군론에서 **정규화 부분군**(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저[\*])은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

정의
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모노이드 M의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq G}의 **정규화 부분 모노이드**(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은, G의 부분 집합이다.:30, Definition 1.68:161, Definition 8.11:AI.54, §AI.5.3

{\displaystyle \operatorname {N} \_{M}(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}}
이는 M의 부분 모노이드를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드 M의 부분 집합 S에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.:4–5, Lemma 2.1

{\displaystyle \operatorname {LN} \_{M}(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}}
{\displaystyle \operatorname {RN} \_{M}(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}}
이들은 {\displaystyle \operatorname {N} \_{M}(S)}를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 M이 군이며 S가 부분군이더라도) 서로 다르다.:AI.54

군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 **정규화 부분군**이라고 한다. (그러나 {\displaystyle \operatorname {LN} \_{G}(-)} 및 {\displaystyle \operatorname {RN} \_{G}(-)}는 일반적으로 부분군이 아니다.:AI.54)

성질
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임의의 모노이드 M의 부분 집합 S\subseteq M에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{M}(S)=\operatorname {LN} \_{M}(S)\cap \operatorname {RN} \_{M}(S)}
중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 M의 부분 집합 S\subseteq M에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{M}(S)\subseteq \operatorname {N} \_{M}(S)}
### 군

군 G의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq G}의 중심화 부분군은 S의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

{\displaystyle \operatorname {C} \_{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} \_{G}(S)}
군의 경우 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {LN} \_{G}(S)=\left(\operatorname {RN} \_{G}(S)\right)^{-1}}
H\subseteq G가 부분군이라고 하자. 그렇다면, \operatorname N\_{G}(H)는 H를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 {\displaystyle K\subseteq G}에 대하여, 만약 H가 K의 정규 부분군이라면, K는 \operatorname N\_{G}(H)의 부분군이다.

{\displaystyle \forall K\in \operatorname {Sub} (G)\colon H\trianglelefteq K\leq G\implies K\leq \operatorname {N} \_{G}(H)}
### 환

환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.

나눗셈환 D의 경우, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{D}(D)=D}

**증명:**

임의의 a\in D에 대하여 {\displaystyle aD=Da}임을 보이면 족하다. 우선, 만약 a=0이라면 이는 자명하다. 따라서 a\neq 0이라고 가정하자. 그렇다면,

{\displaystyle D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D}
이므로 {\displaystyle D=aDa^{-1}}이며 {\displaystyle Da=aD}이다.

예
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만약 M이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 M 전체이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 M의 원소 m\in M에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {LN} \_{M}(\{m\})=\operatorname {RN} \_{M}(\{m\})=\operatorname {N} \_{M}(\{m\})=\operatorname {C} \_{M}(\{m\})}
공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 M에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{M}(\varnothing )=M}
임의의 군 G에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {N} \_{G}(G)=G}
(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)

참고 문헌
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1. ↑  Bourlès, Henri; Marinescu, Bogdan (2011). 《Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach》. Lecture Notes in Control and Information Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-642-19727-7. ISSN 0170-8643.
2. ↑  Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, Michael (2012). 〈Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory〉. 《Mathematical Foundations of Information Flow》. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics (영어) **71**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4923-1. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함.
3. 1 2 3  Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.
4. ↑  Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, M. (1971). "The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids". 《Semigroup Forum》 (영어) **3**: 31–42. doi:10.1007/BF02572939. ISSN 0037-1912. Zbl 0223.22002. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함.