대수기하학과 그래프 이론에서 **나카지마 화살집 다양체**([中島]화살집多樣體, 영어: Nakajima quiver variety)는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 화살집 \Gamma
* 각 꼭짓점 {\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )}에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 V\_{i}, {\displaystyle W\_{i}}

그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

{\displaystyle E=\bigoplus \_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V\_{i},W\_{i}))\oplus \bigoplus \_{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom \_{\Gamma }(i,j)}\hom(V\_{i},V\_{j})}
그 차원은

{\displaystyle \dim V\_{i}=v\_{i}}
{\displaystyle \dim W\_{i}=w\_{i}}
로 놓고, {\displaystyle \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}} 위의 브라-켓 표기법을 사용하면

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {C} }E=\langle v|{\mathsf {A}}(\Gamma )|v\rangle +\langle v|w\rangle }
이다. 여기서 {\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )}는 \Gamma 의 인접 행렬이다. 만약 {\displaystyle (V\_{i},W\_{i})\_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}}에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면, E 역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한,

{\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}E\cong E\oplus E^{\*}=\bigoplus \_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V\_{i},W\_{i})\oplus \hom(W\_{i},V\_{i}))\oplus \bigoplus \_{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom \_{\Gamma }(i,j)}(\hom(V\_{i},V\_{j})\oplus \hom(V\_{j},V\_{i}))}
위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다.

이 위에는 대수군

{\displaystyle G=\prod \_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\operatorname {GL} (V\_{i};\mathbb {C} )}
이 작용하며, 이는 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}E}의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. G의 작용의 운동량 사상

{\displaystyle \mu \colon \mathrm {T} ^{\*}E\to {\mathfrak {lie}}(G)^{\*}}
의 정귯값 {\displaystyle \zeta \in {\mathfrak {lie}}(G)^{\*}}에 대하여 초켈러 몫

{\displaystyle E/\!/\!/G}
를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 {\displaystyle (\Gamma ,(V\_{i},W\_{i})\_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )})}의 **나카지마 화살집 다양체**라고 한다. 이는 흔히 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)}로 표기된다. 그 복소수 차원은

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)=2(\langle v|({\mathsf {A}}(\Gamma )-1)|v\rangle +\langle v|w\rangle )}
이다. 여기서

{\displaystyle 1-{\mathsf {A}}(\Gamma )}
는 **일반화 카르탕 행렬**이라고 한다. (만약 \Gamma 가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.)

성질
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나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다.

예
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### ALE 공간

\Gamma 가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 {\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )}는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다.

이제,

{\displaystyle |v\rangle \in (1-{\mathsf {A}}(\Gamma ))=|1\rangle }
{\displaystyle \langle 1|v\rangle =1}
인 {\displaystyle |v\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}}를 고를 수 있다. 여기서 {\displaystyle |1\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}}은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 {\displaystyle |v\rangle }를 유일하게 결정한다. 그렇다면

{\displaystyle {\mathcal {M}}(|v\rangle ,|1\rangle )}
은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간(영어: asymptotically locally Euclidean [ALE] space)이다. 즉, 이 경우

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,|v\rangle ,|1\rangle )=2}
이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 {\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{3}}는 ALE공간의 크기를 결정한다. {\displaystyle \zeta \to 0} 극한은 ALE 공간이 오비폴드 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}/G}로 가는 극한에 해당한다.

### ADHM 작도

 이 부분의 본문은 ADHM 작도입니다.
\Gamma 가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,W)}
{\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,V)\oplus \hom(V,W)\oplus \hom(W,V)}
이다. 이 경우

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }{\mathcal {M}}(v,w)=4vw}
인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 k인 {\displaystyle \operatorname {SU} (w)} 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 \Gamma 는 SU(2) 유한 부분군 G 매케이 화살집이며, {\displaystyle |v\rangle }와 {\displaystyle |w\rangle }는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, w는 순간자가 기본군 {\displaystyle \pi \_{1}(\mathbb {R} ^{4}/G)\cong G}를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, v는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 G의 성분들의 "비아벨 푸리에 변환"에 해당한다.

### 원환 다양체

만약 모든 {\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )}에 대하여 {\displaystyle \langle i|v\rangle =1}이라면 (즉, 모든 V\_{i}의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면

{\displaystyle G=\operatorname {U} (1)^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}}
이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다.

역사
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나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머(영어: Peter B. Kroneimer)와 나카지마 히라쿠(일본어: 中島 啓 (なかじま ひらく), 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다.
이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Ginzburg, Victor (2008). "Lectures on Nakajima’s quiver varieties" (영어). arXiv:0905.0686.
2. ↑  Nakajima, Hiraku (2016). "Introduction to quiver varieties for ring and representation theorists" (영어). arXiv:1611.10000.
3. ↑  Joó, Dániel (2015). 《Toric quiver varieties》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Mátyás Domokos). Central European University.
4. ↑  Kronheimer, Peter B.; Nakajima, Hiraku (1990). "Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons". 《Mathematische Annalen》 (영어) **288** (1): 263–307. doi:10.1007/BF01444534. ISSN 0025-5831.
5. ↑  Nakajima, Hiraku (1994). "Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac–Moody algebras". 《Duke Mathematical Journal》 (영어) **76**: 365–416. doi:10.1215/S0012-7094-94-07613-8. MR 1302318. Zbl 0826.17026.  지원되지 않는 변수 무시됨: `|ㅗ=` (도움말)