유도된 시공간 곡률
물리학에서 **휘어진 시공간의 맥스웰 방정식**(영어: Maxwell's equations in curved spacetime)은 휘어진 시공(민코프스키 계량이 아닐 수 있는 일반적 시공)에서 전자기장의 역학을 지배한다. 이러한 방정식은 일반적으로 평평한 시공간의 국소 좌표로 공식화되는 진공에서 맥스웰 방정식의 일반화로 볼 수 있다. 그러나 일반 상대성이론에서 전자기장(또는 일반적으로 에너지/물질)이 존재하면 시공간의 곡률을 야기하기 때문에, 평평한 시공간에서의 맥스웰 방정식은 편리한 근사로 보아야 한다.

벌크 물질이 있는 상태에서 작업할 때 자유 전하와 속박 전하를 구별하면 분석을 용이하게 할 수 있다. 이러한 구분이 이루어지면 거시적 맥스웰 방정식이라고 한다. 이러한 구분이 없으면 거시적 맥스웰 방정식에 대조하여 "미시적" 맥스웰 방정식이라고도 한다.

전자기장은 좌표 독립적인 기하학적 설명을 허용하며 이러한 기하학적 객체로 표현된 맥스웰 방정식은 곡선이든 아니든 모든 시공간에서 동일하다. 또한 직선이 아닌 국소 좌표계를 사용할 때 민코프스키 공간의 방정식에 동일한 수정이 이루어진다. 예를 들어, 이 글의 방정식을 사용하여 구면좌표계로 맥스웰 방정식을 작성할 수 있다. 이러한 이유로 민코프스키 공간에서 맥스웰 방정식을 일반 공식화의 특수한 경우로 생각하는 것이 유용할 수 있다.

요약
--

일반 상대성이론에서 계량 텐서 {\displaystyle g\_{\alpha \beta }}는 더 이상 상수가 아니고 공간과 시각에 따라 달라질 수 있다. 진공에서 전자기 방정식은

{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{\alpha \beta }&=\partial \_{\alpha }A\_{\beta }-\partial \_{\beta }A\_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu \_{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F\_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\partial \_{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f\_{\mu }&=F\_{\mu \nu }\,J^{\nu }\end{aligned}}}
이며, 여기서 {\displaystyle f\_{\mu }}는 로런츠 힘의 밀도, {\displaystyle g^{\alpha \beta }}는 계량 텐서 {\displaystyle g\_{\alpha \beta }}의 역이다. 그리고 g는 계량 텐서의 행렬식이다. A\_\alpha와 {\displaystyle F\_{\alpha \beta }}는 일반적 텐서인 반면 {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}, {\displaystyle J^{\nu }}, {\displaystyle f\_{\mu }}는 가중치 +1의 텐서 밀도임을 주의하라. 편도함수가 포함되어 있음에도, 이러한 방정식은 임의의 휘어진 좌표 변환에 대해서 변하지 않는다. 따라서 편도함수를 공변 도함수로 대체하면 그에 따라 도입된 추가 항이 사라진다.

전자기 퍼텐셜
-------

전자기 퍼텐셜은 전자기학의 특정되지 않은 근원인 공변량 벡터 *{\displaystyle A\_{\alpha }}*이다. 이는 공변 벡터이기 때문에 다음과 같이 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환된다.

{\displaystyle {\bar {A}}\_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A\_{\gamma }(x).}

전자기장
----

전자기장은 차수 2의 공변 반대칭 텐서이며, 다음과 같이 전위로 정의할 수 있다:



F

α
β

=

∂

α

A

β

−

∂

β

A

α

.

{\displaystyle F\_{\alpha \beta }=\partial \_{\alpha }A\_{\beta }-\partial \_{\beta }A\_{\alpha }.}

{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}이 방정식이 불변임을 확인하기 위해 텐서의 고전적 처리에 설명된 대로 좌표를 변환한다.





