그래프 이론과 매트로이드 이론에서 **안둘레**(영어: girth 거스[\*])는 그래프 또는 매트로이드 속의 가장 작은 "구멍", 즉 최소의 순환의 크기이다. 마찬가지로 그래프 또는 매트로이드의 **밖둘레**(영어: circumference 서컴퍼런스[\*])는 최대의 순환의 크기이다.

정의
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### 매트로이드

매트로이드 X의 회로들의 집합을

{\displaystyle \operatorname {Circ} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)}
라고 하자.

매트로이드 X의 안둘레는 그 회로의 크기의 최솟값이다.

{\displaystyle \operatorname {girth} (X)=\min \_{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{+\infty \}}
여기서 \operatorname {Card}는 모든 기수들의 모임이다.
만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 안둘레를 형식적인 기호 +\infty 로 정의한다.

매트로이드 X의 밖둘레는 그 회로의 크기의 최댓값이다.

{\displaystyle \operatorname {circ} (X)=\max \_{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{-\infty \}}
만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 밖둘레를 형식적인 기호 -\infty 로 정의한다.

### 그래프

임의의 다중 그래프 \Gamma 의 변들의 집합 {\displaystyle \operatorname {E} (\Gamma )} 위에는 다음과 같은 두 매트로이드 구조를 줄 수 있다.:§2.2

* (유한) **순환 매트로이드** {\displaystyle \operatorname {M} \_{\text{FC}}(\Gamma )}에서, 회로는 \Gamma 의 (유한) **순환**이다.
* **접합 매트로이드** {\displaystyle \operatorname {M} \_{\text{B}}(\Gamma )}에서, 회로는 **접합**(영어: bond)라고 하며, \Gamma 의 변의 (유한 또는 무한) 집합 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )} 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
	+ \Gamma 의 연결 성분 가운데 적어도 하나 이상은 {\displaystyle \Gamma \setminus S}에서 연결 성분이 아니게 된다.
	+ 임의의 {\displaystyle e\in S}에 대하여, \Gamma 의 모든 연결 성분은 {\displaystyle \Gamma \setminus (S\setminus \{e\})}에서도 연결 성분으로 남는다.

이 두 매트로이드는 서로 쌍대 매트로이드를 이룬다.

다중 그래프 \Gamma 의 안둘레는 그 순환 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {M} \_{\text{FC}}(\Gamma )}의 안둘레이다. 즉, 그래프 \Gamma 의 안둘레는 그 그래프 속의 순환의 최소 길이이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 안둘레를 무한대로 정의한다. 즉, 그래프의 안둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

{\displaystyle \{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty \}}
다중 그래프 \Gamma 의 밖둘레는 그 순환 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {M} \_{\text{FC}}(\Gamma )}의 밖둘레이다. 즉, 그래프 속의 순환의 길이들의 상한이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 밖둘레를 -\infty 로 정의한다. 즉, 그래프의 밖둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

{\displaystyle \{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty ,-\infty \}}
물론, 유한 그래프의 밖둘레는 +\infty 가 될 수 없다.

다중 그래프 \Gamma 의 **변 연결도**(邊連結度, 영어: edge connectivity)는 그 접합 매트로이드 {\displaystyle \operatorname {M} \_{\text{FB}}(\Gamma )}의 안둘레이다. 즉, 그래프 \Gamma 의 가장 작은 접합의 크기, 즉 새 연결 성분을 만들기 위해서 제거해야 하는 변의 수의 최솟값이다. 무한 그래프의 경우, 변 연결도는 (안둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 변 연결도는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 변 연결도는 +\infty 로 놓는다.

마찬가지로, 다중 그래프 \Gamma 의 접합 매트로이드의 밖둘레 (접합의 크기의 상한) 역시 정의될 수 있으며, 이를 **최대 접합 크기**(영어: maximum bond size)라고 하자. 무한 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 (밖둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 최대 접합 크기는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 -\infty 로 놓는다.

성질
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### 분리합집합

임의의 그래프들의 족 {\displaystyle \{\Gamma \_{i}\}\_{i\in I}}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {girth} \left(\bigsqcup \_{i\in I}\Gamma \_{i}\right)=\min \_{i\in I}\operatorname {girth} \Gamma \_{i}}
{\displaystyle \operatorname {circ} \left(\bigsqcup \_{i\in I}\Gamma \_{i}\right)=\sup \_{i\in I}\operatorname {circ} \Gamma \_{i}}
{\displaystyle \operatorname {girth} \left(\operatorname {M\_{B}} \left(\bigsqcup \_{i\in I}\Gamma \_{i}\right)\right)=\min \_{i\in I}\operatorname {girth} \operatorname {M\_{B}} (\Gamma \_{i})}
{\displaystyle \operatorname {circ} \left(\operatorname {M\_{B}} \left(\bigsqcup \_{i\in I}\Gamma \_{i}\right)\right)=\sup \_{i\in I}\operatorname {circ} \operatorname {M\_{B}} (\Gamma \_{i})}
여기서 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup }는 그래프의 분리합집합이다.

