양자장론| 파인만 도형의 예(전자와 양전자의 쌍소멸로 인한 중간자 생성) |
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| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
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* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
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* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

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* 행렬
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* 슈뢰딩거
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* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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* 앙상블
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	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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* 양자 정보 과학
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* 양자 카오스(quantum chaos)
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* 산란 이론
* 양자통계역학
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* 디바이
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* 페르미
* 파인먼
* 글라우버
* 구츠윌러Gutzwiller
* 하이젠베르크
* 힐베르트
* 요르단
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* 뤼드베리
* 슈뢰딩거
* 시몬스Simmons
* 조머펠트
* 폰 노이만
* 바일
* 빈
* 위그너
* 제이만
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| * v
* t
* e
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산란 이론에서 **산란 행렬**(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 **S행렬**이란 산란 과정을 겪는 소립자 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 *S*. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

정의
--

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}}
* 자기 수반 작용소 {\displaystyle H\_{0}\colon \operatorname {dom} H\_{0}\to {\mathcal {H}}}, {\displaystyle \operatorname {dom} H\_{0}\subseteq {\mathcal {H}}}. 이를 **자유 해밀토니언**(영어: free Hamiltonian)이라고 하자.
* 자기 수반 작용소 {\displaystyle H\colon \operatorname {dom} H\to {\mathcal {H}}}, {\displaystyle \operatorname {dom} H\subseteq {\mathcal {H}}}. 이를 **상호 작용 해밀토니언**(영어: interacting Hamiltonian)이라고 하자.

복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 {\displaystyle A}에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 {\displaystyle {\mathcal {H}}}를

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},A}\oplus {\mathcal {H}}\_{{\text{sc}},A}\oplus {\mathcal {H}}\_{{\text{pp}},A}}
로 분해할 수 있다. 여기서

* {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},A}}는 완전 연속 스펙트럼(영어: purely continuous spectrum)에 대응한다.
* {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{sc}},A}}는 특이 연속 스펙트럼(영어: singular continuous spectrum)에 대응한다.
* {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{pp}},A}}는 순수 점 스펙트럼(영어: purely point spectrum)에 대응한다.

마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{{\text{ac}},A},\operatorname {proj} \_{{\text{sc}},A},\operatorname {proj} \_{{\text{pp}},A}\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어: Borel functional calculus)을 통해, {\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)}는 유계 함수이므로, 임의의 {\displaystyle t\in \mathbb {R} }에 대하여 유니터리 작용소

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH\_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다.

이제, {\displaystyle H\_{0}}와 {\displaystyle H}에 대한 **파동 연산자**(波動演算子, 영어: wave operator)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.:Definition 1.1

{\displaystyle \operatorname {W} \_{\pm }(H,H\_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
{\displaystyle \operatorname {W} \_{\pm }(H,H\_{0})=\lim \_{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H\_{0}t)\operatorname {proj} \_{{\text{ac}},H\_{0}}}
여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 {\displaystyle W\_{\pm }(H,H\_{0})}의 치역이 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H}}라면 파동 연산자를 **완비 파동 연산자**(完備波動演算子, 영어: complete wave operator)라고 하며,:Definition 1.2 이는 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}}와 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H}} 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

{\displaystyle H\_{0}}와 {\displaystyle H}에 대한 **산란 연산자**(散亂演算子, 영어: scattering operator) 또는 **산란 행렬**은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {S} (H,H\_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
{\displaystyle \operatorname {S} (H,H\_{0})=\operatorname {W} \_{+}^{\*}(H,H\_{0})\operatorname {W} \_{-}(H,H\_{0})}
만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

{\displaystyle (\operatorname {S} (H,H\_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}})\colon {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}\to {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H}}
를 정의한다.

간혹 **T 연산자**를
{\displaystyle \operatorname {T} (H,H\_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H\_{0})-\operatorname {proj} \_{{\text{ac}},H\_{0}})}
로 정의한다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}}에 제한하면, {\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T}이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

성질
--

파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

{\displaystyle \operatorname {W} \_{\pm }(H,H\_{0})H\_{0}=H\operatorname {W} \_{\pm }(H,H\_{0})}
산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

{\displaystyle \operatorname {S} (H,H\_{0})H\_{0}=H\_{0}\operatorname {S} (H,H\_{0})}
위그너 정리에 따라, 만약 {\displaystyle \operatorname {W} \_{\pm }(H,H\_{0})}가 둘 다 완비라면,

{\displaystyle \operatorname {S} (H,H\_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}}
는 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}\to {\mathcal {H}}\_{{\text{ac}},H\_{0}}} 유니터리 작용소이다.

### 존재 조건

르베그 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )} 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.

{\displaystyle H\_{0}=\Delta +V\_{0}(x)}
{\displaystyle H\_{0}=\Delta +V\_{0}(x)+V(x)}
{\displaystyle V\_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
{\displaystyle \sup \_{x\in \mathbb {R} ^{n}}V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty }
여기서 {\displaystyle k\in \mathbb {R} }는 어떤 실수이며, {\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum \_{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x\_{i}^{2}}는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.

* {\displaystyle k>n}:Theorem 1.7
* {\displaystyle V\_{0}=0}이며, {\displaystyle k>1}:Theorem 2.4

반면, 예를 들어 {\displaystyle V\_{0}=0}, {\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2}}일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.:§3.1

응용
--

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{\text{I}}}와 나중 상태의 포크 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{\text{F}}}를 다음과 같이 적을 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{\text{I}}=\operatorname {span} \{\left|k\_{1}\ldots k\_{n}\right\rangle =a\_{i}^{\dagger }(k\_{1})\cdots a\_{i}^{\dagger }(k\_{n})\left|I,0\right\rangle \_{\text{I}}\}}
{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{\text{F}}=\operatorname {span} \{\left|p\_{1}\ldots p\_{n}\right\rangle =a\_{f}^{\dagger }(p\_{1})\cdots a\_{f}^{\dagger }(p\_{n})\left|F,0\right\rangle \_{\text{F}}\}}
이들은 자유 해밀토니언 {\displaystyle H\_{0}}의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 {\displaystyle S}는 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle \left\langle \beta \right|\_{\text{I}}S\left|\alpha \right\rangle \_{\text{I}}=S\_{\alpha \beta }=\left\langle \beta |\_{\text{F}}|\alpha \right\rangle \_{\text{I}}}.
양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

* {\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle } (진공에서의 항등성)
* {\displaystyle S\left|k\right\rangle =\left|k\right\rangle } (단입자 상태에서의 항등성)

이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

역사
--

산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  "에스행렬이론(S-matrix theory)-사이언스피디아". 2018년 3월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 3월 1일에 확인함.
2. 1 2 3 4 5 6  Yafaev, Dmitri (2004). "Lectures on scattering theory" (영어). arXiv:math/0403213. Bibcode:2004math......3213Y.
3. ↑  Wheeler, John Archibald (1937). "On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure". 《Physical Review》 (영어) **52** (11): 1107–1122. Bibcode:1937PhRv...52.1107W. doi:10.1103/PhysRev.52.1107.

* Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》. Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8.
* Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) **158**. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/158.
* Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》. Operator theory: advances and applications (영어) **9**. ISBN 978-3-0348-5442-9.
* Simon, Barry (1978). 〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF). Nuttal, J. 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》 (영어). University of West Ontario. 1–24쪽.
* Reed, Michael; Simon, Barry (1979). 《Scattering Theory》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) **3**. Academic Press.