미분기하학에서 **핀슬러 다양체**(영어: Finsler manifold)는 리만 다양체의 일반화이다. 각 접공간 위에 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이 주어진 리만 다양체와 달리, 대신 (일반화) 노름이 주어진다.

정의
--

매끄러운 다양체 M 위의 접다발 TM 위의 **핀슬러 함수**(영어: Finsler function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle F\colon TM\to [0,\infty )}
이다.

* F는 {\displaystyle TM\setminus M} 위에서 매끄러운 함수이다.
* (x,v)\in TM에 대하여, 만약 v=0이라면 {\displaystyle F(x,v)=0}이며, v\neq 0이라면 {\displaystyle F(x,v)>0}이다.
* (동차성) 임의의 \lambda \in {\mathbb R}^{+} 및 x\in M 및 v\in T\_{x}M에 대하여, {\displaystyle \lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)}
* (준가법성) 임의의 x\in M 및 u,v\in T\_{x}M에 대하여, {\displaystyle F(x,u+v)\leq F(x,u)+F(x,v)}

핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체 {\displaystyle (M,F)}를 **핀슬러 다양체**라고 한다.

만약 핀슬러 다양체 {\displaystyle (M,F)}에 대하여, 임의의 (x,v)\in TM에 대하여 {\displaystyle F(x,v)=F(x,-v)}라면 이를 **가역 핀슬러 다양체**(영어: reversible Finsler manifold)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다.

### 거리와 측지선

핀슬러 다양체 {\displaystyle (M,F)} 위의 매끄러운 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}의 **길이**(영어: length)는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {length} [\gamma ]=\int \_{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt}
곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형 {\displaystyle s\colon [a,b]\to [a',b']}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {length} [\gamma \circ s]=\operatorname {length} [\gamma ]}이다.

임의의 두 점 x,y\in M 사이의 **거리**(영어: distance) {\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)}는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

{\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)=\inf \_{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )}
그렇다면, {\displaystyle (M,\operatorname {dist} )}는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다.

{\displaystyle E[\gamma ]={\frac {1}{2}}\int \_{a}^{b}\left(F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\right)^{2}\,dt}
### 기본 텐서

핀슬러 다양체 {\displaystyle (M,F)}가 주어졌을 때, {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}F^{2}}의 접공간 방향의 헤세 행렬은 {\displaystyle TM\setminus M} 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 g를 이루며, 이를 **기본 텐서**(영어: fundamental tensor)라고 한다.

{\displaystyle (g|\_{x,v})\_{ij}={\frac {1}{2}}{\frac {}{\partial v^{i}\partial v^{j}}}F^{2}\qquad \forall (x,v)\in TM}
이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발

{\displaystyle PTM={\frac {TM\setminus M}{(x,v)\sim (x,\lambda v)\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}}}
위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서

{\displaystyle F(x,v)^{2}=\sum \_{ij}g\_{ij}(x,v)v^{i}v^{j}}
가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.

기본 형식이 TM 위에서 양의 정부호라면, {\displaystyle (M,F)}를 **강하게 볼록 핀슬러 다양체**(영어: strongly convex Finsler manifold)라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다.

### 힐베르트 형식

핀슬러 다양체 {\displaystyle (M,F)}의 사영 접다발 {\displaystyle PTM} 위에 다음과 같은 **힐베르트 형식**(영어: Hilbert form)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \omega =\sum \_{i}{\frac {\partial F(x,v)}{\partial v^{i}}}dx^{i}}
\omega 의 외미분 {\displaystyle d\omega }는 일종의 에레스만 접속을 정의한다.

예
-

모든 리만 다양체 (M,g)는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.

{\displaystyle F(x,v)=g|\_{x}(v,v)\qquad \forall (x,v)\in TM}
반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다.

### 란데르스 다양체

리만 다양체 (M,g) 위에 1차 미분 형식 {\displaystyle b\in \Omega ^{1}M}이 주어졌으며, 또한

{\displaystyle g^{-1}(b,b)|\_{x}\leq 1\qquad \forall x\in M}
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.

{\displaystyle F\colon (x,v)\mapsto {\sqrt {g^{-1}(b,b)}}|\_{x}+b(v)}
이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 **란데르스 다양체**(영어: Randers manifold)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(노르웨이어: Gunnar Randers)가 도입하였다.

### 복소다양체 위의 계량

복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.

역사
--

독일의 수학자 파울 핀슬러(독일어: Paul Finsler, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다. 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(프랑스어: espace de Finsler)이라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Randers, Gunnar (1941). "On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity". 《Physical Review》 (영어) **59** (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195.
2. ↑  Finsler, Paul (1918). 《Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen》. 괴팅겐 대학교 박사 학위 논문 (지도 교수 콘스탄티노스 카라테오도리). O. Füssli. JFM 46.1131.02.
3. ↑  Cartan, Élie (1933). "Sur les espaces de Finsler". 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) **196**: 582–586. Zbl 0006.22501.

* Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). 《An introduction to Riemann–Finsler geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **200**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. ISSN 0072-5285.
* Rund, Hanno (1959). 《The differential geometry of Finsler spaces》. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) **101**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. ISSN 0072-7830.
* Shen, Zhongmin (2001). 《Lectures on Finsler geometry》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 978-981-02-4530-6.
* Chern, Shiing-Shen (1996년 9월). "Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **43** (9): 959–963.
* Bao, David; Bryant, Robert L.; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2010년 9월). 《A sampler of Riemann–Finsler geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052116873-1.