수학에서 **바일 군**(영어: Weyl group)은 근계의 반사 자기동형군이다. 헤르만 바일의 이름을 땄다.

정의
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### 근계의 바일 군

근계는 실수 벡터 공간에서 특정한 성질을 만족시키는 일련의 벡터들의 집합이다. 근계에서, 원점을 중심으로 하고, 근들을 보존시키는 벡터 공간 반사들의 집합은 합성을 통해 콕서터 군을 이룬다. 이를 근계의 **바일 군**이라고 한다.

바일 군은 반사들로 생성되는 콕서터 군이므로, 이에 대하여 **길이** 및 **브뤼아 순서**(영어: Bruhat order)를 정의할 수 있다. 후자는 바일 군 위에 정의되는 부분 순서이다. 대략, 바일 군의 두 원소를 {\displaystyle g=s\_{1}s\_{2}\cdots s\_{m}} 및 {\displaystyle h=t\_{1}t\_{2}\dotsc t\_{n}}으로, 반사들의 합성으로 최소 길이로 나타내었을 때, g가 h의 부분 문자열일 경우 브뤼아 순서에 대하여 g\leq h이다.

### 리 군의 바일 군

G가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. G 속의 극대 원환면 T\subseteq G를 고르자. 그렇다면, T에 대한 G의 **바일 군**은 다음과 같다.

\operatorname W(G,T)=\operatorname N\_{G}(T)/\operatorname Z\_{G}(T)
여기서 \operatorname N\_{G}(T)는 정규화 부분군을, \operatorname Z\_{G}(T)는 중심화 부분군을 뜻한다. 연결 콤팩트 리 군 G의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이므로, 바일 군은 군의 동형 아래 유일하게 정의된다.

단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

목록
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단순 근계는 모두 분류되었고, 그 바일 군은 다 알려져 있다. 바일 군의 목록은 다음과 같다.

| 근계 | 리 군 | 바일 군의 크기 | 바일 군 |
| --- | --- | --- | --- |
| A*n* (*n* ≥ 1) | SU(*n*+1) | (*n*+1)! | *S*n+1 |
| B*n* (*n* ≥ 2) | SO(2*n*+1) | 2*n* *n*! | (Z2)n⋊*S*n |
| C*n* (*n* ≥ 3) | USp(2*n*) | 2*n* *n*! | (Z2)n⋊*S*n |
| D*n* (*n* ≥ 4) | SO(2*n*) | 2*n*−1 *n*! | (Z2)n−1⋊*S*n |
| E6 | E6 | 27×34×5 | {\displaystyle \operatorname {Aut} (\operatorname {PSU} (4;\mathbb {F} \_{2}))} |
| E7 | E7 | 210×34×5×7 | {\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} \_{2})} |
| E8 | E8 | 214×35×52×7 | {\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(8;\mathbb {F} \_{2})} |
| F4 | F4 | 27×32 | \operatorname O^{+}(4;{\mathbb F}\_{3}) |
| G2 | G2 | 22×3 | *D*6 |

B*n*과 C*n*은 서로 쌍대 근계이므로, 같은 바일 군을 가진다. 번사이드 정리에 따라, F4의 바일 군은 가해군이다.

예
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작은 바일 군들의 예는 다음과 같다.

### A1

가장 간단한 (자명군이 아닌) 바일 군은 A\_{1}의 바일 군인 {\displaystyle \operatorname {W} (A\_{1})\cong \operatorname {Sym} (2)}이다. 이는 하나의 기본 반사 a로 생성되며, 바일 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} (A\_{1})=\{\epsilon ,a\}}
그 브뤼아 순서의 하세 도표는 다음과 같다.

```
a
|
ε

```

### A2

예를 들어, A\_{2}의 바일 군 \operatorname {Sym}(3)의 경우 두 개의 기본 반사 (a,b)로 생성되며, 이에 대하여 바일 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} (A\_{2})=\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba=bab\}}
그 브뤼아 순서의 하세 도표는 다음과 같다.

```
    aba
   /    \
 ab     ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε

```

### B2 = C2

마찬가지로, {\displaystyle B\_{2}=C\_{2}}의 바일 군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (4))}의 경우 두 개의 기본 반사 (a,b)로 생성되며, 이에 대하여 바일 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} (B\_{2})=\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba,bab,abab=baba\}}
이에 대하여, 브뤼아 순서의 하세 도표는 다음과 같다.

```
    abab
   /    \
 aba    bab
  |  \/  |
  |  /\  |
 ab     ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε

```

### G2

G\_{2}의 바일 군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (6))}의 경우 두 개의 기본 반사 (a,b)로 생성되며, 이에 대한 바일 군은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} (G\_{2})=\operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (6))=\langle a,b|1=a^{2}=b^{2}=(ab)^{6}\rangle =\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa,babab,ababab=bababa\}}
이에 대한 브뤼아 순서의 하세 도표는 다음과 같다.

```
   ababab
   /    \
ababa  babab
  |  \/  |
  |  /\  |
abab    baba
  |  \/  |
  |  /\  |
 aba    bab
  |  \/  |
  |  /\  |
 ab      ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε

```

### A3

{\displaystyle A\_{3}}의 바일 군 {\displaystyle \operatorname {W} (A\_{3})\cong \operatorname {Sym} (4)}를 생각하자. 딘킨 도표의 꼭짓점에 대응하는 각 기본 반사를 순서대로 (a,b,c)라고 할 때, {\displaystyle \operatorname {W} (A\_{3})}의 24개의 원소들은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} (A\_{3})={\begin{matrix}\{\epsilon ,\\a,b,c,\\ab,ba,ac=ca,bc,cb,\\abc,bcb,acb,bac,aba,cba,\\abcb,abac,bacb,bcba,acba,\\abacb,abcba,bacba,\\abacba\}\end{matrix}}}

참고 문헌
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* Humphreys, James E. 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어).