**점접촉 분광분석법**(point-contact spectroscopy)은 고체 내에서 일어나는 전도 전자(conduction electron)과 준입자(quasiparticle)의 상호작용을 연구할 수 있는 실험 방법이다. 실험적 개념은 1965년 Sharvin이 도입하였다. 그는 금속 내에서 전도 전자들이 1차원적으로 흐를 수 있다는 것을 제시했다. 1972년 Tsoi가 이를 실험을 통해 검증하였다.

1972년 Yanson은 두 금속 사이의 얇은 절연막 속에 매우 가는 금속 접촉이 생기면 그 금속 접촉의 전류-전압 특징이 보통 금속들이 가지는 선형이 아니라 비선형이라는 사실을 알았다. 이를 바탕으로 그는 점접촉(point contact)이 금속 내에서 전도 전자들의 에너지에 따른 산란(scattering) 현상을 연구하는 데 사용할 수 있다고 제안하였다.

점 접촉
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일반적으로 점 접촉은 전자의 평균 자유 흐름 길이(electron mean free path, *l*)에 대한 점의 크기(*d*)에 따라 세 가지로 나눌 수 있다. *d* 가 *l* 보다 매우 작다면 전도 전자들은 외부의 방해 없이 접촉 내에서 1차원적인 운동을 하고 그것을 ballistic regime라 부른다. 반대로 *d* 가 *l* 보다 매우 크다면 전도 전자들은 비탄성 산란(inelastic scattering)을 하면서 나아가고 그러한 상태를 thermal regime이라 명한다. 그리고 *d* 와 *l* 의 크기가 비슷한 경우는 diffusive regime이라고 하는데 이 경우에는 전도 전자들이 접촉 내에서 준입자들과 탄성 산란을 하면서 나아간다.

일반적으로 익숙한 것은 thermal regime 상태의 점 접촉이고 특수하게 만들어진 금속 접촉이 아니라면 대부분 이 상태라고 보면 된다. 이 상태에서 점 접촉의 전기 저항은 1904년 Maxwell이 구한

{\displaystyle R\_{M}={\frac {\rho }{d}}}
을 따른다. \rho 는 재질에 따라 결정되는 비저항이다. 이 식은 한 변의 길이를 d로 한 정육면체 모양의 금속의 전기 저항을 고등학교 때 배운 전기 저항(길이에 비례하고 단면적에 반비례)구하는 식을 사용하면 쉽게 구할 수 있다.

점 접촉시 그 면적의 크기가 전도 전자의 평균 자유 흐름 길이보다 매우 작다면 전도 전자들의 물질 내 준입자 혹은 불순물 (impurity),결정 변형 (lattice deformation) 등의 존재들에 의해 방해받지 않고 1차원적인 운동을 한다. 이러한 접촉이 일어났을 때에는 앞서 말한 저항과 다른 식으로 그 저항을 구할 수 있는데 그것을 Sharvin이 제안하여 Sharvin 전기 저항이라고 한다.

{\displaystyle R\_{Sh}={\frac {16\rho l}{3\pi d^{2}}}}
여기서 재질에 따라 변하는 것은 {\displaystyle \rho l}이다. 그것은 재질 내 전도 전자의 페르미 운동량과 관련된다.일반적으로 금속 내의 전도 전자의 평균 자유 흐름 길이는 보통 수백 {\displaystyle nm} 미만이므로 이러한 접촉은 생활 속에서 많이 일어나는 접촉은 아니다.

점 접촉으로 만들어지는 면적의 크기가 전자의 평균 자유 흐름 길이와 비슷하다고 한다면 이 때에 적용되는 저항은 위의 두 저항을 더한 것으로 구할 수 있다.

{\displaystyle R\_{We}={\frac {16\rho l}{3\pi d^{2}}}+\beta {\frac {\rho (T)}{d}}}
1966년 Wexler에 의해 제안된 이 식은 일반적인 접 접촉의 저항을 구할 때 사용된다. 첫 번째 항에서 나오는 {\displaystyle \rho l} 은 금속 내 페르미 운동량과 관련된 것으로 {\displaystyle \rho l=p\_{F}/ne^{2}} 의 식을 만족한다. 두 번째 항에서 나오는 \rho  은 온도에 따라 변하는 재질의 비저항을 의미한다.그리고\beta는 점 접촉의 기하학적 모양으로 결정되는 상수이다.

모든 점 접촉의 상황에서 PCS를 할 수 있고 각각의 의미가 있지만 PCS가 처음 제안된 목적에 가장 많이 부합되는 점 접촉의 상황은 처음에 소개한 ballistic regime이다. 그것은 ballistic regime 에서만이 전도 전자들이 걸어준 전압에 비례하는 운동에너지 변화를 가져서 energy resolved spectroscopy로서의 가능성을 가졌기 때문이다.

