수학 및 물리학에서 **사인-고든 방정식**(영어: sine–Gordon equation)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.

이 방정식은 단진자 운동 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin \theta =0}을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

역사와 어원
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1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다. 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다.

"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의
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2차원 시공간 (t,x)\in\mathbb R^2에서, **사인-고든 방정식**은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\sin \phi =0}
(※ {\displaystyle \phi =\phi (t,x)}를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]-1+\cos \phi }
즉, 퍼텐셜이

{\displaystyle V(\phi )=1-\cos \phi }
인 스칼라 장론이다.

공식
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\phi \_{1}이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 \phi \_{2}을 구할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\partial \phi \_{2}}{\partial t}}={\frac {\partial \phi \_{1}}{\partial x}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi \_{1}}{2}}\sin {\frac {\phi \_{2}}{2}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi \_{1}}{2}}\cos {\frac {\phi \_{2}}{2}}}
{\displaystyle {\frac {\partial \phi \_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial \phi \_{1}}{\partial t}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi \_{1}}{2}}\sin {\frac {\phi \_{2}}{2}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi \_{1}}{2}}\cos {\frac {\phi \_{2}}{2}}}
(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi \_{2}-\phi \_{1})=2a\sin {\frac {\phi \_{2}+\phi \_{1}}{2}}}
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi \_{2}+\phi \_{1})={\frac {2}{a}}\sin {\frac {\phi \_{2}-\phi \_{1}}{2}}}

솔리톤 해
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사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

\phi(t,x)=4\arctan\exp\left(\frac{x-x\_0-vt}{\sqrt{1-v^2}}\right)
이는 속도 v로 움직이고, 초기 위치가 x\_0인 솔리톤을 나타낸다.

### 1-솔리톤 풀이

{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}일때는

{\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}=\sin \phi }
이니, 양변에다 {\displaystyle {\frac {d\phi }{dx}}}를 곱한 뒤 적분하면

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)^{2}=2m-(1+\cos \varphi )}
{\displaystyle =2\left(m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}\right)}
(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이

{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}\right)^{2}=m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}}
으로 바뀐다.

그다음 {\displaystyle \sin {\frac {\phi -\pi }{2}}=-\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}f}로 잡으면 {\displaystyle \sin {\frac {\phi }{2}}\times {\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}{\frac {df}{dx}}}이니, 양변에 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}}를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식

{\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-mf^{2})}
이 나와

{\displaystyle f(x)=\operatorname {sn} (x,m)}
임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면

{\displaystyle \phi (x)=\pi +2\arcsin {\sqrt {m}}\operatorname {sn} (x,m)}
이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

### 2-솔리톤 풀이

양자화
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사인-고든 모형은 양자화할 수 있다. 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다.

참고 문헌
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1. ↑  Bour, Edmond (1862). "Théorie de la déformation des surfaces". 《Journal de l’École impériale polytechnique》 (프랑스어) **39**: 1–48.
2. ↑  Френкель, Я. И.; Т. М. Конторова (1939). "К теории пластической деформации и двойникования". 《Физический журнал》 (러시아어) **1**: 137–149.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. ↑  Faddeev, L. D.; V. E. Korepin (1978). "Quantum theory of solitons". 《Physics Reports》 (영어) **42** (1): 1–87. Bibcode:1978PhR....42....1F. doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Coleman, Sidney (1975). "Quantum sine–Gordon equation as the massive Thirring model". 《Physical Review D》 (영어) **11** (8): 2088–2097. Bibcode:1975PhRvD..11.2088C. doi:10.1103/PhysRevD.11.2088.

* Sutcliffe, Paul M. (1993년 3월 22일). "Classical and quantum kink scattering". 《Nuclear Physics B》 (영어) **393** (1–2): 211–224. Bibcode:1993NuPhB.393..211S. doi:10.1016/0550-3213(93)90243-I.