수학에서 곡선을 따라 적분하는 일반적인 선적분에 대해서는 선적분 문서를 참고하십시오.
 복소해석학에서 유수 정리(Residue theorem)를 이용한 적분법에 대해서는 경로적분법 문서를 참고하십시오.

|  |
| --- |
| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
| * 개론
* 수학적 공식화
* 역사
 |
| 배경
* 고전역학
* 구양자이론(old quantum theory)
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

 |
| 기본
* 상보성
* 결어긋남
* 얽힘
* 에너지 준위
* 측정(measurement)
* 비국소성(nonlocality)
* 양자수
* 상태(state)
* 중첩
* Symmetry
* 터널링
* 불확정성
* 파동 함수
	+ 붕괴

 |
| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

 |
| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

 |
| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

 |
| 해석
* 베이지안
* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

 |
| 고급 주제
* 상대론적 양자역학
* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
* EPR 역설
* 밀도 행렬
* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
 |
| 과학자
* 아하로노프Aharonov
* 벨
* 베테
* 블래킷
* 블로흐
* 봄
* 보어
* 보른
* 보스
* 드브로이
* 콤프턴
* 디랙
* 데이비슨
* 디바이
* 에렌페스트
* 아인슈타인
* 에버렛
* 포크
* 페르미
* 파인먼
* 글라우버
* 구츠윌러Gutzwiller
* 하이젠베르크
* 힐베르트
* 요르단
* 크라머르스
* 파울리
* 램
* 란다우
* 라우에
* 모즐리
* 밀리컨
* 오너스
* 플랑크
* 라비
* 라만
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거
* 시몬스Simmons
* 조머펠트
* 폰 노이만
* 바일
* 빈
* 위그너
* 제이만
* 차일링거

 |
| * v
* t
* e
 |

양자역학에서 **경로 적분**(經路積分, path integral)은 해밀턴의 원리를 일반화하여 양자론을 기술하는 방법이다. 한 상태에서 다른 상태로 전이할 확률진폭은 두 상태 사이의 모든 가능한 경로에 대한 함수적분이다.

폴 디랙이 경로 적분을 다소 원시적인 형태로 최초로 도입하였다. 1948년에 리처드 파인만이 경로 적분을 개량하고, 구체적인 방법론 및 일반화를 개발하였다. 존 휠러에게서 지도를 받은 그의 박사 학위 논문에서 몇 가지 사전 작업이 먼저 이루어졌다.

이 기술 방식은 이론물리학에서 이후 엄청난 파급효과를 가져왔는데, 왜냐하면 시간과 공간에 대한 대칭적인 기술이 가능해졌기 때문이다. 즉, 경로적분에서는 같은 양자계에 대한 서로 전혀 다른 정준켤레의 기술 사이에 손쉬운 좌표 변환이 가능하다.

개요
--

고전역학에서는, 어느 점입자 혹은 질량 점의 운동은 초기 상태가 주어지면 이후의 운동 경로가 운동방정식의 해로써 모두 결정될 수 있다. 한편, 양자역학에서는 불확정성이 존재하기 때문에 고전역학에서와 같은 하나의 경로 만을 생각할 수는 없게 된다. 경로 적분에서는 시공간에서의 시작점과 끝점을 연결하는 무한히 많은 경로를 모두 다 생각하고 그것들의 합성을 통하여 양자역학적인 확률진폭을 얻게 된다.

에르빈 슈뢰딩거의 파동역학이나 베르너 하이젠베르크의 행렬역학에서는 운동 방정식으로써 문제를 풀지만, 경로적분에서는 운동의 경로에 주목하여 전체 경로에 대하여 양자역학의 문제를 취급한다. 파인만은 디랙의 논문에서 시간 t와 t+\Delta t (\Delta t는 시간의 미소 변화) 사이의 두 상태간의 전이진폭이 해당하는 계의 라그랑지언의 지수 함수에 대응될 수 있다는 점에 착상을 얻어 이 기법을 정식화했다. 파인만은 경로 적분을 통하여 극저온에서 액체 헬륨의 초유체 상태를 이론적으로 설명하였다.

전개
--

파동함수 \Psi ({\mathbf {r}},{\mathbf {t}})의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 묘사에서의 움직이는 바탕 켓 |{\mathbf {r}}\_{0},{\mathbf {t}}\_{0}\rangle 을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\Psi ({\mathbf {r}}\_{1},{\mathbf {t}}\_{1})=\int d{\mathbf {r}}\left\langle {\mathbf {r}}\_{1},{\mathbf {t}}\_{1}|{\mathbf {r}}\_{0},{\mathbf {t}}\_{0}\right\rangle \Psi ({\mathbf {r}}\_{0},{\mathbf {t}}\_{0}).
이 때 \left\langle {\mathbf {r}}\_{1},{\mathbf {t}}\_{1}|{\mathbf {r}}\_{0},{\mathbf {t}}\_{0}\right\rangle =\left\langle {\mathbf {r}}\_{1}\left|e^{{-{i \over {\hbar }}H(t\_{1}-t\_{0})}}\right|{\mathbf {r}}\_{0}\right\rangle \equiv K({\mathbf {r}}\_{1},t\_{1};{\mathbf {r}}\_{0},t\_{0})를 파인만 핵 혹은 확률진폭이라고 하며 이것이 시작점 P({\mathbf {r}}\_{0},{\mathbf {t}}\_{0})와 끝점 Q({\mathbf {r}}\_{1},{\mathbf {t}}\_{1}) 사이의 모든 경로를 다 생각하면 결국

