초대칭| 초대칭을 통한 계층 문제의 해결 |
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* t
* e
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**초대칭 대수**(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

정의
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푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 P\_{\mu }와 로런츠 변환 M\_{\mu \nu }로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 Q\_{\alpha }^{i}와 {\bar Q}\_{{{\dot \alpha }}}^{i}를 추가한다. (만약 {\mathcal N}개의 초대칭이 있으면 {\displaystyle i=1,2,\dots ,{\mathcal {N}}}.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 D차원의 시공에서 D개의 병진 생성자와 D(D-1)/2개의 로런츠 변환으로 총 {\displaystyle D+D(D-1)/2}차원이다. (D=4일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 {\mathcal N}개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 {\displaystyle D+D(D-1)/2+\dim({\text{spinor}})\times {\mathcal {N}}}차원이 된다.

주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어: supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 {\mathcal N}이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 {\mathcal N}=1이며, {\mathcal N}>1인 경우를 **확장 초대칭**(영어: extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, {\mathcal N}=1 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 {\mathcal N}=8 초중력 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 {\mathcal N}=1 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 {\mathcal {N}}=4 초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)

| 시공간의 차원 | {\mathcal N}=1의 초전하수 |
| --- | --- |
다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수| 11 | 32 |
| 10, 9, 8, 7 | 16 |
| 6, 5 | 8 |
| 4 | 4 |
| 3 | 2 |
| 2,1 | 1 |

| 시공간의 차원 | 32개의 초전하 | 16개의 초전하 | 8개의 초전하 | 4개의 초전하 | 2개의 초전하 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.| 11 | {\mathcal N}=1 | (불가능) |
| 10 | {\mathcal N}=(1,1) (IIA종) | {\mathcal N}=(2,0) (IIB종) | {\mathcal N}=(1,0) (I종) | (불가능) |
| 9 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 |
| 8 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 |
| 7 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 |
| 6 | {\mathcal N}=(2,2) | {\mathcal N}=(1,1) | {\mathcal N}=(2,0) | {\mathcal N}=(1,0) | (불가능) |
| 5 | {\mathcal {N}}=4 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 |
| 4 | {\mathcal N}=8 | {\mathcal {N}}=4 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 | (불가능) |
| 3 | {\mathcal N}=16 | {\mathcal N}=8 | {\mathcal {N}}=4 | {\mathcal {N}}=2 | {\mathcal N}=1 | (불가능) |
| 2 | {\mathcal N}=(16,16) | {\mathcal N}=(8,8) | {\mathcal N}=(4,4) | {\mathcal N}=(2,2) | {\mathcal N}=(1,1) | {\mathcal N}=(2,0) |

4차원 초대칭
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4차원에서, {\mathcal N}=1 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 4{\mathcal N}개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 {\mathcal N}=1, {\mathcal {N}}=2, {\mathcal {N}}=4 및 {\mathcal N}=8 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, {\mathcal N}>4인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 {\mathcal N}=8까지만 가능하다.

주어진 {\mathcal N}에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.

* 병진 변환 P\_{\mu }
* 회전 J\_{{\mu \nu }}
* 초대칭 Q\_{\alpha }^{i}, {\bar Q}\_{{{\dot \alpha }}}^{i} (i=1,\dots ,{\mathcal N}). 이는 R대칭군의 크기가 {\mathcal N}인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 b^{{ai}}{}\_{j}라고 쓰자.
* R대칭 R^{a}는 R대칭군 R\subseteq U({\mathcal N})의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 f^{{ab}}{}\_{c}라고 쓰자.
* 중심 원소 Z^{{ij}}

이들의 리 초괄호는 다음과 같다.

