대수적 위상수학에서 **보편 계수 정리**(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

정의
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### 호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 R
* R-가군 M
* 각 성분이 R-평탄 가군인 사슬 복합체 {\displaystyle (C\_{\bullet },\partial )}

**호몰로지 보편 계수 정리**에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

{\displaystyle E\_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} \_{p}^{R}(\operatorname {H} \_{q}(C\_{\bullet }),M)\Rightarrow \_{p}\operatorname {H} \_{p+q}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)}
여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히, R가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 p\geq 2에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Tor} \_{p}^{R}=0}이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.:47, Theorem 2.34

{\displaystyle 0\to \operatorname {H} \_{i}(X;R)\otimes \_{\mathbb {Z} }M=\operatorname {Tor} \_{0}^{R}\left(\operatorname {H} \_{i}(X;R),M\right)\to \operatorname {H} \_{i}(X;M)\to \operatorname {Tor} \_{1}^{R}\left(\operatorname {H} \_{i}(X;\mathbb {Z} ),M\right)\to 0}
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, {\displaystyle \operatorname {H} \_{i}(X;M)}은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

{\displaystyle {\frac {F\_{p}\operatorname {H} \_{i}(X;M)}{F\_{p-1}\operatorname {H} \_{i}(X;M)}}=\operatorname {Tor} \_{p}^{R}\left(\operatorname {H} \_{i}(X;R),M\right)}
특히, R가 주 아이디얼 정역이며 추가로 M이 평탄 가군이라고 하자. (만약 R={\mathbb Z}라면, 이는 M이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면 {\displaystyle \operatorname {Tor} \_{1}^{R}(-,M)=0}이며, 따라서

{\displaystyle \operatorname {H} \_{i}(X;R)\otimes \_{\mathbb {Z} }M\cong \operatorname {H} \_{i}(X;M)}
이다.

### 코호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 R
* R-가군 M
* 각 성분이 R-자유 가군인 사슬 복합체 {\displaystyle (C\_{\bullet },\partial )}

**코호몰로지 보편 계수 정리**에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} \_{R}^{p}(\operatorname {H} \_{q}(X;R),M)\Rightarrow \_{p}\operatorname {H} ^{p+q}(X;M)}
여기서 Ext는 Ext 함자이다.

특히, R가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 p\geq 2에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{R}^{p}=0}이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.:44, Theorem 2.29

{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} \_{R}^{1}\left(\operatorname {H} \_{i-1}(C\_{\bullet }),M\right)\to \operatorname {H} ^{1}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)\to \hom \_{R}\left(\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }),M\right)=\operatorname {Ext} \_{R}^{0}\left(\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }),M\right)\to 0}
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)}은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

{\displaystyle {\frac {F^{p}\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)}{F^{p+1}\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)}}=\operatorname {Ext} \_{R}^{p}\left(\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }),M\right)}
특히, R가 주 아이디얼 정역이며 추가로 M이 단사 가군이라고 하자. (만약 R={\mathbb Z}라면, 이는 M이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{R}^{1}(-,M)=0}이며, 따라서

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C\_{\bullet }\otimes \_{R}M)\cong \hom \_{R}\left(\operatorname {H} \_{i}(C\_{\bullet }),M\right)}
이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). 《Lecture Notes in Algebraic Topology》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) **35**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2160-2. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 25일에 확인함.

* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.