직육면체의 윗면을 쌍곡 포물면으로 대신한 도형이중 적분은 그래프 곡면 아래의 부피를 구하는 방법이다. 밑면(직사각형)은 함수의 정의역을 나타내며, 윗면(쌍곡 포물면 *z* = 10 - (*x*2 - *y*2) / 8)은 함수의 그래프를 나타낸다.

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미적분학에서 **중적분**(重積分, 영어: multiple integral)은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 **이중 적분**(二重積分, 영어: double integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 xy 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 **삼중 적분**(三重積分, 영어: triple integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 계산을 위해 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다.

중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있으며, 이를 푸비니 정리라고 한다. 복잡한 중적분의 계산에는 변수 변환을 통해 적분 집합이나 함수를 단순화하는 기법이 필요하며, 이를 치환 적분이라고 한다.

일변수 함수의 리만 적분 · 리만-스틸티어스 적분 · 르베그 적분 · 르베그-스틸티어스 적분에 대하여 각각 그에 대응하는 중적분이 존재한다. 임의의 측도(또는 유한 가법 측도)에 의한 적분이 주어졌을 때, 이에 대응하는 중적분은 곱측도에 의한 적분이다.

정의
--

### 리만 중적분

#### 조르당 측도

평면 도형을 포함하거나 이에 포함되는, 직사각형들의 합집합평면 도형이 조르당 가측 집합일 필요 충분 조건은, 각각 안과 밖에 놓인, 직사각형의 유한 합집합을 통해 얻은 근사 넓이가 서로 같다는 것이다.
**리만 중적분**(영어: multiple Riemann integral)의 정의는 **조르당 측도**(영어: Jordan measure/content)에 기반한다.

유계 집합 {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}의 **조르당 내측도**(영어: inner Jordan measure) {\displaystyle \operatorname {m} \_{\*}(E)}는 이에 포함되는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {m} \_{\*}(E)=\sup \left\{\sum \_{i=1}^{m}\prod \_{j=1}^{n}(b\_{ij}-a\_{ij})\colon \bigsqcup \_{i=1}^{m}\prod \_{j=1}^{n}[a\_{ij},b\_{ij})\subseteq E,\;a\_{ij},b\_{ij}\in \mathbb {R} ,\;m\in \mathbb {N} \right\}}
비슷하게, E의 **조르당 외측도**(영어: outer Jordan measure) {\displaystyle \operatorname {m} ^{\*}(E)}는 이를 덮는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {m} ^{\*}(E)=\inf \left\{\sum \_{i=1}^{m}\prod \_{j=1}^{n}(b\_{ij}-a\_{ij})\colon \bigsqcup \_{i=1}^{m}\prod \_{j=1}^{n}[a\_{ij},b\_{ij})\supseteq E,\;a\_{ij},b\_{ij}\in \mathbb {R} ,\;m\in \mathbb {N} \right\}}
유계 집합 {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 E를 **조르당 가측 집합**(영어: Jordan measurable set)이라고 한다.

* {\displaystyle \operatorname {m} \_{\*}(E)=\operatorname {m} ^{\*}(E)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\operatorname {m} (E)}. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {m} (E)}를 E의 **조르당 측도**라고 한다.
* {\displaystyle m^{\*}(\partial E)=0}

조르당 측도는 유한 가법 측도이지만, 이름과 달리 측도가 아니다. 리만 중적분은 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다.

(유계) 조르당 가측 집합 {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}의 **분할**(영어: partition)은 다음 세 조건을 만족시키는 유한 집합족 {\displaystyle \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}\subseteq {\mathcal {P}}(E)}이다.

* 모든 {\displaystyle 1\leq i\leq m}에 대하여, E\_{i}는 조르당 가측 집합이다.
* 모든 {\displaystyle 1\leq i<j\leq m}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {m} (E\_{i}\cap E\_{j})=0}
* {\displaystyle E\_{1}\cup \cdots \cup E\_{m}=E}

또한, 분할 {\displaystyle \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}\subseteq {\mathcal {P}}(E)}의 **메시**(영어: mesh) {\displaystyle \lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})}는 다음과 같다.

