일반 상대성 이론에서 **슈바르츠실트 계량**(Schwarzschild計量, 영어: Schwarzschild metric) 또는 **슈바르츠실트 해**(Schwarzschild解, 영어: Schwarzschild solution)는 구형 대칭이며 대전되거나 회전하지 않고, 정적인 질량 분포를 나타내는 아인슈타인 방정식의 해이다. 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다. 이 계량으로 나타내어지는, 즉 회전하거나 대전되지 않는 블랙홀을 **슈바르츠실트 블랙홀**(영어: Schwarzschild black hole)이라고 한다.

정의
--

일반적으로, 털없음 정리에 따라, 블랙홀은 질량 · 각운동량 · 전하 · 자하(영어: magnetic charge)만으로 결정된다. **슈바르츠실트 계량**은 전하·자하가 0인 정적인, 점근적으로 민코프스키 공간에 존재하는 유일한 구면 대칭 해이며, 회전하거나 대전되어 있지 않는 구형 별을 나타낸다. 만약 별의 크기가 슈바르츠실트 계량보다 작다면, 이는 블랙홀이 된다.

편의상 광속을 c=1로 놓고, −+++… 계량 부호수를 사용하자. d>3차원 시공간에서, **슈바르츠실트 계량**은 다음과 같다.:11

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r\_{0}/r)^{d-3}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r\_{0}/r)^{d-3}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \_{d-2}^{2}}
여기서

* r\_{0}는 길이의 단위를 가지는, 사건 지평선의 위치를 나타내는 임의의 매개 변수이다.
* d\Omega \_{{d-2}}^{2}는 반지름이 1인 d-2차원 초구 S^{{d-2}}의 부피 원소이다.

예를 들어, 4차원 d=4인 경우, 이는 다음과 같은 구면 좌표계 넓이 원소이다.

{\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}
3차원 이하에서는 이와 같은, 사건 지평선을 갖는 슈바르츠실트 해가 존재하지 않는다. (다만, 음의 우주 상수의 경우 BTZ 블랙홀이라는 해가 존재한다.)

성질
--

### 질량과 열역학

슈바르츠실트 계량의 ADM 질량 M은 다음과 같다.:11

M={\frac {(d-2)\operatorname {vol}(S^{{d-2}})r\_{0}^{{d-3}}}{16\pi G}}
여기서 G는 d차원 중력 상수이며,

\operatorname {vol}(S^{{d-2}})={\frac {(d-1)\pi ^{{(d-1)/2}}}{\Gamma ((d+1)/2)}}
는 d-2차원 초구의 부피이다. 예를 들어, 4차원의 경우

M=r\_{0}/2G
이다.

윅 회전을 통해 계산하면, 임의의 차원에서 슈바르츠실트 블랙홀의 온도는 다음과 같다.

T={\frac {\hbar c}{4\pi k\_{{{\text{B}}}}r\_{0}}}
다시 말해, 슈바르츠실트 블랙홀은 이 온도의 호킹 복사를 방출한다.

사건 지평선의 넓이가

A=\operatorname {vol}(S^{{d-2}})r\_{0}^{{d-2}}
이므로, 슈바르츠실트 해의 엔트로피는

S=A/4G
이다.

### 인과 구조

슈바르츠실트 계량은 점근적으로 평탄하다. 즉, 원점에서 매우 멀리 떨어진 곳에서는 민코프스키 공간에 근접한다. 슈바르츠실트 계량은 r=r\_{0}에서 사건 지평선을 갖는다. 이를 슈바르츠실트 반지름이라고 한다. 이 점에서 계량 텐서가 발산하는 것처럼 보이지만, 지평선은 사실 좌표 특이점에 불과하며, 다른 좌표계를 사용해 지평선 내부가 존재함을 보일 수 있다.

### 대칭

슈바르츠실트 계량은 {\displaystyle \operatorname {O} (d-1)\times \mathbb {R} } 대칭을 갖는다. 즉, 이는 d-1차원 공간의 회전에 대하여 불변이며, 또한 시간 변화에 대하여 불변이다. 즉, 이는 총 {\displaystyle (d-1)(d-2)/2+1}개의 킬링 벡터장에 해당한다.

버코프의 정리에 의하여, 진공이면서 구면 대칭을 갖는 아인슈타인 방정식의 해는 슈바르츠실트 계량 밖에 없다.

### 일반화

슈바르츠실트 블랙홀에 전하를 띠게 한 해는 라이스너-노르드스트룀 계량이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 커 계량이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 커-뉴먼 계량이 유일한 해이다.

슈바르츠실트-더 시터르 계량
---------------

양의 우주 상수 \Lambda =(d-1)(d-2)R^{{-2}}/2를 가진, d>3차원의 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 **슈바르츠실트-더 시터르 계량**(Schwarzschild-de Sitter計量, 영어: Schwarzschild–de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r\_{0}/r)^{d-3}-r^{2}/R^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r\_{0}/r)^{d-3}-r^{2}/R^{2}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \_{d-2}^{2}}
### 질량과 열역학

슈바르츠실트-더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.