K\_{{{\rm {P\to Q}}}}=K({\mathbf {r}}\_{1},t\_{1};{\mathbf {r}}\_{0},t\_{0})=\int \_{{{\rm {P}}}}^{{{\rm {Q}}}}e^{{{i \over {\hbar }}S[{\rm {P,Q]}}}}d{\mathbf {r}}(t)
으로 표현된다는 것이 경로 적분의 결과이다. 여기서,*H*는 해밀토니언이며 *S*는 라그랑지언 *L*에 대한 작용

S=\int \_{{t\_{0}}}^{{t\_{1}}}L({\mathbf {r}},{\dot {{\mathbf {r}}}},t)dt
이다. \mathbf{r}는 위치이며 {\dot {{\mathbf {r}}}}=d{\mathbf {r}}/dt이다. {\mathbf {t}}는 시간이다. 또한 \hbar =h/2\pi  로, *h*는 플랑크 상수이다.

여기서 \hbar \to 0으로 보내면 고전역학으로 환원된다. 좀 더 자세히 말하면 거시계에서 양자역학은 고전역학으로 수렴할 것이기 때문에 경로적분에서 경로를 중첩해서 더하는 과정에서 고전적인 경로에 적분이 집중되는 것이다. 즉 S\gg \hbar 일 경우 함수의 거의 모든 곳에서 지수함수 복소수 거듭제곱이 격렬하게 진동하게 되어 인접한 경로가 서로 간섭하여 상쇄되게 되는데, S가 경로에 따라 크게 변하지 않을 때만 이러한 상쇄가 일어나지 않으며 이것은 곧 해밀턴의 원리에 해당하는 고전적인 경로이다.

### 경로 적분과 분배 함수

양자역학의 경로 적분은 통계역학의 분배 함수와 다음과 같은 연관성을 가진다. 시작점과 출발점이 같은 경로만을 생각하고, 그 경로 적분에 윅 회전 t\to {{\rm {i}}}t을 실행하자. 즉, 시간을 허수로 두어서 시작점과 끝점의 모든 배위를 살피자는 것이다. 이는 온도 1/T\hbar 에서 정의된 통계장론의 바른틀 분배 함수와 같다.

정준 기술에서, 상태의 유니터리 변화 작용자는

|\alpha ;t\rangle =e^{{-{{\rm {i}}}Ht/\hbar }}|\alpha ;0\rangle 
와 같이 주어지며 여기서 상태 α는 시간 *t=0*에서부터 변화한다. 여기서 윅 회전을 시키면 진폭은 같은 상태의 허수시간 *it=T*에 대한 것

Z={{\rm {Tr}}}[e^{{-HT/\hbar }}]
으로 변환되며 이것은 통계역학의 해당 온도에서의 분배 함수와 같다. 이런 대응성은 일찍이 에르빈 슈뢰딩거도 슈뢰딩거 방정식을 윅 회전하면 확산방정식이 된다는 사실로부터 이미 인지하고 있었다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Dirac, P. A. M. (1933). "The Lagrangian in Quantum Mechanics". 《Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion》 **3**: 64–72.
2. ↑  Feynman, R. P. (1948). "Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics". 《Reviews of Modern Physics》 **20** (2): 367–387. Bibcode:1948RvMP...20..367F. doi:10.1103/RevModPhys.20.367.

* Kleinert, Hagen (2009년 5월). 《Path Integrals In Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, And Financial Markets》 (영어) 5판. World Scientific. Bibcode:2004piqm.book.....K. doi:10.1142/9789814273572. ISBN 978-981-4273-55-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Zinn-Justin, Jean (2009). "Path integral". 《Scholarpedia》 (영어) **4** (2): 8674. doi:10.4249/scholarpedia.8674.
* Sergio Albeverio, Sonia Mazzucchi (2011). "Path integral: mathematical aspects". 《Scholarpedia》 (영어) **6** (1): 8832. doi:10.4249/scholarpedia.8832.
* Swanson, Eric S. (2010년 3월). "A Primer on Functional Methods and the Schwinger-Dyson Equations". 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 (영어) **1296**: 75–121. arXiv:1008.4337. Bibcode:2010AIPC.1296...75S. doi:10.1063/1.3523221.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Grosche, Christian. "An Introduction into the Feynman Path Integral" (영어). arXiv:hep-th/9302097. Bibcode:1993hep.th....2097G.
* MacKenzie, Richard (2000년 4월). "Path Integral Methods and Applications" (영어). arXiv:quant-ph/0004090. Bibcode:2000quant.ph..4090M.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Rosenfelder, R. (2012년 9월). "Pfadintegrale in der Quantenphysik" (독일어). arXiv:1209.1315. Bibcode:2012arXiv1209.1315R.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)