이항 계수의 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.
조합론에서 **이항 계수**(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다.

정의
--

자연수 n 및 정수 k가 주어졌을 때, **이항 계수** \textstyle {\binom nk}는 다음과 같다.

{\binom nk}={\begin{cases}n!/\left(k!(n-k)!\right)&0\leq k\leq n\\0&k<0\\0&k>n\end{cases}}
여기서 {\displaystyle !}는 계승이다. 이항 계수를 \textstyle {\binom nk} 대신 {}\_{n}C\_{k}나 C(n, k)로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 **파스칼의 삼각형**이라고 한다.

n=2k인 경우의 이항 계수를 **중심 이항 계수**(中心二項係數, 영어: central binomial coefficient)라고 한다. 이는 다음과 같다 (k=0,1,2,\dots ).

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … (OEIS의 수열 A000984)

성질
--

### 항등식

이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.

{\binom nk}={\binom n{n-k}}
다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 **파스칼의 법칙**(Pascal-法則, 영어: Pascal’s rule)이라고 한다.

{\binom nk}+{\binom n{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}
### 급수 공식

이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.

#### 이항 계수의 합

이 공식들은 생성 함수 (1+x)^n(의 도함수)의 x=1 값으로부터 유도할 수 있다.

\sum\_{k=0}^n\binom nk=2^n
\sum\_{k=0}^nk\binom nk=n2^{n-1}
또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 \sum\_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n-k}k =F(n+1)
여기서 F(n)은 n번째 피보나치 수이다.

#### 이항 계수의 곱의 합

다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(朱世傑-Vandermonde恒等式, 영어: Zhu–Vandermonde identity)이라고 한다.

 \sum\_{j=0}^k\binom mj\binom n{k-j}=\binom{m+n}k
이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다.

 \sum\_{k=0}^{n} \binom nk^2 =\binom{2n}n
이는 조합론적으로 증명할 수 있다. \textstyle\binom{2n}n은 크기가 2n 집합 속에서 n개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기 2n의 집합의 처음 절반에서 k개를 고르고, 나머지 절반에서 n-k개를 고르는 가짓수의 k에 대한 합 \textstyle\sum\_{k=0}^n\binom nk\binom n{n-k}=\sum\_{k=0}^n\binom nk^2과 같다.

### 생성 함수

이항 계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.

\sum \_{{k=0}}^{n}{\binom nk}x^{k}=(1+x)^{n}
\sum \_{{n=k}}^{\infty }{\binom nk}x^{n}={\frac {x^{k}}{(1-x)^{{k+1}}}}
\sum \_{{n=0}}^{\infty }\sum \_{{k=0}}^{n}{\binom nk}x^{k}y^{n}={\frac 1{1-y-xy}}
\sum \_{{n=0}}^{\infty }\sum \_{{k=0}}^{n}{\frac 1{(n+k)!}}{\binom {n+k}k}x^{k}y^{n}=\exp(x+y)
중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum\_{n=0}^\infty\binom{2n}nx^n=\frac1{\sqrt{1-4x}}
### 점근 공식

일반적으로, 모든 n\in \mathbb {N}  및 k\in\{1,\dots,n\}에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

(n/k)^k\le\binom nk\le n^k/k!\le(en/k)^k
중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.

\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \le \binom{2n}n \le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}\qquad\forall n\ge1
n\gg 1 및 |1/2-k/n|\ll 1에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

{\binom nk}\approx {\frac {2^{{n+1}}}{{\sqrt {2\pi n}}}}\exp(-(2k-n)^{2}/2n)
이에 따라, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 특히, k=n/2일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다.

{\binom n{n/2}}\approx {\frac {2^{{n+1}}}{{\sqrt {2\pi n}}}}
이다.

만약 n\gg 1이며 n\gg k라면, 스털링 근사를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

\binom nk\sim\frac{(n/k-1/2)^k\exp(k)}{\sqrt{2\pi k}}
### 수론적 성질

**쿠머 정리**(Kummer定理, 영어: Kummer’s theorem)에 따르면, 음이 아닌 정수 n\geq k 및 소수 p에 대하여,

p^{c}\mid {\binom nk}
인 최대 c는 다음과 같다.

c=|\{b\in {\mathbb Z}^{+}\colon k/p^{b}-\lfloor k/p^{b}\rfloor >n/p^{b}-\lfloor n/p^{b}\rfloor \}|
즉, 이는 k+(n-k)를 p진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다.

**뤼카의 정리**는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.

중심 이항 계수 \textstyle\binom{2n}n은 n>4에 대하여 항상 제곱 인수가 없는 정수이다. 이를 **에르되시 추측**(Erdős推測, 영어: Erdős squarefree conjecture)라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고, 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)과 올리비에 라마레(프랑스어: Olivier Ramaré)가 1996년에 증명하였다.

