조합론에서 **존슨 결합 도식**(Johnson結合圖式, 영어: Johnson scheme)은 주어진 해밍 무게의 벡터들로 구성된, 2진 해밍 결합 도식의 부분 결합 도식이다.

정의
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### 이진 존슨 결합 도식

다음이 주어졌다고 하자.

* 크기 n의 유한 집합 S
* 자연수 {\displaystyle k\leq n}

그렇다면, 다음을 정의하자.

* {\displaystyle X=\operatorname {Pow} \_{k}(S)}는 S의, 크기 k의 부분 집합들의 집합족이다.
* 각 {\displaystyle i\in \{0,1\dotsc ,n\}} 및 {\displaystyle u,v\in X}에 대하여, 이항 관계 {\displaystyle u\sim \_{i}v\iff \operatorname {d\_{H}} (u,v)=2i} (여기서 {\displaystyle \operatorname {d\_{H}} }는 해밍 거리)

그렇다면, {\displaystyle (X,n,(\sim \_{i})\_{0\leq i\leq n})}는 결합 도식을 이루며, 이를 **{\displaystyle (k,n)}-이진 존슨 결합 도식**(영어: binary Johnson association scheme) {\displaystyle \operatorname {J} \_{2}(k,n)}이라고 한다.

### q진 존슨 결합 도식 ({\displaystyle q\geq 3})

다음이 주어졌다고 하자.

* 유한 점을 가진 집합 {\displaystyle (\Sigma ,\bullet )} ({\displaystyle |\Sigma |\geq 2}). 이에 따라, \bullet 에 대하여 해밍 무게를 정의할 수 있다.
* 두 양의 정수 {\displaystyle 0<k\leq n}

그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle e,f\colon \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}\to \{0,1,\dotsc ,n\}}
{\displaystyle e\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u\_{i}=v\_{i}\neq \bullet \}\right|}
{\displaystyle f\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u\_{i}\neq \bullet \neq v\_{i}\}\right|}
(만약 {\displaystyle |\Sigma |\leq 2}라면, {\displaystyle e=f}이다.)

이제, \bullet 에 대한 해밍 무게가 k인 길이 n의 \Sigma -문자열들의 집합

{\displaystyle \operatorname {W} \_{k}(\Sigma ^{n})\subseteq \Sigma ^{n}=\left\{u\in \Sigma ^{n}\colon k=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u\_{i}\neq \bullet \}|\right\}}
을 생각하자. 이 위에, 이항 관계

{\displaystyle u\sim \_{i,j}v\iff \left(e(u,v),f(u,v)\right)=(k-i,k-j)\qquad (u,v\in \operatorname {W} \_{k}(\Sigma ^{n}))}
를 정의하면, {\displaystyle (\operatorname {W} \_{k}(\Sigma ^{n}),(\sim \_{i,j})\_{i,j})}는 결합 도식을 이룬다. 이를 \Sigma  위의 **존슨 결합 도식** {\displaystyle \operatorname {J} \_{|\Sigma |}(k,n)}이라고 한다.

성질
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q진 존슨 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {J} \_{q}(k,n)}은 대칭 결합 도식이며, 그 집합의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |\operatorname {J} \_{q}(k,n)|=(q-1)^{k}{\binom {n}{k}}}
이진 존슨 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {J} \_{2}(k,n)}의 이항 관계의 수는 (항등 관계를 포함하여) {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor +1}개이며, 다음과 같다.

{\displaystyle \left\{\sim \_{0,0},\;\sim \_{1,1},\dotsc ,\sim \_{\lfloor n/2\rfloor ,\lfloor n/2\rfloor }\right\}}
### 해밍 거리

존슨 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {J} \_{q}(k,n)}에서, 다음이 성립한다.:279, §1

{\displaystyle u\sim \_{i,j}v\implies \operatorname {d\_{H}} (u,v)=i+j\qquad (u,v\in \operatorname {J} \_{q}(k,n))}

**증명:**

임의의 {\displaystyle u,v\in \in \operatorname {J} \_{q}(k,n)}에 대하여,

{\displaystyle e(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet \neq u\_{i}=v\_{i}\}|}
이므로,

{\displaystyle k-e(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet \neq u\_{i}\neq v\_{i}\}|}
이다. 마찬가지로,

{\displaystyle f(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u\_{i}\neq \bullet \neq v\_{i}\}|}
이므로,

{\displaystyle k-f(u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon \bullet =u\_{i}\neq v\_{i}\}|}
이다. 즉,

{\displaystyle \operatorname {d\_{H}} (u,v)=|\{i\in \{0,\dotsc ,n-1\}\colon u\_{i}\neq v\_{i}\}|=(k-e(u,v))+(k-f(u,v))}
이다.

### 고윳값

이진 존슨 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {J} \_{2}(k,n)}의 고윳값들은 다음과 같다.

{\displaystyle p\_{i,j}=e\_{i}(j)}
{\displaystyle q\_{i,j}={\frac {\mu \_{i}}{v\_{i}}}e\_{i}(j)}
여기서

{\displaystyle \mu \_{i}={\frac {n-2i+1}{n-i+1}}{\binom {n}{i}}}
{\displaystyle e\_{i}(x)=\sum \_{j=0}^{i}(-)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {k-x}{i-j}}{\binom {n-k-x}{i-j}}\qquad (i=0,\dotsc ,k)\in \mathbb {Z} [x]}
이며, 다항식열 {\displaystyle (e\_{i})\_{0\leq i\leq k}}를 **에벌라인 다항식**(Eberlein多項式, 영어: Eberlein polynomial)이라고 한다.

역사
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미국의 수학자 셀머 마틴 존슨(영어: Selmer Martin Johnson, 1916~1996)이 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Tarnanen, Hannu; Aaltonen, Matti J.; Goethals, Jean-Marie (1985년 9월). "On the nonbinary Johnson scheme". 《European Journal of Combinatorics》 (영어) **6** (3): 279–285. doi:10.1016/S0195-6698(85)80039-1. Zbl 0577.94014.