가환대수학과 대수적 위상수학에서 **람다 환**(λ環, 영어: λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의
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### 다항식 *P**n*, *P**m*,*n*

기본 대칭 다항식

{\displaystyle e\_{i}\in \mathbb {Z} [x\_{1},\dots ,x\_{n}]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,n\}}
{\displaystyle e\_{i}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\sum \_{1\leq j\_{1}<j\_{2}<\cdots <j\_{i}\leq n}x\_{i\_{1}}x\_{i\_{2}}\cdots x\_{i\_{j}}}
을 정의하자.

다항식

{\displaystyle P\_{n}\in \mathbb {Z} [x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
{\displaystyle P\_{m,n}\in \mathbb {Z} [x\_{1},\dots ,x\_{mn}]\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} }
은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.:8, §2.1

{\displaystyle \sum \_{n}P\_{n}\left(e\_{1}({\vec {x}}),\dots ,e\_{n}({\vec {x}}),e\_{1}({\vec {y}}),\dots ,e\_{n}({\vec {y}})\right)t^{n}=\prod \_{i,j=1}^{n}(1+x\_{i}y\_{j}t)\in \mathbb {Z} [t,{\vec {x}},{\vec {y}}]}
{\displaystyle \sum \_{m}P\_{m,n}(x\_{1},\dots ,x\_{mn})t^{m}=\prod \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{n}\leq mn}(1+x\_{i\_{1}}x\_{i\_{2}}\cdots x\_{i\_{n}}t)\in \mathbb {Z} [t,x\_{1},\dots ,x\_{mn}]}
여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

{\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})}
{\displaystyle {\vec {y}}=(y\_{1},y\_{2},\dots ,y\_{n})}
### 람다 환

**람다 환**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.:7, Definition 2.1:§16.4:7, Definition 1.10

* 가환환 R
* 각 자연수(음이 아닌 정수) n\in \mathbb {N} 에 대하여, 함수 {\displaystyle \lambda ^{n}\colon R\to R}. 이들을 n차 **람다 연산**(영어: nth λ-operation)이라고 한다.

이 함수 {\displaystyle \lambda ^{n}}들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \lambda ^{0}(r)=1\qquad \forall r\in R}
{\displaystyle \lambda ^{1}(r)=r\qquad \forall r\in R}
{\displaystyle \lambda ^{n}(1)=0\qquad \forall n\geq 2}
(합의 람다 연산) {\displaystyle \lambda ^{n}(r+s)=\sum \_{i+j=n}\lambda ^{i}(r)\lambda ^{j}(s)\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }
(곱의 람다 연산) {\displaystyle \lambda ^{n}(rs)=P\_{n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{n}(r),\lambda ^{1}(s),\dots ,\lambda ^{n}(s))\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }
(람다 연산의 합성) {\displaystyle \lambda ^{m}(\lambda ^{n}(r))=P\_{m,n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{mn}(r))\qquad \forall r\in R\;n\in \mathbb {N} }
람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 R, {\displaystyle R'} 사이의 **준동형**은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 f\colon R\to R' 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.:§16.4:10, Definition 1.25

{\displaystyle f(\lambda ^{n}(r))=\lambda ^{n}(f(r))\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }
람다 환과 람다 환 준동형은 범주 {\displaystyle \lambda {\text{-Ring}}}를 이룬다.

### 애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.:§2.2

람다 환 R에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.:(16.10):7, (1.7)

{\displaystyle \lambda \_{t}(r)=\sum \_{i=0}^{\infty }\lambda ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}
그렇다면, R 위의 **애덤스 연산**

{\displaystyle \Psi ^{n}\colon R\to R\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}
{\displaystyle \Psi \_{t}(r)=\sum \_{i=1}^{\infty }\Psi ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}
은 다음과 같다.:§16.20

{\displaystyle \Psi \_{t}(r)=-t{\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\ln \left(\lambda \_{-t}(r)\right)\qquad \forall r\in R}
즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질
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람다 환 R에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

* {\displaystyle \lambda \_{t}\colon (R,+)\to R[[t]]^{\times }}는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.:7, Proposition 1.13
{\displaystyle \lambda \_{t}(r+s)=\lambda \_{t}(r)\lambda \_{t}(s)\qquad \forall r,s\in R}
{\displaystyle \lambda \_{t}(0)=1}
{\displaystyle \lambda \_{t}(-r)=\lambda \_{t}(r)^{-1}\qquad \forall r\in R}
* 정수 n\in\mathbb Z에 대하여, {\displaystyle \lambda \_{t}(n)=(1+t)^{n}}이다.

### 범주론적 성질

람다 환의 범주에서 가환환의 범주 \operatorname {CRing} 로 가는 망각 함자

{\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} }
는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.:§16.1

{\displaystyle S\dashv F\dashv \Lambda }
여기서

* 함자 {\displaystyle S\colon \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}는 **자유 람다 환**(영어: free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
* 함자 {\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}는 가환환 R를 {\displaystyle 1+xR[[x]]} 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예
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### 이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환 R를 **이항환**(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다.

* 덧셈군 (R,+)의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 {\displaystyle \iota \colon R\to R\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }는 단사 함수이다.
* 모든 이항 계수 {\displaystyle \textstyle {\binom {r}{n}}\;(r\in R)}를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 r\in R 및 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle \iota (s)=\textstyle {\binom {r}{n}}=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R\otimes \_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }가 되는 s\in R가 (유일하게) 존재한다.

