순서론에서 **타르스키 고정점 정리**(영어: Tarski’s fixed point theorem) 또는 **크나스터-타르스키 정리**(영어: Knaster–Tarski theorem)는 완비 격자에서 자신으로 가는 단조함수의 고정점이 존재한다는 정리이다.

이는 이론 컴퓨터 과학의 형식 의미론 및 추상 해석 분야에서 중요한 정리이다.

정의
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완비 격자 L과 단조함수 f\colon L\to L가 주어졌다고 하자. **타르스키 고정점 정리**에 따르면, f의 고정점의 집합

{\displaystyle \operatorname {fix} (f)=\{a\in L\colon f(a)=a\}}
역시 완비 격자를 이룬다. (그러나, {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}가 L의 부분 격자일 필요는 없다. 즉, {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 상한과 하한은 L에서와 일치하지 않을 수 있다.) 특히, f의 최대 고정점과 최소 고정점이 존재하며, 특히 f는 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 또한, f의 최대·최소 고정점은 각각 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \bigvee \operatorname {fix} (f)=\bigvee \{a\in L\colon a\leq f(a)\}}
{\displaystyle \bigwedge \operatorname {fix} (f)=\bigwedge \{a\in L\colon a\geq f(a)\}}
### 증명

타르스키를 따라, 다음 순서대로 증명한다.

* (가) {\displaystyle \textstyle \bigvee \{a\in L\colon a\leq f(a)\}}는 f의 최대 고정점이다.
* (나) {\displaystyle \textstyle \bigwedge \{a\in L\colon a\geq f(a)\}}는 f의 최소 고정점이다.
* (다) {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}는 완비 격자이다.

명제 (가)의 증명. {\displaystyle M=\{a\in L\colon a\leq f(a)\}}라고 하자. 임의의 a\in M에 대하여, {\displaystyle \textstyle a\leq \bigvee M}이므로, {\displaystyle \textstyle a\leq f(a)\leq f\left(\bigvee M\right)}이다. 따라서 {\displaystyle \textstyle \bigvee M\leq f\left(\bigvee M\right)}이다. 반대로, {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\leq f\left(f\left(\bigvee M\right)\right)}이므로, M의 정의에 따라 {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\in M}이다. 따라서 {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)\leq \bigvee M}이다. 따라서, {\displaystyle \textstyle \bigvee M}은 f의 고정점이다. 모든 고정점은 M에 속하므로, {\displaystyle \textstyle \bigvee M}은 f의 최대 고정점이다.

명제 (나)의 증명. L의 반대 격자 L^{\operatorname{op}}를 생각하자. L^{\operatorname{op}} 역시 완비 격자를 이루며, f는 L^{\operatorname{op}} 위에서도 단조함수이다. 따라서 L^{\operatorname{op}}에 대하여 명제 (가)가 성립한다. 이는 정확히 L에 대한 명제 (나)와 일치한다.

명제 (다)의 증명. S가 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}의 임의의 부분 집합이라고 하자. {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서 S의 상한이 존재함을 보이면 충분하다. S의 L에서의 상한 {\displaystyle \textstyle \bigvee S}를 생각하자. 그렇다면 구간 {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]=\left\{a\in L\colon a\geq \bigvee S\right\}}는 S의 상계의 집합이며, 완비 격자를 이룬다 (이는 부분 격자이기도 하지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다). 임의의 s\in S에 대하여 {\displaystyle \textstyle s=f(s)\leq f\left(\bigvee S\right)}이므로, {\displaystyle \textstyle \bigvee S\leq f\left(\bigvee S\right)}이다. a\in L에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle a\geq \bigvee S}라면, {\displaystyle \textstyle f(a)\geq f\left(\bigvee S\right)\geq \bigvee S}이다. 따라서, f를 {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]} 위의 함수 {\displaystyle \textstyle f'\colon \left[\bigvee S,\top \right]\to \left[\bigvee S,\top \right]}로 여길 수 있다. 명제 (나)에 따라, f'의 최소 고정점이 존재한다. 이는 f의 고정점이며, S의 상계가 되는 가장 작은 f의 고정점이다. 다시 말해, S의 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 상한이다.

### 고정점 집합이 부분 격자가 아닌 경우

고정점 집합은 완비 격자이지만, 부분 격자가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부분 순서 집합을 생각하자.

