위상수학 및 미분기하학에서 **벡터 다발**(영어: vector bundle)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 X
* 위상환 K
* K 위의 위상 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{K}V}
* 올다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
* 각 x\in X에 대하여, 올 {\displaystyle E\_{x}=\pi ^{-1}(x)} 위의 K-위상 왼쪽 가군 구조

만약 X가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in I}} 및 위상 동형 사상들의 족

{\displaystyle \left(\phi \_{i}\colon U\times V\to \pi ^{-1}(U)\right)\_{i\in I}}
를 가질 수 있다면, 올다발 {\displaystyle (X,E,\pi )}를 올 V의 **왼쪽 가군 다발**(-加群-, 영어: left module bundle)이라 한다.

임의의 i\in I 및 {\displaystyle x\in U\_{i}}에 대하여 {\displaystyle \phi \_{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi \_{i}(x,v)}는 V와 올 E\_x 사이의 K-위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다.
위와 같은 구조 {\displaystyle (U\_{i},\phi \_{i})\_{i\in I}}를 E의 **국소 자명화**(局所自明化, 영어: local trivialization)라고 한다.
그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 **오른쪽 가군 다발**(-加群-, 영어: right module bundle)을 정의할 수 있다. 만약 K가 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 위상환 K가 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 **벡터 다발**이라 한다.

만약 K가 위상체이며 {\displaystyle V=K}일 경우, 올이 K인 벡터 다발을 **선다발**(線다발, 영어: line bundle)이라고 한다.

만약 V가 바나흐 공간일 경우 올이 V인 벡터 다발을 **바나흐 다발**(영어: Banach bundle)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 **힐베르트 다발**(영어: Hilbert bundle)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 **국소 볼록 벡터 다발**(영어: locally convex vector bundle)을 정의할 수 있다.

### 매끄러운 벡터 다발

미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 X
* 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}
* 매끄러운 올다발 {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
* 각 x\in X에 대하여, 올 {\displaystyle E\_{x}=\pi ^{-1}(x)} 위의 n차원 실수 벡터 공간 구조

만약 X가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{i})\_{i\in I}} 및 미분 동형 사상들의 족

{\displaystyle \left(\phi \_{i}\colon U\times \mathbb {R} ^{n}\to \pi ^{-1}(U)\right)\_{i\in I}}
를 가질 수 있다면, 올다발 {\displaystyle (X,E,\pi )}를 n차원 **매끄러운 벡터 다발**(-vector-, 영어: smooth vector bundle)이라 한다.

임의의 i\in I 및 {\displaystyle x\in U\_{i}}에 대하여 {\displaystyle \phi \_{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi \_{i}(x,v)}는 V와 올 E\_x 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.
이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

### 벡터 다발 사상

위상 공간 X와 위상환 K가 주어졌다고 하자. X 위의 두 K-왼쪽 가군 다발 {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X} 사이의 **가군 다발 사상**(加群-寫像, 영어: module bundle morphism) f\colon E\to E'은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다.

* 임의의 x\in X에 대하여, f로 정의되는 함수 {\displaystyle E\_{x}\to E'\_{x}}는 K-위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 K-가군 준동형이다).

마찬가지로, 매끄러운 다양체 X 위의 두 매끄러운 벡터 다발 {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X} 사이의 **매끄러운 벡터 다발 사상**(-vector-寫像, 영어: smooth vector bundle morphism)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.

연산
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위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

### 직합

위상 공간 X 위의, 같은 위상환 K에 대한 왼쪽 가군 다발 {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 **직합** {\displaystyle E\oplus E'}을 정의할 수 있다. 각 x\in X에서 {\displaystyle E\oplus E'}의 올은 다음과 같다.

{\displaystyle (E\oplus E')\_{x}=E\_{x}\oplus E'\_{x}}
만약 X가 매끄러운 다양체이며, E와 E'이 매끄러운 벡터 다발이라면 {\displaystyle E\oplus E'} 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

### 텐서곱

위상 공간 X 위의, 같은 가환 위상환 K에 대한 가군 다발 {\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 **텐서곱** {\displaystyle E\otimes \_{K}E'}을 정의할 수 있다. 각 x\in X에서 {\displaystyle E\otimes \_{K}E'}의 올은 다음과 같다.

{\displaystyle (E\otimes \_{K}E')\_{x}=E\_{x}\otimes \_{K}E'\_{x}}
만약 X가 매끄러운 다양체이며, E와 E'이 매끄러운 벡터 다발이라면 {\displaystyle E\otimes \_{\mathbb {R} }E'} 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

### 쌍대 벡터 다발

위상 공간 X 위의, 위상체 K에 대한 벡터 다발 E의 **쌍대 벡터 다발**(雙對vector다발, 영어: dual vector bundle) E^{\*}는 각 올이 E의 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다.

{\displaystyle E\_{x}^{\*}=(E\_{x})'}
만약 X가 매끄러운 다양체이며, E가 매끄러운 벡터 다발이라면 E^{\*} 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

성질
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위상 공간 X 위의, 위상체 K에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 핵과 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)

### 코쥘 접속

 이 부분의 본문은 코쥘 접속입니다.
벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속인 **코쥘 접속**이라는 구조를 정의할 수 있다.

분류
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 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.
위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 **위상 K이론**이라는 환으로 분류된다.

예
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### 자명한 벡터 다발

임의의 위상 공간 X 및 위상 벡터 공간 V에 대하여, {\displaystyle X\times V}는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 X가 매끄러운 다양체이며 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}이 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

### 접다발

 이 부분의 본문은 접다발입니다.
임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

### 연관 벡터 다발

 이 부분의 본문은 연관 벡터 다발입니다.
위상 공간 X 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, X 위에 **연관 벡터 다발**이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

### 이산 공간

한원소 공간 \{\bullet \} 위의 K-벡터 다발의 개념은 K-위상 벡터 공간의 개념과 동치이며,
한원소 공간 \{\bullet \} 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

참고 문헌
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1. ↑  양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.
2. ↑  Luke, Glenys; Mishchenko, Alexander S. (1998). 《Vector bundles and their applications》. Mathematics and its Applications (영어) **447**. Kluwer. doi:10.1007/978-1-4757-6923-4. ISBN 978-1-4419-4802-1. MR 1640104.
3. ↑  
Мищенко, А. С. (1984). 《Векторные расслоения и их применения》 (러시아어). 모스크바: Наука.