환론과 호몰로지 대수학에서 **호몰로지 차원**(homology次元, 영어: homological dimension)은 환 및 그 가군 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.

정의
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아래 정의에서, 항상

\sup \varnothing =-\infty 
\inf \varnothing =+\infty 
로 놓는다.

### 함자의 차원

두 아벨 범주 {\mathcal A}, {\mathcal B} 사이의 가법 함자

F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}
가 주어졌다고 하자.

만약 {\mathcal A}가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **코호몰로지 차원**(cohomology次元, 영어: cohomological dimension)은 다음과 같다.:394, Definition 10.5.10

{\displaystyle \operatorname {cohd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {R} ^{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {R} ^{n}}은 n차 오른쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약 F=0이라면 {\displaystyle \operatorname {cohd} F=-\infty }이다.

만약 {\mathcal A}가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **호몰로지 차원**(homology次元,영어: homological dimension)은 다음과 같다.:394, Definition 10.5.10

{\displaystyle \operatorname {hd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {L} \_{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {L} \_{n}}은 n차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약 F=0이라면 {\displaystyle \operatorname {hd} F=-\infty }이다.

### 아벨 범주의 대상(가군)의 차원

Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.

#### 사영 차원

아벨 범주 {\mathcal {C}}의 대상 {\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}의 **사영 차원**(射影次元, 영어: projective dimension)

{\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}M\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}
은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}M=\sup \_{N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}
여기서 {\displaystyle \sup \_{N\in {\mathcal {C}}}}은 모든 대상 {\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}에 대한 상한이며, {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}}는 Ext 함자이다.
만약 {\mathcal A}가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

* {\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}M}은 M의 사영 분해(영어: projective resolution) 0\to P\_{n}\to P\_{{n-1}}\to \cdots \to P\_{0}\to M\to 0 의 길이 n들의 하한이다.
* {\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}M=\operatorname {cohd} \hom \_{\mathcal {C}}(M,-)}

특히, 영 대상 0\in {\mathcal {C}}의 사영 차원은 -\infty 이다.

#### 단사 차원

아벨 범주 {\mathcal {C}}의 대상 {\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}의 **단사 차원**(單射次元, 영어: injective dimension)

{\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}N\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}
은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}N=\sup \_{M\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}
만약 {\mathcal A}가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

* {\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}N}은 M의 단사 분해(영어: injective resolution) {\displaystyle 0\rightarrow Q\_{n}\rightarrow Q\_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow Q\_{0}\rightarrow N\to 0}의 길이 n들의 하한이다.
* {\displaystyle \operatorname {pd} \_{\mathcal {C}}N=\operatorname {hd} \hom \_{\mathcal {C}}(-,N)}

특히, 영 대상 0\in {\mathcal {C}}의 단사 차원은 -\infty 이다.

#### 평탄 차원

환 R 위의 오른쪽 가군 M\_{R}의 **평탄 차원**(平坦次元, 영어: flat dimension) 또는 **약한 차원**(弱-次元, 영어: weak dimension)은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {fd} \_{R}M=\sup \_{N\in {}\_{R}\operatorname {Mod} }\{\operatorname {Tor} \_{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}
마찬가지로, R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}N}의 **평탄 차원** 또는 **약한 차원**은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {fd} \_{R}N=\sup \_{M\in \operatorname {Mod} \_{R}}\{\operatorname {Tor} \_{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}
이는 M 또는 N의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.

### 아벨 범주(환)의 차원

아벨 범주 {\mathcal {C}}의 **대역 차원**(大域次元, 영어: global dimension) {\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup \_{M,N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}=\sup \_{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom \_{\mathcal {C}}(M,-))=\sup \_{N\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom \_{\mathcal {C}}(-,N))}
만약 {\mathcal {C}}가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다.

{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup \_{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {id} \_{R}M}
만약 {\mathcal {C}}가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다.

{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup \_{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {pd} \_{R}M}
환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R{\text{-Mod}}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환 R 위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주 {\displaystyle R{\text{-fgMod}}}는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 이는 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를
R의 **왼쪽 대역 차원**(영어: left global dimension)이라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {gd\_{L}} R=\operatorname {gd} R{\text{-Mod}}=\operatorname {gd} R{\text{-fgMod}}}
마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을 R의 **오른쪽 대역 차원**(영어: right global dimension이라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {gd\_{R}} R=\operatorname {gd} {\text{Mod-}}R=\operatorname {gd} {\text{fgMod-}}R=\operatorname {gd\_{L}} R^{\operatorname {op} }}
가환환의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) 뇌터 환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다.

