대수기하학에서 **리만-로흐 정리**(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의
--

M이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. M 위의 인자는 M의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 D는 다음과 같은 꼴이다.

D=\sum \_{i}n\_{i}x\_{i} (x\_{i}\in M, n\_{i}\in {\mathbb Z})
인자의 **차수**(degree)는 다음과 같다.

\deg \sum \_{i}n\_{i}x\_{i}=\sum \_{i}n\_{i}.
\alpha 가 M 위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) \alpha 는 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 p\_i이고, 그 차수가 각각 -n(p\_{i})라고 하자. 영점들이 q\_{j}이고, 그 차수가 각각 n(q\_{j})라고 하자. 그렇다면 \alpha 의 인자를 다음과 같이 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {div} (\alpha )=\sum \_{i}n(p\_{i})p\_{i}+\sum \_{j}n(q\_{j})q\_{j}}.
유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 **주인자**(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 **표준 인자**(canonical divisor)라고 한다.

인자 D에 대하여, \operatorname {div}(f)+D의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 f들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 I(D)라고 하자.

D가 M 위의 인자이고, K가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi (M)/2.
여기서 \chi(M)은 M의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) g로 쓰면

I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1
이다.

### 선다발의 경우

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 M 위에 정칙 선다발 L이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (L 계수 돌보 코호몰로지) {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))} 및 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))}을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{k}=h^{k}}로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle \chi (M,L)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=\deg L-g+1}
(여기서 \chi (M,L)은 L의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))^{\*}\cong \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L^{-1}\otimes K))}
따라서, L에 대응하는 인자류가 [D]라고 한다면

h^{0}(M,{\mathcal O}(L))=I(D)
h^{1}(M,{\mathcal O}(L))=I(K-D)
가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면 M 위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

{\displaystyle \chi (M,E)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname {rk} E}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {rk} E}는 E의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
* 정칙 벡터 다발의 차수는 {\displaystyle \deg E=\deg(E^{\wedge \operatorname {rk} E})}이다. 여기서 {\displaystyle E^{\wedge \operatorname {rk} E}}는 E의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

표
-

x가 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 I(D)는 다음과 같다.

| 종수 | D=0 | D=x | D=2x | D=3x | D=4x | D=5x | … | I(nx)의 생성원 (n\geq g) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 (리만 구) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | 1,z^{{-1}},\dots ,z^{{-n}} |
| 1 (타원 곡선) | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | 타원 함수 \wp ,\dots ,\wp ^{{\lfloor n/2\rfloor }},\wp \wp ',\dots ,\wp ^{{\lfloor n-3\rfloor }}\wp ' |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |  |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | … |  |

g\geq 2이며 \deg D\leq g인 경우, 특수한 점에서 I(D)가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 I(K-D)>g-\deg D이다. 이를 **바이어슈트라스 점**이라고 한다. 예를 들어, g=2인 경우 I(2x)=2인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

예
-

리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수가 g인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 K의 차수가 \deg K=2g-2임을 보일 수 있다.

1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, I(0)=1이다. 물론 \deg(0)=0이다.
2. D=0으로 놓자. 그렇다면 1-I(K)=-g+1이다. 즉, I(K)=g이다.
3. D=K로 놓자. 그렇다면 I(K)-1=\deg K-g1이다. 즉, \deg K=2g-2이다.

예를 들어, g=0인 경우인 리만 구 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}를 생각하자. 이 경우, 각 차수 k\in {\mathbb Z}에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류 \mathcal O(k)가 존재하며, 그 단면의 차원은

{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\max\{k+1,0\}}
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2-k))=\max\{-k-1,0\}}
이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.

* 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(1))=1}이다. 이는 상수 함수 {\displaystyle f(z)=1}에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수는 상수 함수 밖에 없다.)
* 2차 선다발은 정칙 접다발 {\displaystyle {\mathcal {O}}(2)\cong \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}}이다. (예를 들어, 벡터장 {\displaystyle \partial /\partial z}는 w=1/z에서 {\displaystyle -w^{2}\partial /\partial w}가 된다.) 이 경우, {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))=3}이며, 그 기저는 {\displaystyle \{\partial /\partial z,z\partial /\partial z,z^{2}\partial /\partial z\}}이다.
* −2차 선다발은 표준 선다발 {\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\cong \mathrm {T} ^{\*}\mathbb {P} ^{1}}이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식 {\displaystyle \mathrm {d} z}는 w=1/z에서 {\displaystyle -w^{-2}\mathrm {d} w}가 된다.) 이 경우, {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0}이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=1}이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량 {\displaystyle (1+z{\bar {z}})^{-2}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}}로 주어진다.
* 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 {\displaystyle \textstyle \{{\sqrt {\partial /\partial z}},z{\sqrt {\partial /\partial z}}\}}이다.

곡면 리만-로흐 정리
-----------

대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.:362–363 대수적으로 닫힌 체 k에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체) X 위에 베유 인자 D가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표를 \chi (D)라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\chi (D)=1+p\_{{{\text{a}}}}(X)+{\frac 12}D.(D-K(X))
여기서 K(X)는 X의 표준 인자이고, D.D'는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며, p\_{{\text{a}}}는 X의 산술종수이다.

일반화
---

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사
--

구스타프 로흐
곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 I(K-D)를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다. 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다. 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Riemann, Bernhard (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **1857** (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345.
3. ↑  Roch, Gustav (1865). "Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **1865** (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345.