{\displaystyle \lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})=\max \_{1\leq i\leq m}\operatorname {diam} E\_{i}}
#### 리만 중적분

함수 f\colon E\to {\mathbb R} ({\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}은 조르당 가측 집합)의, 분할 {\displaystyle \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}\subseteq {\mathcal {P}}(E)}에 대한 **리만 합**(영어: Riemann sum)은 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}f(\xi \_{1}^{(i)},\dotsc ,\xi \_{n}^{(i)})\operatorname {m} (E\_{i})\qquad (\xi \_{1}^{(i)},\dotsc ,\xi \_{n}^{(i)})\in E\_{i}}
또한, **다르부 상합**(영어: upper Darboux sum)은 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}\sup \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})}
또한, **다르부 하합**(영어: lower Darboux sum)은 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}\inf \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})}
함수 f\colon E\to {\mathbb R} ({\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}은 조르당 가측 집합)에 대하여, 만약 다음과 같은 극한이 존재하며, 분할 {\displaystyle \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}} 및 각 집합의 점 {\displaystyle (\xi \_{1}^{(i)},\dotsc ,\xi \_{n}^{(i)})}의 열의 선택과 무관하다면, f를 E 위의 **리만 적분 가능 함수**(영어: Riemann integrable function)라고 하며, 이 극한을 f의 **리만 n중적분**(영어: n-ple Riemann integral)이라고 한다.

{\displaystyle \int \_{E}f(x)dx=\iint \cdots \int \_{E}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\lim \_{\lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})\to 0}\sum \_{i=1}^{m}f(\xi \_{1}^{(i)},\dotsc ,\xi \_{n}^{(i)})\operatorname {m} (E\_{i})}
또한, **다르부 상적분**(영어: upper Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\int \_{E}}}f(x)dx={\overline {\iint \cdots \int \_{E}}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}&=\lim \_{\lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})\to 0}\sum \_{i=1}^{m}\sup \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})\\&=\inf \_{{\mathcal {P}}(E)\supseteq \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}\in \operatorname {dom} \lambda }\sum \_{i=1}^{m}\sup \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})\end{aligned}}}
마찬가지로, **다르부 하적분**(영어: lower Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int \_{E}}}f(x)dx={\underline {\iint \cdots \int \_{E}}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}&=\lim \_{\lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})\to 0}\sum \_{i=1}^{m}\inf \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})\\&=\sup \_{{\mathcal {P}}(E)\supseteq \{E\_{i}\}\_{i=1}^{m}\in \operatorname {dom} \lambda }\sum \_{i=1}^{m}\inf \_{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\_{i}}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\operatorname {m} (E\_{i})\end{aligned}}}
특히, 리만 이중 적분을

{\displaystyle \iint \_{E}f(x,y)dxdy=\iint \_{E}f(x,y)dA=\lim \_{\lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})\to 0}\sum \_{i=1}^{m}f(\xi \_{i},\eta \_{i})\operatorname {m} (E\_{i})}
와 같이 표기하며, 리만 삼중 적분을

{\displaystyle \iiint \_{E}f(x,y,z)dxdydz=\iiint \_{E}f(x,y,z)dV=\lim \_{\lambda (\{E\_{i}\}\_{i=1}^{m})\to 0}\sum \_{i=1}^{m}f(\xi \_{i},\eta \_{i},\zeta \_{i})\operatorname {m} (E\_{i})}
와 같이 표기한다.

#### 이상 리만 중적분

 이 부분의 본문은 이상 적분입니다.
유계 집합과 (정의역이 조르당 영집합이 아니라면) 유계 함수에 한정된 리만 중적분을 무계 집합과 무계 함수를 허용하는 **이상 리만 중적분**(영어: improper multiple Riemann integral)으로 확장할 수 있다. 일변수 함수에서와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.

함수 f\colon E\to {\mathbb R} 및 그 정의역 {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* E는 무계 집합이다.
* f는 유계 함수이다.
* 임의의 r>0에 대하여, {\displaystyle E\cap {\bar {B}}\_{R}(0)}는 조르당 가측 닫힌집합이다.
	+ 여기서 {\displaystyle {\bar {B}}\_{R}(0)=\{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\colon x\_{1}^{2}+\cdots x\_{n}^{2}\leq R^{2}\}}은 닫힌 공이다.
	+ 특히, E가 무계 닫힌집합일 경우, {\displaystyle E\cap {\bar {B}}\_{R}(0)}가 닫힌집합이라는 조건은 생략할 수 있다.
* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {\displaystyle F\subseteq E}에 대하여, f는 F에서 리만 적분 가능 함수이다.