환 R의 **평탄 대역 차원**(平坦大域次元, 영어: flat global dimension) 또는 **약한 대역 차원**(弱-大域次元, 영어: weak global dimension) {\displaystyle \operatorname {wgd} {\mathcal {C}}}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup \_{M\in \operatorname {Mod} \_{R},\,N\in {}\_{R}\operatorname {Mod} }\{n\colon \operatorname {Tor} \_{n}^{K}(M,N)\neq 0\}=\sup \_{N\in {}\_{R}\operatorname {Mod} }\operatorname {hd} (\otimes N)}
여기서 {\displaystyle \otimes N\colon \operatorname {Mod} \_{R}\to \operatorname {Ab} }는 텐서곱 함자이다.

이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 가군의 차원 | 사영 차원 | 단사 차원 | 평탄 차원 |
| 차원을 계산하는 가군 분해 | 사영 가군 분해 | 단사 가군 분해 | 평탄 가군 분해 |
| 대응하는 대역 차원 | 대역 차원 | 평탄 대역 차원 |
| 함자 | {\displaystyle \hom(M,-)} | {\displaystyle \hom(-,M)} | {\displaystyle \otimes M} |
| 유도 함자 | Ext 함자 | Tor 함자 |

성질
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### 대역 차원

R가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {gd\_{L}} R=\operatorname {gd\_{R}} R=\operatorname {fd} R}
R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 {\mathfrak m}이라면, 다음이 성립한다.

\operatorname {gd}R=\operatorname {pd}R/{\mathfrak m}
가환 뇌터 국소환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 대역 차원이 유한하다.
* 정칙 국소환이다.

또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.

### 오슬랜더-북스바움 공식

 이 부분의 본문은 가군의 깊이입니다.
R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 {\mathfrak m}이며, M이 R 위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 (**오슬랜더-북스바움 공식** 영어: Auslander–Buchsbaum formula).:Theorem 3.7

\operatorname {pd}\_{R}M+\operatorname {depth}\_{{{\mathfrak m}}}M=\operatorname {depth}\_{{{\mathfrak m}}}R

예
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### 체

체 K 위의 가군은 벡터 공간 V이며, 이 경우 모든 가군이 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다.

{\displaystyle \operatorname {pd} \_{K}V=\operatorname {id} \_{K}V=\operatorname {fd} \_{K}V={\begin{cases}0&V\neq 0\\-\infty &V=0\end{cases}}}
따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.

{\displaystyle \operatorname {gd} K=\operatorname {fgd} K=0}
체는 가환 뇌터 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)

### 주 아이디얼 정역

R가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.

* 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 항상 자유 가군이다.
따라서, 임의의 R-가군 M은 {\displaystyle M=F/G}와 같은 꼴(F와 G는 자유 가군)로 표현될 수 있다.
* 주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다. (이는 유한 생성 가군 조건이 없이도 성립한다.)

이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군 M의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.

|  | 사영 차원 \operatorname {pd}\_{R}M | 평탄 차원 {\displaystyle \operatorname {fd} \_{R}M} |
| --- | --- | --- |
| 영가군 {\displaystyle 0} | −∞ | −∞ |
| 영가군이 아닌 자유 가군 | 0 | 0 |
| 자유 가군이 아닌 평탄 가군 | 1 | 0 |
| 평탄 가군이 아닌 가군 | 1 | 1 |

특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다.

정수환 \mathbb {Z}  위의 가군은 아벨 군 G이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다.

마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.

|  | 단사 차원 \operatorname {id}\_{R}M |
| --- | --- |
| 영가군 | −∞ |
| 영가군이 아닌 단사 가군 | 0 |
| 단사 가군이 아닌 가군 | 1 |

### 자명환

자명환 {\displaystyle 0} 위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은 -\infty 이다.

### 다항식환

**힐베르트 삭망 정리**(Hilbert朔望定理, 영어: Hilbert’s syzygy theorem)에 따르면, R가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면, \operatorname {gd}R[x]=\operatorname {gd}R+1이다.

뇌터 가환환 위의 다항식환은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다.

{\displaystyle \operatorname {gd} R[x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}]=\operatorname {gd} R+n}
특히, 체 K 위의 다항식환 K[x\_{1},\dots ,x\_{n}]의 대역 차원은 n이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이 n 이하의 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.

역사
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힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.:492, Theorem Ⅲ

참고 문헌
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1. 1 2  Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **38**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
2. ↑  Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1957). "Homological dimension in local rings". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **85**: 390–405. ISSN 0002-9947. JSTOR 1992937. MR 0086822.
3. ↑  Hilbert, David. "Ueber die Theorie der algebraischen Formen". 《Mathematische Annalen》 (영어) **36**: 473–530.

* Wiegand, Roger (2006년 4월). "What is … a syzygy?" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어). 456–457쪽.