미분기하학에서 **미분 형식**(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 dx, dy 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, p차원의 다양체에서는 p-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의
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n차원 매끄러운 다양체 M 위의 공변접다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M}은 n차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 2^{n}차원 벡터 다발

{\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{\*}M}
을 얻는다. 그 단면을 M 위의 **미분 형식**이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle \Omega (M)=\Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} ^{\*}M\right)}
외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

{\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{\*}M=\bigoplus \_{k=0}^{n}\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{\*}M}
{\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus \_{k=0}^{n}\Omega ^{n}(M)=\bigoplus \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{\*}M\right)}
k차 미분 형식은 \Omega ^{k}(M)의 매끄러운 단면이다.

### 지표 표기법

미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. n차원 다양체에 국소적 좌표계 \{x^i\}\_{i=1,\dots,n}를 잡으면,

\{dx^i\}\_{i=1,\dots,n}
는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 k차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

A=\frac1{k!}A\_{i\_1\dots i\_k}dx^{i\_1}\wedge dx^{i\_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_k}
이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 g에 의한 부피 형식은

\omega=\sqrt{\det(g\_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\frac1{k!}\epsilon\_{i\_1\dots i\_n}\sqrt{\det(g\_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n
이므로,

\omega\_{i\_1\dots i\_n}=\sqrt{\det(g\_{ij})}\epsilon\_{i\_1\dots i\_n}
이 된다.

### 무한 차원 다양체 위의 미분 형식

국소 볼록 공간 E가 주어졌을 때, 국소적으로 E와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 **E-다양체**라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

E-다양체 M 위의 **k차 미분 형식**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition Ⅰ.4.1

* 각 x\in M에 대하여, 완전 반대칭 k-선형 변환 {\displaystyle \omega \_{x}\colon \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} \_{x}M\to \mathbb {R} }

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

열린집합 U\subseteq M 위의 국소 좌표 {\displaystyle \phi \colon U\to E}에 대하여, {\displaystyle \omega \circ U^{-1}\colon U\times \textstyle \bigwedge ^{k}E\to \mathbb {R} }는 매끄러운 함수이다.
이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

연산
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미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

### 쐐기곱

미분 형식의 **쐐기곱**(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 \alpha\in\Omega^k(M)과 \beta,\beta'\in\Omega^l(M), f\in\Omega^0(M)에 대하여,

* f\wedge\alpha=f\alpha
* (분배법칙) \alpha\wedge(\beta+\beta')=\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\beta'
* (반대칭성) \alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha

성분으로 적으면 다음과 같다.

\left(\frac1{k!}A\_{i\_1\dots i\_k}dx^{i\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_k}\right)\wedge\left(\frac1{l!}B\_{j\_1\dots j\_l}dx^{j\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j\_l}\right)=\frac1{(k+l)!}\frac1{k!l!}A\_{[i\_1\dots i\_k}B\_{j\_1\dots j\_l]}dx^{i\_1}\wedge\cdots dx^{i\_k}\wedge dx^{j\_1}\wedge dx^{j\_l}
(A\wedge B)\_{i\_1\dots i\_kj\_1\dots j\_l}=\frac1{k!l!}A\_{[i\_1\dots i\_k}B\_{j\_1\dots j\_l]}
여기서 [\dots]는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 A, B의 쐐기곱은

(A\wedge B)\_{ijkl}=A\_{ij}B\_{kl}-A\_{jk}B\_{li}+A\_{kl}B\_{ij}-A\_{li}B\_{jk}-A\_{ik}B\_{jl}-A\_{jl}B\_{ik}
이다.

### 외미분

미분 형식의 **외미분**(外微分, 영어: Exterior derivative)은

d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)
은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

* 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
* 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, f\in\Omega^0(M)에 대하여, df=\sum\_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i이다.
* 모든 0차 형식에 대해, d^2f=0이다.
* 임의의 \alpha\in\Omega^k(M), \beta\in\Omega^\bullet(M)에 대하여 d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 k차 미분 형식

A=\frac1{k!}A\_{i\_1\dots i\_k}dx^{i\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_k}
에 대하여,

dA=\frac1{k!}(\partial\_{i\_0}A\_{i\_1\dots i\_k})dx^{i\_0}\wedge dx^{i\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_k}
=\frac1{(k+1)!k!}(\partial\_{[i\_0}A\_{i\_1\dots i\_k]})dx^{i\_0}\wedge dx^{i\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_k}
이다. 즉,