이러한 f 및 E에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 {\displaystyle F\subseteq E}의 열의 선택과 무관하다면, 이를 f의 E 위의 **이상 리만 중적분**이라고 한다.

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\lim \_{\sup\{r>0\colon F\supseteq E\cap {\bar {B}}\_{R}(0)\}\to \infty }\iint \cdots \int \_{F}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}}
비슷하게, {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 {\displaystyle (a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\in E} 및 {\displaystyle f\colon E\setminus \{(a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\}\to \mathbb {R} }가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* E는 유계 집합이다.
* f는 무계 함수이다.
* 임의의 r>0에 대하여, {\displaystyle E\setminus B\_{R}(a)}는 조르당 가측 닫힌집합이다.
	+ 여기서 {\displaystyle B\_{R}(a)=\{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\colon (x\_{1}-a\_{1})^{2}+\cdots +(x\_{n}-a\_{n})^{2}\leq r^{2}\}}는 열린 공이다.
	+ 특히, E가 조르당 가측 닫힌집합일 경우, 이 조건은 생략할 수 있다.
* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {\displaystyle F\subseteq E\setminus \{(a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\}}에 대하여, f는 F에서 리만 적분 가능 함수이다.

이러한 f 및 E에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 {\displaystyle F\subseteq E\setminus \{(a\_{1},\dotsc ,a\_{n})\}}의 열의 선택과 무관하다면, 이를 f의 E 위의 **이상 리만 중적분**이라고 한다.

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\lim \_{\inf\{r>0\colon F\supseteq E\setminus B\_{R}(a)\}\to 0^{+}}\iint \cdots \int \_{F}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}}
### 르베그 중적분

**르베그 중적분**(영어: multiple Lebesgue integral)은 유클리드 공간의 르베그 측도에 기반하여 정의된다.

성질
--

리만 적분 가능 함수는 유계 함수일 필요가 없다. 예를 들어, 정의역이 조르당 영집합인 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 그러나, 양의 조르당 측도의 집합들로 임의로 세밀하게 분할될 수 있는 정의역 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다. 특히, 조르당 가측 열린집합 또는 그 폐포 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.

리만 중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 같은 성질들을 갖췄다. 예를 들어, 리만 중적분은 선형성 · 적분 집합에 대한 가법성 · 비엄격 부등식의 보존 · 곱의 적분 가능성 보존 등을 만족시킨다.

### 누차 적분과의 관계

 이 부분의 본문은 푸비니 정리입니다.
함수를 먼저 일부 변수에 대하여 적분한 뒤, 다시 남은 변수에 대하여 적분하는 것을 **누차 적분**(累次積分, 영어: repeated integral) 또는 **반복 적분**(反復積分)이라고 한다. 중적분은 일정 조건 아래 누차 적분을 통해 구할 수 있다.

함수 f\colon E\to {\mathbb R} ({\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 집합)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* f는 E에서 리만 적분 가능 함수이다.
* 임의의 {\displaystyle (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E}에 대하여, 리만 적분 {\displaystyle \overbrace {\iint \cdots \int } \_{\{(x\_{m+1},\dotsc ,x\_{n})\colon (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\}}^{n-m}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{m+1}\cdots dx\_{n}}이 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \overbrace {\iint \cdots \int } \_{E}^{n}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\overbrace {\iint \cdots \int } \_{\{(x\_{1},\dotsc ,x\_{m})\colon (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\}}^{m}dx\_{1}\cdots dx\_{m}\overbrace {\iint \cdots \int } \_{\{(x\_{m+1},\dotsc ,x\_{n})\colon (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E\}}^{n-m}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{m+1}\cdots dx\_{n}}
적분 구역 *a* ≤ *x* ≤ *b*, *α*(*x*) ≤ *y* ≤ *β*(*x*) 위의 적분은 *x*를 고정한 채 *y*에 대하여 적분한 뒤, 이를 다시 *x*에 대하여 적분한 것과 같다.
일부 특수한 정의역의 경우는 다음과 같다. (여기서 {\displaystyle \phi \leq \psi }, {\displaystyle \sigma \leq \tau })

