양자장론에서, **2차원 {\mathcal {N}}=2 초등각 장론**(二次元{\mathcal {N}}=2超等角場論, 영어: two-dimensional {\mathcal {N}}=2 superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=2 초등각 대수
----------

2차원 {\mathcal {N}}=2 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

| 기호 | 이름 | 무게 h | U(1) R대칭 전하 q |
| --- | --- | --- | --- |
| T(z) | 에너지-운동량 텐서 | 2 | 0 |
| G^\pm(z) | 초전류 | 3/2 | ±½ |
| J(z) | R대칭 보존류 | 1 | 0 |
| c | 중심 원소 | 0 | 0 |

통상적으로, \hat c를 다음과 같이 정의한다.

\hat c=c/3
이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.:(2.1) 여기서 \cdots 는 z\to 0에서 비특이항을 뜻한다.

T(z)T(0)=\frac32\hat cz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots
T(z)G^\pm(0)=\frac32z^{-2}G^\pm(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots
T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots
J(z)J(0)=\hat cz^{-2}+\cdots
J(z)G^\pm(0)=\pm z^{-1}G^\pm(0)+\cdots
G^\pm(z)G^\pm(0)=\cdots
G^\pm(z)G^\mp(0)=\hat cz^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm\frac12\partial J(0)\right)+\cdots
### 모드 전개

{\mathcal {N}}=2 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.:(2.2)

T(z)=\sum\_nz^{n-2}L\_{-n}
G^\pm(z)=\sum\_{r\in\mathbb Z\pm\eta}z^{r-3/2}G\_{-r}^\pm
J(z)=\sum\_nz^{n-1}J\_{-n}
여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta =0이며 R 경계 조건의 경우 \eta =1/2이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.:178, (5.14):(2.3):(1.1)

*c*는 모든 원소와 가환
[L\_m,L\_n]=(m-n)L\_{m+n} +\frac14\hat c(m^3-m) \delta\_{m+n,0}
[L\_m,J\_n]=-nJ\_{m+n}
[J\_m,J\_n]=\hat cm\delta\_{m+n,0}
\{G\_r^+,G\_s^-\}=L\_{r+s} +\frac12(r-s)J\_{r+s} +\frac12\hat c(r^2-{1\over 4}) \delta\_{r+s,0}
\{G\_r^+,G\_s^+\}=0=\{G\_r^-,G\_s^-\}
[L\_m,G\_r^{\pm}]=(m/2-r) G^\pm\_{r+m}
[J\_m,G\_r^\pm]= \pm G\_{m+r}^\pm
### 대역적 대수

NS 대수에서, L\_{0}, L\_{{\pm 1}}, J\_{0}, G\_{{1/2}}^{\pm }, G\_{{-1/2}}^{\pm }는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 {\mathfrak {osp}}(2|2)이다. 이 리 초대수의 보손 성분 {\mathfrak {so}}(2)\oplus {\mathfrak {usp}}(2)\cong {\mathfrak u}(1)\oplus {\mathfrak {so}}(3)는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, L\_{0}, J\_{0}, **구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): G\_{0}^{\pm }**
, c는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

\{G\_{0}^{+},G\_{0}^{-}\}=L\_{0}-c/24
[J\_{0},G\_{0}^{\pm }]=\pm G\_{0}^{\pm }
[L\_{0},G\_{0}^{\pm }]=[L\_{0},L\_{0}]=[L\_{0},J\_{0}]=\{G\_{0}^{\pm },G\_{0}^{\pm }\}=[J\_{0},J\_{0}]=0
이는 콤팩트 리만 다양체에서 \Delta , d, d^{\dagger }가 이루는 대수와 같다.

표현
--

### 베르마 가군

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, {\mathcal {N}}=2 초등각 대수의 기약 표현은 **초1차장**(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 |\phi \rangle 은 다음 조건을 만족시킨다.

