A는 유클리드 평면의 연결 부분 공간이며, B는 비연결 부분 공간이다.
일반위상수학에서 **연결 공간**(連結空間, 영어: connected space)은 공집합이 아닌 두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다.

정의
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위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **연결 공간**이라고 한다.

* X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, {\displaystyle U\cup V=X}이며 U\cap V=\varnothing 이라면, U와 V 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
* X의 두 닫힌집합 E,F\subseteq X에 대하여, {\displaystyle E\cup F=X}이며 {\displaystyle E\cap F=\varnothing }이라면, E와 F 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.)
* 만약 X=X\_{1}\cup X\_{2}이며 X\_{1}\cap \operatorname {cl}(X\_{2})=\operatorname {cl}(X\_{1})\cap X\_{2}=\varnothing 이라면, X\_{1}과 X\_{2} 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
* X의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 X와 \varnothing 이다.)
* 공집합이 아니며, 모든 연속 함수 X\to \{0,1\}은 상수 함수이다. 여기서 \{0,1\}은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다.

연결 공간이 아닌 공간을 **비연결 공간**(非連結空間, 영어: disconnected space)이라고 한다.

### 연결 성분

임의의 위상 공간 X에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 x\_{0}\in X을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 x\_0의 **연결 성분**(連結成分, 영어: connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, X는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 실수에 하극한 위상이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일 뿐이다

### 경로 연결 공간

위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다.
위상 공간 X에 대하여, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon [0,1]\to X가 존재할 경우, X를 **경로 연결 공간**(經路連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다.

* f(0)=x이며 f(1)=y이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 x와 y 사이의 **경로**라고 한다.

두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 X 위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 **경로 연결 성분**(經路連結成分, 영어: path-connected component)이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.

### 호 연결 공간

위상 공간 X에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon [0,1]\to X가 존재할 경우, X를 **호 연결 공간**(弧連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다.

* f(0)=x이며 f(1)=y이다.
* f는 매장이다. 즉, f는 [0,1]과 f([0,1])\subset X 사이의 위상 동형이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 x와 y 사이의 **호**(弧, 영어: arc)라고 한다.

성질
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### 연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건

모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간
하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

* X는 경로 연결 공간이다.
* X는 호 연결 공간이다.

그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T1 공간이 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 X의 경우 다음이 서로 동치이다.

* X는 연결 공간이다.
* X는 경로 연결 공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

국소 경로 연결 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.

* X는 연결 공간이다.
* X는 경로 연결 공간이다.

국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.:327

* X는 연결 공간이다.
* X는 경로 연결 공간이다.
* X는 호 연결 공간이다.

특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.

### 연속 함수에 대한 상

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.

* 만약 X가 연결 공간이라면 f의 상 f(X) 또한 연결 공간이다.
* 만약 X가 경로 연결 공간이라면 f의 상 f(X) 또한 경로 연결 공간이다.

### 거리 공간

거리화 가능 연결 공간 X의 크기는 2\leq |X|<2^{{\aleph \_{0}}}일 수 없다.

증명:

연결 거리 공간 (X,d)가 서로 다른 두 점 x,y\in X를 갖는다고 하자. 함수 {\displaystyle f\colon z\mapsto d(x,z)}는 연속 함수 {\displaystyle X\to [0,\infty )}이며, 따라서 그 상 f(X)은 구간이다. {\displaystyle 0,d(x,y)\in f(X)}이므로 {\displaystyle (0,d(x,y))\subseteq f(X)}이다. 따라서,

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}=|f(X)|\leq |X|}
이다.

위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음 세 조건을 생각하자.

* 연결 집합이다.
* X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, {\displaystyle Y\subseteq U\cup V}이며 {\displaystyle U\cap V\cap Y=\varnothing }이라면, U\cap Y와 {\displaystyle V\cap Y} 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
* X의 두 열린집합 U,V\subseteq X에 대하여, {\displaystyle Y\subseteq U\cup V}이며 U\cap V=\varnothing 이라면, U\cap Y와 {\displaystyle V\cap Y} 가운데 정확히 하나가 공집합이다.

