수학에서, **데카르트 부호 법칙**(Descartes符號法則, 영어: Descartes’ rule of signs)은 실수 계수 다항식의 양의 실수 근의 수가 내림차순 (또는 오름차순)으로 나열된 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수를 넘지 않는다는 정리이다.

정의
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0이 아닌 실수 계수 다항식

{\displaystyle p(x)=a\_{0}x^{d\_{0}}+a\_{1}x^{d\_{1}}+\cdots +a\_{n}x^{d\_{n}}\in \mathbb {R} [x]}
{\displaystyle a\_{i}\in \mathbb {R} }
{\displaystyle a\_{i}\neq 0}
{\displaystyle d\_{i}\in \{0,1,2,\dots \}}
{\displaystyle d\_{0}<d\_{1}<\cdots <d\_{n}}
{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}
에 대하여, {\displaystyle v(p)}가

{\displaystyle a\_{i}a\_{i+1}<0}
인 {\displaystyle i\in \{0,1,\dots ,n-1\}}의 수라고 하자.

**데카르트 부호 법칙**에 따르면, 임의의 0이 아닌 실수 계수 다항식 {\displaystyle 0\neq p(x)\in \mathbb {R} [x]}에 대하여, 다음이 성립한다.

* p의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근은 {\displaystyle v(p)}개이거나 그보다 적다. 또한, {\displaystyle v(p)}에서 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.
* p의 (중복도를 감안한) 음의 실수 근은 {\displaystyle v(p(-x))}개이거나 그보다 적다. 또한, {\displaystyle v(p(-x))}에서 (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.

증명:

0이 아닌 실수 계수 다항식 {\displaystyle p\in \mathbb {R} [x]}에 대하여, {\displaystyle z(p)}가 p의 양의 실수 근의 수라고 하자. 그렇다면 p의 음의 실수 근의 수는 {\displaystyle z(p(-x))}이다. 따라서 첫 번째 명제를 증명하면 충분하다. {\displaystyle p(x)/x^{d\_{0}}}의 양의 실수 근의 수와 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수는 모두 p와 일치한다. 따라서 이 증명에서 {\displaystyle d\_{0}=0}이라고 가정하여도 무방하다.

p의 양의 실수 근은 p의 그래프와 양의 x축의 교점이다. p의 그래프는 중복도가 홀수인 근에서 x축을 가로지르며, 중복도가 짝수인 근에서는 가로지르지 않는다. 따라서, 만약 p의 그래프가 양의 x축을 홀수 번 가로지른다면, {\displaystyle z(p)}는 홀수이며, 만약 짝수 번 가로지른다면 {\displaystyle z(p)}는 짝수이다. 이에 따라, 만약 {\displaystyle a\_{0}a\_{n}<0}이라면,

{\displaystyle p(0)<0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }p(x)=\infty }
이거나

{\displaystyle p(0)>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }p(x)=-\infty }
이므로, p의 그래프는 양의 x축을 홀수 번 가로지르며, 따라서 {\displaystyle z(p)}는 홀수이다. 마찬가지로, 만약 {\displaystyle a\_{0}a\_{n}>0}이라면, p의 그래프는 양의 x축을 짝수 번 가로지르므로, {\displaystyle z(p)}는 짝수이다.

만약 p가 서로 다른 k개의 양의 실수 근

{\displaystyle x\_{1}<x\_{2}<\cdots <x\_{k}}
을 가지며, 각 i번째 양의 실수 근 x\_i의 중복도가 m\_{i}라면, x\_i의 미분 {\displaystyle p'}의 근으로서의 중복도는 최소 {\displaystyle m\_{i}-1}이다. 또한, 롤의 정리에 따라 각 k-1개의 구간 {\displaystyle (x\_{i},x\_{i+1})} 속에도 {\displaystyle p'}의 근이 최소 하나씩 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

{\displaystyle z(p')\geq (m\_{1}-1)+(m\_{2}-1)+\cdots +(m\_{k}-1)+(k-1)=m\_{1}+\cdots +m\_{k}-1=z(p)-1}
이제, n에 대하여 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 n=0이라면,

{\displaystyle z(p)=v(p)=0}
이므로 자명하게 성립한다.

