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수학에서 **리만 합**(Riemann sum)은 적분의 값을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 또한 새로운 적분 연산을 정의하기 위해 사용되기도 한다. 리만 합이라는 수학 용어는 베른하르트 리만의 이름을 본따서 붙여졌다.

정의
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실수의 부분집합 *D*에서 정의되는 함수 *f*: *D* → **R**를 생각하자. 그리고 *I*=[*a*, *b*]인 닫힌구간이 *D* 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {*x*0, *x*1, *x*2, ... *x**n*}은 *a* = *x*0 < *x*1 < *x*2 ... < *x**n* = *b*이고 *I*안에 들어있는 다음의 분할(영어: partition)을 생성한다. :

*P* = {[*x*0, *x*1), [*x*1, *x*2), ... [*x**n*-1, *x**n*]}
만약 *P*가 *I*의 *n* 개의 원소들을 가지는 분할이라면, *I* 상에서 분할 *P*를 가지는 *f*의 **리만 합**은 다음과 같이 정의된다. :

S=\sum \_{{i=1}}^{{n}}f(y\_{i})(x\_{{i}}-x\_{{i-1}})
여기서 *x**i*-1 ≤ *y**i* ≤ *x**i*이며, 구간 내에서 *y**i*의 선택은 임의적이다. 모든 *i*에 대하여 *y**i* = *x**i*라면 *S*는 **오른쪽 리만 합**으로, *y**i* = *x**i*-1라면 **왼쪽 리만 합**, *y**i* = (*x**i*+*x*i-1)/2라면 **가운데 리만 합**으로 각각 불린다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 *사다리꼴 합*(영어: Trapezoidal sum)이라고 불리는 것과 같다.

우리가 다음 식을 가지고 있다고 하자. :

S=\sum \_{{i=1}}^{{n}}v\_{i}(x\_{{i}}-x\_{{i-1}})
여기서, *v**i*는 [*x**i*-1, *x**i*]에서 *f*의 최소 상한이다. 그러면 *S*는 **위쪽 리만 합**으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, *v**i*가 [*x**i*-1, *x**i*]에서 *f*의 최대 하한이라면 *S*는 **아래쪽 리만 합**이다.

주어진 분할(*x**i*-1과 *x**i* 사이에서 임의로 선택한 *y**i*)을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 *리만 적분 가능*으로 정의된다. 이 사실은 수치 적분에 사용된다.

방법들
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위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, [*a*, *b*]는 *n*개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 *Q*=(*b*-*a*)/*n*이다. 따라서 각 분할의 점들은

*a*, *a*+*Q*, *a*+2*Q*, ... *a*+(*n*−2)*Q*, *a*+(*n*−1)*Q*, *b*.
이 된다.

### 1.왼쪽 리만 합

[0,2]에서 *x*3의 왼쪽 리만 합은 4개의 부분 구간을 가진다.
왼쪽 리만 합을 계산하기 위해 분할한 각 구간의 왼쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 밑변 *Q*와 높이 *f*(*a*+*iQ*)를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 *i*=0, 1, ... *n*−1 동안 반복하여 더하면 결과 면적은

Q\left[f(a)+f(a+Q)+f(a+2Q)+\dots +f(b-Q)\right].\,
이 된다.

이 구간에서 *f*가 단조 감소인 경우 왼쪽 리만 합은 실제 값보다 크게 예측한 것이 될 것이고, 단조 증가라면 실제보다 작게 예측한 것이 될 것이다.

### 2.오른쪽 리만 합

[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 오른쪽 리만 합
여기서는 각 구간의 오른쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 *Q*와 높이 *f*(*a*+*iQ*)를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 *i*=1, 2, *n*−1 동안 반복하여 더하면 다음 결과를 얻는다. :

Q\left[f(a+Q)+f(a+2Q)+\dots +f(b)\right].\,
왼쪽 리만 합과 반대로, 오른쪽 리만 합은 단조 증가인 *f*의 리만 합을 크게 예측한 것이 되고, 단조 감소인 *f*의 리만 합을 작게 예측한 것이 된다.

  

* (주의)\*

-왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합은 함수 꼴에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있다. (증가함수와 감소함수의 경우 좌,우 리만 합의 부등호 방향이 바뀐다.)

  

### 3.가운데 리만 합

[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 가운데 리만 합
이 경우에는 각 부분 구간의 중간점에서 *f*의 값을 구한다. 따라서 첫 번째 구간은 *f*(*a* + *Q*/2)의 값을, 두 번째 구간은 *f*(*a* + 3*Q*/2)를 가진다. 이를 반복하여 마지막 구간에 다다르면 *f*(*b*-*Q*/2)이 된다. 이것을 모두 합하면,

Q\left[f(a+Q/2)+f(a+3Q/2)+\dots +f(b-Q/2)\right].
임을 알 수 있다.

이 식의 오차는

\left\vert \int \_{{a}}^{{b}}f(x)-A\_{{mid}}\right\vert \leq {\frac {M\_{2}(b-a)^{3}}{(24n^{2})}},
가 된다. 여기서 M\_{2}는 이 구간에서 f^{{\prime \prime }}(x)의 절댓값의 최댓값이다.

### 4.사다리꼴 규칙

[0,2] 구간에서 4개의 부분 구간을 가지는 *x*3의 사다리꼴 리만 합
여기서는, 각 구간의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 평균값을 이용하여 구한다. 위의 방법들과 마찬가지로, 각 사다리꼴의 넓이인 A=h(b\_{1}+b\_{2})/2 (평행한 두 변은 *b*1, *b*2, 높이가 *h*)을 더하면,

{\frac {1}{2}}Q\left[f(a)+2f(a+Q)+2f(a+2Q)+2f(a+3Q)+\dots +f(b)\right].
이 적분 근사식의 오차는

\left\vert \int \_{{a}}^{{b}}f(x)-A\_{{trap}}\right\vert \leq {\frac {M\_{2}(b-a)^{3}}{(12n^{2})}},
가 된다. 여기서 M\_{2}는 이 구간에서 f^{{\prime \prime }}(x)의 절댓값의 최댓값이다.