대수 기하학에서 대수 다형체들 사이의 **사상**은 다항식에 의해 국소적으로 주어진 다형체 사이의 함수이다. **정규 사상** 또는 **정칙 사상**(복소 함수론의 정칙 사상과 혼돈의 여지가 있다)이라고도 한다. 대수 다형체에서 아핀 직선으로 가는 사상은 **정규 함수**라고도 한다. 역도 규칙적인 정규 사상을 **쌍정규**라고 하며 쌍정규 사상은 대수 다형체의 동형사상이다. 정규와 쌍정규는 매우 제한적인 조건이기 때문에 – 사영 다형체 위에서는 모든 정규 함수가 상수 함수다. – 유리 및 쌍유리 사상의 개념도 널리 사용된다. 그들은 다항식 대신 유리 분수에 의해 국소적으로 정의되는 부분 함수이다.

대수 다형체는 자연스럽게 국소적으로 환 달린 공간 구조를 가진다. 대수 다형체 사이의 사상은 정확히 기반이 되는 국소적으로 환 달린 공간의 사상이다.

정의
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X,Y가 각각 {\mathbb {A}}^{n}과 {\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}의 닫힌 부분 다형체(즉 X,Y는 아핀 다형체)이면, 정규 사상 f\colon X\to Y 는 다항식 사상 {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}의 제한이다. 명시적으로

{\displaystyle f=(f\_{1},\dots ,f\_{m})}
형태를 가진다. 여기서 f\_{i}들은 *X*의 좌표 환에 있다.

{\displaystyle k[X]=k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]/I}
여기서 *I*는 *X*를 정의하는 이데알이다. (참고: 두 개의 다항식 *f,g*가 *X*에서 동일한 함수를 정의함과 *f-g가* ***I***의 원소임은 동치이다). 상 *f(X)*는 *Y*에 있으므로 *Y*의 정의 방정식을 충족한다. 즉, 정규 사상 f:X\to Y 구성 원소가 다음 정의 방정식을 만족하는 다항식 사상의 제한과 동일하다. Y .

보다 일반적으로, *f(U)\subset V* 및 제한된 함수 *f*를 충족하는 *x*의 이웃 *U*와 *f(x)*의 이웃 *V*가 있는 경우 두 다형체 사이의 사상 f:X\to Y는 **점** *x*에서 규칙적이다. {\displaystyle U\to V}*는* *U*와 *V*의 일부 아핀 좌표 조각에서 함수로 규칙적이다. 그런 다음 *f가* *X*의 모든 지점에서 규칙적이라면 *f*를 **정규**라고 한다.

* **참고:** 두 정의가 일치한다는 것이 즉시 명백하지는 않다. *X*와 *Y가* 아핀 다형체인 경우 사상 f:X\to Y는 첫 번째 의미에서 규칙적이다.  또한 규칙성이 아핀 좌표 조각의 선택에 따라 달라지는지 즉시 명확하지 않다(그렇지 않다.). 그러나 이러한 종류의 일관성 문제는 공식 정의를 채택하면 사라진다. (추상적) 대수 다형체는 특정 종류의 국소적으로 환 달린 공간으로 정의된다. 이 정의가 사용될 때 다형체의 사상은 국소적으로 환 달린 공간의 사상일 뿐이다.

정규 사상의 구성은 다시 정규이다. 따라서 대수 다형체는 사상이 정규 사상인 대수 다형체 범주를 형성한다.

아핀 다형체 사이의 정규 사상은 좌표 환 사이의 대수 동형에 대해 일대일로 반변적으로 대응한다. f:X\to Y가 아핀 다형체의 동형이면 대수 준동형 사상

{\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}
을 정의한다. 여기서 {\displaystyle k[X],k[Y]}는 각각 *X*와 *Y*의 좌표 환이다. {\displaystyle g\circ f=g(f\_{1},\dots ,f\_{m})}가 {\displaystyle k[X]}의 원소들로 이뤄진 다항식이므로 이는 잘 정의되어 있다.이다. 반대로, 만약 {\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}가 대수 준동형사상이면, 그것은 사상

{\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}
을 유도한다. 주어진 : 쓰기 {\displaystyle k[Y]=k[y\_{1},\dots ,y\_{m}]/J,}

{\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y\_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y\_{m}}}))}
여기서 {\displaystyle {\overline {y}}\_{i}}는 y\_{i}들의 상들이다. {\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }이고 {\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f}임을 주의하라.  특히, *{\displaystyle f^{\#}}가* 좌표 환의 동형사상인 경우에만 *f*는 아핀 다형체의 동형사상이다.

