수론과 선형대수학에서 **이차 형식**(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.

정의
--

가환환 K 위의 가군 V 위의 **이차 형식** Q는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 Q\colon V\to K이다.:244:54, (3.15)

* (동차성) 임의의 a\in K 및 v\in V에 대하여, {\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)}
* (쌍선형성) 함수 B\colon V\times V\to K, {\displaystyle (u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}를 정의하면, B는 V 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
	+ 임의의 u,v,w\in V에 대하여, {\displaystyle Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0}
	+ 임의의 a,b\in K 및 u,v\in V에 대하여, {\displaystyle Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0}

이 경우, B를 Q의 **연관 쌍선형 형식**(영어: associated bilinear form)이라고 한다.:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 {\displaystyle \operatorname {char} K=2}라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.:54

흔히 다루어지는 경우는 K는 체이거나 대수적 정수환이며, V는 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 K 위에 두 가군 V, V'이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 Q, {\displaystyle Q'}이 존재한다고 하자. Q와 {\displaystyle Q'} 사이의 **동치**(영어: equivalence) i는 다음 조건을 만족시키는 함수 {\displaystyle i\colon V\to V'}이다.

* {\displaystyle i\colon V\to V'}는 가군의 동형이다.
* {\displaystyle Q'\circ i=Q}이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 **동치**(영어: equivalent)라고 한다.

### 비퇴화 이차 형식

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q의 Q의 연관 쌍선형 형식이 B라고 하자. Q의 **등방성 벡터**(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 {\displaystyle Q(v)=0}인 원소 v\in V이다.:58, §3.4.7 Q의 **근기**(영어: radical) {\displaystyle \operatorname {rad} Q}는 B의 근기

{\displaystyle \operatorname {rad} B=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}}
에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.:58, §3.4.7

{\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{v\in \operatorname {rad} B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}}
이는 V의 부분 가군이자 {\displaystyle \operatorname {rad} B}의 부분 가군이다. 이는 임의의 {\displaystyle u,v\in \operatorname {rad} B}에 대하여

{\displaystyle Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)}
이기 때문이다.

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q가 다음 조건을 만족시킨다면, **비퇴화 이차 형식**이라고 한다.:59–60, §2.3

* 연관 대칭 쌍선형 형식 {\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, B로부터 정의되는 사상 {\displaystyle V\to \hom \_{R}(V,K)}, {\displaystyle u\mapsto B(u,-)}이 가군의 동형 사상이다.

K가 체이고, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \operatorname {rad} Q\subseteq \operatorname {rad} B}
의 여차원은 0 또는 1이다. 만약 K의 표수가 2가 아니라면, 항상 {\displaystyle \operatorname {rad} Q=\operatorname {rad} B}이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 {\displaystyle \operatorname {char} K=2}인 경우에만 가능하다.

만약 Q의 근기가 \{0\}이라면, Q를 **비특이 이차 형식**(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.:58, §3.4.7 만약 Q의 연관 쌍선형 형식 B가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, B의 근기가 \{0\}이라면), Q를 **비퇴화 이차 형식**(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.:58, §3.4.7 만약 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, {\displaystyle \operatorname {char} K=2}일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는

{\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {rad} B=1}
{\displaystyle \dim \_{K}\operatorname {rad} Q=0}
인 경우이다.

### 정부호성

순서체 K 위의 벡터 공간 V 위의 이차 형식 Q에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

* **양의 정부호 이차 형식**(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 v\in V\setminus \{0\}에 대하여, {\displaystyle Q(v)>0}이다.
* **음의 정부호 이차 형식**(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 v\in V\setminus \{0\}에 대하여, {\displaystyle Q(v)<0}이다.
* **양의 준정부호 이차 형식**(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 v\in V에 대하여, {\displaystyle Q(v)\geq 0}이다.
* **음의 준정부호 이차 형식**(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 v\in V에 대하여, {\displaystyle Q(v)\leq 0}이다.
* **부정부호 이차 형식**(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

### 이차 공간

가환환 R 위의 **이차 공간**(二次空間, 영어: quadratic space) {\displaystyle (M,Q)}은 R 위의 가군 M과 그 위의 이차 형식 {\displaystyle Q\colon M\to R}의 순서쌍이다.

