구면 조화 함수의 모양. 녹색은 함수가 양인 구역, 적색은 함수가 음인 구역을 나타낸다.
수학과 물리학에서 **구면 조화 함수**(球面調和函數, 영어: spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다. 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 Y\_l^m이다.

정의
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구면 좌표계 (r,\theta,\phi)에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0},
변수분리법을 써, 함수 *f*가 다음과 같이 표현된다고 가정하자.

f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi).
그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같다.

{\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.
이는 다음과 같이 분리된다.

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2
이에 따라 어떤 m 과 l에 대한 위 두 식을 얻는다.

따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.

 Y\_\ell^m (\theta, \varphi ) = N\exp(im\varphi)P\_l^m (\cos{\theta} ),
이들 함수 Y\_l^m를 **구면 조화 함수**라 부른다. 함수가 연속적이므로, l은 음이 아닌 정수이고, m은 -l\le m\le l을 만족하는 정수다. 여기서 P\_\ell^m 은 르장드르 연관 함수이고, N 은 정규화 상수다. N은 임의적이나, 대개 편의상 \int\_{4\pi}d\Omega\;|Y\_l^m|^2=1이 되게 다음과 같이 정의한다.

N=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}.
보다 일반적으로, n차원의 유클리드 공간의 구면 좌표계 {\displaystyle (r,\theta ,\phi \_{1},\dotsc ,\phi \_{n-2})}에 대하여 위와 같은 라플라스 방정식을 정의할 수 있다. 이에 따라서 구면 조화 함수

{\displaystyle Y\_{l}^{m\_{1},m\_{2},\dotsc ,m\_{n-2}}(\theta ,\phi \_{1},\dotsc ,\phi \_{n-2})}
를 얻는다. 이 경우

{\displaystyle l\geq m\_{1}\geq m\_{2}\geq \dotsb \geq m\_{n-3}\geq |m\_{n-2}|}
이며,

{\displaystyle \left(l(l+n-2)+\Delta \_{\mathbb {S} ^{n-1}}\right)Y\_{l}^{m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}=0}
이다.

### 유클리드 공간 조화 다항식을 통한 유도

구면 조화 함수는 다른 방법으로 유도할 수 있다.

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 위의 다항식 함수 가운데, 조화 함수인 것들을 생각하자.

{\displaystyle A=\left\{p\in \mathbb {R} [x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]\colon \sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x\_{i}^{2}}}=0\right\}}
이는 물론 동차 다항식의 차수에 따라서 실수 등급 벡터 공간을 이룬다.

{\displaystyle A=\bigoplus \_{l=0}^{\infty }A\_{l}}
{\displaystyle \forall p\in A\_{l}\colon \deg p=l}
이를 n-1차원 초구

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\left\{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}=1\right\}}
위에 제한할 수 있다.

{\displaystyle P=\bigoplus \_{l=0}^{\infty }P\_{l}=\{p\upharpoonright \mathbb {S} ^{n-1}\colon p\in A\}}
{\displaystyle P\_{l}=\{p\upharpoonright \mathbb {S} ^{n-1}\colon p\in A\_{l}\}}
그렇다면

{\displaystyle \Delta \_{\mathbb {S} ^{n-1}}f=-\nabla \_{\mathbb {S} ^{n-1}}^{2}f=l(l+n-2)f\qquad \forall f\in P\_{l}}
이 된다. 그렇다면, 구면 조화 함수 {\displaystyle Y\_{l,m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}}들은 {\displaystyle P\_{l}}의 정규 직교 기저를 이룬다.

{\displaystyle A\_{l}}의 원소

{\displaystyle p(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})=\sum \_{i\_{1}=1}^{n}\dotso \sum \_{i\_{l}=1}^{n}p\_{i\_{1}\dotso i\_{l}}x\_{i\_{1}}\dotsm x\_{i\_{l}}}
에 대하여, p가 조화 함수일 조건은 텐서 {\displaystyle p\_{i\_{1}\dotso i\_{l}}}이 대칭이며 완전 무(無)대각합인 것이다. 즉, 이는 \operatorname {SO} (n)의 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현에 대응한다. 이는 l개의 상자로 구성된 하나의 행만을 갖는 영 타블로에 해당한다.

