**도이치–조사 알고리듬**은 1992년 데이비드 도이치와 리처드 조사가 제안하고 1998년 리차드 클리브, 아서 에케르트, 키아라 맥카벨로 및 마이클 모스카가 개선한 결정론적 양자 알고리듬이다. 현재 실용성은 거의 없지만, 가능한 결정론적 고전 알고리듬보다 기하급수적으로 빠른 양자 알고리듬의 첫 번째 예 중 하나로 역사적인 의미가 있다.

도이치-조사 알고리듬으로 푸는 문제는, 양자 알고리듬에는 쉽고 결정적 고전 알고리듬에는 어렵도록 의도적으로 설계된 문제이다. 이는 양자 컴퓨터로 오류 없이 효율적으로 해결할 수 있는 블랙박스 문제인 반면, 결정론적 고전 컴퓨터는 문제를 해결하기 위해 블랙박스에 대한 기하급수적인 쿼리가 필요하다. 보다 자세히 설명하면, 양자 컴퓨터에서 다항식 시간 내에 정확하게 해결할 수 있는 문제 클래스인 **EQP**와 **P**가 다른 것과 관련하여 오라클을 생성한다.

이 문제는 확률적 고전 컴퓨터에서 해결하기 쉽기 때문에 확률적 고전 컴퓨터에서 다항식 시간의 유계 오류로 해결할 수 있는 문제 클래스인 **BPP**와 오라클 분리를 생성하지 않는다. 반면에, 사이먼 문제는 **BQP**와 **BPP** 사이에 오라클이 분리되는 문제의 예이다.

문제 설명
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도이치-조사 문제에서 다음 함수를 구현하는 오라클로 알려진 블랙박스 양자 컴퓨터가 주어져 있다:

{\displaystyle f\colon \{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}}

이 함수는 n비트 이진수를 {\displaystyle 0} 또는 1로 보낸다. 이 함수는 상수 함수(정의역 전체에서 {\displaystyle 0} 또는 정의역 전체에서 1)이거나 *균형 함수* (정확히 정의역의 원소들 절반에 대해 1, 나머지 절반에 대해 {\displaystyle 0})이다. 이때, 도이치-조사 문제는, 오라클을 사용하여 f가 상수 함수인지 균형 함수인지 판단하는 것이다.

고전적인 해
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기존의 결정론적 알고리듬의 경우 n 비트에 대해, 최악의 경우 f를 계산해야하는 횟수는 지수함수적으로 증가한다. 반면에 함수가 균형 함수이고 처음 두 출력 값이 다른 경우 최상의 경우가 발생한다. 기존의 무작위 알고리듬의 경우, 충분히 큰 k에 대해 f를 k번 계산하면 높은 확률로 정답을 생성한다.({\displaystyle k\geq 1}에 대해 {\displaystyle \epsilon \leq 1/2^{k}}확률로 실패). 하지만, 오류 가능성이 없는 답을 원할 경우 필요한 f 계산의 횟수는 여전히 지수함수적이다. 그러나, 도이치-조사 양자 알고리듬은 f에 대한 계산 한 번으로 항상 올바른 답을 내놓는다.

역사
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도이치-조사 알고리듬은 {\displaystyle n=1}인 경우에만 해를 제공했던 다음 데이비드 도이치의 초기(1985)작업"입력이 1비트인 불 함수{\displaystyle f:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}}가 주어졌을 때, 이 함수가 상수 함수인가?"

을 일반화 하였다. 도이치가 원래 제안한 알고리듬은 사실 결정론적이지 않았다. 알고리듬은 절반의 확률로 성공했다. 1992년에 도이치와 조사는 n비트 입력을 가진 함수로 일반화된 결정적 알고리듬을 만들었다. 도이치의 알고리듬과 달리, 이 알고리듬에는 하나가 아닌 두 개의 함수 계산이 필요했다.

도이치-조사 알고리듬에 대한 추가 개선 사항은 클레브와 다른 사람들에 의해 이루어졌다. 이들은 도이치-조사 알고리듬을 결정론적이며 f의 쿼리 하나만 필요한 알고리듬으로 만들었다. 그러나 알고리듬의 이름은 도이치와 조사가 사용한 획기적인 방법을 기리기 위해 여전히 도이치-조사 알고리듬이라고 한다.

연산
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도이치-조사 알고리듬이 작동하려면 x에서 f(x) 값을 계산하는 오라클 계산은 x 결어긋남이 없는 양자 오라클이어야 한다. 또한 x의 사본을 만들면 안된다. 만약 복제가 된다면 양자역학의 복제 불가능성 정리를 위반 하기 때문이다.

