수학에서 **라마누잔 g함수와 G 함수**는 모듈러 함수에서 유도된 함수이다. 이 함수의 이름은 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔에서 유래됐다. g함수와 G함수는 타원 모듈러 람다 함수와 대수적 관계를 갖는다. 모듈러 람다 함수는 합동 부분군 Γ(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 타원 모듈러 람다 함수 λ\*(x)의 아크탄젠트를 두 배로 늘리는 코탄젠트는 함수 g(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다. 타원 모듈러 람다 함수 λ\*(x)의 아크사인을 두 배로 늘리는 코시컨트는 함수 G(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다.

정의
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라마누잔에 따른 정의:

{\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod \_{a=0}^{\infty }\{1-\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}}
{\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod \_{a=0}^{\infty }\{1+\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}}
타원 모듈러 람다 함수를 기반으로하는 함수 g(x) 및 G(x)의 정의:

{\displaystyle g(x)=\tan\{2\arctan[\lambda ^{\*}(x)]\}^{-1/12}}
{\displaystyle G(x)=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{\*}(x)]\}^{-1/12}}
데데킨트 에타 함수에 기반한 정의:

{\displaystyle g(x)=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})\,\eta (i{\sqrt {x}})^{-1}=}
{\displaystyle =2^{-1/4}{\biggl \{}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}\sum \_{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{12}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1}}
{\displaystyle G(x)=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})^{-1}\,\eta (i{\sqrt {x}})^{2}\,\eta (2i{\sqrt {x}})^{-1}}

역함수
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역함수를 표현하려면 제 1 종의 완전한 타원 적분만 필요하다:

{\displaystyle g^{\langle -1\rangle }(x)=K({\sqrt {2}}x^{6}{\sqrt {{\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12}}})^{2}K({\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12})^{-2}}
{\displaystyle G^{\langle -1\rangle }(x)=K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+x^{-12}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x^{-12}}}{\biggr )}^{2}K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+x^{-12}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x^{-12}}}{\biggr )}^{-2}}
다음 문장이 유효하다:

면: {\displaystyle g(x\_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}, 그런: {\displaystyle g(x\_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}}
면: {\displaystyle G(x\_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}, 그런: {\displaystyle G(x\_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}}

성질
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라마누잔 함수 g(x) 과 G(x) 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나. 이 초등이 아닌 초등 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다:

{\displaystyle G(x)=2^{-1/8}g(x)^{-1/2}[{\sqrt {g(x)^{24}+1}}+g(x)^{12}]^{1/8}}
{\displaystyle G(x)=G(1/x)}
{\displaystyle g(4x)=2^{1/4}g(x)G(x)}
{\displaystyle g(x)g(4/x)=1}
{\displaystyle g(9x)^{12}-g(x)^{12}=2{\sqrt {2}}g(x)^{9}g(9x)^{9}+2{\sqrt {2}}g(x)^{3}g(9x)^{3}}
{\displaystyle g(25x)^{6}-g(x)^{6}=2g(x)^{5}g(25x)^{5}+2g(x)g(25x)}
{\displaystyle g(49x)^{8}+g(x)^{8}-7g(x)^{4}g(49x)^{4}=2{\sqrt {2}}g(x)^{7}g(49x)^{7}+2{\sqrt {2}}g(x)g(49x)}
{\displaystyle g(121x)^{12}-g(x)^{12}=}
{\displaystyle =2{\sqrt {2}}g(x)g(121x)[g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][2g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+2]}
{\displaystyle [g(169x)^{2}-g(x)^{2}][g(169x)^{4}+g(x)^{4}-7g(x)^{2}g(169x)^{2}]\{[g(169x)^{2}-g(x)^{2}]^{4}-g(x)^{2}g(169x)^{2}[g(169x)^{2}+g(x)^{2}]^{2}\}=}
{\displaystyle =8g(x)^{13}g(169x)^{13}+8g(x)g(169x)}

