수학과 등각 장론에서 **W-대수**(W-代數, 영어: W-algebra)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.:106–111 비라소로 대수를 일반화한다.

정의
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### 스핀 2

스핀 2의 W-대수 W\_{2}는 **비라소로 대수**라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 T(z)에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

T(z+w)T(w)=z^{{-1}}\partial T(w)+2z^{{-2}}T(w)+{\frac 12}cz^{{-4}}
여기서 c는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

### 스핀 3

스핀 3의 W-대수 W\_{3}는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 T(z)(에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 W(z)를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

T(z+w)T(w)=z^{{-1}}\partial T(w)+2z^{{-2}}T(w)+{\frac 12}cz^{{-4}}
T(z+w)W(w)=z^{{-1}}\partial W(w)+3z^{{-2}}W(w)
W(z)W(w)={\frac {16}{22+5c}}\left(z^{{-1}}\partial \Lambda +2z^{{-2}}\Lambda \right)+{\frac 1{15}}\left(z^{{-1}}\partial ^{3}T(w)+{\frac 92}z^{{-2}}\partial ^{2}T(w)+15z^{{-3}}\partial T(w)+30z^{{-4}}T(w)\right)+{\frac 13}cz^{{-6}}
여기서 \Lambda 는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

\Lambda (z)=:TT:(z)-{\frac 3{10}}\partial ^{2}T(z)
여기서 :\cdots :는 표준 순서를 나타낸다.

W\_{3}에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.:109

c=2\left(1-{\frac {12}{(k+3)(k+4)}}\right)
k=1,2,3,\dots 
특히, k=1인 경우(c=4/5)는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 m=5인 비라소로 최소 모형과 같다.

### 일반적인 스핀

일반적으로, 모든 N\geq 2에 대하여, 스핀-*N* W-대수 W\_{N}이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 W\_{N}은 총 N-1개의 정칙 연산자들 T,W^{{(3)}},W^{{(4)}},\dots ,W^{{(N)}}을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 2,3,\dots ,N이며, T와 W^{{(3)}}는 1차 연산자이지만 W^{{(4)}},W^{{(5)}},\dots 는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

T(z+w)T(w)=z^{{-1}}\partial T(w)+2z^{{-2}}T(w)+{\frac 12}cz^{{-4}}
T(z+w)W^{{(s)}}(w)\sim z^{{-1}}\partial W^{{(s)}}(w)+sz^{{-2}}W^{{(s)}}(w)+W^{{(s-2)}}(w)+W^{{(s-4)}}(w)+\cdots (s=3,\dots ,N)
W^{{(s)}}(z+w)W^{{(s')}}(w)\sim W^{{(s+s'-2)}}+W^{{(s+s'-4)}}+\cdots +c\delta \_{{s-s'}}
여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 z^{{-k}} 및 \partial ^{k} 등을 생략하였다.

### 무한 스핀 W-대수

유한한 N에 대한 W\_{N} 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W\_{\infty }와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W\_{{1+\infty }}가 존재한다.

참고 문헌
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1. 1 2  Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2  Pope, C.N. (1991). "Lectures on W algebras and W gravity" (영어). arXiv:hep-th/9112076. Bibcode:1991hep.th...12076P.
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4. ↑  Zamolodchikov, A. B. (1985). "Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля" (PDF). 《Теоретическая и математическая физика》 (러시아어) **65** (3): 347–359. doi:10.1007/BF01036128. ISSN 0564-6162. MR 829902.

* Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1995). 《W-symmetry》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) **22**. World Scientific. ISBN 9789810217624. MR 1338864.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Dickey, L. A. (1997). "Lectures on classical W-algebras". 《Acta Applicandae Mathematicae》 (영어) **47** (3): 243–321. doi:10.1023/A:1017903416906. ISSN 0167-8019.