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수학에서 **급수**(級數, 영어: series, ∑*an*)는 수열의 모든 항을 더한 것, 즉 **수열의 합**이다. 항의 개수가 유한한 **유한급수**(有限級數, 영어: finite series)와 항의 개수가 무한한 **무한급수**(無限級數, 영어: infinite series)로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 **수렴급수**와 그렇지 않은 **발산 급수**로 분류된다. **산술급수**, **기하급수**(등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.
수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.

정의
--

수열 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }}에 대한 (무한) **급수** {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}=a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+\cdots }
급수 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}의 **부분합**(部分合, 영어: partial sum) {\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}a\_{n}}은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}a\_{n}=a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{N}}
부분합의 수열 {\displaystyle \textstyle \left(\sum \_{n=0}^{N}a\_{n}\right)\_{N=0}^{\infty }}이 수렴하면 이 급수를 **수렴급수**, 그렇지 않다면 **발산 급수**라고 한다. 수렴급수 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}의 **합**은 그 부분합의 극한이며, 이 역시 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}로 표기한다. 즉,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}=\lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=0}^{N}a\_{n}}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }|a\_{n}|}도 수렴하는 수렴급수를 **절대 수렴급수**, 그렇지 않은 수렴급수를 **조건 수렴급수**라고 한다.

### 가산 첨수 급수

가산 무한 집합 I 및, 자연수 집합 {\displaystyle \mathbb {N} }과 I 사이의 일대일 대응 {\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 {\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} }에 대한 급수 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}}는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{i\_{n}}}
다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}}의 합이 일대일 대응 i의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 i에 대해서도 절대 수렴하며, {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}}의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 i가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 i를 취할 수 있다.

### 임의 첨수 급수

임의의 집합(특히 비가산 집합) I가 주어졌다고 하자. 모든 i\in I에 대해 {\displaystyle a\_{i}\geq 0}이라고 가정하자. 급수 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}}를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}=\sup \_{J\subset I,|J|<\infty }\sum \_{i\in J}a\_{i}\leq \infty }
이때 집합 {\displaystyle I'=\{i\in I\colon a\_{i}\neq 0\}}가 비가산 집합이면 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}=\infty }이다.
즉 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}<\infty }이라면

{\displaystyle I'=\bigcup \_{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a\_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}}
이며

{\displaystyle \left|\left\{i\in I\colon a\_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}\right|<n\sum \_{i\in I}a\_{i}<\infty \qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}
이므로, {\displaystyle I'}이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 {\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]}에 대한 급수 {\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}}는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

{\displaystyle \sum \_{i\in I}a\_{i}=\sum \_{i\in I'}a\_{i}}

수렴성
---

급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.

### 발산 급수

수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.

예를 들어, 0이 아닌 상수 c에 대해 상수항 급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }c=c+c+c+\cdots }
는 발산 급수이다.

또한 다음의 조화급수 역시 발산한다.

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots }
{\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots }
{\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots }
{\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots }
{\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots }
{\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots }
{\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots }
또한 이것은 아래의 리만 제타 함수 {\displaystyle \zeta (1)}이기도 하다.

{\displaystyle {1 \over 1^{1}}+{1 \over 2^{1}}+{1 \over 3^{1}}+{1 \over 4^{1}}+{1 \over 5^{1}}+{1 \over 6^{1}}+{1 \over 7^{1}}+{1 \over 8^{1}}+\cdots }
### 조건 수렴

절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 교대급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }
는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.

### 절대 수렴

급수 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}에 항별로 절댓값을 취한 급수 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }|a\_{n}|}이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 기하급수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }
는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.

### 수렴 판정법

 이 부분의 본문은 수렴판정법입니다.
* (*n*항판정법) 만약 lim*n*→∞ *an* = 0이지 않으면, ∑*an*은 발산한다.
* (비교판정법) 궁극적으로 |*an*| ≤ |*bn*|인 경우, ∑*bn*이 절대수렴하면 ∑*an*도 절대수렴하며, ∑*an*이 절대수렴하지 않으면 ∑*bn*도 절대수렴하지 않는다.
* (비판정법) 만약 궁극적으로 |*an + 1*|/|*an*| < *q*이게 되는 *q* < 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |*an + 1*|/|*an*| > *q*이게끔 하는 *q* > 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴하지 않는다.
* (근판정법) 만약 궁극적으로 |*an|*1/*n* < *q*이게 되는 *q* < 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |*an*|1/*n* > *q* 이게끔 하는 *q* > 1가 존재한다면, ∑*an*은 절대수렴하지 않는다.
* (적분판정법) 만약 *f* 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 *f* (*n*) = *an*(*n* = 1, 2, ...)이면, ∑*an*과 ∫∞  
1 *f* (*x*)*dx*는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* (코시 응집판정법) *an*이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑*an*과 ∑2*k**a*2*k*은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* (교대급수판정법) 만약 *an*이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)*nan*은 수렴한다.
* (디니 판정법)

참고 문헌
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* Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) **37** 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.

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* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
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