수학에서 **여과**(濾過, 영어: filtration)는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다.

정의
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범주 {\mathcal {C}}의 대상 X\in {\mathcal {C}}이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상의 부분 순서 집합 \operatorname {Sub}(X)을 정의할 수 있다.

전순서 집합 I에 대하여, X 위의 I-**오름 여과**(영어: ascending filtration)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 전순서 집합 (I,\leq )
* 순서 보존 함수 {\displaystyle I\to \operatorname {Sub} (X)}, {\displaystyle i\mapsto X\_{i}}.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \varinjlim \_{i\in I}X\_{i}=X}
X 위의 I-**내림 여과**(영어: descending filtration)는 {\displaystyle I^{\operatorname {op} }}-올림 여과와 같은 개념이다.

흔히 I의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 ({\mathbb N},\leq )이 사용된다.

마찬가지로, 부분 대상의 집합 \operatorname {Sub}(X) 대신 몫 대상의 집합 \operatorname {Quot}(X)을 사용하면 **쌍대 여과**(영어: cofiltration)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 {\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}에서의 여과와 같다.

예
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### 가군

환 R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M} 위의 {\mathbb N}-감소 여과

{\displaystyle M=M\_{0}\supseteq M\_{1}\supseteq M\_{2}\cdots M}
가 주어졌다고 하자. 이 경우, M에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다.

{\displaystyle \left\{m+M\_{i}\colon i\in \mathbb {N} ,\;m\in M\right\}}
이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건은

{\displaystyle \bigcap \_{i\in \mathbb {N} }M\_{i}=\{0\}}
인 것이다.

특히, 만약 R의 양쪽 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {i}}}가 주어졌을 때, 여과

{\displaystyle M\_{i}={\mathfrak {i}}^{i}M}
에 대응되는 위상은 **{\displaystyle {\mathfrak {i}}}진 위상**(영어: {\displaystyle {\mathfrak {i}}}-adic topology)이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다.

### 결합 대수

가환환 R 위의 결합 대수 A가 주어졌으며, 그 위에 R-가군으로서의 {\mathbb N}-올림 여과

{\displaystyle A\_{0}\subseteq A\_{1}\subseteq \cdots A\_{\infty }=A}
가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 R-결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

{\displaystyle A\_{i}A\_{j}\subseteq A\_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} }
(특히, {\displaystyle 1\_{A}\in A\_{0}}이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 R-등급 대수를 정의할 수 있다.:64, §2.1

{\displaystyle \operatorname {gr} A=A\_{0}\oplus \bigoplus \_{i\in \mathbb {N} }{\frac {A\_{i+1}}{A\_{i}}}}
그 위의 곱셈은 다음과 같다.

{\displaystyle (a+A\_{i})(b+A\_{j})=ab+A\_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} ,\;a\in A\_{i+1},\;b\in A\_{j+1}}
{\displaystyle (a+A\_{i})b=ab+A\_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A\_{i+1},\;b\in A\_{0}}
{\displaystyle b(a+A\_{i})=ba+A\_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A\_{i+1},\;b\in A\_{0}}
이 경우

{\displaystyle 1\_{\operatorname {gr} A}=1\_{A}}
이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

{\displaystyle A\to \operatorname {gr} A}
{\displaystyle a\mapsto a+A\_{i-1}\qquad \forall a\in A\_{i}}
을 **기호 사상**(記號寫像, 영어: symbol map)이라고 한다.:64, §2.1

### 벡터 공간

선형대수학에서, 체 K 위의 벡터 공간 V의 오름 여과

{\displaystyle V\_{0}\subseteq V\_{1}\subseteq \cdots \subseteq V}
에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

{\displaystyle V\_{0}\subsetneq V\_{1}\subsetneq \cdots }
이라면, 이를 **기**(旗, 영어: flag)라고 한다.

### 시그마 대수

{\displaystyle (T,\lesssim )}가 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수 \Sigma  위의 **(오름) 여과**는 순서 보존 함수

{\displaystyle T\to \operatorname {Sub} (\Sigma )}
{\displaystyle t\mapsto \Sigma \_{t}}
를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.

임의의 {\displaystyle t,t'\in T}에 대하여, {\displaystyle \Sigma \_{t}\subseteq \Sigma \_{t'}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Sub} (\Sigma )}는 \Sigma 의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다.
여기서, T의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 **여과 시그마 대수**(濾過σ代數, 영어: filtered sigma algebra)라고 하며, 마찬가지로 **여과 확률 공간**(濾過確率空間, 영어: filtered probability space) 따위를 정의할 수 있다.

이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 {\displaystyle \Sigma \_{t}}는 시점 t에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 {\displaystyle \Sigma \_{t}}-마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다.

참고 문헌
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1. 1 2  Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **298**. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001.