수학에서 **순서쌍**(順序雙, 영어: ordered pair)이란 두 개의 수학적 대상을 순서를 정하여 짝지어 나타낸 쌍이다. 두 대상 *a*, *b*로부터 순서를 생각하여 만든 쌍을 흔히 (*a*, *b*)로 적는다. 이는 *a*와 *b*가 같지 않는 한, (*b*, *a*)와 다른 순서쌍이다.

순서쌍은 **2-튜플**, 또는 **두짝**(영어: 2-tuple)이라고도 불린다. 순서쌍 (*a*, *b*)에서의 *a*, *b*를 각각 **첫 번째, 두 번째 성분**(영어: first (second) entry)이라고 한다. 때로는 **첫 번째, 두 번째 좌표**(영어: first (second) coordinate)라고도 한다.

두 순서쌍이 같을 필요충분조건은, 두 순서쌍의 첫째와 둘째 성분이 각각 같은 것이다. 집합론에서는 이 성질을 구현하기 위해 (*a*, *b*) := {{*a*}, {*a*, *b*}}와 같은 정의를 자주 사용한다.

순서쌍의 성분은 스칼라이거나(2 차원 벡터), 다른 순서쌍일 수 있다. 이로써, 순서쌍을 이용해 순서있는 n-튜플을 귀납적으로 정의하는 것이 가능하다. 예를 들어, 순서쌍 (*a*, *b*, *c*)는 (*a*, (*b*, *c*))로 정의할 수 있다.

곱집합, 함수를 비롯한 이항관계와 같은 수학 개념은 순서쌍을 이용하여 정의되었다.

성질
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순서쌍의 가장 기본적인 성질은, 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 것이다. 즉,

{\displaystyle (a,b)=(c,d)\ \iff \ a=c\wedge b=d}
이러한 성질을 순서쌍을 정의내리는 데에 사용할 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 {\displaystyle A}, 두 번째 성분을 집합 {\displaystyle B}에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라고 하고 {\displaystyle A\times B}로 표기한다. 집합 {\displaystyle A}와 {\displaystyle B} 사이의 관계는 {\displaystyle A\times B}의 부분집합이다.

순서쌍의 통상적인 표기법은 {\displaystyle (a,b)} 꼴이지만, 개구간 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 {\displaystyle \langle a,b\rangle }로 나타내기도 한다.

집합론적 정의
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순서쌍의 위 성질은 순서쌍의 본질을 보여주고 있다. 이 본질적인 성질을 공리로 두어 순서쌍을 무정의 용어로 취급할 수 있다. 이는 니콜라 부르바키 단체의 1954년 출간된 《집합론》에서 사용된 처리법이다. 1970년 출간된 2 판에서 쿠라토프스키의 정의가 추가되었다.

수학기초론의 일원인 공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로서 정의한다. 순서쌍의 집합론적 정의의 예로는 다음의 것들이 있다.

### 위너의 정의

순서쌍의 최초 집합론적 정의는 1914년 노버트 위너에 의해 제안되었다.

{\displaystyle (a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset \},\,\{\{b\}\}\}}
그에 의하면 이러한 정의는 《수학 원리》의 모든 유형을 집합으로 정의될 수 있게 한다. (《수학 원리》의 관계를 비롯한 유형들은 본래 모두 정의내리지 않는 원시 개념이다.)

그는 정의와 유형 이론이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), {\displaystyle \{b\}}가 아닌 {\displaystyle \{\{b\}\}}를 사용하였다, 이렇게 하면 {\displaystyle \{\{b\}\}}는 {\displaystyle \{\{a\},\,\emptyset \}}와 같은 유형이 된다.

### 하우스도르프의 정의

위너와 비슷한 시기에(1914), 펠릭스 하우스도르프는 다른 정의를 제안하였다.

{\displaystyle (a,\,b):=\{\{a,\,1\},\,\{b,\,2\}\}}
여기서 1, 2(1 ≠ 2)는 *a*, *b*와 다른 대상이다.

### 쿠라토프스키의 정의

오늘날에 쓰이는 정의는 카지미에시 쿠라토프스키가 1912년에 제시하였다.

{\displaystyle (a,\ b)\_{K}=\{\{a\},\ \{a,\ b\}\}}
이 정의는 두 성분이 같은 경우에 쓰여도 무방하다.

