조합론에서 **직교 배열**(直交配列, 영어: orthogonal array)은 좌표들의 부분 집합으로 제한하였을 때 모든 가능한 벡터들이 균등하게 분포되어 있는, 주어진 유한 집합 위의 벡터들의 유한 집합이다.

정의
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자연수 t\in {\mathbb N}가 주어졌다고 하자.

t-**직교 배열** {\displaystyle (\Sigma ,B)}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 크기 q의 유한 집합 \Sigma. 이를 **알파벳**이라고 하며, 그 원소를 **수준**(水準, 영어: level)이라고 한다.
* 자연수 n\in \mathbb {N}. 이를 **인자수**(因子數, 영어: number of factors)라고 한다.
* 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq \Sigma ^{n}}. 그 원소를 **실험 실행**(實驗實行, 영어: experimental run)라고 한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* {\displaystyle \Sigma ^{n}}의 n개의 좌표 가운데 임의의 t개를 골랐을 때, 수준의 모든 t-순서쌍들은 (선택한 레벨 및 좌표에 상관없이) 같은 수 {\displaystyle \lambda \_{t}}번 만큼 등장한다. 즉, 임의의 단사 함수 {\displaystyle f\colon \{1,2,\dots ,t\}\to \{1,\dotsc ,n\}} 및 임의의 {\displaystyle x\in \Sigma ^{t}}에 대하여, 자연수 {\displaystyle \lambda \_{t}=|\{b\in B\colon \forall 1\leq i\leq t\colon x\_{i}=b\_{f(i)}\}|\in \mathbb {N} }는 f 및 x의 선택에 의존하지 않는다.

이는 해밍 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {H} (n,\Sigma )} 속의 블록 설계의 개념과 같다.

여기서, t를 직교 배열의 **강도**(強度, 영어: strength)라고 하며, {\displaystyle \lambda \_{t}}를 t-직교 배열의 **지수**(指數, 영어: index)라고 한다.

성질
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상수 {\displaystyle \lambda \_{t}}에 대한 t-직교 배열 {\displaystyle (\Sigma ,B\subseteq \Sigma ^{n})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

* 임의의 자연수 {\displaystyle t'\leq t}
* 임의의 단사 함수 {\displaystyle f\colon \{1,2,\dotsc ,t'\}\to \{1,2,\dotsc ,n\}}
* 임의의 {\displaystyle x\in \Sigma ^{t'}}

에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle |\{b\in B\colon \forall 1\leq i\leq t'\colon x\_{i}=b\_{f(i)}\}|=\lambda \_{t'}=\lambda \_{t}|\Sigma |^{t-t'}}
즉,

{\displaystyle \lambda \_{0}=\lambda \_{t}|\Sigma |^{t}}
를 정의하면, 임의의 t-직교 배열은 임의의 {\displaystyle t'\leq t}에 대하여 t'-직교 배열을 이루며, 그 상수는 {\displaystyle \lambda \_{t'}=\lambda \_{0}|\Sigma |^{-t'}}이다. 여기서, \lambda \_{0}는 물론 B의 크기와 같다.

이에 따라, 임의의 {\displaystyle \Sigma ^{n}} 속에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pow} (\Sigma ^{n})} = 0-직교 배열 ⊇ 1-직교 배열 ⊇ 2-직교 배열 ⊇ … ⊇ n-직교 배열 = {\displaystyle \{\varnothing ,\Sigma ^{n}\}}

예
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### 자명한 직교 배열

임의의 유한 집합 \Sigma 에 대하여, {\displaystyle \Sigma ^{n}} 속의 유일한 n-직교 배열은 {\displaystyle B=\varnothing } 및 {\displaystyle B=\Sigma ^{n}}이며, 이 경우 각각 {\displaystyle \lambda \_{n}=0} 및 {\displaystyle \lambda \_{n}=1}이다.

반대로, {\displaystyle \Sigma ^{n}}의 임의의 부분 집합은 0-직교 배열을 이룬다.

