이론물리학과 미분기하학에서 **게이지 변환군**(gauge變換群, 영어: group of gauge transformations)은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 **게이지 변환**(gauge變換, 영어: gauge transformation)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

정의
--

### 함수로서의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M

그렇다면, P의 **게이지 변환**은 P의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

{\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)}
가운데, 등변 함수 조건

{\displaystyle \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\qquad \forall (p,g)\in P\times G}
을 만족시키는 것이다.:539, (2.1) 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\overset {(\cdot )}{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!(\phi ,\operatorname {id} )}\downarrow {\scriptstyle \color {White}(\phi ,\operatorname {id} )\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\phi }\downarrow {\scriptstyle \phi \!\!\!\!\!\!}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}}
두 게이지 변환 \phi ,\chi 는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

{\displaystyle (\phi \chi )(p)=\phi (p)\chi (p)}
그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 **게이지 변환군**이라고 한다.

### 연관 다발을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M

그렇다면, 연관 다발 {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times \_{G}G}을 취할 수 있다. 여기서 G의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 {\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}}이다.
이 올다발의 매끄러운 단면

{\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}
을 P의 **게이지 변환**이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.:539, §2

### 무한소 게이지 변환

게이지 변환군 {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)=\Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발

{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times \_{G}{\mathfrak {g}}}
의 매끄러운 단면

{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))}
의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, {\mathfrak {g}}의 리 괄호는 G의 딸림표현 작용에 공변이므로,

{\displaystyle [\operatorname {ad} (g)x,\operatorname {ad} (g)y]=\operatorname {ad} ([x,y])}
이는 {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))} 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 **무한소 게이지 변환**(영어: infinitesimal gauge transformation)으로 해석될 수 있다.

### 큰 게이지 변환

게이지 변환군 {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)}는 위상군이며, 그 연결 성분의 군

{\displaystyle \pi \_{0}(\operatorname {Aut} (P))={\frac {\operatorname {Aut} (P)}{\operatorname {Aut} \_{0}(P)}}}
을 정의할 수 있다. 이를 **큰 게이지 변환**(영어: large gauge transformation)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 {\displaystyle \operatorname {Aut} \_{0}(P)}의 원소를 **작은 게이지 변환**(영어: small gauge transformation)이라고 한다.

성질
--

### 연관 벡터 다발의 단면 위의 작용

임의의 M 위의 G의 유한 차원 실수 표현 G\to \operatorname {GL} (V)이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발

{\displaystyle E=P\times \_{G}V}
의 매끄러운 단면의 공간 {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)}은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.

{\displaystyle (\phi \cdot s)(x)=q(p,\phi (p)v)\qquad (s(x)=q(p,v),\;(p,v)\in P\times V)}
여기서

{\displaystyle q\colon P\times V\twoheadrightarrow P\times \_{G}V=E}
는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

### 주접속과 주곡률 위의 작용

매끄러운 다양체 M 위의 G-주다발 P\twoheadrightarrow M 위의 주접속 {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}이 주어졌다고 하자. P의 게이지 변환 {\displaystyle \phi \in \Gamma (\operatorname {Ad} (P))}는 주다발의 자기 동형

{\displaystyle \phi \_{\#}\colon P\to P}
{\displaystyle \phi \_{\#}\colon p\mapsto p\cdot \phi (p)}
를 정의하며, 따라서 주접속 위에도

{\displaystyle \phi \cdot A=\phi \_{\#}^{\*}A}
와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}의 곡률 {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})} 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle F\mapsto \phi \_{\#}^{\*}F}
반면, 예를 들어, 킬링 형식 {\displaystyle B(-,-)} 및 준 리만 계량 g에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 {\displaystyle B(F,F^{\#})\in \Omega ^{0}(M)}는 게이지 불변이다.

### 큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화

매끄러운 다양체 M 위의 주다발 P를 생각하자.

