군론에서 **군 코호몰로지**(群cohomology, 영어: group cohomology)와 **군 호몰로지**(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 군 G. 이로부터 군환 \mathbb {Z} [G]를 정의할 수 있다.
* \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}M}

임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, G의 M계수 n차 **군 호몰로지** {\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(G;M)} 및 G의 M계수 n차 **군 코호몰로지** {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)}는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

### 유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 G가 주어졌다고 하자. \mathbb {Z} [G]의 왼쪽 가군들의 범주 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}}는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

{\displaystyle (-)^{G}\colon {}\_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} }
{\displaystyle (-)^{G}\colon M\mapsto M^{G}=\bigcap \_{g\in G}\ker \_{M}(1-g)=\{m\in M\colon \forall g\in M\colon m=gm\}}
즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

{\displaystyle (-)^{G}}는 왼쪽 완전 함자이다. 그 n번째 오른쪽 유도 함자를 G의 n차 **군 코호몰로지**라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;-)=\operatorname {R} ^{n}(-)^{G}}
마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

{\displaystyle (-)\_{G}\colon {}\_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} }
{\displaystyle (-)\_{G}\colon M\mapsto {\frac {M}{\operatorname {D} (M)}}}
여기서

{\displaystyle \operatorname {D} (M)=\sum \_{g\in G}(1-g)M\subseteq M}
이다. 즉, {\displaystyle M\_{G}}는 M의 **쌍대 불변량**(영어: coinvariant)으로 구성된다.

{\displaystyle (-)\_{G}}는 오른쪽 완전 함자이다. 그 n번째 왼쪽 유도 함자를 G의 n차 **군 호몰로지**라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(G;-)=\operatorname {L} ^{n}(-)\_{G}}
### Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 G 및 \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}M}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathbb {Z} 를 자명한 \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g\in G 및 n\in\mathbb Z에 대하여 {\displaystyle g\cdot n=n}이다.) 그렇다면, \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군의 범주 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}\operatorname {Mod} }에서 Ext 함자를 취할 수 있다. G의 M 계수의 **군 코호몰로지**는 다음과 같은 Ext 함자이다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)=\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)}
마찬가지로, \mathbb {Z} 를 자명한 \mathbb {Z} [G]-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g\in G 및 n\in\mathbb Z에 대하여 {\displaystyle n\cdot g=n}이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{\mathbb {Z} [G]}}와 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}M} 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
G의 M 계수의 **군 호몰로지**는 다음과 같은 Tor 함자이다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(G;M)=\operatorname {Tor} \_{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}
### 군 코호몰로지의 구체적 정의

G가 군이고 M이 \mathbb {Z} [G]-가군이라고 하자. 양의 정수 n에 대하여, n차 **공사슬**(共사슬, 영어: cochain)을 G^{n}\to M 함수로 정의하고, n차 공사슬의 집합을 C^{n}(G,M)으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 G^{n}은 군의 직접곱 G\times G\times \dotsb \times G이다.)

**공경계 준동형**(共境界準同形, 영어: coboundary homomorphism) d^{n}\colon C^{n}(G,M)\to C^{{n+1}}(G,M)을 다음과 같이 정의하자.

\left(d^{n}\varphi \right)(g\_{0},\dots ,g\_{n})=g\_{0}\cdot \varphi (g\_{1},\dots ,g\_{n})
{}+\sum \_{{i=1}}^{n}(-1)^{{i}}\varphi (g\_{0},\dots ,g\_{{i-2}},g\_{{i-1}}g\_{i},g\_{{i+1}},\dots ,g\_{n})
{}+(-1)^{{n+1}}\varphi (g\_{0},\dots ,g\_{{n-1}})
이렇게 정의하면

d^{{n+1}}\circ d^{n}=0
임을 알 수 있다. 따라서 C^{n}은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)={\frac {\ker d^{n}}{\operatorname {im} d^{n-1}}}}
과 같이 코호몰로지 군 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)}을 정의할 수 있다. 이를 M계수를 가진 G의 n차 **군 코호몰로지**라고 한다.

### 군 호몰로지의 구체적 정의

G가 군이고 M이 \mathbb {Z} [G]-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 n에 대하여, n차 **사슬**(영어: cochain)의 집합은
{\displaystyle C\_{n}(G;M)=\mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes \_{\mathbb {Z} }M}
이다.

그 사이에 다음과 같은 **경계 준동형**(境界準同形, 영어: boundary homomorphism)을 정의하자.

