해석학에서 **지배 수렴 정리**(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의
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### 확장 지배 수렴 정리

측도 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} 위의 가측 함수의 열 f\_{n}\colon X\to ({\mathbb R},{\mathcal B}({\mathbb R})) (n\in \mathbb {N} ) 및 함수 f\colon X\to {\mathbb R}에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 {\displaystyle g\_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} (n\in \mathbb {N} ) 및 가측 함수 {\displaystyle g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}가 존재한다고 하자.

* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
	+ (점별 수렴) f\_{n}은 f로 점별 수렴하며, g\_{n}은 g로 점별 수렴한다.
	+ (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 거의 어디서나 수렴하며, g\_{n}은 g로 거의 어디서나 수렴한다.
	+ (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 측도 수렴하며, g\_{n}은 g로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) {\displaystyle \int \_{X}|g|\mathrm {d} \mu =\lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|g\_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty }
* (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 거의 어디서나 {\displaystyle |f\_{n}|\leq g\_{n}}

그렇다면, **확장 지배 수렴 정리**(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:57, §2.3, Theorem 2.3.11

* (적분 가능성) {\displaystyle \int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }
* (*L*1 수렴) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}
* (적분과 극한의 교환) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}f\_{n}\mathrm {d} \mu =\int \_{X}f\mathrm {d} \mu }

사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라 g\_{n} 역시 g로 *L*1 수렴한다.

증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴):

가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라 f와 g는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라

{\displaystyle \int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu \leq \liminf \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}|\mathrm {d} \mu \leq \liminf \_{n\to \infty }\int \_{X}|g\_{n}|\mathrm {d} \mu =\int \_{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty }
이다.

*L*1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나

{\displaystyle |f\_{n}-f|\leq |f\_{n}|+|f|\leq g\_{n}+g}
이므로, {\displaystyle g\_{n}+g-|f\_{n}-f|}는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{X}2g\mathrm {d} \mu &\leq \liminf \_{n\to \infty }\int \_{X}(g\_{n}+g-|f\_{n}-f|)\mathrm {d} \mu \\&=\int \_{X}2g\mathrm {d} \mu -\limsup \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu \end{aligned}}}
를 얻는다.

적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }\left|\int \_{X}f\_{n}\mathrm {d} \mu -\int \_{X}f\mathrm {d} \mu \right|\leq \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}
이다.


증명 (측도 수렴):

측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 {\displaystyle f\_{n\_{k}}} (k\in \mathbb {N} )에 대하여, 각각 f, g로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 {\displaystyle f\_{n\_{k\_{j}}}}, {\displaystyle g\_{n\_{k\_{j}}}}가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라

{\displaystyle \lim \_{j\to \infty }\int \_{X}|f\_{n\_{k\_{j}}}-f|\mathrm {d} \mu =0}
이다. 이에 따라

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}
이다.

### 지배 수렴 정리

측도 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} 위의 가측 함수의 열 f\_{n}\colon X\to ({\mathbb R},{\mathcal B}({\mathbb R})) (n\in \mathbb {N} ) 및 함수 f\colon X\to {\mathbb R}에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 {\displaystyle g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}가 존재한다고 하자.

* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
	+ (점별 수렴) f\_{n}은 f로 점별 수렴한다.
	+ (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 거의 어디서나 수렴한다.
	+ (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) {\displaystyle \int \_{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty }
* (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 거의 어디서나 {\displaystyle |f\_{n}|\leq g}

그렇다면, **지배 수렴 정리**에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:26:57, §2.3, Corollary 2.3.12

* (적분 가능성) {\displaystyle \int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }
* (*L*1 수렴) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}
* (적분과 극한의 교환) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}f\_{n}\mathrm {d} \mu =\int \_{X}f\mathrm {d} \mu }

증명:

확장 지배 수렴 정리에서 {\displaystyle g\_{n}=g}를 취한다.

### 유계 수렴 정리

유한 측도 공간 {\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )} (\mu (X)<\infty ) 위의 가측 함수의 열 f\_{n}\colon X\to ({\mathbb R},{\mathcal B}({\mathbb R})) (n\in \mathbb {N} ) 및 함수 f\colon X\to {\mathbb R}가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
	+ (점별 수렴) f\_{n}은 f로 점별 수렴한다.
	+ (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 거의 어디서나 수렴한다.
	+ (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f\_{n}은 f로 측도 수렴한다.
* {\displaystyle \sup \_{n\in \mathbb {N} }\|f\_{n}\|\_{\infty }<\infty }

그렇다면, **유계 수렴 정리**(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.:57, §2.3, Corollary 2.3.13

* (적분 가능성) {\displaystyle \int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }
* (*L*1 수렴) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}|f\_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}
* (적분과 극한의 교환) {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}f\_{n}\mathrm {d} \mu =\int \_{X}f\mathrm {d} \mu }

증명:

지배 수렴 정리에서

{\displaystyle g\colon x\mapsto \sup \_{n\in \mathbb {N} }\|f\_{n}\|\_{\infty }}
를 취한다.

역사
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역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.:313

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.:313

* 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, \int \_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a).

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.
2. ↑  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. 1 2  던햄, 윌리엄 (2011). 《미적분학 갤러리》. 한승.