대수적 위상수학에서 **위상 K이론**(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의
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### 벡터 다발을 통한 정의

#### 0차 K군

다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 하우스도르프 공간 X
* 기호 {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}}. 이에 대하여,
	+ {\displaystyle \operatorname {O} }-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
	+ {\displaystyle \operatorname {U} }-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
	+ {\displaystyle \operatorname {Sp} }-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 2n차원이라면) \operatorname {Sp}(2n;{\mathbb R})--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)

그렇다면, X 위의 G-벡터 다발

{\displaystyle E\twoheadrightarrow X}
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}}인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

X의 G에 대한 **K군**(K-group) {\displaystyle \mathrm {K} G^{0}(X)}는 X 위의 G-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}}라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 G를 생략하였다면, {\displaystyle G=\operatorname {U} }를 뜻한다.

#### 축소 K군

(X,x\_0)가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 **축소 K군**(縮小K群, 영어: reduced K-group) {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x\_{0})}는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

{\displaystyle \phi \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {K} ^{0}(\{x\_{0}\})}
그렇다면

{\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x\_{0})=\ker \phi =\operatorname {K} ^{0}(X)/\operatorname {K} ^{0}(\{x\_{0}\})}
이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

{\displaystyle \dim \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,\mathbb {Z} )}
여기서 \check H^0(X,\mathbb Z)는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 X가 연결 공간이라면 \check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z이다. 이 경우 \dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z이며, 벡터 공간 K\_n^0(X)=\dim^{-1}(n)은 n차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

**상대 K군**(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. A\subseteq X가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 X의 A에 대한 **상대 K군** {\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X/A)}
여기서 X/A의 점은 물론 A/A\in X/A이다.

X가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, **콤팩트 지지 K군**(영어: K-group with compact support) {\displaystyle \operatorname {K} \_{\text{c}}^{0}(X)}는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X^+의 축소 K군이다.

{\displaystyle \operatorname {K} \_{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})}
물론, 만약 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

{\displaystyle \operatorname {K} \_{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X\sqcup \{\bullet \})=\operatorname {K} ^{0}(X)}
이다.

#### 고차 K군

**−n차 축소 K군** {\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} (\mathbb {S} ^{n}\wedge X)}
여기서 \wedge 는 위상 공간의 분쇄곱이고, \mathbb {S} ^{n}은 n차원 초구다. 여기서 S^0\wedge X\cong X이므로, {\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X)}의 정의는 일관적이다. 또한 {\displaystyle \mathbb {S} ^{m}\wedge \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n}}이므로, \tilde K^{-m-n}(X)=\tilde K^{-m}(S^n\wedge X)이다.

**−n차 (비축소) K군** {\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)}는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X^+=X\sqcup\{\infty\}의 축소 K군이다.

{\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X^{+})}
고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n-2}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n}(X)}
* {\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n-8}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n}(X)}.

이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 K^1, K^2 등을 정의할 수 있다.

### 안정 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. X 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 E, F 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

{\displaystyle E\sim F\iff \exists n\in \mathbb {N} \colon E\oplus \mathbb {C} ^{n}\cong F\oplus \mathbb {C} ^{n}}
여기서 {\mathbb C}^{n}은 n차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 {\displaystyle \cong }은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 **안정 벡터 다발**(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 X의 0차 **축소 K군** {\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(X)}이라고 한다.

### 분류 공간을 통한 정의

기호 {\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

{\displaystyle G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \dotsb }
에 대한 분류 공간의 포함 관계

{\displaystyle \mathrm {B} G(0)\to \mathrm {B} G(1)\to \mathrm {B} G(2)\to \dotsb }
가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 X 위의 {\displaystyle G(n)}-벡터 다발 {\displaystyle E\twoheadrightarrow X}가 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {G} (n+1)}-벡터 다발 {\displaystyle E\oplus \mathbb {K} }를 취하는 것이다 ({\displaystyle \mathbb {K} }는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

{\displaystyle \varinjlim \mathrm {B} G(\infty )}
를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 \operatorname O(n)의 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {BO} (n)}은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 n차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 \operatorname {U} (n)의 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {BU} (n)}은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 n차원 부분 공간들의 공간이다.

