대수기하학과 복소기하학에서 **준연접 가군층**(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 **준연접층**은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

정의
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환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 {\mathcal O}\_{X}-가군층 {\mathcal F}를 **국소 단면 생성 가군층**(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다.

* 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}^{\oplus \lambda }|\_{U}\to {\mathcal {F}}|\_{U}\to 0}이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 기수 \lambda 가 존재한다.

환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 {\mathcal O}\_{X}-가군층 {\mathcal F}를 **준연접 가군층**(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 **준연접층**이라고 한다.:45, (5.1.3)

* 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 {\mathcal O}\_{X}^{{\oplus \kappa }}|\_{U}\to {\mathcal O}\_{X}^{{\oplus \lambda }}|\_{U}\to {\mathcal F}|\_{U}\to 0이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 기수 \kappa ,\lambda 가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 \kappa ,\lambda 가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

성질
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### 함의 관계

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접층 ⊆:47, (5.3.2) 유한 표시 가군층 ⊆:46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층:48, (5.4.1)
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
### 동치 조건

스킴 X 위의 가군층 {\mathcal F}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\mathcal F}는 준연접 가군층이다.
* 임의의 아핀 열린 부분 스킴 \operatorname {Spec}R\subseteq X에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {F}}|\_{\operatorname {Spec} R}}는 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} R}}-가군층으로서 어떤 R-가군으로부터 유도된 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} R}}-가군층과 동형이다.
* X의 어떤 아핀 열린 덮개 \{\operatorname {Spec}R\_{i}\}\_{{i\in I}}에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {F}}|\_{\operatorname {Spec} R\_{i}}}는 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} R\_{i}}}-가군층으로서 어떤 R\_{i}-가군으로부터 유도된 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} R\_{i}}}-가군층과 동형이다.

### 연산

다음이 주어졌다고 하자.

* 두 스킴 X, Y
* 스킴 사상 f\colon X\to Y

그렇다면, Y 위의 준연접층 {\mathcal F}의 당김 {\displaystyle f^{\*}{\mathcal {F}}}는 X 위의 준연접층이다. 반대로, X 위의 준연접층 \mathcal E가 주어졌으며, f가 준콤팩트 준분리 사상이라면 \mathcal E의 밂 f\_{\*}{\mathcal F}는 Y 위의 연접층이다.

### 준연접층의 범주

일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 \operatorname {QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 X가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

* 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다.
* 포함 함자 {\displaystyle I\colon \operatorname {QCoh} (X)\to {\mathcal {O}}\_{X}{\text{-Mod}}}는 오른쪽 수반 함자 {\displaystyle Q\colon {\mathcal {O}}\_{X}{\text{-Mod}}\to \operatorname {QCoh} (X)}를 가진다.
	+ 따라서, I는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}{\text{-Mod}}} 역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.)
	+ 따라서, Q는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다.

즉, \operatorname {QCoh}(X)에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. \operatorname {QCoh}(X)에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 Q를 가한 것이다.

### 아핀 스킴 위의 준연접층

가환환 R 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.

* R-가군의 범주 \operatorname {Mod} \_{R}
* R의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 {\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)}

구체적으로, R-가군 M에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 {\tilde {M}}이다.

* 임의의 r\in R에 대하여, {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R\_{r});{\tilde {M}})=R\_{r}\otimes \_{R}M}

여기서

{\displaystyle R\_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R}
는 r로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은 \operatorname {Spec} R의 열린집합을 정의한다.
반대로, \operatorname {Spec} R 위의 준연접 가군층 {\mathcal F}에 대응하는 R-가군은 {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {F}})}이다.

예
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스킴 X의 닫힌 부분 스킴 Y\subseteq X에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히, X 전체에 대응하는 영 준연접층 {\displaystyle 0}은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 \varnothing 에 대응하는 구조층 {\mathcal O}\_{X} 역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.)

체 K의 스펙트럼 \operatorname{Spec}K 위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 K-벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 K-벡터 공간이다.)

### 이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층

이산 값매김환 {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa =D/{\mathfrak {m}})}의 스펙트럼 \operatorname {Spec}D는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 {\mathfrak m}에 대응하며, 이는 잉여류체 \kappa 에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 {\displaystyle 0}에 대응하며, 이는 분수체 {\displaystyle \operatorname {Frac} D=K}에 해당한다.

시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다.

\operatorname {Spec}D 위의 임의의 가군 (준)층 {\mathcal F}는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\operatorname {Spec} D)=M}. 이는 D-가군이다.
* {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\{0\})=N}. 이는 K-벡터 공간이다.
* {\displaystyle \operatorname {Spec} D\to \{0\}}의 제약 사상 {\displaystyle \phi \colon M\otimes \_{D}K\to N}. 이는 K-선형 변환이다.

즉, \operatorname {Spec}D 위의 가군층은 위와 같은 {\displaystyle (M,N,\phi )}로 주어진다.

아핀 스킴 \operatorname {Spec}D 위의 준연접 가군층은 D-가군 M만으로 주어진다. 이 경우, \{0\}의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) {\displaystyle M\otimes \_{A}K}이다. 즉, \operatorname {Spec}D-가군층 {\displaystyle (M,N,\phi )} 가운데 준연접층인 것은 \phi 가 K-벡터 공간의 동형 사상인 것이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) **4**. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 27일에 확인함.
2. ↑  Stacks project: 29.9