집합론에서 **점류**(點類, 영어: pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

정의
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구체적 범주 F\colon {\mathcal C}\to \operatorname {Set}가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주 \operatorname {Set}  위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon X\mapsto \operatorname {Pow} (X)}
{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{-1}\colon \operatorname {Pow} (Y)\to \operatorname {Pow} (X)\right)}
그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Pow} \circ F}는 {\mathcal {C}} 위의 준층을 이룬다. {\displaystyle \operatorname {Pow} \circ F}의 부분 준층을 ({\mathcal C},F) 위의 **점류**라고 한다. 즉, 구체적으로 **점류** \Gamma 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여, 집합족 {\displaystyle \Gamma (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)}
* 또한, 임의의 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq Y} 및 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 {\displaystyle B\in \Gamma (Y)}라면 {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Gamma (X)}이다.

구체적 범주 {\mathcal {C}} 위의 점류 \Gamma 에 대하여, {\displaystyle {\check {\Gamma }}}는 다음과 같은 점류이다.

{\displaystyle {\check {\Gamma }}(X)=X\setminus \Gamma (X)}
이를 {\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}의 **쌍대 점류**(雙對點類, 영어: dual pointclass)라고 한다.:167, §22.A 또한, {\mathcal {C}} 위의 점류들의 집합 {\displaystyle \{\Gamma \_{i}\}\_{i\in I}}에 대하여,

{\displaystyle \bigcap \_{i\in I}\Gamma \_{i}\colon X\mapsto \bigcap \_{i\in i}\Gamma \_{i}(X)}
{\displaystyle \bigcup \_{i\in I}\Gamma \_{i}\colon X\mapsto \bigcup \_{i\in i}\Gamma \_{i}(X)}
역시 점류이다. 특히, {\displaystyle \Gamma \cap {\check {\Gamma }}}를 \Gamma 의 **모호 점류**(模糊點類, 영어: ambiguous pointclass)라고 한다.:167, §22.A:114, §3D

흔히 ({\mathcal C},F)가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 {\displaystyle \operatorname {PolTop} }이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} }를 사용한다.

성질
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임의의 기수 \kappa  및 점류 \Gamma 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, \Gamma 가 **\kappa  미만 합집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다.

* 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}} 및 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)}에 대하여, 만약 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|<\kappa }라면 {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)}이다.

임의의 기수 \kappa  및 점류 \Gamma 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, \Gamma 가 **\kappa  미만 교집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다.

* 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}} 및 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)}에 대하여, 만약 {\displaystyle |{\mathcal {A}}|<\kappa }라면 {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)}이다.

만약 {\displaystyle \Gamma ={\check {\Gamma }}}라면, \Gamma 가 **여집합에 대하여 닫혀 있다**고 한다.

### 폴란드 공간의 점류

({\mathcal C},F)가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 {\displaystyle \operatorname {PolTop} }인 경우를 생각하자.

{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.

* 임의의 폴란드 공간 X 및 집합렬 {\displaystyle A\_{0},A\_{1},\dots \subseteq X}에 대하여, {\displaystyle A\in X\times \mathbb {N} \iff \forall i\in \mathbb {N} \colon A\_{i}\in \Gamma (X)}이라면, \Gamma 가 **합리적 점류**(合理的點類, 영어: reasonable pointclass)라고 한다.:171, §22.C (여기서 {\mathbb N}은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)

{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma  및 기수 \kappa 가 다음 조건을 만족시킨다면, \Gamma 가 **\kappa -분리 성질**(영어: \kappa -separation property)을 만족시킨다고 한다.:170, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간 X 및 임의의 집합족 {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)}에 대하여, 만약 {\displaystyle |I|<\kappa }이며 {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}A\_{i}=\varnothing }이라면, {\displaystyle \forall i\in I\colon A\_{i}\subseteq B\_{n}}이자 {\displaystyle \textstyle \bigcap \_{i\in I}B\_{i}=\varnothing }인 {\displaystyle B\_{0},B\_{1},\dots \in \Gamma (X)\cap {\check {\Gamma }}(X)}가 존재한다.
{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma  및 기수 \kappa 가 다음 조건을 만족시킨다면, **\kappa -축소 성질**(영어: \kappa -reduction property)을 만족시킨다고 한다.:170, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간 X 및 임의의 집합족 {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)}에 대하여, 만약 {\displaystyle |I|<\kappa }이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 {\displaystyle \{B\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)}가 존재한다.
* {\displaystyle \forall i\in I\colon B\_{i}\subseteq A\_{n}}
* {\displaystyle \forall i,j\in I\colon i\neq j\implies B\_{i}\cap B\_{j}=\varnothing }
* {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i\in I}A\_{i}=\bigcup \_{i\in I}B\_{i}}

{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, {\displaystyle {\check {\Gamma }}}는 가산 분리 성질을 갖는다.

### 균등화 성질

집합 R (푸른색)의 균등화 f (붉은색)
집합 X, Y 및 부분 집합 {\displaystyle R\subseteq X\times Y}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, R의 **균등화 집합**(영어: uniformizing set) S\subseteq R은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.

* 임의의 {\displaystyle (x,y)\in R}에 대하여, {\displaystyle (x,y')\in S}인 {\displaystyle y'\in Y}가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간 Y가 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 가 다음 조건을 만족시킨다면, **Y-균등화 성질**(Y-均等化性質, 영어: Y-uniformization property)을 만족시킨다고 한다.

