미분기하학에서 **양-밀스 순간자**(楊-Mills瞬間子, 영어: Yang–Mills instanton)는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다.

정의
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### (반) 자기 쌍대 형식

다음이 주어졌다고 하자.

* 2n차원 유향 콤팩트 리만 다양체 (M,g,\omega)
* M 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 및 그 위의 양의 정부호 내적 {\displaystyle \langle -,-\rangle }

그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)}를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대

{\displaystyle \*\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{2n-\bullet }(M;E)}
{\displaystyle \alpha \wedge \*\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }
를 정의할 수 있다. 물론, k차 미분 형식에 대하여 {\displaystyle \*^{2}=(-)^{k(2n-k)}}이다.

특히, 가운데 차수 (n차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 {\displaystyle \*^{2}=(-)^{n^{2}}}이다. 만약 n이 짝수일 경우, {\displaystyle \*\upharpoonright \Omega ^{n}(M;E)}의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.

{\displaystyle \Omega ^{n}(M;E)=\Omega ^{n,+}(M;E)\oplus \Omega ^{n,-}(M;E)}
여기서 {\displaystyle \Omega ^{n,+}(M)}의 원소는 **자기 쌍대 미분 형식**(영어: self-dual differential form), \Omega \_{-}^{2}(M)의 원소는 **반 자기 쌍대 미분 형식**(영어: anti-self-dual differential form)라고 한다. 이에 대한 사영 사상을

{\displaystyle \operatorname {proj} ^{\pm }\colon \Omega ^{n}(M;E)\to \Omega ^{n,+}(M;E)}
라고 표기하자.

(만약 n이 홀수라면, \*의 고윳값은 {\displaystyle \pm \mathrm {i} }가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)

다양체 M의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

### 순간자수

다음이 주어졌다고 하자.

* 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 M
* 콤팩트 리 군 G
* {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 {\displaystyle K(-,-)}
* G-매끄러운 주다발 {\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}

그렇다면, P의 천-베유 준동형

{\displaystyle \operatorname {CW} \_{P}\colon \mathbb {C} [{\mathfrak {lie}}(G)]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
을 정의할 수 있으며, {\displaystyle K(-,-)}의 천-베유 준동형 아래의 상

{\displaystyle \operatorname {CW} \_{P}(K)\in \operatorname {H} ^{4}(M;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }
를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }에 대하여

{\displaystyle \operatorname {CW} \_{P}(K)\in \lambda \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {C} }
의 꼴이다. 이 경우, {\displaystyle \lambda ^{-1}\operatorname {CW} \_{P}(K)\in \mathbb {Z} }를 주다발 P의 **순간자수**(영어: instanton number)라고 한다. (이는 {\displaystyle \lambda \mapsto -\lambda } 아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{4}} (4차원 초구)이며, G가 콤팩트 단순 리 군이라면, {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 G-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.

**증명 개략**:

{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 A를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 {\displaystyle \infty \in \mathbb {S} ^{4}}을 무한대로 여겨, {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {S} ^{4}\setminus \{\infty \}}로 여길 수 있다.

4차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{4}은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 G-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. A는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{4}의 무한대는 \mathbb {S} ^{3}이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수

{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G}
를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G} 호모토피류, 즉 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 G가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 \mathbb {Z} 이며, 이는 순간자수에 해당한다.

### (반) 자기 쌍대 주접속

다음이 주어졌다고 하자.

* 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 (M,g,\omega)
* 콤팩트 리 군 G
* {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 {\displaystyle K(-,-)}
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M

그렇다면, P의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발

{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times \_{G}\operatorname {ad} (G)}
을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은

{\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}
에 대한 아핀 공간이다. ({\displaystyle \operatorname {ad} (G)}는 G의 딸림표현이다.) 주접속 A로부터, 주곡률 {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (G))}을 정의할 수 있다. {\displaystyle K(-,-)}가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 {\displaystyle \operatorname {ad} (G)} 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 **반 자기 쌍대 주접속**(영어: anti-self-dual connection) 또는 **양-밀스 순간자**(영어: Yang–Mills instanton)라고 한다.

이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은

{\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}
이다. 이 대신, M에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 {\displaystyle (M,\bullet )}을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군

{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{0}={\mathcal {C}}\_{\bullet }^{\infty }((M,\bullet ),(G,1\_{G}))}
을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열

{\displaystyle 1\to {\mathcal {G}}\_{0}\to {\mathcal {G}}\to G\to 1}
을 이룬다. \mathcal G\_0에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 **틀 갖춘 순간자**(영어: framed instanton)이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 {\mathcal {M}}, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}이라고 하면, 이는 G-주다발

{\displaystyle G\hookrightarrow {\tilde {\mathcal {M}}}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}}
을 이룬다.

성질
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### 순간자 모듈라이 공간의 국소 모형

반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\text{ASD}}(M,G)}의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 {\displaystyle [A]\in {\mathcal {M}}\_{\text{ASD}}(M,G)}이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 **순간자 변형 복합체**(瞬間子變形複合體, 영어: instanton deformation complex)라고 한다.

{\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\nabla \_{A}}}\,\Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\operatorname {proj} ^{+}\nabla \_{A}}}\,\Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))\to 0}

**완전열 조건의 증명**:

임의의 {\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))}가 주어졌을 때,

{\displaystyle \nabla \_{A}\nabla \_{A}\phi =[F,\phi ]}
이다. 여기서 {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}는 A의 주곡률이다. F가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로,

{\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla \_{A}\nabla \_{A}\phi )=[\operatorname {proj} ^{+}(F),\phi ]=0}
이다.

