대수기하학에서 **원환 다양체**(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 {\displaystyle (K^{\times })^{n}}을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

정의
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체 K가 주어졌다고 하자.
K 위의 **원환 다양체** (M,\phi )는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

* K-대수다양체 M
* 군의 작용 {\displaystyle \phi \colon (K^{\times })^{n}\to \operatorname {Aut} (M)} (K^\times는 K의 가역원군)

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

* 자리스키 조밀 열린집합 {\displaystyle T\subseteq M}이 존재하여, T가 {\displaystyle (K^{\times })^{n}}과 (K-대수다양체로서) 동형이며, T에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

### 부채

많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 **부채**(영어: fan 팬[\*])라는 데이터로 표현될 수 있다.

**강볼록 유리 다면뿔**(強볼록有理多面뿔, 영어: strongly convex rational polyhedral cone) {\displaystyle \sigma \subseteq \mathbb {Q} ^{n}}은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.

* (강볼록 조건) \sigma \cap -\sigma =\{0\}
* (스칼라곱에 대한 닫힘) r\in [0,\infty )이고 v\in \sigma 라면 rv\in \sigma
* (덧셈에 대한 닫힘) \sigma 는 덧셈 모노이드이다. 즉, u,v\in \sigma 라면 u+v\in \sigma 이다.
* (유리 벡터에 의한 생성) {\displaystyle \sigma =\operatorname {Span} \_{[0,\infty )}B}가 되는 유한 집합 {\displaystyle B\subseteq \mathbb {Z} ^{n}}이 존재한다.

다면뿔 \sigma 의 **면**(영어: face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.

* {\displaystyle \phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q} }가 실수 선형 변환이고, {\displaystyle \phi \upharpoonright \sigma \geq 0}이라면, {\displaystyle \sigma \cap (\ker \phi )}.

**부채** \Sigma 는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.

* (면에 대한 닫힘) \sigma \in \Sigma 이고 \sigma '가 \sigma 의 면 가운데 하나라면, \sigma '\in \Sigma .
* (교집합에 대한 닫힘) \sigma ,\sigma '\in \Sigma 라면, \sigma \cap \sigma '는 \sigma 의 면 가운데 하나이고, 또한 \sigma '의 면 가운데 하나이다. (\{0\}은 모든 다면뿔들의 면이다.)

강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 \sigma 의 격자점 \sigma \cap {\mathbb Z}^{k}들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 k는 다면뿔 \sigma 의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 \sigma 의 쌍대뿔 {\displaystyle \sigma ^{\vee }=\{v\colon \langle u,v\rangle \geq 0\forall u\in \sigma \}\subset K^{n}} 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 {\displaystyle \{\mathbf {v} \_{1},\dots ,\mathbf {v} \_{\alpha },\dots ,\mathbf {v} \_{k}\}\subset K^{n}}를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.

{\displaystyle \phi \colon (K^{\*})^{n}\to K^{k}}
\phi \colon (\exp(iz\_{1}),\dots ,\exp(iz\_{i}),\dots ,\exp(iz\_{n}))\mapsto \left(\exp(i\sum \_{j}z\_{n}v\_{1}^{{(j)}}),\dots ,\exp(i\sum \_{j}z\_{j}v\_{\alpha }^{{(j)}}),\dots ,\exp(i\sum \_{j}z\_{j}v\_{k}^{{(j)}})\right)
다면뿔 \sigma 에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 \phi 의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.

부채 \Sigma 에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.

### 다면체에 대응하는 원환 다양체

꼭짓점이 격자점 {\mathbb Z}^{n}인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 (n-1)차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 (n-1)차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 (n-1)차원 면이 공유하는 (n-2)차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

즉, 다면체 P에 대응되는 원환 다양체 X에 대하여, 표준적인 전사 함수

{\displaystyle X\twoheadrightarrow P}
가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 {\displaystyle x\in P}에 대응되는 올은 (만약 x가 k차원 면에 속한다면) {\displaystyle (K^{\times })^{k}}의 꼴이다. P의 (유일한) 내부는 X의 자리스키 조밀 열린집합 {\displaystyle (K^{\times })^{\dim X}}에 해당하며, 따라서 {\displaystyle P\subseteq \mathbb {Q} ^{\dim X}}이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.

