비슷한 이름의 에르미트 항등식에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.
확률론 에르미트 다항식 H\_{n}(x)의 그래프 (n=1,\ldots ,6)
물리학 에르미트 다항식 {\displaystyle {\tilde {H}}\_{n}(x)}의 그래프 (n=1,\ldots ,6)
수학에서 **에르미트 다항식**(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

정의
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에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) **에르미트 다항식** H\_{n}(x)은 다음과 같다.

{\displaystyle H\_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1=\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)x^{n}}
물리학에서 쓰이는 **에르미트 다항식** {\displaystyle {\tilde {H}}\_{n}(x)}은 다음과 같다.

{\displaystyle {\tilde {H}}\_{n}(x)=2^{n/2}H\_{n}({\sqrt {2}}x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1}
이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.

{\displaystyle \exp(-t^{2}/2)=\sum \_{n=0}^{\infty }h\_{n}t^{n}/n!}
{\displaystyle h\_{n}={\begin{cases}(-1)^{n/2}(n/2)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}}
여기서

{\displaystyle n!!=\prod \_{k=0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }
는 이중 계승(영어: double factorial)이다.
그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle H\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h\_{n}}
이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 {\displaystyle {\mathsf {h}}}에 대하여 선형 범함수

{\displaystyle L\colon {\mathsf {h}}^{n}\to h\_{n}}
를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

{\displaystyle H\_{n}(x)=L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{n}(x)=L\left((2x+{\sqrt {2}}{\mathsf {h}})^{n}\right)}
즉, 구체적으로 L은 다음과 같다.

{\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]\mapsto \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle L=\operatorname {eval} \_{x+{\mathsf {h}}\mapsto x}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{d(x+{\mathsf {h}})^{2}}}\right)}
L의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.

{\displaystyle L^{-1}\colon \mathbb {Q} [x]\mapsto \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]}
{\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} \_{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}

성질
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### 직교성

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}(x)H\_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx={\sqrt {2\pi }}n!\delta \_{mn}}
여기서 \delta \_{{mn}}은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}의 완비기저를 이룬다. 여기서 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int \_{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}(x)g(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx}
### 에르미트 미분 방정식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 **에르미트 미분 방정식**(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}H\right)=\lambda \exp(-x^{2}/2)H}
여기서 \lambda 는 임의의 상수이다. 즉, H는 미분 연산자

{\displaystyle \exp(x^{2}/2){\frac {d}{dx}}\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}}
의 고유함수이다.

### 점화식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수

{\displaystyle L^{-1}\colon H\_{n}(x)\mapsto (x+{\mathsf {h}})^{n}}
{\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} \_{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}
를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

{\displaystyle H\_{n+1}(x)=\left(x-{\frac {d}{d(d/dx)}}\ln \exp \left((d/dx)^{2}/2\right)\right)H\_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)H\_{n}(x)=xH\_{n}(x)-nH\_{n-1}(x)}
즉

{\displaystyle H\_{n+1}(x)=xH\_{n}(x)-nH\_{n-1}(x)}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{n+1}(x)=2xH\_{n}(x)-2nH\_{n-1}(x)}
이다.

### 생성 함수

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }H\_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(xt-t^{2}/2)}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}\_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(2xt-t^{2})}
이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }h\_{n}t^{n}/n!=L(t{\mathsf {h}})=\exp(-t^{2}/2)}
로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }H\_{n}(x)t^{n}/n!=L\sum \_{n=0}^{\infty }\exp \left(t(x+{\mathsf {h}})\right)=\exp(xt)L\exp(t{\mathsf {h}})=\exp(xt-t^{2}/2)}
이다.

### 미분과 적분

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}H\_{n}(x)=nH\_{n-1}(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\tilde {H}}\_{n}(x)=2n{\tilde {H}}\_{n-1}(x)}
에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}H\_{n}(x)={\frac {d}{dx}}L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left({\frac {d}{dx}}(x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left(n(x+{\mathsf {h}})^{n-1}\right)=nH\_{n-1}(x)}

표
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확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

{\displaystyle H\_{0}(x)=1}
{\displaystyle H\_{1}(x)=x}
{\displaystyle H\_{2}(x)=x^{2}-1}
{\displaystyle H\_{3}(x)=x^{3}-3x}
{\displaystyle H\_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}
{\displaystyle H\_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}
{\displaystyle H\_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}
{\displaystyle H\_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}
{\displaystyle H\_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}
{\displaystyle H\_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}
{\displaystyle H\_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945}
물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

{\displaystyle {\tilde {H}}\_{0}(x)=1}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{1}(x)=2x}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{2}(x)=4x^{2}-2}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{3}(x)=8x^{3}-12x}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}
{\displaystyle {\tilde {H}}\_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}

역사
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에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다. 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다. 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고, 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용
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에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

참고 문헌
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1. ↑  Laplace, P. S. (1810). "Mémoire sur les intégrales définies, et leur application aux probabilités, et spécialment à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations" (PDF). 《Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France》 (프랑스어) **58**: 279–347. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 27일에 확인함.
2. ↑  Chebyshev, P. L. (1859). "Sur le développement des fonctions à une seule variable". 《Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg》 (프랑스어) **1**: 193–200.
3. ↑  Hermite, Charles (1864). "Sur un nouveau développement en série des fonctions". 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **58**: 93–100.
4. ↑  Hermite, Charles (1864). "Sur un nouveau développement en série des fonctions". 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **58**: 266–273. doi:10.1017/CBO9780511702761.022.

* Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 (영어) 2판. American Mathematical Society.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Temme, Nico (1996). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》 (영어). New York: Wiley.