**메르센 수**(Mersenne number)는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 n에 대한 메르센 수는 M\_{n}=2^{n}-1로 나타내고 목록은 아래와 같다.

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... (OEIS의 수열 A000225)
**메르센 소수**(Mersenne prime)는 **메르센 수** 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 3=2^{2}-1,{\mbox{ }}7=2^{3}-1이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 15=2^{4}-1은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다.

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... (OEIS의 수열 A000668)
메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다.

메르센 수의 속성
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메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. :

* *Mn*은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.

M\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{{n}}{n \choose i}-1
* 메르센 수의 지수가 홀수소수=p 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다.

'2pk+1' (k는 음이 아닌 정수)

이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다.

또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두 {\displaystyle 8k\pm 1} 꼴이다.

메르센 소수에 관한 정리
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* 1) 만일 *n*이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다:

c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum \_{{k=0}}^{{n-1}}c^{k}d^{{n-1-k}},
또는

(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{{2a}}+2^{{3a}}+\cdots +2^{{(b-1)a}}\right)=2^{{ab}}-1
이다(*c* = 2*a*, *d* = 1로, *n* = *b*로 놓았을 때).

증명

(a-b)\sum \_{{k=0}}^{{n-1}}a^{k}b^{{n-1-k}}
=\sum \_{{k=0}}^{{n-1}}a^{{k+1}}b^{{n-1-k}}-\sum \_{{k=0}}^{{n-1}}a^{k}b^{{n-k}}
=a^{n}+\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}a^{k}b^{{n-k}}-\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}a^{k}b^{{n-k}}-b^{n}
=a^{n}-b^{n}

역사
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1644년 마랭 메르센은 2^{n}-1 형태가 소수가 되는 것은, n\leq 257 일 때 n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 M\_{{61}}, M\_{{89}}, M\_{{107}}는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 M\_{{67}}, M\_{{257}}는 합성수이다.

리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1957년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다.

메르센 소수 찾기
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{\displaystyle n=ab;} 다음 등식은 M\_{n}이 메르센 소수가 되기 위해서는 n 자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다.

(2^{a}-1)(1+2^{a}+2^{{2a}}+2^{{3a}}+\cdots +2^{{(b-1)a}})=2^{{ab}}-1
따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 n이 소수라고 하여 M\_{n} 또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 2047=2^{{11}}-1=23\cdot 89로 소인수분해된다.

### 메르센 소수 목록

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|  | **수학의 미해결 문제**메르센 소수는 무한한가?(더 많은 수학의 미해결 문제 보기) |

현재까지 발견한 메르센 소수 표 (OEIS의 수열 A000668):

