이차함수 y=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)의 그래프.  
  
**x축**과 그래프가 만나는 점의 **x**좌표인 x=-1과 x=2는 x^{2}-x-2=0이라는 이차방정식의 해가 된다.
**이차방정식**(二次方程式, 영어: quadratic equation)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. 'x에 대한 이차식=0' 꼴로 나타내는 방정식을 x에 대한 이차방정식이라고 한다. x에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0
와 같고, 여기서 x는 변수, a와 b는 각각 x^{2},x의 계수라고 하며, c는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 ax^{2}에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 **중근**이라고 한다.

이차 방정식의 근의 공식
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다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

ax^{2}+bx+c=0, 단, a, b, c는 실수이고 {\displaystyle a\neq 0}일 때, 이 방정식의 두 해 x\_{1}, x\_{2}는
x\_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}이다.
이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}}, 단 {\displaystyle c\neq 0}일 경우에만 성립한다.
여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 b^{2}-4ac를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 D로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

* 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
* 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 **중근**이라고 한다.
* 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 {\displaystyle {\sqrt {\;\;}}}안의 수, 즉 b^{2}-4ac는 이 이차방정식의 판별식이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 {\displaystyle \pm {\sqrt {\;\;}}}가 살아있는 2개의 값이 되고, 루트의 내부가 {\displaystyle 0}이면 루트는 없어짐으로 1개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수 {\displaystyle {\sqrt {-1\;}}}의 i가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 {\displaystyle 0}이면 루트는 없어짐으로 1개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,

{\displaystyle {{{-b}{\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}} \over {2a}}={{{-b}{\cancel {\pm {\sqrt {0}}}}} \over {2a}}=-{{b} \over {2a}}}
따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은 {\displaystyle -{{b} \over {2a}}} 가 된다.

### 근의 공식의 유도

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.  

좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.  

ax^{2}+bx+c=0에서, a는 {\displaystyle 0}이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항 x^{2}의 계수를 1로 만든다.

\textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0
가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면  

{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}  

일차항 x의 계수를 {\displaystyle 2}로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.   

{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}  

{\displaystyle \left(\textstyle x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={-{4a^{2}c}+{ab^{2}} \over {4a^{3}}}={-{4ac}+{b^{2}} \over {4a^{2}}}}  

제곱근을 취하면

\ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}
x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}} (단, {\displaystyle a\neq 0})
가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 {\displaystyle D=b^{2}-4ac}가 {\displaystyle 0}일때, 즉   

{\displaystyle b^{2}-4ac=0} 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.  

{\displaystyle D=\left({b \over a}\right)^{2}-4\left({b \over 2a}\right)^{2}=0}

### 짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 b가 짝수인 경우 \scriptstyle b'={\frac {b}{2}}를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac\ }}}{a}}
##### 근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이

이차 방정식 {\displaystyle x^{2}+x-1=0} 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식 x\_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}} 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면  

x\_{{1,2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+4\ }}}{2}}  
 x\_{{1,2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5\ }}}{2}}이다.

### 차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( n차항)의 x의 계수, a로 나눈 다음 {\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식

ax^{2}+bx+c=0은 다음의 꼴로 정리되고,
{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0}
그리고

{\displaystyle y^{2}+p=0}의 꼴로 정리해서,
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,

{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}}
{\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
우선, {\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}

{\displaystyle =\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}
따라서,

{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0}
{\displaystyle y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0}
{\displaystyle y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0}
{\displaystyle y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0}
{\displaystyle y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0}
{\displaystyle y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}
{\displaystyle y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}
{\displaystyle {\sqrt {y^{2}}}=\pm {\sqrt {{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}}
{\displaystyle y={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}에서,
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}-{b \over 2a}}
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b \over 2a}}
{\displaystyle x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}
여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은 y^{2}이다.

이러한 {\displaystyle {b \over \mathbf {n} a}} 값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.

근과 계수의 관계
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 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.
### 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1

ax^{2}+bx+c=0의 두 근 \alpha ,\beta 를 각각

\alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

\beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

* \alpha +\beta ={\frac {-b-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

\alpha +\beta ={\frac {-2b}{2a}}  

  

\therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}  
  

  

* \alpha \beta ={\frac {b^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac\ }})^{2}}{(2a)^{2}}}

\alpha \beta ={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}

\alpha \beta ={\frac {4ac}{4a^{2}}}

\therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}

  

* \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|

\left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|

\therefore \left|\alpha -\beta \right|={\frac {{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{\left|a\right|}}

단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

### 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

ax^{2}+bx+c=0의 두근 을 각 \alpha ,\beta 라고 정의하고

\alpha ,\beta 을 근으로 갖는 이차방정식을 (x-\alpha )(x-\beta )=0이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 a(단,a는 {\displaystyle 0}이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

ax^{2}+bx+c=0\iff a(x-\alpha )(x-\beta )=0

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

  

먼저 두 번째 이차방정식인 a(x-\alpha )(x-\beta )=0의 계수를 나누고 전개해주면

x^{2}+(-\alpha -\beta )x+\alpha \beta  - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 ax^{2}+bx+c=0 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 ax^{2}의 계수 a로 나눠주면

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

-\alpha -\beta ={\frac {b}{a}},-(\alpha +\beta )={\frac {b}{a}}

\therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}  
  

\therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.