대수기하학에서 **매끄러운 스킴**(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, **매끄러운 사상**(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다.

**비분기 사상**(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) **에탈 사상**(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.

정의
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**형식적으로 매끄러운 사상**/**형식적으로 비분기 사상**/**형식적으로 에탈 사상**은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 **매끄러운 사상**/**비분기 사상**/**에탈 사상** 개념을 얻는다.

### 형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상

임의의 가환환 R 및 멱영 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq R}에 대하여, 그 몫 준동형

{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})\colon R\to R/{\mathfrak {n}}}
에 대응하는 아핀 스킴 사상

{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{\*}\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to \operatorname {Spec} R}
을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로, {\mathfrak {n}}이 멱영 아이디얼이므로 \operatorname {Spec} R는 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.

스킴 사상 f\colon X\to S에 대하여,

* 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, f를 **형식적으로 매끄러운 사상**(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{\*}\colon \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)}가 전사 함수이다.
* 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, f를 **형식적으로 비분기 사상**(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{\*}\colon \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)}가 단사 함수이다.
* 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, f를 **형식적으로 에탈 사상**(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.:56, Définition IV.17.1.1 즉, {\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{\*}\colon \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom \_{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)}가 전단사 함수이다.
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})&\to &X\\\downarrow &{\scriptstyle \exists }\nearrow &\downarrow \\\operatorname {Spec} R&\to &S\end{matrix}}}

이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

* 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X를 그 무한소 근방 \operatorname {Spec} R로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
* 형식적으로 비분기라는 것은 사상 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X를 그 무한소 근방 \operatorname {Spec} R로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
* 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.

### 매끄러운 사상

국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **매끄러운 사상**(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다.

* f는 형식적으로 매끄러운 사상이다.:61, Définition IV.17.3.1
* f는 평탄 사상이며, 모든 x\in X 및 s=f(x)에 대하여 올 f^{-1}(f(x))은 국소환의 잉여류체 {\displaystyle \kappa (s)={\mathcal {O}}\_{S,s}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}\_{S,s})} 위의 매끄러운 스킴이다.:67, Théorème IV.17.5.1
* f는 평탄 사상이며, 모든 x\in X 및 s=f(x)에 대하여 올 {\displaystyle f^{-1}(s)\to \kappa (s)}에 대하여 그 완비화 {\displaystyle f^{-1}(s)\times \_{\kappa (s)}{\bar {\kappa }}(s)}는 정칙 스킴이다.:269–270, Theorem III.10.2
* f는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 \Omega\_{X/S}는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 f\colon X\to S의 상대 차원과 같다.
* 모든 x\in X에 대하여, f|\_U=\tilde f\circ c가 되는 열린 근방 U\ni x 및 자연수 n 및 사상 \tilde f\colon U\to\mathbb A^n\_S가 존재한다. (c\colon\mathbb A^n\_S\to S는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
* 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 {\displaystyle f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y}가 존재한다.
	+ 가환환 준동형 {\displaystyle S\to R}은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.

가환환 S가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수

{\displaystyle {\frac {S[x\_{1},\dots ,x\_{n}]}{(f\_{1},\dots ,f\_{k})}}\qquad (n,k\in \mathbb {N} ,\;k\leq n,\;f\_{1},\dots ,f\_{k}\in R[x\_{1},\dots ,x\_{n}])}
가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **표준 매끄러운 대수**(영어: standard smooth algebra)라고 한다.

다항식 {\displaystyle \det(\partial f\_{i}/\partial x\_{j})\_{i,j=1,\dots ,k}\in S[x\_{1},\dots ,x\_{n}]}은 {\displaystyle S[x\_{1},\dots ,x\_{n}]/(f\_{1},\dots ,f\_{k})} 속의 가역원이다.
### 비분기 사상

국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **비분기 사상**(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.:65, Corollaire IV.17.4.2(c)

* f는 형식적으로 비분기 사상이다.:62, Définition IV.17.3.7
* \Omega\_{X/S}=\underline 0이다. 여기서 \Omega\_{X/S}는 켈러 미분층이며, \underline0은 영가군의 상수층이다.
* 대각 사상 {\displaystyle \Delta \_{f}\colon X\to X\times \_{S}X}은 열린 몰입이다.

스킴 사상 f\colon X\to S가 **x\in X에서 비분기이다**는 것은 x의 어떤 열린 근방 U\ni x에 대하여 f|\_U가 비분기 사상이라는 것이다.

### 에탈 사상

국소 유한 표시 사상 f\colon X\to S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 **에탈 사상**(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다.

* f는 형식적으로 에탈 사상이다.:62, Définition IV.17.3.7
* f는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
* f는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
* f는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다.
* 모든 점 x\in X에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 {\displaystyle f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y} 및 가 존재한다.
	+ 준동형 {\displaystyle S\to R}는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.

위 정의에서, 가환환 S 위의 **표준 에탈 대수**(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.

{\displaystyle \left(S[x]/(f)\right)\_{g}}
여기서

* {\displaystyle f\in S[x]}는 일계수 다항식이며, {\displaystyle g\in S[x]}는 임의의 다항식이다.
* f의 도함수 {\displaystyle \mathrm {d} f/\mathrm {d} x}는 {\displaystyle (S[x]/(f))\_{g}}에서 가역원이다. 여기서 (\cdots )\_{g}는 국소화이고, (f)는 f로 생성되는 아이디얼이다.

