수학에서 **바나흐 고정점 정리**(-固定點定理, 영어: Banach fixed-point theorem) 또는 **축약 사상 정리**(縮約寫像定理, 영어: contraction mapping theorem)는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.

정의
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거리 공간 (X,d) 위의 **축약 사상**(縮約寫像, 영어: contraction mapping)은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle \alpha \in [0,1)}이 존재하는 함수 T\colon X\to X이다.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y)}

**바나흐 고정점 정리**에 따르면, 완비 거리 공간 (X,d) 위의 축약 사상 T\colon X\to X은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, {\displaystyle T(x^{\*})=x^{\*}}인 x^{\*}\in X가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의 x\_{0}\in X에 대하여, 반복 점렬 {\displaystyle (x\_{n}=T^{n}(x\_{0}))\_{n=0}^{\infty }}은 x^{\*}로 수렴한다. (여기서 T^{n}은 T의 n번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.

{\displaystyle d(x\_{n},x^{\*})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x\_{1},x\_{0})}

증명1 (통상적인 증명):

우선, 임의의 n=0,1,2,\dots 에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\begin{aligned}d(x\_{n+1},x\_{n})&=d(T(x\_{n}),T(x\_{n-1}))\\&\leq \alpha d(x\_{n},x\_{n-1})\\&\leq \alpha ^{2}d(x\_{n-1},x\_{n-2})\\&\vdots \\&\leq \alpha ^{n}d(x\_{1},x\_{0})\end{aligned}}}
따라서, 임의의 {\displaystyle m\geq n\geq 0}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}d(x\_{m},x\_{n})&\leq \sum \_{i=n}^{m-1}d(x\_{i+1},x\_{i})\\&\leq \sum \_{i=n}^{m-1}\alpha ^{i}d(x\_{1},x\_{0})\\&\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x\_{1},x\_{0})\end{aligned}}}
이다. 즉, {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }}는 코시 열이며, 어떤 점 x^{\*}\in X로 수렴한다. 그렇다면, T가 연속 함수이므로

{\displaystyle T(x^{\*})=\lim \_{n\to \infty }T(x\_{n})=\lim \_{n\to \infty }x\_{n+1}=x^{\*}}
이며, x^{\*}는 T의 고정점이다.

반대로, {\displaystyle x^{\*\*}\in X}가 T의 고정점이라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle d(x^{\*},x^{\*\*})=d(T(x^{\*}),T(x^{\*\*}))\leq Cd(x^{\*},x^{\*\*})}
이므로

{\displaystyle d(x^{\*},x^{\*\*})=0}
이다. 즉, {\displaystyle x^{\*}=x^{\*\*}}이다.


증명2 (다른 증명):

우선, 임의의 x,y\in X에 대하여,

{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\leq d(x,T(x))+\alpha d(x,y)+d(T(y),y)}
이므로

{\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x,T(x))+d(T(y),y))}
이다. 특히, x,y가 모두 T의 고정점일 경우 d(x,y)=0이다.

이제, 임의의 {\displaystyle m,n\geq 0}에 대하여

{\displaystyle {\begin{aligned}d(x\_{m},x\_{n})&\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x\_{m},x\_{m+1})+d(x\_{n+1},x\_{n}))\\&\leq {\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x\_{0},x\_{1})\end{aligned}}}
이다. 즉, {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }}는 코시 열이며, 어떤 점 x^{\*}으로 수렴한다. 그렇다면, {\displaystyle Tx^{\*}=x^{\*}}이며, 또한 다음이 성립한다.

{\displaystyle d(x^{\*},x\_{n})=\lim \_{m\to \infty }d(x\_{m},x\_{n})\leq \lim \_{m\to \infty }{\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x\_{0},x\_{1})={\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x\_{0},x\_{1})}

응용
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바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.

* 피카르-린델뢰프 정리
* 음함수 정리

역
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### Bessaga (1959)

집합 X 및 함수 T\colon X\to X 및 \alpha \in (0,1)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* 만약 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, T^{n}의 고정점이 많아야 하나라면, T가 \alpha 에 대한 축약 사상이 되는, X 위의 거리 함수 d가 존재한다.
* 만약 추가로 T^{n}이 고정점을 갖는 n\in \mathbb {Z} ^{+}가 존재한다면, T가 \alpha 에 대한 축약 사상이 되는, X 위의 완비 거리 함수 d가 존재한다.

### Hitzler; Seda (2001)

T1 공간 X 위의 함수 T\colon X\to X가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* 유일한 고정점 x^{\*}\in X을 갖는다.
* 임의의 x\in X에 대하여, 점렬 {\displaystyle (T^{n}(x))\_{n=0}^{\infty }}이 x^{\*}로 수렴한다.

그렇다면, T가 1/2에 대한 축약 사상이 되는, X 위의 완비 초거리 함수 d가 존재한다.

일반화
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다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

### 축약 조건의 약화

#### *n*번 합성이 축약 사상인 경우

완비 거리 공간 (X,d) 위의 함수 T\colon X\to X에 대하여, T^{n}이 축약 사상인 n\in \mathbb {Z} ^{+}가 존재한다고 하자. 그렇다면, T는 유일한 고정점을 갖는다.

