확률론에서, **보렐-칸텔리 보조정리**(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의
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보렐-칸텔리 보조정리는 **(제1) 보렐-칸텔리 보조정리**(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 **제2 보렐-칸텔리 보조정리**(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다.

확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}에 대하여, 다음이 성립한다.

* (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})<\infty }라면, {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)=0}이다.
* (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})=\infty }이며 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }}가 독립이라면, {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)=1}이다.

제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라

{\displaystyle 0=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{i=n}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})\geq \lim \_{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)=\operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)}
이다. 따라서

{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)=0}
이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.

{\displaystyle N=\sum \_{i=1}^{\infty }1\_{A\_{i}}}
그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.

{\displaystyle \infty >\sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})=\operatorname {E} (N)\geq \infty \cdot \operatorname {Pr} (N=\infty )=\infty \cdot \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)}
따라서

{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)=0}
이다.


제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.

{\displaystyle 1-x\leq \exp(-x)}
이 부등식과 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }}의 독립성에 따라, 임의의 n=1,2,\dots 에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A\_{i})\right)&=\lim \_{m\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{i=n}^{m}(\Omega \setminus A\_{i})\right)\\&=\lim \_{m\to \infty }\prod \_{i=n}^{m}(1-\operatorname {Pr} (A\_{i}))\\&\leq \lim \_{m\to \infty }\prod \_{i=n}^{m}\exp(-\operatorname {Pr} (A\_{i}))\\&=\lim \_{m\to \infty }\exp \left(-\sum \_{i=n}^{m}\operatorname {Pr} (A\_{i})\right)\\&=0\end{aligned}}}
따라서 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)&=1-\operatorname {Pr} \left(\bigcup \_{n=1}^{\infty }\bigcap \_{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A\_{i})\right)\\&=1-\lim \_{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A\_{i})\right)\\&=1\end{aligned}}}

일반화
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제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

### 코첸-스톤 부등식

확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}에 대하여,

{\displaystyle L=\liminf \_{n\to \infty }{\frac {\sum \_{i,j=1}^{n}\operatorname {Pr} (A\_{i}\cap A\_{j})}{\left(\sum \_{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A\_{i})\right)^{2}}}}
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle L\geq 1}
* 만약 {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})=\infty }라면, {\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)\geq 1/L}이다.
	+ 특히, 만약 {\displaystyle L<\infty }라면 위 확률은 0보다 크다.
	+ 특히, 만약 {\displaystyle L=1}이라면 위 확률은 1이다.:88, §[1.]6, Theorem 6.3
* 만약 {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})=\infty }이며 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }}가 쌍마다 독립이라면, {\displaystyle L=1}이다.:89, §[1.]6, Example 6.4 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

### 페트로프의 일반화

확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 속 사건의 열 {\displaystyle (A\_{i})\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}} 및 임의의 실수 {\displaystyle H\in \mathbb {R} }에 대하여,

{\displaystyle \alpha \_{H}=\liminf \_{n\to \infty }{\frac {\sum \_{1\leq i<j\leq n}(\operatorname {Pr} (A\_{i}\cap A\_{j})-H\operatorname {Pr} (A\_{i})\operatorname {Pr} (A\_{j}))}{\left(\sum \_{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A\_{i})\right)^{2}}}}
라고 하자. 그렇다면, 만약

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A\_{i})=\infty }
라면,

{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}\right)\geq 1/(H+2\alpha \_{H})}
이다.

특히, 코첸-스톤 부등식은 H=0인 특수한 경우이다.

역사
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에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다. 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
2. 1 2 3  Kochen, Simon; Stone, Charles (1964). "A note on the Borel–Cantelli lemma". 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) **8** (2): 248–251. doi:10.1215/ijm/1256059668. ISSN 0019-2082. MR 0161355. Zbl 0139.35401.
3. 1 2  Petrov, Valentin V. (2002년 7월 1일). "A note on the Borel–Cantelli lemma". 《Statistics & Probability Letters》 (영어) **58** (3): 283–286. doi:10.1016/S0167-7152(02)00113-X. ISSN 0167-7152.
4. 1 2 3  Petrov, Valentin V. (2004년 4월 15일). "A generalization of the Borel–Cantelli lemma". 《Statistics & Probability Letters》 (영어) **67** (3): 233–239. doi:10.1016/j.spl.2004.01.008. ISSN 0167-7152.