기하학에서 **반사**(反射, 영어: reflection) 또는 **대칭 이동**(對稱 移動)은 유클리드 공간 위의 점을 어떤 초평면에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 함수이다.

정의
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유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}의 (n-1)차원 부분 아핀 공간 {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{n}}을 반사 초평면으로 하는 **반사**

{\displaystyle R\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
는 다음과 같다.

* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, {\displaystyle R(\mathbf {x} )}는 {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)}가 선분 {\displaystyle (\mathbf {x} ,R(\mathbf {x} ))}의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.

반사 초평면의 점 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}} 및 단위 법벡터 \mathbf n이 주어졌을 때, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} -2((\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0})\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }

성질
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모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.

### 고정점

반사의 고정점의 집합은 반사 초평면이다.

### 연산에 대한 닫힘

반사 R의 등거리 변환 I에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Fix} (I\circ R\circ I^{-1})=I(\operatorname {Fix} (R))}
### 행렬 표현

반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\&\ddots \\&&1\\&&&-1\end{pmatrix}}}
### 합성

평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동을 얻는다.
평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.
평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 R, {\displaystyle R'}의 합성 {\displaystyle R'\circ R}은 평행 이동이며, (R의 반사 초평면에서 {\displaystyle R'}의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약

{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0})\cdot \mathbf {n} =0\}}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0}')\cdot \mathbf {n} =0\}}
{\displaystyle \|\mathbf {n} \|=1}
이라면, {\displaystyle R'\circ R}의 평행 이동 벡터는

{\displaystyle 2(\mathbf {x} \_{0}'-\mathbf {x} \_{0})\cdot \mathbf {n} }
이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 R, {\displaystyle R'}의 합성 {\displaystyle R'\circ R}은 회전이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 (R에서 {\displaystyle R'}을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약

{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0})\cdot \mathbf {n} =0\}}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0}')\cdot \mathbf {n} '=0\}}
{\displaystyle \|\mathbf {n} \|=\|\mathbf {n} '\|=1}
{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {n} '\neq 0}
이라면, {\displaystyle R'\circ R}의 고정점 집합은

{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')}
이다. 또한, 평면 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp }} ({\displaystyle \mathbf {x} \_{0}\in \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')})로 제한되었을 때, 회전

{\displaystyle R'\circ R\upharpoonright (\mathbf {x} \_{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp })}
의 회전 중심은 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}}이며, 회전 각도는

{\displaystyle 2\arccos(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ')}
이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.

### 사원수 표현

3차원 벡터를 순허수 사원수로 여겼을 때, \mathbb {R} ^{3} 위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}}을 지나며 단위 법벡터 \mathbf n을 갖는 초평면 {\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{3}}에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \_{0}+\mathbf {n} (\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0})\mathbf {n} }
여기서 우변의 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

예
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2차원 유클리드 공간 {\mathbb R}^{2} 위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}}}