외대수의 1차 · 2차 · 3차 원소는 기하학적으로 각각 방향을 갖춘 선분 · 평행사변형 · 평행육면체로 해석할 수 있다. 외대수 원소의 노름은 평행육면체의 부피와 같다.
추상대수학과 미분기하학에서 **외대수**(外代數, 영어: exterior algebra) 또는 **그라스만 대수**(Graßmann代數, 영어: Grassmann algebra)는 어떤 주어진 벡터 공간에 대하여, 그 벡터들의 완전 반대칭 조합들로 구성된 벡터 공간 및 그 위에 정의된 이항 연산으로 구성되는 단위 결합 대수이자 호프 대수이다. 기하학적으로, 이는 부호수를 갖는 넓이 또는 부피를 나타낸다.

정의
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가환환 K 위의 가군 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

T(V)=\bigoplus \_{{n=0}}^{\infty }T^{n}(V)=\bigoplus \_{{n=0}}^{\infty }\overbrace {V\otimes \_{K}V\otimes \_{K}\cdots \otimes \_{K}V}^{n}
를 정의할 수 있다. 이 위에는 겹선형 이항 연산

\otimes \colon T^{m}(V)\otimes \_{K}T^{n}(V)\to T^{{m+n}}(V)
(u\_{1}\otimes u\_{2}\otimes \cdots u\_{m})\otimes (v\_{1}\otimes v\_{2}\otimes \cdots v\_{n})=u\_{1}\otimes u\_{2}\otimes \cdots u\_{m}\otimes v\_{1}\otimes v\_{2}\otimes \cdots v\_{n})
이 정의되어 있으며, 이에 따라 T(V)는 이는 K 위의 자연수 등급을 갖는 등급 단위 결합 대수를 이룬다.

T(V)의 다음과 같은 아이디얼을 생각하자.

I=(\{v\otimes v\colon v\in V\})=\operatorname {Span}\{v\_{1}\otimes v\_{2}\otimes \cdots v\_{n}\colon \exists i,j\colon v\_{i}=v\_{j}\}
그렇다면, 이 아이디얼에 대하여 몫대수를 취할 수 있으며, 이를 **외대수**

\bigwedge (V)=T(V)/I
\bigwedge (V)=\bigoplus \_{{n=0}}^{\infty }\bigwedge ^{n}(V)
라고 한다. 아이디얼에 대하여 몫을 취했으므로, 이 역시 K 위의 단위 결합 대수이다. 외대수에서의 이항 연산은 통상적으로

\wedge \colon \bigwedge ^{m}V\otimes \bigwedge ^{n}V\to \bigwedge ^{{m+n}}V
\alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod I}
로 쓰며, **쐐기곱**(영어: wedge product) 또는 **외적**(外積, 영어: exterior product)이라고 한다.

외대수의 n차 원소 a\in \bigwedge ^{n}V는 **n-블레이드**(영어: n-blade) 또는 **n-벡터**(영어: n-vector) 또는 **n-다중벡터**(영어: n-multivector) 따위로 불린다.

성질
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체 K 위의 벡터 공간 V 위의 외대수 \bigwedge (V)는 K 위의 단위 결합 대수이며, 자연수 등급을 갖는 등급 대수이다. 또한, 이항 연산은 등급 가환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

a\in \bigwedge ^{m}V
b\in \bigwedge ^{n}V
에 대하여,

a\wedge b=(-1)^{{mn}}b\wedge a
\deg(a\wedge b)=m+n
이다. 보다 일반적으로, 임의의

a\_{i}\in \bigwedge ^{{n\_{i}}}V\qquad (i=1,2,\dots ,k)
및 순열

\sigma \in \operatorname {Sym} (k)
에 대하여,

a\_{{\sigma (1)}}\wedge a\_{{\sigma (2)}}\wedge \cdots \wedge a\_{{\sigma (k)}}=(-1)^{\sigma }a\_{1}\wedge a\_{2}\wedge \cdots a\_{k}
이다. (이는 K의 표수가 2가 아니라면 쐐기곱의 등급 가환성과 동치이지만, 표수가 2일 경우에는 자명하지 않다.)

만약 V가 유한 차원 벡터 공간이며 \dim \_{K}V=d라면,

\dim \_{K}\bigwedge ^{n}(V)={\binom dn}
\dim \_{K}\bigwedge (V)=\sum \_{{n=0}}^{d}{\binom dn}=2^{d}
이다. 즉, \bigwedge (V)의 (자명하지 않은) 등급은 0,1,\dots ,d가 된다.

