알고리즘 정보 이론에서 **차이틴 상수**(Chaitin's constant) 또는 **차이틴 오메가 수**(Chaitin omega number) 또는 **정지 확률**은 무작위로 만들어진 프로그램이 정지할 확률을 나타내는 실수이다. 그레고리 차이틴이 정의하였다.

무작위로 만든 프로그램이 정지할 확률은 프로그램을 0과 1로 부호화하는 방식에 따라 달라진다. 따라서 무한히 많은 종류의 ‘정지 확률’이 존재하지만, 마치 단 하나만 존재하는 것처럼 취급하고 그리스 글자 오메가(Ω)로 나타내는 경우가 많다. 특정한 부호화 방식을 염두에 둔 것이 아닐 때에는 상수라는 이름 대신 **차이틴 구성**(Chaitin's construction)이라는 이름을 사용하기도 한다.

각각의 정지 확률은 초월수이고 정규수이며, 계산 불가능한 수이다. 계산 불가능하다는 것은 그 값을 임의의 정확도로 계산하는 알고리즘이 존재할 수 없다는 뜻이다. 나아가 각각의 정지 확률은 마르틴-뢰프 무작위적이다.

배경
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정지 확률을 정의하려면 **접두어 없는 보편 계산 가능 함수**(prefix-free universal computable function)가 주어져야 한다. 쉽게 말하면 이것은 튜링 완전한 프로그래밍 언어이면서, 올바른 프로그램 뒤에 내용을 덧붙여 또다른 올바른 프로그램을 만들 수 없는 성질을 지닌 언어라고 할 수 있다. 즉, 올바른 프로그램 코드의 접두어 중에는 올바른 프로그램이 없다는 것이다.

앞으로 ‘문자열’은 0과 1로 이루어진 유한한 이진 문자열을 나타낸다. 문자열 하나를 받아서 문자열 하나를 돌려주거나 아무것도 돌려주지 않는 부분 정의 함수 *F*가 있다고 하자. 만약 *F*를 계산하는 튜링 기계가 존재한다면, *F*를 계산 가능 함수라고 한다.

함수 *F*가 다음 성질을 만족하면 *F*가 보편적(universal)이라고 한다.

임의의 일변수 계산 가능 함수 *f*에 대해 문자열 *w*가 존재하여, 모든 *x*에 대해 *F*(*w x*) = *f*(*x*)이다.
단, *w x*는 *w*와 *x*를 이어붙인 문자열을 나타낸다. 달리 말하면 *F*는 임의의 일변수 계산 가능 함수를 흉내낼 수 있다는 것이다. 말하자면 *w*는 계산 가능 함수 *f*의 ‘코드’이고, *F*는 ‘인터프리터’로서 자신이 받은 입력의 앞부분을 코드로 해석하여 뒷부분에 실행한다고 할 수 있다.

부분 정의 함수 *F*의 정의역은 *F*(*p*)의 값이 정의되는 모든 *p*의 집합을 가리킨다. 즉 *F*를 계산하는 튜링 기계가 언젠가 정지해서 출력값을 돌려주게 만드는 입력값들의 집합이다. 이러한 *p*는 프로그램 부분과 데이터 부분을 모두 포함한다고 생각할 수도 있고, 단일한 프로그램이라고 생각할 수도 있다.

함수 *F*가 다음 성질을 만족하면 *F*가 접두어 없는(prefix-free) 함수라 한다.

*p*와 *q*가 *F*의 정의역에 속하면, *p*는 *q*의 접두어가 아니다.
달리 말하면 *F*의 정의역이 앞자리 부호라는 것이다.

보편 계산 가능 함수의 정의역은 계산 열거 가능 집합이지만, 계산 가능 집합은 아니다. 보편 계산 가능 함수의 정의역을 결정하는 문제는 정지 문제와 동치이기 때문이다.

정의
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함수 *F*가 접두어 없는 보편 계산 가능 함수라 하고, 그 정의역을 *PF*로 나타내자. 그러면 다음 값을 차이틴 상수 Ω*F*라 한다.

{\displaystyle \Omega \_{F}=\sum \_{p\in P\_{F}}2^{-|p|}}
이때 {\displaystyle \left|p\right|}는 문자열 *p*의 길이를 나타낸다. 접두어가 없다는 조건과 크래프트-맥밀런 부등식 때문에 이 무한합은 0과 1 사이의 실수로 수렴함이 보장된다. Ω*F*의 값은 *F*에 따라 달라지지만, *F*가 무엇인지 분명한 경우에는 그냥 Ω라고 쓸 수 있다.

Calude et al. (2002)에서는 특정한 접두어 없는 보편 튜링 기계 *U*에 대해 Ω*U*을 이진법으로 나타냈을 때 첫 64 비트의 값을 계산했다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega \_{U}&=0.0000001000000100000110\cdots \_{(2)}\\&=0.00787499699\cdots \_{(10)}\end{aligned}}}
(OEIS의 수열 A079365, A100264.)

