수론에서 **페르마 두 제곱수 정리**(-數定理, 영어: Fermat's theorem on sums of two squares)는 홀수 소수가 두 개의 제곱수의 합일 필요 충분 조건이 4에 대한 나머지가 1이라는 것이라는 정리이다.

정의
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홀수 소수 p가 주어졌다고 하자. **페르마 두 제곱수 정리**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}인 정수 x,y가 존재한다.
* {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}

사실, 4에 대한 나머지가 1인 소수는 무한히 많이 존재하며, 이에 대한 두 제곱수로의 표현은 (더하는 순서를 무시하면) 유일하다. 작은 소수의 경우는 다음과 같다.

| p | min{*x*,*y*} | max{*x*,*y*} |
| --- | --- | --- |
| 2 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 2 |
| 13 | 2 | 3 |
| 17 | 1 | 4 |
| 29 | 2 | 5 |
| 37 | 1 | 6 |
| 41 | 4 | 5 |
| 53 | 2 | 7 |
| 61 | 5 | 6 |
| 73 | 3 | 8 |
| 89 | 5 | 8 |
| 97 | 4 | 9 |
| … | … | … |
| (OEIS의 수열 A002331) | (OEIS의 수열 A002313) | (OEIS의 수열 A002330) |

증명
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전자가 후자를 함의하는 것은 자명하다. 이는 제곱수의 4에 대한 나머지는 0이거나 1이므로, 두 제곱수의 합의 4에 대한 나머지는 0, 1, 2이기 때문이다. 반대 방향에 대한 몇 가지 증명은 아래와 같다.

### 오일러의 증명

처음 출판된 증명은 레온하르트 오일러가 제시하였다. 이 증명은 무한 강하법을 사용하며, 이후에 제시된 증명들에 비하면 복잡하다. 이는 대략 다음과 같다.

우선, 다음과 같은 명제를 증명하자.

* 어떤 두 제곱수의 합인 수 {\displaystyle a^{2}+b^{2}}가 두 제곱수의 합인 소인수 {\displaystyle c^{2}+d^{2}}를 갖는다면, 몫 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})/(c^{2}+d^{2})}은 두 제곱수의 합이다.

가정에 의하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid c^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(c^{2}+d^{2})=(bc+ad)(bc-ad)}
즉, {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc+ad}이거나, {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc-ad}이다. 편의상 전자를 가정하자. 그렇다면, 브라마굽타-피보나치 항등식

{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(bc+ad)^{2}+(bd-ac)^{2}}
에 의하여, {\displaystyle c^{2}+d^{2}\mid bc+ad}이므로, 두 수의 몫은 다음과 같이 두 제곱수의 합이다.

{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}=\left({\frac {bc+ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {bd-ac}{c^{2}+d^{2}}}\right)^{2}}
이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

* 어떤 두 제곱수의 합인 수 n가 두 제곱수의 합이 아닌 약수 p를 갖는다면, 몫 {\displaystyle n/p}는 두 제곱수의 합이 아닌 약수를 갖는다.

귀류법을 사용하여, {\displaystyle n/p}의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자. 그렇다면, 특히 {\displaystyle n/p}의 한 소인수 q는 두 제곱수의 합이며, 이전의 명제에 따라, {\displaystyle n/q}는 두 제곱수의 합이다. 이를 {\displaystyle n/p}의 (중복도를 감안한) 모든 소인수에 대하여 반복하면, p가 두 제곱수의 합이라는 결론을 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

* 정수 a,b,p가 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}이고, {\displaystyle p\mid a^{2}+b^{2}}이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \gcd\{c,d\}=1}이고, {\displaystyle p\mid c^{2}+d^{2}}이며, {\displaystyle c^{2}+d^{2}\leq p^{2}/2}인 정수 {\displaystyle c,d}가 존재한다.

다음과 같은 정수 {\displaystyle c,d}을 취하자.

