조합론에서 **딜워스의 정리**(Dilworth의定理, 영어: Dilworth’s theorem)는 부분 순서 집합의 반사슬의 최대 크기에 대한 정리다.

정의
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부분 순서 집합 (P,\leq )의 **높이**(영어: height)는 P 속의 사슬(부분 전순서 집합)의 크기의 상한이다. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {height} P=\sup \left\{n\colon x\_{1}<\cdots <x\_{n},\;\{x\_{0},\dots ,x\_{n}\}\subseteq P\right\}}
부분 순서 집합 (P,\leq )의 **너비**(영어: width)는 P 속의 반사슬의 크기의 상한이다. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {width} P=\sup \left\{|S|\colon S\subseteq P,\;s\parallel s'\forall s,s'\in S\right\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,\infty \}}
(여기서 {\displaystyle s\parallel s'}은 두 원소가 비교 불가능임을 뜻한다.)

임의의 부분 순서 집합 P에 대하여, P를 사슬들로 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 c(P)라고 하자. 또 P를 반사슬들로도 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 {\displaystyle a(P)}라고 하자. 한원소 집합은 사슬이자 반사슬이므로, 자명하게

{\displaystyle c(P)\leq |P|}
{\displaystyle a(P)\leq |P|}
이다.

**딜워스의 정리**에 따르면, 만약 부분 순서 집합 (P,\leq )의 너비가 유한하다면, 이는 c(P)와 같다.:303 반대로, **미르스키의 정리**(영어: Mirsky’s theorem)에 따르면, 만약 P의 높이가 유한하다면, 이는 {\displaystyle a(P)}와 같다.

{\displaystyle \operatorname {width} P<\aleph \_{0}\implies \operatorname {width} P=c(P)}
{\displaystyle \operatorname {height} P<\aleph \_{0}\implies \operatorname {height} P=a(P)}
이 정리들은 무한한 너비 또는 높이의 부분 순서 집합에 대하여 기수로서 성립하지 않는다.

증명
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부분 순서 집합 (P,\leq ) 속의 사슬 {\displaystyle C\subseteq P} 및 반사슬 {\displaystyle A\subseteq P}에 대하여 {\displaystyle |A\cap C|\leq 1}이다. 따라서, 만약 P를 사슬 {\displaystyle \{C\_{i}\}\_{i\in I}}들로 분할하였을 때, 각 반사슬 {\displaystyle A\subseteq P}에 대하여 {\displaystyle |C\_{i}\cap A|\leq 1}이므로 {\displaystyle |A|\leq |I|}이며, 즉

{\displaystyle \operatorname {width} P\leq c(P)}
이다.:303 반대로, 만약 P를 반사슬 {\displaystyle \{A\_{j}\}\_{j\in J}}들로 분할하였을 때, 각 사슬 {\displaystyle C\subseteq P}에 대하여 {\displaystyle |C\cap A\_{j}|\leq 1}이므로 {\displaystyle |C|\leq |J|}이며, 즉

{\displaystyle \operatorname {height} P\leq a(P)}
이다.

따라서, 딜워스의 정리와 미르스키의 정리에서 자명하지 않은 것은 반대 방향의 부등식이다. 이 경우, 두 정리의 증명은 매우 다르다.

### 딜워스의 정리

딜워스의 정리의 증명은 쾨니그의 정리를 이용한 기법 등 여러 방법이 있다. 만약 P가 유한 집합일 경우, 미카 아셰르 페를레스(히브리어: מִיכָה אָשֵׁר פרלס, 1936~)는 다음과 같은 간단한 증명을 제시하였다.:303–304

유한 부분 순서 집합 (P,\leq )가 주어졌다고 하자. P의 극대 원소들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)}, 극소 원소들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)}라고 하자. 이들은 각각 반사슬을 이룬다.

집합의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 딜워스의 정리는 한원소 집합인 부분 순서 집합에 대하여 자명하게 성립한다. 이제 딜워스의 정리가 크기 {\displaystyle |P|} 미만의 모든 부분 순서 집합에 대하여 대해 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

1. 크기 {\displaystyle \operatorname {width} P}의 반사슬은 모두 {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)}과 같거나, {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)}와 같다.
2. {\displaystyle \operatorname {max\,elem} (P)} 및 {\displaystyle \operatorname {min\,elem} (P)}와 같지 않은, 크기 {\displaystyle \operatorname {width} P}의 반사슬 {\displaystyle A\subseteq P}가 존재한다.