{\displaystyle \partial \colon (g\_{1},g\_{2},\dotsc ,g\_{n},m)\mapsto (g\_{2},\dotsc ,g\_{n},m)+\sum \_{i=1}^{n-1}(-)^{i}(g\_{1},\dotsc ,g\_{i-1},g\_{i}g\_{i+1},g\_{i+2},\dotsc ,g\_{n},m)+(-)^{n}(g\_{1},\dotsc ,g\_{n-1},g\_{n}m)}
그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

{\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}C\_{2}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C\_{1}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C\_{0}(G;M)\to 0}
(이는 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)}과 같다.)
그 호몰로지 군

{\displaystyle \operatorname {H} \_{n}(G;M)={\frac {\ker \partial \_{n}}{\operatorname {im} \partial \_{n+1}}}}
을 M계수를 가진 G의 n차 **군 호몰로지**라고 한다.

### 구체적 정의의 유도

구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 {\displaystyle \operatorname {Ab} =\operatorname {Mod} \_{\mathbb {Z} }}에서, \mathbb {Z} -결합 대수 (즉, 환) \mathbb {Z} [G]의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} } 및
오른쪽 가군 {\displaystyle \mathbb {Z} [G]\_{\mathbb {Z} [G]}}를 생각하자. 그렇다면, 물론

{\displaystyle \mathbb {Z} [G]\otimes \_{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} }
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )=\overbrace {\mathbb {Z} [G]\otimes \_{\mathbb {Z} }\dotsb \otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [G]} ^{n+1}\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} [\overbrace {G\times \dotsb \times G} ^{n}]}
그렇다면,

{\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G\times G]{\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G]\twoheadrightarrow \mathbb {Z} }
는 \mathbb {Z} 의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 \mathbb {Z} [G]-사영 가군이므로, 막대 복합체 {\displaystyle \operatorname {Bar} (\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )}는 \mathbb {Z} 의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)}은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

{\displaystyle 0\to \hom \_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],M)\to \hom \_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G\times G],M)\to \dotsb }
그런데 {\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]}은 \mathbb {Z} [G]-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)\to \hom \_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}],M)}
여기서 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)}은 모든 함수 G^{n}\to M의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 n차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 {\displaystyle \operatorname {Tor} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}은 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{\mathbb {Z} [G]}}의 사영 분해 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G])}를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)}
의 호몰로지로 계산된다.

{\displaystyle \dotsb \to \mathbb {Z} [G^{\times 3}]\otimes \_{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G^{\times 2}]\otimes \_{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G]\otimes \_{\mathbb {Z} [G]}M\cong M}
그런데

{\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]\otimes \_{\mathbb {Z} [G]}M\cong \mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes \_{\mathbb {Z} }M}
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 n차 사슬의 집합과 같다.

성질
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### 낮은 차수의 군 (코)호몰로지

군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

{\displaystyle C^{0}(G;M)=M}
{\displaystyle C^{1}(G;M)=\hom \_{\operatorname {Set} }(G,M)}
{\displaystyle C^{2}(G;M)=\hom \_{\operatorname {Set} }(G\times G,M)}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)\colon g\mapsto gm-m\qquad (m\in M,\;g\in G)}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{1}(\phi )\colon (g,h)\mapsto g\phi (h)-\phi (gh)+\phi (g)\qquad (g,h\in G,\;\phi \in \hom \_{\operatorname {Set} }(G,M))}
마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

{\displaystyle C\_{0}(G;M)=M}
{\displaystyle C\_{1}(G;M)=\mathbb {Z} [G]\otimes \_{\mathbb {Z} }M}
{\displaystyle C\_{2}(G;M)=\mathbb {Z} [G\times G]\otimes \_{\mathbb {Z} }}
{\displaystyle \partial \_{0}\colon C\_{1}(G;M)\to C\_{0}(G;M)}
{\displaystyle \partial \_{1}\colon (g,m)\mapsto m-gm}
{\displaystyle \partial \_{2}\colon (g,h,m)\mapsto (h,m)-(gh,m)+(g,hm)}
이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 G의 M 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

