사인 함수의 테일러 급수의 수렴. 검은 선은 사인 함수의 그래프이며, 색이 있는 선들은 테일러 급수를 각각 1차(빨강), 3차(주황), 5차(노랑), 7차(초록), 9차(파랑), 11차(남색), 13차(보라) 항까지 합한 것이다.

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미적분학에서 **테일러 급수**(Taylor級數, 영어: Taylor series)는 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타내는 방법이다.

정의
--

매끄러운 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R 및 실수 a\in\mathbb R (또는 정칙 함수 f\colon {\mathbb C}\to {\mathbb C} 및 복소수 a\in {\mathbb C})가 주어졌을 때, f의 **테일러 급수**는 다음과 같은 멱급수이다.

T\_{f}(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac 12}f''(a)(x-a)^{2}+{\frac 16}f'''(a)(x-a)^{3}+\cdots 
여기서 n!은 n의 계승을, f^{{(n)}}(a)는 f의 a에서의 n계 도함수를 말한다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신이다. a=0일 때의 테일러 급수를 **매클로린 급수**(영어: Maclaurin series)라고 부른다.

### 다변수 테일러 급수

테일러 급수는 또한 둘 이상의 변수의 함수로 일반화될 수 있다. d개의 변수를 갖는 매끄러운 함수 f\colon {\mathbb R}^{d}\to {\mathbb R}의 **테일러 급수**는 다음과 같다.

{\begin{aligned}&T\_{f}(x\_{1},\dots ,x\_{d})\\&=\sum \_{{n\_{1}=0}}^{\infty }\sum \_{{n\_{2}=0}}^{\infty }\cdots \sum \_{{n\_{d}=0}}^{\infty }{\frac {(x\_{1}-a\_{1})^{{n\_{1}}}\cdots (x\_{d}-a\_{d})^{{n\_{d}}}}{n\_{1}!\cdots n\_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{{n\_{1}+\cdots +n\_{d}}}f}{\partial x\_{1}^{{n\_{1}}}\cdots \partial x\_{d}^{{n\_{d}}}}}\right)(a\_{1},\dots ,a\_{d})\\&=f(a\_{1},\dots ,a\_{d})+\sum \_{{j=1}}^{d}{\frac {\partial f(a\_{1},\dots ,a\_{d})}{\partial x\_{j}}}(x\_{j}-a\_{j})\\&\qquad +{\frac {1}{2!}}\sum \_{{j=1}}^{d}\sum \_{{k=1}}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a\_{1},\dots ,a\_{d})}{\partial x\_{j}\partial x\_{k}}}(x\_{j}-a\_{j})(x\_{k}-a\_{k})\\&\qquad +{\frac {1}{3!}}\sum \_{{j=1}}^{d}\sum \_{{k=1}}^{d}\sum \_{{l=1}}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a\_{1},\dots ,a\_{d})}{\partial x\_{j}\partial x\_{k}\partial x\_{l}}}(x\_{j}-a\_{j})(x\_{k}-a\_{k})(x\_{l}-a\_{l})+\cdots \end{aligned}}
예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다.

\sum \_{{k=0}}^{\infty }\sum \_{{i=0}}^{k}{\frac {(x-a)^{{k-i}}(y-b)^{i}}{(k-i)!i!}}\left.{\frac {\partial ^{k}f}{\partial x^{{k-i}}\partial y^{i}}}\right|\_{{(a,b)}}=f(a,b)+(x-a)f\_{x}(a,b)+(y-b)\,f\_{y}(a,b)+{\frac 12}\left((x-a)^{2}f\_{{xx}}(a,b)+2(x-a)(y-b)f\_{{xy}}(a,b)+(y-b)^{2}f\_{{yy}}(a,b)\right)+\cdots 
여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.

성질
--

### 수렴성

매끄러운 함수의 경우, 일반적으로 테일러 급수는 수렴할 필요가 없고, 설사 수렴하더라도 원래 함수와 다를 수 있다. 예를 들어,

x\mapsto {\begin{cases}\exp(-1/x^{2})&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}
는 매끄러운 함수이며, 0에서의 모든 차수의 도함수들이 0이다. 따라서 0에서의 테일러 급수는 (모든 항이 0이므로) 수렴하지만, 원래 함수와 다르다. 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 경우를 **해석 함수**라고 한다.

반면, 복소 함수의 경우, 모든 정칙 함수는 테일러 급수가 항상 원래 함수로 수렴한다. 즉, 모든 정칙 함수는 해석 함수이다.

