최적 단계를 갖는 경사 하강법(초록색)과 주어진 선형 계에 관한 이차함수를 최소화하는 켤레기울기법(붉은색)의 비교. 정확한 계산이 이루어졌다고 가정하면, 켤레기울기법은 그 계의 행렬의 크기가 n에 대하여 최대로 n단계내에 수렴한다. (여기서, n=2) 
**켤레기울기법** 또는 **공역기울기법**(영어: Conjugate Gradient Method, 일본어: 共役勾配法)이란 수학에서 대칭인 양의 준정부호행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive-semidefinite matrix)을 갖는 선형계의 해를 구하는 수치 알고리즘이다. 이는 보통 반복알고리즘으로 풀리고, 따라서 숄레스키 분해와 같은 방법이나 직접 풀기에 너무 큰 계가 갖는 희소행렬 등에 사용하기 적합하다. 그러한 계는 편미분 방정식들이나 최적화 문제들을 수치적으로 풀 때 자주 등장한다.

켤레기울기법은 또한 에너지 최소화같은 제약조건이 없는 최적화문제를 풀 수 있다. 이것은 Magnus Hestenes와 Eduard Stiefel에 의해 개발되었다.

방법의 설명
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우리는 다음과 같은 선형 계의 방정식을 풀기 원한다고 가정하자.

**Ax** = **b**
**A**는 n x n 대칭행렬이고 (i.e. **A**T = **A**), 양의 정부호행렬 positive definite (i.e. **R***n*에서 모두 0이 아닌 벡터들 **x**에 관하여 **x**T**Ax** > 0 )이고, 실수이고, x, b는 n x 1 실수 인 열벡터이다.

여기서 우리는 이 계의 유일한 해를 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}}라고 하자.

직접적 방법으로서 공역 구배법
----------------

다음과 같이

{\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} =0.} 일 때,
두개의 영이 아닌 벡터들을 *u* 과 *v*를 켤레라고 하자. (*A*에 대하여)
**A**는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다.

{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \_{\mathbf {A} }:=\langle \mathbf {A} \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {A} \mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} .}
만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다.

켤레가 되는것은 대칭관계이다: 만일 **u**가 **v**에 켤레이면
**v**가 **u**에 켤레이다.

```
{\displaystyle P=\{\mathbf {p} \_{k}:\forall i\neq k,i,k\in [1,n],\langle \mathbf {p} \_{i},\mathbf {p} \_{k}\rangle \_{A}=0\}}
```

는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자.
그러면 {\displaystyle P}는 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}의 기저이고,
그래서 {\displaystyle P}내에서 우리는
그 해 {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }의 {\displaystyle \mathbf {x} \_{\*}}를 확장시킬 수 있다:

{\displaystyle \mathbf {x} \_{\*}=\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\mathbf {p} \_{i}}
그리고 우리가 보면

{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {A} \mathbf {x} \_{\*}=\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\mathbf {A} \mathbf {p} \_{i}.}
어떤 {\displaystyle \mathbf {p} \_{k}\in P}에 관하여,

{\displaystyle \mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} =\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} \_{\*}=\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{i}=\alpha \_{k}\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{k}.}
(왜냐하면 {\displaystyle \forall i\neq k,p\_{i},p\_{k}}는 상호적인 켤레이기 때문에)

{\displaystyle \alpha \_{k}={\frac {\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{k}}}={\frac {\langle \mathbf {p} \_{k},\mathbf {b} \rangle }{\,\,\,\langle \mathbf {p} \_{k},\mathbf {p} \_{k}\rangle \_{\mathbf {A} }}}={\frac {\langle \mathbf {p} \_{k},\mathbf {b} \rangle }{\,\,\,\|\mathbf {p} \_{k}\|\_{\mathbf {A} }^{2}}}.}
이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다.

이것은 **Ax** = **b** 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. :
n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \_{k}}을 계산한다.

