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* t
* e
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끈 이론에서 **오리엔티폴드**(orientifold)란 끈의 세계면의 방향 반전 연산자를 게이지하여 없앤 경우를 일컫는다.

정의
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ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면의 {\mathcal N}=(1,1) 2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.

* \Omega : 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
* {\displaystyle (-)^{F\_{L}}}: 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 −1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
* {\displaystyle (-)^{F\_{R}}}: 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 −1로 작용한다.

이들은

{\displaystyle \Omega ^{2}=((-)^{F\_{L}})^{2}=((-)^{F\_{R}})^{2}=1}
{\displaystyle \Omega (-)^{F\_{L}}=(-)^{F\_{R}}\Omega }
를 따르며, 크기 8의 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)}을 이룬다.:§2.2

| 장 | \Omega  | {\displaystyle (-)^{F\_{\text{L}}}} 또는 {\displaystyle (-)^{F\_{\text{R}}}} |
| --- | --- | --- |
| g\_{\mu\nu} | + | + |
| B\_{{\mu \nu }} | − | + |
| \Phi | + | + |
| C\_{0} | − | − |
| C\_{2} | + | − |
| C\_{4} | − | − |
| C\_{6} | + | − |
| {\displaystyle C\_{8}} | − | − |

보다 일반적으로, 시공간 M의 방향을 보존하는 대합 {\displaystyle I\colon M\to M}에 대하여, {\displaystyle I\Omega } 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

ⅡA의 경우, \Omega 는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 {\displaystyle I\colon M\to M}와 합성하였을 때 {\displaystyle I\Omega } 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

끈이 움직이는 시공간 M이 어떤 (유한) 대칭군 G를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군

{\displaystyle G\times \operatorname {Dih} (4)}
의 임의의 부분군

{\displaystyle H\leq G\times \operatorname {Dih} (4)}
을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약 {\displaystyle H\leq G\times \{1\}}이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드 {\displaystyle M/H} 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 {\displaystyle H\not \leq G\times \{1\}}이라면, 이를 **오리엔티폴드**라고 한다.

### 오리엔티폴드 평면

흔히 사용되는 경우는 {\displaystyle H=\{(1,1),(g,\Omega )\}}이며 {\displaystyle g^{2}=1}인 경우이다. 이 경우, g의 고정점의 집합을 **오리엔티폴드 평면**이라고 한다. 차원에 따라, p+1차원의 오리엔티폴드 평면을 Op 평면으로 부른다.

O-평면은 D-막과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 장력을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어, G가 자명한 (G=1) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.

보다 일반적으로,

{\displaystyle \operatorname {Dih} (4)=\{1,(-)^{F\_{L}+F\_{R}},\Omega ,\Omega (-)^{F\_{L}+F\_{R}},(-)^{F\_{L}},(-)^{F\_{R}},\Omega (-)^{F\_{L}},\Omega (-)^{F\_{R}}\}}
에서, 총 페르미온 수 {\displaystyle (-)^{F\_{L}+F\_{R}}}를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.:319, §10.6

이를 무시하면 (즉, 몫군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (4)\twoheadrightarrow \operatorname {Cyc} (2)^{3}}을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다.

* **(ⅰ)종 오리엔티폴드**(영어: type (ⅰ) orientifold): \Omega
* **(ⅱ)종 오리엔티폴드**(영어: type (ⅱ) orientifold): {\displaystyle (-)^{F\_{L}}} (또는 {\displaystyle (-)^{F\_{R}}})
* **(ⅲ)종 오리엔티폴드**(영어: type (ⅲ) orientifold): {\displaystyle \Omega (-)^{F\_{L}}} (또는 {\displaystyle \Omega (-)^{F\_{R}}})

이 경우, 사용되는 원소 X는 페르미온에 대하여 {\displaystyle X^{2}=+1}이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, O*p*-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.:(2.1), §2.1:317, Table 10.3

{\displaystyle I\_{9-p}\Omega \cdot {\begin{cases}1&p\equiv 0,1{\pmod {4}}\\(-)^{F\_{L}}&p\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}
물론, ⅡA에서 *p*는 짝수이며, ⅡB에서 *p*는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소 (-)^{F}를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면(영어: anti-orientifold plane)에 해당한다.:§2 위 표에서 물론 {\displaystyle (-)^{F\_{L}}}을 사용하는지, {\displaystyle (-)^{F\_{R}}}를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 D-막으로, 어느 것을 반(反) D-막으로 간주하는지에 대응한다.

### 기타 오리엔티폴드 평면

보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 꼬임 부분군에 해당하는 캘브-라몽 장 또는 ({\displaystyle p\leq 6}일 때) 라몽-라몽 장 장세기를 추가할 수 있다.

| 이름 | 캘브-라몽 장세기 | 라몽-라몽 장세기 | 장력 | 라몽-라몽 전하 | N개 반(半)D-막의 게이지 군 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| O*p*− | 0 | 0 | {\displaystyle -2^{p-4}} | {\displaystyle -2^{p-4}} | \operatorname {SO}(N) |
| O*p*+ | ≠0 | 0 | {\displaystyle 2^{p-4}} | {\displaystyle 2^{p-4}} | {\displaystyle \operatorname {USp} (N)} |
| Õ*p*− | 0 | ≠0 | {\displaystyle 1-2^{p-4}} | {\displaystyle 1-2^{p-4}} | {\displaystyle \operatorname {SO} (N+1)} |
| Õ*p*+ | ≠0 | ≠0 | {\displaystyle 2^{p-4}} | {\displaystyle 2^{p-4}} | {\displaystyle \operatorname {USp} (N)} |

물론, 위 경우 모두에 대하여 (-)^{F}를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다.

