실수축 위에서 감마 함수의 그래프

|  |
| --- |
| 관련 문서 둘러보기 |
| 미적분학 |
| * 미적분학의 기본정리

* 함수의 극한
* 연속 함수

* 평균값 정리
* 롤의 정리

 |
| 미분

| 
정의 |
| --- |
| 
* 미분
	+ 일반화
	+ 무한소
	+ 주요 부분
	+ 전미분

 |
| 
개념 |
| 
* 미분 표기법
* 고계 도함수
* 변수 변환
* 테일러 정리

 |
| 법칙과 항등식 |
| 
* 합 규칙
* 곱 규칙
* 몫 규칙
* 멱 규칙
* 연쇄 법칙
* 역함수의 미분
* 음함수의 미분

 |

 |
| 적분

|  |
| --- |
| * 적분표
 |
| 
정의 |
| * 부정적분
* 적분 (이상적분)
* 리만 적분
* 르베그 적분
* 경로적분
 |
| 
적분법 |
| * 부분적분
* 디스크 방법
* 원통셸 방법
* 치환적분 (삼각 치환)
* 부분분수 적분법
* 적분 순서
* 적분의 점화식
 |

 |
| 수열과 급수

|  |
| --- |
| * 기하급수 (산술-기하 수열)
* 조화급수
* 교대급수
* 멱급수
* 이항급수
* 테일러 급수
 |
| 수렴판정법 |
| * 일반항 판정법
* 비판정법
* 근판정법
* 적분판정법
* 비교판정법
* 극한비교판정법
* 교대급수판정법
* 코시 응집판정법
* 디리클레 판정법
* 아벨 판정법
 |

 |
| 벡터 미적분학

|  |
| --- |
| * 기울기
* 발산
* 회전
* 라플라시안
* 방향도함수
* 벡터 미적분표
 |
| 
정리 |
| * 발산정리
* 기울기정리
* 그린 정리
* 켈빈-스토크스 정리
 |

 |
| 다변수 미적분학

| 
형식 |
| --- |
| * 행렬
* 텐서
* 외미분
* 기하
 |
| 
정의 |
| * 편미분
* 중적분
* 선적분
* 면적분
* 삼중적분
* 야코비안
* 헤세 행렬
 |

 |
| 특수한 경우
* 분수계 미적분학
* 말리아빈 미적분
* 확률미적분학
* 변분법

 |
| * v
* t
* e
 |

수학에서 **감마 함수**(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 함수의 해석적 연속이다.

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 \Gamma (n)=(n-1)!이 성립한다.

정의
--

복소평면에서의 감마 함수
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

### 오일러 적분

감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 **오일러 적분**이라고 한다.

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (\operatorname {Re} z>0)}
오일러 적분은 상반평면 \{z\in {\mathbb C}\colon \operatorname {Re}z>0\} 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 **감마 함수**라 부른다.

### 가우스 극한

\Gamma (z)=\lim \_{{n\to \infty }}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}n^{z}\qquad (z\neq 0,-1,-2,\dots )
이 정의는 오일러의 이름을 따 **오일러 극한 형태**라고도 불리기도 한다.

### 바이어슈트라스 무한곱

\Gamma (z)={\frac 1{z\exp(\gamma z)}}\prod \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(z/n)}{1+z/n}}
여기서 \gamma 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 **바이어슈트라스 무한곱 형태**라고도 불리기도 한다.

### 계승의 일반화에서 주의점

 이 부분의 본문은 보어-몰러업 정리입니다.
만약 감마함수를 자연수 n에 대해

{\displaystyle \Gamma \left(n\right)=(n-1)!}
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

f(x)=\Gamma (x)\cos ^{2}\pi x\;
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 \ln \Gamma (z)가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

성질
--

감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

\overline {\Gamma (z)}=\Gamma ({\bar z})
### 특이점

감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 z=0,-1,-2,\ldots 에서 단순극을 가진다. 단순극 -n에서 유수의 값은 \textstyle {(-1)^{n} \over n!}이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 1/\Gamma (z)는 전해석 함수이다.

### 함수 방정식

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)
\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}
두 번째 공식은 **오일러 반사 공식**(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.

곱의 정리
\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{{(m-1)/2}}\;m^{{1/2-mz}}\;\Gamma (mz).\,\!
특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{{1-2z}}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)
### 미분과 적분

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 {\displaystyle \psi \_{0}(z)}로 주어진다.

\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi \_{0}(z)
특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

\Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum \_{{k=1}}^{m}{\frac {1}{k}}\right)
일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

{d^{{n}} \over (dx)^{{n}}}\,\Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{{x-1}}e^{{-t}}\ln ^{{n}}t\,dt
감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

\operatorname {Res}(\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}
### 특별한 값

반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 *n*에 대하여,

\Gamma (1/2+n)={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt \pi }
{\displaystyle \Gamma (1/2-n)={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}}
이 공식들은 \Gamma (1/2)={\sqrt \pi }로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

{\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\quad ,\;\;G}가우스 상수

응용
--

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

### 초구의 부피

 이 부분의 본문은 초구입니다.
반지름이 R인 n차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

V\_{n}={\pi ^{{\frac {n}{2}}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}R^{n}={C\_{n}R^{n}}
### 감마분포

 이 부분의 본문은 감마분포입니다.
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 f(x)는 다음과 같다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{1 \over \beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-{x \over \beta }},&{\mbox{if }}x\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
여기서 \alpha ,\beta 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

큐-감마 함수(q-gamma function)
-------------------------

큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

{\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)}
{\displaystyle q\in \left(0,1\right)} 구간 예약
{\displaystyle f(1)=1}
{\displaystyle }
{\displaystyle \log f(x),x>0}
{\displaystyle f(x)=\Gamma \_{q}(x)}
{\displaystyle \therefore \Gamma \_{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;} 큐-포흐하머 기호{\displaystyle \;(q;q)\infty }
{\displaystyle }:{\displaystyle }:{\displaystyle }:

참고 문헌
-----

1. ↑  George Allen, and Unwin, Ltd. *The Universal Encyclopedia of Mathematics*. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc. 1964. (Foreword by James R. Newman)