가환대수학에서 **정칙 국소환**(正則局所環, 영어: regular local ring)은 극대 아이디얼의 최소 생성원 집합의 크기가 크룰 차원과 같은 뇌터 국소환이다.

정의
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가환 뇌터 국소환 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 **정칙 국소환**이라고 한다. (여기서 {\mathfrak m}은 R의 유일한 극대 아이디얼이며, {\displaystyle K=R/{\mathfrak {m}}}은 그 잉여류체이다.)

* 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 {\mathfrak m}은 \dim R개의 원소들로 생성된다 (\dim R는 크룰 차원).
	+ 크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, {\mathfrak m}은 최소한 \dim R개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
* {\displaystyle \dim \_{K}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim R}이다. 여기서 \dim \_{K}는 K-벡터 공간의 차원이다.
	+ {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^{2}는 \operatorname {Spec} R의 유일한 닫힌 점 {\mathfrak m}에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴 \operatorname {Spec} R 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
* R 위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다.
{\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} \_{R}\}<\infty }
* R 위의 모든 가군들의 사영 차원은 \dim R 이하이다.
{\displaystyle \sup\{\operatorname {pd} M\colon M\in \operatorname {Mod} \_{R}\}\leq \dim R}

**정칙 스킴**은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. **정칙환**(正則環, 영어: regular ring) R는 아핀 스킴 \operatorname {Spec} R가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다.

성질
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체를 포함하는 정칙 국소환 R는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환이다. 즉,

R\cong \operatorname {Frac}(R)[[x\_{1},\dots ,x\_{{\dim R}}]]
이다.

### 연산에 대한 닫힘

정칙 국소환의 모든 국소화 및 완비화 역시 정칙국소환이다.

국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 필요 충분 조건은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다.

### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  | 이산 값매김환 |
|  |  | ∩ |
| 체 | ⊂ | 정칙 국소환 | ⊂ | 고런스틴 국소환 | ⊂ | 코언-매콜리 국소환 | ⊂ | 뇌터 국소 가환환 |
|  |  | ∩ |
|  |  | 유일 인수 분해 정역 |

모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 **오슬랜더-북스바움 정리**(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)라고 한다.

또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 R에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* R는 체이다.
* \dim R=0이다.

(체는 크룰 차원이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.)

정칙 국소환 R에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* R는 이산 값매김환이다.
* \dim R=1이다.

분류
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 이 부분의 본문은 완비 국소환입니다.
정칙 국소환은 국소화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있다. 이 가운데 뇌터 가환환인 것은 구조 정리가 알려져 있다.

예
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소수 p에 대한 p진 정수환 \mathbb Z\_p은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이다. 이는 체를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다.

국소환 R에 대한, n개의 변수에 대한 형식적 멱급수환 {\displaystyle R[\![x\_{1},\dots ,x\_{n}]\!]}은 정칙 국소환이다. 특히, 체 K에 대한 형식적 멱급수환 {\displaystyle K[\![x\_{1},\dots ,x\_{n}]\!]}은 n차원의 정칙 국소환이다.

### 정칙 국소환이 아닌 국소환

체 K에 대하여 국소 가환환 {\displaystyle K[x]/(x^{2})}를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼 (x)은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.

호몰로지 대수학적으로, {\displaystyle K[x]/(x^{2})}는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.

{\displaystyle \dotsm {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {K[x]}{(x^{2})}}\to K\to 0}
따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.

대수기하학적으로, {\displaystyle K[x]/(x^{2})}는 아핀 직선 {\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]} 속의 원점 {\displaystyle \operatorname {Spec} (K[x]/(x))\hookrightarrow \operatorname {Spec} K[x]}의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실

응용
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대수기하학에서, 완전체에 대한 대수다양체 V가 x\in V에서 비특이인 필요 충분 조건은 싹의 국소환 {\mathcal O}\_{{V,x}}가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 스킴에 대하여 정의할 수 있다. **정칙 스킴**(영어: regular scheme)은 정칙환의 스펙트럼으로 덮을 수 있는 스킴이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V\subset K^{n} 속의 (닫힌) 점 x\in V에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

* 국소환 {\mathcal O}\_{{V,x}}가 정칙국소환이다.
* V가 다항식들 f\_{1},\dots ,f\_{m}\in K[x\_{1},\dots ,x\_{n}]의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, x\in K^{n}에서의 m\times n 야코비 행렬 (\partial f\_{i}/\partial x^{j})|\_{x}의 계수가 n-\dim V이다.

즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다.

역사
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정칙 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1937년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1959). "Unique factorization in regular local rings". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 **45**: 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733. ISSN 0027-8424. JSTOR 90213. MR 0103906.
2. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
3. ↑  Krull, Wolfgang (1937). "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche Ⅲ. Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어): 745–766. doi:10.1007/BF01160110.