이론물리학과 추상대수학에서 **융합 규칙**(融合規則, 영어: fusion rule 퓨전룰[\*])은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 **페를린더 공식**(영어: Verlinde formula)이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 **융합환**(融合環, 영어: fusion ring 퓨전링[\*]) 또는 **페를린더 대수**(Verlinde代數, 영어: Verlinde algebra)라는 가환환이 대응된다.

정의
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유한 집합 I 및 대합

{\displaystyle (-)^{\*}\colon I\to I}
{\displaystyle (-)^{\*}\circ (-)^{\*}=\operatorname {id} \_{I}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드

{\displaystyle \mathbb {N} ^{I}=\left\{\sum \_{i}n\_{i}i\colon \forall i\in I\colon n\_{i}\in \mathbb {N} \right\}}
를 생각할 수 있다. 그 원소는 I의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다.

I 위의 **융합 규칙**은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }
이다.

* (규격화) {\displaystyle N(0)=1}
* (대합에 대한 대칭) {\displaystyle N(x^{\*})=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}
* (융합) {\displaystyle N(x+y)=\sum \_{k\in I}N(x+k)N(y+k^{\*})\forall x,y\in \mathbb {N} ^{I}}
* (부호) {\displaystyle \exists i\in I\colon N(i)>0}
* (비퇴화성) {\displaystyle \forall i\in I\exists x\in \mathbb {N} ^{I}\colon N(i+x)\neq 0}

성질
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### 항등원과 3점 계수

임의의 융합 규칙 {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }가 주어졌을 때, 어떤 원소 {\displaystyle \eta \in I}에 대하여

{\displaystyle N(i)={\begin{cases}1&i=\eta \\0&i\neq \eta \end{cases}}}
{\displaystyle \eta ^{\*}=\eta }
이게 된다. 이를 융합 규칙의 **항등원**(영어: identity element)이라고 하며, 보통 단순히 1로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.)

**증명**:

공리로부터,

{\displaystyle 1=N(0)=N(0+0)=\sum \_{i\in I}N(i)N(i^{\*})=\sum \_{i\in I}N(i)^{2}}
이다. {\displaystyle N(i)^{2}\in \mathbb {N} }이므로, 이는 어떤 {\displaystyle \eta \in I}인 경우 {\displaystyle N(\eta )\in \{\pm 1\}}이며 다른 나머지 {\displaystyle j\in I\setminus \{\eta \}}에 대하여 {\displaystyle N(j)=0}임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 {\displaystyle N(i)>0}인 i\in I가 존재하여야 하므로, 이는 {\displaystyle i=\eta }일 수 밖에 없으며, {\displaystyle N(\eta )=1}이다. {\displaystyle N(\eta ^{\*})=1}이므로 {\displaystyle \eta =\eta ^{\*}}이다.

이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.

{\displaystyle N(1+x)=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}

**증명**:

공리로부터,

{\displaystyle N(x)=N(0+x)=\sum \_{i\in I}N(i^{\*})(i+x)=N(1+x)}
이다.

또한, 항상 다음이 성립한다.

{\displaystyle N(i+j)={\begin{cases}1&i=j^{\*}\\0&i\neq j^{\*}\end{cases}}}

**증명**:

공리로부터,

{\displaystyle N(i+i^{\*})=\sum \_{j\in I}N(i+j)N(j^{\*}+i^{\*})=\sum \_{j\in I}N(i+j)^{2}\geq N(i+i^{\*})^{2}}
이다. {\displaystyle k\geq k^{2}}를 만족시키는 정수 k는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 {\displaystyle k=k^{2}}이므로

{\displaystyle 0=N(i+i^{\*})-N(i+i^{\*})^{2}=\sum \_{j\in I\setminus \{i\}}N(i+j)^{2}}
이며, 따라서

{\displaystyle N(i+j)=0\qquad (i\neq j)}
이다.

만약 {\displaystyle N(i+i^{\*})=0}이라면, 임의의 {\displaystyle x\in \mathbb {N} ^{I}}에 대하여

{\displaystyle N(i+x)=\sum \_{j\in I}N(i+j^{\*})N(j+x)=0}
인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 {\displaystyle N(i+i^{\*})=1}이다.

사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.

* 항등원 {\displaystyle 1\in I}
* 3점 계수 {\displaystyle N\upharpoonright \{i+j+k\colon i,j,k\in I\setminus \{1\}\}}

**증명**:

2점 이하의 계수는 {\displaystyle 1\in I}로 완전히 결정된다. 또한,

{\displaystyle N(i\_{1}+i\_{2}+\dotsb +i+i\_{k})=\sum \_{j\in I}N(i\_{1}+i\_{2}+j^{\*})N(j+i\_{3}+\dotsb +i\_{k})\qquad (k\geq 3,\;i\_{1},i\_{2},\dotsc ,i\_{k}\in I)}
이므로, k점의 계수는 3점 계수와 k-1점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 {\displaystyle N(i+j+k)}에서 만약 {\displaystyle i,j,k} 가운데 하나가 1에 속한다면 그 값은 자명하다.

