측도론에서 **보렐 집합**(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.

정의
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위상 공간 (X,{\mathcal U})의 **보렐 시그마 대수**(Borelσ代數, 영어: Borel sigma-algebra) {\mathcal B}(X) 또는 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)}는 열린집합들의 집합 {\mathcal {U}}를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.:68, §11.A:83, §3.1
(후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) X의 **보렐 집합**은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

**보렐 측도**(Borel測度, 영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 X의 **보렐 가측 공간**(영어: Borel measurable space)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

### 보렐 위계

만약 (X,{\mathcal U})가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)}는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 \alpha >0에 대하여, 다음과 같은 **보렐 위계**(Borel位階, 영어: Borel hierarchy)를 정의하자.:68, §II.B

{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(X)={\mathcal {U}}} (모든 열린집합들의 집합)
{\boldsymbol \Pi }\_{\alpha }^{0}(X)=\{X\setminus S\colon S\in {\boldsymbol \Sigma }\_{\alpha }^{0}\}
{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{\alpha }^{0}(X)=\left\{\bigcup \_{i\in \mathbb {N} }X\_{i}\colon \forall i\in \mathbb {N} (X\_{i}\in {\boldsymbol {\Pi }}\_{\alpha \_{i}}^{0}\land \alpha \_{i}<\alpha )\right\}\qquad (\alpha >1)}
{\boldsymbol \Delta }\_{\alpha }^{0}(X)={\boldsymbol \Sigma }\_{\alpha }^{0}(X)\cap {\boldsymbol \Pi }\_{\alpha }^{0}(X)
그렇다면 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \bigcup \_{\alpha <\omega \_{1}}{\boldsymbol {\Sigma }}\_{\alpha }^{0}=\bigcup \_{\alpha <\omega \_{1}}{\boldsymbol {\Pi }}\_{\alpha }^{0}=\bigcup \_{\alpha <\omega \_{1}}{\boldsymbol {\Delta }}\_{\alpha }^{0}={\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)}
* 임의의 순서수 \alpha >0에 대하여, {\boldsymbol \Sigma }\_{\alpha }^{0}(X)\cup {\boldsymbol \Pi }\_{\alpha }^{0}(X)\subseteq {\boldsymbol \Delta }\_{{\alpha +1}}^{0}(X)

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.:69, §11.B

{\begin{matrix}&&{\boldsymbol \Sigma }\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol \Sigma }\_{2}^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol \Delta }\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol \Delta }\_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol \Delta }\_{3}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol \Pi }\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol \Pi }\_{2}^{0}&&&\cdots \end{matrix}}
여기서 A\to B는 A\subseteq B를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

| 보렐 위계의 단계 | 이름 |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{0}} | **열린닫힌집합**들의 집합 |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}} | **열린집합**들의 집합 |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}} | **닫힌집합**들의 집합 |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}} | **Fσ 집합**(Fσ集合, 영어: Fσ set)들의 집합:44, §2.1:1, §1.A |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}} | **Gδ 집합**(Gδ集合, 영어: Gδ set)들의 집합:44, §2.1:1, §1.A |

성질
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### 연산에 대한 닫힘

두 위상 공간 X,Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 {\displaystyle S\subseteq Y}의 원상 {\displaystyle f^{-1}(S)\subseteq X}은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X=Y={\mathbb R}일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 X와 Y가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

다음이 성립한다.:116

| 집합족 | 유한 교집합에 대해 닫힘 | 가산 교집합에 대해 닫힘 | 유한 합집합에 대해 닫힘 | 가산 합집합에 대해 닫힘 | 여집합에 대해 닫힘 | 연속 함수에 대한 상 | 보렐 가측 함수에 대한 원상 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{\alpha }^{0}} | ⭕ | ❌ | ⭕ | ❌ | ⭕ | ❌ | ❌ |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{\alpha }^{0}} | ⭕ | ❌ | ⭕ | ⭕ | ❌ | ❌ | ❌ |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{\alpha }^{0}} | ⭕ | ⭕ | ⭕ | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ |
| {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}} | ⭕ | ⭕ | ⭕ | ⭕ | ⭕ | ❌ | ⭕ |

### 보렐 집합의 수

폴란드 공간 X의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.