| 공사슬 종류 | 기호 | 해석 | 자명한 작용일 경우의 해석 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0차 완전 공사슬 | {\displaystyle \operatorname {im} \mathrm {d} \_{-1}} | {\displaystyle 0\in M} |
| 0차 닫힌 사슬 | {\displaystyle \ker \partial \_{0}} | 임의의 원소 m\in M |
| 0차 닫힌 공사슬 | {\displaystyle \ker \mathrm {d} \_{0}} | **불변량**: m\in M 가운데, 임의의 g\in G에 대하여 {\displaystyle gm=m}인 것 | 임의의 원소 m\in M |
| 0차 완전 사슬 | {\displaystyle \operatorname {im} \partial \_{1}} |
| 1차 닫힌 공사슬 | {\displaystyle \ker \mathrm {d} \_{1}} | **교차 준동형**(영어: crossed homomorphism): 함수 {\displaystyle \phi \colon G\to M} 가운데, {\displaystyle \phi (gh)=\phi (g)+g\phi (h)}인 것 | 군 준동형 {\displaystyle (G,\cdot )\to (M,+)} |
| 1차 완전 공사슬 | {\displaystyle \operatorname {im} \mathrm {d} \_{0}} | **주 교차 준동형**(영어: principal crossed homomorphism, m\in M에 대하여, {\displaystyle g\mapsto (g-1)m} 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합 | 상수 함수 {\displaystyle g\mapsto 0} |
| 1차 닫힌 사슬 | {\displaystyle \ker \partial \_{1}} | 선형 결합 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i}\alpha \_{i}(g\_{i},m)} 가운데, {\displaystyle \textstyle \sum \_{i}\alpha \_{i}g\_{i}m\_{i}=\sum \_{i}\alpha \_{i}m\_{i}}인 것 | 선형 결합 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i}\alpha \_{i}(g\_{i},m)} |
| 1차 완전 사슬 | {\displaystyle \operatorname {im} \partial \_{2}} | {\displaystyle (h,m)-(gh,m)+(g,hm)} 꼴의 선형 결합들의 합 ({\displaystyle g,h\in G,\;m\in M}) | {\displaystyle \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }\{g+h-gh\colon g,h\in G\}\otimes \_{\mathbb {Z} }M}의 원소 |

특히, 만약 G의 M 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(G;M)=M}
{\displaystyle \operatorname {H} \_{0}(G;M)=0}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)=\hom \_{\operatorname {Grp} }(G,M)}
2차 군 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)}는 군 (G,\cdot )의 아벨 군 (M,+)에 대한 확대들을 분류한다.
### 위상 코호몰로지와의 관계

만약 G의 M 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 {\displaystyle \mathrm {B} G}의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{k}(G;M)=\operatorname {H} \_{k}^{\text{sing}}(\mathrm {B} G;M)}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(G;M)=\operatorname {H} \_{\text{sing}}^{k}(\mathrm {B} G;M)}

**증명**:

G의 분류 공간은 단체 집합 {\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\operatorname {Set} }(1,G,1)}이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )}
로 주어지며, M계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

{\displaystyle \operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )\otimes \_{\mathbb {Z} }M}
으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {B} G}의 M계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체

{\displaystyle \hom \_{\mathbb {Z} }\left(\operatorname {Bar} \_{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} ),M\right)},
로 주어진다. 그런데 이는 G의 M계수 군 코호몰로지와 같다.

보다 일반적으로, 만약 G의 작용이 자명하지 않다면, M은 {\displaystyle \mathrm {B} G} 위의 일종의 층 {\displaystyle {\underline {M}}}을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 G의 M계수 군 (코)호몰로지와 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})}
{\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} \_{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})}

예
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### 자유군

k개의 원소로 생성되는 자유군 {\displaystyle F\_{k}}을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(F\_{k};M)=\operatorname {H} \_{n}(F\_{k};M)={\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}}}
### 순환군

k차 순환군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (k)}을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)=\operatorname {H} \_{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)={\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}}}
여기서 {\displaystyle \ker n=\{m\in M\colon nm=0\}}은 M의 n-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 {\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (k)}의 특이 호몰로지와 같다. 특히, k=2일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 {\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }}의 특이 호몰로지이다.

### 자유 아벨 군

k차 자유 아벨 군 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus k}}을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=\operatorname {H} \_{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=M^{\oplus {\binom {k}{n}}}}
여기서 {\displaystyle \textstyle {\binom {k}{n}}}은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 {\displaystyle \mathbb {T} ^{k}}의 특이 호몰로지와 같다.

참고 문헌
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* Isaksen, Daniel C. (2002년 11월). "A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic" (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **109** (9): 796–805. doi:10.2307/3072368. ISSN 0002-9890. JSTOR 3072368. MR 1933702. Zbl 1026.20029. 2014년 1월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 1월 16일에 확인함.