수론에서 **페리 수열**(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 *n* 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

* {\displaystyle F\_{n}}: {\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n}이고 {\displaystyle \gcd(h,k)=1}을 만족하는 {\displaystyle {\frac {h}{k}}}를 오름차순으로 나열한 수열

한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

성질
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### 수열의 길이

n번째 페리 수열 {\displaystyle F\_{n}}의 정의에 따라 {\displaystyle F\_{n}}의 길이와 {\displaystyle F\_{n+1}} 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* {\displaystyle |F\_{n+1}|=|F\_{n}|+\varphi (n+1)}

즉, {\displaystyle |F\_{n}|}은 계차가 \varphi (n)인 계차수열이고 {\displaystyle |F\_{1}|=2}이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 {\displaystyle |F\_{n}|}의 일반항을 나타내면

* {\displaystyle |F\_{n}|=1+\sum \_{m=1}^{n}\varphi (m)}

### 이웃한 항

페리 수열 {\displaystyle F\_{n}}의 연속된 두 항을 각각 순서대로 {\displaystyle h\_{1}/k\_{1},h\_{2}/k\_{2}} 라고 하면,

{\displaystyle k\_{1}h\_{2}-k\_{2}h\_{1}=1}
따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {h\_{2}}{k\_{2}}}-{\frac {h\_{1}}{k\_{1}}}={\frac {k\_{1}h\_{2}-k\_{2}h\_{1}}{k\_{1}k\_{2}}}={\frac {1}{k\_{1}k\_{2}}}}
연속된 세 항을 차례대로 {\displaystyle h\_{1}/k\_{1},h\_{2}/k\_{2},h\_{3}/k\_{3}} 라고 할 경우,

{\displaystyle {\frac {h\_{2}}{k\_{2}}}={\frac {h\_{1}+h\_{3}}{k\_{1}+k\_{3}}}}
이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

{\displaystyle h\_{1}/k\_{1},h\_{2}/k\_{2},h\_{3}/k\_{3}}가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 {\displaystyle h\_{1}/k\_{1},h\_{2}/k\_{2}}와 {\displaystyle h\_{2}/k\_{2},h\_{3}/k\_{3}}는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

{\displaystyle k\_{1}h\_{2}-k\_{2}h\_{1}=1} ... (1)
{\displaystyle k\_{2}h\_{3}-k\_{3}h\_{2}=1} ... (2)
(1){\displaystyle \times h\_{3}}+(2){\displaystyle \times h\_{1}}와 (1){\displaystyle \times k\_{3}}+(2){\displaystyle \times k\_{1}}를 각각 계산하여 정리하면

{\displaystyle h\_{1}+h\_{3}=h\_{2}(k\_{1}h\_{3}-h\_{1}k\_{3})}
{\displaystyle k\_{1}+k\_{3}=k\_{2}(k\_{1}h\_{3}-h\_{1}k\_{3})}
따라서,

{\displaystyle {\frac {h\_{1}+h\_{3}}{k\_{1}+k\_{3}}}={\frac {h\_{2}(k\_{1}h\_{3}-h\_{1}k\_{3})}{k\_{2}(k\_{1}h\_{3}-h\_{1}k\_{3})}}={\frac {h\_{2}}{k\_{2}}}}
물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.

한편, 페리 수열의 인접한 두 항 {\displaystyle h\_{1}/k\_{1},h\_{2}/k\_{2}}의 중앙값

{\displaystyle {\frac {h\_{1}+h\_{2}}{k\_{1}+k\_{2}}}}
의 분모 {\displaystyle k\_{1}+k\_{2}}는 항상 n보다 크다.

{\displaystyle k\_{1}+k\_{2}>n}
또한 인접한 두 항의 중앙값은 {\displaystyle k\_{1}+k\_{2}}번 째 페리 수열 {\displaystyle F\_{k\_{1}+k\_{2}}}에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간

{\displaystyle \left({\frac {h\_{1}}{k\_{1}}},{\frac {h\_{2}}{k\_{2}}}\right)}
사이에 존재하게 된다.

표
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*n*=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.

*F*1 = {0/1, 1/1}
*F*2 = {0/1, 1/2, 1/1}
*F*3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
*F*4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
*F*5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
*F*6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
*F*7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
*F*8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

역사
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1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어: Charles Haros)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어: John Farey, Sr.)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Hardy, G. H.; E. M. Wright (2008). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 6판. Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)