선형대수학에서 **시프트 행렬**(영어: shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.

정의
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체 K 위의 n\times n **상시프트 행렬**(영어: upper shift matrix) {\displaystyle U\_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)} 및 **하시프트 행렬** {\displaystyle L\_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}은 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle (U\_{n})\_{ij}=\delta \_{i+1,j}={\begin{cases}1&j=i+1\\0&j\neq i+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}
{\displaystyle (L\_{n})\_{ij}=\delta \_{i,j+1}={\begin{cases}1&i=j+1\\0&i\neq j+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}
여기서 \delta \_{{ij}}는 크로네커 델타이다. 예를 들어, {\displaystyle 5\times 5} 상시프트 행렬 {\displaystyle U\_{5}} 및 하시프트 행렬 {\displaystyle L\_{5}}는 다음과 같다.

{\displaystyle U\_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\;L\_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}}

성질
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체 K 위의 m\times m 상·하시프트 행렬 {\displaystyle U\_{m},L\_{m}\in \operatorname {Mat} (m;K)}의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle U\_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}
{\displaystyle U\_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n-1}\\x\_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\_{2}\\x\_{3}\\\vdots \\x\_{n}\\0\_{1\times n}\end{pmatrix}}\qquad \forall x\_{1},\dots ,x\_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}
{\displaystyle L\_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}
{\displaystyle L\_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n-1}\\x\_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\_{1\times n}\\x\_{1}\\\vdots \\x\_{n-2}\\x\_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x\_{1},\dots ,x\_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}
체 K 위의 n\times n 상·하시프트 행렬 {\displaystyle U\_{n},L\_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle \cdot U\_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}
{\displaystyle \cdot U\_{n}\colon {\begin{pmatrix}x\_{1}&x\_{2}&\cdots &x\_{n-1}&x\_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\_{m\times 1}&x\_{1}&\cdots &x\_{n-2}&x\_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x\_{1},\dots ,x\_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}
{\displaystyle \cdot L\_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}
{\displaystyle \cdot L\_{n}\colon {\begin{pmatrix}x\_{1}&x\_{2}&\cdots &x\_{n-1}&x\_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\_{2}&x\_{3}&\cdots &x\_{n}&0\_{m\times 1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x\_{1},\dots ,x\_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}
체 K 위의 n\times n 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 {\displaystyle U\_{n},L\_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}은 n을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.

{\displaystyle U\_{n}^{n}=0\_{n\times n}}
{\displaystyle L\_{n}^{n}=0\_{n\times n}}
{\displaystyle U\_{n}^{n-1}=E\_{1n}=(\delta \_{i,1}\delta \_{j,n})\_{i,j=1}^{n}}
{\displaystyle L\_{n}^{n-1}=E\_{n1}=(\delta \_{i,n}\delta \_{j,1})\_{i,j=1}^{n}}

예
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행렬

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}}
이 주어졌다면,

{\displaystyle U\_{5}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle L\_{5}M={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}}}
{\displaystyle MU\_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&2\\0&1&2&2&2\\0&1&1&1&1\end{pmatrix}}}
{\displaystyle ML\_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}}
이다.