반복적 방법으로서 공역 구배법
----------------

만일 우리가 켤레 벡터들을 **p***k* 신중하게 선택하고, 우리는 그 해 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}} 의 좋은 근사 값을 얻기 위해서 그들의 모두가 필요하지 않을 수 있다.
그래서 우리는 반복적인 방법으로서 공역 구배법을 보기를 원한다.
*n*이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다.

{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}}의 초기 추측값을 **x**0라고 하자.
우리는 일반성을 잃지 않고 **x**0 = 0 (마찬가지로, 대신에 그 계를 **Az** = **b** − **Ax**0 ) 라고 가정할 수 있다.
**x**0와 함께 시작하여 우리는 그 해를 찾고, 각각의 반복에서 우리는 그 해 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}}(우리에게 잘알려지지 않은 해) 에 근접한게 무엇인지 알려주는 측도가 필요하다.
이 측도는 그 해 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}}가 또한
다음의 이차함수의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다.
그래서 만일 f(**x**)가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}}에 가까이 간다는 것을 의미한다.

{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,\quad \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}.}

  

**x** = **x**0에서 *f*의 구배(영어:gradient)의 음의 값이 되도록 처음 기저 **p**0를 잡는다.

그 *f*의 구배(영어:gradient)가 **Ax**−**b**와 같고, 추측 해**x**0를 가지고 시작한다.
(우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} \_{\*}} 가 **0** 이고 그 집합을 **x**0 **0**으로 항상 추측할 수 있다. )
이것을 **p**0 = **b**−**Ax**0라고 두자.
그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다.
그래서 이 방법의 이름이 *공역 구배법*(영어:*conjugate gradient method*)이다.

우선 *k*번째 단계에서 **r***k*를 *유수*(영어:residue)라고 하자:
{\displaystyle \mathbf {r} \_{k}=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} \_{k}.\,}

**r***k*는 **x** = **x***k*에서 음의 *f*의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고,
그래서 경사 하강법은 **r***k* 방향에서 움직일 것이다.
여기, 우리는 그 방향들 **p***k*이 각각 다른것과 켤레라고 주장한다.
이 시행은 충분히 합리적인데,
우리는 또한 다음 찾는 방향은 최근의 유수와 이전의 모든 검색방향들에 의해서 정하게 한다.

그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 *그램 -슈미트*와 유사하다.

이것은 다음의 표현과 같다:

{\displaystyle \mathbf {p} \_{k}=\mathbf {r} \_{k}-\sum \_{i<k}{\frac {\mathbf {p} \_{i}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {r} \_{k}}{\mathbf {p} \_{i}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{i}}}\mathbf {p} \_{i}}
(수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조)
이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다.

{\displaystyle \mathbf {x} \_{k+1}=\mathbf {x} \_{k}+\alpha \_{k}\mathbf {p} \_{k}}
{\displaystyle \alpha \_{k}={\frac {\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{k}}}={\frac {\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} \_{k-1}+\mathbf {Ax} \_{k-1})}{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{k}}}={\frac {\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k-1}}{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} \_{k}}},}
를 포함함

(**p***k* 와**x***k-1* 가 켤레이기 때문에 마지막 등식이 성립한다.)

### 그 결과의 알고리즘

그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다.
일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라
많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다.
그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다.

모든 *i < k*에 관하여 **r***k+1*는 **p***i*과 켤레이다.
(예를 들어 귀납법에 의해 증명될 수 있다) 그러므로 오직 **r***k*, **p***k*,
그리고 **x***k* 이 **r***k+1*, **p***k+1*, 그리고 **x***k+1*를 세우는데 필요로 한다.
게다가 오직 하나의 행렬-벡터 곱셈이 각각의 반복적인 계산마다 필요하다.

실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 **A**에 관하여 **Ax** = **b**를 푸는 알고리즘 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다.

