비슷한 이름의 후르비츠의 정리에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.
대수적 위상수학에서 **후레비치 준동형**(Hurewicz準同型, 영어: Hurewicz homomorphism)은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 **후레비치 정리**(영어: Hurewicz theorem)에 따라 군의 동형을 이룬다.

정의
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점을 가진 공간 {\displaystyle (X,\bullet )} 및 밑점을 보존하는 연속 함수

{\displaystyle f\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet \_{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet \_{X})}
가 주어졌을 때, \mathbb {S} ^{n}의 기본류 {\displaystyle [\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} \_{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )}를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다.

{\displaystyle f^{\*}[\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )}
이 때 이 호몰로지류와 f의 호모토피류 {\displaystyle [f]\in \pi \_{n}(X,\bullet \_{X})}를 대응하는 함수 h\_{n}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle h\_{n}\colon \pi \_{n}(X)\to \operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )}
{\displaystyle h\_{n}\colon [f]\mapsto f^{\*}[\mathbb {S} ^{n}]}
이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

성질
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### 준동형성

n\geq 1일 경우, 후레비치 준동형 {\displaystyle h\_{n}\colon \pi \_{n}(X)\to \operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )}은 군 준동형을 이룬다.

n=0일 경우 {\displaystyle \pi \_{0}(X)}는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 X가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, {\displaystyle X=G}가 이산 유한군일 때, {\displaystyle h\_{0}}는 군환으로 가는 단사 함수 {\displaystyle G\hookrightarrow \mathbb {Z} [G]}에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.)

### 함자성

{\displaystyle n\geq 2}일 경우, 후레비치 준동형은 함자

{\displaystyle \pi \_{n}(-)\colon \operatorname {Top} \_{\bullet }\to \operatorname {Ab} }
{\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(-;\mathbb {Z} )\colon \operatorname {Top} \_{\bullet }\to \operatorname {Ab} }
사이의 자연 변환 {\displaystyle h\_{n}\colon \pi \_{n}\Rightarrow \operatorname {H} \_{n}(-;\mathbb {Z} )}을 이룬다.

따라서 축소 현수 함자 \Sigma 에 대하여 다음 사각형이 가환한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\pi \_{n}(X)&{\xrightarrow {h}}&\operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )\\{\scriptstyle \Sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \Sigma \\\pi \_{n+1}(\Sigma X)&{\xrightarrow[{h}]{}}&\operatorname {H} \_{n+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} )\end{matrix}}}
n=1 또는 n=0인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을 \operatorname {Ab}  대신 각각 \operatorname {Grp}  또는 \operatorname {Set} 로 놓아야 한다.

### 낮은 차수의 후레비치 준동형

n=0일 경우, {\displaystyle \pi \_{0}(X)}는 X의 경로 연결 성분의 집합이며, {\displaystyle \operatorname {H} \_{0}(X;\mathbb {Z} )}는 X의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

n=1이고 X가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {H} \_{1}(X;\mathbb {Z} )}는 기본군 \pi \_{1}(X)의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

n>1일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

### *n*-연결 공간 위의 후레비치 준동형

**후레비치 정리**에 따르면, 임의의 위상 공간 X 위의 후레베치 준동형

{\displaystyle h\_{n}\colon \pi \_{n}(X)\to \operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )}
에 대하여, 다음이 성립한다.

* 만약 X가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 n=1이라면, h\_{n}은 아벨화 준동형이다.
* 만약 X가 (n-1)-연결 공간이며 n\geq 2이라면, h\_{n}은 아벨 군끼리의 동형 사상이다.
* 만약 X가 (n-2)-연결 공간이며 n\geq 3라면, h\_{n}은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, {\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(X;\mathbb {Z} )}는 {\displaystyle \operatorname {\pi } \_{n}(X)}의 몫군이다.

예
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n개의 원들의 쐐기합 {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}을 생각하자.

* {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}의 기본군은 자유군 {\displaystyle \langle a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{n}\rangle }이며, 그 생성원 a\_{i}는 모두 n개이며 각 원에 대응한다.
* {\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus n}}이며, 그 n개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 {\displaystyle h\_{1}\colon \pi \_{1}\to \operatorname {H} \_{1}}은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다.

역사
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1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Hurewicz, Witold (1935). "Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅰ. Höherdimensionale Homotopiegruppen". 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) **38**: 112–119. JFM 61.0618.01. Zbl 0010.37801.
2. ↑  Hurewicz, Witold (1935). "Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅱ. Homotopie- und Homologiegruppen". 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) **38**: 521–528. JFM 61.0619.01. Zbl 0011.37101.
3. ↑  Hurewicz, Witold (1936). "Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅲ. Klassen und Homologietypen von Abbildungen". 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) **39**: 117–126. JFM 62.0678.02. Zbl 0013.22903.
4. ↑  Hurewicz, Witold (1936). "Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅳ. Asphärische Räume". 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) **39**: 215–224. Zbl 0013.28303.