대수적 위상수학에서 **합곱**(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[\*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의
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### 쌍대사슬의 합곱

위상 공간 X 및 가환환 R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 **합곱**은 다음과 같은 R-선형 변환이다.

\smile \colon C^{p}(X;R)\times C^{q}(X;R)\to C^{{p+q}}(X;R)
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 p차 특이 쌍대사슬 c\in C^{p}(X;R) 및 q차 특이 쌍대사슬 d\in C^{q}(X;R) 및 (p+q)차 특이 단체 {\displaystyle \sigma \colon \triangle ^{p+q}\to X}에 대하여,

c\smile d\colon \sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota \_{{0,1,...p}})\cdot d(\sigma \circ \iota \_{{p,p+1,...p+q}})
여기서

{\displaystyle \iota \_{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}}
(S\subset \{0,1,...p+q\})는 {\displaystyle |S|-1}차원 표준 단체를 꼭짓점들이 \{0,1,\dots ,p+q\}인 p+q차원 표준 단체의, S에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

### 코호몰로지류의 합곱

쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 \delta 와 호환된다.

\delta (c\smile d)=\delta c\smile d+(-1)^{{\deg c}}(c\smile \delta d)
따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 **합곱**

\smile \colon H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\to H^{{p+q}}(X;R)
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 H^{\bullet }(X;R)는 등급환을 이룬다.

### 텐서곱

두 위상 공간 X,Y 및 가환환 R 위의 가군 M, N이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.

{\displaystyle \otimes \_{R}\colon C^{p}(X;M)\times C^{q}(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes \_{R}N)}
{\displaystyle c\otimes \_{R}d\colon \sigma \mapsto c\left(\operatorname {proj} \_{X}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota \_{0,1,...p}\right)\otimes \_{R}d\left(\operatorname {proj} \_{Y}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota \_{p,p+1,...p+q}\right)\in M\otimes \_{R}N}
여기서

{\displaystyle \operatorname {proj} \_{X}^{X\times Y}\colon X\times Y\to X}
{\displaystyle \operatorname {proj} \_{Y}^{X\times Y}\colon X\times Y\to Y}
는 곱공간의 사영 사상이다.
이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 **텐서곱**

{\displaystyle \otimes \_{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;M\otimes \_{R}N)}
을 정의할 수 있다. 만약 {\displaystyle M=N=R}라면, {\displaystyle R\otimes \_{R}=R}이므로 이는

{\displaystyle \otimes \_{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)}
이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.

성질
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코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

\alpha \smile \beta =(-1)^{{\deg \alpha \deg \beta }}(\beta \smile \alpha )
합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김

f^{\*}\colon H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 \alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)에 대하여,

f^{\*}(\alpha \smile \beta )=f^{\*}(\alpha )\smile f^{\*}(\beta ),
즉, f^{\*}는 등급환의 준동형을 이룬다.

### 합곱과 텐서곱의 관계

위상 공간 X 및 가환환 R 위의 가군 M, N이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상

{\displaystyle \operatorname {diag} \_{X}\colon X\to X^{2}}
이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김

{\displaystyle \operatorname {diag} \_{X}^{\*}(-\otimes \_{R}-)\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X;M\otimes \_{R}N)}
이 존재한다. 만약 {\displaystyle M=N=R}라면, 이는 합곱 \smile 과 일치한다.

역사
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1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(영어: International Topological Conference)에서 제임스 워델 알렉산더와 안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다. 이후 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다. 합곱의 기호 \smile 는 휘트니가 고안하였다.

참고 문헌
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3. ↑  Whitney, Hassler (1937년 5월). "On products in a complex". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) **23**: 285–291. doi:10.1073/pnas.23.5.285. ISSN 0027-8424. JFM 63.1160.02. Zbl 0016.42001.
4. ↑  Whitney, Hassler (1938년 5월). "On products in a complex". 《Annals of Mathematics》 (영어) **39**: 397–432. doi:10.2307/1968795. ISSN 0003-486X. JFM 64.1265.04. JSTOR 1968795. MR 1503416. Zbl 0019.14204.
5. ↑  Eilenberg, Samuel. "Singular homology". 《Annals of Mathematics》 (영어) **45**: 407–447.

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* Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
* Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》 (영어). Springer. ISBN 0-387-97926-3.
* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.