선형대수학에서 **라플라스 전개**(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 **여인자 전개**(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다.

내용
--

### 소행렬식과 여인자

 이 부분의 본문은 소행렬식입니다.
*n* × *n* 정사각행렬 *A*의 (*i*, *j*) **소행렬식** *Mij*는 *A*의 *i*행과 *j*열을 지워서 얻어진 행렬식이다. *A*의 **여인자** *Cij*는 거기에 1 또는 -1을 값으로 하는 계수 (-1)*i* + *j*를 곱한 것이다. 즉,

{\displaystyle C\_{ij}=(-1)^{i+j}M\_{ij}}
예를 들어 행렬

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
의 (2, 3) 소행렬식과 여인자는 각각 다음과 같다.

{\displaystyle M\_{23}={\begin{vmatrix}1&2&\Box \\\Box &\Box &\blacksquare \\7&8&\Box \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=-6}
{\displaystyle C\_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=6}
### 라플라스 전개

*n* × *n* 행렬 *A* = [*aij*]의 행렬식은 고정된 i행의 각 항과 그의 여인자의 곱으로 전개할 수 있다.

{\displaystyle |A|=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}}
비슷하게, 고정된 j열에 대하여 전개할 수 있다.

{\displaystyle |A|=\sum \_{i=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}}
### 고전적 수반 행렬

서로 다른 행의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{kj}=0\qquad (i\neq k)}
비슷하게, 서로 다른 열의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}a\_{ij}C\_{ik}=0\qquad (j\neq k)}
즉,

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{kj}=\delta \_{ik}|A|}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}a\_{ij}C\_{ik}=\delta \_{jk}|A|}
여기서 \delta 는 크로네커 델타이다. 정리하면, 행렬과 그 고전적 수반 행렬의 곱은 다음과 같다.

{\displaystyle A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)A=|A|I}
### 여러 행에 대한 전개

라플라스 전개는 임의의 k개의 행에 대한 전개로 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

* I, J는 1, ... *n*}의 k원소 부분 집합이다. 즉, k개의 행과 열을 뜻한다.
* *A**I*, *J*는 A에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 골라내어 얻는 행렬식이다.
* *M**I*, *J*는 A에서 행 첨수가 I에, 열 첨수가 J에 있는 원소만을 제거하여 얻는 행렬식이다.

그렇다면, 행렬식은 고정된 k개의 행 I에 대하여 다음과 같이 전개된다.

{\displaystyle |A|=\sum \_{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A\_{I,J}M\_{I,J}}
비슷하게, 행렬식은 고정된 k개의 열 J에 대하여 다음과 같이 전개된다.

{\displaystyle |A|=\sum \_{|I|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A\_{I,J}M\_{I,J}}
여러 행에 대한 라플라스 전개는 필산하기에 복잡하나, 이론적으로 유용하다.

예
-

3 × 3 행렬

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
의 행렬식은 1행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=(-1)^{1+1}1{\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2}2{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{1+3}3{\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\&=1(-3)-2(-6)+3(-3)\\&=0\end{aligned}}}
2열에 대하여 전개해도 결과는 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=(-1)^{2+1}2{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}5{\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}+(-1)^{2+3}8{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\&=-2(-6)+5(-12)-8(-6)\\&=0\end{aligned}}}
물론, A는 1행과 3행의 합이 2행의 2배이므로, 특이 행렬이다. 따라서, 행렬식은 당연히 위 계산대로 0이다.