F
¯

α
β


=

∂

A
¯

β

∂

x
¯

α


−

∂

A
¯

α

∂

x
¯

β



=

∂

∂

x
¯

α



(

∂

x

γ

∂

x
¯

β



A

γ

)

−

∂

∂

x
¯

β



(

∂

x

δ

∂

x
¯

α



A

δ

)


=

∂

2

x

γ

∂

x
¯

α

∂

x
¯

β



A

γ

+

∂

x

γ

∂

x
¯

β



∂

A

γ

∂

x
¯

α


−

∂

2

x

δ

∂

x
¯

β

∂

x
¯

α



A

δ

−

∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

A

δ

∂

x
¯

β



=

∂

x

γ

∂

x
¯

β



∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

A

γ

∂

x

δ


−

∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

x

γ

∂

x
¯

β



∂

A

δ

∂

x

γ



=

∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

x

γ

∂

x
¯

β



(

∂

A

γ

∂

x

δ


−

∂

A

δ

∂

x

γ



)


=

∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

x

γ

∂

x
¯

β



F

δ
γ

.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}\_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}\_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}\_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A\_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A\_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A\_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A\_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A\_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A\_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A\_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A\_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A\_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A\_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F\_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}이 정의는 전자기장이 다음을 만족한다는 것을 의미한다.



∂

λ

F

μ
ν

+

∂

μ

F

ν
λ

+

∂

ν

F

λ
μ

=
0
,

{\displaystyle \partial \_{\lambda }F\_{\mu \nu }+\partial \_{\mu }F\_{\nu \lambda }+\partial \_{\nu }F\_{\lambda \mu }=0,}

{\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}이 방정식은 패러데이 전자기 유도 법칙과 자기에 대한 가우스 법칙을 통합한다. 이것은 



∂

λ

F

μ
ν

+

∂

μ

F

ν
λ

+

∂

ν

F

λ
μ

=

∂

λ

∂

μ

A

ν

−

∂

λ

∂

ν

A

μ

+

∂

μ

∂

ν

A

λ

−

∂

μ

∂

λ

A

ν

+

∂

ν

∂

λ

A

μ

−

∂

ν

∂

μ

A

λ

=
0.

{\displaystyle \partial \_{\lambda }F\_{\mu \nu }+\partial \_{\mu }F\_{\nu \lambda }+\partial \_{\nu }F\_{\lambda \mu }=\partial \_{\lambda }\partial \_{\mu }A\_{\nu }-\partial \_{\lambda }\partial \_{\nu }A\_{\mu }+\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }A\_{\lambda }-\partial \_{\mu }\partial \_{\lambda }A\_{\nu }+\partial \_{\nu }\partial \_{\lambda }A\_{\mu }-\partial \_{\nu }\partial \_{\mu }A\_{\lambda }=0.}

{\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}에서 보여진다. 패러데이-가우스에는 64개의 방정식이 있는 것처럼 보이지만 실제로는 4개의 독립 방정식으로 축소된다. 전자기장의 반대칭성을 사용하여 항등식(0 = 0)으로 축소하거나 {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}가 {\displaystyle (1,2,3),(2,3,0),(3,0,1),(0,1,2)}인 방정식들만 제외하고 불필요한 방정식들을 정리한다.

패러데이-가우스 방정식은 때때로 다음과 같이 쓰여진다.



F

[
μ
ν
;
λ
]

=

F

[
μ
ν
,
λ
]

=

1
6

(

∂

λ

F

μ
ν

+

∂

μ

F

ν
λ

+

∂

ν

F

λ
μ

−

∂

λ

F

ν
μ

−

∂

μ

F

λ
ν

−

∂

ν

F

μ
λ

)
=

1
3

(

∂

λ

F

μ
ν

+

∂

μ

F

ν
λ

+

∂

ν

F

λ
μ

)
=
0
,

{\displaystyle F\_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F\_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial \_{\lambda }F\_{\mu \nu }+\partial \_{\mu }F\_{\nu \lambda }+\partial \_{\nu }F\_{\lambda \mu }-\partial \_{\lambda }F\_{\nu \mu }-\partial \_{\mu }F\_{\lambda \nu }-\partial \_{\nu }F\_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial \_{\lambda }F\_{\mu \nu }+\partial \_{\mu }F\_{\nu \lambda }+\partial \_{\nu }F\_{\lambda \mu })=0,}

{\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,}여기서 세미콜론은 공변 도함수를 나타내고 쉼표는 편미분을 나타내며 대괄호는 반대칭화를 나타낸다(표기법은 리치 미적분학 참조). 전자기장의 공변 도함수는 다음과 같다.



