호몰로지 대수학에서 **Tor 함자**(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.

정의
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R이 (단위원을 가진) 환이고, \_{R}{}\operatorname {Mod} 이 R에 대한 왼쪽 가군들의 범주, \operatorname {Mod} \_{R}이 R에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

오른쪽 가군 A\in \operatorname {Mod}\_{R}와 왼쪽 가군 B\in {}\_{R}\operatorname {Mod}의 텐서곱을 취하여 아벨 군 A\otimes \_{R}B\in \operatorname {Ab}를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 \otimes \_{R}\colon \operatorname {Mod}\_{R}\times {}\_{R}\operatorname {Mod}\to \operatorname {Ab}는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname {Ab} 는 아벨 군들의 범주다.

A\otimes \_{R}\colon {}\_{R}\operatorname {Mod}\to \operatorname {Ab}는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 L^{i}(A\otimes )를 취할 수 있다. 마찬가지로, \otimes \_{R}B\colon \operatorname {Mod}\_{R}\to \operatorname {Ab} 또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 L^{i}(\otimes \_{R}B)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

L^{i}(A\otimes \_{R})B=A(L^{i}\otimes \_{R}B)=\operatorname {Tor}\_{i}^{R}(A,B)
이다. 이 쌍함자 \operatorname {Tor}\_{i}^{R}\colon \operatorname {Mod}\_{R}\times {}\_{R}\operatorname {Mod}\to \operatorname {Ab}를 **Tor 함자**라고 한다.

성질
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Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

\operatorname {Tor}\_{n}^{R}\left(\bigoplus \_{{i\in I}}M\_{i},\bigoplus \_{{j\in J}}N\_{j}\right)=\bigoplus \_{{i\in I}}\bigoplus \_{{j\in J}}\operatorname {Tor}\_{n}^{R}(M\_{i},N\_{j})
이다.

만약 R가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

\operatorname {Tor}\_{n}^{R}(M,N)\cong \operatorname {Tor}\_{n}^{R}(M,N)
또한, 이 경우 \operatorname {Tor}\_{n}^{R}(M,N)은 R 위의 가군의 구조를 갖는다.

만약 R가 가환환이며, r\in R가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

\operatorname {Tor}\_{1}^{R}(R/(r),M)=\ker(r\cdot )=\{m\in M\colon rm=0\}

예
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### 벡터 공간

체 K 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 사영 분해는 자명하다.

0\to P\_{0}=V\to V\to 0
따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

\operatorname {Tor}\_{0}^{K}(V,W)=V\otimes \_{K}W
\operatorname {Tor}\_{n}^{K}(V,W)=0\qquad \forall n>0
### 아벨 군

정수환 \mathbb {Z}  위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G는 자유 아벨 군 P\_{0}의 몫군 P\_{0}/P\_{1}으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0
아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가

0\to P^{1}{\xrightarrow {\iota }}P\_{0}\to G\to 0
이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

0\to P\_{1}\otimes \_{{{\mathbb Z}}}H{\xrightarrow {\iota \otimes \_{{{\mathbb Z}}}\operatorname {id}}}P\_{0}\otimes \_{{{\mathbb Z}}}H\to 0
따라서,

\operatorname {Tor}\_{0}^{{{\mathbb Z}}}(G,H)\cong G\otimes \_{{{\mathbb Z}}}H
이며,

\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}(G,H)\cong \ker(\iota \otimes \_{{{\mathbb Z}}}\operatorname {id})
이다. 특히,

\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}({\mathbb Z},H)=0
\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}(0,H)=H
\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}({\mathbb Z}/(n),H)=\operatorname {Tors}\_{n}(H)=\{h\in H\colon nh=0\}
이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}\left(\bigoplus \_{i}{\mathbb Z}/(n\_{i}),H\right)=\bigoplus \_{i}\operatorname {Tors}\_{{n\_{i}}}(H)
가 된다. 또한,

\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}({\mathbb Q}/{\mathbb Z},H)=\operatorname {Tors}(H)=\{h\in H\colon \exists n\in {\mathbb Z}^{+}\colon nh=0\}
이므로 H의 꼬임 부분군이 된다.

\operatorname {Tor}\_{0}^{{{\mathbb Z}}}(G,H)=G\otimes H| G\backslash H | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {Z}  | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| \mathbb {Z} /(m) | \mathbb {Z} /(m) | \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\}) | 0 |
| \mathbb {Q}  | \mathbb {Q}  | 0 | \mathbb {Q}  |

\operatorname {Tor}\_{1}^{{{\mathbb Z}}}(G,H)| G\backslash H | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {Z}  | 0 | 0 | 0 |
| \mathbb {Z} /(m) | 0 | \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\}) | 0 |
| \mathbb {Q}  | 0 | 0 | 0 |

### 리 대수 호몰로지

 이 부분의 본문은 리 대수 호몰로지입니다.
리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

어원
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‘Tor’는 영어: torsion 토전[\*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

참고 문헌
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* Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3.
* 李起安 (1972). "現代數學과 Homology 代數" (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 **9** (2): 83–99. ISSN 1015-8634.