선형대수학에서 **벡터곱**(vector곱, 영어: vector product) 또는 **가위곱**(영어: cross product)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.

정의
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두 벡터 {\mathbf {a}} 와 {\mathbf {b}}의 벡터곱은 {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 {\displaystyle \mathbf {a} \land \mathbf {b} }라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

{\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}={\hat {{\mathbf n}}}\left|{\mathbf {a}}\right|\left|{\mathbf {b}}\right|\sin \theta 
식에서 \theta 는 {\mathbf {a}}와 {\mathbf {b}}가 이루는 각을 나타내며, \hat{\mathbf n}은 {\mathbf {a}}와 {\mathbf {b}}에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 {\mathbf {a}}와 {\mathbf {b}}에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, {\mathbf {{\hat n}}}이 수직이면, -{\hat {{\mathbf n}}}도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 **방향**(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}는, {\mathbf {a,b,a\times b}}가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 슈도벡터다.)

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

벡터곱의 정의

성질
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**a**, **b**, **c** ∈ **R**3, α ∈ **R**이라 하자.

* 반대칭성 : **a**×**b** = -**b**×**a**

교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.
* 스칼라곱에 대한 선형성: (α**a**)×**b** = **a**×(α**b**) = α(**a**×**b**).

* 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: **a**×(**b** + **c**) = **a**×**b** + **a**×**c**

* 스칼라 삼중곱 : {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}

* 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: **a**×(**b**×**c**) = **b**(**a**∙**c**)-**c**(**a**∙**b**)

* 벡터곱의 크기: ||**a**×**b**||2 = (**a**·**a**)(**b**·**b**)-(**a**·**b**)2

||**a**×**b**|| = ||**a**|| ||**b**|| sin θ
여기서 θ는 **a**로부터 **b**까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.
* 야코비 항등식: **a**×(**b**×**c**) + **b**×(**c**×**a**) + **c**×(**a**×**b**) = **0**

* 수직성

**a**×**b** ⊥ **a** 이고 **a**×**b** ⊥ **b**이다.
* 두 벡터의 평행성 확인

**a**와 **b**가 모두 0벡터가 아닐 때, **a**×**b** = **0**인 것은 **a**와 **b**가 서로 평행인 것과 동치이다.
* 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱

유클리드 공간의 단위벡터 **i**, **j**, **k**는 주어진 직교좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
**i**×**j** = **k**, **j**×**k** = **i**, **k**×**i** = **j**
이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
{\mathbf a}=a\_{1}{\mathbf i}+a\_{2}{\mathbf j}+a\_{3}{\mathbf k}=[a\_{1},a\_{2},a\_{3}]
{\mathbf b}=b\_{1}{\mathbf i}+b\_{2}{\mathbf j}+b\_{3}{\mathbf k}=[b\_{1},b\_{2},b\_{3}]
로 표기할 때,
{\mathbf a}\times {\mathbf b}=[a\_{2}b\_{3}-a\_{3}b\_{2},a\_{3}b\_{1}-a\_{1}b\_{3},a\_{1}b\_{2}-a\_{2}b\_{1}]
위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{bmatrix}}}
따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
det(**a**,**b**,**c**) = **a**·(**b**×**c**).
* 사원수와 벡터곱

벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 **i**, **j**, **k**에 대한 관계가 사원수의 연산에서 *i*, *j*, *k*가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 [a\_{1},a\_{2},a\_{3}]가 사원수 a\_{1}i+a\_{2}j+a\_{3}k를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.)
* 리 대수

분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, **R**3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 {\mathfrak {su}}(2)를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 \epsilon ^{{ijk}}이다.

응용
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벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.

고차원에서의 벡터곱
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7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.

* 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.

**x**×(*a* **y** + *b* **z**) = *a* **x** × **y** + *b* **x** × **z** and (*a* **y** + *b* **z**) × **x** = *a* **y** × **x** + *b* **z** × **x**
* 반가환성 (anti-commutative)

**x**×**y** + **y**×**x** = 0
* **x**와 **y** 모두에 수직

**x**·(**x**×**y**) = **y**·(**x**×**y**) = 0
* 야코비 항등식이 성립한다.

**x**×(**y**×**z**) + **y**×(**z**×**x**) + **z**×(**x**×**y**) = **0**
* ||**x**×**y**||2 = ||**x**||2||**y**||2-(**x**·**y**)2