수심
기하학에서 **수심**(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다.

정의
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삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변 BC, {\displaystyle AC}, AB의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ABC의 **수심** H라고 한다.

증명 (원주각을 통한 증명):

꼭짓점 B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 두 수선 {\displaystyle BH\_{B}}, {\displaystyle CH\_{C}}의 교점을 H라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \angle AH\_{B}H=\angle AH\_{C}H=\angle BH\_{B}C=\angle BH\_{C}C=90^{\circ }}
이므로 {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}는 선분 {\displaystyle AH}를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 BC를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 A, {\displaystyle H\_{B}}, H, {\displaystyle H\_{C}}는 한 원 위의 점이며, 점 B, C, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}} 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라

{\displaystyle \angle HAB=\angle HH\_{B}H\_{C}=\angle BCH\_{C}}
이다. 따라서

{\displaystyle \angle HAB+\angle ABC=\angle BCH\_{C}+\angle ABC=\angle AH\_{C}C=90^{\circ }}
이며, {\displaystyle AH}는 BC의 수선이다.


증명 (외심과 무게 중심을 통한 증명)::17, §2.1

정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 ABC의 외심을 O, 무게 중심을 G, 변 BC의 중점을 {\displaystyle M\_{A}}라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle O\neq G}이다. 유향 선분 {\displaystyle OG}의 연장선 위에서 {\displaystyle GH=2OG}인 점 H를 잡자. 그렇다면 G는 선분 {\displaystyle AM\_{A}} 위의 점이며 {\displaystyle AG=2GM\_{A}}, {\displaystyle \angle AGH=\angle M\_{A}GO}이므로, 삼각형 {\displaystyle AGH}와 {\displaystyle M\_{A}GO}는 닮음이다. 특히 {\displaystyle \angle GAH=\angle GM\_{A}O}이므로 {\displaystyle AH}와 {\displaystyle OM\_{A}}는 평행하며, {\displaystyle OM\_{A}}는 BC의 수선이므로 {\displaystyle AH} 역시 변 BC의 수선이다. 마찬가지로 {\displaystyle BH}, {\displaystyle CH}는 각각 변 {\displaystyle AC}, AB의 수선이다.


증명 (근축을 통한 증명)::38, §2.4

꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하자. 그렇다면 변 AB, {\displaystyle AC}를 지름으로 하는 두 원은 두 점 A, {\displaystyle H\_{A}}에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 {\displaystyle AH\_{A}}이다. 마찬가지로, 변 AB와 BC를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 {\displaystyle BH\_{B}}이며, 변 {\displaystyle AC}, BC를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 {\displaystyle CH\_{C}}이다. 따라서 세 직선 {\displaystyle AH\_{A}}, {\displaystyle BH\_{B}}, {\displaystyle CH\_{C}}는 세 원의 근심에서 만난다.


증명 (체바 정리를 통한 증명):

꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle {\frac {AH\_{C}}{H\_{C}B}}\cdot {\frac {BH\_{A}}{H\_{A}C}}\cdot {\frac {CH\_{B}}{H\_{B}A}}={\frac {b\cos A}{a\cos B}}\cdot {\frac {c\cos B}{b\cos C}}\cdot {\frac {a\cos C}{c\cos A}}=1}
이므로 체바 정리에 따라 직선 {\displaystyle AH\_{A}}, {\displaystyle BH\_{B}}, {\displaystyle CH\_{C}}는 한 점에서 만난다.

성질
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예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.