### 상계

꼭짓점이 n개인 유한 그래프의 밖둘레는 n 이하이며, 이 상계는 해밀턴 순환에 의하여 포화된다. 즉, 밖둘레가 n인 것은 해밀턴 순환을 갖는 것과 동치이다.

차수 r의 정규 그래프 \Gamma 에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle |\operatorname {V} (\Gamma )|\geq {\begin{cases}1+r\sum \_{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -3)/2}(r-1)^{i}&2\nmid \operatorname {girth} \Gamma \\2\sum \_{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -2)/2}(r-1)^{i}&2\mid \operatorname {girth} \Gamma \end{cases}}}
이 부등식을 포화시키는 정규 그래프를 **무어 그래프**(영어: Moore graph)라고 한다.

그래프 \Gamma 에서, 주어진 꼭짓점에 연결된 모든 변들의 집합은 접합을 이룬다. 따라서,
꼭짓점의 차수들의 상한은 그 최대 접합 크기의 하계를 이루며, 꼭짓점의 차수들의 최솟값은 변 연결도의 상계를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {girth} (\operatorname {M\_{FB}} (\Gamma ))\leq \min \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg \_{\Gamma }v\leq \sup \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg \_{\Gamma }v\leq \operatorname {circ} (\operatorname {M\_{FB}} (\Gamma ))}

예
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| 이름 | 기호 | 안둘레 | 밖둘레 | 변 연결도 | 최대 접합 크기 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 완전 그래프 | K\_{n} (n\geq 3) | 3 | n | n-1 | {\displaystyle \lfloor n^{2}/4\rfloor } |
| 완전 이분 그래프 | K\_{{m,n}} ({\displaystyle \min\{m,n\}\geq 2}) | 4 | {\displaystyle 2\min\{m,n\}} | {\displaystyle \min\{m,n\}} | {\displaystyle \lfloor m/2\rfloor \lceil n/2\rceil +\lceil m/2\rceil \lfloor n/2\rfloor } |
| 숲 그래프 | T ({\displaystyle |\operatorname {E} (T)|\geq 1}) | +\infty  | -\infty  | 1 | 1 |
| 무변 그래프 | {\bar K}\_{n} | +\infty  | -\infty  | +\infty  | -\infty  |
| 순환 그래프 | C\_{n} (n\geq 3) | n | n | 2 | 2 |
| 페테르센 그래프 | {\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)} | 5 | 9 | 3 |  |
| 데자르그 그래프 | {\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)} | 6 | 20 | 3 |  |

**완전 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산**:

완전 그래프 K\_{n}의 접합을 제거하면, a개의 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

{\displaystyle a(n-a)=n^{2}/4-(a-n/2)^{2}}
이다. 이를 최소화하려면, {\displaystyle |a-n/2|}를 최대화해야 한다. 이는 a=1(또는 {\displaystyle a=n-1})에서 달성되며, 그 접합의 크기는 n-1이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, {\displaystyle |a-n/2|}를 최소화해야 하며, 이는 {\displaystyle a=\lfloor n/2\rfloor }(또는 {\displaystyle a=\lceil n/2\rceil })에서 달성되며, 그 접합의 크기는 {\displaystyle \lfloor n^{2}/4\rfloor }이다.

**완전 이분 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산**:

m개의 검은 꼭짓점 및 n개의 흰 꼭짓점을 갖는 완전 이분 그래프 K\_{{m,n}}의 접합을 제거하면, a개의 흰 꼭짓점과 b개의 검은 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

{\displaystyle a(n-b)+b(m-a)=mn/2-2(a-m/2)(b-n/2)}
이다. 이를 최소화하려면, {\displaystyle (a-m/2)(b-n/2)}를 최대화해야 한다. 이는 {\displaystyle (a,b)=(0,1)} 또는 (1,0) (또는 {\displaystyle (m,n-1)} 또는 {\displaystyle (m-1,n)})에서 달성되며, 그 접합의 크기는 {\displaystyle \min\{m,n\}}이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, {\displaystyle (a-m/2)(b-n/2)}를 최소화해야 한다. 이는

{\displaystyle a=\lfloor m/2\rfloor }
{\displaystyle b=\lfloor n/2\rfloor }
에서 달성되며, 그 접합의 크기는

{\displaystyle \lfloor m/2\rfloor \lceil n/2\rceil +\lceil m/2\rceil \lfloor n/2\rfloor }
이다.

역사
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무어 그래프의 개념은 미국의 수학자 에드워드 포리스트 무어(영어: Edward Forrest Moore, 1925~2003)가 도입하였다. 변 연결도는 카미유 조르당이 1869년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi A.; Wollan, Paul (2013년 6월 1일). "Axioms for infinite matroids". 《Advances in Mathematics》 (영어) **239**: 18–46. arXiv:1003.3919. Bibcode:2010arXiv1003.3919B. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011. Zbl 1279.05013.
2. ↑  Jordan, Camille (1869). "Sur les assemblages de lignes". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) **70** (2): 185–190. doi:10.1515/crll.1869.70.185. ISSN 0075-4102. JFM 02.0344.01.