추상대수학에서 **준동형**(準同型, 영어: homomorphism) 또는 **준동형 사상**(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

정의
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같은 부호수 \sigma =(F,R)의 두 구조 (A,F\_{A},R\_{A}), (B,F\_{B},R\_{B}) 사이의 **준동형**은 다음 조건을 만족시키는 함수 \phi \colon A\to B이다.

* (연산의 보존) 모든 n항 연산 f\in F 및 a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}\in A에 대하여,

\phi (f\_{A}(a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}))=f\_{B}(\phi (a\_{1}),\phi (a\_{2}),\dots ,\phi (a\_{n}))
* (관계의 보존) 모든 n항 관계 r\in R 및 a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}\in A에 대하여,

r\_{A}(a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})\implies r\_{B}(\phi (a\_{1}),\phi (a\_{2}),\dots ,\phi (a\_{n}))
같은 부호수 \sigma =(F,R)의 두 구조 (A,F\_{A},R\_{A}), (B,F\_{B},R\_{B}) 사이의 **강준동형**(強準同型, 영어: strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 \phi \colon A\to B이다.

* 모든 n항 관계 r\in R 및 a\_{1},\dots ,a\_{n}\in A에 대하여,

r\_{A}(a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})\iff r\_{B}(\phi (a\_{1}),\phi (a\_{2}),\dots ,\phi (a\_{n}))
대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

예
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### 마그마와 군

마그마 (M,\cdot )는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 \phi \colon M\to N은 모든 m,n\in M에 대하여

\phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)
인 함수이다.

군 (G,\cdot ,^{{-1}},1)은 이항 연산 \cdot , 일항 연산 ^{{-1}}, 영항 연산 1을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 \phi \colon G\to H는 모든 g,g'\in G에 대하여

1. \phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')
2. \phi (g^{{-1}})=\phi (g)^{{-1}}
3. \phi (1)=1

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

### 유사환과 환

유사환 (R,\cdot ,+,-,0)은 이항 연산 \cdot  및 -, 일항 연산 -, 영항 연산 {\displaystyle 0}을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 \phi \colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여

1. \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')
2. \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')
3. \phi (-r)=-\phi (r)
4. \phi (-0)=-\phi (0)

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) 환 (R,\cdot ,+,-,1,0)은 이항 연산 \cdot  및 +, 일항 연산 -, 영항 연산 {\displaystyle 0} 및 1을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 \phi \colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여

1. \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')
2. \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')
3. \phi (-r)=-\phi (r)
4. \phi (-0)=-\phi (0)
5. \phi (1)=1

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, {\mathbb Z}\to {\mathbb Z}\times {\mathbb Z}, n\mapsto (0,n)은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.

체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

### 벡터 공간

체 K에 대한 벡터 공간 (V,+,-,s\cdot \_{{s\in K}},0)은 이항 연산 +, 일항 연산 - 및 모든 s\in K에 대하여 s\cdot , 영항 연산 {\displaystyle 0}을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 \phi \colon V\to W는 모든 v,v'\in R에 대하여

1. \phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')
2. \phi (-v)=-\phi (v')
3. 모든 s\in K에 대하여, \phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)
4. \phi (0)=\phi (0)

인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

### 격자

격자 (L,\vee,\wedge)는 이항연산 \vee  및 \wedge 를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 \phi \colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여

1. \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)
2. \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)

인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )는 이항 연산 \vee  및 \wedge , 영항 연산 \bot  및 \top 을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 \phi \colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여

1. \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)
2. \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)
3. \phi (\bot )=\bot
4. \phi (\bot )=\top

인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 그래프

그래프의 언어 \langle\sim\rangle는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 v\_{1}\sim v\_{2}를 갖는 언어이다. 이 경우 v\_{1}\sim v\_{2}는 "v\_1=v\_2이거나, 아니면 v\_{1}과 v\_{2} 사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

### 전순서

전순서 집합의 언어 \langle\le는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 \le를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

참고 문헌
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* Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar. 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **78**. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)