양자장론에서 **등각 대칭**(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다. 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론을 **등각 장론**이라 한다.

정의
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*d*차원 민코프스키 공간의 **등각 대칭군**은 \operatorname {SO}(d,2)이다. 이는 푸앵카레 군 \operatorname {ISO}(d-1,1)을 부분군으로 포함한다.

{\displaystyle \mu ,\nu ,\dots \in \{1,2,\dots ,d\}}라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

| 기호 | 이름 | 성분 수 | 등각 차원 |
| --- | --- | --- | --- |
| M\_{\mu \nu } | 회전 및 로런츠 변환 | d(d-1)/2 | 0 |
| P\_{\mu } | 병진 변환 | d | +1 |
| D | 확대 변환 | 1 | 0 |
| K\_{\mu } | 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation) | d | −1 |

이 가운데 M만 남기면 로런츠 군, M과 P만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.:(4.19)

{\displaystyle [D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }}
[D,P\_{\mu }]=iP\_{\mu }
{\displaystyle [K\_{\mu },P\_{\nu }]=2i(\eta \_{\mu \nu }D-M\_{\mu \nu })}
{\displaystyle [K\_{\mu },M\_{\nu \rho }]=i(\eta \_{\mu \nu }K\_{\rho }-\eta \_{\mu \rho }K\_{\nu })}
[P\_{\rho },M\_{\mu \nu }]=i(\eta \_{\rho \mu }P\_{\nu }-\eta \_{\rho \nu }P\_{\mu })
[M\_{\mu \nu },M\_{\rho \sigma }]=i(\eta \_{\nu \rho }M\_{\mu \sigma }+\eta \_{\mu \sigma }M\_{\nu \rho }-\eta \_{\mu \rho }M\_{\nu \sigma }-\eta \_{\nu \sigma }M\_{\mu \rho })
여기서 \eta \_{{\mu \nu }}는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화(영어: radial quantization) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

{\displaystyle D^{\dagger }=-D}
{\displaystyle (P\_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }}
{\displaystyle (M\_{\mu \nu })^{\dagger }=M^{\mu \nu }}
등각 대칭군이 \operatorname {SO}(d,2)임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.

{\displaystyle M\_{-1,0}=D}
{\displaystyle M\_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P\_{\mu }-K\_{\mu })}
{\displaystyle M\_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P\_{\mu }+K\_{\mu })}
그렇다면, 지표 {\displaystyle M,N\in \{-1,0,1,\dots ,d\}}에 대하여 {\displaystyle M\_{M,N}}은 \operatorname {SO}(d,2)의 표준적인 생성원을 이룬다.

{\displaystyle [M\_{MN},M\_{PQ}]=i(\eta \_{MQ}J\_{NP}+\eta \_{NP}J\_{AQ}-\eta \_{MP}M\_{NQ}-\eta \_{NQ}J\_{MP})}
{\displaystyle (M\_{MN})^{\dagger }=M^{MN}}
여기서

{\displaystyle \eta \_{-1,-1}=-1}
{\displaystyle \eta \_{0,0}=1}
이다.

표현
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등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.:98, (4.18)

M\_{{\mu \nu }}\equiv i(x\_{\mu }\partial \_{\nu }-x\_{\nu }\partial \_{\mu })
P\_{\mu }\equiv -i\partial \_{\mu }
D\equiv -ix\_{\mu }\partial ^{\mu }
K\_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial \_{\mu }-2x\_{\mu }x\_{\nu }\partial ^{\nu })
4차원의 경우, 등각 대칭군 \operatorname {SO}(4,2)\sim \operatorname {SU}(2,2)의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 7일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Mack, G. (1977). "All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **55** (1): 1–96. Bibcode:1977CMaPh..55....1M. doi:10.1007/BF01613145. MR 0447493. Zbl 0352.22012.
3. ↑  Knapp, A.W.; B. Speh (1982년 1월). "Irreducible unitary representations of SU(2, 2)". 《Journal of Functional Analysis》 (영어) **45** (1): 41–73. doi:10.1016/0022-1236(82)90004-0. Zbl 0543.22011.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

* Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)