### 외접원과의 관계

삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.:23, §2.4

삼각형 ABC의 수심 H를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 수선 {\displaystyle AH\_{A}}, {\displaystyle BH\_{B}}, {\displaystyle CH\_{C}}의 연장선과 외접원의 교점을 {\displaystyle H\_{A}'}, {\displaystyle H\_{B}'}, {\displaystyle H\_{C}'}이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:18, §2.2

{\displaystyle HH\_{A}=H\_{A}H\_{A}'}
{\displaystyle HH\_{B}=H\_{B}H\_{B}'}
{\displaystyle HH\_{C}=H\_{C}H\_{C}'}

증명:

원주각의 성질에 따라

{\displaystyle \angle H\_{A}'=\angle C=90^{\circ }-\angle HBH\_{A}=\angle BHH\_{A}'}
이므로 {\displaystyle BH=BH\_{A}'}이다. {\displaystyle BH\_{A}}는 {\displaystyle HH\_{A}'}의 수선이므로 {\displaystyle H\_{A}}는 선분 {\displaystyle HH\_{A}'}의 중점이다.

삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다.

삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다.:71, §7.4, (ix) 삼각형 ABC의 수심을 H, 외심을 O라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:37, §2.4, (2.42)

{\displaystyle \angle OAH=|\angle ABC-\angle ACB|}
{\displaystyle \angle OBH=|\angle BAC-\angle ACB|}
{\displaystyle \angle OCH=|\angle BAC-\angle ABC|}

증명:

점 A를 지나는 외접원의 지름을 {\displaystyle AA'}이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라

{\displaystyle \angle OAC=90^{\circ }-\angle AA'C=90^{\circ }-\angle B=\angle HAB}
이다. 따라서

{\displaystyle \angle OAH=|\angle BAC-\angle HAB-\angle OAC|=|\angle BAC-2(90^{\circ }-\angle B)|=|\angle BAC+2\angle B-(\angle BAC+\angle B+\angle C)|=|\angle B-\angle C|}
이다.

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 {\displaystyle BC=a}, {\displaystyle AC=b}, {\displaystyle AB=c}, 반둘레를 s, 외접원의 반지름을 R, 내접원의 반지름을 r라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 O, 내심 I, 수심 H를 잇는 삼각형 {\displaystyle OIH}의 넓이는 다음과 같다.:2, §1.1.1, Theorem B1

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{OIH}&=2R^{2}\sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {B-C}{2}}\sin {\frac {C-A}{2}}\\&={\frac {|a-b||b-c||c-a|}{8r}}\\&={\frac {\sqrt {-s^{4}+2s^{2}(2R^{2}+10Rr-r^{2})-r(4R+r)^{3}}}{4}}\end{aligned}}}
### 수선

삼각형 ABC의 수심을 H라고 하고, 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 외접원의 반지름을 R라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:36, §2.4, (2.41)

{\displaystyle AH\_{A}={\frac {bc}{2R}}=b\sin C=c\sin B}
{\displaystyle BH\_{B}={\frac {ac}{2R}}=a\sin C=c\sin A}
{\displaystyle CH\_{C}={\frac {ab}{2R}}=a\sin B=b\sin A}
삼각형 ABC의 수심을 H라고 하고, 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.:19, §2.2, (b):37, §2.4, (2.44)

{\displaystyle AH\_{A}\cdot HH\_{A}=BH\_{A}\cdot CH\_{A}}
{\displaystyle BH\_{B}\cdot HH\_{B}=AH\_{B}\cdot CH\_{B}}
{\displaystyle CH\_{C}\cdot HH\_{C}=AH\_{C}\cdot BH\_{C}}
{\displaystyle AH\cdot HH\_{A}=BH\cdot HH\_{B}=CH\cdot HH\_{C}}

증명:

수선 {\displaystyle AH\_{A}}의 연장선과 외접원의 교점을 {\displaystyle H\_{A}'}이라고 하자. 그렇다면 점 {\displaystyle H\_{A}}를 지나는 외접원의 두 현 {\displaystyle AH\_{A}'}, BC에 대한 방멱 정리에 따라

{\displaystyle AH\_{A}\cdot HH\_{A}=AH\_{A}\cdot H\_{A}H\_{A}'=BH\_{A}\cdot CH\_{A}}
이다.

