그래프 이론에서 **일반화 페테르센 그래프**(一般化Petersen graph, 영어: generalized Petersen graph)는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 **페테르센 그래프**(영어: Petersen graph)라고 한다.

정의
--

3 이상의 정수 n\geq 3과, n의 배수가 아닌 정수 k\in {\mathbb Z}, {\displaystyle n\nmid k}가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 n이 짝수라면 {\displaystyle n/2\nmid k}라고 하자.

**일반화 페테르센 그래프** {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}는 다음과 같은 그래프이다.

{\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i},v\_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i}u\_{i+1},u\_{i}v\_{i},v\_{i}v\_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
여기서 첨자는 법 n으로 계산한다. 즉, u\_{{n+i}}=u\_{i} 및 v\_{{n+i}}=u\_{i}로 간주한다.
일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, {\displaystyle u\_{i}v\_{i}} 꼴의 변을 **바큇살**(영어: spoke)이라고 한다.

당연히

{\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)=\operatorname {GPG} (n,k+n)=\operatorname {GPG} (n,-k)}
이므로, 보통

{\displaystyle 1\leq k<n/2}
를 가정한다.

성질
--

### 기초적 성질

페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} 속의 완벽 부합
일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}는 2n개의 꼭짓점과 {\displaystyle 3n}개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, {\displaystyle \{u\_{i}v\_{i}\}\_{i\in \mathbb {Z} /n}}은 완벽 부합을 이룬다.

### 동형

임의의 정수 n\geq 3 및 정수 {\displaystyle 1\leq k,k'<n/2}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Proposition 9

* {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')}
* {\displaystyle kk'\equiv \pm 1{\pmod {n}}}

예를 들어, {\displaystyle \operatorname {GPG} (7,2)\cong \operatorname {GPG} (7,3)}이다.

### 안둘레

일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}의 안둘레는 항상 {\displaystyle \min\{8,k+3,n/\gcd\{n,k\}\}} 이하이다.:Theorem 2.1

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

{\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i},v\_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i}u\_{i+1},u\_{i}v\_{i},v\_{i}v\_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
이다. 그 속에서

{\displaystyle u\_{0}-v\_{0}-v\_{k}-u\_{k}-u\_{k+1}-v\_{k+1}-v\_{1}-u\_{1}-u\_{0}}
는 길이 8의 순환이며,

{\displaystyle u\_{0}-v\_{0}-v\_{k}-u\_{k}-u\_{k-1}-\dotsb -u\_{1}-u\_{0}}
는 길이 {\displaystyle k+3}의 순환이며,

{\displaystyle v\_{0}-v\_{k}-v\_{2k}-\dotsb -v\_{0}}
는 길이 {\displaystyle n/\gcd\{n,k\}}의 순환이다.

또한, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {girth} (\operatorname {GPG} (ak\pm b,k))\leq a+b+2}

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

{\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i},v\_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i}u\_{i+1},u\_{i}v\_{i},v\_{i}v\_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
이다. 그 속에서

{\displaystyle u\_{0}-v\_{0}-v\_{k}-\dotsb -v\_{ak\equiv \pm b}-u\_{\pm b}-u\_{\pm (b-1)}-\dotsb -u\_{\pm 1}-u\_{0}}
은 길이 {\displaystyle a+b+2}의 순환이다 (복부호 동순).

위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 {\displaystyle 1\leq k<n/2}이며,

{\displaystyle k=\min \left\{1\leq k'<n/2\colon \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')\right\}}
일 때, 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.:Theorem 2.8

| 조건 | 안둘레 |
| --- | --- |
| {\displaystyle n=3k} | 3 |
| {\displaystyle n=4k} | 4 |
| k=1 |
| {\displaystyle n=5k} | 5 |
| {\displaystyle n=5k/2} |
| k=2 |
| {\displaystyle n=6k} | 6 |
| {\displaystyle k=3} |
| {\displaystyle n=2k+2} |
| {\displaystyle n=7k} | 7 |
| {\displaystyle n=7k/2} |
| {\displaystyle n=7k/3} |
| k=4 |
| {\displaystyle n=2k+3} |
| {\displaystyle n=3k\pm 2} |
| 그 밖의 경우 | 8 |

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

{\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i},v\_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u\_{i}u\_{i+1},u\_{i}v\_{i},v\_{i}v\_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}}
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 {\displaystyle u\_{i}v\_{i}}을 포함한다.

모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환

{\displaystyle u\_{0}-v\_{0}-v\_{k}-u\_{k}-u\_{k+1}-v\_{k+1}-v\_{1}-u\_{1}-u\_{0}}
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.

