수학에서, 매끄러운 함수(무한히 미분가능한 함수)와 해석함수 는 가장 중요한 함수의 유형이다. 어떠한 실수 인자를 가지는 해석함수는 매끄럽다는것은 쉽게 증명된다. 아래의 반례와 같이 그 역은 참이 아니다

콤팩트 지지 매끄러운 함수 의 중요한 적용 중 하나는 로랑 슈바르츠의 분포이론과 같은 일반화 함수이론에서 중요한 소위 말하는 완화자의 생성의 역할을 하는 것이다.

매끄럽지만 비 해석적인 함수의 존재는 미분기하학과 해석 기하학의 핵심적인 차이점을 나타낸다. 층 이론에서, 이 차이점은 다음과 같이 설명할 수 있다: 해석적인 경우와 비교해서 미분가능한 다양체에서 미분가능한 함수의 층은 단사층이다.

다음 함수는 보통 미분가능한 다양체에서 단위 분할을 만들 때 사용된다.

함수의 예시
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### 함수의 정의

문서에서 다뤄지는 비 해석적 매끄러운 함수이다.
다음의 모든 실수 *x*에서 정의된 함수를 생각해보자:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}

  

### 이 함수는 매끄럽다

함수 *f*는 실선의 모든 점 *x*에서 모든 차수의 연속적인 미분이 존재한다:

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p\_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}
여기서 *pn*(*x*)은 *p*1(*x*) = 1과 다음 수식에서 재귀적으로 주어진 n − 1차 다항식이다:

{\displaystyle p\_{n+1}(x)=x^{2}p\_{n}'(x)-(2nx-1)p\_{n}(x),\qquad n\in \mathbb {N} .}
#### 증명의 개요

증명은 음이 아닌 정수 *m*에 대한 다음의 사실로부터 전개된다:

{\displaystyle \lim \_{x\searrow 0}{\frac {e^{-1/x}}{x^{m}}}=0.}
이것은 모든 *f*(*n*) 은 연속이고 *x* = 0에서 미분가능하다는것을 다음의 이유로 내포한다:

{\displaystyle \lim \_{x\searrow 0}{\frac {f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}}=\lim \_{x\searrow 0}{\frac {p\_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\,e^{-1/x}=0.}
#### 상세 증명

지수 함수의 멱급수 표현에 의해, 우리는 0을 포함한 모든 자연수 *m*에 대하여 다음과 같은 식을 얻는다:

{\displaystyle {\frac {1}{x^{m}}}=x{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{m+1}\leq (m+1)!\,x\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{n}=(m+1)!\,x\exp {\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )},\qquad x>0,}
왜냐하면 *n* ≠ *m* + 1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 지수 함수의 함수식을 이용하면 다음과 같다:

{\displaystyle \lim \_{x\searrow 0}{\frac {e^{-1/x}}{x^{m}}}\leq (m+1)!\lim \_{x\searrow 0}x=0.}
이제 수학적 귀납법으로 f 의 n차 미분에 대한 공식을 증명한다..연쇄 법칙과 역함수의 미분 법칙, 지수함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 *x*> 0이고, *p*1(x)가 0차 다항식일 때 *f*의 일계도함수의 식이 성립함을 볼 수 있다. 당연히 *f*의 일계도함수는 *x* < 0에서 0이다. *x* = 0에서 f의 우측 편미분이 0인 것을 보이면 된다. 위의 극한을 사용하면 다음을 알 수 있다:

{\displaystyle f'(0)=\lim \_{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim \_{x\searrow 0}{\frac {e^{-1/x}}{x}}=0.}
*n*에서 *n* + 1으로 가는 과정은 유사하다. *x* > 0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다:

