환론에서 **국소화**(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 **오레 조건**(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화
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### 보편 성질

R가 가환환이고, S\subseteq R가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, R의 S에 대한 **국소화** {\displaystyle (S^{-1}R,\phi )}는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 S^{{-1}}R 및 환 준동형 \phi \colon R\to S^{{-1}}R으로 구성된다.

1. 임의의 {\displaystyle s\in S\subseteq R}에 대하여, \phi (s)\in S^{{-1}}R는 가역원이다.
2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 {\displaystyle R'} 및 환 준동형 \phi '\colon R\to R'에 대하여, \phi '=\chi \circ \phi 이 되는 환 준동형 \chi \colon S^{{-1}}R\to R'가 유일하게 존재한다.

{\begin{matrix}R&{\xrightarrow {\phi }}&S^{{-1}}R\\&{\scriptstyle \phi '}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&R'\end{matrix}}
국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 보편 성질은 S가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 S를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 S가 곱셈 모노이드가 아니고, {\displaystyle {\tilde {S}}}가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 {\displaystyle S^{-1}R={\tilde {S}}^{-1}R}가 된다.

### 구성

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r,r'\in R, s,s'\in S이고 t(rs'-r's)=0인 t\in S가 있다면

(r,s)\sim (r',s')
으로 정의한다. 그렇다면 {\displaystyle S^{-1}R=(R\times S)/{\sim }}로 놓자. 이는 대략 (r,s)를 r/s와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)를 r/s로 쓰자.

S^{{-1}}R 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

{\displaystyle {\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}}
{\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}}.
또한, R\to S^{{-1}}R로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

{\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}.
이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화
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가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 R 및 부분 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi \colon R\to S^{{-1}}R를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 \operatorname {Ring} 에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

* (A) S^{{-1}}R의 모든 원소 x에 대하여, {\displaystyle xs=r}가 되는 s\in S 및 r\in R가 존재한다.:288, (4.9.1a)
* (A′) S^{{-1}}R의 모든 원소 x에 대하여, {\displaystyle xs=r}가 되는 s\in S 및 r\in R가 존재한다.
* (B) \phi \colon R\to S^{{-1}}R의 핵은 {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}}이다.:288, (4.9.1b)
* (B′) \phi \colon R\to S^{{-1}}R의 핵은 {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}}이다.
* (C) {\displaystyle R\neq 0}이며 0\not \in S라면 {\displaystyle S^{-1}R\neq 0}이다.:289, Example (4.9.3)

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 **보편 S-가역화 환**(普遍S-可逆化環, 영어: universal S-inverting ring)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {Ring} }(R,-)} 속의, S를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

{\displaystyle G\_{S}\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set} }
{\displaystyle G\_{S}(R')=\left\{\phi \in \hom \_{\operatorname {Ring} }(R,R')\colon \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')\right\}}
를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 {\displaystyle F\_{S}\dashv G\_{S}}를 가지며, 따라서 {\displaystyle G\_{S}}는 표현 가능 함자이다. 즉,

{\displaystyle G\_{S}(-)=\hom \_{\operatorname {Ring} }(F\_{S}(\{\bullet \}),-)}
로 생각할 수 있으며, {\displaystyle F\_{S}(\{\bullet \})}는 국소화 S^{{-1}}R를 이룬다.

만약 R가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 S^{{-1}}R는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

### 구성

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.:Proposition (4.9.2) 환 R의 표시

{\displaystyle R\cong \langle \{r\_{i}\}\_{i\in I}|\{\phi \_{j}\}\_{j\in J}\rangle }
를 고르자. 즉, 생성원 r\_{i}와 관계 {\displaystyle \phi \_{j}}로 나타내자. 그렇다면, 각 s\in S에 대하여 생성원 {\displaystyle s^{\*}}를 추가하고, 또 관계

{\displaystyle ss^{\*}=s^{\*}s=1}
를 추가하자. 그렇다면

{\displaystyle S^{-1}R=\left\langle \{r\_{i}\}\_{i\in I}\sqcup \{s^{-1}\}\_{s\in S}|\{\phi \_{j}\}\_{j\in J}\cup \{ss^{\*}-1\}\_{s\in S}\cup \{s^{\*}s-1\}\_{s\in S}\right\rangle }
는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, S^{{-1}}R의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}r\_{i}^{(1)}(s\_{1}^{(1)})^{-1}r\_{i}^{(2)}(s\_{1}^{(2)})^{-1}\cdots r\_{i}^{(k\_{i})}(s\_{1}^{(k\_{i})})^{-1}}
### 오레 국소화

비가환환 R의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 **오레 조건**(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 **오레 국소화**는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **왼쪽 오레 조건**(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.