연산
--

두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.

원환 다양체의 특이점 해소(영어: resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.

성질
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{\mathbb Q}^{n} 속의 부채 \Sigma 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(1):§4.2

* \Sigma 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다.
* {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ^{n}=\bigcup \Sigma }이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 {\mathbb Q}^{n} 전체이다.

{\mathbb Q}^{n} 속의 부채 \Sigma 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(2)

* \Sigma 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다.
* 모든 뿔 \sigma 에 대하여, {\displaystyle \sigma \cap \mathbb {Z} ^{n}}은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다.

{\mathbb Q}^{n} 속의 부채 \Sigma 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:Theorem 9.1(2)

* \Sigma 에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다.
* \Sigma 는 {\mathbb Z}^{n}의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다.

{\mathbb Q}^{n} 속의 부채 \Sigma 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:§4.3

* \Sigma 에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다).
* \Sigma 에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 {\displaystyle (v\_{i})\_{i\in I}}이 모두 하나의 n-1차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, {\displaystyle \phi (v\_{i})=1\,\forall i\in I}인 실수 선형 변환 {\displaystyle \phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q} }가 존재한다.

특히, 만약 n\geq 1이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.:§4.3

예
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편의상 유클리드 공간 {\mathbb Q}^{n}의 표준 기저를 {\displaystyle (\mathrm {e} \_{i})\_{i=1,\dotsc ,n}}으로 표기하자. 여기서 K는 임의의 체이다.

### 원환면

{\displaystyle (K^{\times })^{n}}은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다.

{\displaystyle \Sigma =\{\sigma \_{0}\}}
{\displaystyle \sigma \_{0}=\{0\}\subseteq \mathbb {Q} ^{n}}
\sigma \_{0}의 쌍대뿔은 {\displaystyle \sigma \_{0}^{\vee }=\mathbb {Q} ^{n}}이며, 이는

{\displaystyle \{\pm \mathrm {e} \_{1},\dotsc ,\pm \mathrm {e} \_{n}\}}
에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는

{\displaystyle \operatorname {Spec} K[\sigma \_{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t\_{1},t\_{1}^{-1},t\_{2},t\_{2}^{-1},\dotsc ,t\_{n},t\_{n}^{-1}]}
이다.

### 아핀 공간

 이 부분의 본문은 아핀 공간입니다.
다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.:Example 5.1

{\displaystyle \sigma =[0,\infty )\times \dotsb \times [0,\infty )\subseteq \mathbb {Q} ^{n}}
즉, 이는 {\mathbb Q}^{n}의 "2*n*분면"이다.

이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저

{\displaystyle (\mathrm {e} \_{1},\mathrm {e} \_{2},\dotsc ,\mathrm {e} \_{n})}
에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 n차원 아핀 공간

{\displaystyle \operatorname {Spec} K[\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t\_{1},\dotsc ,t\_{n}]}
이다.

예를 들어, 아핀 평면 \mathbb A^2\_K는 다음과 같은 부채에 대응된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\uparrow \\\bullet &\rightarrow \end{matrix}}}
### 사영 공간

 이 부분의 본문은 사영 공간입니다.
모든 사영 공간은 원환 다양체이며, n차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 n차원 단체이다.
구체적으로, {\mathbb Q}^{n}의 표준 기저 {\displaystyle (e\_{1},\dotsc ,e\_{n})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle \mathrm {e} \_{0}=-(\mathrm {e} \_{1}+\dotsb +\mathrm {e} \_{n})}
을 정의하고, 다음과 같은 n+1개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.:Example 8.4

{\displaystyle \sigma \_{i}=\operatorname {Span} \_{K}\left(\{\mathrm {e} \_{0},\mathrm {e} \_{1},\dotsc ,\mathrm {e} \_{n}\}\setminus \{\mathrm {e} \_{i}\}\right)}
즉, 이 부채는 {\displaystyle \{\mathrm {e} \_{0},\mathrm {e} \_{1},\dotsc ,\mathrm {e} \_{n}\}}의 {\displaystyle 2^{n+1}-1}개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 n차원의 뿔들은 n+1개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 n+1의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, n차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다.

