물리학에서 **양자 맥놀이**(quantum beats) 현상은 준고전이론으로는 설명되지 않지만 양자적 계산, 특히 QED에 의해서 설명되는 간단한 예이다. 준고전이론에 따르면 V형과 \Lambda 형 원자에서 모두 간섭 혹은 맥놀이가 나타난다. 그러나 QED 계산에서는 V형 원자에는 맥놀이가 있지만 \Lambda 형 원자에는 없다. 이것은 QED의 좋은 증거이기도 하다.

V형 원자와 \Lambda 형 원자
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*Quantum Optics*에 있는 그림이 정확하게 두가지 원자에 대해서 설명한다.

간단히 말하면, V형 원자는 {\displaystyle |a\rangle }, {\displaystyle |b\rangle } 그리고 {\displaystyle |c\rangle }의 세가지 상태를 갖는다. {\displaystyle |a\rangle }와 {\displaystyle |b\rangle }의 에너지가 {\displaystyle |c\rangle }의 에너지보다 크다. 전자들은 {\displaystyle |a\rangle }와 {\displaystyle |b\rangle }에 있다가 {\displaystyle |c\rangle }로 붕괴하며, 두가지 방출이 일어난다.

\Lambda 형 원자에도 {\displaystyle |a\rangle }, {\displaystyle |b\rangle } 그리고 {\displaystyle |c\rangle }의 세가지 상태가 있다. 하지만 이 경우에는 {\displaystyle |a\rangle }의 에너지가 가장 크며, 여기에 있던 두 전자가 각각 {\displaystyle |b\rangle }와 {\displaystyle |c\rangle }로 붕괴한다. 그 때에는 역시 두가지 방출이 일어난다.

  

아래의 모든 유도 과정은 *Quantum Optics*의 내용을 따랐다.

준고전이론의 계산
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준고전적인 관점에서, 전자의 상태 벡터는 아래와 같다.

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =c\_{a}exp(-i\omega \_{a}t)|a\rangle +c\_{b}exp(-i\omega \_{b}t)|b\rangle +c\_{c}exp(-i\omega \_{c}t)|c\rangle }
만약 사라지지 않는 쌍극자 행렬의 원소가 다음과 같이 나타나진다면,

{\displaystyle {\mathcal {P}}\_{ac}=e\langle a|r|c\rangle ,{\mathcal {P}}\_{bc}=e\langle b|r|c\rangle } (V형 원자)
{\displaystyle {\mathcal {P}}\_{ab}=e\langle a|r|b\rangle ,{\mathcal {P}}\_{ac}=e\langle a|r|c\rangle } (\Lambda 형 원자)
각 원자들은 두개의 미시적인 진동 쌍극자를 갖는다.

{\displaystyle P(t)={\mathcal {P}}\_{ac}(c\_{a}^{\*}c\_{c})exp(i\nu \_{1}t)+{\mathcal {P}}\_{bc}(c\_{b}^{\*}c\_{c})exp(i\nu \_{w}t)+c.c.} for V-type, when {\displaystyle \nu \_{1}=\omega \_{a}-\omega \_{c},\nu \_{2}=\omega \_{b}-\omega \_{c}},
{\displaystyle P(t)={\mathcal {P}}\_{ab}(c\_{a}^{\*}c\_{b})exp(i\nu \_{1}t)+{\mathcal {P}}\_{ac}(c\_{a}^{\*}c\_{c})exp(i\nu \_{w}t)+c.c.} for \Lambda -type, when {\displaystyle \nu \_{1}=\omega \_{a}-\omega \_{b},\nu \_{2}=\omega \_{a}-\omega \_{c}}.
준고전적인 관점에서, 방출되는 전기마당은 두 항의 합이 되므로,

{\displaystyle E^{(+)}={\mathcal {E}}\_{1}exp(-i\nu \_{1}t)+{\mathcal {E}}\_{2}exp(-i\nu \_{2}t)},
간섭 혹은 맥놀이에 해당하는 항이 존재하는 것을 알 수 있다.

{\displaystyle |E^{(+)}|^{2}=|{\mathcal {E}}\_{1}|^{2}+|{\mathcal {E}}\_{2}|^{2}+\lbrace {\mathcal {E}}\_{1}^{\*}{\mathcal {E}}\_{2}exp\lbrack i(\nu \_{1}-\nu \_{2})t\rbrack +c.c.\rbrace }.

