호모토피 이론에서 **단체 준군**(單體準群, 영어: simplicial groupoid, simplicially enriched groupoid)은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.:§Ⅴ

정의
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**단체 준군**은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.:313, §Ⅴ.7:10, §1 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 집합 {\displaystyle \operatorname {Ob} (G)}. 그 원소를 **대상**이라고 한다.
* 임의의 두 {\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} (G)}에 대하여, 단체 집합 {\displaystyle \hom \_{G}(x,y)}. 이를 {\displaystyle x\to y} 사상들의 단체 집합이라고 한다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* 각 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle G\_{n}=(\operatorname {Ob} (G),(\hom \_{G}(x,y))\_{n})}는 준군을 이룬다.
* 단체 범주 \triangle 의 사상 (즉, 증가 함수) {\displaystyle f\colon \{0,1,\dotsc ,n\}\to \{0,1,\dotsc ,m\}}에 대하여, {\displaystyle f^{\*}\colon G\_{m}\to G\_{n}}는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합 {\displaystyle \operatorname {Ob} (G\_{n})=\operatorname {Ob} (G)}에 대하여 항등 함수이다.)

단체 준군의 **사상**은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를 {\displaystyle \operatorname {sGpd} }로 표기하자.

성질
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단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {Gpd} }
{\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} }
가 존재한다.

모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 **단체군**(單體群, 영어: simplicial group)이라고 한다.

모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며,:18‒04, §3, Théorème 3 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다.

### 고리 준군

단체 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 화살집

{\displaystyle X\_{n+1}{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}X\_{0}}
{\displaystyle s=(\partial \_{1})^{n+1}\colon X\_{n+1}\to X\_{0}}
{\displaystyle t=\partial \_{0}\circ (\partial \_{2})^{n}\colon X\_{n+1}\to X\_{0}}
을 생각하자. (s는 화살의 머리, t는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을 {\displaystyle (\mathrm {G} X)\_{n}}이라고 표기하자.

이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) {\displaystyle e\in X\_{n+1}}에 대하여,

{\displaystyle s\_{i}^{\mathrm {G} X}(e)=s\_{i+1}^{X}(e)\qquad \forall e\in X\_{n+1}}
{\displaystyle \partial \_{i}^{\mathrm {G} X}(e)={\begin{cases}\partial \_{i+1}^{X}(e)&1\leq i\leq n\\\partial \_{0}^{\mathrm {G} X}(e)=(\partial \_{0}^{X}(e))^{-1}\partial \_{1}^{X}(e)&i=0\end{cases}}\qquad \forall e\in X\_{n+1}}
그렇다면, {\displaystyle \mathrm {G} X}는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면 {\displaystyle \partial \_{i}^{\mathrm {G} X}} 및 퇴화 단체 {\displaystyle s\_{i}^{\mathrm {G} X}} 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.

이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자

{\displaystyle \operatorname {sSet} \to \operatorname {sGpd} }
를 이룬다. 이를 **드와이어-칸 고리 준군 함자**(Dwyer-Kan고리準群函子, 영어: Dwyer–Kan loop groupoid functor)라고 한다. 대략, 단체 집합 X의 고리 준군 {\displaystyle \mathrm {G} X}는 다음과 같다.

* {\displaystyle \mathrm {G} X}의 대상의 집합 {\displaystyle (\mathrm {G} X)\_{0}}은 X의 꼭짓점 집합 X\_0과 같다.
* {\displaystyle \mathrm {G} X}의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은 X의 1차원 이상 단체들로 구성된 "경로"들의 집합이다. 여기서 X의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 "머리"로, 1번째 꼭짓점을 변의 "꼬리"로 여긴다.

이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다.

드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.

{\displaystyle G\colon \operatorname {sSet\_{red}} \to \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {sSet\_{red}} }는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(**축소 단체 집합** 縮小單體集合 영어: reduced simplicial set)들의 범주이다.
* {\displaystyle \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )}은 단체군의 범주이다.

