**접촉기하학**(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 **접촉 구조**를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

정의
--

M이 2n+1차원의 매끄러운 다양체라고 하자. M 위의 **접촉 형식**(接觸形式, 영어: contact form)는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식 \alpha 이다.

* \alpha \wedge (d\alpha )^{n}\neq 0.

접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. \lambda \colon M\to {\mathbb R}가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,

\alpha \sim \lambda \alpha .
이 동치관계에 대한 동치류 [\alpha ]를 **접촉 구조**(接觸構造, 영어: contact structure)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 **접촉다양체**(接觸多樣體, 영어: contact manifold)라고 한다.

레브 벡터장
------

접촉 형식 \alpha 가 주어지면, **레브 벡터장**(Reeb vector場, Reeb vector field)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 X이다.

* X\lrcorner d\alpha =0 (\lrcorner 는 내부적(interior product)
* X\lrcorner \alpha =1.

이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

르장드르 부분다양체
----------

심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 **르장드르 부분 다양체**(Legendrian submanifold)라고 한다. M이 접촉다양체이고, \alpha 가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 N\subset M을 M의 **르장드르 부분 다양체**라고 한다.

* 모든 x\in N에서, T\_{x}N\lrcorner \alpha =0.

이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 심플렉틱화
------------

2n+1차원 접촉다양체 M이 주어지면, 다음과 같이 M을 부분 다양체로 갖는 2n+2차원 심플렉틱 다양체 ({\hat M},\omega )를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 **심플렉틱화**(symplectic化, symplectization)라고 한다.

다양체로서, {\hat M}=M\times (0,\infty )이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 \omega 를 정의할 수 있다. M의 국소좌표계 x^{i}를 잡고, 0<\lambda <\infty 가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, \alpha 가 M의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 (x^{i},\lambda )에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.

\omega =d(\lambda \alpha )=d\lambda \wedge \alpha +\lambda d\alpha .

해밀턴 역학과의 관계
-----------

해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치 q^{i}와 일반화 운동량 p\_i, 시간 t를 좌표로 하는 2n+1차원 공간 M을 생각하자. 이를 **확장 위상 공간**(영어: extended phase space)이라고 한다. 해밀토니언 H\colon M\to {\mathbb R}는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 \alpha 를 정의할 수 있다.

\alpha =\sum \_{i}p\_{i}dq^{i}-H(q,p,t)dt.
이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

X={\frac 1L}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum \_{i}{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-\sum \_{i}{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p^{i}}}\right).
여기서

L={\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}p^{i}-H
는 라그랑지언이다.

물리량 F(q,p,t)의 시간 변화는 다음과 같다.

{\frac {dF}{dt}}=LX^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}.
(여기서 x^{I}=(q^{1},\dots ,q^{i},\dots ,q^{n},p\_{1},\dots ,p\_{i},\dots ,p\_{n},t)이다.) 시간 대신 작용 dS=Ldt를 변수로 하면 다음과 같다.

{\frac {dF}{dS}}=X^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}.

참고 문헌
-----

* Etnyre, John B. (2003). 〈Introductory lectures on contact geometry〉. 《Topology and Geometry of Manifolds》 **71**. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 71. American Mathematical Society. 81–107쪽. arXiv:math/0111118. Bibcode:2001math.....11118E. doi:10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 978-0-8218-3507-4.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|언어골=` (도움말)
* Geiges, Hansjörg (2006). 〈Contact geometry〉. 《Handbook of Differential Geometry, Vol. 2》. Amsterdam: North-Holland. 315–382쪽. arXiv:math/0307242. Bibcode:2003math......7242G. doi:10.1016/S1874-5741(06)80008-7. ISBN 978-0-444-52052-4.
* Geiges, H. *An Introduction to Contact Topology*, Cambridge University Press, 2008.
* Aebischer et al. *Symplectic geometry*, Birkhäuser (1994), ISBN 3-7643-5064-4
* V. I. Arnold, *Mathematical Methods of Classical Mechanics*, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3
* Lutz, Robert (1988). "Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie de contact". 《Rendiconti del Seminario della Facoltà di Scienze dell’ Università di Cagliari》 (프랑스어). 58 (supplement): 361–393. MR 1122864.
* Geiges, H. (2001). "A brief history of contact geometry and topology". 《Expositiones Mathematicae》 (영어) **19** (1): 25–53. doi:10.1016/S0723-0869(01)80014-1.
* 기우항; 김영호 (2002). 《부분다양체론》. 대우학술총서 497. 서울: 아카넷. ISBN 978-89-89103-30-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)[깨진 링크(과거 내용 찾기)]