호몰로지 대수학에서 **덮개**(영어: cover)는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 **사영 덮개**(영어: projective cover)의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 **껍질**(영어: envelope, hull)이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 **단사 껍질**(영어: injective envelope, injective hull)의 개념이 자주 사용된다.

정의
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범주 {\mathcal {C}} 속의 대상들의 모임 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 X\in {\mathcal {C}}의 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-**덮개**는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 {\displaystyle f\colon {\tilde {X}}\to X}이다.

* {\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}}
* 임의의 대상 {\displaystyle Y\in {\mathfrak {X}}} 및 사상 g\colon Y\to X에 대하여, 항상 {\displaystyle f\circ {\tilde {g}}=g}가 되는 사상 {\displaystyle {\tilde {g}}\colon Y\to {\tilde {X}}}가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}의 모든 원소는 {\displaystyle \{f\}}-사영 대상이다.
{\displaystyle {\begin{matrix}&Y\\\scriptstyle \exists \!\!\!\!\!\!&\downarrow &\searrow \\&{\tilde {X}}&\to &X\end{matrix}}}
* 임의의 자기 사상 {\displaystyle g\colon {\tilde {X}}\to {\tilde {X}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle f\circ g=f}라면 g는 자기 동형 사상이다.

만약 마지만 조건을 생략할 경우, **준덮개**(準-, 영어: precover)의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-**껍질**(영어: {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-envelope, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-hull)이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.

* 만약 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 사영 대상들의 모임일 경우, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개를 **사영 덮개**(영어: projective cover)라고 한다.
* 만약 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 단사 대상들의 모임일 경우, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-껍질을 **단사 껍질**(영어: injective envelope)이라고 한다.
* 만약 {\mathcal {C}}가 어떤 가군 범주이며, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 평탄 가군들의 모임일 경우, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개를 **평탄 덮개**(영어: flat cover)라고 한다.
* 만약 {\mathcal {C}}가 어떤 가군 범주이며, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개를 **꼬임 없는 덮개**(영어: torsion-free cover)라고 한다.

성질
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{\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)

**증명:**

대상 A의 두 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-준덮개 {\displaystyle f\colon {\tilde {A}}\to A}, {\displaystyle f'\colon {\tilde {A}}'\to A}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-준덮개의 성질에 의하여 {\displaystyle f\circ i=f'}이자 {\displaystyle f'\circ i'=f}가 되는 {\displaystyle i\colon {\tilde {A}}'\to {\tilde {A}}} 및 {\displaystyle i'\colon {\tilde {A}}\to {\tilde {A}}}가 존재한다.

만약 f, f'이 추가로 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개라면, {\displaystyle f\circ f'} 및 {\displaystyle f'\circ f}는 자기 동형 사상이며, 따라서 f와 f' 역시 동형 사상이다.

사영 대상을 충분히 가지는 범주 {\mathcal {C}}의 사영 대상 P\in {\mathcal C} 및 사상 {\displaystyle f\colon P\to A}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:15, Theorem 1.2.12

* f는 사영 대상에 대한 덮개이다.
* f는 잉여적 전사 사상이다.

**증명:**

**덮개 → 잉여적 전사:** 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

* (a): f는 전사 사상이다.
* (b): 임의의 사상 {\displaystyle g\colon B\to P}에 대하여, {\displaystyle f\circ g\colon B\to A}가 전사 사상이라면 g 역시 전사 사상이다.

(a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상 {\displaystyle P'} 및 전사 사상 {\displaystyle f'\colon P'\to A}를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 {\displaystyle g\colon P'\to P}를 찾을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}P'&{\overset {f'}{\to }}&A\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\|\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}}
{\displaystyle f'=f\circ g}가 전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여 f 역시 전사 사상이다.
  

(b): f\circ g가 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 {\displaystyle h\colon P\to B}가 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}B&{\overset {h}{\leftarrow }}&P\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}}
덮개의 정의에 의하여, {\displaystyle g\circ h\colon P\to P}는 자기 동형 사상이며, 따라서 g는 전사 사상이다.

