이 문서는 일반 상대성 이론의 장방정식에 관한 것입니다. *E*=*mc*2에 대해서는 질량-에너지 동등성 문서를 참고하십시오.
아인슈타인 방정식을 나타내는 1979년 스위스 5프랑 기념 주화. 물질과 우주 상수가 없을 경우의 아인슈타인 방정식 R\_{{\mu \nu }}=0(리치 곡률이 0)이 새겨져 있다.

**아인슈타인 방정식**(Einstein方程式, 독일어: Einsteingleichungen, 영어: Einstein equations) 또는 아인슈타인 장 방정식(EFE, 영어: Einstein Field Equations)은 일반 상대성 이론을 기술하는 열 개의 연립 비선형 편미분방정식이다. 방정식의 이름은 일반 상대성 이론을 주창하고 방정식을 완성한 알베르트 아인슈타인의 이름을 딴 것이다.

아인슈타인 방정식은 시공간의 곡률이 물질의 분포와 연관되어 있다는 개념을 바탕으로 도입되었으며, 일반 상대성 이론의 핵심과도 같다. 구체적으로, 이 방정식은 전자기학의 맥스웰 방정식처럼 일반 상대성 이론을 기술하는 장, 즉 시공간의 기하(아인슈타인 텐서)를 그 근원(source)인 에너지-운동량 텐서와 연결한다. 고전 역학적으로 시공간의 기하는 중력 작용과 연관되어 있으므로, 일반 상대성 이론은 중력 이론이라 할 수 있다.

아인슈타인 방정식은 연립 비선형 편미분방정식이며, 그 해는 계량 텐서의 10개의 성분 g\_{\mu\nu}로 구성되어 있다. 그것의 물리적 의미(행성의 궤도 등 중력 현상)를 파악하기 위해서는 측지선 방정식의 도움이 필요하다. 

아인슈타인 방정식에 우주 상수를 나타내는 항을 추가할 수 있다. 이는 계량 텐서에만 의존하나, 마치 에너지-운동량 텐서와 같이 행동한다.

역사
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에너지-운동량 텐서가 계량 텐서로 정의된 중력장을 결정한다는 방정식의 기본 개념은 1913년 아인슈타인이 일반 상대성 이론의 초안(entwurf)을 통해 처음 제시하였다. 그러나 실제로 제시된 방정식은 일반 공변성을 만족시키는 식이 아니라 선형변환에 대해서만 불변이었다. 2년 뒤인 1915년 11월에 이르러 형식적 오류가 드러난 기존 중력장 방정식은 폐기되고, 일반 공변성을 만족시키는 현재의 방정식이 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트에 의해 독립적으로 제시되었다. 아인슈타인은 에너지-운동량 보존법칙을, 힐베르트는 아인슈타인-힐베르트 작용을 이용하였다. 이 식은 1917년 아인슈타인이 일반 상대론으로 우주론을 전개한 논문에서 우주 상수를 도입하면서 최종적으로 일반화되었다.

기본형
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아인슈타인 방정식의 가장 기본적인 형태는 다음과 같다. 

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=\kappa T\_{\mu \nu }}
이 때, G\_{{\mu \nu }} 는 아인슈타인 텐서, T\_{\mu \nu }는 에너지-운동량 텐서이고 \kappa 는 비례 상수(아인슈타인 중력 상수)이다.

아인슈타인 텐서는 리치 텐서 R\_{\mu\nu}와 리치스칼라 R에 대하여

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g\_{\mu \nu }R}
이고, 이는 계량 텐서 g\_{\mu\nu}와 그 일계, 이계 미분에만 의존하는 대칭 텐서이다. 

비례 상수 \kappa 는 중력 상수 {\displaystyle G=6.674\times 10^{-11}\mathrm {m^{3}kg^{-1}s^{-2}} }와 진공에서의 광속 c에 대하여 

{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07664744\times 10^{-43}\mathrm {N} ^{-1}}
이다. 이 상수의 표현은 우변의 단위 설정에 따라 달라진다.

### 부호 규약

Misner, Throne, Wheeler의 저서 <Gravitation> (Freeman, 1973)에 따르면, 각 교과서나 논문에서 아인슈타인 방정식의 부호를 표기하는 방법은 다음 세가지 요소로 이루어진 부호 규약(sign convention)에 의해 결정된다.

