**양자통계역학**(영어: Quantum statistical mechanics)은 양자역학적인 시스템의 앙상블을 다루는 학문을 일컫는다. **고전통계역학**에서는 계의 상태가 위상 공간의 한 점으로 나타내어 졌다면, 양자통계역학에서는 힐베르트 공간에서의 벡터인 |\psi\rangle로 나타내어진다. 또한 고전통계역학에서의 위상 공간 밀도(위상 공간 상에서의 미시상태의 밀도)는 양자통계역학에서 밀도 연산자 {\boldsymbol {\rho }}, 또는 밀도 행렬 {\displaystyle \{\rho \_{k',k}\}}에 대응된다. 밀도 연산자는 음이 아니고 자기수반하며 양자역학적 시스템을 기술하는 힐베르트 공간 *H*에서 대각합이 1이다.

기댓값
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양자역학에서 관측가능량(observable) A의 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\langle {\mathbf {A}}\rangle \_{{QM}}=\langle \psi \_{E}^{{(i)}}|{\mathbf {A}}|\psi \_{E}^{{(i)}}\rangle 
여기서 \mathbf{A}는 관측가능량 A에 대응되는 연산자이고 E는 기저벡터가 에너지의 고유벡터들로 선택되었다는 것을 나타내며, (i)는 쓰인 벡터가 i번째 기저벡터임을 나타낸다.

한편, 동일한 계를 여러 번 관측했을 때의 통계적인 기댓값은 다음과 같다.

\langle {\mathbf {A}}\rangle =\sum \_{{i}}\rho \_{i}\langle \psi \_{E}^{{(i)}}|{\mathbf {A}}|\psi \_{E}^{{(i)}}\rangle

밀도 연산자
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임의의 기저공간의 기저벡터가 |\phi \_{{k}}\rangle 라고 하면, 다음과 같이 밀도 행렬의 성분 \rho \_{{k',k}}과 **밀도 연산자**를 정의할 수 있다.

\langle {\mathbf {A}}\rangle =\sum \_{{k,k'}}\rho \_{{k',k}}\langle \phi \_{k}|{\mathbf {A}}|\phi \_{{k'}}\rangle 
=\sum \_{{k,k'}}\langle \phi \_{{k'}}|{\boldsymbol {\rho }}|\phi \_{k}\rangle \langle \phi \_{k}|{\mathbf {A}}|\phi \_{{k'}}\rangle 
=\sum \_{{k'}}\langle \phi \_{{k'}}|{\boldsymbol {\rho }}{\mathbf {A}}|\phi \_{{k'}}\rangle 
={\mbox{Tr}}({\boldsymbol {\rho }}{\mathbf {A}})
여기서 {\mbox{Tr}}({\boldsymbol {\rho }}{\mathbf {A}})는 {\boldsymbol {\rho }}{\mathbf {A}}의 대각합이다. 기저벡터를 |\phi \_{{k}}\rangle 로 잡았을 때 \rho \_{{k',k}}는 밀도 행렬의 k',k번째 성분에 해당되며, 밀도 연산자와는 아래와 같은 관계를 가진다.

\rho \_{{k',k}}=\langle \phi \_{{k'}}|{\boldsymbol {\rho }}|\phi \_{k}\rangle 
밀도 연산자는 규격화 조건에 의해

{\mbox{Tr}}({\boldsymbol {\rho }})=\sum \_{i}\rho \_{{i,i}}=1
을 만족하며, 에르미트 연산자이므로

{\boldsymbol {\rho }}^{\dagger }={\boldsymbol {\rho }}
도 만족한다.

{\boldsymbol {\rho }}의 시간에 대한 편미분이 0이고 {\mbox{H}}가 헤밀토니언일 때

\left[{\mbox{H}},{\boldsymbol {\rho }}\right]=0
임이 알려져 있고, 따라서 에너지 고유벡터가 가장 편리한 기저벡터이며, 이러한 기저 공간에서 밀도 행렬의 성분은 \rho \_{{mn}}=\rho \_{m}\delta \_{{m,n}}을 만족하게 된다.

작은 바른틀 앙상블
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에너지 기저 공간에서의 작은 바른틀 앙상블(microcanonical ensemble)은 다음과 같이 기술된다.

\rho \_{n}=\left\{{\begin{matrix}1/{\Omega },&{\mbox{if }}E\leq E\_{n}\leq E+\delta E\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.

바른틀 앙상블
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에너지 기저 공간에서의 바른틀 앙상블은 다음과 같이 기술된다.

\rho \_{n}={\frac {\exp(-\beta E\_{n})}{\sum \_{m}\exp(-\beta E\_{m})}}
임의의 기저 공간에서는 밀도 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\boldsymbol {\rho }}={\frac {\exp(-\beta {\mbox{H}})}{{\mbox{Tr}}(\exp(-\beta {\mbox{H}}))}}
여기서 \beta는 {\frac {1}{k\_{B}T}}이고, k\_{B}는 볼츠만 상수, T는 절대온도이다. 분모는 바른틀 분배함수 Z이므로 아래와 같이 열역학 변수들을 유도할 수 있다.

{\mbox{U}}=\langle {\mbox{H}}\rangle ={\frac {{\mbox{Tr}}(\exp(-\beta {\mbox{H}}){\mbox{H}})}{{\mbox{Tr}}(\exp(-\beta {\mbox{H}}))}}=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {{\mbox{Tr}}(\exp(-\beta {\mbox{H}}))}
=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {Z}
{\mbox{S}}=\langle -k\_{B}\ln {{\boldsymbol {\rho }}}\rangle =k\_{B}{\mbox{Tr}}({\boldsymbol {\rho }}\ln {{\boldsymbol {\rho }}})=k\_{B}\beta \langle {\mbox{H}}\rangle +k\_{B}\ln {Z}
{\mbox{F}}={\mbox{U}}-T{\mbox{S}}=-k\_{B}T\ln {Z}=-k\_{B}T\ln {\mbox{Tr}}(\exp(-\beta {\mbox{H}})){\mbox{S}}

큰 바른틀 앙상블
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에너지 기저 공간에서의 큰 바른틀 앙상블은 다음과 같이 기술된다.

\rho \_{n}={\frac {\exp(-\beta (E\_{n}-\mu N))}{\sum \_{m},N\exp(-\beta (E\_{m}-\mu N))}}
임의의 기저 공간에서는 밀도 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\boldsymbol {\rho }}={\frac {\exp(-\beta ({\mbox{H}}-\mu {\boldsymbol {N}}))}{{\mbox{Tr}}(\exp(-\beta ({\mbox{H}}-\mu {\boldsymbol {N}}))}}
여기에서 \mu 는 화학 퍼텐셜, {\boldsymbol {N}}은 입자 개수 연산자이다. 분모는 큰 바른틀 분배함수 {\mathcal {Z}}이다. 엔트로피 {\mbox{S}}와 큰 퍼텐셜 \Phi는 다음과 같이 구할 수 있다.

{\mbox{S}}=\langle -k\_{B}\ln {{\boldsymbol {\rho }}}\rangle =k\_{B}{\mbox{Tr}}({\boldsymbol {\rho }}\ln {{\boldsymbol {\rho }}})=k\_{B}\beta \langle {\mbox{H}}\rangle -k\_{B}\beta \mu \langle {\boldsymbol {N}}\rangle +k\_{B}\ln {{\mathcal {Z}}}
\Phi ={\mbox{U}}-T{\mbox{S}}-\mu N=-k\_{B}T\ln {{\mathcal {Z}}}

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