선형대수학에서 **아다마르 곱**(영어: Hadamard product)은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 m\times n과 n\times p의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 m\times n과 m\times n의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 {\displaystyle \bigcirc }.

정의
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환 R의 성분을 갖는, 같은 크기 m\times n의 두 행렬

{\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}M\_{11}&M\_{12}&\dotsm &M\_{1n}\\M\_{21}&M\_{22}&&M\_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M\_{m1}&M\_{m2}&\dotsm &M\_{mn}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle N={\begin{pmatrix}N\_{11}&N\_{12}&\dotsb &N\_{1n}\\N\_{21}&N\_{22}&&N\_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\N\_{m1}&N\_{m2}&\dotsm &N\_{mn}\end{pmatrix}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M과 N의 **아다마르 곱**은 다음과 같다.

{\displaystyle M\bigcirc N={\begin{pmatrix}M\_{11}N\_{11}&M\_{12}N\_{12}&\dotsm &M\_{1n}N\_{1n}\\M\_{21}N\_{21}&M\_{22}N\_{22}&&M\_{2n}N\_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M\_{m1}N\_{m1}&M\_{m2}N\_{m2}&\dotsm &M\_{mn}N\_{mn}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}

성질
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환 R가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의

{\displaystyle M,N,P\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle (M\bigcirc N)\bigcirc P=M\bigcirc (N\bigcirc P)}
{\displaystyle M\bigcirc (N+P)=M\bigcirc N+M\bigcirc P}
{\displaystyle (N+P)\bigcirc M=N\bigcirc M+P\bigcirc M}
아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬

{\displaystyle {\mathsf {J}}\_{m\times n}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\\1&1&&1\\\vdots &&\ddots &\vdots \\1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}}
이다. 이에 따라, {\displaystyle (\operatorname {Mat} (m,n;R),\bigcirc ,{\mathsf {J}})}는 환을 이루며, 이는 환의 직접곱 {\displaystyle R^{mn}}과 동형이다.

만약 R가 가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

{\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
에 대하여, 만약 R가 가환환일 경우 다음이 성립한다.

{\displaystyle M\bigcirc N=N\bigcirc M}
만약 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}의 모든 성분이 가역원이라면, M에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.

{\displaystyle M^{\bigcirc -1}={\begin{pmatrix}M\_{11}^{-1}&M\_{12}^{-1}&\dotsm &M\_{1n}^{-1}\\M\_{21}^{-1}&M\_{22}^{-1}&&M\_{2n}^{-1}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M\_{m1}^{-1}&M\_{m2}^{-1}&\dotsm &M\_{mn}^{-1}\end{pmatrix}}}
두 대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다.

### 슈어-오펜하임 부등식

임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬

{\displaystyle M,N\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}
{\displaystyle M=M^{\*}}
{\displaystyle N=N^{\*}}
{\displaystyle v^{\*}Mv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}}
{\displaystyle v^{\*}Nv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **슈어-오펜하임 부등식**(Schur-Oppenheim不等式, 영어: Schur–Oppenheim inequality)에 따르면, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle M\bigcirc N}은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다.
* {\displaystyle \det(M\bigcirc N)\geq \left(\prod \_{i=1}^{n}\prod \_{j=1}^{n}M\_{ij}\right)\det N\geq \det(MN)}

역사
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"아다마르 곱"이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에 {\displaystyle \det(M\bigcirc N)\geq \det(MN)}을 증명하였으며,:14, Satz Ⅶ 알렉산더 오펜하임(영어: Alexander Oppenheim, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Schur, J. (1911). "Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **140**: 1–28. doi:10.1515/crll.1911.140.1. ISSN 0075-4102. JFM 42.0367.01.
2. ↑  Oppenheim, Alexander (1930년 4월). "Inequalities connected with definite Hermitian forms". 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) **5** (2): 114–119. doi:10.1112/jlms/s1-5.2.114. JFM 56.0106.05.