호몰로지 대수학에서 **왼쪽 유도 함자**(-誘導函子, 영어: left derived functor)와 **오른쪽 유도 함자**(-誘導函子, 영어: right derived functor)는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.

정의
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**유도 함자**의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 **초유도 함자**(超誘導函子, 영어: hyperderived functor) 또는 **초코호몰로지**(超cohomology, 영어: hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.

사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.

### 단사 · 사영 분해를 통한 정의

#### 단사 분해

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A}에서, 임의의 대상 A\in {\mathcal A}에 대하여 **단사 분해**, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }
여기서 {\displaystyle I^{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 A의 **단사 분해**(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A}와 아벨 범주 {\mathcal B} 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\mathcal A}의 대상 A\in {\mathcal A}에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 F에 대한 상을 생각하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &F(A)&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &F(I^{0})&\to &F(I^{1})&\to &F(I^{2})&\to &\cdots \end{matrix}}}
F는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, {\displaystyle I^{\bullet }}는 완전열이었지만, {\displaystyle F(I^{\bullet })}은 더 이상 완전열이 아니다. {\displaystyle F(I^{\bullet })}의 코호몰로지를 F의 **오른쪽 유도 함자**의 값으로 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} \_{\leq 0}^{\bullet }}
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(I))}
특히, {\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(A)=F(A)}이다.

보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A} 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 {\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A^{0}&\to &A^{1}&\to &A^{2}&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)=\operatorname {H} ^{i}(A)}
이를 공사슬 복합체 {\displaystyle A^{\bullet }}의 **단사 분해**라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 {\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}에 대하여, 왼쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다.
F의 **오른쪽 초유도 함자**(영어: right hyperderived functor)의 값은 {\displaystyle A^{\bullet }}의 단사 분해 {\displaystyle I^{\bullet }}의 상 {\displaystyle F(I)}의 코호몰로지이다.

{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }(F)\to \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {B}})}
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(A))}
서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 R^{i}F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}는 가법 함자임을 보일 수 있다.

#### 사영 분해

단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 G의 **왼쪽 유도 함자**(영어: left derived functor) {\displaystyle \operatorname {L} \_{i}G}도 유사하게 정의할 수 있다.

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A}에서, 대상 A\in {\mathcal A}의 **사영 분해**(영어: projective resolution) {\displaystyle P\_{\bullet }}를 생각하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P\_{2}&\to &P\_{1}&\to &P\_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &A&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} \_{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A}와 아벨 범주 {\mathcal B} 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}의 **왼쪽 유도 함자** {\displaystyle \operatorname {L} \_{i}F(A)}는 A의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P\_{2})&\to &F(P\_{1})&\to &F(P\_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &F(A)&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} \_{i}(F(P\_{\bullet }))=\operatorname {L} \_{i}F(P\_{\bullet })}
{\displaystyle \operatorname {L} \_{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}
보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A} 속의 자연수 차수 사슬 복합체 {\displaystyle A\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P\_{2}&\to &P\_{1}&\to &P\_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &A\_{2}&\to &A\_{1}&\to &A\_{0}&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} \_{i}(I\_{\bullet })=\operatorname {H} \_{i}(A\_{\bullet })}
이를 사슬 복합체 A\_{\bullet }의 **사영 분해**라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A}와 아벨 범주 {\mathcal B} 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}의 **왼쪽 초유도 함자**(영어: left hyperderived functor)

{\displaystyle \operatorname {L} \_{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}{\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}
는 A\_{\bullet }의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P\_{2})&\to &F(P\_{1})&\to &F(P\_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &F(A\_{2})&\to &F(A\_{1})&\to &F(A\_{0})&\to &0\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} \_{i}(F(P\_{\bullet }))=\operatorname {L} \_{i}F(P\_{\bullet })}
### 모형 범주를 통한 정의

단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.

모형 범주 {\mathcal {M}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 {\mathcal {M}}의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}의 동형 사상으로 대응시킨다.

모형 범주에서 올뭉치를 \twoheadrightarrow , 쌍대올뭉치를 \hookrightarrow , 약한 동치를 {\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}로 표기하자. 시작 대상은 {\displaystyle \{\bullet \}\in {\mathcal {M}}}이며, 끝 대상은 {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {M}}}로 표기하자.

#### 올 분해

모형 범주 {\mathcal {M}}에서 범주 {\mathcal D}로 가는 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}가 {\mathcal {M}}의 올대상 사이의 약한 동치를 {\mathcal B}의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}에 대하여, 그 **올분해**(영어: fibrant resolution)

{\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F의 **오른쪽 초유도 함자** {\displaystyle \operatorname {R} F}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon A\mapsto F(I)}
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}위에 정의된다.

| 공사슬 복합체 | 모형 범주 |
| --- | --- |
| 공사슬 복합체 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} | 모형 범주 {\mathcal {M}} |
| 공사슬 복합체 범주의 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})} | 모형 범주의 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} |
| 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 범주 {\mathcal D} |
| 오른쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}로부터 정의된 함자 {\displaystyle F^{\*}\colon \operatorname {Ch} \_{\geq 0}^{\bullet }\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} |
| 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 {\displaystyle I^{\bullet }} | 올 대상 {\displaystyle I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} |
| 단사 분해 {\displaystyle A^{\bullet }\to I^{\bullet }} | 올 분해 {\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}} |
| 오른쪽 초유도 함자 {\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} \_{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 오른쪽 초유도 함자 {\displaystyle \operatorname {R} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} |

#### 쌍대올 분해

모형 범주 {\mathcal {M}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
가 존재한다.