4 × 4 행렬

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1&4\\0&-1&2&1\\1&0&1&3\\0&1&3&1\end{bmatrix}}}
의 행렬식은 1행에 대한 전개를 통해 계산할 수 있다. 먼저 소행렬식 M\_{{11}}, M\_{{12}}, M\_{{13}}, {\displaystyle M\_{14}}는 모두 3 × 3 행렬식이므로 역시 다음과 같이 라플라스 전개를 통해 계산할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}M\_{11}&={\begin{vmatrix}-1&2&1\\0&1&3\\1&3&1\end{vmatrix}}=-1{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}\\&=-1(1-9)-2(0-3)+1(0-1)=13\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}M\_{12}&={\begin{vmatrix}0&2&1\\1&1&3\\0&3&1\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}\\&=-2(1-0)+1(3-0)=1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}M\_{13}&={\begin{vmatrix}0&-1&1\\1&0&3\\0&1&1\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}-(-1){\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=1(1-0)+1(1-0)=2\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}M\_{14}&={\begin{vmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\0&1&3\end{vmatrix}}=0{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}-(-1){\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=1(3-0)+2(1-0)=5\end{aligned}}}
따라서, 행렬식은 다음과 같다.

{\displaystyle |A|=1M\_{11}-2M\_{12}+1M\_{13}-4M\_{14}=13-2+2-20=-7}
### 여러 행에 대한 전개

위 4 × 4 행렬

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1&4\\0&-1&2&1\\1&0&1&3\\0&1&3&1\end{bmatrix}}}
의 행렬식은 1행과 2행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}|A|&=&(-1)^{1+2+1+2}{\begin{vmatrix}1&2\\0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+1+3}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&3\\1&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+1+4}{\begin{vmatrix}1&4\\0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&1\\1&3\end{vmatrix}}\\&&{}+(-1)^{1+2+2+3}{\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\0&1\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+2+4}{\begin{vmatrix}2&4\\-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\0&3\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2+3+4}{\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}\\&=&(-1)(-8)-2(-3)+1(-1)+51-63+(-7)1\\&=&-7\end{array}}}

증명
--

{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}에 대하여, 다음과 같은 함수 {\displaystyle \mu \_{k}}를 정의하자.

{\displaystyle \mu \_{k}\colon \{1,\ldots ,n-1\}\to \{1,\ldots ,n\}}
{\displaystyle \mu \_{k}\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\in \{1,\ldots ,k-1\}\\x+1&x\in \{k,\ldots ,n-1\}\end{cases}}}
즉, {\displaystyle \mu \_{k}}는 k 이상의 원소들을 뒤로 한 칸 밀며, 나머지 원소들은 움직이지 않는다. 그렇다면, 함수

{\displaystyle \{\sigma \in S\_{n}\colon \sigma \_{i}=j\}\to S\_{n-1}}
{\displaystyle \sigma \mapsto \mu \_{j}^{-1}\sigma \mu \_{i}}
는 일대일 대응이다.

행렬식의 라이프니츠 공식 속, a\_{{ij}}를 포함하는 항

{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma \,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{ij}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}}
을 생각하자. 또한,

{\displaystyle \tau =\mu \_{j}^{-1}\sigma \mu \_{i}\in S\_{n-1}}
{\displaystyle \tau '=\tau \mu \_{j}^{-1}\sqcup \operatorname {id} \_{\{j\}}\in S\_{n}}
라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle \operatorname {sgn} \tau =\operatorname {sgn} \tau '}
이며,

{\displaystyle \sigma =\nu \tau '}
{\displaystyle \nu ={\begin{cases}\operatorname {id} \_{\{1,\ldots ,n\}}&i=j\\(\sigma \_{j},\sigma \_{j-1},\ldots ,\sigma \_{i+2},\sigma \_{i+1},j)&i<j\\(\sigma \_{j},\sigma \_{j+1},\ldots ,\sigma \_{i-2},\sigma \_{i-1},j)&i>j\end{cases}}\in S\_{n}}
이다. 또한, \nu 는 {\displaystyle |i-j|}개의 호환으로 표현할 수 있으므로,

{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{|i-j|}\operatorname {sgn} \tau '=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau }
이다. 따라서,

