모형 이론에서 **절대 논리식**(絶對論理式, 영어: absolute formula)은 모든 모형에서 참인 논리식이다.

정의
--

### 절대 문장

1차 논리 언어 {\mathcal L}의 논리식 {\displaystyle \phi (x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}})}가 n개의 자유 변수 x\_{1},\dots ,x\_{n}를 갖는다고 하자. 또한,
{\mathcal L}-구조들의 모임 {\mathcal {M}}이 주어졌다고 하자. (예를 들어, {\mathcal {M}}은 어떤 {\mathcal L}의 문장들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}이 성립하는 {\mathcal L}-구조들의 모임일 수 있다.)

1차 논리 언어 {\mathcal L}의 문장 {\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}이 다음 조건을 만족시킨다면, {\mathcal {M}} 속에서 **절대 문장**(영어: absolute sentence)이라고 한다.

* 임의의 두 {\mathcal L}-구조 {\displaystyle M,M'\in {\mathcal {M}}}에 대하여, {\displaystyle M\models \phi \iff M'\models \phi }이다. 즉, {\mathcal {M}}에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.

### 상향·하향 절대 논리식

1차 논리 언어 {\mathcal L}의 구조 {\mathcal {M}}이 주어졌다고 하자.

{\mathcal L}-논리식 {\displaystyle \phi (x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}})}가 n개의 자유 변수 x\_{1},\dots ,x\_{n}를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, \phi 가 **M-하향 절대 논리식**(영어: downward-absolute formula)이라고 한다.

M의 임의의 {\mathcal L}-부분 구조 {\displaystyle {\tilde {M}}\subseteq M} 및 임의의 {\displaystyle m\_{1},m\_{2},\dots ,m\_{n}\in {\tilde {M}}}에 대하여, {\displaystyle M\models \phi [m\_{1},\dots ,m\_{n}]\implies M'\models \phi [m\_{1},\dots ,m\_{n}]}이다.
마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면, \phi 가 **M-상향 절대 논리식**(영어: upward-absolute formula)이라고 한다.

M을 부분 구조로 포함하는 임의의 {\mathcal L}-구조 {\displaystyle (M',\in )} 및 임의의 {\displaystyle m\_{1},m\_{2},\dots ,m\_{n}\in M}에 대하여, {\displaystyle M\models \phi [m\_{1},\dots ,m\_{n}]\Longleftarrow M'\models \phi [m\_{1},\dots ,m\_{n}]}이다.
### 추이적 절대 논리식

집합론의 명제의 경우, 폰 노이만 전체 V는 집합론의 언어 {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\in }}의 고유 모임 구조이다. 이 경우, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\in }}-논리식 {\displaystyle \phi (x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \operatorname {wff} ({\mathcal {L}}\_{\in })}이 다음 조건을 만족시킨다면, \phi 가 M-**추이적 절대 논리식**이라고 한다.:117, Definition IV.3.1(2)

{\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}의 표준 추이적 모형 M\in {\mathcal M} 및 집합 m\_{1},\dots ,m\_{k}\in M에 대하여, {\displaystyle (M\models \phi [m\_{1},\dots ,m\_{k}])\iff \phi [m\_{1},\dots ,m\_{k}]}

예
-

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다.

* {\displaystyle x=\varnothing }
* x는 (폰 노이만 정의) 순서수이다.
* x는 유한 순서수이다.
* {\displaystyle x=\omega }
* x는 함수의 그래프이다.

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다.

* x는 가산 집합이다.

### 숀필드 절대성 정리

체르멜로-프렝켈 집합론({\displaystyle {\mathsf {ZF}}})의 모형 M이 주어졌을 때, 그 속의 자연수 집합 {\displaystyle \mathbb {N} ^{M}}은 페아노 공리계의 모형을 이룬다. 체르멜로-프렝켈 집합론({\displaystyle {\mathsf {ZF}}})의 표준 추이적 모형 M과, 그 속의 구성 가능 전체 {\displaystyle L^{M}\subseteq M}를 생각하자. 그렇다면, {\displaystyle L^{M}}을 포함하는, M의 부분 구조 가운데 {\displaystyle {\mathsf {ZF}}}의 모형인 것들의 집합

{\displaystyle \{M'\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}}
을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들

{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{\mathbb {N} ^{M'}\subseteq M\colon L^{M}\subseteq M',\;M'\models {\mathsf {ZF}}\}}
을 생각할 수 있다.

**숀필드 절대성 정리**(영어: Shoenfield absoluteness theorem)에 따르면, 페아노 공리계의 언어의 {\displaystyle \Pi \_{2}^{1}} 문장과 {\displaystyle \Sigma \_{2}^{1}} 문장들은 {\mathcal N}에 대하여 절대 문장이다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) **102**. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함.