수학에서, **직교좌표계**(Orthogonal coordinates)는 그 좌표 곡면들 모두가 직각으로 만나는 d개의 좌표들의 집합(**q** = (*q*1, *q*2, ... *qd*))으로 정의된다(여기서 위 첨자는 지수가 아니라 인덱스이다). 특정한 좌표 *qk*에 대한 좌표 곡면은 *qk*가 상수로서 주어지는 곡선, 곡면, 또는 초곡면이다. 예를 들면, 3차원 데카르트 좌표계(*x*, *y*, *z*)의 경우 그것의 좌표 곡면들(*x* = constant, *y* = constant, 및 *z*= constant)이 서로 직각으로 만나는 평면들이라는 점에서 삼차원 데카르트 좌표계(*x*, *y*, *z*)는 이 문서에서 말하는 직교 좌표계의 하나이다. 또한 이러한 직교 좌표계는 곡선 좌표계의 특별하면서도 매우 일반적인 경우에 해당한다.

동기
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직각 그리드에 적용되는 등각 매핑. 곡선 그리드의 직교성이 유지되고 있음을 주목할 것.
데카르트 좌표계에서 벡터 연산 및 물리 법칙들을 다루는 것이 가장 쉽겠지만 비-데카르트 직교 좌표계들 역시 다양한 문제들에 종종 사용된다. 비-데카르트 좌표계들은 양자역학, 유체의 흐름, 전기동역학, 화학 원소 또는 열의 확산 등에서 나타나는 경계값 문제들에서 특히 유용하게 사용된다.

비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다.

일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 "변수 분리법"이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 라플라스 방정식 또는 헬름홀츠 방정식으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀츠 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다.

직교 좌표계에서 그것의 메트릭 텐서는 비대각항들이 0이 되도록 구성된다. 즉, 무한소 제곱 거리(infinitesimal squared distance) *ds*2은 항상 무한소 좌표 변이들의 제곱된 값들의 스케일된 합(a scaled sum of the squared infinitesimal coordinate displacements)으로서 표현될 수 있다.

{\displaystyle ds^{2}=\sum \_{k=1}^{d}\left(h\_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}

여기서 *d*는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은

{\displaystyle h\_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g\_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} \_{k}|}
메트릭 텐서의 대각 성분들의 제곱근들 또는 국소 기저 벡터들 {\displaystyle \mathbf {e} \_{k}}의 길이들과 같다. 이러한 스케일 함수들 *hi* 은 새로운 좌표계에서 미분 연산자들(예를 들면, 기울기 연산자(gradient), 라플라시안, 발산 연산자 및 회전 연산자)를 계산하는데 사용된다.

2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들(*x*, *y*)의 표준적인 2차원 그리드의 등각 매핑을 통해서이다. 복소수 *z* = *x* + *iy*는 실수 좌표*x* 와 *y*로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 정칙 함수 *w* = *f*(*z*)는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 *w* = *u* + *iv*로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다.

삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다(예를 들면, 타원 좌표). 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다.

기저 벡터
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### 공변 기저

데카르트 좌표계에서, 기저 벡터들은 변하지 않는다(고정된다). 반면, 보다 일반적인 곡선 좌표계에서는, 공간 상의 한 점은 좌표들에 의해 명기되고, 그러한 모든 점들에는 (일반적으로는 고정되지 않은) 기저 벡터들의 세트가 바인딩된다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 핵심이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표들을 특징짓는 것은 (기저 벡터가 변하더라도) 그러한 기저 벡터들은 서로에 대해 항상 직교한다는 것이다. 즉,

{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}\cdot \mathbf {e} \_{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}
이러한 기저 벡터들은, 정의에 의해, 나머지 좌표들은 고정시키면서 하나의 좌표를 변화시킴으로써 얻어지는 곡선들의 접선 벡터들이다:

2D 직교 좌표의 시각화. 하나의 좌표를 상수로 유지함으로써 얻어진 곡선들이 기저 벡터들과 함께 도시되었다. 기저 벡터들의 길이가 같지 않을 수 있다. 길이의 동일성이 요구되는 것은 아니고 직교하는 것만이 요구된다. 
{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}
여기서, **r**은 어떤 점이고 *qi*는 기저 벡터가 추출되는 좌표이다. 즉, 곡선은, 한 좌표를 제외한, 모든 좌표들을 고정시킴으로써 얻어진다: 이때, 고정되지 않은 좌표는 매개변수 곡선(parametric curve)에서와 같이 변하게 되고, 그러한 매개 변수에 대한 그 곡선의 도함수가 그 좌표에 대한 기저 벡터이다.

