심플렉틱 기하학에서 **라그랑주 부분 다양체**(Lagrange部分多樣體, 영어: Lagrangian submanifold)는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

정의
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2n차원 심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 속의 매끄러운 부분 다양체 \iota \colon N\hookrightarrow M가 다음 조건을 만족시킨다면, **등방성 부분 다양체**(等方性部分多樣體, 영어: isotropic submanifold)라고 한다.

\iota^\*\omega=0
즉, 심플렉틱 형식 \omega 를 N에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

2n차원 심플렉틱 다양체의 n차원 등방성 부분 다양체를 **라그랑주 부분 다양체**(영어: Lagrangian submanifold)라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 \iota 가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 **등방성 몰입**(영어: isotropic immersion) 및 **라그랑주 몰입**(영어: Lagrangian immersion)을 정의할 수 있다.

### 라그랑주 올뭉치

**라그랑주 올뭉치**(영어: Lagrangian fibration)

L\stackrel\iota\hookrightarrow M\stackrel\pi\twoheadrightarrow B
는 일반올 L이 전체 공간 (M,\omega )의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 \pi\circ\iota\colon L\to B에서, \pi가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 n\times n 행렬 D(\pi\circ\iota)의 계수가 n 미민인 점들의 집합

\{b\in B\colon \operatorname{rank}D(\pi\circ\iota)|\_b<n\}
을 라그랑주 올뭉치의 **초점면**(焦點面, 영어: caustic)이라고 한다.

### 특수 라그랑주 부분 다양체

2n차원 켈러 다양체 M위의 부피 형식이 \omega ^{n}/n!이며, (n,0)-복소수 미분 형식 \Omega 가

\Omega\wedge\bar\Omega=\omega^n/n!
를 만족시킨다고 하자. \Omega 의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.

\Omega=\Omega\_1+i\Omega\_2,\qquad\Omega\_1,\Omega\_2\in H^n(M;\mathbb R)
그렇다면, (M,\Omega) 속의 **특수 라그랑주 부분 다양체**(영어: special Lagrangian submanifold)는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 \iota\colon L\hookrightarrow M이다.

\iota^\*\Omega\_2=0
칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다.

성질
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임의의 두 심플렉틱 다양체 (M\_1,\omega\_1), (M\_2,\omega\_2) 사이의 미분 동형

f\colon M\_1\to M\_2
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Lemma 3.14

* f는 심플렉틱 사상이다. 즉, f^\*\omega\_2=\omega\_1이다.
* f의 그래프 \{(x,f(x))\colon x\in M\_1\}\subset M\_1\times M\_2는 (M\_1\times M\_2,\omega\_1\oplus(-\omega\_2))의 라그랑주 부분 다양체이다.

예
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### 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

2n차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 **라그랑주 부분 벡터 공간**(영어: Lagrangian linear subspace)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 **라그랑주 그라스만 다양체**(영어: Lagrangian Grassmannian)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\operatorname{LagGrass}(n)\cong\operatorname U(n)/\operatorname O(n)
그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군

\pi\_1\left(\operatorname{LagGrass}(n)\right)\cong\mathbb Z
이다. 이로부터 **마슬로프 지표**를 정의할 수 있다.

### 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체 (\Sigma,\omega) 속의 매끄러운 곡선 \gamma\subset\Sigma은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 \mathbb R^2=T^\*\mathbb R을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 \gamma\subset\mathbb R^2은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, x축으로의 사영

\pi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R
\pi\colon(x,p)\mapsto x
을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 p축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원

\frac12kx^2+\frac1{2m}p^2=E
은 해밀토니언 H(x,p)=kx^2/2+p^2/2m의 준위 부분 집합 \{(x,p)\colon H(x,p)=E\}인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점

\{\sqrt{2E/k},-\sqrt{2E/k}\}
이다.

### 공변접다발

매끄러운 다양체 M 위의 공변접다발 T^{\*}M은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 S\colon M\to\mathbb R에 대하여, 다음과 같은 T^{\*}M의 부분 다양체를 정의하자.

\left\{(x,\partial\_\mu S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^\*M
그렇다면 이는 T^{\*}M의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 S=0일 경우 이는 M\subset T^\*M는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.

참고 문헌
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1. ↑  Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) **8**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9.

* Audin, Michèle (2005). "On the topology of Lagrangian submanifolds: examples and counter-examples" (PDF). 《Portugaliae Mathematica (nova série)》 (영어) **62** (4). 2015년 10월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 11월 8일에 확인함.
* Damian, Mihai (2010년 11월 15일). 《Sur la topologie des sous-variétés lagrangiennes》 (프랑스어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michèle Audin). 스트라스부르 대학교.