유체론에서 **힐베르트 기호**(영어: Hilbert symbol)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 **힐베르트 상호 법칙**(영어: Hilbert reciprocity law)이라고 한다.

정의
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### 이차 힐베르트 기호

{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{\infty ,2,3,5,7,\dots \}}가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

{\displaystyle \mathbb {Q} \_{\mathfrak {p}}={\begin{cases}\mathbb {R} &{\mathfrak {p}}=\infty \\\mathbb {Q} \_{p}&p={\mathfrak {p}}<\infty \end{cases}}}
는 실수체 또는 p진수체이다. 체 K의 가역원군을 K^{\times }=K\setminus \{0\}라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 {\mathfrak {p}}에서의 **힐베르트 기호**는 다음과 같은 함수이다.

{\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon \mathbb {Q} \_{\mathfrak {p}}^{\times }\times \mathbb {Q} \_{\mathfrak {p}}^{\times }\to \{-1,+1\}}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\begin{cases}1&\exists (x,y,z)\in \mathbb {Q} \_{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\\-1&\nexists (x,y,z)\in \mathbb {Q} \_{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\end{cases}}}
### 일반적 힐베르트 기호

위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체 K의 자리 {\mathfrak {p}}에 대하여, 다음과 같은 함수를 **힐베르트 기호**라고 한다.:201, §II.7.3.1:333, Proposition V.3.1

{\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon K\_{\mathfrak {p}}^{\times }\times K\_{\mathfrak {p}}^{\times }\to \mu (K^{\times })}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\frac {({\frac {K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}}}{b}}){\sqrt[{m}]{a}}}{\sqrt[{m}]{a}}}}
여기서

* {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}}는 자리 {\mathfrak {p}}에서의 국소체이다.
* {\displaystyle \mu (K^{\times })\subseteq K}는 K에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
* {\displaystyle m=|\mu (K)|}는 K에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
* {\displaystyle ({\tfrac {K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}}}{b}})\in \operatorname {Gal} (K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}})}는 원분 확대 {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}}}에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 {\displaystyle {\sqrt[{m}]{a}}\in K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})} 위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는 m제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

{\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon {\frac {K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K\_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\times {\frac {K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K\_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\to \mu (K^{\times })}

성질
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만약 {\mathfrak {p}}가 복소수 자리라면 ({\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} }), {\displaystyle K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} /\mathbb {C} }는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (K\_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K\_{\mathfrak {p}})=1}은 자명군이며, 따라서 {\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})=1\;\forall a,b\in K\_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} }이다.

임의의 대수적 수체 K의 자리 {\mathfrak {p}}에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.:195, Proposition II.7.1.1:334, Proposition V.3.2

{\displaystyle (a,1-a)\_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K\_{\mathfrak {p}}\setminus \{0,1\}}
{\displaystyle (a,-a)\_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}
{\displaystyle (a,b)\_{\mathfrak {p}}=(b,a)\_{\mathfrak {p}}^{-1}\qquad \forall a,b\in K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}
{\displaystyle (a,bc)\_{\mathfrak {p}}=(a,b)\_{\mathfrak {p}}(a,c)\_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}
{\displaystyle (ab,c)\_{\mathfrak {p}}=(a,c)\_{\mathfrak {p}}(b,c)\_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K\_{\mathfrak {p}}^{\times }}
### 유리수체의 국소 힐베르트 기호

실수체에서는

{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)={\begin{cases}+1&\max {a,b}>0\\-1&\max {a,b}<0\end{cases}}}
이다.

2진수체에서, a와 b가 정수이고

a=2^{\alpha }u
b=2^{\beta }v
2\nmid u,v
라면,

{\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(u-1)(v-1)/4+\alpha (v^{2}-1)/8+\beta (u^{2}-1)/8}}
이다.

홀수 소수 p에 대한 p진수체에서, a와 b가 정수이고

a=p^{\alpha }u
b=p^{\beta }v
p\nmid u,v
라면,

{\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=(-1)^{\alpha \beta (p-1)/2}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}
이다. 여기서 \textstyle ({\frac ab})는 르장드르 기호이다.

### 힐베르트 상호 법칙

**힐베르트 상호 법칙**(Hilbert相互法則, 영어: Hilbert reciprocity law)에 따르면, 임의의 대수적 수체 K의 두 원소 a,b\in K에 대하여, {\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})\neq 1}인 자리 {\mathfrak {p}}의 수는 유한하며, 또한

{\displaystyle \prod \_{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=1}
이다.:201, §I.7.3.1:414, Theorem VI.8.1 여기서 {\displaystyle \textstyle \prod \_{\mathfrak {p}}}는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 a와 b가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)=1}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=1\qquad (a\neq p\neq b)}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{a}}\right)=\left({\frac {b}{a}}\right)}
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}
따라서

{\displaystyle \prod \_{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=1}
이다.

역사
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다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Gras, Georges (2003). 《Class field theory: From theory to practice》. Springer Monographs in Mathematics (영어). H. Cohen 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-662-11323-3. ISBN 978-3-642-07908-5. ISSN 1439-7382. Zbl 1019.11032.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. 1 2 3  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
3. ↑  Hilbert, David (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". 《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung》 (독일어) **4**: 175–546. ISSN 0012-0456.

* Vostokov, Sergei V. (2000). 〈I.8 Explicit formulas for the Hilbert symbol〉. 《Invitation to higher local fields》. Geom. Topol. Monogr (영어) **3**. 81–89쪽. arXiv:math/0012139.