연결 공간과 부분공간 위상의 정의에 따라, 첫 번째 조건과 두 번째 조건은 서로 동치이다. 이 조건은 자명하게 세 번째 조건을 함의하지만, 세 번째 조건을 만족시키는 부분 집합이 연결 집합일 필요는 없다. X가 거리화 가능 공간인 경우, 위 세 조건이 서로 동치이다.:72, Exercise 3.2.6

증명:

임의의 연결 집합은 자명하게 세 번째 조건을 만족시킨다. 이제, 거리 공간 (X,d)의 비연결 집합 Y\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle Y\subseteq E\cup F}
{\displaystyle E\cap F\cap Y=\varnothing }
{\displaystyle E\cap Y\neq \varnothing }
{\displaystyle F\cap Y\neq \varnothing }
인 두 닫힌집합 E,F\subseteq X이 존재한다. 이제

{\displaystyle U=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)<d(x,F\cap Y)\}}
{\displaystyle V=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)>d(x,F\cap Y)\}}
라고 하자. 그렇다면, U,V\subseteq X는 열린집합이며, U\cap V=\varnothing 이다. 만약 {\displaystyle x\in E\cap Y}, {\displaystyle y\in F\cap Y}라면,

{\displaystyle d(x,E\cap Y)=0<d(x,F)\leq d(x,F\cap Y)}
{\displaystyle d(y,F\cap Y)=0<d(y,E)\leq d(y,E\cap Y)}
이다. 즉, x\in U, y\in V이다. 따라서,

{\displaystyle \varnothing \neq E\cap Y\subseteq U\cap Y}
{\displaystyle \varnothing \neq F\cap Y\subseteq V\cap Y}
{\displaystyle Y=(E\cap Y)\cup (F\cap Y)\subseteq U\cup V}
이다.

예
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연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

* 공집합은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다.
* 한원소 공간 \{\bullet \} 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다.
* 실직선 \mathbb {R} 은 연결 공간이다.
* 연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다.
* 이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 \{0,1\}이며, 그 기저는 \{\{1\},\{0,1\}\}이다. 이는 연결 공간이다.

비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

* 유리수의 집합 \mathbb {Q} , 무리수의 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q, 및 (순서 위상을 부여한) 초실수의 집합 {}^\*\mathbb R는 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
* 크기가 2 이상인 이산 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
* 일반선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 행렬식이 양수·음수인 가역 행렬들로 구성된다.

모든 크기의 비이산 공간은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다.

### 경로 연결 공간이 아닌 연결 공간

긴 직선 L\*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

### 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간

크기가
2\leq |X|<2^{{\aleph \_{0}}}
인 경로 연결 공간 X는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 2^{\aleph \_{0}}개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 비이산 위상을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 T1 공간의 예로, 전순서 집합 [0,\infty )에 원소 0'을 다음과 같이 추가하여 부분 순서 집합으로 만들자.

{\displaystyle 0'<a\quad \forall a\in (0,\infty )}
0'\not <0,\quad 0'\not >0
여기에 순서 위상을 준 공간은 T1 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 {\displaystyle 0}과 0' 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

### 환의 스펙트럼

(단위원을 갖는) 가환환 R에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

* R의 스펙트럼 \operatorname {Spec}(R)는 연결 공간이다.
* R의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(영어: rank)를 갖는다.
* 모든 r\in R에 대하여, 만약 r^{2}=r라면, r=0이거나 r=1이다.
* 만약 R\cong R\_{1}\times R\_{2}인 가환환 R\_{1}, R\_{2}가 존재한다면, R\_{1} 또는 R\_{2}는 자명환이다.

### 구간

 이 부분의 본문은 구간입니다.
실직선 \mathbb {R} 의 부분 집합 S\subset\mathbb R의 경우 다음이 서로 동치이다.

* S는 연결 공간이다.
* S는 경로 연결 공간이다.
* S는 호 연결 공간이다.
* S는 구간이다. 즉, a\le b이며 S\in \{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}인 a,b\in [-\infty ,\infty ]가 존재한다. (공집합은 a>b인 구간으로 간주한다.)

관련 개념
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연결 공간은 대역적인 개념이다. 만약 연결 공간의 개념을 국소화한다면 (즉, 모든 점이 연결 공간인 근방을 갖는다면), **국소 연결 공간**의 개념을 얻는다.

연결 공간은 또한 0차 베티 수가 1인 공간으로 볼 수 있다. 이 조건을 1차 베티 수에도 적용시키면 **단일 연결 공간**의 개념을 얻으며, 보다 일반적으로 모든 호모토피 불변량이 자명하다면 **축약 가능 공간**의 개념을 얻는다.

연결 공간의 조건에서, 열린집합을 닫힌집합으로 바꾸고, 서로소인 조건을 없애면 **기약 공간**의 개념을 얻는다. 이는 매우 강한 조건으로서, 하우스도르프 공간의 조건과 호환되지 않는다.

참고 문헌
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1. ↑  Cullen, Helen Frances (1968). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301.
2. ↑  Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

* Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.