대수적 위상수학에서 **교곱**(交곱, 영어: cap product 캡 프로덕트[\*])은 호몰로지류와 코호몰로지류를 하나의 호몰로지류로 축약시키는 연산이다.

정의
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*X*가 위상 공간이며, *R*가 가환환이라고 하자. 그렇다면 R 계수의 **교곱** \frown 은 다음과 같은 R-선형 변환이다.

{\displaystyle \frown \colon \operatorname {H} \_{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(X;R)\to \operatorname {H} \_{p-q}(X;R)\qquad (p\geq q)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(X;R)} 및 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;R)}는 각각 R 계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬 \psi \in C^{q}(X;R) 및 특이 단체 {\displaystyle \sigma \colon \triangle ^{p}\to \ X}에 대하여,

{\displaystyle \sigma \frown \psi {\stackrel {\text{def}}{=}}\psi (\sigma \circ \iota \_{\{0,\dots ,q\}})\cdot \sigma \circ \iota \_{\{q,\dots ,p\}}}
여기서

{\displaystyle \iota \_{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}}
(S\subset \{0,1,...p+q\})는 {\displaystyle |S|-1}차원 표준 단체를 꼭짓점들이 \{0,1,\dots ,p+q\}인 p+q차원 표준 단체의, S에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

### 경사곱

두 위상 공간 X, Y 및 가환환 R 위의 가군 M, N이 주어졌을 때, R 계수의 **경사곱**(傾斜-, 영어: slant product) {\displaystyle \backslash \_{R}}은 다음과 같은 R-선형 변환이다.

{\displaystyle \backslash \_{R}\colon \operatorname {H} \_{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes \_{R})\qquad (q\geq p)}
구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.

{\displaystyle f\colon C\_{p}(X;M)\times C\_{q}(Y;N)\to C\_{p+q}(X\times Y;M\otimes \_{R}N)}
만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는

{\displaystyle \alpha \colon \triangle ^{p}\to X}
{\displaystyle \beta \colon \triangle ^{q}\to Y}
에 대하여, 단체의 곱공간 {\displaystyle \triangle ^{p}\times \triangle ^{q}} 위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환

{\displaystyle \gamma =\sum \_{i\in I}r\_{i}\gamma \_{i}\in C\_{p+q}(\triangle ^{p}\times \triangle ^{q};R)}
{\displaystyle \gamma \_{i}\colon \triangle ^{p+q}\to \triangle ^{p}\times \triangle ^{q}}
을 골랐을 때

{\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\mapsto \sum \_{i\in I}r\_{i}\left((\alpha ,\beta )\circ \gamma \_{i}\right)}
이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.

{\displaystyle \backslash \_{R}\colon \operatorname {H} \_{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes \_{R}N)}
{\displaystyle \alpha \backslash \_{R}\beta \colon \sigma \mapsto \beta (f(\alpha ,\sigma ))}

역사
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교곱은 1936년 에두아르트 체흐가 처음으로 도입하였으며, 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다. 교곱의 기호 \frown 는 휘트니가 고안하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Čech, Eduard (1936년 7월). "Multiplications on a complex". 《Annals of Mathematics》 (영어) **37** (3): 681–697. doi:10.2307/1968483. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968483. MR 1503304. Zbl 0015.13101.
2. ↑  Whitney, Hassler (1937년 5월). "On products in a complex". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) **23**: 285–291. doi:10.1073/pnas.23.5.285. ISSN 0027-8424. JFM 63.1160.02. Zbl 0016.42001.
3. ↑  Whitney, Hassler (1938년 5월). "On products in a complex". 《Annals of Mathematics》 (영어) **39**: 397–432. doi:10.2307/1968795. ISSN 0003-486X. JFM 64.1265.04. JSTOR 1968795. MR 1503416. Zbl 0019.14204.

* 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 7일에 확인함.
* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.