sn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^{2}, 녹색 선은 m=1.05^{2}이다.
cn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^{2}, 녹색 선은 m=1.05^{2}이다.
dn(*u*)의 그래프. 붉은 선은 m=0.25^{2}, 녹색 선은 m=1.05^{2}이다.
수학에서 **야코비 타원함수**(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의
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**야코비 타원함수** sn, cn, dn은 두 개의 변수 (u,m)에 대한 함수이다. 여기서 0\leq m\leq 1이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

u=\int \_{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {sn}(u;m)=\sin \phi 
\operatorname {cn}(u;m)=\cos \phi 
{\displaystyle \operatorname {dn} (u;m)={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}}
저자에 따라, 간혹 매개변수 *m* 대신 k={\sqrt m} 또는 \alpha =\arcsin {\sqrt m}을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0\leq k\leq 1, 0\leq \alpha \leq \pi /2이다.

### 타원과의 관계

긴 반지름이 a\geq 1이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 직교좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

x^{2}/a^{2}+y^{2}=1
이들을 극좌표계 (r,\theta )=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan(x/y))로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

x=x(\theta )
y=y(\theta )
r=r(\theta )={\sqrt {x(\theta )^{2}+y(\theta )^{2}}}
또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

u=\int \_{0}^{\theta }\,r(\phi )\,d\phi 
그렇다면, u의 함수로서 x, y, r은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

\operatorname {cn}(u)=x(\theta )/a
\operatorname {sn}(u)=y(\theta )
\operatorname {dn}(u)=r(\theta )/a
이 경우, m은 타원의 이심률의 제곱이다.

m=k^{2}=1-1/a^{2}
### 보조 야코비 타원함수

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

|  | sn(*u*) | cn(*u*) | dn(*u*) |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | ns(*u*)=1/sn(*u*) | nc(*u*)=1/cn(*u*) | nd(*u*)=1/dn(*u*) |
| sn(*u*) | 1 | sc(*u*)=sn(*u*)/cn(*u*) | sd(*u*)=sn(*u*)/dn(*u*) |
| cn(*u*) | cs(*u*)=cn(*u*)/sn(*u*) | 1 | cd(*u*)=cn(*u*)/dn(*u*) |
| dn(*u*) | ds(*u*)=dn(*u*)/sn(*u*) | dc(*u*)=dn(*u*)/cn(*u*) | 1 |

성질
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### 주기성

야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. f가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)
여기서 K(m)과 K'(m)은 각각 **실사분주기**(영어: real quarter period)와 **허사분주기**(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

K(m)=\int \_{0}^{{\pi /2}}{\frac {d\theta }{{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
K'(m)=K(1-m)
즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 {\mathbb C}/\operatorname {Span}\_{{{\mathbb Z}}}\{4K(m),4iK'(m)\} 위에 정의된 유리형 함수이다.

### 극점과 영점

sn, cn, dn 모두

u=iK'(m)
에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

\operatorname {sn}(0;m)=0
\operatorname {cn}(K(m);m)=0
\operatorname {dn}(K(m)+iK'(m);m)=0
### 삼각함수·쌍곡함수와의 관계

m=0일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

\operatorname {sn}(u;0)=\sin u
\operatorname {cn}(u;0)=\cos u
\operatorname {dn}(u;0)=1
반대로, m=1일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

\operatorname {sn}(u;1)=\tanh u
\operatorname {cn}(u;1)=\operatorname {dn}(u;1)={\frac 1{\cosh u}}
### 항등식

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

\operatorname {sn}^{2}(u;m)+\operatorname {cn}^{2}(u;m)=1
m\operatorname {sn}^{2}(u;m)+\operatorname {dn}^{2}(u;m)=1
### 합 공식

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다.

{\begin{aligned}\operatorname {cn}(x+y)&={\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {cn}(y)-\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {dn}(x)\;\operatorname {dn}(y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn}(x+y)&={\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {cn}(y)\;\operatorname {dn}(y)+\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {dn}(x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn}(x+y)&={\operatorname {dn}(x)\;\operatorname {dn}(y)-k^{2}\;\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {cn}(y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}}.\end{aligned}}
### 미분

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다.

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,\operatorname {sn}z=\operatorname {cn}z\operatorname {dn}z
{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,\operatorname {cn}z=-\operatorname {sn}z\operatorname {dn}z
{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,\operatorname {dn}z=-m\operatorname {sn}z\operatorname {cn}z

역사
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카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Jacobi, C. G. J. (1829). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》 (라틴어). Königsberg: Borntraeger.