L\_{n}|\phi \rangle =G\_{r}|\phi \rangle =0\qquad \forall n,r>0
초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

L\_{{-n\_{1}}}L\_{{-n\_{2}}}\cdots L\_{{-n\_{k}}}G\_{{-r\_{1}}}^{+}G\_{{-r\_{2}}}^{+}\cdots G\_{{-r\_{p}}}^{+}G\_{{-s\_{1}}}^{-}G\_{{-s\_{2}}}^{-}\cdots G\_{{-s\_{q}}}^{-}|\phi \rangle \qquad (0<n\_{1}\leq n\_{2}\leq \cdots \leq n\_{k},\;0<r\_{1}<r\_{2}<\cdots <r\_{p},\;0\leq s\_{1}<\cdots <s\_{q}
여기서 r\_{i}<r\_{{i+1}} 및 s\_{i}<s\_{{i+1}}인 것은

(G\_{r}^{+})^{2}+=(G\_{s}^{-})^{2}=0
이기 때문이다. 또한, 0<r\_{1}인 것은 라몽 대역 초등각 대수 (G\_{0}^{+},G\_{0}^{-},L\_{0},J\_{0},c)의 작용을 대각화시켜, 초1차장 |h,q\rangle 에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.

G\_{0}^{+}|h,q\rangle =0
### 유니터리 초1차장의 범위

c=6 {\mathcal {N}}=2 NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 g\_r^{\operatorname{NS}}=0으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 f\_{1,2}^{\operatorname{NS}}=0에 의하여 정의된다.
c=6 {\mathcal {N}}=2 R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 g\_r^{\operatorname{R}}=0으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 f\_{1,2}^{\operatorname{R}}=0에 의하여 정의된다.
다음과 같은 함수들을 정의하자.

g\_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)
g\_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)
f\_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^2+\frac14(c/3+1)^2-\frac14(c/3-1)^2
f\_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^2+\frac14(c/3+1)^2
q\_{k,l,m}^{\text{NS}}=-\frac m{k+2}
q\_{k,l,m}^{\text{R}}=-\frac m{k+2}+\frac12
h\_{k,l,m}^{\text{NS}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}
h\_{k,l,m}^{\text{R}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac18
g\_r=0은 (q,h) 반평면에 직선을 정의하며, f\_{1,2}=0은 (q,h) 반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면, {\mathcal {N}}=2 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.

|  | c 범위 | NS 조건 | R 조건 |
| --- | --- | --- | --- |
| 유질량 표현 | c\ge3 | \forall r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g\_r^{\text{NS}}>0 | \forall r\in\mathbb Z\colon g\_r^{\text{R}}>0 |
| 무질량 표현 | c\ge3 | f\_{1,2}^{\operatorname{NS}}\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g\_r^{\text{NS}}=0,\;g\_{r+\operatorname{sgn}r}\le0 | f\_{1,2}^{\operatorname{R}}\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z\colon g\_r^{\text{R}}=0,\;g\_{r+\operatorname{sgn}r}\le0 |
| 최소 모형의 표현 | c=3k/(k+2)<3,\quad(k=1,2,\dots) | \exists l,m\colon(h,q)=(h\_{k,l,m}^{\text{NS}},q\_{k,l,m}^{\text{NS}}), 0\leq l\leq k, |m|\le l | \exists l,m\colon(h,q)=(h\_{k,l,m}^{\text{R}},q\_{k,l,m}^{\text{R}}), 0\leq l\leq k, m\in[1-l,l-1]\cup\{l+1\} |

c\ge3일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. c<3일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 {\mathcal {N}}=2 최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, G\_{r}^{+}에서 r\in {\mathbb Z}+\epsilon 이라고 한다면,

0\leq \langle h,q|G\_{{\epsilon }}^{\pm }G\_{{-\epsilon }}^{\mp }|h,q\rangle +\langle h,q|G\_{{-\epsilon }}^{\mp }G\_{{+\epsilon }}^{\pm }|h,q\rangle =\langle h,q|\{G\_{{\epsilon }}^{\pm },G\_{{-\epsilon }}^{\mp }\}|h,q\rangle =\langle h,q|(L\_{0}\pm \epsilon J\_{0}+c(\epsilon ^{2}-1/4)/6)|h,q\rangle =h\pm \epsilon q+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}
이므로, 항상

h+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}\geq |\epsilon q|
가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

h\geq 2|q|
이며 (g\_{\pm1/2}^{\text{NS}}\ge0), R 경계 조건에서는

h\geq c/24
이다 (g\_0^{\text{R}}\ge0). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

g\_r=g\_{r+\operatorname{sgn}r}=0이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

