리 군론에서 **극대 원환면**({極大圓環面, 영어: maximal torus 맥시멀 토러스[\*])은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.

정의
--

G가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. G 속의, 원환면 \mathbb {T} ^{n}과 미분 동형인 닫힌 부분군

T\subseteq G
들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 G의 **극대 원환면**이라고 한다.

성질
--

연결 콤팩트 리 군 G 및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 {\displaystyle g\in G}는 (임의의) 극대 원환면 T의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 {\displaystyle x^{-1}gx\in T}가 되는 {\displaystyle x\in G}를 찾을 수 있다.

**증명:**

임의의 g\in G에 대하여, {\displaystyle x^{-1}gx\in T}가 되는 {\displaystyle x\in G}를 찾아야 한다. 이러한 x는

{\displaystyle gx\in xT}
이므로, {\displaystyle G/T} 위의 G의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다. T가 부분군이므로, 반대로 {\displaystyle G/T}의 모든 고정점 {\displaystyle xT}은 이러한 x에 대응한다.

{\displaystyle G/T}가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여, g의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다. G가 경로 연결 공간이므로, g의 작용은 1\_{G}\in G의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉, {\displaystyle G/T}의 오일러 지표 {\displaystyle \chi (G/T)}가 0이 아님을 보이면 족하다.

이를 계산하기 위하여, 원소 t\in T 가운데, t로 생성되는 부분군 {\displaystyle t^{\mathbb {Z} }}가 T의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. (T가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든 t\in T에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, t의 작용의 고정점은 T의 정규화 부분군 \operatorname N\_{G}(T)의 원소이다. 즉, {\displaystyle G/T} 위의 고정점의 집합은 {\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(T)/T}이다. T가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 {\displaystyle T=1\_{G}T\in \operatorname {N} \_{G}T}의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, {\displaystyle \chi (G/T)=|\operatorname {N} \_{G}(T)/T|\geq 1}이며, 모든 g\in G에 대하여 {\displaystyle x^{-1}gx\in T}인 {\displaystyle x\in G}가 존재한다.

### 존재와 유일성

모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 G의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.

**증명:**

임의의 두 극대 원환면 T, {\displaystyle T'}이 주어졌으며, t\in T 및 {\displaystyle t'\in T'}에 대하여, t로 생성되는 부분군이 T의 조밀 집합이며, t'도 {\displaystyle T'}에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 {\displaystyle gtg^{-1}=t'}인 g\in G를 찾을 수 있으므로, {\displaystyle gTg^{-1}=T'}가 된다.
즉, 연결 콤팩트 리 군 G의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.

단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

### 차원

연결 콤팩트 리 군 G의 극대 원환면의 차원은 G의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합

{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}
으로 분해하였을 때, T의 차원은 \mathfrak a의 차원과 {\displaystyle {\mathfrak {s}}}의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.

{\displaystyle \dim T=\dim {\mathfrak {a}}\oplus |\operatorname {V} (\operatorname {Dynkin} ({\mathfrak {s}}))|}
### 바일 군의 작용

연결 콤팩트 리 군 G의 극대 원환면 T가 주어졌을 때, 그 바일 군

{\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)=\operatorname {N} \_{G}(T)/\operatorname {C} \_{G}(T)}
은 T 위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간

{\displaystyle T/\operatorname {Weyl} (G/T)}
은 G의 켤레류의 공간과 동형이다.

예
-

유니터리 군 \operatorname {U} (n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta \_{1}),\exp(\mathrm {i} \theta \_{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta \_{n}))\colon \theta \_{1},\theta \_{2},\dotsc ,\theta \_{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {U} (n)}
특수 유니터리 군 \operatorname {SU}(n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta \_{1}),\exp(\mathrm {i} \theta \_{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta \_{n-1}),\exp(-\mathrm {i} (\theta \_{1}+\theta \_{2}+\dotsb +\theta \_{n-1}))\colon \theta \_{1},\theta \_{2},\dotsc ,\theta \_{n-1}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SU} (n)}
특수 직교군 \operatorname{SO}(2n)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta \_{1}),R(\theta \_{2}),\dotsc ,R(\theta \_{n}))\colon \theta \_{1},\dotsc ,\theta \_{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n)}
여기서

{\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
이다. 특수 직교군 \operatorname{SO}(2n+1)의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta \_{1}),R(\theta \_{2}),\dotsc ,R(\theta \_{n}),0\_{1\times 1})\colon \theta \_{1},\dotsc ,\theta \_{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n+1)}

참고 문헌
-----

* Humphreys, James E. 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어).