리 군론에서 **4차원 회전군**(四次元回轉群, 영어: four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

정의
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4차원 특수 직교군 {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )} 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)}이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

{\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)} (4차원 로런츠 군)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)}
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는

\bullet \qquad \bullet 
이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.

| 킬링 형식의 부호수 | 실수 기반 기호 | 복소수 · 사원수 기반 기호 | 군의 중심 | 기본군 | 비고 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (0,4) | Spin(4) | {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)=\operatorname {USp} (2)\times \operatorname {USp} (2)=\operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )} | {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} | 0 | 단일 연결 콤팩트 형태 |
| SO(4) | {\displaystyle (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/\{(\pm 1,\pm 1)\}} | \operatorname {Cyc} (2) | \operatorname {Cyc} (2) |  |
| PSO(4) | {\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)} | 0 | 0 | 무중심 콤팩트 형태 |
| (4,2) | Spin(2,2) | {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} | {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} | 0 | 단일 연결 분할 형태 |
| SO⁺(2,2) | {\displaystyle (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))/\{(+1,+1),(-1,-1)\}} | \operatorname {Cyc} (2) | \operatorname {Cyc} (2) |  |
| PSO⁺(2,2) | {\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )} | 0 | {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)} 무중심 분할 형태 |  |
| (3,3) | Spin(1,3) | {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )} | \operatorname {Cyc} (2) | 0 | 단일 연결 로런츠 군 |
| SO⁺(1,3) | \operatorname {PSL}(2;{\mathbb C}) | 0 | \operatorname {Cyc} (2) | 무중심 로런츠 군 |
| (2,4) | SO\*(4) | — | \mathbb {Z} /2 | \mathbb {Z}  |  |

성질
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### 콤팩트 형태

Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

{\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} }
{\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} }
에 해당한다.

마찬가지로, \operatorname {SO}(4)의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}의 쌍벡터 표현

{\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {2} }
에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

| 차원 | SO(4) 묘사 | SU(2)² 묘사 (스핀) |
| --- | --- | --- |
| 2 (복소수) | 오른쪽 스피너 | (0,½) |
| 2 (복소수) | 왼쪽 스피너 | (½,0) |
| 4 (실수) | 벡터 | (½,½) |
| 3 (실수) | 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 | (0,1) |
| 3 (실수) | 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 | (1,0) |
| 6 (복소수) | 오른쪽 라리타-슈윙거 장 | (½,1) |
| 6 (복소수) | 왼쪽 라리타-슈윙거 장 | (1,½) |
| 9 (실수) | 무대각합 대칭 2-텐서 | (1,1) |

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간

{\mathbb H}
으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (xy^{\*})}
가 주어져 있다. 여기서 우변의 {\displaystyle y^{\*}}는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle v\mapsto avb^{\*}\qquad (a,b\in \mathbb {H} )}
즉, 이는 {\mathbb H} 위의, 가역 사원수의 리 군 {\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )=\mathbb {H} \setminus \{0\}}의 2차 직접곱

{\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )}
의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 {\displaystyle \langle -,-\rangle }을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

{\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\leq \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )}
은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

{\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )}
를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.

{\displaystyle \{(+1,+1),(-1,-1)\}\subsetneq \mathbb {H} \times \mathbb {H} }
### 분할 형태

Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2,2)}의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

{\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} }
{\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} }
에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}}의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

| 차원 | SO(2,2) 묘사 | SL(2)² 묘사 (스핀) |
| --- | --- | --- |
| 2 (실수) | 오른쪽 마요라나-바일 스피너 | (0,½) |
| 2 (실수) | 왼쪽 마요라나-바일 스피너 | (½,0) |
| 4 (실수) | 벡터 | (½,½) |
| 3 (실수) | 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 | (0,1) |
| 3 (실수) | 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 | (1,0) |
| 6 (실수) | 오른쪽 라리타-슈윙거 장 | (½,1) |
| 6 (실수) | 왼쪽 라리타-슈윙거 장 | (1,½) |
| 9 (실수) | 무대각합 대칭 2-텐서 | (1,1) |

