선형대수학에서 **코시-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Schwarz不等式, 영어: Cauchy–Schwarz inequality) 또는 **코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, 영어: Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)은 내적 공간 위에 성립하는 절대부등식이다. 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다.

정의
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{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 {\displaystyle V}
* {\displaystyle V} 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 {\displaystyle \langle ,\rangle } ({\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)
{\displaystyle \langle w,\alpha u+v\rangle =\alpha \langle w,u\rangle +\langle w,v\rangle ={\overline {\langle \alpha u+v,w\rangle }}\qquad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\;u,v\in V}

그렇다면, **코시-슈바르츠 부등식**에 의하면 다음이 성립한다.

{\displaystyle |\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V}

**증명:**

만약 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0}이며 {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

{\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0}
이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0}이며 {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

{\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\operatorname {Re} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0}
{\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\langle u-iv,u-iv\rangle =\operatorname {Im} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u+iv,u+iv\rangle \leq 0}
이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 {\displaystyle \langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0}은 {\displaystyle u=v=0}을 함의하며 이는 자명하게 {\displaystyle \langle u,v\rangle =0}을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, {\displaystyle \langle u,u\rangle } 또는 {\displaystyle \langle v,v\rangle } 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 {\displaystyle \langle v,v\rangle >0}라고 하자.

양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }에 대하여

{\displaystyle 0\leq \langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle =\langle u,u\rangle +|\lambda |^{2}\langle v,v\rangle -\lambda \langle u,v\rangle -{\bar {\lambda }}\langle v,u\rangle }
이다. 이제,

{\displaystyle \lambda ={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle v,v\rangle }}}
를 대입하면 다음과 같다.

{\displaystyle 0\leq \langle u,u\rangle -{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\langle v,v\rangle }}}
이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.

{\displaystyle |\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle }

또한, 만약 {\displaystyle \langle ,\rangle }가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 {\displaystyle u}와 {\displaystyle v} 일차 종속인 경우이다.

### 부정부호의 경우

일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 실수 벡터 공간 {\displaystyle V}
* {\displaystyle V} 위의 쌍선형 형식 {\displaystyle \langle ,\rangle }. 또한, {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}}은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.:185, §10.2, Theorem 88(ii) (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)

{\displaystyle \forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0\implies |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V}

**증명:**

만약 {\displaystyle \max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0}이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 {\displaystyle \langle u,u\rangle }와 {\displaystyle \langle v,v} 둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 {\displaystyle u}와 {\displaystyle v}가 선형 종속이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 선형 독립이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 {\displaystyle \operatorname {Span} \{u,v\}}는 {\displaystyle \langle w,w\rangle \geq 0}인 원소 {\displaystyle w\in \operatorname {Span} \{u,v\}\setminus \{0\}}를 포함한다. 편의상 이것이 {\displaystyle w=u+\lambda \_{0}v}라고 가정하자.

실수 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }에 대하여, 2차 다항식

{\displaystyle p(\lambda )=\langle u+\lambda v\rangle =\lambda ^{2}\langle v,v\rangle +2\lambda \langle u,v\rangle +\langle u,u\rangle }
를 생각하자. 그렇다면 이는 {\displaystyle \lambda =0}에서 양이 아닌 실수이지만, {\displaystyle \lambda =\lambda \_{0}}에서는 {\displaystyle p(\lambda )}가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, {\displaystyle p(\lambda )=0}는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 필요 충분 조건은 판별식

{\displaystyle D=\langle u,v\rangle ^{2}-\langle u,u\rangle \langle v,v\rangle }
이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서

{\displaystyle \langle u,v\rangle ^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle }
이다.

또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 실수 벡터 공간 {\displaystyle V}
* {\displaystyle V} 위의 쌍선형 형식 {\displaystyle \langle ,\rangle }. 또한, {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}}은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, {\displaystyle \{v\in V\colon \langle v,v\rangle >0\}\cup \{0\}} 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V}

**증명:**

임의의 두 벡터 {\displaystyle u,v\in V}에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다.