기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}\_{i}}의 길이들 {\displaystyle {h}\_{i}}이다(아래 표 참조). 스케일 인수들은 종종 라미 계수들(Lamé coefficients)로 불리기도 하는데, 선형 탄성 분야에서 더욱 잘 알려진 계수에 대해서도, 같은 이름이 사용되고 있으므로, 이러한 용어를 사용하지 않는 것이 바람직하다.

정규화된 기저 벡터들은 아래와 같이 해트를 사용하여 표기되며, 길이로 나눔으로써 얻어진다:

{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}\_{i}={\frac {{\mathbf {e} }\_{i}}{h\_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }\_{i}}{\left|{\mathbf {e} }\_{i}\right|}}}
벡터장은, 기저 벡터에 대한 또는 정규화된 기저 벡터에 대한, 그것의 성분들에 의해 기술될 수 있으며, 따라서, 어떤 경우를 의미하는 것인지 명확히 하는 것이 필요하다. 양들에서의 명확성을 위해, 정규화된 기저에서의 성분들이 여러 응용들에서 가장 일반적으로 사용된다(예를 들면, 사람들은 접속 속도와 스케일 인수의 곱이 아니라 접선 속도를 다루기를 원한다): 도함수들에서는, 정규화된 기저는 더욱 복잡하기 때문에 다소 덜 사용된다.

### 반변 기저

위에서 논의된 기저 벡터들은, 벡터들과 함께 변하기 때문에, 공변 기저 벡터들이다. 직교 좌표계의 경우, 반변 기저 벡터들은, 공변 벡터들과 같은 방향이지만 반비례하는 길이를 갖기 때문에, 찾기 쉽다(이런 이유에서 기저 벡터들의 위 두 세트들은 서로에 대해 역이라 한다):

{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{i}}{h\_{i}}}={\frac {\mathbf {e} \_{i}}{h\_{i}^{2}}}}
위 식은 크로네커 델타(Kronecker delta)를 사용하여 {\displaystyle \mathbf {e} \_{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta \_{i}^{j}}이라는 사실로부터 얻어진다. 또한 아래와 같다:

{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}\_{i}={\frac {\mathbf {e} \_{i}}{h\_{i}}}=h\_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}}
이제까지 직교 좌표계들에서 벡터들을 나타내기 위해 일반적으로 사용되는 세가지 다른 기저 세트들이 소개되었다: 공변 기저 **e***i*, 반변 기저 **e***i*, 및 정규화된 기저 **ê***i*. **비록 하나의 벡터는 (그 정체성(identity)은 좌표계의 선택에 무관한) *객관적 양*일지라도, 벡터의 성분들은 그 벡터가 어떤 기저에 기초하여 표현되는지에 따라 달라진다**.

혼동을 피하기 위해, **e***i* 기저에 대한 벡터 **x**의 성분들은 **x***i*로 표현하고, **e***i* 기저에 대한 성분들은 **x***i*로서 표현한다:

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum \_{i}x^{i}\mathbf {e} \_{i}=\sum \_{i}x\_{i}\mathbf {e} ^{i}}.
인덱스들의 위치는 성분들이 어떻게 계산되는지를 나타낸다 (위 첨자를 지수로 혼동하지 말 것). 합 기호 Σ와 (모든 기저 벡터들에 대해 합하여짐을 나타내는) 합의 범위는 종종 생략될 수 있다. 성분들 사이의 관계는 아래와 같이 간단히 표현될 수 있다:

{\displaystyle h\_{i}^{2}x^{i}=x\_{i}}.
정규화된 기저에 대한 벡터 성분들을 나타내기 위해 널리 사용되는 특별한 표기법은 없다. 이 문서에서, 우리는 벡터 성분들에 대해 아래 첨자들을 사용할 것이다. 그러한 성분들은 정규화된 기저에서 계산된 것이라는 것을 유념할 것.

