추상대수학에서 **군환**(群環, 영어: group ring 그룹링[\*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.

정의
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집합 G와 환 R가 주어졌을 때, G로부터 생성되는 R-자유 가군을 다음과 같이 표기하자.

{\displaystyle R[G]=\left\{\sum \_{g\in G}r\_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r\_{g}\neq 0\}|<\aleph \_{0}\}\right\}}
{\mathcal {C}}가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, R가 환이라고 하자. 그렇다면, {\mathcal {C}}의 사상의 집합 {\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}으로부터 생성되는 R-자유 가군 {\displaystyle R[\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})]} 위에 다음과 같은 R-선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

{\displaystyle f\cdot g={\begin{cases}g\circ f&\operatorname {dom} g=\operatorname {codom} f\\0&\operatorname {dom} g\neq \operatorname {codom} f\end{cases}}}
즉, 다음과 같다.

{\displaystyle (r\_{1}f\_{1}+r\_{2}f\_{2}+\cdots +r\_{m}f\_{m})\cdot (s\_{1}g\_{1}+s\_{2}g\_{2}+\cdots +s\_{n}g\_{n})=\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}r\_{i}s\_{j}(f\_{i}\cdot g\_{j})\qquad \left(r\_{i},s\_{j}\in R,\;f\_{i},g\_{j}\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\right)}
이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원

{\displaystyle 1\_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum \_{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} \_{X}}
을 가진다. (만약 {\mathcal {C}}가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 환을 이루며, 이를 {\mathcal {C}} 위의 **범주환**(영어: category ring) {\displaystyle R[{\mathcal {C}}]}이라고 한다.

특히, 만약 {\mathcal {C}}가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 **모노이드 환**(영어: monoid ring)이라고 한다. 만약 추가로 {\mathcal {C}}가 군이라면, 이 경우 범주환을 **군환**이라고 한다.

성질
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모노이드 M에 대한 R 계수 모노이드 환은 자연스럽게 {\displaystyle (R,R)}-쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.

R가 체 k일 경우, 군환 k[G]는 벡터 공간을 이룬다. 이 경우, k[G]의 차원은 |G|이다. (이는 G가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.)

### 군의 가군

군 G 위의 **가군**(영어: *G*-module)은 그 정수 계수의 군환 \mathbb {Z} [G]의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 (M,\rho )는 아벨 군 M과 군의 작용 \rho \colon G\times M\to M으로 이루어져 있으며, g\in G, a,b\in M에 대하여 g(a+b)=ga+gb을 만족시킨다.

유한군 G와 체 K가 주어졌고, 또

{\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}
라고 하자. (즉, G의 크기는 K의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 K[G]를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 K-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. **마슈케 정리**(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 K[G]는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 K[G]-가군은 반단순 가군이다.

이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.

예
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### 다항식환

자연수의 덧셈 모노이드 ({\mathbb N},+)를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 {\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}}로 적을 수 있다. 임의의 환 R에 대하여, 모노이드 환 {\displaystyle R[\mathbb {N} ]}은 다항식환 R[x]와 같다.

마찬가지로, 무한 순환군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )=\{\dots ,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots \}} 위의 군환은 다음과 같다.

{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)}
마찬가지로, 유한 순환군 {\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{1,x,x^{2},\dots ,x^{n-1}\}} 위의 군환은 다음과 같다.

{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})}
### 행렬환

집합 S에 대하여, **순서쌍 준군** {\displaystyle \operatorname {Pair} (S)}는 다음과 같은 준군이다.

* 대상은 S의 원소이다. 즉, 대상 집합은 S이다.
* 임의의 두 대상 s,t\in S에 대하여 유일한 사상 {\displaystyle (s,t)\colon s\to t}이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 {\displaystyle S\times S}로 생각할 수 있다.

만약 S가 크기 n의 유한 집합일 때, 임의의 환 R에 대하여 준군환 {\displaystyle R[\operatorname {Pair} (S)]}는 행렬환 \operatorname {Mat}(n;R)와 동형이다.

### 함수환

유한 집합 S 위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환 {\displaystyle R[S]}는 S 위의 R 값의 함수들의 환 {\displaystyle R^{S}}이다.

참고 문헌
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1. ↑  Maschke, Heinrich (1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **50** (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.
2. ↑  Maschke, Heinrich (1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **52** (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.

* Passman, D. S. (1976년 3월). "What is a group ring?" (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi:10.2307/2977018. JSTOR 2977018. Zbl 0318.16002.
* Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press.
* Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) **1**. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.
* Passman, D. S. (1977). 《The algebraic structure of group rings》 (영어). Wiley.