E8의 딘킨 도표
리 군론에서 **E8**은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다. 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(split), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

정의
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E8은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

### SO(16)을 통한 정의

E8의 리 대수 \mathfrak e\_8은 다음과 같이 정의될 수 있다. \mathfrak e\_8의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, {\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{8}\supsetneq {\mathfrak {o}}(16)}에 의하여, \mathfrak e\_8의 248차원 딸림표현은 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}의 {\displaystyle \textstyle {\binom {16}{2}}=120}차원 딸림표현과 \mathfrak{so}(16)의 {\displaystyle 2^{16/2-1}=128}차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Spin} (16)}의 스피너 공간을 V라고 할 때,

{\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{8}={\mathfrak {so}}(16;\mathbb {R} )\oplus V}
가 된다.

구체적으로, {\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}의 생성원을 J\_{{ij}}로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너 Q\_{a} 위에 다음과 같이 작용한다.

[J\_{{ij}},J\_{{k\ell }}]=\delta \_{{jk}}J\_{{i\ell }}-\delta \_{{j\ell }}J\_{{ik}}-\delta \_{{ik}}J\_{{j\ell }}+\delta \_{{i\ell }}J\_{{jk}}
[J\_{{ij}},Q\_{a}]={\frac 14}(\gamma \_{i}\gamma \_{j}-\gamma \_{j}\gamma \_{i})\_{{ab}}Q\_{b},
여기서 \gamma \_{i}는 16차원 디랙 행렬이다.

이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.

[Q\_{a},Q\_{b}]=\gamma \_{{ac}}^{{[i}}\gamma \_{{cb}}^{{j]}}J\_{{ij}}
이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 ({\displaystyle \operatorname {SO} (0,16),\dotsc ,\operatorname {SO} (8,8),\operatorname {SO} ^{\*}(16)}) 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 필요 충분 조건은 부호수 (p,q)에 대하여 {\displaystyle p\equiv q{\pmod {8}}}인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은 {\displaystyle (p,q)\in \{(0,16),\;(4,12),\;(8,8)\}} 밖에 없다. 로마자 부호로 이들은

{\displaystyle \operatorname {SO} (16)={\mathsf {D}}\_{8(-120)}} (콤팩트)
{\displaystyle \operatorname {SO} (4,12)={\mathsf {D}}\_{8(-24)}}
{\displaystyle \operatorname {SO} (8,8)={\mathsf {D}}\_{8(8)}} (분할)
이며, 이들은 각각 E8의 세 실수 형식 E8(−248) (콤팩트), E8(−24), E8(8) (분할)에 대응한다.

### 기타 정의

E8은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.:§4.6

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.

### 실수 형식

E8은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

| 기호 | 다른 기호 | 설명 | 기본군 | 외부자기동형군 | 극대 콤팩트 리 부분군 | 사타케 도표 | 보건 도표 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| E8(−248) |  | 콤팩트 형식 | 1 | 1 | E8(−248) | {\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet } | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ } |
| E8(8) | EⅧ | 갈린(split) 형식 | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | 1 | PSpin(16) | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ } | {\displaystyle \bullet -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ } |
| E8(−24) | EⅨ |  | {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} | 1 | (E7×SU(2)) / (−1,−1) | {\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\circ -\circ -\circ } | {\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\bullet } |

성질
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### 대수적 성질

E8의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.

* (E\_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2).:§5.7 이는 E8의 \mathbb {Z} /2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}
* \operatorname{Spin}(16)/(\mathbb Z/2).:§5.7 이는 E8의 또다른 \mathbb {Z} /2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}
* (E\_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3).:§5.10 이는 E8의 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet\qquad\bullet-{\scriptstyle\otimes}
* \operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3).:§5.11 이는 E8의 또다른 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}
* (\operatorname{SU}(5)\times\operatorname{SU}(5))/(\mathbb Z/5).:§5.12 이는 E8의 \mathbb Z/5 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle \otimes 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ 을 제거하여 얻는다.
{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}\qquad \bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}

### 위상수학적 성질

E8의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.

