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확률론에서 **조건부 확률**(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 {\displaystyle \operatorname {Pr} }라고 할 때, 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 조건부 확률은 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)}로 표기한다.

정의
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확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 양의 확률의 사건

A\in {\mathcal F}
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}
이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}에 대하여, A에 대한 B의 **조건부 확률**은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}}
이 경우, {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} (\cdot |A))}는 새로운 확률 공간을 이룬다.

증명:

우선

{\displaystyle \operatorname {Pr} (\Omega |A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap \Omega )}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} (A)}{\operatorname {Pr} (A)}}=1}
이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \{A\cap B\}\_{B\in {\mathcal {G}}}} 역시 서로소 사건들이므로

{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\left.\bigcup {\mathcal {G}}\right|A\right)={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup {\mathcal {G}}\cap A\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup \_{B\in {\mathcal {G}}}(A\cap B)\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\sum \_{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}=\sum \_{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (B|A)}
이다.

성질
--

확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 두 사건 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.:15

{\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}
즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 A가 일어날 확률과 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 n개의 사건 {\displaystyle A\_{1},\dots ,A\_{n}\in {\mathcal {F}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\_{1}\cap \cdots \cap A\_{n-1})>0}이라면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (A\_{1}\cap \cdots \cap A\_{n})=\operatorname {Pr} (A\_{1})\operatorname {Pr} (A\_{2}|A\_{1})\operatorname {Pr} (A\_{3}|A\_{1}\cap A\_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A\_{n}|A\_{1}\cap \cdots \cap A\_{n-1})}
특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* A,B는 독립 사건이다.
* {\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)=\operatorname {Pr} (B)}. 즉 B의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 {\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {F}}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)>0}이라면, 다음 항등식이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)}
확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족

{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}}
{\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph \_{0}}
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}}
이 주어졌다고 하고, {\mathcal A}가 전체 공간 \Omega 을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (B)=\sum \_{A\in A}\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)} (전체 확률의 법칙)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)={\frac {\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}{\sum \_{A'\in {\mathcal {A}}}\operatorname {Pr} (A')\operatorname {Pr} (B|A')}}\qquad ({\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {F}},\;\operatorname {Pr} (B)>0)} (베이즈 정리)