분할 10=5+4+1을 나타내는 페러스 그림
수론에서 **자연수 분할**(自然數分割, 영어: integer partition)은 어떤 자연수를 양의 정수들의 합으로 나타내는 방법이다.

정의
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자연수 n\in \mathbb {N} 의 **분할** \{n\_{1},\dots ,n\_{k}\}은 다음을 만족시키는, 양의 정수들의 중복집합이다.

n\_{1}+\cdots +n\_{k}=n
분할은 페러스 그림으로 나타낼 수 있다. 이 경우 각 가로의 길이는 분할의 각 원소의 크기에 대응한다.
**분할수**(分割數, 영어: partition number) p(n)는 n의 분할들의 수이다. 분할수의 값들은 다음과 같다 (n=0,1,2,\dots ).

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … (OEIS의 수열 A000041)
q(n)은 n의 분할들 가운데, 원소가 중복되지 않는 것들의 수이다. 이는 다음과 같다 (n=0,1,2,\dots ).

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, … (OEIS의 수열 A000009)

성질
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### 생성 함수

분할수의 생성함수는 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod \_{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{-1}={\frac {\exp(\pi i\tau /12)}{\eta (\tau )}}}
\sum \_{{n=0}}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod \_{{n=1}}^{\infty }(1+x^{n})=\exp(-\pi i\tau /12){\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}
여기서 \eta (\tau )는 데데킨트 에타 함수이며, x=\exp(2\pi i\tau )이다.

### 점근 공식

매우 큰 n에 대하여, 분할수 p(n)은 다음과 같은 점근 공식을 따른다. 이는 고드프리 해럴드 하디와 스리니바사 라마누잔이 1918년 하디-리틀우드 원 방법으로 유도하였고, 1942년에 에르되시 팔이 기초적인 기법만으로 재증명하였다.

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt 3}}}\exp \left(\pi {\sqrt {{\frac {2n}3}}}\right)
마찬가지로, q(n)은 다음과 같은 점근 공식을 따른다.

q(n)\sim {\frac 1{4{\sqrt[ {4}]{3n^{3}}}}}\exp \left(\pi {\sqrt {n/3}}\right)
### 켤레 분할

자연수 n의 분할 \{n\_{1},\dots ,n\_{k}\}의 **켤레 분할**(-分割, 영어: conjugate partition) {\displaystyle \{m\_{1},\dots ,m\_{l}\}}은 페러스 그림의 각 세로의 길이로 구성된 새로운 n의 분할이다. 즉, 페러스 그림의 가로와 세로를 전치하여 얻는 분할이다. 구체적으로는 다음과 같다.

{\displaystyle l=\max\{n\_{1},\dots ,n\_{k}\}}
{\displaystyle m\_{i}=|\{j=1,\dots ,k\colon n\_{j}\geq i\}|}
각 원소가 m 이하인 n의 분할과 원소의 개수가 m 이하인 n의 분할은 켤레 분할을 통해 일대일 대응한다. 따라서 각 원소가 m 이하인 n의 분할의 수는 원소의 개수가 m 이하인 n의 분할의 수와 같다. 마찬가지로 가장 큰 원소가 m인 n의 분할의 수는 원소의 개수가 정확히 m인 분할의 수와 같다.:331, Theorem 13.1.10

예
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양의 정수 3을 생각해 보자.

3=3
3=2+1
3=1+1+1
으로 총 세 가지의 경우가 있으므로,
3의 분할수는 {\displaystyle p(3)=3}, {\displaystyle q(3)=2}가 된다.

4일 때는,

4=4
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1
총 다섯 가지이므로, 4의 분할수는 {\displaystyle p(4)=5}, {\displaystyle q(4)=2}이 된다.

* 분할 10=4+3+1+1+1의 페러스 그림분할 10=4+3+1+1+1의 페러스 그림
* 분할 10=5+2+2+1의 페러스 그림분할 10=5+2+2+1의 페러스 그림

10의 분할 {\displaystyle \{4,3,1,1,1\}}의 켤레 분할은 {\displaystyle \{5,2,2,1\}}이 된다.

참고 문헌
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1. ↑  Erdős, Pál (1942). "On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions". 《Annals of Mathematics (series 2)》 (영어) **43**: 437–450. Zbl 0061.07905.
2. ↑  Ayoub, Raymond George (1963). 《An Introduction to the analytic theory of numbers》. Mathematical Surveys (영어) **10**. American Mathematical Society. OCLC 476776. Zbl 0128.04303.
3. ↑  Sane, Sharad S. (2013). 《Combinatorial Techniques》. Texts and Readings in Mathematics (영어) **65**. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-55-2. ISBN 978-93-80250-48-9. ISSN 2366-8717.

* George E. Andrews, Kimmo Eriksson (2004). 《Integer Partitions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-60090-1.
* Andrews, George E. (1976). 《The Theory of partitions》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) **2**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-63766-X.
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