벡터 대수학
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벡터 추가 및 빼기는, 복잡성이 없는 데카르트 좌표계에서와 마찬가지로, 구성 요소별로 수행됩니다. 다른 벡터 연산들의 경우, 추가적인 고려가 필요할 수도 있다.

하지만, 이러한 모든 연산들은 벡터장 내의 두 벡터들이 동일한 점에 바인딩된다(즉, 벡터들의 꼬리가 일치한다)고 가정하고 있음을 유념할 필요가 있다. 일반적으로 기저 벡터는 직교 좌표계에서도 변하기 때문에, (그 성분들이 공간 상의 다른 점들에서 계산되는) 두 벡터들이 더하여 진다면, 다른 기저 벡터들이 고려돼야 한다.

### 내적

데카르트 좌표계(정규직교 기저 세터를 가진 유클리드 공간)에서의 내적은, 단순히, 성분들의 곱들의 합이다. 직교 좌표계에서, 두 벡터들 **x**와 **y**의 내적은, 그 벡터들의 성분들이 정규화된 기저들에서 계산될 때,익숙한 형태를 취하게 된다:

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum \_{i}x\_{i}{\hat {\mathbf {e} }}\_{i}\cdot \sum \_{j}y\_{j}{\hat {\mathbf {e} }}\_{j}=\sum \_{i}x\_{i}y\_{i}}
위 식은, 어떤 점에서의 정규화된 기저가 데카르트 좌표계를 구성하기 위해 사용될 수 있다(기저 세트가 정규직교한다)는 사실로부터, 즉각적으로 얻어지는 결과이다.

공변 또는 반변 기저들에서의 성분들의 경우,

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum \_{i}h\_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum \_{i}{\frac {x\_{i}y\_{i}}{h\_{i}^{2}}}=\sum \_{i}x^{i}y\_{i}=\sum \_{i}x\_{i}y^{i}}
위 식은, 벡터를 성분 형태로 쓰고, 기저 벡터를 정규화한 후, 내적을 취함으로써, 쉽게 유도 될 수 있다. 예를 들어, 2차원에서는 아래와 같다:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} \_{1}+x^{2}\mathbf {e} \_{2}\right)\cdot \left(y\_{1}\mathbf {e} ^{1}+y\_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h\_{1}{\hat {\mathbf {e} }}\_{1}+x^{2}h\_{2}{\hat {\mathbf {e} }}\_{2}\right)\cdot \left(y\_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h\_{1}}}+y\_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h\_{2}}}\right)=x^{1}y\_{1}+x^{2}y\_{2}\end{aligned}}}
여기에서는, 정규화된 공변 및 반변 기저들이 같다는 사실이 사용되었다.

### 외적

3차원 데카르트 좌표계에서, 외적은 아래와 같다:

{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x\_{2}y\_{3}-x\_{3}y\_{2}){\hat {\mathbf {e} }}\_{1}+(x\_{3}y\_{1}-x\_{1}y\_{3}){\hat {\mathbf {e} }}\_{2}+(x\_{1}y\_{2}-x\_{2}y\_{1}){\hat {\mathbf {e} }}\_{3}}
성분들이 정규화된 기저에서 계산된다면, 위 식은 직교 좌표계에서도 유효하게 유지된다.

공변 또는 반변 기저들을 사용하여 직교 좌표계에서의 외적을 구하기 위해서는, 예를 들면 아래와 같이, 기저 벡터들이 정규화돼야 한다:

{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum \_{i}x^{i}\mathbf {e} \_{i}\times \sum \_{j}y^{j}\mathbf {e} \_{j}=\sum \_{i}x^{i}h\_{i}{\hat {\mathbf {e} }}\_{i}\times \sum \_{j}y^{j}h\_{j}{\hat {\mathbf {e} }}\_{j}}
풀어 쓰면,

{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}){\frac {h\_{2}h\_{3}}{h\_{1}}}\mathbf {e} \_{1}+(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}){\frac {h\_{1}h\_{3}}{h\_{2}}}\mathbf {e} \_{2}+(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}){\frac {h\_{1}h\_{2}}{h\_{3}}}\mathbf {e} \_{3}}
(비직교 좌표계 및 고차원으로의 일반화를 단순화시키는) 외적에 대한 간결한 표기는 (스케일 인수들이 모두 1이 아니면, 0 및 1 이외의 다른 성분들을 갖는) 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)를 사용함으로써 가능하다.

