선형대수학에서 **크래머 법칙**(Cramer法則, 영어: Cramer's rule) 또는 **크래머 공식**은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

정의
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연립 일차 방정식

{\displaystyle Ax=B}
에서, {\displaystyle A}가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 **크라메르 법칙**이라고 한다.

{\displaystyle x\_{j}={\frac {\det A\_{j}}{\det A}}={\frac {\begin{vmatrix}a\_{11}&\cdots &b\_{1}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&\cdots &b\_{2}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a\_{n1}&\cdots &b\_{n}&\cdots &a\_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a\_{11}&\cdots &a\_{1j}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&\cdots &a\_{2j}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a\_{n1}&\cdots &a\_{nj}&\cdots &a\_{nn}\end{vmatrix}}}\qquad (j=1,\dots ,n)}
여기서 {\displaystyle A\_{j}}는 {\displaystyle A}의 {\displaystyle j}번째 열을 {\displaystyle B}로 대신하여 얻는 행렬이다.

증명
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연립 일차 방정식

{\displaystyle a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+\cdots +a\_{1n}x\_{n}=b\_{1}}
{\displaystyle a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+\cdots +a\_{2n}x\_{n}=b\_{2}}
{\displaystyle \vdots }
{\displaystyle a\_{n1}x\_{1}+a\_{n2}x\_{2}+\cdots +a\_{nn}x\_{n}=b\_{n}}
의 계수 행렬 {\displaystyle A}의 {\displaystyle (i,j)}-여인자를 {\displaystyle C\_{ij}}라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

{\displaystyle a\_{1k}C\_{1j}+a\_{2k}C\_{2j}+\cdots +a\_{nk}C\_{nj}={\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}}
{\displaystyle b\_{1}C\_{1j}+b\_{2}C\_{2j}+\cdots +b\_{n}C\_{nj}=\det A\_{j}}
이에 따라, 각 {\displaystyle i}번째 방정식에 {\displaystyle C\_{ij}}을 곱한 뒤 모두 합하면

{\displaystyle \det A\cdot x\_{j}=\det A\_{j}}
를 얻는다. {\displaystyle \det A\neq 0}이므로, 양변을 {\displaystyle \det A}로 나누면

{\displaystyle x\_{j}={\frac {\det A\_{j}}{\det A}}}
를 얻는다.

예
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### 2개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

{\displaystyle ax+by=e}
{\displaystyle cx+dy=f}
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {ed-bf}{ad-bc}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {af-ec}{ad-bc}}}
### 3개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

{\displaystyle ax+by+cz=j}
{\displaystyle dx+ey+fz=k}
{\displaystyle gx+hy+iz=l}
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}

응용
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### 미분기하학

크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 {\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}, {\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, {\displaystyle x=X(u,v)}, {\displaystyle y=Y(u,v)}라 정의한다.

여기서 {\displaystyle \partial x/\partial u}의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}
{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}
{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}
{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}
{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}
이것은 두 개의 야코비안 항이다.

{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}
유사하게 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}, {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}, {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}의 공식들도 유도할 수 있다.

역사
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스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.