복소해석학에서 **모레라 정리**(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

정의
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**모레라 정리**에 따르면, 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }에 정의된 연속 함수 {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* f는 정칙 함수이다.
* 임의의 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}에 대하여, {\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=0}
* 임의의 삼각형 열린집합 {\displaystyle T\subseteq D}에 대하여, {\displaystyle \int \_{\partial T}f(z)\mathrm {d} z=0}

특히, D가 단일 연결 열린집합이라면, f가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

증명
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코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.:91-92

임의의 {\displaystyle w\_{0}\in D}를 취하자. 그렇다면, f가 어떤 볼록 열린 근방 {\displaystyle w\_{0}\in {\tilde {D}}\subseteq D}에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. ({\tilde {D}}는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 {\displaystyle F\colon {\tilde {D}}\to \mathbb {C} }를

{\displaystyle F(w)=\int \_{[w\_{0},w]}f(z)\mathrm {d} z\qquad \forall w\in {\tilde {D}}}
와 같이 정의하자. 여기서 {\displaystyle [w\_{0},w]\subseteq {\tilde {D}}}는 {\displaystyle w\_{0}}와 w 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle w\in {\tilde {D}}}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{w'\to w}{\frac {F(w')-F(w)}{w'-w}}&=\lim \_{w'\to w}\int \_{[w,w']}{\frac {f(z)}{w'-w}}\mathrm {d} z\\&=\lim \_{w'\to w}\int \_{0}^{1}f(w+t(w'-w))\mathrm {d} t\\&=f(w)\end{aligned}}}
즉, 임의의 {\displaystyle w\in {\tilde {D}}}에 대하여, {\displaystyle F'(w)=f(w)}이다. 따라서 F는 {\tilde {D}}에서 정칙 함수이며, 그 도함수 f 역시 {\tilde {D}}에서 정칙 함수이다.

따름정리
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모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

### 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성

연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }에 정의된 정칙 함수열 {\displaystyle f\_{n}\colon D\to \mathbb {C} }가 함수 {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, f 역시 정칙 함수이다.

임의의 {\displaystyle z\_{0}\in D}를 취하고, {\displaystyle 0<r<d(z\_{0},\partial D)}를 취하자. 그렇다면, {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z\_{0},r)\subseteq D}이며, 이는 콤팩트 집합이므로, f\_{n}은 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z\_{0},r)}에서 f로 균등 수렴한다. 따라서, f는 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z\_{0},r)}에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to {\bar {\operatorname {B} }}(z\_{0},r)}에 대하여, 

{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\lim \_{n\to \infty }\int \_{\gamma }f\_{n}(z)\mathrm {d} z=0}
이다. 모든 삼각형은 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, f는 {\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z\_{0},r)}에서 정칙 함수이다.

### 리만 제타 함수의 정칙성

리만 제타 함수 \zeta 는

{\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>1\}}
에서 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\qquad \forall s\in D}
이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 D에서 콤팩트 수렴하며, 각 {\displaystyle s\mapsto 1/n^{s}}는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}에 대하여,

{\displaystyle \int \_{\gamma }\zeta (s)\mathrm {d} s=\sum \_{n=1}^{\infty }\int \_{\gamma }{\frac {1}{n^{s}}}\mathrm {d} s=0}
이다. 모레라 정리에 의하여, \zeta 는 D에서 정칙 함수이다.

### 감마 함수의 정칙성

감마 함수 \Gamma 는

{\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>0\}}
에서 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \Gamma (s)=\int \_{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}\mathrm {d} x}
각 {\displaystyle s\mapsto x^{s-1}}는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}에 대하여,

{\displaystyle \int \_{\gamma }\Gamma (s)\mathrm {d} s=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x\int \_{\gamma }x^{s-1}\mathrm {d} s=0}
이다. 모레라 정리에 의하여, \Gamma 는 D에서 정칙 함수이다.