여기서

* {\displaystyle \Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))}는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, {\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}의 부분 실수 벡터 공간이다.
* {\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}\colon \Omega ^{2}(\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{2,+}(\operatorname {ad} (P))}는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다.
* {\displaystyle \nabla \_{A}\colon \Omega ^{\bullet }(M;\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{\bullet +1}(M;\operatorname {ad} (P))}는 A에 대한 공변 미분이다.

순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}={\frac {\ker(\operatorname {proj} ^{+}\circ \nabla \_{A})}{\operatorname {im} \nabla \_{A}}}}
은 {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\text{ASD}}(M,G)}의, {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}\_{\text{ASD}}(M,G)}에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 {\displaystyle X\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}에 대하여,

* {\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla \_{A}X)=0} 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
* {\displaystyle \nexists \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\colon \nabla \_{A}\phi =X} 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 오일러 지표

{\displaystyle \operatorname {ind} =-\dim \operatorname {H} ^{0}+\dim \operatorname {H} ^{1}-\dim \operatorname {H} ^{2}}
를 모듈라이 공간의 **가상 차원**(假想次元, 영어: virtual dimension)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.

주다발 P에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {ind} =4h^{\vee }(G)|k|\leq \dim {\tilde {\mathcal {M}}}}
여기서 k는 순간자수이며, h^{\vee }(G)는 G의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 |G|만큼 작다.

{\displaystyle 4h^{\vee }(G)|k|-\dim G\leq \dim {\mathcal {M}}}
### 순간자 모듈라이 공간

양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\text{ASD}}(P)}를 생각하자. 그 위에는 M의 리만 계량 및 {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다.

만약 M이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{\text{ADS}}(P)}는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 G일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.:§2

{\displaystyle \dim {\tilde {\mathcal {M}}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)}
{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)-\dim G}
모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 {\tilde {M}}은 \mathbb {R} ^{4} 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, {\displaystyle 4|k|h^{\vee }(G)-4} 차원의 초켈러 다양체를 얻는다.

### ADHM 작도

 이 부분의 본문은 ADHM 작도입니다.
4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 {\mathcal {N}}=2 게이지 이론의 힉스 가지(영어: Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 **ADHM 작도**라고 한다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.

### 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식

(반) 자기 쌍대 주접속은 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.

M 위의 부피 형식 \omega 가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)} 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 {\displaystyle K(-,-)}이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우, {\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))} 위에 자연스러운 양의 정부호 내적

{\displaystyle \langle B,C\rangle =\int \_{M}K(B\wedge \*C)}
이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름 {\displaystyle \langle F,F\rangle }을 주접속의 **양-밀스 작용**(영어: Yang–Mills action)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률

{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}
의 (반) 자기 쌍대 성분을 {\displaystyle F^{\pm }}이라고 하자 ({\displaystyle F=F^{+}+F^{-}}, {\displaystyle \*F=F^{+}-F^{-}}). 그렇다면

{\displaystyle \langle F,F\rangle =\langle F\_{+},F\_{+}\rangle +\langle F\_{-},F\_{-}\rangle \geq |\langle F\_{+},F\_{+}\rangle -\langle F\_{-},F\_{-}\rangle |=\langle F,\*F\rangle =\left|\int \_{M}K(F\wedge F)\right|}
이다. 우변은 F의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우, F^{+} 또는 {\displaystyle F^{-}}가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

예
-

### 유클리드 공간

4차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{4} 위의, 게이지 군 G의 양-밀스 순간자를 생각하자. \mathbb {R} ^{4}의 콤팩트화 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.

{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(G,k)=4h^{\vee }(G)|k|}
예를 들어, {\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)}인 경우 이중 콕서터 수는 h^{\vee }=N이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 4N|k|이다.:9–12 하나의 순간자(k=1)인 경우, 이는 다음과 같다.

* 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(영어: translation) 자유도가 있다.
* 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(영어: dilatation) 자유도가 있다.
* {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}이므로, 원점에서 무한히 떨어진 S^{3}에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
* \operatorname {SU}(N)에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간

{\displaystyle {\frac {\operatorname {SU} (N)}{(\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2))/\operatorname {U} (1)}}={\frac {\operatorname {U} (N)}{\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2)}}}
이고, 그 차원은
N^{2}-4-(N-2)^{2}=4N-8
이다.
따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은

4+1+3+4N-8=4N
이다. 만약 순간자수가 k라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 4kN이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은

{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}/\operatorname {Cyc} (2)}
이다.:1.25 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

### 칼로론

 이 부분의 본문은 칼로론입니다.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}} 위의 양-밀스 순간자는 **칼로론**이라고 하며, 잘 알려져 있다.

### 초켈러 다양체

점근 국소 유클리드 공간과 토브-너트 공간의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

토브-너트 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 활 도형
토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 {\displaystyle \operatorname {diag} (\exp(2\pi \lambda /l),\exp(-2\pi \lambda /l))}을 갖는) k개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소

{\displaystyle {\frac {\mathrm {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k^{2}}}{\operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)}}}
로 주어진다.:(11), §4 이는 활 도형(영어: bow diagram)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은

{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}\_{l,\lambda ,k}=4\left(k^{2}+k+k^{2}+k+k^{2}+k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}\right)=8k}
이다.

역사
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양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다.

참고 문헌
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