F

α
β
;
γ

=

F

α
β
,
γ

−

Γ

μ

α
γ

F

μ
β

−

Γ

μ

β
γ

F

α
μ

,

{\displaystyle F\_{\alpha \beta ;\gamma }=F\_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}\_{\alpha \gamma }F\_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}\_{\beta \gamma }F\_{\alpha \mu },}

{\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },}여기서 {\displaystyle \Gamma \_{\beta \gamma }^{\alpha }}는 아랫쪽 인덱스에서 대칭인 크리스토펠 기호이다.

전자기 변위
------

전기 변위 장 **D**와 보조 자기장 **H**는 가중치 +1의 반대칭 반변량 랭크-2 텐서 밀도를 형성하며, 진공 상태에서 다음과 같이 주어진다:

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu \_{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F\_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}
이 방정식은 계량(따라서 중력)이 전자기학 이론에 들어가는 유일한 곳이다. 또한 이 방정식은 척도 변화에 대해 불변이다. 즉, 계량에 상수를 곱해도 이 방정식에는 영향을 미치지 않는다. 결과적으로 중력은 사용 중인 전체 좌표계에 상대적인 빛의 속력을 바꾸므으로써 전자기에 영향을 미칠 수 있다. 빛은 무거운 물체 근처에서 더 느리기 때문에 중력에 의해서만 편향된다. 따라서 마치 중력이 거대한 물체 근처의 공간 굴절률을 증가시키는 것과 같다.

보다 일반적으로, 자화-분극 텐서가 0이 아닌 물질에서는,

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu \_{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F\_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.}
전자기 변위에 대한 변환 법칙은

{\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}
여기서 야코비안 행렬식이 사용된다. 자화-편극 텐서를 사용하면 전자기 변위와 같은 변환 법칙을 갖는다.

전류
--

전류는 전자기 변위의 발산이다. 진공 상태에서

{\displaystyle J^{\mu }=\partial \_{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}
자화-분극이 사용되는 경우 이는 전류의 자유 부분만 제공한다.

{\displaystyle J\_{\text{free}}^{\mu }=\partial \_{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}
이것은 앙페르 법칙과 가우스 법칙을 통합한다.

두 경우 모두 전자기 변위가 비대칭이라는 사실은 전류가 자동으로 보존됨을 의미한다.

{\displaystyle \partial \_{\mu }J^{\mu }=\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0.}
전류의 앙페르-가우스 정의는 전자기 전위(궁극적으로 도출된)에 값이 주어지지 않았기 때문에 그 값을 결정하기에 충분하지 않다. 대신 일반적인 절차는 전류를 다른 장(주로 전자 및 양성자)으로 표현한 다음 전자기 변위, 전자기장 및 전자기 포텐셜을 해결하는 것이다.

전류는 반변량 벡터 밀도이므로 다음과 같이 변환된다.

{\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}

이 변환 법칙을 유도하자:





J
¯

μ


=

∂

∂

x
¯

ν



(


D

¯

μ
ν

)


=

∂

∂

x
¯

ν



(

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

)


=

∂

2



x
¯

μ

∂

x
¯

ν

∂

x

α



∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

2



x
¯

ν

∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

x
¯

ν

∂

x

β



∂

D

α
β

∂

x
¯

ν


det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

∂

∂

x
¯

ν


det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]


=

∂

2



x
¯

μ

∂

x

β

∂

x

α



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

2



x
¯

ν

∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

D

α
β

∂

x

β


det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

∂

x
¯

ρ

∂

x

σ



∂

2

x

σ

∂

x
¯

ν

∂

x
¯

ρ



=
0
+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



∂

2



x
¯

ν

∂

x
¯

ν

∂

x

β



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



J

α

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

∂

x
¯

ρ

∂

x

σ



∂

2

x

σ

∂

x

β

∂

x
¯

ρ



=

∂

x
¯

μ

∂

x

α



J

α

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

+

∂

x
¯

μ

∂

x

α



D

α
β

det

[

∂

x

σ

∂

x
¯

ρ


]

(


∂

2



x
¯

ν

∂

x
¯

ν

∂

x

β


+

∂

x
¯

ρ

∂

x

σ



∂

2

x

σ

∂

x

β

∂

x
¯

ρ



)

.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}마지막으로 다음을 보여주는 것만 남았다:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0.}

이는 이미 미적분학에서 알려진 정리의 한 버전이다.