R 위의 두 이차 공간 {\displaystyle (M,Q)}, {\displaystyle (M',Q')} 사이의 **사상**(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon M\to M'이다.

* f\colon M\to M'은 R-가군의 가군 준동형이다.
* {\displaystyle Q'\circ f=Q}이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 **매장**(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 {\displaystyle \iota \colon (M,Q)\to (M',Q')}이 주어졌을 때, 만약 {\displaystyle \operatorname {coker} \iota =M'/\iota (M)}이 자유 가군이라면, \iota 를 **원시 매장**(영어: primitive embedding)이라고 한다.

성질
--

### 비트 소거 정리

임의의 표수의 체 K 위의 이차 공간 {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})}, {\displaystyle (V\_{2},Q\_{2})}, {\displaystyle (V\_{3},Q\_{3})}이 주어졌다고 하자.
**비트 소거 정리**(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})\oplus (V\_{3},Q\_{3})\cong (V\_{2},Q\_{2})\oplus (V\_{3},Q\_{3})}이라면, {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})\cong (V\_{2},Q\_{2})}이다.

### 쌍선형 형식과의 관계

가환환 K에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, K가 표수가 2가 아닌 체일 경우), K-가군 V 위의 이차 형식은 V 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 Q의 연관 쌍선형 형식

{\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}
이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

{\displaystyle Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)}
그러나 만약 K에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 K 위의 가군 V 및 {\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}\subseteq K}에 대하여, 2차 순환군 {\displaystyle \mathbb {Z} /2=\langle t|t^{2}=1\rangle }이 쌍선형 형식의 공간 {\displaystyle \hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)}
이에 대하여, {\displaystyle \hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)}는 군환 {\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {Z} /2]} 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 {\displaystyle \epsilon =+1}이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)=\left(\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)^{\mathbb {Z} /2}=\left\{B\in \hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad \forall u,v\in V\right\}}
0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)=\left(\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)\_{\mathbb {Z} /2}={\frac {\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in \hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\}}}}
만약 {\displaystyle \epsilon =-1}일 경우, 이는 M 위의 이차 형식의 공간 {\displaystyle \operatorname {QForms} (M;K)}과 다음과 같이 동형이다.

{\displaystyle [B(-,-)]\mapsto \left(Q\_{B}\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)}
다시 말해, 다음과 같은 K-가군의 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)\to \hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K){\xrightarrow {1-t}}\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\to \operatorname {H} \_{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom \_{K}(V\otimes \_{K}V;K)\right)\to 0}
### 클리퍼드 대수와의 관계

 이 부분의 본문은 클리퍼드 대수입니다.
가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 **클리퍼드 대수** {\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}를 정의할 수 있다. 이는 K-단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 K-선형 변환

{\displaystyle \iota \_{0}\colon K\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
{\displaystyle \iota \_{1}\colon V\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 {\displaystyle \operatorname {BW} (K)}의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

### 대각화와 비트 분해 정리

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 {\displaystyle K^{n}=\operatorname {Span} \_{K}\{x\_{1},\dots ,x\_{n}\}} 위의 이차 형식 Q가

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}a\_{i}x\_{i}^{2}\qquad (a\_{1},\dots ,a\_{n}\in K)}
의 꼴의 이차 형식과 동치라면, Q를 **대각화 가능 이차 형식**(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 이차 형식 Q가 주어졌을 때, {\displaystyle Q=0}일 경우 이미 대각화돼 있으므로 {\displaystyle Q\neq 0}를 가정할 수 있다. 이 경우 {\displaystyle Q(v\_{1})\neq 0}인 v\in V를 고를 수 있으며, 이 경우