보통 3점 계수는

{\displaystyle N(i+j+k^{\*})=N\_{ij}^{k}}
로 표기한다. 대칭에 의하여

{\displaystyle N\_{ij}^{k}=N\_{ji}^{k}=N\_{k^{\*}i}^{j}=N\_{i^{\*}j^{\*}}^{k^{\*}}}
{\displaystyle N\_{1i}^{j}=N\_{ij^{\*}}^{1}=\delta \_{i}^{j}}
가 된다. (\delta 는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.

{\displaystyle N(i+j+k+l^{\*})=\sum \_{m\in I}N\_{ij}^{m}N\_{km}^{l}=\sum \_{m\in I}N\_{ik}^{m}N\_{jm}^{l}\qquad (\forall i,j,k,l\in I)}s
만약 {\displaystyle N\_{ij}^{k}}를 행렬 N\_{i}로 표기한다면, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle N\_{j}N\_{k}=N\_{k}N\_{j}}
즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다.:(2.131) 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.

### 고차 종수 융합 규칙

융합 규칙 {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} } 및 자연수 g에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.

{\displaystyle N\_{g}(x)=\sum \_{i\in I}N\_{g-1}(x+i+i^{\*})\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}
{\displaystyle N\_{0}=N}
이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 g의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.:Remark 5.10

{\displaystyle N\_{g+h}(x+y)=\sum \_{i\in I}N\_{g}(x+i^{\*})N\_{h}(i+y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {N} ^{I},\;g,h\in \mathbb {N} }
### 융합환

융합 규칙 {\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }이 주어졌을 때, I로 생성되는 자유 아벨 군 {\displaystyle R=\mathbb {Z} ^{I}} 위에 다음과 같은 \mathbb {Z} -쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

{\displaystyle i\_{1}\cdot i\_{2}\cdot \dotsb \cdot i\_{k}=\sum \_{j\in I}N(i\_{1}+\dotsb +i\_{k}+j^{\*})j\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;i\_{1},\dotsc ,i\_{k}\in I)}
이는 항등원 {\displaystyle 1\in I}을 갖는 가환환을 이루며, **융합환**이라고 한다.

특히, 융합환 R의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,

{\displaystyle \sum \_{j\in I}N(j^{\*})j=1}
이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은

{\displaystyle i=\sum \_{j\in I}N(i+j^{\*})j}
이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.

융합환 R 위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형

{\displaystyle t\colon (R,+)\to (\mathbb {Z} ,+)}
이 존재한다.:Proposition 5.3

{\displaystyle t(i\_{1}i\_{2}\dotsm i\_{k})=N(i\_{1}+i\_{2}+\dotsb +i\_{n})\qquad \forall i\_{1},\dotsc ,i\_{k}\in I}
따라서 t는 R-가군의 동형 사상

{\displaystyle R\to R^{\vee }=\hom \_{\mathbb {Z} }(R,\mathbb {Z} )}
{\displaystyle r\mapsto (s\mapsto t(rs))}
을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합

{\displaystyle \operatorname {tr} \in R^{\vee }}
{\displaystyle \operatorname {tr} \colon i\mapsto \sum \_{j\in I}N\_{ij}^{j}\qquad (i,j,k\in I)}
에 대응되는 R의 원소는 카시미르 원소

{\displaystyle \sum \_{i\in I}ii^{\*}}
이다.

### 등각 장론의 융합환

2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, I를 1차장의 집합으로 놓고, {\displaystyle (-)^{\*}}를 항등 함수로 놓고,

{\displaystyle N\_{ij}^{k}={\begin{cases}0&C\_{ijk}=0\\1&C\_{ijk}\neq 0\end{cases}}}
로 놓자. (여기서 {\displaystyle C\_{ijk}}는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 {\displaystyle (-)^{\*}}이 자명하지 않을 수 있다.

#### 페를린더 공식

유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가

{\displaystyle Z(\tau )=\sum \_{i\in I}\chi \_{i}(\tau )}
라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성

{\displaystyle Z(\tau )=Z(-1/\tau )}
에 의하여

{\displaystyle \chi \_{i}(-1/\tau )=\sum \_{j\in I}S\_{i}{}^{j}\chi \_{j}(\tau )}
가 되는 행렬

{\displaystyle S\colon \mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{J}}
이 존재한다. (보다 일반적으로, {\displaystyle \mathbb {C} ^{I}} 위에는 \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )의 표현이 존재한다.) S는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), {\displaystyle S^{4}=1}이다.

이 경우, 다음과 같은 **페를린더 공식**(영어: Verlinde formula)이 성립한다.:143, (4.55)

{\displaystyle N\_{ij}^{k}=\sum \_{l\in I}{\frac {S\_{il}S\_{jl}{\bar {S}}\_{lk}}{S\_{1l}}}}
여기서 {\displaystyle {\bar {S}}}는 성분별 복소켤레이다 (즉, {\displaystyle ({\bar {S}})^{\top }=S^{\dagger }}).

