다른 뜻에 대해서는 끝 대상 문서를 참고하십시오.
범주론에서 **끝**(영어: end 엔드[\*])과 **쌍대끝**(雙對-, 영어: coend 코엔드[\*])은 어떤 데이터들을 범주론적으로 "이어붙이는" 연산이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}
* 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}

그렇다면, F의 **쐐기**(영어: wedge)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 대상 {\displaystyle W\in {\mathcal {D}}}
* 각 X\in {\mathcal {C}}에 대하여, 사상 {\displaystyle w\_{x}\colon W\to F(X^{\operatorname {op} },X)}

이는 임의의 X,Y\in {\mathcal {C}} 및 사상 {\displaystyle f\in \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}W&{\overset {w\_{X}}{\to }}&C(X,X)\\{\!\!\!\!\scriptstyle w\_{Y}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}w\_{Y}\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\color {White}\scriptstyle F(\operatorname {id} \_{X},f)}\downarrow \scriptstyle F(\operatorname {id} \_{X},f)\!\!\!\!\\C(Y,Y)&{\underset {F(f^{\operatorname {op} },\operatorname {id} \_{Y})}{\to }}&C(X,Y)\end{matrix}}}
마찬가지로, 함자 {\displaystyle G\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}의 **쌍대쐐기**(영어: cowedge) {\displaystyle (W,(w\_{X}\colon C(X,X)\to W)\_{X\in {\mathcal {C}}})}는 {\displaystyle G^{\operatorname {op} }\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}의 쐐기이다.

함자 F의 끝 {\displaystyle (E,e)}은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.

임의의 쐐기 {\displaystyle (W,w)}에 대하여, {\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}}\colon w\_{X}=e\_{X}\circ i}인 사상 {\displaystyle i\colon W\to E}이 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를

{\displaystyle \int \_{c\in {\mathcal {C}}}F(c,c)}
로 표기한다.

마찬가지로, 함자 {\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}의 쌍대끝은 {\displaystyle G^{\operatorname {op} }\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}의 끝이다. 이를

{\displaystyle \int ^{c\in {\mathcal {C}}}G(c,c)}
로 표기한다.

성질
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다음이 주어졌다고 하자.

* 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}}
* 함자 {\displaystyle F\colon ({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}}

**끝에 대한 푸비니 정리**(영어: Fubini theorem for ends)에 따르면, 만약

{\displaystyle \int \_{(X,Y)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)}
와

{\displaystyle \int \_{X\in {\mathcal {C}}}\int \_{Y\in {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)}
와

{\displaystyle \int \_{Y\in {\mathcal {D}}}\int \_{X\in {\mathcal {C}}}F(X,Y,X,Y)}
가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.:Remark 1.10(2) (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.)

예
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### 자연 변환

 이 부분의 본문은 자연 변환입니다.
다음이 주어졌다고 하자.

* 범주 {\mathcal {C}}
* 국소적으로 작은 범주 {\mathcal D}
* 함자 {\displaystyle F,G\colon X\to {\mathcal {D}}}

그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \hom \_{\mathcal {D}}(F(-),G(-))\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
이 함자의 끝

{\displaystyle \int \_{X\in {\mathcal {C}}}\hom \_{\mathcal {D}}(F(X),G(X))=\operatorname {Nat} (F,G)}
은 두 함자 F와 G 사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분

{\displaystyle \operatorname {Nat} (F,G)\to \hom(F(X),G(X))}
는 다음과 같다.

{\displaystyle (\eta \colon F\Rightarrow G)\mapsto (\eta \_{X}\colon F(X)\to G(X))}
즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {D}}(F(X),G(X))}들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.

### 기하학적 실현

 이 부분의 본문은 단체 집합입니다.
위상 공간의 범주 속의 단체 대상

{\displaystyle X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} }
과, 단체의 위상 공간 모형 함자

{\displaystyle G\colon \triangle \to \operatorname {Top} }
를 생각하자. 그렇다면, 함자

{\displaystyle F\colon \triangle \times \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} }
{\displaystyle F\colon n\mapsto G(n)\times X(n)}
을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.)

그렇다면, 그 쌍대끝

{\displaystyle |X|=\int ^{n\in \triangle }G(n)\times X(n)}
을 X의 **기하학적 실현**이라고 한다. 특히, 만약 X의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.

입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.

{\displaystyle X\colon \square ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} }
{\displaystyle G\colon \square \to \operatorname {Top} }
**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle |X| = \int^{n\in\square}G(n)\times X(n)}**

참고 문헌
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1. ↑  Loregian, Fosco (2015). "This is the (co)end, my only (co)friend" (영어). arXiv:1501.02503. Bibcode:2015arXiv150102503L.

* Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)