수학에서 **오일러-매클로린 공식**(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.

이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식으로 일반화되었다.

공식
--

만일 m 과 n 이 자연수 이고 *f*(*x*) 가 구간 [*m*,*n*] 에서 실수 x 에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식


I
=

∫

m

n

f
(
x
)

d
x

{\displaystyle I=\int \_{m}^{n}f(x)\,dx}

{\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.


S
=
f
(
m
+
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+
f
(
n
)

{\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}

{\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}( 사각형 방법 참조).

오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉 *x* = *m* 및 *x* = *n* 에서 평가된 더 높은 도함수 *f* (*k*)(*x*) 값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.

구체적으로, 양의 정수 p 와 [*m*,*n*] 구간에서 p 번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수 *f*(*x*) 에 대해 우리는 다음 식,


S
−
I
=

∑

k
=
1

p



B

k

k
!

(

f

(
k
−
1
)

(
n
)
−

f

(
k
−
1
)

(
m
)

)

+

R

p

,

{\displaystyle S-I=\sum \_{k=1}^{p}{{\frac {B\_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R\_{p},}

{\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}을 갖는데, 여기서 Bk 는 k번째 베르누이 수 (with *B*1 = 1/2이고, Rp 는 차이값으로 n, m, p, 및 f에 의돈하고 적당한 p에 대하여 작은 값이다.

이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는 *B*1 을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다. 이 경우에 식은,



∑

i
=
m

n

f
(
i
)
=

∫

m

n

f
(
x
)

d
x
+

f
(
n
)
+
f
(
m
)

2

+

∑

k
=
1

⌊

p
2

⌋



B

2
k

(
2
k
)
!

(

f

(
2
k
−
1
)

(
n
)
−

f

(
2
k
−
1
)

(
m
)

)

+

R

p

,

{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}f(i)=\int \_{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum \_{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R\_{p},}

{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}가 되고, 달리 표현하면,



∑

i
=
m
+
1

n

f
(
i
)
=

∫

m

n

f
(
x
)

d
x
+

f
(
n
)
−
f
(
m
)

2

+

∑

k
=
1

⌊

p
2

⌋



B

2
k

(
2
k
)
!

(

f

(
2
k
−
1
)

(
n
)
−

f

(
2
k
−
1
)

(
m
)

)

+

R

p

{\displaystyle \sum \_{i=m+1}^{n}f(i)=\int \_{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum \_{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R\_{p}}

{\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}}가 된다.

### 나머지 항

일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 *r* = *m*, *m* + 1, …, *n* − 1 대해 연속적인 구간 [*r*, *r* + 1] 에 대하여 부분적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.

나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 *Pk*(*x*) 로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 *B*0(*x*) = 1 에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고, *k* ≥ 1 인 경우 아래와 같이 된다.




B

k

′

(
x
)

=
k

B

k
−
1

(
x
)
,


∫

0

1

B

k

(
x
)

d
x

=
0.



{\displaystyle {\begin{aligned}B\_{k}'(x)&=kB\_{k-1}(x),\\\int \_{0}^{1}B\_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}주기화된 베르누이 함수는 다음 식,



P

k

(
x
)
=

B

k

(

x
−
⌊
x
⌋

)

{\displaystyle P\_{k}(x)=B\_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )}}

{\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )}}으로 정의되는데, 여기서 ⌊*x*⌋ 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로 *x* − ⌊*x*⌋ 는 항상 구간 [0,1) 에 있다.

이 표기법에서 나머지 항 Rp 는 다음과 같다.



R

p

=
(
−
1

)

p
+
1

∫

m

n

f

(
p
)

(
x
)

P

p

(
x
)

p
!

d
x
.

{\displaystyle R\_{p}=(-1)^{p+1}\int \_{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P\_{p}(x)}{p!}}\,dx.}

{\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}이 식은 *k* > 0 일 때 다음 식,


|

B

k

(
x
)

|

≤

2
⋅
k
!

(
2
π

)

k


ζ
(
k
)
,

{\displaystyle {\bigl |}B\_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}

{\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}으로 표기될 수 있는데, 여기서 ζ 는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 *Bk*(*x*) 에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한계값은 x 가 0일 때 짝수 k 에 대하여 달성된다. *ζ*(*k*) 항은 홀수 k 에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조). 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.



|

R

p

|

≤

2
ζ
(
p
)

(
2
π

)

p



∫

m

n

|

f

(
p
)

(
x
)

|

d
x
.

{\displaystyle \left|R\_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int \_{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}

{\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}
### 저 차수 사례

*B*1 부터 *B*7 까지의 베르누이 수는, 1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.