점 A, B, {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}는 한 원 위의 점이므로, 점 H를 지나는 두 현 {\displaystyle AH\_{A}}와 {\displaystyle BH\_{B}}에 대한 방멱 정리에 따라

{\displaystyle AH\cdot HH\_{A}=BH\cdot HH\_{B}}
이다.

마지막 등식에 따라, 삼각형 ABC의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 H를 지난다.:38, §2.4, Theorem 2.45 삼각형 ABC의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 H이다.:38, §2.4, Theorem 2.46 삼각형 ABC 및 직선 BC, {\displaystyle AC}, AB 위의 점 D, E, F가 주어졌다고 하자. 만약 D, E, F가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 ABC, {\displaystyle AEF}, {\displaystyle BDF}, {\displaystyle CDE}의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 {\displaystyle AD}, {\displaystyle BE}, {\displaystyle CF}를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.:39, §2.4, Theorem 2.47

### 오일러 직선과 구점원

 이 부분의 본문은 오일러 직선 및 구점원입니다.
삼각형 ABC의 수심 H, 무게 중심 G, 외심 O는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\overrightarrow {GH}}=2{\overrightarrow {OG}}}
만약 삼각형 ABC가 정삼각형이라면, {\displaystyle H=G=O}이다. 만약 삼각형 ABC가 정삼각형이 아니라면, 수심 H, 무게 중심 G, 외심 O를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 ABC의 **오일러 직선**이라고 한다.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}, 변 BC, {\displaystyle AC}, AB의 중점 {\displaystyle M\_{A}}, {\displaystyle M\_{B}}, {\displaystyle M\_{C}}, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 {\displaystyle AH\_{A}}, {\displaystyle BH\_{B}}, {\displaystyle CH\_{C}}의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 **구점원**이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다.

삼각형 ABC의 구점원의 중심 N은 무게 중심과 외심을 잇는 선분 {\displaystyle OG}의 중점이다. 특히 삼각형 ABC가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 N은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.

삼각형 ABC 및 외접원 위의 점 P가 주어졌다고 하자. 점 P와 수심 H를 잇는 선분 {\displaystyle PH}의 중점은 삼각형 ABC에 대한 점 P의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다.:47, §5.3 특히 점 P를 각 변 BC, {\displaystyle AC}, AB에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 H를 지난다.:43, §5.1

증명:

꼭짓점 A를 지나는 외접원의 지름을 {\displaystyle AA'}이라고 하자. 편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이며 P가 호 {\displaystyle BA'} 위의 점이라고 가정하자. 점 P를 지나는 변 BC, {\displaystyle AC}, AB의 수선의 발을 D, E, F라고 하고, 점 P를 변 BC, {\displaystyle AC}, AB에 대하여 반사시킨 상을 D', E', {\displaystyle F'}이라고 하자.

우선 선분 {\displaystyle PH}의 중점이 P의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. {\displaystyle HE'}과 {\displaystyle DE}가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 {\displaystyle BH}의 연장선과 {\displaystyle AC} 및 외접원의 교점을 {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{B}'}이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 {\displaystyle HH\_{B}=H\_{B}H\_{B}'}이다. 선분 {\displaystyle PH\_{B}'}과 {\displaystyle AC}의 교점을 Q라고 하자. 그렇다면 점 P, Q, {\displaystyle H\_{B}'}을 직선 {\displaystyle AC}에 대하여 반사시킨 상은 각각 H, Q, E'이므로, Q는 선분 {\displaystyle HE'} 위의 점이다. {\displaystyle PE'}과 {\displaystyle HH\_{B}'}은 평행하며, C, E, D, P는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라

{\displaystyle \angle PE'H=\angle E'PQ=\angle PH\_{B}'B=\angle PCB=\angle PED}
이다. 따라서 {\displaystyle HE'}과 {\displaystyle DE}는 평행한다.

이제 선분 {\displaystyle PH}의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 H를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 A, B, C에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 {\displaystyle AH}, {\displaystyle BH}, {\displaystyle CH}의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 {\displaystyle PH}의 중점은 외접원 위의 점 P에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다.

삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 준선은 오일러 직선이다.:200 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.:200

### 수심 삼각형

직각 삼각형이 아닌 삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ABC의 **수심 삼각형**(垂心三角形, 영어: orthic triangle) {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.

예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,:17, §1.6, Theorem 1.61 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.:18, §1.6, Exercise 3 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다.

증명:

편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 A, B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 수심을 H라고 하자. 그렇다면 사각형 {\displaystyle CH\_{A}HH\_{B}}, {\displaystyle BCH\_{B}H\_{C}}, {\displaystyle BH\_{C}HH\_{A}}는 모두 내접 사각형이므로

{\displaystyle \angle AH\_{A}H\_{B}=\angle H\_{B}CH\_{C}=\angle H\_{B}BH\_{C}=\angle AH\_{A}H\_{C}}
이다. 따라서, {\displaystyle AH\_{A}}는 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}의 {\displaystyle H\_{A}}에서의 내각 이등분선이며, BC는 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}의 {\displaystyle H\_{A}}에서의 외각 이등분선이다.

#### 파냐노 문제

삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하자. 만약 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}이다. 이를 **파냐노 문제**(영어: Pagnano’s problem)라고 한다. 만약 삼각형 ABC가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 A라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 {\displaystyle AAH\_{A}}이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).:88–89, §4.5:86–89, §2H, Problem 2.39

증명 1:

편의상 {\displaystyle \angle ABC}와 {\displaystyle \angle ACB}가 예각이라고 하자. D가 변 BC 위의 고정된 점이라고 하고, D', {\displaystyle D''}이 각각 점 P를 변 AB, {\displaystyle AC}에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \angle D'AD''=\angle D'AB+\angle BAC+\angle CAD''=\angle DAB+\angle BAC+\angle CAD=2\angle BAC}
이며, 변 AB, {\displaystyle AC} 위의 점 E, F에 대하여, 삼각형 DEF의 둘레는

{\displaystyle p\_{DEF}=DE+EF+FD=D'E+EF+FD''}
이다.

만약 {\displaystyle \angle BAC<90^{\circ }}라면, {\displaystyle \angle D'AD''<180^{\circ }}이므로 선분 {\displaystyle D'D''}은 변 AB, {\displaystyle AC}와 교점 {\displaystyle E\_{D}}, {\displaystyle F\_{D}}를 갖는다. 고정된 점 D에 대하여, 이 두 점 {\displaystyle E\_{D}}, {\displaystyle F\_{D}}는 삼각형 DEF의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는

{\displaystyle p\_{DE\_{D}F\_{D}}=D'D''=2AD'\cos \angle AD'D''=2AD\cos((180^{\circ }-\angle D'AD'')/2)=2AD\cos(90^{\circ }-\angle BAC)=2AD\sin A}
이다. 따라서 최소 둘레 {\displaystyle p\_{DE\_{D}F\_{D}}}를 가장 작게 만드는 점 D는 선분 {\displaystyle AD}의 길이를 가장 작게 만드는 점 {\displaystyle H\_{A}}이다.

만약 {\displaystyle \angle BAC\geq 90^{\circ }}라면, {\displaystyle \angle D'AD''\geq 180^{\circ }}이므로 선분 {\displaystyle D'D''}은 변 AB, {\displaystyle AC}와 교점을 갖지 않는다. 변 AB, {\displaystyle AC} 위의 점 E, F에 대하여, 유향 선분 {\displaystyle D'A}의 연장선과 선분 {\displaystyle D''F}의 교점을 A'이라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle p\_{DEF}=D'E+EF+FD''\geq D'F+FD''\geq D'A'+A'D''\geq D'A+AD''}
이다. 따라서 고정된 점 D에 대하여, 둘레 {\displaystyle p\_{DEF}}를 가장 작게 만드는 두 점 E, F는 A, A이다. 이 경우 최소 둘레는

{\displaystyle p\_{DAA}=2AD}
이며, 이를 가장 작게 만드는 점 D는 점 {\displaystyle H\_{A}}이다.


