대수학 및 대수적 수론에서 **절댓값**(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.

정의
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정역 D 위의 **절댓값**은 다음 조건들을 만족시키는 함수 |\cdot |\colon D\to {\mathbb R}\_{{\geq 0}}이다.:116, Definition 3.1

* 임의의 x\in D에 대하여, |x|=0\iff x=0
* 임의의 x,y\in D에 대하여, |xy|=|x||y|
* (삼각 부등식) 임의의 x,y\in D에 대하여, |x+y|\leq |x|+|y|

정역 D 위의 절댓값은 그 분수체 K=\operatorname {Frac} D 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.

|x/y|=|x|/|y|\qquad\forall x,y\in D
절댓값을 갖춘 정역 (D,|\cdot |) 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.

d(x,y)=|x-y|
절댓값의 공리에 따라, |1|=|-1|=1이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

{\displaystyle |n|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
### 비아르키메데스 절댓값

정역 D 위의 절댓값 |\cdot |에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 **비아르키메데스 절댓값**(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.

* (초거리 부등식) 임의의 x,y\in D에 대하여, |x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}
* \{|\overbrace {1+1+\cdots +1}^{n}|\colon n\in {\mathbb N}\}이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 **아르키메데스 절댓값**(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, a\mapsto-\log|a|는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 v가 주어졌다면, 그 지수 함수 a\mapsto\exp(-v(a))는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 |\cdot |을 갖춘 체 K에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 K의 |\cdot |에 대한 **정수환**(영어: ring of integers)이라고 한다.

### 자리

같은 정역 D 위의 두 절댓값 |\cdot |, |\cdot |'에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 **동치**라고 한다.

* 임의의 x\in D에 대하여, 만약 |x|<1이면 |x|'<1이다.
* 임의의 x\in D에 대하여, |x|<1과 |x|'<1이 동치이다.
* |\cdot |과 |\cdot |'은 D 위에 같은 위상을 정의한다.
* |\cdot |=|\cdot |^{s}인 양의 실수 s\in {\mathbb R}^{+}가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 **자리**(영어: place)라고 한다.

### 완비화

절댓값을 갖춘 정역 D는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 (x\_{i})\_{{i\in {\mathbb N}}}\subset D들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 D의 절댓값 |\cdot |에 대한 **완비화**(영어: completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

예
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임의의 정역 D 위의 **자명 절댓값**(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.

|x|\_{0}={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}
유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

|\cdot |\_{{{\mathbb R}}}\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}
|\cdot |\_{{{\mathbb C}}}\colon x+iy\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}
### 𝔭진 절댓값

데데킨트 정역 D가 주어졌을 때, D의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}에 대하여 **{\mathfrak {p}}진 절댓값**(영어: {\mathfrak {p}}-adic absolute value) |\cdot |\_{{{\mathfrak p}}}은 D 위의 절댓값이며, 다음과 같다.

|x|\_{{{\mathfrak p}}}={\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)={\mathfrak p}^{n}{\mathfrak q},\qquad {\mathfrak p}\nmid {\mathfrak q},\qquad n\in {\mathbb N}\end{cases}}
이는 물론 \operatorname {Frac}D 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

### 대수적 수체

**오스트롭스키 정리**(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 K 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.

* 자명 절댓값 |\cdot |\_{0}과 동치인 자리. 이를 **자명 자리**(영어: trivial place)라고 한다.
* 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}에 대하여, {\mathfrak {p}}진 절댓값의 자리. 이를 **유한 자리**(영어: finite place)라고 한다.
* 실수로의 매장 \iota \colon K\hookrightarrow {\mathbb R}에 대하여, |\cdot |\_{\iota }=|\cdot |\_{{{\mathbb R}}}\circ \iota. 여기서 |\cdot |\_{{{\mathbb R}}}는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **실 무한 자리**(영어: real infinite place)라고 한다.
* 복소수로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C에 대하여 (\iota (K)\not \subset {\mathbb R}), |\cdot |\_{\iota }=|\cdot |\_{{{\mathbb C}}}\circ \iota. 여기서 |\cdot |\_{{{\mathbb C}}}는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, \iota 와 {\bar \iota }는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **복소 무한 자리**(영어: complex infinite place)라고 한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

* 자명 자리 |\cdot |\_{0}
* 소수 p에 대하여, p진 자리 |\cdot |\_{p}
* 하나의 실 무한 자리 |\cdot |\_{\infty }

**겔판트-토른하임 정리**(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

대수적 수체 K의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.:192

역사
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퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
2. ↑  Cassels, J.W.S. (1986). 《Local fields》. London Mathematical Society Student Texts (영어) **3**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
3. ↑  Kürschák, Josef (1913). "Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **142**: 211–253. doi:10.1515/crll.1913.142.211. JFM 44.0239.01.