PCS 측정
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PCS는 점 접촉의 전류-전압 그래프에서 나타나는 비선형성을 관찰하는 것이다. 일반적인 금속의 전류-전압 그래프는 선형으로 나타나고 그 기울기의 역수는 전기 저항을 의미한다 (옴의 법칙). 점 접촉에서도 준입자와의 상호 작용이 없다면 전류-전압 그래프는 선형으로 나타난다. 이러한 상호 작용이 생기는 이유는 ballistic regime에서 전압에 의한 전도 전자의 속도 변화가 전압에 거의 비례한다. 그에 따라 전도 전자의 운동에너지를 전압으로 조절할 수 있고 준입자의 들뜬상태를 만드는 필요한 에너지를 전압으로 제어할 수 있게 된다. 그렇기 때문에 전류-전압 그래프의 비선형성이 전도 전자와 준입자의 상호 작용을 반영한다고 할 수 있다.

PCS 에서는 전류-전압 그래프의 비선형성을 보기 위하여 단순히 전류-전압 그래프를 그리기보다는 전류의 전압에 첫 번째 미분-전압{\displaystyle ({\frac {dI}{dV}})} 대 전압 그래프를 보거나 아니면 전류의 전압에 대한 두 번째 미분{\displaystyle ({\frac {d^{2}I}{d^{2}V}})} 대 전압 그래프를 본다. 단순히, 전류에 대한 전압 그래프를 그린 다음 그 그래프를 전압에 대해 미분하여 원하는 그래프를 얻는 것이 아니라 실험적으로 각 전압마다 해당하는 값을 측정하여 원하는 그래프를 완성한다.

측정은 실험적 편의를 위해 전류의 전압에 대한 미분보다는 전압의 전류에 대한 미분을 측정한다. 옴의 법칙에 의해 전압 V는 전류 I 에 대한 함수라고 할 수 있다. 그러므로 대상 물체에 전류 I를 흘려 주고 그에 비해 아주 작은 크기의 변화하는 전류 i를 흘려 주면 측정되는 전압은 전류의 [[테일러 전개로 나타낼 수 있다. 이때 i를 일정한 주기로 흘려 주게 되면 나오는 신호 역시 주기에 의존하게 된다.

{\displaystyle V(I+i\cos(\omega t))=V(I)+{\frac {dV}{dI}}i\cos(\omega t)+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}V}{dI^{2}}}i^{2}\cos ^{2}(\omega t)+\cdots }
여기서 우변의 세 번째 항의 {\displaystyle \cos ^{2}(\omega t)}를 삼각함수 공식을 사용하여 변환하면

{\displaystyle V(I+i\cos(\omega t))=V(I)+{\frac {dV}{dI}}i\cos(\omega t)+{\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}V}{dI^{2}}}i^{2}(1+\cos(2\omega t)+\cdots }
이 된다. 그러므로 나오는 신호에서 \omega 와 2\omega의 신호만 분리해 낸다면 원하는 해당 전압의 전류에 대한 첫 번째 미분과 두 번째 미분에 대한 자료를 얻을 수 있다. 그러한 일은 Lock in amplifier 로 가능하므로 PCS는 전류 공급 장치(programmable current source, function generator, Lock in amplifier 그리고 몇 가지 전자 회로들만 있으면 비교적 쉽게 실험할 수 있다.

전자-포논 상호작용
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일반 두 금속 사이에 아주 얇은(수 {\displaystyle nm}) 절연막을 끼워 넣고 그 절연막 속에서 매우 작은 면적을 가진 금속 사이의 접촉이 생긴다면, 이 경우 ballistic regime의 점 접촉이 생겼다고 할 수 있다. 이러한 점 접촉 상황에서 PCS 실험을 하여 금속 내의 전도 전자와 포논 사이 상호 작용을 알 수 있다. ballistic regime의 경우, 전기 저항은 샤빈(Sharvin)이 구한 식으로 주어지지만, 금속 내 포논과의 상호 작용을 고려하기 위해 샤빈(Sharvin) 전기 저항에 맥스웰(Maxwell)이 구한 전기 저항 식을 더한다.

