**세모**는 여기로 연결됩니다. 세모(歲暮)에 대해서는 섣달그믐 문서를, 세모(細毛)에 대해서는 참풀가사리 문서를 참고하십시오.

| 삼각형 |
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| 변과 각의 수 | 3 |
| 내각의 합 | 180° |

**삼각형**(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

종류
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**삼각형의 종류**| * 일반적인 삼각형일반적인 삼각형
* 이등변삼각형이등변삼각형
* 직각삼각형직각삼각형
* 직각이등변삼각형직각이등변삼각형
* 정삼각형정삼각형
* 둔각삼각형둔각삼각형
* 예각삼각형예각삼각형
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넓이
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### 밑변의 길이와 높이를 알 때

밑변의 길이가 {\displaystyle a}이고, 높이가 {\displaystyle h\_{a}}인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

{\displaystyle S={\frac {ah\_{a}}{2}}}
### 삼각함수 공식

#### 세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, {\displaystyle k={\frac {a+b+c}{2}}} 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)

{\displaystyle S={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}}
#### 두 변과 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}}
#### 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}
### 세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c}이고, 내접원의 반지름이 {\displaystyle r}이며, {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

{\displaystyle \ S=rs}
### 세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c}이고, 외접원의 반지름이 {\displaystyle R}인 삼각형의 넓이 {\displaystyle S}는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}
### 세 변의 길이와 방접원의 반지름 중 하나의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c}이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 {\displaystyle r\_{a}}, {\displaystyle r\_{b}}, {\displaystyle r\_{c}}이며, {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

{\displaystyle \ S=(s-a)r\_{a}=(s-b)r\_{b}=(s-c)r\_{c}}
### 세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, {\displaystyle C}이고, 내접원의 반지름이 {\displaystyle r}인 삼각형의 넓이 {\displaystyle S}는 다음과 같다.

{\displaystyle S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)}
### 세 각의 크기와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, {\displaystyle C}이고, 외접원의 반지름이 {\displaystyle R}인 삼각형의 넓이 {\displaystyle S}는 다음과 같다.

{\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C}
### 내접원과 모든 방접원의 반지름의 길이를 알 때

내접원의 반지름이 {\displaystyle r}이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 {\displaystyle r\_{a}}, {\displaystyle r\_{b}}, {\displaystyle r\_{c}}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\sqrt {rr\_{a}r\_{b}r\_{c}}}}
### 2차원 직교좌표

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(*x*1,*y*1),(*x*2,*y*2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {|x\_{1}y\_{2}-x\_{2}y\_{1}|}{2}}}
### 2차원 극좌표

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(*r*1,*θ*1),(*r*2,*θ*2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {|r\_{1}\cos \theta \_{1}r\_{2}\sin \theta \_{2}-r\_{2}\cos \theta \_{2}r\_{1}\sin \theta \_{1}|}{2}}={\frac {r\_{1}r\_{2}\sin(|\theta \_{1}-\theta \_{2}|)}{2}}}
### n차원 좌표 공간

한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 {\displaystyle {\vec {X}},{\vec {Y}}} 라 하자. 2보다 크거나 같은 *n*차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 {\displaystyle S\_{n}}라 하면

{\displaystyle S\_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}}
이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 {\displaystyle {\vec {X}}=(x\_{1}\,,x\_{2}\,,x\_{3}\,,...\,,x\_{n}),\ {\vec {Y}}=(y\_{1}\,,y\_{2}\,,y\_{3}\,,...\,,y\_{n})} 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

{\displaystyle S\_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x\_{i}&y\_{i}\\x\_{j}&y\_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}}
벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서 {\displaystyle n=2} 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.

### 정삼각형

한 변의 길이가 {\displaystyle a}인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}

성질
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### 유클리드 기하학

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

* 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
* 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
* 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
* 중점연결정리
* 피타고라스의 정리
* 사인 법칙
* 코사인 법칙
* 체바 정리/메넬라오스 정리

### 비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각삼각형의 예
비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.

### 기타 성질

삼각형의 합동 조건
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삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.

* SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
* SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
* ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
* AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

* RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
* RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.