| # | n | M\_{n} | M\_{n}의 자리수 | 발견일 | 발견자 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 1 | 기원전 430년 경 | 고대 그리스 수학자 |
| 2 | 3 | 7 | 1 | 기원전 430년 경 | 고대 그리스 수학자 |
| 3 | 5 | 31 | 2 | 기원전 300년 경 | 고대 그리스 수학자 |
| 4 | 7 | 127 | 3 | 기원전 300년 경 | 고대 그리스 수학자 |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 1456년 | Unknown |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 1588년 | 피에트로 카탈디 |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 1588년 | 피에트로 카탈디 |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 1772년 | 레온하르트 오일러 |
| 9 | 61 | 2305843009213693951 | 19 | 1883년 | 이반 미흐비치 페르부쉰 |
| 10 | 89 | 618970019…449562111 | 27 | 1911년 | R. E. Powers |
| 11 | 107 | 162259276…010288127 | 33 | 1914년 | R. E. Powers |
| 12 | 127 | 170141183…884105727 | 39 | 1876년 | 에두아르 뤼카 |
| 13 | 521 | 686479766…115057151 | 157 | 1952년 1월 30일 | 라파헬 로빈슨 |
| 14 | 607 | 531137992…031728127 | 183 | 1952년 1월 30일 | 라파헬 로빈슨 |
| 15 | 1,279 | 104079321…168729087 | 386 | 1952년 6월 25일 | 라파헬 로빈슨 |
| 16 | 2,203 | 147597991…697771007 | 664 | 1952년 10월 7일 | 라파헬 로빈슨 |
| 17 | 2,281 | 446087557…132836351 | 687 | 1952년 10월 9일 | 라파헬 로빈슨 |
| 18 | 3,217 | 259117086…909315071 | 969 | 1957년 9월 8일 | 한스 리젤 |
| 19 | 4,253 | 190797007…350484991 | 1,281 | 1961년 11월 3일 | 알렉산더 허비츠 |
| 20 | 4,423 | 285542542…608580607 | 1,332 | 1961년 11월 3일 | 알렉산더 허비츠 |
| 21 | 9,689 | 478220278…225754111 | 2,917 | 1963년 5월 11일 | 도널드 길리스 |
| 22 | 9,941 | 346088282…789463551 | 2,993 | 1963년 5월 16일 | 도널드 길리스 |
| 23 | 11,213 | 281411201…696392191 | 3,376 | 1963년 6월 2일 | 도널드 길리스 |
| 24 | 19,937 | 431542479…968041471 | 6,002 | 1971년 3월 4일 | 브리언트 터커맨 |
| 25 | 21,701 | 448679166…511882751 | 6,533 | 1978년 10월 30일 | 랜돈 커트 놀과 로라 니켈 |
| 26 | 23,209 | 402874115…779264511 | 6,987 | 1979년 2월 9일 | 랜돈 커트 놀 |
| 27 | 44,497 | 854509824…011228671 | 13,395 | 1979년 4월 8일 | 해리 넬슨과 데이빗 슬로빈스키 |
| 28 | 86,243 | 536927995…433438207 | 25,962 | 1982년 9월 25일 | 데이빗 슬로빈스키 |
| 29 | 110,503 | 521928313…465515007 | 33,265 | 1988년 1월 28일 | 월크 콜킷과 루크 웰시 |
| 30 | 132,049 | 512740276…730061311 | 39,751 | 1983년 9월 19일 | 데이빗 슬로빈스키 |
| 31 | 216,091 | 746093103…815528447 | 65,050 | 1985년 9월 1일 | 데이빗 슬로빈스키 |
| 32 | 756,839 | 174135906…544677887 | 227,832 | 1992년 2월 19일 | 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지 |
| 33 | 859,433 | 129498125…500142591 | 258,716 | 1994년 1월 4일 | 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지 |
| 34 | 1,257,787 | 412245773…089366527 | 378,632 | 1996년 9월 3일 | 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지  |
| 35 | 1,398,269 | 814717564…451315711 | 420,921 | 1996년 11월 13일 | GIMPS / 조엘 아르멩고 [깨진 링크(과거 내용 찾기)] |
| 36 | 2,976,221 | 623340076…729201151 | 895,932 | 1997년 8월 24일 | GIMPS / 고든 스펜스 [깨진 링크(과거 내용 찾기)] |
| 37 | 3,021,377 | 127411683…024694271 | 909,526 | 1998년 1월 27일 | GIMPS / 롤랜드 클락슨 [깨진 링크(과거 내용 찾기)] |
| 38 | 6,972,593 | 437075744…924193791 | 2,098,960 | 1999년 6월 11일 | GIMPS / 난야 하이라트왈라  |
| 39 | 13,466,917 | 924947738…256259071 | 4,053,946 | 2001년 11월 14일 | GIMPS / 마이클 카메론  |
| 40 | 20,996,011 | 125976895…855682047 | 6,320,430 | 2003년 11월 17일 | GIMPS / 마이클 셰이퍼  |
| 41 | 24,036,583 | 299410429…733969407 | 7,235,733 | 2004년 5월 15일 | GIMPS / 조지 핀들리  |
| 42 | 25,964,951 | 122164630…577077247 | 7,816,230 | 2005년 2월 18일 | GIMPS / 마르틴 노바크  |
| 43\* | 30,402,457 | 315416475…652943871 | 9,152,052 | 2005년 9월 15일 | GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분  |
| 44\* | 32,582,657 | 124575026…053967871 | 9,808,358 | 2006년 9월 4일 | GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분  |
| 45\* | 37,156,667 | 202254406…308220927 | 11,185,272 | 2008년 9월 6일 | GIMPS / Hans-Michael Elvenich  |
| 46\* | 42,643,801 | 169873516…562314751 | 12,837,064 | 2009년 4월 12일\*\* | GIMPS / Odd Magnar Strindmo |
| 47\* | 43,112,609 | 316470269…697152511 | 12,978,189 | 2008년 8월 23일 | GIMPS / Edson Smith  |
| 48\* | 57,885,161 | 581887266…724285951 | 17,425,170 | 2013년 1월 25일 | GIMPS / Curtis Cooper  |
| 49\* | 74,207,281 | 300376418…086436351 | 22,338,618 | 2015년 9월 17일\*\*\* | GIMPS / Curtis Cooper  |
| 50 | 77,232,917 | 467333183…762179071 | 23,249,425 | 2017년 12월 26일 | GIMPS / Jon Pace |
| 51 | 82,589,933 | 110847779…217902591 | 24,862,048 | 2018년 12월 7일 | GIMPS / Patrick Laroche |

44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.

\*표의 43번째 수인 M\_{{30,402,457}}과 49번째 수인 {\displaystyle M\_{74,207,281}} 사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 29번째 메르센 소수는 30번째와 31번째 소수의 발견 **이후**에 발견되었다.

\*\**M*42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 4일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 4일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.

\*\*\**M*74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.

완전수
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 이 부분의 본문은 완전수입니다.
메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 M\_{n}이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다.

2^{{n-1}}\cdot (2^{n}-1)={\frac {M\_{n}(M\_{n}+1)}2}
18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 아직 발견되지 않았으며 존재하지 않는 것으로 추측된다.

일반화
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2^{n}-1의 2진법 표현은 숫자 1이 n번 반복된다. 예를 들면, 25 - 1 = 111112와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다.