예
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### 이징 모형

임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 c=1/2을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.

| 기호 | 설명 | 비라소로 대수 표현 (h,{\bar {h}}) |
| --- | --- | --- |
| 1 | 진공 | (0,0) |
| \sigma  | 스핀 밀도 | (1/16,1/16) |
| \epsilon  | 에너지 밀도 | (½,½) |

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.:80, §2.11

{\displaystyle I=\{1,\sigma ,\epsilon \}}
{\displaystyle (-)^{\*}=\operatorname {id} \_{I}}
{\displaystyle N(2\sigma )=1}
{\displaystyle N(2\epsilon )=1}
{\displaystyle N(2\sigma +\epsilon )=1}
{\displaystyle N(1+2\epsilon )=1}
{\displaystyle N(1+2\sigma )=1}
{\displaystyle N(\epsilon +2\sigma )=1}
이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.

{\displaystyle A=\mathbb {Z} [\sigma ,\epsilon ]/(\sigma ^{2}-1-\epsilon ,\epsilon \sigma -\sigma ,\epsilon ^{2}-1)}
즉, 곱셈이 다음과 같다.

| · | 1 | σ | ε |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | σ | ε |
| σ | σ | 1+ε | σ |
| ε | ε | σ | 1 |

### 베스-추미노-위튼 모형

다음이 주어졌다고 하자.

* 복소수 단순 리 대수 {\mathfrak {g}}
* {\mathfrak {g}}의 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}
	+ 따라서, 근계 {\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}를 정의할 수 있다.
* 근계 {\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 {\displaystyle \theta \in \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}을 고를 수 있다.
* 양의 정수 k\in\mathbb Z^+

이제, {\hat {\mathfrak {g}}}의 우세 무게 \lambda  가운데 {\displaystyle \langle \lambda |\theta \rangle \leq k}인 것들의 집합을 P\_{k}라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}의 준위 k의 표현들과 일대일로 대응한다. {\displaystyle \lambda \in P\_{k}}에 대응하는 {\hat {\mathfrak {g}}}-표현을 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{\lambda }}라고 표기하자.

이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 연결 리만 곡면 \Sigma
* \Sigma 의 유한 부분 집합 {\displaystyle X=\{x\_{1},\dotsc ,x\_{n}\}\subseteq \Sigma }
* 함수 {\displaystyle \lambda \colon X\to P\_{k}}

그렇다면, {\hat {\mathfrak {g}}}의 표현

{\displaystyle \bigotimes \_{x\in X}{\mathcal {H}}\_{\lambda (x)}}
을 생각하자. 또한, {\mathfrak {g}}값 정칙 함수의 복소수 리 대수 {\displaystyle {\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes \_{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}}는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

{\displaystyle V(X,\lambda )=\left(\bigotimes \_{x\in X}{\mathcal {H}}\_{\lambda (x)}\right)\_{{\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes \_{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}}}
여기서 {\displaystyle W\_{\mathfrak {g}}}는 W의, {\mathfrak {g}}-작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 {\mathfrak {g}}에 불변인, W의 가장 큰 몫 벡터 공간이다. 

아핀 리 대수 {\hat {\mathfrak {g}}}의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 {\displaystyle V(X,\lambda )}는 각 점 x\in X에 {\displaystyle \lambda (x)}에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다.

두 유한 집합 X, X' 및 전단사 함수 {\displaystyle i\colon X\to X'}가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상

{\displaystyle V\_{\Sigma }(X,\lambda )\cong V\_{\Sigma }(X',\lambda \circ i)}
이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.:Example 5.2a

{\displaystyle N\left(\sum \lambda \_{i}\right)=\dim V\_{\mathbb {P} \_{\mathbb {C} }^{1}}(\{x\_{1},\dotsc ,x\_{n}\},(x\_{i}\mapsto \lambda \_{i}))}
즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.

역사
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에릭 페를린더 (2009년 사진)
에릭 페를린더(네덜란드어: Erik Verlinde, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2 3 4 5  Beauville, Arnaud (1996). 〈Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula〉. Teicher, Mina. 《Proceedings of the Hirzebruch 65 Conference on Algebraic Geometry: May 2–7, 1993》. Israel Mathematics Conference Proceedings (영어) **9**. אוניברסיטת בר-אילן‬. 75–96쪽. arXiv:alg-geom/9405001. Bibcode:1994alg.geom..5001B.
3. ↑  Fuchs, Jürgen (1994). "Fusion rules in conformal field theory". 《Fortschrifte der Physik》 (영어) **42**: 1–48. arXiv:hep-th/9306162. Bibcode:1994ForPh..42....1F. doi:10.1002/prop.2190420102.
4. ↑  Verlinde, Erik (1988). "Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory". 《Nuclear Physics B》 (영어) **300** (3): 360–376. doi:10.1016/0550-3213(88)90603-7.