집합론에서 **정규 함수**(正規函數, 영어: normal function)는 그 도함수를 취할 수 있는, 정의역과 공역이 순서수의 모임인 연속 증가 함수이다. 이를 사용하여 매우 큰 가산 순서수들을 나타낼 수 있다.

정의
--

집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 \kappa 를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 {\displaystyle \kappa =\operatorname {Ord} }로 놓을 수 있다. 여기서 \operatorname {Ord}는 모든 순서수들의 모임이다.)

자기 함수

{\displaystyle f\colon \kappa \to \kappa }
가 다음 조건을 만족시킨다면 **정규 함수**라고 한다.

* 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 {\displaystyle \alpha <\beta <\kappa }에 대하여, {\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}이다.
* 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 {\displaystyle \alpha <\kappa }에 대하여, {\displaystyle f(\alpha )=\textstyle \sup \_{\beta <\alpha }f(\beta )}이다.

성질
--

정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 임의의 {\displaystyle \alpha <\kappa }에 대하여, {\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha }

**증명:**

귀류법을 사용하자.
{\displaystyle \alpha =\min\{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}}
라면 {\displaystyle \alpha >f(\alpha )>f(f(\alpha ))}이자 {\displaystyle f(\alpha )\in \{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}}이므로 모순이다.
* 임의의 순서수들의 집합 {\displaystyle S\subseteq \kappa }에 대하여, {\displaystyle \textstyle f(\sup S)=\sup \_{s\in S}f(s)}

**증명:**

f가 증가 함수이므로 {\displaystyle \textstyle f(\sup S)\geq \sup \_{s\in S}f(s)}이다. 따라서 {\displaystyle \textstyle f(\sup S)\leq \sup \_{s\in S}f(s)}를 증명하면 족하다. 반대로, {\displaystyle \sigma =\sup S}에 대하여,

* 만약 {\displaystyle \sigma =\varsigma +1}이라면, {\displaystyle \sigma \in S}이며, 따라서 {\displaystyle f(\sup S)=f(\sigma )\geq \sigma =f(\sup S)}이다.
* 만약 {\displaystyle \nexists \varsigma \colon \sigma =\varsigma +1}이라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \textstyle f(\sup S)=\sup \_{\alpha <\sup S}f(\alpha )\geq \sup \_{\alpha \in S}f(\alpha )}이다.

### 도함수

**베블런 고정점 정리**(Veblen固定點定理, 영어: Veblen fixed-point theorem)에 따르면, f의 고정점들의 모임의 상한은 \kappa 이다.

**증명:**

임의의 순서수 {\displaystyle \alpha <\kappa }에 대하여,

{\displaystyle \beta =\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}}
를 정의하면,

{\displaystyle f(\beta )=f\left(\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}\right)=\sup\{f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}=\beta }
이다.

이에 따라, 정규 함수 f의 **도함수**(導函數, 영어: derivative) {\displaystyle f'\colon \kappa \to \kappa }를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle f'(\alpha )}는 f의 \alpha 번째 고정점이다.
정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 n에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle f^{(\alpha +1)}=(f^{(\alpha )})'}
보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 \alpha 에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합

{\displaystyle \bigcap \_{\beta <\alpha }\left\{\gamma <\kappa \colon f^{(\beta )}(\gamma )=\gamma \right\}}
은 \kappa 와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 {\displaystyle f^{(\alpha )}(\gamma )}를 위 공통 고정점 집합의 \alpha 번째 원소로 정의할 수 있다.

이와 같이, f의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 f의 **베블런 위계**(영어: Veblen hierarchy)라고 한다.

특히, 순서수 \delta 에 대하여 \delta 진 베블런 위계(영어: base-\delta  Veblen hierarchy)란 정규 함수 {\displaystyle \alpha \mapsto \delta ^{\alpha }}에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 {\displaystyle \alpha \mapsto \omega ^{\alpha }}의 베블런 위계를 뜻한다.

예
-

다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.

* 임의의 순서수 {\displaystyle \beta <\kappa }에 대하여, {\displaystyle \alpha \mapsto \beta +\alpha } (그러나 {\displaystyle \alpha \mapsto \alpha +1}은 정규 함수가 아니다)
* 임의의 순서수 {\displaystyle 1\leq \beta <\kappa }에 대하여, {\displaystyle \alpha \mapsto \beta \cdot \alpha }
* 임의의 순서수 {\displaystyle 2\leq \beta <\kappa }에 대하여, {\displaystyle \alpha \mapsto \beta ^{\alpha }}
* 알레프 수 {\displaystyle \alpha \mapsto \aleph \_{\alpha }}
* 베트 수 {\displaystyle \alpha \mapsto \beth \_{\alpha }}

(마지막 두 예는 도달 불가능한 기수는 알레프 함수와 베트 함수의 고정점이기 때문이다.:16, 20:78, Exercise 1.7.7(b))

역사
--

정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다. 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"(영어: continuous increasing function)라고 불렀다.:281, §1

참고 문헌
-----

1. ↑  Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. ↑  Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, E. 《Introduction to cardinal arithmetic》 (영어).
3. 1 2  Veblen, Oswald (1908년 7월). "Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **9**: 280–292. doi:10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9. ISSN 0002-9947. JSTOR 1988605.

* Glass, Frederick S. (1984년 5월). "Constructive ordinal notation systems" (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) **57** (3): 131–141. doi:10.2307/2689658. JSTOR 2689658. 2015년 9월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 20일에 확인함.
* Miller, Larry W. (1976). "Normal functions and constructive ordinal notations". 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) **41** (2): 439–459. doi:10.2307/2272243. JSTOR 2272243.
* Gallier, Jean H. (1991년 9월 19일). "What’s so special about Kruskal’s theorem and the ordinal Γ0? A survey of some results in proof theory". 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) **53** (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E.