완전제곱식 만들기
초등대수학에서 **완전제곱식 만들기**(영어: completing the square)는 이차 다항식을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴

{\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
로 나타내는 기법이다.:101–102 완전제곱식 만들기는 이차 방정식의 풀이에 사용된다.

정의
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임의의 복소수 계수 이차 다항식

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad (a,b,c\in \mathbb {C} ,\;a\neq 0)}
은 항상 다음과 같이 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=a\left(x^{2}+2\cdot {\frac {b}{2a}}\cdot x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}}
이러한 기법을 흔히 **완전제곱식 만들기**라고 부른다.

### 다변수 다항식

n개의 변수 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}}에 대한 복소수 계수 이차 다변수 다항식

{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n})=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}A\_{ij}x\_{i}x\_{j}+\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}x\_{k}+c}
이 주어졌다고 하자. 여기서

{\displaystyle x={\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}},\;b={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{n}\end{pmatrix}}}
은 복소수 열벡터이며 ({\displaystyle b\_{i}\in \mathbb {C} }), A는 영행렬이 아닌 복소수 n\times n 대칭 행렬이며 ({\displaystyle A\_{ij}=A\_{ji}\in \mathbb {C} }, {\displaystyle \textstyle \sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}A\_{ij}^{2}\neq 0}), {\displaystyle ^{\top }}은 전치 행렬이다. 만약 추가로 A가 가역 행렬이라면, {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n})}는 새로운 변수 {\displaystyle x'=x+(1/2)A^{-1}b}에 대한 이차 동차 다항식과 상수의 합으로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{\top }Ax+b^{\top }x+c\\&=x^{\top }Ax+{\frac {1}{2}}x^{\top }b+{\frac {1}{2}}b^{\top }x+{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=x^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+{\frac {1}{2}}b^{\top }\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x^{\top }+{\frac {1}{2}}b^{\top }A^{-1}\right)A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\\&=\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)^{\top }A\left(x+{\frac {1}{2}}A^{-1}b\right)+c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\end{aligned}}}

응용
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이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다.

### 구체적인 이차 함수의 예

실수 이차 함수

{\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3}
을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-2x-3\\&=x^{2}-2x+1-4\\&=(x-1)^{2}-4\end{aligned}}}
이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다.

* 대칭축은 직선 x=1이다.
* 최솟값은 {\displaystyle f(1)=-4}이다.

또한,

{\displaystyle f(x)=0\iff (x-1)^{2}=4\iff x-1=\pm 2}
이므로, f(x)의 두 근은 {\displaystyle x=-1}과 {\displaystyle x=3}이다.

### 일반적인 이차 함수

더 일반적으로, 실수 이차 함수

{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\qquad (a,h,k\in \mathbb {R} ,\;a\neq 0)}
의 대칭축은 직선 {\displaystyle x=h}이다. a>0인 경우 최솟값은 {\displaystyle f(h)=k}이며, {\displaystyle a<0}인 경우 최댓값이 {\displaystyle f(h)=k}이다. h나 k가 변화할 때, 이 이차 함수의 그래프는 h가 증가하는 만큼 오른쪽으로 평행 이동하며, k가 증가하는 만큼 위로 평행 이동한다. 만약 k>0이라면, f(x)는 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 만약 k=0이라면, f(x)는 중복도가 2인 하나의 실근을 가진다. 만약 k<0이라면, f(x)는 실근을 가지지 않으며, 두 개의 서로 다른 허근을 갖는다.

* 이차 함수 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        −
        h
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}}
  
의 그래프 (
  
    
      
        h
        =
        0
        ,
        5
        ,
        10
        ,
        15
      
    
    {\displaystyle h=0,5,10,15}
  
)이차 함수 {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}}의 그래프 ({\displaystyle h=0,5,10,15})
* 이차 함수 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        k
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}+k}
  
의 그래프 (
  
    
      
        k
        =
        0
        ,
        5
        ,
        10
        ,
        15
      
    
    {\displaystyle k=0,5,10,15}
  
)이차 함수 {\displaystyle f(x)=x^{2}+k}의 그래프 ({\displaystyle k=0,5,10,15})
* 이차 함수 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        −
        h
        
          )
          
            2
          
        
        +
        k
      
    
    {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}+k}
  
의 그래프 (
  
    
      
        h
        =
        k
        =
        0
        ,
        5
        ,
        10
        ,
        15
      
    
    {\displaystyle h=k=0,5,10,15}
  
)이차 함수 {\displaystyle f(x)=(x-h)^{2}+k}의 그래프 ({\displaystyle h=k=0,5,10,15})

참고 문헌
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1. ↑  Gelfand, Israel M.; Shen, Alexander (1993). 《Algebra》 (영어). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3677-7. Zbl 0785.00001.