대수학에서 **다항식환**(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

정의
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환 R에 대한 **다항식환** R[x]는 집합으로서

{\displaystyle \{p\in R^{\mathbb {N} }\colon |\{n\in \mathbb {N} \colon p\_{n}\neq 0\}|<\aleph \_{0}\}}
이다. 이 집합의 원소를 **다항식**이라고 한다. 각 원소 p\in R[x]를

{\displaystyle p(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }p\_{n}x^{n}=p\_{0}+p\_{1}x+p\_{2}x^{2}+\cdots }
으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

{\displaystyle p(x)+q(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(p\_{n}+q\_{n})x^{n}}
은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 R-가군 구조가 존재한다.

{\displaystyle rp(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }rp\_{n}x^{n}}
{\displaystyle p(x)r=\sum \_{n=0}^{\infty }p\_{n}rx^{n}}
또한, R[x]에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

{\displaystyle p(x)q(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }\sum \_{k=0}^{n}p\_{k}q\_{n-k}x^{n}}
**다변수 다항식환**(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]은 R[x\_{1}][x\_{2}]\cdots [x\_{n}]과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 {\displaystyle p\in R[x\_{1},\dots ,x\_{k}]}는

{\displaystyle p(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\sum \_{n\_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum \_{n\_{k}=0}^{\infty }p\_{n\_{1},\dots ,n\_{k}}x\_{1}^{n\_{k}}\cdots x\_{k}^{n\_{k}}}
로 표기한다.

성질
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### 차수

 다항식 § 차수 문서를 참고하십시오.
다항식 {\displaystyle 0\neq p\in R[x]}의 **차수**(次數, 영어: degree)는

{\displaystyle \deg p=\max\{n\in \mathbb {N} \colon p\_{n}\neq 0\}}
이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 {\displaystyle \deg 0=-\infty } 또는 {\displaystyle \deg 0=-1}을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 {\displaystyle 0\neq p\in R[x\_{1},\dots ,x\_{k}]}의 **차수**는

{\displaystyle \deg p=\max\{n\_{1}+\cdots +n\_{k}\colon p\_{n\_{1},\dots ,n\_{k}}\neq 0\}}
이다.

다항식 p,q\in R[x] (또는 다변수 다항식 {\displaystyle p,q\in R[x\_{1},\dots ,x\_{k}]})가 주어졌고, 편의상 {\displaystyle \deg 0=-\infty }라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

* {\displaystyle \deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}}
* 만약 {\displaystyle \deg p\neq \deg q}라면, {\displaystyle \deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}}
* {\displaystyle \deg(pq)\leq \deg p+\deg q}
* 만약 R가 영역이라면, {\displaystyle \deg(pq)=\deg p+\deg q}

### 근

다항식 p\in R[x]의 **근**(根, 영어: root)은 p(r)=0을 만족시키는 환의 원소 r\in R를 뜻한다. 이 경우 {\displaystyle (x-r)^{m}\mid p(x)}를 만족시키는 최대의 정수 m을 근 r의 **중복도**(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 **단순근**(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 **다중근**(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환 R를 계수로 하는 다항식 p\in R[x] 및 환의 원소 r\in R가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* r는 p(x)의 근이다.
* {\displaystyle x-r\mid p(x)}

가환환 R를 계수로 하는 다항식 p\in R[x]의 근 r\in R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* r는 p(x)의 단순근이다.
* {\displaystyle p'(r)\neq 0}

표수 c의 체 K를 계수로 하는 다항식 p\in K[x]의 근 a\in K의 중복도가 m이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* 만약 {\displaystyle c\nmid m}이라면, {\displaystyle p'(x)}에 대한 a의 중복도는 m-1이다.
* 만약 {\displaystyle c\mid m}이라면, {\displaystyle p'(x)}에 대한 a의 중복도는 m 이상이다.

특히, 만약 c=0이거나 {\displaystyle c>m}이라면, p(x)에 대한 a의 중복도는

{\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon p^{(k)}(a)\neq 0\}}
이다.

대수적으로 닫힌 체 K를 계수로 하는 다항식 p\in K[x]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* p(x)는 다중근을 가진다.
* {\displaystyle \gcd\{p(x),p'(x)\}\neq 1}

대수적으로 닫힌 체 K를 계수로 하는 기약 다항식 p\in K[x]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* p(x)는 다중근을 가진다.
* {\displaystyle p'(x)=0}

체 K를 계수로 하는 기약 다항식 p\in K[x]가 주어졌고, K의 대수적 폐포가 {\bar {K}}라고 하자. 만약 K의 표수가 0이거나, K가 유한체라면, p(x)는 {\bar {K}}에서 다중근을 갖지 않는다 (즉, p(x)는 분해 가능 다항식이다).

### 환론적 성질

환 R에 대하여,

* 만약 R가 가환환이라면, R[x] 역시 가환환이다.
* 만약 R가 영역이라면, R[x] 역시 영역이다.
* 만약 R가 정역이라면, R[x] 역시 정역이다.
* 만약 R가 유일 인수 분해 정역이라면, R[x] 역시 유일 인수 분해 정역이다.
* (힐베르트 기저 정리) 만약 R가 가환 뇌터 환이라면, R[x] 역시 가환 뇌터 환이다.
* 만약 R가 체라면, R[x]는 유클리드 정역이다.

영역 R를 계수로 하는 다항식 p\in R[x]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* p(x)는 R[x]의 가역원이다.
* p\in R이며, p는 R의 가역원이다.

### 보편 성질

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 R, S 및 환 준동형 \phi \colon R\to S 및 원소 s\in S에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 {\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S}가 존재한다.

* {\displaystyle {\widetilde {\phi }}|\_{R}=\phi }
* {\displaystyle \phi (x)=s}

특히, 다음 그림이 가환한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi }}}\\&&S\end{matrix}}}
구체적으로,

{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon p(x)\mapsto \sum \_{n=0}^{\infty }\phi (p\_{n})s^{n}}
이다.

참고 문헌
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* Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **242** 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.