대수기하학에서 **사영 스펙트럼**(射影spectrum, 영어: projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.:76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(*R*).

정의
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가환환 R 위에 자연수 등급이 주어져 등급환

{\displaystyle R=\bigoplus \_{i=0}^{\infty }R\_{i}=R\_{0}\oplus R\_{1}\oplus R\_{2}\oplus \dotsb }
을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 {\displaystyle \textstyle R\_{+}=\bigoplus \_{i=1}^{\infty }R\_{i}}을 생각하자. 그렇다면, R의 **사영 스펙트럼** \operatorname {Proj}R는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 R의 소 아이디얼 \mathfrak a들의 집합이다.

1. 동급이다. 즉, 임의의 {\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}에 대하여, 그 성분들을 {\displaystyle r\_{i}\in R\_{i}}라고 하면, {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon r\_{i}\in {\mathfrak {a}}}이다.
2. 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, {\displaystyle R\_{+}\not \subseteq {\mathfrak {a}}}이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

### 자리스키 위상

\operatorname {Proj}R에 다음과 같은 **자리스키 위상**을 주어, 위상 공간으로 만든다. \operatorname {Proj}R의 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. R의 임의의 동급 아이디얼 \mathfrak a에 대하여,

U({\mathfrak a})=\{{\mathfrak b}\in \operatorname {Proj}R|b\not \subset {\mathfrak a}\}\subset \operatorname {Proj}R
이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

### 구조층

\operatorname {Proj}R에 다음과 같은 가환환 값의 층 {\mathcal O}를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 U에 대하여, {\mathcal O}(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

f\colon {\mathcal O}(U)\to \bigcup \_{{{\mathfrak p}\in U}}R\_{{{\mathfrak p}}}
이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus {\mathfrak p}를 {\mathfrak {p}}의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, R\_{{({\mathfrak p})}}는 R의 S에서의 국소화이다. 모든 {\mathfrak p}\in U에 대하여,

1. f({\mathfrak p})\in R\_{{({\mathfrak p})}}
2. {\mathfrak {p}}는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 {\mathfrak p}\in V\subset U가 존재하여, 모든 {\mathfrak q}\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 r,s\in R가 존재한다.
	1. f({\mathfrak q})=r/s
	2. r와 s는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, r,s\in R\_{i}인 i\in \mathbb {N} 이 존재한다.
	3. s\not \in {\mathfrak q}.

이렇게 층을 주면, \operatorname {Proj}R는 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

### 사영 스펙트럼 위의 가군층

등급환 R 위에 등급 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, \operatorname {Proj}R 위의 가군층 {\tilde {M}}을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 U에 대하여, {\mathcal O}\_{{{\tilde M}}}(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

f\colon {\mathcal O}\_{{{\tilde M}}}(U)\to \bigcup \_{{{\mathfrak p}\in U}}M\_{{{\mathfrak p}}}
이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus {\mathfrak p}를 {\mathfrak {p}}의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, M\_{{({\mathfrak p})}}는 M의 S에서의 국소화이다. 모든 {\mathfrak p}\in U에 대하여,

1. f({\mathfrak p})\in M\_{{({\mathfrak p})}}
2. {\mathfrak {p}}는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 {\mathfrak p}\in V\subset U가 존재하여, 모든 {\mathfrak q}\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 m\in M, s\in R가 존재한다.
	1. f({\mathfrak q})=m/s
	2. m과 s는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, m\in M\_{i}, s\in R\_{i}인 i\in \mathbb {N} 이 존재한다.
	3. s\not \in {\mathfrak q}.

특히, R 자체를 R의 등급 가군으로 간주하면, {\tilde R}는 \operatorname {Proj}R의 구조층이다.

임의의 등급 가군 {\displaystyle \textstyle M=\bigoplus \_{i}M\_{i}}가 주어지면, 임의의 정수 l\in {\mathbb Z}에 대하여 그 **뒤틀림**(twist) M(l)은

M(l)\_{i}=M\_{{i+l}}
인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 l만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 {\tilde {M}}의 **뒤틀림** {\tilde M}(l)을 정의할 수 있다. 구조층 {\tilde R}={\mathcal O}의 뒤틀림 \mathcal O(1)은 **세르 뒤틀림 층**(영어: Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

### 대역적 사영 스펙트럼

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X})
* {\mathcal O}\_{X}-준연접층들의 족 {\displaystyle ({\mathcal {S}}\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}. 또한, {\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}=\bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {S}}\_{i}}로 놓자.
* 각 열린집합 U\in \operatorname {Open}(X)에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }\Gamma (U,{\mathcal {S}}\_{i})} 위의 {\mathbb N}-등급 {\mathcal O}\_{X}(U)-결합 대수 구조

그렇다면, 각 아핀 열린집합 U\subseteq X에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.