{\displaystyle (x,\ x)\_{K}=\{\{x\},\ \{x,\ x\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}
임의의 순서쌍 {\displaystyle p}의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 동치성에 의해 추출할 수 있다.

* {\displaystyle a}는 순서쌍 {\displaystyle p}의 첫 번째 성분이다.
* {\displaystyle \forall Y\in p:a\in Y}
* {\displaystyle a=\bigcup \bigcap p}

비슷한 결론이 두 번째 성분에 대해서도 존재한다.

* {\displaystyle b}는 순서쌍 {\displaystyle p}의 두 번째 성분이다.
* {\displaystyle (\exists Y\in p:b\in Y)\wedge (\forall Y\_{1},Y\_{2}\in p:(Y\_{1}\neq Y\_{2})\rightarrow (b\notin Y\_{1}\vee b\notin Y\_{2}))}
* {\displaystyle b=\bigcup \{x\in \bigcup p|\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow x\notin \bigcup p\}}

#### 변형 정의

위 정의는 순서쌍의 기본 성질을 반영하기에 충분하다, 즉 {\displaystyle (a,\,b)=(x,\,y)\leftrightarrow (a=x)\wedge (b=y)}. 순서성을 반영하는 데에도 충분하다, 즉 {\displaystyle a\neq b\rightarrow (a,\,b)\neq (b,\,a)}. 아래의 비슷한 정의들도 순서쌍을 구성하기에 충분하다.

* {\displaystyle (a,\,b)\_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\,\{a,\,b\}\}}
* {\displaystyle (a,\,b)\_{\text{short}}:=\{a,\,\{a,\,b\}\}}
* {\displaystyle (a,\,b)\_{01}:=\{\{0,\,a\},\,\{1,\,b\}\}}

reverse 정의는 쿠라토프스키의 정의의 자명한 변형이며, 따로 논할 가치가 없다. short 정의는 괄호를 두 쌍만 사용한다는 점에서 이름을 땄다. short 정의는 몇가지 결점을 가진다. 첫째, 기본 성질을 만족함을 증명하기 위해 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 사용해야 한다. 둘째, 자연수의 폰 노이만 정의를 채용했을 때, {\displaystyle 2=\{0,\,1\}=\{0,\,\{0\}\}=(0,\,0)\_{\text{short}}}와 같은 부자연스러운 결과를 낳는다. 셋째, short 순서쌍의 원소는 항상 유형이 다르다. 그러나 short 정의에서의 순서쌍은 모두 2를 기수로 한다는 점, 또 미자르 시스템의 기초인 타르스키-그로텐디크 집합론에서 사용된다는 점에 주의할 필요 있다.

#### 기본 성질 성립 증명

다음은 {\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\wedge b=d} 성질의 증명이다.

* 쿠라토프스키
	1. 먼저, {\displaystyle a=c\wedge b=d}이면,
	{\displaystyle (a,b)\_{K}=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)\_{K}}
	2. 또한
	{\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)\_{K}=(c,d)\_{K}\\\Rightarrow &\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\\\Rightarrow &(\{a\}=\{c\})\vee (\{a\}=\{c,d\})\\\Rightarrow &(a=c)\vee (c=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &a=c\\\end{array}}}
	3. 그리고
	{\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)\_{K}=(c,d)\_{K}\\\Rightarrow &\bigcup (a,b)\_{K}=\bigcup (c,d)\_{K}\\\Rightarrow &\{a,b\}=\{a,d\}\\\Rightarrow &(b=a\vee b=d)\wedge (d=a\vee d=b)\\\Rightarrow &(b=d)\vee (b=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &b=d\\\end{array}}}
* reverse 정의도 위와 비슷하게 기본 성질을 만족한다는 것을 보일 수 있다.
* short 정의. 아래에서 {\displaystyle (\*)} 표기를 한 과정은 정칙성 공리를 사용하였다.
	1. {\displaystyle a=c\wedge b=d\Rightarrow \{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}\Rightarrow (a,b)\_{\text{short}}=(c,d)\_{\text{short}}}
	2. 순서쌍의 같음 ⇒ *a* = *c*
	{\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)\_{\text{short}}=(c,d)\_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}&\\\Rightarrow &(a=c\ \vee \ a=\{c,d\})\ \wedge \ (c=a\ \vee \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (a=\{c,d\}\ \wedge \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (c\in a\ \wedge \ a\in c)&\\\Rightarrow &a=c&(\*)\\\end{array}}}
	3. 순서쌍의 같음 ⇒ *b* = *d*
	{\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)\_{\text{short}}=(c,d)\_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{a,\{a,d\}\}&\\\Rightarrow &a\cup \{a,b\}=a\cup \{a,d\}&\\\Rightarrow &(b\in a\ \vee \ b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d\in a\ \vee \ d=a\ \vee \ d=b)&\\\Rightarrow &(b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d=a\ \vee \ d=b)&(\*)\\\Rightarrow &(b=d)\ \vee \ (b=a\ \wedge \ d=a)&\\\Rightarrow &b=d&\\\end{array}}}

