이 문서는 위상수학에서의 꼬임군(braid group)에 관한 것입니다. 대수학에서 유한 차수의 원소들의 군(torsion group)에 대해서는 꼬임 부분군 문서를 참고하십시오.
위상수학에서 **꼬임군**(-群, 영어: braid group)은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 군이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.

정의
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*n*가닥의 **꼬임군** \operatorname {Braid} (n)은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 **꼬임**(영어: braid)이라고 한다.

\operatorname {Braid} (n)=\left\langle \sigma \_{1},\ldots ,\sigma \_{n-1}|\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}=\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1},\sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i}\right\rangle 
첫 번째 관계에서는 i=1,2,\dots ,n-2이고, 두 번째 관계에서는 |i-j|\geq 2이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. \sigma \_{i}를 i번째 가닥과 i+1번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, \operatorname {Braid} (4)의 생성원은 다음과 같다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
| σ1 | σ2 | σ3 |

이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | · |  | = |  |
| \sigma \_{3} | · | \sigma \_{2} | = | \sigma \_{3}\sigma \_{2} |

이 경우, 군 표시에서의 관계

\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}=\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}
\sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i}\qquad (|i-j|\geq 2)
는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

### 무한 꼬임군

꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

\operatorname {Braid} (n)\hookrightarrow \operatorname {Braid} (n+1)
\sigma \_{i}^{(n)}\mapsto \sigma \_{i}^{(n+1)}
이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 **무한 꼬임군** \operatorname {Braid} (\infty )을 얻는다.

\operatorname {Braid} (\infty )=\varinjlim \_{n}\operatorname {Braid} (n)
### 드오르누아 순서

꼬임군 \operatorname {Braid} (n) 위에는 **드오르누아 순서**(영어: Dehornoy order)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 \sigma \_{1},\dots ,\sigma \_{n-1}들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 i\in \{1,\dots ,n-1\}가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.

* 문자열은 \sigma \_{i}를 포함한다.
* 모든 j<i에 대하여, 문자열은 \sigma \_{j}를 포함하지 않는다.
* 모든 j\leq i에 대하여, 문자열은 \sigma \_{j}^{-1}를 포함하지 않는다.

이러한 원소들의 집합을 P라고 하면, PP\subseteq P이며, 꼬임군은

\operatorname {Braid} (n)=P\sqcup P^{-1}\sqcup \{1\}
이다.

성질
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꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 n\geq 2에 대하여, \operatorname {Braid} (n)은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

### 몫군

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다.

\operatorname {H} \_{1}(\operatorname {Braid} (n),\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} 
구체적으로, 이는 다음과 같다.

\sigma \_{i}\mapsto 1\qquad (i=1,\dots ,n-1)
\sigma \_{i}^{-1}\mapsto -1\qquad (i=1,\dots ,n-1)
꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

\operatorname {Braid} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Sym} (n)=\operatorname {Sym} (\{1,2,\dots ,n\})
\sigma \_{i}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)
\sigma \_{i}^{-1}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)
### 중심

n\geq 3일 때, 꼬임군 \operatorname {Braid} (n)의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.:§4.3

\left(\sigma \_{1}(\sigma \_{2}\sigma \_{1})\cdots (\sigma \_{n-1}\sigma \_{n-2}\cdots \sigma \_{1})\right)^{2}
n\leq 2일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

예
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낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.

| 꼬임군 | 동형인 군 |
| --- | --- |
|
| \operatorname {Braid} (0) | 자명군 |
| \operatorname {Braid} (1) | 자명군 |
| \operatorname {Braid} (2) | 무한 순환군 \mathbb {Z}  |
| \operatorname {Braid} (3) | 세잎매듭의 매듭군 \pi \_{1}(S^{3}\setminus 3\_{1}), 모듈러 군의 중심 확대 |

### 3차 꼬임군

3가닥의 꼬임군 \operatorname {Braid} (3)은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 31의 매듭군 \pi \_{1}(S^{3}\setminus 3\_{1})과 동형이며, 또 모듈러 군 \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )의 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.

여기서 {\overline {\operatorname {SL} (2;\mathbf {R} )}}은 \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 \operatorname {Braid} (n)의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.

\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )=\operatorname {Braid} (n)/\operatorname {Z} (\operatorname {Braid} (n))

참고 문헌
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1. ↑  "Basic results on braid groups" (영어). arXiv:1010.0321.

* Kassel, Christian; Vladimir Turaev (2008). 《Braid groups》 (영어). Springer. ISBN 0-387-33841-1.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Deligne, Pierre (1972). "Les immeubles des groupes de tresses généralisés". 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) **17** (4): 273–302. doi:10.1007/BF01406236. ISSN 0020-9910. MR 0422673. Zbl 0238.20034.
* Birman, Joan; Tara E. Brendle (2005). "Braids: a survey" (영어). arXiv:math/0409205. Bibcode:2004math......9205B.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Carlucci, Lorenzo; Patrick Dehornoy, Andreas Weiermann (2011). "Unprovability results involving braids". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **102** (1): 159–192. arXiv:0711.3785. Bibcode:2007arXiv0711.3785C. doi:10.1112/plms/pdq016. Zbl 1225.03079.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)