선형대수학에서 **부분 행렬**(部分行列, 영어: submatrix)은 주어진 행렬의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. **소행렬식**(小行列式, 영어: minor)은 부분 정사각 행렬의 행렬식이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 라플라스 전개와 코시-비네 공식 등의 항등식에서 등장한다. 양의 정부호 행렬의 한 가지 필요충분조건도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다.

정의
--

환 R 위의 m\times n 행렬 {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}과 그 행의 집합 {\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,m\}} 및 열의 집합 {\displaystyle J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}에 대하여, A의 **{\displaystyle (I,J)}-부분 행렬**

{\displaystyle A\_{I,J}\in \operatorname {Mat} (|I|,|J|;R)}
은 A의 I에 속하는 행과 J에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한 {\displaystyle |I|\times |J|} 행렬이다. 즉, 만약

{\displaystyle I=\{i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{|I|}\}\qquad (i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{|I|})}
{\displaystyle J=\{j\_{1},j\_{2},\dots ,j\_{|J|}\}\qquad (j\_{1}<j\_{2}<\cdots <j\_{|J|})}
라고 하면, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle (A\_{I,J})\_{r,s}=A\_{i\_{r},j\_{s}}\qquad (r=1,2,\dots ,|I|,\;s=1,2,\dots ,|J|)}
특히,

* A의 I에 대한 **주부분 행렬**(主部分行列, 영어: principal submatrix)은 부분 행렬 {\displaystyle A\_{I,I}}를 뜻한다.:24, §1.3.3
* A의 {\displaystyle k\times k} **선행 주부분 행렬**(先行主部分行列, 영어: leading principal submatrix)은 부분 행렬 {\displaystyle A\_{\{1,\dots ,k\},\{1,\dots ,k\}}}를 뜻한다.:24, §1.3.3
* A의 i번째 **행벡터**(行-, 영어: row vector)는 {\displaystyle A\_{i,\{1,\dots ,n\}}}이다.
* A의 j번째 **열벡터**(列-, 영어: column vector)는 {\displaystyle A\_{\{1,\dots ,m\},j}}이다.

### 소행렬식과 여인자

가환환 성분의 행렬의 부분 정사각 행렬의 행렬식은 흔히 **소행렬식**이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 **주소행렬식**(主小行列式, 영어: principal minor)이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 **선행 주소행렬식**(先行主小行列式, 영어: leading principal minor)이라고 한다.

가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 및 크기가 같은 행과 열의 집합 {\displaystyle I,J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}에 대하여 ({\displaystyle |I|=|J|}), A의 **{\displaystyle (I,J)}-소행렬식** {\displaystyle M(A)\_{I,J}}은 I에 속하는 행과 J에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다. A의 **{\displaystyle (I,J)}-여인자** {\displaystyle C(A)\_{I,J}}는 {\displaystyle (I,J)}-소행렬식에 적절한 부호 {\displaystyle (-1)^{\sum I+\sum J}}를 추가한 것이다.

{\displaystyle M(A)\_{I,J}=\det A\_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R}
{\displaystyle C(A)\_{I,J}=(-1)^{\sum I+\sum J}\det A\_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R}
가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)}의 **여인자 행렬**(餘因子行列, 영어: cofactor matrix)

{\displaystyle C(A)\in \operatorname {Mat} (n;R)}
는 각 (i,j)-여인자

{\displaystyle C(A)\_{ij}=(-1)^{i+j}\det A\_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}}}
를 (i,j)-성분으로 하는 n\times n 정사각 행렬이다.

예
-

실수 3×3 행렬

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0\\3&1&9\\-5&7&-12\end{pmatrix}}}
에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은

{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\7&-12\end{pmatrix}}}
이다. 따라서 (2,1)-여인자는

{\displaystyle (-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}-1&0\\7&-12\end{vmatrix}}=(-1)\times ((-1)\times (-12)-0\times 7)=-12}
이다.

응용
--

### 라플라스 전개

 이 부분의 본문은 라플라스 전개입니다.
가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 A 및 행·열의 집합 {\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \det A=\sum \_{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A\_{I,J})(-1)^{\sum I+\sum J}(\det A\_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J})=\sum \_{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A\_{J,I})(-1)^{\sum J+\sum I}(\det A\_{\{1,\dots ,n\}\setminus J,\{1,\dots ,n\}\setminus I})}
### 코시-비네 공식

 이 부분의 본문은 코시-비네 공식입니다.
가환환 R 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times m 행렬 B에 대하여, 다음이 성립한다 ({\displaystyle m\leq n}).

{\displaystyle \det(AB)=\sum \_{I\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|I|=m}\det A\_{\{1,\dots ,m\},I}\det B\_{I,\{1,\dots ,m\}}}
### 역행렬

 이 부분의 본문은 고전적 수반 행렬입니다.
가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 A의 **고전적 수반 행렬** {\displaystyle \operatorname {adj} A}은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬 A의 역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A}
### 양의 정부호성

 이 부분의 본문은 양의 정부호 행렬입니다.
에르미트 행렬 A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 양의 정부호 행렬이다.
* 모든 선행 주소행렬식이 양의 실수이다.

또한 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 양의 준정부호 행렬이다.
* 모든 주소행렬식이 음이 아닌 실수이다.

참고 문헌
-----

1. 1 2  Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449.

* Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.