리만 기하학에서 **단면 곡률**(斷面曲率, 영어: sectional curvature)은 특정한 접평면에 대한 방향으로 리만 다양체가 굽는 양을 나타내는 실수이다. 단면 곡률에 상한 또는 하한을 가하면, 리만 다양체의 다양한 미분기하학·미분위상수학적 정보를 유추할 수 있다.

정의
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리만 다양체 (M,g) 위의 점 x\in M 및 접공간 T\_{x}M의 2차원 부분 벡터 공간 \sigma \subset T\_{x}M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 기저

\sigma =\operatorname {Span} \{u,v\}
를 고르자. 접벡터 u,v\in T\_{x}M에 대하여, \sigma  방향의 **단면 곡률** \operatorname {sect} (\sigma )는 다음과 같다.

\operatorname {sect} (\sigma )=\operatorname {sect} (u,v)={\frac {g(\operatorname {Riem} (u,v),u)}{g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^{2}}}
여기서 \operatorname {Riem} 은 리만 곡률 텐서이다. \operatorname {sect} (\sigma )는 \sigma 의 기저 (u,v) 및 방향에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

리만 다양체 (M,g) 위에, 2-그라스만 다발 \operatorname {Gr} (2,TM)을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 x\in M에서의 올은 그라스만 다양체 \operatorname {Gr} (2,T\_{x}M)이다. 이 경우, 단면 곡률

K\colon \operatorname {Gr} (2,TM)\to \mathbb {R} 
은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수를 이룬다.

성질
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리만 다양체 (M,g) 및 양의 실수 \lambda 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 {\tilde {g}}=\lambda ^{2}g에 대하여, (M,{\tilde {g}})의 \sigma \in \operatorname {Gr} (2,T\_{x}M)에서의 단면 곡률 \operatorname {sect} \_{\tilde {g}}는 다음과 같다.

\operatorname {sect} \_{\tilde {g}}(\sigma )=\lambda ^{-2}\operatorname {sect} \_{g}(\sigma )
즉, 단면 곡률의 단위는 리만 곡률과 마찬가지로 [길이]−2이다.

### 공간 형식

모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 **공간 형식**(空間形式, 영어: space form)이라고 한다.

모든 연결 단일 연결 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다.

* 쌍곡 공간 (\operatorname {sect} <0)
* 초구 (\operatorname {sect} >0)
* 유클리드 공간 (\operatorname {sect} =0)

다시 말해, 모든 공간 형식은 쌍곡 공간 · 초구 · 유클리드 공간의 몫공간들의 분리합집합이다.

**슈어 보조정리**(영어: Schur’s lemma)에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 공간 형식이다.
* 임의의 점 x\in M 및 임의의 \sigma \in \operatorname {Gr} (2,T\_{x}M)에 대하여 \operatorname {sect} (\sigma )=f(x)가 되는 함수 f\colon M\to \mathbb {R} 가 존재한다.

그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.)

슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면,

R\_{ijkl}=f(x)(g\_{ik}g\_{jl}-g\_{il}g\_{jk})
가 된다. 그런데 이 경우 제2 비안키 항등식은 다음과 같이 된다.

0=R\_{ijkl;m}+R\_{ijlm;k}+R\_{ijmk;l}\propto f\_{;n}(\cdots )\_{ijklm}{}^{n}
괄호 (\cdots )에 속한 성분은 리만 계량 g\_{{ij}}으로 구성되며, \dim M\geq 3일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 f\_{;n}=0이다.

### 단면 곡률이 하한을 갖는 다양체

완비 리만 다양체 M 위의, 측지선으로 구성된, 꼭짓점이 x,y,z\in M인 삼각형 \triangle xyz를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

* M의 모든 단면 곡률이 하한 K\geq \delta 를 만족시킨다.
* {\overline {xy}}는 x,y 사이의 최단 측지선이다.
* 만약 \delta >0일 경우, {\overline {xy}}의 길이 d\_{M}(x,y)는 \pi /{\sqrt {\delta }} 미만이다.

M'이 단면 곡률이 \delta 인 부피 형식이라고 하고, \triangle x'y'z'이 M' 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.)

* d\_{M'}(x',y')=d\_{M}(x,y)
* d\_{M'}(x',z')=d\_{M}(x,z)
* \angle zxy=\langle z'x'y'

그렇다면, **토포고노프 정리**(영어: Topogonov theorem)에 따르면 다음이 성립한다.

d(y,z)\leq d(y',z')
**그로우에-피터슨 유한성 정리**(영어: Grove–Petersen finiteness theorem)에 따르면, 임의의 차원 n, 실수 C\in \mathbb {R}  및 D,V\in \mathbb {R} ^{+}에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 리만 다양체들의 호모토피 유형들의 수는 유한하다.