그 입력 벡터 **x**0는 거의 정확한 초기 해나 **0**이 될 수 있다.
이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} \_{0}:=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} \_{0}\\&\mathbf {p} \_{0}:=\mathbf {r} \_{0}\\&k:=0\\&{\hbox{repeat}}\\&\qquad \alpha \_{k}:={\frac {\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k}}{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} \_{k}}}\\&\qquad \mathbf {x} \_{k+1}:=\mathbf {x} \_{k}+\alpha \_{k}\mathbf {p} \_{k}\\&\qquad \mathbf {r} \_{k+1}:=\mathbf {r} \_{k}-\alpha \_{k}\mathbf {Ap} \_{k}\\&\qquad {\hbox{if }}r\_{k+1}{\hbox{ is sufficiently small then exit loop}}\\&\qquad \beta \_{k}:={\frac {\mathbf {r} \_{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k+1}}{\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k}}}\\&\qquad \mathbf {p} \_{k+1}:=\mathbf {r} \_{k+1}+\beta \_{k}\mathbf {p} \_{k}\\&\qquad k:=k+1\\&{\hbox{end repeat}}\\&{\hbox{The result is }}\mathbf {x} \_{k+1}\end{aligned}}}

이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은{\displaystyle \beta \_{k}}은 비선형 공역 구배법인 플레처 리브스에서 또한 사용된다.

#### 알파와 베타의 계산

알고리즘에서, {\displaystyle \alpha \_{k}} 는
{\displaystyle \mathbf {r} \_{k+1}}가 {\displaystyle \mathbf {r} \_{k}}에 직교가 되도록 선택된다. 그 분모는 다음과 같이 단순화된다.

{\displaystyle \alpha \_{k}={\frac {\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k}}{\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} \_{k}}}={\frac {\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k}}{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} \_{k}}}}

{\displaystyle \mathbf {r} \_{k}=\mathbf {p} \_{k}-\mathbf {\beta } \_{k-1}\mathbf {p} \_{k-1}}때문에 그 {\displaystyle \beta \_{k}}는 {\displaystyle \mathbf {p} \_{k+1}} 가 {\displaystyle \mathbf {p} \_{k}}에 켤레가 되도록 선택된다. 처음에, {\displaystyle \beta \_{k}} 는

{\displaystyle \beta \_{k}=-{\frac {\mathbf {r} \_{k+1}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} \_{k}}{\mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} \_{k}}}}

{\displaystyle \mathbf {r} \_{k}=\mathbf {r} \_{k-1}-\alpha \_{k-1}A\mathbf {p} \_{k-1}}를 이용하고, 마찬가지로 {\displaystyle A\mathbf {p} \_{k-1}={\frac {1}{\alpha \_{k-1}}}(\mathbf {r} \_{k-1}-\mathbf {r} \_{k})}, {\displaystyle \beta \_{k}}의 분자는 다음과 같이 다시 쓰면,

{\displaystyle \mathbf {r} \_{k+1}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} \_{k}={\frac {1}{\alpha \_{k}}}\mathbf {r} \_{k+1}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} \_{k}-\mathbf {r} \_{k+1})=-{\frac {1}{\alpha \_{k}}}\mathbf {r} \_{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k+1}}

{\displaystyle \mathbf {r} \_{k+1}} 과 {\displaystyle \mathbf {r} \_{k}} 처음 구상에 의해 직교이기 때문에 그분모는 다음과 같이 다시 쓰면,

{\displaystyle \mathbf {p} \_{k}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} \_{k}=(\mathbf {r} \_{k}+\beta \_{k-1}\mathbf {p} \_{k-1})^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} \_{k}={\frac {1}{\alpha \_{k}}}\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} \_{k}-\mathbf {r} \_{k+1})={\frac {1}{\alpha \_{k}}}\mathbf {r} \_{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{k}}

검색 방향들 {\displaystyle \mathbf {p} \_{k}}은 켤레이고 다시 그 유수들과 직교라는 사실을 이용하여 이 알고리즘에서 {\displaystyle \alpha \_{k}}를
제거한 후{\displaystyle \beta }를 얻는다.

