복소기하학에서, **지수열**(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다.

정의
--

복소다양체 M 위에서, \mathcal O\_M이 정칙 함수의 층, {\mathcal O}\_{M}^{\times }이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

\exp(2\pi i\cdot (-))\colon {\mathbb C}\to {\mathbb C}^{\times }
로부터, 층의 사상

\exp \colon {\mathcal O}\_{X}\to {\mathcal O}\_{X}^{\times }
을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

0\to \underline {{\mathbb Z}}\to {\mathcal O}\_{M}{\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}{\mathcal O}\_{M}^{\times }\to 0
여기서 \underline {{\mathbb Z}}는 \mathbb {Z} 의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합 U\subseteq M에 대하여, 단면 함자 \Gamma (U;-)를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

0\to H^{0}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{0}(U;{\mathcal O}\_{M})\to H^{0}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to H^{1}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to H^{2}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{2}(U;{\mathcal O}\_{M})\to H^{2}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to \cdots 
이를 **지수열**이라고 한다.:446–447, §B.5

성질
--

### 로그의 존재

지수열

0\to H^{0}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{0}(U;{\mathcal O}\_{M}){\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}H^{0}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to H^{1}(U;\underline {{\mathbb Z}})
에서, 지수 함수 \exp 의 역함수 \log 가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, \exp 가 전사 함수여야 한다. 따라서, U가 단일 연결 공간이라면 (H^{0}(U;{\mathbb Z})\cong H^{1}(U;{\mathbb Z})\cong 0), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어, U={\mathbb C}^{\times }인 경우, z\mapsto 1/z는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

### 천 특성류

지수열

\cdots \to H^{1}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to H^{2}(U;\underline {{\mathbb Z}})\to H^{2}(U;{\mathcal O}\_{M})\to \cdots 
에서, H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })는 U의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.:446–447 따라서, 사상 H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\to H^{2}(M;{\mathbb Z})는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

만약 U가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M})\cong H^{2}(U;{\mathcal O}\_{M})\cong 0
이다. 따라서

H^{1}(U;{\mathcal O}\_{M}^{\times })\cong H^{2}(U;{\mathbb Z})
이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

예
-

\Sigma \_{g}가 종수 g의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.

H^{1}(\Sigma \_{g};\underline {{\mathbb Z}})\cong {\mathbb Z}^{{2g}}
H^{0}(\Sigma \_{g};\underline {{\mathbb Z}})\cong H^{2}(\Sigma \_{g};\underline {{\mathbb Z}})\cong {\mathbb Z}
H^{i}(\Sigma \_{g};\underline {{\mathbb Z}})=0\qquad \forall i>2
또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.

H^{0}(\Sigma \_{g};{\mathcal O}\_{{\Sigma \_{g}}})\cong {\mathbb C}
H^{0}(\Sigma \_{g};{\mathcal O}\_{{\Sigma \_{g}}})\cong {\mathbb C}^{\times }
또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.

H^{1}(\Sigma \_{g};{\mathcal O}\_{{\Sigma \_{g}}})\cong {\mathbb C}^{{h^{{0,1}}}}={\mathbb C}^{g}
H^{p}(\Sigma \_{g};{\mathcal O}\_{{\Sigma \_{g}}})\cong {\mathbb C}^{{h^{{0,p}}}}=0\qquad \forall p>1
따라서, 지수열은 다음과 같다.

0\to {\mathbb Z}\to {\mathbb C}\to {\mathbb C}^{\times }\to {\mathbb Z}^{{2g}}\to {\mathbb C}^{g}\to \operatorname {Pic}(\Sigma \_{g})\to {\mathbb Z}\to 0\to 0\to 0\to \cdots 
여기서, \exp(2\pi i\cdot )\colon {\mathbb C}\to {\mathbb C}^{\times }는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.:447

0\to {\mathbb Z}^{{2g}}\to {\mathbb C}^{g}\to \operatorname {Pic}(\Sigma \_{g})\to {\mathbb Z}\to 0
따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.

\operatorname J(\Sigma \_{g})=\operatorname {Pic}^{0}(\Sigma \_{g})\cong {\mathbb C}^{g}/{\mathbb Z}^{{2g}}
또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.

\operatorname {NS}(\Sigma \_{g})=\operatorname {Pic}(X)/\operatorname J(\Sigma \_{g})={\mathbb Z}
이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.