하늘색으로 칠해진 콤팩트 볼록 집합의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포는 원래 볼록 집합과 같다.
기하학에서 **극점**(極點, 영어: extreme point)은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. **크레인-밀만 정리**(Крейн-Мильман定理, 영어: Krein–Milman theorem)에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. **쇼케 정리**(Choquet定理, 영어: Choquet’s theorem)에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.

정의
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실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S의 부분 집합 {\displaystyle F\subseteq S}가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **면**(面, 영어: face)이라고 한다.:121, Chapter 8

* 공집합이 아니다.
* 임의의 두 x,y\in S 및 {\displaystyle 0<t<1}에 대하여, 만약 {\displaystyle tx+(1-t)y\in F}라면, {\displaystyle x,y\in F}이다.

실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 점 x\in S에 대하여, 만약 \{x\}가 S의 면이라면, x를 S의 **극점**이라고 한다.:120, Chapter 8:23, Definition 2.10:369, §A1.3

S의 극점의 집합을 {\displaystyle {\mathcal {E}}(S)}로 표기하자.

### 극점 계수

보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 점 x\in S의 **극점 계수**(영어: extreme rank)는 다음과 같은 자연수이다.

{\displaystyle \operatorname {ext} (x)=\min \left\{k\colon x=\sum \_{i=0}^{k}t\_{i}y\_{i},\;k\in \mathbb {Z} ^{+},\;y\_{0},\dotsc ,y\_{k}\in S,\;(t\_{0},\dotsc ,t\_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k})\right\}}
여기서, 임의의 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여

{\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{k})\subseteq (\mathbb {R} ^{+})^{k+1}}
{\displaystyle (t\_{0},\dotsc ,t\_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k}){\overset {\text{def}}{\iff }}t\_{0}+\dotsb +t\_{k}=1}
는 k차원 단체의 내부이다. 특히, {\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{0})=\{1\}}이며, 임의의 x\in S는 {\displaystyle x=1x}로 나타내어지므로 항상 {\displaystyle \operatorname {ext} (x)\geq 0}이다.

이 경우, 만약 {\displaystyle \operatorname {ext} (x)=n}이라면 x를 **n-극점**이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

성질
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임의의 실수 벡터 공간 V의 볼록 집합 {\displaystyle K\subseteq V}의 면들의 족 {\displaystyle (F\_{i})\_{i\in I}}에 대하여, 그 교집합 {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}F\_{i}}는 공집합이 아니라면 항상 면이다.

**증명:**

임의의 {\displaystyle x,y\in K} 및 {\displaystyle t\in (0,1)}에 대하여,

{\displaystyle \forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F\_{i}}
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 {\displaystyle \forall i\in I\colon x,y\in F}이며, 따라서 {\displaystyle \textstyle x,y\in \bigcap \_{i\in I}F\_{i}}이다.

### 존재

임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 {\displaystyle \varnothing \neq K\subseteq V}의 닫힌 면 {\displaystyle F\subseteq K}에 대하여, F에 속하는 K의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.:127, 8.13

**증명:**

K의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.

* {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}는 닫힌 부분 순서 집합이다.
	+ 증명: 닫힌 면들의 사슬 {\displaystyle (F\_{i})\_{i\in I}}의 경우, {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}F\_{i}}는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다.
* {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}의 최대 원소는 한원소 집합이다.
	+ 증명: 임의의 닫힌 면 {\displaystyle F\subseteq K}가 서로 다른 두 점 {\displaystyle x,y\in F}, x\neq y을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}인 실수 값 선형 범함수 \phi \colon V\to {\mathbb R}가 존재한다. F가 콤팩트 집합이므로 {\displaystyle \phi (F)}는 최댓값을 갖는다. 따라서 {\displaystyle G=\textstyle \phi ^{-1}(\max \_{x\in F}\phi (x))}는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}이므로, G는 x와 y를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, {\displaystyle G\subsetneq F}이다. 이에 따라, F는 {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq F)}의 최대 원소가 될 수 없다.

### 극점의 볼록 폐포

임의의 실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 두 점 x,y\in S 및 {\displaystyle t\in (0,1)}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {ext} \_{S}(tx+(1-t)y)<\operatorname {ext} \_{S}(x)+\operatorname {ext} \_{S}(y)}
**크레인-밀만 정리**에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의 콤팩트 볼록 집합 {\displaystyle K\subseteq V}은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.