{\displaystyle |{\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)|=2^{\min\{|X|,\aleph \_{0}\}}}

**증명:**

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, X가 비가산 폴란드 공간(즉, \mathbb {R} )라고 하자.

보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 {\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph \_{0}}}이며, 초한 귀납법의 각 단계에서

(2^{{\aleph \_{0}}})^{{\aleph \_{0}}}=2^{{\aleph \_{0}}}
이므로 집합의 크기는 2^{\aleph \_{0}}을 초과하지 않는다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

|{\mathcal L}({\mathbb R})|=2^{{2^{{\aleph \_{0}}}}}
이다. 이는 크기가 2^{\aleph \_{0}}이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

### 분리 정리

**루진-노비코프 분리 정리**에 따르면, 임의의 폴란드 공간 X 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{1}(X)}, {\displaystyle |I|\leq \aleph \_{0}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}A\_{i}=\varnothing }이라면, {\displaystyle \forall i\in I\colon B\_{i}\supseteq A\_{i}}이자 {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}B\_{i}=\varnothing }인 보렐 집합들의 집합족 {\displaystyle \{B\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)}이 존재한다.:219, Theorem 28.5:155, Theorem 4.6.1

### 베르 범주와의 관계

임의의 위상 공간 X의 임의의 제1 범주 집합 {\displaystyle M\subseteq X}에 대하여, {\displaystyle M\subseteq {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X)}인 제1 범주 집합 {\tilde {M}}이 존재한다.

**증명:**

정의에 따라, M은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 {\displaystyle \{M\_{i}\}\_{i\in \mathbb {N} }}들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle M=\bigcup \_{i\in \mathbb {N} }M\_{i}}
조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,

{\displaystyle {\tilde {M}}=\bigcup \_{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} (M\_{i})}
로 놓으면 자명하게 {\displaystyle M\in {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(X)}이다.

준열린집합들의 집합족 {\displaystyle \operatorname {BP} (X)}은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,:47, Proposition 8.32 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.:71, Proposition 11.5

{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}(X)\subseteq \operatorname {BP} (X)}

예
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수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 \mathbb {R}  속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.

* 공집합 \varnothing : {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )}
* 실수 집합 \mathbb {R} : {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )}
* 양의 실수 집합 \mathbb R^+: {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )}
* 음이 아닌 실수 집합 {\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq 0}}: {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )}
* 정수 집합 \mathbb {Z} : {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}(\mathbb {R} )}
* 유리수 집합 \mathbb {Q} : {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}(\mathbb {R} )}
* 무리수 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q: {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}(\mathbb {R} )}

### Fσ 집합이 아닌 열린집합

거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 Fσ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 \omega \_{1}은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. U가 \omega \_{1}의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 U는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 \omega \_{1}은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 U는 Fσ 집합이 아니다.

### 보렐 집합이 아닌 집합

실수선 \mathbb {R} 에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

* a\in A의 연분수 표현{\displaystyle a=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}의 계수 a\_{i} 가운데, a\_{{k\_{i}}}\mid a\_{{k\_{{i+1}}}}인 부분 수열 a\_{{k\_{0}}},a\_{{k\_{1}}},\ldots 이 존재한다.

그렇다면 A는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사
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보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.:xi:153, §11

"Fσ 집합"이라는 용어에서, F는 프랑스어: fermé 페르메[\*](닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 프랑스어: somme 솜[\*](합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.:23, §1.3 마찬가지로, "Gδ 집합"이라는 용어에서, G는 독일어: Gebiet 게비트[\*](근방)의 머리글자이며, δ는 독일어: Durschnitt 두르슈니트[\*](교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.:23, §1.3

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7  Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **180**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
3. ↑  "Why is each open set an Fσ?". 《Mathematics Stack Exchange》 (영어). 2019년 12월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 12월 4일에 확인함.
4. ↑  Borel, Émile (1905). 《Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées a l’École normale supérieure》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sur la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0435.01.
5. ↑  Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
6. 1 2  Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). 《Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces》. Princeton Lectures in Analysis (영어) **3**. Princeton University Press. ISBN 978-069111386-9. Zbl 1081.28001.