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해석학에서 **슈톨츠-체사로 정리**(영어: Stolz–Cesàro theorem)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

정의
--

두 실수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
	+ (0에 수렴하는 순단조수열) {\displaystyle b\_{1}<b\_{2}<\cdots }이거나 {\displaystyle b\_{1}>b\_{2}>\cdots }이며, 또한 {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=0}
	+ (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) {\displaystyle b\_{1}<b\_{2}<\cdots }이며, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=+\infty } (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)
	+ (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) {\displaystyle b\_{1}>b\_{2}>\cdots }이며, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=-\infty } (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
* (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

그렇다면, **슈톨츠-체사로 정리**에 따르면 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

증명
--

가장 기본적인, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}=\ell }
그렇다면, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 \epsilon >0에 대하여, N\in \mathbb {N} 이 존재하여, 임의의 {\displaystyle n\geq N}에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle (\ell -\epsilon )\Delta b\_{n}<\Delta a\_{n}<(\ell +\epsilon )\Delta b\_{n}}
이를 n에 {\displaystyle N,N+1,\dots ,n}를 대입하여 합을 구하면

{\displaystyle (\ell -\epsilon )(b\_{n}-b\_{N})<a\_{n}-a\_{N}<(\ell +\epsilon )(b\_{n}-b\_{N})}
이다. 또한 {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

{\displaystyle (\ell -\epsilon )\left(1-{\frac {b\_{N}}{b\_{n}}}\right)<{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}-{\frac {a\_{N}}{b\_{n}}}<(\ell +\epsilon )\left(1-{\frac {b\_{N}}{b\_{n}}}\right)}
이다. 여기서 {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=+\infty }이므로, {\displaystyle N'\in \mathbb {N} }이 존재하여, 임의의 {\displaystyle n\geq N'}에 대하여,

{\displaystyle \ell -2\epsilon <{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}<\ell +2\epsilon }
이다. 즉,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}=\ell }

관련 명제
-----

### 부분적 역

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

{\displaystyle (a\_{n})=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots )}
{\displaystyle (b\_{n})=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots )}
을 정의하였을 때, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}=1}이지만, {\displaystyle {\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}}의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle b\_{n},\Delta b\_{n}\neq 0\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
* {\displaystyle \left({b\_{n} \over \Delta b\_{n}}\right){}\_{n\in \mathbb {N} }}은 유계 수열이다.
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

그렇다면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

### 한 가지 변형

슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}, {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle a\_{n},b\_{n}>0\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
* {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{b\_{n+1}-b\_{n}}]{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

그렇다면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{b\_{n}}]{a\_{n}}}=\lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{b\_{n+1}-b\_{n}}]{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}

### 일반화

슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다. 실수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 {\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}\leq \liminf \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}\leq \limsup \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}\leq \limsup \_{n\to \infty }{\frac {\Delta a\_{n}}{\Delta b\_{n}}}}

예
-

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}}\qquad (k\in \mathbb {N} )}
분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, {\displaystyle (n^{k+1})\_{n\in \mathbb {N} }\qquad (k\in \mathbb {N} )}는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}}\\&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{k}+kn^{k-1}+\cdots }{(k+1)n^{k}+{\frac {k(k+1)}{2}}n^{k-1}+\cdots }}\\&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {1+k\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }{(k+1)+{\frac {k(k+1)}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }}\\&={\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}}
### 평균의 극한

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=a}인 실수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}에 대하여 다음이 성립한다.

(산술 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{n}}{n}}=a}
(기하 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}}=a}
(조화 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{{\frac {1}{a\_{1}}}+{\frac {1}{a\_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a\_{n}}}}}=a}
(멱평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {a\_{1}^{p}+a\_{2}^{p}+\cdots +a\_{n}^{p}}{n}}}=a\qquad (p\neq 0)}
(일반화된 f-평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {f(a\_{1})+f(a\_{2})+\cdots +f(a\_{n})}{n}}\right)=a} (f는 가역 연속 함수)
마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 {\displaystyle w\_{n}>0\forall n\in \mathbb {N} }이며 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }w\_{n}=+\infty }이다.)

(가중 산술 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {w\_{1}a\_{1}+w\_{2}a\_{2}+\cdots +w\_{n}a\_{n}}{w\_{1}+w\_{2}+\cdots +w\_{n}}}=a}
(가중 기하 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{w\_{1}+w\_{2}+\cdots +w\_{n}}]{a\_{1}^{w\_{1}}a\_{2}^{w\_{2}}\cdots a\_{n}^{w\_{n}}}}=a}
(가중 조화 평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {w\_{1}+w\_{2}+\cdots +w\_{n}}{{\frac {w\_{1}}{a\_{1}}}+{\frac {w\_{2}}{a\_{2}}}+\cdots +{\frac {w\_{n}}{a\_{n}}}}}=a}
(가중 멱평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {w\_{1}a\_{1}^{p}+w\_{2}a\_{2}^{p}+\cdots +w\_{n}a\_{n}^{p}}{w\_{1}+w\_{2}+\cdots +w\_{n}}}}=a}
(가중 일반화된 f-평균의 극한) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {w\_{1}f(a\_{1})+w\_{2}f(a\_{2})+\cdots +w\_{n}f(a\_{n})}{w\_{1}+w\_{2}+\cdots +w\_{n}}}\right)=a} (f는 가역 연속 함수)
### 기타

슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

역사
--

오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(독일어: Otto Stolz)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)가 제시하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.
2. ↑  "L’Hopital’s Theorem". 《IMOmath》 (영어).
3. ↑  Stolz, Otto (1885), 《Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten》 (독일어), Leipzig: Teubners, 173–175쪽, JFM 17.0116.01
4. ↑  Cesàro, Ernesto (1888). "Sur la convergence des séries". 《Nouvelles annales de mathématiques (series 3)》 (프랑스어) **7**: 49–59. JFM 20.0242.01.

* Mureşan, Marian (2008), 《A Concrete Approach to Classical Analysis》 (영어), Berlin: Springer, 85쪽, ISBN 978-0-387-78932-3 .
* Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), 《Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis》 (독일어) **I**, Berlin: Springer .
* *Фихтенгольц Г. М.* Курс дифференциального и интегрального исчисления. —  М.: Физматлит, 2001. — Т. 1.
* G. M. Fichtenholz (2002). 《Rachunek różniczkowy i całkowy》 (폴란드어) **1** 12판. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN. 55-56쪽. ISBN 83-01-02175-6.