대수적 위상수학에서 **귀진 완전열**(Gysin完全列, 영어: Gysin exact sequence)은 초구 올뭉치에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열이다.

정의
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올이 k차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치

{\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B}
를 생각하자. 또한, B가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 \pi\_1(B)는 코호몰로지 환 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B)} 위에 자명하게 작용한다고 하자. (이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다.) 이 경우, 초구는 오직 0차 및 k차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E\_{k+1}^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \end{matrix}}}\right.}
이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 k+1번째 쪽까지는 그대로이며, {\displaystyle k+2}번째 쪽에서 퇴화한다.

{\displaystyle E\_{k+2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E\_{\infty }^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\ker d\_{k+1}^{0,k}&\ker d\_{k+1}^{1,k}&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots &\operatorname {H} ^{k}(B)&\operatorname {coker} d\_{k+1}^{0,k}&\operatorname {coker} d\_{k+1}^{1,k}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
이 스펙트럼 열은 {\displaystyle \operatorname {H} ^{p+q}(E)}로 수렴하게 된다. 따라서,

{\displaystyle {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}=\ker d\_{k+1}^{n-k,k}}
{\displaystyle F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)=\operatorname {coker} d\_{k+1}^{n-k,k}}
가 되고, 완전열

{\displaystyle 0\to {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d\_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to 0}
이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자.

{\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\twoheadrightarrow {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d\_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\hookrightarrow \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }
이제 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(E)/F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)} 및 {\displaystyle F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)}를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

{\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d\_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }
이를 **귀진 완전열**이라고 한다.

성질
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귀진 완전열

{\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E){\xrightarrow {\pi \_{\*}}}\operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {e(E)\smile }}\operatorname {H} ^{n+1}(B){\xrightarrow {\pi ^{\*}}}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }
에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.

* {\displaystyle e(E)\smile \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to \operatorname {H} ^{\bullet +k+1}(B)}은 초구 올뭉치 E의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}} 올다발 E가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 E가 되는 k+1차원 실수 벡터 다발 {\displaystyle {\tilde {E}}\twoheadrightarrow B}을 정의할 수 있다. E의 오일러 특성류는 {\displaystyle {\tilde {E}}}의 오일러 특성류 {\displaystyle e({\tilde {E}})\in \operatorname {H} ^{k+1}(B;\mathbb {Z} )}와 같다.
* {\displaystyle \pi ^{\*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(E)}는 코호몰로지에 의한 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B}의 당김이다.
* {\displaystyle \pi \_{\*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +k}(E)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B)}는 **귀진 준동형**(Gysin準同型, 영어: Gysin homomorphism)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 E 위의 미분 형식을 E의 올 {\displaystyle \mathbb {S} ^{k}}에 대하여 적분한 것이다.

역사
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스위스의 수학자 베르너 귀진(독일어: Werner Gysin, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.

참고 문헌
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1. ↑  Gysin, Werner (1941). "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten". 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) **14** (1): 61–122. doi:10.1007/BF02565612. ISSN 0010-2571. MR 0006511. Zbl 0026.27003.

* Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **82**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.