집합 \{1,2,3,4\}의 멱집합의 하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.
순서론에서 **필터**(영어: filter)는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 **순서 아이디얼**(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의
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### 필터와 순서 아이디얼

원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 **필터**라고 한다.

* S는 하향 원순서 집합이다.
* S는 상집합이다.

원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 **순서 아이디얼**이라고 한다.

* S는 상향 원순서 집합이다.
* S는 하집합이다.

### 소 필터와 소 순서 아이디얼

원순서 집합 (X,\lesssim )의 필터 S\subseteq X에 대하여, 만약 X\setminus S가 아이디얼이라면, S를 **소 필터**(영어: prime filter), X\setminus S를 **소 순서 아이디얼**(영어: prime order ideal)이라고 한다.

### 극대 필터와 극대 순서 아이디얼

원순서 집합 (X,\lesssim )의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )}을 이루며, 만약 X가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 {\displaystyle X\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )} 자체이다. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\setminus \{X\}}의 극대 원소를 **극대 필터**(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 **초필터**(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터[\*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 (X,\lesssim )의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )}을 이루며, 만약 X가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 {\displaystyle X\in \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )} 자체이다. 이 경우 {\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )\setminus \{X\}}의 극대 원소를 **극대 순서 아이디얼**(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

(X 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질
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### 합집합과 교집합

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 (X,\lesssim ) 속의 필터들의 사슬 {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \operatorname {Filter} (X,\lesssim )}에 대하여, 합집합 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}}은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 {\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}}는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 {\mathbb N}에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 \infty, {\displaystyle \infty '}를 추가하였을 때,

{\displaystyle F\_{i}=\{n\in \mathbb {N} \colon n\geq i\}\cup \{\infty ,\infty '\}}
는 필터이지만,

{\displaystyle \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }F\_{i}=\{\infty ,\infty '\}}
는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

### 극대 필터 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 하향 원순서 집합 (X,\lesssim )
* 필터 {\displaystyle F\subsetneq X}
* 최소 원소 {\displaystyle \bot \in X}. 즉, 모든 x\in X에 대하여 {\displaystyle \bot \lesssim x}이다.

**극대 필터 정리**(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, F를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.

**증명:**

부분 순서 집합

{\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{F'\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\colon F\subseteq F'\neq X\right\}}
를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, {\mathcal R} 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

{\mathcal R} 속의 임의의 사슬 {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {R}}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}}는 {\mathcal {C}}의 상계이다. 이제 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}\neq X}임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}=X}라고 가정하자. 그렇다면

{\displaystyle \bot \lesssim C\in {\mathcal {C}}}
인 C\in {\mathcal {C}}를 찾을 수 있다. 그렇다면 {\displaystyle C=X\not \in {\mathcal {R}}}인데, 이는 모순이다.
마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 (X,\lesssim )에서, X 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

### 격자

격자 L의 부분 집합 {\displaystyle I\subseteq L}에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* I는 순서 아이디얼이다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
	+ 공집합이 아니다.
	+ {\displaystyle x,y\in I}에 대하여 {\displaystyle x\lor y\in I}이다.
	+ x\in I 및 {\displaystyle y\in L}에 대하여 {\displaystyle x\land y\in I}이다.
* {\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)}인 이음 반격자 준동형 {\displaystyle \phi \colon L\to 2}가 존재한다.

격자 L의 부분 집합 {\displaystyle F\subseteq L}에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* F는 필터이다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
	+ 공집합이 아니다.
	+ {\displaystyle x,y\in F}에 대하여 {\displaystyle x\land y\in F}이다.
	+ {\displaystyle x\in F} 및 {\displaystyle y\in L}에 대하여 {\displaystyle x\lor y\in F}이다.
* {\displaystyle F=\phi ^{-1}(1)}인 만남 반격자 준동형 {\displaystyle \phi \colon L\to 2}가 존재한다.

격자 L의 부분 집합 {\displaystyle I\subseteq L}에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* I는 소 순서 아이디얼이다.
* {\displaystyle L\setminus I}는 소 필터이다.
* {\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)}인 격자 준동형 {\displaystyle \phi \colon L\to 2}가 존재한다.

#### 필터 격자와 순서 아이디얼 격자

일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 S의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)}은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (S)}의 상한과 하한은 다음과 같다.

{\displaystyle \bigvee {\mathcal {I}}=\{x\in S\colon x\leq i\_{1}\vee \cdots \vee i\_{n},\;i\_{k}\in I\_{k},\;k=1,\dots ,n,\;I\_{1},\dots ,I\_{n}\in {\mathcal {I}},\;n=1,2,\dots \}}
{\displaystyle \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigcap {\mathcal {I}}}
쌍대적으로, 유계 만남 반격자 S의 필터들의 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Filter} (S)}은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Filter} (S)}의 상한과 하한은 다음과 같다.

