함수해석학에서 **바나흐 공간**(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의
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{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

{\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 {\displaystyle (X,\|\cdot \|)}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간을 **{\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간**이라고 한다.

* (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
* 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 {\displaystyle (v\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X}에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i\in \mathbb {N} }\|v\_{i}\|<\infty }라면, 급수 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i\in \mathbb {N} }v\_{i}} 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.:8, §1.2, Exercise 1.2.1

체 {\displaystyle \mathbb {K} }를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

### 부분 공간

{\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V의 부분 벡터 공간 {\displaystyle \iota \colon W\hookrightarrow V}가 주어졌다고 하자. 만약 W가 닫힌집합이라면 W는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 {\displaystyle P\colon V\to W}가 존재한다면, W를 **여공간을 가지는 부분 공간**(영어: complemented subspace)라고 한다.

* P는 전사 함수이다.
* {\displaystyle \iota \circ P\colon V\to V}는 (W로의) 사영이다. 즉, {\displaystyle \iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P}이다.
* P는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간
여분 부분 공간 {\displaystyle W\subseteq V}가 주어졌을 때, 바나흐 공간 V를 다음과 같이 분해할 수 있다.

{\displaystyle V=W\oplus \ker P}
그러나 이러한 P는 유일하지 않을 수 있다.

연산
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### 완비화

{\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 {\bar V} 및 등거리 선형 변환 {\displaystyle \iota \colon V\to {\bar {V}}}가 존재한다.

* 상 {\displaystyle \iota (V)\subseteq {\bar {V}}}는 {\bar V}의 조밀 집합이다.

또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

* 임의의 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 W 및 등거리 선형 변환 {\displaystyle j\colon V\to W}에 대하여, 만약 {\displaystyle j(V)}가 조밀 집합이라면, {\displaystyle j=i\circ \iota }인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) {\displaystyle i\colon {\bar {V}}\to W}가 존재한다.

{\bar V}는 거리 공간으로서 V의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 V가 이미 바나흐 공간이라면 \iota 는 바나흐 공간 동형 사상이다.

### 부분 공간과 몫공간

{\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 X의 {\displaystyle \mathbb {K} }-부분 벡터 공간 Y\subseteq X에 제한 노름 {\displaystyle \|\|\_{X}\upharpoonright Y}를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* Y는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.
* Y는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 Y\subseteq X에 대한 몫공간 {\displaystyle X/Y} 위에

{\displaystyle \lVert x+Y\rVert =\inf \_{y\in Y}\lVert x+y\rVert }
으로 노름을 주자. 그렇다면 {\displaystyle X/Y} 역시 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.

### 상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 X
* {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 Y
* 연속 열린 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 T\colon X\to Y

그렇다면, T(X)는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간이다.

### 직합

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간의 집합 {\displaystyle (V\_{i})\_{i\in I}}
* 확장된 실수 1\leq p\leq \infty

그렇다면, 직합

{\displaystyle {\tilde {V}}=\bigoplus \_{i\in I}V\_{i}}
위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

{\displaystyle \left\|\bigoplus \_{i\in I}v\_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum \_{i\in I}\|v\_{i}\|\_{V\_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max \_{i\in I}\|v\_{i}\|\_{V\_{i}}&p=\infty \end{cases}}}
그렇다면, {\displaystyle {\tilde {V}}}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간을 이룬다.

만약 I가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 모든 i에 대하여 V\_{i}가 바나흐 공간이다.
* {\displaystyle {\tilde {V}}}는 바나흐 공간이다.

이 경우, {\displaystyle {\tilde {V}}}의 (p-노름으로 정의되는) 위상은 p에 의존하지 않는다.

그러나 만약 I가 무한 집합이라면, V\_{i}가 모두 바나흐 공간이라도 {\displaystyle {\tilde {V}}}가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 {\displaystyle {\tilde {V}}}의 완비화 V를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 {\displaystyle p\in [1,\infty ]}에 따라 다르다.

### 텐서곱

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 **사영 위상 텐서곱**(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 **단사 위상 텐서곱**(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

성질
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### 바나흐 공간 사이의 선형 변환

**바나흐-샤우데르 정리**(-定理, 영어: Banach-Schauder theorem) 또는 **열린 사상 정리**(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V, W 사이의 전사 유계 작용소 T\colon V\to W는 열린 함수이다.:48, Theorem 2.11 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

**증명**:

V 속의 단위 열린 공의 상

{\displaystyle T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)}
이 {\displaystyle 0\_{W}}의 근방임을 증명하면 족하다.

우선, V는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.

{\displaystyle V=\bigcup \_{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {ball} \_{V}(0,n)}
T가 전사 함수이므로

{\displaystyle W=T(V)=\bigcup \_{n=1}^{\infty }T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,n)\right)}
이다.

베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 W는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,

{\displaystyle \operatorname {ball} \_{W}(nc,nr)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,n)\right)\right)}
인 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+} 및 {\displaystyle c\in W} 및 양의 실수 r>0가 존재한다. ({\displaystyle \operatorname {ball} (-,-)}는 열린 공을 뜻한다.) 즉,

{\displaystyle \operatorname {ball} \_{W}(c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}
이다.

이제,

{\displaystyle \operatorname {ball} \_{W}(0,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}
를 증명하자. 우선,

{\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)=-\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}
이므로, 임의의 {\displaystyle w\in \operatorname {ball} \_{W}(0,r)}에 대하여,

{\displaystyle w\pm c\in \operatorname {ball} (\pm c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}
이며, {\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}는 볼록 집합이므로

{\displaystyle w={\frac {(w+c)+(w-c))}{2}}\in \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)\right)}
이다.