{\displaystyle R\simeq {\frac {16\rho l}{3\pi d^{2}}}+{\frac {\rho }{d}}}
우변의 두 번째 항은 샤빈 전기 저항에서 전도 전자의 산란으로 인한 수정항이다. 위의 식을 {\displaystyle d/l}의 전개식으로 표현하면

{\displaystyle R\simeq R\_{Sh}(1+{\frac {3\pi d}{16l}})=R\_{sh}(1+{\frac {3\pi d}{16v\_{F}\tau }})}
이 된다. {\displaystyle v\_{F}}는 재질에 따라 결정되는 전도 전자의 페르미 속도(Fermi velocity)이고 {\displaystyle \tau =\tau (eV)=l(eV)/v\_{F}}는 전도 전자의 운동에너지와 관련된 평균 자유 흐름 시간(scattering time)이다. 여기서 \tau 는 페르미 에너지 이상의 에너지를 갖는 전도 전자들의 산란에 의해 생기는 Phonon과 관련되었다고 볼 수 있다. 이러한 {\displaystyle \tau \_{el-ph}(eV)}는 Grimvall (1981)에 의하면

{\displaystyle \tau \_{el-ph}^{-1}(eV)={\frac {(2\pi )^{2}}{h}}\int \_{0}^{eV}\alpha ^{2}(\epsilon )F(\epsilon )\,d\epsilon }
을 만족한다. 위 식에서 h는 플랑크 상수다. {\displaystyle \alpha ^{2}(\omega )}은 전자-포논 상호작용의 행렬 원소의 제곱항이고 {\displaystyle F(\omega )}는 포논 상태 밀도이다. \omega 는 에너지와 관련된 항이므로 위의 식과 같이 변형시킬 수 있다. 이 두 항의 곱 {\displaystyle \alpha ^{2}(\omega )F(\omega )} 을 electron-phonon interaction의 Eliashberg 함수라고 한다. 수정된 전기 저항 식에 존재하는 \tau 를 위의 {\displaystyle \tau \_{el-ph}^{-1}}로 바꾸고 전압 V 에 대하여 미분을 하면

{\displaystyle {\frac {dR}{dV}}(\propto {\frac {d^{2}V}{dI^{2}}})\simeq R\_{sh}{\frac {6\pi ^{3}ed}{8hv\_{F}}}\alpha ^{2}F(eV)}
이 된다. 이 식은 전압의 전류에 대한 두 번째 미분이 포논 상태 밀도 {\displaystyle F(eV)}와 관련된다는 것을 보여준다. 즉, {\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dI^{2}}}vsV}의 그래프가 전압에 따른 포논 상태 밀도 그래프와 닮은 꼴이 될 수 있다는 것이다.

초전도 접촉
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일반 금속과 초전도체 사이에 ballistic regime에 해당하는 점 접촉을 만들고 도체와 초전도체 사이에 전압을 걸어주면 도체의 전도 전자들의 에너지가 특정 값을 넘기 전까지는 안드레예프 반사 현상으로 인해 점 접촉에서 흐르는 전류가 도체-점 접촉-도체의 경우에 비해 2배 증가한다. 그리고 이 특정값을 넘어서면 전류의 흐름은 감소한다. 이 특정값은 초전도체의 gap에 해당하는 에너지이다. 그러므로 PCS로 초전도체의 gap의 크기를 알 수 있다.

전망
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점 접촉으로 만들어지는 면적이 아주 작은 경우에는 그 상황이 최근 관심이 높아지고 있는 나노와이어(nanowire)와 비슷하다. 다만, 나노와이어는 1차원적으로 길이가 전자의 평균 자유 흐름 길이보다 매우 긴 경우이기 때문에 점 접촉과 약간 다르지만 그 점만 제외한다면 둘은 동일한 물리적 상황이다. 이와 같은 경우를 보통의 점 접촉 상황과 다르게 분류하기 위해서 양자점접촉(quantum point contact, QPC)라고 다른 이름을 붙였다. 양자점접촉과 나노와이어의 가장 특징적인 현상은 **전도율 양자화**(conductance quantization)라 이름 붙여진 것으로, 전하량이 전자의 정수배로 표현되는 것처럼, 전도율(전기 저항의 역수)이 특정 전도율의 정수배로 나타난다. 이 특정 전도율은 보통 G\_{0}로 표시하고 전도율 양자(conductance quantum)라고 부른다. 그 값은 {\displaystyle {\frac {2e^{2}}{h}}=77.5\mu S(S=\Omega ^{-1})}이다. 이 값은 저항으로 표시하면 <matth> 12.5 k\Omega</math>이다. 보통 매우 낮은 온도(4K 근처)에서 관측되기 때문에 일반적으로 쉽게 볼 수 있는 현상은 아니지만 최근에 상온에서 구리나 금과 같은 금속 선들이 붙었다 떨어지는 상황에서 이러한 전도율 양자화가 나타난다는 보고가 있다.

이 밖에도 원자 하나로 이루어진 접촉, mesoscopic particle에 대한 연구, Light-induced electron focusing 등 여러 가지 분야에서 PCS에서 나온 기술들이 사용되고 있다.

참고 문헌
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1. ↑  Sharvin Yu. V. Sov. Phys. -JETP 21 655 (1965)

* Yu. G. Naidyuk, I.K.Yanson (2005). 《Point-Contact Spectroscopy》. Springer.