가환대수학에서 **헨젤 환**(Hensel環, 영어: Henselian ring)은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의
--

국소 가환환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}이 주어졌다고 하자. (여기서 {\mathfrak m}은 R의 유일한 극대 아이디얼이며, {\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 {\displaystyle R\to \kappa }으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

{\displaystyle \phi \colon R[x]\to \kappa [x]}
이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 {\displaystyle p\in R[x]}가 주어졌다고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \phi (p)\in \kappa [x]} 역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, {\displaystyle \phi (p)}는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

{\displaystyle \phi (p)={\tilde {q}}\_{1}{\tilde {q}}\_{2}\dotsm {\tilde {q}}\_{k}}
{\displaystyle {\tilde {q}}\_{1},{\tilde {q}}\_{2},\dotsc ,{\tilde {q}}\_{k}\in \kappa [x]}
(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 R[x]에서 유래하는지, 즉

{\displaystyle \phi (q\_{i})={\tilde {q}}\_{i}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,k\})}
{\displaystyle p=q\_{1}q\_{2}\dotsm q\_{k}}
가 되는 {\displaystyle (q\_{i})\_{i\in \{1,\dotsc ,k\}}}가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 {\displaystyle {\tilde {q}}\_{i}=(x-{\tilde {a}}\_{i})}인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle q\_{i}=(x-a\_{i})}라면, \kappa  계수에서 존재하는 근 {\displaystyle {\tilde {a}}\_{i}}가 R에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 **헨젤 국소환**(Hensel局所環, 영어: Henselian local ring)이라고 한다.

* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 {\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0}이며 {\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0}인 {\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa }에 대하여, {\displaystyle p(a)=0}이자 {\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}}인 {\displaystyle a\in R}가 존재한다.
* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 {\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0}이며 {\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0}인 {\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa }에 대하여, {\displaystyle p(a)=0}이자 {\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}}인 {\displaystyle a\in R}가 유일하게 존재한다.
* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 {\displaystyle {\tilde {q}}{\tilde {r}}=\phi (p)}인 {\displaystyle {\tilde {q}},{\tilde {r}}\in \kappa [x]}에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \gcd \_{\kappa [x]}\{{\tilde {q}},{\tilde {r}}\}=1}이라면, {\displaystyle \phi (q)={\tilde {q}}}, {\displaystyle \phi (r)={\tilde {r}}}, {\displaystyle p=qr}인 {\displaystyle q,r\in R[x]}가 존재한다.

### 순 헨젤 국소환

만약 헨젤 국소환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}의 잉여류체 \kappa 가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ({\displaystyle \kappa =\kappa ^{\operatorname {sep} }}), R를 **순 헨젤 국소환**(純Hensel局所環, 영어: strictly Henselian local ring)이라고 한다.

### 헨젤 환

**헨젤 환**은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질
--

헨젤 국소환의 범주 {\displaystyle \operatorname {HensLocRing} }는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 {\displaystyle \operatorname {CLocRing} }의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 {\displaystyle \operatorname {HensLocRing} \hookrightarrow \operatorname {CLocRing} }의 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle (-)^{\operatorname {h} }\colon \operatorname {CLocRing} \to \operatorname {HensLocRing} }
가 존재한다. 이를 국소 가환환의 **헨젤화**(Hensel化, 영어: henselization)라고 한다. 즉, 국소 가환환 R에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환 (R^{\operatorname h},\mathfrak m^{\operatorname h}) 및 국소환 준동형

\operatorname h\colon R\to R^{\operatorname h}
이 항상 존재하며, 이를 R의 **헨젤화**라고 한다.

* 임의의 헨젤 국소환 (R',\mathfrak m') 및 국소환 준동형 f\colon R\to R'에 대하여, f=g\circ\operatorname h인 국소환 준동형 g\colon R^{\operatorname h}\to R'이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 **순 헨젤화**(영어: strict henselization)를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

예
-

다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.

* 임의의 체
* 임의의 완비 국소환
	+ p진 정수환 \mathbb Z\_p
	+ 체 K에 대하여, 형식적 멱급수환 K[[x]]
* 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

### p진 정수환의 헨젤 보조 정리

임의의 소수 p에 대하여, p진 정수환 \mathbb Z\_p은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 (p)이며, 잉여류체는 유한체 \mathbb {F} \_{p}이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 \mathbb {F} \_{p} 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 \mathbb Z\_p 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}=\varprojlim \_{n\to \infty }\mathbb {F} \_{p^{n}}}
이므로, 이는 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여 \mathbb {F} \_{p^{n}} 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 {\displaystyle q\in \mathbb {Z} [x]}이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 {\displaystyle {\tilde {a}}\in \mathbb {Z} }에 대하여

{\displaystyle q({\tilde {a}})\equiv 0{\pmod {p}}}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}({\tilde {a}})\not \equiv 0{\pmod {p}}}
라고 하자. 그렇다면, 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,

{\displaystyle q(a\_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
인 {\displaystyle a\_{n}\in \mathbb {Z} }이 존재한다.

p진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

{\displaystyle q(a\_{k})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
{\displaystyle (\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a\_{k})\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
인 {\displaystyle a\_{k}\in \mathbb {Z} }가 주어졌다고 하자. 그렇다면

{\displaystyle a\_{k+1}=a\_{k}-{\frac {q(a\_{k})}{(\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a\_{k})}}}
로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 {\displaystyle ((\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a\_{k}))^{-1}}는 p진 정수이며, 따라서 {\displaystyle a\_{k+1}}은 p진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

{\displaystyle q(a\_{k})\equiv a\_{k}+{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}(a\_{k}){\pmod {p^{k+1}}}}
이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 p진 정수 {\displaystyle a\_{\infty }}로 수렴하는 수열 {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dotsc }을 얻는다.

응용
--

대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사
--

쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) p진 정수환 \mathbb Z\_p가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Hensel, Kurt (1904). "Neue Grundlagen der Arithmetik". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **127**: 51–84. doi:10.1515/crll.1904.127.51. ISSN 0075-4102.
2. ↑  Hensel, Kurt (1908). 《Theorie der algebraischen Zahlen. Erster Band》 (독일어). Druck und Verlag von B. G. Teubner. Zbl 39.0269.01.
3. ↑  Azumaya, Gorô (1951). "On maximally central algebras". 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) **2**: 119–150. ISSN 0027-7630. MR 0040287.
4. ↑  Nagata, Masayoshi (1953). "On the theory of Henselian rings". 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) **5**: 45–57. ISSN 0027-7630. MR 0051821.

* Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975). 《Henselsche Ringe und algebraische Geometrie》. Mathematische Monographien (독일어) **2**. Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften. MR 0491694.
* Raynaud, Michel (1970). 《Anneaux locaux henséliens》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **169**. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069571. ISBN 978-3-540-05283-8. ISSN 0075-8434. MR 0277519.