2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 {\displaystyle u\_{0}-u\_{1}}로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle u\_{0}-u\_{1}-\dotsb -u\_{b}-v\_{b}-v\_{b\pm k}-v\_{b\pm 2k}-\dotsb -v\_{b\pm ak}-u\_{0}}
이것이 존재하기 위해서는 {\displaystyle ak\pm b\mid n}이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 {\displaystyle a+b+2}이다.

* k가 최솟값이어야 하므로, {\displaystyle ak+b=n} 및 {\displaystyle ak+b=0}인 경우만 고려해도 된다.
	+ {\displaystyle ak+b=0}인 경우: {\displaystyle (a,b)=(1,-k)}인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 {\displaystyle k+3}이다.
	+ {\displaystyle ak+b=n}인 경우:
		- 만약 {\displaystyle n=ak\pm 1}인 경우, {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,a)}이다. 따라서, 이 경우 k는 최솟값을 갖지 못한다.
		- 만약 {\displaystyle n=ak}일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 a의 순환이 더 짧다.
		- 만약 {\displaystyle n=2k-b}일 경우, {\displaystyle k\geq n/2}이다.
		- 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 {\displaystyle (a,b)=(2,2),(2,3),(3,2),(3,-2)}이다.

0개의 바큇살을 갖는 순환은 u\_i 또는 v\_{i}로만 구성된다. u\_i만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 n이며, v\_{i}만으로 구성되는 순환의 길이는 {\displaystyle n/\gcd\{n,k\}}이다.

* 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 {\displaystyle n/k\in \{3/1,4/1,5/1,5/2,6/1,7/1,7/2,7/3\}}이다.

### 케일리 그래프

나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}는 대칭군 \operatorname{Sym}(4)의 케일리 그래프이다.
일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
* {\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {n}}}

예를 들어, 나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}의 경우 {\displaystyle 5^{2}\equiv 1{\pmod {12}}}이며, 이는 대칭군 \operatorname{Sym}(4)의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)}는 크기 2n의 정이면체군 \operatorname {Dih}(n)의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}는 케일리 그래프가 아니다.

### 꼭짓점 색칠

일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(영어: Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
* n이 짝수이며, k는 홀수이다.

다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}의 색칠수는 다음과 같다.

{\displaystyle \chi (\operatorname {GPG} (n,k))={\begin{cases}2&2\mid n\land 2\nmid k\\3&2\nmid n\lor 2\mid k\end{cases}}}
여기서 \land는 논리곱(AND), \lor는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}의 색칠수는 3이다.

* 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
  
의 3색 그래프 색칠페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}의 3색 그래프 색칠
* 데자르그 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}
  
의 2색 그래프 색칠데자르그 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}의 2색 그래프 색칠
* 뒤러 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        6
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}
  
의 3색 그래프 색칠뒤러 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}의 3색 그래프 색칠

### 변 색칠

페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.

일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (9,2)}는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.

* 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
  
의 4색 변 색칠페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}의 4색 변 색칠
* 뒤러 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        6
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}
  
의 3색 변 색칠뒤러 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}의 3색 변 색칠
* 정십이면체 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}
  
의 3색 변 색칠정십이면체 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}의 3색 변 색칠
* 데자르그 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}
  
의 3색 변 색칠데자르그 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}의 3색 변 색칠
* 나우루 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        12
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}
  
의 3색 변 색칠나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}의 3색 변 색칠

### 해밀턴 경로

임의의 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)} ({\displaystyle 3\leq n}, {\displaystyle 1\leq k<n/2})에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.

* (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
* (나) {\displaystyle n\equiv 5{\pmod {6}}}이며, {\displaystyle k\in \{2,(n-1)/2\}}이다.

또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)

예를 들어, 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.

* 뒤러 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        6
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}
  
 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.뒤러 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        8
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)}
  
 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        9
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (9,2)}
  
 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (9,2)} 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.
* 정십이면체 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}
  
 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.정십이면체 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)} 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.
* 나우루 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        12
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}
  
 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)} 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

### 교차수

각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)}은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.

페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 K\_{5} 또는 완전 이분 그래프 K\_{{3,3}}를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.

* 오각기둥 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)}
  
의 교차수는 0이다.오각기둥 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)}의 교차수는 0이다.
* 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
  
의 교차수는 2이다.페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}의 교차수는 2이다.
* 나우루 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        12
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}
  
의 교차수는 8이다.나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}의 교차수는 8이다.

