선형대수학에서 **쌍선형 형식**(雙線型形式, 문화어: 쌍1차형식, 영어: bilinear form)은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

정의
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가환환 K 위의 가군 V 위의 **쌍선형 형식** B는 다음과 같은 가군 준동형이다.:235:54, (3.13)

{\displaystyle B\colon V\otimes V\to K}
여기서 \otimes 는 K-가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 B\colon V\times V\to K이다.

* (왼쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)
* (오른쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)**

가환환 K가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

\bar{\quad}\colon K\to K
{\displaystyle {\bar {\quad }}\circ {\bar {\quad }}=\operatorname {id} \_{K}}
\bar{}에 대한 **반쌍선형 형식**(半雙線型形式, 영어: sesquilinear form) B는 다음 조건을 만족시키는 함수 B\colon V\times V\to K이다.

* (왼쪽 반선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(au+bv,w)=\bar aB(u,w)+\bar bB(v,w)
* (오른쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)

일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 {\displaystyle {\bar {\quad }}}가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

### 대칭 형식

가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **대칭 쌍선형 형식**(對稱雙線型形式, 영어: symmetric bilinear form)이라고 한다.:235:54, (3.13)

B(u,v)=B(v,u)\qquad\forall u,v\in V
가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **반대칭 쌍선형 형식**(反對稱雙線型形式, 영어: antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form)이라고 한다.:54, (3.13)

B(u,v)=-B(v,u)\qquad\forall u,v\in V
가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **교대 쌍선형 형식**(交代雙線型形式, 영어: alternating bilinear form)이라고 한다.:235:54, (3.13)

B(v,v)=0\qquad\forall v\in V
K가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

* K가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
* K가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식 \subsetneq  반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 {\displaystyle {\bar {\quad }}}를 갖는 가환환 K 위의 가군 V 위의 반쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **에르미트 반쌍선형 형식**(Hermite半雙線型形式, 영어: Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

{\displaystyle B(u,v)={\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V}
이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **반에르미트 반쌍선형 형식**(反Hermite半雙線型形式, 영어: anti-Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

{\displaystyle B(u,v)=-{\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V}
만약 K의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. **교대 반쌍선형 형식**(交代半雙線型形式, 영어: alternating sesquilinear form)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

### 비퇴화 형식

체 K 위의 벡터 공간 V 위의 쌍선형 형식 B의 **왼쪽 근기**(영어: left radical)와 **오른쪽 근기**(영어: right radical)는 각각 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {rad\_{L}} B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}}
{\displaystyle \operatorname {rad\_{R}} B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}}
대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 B의 **근기**(영어: radical) {\displaystyle \operatorname {rad} B}라고 한다.

체 K 위의 벡터 공간 V 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 B의 근기가 \{0\}이라면, B를 **비퇴화 쌍선형 형식**(非退化雙線型形式, 영어: nondegenerate bilinear form)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

\forall v\colon\left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0
이 경우, B를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

i\colon V\to V^\*
v\mapsto B(v,-)
이 주어진다. (만약 B가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, B가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 V는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

### 쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식

체 K 위의 벡터 공간 V 위의 쌍선형 형식 B에 **대응하는 이차 형식**(영어: associated quadratic form) Q\_B은 다음과 같은 이차 형식이다.

Q\_B\colon V\to K
Q\_B\colon v\mapsto B(v,v)
쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 K의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

#### 홀수 표수

K의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, B를 대칭 성분과 반대칭 성분

{\displaystyle B^{+}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)+B(v,u)\right)}
{\displaystyle B^{-}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)-B(v,u)\right)}
으로 분해할 수 있으며, B에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 {\displaystyle B^{+}}에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

{\displaystyle B(u,v)={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}
그렇다면 Q는 B에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

#### 짝수 표수

K의 표수가 2인 경우, 1/2를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 V가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, V가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

예
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### 이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식

2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}
표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

{\displaystyle B(x,y;x',y')=axx'+{\frac {1}{2}}b(x'y+xy')+cyy'={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}
만약 표수가 2인 경우, {\displaystyle b/2}를 정의할 수 없다. 만약 b\neq 0이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

### 짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

{\displaystyle B(x,y;x',y')=xx'}
이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

{\displaystyle B(1,0;1,0)=1}
이므로 교대 형식이 아니다.

참고 문헌
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1. ↑  "쌍1차형식". 북한과학기술네트워크. 2015년 9월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 25일에 확인함.
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3. 1 2 3 4  Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **251**. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.

* Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **73**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. Zbl 0292.10016.
* Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). 《The algebraic and geometric theory of quadratic forms》. Colloquium Publications (영어) **56**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4329-1.
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