이제, n-1에 대하여 정리가 성립한다고 가정하고 n에 대하여 성립함을 증명하자. 만약 {\displaystyle a\_{0}a\_{1}<0}이라면,

{\displaystyle v(p')=v(p)-1}
{\displaystyle z(p')\equiv z(p)-1{\pmod {2}}}
이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

{\displaystyle z(p')\leq v(p')}
{\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}
이다. 따라서

{\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1\leq v(p)}
{\displaystyle z(p)\equiv z(p')+1\equiv v(p')+1=v(p){\pmod {2}}}
이다.

만약 {\displaystyle a\_{0}a\_{1}>0}이라면,

{\displaystyle v(p')=v(p)}
{\displaystyle z(p')\equiv z(p){\pmod {2}}}
이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

{\displaystyle z(p')\leq v(p')}
{\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}
이므로,

{\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1=v(p)+1}
{\displaystyle z(p)\equiv z(p')\equiv v(p')=v(p){\pmod {2}}}
이다. 위 합동식에 따라 {\displaystyle z(p)\neq v(p)+1}이므로 결국 {\displaystyle z(p)\leq v(p)}이다.

예
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다항식

{\displaystyle p(x)=ax^{5}+bx+c\in \mathbb {R} [x]}
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
a\neq 0
을 생각하자. 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 부호는 최대 2번 변화할 수 있다. 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 (중복도를 감안하였을 때) 2개의 양의 실수 근을 갖거나, 양의 실수 근을 갖지 않는다. 음의 실수 근 역시 마찬가지다. 중간값 정리에 따라 1개 이상의 실수 근을 갖는다. 만약 {\displaystyle c\neq 0}일 경우, 0은 근이 아니므로 이 실수 근은 양의 실수이거나 음의 실수이며, 따라서 실수 근의 수는 2 또는 4이다. 대수학의 기본 정리에 따라 이 다항식은 5개의 복소수 근을 가지므로, 허수 근의 수는 3 또는 1이다.

### 등호가 성립하지 않는 경우

다항식

{\displaystyle p(x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}-3x+5\in \mathbb {R} [x]}
을 생각하자. 계수의 부호가 총 4번 변화하므로, 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수는 0 또는 2 또는 4이다. 또한,

{\displaystyle p(-x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}+3x+5}
의 계수의 부호는 2번 변화하므로, (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수는 0 또는 2이다. 하지만 사실 이 다항식은 실수 근을 갖지 않는다.

### 등호가 성립하는 경우

다른 한편, 임의의

{\displaystyle n,d\_{0},d\_{1},\dots ,d\_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}
{\displaystyle d\_{0}<d\_{1}<\dots <d\_{n}}
에 대하여,

{\displaystyle z(p)=v(p)}
{\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))}
인 다항식

{\displaystyle p(x)=a\_{0}x^{d\_{0}}+a\_{1}x^{d\_{1}}+\cdots +a\_{n}x^{d\_{n}}\in \mathbb {R} [x]}
{\displaystyle a\_{i}\in \mathbb {R} }
{\displaystyle a\_{i}\neq 0}
을 구성할 수 있다.

예를 들어,

{\displaystyle p(x)=x^{2}-2x+1}
라고 할 때

{\displaystyle z(p)=v(p)=2}
{\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))=0}
이다.

역사
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1637년에 르네 데카르트가 증명 없이 기술하였다. 1728년에 야노시 언드라시 셰그네르(헝가리어: János András Segner)가 처음 증명하였으며, 이후 1756년에 다른 방법으로 재증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Wang, Xiaoshen (2004). "A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **111** (6): 525–526. doi:10.1080/00029890.2004.11920108. ISSN 0002-9890.
2. ↑  Lagarias, Jeffrey C.; Richardson, Thomas J. (1997). "Multivariate descartes rule of signs and sturmfels’s challenge problem". 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) **19** (3): 9–15. doi:10.1007/BF03025343. ISSN 0343-6993.
3. ↑  Komornik, Vilmos (2006). "Another Short Proof of Descartes's Rule of Signs". 《The American Mathematical Monthly》 (영어) **113** (9): 829–830. doi:10.1080/00029890.2006.11920371. ISSN 0002-9890.