미분위상수학에서 **이국적 초구**(異國的超球, exotic sphere)는 n차원 초구와 위상 동형이지만 미분 동형은 아닌 다양체를 말한다. 다시 말해 위상적으로는 구와 같지만 매끄러움 구조가 일반적인 구와 다른 다양체이다.

일반적인 구를 항등원으로, 연결합을 연산으로 놓으면 각 n차원에 대해서 이국적 구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 n=4인 경우를 제외하면 유한 아벨 군이 된다.

개요
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위상수학에서는 어떤 다양체가 단위 n차원 초구 {\displaystyle \{(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n+1})|x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n+1}^{2}=1\}\in \mathbb {R} ^{n}} 사이에 위상동형사상이 존재하면 그 다양체를 ‘n차원 초구’라 부른다. 한편 미분위상수학에서는 두 다양체 사이에 미분동형사상이 있으면서 그 사상과 역사상이 무한 번 미분 가능한 매끄러운 사상일 경우 두 다양체의 매끄러움 구조가 같다고 말한다. 이 때 단위 초구(‘표준 초구’)와 위상동형이지만 매끄러움 구조가 서로 다른 다양체를 ‘이국적 초구’라 부른다.

분류
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같은 차원의 이국적 초구 두 개를 연결합을 하면 초구와 위상 동형이 된다. ({\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\#\mathbb {S} ^{n}\cong \_{\operatorname {TopMfd} }\mathbb {S} ^{n}}.) 또한 연결합은 교환 법칙과 결합 법칙을 따르므로 각각의 n차원 이국적 초구는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드는 {\displaystyle n\neq 4}일 때 역원이 존재하는 아벨군이 되며, n차원 호모토피 초구들이 이루는 h-보충 경계류들의 군 {\displaystyle \Theta \_{n}}과 동형이 된다.

n=4일 때 초구가 존재하는지, 얼마나 많은지, 모노이드가 어떤 구조인지는 미해결 문제이다.

### 성질

* {\displaystyle \Theta \_{n}}은 유한 아벨 군이다.
* 표준 매끄러운 초구는 {\displaystyle \Theta \_{n}}의 항등원을 이룬다.
* {\displaystyle n\in \{0,1,2,3,5,6,12,56,61\}}일 때, {\displaystyle \Theta \_{n}}은 자명군이다.:Corollary 1.15
* {\displaystyle n}이 1, 3, 5, 61이 아닌 홀수라면, {\displaystyle |\Theta \_{n}|>1}이다.:Corollary 1.13
* {\displaystyle \Theta \_{7}}은 크기 28의 순환군이다.

### 평행화 가능 다양체

군 {\displaystyle \Theta \_{n}}의 원소 중 평행화 가능 다양체의 경계가 될 수 있는 초구들의 집합 {\displaystyle bP\_{n+1}}은 {\displaystyle \Theta \_{n}}의 부분 순환군을 이룬다. 그 몫군 {\displaystyle \Theta \_{n}/bP\_{n+1}}의 발견은 수술 이론 발전에 기여했다.

{\displaystyle bP\_{n+1}}는 n이 짝수일 때는 자명군이며, {\displaystyle n=4k+1}일 때는 원소 1개 또는 2개의 군이다. 언제 2가 되는지는 케르베르 불변량(영어판)과 관련이 있으며 n=125인 경우를 제외하고는 전부 밝혀져 있다. {\displaystyle n=4k-1,k\geq 2}인 경우

{\displaystyle |bP\_{n+1}|=|bP\_{4k}|=2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B}
이며, 여기서 B는 {\displaystyle 4B\_{2k}/k}의 분모이고 {\displaystyle B\_{2k}}는 베르누이 수이다. (베르누이 수는 문헌마다 정의가 조금씩 다르다.)

### 안정 호모토피군과의 관계

몫군 {\displaystyle \Theta \_{n}/bP\_{n+1}}은 초구의 안정 호모토피군(영어판) {\displaystyle \pi \_{n}^{S}}과 J-준동형의 상 사이의 몫군과 관련이 있다. 사상

{\displaystyle \Theta \_{n}/bP\_{n+1}\to \pi \_{n}^{S}/\operatorname {im} (J)}
은 단사이며 index가 1 또는 2이다. 언제 2가 되는지는 케르베르 불변량(영어판)과 관련이 있다.

### {\displaystyle \Theta \_{n}}의 크기

{\displaystyle \Theta \_{n}}의 크기는 다음과 같다.

|  | OEIS | n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle |\Theta \_{n}|} | A1676 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 | 3 | 2 | 16256 | 2 | 16 | 16 | 523264 | 24 |
| {\displaystyle |bP\_{n+1}|} | A187595 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 1 | 2 | 1 | 992 | 1 | 1 | 1 | 8128 | 1 | 2 | 1 | 261632 | 1 |
| {\displaystyle \Theta \_{n}/bP\_{n+1}} |  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |
| {\displaystyle \pi \_{n}^{s}/\operatorname {im} (J)} |  | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2×2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |
| index |  | – | 2 | – | – | – | 2 | – | – | – | – | – | – | – | 2 | – | – | – | – | – | – |

이국적 초구의 구체적인 예
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존 밀너가 발견한 7차원 이국적 초구는 구체적으로 다음과 같다.

