영국의 수학자 존 펠(John Pell)의 이름에서 명명되는 **펠 수열** 또는 **펠 시퀸스**(Pell Sequece)는 펠 방정식 또는 {\sqrt {2}}의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 수학 상수 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다.

펠 수열(Pell Sequence)은 펠 방정식

{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}
을 만족하는 해의 순서있는 나열이다.

따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 해의 정보는 {\sqrt {2}}의 값에 보다 접근하게 된다.

펠 수열 생성 수식
----------

펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다,

펠 방정식 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}에서 {\displaystyle {x \over y}}이다.

{\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\cdots ,{577 \over 408},\cdots ,{665857 \over 470832},\cdots ,{886731088897 \over 627013566048},\cdots }
또한

{\displaystyle x\_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}}
{\displaystyle y\_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2{\sqrt {2}}}}}

  

또한

{\displaystyle x\_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}+{{\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}}
{\displaystyle \left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)=\alpha }를 예약하면,
{\displaystyle \quad =\alpha ^{n}+(-\alpha )^{-n}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}}
{\displaystyle \alpha ^{n}+(1-\alpha )^{n}=L\_{n}}
이렇게 루카스 시퀸스(루카스 수열)와 연관된다.

펠 수
---

펠 수는 펠 방정식의 해 {\displaystyle {x \over y}}에서, 분모인 {\displaystyle {y}}이다.

{\displaystyle 1,2,5,{12},{29},{70},\dots }

약한 펠 수열 생성함수
------------

펠 수열은 {\sqrt {2}}의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다.
이것은 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법으로부터 찾아져지는 분수들이다.
따라서 바빌로니아 법 같은 근삿값을 구하는 함수는 {\sqrt {2}}에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다.

다음은 근삿값을 구하는 바빌로니아 법

{\sqrt {2}} 는
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}={\sqrt {a}}}에서,
{\displaystyle a=2} 이고,
{\displaystyle x\_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x\_{n}+{\frac {a}{x\_{n}}}\right)}에 대입하여 ,
위의 과정을 반복해보면,

  

아래는 위의 방법에 따라 {\displaystyle \color {Blue}{\sqrt {2}}}의 근삿값을 구한 것으로 펠 수열의 일부가 된다.

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{0}&=&1&\\x\_{1}&=&3&/2\\x\_{2}&=&17&/12\\x\_{3}&=&577&/408\\x\_{4}&=&665857&/470832\\x\_{5}&=&886731088897&/627013566048\\\vdots &&\vdots &\\\end{aligned}}}
따라서

{\displaystyle {1 \over 1},{3 \over 2},{17 \over 12},{577 \over 408},{665857 \over 470832},{886731088897 \over 627013566048},\cdots }

참고
--

* 매스월드
* OEIS

| * v
* t
* e
금속값 |
| --- |
| 
* 피소 수
* 황금비
	+ 각
	+ 밑
	+ 피보나치 수
	+ 케플러 삼각형
	+ 직사각형
	+ 마름모
	+ 분할탐색
	+ 와선
	+ 삼각형
* 은
	+ 펠 수
* 청동
* 순동
* 니켈
* 등등등....

 |  |

| * v
* t
* e
수열 및 급수 |
| --- |
| 정수 수열 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 기초 | 
* 등차수열
* 등비수열
* 조화수열
* 정사각수
* 세제곱수
* 계승
* 2의 거듭제곱
* 3의 거듭제곱
* 10의 거듭제곱

 |
| 심화 (목록) | 
* 피보나치 수
* 다각수
* 칠각수
* 육각수
* 뤼카 다항식
* 펠 수
* 오각수
* 다각수
* 삼각수

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| 수열의 속성 | 
* 코시 열
* 단조함수
* 주기수열

 |
| 급수의 속성 | 
* 수렴급수
* 발산 급수
* 조건 수렴
* 절대 수렴
* 균등수렴
* 교대급수
* 망원급수

 |
| 명시 급수 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 수렴 | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (리만 제타 함수)

 |
| 발산 | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디 급수)
* 등차수열
* 1−2+3−4+…
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (조화급수)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (소수의 역수)

 |
| 모름 | 
* 플린트 힐스 급수

 |

 |
| 급수의 종류 | 
* 테일러 급수
* 멱급수
* 형식적 멱급수
* 로랑 급수
* 퓌죄 급수
* 디리클레 급수
* 삼각급수
* 푸리에 급수
* 생성함수

 |
| 초기하급수 | 
* 초기하함수

 |
| 
* 위키백과 책 책
* 분류 분류

 |