이론물리학에서 **남 방정식**(Nahm方程式, 영어: Nahm equation)은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 실수 리 대수 {\mathfrak {g}}
* 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) C. 보통 {\displaystyle C=(0,2)} (길이 2의 열린 선분) 또 는{\displaystyle C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} } (길이 \ell 의 원)으로 잡는다.

그렇다면, **남 방정식**의 변수는 C 위의 3개의 함수

{\displaystyle {\vec {T}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {R} ^{3})}
및 C 위의 (자명한) \operatorname {U} (n)-주다발의 주접속

{\displaystyle T\_{0}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {u}}(n))}
이다. 즉, 이를 통하여 C 위의 공변 미분

{\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+[T\_{0},-]}
을 정의할 수 있다.

**남 방정식**은 다음과 같다.

{\displaystyle DT\_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon \_{ijk}[T\_{j},T\_{k}]}
여기서

* \epsilon\_{ijk}는 레비치비타 기호이다.
* [-,-]는 {\mathfrak {g}}의 리 괄호이다.

즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T\_{1}+[T\_{0},T\_{1}]=[T\_{2},T\_{3}]}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T\_{2}+[T\_{0},T\_{2}]=[T\_{3},T\_{1}]}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T\_{3}+[T\_{0},T\_{3}]=[T\_{1},T\_{2}]}
이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

### 자기 홀극의 경계 조건

\mathbb {R} ^{3} 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

* {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n)}은 n\times n 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 n\times n 행렬의 교환자이다.
* {\displaystyle C=(0,2)}는 길이 2의 열린구간이다.
* T는 해석 함수이다.
* z\to 0 또는 z\to 2에서, T\_{i}는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 {\mathfrak {su}}(2)의 n차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수

{\displaystyle T\_{i}(z)=T\_{i}^{(-1)}z^{-1}+T\_{i}^{(0)}+T\_{i}^{(1)}z+\dotsb =T\_{i}^{\prime (-1)}(z-2)^{-1}+T\_{i}^{\prime (0)}+T\_{i}^{\prime (1)}(z-2)+\dotsb }
에서,
{\displaystyle [T\_{i}^{(-1)},T\_{j}^{(-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon \_{ijk}T\_{k}^{(-1)}}
{\displaystyle [T\_{i}^{\prime (-1)},T\_{j}^{\prime (-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon \_{ijk}T\_{k}^{\prime (-1)}}
이다.
### 칼로론의 경계 조건

남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

* {\displaystyle C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} }는 둘레 \ell 의 원이다.
* C에는 특별한 점 {\displaystyle z\_{1},z\_{2},\dotsc ,z\_{p}\in C}이 주어진다.
* {\displaystyle [z\_{a},z\_{a+1}]}에서, {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n\_{i})}이다.
* T\_{i}들이 작용하는 복소수 n차원 에르미트 벡터 다발 E는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. {\displaystyle [z\_{a},z\_{a+1}]}에서의 다발을 {\displaystyle E^{a}}라고 하자. 특별한 점 {\displaystyle k\_{a}}에서, {\displaystyle E^{a-1}}과 {\displaystyle E^{a}}의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
	+ 만약 {\displaystyle n\_{a-1}<n\_{a}}라면, 단사 사상 {\displaystyle E^{a-1}|\_{z\_{a}}\to E^{a}|\_{z\_{a}}}
	+ 만약 {\displaystyle n\_{a-1}>n\_{a}}라면, 단사 사상 {\displaystyle E^{a}|\_{z\_{a}}\to E^{a-1}|\_{z\_{a}}}
	+ 만약 {\displaystyle n\_{a-1}>n\_{a}}라면, 전단사 사상 {\displaystyle E^{a-1}|\_{z\_{a}}\to E^{a}|\_{z\_{a}}}
* {\displaystyle T\_{i}^{a}}는 해석 함수이며, 각 특별한 점 {\displaystyle z\_{a}}에서 T\_{i}는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
	+ {\displaystyle n\_{a-1}<n\_{a}}일 때: {\displaystyle z\approx z\_{a}}에서 다음이 성립한다.
	{\displaystyle T^{a}(z)={\begin{pmatrix}T^{a-1}(z)&{\mathcal {O}}((z-z\_{i})^{(n\_{a}-n\_{a-1}-1)/2})\\{\mathcal {O}}((z-z\_{a})^{(n\_{a}-n\_{a-1}-1)/2})&(z-z\_{a})^{-1}R\_{i}+{\mathcal {O}}(1)\end{pmatrix}}}
		- 여기서 유수 R^{a}는 {\mathfrak {su}}(2)의 기약 표현을 이룬다.
	+ {\displaystyle n\_{a-1}>n\_{a}}일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
	+ {\displaystyle n\_{a-1}=n\_{a}}일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

성질
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### 게이지 대칭

{\mathfrak {g}}의 리 군이 G라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(C,G)}의 게이지 변환을 갖는다.

