일반위상수학에서 **집합족적 정규 공간**(영어: collectionwise normal space)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

정의
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위상 공간 X의 부분 집합들의 집합족 {\displaystyle \{S\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 **이산 집합족**(영어: discrete family)이라고 한다.

* 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle \{i\in I\colon N\cap S\_{i}\neq \varnothing \}}이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 N\ni x이 존재한다.
* {\displaystyle \{\operatorname {cl} S\_{i}\}\_{i\in I}}는 서로소 집합족이며, 임의의 {\displaystyle J\subseteq I}에 대하여 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{j\in J}\operatorname {cl} S\_{j}}는 닫힌집합이다.

위상 공간 X의 부분 집합들의 집합족 {\displaystyle \{S\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 **분리 집합족**(영어: separated family) 또는 **거의 이산 집합족**(영어: almost discrete family)이라고 한다.

* 임의의 i\in I에 대하여, {\displaystyle \textstyle S\_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup \_{j\in I\setminus \{i\}}S\_{j}=\varnothing }이다.
* {\displaystyle \{S\_{i}\}\_{i\in I}}는 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i\in I}S\_{i}}의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **집합족적 정규 공간**이라고 한다.

* 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다.
* 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 이산 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 이산 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다.

증명:

만약 \{A\_{i}\}\_{i\in I}가 이산 집합족이라면, {\displaystyle \{\operatorname {cl} A\_{i}\}\_{i\in I}} 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, X는 자명하게 정규 공간이다. 또한, {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i\in I}}는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,

{\displaystyle \bigcup \_{i\in I}F\_{i}\subseteq V\subseteq \operatorname {cl} V\subseteq \bigcup \_{i\in I}U\_{i}}
인 열린집합 {\displaystyle V\subseteq X}가 존재한다. 그렇다면,

\{U\_i\cap V\}\_{i\in I}
는 열린집합들로 이루어진 집합족이며,

{\displaystyle \forall i\in I\colon F\_{i}\subseteq U\_{i}\cap V}
이다. 따라서 \{U\_i\cap V\}\_{i\in I}가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle N\cap U\_{i}\neq \varnothing }인 i\in I가 하나 이하인 근방 N\ni x를 찾아야 한다. 만약 {\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} V}라면,

{\displaystyle N=X\setminus \operatorname {cl} V}
를 취한다. 만약 {\displaystyle x\in \operatorname {cl} V}라면, N을

{\displaystyle x\in U\_{i}}
인 유일한 U\_{i}로 잡을 수 있다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 **완비 집합족적 정규 공간**(영어: completely collectionwise normal space) 또는 **유전 집합족적 정규 공간**(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다.

* X의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
* 임의의 분리 집합족 {\displaystyle \{S\_{i}\}\_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}에 대하여, {\displaystyle \forall i\in I\colon S\_{i}\subseteq U\_{i}}인 열린집합들의 서로소 집합족 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}이 존재한다.

성질
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다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 거리화 가능 공간 | → | 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) | → | 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) | → | 정규 하우스도르프 공간 (T4) |
|  | ↘ |  |  | ↑ |  | ↑ |
|  |  | 단조 정규 하우스도르프 공간 | → | 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 | → | 집합족적 정규 하우스도르프 공간 |

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:182, Theorem 10

* 거리화 가능 공간이다.
* 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

예
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순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 \omega \_{1}은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.:184, Example G

참고 문헌
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1. 1 2  Bing, R. H. (1951). "Metrization of topological spaces". 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) **3**: 175–186. doi:10.4153/CJM-1951-022-3. ISSN 0008-414X. MR 0043449. Zbl 0042.41301.

* Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) **6** 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.