수치해석에서 **라그랑주 다항식**은 **라그랑주 형식**에서 데이터 포인트의 주어진 집합으로부터 다항식을 보간하는 방법으로, 조제프루이 라그랑주의 이름에서 왔다. 이것은 1779년 에드워드 웨어링에 의해 처음으로 발견되었고, 1783년에 레온하르트 오일러에 의해 마지막으로 재발견되었다.

이 그림은 네개의 점((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9))에 대하여 (입방체의) 보간 다항식 *L*(*x*) (검정)을 보여준다. 이것은 *크기가 변형*된 기초 다항식 (y0*L*0(*x*), y1*L*1(*x*), y2*L*2(*x*) 그리고 y3*L*3(*x*))의 합이다. 보간 다항식은 4개의 모든 컨트롤 포인트를 지나고, 각각 *크기가 변형된* 기초 다항식은 그것들 각각의 컨트롤 포인트를 지나고 *x*가 다른 세개의 컨트롤 포인트에 부합되는 곳에서 0이다.

정의
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*k* + 1 데이터 포인트의 주어진 집합

(x\_{0},y\_{0}),\ldots ,(x\_{j},y\_{j}),\ldots ,(x\_{k},y\_{k})
여기서 *x**j*는 두 개의 같은 값이 존재하지 않고, **라그랑주 형식의 보간 다항식**은 선형 결합

{\displaystyle L(x):=\sum \_{j=0}^{k}y\_{j}\ell \_{j}(x)}
이다. 이것의 라그랑주 기초 다항식은 다음과 같다.

{\displaystyle \ell \_{j}(x):=\prod \_{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x\_{f}}{x\_{j}-x\_{f}}}={\frac {(x-x\_{0})}{(x\_{j}-x\_{0})}}\cdots {\frac {(x-x\_{j-1})}{(x\_{j}-x\_{j-1})}}{\frac {(x-x\_{j+1})}{(x\_{j}-x\_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x\_{k})}{(x\_{j}-x\_{k})}}.}
x\_i는 두 개의 같은 값이 존재하지 않기 때문에(그리고 존재할 수도 없다, 그렇지 않으면 데이터 집합의 의미가 모순된다), x\_{j}-x\_{f}\neq 0.이 표현이 잘 정의 된다.

증명
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*L*(*x*)가 적절히 데이터를 보간 하기 위하여,
우리가 관찰하는 함수는 각 데이터 포인트 *j*에 해당하는 *k* 보다 적거나 같은 차수의 다항식 *L*(*x*)이어야 한다.

L(x\_{j})=y\_{j}\qquad j=0,\ldots ,k
만약 이 문항이 모든 *j*를 쥐고 있다면, 우리는 그 다항식이 보간 문제의 솔루션이라 말한다.

증명:

1. 곱에서 *k* 항을 포함하고 있고 각 항마다 x 하나를 포함하고 있는 \ell \_{j}(x)에서, *L*(*x*)(이것은 *k*차 다항식의 합이다.)는 *k*차 다항식이어야 한다.
2. \ell \_{j}(x\_{i})=\prod \_{{f=0,\,f\neq j}}^{{k}}{\frac {x\_{i}-x\_{f}}{x\_{j}-x\_{f}}}

이 곱셈을 확장한다면 무엇이 일어날지를 보라. 곱이 f=j을 스킵하기 때문에, 만약 i=j라면 모든 항이 {\frac {x\_{j}-x\_{f}}{x\_{j}-x\_{f}}}=1 이다(x\_{j}=x\_{f}인 경우는 제외한다).

주요 아이디어
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사용예
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### 예1

탄젠트 함수와 그것의 보간
값이 잘 알려진 주어진 집합 *ƒ*(*x*) = tan(*x*)를 이용하여 보간 수식을 찾아라:

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{0}&=-1.5&&&&&f(x\_{0})&=-14.1014\\x\_{1}&=-0.75&&&&&f(x\_{1})&=-0.931596\\x\_{2}&=0&&&&&f(x\_{2})&=0\\x\_{3}&=0.75&&&&&f(x\_{3})&=0.931596\\x\_{4}&=1.5&&&&&f(x\_{4})&=14.1014\end{aligned}}}
기초 다항식: 

{\displaystyle \ell \_{0}(x)={x-x\_{1} \over x\_{0}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{0}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{0}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{0}-x\_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)}
{\displaystyle \ell \_{1}(x)={x-x\_{0} \over x\_{1}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{1}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{1}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{1}-x\_{4}}={}-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)}
{\displaystyle \ell \_{2}(x)={x-x\_{0} \over x\_{2}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{2}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{2}-x\_{3}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{2}-x\_{4}}={3 \over 243}(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)}
{\displaystyle \ell \_{3}(x)={x-x\_{0} \over x\_{3}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{3}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{3}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{4} \over x\_{3}-x\_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)}
{\displaystyle \ell \_{4}(x)={x-x\_{0} \over x\_{4}-x\_{0}}\cdot {x-x\_{1} \over x\_{4}-x\_{1}}\cdot {x-x\_{2} \over x\_{4}-x\_{2}}\cdot {x-x\_{3} \over x\_{4}-x\_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)}
결론, 보간된 다항식

{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x\_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\\&{}\qquad {}-8f(x\_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x\_{2})(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x\_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\\&{}\qquad {}+f(x\_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4.834848x^{3}-1.477474x\end{aligned}}}
### 예2

### 예3