수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 ***{\displaystyle {\textbf {hom}}}*** **함자**라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

공식적인 정의
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***C***를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

***C***의 모든 대상 ***A***와 ***B***에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

| Hom(*A*, –) : *C* → **Set** | Hom(–, *B*) : *C* → **Set** |
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| 이는 다음과 같이 주어지는 공변 함자이다:
* {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}는 ***{\displaystyle X\in C}***를 사상들의 집합 {\displaystyle {\text{Hom}}(A,X)}로 보낸다.
* {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}는 각 사상 ***{\displaystyle f:X\rightarrow Y}***를 각 {\displaystyle g\in {\text{Hom}}(A,X)}에 대해{\displaystyle g\mapsto f\circ g}로 주어지는 함수{\displaystyle {\text{Hom}}(A,f):{\text{Hom}}(A,X)\rightarrow {\text{Hom}}(A,Y)}로 보낸다.
 | 이는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다:
* {\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}는 각 대상 ***{\displaystyle X\in C}***를 사상들의 집합{\displaystyle {\text{Hom}}(X,B)}로 보낸다.
* {\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}는 각 사상 ***{\displaystyle h:X\rightarrow Y}***를 각 {\displaystyle g\in {\text{Hom}}(Y,B)}에 대해 {\displaystyle {\text{Hom}}(h,B):{\text{Hom}}(Y,B)\rightarrow {\text{Hom}}(X,B)}로 보낸다.
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함자 {\displaystyle {\text{Hom}}(-,B)}은 대상 **B**의 점 함자라고도 한다.

***{\displaystyle {\text{Hom}}}***의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-),{\text{Hom}}(-,B)}는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 ***{\displaystyle f:B'\rightarrow B}***와 ***{\displaystyle h:A'\rightarrow A}***에 대해 도식

은 가환이다. 두 경로 모두 ***{\displaystyle g:A\rightarrow B}***를 ***{\displaystyle f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'}***로 보낸다.

위 도식의 가환성은 {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 ***{\displaystyle C\times C}***에서 **{\displaystyle {\textbf {Set}}}**로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}를

{\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}}
인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 ***{\displaystyle C^{\text{op}}}***는 ***C***의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 {\displaystyle {\text{Hom}}(-,-)}에 {\displaystyle {\text{Hom}}\_{C}(-,-)} 표기법이 사용되는 경우가 있다.

요네다 보조정리
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위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

***{\displaystyle h:A'\rightarrow A}***
은 자연 변환

{\displaystyle {\text{Hom}}(h,-):{\text{Hom}}(A,-)\rightarrow {\text{Hom}}(A',-)}
을 가져온다. 그리고 모든 사상

***{\displaystyle f:B'\rightarrow B}***
은 자연 변환

{\displaystyle {\text{Hom}}(-,f):{\text{Hom}}(-,B)\rightarrow {\text{Hom}}(-,B')}
을 가져온다. 요네다 보조정리는 ***{\displaystyle {\text{Hom}}}*** 함자 사이의 *모든* 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, ***{\displaystyle {\text{Hom}}}*** 함자는 함자 범주 {\displaystyle {\textbf {Set}}^{C^{\text{op}}}}(사용되는 ***{\displaystyle {\text{Hom}}}*** 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 ***C***를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

내부 Hom 함자
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일부 범주에는 ***{\displaystyle {\text{Hom}}}*** 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 **{\displaystyle {\textbf {Set}}}**이 아니라 범주 ***C*** 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 **내부 *{\displaystyle {\text{Hom}}}* 함자**라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

{\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}
곱과 같은 특성을 강조하거나

{\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}
그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

{\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.} 예를 보려면 관계 범주를 참조.
내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

{\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}
여기서 ***I***는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

{\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}
여기서 \otimes 는 모노이드 범주를 정의 하는 **내부 곱 함자**인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 *X*와 *Z*모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 ***{\displaystyle {\text{Hom}}}*** 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 {\displaystyle Y\Rightarrow Z}은 **내부 *{\displaystyle {\textbf {Hom}}}***이라고 한다. \otimes 가 데카르트 곱 \times 일 때, 대상 {\displaystyle Y\Rightarrow Z}는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 {\displaystyle Z^{Y}}과 같이 나타낸다.

내부 ***{\displaystyle {\text{Hom}}}***는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

성질
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함자

{\displaystyle {\text{Hom}}(-,A):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}}
가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}은 여준층이다.

함자 {\displaystyle F:C\rightarrow {\textbf {Set}}}에서 일부 ***A***에 대해 자연스럽게 {\displaystyle {\text{Hom}}(A,-)}과 동형인 **집합**을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 {\displaystyle {\text{Hom}}(-,A)}에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

{\displaystyle {\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\times C\rightarrow {\textbf {Set}}}은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 {\displaystyle \operatorname {id} \_{C}\colon C\nrightarrow C}이다.

내부 ***{\displaystyle {\text{hom}}}*** 함자는 극한을 보존한다. {\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}는 극한을 극한으로 보내는 반면 {\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}는 {\displaystyle C^{\text{op}}}안의 극한, 즉, C 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

기타 성질
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***{\displaystyle {\textbf {A}}}***가 아벨 범주이고 ***A***가 ***{\displaystyle {\textbf {A}}}***의 대상인 경우 ***{\displaystyle {\text{Hom}}\_{\textbf {A}}(A,-)}***는 ***{\displaystyle {\textbf {A}}}***에서 아벨 군의 범주 ***{\displaystyle {\textbf {Ab}}}***까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. ***A***가 사영인 경우에만 완전하다.

***R***을 환이라고 하고 ***M***을 왼쪽 ***R***-가군이라고 하자. 함자 {\displaystyle {\text{Hom}}\_{\textbf {R}}(M,-):{\textbf {Mod}}{\text{-}}R\rightarrow {\textbf {Ab}}}는 텐서 곱 함자 {\displaystyle \otimes \_{R}M:{\textbf {Ab}}\rightarrow {\textbf {Mod}}{\text{-}}R}에 인접한다.

메모
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1. ↑  Also commonly denoted *C*op → **Set**, where *C*op denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(–, *B*).
2. ↑  Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

참조
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* Mac Lane, Saunders (September 1998). 《Categories for the Working Mathematician》 Seco판. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
* Goldblatt, Robert (2006) [1984]. 《Topoi, the Categorial Analysis of Logic》 Revis판. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. 2020년 3월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 11월 25일에 확인함.
* Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 **2** 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.