### 단체 분류 공간

드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자

{\displaystyle \mathrm {B} \colon \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} }
를 가지며, 이를 **단체 분류 공간 함자**(單體分類空間函子, 영어: simplicial classifying space functor)라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍

{\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet} \leftrightarrows \operatorname {sGpd} \colon \mathrm {B} }
이 존재한다.

단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍

{\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet\_{red}} \leftrightarrows \operatorname {Grp} ^{\triangle ^{\operatorname {op} }}\colon \mathrm {B} }
이 존재한다.

구체적으로, 단체 준군 {\displaystyle (G\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

* {\displaystyle (\mathrm {B} G)\_{0}=\operatorname {Ob} (G)}
* {\displaystyle (\mathrm {B} G)\_{1}=\operatorname {Mor} (G\_{0})}
* {\displaystyle (\mathrm {B} G)\_{n}=\{(h\_{n-1},h\_{n-2},\dotsc ,h\_{1},h\_{0})\colon h\_{i}\in G\_{i},\;{\mathsf {s}}\_{G\_{n}}(h\_{i})={\mathsf {t}}\_{G\_{n}}(h\_{i-1})\;\forall 0<i<n\}\subseteq \operatorname {Mor} (G\_{n-1})\times \dotsb \times \operatorname {Mor} (G\_{0})}
	+ 여기서 {\displaystyle {\mathsf {s}}\_{G\_{n}},{\mathsf {t}}\_{G\_{n}}\colon \operatorname {Mor} (G\_{n})\to \operatorname {Ob} (G)}은 준군 G\_{n}의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
* 면 사상은 다음과 같다.
	+ {\displaystyle \partial \_{0}^{n}(h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})=(h\_{n-2},\dotsc ,h\_{0})}
	+ {\displaystyle \partial \_{i}^{n}(h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})=(\partial \_{i-1}^{G\_{n-1}}h\_{n-1},\partial \_{i-2}^{G\_{n-2}}h\_{n-2},\dotsc ,\partial \_{1}^{G\_{n-i+1}}h\_{n-i+1},(\partial \_{0}^{G\_{n-i}}h\_{n-i})h\_{n-i-1},h\_{n-i-2},\dotsc ,h\_{0})\qquad (0<i<n)}
	+ {\displaystyle \partial \_{n}^{n}(h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})=(\partial \_{n-1}^{G\_{n-1}}h\_{n-1},\dotsc ,\partial \_{1}^{G\_{1}}h\_{1})}
* 퇴화 사상은 다음과 같다.
	+ {\displaystyle s\_{0}^{n}(h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})=(\operatorname {id} \_{{\mathsf {s}}(h\_{n-1})},h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})}
	+ {\displaystyle s\_{i}^{n}(h\_{n-1},\dotsc ,h\_{0})=(s\_{i-1}h\_{n-1},\dotsc ,s\_{0}h\_{n-i},\operatorname {id} \_{{\mathsf {t}}(h\_{n-i})},h\_{n-i-1},\dotsc ,h\_{0})\qquad (0<i\leq n)}

### 모형 범주 구조

단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다.:323, Theorem 7.8 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.:325, Corollary 7.11

이 모형 범주 구조에서, 사상 f\colon G\to H가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

* (올림의 존재) 임의의 G의 대상 {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)} 및 H의 사상 {\displaystyle \alpha \in \hom \_{H}(f(x),y)}에 대하여, {\displaystyle f({\bar {\alpha }})=\alpha }이며 {\displaystyle f({\bar {y}})=y}인 G의 사상 {\displaystyle {\bar {\alpha }}\in \hom \_{G}(x,{\bar {y}})}이 존재한다.
* 각 대상 {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)}에 대하여, 단체 집합 사상 {\displaystyle \hom \_{G}(x,x)\to \hom \_{H}(f(x),f(x))}는 칸 올뭉치이다.

