부분 정의 함수의 예
단사 부분 정의 함수의 예
수학에서 **부분 정의 함수**(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 **부분 함수**(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의
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집합 X와 Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X에서 Y로 가는 **부분 정의 함수**는 정의역 \operatorname {dom}f이 X의 부분 집합이며, 공역이 Y인 함수 f이다. 이들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}로 표기하자.

{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)=\bigsqcup \_{A\subseteq X}Y^{A}}
부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

{\displaystyle X\_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet \_{X}\}}
{\displaystyle Y\_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet \_{Y}\}}
를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

* 부분 정의 함수 f\colon X\to Y
* 점을 보존하는 함수 {\displaystyle f\_{\bullet }\colon X\_{\bullet }\to Y\_{\bullet }}
* 함수 {\displaystyle f\_{\bullet }|\_{X}\colon X\to Y\_{\bullet }}

이 경우

{\displaystyle \operatorname {dom} f=f\_{\bullet }^{-1}(Y)=f\_{\bullet }^{-1}(Y\_{\bullet }\setminus \{\bullet \_{Y}\})}
이다. 특히, {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}는 지수 집합 {\displaystyle Y\_{\bullet }^{X}}와 표준적으로 일대일 대응한다.

### 부분 순서

X\to Y 부분 정의 함수들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

{\displaystyle f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|\_{\operatorname {dom} f}=f\right)}
그렇다면 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 \kappa 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}는 정의역의 크기가 \kappa  미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.:211, Definition VII.6.1

{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}=\bigsqcup \_{A\subseteq X}^{|A|<\kappa }Y^{A}}
이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질
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### 조합론적 성질

{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)\cong Y\_{\bullet }^{X}}의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum \_{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum \_{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}
(이는 X, Y가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )}의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )|=\sum \_{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}
### 순서론적 성질

#### 극대·극소 원소

{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다.
{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}의 극대 원소는 {\displaystyle \operatorname {dom} f=X}인 함수 {\displaystyle f\in Y^{X}\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y)}이다.

#### 반사슬 조건

만약 Y가 가산 집합이라면, {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\aleph \_{0})}는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 X, Y 및 기수 \kappa 가 주어졌다고 하고,

{\displaystyle \lambda =(|Y|^{<\kappa })^{+}=\left(\sup \_{\kappa '<\kappa }|Y|^{\kappa }\right)^{+}}
라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}는 \lambda -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

#### 포괄적 순서 아이디얼

임의의 기수 \kappa\ge\aleph\_0 및 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}의 포괄적 순서 아이디얼 {\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 {\displaystyle \sup G\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.:211, Lemma VII.6.2

* 만약 \aleph \_{0}\leq \kappa 라면, {\displaystyle \operatorname {dom} \sup G=X}이다. 즉, {\displaystyle \sup G\in Y^{X}}는 (X 전체에 정의된) 함수이다.

**증명:**

임의의 x\in X에 대하여, x에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 {\displaystyle D\_{x}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon x\in \operatorname {dom} f\}}는 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}의 공종 집합이다. 따라서 {\displaystyle f\in G\cap D\_{x}}가 존재하며, 특히 {\displaystyle f\leq \sup G}이자 {\displaystyle x\in \operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} \sup G}이다.

* 만약 {\displaystyle \aleph \_{0}\leq \kappa \leq |X|}라면, {\displaystyle \operatorname {im} \sup G=Y}이다. 즉, {\displaystyle \sup G\in Y^{X}}는 전사 함수이다.

**증명:**

임의의 y\in Y에 대하여, y가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 {\displaystyle D\_{y}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon y\in \operatorname {im} f\}}는 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}의 공종 집합이다. 따라서 {\displaystyle f\in G\cap D\_{y}}가 존재하며, 특히 {\displaystyle f\leq \sup G}이자 {\displaystyle y\in \operatorname {im} f\subseteq \operatorname {im} \sup G}이다.
### 범주론적 성질

다음과 같은 범주 {\displaystyle \operatorname {Set\_{part}} }를 생각하자.

* {\displaystyle \operatorname {Set\_{part}} }의 대상은 집합이다.
* 두 집합 X, Y 사이의 사상 f\colon X\to Y은 부분 정의 함수 {\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)}이다.

그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Set\_{part}} }는 점을 가진 집합의 범주 \operatorname {Set} \_{\bullet }와 동치이다.:10

{\displaystyle \operatorname {Set\_{part}} \simeq \operatorname {Set} \_{\bullet }}
다음과 같은 범주 {\displaystyle \operatorname {Set\_{part,inj}} }를 생각하자.

* {\displaystyle \operatorname {Set\_{part}} }의 대상은 집합이다.
* 두 집합 X, Y 사이의 사상 f\colon X\to Y은 단사 부분 정의 함수 {\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)}이다. (즉, 이는 X의 부분 집합과 Y의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 {\displaystyle \operatorname {Set\_{part,inj}} }는 스스로의 반대 범주와 동치이다.:289, Exercise 5.7.3

{\displaystyle \operatorname {Set\_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set\_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }}
### 강제법적 성질

(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 M 및 {\displaystyle X,Y\in M}과 {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} ^{M}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 M 속에서 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}\in M}을 구성할 수 있다. 그렇다면, M에 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}의 포괄적 순서 아이디얼 {\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}를 추가한 강제법 모형 M[G]를 정의할 수 있다. 이를 **코언 강제법**(영어: Cohen forcing)이라고 한다.:§VII.5

구체적으로, S\in M에 대하여 {\displaystyle X=S\times \mathbb {N} }이자 {\displaystyle Y=\{0,1\}}, \kappa =\aleph \_{0}이라고 놓자. ({\displaystyle \aleph \_{0}=\mathbb {N} =\omega }는 절대적이다.) 또한

{\displaystyle M\models |S|\geq \aleph \_{2}}
라고 하자. 즉,

{\displaystyle |S|\geq \omega \_{2}^{M}}
이라고 하자. (여기서 {\displaystyle \omega \_{1}^{M}\in \operatorname {Ord} ^{M}=\operatorname {Ord} \cap M}은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

{\displaystyle M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}}
임을 보일 수 있다:208, §VII.5 ({\mathsf {CH}}는 연속체 가설).

**증명:**

순서 아이디얼 조건에 의하여 {\displaystyle \sup G\in G}이며, 또한 {\displaystyle \sup G}는 포괄성 조건에 따라서 사실 {\displaystyle X=S\times \mathbb {N} } 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

{\displaystyle H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb {N} }
{\displaystyle H\_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)}
그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

* {\displaystyle H\_{s}\not \in M}
* {\displaystyle s\neq t\implies H\_{s}\neq H\_{t}}
* {\displaystyle H\_{s}\in M[G]}

따라서, {\displaystyle \{H\_{s}\}\_{s\in S}}는 {\mathbb N}의 |S|개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

M[G]\models 2^{{\aleph \_{0}}}\geq |S|
이다.:205, Lemma VII.5.3

이제, M 속에서 {\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 |S|의 크기는 M과 M[G] 속에서 같으며, 따라서

{\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph \_{0}}\geq |S|>\aleph \_{0}}
이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) **102**. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함.
2. ↑  Schröder, Lutz (2001). 〈Categories: a free tour〉. Koslowski, Jürgen; Melton, Austin. 《Categorical perspectives》. Trends in Mathematics (영어). Birkhäuser. 1–27쪽. doi:10.1007/978-1-4612-1370-3\_1. ISBN 978-1-4612-7117-8. Zbl 0985.18001.
3. ↑  Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511525865. ISBN 978-0-521-44179-7. Zbl 0843.18001.