**잉여적 전사 → 덮개:** 사영 대상 P 및 잉여적 전사 사상 {\displaystyle f\colon P\to A}가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

* (a) 준덮개이다.
* (b) 덮개이다.

(a): f는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.
  

(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 {\displaystyle g\colon P\to P}가 주어졌다고 하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {f}{\to }}&A\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\|\\P&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}}
그렇다면, {\displaystyle f\circ g=f}가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 g 역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, g는 오른쪽 역사상 {\displaystyle h\colon P\to P}, {\displaystyle g\circ h=\operatorname {id} \_{P}}를 가지며, h는 단사 사상이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {h}{\to }}&P\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\P&{\underset {\operatorname {id} }{\to }}&P\end{matrix}}}
그렇다면, {\displaystyle f\circ h=f\circ g\circ h=f}이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 h 역시 전사 사상이다. h는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서 g 역시 동형 사상이다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 {\mathcal {C}}의 단사 대상 {\displaystyle Q\in {\mathcal {C}}} 및 사상 f\colon A\to Q에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:14, Theorem 1.2.11

* f는 단사 대상에 대한 덮개이다.
* f는 본질적 단사 사상이다.

특히, 환 R에 대하여, R-왼쪽 가군의 범주 \_{R}\operatorname {Mod}  또는 R-오른쪽 가군의 범주 \operatorname {Mod} \_{R}는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

### 존재

단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 {\mathcal A}의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5\* 아벨 범주 {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }}의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

환 R가 주어졌다고 하자. R-왼쪽 가군의 범주 \_{R}\operatorname {Mod} 의 임의의 대상 {\displaystyle \_{R}M\in {}\_{R}\operatorname {Mod} }에 대하여, 다음이 성립한다.

* M은 항상 단사 껍질을 갖는다.
* M은 항상 평탄 덮개를 갖는다.
* 만약 R가 왼쪽 완전환이라면, M은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
* M은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다.:511, Example XVI.2.11:17, Theorem 1.3.2 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}은 임의의 r\in R에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Tor} \_{1}^{R}(R/rR,M)=0}을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

### 부자연성

범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.
* 생성 대상을 갖는다.
* 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다.

그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} 및 자연 변환 {\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow \operatorname {Id} \_{\mathcal {C}}}가 존재할 수 없다.

* 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}의 F에 대한 상 F(X)는 사영 대상이다.
* \eta 의 모든 성분 {\displaystyle \eta \_{X}\colon F(X)\to X}는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 R에 대하여, 왼쪽 가군 범주 \_{R}\operatorname {Mod} 는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 \_{R}\operatorname {Mod} 에서 {\displaystyle \_{R}R}는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 R가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

예
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자명한 경우로, 만약 범주 {\mathcal {C}}에서 대상 모임 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}가 주어졌을 때, 대상 {\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}}의 {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-덮개의 개념은 X를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, {\displaystyle {\mathfrak {X}}}-껍질의 개념은 X를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

역사
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단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만(독일어: Beno Eckmann)과 안드레아스 쇼프(독일어: Andreas Schopf)가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"(영어: injective hull)이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.
그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.:§5
꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스(영어: Edgar Earle Enochs)가 도입하였다.

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,:191 이 추측은 2001년에 증명되었다.

참고 문헌
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2. 1 2  Bican, Ladislav; El Bashir, Robert; Enochs, Edgar Earle (2001). "All modules have flat covers". 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) **33** (4): 385–390. doi:10.1017/S0024609301008104. ISSN 0024-6093. MR 1832549.
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8. ↑  Rosenberg, Alex; Zelinsky, Daniel (1959). "Finiteness of the injective hull". 《Mathematische Zeitschrift》 (영어) **70** (1): 372–380. doi:10.1007/BF01558598. ISSN 0025-5874.
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11. 1 2  Enochs, Edgar Earle (1981). "Injective and flat covers, envelopes and resolvents". 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) **39** (3): 189–209. doi:10.1007/BF02760849. ISSN 0021-2172. MR 636889.