측도론에서 **외측도**(外測度, 영어: outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

정의
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집합 X 위의 **(추상적) 외측도**((抽象的)外測度, 영어: (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle \mu ^{\*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
이다.

* {\displaystyle \mu ^{\*}(\varnothing )=0}
* 임의의 S\subseteq T\subseteq X에 대하여, {\displaystyle \mu ^{\*}(S)\leq \mu ^{\*}(T)}
* (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} ({\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph \_{0}})에 대하여, {\displaystyle \textstyle \mu ^{\*}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)=\sum \mu ^{\*}({\mathcal {S}})}

집합 X 위의 외측도 {\displaystyle \mu ^{\*}}에 대한 **카라테오도리 가측 집합**(Καραθεοδωρή可測集合, 영어: Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합 S\subseteq X이다.

* 임의의 {\displaystyle T\subseteq X}에 대하여, {\displaystyle \mu ^{\*}(T)=\mu ^{\*}(S\cap T)+\mu ^{\*}(T\setminus S)}

카라테오도리 가측 집합의 집합은 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{\*})}로 표기한다.

성질
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집합 X 위의 외측도 {\displaystyle \mu ^{\*}}에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{\*})}는 {\mathcal P}(X)의 부분 시그마 대수를 이루며, {\displaystyle \mu ^{\*}|\_{{\mathcal {M}}(\mu ^{\*})}}는 {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{\*}))} 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{\*}),\mu ^{\*}|\_{{\mathcal {M}}(\mu ^{\*})})}는 완비 측도 공간이다.

### 거리 외측도

거리 공간 (X,d\_X) 속 두 집합 S,T\subseteq X 사이의 **거리**는 다음과 같다.

{\displaystyle d\_{X}(S,T)=\inf \_{\scriptstyle s\in S \atop t\in T}d\_{X}(s,t)}
거리 공간 (X,d\_X) 위의 외측도 {\displaystyle \mu ^{\*}}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 {\displaystyle \mu ^{\*}}를 **거리 외측도**(距離外測度, 영어: metric outer measure)라고 한다.

* 임의의 S,T\subseteq X에 대하여, 만약 {\displaystyle d\_{X}(S,T)>0}이라면, {\displaystyle \mu ^{\*}(S\cup T)=\mu ^{\*}(S)+\mu ^{\*}(T)}
* {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{\*})}. 즉, 모든 보렐 집합은 {\displaystyle \mu ^{\*}}-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X),\mu ^{\*}|\_{{\mathcal {B}}(X)})}는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.):140, §7.14.x, Theorem 7.14.29
* 모든 열린집합은 {\displaystyle \mu ^{\*}}-카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 (X,d\_X) 위의 거리 외측도 {\displaystyle \mu ^{\*}}가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 {\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{\*}))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}는 가측 함수이다.:53, Property 2. 2

### 카라테오도리 확장 정리

 이 부분의 본문은 카라테오도리 확장 정리입니다.
집합 X 속의 **집합 반환**은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}이다.

* \varnothing \in {\mathcal S}
* (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 {\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}에 대하여, {\displaystyle S\cap T\in {\mathcal {S}}}
* 임의의 {\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle S\setminus T=\bigcup {\mathcal {F}}}인 유한 개의 서로소 집합들의 족 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}} ({\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph \_{0}})이 존재한다.

집합 X 속의 집합 반환 {\mathcal S} 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

{\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mu 를 {\mathcal S} 위의 **준측도**(準測度, 영어: premeasure)라고 한다.:20, §1.3.1, Definition 1.3.2:170, §11, Problem 11.2

* (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ({\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph \_{0}})에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}이라면, {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}. (특히, {\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }을 생각하면 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0}을 얻는다.)
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
	+ (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ({\displaystyle |{\mathcal {T}}|<\aleph \_{0}})에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}이라면, {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}. (특히, {\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }을 생각하면 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0}을 얻는다.)
	+ (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ({\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph \_{0}})에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}이라면, {\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)\leq \sum \mu ({\mathcal {T}})}

집합 X 속의 집합족 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}가 {\mathcal S}로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.

* 집합 X
* 집합 반환 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
* 준측도 {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}

이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle \mu ^{\*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
{\displaystyle \mu ^{\*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \mu ({\mathcal {T}})\colon {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {T}}|\leq \aleph \_{0},\;A\subseteq \bigcup {\mathcal {T}}\right\}}
**카라테오도리 확장 정리**에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.

* {\displaystyle \mu ^{\*}}는 X 위의 외측도이다.
* {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{\*})}
* {\displaystyle \mu ^{\*}|\_{\mathcal {S}}=\mu }
* 만약 {\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {T}}}이며 {\displaystyle \infty \not \in \mu ({\mathcal {T}})}인 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}} ({\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph \_{0}})이 존재한다면, {\displaystyle \mu ^{\*}|\_{\sigma ({\mathcal {S}})}}는 {\displaystyle (\mu ^{\*}|\_{\sigma ({\mathcal {S}})})|\_{\mathcal {S}}=\mu }를 만족시키는 유일한 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})} 위의 측도이다.

그러나 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}보다 큰 시그마 대수 위에서 \mu 의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예
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### 1차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.
실수선 \mathbb {R}  위에서, 구간들의 족

{\displaystyle {\mathcal {S}}\_{1}=\{(a,b]\}\_{-\infty \leq a\leq b<\infty }\cup \{(a,\infty )\}\_{-\infty \leq a<\infty }\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
은 집합 반환을 이루며, {\displaystyle \mathbb {R} \in {\mathcal {S}}}이다. 또한, {\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}이다.

