해석학에서, **모멘트 문제**(moment問題, 영어: moment problem)는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

정의
--

어떤 측도 공간 X 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 \{u\_{i}\}\_{{i\in I}}\in L^{1}(X)이 주어졌다고 하자. 그렇다면 **모멘트 문제**는 다음과 같은 일련의 문제들이다.

* (존재 문제) 임의의 수열 \{m\_{i}\}\_{{i\in I}}에 대하여, \int \_{X}u\_{i}f=m\_{i}\,\forall i\in I인 f가 존재하는가?
* (유일성 문제) 임의의 수열 \{m\_{i}\}\_{{i\in I}}에 대하여, \int \_{X}u\_{i}f=m\_{i}\,\forall i\in I인 f가 유일한가? 아니면, 이러한 f의 공간이 어떤 모양인가?

고전적 모멘트 문제
----------

다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.

* **함부르거 모멘트 문제**(영어: Hamburger moment problem)는 X={\mathbb R}이며 u\_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )인 경우이다.
* **스틸티어스 모멘트 문제**(영어: Stieltjes moment problem)는 X=[0,\infty )이며 u\_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )인 경우이다.
* **하우스도르프 모멘트 문제**(영어: Hausdorff moment problem)는 X=[0,1]이며 u\_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )인 경우이다.

### 함부르거 문제

함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 m\_{i}가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열

(H\_{n})\_{{ij}}=m\_{{i+j}}\qquad (0\leq i,j\leq n-1)
가 모든 n에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, **칼레만 조건**(영어: Carleman’s condition) 및 **크레인 조건**(영어: Krein’s condition)이라는 충분 조건이 알려져 있다.

**칼레만 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m\_{i}가

\sum \_{{i=1}}^{\infty }m\_{{2i}}^{{-1/2i}}=+\infty 
라면, 모멘트 m\_{i}에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가

m\_{{2i}}\in {\mathcal O}((2i)!)
이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

**크레인 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m\_{i}를 갖는 함수 f가

\int \_{{-\infty }}^{\infty }-{\frac {\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty 
를 만족시킨다면, 모멘트 m\_{i}에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

### 스틸티어스 문제

스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 m\_{i}가 주어졌을 때 행렬

\Delta \_{n}={\begin{pmatrix}m\_{0}&m\_{1}&m\_{2}&\cdots &m\_{{n}}\\m\_{1}&m\_{2}&m\_{3}&\cdots &m\_{{n+1}}\\m\_{2}&m\_{3}&m\_{4}&\cdots &m\_{{n+2}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m\_{{n}}&m\_{{n+1}}&m\_{{n+2}}&\cdots &m\_{{2n}}\end{pmatrix}}
\Delta \_{n}^{{(1)}}={\begin{pmatrix}m\_{1}&m\_{2}&m\_{3}&\cdots &m\_{{n+1}}\\m\_{2}&m\_{3}&m\_{4}&\cdots &m\_{{n+2}}\\m\_{3}&m\_{4}&m\_{5}&\cdots &m\_{{n+3}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m\_{{n+1}}&m\_{{n+2}}&m\_{{n+3}}&\cdots &m\_{{2n+1}}\end{pmatrix}}
을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* m\_{n}이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 n에 대하여 \det \Delta \_{n}>0이며 \det \Delta \_{n}^{{(1)}}>0인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, **칼레만 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m\_{i}가

\sum \_{{i=1}}^{\infty }m\_{i}^{{-1/2i}}=+\infty 
라면, 모멘트 m\_{i}에 대응하는 측도는 유일하다.

**크레인 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m\_{i}를 갖는 함수 f가

\int \_{0}^{\infty }-{\frac {{\sqrt x}\ln f(x)}{1+x}}\,dx<\infty 
를 만족시킨다면, 모멘트 m\_{i}에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

### 하우스도르프 문제

하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 m\_{i}가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 n,k\geq 0에 대하여

(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)\_{n}\geq 0
인 것이다. 여기서 \Delta 는 수열의 차 연산자

(\Delta m)\_{i}=m\_{{i+1}}-m\_{i}
이다.

모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식
-----------------

**체비쇼프-마르코프-크레인 부등식**(영어: Chebyshev–Markov–Krein inequality)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, \mu 가 K 위의 측도이며, \mu (x)<\infty 라고 하자. U\subset {\mathcal C}(K;{\mathbb R})가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, U가 모든 x\in X에 대하여 f(x)>0인 함수 f를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

V(U,\mu )가

\int \_{X}u\,d\mu =\int \_{X}u\,d\nu \qquad \forall u\in U
\nu (X)<\infty 
인 측도 \nu 들의 집합이라고 하자.