{\displaystyle L=\{\bot ,a,a',b,\top \}}
{\displaystyle \bot <a,a'<b<\top }
그렇다면, L은 완비 격자를 이룬다. 이제 f\colon L\to L이며

{\displaystyle f(x)=x\qquad (x=\bot ,a,a',\top )}
{\displaystyle f(b)=\top }
라고 하자. f는 L 위의 단조함수이며, a와 {\displaystyle a'}은 f의 고정점이지만, {\displaystyle a\vee a'=b}는 f의 고정점이 아니다. (a와 {\displaystyle a'}의 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 상한은 b가 아닌 \top 이다.) 따라서, {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}는 L의 부분 격자가 아니다.

귀결
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완비 격자는 공집합일 수 없으므로, 이 정리는 상기한 f에 적어도 한개의 고정점이 있음을, 나아가서 최소 고정점이 있음을 보장한다.

조건을 추가하여 임의의 부분 순서 집합에 대하여 유사한 결과를 증명할 수 있다. 이를 동역학계 이론에 적용하여 프랙탈의 일종인 반복함수계(iterated function system) 연구에 사용할 수 있다.

모든 증가수열 x\_{n}에 대해 {\displaystyle f(\lim x\_{n})=\lim f(x\_{n})}이면, f의 최소 고정점은 {\displaystyle \lim f\_{n}(0)}이며, 이는 정리의 구성적 버전(Kleene fixed-point theorem)을 제공한다.

이론 컴퓨터 과학에서, 단조함수에 대한 최소 고정점 정리는 프로그램 의미론을 정의하는 데 사용된다. 이 경우 특히 격자 L을 특정 집합의 모든 부분집합들을 모은 것, 즉 멱집합 격자로 가정하는 특수한 케이스에 대하여 집중하는 것이 일반적이다. 그리고 나서 f의 고정점이 되기 위해 필요한 조건을 가지는 최소의 집합을 찾아낸다.

역
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반대로, 모든 단조함수의 고정점이 존재하는 격자는 완비 격자이다.:313, Theorem 2 즉, 타르스키 고정점 정리는 완비 격자의 정의로 삼을 수 있다. 그러나 모든 단조함수가 고정점이 존재하는 부분 순서 집합은 완비 격자일 필요가 없다.

### 역의 증명

격자 L이 완비 격자 위에 항상 고정점이 없는 단조함수 f\colon L\to L를 구성하면 족하다. 두 부분 집합 {\displaystyle A,B\subseteq L}에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.

* (라) A는 정렬 전순서 집합이다.
* (마) B의 반대 순서 집합 {\displaystyle B^{\operatorname {op} }}는 정렬 전순서 집합이다.
* (바) 임의의 a\in A 및 b\in B에 대하여, a<b
* (사) 동시에 A의 상계이자 B의 하계인 L의 원소가 존재하지 않는다.

만약 A와 B가 위 조건들을 만족시킨다면, 함수

f\colon L\to L
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\min\{a\in A\colon a\not \leq x\}&\forall b\in B\colon x\leq b\\\max\{b\in B\colon x\not \leq b\}&\exists b\in B\colon x\not \leq b\end{cases}}}
는 단조함수이며, 고정점이 존재하지 않는다. 따라서, 조건 (라)~(사)를 만족시키는 A와 B를 찾는 것으로 족하다. 모든 부분 집합의 상한이 존재하는 부분 순서 집합은 완비 격자이므로, 상한이 없는 L의 부분 집합 {\displaystyle \{a''\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}}가 존재한다. 편의상 그 크기 \kappa 가 최소라고 하자. L이 격자이므로, \kappa 은 0이거나 무한 기수이다. 이제, 임의의 순서수 {\displaystyle \alpha <\kappa }에 대하여, {\displaystyle \{a''\_{\beta }\colon \beta <\alpha \}}의 크기는 \kappa 미만이므로, 상한

{\displaystyle a'\_{\alpha }=\bigvee \_{\beta <\alpha }a''\_{\beta }}
이 존재한다. {\displaystyle (a'\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )}는 단조 초한 점렬이지만, 순단조가 아닐 수 있다. 중복된 항을 제거하여 순단조 초한 점렬 {\displaystyle (a\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa )}로 만들자 (길이가 \kappa 인 것은 \kappa 의 최소성을 사용하여 보일 수 있다). 이 경우, {\displaystyle A=\{a\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}}는 정렬 전순서 집합이다. 만약 A의 상한이 존재한다면, 이는 {\displaystyle \{a''\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}}의 상한이 되어 모순이 일어난다. 따라서 A의 상한이 존재하지 않는다. A의 상계들로 구성된 순감소 초한 점렬들의 집합 위에 다음과 같은 부분 순서를 주자.