QED의 계산
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QED 계산을 위해서 우리는 양자 역학 2차 양자화의 생성 연산자와 소멸 연산자를 도입해야만 한다.

{\displaystyle E\_{n}^{(+)}=a\_{n}exp(-i\nu \_{n}t)}를 생성 연산자로,
{\displaystyle E\_{n}^{(-)}=a\_{n}^{\dagger }exp(i\nu \_{n}t)}을 소멸 연산자로 생각하자.
이 때 맥놀이 부분은 아래와 같다.

{\displaystyle \langle \psi \_{V}(t)|E\_{1}^{(-)}(t)E\_{2}^{(+)}(t)|\psi \_{V}(t)\rangle } (V형)
{\displaystyle \langle \psi \_{\Lambda }(t)|E\_{1}^{(-)}(t)E\_{2}^{(+)}(t)|\psi \_{\Lambda }(t)\rangle } (\Lambda 형)
또한 각각의 상태 벡터는 아래와 같다.

{\displaystyle |\psi \_{V}(t)\rangle =\sum \_{i=a,b,c}c\_{i}|i,0\rangle +c\_{1}|c,1\_{\nu \_{1}}\rangle +c\_{2}|c,1\_{\nu \_{2}}\rangle }
{\displaystyle |\psi \_{\Lambda }(t)\rangle =\sum \_{i=a,b,c}c\_{i}'|i,0\rangle +c\_{1}'|b,1\_{\nu \_{1}}\rangle +c\_{2}'|c,1\_{\nu \_{2}}\rangle }
그렇다면 결국 맥놀이에 관한 항은 아래와 같이 정리된다.

{\displaystyle \langle \psi \_{V}(t)|E\_{1}^{(-)}(t)E\_{2}^{(+)}(t)|\psi \_{V}(t)\rangle =\kappa \langle 1\_{\nu \_{1}}0\_{\nu \_{2}}|a\_{1}^{\dagger }a\_{2}|0\_{\nu \_{1}}1\_{\nu \_{2}}\rangle exp\lbrack i(\nu \_{1}-\nu \_{2})t\rbrack \langle c|c\rangle =\kappa exp\lbrack i(\nu \_{1}-\nu \_{2})t\rbrack \langle c|c\rangle } (V형)
{\displaystyle \langle \psi \_{\Lambda }(t)|E\_{1}^{(-)}(t)E\_{2}^{(+)}(t)|\psi \_{\Lambda }(t)\rangle =\kappa '\langle 1\_{\nu \_{1}}0\_{\nu \_{2}}|a\_{1}^{\dagger }a\_{2}|0\_{\nu \_{1}}1\_{\nu \_{2}}\rangle exp\lbrack i(\nu \_{1}-\nu \_{2})t\rbrack \langle b|c\rangle =\kappa 'exp\lbrack i(\nu \_{1}-\nu \_{2})t\rbrack \langle b|c\rangle } (\Lambda 형)
그러나 고유함수의 직교성에 따라 {\displaystyle \langle c|c\rangle =1}와 {\displaystyle \langle b|c\rangle =o}이 된다.

따라서 V형 원자에는 맥놀이 항이 있지만, \Lambda 형 원자에는 없다.

결론
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결론적으로, V형 원자에는 양자 맥놀이가 있지만 \Lambda 형 원자에는 없다. 이러한 차이는 양자 역학적인 불확정성에 기인한다. V형 원자는 두가지 떨기수를 통해 붕괴하는데, 그 두가지 전이가 같은 상태를 향해 이루어짐으로써 우리는 어떤 것이 어떤 길을 따라 왔는지 정할 수 없다. 그러나 \Lambda 형 원자는 역시 두가지 떨기수를 통해 붕괴하지만 서로 다른 상태로 붕괴하기 때문에 어떤 길을 따라 왔는지 알 수 있다.

자연에서는 양자 역학의 가장 기본적인 원리인 불확정성의 원리를 포함한 QED의 계산이 맞는다. 양자 맥놀이 현상은 준고전적인 이론이 설명하지 못하면서 QED로는 설명되는 좋은 예이다.