리 대수의 표현론에서 **베르마 가군**(वर्मा加群, 영어: Verma module)은 주어진 무게에 대한 가장 "일반적인" 최고 무게 가군이다.

정의
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 체 K
* K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}
* {\mathfrak {g}}의 부분 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}}
* {\mathfrak {p}}의 표현 V (즉, {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 **일반화 베르마 가군**(一般化वर्मा加群, 영어: generalized Verma module)은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes \_{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {U} (-)}는 리 대수의 보편 포락 대수이다.
* {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}의 오른쪽 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}-작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

* K는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
* {\mathfrak {g}}는 K 위의 반단순 리 대수이다.
* {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}}는 보렐 부분 대수이다.
* {\displaystyle V=\mathbb {C} }는 {\mathfrak b}의 무게 {\displaystyle \lambda \colon \mathbb {b} \to {\mathfrak {b}}/[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\to \mathbb {C} }를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 **베르마 가군**이라고 한다.

### 등급

복소수체 위의 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}} 및 그 포물형 부분 대수 {\mathfrak {p}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\mathfrak {g}} 위에 자연스러운 등급

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus \_{i=-k}^{k}{\mathfrak {g}}\_{i}}
이 주어지며,

{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\bigoplus \_{i=0}^{k}{\mathfrak {g}}\_{i}}
{\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}}\_{0}}
이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}는 등급 {\displaystyle \{-k,-k+1,\dotsc ,k-1,k\}}에 대한 복소수 등급 대수이며, {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 {\mathfrak {p}}의 표현 V에 대하여, {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},V)}-일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes \_{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V=\bigoplus \_{i=-k}^{-1}\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}\_{i})\otimes \_{K}V}

성질
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베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}}의 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}의 무게 {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }}에 대응하는 {\mathfrak {g}}-최고 무게 가군 V에 대하여, 유일한 전사 {\mathfrak {g}}-표현 준동형

M\_\lambda\twoheadrightarrow V
가 존재한다.

예
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\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{a,a^{\dagger },c\}}
{\displaystyle [a^{\dagger },a]=c}
{\displaystyle [a^{\dagger },c]=-2a^{\dagger }}
{\displaystyle [a,c]=2a}
로 표현될 수 있다. 여기서 {\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{c\}}를 카르탕 부분 대수로, {\displaystyle {\mathfrak {b}}=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{c,a^{\dagger }\}}를 보렐 부분 대수로 잡자.

{\mathfrak {h}}의 무게는 하나의 복소수 \lambda \in {\mathbb C}로 결정된다. 그 기저를 {\displaystyle |\lambda \rangle }로 적자. 즉,

{\displaystyle c|\lambda \rangle =\lambda |\lambda \rangle }
{\displaystyle a|\lambda \rangle =0}
이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

{\displaystyle W\_{\lambda }=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\left\{|\lambda \rangle ,\alpha ^{\dagger }|\lambda \rangle ,(\alpha ^{\dagger })^{2}|\lambda \rangle ,\dotsc \right\}}
이 위의 \mathfrak{sl}(2;\mathbb C)의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle c(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle =(\lambda -2n)(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle }
{\displaystyle a(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle ={\begin{cases}n(\lambda -n+1)(a^{\dagger })^{n-1}|\lambda \rangle &n>0\\0&n=0\end{cases}}}
만약 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} } (음이 아닌 정수)일 경우,

{\displaystyle a(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle =0}
이며, 따라서 베르마 가군 {\displaystyle W\_{\lambda }}의 부분 공간

{\displaystyle \operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle ,(a^{\dagger })^{\lambda +2}|\lambda \rangle ,\dotsc \}\subseteq W\_{\lambda }}
는 {\displaystyle W\_{\lambda }}의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 \mathfrak{sl}(2;\mathbb C)의 n+1차원 표현을 이룬다. 이 조건은 \lambda 가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사
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다야난드 베르마가 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Verma, Daya-Nand (1968). "Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **74** (1): 160-166. ISSN 0273-0979. MR 0218417.