다른 뜻에 대해서는 준열린집합 문서를 참고하십시오.
일반위상수학에서 **베르 공간**(Baire空間, 영어: Baire space)은 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간이다.

정의
--

### 쇼케 게임

공집합이 아닌 위상 공간 X가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.

1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 U\subseteq X를 고르는 것이다. 수들을 {\displaystyle (U\_{0},U\_{1},U\_{2},\dots )}라고 하자. (즉, 갑은 {\displaystyle U\_{0},U\_{2},U\_{4},\dots }를 두고, 을은 {\displaystyle U\_{1},U\_{3},U\_{5},\dots }를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 {\displaystyle U\_{0}\supseteq U\_{1}\supseteq U\_{2}\supseteq \cdots }이어야 한다.
3. 만약 {\displaystyle U\_{0}\cap U\_{1}\cap \cdots =\varnothing }라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

이를 **쇼케 게임**(영어: Choquet game) {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}이라고 한다.:43, Definition 8.10:39–40, §1:234, §4

공집합이 아닌 위상 공간 X가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.

1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합과 그 속의 점의 순서쌍 {\displaystyle (U,x)}를 고르는 것이다. 수들을 {\displaystyle ((U\_{0},x\_{0}),(U\_{1},x\_{1}),(U\_{2},x\_{2}),(U\_{3},x\_{3}),\dots )}라고 하자. (즉, 갑은 {\displaystyle (U\_{0},x\_{0}),(U\_{2},x\_{2}),(U\_{4},x\_{4}),\dots }를 두고, 을은 {\displaystyle (U\_{1},x\_{1}),(U\_{3},x\_{3}),(U\_{5},x\_{5}),\dots }를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 {\displaystyle U\_{0}\supseteq U\_{1}\supseteq U\_{2}\supseteq \cdots }이며 {\displaystyle x\_{0}=x\_{1}\land x\_{2}=x\_{3}\land \cdots }이어야 한다.
3. 만약 {\displaystyle U\_{0}\cap U\_{1}\cap \cdots =\varnothing }라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

이를 **강한 쇼케 게임**(영어: strong Choquet game) {\displaystyle \operatorname {StrChoq} (X)}이라고 한다.

### 베르 공간과 쇼케 공간

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 **베르 공간**이라고 한다.

* ㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다.
* ㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(iii)
* ㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.:41, Proposition 8.1(i)
* ㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(ii)
* ㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임 {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.:43, Theorem 8.11:41, Theorem 1

증명:

조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: X가 조건 ㈀을 만족시키며, S\subseteq X가 제1 범주 열린집합이라고 하자. {\displaystyle \textstyle S=\bigcup \_{i=0}^{\infty }S\_{i}}이며, S\_{i}가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \textstyle \varnothing =\operatorname {int} \left(\bigcup \_{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} S\_{i}\right)\supseteq \operatorname {int} S=S}이다.

조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: X가 조건 ㈀을 만족시키며, S\subseteq X가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면, \operatorname {int}S는 제1 범주 열린집합이다. 따라서, {\displaystyle \varnothing =\operatorname {int} S=\operatorname {cl} X\setminus S}이다. 따라서 X\setminus S는 조밀 집합이다.

조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: X가 조건 ㈃을 만족시키며, {\displaystyle (U\_{i})\_{i=0}^{\infty }}가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \textstyle S=\bigcup \_{i=0}^{\infty }X\setminus U\_{i}}는 제1 범주 집합이다. 따라서, {\displaystyle \textstyle X\setminus S=\bigcap \_{i=0}^{\infty }U\_{i}}는 조밀 집합이다.

조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}의 합법적인 수들로 구성된 나무를 T로 쓰자. {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}에서 갑의 필승 전략 \sigma 가 주어졌다고 하자. 즉, \sigma 는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다.

* 만약 {\displaystyle (\sigma (),U\_{1},\sigma (U\_{1}),U\_{3},\sigma (U\_{1},U\_{3}),U\_{5},\dots ,U\_{2i-1})\in T}라면, {\displaystyle (\sigma (),U\_{1},\sigma (U\_{1}),U\_{3},\sigma (U\_{1},U\_{3}),U\_{5},\dots ,U\_{2i-1},\sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1}))\in T}
* 만약 {\displaystyle (\sigma (),U\_{1},\sigma (U\_{1}),U\_{3},\sigma (U\_{1},U\_{3}),U\_{5},\dots )}가 T의 극대 사슬이라면, {\displaystyle \sigma ()\cap U\_{1}\cap \sigma (U\_{1})\cap U\_{3}\cap \sigma (U\_{1},U\_{3})\cap U\_{5}\cap \dots =\varnothing }

그렇다면, {\displaystyle \sigma ()}에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다.

