이론물리학과 수학에서 **바탈린-빌코비스키 대수**(영어: Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.

정의
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### 고차 미분 연산자

(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수

{\displaystyle A=\bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} }A\_{i}}
{\displaystyle ab=(-)^{\deg a\deg b}ba}
가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자

{\displaystyle {\mathsf {L}}\_{a}b=ab}
및 초괄호

{\displaystyle [a,b\}=ab-(-)^{\deg a\deg b}ba}
를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자

{\displaystyle D\colon A\_{\bullet }\to A\_{\bullet \_{k}}}
{\displaystyle \deg D=k}
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 **n차 k등급 미분 연산자**(영어: nth-order degree-k operator)라고 한다.

{\displaystyle D(1\_{A})=0}
{\displaystyle [\dotso [[D,{\mathsf {L}}\_{a\_{0}}\},{\mathsf {L}}\_{a\_{1}}\},\dotsc ,{\mathsf {L}}\_{a\_{n}}\}(1\_{A})=0\qquad \forall a\_{0},\dotsc ,a\_{k}\in A}
여기서 초괄호에서 {\displaystyle \deg {\mathsf {L}}\_{a}=\deg a} 및 {\displaystyle \deg D=k}로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우

{\displaystyle D1=0}
인 것이다. 1차 미분 연산자는

{\displaystyle 0=[[D,{\mathsf {L}}\_{a}\},{\mathsf {L}}\_{b}\}1=D(ab)-(-)^{k\deg a}a(Db)-(-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da)}
인 것이다. 즉,

{\displaystyle D(ab)=(Da)b+(-)^{k\deg a}a(Db)}
이며, 이는 곱 규칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 \Delta 는

\Delta (abc)-\Delta (ab)c-(-1)^{{\deg a}}a\Delta (bc)-(-1)^{{(\deg a+1)\deg b}}b\Delta (ac)+\Delta (a)bc-(-1)^{{\deg a}}a\Delta (b)c+(-1)^{{\deg(ab)}}ab\Delta (c)=0
를 만족시킨다.

### 거스틴해버 괄호

등급 가환 결합 대수

A=\bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} }A\_{i}
및 A 위의 사슬 복합체 구조

{\displaystyle \partial \colon A\_{\bullet }\to A\_{\bullet -1}}
{\displaystyle \partial \_{1}=0}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \Phi ^{n+1}(a\_{0},a\_{1},\dotsc ,a\_{n})=[[\dotsb [[\partial ,{\mathsf {L}}\_{a\_{0}}\},{\mathsf {L}}\_{a\_{1}}\},\dotsc \},{\mathsf {L}}\_{a\_{n}}\}1}
이를 n+1항 **거스틴해버 괄호**라고 한다. 예를 들어

{\displaystyle \Phi ^{0}()=0}
{\displaystyle \Phi ^{1}(a)=\partial a}
{\displaystyle \Phi ^{2}(a,b)=\partial (ab)-(-)^{\deg a}a\partial b-(\partial a)b}
이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,

{\displaystyle (A,\Phi ^{\bullet })}
는 L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약 \partial 이 n차 미분 연산자라면, 오직 {\displaystyle \Phi ^{1},\dotsc ,\Phi ^{n}}만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 **거스틴해버 괄호**(영어: Gerstenhaber bracket) 또는 **반괄호**(영어: antibracket) (a,b)를 정의할 수 있다.

{\displaystyle (a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi ^{2}(a,b)}
이는 다음과 같은 성질들을 따른다.

* (차수 −1) \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1
* (등급가환성) (a,b)=-(-1)^{{(\deg a+1)(\deg b+1)}}(b,a)
* (등급 야코비 항등식) (-1)^{{(\deg a+1)(\deg c+1)}}(a,(b,c))+(-1)^{{(\deg b+1)(\deg a+1)}}(b,(c,a))+(-1)^{{(\deg c+1)(\deg b+1)}}(c,(a,b))=0
* (등급 라이프니츠 규칙) (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{{\deg a\deg b}}b(a,c)

### 바탈린-빌코비스키 대수

**바탈린-빌코비스키 대수** (A,\Delta )는 다음과 같은 데이터로 구성된다.:§8

* 등급 가환 결합 대수 A=\bigoplus \_{i\in \mathbb {Z} }A\_{i}
* A 위의 2차 −1등급 미분 연산자 {\displaystyle \Delta \colon A\_{\bullet }\to A\_{\bullet -1}}. 이를 **바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자**라고 한다.

