환론에서 **반소 아이디얼**(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 **소근기**(素根基, 영어: prime radical)라고 한다.

정의
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### 소근기

환 R 속의 양쪽 아이디얼 {\mathfrak a}\subseteq R의 **소근기**(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 **근기**(根基, 영어: radical) \sqrt{\mathfrak a}는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.:156, Theorem 10.7 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=\bigcap \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\}\subseteq \{r\in R\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}
여기서 \operatorname {Spec} R는 R의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, \mathfrak a를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

#### 가환환의 경우

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

* \sqrt{\mathfrak a}
* {\displaystyle \{r\in R|\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}. 즉, 충분히 거듭제곱하면 \mathfrak a의 원소가 되는 것들의 집합이다.
* R/{\mathfrak a}의 멱영원들의 집합 N에 대하여, \{r\in R\colon [r]\in N\}. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

### 반소 아이디얼

환 R 속의 양쪽 아이디얼 {\mathfrak a}\subseteq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 **반소 아이디얼**(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 **근기 아이디얼**(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다.

* 임의의 양쪽 아이디얼 {\mathfrak b}\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 {\displaystyle {\mathfrak {b}}^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}라면, {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}이다.:157, Definition 10.8
* 임의의 왼쪽 아이디얼 {\displaystyle B\subseteq R}에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 {\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}라면, {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}이다.:157, Proposition 10.9(4)
* 임의의 오른쪽 아이디얼 {\displaystyle B\subseteq R}에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 {\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}라면, {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}이다.:157, Proposition 10.9(4)′
* 임의의 r\in R에 대하여, 만약 {\displaystyle rRr\subseteq {\mathfrak {a}}}라면 {\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}이다.:157, Proposition 10.9(3)
* {\displaystyle R\setminus {\mathfrak {a}}}는 n-계를 이룬다.
* {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\bigcap {\mathcal {P}}}인, 소 아이디얼들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \operatorname {Spec} R}이 존재한다.:157, Proposition 10.11(2)
* 스스로의 소근기와 같다. 즉, \mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}이다.:157, Proposition 10.11(3)

여기서 \operatorname {Spec} R는 R의 소 아이디얼들의 집합이며, **n-계**(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq R이다.

{\displaystyle \forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S}
#### 가환환의 경우

가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 반소 아이디얼이다.
* 임의의 r\in R 및 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, 만약 {\displaystyle r^{n}\in {\mathfrak {a}}}라면 {\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}이다.
* 임의의 {\displaystyle r\in R\setminus {\mathfrak {a}}}에 대하여, {\displaystyle \{r,r^{2},r^{3},\dots \}\subseteq R\setminus {\mathfrak {a}}}이다.

성질
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환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 극대 아이디얼 ⊂ 완전 소 아이디얼 = | 소 아이디얼 | ⊂ | 반소 아이디얼 |
|  | ∩ |  | ∩ |
|  | 으뜸 아이디얼 | ⊂ | 아이디얼 |

사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 {\sqrt {(0)}}는 **하영근기** 또는 (가환환의 경우) 단순히 **영근기**라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 **반소환**이라고 하며, 가환환의 경우 이는 **축소환**인 것과 동치이다.

예
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### 정수환

정수환 \mathbb {Z} 에서, (n)이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 n이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, (0)이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다.
정수환 \mathbb {Z} 의 경우, 아이디얼 \mathbb Z/m의 소근기는 다음과 같다.

\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod\_{p\mid m}p\right)
여기서 \prod\_{p\mid m}p는 m의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6
이다.

### 다항식환

대수적으로 닫힌 체 K 위의 다항식환 K[x]은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

\prod \_{{i=1}}^{k}(x-a\_{i})^{{n\_{i}}}\in K[x]\qquad (i\neq j\implies a\_{i}\neq a\_{j})
으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

{\sqrt {\left(\prod \_{{i=1}}^{k}(x-a\_{i})^{{n\_{i}}}\right)}}=\prod \_{{i=1}}^{k}(x-a\_{i})
### 데데킨트 정역

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 R에서, 영 아이디얼이나 R가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

\prod \_{{{\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R}}{\mathfrak p}^{{n({\mathfrak p})}}
의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

{\sqrt {\prod \_{{{\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R}}{\mathfrak p}^{{n({\mathfrak p})}}}}=\prod \_{{{\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R}}{\mathfrak p}

역사
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반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알[\*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,:735, §2 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.:331, Definition 0

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7  Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **131** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Krull, Wolfgang (1929). "Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **101**: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831.
3. ↑  Nagata, Masayoshi (1951년 12월). "On the theory of radicals in a ring". 《Journal of the Mathematical Society of Japan》 (영어) **3** (2): 330–344. doi:10.2969/jmsj/00320330. ISSN 0025-5645. MR 0047619. Zbl 0045.16003.