임의의 양의 정수 d\in {\mathbb Z}^{+}에 대하여, 다음이 성립한다.

\lim \_{{N\to \infty }}{\frac {\left|\{n<N\colon d\mid {\binom nk}\}\right|}{N(N+1)/2}}=1
\textstyle N(N+1)/2=\sum \_{{n=0}}^{{N-1}}\sum \_{{k=0}}^{n}1은 n<N인 이항계수 \textstyle {\binom nk}의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터(영어: David Singmaster)가 1974년에 증명하였다.

### 초한 이항 계수

이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 \kappa ,\lambda 에 대하여, **초한 이항 계수**(超限二項係數, 영어: transfinite binomial coefficient)

\binom\kappa\lambda
는 크기가 \kappa 인 집합의, 크기가 \lambda 인 부분 집합들의 수이다. 만약 \kappa 와 \lambda 가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다.

초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.

\binom\kappa\lambda=\begin{cases}
\kappa^\lambda&\lambda\le\kappa\ge\aleph\_0\\
0&\lambda>\kappa\\
\binom nk&k=\lambda<\aleph\_0,\;n=\kappa<\aleph\_0
\end{cases}
첫 번째 경우는

\kappa^\lambda\le\binom{\kappa\lambda}\lambda=\binom\kappa\lambda\le\kappa^\lambda
이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은 \lambda 개의, 크기가 \kappa 인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.)

특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다.

\binom{2\kappa}\kappa=\binom\kappa\kappa=2^\kappa
초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다.

\binom{\kappa+\lambda}\lambda\ne\binom{\kappa+\lambda}\kappa
예를 들어

\binom{1+\aleph\_0}1=\aleph\_0
\binom{1+\aleph\_0}{\aleph\_0}=2^{\aleph\_0}
이다.

응용
--

### 조합론

조합론에서, 이항 계수는 크기가 n인 유한 집합의 크기가 k인 부분집합의 수이다. 즉, n개의 원소의 k개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.

* 카탈랑 수 \textstyle C\_n=\binom{2n}n/(n+1)= {2n \choose n} - {2n \choose n+1}는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
* 크기가 n인 집합에서, 크기가 k인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수는 \textstyle {\binom {n+k-1}k}이다.
* k개의 기호 \bullet  및 n개의 기호 \circ 를 포함하는 문자열의 수는 \textstyle {\binom {n+k}k}이다. 또한, \bullet \bullet 을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 \textstyle {\binom {n+1}k}이다.

### 대수학

 이 부분의 본문은 이항급수입니다.
이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.

(x+y)^{n}=\sum \_{{k=0}}^{n}{\binom nk}x^{{n-k}}y^{k}=\sum \_{{k=0}}^{n}{\binom nk}x^{k}y^{{n-k}}
### 통계학

 이 부분의 본문은 이항분포입니다.
통계학에서, 이항 계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다.

### 정수론

베르트랑의 공준을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 아페리 상수 \zeta (3)가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수

\zeta(3)=\frac52\sum\_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{{n^3}\binom{2n}n}
에 등장한다.

역사
--

이항 계수는 파스칼의 삼각형의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법 \textstyle {\binom nk}은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠(독일어: Andreas Freiherr von Ettingshausen)이 1826년에 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Erdős, P.; Graham, R. L. (1980). 《Old and new problems and results in combinatorial number theory》. L’Enseignement Mathématique (영어) **28**. Geneva: Université de Genève. Zbl 0434.10001.
2. ↑  Granville, A.; Ramaré, O. (1996년 6월). "Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients" (PDF). 《Mathematika》 (영어) **43** (1): 73–107. doi:10.1112/S0025579300011608.
3. ↑  Singmaster, David (1974). "Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients". 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) **8** (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.

* Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). 《Concrete mathematics: a foundation for computer science》 (영어) 2판. Addison-Wesley Professional. ISBN 0-201-55802-5. MR 1397498. Zbl 0836.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Fowler, David (1996년 1월). "The binomial coefficient function". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **103** (1). doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. Zbl 0857.05003.
* Goetgheluck, P. (1987년 4월). "Computing binomial coefficients". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **94** (4). doi:10.2307/2323099. JSTOR 2323099. Zbl 0617.05004.
* Granville, Andrew (1997). 〈Arithmetic properties of binomial coefficients. I: Binomial coefficients modulo prime powers〉. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, R. Corless. 《Organic mathematics. Proceedings of the Organic Mathematics Workshop, December 12-14, 1995, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia》. Canadian Mathematical Society Conference Proceedings (영어) **20**. American Mathematical Society. 253–276쪽. ISBN 978-0-8218-0668-5. Zbl 0903.11005.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
* Enochs, Edgar E. (2004). "Binomial coefficients" (PDF). 《Boletín de la Asociación Matemática Venezolana》 (영어) **11** (1): 17–28. Zbl 1062.05007.