{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\biggl (}{\frac {p'\_{n}(x)}{x^{2n}}}-2n{\frac {p\_{n}(x)}{x^{2n+1}}}+{\frac {p\_{n}(x)}{x^{2n+2}}}{\biggr )}f(x)\\&={\frac {x^{2}p'\_{n}(x)-(2nx-1)p\_{n}(x)}{x^{2n+2}}}f(x)\\&={\frac {p\_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}}f(x),\end{aligned}}}
여기서 *p**n*+1(*x*)은 *n* = (*n* + 1) − 1차 다항식이다. 물론 *x* < 일 때, *f*의 (*n* + 1)계도함수는 0이다. *x* = 0일 때 *f*(*n*)의 우미분계수는 다음과 같다:

{\displaystyle \lim \_{x\searrow 0}{\frac {f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}}=\lim \_{x\searrow 0}{\frac {p\_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\,e^{-1/x}=0.}
### 이 함수는 비 해석적이다

앞에서 봤듯이 함수 *f*는 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는 0이다. 따라서 원점에서 *f*의 테일러 급수는 항상 0이다.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}
그리고 테일러 급수는 x > 0에서 *f*(*x*)와 같지 않다. 따라서 *f*는 원점에서 해석적이지 않다. 이 과정은 실수가 아닌 복소수를 변수로 가지는 미분 가능한 복소함수에서는 일어나지 않는다. 사실 모든 정칙함수의 해석성이기 때문에 *f*가 무한히 미분가능함에도 불구하고 해석적이지 않다는 점은 실해석학과 복소해석학의 가장 큰 차이점을 나타낸다.

함수 *f*가 실수 선에서 모든 차수의 도함수를 가지고 있지만, 양의 실수 절반 *x*> 0에서부터 다음의 함수와 같은 복소평면에서 *f*의 해석적 연속성을 보라.

{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto \exp(-1/z)\in \mathbb {C} ,}
이 함수는 본질적 특이점을 가지고 있다. 따라서 연속적이지도 않으며, 덜 해석적이다. 피카르의 정리에 의해서 이것은 원점 주변에서 무한히 자주 0을 제외한 모든 복소수를 얻는다.

### 매끄러운 전이 함수

여기서 정의한 0에서 1까지의 매끄러운 전이함수 *g*를 나타낸 그래프이다.
{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}
이 함수는 엄밀히 실수 전체에서 양수이기 때문에 *g*는 매끄럽다. 게다가 x ≤ 0에서 *g*(*x*) = 0이고 x ≥ 1에서 *g*(*x*) = 1이다. 따라서 따라서 이 함수는 단위 구간 [0,1]에서 0에서 1까지 매끄러운 전이를 제공한다. *a* < *b*인 실수 구간 [*a*,*b*]에서 매끄러운 전이를 갖기 위해서는 다음의 함수를 보자

{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}
실수 *a* < *b* < *c* < *d*에서, 다음의 매끄러운 함수

{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}
는 닫힌 구간 [*b*,*c*]에서 1이며 구간 (*a*,*d*) 외부에서 0이된다.

어떤 점도 해석적이지 않은 매끄러운 함수
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여기서 나오는 모든 점에서 매끄럽지만 어떤 점에서도 해석적이지 않는 함수의 근사이다. 이 부분합은 k=20에서 2500까지를 취한다.
무한히 미분 가능하지만 어떤 점에서도 비 해석적인 더 과정적인 예는 다음과 같이 푸리에 급수의 평균을 이용하여 만들 수 있다. *A* := { 2*n* : *n* ∈ **N** }를 2의 모든 거듭제곱의 집합이라고 하자, 그리고 모든 *x* ∈ **R**에서 정의하자

{\displaystyle F(x):=\sum \_{k\in A}e^{-{\sqrt {k}}}\cos(kx)\ .}
여기서  급수 {\displaystyle \sum \_{k\in A}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}} 는 모든 *n* ∈ **N**에서 수렴하며, 이 함수는 바이어슈트라스 M-판정법의 표준 유도 응용에 의해 쉽게 C∞의 원소라는 것을 알 수 있어서 각 급수의 도함수의 균등수렴을 증명할 수 있다. 게다가 π의 어떠한 이진 유리수배에 대해서, 즉 p ∈ **N**이고 *q* ∈ A 이며, n ≥ 4 이고 n > q인 모든 n ∈ A 차수의 도함수 에서인 ,  모든 *x* := π·*p/q*에서 다음을 얻을 수 있다.

