선형대수학에서 **유리 표준형**(有理標準型, 영어: rational canonical form) 또는 **프로베니우스 표준형**(Frobenius標準型, 영어: Frobenius canonical form)은 임의의 체를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.

정의
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체 K를 계수로 하는 일계수 다항식

{\displaystyle p(x)=a\_{0}+a\_{1}x+\cdots a\_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]}
{\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dots ,a\_{\deg p-1}\in K}
의 **동반 행렬**(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은 {\displaystyle \deg p\times \deg p} 정사각 행렬이다.

{\displaystyle C(p)={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a\_{0}\\1&0&\cdots &0&-a\_{1}\\0&1&\cdots &0&-a\_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&\cdots &1&-a\_{\deg p-1}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (\deg p;K)}
### 유리 표준형

체 K 위의 임의의 n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 및 유일한 일계수 다항식 집합 {\displaystyle \{d\_{1},d\_{2},\dots ,d\_{k}\}\subset K[x]}이 존재하며, {\displaystyle G^{-1}MG}를 M의 **(불변 인자) 유리 표준형**(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다.

{\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(d\_{1}),C(d\_{2}),\dots ,C(d\_{k}))}
{\displaystyle d\_{k}(x)\mid d\_{k-1}(x)\mid \cdots \mid d\_{1}(x)}
{\displaystyle \deg d\_{i}\geq 1\qquad (\forall i\in \{1,2,\dots ,k\})}
이는 M으로 유도되는 K[x]-가군

K^{n}
{\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})}
의 불변 인자 분해

{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(d\_{1}(x))\oplus K[x]/(d\_{2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d\_{k}(x))}
에서, M에 대응하는 K-선형 변환 {\displaystyle v\mapsto x\cdot v}의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

{\displaystyle \left\{1+(d\_{i}(x)),x+(d\_{i}(x)),\dots ,x^{\deg d\_{i}-1}+(d\_{i}(x))\right\}\subset K[x]/(d\_{i}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,k)}
### 으뜸 유리 표준형

체 K 위의 임의의 n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 {\displaystyle \{p\_{1}^{e\_{1}},p\_{2}^{e\_{2}},\dots ,p\_{l}^{e\_{l}}\}\subset K[x]}이 존재하며, {\displaystyle G^{-1}MG}를 M의 **으뜸 유리 표준형**(영어: primary rational canonical form) 또는 **초등 인자 유리 표준형**(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다.

{\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(p\_{1}^{e\_{1}}),C(p\_{2}^{e\_{2}}),\dots ,C(p\_{l}^{e\_{l}}))}
이는 K[x]-가군

K^{n}
{\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})}
의 으뜸 분해

{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(p\_{1}^{e\_{1}}(x))\oplus K[x]/(p\_{2}^{e\_{2}}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p\_{l}^{e\_{l}}(x))}
에서, K-선형 변환 {\displaystyle v\mapsto x\cdot v}의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

{\displaystyle \left\{1+(p\_{i}^{e\_{i}}(x)),x+(p\_{i}^{e\_{i}}(x)),\dots ,x^{\deg(p\_{i}^{e\_{i}})-1}+(p\_{i}^{e\_{i}}(x))\right\}\subset K[x]/(p\_{i}^{e\_{i}}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,l)}

역사와 어원
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페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다. ‘유리’(영어: rational)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.

참고 문헌
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1. ↑  Hungerford, Thomas W. (1974). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **73**. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 978-0-387-90518-1. ISSN 0072-5285. MR 0600654. Zbl 0442.00002.
2. ↑  Roman, Steven (2008). 《Advanced Linear Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **135** 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-72831-5. ISBN 978-0-387-72828-5. ISSN 0072-5285. LCCN 2007934001. MR 2344656. Zbl 1132.15002.
3. ↑  Frobenius, G. (1879). "Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **86**: 146–208. ISSN 1435-5345. MR 1579769.
4. ↑  Hawkins, Thomas (1977). "Weierstrass and the Theory of Matrices". 《Archive for History of Exact Sciences》 (영어) **17** (2): 119–163. doi:10.1007/BF02464978. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133484. MR 528299.