|  |
| --- |
| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
| * 개론
* 수학적 공식화
* 역사
 |
| 배경
* 고전역학
* 초기 양자론
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

 |
| 기본
* 상보성
* 결어긋남
* 얽힘
* 에너지 준위
* 측정(measurement)
* 비국소성(nonlocality)
* 양자수
* 상태(state)
* 중첩
* Symmetry
* 터널링
* 불확정성
* 파동 함수
	+ 붕괴

 |
| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

 |
| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

 |
| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

 |
| 해석
* 베이지안
* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

 |
| 고급 주제
* 상대론적 양자역학
* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
* EPR 역설
* 밀도 행렬
* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
 |
| 과학자
* 아하로노프Aharonov
* 벨
* 베테
* 블래킷
* 블로흐
* 봄
* 보어
* 보른
* 보스
* 드브로이
* 콤프턴
* 디랙
* 데이비슨
* 디바이
* 에렌페스트
* 아인슈타인
* 에버렛
* 포크
* 페르미
* 파인먼
* 글라우버
* 구츠윌러Gutzwiller
* 하이젠베르크
* 힐베르트
* 요르단
* 크라머르스
* 파울리
* 램
* 란다우
* 라우에
* 모즐리
* 밀리컨
* 오너스
* 플랑크
* 라비
* 라만
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거
* 시몬스Simmons
* 조머펠트
* 폰 노이만
* 바일
* 빈
* 위그너
* 제이만
* 차일링거

 |
| * v
* t
* e
 |

양자역학에서 **각운동량 연산자**(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 {\displaystyle J\_{x}}, {\displaystyle J\_{y}}, {\displaystyle J\_{z}}이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 **궤도 각운동량**(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 **스핀 각운동량**(spin angular momentum)이라고 한다.

정의
--

**각운동량 연산자** {\displaystyle \mathbf {J} =(J\_{x},J\_{y},J\_{z})}는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다.

{\displaystyle \left[J\_{i},J\_{j}\right]=\sum \_{k}i\hbar \epsilon \_{ijk}J\_{k}}.
여기서 \epsilon\_{ijk}는 레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \left[J\_{x},J\_{y}\right]=i\hbar J\_{z}}
{\displaystyle \left[J\_{y},J\_{z}\right]=i\hbar J\_{x}}
{\displaystyle \left[J\_{z},J\_{x}\right]=i\hbar J\_{y}}.
각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.

{\displaystyle \left[J\_{i},\mathbf {J} ^{2}\right]=0}.
위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

각운동량 사다리 연산자
------------

각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 J\_{+}, {\displaystyle J\_{-}}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle J\_{\pm }=J\_{x}\pm iJ\_{y}}.
이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.

{\displaystyle J\_{+}J\_{-}+J\_{-}J\_{+}=2(J\_{x}^{2}+J\_{y}^{2})=2(\mathbf {J} ^{2}-J\_{z}^{2})}
{\displaystyle J\_{+}J\_{-}=\mathbf {J} ^{2}-J\_{z}^{2}+\hbar J\_{z}}
{\displaystyle J\_{-}J\_{+}=\mathbf {J} ^{2}-J\_{z}^{2}-\hbar J\_{z}}
이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다.

{\displaystyle \left[J\_{+},J\_{-}\right]=2\hbar J\_{z}}
{\displaystyle \left[J\_{z},J\_{\pm }\right]=\pm \hbar J\_{\pm }}
{\displaystyle \left[\mathbf {J} ^{2},J\_{\pm }\right]=0}

각운동량의 고윳값과 고유함수
---------------

위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 {\displaystyle J\_{z}}를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle }
{\displaystyle \mathbf {J} \_{z}|j,m\rangle =\hbar m|j,m\rangle }.
m은 {\displaystyle -j,-j+1,-j+2,\cdots ,j-1,j} 중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우, j (통상적으로 l로 표기)는 음이 아닌 정수(0,1,2,\dots )이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 j는 음이 아닌 정수 또는 반정수({lang|half-integer}) {\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc }이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 m값이 변하게 된다.

{\displaystyle J\_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle }
{\displaystyle J\_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle }

궤도 각운동량
-------

**궤도 각운동량** 연산자는 고전역학의 각운동량 {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }.
여기서,

\mathbf{L}: 궤도 각운동량 연산자
\mathbf{r}: 위치 연산자
{\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }: 운동량 연산자
이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 {\displaystyle \textstyle \mathbf {p} ={h \over i}\nabla }가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

{\displaystyle \mathbf {L} ={h \over i}\mathbf {r} \times \nabla }
정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자 {\displaystyle L\_{x}} , {\displaystyle L\_{y}} , L\_z가 더 자주 쓰인다.

{\displaystyle L\_{x}=-i\hbar (y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y})}
{\displaystyle L\_{y}=-i\hbar (z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z})}
{\displaystyle L\_{z}=-i\hbar (x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x})}
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L\_{x}^{2}+L\_{y}^{2}+L\_{z}^{2}}.
이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

스핀 각운동량
-------

 이 부분의 본문은 스핀 (물리학)입니다.

참고 문헌
-----

* Griffiths, David J. (2004), *Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.)*, Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
* Liboff, Richard L. (2002), *Introductory Quantum Mechanics*, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5