특별한 값
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중요한 피솟 비자야라가브한 상수:

| 상수의 이름 | 대수 표현 | 방정식 |
| --- | --- | --- |
| 황금비 | {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} | {\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi -1=0} |
| 은 비율 | {\displaystyle \delta \_{S}={\sqrt {2}}+1} | {\displaystyle \delta \_{S}^{2}-2\delta \_{S}-1=0} |
| 청동 비율 | {\displaystyle \delta \_{B}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {13}}+3)} | {\displaystyle \delta \_{B}^{2}-3\delta \_{B}-1=0} |
| 트리보나치 상수 | {\displaystyle T\_{TRI}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}} | {\displaystyle T\_{TRI}^{3}-T\_{TRI}^{2}-T\_{TRI}-1=0} |
| 플라스틱 수 | {\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}})} | {\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0} |
| 초황금비 | {\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}} | {\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0} |

다음 값이 정확하다:

{\displaystyle g(1)=2^{-1/8}}
{\displaystyle g(2)=1}
{\displaystyle g(3)=2^{-1/6}(2+{\sqrt {3}})^{1/8}}
{\displaystyle g(4)=2^{1/8}}
{\displaystyle g(5)=2^{-1/8}({\sqrt {\Phi }}+1)^{1/4}}
{\displaystyle g(6)={\sqrt[{6}]{\delta \_{S}}}}
{\displaystyle g(7)=2^{-1/4}(8+3{\sqrt {7}})^{1/8}}
{\displaystyle g(8)=2^{1/8}{\sqrt[{8}]{\delta \_{S}}}}
{\displaystyle g(9)=2^{-1/8}(2+{\sqrt {3}})^{1/24}({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})^{1/4}}
{\displaystyle g(10)={\sqrt {\Phi }}}
{\displaystyle g(14)={\frac {1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}
{\displaystyle g(18)=({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{1/3}}
{\displaystyle g(22)={\sqrt {\delta \_{S}}}}
{\displaystyle g(26)={\frac {1}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {13}}-2}}({\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\sqrt {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}})+{\frac {1}{3}}{\sqrt {{\sqrt {13}}+2}}}
{\displaystyle g(30)=({\sqrt {10}}+3)^{1/6}{\sqrt {\Phi }}}
{\displaystyle g(34)={\frac {1}{4}}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-2}}}
{\displaystyle g(38)={\frac {1}{6}}\delta \_{S}^{-1/2}({\sqrt {2{\sqrt {57}}+14}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {57}}+16{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2{\sqrt {57}}-14}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {57}}-16{\sqrt {2}}}}+4+2{\sqrt {2}})}
{\displaystyle g(42)=2^{-1/2}({\sqrt {7}}+{\sqrt {3}})^{1/2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{1/6}}
{\displaystyle g(46)={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}
{\displaystyle g(50)={\frac {1}{2}}{\biggl \{}{\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos {\biggl (}{\frac {\pi }{10}}{\biggr )}\cosh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} {\biggl (}{\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}{\biggr )}{\biggr ]}+{\frac {1}{3}}\tan {\biggl (}{\frac {\pi }{5}}{\biggr )}{\biggr \}}^{2}-{\frac {1}{2}}}
{\displaystyle g(54)=(\delta \_{S}^{3/2}+{\sqrt {2}}\delta \_{S}^{7/6}+{\sqrt {2}}\delta \_{S}^{5/6})^{1/3}}
{\displaystyle g(58)=2^{-1/2}({\sqrt {29}}+5)^{1/2}}
{\displaystyle g(62)=\cot {\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\sqrt {28{\sqrt {2}}+38}}-{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}{\biggr )}{\biggr ]}^{1/2}}
{\displaystyle g(66)=\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arcsin {\biggl [}{\frac {1}{8}}(8+3{\sqrt {2}}-{\sqrt {66}}){\sqrt[{4}]{{\sqrt {33}}+4{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{8}}(8-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {66}}){\sqrt[{4}]{{\sqrt {33}}-4{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/3}}
{\displaystyle g(70)=\Phi {\sqrt {\delta \_{S}}}}
함수 값 g(74)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