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{j=1}^{n}\sum \_{\sigma \_{i}=j}\operatorname {sgn} \sigma \,a\_{i\sigma \_{1}}\cdots a\_{ij}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{j=1}^{n}\sum \_{\tau \in S\_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau \,a\_{i\sigma \_{1}}\cdots a\_{ij}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}\sum \_{\tau \in S\_{n-1}}\operatorname {sgn} \tau \,a\_{i\sigma \_{1}}\cdots a\_{i-1,\sigma \_{i-1}}a\_{i+1,\sigma \_{i+1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}M\_{ij}\\&=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}\end{aligned}}}
### 여러 행에 대한 전개

위 증명과 비슷하게, 다음 대상들을 정의하자. ({\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}})

* k원소 집합 {\displaystyle K\subseteq [n]}에 대하여, {\displaystyle \mu \_{K}\colon [n-k]\to [n]}은 의 원소들을 뒤로 밀어 K의 원소들에 공백이 생기도록 하는 함수이다.
* 일대일 대응
{\displaystyle \{\sigma \in S\_{n}\colon \sigma (I)=J\}\to S\_{k}\times S\_{n-k}}
{\displaystyle \sigma \mapsto (\mu \_{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu \_{[n]\setminus I},\mu \_{J}^{-1}\sigma \mu \_{I})}

행렬식의 라이프니츠 공식에서, {\displaystyle \sigma (I)=J}인 항

{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma \,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}}
을 생각하자. 또한,

{\displaystyle \tau \_{1}=\mu \_{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu \_{[n]\setminus I}\in S\_{k}}
{\displaystyle \tau \_{2}=\mu \_{J}^{-1}\sigma \mu \_{I}\in S\_{n-k}}
를 정의하자. 그렇다면, \sigma 는 다음과 같이 {\displaystyle \operatorname {id} \_{n}}으로 환원된다.

* {\displaystyle \sigma (I)}의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \_{1}}과 같다.
* {\displaystyle \sigma ([n]\setminus I)}의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \_{2}}와 같다.
* i\in I에 대하여, {\displaystyle \sigma (i)}를 i번째로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 {\displaystyle (-1)^{\sum I+\sum J}}와 같다.

그러므로,

{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{\sum I+\sum J}\operatorname {sgn} \tau \_{1}\operatorname {sgn} \tau \_{2}}
이며, 따라서

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{|J|=k}\sum \_{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \sigma \,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{|J|=k}\sum \_{\sigma (I)=J}(-1)^{\sum I+\sum J}\operatorname {sgn} \tau \_{1}\operatorname {sgn} \tau \_{2}\,a\_{1\sigma \_{1}}\cdots a\_{n\sigma \_{n}}\\&=\sum \_{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum \_{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau \_{1}\prod \_{i\in I}a\_{i\sigma \_{i}}\right)\left(\sum \_{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau \_{2}\prod \_{i\in [n]\setminus I}a\_{i\sigma \_{i}}\right)\\&=\sum \_{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum \_{\tau \_{1}\in S\_{k}}\operatorname {sgn} \tau \_{1}\prod \_{i\in I}a\_{i\sigma \_{i}}\right)\left(\sum \_{\tau \_{2}\in S\_{n-k}}\operatorname {sgn} \tau \_{2}\prod \_{i\in [n]\setminus I}a\_{i\sigma \_{i}}\right)\\&=\sum \_{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A\_{I,J}M\_{I,J}\end{aligned}}}

역사
--

알렉상드르 테오필 방데르몽드는 행렬식의 두 행에 대한 전개를 제시하였다.:606, §25.3 피에르시몽 라플라스는 1772년 논문 《Recherches sur Ie calcul integral et sur Ie systeme
du monde,》에서 행렬식 전개를 임의 개수 행에 대한 전개로 일반화하였다.:607, §25.3 오귀스탱 루이 코시는 라플라스의 전개 정리를 더 현대적인 용어로 서술·증명하였다.:796, §33.2

참고 문헌
-----

* Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.