매트로이드 이론에서 **매트로이드 마이너**(영어: matroid minor)는 주어진 매트로이드에서 일부 원소를 "삭제"하거나, 일부 원소를 "축약"하여 얻어지는 매트로이드이다. 그래프 마이너의 일반화이다.

정의
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(유한 또는 무한) 매트로이드 {\displaystyle (X,{\mathcal {I}})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부분 집합 S\subseteq X에 대하여,

{\displaystyle X\upharpoonright S=(S,\{I\cap S\}\_{I\in {\mathcal {I}}})}
역시 매트로이드를 이룬다.:Theorem 3.4 이를 X의 S로의 **제한**이라고 한다. (즉, 이 과정은 X\setminus S의 **삭제**(영어: deletion)이다.)

**증명:**

{\displaystyle {\mathcal {I}}\_{S}=\{I\cap S\}\_{I\in {\mathcal {I}}}=\{I\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq S\}}로 놓자.
(유한 또는 무한) 매트로이드의 네 공리들:§1.1은 다음과 같이 확인할 수 있다.

* (I1) {\displaystyle \varnothing \in \{I\cap S\}\_{I\in {\mathcal {I}}}}: 자명하게 참이다.
* (I2) 만약 {\displaystyle J\subseteq I\in {\mathcal {I}}}일 때, {\displaystyle J\cap S\subseteq I\cap S\in {\mathcal {I}}\_{S}}이므로 {\displaystyle J\cap S\in {\mathcal {I}}\_{S}}이다.
* (IM) 임의의 {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\_{S}\subseteq {\mathcal {I}}} 및 {\displaystyle I\subseteq T\subseteq S\subseteq X}에 대하여, {\displaystyle \{J\in {\mathcal {I}}\_{S}\colon I\subseteq J\subseteq T\}=\{J\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq J\subseteq T\}}는 매트로이드의 공리에 따라 극대 원소를 갖는다.

유일하게 자명하지 않은 것은 공리 (I3)이다.

임의의 {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\_{S}}, {\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}\_{S}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (IM) 공리를 사용하여,

{\displaystyle J\subseteq J'\in \max {\mathcal {I}}}
를 찾을 수 있으며, {\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}\_{S}}이므로

{\displaystyle J'\cap S=J}
이다.

(I3) 공리를 거듭 사용하여,

{\displaystyle I\subseteq I'\subseteq I\cup J'}
{\displaystyle I'\in \max {\mathcal {I}}}
인 {\displaystyle I'}을 찾을 수 있다.

이제,

{\displaystyle I'\cap S\in \max {\mathcal {I}}\_{S}}
{\displaystyle I\subseteq I'\cap S\subseteq I\cup J}
를 보이면 족하다. 이 가운데 유일하게 자명하지 않은 것은 {\displaystyle I'\cap S\subseteq I\cup J}이며, 그 증명은

{\displaystyle I'\cap S\subseteq (I\cup J')\cap S=(I\cap S)\cup (J'\cap S)=I\cup J}
이다.

(유한 또는 무한) 매트로이드 {\displaystyle (X,{\mathcal {I}})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부분 집합 S\subseteq X에 대하여, 쌍대 매트로이드의 제한의 쌍대 매트로이드

{\displaystyle X.S=(X^{\*}\upharpoonright S)^{\*}=\left(S,\bigcup \_{B\in \max {\mathcal {I}}}\operatorname {Pow} (S\setminus B)\right)}
를 정의할 수 있다. ({\displaystyle \operatorname {Pow} (-)}는 멱집합이다.) 이는 매트로이드를 이루며, 이를 X의, S로의 **축약**(영어: contraction)하여 얻는 매트로이드라고 한다.:§3 (즉, 이 과정은 X\setminus S의 **축약**이라고 한다.)

축약과 제한을 거듭 사용하여 얻는 매트로이드

{\displaystyle (X',{\mathcal {I}}')}
{\displaystyle X'\subseteq X}
를 X의 **마이너**라고 한다.

성질
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### 그래프와의 관계

그래프 마이너는 매트로이드 마이너의 특수한 경우이다. 구체적으로, (유한 또는 무한) 그래프 \Gamma 의 (유한형) 순환 매트로이드를 {\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma )}라고 하자.

또한, 임의의 변의 집합

{\displaystyle S\subseteq \operatorname {M} (\Gamma )}
이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma \upharpoonright S)=\operatorname {M} (\Gamma )\upharpoonright S}
{\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma .S)=\operatorname {M} (\Gamma ).S}
{\displaystyle \operatorname {M} (\Gamma \sqcup K\_{0})=\operatorname {M} (\Gamma )}
즉,

* 그래프에서 S에 속하지 않는 변들의 삭제는 순환 매트로이드에서 S에 속하지 않는 원소들의 삭제와 같다.
* 그래프에서 S에 속하지 않는 변들의 축약은 순환 매트로이드에서 S에 속하지 않는 원소들의 축약과 같다.
* 그래프에서, 홑 꼭짓점(아무 변과 결합하지 않는 꼭짓점)의 삭제는 그 순환 매트로이드에 영향을 주지 않는다.

이에 따라, 그래프의 순환 매트로이드의 매트로이드 마이너는 그래프 마이너의 순환 매트로이드이다.

### 정렬 원순서가 아님

유한 그래프의 그래프 마이너 관계는 정렬 원순서를 이룬다 (로버트슨-시모어 정리). 즉, 유한 그래프의 순환 매트로이드들로 국한하였을 때, 매트로이드 마이너 관계는 정렬 원순서를 이룬다.

그러나 모든 유한 매트로이드의 집합 위에서, 매트로이드 마이너 관계는 정렬 원순서를 이루지 못한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi A.; Wollan, Paul (2013년 6월 1일). "Axioms for infinite matroids". 《Advances in Mathematics》 (영어) **239**: 18–46. arXiv:1003.3919. Bibcode:2010arXiv1003.3919B. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011. Zbl 1279.05013.

* Geelen, Jim; Gerards, Bert; Whittle, Geoff (2013년 7월). 〈Structure in minor-closed classes of matroids〉 (PDF). Blackburn, Simon R.; Gerke, Stefanie; Wildon, Mark. 《Surveys in combinatorics 2013》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) **409**. Cambridge University Press. 327–362쪽. doi:10.1017/CBO9781139506748.009. ISBN 978-1-107-65195-1.
* Truemper, Klaus (1992). 《Matroid decomposition》 (영어). Boston: Academic Press. ISBN 0-12-701225-7. MR 1170126. Zbl 0760.05001. 2017년 11월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 9일에 확인함.