미분위상수학에서 **스핀 다양체**(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉, 직교 틀다발 {\displaystyle P\_{\operatorname {SO} }M\to M}을 이중 피복 공간 \operatorname {Spin}(n)\to \operatorname {SO}(n)에 대하여 적절히 주다발 P\_{{\mathrm {Spin}}}M\to M으로 확장할 수 있는 가향 (준) 리만 다양체다.

정의
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임의의 두 자연수 (p,q)에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형

{\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )}
이 존재한다.

파라콤팩트 공간 M 위의 \operatorname {SO} (p,q)-주다발 {\displaystyle \pi \_{\operatorname {SO} }\colon P\twoheadrightarrow M} 위의 **스핀 구조**(spin構造, 영어: spin structure)란 다음 데이터로 구성된다.

* Spin(*p,q*)-주다발 \pi \_{{\operatorname {Spin}}}\colon P\_{{{\mathrm {Spin}}}}(M)\to M
* 이중 피복 공간 {\displaystyle p\colon P\_{\operatorname {Spin} }(M)\twoheadrightarrow P\_{\operatorname {SO} }(M)}

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* \pi \_{{\operatorname {SO}}}\circ p=\pi \_{{\operatorname {Spin}}}
* 임의의 x\in P\_{{\operatorname {Spin}}}, h\in \operatorname {Spin}(n)에 대하여 p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)이다. (여기서 \cdot 은 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용은 p와 가환한다.

파라콤팩트 공간 M 위의 유향(有向) 벡터 다발 E 위의 **스핀 구조**는 E의 직교 틀다발 {\displaystyle P\_{\operatorname {SO} }(E)} 위의 스핀 구조이다.

매끄러운 다양체 M 위의 **스핀 구조**는 그 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}(의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. **스핀 다양체**는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다.

### 스피너 다발

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}라고 하고, 스핀 군 {\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}의 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 표현

{\displaystyle \kappa \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {GL} (\Delta ;\mathbb {K} )}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올이 \Delta 인 복소수 연관 벡터 다발

S=P\_{{\operatorname {Spin}}}\times \_{\kappa }\Delta 
을 정의할 수 있다.

특히, {\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}는 항상 {\displaystyle 2^{\lfloor (p+q)/2\rfloor }}차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발을 **디랙 스피너 다발** {\displaystyle \mathrm {S} M}이라고 한다. 만약 p+q가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 **바일 스피너 다발**의 직합으로 분해된다.

{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}
만약 {\displaystyle (p-q){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}}라면, 마찬가지로 **마요라나 스피너 다발** {\displaystyle \mathrm {S} \_{\mathbb {R} }M}을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,

{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} \_{\mathbb {R} }M\otimes \mathbb {C} }
이다. 만약 p-q가 8의 배수라면, **마요라나-바일 스피너 다발** {\displaystyle \mathrm {S} \_{\mathbb {R} }^{\pm }M}이 존재하며,

{\displaystyle \mathrm {S} \_{\mathbb {R} }^{\pm }M\otimes \mathbb {C} =\mathrm {S} ^{\pm }M}
{\displaystyle \mathrm {S} \_{\mathbb {R} }^{+}M\oplus \mathrm {S} \_{\mathbb {R} }^{-}M=\mathrm {S} \_{\mathbb {R} }M}
이다.

스핀 다양체 위의 **스피너장**(spinor場, 영어: spinor field)은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다.

성질
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가향 다양체 M 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류

{\displaystyle \mathrm {w} \_{2}(M)\in \mathrm {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}
가 0인지 여부이다.:115, Proposition 3.34

분류
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만약 매끄러운 다양체 M 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}의 집합과 일대일 대응한다.:115, Proposition 3.34 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너를 평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다.

예
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다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

* 종수 *g*의 콤팩트 리만 곡면은 22*g*개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 **세타 지표**(영어: theta characteristic)라고 불린다.
* 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
* 초구 *Sn*는 모두 스핀 구조를 갖는다. {\displaystyle n\neq 1}일 때 이는 유일하며, 원 \mathbb {S} ^{1}은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
* 홀수 차원 복소수 사영 공간 {\mathbb {CP}}^{{2k+1}}은 스핀 구조를 갖는다.
* 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다.

다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.

* 짝수 차원 복소수 사영 공간 {\mathbb {CP}}^{{2k}}은 스핀 구조를 갖지 않는다.

### 낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조

0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 L의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉

{\displaystyle {\sqrt {L}}\otimes {\sqrt {L}}\cong L}
이 되는 복소수 선다발 L에 해당한다.

참고 문헌
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1. ↑  Lawson, H. Blaine; Marie-Louise Michelsohn (1989). 《Spin Geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) **38**. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Friedrich, Thomas (2000). 《Dirac Operators in Riemannian Geometry》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **25**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1.
3. 1 2  Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) **298**. Springer-Verlag.

* Ebert, Johannes Felix (2006년 7월). 《Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universität Bohn. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 18일에 확인함.