{\displaystyle T'=\{(U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})\colon (\sigma (),U\_{1},\sigma (U\_{1}),U\_{3},\sigma (U\_{1},U\_{3}),U\_{5},\dots ,U\_{2i-1})\in T\}}
라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의 {\displaystyle {\vec {U}}=(U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})\in T'}에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})}가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자.

* 임의의 {\displaystyle U\_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}에 대하여, {\displaystyle (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i+1})\in T'}
* {\displaystyle \{\sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i+1})\colon U\_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})\}}는 서로소 집합들의 집합이다.

그렇다면, {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{U\_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i+1})}은 {\displaystyle \sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})}의 조밀 집합이다. (만약 V가 {\displaystyle \sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})}의 공집합이 아닌 열린집합이며, {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{U\_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i+1})}와 서로소라면, {\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})\cup \{V\}}가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제,

{\displaystyle T''=\{(U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})\in T'\colon \forall j\colon U\_{2j-1}\in {\mathcal {U}}((U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2j-3}))\}}
{\displaystyle W\_{i}=\bigcup \_{(U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})\in T''}\sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})}
라고 하자. 그렇다면, 각 {\displaystyle W\_{i}}는 {\displaystyle W\_{i-1}}의 조밀 집합이다. 따라서, 각 {\displaystyle W\_{i}}는 {\displaystyle W\_{0}=\sigma ()}의 조밀 열린집합이다. 따라서, {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }W\_{i}=\varnothing }을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, {\displaystyle \textstyle x\in \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }W\_{i}}라고 가정하자. 그렇다면, 나무 {\displaystyle T''}에서, 각 i\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle x\in \sigma (U\_{1},U\_{3},\dots ,U\_{2i-1})}인 극대 사슬 {\displaystyle (U\_{1},U\_{3},U\_{5},\dots )}을 취할 수 있다. 이 경우 {\displaystyle x\in \sigma ()\cap \sigma (U\_{1})\cap \sigma (U\_{1},U\_{3})\cap \cdots }이며, 이는 \sigma 가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다.

조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: {\displaystyle (F\_{i})\_{i=0}^{\infty }}가 내부가 공집합인, X의 닫힌집합들의 열이지만, {\displaystyle \textstyle S=\bigcup \_{i=0}^{\infty }F\_{i}}의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 {\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 {\displaystyle (U\_{0},U\_{1},\dots ,U\_{2i-1})}일 때, 갑이 {\displaystyle U\_{2i}=(\operatorname {int} S\cap U\_{0}\cap \cdots \cap U\_{2i-1})\setminus F\_{i}}를 두는 갑의 전략을 생각하자. (F\_{i}의 내부가 공집합이므로, 반드시 {\displaystyle U\_{2i}\neq \varnothing }이다.) 그렇다면, {\displaystyle U\_{2i-1}\subseteq \operatorname {int} S\setminus (F\_{0}\cup F\_{1}\cup \cdots \cup F\_{i})}이므로, {\displaystyle U\_{0}\cap U\_{1}\cap U\_{2}\cap \cdots =\varnothing }이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다.

위상 공간 X가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X를 **쇼케 공간**(Choquet空間, 영어: Choquet space)이라고 한다.:Definition 8.12 위상 공간 X가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, X를 **강한 쇼케 공간**(Choquet空間, 영어: strong Choquet space)이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 쇼케 게임의 성질 | 갑이 필승 전략을 가짐 | 갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함 | 을이 필승 전략을 가짐 |
| 위상 공간의 성질 | 베르 공간이 아닌 공간 | 쇼케 공간이 아닌 베르 공간 | 쇼케 공간 |

성질
--

베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다.

### 함의 관계

**베르 범주 정리**(Baire範疇定理, 영어: Baire category theorem)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.:415–417

* (**제1 베르 범주 정리**) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.:296:97:345:41, Theorem 8.4:57, Theorem I.17.1
* (**제2 베르 범주 정리**) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.:234:41, Theorem 8.4:57, Theorem I.17.1

**제1 베르 범주 정리의 증명:**

완비 거리 공간 (X,d) 속의 조밀 열린집합들의 열 {\displaystyle (U\_{i})\_{i=0}^{\infty }} 및 임의의 점 x\_{0}\in X 및 양의 실수 {\displaystyle r\_{0}\in \mathbb {R} ^{+}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle x\in B(x\_{0},r\_{0})\cap \textstyle \bigcap \_{i=0}^{\infty }U\_{i}\neq \varnothing }
인 x\in X가 존재함을 보이면 족하다.