게이지 이론의 양자화
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바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 \phi ^{i}와 고전적 작용 S\_{0}(\phi )에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

\delta \phi ^{i}=R\_{{\alpha \_{1}}}^{i}\epsilon ^{{\alpha \_{1}}}
여기서 \epsilon ^{{i\_{1}}}는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

R\_{{i\_{{p+1}}}}^{{i\_{p}}}R\_{{i\_{p}}}^{{i\_{0}}}=C\_{{\alpha \_{{p+1}}}}^{{ij}}{\frac {\delta S\_{0}}{\delta \phi ^{{j\_{0}}}}}
이다. 여기서 C\_{{\alpha \_{{p+1}}}}^{{ij}}는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은

* 1차 게이지 변환 \delta \phi ^{i}/\delta \epsilon ^{{\alpha \_{1}}}
* 2차 게이지 변환 \delta \epsilon ^{{\alpha \_{1}}}/\delta \epsilon ^{{\alpha \_{2}}}
* 3차 게이지 변환 \delta \epsilon ^{{\alpha \_{2}}}/\delta \epsilon ^{{\alpha \_{3}}}

등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 \delta /\delta \epsilon ^{{\alpha \_{p}}}에 대응하는 유령장 c^{{\alpha \_{p}}}을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 \phi ^{i}에 대응하는 **반대장**(反對場, 영어: antifield) \phi \_{i}^{\*}, c\_{{\alpha \_{p}}}^{\*}를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 **유령수**(幽靈數, 영어: ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, p차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 p, 그리고 유령수 g에 대응하는 반대장은 유령수 -g-1을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

| 장 | 기호 | 통계 \sigma (\Phi ^{A}) (+1: 보손, −1: 페르미온) | 유령수 \deg \Phi ^{A} |
| --- | --- | --- | --- |
| 물리적 장 | \phi ^{i} | \sigma (\phi ^{i}) (보손: +1, 페르미온: −1) | 0 |
| 물리적 반대장 | \phi \_{i}^{\*} | -\sigma (\phi ^{i}) | −1 |
| 유령장 | c^{{\alpha \_{p}}} | -\sigma (\epsilon ^{{\alpha \_{p}}}) (일반 대칭: −1, 초대칭: +1) | p |
| 유령 반대장 | c\_{{\alpha \_{p}}}^{\*} | \sigma (\epsilon ^{{\alpha \_{p}}}) | -p-1 |

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

### Δ 연산자와 거스틴해버 괄호

모든 장들을 통칭해

\Phi ^{A}=(\phi ^{i},c^{{\alpha \_{p}}})
\Phi \_{A}^{\*}=(\phi \_{i}^{\*},c\_{{\alpha \_{p}}}^{\*})
로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

\Delta =(-1)^{{\sigma (\Phi ^{A})}}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi \_{A}^{\*}}}
또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.

(X,Y)={\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi \_{A}^{\*}}}-{\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi \_{A}^{\*}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi ^{A}}}.
이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 \delta ^{L}/\delta \Phi ^{A}와 \delta ^{R}/\delta \Phi ^{A}는 각각 좌·우미분이다.

### 고전 으뜸 방정식

고전적 작용 S\_{0}(\phi ^{i})는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

S=S\_{0}+S\_{1}+S\_{2}+\dots 
여기서 S\_{p}는 p개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, S의 유령수는 0이다.

\deg S=0
이렇게 교정된 작용 S는 다음과 같은 **고전 으뜸 방정식**(영어: classical master equation)을 만족시킨다.

(S,S)=0
이로부터 S를 완전히 계산할 수 있다.
이 경우, 이론의 BRST 대칭은

\delta \_{{{\text{BRST}}}}=(S,\cdot )
의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

\delta \_{{{\text{BRST}}}}S=(S,S)=0
이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

\delta \_{{{\text{BRST}}}}^{2}=0임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

H^{p}(\delta \_{{{\text{BRST}}}})
를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 H^{0}(\delta \_{{{\text{BRST}}}})의 원소이다. 고전적인 연산자 O\_{0}가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

O=O\_{0}+O\_{1}+O\_{2}+\cdots 
\delta \_{{{\text{BRST}}}}O=(S,O)=0
### 게이지 고정

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 \psi 를 선택하자. 이를 **게이지 고정 페르미온**(영어: gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.:§6:§6.1

\Phi \_{A}^{\*}\mapsto {\frac {\delta \psi }{\delta \Phi ^{A}}}
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.:§6.2

### 양자 으뜸 방정식

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은

\Delta S=0
이다.:§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 \hbar 에 비례하게 된다. 즉, S={\hat S}^{{(0)}}으로 놓으면,

{\hat S}={\hat S}^{{(0)}}+\hbar S^{{(1)}}+\hbar ^{2}S^{{(2)}}+\cdots 
이다. 이에 대한 **양자 으뜸 방정식**(영어: quantum master equation)은

\Delta (\exp(i{\hat S}/\hbar ))=0
이다.:§9 다음 표현은 위와 동치이다.

