붉은색 함수는 유계 함수지만, 푸른색 함수는 유계 함수가 아니다.
실해석학에서 **유계 함수**(有界函數, 영어: bounded function)는 그 치역이 유계 집합인 함수이다.

정의
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 X
* 체 {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
* K-위상 벡터 공간 V
* 연속 함수 f\colon X\to V

### 유계 함수

f의 치역이 유계 집합이라면, f를 **유계 함수**라고 한다. 즉, 0\in V의 임의의 근방 N\ni0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 {\displaystyle \delta \in K\setminus \{0\}}가 존재하여야 한다.

{\displaystyle \delta f(x)\in N\qquad \forall x\in X}
유계 함수가 아닌 함수를 **무계 함수**(無界函數, 영어: unbounded function)라고 한다. 유계 연속 함수 {\displaystyle X\to V}의 벡터 공간을 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{bd}}(X;V)}로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다.

### 콤팩트 지지 함수

X가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.
f에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 **콤팩트 지지 연속 함수**(영어: compactly supported continuous map)라고 한다.

* {\displaystyle f|\_{X\setminus K}=0}인 콤팩트 집합 K가 존재한다. (여기서 {\displaystyle 0\colon X\to V}는 영벡터 상수 함수이다.)
* 지지 집합 {\displaystyle \operatorname {supp} f=\operatorname {cl} \{x\in X\colon f(x)\neq 0\}}이 콤팩트 집합이다. (여기서 \operatorname {cl} 은 폐포를 뜻한다.)

콤팩트 지지 연속 함수 {\displaystyle X\to V}들의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}(X,V)}로 표기하자.

### 무한에서 0이 되는 함수

X가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.
만약 f가 다음 조건을 만족시킨다면, **무한에서 0이 되는 연속 함수**(영어: continuous map vanishing at infinity)라고 한다.

* 0\in V의 임의의 근방 {\displaystyle N\ni 0}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {im} (f|\_{X\setminus K})\subseteq N}이 되는 콤팩트 집합 K가 존재한다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {im} }은 치역을 의미한다.)

무한에서 0이 되는 연속 함수 {\displaystyle X\to V}들의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X,V)}로 표기하자. 만약 V가 노름 공간이라면, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X,V)}에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

{\displaystyle \|f\|=\sup \_{x\in X}f(x)}
만약 V가 바나흐 공간이라면, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X,V)} 역시 바나흐 공간이다.

성질
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X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}\_{0}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}\_{\text{bd}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}(X;V)}
여기서 {\displaystyle {\mathcal {C}}(X;V)}는 모든 연속 함수 {\displaystyle X\to V}들의 공간이다.
만약 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다.

또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다.

### 노름

V가 노름 공간이라고 하면, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{bd}}(X;V)} 위에 균등 노름

{\displaystyle \|f\|=\max \_{x\in X}\|f(x)\|\qquad (f\in {\mathcal {C}}\_{\text{bd}}(X;V))}
을 정의할 수 있다. 만약 V가 추가로 바나흐 공간이라면, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{bd}}(X;V)} 역시 바나흐 공간이다. 또한, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X;V)} 역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\text{comp}}(X;V)}는 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화는 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X;V)}이다.

### 리스 표현 정리

 이 부분의 본문은 리스 표현 정리입니다.
리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{0}(X;\mathbb {R} )} 및 {\mathcal C}\_{{{\text{comp}}}}(X;{\mathbb R})의 위상 쌍대 공간인 바나흐 공간은 X 위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다.

예
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다음 함수들은 정의역과 공역이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) 실수 집합 \mathbb {R} 이라고 가정한다.

  

함수 x\mapsto x는 치역이 \mathbb {R}  전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 x\mapsto 1/(x^{2}+1)는 치역이 구간 (0,1]이므로 유계 함수이다.

마찬가지로, 삼각함수 {\displaystyle \sin x} 와 {\displaystyle \cos x} 또한 치역이 닫힌구간 {\displaystyle [0,1]} 이므로 유계함수이다. 그러나 {\displaystyle \tan x}는 치역이 실수 전체이므로 유계함수가 아니다.

유리수 집합의 지시 함수

\chi \_{{{\mathbb Q}}}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in {\mathbb Q}\\0&x\in {\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}\end{cases}}
(디리클레 함수라고 한다)는 연속 함수가 아니지만 치역이 \{0,1\}이므로 유계 함수이다.

{\displaystyle f\_{1}}의 그래프
정규 분포 확률 밀도 함수

{\displaystyle f\_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
{\displaystyle f\_{1}\colon x\mapsto \exp(-x^{2}/2)}
는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다.

{\displaystyle f\_{2}}의 그래프
함수

{\displaystyle f\_{2}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
{\displaystyle f\_{2}\colon x\mapsto {\begin{cases}\exp(-1/(1-x^{2}))&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}}
는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다.

참고 문헌
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* Jerison, Meyer (1950년 9월). "The space of bounded maps into a Banach space". 《Annals of Mathematics》 (영어) **52** (2): 309–327. doi:10.2307/1969472. JSTOR 1969472.