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수론에서 ***p*진수**(p進數, *p*-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 *p*에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다.
보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 *p*진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 *p*진수에는 *p*진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

개론
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유리수체 {\displaystyle \mathbb {Q} }는 표준 노름 {\displaystyle |a/b|}에 대하여 완비 거리 공간을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 코시 수열들의 동치류들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 {\displaystyle \mathbb {R} }을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 아주 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. *p*진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 소수 *p*에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 {\displaystyle p^{n}(a/b)} ({\displaystyle a}와 {\displaystyle b}는 {\displaystyle p}로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, {\displaystyle p=7}이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle 28/5=7\times (4/5)}
{\displaystyle -15/98=7^{-2}\times (-15/2)}
이는 "변수" {\displaystyle p=7}에 대한 단항식 {\displaystyle (4/5)p} 또는 {\displaystyle -(15/2)p^{-2}}와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, {\displaystyle p}를 일종의 무한소로 취급하면, {\displaystyle p}의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "작고", {\displaystyle p^{-1}}의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이와 같이 유리수체 {\displaystyle \mathbb {Q} } 위에 {\displaystyle p}의 인수를 더 많이 포함할수록 더 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. *p*진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

정의
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*p*진수체 및 *p*진 정수환은 해석적인 기법 및 가환대수학적 기법으로 정의할 수 있다.

### 해석적 정의

{\displaystyle p}가 소수라고 하자. 유리수체 {\displaystyle \mathbb {Q} }에 다음과 같은 노름 {\displaystyle |\cdot |\_{p}}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle |p^{n}a/b|\_{p}=p^{-n}} ({\displaystyle p\nmid a,b})
{\displaystyle |0|\_{p}=0}
(모든 0이 아닌 유리수는 {\displaystyle p^{n}a/b}와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 ***p*진 노름**(영어: *p*-adic norm)이라고 한다.

유리수체 {\displaystyle \mathbb {Q} }를 이 노름에 대하여 완비화시켜 얻는 체를 ***p*진체** {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}라고 하며, 그 원소를 ***p*진수**라고 한다.

### 대수적 정의

*p*진 정수환 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}는 정수환 {\displaystyle \mathbb {Z} }를 소 아이디얼 {\displaystyle (p)}에서 완비화한 것이다. 즉, 다음과 같은 몫환들 사이에 자연스러운 환 준동형이 존재하며,

{\displaystyle \cdots \to \mathbb {Z} /p^{3}\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}
*p*진 정수환은 이들의 역극한이다.

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}=\varprojlim \_{n}\mathbb {Z} /(p^{n})}
*p*진 정수환은 정역을 이루며, ***p*진수체** {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 *p*진 정수환의 분수체이다.

{\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} \_{p})}
보다 추상적으로, *p*진 정수환 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}는 크기 {\displaystyle p}의 유한체 {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} 위의 {\displaystyle p}진 비트 벡터 환으로 정의할 수도 있다.

### *p*진 복소수

***p*진 복소수체** {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}는 다음과 같이 정의한다.

1. p진체 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 완비 거리 공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 그 대수적 폐포를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\_{p}}를 얻을 수 있다.
2. 대수적 폐포 {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\_{p}}는 대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리 공간이 아니다. 그 완비화를 취하여, {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리 공간이다. 이를 ***p*진 복소수체**로 정의한다.

성질
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### *p*진 노름

*p*진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, {\displaystyle r,s\in \mathbb {Q} }는 임의의 유리수다.

* {\displaystyle |r+s|\_{p}\leq \max\{|r|\_{p},|s|\_{p}\}}

이는 모든 노름들이 만족시키는 삼각 부등식 {\displaystyle |r+s|\leq |r|+|s|}보다 더 강한 조건이다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} }의 표준 노름을 {\displaystyle |\cdot |\_{\infty }}라고 쓰자. 그렇다면,

{\displaystyle |r|\_{\infty }\prod \_{p}|r|\_{p}=1}
이다.
### *p*진 정수환

*p*진 정수환 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}의 집합의 크기는 {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}}이다. 즉, 실수체의 크기와 같다.

가환대수학적으로, *p*진 정수환은 이산 값매김환이다 (따라서, 주 아이디얼 정역이자 유클리드 정역이며, 크룰 차원이 1차원인 국소환이다). 값군은 무한 순환군 {\displaystyle \mathbb {Z} }이며, 값매김은 *p*진 노름 {\displaystyle |\cdot |\_{p}\colon \mathbb {Q} \_{p}\to \mathbb {Z} }이다.

*p*진 정수환의 가역원군 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}^{\times }}은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}^{\times }=\mathbb {Z} \_{p}\setminus (p)=\{a\in \mathbb {Z} \_{p}\colon |a|\_{p}=0\}}
*p*진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다.

{\displaystyle a=p^{n}u\qquad (n\in \mathbb {N} ,u\in \mathbb {Z} \_{p}^{\times })}
따라서, *p*진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다.