{\displaystyle V=\operatorname {Span} \{v\_{1}\}\oplus (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}
{\displaystyle u=\underbrace {B(v,v)v/B(v,v)} \_{\operatorname {Span} \{v\}}+\underbrace {\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)} \_{(\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}\qquad \forall u\in V}
이다. 따라서, 마찬가지로 {\displaystyle Q(v')\neq 0}인 {\displaystyle v'\in (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

**비트 분해 정리**(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K 위의 이차 공간 (V,Q)는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

{\displaystyle (V,Q)=(V\_{0},0)\oplus (V\_{1},Q\_{1})\oplus (V\_{2},Q\_{2})}
여기서 각 성분은 다음과 같다.

* {\displaystyle (V\_{0},0)}은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})}은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
* {\displaystyle (V\_{2},Q\_{2})}는 **분해 이차 공간**(영어: split quadratic space)이다. 즉, {\displaystyle \dim \_{K}V\_{2}=2n}는 짝수이며, V\_{2} 속에서 {\displaystyle Q\_{2}|\_{W}=0}인 n차원 부분 공간 {\displaystyle W\subseteq V\_{2}}이 존재한다.

이 경우 {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})}을 (V,Q)의 **핵심**(영어: core)이라고 한다. 또한, {\displaystyle \dim \_{K}(V\_{1}\oplus V\_{2})}를 Q의 **계수**(영어: rank)라고 하며, {\displaystyle (\dim \_{K}V\_{2})/2}를 Q의 **비트 지표**(영어: Witt index)라고 한다.:58 비트 정리에 따라, {\displaystyle Q|\_{W}=0}이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

분류
--

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

### 복소수 이차 형식의 분류

K가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K^{n} 위의 이차 형식은 그 계수 r에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 Q은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

{\displaystyle z\_{1}^{2}+z\_{2}^{2}+\cdots +z\_{r}^{2}\qquad (1\leq r\leq n)}
이 경우, 이차 형식은 계수 r에 의하여 완전히 분류된다.

### 실수 이차 형식의 분류

{\displaystyle (K,\leq )}가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K가 실수체 \mathbb {R} 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 K^{n} 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 {\displaystyle (s,k)}에 따라서 완전히 분류된다 ({\displaystyle 1\leq s\leq k\leq n}). 즉, 모든 이차 형식 Q은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{s}^{2}-x\_{s+1}^{2}-\cdots -x\_{r}^{2}\qquad (1\leq s\leq k\leq n)}
구체적으로, *n* 변수의 K 계수 이차 형식 Q(x\_{1},\dots ,x\_{n})은 n\times n 대칭 행렬 M으로 나타낼 수 있다.

Q(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\begin{pmatrix}x\_{1}&\cdots &x\_{n}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}x\_{1}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}}
Q의 **부호수**(영어: signature) (n\_{+},n\_{0},n\_{-})는 M의 양의 고윳값의 수 n\_{+}\in {\mathbb N}, 고윳값 0의 중복도 n\_{0}\in {\mathbb N}, 음의 고윳값의 수 n\_{-}\in {\mathbb N}의 순서쌍이다. 물론

n\_{+}+n\_{0}+n\_{-}=n
이다. 여기서, n\_{+} 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 (n\_{+},n\_{0},n\_{-})는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 **실베스터 관성 법칙**(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

### 국소체 위의 이차 형식의 분류

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

### 대역체 위의 이차 형식의 분류

 이 부분의 본문은 하세-민코프스키 정리입니다.
**하세-민코프스키 정리**에 따르면, 대역체 K 위의 두 이차 형식 Q, {\displaystyle Q'}이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

* K의 완비화인 모든 국소체 k에 대하여, {\displaystyle Q\_{k}}와 {\displaystyle Q'\_{k}}는 서로 동치이다. 여기서 {\displaystyle Q\_{k}}는 Q를 {\displaystyle k\supset K} 계수로 간주한, k 위의 이차 형식이다.