[P\_{\mu },P\_{\nu }]=0
[J\_{{\mu \nu }},P\_{\rho }]=i\left(\eta \_{{\mu \rho }}P\_{\nu }-\eta \_{{\nu \rho }}P\_{\mu }\right)
[J\_{{\mu \nu }},J\_{{\rho \sigma }}]=i\left(\eta \_{{\mu \rho }}J\_{{\nu \sigma }}-\eta \_{{\mu \sigma }}J\_{{\nu \rho }}-\eta \_{{\nu \rho }}J\_{{\mu \sigma }}+\eta \_{{\nu \sigma }}J\_{{\mu \rho }}\right)
\{Q\_{\alpha }^{i},Q\_{\beta }^{j}\}=\epsilon \_{{\alpha \beta }}Z^{{ij}}
[Q\_{\alpha }^{i},M\_{{\mu \nu }}]={\frac 12}(\sigma \_{{\mu \nu }})^{\beta }{}\_{\alpha }Q\_{\beta }^{i}
[{\bar Q}\_{{{\dot \alpha }}}^{i},M\_{{\mu \nu }}]=-{\frac 12}(\sigma \_{{\mu \nu }})^{{{\dot \beta }}}{}\_{{{\dot \alpha }}}{\bar Q}\_{{{\dot \beta }}}^{i}
\{{\bar Q}^{i},{\bar Q}^{j}\}=-\epsilon \_{{{\dot \alpha }{\dot \beta }}}(Z^{{ij}})\dagger )
\{Q\_{\alpha }^{i},{\bar Q}\_{{{\dot \alpha }}}^{j}\}=2\sigma \_{{\alpha {\dot \alpha }}}^{\mu }\delta ^{{ij}}P\_{\mu }
[Q^{i},R^{a}]=b^{{ai}}{}\_{j}Q^{j}
[Q^{i},R^{a}]=-(b^{{ai}}{}\_{j})^{\dagger }{\bar Q}^{j}
[{\bar Q}^{i},R^{a}]=-(b^{{ai}}{}\_{j})^{\dagger }Q^{j}
[{\bar Q}^{i},R^{j}{}\_{k}]=-\delta \_{k}^{i}{\bar Q}^{j}
[Z^{{ij}},P\_{\mu }]=[Z^{{ij}},J\_{{\mu \nu }}]=[Z^{{ij}},R^{a}]=[Z^{{ij}},Q]=0
즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

### 위상 뒤틀림

4차원에서는 {\mathcal {N}}=2 또는 {\mathcal {N}}=4인 경우 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, {\mathcal {N}}=2인 경우는 SU(2) R대칭을 \operatorname {Spin}(4)=\operatorname {SU}(2)^{2} 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, {\mathcal {N}}=4인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

### 초다중항

4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.

* {\mathcal N}=1
	+ **손지기 초다중항**(영어: chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너
	+ **벡터 초다중항**(영어: vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장
	+ **중력자 초다중항**(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노
* {\mathcal {N}}=2
	+ **하이퍼 초다중항**(영어: hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
		- 서로 다른 나선도의 두 {\mathcal N}=1 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 *R*, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 *R*을 따른다.
	+ **벡터 초다중항**: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
		- {\mathcal N}=1 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) {\mathcal N}=1 손지기 초다중항으로 구성된다.
	+ **중력자 초다중항**: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
* {\mathcal {N}}=4
	+ **벡터 초다중항**: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
	+ **중력자 초다중항**
* {\mathcal N}=8
	+ **중력자 초다중항**

3차원 초대칭
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3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우 {\mathcal N}=1 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.

\{Q^{i},{\bar Q}^{j}\}=i\sigma \_{{\alpha \beta }}^{\mu }\delta ^{{ij}}P\_{\mu }+Z^{{ij}}
여기서 중심 확대 Z^{{ij}}는 반대각화하여 \lfloor {\mathcal N}/2\rfloor 개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. {\mathcal {N}}=2 초대칭에서는 하나의 중심 전하 Z가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 M은 BPS 부등식

M\geq Z
를 만족시킨다.:(19)

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 \*F=\phi 로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.

* {\mathcal N}=1: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
* {\mathcal {N}}=2: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 {\mathcal N}=1을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
* 마찬가지로 {\mathcal N}=4,8,16 등이 존재한다.

6차원 초대칭
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6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.

* {\mathcal N}=1. R대칭은 SU(2)이다.
	+ 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
	+ 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
	+ 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
* {\mathcal N}=(1,1). R대칭은 SO(4)이다.
	+ 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
* {\mathcal N}=(2,0). R대칭은 SO(5)이다.
	+ 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

2차원 초대칭
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 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.
 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.
 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=4 초등각 장론입니다.

참고 문헌
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1. ↑  Ferrara, Sergio; Alessio Marrani (2011년 3월). "Perturbative and non-perturbative aspects of {\mathcal N}=8 supergravity" (영어). arXiv:1103.5138. Bibcode:2011arXiv1103.5138F.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 46) (도움말)
2. ↑  Seiberg, Nathan (1998). "Notes on theories with 16 supercharges". 《Nuclear Physics B Proceedings Supplement》 (영어) **67** (1–3): 158–171. arXiv:hep-th/9705117. Bibcode:1998NuPhS..67..158S. doi:10.1016/S0920-5632(98)00128-5.
3. 1 2  McKeon, D. G. C.; T. N. Sherry. "Supersymmetry in three dimensions" (영어). arXiv:hep-th/0108074.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Aharony, O.; Hanany, A.; Intriligator, K.; Seiberg, N.; Strassler, M.J. "Aspects of *N*=2 supersymmetric gauge theories in three dimensions" (영어). arXiv:hep-th/9703110.

* Terning, John (2005). 《Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality》. International Series of Monographs on Physics (영어) **132**. Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001. ISBN 978-019856763-9. Zbl 1087.81006.