수학에서 **베셀 함수**(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.


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정의
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베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식을 통해 기술되는 해 y(x)에 해당하는 함수 무리를 일컫는 말이다.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
여기서 \alpha 는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 \alpha 차수의 **베셀 방정식**(Bessel equation)이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 서로 선형 독립인 두 가지 해를 가진다. \alpha 가 정수일 경우, 두 해 가운데 하나는 x\to 0에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 **제1종 베셀 함수**(Bessel function of the first kind) J\_\alpha(x)라고 하고, 발산하는 경우를 **제2종 베셀 함수**(Bessel function of the second kind) Y\_\alpha(x)라고 한다. (\alpha 가 정수가 아닐 경우에도 J\_\alpha(x)와 Y\_\alpha(x)는 베셀 방정식을 통해 기술되는 선형 독립된 두 종류 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식을 통해 얻어지는 일반해는 다음과 같다.

y(x) = c\_1 J\_\alpha (x) + c\_2 Y\_\alpha (x)
여기서 c1, c2는 임의의 상수다.

### 베셀 방정식 유도

베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식

(\Delta+k^2)f=0
을 극좌표계에서 변수분리하면서 등장한다.

먼저 헬름홀츠 방정식은 선형이므로 f(r,\theta)를 극좌표 {\displaystyle r,\theta }에 대해

f(r,\theta)=R(kr)\Theta(\theta)
와 같이 변수분리할 수 있는데, \theta 는 극좌표계 상에서 각도를 나타내므로 \Theta 는 360° 회전변환에 불변하는 형태인

\Theta(\theta)=\cos n\theta 또는 \sin n\theta (n\in\mathbb Z)
가 되고, 이를 헬름홀츠 방정식에 대입할 시 라플라스 연산자가 극좌표계에서

\Delta=\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac\partial{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
로 나타남에 따라 다음과 같은 베셀 방정식을 얻는다.

{\displaystyle (kr)^{2}R''+(kr)R'+\left((kr)^{2}-n^{2}\right)R=0}
### 제1종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 Jα(x)의 그래프
α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식을 통해 나타나는 가장 기본적인 해를 **제1종 베셀 함수** Jα(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)=\sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!(m+\alpha )!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}
여기서 임의의 복소수에 대한 계승 z!=\Gamma (z+1)를 의미한다. (\Gamma (z)는 감마 함수이다.)

이 때 만약 α가 정수가 아니라면, Jα(x)와 J-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서

y(x) = c\_1 J\_\alpha (x) + c\_2 J\_{-\alpha} (x)
(여기서 c1,c2는 상수)는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

#### 성질

J\_{-\alpha} (x) = (-1)^\alpha J\_\alpha (x)(α가 정수일때만 정의 된다)
J\_{-1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \cos x
J\_{1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \sin x
{d \over dx } \left( x^\alpha J\_\alpha (x) \right) = x^\alpha J\_{\alpha-1} 
\int\_0 ^x x' J\_0 (x') dx' = x J\_1(x)
\sum\_{k=-\infty} ^\infty J\_k (x) = 1
#### 베셀의 적분

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.

J\_n(x) = \frac{1}{\pi} \int\_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) d\tau.
이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

J\_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\_{-\pi}^{\pi} e^{-i(n \tau - x \sin \tau)} d\tau
#### 경로적분법을 통한 표현

경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

J\_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt
여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

### 제2종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Yα(x)의 그래프
만약 베셀 방정식의 계수 \alpha 가 정수이면 J\_{{-\alpha }}(x)=(-1)^{\alpha }J\_{\alpha }(x)이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 **제2종 베셀 함수** Yα(x)라고 하고, 다음과 같다.

Y\_\alpha(x) = \lim\_{m \rightarrow \alpha} \frac{J\_m (x) \cos m\pi - J\_{-m}(x)}{\sin m\pi}.
\alpha 가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, \alpha 가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

변형 베셀 함수
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다음과 같은 2차 상미분 방정식을 **변형 베셀 방정식**(modified Bessel equation)이라고 한다.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0
변형 베셀 방정식의 해는 **제1종 변형 베셀 함수** I\_\alpha(x)와 **제2종 변형 베셀 함수** K\_\alpha(x)이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y(x) = c\_1 I\_\alpha(x) + c\_2 K\_\alpha(x)
방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 **쌍곡 베셀 함수**라고도 불린다.

### 제1종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 Iα(x)의 그래프
변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 **제1종 변형 베셀 함수** Iα(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

 I\_\alpha (x) = i^{-\alpha} J\_\alpha (ix) \;
#### 급수 형태

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

I\_\alpha (z)= \left(\frac{1}{2}z \right)^\alpha \sum\_{k=0}^\infty {\left({1\over4}z^2 \right)^k \over k! \Gamma(\alpha+k+1) }
#### 적분을 통한 표현

선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

I\_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt
여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

I\_\alpha(z)={1\over \pi} \int\_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (\alpha\theta) d\theta -{\sin (\alpha\pi) \over \pi } \int\_0^\infty e^{-z \cosh t - \alpha t}dt
만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

I\_n(z)={1\over \pi} \int\_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (n\theta) d\theta
#### 미분과 관련된 성질

n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

I\_n(x)=T\_n{d\over dx}I\_0(x)
여기서 Tn은 제1종 체비세프 다항식이다.

### 제2종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 Kα(x)의 그래프
마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 **제2종 변형 베셀 함수** Kα(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

K\_\alpha (x) = {\pi \over 2} { I\_{-\alpha}(x) - I\_\alpha (x) \over \sin \alpha \pi }
변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일 때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

K\_\alpha (x) = \lim\_{m \rightarrow \alpha} {\pi \over 2} { I\_{-m}(x) - I\_m (x) \over \sin \alpha \pi }
또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

* 배셋 함수
* 맥도날드 함수

다른 표현
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베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다.

\exp(ir\cos\theta)=\sum\_ni^nJ\_n(r)\exp(in\theta)=J\_0(r)+\sum\_n2i^nJ\_n(r)\cos n\theta.
이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 **레일리 전개**(Rayleigh expansion)라고 한다.

\exp(ir\cos\theta)=\sum\_ni^n(2n+1)j\_n(r)P\_n(\cos\theta).
여기서 P\_n은 르장드르 다항식이다.

역사
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다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Bessel, Friedrich (1824). "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen". 《Berlin Abhandlungen》 **14**.

* Weisstein, Eric Wolfgang. "Bessel function of the first kind". 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. "Bessel function of the second kind". 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. "Modified Bessel function of the first kind". 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. "Modified Bessel function of the second kind". 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
* "Cylinder functions". 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* "Neumann function". 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* "Hankel functions". 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

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