### 오차

 이 부분의 본문은 테일러 정리입니다.
테일러 급수를 다음 식으로 나타낸다고 할 때,

{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R\_{n+1}(x)}
마지막 항인 R\_{{n+1}}(x)을 f의 **나머지 항** 또는 **절단오차**라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

* R\_{{n+1}}(x)={\frac {f^{{(n+1)}}(b)}{(n+1)!}}(x-a)^{{n+1}}.

증명
--

미적분학의 제2 기본정리로부터

\int \_{{a}}^{{x}}f'(t)dt=f(x)-f(a)
이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형하자.

\int \_{{a}}^{{x}}f'(t)dt=\int \_{{a}}^{{x}}(-1){(-f'(t))}dt
이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행하자.
-1을 적분할 함수, -f'(t)를 미분할 함수로 잡자. 이때 f(t)가 무한하게 미분가능하면 부분적분을 무한하게 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면

\int \_{{a}}^{{x}}(-1)(-f'(t))dt
=\left[-(x-t)f'(t)-{\frac {(x-t)^{2}}{2}}f''(t)-{\frac {(x-t)^{3}}{6}}f'''(t)-\cdots \right]\_{{a}}^{{x}}
단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면

\left[-(x-t)f'(t)-{\frac {(x-t)^{2}}{2}}f''(t)-{\frac {(x-t)^{3}}{6}}f'''(t)-\cdots \right]\_{{a}}^{{x}}
=(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2!}}f''(a)+{\frac {(x-a)^{3}}{3!}}f'''(a)+\cdots =f(x)-f(a)
그러므로, 매끄러운 함수 f(x)에 대하여

f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2!}}f''(a)+{\frac {(x-a)^{3}}{3!}}f'''(a)+\cdots 
이 된다.

예
-

모든 다항식의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다.

대표적인 테일러 급수의 예로는 다음이 있다. 테일러 급수가 수렴할 조건을 괄호에 제시하였다.

{\frac 1{1-x}}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \qquad (|x|<1)
{\displaystyle \exp x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots \qquad \forall x}
\sin x=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \qquad \forall x
\cos x=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{{2n}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \qquad \forall x
{\displaystyle \tan x=\sum \_{n=1}^{\infty }{{B\_{2n}(-1)^{n}2^{2n}(1-(2^{2n}))}x^{2n-1} \over {(2n)!}}={x^{1} \over 1}+{x^{3} \over 3}+{{2\cdot x^{5}} \over {15}}+{{17\cdot x^{7}} \over {315}}+\cdots \;\;\;\left(\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\right)} (단, B는 베르누이 수)
\ln(1-x)=-\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}n}=-x-{\frac 12}x^{2}-{\frac 13}x^{3}-{\frac 14}x^{4}-\cdots \qquad (|x|<1)
\ln(1+x)=\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {-(-1)^{n}}{n}}x^{{n}}=x-{\frac {x^{2}}2}+{\frac {x^{3}}3}-{\frac {x^{4}}4}+\cdots \qquad (|x|<1)
### 다변수 테일러 급수의 예

다음과 같은 함수의 원점에서의 테일러 급수를 계산해 보자.

f(x,y)=e^{x}\log {(1+y)}.
먼저, 우리가 필요한 편미분을 계산하면,

f\_{x}(0,0)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}\_{{(x,y)=(0,0)}}=0,
f\_{y}(0,0)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}\_{{(x,y)=(0,0)}}=1,
f\_{{xx}}(0,0)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}\_{{(x,y)=(0,0)}}=0,
f\_{{yy}}(0,0)=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}{\bigg |}\_{{(x,y)=(0,0)}}=-1,
f\_{{xy}}(0,0)=f\_{{yx}}(a,b)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}\_{{(x,y)=(0,0)}}=1.
따라서 테일러 급수는 다음과 같다.

T\_{f}(x,y)=y+xy-{\frac 12}y^{2}+\cdots

역사
--

테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리(영어: James Gregory)가 발견했고, 1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러(영어: Brook Taylor)가 공식적으로 발표했다. 0인 지점에서의 테일러 급수를 특별히 **매클로린 급수**(Maclaurin series)라 하는데, 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 경우를 광범위하게 사용되도록 만든 콜린 매클로린(영어: Colin Maclaurin)의 이름에서 유래됐다.

테일러급수는 많은 분야에 활용되고 있다. 일례로 머신러닝의 최적화 과정을 수행할 때 쓰이기도 한다.

참고 문헌
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* Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.