대수적 위상수학에서 **류스테르니크-시니렐만 범주**(Люстерник-Шнирельман範疇, 영어: Lusternik–Schnirelmann category) 또는 **LS 범주**(LS-category)는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

정의
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류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

### 열린 덮개를 통한 정의

점을 가진 공간 {\displaystyle (X,\bullet \_{X})}가 주어졌으며, X가 CW 복합체와 호모토피 동치이며, {\displaystyle \bullet \_{X}\hookrightarrow X}가 쌍대올뭉치라고 하자.

{\displaystyle (X,\bullet )}의 **류스테르니크-시니렐만 범주** {\displaystyle \operatorname {cat} (X)}를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 \kappa 로 정의한다.

X를 덮는 어떤 {\displaystyle (\kappa +1)} 개의 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{i},\bullet \_{X})\_{0\leq i\leq \kappa }}가 존재해서, 모든 포함 함수 {\displaystyle U\_{i}\hookrightarrow X}가 상수 함수와 호모토피 동치이다.
만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, {\displaystyle \operatorname {cat} (X)=\infty }로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 \kappa  대신 {\displaystyle (\kappa +1)}로 정의한다.

### 화이트헤드의 정의

영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 {\mathcal {C}}가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.

**육면체 공리**(영어: cube axiom): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림

에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다.
(육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet }의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 {\displaystyle (\operatorname {Top} \backslash \bullet )^{\operatorname {op} }}는 {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet }와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 X의 n차 **부케가르니**(프랑스어: bouquet garni) 또는 **뚱뚱한 쐐기합**(영어: fat wedge) {\displaystyle T^{n}\to X^{n}}은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.

* {\displaystyle T\_{1}\simeq \bullet }이다.
* {\displaystyle T\_{n}\to X^{n}}이 주어졌을 때, {\displaystyle T\_{n+1}\to X^{n+1}}은 모형 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}/X^{n+1}}에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}T\_{n}\times \bullet &\to &X^{n}\times \bullet \\\downarrow &&\downarrow \\T\_{n}\times X&\to &T\_{n+1}\end{matrix}}}
특히, 다음이 성립한다.

{\displaystyle T\_{2}\simeq X\vee X} (스스로와의 쌍대곱)
점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

{\displaystyle T\_{n}=\bigcup \_{i=0}^{n-1}X^{i}\times \{\bullet \}\times X^{n-i-1}\subseteq X^{n}}
즉, 이는 T\_{n}은 곱공간 {\displaystyle X^{n}}에서, 적어도 한 좌표가 밑점 \bullet 이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

{\displaystyle (X,\bullet )}의 **류스테르니크-시니렐만 범주**는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 {\displaystyle f\colon X\to T\_{n}}가 존재하는 최소의 자연수 n이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&T\_{n}\\\|&&\downarrow \\X&{\underset {\operatorname {diag} }{\to }}&X^{n}\end{matrix}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {diag} \colon X\to X^{n}}은 대각 사상이다.

### 가네아의 정의

영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 {\mathcal {C}}를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상 X에 대하여, **가네아 구성**은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}F\_{0}&\hookrightarrow &G\_{0}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F\_{1}&\hookrightarrow &G\_{1}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F\_{2}&\hookrightarrow &G\_{2}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
여기서

* {\displaystyle G\_{0}\simeq \bullet }이다.
* 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, {\displaystyle F\_{n}}은 올뭉치 {\displaystyle G\_{n}\twoheadrightarrow X}의 호모토피 올이다.)
{\displaystyle {\begin{matrix}F\_{n}&\hookrightarrow &G\_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &X\end{matrix}}}
* 다음과 같은 네모들은 모형 범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}/X}에서의 호모토피 밂이다.
{\displaystyle {\begin{matrix}F\_{n}&\hookrightarrow &G\_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &G\_{n+1}\end{matrix}}}

이를 **가네아 올뭉치**(영어: Ganea fibrations)라고 한다. 이제, X의 **류스테르니크-시니렐만 범주** {\displaystyle \operatorname {cat} (X)}는

{\displaystyle \pi \_{n}\colon G\_{n}\to X}
이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) {\displaystyle X\to G\_{n}}을 가질 수 있는 최소의 자연수 n이다.