벡터 계산
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### 미분

어떤 점에서의 무한소 변위를 본다면, 아래는 자명하다.

{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum \_{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum \_{i}\mathbf {e} \_{i}\,dq^{i}}
정의에 의해, 어떤 함수의 기울기 연산자(gradient)는 아래를 만족해야 한다. (이러한 정의는 f가 텐서인 경우에도 유효하다.)

{\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum \_{i}\mathbf {e} \_{i}\,dq^{i}}
이 경우, 델 연산자는 아래와 같이 주어진다:

{\displaystyle \nabla =\sum \_{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
이것은, 일반적인 곡선 좌표에서도, 그대로 유효하다. (기울기 연산자 및 라플라스와 같은) 양들은 이 연산자의 적절한 응용을 통해 얻을 수 있다.

### 기저 벡터 공식들

d**r** 과 정교화된 기저 벡터들**ê***i*로부터, 아래의 식들을 구성할 수 있다.

| Differential element | Vectors | Scalars |
| --- | --- | --- |
| Line element | Tangent vector to coordinate curve *qi*:
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}=h\_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}\_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}} | Infinitesimal length
{\displaystyle d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h\_{1}\,dq^{1})^{2}+(h\_{2}\,dq^{2})^{2}+(h\_{3}\,dq^{3})^{2}}}} |
| Surface element | Normal to coordinate surface *qk* = constant:
{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h\_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}\_{i})\times (h\_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}\_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h\_{i}h\_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}\_{k}\end{aligned}}} | Infinitesimal surface
{\displaystyle dS\_{k}=h\_{i}h\_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}} |
| Volume element | N/A | Infinitesimal volume
{\displaystyle {\begin{aligned}dV&=|(h\_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}\_{1})\cdot (h\_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}\_{2})\times (h\_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}\_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}\_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}\_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}\_{3}|h\_{1}h\_{2}h\_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h\_{1}h\_{2}h\_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}} |

이때, J은, 야코비 행렬식으로서, 아래와 같이 주어진다.

{\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h\_{1}h\_{2}h\_{3}}
야코비 행렬식은 (직교 좌표계에서) 무한소 큐브 d*x*d*y*d*z*의 무한소 휘어진 부피로의 부피적 변형이라는 기하학적 해석을 갖는다.
### 적분

위에서 설명된 선요소를 사용하면 경로 {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}를 따라 계산되는 벡터**F**의 선적분은 아래와 같다:

{\displaystyle \int \_{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int \_{\mathcal {P}}\sum \_{i}F\_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum \_{j}\mathbf {e} \_{j}\,dq^{j}=\sum \_{i}\int \_{\mathcal {P}}F\_{i}\,dq^{i}}
한 개의 좌표 좌표 *qk*를 상수로 유지함으로써 기술되는 표면에 대한 무한소의 면적 요소는 아래와 같다:

{\displaystyle dA=\prod \_{i\neq k}ds\_{i}=\prod \_{i\neq k}h\_{i}\,dq^{i}}
유사하게 볼륨 요소는 아래와 같다:

{\displaystyle dV=\prod \_{i}ds\_{i}=\prod \_{i}h\_{i}\,dq^{i}}
여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 야코비 행렬식이라는 것을 주목할 것.

한 예로, 3차원 공간에서 *q*1 = *constant*인 표면 {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} 에 대한 벡터 함수 **F**의 면적분은 아래와 같다:

{\displaystyle \int \_{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int \_{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int \_{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}\_{1}\ dA=\int \_{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h\_{2}h\_{3}}{h\_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}
이때 **F**1/*h*1는 해당 표면에 수직한**F**의 성분이라는 점을 주목할 것.