### 홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb {F} \_{q} 위의 벡터 공간 \mathbb {F} \_{q}^{n} 위의 이차 형식의 동치류는 총 2n+1개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. a\in \mathbb {F} \_{q}가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

{\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} \_{q}\colon b^{2}=a}
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

{\displaystyle Q\_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}
{\displaystyle Q\_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}
즉, 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle Q\_{1}^{(n)}(x)=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}}
{\displaystyle Q\_{2}^{(n)}(x)=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +ax\_{n}^{2}}
만약 n이 홀수라면, {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}는 {\displaystyle \alpha Q\_{1}^{(n)}}과 동치이다.:69 이 경우 비트 지표는 {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}, {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}} 둘 다 (n-1)/2이다.

만약 n이 짝수라면, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}은 {\displaystyle \alpha Q\_{1}^{(n)}}과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.:59

* n\equiv 2{\pmod 4}이며 {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}인 경우, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}의 비트 지표는 {\displaystyle n/2-1}이며 {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}의 비트 지표는 n/2이다.
* {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}이거나 또는 q\equiv 1{\pmod 4}인 경우, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}의 비트 지표는 n/2이며 {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}의 비트 지표는 {\displaystyle n/2-1}이다.

이 경우, 비트 지표가 n/2인 경우를 **플러스형**(영어: plus-type), {\displaystyle n/2-1}인 경우를 **마이너스형**(영어: minus-type)이라고 한다.:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}
홀수 차수 유한체 \mathbb {F} \_{q}의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q에 따라 구체적으로 다음과 같다.:37

{\displaystyle W(\mathbb {F} \_{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} \_{2}[\mathbb {F} \_{q}^{\times }/(\mathbb {F} \_{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}인 경우| {\displaystyle \mathbb {Z} /(4)} | 0 | 1 | 2 | 3 |
| {\displaystyle W(\mathbb {F} \_{q})} | {\displaystyle Q\_{1}^{(0)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(1)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(2)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(1)}} |

q\equiv 1{\pmod 4}인 경우| {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}[x]/(x^{2})} | 0 | 1 | *x* | 1+*x* |
| {\displaystyle W(\mathbb {F} \_{q})} | {\displaystyle Q\_{1}^{(0)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(1)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(2)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(1)}} |

### 짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb {F} \_{q} 위의 벡터 공간 \mathbb {F} \_{q}^{n} 위의 이차 형식의 동치류는 총 {\displaystyle \lceil (3n+1)/2\rceil }개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 n이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.:58–59, §3.4.7 n이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, n이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, n이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

{\displaystyle \operatorname {diag} \left(1,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}
즉, 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle Q(x)=x\_{1}^{2}+x\_{2}x\_{3}+x\_{4}x\_{5}+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}}
이 경우 Q의 연관 대칭 쌍선형 형식은

{\displaystyle B=\operatorname {diag} \left(0,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)}
이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {rad} B=\operatorname {Span} \_{\mathbb {F} \_{q}}\{x\_{1}\}}이다.

a\in \mathbb {F} \_{q}가 {\displaystyle x^{2}+x+a=0}의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) n이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.:58–59, §3.4.7

{\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}
즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle Q\_{+}(x)=x\_{1}x\_{2}+x\_{3}x\_{4}+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}}
{\displaystyle Q\_{-}(x)=ax\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{1}x\_{2}+x\_{3}x\_{4}+\cdots +\cdots +x\_{n-1}x\_{n}}
이 경우 {\displaystyle Q\_{+}}를 **플러스형**(영어: plus-type), {\displaystyle Q\_{-}}를 **마이너스형**(영어: minus-type)이라고 한다.:59 {\displaystyle Q\_{+}}의 비트 지표는 n/2이며, {\displaystyle Q\_{-}}의 비트 지표는 {\displaystyle n/2-1}이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

### 정수환 위의 이차 형식의 분류

정수환 \mathbb {Z} 이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.:§15.1 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.:§15.1 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.:§15.1

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 **종수**(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. {\mathbb Z}^{n} 위의 두 이차 형식 Q, {\displaystyle Q'}이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 **종수**에 속한다고 한다.

