군론에서 **군의 작용**(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의
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모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**(영어: left action of M on X)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 {\displaystyle M\times X\to X}로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 M의 작용을 갖춘 집합을 **M-집합**(영어: M-set)이라고 한다. 두 M-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 **등변 함수**(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다. M-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 {\displaystyle M{\text{-Set}}} 또는 {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}으로 쓴다.

모든 군은 모노이드를 이루며, **군의 작용**(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 M의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

### 함수를 통한 정의

모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**(영어: left action of M on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 {\displaystyle \cdot \colon M\times X\to X}이다.

* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle 1\_{M}\cdot x=x}. 여기서 {\displaystyle 1\_{M}\in M}은 M의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 m,n\in M 및 x\in X에 대하여, {\displaystyle (mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)}

모노이드 M의, 집합 X 위의 **오른쪽 작용**(영어: right action of G on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 {\displaystyle \cdot \colon X\times M\to X}이다.

* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle x\cdot 1\_{M}=x}. 여기서 {\displaystyle 1\_{M}\in M}은 M의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 m,n\in M 및 x\in X에 대하여, {\displaystyle x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n}

모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합 X, Y이 주어졌다고 하자. 그 사이의 **등변 함수** f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

{\displaystyle \forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)}
여기서 좌변은 Y 위의 작용이고, 우변은 X 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}M\times X&\to &X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\M\times Y&\to &Y\end{matrix}}}
### 준동형을 통한 정의

추상적으로, 모노이드 M의, 집합 X 위의 **왼쪽 작용**은 M에서 X 위의 자기 함수들의 모노이드 {\displaystyle \operatorname {End} X}로 가는 모노이드 준동형

{\displaystyle \phi \colon M\to \operatorname {End} X}
이며, M의 X 위의 **오른쪽 작용**은 반대 모노이드 {\displaystyle M^{\operatorname {op} }}에서 {\displaystyle \operatorname {End} X}로 가는 모노이드 준동형

{\displaystyle M^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} X}
이다. 만약 G가 군일 경우, 왼쪽 작용은 X의 대칭군 (=자기 동형군) {\displaystyle \operatorname {Sym} X}으로 가는 군 준동형

{\displaystyle G\to \operatorname {Sym} X}
을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

{\displaystyle G^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sym} X}
을 이룬다.

모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합

{\displaystyle \phi \_{X}\colon M\to \operatorname {End} X}
{\displaystyle \phi \_{Y}\colon M\to \operatorname {End} Y}
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 **등변 함수** f\colon X\to Y는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 f\colon X\to Y이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi \_{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi \_{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}}
### 범주론적 정의

범주론적으로, M의 **작용**은 M을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

{\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }
와 동치이다. 이 경우, M이 작용하는 집합은 범주 M의 유일한 대상 {\displaystyle \bullet \_{M}}의 F에 대한 상 {\displaystyle F(\bullet \_{M})\in \operatorname {Set} }이며, m\in M의 작용은 F에 대한 상 {\displaystyle F(m)\colon F(\bullet \_{M})\to F(\bullet \_{M})}이다.

두 M-집합

{\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }
{\displaystyle G\colon M\to \operatorname {Set} }
사이의 **등변 함수** {\displaystyle F\Rightarrow G}는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 \eta \colon F\Rightarrow G에 대응하는 등변 함수는 \eta 의 성분

{\displaystyle \eta \_{\bullet \_{M}}\colon F(\bullet \_{M})\to G(\bullet \_{M})}
이다.

따라서, M-집합의 범주 {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}은 사실 (작은 범주로 간주한) M에서 \operatorname {Set} 로 가는 함자 범주와 동치이다.

### 궤도와 안정자군

군 G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. x\in X의 **궤도**(軌道, 영어: orbit) {\displaystyle G\cdot x}는 다음과 같다.

{\displaystyle G\cdot x=\{g\cdot x\colon g\in G\}}
궤도는 G 위의 동치 관계

{\displaystyle x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y}
의 동치류와 같으며, X는 궤도들로 분할된다.

임의의 x\in X의 **안정자군**(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) G\_{x}는 다음과 같다.

{\displaystyle G\_{x}=\{g\in G\colon g\cdot x=x\}}
즉, 안정자군 G\_{x}는 G의 원소 중 x를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

### 작용 준군

모노이드 M이 집합 X 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 {\mathcal {C}}를 정의할 수 있다.

* {\mathcal {C}}의 대상은 X의 원소이다.
* x,y\in X에 대하여, {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}}이다.
* x\in X 위의 항등 사상은 {\displaystyle 1\_{M}\in \hom \_{\mathcal {C}}(x,x)}이다.

