대수적 위상수학에서 **호모토피**(영어: homotopy) 또는 **연속 변형 함수**(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의
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### 고전적 정의

두 경로 f,g\colon [0,1]\to Y 사이의 호모토피 F. 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.
위상 공간 X, Y 사이의 두 연속 함수

f\colon X\to Y
g\colon X\to Y
사이의 **호모토피**는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 H\colon X\times [0,1]\to Y이다.

* f=H(-,0)
* g=H(-,1)

두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 **호모토픽**(영어: homotopic) 또는 **연속 변형적**(連續變形的)이라 하며 f\simeq g와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 **호모토피류**(homotopy類, 영어: homotopy class)라고 한다.:158–159 연속 함수 f의 호모토피류는 보통 [f]라고 쓴다.

구 위의 대원은 널호모토픽하다.
상수 함수에 호모토픽한 함수를 **널호모토픽**(null-homotopic) 또는 **영연속 변형적**(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 **널호모토피**(null-homotopy) 또는 **영연속 변형 함수**(零連續變形函數)라 한다.:323

모든 위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 \operatorname {CGTop}나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 \operatorname {CGWH}가 있다.)
\operatorname {CGTop}에서는 지수 대상의 법칙

{\displaystyle Y^{X\times [0,1]}\cong (Y^{[0,1]})^{X}\cong (Y^{X})^{[0,1]}}
이 성립한다. 여기서 \times 는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. {\displaystyle (-)^{(-)}}는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, \operatorname {CGTop}에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.

* 연속 함수 공간 Y^{X}에서의 경로 {\displaystyle h\colon [0,1]\to Y^{X}}. 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의 풍성한 범주에서 직접적으로 일반화할 수 있다.
* X\times [0,1]에서 Y로 가는 연속 함수 {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to Y}. 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의 모형 범주에서 **왼쪽 호모토피**(영어: left homotopy)라는 이름으로 일반화된다.
	+ 일반적으로 \operatorname {CGTop}에서의 곱은 곱공간보다 더 섬세한 위상을 가진다. 그러나 구간 [0,1]은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 만약 X가 콤팩트 생성 공간이라면 X\times [0,1]의 위상은 곱공간 위상과 일치한다. 따라서, 콤팩트 생성 공간 사이의 연속 함수의 호모토피의 정의는 \operatorname {Top} 을 사용하든, \operatorname {CGTop}을 사용하든 상관이 없다.
* X에서 경로 공간 {\displaystyle Y^{[0,1]}}으로 가는 연속 함수 {\displaystyle h\colon X\to Y^{[0,1]}}. 이는 임의의 모형 범주에서 **오른쪽 호모토피**(영어: right homotopy)라는 이름으로 일반화된다.

### 풍성한 범주에서의 정의

위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 {\mathcal {C}}가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 X,Y\in {\mathcal {C}}에 대하여, 그 사이의 사상 집합 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.

같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 f,g\colon X\to Y이 주어졌다고 하자. 이는 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)} 속의 두 점

{\displaystyle f,g\in \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}
을 이룬다. 이 경우, f와 g 사이의 **호모토피**는 f와 g를 잇는, {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)} 속의 경로이다. 이는 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)} 위의 동치 관계를 이룬다. **호모토피류**는 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}의 경로 연결 성분이다.

고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나
\operatorname {CGTop} 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.

보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 \operatorname {sSet}를 사용할 수도 있다.

### 모형 범주에서의 정의

호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.:§14.3 이 경우, **왼쪽 호모토피**(영어: left homotopy)와 **오른쪽 호모토피**(영어: right homotopy)라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다.

편의상, 올뭉치는 \twoheadrightarrow 로, 쌍대올뭉치는 \hookrightarrow 로, 약한 동치는 {\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}로 표기하자.

#### 왼쪽 호모토피

임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다.

{\displaystyle X\sqcup X\to X}
여기서 \sqcup 은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다).
모형 범주 ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에서, 대상 X의 **기둥 대상**(영어: cylinder object) \operatorname {Cyl}X는 쌍대 대각 사상 {\displaystyle X\sqcup X\to X}의 다음과 같은 분해이다.

{\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X}
이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" X\times [0,1]의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.:280, Definition 14.3.1

* 만약 {\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X}가 쌍대올뭉치라면, 이를 **좋은 기둥 대상**(영어: good cylinder object)이라고 한다.
* 만약 {\displaystyle X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X}가 쌍대올뭉치이며, {\displaystyle \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X}가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 **매우 좋은 기둥 대상**(영어: very good cylinder object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조(영어: Quillen model structure)를 준 경우 X\times [0,1]는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조(영어: Hurewicz model structure)에서 X\times [0,1]는 매우 좋은 기둥 대상이다.

두 사상 f,g\colon X\to Y 사이의 **왼쪽 호모토피**(영어: left homotopy)는 어떤 기둥 대상 \operatorname {Cyl}X에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 h\colon \operatorname {Cyl}X\to Y이다.