{\displaystyle a\equiv c,\;b\equiv d{\pmod {p}}}
{\displaystyle |c|,|d|\leq {\frac {p}{2}}}
그렇다면, {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}이므로 {\displaystyle c^{2}+d^{2}\neq 0}이고, 또한

{\displaystyle c^{2}+d^{2}\equiv a^{2}+b^{2}\equiv 0{\pmod {p}}}
이다. {\displaystyle g,c',d'}을 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle g=\gcd\{c,d\},\;c'={\frac {c}{g}},\;d'={\frac {d}{g}}}
그렇다면, {\displaystyle \gcd\{c',d'\}=1}이다. 또한, {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}이므로, {\displaystyle \gcd\{g,p\}=1}이며, {\displaystyle g^{2}\mid (c^{2}+d^{2})/p}이다. 따라서, 다음이 성립한다.

{\displaystyle p\mid {\frac {c^{2}+d^{2}}{g^{2}p}}\cdot p={c'}^{2}+{d'}^{2}}
{\displaystyle {c'}^{2}+{d'}^{2}\leq c^{2}+d^{2}\leq 2\cdot \left({\frac {p}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{2}}}
즉, {\displaystyle c',d'}는 명제의 조건을 만족시킨다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

* 정수 a,b가 {\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}이라면, {\displaystyle a^{2}+b^{2}}의 모든 약수는 두 제곱수의 합이다.

귀류법을 사용하여, {\displaystyle p\mid a^{2}+b^{2}}가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정하자. 이전의 명제에 따라, 다음을 만족시키는 정수 {\displaystyle c,d}를 취하자.

{\displaystyle \gcd\{c,d\}=1,\;p\mid c^{2}+d^{2},\;c^{2}+d^{2}\leq {\frac {p^{2}}{2}}}
그렇다면, {\displaystyle (c^{2}+d^{2})/p}는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 {\displaystyle q\mid (c^{2}+d^{2})/p}를 갖는다. 또한 {\displaystyle q\leq p/2}이다. 이를 q와 {\displaystyle c^{2}+d^{2}}에 대하여 반복할 수 있다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 e,f를 취하자.

{\displaystyle \gcd\{e,f\}=1,\;q\mid e^{2}+f^{2},\;e^{2}+f^{2}\leq {\frac {q^{2}}{2}}}
그렇다면, {\displaystyle (e^{2}+f^{2})/q}는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 {\displaystyle r\mid (e^{2}+f^{2})/q}를 가지며, {\displaystyle r\leq q/2}이다. 이와 같이 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열

{\displaystyle p>q>r>\cdots }
를 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 두 제곱수 정리를 증명하자. 소수 p가 어떤 정수 n에 대하여 {\displaystyle p=4n+1}라고 하자. 다음과 같은 정수 a,b가 존재한다고 가정하자.

{\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}
{\displaystyle p\nmid a,b,a^{2n}-b^{2n}}
그렇다면, 페르마 소정리에 따라,

{\displaystyle p\mid a^{4n}-b^{4n}}
이다. 따라서

{\displaystyle p\mid a^{2n}+b^{2n}}
이며, 이전의 명제에 따라 p는 두 제곱수의 합이다. 즉, 두 제곱수 정리를 증명하려면 위와 같은 a,b를 찾으면 된다.

이를 위해, 수열

{\displaystyle (1^{2n},2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n})}
의 1계 유한 차분

{\displaystyle (2^{2n}-1^{2n},3^{2n}-2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n}-(2n)^{2n})}
을 생각하자. 귀류법을 사용하여, 1계 유한 차분의 모든 항이 p를 약수로 가진다고 가정하자. 그렇다면, 2계 유한 차분의 모든 항 역시 p를 약수로 가지며, 마찬가지로 3계, 4계, …, 2n계 유한 차분의 모든 항 역시 p를 약수로 가진다. 그러나 수열 {\displaystyle 1^{2n},2^{2n},\dots ,(2n+1)^{2n}}의 2n계 유한 차분은 모든 항이 {\displaystyle (2n)!}이며, p는 {\displaystyle (2n)!}의 약수가 아니다. 이는 모순이므로, 어떤 {\displaystyle b\in \{1,\dots ,2n\}}에 대하여

{\displaystyle p\nmid (b+1)^{2n}-b^{2n}}
이 성립한다. 즉, b와 {\displaystyle a=b+1}은 위와 같은 조건을 만족시킨다.

