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다변수 미적분학에서 **역함수 정리**(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의
--

양의 정수 k 및 열린 근방 {\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 {\mathcal C}^{k} 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}가 다음을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\neq 0}
여기서 좌변은 {\mathbf f}의 {\displaystyle \mathbf {a} }에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, {\mathbf f}는 {\displaystyle \mathbf {a} }에서 국소 {\mathcal C}^{k} 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}가 존재한다.

* {\displaystyle \mathbf {f} (V)}는 열린집합이다.
* {\displaystyle \mathbf {f} |\_{V}}는 단사 함수이다.
* {\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}, {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mapsto \mathbf {x} }는 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

이를 **역함수 정리**라고 한다.:322-323

### 일변수의 경우

열린구간 {\displaystyle a\in I\subseteq \mathbb {R} } 및 {\mathcal C}^{k} 함수 f\colon I\to {\mathbb R}가 다음을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle f'(a)\neq 0}
그렇다면, f는 a에서 국소 {\mathcal C}^{k} 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 {\displaystyle a\in J\subseteq I}가 존재한다.

* {\displaystyle f(J)}는 열린구간이다.
* {\displaystyle f|\_{J}}는 단사 함수이다.
* {\displaystyle g\colon f(J)\to \mathbb {R} }, {\displaystyle f(x)\mapsto x}는 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

증명
--

임의의 {\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 다음과 같은 함수 {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}를 정의하자.

{\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U}
그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
그렇다면 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}가 존재한다.

{\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}}
즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2}}\qquad \forall \mathbf {x} \in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
즉, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \Vert \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert \qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
이제 {\displaystyle \mathbf {f} |\_{V}}가 단사 함수임을 보이자. {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V}가 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '}는 모두 {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}}의 고정점이다. 즉, {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} }이며 {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} ')=\mathbf {x} '}이다. 이를 위에 대입하면, {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} '}를 얻는다. 따라서 {\displaystyle \mathbf {f} |\_{V}}는 단사 함수이다.

이제 {\displaystyle \mathbf {f} (V)}가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} '\in V}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )\subseteq \mathbf {f} (V)}인 \epsilon >0을 찾자. 그러려면 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}에 대하여, {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }}가 V에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. \delta >0가 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )\subseteq V}를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}에 대하여 {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, {\displaystyle \epsilon =\delta /2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }를 취하면, 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )} 및 {\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {x} '\Vert &\leq \Vert \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert +\Vert \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')-\mathbf {x} '\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert +\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} '))\Vert \\&<\delta \end{aligned}}}
즉, {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}이다. 즉, {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }}는 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )} 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, {\displaystyle \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }}는 고정점 {\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}를 갖는다. 따라서, {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbf {f} ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \mathbf {f} (V)}이며, {\displaystyle \mathbf {f} (V)}는 열린집합이다.

이제 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} \in V}에 대하여, {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}가 가역 행렬임을 보이자. {\displaystyle \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}}가 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\mathbf {0} }을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} \Vert \\&\geq \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}-\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert \Vert \mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}\\\end{aligned}}}
즉, {\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {0} }이다. 따라서 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}는 가역 행렬이다.

이제 {\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}, {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {x} }가 {\mathcal C}^{k} 함수임을 보이자. 임의의 {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} +\mathbf {k} \in \mathbf {f} (V)}에 대하여, {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )} 또한 {\displaystyle \mathbf {y} +\mathbf {k} =\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )}인 {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {h} \in V}를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {h} \Vert &\geq \Vert \mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {F} \_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert \\&=\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert \\&\geq \Vert \mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {k} \Vert \end{aligned}}}
즉, {\displaystyle \Vert \mathbf {k} \Vert \geq \Vert \mathbf {h} \Vert /(2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert )}이다. 따라서, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\limsup \_{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {g} (\mathbf {y} +\mathbf {k} )-\mathbf {g} (\mathbf {y} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}&=\limsup \_{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}\\&\leq \limsup \_{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}{\frac {\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {h} \Vert }{\Vert \mathbf {h} \Vert }}\\&=0\end{aligned}}}
즉, {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ))^{-1}}이며, \mathbf g는 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

따름정리
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### 열린 함수 관련

열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n} 및 \mathcal C^1 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}가 다음을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}
그렇다면, {\mathbf f}는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 {\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U}의 상 {\displaystyle \mathbf {f} ({\widetilde {U}})}은 역시 열린집합이다.

### (대역) 미분동형사상 관련

열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n} 및 단사 {\mathcal C}^{k} 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}가 다음을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}
그렇다면, {\mathbf f}는 {\mathcal C}^{k} 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \mathbf {f} (U)}는 열린집합이다.
* {\displaystyle \mathbf {f} ^{-1}\colon f(U)\to \mathbb {R} ^{n}}은 역시 {\mathcal C}^{k} 함수이다.

예
-

### 미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상

다음과 같은 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}를 생각하자.

{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
그렇다면, {\mathbf f}는 {\mathcal C}^{\infty } 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (x,y)=e^{2x}\neq 0}
음함수 정리에 따라, {\mathbf f}는 (모든 점에서) 국소 {\mathcal C}^{\infty } 미분동형사상이다. 그러나 {\mathbf f}는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

### 야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C0 미분동형사상

다음과 같은 함수 {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}를 생각하자.

{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(x^{3},y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
그렇다면, {\mathbf f}는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 f^{{-1}}를 갖는다.

{\displaystyle f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad \forall u,v\in \mathbb {R} }
즉, {\mathbf f}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} 미분동형사상이다. 그러나, {\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (0,0)=0}이다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. k>0일 경우, {\mathcal C}^{k} 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.