{\displaystyle (x\_{\alpha }'\colon \alpha '<\alpha )\preceq (y\_{\beta }'\colon \beta '<\beta )\iff \alpha \leq \beta ,\;x=y\upharpoonright \alpha }
즉, 끝에 항을 추가하면 더 큰 초한 점렬을 얻는다. 초른 보조정리에 따라, 이 부분 순서에 따른 극대 원소 {\displaystyle (b\_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )}가 존재한다 (\lambda 가 기수일 필요는 없다). {\displaystyle B=\{b\_{\alpha }\colon \alpha <\lambda \}}의 반대 순서 집합 {\displaystyle B^{\operatorname {op} }}은 정렬 전순서 집합이다. 만약 {\displaystyle \textstyle \bigwedge B}가 존재한다면, {\displaystyle \textstyle \bigwedge B} 역시 A의 상계이다. A의 상한이 존재하지 않으므로, {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\not \leq b}인 A의 상계 {\displaystyle b\in L}가 존재한다. 이 경우, {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\wedge b}는 A의 상계이며, {\displaystyle \textstyle \bigwedge B\wedge b<\bigwedge B}이다. 이는 {\displaystyle (b\_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )}의 극대성과 모순이다. 따라서, B의 하한 역시 존재하지 않는다. 이제, {\displaystyle A=\{a\_{\alpha }\colon \alpha <\kappa \}}와 {\displaystyle B=\{b\_{\alpha }\colon \alpha <\lambda \}}에 대하여 조건 (사)를 증명하는 일만 남았다. 귀류법을 사용하여, {\displaystyle b\in L}이 A의 상계이자 B의 하계라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle (b\_{\alpha }\colon \alpha <\lambda )}의 극대성에 따라 b\in B이다. 따라서 b는 B의 하한이며, 이는 모순이다.

일반화
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격자 L의, 공집합이 아닌 두 부분 격자 M, N에 대하여, 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

{\displaystyle M\preceq N\iff \forall a\in M\forall b\in N\colon a\wedge b\in M,\;a\vee b\in N}
특히, 만약 {\displaystyle M\preceq N}이라면, 임의의 a\in M에 대하여, a\le b인 {\displaystyle b\in N}이 존재하며, 마찬가지로 임의의 {\displaystyle b\in N}에 대하여, a\le b인 a\in M이 존재한다. 즉, {\displaystyle M\subseteq \mathop {\downarrow } N}이며 {\displaystyle N\subseteq \mathop {\uparrow } M}이다. 이 이항 관계는 공집합이 아닌 부분 격자의 집합 위의 부분 순서를 이룬다. L의 원소는 자연스럽게 L의 부분 격자로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 격자의 순서는 원소의 순서를 확장한다. 따라서, 아래의 정리는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

다음이 주어졌다고 하자.

* 완비 격자 L
* 단조함수 {\displaystyle f\colon L\to (\operatorname {Sub} (L),{\preceq }|\_{\operatorname {Sub} (L)})}. 여기서 {\displaystyle (\operatorname {Sub} (L),{\preceq }|\_{\operatorname {Sub} (L)})}은 L의 부분 완비 격자의, 위에서 정의한 순서에 따른 부분 순서 집합이다. (부분 완비 격자는 완비 격자인 부분 격자보다 더 강한 개념이다. 전자는 모든 상한과 하한이 원래 격자와 일치하지만, 후자는 모든 유한 집합의 상한·하한의 일치만을 요구한다.)

그렇다면, f의 고정점 집합

{\displaystyle \operatorname {fix} (f)=\{a\in L\colon a\in f(a)\}}
은 완비 격자를 이룬다.:297, Theorem 1 또한, f의 최대·최소 고정점은 다음과 같다.

{\displaystyle \bigvee \operatorname {fix} (f)=\bigvee \{a\in L\colon a\in \mathop {\downarrow } f(a)\}}
{\displaystyle \bigwedge \operatorname {fix} (f)=\bigwedge \{a\in L\colon a\in \mathop {\uparrow } f(a)\}}
### 일반화의 증명

타르스키 고정점 정리의 증명과 유사하게, 다음 네 명제를 보인다. 이들 가운데 명제 (아)와 (자), 명제 (차)와 (카)는 서로 쌍대이므로 하나씩만 증명하여도 좋다.

* (아) {\displaystyle M=\{a\in L\colon a\in \mathop {\downarrow } f(a)\}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigvee M}은 f의 최대 고정점이다.
* (자) {\displaystyle N=\{a\in L\colon a\in \mathop {\uparrow } f(a)\}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \bigwedge N}은 f의 최소 고정점이다.
* (차) 모든 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {fix} (f)}의 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 상한이 존재한다.
* (카) 모든 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {fix} (f)}의 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 하한이 존재한다.

