범주론에서 **수반 함자**(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 **딸림 함자**(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의
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두 범주 {\mathcal {C}}, {\mathcal D} 사이의 두 함자

F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}
G\colon {\mathcal D}\to {\mathcal C}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F와 G 사이의 **수반**(영어: adjunction) (\epsilon ,\eta )는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id}\_{{{\mathcal D}}}
\eta \colon \operatorname {id}\_{{{\mathcal C}}}\Rightarrow GF
여기서 \operatorname {id}\_{{{\mathcal C}}}\colon {\mathcal C}\to {\mathcal C} 및 \operatorname {id}\_{{{\mathcal D}}}\colon {\mathcal D}\to {\mathcal D}는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

\operatorname {id}\_{F}=\epsilon F\circ F\eta 
\operatorname {id}\_{G}=G\epsilon \circ \eta G
여기서 \operatorname {id}\_{F}\colon F\Rightarrow F 및 \operatorname {id}\_{G}\colon G\Rightarrow G는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

{\begin{matrix}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF\\&{\scriptstyle \operatorname {id}\_{F}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \epsilon F\\&&F\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\eta G}}&GFG\\&{\scriptstyle \operatorname {id}\_{G}}\searrow &\downarrow \scriptstyle G\epsilon \\&&G\end{matrix}}
이 경우, F를 G의 **왼쪽 수반 함자**(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고, G를 F의 **오른쪽 수반 함자**(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, \epsilon 은 **쌍대단위원**(雙對單位元, 영어: counit), \eta 는 **단위원**(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로

F\dashv G
또는

{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}
와 같이 쓴다.

### 사상 집합을 통한 정의

{\mathcal {C}}와 {\mathcal D}가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}
는 다음과 같이 정의할 수 있다. F와 G 사이의 **수반**은 함자

\hom \_{{{\mathcal D}}}(F(-),-)\colon {\mathcal {\mathcal C}}^{{\operatorname {op}}}\times {\mathcal D}\to \operatorname {Set}
\hom \_{{{\mathcal C}}}(-,G(-))\colon {\mathcal {\mathcal C}}^{{\operatorname {op}}}\times {\mathcal D}\to \operatorname {Set}
사이의 자연 동형

\Phi \colon \hom \_{{{\mathcal D}}}(F(-),-)\Rightarrow \hom \_{{{\mathcal C}}}(-,G(-))
이다.

성질
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### 프레이드 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

* {\mathcal D}는
	+ 완비 범주이다.
	+ 국소적으로 작은 범주이다.
* {\mathcal {C}}는 범주이다.

**프레이드 수반 함자 정리**(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon {\mathcal D}\to {\mathcal C}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:121, Theorem V.6.2

* G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
* G는 모든 작은 극한을 보존하며, **해집합 조건**을 만족시킨다.

여기서 **해집합 조건**(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 \{{\tilde X}\_{i}\}\_{{i\in I}}\subseteq {\mathcal D} 및 사상들의 집합 \{f\_{i}\colon X\to G({\tilde X}\_{i})\}\_{{i\in I}}이 존재한다.

임의의 {\tilde Y}\in {\mathcal D} 및 사상 g\colon X\to G({\tilde Y})에 대하여, g=G({\tilde g})\circ f\_{i}를 만족시키는 i\in I 및 {\tilde g}\colon {\tilde X}\_{i}\to {\tilde Y}가 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {g}{\to }}&G({\tilde {Y}})\\{\scriptstyle f\_{i}}\downarrow &&\|\\G({\tilde {X}}\_{i})&{\underset {G({\tilde {g}})}{\to }}&G({\tilde {Y}})\end{matrix}}}
만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}
이 존재한다면, 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여

I=\{0\}
{\tilde X}\_{0}=F(X)
f\colon X\to G(F(X))=G({\tilde X}\_{0})
로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

### 특수 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

* {\mathcal D}는
	+ 완비 범주이다.
	+ 국소적으로 작은 범주이다.
	+ 정멱 범주이다.
	+ 쌍대 생성 집합을 갖는다.
* {\mathcal {C}}는 국소적으로 작은 범주이다.

**특수 수반 함자 정리**(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 G\colon {\mathcal D}\to {\mathcal C}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:129, Theorem V.8.2

* G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
* G는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예
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### 자유-망각 수반

 이 부분의 본문은 자유 대상입니다.
대수 구조 다양체의 범주 {\mathcal {V}}에서, 자유 대수 함자

\langle -\rangle \colon \operatorname {Set}\to {\mathcal V}
는 망각 함자

|-|\colon {\mathcal V}\to \operatorname {Set}
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

\langle -\rangle \dashv |-|
### 곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 {\mathcal {C}}의 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여, 곱 함자

-\times X\colon {\mathcal C}\to {\mathcal C}
-\times X\colon Y\mapsto Y\times Y
는 지수 대상 함자

(-)^{X}\colon {\mathcal C}\to {\mathcal C}
(-)^{X}\colon Y\mapsto Y^{X}
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

-\times X\dashv (-)^{X}
집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 **텐서곱**이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 \otimes 이다.)

### 대각-극한 수반

범주 {\mathcal {C}} 및 범주 {\mathcal J}가 주어졌고, 모든 함자 D\colon {\mathcal J}\to {\mathcal C}의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

\varprojlim \colon {\mathcal C}^{{{\mathcal J}}}\to {\mathcal C}
는 왼쪽 수반 함자

\Delta \dashv \varprojlim 
를 가진다. 이는 {\mathcal {C}}의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

\Delta \colon {\mathcal C}\to {\mathcal C}^{{{\mathcal J}}}
\Delta \colon X\mapsto (J\mapsto X)
예를 들어, {\mathcal {C}}가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

(-)^{2}\colon {\mathcal C}^{2}\to {\mathcal C}
(-)^{2}\colon X\mapsto X\times X
\Delta \colon {\mathcal C}\to {\mathcal C}^{2}
\Delta \colon X\mapsto (X,X)
는 서로 수반 함자를 이룬다.

\Delta \dashv (-)^{2}
마찬가지로, 범주 {\mathcal {C}} 및 범주 {\mathcal J}가 주어졌고, 모든 함자 D\colon {\mathcal J}\to {\mathcal C}의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

\varinjlim \colon {\mathcal C}^{{{\mathcal J}}}\to {\mathcal C}
는 오른쪽 수반 함자

\varinjlim \dashv \Delta 
를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

\varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim 
가 된다.

참고 문헌
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1. 1 2  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.