* 만약 {\displaystyle \min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0}일 때: 위의 정리를 사용한다.
* 만약 {\displaystyle \max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0}일 때: 위의 정리를 {\displaystyle (V,-\langle ,\rangle )}에 사용한다.

예
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### 낮은 차원

{\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다.

{\displaystyle \left|{\bar {a}}\_{1}b\_{1}+{\bar {a}}\_{2}b\_{2}+\dotsb +{\bar {a}}\_{n}b\_{n}\right|^{2}\leq \left(|a\_{1}|^{2}+|a\_{2}|^{2}+\dotsb +|a\_{n}|^{2}\right)\left(|b\_{1}|^{2}+|b\_{2}|^{2}+\dotsb +|b\_{n}|^{2}\right)\qquad \forall a\_{i},b\_{i}\in \mathbb {K} }
특히, {\displaystyle n=2}인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.

{\displaystyle |{\bar {a}}c+{\bar {b}}d|^{2}\leq (|a|^{2}+|b|^{2})(|c|^{2}+|d|^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {K} }
특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

{\displaystyle (ac-bd)^{2}\geq (a^{2}-b^{2})(c^{2}-d^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} }
### 르베그 공간

 이 부분의 본문은 횔더 부등식입니다.
가측 공간 {\displaystyle X} 위의 {\displaystyle p=2} 르베그 공간 {\displaystyle V=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )}은 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

{\displaystyle \left|\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx\qquad \forall f,g\in \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )}
이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.

### C\* 대수

 이 부분의 본문은 상태 (함수해석학)입니다.
C\* 대수 {\displaystyle A} 위의 상태

{\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }
가 주어졌을 때,

{\displaystyle \langle a,b\rangle =f(a^{\*}b)\qquad \forall a,b\in A}
는 {\displaystyle A} 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

{\displaystyle |f(a^{\*}b)|^{2}\leq f(a^{\*}a)f(b^{\*}b)\qquad \forall a,b\in A}

역사
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오귀스탱 루이 코시. 코시는 유한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.
빅토르 부냐콥스키. 부냐콥스키는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.
헤르만 아만두스 슈바르츠. 슈바르츠는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 독자적으로 재발견하였다.
1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(러시아어: Ви́ктор Я́ковлевич Буняко́вский, 우크라이나어: Ві́ктор Я́кович Буняко́вський 빅토르 야코비치 부냐코우시키[\*], 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.

1896년에 앙리 푸앵카레가 "슈바르츠 부등식"(프랑스어: inégalité de Schwarz)이라는 용어를 최초로 사용하였다.:73, §II.2 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 "코시-슈바르츠 부등식"으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 "부냐콥스키 부등식" 또는 "코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식" 등으로 일컫는다.

참고 문헌
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1. ↑  Steele, J. Michael (2004년 4월). 《The Cauchy–Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511817106. ISBN 978-0-521-83775-0.
2. ↑  Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (2009년 4월). "Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality" (PDF). 《Octogon Mathematical Magazine》 (영어) **17** (1): 221–229. ISSN 1222-5657.
3. ↑  Schutz, John W. (1997년 10월 8일). 《Independent axioms for Minkowski space-time》. Pitman Research Notes in Mathematics Series (영어) **373**. Longman. ISBN 978-0-582-31760-4.
4. ↑  Cauchy, A. L. (1821). 〈Sur les formules qui résultent de l’emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités〉. 《Cours d’analyse. Première partie: analyse algébrique》 (프랑스어).
5. ↑  Bouniakowsky, V. (1859년 7월). "Sur quelques inégalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF). 《Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg》 (프랑스어) **1**: 9.
6. ↑  Schwarz, H. A. (1888). "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF). 《Acta Societatis scientiarum Fennicae》 (독일어) **15**: 318.
7. ↑  Poincaré, Henri (1897). "La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet". 《Acta Mathematica》 (영어): 59–142. doi:10.1007/BF02418028.