| 천체동역학 |
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| Angular parameters of an elliptical orbit |
| 궤도역학 |
| 방정식
* 케플러의 행성운동법칙
* 치올콥스키 로켓 방정식
* 활력방정식
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| 효율측정
* 유상 하중비
* 추진제 질량비
* 질량비
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| 과학자
* 요하네스 케플러
* 아이작 뉴턴
* 콘스탄틴 치올콥스키
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| * v
* t
* e
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이체 문제에서 **고유 궤도 에너지** \epsilon (specific orbital energy) 또는 **활력에너지**(vis-viva energy)는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 {\displaystyle \epsilon \_{p}}와 운동 에너지 {\displaystyle \epsilon \_{k}}의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=\epsilon \_{k}+\epsilon \_{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}
* v은 상대 궤도 속도이다.
* r은 두 물체 사이의 거리이다.
* {\displaystyle \mu ={G}(m\_{1}+m\_{2})}은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다.
* h은 상대 비각운동량이다.
* e은 궤도 이심률이다.
* a은 궤도 긴반지름이다.

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.

각 궤도에 대한 방정식 형태
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타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다.

{\displaystyle \epsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}
* {\displaystyle \mu =G\left(m\_{1}+m\_{2}\right)}은 표준 중력 변수이다.
* a은 궤도 긴반지름이다.

증명
타원 궤도에서 고유 각운동량 *h*는 다음으로 구해진다.
{\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}
고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.
{\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}
궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.
{\displaystyle v\_{p}^{2}={h^{2} \over r\_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}
따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.
{\displaystyle \epsilon ={\mu \over a}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\mu \over a}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}=-{\mu \over 2a}}
포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.

\epsilon = 0
쌍곡선 궤도에서는 *a*의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지({\displaystyle C\_{3}})로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.

{\displaystyle \epsilon ={\mu \over 2a}}
쌍곡선 초과 속도 {\displaystyle v\_{\infty }}와는 다음의 관계가 있다.

{\displaystyle 2\epsilon =C\_{3}=v\_{\infty }^{2}.}
따라서, 궤도 위치 벡터 \mathbf{r} 또는 궤도 속도 벡터 \mathbf{v}를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

### 변화율

타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}
* {\displaystyle \mu ={G}(m\_{1}+m\_{2})}은 표준 중력 변수이다.
* {\displaystyle a\,\!}은 궤도 긴반지름이다.

### 추가 에너지

궤도 중심체의 반지름이 *R*이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

{\displaystyle \ -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}
{\displaystyle 2a-R}은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 a가 R에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 {\displaystyle (gR/2)}로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.

{\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}={\frac {gR}{2}}}, {\displaystyle V={\sqrt {gR}}}

예시
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### 보이저 1호

보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다.

* 태양의 표준 중력 변수: {\displaystyle \mu =GM} = 132,712,440,018 km3⋅s−2
* r = 17×10^9 km
* v = 17.1 km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.

{\displaystyle \epsilon =\epsilon \_{k}+\epsilon \_{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}} = 146 km2⋅s−2 − 8 km2⋅s−2 = 138 km2⋅s−2
또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.

{\displaystyle v\_{\infty }=} 16.6 km/s

추력의 적용
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로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}과 위치 에너지 측의 값 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }의 합이다.

* **a**은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
* **g**은 중력장의 세기이다.
* **v**은 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,

{\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}
이는 |**v**|에 **v**와 **a** 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 **a**가 **v**의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.

로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 **v**와 **g** 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, **a**가 **v**와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, **v**와 **g** 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

**a**의 방향이 **v**와 같다면 식은 다음이 된다.

{\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}
### 고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값

| 궤도 | 거리(중심부터 중심까지) | 고도(지구의 표면부터) | 공전 속도 | 공전 주기 | 고유 궤도 에너지 |
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| *지구의 자전 (비교용)* | *6,378 km* | *0 km* | *465.1 m/s* | *23 시간 56 분* | *−62.6 MJ/kg* |
| 지구 표면에서의 이론적인 궤도 (적도) | 6,378 km | 0 km | 7.9 km/s | 1 시간 24 분 18 초 | −31.2 MJ/kg |
| 지구 저궤도 | 6,600–8,400 km | 200–2,000 km | * 원: 6.9–7.8 km/s
* 타원: 6.5–8.2 km/s
 | 1 시간 29 분 – 2 시간 8 분 | −29.8 MJ/kg |
| 몰니야 궤도 | 6,900–46,300 km | 500–39,900 km | 1.5–10.0 km/s | 11 시간 58 분 | −4.7 MJ/kg |
| 정지 궤도 | 42,000 km | 35,786 km | 3.1 km/s | 23 시간 56 분 | −4.6 MJ/kg |
| 달의 궤도 | 363,000–406,000 km | 357,000–399,000 km | 0.97–1.08 km/s | 27.3 일 | −0.5 MJ/kg |