* SO(3)의 경우, 표현은 정수 스핀으로 분류되며, 이 경우 l은 이 스핀에 해당한다.
* SO(4)의 경우, 표현은 두 개의 정수 또는 두 개의 반(半)정수 스핀 {\displaystyle (j\_{L},j\_{R})}으로 분류되며, 이 경우 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현은 스핀 {\displaystyle (l/2,l/2)}에 해당한다.

성질
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구면 조화 함수의 그래프. 기하학적인 무늬를 보인다.
n=3일 때, 정의에 따라, 음의 m 값은 양의 m값과 다음과 같은 관계를 가진다.

Y\_l^{-m}=(-1)^m(Y\_l^m)^\*.
(다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)

### 정규 직교성

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 이에 따라 부피 형식 및 르베그 공간

{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{n-1};\mathbb {C} )}
을 정의할 수 있다. 이는 분해 가능 무한 차원 복소수 힐베르트 공간이다 (n\geq 2). 그렇다면, {\displaystyle Y\_{l}^{m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}}는 그 위의 정규 직교 기저를 이룬다.

{\displaystyle \int \_{\mathbb {S} ^{n-1}}{\bar {Y}}\_{l}^{m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}Y\_{l'}^{m'\_{1},\dotsc ,m'\_{n-2}}=\delta \_{ll'}\delta \_{m\_{1}m\_{1}'}\dotsm \delta \_{m\_{n-2}m'\_{n-2}}}
### 라플라스-벨트라미 연산자

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 그 위의 매끄러운 함수에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자

{\displaystyle \Delta \_{\mathbb {S} ^{n-1}}=-\nabla \_{\mathbb {S} ^{n-1}}^{2}}
를 정의할 수 있다.

n차원 구면 조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수이며, 그 고윳값은 {\displaystyle l(l+n-2)}이다.

{\displaystyle \Delta Y\_{l}^{m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}(\theta ,\varphi )=l(l+n-2)Y\_{l}^{m\_{1},\dotsc ,m\_{n-2}}(\theta ,\varphi \_{1},\dotsc ,\varphi \_{n-2})/r^{2}}
### 운죌트 정리

구면 조화 함수는 다음 항등식을 따르며, 이를 **운죌트 정리**(영어: Unsöld’s theorem)라고 한다.

\sum \_{{m=-l}}^{l}\left|Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )\right|^{2}={2l+1 \over 4\pi }
즉, 아래지표 *l*이 같은 구면 조화 함수를 절댓값을 취한 후 제곱해 {\displaystyle -l}부터 l까지 더하면 상수를 얻는다.

**예:**

Y\_{0}^{0}(\theta ,\phi )={1 \over (4\pi )^{{1/2}}}
Y\_{1}^{0}(\theta ,\phi )=\left({3 \over 4\pi }\right)^{{1/2}}\cos \theta 
Y\_{{1}}^{{\pm 1}}(\theta ,\phi )=\left({3 \over 8\pi }\right)^{{1/2}}\sin \theta e^{{\pm i\phi }}
여기에 모두 절댓값을 취하면

\left|Y\_{0}^{0}(\theta ,\phi )\right|={1 \over (4\pi )^{{1/2}}}
\left|Y\_{1}^{0}(\theta ,\phi )\right|=\left({3 \over 4\pi }\right)^{{1/2}}\cos \theta 
\left|Y\_{{1}}^{{\pm 1}}(\theta ,\phi )\right|=\left({3 \over 8\pi }\right)^{{1/2}}\sin \theta 
이 되고, 아래지표가 같은 함수끼리 제곱해서 더하면 다음을 얻는다.

\left|Y\_{0}^{0}(\theta ,\phi )\right|^{2}={1 \over 4\pi }
\left|Y\_{{1}}^{{-1}}(\theta ,\phi )\right|^{2}+\left|Y\_{1}^{0}(\theta ,\phi )\right|^{2}+\left|Y\_{{1}}^{{1}}(\theta ,\phi )\right|^{2}={3 \over 4\pi }(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )={3 \over 4\pi }

응용
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구면 조화 함수의 매개변수 l과 m을 이렇게 부르는 까닭은 양자역학에서 이 함수를 구형 대칭의 파동 함수로 해석하면 l과 m 궤도 각운동량 양자수에 해당하기 때문이다. 양자역학에서 궤도 각운동량(orbital angular momentum) 연산자는 다음과 같다.

\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=-i\hbar\mathbf r\times\mathbf\nabla.
따라서 그 제곱은 다음과 같다.

\mathbf L^2=-\hbar^2\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right).
또한, 궤도 각운동량의 z성분은 다음과 같다.