* 단면 곡률이 \operatorname {sect} \geq C이다.
* 지름이 D 이하이다.
* 부피가 V 이상이다.

이는 카르스텐 그로우에(덴마크어: Karsten Grove)와 피터 피터슨(영어: Peter Petersen)이 증명하였다.

### 단면 곡률이 유계인 다양체

**치거 유한성 정리**(영어: Cheeger finiteness theorem)에 따르면, 임의의 자연수 n 및 상수 C,D,V\in \mathbb {R} ^{+}에 대하여, 콤팩트 n차원 리만 다양체 가운데

* 단면 곡률이 어디서나 -C\leq \operatorname {sect} \leq C
* 지름이 D 이하
* 부피가 V 이상

인 것들의 미분 동형류의 수는 유한하다.

매끄러운 다양체 M이 임의의 양의 실수 \epsilon 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 리만 계량 g\_{\epsilon }을 갖는다면, M을 **거의 평탄 다양체**(영어: almost flat manifold)라고 한다.

* 모든 단면 곡률이 -\epsilon <\operatorname {sect} <\epsilon 이다.
* 지름이 1 이하이다.

**그로모프 거의 평탄 다양체 정리**(영어: Gromov’s theorem on almost flat manifold)에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \epsilon \_{n}\in \mathbb {R} ^{+}가 존재한다.

* 임의의 n차원 리만 다양체 M에 대하여, 만약 M의 모든 단면 곡률이 -\epsilon \_{n}\leq \operatorname {sect} \leq \epsilon \_{n}이라면, M은 거의 평탄 다양체이다.

**그로모프-루 정리**(영어: Gromov–Ruh theorem)에 따르면, 임의의 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 거의 평탄 다양체이다.
* M\cong N/\Gamma 인 리 군 N 및 이산군 \Gamma 가 존재하며, 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
	+ N은 단일 연결 멱영 리 군이다.
	+ F\leq \operatorname {Aut} (N)은 유한군이다.
	+ \Gamma \leq N\rtimes F는 이산군이며, N 위에 자유롭게 작용한다.

특히, 어떤 영다양체(영어: nilmanifold) {\tilde {M}}에 의한 유한 겹 피복 공간 {\tilde {M}}\twoheadrightarrow M이 존재한다.

연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* M의 모든 단면 곡률은 1<\operatorname {sect} \leq 4를 만족시킨다.

그렇다면, **초구 정리**(超球定理, 영어: sphere theorem)에 따르면 M은 같은 차원의 초구와 미분 동형이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 위상 동형인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 구간을 (1,4]에서 [1,4]로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, 푸비니-슈투디 계량을 준 복소수 사영 공간의 단면 곡률은 1\leq \operatorname {sect} \leq 4이지만, 초구와 미분 동형을 갖지 않는다.

### 단면 곡률이 0 이하인 다양체

**카르탕-아다마르 정리**(영어: Cartan–Hadamard theorem)에 따르면, 다음이 성립한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 K\leq 0이라면, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 완비 리만 다양체의 구조는 그 기본군에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 **프라이스만 정리**(영어: Preissmann’s theorem)라는 정리가 존재한다.

콤팩트 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 \operatorname {sect} <0이라면, M 위의 측지선 흐름은 에르고딕하다. (물론, 원환면의 경우 \operatorname {sect} =0이지만 이는 성립하지 않는다.)

모든 단면 곡률이 \operatorname {sect} \leq \kappa 가 되는 완비 리만 다양체 M은 CAT(*κ*) 공간을 이룬다. 특히, 만약 \operatorname {sect} \leq \kappa <0이라면, 그 기본군 \pi \_{1}(M)은 그로모프 쌍곡군(영어: Gromov hyperbolic group)을 이룬다.

### 단면 곡률이 0 초과인 비콤팩트 다양체

 이 부분의 본문은 영혼 (기하학)입니다.
연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. **영혼 정리**(靈魂定理, 영어: soul theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 S\subset M가 존재한다.

* S는 콤팩트 공간이다.
* (완전 측지성 영어: completely geodesic) S 속의 모든 측지선은 M 속의 측지선을 이룬다.
* (완전 볼록성 영어: completely convex) 임의의 x,y\in S에 대하여, x와 y를 잇는 모든 측지선은 S에 속한다.
* M은 S의 법다발의 전체 공간과 미분 동형이다.

이러한 S를 M의 **영혼**(靈魂, 영어: soul)이라고 한다.

따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다.

