가환대수학에서 **비트 벡터 환**(Witt vector環, 영어: ring of Witt vectors)은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. *p*진 정수환의 일반화이다.

정의
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**비트 다항식**(영어: Witt polynomial)들은 다음과 같은 다항식열이다.

{\displaystyle W\_{n}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\sum \_{d\mid n}dx\_{d}^{n/d}\in \mathbb {Z} [x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}
가환환 R가 주어졌을 때, R 속의 열의 집합 {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

{\displaystyle W\_{n,R}\colon R^{\mathbb {Z} ^{+}}\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}}
{\displaystyle W\_{R}\colon (r\_{1},r\_{2},\dots )\mapsto \left(W\_{1}(r\_{1}),W\_{2}(r\_{1},r\_{2}),W\_{3}(r\_{1},r\_{2},r\_{3}),\dots \right)}
그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

{\displaystyle p^{(i)}\in \mathbb {Z} [x\_{1},\dots ,y\_{1},y\_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
{\displaystyle s^{(i)}\in \mathbb {Z} [x\_{1},\dots ,y\_{1},y\_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
이 유일하게 존재한다.

* {\displaystyle {\vec {w}}+{\vec {w}}'=(s^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),s^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )} 및 {\displaystyle ({\vec {w}})({\vec {w}}')=(p^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),p^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )}를 정의하였을 때, {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}}은 환을 이룬다. 이 환을 {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}이라고 하자.
* {\displaystyle W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}}는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}}은 가환환 R의 가산 무한 개 직접곱이다.

이 가환환을 **R 계수의 비트 벡터 환**(영어: ring of Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {WittVector} \colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing} }
### *p*-비트 벡터

가환환 R와 집합

{\displaystyle 1\in S\subseteq \mathbb {Z} ^{+}}
이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle d\mid n,\;n\in S\implies d\in S}
(즉, S는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형

{\displaystyle W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}}
에서, 아이디얼

{\displaystyle R^{S}\subseteq R^{\mathbb {Z} ^{+}}}
의 원상

{\displaystyle W^{-1}(R^{S})=\operatorname {WittVector} \_{p}(R)\subseteq \operatorname {WittVector} (R)}
을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 **R 계수의 S-비트 벡터 환**(영어: ring of S-Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다. (그러나 이는 {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}의 항등원을 포함하지 않으므로, {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형

{\displaystyle (W\_{i})\_{i\in S}\colon \operatorname {WittVector} \_{S}(R)\to R^{S}\cong R^{\mathbb {Z} ^{+}}}
이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.

{\displaystyle \operatorname {WittVector} \_{S}\colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing} }
특히, 소수 p에 대하여, {\displaystyle S=\{1,p,p^{2},p^{3},\dots \}}일 경우를 **R 계수의 p-비트 벡터 환**(영어: ring of p-Witt vectors with coefficients in R)이라고 한다. 또한, 소수 p 및 양의 정수 n에 대하여, {\displaystyle S=\{1,p,p^{2},\dots ,p^{n}\}}일 경우를 **R 계수의 길이 n의 p-비트 벡터 환**(영어: ring of p-Witt vectors of length n with coefficients in R)이라고 한다.

구체적으로, *p*-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.

{\displaystyle {\vec {r}}+{\vec {s}}=\left(r\_{0}+s\_{0},r\_{1}+s\_{1}+(r\_{0}^{p}+s\_{0}^{p}-(r\_{0}+s\_{0})^{p})/p,\dots \right)}
{\displaystyle {\vec {r}}{\vec {s}}=\left(r\_{0}s\_{0},r\_{0}^{p}s\_{1}+s\_{1}r\_{0}^{p}+pr\_{1}s\_{1},\dots \right)}

성질
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S-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

{\displaystyle W\_{S}\colon \operatorname {WittVector} \_{S}(R)\to R^{S}}
및 유일한 환 준동형

{\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to R}
을 생각하자.

* 만약 {\displaystyle \iota (S)\subseteq R^{\times }}이라면 (즉, S의 모든 원소들이 R에서 가역원이라면), {\displaystyle W\_{S}}는 전단사 함수이다.
* 만약 {\displaystyle \iota (S)\subseteq R}가 모두 영인자가 아니라면, {\displaystyle W\_{S}}는 단사 함수이다.

가환환 R 위의 비트 벡터 {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)=\operatorname {WittVector} \_{\mathbb {Z} ^{+}}(R)}는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

예
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만약 S=\{1\}일 경우, {\displaystyle \operatorname {WittVector} \_{\{1\}}(R)\cong R}이다.

### p진 정수

소수 p에 대하여, 유한체 \mathbb {F} \_{p} 위의 p-비트 벡터 환은
p진 정수환 \mathbb Z\_p과 동형이다.

구체적으로,
p진 정수환 \mathbb Z\_p의 **타이히뮐러 대표원**의 집합은 0 및 \mathbb Z\_p 속의 1의 p제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.

{\displaystyle \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} \_{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}}
(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상

{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \_{p}\to \mathbb {Z} \_{p}/(p)\cong \mathbb {F} \_{p}}
아래

{\displaystyle f|\_{\{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} \_{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}}\colon \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} \_{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\to \mathbb {F} \_{p}}
는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 \mathbb {F} \_{p}로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 p진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle a\_{0}+a\_{1}p+a\_{2}p^{2}+\cdots \qquad (a\_{i}\in \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} \_{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\forall i\in \mathbb {N} )}
그렇다면, p진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

역사
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에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 p>0의 체 위의 p^{n}차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Witt, Ernst (1936). "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn". 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 (독일어) **176**: 126–140. doi:10.1515/crll.1937.176.126. ISSN 0075-4102.

* Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉. Hazewinkel, Michiel. 《Handbook of algebra. Volume 6》 (영어). Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661.