 도이치-조사 알고리듬 양자 회로
알고리듬은 n+1 큐비트가 {\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}|1\rangle }인 상태에서 시작한다. 즉, 처음 n 큐비트는 각각 상태 {\displaystyle |0\rangle }에 있고 마지막 큐비트는 {\displaystyle |1\rangle }인 상태이다. 그 다음, 각 큐비트에 아다마흐 변환을 적용 해서 다음 상태를 얻는다:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n+1}}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}|x\rangle (|0\rangle -|1\rangle )} .
이때, f는 양자 오라클로 구현되었다고 가정한다. 이 오라클은 상태 {\displaystyle |x\rangle |y\rangle }를 {\displaystyle |x\rangle |y\oplus f(x)\rangle }로 보낸다. 여기서, \oplus 는 2를 법으로 하는 덧셈을 나타낸다. 여기에 양자 오라클을 적용하면 다음을 얻는다:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n+1}}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}|x\rangle (|0\oplus f(x)\rangle -|1\oplus f(x)\rangle )} .
한편, x와 f(x)는 각각 {\displaystyle 0} 또는 1이다. 이 두 가지 가능성을 시험하면 위의 상태가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n+1}}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}|x\rangle (|0\rangle -|1\rangle )}.
이 때, 마지막 큐비트 {\displaystyle {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}는 무시할 수 있으며,

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}|x\rangle }
부분만 고려하면 된다

다음으로, 첫 번째 큐비트에 아다마흐 변환을 적용하여

{\displaystyle H^{\otimes n}|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \_{j=0}^{2^{n}-1}(-1)^{k\cdot j}|j\rangle }
(여기서 {\displaystyle k\cdot j}는 비트 곱들의 합{\displaystyle j\_{0}k\_{0}\oplus j\_{1}k\_{1}\oplus \cdots \oplus j\_{n-1}k\_{n-1}}이다.) 다음을 얻는다:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}\left[{\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \_{y=0}^{2^{n}-1}(-1)^{x\cdot y}|y\rangle \right]=\sum \_{y=0}^{2^{n}-1}\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}(-1)^{x\cdot y}\right]|y\rangle .}
이것으로부터 우리는 상태 k에 대한 확률이

{\displaystyle \left|{\frac {1}{2^{n}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}(-1)^{x\cdot k}\right|^{2}}
로 측정됨을 알 수 있다.

{\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}에 해당하는 {\displaystyle k=0}을 측정할 확률은

{\displaystyle {\bigg |}{\frac {1}{2^{n}}}\sum \_{x=0}^{2^{n}-1}(-1)^{f(x)}{\bigg |}^{2}}
이다.

f(x)가 상수(보강 간섭)이면 위 상태는 1로 측정 되고, 균형 함수(상쇄 간섭)이면 {\displaystyle 0}로 측정 된다. 즉, 오직 f(x)가 상수 함수일 때 만 최종 측정 값이 {\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}(모두 {\displaystyle 0})이다.

도이치 알고리듬
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도이치 알고리듬은 일반 도이치-조사 알고리듬의 {\displaystyle f\colon \{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}}에서 n=1일 때에 해당한다. {\displaystyle f(0)=f(1)}인지 확인 하는 것과 {\displaystyle f(0)\oplus f(1)} 값을 확인하는 것은 같다. (여기서, \oplus  제어된 NOT 게이트로 구현되었고 양자 XOR 게이트로 볼 수도 있는 2를 법으로 하는 덧셈이다.) 이 값이 {\displaystyle 0}이면 f는 상수 함수고, 1이면 f는 균형 함수다.

2 큐비트 상태 {\displaystyle |0\rangle |1\rangle }에서 시작한다. 아다마흐 변환을 각 큐비트에 적용해서 다음을 얻는다:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle ).}
{\displaystyle |x\rangle |y\rangle }를 {\displaystyle |x\rangle |f(x)\oplus y\rangle }로 보내는 함수 f의 양자 구현이 주어졌다고 가정한다. 이를 현재 상태에 적용하면

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(|0\rangle (|f(0)\oplus 0\rangle -|f(0)\oplus 1\rangle )+|1\rangle (|f(1)\oplus 0\rangle -|f(1)\oplus 1\rangle ))}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}((-1)^{f(0)}|0\rangle (|0\rangle -|1\rangle )+(-1)^{f(1)}|1\rangle (|0\rangle -|1\rangle ))}
{\displaystyle =(-1)^{f(0)}{\frac {1}{2}}\left(|0\rangle +(-1)^{f(0)\oplus f(1)}|1\rangle \right)(|0\rangle -|1\rangle )}
를 얻는다.

마지막 큐비트와 전체 페이즈를 무시하므로 다음 항만 고려한다:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +(-1)^{f(0)\oplus f(1)}|1\rangle ).}
이 상태에 아다마흐 변환을 적용하면

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle +(-1)^{f(0)\oplus f(1)}|0\rangle -(-1)^{f(0)\oplus f(1)}|1\rangle )}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}((1+(-1)^{f(0)\oplus f(1)})|0\rangle +(1-(-1)^{f(0)\oplus f(1)})|1\rangle ).}
여기서, {\displaystyle f(0)\oplus f(1)=0}임과 |0\rangle 을 측정하는 것이 동치이고 {\displaystyle f(0)\oplus f(1)=1}임과 |1\rangle 를 측정하는것이 동치이다. 따라서 확실하게 f(x)가 상수 함수인지 아닌지 알 수 있다.