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\times \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)}
이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}}에서

{\displaystyle \{(\sigma 1\_{2\times 2},\sigma '1\_{2\times 2})\colon \sigma ,\sigma '\in \{\pm 1\}\}}
에 해당하며, {\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)}에서 이 중심 부분군은 몫군

{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (2,2))=\{\pm 1\_{4\times 4}\}}
에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

{\displaystyle \operatorname {PSO} (2,2)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 {\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )} 위에, 행렬식

{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc}
은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

{\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)}
을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 기저 벡터 | {\displaystyle 1\_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \sigma \_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \mathrm {i} \sigma \_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \sigma \_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} |
| 노름 | +1 | −1 | +1 | −1 |

{\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )} 위에는 {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )}가 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (g,h)\cdot v=gvh^{-1}}
이는 일반적으로 쌍선형 형식 \langle ,\rangle 을 보존하지 않으나, 그 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )} 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (2,2)}
을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군

{\displaystyle \left\{\left(+1\_{2\times 2},+1\_{2\times 2}\right),\left(-1\_{2\times 2},-1\_{2\times 2}\right)\right\}}
이다.

### 로런츠 형태

 이 부분의 본문은 로런츠 군입니다.
{\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Aut} (\mathbb {CP} ^{1})}
이다.

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}의 정의 표현 {\displaystyle \mathbb {2} } 및 그 복소수 켤레 \bar{\mathbf2}에 대응한다. {\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}의 4차원 실수 정의 표현 {\mathbf 4}는 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}의 표현

{\displaystyle \mathbf {2} \otimes {\bar {\mathbf {2} }}}
에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 F에 대하여

{\displaystyle \*\*F=-F}
이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

{\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}z&\mathrm {i} x\\\mathrm {i} y&{\bar {z}}\end{pmatrix}}\colon z\in \mathbb {C} ,\;x,y\in \mathbb {R} \right\}}
V 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {tr} (u{\bar {v}}))}
이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 기저 벡터 | {\displaystyle 1\_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \mathrm {i} \sigma \_{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}} | {\displaystyle \mathrm {i} \sigma \_{1}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \sigma \_{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}} |
| 노름 | +1 | +1 | +1 | −1 |

즉, V를 민코프스키 공간 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}의 작용이 존재한다.

{\displaystyle v\mapsto Gv{\bar {G}}^{-1}\qquad (G\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ),\;v\in V)}
이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (1,3)}
을 정의한다. 그 핵은 물론

{\displaystyle \left\{\pm 1\_{2\times 2}\right\}=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ))}
이다.

### SO\*(4)

SO(4)는 SO\*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

{\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {C} )\,{\overset {\phi }{\twoheadrightarrow }}\,\operatorname {SO} (6;\mathbb {C} )}
여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 \phi 는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )}
{\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)\hookrightarrow \operatorname {SU} (2,2)\cong \operatorname {Spin} (4,2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (4,2)}
{\displaystyle \operatorname {SO} (3,1)\hookrightarrow \operatorname {SU} (3,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} ^{\*}(6)}
{\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (3,3)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3,3)}
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{\*}(4)\hookrightarrow \operatorname {SU} ^{\*}(4)\cong \operatorname {Spin} (5,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (5,1)}
즉, SO\*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {SO} ^{\*}(4)=\operatorname {SU} ^{\*}(4)\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )=\phi ^{-1}(\operatorname {SO} (5,1))\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

참고 문헌
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* Naimark, M. A.; Farahat, H. K. (1964). 《Linear Representations of the Lorentz Group》. International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics (영어) **63**. doi:10.1016/B978-0-08-010155-2.50001-1. ISBN 978-0-08-010155-2.