같은 체 위의 임의의 두 벡터 공간 V, W에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

\bigwedge (V\oplus W)\cong \bigwedge V\otimes \bigwedge W
\bigwedge ^{n}(V\oplus W)\cong \sum \_{{p+q=n}}\bigwedge ^{p}V\otimes \bigwedge ^{q}W
### 함자성

외대수는 벡터 공간의 범주 K{\text{-Vect}}에서, K 위의 단위 결합 대수의 범주 K{\text{-uAssoc}}로 가는 함자를 정의한다. 구체적으로, 선형 변환

T\colon V\to W
에 대응하는 외대수 준동형은 다음과 같다.

\bigwedge T\colon \bigwedge V\to \bigwedge W
\bigwedge T\colon v\_{1}\wedge \cdots \wedge v\_{n}\mapsto T(v\_{1})\wedge \cdots \wedge T(v\_{n})
또한, 외대수 함자는 왼쪽 완전 함자이다. 즉, 벡터 공간의 아벨 범주에서의 짧은 완전열

0\to U\to V\to W\to 0
이 주어졌을 때,

0\to \bigwedge U\to \bigwedge V
는 완전열이다. 또한,

0\to \bigwedge ^{1}U\wedge \bigwedge V\to \bigwedge V\to \bigwedge W\to 0
역시 완전열이다.

### 호프 대수 구조

외대수는 단위 결합 대수의 구조뿐만 아니라, 호프 대수의 구조를 갖는다. 이 경우, 쌍대곱(영어: coproduct)은 다음과 같다.

\Delta \colon \bigwedge ^{n}V\to \bigwedge ^{n}V\otimes \bigwedge ^{n}V
\Delta (v\_{1}\wedge \dots \wedge v\_{n})=\sum \_{{p=0}}^{n}\sum \_{{\sigma \in \operatorname {Sh}(p,n-p)}}(-1)^{\sigma }(v\_{{\sigma (1)}}\wedge \dots \wedge v\_{{\sigma (p)}})\otimes (v\_{{\sigma (p+1)}}\wedge \dots \wedge v\_{{\sigma (k)}})
여기서 \operatorname {Sh}(p,k-p)\subset \operatorname {Sym}(n)은 (p,n-p)-셔플 순열의 집합이다.

쌍대단위원(영어: counit)은

\epsilon \colon \bigwedge ^{n}V\to K
\epsilon \colon v\mapsto {\begin{cases}0&v\in \bigwedge ^{n}V,\qquad n>0\\v&v\in \bigwedge ^{0}V\cong K\end{cases}}
이다. 앤티포드(영어: antipode)는

S\colon \bigwedge ^{n}V\to \bigwedge ^{n}V
S\colon v\mapsto (-)^{{\deg v}}v
이다. (모든 연산들은 혼합 등급을 갖는 원소에 대하여 선형으로 정의된다.)

### 내적과 호지 쌍대

V가 실수체 위의 유한 차원 내적 공간이라고 하자. 그렇다면 \bigwedge V 위에도 자연스러운 내적이 존재하며, 다음과 같다. 임의의

a=u\_{1}\wedge u\_{2}\wedge \cdots \wedge u\_{m}\in \bigwedge ^{m}V
b=v\_{1}\wedge v\_{2}\wedge \cdots \wedge v\_{n}\in \bigwedge ^{n}V
에 대하여,

\langle a,b\rangle ={\begin{cases}\det(\langle a\_{i},b\_{j}\rangle )\_{{ij}}&m=n\\0&m\neq n\end{cases}}
이다.

V에 추가로 방향이 주어졌다고 하자. 즉, 정규 직교 기저의 순서 ({\mathbf e}\_{1},\dots ,{\mathbf e}\_{d})가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \bigwedge V 위에는 다음과 같은 **호지 쌍대**를 정의할 수 있다.

\*\colon \bigwedge ^{m}V\to \bigwedge ^{{d-m}}V
\*\colon {\mathbf e}\_{1}\wedge \cdots \wedge {\mathbf e}\_{m}\mapsto {\mathbf e}\_{{m+1}}\wedge \cdots \wedge {\mathbf e}\_{d}

기하학적 해석
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두 변의 좌표로 만든 행렬의 행렬식의 관점에서 평행사변형의 넓이
V가 실수체 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 \bigwedge ^{n}V의 원소는 부호를 갖는 n차원 초부피로 해석할 수 있다. 구체적으로, 일차 독립 벡터들의 열

v\_{1},v\_{2},\dots ,v\_{n}\in V
이 주어졌을 때

v\_{1}\wedge v\_{2}\wedge \cdots \wedge v\_{n}\in \bigwedge ^{n}V
는 \{v\_{i}\}\_{{i=1,\dots ,n}}을 변으로 하는 평행체(영어: parallelepiped)를 나타낸다. V가 내적을 가졌을 때, 내적으로 주어지는 노름

\|v\_{1}\wedge v\_{2}\wedge \cdots \wedge v\_{n}\in \bigwedge ^{n}V\|
은 이 평행체의 초부피와 같다.