### 투에 보조정리를 통한 증명

만약 {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}라고 하자.:167-168 그렇다면, −1은 p에 대한 제곱 잉여이므로,

{\displaystyle a^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}
인 정수 a가 존재한다. 또한 {\displaystyle \gcd\{p,a\}=1}이므로, 투에 보조정리에 따라,

{\displaystyle ax\equiv y{\pmod {p}}}
{\displaystyle 0<|x|,|y|<{\sqrt {p}}}
를 만족시키는 정수 x,y가 존재한다. 따라서,

{\displaystyle y^{2}\equiv (ax)^{2}\equiv -x^{2}{\pmod {p}}}
이며, {\displaystyle p\mid x^{2}+y^{2}}이다. 또한, {\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p}이므로,

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=p}
이다.

### 한 문장 증명

유한 집합:144

{\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}\colon p=x^{2}+4yz\}}
위의 대합

{\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z)&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z)&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y)&x>2y\end{cases}}\qquad \forall (x,y,z)\in S}
는 유일한 고정점 {\displaystyle (1,1,(p-1)/4)}를 가지므로, |S|는 홀수이다. 따라서 또 하나의 대합

{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)\qquad \forall (x,y,z)\in S}
역시 적어도 하나의 고정점 {\displaystyle (x,y,y)}을 가지며, 이는

{\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p}
를 만족시킨다.

일반화
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### {\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}

임의의 양의 정수 n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}인 정수 x,y가 존재한다.
* n은 4에 대한 나머지가 3인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.

충분 조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요 조건의 증명에는 제곱 잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

### {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}

홀수 소수 p에 대하여, 다음 두 조건 역시 서로 동치이다.

* {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}인 정수 x,y가 존재한다.
* {\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}}

#### 증명

우선, {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}인 정수 x,y가 존재한다고 가정하자.:321–322 그렇다면,

{\displaystyle \gcd\{p,x\}=\gcd\{p,y\}=1}
이므로, 어떤 정수 z에 대하여

{\displaystyle yz\equiv x{\pmod {p}}}
가 성립한다. 따라서,

{\displaystyle 0\equiv x^{2}+2y^{2}\equiv y^{2}(z^{2}+2){\pmod {p}}}
이므로,

{\displaystyle z^{2}\equiv -2{\pmod {p}}}
이다. 즉, −2는 p에 대한 제곱 잉여이며, 이는

{\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}}
와 동치이다.

반대로,

{\displaystyle p\equiv 1,3{\pmod {8}}}
라고 가정하자. 이는 −2가 p에 대한 제곱 잉여인 것과 동치이므로, 어떤 정수 z에 대하여

{\displaystyle z^{2}\equiv -2{\pmod {p}}}
가 성립한다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle \{\phi \_{p}(rz+s)\colon r,s\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor \}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)}
여기서 {\displaystyle \phi \_{p}(-)}는 p에 대한 나머지를 구하는 함수이다. 이 집합의 원소는 많아야 p개여야 하므로, 다음을 만족시키는 {\displaystyle r,r',s,s'\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor \}}가 존재한다.

{\displaystyle (r,s)\neq (r',s')}
{\displaystyle rz+s\equiv r'z+s'{\pmod {p}}}
사실, 다음과 같은 동치 관계에 따라, {\displaystyle r\neq r'}이며 {\displaystyle s\neq s'}이다.

{\displaystyle {\begin{aligned}r=r'&\iff r-r'\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff (r-r')z\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff s-s'\equiv 0{\pmod {p}}\\&\iff s=s'\end{aligned}}}
이제, 정수 x,y를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle x=|s-s'|,\;y=|r-r'|}
그렇다면,

{\displaystyle yz\equiv \pm x{\pmod {p}}}
{\displaystyle 0<x,y<{\sqrt {p}}}
이며,

{\displaystyle 0\equiv y^{2}(z^{2}+2)\equiv x^{2}+2y^{2}{\pmod {p}}}
이다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 m이 존재한다.

{\displaystyle mp=x^{2}+2y^{2}}
또한, {\displaystyle 0<x^{2}+2y^{2}<3p}이므로, {\displaystyle m\in \{1,2\}}이다. 만약 m=1이라면, p는 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 만약 m=2이라면, {\displaystyle 2\mid x}이며,

{\displaystyle p=y^{2}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}
이므로, 역시 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다.

### {\displaystyle n=x^{2}+2y^{2}}

양의 정수 n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle n=x^{2}+2y^{2}}인 정수 x,y가 존재한다.
* n은 8에 대한 나머지가 5, 7인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.

역사
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프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.