위상수학에서 **폰트랴긴 특성류**(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의
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E가 매끄러운 다양체 M 위의 n차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 E가 \operatorname {SO} (n)-주다발인 틀다발 P\twoheadrightarrow M의 연관 벡터 다발이라고 하자.

### 구체적 정의

P의 주곡률 F를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 {\mathfrak {so}}(\dim E)의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

\det(I+tF/2\pi )=\sum \_{{k=0}}^{\infty }t^{{2k}}p\_{k}(E).
우변에서 k가 홀수인 항들은 F의 반대칭성에 의하여 사라진다. p\_{k}는 미분 형식으로 간주하면 E의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 p\_{k}\in H^{{4k}}(M,{\mathbb Q})는 실수 벡터 다발 E의 위상수학적 불변량이다. 이를 k차 **폰트랴긴 특성류**라고 한다.

**총 폰트랴긴 특성류**(total Pontryagin class) p는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉

p=\sum \_{{k=0}}^{\infty }p\_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,{\mathbb Q})
이다.

### 추상적 정의

\operatorname O(n)-주다발 P는 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {BO} (n)}으로 가는 연속 함수

{\displaystyle f\colon M\to \operatorname {BO} (n)}
의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다.

{\displaystyle \iota \colon \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}
따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

{\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}
(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)} 위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

{\displaystyle c\_{k}\in \operatorname {H} ^{2k}(\operatorname {BU} (n))}
가 존재한다. 이를 당김으로서 {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 위에 정의할 수 있는데, 이 경우

{\displaystyle (\mathrm {B} \iota )^{\*}c\_{2k+1}=0\in \operatorname {H} ^{4k+2}(\operatorname {BO} (n))}
이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) **폰트랴긴 특성류**라고 한다.

{\displaystyle p\_{k}=(-)^{k}(\mathrm {B} \iota )^{\*}c\_{2k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}
이 경우, E의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

{\displaystyle p\_{k}(E)=f^{\*}p\_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
이다.

성질
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서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

### 천 특성류와의 관계

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {O} (n)\,{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {U} (n)\,{\overset {\iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {O} (2n)}
이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

{\displaystyle \operatorname {BO} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BU} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BO} (2n)}
를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {p} \_{k}=(-)(\mathrm {B} \iota )^{\*}\operatorname {c} \_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}
{\displaystyle (-)^{k}(\mathrm {B} \iota ')^{\*}\operatorname {p} \_{k}=\sum \_{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} \_{i}\operatorname {c} \_{j}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BU} (n))}
이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.

* 사상 {\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
* 사상 {\displaystyle \mathrm {B} \iota '\colon \operatorname {BU} (n)\to \operatorname {BO} (2n)}은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.

즉, 실수 벡터 다발 E의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 E\otimes {\mathbb C}의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {p} \_{k}(E)=(-)^{k}\operatorname {c} \_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
천 특성류 c\_{k}는 2k차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 p\_{k}는 4k차 코호몰로지 원소이다. (E\otimes {\mathbb C}의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발 E의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \operatorname {p} \_{k}(E)=(-)^{k}\sum \_{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} \_{i}(E)\operatorname {c} \_{j}(E)\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
### 분수 폰트랴긴 특성류

M 위의 n차원 유향 실수 벡터 다발 E의 **스핀 구조**는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BSpin} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}
여기서 {\displaystyle \mathrm {B} q}는 몫사상

{\displaystyle q\colon \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}
에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상

{\displaystyle \mathrm {B} q\colon \operatorname {BSpin} (n)\to \operatorname {BSO} (n)}
이다.

이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로

{\displaystyle \pi \_{i}(\operatorname {Spin} (n))=0\qquad (i<3)}
{\displaystyle \pi \_{3}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }
이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은

{\displaystyle \pi \_{i}(\operatorname {BSpin} (n))=0\qquad (i<4)}
{\displaystyle \pi \_{4}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }
이므로, 후레비치 준동형이 동형이며,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))=\mathbb {Z} }
이다. 따라서, 그 생성원을 \alpha 라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle (\mathrm {B} q)^{\*}\operatorname {p} \_{1}=2\alpha \in \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))}
임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,

{\displaystyle \operatorname {p} \_{1}(E)=2\cdot ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} \_{1}(E))\in 2\operatorname {H} ^{4}(M)}
가 되는 특성류

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} \_{1}(E)\in \operatorname {H} ^{4}(M)}
를 정의할 수 있다. 이를 **1차 분수 폰트랴긴 특성류**(一次分數Понтрягин特性類, 영어: first fractional Pontryagin class)라고 한다.:§4.4.1

마찬가지로, 만약 E가 **끈 구조**(영어: string structure)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BString} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}
이 존재한다면, **2차 분수 폰트랴긴 특성류**(二次分數Понтрягин特性類, 영어: second fractional Pontryagin class)

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\operatorname {p} \_{2}(E)\in \operatorname {H} ^{8}(E)}
가 존재한다.:§4.4.2 여기서 {\displaystyle \operatorname {String} (n)}은 끈 군이다.

예
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낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {p} \_{0}=1}
{\displaystyle \operatorname {p} \_{1}=-{\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\operatorname {tr} F^{2}}
{\displaystyle \operatorname {p} \_{2}={\frac {1}{8(2\pi )^{4}}}\left((\operatorname {tr} F^{2})^{2}-2\operatorname {tr} F^{4}\right)}

역사
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러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) **76**. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9.
2. ↑  Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. 1 2  Новиков, С. П. (1966). "О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)". 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 (러시아어) **30** (1): 207–246. MR 196765. Zbl 0199.58202. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
4. 1 2  "Fivebrane structures" (영어). arXiv:0805.0564.
5. ↑  Понтрягин, Лев С. (1947). "Характеристические циклы дифференцируемых многообразий". 《Математический сборник》 (러시아어) **21** (2): 233–284. MR 22667. Zbl 0037.10305. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]