집합론에서 **이름**(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.

정의
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### 이름

임의의 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

{\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}
에 대한 누적 위계를 X-**이름 위계**(영어: hierarchy of X-names)라고 하며,:188, Definition VII.2.5 {\displaystyle \operatorname {Name} \_{X,\alpha }}로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 {\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Name} \_{X}}에 대하여, {\displaystyle \sigma \in \tau }의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 X의 부분 집합으로 나타내어진다.

{\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}}
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 {\displaystyle \{\top ,\bot \}} 대신 불 대수 {\mathcal P}(X)로 나타내어진다.

임의의 순서수 \alpha 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} \_{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} \_{X,\alpha })}
{\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}}
### 좋은 이름

원순서 집합 (X,\lesssim )와 P-이름 \tau 가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 {\displaystyle f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)}의 치역의 모든 원소가 P의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

{\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}}
이러한 꼴의 이름을 \tau 에 대한 **좋은 이름**(영어: nice name)이라고 한다.:208, Definition VII.5.11

특히, \tau 에 대한 좋은 이름 \sigma 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau }

성질
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### 범주론적 성질

임의의 순서수 \alpha 에 대하여, {\displaystyle \operatorname {Name} \_{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 f\colon X\to Y에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {Name} \_{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} \_{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} \_{X,\beta },\;\beta <\alpha \}}
이다.

보다 일반적으로, \operatorname {Rel}이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Name} \_{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} }
{\displaystyle \operatorname {Name} \_{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} \_{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}}
임의의 부분 집합 S\subseteq X 및 한원소 집합 \{\bullet \}에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 {\displaystyle R\_{S}}를 생각하자.

{\displaystyle (x,\bullet )\in R\_{S}\iff x\in S}
그렇다면, 함수

{\displaystyle \operatorname {Name} \_{R\_{S}}\colon \operatorname {Name} \_{X}\to \operatorname {Name} \_{\{\bullet \}}\cong V}
를 생각하자. 이를 X-이름의 S-**해석**이라고 하며,

{\displaystyle \operatorname {val} \_{S}\colon \operatorname {Name} \_{X}\to V}
로 표기한다.:189, Definition VII.2.7

강제법에서, {\displaystyle \operatorname {val} \_{S}(u)}는 포괄적 순서 아이디얼 S를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

### 모형 이론적 성질

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.:188, §VII.2 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 M 및 {\displaystyle X\in M} 및 집합 {\displaystyle \tau \in M}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} \_{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} \_{X}}
다시 말해, {\displaystyle (\operatorname {Name} \_{X})^{M}=\operatorname {Name} \_{X}\cap M}이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.

ZFC의 표준 추이적 모형 M 및 원순서 집합 {\displaystyle X\in M} 및 두 이름 {\displaystyle \mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} \_{X}}에 대하여, 다음이 성립하는 \sigma -좋은 이름 \tau 가 존재한다.

{\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )}
다시 말해, 임의의 X의 포괄적 순서 아이디얼 G 및 {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Name} \_{X}\cap M} 및 {\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} \_{G}(\sigma ))\cap M[G]}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {val} \_{G}(\tau )=S}인 \sigma -좋은 이름 \tau 가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 \tau 가 \sigma -좋은 이름일 때, {\displaystyle \operatorname {val} \_{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} \_{G}(\sigma )}일 필요는 없다.:209)

예
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만약 X가 공집합이라면 {\displaystyle \operatorname {Name} \_{\varnothing }=\{\varnothing \}}이다.

만약 X가 한원소 집합이라면 Q는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.