대수기하학에서 **세르 쌍대성**(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의
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### 미분기하학

다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수 n차원 (실수 2n차원) 콤팩트 에르미트 다양체 M

그렇다면, 호지 쌍대에 따라서

{\displaystyle \*\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{n-q,n-p}(M)}
{\displaystyle \*\circ \*=(-)^{(p+q)(2n-p-q)}=(-)^{p+q}}
가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

{\displaystyle {\overline {(-)}}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{q,p}(M)}
{\displaystyle {\overline {(-)}}\circ {\overline {(-)}}=1}
이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\Omega ^{p,q}(M)&{\overset {\*}{\to }}&\Omega ^{n-q,n-p}(M)\\{\scriptstyle {\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle {\overline {(-)}}}\\\Omega ^{q,p}(M)&{\underset {\*}{\to }}&\Omega ^{n-p,n-q}(M)\end{matrix}}}
이제,

{\displaystyle \langle -,-\rangle \colon \Omega ^{p,q}(M)\times \Omega ^{p,q}\mapsto \mathbb {C} }
{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \mapsto \int \_{M}\*{\bar {\alpha }}\wedge \beta }
를 정의하자. 이는 \Omega ^{{p,q}}(M) 위의 에르미트 형식을 정의한다.

{\displaystyle \langle z\alpha ,w\beta \rangle ={\bar {z}}w\langle \alpha ,\beta \rangle \qquad \forall z,w\in \mathbb {C} }
{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle ={\overline {\langle \beta ,\alpha \rangle }}}
이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형

{\displaystyle \operatorname {H} ^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{n-p,n-q}(M)^{\*}}
이 존재한다. 이를 **세르 쌍대성**이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.

* M 위의 유한 차원 정칙 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow M}

그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 {\displaystyle E^{\*}\twoheadrightarrow M}을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로

{\displaystyle \Omega ^{q}(M;E)\times \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes \_{\mathbb {C} }E^{\*})\to \mathbb {C} }
{\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto \int \_{M}\alpha \wedge \beta }
가 존재한다. 여기서

{\displaystyle \Omega ^{n}=\bigwedge ^{n}\mathrm {T} ^{\*}M}
은 M의 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

{\displaystyle \operatorname {H} ^{q}(M;E)^{\*}\cong \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes \_{\mathbb {C} }E^{\*})}
이 존재한다. 이를 E 계수의 **세르 쌍대성**이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 [M]에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 K에 대하여 축약시켜 얻는다.

### 대수기하학

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

* 대수적으로 닫힌 체 k
* k 위의 순수하게 n차원 사영 스킴 X
* X의 사영 공간으로의 매장 {\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} \_{k}^{m}}. 그 여차원이 {\displaystyle r=m-n}이라고 하자.

그렇다면, X의 **쌍대화층**(영어: dualizing sheaf)

{\displaystyle \omega \_{X}={\underline {\operatorname {Ext} }}\_{{\mathcal {O}}\_{\mathbb {P} \_{k}^{m}}}^{r}({\mathcal {O}}\_{X},\omega \_{\mathbb {P} ^{m}})}
을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n-q}({\mathcal {F}},\omega \_{X})\cong \operatorname {H} ^{q}(M,{\mathcal {F}})^{\*}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {H} ^{n-q}{}^{\*}=\hom(H^{n-q},k)}는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

예
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### 리만 곡면

\Sigma 가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고, {\displaystyle L\twoheadrightarrow \Sigma }이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\Sigma ;L)=0\qquad \forall i\geq 2}
이며, 세르 쌍대성에 따라서

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;K\_{\Sigma }\otimes \_{\mathbb {C} }L^{-1})}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;K\_{\Sigma }\otimes \_{\mathbb {C} }L^{-1})}
이다. 여기서 {\displaystyle K\_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{\*}\Sigma }는 \Sigma 의 표준 선다발이다.

### 칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

h^{{p,q}}=h^{{p,n-q}}
여기서 {\displaystyle h^{p,q}=\dim \_{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p})}는 호지 수이다.

참고 문헌
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* Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.