바르샤바 대학교의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, "warunek Kubo-Martina-Schwingera")
함수해석학과 양자역학에서 **구보-마틴-슈윙거 상태**([久保]-Martin-Schwinger狀態, 영어: Kubo–Martin–Schwinger state, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* C\* 대수 {\mathcal A} ("관측 가능량 대수")
* 상태 {\displaystyle \phi \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {C} }
* 양의 실수 {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} ("온도의 역수")
* 군 준동형 {\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} ({\mathcal {A}})}, {\displaystyle t\mapsto \alpha \_{t}} ("시간 변화")

만약 임의의 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수

{\displaystyle F\_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }
가 존재한다면, \phi 를 **\beta에서의 구보-마틴-슈윙거 상태**(영어: Kubo–Martin–Schwinger state at \beta)라고 한다.:153, Definition 6.63

* {\displaystyle F\_{AB}}의 치역은 유계 집합이다.
* {\displaystyle F\_{AB}\upharpoonright \left(\mathbb {R} +\mathrm {i} (0,\beta )\right)}는 정칙 함수이다.
* {\displaystyle F\_{AB}(t)=\phi (A\alpha \_{t}B)\qquad \forall t\in \mathbb {R} } (실수선에서의 경계 조건)
* {\displaystyle F\_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )=\phi ((\alpha \_{t}B)A)\qquad \forall t\in \mathbb {R} } (실수선{\displaystyle +\mathrm {i} \beta }에서의 경계 조건)

물리학적으로, {\displaystyle F\_{AB}}는 현재 관측 가능량 A와 시각 t에서의 관측 가능량 B 사이의 상관 함수이다.

성질
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구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, (\alpha ,\beta )-구보-마틴-슈윙거 상태 \phi 에 대하여, 다음이 성립한다.:153, Proposition 6.64(2)

{\displaystyle \phi \circ \alpha \_{t}=\phi \qquad \forall t\in \mathbb {R} }

예
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{N}}
* {\displaystyle N\times N} 에르미트 행렬 H ("해밀토니언 연산자")
* 양의 실수 {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}

그렇다면, 모든 {\displaystyle N\times N} 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)=\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}를 생각하자. 이 위에는 자기 동형

{\displaystyle \alpha \_{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}
이 존재하며, 이는 군 준동형

{\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} (\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} ))\cong \operatorname {U} (n)}
{\displaystyle \alpha \colon t\mapsto \alpha \_{t}}
을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}에 대하여 기브스 상태

{\displaystyle \omega (A;\beta )={\frac {\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}
및 함수

{\displaystyle F\_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }
{\displaystyle F\_{AB}(z)=\omega (A\exp(\mathrm {i} zH)B;\beta )}
를 정의하자. 그렇다면 {\displaystyle F\_{AB}(-)}가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 {\displaystyle \omega (-;\beta )}는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.

**증명:**

유일하게 자명하지 않은 것은 {\displaystyle z\in \mathbb {R} +\mathrm {i} \beta }에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\operatorname {tr} \exp(-\beta H)\right)F\_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\exp(-\beta H)A\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)\exp(\mathrm {i} tH)B\exp(-\mathrm {i} tH)A\right)\end{aligned}}}

보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간 V(의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소 {\displaystyle H\colon D\to V}가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 t\in \mathbb {R} 에 대하여 유니터리 작용소 {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon V\to V}를 정의할 수 있다. V 위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수 {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}를 이루며,

{\displaystyle \alpha \_{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}
는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우, \alpha 에 대한, 온도의 역수 \beta에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건은 {\displaystyle \exp(-\beta H)}가 대각합류 작용소인지 여부이다.:154, §6.4.4 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.:154, §6.4.4

{\displaystyle \phi \_{H}\colon A\mapsto {\frac {\operatorname {tr} (\exp(-\beta H)A)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}

역사
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줄리언 슈윙거
구보 료고:579, (4.13)와 폴 세실 마틴(영어: Paul Cecil Martin, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거가 1950년대에 도입하였다.

"구보-마틴 슈윙거 경계 조건"(영어: Kubo–Martin–Schwinger boundary condition)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Dereziński, Jan; Gérard, Christian (2013). 《Mathematics of quantization and quantum fields》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-110701111-3.
2. ↑  Kubo, Ryogo (1957). "Statistical-mechanical theory of irreversible processes I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems". 《Journal of the Physical Society of Japan》 (영어) **12** (6): 570–586. Bibcode:1957JPSJ...12..570K. doi:10.1143/JPSJ.12.570. ISSN 0031-9015.
3. ↑  Martin, Paul Cecil; Schwinger, Julian Seymour (1959). "Theory of many-particle systems I". 《Physical Review》 (영어) **115** (6): 1342–1373. Bibcode:1959PhRv..115.1342M. doi:10.1103/PhysRev.115.1342.
4. ↑  Haag, Rudolf; Winnink, M.; Hugenholtz, N. M. (1967). "On the equilibrium states in quantum statistical mechanics". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **5**: 215–236. Bibcode:1967CMaPh...5..215H. doi:10.1007/BF01646342. ISSN 0010-3616. MR 0219283.

* Dereziński, Jan; Pillet, Claude-Alain. "KMS states" (PDF) (영어).