이항환 R 위에 {\displaystyle \lambda ^{n}(k)=\textstyle {\binom {k}{n}}}을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.:Theorem 5.3 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인:9, Example 1.16) 정수환 {\displaystyle \mathbb {Z} \cong \operatorname {K} ^{0}(\{\bullet \})}는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.:6, §1.2.1

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.

### 비트 벡터

 이 부분의 본문은 비트 벡터입니다.
가환환 R 위의 형식적 멱급수환 R[[x]] 속의, x^{0}항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

{\displaystyle \Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]}
을 생각하자. 이는 R[[x]]-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

{\displaystyle \Lambda (R)} 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.:7, §2:§9.1

* {\displaystyle \Lambda (R)}의 덧셈은 R[[x]]의 곱셈이다.
* {\displaystyle \Lambda (R)}의 곱셈은 다음과 같다.:§9.15
{\displaystyle (1+r\_{1}x+r\_{2}x^{2}+\cdots )\cdot (1+s\_{1}x+s\_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum \_{n=1}^{\infty }P\_{n}(r\_{1},\dots ,r\_{n},s\_{1},\dots ,s\_{n})x^{n}}
* {\displaystyle \Lambda (R)}의 람다 연산은 다음과 같다.:(16.8)
{\displaystyle \lambda ^{n}(1+r\_{1}x+r\_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum \_{m=1}^{\infty }P\_{m,n}(r\_{1},\dots ,r\_{mn})t^{m}}

이 환은 R 계수의 (큰) 비트 벡터 환 {\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 {\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}} 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

{\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)\to \Lambda (R)}
{\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x\_{1}t)(1-x\_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]}
는 환의 동형을 정의한다.:(9.22):Theorem 4.16 이를 **아르틴-하세 지수 함수**(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다.

이는 함자

{\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}
를 정의하며, 이는 망각 함자

{\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} }
의 오른쪽 수반 함자이다.

{\displaystyle F\dashv \Lambda }
### 대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수 {\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},x\_{2},\dots )}의 형식적 멱급수환 {\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}을 생각하자. {\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 x\_i들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 {\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},x\_{2},\dots )}의 **대칭 다항식** {\displaystyle p\in Z[[{\vec {x}}]]}은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.:§2.2:(9.38), (9.39)

* 임의의 순열 {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}에 대하여 {\displaystyle p(x\_{\sigma (1)},x\_{\sigma (2)},\dots )=p(x\_{1},x\_{2},\dots )}이다. (여기서 {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
* p에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).

대칭 다항식들의 집합은 {\displaystyle \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

{\displaystyle e\_{i}({\vec {x}})=\sum \_{1\leq j\_{1}<j\_{2}<\cdots <j\_{i}}x\_{j\_{1}}x\_{j\_{2}}\cdots x\_{j\_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}
들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 {\displaystyle \mathbb {Z} [e\_{0}({\vec {x}}),e\_{1}({\vec {x}}),\dots ,]}로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.:§16.65

{\displaystyle \lambda ^{m}\colon e\_{n}({\vec {x}})\mapsto P\_{m,n}(e\_{1}({\vec {x}}),\dots ,e\_{mn}({\vec {x}}))}
그렇다면, {\displaystyle \mathbb {Z} [e\_{1}({\vec {x}}),\dots ,e\_{n}({\vec {x}})]}는 1변수 정수 계수 다항식환 {\displaystyle \mathbb {Z} [e]} 위의 자유 람다 환이다.:Theorem 2.1:Theorem 16.74 즉, 자유 람다 환 함자 {\displaystyle S\colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}} 함자 아래 {\displaystyle \mathbb {Z} [e]}의 상이다. 또한, S 아래 임의의 환 준동형

{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} [e]\to R}
{\displaystyle f\colon e\mapsto f(e)\in R}
의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

{\displaystyle Sf\colon \mathbb {Z} [e\_{1}({\vec {x}}),\dots ,e\_{n}({\vec {x}})]\to R}
{\displaystyle Sf\colon e\_{n}\mapsto \lambda ^{n}(f(e))}
### 위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 위상 K군 {\displaystyle \operatorname {K} \_{K}^{0}(X)}는 람다 환을 이룬다.:9, Example 1.16 이 경우 {\displaystyle \lambda ^{n}}은 벡터 다발 위의 외대수 {\displaystyle \lambda ^{n}[E]=[\Lambda ^{n}(E;K)]}이다.

### 표현환

유한군 G 위의 체 K 계수 표현환 {\displaystyle \operatorname {Repr} (G;K)} (군의 유한 차원 K-벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.:9, Example 1.17 이 경우, {\displaystyle \lambda ^{n}}은 군의 표현의 외대수이다.

{\displaystyle \lambda [r-r']=\lambda (r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V}

역사
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알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.:§16.1

역사적으로, P\_n 및 {\displaystyle P\_{m,n}}으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어: special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.:§16.1

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  Hopkinson, John Robert (2006). 《Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michael J. Hopkins). 매사추세츠 공과대학교 수학과.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14  Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉. Hazewinkel, Michiel. 《Handbook of algebra. Volume 6》 (영어). Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  Yau, Donald (2010). 《Lambda-rings》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/7664. ISBN 978-981-4299-09-1. MR 2649360.
4. ↑  Elliott, Jesse (2006). "Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings". 《Journal of Pure and Applied Algebra》 (영어) **207** (1): 165–185. doi:10.1016/j.jpaa.2005.09.003. ISSN 0022-4049. MR 2244389.
5. ↑  Grothendieck, Alexander (1958). "La théorie des classes de Chern". 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) **86**: 137–154. ISSN 0037-9484. MR 0116023.