수론과 대수기하학에서 **모듈러 곡선**(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의
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모듈러 군 \operatorname {SL}(2;{\mathbb Z})\cong \Gamma (1)의 부분군 G\subset \Gamma (1)가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 N에 대하여 \Gamma (N)\supset G라면, G를 모듈러 군의 **합동 부분군**(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 N을 합동 부분군 G의 **준위**(영어: level 레벨[\*])라고 한다.

Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 {\mathbb H}=\{z\in {\mathbb C}\colon \operatorname {Im}z>0\}에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 G 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 G\setminus {\mathbb H}를 (비콤팩트) **모듈러 곡선** Y(G)라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 **확장 상반평면**(영어: extended upper-half plane)

{\mathbb H}^{\*}={\mathbb H}\cup {\mathbb Q}\cup \{i\infty \}
을 정의하자. 그렇다면 **콤팩트 모듈러 곡선**을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.:58
X(G)=G\setminus {\mathbb H}^{\*}=Y(G)\cup G\setminus ({\mathbb Q}\cup \{i\infty \})

대표적인 합동 부분군 Γ0(*N*), Γ1(*N*) 및 Γ(*N*)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 *X*0(*N*), *X*1(*N*), *X*(*N*)이라고 적는다.

타원점과 첨점
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합동 부분군 G의 **타원점** \tau \in {\mathbb H}는 그 점에서의 {\mathbb H}-작용에 대한 안정자군 G\_{\tau }가 자명하지 않는 (\pm 1\subset G보다 더 큰) 점이다.:48 이 경우, G\_{\tau }/\{\pm 1\}의 크기를 타원점 \tau 의 **계수**(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 G의 모듈러 곡선 Y(G) 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 G의 **첨점**(尖點, 영어: cusp)은 :G\setminus ({\mathbb Q}\cup \{i\infty \})=X(G)-Y(G)
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계
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모듈러 곡선은 소위 **준위 구조**(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, X(1)은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. \tau \in {\mathbb H}/\operatorname {PSL}(2;{\mathbb Z})는 타원 곡선

{\mathbb C}/\Lambda (z,\tau z)
과 대응된다. 여기서 \Lambda =\Lambda (\langle z,\tau z)는 0\neq z,\tau z\in {\mathbb C}에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, z는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 z를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

### *X*(*N*)

*X*(*N*)의 경우, 타원곡선 E 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 p,q\in E이다.:440

* p와 q의 차수는 N의 약수이다. 즉, Np=Nq=0이다.
* p와 q의 베유 쌍(Weil pairing)은 e\_{N}(p,q)=\exp(2\pi i/N)이다.

복소수체의 경우, 두 N차 점

p=(a+b\tau )/N
q=(c+d\tau )/N
a,b,c,d\in {\mathbb Z}/N
의 베유 쌍은

e\_{N}(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)
이다.

이에 따라서 \{p,q\}는 *N*차 꼬임 부분군

\{z\in {\mathbb C}\colon Nz\in \Lambda \}
의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 \tau \in \Gamma (N)\backslash {\mathbb H}에 대하여 이는

(p,q)=(1/N,\tau /N)\in {\mathbb C}/\Lambda (1,\tau )
로 주어진다.

### *X*0(*N*)

*X*0(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 *N*차 순환 부분군

i\colon {\mathbb Z}/n\hookrightarrow C/\Lambda 
이다.:440 구체적으로, \tau \in \Gamma \_{0}(N)\backslash {\mathbb H}에 대하여 이는

\{0,1/N,2/N,\dots ,(N-1)/N\}\subset {\mathbb C}/\Lambda (1,\tau )
이다.

### *X*1(*N*)

*X*1(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 N인 점 (즉, Nz\in \Lambda 인 z\in \mathbb {C} )이다.:439 구체적으로, \tau \in \Gamma \_{1}(N)\backslash {\mathbb H}에 대하여 이는

1/N\in {\mathbb C}/\Lambda (1,\tau )
이다.

성질
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모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 G의 콤팩트 모듈러 곡선 X(G)의 종수(genus)는 다음과 같다.:68

g(X(G))=1+|\Gamma (1):G|/12-r\_{2}/4-r\_{3}/3-r\_{\infty }/2
여기서

* |\Gamma (1):G|는 부분군의 지표다.
* r\_{2}는 G의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
* r\_{3}는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
* r\_{\infty }는 G의 첨점들의 수이다.

