미분위상수학에서 **모스 호몰로지**(영어: Morse homology)는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다. 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다.

정의
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### 모스-스메일 함수

기울이지 않은 원환면 위의 높이 함수는 모스 함수이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.
살짝 기울인 원환면 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다.
콤팩트 매끄러운 다양체 M 위에 임의의 리만 계량 g와 모스 함수 f를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 \nabla f\in \Gamma (TM)을 정의할 수 있다. 각 임계점 x\in M에 대하여, \nabla f의 안정 부분 공간(stable subspace) W^{{\text{s}}}(x)과 불안정 부분 공간(unstable subspace) W^{{\text{u}}}(x)을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 y\in W^{{\text{s}}}(x)\cap W^{{\text{u}}}(x)에서 T\_{y}M=T\_{y}W^{{\text{s}}}(x)\oplus T\_{y}W^{{\text{u}}}(x)이라면) 순서쌍 (g,f)를 **모스-스메일 함수**(Morse-Smale函數, 영어: Morse–Smale function)라고 한다. 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

### 모스 호몰로지의 고전적 정의

f의 기울기 흐름(영어: gradient flow)은 f의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 x\_i, x\_{j} 사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 {\mathcal F}(x\_{i},x\_{j})을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

\dim {\mathcal F}(x\_{i},x\_{j})=|\gamma (x\_{i})-\gamma (x\_{j})|
모스-스메일 함수 (g,f)가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위에, **모스 사슬 복합체**(Morse사슬複合體, 영어: Morse chain complex) C\_{i}(M)는 모스 지표가 i인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

\partial \_{i}\colon C\_{i}(M)\to C\_{{i-1}}(M)
는 x\_{i}\in C\_{i}(M)을 x\_i로부터 시작하는 f의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

H\_{{\text{M}}}(M)=\ker \partial \_{i}/\operatorname {im}\partial \_{{i+1}}
를 **모스 호몰로지**라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

### 모스-위튼 코호몰로지

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 발견하였고, **모스-위튼 코호몰로지**(영어: Morse–Witten cohomology)라고 불린다.

모스 함수 f가 주어진 콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

d\_{t}=\exp(-tf)d\exp(tf)
d\_{t}^{\dagger }=\exp(-tf)d^{\dagger }\exp(tf)
\Delta \_{t}=d\_{t}d\_{t}^{\dagger }+d\_{t}^{\dagger }d\_{t}
그렇다면 \Delta \_{t}의 고윳값에 따라, M 위의 k차 미분 형식들의 공간 \Omega ^{k}을 다음과 같이 분해할 수 있다.

\Omega ^{k}=\bigoplus \_{\lambda }\Omega \_{\lambda }^{k}(t)
\Delta \_{t}\alpha =\lambda \alpha \forall \alpha \in \Omega \_{\lambda }^{k}(t)
이 경우, t=0일 때 호지 이론에 따라서

\Omega \_{0}^{k}(0)\cong H\_{{\text{dR}}}^{k}(M)
이다. 여기서 H\_{{\text{dR}}}^{\bullet }은 드람 코호몰로지다. 반면, t\to \infty 로 보내자. 그렇다면 \Omega \_{0}^{k}(\infty )는 모스 지표가 k인 임계점 근처에 국소화된 k차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

\dim \Omega \_{0}^{k}(\infty )=N\_{k}
이다. 여기서 N\_{k}는 모스 지표가 k인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 **모스-위튼 복합체**(Morse-Witten複合體, 영어: Morse–Witten complex)가 존재한다.

\Omega \_{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d\_{\infty }}}\Omega \_{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d\_{\infty }}}\cdots {\xrightarrow d}\Omega \_{0}^{k}(\infty ){\xrightarrow {d\_{\infty }}}\Omega \_{0}^{{k+1}}(\infty ){\xrightarrow {d\_{\infty }}}\cdots 
여기서 공경계 연산자 d\_{\infty }는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다.
이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, **모스-위튼 코호몰로지**라고 한다.

이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

| 기호 | 수학적 설명 | 물리학적 설명 |
| --- | --- | --- |
| C^{\infty }(M;{\mathbb C}) | M 위의 매끄러운 함수들 | M 위의 보손들의 힐베르트 공간 |
| \Omega ^{k}(M)\otimes {\mathbb C} | M 위의 k차 미분 형식들의 공간 | 페르미온 수가 k인 상태들의 힐베르트 공간 |
| d\colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{{k+1}}(M) | 외미분 | 초대칭 연산자의 하나 |
| d^{\dagger }\colon \Omega ^{{k+1}}(M)\to \Omega ^{k}(M) | 외미분의 수반(adjoint) | 초대칭 연산자의 하나 |
| \Delta =dd^{\dagger }+d^{\dagger }d | 라플라스-벨트라미 연산자 | 자유 입자의 해밀토니언 |
| \Omega \_{0}^{k}(\infty ) | 모스 지표가 k인 임계점들로 생성되는 벡터 공간 | 페르미온 수가 k인 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간 |
| d\_{\infty }^{k}\colon \Omega \_{0}^{k}(\infty )\to \Omega \_{0}^{{k+1}}(\infty ) | 모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 | 순간자로 매개되는 터널 효과 |
| H\_{{\text{MW}}}^{k}=\ker d\_{\infty }^{k}/\operatorname {im}d\_{\infty }^{{k-1}} | 모스-위튼 코호몰로지 군 | 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간 |

역사
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마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 **모스-보트 이론**(Morse-Bott理論, 영어: Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(영어: Bott periodicity)을 증명하였다.

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 **모스-위튼 이론**(Morse-Witten理論, 영어: Morse–Witten theory)이라고 한다. 1988년에 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 **플뢰어 호몰로지**를 정의하였다.

참고 문헌
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2. ↑  Schwarz, Matthias (1993). 《Morse Homology》. Progress in Mathematics (영어) **111**. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8577-5. ISBN 978-3-0348-9688-7. MR 1239174.
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6. 1 2  Witten, Edward (1982). "Supersymmetry and Morse theory". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **17** (4): 661–692. MR 683171. Zbl 0499.53056.
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10. ↑  Bott, Raoul (1959). "The stable homotopy of the classical groups". 《Annals of Mathematics (second series)》 **70**: 313–337. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970106. MR 0110104.