조합론에서 **해밍 결합 도식**(Hamming結合圖式, 영어: Hamming association scheme)은 해밍 거리가 주어진 곱집합으로 구성된 결합 도식이다.

정의
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### 해밍 거리를 통한 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 유한 집합 \Sigma
* 자연수 n\in \mathbb {N}

그렇다면, 곱집합 {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위에 다음과 같은 이항 관계 {\displaystyle (\sim \_{0},\sim \_{1},\dotsc ,\sim \_{n})}들을 주자.

{\displaystyle u\sim \_{i}v\iff \operatorname {d\_{H}} (u,v)=i\qquad (u,v\in \Sigma ^{n})}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {d\_{H}} \colon \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}\to \{0,1,\dotsc ,n\}}은 해밍 거리이다.

그렇다면, {\displaystyle (\Sigma ^{n},\{\sim \_{i}\}\_{0\leq i\leq n})}은 결합 도식을 이룬다. 이를 **{\displaystyle (n,|\Sigma |)}-해밍 결합 도식**이라고 한다.:18–19, §1.4.3:2479, Example 1

### 군 작용을 통한 정의

해밍 결합 도식은 대신 군의 작용을 통해 정의될 수도 있다.:2482, Example 1 (continued)

구체적으로, 곱집합 {\displaystyle \Sigma ^{n}}이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 단사 군 준동형을 생각할 수 있다.

{\displaystyle f\colon \operatorname {Sym} (n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})}
{\displaystyle g\colon \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})}
여기서

* f는 {\displaystyle \Sigma ^{n}}의 원소의 n개의 성분들 사이의 순열을 취하는 것이다.
* g는 {\displaystyle \Sigma ^{n}}의 원소의 n개의 성분들에 각각 순열을 가하는 것이다.

g의 상은 {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})}의 정규 부분군이며, 분할 완전열

{\displaystyle 1\to \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}{\xrightarrow {g}}\operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})\to \operatorname {Sym} (n)\to 1}
이 존재한다. 그렇다면, f와 g의 상으로 생성되는, 대칭군 {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})}의 부분군을 생각할 수 있으며, 이는 \operatorname {Sym} (n)과 {\displaystyle \operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}}의 반직접곱

{\displaystyle G=\operatorname {Sym} (\Sigma )^{n}\rtimes \operatorname {Sym} (n)\leq \operatorname {Sym} (\Sigma ^{n})}
이다.

그렇다면, {\displaystyle \Sigma ^{n}\times \Sigma ^{n}} 위에 G의 성분별 작용

{\displaystyle g\cdot (u,v)=(g\cdot u,g\cdot v)}
을 가했을 때, 그 궤도들은 {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위의 결합 도식을 정의하며, 이를 **해밍 결합 도식**이라고 한다.

### 일반화 해밍 결합 도식

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 결합 도식 {\displaystyle (\Sigma ,m,{\mathcal {R}}=(R\_{0},R\_{1},\dotsc ,R\_{m}))}
* 자연수 n\in \mathbb {N}

그렇다면, 곱집합 {\displaystyle \Sigma ^{n}}의 임의의 두 원소 {\displaystyle u,v\in \Sigma ^{n}}에 대하여,

{\displaystyle h(u,v)=(h\_{0}(u,v),h\_{1}(u,v),\dotsc ,h\_{m}(u,v))\in \mathbb {Z} ^{m+1}}
{\displaystyle h\_{i}(u,v)={\begin{cases}1&(u,v)\in R\_{i}\\0&(u,v)\not \in R\_{i}\end{cases}}}
를 정의하자. 그렇다면,

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{m}h\_{i}(u,v)=n}
이다. 이제, {\mathcal {H}}가

* {\displaystyle m+1}개의 성분을 가지며,
* 모든 성분이 0 또는 1이며,
* 모든 성분의 합이 n인

벡터들의 집합이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \Sigma ^{n}} 위에 각 {\displaystyle h'\in {\mathcal {H}}}에 대하여

{\displaystyle u\sim \_{h'}v\iff h(u,v)=h'}
를 주면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 {\displaystyle (\Sigma ,m,{\mathcal {R}})} 위의 n차 **일반화 해밍 결합 도식**(영어: generalized Hamming association scheme)이라고 한다.

성질
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해밍 결합 도식은 대칭 결합 도식이다. 즉, 그 모든 이항 관계는 대칭 관계이다.

### 대수적 성질

해밍 결합 도식 {\displaystyle \operatorname {H} (n,|\Sigma |)}의 인접 행렬들이 {\displaystyle (D\_{i})\_{0\leq i\leq n}}라고 하자.

