양자 정보 이론및 양자 광학에서 **슈뢰딩거-HJW 정리**는 순수 양자 상태의 앙상블로서 양자계의 섞인 상태 를 실현하고 밀도 연산자의 해당 순화 사이의 관계에 대한 결과이다. 이 정리는 물리학자 에르빈 슈뢰딩거와윌리엄 우터스 및 수학자 레인 휴스턴, 리차드 조자의 이름을 따서 명명되었다. 이 결과는 또한 니콜라스 기신과 Nicolas Hadjisavvas(부분적이긴 하지만)에 의해 독립적으로 발견되었으며, 에드윈 제인스의 작업을 기반으로 구축되었으며, 그 중 상당 부분도 마찬가지로 데이비드 머민에 의해 독립적으로 발견되었다. 복잡한 역사로 인해 **GHJW 정리**, **HJW 정리**, **순화 정리** 등 다양한 이름으로도 알려져 있다.

섞인 양자 상태의 순화
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{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{S}}이 유한차원 복소 힐베르트 공간이라 하자. 다음 형식으로 분해되는


ρ
=

∑

i

p

i

|

ϕ

i

⟩

⟨

ϕ

i

|

{\displaystyle \rho =\sum \_{i}p\_{i}|\phi \_{i}\rangle \!\langle \phi \_{i}|}

{\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \!\langle \phi _{i}|}{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{S}}에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 {\displaystyle \rho }를 고려한다. 여기서 {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle \in {\mathcal {H}}\_{S}}는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들과 계수들은 {\textstyle \sum \_{i}p\_{i}=1}이고 {\displaystyle p\_{i}\geq 0}이다. 임의의 양자 상태는 적당한 {\displaystyle \{|\phi \_{i}\rangle \}\_{i}}과 {\displaystyle \{p\_{i}\}\_{i}}에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다. 임의의 그러한 {\displaystyle \rho }는 순화 될 수 있다. 즉, 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현*된다*. 보다 정확하게는 (유한차원) 힐베르트 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{A}}과 {\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} \_{A}(|\Psi \_{SA}\rangle \!\langle \Psi \_{SA}|)}인 순수 상태 {\displaystyle |\Psi \_{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}\_{S}\otimes {\mathcal {H}}\_{A}}을 찾는 것이 항상 가능하다. 더욱이, 이것을 만족시키는 상태 {\displaystyle |\Psi \_{SA}\rangle }들은 모두 그리고 오직 다음 형식의 것들뿐이다.



|

Ψ

S
A

⟩
=

∑

i


p

i


|

ϕ

i

⟩
⊗

|

a

i

⟩

{\displaystyle |\Psi \_{SA}\rangle =\sum \_{i}{\sqrt {p\_{i}}}|\phi \_{i}\rangle \otimes |a\_{i}\rangle }

{\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }여기서 {\displaystyle \{|a\_{i}\rangle \}\_{i}\subset {\mathcal {H}}\_{A}}는 직교 기저이다. 이 상태 {\displaystyle |\Psi \_{SA}\rangle }는 '{\displaystyle \rho }의 순화'라고 부른다. 보조 공간과 기저를 임의로 선택할 수 있기 때문에 섞인 상태의 순화는 유일하지 않다. 사실, 주어진 섞인 상태에 대해 무한히 많은 순화가 있다. 한 쌍의 순화 {\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}\_{S}\otimes {\mathcal {H}}\_{A}}가 주어지면 그들 모두는 위에 주어진 형태의 분해를 인정하기 때문이다. 항상 다음과 같은 유니터리 연산자 {\displaystyle U:{\mathcal {H}}\_{A}\to {\mathcal {H}}\_{A}}가 있다. 



|

Ψ
′

⟩
=
(
I
⊗
U
)

|

Ψ
⟩

{\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle }

{\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle }

정리
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순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 {\textstyle \rho =\sum \_{i}p\_{i}|\phi \_{i}\rangle \langle \phi \_{i}|}, {\textstyle \rho =\sum \_{j}q\_{j}|\varphi \_{j}\rangle \langle \varphi \_{j}|}과 함께섞인 양자 상태 {\displaystyle \rho }를 고려하자. 여기서 {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle }들과 {\displaystyle |\varphi \_{j}\rangle }들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 다음과 같이 섞인 상태 {\displaystyle \rho }의 두 가지 해당 순화가 있을 것이다.

* 순화 1: {\displaystyle |\Psi \_{SA}^{1}\rangle =\sum \_{i}{\sqrt {p\_{i}}}|\phi \_{i}\rangle \otimes |a\_{i}\rangle } ;
* 순화 2: {\displaystyle |\Psi \_{SA}^{2}\rangle =\sum \_{j}{\sqrt {q\_{j}}}|\varphi \_{j}\rangle \otimes |b\_{j}\rangle } .

집합 {\displaystyle \{|a\_{i}\rangle \}}과 {\displaystyle \{|b\_{j}\rangle \}}는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환, 즉 {\displaystyle |\Psi \_{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U\_{A})|\Psi \_{SA}^{2}\rangle }인 유니터리 행렬 {\displaystyle U\_{A}}이 존재한다는 점에서만 다르다. 그러므로, {\textstyle |\Psi \_{SA}^{1}\rangle =\sum \_{j}{\sqrt {q\_{j}}}|\varphi \_{j}\rangle \otimes U\_{A}|b\_{j}\rangle }이다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

참고문헌
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371.
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