(1) 계량 부호수

{\displaystyle (-,+,+,+)} (공간꼴/space-like, +) 혹은 {\displaystyle (+,-,-,-)} (시간꼴/time-like, -)
(2) 리만 곡률 텐서

{\displaystyle +{R^{\mu }}\_{a\beta \gamma }=\Gamma \_{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma \_{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma \_{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma \_{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma \_{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma \_{\beta \alpha }^{\sigma }}
(3) 아인슈타인 텐서

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=+\kappa T\_{\mu \nu }}
(2)와 (3)은 리치 텐서의 부호 {\displaystyle +R\_{\mu \nu }=R\_{\,\,\mu \alpha \nu }^{\alpha }}로 호환된다. 아인슈타인, 에딩턴, 더 시터르를 비롯한 초기 학자들은 {\displaystyle (-,+,-)}를 많이 사용하였다. 

이 문서에서는 전반적으로 동일 저서 <Gravitation>이 채택하고 있는 LLSC(Landau-Lifshitz Space-like Convention, 1962) {\displaystyle (+,+,+)}을 사용한다. 

### 다른 형식

아인슈타인 방정식

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g\_{\mu \nu }R=\kappa T\_{\mu \nu }}
의 대각합을 취하면

{\displaystyle (1-D/2)R=\kappa T}
이다. 여기서 D는 시공간의 차원이다. 따라서 아인슈타인 방정식을 다음과 같이 동등한 형태로 쓸 수 있다.

{\displaystyle R\_{\mu \nu }=\kappa \left(T\_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}g\_{\mu \nu }T\right)}

우주 상수
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우주 상수(cosmological constant)는 1917년 우주론 관련 문제를 해결하기 위해 아인슈타인이 처음 도입한 추가 항이다. 이 항 또한 아인슈타인-힐베르트 작용에서 포함하여 다룰 수 있다. 표기는 \Lambda (람다)이다.

{\displaystyle G\_{\mu \nu }+\Lambda g\_{\mu \nu }=\kappa T\_{\mu \nu }}
이는 통상적인 일반 상대론이 허용하는 가장 일반적인 아인슈타인 방정식이다. 이 상수의 값은 매우 작아 일반적인 천체 문제에서는 무시할 수 있고, 대개 우주론적 관점에서 중요하다. 아인슈타인은 마흐 원리를 유지하고 우주의 정적 상태를 설명하기 위해 도입하였지만 이후, 이 해가 만드는 평형 상태가 불안정하다는 것이 밝혀졌다. 대다수의 물리학자들은 우주 상수가 일반 상대론의 가장 일반화된 형태라 보고 아인슈타인의 의도와는 상관없이 방정식에 포함하여 다루었다. 이는 아인슈타인이 에드윈 허블의 관측 결과에 따라 우주 상수를 철회한 후에도 마찬가지였다.

현재, 우주 상수의 성질과 예측값은 발전된 우주론 및 관측 자료로 추정이 가능해졌다. 우주 상수를 우변으로 넘기면

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=\kappa \left(T\_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g\_{\mu \nu }\right)}
인데, 물질이 이상 유체라고 가정하면 우주 상수가 만드는 가상의 유체는

{\displaystyle \rho \_{\Lambda }={\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}},\quad p\_{\Lambda }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}}
를 만족시킨다. 우주 상수가 양수라면, 이 물질의 압력은 음수이다. 현재 우주의 기하학이 평평하고, 가속 팽창 중이라는 관측 사실을 설명하려면 우주 상수가 0이 아니며 양수여야 한다는 것이 밝혀져 있고, 정량적인 평가로 우주 상수의 값도 추정할 수 있다.

한편, 양자 역학적으로 접근하자면 이는 진공 에너지 개념과 유사하므로 이것으로도 우주 상수의 값을 추정할 수 있다. 그러나 이 방식으로 예측되는 값은 관측 사실에 따라 추정한 값에 비해 약 1050 ~ 10120 배 정도 더 크다.

설명
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### 물리적 설명

아인슈타인 방정식은 중력장의 크기가 작고, 물질의 운동 속도가 (광속에 비해) 느리다는 조건 하에 근사를 취했을 때 뉴턴의 중력 법칙, 정확히는 중력장의 푸아송 방정식으로 수렴한다. 따라서 아인슈타인 방정식은 고전적 조건에서 뉴턴 법칙을 포함하도록 일반화된 중력장 방정식으로 볼 수 있다.

