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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
| * 개론
* 수학적 공식화
* 역사
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| 배경
* 고전역학
* 초기 양자론
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

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| 기본
* 상보성
* 결어긋남
* 얽힘
* 에너지 준위
* 측정(measurement)
* 비국소성(nonlocality)
* 양자수
* 상태(state)
* 중첩
* Symmetry
* 터널링
* 불확정성
* 파동 함수
	+ 붕괴

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| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

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| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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| 해석
* 베이지안
* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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| 고급 주제
* 상대론적 양자역학
* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
* EPR 역설
* 밀도 행렬
* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
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| 과학자
* 아하로노프Aharonov
* 벨
* 베테
* 블래킷
* 블로흐
* 봄
* 보어
* 보른
* 보스
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* 콤프턴
* 디랙
* 데이비슨
* 디바이
* 에렌페스트
* 아인슈타인
* 에버렛
* 포크
* 페르미
* 파인먼
* 글라우버
* 구츠윌러Gutzwiller
* 하이젠베르크
* 힐베르트
* 요르단
* 크라머르스
* 파울리
* 램
* 란다우
* 라우에
* 모즐리
* 밀리컨
* 오너스
* 플랑크
* 라비
* 라만
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거
* 시몬스Simmons
* 조머펠트
* 폰 노이만
* 바일
* 빈
* 위그너
* 제이만
* 차일링거

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| * v
* t
* e
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양자역학에서 **위그너-에카르트 정리**(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와 칼 에카트(영어: Carl Eckart)가 증명하였다. 구면 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 전체 각운동량에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다.

전개
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3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(irreducible representation)은 **0**, **½**, **1**, **1½**, …… 가 있다. 기약 표현 \mathbf k는 2k+1개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 \mathbf{1}\otimes\dotsb\otimes\mathbf{1}은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 k가 정수인 표현 \mathbf k만을 포함하고, k가 반정수인 스피너 표현 (**½**, **1½** 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 \mathbf j를 따라 변환하는 값을 j차 **구면 텐서**(spherical tensor)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 j차 **구면 텐서 연산자**(spherical tensor operator)라고 한다.

k차 구면 연산자 T^{(k)}\_q (q=-k,-k+1,\dotsc,k)를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 |j,m\rangle (즉, \mathbf L^2|j,m\rangle=j(j+1)|j,m\rangle, L\_3|j,m\rangle=m|j,m\rangle을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.

\langle j,m|T^{(k)}\_q|j',m'\rangle=T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes\langle k,q|)|j,m\rangle.
여기서 T(k,j,j')는 k와 j, j'에만 의존하는 값이고, (\langle j',m'|\otimes\langle k,q|)|j,m\rangle은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 **위그너-에카르트 정리**라고 한다.

낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리
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흔히 다루는 텐서 연산자는 k=0인 스칼라 연산자나 k=1인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히

\langle j,m|T|j',m'\rangle=T(j,j')\delta\_{jj'}\delta\_{mm'}
이다. (여기서 \delta 는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

\langle j,m|T\_q|j',m'\rangle=T(j,j')(\langle j',m'\otimes\langle1,q|)|j,m\rangle
이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

 \begin{align}
 \langle j\_1, m; 1, 0 | j\_1+1, m \rangle & = \sqrt{\frac{(j\_1-m+1)(j\_1+m+1)}{(2j\_1+1)(j\_1+1)}},\\
 \langle j\_1, m; 1, 0 | j\_1, m \rangle & = \frac{m}{\sqrt{j\_1(j\_1+1)}},\\
 \langle j\_1, m; 1, 0 | j\_1-1, m \rangle & = -\sqrt{\frac{(j\_1-m)(j\_1+m)}{j\_1(2j\_1+1)}}.
 \end{align}

(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 T\_q는 벡터로서의 성분 T\_{i} (i=x,y,z)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

T\_\pm=\frac1{\sqrt2}(\mp T\_x+iT\_y)
T\_0=T\_z.

참고 문헌
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1. ↑  Wigner, Eugene P. (1931). 《Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren》. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn.
2. ↑  Eckart, Carl (1930). "The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems". 《Reviews of Modern Physics》 **2** (3): 305–380. doi:10.1103/RevModPhys.2.305.

* Meunier, J.-L. (1987). "A simple demonstration of the Wigner-Eckart theorem". 《European Journal of Physics》 **8** (2): 114. doi:10.1088/0143-0807/8/2/007.
* Rose, M. E. (1954). "Spherical Tensors in Physics". 《Proceedings of the Physical Society Section A》 **67** (3): 239. doi:10.1088/0370-1298/67/3/307.
* Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.