**증명:**:128, Theorem 8.14:371, Theorem A1.6

{\displaystyle K=\varnothing }은 자명하므로 {\displaystyle K\neq \varnothing }이라고 가정하자. K의 극점 집합 {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)\subseteq K}를 생각하자. 자명하게 {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))\subseteq K}이다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {co} (-)}는 볼록 폐포이다.) 따라서 {\displaystyle K\subseteq \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}를 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, {\displaystyle x\in K\setminus \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, \{x\}와 {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}를 분리하는, 즉

{\displaystyle \inf \_{e\in \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}\phi (e)>\phi (x)}
가 성립하는 실수 값 선형 범함수

{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
가 존재한다. K가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 {\displaystyle \phi (K)} 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 {\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} }이며, {\displaystyle s\leq \phi (e)c\leq t}이다. 즉, {\displaystyle F=\phi ^{-1}(t)}는 K의 닫힌 면이며, 정의에 따라 {\displaystyle F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))=\varnothing }이다. 그런데 F에 속하는 K의 극점이 존재한다. 즉, {\displaystyle \varnothing \neq F\cap {\mathcal {E}}(K)\subseteq F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, **에드거 정리**(영어: Edgar’s theorem)에 따르면, 반사 바나흐 공간 V 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 K는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

**밀만 정리**(영어: Milman’s theorem)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의 콤팩트 볼록 집합 {\displaystyle K\subseteq V}의 부분 집합 {\displaystyle T\subseteq K}에 대하여, 만약 T를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 K라면, K의 모든 극점은 T의 폐포에 속한다.:138, Theorem 9.4

### 극점 위의 측도

임의의 실수 위상 벡터 공간 V 속의 콤팩트 집합 {\displaystyle K\subseteq V} 속의 베르 집합 {\displaystyle A\in \operatorname {Baire} (K)} 및 측도 {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]} 및 v\in V가 주어졌을 때, 만약

{\displaystyle \forall f\in V^{\*}\colon f(x\_{0})=\int \_{A}\phi \,\mathrm {d} \mu }
가 성립한다면, v를 \mu 의 **무게 중심**(-中心, 영어: barycenter)이라고 하자. (여기서 V^{\*}는 연속 쌍대 공간이다.)

다음이 주어졌다고 하자.

* 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V
* V 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 {\displaystyle K\subseteq V}

그렇다면, **쇼케 정리**(영어: Choquet’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.:168, Theorem 10.7

* K의 극점의 집합 {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)}는 K의 보렐 집합이다.
* 임의의 x\in K에 대하여, x를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]}가 존재한다.

예
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한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 속에서, 닫힌 공

{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} \_{\mathbb {R} ^{n}}({\vec {0}},1))=\left\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|\leq 1\right\}}
의 0-극점들은 초구

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|=1\}}
이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.

### 비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

실수선 \mathbb {R}  속의 닫힌 반직선

{\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq }=\{t\in \mathbb {R} \colon t\geq 0\}}
은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 {\displaystyle 0\in \mathbb {R} \_{\geq }} 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 \{0\}의 볼록 폐포는 {\displaystyle \{0\}\neq \mathbb {R} \_{\geq }}이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, n차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간

{\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
은 {\displaystyle k\leq n-2}일 경우 k-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점

{\displaystyle x\in \partial (\mathbb {R} \_{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1})=\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}}
은 n-1-극점이며, 나머지 점들은 n-극점이다.

### 비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.

역사
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유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.

바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(러시아어: Дави́д Пи́нхусович Ми́льман, 히브리어: דוד פינחוסוביץ' מילמן, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.:134

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Simon, Barry (2011). 《Convexity: an analytic viewpoint》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) **187**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511910135. ISBN 978-110700731-4.
2. ↑  van Tiel, Jan (1984). 《Convex analysis: an introductory text》 (영어). Wiley. ISBN 978-047190263-8.
3. 1 2  Lang, Serge (1970). 《Linear algebra》 (영어) 2판. Addison-Wesley.
4. ↑  Roberts, James W. (1977). "A compact convex set with no extreme points" (PDF). 《Studia Mathematica》 (영어) **60** (3): 255–266. ISSN 0039-3223.
5. ↑  Minkowski, Hermann (1910). 《Geometrie der Zahlen》 (독일어). Druck und Verlag von B. G. Teubner.
6. ↑  Krein, Mark; Milman, David (1940). "On extreme points of regular convex sets" (PDF). 《Studia Mathematica》 (영어) **9** (1): 133–138. ISSN 0039-3223.
7. ↑  Мильман, Д. П. (1947). "Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества". 《Доклады Академии Наук СССР》 (러시아어) **57**: 119–122.