수학에서 **특수 유니터리 군**(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.

정의
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체 K가 자기 동형

\bar{\quad}\colon K\to K
를 가진다고 하자. K 위의 유한 차원 벡터 공간 V와, V 위의 비퇴화 반쌍선형 형식

Q\colon V\times V\to K
Q(au+bv,w)={\bar a}Q(u,w)+{\bar b}Q(v,w)
Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)
가 주어졌을 때, **특수 유니터리 군** \operatorname {SU}(V,Q)는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

\operatorname {SU}(V,Q)=\{M\in \operatorname {SL}(V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}
특히, 만약 V가 n차원 벡터 공간이며, Q가 자명한 항등 이차 형식

Q(u,v)=\sum \_{{i=1}}^{n}{\bar u}v
일 경우, 이를 \operatorname {SU}(n;K)라고 쓴다. 만약 K를 생략하는 경우, K={\mathbb C}를 뜻한다.

또한, 만약 K={\mathbb C}이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, V가 (p+q)차원 복소수 벡터 공간이며, Q의 계량 부호수가 (p,q)라면, 이는 \operatorname {SU}(p,q)라고 쓴다.

### 리 대수

\operatorname {SU}(n;K)의 리 대수

{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(n;K)\colon M^{\dagger }=-M\}}
은 n\times n 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 {\displaystyle M^{\dagger }=({\bar {M}})^{\top }={\overline {M^{\top }}}}은 M에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.

특히, {\mathfrak {su}}(2)는 파울리 행렬로 생성되며, \mathfrak{su}(3)는 겔만 행렬로 생성된다.

### SU\*(2*n*)

{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n;\mathbb {C} )}의 경우, {\displaystyle {\mathfrak {su}}^{\*}(2n)} 또는 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {H} )}로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

체 K 위의 벡터 공간 V 위에 심플렉틱 구조

{\displaystyle \Omega \in \operatorname {GL} (V;K)}
{\displaystyle \Omega ^{2}=-1}
{\displaystyle \Omega =-\Omega ^{\top }}
가 주어졌다고 하자. (만약 V가 유한 차원일 때, V는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 \Omega 를

{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0\_{n\times n}&1\_{n\times n}\\-1\_{n\times n}&0\_{n\times n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2n;K)}
의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {U} ^{\*}(2n)=\{M\in \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )\colon {\bar {M}}\Omega =\Omega M\}}
{\displaystyle \operatorname {SU} ^{\*}(2n)=\operatorname {U} ^{\*}(2n)\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )}
만약 {\displaystyle K=\mathbb {C} }일 때, {\displaystyle \operatorname {SU} ^{\*}(2n)}의 실수 리 대수는 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n)\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} }의 실수 형태이다.

K={\mathbb C}일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간 {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} 위의 사원수 선형 변환의 리 군

{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {Aut} \_{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {U} ^{\*}(2n)}
을 생각하자. 이는 실수 {\displaystyle 4n^{2}}차원의 리 군이다. 이제, 임의의

{\displaystyle \iota \in \{q\in \mathbb {H} \colon q^{2}=-1,\;{\bar {q}}=-q\}=\{v\_{1}\mathrm {i} +v\_{2}\mathrm {j} +v\_{3}\mathrm {k} \colon v\_{1}^{2}+v\_{2}^{2}+v\_{3}^{2}=1\}}
는 {\mathbb H}의 복소구조

{\displaystyle j\colon q\mapsto \iota q}
를 정의하며, 이 복소구조에 대하여

{\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )=\operatorname {SU} ^{\*}(2n)}
를 정의할 수 있다. 이 정의는 \iota 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

성질
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### 군론적 성질

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

\operatorname Z(\operatorname {SU}(n))=\{\exp(2\pi ik/n)1\_{{n\times n}}\colon k=0,1,\dots ,n-1\}\cong {\mathbb Z}/n
중심에 대한 몫군을 **사영 특수 유니터리 군**(영어: projective special unitary group)이라고 한다.

1\to {\mathbb Z}/n\cong \operatorname Z(\operatorname {SU}(n))\to \operatorname {SU}(n)\to \operatorname {PSU}(n)\to 1
### 리 이론적 성질

특수 유니터리 군 \operatorname {SU}(n) 은 n^{2}-1차원 단순 리 군이며, 계수는 n-1이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 A\_{{n-1}}이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

\bullet -\bullet -\cdots -\bullet 
특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

\left\{\operatorname {diag}\left(\lambda \_{1},\lambda \_{2},\dots ,\lambda \_{{n-1}},\prod \_{{i=1}}^{{n-1}}\lambda \_{i}^{{-1}}\right)\colon \lambda \_{1},\dots ,\lambda \_{{n-1}}\in \operatorname U(1)\right\}\subset \operatorname {SU}(n)
특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

\operatorname {Weyl}(\operatorname {SU}(n))=\operatorname {Sym}(n)
대칭군 \operatorname {Sym} (n)은 n차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인 n-1차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 n차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

### 위상수학적 성질

\operatorname {SU}(n)은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

\operatorname {SU} (2)는 3차원 초구 \mathbb {S} ^{3}와 위상동형이다.

### 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

* {\displaystyle \operatorname {SO} (2n)\supset \operatorname {SU} (n)}. 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 \operatorname{SO}(2n) 딘킨 도표에서 \circ 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-\bullet -\bullet }
* {\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SO} (n)}. 이는 실수 n\times n 행렬을 복소수 n\times n 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
* {\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)\supset \operatorname {U} (n)}. 이는 \operatorname {SU}(n+1) 딘킨 도표에서 \circ 로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}-\circ \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}}
* \operatorname {SU}(2n)\supset \operatorname {USp}(2n). 이는 \operatorname {SU}(2n)의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.
{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\rangle \bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\Leftarrow \bullet }
* {\displaystyle E\_{7}\supset \operatorname {SU} (8)/(\mathbb {Z} /2)}.:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
* {\displaystyle E\_{8}\supset \operatorname {SU} (9)/(\mathbb {Z} /3)}.:§5.11 이는 E8의 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}
* G\_{2}\supset \operatorname {SU}(3)

### 예외적 동형

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 **예외적 동형**(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다.

\operatorname {SU}(1)\cong 1
\operatorname {SU}(2)\cong \operatorname {Spin}(3)
\operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)
\operatorname {SU}(2)\times \operatorname {SU}(2)\cong \operatorname {Spin}(4)
\left(\operatorname {SU}(2)\times \operatorname {SU}(2)\right)/({\mathbb Z}/2)\cong \operatorname {SO}(4)
\operatorname {SU}(4)\cong \operatorname {Spin}(6)
\operatorname {SU}(4)/({\mathbb Z}/2)\cong \operatorname {SO}(6)
\operatorname {PSU}(4)\cong \operatorname {PSO}(6)
### 표현론

\operatorname {SU}(n)의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, **정의 표현**(영어: defining representation) \square 은 n차원 표현이며, 그 켤레 {\bar \square } 역시 n차원 표현이다. 또한, n^{2}-1차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

\operatorname {SU} (2)의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 j\in {\tfrac 12}{\mathbb Z}에 의하여 분류된다. 이를 표현의 **스핀**이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용
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SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

참고 문헌
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1. 1 2  Yokota, Ichiro (2009년 2월). "Exceptional Lie groups" (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y.