  

예를 들어, *X*가 아핀 다형체 *Y*의 닫힌 부분 다형체이고 *f*가 포함 사상이면 *{\displaystyle f^{\#}}*는 *Y*에서 *X*로의 정규 함수 제한이다.

정규 함수
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{\displaystyle Y=A^{1}}인 특별한 경우 정규 사상 {\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1}}은 **정규 함수**라고 한다. 정규 함수들이 이루는 환 (즉, 좌표 환 또는, 보다 추상적으로, 층 구조의 대역 단면 환)은 아핀 대수 기하학의 기본 대상이다. 사영 다형체에 대한 유일한 정규 함수는 상수 함수이다(복소 해석학에서 리우빌 정리의 대수적 아날로그로 볼 수 있음).

  

스칼라 함수 *{\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1}}*는, 어떤 *x*의 열린 아핀 이웃에서, *x*에서 정규인 유리 함수일 때 점 *x*에서 정규이다. 즉, *x*의 이웃에서 *{\displaystyle f=g/h}*이고 *h가* *x*에서 0이 아닌 정규 함수 *{\displaystyle g,h}가* 있다. 주의: 조건은 모든 쌍*{\displaystyle (g,h)}*에 대한 것이 아니라 일부 쌍 *{\displaystyle (g,h)}*에 대한 것이다.

*X*가 준사영 다형체이면, 즉, 사영 다형체의 열린 부분 다형체인 경우, 함수 체 *k(X)*는 *X*의 폐포 {\displaystyle {\overline {X}}}와 동일하다. 따라서 *X* 위의 유리 함수는 {\displaystyle {\overline {X}}}의 동차 좌표 환 {\displaystyle k[{\overline {X}}]}에서 동일한 차수의 어떤 동차 원소 *{\displaystyle g,h}*에 대해 *{\displaystyle g/h}* 형태이다. 그러면, *X* 위의 유리 함수 *f는* 점 *x*에서 정규임과 *{\displaystyle f=g/h}*이고 *h는* *x*에서 사라지지 않는 {\displaystyle k[{\overline {X}}]} 안의 차수가 같은 동차 원소 *{\displaystyle g,h}*가 존재함과 동치다. 이는 때때로 정규 함수의 정의로 본다.

스킴의 사상과 비교
----------

*{\displaystyle X={\text{Spec}}A}*및 *{\displaystyle Y={\text{Spec}}B}*가 아핀 스킴인 경우 각 환 동형사상 {\displaystyle \varphi :B\to A}은 소 이데알들의 역상을 취함으로써 사상

{\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}
을 결정한다. 아핀 스킴 사이의 모든 사상은 이러한 유형이며 이러한 사상를 붙이면 일반적으로 스킴의 사상이 제공된다.

  

이제 *X*, *Y*가 아핀 다형체인 경우; 즉, *A*, *{\displaystyle B}*는 대수적으로 닫힌 체 *k*에 대해 유한 생성 대수 정역이다. 그러면 닫힌 점만 사용하여 위의 내용은 정의와 일치한다. (증명: f:X\to Y가 사상이면, {\displaystyle \phi =f^{\#}}라 쓰고,

{\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}\_{x})}
여기서 {\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{x},{\mathfrak {m}}\_{f(x)}}는 각각 점 *x*와 *f(x)*에 해당하는 극대 이데알이다. 즉, {\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}. 이것은 즉각적이다. )

이 사실은 아핀 다형체의 범주가 *k*에 대한 아핀 스킴의 전체 부분 범주로 식별될 수 있음을 의미한다. 다형체의 사상은 아핀 스킴의 사상을 붙여서 스킴의 사상를 얻는 것과 같은 방식으로 아핀 다형체의 사상를 붙여서 얻으므로 다형체의 범주는 *k*에 대한 스킴 범주의 전체 부분 범주가 된다.