* {\displaystyle \sigma \_{0}^{\vee }}는 {\displaystyle \{\mathrm {e} \_{1},\dotsc ,\mathrm {e} \_{n}\}}으로 생성된다.
	+ 이에 대응되는 모노이드 대수는 {\displaystyle K[x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n}]}이다.
* {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여, {\displaystyle \sigma \_{i}^{\vee }}는 {\displaystyle \{\mathrm {e} \_{1}-\mathrm {e} \_{i},\dotsc ,{\widehat {\mathrm {e} \_{i}-\mathrm {e} \_{i}}},\dotsc ,\mathrm {e} \_{n}-\mathrm {e} \_{i},-\mathrm {e} \_{i}\}}로 생성된다. ({\displaystyle {\hat {\color {White}e}}}은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.)
	+ 이에 대응되는 모노이드 대수는 {\displaystyle K[x\_{1}x\_{i}^{-1},x\_{2}x\_{i}^{-1},\dotsc ,{\widehat {x\_{i}x\_{i}^{-1}}},\dotsc ,x\_{n}x\_{i}^{-1},x\_{i}^{-1}]}이다.

즉, 사영 공간의 동차 좌표를

{\displaystyle [y\_{0}:y\_{1}:\dotsb :y\_{n}]}
이라고 한다면, 이는

{\displaystyle (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\mapsto [1:x\_{1}:\dotsb :x\_{n}]}
{\displaystyle x\_{i}=y\_{i}/y\_{0}}
에 해당한다. 각 \sigma \_{i}는 아핀 공간 {\mathbb A}\_{K}^{n}에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 {\mathbb P}\_{K}^{n}을 얻는다.

#### 사영 직선

다음과 같은 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{1}} 속의 부채를 생각하자.:Example 8.3

{\displaystyle \leftarrow \bullet \rightarrow }
즉, 그 뿔들은 다음과 같다.

{\displaystyle \sigma \_{1}=[0,\infty )\subsetneq \mathbb {Q} }
{\displaystyle \sigma \_{2}=(-\infty ,0]\subsetneq \mathbb {Q} }
{\displaystyle \sigma \_{0}=C\_{1}\cap C\_{2}=\{0\}\subsetneq \mathbb {Q} }
이 경우, \sigma \_{1}의 쌍대뿔은 {\displaystyle \sigma \_{1}^{\vee }=\sigma \_{1}=[0,\infty )} 자신이며, 그 모노이드 대수는

{\displaystyle K[\sigma \_{1}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t]}
이다. 마찬가지로
{\displaystyle \sigma \_{2}=\sigma \_{2}^{\vee }}의 경우

{\displaystyle K[\sigma \_{2}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t^{-1}]}
이다. 또한, {\displaystyle \sigma \_{0}^{\vee }=\mathbb {Q} }의 모노이드 대수는 로랑 다항식환

{\displaystyle K[\sigma \_{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t,t^{-1}]}
이다. 환 준동형

{\displaystyle K[t]\to K[t,t^{-1}]}
에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 {\mathbb A}\_{K}^{1}의 부분 집합 {\displaystyle \{z\in K\colon z\neq 0\}}
이다. 따라서, 이는 K[t]와 {\displaystyle K[t^{-1}]}를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 {\mathbb P}\_{K}^{1}을 정의한다.

#### 사영 평면

예를 들어, 사영 평면 {\displaystyle \mathbb {P} \_{K}^{2}}는 다음과 같은 부채에 대응된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow \end{matrix}}}
이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.

**부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개**

구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 (*x*축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다.