M={\frac {(d-2)\operatorname {vol}(S^{{d-2}})r\_{0}^{{d-3}}}{16\pi G}}
이는 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

### 인과 구조

슈바르츠실트-더 시터르 계량은

1=(r\_{0}/r)^{{d-3}}+r^{2}/R^{2}
인 곳에서 킬링 지평선(킬링 벡터 \partial /\partial t가 영벡터가 되는 점)을 가진다. 이 식은 일반적으로 두 개의 해를 가지는데, 안쪽의 것은 블랙홀의 지평선, 바깥쪽의 것은 더 시터르 공간의 우주론적 지평선(영어: cosmological horizon)이다. 이 두 지평선은 일반적으로 서로 다른 온도를 가지며, 따라서 서로 다른 온도의 호킹 복사를 방출한다.

슈바르츠실트-반 더 시터르 계량
-----------------

음의 우주 상수 \Lambda =-(d-1)(d-2)R^{{-2}}/2를 가진, d>2차원의 반 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 **슈바르츠실트-반 더 시터르 계량**(Schwarzschild-反de Sitter計量, 영어: Schwarzschild–anti-de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.:56

ds^{2}=-\left(1-(r\_{0}/r)^{{d-3}}+r^{2}/R^{2}\right)dt^{2}+\left(1-(r\_{0}/r)^{{d-3}}+r^{2}/R^{2}\right)^{{-1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega \_{{d-2}}^{2}
우주 상수가 없는 경우와 달리, 이 경우 3차원에서도 블랙홀이 존재한다. 이를 BTZ 블랙홀이라고 한다.

### 질량과 열역학

슈바르츠실트-반 더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.

M={\frac {(d-2)\operatorname {vol}(S^{{d-2}})r\_{0}^{{d-3}}}{16\pi G}}
이는 반 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

반 더 시터르 공간의 온도를 질량에 따른 함수 T(M)라고 하자. 이 함수는 어떤 M\_{0}에 대하여, M\leq M\_{0}인 경우 감소하지만 M\geq M\_{0}인 경우 증가한다. 즉, 같은 온도를 가지지만 서로 다른 에너지를 가진 두 블랙홀이 존재하며, 블랙홀의 최저 온도 T\_{{\text{min}}}가 존재한다. 이 온도에서 블랙홀은 1차 상전이를 겪는다. 이를 **호킹-페이지 전이**(영어: Hawking–Page transition)라고 하며, 스티븐 호킹과 돈 페이지(영어: Don Page)가 발견하였다. 이는 AdS/CFT 대응성을 통해, 대응하는 등각 장론의 상전이로 해석할 수 있다.

### 인과 구조

이 계량은

1-(r\_{0}/r)^{{d-3}}+r^{2}/R^{2}=0
이 되는 r에서 사건 지평선을 갖는다.

슈바르츠실트 막
--------

d차원 민코프스키 공간에서, 여차원이 n인 슈바르츠실트 검은 막은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r\_{0}/r)^{n}\right)\,\mathrm {d} t^{2}+\left(1-(r\_{0}/r)^{n}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \_{n-1}^{2}+dx\_{1}^{2}+\cdots +\mathrm {d} x\_{d-n-1}^{2}}
이는 n+1차원 공간에서의 슈바르츠실트 계량과 d-n-1차원 유클리드 공간의 곱공간이며, 리치 곡률이 0인 두 다양체의 곱공간 역시 리치 곡률이 0이므로 이 또한 아인슈타인 방정식의 진공해를 이룬다.:§3.2 이 경우, 검은 막의 질량 밀도는 다음과 같다.

\rho ={\frac {(n-1)\operatorname {vol}(S^{{n-1}})r\_{0}^{{n-2}}}{16\pi G}}
이 검은 막의 온도는 다음과 같다.

T={\frac {\hbar c}{4\pi k\_{{\text{B}}}r\_{0}}}
슈바르츠실트 검은 막은 r=r\_{0}에서 사건 지평선을 갖는다.

역사
--

카를 슈바르츠실트가 1916년 1월에 제출한 8쪽의 짧은 논문에서 유도하였다. 제1차 세계 대전 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 일반 상대성 이론을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구 결과를 알베르트 아인슈타인에게 보내고 같은 해 5월에 전사했다.

자신이 발견한 해에 대하여 슈바르츠실트는 다음과 같이 평했다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 간단한 꼴의 정확해를 유도하는 것은 항상 기분 좋은 일이다.Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen. | "|
|   | — :190 |

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4  Emparan, Roberto; Reall, Harvey S. (2008). "Black holes in higher dimensions". 《Living Reviews in Relativity》 (영어) **11**: 6. arXiv:0801.3471. Bibcode:2008LRR....11....6E. doi:10.12942/lrr-2008-6.
2. ↑  Spradlin, Marcus; Strominger, Andrew; Volovich, Anastasia (2001). "Les Houches lectures on De Sitter space" (영어). arXiv:hep-th/0110007. Bibcode:2001hep.th...10007S.
3. ↑  Gibbons, G. W.; Hawking, Stephen W. (1977년 5월 15일). "Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation". 《Physical Review D》 (영어) **15**: 2738. doi:10.1103/PhysRevD.15.2738. ISSN 1550-7998.
4. ↑  Teitelboim, Claudio (2002). "Gravitational thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter space" (영어). arXiv:hep-th/0203258. Bibcode:2002hep.th....3258T.
5. ↑  Hawking, S. W.; Page, Don N. (1982). "Thermodynamics of black holes in anti-de Sitter space". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **87** (4): 577–588. doi:10.1007/BF01208266. MR 0691045.
6. 1 2  Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie". 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften》 (독일어) **7**: 189–196. Bibcode:1916AbhKP......189S.

* 위키문헌-아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서