호모토피 이론에서 **푸페 완전열**(Puppe完全列, 영어: Puppe exact sequence)은 어떤 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열이다.

정의
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두 점을 가진 공간

{\displaystyle (X,\bullet \_{X})}
{\displaystyle (Y,\bullet \_{Y})}
사이의, 점을 보존하는 연속 함수

f\colon X\to Y
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사상뿔

{\displaystyle \mathrm {C} f={\frac {X\times \mathbb {I} \sqcup Y}{\sim }}}
{\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\qquad \forall x,x'\in X}
{\displaystyle (x,1)\sim f(x)\qquad \forall x\in X}
{\displaystyle \bullet \_{\mathrm {C} f}=[(\bullet \_{X},1)]\_{\sim }=[\bullet \_{Y}]\_{\sim }}
과 사상올

{\displaystyle \mathrm {M} f=\left\{(x,\gamma )\in X\times \hom \_{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)=f(x)\right\}}
{\displaystyle \bullet \_{\mathrm {M} f}=(\bullet \_{X},(t\mapsto \bullet \_{Y}))}
을 정의할 수 있다. (여기서 {\displaystyle \mathbb {I} =([0,1],0)}은 밑점 0을 가진 닫힌구간이다.) 만약 f가 올뭉치라면 사상올은 그 올과 호모토피 동치이며, 만약 f가 쌍대올뭉치라면 사상뿔은 그 쌍대올과 호모토피 동치이다.

이에 따라, 두 호모토피 짧은 완전열

{\displaystyle \bullet \to \mathrm {M} f\to X\to Y\to \bullet }
{\displaystyle \bullet \to X\to Y\to \mathrm {C} f\to \bullet }
을 정의할 수 있다. 즉, 합성 사상

{\displaystyle \mathrm {M} f\to Y}
{\displaystyle (x,\gamma )\mapsto \gamma (1)}
은 상수 함수 {\displaystyle (x,\gamma )\mapsto \bullet \_{Y}}와 호모토픽하며, 합성 사상

{\displaystyle X\to \operatorname {C} f}
{\displaystyle x\mapsto [(x,1)]}
역시 상수 함수와 호모토픽하다.

또한, 축소 고리 공간의 포함 관계

{\displaystyle \Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f}
{\displaystyle \gamma \mapsto (\bullet \_{X},\gamma )}
와 축소 현수로의 몫 관계

{\displaystyle \mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X}
{\displaystyle (x,t)\mapsto [(x,t)]\qquad \forall (x,t)\in X\times \mathbb {I} }
{\displaystyle y\mapsto \bullet \_{\Sigma X}\qquad \forall y\in Y}
를 사용하여, 더 긴 열

{\displaystyle \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y}
{\displaystyle X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X}
을 정의할 수 있다. 이제, 축소 고리 공간과 축소 현수의 함자성을 통해 열

{\displaystyle \Omega X\,{\xrightarrow {\Omega f}}\,\Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f\to X\,{\xrightarrow {f}}\,Y}
{\displaystyle X\,{\xrightarrow {f}}\,Y\to \mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X\,{\xrightarrow {\Sigma f}}\,\Sigma Y}
을 정의할 수 있으며, 이 역시 완전열임을 보일 수 있다. 또한,

{\displaystyle \Sigma \mathrm {C} f\simeq \mathrm {C} \Sigma f}
{\displaystyle \Omega \mathrm {M} f\simeq \mathrm {M} \Omega f}
가 성립한다. 따라서, 이 과정을 반복하여 무한히 긴 호모토피 완전열

{\displaystyle \dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y}
{\displaystyle X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \Sigma \mathrm {C} f\to \Sigma ^{2}X\to \Sigma ^{2}Y\to \Sigma ^{2}\mathrm {C} f\to \dotsb }
을 정의할 수 있다. (여기서 ‘호모토피 완전열’이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 상수 함수와 호모토픽함을 뜻한다.) 이를 **푸페 완전열**이라고 한다.

예
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푸페 완전열

{\displaystyle \dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y}
에서, 성분별 0차 호모토피 군을 취하자. {\displaystyle \pi \_{n}(X)=\pi \_{0}(\Omega ^{n}X)}를 사용하면, 이는 군의 완전열

{\displaystyle \dotsb \to \pi \_{2}(\mathrm {M} f)\to \pi \_{2}(X)\to \pi \_{2}(Y)\to \pi \_{1}(\mathrm {M} f)\to \pi \_{1}(X)\to \pi \_{1}(Y)\to \pi \_{0}(\mathrm {M} f)\to \pi \_{0}(X)\to \pi \_{0}(Y)}
을 얻는다. (물론, \pi \_{0}에 대한 마지막 항들은 일반적으로 군이 아니다.)

특히, X가 Y의 (점을 공유하는) 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 사상올

{\displaystyle \mathrm {M} f=\{\gamma \in \hom \_{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)\in X\}}
의 호모토피 군이 상대 호모토피 군과 동형임을 보일 수 있다.

{\displaystyle \pi \_{n}(\mathrm {M} f)\cong \pi \_{n+1}(Y,X)}
즉, 이 경우 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열

{\displaystyle \dotsb \to \pi \_{3}(Y,X)\to \pi \_{2}(X)\to \pi \_{2}(Y)\to \pi \_{2}(Y,X)\to \pi \_{1}(X)\to \pi \_{1}(Y)\to \pi \_{1}(Y,X)\to \pi \_{0}(X)\to \pi \_{0}(Y)}
과 같다.

역사
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디터 푸페가 도입하였다.