수학에서, **카르탕 행렬**(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

정의
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정수 성분 정사각 행렬

A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )
가 다음 조건을 만족시킨다면, **카르탕 행렬**이라고 한다.

* 모든 i\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, A\_{{ii}}=2
* 모든 i,j\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, 만약 i\neq j라면 A\_{ij}\leq 0
* 모든 i,j\in \{1,2,\dots ,n\}에 대하여, 만약 A\_{{ij}}=0이라면 A\_{{ji}}=0

### 딘킨 도표

카르탕 행렬 A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )가 주어졌을 때, 이에 대응하는 **딘킨 도표**(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 그래프 \Gamma 
{\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )=\{1,\dotsc ,n\}}
{\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )=\{\{i,j\}\colon A\_{ij}<0\}}
* 각 변 {\displaystyle \{i,j\}\in \operatorname {E} (\Gamma )}에 대하여, 양의 정수 순서쌍 {\displaystyle (|A\_{ij}|,|A\_{ji}|)}

이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

분류
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n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)}에 대하여, 만약

{\displaystyle M\_{ij}=0\;\forall i\in I,\;j\in \{1,\dotsc ,n\}\setminus J}
인 {\displaystyle \varnothing \neq I\subsetneq \{1,\dotsc ,n\}}가 존재하지 않는다면, M을 **분해 불가능 행렬**(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬 A 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 **대칭화 가능 카르탕 행렬**(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다.

A=DS, {\displaystyle D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}
{\displaystyle S\_{ij}=S\_{ji}}
{\displaystyle D=\operatorname {diag} (D\_{11},\dotsc ,D\_{nn})}
이 경우, 항상 {\displaystyle D\_{ij}}의 대각선 성분을 양의 정수로, {\displaystyle S\_{ij}}의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.

**증명:**

분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

A가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를

A=DS
{\displaystyle D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}
라고 하자. 이제, 각 {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여, {\displaystyle 2=A\_{ii}=D\_{i}S\_{ii}}이므로 {\displaystyle D\_{ii}\neq 0}이다.

이제, 각 {\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여, 만약 {\displaystyle A\_{ij}\neq 0}이라면, 

{\displaystyle D\_{i}/D\_{j}=A\_{ij}/A\_{ji}\in \mathbb {Q} ^{+}}
이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 {\displaystyle (D\_{11},\dotsc ,D\_{nn})}의 사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원

{\displaystyle {\tilde {D}}=aD\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} ^{+})}
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{\times }}
을 갖는다. 이 경우

{\displaystyle {\tilde {S}}=a^{-1}S}
를 놓으면

{\displaystyle A={\tilde {D}}{\tilde {S}}}
이다. 또한,

{\displaystyle {\tilde {S}}\_{ij}={\frac {A\_{ij}}{{\tilde {D}}\_{ii}}}\in \mathbb {Q} }
이므로,

{\displaystyle {\tilde {S}}\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Q} )}
이다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은 n개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 A들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

* 만약 A의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 **유한형 카르탕 행렬**이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
* 만약 A의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 **아핀 카르탕 행렬**이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
* 만약 A의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 **아핀 카르탕 행렬**이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.

예
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1×1 카르탕 행렬은

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}
밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&a\\b&2\end{pmatrix}}}
2×2의 경우, 만약 {\displaystyle a,b\neq 0}이라면 항상

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/a&1\\1&2/b\end{pmatrix}}}
으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. A의 고윳값은

{\displaystyle \lambda \_{\pm }=2\pm {\sqrt {ab}}}
이다.

이 경우,

* 유한형 카르탕 행렬은 (a\le b라고 놓으면) {\displaystyle (a,b)\in \{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}}이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{1}\oplus {\mathfrak {a}}\_{1}}, {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{2}}, {\displaystyle {\mathfrak {b}}\_{2}={\mathfrak {c}}\_{2}}, \mathfrak g\_2에 대응된다.
* 아핀 카르탕 행렬은 (a\le b라고 놓으면) {\displaystyle (a,b)\in \{(-4,-1),(-2,-2)\}}이다. 이들은 각각 아핀 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{1}^{(1)}} 및 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{2}^{(2)}}에 해당한다.

역사
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엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.