환론에서 **대합 대수**(對合代數, 영어: algebra with involution, \*-algebra)는 호환되는 대합이 주어진 결합 대수이다.

정의
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가환환 K 위의 **대합 대수**(영어: algebra with involution, \*-algebra) {\displaystyle (A,^{\*})}은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

* R는 K 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* {\displaystyle ^{\*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }}는 K-가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 {\displaystyle A^{\operatorname {op} }}는 반대환을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
	+ 임의의 {\displaystyle k\in K} 및 a\in A에 대하여, {\displaystyle (ka)^{\*}=ka^{\*}}
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle (ab)^{\*}=b^{\*}a^{\*}}
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle (a+b)^{\*}=a^{\*}+b^{\*}}
	+ 임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle a^{\*\*}=a}

정수환 \mathbb {Z}  위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환 \mathbb {Z}  위의 대합 대수를 **대합환**이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환 {\displaystyle (K,^{\*})} 위의 **대합 대수** {\displaystyle (A,^{\*})}는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

* A는 K 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* {\displaystyle ^{\*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }}는 다음을 만족시킨다.
	+ 임의의 {\displaystyle k\in K} 및 a\in A에 대하여, {\displaystyle (ka)^{\*}=k^{\*}a^{\*}}
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle (ab)^{\*}=b^{\*}a^{\*}}
	+ 임의의 a,b\in A에 대하여, {\displaystyle (a+b)^{\*}=a^{\*}+b^{\*}}
	+ 임의의 a\in A에 대하여, {\displaystyle a^{\*\*}=a}

예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

### 특별한 원소

가환 대합환 {\displaystyle (K,^{\*})}가 주어졌으며, 그 부분환 {\displaystyle K\_{0}=\{\lambda \in K\colon \lambda =\lambda ^{\*}\}}을 생각하자. 그렇다면, {\displaystyle (K,^{\*})}-대합 대수 A의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.

| 용어 | 정의 | 비고 |
| --- | --- | --- |
| **자기 수반 원소**(영어: self-adjoint element) | {\displaystyle a=a^{\*}} | 자기 수반 원소들은 {\displaystyle a\bullet b=ab+ba} 아래 K\_{0}-요르단 대수를 이룸 |
| **반자기 수반 원소**(영어: anti-self-adjoint element) | {\displaystyle a=-a^{\*}} | 반자기 수반 원소들은 리 괄호 [x,y]=xy-yx 아래 K\_{0}-리 대수를 이룸 |
| **등거리원**(等距離元, 영어: isometry element) | {\displaystyle a^{\*}a=1} |  |
| **유니터리 원소**(unitary元素, 영어: unitary element) | 정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 {\displaystyle a^{-1}=a^{\*}}) | 유니터리 변환의 개념의 일반화 |
| **정규원**(正規元, 영어: normal element) | {\displaystyle aa^{\*}=a^{\*}a} | 정규 작용소의 개념의 일반화 |
| **사영원**(射影元, 영어: projection element) | 멱등원이자 자기 수반 원소 (즉, {\displaystyle a=a^{2}=a^{\*}}) |  |
| **부분 등거리원**(部分等距離元, 영어: partial isometry element) | {\displaystyle a^{\*}a}가 사영원 |  |
| **음이 아닌 원소**(陰-元素, 영어: nonnegative element) | {\displaystyle \exists b\colon a=b^{\*}b} |  |

예
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### 자명한 대합환

가환환 K 위의 임의의 결합 대수 A 위에 항등 함수 대합

{\displaystyle a=a^{\*}}
을 주면, 이는 K-대합 대수를 이룬다.

### 등급환

가환환 K와 R 사이의 환 준동형 {\displaystyle K\to R}이 주어졌다고 하자. R 위의 대합을 항등 함수로 정의한다면 R는 (자명한) K-대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로, R에 추가로 \mathbb {Z} /2-등급 K-단위 결합 대수의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

{\displaystyle R=R\_{0}\oplus R\_{1}}
{\displaystyle (r\_{0}+r\_{1})^{\*}=r\_{0}-r\_{1}\qquad \forall r\_{0}\in R\_{0},\;r\_{1}\in R\_{1}}
이 역시 K-대합 대수를 이룬다.

### 체의 확대

복소수체 \mathbb {C} 는 \mathbb {R} -대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로, 체 K 및 {\displaystyle n\in K^{\times }\setminus (K^{\times })^{2}}에 대하여, 2차 확대 {\displaystyle K({\sqrt {n}})} 위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

{\displaystyle (a+b{\sqrt {n}})^{\*}=a-b{\sqrt {n}}\qquad \forall a,b\in K}
이는 K-대합 대수를 이룬다.

### 다항식환

가환환 K 위의 다항식환 K[x] 위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다.

{\displaystyle p^{\*}(x)=p(-x)\qquad \forall p\in K[x]}
그렇다면 이는 K-대합 대수를 이룬다.

### 행렬환

가환환 K 위의 행렬환 \operatorname {Mat}(n;K)에서, 대합을 전치행렬로 놓는다면 이는 K-대합 대수를 이룬다.

### 사원수환

사원수환 {\mathbb H}는 (사원수 켤레에 대하여) \mathbb {R} -대합 대수를 이루지만, \mathbb {C} -대합 대수를 이루지 않는다.

### C\* 대수

 이 부분의 본문은 C\* 대수입니다.
모든 C\* 대수나 폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal {H}} 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 {\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}는 에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.