층 이론에서, **단사층**(單射層, 영어: injective sheaf, 프랑스어: faisceau injectif)은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의
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위상 공간 *X* 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 \operatorname {Sh}(X;\operatorname {Ab})는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다. X 위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 **단사층**이라고 한다. 즉, 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 만약 임의의

* 층 {\mathcal B}\in \operatorname {Sh}(X;\operatorname {Ab})
* {\mathcal B}의 부분층 {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}
* 층 준동형 \phi \colon {\mathcal A}\to {\mathcal F}

가 주어졌을 때, 항상 {\tilde \phi }|\_{{{\mathcal A}}}=\phi 인 층 준동형 {\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {F}}}가 존재한다면, {\mathcal F}를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로

* **섬세층**(纖細層, 영어: fine sheaf, 프랑스어: faisceau fin)
* **물렁한 층**(영어: soft sheaf, 프랑스어: faisceau mou)
* **말랑한 층**(영어: flabby sheaf, 프랑스어: faisceau flasque)
* **비순환층**(非循環層, 영어: acyclic sheaf, 프랑스어: faisceau acyclique)

이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

### 섬세층

위상 공간 X과 그 열린 덮개 \{U\_{i}\}\_{{i\in I}} 및 아벨 군층 {\mathcal F}이 주어졌다고 하자. \{U\_{i}\}\_{{i\in I}}에 종속된 {\mathcal F}의 **단위 분할**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 i\in I에 대하여, 자기 사상 \phi \_{i}\in \operatorname {End}({\mathcal F})

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 각 i\in I에 대하여, \operatorname {supp}\phi \_{i}\subseteq U\_{i}
* 각 x\in X에 대하여, \{i\in I\colon x\in \operatorname {supp}\phi \_{i}\}는 유한 집합이다.
* \textstyle \sum \_{i}\phi \_{i}는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 **섬세층**이라고 한다.

* 자기 사상의 층 \operatorname {End}({\mathcal F})이 물렁한 층이다.
* 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

### 물렁한 층

위상 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 그 에탈레 공간 \pi \_{{{\mathcal F}}}\colon E\twoheadrightarrow X을 정의할 수 있다. X의 임의의 닫힌집합 C\subseteq X에 대하여, 임의의 연속 함수

s\colon C\to E
에 대하여, 만약 \pi \_{{{\mathcal F}}}\circ s=\operatorname {id}\_{C}라면 s를 {\mathcal F}의 C 위의 **단면**이라고 하며, 단면 집합을 \Gamma (C;{\mathcal F})라고 한다. 만약 X가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 C의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

\Gamma (C;{\mathcal F})=\varinjlim \_{{U\supseteq C}}\Gamma (U;{\mathcal F})
과 같다.

위상 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 만약 닫힌집합 C\subseteq X 위의 모든 단면을 X 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, {\mathcal F}를 **물렁한 층**이라고 한다.
위상 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 만약 콤팩트 집합 K\subseteq X 위의 모든 단면을 X 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, {\mathcal F}를 **콤팩트 물렁한 층**(영어: c-soft sheaf)이라고 한다.

### 말랑한 층

위상 공간 X 위의, 구체적 범주 {\mathcal {C}}의 값을 갖는 층 {\mathcal F}에 대하여, 임의의 두 열린집합 V\subseteq U\subseteq X에 대하여 제한 사상

\operatorname {res}\_{{UV}}\colon \Gamma (U,{\mathcal F})\to \Gamma (V,{\mathcal F})
이 전사 함수라면, {\mathcal F}를 **말랑한 층**이라고 한다.:67, Exercise 1.16:137 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(프랑스어: flasque, 영어: flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

### 비순환층

위상 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, {\mathcal F}를 **비순환층**이라고 한다.

H^{i}(X;{\mathcal F})=0\qquad (\forall i>0)
물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 H^{0}(X;{\mathcal F})=\Gamma (X;{\mathcal F})이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질
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파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.

단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간 X, Y 사이에 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, X 위의 말랑한 층 {\mathcal F}의 직상 f\_{\*}{\mathcal F}\in \operatorname {Sh}(Y) 역시 말랑한 층이다.:67, Exercise 1.16d 위상 공간 X의 열린집합 U 및 말랑한 층 {\mathcal F}에 대하여, 제약층 {\mathcal F}|\_{U} 역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.:67, Exercise 1.16a

예
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다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.

* 다양체 M 위의 실수 연속 함수들의 층 {\mathcal C}(M;{\mathbb R})
* 매끄러운 다양체 M 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R})
* 매끄러운 다양체 M 위의 p차 미분 형식들의 층 \Omega ^{p}(M)

그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

### 드람 코호몰로지의 계산

드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 M위의 상수층 \underline {{\mathbb R}}은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

0\to \underline {{\mathbb R}}\to \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \cdots 
미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

H^{i}(X;\underline {{\mathbb R}})\cong H^{i}(\Omega ^{\bullet }(M))
이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(영어: hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.