∑

i
=
m

n

f
(
i
)
−

∫

m

n

f
(
x
)

d
x

=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

∫

m

n

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

−

∫

m

n

f
″

(
x
)

P

2

(
x
)

2
!

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

+

∫

m

n

f
‴

(
x
)

P

3

(
x
)

3
!

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

−

1
30



f
‴

(
n
)
−

f
‴

(
m
)

4
!

−

∫

m

n

f

(
4
)

(
x
)

P

4

(
x
)

4
!

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

−

1
30



f
‴

(
n
)
−

f
‴

(
m
)

4
!

+

∫

m

n

f

(
5
)

(
x
)

P

5

(
x
)

5
!

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

−

1
30



f
‴

(
n
)
−

f
‴

(
m
)

4
!

+

1
42



f

(
5
)

(
n
)
−

f

(
5
)

(
m
)

6
!

−

∫

m

n

f

(
6
)

(
x
)

P

6

(
x
)

6
!

d
x



=

f
(
m
)
+
f
(
n
)

2

+

1
6



f
′

(
n
)
−

f
′

(
m
)

2
!

−

1
30



f
‴

(
n
)
−

f
‴

(
m
)

4
!

+

1
42



f

(
5
)

(
n
)
−

f

(
5
)

(
m
)

6
!

+

∫

m

n

f

(
7
)

(
x
)

P

7

(
x
)

7
!

d
x
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{i=m}^{n}f(i)-\int \_{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int \_{m}^{n}f'(x)P\_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int \_{m}^{n}f''(x){\frac {P\_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int \_{m}^{n}f'''(x){\frac {P\_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int \_{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P\_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int \_{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P\_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int \_{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P\_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int \_{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P\_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}

응용
--

### 바젤 문제

Basel 문제는 아래 합을 결정하는 것이다.


1
+

1
4

+

1
9

+

1
16

+

1
25

+
⋯
=

∑

n
=
1

∞

1

n

2

.

{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 *π*2/6과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.

### 다항식을 포함하는 합계

만일 f 가 다항식이고 p 가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어 *f*(*x*) = *x*3 이면 *p* = 2 를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.



∑

i
=
0

n

i

3

=

(

n
(
n
+
1
)

2

)

2

.

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}
### 적분의 근사

이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다. 이제 *a* < *b* 를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인 N 으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를 *h* = *b* − *a*/*N* − 1*h* = *b* − *a*/*N* − 1 으로 표기한다. *xi* = *a* + (*i* − 1)*h* 으로 고정하면, *x*1 = *a* 및 *xN* = *b*이 된다. 그렇다면 아래식으로 된다.



I

=

∫

a

b

f
(
x
)

d
x



∼
h

(

f
(

x

1

)

2

+
f
(

x

2

)
+
⋯
+
f
(

x

N
−
1

)
+

f
(

x

N

)

2

)

+

h

2

12

[

f
′

(

x

1

)
−

f
′

(

x

N

)

]

−

h

4

720

[

f
‴

(

x

1

)
−

f
‴

(

x

N

)

]

+
⋯



{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x\_{1})}{2}}+f(x\_{2})+\cdots +f(x\_{N-1})+{\frac {f(x\_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x\_{1})-f'(x\_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x\_{1})-f'''(x\_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}이것은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉 f 와 h 에 따라 일부 p 가 있으므로 과거 순서 p 가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.

오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.

### 합의 점근적 확장

합과 급수의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.



∑

n
=
a

b

f
(
n
)
∼

∫

a

b

f
(
x
)

d
x
+

f
(
b
)
+
f
(
a
)

2

+

∑

k
=
1

∞



B

2
k

(
2
k
)
!

(

f

(
2
k
−
1
)

(
b
)
−

f

(
2
k
−
1
)

(
a
)

)

,

{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}f(n)\sim \int \_{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum \_{k=1}^{\infty }\,{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}

{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}여기서 a 와 b 는 정수이다. 이 확장은 극한 *a* → −∞ 또는 *b* → +∞ 또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, 기본 함수의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.

예를 들어,



∑

k
=
0

∞

1

(
z
+
k

)

2


∼


∫

0

∞

1

(
z
+
k

)

2



d
k

⏟

=

1
z


+

1

2

z

2


+

∑

t
=
1

∞


B

2
t

z

2
t
+
1



{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \_{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} \_{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \_{t=1}^{\infty }{\frac {B\_{2t}}{z^{2t+1}}}}

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}}
와 같이 될 수 있다.

여기서 좌변은 *ψ*(1)(*z*), 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수,

{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)}
와 같다.

  

감마 함수 Γ(*z*) 는 (*z* − 1)! z 가 양의 정수일 때. 그 결과 *ψ*(1)(*z*) 에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.

