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미적분학에서 **곱 규칙**(-規則, 영어: product rule) 또는 **곱의 미분법** 또는 **라이프니츠 법칙**(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.

정의
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### 실변수 실숫값 함수의 경우

만약 두 함수 {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }가 {\displaystyle x\_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} }에서 미분 가능하다면, fg 역시 x\_0에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

{\displaystyle (fg)'(x\_{0})=f'(x\_{0})g(x\_{0})+f(x\_{0})g'(x\_{0})}
이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)(x\_{0})=g{\frac {df}{dx}}(x\_{0})+f{\frac {dg}{dx}}(x\_{0})}
선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle d(fg)|\_{x=x\_{0}}=(gdf+fdg)|\_{x=x\_{0}}}
만약 함수 {\displaystyle f\_{1},\dotsc ,f\_{k}\colon I\to \mathbb {R} }가 {\displaystyle x\_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} }에서 미분 가능하다면, {\displaystyle f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{k}}의 x\_0에서의 미분은 다음과 같다.

{\displaystyle (f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{k})'(x\_{0})=f\_{1}'(x\_{0})f\_{2}(x\_{0})\cdots f\_{k}(x\_{0})+f\_{1}(x\_{0})f\_{2}'(x\_{0})\cdots f\_{k}(x\_{0})+\cdots f\_{1}(x\_{0})f\_{2}(x\_{0})\cdots f\_{k}'(x\_{0})}
보다 일반적으로, 만약 f,g가 n계 도함수를 갖는다면, fg 역시 n계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}
만약 {\displaystyle f\_{1},f\_{2},\dotsc ,f\_{k}}가 n계 도함수를 갖는다면, {\displaystyle f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{k}}의 n계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

{\displaystyle (f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{k})^{(n)}(x)=\sum \_{n\_{1},n\_{2},\dotsc ,n\_{k}\geq 0}^{n\_{1}+n\_{2}+\cdots +n\_{k}=n}{\frac {n!}{n\_{1}!n\_{2}!\cdots n\_{k}!}}f\_{1}^{(n\_{1})}(x)f\_{2}^{(n\_{2})}(x)\cdots f\_{k}^{(n\_{k})}(x)}
### 다변수 벡터값 함수의 경우

두 함수 {\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {R} }가 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에서 변수 x\_i에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 fg 역시 그러하며, 그 x\_i에 대한 편미분은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}(fg)(\mathbf {x} \_{0})=g(\mathbf {x} \_{0}){\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(\mathbf {x} \_{0})+f(\mathbf {x} \_{0}){\frac {\partial g}{\partial x\_{i}}}(\mathbf {x} \_{0})}

증명
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함수 f를 {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}로 정의한다. 이때 f'(x)를 도함수의 정의에 따라 구하면,

f'(x)=\lim \_{{\Delta x\to 0}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}\left(g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}+h(x+\Delta x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)}
여기에서 h(x)는 x에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}
따라서 다음의 결과가 나온다.

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)\right]}
{\displaystyle =\left[\lim \_{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right]+\left[\lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}
{\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)}