자세한 내용은  참조하라.

예
-

* {\mathbb A}^{n}에서 정규 함수는 정확히 *n* 변수 다항식이고 {\mathbb P}^{n}에서 정규 함수는 정확히 상수 함수이다.
* *X를* 아핀 곡선 {\displaystyle y=x^{2}}이라 하자. 그러면

f
:
X
→

A

1

,

(
x
,
y
)
↦
x

{\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}

{\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}는 사상이다. 이는 전단사이고 역사상은{\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}이다. g 또한 사상이므로 *f*는 다형체의 동형사상이다.
* *X*를 아핀 곡선 {\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}이라 하자. 그 다음에

f
:

A

1

→
X
,

t
↦
(

t

2

−
1
,

t

3

−
t
)

{\displaystyle f:\mathbb {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}

{\displaystyle f:\mathbb {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}은 사상이다. 이는 환 준동형 사상

f

#

:
k
[
X
]
→
k
[
t
]
,

g
↦
g
(

t

2

−
1
,

t

3

−
t
)
,

{\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}

{\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}와 대응한다. 이 환 준동형 사상은 일대일이다.
* 앞의 예를 계속해서 {\displaystyle U=\mathbb {A} ^{1}-\{1\}}이라 놓자. U는 초평면 *t* = 1의 여집합이므로 U는 아핀이다. 제한 {\displaystyle f:U\to X}은 전단사이다. 그러나 해당 환 준동형 사상은 다음 포함 사상 {\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}이다. 이는 동형이 아니므로 제한 *f|\_U*는 동형이 아니다.
* *X를* 아핀 곡선 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1},

f
(
x
,
y
)
=

1
−
y

x

.

{\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}

{\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}로 두자. 그러면 *f*는 *X* 위에서 정의된 유리 함수이다. *f*는 유리식으로 표현 되었음에도 (0,1)에서 정규이다. 왜냐하면, *X* 위에서 정의된 유리 함수로서, *f*는 

f
(
x
,
y
)
=

x

1
+
y

.

{\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}.}

{\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}.}로 쓸 수 있기 때문이다.
* {\displaystyle U=\mathbb {A} ^{2}-\{(0,0)\}}라 놓자. 그러면 *X*는 다형체의 열린 부분집합이기 때문에 대수 다형체이다. *f*가 *X*에서 정규 함수이면, *f*는 {\displaystyle D\_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}에서 정규 함수이고 {\displaystyle k[D\_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}에서도 정규 함수이다. 마찬가지로, {\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}에서도 정규 함수이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다:

f
=

g

x

n

=

h

y

m



{\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}

{\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}여기서 {\displaystyle g,h\in k[x,y]}. 하지만 이는 *g*가 *x^{n}*으로 나누어 떨어지고 따라서 *f*는 사실 다항식임을 뜻한다. 즉, *X* 위의 정규 함수 환은 {\displaystyle k[x,y]}이다.(이는 또한 *X*가 아핀일 수 없음을 뜻한다. 왜냐하면, 만약 *X*가 아핀이라면, *X*는 그것의 좌표 환으로 결정되고 따라서 *{\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}*이어야 하기 때문이다.)
* {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {A} ^{1}\cup \{\infty \}}를 점 (*x* : 1)들을 {\mathbb {A}}^{1}의 점 *x로* 보고 {\displaystyle \infty =(1:0)}로 보자. {\displaystyle \sigma (x:y)=(y:x)}로 주어지는 {\mathbb {P}}^{1}의 자기동형사상 \sigma 가 있다. 특히 \sigma 는 0과 \infty 를 바꾼다. *f*가 {\mathbb {P}}^{1}에서 정의된 유리 함수인 경우,

