호모토피 이론에서 **점을 가진 공간**(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의
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범주 {\mathcal {C}}가 시작 대상 1\in {\mathcal {C}}을 갖는다고 하자.

{\mathcal {C}} 위의 **점을 가진 범주**(영어: pointed category) {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}는 쌍대 조각 범주 {\displaystyle 1\backslash {\mathcal {C}}}이다. 즉,

* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}의 대상은 {\mathcal {C}}의 사상 {\displaystyle \bullet \_{X}\colon 1\to X}이다. 이는 X와 그 속의 "점" {\displaystyle \bullet \_{X}}의 순서쌍 {\displaystyle (X,\bullet \_{X})}으로 생각할 수 있다. 이를 X의 **밑점**(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}의 대상 {\displaystyle (X,\bullet \_{X}),(Y,\bullet \_{Y})\in {\mathcal {C}}\_{\bullet }} 사이의 사상 {\displaystyle f\colon (X,\bullet \_{X})\to (Y,\bullet \_{Y})}은 다음 그림을 가환하게 하는 {\mathcal {C}}에서의 사상 f\colon X\to Y이다.
{\displaystyle {\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet \_{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet \_{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}}

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질
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시작 대상 1\in {\mathcal {C}}을 가진 범주 {\mathcal {C}} 위의 점을 가진 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}는 항상 영 대상 {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}\_{\bullet }}을 가진다.

영 대상을 가진 범주 {\mathcal {C}} 위의 점을 가진 범주는 {\mathcal {C}}와 동치이다. 즉, 범주 {\mathcal {C}}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathcal {C}}는 영 대상을 가진다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}\_{\bullet }}인, 시작 대상을 가진 범주 {\mathcal D}가 존재한다.

### 망각 함자

시작 대상 1\in {\mathcal {C}}을 가진 범주 {\mathcal {C}} 위의 점을 가진 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}는 원래 범주 {\mathcal {C}}로 가는 자연스러운 망각 함자

{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\_{\bullet }\to {\mathcal {C}}}
를 갖는다.

만약 {\mathcal {C}}가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle (-)\_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\_{\bullet }}
{\displaystyle (-)\_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X\_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)}
{\displaystyle (-)\_{+}\dashv F}
를 갖는다. 이를 **밑점 추가**(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.

### 분쇄곱

({\mathcal C},\otimes )가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }} 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}에서의 텐서곱은 **분쇄곱**(영어: smash product) \wedge 이라고 한다. 또한, 만약 ({\mathcal C},\otimes )가 대칭 모노이드 범주라면 {\displaystyle ({\mathcal {C}}\_{\bullet },\wedge )} 역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }} 속의 두 대상 {\displaystyle (X,\bullet \_{X})}, {\displaystyle (Y,\bullet \_{Y})}의 **분쇄곱** {\displaystyle (X,\bullet \_{X})\wedge (Y,\bullet \_{Y})}은 다음과 같은 밂이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}}
이 네모의 왼쪽 변은

{\displaystyle \otimes \bullet \_{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y}
{\displaystyle \bullet \_{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y}
로부터 유도되는 사상

{\displaystyle (\otimes \bullet \_{Y})\sqcup (\bullet \_{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y}
이다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\bullet }}에서의 지수 대상 {\displaystyle [-,-]\_{\bullet }}은 다음과 같은 당김이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}[X,Y]\_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet \_{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet \_{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}}
{\displaystyle [X,Y]\_{\bullet }}의 점은 유일한 사상 {\displaystyle X\to 1{\xrightarrow {\bullet \_{Y}}}Y}에 대응한다.

예
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### 점을 가진 집합

집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, **점을 가진 집합**(영어: pointed set)의 범주 \operatorname {Set} \_{\bullet }의 원소는 집합 S와 그 속의 원소 {\displaystyle \bullet \_{S}\in S}의 순서쌍 {\displaystyle (S,\bullet \_{S})}이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

### 점을 가진 공간

위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 에서 끝 대상은 한원소 공간 \{\bullet \}이며, 한원소 공간에서 위상 공간 X로 가는 연속 함수 {\displaystyle \{\bullet \}\to X}는 X 속의 한 점 {\displaystyle \bullet \_{X}\in X}을 제시하는 것과 같다. 즉, **점을 가진 공간**(영어: pointed space) (X,x\_0)은 위상 공간 X와 그 속의 한 점 x\_{0}\in X로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 {\displaystyle \operatorname {Top\_{\bullet }} }의 사상인 **점을 보존하는 연속 함수**(영어: basepoint-preserving continuous map) {\displaystyle f\colon (X,\bullet \_{X})\to (Y,\bullet \_{Y})}는

{\displaystyle f(\bullet \_{X})=\bullet \_{Y}}
인 연속 함수이다.

### 영 대상을 가진 범주

군의 범주 \operatorname {Grp} 나 아벨 군의 범주 \operatorname {Ab} , 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 G에 대하여, 항등원 1\_{G}\in G는 그 "점"을 이룬다.