대수적 위상수학에서 **톰 공간**(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 "무한대" 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 파라콤팩트 공간 X
* n차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,X}

그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\sqcup \{\infty \}}를 올로 하는 올다발 {\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\twoheadrightarrow X}을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 **톰 공간** {\displaystyle \operatorname {Th} (E)}이라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {Th} (E):={\frac {\operatorname {Sph} (E)}{\{(x,\infty \_{x})\colon x\in X\}}}}
### 내적을 통한 정의

E 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

{\displaystyle \eta \in \Gamma (E^{\*}\otimes E^{\*})}
을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 x\in X에 대하여 올 E\_x의 닫힌 공

{\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi ):=\{e\in E\_{x}\colon \eta (e,e)\leq 1\}}
및 초구

{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi ):=\{e\in E\_{x}\colon \eta (e,e)=1\}}
을 정의할 수 있다. 이 둘은 X 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )\subseteq \operatorname {Ball} (\pi )\subseteq E}
**톰 공간**은 다음과 같은 몫공간이다.

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )={\frac {\operatorname {Ball} (\pi )}{\operatorname {Sph} (\pi )}}}
이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 {\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )}의 동치류이다.

성질
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### 연산에 대한 호환

두 파라콤팩트 공간 X, Y과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발

{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
{\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y}
가 주어졌다고 하자. 곱공간 X\times Y으로부터의 사영 사상

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{X}\colon X\times Y\twoheadrightarrow X}
{\displaystyle \operatorname {proj} \_{Y}\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y}
을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{X}^{\*}\pi \colon E\twoheadrightarrow X\times Y}
{\displaystyle \operatorname {proj} \_{X}^{\*}\varpi \colon F\twoheadrightarrow X\times Y}
을 구한다. 이들의 직합을 {\displaystyle \pi \boxtimes \varpi }로 표기하겠다.

{\displaystyle \pi \boxtimes \varpi \colon \operatorname {proj} \_{X}^{\*}E\oplus \operatorname {proj} \_{X}^{\*}F\twoheadrightarrow X\times Y}
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )}는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )=\operatorname {Th} (\pi )\wedge \operatorname {Th} (\varpi )}
특히, 만약 {\displaystyle \varpi }가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.

{\displaystyle Y=\{\bullet \}}
{\displaystyle F=Y\times \mathbb {R} ^{n}}
그렇다면, {\displaystyle \varpi }의 톰 공간은 초구이므로, ({\displaystyle \operatorname {Th} (\varpi )=\mathbb {S} ^{n}}) 다음을 얻는다.

{\displaystyle \operatorname {Th} (E\oplus \mathbb {R} ^{n})=\operatorname {Th} (E)\wedge \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {\Sigma } ^{n}(\operatorname {Th} (E))}
여기서 {\displaystyle \operatorname {\Sigma } ^{n}}은 축소 현수를 n번 취한 것이다.

### 함자성

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발

{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
{\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y}
및 연속 함수

f\colon X\to Y
위의 벡터 다발 사상

{\displaystyle \phi \colon E\to F}
가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수

{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \operatorname {Th} (\pi )\to \operatorname {Th} (\varpi )}
{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon (x,e)\mapsto (f(x),\phi (e))\qquad (e\in E\_{x})}
{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \infty \mapsto \infty }
가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자

{\displaystyle \operatorname {VectBun\_{fin}} \to \operatorname {Top} \_{\bullet }}
를 정의한다.

### 호몰로지

초구 다발 {\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}의 무한대 단면을 {\displaystyle s\_{\infty }\colon B\to \operatorname {Sph} (E)}, 영단면을 {\displaystyle s\_{0}\colon B\to E\subsetneq \operatorname {Sph} (E)}라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{\bullet }(\operatorname {Th} (E))=\operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s\_{\infty }(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s\_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus s\_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(E,E\setminus s\_{0}(B)\right)}
### 톰 동형

유한 차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow B} 및 음이 아닌 정수 k\in \mathbb {N} 에 대하여, 다음과 같은 {\mathbb F}\_{2}-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {F} \_{2})\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{k+n}(\operatorname {Th} (E);\mathbb {F} \_{2})}
여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 **톰 동형**(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소

{\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus s\_{0}(B);\mathbb {F} \_{2})}
에 의한 합곱으로 주어진다.

{\displaystyle \Phi \smile \colon \operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {F} \_{2})\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s\_{0}(B);\mathbb {F} \_{2})}
만약 {\displaystyle E\twoheadrightarrow B}가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 R 계수에 대하여 존재한다.

{\displaystyle \Phi \smile \pi ^{\*}(-)\colon \operatorname {H} ^{k}(B;R)\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s\_{0}(B);R)}

예
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### 자명한 벡터 다발

파라콤팩트 공간 X 위의 자명한 벡터 다발 {\displaystyle \pi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}}의 톰 공간을 생각하자. 이 경우

{\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi )=X\times \mathbb {B} ^{n}}
{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n-1}}
이며,

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n}/(X\times \{\bullet \_{\mathbb {S} ^{n}}\})}
이다. 여기서 {\displaystyle \bullet \_{\mathbb {S} ^{n}}\in \mathbb {S} ^{n}}은 초구 \mathbb {S} ^{n}에 부여한 임의의 밑점으로, 공 {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}의 경계에 속한다.

만약 {\displaystyle X\_{+}=X\sqcup \{\bullet \_{X}\}}가 X에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X\_{+}\wedge \mathbb {S} ^{n}}
가 된다. 여기서 {\displaystyle \cong }은 위상 동형이며, \wedge 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약 n=0일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X\_{+}\wedge \mathbb {S} ^{0}\cong X\_{+}}
이다.

### 콤팩트 공간 위의 벡터 다발

콤팩트 공간 X 위의 벡터 다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}의 톰 공간 {\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )}은 E의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong E^{+}}
### 톰 스펙트럼

 이 부분의 본문은 톰 스펙트럼입니다.
분류 공간

{\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}
위의 연관 벡터 다발

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times \_{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle \operatorname {MO} (n):=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times \_{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})}
이들 사이에는 자연스러운 사상

{\displaystyle \Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)}
이 존재하여, 스펙트럼 \operatorname{MO}를 정의하는데, 이를 **톰 스펙트럼**이라고 한다.

역사
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르네 톰이 1954년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés différentiables". 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) **28**: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 27일에 확인함.

* Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **82**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285.