실해석학에서, **단조 수렴 정리**(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.

정의
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실수 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}이 주어졌다고 하자. **단조 수렴 정리**에 따르면, 만약 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}가 증가 수열이라면 ({\displaystyle a\_{0}\leq a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots }), 다음이 성립한다.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\sup \_{n\geq 0}a\_{n}\in (-\infty ,\infty ]}
마찬가지로, 만약 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}가 감소 수열이라면 ({\displaystyle a\_{0}\geq a\_{1}\geq a\_{2}\geq \cdots }), 다음이 성립한다.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\inf \_{n\geq 0}a\_{n}\in [-\infty ,\infty )}
여기서 {\displaystyle \sup ,\inf }는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}은 (\mathbb {R} 에서) 수렴한다.
* {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}는 유계 수열이다.

증명:

임의의 실수 증가 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}에 대하여, 그 상한을

{\displaystyle L=\sup \_{n\geq 0}a\_{n}\in (-\infty ,\infty ]}
이라고 하자.

만약 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}이 유계 수열이라면, {\displaystyle L<\infty }이다. L의 정의에 따라, 임의의 \epsilon >0에 대하여,

{\displaystyle a\_{N}>L-\epsilon }
인 {\displaystyle N\geq 0}이 존재한다. 따라서, 임의의 {\displaystyle n\geq N}에 대하여,

{\displaystyle L-\epsilon <a\_{N}\leq a\_{n}\leq L<L+\epsilon }
이다. 즉,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}
이 성립한다.

만약 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}이 무계 수열이라면, {\displaystyle L=\infty }이다. 임의의 M>0에 대하여,

{\displaystyle a\_{N}>M}
인 {\displaystyle N\geq 0}이 존재하며, 임의의 {\displaystyle n\geq N}에 대하여

{\displaystyle a\_{n}\geq a\_{N}>M}
이다. 즉,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty }
이 성립한다.

예
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확장된 실수

{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}
를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=1}^{\infty }}의 극한이다.

{\displaystyle a\_{1}={\sqrt {2}}}
{\displaystyle a\_{n+1}={\sqrt {2+a\_{n}}}\qquad (n\geq 1)}
수학적 귀납법을 통해 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

{\displaystyle a\_{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}>{\sqrt {2}}=a\_{1}}
{\displaystyle a\_{n+1}>a\_{n}\implies a\_{n+2}={\sqrt {2+a\_{n+1}}}>{\sqrt {2+a\_{n}}}=a\_{n+1}\qquad (n\geq 1)}
또한 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 다음에 따라 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1}을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

{\displaystyle a\_{1}={\sqrt {2}}<{\sqrt {2}}+1}
{\displaystyle a\_{n}<{\sqrt {2}}+1\implies a\_{n+1}={\sqrt {2+a\_{n}}}<{\sqrt {2+{\sqrt {2}}+1}}<{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}+1\qquad (n\geq 1)}
단조 수렴 정리에 따라, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 수렴한다. 이제

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}
이라고 하고 등식

{\displaystyle a\_{n+1}^{2}=2+a\_{n}\qquad (n\geq 1)}
의 양변에 극한을 취하면

{\displaystyle L^{2}=2+L}
을 얻으며, 이를 풀면 {\displaystyle L=-1}이거나 {\displaystyle L=2}임을 얻는다. 또한 {\displaystyle L\geq a\_{1}>0}이므로,

{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=L=2}
이다.

일반화
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실수 수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 k>0 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }이 존재한다고 하자.

* 임의의 {\displaystyle 1\leq i\leq k} 및 {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{i},x\_{i}',\dots ,x\_{k},\in \mathbb {R} }에 대하여, 만약 {\displaystyle x\_{i}<x\_{i}'}이라면 {\displaystyle f(x\_{1},\dots ,x\_{i},\dots ,x\_{k})<f(x\_{1},\dots ,x\_{i}',\dots ,x\_{k})}이다.
* 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, {\displaystyle f(x,\dots ,x)=x}
* 임의의 n\geq k에 대하여, {\displaystyle f(a\_{n-1},a\_{n-2},\dots ,a\_{n-k})\leq a\_{n}}

그렇다면,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\sup \_{n\geq 0}\min\{a\_{n-1},a\_{n-2},\dots ,a\_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]}
이다. 또한, {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.