명제 (아)의 증명. {\displaystyle \operatorname {fix} (f)\subseteq M}이므로, {\displaystyle \textstyle \bigvee M\in \operatorname {fix} (f)}이면 충분하다. 임의의 a\in M가 주어졌다고 하자. M의 정의에 따라, {\displaystyle x\_{a}\in f(a)}이며 {\displaystyle a\leq x\_{a}}라고 하자. {\displaystyle \textstyle a\leq \bigvee M}이며 f가 단조함수이므로, {\displaystyle \textstyle y\_{a}\in f\left(\bigvee M\right)}이며 {\displaystyle x\_{a}\leq y\_{a}}라고 하자. {\displaystyle \textstyle f\left(\bigvee M\right)}이 부분 완비 격자이므로, {\displaystyle \textstyle \bigvee \_{a\in M}y\_{a}\in f\left(\bigvee M\right)}이다. 임의의 a\in M에 대하여 {\displaystyle a\leq x\_{a}\leq y\_{a}}이므로, {\displaystyle \textstyle \bigvee M\leq \bigvee \_{a\in M}y\_{a}}이다. f의 단조성에 따라, {\displaystyle \textstyle \bigvee \_{a\in M}y\_{a}\leq z}인 {\displaystyle \textstyle z\in f\left(\bigvee \_{a\in M}y\_{a}\right)}가 존재한다. 즉, {\displaystyle \textstyle \bigvee \_{a\in M}y\_{a}\in M}이며, 따라서 {\displaystyle \textstyle \bigvee \_{a\in M}y\_{a}\leq \bigvee M}이다. 따라서, {\displaystyle \textstyle \bigvee M=\bigvee \_{a\in M}y\_{a}\in f\left(\bigvee M\right)}은 f의 고정점이 맞다.

명제 (차)의 증명. {\displaystyle \textstyle \bigvee S}가 S의 L에서의 상한이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]}은 완비 격자를 이룬다. 임의의 s\in S에 대하여, s\in f(s)이며 {\displaystyle \textstyle s\leq \bigvee S}이므로, {\displaystyle s\leq x\_{s}}인 {\displaystyle \textstyle x\_{s}\in f\left(\bigvee S\right)}가 존재한다. 이 경우, {\displaystyle \textstyle \bigvee \_{s\in S}x\_{s}\in f\left(\bigvee S\right)}이며 {\displaystyle \textstyle \bigvee S\leq \bigvee \_{s\in S}x\_{s}}이다. 따라서, f의 단조성에 의하여, 만약 {\displaystyle \textstyle a\in \left[\bigvee S,\top \right]}라면, {\displaystyle \textstyle g(a)=f(a)\cap \left[\bigvee S,\top \right]}은 공집합이 아니다. 또한, f(a)는 L의 부분 완비 격자이다. 따라서, g(a)는 {\displaystyle \textstyle \left[\bigvee S,\top \right]}의 부분 완비 격자를 이룬다. 즉, {\displaystyle a\mapsto g(a)}는 단조함수 {\displaystyle \textstyle g\colon \left[\bigvee S,\top \right]\to (\operatorname {Sub} (\left[\bigvee S,\top \right]),{\preceq }|\_{\operatorname {Sub} (\left[\bigvee S,\top \right])})}를 정의한다. 명제 (자)에 따라, g의 최소 고정점이 존재하며, 이는 S의 {\displaystyle \operatorname {fix} (f)}에서의 상한이다.

역사
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브로니스와프 크나스터 (1893~1980)
알프레트 타르스키 (1901~1983)
1927년 브로니스와프 크나스터(폴란드어: Bronisław Knaster)와 알프레트 타르스키가 멱집합 격자 위 단조함수의 고정점의 존재를 증명하였다.:286, 각주 2 타르스키 고정점 정리의 오늘날 형태는 1939년 타르스키가 도입하였으며, 1939년~1942년 동안 타르스키의 몇몇 공개 강의에서 소개되었다.:286, 각주 2 타르스키 고정점 정리의 역은 앤 모렐(영어: Anne C. Morel)이 증명하였다. 타르스키 고정점 정리의 다중 값 일반화는 저우린(중국어: 周林)이 초모듈러 게임(영어: supermodular game)의 내시 균형의 존재를 보이기 위하여 증명 및 사용하였다.

참고 문헌
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