수학에서 **디리클레 함수**(영어: Dirichlet function)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

정의
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**디리클레 함수** {\displaystyle 1\_{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \to \{0,1\}}는 다음과 같다.

{\displaystyle 1\_{\mathbb {Q} }(x)=\lim \_{m\to \infty }\lim \_{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
여기서 {\displaystyle m!}는 계승, {\displaystyle \cos }는 코사인, \mathbb {Q} 와 \mathbb R\setminus\mathbb Q는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 1\_{{{\mathbb Q}}}는 베르 2급 함수이다. 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.

증명:

만약 {\displaystyle x\in \mathbb {Q} }라면, {\displaystyle \textstyle x={\frac {a}{b}}}인 a,b\in {\mathbb Z}를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle m\geq b}에 대하여, {\displaystyle m!x\in \mathbb {Z} }이므로, {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}}이다. 따라서,

{\displaystyle \lim \_{m\to \infty }\lim \_{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim \_{m\to \infty }\lim \_{n\to \infty }1=1}
이다.

만약 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }라면, 임의의 {\displaystyle m\geq 0}에 대하여 {\displaystyle m!x\notin \mathbb {Z} }이므로, {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in (-1,1)}이다. 따라서,

{\displaystyle \lim \_{m\to \infty }\lim \_{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim \_{m\to \infty }0=0}
이다.

성질
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### 주기성

디리클레 함수 1\_{{{\mathbb Q}}}는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.

증명:

임의의 {\displaystyle t\in \mathbb {Q} } 및 x\in\mathbb R에 대하여, {\displaystyle 1\_{\mathbb {Q} }(x+t)=1\_{\mathbb {Q} }(x)}임을 보이면 된다. 만약 {\displaystyle x\in \mathbb {Q} }라면, {\displaystyle x+t\in \mathbb {Q} }이므로,

{\displaystyle 1\_{\mathbb {Q} }(x+t)=1=1\_{\mathbb {Q} }(x)}
이다. 만약 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }라면, {\displaystyle x+t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }이므로,

{\displaystyle 1\_{\mathbb {Q} }(x+t)=0=1\_{\mathbb {Q} }(x)}
이다.

이제, 귀류법을 사용하여, {\displaystyle t\_{0}\in \mathbb {Q} ^{+}}가 1\_{{{\mathbb Q}}}의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, {\displaystyle \textstyle {\frac {t\_{0}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}} 역시 1\_{{{\mathbb Q}}}의 양의 주기이며, {\displaystyle \textstyle {\frac {t\_{0}}{2}}<t\_{0}}이다. 이는 t\_{0}이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

### 연속성

디리클레 함수 1\_{{{\mathbb Q}}}는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 x\in\mathbb R에 대하여,

{\displaystyle \limsup \_{y\to x}1\_{\mathbb {Q} }(y)=1}
{\displaystyle \liminf \_{y\to x}1\_{\mathbb {Q} }(y)=0}
이기 때문이다.

증명:

임의의 x\in\mathbb R에 대하여, x로 수렴하는 유리수 수열 {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }}과 무리수 수열 {\displaystyle (y\_{n})\_{n=0}^{\infty }}을 취할 수 있다. 그렇다면

{\displaystyle 1=\lim \_{n\to \infty }1\_{\mathbb {Q} }(x\_{n})\leq \limsup \_{y\to x}1\_{\mathbb {Q} }(y)\leq \sup \_{y\in \mathbb {R} }1\_{\mathbb {Q} }(y)=1}
{\displaystyle 0=\inf \_{y\in \mathbb {R} }1\_{\mathbb {Q} }(y)\leq \liminf \_{y\to x}1\_{\mathbb {Q} }(y)\leq \lim \_{n\to \infty }1\_{\mathbb {Q} }(y\_{n})=0}
이다.

### 적분

디리클레 함수 1\_{{{\mathbb Q}}}는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.

{\displaystyle {\overline {\int \_{a}^{b}}}1\_{\mathbb {Q} }(x)dx=b-a}
{\displaystyle {\underline {\int \_{a}^{b}}}1\_{\mathbb {Q} }(x)dx=0}
그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은

{\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }1\_{\mathbb {Q} }d\mu =0}
이다.

증명:

임의의 닫힌구간 [a,b] 및 임의의 분할

{\displaystyle P=\{x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}\}\qquad (a=x\_{0}<x\_{1}<\cdots <x\_{n}=b)}
에 대하여, 각 소구간 [x\_{i-1},x\_i]은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

{\displaystyle \sup \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}1\_{\mathbb {Q} }(x)=1}
{\displaystyle \inf \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}1\_{\mathbb {Q} }(x)=0}
이다. 따라서 P에 대한 리만 상합과 리만 하합은

{\displaystyle U(1\_{\mathbb {Q} },P)=\sum \_{i=1}^{n}\sup \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}1\_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x\_{i}-x\_{i-1})=b-a}
{\displaystyle L(1\_{\mathbb {Q} },P)=\sum \_{i=1}^{n}\inf \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}1\_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x\_{i}-x\_{i-1})=0}
이며, 그 상적분과 하적분은

{\displaystyle {\overline {\int \_{a}^{b}}}1\_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf \_{P}U(1\_{\mathbb {Q} },P)=\inf \_{P}(b-a)=b-a}
{\displaystyle {\underline {\int \_{a}^{b}}}1\_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup \_{P}L(1\_{\mathbb {Q} },P)=\sup \_{P}0=0}
이다.

유리수의 집합 \mathbb {Q} 는 가산 집합이므로, 실수선 \mathbb {R}  위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 1\_{{{\mathbb Q}}}는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

{\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }1\_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0}
이다. 이에 따라 1\_{{{\mathbb Q}}}는 르베그 적분 가능하다.

역사
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독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.