위 표에서, Õ*p*−-평면은 O*p*−평면과 ½개의 D*p*-막이 결합한 상태로 여길 수 있다.

성질
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오리엔티폴드 평면은 D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 다음과 같다.

| O-평면 | O*p* 전하 / D*p* 전하 |
| --- | --- |
| O9 | −32 |
| O8 | −16 |
| O7 | −8 |
| O6 | −4 |
| O5 | −2 |
| O4 | −1 |
| O3 | −½ |
| O2 | −¼ |
| O1 | −⅛ |

이는 T-이중성으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 −32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 \mathbb {T} ^{n}에 축소화하여 T-이중성을 가하면, 2^{n}개의 O{\displaystyle (9-n)}-평면이 32개의 D{\displaystyle (9-n)}-막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. (2^{n}은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다.

위 표에서, "k개의 D-막"이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉, k는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(*k*)를 발생시킨다.)

예
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Ⅰ종 끈 이론을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서

{\displaystyle H=\{(1,\Omega )\}}
에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군에 해당한다.

역사
--

1989년에 잔프란코 프라디시(이탈리아어: Gianfranco Pradisi)와 아우구스토 사뇨티(이탈리아어: Augusto Sagnotti), 다이진(중국어: 戴瑾, 병음: Dài Jǐn), 로버트 리(영어: Robert G. Leigh), 조지프 폴친스키가 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’(영어: orientifold)란 영어: orientation 오리엔테이션[\*](방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Dabholkar, Atish (1998). "Lectures on orientifolds and duality" (영어). arXiv:hep-th/9804208. Bibcode:1998hepc.conf..128D.
2. ↑  Angelantonj, C.; Sagnotti, A. (2002). "Open strings". 《Physics Reports》 **371**: 1. arXiv:hep-th/0204089. Bibcode:2002PhR...371....1A. doi:10.1016/S0370-1573(02)00273-9. ISSN 0370-1573.  오류 정정: Angelantonj, C.; A. Sagnotti (2003). "Erratum to ‘Open strings’: [Phys. Rep. 371 (2002) 1–150]". 《Physics Reports》 **376** (6): 407. Bibcode:2003PhR...376..407A. doi:10.1016/S0370-1573(03)00006-1. ISSN 0370-1573.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. ↑  Brunner, Ilka; Kentaro Hori (2004년 8월 17일). "Notes on orientifolds of rational conformal field theories". 《Journal of High Energy Physics》 **2004** (7): 23. arXiv:hep-th/0208141. doi:10.1088/1126-6708/2004/07/023. ISSN 1029-8479.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. 1 2  Blumenhagen, Ralph; Lüst, Dieter; Theisen, Stefan. 《Basic concepts of string theory》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-29497-6. ISBN 978-3-642-29496-9.
5. ↑  Witten, Edward. "*D*-branes and K-theory" (영어). arXiv:hep-th/9810188.
6. 1 2  Bergman, Oren; Gimon, Eric; Sugimoto, Shigeki (2001). "Orientifolds, RR Torsion, and K-theory". 《Journal of High Energy Physics》 (영어) **0105**: 047. arXiv:hep-th/0103183. doi:10.1088/1126-6708/2001/05/047.
7. ↑  Kachru, Shamit; Kumar, Jason; Silverstein, Eva (2000). "Orientifolds, RG flows, and closed string tachyons". 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) **17** (5): 1139-1150. arXiv:hep-th/9907038. doi:10.1088/0264-9381/17/5/323.
8. ↑  Hanany, Amihay; Kol, Barak (2000). "On orientifolds, discrete torsion, branes and M theory" (영어) **0006**: 013. arXiv:hep-th/0003025. doi:10.1088/1126-6708/2000/06/013.
9. ↑  Distler, Jacques; Freed, Daniel S.; Moore, Gregory W. (2010). "Orientifold Précis". arXiv:0906.0795.
10. ↑  Mukhi, Sunil (1997). "Orientifolds: the unique personality of each spacetime dimension" (영어). arXiv:hep-th/9710004.
11. ↑  Pradisi, Gianfranco; Sagnotti, Augusto (1989년 1월 5일). "Open string orbifolds". 《Physics Letters B》 **216** (1–2): 59–67. doi:10.1016/0370-2693(89)91369-5.
12. ↑  Dai, Jin; Leigh, Robert G.; Polchinski, Joseph (1989년 10월 20일). "New connections between string theories". 《Modern Physics Letters A》 (영어) **4** (21): 2073–2083. doi:10.1142/S0217732389002331.