* {\displaystyle \iint \_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy=\int \_{a}^{b}dx\int \_{c}^{d}f(x,y)dy}
* {\displaystyle \iint \_{\{(x,y)\colon a\leq x\leq b,\phi (x)\leq y\leq \psi (x)\}}f(x,y)dxdy=\int \_{a}^{b}dx\int \_{\phi (x)}^{\psi (x)}f(x,y)dy}
* {\displaystyle \iint \_{\{(x,y)\colon a\leq y\leq b,\phi (y)\leq x\leq \psi (y)\}}f(x,y)dxdy=\int \_{a}^{b}dy\int \_{\phi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)dx}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \Omega ,\phi (x,y)\leq z\leq \psi (x,y)\}}f(x,y,z)dxdydz=\iint \_{\Omega }dxdy\int \_{\phi (x,y)}^{\psi (x,y)}f(x,y,z)dz}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon (x,z)\in \Omega ,\phi (x,z)\leq y\leq \psi (x,z)\}}f(x,y,z)dxdydz=\iint \_{\Omega }dxdz\int \_{\phi (x,z)}^{\psi (x,z)}f(x,y,z)dy}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon (y,z)\in \Omega ,\phi (y,z)\leq x\leq \psi (y,z)\}}f(x,y,z)dxdydz=\iint \_{\Omega }dydz\int \_{\phi (y,z)}^{\psi (y,z)}f(x,y,z)dx}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon a\leq x\leq b,(y,z)\in \Omega \_{x}\}}f(x,y,z)dxdydz=\int \_{a}^{b}dx\iint \_{\Omega \_{x}}f(x,y,z)dydz}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon a\leq y\leq b,(x,z)\in \Omega \_{y}\}}f(x,y,z)dxdydz=\int \_{a}^{b}dy\iint \_{\Omega \_{y}}f(x,y,z)dxdz}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon a\leq z\leq b,(x,y)\in \Omega \_{z}\}}f(x,y,z)dxdydz=\int \_{a}^{b}dz\iint \_{\Omega \_{z}}f(x,y,z)dxdy}
* {\displaystyle \iiint \_{\{(x,y,z)\colon a\leq x\leq b,\phi (x)\leq y\leq \psi (x),\sigma (x,y)\leq z\leq \tau (x,y)\}}f(x,y,z)dxdydz=\int \_{a}^{b}dx\int \_{\phi (x)}^{\psi (x)}dy\int \_{\sigma (x,y)}^{\tau (x,y)}f(x,y,z)dz}

그러나, 둘째 전제가 없다면 결론이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 정의하자.

{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&(x,y)\in \{1,1/2,1/3,\dots \}\times \mathbb {Q} \\0&(x,y)\not \in \{1,1/2,1/3,\dots \}\times \mathbb {Q} \end{cases}}}
그렇다면,

{\displaystyle \iint \_{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)dxdy=0}
{\displaystyle \int \_{0}^{1}dy\int \_{0}^{1}f(x,y)dx=0}
이지만, {\displaystyle f(1/n,y)=1\_{\mathbb {Q} }(y)/n} (n=1,2,\dots )가 리만 적분 가능 함수가 아니므로

{\displaystyle \int \_{0}^{1}dx\int \_{0}^{1}f(x,y)dy}
는 존재하지 않는다.

### 치환 적분

극좌표계
원통 좌표계
구면 좌표계
 이 부분의 본문은 치환 적분입니다.
 변수 변환 문서를 참고하십시오.
함수 {\displaystyle g\colon E\to \mathbb {R} ^{n}} ({\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 닫힌집합) 및 {\displaystyle f\colon g(E)\to \mathbb {R} }가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* g는 단사 \mathcal C^1 함수이다.
* 임의의 {\displaystyle t\in D}에 대하여, {\displaystyle \det J\_{g}(t)\neq 0}
* f는 {\displaystyle g(E)}에서 리만 적분 가능 함수이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \int \_{g(E)}f(x)dx=\int \_{E}f(g(t))\left|\det J\_{g}(t)\right|dt}
여기서 {\displaystyle \det J\_{g}}는 g의 야코비 행렬식인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.