### 라틴 방진

 이 부분의 본문은 라틴 방진입니다.
{\displaystyle q\times q} 라틴 방진 M은

{\displaystyle (\lambda \_{2},\lambda \_{1},\lambda \_{0})=(1,q,q^{2})}
인 2-직교 배열

{\displaystyle \Sigma =\{1,2,\dotsc ,q\}}
{\displaystyle B\subseteq \Sigma ^{3}}
{\displaystyle |B|=\lambda \_{0}=q^{2}}
에 해당한다.

(즉, 2-직교 배열과 라틴 방진 사이의 관계는 2-블록 설계와 2-슈타이너 계 사이의 관계와 같다.)

예를 들어, 3×3 라틴 방진

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 2 |

은 다음과 같은 표의 9개 행들로 구성되는 2-직교 배열을 이룬다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |

### 2-직교 배열의 예

알파벳

{\displaystyle \Sigma =\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}}
위에서, 다음 표의 16개 행들로 구성된 부분 집합

{\displaystyle B\subsetneq \Sigma ^{5}}
{\displaystyle |B|=\lambda \_{0}=16}
은 지수

{\displaystyle (\lambda \_{2},\lambda \_{1},\lambda \_{0})=(1,4,16)}
을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | A | A | A | A |
| A | B | B | B | B |
| A | C | C | C | C |
| A | D | D | D | D |
| B | A | D | B | C |
| B | B | C | A | D |
| B | C | B | D | A |
| B | D | A | C | B |
| C | A | B | C | D |
| C | B | A | D | C |
| C | C | D | A | B |
| C | D | C | B | A |
| D | A | C | D | B |
| D | B | D | C | A |
| D | C | A | B | D |
| D | D | B | A | C |

알파벳

{\displaystyle \Sigma =\{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}},{\mathsf {C}}\}}
위에서, 다음 표의 27개 행들로 구성된 부분 집합

{\displaystyle B\subsetneq \Sigma ^{5}}
{\displaystyle |B|=\lambda \_{0}=27}
은 지수

{\displaystyle (\lambda \_{2},\lambda \_{1},\lambda \_{0})=(3,9,27)}
을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | A | A | A | A |
| A | A | B | A | B |
| A | A | C | A | C |
| A | B | A | B | B |
| A | B | B | B | C |
| A | B | C | B | A |
| A | C | A | C | C |
| A | C | B | C | A |
| A | C | C | C | B |
| B | A | A | C | A |
| B | A | B | C | B |
| B | A | C | C | C |
| B | B | A | A | B |
| B | B | B | A | C |
| B | B | C | A | A |
| B | C | A | B | C |
| B | C | B | B | A |
| B | C | C | B | B |
| C | A | A | B | A |
| C | A | B | B | B |
| C | A | C | B | C |
| C | B | A | C | B |
| C | B | B | C | C |
| C | B | C | C | A |
| C | C | A | A | C |
| C | C | B | A | A |
| C | C | C | A | B |

역사
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1947년에 칼리암푸디 라다크리슈나 라오가 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Hedayat, Abdos Samad; Sloane, Neil James Alexander; Stufken, John (1999). 《Orthogonal arrays: theory and applications》. Springer Series in Statistics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1478-6. ISBN 978-0-387-98766-8. ISSN 0172-7397. Zbl 0935.05001.
2. ↑  Delsarte, Philippe; Levenshtein, Vladimir Iosifovich (1998년 10월). "Association schemes and coding theory". 《Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Information Theory》 (영어) **44** (6): 2477–2504. doi:10.1109/18.720545. ISSN 0018-9448.
3. ↑  Keedwell, A. Donald; Denes, József (2015). 《Latin squares and applications》 (영어) 2판. North-Holland. doi:10.1016/B978-0-444-63555-6.50016-7. Zbl 1318.05001.
4. ↑  Rao, Calyampudi Radhakrishna (1947). "Factorial experiments derivable from combinatorial arrangements of arrays". 《Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society》 (영어) **9** (1): 128–139. doi:10.2307/2983576. JSTOR 2983576.