순서론에서 **원순서 집합**(原順序集合, 영어: preordered set, proset)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

정의
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**원순서 집합**의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

* 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다.
* 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다.
* 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다.

### 순서론적 정의

집합 X 위의 **원순서**는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 {\lesssim }\subseteq X^{2}이다.

* (반사성) 임의의 a\in X에 대하여, a\lesssim a
* (추이성) 임의의 a,b,c\in X에 대하여, a\lesssim b\lesssim c라면 a\lesssim c

원순서를 갖춘 집합을 **원순서 집합**(영어: preordered set, proset)이라고 한다. 이 정의에 반대칭성(a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b)을 추가하면 부분 순서를 얻는다.

### 범주론적 정의

**얇은 범주**(-範疇, 영어: thin category) {\mathcal {C}}는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.

* 임의의 두 대상 X,Y\in {\mathcal {C}} 및 그 사이의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, f=g이다. 즉, 사상 모임 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}는 한원소 집합이거나 공집합이다.

범주론적으로, **원순서 집합**은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 (X,\lesssim )은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.

* (X,\lesssim )의 대상은 X의 원소이다.
* (X,\lesssim )의 사상은 a\lesssim b인 두 원소의 순서쌍 (a,b)이며, 이는 a에서 b로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.
\hom(a,b)={\begin{cases}\{(a,b)\}&a\lesssim b\\\varnothing &a\not \lesssim b\end{cases}}

### 위상수학적 정의

**알렉산드로프 공간**(Александров空間, 영어: Alexandrov space)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 X에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

{\displaystyle x\lesssim y\iff x\in \operatorname {cl} \{y\}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {cl} \{y\}}는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 (X,\lesssim )이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다.

성질
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원순서 집합 (X,\lesssim )가 주어졌을 경우, X 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

a\sim b{\stackrel {{\text{def}}}\iff }a\lesssim b\land b\lesssim a
이에 따른 몫집합 {\displaystyle X/{\sim }} 위에서 \lesssim 은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 X의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 X 위의 원순서를 정의한다.

크기가 n인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 (n=0,1,2,\dots ).

1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, (OEIS의 수열 A798)
유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 \mathcal T (열린집합들의 집합)가 주어졌다면,

a\lesssim b{\stackrel {{\text{def}}}\iff }\left(\forall U\in {\mathcal T}\colon b\in U\implies a\in U\right)
와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 \lesssim 가 주어졌다면,

\{\{a\colon a\lesssim b\}\colon b\}
를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

예
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범주 {\mathcal {C}} 속의 대상 X\in {\mathcal {C}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}를 다음과 같이 정의하자.

* {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}의 대상은 공역이 X인 {\mathcal {C}}-단사 사상 {\displaystyle m\colon Y\hookrightarrow X}이다.
* {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}의 두 대상 {\displaystyle \iota \in \hom \_{\mathcal {C}}(Y,X)}, {\displaystyle \iota '\in \hom \_{\mathcal {C}}(Y',X)} 사이의 사상 {\displaystyle f\colon \iota \to \iota '}는 {\displaystyle \iota =\iota '\circ f}가 되는 {\mathcal {C}}-사상 f\colon Y\to Y'이다.

그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X의 부분 대상들의 모임 \operatorname {Sub}(X)이다.

마찬가지로, 범주 {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}를 다음과 같이 정의하자.

* {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}의 대상은 정의역이 X인 {\mathcal {C}}-전사 사상 {\displaystyle \pi \colon X\twoheadrightarrow Y}이다.
* {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}의 두 대상 {\displaystyle \pi \in \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}, {\displaystyle \pi '\in \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y')} 사이의 사상 {\displaystyle f\colon \pi \to \pi '}는 {\displaystyle f\circ \pi =\pi '}가 되는 {\mathcal {C}}-사상 f\colon Y\to Y'이다.

그렇다면, {\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 X의 몫 대상들의 모임 \operatorname {Quot}(X)이다.