{\displaystyle g(74)^{5}+g(74)^{3}+g(74)-{\sqrt {{\sqrt {37}}+6}}\left[g(74)^{4}-g(74)^{2}+1\right]=0}
다음 추가 값이 정확하다:

{\displaystyle G(1)=1}
{\displaystyle G(2)=2^{-1/8}{\sqrt[{8}]{\delta \_{S}}}}
{\displaystyle G(3)=2^{1/12}}
{\displaystyle G(4)=2^{-3/16}{\sqrt[{4}]{\delta \_{S}}}}
{\displaystyle G(5)={\sqrt[{4}]{\Phi }}}
{\displaystyle G(6)=2^{-1/8}(2+{\sqrt {3}})^{1/8}({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{1/8}\delta \_{S}^{-1/12}}
{\displaystyle G(7)=2^{1/4}}
{\displaystyle G(8)=2^{-3/16}\delta \_{S}^{1/16}({\sqrt {\delta \_{S}}}+{\sqrt {2}})^{1/4}}
{\displaystyle G(9)=(2+{\sqrt {3}})^{1/6}}
{\displaystyle G(10)=2^{-1/8}({\sqrt {10}}+3)^{1/8}\Phi ^{-1/4}\delta \_{S}^{1/4}}
{\displaystyle G(11)=2^{-1/4}3^{-1}({\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}+2)=2^{-1/4}(T\_{TRI}^{2}-T\_{TRI})}
{\displaystyle G(13)={\sqrt[{4}]{\delta \_{B}}}}
{\displaystyle G(15)=2^{1/4}{\sqrt[{3}]{\Phi }}}
{\displaystyle G(17)={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-6}}}
{\displaystyle G(19)={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{18}}\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{4}}{\sqrt {6}})]}
{\displaystyle G(21)=2^{-1/4}(8+3{\sqrt {7}})^{1/12}({\sqrt {7}}+{\sqrt {3}})^{1/4}}
{\displaystyle G(23)={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{18}}\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}})]=2^{1/4}\rho }
{\displaystyle G(25)=\Phi }
{\displaystyle G(27)=2^{1/12}3^{-1/3}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}
{\displaystyle G(29)=2^{-5/4}3^{-1}({\sqrt {29}}-5)^{1/4}[{\sqrt {29}}+3+({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{2{\sqrt {29}}+6{\sqrt {3}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{2{\sqrt {29}}-6{\sqrt {3}}}}]}
{\displaystyle G(31)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{18}}\operatorname {csch} [{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}})]=2^{1/4}\psi }
{\displaystyle G(33)=(10+3{\sqrt {11}})^{1/12}(2+{\sqrt {3}})^{1/4}}
{\displaystyle G(35)=2^{-9/4}3^{-1}({\sqrt {5}}-1)[({\sqrt {7}}+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{{\sqrt {35}}+3{\sqrt {3}}}}+({\sqrt {7}}-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{{\sqrt {35}}-3{\sqrt {3}}}}+6+2{\sqrt {5}}]}
{\displaystyle G(37)=({\sqrt {37}}+6)^{1/4}}
{\displaystyle G(39)=2^{-3/4}\delta \_{B}^{-1/3}({\sqrt {4\delta \_{B}+1}}+1)}
{\displaystyle G(41)={\frac {1}{8}}{\sqrt {6{\sqrt {41}}+38}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {14-2{\sqrt {41}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{40{\sqrt {41}}+8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{40{\sqrt {41}}-248}}}
{\displaystyle G(43)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{72}}\operatorname {csch} [{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{4}}{\sqrt {3}})]}
{\displaystyle G(45)=(4+{\sqrt {15}})^{1/6}\Phi ^{3/4}}
함수 값 G(47)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

{\displaystyle [2^{-1/4}G(47)]^{5}-[2^{-1/4}G(47)]^{3}-2[2^{-1/4}G(47)]^{2}-2[2^{-1/4}G(47)]-1=0}