순서론에서 **전순서 집합**(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. 실수에서는 순서를 줄 수 있지만 허수와 복소수에서는 순서를 줄 수 없다.

정의
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원순서 집합 (X,\lesssim )이 다음 조건을 만족시킨다면, **원전순서 집합**(原全順序集合, 영어: pretotally ordered set, totally preordered set, weakly ordered set)이라고 한다.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle x\lesssim y}이거나 {\displaystyle y\lesssim x}이다.

즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서 집합이다.

**전순서 집합**(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)은 원전순서 집합인 부분 순서 집합 (X,\le)이다. 즉, 이항 관계 \le는 다음 세 조건을 만족시킨다.

* (추이성) 만약 {\displaystyle x\leq y\leq z}라면 {\displaystyle x\leq z}
* (반대칭성) 임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\leq y이며 {\displaystyle y\leq x}라면 x=y
* (완전성) 항상 x\leq y이거나 {\displaystyle y\leq x}

### 도약

전순서 집합 (X,\le)의 **도약**(跳躍, 영어: jump) {\displaystyle (a,b)\in X^{2}}은 다음 두 조건을 만족시키는 순서쌍이다.

* a<b이다.
* a<c<b인 {\displaystyle c\in X}가 존재하지 않는다.

도약이 없는 전순서를 조밀 순서라고 한다.

성질
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### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 전순서 집합 | ⇒ | 원전순서 집합 |
| ⇓ |  | ⇓ |
| 부분 순서 집합 | ⇒ | 원순서 집합 |

### 연산

원순서 집합들의 족 {\displaystyle \{(X\_{i},\lesssim \_{i})\}\_{i\in I}}가 주어졌으며, I에 역시 원순서 {\displaystyle \lesssim \_{I}}가 부여되었다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 {\displaystyle X=\textstyle \bigsqcup \_{i\in I}X\_{i}} 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

{\displaystyle x\_{i}\lesssim y\_{j}\iff \left((i\prec \_{I}j)\lor \left(i=j\land x\_{i}\lesssim \_{i}y\_{j}\right)\right)\qquad (x\_{i}\in X\_{i},\;y\_{j}\in X\_{j})}
이를 {\displaystyle \{(X\_{i},\lesssim \_{i})\}\_{i\in I}}들의 **순서합**(영어: ordered sum)이라고 한다. (여기서 {\displaystyle i\prec \_{I}j}는 {\displaystyle i\lesssim \_{I}j\not \lesssim \_{I}i}를 뜻하며, {\displaystyle i\sim \_{I}j}는 {\displaystyle i\lesssim j\lesssim i}를 뜻한다.)

이에 대하여 다음이 성립한다.

* 만약 {\displaystyle (I,\lesssim \_{I})}가 전순서 집합이며, 모든 {\displaystyle (X\_{i},\lesssim \_{i})}가 원전순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 원전순서 집합이다.
* 만약 {\displaystyle (I,\lesssim \_{I})}가 전순서 집합이며, 모든 {\displaystyle (X\_{i},\lesssim \_{i})}가 전순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 전순서 집합이다.
* 만약 모든 {\displaystyle (X\_{i},\lesssim \_{i})}가 부분 순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 부분 순서 집합이다.

#### 사전식 순서

 이 부분의 본문은 사전식 순서입니다.
전순서 집합들의 족 {\displaystyle (X\_{i},\leq \_{i})\_{i\in I}}이 주어졌으며, I 위에 정렬 순서가 주어졌을 때, 곱집합 \prod \_{{i\in I}}X\_{i} 위에 **사전식 순서**라는 전순서를 부여할 수 있다.

### 위상수학적 성질

 이 부분의 본문은 순서 위상입니다.
원전순서 집합에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 취급할 수 있다.

모든 원전순서 집합은 (순서 위상 아래) 완비 정규 공간이며, 모든 전순서 집합은 하우스도르프 완비 정규 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

완비 전순서 집합은 항상 콤팩트 공간이다.

