선형대수학에서 **삼각행렬**(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

주대각선 주대각선
다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{L}을 **하삼각행렬**(lower triangular matrix)로 정의한다.

{\mathbf {L}}={\begin{bmatrix}l\_{{1,1}}&&&&0\\l\_{{2,1}}&l\_{{2,2}}&&&\\l\_{{3,1}}&l\_{{3,2}}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l\_{{n,1}}&l\_{{n,2}}&\ldots &l\_{{n,n-1}}&l\_{{n,n}}\end{bmatrix}}
다음과 같은 모양을 가지는 행렬 {\mathbf {U}}을 **상삼각행렬**(upper triangular matrix)로 정의한다.

{\mathbf {U}}={\begin{bmatrix}u\_{{1,1}}&u\_{{1,2}}&u\_{{1,3}}&\ldots &u\_{{1,n}}\\&u\_{{2,2}}&u\_{{2,3}}&\ldots &u\_{{2,n}}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u\_{{n-1,n}}\\0&&&&u\_{{n,n}}\end{bmatrix}}
만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 **순삼각행렬**(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 **순하삼각행렬**, **순상삼각행렬**로 부른다.

성질
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* 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
* 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
* 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
	+ 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
* 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
* 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

예
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* (순)상삼각행렬(식)

{\displaystyle +eee{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c&d\\0&{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}-d{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
{\displaystyle +eee{\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a}}\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
{\displaystyle -eee3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee3b\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}4a&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
{\displaystyle +eee2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee2c\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
{\displaystyle -eeed{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}+3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}
{\displaystyle +eee{\color {red}{4a4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a4a}}({\color {red}{4a4a}}-{\cancel {3b0}})=+{\color {red}{4^{4}a^{4}}}e^{3}=+{\color {red}{256a^{4}}}e^{3}}
{\displaystyle -eee4a3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee4a3b(04a-3b0)=0}
{\displaystyle +eee4a2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee4a2c(00-4a0)=0}
{\displaystyle +eee3b3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee3b3b(04a-3b0)=0}
{\displaystyle -eee3b2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eee3b2c(00-4a0)=0}
{\displaystyle -eee2c4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee2c4a(04a-3b0)=0}
{\displaystyle +eee2c2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee2c2c(00-00)=0}
{\displaystyle +eeed4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eeed4a(00-4a0)=0}
{\displaystyle -eeed3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed3b(00-00)=0}

  

* (순)하삼각행렬(식)

{\displaystyle aaa{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}&0\\4a&3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}-{\cancel {0{\begin{vmatrix}2c&0&0\\3b&d&0\\4a&2c&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&0\\4a&3b&d\\\end{vmatrix}}-0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&d\\4a&3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}
{\displaystyle aaa{\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{d}}\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}{\cancel {-0{\begin{vmatrix}2c&0\\3b&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d\\3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}
{\displaystyle aaa{\color {red}{dd}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{dd}}({\color {red}{dd}}-{\cancel {02c}})=a^{3}{\color {red}{d^{4}}}}

  

* 삼각행렬 A에 대해서 xI-A도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 det(xI-A)은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 A의 고윳값은 각 대각항이 된다.

* 단위 하삼각행렬

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\blacksquare &1&0&0\\\blacksquare &\blacksquare &1&0\\\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare &1\\\end{bmatrix}}}

전진 대입과 후진 대입
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행렬 방정식 {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} } 또는 {\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 {\displaystyle x\_{1}}을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 {\displaystyle x\_{2}} , ~{\displaystyle x\_{n}}까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 {\displaystyle x\_{n}}, 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 {\displaystyle x\_{n-1}}, 반복하여 {\displaystyle x\_{1}}에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

* 전진대입

행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다

{\displaystyle {\begin{matrix}\ell \_{1,1}x\_{1}&&&&&=&b\_{1}\\\ell \_{2,1}x\_{1}&+&\ell \_{2,2}x\_{2}&&&=&b\_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\\ell \_{(m-1),1}x\_{1}&+&\ell \_{(m-1),2}x\_{2}&+\dotsb +&\ell \_{(m-1),(m-1)}x\_{(m-1)}&=&b\_{(m-1)}\\\ell \_{m,1}x\_{1}&+&\ell \_{m,2}x\_{2}&+\dotsb +&\ell \_{m,m}x\_{m}&=&b\_{m}\\\end{matrix}}}
여기서 x\_{1}는 첫 번째 방정식 ({\displaystyle \ell \_{1,1}x\_{1}=b\_{1}}) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 x\_{1} 과 x\_{2}에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 {\displaystyle x\_{m}}이전에 접근한 값 {\displaystyle x\_{m-1}}이다. 그리고 맨 마지막 m번째 방정식은 {\displaystyle x\_{m}}이다.

이러한 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{m-1},x\_{m}} 결과 수식은 다음과 같다.

{\displaystyle x\_{1}{\ell \_{1,1}}={b\_{1}}}
{\displaystyle x\_{1}={\frac {b\_{1}}{\ell \_{1,1}}}} 이고,
{\displaystyle x\_{2}{\ell \_{2,2}}+\ell \_{2,1}x\_{1}=b\_{2}}
{\displaystyle x\_{2}={\frac {b\_{2}-\ell \_{2,1}x\_{1}}{\ell \_{2,2}}}} 이고,
{\displaystyle x\_{3}{\ell \_{3,3}}+x\_{2}{\ell \_{2,2}}+\ell \_{2,1}x\_{1}=b\_{3}}
{\displaystyle x\_{3}={{b\_{3}-x\_{2}{\ell \_{2,2}}-\ell \_{2,1}x\_{1}} \over {\ell \_{3,3}}}} 이고,
정리하면,
{\displaystyle x\_{1}={\frac {b\_{1}}{\ell \_{1,1}}}}
{\displaystyle x\_{2}={\frac {b\_{2}-\ell \_{2,1}x\_{1}}{\ell \_{2,2}}}}
{\displaystyle x\_{3}={{b\_{3}-x\_{2}{\ell \_{2,2}}-\ell \_{2,1}x\_{1}} \over {\ell \_{3,3}}}}
계속해서 ,
{\displaystyle \vdots }
일반화하면
{\displaystyle x\_{m}={{b\_{m}-\left(\sum \_{i=1}^{m-1}\ell \_{m,i}x\_{i}\right)} \over {\ell \_{m,m}}}}
* 후진대입

상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

참고
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1. 1 2  Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 100쪽. harv error: 대상 없음: CITEREFAbdelwahab\_KharabRonald\_B.\_Guenther2013 (help)
2. ↑  소행렬식의 라플라스전개에의한 실베스터 행렬의 4차방정식 판별식 유도 중에서

참고 문헌
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* 매스월드
* Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.
* 매스월드
* 매스월드
* 정보통신기술용어해설

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