호모토피 이론에서 **단체 리 대수**(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.:§Ⅰ.4

정의
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가환환 K가 주어졌다고 하자. K-**단체 리 대수**는 K-리 대수의 범주 \operatorname {LieAlg} \_{K} 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, K-리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{n}}
* {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{\bullet }} 위의 단체 집합 구조 {\displaystyle \partial \_{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}\_{n}\to {\mathfrak {g}}\_{n-1}}, {\displaystyle s\_{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}\_{n}\to {\mathfrak {g}}\_{n+1}}. 또한, 함수들은 모두 K-리 대수 준동형이어야 한다.

성질
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단체 리 대수의 범주에서, K-리 대수 → K-가군 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {LieAlg} \_{K}\to \operatorname {Mod} \_{K}}
를 통해, 망각 함자

{\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K}]\simeq \operatorname {Ch} \_{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}
를 정의할 수 있다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}는 자연수 등급의 K-가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를

{\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]\to \operatorname {Ch} \_{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} \_{K})}
라고 하자.

K가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{\bullet }}에 대하여, 사슬 복합체 {\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g}})\_{\bullet }} 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {g}}\otimes \_{K}\mathrm {N} {\mathfrak {g}}\to \mathrm {N} ({\mathfrak {g}}\otimes \_{K}{\mathfrak {g}})\to \mathrm {N} {\mathfrak {g}}}
여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.

그렇다면, {\displaystyle (\mathrm {N} {\mathfrak {g}})\_{\bullet }}는 K-미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자

{\displaystyle \operatorname {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} \_{K}}
를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle \operatorname {N} ^{\*}\colon \operatorname {dgLieAlg} \_{K}\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]\colon \operatorname {N} }
를 가진다. 구체적으로,

{\displaystyle \operatorname {N} ^{\*}{\mathfrak {g}}={\frac {\operatorname {Free\_{LieAlg}} (\mathrm {N} ^{-1}{\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}}
이다. 여기서

* {\displaystyle \operatorname {Free\_{LieAlg}} \colon \operatorname {Mod} \_{K}\to \operatorname {LieAlg} \_{K}}는 자유 리 대수 함자이다.
* {\displaystyle (\operatorname {Free\_{LieAlg}} \circ )\colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} \_{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]}는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
* {\mathfrak I}는 {\displaystyle \{[[\mathrm {N} ^{-1}x,\mathrm {N} ^{-1}y]]-\mathrm {N} ^{-1}[x,y]\colon x\in {\mathfrak {g}}\_{m},\,y\in {\mathfrak {g}}\_{n}\}}로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
	+ 여기서 {\displaystyle [[-,-]]\colon \mathrm {g} \_{m}\otimes {\mathfrak {g}}\_{n}\to {\mathfrak {g}}\_{m+n}}은 에일렌베르크-질버 사상 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{m}\otimes {\mathfrak {g}}\_{n}\to ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\_{m+n}}을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 {\displaystyle ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\_{m+n}\to {\mathfrak {g}}\_{m+n}}를 취한 것이다.

### 모형 범주 구조

표수 0의 체 K에 대하여, 단체 리 대수의 범주 {\displaystyle [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]} 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

* 올뭉치는 칸 올뭉치(즉, 단체 집합의 모형 범주의 올뭉치)이다.
* 약한 동치는 단체 집합의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 약한 호모토피 동치)이다.

또한, 이에 따라 함자 {\displaystyle \mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} \_{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} \_{K}}는 퀼런 동치를 이룬다.

참고 문헌
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1. ↑  Quillen, Daniel. "Rational homotopy theory". 《Annals of Mathematics》 (영어). doi:10.2307/1970725. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970725.