#### 함수 (프로그래밍) 예제

```
function [x] = conjgrad(A,b,x)
 r=b-A\*x;
 p=r;
 rsold=r'\*r;

 for i=1:1e6
 Ap=A\*p;
 alpha=rsold/(p'\*Ap);
 x=x+alpha\*p;
 r=r-alpha\*Ap;
 rsnew=r'\*r;
 if sqrt(rsnew)<1e-10
 break;
 end
 p=r+rsnew/rsold\*p;
 rsold=rsnew;
 end
end

```

### 수치적 예제

공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다.
다음과 같은 선형 계인 **Ax** = **b**을 고려하면

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}},}
그 계의 거의 정확한 해를 찾기 위해서
우리는 초기 추측값을 설정하여 공역 구배법의 두 단계만에 수행할 것이다.

{\displaystyle \mathbf {x} \_{0}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}
#### 해

참고에 따르면 정확한 해는 :: {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{11}}\\\\{\frac {7}{11}}\end{bmatrix}}}

우리의 첫번째 단계는 **x**0과 연관된 유수 벡터 **r**0를 계산 하는 것이다.

이 유수는 식 **r**0 = **b** - **Ax**0으로부터 계산되고, 그리고 우리에 경우에는 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbf {r} \_{0}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}.}
이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향**p**0 으로써 유수 벡터 **r**0를 사용할 것이다.

앞으로의 반복 계산에서 **p**k를 선택하는 방법은 변할 것이다.

우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α0를 계산한다.

{\displaystyle \alpha \_{0}={\frac {\mathbf {r} \_{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{0}}{\mathbf {p} \_{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} \_{0}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}}={\frac {73}{331}}.}
우리는 그 식을 이용하여 **x**1을 계산 할 수 있다.

{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}=\mathbf {x} \_{0}+\alpha \_{0}\mathbf {p} \_{0}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\frac {73}{331}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.2356\\0.3384\end{bmatrix}}.}
이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해**x**1가 된다.
우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 **r**1를 계산할 것이다.

{\displaystyle \mathbf {r} \_{1}=\mathbf {r} \_{0}-\alpha \_{0}\mathbf {A} \mathbf {p} \_{0}={\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}-{\frac {73}{331}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}.}
그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 **p**1를 결정하는데 결과적으로 사용될 스칼라 β0를 계산하는 것이다.

{\displaystyle \beta \_{0}={\frac {\mathbf {r} \_{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{1}}{\mathbf {r} \_{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{0}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-0.2810&0.7492\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}}=0.0088.}
이제, 이 스칼라 β0를 이용하여, 우리는 그 관계를 이용하여 다음 검색 방향 **p**1을 계산 할 수 있다.

{\displaystyle \mathbf {p} \_{1}=\mathbf {r} \_{1}+\beta \_{0}\mathbf {p} \_{0}={\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}+0.0088{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}.}
우리는 α0에서 사용했던 같은 방식으로
새로 얻은 **p**1를 이용하여 이제 스칼라 α1를 계산 할 수 있다.

{\displaystyle \alpha \_{1}={\frac {\mathbf {r} \_{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} \_{1}}{\mathbf {p} \_{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} \_{1}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-0.2810&0.7492\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-0.3511&0.7229\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}}}=0.4122.}
마지막으로, 우리는 **x**1을 찾았던 같은 방법으로 **x**2를 찾는다.

{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}=\mathbf {x} \_{1}+\alpha \_{1}\mathbf {p} \_{1}={\begin{bmatrix}0.2356\\0.3384\end{bmatrix}}+0.4122{\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.0909\\0.6364\end{bmatrix}}.}
그 결과, **x**2는 그 계의 해에 **x**1 과 **x**0보다 "더나은" 근사치가 된다.

만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 *n*=2 반복수행 후 도달 할 것이다.
(*n*은 그 계의 크기임).

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