모든 분해 가능 전순서 집합은 항상 사전식 순서를 준 {\displaystyle \mathbb {R} \times 2}의 부분 집합과 순서 동형이다.:Theorem 4

### 범주론적 성질

전순서 집합과 증가 함수는 구체적 범주 {\displaystyle \operatorname {Toset} }를 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 \operatorname {Cat} 의 충만한 부분 범주이다.

공집합이 아닌 유한 전순서 집합들의 범주 \triangle 는 **단체 범주**(單體範疇, 영어: simplex category)라고 하며, 그 위의 준층 범주 {\displaystyle \operatorname {PSh} (\triangle )}는 **단체 집합**이라고 한다. 이는 호모토피 이론에서 매우 중요하게 사용된다.

분류
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모든 전순서 집합의 분류는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 속에서는 불가능하다. 예를 들어, 비교적 간단한 분류 문제인 수슬린 가설조차 증명하거나 반증할 수 없다. 그러나 특수한 경우에는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

### 가산 조밀 전순서 집합

조밀 가산 전순서 집합 (X,\le)은 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.

* 공집합
* 한원소 집합
* \mathbb {Q}  (유리수의 전순서 집합)
* {\displaystyle \{-\infty \}\sqcup \mathbb {Q} }. 이는 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{\geq 0}}과 순서 동형이다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} \sqcup \{+\infty \}}. 이는 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{\leq 0}}과 순서 동형이다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}. 이는 {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}과 순서 동형이다.

특히, 최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 분해 가능 조밀 가산 전순서 집합 (X,\le)은 항상 \mathbb {Q} 와 순서 동형이다.

### 완비 분해 가능 조밀 전순서 집합

전순서 집합 (X,\le)가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

* X는 조밀 순서이다.
* X에 순서 위상을 가하면, X는 분해 가능 공간이다.
* (완비성) 상계와 하계를 갖는 임의의 부분 집합 A\subseteq X는 (만약 A\neq \varnothing 이라면) 상한과 하한을 갖는다.

그렇다면, X는 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.

* 공집합
* 한원소 집합
* \mathbb {R}  (실수의 전순서 집합). 이는 (0,1)과 순서 동형이다.
* {\displaystyle \mathbb {R} \sqcup \{+\infty \}}. 이는 (0,1]과 순서 동형이다.
* {\displaystyle \mathbb {R} \sqcup \{-\infty \}}. 이는 [0,1)과 순서 동형이다.
* {\bar {{\mathbb R}}}={\mathbb R}\sqcup \{+\infty ,-\infty \} (확장된 실수). 이는 [0,1]과 순서 동형이다.

특히, 완비 분해 가능 조밀 무한 전순서 집합은 (순서 동형 아래) 확장된 실수의 전순서 집합 {\displaystyle ({\overline {\mathbb {R} }},\leq )} 밖에 없다.

**증명:**

X가 위 성질들을 만족시킨다고 하자. 분해 가능 공간의 정의에 의하여, 가산 조밀 집합 D\subseteq X을 찾을 수 있으며, D 위의 순서는 조밀 순서임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 D는 위와 같이 6개의 순서형 가운데 하나와 동형이며, X는 D의 데데킨트 완비화와 순서 동형이다.

마지막 조건을 약화시킬 경우, 이들의 분류는 수슬린 가설에 의하여 좌우되는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.

어떤 전순서 집합 (X,\le)에 대하여, 다음 네 조건이 동치이다.:Theorem 6

* X는 분해 가능 공간이며, 가산 개의 도약을 갖는다.
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 D\subseteq X가 존재한다.
	+ 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle x=\sup\{d\in D\colon d\leq x\}}
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 D\subseteq X가 존재한다.
	+ 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle x=\inf\{d\in D\colon d\geq x\}}
* X는 \mathbb {R} 의 부분 집합과 순서 동형이다. 즉, 단사 단조 함수 f\colon X\to {\mathbb R}가 존재한다.