어떤 작용 S가 게이지 변환 {\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum \_{i}\int \_{M}F\_{i}\wedge \phi ^{\*}\alpha \_{i}}
{\displaystyle \alpha \_{i}\in \Omega ^{d\_{i}}(G)}, {\displaystyle ((-)^{g})^{\*}\alpha \_{i}=\alpha \_{i}} ({\displaystyle (-)^{g}\colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1}})
{\displaystyle \mathrm {d} \alpha \_{i}=0}
{\displaystyle F\_{i}\in \Omega ^{n-d\_{i}}(M)}
{\displaystyle \mathrm {d} F\_{i}=0}
여기서 \alpha \_{i}의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, {\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)}가 게이지 불변이려면), 항상

{\displaystyle \sum \_{i}\int \_{M}F\_{i}\wedge g^{\*}\alpha \_{i}\in \mathbb {Z} }
이어야 한다.

만약 g가 작은 게이지 변환이라면, \alpha \_{i}가 완전 미분 형식이 된다. 즉, {\displaystyle \alpha \_{i}=\mathrm {d} \beta \_{i}}라고 하면,

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum \_{i}\int \_{M}\mathrm {F} \_{i}\wedge \phi ^{\*}\mathrm {d} \beta \_{i}={\frac {1}{2\pi }}S+\sum \_{i}(-)^{(n-d\_{i})}\int \_{M}\mathrm {d} (F\_{i}\wedge \phi ^{\*}\beta \_{i})={\frac {1}{2\pi }}S}
가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 \alpha \_{i}가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서

{\displaystyle [M]\frown ([F\_{i}]\smile \operatorname {H} ^{d\_{i}}(M;\mathbb {R} ))\in \mathbb {Z} }
의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 {\displaystyle [M]\in \operatorname {H} \_{n}(M;\mathbb {R} )}는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약 {\displaystyle d\_{i}=n}일 경우, 이는

{\displaystyle F\_{i}\in \mathbb {Z} }
를 유도한다. 이 경우, 이 값 {\displaystyle F\_{i}\in \mathbb {Z} }를 **레벨**(영어: level)이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.

예
-

### 자명한 주다발

{\displaystyle P=M\times G}가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G}가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 {\displaystyle M\to G}가 된다.

**함수를 통한 정의:**

만약 {\displaystyle P=M\times G}가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}에 대응하는 게이지 변환은

{\displaystyle \phi (m,g)=g^{-1}\phi (m)g\qquad \forall (m,g)\in P=M\times G}
이다.

**연관 다발을 통한 정의:**

만약 {\displaystyle P=M\times G}가 자명한 주다발이라면, {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G}이다. 구체적으로, {\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}의 올을

{\displaystyle G\times \_{G}G={\frac {G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}}}
로 정의하면, 모든 동치류는

{\displaystyle (g,h)\sim (1,ghg^{-1})}
의 동치 관계 아래 {\displaystyle (1,g)}의 꼴의 대표원을 갖는다.

만약 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{n}}이 초구이며, {\displaystyle P=M\times G}가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 {\displaystyle \pi \_{n}(G)}과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{3}}이며, G가 콤팩트 단순 리 군일 경우, {\displaystyle \pi \_{3}(G)=\operatorname {Cyc} (\infty )} (무한 순환군)이 된다.

### 아벨 주다발

만약 G가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 P를 생각하자. 이 경우, G 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로

{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times \_{G}G=M\times G}
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 {\displaystyle M\to G}가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 {\displaystyle \Omega ^{1}(M)\otimes \_{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)}가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실 M 위의 리 대수 값 미분 형식 {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes \_{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)}가 되며, 이는 게이지 불변이다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Wockel, Christoph (2006). 《Infinite-dimensional Lie theory for gauge groups》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Karl-Hermann Neeb). Technische Universität Darmstadt.
2. 1 2  Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). "The Yang–Mills equations over Riemann surfaces". 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences》 (영어) **308** (1505): 523–615. doi:10.1098/rsta.1983.0017. JSTOR 37156.
3. ↑  Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 5월). "Topologically massive gauge theories". 《Annals of Physics》 (영어) **140** (2): 372–411. doi:10.1016/0003-4916(82)90164-6.