리 군론에서 **이차 리 대수**(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

정의
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가환환 K 위의 **이차 리 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K-리 대수 {\mathfrak {g}}
* K-비퇴화 쌍선형 형식 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \_{K}{\mathfrak {g}}\to K}, {\displaystyle x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle }

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle }
아인슈타인 표기법을 사용하여, {\mathfrak {g}}의 원소를 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t^i}**
와 같이 윗첨자로 표기하고, {\mathfrak {g}}의 구조 상수를

{\displaystyle [t^{i},t^{j}]=f^{k}{}\_{ij}t^{i}t^{j}}
와 같이 적고 ({\displaystyle f^{k}{}\_{ij}=-f\_{ji}^{k}}), 쌍선형 형식을

{\displaystyle \langle t^{i}|t^{j}\rangle =C\_{ij}t^{i}t^{j}}
와 같이 적을 경우 ({\displaystyle C\_{ij}=C\_{ji}}), 위 조건은 다음과 같다.

{\displaystyle 0=C\_{l(j}f^{l}{}\_{k)i}=C\_{lj}f^{l}{}\_{ki}+C\_{lk}f^{l}{}\_{ji}}
여기서 {\displaystyle (\dotso )}는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산
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같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

### 이중 확대

다음이 주어졌다고 하자.

* 체 K
* K-이차 리 대수 {\displaystyle ({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )}
* K-리 대수 {\mathfrak {h}} 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 {\displaystyle \langle -|-\rangle \_{\mathfrak {h}}} (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
* K-리 대수 준동형 {\displaystyle (\cdot )\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\cap {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})} (여기서 {\displaystyle {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})}는 대칭 쌍선형 형식 {\displaystyle \langle -|-\rangle }에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합 K-벡터 공간

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }}
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

{\displaystyle \langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle }
{\displaystyle [(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))}
{\displaystyle [(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)}
{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0}
{\displaystyle [(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)}
{\displaystyle [(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} \_{h})}
여기서

{\displaystyle \omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{\*}}
{\displaystyle \omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle }
이다. 이를 {\mathfrak {g}}의, {\mathfrak {h}}를 통한 **이중 확대**(영어: double extension)라고 한다.:553–554, §0.2

만약 K=\mathbb {R} 일 때, {\mathfrak {g}}의 부호수가 {\displaystyle (m\_{+},m\_{-})}이며, {\mathfrak {h}}가 n차원이라면, h 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, {\mathfrak {g}}의 {\mathfrak {h}}를 통한 이중 확대의 부호수는 {\displaystyle (m\_{+}+n,m\_{-}+n)}이다.

**증명:**

이중 확대 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }}에서, {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }}의 부호수를 계산하면 된다. {\mathfrak {h}} 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }} 위의 대칭 쌍선형 형식은

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix}}\qquad (a\in \{0,1,-1\})}
의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 a의 값에 관계 없이 모두 부호수가 {\displaystyle (1,1)}임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질
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비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3

* 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
* 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

**증명:**

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

분류
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실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.:Théorème Ⅱ
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.:Théorème Ⅱ

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.:Théorème Ⅲ

* 직합
* 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }

예
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표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

### 비콤팩트 이차 리 대수

가환환 K 위의 이차 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 {\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]} 위에 리 괄호

{\displaystyle [p,q]\_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]\_{\mathfrak {g}}}
를 줄 수 있다. 또한, 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여,

{\displaystyle t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}}
는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus \_{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}}
를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

{\displaystyle \langle x\_{0}+x\_{1}t+\dotsb +x\_{n-1}t^{n-1}|y\_{0}+y\_{1}t+\dotsb +y\_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x\_{n-1}|y\_{n-1}\rangle \_{\mathfrak {g}}}
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 K가 표수 0의 체이며, {\mathfrak {g}}가 단순 리 대수이며, n\geq 2일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

### 아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수

다음과 같은 리 대수를 생각하자.:Proposition 2.2

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{4}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {R} }\{C,L\_{+},L\_{-},C^{\*}\}}
{\displaystyle [C,L\_{\pm }]=\pm L\_{\pm }}
{\displaystyle [L\_{+},L\_{-}]=C^{\*}}
{\displaystyle [L\_{\pm },L\_{\pm }]=0}
{\displaystyle [C,C^{\*}]=[L\_{\pm },C^{\*}]=0}
여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