이제

{\displaystyle \operatorname {ball} \_{W}(0,r/2)\subseteq T\left({\frac {2}{r}}\operatorname {ball} \_{V}(0,1)\right)}
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 {\displaystyle w\in \operatorname {ball} \_{W}(0,r/2)}에 대하여, {\displaystyle Tv=w}인 v\in V를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 {\displaystyle (v\_{1},v\_{2},\ldots )}을 재귀적으로 고를 수 있다.

{\displaystyle \|v\_{i}\|<2^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
{\displaystyle \|w-Tv\_{1}-\cdots -Tv\_{i}\|<2^{-i-1}r\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
(이는 r의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,

{\displaystyle v=\sum \_{i=1}^{\infty }v\_{i}\in \operatorname {ball} \_{V}(0,1)}
를 정의할 수 있다. T가 연속 함수이므로

{\displaystyle Tv=w}
이다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.:51, Theorem 2.15 또한, 바나흐 공간의 **닫힌 그래프 정리**(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V, W 사이의 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 T\colon V\to W에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* 연속 함수이다.
* 유계 작용소이다.
* {\displaystyle \operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W}는 (곱위상을 부여한) V\oplus W 속의 닫힌집합이다.

**증명:**

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

{\displaystyle \operatorname {graph} T\subseteq V\oplus W}가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 \operatorname {graph}T는 (임의의 {\displaystyle p\in [1,\infty ]}에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수

{\displaystyle \pi \_{V}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow V}
{\displaystyle \pi \_{W}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow W}
는 정의에 따라 연속 함수이다. \pi \_{V}는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 \pi \_{V}는 위상 동형 사상이다. 따라서

{\displaystyle T=\pi \_{W}\circ \pi \_{V}^{-1}\colon V\to W}
역시 연속 함수이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

|  |
| --- |
| 닫힌 그래프 선형 변환 |
| ⇕ |
| 연속 선형 변환 |
| ⇕ |
| 유계 작용소 | ⇐ | 전사 유계 작용소 | ⇒ | 열린 유계 작용소 |
| ⇑ |  | ⇑ |
| 단사 유계 작용소 | ⇐ | 전단사 유계 작용소 | ⇒ | 닫힌 유계 작용소 |
|  | ⇕ |
| 위상 동형 유계 작용소 |

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 **균등 유계성 원리**가 성립한다.

### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 | ⇒ | {\displaystyle \mathbb {K} }-반사 바나흐 공간 | ⇒ | {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 |
| ⇓ |  | ⇓ |
| {\displaystyle \mathbb {K} }-내적 공간 | ⟹ | {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간 |

### 샤우데르 기저

 이 부분의 본문은 샤우데르 기저입니다.
벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 **샤우데르 기저**라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

### 바나흐 공간 위의 미적분학

 이 부분의 본문은 프레셰 도함수입니다.
바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, **프레셰 도함수**라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분류
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분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

### L1의 몫공간으로의 표현

모든 분해 가능 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간은 르베그 공간 {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}의 몫공간이다. 즉, {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}에 닫힌 {\displaystyle \mathbb {K} }-부분 벡터 공간 M이 존재하여, {\displaystyle X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M}이다.

### {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}의 부분 공간으로의 표현

**바나흐-마주르 정리**(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V에 대하여 다음이 성립한다.

* 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 등거리 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 {\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {K} )}가 존재한다.
* 만약 V가 분해 가능 공간이라면, 등거리 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 {\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )}가 존재한다.

여기서 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \mathbb {K} }값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

{\displaystyle \|f\|=\sup \_{x\in K}|f(x)|}
이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 V가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 V'의 단위 닫힌 공 {\displaystyle K=\operatorname {ball} \_{V'}(0,1)}을 생각하고, 그 위에 약한-\* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-\* 위상의 정의에 따라, 임의의 v\in V에 대하여 연속 함수

{\displaystyle K\to \mathbb {K} }
{\displaystyle f\mapsto f(v)}
는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수

{\displaystyle V\to {\mathcal {C}}^{0}(K)}
{\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(x))}
를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 V가 추가로 분해 가능 공간이라면, {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {R} )}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )}의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

### 바나흐-마주르 거리

**바나흐-마주르 콤팩트 공간**(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.

자연수 n 및 {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 두 n차원 실수 바나흐 공간 V, W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환들의 공간 {\displaystyle \operatorname {GL} (V,W)}을 생각할 수 있다. 이 경우, V와 W 사이의 **바나흐-마주르 거리**(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다.

{\displaystyle d(V,W)=\ln \_{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|}
여기서 {\displaystyle \|T\|}는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. n차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 **바나흐-마주르 콤팩트 공간**이라고 한다.

예
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### 유클리드 공간

자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} 위에 노름

{\displaystyle \|(x\_{1},\dots ,x\_{n})\|={\sqrt {|x\_{1}|^{2}+\cdots +|x\_{n}|^{2}}}}
를 부여하면, 이는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.

### 르베그 공간

 이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.
임의의 측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 및 확장된 실수 1\leq p\leq \infty 에 대하여, 르베그 공간 {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.

### 수렴 수열 공간

 이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.
수렴 수열 공간 {\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}과 영 수렴 수열 공간 {\displaystyle \operatorname {c} \_{0}(\mathbb {K} )}은 둘 다 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.

### 힐베르트 공간

 이 부분의 본문은 힐베르트 공간입니다.
임의의 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 {\mathcal {H}}에 대하여,

{\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})}
로 노름을 정의하면 이는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다.

### 연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의, {\displaystyle \mathbb {K} }값의 연속 함수들의 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간

{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}
에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

{\displaystyle \|f\|=\max \_{x\in X}|f(x)|}
이는 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 대수를 이룬다.

역사
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스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,:238 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.:261, §5.4:466, §14.4