스킴 사상 f\colon X\to S가 **x\in X에서 에탈이다**는 것은 x의 어떤 열린 근방 U\ni x에 대하여 f|\_U가 에탈 사상이라는 것이다.

성질
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### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 국소 유한 표시 사상 | ⊃ | 국소 유한 표시 평탄 사상 | ⊃ | 매끄러운 사상 |
| ∪ |  | ∪ |
| 비분기 사상 | ⊃ | 에탈 사상 |  |
| ∪ |  | ∪ |
| 국소 유한 표시 닫힌 몰입 | ⊃ | 스킴 동형 | ⊂ | 열린 몰입 |

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴
즉, 임의의 체 K에 대하여 모든 매끄러운 K-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 K 위의 K-스킴 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X\to \operatorname {Spec}K는 매끄러운 사상이다.
* 정칙 스킴이며, X\to \operatorname {Spec}K는 국소 유한형 사상이다.

### 닫힘

{\mathfrak P}가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* (합성에 대한 닫힘) X{\xrightarrow f}Y{\xrightarrow g}Z에 대하여, 만약 f와 g가 {\mathfrak P}-사상이라면 g\circ f 역시 {\mathfrak P}-사상이다.
* (밑 변환에 대하여 안정) {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y\leftarrow Y'} 에 대하여, 만약 f가 {\mathfrak P}-사상이라면 밑 변환 {\displaystyle f'\colon X\times \_{Y}Y'\to Y'} 역시 {\mathfrak P}-사상이다.

{\mathfrak P}가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* (fpqc 위상에서의 내림) {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'}에 대하여, 만약 밑 변환 {\displaystyle f'\colon X\times \_{Y}Y'\to Y'}가 {\mathfrak P}-사상이며, g가 fpqc 사상이라면 f 역시 {\mathfrak P}-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예
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### 매끄러움의 실패

대수적으로 닫힌 체 K가 주어졌을 때, K[a]-대수의 포함 준동형

f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a)
을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

\operatorname{Spec}K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow\mathbb A^1\_K
을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로, K[a]-대수 K[z,a]/(a^2)의 멱영 아이디얼 (a)\subset K[z,a]/(a^2)를 생각하자. 이 경우,

g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^2,a)\cong K[z]
g\colon x\mapsto z
g\colon y\mapsto 0
는 K[a]-대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의 K[a]-대수의 준동형

h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^2)
에 대하여,

q\colon K[z,a]/(a^2)\twoheadrightarrow K[z]/(a)
와 합성하였을 때 q\circ h=g가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는 a=0일 때의 올 xy=0은 특이올을 이루기 때문이다.

더 단순한 예로, K\hookrightarrow K[x,y]/(xy)를 생각하자. 이 경우, K-대수의 준동형

g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^2)
g\colon x\mapsto z
g\colon y\mapsto z
이 존재한다. 그러나 몫 준동형

q\colon K[z]/(z^3)\twoheadrightarrow K[x]/(z^2)
에 대하여, g=q\circ h가 되는 준동형

h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^3)
은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선 \operatorname {Spec}K[x,y]/(xy)는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.

### 비분기성의 실패

표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체 K 위에,

f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^2-x)\cong K[y]
를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

\mathbb A^1\_K\twoheadrightarrow\mathbb A^1\_K
을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로, K[x,z]/(x^2,z^2-x)의 멱영 아이디얼 (z)\subset K[x]/(x^2,z^2-x)을 생각하자. 그렇다면, K[x]-대수의 준동형

g\_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K[x]/(x^2,z^2-x)
g\_\pm\colon y\mapsto\pm z
을 정의할 수 있다. 이는 몫

q\colon K[x,z]/(x^2,z^2-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^2,z^2-x,z)\cong K
과 합성하면

q\circ g\_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K
q\circ g\_\pm\colon x,y\mapsto 0
이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점 \operatorname{Spec}K\to\mathbb A^1\_K을 그 무한소 근방 \operatorname{Spec}K[x]/(x^2,z^2-x)으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.

### 체 위의 에탈 스킴

체 K 위의 스킴 X\to \operatorname {Spec}K에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* X\to \operatorname {Spec}K는 비분기 사상이다.
* X\to \operatorname {Spec}K는 에탈 사상이다.
* X\cong\bigsqcup\_{i\in I}\operatorname{Spec}K\_i이며, K\_i/K는 유한 분해 가능 확대이다.

체 K 위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)의 작용을 갖춘 집합들의 범주 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)\text{-Set}와 동치이다. 구체적으로, 에탈 스킴 X에 대응하는 집합은 다음과 같다.

X\mapsto \hom\_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}K}(\operatorname{Spec}K^{\operatorname{sep}},X)
여기서 K^{\operatorname{sep}}은 K의 분해 가능 폐포이다.

역사
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알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권에서 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) **32**. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 14일에 확인함.
2. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
3. ↑  Stacks Project Lemma 28.35.11
4. ↑  Stacks Project Lemma 28.36.7
5. ↑  Stacks Project Lemma 40.21.2