∂

2



x
¯

ν

∂

x
¯

ν

∂

x

β


+

∂

x
¯

ρ

∂

x

σ



∂

2

x

σ

∂

x

β

∂

x
¯

ρ



=


∂

x

σ

∂

x
¯

ν



∂

2



x
¯

ν

∂

x

σ

∂

x

β


+

∂

x
¯

ν

∂

x

σ



∂

2

x

σ

∂

x

β

∂

x
¯

ν



=


∂

x

σ

∂

x
¯

ν



∂

2



x
¯

ν

∂

x

β

∂

x

σ


+

∂

2

x

σ

∂

x

β

∂

x
¯

ν



∂

x
¯

ν

∂

x

σ



=



∂

∂

x

β



(

∂

x

σ

∂

x
¯

ν



∂

x
¯

ν

∂

x

σ



)


=



∂

∂

x

β



(

∂

x
¯

ν

∂

x
¯

ν


)


=



∂

∂

x

β



(

4

)


=

0.



{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}

로런츠 힘 밀도
--------

로런츠 힘의 밀도는 다음과 같이 주어진 공변량 벡터 밀도이다.



f

μ

=

F

μ
ν

J

ν

.

{\displaystyle f\_{\mu }=F\_{\mu \nu }J^{\nu }.}

{\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}중력과 전자기력에만 영향을 받는 시험 입자에 대한 힘은 다음과 같다.



d

p

α

d
t

=

Γ

α
γ

β

p

β


d

x

γ

d
t

+
q

F

α
γ


d

x

γ

d
t

,

{\displaystyle {\frac {dp\_{\alpha }}{dt}}=\Gamma \_{\alpha \gamma }^{\beta }p\_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF\_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}

{\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}여기서 *pα*는 입자의 선형 4차원 운동량, *t*는 입자의 세계선을 매개변수화하는 임의의 시간 좌표, {\displaystyle \Gamma \_{\beta \gamma }^{\alpha }}는 크리스토펠 기호 (중력장), *q*는 입자의 전하이다.

이 방정식은 시간 좌표의 변화에 따라 변하지 않는다. 그냥 {\displaystyle dt/d{\bar {t}}}를 곱하고 연쇄 법칙을 사용한다. 또한 *x* 좌표계의 변화에 따라 변하지 않는다.

크리스토펠 기호에 대한 변환 법칙을 사용하면,



Γ
¯

α
γ

β

=

∂

x
¯

β

∂

x

ϵ



∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

x

ζ

∂

x
¯

γ



Γ

δ
ζ

ϵ

+

∂

x
¯

β

∂

x

η



∂

2

x

η

∂

x
¯

α

∂

x
¯

γ


,

{\displaystyle {\bar {\Gamma }}\_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma \_{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}

{\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}우리는 얻는다





d

p
¯

α

d
t

−

Γ
¯

α
γ

β



p
¯

β


d

x
¯

γ

d
t

−
q

F
¯

α
γ


d

x
¯

γ

d
t



=



d

d
t

(

∂

x

δ

∂

x
¯

α



p

δ

)

−

(

∂

x
¯

β

∂

x

θ



∂

x

δ

∂

x
¯

α



∂

x

ι

∂

x
¯

γ



Γ

δ
ι

θ

+

∂

x
¯

β

∂

x

η



∂

2

x

η

∂

x
¯

α

∂

x
¯

γ



)

∂

x

ϵ

∂

x
¯

β



p

ϵ


∂

x
¯

γ

∂

x

ζ



d

x

ζ

d
t

−
q

∂

x

δ

∂

x
¯

α



F

δ
ζ


d

x

ζ

d
t



=


∂

x

δ

∂

x
¯

α



(

d

p

δ

d
t

−

Γ

δ
ζ

ϵ

p

ϵ


d

x

ζ

d
t

−
q

F

δ
ζ


d

x

ζ

d
t

)