3차원에서의 미분 연산자들
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 이 부분의 본문은 del입니다. 이러한 연산자들은 응용에서 종종 사용되기 때문에 이 섹션에서의 모든 벡터 성분들은 정규화된 기저에 대해 제시된다: {\displaystyle F\_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}\_{i}}.

| Operator | Expression |
| --- | --- |
| Gradient of a scalar field | {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{1}}{h\_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{2}}{h\_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{3}}{h\_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}} |
| Divergence of a vector field | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F\_{1}h\_{2}h\_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F\_{2}h\_{3}h\_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F\_{3}h\_{1}h\_{2}\right)\right]} |
| Curl of a vector field | {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h\_{3}F\_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h\_{2}F\_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{2}}{h\_{3}h\_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h\_{1}F\_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h\_{3}F\_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{3}}{h\_{1}h\_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h\_{2}F\_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h\_{1}F\_{1}\right)\right]={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}{\begin{vmatrix}h\_{1}{\hat {\mathbf {e} }}\_{1}&h\_{2}{\hat {\mathbf {e} }}\_{2}&h\_{3}{\hat {\mathbf {e} }}\_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h\_{1}F\_{1}&h\_{2}F\_{2}&h\_{3}F\_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} |
| Laplacian of a scalar field | {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h\_{2}h\_{3}}{h\_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h\_{3}h\_{1}}{h\_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h\_{1}h\_{2}}{h\_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]} |

위 표현들은 {\displaystyle H=h\_{1}h\_{2}h\_{3}}를 정의하는 레비-치비타 심볼을 사용하여 그리고 반복되는 인덱스들에 대한 합을 가정함으로써 보다 간결한 형태로 쓰여질 수 있다.

| Operator | Expression |
| --- | --- |
| Gradient of a scalar field | {\displaystyle (\nabla \phi )\_{k}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{k}}{h\_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}} |
| Divergence of a vector field | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h\_{k}}}F\_{k}\right)} |
| Curl of a vector field | {\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\_{k}={\frac {h\_{k}{\hat {\mathbf {e} }}\_{k}}{H}}\epsilon \_{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h\_{j}F\_{j}\right)} |
| Laplacian of a scalar field | {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h\_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)} |

표: 직교 좌표
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일반적인 데카르트 좌표계 이외의 다른 것들이 아래 개시되었다.[5] 간결함을 위해 좌표 열에 구간에 대한 정보가 표기되었다.

| Curvillinear coordinates (*q*1, *q*2, *q*3) | Transformation from cartesian (*x*, *y*, *z*) | Scale factors |
| --- | --- | --- |
| Spherical polar coordinates
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=1\\h\_{2}&=r\\h\_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}} |
| Cylindrical polar coordinates
{\displaystyle (r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{3}=1\\h\_{2}&=r\end{aligned}}} |
| Parabolic cylindrical coordinates
{\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| Parabolic coordinates
{\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h\_{3}&=uv\end{aligned}}} |
| Paraboloidal coordinates
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}} | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{q\_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q\_{i}-b^{2}}}=2z+q\_{i}}where {\displaystyle (q\_{1},q\_{2},q\_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )} | {\displaystyle h\_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q\_{j}-q\_{i})(q\_{k}-q\_{i})}{(a^{2}-q\_{i})(b^{2}-q\_{i})}}}} |
| Elliptic cylindrical coordinates
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| Prolate spheroidal coordinates
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h\_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} |
| Oblate spheroidal coordinates
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h\_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} |
| Ellipsoidal coordinates
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}} | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q\_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q\_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q\_{i}}}=1}where {\displaystyle (q\_{1},q\_{2},q\_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )} | {\displaystyle h\_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q\_{j}-q\_{i})(q\_{k}-q\_{i})}{(a^{2}-q\_{i})(b^{2}-q\_{i})(c^{2}-q\_{i})}}}} |
| Bipolar cylindrical coordinates
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| Toroidal coordinates
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} |
| Bispherical coordinates
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} |
| Conical coordinates
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=1\\h\_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h\_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}} |

내용주
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1. ↑  Eric W. Weisstein. "Orthogonal Coordinate System". MathWorld. 2008년 7월 10일에 확인함.
2. ↑  Morse and Feshbach 1953, Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
3. ↑  Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
4. ↑  Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7