해밍 결합 도식의 구조 상수는 다음과 같다.:334, §2.3

{\displaystyle D\_{i}D\_{j}=\sum \_{k=0}^{n}p\_{ij}^{k}D\_{k}}
{\displaystyle p\_{ij}^{k}=\sum \_{m=0}^{n-k}{\binom {k}{k+m-i}}{\binom {i-m}{k-j+m}}{\binom {n-k}{m}}(|\Sigma |-1)^{m}(|\Sigma |-2)^{i+j-k-2m}}
특히, {\displaystyle |\Sigma |=2}일 때 이는 {\displaystyle m=(i+j-k)/2}인 항만 남게 되며, 이 경우 구조 상수는 다음과 같다.

{\displaystyle p\_{ij}^{k}={\begin{cases}{\binom {k}{(i-j+k)/2}}{\binom {n-k}{(i+j-k)/2}}&2\mid i+j-k\\0&2\nmid i+j-k\end{cases}}\qquad (0\leq i,j,k\leq n)}
그렇다면, 해밍 결합 도식의 복소수 계수 보스-메스너 대수의 최소 멱등원들은 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{a}={\frac {1}{|\Sigma |^{n}}}\sum \_{i=0}^{n}Q\_{ai}D\_{i}\qquad (0\leq a\leq n)}
{\displaystyle D\_{i}=\sum \_{a=0}^{n}P\_{ia}E\_{i}\qquad (0\leq i\leq n)}
{\displaystyle Q\_{ai}=\operatorname {K} \_{a}(i;n,|\Sigma |)}
{\displaystyle P\_{ia}=\operatorname {K} \_{i}(a;n,|\Sigma )}
여기서

{\displaystyle \operatorname {K} \_{i}(x;n,q)=\sum \_{j=0}^{i}(-)^{j}(q-1)^{i-j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{i-j}}\in \mathbb {Z} [x]}
는 **크라우추크 다항식**(Кравчук多項式, 영어: Krawtchouk polynomial)이다.

또한, 다음이 성립한다.:2481, §II.B, Example 1 (continued)

{\displaystyle v\_{i}=p\_{ii}^{0}={\binom {n}{i}}(|\Sigma |-1)^{i}}
{\displaystyle m\_{a}=\dim \operatorname {im} E\_{a}={\binom {n}{a}}(|\Sigma |-1)^{a}}
여기서 {\displaystyle {\vec {v}}} 및 {\displaystyle {\vec {m}}}이 같은 것은 해밍 결합 도식이 스스로의 쌍대이기 때문이다.

예
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(2,2)-해밍 결합 도식은 다음과 같다.

|  | AA | AB | BA | BB |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| AA | 0 | 1 | 1 | 2 |
| AB | 1 | 0 | 2 | 1 |
| BA | 1 | 2 | 0 | 1 |
| BB | 2 | 1 | 1 | 0 |

역사
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"해밍 결합 도식"이라는 용어는 리처드 해밍의 이름을 땄으며, 해밍 거리에서 유래하였다.

크라우추크 다항식은 우크라이나의 수학자 미하일로 필리포비치 크라우추크(우크라이나어: Миха́йло Пили́пович Кравчу́к, 러시아어: Михаил Филиппович Кравчук 미하일 필리포비치 크랍추크[\*], 1892~1942)가 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Bailey, Rosemary Anne (2004). 《Association schemes: designed experiments, algebra and combinatorics》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511610882. ISBN 978-0-521-82446-0. MR 2047311.
2. 1 2 3  Delsarte, Philippe; Levenshtein, Vladimir Iosifovich (1998년 10월). "Association schemes and coding theory". 《Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Information Theory》 (영어) **44** (6): 2477–2504. doi:10.1109/18.720545. ISSN 0018-9448.
3. ↑  Godsil, Chris (2010). "Generalized Hamming schemes" (영어). arXiv:1011.1044. Bibcode:2010arXiv1011.1044G.
4. ↑  Yoshikawa, Masayoshi. "Modular adjacency algebras of Hamming schemes" (PDF). 《Journal of Algebraic Combinatorics》 (영어) **20** (3): 331–340. doi:10.1023/B:JACO.0000048521.68503.2b. ISSN 0925-9899.
5. ↑  Coleman, Rodney (2011). "On Krawtchouk polynomials" (영어). arXiv:1101.1798. Bibcode:2011arXiv1101.1798C.
6. ↑  Krawtchouk, M. (1929년 9월 23일), "Sur une généralisation des polynomes d’Hermite", 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **189**: 620–622, JFM 55.0799.01