점을 가진 공간의 범주에서, G\_{0}은 경로 공간 {\displaystyle \operatorname {Path} (X)=\hom \_{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {I} ,X)}으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 {\displaystyle F\_{0}=\Omega X=\hom \_{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {S} ^{1},X)}이다. 이 경우

{\displaystyle F\_{n}=(\Omega X)^{\star n}}
으로 잡을 수 있다. (여기서 {\displaystyle \star }는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우

{\displaystyle G\_{1}=\Sigma \Omega X}
로 잡을 수 있다. 여기서 \Sigma 는 축소 현수이다.

### 정의 사이의 관계

영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 {\displaystyle \operatorname {Top} \backslash \bullet }일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

성질
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류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

### 연산에 대한 호환

다음이 성립한다. (여기서 \vee 는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)

{\displaystyle \operatorname {cat} (X\vee Y)=\max\{\operatorname {cat} (X),\operatorname {cat} (Y)\}}:14, Proposition 1.27(2), §1.4
{\displaystyle \operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)}:18, Theorem 1.37, §1.5
만약 사상 f\colon X\to Y가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, {\displaystyle \operatorname {cat} (X)\geq \operatorname {cat} (Y)}이다.:15, Lemma 1.29, §1.4

올뭉치

{\displaystyle F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B}
에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {cat} (E)\leq (\operatorname {cat} (F)+1)(\operatorname {cat} (B)+1)-1}
이다.:19, Theorem 1.41, §1.5

임의의 점을 가진 공간 {\displaystyle (Z,\bullet )}의, 크기 2의 열린 덮개

{\displaystyle X,Y\subseteq Z}
{\displaystyle \bullet \in X\cap Y}
{\displaystyle X\cup Y=Z}
가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {cat} (X\cup Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)+1}:14, Proposition 1.27(1), §1.4
### 차원과의 관계

위상 공간 X가 (k-1)-연결 공간이라고 하자. 즉,

{\displaystyle \pi \_{i}(X)=0\qquad \forall i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}}
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {cat} (X)\leq {\frac {\dim X}{k}}}
여기서 \dim X는 X의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

### 모스 이론과의 관계

연결 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위의 연속 미분 가능 함수 f\colon M\to \mathbb {R} 의 임계점의 집합

{\displaystyle \operatorname {Crit} (f)=\{x\in M\colon \mathrm {d} f=0\}}
의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.:Theorem 1.15

{\displaystyle |\operatorname {Crit} (f)|\geq \operatorname {cat} (M)+1}

**증명 개략:**

{\displaystyle \operatorname {Crit} (f)=\infty }일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 f가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

M에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, f의 기울기 흐름

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi \_{t}(x)=\mathrm {d} ^{\#}f|\_{\phi \_{t}(x)}}
을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 {\displaystyle c\in \operatorname {Crit} f}에 대하여

{\displaystyle W\_{c}=\left\{x\in M\colon \lim \_{t\to \infty }\phi \_{t}(x)=c\right\}}
를 정의하자. M이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 M의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 {\displaystyle W\_{c}\hookrightarrow M}은 모두 상수 함수 {\displaystyle W\_{c}\to \{c\}\subseteq M}와 호모토피 동치이다.

이제, 각 {\displaystyle W\_{c}}에 대하여, {\displaystyle {\tilde {W}}\_{c}\supseteq W\_{c}}이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 {\displaystyle {\tilde {W}}\_{c}}을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.:Proposition 2.5(ⅰ) 즉, {\displaystyle ({\tilde {W}}\_{c})\_{c\in \operatorname {Crit} (f)}}는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 \mathbb {S} ^{n}을 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n+1} 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.

### 코호몰로지 길이와의 관계

일반적으로, 위상 공간 X의, n개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.

{\displaystyle \alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{n}\in \operatorname {\tilde {H}} (X)}
{\displaystyle \{\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{n}\}\not \ni 0}
{\displaystyle \alpha \_{1}\smile \dotsb \smile \alpha \_{n}\neq 0}
그렇다면,

{\displaystyle \operatorname {cat} (X)\geq n}
이다.

