코르테버흐-더프리스 방정식 {\displaystyle u\_{t}+uu\_{x}+\delta ^{2}u\_{xxx}}의 수치해 ({\displaystyle \delta =0.022}, {\displaystyle u(x,t=0)=\cos(\pi x)})
수학에서 **코르테버흐-더프리스 방정식**(영어: Korteweg–de Vries equation, **KdV 방정식**)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 적분가능계의 하나다.

정의
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코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 {\displaystyle u(x,t)}에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

{\displaystyle u\_{t}+u\_{xxx}=6uu\_{x}}
계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, {\displaystyle (t,x,u)}에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

### 라그랑지언 형태

다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자.

{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}f\_{x}f\_{t}+f\_{x}^{3}-{\frac {1}{2}}f\_{xx}^{2}}
여기에

{\displaystyle u=f\_{x}}
로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

성질
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### 대칭

코르테버흐-더프리스 방정식은 변환

{\displaystyle x\mapsto -x}
{\displaystyle t\mapsto -t}
{\displaystyle u\mapsto u}
에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 {\displaystyle u(t,x)}가 주어졌을 때, {\displaystyle u(-t,-x)} 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

### 럭스 쌍

코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다.

{\displaystyle L=-\partial \_{x}^{2}+u}
{\displaystyle P=6u\partial \_{x}+3u\_{x}-4u\_{x}^{3}}
즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식

{\displaystyle L\_{t}=[P,L]}
으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다.

### 운동 상수

코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 {\displaystyle u(x,t)}에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.

{\displaystyle P\_{n}\in \mathbb {Z} \left[u,u\_{x},u\_{xx},\dotsc ,{\frac {\partial ^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}}\right]}
{\displaystyle P\_{1}=u}
{\displaystyle P\_{n+1}=-{\frac {\partial }{\partial x}}P\_{n}+\sum \_{i=1}^{n-2}P\_{i}P\_{n-1-i}}
그렇다면, 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{+\infty }P\_{n}\left(u,u\_{x},u\_{xx},\dotsc \right)\,\mathrm {d} x}
다만, 만약 n이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 n이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.

| 차수 n | 운동 상수 P\_n | 설명 |
| --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle \textstyle \int u} | 질량 |
| 2 | {\displaystyle \textstyle \int (-u\_{x})=0} |
| 3 | {\displaystyle \textstyle \int (u\_{xx}+u^{2})=\int u^{2}} | 운동량 |
| 4 | {\displaystyle \textstyle \int (-u\_{xxx}-4uu\_{x})=0} |
| 5 | {\displaystyle \textstyle \int (u\_{xxxx}+5u\_{x}^{2}+6uu\_{xx}+2u^{3})=\int (2u^{3}-u\_{x}^{2})} | 에너지 |

### 솔리톤 해

코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는

{\displaystyle u(t,x)=u(x-ct)\qquad (c\in \mathbb {R} )}
의 꼴이다. 여기서 c는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

{\displaystyle \lim \_{\xi \to +\infty }u(\xi )=\lim \_{\xi \to -\infty }u(\xi )=0}
이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 {\displaystyle \xi =x-ct}에 대한 미분이다.)

{\displaystyle -c{\dot {u}}+{\overset {\mathbf {...} }{u}}-6u{\dot {u}}=0}
양변을 \xi 에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

{\displaystyle -cu+{\ddot {u}}-3u^{2}=A}
여기서 A는 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언의 오일러-라그랑주 방정식이다.

{\displaystyle L(u,{\dot {u}})={\frac {1}{2}}{\dot {u}}^{2}+u^{3}+{\frac {1}{2}}cu^{2}+Au}
이는 퍼텐셜

{\displaystyle V(u)=-u^{3}-{\frac {1}{2}}cu^{2}-Au}
속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, {\displaystyle u(\pm \infty )=0}이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 {\displaystyle \xi =-\infty }에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 {\displaystyle \xi =+\infty }에 도달하는 것에 해당한다. 이는 {\displaystyle A=0}이며 c>0일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle u(x,t)=-{\frac {1}{2}}c\left(\cosh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {c}}(x-ct-x\_{0})\right)\right)^{-2}}
여기서 x\_0는 초기 조건 t=0에서 솔리톤의 위치이다.

역사
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조제프 발랑탱 부시네스크(프랑스어: Joseph Valentin Boussinesq IPA: [ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk])가 1877년에 최초로 발견하였다.:360, 주석 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐(네덜란드어: Diederik Johannes Korteweg)와 귀스타브 더프리스(네덜란드어: Gustav de Vries)의 이름을 땄다.

참고 문헌
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1. ↑  Drazin, P. G. (1983). 《Solitons》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **85**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27422-2. MR 0716135.
2. ↑  Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003). 《KdV & KAM》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) **45**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-08054-2. ISBN 978-3-540-02234-3. MR 1997070.
3. ↑  Boussinesq, J. (1877). "Essai sur la théorie des eaux courantes". 《Memoires presentes par divers savants à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut national de France》 (프랑스어) **23**: 1–680.
4. ↑  de Jager, E.M. (2006). "On the origin of the Korteweg–de Vries equation". arXiv:math/0602661.
5. ↑  Korteweg, Diederik Johannes; de Vries, Gustav (1895). "On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves". 《Philosophical Magazine》 **39** (240): 422–443. doi:10.1080/14786449508620739.
6. ↑  Miles, John W. (1981). "The Korteweg–De Vries equation: A historical essay". 《Journal of Fluid Mechanics》 **106**: 131–147. Bibcode:1981JFM...106..131M. doi:10.1017/S0022112081001559.