고전역학에서 **평행축 정리**(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리
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I\_{{{\textrm {cm}}}}를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 d만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 I, 강체의 질량을 m이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

I=I\_{{{\textrm {cm}}}}+md^{2}
### 증명

먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, I\_{{{\textrm {cm}}}}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

I\_{{{\textrm {cm}}}}=\sum \_{i}m\_{i}\left(x\_{i}^{2}+y\_{i}^{2}\right)
질량 중심을 직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 (a,b)라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해

d^{2}=a^{2}+b^{2}
이 되고, 새로운 관성 모멘트 I는

I=\sum \_{i}m\_{i}\left[(x\_{i}-a)^{2}+(y\_{i}-b)^{2}\right]
이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.

I=\sum \_{i}m\_{i}\left(x\_{i}^{2}+y\_{i}^{2}\right)-2a\sum \_{i}m\_{i}x\_{i}-2b\sum \_{i}m\_{i}y\_{i}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\sum \_{i}m\_{i}
이 식의 첫 번째 항은 I\_{{{\textrm {cm}}}}에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한 것이므로 m이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

I=I\_{{{\textrm {cm}}}}+md^{2}
점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 시그마를 인테그랄로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리
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관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 {\mathbf {I}}, 새로운 관성 모멘트 텐서를 {\mathbf {I}}'이라 하면 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

I'\_{{ij}}=I\_{{ij}}+m(a^{2}\delta \_{{ij}}-a\_{i}a\_{j})
여기서 {\mathbf {a}}는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고 \delta \_{{ij}}는 크로네커 델타이다.

### 증명

스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 O로부터 {\mathbf {a}}만큼 평행이동한 새로운 좌표 O', 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 {\mathbf {a}}만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

I'\_{{ij}}=\sum \_{n}m\_{n}\left(|{\mathbf {r}}'\_{n}|^{2}\delta \_{{ij}}-r'\_{{ni}}r'\_{{nj}}\right)
여기서 n는 입자를 가리키는 지표, i와 j는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

{\mathbf {r}}'\_{n}={\mathbf {r}}\_{n}-{\mathbf {a}}
를 대입하면

I'\_{{ij}}=\sum \_{n}m\_{n}\left[|{\mathbf {r}}\_{n}-{\mathbf {a}}|^{2}\delta \_{{ij}}-\left(r\_{{ni}}-a\_{i}\right)\left(r\_{{nj}}-a\_{j}\right)\right]
조금 복잡하지만 이를 전개하면

I'\_{{ij}}=\sum \_{n}m\_{n}\left[\left(|{\mathbf {r}}\_{n}|^{2}-2{\mathbf {r}}\_{n}\cdot {\mathbf {a}}+|{\mathbf {a}}|^{2}\right)\delta \_{{ij}}-\left(r\_{{ni}}r\_{{nj}}-r\_{{ni}}a\_{j}-r\_{{nj}}a\_{i}+a\_{i}a\_{j}\right)\right]
항이 많지만, {\mathbf {a}}는 상수이고, O는 질량중심이 원점인 좌표이므로 i에 관계없이

\sum \_{n}m\_{n}r\_{{ni}}=0
임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.

I'\_{{ij}}=\sum \_{n}m\_{n}\left[\left(|{\mathbf {r}}\_{n}|^{2}+|{\mathbf {a}}|^{2}\right)\delta \_{{ij}}-\left(r\_{{ni}}r\_{{nj}}+a\_{i}a\_{j}\right)\right]
\mathbf{r}은 \mathbf{r}끼리, {\mathbf {a}}는 {\mathbf {a}}끼리 정리하면

I'\_{{ij}}=\sum \_{n}m\_{n}\left(|{\mathbf {r}}\_{n}|^{2}\delta \_{{ij}}-r\_{{ni}}r\_{{nj}}\right)-\sum \_{n}m\_{n}\left(|{\mathbf {a}}|^{2}\delta \_{{ij}}-a\_{i}a\_{j}\right)
을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, I\_{{ij}}가 되고 두 번째 항의 경우 {\mathbf {a}}는 n과 관계없는 벡터이기 때문에 m\_{n}에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

I'\_{{ij}}=I\_{{ij}}+m(a^{2}\delta \_{{ij}}-a\_{i}a\_{j})

참고 문헌
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* Hugh D. Young; Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉. 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》 11판. Addison Wesley. p. 345-6쪽.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
* Eric Weisstein. "Parallel Axis Theorem". 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인함.