오일러 평면에 나타낸 쌍곡 좌표계: 같은 파란색 직선에 있는 모든 점은 같은 좌표값 *u*를 공유하고, 같은 빨간색 쌍곡선에 있는 모든 점은 같은 좌표값 *v*를 공유한다.
수학에서 **쌍곡 좌표계**(영어: hyperbolic coordinates)는 직교 좌표 평면의 제 1사분면에 있는 점들을 위치시키는 방법이다.

{\displaystyle \{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q}.
쌍곡 좌표계는 다음과 같이 정의된 쌍곡면의 값을 가진다:

{\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}.
*HP*에 있는 이 좌표계는 *Q*에 있는 정비례의 로그 비교 연구와 정비례의 편차 측정 연구에서 유용하다.

Q에 있는 (x,y)에 대해서 u와 v는 다음과 같다:

{\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}
{\displaystyle v={\sqrt {xy}}}
매개변수 *u*는 (*x, y*)의 쌍곡선각이고 *v*는 *x*와 *y*의 기하 평균이다.

역 변환은 다음과 같다:

{\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}.
함수 {\displaystyle Q\rightarrow HP}는 연속 함수지만 해석 함수는 아니다.

다른 사분면 측도
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*HP*는 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델의 측도 공간 구조를 가져오기 때문에, 전단사 대응 {\displaystyle Q\leftrightarrow HP}는 이 구조를 *Q*로 가져온다. 쌍곡 이동의 표기법을 통해서 쓸 수 있다. *HP*에 있는 측지선은 경계를 중심으로 하는 반원이기 때문에, *Q*에 있는 측지선은 대응점에서 얻을 수 있고 윈점에서 출발하는 반직선이나 원점에서 떠나고 원점으로 재진입하는 꽃잎 모양의 곡선으로 바뀐다. 좌우 이동으로 주어진 *HP*의 쌍곡 이동은 *Q*에 누름 변환을 적용시킨 것에 대응한다.

*Q*에 있는 쌍곡선은 *HP*의 경계에 평행한 직선에 대응하기 때문에, *Q*의 측도 기하학에서는 호로사이클(영어: horocycle)이다.

평면의 유클리드 위상과 *Q*를 상속받은 위상만을 고려하면, *Q*에 제한된 직선은 *Q*에 가까워 보인다. 측도 공간 *HP*에서 보면 열린 집합 *Q*가 경계로 대응하는 원점을 유일하게 가진다는 것을 나타낸다. 실제로 *HP*의 경계 *R*과 수직인 반직선인 *Q*의 원점에서 나가는 반직선과 그 이미지를 생각하라. *HP*에 있는 어떤 점이든지 *R*의 수직선의 최하부에 있는 점 *p*에 대해서 무한한 거리를 가지지만, 이 수직선에 있는 점의 수열은 *p*의 방향으로 나아가는 경향이 있을 수 있다. *Q*에 있는 대응하는 수열은 원점을 향하는 반직선을 따르는 경향이 있다. *Q*의 고전 유클리드 경계는 더 이상 관련이 없다.

물리학의 적용
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기본 물리학적 변수는 종종 *k* = *x y*의 형태의 방정식에 관여된다. 예를 들면, *V* = *I R* (옴의 법칙), *P* = *V I* (전력), *P V* = *k T* (이상기체 법칙), 그리고 *f* λ = *v* (파동에서 파장, 주파수, 그리고 속도의 관계)가 있다. *k*가 상수일 경우, 다른 변수는 적절한 *Q* 사분면의 호로사이클인 쌍곡선에 있다.

예를 들어, 열역학에서 등온과정은 명시적으로 쌍곡선 궤적을 따르고 일은 쌍곡선각의 변화로 해석할 수 있다. 비슷하게, 부피가 변하는 기체의 질량 *M*이 주어졌을 때 밀도 δ = *M / V*이고, 이상기체 법칙은 *P = k T* δ로 쓸 수 있어서 등적과정 궤적은 절대온도와 기체 밀도의 사분면의 쌍곡선이다.

상대성 이론에서의 쌍곡 좌표계에 대해서는 역사 문단을 참고하라.

통계적 적용
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* 사분면에서 인구 밀도의 비교 연구는 참조 국가, 지역, 또는 도시 영역의 인구와 면적을 점 (1,1)로 설정하는 것에서 시작한다.
* 간접 민주제인 지역의 선출된 대표의 분석은 비교를 위한 표준을 설정하는 것이다: 규모와 (대리인의) 슬레이트 규모가 사분면의 (1,1)에 있는 특정 대표 그룹이다.