모형 범주 {\mathcal {M}}에서 범주 {\mathcal D}로 가는 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}가 {\mathcal {M}}의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 {\mathcal B}의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}에 대하여, 그 쌍대올분해

{\displaystyle \varnothing \hookrightarrow Q\to A}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F의 **왼쪽 초유도 함자** {\displaystyle \operatorname {L} F}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon A\mapsto F(Q)}

| 사슬 복합체 | 모형 범주 |
| --- | --- |
| 사슬 복합체 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})} | 모형 범주 {\mathcal {M}} |
| 사슬 복합체 범주의 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} \_{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})} | 모형 범주의 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})} |
| 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 범주 {\mathcal D} |
| 오른쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}로부터 정의된 함자 {\displaystyle F^{\*}\colon \operatorname {Ch} \_{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} |
| 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 {\displaystyle P\_{\bullet }} | 쌍대올 대상 {\displaystyle 0\hookrightarrow P} |
| 사영 분해 {\displaystyle P\_{\bullet }\to A\_{\bullet }} | 쌍대올 분해 {\displaystyle 0\hookrightarrow P\to A} |
| 왼쪽 초유도 함자 {\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {D} \_{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})} | 왼쪽 초유도 함자 {\displaystyle \operatorname {L} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}} |

### 칸 확대를 통한 정의

모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.

약한 동치의 모임이 주어진 범주 {\mathcal {C}} 및 함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})} 및 포함 함자 {\displaystyle J\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}를 정의할 수 있다. 그렇다면, F의 **왼쪽 유도 함자** {\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}는 (만약 존재한다면) F의 J에 대한 오른쪽 칸 확대이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}\_{\mathrm {L} F}}\nearrow \_{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}
오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여 자연 변환의 성분 {\displaystyle \operatorname {L} F(J(X))\to F(X)}이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 쌍대올 분해 {\displaystyle 0\hookrightarrow P\to X}의 상 {\displaystyle F(P)\to F(X)}이다.

마찬가지로, F의 **오른쪽 유도 함자** {\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}는 (만약 존재한다면) F의 J에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여 자연 변환의 성분 {\displaystyle F(X)\to \operatorname {R} F(J(X))}이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 올 분해 {\displaystyle X\to I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}의 상 {\displaystyle F(X)\to F(I)}이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}\_{\mathrm {L} F}}\nearrow \_{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}

성질
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원래 함자 F는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분

0\to X^{0}\to I^{0}\to I^{1}
의 상

0\to F(X^{0})\to F(I^{0})\to F(I^{1})
은 완전열이다. 따라서, F(X^{0})\to F(I^{0})은 단사 사상이며,

\operatorname R^{0}F(X)=\ker(F(I^{0})\to F(I^{1}))=\operatorname {im}(F(X)\to F(I^{0}))\cong F(X)
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, R^{0}F\simeq F이다.

만약 X가 단사 대상이라면, 단사 분해를

0\to X\to X\to 0
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상

0\to F(X)\to F(X)\to 0
의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 i>0에 대하여 \operatorname R^{i}F(X)=0이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.

### 긴 완전열

왼쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D} 및 {\mathcal {C}}의 짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to \operatorname R^{1}F(A)\to \operatorname R^{1}F(B)\to \operatorname R^{1}F(C)\to \operatorname R^{2}F(A)\to \cdots 
마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D} 및 {\mathcal {C}}의 짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

{\displaystyle \cdots \to \operatorname {L} \_{2}F(C)\to \operatorname {L} \_{1}F(A)\to \operatorname {L} \_{1}F(B)\to \operatorname {L} \_{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}

예
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흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.

| 적용 대상 | 함자 | 완전성 방향 | 유도 함자 |
| --- | --- | --- | --- |
| 위상 공간 X | 아벨 군층의 단면 \Gamma (-,X)\colon \operatorname {Sh}(X;\operatorname {Ab})\to \operatorname {Ab} | 왼쪽 완전 함자 | 층 코호몰로지 \operatorname R^{\bullet }\Gamma (-,X)=\operatorname H^{\bullet }(X,-) |
| 환 R의 왼쪽 가군 A | 가군 준동형 군 \hom(A,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} | 왼쪽 완전 함자 | Ext 함자 \operatorname R^{\bullet }\hom(A,-)=\operatorname {Ext}^{\bullet }(A,-) |
| 환 R의 왼쪽 가군 A | 텐서곱 \otimes A\colon {\text{Mod-}}R\to \operatorname {Ab} | 오른쪽 완전 함자 | Tor 함자 {\displaystyle \operatorname {L} \_{\bullet }(\otimes A)=\operatorname {Tor} \_{\bullet }(-,A)} |
| 군 G | 가군의 불변원 (-)^{G}\colon {\mathbb Z}[G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} | 왼쪽 완전 함자 | 군 코호몰로지 \operatorname R^{\bullet }(-)^{G}=\operatorname H^{\bullet }(G,-) |
| 군 G | 가군의 쌍대불변원 (-)\_{G}\colon {\mathbb Z}[G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} | 오른쪽 완전 함자 | 군 호몰로지 {\displaystyle \operatorname {L} \_{\bullet }(-)\_{G}=\operatorname {H} \_{\bullet }(G,-)} |
| 스킴 X | 에탈 층의 단면 \Gamma (-)\colon \operatorname {Sh}(\operatorname {{\acute E}t}/X;\operatorname {Ab})\to \operatorname {Ab} | 왼쪽 완전 함자 | 에탈 코호몰로지 \operatorname R^{\bullet }\Gamma (-)=\operatorname {H\_{{{\acute e}t}}}^{\bullet }(-) |

참고 문헌
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1. ↑  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **38**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
2. ↑  Maltsiniotis, Georges (2006). "Quillen’s adjunction theorem for derived functors, revisited" (영어). arXiv:math/0611952. Bibcode:2006math.....11952M.