대수기하학에서 **초타원 곡선**(超楕圓曲線, 영어: hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.

정의
--

체 K 위의 **초타원 곡선**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.:287, Definition 7.4.7

* 크룰 차원이 1인 스킴 C
* 매끄러운 사상 {\displaystyle \phi \colon C\to \operatorname {Spec} K}. 또한, \phi 가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, {\displaystyle C\otimes \_{K}{\bar {K}}}은 기약 스킴이다.)
	+ 이 조건에 따라서 C는 기약 스킴이자 축소 스킴이다.
* K 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 {\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} \_{K}^{1}}. (즉, 체의 확대 {\displaystyle {\mathcal {K}}(C)/K}는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 {\mathbb P}\_{K}^{1}는 사영 직선이다.
	+ 이 조건에 따라서 \phi 는 유한형 사상이다.

특히, 만약 K가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.

* 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 K
* K 위의, 차수 2의 유한 사상 {\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} \_{K}^{1}}

분류
--

종수 g의 초타원 곡선 {\displaystyle (C,f)}는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{1}=\operatorname {Proj} (x\_{0},x\_{1})}에서 아핀 좌표

{\displaystyle x=x\_{1}/x\_{0}}
{\displaystyle {\tilde {x}}=x\_{0}/x\_{1}=1/x}
를 고르자. 그렇다면, 만약 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}인 경우, f는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-P(x))}
{\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}
{\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})}
{\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)}
{\displaystyle P\neq 0}
{\displaystyle \deg P\in \{2g+1,2g+2\}}
이 경우 C를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

{\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}}
{\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y}
즉, 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}}
표수가 2인 경우, f는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-Q(x)y-P(x))}
{\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}
{\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})}
{\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)}
{\displaystyle {\tilde {Q}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{g+1}Q(1/{\tilde {x}})}
{\displaystyle Q(x)=x^{g+1}{\tilde {Q}}(1/x)}
{\displaystyle \{P,Q\}\neq \{0\}}
{\displaystyle \max\{\deg P,2\deg Q\}\in \{2g+1,2g+2\}}
이 경우 C를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

{\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}}
{\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y}
즉, 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}}
표수가 2가 아닌 경우, 항상

{\displaystyle y\mapsto y+Q(x)/2}
를 통해 {\displaystyle Q={\tilde {Q}}=0}으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}: {\displaystyle P\mapsto \lambda ^{2}P\qquad (\lambda \in K^{\times })}
{\displaystyle \operatorname {char} K=2}: {\displaystyle (P,Q)\mapsto (\lambda ^{2}P,\lambda Q)}, {\displaystyle (P,Q)\mapsto (P+f^{2}+Qf,Q)\qquad (f\in K[x],\;\deg f\leq g+1)}
즉, 이 경우 가중 사영 공간

{\displaystyle \mathbb {P} \_{K}(1,g+1,1)=\mathbb {P} \_{K}^{1}[s,t,u]}
속에서 부분 대수다양체

{\displaystyle t^{2}=Q(u/s)s^{g+1}t+P(u/s)s^{2g+2}}
를 이룬다. 이 경우 f는

{\displaystyle C\to \mathbb {P} \_{K}^{1}=\operatorname {Proj} K[s,u]}
{\displaystyle [s:t:u]\mapsto [s:u]}
이다.

### 분지점

표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 C는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 {\mathbb P}\_{K}^{1}의 닫힌 점 {\displaystyle x\in \mathbb {P} \_{K}^{1}} 가운데, 올 f^{{-1}}(x)이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, f^{{-1}}(x)는 항상 두 개의 점으로 구성된다.)
표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 P의 사영 공간에서의 근이다. 즉,

* {\displaystyle \deg P=2g+2}라면, 분지점은 P의 {\displaystyle 2g+2}개의 근이다.
* {\displaystyle \deg P=2g+1}라면, 분지점은 P의 {\displaystyle 2g+1}개의 근 및 \infty이다.

이는 가중 사영 공간에서 대합

{\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,-t,u]}
의 고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 Q의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

{\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]}
의 고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.

* 분지점의 수가 r라고 할 때, {\displaystyle |K|>r}이다.

이 경우, {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{1}\setminus \{\infty \}=\mathbb {A} \_{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]} 위에서 f는 다음과 같은 꼴이 된다.

{\displaystyle y^{2}=f(x)=\sum \_{i=0}^{d}a\_{d}x^{d}}
{\displaystyle f\in K[x]}
### 모듈러스 공간

K가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 g\geq 2일 때, 초타원 곡선은 그 {\displaystyle 2g+2}개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은

{\displaystyle {\frac {\operatorname {Conf} \_{0}(2g+2)}{\operatorname {Aut} (\mathbb {P} \_{K}^{1})}}}
이다. 그 차원은

{\displaystyle 2g+2-3=2g-1}
이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

{\displaystyle y^{2}=B(x,z)}
의 꼴로 표현되며, {\displaystyle B(x,z)}는 (종수 g의 경우) {\displaystyle 2g+2}차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Menezes, Alfred J.; Wu, Yi-Hong; Zuccherato, Robert J. (1998). 〈An elementary introduction to hyperelliptic curves〉 (PDF). Koblitz, Neal. 《Algebraic Aspects of Cryptography》. Algorithms and Computation in Mathematics (영어) **3**. Springer-Verlag. 155-178쪽. doi:10.1007/978-3-662-03642-6. 2018년 12월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 1월 28일에 확인함.
2. ↑  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 28일에 확인함.