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**편미분**(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 다시 이 기호를 도입하였다. 
다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다.

{\displaystyle f'\_{x},\ f\_{x},\ \partial \_{x}f,{\frac {\partial }{\partial x}}f,\ {\frac {\partial f}{\partial x}}}
는 변수 x에 대한, 함수 {\displaystyle f(x,y,\ldots )}의 편미분을 뜻한다.

{\displaystyle f'\_{x}(x,y,\ldots ),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots )}
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.

도입
--

*z* = *x*2 + *xy* + *y*2의 그래프. *y* = 1로 놓으면, *xz*-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 *xz*-평면과 평행한다.
위 그래프의 평면 *y* = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다.
하나 이상의 변수를 갖는 함수 f가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,

{\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}
이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. xz-평면이나 yz-평면과 평행하는 접선(즉, y나 x를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 (x,y)에서 xz-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. y를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 y를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 (x,y)에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}
대입을 통해, 점 {\displaystyle (1,1)}에서 xz-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 {\displaystyle (1,1)}에서

{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=3}.
즉, 점 {\displaystyle (1,1)}에서 z의 x에 대한 편미분은 3이다.

함수 f는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 y 값은 변수 하나의 함수

{\displaystyle f\_{(y)}(x)=x^{2}+xy+y^{2}}
에 대응한다. 만약 y의 값을 {\displaystyle y=a}와 같이 선택해 고정시킨다면, f는 함수

{\displaystyle f\_{(a)}(x)=x^{2}+ax+a^{2}}
를 결정한다. a가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 {\displaystyle f\_{a}}는 변수 x 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을

{\displaystyle f\_{(a)}'(x)=2x+a}
와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 x 값의 함수이며, 이 논의는 모든 {\displaystyle y=a} 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 x 값 및 y 값을 변수로 갖는 함수

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y}
을 얻을 수 있다. 이는 함수 f의, 변수 x에 대한 **편미분**이다.

정의
--

연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to {\mathbb R} 및 점 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}에 대하여, 점 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}}에서 함수 f의 변수 x\_i에 대한 **편미분**은 다음과 같은 극한이다.

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}({\boldsymbol {a}})=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(a\_{1},\ldots ,a\_{i-1},a\_{i}+h,a\_{i+1},\ldots ,a\_{n})-f(a\_{1},\ldots ,a\_{i-1},a\_{i},a\_{i+1},\ldots ,a\_{n})}{h}}}
편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

* {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}({\boldsymbol {a}})={\frac {df\_{(i)}}{dx}}(a\_{i})}
* {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}({\boldsymbol {a}})=L\iff L={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {e}}\_{i}}}({\boldsymbol {a}})=-{\frac {\partial f}{\partial (-{\boldsymbol {e}}\_{i})}}({\boldsymbol {a}})}

여기서

* {\displaystyle f\_{(i)}(x)=f(a\_{1},\ldots ,a\_{i-1},x,a\_{i+1},\ldots ,a\_{n})}
* {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}}는 방향 미분이다.
* {\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{i}}는 i번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.

어떤 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}에서 f의 x\_i에 대한 편미분이 존재한다면, 점 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}}에서 f가 x\_i에 대해 **편미분 가능**하다고 한다. 모든 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in D}에서 f의 x\_i에 대한 편미분이 존재한다면, f가 D에서 x\_i에 대해 **편미분 가능**하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 D, 공역이 \mathbb {R} 인 함수이며, 이를

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}}
로 표기한다.

### 기울기

 이 부분의 본문은 기울기 (벡터)입니다.
(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 f가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, f의 **기울기**는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.

### 방향도함수

**방향도함수**(方向導函數, 영어: directional derivative)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

* 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to {\mathbb R}
* 유클리드 공간 속 점 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}
* 유클리드 공간 속 단위 벡터

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta \_{1},\ldots ,\cos \theta \_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\qquad (|{\boldsymbol {v}}|=1)}
이를 "방향"이라고 부르자.
그렇다면, 점 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}}에서 f의 방향 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}}에 대한 **방향도함수**는 다음과 같은 극한이다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}&=\lim \_{t\to 0+0}{\frac {f(a\_{1}+t\cos \theta \_{1},\ldots ,a\_{n}+t\cos \theta \_{n})-f(a\_{1},\ldots ,a\_{n})}{t}}\\&=\lim \_{t\to 0+0}{\frac {f({\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {a}})}{t}}\\&=\lim \_{E\ni {\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})}{({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {v}}}}\end{aligned}}}
여기서

{\displaystyle E=\{{\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}}\colon 0<t<t'\}\subseteq D}
이다.

