통계역학에서 **XY 모형**(XY模型, 영어: XY model) 또는 **고전 회전자 모형**(영어: classical rotor model)은 주기적인 스칼라 보손을 나타내는 격자 모형이다. **코스털리츠-사울리스 전이**(-轉移, 영어: Kosterlitz–Thouless transition)를 비롯한 여러 흥미로운 현상을 보인다.

정의
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D차원의 격자 \Lambda 위의 **XY 모형**은 다음과 같은 자유도 및 해밀토니언으로 정의되는 통계역학 모형이다.

* 각 격자점 i\in \Lambda 에 대하여, 자유도는 각도 \theta \_{i}\in \operatorname U(1)\}이다.
* 해밀토니언은 다음과 같다. 여기서 J 및 h\_{i}는 임의의 상수이다. J는 스핀, h\_{i}는 외부 자기장으로 해석할 수 있다.
H=-J\sum \_{{\langle ij\rangle }}\cos(\theta \_{i}-\theta \_{j})-\sum \_{i}h\_{i}\cos \theta \_{i}

위 식에서, \textstyle \sum \_{{\langle ij\rangle }}은 격자에서 서로 이웃한 격자점의 쌍에 대한 합을 뜻한다. J>0인 경우는 강자성, J<0인 경우는 반강자성에 해당한다.

성질
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XY 모형의 성질은 차원 D에 따라 다르다.

### 1차원

외부 자기장이 없을 때, 1차원 XY 모형은 다음과 같이 정확히 풀 수 있다. 편의상 N+1개의 격자점 i=0,1,\dots ,N이 존재하고, 양끝에는 경계 조건을 부여하지 않는다고 하자. 자유도를 다음과 같은 변수로 나타내자.

\phi \_{i}=\theta \_{i}-\theta \_{{i-1}}\qquad (i=1,\dots ,N)
그렇다면 해밀토니언은

H=-J\sum \_{{i=1}}^{N}\cos \phi \_{i}
이며, 그 분배 함수는 다음과 같다.

Z(\beta J)=\left(\int \_{0}^{{2\pi }}\exp(\beta J\cos \phi )\,d\phi \right)^{N}=(2\pi I\_{0}(\beta J))^{N}
여기서 I\_{0}(x)는 제1종 변형 베셀 함수이다.

### 2차원

2차원 XY 모형은 **코스털리츠-사울리스 전이**(영어: Kosterlitz–Thouless transition)라는 상전이를 보인다. 높은 온도에서는 스핀의 기댓값은 0이며, 스핀의 상관 함수는 긴 거리에서 지수적으로 0으로 수렴한다.

\lim \_{{\beta \to 0}}\langle \exp(i\theta )\rangle \_{\beta }=0
\langle \exp(i\theta \_{i}-\theta \_{j})\rangle \_{\beta }\sim \exp(-c(\beta )|i-j|)\qquad (\beta \ll 1)
여기서 c(\beta )는 온도에 의존하는 상수이다.

머민-바그너 정리로 인하여 2차원에는 자발 대칭 깨짐이 부재하므로, 절대 영도에서도 스핀의 기댓값은 0이다. 그러나 스핀의 상관 함수는 낮은 온도에서 지수 법칙 대신 거듭제곱 법칙을 따른다.

\langle \exp(i\theta )\rangle \_{{\beta =\infty }}=0
\langle \exp(i(\theta \_{i}-\theta \_{j}))\rangle \_{\beta }\sim |i+j|^{{-\eta (\beta )}}
여기서 \eta (\beta ) 역시 온도에 의존하는 상수이다.

코스털리츠-사울리스 전이는 스핀의 상관 함수가 지수 법칙에서 거듭제곱 법칙으로 바뀌는 현상이다. 이는 높은 온도에서는 소용돌이(영어: vortex)와 반소용돌이(영어: antivortex)가 자유롭게 존재할 수 있지만, 낮은 온도에서는 이들이 오직 소용돌이-반소용돌이 쌍으로서만 존재할 수 있기 때문이다. 코스털리츠-사울리스 임계 온도에서는 소용돌이들이 이와 같이 속박된다.

2차원 XY 모형의 저에너지 극한은 자유 주기 보손의 2차원 등각 장론이다.

### 3차원

3차원 XY 모형은 자유 아벨 게이지 이론의 격자화로 해석할 수 있다. 3차원에서 게이지장 F\_{{ij}}는 한 개의 자유도를 가지며, 구체적으로 이는 쌍대화

4\pi g^{2}\partial \_{i}\theta =\epsilon \_{{ijk}}F\_{{jk}}
를 통해 나타낼 수 있다. 이렇게 정의한 스칼라장 \theta 는 게이지 변환에 의하여 주기적이며, 따라서 XY 모형의 각도로 해석할 수 있다.

낮은 온도에서는 U(1) 게이지 대칭의 자발 대칭 깨짐으로 인하여, 스핀이 기댓값을 갖는다.

\langle \exp(i\theta )\rangle \_{\beta }\neq 0\qquad (\beta \gg 1)
따라서 가능한 바닥 상태들의 집합은 원 모양이다.

높은 온도에서는 게이지 대칭이 회복된다. 즉, 스핀의 기댓값은 0이며, 상관 함수는 지수적으로 감소한다.

\lim \_{{\beta \to 0}}\langle \exp(i\theta )\rangle \_{\beta }=0
\langle \exp(i(\theta \_{i}-\theta \_{j}))\rangle \_{\beta }\sim \exp(-c(\beta )|i-j|)\qquad (\beta \ll 1)
이 두 상 사이에서는 어떤 임계 온도 T\_{{{\text{c}}}}에서 상전이(자발 대칭 깨짐)가 발상한다.

3차원에서도 상전이는 솔리톤과 관계있다. 고온 상에서는 여차원이 1인 소용돌이가 발생하며, 주기 스칼라장 \theta 는 소용돌이 둘레에 자명하지 않은 모노드로미를 갖는다. 반면, 저온 상에서는 소용돌이가 억제된다.

참고 문헌
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* Mattis, D.C. (1984). "Transfer matrix in plane-rotator model". 《Physics Letters A》 (영어) **104**. Bibcode:1984PhLA..104..357M. doi:10.1016/0375-9601(84)90816-8.
* Fröhlich, J.; Spencer, T. (1981). "The Kosterlitz–Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **81** (4): 527–602. Bibcode:1981CMaPh..81..527F. doi:10.1007/bf01208273.
* Aizenman, M.; Simon, B. (1980). "A comparison of plane rotor and Ising models". 《Physics Letters A》 (영어) **76**. Bibcode:1980PhLA...76..281A. doi:10.1016/0375-9601(80)90493-4.