X가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, X의 **K군**은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {K} G(X)=[X,\mathbb {Z} \times \mathrm {B} G(\infty )]}
여기서 [X,Y]는 X\to Y 호모토피류들의 집합이다.

만약, X가 n차원 연결 공간이고 k>n/2일 때,

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} (X)\cong [X,\operatorname {BO} (k)]}
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} (X)\cong [X,\operatorname {BU} (k)]}
이 성립한다.

성질
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### 함자성

{\mathcal {C}}가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {KO} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \operatorname {KU} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \operatorname {KSp} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
* \operatorname {CRing} 은 가환환의 범주이다.
* \operatorname {Ab} 은 가환군의 범주이다.
* {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 X\to Y가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 {\displaystyle K(Y)\to K(X)}가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}
특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

### 보트 주기성

다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet +2}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet }(X)}
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet }(X)}
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet }(X)}
분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

{\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {BO} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} (\infty )}
{\displaystyle \Omega ^{2}\mathrm {BU} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BU} (\infty )}
{\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {Sp} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BSp} (\infty )}
### 코호몰로지

위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 {\displaystyle H^{n}(\{\bullet \})=0\forall n>0}이어야 하지만, K이론에서는 {\displaystyle \operatorname {KU} ^{2n}(\{\bullet \})=\mathbb {Z} }이다.)

### 천 지표

천 지표 {\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {Vect} (X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}는 X 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 \operatorname{Vect}(X)로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(X)\oplus \operatorname {H} ^{2}(X)\oplus \dotsb \subset \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}로 가는 모노이드 준동형이다.:40–45:100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 \operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)로 확장된다. 즉, [E],[F]\in K^0(X)라고 하면,

\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])
\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])
\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])
\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 \operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q) 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.:102

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(X)=\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X)}
{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cong \operatorname {H} ^{2k+1}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X;\mathbb {Q} )}
이므로, 이를 사용하여 천 지표를

{\displaystyle \operatorname {K} ^{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}
로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 K^\bullet(X)\otimes\mathbb Q와 H^\bullet(X;\mathbb Q) 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.:7

{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus \_{k}\operatorname {H} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus \_{k}\operatorname {H} ^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )}
마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.:7

{\displaystyle \operatorname {KO} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus \_{k}\operatorname {H} ^{4k}(X;\mathbb {Q} )}

예
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### 축약 가능 공간

하나의 점을 포함하는 공간 \{\bullet \}의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\{\bullet\})=\mathbb Z
\tilde K^0(\{\bullet\})=0
K^1(\{\bullet\})=\tilde K^1(\{\bullet\})=0
K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 \{\bullet \}의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

K^0(X)\cong\tilde K^0(X)\oplus\mathbb Z
K^1(X)\cong\tilde K^1(X)
임을 알 수 있다.

### 초구

초구 S^n의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.:39

{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}
초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.:§3.1

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}
### 기타 공간

복소수 사영 공간 \mathbb {CP} ^{n}의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\mathbb{CP}^n)=\mathbb Z^{n+1}
K^1(\mathbb{CP}^n)=0
원환면 \mathbb {T} ^{n}의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}
K^1(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}

역사
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마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Zois, Ioannis P. (2010년 8월). "18 lectures on K-Theory" (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
2. 1 2  Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》 (PDF) (영어) 버전 2.1판.
3. 1 2  Karoubi, Max (2006년 2월). "K-theory. An elementary introduction" (영어). arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K.
4. ↑  Gukov, Sergei (1999). "K-theory, reality, and orbifolds" (영어). arXiv:hep-th/9901042.
5. ↑  Otsuka, Shu. "Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about *K*-theory" (PDF).

* Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological *K*-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological *K*-theory》 (영어). Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0\_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.