군론과 조합론에서 **순환 지표**(循環指標, 영어: cycle index)는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다.

정의
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크기가 n인 유한 집합 X 및 그 대칭군의 부분군 {\displaystyle G\leq \operatorname {Sym} (X)}이 주어졌다고 하자. (즉, G가 X 위에 충실하게 작용한다고 하자.) G의 **순환 지표**(循環指標, 영어: cycle index)

{\displaystyle Z\_{G}\in \mathbb {Q} [t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{n}]}
는 다음과 같은 다항식이다.

{\displaystyle Z\_{G}(t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum \_{g\in G}t\_{1}^{c\_{1}(g)}t\_{2}^{c\_{2}(g)}\cdots t\_{n}^{c\_{n}(g)}}
여기서 {\displaystyle c\_{i}(g)}는 순열 g\in G의 길이 i의 순환의 수이다. 즉, g로 생성되는 G의 부분군 {\displaystyle \langle g\rangle \leq G}이 X 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

예
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### 자명군

자명군은 임의의 크기 n의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는

{\displaystyle Z\_{1}(t\_{1},\dots ,t\_{n})=t\_{1}^{n}}
이다.

### 순환군

n차 순환군 \operatorname {Cyc}(n)은 크기가 n인 집합 위에

{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{(1)(2)(3)\cdots (n),(123\cdots n),(1357\cdots ),(147\cdots ),(15\cdots )\}}
와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 \operatorname {Cyc}(n)의 경우

{\displaystyle Z\_{\operatorname {Cyc} (n)}(t\_{1},\dots ,t\_{n})={\frac {1}{n}}\sum \_{d\mid n}\phi (d)t\_{d}^{n/d}}
이다. 여기서 \phi 는 오일러 피 함수이다.

### 정이면체군

n차 정이면체군 {\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=(ba)^{2}=1\rangle }은 크기 n의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle a\mapsto (1234\cdots n)}
{\displaystyle b\colon {\begin{cases}(1n)(2,n-1)\cdots (n/2,n/2+1)&2\mid n\\(1n)(2,n-1)\cdots ((n+1)/2)&2\nmid n\end{cases}}}
정이면체군 \operatorname {Dih}(n)의 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{\operatorname {Dih} (n)}(t\_{1},\dots ,t\_{n})={\frac {1}{2}}Z\_{\operatorname {Cyc} (n)}(t\_{1},\dots ,t\_{n})+{\begin{cases}{\frac {1}{4}}(t\_{2}^{n/2}+t\_{1}^{2}t\_{2}^{n/2-1})&2\mid n\\{\frac {1}{2}}t\_{1}t\_{2}^{(n-1)/2}&2\nmid n\end{cases}}}
### 대칭군과 교대군

크기 n!의 대칭군 \operatorname {Sym} (n)은 크기 n의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{\operatorname {Sym} (n)}(t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{n})=\sum \_{j\_{1}+2j\_{2}+3j\_{3}+\cdots +nj\_{n}=n}{\frac {1}{\prod \_{k=1}^{n}k^{j\_{k}}j\_{k}!}}\prod \_{k=1}^{n}t\_{k}^{j\_{k}}}
이 합에서 {\displaystyle (j\_{1},j\_{2},\dots ,j\_{n})}의 항은 크기 i의 순환이 {\displaystyle j\_{i}}개 있는 순열에 대응한다.

크기 n!/2의 교대군 {\displaystyle \operatorname {Alt} (n)\leq \operatorname {Sym} (n)} 역시 크기 n의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{\operatorname {Alt} (n)}(t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{n})=\sum \_{j\_{1}+2j\_{2}+3j\_{3}+\cdots +nj\_{n}=n}{\frac {1+(-1)^{j\_{2}+j\_{4}+\cdots }}{\prod \_{k=1}^{n}k^{j\_{k}}j\_{k}!}}\prod \_{k=1}^{n}t\_{k}^{j\_{k}}}
이 합에서 {\displaystyle 1+(-1)^{j\_{2}+j\_{4}+\cdots }}은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

### 정육면체

정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 {\displaystyle O\leq \operatorname {SO} (3)}은 \operatorname{Sym}(4)와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{O}(t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{6})={\frac {1}{24}}\left(t\_{1}^{6}+6t\_{1}^{2}t\_{4}+3t\_{1}^{2}t\_{2}^{2}+8t\_{3}^{2}+6t\_{2}^{3}\right)}
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

* {\displaystyle t\_{1}^{6}}: 항등원
* {\displaystyle t\_{1}^{2}t\_{4}}: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* {\displaystyle t\_{1}^{2}t\_{2}^{2}}: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* {\displaystyle t\_{3}^{2}}: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* {\displaystyle t\_{2}^{3}}: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

O는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{O}(t\_{1},t\_{2},\dots ,t\_{6})={\frac {1}{24}}\left(t\_{1}^{8}+6t\_{4}^{2}+9t\_{2}^{4}+8t\_{1}^{3}t\_{3}^{2}\right)}
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

* {\displaystyle t\_{1}^{8}}: 항등원
* {\displaystyle t\_{4}^{2}}: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* {\displaystyle t\_{2}^{4}}: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* {\displaystyle t\_{1}^{3}t\_{3}^{2}}: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* {\displaystyle t\_{2}^{4}}: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

### 정사면체

정사면체의 대칭군 {\displaystyle T\leq \operatorname {SO} (3)}은 교대군 {\displaystyle \operatorname {Alt} (4)}와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

{\displaystyle Z\_{T}(t\_{1},t\_{2},t\_{3},t\_{4})={\frac {1}{12}}\left(t\_{1}^{4}+8t\_{1}t\_{3}+t\_{2}^{2}\right)}
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

* {\displaystyle t\_{1}^{4}}: 항등원
* {\displaystyle t\_{1}t\_{3}}: 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
* {\displaystyle t\_{2}^{2}}: 180도 회전

역사
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헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Pólya, G. (1937). "Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen". 《Acta Mathematica》 (독일어) **68** (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665. ISSN 0001-5962. Zbl 0017.23202.

* Tucker, Alan (1974년 11월). "Polya’s enumeration formula by example" (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) **47** (5): 248–256. doi:10.2307/2688047. JSTOR 2688047. Zbl 0297.05007. 2015년 6월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 17일에 확인함.