{\displaystyle Y\_{U}=\operatorname {Proj} \Gamma (U,{\mathcal {S}})}
이제, 자연스러운 스킴 사상

{\displaystyle \pi \_{U}\colon Y\_{U}\to U}
이 존재한다. (이는 {\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {S}})}가 {\mathcal O}\_{X}(U)-등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 {\displaystyle \pi \_{U}}들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 **대역적 사영 스펙트럼**(大譯的射影spectrum영어: global projective spectrum) 또는 **상대 사영 스펙트럼**(相對射影spectrum, 영어: relative projective spectrum) {\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} {\mathcal {S}}}라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)

성질
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\operatorname {Proj}R의 구조층 {\mathcal O}의 {\mathfrak p}\in \operatorname {Proj}R에서의 줄기 {\mathcal O}\_{{{\mathfrak p}}}=R\_{{({\mathfrak p})}}이다.:76 여기서 R\_{{({\mathfrak p})}}는 {\mathfrak {p}}의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

### 함자성의 실패

아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.

다만, 가환 등급환 R의 동차 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {i}}}이 주어졌을 때, 몫 사상 {\displaystyle R\to R/{\mathfrak {i}}}는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입

{\displaystyle \operatorname {Proj} {\frac {R}{\mathfrak {i}}}\to \operatorname {Proj} R}
을 정의한다.:100, §Ⅲ.2.2

아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.:100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15 예를 들어, 체 K에 대한 사영 공간 {\displaystyle \operatorname {Proj} K[x\_{0},x\_{1},\dotsc ,x\_{n}]}에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {i}}}가 주어졌을 때, {\displaystyle {\mathfrak {i}}}와 {\displaystyle \textstyle \sum \_{n\geq N}{\mathfrak {i}}\_{n}}은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 ({\displaystyle N\geq 0}은 임의의 자연수).

예
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### 자명한 사영 스펙트럼

임의의 (단위원을 가진) 가환환 R이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 R\cong R[]이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 {\mathbb P}\_{R}^{0})은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영 아이디얼 R\_{+}=(0)이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, 등급환 {\displaystyle \textstyle R=\bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }R\_{i}}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:80

* 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Proj} R=\varnothing }이다.
* {\displaystyle \textstyle R\_{+}\subseteq {\sqrt {(0)}}}이다. 즉, R\_{+}의 모든 원소가 멱영원이다.

### 사영 공간

 이 부분의 본문은 사영 공간입니다.
K가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 K에 대한 ***n*차원 사영 공간** {\mathbb P}\_{K}^{n}은 등급환 {\displaystyle K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]}의 사영 스펙트럼이다.:77

사영 공간 {\mathbb P}\_{K}^{n}=\operatorname {Proj}K[x\_{0},x\_{1},\dots ,x\_{n}]의 경우, 세르 뒤틀림 층 \mathcal O(1)의 단면은 1차 동차다항식

\sum \_{i}c\_{i}x\_{i}
의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.

특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 K에 대하여

{\displaystyle \operatorname {Proj} K[x]=\operatorname {Spec} K}
이다.

### 준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼

다음이 주어졌다고 하자.

* 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X})
* {\mathcal O}\_{X}-준연접층 \mathcal E

그렇다면, 대칭 대수의 층

{\displaystyle \operatorname {\underline {Sym}} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}({\mathcal {E}})\colon U\mapsto \operatorname {Sym} \_{{\mathcal {O}}\_{X}(U)}\Gamma (U,{\mathcal {E}})}
및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼

{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} \left(\operatorname {\underline {Sym}} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}({\mathcal {E}})\right)=\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
를 정의할 수 있다.

특히, 만약 추가로 \mathcal E가 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 \iota 에 대하여

{\displaystyle Y{\xrightarrow {\iota }}\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}
의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 Y\to X를 **사영 사상**(射影寫像, 영어: projective morphism)이라고 한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. 1 2  Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). 《The geometry of schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **197**. Springer-Verlag. doi:10.1007/b97680. ISBN 978-0-387-98638-8. ISSN 0072-5285. MR 1730819. Zbl 0960.14002.