예를 들어, n=1일 경우 \bigwedge ^{1}V\cong V는 V 속의 방향을 가리키며, 그 내적은 벡터의 길이와 같다. n=2일 경우 u\wedge v는 u와 v를 변으로 하는 평행사변형을 나타내며, 노름을 취하면 평행사변형의 넓이를 얻는다.

3차원 벡터와의 관계
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쐐기곱 (**연보라색** 평행사변형)과 관련지어 나타낸 벡터곱 (**파란색** 벡터). 평행한 단위 벡터 (**빨간색**)의 길이에 대한 벡터곱의 길이는 기준 평행사변형 (**연한 빨간색**)의 넓이에 대한 쐐기곱의 넓이가 된다.
3차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{3}에서의 외대수를 생각하자. 이 경우,

\bigwedge ^{0}{\mathbb R}^{3}\cong {\mathbb R}
\bigwedge ^{1}{\mathbb R}^{3}\cong {\mathbb R}^{3}
\bigwedge ^{2}{\mathbb R}^{3}\cong {\mathbb R}^{3}
\bigwedge ^{3}{\mathbb R}^{3}\cong {\mathbb R}
이므로, 호지 쌍대에 따라 외대수의 1차 및 2차 원소를 둘 다 3차원 벡터로 여길 수 있다.

이 경우, 외대수의 쐐기곱을 벡터의 벡터곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\mathbf u}\times {\mathbf v}=\*({\mathbf u}\wedge {\mathbf v})\qquad (u,v\in {\mathbb R}^{3})
즉, 3차원 벡터의 벡터곱은 쐐기곱의 특수한 경우이다. 그러나 3차원이 아닌 다른 차원에서는 \dim \bigwedge ^{1}V\neq \dim \bigwedge ^{2}V이므로, 두 벡터의 곱을 벡터로 여길 수 없다.

마찬가지로, 3차원 벡터의 삼중곱은 다음과 같이 쐐기곱으로 나타낼 수 있다.

{\mathbf u}\cdot {\mathbf v}\times {\mathbf w}=\*({\mathbf u}\wedge {\mathbf v}\wedge {\mathbf w})

역사
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헤르만 그라스만이 1844년에 《선형 확장 이론: 수학의 새 분야》(독일어: Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)에서 도입하였다. 그라스만은 자신의 이론을 "확장 이론"(독일어: Ausdehnungslehre)이라고 불렀다. 이후 그라스만의 이론은 오랫동안 잊혀져 있다가, 1888년에 주세페 페아노가 그의 이론을 재발견하였고 재조명하였다. 이후, 앙리 푸앵카레 · 엘리 카르탕 · 가스통 다르부 등에 의해, 미분 형식의 형태로 현대 미분기하학의 핵심적인 위치를 차지하게 되었다.

응용
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미분기하학에서는 접다발의 각 올인 접공간에 각각 외대수를 취하여 얻는 벡터 다발의 단면을 **미분 형식**이라고 한다. 미분 형식은 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다.

물리학에서, 외대수는 페르미온 값을 갖는 장들을 나타내기 위하여 쓰인다. 이들은 반가환수의 값을 갖는데, 반가환수는 외대수의 원소로 정의할 수 있다. 또한, 초대칭 이론의 경우 초장들은 초다양체 위에 정의되는데, 이는 국소적으로 외대수를 갖춘 유클리드 공간 매끄러운 함수환과 동형인 층을 갖춘 위상 공간이다.

참고 문헌
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1. ↑  Graßmann, Hermann (1844). Die lineale Ausdehnungslehre 《Die Lineale Ausdehnungslehre: ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert》 `|url=` 값 확인 필요 (도움말) (독일어). 라이프치히: Verlag von Otto Wigand.

* Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1988). 《Algebra》 (영어) 3판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1646-2.
* Bourbaki, Nicolas (1989). 《Algebra I: Chapters 1–3》. Elements of Mathematics (영어). Springer. ISBN 978-3-540-64243-5.