수학에서 **바이어스트라스 준비 정리**(영어: Weierstrass preparation theorem)는 주어진 점 P에서 복소 다변수 해석 함수를 처리하는 방법이다. 그러한 함수는 *P* 에서 0이 아닌 함수에 의한 곱셈까지, 하나의 고정 변수 *z* 에서 다항식이며, 이는 일계수 다항식이고 그의 계수가 낮은 항의 계수는 나머지 변수에서 해석 함수이고 P에서 0이다.

또한 일부 환 R에서 {\displaystyle u\cdot w}로 분해의 아이디어를 확장하는 정리의 여러 변형이 있다. 여기서 u는 단원이고 w는 일종의 고유한 **바이어스트라스 다항식**이다. 카를 지겔은 19세기 말 일부 *Traités d'analyse* 에서 정당한 이유 없이 현재 이름으로 발생했다고 말하면서 바이어스트라스에 대한 정리의 속성에 대해 이의를 제기했다.

복소 해석 함수
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하나의 변수에 대해 0에 가까운 해석 함수 f(z)의 국소 형식은 {\displaystyle z^{k}h(z)}이다. 여기서 {\displaystyle h(0)}는 0이 아니며 k는 0에서 *f* 의 0의 차수이다. 이것은 준비 정리가 일반화되는 결과이다. 첫 번째라고 가정할 수 있는 변수 *z* 하나를 선택하고 복소 변수를 {\displaystyle (z,z\_{2},\dots ,z\_{n})}으로 쓴다. 바이어스트라스 다항식 W(z)는 다음과 같다.

{\displaystyle z^{k}+g\_{k-1}z^{k-1}+\dots +g\_{0}}
여기서 {\displaystyle g\_{i}(z\_{2},\dots ,z\_{n})}는 해석적이고 {\displaystyle g\_{i}(0,\dots ,0)=0}이다.

그런 다음 정리는 해석 함수 *f* 에 대해 다음과 같이 말한다.

{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}
그리고

{\displaystyle f(z,z\_{2},\dots ,z\_{n})}
멱급수에는 z만 포함하는 항이 있으므로 (국소적으로 {\displaystyle (0,\dots ,0)} 근처)라고 쓸 수 있다.

{\displaystyle f(z,z\_{2},\dots ,z\_{n})=W(z)h(z,z\_{2},\dots ,z\_{n})}
{\displaystyle h(0,\dots ,0)\neq 0}이며, *W*는 *바이어스트라스* 다항식이다.

이는 {\displaystyle (0,\dots ,0)}에 가까운 *f*의 근들의 집합이 {\displaystyle z\_{2},\dots ,z\_{n}}의 작은 값을 고정한 다음 방정식 *{\displaystyle W(z)=0}*를 풀면 찾을 수 있다는 즉각적인 결과를 가져온다. *z*의 해당 값은 *z*에서 *W*의 차수와 같은 수로 연속적으로 변화하는 여러 분기들을 형성한다. 특히 *f*는 고립된 근을 가질 수 없다.

### 나눗셈 정리

관련 결과는 *f,g*가 해석 함수이고 *g*가 *N*차 바이어스트라스 다항식이면 *{\displaystyle f=gh+j}*를 만족하는 고유한 쌍 *h*와 *j* 가 존재한다는 **바이어스트라스 분할 정리**이다. 여기서 *j*는 *N*보다 작은 차수의 다항식이다. 사실, 많은 저자들이 나눗셈 정리의 귀결로서 바이어스트라스 준비를 증명한다. 두 정리가 동치라서 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다.

### 응용

바이어스트라스 준비 정리는 *n* 변수에서 해석 함수들의 싹들의 환이 뤼케르트 기저 정리라고도 하는 뇌터 환임을 보여주기 위해 사용할 수 있다.

매끄러운 함수
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말그랑주 준비 정리라고 하는 베르나르 말그랑주로 인해 매끄러운 함수에 대한 더 깊은 준비 정리 가 있다. 또한 존 매더의 이름을 따서 명명된 관련 나눗셈 정리가 있다.

