함수해석학에서 **인자 대수**(因子代數, 영어: factor algebra)는 ‘분해’되지 못하는 폰 노이만 대수이다. 모든 폰 노이만 대수는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. 양자역학에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.

정의
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폰 노이만 대수 A에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 **인자 대수**라고 한다.

* {\displaystyle \operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} 1\_{A}}. 즉, A의 중심은 모두 1의 스칼라배이다.
* 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 {\displaystyle A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}에 대하여, {\displaystyle A\cap \operatorname {C} \_{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)=\mathbb {C} }이다.
* 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 {\displaystyle A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {C} \_{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(\operatorname {C} \_{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A\operatorname {C} \_{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)))=\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}이다.

여기서

* {\mathcal {H}}는 어떤 복소수 힐베르트 공간이다.
* {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}는 {\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 유계 작용소의 폰 노이만 대수이다.
* {\displaystyle \operatorname {C} \_{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(-)}는 {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})} 속에서 취한 중심화 부분환이다.

위 세 조건 가운데, 마지막 조건은 {\mathcal {H}} 위의 모든 유계 작용소를 A의 원소 및 A와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서의) 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, {\mathcal {H}}를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는 A에 속하는 관찰 가능량들과 A와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, A는 {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.

### 특별한 원소

C\* 대수 A의 원소 a\in A 가운데, {\displaystyle a=a^{2}=a^{\*}}인 것을 **사영원**(射影元, 영어: projection)이라고 하고, 사영원들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Proj} (A)}로 표기하자.

복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}} 위에 표현된 폰 노이만 대수 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}의 사영원 A\in {\mathcal A}의 상 {\displaystyle A{\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {H}}}으로 나타내어지는 부분 공간을 **{\mathcal A}에 속하는 부분 공간**이라고 하자. 그렇다면, 이는 {\mathcal A}의 사영원들의 집합과 {\mathcal A}에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응을 정의한다.

폰 노이만 대수 {\mathcal A}의 두 사영원 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle A=CC^{\*}}이자 {\displaystyle B=C^{\*}C}인 {\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}가 존재한다면, A와 B가 서로 **머리-폰 노이만 동치**(영어: Murray–von Neumann equivalent)라고 하고, {\displaystyle A\sim B}로 표기하자. 이는 {\mathcal A}의 사영원들의 집합 위의 동치 관계를 이룬다.

{\mathcal A}의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

{\displaystyle A\lesssim B\iff \exists C\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon A\sim C,\;C{\mathcal {H}}\subseteq B{\mathcal {H}}}
폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서를 이룬다.

{\mathcal A}의 사영원 {\displaystyle A\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 **유한 사영원**(영어: finite projection)이라고 한다.

{\displaystyle \forall B\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon B{\mathcal {H}}\subsetneq A{\mathcal {H}}\implies B\not \sim A}

분류
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인자들은 통상적으로 **Ⅰ종** · **Ⅱ1종** · **Ⅱ∞종** · **Ⅲ종**으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다.

* Ⅰ종 인자 A의 경우, {\displaystyle \operatorname {Proj} (A)\setminus \{0\}}은 최소 원소를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
* Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
	+ Ⅱ1종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다.
	+ Ⅱ∞종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다.
* Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.

이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다.

* Ⅱ1종 인자는 일반적으로 복잡하다.
* Ⅱ∞종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다.
* Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ1종 인자로부터 구성될 수 있다.

즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ1종 인자의 분류로 귀결된다.

### Ⅰ종 인자 대수

Ⅰ종 인자 대수는 어떤 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}에 대하여 {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}와 C\* 대수로서 동형이다.

구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 임의의 단위 벡터 {\displaystyle |v\rangle \in {\mathcal {H}}}에 대하여, {\displaystyle |v\rangle \langle v|}는 0이 아닌 유한 사영원이다.

복소수 힐베르트 공간은 그 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수 \kappa 일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 {\displaystyle \operatorname {I} \_{\kappa }}형이라고 한다. (분해 가능 복소수 힐베르트 공간의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 \aleph\_0차원 경우는 보통 {\displaystyle \operatorname {I} \_{\infty }}으로 표기된다.)

### Ⅱ∞종 인자 대수

Ⅱ∞종 인자 대수는 항상 Ⅱ1종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

### Ⅲ종 인자 대수

Ⅲ종 인자의 분류 이론은 **도미타-다케사키 이론**이라고 한다.

구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 폰 노이만 대수 A에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합 {\displaystyle \operatorname {S} (A)\subseteq [0,\infty )}를 대응시키며, 이를 A의 **콘 스펙트럼**(영어: Connes spectrum)이라고 한다. 만약 A가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다.

* {\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{1\}}. 이는 Ⅲ0종 인자 대수라고 한다.
* {\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{\dotsc ,\lambda ^{-2},\lambda ^{-1},1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\dotsc \}\quad (0<\lambda <1)}. 이는 Ⅲ*λ*종 인자 대수라고 한다.
* {\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}}. 이는 Ⅲ1종 인자 대수라고 한다.

({\displaystyle \operatorname {S} (A)\setminus \{0\}}은 항상 \mathbb R^+의 닫힌 부분군이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)

역사
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인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 존 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(영어: Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 양자역학을 분석하기 위하여 도입하였다.

도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 알랭 콘이 1976년에 완료하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Murray, Francis Joseph; von Neumann, John (1936). "On rings of operators". 《Annals of Mathematics》 (영어) **37** (1): 116–229. doi:10.2307/1968693. JSTOR 1968693.
2. ↑  Connes, A. (1976). "Classification of Injective Factors". 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) **104** (1): 73–115. doi:10.2307/1971057. JSTOR 1971057.

* Yngvason, Jakob (2004). "The role of Type I factors in quantum field theory" (영어). arXiv:math-ph/0411058.