이제, U\_{i}는 모두 조밀 열린집합이므로

* {\displaystyle \operatorname {cl} (B(x\_{i+1},r\_{i+1}))\subset U\_{i}\cap B(x\_{i},r\_{i})}
* {\displaystyle r\_{i+1}\leq 1/(i+1)}

인 점렬 (x\_i)\_{i=0}^\infty\subseteq X 및 양의 실수열 {\displaystyle (r\_{i})\_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} ^{+}}을 고를 수 있다.

그렇다면, (x\_{i})\_{i=0}^{\infty }는 코시 열이므로 극한 \textstyle\lim\_{i\to\infty}x\_i=x\in X를 가지며, 정의에 따라

{\displaystyle x\in B(x\_{0},r\_{0})\cap U\_{0}\cap U\_{1}\cap \cdots }
이다.

**제2 베르 범주 정리의 증명:**

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 조밀 열린집합들의 열 {\displaystyle (U\_{i})\_{i=0}^{\infty }} 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 {\displaystyle \varnothing \neq V\_{0}\subseteq X}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle V\_{0}\cap U\_{0}\cap U\_{1}\cap \cdots }가 공집합이 아님을 보이면 족하다.

이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 {\displaystyle (V\_{i})\_{i=0}^{\infty }}을 다음과 같이 고를 수 있다.

* {\displaystyle \operatorname {cl} V\_{i+1}\subseteq V\_{i}\cap U\_{i}}
* {\displaystyle \operatorname {cl} V\_{i+1}}는 콤팩트 집합이다.
* {\displaystyle V\_{i+1}}는 공집합이 아니다.

이제 칸토어 교점 정리에 의하여

{\displaystyle \bigcap \_{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} V\_{i}\subseteq \textstyle V\_{0}\cap U\_{0}\cap U\_{1}\cap \cdots }
는 공집합이 아니다.

제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다.

사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간:12, Proposition 9.1은 강한 쇼케 공간이다. ("국소 콤팩트 차분한 공간"에서, "국소 콤팩트"는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  | 완비 거리화 가능 공간 |
|  |  |  | ⇘ |
|  |  |  |  | 강한 쇼케 공간 | ⇒ | 쇼케 공간 | ⇒ | 베르 공간 |
|  |  |  | ⇗ |
| 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 | ⇒ | 국소 콤팩트 차분한 공간 |

증명 (국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간):

국소 콤팩트 차분한 공간 X의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 {\displaystyle (U,x)}일 때,

{\displaystyle x\in V\subseteq K\subseteq U}
인 콤팩트 포화 집합 K와 열린집합 V를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 {\displaystyle (V,x)}를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 교집합은 어떤 콤팩트 포화 집합의 하강 열의 교집합과 같다. 차분한 공간에 대한 칸토어 교점 정리에 의하여, 이는 공집합이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다.

### 연산에 대한 닫힘

베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다.:297:41, Proposition 8.3 마찬가지로, 쇼케 공간의 열린집합은 쇼케 공간이다.:44, Exercise 8.13 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다.

증명 (베르 공간의 열린집합은 베르 공간):

X가 베르 공간이며 U\subseteq X가 열린집합이며, {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}이 U의 조밀 열린집합의 열이라고 하자. 그 교집합이 U의 조밀 집합임을 보이면 족하다.
{\displaystyle (U\_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))\_{i\in \mathbb {N} }}은 X의 조밀 열린집합의 열이다. (이는

{\displaystyle \operatorname {cl} (U\_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))=\operatorname {cl} U\_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)=\operatorname {cl} \operatorname {cl} U\_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\supseteq \operatorname {cl} U\cup (X\setminus \operatorname {cl} U)=X}
이기 때문이다.) 따라서 그 교집합

{\displaystyle \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }U\_{i}\cup X\setminus \operatorname {cl} U}
은 X의 조밀 집합이다. 따라서

{\displaystyle \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }U\_{i}}
는 U의 조밀 집합이다 ({\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\subseteq X\setminus U}).

