확률론에서 **마르코프 부등식**(영어: Markov’s inequality)은 음이 아닌 확률 변수가 어떤 양의 실수 이상일 확률의 상계를 제시하는 부등식이다. 확률과 기댓값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.

정의
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측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 위의 가측 함수 {\displaystyle f\colon X\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}가 주어졌다고 하자. **마르코프 부등식**에 따르면, 임의의 양의 실수 a\in {\mathbb R}^{+}에 대하여, 다음이 성립한다.:83, §3.1, Theorem 3.1.1

{\displaystyle \mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})\leq {\frac {1}{a}}\int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu }
특히, 확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 확률 변수 {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a\in {\mathbb R}^{+}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)}는 기댓값이다.

증명 (측도론의 언어):

{\displaystyle \int \_{X}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int \_{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int \_{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}a\mathrm {d} \mu =a\mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})}

증명 (확률론의 언어):

{\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\geq \operatorname {E} (|X1\_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}}|)\geq \operatorname {E} (a1\_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}})=a\operatorname {Pr} (|X|\geq a)}

따름정리
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### 크라메르 부등식

확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 확률 변수 {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))} 및 증가 가측 함수 {\displaystyle \phi \colon (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))\to (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a\in {\mathbb R}^{+}에 대하여, 다음이 성립한다.:84, §3.1, Corollary 3.1.4

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}}

증명:

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)=\operatorname {Pr} (|\phi (X)|\geq \phi (a))\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}}

만약 {\displaystyle \phi \colon x\mapsto x^{r}} (r\in\mathbb R^+)일 경우, 이는 다음과 같다.:83, §3.1, Corollary 3.1.2

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{a^{r}}}}
만약 {\displaystyle \phi \colon x\mapsto \exp(rx)} (r\in\mathbb R^+)일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 **크라메르 부등식**(영어: Cramer’s inequality)이라고 한다.:84, §3.1, Corollary 3.1.5

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {M\_{X}(r)}{\exp(ra)}}}
여기서 {\displaystyle M\_{X}(r)}는 모멘트 생성 함수이다.

### 체비쇼프 부등식

 이 부분의 본문은 체비쇼프 부등식입니다.
확률 공간 {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} 위의 적분 가능 확률 변수 {\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 a\in {\mathbb R}^{+}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)}는 분산이다.

역사
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마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.