추상대수학에서 **미분 대수**(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱 규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의
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### 미분

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* K 위의 결합 대수 {\displaystyle (A,+,0\_{A},\cdot ,1\_{A})}
* {\displaystyle (A,A)}-쌍가군 {\displaystyle \_{A}M\_{A}}. 또한, 왼쪽과 오른쪽 K-작용이 서로 일치한다고 하자 ({\displaystyle km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K}). (다시 말해, M은 {\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes \_{K}A^{\operatorname {op} }} 위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면, M 값의, A 위의 **미분**(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 K-선형 변환이다.

{\displaystyle \partial \colon A\to M}
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad \forall a,b\in A}
흔히, {\displaystyle \_{A}M\_{A}={}\_{A}A\_{A}}를 사용한다.

### 미분 대수

**미분 대수** {\displaystyle (K,A,\partial )}는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 가환환 K
* K 위의 결합 대수 {\displaystyle (A,+,0\_{A},\cdot ,1\_{A})}
* 미분을 이루는 자기 사상 {\displaystyle \partial \colon A\to A}. (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환 \mathbb {Z}  위의 결합 대수는 환이므로, 만약 {\displaystyle K=\mathbb {Z} } (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 **미분환**(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한, {\displaystyle K=\mathbb {Z} }이며 A가 체를 이루는 경우, {\displaystyle (K,A,\partial )}를 **미분체**(微分體, 영어: differential field)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 **미분 등급 대수**의 개념을 얻는다.

### 미분 대수 준동형

같은 가환환 K 위의 두 미분 대수 A, B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **미분 대수 준동형**(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, K-결합 대수 준동형 {\displaystyle f\colon A\to B}가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

{\displaystyle f(\partial a)=\partial f(a)\qquad \forall a\in A}
**미분체 확대**(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

예
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### 교환자

 이 부분의 본문은 교환자 (환론)입니다.
가환환 K 위의 결합 대수 A의 원소 a\in A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

{\displaystyle [a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba}
를 정의한다면 {\displaystyle (K,A,[a,-])}는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

{\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}
### 다항식환

 이 부분의 본문은 다항식환입니다.
환 R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 R[x] 위에 다음과 같은 선형 변환 {\displaystyle \partial \colon R[x]\to R[x]}을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \partial \colon rx^{n}\mapsto {\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }
그렇다면 {\displaystyle (R,R[x],\partial )}는 미분 대수를 이룬다.

### 매끄러운 함수

 이 부분의 본문은 매끄러운 함수입니다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 벡터장 X

그렇다면, M 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R})를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R}) 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

{\displaystyle Xf=X^{\mu }\partial \_{\mu }f}
그렇다면, {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ),X)}는 미분 대수를 이룬다.

### 리 대수

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. {\mathfrak {g}} 위의 **미분** {\displaystyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}은 다음 조건을 만족시키는 K-선형 변환이다.

{\displaystyle \partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]}
이 경우, \partial 은 {\mathfrak {g}}의 보편 포락 대수 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})} 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

{\displaystyle \partial a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{k}=\sum \_{i=1}^{k}a\_{1}\cdots a\_{i-1}(\partial a\_{i})a\_{i+1}\cdots a\_{k}\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;a\_{1},\dots ,a\_{k}\in {\mathfrak {g}})}
그렇다면, {\displaystyle (K,\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}),\partial )}는 미분 대수를 이룬다.

참고 문헌
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* Magid, Andy R. (1999년 10월). "Differential Galois theory" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **46** (9): 1041–1049.
* Marker, David (2000). 〈Model theory of differential fields〉 (PDF). Haskell, Deirdre; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles. 《Model Theory, Algebra, and Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) **39**. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52178068-1.