함수해석학에서 **수렴 수열 공간**(收斂數列空間, 영어: space of convergent sequence)은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c.

정의
--

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

수렴하는 {\displaystyle \mathbb {K} }-수열 (=코시 열)의 집합

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists \lim \_{i\to \infty }a\_{i}\}}
은 자연스럽게 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.

{\displaystyle \|a\|\_{\infty }=\sup \_{i\in \mathbb {N} }|a\_{i}|}
그렇다면 이는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다. 이를 **수렴 수열 공간** {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간

{\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )=\{a\in \operatorname {c} (\mathbb {K} )\colon \lim \_{i\to \infty }a\_{i}=0\}}
은 {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다. 이를 **영 수렴 수열 공간**(零收斂數列空間, 영어: space of sequences converging to zero) {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}이라고 한다.:69, Example III.1.3

성질
--

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}와 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다).

구체적으로, 이 전단사 연속 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\to \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}
{\displaystyle (a\_{0},a\_{1},a\_{2},\ldots )\mapsto (\lim \_{i}a\_{i},a\_{0}-\lim \_{i}a\_{i},a\_{1}-\lim \_{i}a\_{i},\ldots )}
### 분해 가능성

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}와 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 분해 가능 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이다.

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}의 경우,

{\displaystyle f=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall i\geq N\colon a\_{i}=a\}\cap {\begin{cases}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\(\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} )^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}
는 {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )} 속의 가산 조밀 집합을 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, {\displaystyle f\cap \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 가산 조밀 집합을 이룬다.:69, Example III.1.3

### 연속 쌍대 공간

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간과 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}과 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}의 경우 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }
{\displaystyle (x,y)\mapsto y\_{0}\left(\lim \_{i\to \infty }x\_{i}\right)+\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}y\_{i}}
{\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 경우 이는 다음과 같다.:73, Example III.2.3

{\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }
{\displaystyle (x,y)\mapsto \sum \_{i=0}^{\infty }x\_{i}y\_{i}}
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}의 쌍대 공간은 르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}이므로, {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}와 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}는 반사 바나흐 공간이 아니다.

### 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.:69, Example III.1.3

{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{2}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{3}(\mathbb {K} )\subsetneq \cdots \subseteq \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{0}(\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}
여기서 \ell ^{p}는 르베그 공간이며, {\displaystyle 0<p<\infty }이다. 물론, {\displaystyle 0<p<q<\infty }라면 {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )\supsetneq \ell ^{q}(\mathbb {K} )}가 성립한다.

위 포함 관계들은 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).

{\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}
### 샤우데르 기저

다음과 같은 수열들을 생각하자.

{\displaystyle (e\_{i})\_{j}=\delta \_{ij}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} }
{\displaystyle e\_{i}=(\overbrace {0,0,0,\ldots ,0} ^{i},1,0,0,\ldots )\qquad \forall i\in \mathbb {N} }
여기서 \delta \_{{ij}}는 크로네커 델타이다.

그렇다면, {\displaystyle (e\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}은 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.:Chapter 2

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4  Reed, Michael Charles; Simon, Barry Martin (1980). 《Functional analysis》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) **1**. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.
2. ↑  Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2016). 《Topics in Banach space theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **233** 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31555-3. ISSN 0072-5285.

* Godefroy, Gilles (2001). "The Banach space *c*0" (PDF). 《Extracta Mathematicae》 (영어) **16** (1): 1–25. ISSN 0213-8743. Zbl 0986.46009.