미분기하학에서 **클리퍼드 가군 다발**(Clifford加群다발, 영어: Clifford module bundle)은 각 올이 (클리퍼드 다발의 올인) 클리퍼드 대수의 가군의 구조를 갖는 벡터 다발이다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* M 위의 클리퍼드 다발 C
* M 위의 벡터 다발 E

만약 각 x\in M에서, {\displaystyle C\_{x}}의 E\_x 위의 작용이 주어져 E\_x가 {\displaystyle C\_{x}}의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, E를 C의 **클리퍼드 가군 다발**(영어: Clifford module bundle)이라고 한다. 물론, 마찬가지로 **매끄러운 클리퍼드 가군 다발**을 정의할 수 있다.

### 클리퍼드 가군 다발 접속

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 (M,g)
* 매끄러운 클리퍼드 다발 C 및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 {\displaystyle \nabla ^{C}}
* C의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 E\twoheadrightarrow M
* E 위의 코쥘 접속 {\displaystyle \nabla ^{E}}

만약 {\displaystyle \nabla ^{E}}가 다음 조건을 만족시킨다면, **클리퍼드 가군 다발 접속**(영어: Clifford module bundle connection)이라고 한다. 임의의 {\displaystyle a\in \Gamma ^{\infty }(C)} 및 벡터장 {\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)} 및 매끄러운 단면 {\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}에 대하여,

{\displaystyle (\nabla \_{X}^{E})(a\bullet s)-a\bullet \nabla \_{X}^{E}s=(\nabla \_{X}^{C}a)\bullet s}
즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다.

연산
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### 직합

같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.

### 텐서곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* M 위의 클리퍼드 다발 C
* C 위의 클리퍼드 가군 다발 E
* M 위의 매끄러운 벡터 다발 F

그렇다면, {\displaystyle E\otimes F} 위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.

{\displaystyle c\bullet (e\otimes f)=(x\bullet e)\otimes f\qquad \forall x\in M,\;c\in C\_{x},\;e\in E\_{x},\;f\in F\_{x}}
특히, F가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다.

예
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### 스피너 다발

준 리만 다양체 (M,g)가 주어졌을 때, 그 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}에 대한 클리퍼드 다발 {\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)\cong \operatorname {Cl} (\mathrm {T} ^{\*}M,g^{-1})}이 존재한다. 만약 (M,g)에 스핀 다양체의 구조가 주어졌다면, 그 스피너 다발 {\displaystyle \mathrm {S} M}은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 레비치비타 접속을 통해 {\displaystyle \mathrm {S} M} 위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 M이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발

{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}
으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

이 경우, 레비치비타 접속을 {\displaystyle \mathrm {S} M} 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약 (M,g) 위에 스핀 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 {\displaystyle \mathrm {S} M}은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

보다 일반적으로, (M,g) 위의 스핀C 다양체 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

### 일반화 기하학

매끄러운 다양체 M 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 E가 주어졌다면, {\displaystyle E\oplus E^{\*}} 위의 자연스러운 이차 형식

{\displaystyle Q(x,\xi )=\xi (x)}
을 통해 클리퍼드 다발 {\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{\*},Q)}을 정의할 수 있다. 이 경우, {\displaystyle E\oplus E^{\*}}의 단면은 임의의 미분 형식 {\displaystyle \alpha \in \Gamma (\textstyle \bigwedge E^{\*})} 위에 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (x,\xi )\bullet \alpha =x\lrcorner \alpha +\xi \wedge \alpha \in \Gamma \left(\bigwedge E^{\*}\right)}
여기서 \lrcorner 는 내부곱이며 \wedge 는 쐐기곱이다.
이 작용은

{\displaystyle (x,\xi )\bullet ((x,\xi )\bullet \alpha )=x\lrcorner (\xi \wedge \alpha )-\xi \wedge (x\lrcorner \alpha )=\xi (x)\alpha }
를 따르므로, {\displaystyle \textstyle \bigwedge E^{\*}}은 {\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{\*})} 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

특히, {\displaystyle E=\mathrm {T} M}인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌
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1. ↑  Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) **298**. Springer-Verlag.