일반위상수학에서 **준열린집합**(準-集合, 영어: almost open set) 또는 **베르 성질 집합**(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

정의
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위상 공간 X 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

* {\displaystyle \operatorname {Meag} (X)=\{S\subseteq X\colon \operatorname {int} (\operatorname {cl} (X))=\varnothing \}}: 제1 범주 집합들의 족
* {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)}: 열린집합들의 족
* {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X)}: 닫힌집합들의 족
* {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X)}: Fσ 집합들의 족
* {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}(X)}: Gδ 집합들의 족
* {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)}: 보렐 집합들의 족

또한, {\displaystyle \operatorname {\sigma } ({\mathcal {F}})}가 집합족 {\mathcal F}를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 {\displaystyle \operatorname {BP} (X)}라고 표기하자.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {BP} (X)&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)\right)\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\\end{aligned}}}
여기서 {\displaystyle A\mathop {\triangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}은 대칭차이다. {\displaystyle \operatorname {BP} (X)}의 원소를 X의 **준열린집합**이라고 한다.:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23

**증명:**

다음 기호를 정의하자.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}'&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}''&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)\right)\\{\mathcal {B}}&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\{\mathcal {B}}'&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {B}}\}\\{\mathcal {C}}&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\{\mathcal {C}}'&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {C}}\}\\\end{aligned}}}
보렐 시그마 대수는 정의에 따라 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)=\sigma ({\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X))=\sigma ({\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(X))}이므로, 자명하게

{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}'={\mathcal {A}}''}
이다. 또한, 자명하게

{\displaystyle {\mathcal {C}}\cup {\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {A}}''\subseteq \sigma ({\mathcal {B}})=\sigma ({\mathcal {B}}')}
이다. 또한,

{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'\iff {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {C}}}
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})}
를 보이면 족하다.

* {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'}: 임의의 집합 {\displaystyle S\in {\mathcal {B}}} 및 {\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)}에 대하여, {\displaystyle S\triangle U\subseteq A\_{0}\cup A\_{1}\cup \cdots }이며, {\displaystyle (A\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle M=\operatorname {cl} (A\_{0})\cup \operatorname {cl} (A\_{1})\cup \cdots \in \operatorname {Meag} (X)\cap {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X)}이다. 이제 {\displaystyle {\tilde {S}}=U\setminus M\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}(X)}을 정의하자. 그렇다면, {\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\subseteq M}이므로 {\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\in \operatorname {Meag} (X)}이며, {\displaystyle S={\tilde {S}}\cup (S\setminus {\tilde {S}})}이다.
* {\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})}:
	+ 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
	+ 여집합에 대한 닫힘: 편의상, {\displaystyle A\triangle B\in \operatorname {Meag} (X)}를 {\displaystyle A\approx B}로 표기하자. 임의의 {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}에 대하여, {\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)}이며 {\displaystyle A\approx U}라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus U}이며, {\displaystyle U\approx \operatorname {cl} (U)}이므로 {\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus \operatorname {cl} (U)\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)}이다.

성질
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### 함의 관계

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

|  |  |
| --- | --- |
|  | 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 |
|  | ⇗ |  | ⇘ |
| 열린닫힌집합 |  | 보렐 집합 |
|  | ⇘ |  | ⇗ |  | ⇘ |
|  | 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 |  | 준열린집합 ⇒ 부분 집합 |
|  | ⇗ |
| 조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합 |

### 연산에 대한 닫힘

위상 공간 X 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

* 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

예
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선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사
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르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
2. ↑  Baire, René (1905). 《Leçons sur les fonctions discontinues professées au collège de France》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0438.01.