위상수학에서 **틀다발**(영어: frame bundle)은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다.:§4.3, 121–131 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

정의
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### 틀

n차원 실수 벡터 공간 V 위의 k차 **틀**(영어: frame)은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상

**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f\colon \mathbb R^n\to V}**

**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f\colon 0\mapsto 0}**

의 k차 제트 {\displaystyle \mathrm {j} \_{0}^{k}}이다. (그러나 f가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, k차 틀들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Frame} \_{k}(V)}라고 표기하자. 그 위에는 k차 제트 군 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{Frame}\_k(\mathbb R^k)=\operatorname{Jet}(n,k)}**
의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

{\displaystyle (\mathrm {j} \_{0}^{k}f)\cdot (\mathrm {j} \_{0}^{k}g)=\mathrm {j} \_{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall \mathrm {j} \_{0}^{k}f\in \operatorname {Frame} \_{k}(V),\;\mathrm {j} \_{0}^{k}g\in \operatorname {Jet} (n,k)}
특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V}에 불과하다.:121, §4.3

### 틀다발

위상 공간 X 위의 n차원 벡터 다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 x\in X에 대하여 올 E\_x는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E=\bigsqcup \_{x\in X}\operatorname {Frame} \_{k}(E\_{x})}
이 위에는 제트 군 {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\operatorname {Frame} \_{k}(\mathbb {R} ^{n})}의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.

{\displaystyle \mathrm {j} \_{0}^{k}f\cdot \mathrm {j} \_{0}^{k}g=\mathrm {j} \_{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall x\in X,\;f\in \operatorname {Frame} \_{k}(E\_{x}),\;g\in \operatorname {Jet} (n,k)}
이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, E의 국소 자명화 {\displaystyle (U\_{i},\phi \_{i})}는 부분 집합 {\displaystyle U\_{i}\subseteq X} 및 위상 동형

{\displaystyle \phi \_{i}\colon \pi ^{-1}(U\_{i})\to U\_{i}\times \mathbb {R} ^{k}}
으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수

{\displaystyle \bigsqcup \_{x\in U\_{i}}\operatorname {Frame} \_{k}(E\_{x})\to U\_{i}\times \operatorname {Jet} (n,k)}
를 정의할 수 있으며, 이를 통해 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{x\in U\_{i}}\operatorname {Frame} \_{k}(E\_{x})}에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 {\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E} 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수

{\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E\twoheadrightarrow X}
{\displaystyle (\phi \in \in \operatorname {Frame} \_{k}(E\_{x}))\mapsto x}
는 X 위의, 올 {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}의 올다발을 이룬다. 또한, {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}의 오른쪽 작용을 통하여 이는 {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}-주다발을 이룬다. 이를 E의 k차 **틀다발**(k次-, 영어: kth-order frame bundle)이라고 한다.:122, §12.12:Definition 3.2

흔히, 만약 k가 생략되었다면 1차 틀다발 {\displaystyle \mathrm {F} E=\mathrm {F} ^{1}E}를 뜻한다.

군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발
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### 직교 틀다발

다양체 M 위의 k차원 벡터 다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): (p,q)**
 ({\displaystyle p+q=k})의 내적 g가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면

{\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}E^{\*})}
가 주어졌으며, 임의의 x\in M에 대하여 {\displaystyle g\_{x}}는 E\_x 위의, 부호수 (p,q)의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {o} }E=\bigsqcup \_{x\in X}\operatorname {Hilb} (\mathbb {R} ^{(p,q)};E\_{x},g\_{x})}
여기서,

* \mathbb {R} ^{p,q}는 부호수 (p,q)의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): \mathbb R^k**
 위에 이차 형식 {\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{p}^{2}-x\_{p+1}^{2}-\cdots -x\_{k}^{2}}을 부여한 것이다.
* **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{Hilb}(-;-)}**
는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )**
의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )-주다발로 만들 수 있다. 이를 **직교 틀다발**(直交-, 영어: orthogonal frame bundle)이라고 한다.:94, §10.11

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, {\displaystyle \operatorname {O} (p,q)} 대신 특수 직교군 \operatorname {SO} (p,q)를 사용하여, \operatorname {SO} (p,q)-주다발인 **특수 직교 틀다발**(特殊直交-, 영어: special orthogonal frame bundle) {\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {SO} }E}을 정의할 수 있다.

### 복소수 틀다발

위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 2n차원 벡터 다발 E의 경우, **복소수 틀다발**(영어: complex frame bundle) {\displaystyle \mathrm {F} \_{\mathbb {C} }E}을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb C)인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 **유니터리 틀다발**(영어: unitary frame bundle) {\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {U} }E}을 정의할 수 있으며, 그 올은 \operatorname {U} (n)이다.

성질
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### 포함 관계

부호수 (p,q)의 내적이 주어진 벡터 다발 E를 생각하자. 군의 포함 관계 {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {R} )}에 따라, 자연스러운 포함 관계 {\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {O} }E\subseteq \mathrm {F} E}가 존재한다.

### 연관 다발과의 관계

k차원 다양체 M의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}의 틀다발 {\displaystyle \mathrm {FT} M}을 생각하자. 이 주다발의, {\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )}의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, (p,q)차원 일반화 리만 다양체 (M,g)의 직교 틀다발 {\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}을 생각하자. 이 주다발의, \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}이다.

### 함자성

국소 미분 동형 사상 \phi \colon M\to N이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.

{\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon \mathrm {F} ^{k}M\to \mathrm {F} ^{k}N}
{\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon (x,\mathrm {j} \_{0}^{k}f)\to \left(\phi (x),\mathrm {j} \_{0}^{k}(\mathrm {T} \_{x}\phi \circ f)\right)\qquad (x\in M,\;f\colon \mathbb {R} ^{\dim M}\to \mathrm {T} \_{x}M)}
이에 따라, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathrm F^k}**
는 n차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, {\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}-매끄러운 주다발을 갖춘 n차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.:Defintion 3.8

### 접속

일반화 리만 다양체 (M,g)의 직교 틀다발 {\displaystyle \mathrm {F} \_{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}의 주접속 \omega 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\to \mathrm {T} \_{x}M\otimes \mathrm {T} \_{x}^{\*}M}으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \kappa \colon {\mathfrak {o}}(p,q;\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{\*}M)}
이에 따라, 틀다발의 주접속 \omega 로부터 접다발의 코쥘 접속 {\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{\*}M)}을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\kappa (\omega (X))=\nabla X
이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 \kappa  등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 **스핀 접속**이라고 한다.

참고 문헌
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1. 1 2  Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) **1**. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2.
2. 1 2  Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함.
3. 1 2  Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Reductive *G*-structures and Lie derivatives". 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) **47**: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035.