이를 **작용 범주**(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.:315, 3.3.1 만약 M이 군이라면, X 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 **작용 준군**(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질
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군의 왼쪽 작용 {\displaystyle \cdot \colon G\times X\to X}이 주어졌을 때,

* g\in G에 대하여 {\displaystyle g\cdot \colon X\to X}는 전단사 함수이다.
* (역원은 역함수) g\in G에 대하여 {\displaystyle g^{-1}\cdot =(g\cdot )^{-1}}이다. 여기서 {\displaystyle (g\cdot )^{-1}}는 전단사 함수의 역함수이다.

### 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 M에 대하여, 왼쪽 M-작용은 오른쪽 {\displaystyle M^{\operatorname {op} }}-작용과 같다. 여기서 {\displaystyle M^{\operatorname {op} }}은 M의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 G는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

{\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }}
이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 G-작용을 왼쪽 G-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 G-작용 r\colon X\times G\to X에 대하여,

\ell\colon G\times X\to X
\ell(g,x)=r(x,g^{-1})
로 정의한다면, \ell 은 왼쪽 G-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 G-작용 \ell\colon G\times X\to X가 주어졌을 때

r\colon X\times G\to X
r(x,g)=\ell(g^{-1},x)
는 오른쪽 G-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

### 궤도-안정자군 정리

안정자군 G\_{x}는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. **궤도-안정자군 정리**(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

* {\displaystyle G\cdot x}의 원소 {\displaystyle g\cdot x}를 왼쪽 잉여류 {\displaystyle gG\_{x}}로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}라면 {\displaystyle gG\_{x}=hG\_{x}}이다.
* 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, {\displaystyle gG\_{x}=hG\_{x}}라면 {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}이다.

특히, 만약 G가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

{\displaystyle |G\cdot x|=[G:G\_{x}]=|G|/|G\_{x}|}
### 보편대수학적 성질

모노이드 M에 대하여, M-집합은 M의 각 원소 m\in M에 대하여 1항 연산 {\displaystyle m\cdot }을 가지며, 대수적 관계

{\displaystyle 1\cdot x=x\qquad \forall x\in X}
{\displaystyle m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad \forall x\in X}
를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, M-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 X 위의 자유 M-집합은 곱집합 {\displaystyle M\times X}이며, 그 위의 작용은

{\displaystyle m\cdot (n,x)=(mn,x)}
이다.

### 범주론적 성질

모노이드 M에 대하여, M-집합의 범주 {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}의 {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}의 부분 대상 분류자 {\displaystyle R\_{M}}은 M 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

{\displaystyle R\_{M}=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}}
이다. 이 위의 M의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle M\times R\_{M}\to R\_{M}}
{\displaystyle (m,I)\mapsto mI}
망각 함자

{\displaystyle U\colon \operatorname {Set} ^{M}\to \operatorname {Set} }
가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 F와 오른쪽 수반 함자 G를 갖는다.

{\displaystyle F\dashv U\dashv G}
왼쪽 수반 함자 F는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 X를 {\displaystyle M\times X}로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 G는 집합 X를 함수들의 집합 {\displaystyle X^{M}}으로 대응시킨다. M의 {\displaystyle X^{M}} 위의 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle (m\cdot f)(n)=f(mn)}

종류
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군 G가 집합 X 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

### 추이적 작용

군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 ***n*-추이적 작용**(*n*-推移的作用, 영어: *n*-transitive action)이라 한다.

* 임의의 서로 다른 원소들 x\_{1},\dots ,x\_{n}\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 {\displaystyle y\_{1},\dots ,y\_{n}\in X}에 대하여, {\displaystyle g\cdot x\_{k}=y\_{k}} ({\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}})인 g\in G가 존재한다.

만약 여기서 이러한 g가 유일하다면, 이를 ***n*-정추이적 작용**(*n*-正推移的作用, 영어: sharply *n*-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 *n*-정추이적 작용이라고 한다.

* 임의의 서로 다른 원소들 x\_{1},\dots ,x\_{n}\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 {\displaystyle y\_{1},\dots ,y\_{n}\in X}에 대하여, {\displaystyle g\cdot x\_{k}=y\_{k}} ({\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}})인 유일한 g\in G가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 **추이적 작용**(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 **정추이적 작용**(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 **정칙 작용**(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

### 충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 **충실한 작용**(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 **효과적 작용**(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.

* 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 임의의 x\in X에 대하여 {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}라면, {\displaystyle g=h}
* 임의의 g\in G에 대하여, 만약 임의의 x\in X에 대하여 {\displaystyle g\cdot x=x}라면, {\displaystyle g=1\_{G}}
* 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 **자유 작용**(自由作用, 영어: free action) 또는 **반정칙 작용**(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.

* 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}인 x\in X가 존재한다면, {\displaystyle g=h}
* 임의의 g,h\in G에 대하여, 만약 {\displaystyle g\cdot x=x}인 x\in X가 존재한다면, {\displaystyle g=1\_{G}}

참고 문헌
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1. ↑  Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **145**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001.
2. 1 2 3  Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). "The category of *M*-sets" (PDF). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 (영어) **9**: 123-132. ISSN 1126-8042.