예
-

일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

* **페테르센 그래프**는 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}이다. 이는 완전 그래프 K\_{5}의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
* **뒤러 그래프**(영어: Dürer graph)는 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}이다.
* 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
* **데자르그 그래프**(영어: Desargues graph)는 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}이다.
* 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)}는 n각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.

* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        3
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (3,1)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (3,1)}
* 일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        4
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (4,1)}일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) {\displaystyle \operatorname {GPG} (4,1)}
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,1)}
* 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        5
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        6
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,1)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,1)}
* 뒤러 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        6
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}뒤러 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        7
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (7,1)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (7,1)}
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        8
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,1)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (8,1)}
* 정십이면체 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}정십이면체 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,2)}
* 데자르그 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        10
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}데자르그 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}
* 일반화 페테르센 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        12
        ,
        4
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,4)}일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,4)}
* 나우루 그래프 
  
    
      
        GPG
        ⁡
        (
        12
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}나우루 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}

역사
--

알브레히트 뒤러의 판화 《멜란콜리아 1》
데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 {\displaystyle (A,B,C,A',B',C',P,Q,R,S)}와 10개의 직선 {\displaystyle (a,b,c,a',b',c',p,q,r,s)}에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}를 얻는다.
나우루의 국기
독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(독일어: Melancholia Ⅰ)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,:227, Fig. 5 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.

연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다.
"데자르그 그래프"라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.:418, §2 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 {\displaystyle \operatorname {GPG} (n,k)}를 {\displaystyle \{n\}+\{n/k\}}로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.

1969년에 마크 왓킨스(영어: Mark E. Watkins)가 이 그래프 족을 "일반화 페테르센 그래프"(영어: generalized Petersen graph)라고 명명하였다.

"나우루 그래프"(영어: Nauru graph)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(영어: David Arthur Eppstein)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Holton, D. A.; Sheehan, J. (1993). 《The Petersen graph》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521435943. ISBN 0-521-43594-3.
2. ↑  Boben, Marko; Pisanski, Tomaž; Žitni, Arjana (2005년 11월). "I-graphs and the corresponding configurations" (PDF). 《Journal of Combinatorial Designs》 (영어) **13** (6): 406–424. doi:10.1002/jcd.20054. 2018년 7월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 5일에 확인함.
3. ↑  Steimle, Alice; Staton, William (2009년 1월 6일). "The isomorphism classes of the generalized Petersen graphs". 《Discrete Mathematics》 (영어) **309** (1): 231–237. doi:10.1016/j.disc.2007.12.074.
4. 1 2  Ferrero, Daniela; Hanusch, Sarah (2014). "Component connectivity of generalized Petersen graphs" (PDF). 《International Journal of Computer Mathematics》 (영어) **91** (9): 1940–1963. doi:10.1080/00207160.2013.878023. ISSN 0020-7160. 2018년 10월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 5일에 확인함.
5. ↑  Nedela, Roman; Škoviera, Martin (1995년 1월). "Which generalized petersen graphs are Cayley graphs?". 《Journal of Graph Theory》 (영어) **19** (1): 1–11. doi:10.1002/jgt.3190190102.
6. ↑  Naserasr, Reza; Škrekovski, Riste (2003년 7월 6일). "The Petersen graph is not 3-edge-colorable—a new proof". 《Discrete Mathematics》 (영어) **268** (1–3): 325–326. doi:10.1016/S0012-365X(03)00138-9.
7. ↑  Castagna, Frank; Prins, Geert Caleb Ernst (1972). "Every generalized Petersen graph has a Tait coloring". 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) **40** (1). doi:10.2140/pjm.1972.40.53. ISSN 0030-8730. MR 304223. Zbl 0236.05106.
8. ↑  Alspach, Brian R. (1983). "The classification of Hamiltonian generalized Petersen graphs". 《Journal of Combinatorial Theory B》 (영어) **34**: 293–312. doi:10.1016/0095-8956(83)90042-4. MR 0714452.
9. ↑  Petersen, Julius Peter Christian (1898). "Sur le théorème de Tait". 《L’Intermédiaire des Mathématiciens》 (프랑스어) **5**: 225–227.
10. ↑  Coxeter, Harold Scott MacDonald (1950). "Self-dual configurations and regular graphs". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **56** (5): 413–455. doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5.
11. ↑  Watkins, Mark E. (1969). "A theorem on Tait colorings with an application to the generalized Petersen graphs". 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) **6**: 152–164. doi:10.1016/S0021-9800(69)80116-X.