리 군론에서 **5차원 회전군**(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의
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단순 리 대수의 분류에서, {\displaystyle {\mathsf {B}}\_{2}={\mathsf {C}}\_{2}}형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }
에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 {\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )} 및 그 스핀 군 {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)}의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

{\displaystyle \operatorname {SO} (1,4)} (5차원 로런츠 군)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2,3)}
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은

{\displaystyle \operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)}
이며, 마찬가지로 분할 형태

{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )}
가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

| 킬링 형식의 부호수 | 기호 | 직교군 기호 | 심플렉틱 군 기호 | 군의 중심 | 기본군 | 사타케 도표 | 보건 도표 | 비고 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (0,10) | B₂, C₂ | Spin(5) | {\displaystyle \operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )} | \operatorname {Cyc} (2) | 0 | {\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet } | {\displaystyle \circ \Rightarrow \circ } | 단일 연결 콤팩트 형태 |
| SO(5) | {\displaystyle \operatorname {PUSp} (4)=\operatorname {PU} (2;\mathbb {H} )} | 0 | \operatorname {Cyc} (2) | 무중심 콤팩트 형태 |
| (6,4) | B₂Ⅰ, C₂Ⅰ | Spin(2,3) | {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )} | \operatorname {Cyc} (2) | \operatorname {Cyc}(\infty ) | {\displaystyle \circ \Rightarrow \circ } | {\displaystyle \bullet \Rightarrow \circ } | 분할 형태 |
| SO⁺(2,3) | {\displaystyle \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )} | 0 | {\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (\infty )} | 무중심 분할 형태 |
| (4,6) | B₂Ⅱ, C₂Ⅱ | Spin(1,4) | {\displaystyle \operatorname {USp} (2,2)=\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )} | \operatorname {Cyc} (2) | 0 | {\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet } | {\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet } |
| SO⁺(1,4) | {\displaystyle \operatorname {PUSp} (2,2)=\operatorname {PU} (1,1;\mathbb {H} )} | 0 | \operatorname {Cyc} (2) |

성질
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### 콤팩트 형태

Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {USp} (4)} 또는 {\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,

{\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1\_{2\times 2}\}}
이다. (여기서 {\displaystyle (-)^{\dagger }}는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1\_{2\times 2}\right\}}
이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

{\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}}
{\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}}
{\displaystyle M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)}
### 분할 형태

Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. {\displaystyle \operatorname {Spin} (2,3)}의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}}
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}0\_{2\times 2}&-1\_{2\times 2}\\1\_{2\times 2}&0\_{2\times 2}\end{pmatrix}}}
에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 {\displaystyle \{\pm 1\_{4\times 4}\}<\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}에 해당한다.

### 로런츠 형태

이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다. 

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}}
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

{\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}}
{\displaystyle M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)}
### 표현론

이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

| 표현 | SO(5) 해석 | SO(5) 영 타블로 | USp(4) 해석 | USp(4) 영 타블로 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **4** | 스피너 | ■ | 벡터 | □ |
| **5** | 벡터 | □ | 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1) | □□ |
| **10** | 반대칭 2-텐서 (5×4/2!) | □□ | 대칭 2-텐서 (4×5/2!) | □□ |
| **14** | 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1) | □□ | 4-텐서 | □□□□ |
| **16** | 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1)) | □■ | 3-텐서 | □□□ |

즉,

{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {5} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }
{\displaystyle \mathbf {5} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {14} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {16} \oplus \mathbf {4} }
이다.

참고 문헌
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* Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). "Representation Theory of SP(4) and SO(5)". 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) **10**: 1710. doi:10.1063/1.1665018.