임의의 f\in L^{1}(X,\mu ;{\mathbb R})에 대하여, **체비쇼프-마르코프-크레인 부등식**은

\left\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int \_{X}f\,d\nu \right\}
의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.

\inf \_{{\nu \in V(U,\mu )}}\int \_{X}f\,d\nu =\sup \_{{u\in U,\,u\leq f}}\int \_{X}u\,d\mu 
따라서, \{\nu \in V(U,\mu )\colon \int \_{X}f\,d\nu \}의 상한·하한을 찾는 문제는

\{\|u-f\|\_{1}\colon u\in U\}
의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 u\_{0}\in U에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* u\_{0}는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 x\in X에 대하여 u\_{0}(x)\leq f(x)이다.
* 다음 두 조건을 만족시키는 x\_{1},\dots ,x\_{k}\in X 및 양의 실수 \lambda \_{1},\dots ,\lambda \_{k}\in {\mathbb R}^{+}가 존재한다 (1\leq k\leq \dim U).
	+ f(x\_{i})=u\_{0}(x\_{i})\qquad \forall i=1,\dots ,k
	+ \textstyle \int \_{X}u\,d\mu =\sum \_{{i=1}}^{k}\lambda \_{i}u(x\_{i})\qquad \forall u\in U

이러한 \{(x\_{i},\lambda \_{i})\}\_{{i=1,\dots ,k}}를 찾았을 때, 다음이 성립한다.

\inf \_{{v\in V(U,\mu )}}\int \_{X}f\,d\nu =\sum \_{{i=1}}^{k}\lambda \_{i}f(x\_{i})
또한, 이 하한을 포화시키는 측도 \nu 는 다음과 같다.

\nu \_{{\min }}=\sum \_{{i=1}}^{k}\lambda \_{i}\delta \_{{x\_{i}}}
여기서 \delta \_{x}는 x\in X에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,

\delta \_{x}(A)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}
이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 \int \_{X}-f\,d\nu 의 하한을 찾으면 된다.

구간 위의 모멘트 문제
------------

닫힌구간 [a,b] 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 T\subset {\mathcal C}^{0}([a,b];{\mathbb R})에 대하여, 임의의 u\in T\setminus \{0\}에 대하여 u가 n개 미만의 영점들을 갖는다면, T를 **체비쇼프 공간**(영어: Chebyshev space, T-space)이라고 하며, 그 기저를 **체비쇼프 계**(영어: Chebyshev system, 영어: T-system)라고 한다.

[a,b] 위의 체비쇼프 공간 T가 주어졌다고 하자. [a,b] 위의 유한 측도 \mu 가, 임의의 u\in T\setminus \{0\}에 대하여 만약 u(x)\geq 0\forall x\in [a,b]이면 \int u\,d\mu >0이라고 하자. 그렇다면, \mu 에 대하여,

\int \_{a}^{b}u\,d\mu =\int \_{a}^{b}u\,d\nu \qquad \forall u\in T
이며

\nu =\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{i}\delta (x\_{i})\qquad (a\leq x\_{1}<x\_{2}<\cdots x\_{n}\leq b)
인 꼴의 측도 \nu 가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 x\_{n}=b를 갖는다. 이를 \mu \_{\pm }이라고 하며, \mu 의 상·하 **주표현**(영어: upper/lower principal representation)이라고 한다. 임의의 [a,b] 위의 유한 측도 \nu \in V(U,\mu )에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.

\int \_{a}^{b}f\,d\mu \_{-}\leq \int \_{a}^{b}f\,d\mu \leq \int \_{a}^{b}f\,d\mu \_{+}
즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

예
-

실수선 위의 함수

f(x)=\exp(-(\ln x)^{2})
를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.

\int \_{{-\infty }}^{\infty }x^{n}f(x)\,dx={\begin{cases}2e^{{(n+1)^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}
그러나 크레인 조건에 따라

\int \_{{-\infty }}^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\int \_{{-\infty }}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi ^{3}/4<\infty 
이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은

m\_{{2n}}\sim \exp(n^{2})\gg (2n)!\sim \exp \left(2n\ln n+\cdots \right)
이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

참고 문헌
-----

* Pinkus, A.; J.M. Quesada (2012). "On Chebyshev–Markov–Krein inequalities" (PDF). 《Journal of Approximation Theory》 (영어) **164**: 1262–1282. doi:10.1016/j.jat.2012.06.001. 2013년 10월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 2일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Simon, Barry (1998년 7월 15일). "The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator". 《Advances in Mathematics》 (영어) **137** (1): 82–203. arXiv:math-ph/9906008. Bibcode:1999math.ph...6008S. doi:10.1006/aima.1998.1728. ISSN 0001-8708. Zbl 0910.44004.