정규 분포의 누적분포함수
확률론에서 **누적분포함수**(累積分布函數, 영어: cumulative distribution function, 약자 **cdf**)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.

정의
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확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 실숫값 확률 변수 {\displaystyle X\colon \Omega \to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}의 **(우연속) 누적분포함수** {\displaystyle F\_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }는 다음과 같다.

{\displaystyle F\_{X}(x)=\operatorname {Pr} (X\in (-\infty ,x])\qquad \forall x\in \mathbb {R} }
보다 일반적으로, 확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 실숫값 확률 벡터 {\displaystyle X=(X\_{1},\dots ,X\_{n})\colon \Omega \to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}의 **(우연속) 누적분포함수** {\displaystyle F\_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }는 다음과 같다.

{\displaystyle F\_{X}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\operatorname {Pr} (X\_{1}\in (-\infty ,x\_{1}],\dots ,X\_{n}\in (-\infty ,x\_{n}])\qquad \forall (x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 **좌연속 누적분포함수**의 정의를 얻는다.

성질
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### 함수로서의 성질

임의의 함수 {\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* F는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다.
* 다음 조건들을 만족시킨다.
	+ (증가 함수) 만약 {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }이며 x\leq y라면, {\displaystyle F(x)\leq F(y)}
	+ (우연속 함수) 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, {\displaystyle F(x^{+})=F(x)}
	+ {\displaystyle F(-\infty )=0}
	+ {\displaystyle F(\infty )=1}

여기서 {\displaystyle F(x^{+})}는 우극한이며, {\displaystyle F(-\infty )}와 {\displaystyle F(\infty )}는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* F는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다.
* 다음 조건들을 만족시킨다.
	+ 만약 {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}이며 {\displaystyle x\_{i}\leq y\_{i}\forall i\in \{1,\dots ,n\}}이라면, {\displaystyle \textstyle \sum \_{t\in \{x\_{1},y\_{1}\}\times \cdots \times \{x\_{n},y\_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t\_{i}=x\_{i}\}|}F(t)\geq 0}. (이 조건과 세 번째 조건은 F가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.)
	+ (우연속 함수) 임의의 x\in {\mathbb R}^{n}에 대하여, {\displaystyle F(x^{+})=F(x)}
	+ 임의의 i\in \{1,\dots ,n\} 및 {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{i-1},x\_{i+1},\dots ,x\_{n}\in \mathbb {R} }에 대하여, {\displaystyle F(x\_{1},\dots ,x\_{i-1},-\infty ,x\_{i+1},\dots ,x\_{n})=0}
	+ {\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=1}

여기서

{\displaystyle F(x^{+})=\lim \_{y\_{1}\to x\_{1}^{+},\dots ,y\_{n}\to x\_{n}^{+}}F(y)}
{\displaystyle F(x\_{1},\dots ,x\_{i-1},-\infty ,x\_{i+1},\dots ,x\_{n})=\lim \_{x\_{i}\to -\infty }F(x)}
{\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=\lim \_{x\_{1}\to \infty ,\dots ,x\_{n}\to \infty }F(x)}
이다.

### 확률 분포와의 관계

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 X가 구간 {\displaystyle (a,b]}에 속할 확률과 특정 실수 x\in\mathbb R를 취할 확률은 누적분포함수 {\displaystyle F\_{X}}를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in (a,b])=F\_{X}(b)-F\_{X}(a)}
{\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=F\_{X}(x)-F\_{X}(x^{-})}
보다 일반적으로, 확률 벡터 {\displaystyle X=(X\_{1},\dots ,X\_{n})}가 {\displaystyle (a\_{1},b\_{1}]\times \cdots \times (a\_{n},b\_{n}]}에 속할 확률과 특정 값 {\displaystyle x=(x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}을 취할 확률은 각각 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (X\_{1}\in (a\_{1},b\_{1}],\dots ,X\_{n}\in (a\_{n},b\_{n}])=\sum \_{t\in \{a\_{1},b\_{1}\}\times \cdots \times \{a\_{n},b\_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t\_{i}=a\_{i}\}|}F\_{X}(t)}
{\displaystyle \operatorname {Pr} (X\_{1}=x\_{1},\dots ,X\_{n}=x\_{n})=\lim \_{\epsilon \to 0^{+}}\sum \_{t\in \{x\_{1}-\epsilon ,x\_{1}\}\times \cdots \times \{x\_{n}-\epsilon ,x\_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t\_{i}=x\_{i}-\epsilon \}|}F\_{X}(t)}
### 이산성·연속성·특이성과의 관계

이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수
확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X는 이산 확률 변수이다. (즉, {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in A)=1}인 가산 집합 {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}이 존재한다.)
* {\displaystyle \textstyle \sum \_{x\in \mathbb {R} }\left(F\_{X}(x)-\lim \_{y\to x^{-}}F\_{X}(y)\right)=1}

특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, {\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=0}이다.)
* {\displaystyle F\_{X}}는 연속 함수이다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )}는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, X는 확률 밀도 함수를 갖는다.)
* {\displaystyle F\_{X}}는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* X는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 {\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )}와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.)
* 르베그 거의 어디서나 {\displaystyle F\_{X}'=0}이다.

임의의 누적분포함수 F는 이산 누적분포함수 {\displaystyle F\_{\operatorname {disc} }}와 절대 연속 누적분포함수 {\displaystyle F\_{\operatorname {a.c.} }}, 특이 연속 누적분포함수 {\displaystyle F\_{\operatorname {s.c.} }}의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle F=cF\_{\operatorname {disc} }+c'F\_{\operatorname {a.c.} }+c''F\_{\operatorname {s.c.} }}
{\displaystyle c,c',c''\geq 0}
{\displaystyle c+c'+c''=1}
### 독립성과의 관계

같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 {\mathcal X}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathcal X}는 서로 독립이다.
* 임의의 서로 다른 {\displaystyle X\_{1},\dots ,X\_{n}\in {\mathcal {X}}} 및 임의의 {\displaystyle x\_{i}\in \operatorname {dom} F\_{X\_{i}}} (i=1,\dots ,n)에 대하여, {\displaystyle F\_{(X\_{1},\dots ,X\_{n})}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=F\_{X\_{1}}(x\_{1})\cdots F\_{X\_{n}}(x\_{n})}

증명:

첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수

{\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\_{1},\dots ,X\_{n}\}}
{\displaystyle X\_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]\colon x\in \mathbb {R} \}}
라고 하자. 그렇다면 {\mathcal {C}}는 π계를 이루며, {\mathcal B}({\mathbb R})는 {\mathcal {C}}를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n}=\{B\_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B\_{1},\dots ,B\_{n-1}\in {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1},\dots ,X\_{n}\in B\_{n})=\operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X\_{n}\in B\_{n})\}}
그렇다면, 가정한 조건에 따라 {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}\_{n}}이다. 또한, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n}}은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n-1}=\{B\_{n-1}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B\_{1},\dots ,B\_{n-2}\in {\mathcal {C}},B\_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\colon \operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1},\dots ,X\_{n}\in B\_{n})=\operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X\_{n}\in B\_{n})\}}
그렇다면, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}이므로 {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}\_{n-1}}이며, {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n-1}}은 λ계를 이룬다. 따라서 {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{n-1}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 {\displaystyle B\_{1},\dots ,B\_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1},\dots ,X\_{n}\in B\_{n})=\operatorname {Pr} (X\_{1}\in B\_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X\_{n}\in B\_{n})}
이라는 사실을 얻는다. 즉, {\displaystyle \{X\_{1},\dots ,X\_{n}\}}은 서로 독립이다.

참고 문헌
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* Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.