{\displaystyle \langle C^{\*}|C\rangle =1}
{\displaystyle \langle L\_{\pm }|L\_{\mp }\rangle =1}
{\displaystyle \langle L\_{\pm }|L\_{\pm }\rangle =\langle C|C\rangle =\langle C^{\*}|C^{\*}\rangle =\langle C^{\*}|L\_{\pm }\rangle =\langle C|L\_{\pm }\rangle =0}
을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.:Proposition 2.3

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{5}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {R} }\{x\_{1},x\_{2},t,x^{1},x^{2}\}}
{\displaystyle \langle x\_{i}|x^{j}\rangle =\delta \_{i}^{j}}
{\displaystyle \langle x\_{i}|x\_{j}\rangle =0}
{\displaystyle \langle t|t\rangle =1}
{\displaystyle [x\_{1},x\_{2}]=t}
{\displaystyle [x\_{i},t]=-\epsilon \_{ij}x^{j}}
{\displaystyle [x^{j},t]=[x\_{i},x^{j}]=0}
여기서 {\displaystyle \delta \_{i}^{j}}는 크로네커 델타이며, {\displaystyle \epsilon \_{ij}}는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

### 낮은 차원의 이차 리 대수

6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수:Theorem 4.11| 차원 | 이차 리 대수 |
| --- | --- |
| 3 | {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} ) |
| {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} ) |
| 6 | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)}에 의한 이중 확대 {\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\*}} |
| {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\to {\mathfrak {der}}(0)}에 의한 이중 확대 {\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )^{\*}} |
| \mathfrak{sl}(2;\mathbb C) |
| 8 | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )} |
| {\displaystyle {\mathfrak {su}}(3;\mathbb {R} )} |
| {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,1;\mathbb {R} )} |
| 9 | {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})} |
| {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} [x]/(x^{3}))={\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {R} [x]/(x^{3})} |
| 10 | {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,2)} |
| {\displaystyle {\mathfrak {o}}(4,1)} |
| {\displaystyle {\mathfrak {o}}(5)} |
| {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}일 때, 이중 확대 {\displaystyle V\otimes V\oplus {\mathfrak {sl}}(V)\oplus {\mathfrak {sl}}(V)^{\*}}.:Example 3.11 여기서 {\displaystyle \langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle =\langle u,v\rangle \langle u',v'\rangle }이며 {\displaystyle M\cdot (u\otimes v)=Mu\otimes v} ({\displaystyle u,v\in V,\;M\in {\mathfrak {sl}}(V)}) |
| {\displaystyle W=\mathbb {C} ^{2}}일 때, 이중 확대 {\displaystyle V\oplus {\mathfrak {su}}(W)\oplus {\mathfrak {su}}(W)^{\*}}.:Example 4.7. 여기서 {\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle \_{\mathbb {C} }+\langle v,u\rangle \_{\mathbb {C} }}이며 {\displaystyle \langle -,-\rangle \_{\mathbb {C} }}는 복소수 힐베르트 공간 내적이다. |
| 11 | (총 3개) |
| 12 | (총 9개) |
| 13 | (총 4개) |

아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수:Proposition 2.2, 2.3, 3.8| 차원 | 이차 리 대수 |
| --- | --- |
| 4 | {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{4}} (※위 문단을 참고) |
| 5 | {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{5}} (※위 문단을 참고) |
| 6 | (2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재) |

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Medina, Alberto; Revoy, Philippe (1985). "Algèbres de Lie et produit scalaire invariant". 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (프랑스어) **18** (3): 553–561. doi:10.24033/asens.1496. MR 826103. Zbl 0592.17006.
2. ↑  Postnikov, M. M. 《Geometry Ⅵ. Riemannian geometry》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-662-04433-9. ISBN 978-3-540-41108-6.
3. 1 2 3 4  Dat, Pham Tien; Thanh, Duong Minh; Vu, Le Anh (2012). "Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions". 《East–West Journal of Mathematics》 (영어) **14** (2): 208–218. arXiv:1204.4787. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
4. 1 2 3 4  Benayadi, Saïd; Elduque, Alberto (2014). "Classification of quadratic Lie algebras of low dimension" (영어). arXiv:1404.5174.