환론에서, 곱셈에 대한 항등원을 '단위원'(單位元, unity)이라고 부르기도 합니다.
**단위원**(單位圓,unit circle)은 반지름이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 (0,0) 을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 S^{1}으로 표시한다. 이것은 일반적인 n 차원 구면(sphere) 개념 중 n=1의 경우를 뜻한다.

S^{1}=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}|x^{2}+y^{2}=1\right\}.

단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화
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 이 부분의 본문은 삼각함수입니다.
단위원 위의 임의의 점 P를 극좌표를 이용하여 나타내는 경우, (r,\theta )=(1,\theta ) (\theta : 점 P와 원점을 이은 반직선 OP와 x축이 이루는 각, {\displaystyle 0} ≤\theta  ≤ 2\pi )으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 (x,y)로 나타낼 수 있다.

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| 점 P에 의해 만들어지는 직각삼각형 |  |

점 P에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 sin\theta ={\frac {y}{r}},cos\theta ={\frac {x}{r}}으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 r=1이므로 {\displaystyle y=sin\theta ,x=cos\theta }로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(r)'와 'x축의 양의 방향과 이루는 각도(\theta )'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화
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단위원 위의 임의의 한 점 P를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 t(t: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 (-1,0)을 지나는 직선 l을 생각한다. 이 경우, 직선 l은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 (-1,0), 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 P가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 l의 방정식을 연립하여 점 P의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 t에 대해 원 위의 모든 점(단, (-1,0)은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

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단위원의 원의 방정식: x^{2}+y^{2}=1.
직선l의 직선의 방정식: y=tx+t.
직선l의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 y를 소거하면 x에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.

x^{2}+(tx+t)^{2}=1.
\Rightarrow x^{2}+t^{2}x^{2}+2t^{2}x+t^{2}-1=0.
\Rightarrow (1+t^{2})x^{2}+2t^{2}x+(t^{2}-1)=0.
얻어낸 x의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 P의 x좌표가 된다.

x={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{2}-1)(t^{2}+1)}}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{4}-1)\ }}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-t^{4}+1}}}{(1+t^{2})}}={\frac {t^{2}\pm 1}{1+t^{2}}}.
\therefore x=-1 또는 x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.
따라서, 점 P의 x좌표는 x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}이다. x좌표를 직선 l의 방정식에 대입하여 y좌표도 찾아, 점 P의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.

단위원과 직선l의 교점: P=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right).
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, (-1,0)제외, t가 \pm \infty 로 발산하는 경우 점 P는 (-1,0)로 수렴한다)를 임의의 실수 t에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

**참고)** 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 g(x,y)의 교점의 개수를 구할 수 있다.

예를 들어, f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,g(x,y)=0 라 하자. 단, f(x,y)는 단위원 g(x,y)는 임의의 곡선이며 g(x,y)의 차수는 n이라 하자.

결론부터 말하자면, f(x,y)와 g(x,y)의 교점의 개수는 많아야 2n개 이하이다.

우선, 두 곡선 f(x,y)와 g(x,y)의 교점 Q는 단위원의 유리매개화를 통해 (-1,0)을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.

Q=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)
이 때, (x,y)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)로 놓을 수 있고 g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0이다.

여기서 g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0을 만족하는 t의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은 t의 차수(degree)이므로, t에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.

Cij(\frac{1-t^2}{1+t^2})^i({\frac {2t}{1+t^{2}}})^{j}=Cij{\frac {(1-t^{2})^{i}(2t)^{j}}{(1+t^{2})^{{i+j}}}}
(단, Cij는 각 항의 계수이며, i+j<n이다.)

그리고 위 식 우변에 (1+t^2)i+j을 곱하면,

Cij(1-t^{2})^{i}(2t)^{j}(1+t^{2})^{{n-i+j}}
그러므로 차수(degree)를 생각하면 다음과 같다.

2i+j+2n-2(i+j)
=2n-j<2n
따라서 t의 차수가 2n보다 작으므로 **단위원**과 임의의 곡선 g(x,y)의 교점의 개수는 많아야 2n개 이하이다.

복소평면의 단위원
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복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취

{*z* ∈ **C** | |*z*| = 1} = {exp(*i*θ) | 0 ≤ θ < 2π}
가 된다 (exp는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군(群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다.