+

d

d
t

(

∂

x

δ

∂

x
¯

α


)

p

δ

−

(

∂

x
¯

β

∂

x

η



∂

2

x

η

∂

x
¯

α

∂

x
¯

γ



)

∂

x

ϵ

∂

x
¯

β



p

ϵ


∂

x
¯

γ

∂

x

ζ



d

x

ζ

d
t



=

0
+

d

d
t

(

∂

x

δ

∂

x
¯

α


)

p

δ

−

∂

2

x

ϵ

∂

x
¯

α

∂

x
¯

γ



p

ϵ


d

x
¯

γ

d
t



=

0.



{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}\_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}\_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}\_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}\_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p\_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma \_{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p\_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F\_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp\_{\delta }}{dt}}-\Gamma \_{\delta \zeta }^{\epsilon }p\_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF\_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p\_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p\_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p\_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p\_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}

라그랑지언
-----

진공에서 고전 전기역학의 라그랑주 밀도 (입방 미터당 줄)는 스칼라 밀도이다.


L

=
−

1

4

μ

0


F

α
β

F

α
β



−
g

c

+

A

α

J

α

,

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu \_{0}}}\,F\_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A\_{\alpha }\,J^{\alpha },}

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },}여기서



F

α
β

=

g

α
γ

F

γ
δ

g

δ
β

.

{\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F\_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}

{\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}4차원 전류는 다른 하전된 장의 전류를 변수로 표현하는 많은 용어의 약어로 이해되어야 한다.

속박된 전류에서 자유 전류를 분리하면 라그랑지안은


L

=
−

1

4

μ

0


F

α
β

F

α
β



−
g

c

+

A

α

J

free

α

+

1
2

F

α
β



M

α
β

.

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu \_{0}}}\,F\_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A\_{\alpha }\,J\_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F\_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}

전자기 응력-에너지 텐서
-------------

 이 부분의 본문은 Electromagnetic stress–energy tensor입니다.
아인슈타인 장 방정식에서 소스 항의 일부로 전자기 응력-에너지 텐서는 다음과 같은 공변 대칭 텐서이다:(계량 부호수(−, +, +, +)을 사용.)



T

μ
ν

=
−

1

μ

0


(

F

μ
α

g

α
β

F

β
ν

−

1
4

g

μ
ν

F

σ
α

g

α
β

F

β
ρ

g

ρ
σ

)

,

{\displaystyle T\_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F\_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g\_{\mu \nu }F\_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}

{\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}부호수(+, −, −, −)인 계량을 사용하는 경우 T\_{\mu \nu } 반대 부호를 갖게 된다. 응력-에너지 텐서는 대각합이 0이다:



T

μ
ν

g

μ
ν

=
0

{\displaystyle T\_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}

{\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}왜냐하면, 전자기학은 국소 불변 속력으로 전파되고 등각 불변이기 때문이다.

에너지와 선형 운동량 보존에 대한 표현에서 전자기 응력-에너지 텐서는 혼합 텐서 밀도로 가장 잘 표현된다.



T

μ

ν

=

T

μ
γ

g

γ
ν


−
g

c

.

{\displaystyle {\mathfrak {T}}\_{\mu }^{\nu }=T\_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}

{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}위의 방정식에서 다음을 보여줄 수 있다.




T

μ

ν

;
ν

+

f

μ

=
0
,

{\displaystyle {{\mathfrak {T}}\_{\mu }^{\nu }}\_{;\nu }+f\_{\mu }=0,}

{\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,}여기서 세미콜론은 공변 미뷴을 나타낸다.

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.


−


T

μ

ν

,
ν

=
−

Γ

μ
ν

σ


T

σ

ν

+

f

μ

,

{\displaystyle -{{\mathfrak {T}}\_{\mu }^{\nu }}\_{,\nu }=-\Gamma \_{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}\_{\sigma }^{\nu }+f\_{\mu },}

{\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },}전자기 에너지의 감소는 중력장에서 로런츠 힘을 통해 전자기장이 한 일과 물질에 한 일을 더한 것과 동일하며, 이와 비슷하게 전자기 선형 운동량의 감소율은 중력장에 가해지는 전자기력과 물질에 가해지는 로런츠 힘과 같다.