증명:

존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, T^{n}은 유일한 고정점 x^{\*}\in X을 갖는다.

{\displaystyle T^{n}(T(x^{\*}))=T(T^{n}(x^{\*}))=T(x^{\*})}
이므로, {\displaystyle T(x^{\*})} 역시 T^{n}의 고정점이다. 따라서 {\displaystyle T(x^{\*})=x^{\*}}이다.

유일성: T의 고정점은 T^{n}의 고정점이므로 x^{\*}로 유일하다.

#### *n*번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우

완비 거리 공간 (X,d) 위의 함수 T\colon X\to X에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 {\displaystyle (\alpha \_{n})\_{n=1}^{\infty }\subset [0,\infty )}이 존재한다고 하자.

* 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+} 및 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq \alpha \_{n}d(x,y)}
* {\displaystyle \textstyle \sum \_{n=1}^{\infty }\alpha \_{n}<\infty }

그렇다면, T는 유일한 고정점을 갖는다.

증명:

바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.

#### 콤팩트 공간에서의 약화

축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)

구체적으로, 콤팩트 거리 공간 (X,d) 위의 함수 T\colon X\to X가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\neq y라면 d(T(x),T(y))<d(x,y)

그렇다면, T는 유일한 고정점을 갖는다.

증명:

함수

{\displaystyle x\mapsto d(x,T(x))}
가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 x^{\*}\in X에서 최솟값을 갖는다. 특히

{\displaystyle d(T(x^{\*}),T^{2}(x^{\*}))\geq d(x^{\*},T(x^{\*}))}
이며, 따라서 x^{\*}=T(x^{\*})이다.

#### 준축약 사상

거리 공간 (X,d) 위의 **준축약 사상**(영어: quasicontraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle \alpha \in [0,1)}이 존재하는 함수 T\colon X\to X이다.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha \max\{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\}}

완비 거리 공간 (X,d) 위의 준축약 사상 T\colon X\to X은 유일한 고정점을 갖는다.

#### 약축약 사상

거리 공간 (X,d) 위의 **약축약 사상**(영어: weak contraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 함수 {\displaystyle \phi \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}가 존재하는 함수 T\colon X\to X이다.

* 임의의 x,y\in X에 대하여, {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq d(x,y)-\phi (d(x,y))}
* \phi 는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
* {\displaystyle \phi ^{-1}(0)=\{0\}}

완비 거리 공간 (X,d) 위의 약축약 사상 T\colon X\to X은 유일한 고정점을 갖는다.

### 거리 공간의 일반화

유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간(영어: rectangular metric space) 또는 뿔 거리 공간(영어: cone metric space) 따위에서의 일반화가 존재한다.

예
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### 비(非)완비 거리 공간에 대한 반례

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 {\displaystyle (0,1]\subset \mathbb {R} }은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수

{\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {1}{2}}x}
는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

### 비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 \mathbb {R} 은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수

{\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {\pi }{2}}+x-\arctan x}
를 생각하자. 임의의 x\neq y에 대하여, 평균값 정리에 따라

{\displaystyle |T(x)-T(y)|=|x-y-\arctan x+\arctan y|={\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}|x-y|<|x-y|}
{\displaystyle \xi \in (x,y)\cup (y,x)}
이다. 그러나 T는 고정점을 가지지 않는다.

### 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합

{\displaystyle A=\{0\}\cup \bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\subset \mathbb {R} ^{2}}
{\displaystyle A\_{n}=\{(t,t/n)\colon t\in (0,1]\}}
을 생각하자. 이는 {\mathbb R}^{2}의 닫힌집합이 아니므로 ({\displaystyle (0,1)\not \in A}) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 {\displaystyle T\colon A\to A}에 대하여, T의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 {\displaystyle T(0)=0}이라면, 0은 T의 고정점이다. 이제 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여 {\displaystyle T(0)\in A\_{n}}이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle U\colon A\_{n}\cup \{0\}\to A\_{n}\cup \{0\}}
{\displaystyle U\colon x\mapsto {\begin{cases}T(x)&T(x)\in A\_{n}\\0&T(x)\not \in A\_{n}\end{cases}}}
그렇다면, U는 연속 함수이다. {\displaystyle A\_{n}\cup \{0\}}이 콤팩트 볼록 집합이므로, U는 고정점 {\displaystyle x^{\*}\in A\_{n}\cup \{0\}}을 가진다. 또한, {\displaystyle x^{\*}\neq 0}이며 {\displaystyle T(x^{\*})=x^{\*}}임을 보일 수 있다. (만약 {\displaystyle x^{\*}=0}이라면,

{\displaystyle U(0)=0\not \in A\_{n}}
이므로 {\displaystyle T(0)\not \in A\_{n}}이 되어 모순이다. 그렇다면,

{\displaystyle U(x^{\*})=x^{\*}\in A\_{n}}
이므로, {\displaystyle T(x^{\*})\in A\_{n}}이며, 따라서

{\displaystyle T(x^{\*})=U(x^{\*})=x^{\*}}
이다.)

역사
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스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Palais, Richard S. (2007). "A simple proof of the Banach contraction principle". 《Journal of Fixed Point Theory and Applications》 (영어) **2**: 221–223. doi:10.1007/s11784-007-0041-6. ISSN 1661-7738.
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