확률론에서 **파인먼-카츠 공식**(Feynman-Kac公式, 영어: Feynman–Kac formula)은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 g(x,t)가 마팅게일일 경우 미분 계수 {\displaystyle \mathrm {d} g(x,t)}에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 {\displaystyle \mathrm {d} t}가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 {\displaystyle \mathrm {d} g/\mathrm {d} t}를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 g를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 X(t)=x가 주어진 이토 확률 과정 X(u)에 대한 보렐 가측 함수 f(X(u))가 시점 T에 갖는 값에 대한 시점 t의 기댓값 g(X(t),t)가 마팅게일임을 이용하여 g를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

정의
--

다음이 주어졌다고 하자.

* 확률 공간 \Omega
* 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}. 그 벡터 지표를 {\displaystyle (-)^{i}}로 나타내자 ({\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}}).
* \Omega  위의 위너 확률 과정 {\displaystyle W^{j}\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}
* W에 대한 이토 확률 과정 {\displaystyle \mathrm {d} X^{i}(t)=\mu ^{i}(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma ^{i}{}\_{j}(X(t),t)\,\mathrm {d} W^{j}(t)}
* 보렐 가측 함수 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
* 보렐 가측 함수 {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} }
* 보렐 가측 함수 {\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} }. 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

{\displaystyle G\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }
{\displaystyle G(t)=f(X(T))\exp \left(-\int \_{t}^{T}V(X(s),s)\,\mathrm {d} s\right)+\int \_{t}^{T}\mathrm {d} s\,h(X(s),s)\exp \left(-\int \_{t}^{s}\mathrm {d} r\,V(X(r),r)\right)}
특히,

{\displaystyle G(T)=f(X(T))}
이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

{\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[G(t)|X(t)=x\right]}
이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

{\displaystyle g(x,T)=\mathbb {E} [f(X(T))|X(T)=x]=f(x)}
이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum \_{j}\mu ^{j}(x,t){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+{\frac {1}{2}}\sum \_{i,j,k}\sigma ^{i}{}\_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}\_{k}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0}
아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mu ^{j}(x,t)\partial \_{j}+{\frac {1}{2}}\delta ^{kl}\sigma ^{i}{}\_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}\_{l}(x,t)\partial \_{i}\partial \_{j}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0}
특히, 만약 {\displaystyle h=V=0}인 경우 G는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

{\displaystyle G\_{t}=f(X(T))}
이 경우

{\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[f(X(T))|X(t)=x\right]}
이다.

### 리만 다양체의 경우

리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.

* n차원 연결 리만 다양체 (M,g). 그 벡터 지표를 {\displaystyle (-)^{i}}로 나타내자 ({\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}})
* 점 {\displaystyle x\_{0}\in M} (초기 조건)
* 양의 실수 T>0 (최종 시각)

그렇다면, 초기 조건이 x\_0인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{x\_{0}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}\_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x\_{0}\}}
을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

{\displaystyle \operatorname {W} \_{x\_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)=\left\{f\in {\mathcal {C}}\_{x\_{0}}^{0}([0,T],M)\colon \int \_{0}^{T}g\_{f(t)}({\dot {f}}(t),{\dot {f}}(t))\,\mathrm {d} t<\infty \right\}}
을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{x\_{0}}^{0}([0,T],M)} 위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 {\displaystyle \mathrm {d} W\_{x\_{0}}}가 존재한다.

또한, 임의의 {\displaystyle x\_{T}\in M} (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{x\_{0},x\_{T}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}\_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x\_{0},f(T)=x\_{T}\}}
를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

{\displaystyle \operatorname {W} \_{x\_{0},x\_{T}}^{1,2}([0,T],M,g)=\operatorname {W} \_{x\_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)\cap \operatorname {C} ^{0}{x\_{0},x\_{T}}([0,T],M)}
을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{x\_{0}}^{0}([0,T],M)} 위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle V\in \operatorname {L} ^{\infty }(M;\mathbb {R} )} (퍼텐셜 함수)
* {\displaystyle \psi \_{0}\in \operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {R} )} (초기 조건)

그렇다면, 실수 힐베르트 공간

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {R} )}
위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자

{\displaystyle H=\nabla +V=-g^{ij}\nabla \_{i}\nabla \_{j}+V}
를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 \nabla 는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로, {\mathcal {H}} 전체로 유일한 프리드릭스 확장(영어: Friedrichs extension)을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

{\displaystyle \partial \_{t}\psi (t,x)=-H\psi (t,x)}
{\displaystyle \psi (0,x)=\psi \_{0}(x)}
을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

{\displaystyle \psi (t,x)=\exp(-tH)\psi \_{0}(x)}
를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

{\displaystyle |\psi \rangle (t)=\exp(-tH)|\psi \_{0}\rangle }
{\displaystyle \langle x|\psi \rangle (t)=\langle x|\exp(-tH)|\psi \_{0}\rangle }
이다.

**파인먼-카츠 공식**에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \psi (T,x\_{0})=\int \_{{\mathcal {C}}\_{x\_{0}}^{0}([0,T],M)}\psi \_{0}(x\_{0})\exp \left(-\int \_{0}^{T}V(f(t))\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} W\_{x\_{0}}(f)}

증명
--

편의상 {\displaystyle h=V=0}, n=1인 경우만을 생각하자.

### g(X(t),t)의 마팅게일 특성

만약 시점 0\leq s\leq t\leq T가 주어졌을 경우, 시점 s와 t에 f(X(T))가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\mathbb {E}}[f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s),  

{\mathbb {E}}[f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]=g(X(t),t)
이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 s에 g(t,X(t))가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

{\begin{aligned}{\mathbb {E}}[g(X(T),t))\vert {\mathcal {F}}(s)]&={\mathbb {E}}[\,{\mathbb {E}}[f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]\,\vert {\mathcal {F}}(s)]\\&={\mathbb {E}}[f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s)\end{aligned}}
따라서 g(X(t),t)는 마팅게일이다.

### 편미분 방정식의 도출

이토 확률 과정 X(u)에 대한 확률 미분 방정식의 해를 X(t)라고 하자. g(X(t),t)가 마팅게일이므로 미분 계수 {\displaystyle \mathrm {d} g(X(t),t)}에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 {\displaystyle \mathrm {d} t}는 반드시 0이다. 미분 계수 {\displaystyle \mathrm {d} g(X(t),t)}를 정리하면 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} g(X(t),t)&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)dt+{\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)dX+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\mathrm {d} X\,\mathrm {d} X\\&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\right]\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)\end{aligned}}}
따라서 항 {\displaystyle \mathrm {d} t}의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 x에 대해 g(X(t),t)가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g(x,t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(x,t)=0}

역사
--

리처드 파인먼과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 영어: Mark Kac, 1914〜1984)의 이름을 땄다.

* 리처드 파인먼리처드 파인먼
* 마레크 카츠마레크 카츠

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Bär, Christian; Pfäffle, Frank. "Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula" (영어). arXiv:1108.5082.
2. ↑  Kac, Mark (1949). "On distributions of certain Wiener functionals". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **65** (1): 1–13. doi:10.2307/1990512. JSTOR 1990512. MR 27960.