기하학에서 **리 대수 값 미분 형식**(Lie代數값微分形式, 영어: Lie-algebra-valued differential form)은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 유한 차원 실수 리 대수 {\mathfrak {g}}

그렇다면, 자명한 벡터 다발 {\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M}을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식

{\displaystyle \alpha \in \Gamma \left(M;{\mathfrak {g}}\otimes \_{\mathbb {R} }\bigvee ^{\bullet }\mathrm {T} ^{\*}M\right)}
을 **{\mathfrak {g}}값 미분 형식**이라고 한다.

### L∞-대수 값의 1차 미분 형식

1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 {\mathfrak {g}}. 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

* M 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 \Omega (M)를 이룬다.
* {\mathfrak {g}}의 베유 대수 {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

그렇다면, M 위의 **{\mathfrak {g}} 값의 미분 형식**은 미분 등급 대수의 준동형

{\displaystyle \alpha \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}
이다.

만약 {\mathfrak {g}}가 리 대수일 경우 (즉, {\mathfrak {g}}의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 {\mathfrak {g}}값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.

**설명:**

구체적으로, 리 대수 {\mathfrak {g}}의 기저가 {\displaystyle (t\_{i})\_{i\in I}}라고 하고, 그 베유 대수 {\displaystyle (\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}),\mathrm {d} )}의 등급 1의 생성원이 {\displaystyle (t^{i})\_{i\in I}}, 등급 2의 생성원이 {\displaystyle (\delta t^{i})\_{i\in I}}라고 하자. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle \delta \mathrm {d} \_{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}+\mathrm {d} \_{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}\delta =0}
{\displaystyle \delta ^{2}=0}
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\operatorname {CE} }t^{i}(t\_{j},t\_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t\_{j},t\_{k}])}
그렇다면, 준동형

{\displaystyle \phi \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* {\mathfrak {g}} 값의 1차 미분 형식 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (t^{i})\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}
* {\mathfrak {g}} 값의 2차 미분 형식 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (\delta t^{i})\in \Omega ^{2}(M;{\mathfrak {g}})}

그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum \_{i\in I}t\_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} \_{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum \_{j,k\in I}[t\_{j},t\_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}}
즉, 이는 임의의 {\mathfrak {g}} 값의 1차 미분 형식 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i\in I}t\_{i}\phi (t^{i})}만으로 완전히 결정된다.

연산
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### 리 괄호

매끄러운 다양체 M 위의, 실수 리 대수 {\mathfrak {g}} 값의, m차 미분 형식 \alpha 와 n차 미분 형식 \beta가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 **리 괄호**는 다음과 같은, {\mathfrak {g}} 값의 m+n차 미분 형식이다.

{\displaystyle [\alpha \wedge \beta ](v\_{1},\dotsc ,v\_{m+n})={\frac {1}{(m+n)!}}\sum \_{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v\_{1},\dotsc ,v\_{m}),\beta (v\_{m+1},\dotsc ,v\_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v\_{1},\dotsc ,v\_{m+n}\in \mathrm {T} \_{x}M}
이에 따라, M 위의 {\mathfrak {g}} 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

### 준동형

임의의 실수 리 대수의 준동형 \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}} 및 {\mathfrak {g}}값의 m차 미분 형식 \alpha 가 주어졌을 때,

{\displaystyle \phi (\alpha )(v\_{1},\dotsc ,v\_{m})=\phi (\alpha (v\_{1},\dotsc ,v\_{m}))\qquad \forall x\in M,\;v\_{1},\dotsc ,v\_{m}\in \mathrm {T} \_{x}M}
로 정의하면, {\displaystyle \phi (\alpha )}는 M 위의 {\mathfrak {h}} 값의 m차 미분 형식을 이룬다.