{\begin{matrix}X\sqcup X&\hookrightarrow &\operatorname {Cyl}X\\&{\scriptstyle f\sqcup g}\searrow &\downarrow \scriptstyle h\\&&Y\end{matrix}}
이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 **(매우) 좋은 왼쪽 호모토피**(영어: (very) good left homotopy)라고 한다.

같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)

* f와 g 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f와 g 사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
* 만약 Y가 올대상이라면, f와 g 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f와 g 사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.

왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다.:281 그러나 만약 정의역 X가 쌍대올대상일 경우, 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며,:282, Proposition 14.3.9(iv) 이 경우 두 사상이 서로 **왼쪽 호모토픽**(영어: left-homotopic)하다고 한다.

#### 오른쪽 호모토피

임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다.

{\displaystyle X\to X\times X}
여기서 \times 은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에서, 대상 X의 **경로 공간 대상**(영어: path space object) {\displaystyle \operatorname {Path} X}는 대각 사상 {\displaystyle X\to X\times X}의 다음과 같은 분해이다.

{\displaystyle X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X\to X\times X}
이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 {\displaystyle X^{[0,1]}}의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.:281, Definition 14.3.4

* 만약 {\displaystyle \operatorname {Path} X\to X\times X}가 쌍대올뭉치라면, 이를 **좋은 경로 공간 대상**(영어: good path space object)이라고 한다.
* 만약 {\displaystyle \operatorname {Path} X\to X\times X}가 쌍대올뭉치이며, {\displaystyle X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X}가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 **매우 좋은 경로 공간 대상**(영어: very good path space object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.

두 사상 f,g\colon X\to Y 사이의 **오른쪽 호모토피**(영어: right homotopy)는 어떤 경로 공간 대상 {\displaystyle \operatorname {Path} X}에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 {\displaystyle h\colon X\to \operatorname {Path} Y}이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X\\{\scriptstyle h}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\times g\\\operatorname {Path} Y&\twoheadrightarrow &Y\times Y\end{matrix}}}
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 **(매우) 좋은 오른쪽 호모토피**(영어: (very) good right homotopy)라고 한다.

같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)

* f와 g 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f와 g 사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
* 만약 X가 쌍대올대상이라면, f와 g 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 f와 g 사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.

마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 Y가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며,:282, Proposition 14.3.9(iv) 이 경우 두 사상이 서로 **오른쪽 호모토픽**(영어: right-homotopic)하다고 한다.

#### 왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계

왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.:284, Proposition 14.3.11

* 만약 X가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 {\displaystyle f\Rightarrow g}가 존재한다면, 오른쪽 호모토피 {\displaystyle f\Rightarrow g} 역시 존재한다.
* 만약 Y가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 {\displaystyle f\Rightarrow g}가 존재한다면, 왼쪽 호모토피 {\displaystyle f\Rightarrow g} 역시 존재한다.

따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 **호모토픽**하다고 한다.

또한, 주어진 쌍대올대상 X에 대하여, 임의의 올대상 Y으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, Y에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 Y에 대하여, 임의의 쌍대올대상 X에서 Y로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, X에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 {\displaystyle \operatorname {Path} Y}에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.:285, Corollary 14.3.13

#### 고전적 정의와의 관계

위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다.

또한, 이 경우 고전적 기둥 X\times [0,1]은 (만약 X가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 {\displaystyle X^{[0,1]}}은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.

종류
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다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.

### 부분 공간을 고정한 호모토피

경로 호모토피의 예
위상 공간 X, Y 및 X의 부분 공간 X'이 주어졌을 때, 두 연속 함수 f,g\colon X\to Y 사이의 호모토피 H\colon X\times [0,1]\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면, H를 **X'에서 고정된 호모토피**(영어: homotopy relative to X')라고 한다.:158–159

* 임의의 (x',t)\in X'\times [0,1]에 대하여, H(x',t)=f(x')=g(x')

f와 g가 X'을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.

f\simeq g\;\operatorname {rel}X'
부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.

이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 Y 위의 경로 f,g\colon [0,1]\to Y에 대하여, \{0,1\}\subset [0,1]을 고정한 호모토피를 **경로 호모토피**(영어: path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 \simeq \_{{{\text{p}}}}로 쓴다.:323

### 아이소토피

커피잔의 표면과 원환면은 둘 다 3차원 유클리드 공간으로 매장할 수 있으며, 이 두 매장 사이에는 그림과 같이 아이소토피가 존재한다.
두 위상 공간 X, Y 사이의 두 매장 f,g\colon X\to Y 사이의 호모토피 H\colon X\times [0,1]\to Y가 다음 조건을 만족시킬 경우, H를 **아이소토피**(영어: isotopy) 또는 **동위**(同位)라고 한다.

* 모든 t\in [0,1]에 대하여, H(-,t)\colon X\to Y는 매장이다.

참고 문헌
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2. 1 2  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월). 《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》 (PDF). Chicago Lectures in Mathematics (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022651178-8.

* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.
* May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2.