예를 들어, 극좌표 변환

{\displaystyle x=r\cos \theta }
{\displaystyle y=r\sin \theta }
{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r}
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

{\displaystyle \iint \_{D}f(x,y)dxdy=\iint \_{g^{-1}(D)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta }
또한, 원통 좌표 변환

{\displaystyle x=r\cos \theta }
{\displaystyle y=r\sin \theta }
{\displaystyle z=z}
{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}=r}
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

{\displaystyle \iiint \_{D}f(x,y,z)dxdydz=\iiint \_{g^{-1}(D)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta }
또한, 구면 좌표 변환

{\displaystyle x=r\cos \theta \sin \varphi }
{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }
{\displaystyle z=r\cos \varphi }
{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=-r^{2}\sin \varphi }
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

{\displaystyle \iiint \_{D}f(x,y,z)dxdydz=\iiint \_{g^{-1}(D)}f(r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \varphi )r^{2}\sin \varphi drd\theta d\varphi }
### 기하학적 성질

음이 아닌 값의 함수 f\colon E\to {\mathbb R} ({\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}는 조르당 가측 집합)의 리만 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\operatorname {m} (\{(x\_{1},\dotsc ,x\_{n+1})\colon (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\in E,\;0\leq x\_{n+1}\leq f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\})}
특히, 상수 함수 1의 리만 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}dx\_{1}\cdots dx\_{n}=\operatorname {m} (E)}
### 이상 중적분의 성질

이상 중적분 역시 중적분과 비슷한 성질들을 만족시킨다.

예를 들어, 함수 {\displaystyle f\colon [a,\infty )\times [b,\infty )\to \mathbb {R} }가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 {\displaystyle F\subseteq [a,\infty )\times [b,\infty )}에 대하여, f는 F에서 리만 적분 가능 함수이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.:175, 定理15.5.4

* 만약 {\displaystyle \int \_{a}^{\infty }dx\int \_{b}^{\infty }|f(x,y)|dy<\infty }라면, {\displaystyle \iint \_{[a,\infty )\times [b,\infty )}f(x,y)dxdy=\int \_{a}^{\infty }dx\int \_{b}^{\infty }|f(x,y)|dy}
* 만약 {\displaystyle \int \_{a}^{\infty }dx\int \_{b}^{\infty }|f(x,y)|dy=\infty }라면, {\displaystyle \iint \_{[a,\infty )\times [b,\infty )}f(x,y)dxdy}는 발산한다.

또한, 무계 닫힌집합 {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 단사 \mathcal C^1 함수 {\displaystyle g\colon E\to \mathbb {R} ^{n}} 및 함수 {\displaystyle f\colon g(E)\to \mathbb {R} }에 대하여, 만약 두 이상 적분

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{g(E)}f(x)dx=\iint \cdots \int \_{E}f(g(t))\left|\det J\_{g}(t)\right|dt}
가운데 하나가 존재한다면, 남은 하나도 존재하며, 이 둘은 서로 같다.:175, 정리 15.5.5

이상 리만 중적분

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})dx\_{1}\cdots dx\_{n}}
이 수렴할 필요충분조건은

{\displaystyle \iint \cdots \int \_{E}|f(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})|dx\_{1}\cdots dx\_{n}<\infty }
이다. 즉, 일변수 함수의 경우와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴이다.

