집합론에서 **사영 집합**(射影集合, 영어: projective set)은 보렐 집합으로부터 사영과 여집합을 여러 번 취하여 얻을 수 있는, 폴란드 공간의 부분 집합이다.

정의
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폴란드 공간 X 및 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, X의 **{\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1} 집합**과 **{\boldsymbol \Pi }\_{n}^{1} 집합** 및 **{\boldsymbol \Delta }\_{n}^{1} 집합**은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

* **{\boldsymbol \Sigma }\_{1}^{1} 집합**은 X의 해석적 집합이다.
* **{\boldsymbol \Pi }\_{n}^{1} 집합**은 X의 {\boldsymbol \Sigma }\_{1}^{1} 집합의 여집합이다.
* X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, **{\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1} 집합**은 이를 만족시키는 집합이다.
	+ A=\pi \_{X}(C)가 되는 폴란드 공간 Y 및 {\boldsymbol \Pi }\_{{n-1}}^{1} 집합 C\subset X\times Y가 존재한다. 여기서 \pi \_{X}\colon X\times Y\to X는 사영 함수이다.
	+ 모든 비가산 폴란드 공간 Y에 대하여, A=\pi \_{X}(C\_{Y})가 되는 {\boldsymbol \Pi }\_{{n-1}}^{1} 집합 C\_{Y}\subset X\times Y가 존재한다.
* **{\boldsymbol \Delta }\_{n}^{1} 집합**은 {\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1} 집합이며 {\boldsymbol \Pi }\_{n}^{1} 집합인 집합이다.

폴란드 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, **사영 집합**은 적어도 하나의 정수 n에 대하여 {\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1} 집합인 부분 집합이다.

**수슬린 정리**(Суслин定理, 영어: Souslin’s theorem)에 따르면, 폴란드 공간 속에서 {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}} 집합의 개념은 보렐 집합의 개념과 일치한다.:88, Theorem 14.11

### 표준 보렐 가측 공간의 경우

임의의 두 폴란드 공간 X, Y 사이의, 보렐 가측 공간 구조의 동형 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f 아래 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{1}(X)}와 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{1}(Y)}가 일치하며, 사영 위계의 나머지 단계들의 정의는 위상 공간 구조에 직접적으로 의존하지 않으므로 마찬가지로 일치한다. 즉, 사영 위계는 오직 표준 보렐 가측 공간 구조에만 의존한다.

성질
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### 연산에 대한 닫힘

임의의 폴란드 공간에 대하여, 다음이 성립한다.:314, Proposition 37.1

| 집합족 | 가산 교집합에 대해 닫힘 | 가산 합집합에 대해 닫힘 | 여집합에 대해 닫힘 | 연속 상에 대해 닫힘 | 연속 원상에 대해 닫힘 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\boldsymbol \Delta }\_{n}^{1} | ⭕ | ⭕ | ⭕ | ❌ | ⭕ |
| {\boldsymbol \Sigma }\_{n}^{1} | ⭕ | ⭕ | ❌ | ⭕ | ⭕ |
| {\boldsymbol \Pi }\_{n}^{1} | ⭕ | ⭕ | ❌ | ❌ | ⭕ |

위 표에서, "연속 (원)상에 대해 닫힘"은 정의역과 공역을 폴란드 공간으로 하는 연속 함수에 대한 상 및 원상을 뜻한다.

### 포함 관계

보렐 위계와 유사하게, 다음과 같은 포함 관계가 성립하며, 이를 **사영 위계**(영어: projective hierarchy)라고 한다.:314, §37.A

{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Sigma }}\_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}\_{2}^{1}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&&&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}\_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}\_{3}^{0}&\cdots &\to &{\boldsymbol {\Delta }}\_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}\_{2}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}\_{3}^{1}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&&&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Pi }}\_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}\_{2}^{1}&&&\cdots \end{matrix}}}
여기서 A\to B는 모든 A 집합이 B 집합임을 뜻한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

열린집합 → 보렐 집합 → 사영 집합
실수의 모든 사영 집합은 실수 구성 가능 전체 L({\mathbb R})에 속한다.

만약 사영 결정 공리가 성립한다면, 실수의 모든 사영 집합들은 다음 조건을 만족시킨다.

* 르베그 가측 집합이다.
* 준열린집합이다.
* 완전 집합 성질을 가진다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **156**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.