σ

#

(
f
)
=
f
(
1

/

z
)

{\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}

{\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}이고, *f*는 \infty 에서 정규임과 *{\displaystyle f(1/z)}*가 영에서 정규임이 동치이다.
* 기약 대수 곡선 *V*의 함수체 *{\displaystyle k(V)}*를 취하면 함수 체의 함수 *F*는 모두 *V*에서 *k*에 대한 사영 직선 으로의 사상으로 실현될 수 있다.  (참조. #속성 ) 이미지는 단일 지점이거나 전체 사영 직선이 된다(이것은 사영 다형체의 완전성의 결과이다). 즉, *F*가 실제로 상수가 아닌 경우 *V*의 일부 점에서 *F*에 값 \infty 를 부여해야 한다.
* 임의의 대수 다형체 *X*, *Y*에 대해 사영 

p
:
X
×
Y
→
X
,

(
x
,
y
)
↦
x

{\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}

{\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}은 다형체의 사상이다. 만약 *X*, *Y*가 아핀이면, 대응하는 환 준동형사상은


p

#

:
k
[
X
]
→
k
[
X
×
Y
]
=
k
[
X
]

⊗

k

k
[
Y
]
,

f
↦
f
⊗
1

{\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes \_{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}

{\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}이다. 여기서{\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}

성질
--

자리스키 위상을 고려 할 때 다형체 사이의 사상은 연속이다.

다형체 사상의 상은 열려 있거나 닫혀 있을 필요가 없다(예를 들어, {\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)} 열려 지도 닫혀 있지도 않다). 그러나 여전히 다음과 같이 말할 수 있다. *f*가 다형체 사이의 사상이면 *f*의 상은 폐포의 열린 조밀 부분 집합을 포함한다. (cf. 구성 가능한 집합. )

대수 다형체의 사상 f:X\to Y가 조밀한 상을 가지면 *지배적*이라고 한다. 이러한 *f*에 대해 *V*가 *Y*의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합이면 *f(U)\subset V*가 되는 *X*의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합 *U*가 있고 다음 {\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]} 단사이다. 따라서 지배적 사상 *f는* 함수 체 수준에서 단사를 유도한다.

{\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}
여기서 제한은 *Y*의 비어 있지 않은 모든 열린 아핀 부분 집합에 대해 실행된다. (보다 추상적으로, 이것은 *Y*의 일반점의 잉여류체에서 *X*의 점으로 유도된 사상이다.) 반대로, 체의 모든 포함 사상 {\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}은 *X*에서 *Y*로의 우세한 유리 사상에 의해 유도된다. 따라서, 위의 구성은 체 *k*에 대한 대수 다형체의 범주와 그들 사이의 지배적 유리적 사상과 *k*의 유한하게 생성된 체 확대의 범주 사이의 반변 동치 관계를 결정한다. 

*X*가 매끄러운 완비 곡선(예: **P**1 )이고 *f가* *X*에서 사영 공간 *{\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}*로 가는 유리 사상인 경우 *f*는 정규 사상 *{\displaystyle X\rightarrow \mathbb {P} ^{m}}*이다.  특히, *X*가 매끄러운 완비 곡선일 때, *X*에 대한 임의의 유리 함수는 사상 *{\displaystyle X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}*으로 볼 수 있고, 반대로 *X*에 대한 유리 함수와 같은 사상으로 볼 수 있다.

정규 다형체 (특히 매끄러운 다형체)에서 유리 함수는 공동 차원 1의 극점이 없는 경우에만 규칙적이다.  이것은 하르톡스의 확장 정리의 대수적 유사체이다. 이 사실에 대한 상대적 버전도 있다.  참조하라.

기저 위상 공간 사이의 위상 동형 사상인 대수 다형체 사이의 사상은 동형 사상일 필요가 없다(프로베니우스 사상 {\displaystyle t\mapsto t^{p}}가 반례) 반면에, *f*가 전단사 쌍합이고 *f*의 대상 공간이 정규 다형체이면 *f*는 쌍정형이다. (cf. 자리스키의 주요 정리.)