{\displaystyle F^{(n)}(x):=\sum \_{k\in A}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}\cos(kx)=\sum \_{k\in A \atop k>q}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}+\sum \_{k\in A \atop k\leq q}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}\cos(kx)\geq e^{-{\sqrt {n}}}n^{n}+O(q^{n})\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}
여기서 우리는 모든 *k* > *q*에서 cos(kx) = 1이라는 사실을 사용했다. 결과적으로 그러한 어떤 *x* ∈ **R**에서

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }\left({\frac {|F^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}
코시-아다마르 정리에 의해서 x에서 *F*의 수렴반경은 0이 된다. 함수의 해석성의 집합은 열린집합이고 이진 유리수들은 밀도가 높기 때문에 *F*는 **R**의 어떠한 점에서도 해석적이지 않다는 결론을 내릴 수 있다.

테일러 급수의 적용
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실수 또는 복소수의 모든 수열 α0, α1, α2, . . . 에 대해서, 다음은 이 수들을 수직선의 원점에서 미분계수로 가지는 매끄러운 함수 *F*가 존재함을 나타낸다. 특히 모든 수열의 숫자는 매끄러운 함수의 테일러 급수의 계수로 나타날 수 있다. 이 결과는 에밀 보렐 이후 보렐의 보조정리로 알려져 있다.

위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː

{\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}
이 함수 *h*역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. *h*를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː

{\displaystyle \psi \_{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
이는 구간 [−1,1]에서 단항식 *xn*과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 *ψn*의 *k*차 미분계수는 다음을 만족한다

{\displaystyle \psi \_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} \_{0},}
그리고 최대 최소 정리는 *ψn*과 *ψn*의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수

{\displaystyle \lambda \_{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha \_{n}|,\|\psi \_{n}\|\_{\infty },\|\psi \_{n}^{(1)}\|\_{\infty },\ldots ,\|\psi \_{n}^{(n)}\|\_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} \_{0},}
of *ψn*의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 *n* 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː

{\displaystyle f\_{n}(x)={\frac {\alpha \_{n}}{n!\,\lambda \_{n}^{n}}}\psi \_{n}(\lambda \_{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} \_{0},\;x\in \mathbb {R} .}
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다

{\displaystyle f\_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha \_{n}}{n!\,\lambda \_{n}^{n-k}}}\psi \_{n}^{(k)}(\lambda \_{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} \_{0},\;x\in \mathbb {R} ,}
이전에 계산한 0에서 *ψn*의 *k*차 미분계수를 사용하면

{\displaystyle f\_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha \_{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} \_{0}.}
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː

{\displaystyle F(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }f\_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 *k*에 대해서 보자

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\|f\_{n}^{(k)}\|\_{\infty }\leq \sum \_{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha \_{n}|}{n!\,\lambda \_{n}^{n-k}}}\|\psi \_{n}^{(k)}\|\_{\infty }+\sum \_{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda \_{n}^{n-k-2}}} \_{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha \_{n}|}{\lambda \_{n}}} \_{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi \_{n}^{(k)}\|\_{\infty }}{\lambda \_{n}}} \_{\leq \,1}<\infty ,}
남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다

고 차원으로 적용
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일차원에서의 함수 Ψ1(*x*)를 나타낸 것이다 
모든 반경 *r* > 0에 대하여,

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi \_{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}
유클리드 노름 ||*x*||과 함께 *n*차원 유클리드 공간에서반경이 *r*인 공을 지지집합으로 가지는 매끄러운 함수를 정의하지만 {\displaystyle \Psi \_{r}(0)>0}.

출처
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1. ↑  Exercise 12 on page 418 in Walter Rudin, *Real and Complex Analysis*.
2. ↑  See e.g.