이 문서는 벡터끼리 곱하면 행렬을 얻게 되는 ‘외적’(outer product)에 관한 것입니다. 벡터끼리 곱하면 벡터를 얻게 되는 ‘외적’(cross product)에 대해서는 벡터곱 문서를 참고하십시오.
선형대수학에서 **외적**(外積, outer product)이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의
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### 행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 {\mathbf {u}}\otimes {\mathbf {v}}은 {\mathbf {u}}{\mathbf {v}}^{T}와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, {\mathbf {u}}은 실수공간 {\mathbf {R}}^{m}에서 정의되는 m\times 1 열벡터, \mathbf{v}는 {\mathbf {R}}^{n}에서 정의되는 n\times 1 열벡터를 말한다. 예를 들어, m=4, n=3인 경우 .

{\mathbf {u}}\otimes {\mathbf {v}}={\mathbf {u}}{\mathbf {v}}^{T}={\begin{bmatrix}u\_{1}\\u\_{2}\\u\_{3}\\u\_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\_{1}&v\_{2}&v\_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\_{1}v\_{1}&u\_{1}v\_{2}&u\_{1}v\_{3}\\u\_{2}v\_{1}&u\_{2}v\_{2}&u\_{2}v\_{3}\\u\_{3}v\_{1}&u\_{3}v\_{2}&u\_{3}v\_{3}\\u\_{4}v\_{1}&u\_{4}v\_{2}&u\_{4}v\_{3}\end{bmatrix}}
와 같이 외적을 쓸 수 있다. 

좀 더 복잡한 복소수공간 {\mathbf {C}}^{m}과 {\mathbf {C}}^{n}에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 {\mathbf {v}}^{T} 대신에 복소켤레전치 {\mathbf {v}}^{\dagger }를 사용해

{\mathbf {u}}\otimes {\mathbf {v}}={\mathbf {u}}{\mathbf {v}}^{\dagger }
로 정의된다.

#### 내적과의 비교

만약 m=n이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

\left\langle {\mathbf {u}},{\mathbf {v}}\right\rangle ={\mathbf {v}}^{\dagger }{\mathbf {u}}
이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라(1\times 1 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

### 추상적 정의

주어진 벡터 v\in V와 코벡터 w^{\*}\in W^{\*}의 텐서곱 v\otimes w^{\*}은 동형사상 {\mathrm {Hom}}(W,V)=W^{\*}\otimes V하의 사상 \ A\colon W\to V\,을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 w\in W에 대해

A(w)\,=\,w^{\*}(w)v
로 정의된다. 여기서 {\displaystyle h>w}로 계산된 w^{\*}로 v와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 \ w^{\*}\colon W\to K\, 와 \ v\colon K\to V\, 의 합성이다.

#### 내적과의 비교

만약 \ W=V\,이면, 코벡터 w^{\*}\in V^{\*}와 벡터 v\in V를 V와 V의 쌍대의 쌍대연산 (w^{\*},v)\mapsto w^{\*}(v)를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계
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여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 {\mathbf {R}}^{3}에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 w^{{\mathbf {a}}}=(w^{1},w^{2},w^{3})와 v^{{\mathbf {a}}}=(v^{1},v^{2},v^{3})의 외적은 다음과 같다.

w^{{\mathbf {a}}}\otimes v^{{\mathbf {b}}}=w^{{\mathbf {a}}}v^{{\mathbf {b}}}
여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

{\displaystyle (w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[\*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon \_{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}
성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, g^{{{\mathbf {ab}}}}=\delta ^{{{\mathbf {ab}}}}이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

{\begin{aligned}g^{{{\mathbf {ab}}}}\epsilon \_{{{\mathbf {bcd}}}}v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}&=\delta ^{{{\mathbf {ab}}}}\epsilon \_{{{\mathbf {bcd}}}}v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}\\&=\delta ^{{{\mathbf {ab}}}}\left(\epsilon \_{{123}}e\_{{\mathbf {b}}}^{1}\wedge e\_{{\mathbf {c}}}^{2}\wedge e\_{{\mathbf {d}}}^{3}\right)v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}\end{aligned}}
여기서 e\_{{\mathbf {b}}}^{1}\wedge e\_{{\mathbf {c}}}^{2}\wedge e\_{{\mathbf {d}}}^{3}를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

e\_{{\mathbf {b}}}^{1}\wedge e\_{{\mathbf {c}}}^{2}\wedge e\_{{\mathbf {d}}}^{3}=e\_{{\mathbf {b}}}^{1}e\_{{\mathbf {c}}}^{2}e\_{{\mathbf {d}}}^{3}+e\_{{\mathbf {c}}}^{1}e\_{{\mathbf {d}}}^{2}e\_{{\mathbf {b}}}^{3}+e\_{{\mathbf {d}}}^{1}e\_{{\mathbf {b}}}^{2}e\_{{\mathbf {c}}}^{3}-e\_{{\mathbf {d}}}^{1}e\_{{\mathbf {c}}}^{2}e\_{{\mathbf {b}}}^{3}-e\_{{\mathbf {b}}}^{1}e\_{{\mathbf {d}}}^{2}e\_{{\mathbf {c}}}^{3}-e\_{{\mathbf {c}}}^{1}e\_{{\mathbf {b}}}^{2}e\_{{\mathbf {d}}}^{3}
이다. 그리고 여기에 v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}를 곱하면

(e\_{{\mathbf {b}}}^{1}\wedge e\_{{\mathbf {c}}}^{2}\wedge e\_{{\mathbf {d}}}^{3})v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}=e\_{{\mathbf {b}}}^{1}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e\_{{\mathbf {b}}}^{2}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e\_{{\mathbf {b}}}^{3}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})
되고 마지막으로 \delta ^{{{\mathbf {ab}}}}\epsilon \_{{123}}을 곱하면

g^{{{\mathbf {ab}}}}\epsilon \_{{{\mathbf {bcd}}}}v^{{\mathbf {c}}}w^{{\mathbf {d}}}=e\_{1}^{{\mathbf {b}}}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e\_{2}^{{\mathbf {b}}}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e\_{3}^{{\mathbf {b}}}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})
이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

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