호몰로지 대수학에서 **그로텐디크 스펙트럼 열**(Grothendieck spectrum列, 영어: Grothendieck spectral sequence)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

정의
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단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 {\mathcal A},{\mathcal B} 사이의 \operatorname {Ab} -풍성한 왼쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}가 주어졌다고 하자. F-**비순환 대상**(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상 A\in {\mathcal A}이다.

{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {R} ^{i}F(A)=0}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 아벨 범주 {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}},{\mathcal {C}}}
* 왼쪽 완전 함자 F\colon {\mathcal A}\to {\mathcal B}, G\colon {\mathcal B}\to {\mathcal C}
* {\mathcal A}의 대상 A\in {\mathcal A}

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* {\mathcal A}와 {\mathcal B}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
* F는 F-비순환 대상을 G-비순환 대상으로 대응시킨다.
* A는 F-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면, A에 대한 **그로텐디크 스펙트럼 열** {\displaystyle E\_{\bullet }^{\bullet \bullet }}은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

{\displaystyle E\_{2}^{pq}=(\operatorname {R} ^{p}G\circ \operatorname {R} ^{q}F)(A)}
이 스펙트럼 열은 합성 함자의 {\displaystyle G\circ F}의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {R} ^{p+q}(G\circ F)(A)}
그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, A와 F(A)의 단사 분해에 의존한다.

### 유도 범주와의 관계

유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

{\displaystyle \operatorname {R} (G\circ F)\Rightarrow \operatorname {R} G\circ \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {C}})}
이 존재한다.:59, Proposition I.5.4 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.:60

성질
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함자 F, G에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

{\displaystyle 0\to (\operatorname {R} ^{1}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{1}(G\circ F))(A)\to (G\circ \operatorname {R} ^{1}F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}(G\circ F))(A)}

예
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### 르레 스펙트럼 열

 이 부분의 본문은 르레 스펙트럼 열입니다.
**르레 스펙트럼 열**(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

{\displaystyle \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f\_{\*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma \_{X}}}\operatorname {Ab} }
여기서 f\_{\*}는 위상 공간 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 의하여 유도되는 층의 직상이며, \Gamma \_{X}는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 {\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab} }로의 직상)이다. 층의 직상 {\displaystyle f\_{\*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )}은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

{\displaystyle f^{\*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} }
f^\*\dashv f\_\*
을 가지므로, 직상 f\_{\*}은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

### 국소-대역 Ext 스펙트럼 열

환 달린 공간 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 두 {\mathcal O}\_{X}-가군층 {\mathcal F}, \mathcal G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Mod} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\xrightarrow {\hom \_{\operatorname {Mod} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}}({\mathcal {F}},-)}}\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma \_{X}}}\operatorname {Ab} }
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.:Théorème II.7.3.3

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}({\mathcal {G}})=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {Ext}}\_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{q}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}))\Rightarrow \operatorname {Ext} \_{\Gamma \_{X}({\mathcal {O}}\_{X})}^{p+q}\left(\Gamma \_{X}({\mathcal {F}}),\Gamma \_{X}({\mathcal {G}})\right)}
여기서

{\displaystyle {\mathcal {Ext}}\_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{q}(F,-)=\operatorname {R} ^{q}\hom \_{\operatorname {Mod} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}}({\mathcal {F}},-)}
는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {Mod} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}}({\mathcal {F}},-)} 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) {\displaystyle \operatorname {Ext} }는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

### 밑 전환

가환환 R, S 및 환 준동형 f\colon R\to S 및 S 위의 가군 N이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Mod} \_{R}{\xrightarrow {\otimes \_{R}S}}\operatorname {Mod} \_{S}{\xrightarrow {\otimes \_{S}N}}\operatorname {Mod} \_{S}}
이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉, R 위의 가군 M에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}(M)=\operatorname {Tor} \_{p}^{S}(\operatorname {Tor} \_{q}^{R}(M,S),N)\Rightarrow \operatorname {Tor} \_{p+q}^{R}(M,N)}
만약 S가 R-평탄 가군이라면,

{\displaystyle \operatorname {Tor} \_{q}^{R}(M,S)={\begin{cases}M\otimes \_{R}S&q=0\\0&q>0\end{cases}}}
이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

{\displaystyle \operatorname {Tor} \_{p}^{S}(M\otimes \_{R}S,N)\cong \operatorname {Tor} \_{p}^{R}(M,N)}
### 군 코호몰로지

군 코호몰로지를 계산하는 **린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열**(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence) 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 G와 정규 부분군 N\vartriangleleft G 및 G-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Mod} \_{\mathbb {Z} [G]}{\xrightarrow {(-)^{N}}}\operatorname {Mod} \_{\mathbb {Z} [G/N]}{\xrightarrow {(-)^{G/N}}}\operatorname {Ab} }
여기서 {\displaystyle (-)^{N}}은 N의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다.
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 **린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열**이라고 하며, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(G/N;\operatorname {H} ^{q}(N,M))\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(G;M)}
이에 대응하는 5항 완전열은 **팽창-제한 완전열**(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다.

{\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{1}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{1}(G;M)\to \operatorname {H} ^{1}(N;M)^{G/N}\to \operatorname {H} ^{2}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{2}(G;M)}
여기서 "팽창"은

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)}
이며, "제한"은

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(N;M)^{G/M}}
이다.

역사
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1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다.
이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Hartshorne, Robin (1966). 《Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **20**. Springer. doi:10.1007/BFb0080482. ISBN 978-3-540-03603-6. ISSN 0075-8434.
2. 1 2  Leray, Jean (1946). "L’anneau d’homologie d’une représentation". 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) **222**: 1366–1368. Zbl 0060.40801.
3. 1 2  Leray, Jean (1946). "Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation". 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) **222**: 1419–1422. Zbl 0060.40802.
4. ↑  Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) **1252** 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010.
5. 1 2  Lyndon, Roger C. (1948). "The cohomology theory of group extensions". 《Duke Mathematical Journal》 (영어) **15** (1): 271–292. doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. ISSN 0012-7094.
6. 1 2  Hochschild, Gerhard; Serre, Jean-Pierre (1953). "Cohomology of group extensions". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **74** (1): 110–134. doi:10.1090/S0002-9947-1953-0052438-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990851. MR 0052438.
7. ↑  Grothendieck, Alexandre (1957). "Sur quelques points d’algèbre homologique". 《東北数学雑誌》 (프랑스어) **9**: 119–221. doi:10.2748/tmj/1178244839. ISSN 0040-8735. MR 0102537. Zbl 0118.26104.