베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.:299

베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.:44, Exercise 8.13

X가 베르 공간, Y가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 {\displaystyle f\_{i}\colon X\to Y}(i\in \mathbb {N} )이 어떤 함수 f\colon X\to Y로 점별 수렴한다면, f가 연속 함수인 점들의 집합은 X의 조밀 집합이다.:297

예
-

공집합은 (자명하게) 베르 공간이다.

무리수 집합은 베르 공간이다.:299

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다.

모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.

### 연속 함수 공간

연속 함수의 집합 {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )} 위에 거리 함수 {\displaystyle \textstyle d(f,g)=\sup \_{x\in [0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}}를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다.

적어도 한 점에서 미분 가능한 [0,1]\to {\mathbb R} 연속 함수의 집합은 {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )} 안에서 제1 범주 집합임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합은 공집합이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수의 예이다.:238–240

### 유리수에서만 연속인 함수의 부재

실수선 \mathbb {R} 는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 따라서 베르 공간이다.

{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }가 조밀 집합이며, 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 A에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, f가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.:237–238

### 극대 원소 집합

연속 dcpo (X,\le) 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 {\displaystyle \max X}는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.:182, Theorem 5.1

역사
--

실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.

이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.

쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
2. 1 2  Cao, Jiling; Moors, Warren B. (2006). "A survey on topological games and their applications in analysis" (PDF). 《Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Serie A Matemáticas》 (영어) **100** (1–2): 39–49. ISSN 1578-7303. Zbl 1114.91024. 2015년 9월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 9월 3일에 확인함.
3. ↑  Telgársky, Rastislav (1987). "Topological games: on the 50th anniversary of the Banach–Mazur game". 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) **17** (2). doi:10.1216/RMJ-1987-17-2-227. ISSN 0035-7596. MR 892457.
4. ↑  박대희; 안승호 (2009). 《위상수학》. 경문사.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
5. 1 2 3 4 5  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
6. ↑  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
7. ↑  유정옥 (2006). 《알기쉬운 위상수학》. 교우사.
8. 1 2  Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **139**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6848-0. ISBN 978-0-387-97926-7. ISSN 0072-5285.
9. 1 2 3  김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5. 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 11일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
10. ↑  Blair, Charles E. (1977). "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices". 《Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques》 (영어) **25** (10): 933–934. ISSN 0001-4117. Zbl 0377.04011.
11. ↑  de Brecht, Matthew; Goubault-Larrecq, Jean; Jia, Xiaodong; Lyu, Zhenchao (2019). "Domain-complete and LCS-complete spaces". 《Electronic Notes in Theoretical Computer Science》 (영어) **345**: 3–35. arXiv:1902.11142. doi:10.1016/j.entcs.2019.07.014. ISSN 1571-0661. MR 4025962.
12. ↑  Martin, Keye (2003). "Topological games in domain theory". 《Topology and its Applications》 (영어) **129** (2): 177–186. doi:10.1016/S0166-8641(02)00147-5. ISSN 0166-8641. MR 1961398. Zbl 1026.06012.
13. ↑  Osgood, William Fogg (1897년 4월). "Non-uniform convergence and the integration of series term by term". 《American Journal of Mathematics》 (영어) **19** (2): 155–190. doi:10.2307/2369589. ISSN 0002-9327. JFM 28.0221.01. JSTOR 2369589.
14. ↑  Osgood, William Fogg (1901). "Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions of a complex variable; with corresponding theorems for definite integrals". 《Annals of Mathematics》 (영어) **3** (1–4): 25–34. doi:10.2307/1967630. ISSN 0003-486X. JFM 32.0399.01. JSTOR 1967630. MR 1502274.
15. ↑  Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles". 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (프랑스어) **3**: 1–123. doi:10.1007/BF02419243. ISSN 0373-3114. JFM 30.0359.01.
16. ↑  Jones, Sara Hawtrey (1999). "Applications of the Baire category theorem". 《Real Analysis Exchange》 (영어) **23** (2): 363–394. ISSN 0147-1937. MR 1640007. Zbl 0943.26013.
17. ↑  Choquet, Gustave (1958년 1월 13일). "Une classe régulière d’espaces de Baire". 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) **246**: 218-220.
18. ↑  Choquet, Gustave (1969). 《Lectures on analysis. Volume I: integration and topological vector spaces》 (영어). W. A. Benjamin. MR 0250011.