층 이론에서, **르레 스펙트럼 열**(Leray spectrum列, 영어: Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. **세르 스펙트럼 열**(Serre spectrum列, 영어: Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

정의
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**르레 스펙트럼 열**(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

{\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f\_{\*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma \_{X}}}\operatorname {Ab} }
여기서 f\_{\*}는 위상 공간 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 의하여 유도되는 층의 직상이며, \Gamma \_{X}는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 {\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab} }로의 직상)이다. 층의 직상 {\displaystyle f\_{\*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )}은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

{\displaystyle f^{\*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )}
f^\*\dashv f\_\*
을 가지므로, 직상 f\_{\*}은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}({\mathcal {F}})=\operatorname {H} ^{p}(Y;\operatorname {R} ^{q}f\_{\*}{\mathcal {F}})\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})}
여기서 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(-;-)}은 층 코호몰로지이다. 이를 사용하여 X 위의 층 코호몰로지를 Y 위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.

### 세르 스펙트럼 열

르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, f\colon X\to Y가 올이 F인 세르 올뭉치라고 하고, {\displaystyle {\mathcal {F}}={\underline {G}}}가 X 위의, 아벨 군 G 값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

* Y는 경로 연결 CW 복합체이다.
* 기본군 {\displaystyle \pi \_{1}(Y)}는 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(Y;G)} 위에 자명하게 작용한다.

그렇다면

{\displaystyle \operatorname {R} ^{q}f\_{\*}{\mathcal {F}}={\underline {\operatorname {H} ^{q}(F;G)}}}
가 된다. 즉, \operatorname R^{q}f\_{\*}{\mathcal F}는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.:8, Theorem 1.3

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}\left(Y;\operatorname {H} ^{q}(F;G)\right)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;G)}
여기서 {\displaystyle \operatorname {H} }는 특이 코호몰로지이다. 이를 **세르 스펙트럼 열**(영어: Serre spectral sequence)이라고 한다.

예
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### 고리 공간

양의 정수 n>0이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구 {\displaystyle (\mathbb {S} ^{n},\bullet \_{\mathbb {S} ^{n}})}에 대하여, 경로 공간 올뭉치

{\displaystyle \Omega \mathbb {S} ^{n}\hookrightarrow {\mathcal {P}}\mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}}
를 생각하자. (n=0인 경우, 0차원 초구는 경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서 \Omega 는 고리 공간이며, \mathcal P는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다.

이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{p,q}^{2}=\operatorname {H} \_{p}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} \_{q}(\Omega \mathbb {S} ^{n}))}
{\displaystyle \Omega \mathbb {S} ^{n}}은 경로 연결 공간이므로, q=0일 경우

{\displaystyle E\_{p,0}^{2}=\operatorname {H} \_{p}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&p\neq 0,n\\\mathbb {Z} &p=0,n\end{cases}}}
이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은 p=0 및 {\displaystyle p=n} 밖에 없다.

경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로,

{\displaystyle E\_{p,q}^{\infty }={\begin{cases}\mathbb {Z} &p=q=0\\0&p\neq 0\lor q\neq 0\end{cases}}}
이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는 {\displaystyle E\_{n,0}^{2}=\mathbb {Z} } 성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은 p=0 및 {\displaystyle p=n}밖에 없으므로, {\displaystyle E\_{n,0}^{2}}는 오직 n번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. n번째 쪽에서

{\displaystyle \deg d^{n}=(-n,n-1)}
이므로, {\displaystyle E\_{n,0}^{2}}은 {\displaystyle E\_{0,n-1}^{2}}과 상쇄되어야 한다. 즉,

{\displaystyle E\_{0,n-1}^{2}=\operatorname {H} \_{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} \_{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} }
이다. 따라서

{\displaystyle \operatorname {H} \_{n-1}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }
이다.

그런데 이제 {\displaystyle E\_{n,n-1}^{2}=\mathbb {Z} } 역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 n번째 쪽이며, 이는 {\displaystyle E\_{0,2(n-1)}^{2}}과 상쇄되어야 한다. 따라서

{\displaystyle E\_{0,2(n-1)}^{2}=\operatorname {H} \_{0}(\mathbb {S} ^{n};\operatorname {H} \_{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} }
이며

{\displaystyle \operatorname {H} \_{2(n-1)}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }
이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{k}(\Omega \mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\mid n-1\\0&k\nmid n-1\end{cases}}}
### 귀진 완전열

 이 부분의 본문은 귀진 완전열입니다.
올이 초구인 세르 올뭉치

{\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B}
가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 {\displaystyle E\_{\bullet }^{p,q}}은 오직 {\displaystyle q=0,k}인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 {\displaystyle k+2}번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 E의 코호몰로지와 B의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 **귀진 완전열**이라고 한다.

역사
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1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Leray, Jean (1946). "L’anneau d’homologie d’une représentation". 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) **222**: 1366–1368. Zbl 0060.40801.
2. 1 2  Leray, Jean (1946). "Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation". 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) **222**: 1419–1422. Zbl 0060.40802.
3. ↑  Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어).
4. ↑  Serre, Jean-Pierre (1951년 11월). "Homologie singulière des espaces fibrés". 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) **54** (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.