조합론에서 **스털링 수**(Stirling數, 영어: Stirling number)는 조합론에서 자주 등장하는 두 종의 정수열이다.

정의
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### 제1종 스털링 수

2개의 순환을 갖는, 4개의 원소의 순열은 총 11개가 있다. 따라서 \textstyle \left[{4 \atop 2}\right]=11이다.
**부호 없는 제1종 스털링 수**(영어: unsigned Stirling numbers of the first kind)는 다음과 같다.

x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\sum \_{{m=0}}^{n}(-1)^{{n-m}}\left[{n \atop m}\right]x^{m}
부호 없는 제1종 스털링 수는 c(n,m)으로 쓰기도 한다. 대괄호를 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다. 부호 없는 제1종 스털링 수는 *n*개의 원소의 순열 가운데, 정확히 *m*개의 순환(cycle)들로 구성된 순열들의 수이다. (이 경우, 고정점은 길이 1의 순환으로 간주한다.)

**(부호 있는) 제1종 스털링 수**(영어: (signed) Stirling numbers of the first kind)는 다음과 같다.

s(n,m)=(-1)^{{n-m}}\left[{n \atop m}\right]
부호 없는 제1종 스털링 수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A130534)

| *n* ＼ *m* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 2 | 3 | 1 |
| 4 | 0 | 6 | 11 | 6 | 1 |
| 5 | 0 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |
| 6 | 0 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |
| 7 | 0 | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |
| 8 | 0 | 5040 | 13068 | 13132 | 6769 | 1960 | 322 | 28 | 1 |
| 9 | 0 | 40320 | 109584 | 118124 | 67284 | 22449 | 4536 | 546 | 36 | 1 |
| 10 | 0 | 362880 | 1026576 | 1172700 | 723680 | 269325 | 63273 | 9450 | 870 | 45 | 1
  |

### 제2종 스털링 수

4개의 원소의 집합의 분할의 개수는 벨 수 B\_{4}=15개이다. 이 가운데, 분할된 부분집합들의 수가 *m*개인 경우는 제2종 스털링 수 \textstyle \left\{{4 \atop m}\right\}에 의해 주어진다. 그림에 따라, \textstyle \left\{{4 \atop 1}\right\}=1, \textstyle \left\{{4 \atop 2}\right\}=7, \textstyle \left\{{4 \atop 3}\right\}=6, \textstyle \left\{{4 \atop 4}\right\}=1이다.
**제2종 스털링 수**(영어: Stirling numbers of the second kind)는 다음과 같다.

x^{n}=\sum \_{{m=0}}^{n}\left\{{n \atop m}\right\}x(x-1)\cdots (x-m+1)
제2종 스털링 수는 S(n,m)으로 쓰기도 한다. 중괄호를 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.

제2종 스털링 수는 *n*개의 원소의 집합을 *m*개의 공집합이 아닌 부분집합들로 나누는 방법의 수이다.

제2종 스털링 수의 점화식은 재귀적인 표현으로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle S\_{n,m}=S\_{n-1,m-1}+m\cdot S\_{n-1,m}}

제2종 스털링 수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A008277)

| *n* ＼ *m* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |
| 6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |
| 7 | 0 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 127 | 966 | 1701 | 1050 | 266 | 28 | 1 |
| 9 | 0 | 1 | 255 | 3025 | 7770 | 6951 | 2646 | 462 | 36 | 1 |
| 10 | 0 | 1 | 511 | 9330 | 34105 | 42525 | 22827 | 5880 | 750 | 45 | 1 |
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성질
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### 생성함수

스털링 수는 다음과 같은 생성함수를 갖는다.

\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left[{n \atop m}\right]x^{n}/n!={\frac {(-\ln(1-x))^{m}}{m!}}
\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left\{{n \atop m}\right\}x^{n}/n!={\frac {(\exp(x)-1)^{m}}{m!}}
### 점화식

스털링 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

\left[{n+1 \atop m}\right]=n\left[{n \atop m}\right]+\left[{n \atop m-1}\right]
\left\{{n+1 \atop m}\right\}=m\left\{{n \atop m}\right\}+\left\{{n \atop m-1}\right\}
### 합 공식

스털링 삼각형에서 각 열을 더하면 다음과 같다.