### 고계 편미분

함수 f의 **고계 편미분**(高階偏微分, 영어: higher order partial derivative)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.

예를 들어, 독립 변수 {\displaystyle x,y,z}의 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }에 대하여, x에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f\_{x}=\partial \_{x}f}
이를 다시 x나 y로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f\_{xx}=\partial \_{xx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f}
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f\_{xy}=\partial \_{yx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f}
비슷하게, f를 y나 z로 편미분하고, 다시 x나 y나 z로 편미분할 수 있다.

일반적으로, 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 정의된 실숫값 함수 f\colon D\to {\mathbb R}를 변수 {\displaystyle x\_{a}}로 {\displaystyle k\_{a}}번, 변수 {\displaystyle x\_{b}}로 {\displaystyle k\_{b}}번, ... 변수 {\displaystyle x\_{c}}로 {\displaystyle k\_{c}}번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 {\displaystyle k\_{a}+k\_{b}+\cdots +k\_{c}}계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{k\_{a}+k\_{b}+\cdots +k\_{c}}f}{\partial x\_{c}^{k\_{c}}\cdots \partial x\_{b}^{k\_{b}}\partial x\_{a}^{k\_{a}}}}\equiv {\frac {\partial ^{k\_{c}}}{\partial x\_{c}^{k\_{c}}}}\cdots {\frac {\partial ^{k\_{b}}}{\partial x\_{b}^{k\_{b}}}}{\frac {\partial ^{k\_{a}}}{\partial x\_{a}^{k\_{a}}}}f}
용어 **혼합 편미분**(混合偏微分, 영어: mixed derivative)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 f의 x에 대한 편미분의 y에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right)^{\boldsymbol {i}}f\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x\_{1}}}\right)^{i\_{1}}\left({\frac {\partial }{\partial x\_{2}}}\right)^{i\_{2}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}\right)^{i\_{n}}f}
물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

성질
--

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.

{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x\_{1}}}dx\_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x\_{2}}}dx\_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x\_{n}}}dx\_{n}=\nabla f\cdot d{\boldsymbol {x}}}
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}={\frac {\partial f}{\partial x\_{1}}}\cos \theta \_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x\_{2}}}\cos \theta \_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x\_{n}}}\cos \theta \_{n}=\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}}
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.

### 편미분 교환 법칙

**편미분 교환 법칙**에 따르면, 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 정의된 함수 f\colon D\to {\mathbb R} 및 그 두 변수 x, y에 대하여, 만약 f가 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}함수라면, f의 x와 y에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}

증명:

S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x\_0+\Delta x,y\_0 +\Delta y\right) -f\left( x\_0+\Delta x,y\_0\right) -f\left( x\_0,y\_0 +\Delta y\right) +f\left( x\_0,y\_0\right)라고 하고 g\left( x\right)=f\left( x,y\_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y\_0\right)라고 하자. 그렇다면 S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x\_0+\Delta x\right) -g\left( x\_0\right)이다. 전제에 의하여 g는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 x\_0+\Delta x와 x\_0사이에는 g\left( x\_0+\Delta x\right) -g\left( x\_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x를 만족하는 \bar x가 존재한다. S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y\_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y\_0\right)\right]\Delta x이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 f\_x는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 y\_0+\Delta y와 y\_0사이에는 \frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y\_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y\_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y를 만족하는 \bar y가 존재한다. 따라서 S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x이고, \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이다. \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}는 연속이므로 \lim\_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)이다. 유사한 방법으로 계산해보면 \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim\_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이므로 f\_{xy}=f\_{yx}이다.

예
-

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

V = \frac{ \pi r^2 h }{3}
여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3}
또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}

참고 문헌
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* Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.
* 伍胜健 (2010년 8월). 《数学分析. 第三册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-17675-7.

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