팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {d}}\_{4}={\mathfrak {o}}(8)={\mathfrak {tri}}(\mathbb {O} )}의 딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.
추상대수학에서 **삼중성 리 대수**(三重性Lie代數, 영어: triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(8)}이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

정의
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K가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. K 위의 합성 대수 A 에 대하여, 다음을 정의하자.

{\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)=\{(A,B,C)\in {\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}\colon A(x\star y)=x\star By+Cx\star y\qquad \forall x,y\in A\}}
여기서 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(A,Q)}는 A의 이차 형식 {\displaystyle Q\colon A\to K}(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}}의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 A의 **삼중성 리 대수**라고 하며, {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)}로 표기한다.:§4.1:18–24

이는 다음과 같은 K-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

{\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\cong {\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)\oplus \operatorname {Im} (A)}

**증명:**

각 a\in A에 대하여, 교환자

{\displaystyle [x,y,z]=(x\star y)z-x(y\star z)}
를 정의하면, 교대 법칙에 의하여

{\displaystyle [a,x,y]+[x,a,y]=0}
이며, 이는

{\displaystyle ({\mathsf {L}}\_{a},-{\mathsf {L}}\_{a},{\mathsf {L}}\_{a}+{\mathsf {R}}\_{a})\in {\mathfrak {tri}}(A)\qquad \forall a\in A}
로 번역된다. 마찬가지로

{\displaystyle [x,y,b]+[x,b,y]=0}
은

{\displaystyle ({\mathsf {R}}\_{b},{\mathsf {L}}\_{b}+{\mathsf {R}}\_{b},-{\mathsf {R}}\_{b})\in {\mathfrak {tri}}(A)}
로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환

{\displaystyle K\hookrightarrow {\mathfrak {tri}}(A)}
를 정의한다.

이에 따라, K-선형 변환

{\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus K\oplus K\to {\mathfrak {tri}}(A)}
{\displaystyle (\delta ,a,b)\mapsto (\delta ,0,0)+({\mathsf {L}}\_{a},-{\mathsf {L}}\_{a},{\mathsf {L}}\_{a}+{\mathsf {R}}\_{a})+({\mathsf {R}}\_{b},{\mathsf {L}}\_{b}{\mathsf {R}}\_{b},-{\mathsf {R}}\_{b})}
이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상

{\displaystyle (A,B,C)\mapsto (A-{\mathsf {L}}\_{a}+{\mathsf {R}}\_{b},a,b)}
{\displaystyle a={\frac {1}{3}}B(1)+{\frac {2}{3}}C(1)}
{\displaystyle b={\frac {2}{3}}B(1)+{\frac {1}{3}}C(1)}
를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

{\displaystyle B(y)=A(1\star y)-C(1)\star y}
{\displaystyle C(x)=A(x\star 1)-x\star B(1)}

성질
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### 3차 대칭군의 작용

{\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

{\displaystyle \theta ,\zeta \colon {\mathfrak {tri}}(A)\to {\mathfrak {tri}}(A)}
{\displaystyle \theta \colon (A,B,C)\mapsto (B^{\*},C,A^{\*})}
{\displaystyle \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (A^{\*},C^{\*},B^{\*})}
여기서

{\displaystyle A^{\*}(x)=(A(x^{\*}))^{\*}}
를 뜻한다. 그렇다면,

{\displaystyle \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C^{\*},A^{\*},B)}
{\displaystyle \theta ^{3}=\zeta ^{2}=\operatorname {id} }
{\displaystyle \zeta \circ \theta =\theta ^{2}\circ \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (B,A,C^{\*})}
{\displaystyle \theta \circ \zeta =\zeta \circ \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C,B^{\*},A)}
가 된다. 즉, 이는 군 준동형

{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {tri}}(A))}
를 정의한다 (\operatorname {Sym}(3)은 3차 대칭군). 이를 **삼중성**(영어: triality)이라고 한다.

또한, {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}와 {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} 사이에, {\displaystyle \operatorname {Im} (A)^{\oplus 2}}의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)}인 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {tri}}'(A)}가 존재한다. 이 위에는 \operatorname {Sym}(3) 삼중성이 \operatorname {Sym}(2) 이중성으로 깨지게 된다.

### 프로이덴탈 마방진과의 관계

두 실수 합성 대수 A, B에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.:Theorem 4.4, §4.3

{\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A\otimes \_{\mathbb {R} }B)^{\oplus 3}}
여기서 {\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)}는 A와 B로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)}는 {\displaystyle {\mathfrak {freud}}(3;A,B)}의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 A에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 {\displaystyle \operatorname {H} (3;A)}의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.:Theorem 4.1, §4.1

{\displaystyle {\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus A^{\oplus 3}}
특히, 우변에서 {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)}는 {\displaystyle {\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))}의 부분 리 대수이다.

예
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실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

| 실수 합성 대수 A | {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)} | {\displaystyle {\mathfrak {tri}}'(A)} | {\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)} |
| --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {R}  | 0 | 0 | 0 |
| \mathbb {C}  | 0 | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2)^{\oplus 2}} |
| {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}} | 0 | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)^{\oplus 2}} |
| {\mathbb H} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(4)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)^{\oplus 3}} |
| {\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)^{\oplus 3}} |
| {\mathbb O} | \mathfrak g\_2 | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(7)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(8)} |
| {\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}} | {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{2(2)}} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,4)} | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,4)} |

여기서 {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }, {\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}=\operatorname {Mat} (2,\mathbb {R} )}, {\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )}는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Barton, C. H.; Sudbery, A. (2003). "Magic squares and matrix models of Lie algebras". 《Advances in Mathematics》 (영어) **180** (2): 596–647. arXiv:math/0203010. doi:10.1016/S0001-8708(03)00015-X.
2. ↑  Ramond, Pierre (1976). 《Introduction to exceptional Lie groups and algebras》 (영어). CALT-68-577. 캘리포니아 공과대학교.