수학에서 **상수 함수**(常數函數, 영어: constant function)는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 f(x)=3은 x의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

정의
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정의역 X와 공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f를 **상수 함수**라고 한다.

* 임의의 x,x'\in X에 대하여 f(x)=f(x')이다.
* 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는 y\in Y가 존재하며, y는 x에 의존하지 않는다.
* X가 공집합이거나, 또는 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는, x에 의존하지 않는 y\in Y가 유일하게 존재한다.
* X에 비이산 위상을 부여하고, Y에 이산 위상을 부여하였을 때, f는 연속 함수이다.

정의역 X와 공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 정의역 X에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f를 **국소 상수 함수**(局所常數函數, 영어: locally constant function)라고 한다.

* 만약 임의의 x\in X에 대하여, f|\_U가 상수 함수가 되는 근방 U\ni x가 존재한다.
* Y에 이산 위상을 부여하였을 때, f는 연속 함수이다.

### 상수 사상

상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다.

범주 {\mathcal {C}}에서, 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면 **상수 사상**(영어: constant morphism)이라고 한다.

* 임의의 대상 {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 및 사상 {\displaystyle g,h\colon W\to X}에 대하여, {\displaystyle f\circ g=f\circ h}. 즉, 다음 그림이 가환한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}W&\xrightarrow {h} &X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}

범주 {\mathcal {C}}에서, 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면 **쌍대 상수 사상**(영어: coconstant morphism)이라고 한다.

* 임의의 대상 {\displaystyle W\in {\mathcal {C}}} 및 사상 {\displaystyle g,h\colon X\to W}에 대하여, {\displaystyle g\circ f=h\circ f}. 즉, 다음 그림이 가환한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}W&{\xleftarrow {h}}&X\\{\scriptstyle g}\uparrow &&\uparrow \scriptstyle f\\X&{\xleftarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}

상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 **영 사상**(영어: zero morphism)이라고 한다.

범주 {\mathcal {C}} 속의 임의의 대상 X,Y\in {\mathcal {C}}에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 {\displaystyle 0\_{XY}\colon X\to Y}가 존재한다면, {\mathcal {C}}를

**영 사상을 갖는 범주**(영어: category with zero morphisms)라고 한다.

* 임의의 대상 {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}} 및 사상 X{\xrightarrow f}Y{\xrightarrow g}Z에 대하여,
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {0\_{XY}}}&Y\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle 0\_{XZ}&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\xrightarrow[{0\_{YZ}}]{}}&Z\end{matrix}}}

이 경우, {\displaystyle 0\_{XY}}들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 {\displaystyle 0\_{XY}}들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

성질
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두 매끄러운 다양체 M, N 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to \mathbb {R} 는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* f의 도함수 Df는 어디서나 0이다.
* f는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* X는 상수 함수이다.
* X에 비이산 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다.
* X에 임의의 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다.

즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간 X 위의 국소 상수 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 모든 연결 성분 X\_0에 대하여, f|\_{X\_0}는 상수 함수이다. 만약 X가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* f는 국소 상수 함수이다.
* X의 임의의 연결 성분 X\_0\subset X에 대하여, f|\_{X\_0}는 상수 함수이다.

### 국소 상수 함수의 층

위상 공간 X 위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.

### 상수 사상의 존재

끝 대상 1을 갖는 범주에서, 상수 사상은 {\displaystyle X\to 1\to Y}의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 {\displaystyle 0}을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 {\displaystyle X\to 0\to Y}의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 X,Y 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상

{\displaystyle X\to 0\to Y}
이다.

예
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정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.

### 상수 사상의 예

집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다.

군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다.

환 R 위의 왼쪽 가군들의 범주 R{\text{-Mod}}는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. R{\text{-Mod}}에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.