예
-

### 직육면체의 부피

직육면체 {\displaystyle [0,1]\times [0,2]\times [0,3]}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint \_{[0,1]\times [0,2]\times [0,3]}dxdydz&=\int \_{0}^{1}dx\int \_{0}^{2}dy\int \_{0}^{3}dz\\&=\int \_{0}^{1}dx\int \_{0}^{2}3dy\\&=\int \_{0}^{1}6dx\\&=6\end{aligned}}}
### 삼각뿔의 부피

삼각뿔 {\displaystyle \{(x,y,z)\colon 0\leq x,y,z\leq x+y+z\leq 1\}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint \_{\{(x,y,z)\colon 0\leq x,y,z\leq x+y+z\leq 1\}}dxdydz&=\int \_{0}^{1}dx\int \_{0}^{1-x}dy\int \_{0}^{1-x-y}dz\\&=\int \_{0}^{1}dx\int \_{0}^{1-x}(1-x-y)dy\\&=\int \_{0}^{1}{\frac {(1-x)^{2}}{2}}dx\\&={\frac {1}{6}}\end{aligned}}}
### 이차 곡면으로 둘러싸인 도형의 부피

타원 포물면 *z* = *x*2 + *y*2와 원기둥 *x*2 + *y*2 = *a*2에 의해 둘러싸인 도형
구 *x*2 + *y*2 + *z*2 = *a*2와 원뿔 *z*2 = (*x*2 + *y*2)tan*a*에 의해 둘러싸인 도형
타원 포물면과 원기둥으로 둘러싸인 도형 {\displaystyle \{(x,y,z)\colon 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint \_{\{(x,y,z)\colon 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}}dxdydz&=\int \_{0}^{a}rdr\int \_{0}^{2\pi }d\theta \int \_{0}^{r}dz\\&=\int \_{0}^{a}r^{2}dr\int \_{0}^{2\pi }d\theta \\&=\int \_{0}^{a}2\pi r^{2}dr\\&={\frac {2}{3}}\pi a^{3}\end{aligned}}}
구와 원뿔로 둘러싸인 도형 {\displaystyle \textstyle \left\{(x,y,z)\colon {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cot \alpha \leq z\leq {\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\right\}}의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint \_{\left\{(x,y,z)\colon {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cot \alpha \leq z\leq {\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\right\}}dxdydz&=\int \_{0}^{\alpha }\sin \varphi d\varphi \int \_{0}^{2\pi }d\theta \int \_{0}^{a}r^{2}dr\\&={\frac {1}{3}}a^{3}\int \_{0}^{\alpha }\sin \varphi d\varphi \int \_{0}^{2\pi }d\theta \\&={\frac {2}{3}}\pi a^{3}\int \_{0}^{\alpha }\sin \varphi d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi a^{3}(1-\cos \alpha )\end{aligned}}}
### 치환 적분의 예

극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.

{\displaystyle \iint \_{\{(x,y)\colon 0\leq x,y\leq x+y\leq 1\}}{\sqrt {\frac {xy}{x+y}}}dxdy}
여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.

{\displaystyle x=r\cos ^{2}\theta }
{\displaystyle y=r\sin ^{2}\theta }
이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos ^{2}\theta &-r\sin 2\theta \\\sin ^{2}\theta &r\sin 2\theta \end{vmatrix}}=r\sin 2\theta }
따라서 상술 이중 적분을 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle \iint \_{\{(x,y)\colon 0\leq x,y\leq x+y\leq 1\}}{\sqrt {\frac {xy}{x+y}}}dxdy={\frac {1}{2}}\int \_{0}^{1}{\sqrt {r^{3}}}dr\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}2\theta d\theta ={\frac {\pi }{20}}}
### 이상 중적분의 예

가우스 함수의 적분

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}
은 이상 중적분

{\displaystyle \iint \_{\mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy}
을 통해 구할 수 있는데, 이는

{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \_{\mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=\lim \_{a\to \infty }\iint \_{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy\\&=\lim \_{a\to \infty }\int \_{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\int \_{-a}^{a}e^{-y^{2}}dy\\&=4\left(\int \_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}\end{aligned}}}
이기 때문이다. 이 이상 중적분의 값은

{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \_{\mathbb {R} ^{2}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy&=\lim \_{a\to \infty }\iint \_{\{(x,y)\colon x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy\\&=\lim \_{a\to \infty }\iint \_{\{(r,\theta )\colon 0\leq r\leq a,\;0\leq \theta \leq 2\pi \}}e^{-r^{2}}rdrd\theta \\&=\lim \_{a\to \infty }\int \_{0}^{a}e^{-r^{2}}rdr\int \_{0}^{2\pi }d\theta \\&=\pi \end{aligned}}}
이므로, 가우스 함수의 적분 값은

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
이다.