응집물질물리학에서 ***k·p* 섭동 이론**(*k·p* perturbation theory)은 띠구조를 다루는 섭동 이론의 하나다.

전개
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위치 에너지 {\displaystyle \ V({\vec {r}})} 속에 있는 전자의 해밀토니언은 다음과 같다.

{\displaystyle H\_{0}=\mathbf {p} ^{2}/2m+V(\mathbf {r} )+{\frac {1}{4m^{2}c^{2}}}({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {p} }.
전자 파동 함수 {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}는 슈뢰딩거 방정식

{\displaystyle H\_{0}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
을 만족한다.

위치 에너지 {\displaystyle \ V({\vec {r}})}은 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 따라서 파동 함수를 블로흐 파

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum \_{\mathbf {k} }\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )u\_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}
로 나타내자. 여기서 {\displaystyle u\_{\mathbf {k} }}는 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 그렇다면 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }u\_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\_{\mathbf {k} }u\_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}.
여기서

{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }=H\_{0}+H'\_{\mathbf {k} }=H\_{0}+\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} /m+\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}/2m+{\frac {1}{4m^{2}c^{2}}}({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {k} }
이다. 이제 H\_{0}을 제외한 항들 {\displaystyle H'\_{\mathbf {k} }}를 원래 해밀토니언 H\_{0}에 대한 섭동항으로 간주하여 섭동 이론을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 ***k·p* 섭동 이론**이라고 한다.

### 기본적인 경우

가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 {\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V)\cdot \mathbf {p} }를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 {\displaystyle \langle n0|{\vec {p}}|0n\rangle =0} 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.

{\displaystyle \varepsilon \_{n}({\vec {k}})=\varepsilon \_{n}(0)+{{\vec {k}}^{2} \over 2m}+{1 \over m^{2}}\sum \_{\delta \neq n}{\langle n0|p\_{\mu }k\_{\mu }|0\delta \rangle \langle \delta 0|p\_{\nu }k\_{\nu }|0n\rangle \over \varepsilon \_{n0}-\varepsilon \_{\delta 0}}}
이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면,

{\displaystyle |{\vec {k}}n\rangle =exp(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})(|0n\rangle +{1 \over m}\sum \_{\delta \neq n}{\langle \delta 0|{\vec {k}}\cdot {\vec {p}}|0n\rangle \over \varepsilon \_{n0}-\varepsilon \_{\delta 0}})}.
유효 질량의 정의는 다음과 같다.

{\displaystyle ({1 \over m^{\*}})\_{\mu \nu }={\partial \over \partial {k\_{\mu }}}{\partial \over \partial {k\_{\nu }}}\varepsilon \_{n}({\vec {k}})}
이 정의를 이용해 {\displaystyle \varepsilon \_{n}({\vec {k}})}를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다.

{\displaystyle \varepsilon \_{n}({\vec {k}})=\varepsilon \_{n}(0)+{1 \over 2m}({m \over m^{\*}})\_{\mu \nu }k\_{\mu }k\_{\nu }}
이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다.

{\displaystyle ({m \over m^{\*}})\_{\mu \nu }=\delta \_{\mu \nu }+{2 \over m}\sum \_{\delta \neq n}{\langle n0|p\_{\mu }|0\delta \rangle \langle \delta 0|p\_{\nu }|0n\rangle \over \varepsilon \_{n0}-\varepsilon \_{\delta 0}}}
우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 m^{\*}이 실제 질량 m보다 매우 작게 된다. 예를 들어, 반도체 Cd*x*Hg1−*x*Te ({\displaystyle x=0.136})의 경우, 전도띠의 바닥 상태에서는 유효 질량이 {\displaystyle m^{\*}/m\leq 4\*10^{-4}}으로 매우 작다.

### 스핀-궤도 결합

스핀-궤도 결합 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 **역학적 운동량**(mechanical momentum) {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}를 정의한다.

{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}=\mathbf {p} +{\frac {1}{mc^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\times \nabla V(\mathbf {r} )}.
그렇다면 섭동 해밀토니언 {\displaystyle H'\_{\mathbf {k} }}는 다음과 같다.

{\displaystyle H'\_{\mathbf {k} }=\hbar \mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\pi }}/m+\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}/2m.}
즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 {\displaystyle \mathbf p}를 역학적 운동량 {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}로 치환하기만 하면 된다.

### 겹침이 있는 경우의 k·p 섭동 이론

겹침이 있는 경우 *k·p* 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다.

참고 문헌
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1. ↑  Kittel, C. (1987). 《Quantum Theory of Solids》 2판. ISBN 0-471-62412-8.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

* Ashcroft, Neil W.; N. David Mermin (1976). 《Solid State Physics》 (영어). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)