수학에서 **다항 계수**(多項係數, 영어: multinomial coefficient)는 주어진 개수의 원소들을 주어진 크기의 상자들에 넣는 방법의 가짓수이다. **다항 정리**(多項定理, 영어: multinomial theorem)는 다항식의 거듭제곱을 전개하는 정리이며, 전개식의 계수는 다항 계수이다. 다항 계수와 다항 정리는 이항 계수와 이항 정리의 일반화이다.

정의
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음이 아닌 정수들의 합 {\displaystyle n=k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}}이 주어졌을 때, **다항 계수** {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}}는 다음과 같다.

{\displaystyle {\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}=\prod \_{i=1}^{m}{\binom {k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{i}}{k\_{i}}}=\prod \_{i=1}^{m}{\binom {k\_{i}+k\_{i+1}+\cdots +k\_{m}}{k\_{i}}}}
다항 계수를 단체에 나열한 표를 **파스칼의 단체**(Pascal의單體, 영어: Pascal's simplex)라고 한다.

성질
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### 항등식

다음과 같은 점화식이 성립한다.

{\displaystyle {\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}={\binom {n}{k\_{1}+\cdots +k\_{i},k\_{i+1},k\_{i+2},\dots ,k\_{m}}}{\binom {k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{i}}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{i}}}}
다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이는 다항 정리의 따름정리이다.

{\displaystyle \sum \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}\in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}=m^{n}}
### 수론적 성질

다항 계수의 소인수의 중복도를 쿠머 정리를 통해 계산할 수 있다.

### 조합론적 성질

다항 계수 {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}}은 조합론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

* {\displaystyle |P^{-1}(i)|=k\_{i}} ({\displaystyle i=1,2,\dots ,m})을 만족시키는 함수 {\displaystyle P\colon \{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,m\}}의 수
	+ 즉, n개의 공을 크기가 각각 k\_i인 m개의 상자에 넣는 방법의 수
* 중복집합 {\displaystyle k\_{1}\{1\}+k\_{2}\{2\}+\cdots +k\_{n}\{n\}}의 순열의 수
	+ 즉, n글자 단어가 각각 k\_i번 나오는 m가지 글자로 이루어졌을 때, 그 단어의 어구전철의 수
* {\displaystyle \mathbb {Z} ^{m}} 위의, 시작점이 0, 끝점이 {\displaystyle (k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m})}, 보폭이 표준 기저인 격자 경로(영어: lattice path)의 개수
* 다항 전개의 계수

응용
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### 다항 정리

**다항 정리**에 따르면, 다음과 같은 다항식의 전개가 성립한다.

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}\in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m}}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m}^{k\_{m}}}
다중지표 표기법을 사용하여 다항 정리를 다음과 같이 적을 수 있다.

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}}
전개식의 항의 개수는 다음과 같이 이항 계수로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle {\binom {n+m-1}{m-1}}}

증명:

이항 정리와 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 우선, {\displaystyle m=0,1}의 경우는 자명하게 성립하며, m=2의 경우는 이항 정리에 따라 성립한다.

{\displaystyle 0^{n}={\begin{cases}0&n>0\\1&n=0\end{cases}}}
{\displaystyle x\_{1}^{n}=x\_{1}^{n}}
{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2})^{n}=\sum \_{k\_{1},k\_{2}\in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}=n}{\binom {n}{k\_{1},k\_{2}}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}}
이제, m에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m+1})^{n}&=\sum \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m-1},\ell \in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+\ell =n}{\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m-1}!\ell !}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}(x\_{m}+x\_{m+1})^{\ell }\\&=\sum \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m-1},\ell \in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+\ell =n}{\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m-1}!\ell !}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}\sum \_{k\_{m},k\_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k\_{m}+k\_{m+1}=\ell }{\frac {\ell !}{k\_{m}!k\_{m+1}!}}x\_{m}^{k\_{m}}x\_{m+1}^{k\_{m+1}}\\&=\sum \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m+1}=n}{\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m+1}!}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m+1}^{k\_{m+1}}\end{aligned}}}
즉, {\displaystyle m+1}에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 {\displaystyle m\in \mathbb {N} }에 대하여 다항 정리가 성립한다.

### 다항 분포

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참고 문헌
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1. ↑  Stanley, Richard P. (2012). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》 (영어) 2판. Cambridge University Press.