미분기하학에서 **매끄러운 다양체**(영어: smooth manifold) 또는 **미분 가능 다양체**(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.

정의
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자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, n차원 다양체 M 위의 **좌표근방계**(座標近傍系, 영어: atlas) \Phi는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* \Phi는 함수의 집합이며, \Phi의 각 원소 \phi \in \Phi 는 매장 \phi \colon \operatorname {dom}\phi \hookrightarrow {\mathbb R}^{n}이다. 또한, 정의역 \operatorname {dom}\phi \subseteq M은 M의 열린 집합이며, 치역 \phi (\operatorname {dom}\phi )는 \mathbb {R} ^{n}의 열린 집합이다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

* \bigcup \_{{\phi \in \Phi }}\operatorname {dom}\phi =M. 즉, \{\operatorname {dom}\phi \}\_{{\phi \in \Phi }}는 M의 열린 덮개이다.
* 임의의 \phi ,\psi \in \Phi 에 대하여, 만약 \operatorname {dom}\phi \cap \operatorname {dom}\psi \neq \varnothing 이라면, \psi |\_{{\operatorname {dom}\phi \cap \operatorname {dom}\psi }}\circ \phi ^{{-1}}|\_{{\phi (\operatorname {dom}\phi \cap \operatorname {dom}\psi )}}\colon \phi (\operatorname {dom}\phi \cap \operatorname {dom}\psi )\to \psi (\operatorname {dom}\phi \cap \operatorname {dom}\psi )는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 **추이 사상**(영어: transition map)이라고 한다.

**매끄러운 다양체** (M,\Phi )는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 {\mathcal C}^{k}로 약화시킨다면, 이를 **{\mathcal C}^{k} 다양체**라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 **해석 다양체**(解析多樣體, 영어: analytic manifold)라고 한다.

같은 다양체 M 위의 두 좌표근방계 \Phi, \Phi '에 대하여, 만약 \Phi \cup \Phi '이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 **호환**된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한, M 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 \subseteq 에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 **극대 좌표근방계**(座標近傍系, 영어: maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 \Phi에 대하여 \Phi \subseteq \Phi '인 극대 좌표근방계 \Phi '이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 **매끄러움 구조**(영어: smooth structure)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 **매끄러운 함수** {\displaystyle f\colon (M,\Phi )\to (N,\Psi )}는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

* 임의의 \phi \in \Phi  및 \psi \in \Psi 에 대하여, 만약 f(\operatorname {dom}\phi )\cap \operatorname {dom}\psi \neq \varnothing 이라면, {\displaystyle \psi |\_{\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi )}\circ \phi ^{-1}|\_{\phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))}\colon \phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))\to \psi (\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi ))}는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다.

두 {\mathcal C}^{k} 다양체 사이의 {\mathcal C}^{k} 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는 \operatorname {Diff}라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 **미분동형**이라고 한다.

성질
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k\ge1에 대하여, {\mathcal C}^{k} 다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 동치이다. 다양체 M 위의 임의의 {\mathcal C}^{k} 좌표근방계 \Phi에 대하여, 이와 {\mathcal C}^{k}-호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 \Phi \_{\infty }가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서, {\mathcal C}^{k} 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.

### 범주론적 성질

매끄러운 다양체의 범주 \operatorname {Diff}는 유한 곱을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자 \operatorname {Diff}\to \operatorname {TopMfd}는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 (M,\Phi )와 (N,\Psi )의 곱 (M\times N,\Phi \times \Psi )는 다음과 같다.

* M\times N은 (위상 공간으로서의) 곱공간이다.
* \Phi \times \Psi =\{(m,n)\in \operatorname {dom}\phi \times \operatorname {dom}\psi \mapsto (\phi (m),\psi (n))\in {\mathbb R}^{{\dim M}}\times {\mathbb R}^{{\dim N}}\colon \phi \in \Phi ,\psi \in \Psi \}이다.

M\times N은 \dim M+\dim N차원 매끄러운 다양체이다.
그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.

### 매끄러움 구조의 존재와 유일성

3차원 이하의 차원의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.

분류
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3차원 이하에서, 모든 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 다양체의 분류와 같다.

* 0차원 매끄러운 다양체 S는 이산 공간이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 S의 임의의 부분 집합에서 {\mathbb R}^{0}=\{0\}으로 가는 모든 함수들의 집합이다.
* 1차원 매끄러운 다양체의 각 연결 성분은 원 S^{1} 또는 실수선 \mathbb {R} 이다.
* 2차원 매끄러운 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, 콤팩트 2차원 매끄러운 다양체들은 그 오일러 지표에 따라 간단히 분류된다.
* 3차원 콤팩트 매끄러운 다양체는 기하화 추측에 따라 분류된다.

4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.

예
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유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}의 열린 집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n}에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자.

* \{\iota \_{U}\colon U\hookrightarrow {\mathbb R}^{n}\}

이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 U은 n차원 매끄러운 다양체를 이룬다.

초구 S^n나 원환면 T^{n} 등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.

참고 문헌
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* Kanakoglou, Konstantinos (2012년 4월 10일). "The notion of abstract manifold: a pedagogical approach". arXiv:1204.2191. Bibcode:2012arXiv1204.2191K.