경제학적 적용
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경제학에서 쌍곡 좌표계의 필연적인 적용이 있다:

* 통화 환율 변동의 해석:

단위 통화를 {\displaystyle x=1}로 둔다. 가격 통화는 y에 대응한다. {\displaystyle 0<y<1}일 때, 양의 쌍곡선각 {\displaystyle u>0}를 찾는다. *변동*에 대해서 사로운 가격을 잡는다:

{\displaystyle 0<z<y}.
그러면 *u*의 변화는 다음과 같다:

{\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}}.
환율 변동을 쌍곡선각으로 정량화하는 것은 객관적이고 대팅적이며 일관적인 측도를 제공한다. {\displaystyle \Delta u}는 통화 변동의 쌍곡 이동의 수평 이동 거리이다.

* 장바구니 가격의 인플레이션이나 디플레이션의 해석.
* 복점에서 시장점유율의 변화의 정량화.
* 회사 주식 분할 대 자사주매입.

역사
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The 기하 평균은 오래된 개념이지만 쌍곡선각이 이 개념에서 그레고이르 드 세인트 빈센트(G. de Saint-Vincent)에 의해 만들어졌다. 그는 직각 쌍곡선 *y* = 1/*x*에 대해서 구적법을 하려고 시도하던 중이였다. 이 문제는 아르키메데스가 포물선의 구적법을 풀기 전 까지는 미해결 문제로 남아있었다. 단위 정사각형에서 원점의 반대쪽에 있는 (1,1)을 지난다. 곡선의 다른 점은 이 정사각형과 면적이 같은 직사각형으로 볼 수 있다. 이런 직사각형은 정사각형에 누름 변환을 가해서 얻을 수 있다. 이런 변환을 보기 위한 방법은 쌍곡선 영역을 통한 것이다. 레온하르트 오일러의 *Introduction to the Analysis of the Infinite* (1748)에 따라 단위 면적의 쌍곡선 영역은 (1,1)에서 시작해서 (e, 1/e)에서 끝나고, 이 때 e는 2.71828...이다.

(e, 1/e)을 단위 면적을 가지는 직사각형의 꼭짓점으로 두고, 단위 정사각형을 그 사각형으로 만드는 누름 변환을 다시 적용 시키면 {\displaystyle (e^{2},\ e^{-2})}을 얻는다. 일반적으로 누름 변환을 n번 적용하면 {\displaystyle (e^{n},\ e^{-n})}을 얻는다. 알퐁스 안토니오 드 사라사(A. A. de Sarasa)는 그레고이르 드 세인트 빈센트의 발견과 유사하게 기하수열에서 가로 좌표가 늘어남에 따라 쌍곡선의 면적의 합은 등차수열로 증가하고, 이 특성은 곱셈을 덧셈으로 줄여주는 **로그**에 대응한다는 발견을 했다. 오일러의 작업은 자연로그를 표준 수학적 도구로, 그리고 고등 수학을 초월 함수의 영역으로 만들었다. 쌍곡 좌표계는 쌍곡선의 구적법을 제공하고 대수함수의 한계를 초월한 그레고이르 드 세인트 빈센트의 원본 그림을 기반으로 한다.

특수 상대성이론에서 관심은 주어진 고유시간 이후에 다양한 속도로 도달할 수 있는 미래 시공간의 3차원 초표면에 있다. 월터 스콧 은 1907년 11월에 헤르만 민코프스키가 Göttingen Mathematical Society에서 이야기 하던 중에 사차원이 아니라 잘 알려진 삼차원 쌍곡 기하학을 언급했다고 설명한다. 표준 입문 우주단위 상대성 이론에 대한 교과서의 저자인 볼프강 린들러에 대한 경의를 표하며, 시공간의 쌍곡 좌표계는 린들러 좌표계라고 부른다.

참고 문헌
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1. ↑  Walter (1999) page 6
2. ↑  Walter (1999) page 8

* David Betounes (2001) *Differential Equations: Theory and Applications*, page 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 .
* Scott Walter (1999). "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity" Archived 2013년 10월 16일 - 웨이백 머신. Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), *The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930*, pp. 91–127. Oxford University Press. ISBN 0-19-850088-2.