정지 문제와의 관계
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Ω의 첫 *N* 비트를 알면 길이 *N* 이하의 모든 프로그램에 대해 정지 문제를 해결할 수 있다. 프로그램 *p*가 정지하는지 알고 싶다고 하자. *p*의 길이를 *N*이라고 할 때, 길이 *N* 이하의 모든 프로그램을 동시에 실행시킨다. Ω의 근삿값을 처음에 0이라 두고 길이 *n*의 프로그램 하나가 정지할 때마다 2*n*을 더하자. 충분히 오랜 시간이 지나면 근삿값이 Ω의 첫 *N* 비트와 일치하게 될 것인데, 이 시점에서 *p*가 정지하지 않았다면 영원히 정지하지 않음을 알 수 있다. *p*가 정지한다면 근삿값의 *N*번째 비트가 달라질 것이기 때문이다. 따라서 *p*가 정지하는지 유한 시간 내에 결정할 수 있다.

성질
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각각의 차이틴 상수 Ω는 다음과 같은 성질을 지닌다.

* Ω의 자릿수는 알고리즘적 무작위성을 지닌다. (마르틴-뢰프 무작위성이나 1-무작위성이라고도 한다.) 즉, Ω의 첫 *n* 비트를 출력하는 프로그램의 길이는 적어도 *n* - O(1)은 되어야 한다.
* 따라서 Ω는 정규수이다. 즉, Ω의 자릿수는 동전을 던져 만든 수열처럼 균등한 분포를 보인다.
* Ω는 계산 가능한 수가 아니다. 즉, Ω의 자릿수를 출력하는 계산 가능 함수는 없다.
* Ω보다 작은 유리수의 집합은 계산 열거 가능 집합이다. 이런 성질을 가진 실수를 **왼쪽 열거 가능 수**(left c.e.-number)라 한다.
* Ω보다 큰 유리수의 집합은 계산 열거 가능 집합이 아니다. 왼쪽 열거 가능하면서 오른쪽 열거 가능한 실수는 계산 가능하지만, Ω는 계산 불가능하기 때문이다.
* Ω는 산술적 수(arithmetical number)이다. 즉, 1차 페아노 공리계에서 정의할 수 있다.
* Ω는 정지 문제와 튜링 동치이며 따라서 산술적 위계에서 {\displaystyle \Delta \_{2}^{0}}에 속한다.

정지 문제와 튜링 동치인 수라고 해서 다 정지 확률인 것은 아니다. 보다 강한 동치관계인 **솔로바이 동치**(Solovay equivalence) 개념을 사용하면 왼쪽 열거 가능 수들 중에서 정지 확률을 골라낼 수 있다. 0과 1 사이의 실수가 (어떤 접두어 없는 보편 계산 가능 함수의) 정지 확률이라는 것은 왼쪽 열거 가능하고 알고리즘적으로 무작위적이라는 것과 동치이다. Ω는 알고리즘적으로 무작위적인 수 중에 얼마 안 되는 정의 가능한 수이고 또 가장 유명한 수이지만, 알고리즘적으로 무작위적인 수의 전형적인 사례는 아니라고 할 수 있다.

차이틴의 불완전성 정리에 따르면, 페아노 공리계에서는 Ω의 자릿수 가운데 기껏해야 유한 개만을 증명할 수 있다. 즉 자연수 *N*이 존재하여, *N*보다 큰 자연수 *n*에 대해서는 Ω의 *n*번째 자릿수가 0이라고 또는 1이라고 증명할 수 없다.

참고 문헌
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* Cristian S. Calude (2002). *Information and Randomness: An Algorithmic Perspective*, second edition. Springer. ISBN 3-540-43466-6
* Cristian S. Calude, Michael J. Dinneen, and Chi-Kou Shu. *Computing a Glimpse of Randomness.*
* R. Downey, and D. Hirschfeldt (2010), *Algorithmic Randomness and Complexity*, Springer-Verlag.
* Ming Li and Paul Vitányi (1997). *An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications*. Springer. Introduction chapter full-text Archived 2008년 5월 17일 - 웨이백 머신.
* Jürgen Schmidhuber (2000). Algorithmic Theories of Everything (arXiv: quant-ph/ 0011122). Journal reference: J. Schmidhuber (2002). Hierarchies of generalized Kolmogorov complexities and nonenumerable universal measures computable in the limit. International Journal of Foundations of Computer Science 13(4):587-612.

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* t
* e
무리수 |
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* 차이틴 상수 (Ω)
* 리우빌 상수
* 소수 상수 (ρ)
* 자연로그 2
* 가우스 상수 (G)
* 2의 12제곱근 (12√2)
* 아페리 (*ζ*(3))

* 플라스틱 수 (ρ)
* 제곱근 2 (√2)
* 초황금비 (ψ)
* 에르되시-보어와인 (E)
* 황금비 (φ)
* 제곱근 3 (√3)
* 제곱근 5 (√5)
* 백은비 (δ*S*)

* 자연로그의 밑 (e)
* 원주율 (π)

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* 정신분열수
* 초월수
* 삼각법수

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* **미해결**:
* 오일러-마스케로니 (γ)
* 카탈랑 상수 (C)
* 2학년의 꿈
* 두 번째 파이겐바움 (α)
* 첫 번째 파이겐바움 (δ)

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