미분기하학에서 **일반화 복소다양체**(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 B가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의
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n차원 매끄러운 다양체 M 위의 **일반화 개복소구조**(一般化槪複素構造, 영어: generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발 TM\oplus T^{\*}M 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 {\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M}이다.

* J^{2}=-\operatorname {id}
* \langle J(X+\xi ),J(Y+\eta )\rangle =\langle X,\eta \rangle +\langle Y,\xi \rangle

여기서 \langle ,\rangle 는 부호수 (n,n)의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 **일반화 개복소다양체**(一般化槪複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 **일반화 정칙접다발**(영어: generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

{\displaystyle E=\{X+\xi \in \Gamma ((\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M)\otimes \mathbb {C} )\colon J(X+\xi )=\mathrm {i} (X+\xi )\}}
이에 따라

{\displaystyle (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M)\otimes C\cong E\oplus {\bar {E}}}
가 된다.

{\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M}의 두 매끄러운 단면 X+\xi , Y+\eta 에 대하여, 다음과 같이 **쿠란트 괄호**(Courant括弧, 영어: Courant bracket)를 정의하자.

[X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}\_{X}\eta -{\mathcal {L}}\_{Y}\xi -{\frac 12}d(\langle X,\eta \rangle -\langle Y,\xi \rangle )
여기서 {\mathcal L}\_{X}는 리 미분이며, d는 외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데, E의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 **일반화 복소구조**(一般化複素構造, 영어: generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 **일반화 복소다양체**(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

순수 스피너
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 이 부분의 본문은 순수 스피너입니다.
n차원 실수 벡터 공간 V가 주어졌을 때, V\oplus V^{\*} 위에는 자연스러운 \operatorname {SO}(n,n) 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

{\mathfrak {so}}(V\oplus V^{\*})\cong {\mathfrak {gl}}(V;{\mathbb R})\oplus \bigwedge ^{2}V^{\*}\oplus \bigwedge ^{2}V
이다.

**구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): V\oplus V^{\*}**
는 외대수 {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\bullet }V^{\*}} 위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

(X+\eta )\cdot \phi =\iota (X)\phi +\xi \wedge \phi 
이 경우

(X+\eta )\cdot \left((X+\eta )\cdot \phi \right)=\langle X,\eta \rangle \phi 
이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, V\oplus V^{\*}의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

\Delta (V\oplus V^{\*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{\bullet }V^{\*}
이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

\Delta (V\oplus V^{\*})=\Delta ^{+}(V\oplus V^{\*})\oplus \Delta ^{-}(V\oplus V^{\*})
\Delta ^{+}(V\oplus V^{\*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{{2\bullet }}V^{\*}
\Delta ^{-}(V\oplus V^{\*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{{2\bullet +1}}V^{\*}
스피너 {\displaystyle \phi \in \Delta ^{\pm }(V\oplus V^{\*})} 가운데,

\dim \ker(\cdot \phi )=\dim\{X+\eta \in V\oplus V^{\*}\colon (X+\eta )\cdot \phi =0\}=n
인 것을 V\oplus V^{\*}의 **순수 스피너**(純粹spinor, 영어: pure spinor)라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체
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매끄러운 다양체 M의 일반화 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M}이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, (M,E)를 **일반화 칼라비-야우 다양체**라고 한다. 즉,

\phi \in \Omega ^{\pm }M\otimes {\mathbb C}
가 {\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M}의 순수 스피너이며, d\phi =0이며, 또한 모든 곳에서 \langle \phi ,{\bar \phi }\rangle \neq 0이라면 M은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 (M,\phi )가 주어졌을 때, {\displaystyle \ker(\cdot \phi )\subset (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{\*}M)\otimes \mathbb {C} }은 M위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

예
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### 복소다양체

모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 k차원 복소다양체 M의 경우, E는 정칙 벡터장 및 (1,0)-복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

{\displaystyle E=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \Omega ^{1,0}M}
이 경우, 순수 스피너는 (k,0)-복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 \Omega \in \Gamma (\Omega ^{{k,0}}M)이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

### 심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 2k차원 심플렉틱 다양체 (M,\omega )가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

{\displaystyle \exp(\mathrm {i} \omega )f\qquad (f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} ))}
순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

{\displaystyle X-\mathrm {i} \omega (X,-)\qquad (X\in \Gamma (\mathrm {T} M))}

역사
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나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다. 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(이탈리아어: Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Hitchin, Nigel J. (2003). "Generalized Calabi–Yau manifolds". 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) **54**: 281-308. arXiv:math/0209099. Bibcode:2002math......9099H. doi:10.1093/qmath/hag025.
2. ↑  Gualtieri, Marco (2003). 《Generalized complex geometry》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 N. J. Hitchin). 옥스퍼드 대학교. arXiv:math/0401221. Bibcode:2004math......1221G.

* Gualtieri, Marco (2007). "Generalized complex geometry" (영어). arXiv:math/0703298. Bibcode:2007math......3298G.
* Graña, Mariana (2006). "Flux compactifications in string theory: a comprehensive review". 《Physics Reports》 (영어) **423**: 91-158. arXiv:hep-th/0509003. Bibcode:2006PhR...423...91G. doi:10.1016/j.physrep.2005.10.008.