* 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}K[x,y]에 해당한다.
	+ 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y]=\operatorname {Spec} K[x,y]\_{x}=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]\_{x^{-1}}}에 해당한다.
* 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]}에 해당한다.
	+ 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x^{-1},xy^{-1},x^{-1}y]=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]\_{x^{-1}y}=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]\_{xy^{-1}}}에 해당한다.
* 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]}에 해당한다.
	+ 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y,y^{-1}]=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]\_{y^{-1}}=\operatorname {Spec} K[x,y]\_{y}}에 해당한다.
		- 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y,y^{-1}]}에 해당한다.

여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.

### 코니폴드

 이 부분의 본문은 코니폴드입니다.
코니폴드는 다음과 같은 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{3}} 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.:§4.1, (54)

{\displaystyle \sigma =\operatorname {Span} \_{[0,\infty )}\left\{\mathrm {e} \_{1},\mathrm {e} \_{1}+\mathrm {e} \_{2},\mathrm {e} \_{1}+\mathrm {e} \_{3},\mathrm {e} \_{1}+\mathrm {e} \_{2}+\mathrm {e} \_{3}\right\}}
이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 {\displaystyle \{v\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \langle \mathrm {e} \_{1},v\rangle =1\}} 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.

이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은

{\displaystyle \sigma ^{\vee }=\{(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \min\{a,a+b,a+c,a+b+c\}\geq 0\}}
이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은

(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)
이다. 이들 사이의 유일한 관계는

(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)
이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은

{\displaystyle K[x,y,z,w]/(xy-zw)}
이다.:§2.1, (15) K의 표수가 2가 아니라면,

{\displaystyle X=(x/2+y/2)}
{\displaystyle Y=(x/2-y/2)}
{\displaystyle Z=(z/2+w/2)}
{\displaystyle W=(z/2-w/2)}
를 정의하여, 이를

{\displaystyle K[X,Y,Z,W]/(X^{2}-Y^{2}-Z^{2}+W^{2})}
로 적을 수 있다.

### 오비폴드

다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 {\displaystyle K^{2}/\operatorname {Cyc} (2)}를 나타낸다.:Figure 2(a) (2차 순환군 \operatorname {Cyc} (2)은 {\displaystyle (u,v)\mapsto (-u,-v)}와 같이 작용한다.)

{\displaystyle {\begin{matrix}&\nearrow \\\bullet \\&\searrow \end{matrix}}}
이 2차원 뿔 {\displaystyle \sigma =\sigma ^{\vee }}는 스스로의 쌍대뿔이며, {\displaystyle (1,1)}과 {\displaystyle (1,-1)}과 (1,0)에 의하여 생성된다.

{\displaystyle (1,1)+(1,-1)=2\cdot (1,0)}
이므로, 이는 아핀 대수다양체

K[x,y,z]/(xy-z^{2})
를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.

사실, 아핀 공간 {\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{2}=\operatorname {Spec} K[u,v]} 위에 2차 순환군의 작용

{\displaystyle (u,v)\mapsto (-u,-v)}
의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.

{\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{2}/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})}
여기서 {\displaystyle K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)}}는 \operatorname {Cyc} (2)의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는

{\displaystyle u^{2},v^{2},uv}
로 생성되며, 이 사이의 관계는

{\displaystyle u^{2}\cdot v^{2}=(uv)^{2}}
밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상

{\displaystyle \operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})\cong \operatorname {Spec} {\frac {K[x,y,z]}{(xy-z^{2})}}}
{\displaystyle (u,v)\mapsto (u^{2},v^{2},uv)}
을 갖는다.

### 델 페초 곡면

 이 부분의 본문은 델 페초 곡면입니다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 \operatorname {dP}\_{1}을 나타낸다.:Figure 2(b)

{\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}}
구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 \operatorname {dP}\_{2}을 나타낸다.:Figure 2(b)

{\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}}
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 {\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}을 나타낸다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\&\downarrow \end{matrix}}}
이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

응용
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원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.

참고 문헌
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