1의 경우, a\le b인 {\displaystyle a\in \operatorname {min\,elem} (P)}와 {\displaystyle b\in \operatorname {max\,elem} (P)}를 찾을 수 있다. (그렇지 아니하다면 크기가 {\displaystyle \operatorname {width} P}보다 더 큰 반사슬이 존재하게 되기 때문이다.) P\setminus \{a,b\}의 최소 사슬 분할

{\displaystyle P\setminus \{a,b\}=\bigsqcup \_{i=1}^{c(P\setminus \{a,b\})}C\_{i}}
이 주어졌을 때

{\displaystyle P=\{a,b\}\sqcup \bigsqcup \_{i=1}^{c(P\setminus \{a,b\})}C\_{i}}
는 P의 사슬 분할이므로, P\setminus \{a,b\}에 딜워스의 정리를 적용하면

{\displaystyle c(P)\leq c(P\setminus \{a,b\})+1=\operatorname {width} (P\setminus \{a,b\})+1=\operatorname {width} P}
이다.

2의 경우, 다음과 같은 두 부분 집합 {\displaystyle A\_{\pm }\subsetneq P}를 정의하자.

{\displaystyle A\_{+}=\{x\in P\colon \exists a\in A\colon x\geq a\}}
{\displaystyle A\_{-}=\{x\in P\colon \exists a\in A\colon x\leq a\}}
{\displaystyle \operatorname {width} (A\_{+})=\operatorname {width} (A\_{-})=|A|=\operatorname {width} P}
{\displaystyle A\_{+}\subsetneq P\supsetneq A\_{-}}
{\displaystyle A\_{+}\cap A\_{-}=A}
{\displaystyle A\_{\pm }}에 딜워스의 정리를 적용하여 다음과 같은 사슬 분해를 얻는다고 하자.

{\displaystyle A\_{\pm }=\bigsqcup \_{a\in A}C\_{\pm }(a)}
{\displaystyle \max C\_{-}(a)=a=\min C\_{+}(a)}
그렇다면 P의 사슬 분해

{\displaystyle P=\bigsqcup \_{a\in A}(C\_{+}(a)\cup C\_{-}(a))}
를 얻는다. 즉,

{\displaystyle c(P)\leq |A|=\operatorname {width} P}
가 된다.

### 미르스키의 정리

미르스키의 정리의 증명은 딜워스의 정리의 증명보다 더 간단하다. P가 유한한 높이의 부분 순서 집합이라고 하자. 원소 {\displaystyle x\in P}에 대하여, {\displaystyle N(x)}가 x를 최대 원소로 하는 사슬의 길이의 최댓값이라고 하자. 이는 함수 {\displaystyle N\colon P\to \mathbb {N} }을 정의한다.
그렇다면, 각 자연수 n\in \mathbb {N} 의 원상 {\displaystyle N^{-1}(n)\subseteq P}은 반사슬을 이루며, 이들은 P의 분할을 이룬다.

{\displaystyle P=\bigsqcup \_{n=0}^{\infty }N^{-1}(n)}
따라서 {\displaystyle a(P)\leq \operatorname {height} (P)}이다.

역사
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딜워스의 정리는 미국의 수학자 로버트 파머 딜워스(영어: Robert Palmer Dilworth, 1914~1993)가 1950년 논문에서 처음 제시하였다.:303

미르스키의 정리는 러시아 태생의 영국 수학자 레오니트 미르스키(러시아어: Леонид Мирский, 영어: Leonid Mirsky, 1918~1983)가 1971년에 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8.
2. ↑  Perles, Micha Asher (1963). "On Dilworth’s theorem in the infinite case". 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) **1** (2): 108–109. doi:10.1007/BF02759806. MR 0168497. Zbl 0115.01703.
3. ↑  Perles, Micha Asher (1963). "A proof of Dilworth’s theorem for partially ordered sets". 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) **1** (2): 105–107. doi:10.1007/BF02759805. Zbl 0115.01702.
4. ↑  Dilworth, R. P. (1950년 1월). "A decomposition theorem for partially ordered sets". 《Annals of Mathematics》 (영어) **51**: 161–166. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969503. Zbl 0038.02003.
5. ↑  Mirsky, Leon (1971). "A dual of Dilworth’s decomposition theorem". 《American Mathematical Monthly》 (영어) **78** (8): 876–877. doi:10.2307/2316481. JSTOR 2316481.