임의의 폴란드 공간 X과 부분 집합 {\displaystyle R\in \Gamma (X\times Y)}에 대하여, R의 균등화 {\displaystyle S\in \Gamma (X\times Y)}가 존재한다.
모든 폴란드 공간 Y에 대하여 Y-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, **균등화 성질**을 만족시킨다고 한다.

그렇다면, {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
* 합리적이며, {\mathbb N}-균등화 성질을 갖는다. ({\mathbb N}은 가산 무한 이산 공간이다.)

### 계급 점류

구체적 범주 {\mathcal {C}} 위의 점류 \Gamma 와 폴란드 공간 X 및 그 부분 집합 A\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 {\displaystyle \phi \colon A\to \operatorname {Ord} }에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, X 위의 두 이항 관계 {\displaystyle \leq \_{\phi }^{\Gamma }}, {\displaystyle \leq \_{\phi }^{\check {\Gamma }}}가 존재한다면, \phi 가 A 위의 **\Gamma -계급 함수**(\Gamma -階級函數, 영어: \Gamma -rank)라고 한다.

* {\displaystyle \leq \_{\phi }^{\Gamma }\in \Gamma (X^{2})}
* {\displaystyle \leq \_{\phi }^{\check {\Gamma }}\in {\check {\Gamma }}(X^{2})}
* 임의의 a\in A 및 x\in X에 대하여, {\displaystyle (x\in A\land \phi (x)\leq \phi (a))\iff x\leq \_{\phi }^{\Gamma }a\iff x\leq \_{\phi }^{\check {\Gamma }}a}이다.

{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 가 다음 조건을 만족시킨다면, **계급 점류**(영어: ranked pointclass)라고 한다.:171, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간 X 및 {\displaystyle A\in \Gamma (X)}에 대하여, \Gamma -계급 함수가 존재한다.
계급 점류 \Gamma 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{0}\subseteq \Gamma }이다.
* 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.

그렇다면, \Gamma 는 가산 축소 성질과 {\mathbb N}-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

### 눈금

폴란드 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X 위의 계급 함수의 열 {\displaystyle (\phi \_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}이 다음 조건을 만족시킨다면, **눈금**(영어: scale)이라고 한다.

A 속의 임의의 점렬 {\displaystyle (a\_{i})\_{i<\omega }\subseteq A}에 대하여, 만약
* {\displaystyle (a\_{i})\_{i<\omega }}는 X 속에서 x\in X로 수렴하며,
* {\displaystyle \forall i\geq N\colon \phi \_{n}(a\_{i})=\lambda \_{n}}이 되는 {\displaystyle N\_{n}<\omega }와 {\displaystyle \lambda \_{n}\in \operatorname {Ord} }가 존재한다면,

x\in A이자 {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon \phi \_{i}(x)\leq \lambda \_{i}}이다.
{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma  및 폴란드 공간 X 및 그 부분 집합 A\subseteq X 및 A 위의 눈금 {\displaystyle (\phi \_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}에 대하여, 만약 모든 i\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle \phi \_{i}\colon A\to \operatorname {Ord} }가 \Gamma -계급 함수라면, {\displaystyle (\phi \_{i})\_{i\in \mathbb {N} }}를 **\Gamma -눈금**이라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류 \Gamma 가 다음 조건을 만족시킨다면, **눈금 점류**(영어: scaled pointclass)라고 한다.:171, Definition 22.14

임의의 {\displaystyle A\in \Gamma }에 대하여, A 위의 \Gamma -눈금이 존재한다.
눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

{\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 눈금 점류 \Gamma 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}\subseteq \Gamma }이다.
* 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 {\displaystyle A\in \Gamma (X\times Y)}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {\forall } ^{Y}(A)=\{x\in X\colon \{x\}\times Y\subseteq A\}\in \Gamma (X)}이다.

그렇다면, \Gamma 는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류 \Gamma 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}\subseteq \Gamma }이다.
* 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
* 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 합리적 점류이다.

그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 눈금 점류 | ⇒ | 계급 점류 | ⇒ | 가산 축소 점류 | ⇒ | 가산 분리 점류의 쌍대 점류 |
| ⇓ |  | ⇳ |
| 균등화 점류 | ⇒ | {\mathbb N}-균등화 점류 |

### 주기성 정리

{\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 점류 \Gamma 가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

* 모든 보렐 집합을 포함한다.
* 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 {\displaystyle S\in \Gamma (\mathbb {N} ^{\aleph \_{0}})\cap {\check {\Gamma }}(\mathbb {N} ^{\aleph \_{0}})}에 대하여, S는 결정 집합이다.
* 눈금 점류이다.

그렇다면, **주기성 정리**(영어: periodicity theorem)에 따르면, {\displaystyle \forall ^{\mathbb {N} ^{\aleph \_{0}}}\Gamma } 역시 눈금 점류이다.:336–337, Theorem 39.8

특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{1}}은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{2n+1}^{1}}과 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{2n+2}^{1}}는 눈금 점류가 된다.

예
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보렐 위계의 단계들 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{\alpha }^{0}}, {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{\alpha }^{0}}, {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}\_{\alpha }^{0}}은 {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

사영 위계의 단계들 {\boldsymbol \Delta }\_{n}^{1}, {\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1}, {\boldsymbol \Pi }\_{n}^{1}은 {\displaystyle \operatorname {PolTop} } 위의 점류를 이루며, 또한 {\displaystyle \operatorname {stdBorelMeasbl} } 위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
2. ↑  Moschovakis, Yiannis N. (2009). 《Descriptive set theory》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) **155** 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4813-5.