미분기하학에서 **마우러-카르탕 형식**(Maurer-Cartan形式, 영어: Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

정의
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마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{g},{\mathsf {R}}\_{g}\colon G\to G\qquad (g\in G)}
{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{g}\colon h\mapsto gh}
{\displaystyle {\mathsf {R}}\_{g}\colon h\mapsto hg}
### 내재적 정의

리 군 G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{g\*}\colon \mathrm {T} \_{h}G\mapsto \mathrm {T} \_{gh}G}
를 정의할 수 있다.

G의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {T} \_{1}G}
이제, 각 점 g\in G에서, **마우러-카르탕 형식**

{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}
은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다.

{\displaystyle \omega \_{g}(v)={\mathsf {L}}\_{g^{-1}\*}(v)\in \mathrm {T} \_{1}G={\mathfrak {g}}\qquad (g\in G,\;v\in \mathrm {T} \_{g}G)}
### 외재적 정의

임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 매끄러운 함수

{\displaystyle f\_{ij}\colon \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,n\})}
가 행렬의 (i,j)번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식

{\displaystyle \mathrm {d} f\_{ij}\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M)}
들을 정의할 수 있다. 이들을 모아

{\displaystyle \mathrm {d} f\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M)\otimes \mathbb {R} ^{n^{2}}=\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} ))}
를 정의할 수 있다.

\operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음과 같다.

{\displaystyle \omega |\_{M}=M^{-1}\,\mathrm {d} f}
이제, 다음이 주어졌다고 하자.

* (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군 G 및 그 리 대수 {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}}

그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, {\mathfrak {g}}는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 n\in \mathbb {N} 에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {\mathfrak {gl}} (n;\mathbb {R} )}
이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형

{\displaystyle \phi \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}
을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다.

그렇다면, G의 **마우러-카르탕 형식**

{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}
는 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)의 마우러-카르탕 형식 {\displaystyle \omega \_{\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}}의 당김

{\displaystyle \phi ^{\*}\omega \_{\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}\in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} ))}
이다. 이는 사실 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} )}에 속하는 것을 보일 수 있다.

{\displaystyle \phi ^{\*}\omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}
또한, 이 표현은 {\displaystyle (\phi ,n)}의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군 G의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군

{\displaystyle q\colon {\tilde {G}}\twoheadrightarrow G}
에 대하여,

{\displaystyle q^{\*}\omega \_{G}=\omega \_{\tilde {G}}}
가 되는 유일한 미분 형식이다.

### 공리적 정의

리 군 G 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 {\mathfrak {g}}값 1차 미분 형식

{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}
이다.

* {\displaystyle \omega \_{1}=\operatorname {id} \colon \mathrm {T} \_{1}G\to \mathrm {T} \_{1}G={\mathfrak {g}}}
* 임의의 g\in G에 대하여, {\displaystyle \omega \_{g}=\operatorname {Ad} (g^{-1}){\mathsf {R}}\_{g^{-1}}^{\*}\omega \_{1}}

이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, G를 한원소 공간 \{\bullet \} 위의 주다발

{\displaystyle G\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
로 간주하면, **마우러-카르탕 형식**은 그 위의 유일한 주접속이다.

성질
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임의의 벡터장 {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} G)}에 대하여, 만약

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{g\*}X=X}
라면, {\displaystyle \omega (X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(G,\mathbb {R} )}는 상수 함수이다.

**유도:**

임의의 g\in G에 대하여,

{\displaystyle \omega |\_{g}(X|\_{g})=({\mathsf {L}}\_{g^{-1}\*}X)|\_{g}=X|\_{1}}

### 마우러-카르탕 방정식

마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.

{\displaystyle \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]=0}
이를 **마우러-카르탕 방정식**(Maurer-Cartan方程式, 영어: Maurer–Cartan equation)이라고 한다.

**유도:**

임의의 두 벡터장 {\displaystyle X,Y\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \omega (X)}와 {\displaystyle \omega (Y)}는 둘 다 상수 함수이다. 따라서,

{\displaystyle \partial \_{X}\omega (Y)=\partial \_{Y}\omega (X)=0}
이다. 따라서,

{\displaystyle \mathrm {d} \omega (X,Y)=\partial \_{X}\omega (Y)-\partial \_{Y}\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y])=-{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ](X,Y)}
이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 G의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,

{\displaystyle \mathrm {d} \omega =-{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]}
이다.

#### 마우러-카르탕 방정식의 일반화

리 군 G 위의, {\mathfrak {g}} 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 {\displaystyle \Omega (G;{\mathfrak {g}})}를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 {\mathfrak {g}}에 대하여 일반화된다. 즉,

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus \_{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {g}}^{n}}
위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식

{\displaystyle \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0}
이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 {\displaystyle \omega =0} 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 {\mathfrak {g}}를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 {\displaystyle \mathrm {d} }는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, {\mathfrak {g}} 위의 **마우러-카르탕 방정식**은 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\overbrace {\omega ,\dotsc ,\omega } ^{k}]\_{k}=0}

역사
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루트비히 마우러(독일어: Ludwig Maurer, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

* 루트비히 마우러루트비히 마우러
* 엘리 카르탕엘리 카르탕

예
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아벨 군 {\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히

{\displaystyle (\omega |\_{v})\_{i}{}^{j}=\delta \_{i}^{j}\qquad i,j\in \{1,2,\dotsc ,n\}}
이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히

{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}
이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

참고 문헌
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1. ↑  Cartan, Élie (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformation". 《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》 (프랑스어) **21**: 153–206. JFM 35.0176.04.