\frac{q^2}{2(c/3-1)}=\begin{cases}h&\text{NS}\\h-1/8&\text{R}\end{cases}
즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 h\ge q^2/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}에만 존재할 수 있다.

### *c*=3인 경우

유니터리 표현의 분류는 c=3인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,

g\_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)
g\_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)
f\_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f\_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^2
이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.

|q|\le1
h=\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots&\text{NS}\\
1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots&\text{R}\end{cases}
### BPS 상태

NS 초1차장 가운데 만약

q=\pm 2h
인 상태 |h,\pm 2h\rangle 가 있다면,

G\_{{-1/2}}^{{\pm }}|h,\pm 2h\rangle =0
이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 **손지기장**(영어: chiral field), − 부호일 경우 **반손지기장**(영어: antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 f\_{1,2}^{\text{NS}}\ge0 조건에 의하여

2h=|q|\le c/3
이다.:378

특별한 경우로, 진공 h=q=0일 경우에는

L\_{{-1}}|0,0\rangle =G\_{{-1/2}}^{\pm }|0,0\rangle =0
이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 h=c/24일 경우,

G\_{0}^{\pm }|c/24,q\rangle =0
이 성립한다. 이는 g\_0^{\text{R}}=0과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 **라몽 바닥 상태**(영어: Ramond ground state)라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우 f\_{1,2}^{\text{R}}\ge0 조건에 의하여

|q|\le c/6+1/2
이다.

### 초공간

2차원 {\mathcal N}=(2,2) 초대칭은 초공간 {\mathbb R}^{{2|4}}를 사용하여 나타낼 수 있다.:271–276 이 경우, 보손 좌표 {\mathbb R}^{2}는 복소평면 \mathbb {C} 로 여겨, 복소수 좌표 (z,{\bar z})로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 (\theta ^{\pm },{\bar \theta }^{\mp })로 나타낼 수 있다. 이 때

(\theta ^{\pm })^{\*}={\bar \theta }^{\mp }
이다. 이 경우, \theta ^{\pm } 및 {\bar \theta }^{\pm }은 각각 스핀 \pm 1/2를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

{\mathcal C}^{\omega }({\mathbb C})\otimes \_{{{\mathbb C}}}\bigwedge ({\mathbb C}^{2})
의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은

\Phi (z,{\bar z},\theta ^{\pm },{\bar \theta }^{\mp })=\phi (z,{\bar z})+\theta ^{+}f\_{+}(z,{\bar z})+\theta ^{-}f\_{-}(z,{\bar z})+{\bar \theta }^{+}g\_{+}(z,{\bar z})+{\bar \theta }^{-}g\_{-}(z,{\bar z})+\theta ^{+}\theta ^{-}h(z,{\bar z})
와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 D^{\pm }, {\bar D}^{\pm }을 정의하면 **손지기 초장**(영어: chiral superfield)

{\bar D}\_{\pm }\Phi =0
및 **반손지기 초장**(영어: antichiral superfield

{\bar D}\_{\pm }\Phi =0
및 **뒤틀린 손지기 초장**(영어: twisted chiral superfield)

{\bar D}\_{+}\Phi =D\_{-}\Phi =0
및 **뒤틀린 반손지기 초장**(영어: twisted antichiral superfield)

D\_{+}\Phi ={\bar D}\_{-}\Phi =0
이 존재한다. 이들은 {\mathcal N}=(2,2) 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

성질
--

### 위상 뒤틀림

정칙 {\mathcal {N}}=2 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 {\mathcal {H}} 위에

