가환대수학에서 **완비 국소환**(完備局所環, 영어: complete local ring)은 극대 아이디얼에서 스스로의 완비화와 같은 국소 가환환이다.

정의
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국소 가환환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}이 주어졌다고 하자. 이 경우 극대 아이디얼 {\mathfrak m}의 거듭제곱에 대한 몫환

{\displaystyle \dotsb \to R/{\mathfrak {m}}^{3}\to R/{\mathfrak {m}}^{2}\to R/{\mathfrak {m}}=\kappa }
을 취할 수 있으며, 이에 대한 완비화

{\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim \_{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}}
를 취할 수 있으며, 환 준동형

{\displaystyle \phi \_{n}\colon R\to R/{\mathfrak {m}}^{n}}
으로부터 표준적인 환 준동형

{\displaystyle \phi \_{\infty }\colon R\to {\hat {R}}}
이 존재한다. 만약 이 준동형이 전단사 함수라면(즉, 환의 동형 사상이라면), R를 **완비 국소환**이라고 한다. 이는 위상환을 이룬다.

보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다.

* (하우스도르프 조건) {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=0}
* (완비성) 임의의 원소열 {\displaystyle r\_{0},r\_{1},r\_{2},\dotsc \in R}에 대하여, 만약 {\displaystyle r\_{i}-r\_{i-1}\in {\mathfrak {m}}^{i}}라면, 충분히 큰 i에 대하여 {\displaystyle r=r\_{i}=r\_{i+1}=r\_{i+2}=\dotsb }가 되는 r\in R가 존재한다.

성질
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### 함의 관계

모든 완비 국소환은 헨젤 환이다.

모든 아르틴 국소 가환환은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 n에 대하여 {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}=0}이다.

모든 뇌터 완비 가환환은 탁월한 가환환이다.

### 매틀리스 쌍대성

{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}가 뇌터 완비 국소환이며, E가 \kappa 의 단사 껍질이라고 하자. 그렇다면, R 위의 뇌터 가군의 범주 {\displaystyle \operatorname {NoetMod} \_{R}}의 반대 범주와 아르틴 가군의 범주 {\displaystyle \operatorname {ArtMod} \_{R}} 사이에 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

{\displaystyle D\colon \operatorname {NoetMod} \_{R}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {ArtMod} \_{R}}
{\displaystyle D\colon M\mapsto \hom \_{R}(M,E)}
{\displaystyle D^{-1}\colon M\mapsto \hom \_{R}(M,E)}
이를 **매틀리스 쌍대성**(영어: Matlis duality)이라고 한다.

특히, 뇌터 가군이자 아르틴 가군인 가군(즉, 길이가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 반대 범주와 동치이다.

### 국소화 함자

임의의 국소 가환환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}에 대하여, 완비화를 통해 완비 국소환

{\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim \_{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}}
을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자

{\displaystyle {\hat {}}\colon \operatorname {LocCRing} \to \operatorname {compLocCRing} }
를 정의한다.

이 함자 아래, \hat R의 극대 아이디얼은

{\displaystyle {\hat {\mathfrak {m}}}=\{(r\_{1}+{\mathfrak {m}},r\_{2}+{\mathfrak {m}}^{2},\dotsc )\in {\hat {R}}\colon r\_{1}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}\}}
이다. 그 잉여류체는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다.

{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\cong {\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}}
이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* R가 뇌터 국소 가환환이다.
* \hat R가 뇌터 완비 국소환이다.

분류
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**코언 구조 정리**(영어: Cohen structure theorem)에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 정칙 국소환의 몫환으로 표현될 수 있다.

모든 완비 정칙 국소환은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 정칙 국소환의 목록은 다음과 같다.

* 어떤 자연수 n\in {\mathbb N} 및 체 K에 대하여, 형식적 멱급수환 {\displaystyle K[\![x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}]\!]}
	+ 이 경우, 크룰 차원은 n이다.
* 어떤 자연수 n\in \mathbb {N}  및 p-코언 환 K에 대하여, 형식적 멱급수환 {\displaystyle K[\![x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}]\!]}
	+ 이 경우, 크룰 차원은 n+1이다.
* 어떤 자연수 n\in \mathbb {N}  및 p-코언 환 K에 대하여, 형식적 멱급수환의 몫 {\displaystyle K[\![x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}]\!]/(p-x)}. 여기서 {\displaystyle x\in {\mathfrak {m}}^{2}\setminus (p)}이며, {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n})}은 {\displaystyle K[\![x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]\!]}의 유일한 극대 아이디얼이다.
	+ 이 경우, 크룰 차원은 n이다.

여기서, 소수 p에 대하여, p-**코언 환**(영어: Cohen ring)은 완비 이산 값매김환 {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa )} 가운데, {\displaystyle \operatorname {char} D=0}이며 {\displaystyle \operatorname {char} \kappa =p}이며 {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p)}인 것이다. 예를 들어, p진 정수환 \mathbb Z\_p는 코언 환이다.

예
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체 K에 대하여 형식적 멱급수환

{\displaystyle K[\![x]\!]}
은 완비 국소환이다. 또한, 소수 p에 대하여 p진 정수환 \mathbb Z\_p는 완비 국소환이다.

### 완비 국소환이 아닌 환

p진수체 \mathbb Q\_p의 대수적 폐포의 완비화 {\mathbb C}\_{p}를 생각하자. 이 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 이에 대응하는 값매김환(즉, {\mathbb C}\_{p}에서 p진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 부분환)의 극대 아이디얼 {\mathfrak m}은

{\displaystyle 0\neq {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}^{3}=\dotsb }
을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다.

역사
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코언 구조 정리는 1946년에 어빈 솔 코언이 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Wehrfritz, Bertram A. F. 《Lectures around complete local rings》 (영어).
2. ↑  Cohen, Irvin Sol (1946). "On the structure and ideal theory of complete local rings". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **59**: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.