상집합(商集合)에 대해서는 몫집합 문서를 참고하십시오.
집합 \{1,2,3,4\}의 부분 집합이 부분 순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 필터를 이룬다.
순서론에서 **상집합**(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 S에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 S에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 S이다. 마찬가지로, **하집합**(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 S에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 S에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 S이다.

정의
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원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X의 **상폐포**(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

{\displaystyle \uparrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon s\lesssim x\}}
이는 S를 포함하는 최소 상집합이다.
원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X의 **하폐포**(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

{\displaystyle \downarrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon x\lesssim s\}}
이는 S를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **상집합**(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.

* 임의의 x\in S 및 y\in X에 대하여, {\displaystyle x\lesssim y}라면 {\displaystyle y\in S}이다.
* {\displaystyle \uparrow S\subseteq S}
* {\displaystyle \uparrow S=S}
* s\in S 및 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 {\displaystyle \{s\}=\min C}라면, {\displaystyle C\subseteq S}이다.
* X\setminus S는 하집합이다.

원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 **하집합**(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.

* 임의의 x\in S 및 y\in X에 대하여, {\displaystyle y\lesssim x}라면 {\displaystyle y\in S}이다.
* {\displaystyle \downarrow S\subseteq S}
* {\displaystyle \downarrow S=S}
* s\in S 및 사슬 C\subseteq X에 대하여, 만약 {\displaystyle \{s\}=\max C}라면, {\displaystyle C\subseteq S}이다.
* X\setminus S는 상집합이다.

성질
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원순서 집합 (X,\lesssim )의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in I}}의 교집합

{\displaystyle \bigcap \_{i\in I}U\_{i}}
및 합집합

{\displaystyle \bigcup \_{i\in I}U\_{i}}
역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 (X,\lesssim )의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, (X,\le)의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

### 반사슬과의 관계

부분 순서 집합 (X,\le)의 상집합 U\subseteq X의 극소 원소들의 집합 {\displaystyle \min U}는 X의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, (X,\le)의 하집합 {\displaystyle L\subseteq X}의 극대 원소들의 집합 {\displaystyle \max L}은 X의 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 (X,\le)의 반사슬 A\subseteq X가 주어졌을 때, {\displaystyle \uparrow A}는 상집합이며

{\displaystyle \min \uparrow A=A}
{\displaystyle \max \downarrow A=A}
이다. 따라서, X의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

{\displaystyle \uparrow \colon \operatorname {Antichain} (X,\leq )\to \operatorname {Upper} (X,\leq )}
는 단사 함수이며,

{\displaystyle \max \colon \operatorname {Upper} (X,\leq )\to \operatorname {Antichain} (X,\leq )}
는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 (X,\le)가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \mathbb {R} }는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

예
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### 자명한 상집합·하집합

임의의 원순서 집합 (X,\lesssim )에 대하여, X는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 {\displaystyle \varnothing \subseteq X} 역시 X의 상집합이자 하집합이다.

### 주 필터와 주 아이디얼

 이 부분의 본문은 필터 (수학)입니다.
임의의 원순서 집합 (X,\lesssim )의 원소 x\in X에 대하여,

{\displaystyle \uparrow \{x\}=\{y\in X\colon x\lesssim y\}}
{\displaystyle \downarrow \{x\}=\{y\in X\colon y\lesssim x\}}
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.

### 실직선

실수의 전순서 집합 ({\mathbb R},\leq )의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

* {\displaystyle (a,\infty )} (a\in\mathbb R)
* {\displaystyle [a,\infty )} (a\in\mathbb R)
* \mathbb {R}
* \varnothing

마찬가지로, 실수의 전순서 집합 ({\mathbb R},\leq )의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

* {\displaystyle (-\infty ,a)} (a\in\mathbb R)
* {\displaystyle (-\infty ,a]} (a\in\mathbb R)
* \mathbb {R}
* \varnothing

### 정렬 집합

순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

\alpha =\{\beta \in \operatorname {Ord}\colon \beta <\alpha \}
이 경우, 두 순서수 \alpha ,\beta 에 대하여, 만약 {\displaystyle \alpha \leq \beta }라면 \alpha 는 \beta의 하집합이다.

순서수 \alpha 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta \_{0}\leq \beta <\alpha \}} ({\displaystyle \beta \_{0}\leq \alpha +1})
순서수 \alpha 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta <\beta \_{0}\}} ({\displaystyle \beta \_{0}\leq \alpha +1})