비가환 기하학에서 **비가환 원환면**(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C\* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C\* 대수를 일반화한 것이다.

정의
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### 추상적 정의

단위원을 갖는 복소수 C\* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

{\displaystyle U\colon \operatorname {C\*Alg} \to \operatorname {Set} }
이는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle F\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {C\*Alg} }
를 가지며, 이를 통해 자유 C\* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C\*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C\* 대수이다.

이제, n개의 생성원 {\displaystyle U\_{1},\dotsc ,U\_{n}}으로 생성되는 자유 C\* 대수 A\_{n}을 생각하자. 반대칭 n\times n 실수 행렬

{\displaystyle \theta \in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C\* 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {I}}\_{\theta }}를 생각하자.

{\displaystyle U\_{i}V\_{j}=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta \_{ij})U\_{j}V\_{i}}
이에 대한 몫인 C\* 대수

{\displaystyle A\_{n,\theta }=A\_{n}/{\mathfrak {I}}\_{\theta }}
를 **\theta 로 정의되는 n차원 비가환 원환면**(영어: n-dimensional noncommutative torus defined by \theta )이라고 한다.

만약 {\displaystyle \theta =0}일 경우, 이는 가환 C\* 대수이며, 이는 n차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C\* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}=\{(x\_{1}+\mathbb {Z} ,\dotsc ,x\_{n}+\mathbb {Z} )\colon x\_{1},\dotsc ,x\_{n}\in \mathbb {R} \}}
일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

{\displaystyle A\_{n,0}\mapsto {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {C} )}
{\displaystyle U\_{i}\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} x\_{i})}
### 기하학적 정의

무리수 {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }가 주어졌다고 하자. 이제, 원 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}} 위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간

{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}
를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

{\displaystyle U\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}
{\displaystyle V\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}
Uf(z)=zf(z)
{\displaystyle Vf(z)=f(\exp(-2\pi \mathrm {i} \theta )z)}
즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

{\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU}
그렇다면, 유계 작용소의 C\* 대수 {\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} ))} 속에서, U와 V로 생성되는 부분 C\* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 {\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU}에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C\* 대수이다. 이를 **2차원 비가환 원환면** {\displaystyle \mathbb {T} \_{\theta }^{2}}라고 한다.

성질
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두 비가환 원환면 {\displaystyle \mathbb {T} \_{\theta }^{2}}와 {\displaystyle \mathbb {T} \_{\theta '}^{2}}는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

\theta +\theta '\in {\mathbb Z} 또는 \theta -\theta '\in {\mathbb Z}
두 비가환 원환면 {\mathbb T}\_{\theta }와 {\mathbb T}\_{{\theta '}}는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.

\theta '={\frac {a\theta +b}{c\theta +d}}
여기서

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL}(2,{\mathbb Z})
이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.

참고 문헌
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1. ↑  Rieffel, Marc A. (1990). 〈Non-commutative tori — a case study of non-commutative differentiable manifolds〉 (PDF). 《Geometric and Topological Invariants of Elliptic Operators》 (영어). Contemporary Mathematics 105. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 191–211쪽. doi:10.1090/conm/105/1047281. ISBN 978-0-8218-5112-8. MR 1047281. Zbl 0713.46046.
2. ↑  Plazas, Jorge (2008). 〈Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds〉. 《An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005》 (영어). World Scientific. 419–445쪽. arXiv:math/0703849. Bibcode:2007math......3849P. ISBN 978-981-270-616-4. Zbl 1146.58007.
3. ↑  Rieffel, Marc A.; Albert Schwarz (1999년 3월). "Morita equivalence of multidimensional noncommutative tori". 《International Journal of Mathematics》 (영어) **10** (2): 289. arXiv:math/9803057. Bibcode:1998math......3057R. doi:10.1142/S0129167X99000100. ISSN 0129-167X. Zbl 0968.46060.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Elliott, George A.; Hanfeng Li (2007년 9월). "Morita equivalence of smooth noncommutative tori". 《Acta Mathematica》 (영어) **199** (1): 1–27. doi:10.1007/s11511-007-0017-9. ISSN 0001-5962. MR 2350069. Zbl 1137.46030.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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