 같다. 이항 계수 \textstyle {\binom nk}는 다음과 같이 다양하게 적는다.

* {\displaystyle C\_{k}^{n}}
* {\displaystyle C\_{n}^{k}}
* {\displaystyle \_{n}C\_{k}}
* {\displaystyle ^{n}C\_{k}}
* {\displaystyle C\_{n,k}}
* {\displaystyle C(n,k)}

조합의 수의 공식은 조합론의 방법으로 쉽게 유도할 수 있다. n개의 원소의 집합에서 k개의 원소를 골라 한 줄로 배열하는 방법의 가짓수를 세자. k개의 원소를 고르는 방법의 수는 \textstyle {\binom nk}이다. 선택된 k개의 원소를 배열할 때, 첫 번째 자리에 둘 수 있는 원소는 k개이며, 두 번째 자리는 남은 k-1개 가운데 하나를 놓는다. 나머지 자리도 마찬가지다. 따라서, n개의 원소를 배열하는 방법은

{\displaystyle {\binom {n}{k}}k!}
가지가 있다. 다른 한편, 첫 번째 자리에 놓을 원소를 n개 가운데 고르고, 두 번째 자리에 놓을 원소를 n-1개 가운데 고르고, 남은 자리 역시 마찬가지로 반복하여 센 방법의 수는

{\displaystyle n(n-1)\cdots (n-k+1)}
이다. 세는 법이 다를 때 얻는 수가 같아야 하므로 원하는 공식을 얻는다.

### 항등식

이항 계수들의 파스칼의 삼각형
이항 계수 항등식

{\binom nk}={\binom n{n-k}}
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}}
역시 조합론에서 직관적으로 해석할 수 있다. 전자는 k개의 원소를 고르는 방법과 n-k개의 원소를 버리는 방법은 일대일 대응함을 나타낸다. 후자는 k개의 원소를 고를 때, 어떤 고정된 원소를 고르는 경우와 이 원소를 버리는 경우를 나누어 센 결과다. 즉, 고정된 원소를 제외한 n-1개의 원소에서 k개의 원소를 고르는 방법의 수를 세고, 고정된 원소를 고른 뒤 남은 n-1개에서 k-1개를 고르는 방법의 수를 세어 합하면 모든 방법의 수를 얻는다.

### 생성 함수

이항 계수는 다음과 같이 생성 함수를 사용하여 정의할 수 있다.

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}
조합론의 관점에서, 다항식 (1+x)^n의 각 항을 얻기 위해서는 n개의 이항식 {\displaystyle 1+x}에서 1 또는 x 가운데 하나를 선택하여 곱하여야 한다. 따라서, x의 차수가 k인 항은 총 \textstyle {\binom nk}개가 만들어진다. 즉, x^{k}에는 계수 \textstyle {\binom nk}가 붙는다.

중복조합
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### 정의

5개의 원소의 집합의 크기 3의 중복집합의 수는 {\displaystyle \textstyle {\binom {7}{3}}=35}이다.
집합 S 및 자연수 k가 주어졌다고 하자. S의 **k-중복조합**(영어: k-combination with repetitions)은 S의 원소들로 구성된, 크기 k의 중복집합이다. n개 원소의 집합 {\displaystyle S=\{s\_{1},s\_{2},\dots ,s\_{n}\}}의 k-중복조합의 수는

{\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}={\binom {n+k-1}{n-1}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}}
이다. 중복조합의 수 \textstyle {\binom {n+k-1}k}의 표기로는 다음이 있다.

* {\displaystyle \left(\!\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\!\right)}
* {\displaystyle \_{n}H\_{k}}

중복조합의 수가 \textstyle {\binom {n+k-1}k}인 사실의 증명은 다음과 같다. 만약 {\displaystyle \{a\_{1},\cdots ,a\_{k}\}}가 \{1,\dots ,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합이며,

{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq a\_{k}}
라면,

{\displaystyle \{a\_{1},a\_{2}+1,\dots ,a\_{k}+k-1\}}
는 {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}의 k원소 부분집합이다. 반대로, {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}의 k원소 부분집합

{\displaystyle \{b\_{1},\dots ,b\_{k}\}}
{\displaystyle b\_{1}<b\_{2}<\cdots <b\_{k}}
이 주어졌을 때,

{\displaystyle \{b\_{1},b\_{2}-1,\dots ,b\_{k}-k+1\}}
는 \{1,\dots ,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합이다. 이는 \{1,\dots ,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합들과 {\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}의 크기 k의 부분집합들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 따라서 이들의 수는 같다. 후자의 수가 \textstyle {\binom {n+k-1}k}이므로 원하는 결론을 얻는다.

이와 다른 기하학적 증명이 존재한다. \textstyle {\binom {n+k-1}k}는 n-1개의 막대와 k개의 공으로 만들 수 있는 (길이 {\displaystyle n+k-1}의) 문자열의 수와 같다. 이제, 이와 같은 문자열을 다음과 같이 해석하여, \{1,\dots ,n\}의 크기 k의 중복집합으로 간주하자. n-1개의 막대는 두 막대 사이의 공간과 양쪽 끝의 공간을 포함하여 총 n개의 공간을 만든다. 각 공간에 1부터 n까지 번호를 매긴다. i번째 공간에 놓인 공의 수만큼 원소 i를 중복하여 취한다. 총 k개의 공이 있으므로 크기 k의 중복집합이 만들어진다. 예를 들어, n=3, {\displaystyle k=5}인 경우, 문자열

{\displaystyle |{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }}
은 중복집합 {\displaystyle \{2,2,3,3,3\}}을 나타내며, 문자열

{\displaystyle {\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }}
은 중복집합 {\displaystyle \{1,2,2,2,3\}}을 나타낸다. 이는 \{1,\dots ,n\}으로 구성된 크기 k의 중복집합들과 n-1개와 k개의 두 알파벳으로 구성된 문자열 사이에 일대일 대응을 이루며, 따라서 중복조합의 수는 문자열의 수 \textstyle {\binom {n+k-1}k}와 같다.

### 생성 함수

중복조합의 수의 생성 함수는 다음과 같다.

{\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\binom {-n}{k}}(-x)^{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\binom {n+k-1}{k}}x^{k}}
좌변의 {\displaystyle (1-x)^{-1}}을 멱급수로 전개하면 {\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots }이다. n개의 멱급수에서 항 {\displaystyle x^{m\_{i}}} (i=1,\dots ,n)을 선택하는 방법은 각 i의 중복도가 m\_{i}인 중복집합을 선택하는 방법과 일대일 대응한다. n개의 항의 곱이 x^{k}인 경우는 중복도의 합이

{\displaystyle m\_{1}+\cdots +m\_{n}=k}
인 경우이다. 즉, 크기 k의 중복집합에 대응한다. 따라서 결국 x^{k}의 계수는 \textstyle {\binom {n+k-1}k}이다.

참고 문헌
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* Stanley, Richard P. (2012). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **49** 2판. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60262-5. MR 2868112. Zbl 1247.05003.