미분기하학에서 **에르미트 다양체**(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의
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### 에르미트 계량

매끄러운 다양체 M 위의 2n차원 매끄러운 벡터 다발 E 위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉 J^{2}=-1이 되는 매끄러운 단면 {\displaystyle J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} \_{\mathbb {R} }(E))}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 x\in M에 대하여,

{\displaystyle J\_{x}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \colon E\_{x}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to E\_{x}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
는 고윳값 {\displaystyle \pm \mathrm {i} }를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간

{\displaystyle E\_{x}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} =E\_{x}^{+}\oplus E\_{x}^{-}}
{\displaystyle (J\_{x}\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\upharpoonright E\_{x}^{\pm }=\pm \mathrm {i} }
을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상

{\displaystyle (-)^{\pm }\colon E\_{x}\to E\_{x}^{\pm }}
{\displaystyle (-)^{\pm }\colon v\mapsto \operatorname {proj} \_{E\_{x}^{\pm }}(v\otimes \mathbb {C} )}
이 존재한다.

그렇다면, E 위의 **에르미트 계량**(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

{\displaystyle h\in \Gamma ^{\infty }((E^{+})^{\*}\otimes \_{\mathbb {C} }(E^{-})^{\*})}
이다. (여기서 {\displaystyle (-)^{\*}}는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)

{\displaystyle h\_{x}(z^{+},w^{-})={\overline {h\_{x}(z^{-},w^{+})}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E\_{x})}
{\displaystyle h\_{x}(z^{+},z^{-})\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E\_{x}\setminus \{0\})}
여기서 {\displaystyle {\overline {x}}}는 복소수의 복소켤레를 뜻한다.
이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, {\displaystyle E^{+}}의 첨자를 {\displaystyle i,j,\dotsc }로, {\displaystyle E^{-}}의 첨자를 {\displaystyle {\bar {i}},{\bar {j}},\dotsc }로 표기하자. 마찬가지로, {\displaystyle z\in E\_{x}}에 대하여 {\displaystyle z^{+}}의 성분을 z^{i}로, {\displaystyle z^{-}}의 성분을 {\displaystyle {\bar {z}}^{\bar {i}}}로 표기하자. 그렇다면,

{\displaystyle h\_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}={\overline {h}}\_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E\_{x})}
{\displaystyle h\_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{\bar {j}}\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E\_{x}\setminus \{0\})}
특히, 첫째 조건은 {\displaystyle h\_{i{\bar {j}}}}가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

### 에르미트 다양체

개복소다양체 (또는 복소다양체) M이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M} 위에 개복소구조 {\displaystyle J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (\mathrm {T} M))}가 주어져 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\pm }M}을 정의할 수 있다.

**에르미트 다양체** (M,h)는 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\pm }M} 위에 에르미트 계량 {\displaystyle h\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{+\*}M\otimes \_{\mathbb {C} }\mathrm {T} ^{-\*}M)}가 주어진 복소다양체이다.

성질
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### 리만 구조

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

{\displaystyle g^{\mathbb {C} }={\frac {1}{2}}(h+{\bar {h}})\in \Gamma ^{\infty }\left(\mathrm {T} ^{\*}\!M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathrm {T} ^{\*}\!M\otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \right)}
이 경우, g^{{{\mathbb C}}}(u,v)={\bar g}^{{{\mathbb C}}}이므로, 이는 {\displaystyle g\in \Gamma ^{\infty }\left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{\*}\right)}로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한, h를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1,1}(M)}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {i} }{2}}(h-{\bar {h}})}
{\displaystyle \omega \_{\alpha {\bar {\beta }}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}h\_{\alpha {\bar {\beta }}}\mathrm {d} z^{\alpha }\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{\bar {\beta }}}
### 천 접속

복소다양체 M 위의 해석적 벡터 다발 {\displaystyle (E,J)} 위의 에르미트 계량 h가 주어졌다고 하자. 그렇다면, E 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속 \nabla 가 존재한다. 이를 **천 접속**([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.

* \nabla J=0
* \nabla g=0

만약 {\displaystyle E=\mathrm {T} M}일 경우 (에르미트 다양체), 이는 {\displaystyle \mathrm {T} M} 위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.