#### 예

만일 s 가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.



∑

k
=
1

n

1

k

s

≈

1

s
−
1

+

1
2

−

1

(
s
−
1
)

n

s
−
1


+

1

2

n

s


+

∑

i
=
1


B

2
i

(
2
i
)
!

[

(
s
+
2
i
−
2
)
!

(
s
−
1
)
!

−

(
s
+
2
i
−
2
)
!

(
s
−
1
)
!

n

s
+
2
i
−
1



]

.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum \_{i=1}{\frac {B\_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}상수를 리만 제타 함수의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.



∑

k
=
1

n

1

k

s

∼
ζ
(
s
)
−

1

(
s
−
1
)

n

s
−
1


+

1

2

n

s


−

∑

i
=
1


B

2
i

(
2
i
)
!



(
s
+
2
i
−
2
)
!

(
s
−
1
)
!

n

s
+
2
i
−
1


.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum \_{i=1}{\frac {B\_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}여기서 s 가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.



∑

k
=
1

n

1

k

2

∼
ζ
(
2
)
−

1
n

+

1

2

n

2


−

∑

i
=
1


B

2
i

n

2
i
+
1

,

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum \_{i=1}{\frac {B\_{2i}}{n^{2i+1}}},}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}즉,



∑

k
=
1

n

1

k

2

∼

π

2

6

−

1
n

+

1

2

n

2


−

1

6

n

3


+

1

30

n

5


−

1

42

n

7


+
⋯
.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}여기서 *s* = 1 일 때 해당 기술은 고조파 수에 대해 점근적 확장을 제공한다.



∑

k
=
1

n

1
k

∼
γ
+
log
⁡
n
+

1

2
n

−

∑

k
=
1

∞


B

2
k

2
k

n

2
k


,

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{2kn^{2k}}},}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}여기서 *γ* ≈ 0.5772... 는 오일러-마스케로니 상수이다.

증명
--

### 수학적 귀납법에 의한 유도

우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.

위에서 *n* = 0, 1, 2, ... 에 대한 베르누이 다항식 *Bn*(*x*) 및 주기적 베르누이 함수 *Pn*(*x*) 가 소개되었다.

처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다.




B

0

(
x
)

=
1
,


B

1

(
x
)

=
x
−

1
2

,


B

2

(
x
)

=

x

2

−
x
+

1
6

,


B

3

(
x
)

=

x

3

−

3
2

x

2

+

1
2

x
,


B

4

(
x
)

=

x

4

−
2

x

3

+

x

2

−

1
30

,



⋮



{\displaystyle {\begin{aligned}B\_{0}(x)&=1,\\B\_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B\_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B\_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B\_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}*Bn*(1) 값은 베르누이 수 *B**n*이다. 특히 *n* ≠ 1 경우



B

n

=

B

n

(
1
)
=

B

n

(
0
)
,

{\displaystyle B\_{n}=B\_{n}(1)=B\_{n}(0),}

{\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}되고, 그리고 *n* = 1 인 경우,



B

1

=

B

1

(
1
)
=
−

B

1

(
0
)
.

{\displaystyle B\_{1}=B\_{1}(1)=-B\_{1}(0).}

{\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}이 됨을 유의하라.

함수 *P**n* 은 간격 [0, 1]에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적이다. 또한 *n* = 1 인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서,



P

n

(
0
)
=

P

n

(
1
)
=

B

n

for 

n
≠
1.

{\displaystyle P\_{n}(0)=P\_{n}(1)=B\_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}

{\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}*k* 를 정수로 두고 아래 적분,



∫

k

k
+
1

f
(
x
)

d
x
=

∫

k

k
+
1

u

d
v
,

{\displaystyle \int \_{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int \_{k}^{k+1}u\,dv,}

{\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}여기서



u

=
f
(
x
)
,

d
u

=

f
′

(
x
)

d
x
,

d
v

=

P

0

(
x
)

d
x

since 

P

0

(
x
)

=
1
,

v

=

P

1

(
x
)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P\_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P\_{0}(x)&=1,\\v&=P\_{1}(x).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}인 적분을 고려하자.

이 식은 부분 적분에 의하면 아래 식이 된다.




∫

k

k
+
1

f
(
x
)

d
x

=

[

u
v

]

k

k
+
1

−

∫

k

k
+
1

v

d
u



=

[

f
(
x
)

P

1

(
x
)

]

k

k
+
1

−

∫

k

k
+
1

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x



=

B

1

(
1
)
f
(
k
+
1
)
−

B

1

(
0
)
f
(
k
)
−

∫

k

k
+
1

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}\_{k}^{k+1}-\int \_{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P\_{1}(x){\bigr ]}\_{k}^{k+1}-\int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx\\&=B\_{1}(1)f(k+1)-B\_{1}(0)f(k)-\int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}*B*1(0) = −1/2*B*1(0) = −1/2, *B*1(1) = 1/2*B*1(1) = 1/2, 를 이용하고, 위 식을 *k* = 0 부터 *k* = *n* − 1까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.




