**애트우드 기계**(Atwood machine)는 1784년에 조지 애트우드가 등가속도 운동에서 뉴턴의 운동 법칙을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. 고전역학의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다.

이상적인 애트우드 기계는 질량 {\displaystyle m\_{1}}, {\displaystyle m\_{2}}인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 도르래에 걸어놓은 형태이다.

{\displaystyle m\_{1}}＝{\displaystyle m\_{2}}라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 역학적 평형을 이룬다.

{\displaystyle m\_{1}}≠{\displaystyle m\_{2}}라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다.

등가속도 방정식
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애트우드 기계를 간략하게 표현한 자유물체도. 가속도 벡터상에서 {\displaystyle m\_{1}}이 아래로 운동하고 {\displaystyle m\_{2}}가 위로 운동하므로, {\displaystyle m\_{1}}＞{\displaystyle m\_{2}}라는 사실을 알 수 있다.
힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다.

줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 장력({\displaystyle T}), 두 물체의 무게({\displaystyle W\_{1}}과 {\displaystyle W\_{2}}) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다.

뉴턴 제2법칙을 사용하여({\displaystyle m\_{1}}＞{\displaystyle m\_{2}}라고 기호 약속한다) 가속도({\displaystyle a})를 구하기 위한 연립 방정식을 세울 수 있다.

가속도 {\displaystyle a}는 {\displaystyle m\_{1}}에서는 아래 방향이 양의 방향, {\displaystyle m\_{2}}에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자. {\displaystyle m\_{1}}과 {\displaystyle m\_{2}}의 무게는 각각 {\displaystyle W\_{1}=m\_{1}g}와 {\displaystyle W\_{2}=m\_{2}g}로 나타난다.

m1에 작용하는 힘은

{\displaystyle \;m\_{1}g-T=m\_{1}a}
m2에 작용하는 힘은

{\displaystyle \;T-m\_{2}g=m\_{2}a}
위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다.

{\displaystyle \;m\_{1}g-m\_{2}g=m\_{1}a+m\_{2}a},
그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

{\displaystyle a={m\_{1}-m\_{2} \over m\_{1}+m\_{2}}g}

역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식 {\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}에 대입 계산함으로써 중력가속도 {\displaystyle g}를 구할 수도 있다.

라그랑주 역학에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다.

장력 방정식
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장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다.

{\displaystyle a={m\_{1}-m\_{2} \over m\_{1}+m\_{2}}g}

예컨대 이것을 {\displaystyle m\_{1}a=m\_{1}g-T}에 대입하면,

{\displaystyle T={2gm\_{1}m\_{2} \over m\_{1}+m\_{2}}}를 얻는다.

이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다.

관성과 마찰을 반영한 방정식
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{\displaystyle m\_{1}}과 {\displaystyle m\_{2}}의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경 {\displaystyle r}인 도르래의 회전관성 {\displaystyle I}를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 {\displaystyle \alpha }는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \alpha ={a \over r}}
이때 알짜 회전력 {\displaystyle \tau \_{net}}는 다음과 같다.

{\displaystyle \tau \_{net}=\left(T\_{1}-T\_{2}\right)r-\tau \_{friction}=I\alpha }
매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은 {\displaystyle a}, {\displaystyle T\_{1}}, {\displaystyle T\_{2}}를 얻는다.

가속도 {\displaystyle a}는

{\displaystyle a={{(m\_{1}-m\_{2})-{\tau \_{friction} \over rg}} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g}
줄의 {\displaystyle m\_{1}}에 가장 가까운 부분의 장력 {\displaystyle T\_{1}}은

{\displaystyle T\_{1}={{m\_{1}g(2m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau \_{friction}} \over {rg}})} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의 {\displaystyle m\_{2}}에 가장 가까운 부분의 장력 {\displaystyle T\_{2}}는

{\displaystyle T\_{2}={{m\_{2}g(2m\_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau \_{friction}} \over {rg}})} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.

가속도 {\displaystyle a}는

{\displaystyle a={{(m\_{1}-m\_{2})} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g}
줄의 {\displaystyle m\_{1}}에 가장 가까운 부분의 장력 {\displaystyle T\_{1}}은

{\displaystyle T\_{1}={{m\_{1}g(2m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의 {\displaystyle m\_{2}}에 가장 가까운 부분의 장력 {\displaystyle T\_{2}}는

{\displaystyle T\_{2}={{m\_{2}g(2m\_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m\_{1}+m\_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}