미분기하학에서 **납땜**(영어: soldering)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 매끄러운 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M. 또한, E 역시 다양체라고 하자.

그렇다면, E의 **납땜** {\displaystyle (o,\theta )}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 매끄러운 단면 {\displaystyle o\in \Gamma (E)}
* 매끄러운 벡터 다발의 동형 {\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to o^{\*}\mathrm {V} E}. 여기서 {\displaystyle \mathrm {V} E}는 E의 수직 벡터 다발이며, {\displaystyle o^{\*}}는 벡터 다발의 당김이다.

이에 따라, \theta 는 다음과 같은, {\displaystyle \mathrm {V} E}값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

{\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(M;o^{\*}\mathrm {V} E)}
이를 **납땜 형식**(-形式, 영어: solder form)이라고 한다.

만약 E가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 {\displaystyle o\in \Gamma (E)}가 {\displaystyle o=0}이 되게 잡는다.

성질
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다양체 M 위의 매끄러운 올다발 E 위에 납땜이 존재할 필요 조건은 {\displaystyle \dim E=2\dim M}인 것이다.

예
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다양체 M 위의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 {\displaystyle \mathrm {V} \mathrm {T} M=\mathrm {T} M}이다.)

### 리만 다양체

매끄러운 다양체 M 위의 일반화 리만 계량 g은, 공변접다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M} 위의 납땜 {\displaystyle (o,\theta )} 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.

{\displaystyle o=0}이며, 임의의 x\in M 및 {\displaystyle u,v\in \mathrm {T} \_{x}M}에 대하여 {\displaystyle \theta (u)(v)=\theta (v)u}
위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 \theta 가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 g는 벡터 다발의 동형

{\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{\*}M}
{\displaystyle \theta \colon (x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)}
을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 {\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{\*}M}이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

{\displaystyle g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)}
를 정의할 수 있다.

### 심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 (M,\omega )가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

{\displaystyle \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{\*}M}
{\displaystyle (x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))}
은 공변접다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}M} 위의 납땜을 정의한다.

### 연관 벡터 다발

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P
* G의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 {\displaystyle \rho \colon V\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}

이 경우, 연관 벡터 다발 P\times\_GV를 구성할 수 있다. 이 경우, P\times\_GV 위의 납땜은 각 x\in X에 대하여 동형 사상

{\displaystyle \theta \_{x}\colon \mathrm {T} \_{x}M\to P\times \_{G}V}
로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 \theta 는 G-등변 {\mathfrak {g}}값 1차 미분 형식

{\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
가운데, {\displaystyle \ker \theta =\mathrm {V} P}인 것이다. 특히, \theta 는 수평 미분 형식이다.:§5.1

이 경우, {\displaystyle (P,\rho ,\theta )}를 M 위의 **G-구조**(G-構造, 영어: G-structure)라고 한다.:§5.1

만약 추가로 \rho 가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 P는 1차 틀다발 {\displaystyle \mathrm {F} ^{1}M}의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, p\in P에 대응하는 틀은 다음과 같다.

{\displaystyle v\mapsto \theta \_{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])\qquad (v\in V)}
### 주다발

매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 주다발 P의 납땜 {\displaystyle (o,\theta )}의 개념은 자명하다. 이는 단면 {\displaystyle o\in \Gamma (P)}의 존재에 따라 P가 대역적으로 자명한 주다발 {\displaystyle P=M\times G}이 되며, {\displaystyle \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}}이므로 이에 따라

{\displaystyle \mathrm {T} M\cong M\times {\mathfrak {g}}}
가 되기 때문이다. 즉, 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M} 역시 자명한 벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

참고 문헌
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1. 1 2  Alekseevskky, Dmitri V.; Michor, Peter W. (1995). "Differential geometry of Cartan connections". 《Publicationes Mathematicae Debrecen》 (영어) **47** (3-4): 349–375. arXiv:math/9412232. ISSN 0033-3883.
2. ↑  Chern, Shiing-Shen (1966). "The geometry of G-structures". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **72** (2): 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8. MR 0192436. Zbl 0136.17804.