범주론에서 **작은 범주**(-範疇, 영어: small category)는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 "작은" 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.:21–26, §Ⅰ.6–7

정의
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범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 {\mathcal {U}}가 주어졌다고 하자. {\mathcal {U}}-**작은 범주** {\mathcal {C}}는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.:22, §Ⅰ.6:12, Definition 1.2.1:§6:196

* {\mathcal {C}}의 대상들은 집합 \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})을 이루며, 이는 {\mathcal {U}}의 원소이다.
* {\mathcal {C}}의 사상들은 집합 {\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}을 이루며, 이는 {\mathcal {U}}의 원소이다.

{\mathcal {U}}-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}라고 표기하자.

### 국소적으로 작은 범주

임의의 범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건을 만족시킨다면, **{\mathcal {U}}-국소적으로 작은 범주**({\mathcal {U}}-局所的으로 작은範疇, 영어: locally {\mathcal {U}}-small category)라고 한다.:197

* 임의의 두 대상 X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})에 대하여, {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)\in {\mathcal {U}}}이다.

연산
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{\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}는 {\mathcal {U}}-완비 범주이자 {\mathcal {U}}-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 {\mathcal {U}}-작은 범주 {\mathcal {I}} 및 함자

{\displaystyle D\colon {\mathcal {I}}\to \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}
에 대하여, D는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,

* {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}의 시작 대상은 {\displaystyle \operatorname {Ob} (0)=\operatorname {Mor} (0)=\varnothing }인 유일한 범주 {\displaystyle 0}이다.
* {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}의 끝 대상은 {\displaystyle \operatorname {Ob} (1)=\{\bullet \}} (한원소 집합)이며, {\displaystyle \operatorname {Mor} (1)=\{\operatorname {id} \_{\bullet }\}}인 유일한 범주 1이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

{\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}는 {\mathcal {U}}-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 {\displaystyle \hom(-,-)}은 (두 {\mathcal {U}}-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {Cat} }(-,-)}이다. 다시 말해, 두 {\mathcal {U}}-작은 범주 사이의 함자 범주는 {\mathcal {U}}-작은 범주이다.:196

성질
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{\mathcal {U}}-국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 기수 {\displaystyle \kappa \leq |{\mathcal {U}}|}와 임의의 대상 X\in {\mathcal {C}}에 대하여, 곱 {\displaystyle X^{\times \kappa }}이 존재한다.

그렇다면 {\mathcal {C}}는 원순서 집합이다.
:Theorem 2.1즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

**증명:**

임의의 두 대상 X,Y\in {\mathcal {C}}이 주어졌다고 하자. 이제,

{\displaystyle |\hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1}
임을 보이면 족하다.

사상 집합

{\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})}
의 크기는 (각 성분마다 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)}의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.

{\displaystyle \left|\hom \_{\mathcal {C}}(X,Y^{|\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})|})\right|=|\hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)|^{|{\mathcal {U}}|}}
(여기서 우변은 기수의 거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라

{\displaystyle \left|\hom \_{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})\right|<|{\mathcal {U}}|}
이므로, 칸토어의 정리에 따라서 {\displaystyle |\hom \_{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1}이다.

범주 {\mathcal {C}}에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathcal {C}}는 {\mathcal {U}}-작은 범주와 동치이다.
* {\mathcal {C}}는 {\mathcal {U}}-국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 {\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Set} \_{\mathcal {U}}^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}} 역시 {\mathcal {U}}-국소적으로 작은 범주이다.

### 함자

\operatorname {Set}\_{{{\mathcal U}}}가 {\mathcal {U}}-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.

* {\displaystyle \operatorname {Ob} (\operatorname {Set} \_{\mathcal {U}})={\mathcal {U}}}
* \operatorname {Set}\_{{{\mathcal U}}}의 사상은 {\mathcal {U}}에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Ob} \colon \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}\to \operatorname {Set} \_{\mathcal {U}}}
{\displaystyle \operatorname {Ob} \colon {\mathcal {C}}\mapsto \operatorname {Ob} ({\mathcal {U}})}
가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 S를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

* 대상은 S의 원소이다.
* 모든 사상은 항등 사상이다.

예
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임의의 {\mathcal {U}}-작은 아벨 범주 {\mathcal A}에 대하여, 그 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}는 {\mathcal {U}}-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.

칸토어 역설에 따라, {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}는 {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}의 대상이 아니다. 다만, {\mathcal {U}}를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 {\displaystyle {\mathcal {U}}'\ni {\mathcal {U}}}이 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}}는 {\displaystyle \operatorname {Cat} \_{{\mathcal {U}}'}}의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자

{\displaystyle \operatorname {Cat} \_{\mathcal {U}}\hookrightarrow \operatorname {Cat} \_{{\mathcal {U}}'}}
가 주어진다.

참고 문헌
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1. 1 2  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. 1 2 3  Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). 《Categories and sheaves》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-27950-4. ISBN 978-3-540-27949-5. ISSN 0072-7830. MR 2182076. Zbl 1118.18001.
3. 1 2 3  Shulman, Michael A. (2008). "Set theory for category theory" (영어). arXiv:0810.1279. Bibcode:2008arXiv0810.1279S.
4. 1 2 3  Mac Lane, Saunders (1969). 〈One universe as a foundation for category theory〉. Mac Lane, Saunders. 《Reports of the Midwest Category Seminar Ⅲ》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **106**. Springer-Verlag. 192–200쪽. doi:10.1007/BFb0059147. ISBN 978-3-540-04625-7. ISSN 0075-8434. Zbl 0211.32202.
5. ↑  Freyd, Peter; Street, Ross (1995). "On the size of categories". 《Theory and Applications of Categories》 (영어) **1** (9): 174–181. ISSN 1201-561X.