대수기하학에서 **카르티에 인자**(Cartier因子, 영어: Cartier divisor)는 국소환 달린 공간 위에 정의될 수 있는 어떤 아벨 군 층의 단면이며, 특수한 경우 선다발에 대응한다. 적절한 조건을 만족시키는 스킴의 경우, 카르티에 인자에서 베유 인자로 가는 단사 함수가 존재하며, 비특이 대수다양체의 경우에 이는 전단사 함수이다 (즉, 모든 베유 인자는 카르티에 인자이다).

정의
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국소환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X})의 유리 함수층 {\mathcal K}\_{X}를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

\underline 1\to {\mathcal O}\_{X}^{\times }\to {\mathcal K}\_{X}^{\times }\to {\mathcal K}\_{X}^{\times }/{\mathcal O}\_{X}^{\times }\to \underline 1
여기서 {\displaystyle (-)^{\times }}는 가역원층을 뜻하며, {\displaystyle {\underline {1}}}은 자명군의 상수층이다.

X의 **카르티에 인자층**(Cartier主因層, 영어: sheaf of Cartier divisors)은 다음과 같은 아벨 군층이다.

{\mathcal K}\_{X}^{\times }/{\mathcal O}\_{X}^{\times }
X의 **카르티에 인자군**은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 아벨 군, 즉

{\displaystyle \operatorname {CaDiv} (X)=\Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}
이다. X의 **카르티에 인자**는 카르티에 인자층의 대역 단면, 즉 카르티에 인자군의 원소이다.:141:256, Definition 7.1.17 즉, 구체적으로 X의 카르티에 인자는 X의 열린 덮개 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 유리 함수 \{f\_{i}\in \Gamma (U\_{i},{\mathcal K}\_{X}^{\times })\}\_{{i\in I}}로 정의되며, 이 경우 임의의 i,j\in I에 대하여 만약 U\_{i}\cap U\_{j}\neq \varnothing 이라면

{\displaystyle f\_{i}/f\_{j}\in \Gamma (U\_{i}\cap U\_{j};{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}
이어야 한다.

### 효과적 인자

**효과적 카르티에 인자**(效果的Cartier因子, 영어: effective Cartier divisor)는 모노이드 준동형

\Gamma (X;{\mathcal O}\_{X}\cap {\mathcal K}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal K}^{\times }/{\mathcal O}\_{X}^{\times })
의 상에 속하는 카르티에 인자이다.:256, Definition 7.1.17 즉, 위와 같이 구체적으로 \{(U\_{i},f\_{i})\}\_{{i\in I}}로 나타내었을 때, f\_{i}\in \Gamma (U\_{i},{\mathcal O}\_{X})\cap \Gamma (U\_{i},{\mathcal K}\_{X}^{\times })로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.:145 이 경우, 각 f\_{i}는 아이디얼 층 (f\_{i})를 정의하며, 이는 여차원이 1인 부분 스킴을 정의한다.

### 카르티에 인자 유군

층의 짧은 완전열에 따라서, 다음과 같은 아벨 군의 긴 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }){\xrightarrow {(-)}}\Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })\to \cdots }
**카르티에 주인자**(Cartier主因子, 영어: principal Cartier divisor)는 {\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}의 상에 속하는 카르티에 인자이다.:256, Definition 7.1.17 이에 대한 몫군

{\displaystyle {\frac {\Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}{(\Gamma (X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times }))}}}
을 **카르티에 인자 유군**(영어: Cartier divisor class group)이라고 한다.:256, Definition 7.1.17

완전열의 정의에 따라 카르티에 인자 유군은 피카르 군 \operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O\_X^\times)의 부분군이며, 만약 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}\_{X}^{\times })=1}이라면 카르티에 인자 유군은 피카르 군과 일치한다. 이것이 성립할 충분 조건은 X가 축소 뇌터 스킴인 것이다.:257, Corollary 7.1.19

성질
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X가 정역 스킴이라고 하자. 그렇다면, 피카르 군 \operatorname {Pic}(X)은 가역층들의 동치류들로 구성될 수 있으며, 카르티에 인자 유군은 피카르 군의 부분군이므로, 카르티에 인자 D에 대응하는 선다발 {\mathcal L}(D) (또는 가역층 {\mathcal O}\_{X}(D))을 정의할 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다.

구체적으로, X의 (충분히 섬세한) 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in I}}에 대하여, 선다발은 U\_{i}와 U\_{j} 사이의 전이 사상(영어: transition map) {\displaystyle h\_{ij}\colon U\_{i}\cap U\_{j}\to k^{\times }}들로 정의된다. 카르티에 인자

{\displaystyle \{[f\_{i}]\}\_{i\in I}}
{\displaystyle [f\_{i}]\in \Gamma (U\_{i};{\mathcal {K}}\_{X}/{\mathcal {O}}\_{X}^{\times })}
{\displaystyle f\_{i}\in \Gamma (U\_{i};{\mathcal {K}}\_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U\_{i};{\mathcal {O}}\_{X}))}
가 주어졌을 때, 전이 사상들을

{\displaystyle h\_{ij}={\frac {\operatorname {res} \_{U\_{i}\cap U\_{j}}^{U\_{i}}f\_{i}}{\operatorname {res} \_{U\_{i}\cap U\_{j}}^{U\_{j}}f\_{j}}}\in \Gamma (U\_{i}\cap U\_{j}\in {\mathcal {K}}\_{X})}
로 정의하자. 그렇다면, 이는 전이 사상의 성질들 {\displaystyle h\_{ij}h\_{ji}=1}, {\displaystyle h\_{ij}h\_{jk}h\_{ki}=1}을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.

역사
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베유 인자의 개념을 1950년대에 피에르 카르티에가 개량하여, 층 이론을 사용하여 카르티에 인자를 도입하였다. 이로서 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.

참고 문헌
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1. 1 2  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. 1 2 3 4 5  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 7일에 확인함.
3. ↑  Cartier, P. (1958). "Questions de rationalité des diviseurs en géometrie algébrique". 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) **86**: 177–251. ISSN 0037-9484. MR 0106223. Zbl 0091.33501.