군론에서 **나눗셈군**(-群, 영어: divisible group)은 양의 정수에 대한 나눗셈이 정의될 수 있는 아벨 군이다. 정수환 위의 단사 가군이며, 아벨 군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의
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영역 위의 왼쪽 가군 M에 대하여 다음 두 조건이 서로 일치하며, 이 조건을 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 **나눗셈 가군**(-加群, 영어: divisible module)이라고 한다.:70, Definition (3.16)

* 임의의 r\in R 및 m\in M에 대하여, 만약 {\displaystyle \operatorname {ann} \_{R}(\{r\})=\{s\in R\colon sr=0\}\subseteq \operatorname {ann} \_{R}(\{m\})=\{s\in R\colon sm=0\}}라면 {\displaystyle r{\tilde {m}}=m}인 {\displaystyle {\tilde {m}}\in M}이 존재한다. (다만, 이러한 {\tilde {m}}은 유일하지 않을 수 있다.)
* 모든 왼쪽 주 아이디얼 Rr 및 R-가군 준동형 {\displaystyle f\colon Rr\to M}에 대하여, {\displaystyle {\tilde {f}}|\_{Rr}=f}인 R-가군 준동형 {\displaystyle f\colon R\to M}이 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &Rr&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&M\\\end{matrix}}}

둘째 조건은 단사 가군의 베어 조건을 임의의 왼쪽 아이디얼에서 왼쪽 주 아이디얼로 약화시킨 것이다. 첫째 조건에 따라, 왼쪽 나눗셈 가군에서 만약 r\in R 및 m\in M에 대하여 {\displaystyle \operatorname {ann} \_{R}(\{r\})\subseteq \operatorname {ann} \_{R}(\{m\})}이라면 (특히, r\in R가 오른쪽 영인자가 아니라면), m의 r에 대한 나눗셈

{\displaystyle r^{-1}m\in M/\ker \_{M}(r\cdot )}
을 정의할 수 있다.

(영역이 아닌 환의 경우 일부 문헌에서는 다른 정의를 사용한다.)

아벨 군의 개념은 정수환 위의 가군의 개념과 동치이다. 정수환 위의 가군에 대하여 단사 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념이 일치하며, 이를 **나눗셈군**이라고 한다. 이는 아벨 군의 아벨 범주에서의 단사 대상과 같다. 즉, 만약 나눗셈군 G\subset H가 다른 아벨 군 H의 부분군이라면, H=G\oplus H'인 H'가 존재한다.

성질
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영역(영인자가 없는 환) 위의 왼쪽 가군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 임의의 r\in R\setminus \{0\}에 대하여 {\displaystyle rM=M}이다. 즉, 임의의 m\in M 및 r\in R에 대하여, {\displaystyle r{\tilde {m}}=m}인 {\displaystyle {\tilde {m}}\in M}이 존재한다. (다만, 이러한 {\tilde {m}}은 유일하지 않을 수 있다.)
* 나눗셈 가군이다.

영역 위의 나눗셈 가군은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.:71

* (임의의 부분 가군에 대한) 몫가군
* (무한 또는 유한) 직접곱
* (무한 또는 유한) 직합

그러나 나눗셈 가군은 부분 가군에 대하여 닫혀 있지 않다. 예를 들어, \mathbb {Q} 는 나눗셈군이지만 {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }는 나눗셈군이 아니다.

모든 단사 가군은 나눗셈 가군이다. 영역 R에서, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 아이디얼이라면, 나눗셈 가군의 개념은 단사 가군의 개념과 일치한다.:71, Corollary (3.17)′

가환환 R의 극대 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq R}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:96, Theorem 3.72

* 체 R/{\mathfrak m}은 R-단사 가군이다.
* 체 R/{\mathfrak m}은 R-나눗셈 가군이다.
* 국소화 R\_{{{\mathfrak m}}}은 체이다.

(가환) 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:73, Corollary (3.24)

* 나눗셈 가군의 개념이 단사 가군의 개념과 동치이다.
* R는 데데킨트 정역이다.

정역 R 위의 가군 M에 대하여, 임의의 {\displaystyle r\in R\setminus \{r\}} 및 m\in M\setminus \{0\}에 대하여 {\displaystyle rm\neq 0}이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:73, Proposition 3.25

* M은 단사 가군이다.
* M은 나눗셈 가군이다.

분류
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모든 나눗셈군 D는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle D=\mathbb {Q} ^{\oplus \kappa \_{0}}\oplus \bigoplus \_{p}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{\oplus \kappa \_{p}}}
여기서 \textstyle \bigoplus \_{p}는 모든 소수에 대한 직합이며, \kappa \_{0} 및 \kappa \_{p}는 기수이며, {\mathbb Z}(p^{\infty })는 프뤼퍼 군(영어: Prüfer group)

{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\colon m,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}
이다.

특히, 꼬임 부분군이 자명군인 나눗셈군은 유리수 위의 벡터 공간밖에 없다.

이 분류는 뇌터 가환환 위의 단사 가군의 분류의 특수한 경우이다.

예
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표수가 0인 체의 덧셈군은 나눗셈군이다. 보다 일반적으로, 표수가 0인 체 위의 벡터 공간의 덧셈군은 나눗셈군이다. 일반적으로, 표수가 0인 체 K/{\mathbb Q} 위의 d차원 벡터 공간 V는 위 분류에 따라 다음과 같다.

{\displaystyle V\cong \mathbb {Q} ^{[K:\mathbb {Q} ]\dim \_{K}V}}
여기서 [K:\mathbb Q]는 체의 확대의 차수이며, {\displaystyle \dim \_{K}V}는 벡터 공간의 차원이며, 곱셈은 기수의 곱셈이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb {R} 의 덧셈군은 위 분류에 따라 \mathbb {Q} 의 2^{\aleph \_{0}}개의 직합과 동형이다.

유리수체의 덧셈군의 몫군 \mathbb {Q} /\mathbb {Z} 는 위 분류에 따라 모든 프뤼퍼 군들의 직합과 동형이다.

{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \bigoplus \_{p}\mathbb {Z} (p^{\infty })}
다항식환 {\mathbb Z}[x] 위의 가군 {\displaystyle \mathbb {Q} (x)/\mathbb {Z} [x]}는 (나눗셈 가군의 몫가군이므로) 나눗셈 가군이지만, 단사 가군이 아니다.:73

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.