복소 대수 다형체 사이의 정규 사상은 정칙 사상이다. (실제로 약간의 기술적 차이가 있다. 정규 사상은 특이점을 제거할 수 있는 유리형 사상이지만 실제로는 구별이 일반적으로 무시된다.) 특히, 복소수에 대한 정규 사상은 일반적인 정칙 함수일 뿐이다.

사영 공간에 대한 사상
------------

사상

{\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}
이 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이고, *x*가 *X*의 점이라고 하자. 그런 다음 *f(x)*의 *i* 번째 동차 좌표는 0이 아니다. 단순화를 위해 *i* = 0이라고 말한다. 그러면 연속성에 의해 다음과 같은 *x*의 열린 아핀 이웃 *U*가 있다.

{\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y\_{0}=0\}}
는 사상이며, 여기서 *y\_{i}*는 동차 좌표이다. 대상 공간은 {\displaystyle (a\_{0}:\dots :a\_{m})=(1:a\_{1}/a\_{0}:\dots :a\_{m}/a\_{0})\sim (a\_{1}/a\_{0},\dots ,a\_{m}/a\_{0})}을 통해 아핀 공간 ***{\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}***임을 참고하라. 따라서 정의에 따라 제한 *f|\_U*는

{\displaystyle f|\_{U}(x)=(g\_{1}(x),\dots ,g\_{m}(x))}
로 주어진다. 여기서 *g\_{i}*는 *U*의 정규 함수이다. *X*는 사영이기 때문에 각 *g\_{i}*는 *X*의 동차 좌표 환 *{\displaystyle k[X]}*에서 같은 차수의 동차 원소의 비율이다. 우리는 모든 분수가 동일한 동차 분모 *f\_{0}*를 갖도록 분수를 배열할 수 있다. 그러면 *{\displaystyle k[X]}*의 어떤 동차 원소 *f\_{i}*에 대해 *{\displaystyle g\_{i}=f\_{i}/f\_{0}}*을 쓸 수 있다. 따라서 동차 좌표로 돌아가서, *U*의 모든 *x*에 대해, *f\_{i}*가 *x*에서 모두 영이 아니면 *X*의 모든 *x*에 대한 연속성에 의해

{\displaystyle f(x)=(f\_{0}(x):f\_{1}(x):\dots :f\_{m}(x))}
*X*의 점 *x*에서 모두 영이면 위의 절차에 따라 *x*에서 모두 영은 아닌 *f\_{i}*들의 집합을 선택할 수 있다.

사실, 위의 설명은 사영 다형체 {\displaystyle {\overline {X}}}의 열린 부분 다형체인 모든 준사영 다형체 *X*에 유효하다. 차이점은 *f\_{i}*가{\displaystyle {\overline {X}}}의 동차 좌표 환에 있다는 것이다.

**참고** : 위에서는 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이 단일 다항식 집합에 의해 제공된다고 말하지 않다(아핀인 경우와 달리). 예를 들어, *X*를 *\mathbb {P} ^{2}*에서 원뿔곡선 {\displaystyle y^{2}=xz}이라고 하자. 그러면 두 개의 사상 {\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)} 그리고 {\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)} 은 *X*의 열린 부분 집합 {\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}에서 같다. (왜냐하면 {\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)} ) 그래서 사상 {\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}를 정의한다.

사상의 올
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다음 정리들은 중요하다:

**정리.** f:X\to Y가 다형체들의 지배 사상이고 {\displaystyle r=\dim X-\dim Y}라 하자. 그러면

1. 모든 닫힌 기약 부분 집합 {\displaystyle W\subset Y}과 W 지배적인 {\displaystyle f^{-1}(W)}의 모든 기약 성분 Z에 대해

dim
⁡
Z
≥
dim
⁡
W
+
r

{\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r}

{\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r}
2. {\displaystyle U\subset f(X)}, U와 교차하는 모든 닫힌 기약 부분 집합 {\displaystyle W\subset Y}, {\displaystyle f^{-1}(U)}와 교차하는 {\displaystyle f^{-1}(W)}의 모든 기약 성분 Z에 대해 

dim
⁡
Z
=
dim
⁡
W
+
r

{\displaystyle \dim Z=\dim W+r}

{\displaystyle \dim Z=\dim W+r}인 공집합이 아닌 U\subset Y가 존재한다.

