뇌터 정리 출판한 첫 페이지
수리물리학에서 **뇌터의 정리**(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

장론에서의 뇌터 정리
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어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

{\displaystyle x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta \_{\epsilon }x^{\mu }}
{\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)+\delta \_{\epsilon }\phi (x)=\phi (x')+\delta \_{\epsilon }\phi (x')-\partial \_{\mu }\phi (x')\delta \_{\epsilon }x^{\mu }(x')}
만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\partial \_{\mu }(\epsilon J^{\mu }(x)-\delta \_{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}(x))}
(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 {\displaystyle J=0}이 된다.) 이제

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\left({\frac {\partial L}{\partial \phi }}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}\partial \_{\mu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\partial \_{\rho }\phi )}}\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\partial \_{\rho }+\cdots \right)\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}
{\displaystyle ={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)+\partial \_{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\right)+\partial \_{\mu }\left(\partial \_{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}\right)-\partial \_{\mu }\left(\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial \_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}\right)+\cdots }
이다. 여기서

{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial \_{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}+\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}-\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\partial \_{\rho }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\partial \_{\rho }\phi )}}+\cdots }
는 변분이다. 따라서,

{\displaystyle \epsilon j^{\mu }=J^{\mu }-\delta \_{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)-\partial \_{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}+\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial \_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}+\cdots }
{\displaystyle =J^{\mu }-\delta \_{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}\left(\delta \_{\epsilon }\phi -\delta \_{\epsilon }x^{\mu }\partial \_{\mu }\phi \right)-\partial \_{\nu }\left(\delta \_{\epsilon }\phi -\delta \_{\epsilon }x^{\mu }\partial \_{\mu }\phi \right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}+\left(\delta \_{\epsilon }\phi -\delta \_{\epsilon }x^{\mu }\partial \_{\mu }\phi \right)\partial \_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}+\cdots }
로 정의한다면

{\displaystyle \epsilon \partial \cdot j=-{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}
이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}/\delta \phi =0}이므로, 이러한 경로에서는 {\displaystyle j^{\mu }}가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

{\displaystyle Q=\int j^{0}(x)\;d^{3}x}

역학에서의 뇌터 정리
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고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

{\displaystyle \partial \_{\mu }\mapsto {\frac {d}{dt}}}
{\displaystyle x^{\mu }\to t}
로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

{\displaystyle q'(t')=q(t)+\delta \_{\epsilon }q(t)}
{\displaystyle t'=t+\delta \_{\epsilon }t}
에 대하여, 라그랑지언 {\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},\dots ,t)}가

{\displaystyle L[q'(t),t]-L[q,t]=-{\dot {L}}\delta t+\epsilon {\dot {J}}}
를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

{\displaystyle Q=J-\delta \_{\epsilon }t{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\delta \_{\epsilon }\phi -\delta \_{\epsilon }t{\dot {q}}\right)-{\frac {d}{dt}}\left(\delta \_{\epsilon }q-\delta \_{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\left(\delta \_{\epsilon }q-\delta \_{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\cdots }
은

{\displaystyle {\dot {Q}}=-{\frac {\delta L}{\delta q}}\left(\delta \_{\epsilon }\phi -\delta \_{\epsilon }t{\dot {q}}\right)}
이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 {\displaystyle q(t)}에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예
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흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

| 대칭 | 보존류 | 보존량 |
| --- | --- | --- |
| 시공간 병진 대칭 {\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta \_{\nu }^{\mu }} | 에너지-운동량 텐서 {\displaystyle T^{\mu }{}\_{\nu }} | 4차원 운동량 (에너지, 운동량) |
| 회전 대칭 {\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta \_{\nu }^{\mu }x\_{\rho }-\delta \_{\rho }^{\mu }x\_{\nu }} | 4차원 각운동량 밀도 {\displaystyle T^{\mu }{}\_{\nu }x\_{\rho }-T^{\mu }{}\_{\rho }x\_{\nu }} | 4차원 각운동량 (3차원 각운동량 {\displaystyle \mathbf {L} }, 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱 {\displaystyle t\mathbf {p} -\mathbf {x} \_{\text{com}}E}) |
| 확대 변환 {\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{\mu }} | 확대류 {\displaystyle T^{\mu }{}\_{\nu }x^{\nu }} | {\displaystyle tE-\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dV}}} (즉, {\displaystyle E={\frac {d}{dt}}\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot d\mathbf {p} /dV}) |
| 특수 등각 변환 {\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{2}\delta \_{\nu }^{\mu }-2x^{\mu }x\_{\nu }} | {\displaystyle T^{\mu }{}\_{\rho }(x^{2}\delta \_{\nu }^{\rho }-2x^{\rho }x\_{\nu })} |  |
| 전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: {\displaystyle \delta \_{\epsilon }\phi =i\phi }) | 4차원 전류 밀도 {\displaystyle j\_{\mu }=\phi ^{\*}\partial \_{\mu }\phi } | 전하 |
| 복소 페르미온 회전 {\displaystyle \delta \_{\epsilon }\psi =i\psi } | 페르미온 수 보존류 {\displaystyle {\bar {\psi }}i\gamma ^{\mu }\psi } | 페르미온 수 |
| 파동 함수 회전 {\displaystyle \delta \_{\epsilon }\Psi =i\Psi } | 확률류 {\displaystyle (|\Psi |^{2},{\frac {\hbar }{2mi}}(\Psi ^{\*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{\*}))} | 1 (=가능한 확률의 합) |

참고 문헌
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* Forger, Michael; Hartmann Römer (2004년 2월). "Currents and the energy-momentum tensor in classical field theory: a fresh look at an old problem". 《Annals of Physics》 (영어) **309** (2): 306–389. arXiv:hep-th/0307199. doi:10.1016/j.aop.2003.08.011.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). 《The Noether theorems: invariance and conservation laws in the twentieth century》. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (영어). Springer. ISBN 978-0-387-87867-6.
* Lanczos, C. (1970). 《The variational principles of mechanics》 (영어) 4판. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Olver, Peter (1993). 《Applications of Lie groups to differential equations》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **107** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4684-0274-2. ISBN 0-387-95000-1. Zbl 0785.58003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Byer, Nina (1999). 〈E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws〉. 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings (영어) **12**. American Mathematical Society.
* Ne'eman, Yuval (1999). 〈The impact of Emmy Noether's theorems on XXIst century physics〉. 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings (영어) **12**. American Mathematical Society.