호모토피 이론에서 **직교 스펙트럼**(直交spectrum, 영어: orthogonal spectrum)은 직교군의 등변 작용을 갖춘 스펙트럼의 일종이다. 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼이 잘 정의된다.

### 정의

\operatorname {CGWH}가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간의 범주

{\displaystyle \operatorname {CGWH} \_{\bullet }=\operatorname {CGWH} \backslash \{\bullet \}}
를 한원소 공간 \{\bullet \} 위의 쌍대 조각 범주로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자.

G가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자.

| 이름 | {\displaystyle G(n)} | {\displaystyle \mathbb {K} } | {\displaystyle k=\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} } | G구조 스펙트럼의 이름 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 직교군 | \operatorname O(n) | \mathbb {R}  실수체 | 1 | **직교 스펙트럼**(영어: orthogonal spectrum) |
| 유니터리 군 | \operatorname {U} (n) | \mathbb {C}  복소수체 | 2 | **유니터리 스펙트럼**(영어: unitary spectrum) |
| 콤팩트 심플렉틱 군 | {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)=\operatorname {Sp} (n)} | {\mathbb H} 사원수 대수 | 4 | **심플렉틱 스펙트럼**(영어: symplectic spectrum) |

다음과 같은 범주 {\displaystyle {\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}를 생각하자.

* {\displaystyle {\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}의 대상은 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간이다.
* {\displaystyle {\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환들이다. 즉, 그 사상 집합은 {\displaystyle \hom \_{{\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}(V,V)\cong G(\dim \_{\mathbb {K} }V)}이다.

이는 내적 공간의 직합에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 실수 nk차원 유클리드 공간 V의 알렉산드로프 콤팩트화 {\displaystyle {\hat {V}}}는 nk차원 초구 {\displaystyle \mathbb {S} ^{nk}}이며, 이에 따라 함자

{\displaystyle {\hat {\color {White}m}}\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {CGWH} \_{\bullet }}
가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화에 의하여 추가된 점이다.)

이 경우, **G구조 스펙트럼**(영어: spectrum with G-structure) X는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:Definition 7.2

* 함자 {\displaystyle X\colon {\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }\to \operatorname {CGWH} \_{\bullet }}. n차원 내적 공간의 상을 {\displaystyle X(n)=X(\mathbb {K} ^{n})\in \operatorname {CGWH} \_{\bullet }}이라고 하자. 특히, X(n) 위에는 {\displaystyle \operatorname {Aut} \_{{\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}(\mathbb {K} ^{n})=G(n)}의 연속 작용이 주어진다.
* 각 {\displaystyle V,W\in {\mathcal {V}}\_{\mathbb {K} }}에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수 {\displaystyle f\_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)}. 이를 **구조 사상**(構造寫像, 영어: structure map)이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
	+ (등변성) {\displaystyle f\_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)}는 {\displaystyle G(V)\times G(W)}의 작용에 대하여 등변 함수이다.
	+ (항등원) {\displaystyle f\_{0,V}=\operatorname {id} \_{X(V)}} (항등 함수)
	+ (결합성) {\displaystyle f\_{W,U\oplus V}\circ f\_{V,U}=f\_{W\oplus V,U}\colon {\widehat {W\oplus V}}\wedge X(U)\to X(W\oplus V\oplus U)}이다. (여기서 초구의 분쇄곱 사이의 표준적 사상 {\displaystyle {\widehat {W\oplus V}}\cong {\widehat {W}}\wedge {\hat {V}}}를 사용하였다.)

두 직교 스펙트럼 X, Y 사이의 **사상**은 구조 사상과 호환되는 자연 변환 f\colon X\to Y이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}&{\xrightarrow {f\_{V}\wedge \mathbb {S} ^{k}}}&Y(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}\\\downarrow &&\downarrow \\X(V\oplus \mathbb {K} )&{\xrightarrow[{f\_{V\oplus \mathbb {K} }}]{}}&Y(V\oplus \mathbb {K} )\end{matrix}}}
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 **직교 스펙트럼**이라고 한다. 마찬가지로, {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }인 경우는 **유니터리 스펙트럼**, {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }인 경우는 **심플렉틱 스펙트럼**이다.

성질
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대칭군 \operatorname {Sym} (n)은 \operatorname O(n)의 부분군이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼이다.

직교 스펙트럼 X의 **안정 호모토피 군**(영어: stable homotopy group)은 다음과 같다.

{\displaystyle \pi \_{\bullet }(X)=\varinjlim \_{n\to \infty }\pi \_{\bullet +n}(X(\mathbb {R} ^{n}))}
직교 스펙트럼 사이의 **약한 동치**(영어: weak equivalence)는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치이다.

예
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### 현수 스펙트럼

임의의 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle X(V)={\hat {V}}\wedge X}
를 정의하고, 그 위의 {\displaystyle G(V)} 작용은 V 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 초구의 분쇄곱 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 G구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 X의 **현수 스펙트럼**(영어: suspension spectrum)이라고 한다.

특히, {\displaystyle X=\mathbb {S} ^{0}}(0차원 초구 = 크기 2의 이산 공간)일 때, 이를 **초구 스펙트럼**(영어: sphere spectrum)이라고 한다.

### 자유 직교 스펙트럼

임의의 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 V에 대하여, V차 성분을 고르는 함자

{\displaystyle U\_{V}\colon \operatorname {Spectrum} \_{G}\to \operatorname {CGWH} \_{G}}
{\displaystyle U\_{V}\colon X\mapsto X(V)}
가 존재한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle F\_{V}\colon \operatorname {CGWH} \_{G}\to \operatorname {Spectrum} \_{G}}
{\displaystyle F\_{V}\dashv U\_{V}}
를 가지며, 구체적으로 

{\displaystyle (F\_{V}X)(V\oplus W)=G(V\oplus W)\_{+}\wedge \_{G(W)}X\wedge {\widehat {W}}}
{\displaystyle (F\_{V}X)(W)=\{\bullet \}\qquad (\dim W<\dim V)}
이다.:§7.1

### 톰 스펙트럼

 이 부분의 본문은 톰 스펙트럼입니다.
실수에 대한 톰 스펙트럼 \operatorname{MO}은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다. 마찬가지로 {\displaystyle \operatorname {MU} }는 유니터리 스펙트럼을 이룬다.

참고 문헌
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1. ↑  Mandell, Michael; May, Peter; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001년 3월). "Model categories of diagram spectra". 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) **82** (2): 441-512. doi:10.1112/S0024611501012692.
2. 1 2 3  Schwede, Stefan. "Symmetric Spectra" (PDF) (영어).