또한, **영혼 추측**(영어: soul conjecture)에 따르면, 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 x\in M이 존재한다면, M의 영혼은 한원소 공간이다. 즉, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.)

### 단면 곡률이 0 초과인 콤팩트 다양체

단면 곡률이 어디서나 0 초과인 n차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M에 대하여, 다음이 성립한다.

* (싱 정리 영어: Synge’s theorem) M은 홀수 차원 가향 다양체이거나, 짝수 차원 단일 연결 가향 다양체이거나, 기본군이 2차 순환군 \operatorname {Cyc} (2)인 짝수 차원 비가향 다양체이다.
* (마이어스 정리 영어: Myers’ theorem) 만약 M의 단면 곡률의 최솟값이 \kappa 라면, \operatorname {diam} M\leq \pi /{\sqrt {\kappa /(n-1)}}이다.

**그로모프 베티 수 정리**(영어: Gromov’s theorem on Betti numbers)에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 C(n)\in \mathbb {Z} ^{+}가 존재한다.

* 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 임의의 연결 콤팩트 n차원 다양체 M에 대하여, M의 베티 수들의 합은 C(n) 이하이다.
\sum \_{i=0}^{n}b\_{n}(M)\leq C(n)

이러한 다양체의 알려진 예는 드물다.

역사
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### 19세기

슈어 보조정리는 독일의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어(독일어: Friedrich Heinrich Schur, 1856~1932)가 증명하였다.:183, Lemma 11.22

카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트(독일어: Hans Carl Friedrich von Mangoldt, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 자크 아다마르가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 엘리 카르탕이 1928년에 이를 임의의 차원의 리만 다양체에 대하여 일반화하였다.

### 20세기 초

싱 정리는 아일랜드의 수학자 존 라이턴 싱(영어: John Lighton Synge, IPA: [dʒɒn laɪtən sɪŋ], 1897~1995)이 1936년에 증명하였다.

마이어스 정리는 미국의 수학자 섬너 바이런 마이어스(영어: Sumner Byron Myers, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다.

### 20세기 후반 ~ 21세기

토포고노프 정리는 러시아의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프(러시아어: Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов, 1930~2004)가 증명하였다.

영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰(독일어: Detlef Gromoll)이 증명하였으며, 같은 논문에서 영혼 추측을 추측하였다. 그리고리 페렐만은 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.

미분 동형에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레(독일어: Simon Brendle)와 리처드 숀(영어: Richard Schoen)이 증명하였다.

참고 문헌
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2. ↑  Schur, Friedrich (1886). "Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann’schen Krümmungsmaasses mit den projectiven Räumen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **27** (4): 537–567. doi:10.1007/BF01906632. ISSN 0025-5831.
3. 1 2  Hopper, Christopher; Andrews, Ben. 《The Ricci flow in Riemannian geometry: A complete proof of the differentiable 1/4-pinching theorem》 (영어). [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
4. ↑  Synge, John Lighton (1936). "On the connectivity of spaces of positive curvature". 《Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series)》 **7**: 316–320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316.
5. ↑  Myers, S. B. (1941). "Riemannian manifolds with positive mean curvature". 《Duke Mathematical Journal》 (영어) **8** (2): 401–404. doi:10.1215/S0012-7094-41-00832-3.
6. ↑  Toponogov, V. (1964). "Riemannian spaces having their curvature bounded below by a positive number". 《American Mathematical Society Translations》 **37**: 291–336.
7. ↑  Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972년 11월). "On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature". 《Annals of Mathematics》 (영어) **96** (3): 413–443. doi:10.2307/1970819. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970819. MR 0309010.
8. ↑  Perelman, Grigori (1994). "Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **40** (1): 209–212. doi:10.4310/jdg/1214455292. ISSN 0022-040X. MR 1285534. Zbl 0818.53056.
9. ↑  Brendle, Simon (2010). 《Ricci Flow and the Sphere Theorem》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **111**. American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/111. ISBN 0-8218-4938-7. MR 2583938.
10. ↑  Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). "Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms". 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) **22** (1): 287–307. doi:10.1090/s0894-0347-08-00613-9. MR 2449060.
11. ↑  Brendle, Simon; Schoen, Richard (2011). "Curvature, Sphere Theorems, and the Ricci Flow". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **48** (1): 1–32. doi:10.1090/s0273-0979-2010-01312-4. MR 2738904.

* Lee, John M. (1997). 《Riemannian manifolds: an introduction to curvature》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **176**. Springer. doi:10.1007/b98852. ISBN 978-0-387-98271-7. ISSN 0072-5285. 2015년 12월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 12월 5일에 확인함.