그래프의 3개의 색으로의 색칠. 이 그래프는 2개의 색으로 색칠할 수 없으며, 따라서 이 그래프의 색칠수는 3이다.
그래프 이론에서 **그래프 색칠**(graph色漆, 영어: graph colo(u)ring)은 그래프의 꼭지점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다.

정의
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(단순) 그래프 G의 **색칠** (C,c)은 집합 C 및 함수 c\colon V(G)\to C의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변 v\_{1}v\_{2}\in E(G)에 대하여 c(v\_{1})\neq c(v\_{2})이어야만 한다. 색칠 (C,c)에서, C의 원소를 **색**(色, 영어: colo(u)r)이라고 한다.

그래프 G의 두 색칠 (C,c), (C',c')이 주어졌을 때, 만약 전단사 함수 f\colon C\to C'가 존재하여 c'=f\circ c인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다.

그래프 G의 **변 색칠**(邊色漆, 영어: edge colo(u)ring)은 G의 선 그래프 L(G)의 색칠이다. 평면 그래프 G의 **면 색칠**(面色漆, 영어: face colo(u)ring)은 그 쌍대 그래프(영어: dual graph) G'의 색칠이다.

### 색칠 다항식과 색칠수

이 그래프 G의 경우 P\_{G}a(3)=12이다.
그래프 G에서, 색 C=\{1,2,\dots ,t\}을 공역으로 하는 색칠의 수를 P\_{G}(t)라고 쓰자. (이 경우, 서로 동형인 색칠들도 중복하여 센다.) 만약 G가 유한 그래프일 경우, 이는 t에 대하여 다항식을 이루며, 이를 G의 **색칠 다항식**(영어: chromatic polynomial)이라고 한다. 그래프 G의 **색칠수**(色漆數, 영어: chromatic number) \chi (G)는 색칠이 존재하는 최소의 정수이다.

\chi (G)=\min\{t\in {\mathbb N}\colon P\_{G}(t)>0\}
마찬가지로, **변 색칠 다항식** · **변 색칠수** 따위를 정의할 수 있다. 변 색칠수는 **색칠 지표**(영어: chromatic index)라고도 하며, \chi '(G)로 쓴다.

성질
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(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치다.

* \chi (G)=1
* P\_{G}(t)=t^{n} (n\in \mathbb {Z} ^{+})
* |E(G)|=0이며 |V(G)|\geq 1

(단순) 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

* \chi (G)=2
* G는 이분 그래프이다.

모든 (단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음이 성립한다.

* 1\leq \chi (G)\leq |V(G)|
* \chi (G)\left(\chi (G)-1\right)\leq 2|E(G)|
* \omega (G)\leq \chi (G)\leq \Delta (G)+1

여기서 \omega (G)는 G의 최대 클릭의 크기이며, \Delta (G)=\max \_{{v\in V(G)}}\deg v는 G의 꼭짓점들의 차수들의 최댓값이다.
**브룩스의 정리**(영어: Brooks’ theorem)에 따르면, 임의의 연결 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* \chi (G)=\Delta (G)+1이다.
* G는 완벽 그래프이거나 홀수 크기의 순환 그래프이다.

**4색정리**에 따르면, 모든 유한 평면 그래프 G에 대하여

\chi (G)\leq 4
이다. **그뢰치의 정리**(영어: Grötzsch’s theorem)에 따르면, 크기가 3인 순환을 갖지 않는 유한 평면 그래프 G에 대하여

\chi (G)\leq 3
이다.

### 색칠 다항식의 성질

n개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 색칠 다항식은 n차 다항식이다.

(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

* \chi \_{G}(t)=t(t-1)^{{n-1}}
* G는 n개의 꼭짓점을 갖는 나무이다.

(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

* \chi \_{G}(t)=(t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)
* G는 크기 n의 순환 그래프 C\_{n}이다.

색칠 다항식이 t(t-1)^{3}(t-2)인 그래프
두 그래프의 색칠 다항식이 같을 경우, 이들이 **색칠 동치**(영어: chromatically equivalent)라고 한다. 서로 동형이 아닌 두 그래프가 색칠 동치일 수 있다. 예를 들어, 꼭짓점의 수가 같지만 서로 동형이 아닌 두 나무는 색칠 동치이다. 또한, 색칠 다항식이 t(t-1)^{3}(t-2)인 그래프는 총 3개가 있다.

연결 성분 G\_{1},\dots ,G\_{n}으로 구성된 그래프의 색칠 다항식은 다음과 같다.

P\_{G}(t)=\prod \_{{i=1}}^{n}P\_{{G\_{i}}}(t)
(단순) 그래프 G 및 uv\in E(G)에 대하여, G-uv를 G에서 변 uv를 제거한 그래프, G/uv를 G에서 변 uv를 제거하고 u와 v를 합친 그래프라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

P\_{G}=P\_{{G-uv}}-P\_{{G/uv}}
즉, 이를 사용하여 색칠 다항식을 재귀적으로 계산할 수 있다.

### 알고리즘

임의의 그래프에 대하여 k-색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프가 1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다.

임의의 그래프 G에 대하여, \Delta (G)+1-색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다.

예
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일부 그래프의 색칠 다항식 및 색칠수는 다음과 같다.

| 다항식 | 색칠 다항식 | 색칠수 |
| --- | --- | --- |
| 변이 없는 그래프 {\bar K}\_{n} | t^{n} | 1 |
| 완전 그래프 K\_{n} | t(t-1)(t-2)...(t-(n-1)) | n |
| n개의 꼭짓점을 갖는 나무 | t(t-1)^{{n-1}} | 2 |
| 순환 그래프 C\_{n} | (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1) | 2 (n 짝수), 3 (n 홀수) |
| 페테르센 그래프 | t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352) | 3 |

응용
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그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다.

스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다.