* Q와 {\displaystyle Q'}는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
* 모든 소수 {\displaystyle p=2,3,5,\dots }에 대하여, p진 정수환 \mathbb Z\_p를 정의한다면, Q와 {\displaystyle Q'}는 \mathbb Z\_p 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 **스미스-민코프스키-지겔 질량 공식**에 의하여 주어진다.

응용
--

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

### 대수기하학

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

### 모듈러 형식

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

### 격자 이론

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.

역사
--

### 고대 수학에서의 이차 형식

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 {\displaystyle x^{2}+y^{2}}의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}}을 연구하는 문제이다.

### 19세기 이차 형식 이론

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다.
1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

### 20세기~21세기 이차 형식 이론

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다.
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,:§15.1 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.:§15.1 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

참고 문헌
-----

|  |  |
| --- | --- |
|  | **위키미디어 공용**에 관련된미디어 분류가 있습니다.**이차 형식** |

1. ↑  Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **148** 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14  Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **251**. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.
3. ↑  Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.
4. ↑  Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **67**. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
5. 1 2 3 4 5  Conway, John Horton; Sloane, N. J. A. (1999). 《Sphere packings, lattices and groups》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **290** 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 0-387-98585-9. ISSN 0072-7830. Zbl 0915.52003.
6. ↑  Sylvester, James Joseph (1852). "A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares" (PDF). 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) **4** (23): 138–142. doi:10.1080/14786445208647087.
7. ↑  Smith, H. J. Stephen (1867). "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates". 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) **16**: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491.
8. ↑  Minkowski, Hermann (1885). "Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält". 《Acta Mathematica》 (독일어) **7**: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01.
9. 1 2  Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). "Über die analytische Theorie der quadratischen Formen". 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) **36** (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703.
10. ↑  Siegel, Carl Ludwig (1936년 1월). "Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II". 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) **37** (1): 230–263. doi:10.2307/1968694. JSTOR 1968694.
11. ↑  Siegel, Carl Ludwig (1937년 1월). "Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III". 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) **38** (1): 212–291. doi:10.2307/1968520. JSTOR 1968520.
12. ↑  Witt, Ernst (1937). "Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **1937** (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.
13. ↑  Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) **493**. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.

* Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). 《The sensual (quadratic) form》. Carus Mathematical Monographs (영어). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. Zbl 0885.11002.
* Cassels, J.W.S. (1978). 《Rational quadratic forms》. London Mathematical Society Monographs (영어) **13**. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
* Kitaoka, Yoshiyuki (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) **106**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511666155. ISBN 978-052140475-4. MR 1245266. Zbl 0785.11021.
* Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **73**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. MR 0506372. Zbl 0292.10016.
* O’Meara, O.T. (2000). 《Introduction to quadratic forms》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **117**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62031-7. ISBN 978-3-540-66564-9. Zbl 0259.10018.
* Pfister, Albrecht (2001년 2월). 《Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **106**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526077. ISBN 978-052146755-1. Zbl 0847.11014.
* Shimura, Goro (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Springer Monographs in Mathematics (영어) **106**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-1732-4. ISBN 978-1-4419-1731-7. ISSN 1439-7382. MR 2665139. Zbl 1202.11026.
* Siegel, Carl Ludwig (1955). "Lectures on quadratic forms" (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. MR 0271028. Zbl 0248.10019.
* Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **294**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.
* Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). 《The algebraic and geometric theory of quadratic forms》. Colloquium Publications (영어) **56**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4329-1. MR 2427530. Zbl 1165.11042.