리 대수 이론에서, **불변 다항식**(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

정의
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체 K 위의 유한 차원 리 대수 {\mathfrak {g}}의 쌍대 공간 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}} 위의 대칭 대수

{\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{\*})}
를 생각하자. {\displaystyle \alpha \in \textstyle \operatorname {Sym} ^{n}{\mathfrak {g}}^{\*}}가 다음 조건을 만족시킨다면, {\mathfrak {g}}의 **n차 불변 다항식**이라고 한다.

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}\alpha (x\_{0},x\_{1},\dotsc ,[x\_{i},x\_{i+1}],\dotsc ,x\_{n})=0}
{\mathfrak {g}} 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

### 베유 대수

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 {\mathfrak {g}}의 **베유 대수**(영어: Weil algebra) {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}}의 동차 원소 기저를 {\displaystyle t^{i}}라고 할 때, {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}의 생성원은 {\displaystyle t^{i}} 및 {\displaystyle \delta t^{i}}이다 ({\displaystyle \deg \delta t^{i}=1+\deg t^{i}}). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {d} t^{i}=\mathrm {d} \_{\mathrm {CE} }t^{i}+\delta t^{i}}
{\displaystyle \mathrm {d} \delta t^{i}=-\delta \mathrm {d} \_{\mathrm {CE} }t^{i}}
여기서 {\displaystyle \mathrm {d} \_{\operatorname {CE} }}란 슈발레-에일렌베르크 대수 {\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}의 미분이다. 즉, 이는 {\displaystyle \delta ^{2}=\{\mathrm {d} ,\delta \}=0}을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
{\displaystyle t^{i}\mapsto t^{i}}
{\displaystyle \delta t^{i}\mapsto 0}
이 존재한다.

### L∞-대수의 불변 다항식

유한형 L∞-대수 {\mathfrak {g}}의 불변 다항식은 베유 대수 {\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}의 원소 {\displaystyle \alpha \in \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})} 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.:Definition 4.1.13

{\displaystyle \alpha \in \bigwedge \delta {\mathfrak {g}}^{\*}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}\alpha =0}
즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, {\displaystyle \delta {\mathfrak {g}}^{\*}}만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. {\mathfrak {g}}가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

{\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{\*})\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{\*})\otimes \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{\*})}
의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

성질
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리 대수 {\mathfrak {g}}에 대하여,

{\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
는 리 군 G의 분류 공간

{\displaystyle \mathrm {B} G\leftarrow \mathrm {E} G\leftarrow G}
의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} \_{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {E} G)={\begin{cases}0&\bullet \neq 0\\K&\bullet =0\end{cases}}}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} \_{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)=\operatorname {H} \_{\text{LieAlg}}^{\bullet }({\mathfrak {g}};K)}
{\displaystyle \operatorname {inv} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} \_{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {B} G;K)}
이다. ({\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})}의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\text{LieAlg}}^{\bullet }(-)}는 리 대수 코호몰로지이다.

예
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체 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 킬링 형식

{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{\*}}
은 2차 불변 다항식이다. 즉,

{\displaystyle B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
이다.

### 단순 리 대수의 불변 다항식

계수 n의 단순 리 대수는 n개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.:59, §3.7

| 단순 리 대수 | 불변 다항식의 차수 |
| --- | --- |
| \mathfrak a\_n | 2, 3, …, *n*+1 |
| \mathfrak b\_n, {\displaystyle {\mathfrak {c}}\_{n}} | 2, 4, 6, …, 2*n* |
| \mathfrak d\_n | 2, 4, 6, …, 2*n*−2, *n* |
| {\mathfrak e}\_{6} | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
| \mathfrak e\_7 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
| \mathfrak e\_8 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
| {\mathfrak f}\_{4} | 2, 6, 8, 12 |
| \mathfrak g\_2 | 2, 6 |

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. "차수"란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 {\displaystyle d\_{1},d\_{2},\dotsc ,d\_{r}}라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

{\displaystyle \deg x\_{i}=2d\_{i}-1}
의 r개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

{\displaystyle \dim G=\sum \_{i=1}^{r}(2d\_{i}-1)}
이다.

{\displaystyle {\mathfrak {a}}\_{n}={\mathfrak {su}}(n+1)}의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

{\displaystyle p\_{k}(M)=\operatorname {tr} \_{(n+1)\times (n+1)}(M^{k})}
이다. 만약 k=1인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) {\displaystyle p\_{1}=0}이 되며, {\displaystyle k\geq n+2}인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 n\times n 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

{\displaystyle p\_{k}(M)=\operatorname {tr} (M^{k})}
이 경우 k가 홀수일 때 {\displaystyle p\_{k}=0}이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. n이 홀수일 때 불변 다항식들은 {\displaystyle p\_{2},\dotsc ,p\_{n-1}}로 구성된다. {\displaystyle n=2m}이 짝수일 때는 추가로 m차 불변 다항식

{\displaystyle q(M)=\epsilon ^{i\_{1}j\_{1}i\_{2}j\_{2}\dotsb i\_{m}j\_{m}}M\_{i\_{1}j\_{1}}\dotsm M\_{i\_{m}j\_{m}}}
이 존재한다.

참고 문헌
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1. ↑  Fiorenza, Domenico; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (2011). "Čech cocycles for differential characteristic classes — an ∞-Lie theoretic construction" (영어). arXiv:1011.4735.
2. ↑  Humphreys, James E. (1990). 《Reflection groups and Coxeter groups》 (영어). doi:10.1017/CBO9780511623646. ISBN 978-0-52143613-7.

* Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1973). 《Connections, curvature, and cohomology. Volume Ⅲ. Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces》 (영어). Academic Press. doi:10.1016/S0079-8169(08)60498-5. ISBN 978-0-12-302703-0.