만약 C가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, {\displaystyle T\_{0}=0}으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 \operatorname O(n)만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용

{\displaystyle T(z)\mapsto OT(z)O^{-1}\qquad (O\in \operatorname {O} (n))}
에 대하여 불변이다.

{\displaystyle T\_{0}=0} 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 {\displaystyle 4n+n(n-1)/2}이며, 남은 게이지 변환 \operatorname O(n)에 대한 몫공간의 차원은 4n이다. 이는 *n*개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

### 럭스 쌍

남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉,

{\displaystyle A\_{0}=-\mathrm {i} T\_{1}+T\_{2},\quad A\_{1}=-2T\_{3},\quad A\_{2}=-\mathrm {i} T\_{1}-T\_{2}}
{\displaystyle A(t)=A\_{0}+tA\_{1}+t^{2}A\_{2}}
{\displaystyle B(t)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}A\_{1}+tA\_{2}\equiv B\_{0}+tB\_{1}}
로 놓자. 여기서 t는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.

{\displaystyle {\frac {\partial A(t)}{\partial z}}=[A(t),B(t)]}
즉, 양변을 t에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A\_{0}=[A\_{0},B\_{0}]={\frac {1}{2}}[A\_{0},A\_{1}]}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A\_{1}=[A\_{1},B\_{0}]+[A\_{0},B\_{1}]=[A\_{0},A\_{2}]}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}A\_{2}=[A\_{1},B\_{1}]+[A\_{2},B\_{0}]=[A\_{1},A\_{2}]+{\frac {1}{2}}[A\_{2},A\_{0}]}
{\displaystyle 0=[A\_{2},B\_{1}]}
가 된다.

이에 따라, 방정식

{\displaystyle \det(x-A(t,z))=0}
으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 {\displaystyle \partial /\partial z}에 대하여 불변이다. 이 방정식은 x에 대한 n차 방정식이다. 여기서, t는 자연스럽게 사영 직선 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}의 좌표로 생각할 수 있으며, {\displaystyle (x,t)}는 그 접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}} 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

### 자기 홀극과의 관계

유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.

* SU(2) 게이지장 A
* 딸림표현의 실수 스칼라장 \phi. 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.

(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, \phi 의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 \langle\phi\rangle\in\mathfrak{su}(2)를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. n\in\mathbb Z개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, 4n이다.

여기서 지수를 i,j,\dots=1,2,3이고, a=1,\dots,n이라고 하자.

남 방정식의 해 T^i(z)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

\Delta=\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\otimes\sigma\_i
이는 (z,\mathbf x)를 매개 변수로 갖는 (n,1)\otimes(2\times 2)=2n\times n 행렬 U^a{}\_i{}^j(z,\mathbf x)에 작용한다. 즉,

U\colon(0,2)\times\mathbb R^3\to\mathbb R^n\otimes\operatorname{Mat}\_{n\times n}(\mathbb C)
이다.

U가 \Delta 의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 \Delta^\dagger는

\Delta^\dagger=-\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\sigma\_i
이므로,

\Delta^\dagger U=0
인 U를 생각하자. 이러한 U를 찾으면, \phi 와 A는 다음과 같다.

\phi(\mathbf x)=\int\_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)U^a(z;\mathbf x)\,dz
{\displaystyle \mathrm {i} A\_{i}(\mathbf {x} )=\int \_{0}^{2}z(U^{a})^{\dagger }(z;\mathbf {x} )\partial \_{\mu }U^{a}(z;\mathbf {x} )\,dz}
### 끈 이론을 통한 해석

남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자.

|  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| D3-막 | × | × | × | × |  |  |
| D1-막 | × |  |  |  | × |  |

여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 k, D1-막의 수가 n이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.

* D3-막 위의 이론은 {\displaystyle \operatorname {SU} (k)} 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 n개의 자기 홀극이다.
* D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.)
	+ 남 방정식의 {\mathfrak {su}}(2) 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
	+ 남 방정식의 장 {\displaystyle (T\_{1},T\_{2},T\_{3})}는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 T\_{i}가 대각 행렬이라면, 그 n개의 대각 성분은 n개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.

따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

### 아벨 리 대수의 경우

{\mathfrak {g}}가 ({\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T\_{i}}{\mathrm {d} z}}=0}
이므로, 그 해는 상수 함수이다.

역사
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베르너 남(독일어: Werner Nahm)이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다.

참고 문헌
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3. ↑  Weinberg, Erick J. (1979). "Parameter counting for multi-monopole solutions". 《Physical Review D》 (영어) **20**: 936.
4. ↑  Weinberg, Erick J. (1980년 5월 19일). "Fundamental monopoles and multimonopole solutions for arbitrary simple gauge groups". 《Nuclear Physics B》 (영어) **167** (3): 500–524. doi:10.1016/0550-3213(80)90245-X.
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