{\displaystyle \bigvee {\mathcal {F}}=\{x\in S\colon x\geq f\_{1}\wedge \cdots \wedge f\_{n},\;f\_{k}\in F\_{k},\;k=1,\dots ,n,\;F\_{1},\dots ,F\_{n}\in {\mathcal {F}},\;n=1,2,\dots \}}
{\displaystyle \bigwedge {\mathcal {F}}=\bigcap {\mathcal {F}}}
반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.:53, Theorem 42

격자 L에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:111, Corollary 104

* 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}은 분배 격자이다.
* 필터들의 부분 순서 집합 {\displaystyle \operatorname {Filter} (L)}은 분배 격자이다.
* L은 분배 격자이다.

#### 볼록 부분 격자

원순서 집합 (X,\lesssim )의 부분 집합 S\subseteq X가 다음 두 조건을 만족시키면, **(순서) 볼록 집합**(영어: (order) convex set)이라고 한다.

* 임의의 x,y\in S 및 z\in X에 대하여, 만약 {\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}라면, {\displaystyle z\in S}

격자 L의 순서 아이디얼 I와 필터 F의 교집합 {\displaystyle I\cap F}는 항상 L의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.:34, Lemma 9

증명:

격자 L의 순서 아이디얼 I와 필터 F가 주어졌다고 하자. I와 F가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. {\displaystyle x,y\in I\cap F} 및 {\displaystyle z\in L}이 주어졌고, {\displaystyle x\leq z\leq y}라고 하자. 그렇다면 I가 하집합이므로 {\displaystyle z\in I}이며, F가 상집합이므로 {\displaystyle z\in F}이다. 따라서, {\displaystyle I\cap F}는 L의 볼록 부분 격자이다.

반대로, L의 볼록 부분 격자 S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S는 상향 집합이자 하향 집합이다. S를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 {\displaystyle \mathop {\downarrow } S} 및 필터 {\displaystyle \mathop {\uparrow } S}를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 {\displaystyle S\subseteq \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S}이다. 또한, S가 볼록 부분 격자이므로 {\displaystyle \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S\subseteq S}이다. 따라서 S는 순서 아이디얼 {\displaystyle \mathop {\downarrow } S}와 필터 {\displaystyle \mathop {\uparrow } S}의 교집합이다.

이제, L의 볼록 부분 격자 {\displaystyle S=I\cap F}가 순서 아이디얼 I와 필터 F의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, {\displaystyle I=\mathop {\downarrow } S}를 보이면 족하다. {\displaystyle S\subseteq I}이므로 {\displaystyle \mathop {\downarrow } S\subseteq I}이다. 반대로 x\in I라고 하자. 임의의 {\displaystyle y\in S}를 취하자. 그렇다면, {\displaystyle y\in I}이므로 {\displaystyle x\vee y\in I}이며, {\displaystyle y\in F}이므로 {\displaystyle x\vee y\in F}이다. 즉, {\displaystyle x\vee y\in S}이다. {\displaystyle x\leq x\vee y}이므로, {\displaystyle x\in \mathop {\downarrow } S}이다.

### 불 대수

불 대수 {\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )}는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

{\displaystyle xy=x\land y}
{\displaystyle x+y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)}
또한, 불 대수 {\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )}는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

{\displaystyle x\leq y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y}
그렇다면, B의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 B 위의 필터 {\mathcal {U}}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\mathcal {U}}는 극대 필터이다.
* 임의의 x\in B에 대하여, x\in {\mathcal U}이거나 \lnot x\in {\mathcal U}이다.
* B\setminus {\mathcal U}는 극대 순서 아이디얼이다.

### 그물의 유도 필터

집합 X와 상향 원순서 집합 {\displaystyle (I,\lesssim )} 및 그물 {\displaystyle x\_{\bullet }\colon I\to X}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (x\_{i})\_{i\in I}의 꼬리들의 집합

{\displaystyle \left\{\{x\_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}}
은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

{\displaystyle \left\{S\subseteq X\colon \exists i\in I\colon \{x\_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}}
를 그물 {\displaystyle x\_{\bullet }}의 **유도 필터**(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합 Y와 하향 원순서 집합 {\displaystyle (J,\lesssim )} 및 함수 {\displaystyle y\_{\bullet }\colon J\to Y}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (y\_{j})\_{j\in J}}의 머리들의 집합

{\displaystyle \left\{\{y\_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}}
은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

{\displaystyle \left\{S\subseteq Y\colon \exists j\in J\colon \{x\_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}}
를 {\displaystyle y\_{\bullet }}의 **유도 순서 아이디얼**(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

### 필터에 대응되는 그물

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.

