**프로베니우스 방법**(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.

정의
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정칙 함수 p\_{1}(z),\dots ,p\_{k}(z)가 z=0에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 f(z)에 대한 *k*차 선형 상미분 방정식

f^{{(k)}}(z)+z^{{-1}}p\_{{k-1}}(z)f^{{(k-1)}}(z)+\cdots +z^{{1-n}}p\_{1}(z)f'(z)+z^{{-n}}p\_{0}f(z)=0
은 z=0에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, **프로베니우스 방법**은 f를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

f(z)=z^{r}+a\_{1}z^{{r+1}}+a\_{2}z^{{r+2}}+\cdots 
이 경우, 미지의 최저 차수 r는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 z\to 0 근처에서 다음과 같다.

{\displaystyle 0=\left(r(r-1)\cdots (r-k+1)+p\_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p\_{1}(0)r+p\_{0}(0)\right)z^{r-k}+{\mathcal {O}}(z^{r-k+1})}
따라서,

{\displaystyle 0=r(r-1)\cdots (r-k+1)+p\_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p\_{1}(0)r+p\_{0}(0)}
임을 알 수 있다. r에 대한 이 *n*차 다항식을 **결정 다항식**(영어: indicial polynomial)이라고 하며, r는 결정 다항식의 근이다.

* 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
* 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.

f(z)=z^{r}\sum \_{{m=1}}^{{k-1}}\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{{m,n}}(\ln z)^{m}z^{n}
다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (**푹스 정리** 영어: Fuchs’ theorem).
### 근이 겹치는 경우

결정 다항식의 근들이 \{r\_{1},\dots ,\}이고, \lambda\_i의 중복도가 m\_{i}라고 하자. 또한, i\neq j인 경우 r\_{i}-r\_{j}가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 r^{i}에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.

f\_{{i,0}}=z^{{r\_{i}}}(\cdots )
f\_{{i,1}}=f\_{{i,0}}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir\_{i})}}+z^{{r\_{i}}}(\cdots )
f\_{{i,2}}=f\_{{i,1}}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir\_{i})}}+z^{{r\_{i}}}(\cdots )
\vdots
f\_{{i,m\_{i}-1}}=f\_{{i,m\_{i}-2}}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir\_{i})}}+z^{{r\_{i}}}(\cdots )
여기서 (\cdots )는 z=0에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, z=0을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.

{\begin{pmatrix}f\_{{i,m\_{i}-1}}\\f\_{{i,m\_{i}-2}}\\\vdots \\f\_{{i,1}}\\f\_{{i,0}}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir\_{i})&1\\&\exp(2\pi ir\_{i})&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\exp(2\pi ir\_{i})&1\\&&&&\exp(2\pi ir\_{i})\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f\_{{i,m\_{i}-1}}\\f\_{{i,m\_{i}-2}}\\\vdots \\f\_{{i,1}}\\f\_{{i,0}}\end{pmatrix}}

낮은 차수 선형 방정식
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### 1차 선형 방정식

1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식

f'(z)+p(z)f(z)/z=0
의 경우, 결정 다항식은

r=-p(0)
이며, 이에 따라 해는

f(z)=z^{{-p(0)}}(a\_{0}+a\_{1}z+a\_{2}z^{2}+\cdots )
의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로

f(z)=\exp \left(C-\int \_{0}^{z}{\frac {p(z')dz}{z'}}\right)=\exp \left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^{2}/4+\cdots \right)
로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 z\to \exp(i\theta )z에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로

f(z)\to \exp(-2\pi ip(0))f(z)
가 됨을 알 수 있다.

### 2차 선형 방정식

2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.

r={\frac 12}\left(1-p\_{1}(0)\pm {\sqrt {(p\_{1}(0)-1)^{2}-4p\_{2}(0)}}\right)
이 경우 두 근을 r\_{1},r\_{2}라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.

* 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 r\_{1}-r\_{2}가 정수가 아니라면

{\displaystyle f\_{1}(z)=z^{r\_{1}}\left(a\_{0}+a\_{1}z+a\_{2}z^{2}+\cdots \right)}
{\displaystyle f\_{2}(z)=z^{r\_{2}}\left(b\_{0}+b\_{1}z+b\_{2}z^{2}+\cdots \right)}
와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, z\to \exp(i\theta )z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
{\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir\_{1})&0\\0&\exp(2\pi ir\_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}
* 만약 두 근이 서로 겹친다면 (r\_{1}=r\_{2}=r) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle f\_{1}(z)=z^{r}\left(a\_{0}+a\_{1}z+a\_{2}z^{2}+\cdots \right)}
{\displaystyle f\_{2}(z)=f\_{1}(z)\ln {z}+z^{r}\left(b\_{0}+b\_{1}z+b\_{2}z^{2}+\cdots \right)}
이 경우, z\to \exp(i\theta )z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}}
* 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 r\_{1}-r\_{2}=n\in {\mathbb Z}^{+}가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle f\_{1}(z)=z^{r\_{1}}(a\_{0}+a\_{1}z+a\_{2}z^{2}+\cdots )}
f\_{2}(z)=Cf\_{1}(z)\ln z+z^{{r\_{2}}}\left(b\_{0}+b\_{1}z+b\_{2}z^{2}+\cdots \right)
이 경우 C=0 또는 C=1이다. 이 경우, z\to \exp(i\theta )z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir\_{1})&0\\2\pi iC\exp(2\pi ir\_{1})&\exp(2\pi ir\_{1})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f\_{1}\\f\_{2}\end{pmatrix}}}

예
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베셀 방정식

f''+z^{{-1}}f'+(1-\alpha ^{2}/z^{2})f=0
을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은

r(r-1)+r-\alpha ^{2}
이다. 따라서

r=\pm \alpha 
가 된다. 즉, \alpha \not \in {\mathbb Z}라면 해는 z=0 근처에서

f(z)\propto z^{{\pm \alpha }}(1+\cdots )
의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 \{J\_{\alpha }(z),J\_{{-\alpha }}(z)\}에 의하여 주어지며, 이들은 z=0 근처에서 다음과 같다.

J\_{{\pm \alpha }}(z)\sim {\frac {(z/2)^{{\pm \alpha }}}{\Gamma (1\pm \alpha )}}+\cdots 
여기서 \cdots 는 z=0에서 정칙 함수이다.

만약 \alpha =0이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \{J\_{0}(z),Y\_{0}(z)\}이며, z=0 근처에서

J\_{0}(z)\sim 1+\cdots 
Y\_{0}(z)\sim (2/\pi )J\_{0}(z)\ln z+\cdots 
이다. 여기서 \cdots 는 z=0에서 정칙 함수이다.

만약 \alpha =n\in {\mathbb Z}^{+}이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \{J\_{n}(z),Y\_{n}(z)\}가 된다. 이 경우

J\_{n}(z)\sim (z/2)^{n}/n!+\cdots 
Y\_{n}(z)\sim (2/\pi )\pi J\_{n}(z)\ln z+z^{{-n}}(\cdots )
이다. 여기서 \cdots 는 z=0에서 정칙 함수이다.

참고 문헌
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* Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)