가환대수학에서 **정칙렬**(正則列, 영어: regular sequence 레귤러 시퀀스[\*])은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.:123–152, Chapter 6 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 a\_{i}는 그 이전 성분들({\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{i-1}})로 생성되는 부분 가군 {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{i-1})M}에 대한 몫가군 {\displaystyle M/(a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{i-1})M}의 영인자가 아니다.

대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 R
* R의 아이디얼 \mathfrak a
* R의 가군 M. 또한, {\mathfrak a}M\subsetneq M이라고 하자.

유한 원소열 r\_{1},\dots ,r\_{n}\in R가 다음 조건을 만족시키면, M의 **정칙렬**이라고 한다.:419

* 임의의 i=1,2,\dots ,n 및 m\in M에 대하여، 만약 {\displaystyle r\_{i}m\in (r\_{1},\dotsc ,r\_{i-1})M}이라면, {\displaystyle m\in (r\_{1},\dotsc ,r\_{i-1})M}이다. (즉, r\_{i}는 {\displaystyle M/(r\_{1},\dots ,r\_{i-1})M}의 영인자가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 {\displaystyle (r\_{1},\dotsc ,r\_{n})M\neq M}이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 \operatorname {Ann}\_{R}M 속의 일련의 부분 스킴들

{\displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} \_{R}M}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} \_{R}(M/r\_{1}M)}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} \_{R}(M/(r\_{1},r\_{2})M)}}\leftarrow \dotsb }
에 대응된다. 특히, 만약 {\displaystyle M=R}인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열

{\displaystyle \operatorname {Spec} R\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r\_{1})}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r\_{1},r\_{2})}}\leftarrow \dotsb }
에 해당한다.

성질
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R-가군 M 속의 정칙렬 {\displaystyle r\_{1},r\_{2},\dotsc ,r\_{d}}이 주어졌을 때, 임의의 가역원 {\displaystyle u\_{1},u\_{2},\dots ,u\_{d}\in R^{\times }}에 대하여 {\displaystyle u\_{1}r\_{1},\dotsc ,u\_{d}r\_{d}} 역시 정칙렬이다.

### 국소화

R-가군 M 속의 정칙렬 {\displaystyle r\_{1},\dotsc ,r\_{d}}이 주어졌으며, R의 곱셈 모노이드 {\displaystyle S\subseteq R}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 S^{{-1}}R로 가는 표준 환 준동형 {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}에 대하여, 원소열 {\displaystyle \phi (r\_{1}),\dotsc ,\phi (r\_{d})} 역시 S^{{-1}}M의 정칙렬이다.

**증명:**

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. {\displaystyle \phi (r\_{1}),\dotsc ,\phi (r\_{d})}가 정칙렬이라는 것은

{\displaystyle (\phi (r\_{i})\cdot )\colon {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r\_{1}),\dotsc ,\phi (r\_{i-1}))S^{-1}M}}\to {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r\_{1}),\dotsc ,\phi (r\_{i-1}))S^{-1}M}}}
가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수

{\displaystyle r\_{i}\colon {\frac {M}{(r\_{1},\dotsc ,r\_{i-1})M}}\to {\frac {M}{(r\_{1},\dotsc ,r\_{i-1})M}}}
의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 {\displaystyle (r\_{1},\dotsc ,r\_{d})M\neq M}이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

### 순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환 R의 유한 생성 가군 M에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{d}}의 순열은 역시 정칙렬이다.:126, Theorem 16.3

* 아이디얼 {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{d})}은 R의 근기 {\displaystyle \operatorname {rad} R}의 부분 집합이다.

### 깊이

 이 부분의 본문은 가군의 깊이입니다.
 이 부분의 본문은 코언-매콜리 환입니다.
뇌터 가환환 R의 아이디얼 {\mathfrak a}\subsetneq R 및 유한 생성 가군 M이 주어졌을 때, \mathfrak a 속에 포함된 M-정칙렬의 최대 길이를 {\displaystyle ({\mathfrak {a}},M)}의 **깊이**라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 **코언-매콜리 국소환**이라고 한다.

예
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길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

### 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,

{\displaystyle x,y(1-x),z(1-x)}
는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인

{\displaystyle y(1-x),z(1-x),x}
는 정칙렬이 아니다.:127, §16 구체적으로, {\displaystyle y(1-x)}는 {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}의 영인자가 아니지만, {\displaystyle z(1-x)}는 {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))}의 영인자이다. 예를 들어

{\displaystyle z(1-x)\cdot y\in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]}
{\displaystyle y\not \in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]}
이다.

기하학적으로, {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x)}
는 x=0으로 정의되는 yz 평면이다. 그 속에서

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y)}
는 z축이며,

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y,z)}
는 그 속의 원점이다.

반면,

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))}
는 y=0 평면과 {\displaystyle x=1} 평면의 합집합이다. 그 속에서

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))}
는

{\displaystyle y=z=0} 축과 x=1 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **8**. 번역 Reid, Miles 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
2. ↑  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **150**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.