### 유리수 류스테르니크-시니렐만 범주

유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 {\displaystyle \operatorname {cdgAlg} \_{\mathbb {Q} }}를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

{\displaystyle \operatorname {cdgAlg} \_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }
는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 {\displaystyle \{\bullet \}\hookrightarrow X}에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 {\displaystyle A\to \mathbb {Q} }의 류스테르니크-시니렐만 범주를

{\displaystyle \operatorname {cat} \_{0}(X)}
라고 표기하자. 이는 사실 X와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.:§2.3 특히, 다음이 항상 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {cat} \_{0}(X)\leq \operatorname {cat} (X)}
또한, 만약 X와 Y가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:Theorem 2.19

{\displaystyle \operatorname {cat} \_{0}(X\times Y)=\operatorname {cat} \_{0}(X)+\operatorname {cat} \_{0}(Y)}

예
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| 점을 가진 공간 | 류스테르니크-시니렐만 범주 |
| --- | --- |
| 축약 가능 공간:3, Example 1.6(1) | 0 |
| 초구:3, Example 1.6(2) \mathbb {S} ^{n}, n\geq 1 | 1 |
| 축약 불가능한 현수 \Sigma X:Example 1.6(2) | 1 |
| 원환면:4, Example 1.8(1) \mathbb {T} ^{n} | n |
| 실수 사영 공간:4, Example 1.8(2) {\displaystyle \operatorname {\mathbb {R} P} ^{n}} | n |
| 복소수 사영 공간:16, Example 1.33 {\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}} | n |
| 종수 g의 가향 콤팩트 곡면 \Sigma \_{g} | {\displaystyle \min\{g,2\}} |
| 콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 M:44, Exercise 1.20 | (\dim M)/2 |
| {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {T} ^{2}}:19, Example 1.38 | 3 |

**콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 (M,\omega )에 대하여 {\displaystyle \operatorname {cat} M=(\dim M)/2}의 증명:**:44, Exercise 1.20

심플렉틱 형식 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}의 드람 코호몰로지류

{\displaystyle [\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )}
를 생각하자. 그렇다면,

{\displaystyle 0\neq [\omega ]^{(\dim M)/2}\in \operatorname {H} ^{\dim M}(M;\mathbb {R} )}
이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 M의 코호몰로지 길이는 (\dim M)/2 이상이며,

{\displaystyle {\frac {\dim M}{2}}\leq \operatorname {cat} M}
이다. 반면, M이 단일 연결 공간이므로 {\displaystyle \operatorname {cat} M\leq (\dim M)/2}이다.

역사
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라자리 류스테르니크
라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(catégorie, категорий)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어판)가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아(영어판)가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(일본어: 岩瀬 則夫)가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  Cornea, Octav; Lupton, Gregory; Oprea, John; Tanré, Daniel (2003). 《Lusternik-Schnirelmann category》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) **103**. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/103. ISBN 978-0-8218-3404-6. MR 1990857. 2018년 6월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 6월 7일에 확인함.
2. ↑  James, I. M. (1978). "On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann". 《Topology》 (영어) **17** (4): 331–348. doi:10.1016/0040-9383(78)90002-2.
3. ↑  Ganea, Tudor (1965). "A generalization of the homology and homotopy suspension". 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (영어) **39**. doi:10.1007/BF02566956. MR 0179791.
4. ↑  Doeraene, Jean-Paul; El Haouari, Mohammed (2006년 3월). "The Ganea and Whitehead variants of the Lusternik–Schnirelmann Category". 《Canadian Mathematical Bulletin》 (영어) **49** (1): 41–54. doi:10.4153/CMB-2006-005-4. ISSN 0008-4395.
5. 1 2  Weber, Joa (2017). "Conley pairs in geometry — Lusternik–Schnirelmann theory and more" (영어). arXiv:1709.05010. Bibcode:v.
6. 1 2  Hess, Kathryn (2006). "Rational homotopy theory: a brief introduction" (영어). arXiv:math/0604626. Bibcode:2006math......4626H.
7. ↑  Lusternik, L. (1931). 〈Sur quelques méthodes topologiques dans la géométrie différentielle〉. 《Atti del IV Congresso internazionale dei matematici (Bologna, 1928)》 (PDF) (프랑스어) **4**. N. Zanichelli. 291–296쪽. JFM 57.0729.01.
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9. ↑  Iwase, Norio (1998). "Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category". 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) **30** (6): 623–634. doi:10.1112/S0024609398004548. MR 1642747.