**초기하함수**(超幾何函數, 영어: hypergeometric function)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의
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**초기하 미분 방정식**(영어: hypergeometric differential equation)은 미지 함수 w(z)에 대한, 다음과 같은 꼴의 \max\{p,q+1\}차 선형 상미분 방정식이다.

z\prod\_{n=1}^p\left(z\frac d{dz}+a\_n\right)w(z)=z\frac d{dz}\prod\_{n=1}^{q}\left(z\frac d{dz}+ b\_n-1\right)w(z)
여기서

\mathbf a=(a\_1,\dots,a\_p)\in\mathbb R^p
\mathbf b=(b\_1,\dots,b\_q)\in\mathbb R^q
는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

{}\_pF\_q(\mathbf a;\mathbf b;z) = \sum\_{n=0}^\infty \frac{(\mathbf a)\_n}{(\mathbf b)\_n}\frac {z^n} {n!}
여기서

(x)\_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)
은 상승 포흐하머 기호이며,

(\mathbf a)\_n=(a\_1)\_n(a\_2)\_n\cdots(a\_p)\_n
(\mathbf b)\_n=(b\_1)\_n(b\_2)\_n\cdots(b\_q)\_n
이다. 이 급수 {}\_pF\_q를 **초기하급수**(영어: hypergeometric series)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 **초기하함수**라고 한다.

성질
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정의에 따라, 초기하함수 {}\_pF\_q(\mathbf a;\mathbf b;z)는 \{a\_1,\dots,a\_p\}나 \{b\_1,\dots,b\_q\}의 순서에 관계없다. 또한, 만약 \{a\_1,\dots,a\_p\}와 \{b\_1,\dots,b\_q\}에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 a\_p=b\_q라면

{}\_pF\_q(a\_1,\dots,a\_p;b\_1,\dots,b\_q;z)={}\_{p-1}F\_{q-1}(a\_1,\dots,a\_{p-1};b\_1,\dots,b\_{q-1};z)
이다.

### 미분

급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{}\_{p}F\_{q}({\mathbf a};{\mathbf b};z)={\frac {({\mathbf a})\_{n}}{({\mathbf b})\_{n}}}{}\_{p}F\_{q}({\mathbf a}+n;{\mathbf b}+n;z)
여기서 {\mathbf a}+n=(a\_{1}+n,a\_{2}+n,\dots ,a\_{p}+n)이며, {\mathbf b}+n의 경우도 마찬가지다.

### 모노드로미

복소 상미분 방정식

z\left(z{\frac d{dz}}+\alpha \_{1}\right)\cdots \left(z{\frac d{dz}}+\alpha \_{n}\right)f=\left(z{\frac d{dz}}+\beta \_{1}-1\right)\cdots \left(z{\frac d{dz}}+\beta \_{n}-1\right)f
의 n개의 선형 독립 해는

z^{{1-\beta \_{i}}}{}\_{n}F\_{{n-1}}(\alpha \_{1}-\beta \_{i}+1,\dots ,\alpha \_{n}-\beta \_{n}+1;\beta \_{1}-\beta \_{i},\dots ,\widehat {\beta \_{i}-\beta \_{i}+1},\dots ,\beta \_{n}-\beta \_{i}+1;z)\qquad (i=1,\dots ,n)
이다. (여기서 \cdots {\hat x}\cdots 는 x를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 \{0,1,\widehat \infty \}\in {\hat {{\mathbb C}}}이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.

* 1 근처에서, 초기하 방정식은 n-1개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
* {\displaystyle 0} 또는 \widehat \infty  근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
* z\neq 0,1,\widehat \infty  근처에서는 n개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점 z\_{0}\in {\hat {{\mathbb C}}}\setminus \{0,1,\widehat \infty \} 근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 V\_{{z\_{0}}}(\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{n};\beta \_{1},\dots ,\beta \_{n})라고 하자. 이는 n-1차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.

\phi \colon \pi \_{0}({\hat {{\mathbb C}}}\setminus \{0,1,\widehat \};z\_{0})\to \operatorname {GL}(V\_{{z\_{0}}})
임의의 i\in \{1,\dots ,n\}에 대하여, 초기하 함수
를 생각하자. 그렇다면 기본군 \pi \_{0}({\hat {{\mathbb C}}}\setminus \{0,1,\widehat \};z\_{0})=\langle g\_{0},g\_{1},g\_{\infty }|g\_{0}g\_{1}g\_{\infty }=1\rangle 의 작용은 다음과 같다.

* \phi (g\_{0})의 고윳값은 \exp(-2\pi i\beta \_{i})이다 (i=1,\dots ,n).
* \phi (g\_{\infty })의 고윳값은 \exp(2\pi i\alpha \_{i})이다 (i=1,\dots ,n).
* \phi (g\_{1})은 중복수가 n-1인 고윳값 1을 갖는다.

이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 **초기하군** H(\alpha \_{i},\beta \_{i})라고 한다.

예
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### 0*F*0

{}\_0F\_0(;;z)=\exp z는 지수 함수이다.

### 1*F*0

{}\_1F\_0(a;;z)=(1-z)^{-a}는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

### 0*F*1

{}\_0F\_1(;b;z)는 **합류 초기하 극한 함수**(영어: confluent hypergeometric limit function)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

J\_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}\_0F\_1\left (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right )
### 1*F*1

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(a;b;z)}는 **제1종 합류 초기하함수**(영어: confluent hypergeometric function of the first kind)라고 한다.

### 2*F*1

{}\_2F\_1(a,b;c;z)는 **가우스 초기하함수**(영어: Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

2z{}\_2F\_1(1/2,1;3;z^2)=\arcsin z
\frac\pi 2{}\_2F\_1(1/2,1/2;1;z^2)=K(z)=\int\_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-z^2x^2)}}
여기서 K(z)는 제1종 타원적분이다.

### *n**F**n*−1

{}\_{n}F\_{{n-1}}을 n차 **클라우센-토메 초기하함수**(영어: Clausen–Thomae hypergeometric function)라고 한다. 이는 토마스 클라우센(덴마크어: Thomas Clausen)과 카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다. 이는 기하급수 {}\_{1}F\_{0} 및 가우스 초기하함수 {}\_{2}F\_{1}의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다.

참고 문헌
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* 大島, 利雄 (2013년 3월). 〈An elementary approach to the Gauss hypergeometric function〉. 《Representation Theory of Algebraic Groups and Related Topics: Proceedings of the workshop on Representation Theory, September 15,16, 2012, Josai University》. Josai Mathematical Monographs (영어) **6**. 3–23쪽. ISSN 1344-7777.
* Beukers, F. (2014년 1월). "Hypergeometric functions: how special are they?". 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **61** (1): 48–56. doi:10.1090/noti1065.
* Gasper, George; Mizan Rahman (2004). 《Basic hypergeometric series》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) **96** 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526251. ISBN 0-521-83357-4. Zbl 1129.33005.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Yoshida, Masaaki (1997). 《Hypergeometric functions, my love: modular interpretations of configuration spaces》. Aspects of Mathematics (영어) **32**. Vieweg+Teubner. doi:10.1007/978-3-322-90166-8. ISBN 978-3-322-90168-2. ISSN 0179-2156. MR 1453580. Zbl 0889.33008.
* Slater, Lucy Joan (1966). 《Generalized hypergeometric functions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. Zbl 0135.28101.