호몰로지 대수학에서 **순환 범주**(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 **순환 대상**(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의
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### 순환 범주

**순환 범주**(循環範疇, 영어: cycle category) {\displaystyle \operatorname {Cyc} }는 다음과 같은 작은 범주이다.:202, Definition 6.1.1

* {\displaystyle \operatorname {Cyc} }의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) n\in \mathbb {N} 이다.
* {\displaystyle \operatorname {Cyc} }의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
{\displaystyle \delta \_{n}^{i}\colon n-1\to n\qquad (0\leq i\leq n)} (**면 사상**)
{\displaystyle \sigma \_{n}^{i}\colon n+1\to n\qquad (0\leq i\leq n)} (**퇴화 사상**)
{\displaystyle \tau \_{n}\colon n\to n} (**순환 사상**)
* 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, \tau 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 \triangle 의 정의에 등장하는 것과 같다.)
{\displaystyle \delta \_{n-1}^{j}\circ \delta \_{n}^{i}=\delta \_{n-1}^{i}\circ \delta \_{n}^{j-1}\qquad (0\leq i<j)}
{\displaystyle \sigma \_{n+1}^{j}\circ \sigma \_{n}^{i}=\sigma \_{n+1}^{i}\circ \sigma \_{n}^{j+1}\qquad (0\leq i\leq j)}
{\displaystyle \sigma \_{n}^{j}\circ \delta \_{n+1}^{i}={\begin{cases}\delta \_{n}^{i}\circ \sigma \_{n-1}^{j-1}&i<j\\\operatorname {id} \_{n}&i\in \{j,j+1\}\\\delta \_{n}^{i-1}\circ \sigma \_{n-1}^{j}&i>j+1\end{cases}}}
{\displaystyle \overbrace {\tau \_{n}\circ \dotsb \circ \tau \_{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} \_{n}}
{\displaystyle \tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{i}=\delta \_{n}^{i-1}\circ \tau \_{n-1}\qquad (1\leq i\leq n)}
{\displaystyle \tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{i}=\sigma \_{n}^{i-1}\circ \tau \_{n+1}\qquad (1\leq i\leq n)}

이제, 임의의 범주 {\mathcal {C}} 위의 **순환 대상**은 순환 범주의 반대 범주에서 {\mathcal {C}}로 가는 함자

{\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}
이다.

### 순환 대상의 구체적 정의

구체적으로, 범주 {\mathcal {C}} 속의 **순환 대상**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 단체 대상 {\displaystyle (X\_{\bullet },\partial \_{\bullet }^{i},d\_{\bullet }^{i})}. 여기서 {\displaystyle \partial \_{\bullet }^{i}\colon X\_{\bullet }\to X\_{\bullet -1}}는 면(面)이며, {\displaystyle s\_{\bullet }^{i}\colon X\_{\bullet }\to X\_{\bullet -1}}는 퇴화 단체이다.
* 일련의 동형 사상들 {\displaystyle t\_{n}\colon X\_{n}\to X\_{n}}, n\in \mathbb {N}

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

* (순환의 순환성) {\displaystyle \overbrace {t\_{n}\circ \dotsb \circ t\_{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} \_{X\_{n}}}. 특히, {\displaystyle t\_{0}=\operatorname {id} \_{X\_{0}}}이다.
* (순환과 면의 호환) {\displaystyle \partial \_{n}^{i}\circ t\_{n}=t\_{n-1}\circ \partial \_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}
* (순환과 퇴화 단체의 호환) {\displaystyle s\_{n}^{i}\circ t\_{n}=t\_{n+1}\circ s\_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}

### 일반적 정의

순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

**교차단체군**(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 단체 집합 {\displaystyle G\_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
* 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여, G\_{n} 위의 군 구조
* 임의의 m,n\in {\mathbb N}에 대하여, {\displaystyle \hom \_{\triangle }(m,n)} 위의, G\_{n}의 오른쪽 군 작용 {\displaystyle \hom \_{\triangle }(m,n)\times G\_{n}\to \hom \_{\triangle }(m,n)}

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.:205, Proposition 6.1.6

* 임의의 {\displaystyle \phi \in \hom \_{\triangle }(m,n)} 및 {\displaystyle \chi \in \hom \_{\triangle }(n,p)} 및 {\displaystyle g\in G\_{p}}에 대하여,
{\displaystyle (\chi \circ \phi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ \left(\phi \cdot G(\chi ^{\operatorname {op} })(g)\right)\in \hom \_{\triangle }(m,p)}
* 임의의 {\displaystyle g,h\in G\_{n}} 및 {\displaystyle \phi \in \hom \_{\triangle }(m,n)}에 대하여,
{\displaystyle G(\phi ^{\operatorname {op} })(gh)=G(\phi \cdot h)^{\operatorname {op} }(g)G(\phi ^{\operatorname {op} })(h)\in G\_{m}}

교차단체군의 예는 다음이 있다.

