수학에서 **환 달린 공간**(環달린空間, 영어: ringed space)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의
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**환 달린 공간** (X,{\mathcal O}\_{X})은 위상 공간 X와 그 위의 가환환의 층 {\mathcal O}\_{X}의 순서쌍이다. {\mathcal O}\_{X}를 X의 **구조층**(構造層, 영어: structure sheaf)라고 한다.

두 환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}), (Y,{\mathcal O}\_{Y}) 사이의 **사상**(寫像, 영어: morphism of ringed spaces) {\displaystyle (f,f^{\#})}은 다음과 같은 순서쌍이다.

* f\colon X\to Y는 연속 함수이다.
* {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}\_{Y}\to f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, X의 각 열린집합 U\subseteq X에 대하여, {\displaystyle f\_{U}^{\#}\colon O\_{Y}(U)\to O\_{X}(f^{-1}(U))}는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

### 국소환 달린 공간

**국소환 달린 공간**(局所環달린空間, 영어: locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 U에 대해 {\mathcal O}\_{X}(U)가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 **사상**(寫像, 영어: morphism of locally ringed spaces) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}\_{Y})}은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

* 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle f^{\#}}로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 {\mathcal O}\_{{Y,f(x)}}\to {\mathcal O}\_{{X,x}} 아래, \mathcal O\_{X,x}의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 {\mathcal O}\_{{Y,f(x)}}의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

### 열린 몰입

환 달린 공간 사상 {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}\_{Y})}이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 **열린 몰입**(영어: open immersion)이라고 한다.

* f의 치역 f(X)은 열린집합이며, f는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
* {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}\_{Y}\to f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}이 층의 동형 사상 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{Y}|\_{f(X)}\to f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}을 유도한다.

환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 및 X의 열린집합 U\subseteq X가 주어졌을 때, {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}\_{X}|\_{U})}는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}\_{X}|\_{U})\to (X,{\mathcal {O}}\_{X})}은 열린 몰입을 이룬다. 만약 (X,{\mathcal O}\_{X})가 국소환 달린 공간이라면 {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}\_{X}|\_{U})} 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

### 닫힌 몰입

 이 부분의 본문은 아이디얼 층입니다.
환 달린 공간 사상 {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}\_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}\_{Y})}이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 **닫힌 몰입**(영어: closed immersion)이라고 한다.

* f의 치역은 닫힌집합이며, f는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
* {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}\_{Y}\to f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}\_{X,x}}은 전사 함수이다.

환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 아이디얼 층 {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}\_{X}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X}은 닫힌집합이다. {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X} 위의 몫층 {\mathcal O}\_{X}/{\mathcal I}을 정의할 수 있으며, {\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}\_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}\_{X})}는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 (X,{\mathcal O}\_{X})가 국소환 달린 공간이라면 (\operatorname {supp}{\mathcal I},{\mathcal O}\_{X}/{\mathcal I}) 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질
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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴
### 범주론적 성질

환 달린 공간의 범주 {\displaystyle \operatorname {RingSp} }와 국소환 달린 공간의 범주 {\displaystyle \operatorname {LocRingSp} }는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

{\displaystyle \operatorname {LocRingSp} }는 {\displaystyle \operatorname {RingSp} }의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

{\displaystyle \operatorname {LocRingSp} \hookrightarrow \operatorname {RingSp} }
는 오른쪽 수반 함자를 가진다.:Corollary 6

예
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모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간 M 위에 실수 값의 연속 함수의 층 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )}을 부여한다면, {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))}은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R})을 부여한다면, {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))}은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 복소다양체 M 위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 \mathcal O\_M을 부여한다면, {\displaystyle (M,{\mathcal {O}}\_{M})}은 국소환 달린 공간을 이룬다.

참고 문헌
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1. 1 2  Gilliam, W. D. (2011). "Localization of ringed spaces" (영어). arXiv:1103.2139. Bibcode:2011arXiv1103.2139G.