함수해석학에서 **프레드홀름 작용소**(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 핵과 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 **지표**(指標, 영어: index 인덱스[\*])라고 한다.

정의
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{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며, X와 Y가 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이라고 하자. X와 Y 사이의 {\displaystyle \mathbb {K} }-유계 작용소 {\displaystyle T\in B(X,Y;\mathbb {K} )}에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 {\displaystyle \mathbb {K} }-유계 작용소를 **프레드홀름 작용소**라고 한다.

* T의 핵 \ker T=T^{{-1}}(0)과 여핵 \operatorname {coker}T=Y/\operatorname {im}T이 유한 차원의 벡터 공간이다.:156 여기서 Y/\operatorname {im}T는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
* 핵 \ker T과 여핵 \operatorname {coker}T이 유한 차원이며, 또한 그 상 T(X)가 닫힌집합이다.
* T는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 S\in B(Y,X)가 존재하여, \operatorname {Id}\_{X}-ST와 \operatorname {Id}\_{Y}-TS 둘 다 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소 T의 **지표** \operatorname {ind}T는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.

\operatorname {ind}T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker}T.

성질
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### 연산에 대한 닫힘

프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소

{\displaystyle X{\xrightarrow {T}}Y{\xrightarrow {U}}Z}
가 주어졌을 때, {\displaystyle U\circ T\colon X\to Z} 역시 프레드홀름 작용소이며,

{\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T)}
이다.

프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 X,Y 사이의 프레드홀름 작용소 {\displaystyle F\colon X\to Y}와 콤팩트 작용소 {\displaystyle K\colon X\to Y}가 주어졌을 때,

{\displaystyle \operatorname {ind} (F+K)=\operatorname {ind} (F)}
이다.

### 위상수학적 성질

{\displaystyle \mathbb {K} }-유계 작용소의 공간 {\displaystyle \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )}에 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합

{\displaystyle \operatorname {Fred} (X,Y;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )}
은 그 속의 열린집합이다.

### 아티야-싱어 지표 정리

 이 부분의 본문은 아티야-싱어 지표 정리입니다.
매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.

예
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만약 X와 Y가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

임의의 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.

### 밀기

분해 가능 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 정규 직교 기저

{\displaystyle (e\_{i})\_{i=0}^{\infty }}
를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator)

{\displaystyle S\colon e\_{i}\mapsto e\_{i+1}\qquad \forall i\in \mathbb {N} }
를 생각할 수 있다. 이 경우

{\displaystyle \ker S=\{0\}}
{\displaystyle \operatorname {im} S=\left(\operatorname {Span} \_{\mathbb {K} }\{e\_{0}\}\right)^{\perp }}
이므로

{\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim \ker S-\dim \operatorname {coker} S=-1}
이다.

역사
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적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름의 이름을 땄다.

참고 문헌
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1. ↑  Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). 《An invitation to operator theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **50**. American Mathematical Society. ISBN 082182146-6.
2. ↑  Fredholm, Ivar (1900). "Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet". 《Kong. Vetenskaps-Akademiens Fbrh. Stockholm》 (프랑스어): 39–46.
3. ↑  Fredholm, Ivar (1903년 12월). "Sur une classe d’équations fonctionnelles". 《Acta Mathematica》 (프랑스어) **27** (1): 365–390. doi:10.1007/BF02421317.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

* D.E. Edmunds, W.D. Evans (1987). 《Spectral theory and differential operators》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
* Driver, Bruce K. (2003년 6월 9일). 《Analysis Tools with Applications》 (PDF) (영어). 579–600쪽.