수학에서 **체비쇼프 다항식**(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

정의
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(실수 n차 일계수 다항식의 집합을 {\displaystyle \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}로 적자.)

실수 n차 다항식 {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}\in \mathbb {R} [x]}에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}}을 n차 **체비쇼프 다항식**이라고 한다.

* (재귀적 정의) {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}(x)=2x\operatorname {T} \_{n-1}(x)-\operatorname {T} \_{n-2}(x)}이며, {\displaystyle \operatorname {T} \_{0}(x)=1}이며, {\displaystyle \operatorname {T} \_{1}(x)=x}이다.
* (삼각 함수 정의) 항등식 {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}(\cos \theta )=\cos n\theta }가 성립한다.
* {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}}은 (-1,1)에서 서로 다른 n개 실근을 가지며, [-1,1]에서 절댓값이 서로 같은 n+1개 극값을 갖는다.
* (최소 상한 노름){\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max \_{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} \_{n}(x)|=\min \_{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max \_{x\in [-1,1]}|f(x)|}

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 {\displaystyle \cos nx}가 \cos x의 n차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 {\displaystyle \cos nx}, 우변의 실수부는, \cos x와 {\displaystyle \sin ^{2}x}의 다항식이다.

성질
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### 직교성

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 [-1,1]에서 직교한다.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}\operatorname {T} \_{n}(x)\operatorname {T} \_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)}
### 대칭

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

{\displaystyle \operatorname {T} \_{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} \_{n}(x)}
### 근

n차 체비쇼프 다항식 {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}}은 닫힌구간 [-1,1] 속에서 n개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

{\displaystyle x\_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})}
### 분지점

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

{\displaystyle \operatorname {T} \_{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}
로 여길 때, n>0의 경우 다음이 성립한다.

* 분지점에서의 값들은 모두 \pm 1 또는 \widehat \infty 이다.
* 값이 \pm 1인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
* \widehat \infty 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

{\displaystyle \operatorname {T} \_{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1}
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 {\displaystyle x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}}를 가지며, 그 값은 {\displaystyle \operatorname {T} \_{2}(0)=-1} 및 {\displaystyle \operatorname {T} \_{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}이다. 마찬가지로,

{\displaystyle \operatorname {T} \_{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1}
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 {\displaystyle x\in \{-1/2,1/2\}} 및 분지 지표 3의 분지점 {\displaystyle x={\widehat {\infty }}}를 가지며, 그 값은 각각 {\displaystyle \operatorname {T} \_{3}(\pm 1/2)=\mp 1} 및 {\displaystyle \operatorname {T} \_{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}이다.

이에 따라, {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 n+1개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

예
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낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} \_{0}(x)&=1\\\operatorname {T} \_{1}(x)&=x\\\operatorname {T} \_{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} \_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} \_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} \_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} \_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} \_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} \_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} \_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} \_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} \_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}

역사
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파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T*n*는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.

참고 문헌
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1. ↑  Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5.
2. ↑  Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5.
3. ↑  Chebyshev, P. L. (1854). "Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes". 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) **7**: 539–586.