작용소 이론에서 **대칭 작용소**(對稱作用素, 영어: symmetric operator)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} (실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
* {\displaystyle \mathbb {K} }-위상 벡터 공간 E
* E의 조밀 부분 벡터 공간 \operatorname {dom}A
* {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to E^{\*}}

만약 A가 다음 조건을 만족시킨다면, A를 **대칭 작용소**라고 한다.

{\displaystyle \langle Ax|y\rangle ={\overline {\langle Ay|x\rangle }}\qquad \forall x,y\in \operatorname {dom} A}
여기서

* E^{\*}는 E의 연속 쌍대 공간이다.
* {\displaystyle {\bar {\color {White}a}}\colon \mathbb {K} \to \mathbb {K} }는 {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }일 경우 복소켤레이며, {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }일 경우 항등 함수이다.
* \langle |\rangle 는 E와 E^{\*} 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

### 힐베르트 공간의 경우

H가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 {\displaystyle H\cong H^{\*}}이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

{\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 {\displaystyle (H,\langle \cdot |\cdot \rangle )}의 조밀 부분 벡터 공간 {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq H}에 정의된 선형 변환

{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:58–59

* A는 대칭 작용소이다.
* 모든 u,v\in \operatorname {dom}A에 대하여, {\displaystyle \langle u|A|v\rangle =\langle Au|v\rangle }이다.
* \operatorname {dom}A\subset \operatorname {dom}A^{\*}이며, 모든 u\in \operatorname {dom}A에 대하여 Au=A^{\*}u이다. 여기서 A^{\*}는 에르미트 수반이다.

힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 \operatorname {dom}A\subset \operatorname {dom}A^{\*}이며, 따라서 \operatorname {dom}A^{\*} 역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소 A의 경우, {\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{\*}}일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, **자기 수반 작용소**의 개념을 얻는다.

성질
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### 함의 관계

힐베르트 공간 H의 조밀 부분 벡터 공간 D 위에 정의된 작용소 {\displaystyle D\to H}들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 자기 수반 작용소 | ⊂ | 대칭 작용소 | ⊂ | 작용소 |
| ∪ |  | ∪ |  | ∪ |
| 유계 자기 수반 작용소 | = | 유계 대칭 작용소 | ⊂ | 유계 작용소 |

여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 {\displaystyle D=H}이다. 즉, **헬링거-퇴플리츠 정리**(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.:67

유한 차원 힐베르트 공간 {\mathbb C}^{n} 위의 작용소 A에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

* A는 대칭 작용소이다.
* A는 자기 수반 작용소이다.
* A의 행렬은 에르미트 행렬이다.

### 결점 지표

복소수 힐베르트 공간 H 위의 대칭 작용소

{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
를 생각하자. 즉, 부분 공간

{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} A^{\*}\subseteq H}
이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.

{\displaystyle N\_{\pm }=\operatorname {im} (A\pm \mathrm {i} )^{\perp }=\left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname {dom} A\colon \langle y|A|x\rangle =-\mathrm {i} \langle y|x\rangle \right\}}
이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원

{\displaystyle \dim N\_{\pm }}
을 A의 **결점 지표**(缺點指標, 영어: deficiency index)라고 한다.

**폰 노이만 공식**(영어: von Neumann formula)에 따르면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle N\_{\pm }=\ker(A^{\*}\mp \mathrm {i} )}
### 대칭 확장

{\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 H 위의 대칭 작용소 {\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}의 **대칭 확장**(對稱擴張, 영어: symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소 {\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to H}이다. 이 경우 {\displaystyle A\subseteq {\tilde {A}}}라고 표기하자.

* {\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}}
* \forall v\in \operatorname {dom}A\colon Av={\tilde A}v

즉, 이는

{\displaystyle \operatorname {graph} A\subseteq \operatorname {graph} {\tilde {A}}\subseteq H\oplus H}
인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해, H 위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 A의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.:81–84

{\displaystyle U\colon N\_{+}\to N\_{-}}
특히, A가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.

{\displaystyle \dim N\_{+}=\dim N\_{-}}
또한, A가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.

{\displaystyle 0=\dim N\_{+}=\dim N\_{-}}

예
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다음을 생각하자.

{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )}
{\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H}
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
{\displaystyle A\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
그렇다면, A는 대칭 작용소이다. 이 경우, {\displaystyle N\_{\pm }}은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.

{\displaystyle \mp {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}
이는 각각 1차원이며, 구체적으로

{\displaystyle N\_{\pm }=\operatorname {Span} \{x\mapsto \exp(\mp x)\}}
이다. 따라서 A는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 {\displaystyle \operatorname {U} (1)}과 동형이다.

구체적으로,

{\displaystyle \operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H}
{\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} A\to H}
{\displaystyle {\tilde {A}}\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
을 생각하자. 이는 A의 대칭 확장인데, 이 경우 {\displaystyle N\_{+}({\tilde {A}})=N\_{-}({\tilde {A}})=0}이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **99**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.

* 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1.
* Berezin, F. A.; M. A. Shubin (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer.
* Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press.
* Bonneau, Guy; Jacques Faraut, Galliano Valent (2001). "Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics". 《American Journal of Physics》 (영어) **69**: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)