일반위상수학에서 **가산 생성 공간**(可算生成空間, 영어: countably generated space) 또는 **가산 밀착 공간**(可算密着空間, 영어: countably tight space)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합의 폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

정의
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### 국소 가산 공간

위상 공간 X 및 점 **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): x\in X**
에 대하여, {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)}가 x의 근방의 최소 크기라고 하자.

{\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)=\min \_{U\in {\mathcal {N}}\_{x}}|U|}
위상 공간 X의 **국소 크기**(局所크기, 영어: local cardinality) {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (X)}는 모든 {\displaystyle \operatorname {loc\,card} (x,X)}들의 상한이다.:148

{\displaystyle \operatorname {loc\,card} (X)=\sup \_{x\in X}\operatorname {loc\,card} (x,X)}
국소 크기가 \aleph\_0 이하인 위상 공간을 **국소 가산 공간**이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.:149

### 가산 생성 공간

위상 공간 X 및 부분 집합 A\subseteq X 및 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} A}에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {tight} (x,A,X)=\min \_{B\subseteq A}^{x\in \operatorname {cl} B}|B|}
라고 하자.

위상 공간 X의 점 x\in X에서의 **국소 밀착도**(局所密着度, 영어: local tightness) {\displaystyle \operatorname {tight} (x,X)}는 다음과 같다.:62, §XI.A

{\displaystyle \operatorname {tight} (x,X)=\sup \_{A\subseteq X}^{x\in \operatorname {cl} A}\operatorname {tight} (x,A,X)}
위상 공간 X의 **밀착도**(密着度, 영어: tightness) {\displaystyle \operatorname {tight} (X)}는 국소 밀착도들의 상한이다.:62, §XI.A:13, §1.2

{\displaystyle \operatorname {tight} (X)=\sup \_{x\in X}\operatorname {tight} (x,X)}
위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **가산 생성 공간**이라고 한다.

* 밀착도가 \aleph\_0 이하이다.:657 즉, 임의의 A\subseteq X 및 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} A}에 대하여, {\displaystyle x\in \operatorname {cl} B}인 가산 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq A}가 존재한다.
* 임의의 U\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 {\displaystyle U\cap A}가 A의 열린집합이라면, U는 열린집합이다.
* 임의의 F\subseteq X에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 A\subseteq X에 대하여 {\displaystyle F\cap A}가 A의 닫힌집합이라면, F는 닫힌집합이다.
* 국소 가산 공간의 몫공간이다.:657

성질
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모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다.:755 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.:755

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 \operatorname {Top} 의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

### 연산에 대한 닫힘

가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 상이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.

#### 부분 공간

임의의 위상 공간 X 및 그 부분 공간 Y\subset X에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {tight} (Y)\leq \operatorname {tight} (X)}
이다.:19, Problem 159 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

#### 몫공간

임의의 위상 공간 X 및 그 몫공간 {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}}에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {tight} (X/{\mathord {\sim }})\leq \operatorname {tight} (X)}
이다.:20, Problem 162 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.

#### 연속 함수에 대한 상

가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.:19, Problem 158 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

#### 곱공간

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 {\displaystyle (X\_{i})\_{i\in I}}의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.:86, Theorem 10.6

{\displaystyle \operatorname {tight} \left(\prod \_{i\in I}X\_{i}\right)=\max \left\{|\{i\in I\colon |X\_{i}|\geq 2\}|,\sup \_{i\in I}\operatorname {tight} (X\_{i})\right\}}
특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

### 콤팩트 공간

기수 \kappa 가 주어졌을 때, 위상 공간 X 위의 길이 \kappa 의 **자유 점렬**(영어: free sequence)은 다음 조건을 만족시키는 그물 {\displaystyle (x\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )\subset X}이다.

{\displaystyle \operatorname {cl} \{x\_{\alpha }\colon \alpha <\beta \}\cap \operatorname {cl} \{x\_{\alpha }\colon \beta \leq \alpha <\kappa \}=\varnothing \qquad (\forall \beta <\kappa )}
콤팩트 하우스도르프 공간 X의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.:36, Theorem 2.10:38, Problem 328

예
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### 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간

집합 {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]} 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자.

* 통상적인 열린집합 {\displaystyle U\subseteq \mathbb {Q} \cap [0,1]}
* 통상적인 0의 열린 근방 {\displaystyle U\ni 0}과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {Q} \cap (0,1]}에 대하여, {\displaystyle U\setminus \{x\_{0},x\_{1},x\_{2},\dots \}}

이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.:62, Excercise 2.10.7 구체적으로, \{0\}은 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.

### 함수 공간

티호노프 공간 X가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} )}의 밀착도는 다음과 같다.:18, Problem 149

{\displaystyle \operatorname {tight} ({\mathcal {C}}\_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} ))=\sup \_{n\in \mathbb {N} }L(X^{n})}
여기서 L은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 X에 대하여, {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\operatorname {pw} }(X,\mathbb {R} )}가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 {\displaystyle X^{n}}이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Vaughan, J. E. (1980). "Countably compact, locally countable T2-spaces". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **80** (1): 147–153. doi:10.2307/2042162. ISSN 0002-9939. JSTOR 2042162. MR 574525. Zbl 0444.54013.
2. 1 2  Rudin, Mary Ellen (1975). 《Lectures on set theoretic topology》. Regional Conference Series in Mathematics (영어). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1673-X. Zbl 0318.54001.
3. 1 2 3 4 5 6  Tkachuk, Vladimir V. (2011). 《A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces》. Problem Books in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7442-6. ISBN 978-1-4419-7441-9. ISSN 0941-3502. LCCN 2011923537. MR 3024898. Zbl 1222.54002.
4. 1 2  Kannan, V. (1974). "A note on countably generated spaces". 《Archiv der Mathematik》 (영어) **25**: 657–658. doi:10.1007/BF01238744. ISSN 0003-889X. Zbl 0296.54024.
5. 1 2  Balogh, Zoltán (1989). "On compact Hausdorff spaces of countable tightness". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) **105** (3): 755–764. doi:10.2307/2046929. ISSN 0002-9939. JSTOR 2046929. MR 0930252. Zbl 0687.54006.
6. 1 2  Monk, J. Donald (1990). 《Cardinal Functions on Boolean Algebras》. Lectures in Mathematics. ETH Zürich (영어). Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-6381-0. ISBN 978-3-7643-2495-7. MR 1077622. Zbl 0706.06009.
7. ↑  Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)