**룽게-쿠타 방법**은 다음 상미분방정식의 수치해법이다

{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.

  

{\displaystyle y\_{n+1}=y\_{n}+h\sum \_{i=1}^{s}b\_{i}k\_{i}}
{\displaystyle k\_{1}=f(t\_{n},y\_{n}),}
{\displaystyle k\_{2}=f(t\_{n}+c\_{2}h,y\_{n}+h(a\_{21}k\_{1})),}
{\displaystyle k\_{3}=f(t\_{n}+c\_{3}h,y\_{n}+h(a\_{31}k\_{1}+a\_{32}k\_{2})),}
{\displaystyle \vdots }
{\displaystyle k\_{i}=f\left(t\_{n}+c\_{i}h,y\_{n}+h\sum \_{j=1}^{i-1}a\_{ij}k\_{j}\right),}
이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c\_{1}&a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1s}\\c\_{2}&a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\_{s}&a\_{s1}&a\_{s2}&\dots &a\_{ss}\\\hline &b\_{1}&b\_{2}&\dots &b\_{s}\\\end{array}}}

명시적 방법
------

명시적 방법은 행렬 {\displaystyle [a\_{ij}]}이 하삼각행렬인 방법이다.

### 오일러

오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}}
### 명시적 중간점 방법

(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}
### 호인의 방법

호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
### 랄스톤 방법

랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
### 일반적인 이차 방법

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}
### 쿠타 삼차 방법

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
### 고전적 사차 방법

"원조" 룽게-쿠타 방법이다.

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}
### 3/8-규칙 사차 방법

이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}

내장형 방법
------

내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다

{\displaystyle y\_{n+1}^{\*}=y\_{n}+h\sum \_{i=1}^{s}b\_{i}^{\*}k\_{i},}
이때 {\displaystyle k\_{i}}는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다

{\displaystyle e\_{n+1}=y\_{n+1}-y\_{n+1}^{\*}=h\sum \_{i=1}^{s}(b\_{i}-b\_{i}^{\*})k\_{i},}
이 오차는 {\displaystyle O(h^{p})}. 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 {\displaystyle b\_{i}^{\*}}

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c\_{1}&a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1s}\\c\_{2}&a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\_{s}&a\_{s1}&a\_{s2}&\dots &a\_{ss}\\\hline &b\_{1}&b\_{2}&\dots &b\_{s}\\&b\_{1}^{\*}&b\_{2}^{\*}&\dots &b\_{s}^{\*}\\\end{array}}}
### 호인-오일러

가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}
추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

### 펠베르크 RK1(2)

펠베르크 방법은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 1 | 1/256 | 255/256 |
| 1/256 | 255/256 | 0 |
| 1/512 | 255/256 | 1/512 |

*b* 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

### 보가키–샴폐인

보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 3/4 | 0 | 3/4 |
| 1 | 2/9 | 1/3 | 4/9 |
| 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |
| 7/24 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |

*b* 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

### 펠베르크

룽게-쿠타-펠베르크 방법은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/4 | 1/4 |
| 3/8 | 3/32 | 9/32 |
| 12/13 | 1932/2197 | −7200/2197 | 7296/2197 |
| 1 | 439/216 | −8 | 3680/513 | −845/4104 |
| 1/2 | -8/27 | 2 | −3544/2565 | 1859/4104 | −11/40 |
| 16/135 | 0 | 6656/12825 | 28561/56430 | −9/50 | 2/55 |
| 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | −1/5 | 0 |

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

### 캐쉬-카프

캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |
| 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |
| 7/8 | 1631/55296 | 175/512 | 575/13824 | 44275/110592 | 253/4096 |
| 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |
| 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 |

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

### 도르몬드–프린스

도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |
| 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |
| 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |
| 1 | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 |
| 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |
| 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 |

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

암시적 방법
------

### 역 오일러

역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}
### 암시적 중간점

암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}
### 가우스-르장드르 방법

이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}
6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}
### 로바토 방법

로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2*s-*2차 방법이며, 모두 *c*1 = 0이고 *c**s* = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

#### 로바토 IIIA 방법

로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

#### 로바토 IIIB 방법

로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

#### 로바토 IIIC 방법

로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

#### 로바토 IIIC\* 방법

로바토 IIIC\* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다. 아차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. {\displaystyle s=2}.

#### 일반화된 로바토 방법

다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수{\displaystyle (\alpha \_{A},\alpha \_{B},\alpha \_{C})}

{\displaystyle a\_{i,j}(\alpha \_{A},\alpha \_{B},\alpha \_{C})=\alpha \_{A}a\_{i,j}^{A}+\alpha \_{B}a\_{i,j}^{B}+\alpha \_{C}a\_{i,j}^{C}+\alpha \_{C\*}a\_{i,j}^{C\*}},
여기서,

{\displaystyle \alpha \_{C\*}=1-\alpha \_{A}-\alpha \_{B}-\alpha \_{C}}.
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
그리고

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
이 방법은 {\displaystyle \alpha \_{A}=2}, {\displaystyle \alpha \_{B}=2}, {\displaystyle \alpha \_{C}=-1}, 그리고 {\displaystyle \alpha \_{C\*}=-2}. 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

### 라다우 방법

라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 *A*는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 *s* 단계에 2*s*-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

#### 라다우 IA 방법

삼차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
5차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}
#### 라다우 IIA 방법

이 방법의 *c*i는 다음의 근이다

{\displaystyle P\_{s}(2x-1)-P\_{s-1}(2x-1)=0,}
{\displaystyle P\_{s}}. 삼차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}
5차 방법은 다음과 같다

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}

참조
--

1. ↑  Fehlberg, E. (1969년 7월 1일). "Low-order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems".
2. ↑

* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), 《Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .
* Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), 《Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 .
* Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), 《Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations》 2판, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4 .