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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
| * 개론
* 수학적 공식화
* 역사
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| 배경
* 고전역학
* 구양자이론(old quantum theory)
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

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| 기본
* 상보성
* 결어긋남
* 얽힘
* 에너지 준위
* 측정(measurement)
* 비국소성(nonlocality)
* 양자수
* 상태(state)
* 중첩
* Symmetry
* 터널링
* 불확정성
* 파동 함수
	+ 붕괴

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| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

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| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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| 해석
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* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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| 고급 주제
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* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
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* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
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| 과학자
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* 제이만
* 차일링거

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| * v
* t
* e
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양자역학에서 **리프먼-슈윙거 방정식**(Lippmann–Schwinger equation)은 입자의 산란을 다루는 방정식이다. 미국의 버너드 리프먼(Bernard A. Lippmann)과 줄리언 슈윙거가 1950년에 유도하였다.

정의
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자유 해밀토니언이 H\_{0}인 계에 퍼텐셜 V가 산란을 일으킨다고 하자. 입사(入射) 입자 |\phi \rangle 는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지 E를 가진 고유 상태라고 하자.

H\_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .
산란 이론의 목표는 V에 의하여 산란된 입자의 파동 함수 |\psi\rangle를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 |\psi\rangle를 구한다.

(H\_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .
이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

(E-H\_{0})|\psi \rangle =(E-H\_{0})|\phi \rangle +V|\psi \rangle .
이제 양변에 (E-H\_{0})^{{-1}}를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 것이다.

|\psi \rangle {\stackrel {?}=}|\phi \rangle +(E-H\_{0})^{{-1}}V|\psi \rangle .
하지만 (E-H\_{0})^{{-1}}은 H\_{0}에 대한 고윳값이 E일 경우에는 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, E를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 하자.

|\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +(E\pm i\epsilon -H\_{0})^{{-1}}V|\psi ^{\pm }\rangle  (\epsilon \ll 1).
이렇게 하여 |\psi ^{\pm }\rangle 을 나타낼 수 있다. 이 식을 **리프먼-슈윙거 방정식**이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 |\psi ^{+}\rangle 는 초기 상태, |\psi ^{-}\rangle 는 나중 상태의 파동 함수이다.

그린 함수
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리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같이 위치 고유벡터 |{\mathbf r}\rangle 을 삽입해 적분 방정식으로 나타낼 수 있다.

\langle {\mathbf r}|\psi ^{\pm }\rangle =\langle {\mathbf r}|\phi \rangle +\int \langle {\mathbf r}'|(E\pm i\epsilon -H\_{0})^{{-1}}V|{\mathbf r}'\rangle \langle {\mathbf r}'|\psi ^{\pm }\rangle \,d{\mathbf r}'.
통상적인 경우, 퍼텐셜 항은 위치에만 의존한다.

V=V({\mathbf r})
그러면 이 식은 다음과 같다.

\langle {\mathbf r}|\psi ^{\pm }\rangle =\langle {\mathbf r}|\phi \rangle +\int \langle {\mathbf r}|(E\pm i\epsilon +\nabla ^{2}/2m)^{{-1}}|{\mathbf r}'\rangle V({\mathbf r}')\langle {\mathbf r}'|\psi ^{\pm }\rangle \,d{\mathbf r}'.
여기서 다음과 같이 그린 함수 G^{\pm }({\mathbf r},{\mathbf r}')를 정의하자.

G^{\pm }({\mathbf r},{\mathbf r}')=\langle {\mathbf r}|(E\pm i\epsilon +\nabla ^{2}/2m)^{{-1}}|{\mathbf r}'\rangle .
이를 대입하고, 브라-켓 표기법을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다.

\psi ^{\pm }({\mathbf r})=\phi ({\mathbf r})+\int G^{\pm }({\mathbf r},{\mathbf r}')V({\mathbf r}')\psi ^{\pm }({\mathbf r}')\,d{\mathbf r}'.
빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 H\_{0}은 다음과 같다.

H\_{0}={\mathbf p}^{2}/2m=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}/2m.
이에 해당하는 그린 함수 G^{\pm }({\mathbf r},{\mathbf r}')는 경로적분법을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

G^{\pm }({\mathbf r},{\mathbf r}')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {\exp(\pm i{\sqrt {2mE}}\Vert {\mathbf r}-{\mathbf r}'\Vert /\hbar )}{4\pi \Vert {\mathbf r}-{\mathbf r}'\Vert }}.

보른 근사법
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리프먼-슈윙거 방정식의 해는 **보른 근사법**(Born approximation)을 통해 급수로 나타낼 수 있다.

1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수 |\psi\rangle를 입사 파동 함수 |\phi \rangle 으로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.)

|\psi ^{{(1)}}\rangle =|\phi \rangle +(E+i\epsilon -H\_{0})^{{-1}}V|\phi \rangle .
이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다.

|\psi ^{{(n+1)}}\rangle =|\phi \rangle +(E+i\epsilon -H\_{0})^{{-1}}V|\psi ^{{(n)}}\rangle .

참고 문헌
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1. ↑  Bernard A. Lippmann, Julian Schwinger (1950). "Variational Principles for Scattering Processes I". 《Physical Review》 **79** (3): 469–480. doi:10.1103/PhysRev.79.469.
2. ↑  Born, Max (1933). 《Optik: Ein Lehrbuch der elektromagnetische Lichttheorie》. Springer-Verlag.
3. ↑  Max Born, Emil Wolf (1999). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 7판. Cambridge University Press. ISBN 9780521642224.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크) (1판: Max Born, Emil Wolf (1959). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 1판. Pergamon.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크))

* Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917.