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미적분학에서 **헤세 행렬**(Hesse行列, 영어: Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의
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실함수 f(x\_{{1}},x\_{{2}},x\_{{3}},...x\_{{n}})이 주어졌을 때, **헤세 행렬**은 다음과 같이 주어진다.

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{1}}^{2}}}&{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{1}}\partial x\_{{2}}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{1}}\partial x\_{{n}}}}\\{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{2}}\partial x\_{{1}}}}&{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{2}}^{2}}}&\cdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{n}}\partial x\_{{1}}}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial x\_{{n}}^{2}}}\end{bmatrix}}
헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 \nabla f에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수 f의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤세 행렬
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 테일러 급수 문서를 참고하십시오.
함수 f:U\subset {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}의 n=2인 테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.

{\mathbf {h}}\in {\mathbb {R}}^{n}에 대해 {\displaystyle \Delta f:=f\left(\mathbf {x} \_{0}+\mathbf {h} \right)-f\left(\mathbf {x} \_{0}\right)\approx J\left(\mathbf {x} \_{0}\right)\mathbf {h} +{\frac {1}{2}}\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} \_{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)} (여기서 {\mathbf {h}}^{T}는 {\mathbf {h}}가 열벡터라고 할 때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)
만약 \mathbf {x} \_{0}가 임계점이라면 {\mathbf {D}}f\left({\mathbf {x}}\_{0}\right)=0이므로 {\mathbf {h}}\in {\mathbb {R}}^{n}에 대해 {\displaystyle \Delta f\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} \_{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)}이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.

이계도함수 판정
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함수 f의 이계도함수가 연속일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 스펙트럼 정리에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.

{\displaystyle Q(\mathbf {h} )=\mathbf {h^{T}H} (f)\mathbf {h=h^{T}Q\Lambda Q^{T}h=(Q^{T}h)^{T}\Lambda Q^{T}h} }
{\displaystyle \mathbf {u=Q^{T}h} }로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle Q(\mathbf {u} )=\lambda \_{1}u\_{1}^{2}+\lambda \_{2}u\_{2}^{2}+...+\lambda \_{n}u\_{n}^{2}}
헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.

* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 안장점이 된다.