증명 2:

예각 삼각형 ABC와 내접 삼각형 DEF가 주어졌다고 하자 (D, E, F는 변 BC, {\displaystyle AC}, AB 위의 점이다). 이를 차례로 직선 {\displaystyle AC}, {\displaystyle C\_{1}B\_{1}}, {\displaystyle B\_{2}A\_{2}}, {\displaystyle A\_{3}C\_{3}}, {\displaystyle C\_{4}B\_{4}}에 대하여 반사시켜 삼각형 {\displaystyle A\_{1}B\_{1}C\_{1}}와 내접 삼각형 {\displaystyle D\_{1}E\_{1}F\_{1}}, 삼각형 {\displaystyle A\_{2}B\_{2}C\_{2}}와 내접 삼각형 {\displaystyle D\_{2}E\_{2}F\_{2}}, 삼각형 {\displaystyle A\_{3}B\_{3}C\_{3}}와 내접 삼각형 {\displaystyle D\_{3}E\_{3}F\_{3}}, 삼각형 {\displaystyle A\_{4}B\_{4}C\_{4}}와 내접 삼각형 {\displaystyle D\_{4}E\_{4}F\_{4}}, 삼각형 {\displaystyle A\_{5}B\_{5}C\_{5}}와 내접 삼각형 {\displaystyle D\_{5}E\_{5}F\_{5}}를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 {\displaystyle A\_{5}B\_{5}}는 선분 AB를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 {\displaystyle {\overrightarrow {FF\_{5}}}}는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 DEF의 선택과 무관하다. 꺾인 선 {\displaystyle FE\_{1}D\_{2}F\_{3}E\_{4}D\_{5}F\_{5}}는 내접 삼각형 DEF의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 DEF가 수심 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 ABC의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}이다.

#### 수심축

삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 직선 {\displaystyle H\_{B}H\_{C}}와 BC의 교점을 D, 직선 {\displaystyle H\_{A}H\_{C}}와 {\displaystyle AC}의 교점을 E, 직선 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}}와 AB의 교점을 F라고 하자. 그렇다면 D, E, F는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 ABC의 **수심축**(영어: orthic axis)이라고 한다.:151, §13.2, (ii)

증명:

편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 BC, {\displaystyle AC}, AB는 수심 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}의 외각 이등분선이다. 따라서

{\displaystyle {\frac {H\_{A}F}{FH\_{B}}}\cdot {\frac {H\_{B}D}{DH\_{C}}}\cdot {\frac {H\_{C}E}{EH\_{A}}}=-{\frac {H\_{A}H\_{C}}{H\_{B}H\_{C}}}\cdot {\frac {H\_{A}H\_{B}}{H\_{A}H\_{C}}}\cdot {\frac {H\_{B}H\_{C}}{H\_{A}H\_{B}}}=-1}
이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 D, E, F는 공선점이다.

### 수심계

평면 위의 세 점 A, B, C가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 ABC가 직각 삼각형이라면, 수심 H는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 ABC가 직각 삼각형이 아니라면, A, B, C와 수심 H는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, A, B, C 역시 각각 삼각형 {\displaystyle BCH}, {\displaystyle ACH}, {\displaystyle ABH}의 수심이다. 이 경우 네 점 A, B, C, H가 **수심계**(垂心系, 영어: orthocentric system)를 이룬다고 한다.:61–62, §2C 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다.

증명:

점 H가 삼각형 ABC의 수심인 것은 직선 {\displaystyle AH}, {\displaystyle BH}, {\displaystyle CH}는 각각 직선 BC, {\displaystyle AC}, AB의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 A, B, C, H 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 A, B, C, H의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 H 대신 남은 세 점 A, B, C 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.