이 모형 범주 구조에서, 사상 f\colon G\to H가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

* f는 연결 성분 집합 \pi \_{0}(G), {\displaystyle \pi \_{0}(H)} 사이의 전단사 함수를 정의한다.
* 임의의 {\displaystyle x\in \operatorname {Ob} (G)}에 대하여, {\displaystyle (f\upharpoonright \hom \_{G}(x,x))\colon \hom \_{G}(x,x)\to \hom \_{H}(f(x),f(x))}는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다.

이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다.

### 무어 복합체

단체군 G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 **무어 복합체**라는 군들의 열을 정의할 수 있다.

{\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{0}{\xleftarrow {\partial \_{1}}}(\mathrm {N} G)\_{1}{\xleftarrow {\partial \_{2}}}(\mathrm {N} G)\_{2}{\xleftarrow {\partial \_{3}}}\dotsb }
이 사이의 사상 {\displaystyle \partial \_{i}\colon (\mathrm {N} G)\_{i}\to (\mathrm {N} G)\_{i-1}}은 군 준동형이며, 또한 {\displaystyle \partial \_{i}\circ \partial \_{i+1}=1} (상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 "사슬 복합체"를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 "사슬 복합체"의 "호몰로지"를 취할 수 있다.) 이러한 구조 {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{\bullet }}를 단체군 G의 **무어 복합체**(Moore複合體, 영어: Moore complex)라고 한다.

구체적으로,

{\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{n}=\bigcap \_{i=1}^{n}\ker \partial \_{i}^{G\_{n}}\leq G\_{n}}
{\displaystyle \partial \_{n}=\left(\partial \_{i}^{G\_{n}}\upharpoonright (\mathrm {N} G)\_{n}\right)\colon (\mathrm {N} G)\_{n}\to (\mathrm {N} G)\_{n-1}}
이다. 여기서 {\displaystyle \partial \_{i}^{G\_{n}}\colon G\_{n}\to G\_{n-1}}은 단체 대상의 면 사상이다. (※ {\displaystyle \partial \_{0}^{G\_{n}}}은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,

* 무어 복합체의 항 {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{n}}은 G의 n차원 단체 가운데, 1번째〜n번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{0}=G\_{0}}이다.)
* 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.

이러한 무어 복합체는 **초교차 복합체**(超交叉複合體, 영어: hypercrossed complex)라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다.

특히, 무어 복합체에서 {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{2}=1}이라고 하고, 처음 두 항

{\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{0}{\xleftarrow {\partial }}(\mathrm {N} G)\_{1}}
을 생각하자. {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{0}=G\_{0}}은 {\displaystyle (\mathrm {N} G)\_{1}} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle g\cdot h=s\_{0}^{G\_{0}}(g)h(s\_{0}^{G\_{0}}(g))^{-1}\in (\mathrm {N} G)\_{1}\qquad (g\in G\_{0},\;h\in (\mathrm {N} G)\_{1})}
그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다.

역사
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축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다. 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(영어: William Gerard Dwyer, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2. ISSN 0743-1643.
2. 1 2  Ehlers, Philip John (1991). 《Simplicial groupoids as models for homotopy type》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. University College of North Wales. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 5월 24일에 확인함.
3. ↑  Moore, John Coleman (1955년 4월 18일). "Homotopie des complexes monoïdaux Ⅰ". 《Séminaire Henri Cartan》 (프랑스어) **7** (2): 1–8.
4. ↑  Carrasco, Pilar; Cegarra, A. M. (1991). "Group-theoretic algebraic models for homotopy types". 《Journal of Pure and Applied Algebra》 (영어) **75**: 195–235. doi:10.1016/0022-4049(91)90133-M.
5. ↑  Kan, Daniel M. (1958년 7월). "On homotopy theory and c.s.s. groups". 《Annals of Mathematics》 (영어) **68** (1): 38–53. doi:10.2307/1970042. JSTOR 1970042.
6. ↑  Dwyer, William G.; Kan, Daniel M. (1984). "Homotopy theory and simplicial groupoids". 《Indagationes Mathematicae Proceedings》 (영어) **87** (4): 379–385. doi:10.1016/1385-7258(84)90038-6. ISSN 1385-7258.