\sum \_{{m=0}}^{n}\left[{n \atop m}\right]=n!
\sum \_{{m=0}}^{n}\left\{{n \atop m}\right\}=B\_{n}
여기서 B\_{n}은 벨 수이다. 이는 n개의 원소에 대한 순열의 수가 n!이고, n개의 원소를 가진 집합의 분할은 벨 수 B\_{n}이기 때문이다.

또한, 다음과 같은 공식이 존재한다.

\sum \_{{p=k}}^{n}\left[{n \atop p}\right]{\binom pk}=\left[{n+1 \atop k+1}\right]
### 특별한 값

m>n이라면 스털링 수는 0으로 정의한다.

\left[{n \atop m}\right]=\left\{{n \atop m}\right\}=0\qquad (m>n)
또한, m=0인 경우 스털링 수는 크로네커 델타 \delta \_{{n,0}}이다.

\left[{n \atop 0}\right]=\left\{{n \atop 0}\right\}=\delta \_{{n,0}}={\begin{cases}1&n=0\\0&n>0\end{cases}}
m=1인 경우는 다음과 같다.

\left[{n \atop 1}\right]=(n-1)!\qquad (n\geq 1)
\left\{{n \atop 1}\right\}=1\qquad (n\geq 1)
m=2인 경우는 다음과 같다. 여기서 H\_{k}는 조화수이다.

\left[{n \atop 2}\right]=(n-1)!H\_{{n-1}}=(n-1)!\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}{\frac 1k}
\left\{{n \atop 2}\right\}=2^{{n-1}}-1
m=n인 경우는 스털링 수는 항상 1이다.

\left[{n \atop n}\right]=\left\{{n \atop n}\right\}=1\qquad (n\geq 0)
m=n-1인 경우는 다음과 같다.

\left[{n \atop n-1}\right]=\left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom n2}
m=n-2인 경우는 다음과 같다.

\left[{n \atop n-2}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){\binom n3}
\left\{{n \atop n-2}\right\}={\frac {3n-5}4}{\binom n3}

역사
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제임스 스털링(영어: James Stirling)이 1730년에 《미분법: 무한급수의 합과 보간에 대한 논문》(라틴어: Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum)이라는 책에서 도입하였다. 닐스 닐센(독일어:  Niels Nielsen)이 1965년에 이 수들을 "스털링 수"라고 이름붙였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Knuth, Donald (1992). "Two notes on notation". 《American Mathematical Monthly》 (영어) **99** (5): 403–422. arXiv:math/9205211. Bibcode:1992math......5211K. Zbl 0785.05014.
2. ↑  Stirling, Jacobus. 《Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum》 (라틴어). London: William Bowyer.
3. 1 2  Boyadzhiev, Khristo N. (2012). "Close encounters with the Stirling numbers of the second kind". 《Mathematics Magazine》 (영어) **85** (4): 252–266. doi:10.4169/math.mag.85.4.252. Zbl 1260.11016.
4. ↑  Nielsen, Niels (1965). 《Die Gammafunktion》 (독일어).

* Comtet, Louis (1974). 《Advanced combinatorics: The art of finite and infinite expansions》 (영어). Dordrecht: Reidel Publishing Company. Zbl 0283.05001.
* Graham, Ronald L.; Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1994). 《Concrete mathematics: a foundation for computer science》 (영어) 2판. Addison-Wesley Professional. ISBN 0-201-55802-5. MR 1397498. Zbl 0836.00001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Benjamin, Arthur T.; Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn (2002). "A Stirling encounter with harmonic numbers" (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) **75** (2): 95–103. Zbl 1063.05002. 2009년 6월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 4월 12일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Griffiths, Martin (2012년 11월). "Close encounters with Stirling numbers of the second kind". 《The Mathematics Teacher》 (영어) **106** (4): 313–317. doi:10.5951/mathteacher.106.4.0313. JSTOR 10.5951/mathteacher.106.4.0313.