경계다양체 {\displaystyle \mathbb {B} ^{4}\times \mathbb {S} ^{3}\times \{0,1\}}를 생각하자. 그 경계는 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\times \{0,1\}}이다. 3차원 초구는 단위 절댓값의 사원수의 집합 {\displaystyle \{x\in \mathbb {H} \colon |x|=1\}}로 여길 수 있다.

이제, 그 경계를 다음과 같이 이어붙이자.

{\displaystyle (a,b,0)\sim (a,a^{2}ba^{-1},1)\qquad (a,b\in \mathbb {S} ^{3})}
여기서 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

이렇게 하여 얻는 7차원 매끄러운 다양체 {\displaystyle X}는 7차원 매끄러운 초구와 위상 동형이지만, 미분 동형이 아니다. 구체적으로, {\displaystyle X}는 7차원 매끄러운 초구와 달리 다음과 같은 성질들을 갖는다.

* 방향을 뒤집는 미분 동형 {\displaystyle X\to {\bar {X}}}이 존재하지 않는다. (반면, 매끄러운 초구의 경우 이것이 간단하게 존재한다.)
* 4차 베티 수가 0인 8차원 매끄러운 경계다양체의 경계가 될 수 없다. (반면, 7차원 매끄러운 초구는 물론 자명한 베티 수를 갖는 8차원 공의 경계이다.)

보다 일반적으로, 7차원에서 존재하는 28개의 초구 매끄러움 구조는 다음과 같다. 복소수 벡터 공간 {\displaystyle \mathbb {C} ^{5}=\{(a,b,c,d,e)\colon a,b,c,d,e\in \mathbb {C} \}}에서, 다음 다항식으로 정의되는 복소수 4차원 (실수 8차원) 대수다양체를 생각하자.

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,28\})}
이제, {\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}의 원점에서 충분히 작은 9차원 초구를 생각하자. 9차원 초구와 8차원 다양체의 교집합은 (여차원이 더해지므로) 7차원 매끄러운 다양체를 정의한다. 이제, {\displaystyle k\in \{1,2,\dotsc ,28\}}에 대하여 이들은 각각 28개의 7차원 이국적 초구들을 이룬다.

역사
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에드윈 에버리스트 모이즈
존 밀너
1952년에 에드윈 에버리스트 모이즈(영어: Edwin Evariste Moise, 1918~1998)가 {\displaystyle M\_{3}}이 자명군이라는 사실을 증명하였다. (2차원 이하의 경우는 자명하다.)

최초의 이국적 초구는 존 밀너가 1956년에 발견한 7차원 이국적 초구이다. 이에 대하여 밀너는 훗날 다음과 같이 적었다.

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| "| 1950년대 중반에 이러한 [이국적 초구의] 예를 발견하였을 때, 나는 매우 당혹스러웠으며 이것이 무엇을 의미하는지 몰랐다. 처음에 나는 내가 7차원에서 일반화 푸앵카레 추측의 반례를 발견했다고 생각했다. 그러나 조심스럽게 연구한 결과, 이 다양체가 실제로 *S*7와 위상 동형인 것으로 드러났다. 따라서, *S*7 위에는 표준 매끄러움 구조와 다른 매끄러움 구조가 존재한다.
When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn’t know what to make of it. At first, I thought I’d found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to *S*7. Thus, there exists a differentiable structure on *S*7 not diffeomorphic to the standard one. | "|
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이후 1963년에 미셸 케르베르와 존 밀너가 5차원 이상의 경우 {\displaystyle M\_{n}}이 유한 아벨 군이며, 또한 그 군을 h-보충 경계 이론을 통해 계산할 수 있다는 사실을 증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2016). "The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres" (영어). arXiv:1601.02184.
2. ↑  Moise, Edwin Evariste (1952). "Affine structures in 3-manifolds. Ⅴ. The triangulation theorem and Hauptvermutung". 《Annals of Mathematics》 (영어) **56**: 96–114. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969769. MR 0048805.
3. ↑  Milnor, John Willard (1956). "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere". 《Annals of Mathematics》 (영어) **64** (2): 399–405. doi:10.2307/1969983. JSTOR 1969983. MR 0082103.
4. ↑  Milnor, John Willard (2009). 〈Fifty years ago: topology of manifolds in the 50’s and 60’s〉 (PDF). Mrowka, Tomasz S.; Ozsváth. Peter S. 《Low dimensional topology. Lecture notes from the 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School held in Park City, UT, Summer 2006.》. IAS/Park City Math. Ser. (영어) **15**. American Mathematical Society. 9–20쪽. ISBN 978-0-8218-4766-4. MR 2503491.
5. ↑  Kervaire, Michel A.; Milnor, John Willard (1963). "Groups of homotopy spheres Ⅰ" (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) **77** (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. MR 0148075.