기하학 정리에 대해서는 오일러 삼각형 정리 문서를 참고하십시오.
**오일러 정리**(영어: Euler’s theorem)는 수론의 하나로, 페르마의 소정리를 일반화한 정리의 하나이다.

정의
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정수 a 및 양의 정수 n이 주어졌고, a와 n이 서로소라고 하자. **오일러 정리**에 따르면, {\displaystyle a^{\phi (n)}}과 1은 법 n에 대하여 합동이다.

{\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

증명
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### 군론을 통한 증명

정수환의 몫환 \mathbb {Z} /(n)의 가역원군 {\displaystyle (\mathbb {Z} /(n))^{\times }}을 생각하자. {\displaystyle \operatorname {ord} a}가 a의 {\displaystyle (\mathbb {Z} /(n))^{\times }}에서의 위수라고 하자. 라그랑주 정리에 따라, {\displaystyle \operatorname {ord} a}는 가역원군의 크기 \phi (n)의 약수이다. 즉,

{\displaystyle \phi (n)=k\operatorname {ord} a}
인 양의 정수 k가 존재한다. 따라서

{\displaystyle a^{\phi (n)}=a^{k\operatorname {ord} a}=(a^{\operatorname {ord} a})^{k}\equiv 1^{k}=1{\pmod {n}}}
이다.

### 군론을 사용하지 않는 증명

정수의 집합 {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{m}\}}에 대한 다음 네 조건을 생각하자.

* ㈀ 만약 i\neq j라면, {\displaystyle x\_{i}\not \equiv x\_{j}{\pmod {n}}}이다.
* ㈁ 각 i에 대하여, x\_i와 n은 서로소이다.
* ㈂ 만약 x와 n이 서로소라면, {\displaystyle x=x\_{i}{\pmod {n}}}인 i이 존재한다.
* ㈃ {\displaystyle m=\phi (n)}

위 네 조건을 만족시키는 정수 집합은 반드시 존재한다. 예를 들어 {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}} 속의 정수 가운데 n과 서로소인 것들의 집합은 네 조건을 모두 만족시킨다. 사실 각 조건은 남은 세 조건으로부터 유도될 수 있다. 예를 들어 {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{\phi (n)}\}}이 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다고 하자. {\displaystyle r\_{i}\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}}가 x\_i를 n으로 나눈 나머지라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \{r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{\phi (n)}\}} 역시 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킨다. \phi 의 정의에 따라 이는 {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}} 속에서 n과 서로소인 모든 정수의 집합이다. 만약 x와 n이 서로소라면, x는 그 n에 대한 나머지와 합동이며, 이 나머지는 r\_{i} 가운데 하나다.

위 네 조건을 만족시키는 정수 집합 {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{\phi (n)}\}}을 취하자. 이제, {\displaystyle \{ax\_{1},ax\_{2},\dots ,ax\_{\phi (n)}\}} 역시 네 조건을 만족시킴을 증명하자. 조건 ㈀, ㈁, ㈃을 만족시킴을 증명하면 충분하다.

조건 ㈀. {\displaystyle ax\_{i}\equiv ax\_{j}{\pmod {n}}}라고 하자. n은 {\displaystyle a(x\_{i}-x\_{j})}의 약수이다. 즉, n의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 {\displaystyle a(x\_{i}-x\_{j})}의 소인수이다. a와 n이 서로소이므로 a와 n은 소인수를 공유하지 않으며, 따라서 n의 중복도를 감안한 소인수들은 모두 {\displaystyle x\_{i}-x\_{j}}의 소인수이다. 즉, n은 {\displaystyle x\_{i}-x\_{j}}의 약수이다. 따라서 {\displaystyle x\_{i}\equiv x\_{j}}이며, i=j이다.

조건 ㈁. a와 x\_i 모두 n과 서로소이므로 그 곱 {\displaystyle ax\_{i}} 역시 n과 서로소다.

조건 ㈃. 첫 번째 조건에 따라 {\displaystyle ax\_{i}}는 서로 합동이 아니며, 특히 서로 다르다.

이제, {\displaystyle \{ax\_{1},ax\_{2},\dots ,ax\_{\phi (n)}\}}과 {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{\phi (n)}\}}이 조건 ㈀, ㈁, ㈂, ㈃을 만족시키므로, 각 {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,\phi (n)\}}에 대하여,

{\displaystyle x\_{i}\equiv ax\_{\sigma (i)}{\pmod {n}}}
인 {\displaystyle \sigma (i)\in \{1,2,\dots ,\phi (n)\}}이 존재한다. x\_i가 서로 합동이 아니므로 {\displaystyle ax\_{\sigma (i)}} 역시 서로 합동이 아니며, {\displaystyle \sigma (i)}는 서로 다르다. 즉, {\displaystyle \sigma \colon \{1,2,\dots ,\phi (n)\}\to \{1,2,\dots ,\phi (n)\}}은 일대일 대응이다. 따라서

{\displaystyle a^{\phi (n)}\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}=\prod \_{i=1}^{n}ax\_{\sigma (i)}\equiv \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}{\pmod {n}}}
이며, {\displaystyle \textstyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}}와 n이 서로소이므로

{\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
이다.

예
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### 페르마의 소정리

 이 부분의 본문은 페르마의 소정리입니다.
페르마의 소정리는 오일러 정리의 특수한 경우이다. 정수 a 및 소수 p가 주어졌다고 하자. 또한, p가 a의 약수가 아니라고 하자. 그렇다면 a와 p는 서로소이다. {\displaystyle 1,2,\dots ,p-1}은 모두 p와 서로소이므로

{\displaystyle \phi (p)=p-1}
이다. 따라서

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
이다.

### 오일러 피 함숫값의 홀짝성

 이 부분의 본문은 오일러 피 함수입니다.
양의 정수 {\displaystyle n\geq 3}이 주어졌다고 하자. −1과 n은 서로소이므로, 오일러 정리에 따라

{\displaystyle (-1)^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
이다. 즉, \phi (n)은 짝수이다.

역사
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스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 증명하였다.