이 문서는 순서론과 조합론에서, 결합 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 관한 것입니다. 결합법칙(영어: associativity)을 만족시키는 일반적인 대수에 대해서는 대수 (환론) 문서를 참고하십시오.
순서론에서 **근접 대수**(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.

정의
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**국소 유한 부분 순서 집합**(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 (P,\leq )가 주어지고, 임의의 a,b\in P에 대하여 폐구간

[a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}
가 유한집합이라면, (P,\leq )를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 (P,\leq )와, (단위원을 갖는) 가환환 R가 주어졌다고 하고, {\mathcal C}(P)\subset {\mathcal P}(P)가 P 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. P 위의, R 계수의 **근접 대수** I(P;R)는 {\mathcal C}(P)\to R 꼴의 함수들의 집합이다.

f\in I(P;R)에 대하여, 편의상 f([a,b])=f(a,b)로 쓰자. 또한, f\in I(P;R)는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, {\displaystyle f(a,b)}를 (무한할 수 있는) 행렬

{\displaystyle (f)\_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}}
로 생각할 수 있다.

### 점별 덧셈과 곱셈

근접 대수 I(P;R) 위에는 다음과 같은 R-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.

* (덧셈) (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)
* (곱셈) (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)

덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 {\displaystyle ((I(P;R),+,\cdot )}는 R-가환 대수를 이룬다. 즉, I(P;R)는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형

{\displaystyle R\hookrightarrow I(P;R)}
{\displaystyle r\mapsto ([a,b]\mapsto r)}
이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수

\zeta \in I(P;R)
{\displaystyle \zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P}
이며, 이를 **제타 함수**(영어: zeta function)라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

### 합성곱

또한, 근접 대수 I(P;R) 위에는 **합성곱**(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산 \*이 존재한다.

(f\*g)(a,b)=\sum \_{{a\leq x\leq b}}f(a,x)g(x,b)
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,

{\displaystyle (f\*g)\_{ab}=\sum \_{x}f\_{ax}g\_{xb}}
가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 **델타 함수** \delta \in I(P;R)이다.

\delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}
이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 {\displaystyle (I(P;R),+,\*)}는 R 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

체 계수의 근접 대수의 원소 f\in I(P;R)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* f는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
* 임의의 a\in P에 대하여 {\displaystyle f(a,a)\neq 0}이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 **뫼비우스 함수** \mu \in I(P;R)라고 하며 다음과 같다.

\mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum \_{{a\leq x<b}}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}
{\displaystyle \zeta \*\mu =\mu \*\zeta =\delta }
### 함수 위의 작용

국소 유한 부분 순서 집합 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle |\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph \_{0}\qquad \forall a\in P}
(P가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 {\displaystyle (I(P;R),+,\*)}는 P 위의, R 값을 갖는 함수의 집합 {\displaystyle R^{P}} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (f\*\phi )(a)=\sum \_{a\leq b}f(a,b)\phi (b)}
즉, {\displaystyle R^{P}}는 환 {\displaystyle (I(P;R),+,\*)}의 왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

{\displaystyle |\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph \_{0}\qquad \forall a\in P}
(P가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 {\displaystyle (I(P;R),+,\*)}는 P 위의, R 값을 갖는 함수의 집합 {\displaystyle R^{P}} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (f\*\phi )(b)=\sum \_{a\leq b}\phi (a)f(a,b)}
즉, {\displaystyle R^{P}}는 환 {\displaystyle (I(P;R),+,\*)}의 오른쪽 가군을 이룬다.

만약

{\displaystyle \chi =f\*\phi \qquad (\chi ,\phi \in R^{P},\;f\in I(P;R))}
이며, f가 합성곱 아래 역원을 갖는다면

{\displaystyle \phi =f^{-1}\*\chi }
가 된다. 특히, 만약 {\displaystyle f=\zeta }일 경우 {\displaystyle f^{-1}=\mu }이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

{\displaystyle \chi (a)=(\zeta \*\phi )(a)=\sum \_{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu \*\chi )(a)=\sum \_{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)}
마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

{\displaystyle \chi (b)=(\phi \*\zeta )(b)=\sum \_{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi \*\mu )(b)=\sum \_{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)}
이를 **뫼비우스 반전 공식**(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

예
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대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 R={\mathbb Z}이다.

| 집합 P | 부분 순서 a\le b | 뫼비우스 함수 \mu (a,b) | 반전 공식 |
| --- | --- | --- | --- |
| 양의 정수의 집합 \mathbb Z^+ | a는 b의 약수: {\displaystyle a\mid b} | \mu (b/a) (\mu (r)는 수론에서의 뫼비우스 함수) | 뫼비우스 반전 공식 |
| 음이 아닌 정수의 집합 {\mathbb N} | a\le b | {\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1<b\end{cases}} | 유한 차분의 기본 정리 {\displaystyle \Delta {\mathcal {I}}f=f} ({\displaystyle \Delta f(n)=f(n)-f(n-1)}는 유한 차분, {\displaystyle {\mathcal {I}}f(n)=f(0)+f(1)+\cdots +f(n)}) |
| 유한 집합 E의 멱집합 {\mathcal P}(E) | {\displaystyle a\subseteq b} | (-1)^{{|b\setminus a|}} | 포함배제의 원리 |
| 유한 집합 E의 분할들의 집합 | a가 b보다 더 세밀한 분할 | (-1)^{{|a|-|b|}}(2!)^{{|b|\_{3}}}(3!)^{{|b|\_{4}}}\cdots ((n-1)!)^{{|b|\_{{|a|}}}}. |a|는 a의 블록 수, |b|는 b의 블록 수, |b|\_{i}는 정확하게 i개의 a-블록들을 포함하는 b-블록들의 수 |  |

역사
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잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Rota, Gian-Carlo (1964). "On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions" (PDF). 《Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete》 (영어) **2** (4): 340–368. doi:10.1007/BF00531932. ISSN 0044-3719. Zbl 0121.02406.

* Spiegel, Eugene; O’Donnell, Christopher J. (1997). 《Incidence algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) **206**. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-0036-2.
* Chen, Nanxian (2010년 4월). 《Möbius inversion in physics》. Tsinghua Report and Review in Physics (영어) **1**. World Scientific. doi:10.1142/7560. ISBN 978-981-4291-62-0.