∫

0

n

f
(
x
)

d
x

=

∫

0

1

f
(
x
)

d
x
+
⋯
+

∫

n
−
1

n

f
(
x
)

d
x



=

f
(
0
)

2

+
f
(
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+

f
(
n
)

2

−

∫

0

n

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{0}^{n}f(x)\,dx&=\int \_{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int \_{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int \_{0}^{n}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}양변에 *f*(*n*) − *f*(0)/2 을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다.



∑

k
=
1

n

f
(
k
)
=

∫

0

n

f
(
x
)

d
x
+

f
(
n
)
−
f
(
0
)

2

+

∫

0

n

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x
.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}f(k)=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int \_{0}^{n}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}이것은 합산 공식에서 *p* = 1 경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.



∫

k

k
+
1

f
′

(
x
)

P

1

(
x
)

d
x
=

∫

k

k
+
1

u

d
v
,

{\displaystyle \int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx=\int \_{k}^{k+1}u\,dv,}

{\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}여기서, 



u

=

f
′

(
x
)
,

d
u

=

f
″

(
x
)

d
x
,

d
v

=

P

1

(
x
)

d
x
,

v

=

1
2

P

2

(
x
)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P\_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P\_{2}(x).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}이다.
부분적분의 결과는 



[

u
v

]

k

k
+
1

−

∫

k

k
+
1

v

d
u

=

[

f
′

(
x
)

P

2

(
x
)

2

]

k

k
+
1

−

1
2

∫

k

k
+
1

f
″

(
x
)

P

2

(
x
)

d
x



=

B

2

2

(

f
′

(
k
+
1
)
−

f
′

(
k
)
)
−

1
2

∫

k

k
+
1

f
″

(
x
)

P

2

(
x
)

d
x
.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}\_{k}^{k+1}-\int \_{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P\_{2}(x)}{2}}\right]\_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int \_{k}^{k+1}f''(x)P\_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B\_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int \_{k}^{k+1}f''(x)P\_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}이다.
*k* = 0 에서 *k* = *n* − 1 까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서 *p* = 2 경우가 된다.



∑

k
=
1

n

f
(
k
)
=

∫

0

n

f
(
x
)

d
x
+

f
(
n
)
+
f
(
0
)

2

+

B

2

2

(

f
′

(
n
)
−

f
′

(
0
)

)

−

1
2

∫

0

n

f
″

(
x
)

P

2

(
x
)

d
x
.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}f(k)=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B\_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int \_{0}^{n}f''(x)P\_{2}(x)\,dx.}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 수학적 귀납법에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.

참고 문헌
-----

1. 1 2  Apostol, T. M. (1999년 5월 1일). "An Elementary View of Euler's Summation Formula". 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) **106** (5): 409–418. doi:10.2307/2589145. ISSN 0002-9890. JSTOR 2589145.
2. ↑  "Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences". National Institute of Standards and Technology.
3. ↑  Lehmer, D. H. (1940). "On the maxima and minima of Bernoulli polynomials". 《The American Mathematical Monthly》 **47** (8): 533–538. doi:10.2307/2303833. JSTOR 2303833.
4. ↑  Pengelley, David J. (2007). 〈Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula〉. 《Euler at 300》. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. 169–189쪽. arXiv:1912.03527. MR 2349549.
5. 1 2  Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). 《A first course in computational physics.》 2판. Jones and Bartlett Publishers. 156쪽.
6. ↑  Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. 편집. (1972). 《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables》. New York: Dover Publications. 16, 806, 886쪽. ISBN 978-0-486-61272-0.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|편집자-링크=` (도움말)

추가 자료
-----

* Gould, H. W.; Squire, William (1963). "Maclaurin's second formula and its generalization". 《Amer. Math. Monthly》 **70** (1): 44–52. doi:10.2307/2312783. JSTOR 2312783. MR 0146551.
* Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2002). "Introduction on Bernoulli's numbers".
* Martensen, Erich (2005). "On the generalized Euler-Maclaurin formula". 《Z. Angew. Math. Mech.》 **85** (12): 858–863. Bibcode:2005ZaMM...85..858M. doi:10.1002/zamm.200410217. MR 2184846.
* Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). 《Multiplicative number theory I. Classical theory》. Cambridge tracts in advanced mathematics **97**. 495–519쪽. ISBN 978-0-521-84903-6.