미분기하학에서 **정칙 벡터 다발**(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 **해석적 벡터 다발**(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.

정의
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M이 복소다양체이고, 그 위에 \pi\colon E\to M이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 E 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 \pi가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, E를 **정칙 벡터 다발**이라고 한다.

마찬가지로, \pi의 단면 {\displaystyle s\colon M\to E}가 정칙 함수라면, 이를 \pi의 **정칙 단면**(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 E의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, \mathcal O(E)라고 쓴다. 만약 E가 자명한 복소수 선다발 \underline{\mathbb C}라면, \mathcal O(\underline{\mathbb C})는 M의 구조층(영어: structure sheaf) \mathcal O\_M과 같다.

연산
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정칙 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

{\displaystyle \pi ^{\*}\colon E^{\*}\twoheadrightarrow M}
을 정의할 수 있다. 그 올

{\displaystyle E\_{x}^{\*}=\hom \_{\mathbb {C} }(E\_{x},\mathbb {C} )}
은 E\_x의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질
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정칙 벡터 다발 E\to M의 코호몰로지 H^\bullet(-,\mathcal O(E))는 그 해석적 단면들의 층 \mathcal O(E)의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

* H^0(M,\mathcal O(E))는 E의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
* H^1(M,\mathcal O(E))는 자명 선다발의 E에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 F들로 구성된다.
0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0

### 정칙 접속

복소다양체 M 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 벡터 다발 접속 \nabla 
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \_{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)}
그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{\*}M}의 복소화 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{\*}M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} }는 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle \mathrm {T} \_{x}^{\*}M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} \_{x}^{(0,1)\*}M\oplus \mathrm {T} \_{x}^{(1,0)\*}M}
즉,

{\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M\otimes \_{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{\*}M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes \_{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)\*}M\otimes \_{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)\*}M\otimes \_{\mathbb {C} }E)}
와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 \nabla  역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

{\displaystyle \nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}
{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}
이제, E가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

{\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}
가 잘 정의된다. (이는 E의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, {\displaystyle \partial \colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 E가 "반정칙 벡터 다발"일 경우, 반대로 \partial 이 정의되며 {\bar \partial }이 정의되지 않는다.) 만약

{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}}
이라면, 접속 \nabla 를 **정칙 접속**(영어: holomorphic connection)이라고 한다.

### 에르미트 계량

에르미트 계량 {\displaystyle \langle -,-\rangle }를 갖춘 복소수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M의 경우, **에르미트 접속**의 개념이 존재한다. 만약 E가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 **천 접속**([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 E가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 {\displaystyle \pi \colon L\to M}의 국소 자명화

{\displaystyle \phi \_{i}\colon \pi ^{-1}(U\_{i})\to U\_{i}\times \mathbb {C} }
가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

{\displaystyle g\_{ij}\colon U\_{i}\cap U\_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }}
라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

{\displaystyle \langle s,t\rangle (z)=\exp(2a\_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U\_{i},L)}
{\displaystyle a\_{i}\colon U\_{i}\to \mathbb {R} }
이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

{\displaystyle a\_{j}(x)=a\_{i}(x)+\ln |g\_{ij}|\qquad \forall x\in U\_{i}\cap U\_{j}}
인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

{\displaystyle F\upharpoonright U\_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a\_{i}}
로 주어진다.

예
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### 정칙 접다발

복소다양체 M의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}을 생각하자. 그 위에 복소구조 {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M}가 작용하며, 이는 정의에 따라 J^{2}=-1을 만족시킨다. 즉,

{\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} }
의 고윳값은 {\displaystyle \pm \mathrm {i} }이며, 이에 의하여

{\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}
으로 분해된다. 이 경우, {\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M}은 **정칙 접다발**(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, {\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M}은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

### 대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체 X 위의 대수적 벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 X^{\operatorname{an}} 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 {\displaystyle E^{\operatorname {an} }\twoheadrightarrow X^{\operatorname {an} }}를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 X가 추가로 사영 대수다양체라면, X^{\operatorname{an}} 위의 모든 정칙 벡터 다발은 X 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

### 자명한 다발

복소수 벡터 공간 {\mathbb C}^{n} 위의 자명한 복소수 벡터 다발

{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}}
은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사
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에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.