집합론에서 **누적 위계**(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다.

정의
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Q가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 \alpha \in \operatorname {Ord}에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup \_{\beta <\alpha }X\_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases}}\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )}
또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

{\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup \_{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)}
여기서 \operatorname {Ord}는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 **누적 위계**라고 하며, 임의의 대상 {\displaystyle x\in Q^{\operatorname {Ord} }(X)}에 대하여,

{\displaystyle \min\{\alpha \colon x\in Q^{\alpha }\}}
를 x의 {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)}에서의 **계수**(영어: rank)라고 한다. (만약 Q가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

성질
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Q가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 순서수 \alpha 에 대하여 {\displaystyle Q^{\alpha }(X)}는 항상 집합이다.

그러나 {\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)}는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다. 이는 **칸토어 역설**의 일종이다.

예
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### 자명한 경우

어떤 집합 A에 대하여, Q가 상수 함수 {\displaystyle X\mapsto A}일 때, Q에 대한 위계는

{\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }=A}가 된다.
Q가 항등 함수 {\displaystyle X\mapsto X}일 때, Q에 대한, X로부터 시작하는 위계는

{\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=X}
이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 {\displaystyle \alpha \_{0}}가 다음 성질을 갖는다고 하자.

* 임의의 {\displaystyle \alpha \geq \alpha \_{0}}에 대하여 Q는 {\displaystyle X\_{\alpha }}에 대하여 항등 함수이다.

그렇다면

{\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=Q^{\alpha }(X)}
이다.

### 폰 노이만 전체

{\displaystyle Q={\mathcal {P}}} (멱집합 연산)일 때, {\displaystyle Q^{\alpha }(\varnothing )}는 V\_{\alpha }로 표기하며, {\displaystyle V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )}를 **폰 노이만 전체**(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 V는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 S의 **계수** \operatorname {rank}S는 다음과 같은 순서수이다.

\operatorname{rank}S=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon S\subset V\_\alpha\}
즉, S가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

V는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 \omega 로 쓰면, V\_{\omega }는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. \kappa 가 도달 불가능한 기수일 경우 V\_{\kappa }는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, V\_{{\kappa +1}}은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 V\_{\kappa }를 **그로텐디크 전체**라고 한다.

### 구성 가능 전체

 이 부분의 본문은 구성 가능 전체입니다.
{\displaystyle Q=\operatorname {Def} \_{A\_{1},\dots ,A\_{n}}} (정의 가능 멱집합 연산)일 때, {\displaystyle Q^{\alpha }(X)}는 {\displaystyle L\_{\alpha }[A\_{1},\dots ,A\_{n}](X)}로 표기하며, {\displaystyle L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)}를 **X-구성 가능 집합**(영어: X-constructible universe)이라고 한다. 흔히 X=\varnothing 일 경우 {\displaystyle L[A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}](\varnothing )=L}로 표기하며, n=0일 경우 흔히 L(X)로 표기한다.

### 이름

 이 부분의 본문은 이름 (강제법)입니다.
임의의 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

{\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}
에 대한 누적 위계를 X-**이름 위계**(영어: hierarchy of X-names)라고 하며,:188, Definition VII.2.5 {\displaystyle \operatorname {Name} \_{X,\alpha }}로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

역사
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1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸[\*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.:VIII, XI (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.:279, §4.10 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 V를 최초로 도입하였다.:36–40:270, §4.9

참고 문헌
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1. ↑  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.
2. ↑  Peano, Ioseph (1889). 《Arithmetices principia: nova methodo exposita》 (라틴어). 토리노: Ediderunt fratres Bocca, regis bibliopolae.
3. ↑  von Neumann, J. (1928). "Die Axiomatisierung der Mengenlehre". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **27**: 669–752. doi:10.1007/bf01171122.
4. ↑  von Neumann, J. (1928). "Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **99** (1): 373–391. doi:10.1007/bf01459102. ISSN 0025-5831.
5. 1 2  Moore, Gregory H. (1982). 《Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence》. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (영어) **8**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9478-5. ISBN 978-0-486-48841-7. ISSN 0172-570X.
6. ↑  Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) **16**: 29–47.

* Boolos, George (1971년 4월 22일). "The iterative conception of set". 《The Journal of Philosophy》 (영어) **68** (8): 215–231. doi:10.2307/2025204. ISSN 0022-362X. JSTOR 2025204.
* Forster, Thomas (2008년 6월). "The iterative conception of set". 《The Review of Symbolic Logic》 (영어) **1** (1): 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064.