(dA)\_{i\_0\dots i\_k}=\frac1{k!}\partial\_{[i\_0}A\_{i\_1\dots i\_k]}=\partial\_{i\_0}A\_{i\_1\dots i\_k}-\partial\_{i\_1}A\_{i\_0i\_2\dots i\_k}
+\partial\_{i\_2}A\_{i\_1i\_0i\_3\dots i\_k}+\cdots+(-1)^p\partial\_{i\_p}A\_{i\_1i\_2\dots i\_{p-1}i\_0i\_{p+1}\dots i\_k}+\cdots+(-)^k\partial\_{i\_k}A\_{i\_1\dots i\_{k-1}i\_0}
이다. 여기서 [\cdots]는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

A=A\_idx^i
dA=\frac12(\partial\_iA\_j-\partial\_jA\_i)dx^i\wedge dx^j=\frac12(dA)\_{ij}dx^i\wedge dx^j
(dA)\_{ij}=\partial\_iA\_j-\partial\_jA\_i
이고, 2차 형식의 경우

A=\frac12A\_{ij}dx^i\wedge dx^j
dA=\frac16(\partial\_iA\_{jk}+\partial\_jA\_{ki}+\partial\_kA\_{ij})dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=\frac16(dA)\_{ijk}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k
(dA)\_{ijk}=\partial\_iA\_{jk}+\partial\_jA\_{ki}+\partial\_kA\_{ij}
이다.

### 적분

n차원 매끄러운 다양체 M 위에 방향 및 n차 미분 형식 \alpha 가 주어졌다면, \alpha 의 **적분**

\int \_{M}\alpha \in {\mathbb R}\cup \{-\infty ,\infty \}
을 정의할 수 있다. 구체적으로, M의 좌표근방계 \{(U\_{i},\phi \_{i})\}\_{{i\in I}} 및 이에 종속되는 단위 분할 \{f\_{i}\}\_{{i\in I}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 (\phi \_{i}^{{-1}})^{\*}으로서 각 \phi \_{i}(U\_{i})\subset {\mathbb R}^{n}에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 n차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

\Omega ^{n}(\phi \_{i}(U\_{i})){\xrightarrow {\iota }}\Omega ^{0}(\phi \_{i}(U\_{i}))={\mathcal C}^{\infty }(\phi \_{i}(U\_{i}),{\mathbb R})
을 정의할 수 있다. 그렇다면

\int \_{M}=\sum \_{{i\in I}}\int \_{{\phi \_{i}(U\_{i})}}\iota \left((\phi \_{i}^{{-1}})^{\*}\alpha \right)\,d^{n}\lambda 
이다. 여기서 \int d^{n}\lambda 는 n차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 -1배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

### 내적

만약 n차원 매끄러운 다양체 M 위에 (유사) 리만 계량 g가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 **내적** \langle\cdot,\cdot\rangle\colon\Omega^\bullet(M)\times\Omega^\bullet(M)\to\Omega^0(M)을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
* 내적은 쌍선형이다.
* 임의의 k개의 1차 형식 \eta\_i, \eta'\_j에 대하여,\langle\eta\_1\wedge\dots\wedge\eta\_k,\eta'\_1\wedge\dots\wedge\eta'\_k\rangle=\det(g(\eta\_i,\eta\_j))\_{ij}이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

\left\langle\frac1{k!}A\_{i\_1\dots i\_k} dx^{i\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i\_n},
\frac1{k!}B\_{j\_1\dots j\_k} dx^{j\_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j\_k}\right\rangle=\frac1{k!}A\_{i\_1\dots i\_k}B\_{j\_1\dots j\_k}g^{i\_1j\_1}\dots g^{i\_kj\_k}
이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

\langle\omega,\omega\rangle=\frac1{n!}(\det g)\epsilon\_{i\_1\dots i\_n}\epsilon\_{j\_1\dots j\_n}g^{i\_1j\_1}\dots g^{i\_nj\_n}=1.
### 호지 쌍대

 이 부분의 본문은 호지 쌍대입니다.
n차원 유향 (유사) 리만 다양체 (M,g,\omega)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 **호지 쌍대** 연산자를 정의할 수 있다.

\*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{n-\bullet}(M)
이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

\alpha\wedge\*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\omega
성분으로 쓰면 다음과 같다.

(\*A)\_{j\_{k+1}\dots j\_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha\_{i\_1\dots i\_k}\epsilon\_{j\_1\dots j\_n}g^{i\_1j\_1}\cdots g^{i\_kj\_k}
예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

(\*A)\_{kl}=\frac12\sqrt{|\det g|}\epsilon\_{ijkl}A\_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}
이다.

역사
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미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용
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다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

참고 문헌
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1. ↑  권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Lessig, Christian (2012년 5월 20일). "A Primer on Differential Forms" (영어). arXiv:1206.3323. Bibcode:2012arXiv1206.3323L.
3. ↑  Neeb, Karl-Hermann (2006). "Towards a Lie theory of locally convex groups". 《Japanese Journal of Mathematics》 (영어) **1**: 291-468. arXiv:1501.06269.