집합 X의 멱집합 {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}의 부분 집합 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}가 주어졌을 때, 집합

{\displaystyle I=\{(x,A)\colon x\in A\in {\mathcal {F}}\}\subseteq X\times {\mathcal {F}}}
에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

{\displaystyle (x,A)\lesssim (y,B)\iff A\subseteq B}
만약 {\mathcal F}가 상향 원순서 집합이며 {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \{\varnothing \}}이라면 I 역시 상향 원순서 집합이며,

n\colon I\to X
{\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x}
는 그물을 이룬다.
반대로, {\mathcal F}가 하향 원순서 집합이며 {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)}라면 I 역시 하향 원순서 집합이며,

{\displaystyle n\colon I^{\operatorname {op} }\to X}
{\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x}
는 그물을 이룬다.

### 멱집합 위의 필터

집합 X의 멱집합 {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 위의 필터 {\mathcal {U}}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\mathcal {U}}는 극대 필터이다.
* {\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)}이며, 임의의 A,B\subseteq X에 대하여, 만약 A\cup B\in {\mathcal U}라면 A\in {\mathcal U}이거나 B\in {\mathcal U}이다.
* {\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)}이며, 임의의 A\subseteq X에 대하여, A\in {\mathcal U}이거나 X\setminus A\in {\mathcal U}이다.

따라서, 집합 X의 멱집합 {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )} 위의 극대 필터 \mathcal U\subseteq\mathcal P(X)는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 A\subseteq X는 "대부분"이거나 (A\in {\mathcal U}), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (X\setminus A\in {\mathcal U}).

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

{\displaystyle \uparrow \{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}}
는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

#### 완비 극대 필터

기수 \kappa 에 대하여, **\kappa -완비 극대 필터**(영어: \kappa -complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 {\mathcal {U}}이다.

* 임의의 {\mathcal V}\subset {\mathcal U}에 대하여, 만약 |V|<\kappa 라면 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {U}}}이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 \aleph\_0-완비 극대 필터이다.

집합 X 위의 극대 필터 {\mathcal {U}}의 **완비성** \kappa 는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

* {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\not \in {\mathcal {U}}}이며 |{\mathcal V}|=\kappa 인 {\mathcal V}\subset {\mathcal U}가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 \aleph\_0 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

예
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### 자명한 필터

임의의 하향 원순서 집합 (X,\lesssim ) 속에서, X 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 (X,\lesssim ) 속에서, X 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

### 주 필터와 주 아이디얼

어떤 원소 x를 포함하는 가장 작은 필터를 **주 필터**(영어: principal filter)로 부르며,

{\displaystyle \uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}}
로 표기한다. 어떤 원소 x를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 **주 순서 아이디얼**(영어: principal order ideal)로 부르며,

{\displaystyle \downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}}
로 표기한다.

원순서 집합 (X,\lesssim )의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

### 프레셰 필터

집합 S 및 무한 기수 \aleph \_{0}\leq \kappa 에 대하여,

{\mathcal F}\_{\kappa }(S)=\{T\subset S\colon |S\setminus T|<\kappa \}
는 S위의 필터를 이룬다. 만약 \kappa =\aleph \_{0}이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 **프레셰 필터**(영어: Fréchet filter)라고 한다.

### 근방 필터

 이 부분의 본문은 근방 필터입니다.
위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 **근방 필터**라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사
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순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.:3, Definition 1 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.:4, Definition 1

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르[\*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르[\*])라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.
2. ↑  Bartle, R. G. (1955년 10월). "Nets and filters in topology". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **62** (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901.
3. ↑  Stone, M. H. (1934년 3월). "Boolean algebras and their application to topology". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) **20** (3): 197–202. doi:10.1073/pnas.20.3.197. JFM 60.0108.02. PMC 1076376. Zbl 0010.08104.
4. 1 2  Stone, M. H. (1937). "Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics". 《Časopis pro pěstování matematiky a fysiky》 (영어) **67** (1): 1–25. ISSN 1802-114X. JFM 63.0830.01. Zbl 0018.00303.
5. ↑  Cartan, Henri (1937). "Théorie des filtres". 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **205**: 595-598. JFM 63.0569.02. Zbl 0017.24305.
6. ↑  Cartan, Henri (1937). "Filtres et ultrafiltres". 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **205**: 777-779. JFM 63.0569.03. Zbl 0018.00302.

* Comfort, W. W. (1977). "Ultrafilters: some old and some new results". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **83** (4): 417–455. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14316-4. ISSN 0002-9904. MR 0454893.
* Comfort, W. W.; Negrepontis, S. (1974). 《The theory of ultrafilters》 (영어). Springer-Verlag. MR 0396267.
* Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling, 편집. (2010). 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) **530**. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/530. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2742582. 
	+ Bergelson, Vitaly (2010). 〈Ultrafilters, IP sets, dynamics, and combinatorial number theory〉 (PDF). Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling. 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) **530**. American Mathematical Society. 23–47쪽. doi:10.1090/conm/530/10439. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2757532.
	+ Fremlin, D. H. (2010). 〈Measure-centering ultrafilters〉 (PDF). Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling. 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) **530**. American Mathematical Society. 73–120쪽. doi:10.1090/conm/530/10441. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2757534. 2016년 3월 25일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 6월 16일에 확인함.
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