| 대수 구조 |
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| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
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| * v
* t
* e
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환론에서 **등급 대수**(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 **등급**(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다.

정의
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* 모노이드 {\displaystyle (N,\cdot )}
* 각 n\in N에 대하여, K-가군 A\_{n}. 편의상 {\displaystyle \textstyle A=\bigoplus \_{n\in N}A\_{n}}로 표기하자.
* A 위의 K-결합 대수 구조

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle A\_{m}A\_{n}\subseteq A\_{mn}\qquad (\forall m,n\in N)}
* {\displaystyle \phi (K)\subseteq A\_{1}}

이 경우, A를 N등급을 가진 **등급 대수**라고 한다. {\displaystyle K=\mathbb {Z} } (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, \mathbb {Z}  위의 등급 대수는 **등급환**(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 N={\mathbb N} (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 \mathbb {Z} /2 (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 **초대수**(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다.

### 동급 원소

등급 대수 A의 원소 a\in A는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

* 만약 {\displaystyle a\in A\_{n}}인 n\in N이 존재할 경우 a를 **동급 원소**(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약 a\neq 0이라면 이는 유일하며, n을 a의 **등급**이라고 한다. 이는 보통 {\displaystyle \deg A}로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
* 만약 {\displaystyle a\in A\_{n}}인 n이 존재하지 않을 경우 a를 **비동급 원소**(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

### 준동형

가환환 K 위의, 모노이드 N 등급의 두 등급 대수 A, B 사이의 **등급 대수 준동형**(영어: graded-algebra homomorphism) {\displaystyle f\colon A\to B}은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

{\displaystyle \deg f(a)=\deg a\qquad \forall n\in N,\;a\in A\_{n}\setminus \{0\}}
즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, K 위의 N등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

{\displaystyle \operatorname {grAlg} \_{K,N}}
를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 \phi \colon M\to N 및 K 위의 M등급 대수 A와 N등급 대수 B가 주어졌을 때, \phi  위의 **등급 대수 준동형** {\displaystyle f\colon A\to B}은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

{\displaystyle \deg f(a)=\phi (\deg a)\qquad \forall n\in N,\;a\in A\_{n}\setminus \{0\}}

성질
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가환 모노이드 {\displaystyle (N,+,0)}가 추가로 가환 반환의 구조 {\displaystyle (N,+,\cdot ,0,1)}를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

{\displaystyle \sigma \colon (N,+,0)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}
만약 {\displaystyle (N,+)}-등급 K-대수 A가 다음 조건을 만족시킨다면, K가 **등급 가환 대수**(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.

{\displaystyle ab=\sigma (mn)ba\qquad \forall a\in A\_{m},\;b\in A\_{n}}
물론, 만약 K의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, {\displaystyle +1=-1}이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산
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### 직합

가환환 K와 모노이드 N, N'이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 A 및 N'-등급 K-대수 A'의 **직합**(영어: direct sum) {\displaystyle A\oplus A'}은 다음과 같은 {\displaystyle N\times N'}-등급 K-대수이다.

* K-가군으로서 {\displaystyle A\oplus A'}은 가군의 직합이다.
* {\displaystyle (A\oplus A')\_{n,n'}=A\_{n}\oplus A'\_{n'}}
* {\displaystyle (a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A')}

### 텐서곱

가환환 K와 가환 모노이드 {\displaystyle (N,+)}이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 A, A'의 **텐서곱**(영어: tensor product) {\displaystyle A\otimes \_{K}A'}은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다.

* K-텐서곱으로서 {\displaystyle A\otimes \_{K}A'}은 가군의 텐서곱이다.
* {\displaystyle (A\otimes \_{K}A')\_{n}=\bigoplus \_{n\_{1},n\_{2}\in N\colon n\_{1}+n\_{2}=n}A\_{n}\otimes \_{K}A'\_{n}}
* {\displaystyle (a\otimes \_{K}a')(b\otimes \_{K}b')=(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A'}

보다 일반적으로, N이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 {\displaystyle (N,+)}-등급 K-대수 A에 대하여

{\displaystyle A\_{m}A\_{n}\subseteq A\_{m+n}}
이 된다. 또한, 모노이드 준동형

{\displaystyle \sigma \colon (N,+)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 {\displaystyle (N,+)}-등급 K-대수 A, A'에 대하여 **등급 텐서곱**(영어: graded tensor product) {\displaystyle A{\hat {\otimes }}\_{K}A'}은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다.

