대수적 위상수학과 미분기하학에서 **천 특성류**([陳]特性類, 영어: Chern class)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 아티야-싱어 지표 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리 등에서 쓰인다.

정의
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매끄러운 다양체 M 위의 복소 벡터 다발 E를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속 A\in C^{\infty }{\big (}T^{\*}M\otimes \operatorname {End}(E){\big )}와 그 곡률

R\_{A}=dA+[A\wedge A]\in C^{\infty }{\big (}\bigwedge {}^{2}T^{\*}M\otimes \operatorname {End}(M){\big )}
를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

C(t;A)=\det(1+itR\_{A}/2\pi ).
여기서 t는 형식적인 변수다. (R\_{A}는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) C는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

c(t,A)=[C(t;A)]\in \bigoplus \_{k}H^{{2k}}(M;{\mathbb C})[t]
를 정의할 수 있다. 이는 코쥘 접속 A에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

c(t,A)=c(t)
이다. 천 특성류의 원소 c\_{k}\in H^{{2k}}(M,{\mathbb C})는 c(t)의 테일러 급수

c(t)=\sum \_{k}c\_{k}t^{k}
의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

### 대수적 천 특성류

천 특성류는 대수기하학에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대하여 정의되며, 특이 코호몰로지 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 저우 환 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 준사영 대수다양체 X 위에, r차원 국소 자유 가군층 \mathcal E가 주어졌을 때, \mathcal E의 **(대수적) 천 특성류**:429

c^\bullet(\mathcal E)\in A^\bullet(X)
는 (정수 계수) 저우 환 A^\bullet(X)의 원소이다. 마찬가지로, **(대수적) 천 지표**:431

\operatorname{ch}(\mathcal E)\in A^\bullet(X)\otimes\_{\mathbb Z}\mathbb C
를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

성질
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복소수 n차원 복소다양체 M의 접다발 TM의 천 특성류 c\_{k}(TM)는 TM이 (n-k+1)개의, 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 갖는 것에 대한 방해 조건(영어: obstruction)이다. 즉, c\_{k}(TM)=0이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.:8, Remark 1.3.1 특히, c\_{n}(TM)은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, c\_{1}(TM)은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 n차원 복소다양체 M의 최고차 천 특성류 c\_{n}(TM)는 그 오일러 특성류 e(TM)과 같다.

예
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자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

c(E^{\*})=-c(E)
### 리만 곡면

콤팩트 리만 곡면 \Sigma  위의, 인자 D에 대응하는 선다발 {\mathcal L}(D)의 천 수는 그 차수 \deg D와 같다.

c({\mathcal L}(D))=1+(\deg D)[\Sigma ]\in H^{\bullet }(\Sigma ;{\mathbb Z})
특히, 리만 곡면의 접다발 \operatorname T\Sigma  및 표준 선다발(=공변접다발) \operatorname T^{\*}\Sigma 의 차수는 각각 \chi (\Sigma )=2-2g 및 -\chi (\Sigma )=2g-2이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname T\Sigma )=1+\chi (\Sigma )[\Sigma ]
c(\operatorname T^{\*}\Sigma )=1-\chi (\Sigma )[\Sigma ]
만약 g=1일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. g\neq 1일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 V은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

\sum \_{{z\colon V(z)=0}}\operatorname {index}\_{z}V=\chi (\Sigma )
의 한 예이다.

### 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 \mathbb {CP} ^{n}의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

0\to {\mathcal O}\_{{{\mathbb {CP}}^{n}}}\to {\mathcal O}\_{{{\mathbb {CP}}^{n}}}(1)^{{\oplus (n+1)}}\to \operatorname T{\mathbb {CP}}^{n}\to 0
여기서 {\mathcal O}\_{{{\mathbb {CP}}^{n}}}은 구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다). {\mathcal O}\_{{{\mathbb {CP}}^{n}}}(1)은 세르 뒤틀림층(=\mathbb {CP} ^{n}의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname T{\mathbb {CP}}^{n})=c({\mathcal O}\_{{{\mathbb {CP}}^{n}}}(1))^{{n+1}}=(1+c\_{1}({\mathcal O}\_{{{\mathbb C}P^{n}}}(1)))^{{n+1}}

역사
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천싱선이 1946년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). 《Vector fields on singular varieties》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **1987**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-05205-7. ISBN 978-3-642-05204-0. ISSN 0075-8434.
3. ↑  Chern, Shiing-Shen (1946년 1월). "Characteristic classes of Hermitian manifolds". 《Annals of Mathematics》 **47** (1): 85–121. doi:10.2307/1969037. MR 0015793. Zbl 0060.41416.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

* 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 12일에 확인함.