* 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
* 순환군 {\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)}
* 정이면체군 {\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Dih} (n+1)}
* 쌍순환군 {\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Dic} (n+1)}
* 대칭군 {\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}

교차단체군 {\displaystyle G\_{\bullet }}이 주어졌을 때, 임의의 {\displaystyle \phi \in \hom \_{\triangle }(m,n)} 및 {\displaystyle g\in G\_{n}}에 대하여 편의상

{\displaystyle g\cdot \phi =G(\phi ^{\operatorname {op} })(g)\in G\_{m}}
로 표기하자. 이는

{\displaystyle g\cdot (\phi \circ \chi )=(g\cdot \phi )\cdot \chi }
를 만족시킨다.

교차단체군 {\displaystyle G\_{\bullet }}가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 {\displaystyle \triangle \_{G\_{\bullet }}}를 정의할 수 있다.

* {\displaystyle \triangle \_{G\_{\bullet }}}의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 \triangle 의 대상과 같다.
* {\displaystyle \triangle \_{G\_{\bullet }}}의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.
{\displaystyle \hom \_{\triangle \_{G\_{\bullet }}}(m,n)=\hom \_{\triangle }(m,n)\times G}
* 사상의 합성은 다음과 같다.:207, Corollary 6.1.7 여기서, {\displaystyle g\in G\_{n}}에 대하여 {\displaystyle \tau \_{g}\colon \hom \_{\triangle \_{G\_{\bullet }}}(n,n)}은 {\displaystyle (\operatorname {id} \_{n},g)}에 대응하는 사상이며, {\displaystyle \phi \in \hom \_{\triangle }(m,n)}이다.
{\displaystyle \phi \circ \tau \_{g}=(\phi ,g)\qquad (\phi \in \hom \_{\triangle }(m,n),\;g\in G\_{m}))}
{\displaystyle \tau \_{g}\circ \phi =(\phi \cdot g)\circ \tau \_{g\cdot \phi }\qquad (\phi \in \hom \_{\triangle }(m,n),\;g\in G\_{n}))}

그렇다면, 범주 {\mathcal {C}} 속의 **{\displaystyle G\_{\bullet }}-대상**은 함자

{\displaystyle \triangle \_{G\_{\bullet }}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}
이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

{\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)=\langle t\_{n}|t\_{n}^{n+1}=1\rangle }
{\displaystyle \delta ^{i}\cdot g={\begin{cases}\delta ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\delta ^{n}&i=0\end{cases}}}
{\displaystyle \sigma ^{i}\cdot g={\begin{cases}\sigma ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\sigma ^{n}&i=0\end{cases}}}
{\displaystyle t\_{n}\cdot \delta \_{n}^{i}={\begin{cases}t\_{n-1}&i\geq 1\\1&i=0\end{cases}}}
{\displaystyle t\_{n}\cdot \sigma \_{n}^{i}={\begin{cases}t\_{n+1}&i\geq 1\\t\_{n+1}^{2}&i=0\end{cases}}}
그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 {\displaystyle G\_{\bullet }}-대상은 **순환 대상**이라고 한다.

성질
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순환 범주 {\displaystyle \operatorname {Cyc} }는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.:208, Proposition 6.1.11

{\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cyc} }
{\displaystyle n^{\operatorname {op} }\mapsto n}
{\displaystyle (\delta \_{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto {\begin{cases}\sigma \_{n-1}^{i}&i<n\\\sigma \_{n-1}^{0}\circ \tau \_{n}^{-1}&i=n\end{cases}}}
{\displaystyle (\sigma \_{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto \delta \_{n+1}^{i+1}}
### 사상

순환 범주 {\displaystyle \triangle \_{\operatorname {Cyc} }}에서, 모든 사상 {\displaystyle f\colon m\to n}는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.:203, Theorem 6.1.3(2)

{\displaystyle f'\circ \overbrace {t\_{m}\circ \dotsb \circ t\_{m}} ^{k}\qquad (f'\in \hom \_{\triangle }(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc ,n\})}
보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 {\displaystyle G\_{\bullet }}에 대하여, 범주 {\displaystyle \triangle \_{G\_{\bullet }}}에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