* {\displaystyle Sr\cap Rs\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}
* {\displaystyle \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad \forall r\in R}

마찬가지로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면, **오른쪽 오레 조건**(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.

* {\displaystyle rS\cap sR\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}
* {\displaystyle \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad \forall r\in R}

{\displaystyle (R,S)}가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

{\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff \exists {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S\colon {\tilde {s}}s'-{\tilde {r}}s={\tilde {s}}r'-{\tilde {r}}r=0}
그렇다면 S^{{-1}}R는 집합으로서 몫집합 {\displaystyle (R\times S)/{\sim }}이다. (r,s)의 동치류를 {\displaystyle s^{-1}r}로 표기하자. S^{{-1}}R 위의 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle (s^{-1}r)(s'^{-1}r')=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r)}
여기서 {\displaystyle {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r}인 {\displaystyle {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S}는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"{\displaystyle {\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=rs'^{-1}}"
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, S^{{-1}}R 위의 덧셈은 다음과 같다.

{\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s')}
여기서 {\displaystyle {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s'}인 {\displaystyle {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S}는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"{\displaystyle {\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=ss'^{-1}}"
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

"{\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+{\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}r'\right)=s^{-1}{\tilde {s}}^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)=({\tilde {s}}s)^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)}"
로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 S^{{-1}}R를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 **오레 국소화**(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.:Corollary (4.10.11)

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화
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환 R의 곱셈에 대한 부분 모노이드 S\subseteq R 및 R 위의 왼쪽 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M의 S에서의 **국소화** S^{{-1}}M은 S^{{-1}}R 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

{\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes \_{R}M}
또한, 표준적인 R-왼쪽 가군 사상 {\displaystyle \phi \colon M\to S^{-1}M}가 존재한다.

이는 함자

{\displaystyle (S^{-1}R\otimes \_{R})\colon {{}\_{R}\operatorname {Mod} }\to {{}\_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }}
를 정의하며, 환 준동형 R\to S^{{-1}}R에 의한 망각 함자

{\displaystyle F\colon {{}\_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }\to {{}\_{R}\operatorname {Mod} }}
의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 R-왼쪽 가군의 준동형 \phi \_{N}\colon M\to N에 대하여, 만약 임의의 s\in S에 대하여 s\cdot \colon N\to N이 전단사 함수라면, \phi \_{N}=\chi \circ \phi 인 R-왼쪽 가군 준동형 \chi \colon S^{{-1}}M\to N이 존재한다.

{\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi }}&S^{{-1}}M\\&{\scriptstyle \phi \_{N}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&N\end{matrix}}
### 구성

R가 가환환일 때, 가군의 국소화 {\displaystyle S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes \_{R}M}는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

{\displaystyle S\times M} 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

{\displaystyle (s,m)\sim (s',m')\iff \exists t\in S\colon ts'm=tsm'}
S^{{-1}}M은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. {\displaystyle (s,m)\in S\times M}의 동치류를 {\displaystyle m/s}로 표기하자. 그렇다면, S^{{-1}}M 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {m'}{s'}}={\frac {s'm+sm'}{ss'}}\qquad \forall m,m'\in M,\;s,s'\in S}
{\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{s'}}={\frac {rm}{ss'}}\qquad \forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R}

성질
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### 소 아이디얼

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi \colon R\to S^{{-1}}R의 소 아이디얼들은 R의 소 아이디얼 가운데 S와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

f\colon \operatorname {Spec}(S^{{-1}}R)\to \{{\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R\colon {\mathfrak p}\cap S=\varnothing \}
f\colon {\mathfrak q}\mapsto \phi ^{{-1}}({\mathfrak q})
여기서 \phi \colon R\to S^{{-1}}R는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, R의 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}에 대하여, R\_{{{\mathfrak p}}}는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 {\mathfrak {p}}에 대응한다.

### 국소화의 단사성과 전사성

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 표준적 환 준동형 R\to S^{{-1}}R가 단사 함수이다.
* S는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환 R 위의 단사 가군 I 및 임의의 원소 r\in R에 대하여, I\to I\_{r}는 전사 함수이다.:214, Lemma III.3.3

### 오레 조건의 필요충분성

환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:300, Theorem (4.10.6)

* {\displaystyle (R,S)}는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
* 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 {\displaystyle \phi \colon R\to R'}이 존재한다.
	+ {\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}
	+ {\displaystyle R'=\phi (S)^{-1}\phi (R)}
	+ {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}}

또한, 이러한 조건을 만족시키는 {\displaystyle \phi \colon R\to R'}는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.:302, Corollary (4.10.11)

마찬가지로, 환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle (R,S)}는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
* 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 {\displaystyle \phi \colon R\to R'}이 존재한다.
	+ {\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}
	+ {\displaystyle R'=\phi (R)\phi (S)^{-1}}
	+ {\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}}

특히, 만약 R가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

예
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(비가환일 수 있는) 환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R가 주어졌다고 하자.