예
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### Γ(1)

모듈러 군 \Gamma (1)\cong \operatorname {SL}(2;{\mathbb Z})의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)은 리만 구 {\hat {\mathbb {C} }}와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

j\colon \Gamma (1)\backslash {\mathbb H}\to {\hat {{\mathbb C}}}
이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

* 계수가 2인 타원점 1개 (i\in {\mathbb H})
* 계수가 3인 타원점 1개 ((1+i{\sqrt 3})/2\in {\mathbb H})
* 첨점 1개 (i\infty )

를 가진다. 따라서

g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0
이다. 이는 리만 구에 해당한다.

### Γ(*N*)

Γ(*N*)의 경우 N>1이면 타원점이 없다.:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.:106

|\Gamma (1):\Gamma (N)|={\begin{cases}{\frac 12}N^{3}\prod \_{{p|N}}(1-1/p^{2})&N>2\\6&N=2\end{cases}}
또한, 이 경우 |\Gamma (1):\Gamma (N)|/N개의 첨점이 있다.:106
따라서 이 경우 종수는

g=1+|\Gamma (1):\Gamma (N)|(1/12-1/2N)
이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

g=1+6(1/12-1/4)=0
이다.

*N*이 소수 *p*일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)

g=(p+2)(p-3)(p-5)/24
따라서 Γ1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.

| *N* | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 12 | 4 | 0 |
| 4 | 24 | 6 | 0 |
| 5 | 60 | 12 | 0 |
| 6 | 72 | 12 | 1 |
| 7 | 168 | 24 | 3 |
| 8 | 192 | 24 | 5 |
| 9 | 324 | 36 | 10 |
| 10 | 360 | 36 | 13 |
| 11 | 66 | 60 | 26 |

*X*(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 j\colon {\mathbb H}/\Gamma (1)\to {\hat {{\mathbb C}}}에 의해 주어지고, *X*(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 \lambda \colon {\mathbb H}/\Gamma (2)\to {\hat {{\mathbb C}}}에 의해 주어진다.

### Γ1(*N*)

Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(*N*)의 경우 *N*>3이면 타원점이 없다.:57 Γ1(*N*)의 지표는

|\Gamma (1):\Gamma \_{1}(N)|=|\Gamma (1):\Gamma (N)|/N
이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.:107

r\_{\infty }={\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\{\frac 12}\sum \_{{d|N}}\phi (d)\phi (N/d)&N>4\end{cases}}
(\phi 는 오일러 피 함수이다.)
따라서 Γ1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.:107
여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.

| *N* | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 12 | 4 | 0 |
| 6 | 12 | 4 | 0 |
| 7 | 24 | 6 | 0 |
| 8 | 24 | 6 | 0 |
| 9 | 36 | 8 | 0 |
| 10 | 36 | 8 | 0 |
| 11 | 60 | 10 | 1 |
| 12 | 48 | 10 | 0 |

### Γ0(*N*)

Γ0(*N*)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

r\_{2}={\begin{cases}0&4|N\\\prod \_{{p|N}}(1+({\tfrac {-1}p}))&4\not |N\end{cases}}
r\_{3}={\begin{cases}0&9|N\\\prod \_{{p|N}}(1+({\tfrac {-3}p}))&4\not |N\end{cases}}
r\_{\infty }=\sum \_{{0<k|N}}\phi ((d,N/d))
여기서 \phi 는 오일러 피 함수이고, ({\tfrac ab})는 르장드르 기호이다. a|b는 a가 b의 인수라는 뜻이다. p|b는 p가 b의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.

| *N* | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 6 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| 6 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 8 | 2 | 0 | 2 | 0 |
| 8 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| 9 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 18 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 11 | 12 | 2 | 0 | 0 | 1 |

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **228**. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2 3  Silverman, Joseph H. (2009). 《The arithmetic of elliptic curves》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **106** 2판. Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. 1 2  Kim, Chang Heon; Ja Kyung Koo (1996년 10월). "On the genus of some modular curves of level *N*". 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 (영어) **54** (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)