**H-공간**(H-space)과 **쌍대 H-공간**(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의
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위상 공간 X가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 연속 함수 {\displaystyle \mu \colon X\times X\to X}
* 항등원 {\displaystyle e\in X}: 모든 x\in X에 대해 {\displaystyle x\mapsto \mu (x,e)}와 {\displaystyle x\mapsto \mu (e,x)}가 모두 항등 함수 \operatorname {id}\_{x}와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 **H-군**(H-group)이라 부른다.

### 쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 연속 함수 {\displaystyle \mu \colon X\to X\vee X}
* 항등원 {\displaystyle e\in X}

예와 성질
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### 위상군

위상군 G와 그 연산 {\displaystyle G\times G\to G}는 그 자체로 H-군을 이룬다.

### 초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 \mathbb {S} ^{0}, \mathbb {S} ^{1}, \mathbb {S} ^{3}, {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}밖에 없다. {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

{\displaystyle n\geq 1}일 경우 초구 \mathbb {S} ^{n}에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

* 0차원 세포 1개 \bullet. 이는 \mathbb {S} ^{n}의 적도 위의 한 점이다.
* n-1차원 세포 1개. 즉, n-1차원 뼈대는 초구 {\mathbb S}^{{n-1}}이다. 이는 \mathbb {S} ^{n}의 적도에 해당한다.
* n차원 세포 2개. 이들은 각각 \mathbb {S} ^{n}의 북반구와 남반구에 대응한다.

적도에 있는 n-1차원 세포 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}}에 대한 몫공간 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}}을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

{\displaystyle w\_{n}\colon \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}}
이 몫공간 함수 w\_{n}을 연산자로 삼아서 \mathbb {S} ^{n} 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

### 현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 X에 대하여 그 축소 현수 \Sigma X는 쌍대 H-공간을 이룬다. {\displaystyle \Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=(X\times \mathbb {S} ^{1})/(X\vee \mathbb {S} ^{1})} 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle (\operatorname {id} \_{X}\wedge w\_{1})\colon X\wedge \mathbb {S} ^{1}\to X\wedge (\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1})\cong (X\wedge \mathbb {S} ^{1})\vee (X\wedge \mathbb {S} ^{1})}
여기서 \wedge 는 분쇄곱, \vee 는 쐐기합이고, {\displaystyle w\_{1}}은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 {\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\simeq \mathbb {S} ^{n}}이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 \Omega X는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, \Omega X 위의 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle m\colon (\gamma ,\gamma ')\mapsto (\gamma \vee \gamma ')\circ w\_{1}}
여기서

{\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\to X}
{\displaystyle \gamma \vee \gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}\to X}
{\displaystyle w\_{1}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}}
이다.

### 에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군 G 및 자연수 n에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 K(G,n)는 다른 공간의 고리 공간이다.

{\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}
그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 K(G,n)은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 G 및 n\geq 3의 경우 피터슨 공간 {\displaystyle P(G,n)}는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

{\displaystyle P(G,n)\simeq \Sigma P(G,n-1)}
그러므로 피터슨 공간 {\displaystyle P(G,n)}은 쌍대 H-공간을 이룬다.

### 호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간 X으로 가는 호모토피류 {\displaystyle [\mathbb {S} ^{n},X]\_{\bullet }}로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 {\displaystyle h\colon \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}에 의해 정의된다:

{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(h(x))}
일반적으로, 쌍대 H-공간 {\displaystyle (X,\mu )}에서 공간 Y로 가는 호모토피류 {\displaystyle [X,Y]\_{\bullet }} 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))}
거꾸로 공간 X에서 H-공간 {\displaystyle (Y,\mu )}로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto \mu (f(x),g(x))}
위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 {\displaystyle [X,Y]\_{\bullet }}은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 \Sigma 와 고리 공간 \Omega 는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

{\displaystyle [X,\Omega Y]\_{\bullet }\cong [\Sigma X,Y]\_{\bullet }}
특히, {\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}}이므로 호모토피 군에 대해 {\displaystyle \pi \_{n-1}(\Omega X)\cong \pi \_{n}(X)}가 성립한다.

역사
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장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.

참고 문헌
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1. ↑  J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.