보존 법칙 유도:





T

μ

ν

;
ν

+

f

μ


=
−

1

μ

0


(

F

μ
α
;
ν

g

α
β

F

β
γ

g

γ
ν

+

F

μ
α

g

α
β

F

β
γ
;
ν

g

γ
ν

−

1
2

δ

μ

ν

F

σ
α
;
ν

g

α
β

F

β
ρ

g

ρ
σ

)

−
g

c

+

1

μ

0


F

μ
α

g

α
β

F

β
γ
;
ν

g

γ
ν


−
g

c



=
−

1

μ

0


(

F

μ
α
;
ν

F

α
ν

−

1
2

F

σ
α
;
μ

F

α
σ

)

−
g

c



=
−

1

μ

0


(

(

−

F

ν
μ
;
α

−

F

α
ν
;
μ

)

F

α
ν

−

1
2

F

σ
α
;
μ

F

α
σ

)

−
g

c



=
−

1

μ

0


(

F

μ
ν
;
α

F

α
ν

−

F

α
ν
;
μ

F

α
ν

+

1
2

F

σ
α
;
μ

F

σ
α

)

−
g

c



=
−

1

μ

0


(

F

μ
α
;
ν

F

ν
α

−

1
2

F

α
ν
;
μ

F

α
ν

)

−
g

c



=
−

1

μ

0


(

−

F

μ
α
;
ν

F

α
ν

+

1
2

F

σ
α
;
μ

F

α
σ

)

−
g

c

,



{\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}\_{\mu }^{\nu }}\_{;\nu }+f\_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F\_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F\_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta \_{\mu }^{\nu }F\_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu \_{0}}}F\_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F\_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F\_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F\_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(\left(-F\_{\nu \mu ;\alpha }-F\_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F\_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F\_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F\_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F\_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F\_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F\_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(-F\_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F\_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}}이는 자체적으로 음수이기 때문에 0이다(위의 네 줄 참조).

전자기파 방정식
--------

장 텐서 측면에서 비균질 전자파 방정식은 특수 상대성이론에서 맥스웰 방정식에서 다음으로 수정된다:

{\displaystyle \Box F\_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F\_{ab;}{}^{d}{}\_{d}=-2R\_{acbd}F^{cd}+R\_{ae}F^{e}{}\_{b}-R\_{be}F^{e}{}\_{a}+J\_{a;b}-J\_{b;a},}
여기서 {\displaystyle R\_{abcd}}는 리만 텐서의 공변 형식이고 \Box 는 공변 도함수에 대한 달랑베르 연산자의 일반화이다.

{\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}\_{b}}
를 쓰면 맥스웰의 근원 방정식은 4차원 포텐셜 [ref. 2 , p. 569]

{\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}\_{b}=-\mu \_{0}J^{a}}
로 표현 될 수 있다. 또는 휘어진 시공간에서 로렌츠 게이지의 일반화를 가정하면,

{\displaystyle {\begin{aligned}{A^{a}}\_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu \_{0}J^{a}+{R^{a}}\_{b}A^{b}\end{aligned}}}
이 성립한다. 여기서 {\displaystyle R\_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}\_{asb}} 리치 곡률 텐서이다.

이것은 도함수가 공변 도함수로 대체되고 곡률에 비례하는 추가 항이 있다는 점을 제외하고는 평평한 시공간에서와 동일한 형태의 파동 방정식이다. 이 형태의 파동 방정식은 {\displaystyle A^{a}} 가 4차원 위치의 역할을 하는 휘어진 시공간의 로런츠 힘과 어느 정도 비슷하다.

(+, −, −, −) 형태의 계량 부호수의 경우 곡선 시공간의 파동 방정식 유도가 논문에서 수행된다.

동적 시공간에서 맥스웰 방정식의 비선형성
----------------------

맥스웰 방정식이 배경 독립적인 방식으로 취급될 때 즉, 시공간 계량이 전자기장에 의존하는 동적 변수로 간주될 때 전자기파 방정식과 맥스웰 방정식은 비선형이다. 이것은 곡률 텐서가 아인슈타인 장 방정식을 통해 응력-에너지 텐서에 의존한다는 점으로부터 알 수 있다.

