범주론에서, 범주에 대한 **준층** C는 함자 {\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }이다. C가 위상 공간에서 열린 집합들의 부분 순서 집합이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 준층 개념을 의미한다.

준층들의 사상은 함자의 자연 변환으로 정의된다. 이렇게 하면 C 위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}로 나타낸다.

**C**의 일부 대상 *A*에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, *A* )과 자연 동형 인 준층을 표현 가능한 준층이라고 한다.

일부 저자는 함자 {\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }를 **{\mathbf {V}} - 값 준층**으로 정의한다.

예
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* 단체 집합은 단체 범주 {\displaystyle C=\Delta }의 **집합** 값 준층이다.

성질
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* C가 작은 범주일 때, 함자 범주 {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}는 데카르드 닫힌 범주이다.
* P의 부분 대상의 부분 순서 집합은 P가 작은 C에 대해 {\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}의 대상일 때 헤이팅 대수를 형성한다.
* {\displaystyle {\widehat {C}}}의 모든 사상 {\displaystyle f:X\to Y}에 대해, 부분 대상의 당김 함수 {\displaystyle f^{\*}:\mathrm {Sub} \_{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} \_{\widehat {C}}(X)}는 {\displaystyle \forall \_{f}}로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 {\displaystyle \exists \_{f}}를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
* 국소적으로 작은 범주 C는 C의 모든 대상 A를 hom 함자 {\displaystyle C(-,A)}와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 {\displaystyle {\widehat {C}}} 범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
* 범주 {\displaystyle {\widehat {C}}}는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다. 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조.
* 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, {\displaystyle {\widehat {C}}}는 C의 여극한 완비이다. (아래의 보편 성질 참조.)

보편 성질
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{\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )} 구성은 다음 보편 성질 때문에 *C*의 **여극한 완비**라고 한다.
 명제

{\displaystyle C,D}가 범주들이고 D가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 {\displaystyle \eta :C\to D}는

{\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}

로 함자화 된다. 여기서 y는 요네다 매장이고 {\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}은, 동형 사상에 대해 유일한, \eta 의 **요네다 확장**으로 불리는 여극한 보존 함자이다.

*증명* : 조밀성 정리에 의해 준층 F가 주어지면 {\displaystyle F=\varinjlim yU\_{i}}이다. 여기서 U\_{i}는 *C*의 대상이다. 그러면 {\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U\_{i}}이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. {\displaystyle \varinjlim -}는 함자성을 가지므로 함자 {\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}를 결정한다. 간결하게, {\displaystyle {\widetilde {\eta }}}은 *y*를 따른 \eta 의 왼쪽 칸 확대이다. {\displaystyle {\widetilde {\eta }}}가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해, {\displaystyle {\widetilde {\eta }}} 일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}를 *D*의 각 대상 *M*과 *C*의 각 대상 *U*에 대해

{\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} \_{D}(\eta U,M).}
로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, *D*의 각 대상 *M*에 대해 {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U\_{i})=\operatorname {Hom} (yU\_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))} 이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} \_{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} \_{D}(\varinjlim \eta U\_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} \_{D}(\eta U\_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U\_{i})\\&=\operatorname {Hom} \_{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M))\end{aligned}}}
말하자면 {\displaystyle {\widetilde {\eta }}}는 {\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}에 왼쪽 인접이다. \square 

이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는 {\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}} 구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 {\displaystyle C\to D}는 함자 {\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}를 결정한다.

변형들
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*\infty*-범주 *C*위의 **공간들의 준층**은 *C*에서 공간 *\infty*-범주로 가는 반공변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경) 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. :{\displaystyle C\to PShv(C)}는 완전히 충실하다.(여기서 *C*는 단체 집합일 수 있다.)

참고 문헌
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* Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2005). 《Categories and sheaves》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften **332**. Springer. ISBN 978-3-540-27950-1.
* Lurie, J. 《Higher Topos Theory》.
* Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). 《Sheaves in Geometry and Logic》. Springer. ISBN 0-387-97710-4.

추가 자료
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* "Presheaf". 《nLab》 (영어).
* "Free cocompletion". 《nLab》 (영어).
* Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory, the pdf file provided by nlab.