매트로이드 이론에서 **순환 매트로이드**(循環matroid, 영어: cycle matroid)는 그래프로부터 정의될 수 있는 매트로이드이다. 순환 매트로이드의 회로는 그래프 순환이다. 순환 매트로이드의 쌍대 매트로이드는 **접합 매트로이드**(接合matroid, 영어: bond matroid)라고 한다.

정의
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(유한 또는 무한) 그래프 \Gamma 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 변들의 집합 {\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )}위에는 다음과 같은 두 매트로이드 구조를 줄 수 있다.

### 순환 매트로이드

{\displaystyle {\mathcal {I}}(\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))}가 \Gamma 의 숲들의 집합이라고 하자.

그렇다면 {\displaystyle (\operatorname {E} (\Gamma ),{\mathcal {I}}(\Gamma ))}는 매트로이드를 이루며, 이를 \Gamma 의 **순환 매트로이드**(영어: cycle matroid) {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma )}라고 한다.:§2.2 순환 매트로이드의 회로는 그래프의 순환들이다.

### 접합 매트로이드

그래프 \Gamma 의 **절단**(絶斷, 영어: cut) {\displaystyle B\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )}는 제거하면 연결 성분의 수가 증가하는 변의 집합이다. 즉, 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 두 꼭짓점 {\displaystyle u,v\in \operatorname {V} (\Gamma )}가 존재하여야 한다.

* {\displaystyle u\neq v}이다.
* u와 v 사이의 모든 (유한) 경로가 하나 이상 존재한다. 즉, u와 v는 같은 연결 성분에 속한다.
* u와 v 사이의 모든 (유한) 경로들은 B에 속하는 변을 적어도 하나 이상 포함한다.

그래프 \Gamma 의 **접합**(接合, 영어: bond) {\displaystyle B\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )}는 절단의 집합의 (부분 집합 관계에 대한) 극소 원소이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* B는 절단이다.
* 임의의 {\displaystyle e\in B}에 대하여, {\displaystyle B\setminus \{e\}}는 절단이 아니다.

\Gamma 의 접합들의 집합을

{\displaystyle {\mathcal {I}}^{\*}(\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))}
라고 하자.

\Gamma 의 접합을 회로로 갖는 매트로이드

{\displaystyle \operatorname {M} ^{\*}(\Gamma )=(\operatorname {E} (\Gamma ),{\mathcal {I}}^{\*}(\Gamma ))}
를 \Gamma 의 **접합 매트로이드**라고 한다.:§2.2 접합 매트로이드는 순환 매트로이드의 쌍대 매트로이드이다.

성질
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### 그래프 성질과의 관계

그래프의 성질과 순환 매트로이드 · 접합 매트로이드의 성질들은 다음과 같이 대응된다.

| 그래프 | 순환 매트로이드 | 접합 매트로이드 |
| --- | --- | --- |
| 순환 | 회로 | 쌍대 회로 |
| 접합 | 쌍대 회로 | 회로 |
| 숲 | 독립 집합 | 쌍대 독립 집합 |
| 순환을 포함한 변 집합 | 종속 집합 | 쌍대 종속 집합 |
| 절단이 아닌 집합 | 쌍대 독립 집합 | 독립 집합 |
| 절단 | 쌍대 종속 집합 | 종속 집합 |
| 제한 그래프 마이너 | 제한 매트로이드 마이너 | 축약 매트로이드 마이너 |
| 축약 그래프 마이너 | 축약 매트로이드 마이너 | 제한 매트로이드 마이너 |
| 그래프 마이너 | 매트로이드 마이너 | 매트로이드 마이너 |
| 그래프 안둘레 | 매트로이드 안둘레 | 쌍대 매트로이드 안둘레 |
| 변 연결도 | 쌍대 매트로이드 안둘레 | 매트로이드 안둘레 |

특히, 순환 매트로이드와 접합 매트로이드의 매트로이드 마이너는 둘 다 그래프 마이너와 대응한다.

### 유한성

순환 매트로이드는 항상 유한형 매트로이드이다.:§2.2 즉, 그 모든 회로들은 항상 유한 집합이다. 반면, 무한 그래프의 접합 매트로이드는 일반적으로 유한형 매트로이드가 아니다. (물론, 유한 그래프의 접합 매트로이드는 유한 매트로이드이다.)

예
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무변 그래프의 경우, 그 순환 그래프와 접합 그래프 둘 다 크기 0의 유일한 매트로이드이다.

숲 그래프 T의 경우, 그 순환 매트로이드는 모든 집합이 독립 집합인 균등 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {Unif} (\operatorname {E} (T),0)^{\*}}이며, 그 접합 매트로이드는 공집합만이 독립 집합인 균등 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {Unif} (\operatorname {E} (T),0)}이다.

순환 그래프 C\_{n}의 경우, 그 순환 매트로이드는 균등 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {Unif} (\operatorname {E} (C\_{n}),n-1)}이다. 즉, 전체 집합을 제외한 모든 부분 집합이 독립 집합이다. 반대로, 그 접합 매트로이드는 균등 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {Unif} (\operatorname {E} (C\_{n}),1)}이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi A.; Wollan, Paul (2013년 6월 1일). "Axioms for infinite matroids". 《Advances in Mathematics》 (영어) **239**: 18–46. arXiv:1003.3919. Bibcode:2010arXiv1003.3919B. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011. Zbl 1279.05013.

* Oxley, James (2001). 〈On the interplay between graphs and matroids〉 (PDF). Hirschfeld, James W. P. 《Surveys in combinatorics, 2001》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **288**. Cambridge University Press. 199–240쪽. doi:10.1017/CBO9780511721328.010. ISBN 978-0-521-00270-7. Zbl 0979.05030.