임의의 증가 함수 {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle \mu \_{F}\colon {\mathcal {S}}\_{1}\to [0,\infty ]}
{\displaystyle \mu \_{F}\colon (a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})}
{\displaystyle \mu \_{F}\colon (a,\infty )\mapsto F(\infty )-F(a^{+})}
그렇다면, {\displaystyle \mu \_{F}}는 {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{1}} 위의 준측도를 이룬다.:33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23 이 경우 {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {M}}(\mu \_{F}^{\*}),\mu \_{F}^{\*}|\_{{\mathcal {M}}(\mu \_{F}^{\*})})} (또는 {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu \_{F}^{\*}|\_{{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )})})를 **르베그-스틸티어스 측도** 공간이라고 한다.

증명:

자명하게 {\displaystyle \mu \_{F}}는 {\displaystyle \mu \_{F}(\varnothing )=0}과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma \_{0}} ({\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph \_{0}})
이 주어졌고, {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma \_{0}}이라고 하자. 편의상 {\mathcal S}의 모든 원소가 유계 구간이며,

{\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=({\widetilde {a}},\infty )}
{\displaystyle {\widetilde {a}}\in \mathbb {R} }
{\displaystyle F(\infty )<\infty }
라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 {\displaystyle [a,b]\subseteq ({\widetilde {a}},\infty )} 및 \epsilon >0에 대하여,

{\displaystyle \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\epsilon \_{(c,d]}=\epsilon }
인 {\displaystyle \epsilon \_{(c,d]}>0}을 취하자. 그렇다면 {\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}가 우연속 함수임에 따라

{\displaystyle F({e\_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+\epsilon \_{(c,d]}\qquad \forall (c,d]\in {\mathcal {S}}}
인 {\displaystyle e\_{(c,d]}>d}가 존재한다. {\displaystyle \{(c,e\_{(c,d]})\}\_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}}는 [a,b]의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

{\displaystyle \{(c,e\_{(c,d]})\}\_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}
{\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph \_{0}}
를 갖는다. 따라서

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \_{F}((a,b])&=F(b^{+})-F(a^{+})\\&\leq \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}(F({e\_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F({e\_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F(d^{+})-F(c^{+}))+\epsilon \\&=\sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu \_{F}((c,d])+\epsilon \end{aligned}}}
이다. 여기서 첫 번째 부등호는

{\displaystyle \sup\{e\_{(c\_{n},d\_{n}]}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+},\;(c\_{1},d\_{1}],\dots ,(c\_{n},d\_{n}]\in {\mathcal {F}},\;a\in (c\_{1},e\_{(c\_{1},d\_{1}]}),\;e\_{(c\_{i},d\_{i}]}\in (c\_{i+1},e\_{(c\_{i+1},d\_{i+1}]})\forall i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b}
때문이다. 여기에 {\displaystyle \epsilon \to 0}을 취하면

{\displaystyle \mu \_{F}((a,b])\leq \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu \_{F}((c,d])}
를 얻으며, 다시 {\displaystyle a\to {\widetilde {a}}} 및 {\displaystyle b\to \infty }를 취하면 {\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}의 우연속성에 따라

{\displaystyle \mu \_{F}(({\widetilde {a}},\infty ))\leq \sum \_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu \_{F}((c,d])}
를 얻는다.

### *n*차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.
임의의 {\displaystyle a\_{1},b\_{1}\in \mathbb {R} }에 대하여, 선형 연산자

{\displaystyle \Delta \_{n,a\_{1},b\_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n-1}}}
{\displaystyle \Delta \_{n,a\_{1},b\_{1}}\colon F\mapsto F(b\_{1},\cdot )-F(a\_{1},\cdot )}
를 정의하자.

또한, 임의의 {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여,

{\displaystyle \Delta \_{a,b}=\Delta \_{1,a\_{n},b\_{n}}\circ \Delta \_{2,a\_{n-1},b\_{n-1}}\circ \cdots \circ \Delta \_{n,a\_{1},b\_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} }
라고 하자.

함수

{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle \Delta \_{a,b}F\geq 0\qquad (a\_{i}\leq b\_{i})}
가 주어졌을 때, 집합 반환

{\displaystyle {\mathcal {S}}\_{n}=\left\{\prod \_{i=1}^{n}S\_{i}\colon S\_{i}\in {\mathcal {S}}\_{1}\right\}}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\in {\mathcal {S}}\_{n}}
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}}\_{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}
위에 준측도

{\displaystyle \mu \_{F}\colon \prod \_{i=1}^{n}(a\_{i},b\_{i}]\mapsto \lim \_{\delta \_{i},\epsilon \_{i}\to 0^{+}}\Delta \_{a+\delta ,b+\epsilon }F}
를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}}(\mu \_{F}^{\*}),\mu \_{F}^{\*}|\_{{\mathcal {M}}(\mu \_{F}^{\*})})}을 구성할 수 있다.

### 르베그 외측도

 이 부분의 본문은 르베그 측도입니다.
함수

{\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
{\displaystyle F\colon x\mapsto x}
또는

{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
{\displaystyle F\colon x\mapsto x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}
에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 **르베그 외측도**라고 하며, 이에 대응하는 측도를 **르베그 측도**라고 한다.

### 하우스도르프 외측도

 이 부분의 본문은 하우스도르프 측도입니다.
하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.:1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30

참고 문헌
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1. 1 2 3  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.
2. 1 2  Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
3. 1 2  Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.
4. ↑  Jeon, Won-Kee (1986년 8월). "Lebesgue-Stieltjes Measures and Differentiation of Measures" (PDF). 《Honam Mathematical Journal》 **8** (1): 51–74. ISSN 1225-293X.