어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.
선형대수학에서 **전치 행렬**(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 {\displaystyle A^{\operatorname {T} }}, {\displaystyle A^{\top }}, {\displaystyle ^{\operatorname {t} }A}, A', {\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}.

정의
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m\times n 행렬 M의 **전치 행렬** {\displaystyle M^{\operatorname {T} }}은 다음과 같은 n\times m 행렬이다.

{\displaystyle M\_{ij}^{\operatorname {T} }=M\_{ji}}
선형 변환 T\colon V\to W의 **전치 선형 변환**(영어: transposed linear map) {\displaystyle T^{\operatorname {T} }\colon W^{\*}\to V^{\*}}은 다음과 같다.

{\displaystyle (T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{\*},\;v\in V}

성질
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### 전치 행렬

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, m\times n 행렬 M,N 및 스칼라 c에 대하여,

{\displaystyle (M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} }}
{\displaystyle (cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} }}
{\displaystyle M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M}
가 성립하며, m\times n 행렬 M 및 n\times p 행렬 N에 대하여,

{\displaystyle (MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} }}
가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

{\displaystyle \operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M}

증명:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }&=m-\dim \ker M^{\operatorname {T} }\\&=m-\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}^{\circ }\\&=\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}\\&=\operatorname {rank} M\end{aligned}}}

{\displaystyle \operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M}
{\displaystyle \det M^{\operatorname {T} }=\det M}
특히, n\times n 행렬 M과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

{\displaystyle (M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} }}
행렬 M을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J\_{ij}=\delta \_{n+1-i,j})}
### 전치 선형 변환

선형 변환 T\colon V\to W에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ }}

증명:

{\displaystyle {\begin{aligned}\ker T^{\operatorname {T} }&=\{g\in W^{\*}\colon T^{\operatorname {T} }g=0\}\\&=\{g\in W^{\*}\colon gTv=0\forall v\in V\}\\&=\{g\in W^{\*}\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\&=T(V)^{\circ }\end{aligned}}}

만약 V와 W가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

{\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{\*})=(\ker T)^{\circ }}

증명:

만약 {\displaystyle f\in T^{\operatorname {T} }(W^{\*})}라면, {\displaystyle f=T^{\operatorname {T} }g}인 {\displaystyle g\in W^{\*}}가 존재한다. 임의의 {\displaystyle v\in \ker T}에 대하여,

{\displaystyle f(v)=gTv=g0=0}
이므로, {\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{\*})\subseteq (\ker T)^{\circ }}이다. 또한,

{\displaystyle \dim(\ker T)^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\operatorname {rank} T=\operatorname {rank} T^{\operatorname {T} }}
이므로, {\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{\*})=(\ker T)^{\circ }}이다.

만약 V와 W가 유한 차원 벡터 공간일 경우, T\colon V\to W의 기저 {\displaystyle B\subseteq V} 및 {\displaystyle B'\subseteq W}에 대한 행렬이 M이라고 하면, 전치 선형 변환 {\displaystyle T^{\operatorname {T} }}의 쌍대 기저 {\displaystyle {B'}^{\*}\subseteq W^{\*}}및 {\displaystyle B^{\*}\subseteq V^{\*}}에 대한 행렬은 {\displaystyle M^{\operatorname {T} }}이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

{\displaystyle B=\{e\_{1},\dots ,e\_{n}\}}
{\displaystyle B'=\{e\_{1}',\dots ,e\_{n}'\}}
또한 T의 {\displaystyle B,B'}에 대한 행렬을 M, {\displaystyle T^{\operatorname {T} }}의 {\displaystyle {B'}^{\*},B^{\*}}에 대한 행렬을 N이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle M\_{ij}=e\_{i}^{\*}Te\_{j}=(T^{\operatorname {T} }e\_{i}^{\*})(e\_{j})=N\_{ji}}
이므로, {\displaystyle N=M^{\operatorname {T} }}이다.

예
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전치 행렬의 예는 다음과 같다.

* {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}
* {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}}
* {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}}
* 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

참고 문헌
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* Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.