* 0\in S이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{{-1}}R=0 (자명환)이다. 만약 R가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
* S=\{1\}이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{{-1}}R=R이다.

### 분수체

 이 부분의 본문은 분수체입니다.
(곱셈 항등원을 갖는) 환 R에 대하여,

{\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)}
가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, {\displaystyle (R,S)}가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 S^{{-1}}R를 R의 **전분수환** \operatorname {Frac} R라고 한다.

특히, 만약 R가 (가환) 정역이라면 {\displaystyle S=R\setminus \{0\}}이며, \operatorname {Frac} R는 체를 이룬다. 이 경우, \operatorname {Frac} R는 **분수체**라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 {\displaystyle S\subseteq R\setminus \{0\}}가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 R\to S^{{-1}}R은 다음과 같이 R\to \operatorname {Frac}R의 일부분을 이룬다.

{\displaystyle R\to S^{-1}R\to \operatorname {Frac} R}
이에 따라 S^{{-1}}R는 항상 분수체 \operatorname {Frac} R의 부분환을 이룬다.

### 정수환

정수환 \mathbb {Z} 의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 (p) 또는 영 아이디얼 (0)이다.

정수환 \mathbb {Z} 를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

{\mathbb Z}\_{{(p)}}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq {\mathbb Q}
{\mathbb Z}\_{{(0)}}={\mathbb Q}
즉, 분모가 p의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, \mathbb Z\_{(p)}는 이산 값매김환이며, {\mathbb Z}\_{{(0)}}={\mathbb Q}는 체이다.

정수환의 \mathbb {Z} 를 원소 k\in {\mathbb Z}에서 국소화하면 다음과 같다.

{\mathbb Z}\_{k}=\{m/k^{n}\colon \gcd\{m,k\}=1,\;n\in {\mathbb N}\}\subsetneq {\mathbb Q}\qquad (k\neq 0)
{\mathbb Z}\_{0}=0 (자명환)
즉, 분모가 k의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 \mathbb Z\_p로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

### 정수환의 몫환

정수환의 몫환 R={\mathbb Z}/(n)을 생각해 보자. n이 소수의 거듭제곱이라면 S=\{1\}이거나 0\in S이다. 만약 n=ab이고, a와 b가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 {\mathbb Z}/ab={\mathbb Z}/a\times {\mathbb Z}/b이다. 그렇다면 S=\{(1,0),(1,1)\}이 가능한데, 이 경우 S^{{-1}}R={\mathbb Z}/b이다.

### 비가환환의 자명한 국소화

체 K 및 정수 n\geq 2에 대하여, 행렬환 {\displaystyle \operatorname {Mat} (K;n)}을 생각하자. {\displaystyle E\_{i,j}}가 (i,j)에서 성분 1\in K을 가지며, 나머지 성분이 모두 0\in K인 행렬이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle S=\{1,E\_{i,j}\}}일 때, 국소화 {\displaystyle S^{-1}\operatorname {Mat} (K;n)}는 자명환이다.:289–290, Example (4.9.3)

응용
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대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.:xvi

* 원소 f\in R가 주어진 경우, R\_{f}는 S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 U\_{f}\subset \operatorname {Spec}R에 국한한 것이다.
	+ 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]\_{x}=k[x,x^{{-1}}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 \{x\neq 0\}={\mathbb A}\_{k}^{1}\setminus \{0\} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, \{x\neq 0\}으로 국한된 것을 알 수 있다.
* 소 아이디얼 {\mathfrak p}\in R가 주어진 경우, R\_{{{\mathfrak p}}}는 S=R\setminus {\mathfrak p}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R의 자리스키 폐포 V({\mathfrak p})의 근방에 국한한 것이다.
	+ 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]를 극대 아이디얼 (x)에서 국소화하면 유리 함수체 k[x]\_{{(x)}}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x],g(0)\neq 0\}을 얻는다. 이는 x=0의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, x=0의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

역사
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1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.:299:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.:300)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)가 도입하였다.:57

참고 문헌
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2. 1 2  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
3. ↑  Grell, H. (1927). "Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **97**: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831.
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8. ↑  Узков, Александр Илларионович (1948). "О кольцах частных коммутативных колец". 《Математический сборник》 (러시아어) **13**: 71–78. MR 26041. Zbl 0035.01903. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]

* Ranicki, Andrew, 편집. (2006년 2월). 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **330**. 220–313쪽. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 
	+ Škoda, Zoran (2006년 2월). 〈Noncommutative localization in noncommutative geometry〉. Ranicki, Andrew. 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **330**. 220–313쪽. arXiv:math/0403276. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605.