추상대수학에서 **최소 다항식**(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.

정의
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체 K에 대한 멱결합 대수 A의 원소 a\in A에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

{\displaystyle {\mathfrak {J}}\_{a}=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}}
(만약 A가 1을 갖지 않는다면, {\displaystyle {\mathfrak {J}}\_{a}\subseteq (x)K[x]}이다.) 그렇다면 \mathfrak J\_a는 K[x]의 아이디얼이다. K[x]는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

* \mathfrak J\_a=(0)이다. 이 경우, a는 초월원이며, A는 초월 대수이다.
* \mathfrak J\_a=(p\_a(x))가 되는 일계수 다항식 p\_a(x)\in K[x]가 존재한다. 이 경우, p\_a(x)를 a의 **최소 다항식**이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, \mathfrak J\_a에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 p\_{a}보다 차수가 더 크다.)

성질
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멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

### 체의 확대

체의 확대 L/K에 대하여, L은 가환 K-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, L/K에서 a\in L의 최소 다항식 p\_a\in K[x]가 인수 분해가 가능하다면 (p\_a=qr), K는 정역이므로 q(a)=0이거나 r(a)=0이며, \deg q,\deg r<\deg p이다. 그러나 p\_{a}는 \mathfrak J\_a의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 L/K에서, K가 완전체라면 임의의 a\in L에 대하여 p\_a(x)\in K[x]\subset\bar K[x]의 (대수적 폐포 {\bar {K}}에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 K가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 L/K가 **분해 가능 확대**가 아니라고 한다.

### 행렬

체 K 위의 n\times n 정사각 행렬의 유한 차원 K-단위 결합 대수 \operatorname {Mat}(n;K)에서, 임의의 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)}에 대하여, M과 {\displaystyle G^{-1}MG}의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 L이 K를 포함하는 더 큰 체일 경우, M의 \operatorname {Mat}(n;K)에서의 최소 다항식과 {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;L)}에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 K 위의 n\times n 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* M의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
* M은 삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* M의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
* M은 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}의 최소 다항식의 소인수 분해가

{\displaystyle p\_{M}(x)=\prod \_{p}p^{n\_{p}}(x)}
라면,

{\displaystyle \deg p\mid \dim \ker p^{n\_{p}}(M)}
{\displaystyle n\_{p}\leq \dim \ker p^{n\_{p}}(M)/\deg p}
{\displaystyle \det(x-M)=\prod \_{p}p^{\dim \ker p^{n\_{p}}(M)/\deg p}}
이다.:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4

예
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체의 확대 L/K에서, a\in K라면, p\_a(x)=x-a\in K[x]이다.

실수체의 확대인 복소수체 {\mathbb C}/{\mathbb R}에서, z\in \mathbb {C} 의 최소 다항식은 다음과 같다.

p\_z(x)=\begin{cases}
x-z&z\in\mathbb R\\
(x-z)(x-\bar z)=x^2-2(z+\bar z)x+z\bar z&z\in\mathbb C\setminus\mathbb R
\end{cases}
실수 행렬

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )}
의 특성 다항식은

{\displaystyle \det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)}
이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, M의 최소 다항식 역시

{\displaystyle p\_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)}
이다.

### 대수적 수체

이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q에서, d가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 \sqrt d의 최소 다항식은 x^2-d\in\mathbb Q[x]이다.

\sqrt2+\sqrt3의 \mathbb {Q}  위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

p\_{\sqrt2+\sqrt3}(x)= x^4-10x^2 + 1 = (x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)
원분체 {\mathbb Q}(\zeta \_{n})/{\mathbb Q}에서, \zeta\_n의 최소 다항식은 **원분 다항식**(영어: cyclotomic polynomial) \Phi\_n이라고 하며, 다음과 같다.

\Phi\_1(x) = x - 1
\Phi\_2(x) = x + 1
\Phi\_3(x) = x^2 + x + 1
\Phi\_4(x) = x^2 + 1
\Phi\_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1
\Phi\_6(x) = x^2 - x + 1
\Phi\_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\Phi\_8(x) = x^4 + 1
\Phi\_9(x) = x^6 + x^3 + 1
\Phi\_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
\vdots
특히, n이 소수일 경우

\Phi\_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}
이다.

### 분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 (\mathbb F\_p(x)[y]/(y^p-x))/\mathbb F\_p(x)에서, y\in\mathbb F\_p(x)[y]/(y^p-x)의 최소 다항식은

p\_y(X)=X^p-x\in \mathbb F\_p(x)[X]
이다. 이 경우, \overline{\mathbb F\_p(x)} 위에서

p\_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]x)^p)=(X-\sqrt[p]x)^p
이다. 즉, p\_{y}는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌
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1. ↑  Goldberg, Moshe (2007년 8월). "Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras" (PDF). 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **359** (8): 4055–4072. doi:10.1090/S0002-9947-06-04296-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 20161761. MR 2302523.
2. ↑  Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.

* Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **158** 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.