{\displaystyle G\_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T\_{ab},}
여기서

{\displaystyle G\_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ R\_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg\_{ab}}
는 아인슈타인 텐서, *G*는 중력 상수, *g\_{{ab}}*는 계량 텐서, *R*(스칼라 곡률)은 리치 곡률 텐서의 대각합이다. 응력-에너지 텐서는 입자로부터의 응력-에너지뿐만 아니라 전자기장으로부터의 응력-에너지로 구성된다. 이것은 비선형성을 생성한다.

기하학적 공식화
--------

전자기장의 미분기하학적 공식화에서 반대칭 패러데이 텐서는 패러데이 제 2형식 \mathbf{F}로 볼 수 있다. 이 관점에서 맥스웰 방정식 둘 중 하나는

{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}
이다. 여기서 {\displaystyle \mathrm {d} }는 외미분 연산자이다. 이 방정식은 완전히 좌표 및 계량에 독립적이며 시공간에서 닫힌 2차원 표면을 통한 전자기 플럭스가 위상적이며 더 정확하게는 호몰로지 동치류 (가우스 법칙의 적분 형식의 일반화 및 맥스웰-패러데이 방정식, 민코프스키 공간의 호몰로지 동치류는 자동으로 0이다. 푸앵카레 보조정리에 의해 이 방정식은 (적어도 국지적으로) 다음을 만족하는 제 1형식 \mathbf{A}가 존재함을 의미한다:

{\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}
다른 맥스웰 방정식은

{\displaystyle \mathrm {d} \star \mathbf {F} =\mathbf {J} .}
이러한 맥락에서, \mathbf{J}는 전류 제 3형식 (또는 더 정확하게는 뒤틀린 제 3형식)이고 별 {\displaystyle \star }은 호지 별 연산자를 나타낸다. 시공간 계량에 대한 맥스웰 방정식의 의존성은 등각적으로 불변인 제 2형식에 작용하는 호지 별 연산자 {\displaystyle \star }에 있다. 이런 식으로 작성된 맥스웰 방정식은 모든 시공간에서 동일하고 명시적으로 좌표 불변이며 사용하기 편리하다(민코프스키 공간 또는 유클리드 공간과 시간, 특히 휘어진 좌표에서).

다른 기하학적 설명은, 패러데이 제 2-형식 \mathbf{F} 이 U(1)-주다발에서 U(1)-접속 \nabla 의 곡률 제 2형식 {\displaystyle F(\nabla )}에 해당한다는 것이다. 모든 접속은 "기저" 접속 {\displaystyle \nabla \_{0}}에 대해 {\displaystyle \nabla =\nabla \_{0}+iA} 그리고

{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} \_{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} }
과 같이 쓸 수 있으므로, 전자기학의 벡터 전위는 접속과 아주 유사하다. 이 관점에서 맥스웰 "방정식" {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}은 단순히 이미 미분 기하학에 있는 비양키 항등식에 의한 결과이다. 오직 방정식 {\displaystyle \mathrm {d} \star \mathbf {F} =\mathbf {J} }만이 공식에서 물리적 내용을 포함하는 유일한 방정식이다. 이러한 관점은 전기장이나 양자 역학을 고려할 때 특히 자연스럽다. 중력이 서로 다른 지점에서 평행 운송 벡터에 대한 접속의 필요성의 결과로 이해될 수 있는 것과 마찬가지로 전자기 현상 또는 아로노프-봄 효과와 같은 보다 미묘한 양자 효과로 이해될 수 있다. 서로 다른 지점에서 평행 운송 전하장 또는 파동 섹션에 접속할 필요가 있기 때문이다. 사실, 리만 텐서가 무한소 폐곡선을 따르는 레비치비타 접속의 홀로노미인 것처럼 접속의 곡률은 U(1)-접속의 홀로노미이다.

참조
--

* Einstein, A. (1961). 《Relativity: The Special and General Theory》. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
* Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). 《Gravitation》. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
* Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). 《Classical Theory of Fields》 Four Revis English판. Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
* Feynman, R. P.; Moringo, F. B.; Wagner, W. G. (1995). 《Feynman Lectures on Gravitation》. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.