Q^{2}=(G\_{{-1/2}}^{\pm })^{2}=0
이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, G\_{{-1/2}}^{\pm }를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

h=\pm q/2
인 것들, 즉 (Q=G\_{{-1/2}}^{+}인 경우) 손지기장 또는 (Q=G\_{{-1/2}}^{-}인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(영어: chiral ring) 및 반손지기환(영어: antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙 {\mathcal N}=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.:403

Q\_{A}={\bar G}\_{{-1/2}}^{+}+G\_{{-1/2}}^{-}
Q\_{B}={\bar G}\_{{-1/2}}^{+}+G\_{{-1/2}}^{+}
이 경우, A-뒤틀림은

(h,{\bar h})=(-q/2,{\bar q}/2)
인 것들을 남기고 (ac환 영어: ac ring), B-뒤틀림은

(h,{\bar h})=(q/2,{\bar q}/2)
인 것들을 남긴다 (cc환 영어: cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기(영어: (anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

### 스펙트럼 흐름

{\mathcal {N}}=2 NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 **스펙트럼 흐름**(영어: spectral flow)이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 \eta \in {\mathbb R}에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, \eta =1/2라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, \eta =1이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.:186, (5.35)

h\mapsto h-\eta q+c\eta ^{2}/6
q\mapsto q-c\eta /3
스펙트럼 흐름 아래

h-{\frac 3{2c}}q^{2}
는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

{\binom {{\sqrt {2ch/3}}}q}\mapsto {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}{\binom {{\sqrt {2ch/3}}}q}
여기서

{\sqrt {2ch/3}}\,d\theta ={\frac c3}\,d\eta 
이므로,

\eta ={\sqrt {6h/c}}(\sinh \theta )+{\frac {3q}c}(\cosh \theta -1)
이다.

이에 따라, \eta =1/2일 때 손지기장 h=q/2은 (h',q')=(c/24,q-c/6)인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, \eta =1인 경우, 손지기장 h=q/2는 반손지기장 (h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)으로 대응된다.

| \eta =-1 | \eta =-1/2 | \eta =0 | \eta =1/2 | \eta =1 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  | 손지기장 (h,q)=(h,2h) | 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,2h-c/6) | 반손지기장 (h,q)=(c/6-h,2h-c/3) |
|  | 손지기장 (h,q)=(c/12+q/2,c/6+q) | 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,q) | 반손지기장 (h,q)=(c/12-q/2,q-c/6) |
| 손지기장 (h,q)=(c/6-h,c/3-2h) | 라몽 바닥 상태 (h,q)=(c/24,-2h+c/6) | 반손지기장 (h,q)=(h,-2h) |

### 모듈러 불변성

{\mathcal N}=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티

y=\exp(2\pi iz)
\bar y=\exp(-2\pi i\bar z)
q=\exp(2\pi i\tau )
\bar q=\exp(-2\pi i\bar \tau)
를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

Z(q,\bar q,y,\bar y)=\operatorname{tr}\_{\operatorname{NS}}\left(q^{L\_0-c/24}\bar q^{\bar L\_0-c/24}y^{J\_0}\bar y^{\bar J\_0}\right)=
\sum\_{(h,\bar h,q,\bar q)}q^{h-c/24}\bar q^{\bar h-c/24}y^j\bar y^{\bar j}
이는 모듈러 군의 S변환

S\colon(\tau,z)\mapsto(\tau',z')=(-1/\tau,z/\tau)
아래 다음과 같이 변환한다.

Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)\exp(\pi ic\bar z^2/3\bar\tau)Z(\tau',z')
즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 (-1)^F=\exp(i\pi(J\_0-\bar J\_0))를 삽입하여, 다음과 같은 **타원 종수**(楕圓種數, 영어: elliptic genus)를 정의할 수 있다.:(2.1)

Z(\tau,z)=\operatorname{tr}\_{\operatorname{R}}\left((-1)^Fq^{L\_0-c/24}\bar q^{\bar L\_0-c/24}y^{J\_0}\right)
이는 위튼 지표의 일반화이며, \tau  및 z에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.:(2.4), (2.5), (2.6)

Z(\tau,z)=Z(\tau,-z)=Z(\tau+1,z)
Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)Z(-1/\tau,z/\tau)
따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 \hat c/2의 약한 야코비 형식을 이룬다.