완비 국소 환의 형식 멱급수
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완비 국소 환 *A*에 대한 형식적 멱급수 환에 대해 바이어스트라스 준비 정리라고도 부르는 비슷한 결과가 있다. 모든 멱급수 {\displaystyle f=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}t^{n}\in A[[t]]}에 대해 a\_n들 중 *A*의 극대 이데알 {\mathfrak m}에 있지 않는 것이 존재하고, {\displaystyle A[[t]]}의 유일한 단원 *u*가 있다. 그리고 {\displaystyle b\_{i}\in {\mathfrak {m}}}인 {\displaystyle F=t^{s}+b\_{s-1}t^{s-1}+\dots +b\_{0}} 형식의 다음과 같은 다항식 *F*(소위 고유 다항식)이 존재한다:

{\displaystyle f=uF.}
{\displaystyle A[[t]]}는 다시 완비 국소 환이므로 결과를 반복할 수 있다. 따라서 다변수에서 형식적 멱급수에 대해 비슷한 분해 결과를 제공한다.

예를 들어 이것은 p-진 체의 정수 환에 적용된다. 이 경우 정리는 멱급수 *f(z)*가 항상 *{\displaystyle \pi ^{n}u(z)p(z)}*로 유일하게 분해될 수 있다고 한다. 여기서 *{\displaystyle u(z)}*는 형식적 멱급수 환의 단원이고, *p(z)*는 고유 다항식 (모닉, 극대 이데알에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이고 *\pi*는 고정된 균일자이다.

환 {\displaystyle \mathbf {Z} \_{p}[[t]]}에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용(이와사와 대수라고도 함)은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 발생한다.

바이어스트라스 분할 및 준비의 비가환 버전이 존재하며, *A*는 반드시 가환 환일 필요는 없으며 형식적 멱급수 대신에 형식 스큐 멱급수를 사용한다.

테이트 대수
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완비 비 아르키메데스 체 *{\displaystyle \mathbb {k} }*에 대한테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리도 있다:

{\displaystyle T\_{n}(k)=\left\{\sum \_{\nu \_{1},\dots ,\nu \_{n}\geq 0}a\_{\nu \_{1},\dots ,\nu \_{n}}X\_{1}^{\nu \_{1}}\cdots X\_{n}^{\nu \_{n}},|a\_{\nu \_{1},\dots ,\nu \_{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu \_{1}+\dots +\nu \_{n}\to \infty \right\}}
이 대수는 강체 기하학의 기본적 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 은 환 {\displaystyle T\_{n}(\mathbb {k} )}들이 뇌터이라는 사실에 적용된다.

참조
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1. ↑   (독일어), Springer  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)
2. ↑  , American Mathematical Society  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)
3. ↑  , Hermann [Nicolas Bourbaki Nicolas Bourbaki] `|url=` 값 확인 필요 (도움말)  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)
4. ↑  , Springer [Lawrence C. Washington Lawrence C. Washington] `|url=` 값 확인 필요 (도움말)  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)
5. ↑  Otmar Venjakob (2003). "A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory". 《J. Reine Angew. Math.》 **2003** (559): 153–191. doi:10.1515/crll.2003.047. 2022년 1월 27일에 확인함.  Theorem 3.1, Corollary 3.2
6. ↑  , Springer [Siegfried Bosch Siegfried Bosch] `|url=` 값 확인 필요 (도움말)  `|제목=`이(가) 없거나 비었음 (도움말)

* Lewis, Andrew, 《Notes on Global Analysis》
* Siegel, C. L. (1969), 〈Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass〉, 《Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)》, New York: Plenum, 297–306쪽, MR 0268402 , reprinted in Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass. H. 편집. 《Gesammelte Abhandlungen. Band IV》, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1–8쪽, ISBN 0-387-09374-5, MR 0543842
* Solomentsev, E.D. (2001). "Weierstrass theorem". 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Stickelberger, L. (1887), "Ueber einen Satz des Herrn Noether", 《Mathematische Annalen》 **30** (3): 401–409, doi:10.1007/BF01443952  지원되지 않는 변수 무시됨: `|s2cid=` (도움말)
* Weierstrass, K. (1895), 《Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2》, Berlin: Mayer & Müller, 135–142쪽  reprinted by 존son, New York, 1967.