**따름 정리.** f:X\to Y가 다형체들의 사상이고 *X*의 각 점 *x*에 대해,{\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.}라 하자. 그러면 *e는* 위쪽 준연속 함수이다. 각 정수 *n*에 대해, 집합

{\displaystyle X\_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}
는 닫힌 집합이다.

멈포드의 빨간 책에서 정리는 뇌터 정규화 보조정리를 통해 증명된다. 한편, 일반 자유도가 중요한 역할을 하고 "보편 현수환"의 개념이 증명의 핵심인 대수적 접근에 대해서는 Eisenbud, Ch. 14 of "Commutative algebra with a view toward algebraic geometry."참조하라. 사실, 거기에 있는 증명은 *f*가 평탄하면 정리 2의 차원 등식이 일반적으로 유지됨을 보여준다(generically만이 아님).

유한 사상의 차수
---------

f:X\to Y를 체 *k*에 대한 대수 다형체 사이의 유한 전사적 사상라고 한다. 그러면 정의에 따라 *f*의 차수는 *{\displaystyle f^{\*}k(Y)}*에 대한 함수 체 *k(X)*의 유한 체 확대의 차수이다. 일반 자유도에 의해, 구조 층 *{\mathcal O}\_{X}의* *{\displaystyle f^{-1}(U)}*로의 제한이 *{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{Y}|\_{U}}*-가군으로서 자유 가군이 되는 공집합이 아닌 열린 부분 집합 U\subset Y가 존재한다. *f*의 차수는 이 자유 가군의 랭크이다.

*f*가 에탈이고 *X,Y*가 완비이면 *Y*의 연접층 *F*에 대해 오일러 특성을 *\chi*라 쓰면,

{\displaystyle \chi (f^{\*}F)=\deg(f)\chi (F).}
(분지된 덮개에 대한 리만-후르비츠 공식은 여기서 "에탈"이 생략될 수 없음을 보여준다. )

일반적으로 *f*가 유한한 전사이고 *X,Y*가 완비이고 *F*가 *Y위의 연접층*인 경우 르레 스펙트럼 열 {\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f\_{\*}f^{\*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{\*}F)}에서, 다음을 얻는다.

{\displaystyle \chi (f^{\*}F)=\sum \_{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f\_{\*}f^{\*}F).}
특히, *F*가 선다발들의 텐서 거듭제곱 L^{\otimes n}이면 {\displaystyle R^{q}f\_{\*}(f^{\*}F)=R^{q}f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}\otimes L^{\otimes n}}이고, *q*가 양수이면 {\displaystyle R^{q}f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}의 지지가 양의 여차원을 가지므로, 선행 항을 비교하면

{\displaystyle \operatorname {deg} (f^{\*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}
({\displaystyle f\_{\*}{\mathcal {O}}\_{X}}의 일반적 랭크는 *f*의 차수이다. )

*f*가 에탈이고 *k*가 대수적으로 닫힌 경우 각 기하 올 *{\displaystyle f^{-1}(y)}*는 정확히 deg( *f* ) 점들로 구성된다.

참고 문헌
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* Fulton, William (1998). 《Intersection Theory》. Springer Science. ISBN 978-0-387-98549-7.
* Harris, Joe (1992). 《Algebraic Geometry, A First Course》. Springer Verlag. ISBN 978-1-4757-2189-8.
* Hartshorne, Robin (1997). 《Algebraic Geometry》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
* Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
* Mumford, David (1999). 《The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians》 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
* Shafarevich, Igor R. (2013). 《Basic Algebraic Geometry 1》. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4.
* Silverman, Joseph H. (2009). 《The Arithmetic of Elliptic Curves》 2판. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6.