예
-

### 자유 이론

2차원 {\mathcal {N}}=2 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 c=3을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.

| 경계 조건 | 장 | 무게 h | R대칭 전하 q | 설명 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 1 | 0 | 1 | 진공 |
| NS | Q^{+}=\psi ^{+}\partial \phi ^{\*} | 3/2 | +1 | 초전류 |
| NS | Q^{-}=\psi ^{-}\partial \phi  | 3/2 | −1 | 반초전류 |
| NS | J=\psi ^{+}\psi ^{-} | 1 | 0 | R대칭 보존류 |
| NS | \psi ^{+} | ½ | +1 | 페르미온 |
| NS | \partial \phi =G\_{{-1/2}}^{-}\partial \psi ^{+} | 1 | 0 | 보손 |
| NS | \psi ^{-} | ½ | −1 | 반페르미온 |
| NS | \partial \phi ^{\*}=G\_{{-1/2}}^{+}\partial \psi ^{-} | 1 | 0 | 반보손 |
| R | U\_{{1/2}}1=U\_{{-1/2}}\psi ^{-} | ⅛ | −½ | 라몽 바닥 상태 |
| R | U\_{{1/2}}\psi ^{+}=U\_{{-1/2}}1 | ⅛ | ½ | 라몽 바닥 상태 |

이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 \psi ^{+}과 하나의 반손지기 초1차장 \psi ^{-}를 갖는다. 즉, 손지기환은 \mathbb {Z} /(2)와 동형이다.

이들로부터 정의되는 {\mathcal {N}}=2 대수는 구체적으로 다음과 같다.:240 복소수 보손 \phi 의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 a\_n, b\_{n}이라고 하고, 복소수 페르미온 \psi 의 모드 전개를 e\_r라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

 \displaystyle{[a\_m,a\_n]={m\over 2}\delta\_{m+n,0},\,\,\,\, [b\_m,b\_n]={m\over 2}\delta\_{m+n,0}},\,\,\,\, a\_n^\*=a\_{-n},\,\,\,\, b\_n^\*=b\_{-n}
 \displaystyle{\{e\_r,e^\*\_s\}=\delta\_{r,s},\,\,\,\, \{e\_r,e\_s\}=0.}
그렇다면 다음과 같이 \hat c=1 {\mathcal {N}}=2 초등각 대수를 구성할 수 있다.

L\_n = \sum\_m : a\_{-m+n} a\_m : + \sum\_m : b\_{-m+n} b\_m : + \sum\_r (r+{n\over 2}): e^\*\_{r}e\_{n+r} :
J\_n = \sum\_r : e\_r^\*e\_{n+r} : 
 G^+\_r=\sum (a\_{-m} + i b\_{-m}) \cdot e\_{r+m}
G\_r^-=\sum (a\_{r+m} - ib\_{r+m}) \cdot e^\*\_{m}
### 최소 모형

 이 부분의 본문은 최소 모형 (등각 장론)입니다.
\hat c<1인 일련의 {\mathcal {N}}=2 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 {\mathcal {N}}=2 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

### 잉여류 모형

단순 리 군 G 및 닫힌 부분군 H\leq G가 주어졌으며, \operatorname{rank}G=\operatorname{rank}H이며, H의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 G/H는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 **가자마-스즈키 모형**(영어: Kazama–Suzuki model)이라는 {\mathcal {N}}=2 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치(일본어: 風間 洋一)와 스즈키 히사오(일본어: 鈴木 久男)가 도입하였다.

### 시그마 모형

복소수 d차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 \hat c=c/3=d인 {\mathcal N}=(2,2) 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

* 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
* ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
* ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.

타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 (d\le3)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

응용
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{\mathcal {N}}=2 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 {\mathcal N}=1 진공해를 얻기 위하여 사용된다.:191–192

역사
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1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.