선형대수학 및 함수해석학에서, **균형 집합**(均衡集合, 영어: balanced set) 또는 **원형 집합**(圓形集合, 영어: circular set) 또는 **원판**(영어: disk 디스크[\*])은 스스로의 임의의 "축소판"을 포함하는, 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의
--

{\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. {\displaystyle K}-벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq V}가 다음 조건을 만족시키면, **균형 집합**이라고 한다.

* 임의의 스칼라 {\displaystyle a\in K}에 대하여, 만약 {\displaystyle |a|\leq 1}이라면 {\displaystyle aB\subseteq B}

여기서

{\displaystyle aB=\{ab\colon b\in B\}}
이다.

{\displaystyle K}-벡터 공간 {\displaystyle V}의 임의의 부분 집합 {\displaystyle S\subseteq V}가 주어졌을 때, {\displaystyle S}를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 **균형 폐포**(영어: balanced hull)라고 한다. 이는 {\displaystyle S}를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, {\displaystyle S}의 균형 폐포는

{\displaystyle \bigcup \_{a\in K}^{|a|\leq 1}aS}
이다.

성질
--

균형 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

* 균형 집합들의 합집합과 교집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.
* 균형 집합의 내부와 {\displaystyle \{0\}}의 합집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 선형 변환에 대한 상·원상은 균형 집합이다.

어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다.

{\displaystyle K}-위상 벡터 공간에서, 0의 모든 근방은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 볼록 근방은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 {\displaystyle K}-위상 벡터 공간의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 국소 기저를 가지며, 임의의 {\displaystyle K}-국소 볼록 공간의 영벡터는 균형 볼록 집합들로 구성된 국소 기저를 갖는다.

증명:

{\displaystyle K}-위상 벡터 공간 {\displaystyle V} 및 근방 {\displaystyle N\ni 0}이 주어졌다고 하자. 위상 벡터 공간의 정의에 따라, 스칼라배

{\displaystyle K\times V\to V}
{\displaystyle (a,v)\mapsto av}
는 연속 함수이며, 특히 {\displaystyle (0,0)}에서 연속이다. 따라서

{\displaystyle \forall a\in K\colon |a|<\delta \implies aU\subseteq N}
인 {\displaystyle \delta >0} 및 근방 {\displaystyle U\ni 0}이 존재한다. 이 경우,

{\displaystyle N'=\bigcup \_{a\in K}^{|a|<\delta }aU\subseteq N}
은 0의 근방이며, 균형 집합이다.

이제, {\displaystyle N}이 볼록 집합이라고 추가로 가정하자. 임의의 {\displaystyle a\in K}, {\displaystyle |a|=1}에 대하여, {\displaystyle N'}이 균형 집합이므로

{\displaystyle N'=aN'\subseteq aN}
이다. 따라서

{\displaystyle N''=\bigcap \_{a\in K}^{|a|=1}aN\subseteq N}
은 0의 근방이다. {\displaystyle N''}은 볼록 집합 {\displaystyle aN}들의 교집합이므로 볼록 집합이다. 이제 {\displaystyle N''}의 균형성을 보이는 일만 남았다. 사실, 임의의 {\displaystyle b\in K}, {\displaystyle |b|\leq 1}에 대하여,

{\displaystyle bN''=\bigcap \_{a\in K}^{|a|=1}baN=\bigcap \_{a\in K}^{|a|=1}|b|aN\subseteq \bigcap \_{a\in K}^{|a|=1}aN=N''}
이다 ({\displaystyle \subseteq }은 {\displaystyle aN}이 0을 원소로 하는 볼록 집합이므로, {\displaystyle |b|aN\subseteq aN}이기 때문이다).

예
-

노름 공간(또는 반노름 공간) {\displaystyle (V,\nu )}에서, 0을 중심으로 하는 열린 공·닫힌 공

{\displaystyle \{v\in V\colon \nu (v)<c\}}
{\displaystyle \{v\in V\colon \nu (v)\leq c\}}
은 균형 집합이다 ({\displaystyle c>0}).

실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.

{\displaystyle K}-벡터 공간 {\displaystyle V\_{i\in I}} ({\displaystyle i\in I})들의 균형 집합 {\displaystyle B\_{i}\subseteq V\_{i}}들의 곱집합 {\displaystyle \prod \_{i\in I}B\_{i}}은 벡터 공간들의 직접곱 {\displaystyle \prod \_{i\in I}V\_{i}}에서 균형 집합이다.

복소수체 {\displaystyle \mathbb {C} }를 1차원 복소수 벡터 공간으로 생각하자. 그 균형 집합은 정확히 다음과 같다.

* {\displaystyle \mathbb {C} } 자체
* 공집합
* 0을 중심으로 하는 열린 원판 {\displaystyle \{a\in \mathbb {C} \colon |a|<r\}}
* 0을 중심으로 하는 닫힌 원판 {\displaystyle \{a\in \mathbb {C} \colon |a|\leq r\}}

이와 달리, {\displaystyle \mathbb {C} }를 2차원 실수 벡터 공간(즉, 유클리드 공간 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}})으로 여기면 더 많은 균형 집합이 존재하게 된다. 위의 집합들뿐 아니라, 원점을 중심으로 하는 모든 열린/닫힌 선분도 균형 집합을 이룬다. 따라서, {\displaystyle \mathbb {C} }와 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}의 벡터 공간 구조는 전적으로 다르다.:6, 1.4, Example

참고 문헌
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1. ↑  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.

* Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics **53**. Cambridge University Press. 4쪽.
* H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM **3**. Springer-Verlag. 11쪽. ISBN 0-387-05380-8.

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