### 콰인-로서의 정의

1953년 로서는 콰인의 정의를 확장하였다. 로서-콰인 정의는 자연수의 선결적 정의를 필요로 한다. {\displaystyle \mathbb {N} }을 자연수의 집합으로 두고, {\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }을 {\displaystyle \mathbb {N} }에 속하지 않는 {\displaystyle x}의 원소들의 집합이라고 하자. 먼저 함수 {\displaystyle \varphi }를 정의한다.

{\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}}
이 변환은 {\displaystyle x} 안의 모든 자연수를 1 증가시킨다. 또한 {\displaystyle \varphi (x)}는 0을 포함하지 않는다. 그러므로 모든 집합 {\displaystyle x}, {\displaystyle y}에 대해 다음이 성립한다.

{\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y)}
이제 순서쌍 {\displaystyle (A,B)}를 정의한다.

{\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{0\cup \varphi (b):b\in B\}}
이렇게 정의된 순서쌍에서도 첫째, 둘째 성분을 추출할 수 있다. 첫째 성분 {\displaystyle A}는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들에 {\displaystyle \varphi } 변환을 벗겨서 이루어진 집합이다. 둘째 성분 {\displaystyle B}는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하는 모든 집합들에 적당한 변환을 가하여 이루어진 집합이다. 아래는 이의 공식화이다.

{\displaystyle A=\{\varphi ^{-1}(\alpha ):\alpha \in (A,B),0\notin \alpha \}}
{\displaystyle B=\{\varphi ^{-1}(\beta \setminus \{0\}):\beta \in (A,B),0\in \beta \}}
유형 이론과 그의 갈래(새기초 집합론 등)에서, 콰인-로서 순서쌍은 두 성분과 유형이 같다. 그렇기에 이 정의는 (일정 조건을 만족하는 순서쌍들로 이루어진 집합으로 정의된) 함수가 변수보다 유형이 1 만큼만 크다는 장점이 있다. 이 정의는 자연수 집합이 무한할 때만 의미가 있다. NF는 그러하지만, 유형 이론이나 NFU는 그렇지 않다. 로서는 이러한 두 성분과 유형이 같은 순서쌍의 존재성으로부터 무한 공리를 유추할 수 있음을 증명하였다.

### 모스의 정의

모스-켈리 집합론에서는 고유 모임을 자유로이 사용할 수 있다. 모스의 정의는 순서쌍의 성분이 고유 모임일 수도 있게끔한다. 이는 쿠라토프스키 정의에서 허용되지 않는다. 그는 우선 집합을 성분으로 하는 순서쌍을 쿠라토프스키의 방식으로 정의한 뒤, 순서쌍을 다음과 같이 재정의하였다.

{\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}
여기서의 곱집합은 쿠라토프스키 순서쌍의 집합이고,

{\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}:t\in x\}}
이다.

이는 고유 모임을 성분으로 하는 순서쌍을 허용케 한다. 이는 위의 콰인-로서 정의도 마찬가지이다. 이와 비슷하게 세짝(영어: 3-tuple, triple)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}
한원소 집합으로 이루어진 집합 {\displaystyle s(x)}의 사용하여 정의한 튜플은 일종의 유일성을 부여받는다. 즉, 임의의 *n*-튜플 *a*와 *m*-튜플 *b*에 대해, 만약 *a* = *b* 이면, *n* = *m*이다. 이는 순서쌍을 이용해 재귀적으로 정의한 튜플에게는 없는 성질이다, (*a*, *b*, *c*) = (*a*, (*b*, *c*))는 2-튜플이기도, 3-튜플이기도 하다.

범주론
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