({\hat S},{\hat S})=2i\hbar \Delta {\hat S}
이다. 이를 전개하면

({\hat S}^{{(0)}},{\hat S}^{{(0)}})=0
({\hat S}^{{(0)}},{\hat S}^{{(1)}})=i\Delta {\hat S}^{{(0)}}
({\hat S}^{{(0)}},{\hat S}^{{(2)}})+{\frac 12}({\hat S}^{{(1)}},{\hat S}^{{(1)}})=i\Delta {\hat S}^{{(1)}}
등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 X를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.:§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

\int \exp(iS/\hbar )
를 고려하면 양자 으뜸 방정식

\Delta \exp(iS/\hbar )=0
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 O가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

(W,O)=i\hbar \Delta O
가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, \exp(iS/\hbar )를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 D\Phi 를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, D\Phi \,\exp(iS/\hbar )는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 \Delta 이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 N 위의 적분은

\int \_{N}\Delta X=0
이고, 또한 만약 \Delta Y=0이라면

\int \_{N}Y
는 N의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, N의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 D\Phi \,O\exp(iS/\hbar )가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

예
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### 양-밀스 이론

로런츠 지표는 \mu ,\nu ,\dots 로, 게이지 리 대수 지표는 a,b,\dots 로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 A\_{\mu }^{a}는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

\delta A\_{\mu }^{a}=\partial \_{\mu }\epsilon ^{a}+gf^{{abc}}A\_{\mu }^{b}\epsilon ^{c}
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 c^{a} 및 반대장 \phi \_{a}^{\*}, c\_{a}^{\*}가 존재한다. 작용

S\_{0}=-{\frac 14}\int d^{d}x\,F^{2}
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.:§5.2

S=S\_{0}+\int d^{d}x\,A\_{a}^{{\*\mu }}D\_{\mu }c^{a}+{\frac 12}\int d^{d}x\,c\_{a}^{\*}f^{a}{}\_{{bc}}c^{b}c^{c}
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 {\bar c}\_{a}와 유령수 0의 보손 b\_{a}를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.:§6

S'=S-i\int d^{d}x\,{\bar c}^{{\*a}}b\_{a}
그렇다면 게이지 고정 페르미온

\psi =i\int d^{d}x\,{\bar c}\_{a}\left(\partial ^{\mu }A\_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)
를 삽입한다. 여기서 \xi 는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac 14}F^{2}-i\partial ^{\mu }{\bar c}\_{a}D\_{\mu }c^{a}+\left(\partial ^{\mu }A\_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)b\_{a}\right)

| 장 | 기호 | 통계 | 유령수 |
| --- | --- | --- | --- |
| 게이지 장 | A\_{\mu }^{a} | + | 0 |
| 게이지 반대장 | A\_{a}^{{\*\mu }} | − | −1 |
| 유령장 | c^{a} | − | 1 |
| 유령 반대장 | c\_{a}^{\*} | + | −2 |
| 보조장 | b\_{a} | + | 0 |
| 보조 반대장 | b\_{a}^{\*} | − | −1 |
| 보조 유령장 | {\bar c}^{a} | − | −1 |
| 보조 유령 반대장 | {\bar c}\_{a}^{\*} | + | 0 |

### 미분형식 전기역학

*p*차 미분형식 전기역학의 경우, *p*차 미분형식 게이지 퍼텐셜 A^{{(p)}}는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

{\frac {\delta A^{{(p)}}}{\delta \epsilon ^{{(p-1)}}}}=d\epsilon ^{{(p-1)}}
{\frac {\delta \epsilon ^{{(p-1)}}}{\delta \epsilon ^{{(p-2)}}}}=d\epsilon ^{{(p-2)}}
⋮
{\frac {\delta \epsilon ^{{(1)}}}{\delta \epsilon ^{{(0)}}}}=d\epsilon ^{{(0)}}
여기서 \epsilon ^{{(k)}}는 k차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

| 장 | 기호 | 통계 | 유령수 |
| --- | --- | --- | --- |
| 게이지 장 | A^{{(p)}} | + | 0 |
| 유령장 | c^{{(k)}} | − | *p*−*k* |
| 게이지 반대장 | A^{{\*(p)}} | − | −1 |
| 유령 반대장 | c^{{\*(k)}} | + | *k*−*p*−1 |

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.:§5.5

S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac 12}F^{{(p+1)}}\wedge \*F^{{(p+1)}}+\*A^{{\*(p)}}\wedge dc^{{(p-1)}}+\sum \_{{k=0}}^{{p-2}}\*c^{{\*(k+1)}}\wedge dc^{{(k)}}\right)

역사
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이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어: И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어: Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

참고 문헌
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