L\_z=\hat{\mathbf z}\cdot\mathbf L=-i\hbar\frac\partial{\partial\varphi}
.
따라서, 구면 조화 함수 Y\_l^m은 \mathbf L^2와 L\_z의 고유함수이며, 그 고윳값은 다음과 같다.

\mathbf L^2Y\_l^m=l(l+1)\hbar^2Y\_l^m
L\_zY\_l^m=m\hbar Y\_l^m.
### 확률 밀도

구면 대칭 파동 함수

\psi \_{{nlm}}(r,\theta ,\phi )=R\_{{nl}}(r)Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )
의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

P(r,\theta ,\phi )=|\psi \_{{nlm}}(r,\theta ,\phi )|^{2}=|R\_{{nl}}(r)|^{2}|Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )|^{2}
에너지의 경우 *l*과 *m*에 전혀 무관하고 오로지 *n*에만 관련이 있는 값으로 나온다. 따라서 *n*은 같고 *l*과 *m*이 다른 상태들은 모두 축퇴되어 있다. 따라서, 같은 에너지를 같는 상태에서 확률 밀도를 구하면, 다음과 같다.

P(r,\theta ,\phi )dV=|\sum \_{{l,m}}\psi \_{{nlm}}(r,\theta ,\phi )|^{2}dV=\sum \_{l}|R\_{{nl}}(r)|^{2}\sum \_{{m=-l}}^{{l}}|Y\_{l}^{m}(\theta ,\phi )|^{2}dV=\sum \_{l}C\_{l}|R\_{{nl}}(r)|^{2}dV
여기서 C\_*l*는 상수이며, 적분시 0이 되는 수직인 항들은 전부 무시하였다. 즉, 운죌트 정리에 따라서, 확률 밀도는 구면 대칭을 따른다.

예
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낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(영어: Particle Data Group) 관례를 따랐다. (음수 m의 경우는 위의 식을 통해 양의 m으로부터 계산할 수 있다.)

Y\_0^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{1\over \pi}
Y\_1^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{3\over \pi}\cos\theta
Y\_1^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{3\over 2\pi}\sin\theta\exp(i\varphi)
Y\_2^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{5\over \pi}(3\cos^2\theta-1)
Y\_2^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{15\over 2\pi}\sin\theta\cos\theta\exp(i\varphi)
Y\_2^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{15\over 2\pi}\sin^2\theta\exp(2i\varphi)
Y\_3^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{7\over \pi}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)
Y\_3^1(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{21\over \pi}\sin\theta(5\cos^2\theta-1)\exp(i\varphi)
Y\_3^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{105\over 2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\exp(2i\varphi)
Y\_3^3(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{35\over \pi}\sin^3\theta\exp(3i\varphi)
### 2차원 구면 조화 함수

1차원 구는 원이며, 이 경우 구면 조화 함수는 단순히 삼각 함수이다.

{\displaystyle Y\_{m}(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(\mathrm {i} m\theta )}
이 경우

{\displaystyle \Delta \_{\mathbb {S} ^{1}}Y\_{m}=-m^{2}Y\_{m}}
{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }Y\_{m}^{\*}(\theta )Y\_{m'}(\theta )\mathrm {d} \theta =\delta \_{ij}}
가 된다.

2차원 유클리드 공간의 조화 다항식은

1
x,y
{\displaystyle x^{2}-y^{2},xy}
등이 있는데, 이들을 원에 제한하고 {\displaystyle y/x=\tan \theta }로 놓으면

1
{\displaystyle \sin \theta ,\cos \theta }
{\displaystyle -2\cos(2\theta ),\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta ,{\frac {1}{2}}\sin 2\theta }
를 얻는다. 즉, 각 {\displaystyle l=|m|}에 대하여 이들은 {\displaystyle Y\_{m}}과 같은 2차원 함수 공간을 정의한다.

역사
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운죌트 정리는 독일의 천체물리학자 알브레히트 오토 요하네스 운죌트(독일어: Albrecht Otto Johannes Unsöld, 1905〜1995)가 제시하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Frye, Christopher; Efthimiou, Costas J. (2012). "Spherical harmonics in *p* dimensions" (영어). arXiv:1205.3548. Bibcode:2012arXiv1205.3548F.
2. ↑  J. Beringer et al. (Particle Data Group). "Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics, and d functions (2012 Review of Particle Physics)" (PDF). 2012년 8월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 9월 7일에 확인함.