### 유한 집합 위의 (원)전순서

크기 3의 집합 \{a,b,c\} 위에 존재할 수 있는 13개의 원전순서. 여기서 a<b는 {\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a}를 뜻한다. 이 가운데 맨 밖의, 검은 색 글씨의 6개는 전순서이다. 중간의, 푸른 색 글씨의 6개는 2개의 동치류들을 갖는 원전순서이다. 가운데의, 붉은 색 글씨의 1개는 1개의 동치류를 갖는 비이산 원순서이다.
유한 전순서 집합은 항상 정렬 집합이며, 따라서 그 크기에 따라 완전히 분류된다.

크기 n의 유한 집합 위의 원전순서들의 수는 **푸비니 수**(영어: Fubini number) {\displaystyle F\_{n}}이라고 한다.:228 크기 n의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승 n!이다. 이들의 값은 다음과 같다. ((OEIS의 수열 A670), (OEIS의 수열 A142)).

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| {\displaystyle F\_{n}} | 1 | 1 | 3 | 13 | 75 | 541 | 4683 | 47293 |
| n! | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 |

예
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모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb {R} , 유리수체 \mathbb {Q}  등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 \mathbb {Z} 나 자연수의 모노이드 {\mathbb N} 역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.

### 아론샤인 직선

**아론샤인 직선**(영어: Aronszajn line)은 다음 조건들을 만족시키는 전순서 집합이다.:43–44, Chapter 14

* 크기가 \aleph \_{1}이다.
* \omega \_{1} (최소 비가산 순서수)과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
* {\displaystyle \omega \_{1}^{\operatorname {op} }} (\omega \_{1}의 반대 순서)와 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
* \mathbb {R} 의 비가산 부분 집합과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.

아론샤인 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있다. 아론샤인 직선은 나흐만 아론샤인(폴란드어: Nachman Aronszajn, 1907~1980)이 도입하였다.

### 컨트리먼 직선

원순서 집합들의 족 {\displaystyle (X,\lesssim )\_{i\in I}}이 주어졌을 때, 곱집합 {\displaystyle \textstyle \prod \_{i\in I}X\_{i}} 위에 원순서

{\displaystyle x\lesssim y\iff \forall i\in I\colon x\_{i}\lesssim y\_{i}}
를 줄 수 있다. 마찬가지로, 분리합집합 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{i\in I}X\_{I}} 위에 원순서

{\displaystyle x\lesssim y\iff \exists i\in I\colon x\in X\_{i}\ni y\land x\lesssim \_{i}y}
를 줄 수 있다.

**컨트리먼 직선**(영어: Countryman line)은 다음 조건을 만족시키는 전순서 집합 (X,\le)이다.

* X의 집합의 크기는 \aleph \_{1}이다.
* 임의의 양의 정수 n에 대하여, {\displaystyle X^{n}}은 \aleph\_0개의 전순서 집합들의 분리합집합과 순서 동형이다.

컨트리먼 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있으며, 이는 사하론 셸라흐가 증명하였다.

역사
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가산 조밀 전순서 집합의 분류 정리:§9, 504–507
와 분해 가능 완비 전순서 집합의 분류 정리:§11, 510–512는 게오르크 칸토어가 1895년에 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Geschke, Stefan (2016). "Separable linear orders and universality" (영어). arXiv:1606.00338. Bibcode:2016arXiv160600338G.
2. ↑  Comtet, Louis (1974). 《Advanced combinatorics: The art of finite and infinite expansions》 (영어). Dordrecht: Reidel Publishing Company. Zbl 0283.05001.
3. ↑  Just, Winfried; Weese, Martin (1997). 《Discovering modern set theory II: set-theoretic tools for every mathematician》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **18**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0528-2. Zbl 0887.03036.
4. ↑  Shelah, Saharon (1976년 7월). "Decomposing uncountable squares to countably many chains". 《Journal of Combinatorial Theory Series A》 (영어) **21** (1): 110–114. doi:10.1016/0097-3165(76)90053-4. ISSN 0097-3165.
5. 1 2  Cantor, Georg (1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel)". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **46** (4): 481–512. doi:10.1007/bf02124929. ISSN 0025-5831.