수학에서 **유니터리 군**(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 U(n).

정의
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복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}가 주어졌을 때, **유니터리 군** \operatorname {U} ({\mathcal {H}})는 {\mathcal {H}} 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 {\mathcal {H}}가 n 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 \operatorname {U} (n)으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 n\times n 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

\operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}
이다.

### 유니터리 리 대수

유니터리 군 U(n)은 2n^{2}차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

{\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)
이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, {\mathfrak {u}}(n)는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질
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### 군론적 성질

유니터리 군 \operatorname {U} (n)의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

\lambda 1\_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)
유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

\det \colon U(n)\to U(1)
인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 SU(n)이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1
### 리 이론적 성질

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

\{\operatorname {diag} (\lambda \_{1},\dots ,\lambda \_{n})\colon \lambda \_{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)
이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 \operatorname {Sym} (n)이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

### 위상수학적 성질

모든 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, 유니터리 군 \operatorname {U} (n)은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

\pi \_{0}(\operatorname {U} (n))=1
\pi \_{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} 
유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

\operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )
호프 올뭉치

\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}
로 인하여, 만약 i<2n이라면

\pi \_{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi \_{i}(\operatorname {U} (n+1))
이다.:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.:113

\pi \_{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)
이 주기성을 **보트 주기성**(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

| 군 | π1 | π2 | π3 | π4 | π5 | π6 | π7 | π8 | π9 | π10 | π11 | π12 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| U(1) | ℤ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| U(2) | ℤ | 0 | ℤ | ℤ2 | ℤ2 | ℤ12 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ3 | ℤ15 | ℤ2 | (ℤ2)2 |
| U(3) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | ℤ6 |
| U(4) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |
| U(5) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |
| U(6) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |

이에 따라, 다음과 같은 **무한 유니터리 군** \operatorname {U} (\infty )을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

\operatorname {U} (\infty )=\varinjlim \_{n}\operatorname {U} (n)
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

\pi \_{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}
이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.:112, Theorem 1

\operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )
무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}의 유니터리 군 \operatorname {U} ({\mathcal {H}})는 \operatorname {U} (\infty )와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, \operatorname {U} ({\mathcal {H}})는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

\pi \_{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i
### 포함 관계

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 \mathbb {S} ^{1}이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉 (PDF). 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9\_4.
2. ↑  Kuiper, Nicolaas H. (1965). "The homotopy type of the unitary group of Hilbert space". 《Topology》 (영어) **3** (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4.