추상대수학에서 **분수체**(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.

정의
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(곱셈 항등원을 갖는) 환 R에 대하여,

{\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)}
가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, {\displaystyle (R,S)}가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, R의 **전분수환**(全分數體, 영어: total ring of fractions) \operatorname {Frac}(R)는 국소화 S^{{-1}}R이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형

R\to \operatorname {Frac}R
이 존재하며, R는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 R가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 R가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, \operatorname {Frac} R를 R의 **분수체**라고 한다.

### 구성

R가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 (a,b) (a,b\in R, b\neq 0)들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

(a,b)\sim (ar,br)\forall r\in R\setminus \{0\}
이러한 순서쌍의 동치류를 a/b라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
이는 분수체 \operatorname {Frac} R이며, 표준적인 단사 환 준동형

R\to \operatorname {Frac}R
{\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}
이 존재한다.

성질
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환 R의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

| 충분조건 | 전분수환의 성질 | 비고 |
| --- | --- | --- |
| 오른쪽 뇌터 반소환 | 반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형) | 골디 정리 |
| 왼쪽 뇌터 반소환 |
| 오른쪽 뇌터 소환 | 나눗셈환 위의 행렬환과 동형 | 골디 정리:Theorem 7.1 |
| 왼쪽 뇌터 소환 |
| 가환 뇌터 축소환 | 가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형) | :42, Exercise 6.5 |
| 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역 | 나눗셈환 |
| 왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역 |
| 정역 | 체 |

**골디 정리**(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

* 오른쪽 뇌터 반소환 R는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, \operatorname {Frac}(R)는 반단순환이다.
	+ 특히, 만약 R가 오른쪽 뇌터 소환이라면 \operatorname {Frac}(R)는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
* 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, \operatorname {Frac}(R)는 반단순환이다.
	+ 특히, 만약 R가 왼쪽 뇌터 소환이라면 \operatorname {Frac}(R)는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 R가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 R가 가환 뇌터 축소환인 경우, \operatorname {Frac} R는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, R의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}\_{n}}이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

{\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\cong \prod \_{i=1}^{n}\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}}\_{i})}
이다. 우변에서 {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\_{i}}는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약 R가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, \operatorname {Frac}(R)는 항상 나눗셈환이며, R는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 R가 정역이라면 물론 \operatorname {Frac}(R)는 체이다.

예
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수체 K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 분수체는 K이다.

\operatorname {Frac}{\mathcal O}\_{K}=K
특히, (유리수의) 정수환 {\mathbb Z}={\mathcal O}\_{{{\mathbb Q}}}의 분수체는 유리수체이다.

\operatorname {Frac}{\mathbb Z}={\mathbb Q}
체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 K에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {Frac}K=K
다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 K에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {Frac}K[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]=K(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})

응용
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대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사
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1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.:299:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.:300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.:300)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). "The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)". 《The American Mathematican Monthly》 (영어) **110** (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879.
2. ↑  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **8**. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
3. ↑  Grell, H. (1927). "Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **97**: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831.
4. ↑  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **150**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960.
5. 1 2  Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **189**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
6. ↑  Ore, Oystein (1937년 7월). "Linear equations in non-commutative fields". 《Annals of Mathematics》 (영어) **32** (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245.
7. ↑  Goldie, A.W. (1958). "The structure of prime rings under ascending chain conditions". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **8** (4): 589–608. doi:10.1112/plms/s3-8.4.589.
8. ↑  Goldie, A.W. (1960). "Semi-prime rings with maximal conditions". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **10**: 201–220. doi:10.1112/plms/s3-10.1.201.

* Cohn, P. M. (1971년 6월). "Rings of fractions" (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **78** (6): 596–615. doi:10.2307/2316568. JSTOR 2316568. 2016년 3월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 3월 7일에 확인함.