* K-텐서곱으로서 {\displaystyle A{\hat {\otimes }}\_{K}A'}은 가군의 텐서곱 {\displaystyle A\otimes \_{K}A'}이다.
* {\displaystyle (A{\hat {\otimes }}\_{K}A')\_{n}=\bigoplus \_{n\_{1},n\_{2}\in N\colon n\_{1}+n\_{2}=n}A\_{n}\otimes \_{K}A'\_{n}}
* {\displaystyle (a\otimes \_{K}a')(b\otimes \_{K}b')=\sigma (m,n)(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a\in A,\;b\in A\_{m},\;a'\in A'\_{n},\;b'\in A'}

이는 흔히 {\displaystyle N=\mathbb {Z} } 또는 N={\mathbb N} 또는 {\displaystyle N=\mathbb {Z} /2}이며,

{\displaystyle \sigma \colon n\mapsto (-1)^{n}}
인 경우 사용된다.

두 등급 가환 \mathbb {Z} /2-등급 K-대수 A, A'이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 {\displaystyle A{\hat {\otimes }}\_{K}A'} 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 {\displaystyle A\otimes \_{K}A'}는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

### 등급의 망각

모노이드 N 등급을 갖는, 가환환 K 위의 등급 대수 {\displaystyle (A\_{n})\_{n\in N}}가 주어졌으며, 모노이드 준동형

{\displaystyle q\colon N\to {\tilde {N}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (A\_{n})\_{n\in N}}에서 등급 구조를 망각하여

{\displaystyle A\_{\tilde {n}}=\bigoplus \_{n\in q^{-1}({\tilde {n}})}A\_{n}}
를 정의할 수 있으며,

{\displaystyle \bigoplus \_{{\tilde {n}}\in {\tilde {N}}}A\_{\tilde {n}}}
은 {\displaystyle {\tilde {N}}}-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

{\displaystyle \operatorname {grAlg} \_{K,N}\to \operatorname {grAlg} \_{K,{\tilde {N}}}}
를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수 {\displaystyle (A\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}는 {\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Z} /2}를 통해 등급을 망각하여 초대수 {\displaystyle (A\_{n})\_{n\in \mathbb {Z} /2}}로 만들 수 있다.

### 무관 아이디얼

가환환 K 위의, 자연수 등급의 등급 대수 {\displaystyle A=(A\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle A\_{+}=\bigoplus \_{n>0}A\_{n}}
은 A의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 **무관 아이디얼**(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

{\displaystyle A/A\_{+}\cong A\_{0}}
{\displaystyle a+A\_{+}\mapsto a\qquad \forall a\in A\_{0}}

예
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* 위상 공간 X 위의 코호몰로지 환 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
* 매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식의 공간 \Omega ^{\bullet }(M)은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 \mathbb {R} -등급 대수이다.
* 모노이드 M에 대한 모노이드 환은 M 등급을 가진 등급환이다.
* 클리퍼드 대수는 {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}등급을 가진 등급 대수이다.
* 가환환 K 위의 가군 M 위의 텐서 대수 {\displaystyle \operatorname {T} (M;K)=\bigoplus \_{n=0}^{\infty }M^{\otimes \_{K}n}}는 {\mathbb N}-등급 K-대수이며, 이 경우 {\displaystyle \operatorname {T} \_{n}(M;K)=M^{\otimes \_{K}n}}이다.
* 가환환 K 위의 가군 M 위의 외대수 {\displaystyle \Lambda (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(m^{2})\_{m\in M}}는 {\mathbb N}-등급 K-대수이다.
* 가환환 K 위의 가군 M 위의 대칭 대수 {\displaystyle \operatorname {Sym} (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(mn-nm)\_{m,n\in M}}는 {\mathbb N}-등급 K-대수이다.