**튜플**(tuple)은 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다. n 개의 요소를 가진 튜플을 **n-튜플**(n-tuple) 또는 **n중쌍**, **n짝**이라고 한다. 비어 있는 열은 유일한 0-튜플이다. 임의의 n-튜플은 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 벡터)을 나타내는 데에 자주 사용된다.

튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 (2, 7, 4, 1, 7)와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '< >'와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다.

컴퓨터 과학에서 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다(레코드와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다.

튜플의 개념은 언어학과 철학에서도 사용된다.

길이에 따른 튜플의 이름
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| 튜플의 길이, n | 이름 | 다른 이름 |
| --- | --- | --- |
| 0 | empty tuple | null tuple / empty sequence / unit / 0튜플 |
| 1 | monuple | single / singleton / monad / 1튜플 |
| 2 | couple | double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome / 2튜플 |
| 3 | triple | treble / triplet / triad / ordered triple / threesome |
| 4 | quadruple | quad / tetrad / quartet / quadruplet |
| 5 | quintuple | pentuple / quint / pentad |
| 6 | sextuple | hextuple / hexad |
| 7 | septuple | heptuple / heptad |
| 8 | octuple | octa / octet / octad / octuplet |
| 9 | nonuple | nonad / ennead |
| 10 | decuple | decad / decade (antiquated) |
| 11 | undecuple | hendecuple / hendecad |
| 12 | duodecuple | dozen / duodecad |
| 13 | tredecuple | baker's dozen |
| 14 | quattuordecuple | double septuple |
| 15 | quindecuple | triple quintuple |
| 16 | sexdecuple | quadruple quadruple |
| 17 | septendecuple |  |
| 18 | octodecuple |  |
| 19 | novemdecuple |  |
| 20 | vigintuple |  |
| 21 | unvigintuple |  |
| 22 | duovigintuple |  |
| 23 | trevigintuple |  |
| 24 | quattuorvigintuple |  |
| 25 | quinvigintuple |  |
| 26 | sexvigintuple |  |
| 27 | septenvigintuple |  |
| 28 | octovigintuple |  |
| 29 | novemvigintuple |  |
| 30 | trigintuple |  |
| 31 | untrigintuple |  |
| 32 | duotrigintuple |  |
| 40 | quadragintuple |  |
| 41 | unquadragintuple |  |
| 50 | quinquagintuple |  |
| 60 | sexagintuple |  |
| 70 | septuagintuple |  |
| 80 | octogintuple |  |
| 90 | nongentuple |  |
| 100 | centuple |  |
| 1,000 | milluple | chiliad |
|

성질
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튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 n-튜플

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})}
{\displaystyle (b\_{1},b\_{2},\ldots ,b\_{n})}
이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다.

{\displaystyle a\_{1}=b\_{1},a\_{2}=b\_{2},\ldots ,a\_{n}=b\_{n}}
때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다.

1. 중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: (1, 2, 3) ≠ (1, 2, 2, 3), 하지만 집합 {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3}
2. 정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1), 하지만 집합 {1, 2, 3} = {3, 2, 1}
3. 튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 집합, 중복집합은 원소 개수가 무한할 수도 있다.

정의법
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튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.

### 함수

n-튜플을 튜플의 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플의 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})\equiv (X,Y,F)}
여기서

{\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}
{\displaystyle Y=\{a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\}}
{\displaystyle F=\{(1,a\_{1}),(2,a\_{2}),\ldots ,(n,a\_{n})\}}
덜 형식적인 표현은 다음과 같다.

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}):=(F(1),F(2),\ldots ,F(n))}
### 내포된 순서쌍

집합론에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) 순서쌍으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다.

1. 0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 ∅로 정의한다.
2. 양의 정수 n에 대해, n-튜플은 n-튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 (*n*-1)-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=(a\_{1},(a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n}))}

이 정의를 조금 큰 n에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=(a\_{1},(a\_{2},(a\_{3},(\ldots ,(a\_{n-2},(a\_{n-1},(a\_{n},\emptyset )))\ldots ))))}
예를 들면

{\displaystyle (1,2,3,4)=(1,(2,3,4))=(1,(2,(3,4)))=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))}
위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

1. 0-튜플은 공집합이다.
2. *n* > 0에 대해, n-튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.
{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n-1},a\_{n})=((a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n-1}),a\_{n})}

### 내포된 집합

두번째 정의법에서 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다.

1. 0-튜플은 공집합 ∅이다.
2. x를 n-튜플 (*a1*, *a2*,... , *an*)이라 하자. 끝에 b를 추가한 튜플 *x*→*b* = (*a1*, *a2*,... , *an*, *b*)는 다음과 같은 집합이다.
{\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}

예를 들면

{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}

m 원소 집합의 n-튜플
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이산수학, 특히 조합론과 (유한) 확률론에서, n-튜플은 세기 문제 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 n의 순서있는 목록으로서 처리된다. m 개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 n-튜플을 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 *mn*이다(곱 규칙에 의해). 다른 관점에서, 집합 S의 크기가 m이라면, 곱집합 *S* × *S* × ... × *S*의 크기는 *mn*이다.

형 이론
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참고 문헌
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* D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000), 《Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs》 2판, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
* Devlin, Keith (1993). 《The Joy of Sets》 2판. Springer Verlag. 7–8쪽. ISBN 0-387-94094-4.
* Abraham Adolf Fraenkel; Yehoshua Bar-Hillel; Azriel Lévy (1973). 《Foundations of set theory》. Elsevier Studies in Logic **67** 2차 개정판. 33쪽. ISBN 0-7204-2270-1.
* Takeuti, Gaisi; Zaring, Wilson M. (1971). 《現代集合論入門》 [현대집합론입문]. Graduate Texts in Mathematics (일본어) **1**. New York-Berlin: Springer-Verlag. 14쪽. ISBN 0-387-90683-5.
* Tourlakis, George J. (2003). 《Lecture Notes in Logic and Set Theory》. 2: Set theory. Cambridge University Press. 182–193쪽. ISBN 978-0-521-75374-6.

* Takeuti, Gaisi; Zaring, Wilson M. (1971), 《Introduction to axiomatic set theory》, Graduate Texts in Mathematics **1**, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90683-5, MR 0349390

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