{\displaystyle \phi \circ \tau \_{g}\colon \phi \in \hom \_{\triangle }(m,n),\;g\in G\_{m}}
순환 범주 {\displaystyle \triangle \_{\operatorname {Cyc} }}에서, 다음이 성립한다.:202, Definition 6.1.1

* {\displaystyle \tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{0}=\delta \_{n}^{n}}

**증명:**

{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{0}&=\tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{0}\circ \overbrace {\tau \_{n-1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n-1}} ^{n}\\&=\tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{1}\circ \overbrace {\tau \_{n-1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n-1}} ^{n-1}\\&=\tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \delta \_{n}^{2}\circ \overbrace {\tau \_{n-1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n-1}} ^{n-2}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau \_{n}\circ \dotsb \circ \tau \_{n}} ^{n+1}\circ \delta \_{n}^{n}\\&=\delta \_{n}\end{aligned}}}

* {\displaystyle \tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{0}=\sigma \_{n}^{n}\circ \tau \_{n+1}\circ \tau \_{n+1}}

**증명:**

{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{0}&=\tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{0}\circ \overbrace {\tau \_{n+1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n+1}} ^{n+2}\\&=\tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{1}\circ \overbrace {\tau \_{n+1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n+1}} ^{n+1}\\&=\tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \tau \_{n}\circ \sigma \_{n}^{1}\circ \overbrace {\tau \_{n+1}\circ \dotsb \circ \tau \_{n+1}} ^{n}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau \_{n}\circ \dotsb \circ \tau \_{n}} ^{n+1}\circ \sigma \_{n}^{1}\circ \tau \_{n+1}\circ \tau \_{n+1}\\&=\sigma \_{n}^{1}\circ \tau \_{n+1}\circ \tau \_{n+1}\end{aligned}}}

### 단체와의 관계

단체 범주 \triangle 에서 순환 범주로 가는 포함 함자

{\displaystyle \triangle \hookrightarrow \triangle \_{\operatorname {Cyc} }}
가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, {\displaystyle \triangle \_{\operatorname {Cyc} }}에는 t\_{n}으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 {\mathcal {C}}에 대하여, {\mathcal {C}}-순환 대상의 범주에서 {\mathcal {C}}-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle \hom(\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})\to \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})}
가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

예
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모든 성분이 자명군인 교차단체군 1을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 {\displaystyle \triangle \_{1}}은 단체 범주 \triangle 와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

{\displaystyle G\_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 {\displaystyle \triangle \_{\operatorname {Sym} }}는 유한 집합과 함수의 작은 범주 {\displaystyle \operatorname {finSet} }와 동치이다.

### 결합 대수의 순환 가군

가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{\displaystyle C\colon n\mapsto A^{\otimes \_{K}(n+1)}}
{\displaystyle C({\delta \_{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C\_{n}\to C\_{n-1}}
{\displaystyle C({\delta \_{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\mapsto {\begin{cases}a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i-1}\otimes \_{K}a\_{i}a\_{i+1}\otimes \_{K}a\_{i+2}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}&0\leq i<n\\a\_{n}a\_{0}\otimes \_{K}a\_{1}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n-1}&i=n\end{cases}}}:45, (1.6.1.2)
{\displaystyle C({\sigma \_{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C\_{n}\to C\_{n+1}}
{\displaystyle C({\sigma \_{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\mapsto a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{i}\otimes \_{K}1\otimes \_{K}a\_{i+1}\otimes \_{K}a\_{n}}:45, (1.6.1.2)
{\displaystyle C(\tau \_{n}^{\operatorname {op} })\colon C\_{n}\to C\_{n}}
{\displaystyle C(\tau \_{n}^{\operatorname {op} })\colon a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n}\mapsto (-)^{n}a\_{n}\otimes \_{K}a\_{0}\otimes \_{K}\dotsb \otimes \_{K}a\_{n-1}}:53, §2.1.0
즉, 이는 K-가군 범주 {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{K}} 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 **A에 대응되는 순환 가군**(영어: cyclic module associated to A)이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사
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알랭 콘이 1983년에 도입하였다.:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 "\Lambda "라고 표기하였다.:§2:201, Chapter 6

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **301** 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.
2. 1 2  Connes, Alain (1983). "Cohomologie cyclique et foncteurs Ext*n*" (PDF). 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série Ⅰ. Mathématique》 (프랑스어) **296** (23): 953–958. MR 777584. Zbl 0534.18009. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 20일에 확인함.
3. ↑  Fiedorowicz, Zbigniew; Loday, Jean-Louis (1991년 7월). "Crossed simplicial groups and their associated homology". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **326** (1): 57–87. doi:10.1090/S0002-9947-1991-0998125-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 2001855.