\pi\_3(E\_8)\cong\pi\_{15}(E\_8)\cong\mathbb Z
\pi\_n(E\_8)\cong0,\qquad n<15,n\ne3
\mathfrak e\_8의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E8의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

### 근계

E8의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E8의 240개의 근들은 고른 폴리토프 421을 이룬다.
E8의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E8의 SO(16) 부분군을 사용하면, E8 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* 다음과 같은 꼴의 {\displaystyle 2\cdot \textstyle {\binom {8}{2}}+8\cdot 7=112}개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):
{\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0)}의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)
* 다음과 같은 꼴의 {\displaystyle 2^{8}/2=128}개의 근 (이는 SO(16)의 **128** 스피너 표현의 무게를 이룬다):
{\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)} (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들

E8의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 421의 꼭짓점을 이룬다.

E8의 바일 군은 크기가 214×35×52×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Weyl} (E\_{8})\cong \operatorname {O} ^{+}(8;\mathbb {F} \_{2})}
이는 2차 순환군 \mathbb {Z} /2를 크기가 174182400인 유일한 단순군 {\displaystyle \operatorname {PS\Omega } ^{+}(8;\mathbb {F} \_{2})}로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 \mathbb {Z} /2로 확대한 것이다.:85

E8의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (영어: simply laced). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.

{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }
E8의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 \scriptstyle \otimes 로 표기한 꼭짓점이 추가된다.

{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\scriptstyle \otimes }
### 표현론

E8의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121732).:113, Table 53

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…
E8의 바일 군은 v\mapsto-v를 포함하므로, E8은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E8의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E8은 사원수 표현을 갖지 않는다.

E8의 기본 표현은 **248**, **3875**, **30380** , **147250**, **6696000**, **2450240**, **146325270**, **6899079264**이다. 이 가운데 가장 작은 **248**은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.:112, Table 53

{\displaystyle \mathbf {3875} -\mathbf {6696000} -{\overset {\displaystyle \mathbf {147250} \atop \displaystyle |}{\mathbf {6899079264} }}-\mathbf {146325270} -\mathbf {2450240} -\mathbf {30380} -\mathbf {248} }
E8의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.:112, Table 53

\mathbf{248}\_{E\_8}\to(\mathbf{133},\mathbf1)\_{E\_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3)\_{E\_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{56},\mathbf2)\_{E\_7\times\operatorname{SU}(2)}
\mathbf{248}\_{E\_8}\to(\mathbf{78},\mathbf1)\_{E\_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)\_{E\_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)\_{E\_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\overline{\mathbf3})\_{E\_6\times\operatorname{SU}(3)}
{\displaystyle \mathbf {248} \_{E\_{8}}\to \mathbf {120} \_{\operatorname {SO} (16)}\oplus \mathbf {128} \_{\operatorname {SO} (16)}}
{\displaystyle \mathbf {248} \_{E\_{8}}\to \mathbf {80} \_{\operatorname {SU} (9)}\oplus \mathbf {84} \_{\operatorname {SU} (9)}\oplus {\overline {\mathbf {84} }}\_{\operatorname {SU} (9)}}
{\displaystyle \mathbf {248} \_{E\_{8}}\to (\mathbf {24} ,\mathbf {1} )\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {24} )\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {5} ,{\overline {\mathbf {10} }})\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus ({\overline {\mathbf {5} }},\mathbf {10} )\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {10} ,\mathbf {5} )\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus ({\overline {\mathbf {10} }},{\overline {\mathbf {5} }})\_{\operatorname {SU} (5)^{2}}}
### 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {e}}\_{8}(\mathbb {Z} )} 및 군 {\displaystyle E\_{8}(\mathbb {Z} )}을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 R에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 \mathbb {F} \_{q}에 대한 계수의 슈발레 군 {\displaystyle E\_{8}(\mathbb {F} \_{q})}의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |E\_{8}(\mathbb {F} \_{q})|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{8}-1)(q^{2}-1)}
이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A008868)

{\displaystyle |E\_{8}(\mathbb {F} \_{2})|\approx 3.38\times 10^{74}}
{\displaystyle |E\_{8}(\mathbb {F} \_{3})|\approx 1.88\times 10^{118}}
{\displaystyle |E\_{8}(\mathbb {F} \_{2})|}는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는 에 수록된 마지막 군이다.

역사
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빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E8이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

응용
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잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E8×E8의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E8은 E6, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E8 가운데 하나는 자연스럽게 E6로 깨지게 된다.