리 군론에서 **3차원 특수 유니터리 군** SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.

정의
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단순 리 군의 분류에서, {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{2}}형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군 \operatorname{SU}(3) 또는 {\displaystyle \operatorname {SL} (3;\mathbb {R} )=\operatorname {SU} (1,2)}에 대응한다.

이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.

| 기호 | 설명 | 기본군 | 중심 | 극대 콤팩트 부분군 | 사타케 도표 | 보건 도표 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| SU(3) | 단일 연결 콤팩트 형식 | 0 | Cyc(3) | SU(3) | \bullet -\bullet  | {\displaystyle \circ -\circ } |
| PSU(3) | 무중심 콤팩트 형식 | Cyc(3) | 0 | PSU(3) |
| SL(3;ℝ) | 분할 형식 | 0 | Cyc(2) | SO(3;ℝ) | {\displaystyle \circ -\circ } | {\displaystyle \underbrace {\circ -\circ } } |
| {\displaystyle \operatorname {\widetilde {SL}} (3;\mathbb {R} )} | 분할 형식 | Cyc(2) | 0 | Spin(3) |
| SU(1,2) |  | Cyc(∞) | Cyc(3) | U(2) | {\displaystyle \underbrace {\circ -\circ } } | {\displaystyle \bullet -\circ } |
| PSU(1,2) |  | Cyc(∞)⊕Cyc(3) | 0 | PU(2) |
| {\displaystyle \operatorname {\widetilde {SU}} (1,2)} |  | 0 | Cyc(∞)⊕Cyc(3) | {\displaystyle \operatorname {\tilde {U}} (2)} |

성질
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### 위상수학적 성질

\operatorname{SU}(3)는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.

### 표현론

SU(3)은 정의 표현 {\mathbf 3} 및 그 복소수 켤레 \bar{\mathbf3} 및 딸림표현 \mathbf8을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

{\mathbf 3}\otimes {\bar {{\mathbf 3}}}={\mathbf 8}\oplus {\mathbf 1}
{\displaystyle \mathbf {3} \otimes \mathbf {3} =\mathbf {6} \oplus {\bar {\mathbf {3} }}}
여기서 {\displaystyle \mathbf {6} }는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.

SU(3)의 모든 표현은 두 자연수 (p,q)로 유일하게 결정되며, 이는 {\displaystyle \mathbf {3} ^{\otimes p}\otimes {\bar {\mathbf {3} }}^{\otimes q}} 속의 최고 무게 표현이다. (p,q)차 표현의 차원은

{\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2)}
이다. p개의 길이 1의 열과 q개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데 {\displaystyle p=q}인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은 p와 q를 맞바꾸는 것에 해당한다.

낮은 차원의 표현은 다음과 같다.

| 기호 | (*p*,q*)*  | 설명 | 영 타블로 |
| --- | --- | --- | --- |
| **1** | (0,0) | 자명한 표현 |  |
| **3** | (1,0) | 정의(定義) 표현 | □ |
| **3** | (0,1) | 반정의(反定義) 표현 | □□ |
| **6** | (2,0) |  | □□ |
| **6** | (0,2) |  | □□□□ |
| **8** | (1,1) | 딸림표현 | □□□ |
| **10** | (3,0) |  | □□□ |
| **10** | (0,3) |  | □□□□□□ |
| **15** | (2,1) |  | □□□□ |
| **15** | (1,2) |  | □□□□□ |
| **15′** | (4,0) |  | □□□□ |
| **15′** | (0,4) |  | □□□□□□□□ |
| **21** | (5,0) |  | □□□□□ |
| **21** | (0,5) |  | □□□□□□□□□□ |
| **24** | (3,1) |  | □□□□□ |
| **24** | (1,3) |  | □□□□□□□ |
| **27** | (2,2) |  | □□□□ |

### 리 대수의 기저

**겔만 행렬**(Gell-Mann行列, 영어: Gell-Mann matrices)은 특수 유니터리 리 대수 \mathfrak{su}(3)의 기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬이 {\mathfrak {su}}(2)의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| \lambda \_{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} | \lambda \_{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} | \lambda \_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}} |
| \lambda \_{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}} | \lambda \_{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}} | \lambda \_{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}} |
| \lambda \_{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}} | \lambda\_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} |  |

이들은

{\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda \_{i}\lambda \_{j})=2\delta \_{ij}}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{8}\lambda \_{i}\lambda \_{i}={\frac {16}{3}}1\_{3\times 3}}
를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수

{\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\lambda \_{i},{\tfrac {1}{2}}\lambda \_{j}]={\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} f\_{ijk}\lambda \_{k}}
는 다음과 같다.

{\displaystyle f\_{123}=1}
{\displaystyle f\_{147}=-f\_{156}=f\_{246}=f\_{257}=f\_{345}=-f\_{367}={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle f\_{458}=f\_{678}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
나머지 구조 상수들은 0이다. (즉, {\displaystyle 8\times 7\times 6/6!=56}개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.

역사
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겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.

응용
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SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.

참고 문헌
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1. ↑  Mallesh, K. S.; Mukunda, N. (1997년 10월). "The algebra and geometry of SU (3) matrices" (PDF). 《Pramana》 (영어) **49** (4): 371–383. ISSN 0304-4289. 2017년 12월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 12월 10일에 확인함.
2. ↑  Shurtleff, Richard (2009). "Formulas for SU(3) matrices" (영어). arXiv:0908.3864. Bibcode:2009arXiv0908.3864S.
3. ↑  Gell-Mann, M. (1962). "Symmetries of baryons and mesons". 《Physical Review》 (영어) **125** (3): 1067.