**삼중곱**(triple product) 또는 **삼중 벡터곱**(triple vector product)는 벡터 미적분학에서 벡터 3개를 곱하는 방법을 말하는 것으로 스칼라 삼중곱과 벡터 삼중곱 2가지가 있다.

스칼라 삼중곱
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세개의 벡터로 정의된 평행 육면체
**스칼라 삼중곱**(scalar triple product)은 두개의 벡터의 벡터곱을 나머지 벡터와 스칼라곱한 것으로 정의된다.

{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})
보통 괄호 없이 이를 표기하기도 하는데, 점곱을 먼저 계산하면 벡터곱이 불가능하기 때문에 중의적이지 않기 때문이다.

### 기하학적 의미

스칼라 삼중곱의 절댓값은 기하학적으로 스칼라 삼중곱의 3개의 벡터로 정의되는 평행육면체의 부피로 정의된다.

V=\left|{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})\right|
### 성질

스칼라 삼중곱은 다음과 같이 벡터의 순서를 짝순열이 되도록 바꾸면 값이 변하지 않는다.

{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})={\mathbf {b}}\cdot ({\mathbf {c}}\times {\mathbf {a}})={\mathbf {c}}\cdot ({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})
또한, 만약 스칼라 삼중곱의 값이 0이면 세 벡터 **a**, **b**, **c**는 모두 동일평면상의 벡터라는 성질이 있다.

### 스칼라 삼중곱과 행렬식

세 벡터의 스칼라 삼중곱은 그 세 벡터들을 행벡터 또는 열벡터로 갖는 3 x 3 행렬의 행렬식이다. 이를 데카르트 좌표계의 성분으로 써보면 (아인슈타인 표기법 사용)

{\begin{aligned}{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})&=a^{i}({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})\_{i}\\&=a^{i}(\epsilon \_{{ijk}}b^{j}c^{k})\\&=\epsilon \_{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}\\&={\begin{vmatrix}a^{1}&b^{1}&c^{1}\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\a^{3}&b^{3}&c^{3}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\c^{1}&c^{2}&c^{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}
이 되어 쉽게 이를 확인할 수 있다. (여기서 εijk는 레비치비타 기호이다.)

또한, 회전변환 행렬의 행렬식의 값이 1이기 때문에, 스칼라 삼중곱의 값은 좌표의 회전에 대해 값이 변하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.

### 스칼라 또는 유사 스칼라

스칼라 삼중곱의 결과는 보통 유사스칼라이다. 만약 좌표계의 방향이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) 스칼라와 같아진다.

좀 더 정확히 말하면, **a** · (**b** × **c**) 는

* **a**, **b** × **c**가 모두 (진짜) 벡터이거나,
* 둘 모두 유사벡터

일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 유사스칼라이다.

### 스칼라 삼중곱과 쐐기곱

3차원 공간에서의 삼중벡터는 방향이 있는 부피요소이다. 이것의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라의 크기는 삼중벡터의 부피와 같다.
스칼라 삼중곱은 외대수에서의 쐐기곱을 사용해 표현할 수 있다.

 이 부분의 본문은 외대수입니다.
먼저, 외대수의 요소들과 쐐기곱에 대해 간단히 알아보자. 외 미적분학에서 두 벡터를 쐐기곱하면 이중벡터를 얻고, 세 벡터를 쐐기곱하면 삼중벡터를 얻는다. 간단히 설명하면, 외 미적분학의 이중벡터란, 일종의 방향이 있는 평면요소이고, 삼중벡터는 일종의 방향이 있는 부피요소이다. 비슷하게 벡터는 방향이 있는 선요소이다.
여기서 삼중벡터 **a**∧**b**∧**c**는 세 백터 **a**, **b**, and **c**로 정의된 평행육면체로 볼 수 있는데 각각의 면은 이중벡터 **a**∧**b**, **a**∧**c**, **b**∧**c**에 해당한다.

이를 이용해 스칼라 삼중곱과 쐐기곱의 관계를 표현하면, 임의의 주어진 벡터 **a**, **b**, **c**의 스칼라 삼중곱은 삼중벡터의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라와 같다. (비슷하게, 이중벡터의 삼중곱은 벡터곱과 같다.).

{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})=\*({\mathbf {a}}\wedge {\mathbf {b}}\wedge {\mathbf {c}})
### 그라스만 기호

스칼라 삼중곱을 다음과 같이 쓰기도 한다.

{\mathbf a}\cdot ({\mathbf b}\times {\mathbf c})\equiv [{\mathbf a}{\mathbf b}{\mathbf c}].
이와 같은 기호를 **그라스만 기호**라 한다. 이는 독일의 수학자 헤르만 그라스만(Hermann Graßmann)의 이름을 딴 것이다.

벡터 삼중곱
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**벡터 삼중곱**(vector triple product)은 두 벡터의 벡터곱에 다시 다른 벡터와 벡터곱을 한 것을 말한다.

{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})
### 벡터 삼중곱의 전개

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }
{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} }
위의 첫 번째 공식은 흔히 **삼중곱 전개** 또는 **라그랑주 공식**

또는 **백캡 규칙**(back cap rule)

이라고 불린다.

또한 그래디언트가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 벡터 미적분학과 여러 물리학의 분야에서 유용하게 쓰인다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&{}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&{}={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{aligned}}}
이 식은 라플라스-드 람 연산자 \Delta =d\delta +\delta d 의 특별한 경우로 볼 수도 있다.

중 하나가 유사벡터라면 삼중곱 **a** × (**b** × **c**)의 결과는 벡터이다. 하지만 다른경우엔 모두 유사벡터이다. 예를 들어, 만약 **a**, **b**, **c**가 모두 벡터라면, **b** × **c**는 유사벡터이고, **a** × (**b** × **c**)는 벡터가 된다.

정의 불가능한 삼중곱들
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위의 두 삼중곱과 마찬가지로 다음과 같은 삼중곱들을 생각해 볼 수도 있다.

{\mathbf {a}}\times \left({\mathbf {b}}\cdot {\mathbf {c}}\right)
{\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\cdot {\mathbf {c}}\right)
하지만 위 두 곱은 점곱이 주는 값이 스칼라이기 때문에, 괄호를 계산한 뒤에 벡터곱과 점곱을 하는 것이 불가능하다. 따라서, 위 두 삼중곱은 정의되지 않는다.

참고 문헌
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1. ↑  Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 17쪽.
2. ↑  조제프루이 라그랑주는 벡터곱을 벡터에 대한 대수적 곱으로 전개하진 않았다. 하지만 그는 성분으로 구성된 동등한 형태를 사용했다. Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires", Oeuvres **vol 3**. 참조. 또한 그는 벡터 삼중곱 전개의 성분으로 된 형태를 사용했었다. 라그랑주의 항등식 또는 Kiyoshi Ito (1987). *Encyclopedic Dictionary of Mathematics*. MIT Press, p. 1679. ISBN 0-262-59020-4. 참조.
3. ↑  Reitz, Milford, Christy(2006). *Foundations of Electromagnetic Theory*. Pearson Education, Inc, Benjamin Cummings. p. 5.

* Lass, Harry (1950). *Vector and Tensor Analysis*. McGraw-Hill Book Company, Inc. pp. 23–25.

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