아인슈타인 방정식은 물리적으로 뉴턴의 중력 법칙을 묘사하는 중력장 방정식

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho }
를 일반화한다. 여기에서 \Phi는 중력장, G는 중력상수, \rho 는 물질의 밀도를 나타낸다. 따라서, 뉴턴 중력을 유도하기 위해서는 새로운 방정식의 좌변에는 중력장을 기술하는 계량 텐서 g\_{\mu\nu}의 미분을, 우변에는 물질의 밀도를 일반화하는 에너지-운동량 텐서를 삽입해야 할 것이다. 보다 구체적으로 고전적 조건에서

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Gamma \_{\sigma \tau }^{i}{\frac {dx^{\sigma }}{ds}}{\frac {dx^{\tau }}{ds}}\\&\approx -\Gamma \_{00}^{i}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g\_{00}}{\partial x^{i}}}\quad (i=1,2,3)\end{aligned}}}
이므로, g\_{\mu\nu}는 중력 퍼텐셜의 일반화로 볼 수 있다. 따라서 아인슈타인 방정식을

{\displaystyle G(g\_{\mu \nu })=\kappa T\_{\mu \nu }}
라 두면, {\displaystyle G(g\_{\mu \nu })}는 g\_{\mu\nu}의 이계 미분에 선형인 랭크 2의 대칭 텐서라 기대할 수 있다. 이 조건을 만족시키는 텐서는 일반적으로

{\displaystyle R\_{\mu \nu }+\alpha Rg\_{\mu \nu }+\beta g\_{\mu \nu }} (\alpha ,\beta 는 상수)
이다. 만약 물질이 없을 때({\displaystyle T\_{\mu \nu }=0}) 시공간의 곡률이 0이라고 요구한다면 \beta =0이라 둘 수 있다. \alpha 의 값을 결정짓기 위해서는 T\_{\mu \nu }가 만족시키는 중요한 항등식인 에너지-운동량 정리, 다시 말해 {\displaystyle \nabla \_{\mu }T^{\mu \nu }=0}을 활용할 수 있다. 축약된 비앙키 항등식(contracted bianchi identity)을 활용하면 {\displaystyle \alpha =-{\frac {1}{2}}}임을 알 수 있다. 따라서, 아인슈타인 방정식은

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg\_{\mu \nu }+\beta g\_{\mu \nu }=\kappa T\_{\mu \nu }}
가 된다. \kappa 의 값은 뉴턴 중력장 방정식의 비례 상수 {\displaystyle 4\pi G}와 관련 있다.

아인슈타인-힐베르트 작용
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 이 부분의 본문은 아인슈타인-힐베르트 작용입니다.
아인슈타인 방정식은 작용으로부터 변분법적으로 유도할 수 있다. 이 작용을 **힐베르트 작용**(영어: Hilbert action)이라고 부르며, 다음과 같다. (편의상 c=1로 놓자.)

S\_{{\text{GR}}}={\frac 1{16\pi G}}\int d^{4}x\;{\sqrt {-g}}\left(R-2\Lambda +{\mathcal L}\_{{\text{matter}}}\right).
시공이 경계가 없는 경우에는 이를 변분하여 아인슈타인 방정식을 얻는다. (시공이 경계가 있는 경우에는 **기번스-호킹-요크 경계항**(Gibbons-Hawking-York境界項, 영어: Gibbons–Hawking–York boundary term)을 힐베르트 작용에 더하여야 한다.)

여기에서 에너지-운동량 텐서는 중력을 제외한 나머지 물질의 작용으로부터 다음과 같이 정의한다.

T\_{{\mu \nu }}=-2{\frac 1{{\sqrt {-\det g\_{{\alpha \beta }}}}}}{\frac {\delta }{\delta g^{{\mu \nu }}}}\left({\mathcal L}\_{{\text{matter}}}{\sqrt {-\det g\_{{\alpha \beta }}}}\right)=-2{\frac {\delta }{\delta g^{{\mu \nu }}}}{\mathcal L}\_{{\text{matter}}}+g\_{{\mu \nu }}{\mathcal L}\_{{\text{matter}}}.
여기서 {\mathcal L}\_{{\text{matter}}}는 물질의 라그랑지안 밀도다. 이 에너지-운동량 텐서는 자동적으로 대칭적이며, 뇌터 정리에서 유도되는 에너지-운동량 텐서와는 조금 다르다. (뇌터 에너지-운동량은 일반적으로 대칭적이지 않다.)