수심계 A, B, C, H 속 네 삼각형 ABC, {\displaystyle ABH}, {\displaystyle ACH}, {\displaystyle BCH}의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다.

증명:

네 점 A, B, C, H가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 {\displaystyle AH}와 BC, {\displaystyle BH}와 {\displaystyle AC}, {\displaystyle CH}와 AB의 교점을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하자. 그렇다면 삼각형 {\displaystyle H\_{A}H\_{B}H\_{C}}는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.

### 드로츠파르니 직선

삼각형 ABC의 수심 H에서 직교하는 두 직선이 직선 BC와 점 D\_{1}, D\_{2}에서, 직선 {\displaystyle AC}와 점 {\displaystyle E\_{1}}, {\displaystyle E\_{2}}에서, 직선 AB와 점 {\displaystyle F\_{1}}, {\displaystyle F\_{2}}에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 {\displaystyle D\_{1}D\_{2}}, {\displaystyle E\_{1}E\_{2}}, {\displaystyle F\_{1}F\_{2}}의 중점 D, E, F는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 ABC의 **드로츠파르니 직선**(영어: Droz-Farny line)이라고 한다.

### 테일러 원

삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 지나는 대변의 수선의 발을 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}라고 하고, 발 {\displaystyle H\_{A}}, {\displaystyle H\_{B}}, {\displaystyle H\_{C}}을 지나는 변 AB와 {\displaystyle AC}, BC와 AB, {\displaystyle AC}와 BC의 수선의 발을 각각 P와 Q, R와 S, T와 U라고 하자. 그렇다면 6개의 점 P와 Q, R, S, T, U는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 ABC의 **테일러 원**(영어: Taylor circle)이라고 한다.:95, §9.6 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다.

증명:

편의상 삼각형 ABC가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 ABC의 내접 비단순 육각형 {\displaystyle PQRSTU}가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 {\displaystyle PQ}와 {\displaystyle ST}가 각각 BC의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다.

우선 {\displaystyle PQ}와 BC가 반평행함을 증명하자. 사각형 {\displaystyle APDQ}가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라

{\displaystyle \angle APQ=\angle ADQ=90^{\circ }-\angle DAC=\angle ACB}
이므로 {\displaystyle PQ}는 반평행선이다.

이제 {\displaystyle ST}가 BC와 평행함을 증명하자. {\displaystyle RS}와 {\displaystyle TU}가 반평행선이므로

{\displaystyle \angle SRU=\angle BAC=\angle TUR}
이다. 따라서 {\displaystyle RS=TU}임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 {\displaystyle PQ=RS=TU}를 보이면 된다. 삼각법에 따라

{\displaystyle PD=c\cos B\sin B=2R\_{0}\sin B\sin C\cos B}
{\displaystyle QD=b\cos C\sin C=2R\_{0}\sin B\sin C\cos C}
{\displaystyle \angle PDQ=180^{\circ }-A}
이다. 여기서 {\displaystyle R\_{0}}은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 {\displaystyle 180^{\circ }-A}, {\displaystyle 90^{\circ }-B}, {\displaystyle 90^{\circ }-C}인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 {\displaystyle \sin A:\cos B:\cos C}이므로, 코사인 법칙에 따라

{\displaystyle \sin ^{2}A=\cos ^{2}B+\cos ^{2}C+2\cos B\cos C\cos A}
이다. 이제 삼각형 {\displaystyle PDQ}에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

{\displaystyle {\begin{aligned}PQ^{2}&=PD^{2}+QD^{2}+2\cdot PD\cdot QD\cdot \cos A\\&=4R\_{0}^{2}\sin ^{2}B\sin ^{2}C(\cos ^{2}B+\cos ^{2}C+2\cos B\cos C\cos A)\\&=4R\_{0}^{2}\sin ^{2}A\sin ^{2}B\sin ^{2}C\end{aligned}}}
이는 3개의 반평행선에서 {\displaystyle PQ}를 선택한 것과 무관하다.