* {\displaystyle (p^{n}),\;n\in \mathbb {N} }
* {\displaystyle (0)}

*p*진 정수환의 유일한 극대 아이디얼은 {\displaystyle (p)}이다. *p*진 정수환의 소 아이디얼은 영 아이디얼과 {\displaystyle (p)}이다.

*p*진 정수환의 몫환은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}/(p^{n})\cong \mathbb {Z} /(p^{n})}
{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}/(0)\cong \mathbb {Z} \_{p}}
*p*진 정수환은 국소환이므로, 자연스러운 {\displaystyle (p)}진 위상을 갖추어 위상환을 이룬다. p진 정수의 덧셈 위상군의 폰트랴긴 쌍대군은 (이산 위상을 갖춘) 프뤼퍼 군 {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}이다.

### *p*진체

*p*진체 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

* {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}의 집합의 크기는 {\displaystyle |\mathbb {Q} \_{p}|=2^{\aleph \_{0}}={\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |}이다. 즉, 실수체의 크기와 같다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 유리수체를 부분체로 가지는 체이다. 그 체의 표수는 0이다.
* {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 순서 구조를 가하여 순서체로 만들 수 없다.
* 위상 공간으로서, *p*진체 {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 콤팩트하지 않다.

### *p*진 복소수체

*p*진 복소수체 {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

* {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}는 대수학적으로 표준 복소수체 {\displaystyle \mathbb {C} }와 동형이다. 즉, {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}는 {\displaystyle \mathbb {C} }에 비표준 노름을 준 것으로 생각할 수 있다.
	+ 따라서, {\displaystyle |\mathbb {C} \_{p}|=|\mathbb {C} |={\mathfrak {c}}}이며, 대수적으로 닫힌 체임을 일 수 있다.
* 위상 공간으로서, {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트하지 않다.

예
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*p*진수의 덧셈·뺄셈·곱셈은 *p*진법 실수의 덧셈·뺄셈·곱셈과 유사하며, 유일한 차이는 소숫점 왼쪽으로 무한한 수의 자릿수가 존재한다는 것 뿐이다. *p*진법 나눗셈은 조금 다른데, 이 경우 뺄셈을 할 때, 1의 자릿수가 0이 되게 하는 수를 찾아서 뺀다.

예를 들어, 3의 역수 ⅓을 5진수체로 표현하면 순환 5진 정수 {\displaystyle 1/3={\overline {13}}2\_{5}}이다. (여기서 자릿수 위의 윗줄은 반복되는 자릿수를 나타낸다.) 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {5^{2}-1}{3}}={\frac {44\_{5}}{3}}=13\_{5};\,{\frac {5^{4}-1}{3}}={\frac {4444\_{5}}{3}}=1313\_{5};\,{\frac {5^{6}-1}{3}}={\frac {444444\_{5}}{3}}=131313\_{5};\cdots }
{\displaystyle \implies -{\frac {1}{3}}={\overline {13}}\_{5}=\cdots 1313\_{5}}
{\displaystyle \implies -{\frac {2}{3}}={\overline {13}}\_{5}\times 2={\overline {31}}\_{5}=\cdots 3131\_{5}}
{\displaystyle \implies {\frac {1}{3}}=-{\frac {2}{3}}+1={\overline {13}}2\_{5}=\cdots 132\_{5}}
이는 직접 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{array}{crl}&{\underline {\cdots 3132\_{5}}}\\3)&{\color {White}{\cdots 000}}1\_{5}\\-&{\underline {{\color {White}{\cdots 00}}11\_{5}}}&(=3\_{5}\times 2)\\&\cdots 4440\_{5}\\-&{\underline {{\color {White}{\cdots 0}}14\_{5}}}{\color {White}{0}}&(=3\_{5}\times 3)\\&\cdots 430\_{5}{\color {White}{0}}\\-&{\underline {{\color {White}{\cdots 0}}3\_{5}}}{\color {White}{00}}&(=3\_{5}\times 1)\\&\cdots 40\_{5}{\color {White}{00}}\\-&{\underline {\cdots 4\_{5}}}{\color {White}{000}}&(=3\_{5}\times 3)\\&\cdots 0\_{5}{\color {White}{000}}\end{array}}}
이는

{\displaystyle {\begin{array}{cr}\cdots &{\overset {2}{1}}{\overset {1}{3}}{\overset {2}{1}}{\overset {1}{3}}{\overset {2}{1}}{\overset {1}{3}}2\_{5}\\\times &3\_{5}\\\hline \\\cdots &000001\_{5}\\\end{array}}}
로 검산할 수 있다. (여기서 윗첨자는 올림(영어: carry)이다.) 소숫점 오른쪽의 자릿수가 모두 0이므로, 이는 5진 정수이다.

역사
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쿠르트 헨젤이 1897년에 대수적 수론에서 사용하기 위하여 도입하였다.

응용
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원래 수론에서 도입되었지만, 오늘날 *p*진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학은 미적분학의 *p*진법 버전이라 할 수 있다.

이론물리학에서도 *p*진수가 종종 사용된다.

컴퓨터 과학에서는 유리수를 나타내는 한 방법으로 사용된다.

참고 문헌
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