대수기하학에서 **표준 선다발**(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 **표준 선속**(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의
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대수적으로 닫힌 체 위의 n차원 비특이 대수다양체 X의 **표준 선다발** \omega \_{X}은 다음과 같은 가역층이다.:180–181

\omega \_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega \_{{X/k}}
여기서 \Omega \_{{X/k}}는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 **표준류**(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 **표준 인자**(標準因子, 영어: canonical divisor) K\_{X}라고 한다.

만약 X가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) U\subset X가 존재한다. 이 경우, X의 표준 인자는 U의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, X가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 **반표준 선다발**(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) \omega \_{X}^{{-1}}이라고 한다. **반표준류**(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 **반표준 인자**(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식
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**첨가 공식**(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 X 위의 인자 D에 대하여, 다음과 같은 **첨가 공식**이 성립한다.

K\_{D}=(K\_{X}+D)|\_{D}
즉, 선다발로는 다음과 같다. D로 정의되는 부분다양체를 Y, 매장 사상을 \iota \colon Y\hookrightarrow X라고 하면, 다음과 같다.

{\mathcal K}\_{Y}=\iota ^{\*}({\mathcal K}\_{X}\otimes {\mathcal O}(D))
여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 X의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 \iota \colon Y\hookrightarrow X가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 {\mathcal {I}}라고 하자. 이 경우, {\mathcal I}/{\mathcal I}^{2}는 Y의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.:182

0\to {\mathcal I}/{\mathcal I}^{2}\to \iota ^{\*}T^{\*}X\to T^{\*}Y\to 0
여기서 T^{\*}는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.:146–147:182, Proposition II.8.20

{\mathcal K}\_{Y}=\iota ^{\*}{\mathcal K}\_{X}\otimes \left(\det({\mathcal I}/{\mathcal I}^{2})\right)^{\vee }
여기서 (-)^{\vee }는 쌍대 다발을 뜻한다.

예
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복소수체 위의 n차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 **행렬식 다발**(영어: determinant bundle)이라고 하며, n차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

### 리만 곡면의 표준 선다발

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) C 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 \Omega \_{C}와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

\deg \omega \_{C}=2g-2=-\chi (C)
특히, g\geq 2인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, \omega \_{C}의 g개의 단면들은 유리 사상 C\to {\mathbb {P}}\_{{{\mathbb C}}}^{{g-1}}을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 **표준 곡선**(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 C가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, C의 종수가 2이며, C가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

y^{2}=P(x)
여기서 P는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

{\frac 1{{\sqrt {P(x)}}}}\,dx,\;{\frac x{{\sqrt {P(x)}}}}\,dx
이에 따라서, 표준 곡선은

(x,y)\mapsto x\in {\mathbb {P}}\_{{{\mathbb C}}}^{1}
임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 C가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, C의 표준 곡선은 C와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

* 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
* 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
* 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

### 사영 공간

대수적으로 닫힌 체 K 위의 사영 공간 {\mathbb P}\_{K}^{n}에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.:176, Theorem II.8.13 이를 **오일러 완전열**이라고 한다.

0\to \Omega \_{{{\mathbb P}\_{K}^{n}}}^{1}\to {\mathcal O}\_{{{\mathbb P}\_{K}^{n}}}(-1)^{{\oplus (n+1)}}\to {\mathcal O}\_{{{\mathbb P}\_{K}^{n}}}(0)\to 0
모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.:182, Example II.8.20.1

\omega \_{{{\mathbb P}\_{K}^{n}}}={\mathcal O}\_{{{\mathbb P}\_{K}^{n}}}(-n-1)
### 사영 공간 속의 초곡면

n차원 사영 공간 {\mathbb P}^{n} 속에서, 동차다항식들 P\_{i}으로 정의되는 초곡면 Y\_{i}\hookrightarrow {\mathbb P}^{n}들의 완전 교차(영어: complete intersection)

Y=\bigcap \_{{i=1}}^{{\operatorname {codim}Y}}Y\_{i}
를 생각하자. 이 경우,

\omega \_{{{\mathbb P}^{n}}}={\mathcal O}(-n-1)
{\mathcal O}(Y\_{i})=\deg P\_{i}
이므로, 첨가 공식에 따라서 Y의 표준 선다발은 다음과 같다.

\omega \_{Y}={\mathcal O}\left(\sum \_{i}\deg P\_{i}-n-1\right)
만약

\sum \_{i}\deg P\_{i}=n+1
이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) Y는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 d차 대수 곡선 C\subset {\mathbb P}^{2}의 표준 선다발은 다음과 같다.:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3

\omega \_{C}={\mathcal O}(d-3)
d차 평면 대수 곡선의 경우

\deg {\mathcal O}(1)=d
이므로,

\deg \omega \_{C}=d(d-3)
이다. 리만-로흐 정리에 따라서

\deg \omega \_{C}=2g-2=-\chi (\Sigma )
이므로, 다음과 같은 **종수-차수 공식**(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

g={\frac 12}(d-1)(d-2)
### 이차 곡면 위의 곡선의 종수

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 {\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1} 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.:362, Example V.1.5.2 곡선 C의 차수가 (d\_{1},d\_{2})라고 하자. {\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}의 표준 선다발의 차수는 (-2,-2)이다. 즉, C의 차수는 (d\_{1}-2,d\_{2}-2)와 (d\_{1},d\_{2})의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.:361, Example V.1.4.3

(a,b).(c,d)=ad+bc
따라서, 다음이 성립한다.

2g-2=d\_{1}(d\_{2}-2)+d\_{2}(d\_{1}-2)
즉,

g=d\_{1}d\_{2}-d\_{1}-d\_{2}+1
이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.