**번스타인 상수**(영어: Bernstein constant)는 1914년 번스타인이 자신의 논문에서 언급한 상수이다. 일반적으로 그리스 문자 베타 (\beta)로 표시되며 대략 {\displaystyle 0.2801694990....}와 같다.

정의
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{\displaystyle E\_{2n}(|x|)}는 |x|에 대한 최상의 평균 근사의 오차를 나타낸다.
1914년에 유명한 러시아의 수학자 번스타인은 {\displaystyle \beta =\lim \_{n\to \infty }2nE\_{2n}(|x|)}에 대한 양의 상수\beta의 존재를 확립했다. 번스타인은 또한 \beta에대한 상한 및 하한을 {\displaystyle 0.278}과 {\displaystyle 0.286}에서 결정했다.

* {\displaystyle 0.278<\beta ={1 \over {2{\sqrt {\pi }}}}<0.286}

{\displaystyle E\_{n}(f)}는 차수n이하의 실수 다항식에 의해 구간 [-1,1]에서 실제 함수 {\displaystyle f(x)}에 대한 최적의 균등 근사 오차라고하자.

{\displaystyle f(x)=|x|\;\;}에서 번스타인은 한계값,
{\displaystyle \beta =\lim \_{n\to \infty }2nE\_{2n}(f)}
번스타인 상수 ( Bernstein 's constant )가 존재하며 {\displaystyle 0.278}과 {\displaystyle 0.286} 사이에 존재한다고 추측했다.

번스타인이 제안한 한계값은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}=0.28209\dots }
{\displaystyle {{(0.278....+0.286....)} \over {2}}=0.282....}
1984년 바르가와 카펜터에 의해 반증되었는데, 수정된 번스타인 상수의 한계값은 다음과 같다.

보다 엄격한 상한선과 하한선을 결정하면,

{\displaystyle l\_{18}<l\_{19}<l\_{20}=0.2801685460....\leq \beta \leq 0.2801733791....=2\mu \_{100}<2\mu \_{99}<2\mu \_{98}}
{\displaystyle \beta =0.280169499023\dots }

계수
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상한계수
번스타인 상수의 상한계수는 다음과 같다.

{\displaystyle k\quad \mu \_{k}}
{\displaystyle 0\;\;0.25}
{\displaystyle 1\;\;0.1549083241....}
{\displaystyle 2\;\;0.1448223214....}
{\displaystyle 3\;\;0.1422928116....}
{\displaystyle 4\;\;0.1413408222....}
{\displaystyle 5\;\;0.1408899963....}
{\displaystyle \mu \_{k}={\begin{Vmatrix}cos(\pi t){\begin{Bmatrix}F(t)-\left({\hat {a}}\_{0}(k)+\sum \_{n=1}^{k}{{(2n-1){\hat {a}}\_{n}(k)} \over {t^{2}-\left({{2n-1} \over {2}}\right)^{2}}}\right)\end{Bmatrix}}\end{Vmatrix}}\_{L\_{(\infty )}[0,+\infty )}}
{\displaystyle F(t)={t \over 2}{\begin{Bmatrix}\psi \left({t \over 2}+{3 \over 4}\right)-\psi \left({t \over 2}+{1 \over 4}\right)\end{Bmatrix}}\qquad (t\geq 0)}
폴리감마 함수{\displaystyle \psi \quad {\hat {a}}}추정량 {\displaystyle \;\;,\;\;{\begin{Vmatrix}\end{Vmatrix}}}노름 {\displaystyle ,\;\;[0,1)}구간
하한계수
번스타인 상수의 하한계수는 다음과 같다.

{\displaystyle k\quad l\_{k}}
{\displaystyle 1\;\;0.2719823590....}
{\displaystyle 2\;\;0.2789309228....}
{\displaystyle 3\;\;0.2798110004....}
{\displaystyle 4\;\;0.2800243339....}
{\displaystyle 5\;\;0.2800977913....}
{\displaystyle l\_{k}:=sup\{B\_{k}(\lambda \_{1},\lambda \_{2},....\lambda \_{k}):\{\lambda \_{j}\}\_{j-1}^{k}\quad ,\quad (j-1<\lambda \_{j}<j,j\geq 1)\}}
{\displaystyle B\_{k}(\lambda \_{1},\lambda \_{2},....\lambda \_{k}):={{\sum \_{i=1}^{k}{{\varphi \_{k}(\lambda \_{i})} \over {\psi \_{k}^{'}(\lambda \_{i})}}\left(1-\left({{2\lambda \_{i}} \over {\lambda \_{i}+{1 \over 2}}}\right)F\left(\lambda \_{i}+{1 \over 2}\right)\right)} \over {\sum \_{i=1}^{k}{{\varphi \_{k}(\lambda \_{i})} \over {\psi \_{k}^{'}(\lambda \_{i})}}\left({{2} \over {\pi \lambda \_{i}}}+tan\left({\pi \over 2}(\lambda \_{i}-i+1)\right)\right)}}}
{\displaystyle {{\varphi \_{k}(\lambda \_{i})} \over {\psi \_{k}^{'}(\lambda \_{i})}}={{\prod \_{j=1}^{i-1}(\lambda \_{i}^{2}-j^{2})\cdot \prod \_{j=i}^{k-1}(j^{2}-\lambda \_{i}^{2})} \over {2\lambda \_{i}\prod \_{j=1}^{i-1}(\lambda \_{i}^{2}-\lambda \_{j}^{2})\cdot \prod \_{j=i+1}^{k}(\lambda \_{j}^{2}-\lambda \_{i}^{2})}}\qquad ,\quad (1\leq i\leq k)\;\;,\;\;sup\{....\}} 상한