이 원환면 위에서, 수축 불가능 폐곡선 가운데 길이가 최소인 것은 붉게 표시된 폐곡선이며, 그 길이는 이 원환면이 수축량이다.
기하학에서, **수축량**(收縮量, 영어: systole 시스톨[\*])은 어떤 거리 공간에서, 상수 함수와 호모토픽하지 않는 폐곡선의 최소 길이이다.

정의
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콤팩트 거리 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 속의 폐곡선

{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)\to X}
의 길이

{\displaystyle \operatorname {length} \gamma =\sup \_{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\sup \_{t\_{0},t\_{1},t\_{2},\dotsc ,t\_{n}\in [0,1]}\sum \_{i=1}^{n}d(\gamma (t\_{i-1}),\gamma (t\_{i}))\in [0,\infty ]}
를 생각하자.

X의 **수축량**은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {sys} X=\inf\{\operatorname {length} \gamma \colon \gamma \in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},X),\;1\_{\pi \_{1}(X,\gamma (0))}\neq [\gamma ]\in \pi \_{1}(X,\gamma (0))\}}
여기서 {\displaystyle \pi \_{1}(X,\gamma (0))}은 점을 가진 공간 {\displaystyle (X,\gamma (0))}의 기본군이다. 즉, 기본군에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선의 길이의 하한이다.

n차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M의 **수축량비**(收縮量比, 영어: systolic ratio)는 다음과 같은 값이다.

{\displaystyle \operatorname {SR} (M)={\frac {(\operatorname {sys} M)^{n}}{\operatorname {vol} M}}\in [0,\infty ]}
(만약 M이 단일 연결 공간이라면, 수축량비는 무한대이다.)

성질
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임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면 \mathbb {T} ^{2}을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 **뢰브너 부등식**(영어: Loewner inequality)이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {T} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {T} ^{2})}는 원환면의 넓이이다.

마찬가지로, 실수 사영 평면 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} 위에는 다음과 같은 **푸 부등식**([蒲]不等式, 영어: Pu’s inequality)이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}}
각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.

| 곡면 | 수축량비의 상한 | 수축량비의 상한을 포화하는 리만 계량 |
| --- | --- | --- |
| 구 \mathbb {S} ^{2} | ∞ | (기본군이 자명군) |
| 원환면 \mathbb {T} ^{2} | {\displaystyle 2/{\sqrt {3}}} | 정삼각형 격자의 몫 {\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\exp(\pi \mathrm {i} /3)\mathbb {Z} )}으로 주어지는, 곡률 0의 원환면 |
| 실수 사영 평면 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} | \pi /2 | 대칭 구의 대척점에 대한 몫 {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}\colon \|x\|=1\}/(x\sim -x)} |
| 클라인 병 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} | {\displaystyle \pi /{\sqrt {8}}} |  |

보다 일반적으로, 종수 g의 콤팩트 가향 곡면 \Sigma \_{g}에 대하여, {\displaystyle g\geq 1}일 경우 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {SR} (\Sigma \_{g})\leq 2}
사실, 충분히 큰 g에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 {\displaystyle C\_{+},C\_{-}}가 존재한다.

{\displaystyle C\_{-}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}\leq \operatorname {SR} (\Sigma \_{g})\leq C\_{+}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}}
### 그로모프 부등식

연결 콤팩트 리만 다양체 M에서, 다음이 성립한다면, M을 **본질적 다양체**(영어: essential manifold)라고 하자.

자연스러운 군 준동형 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\dim M}(M;R)\to \operatorname {H} \_{\dim M}(\operatorname {K} (\pi \_{1}(M),1);R)} 아래, 기본류 {\displaystyle [M]\in \operatorname {H} \_{\dim M}(M)}의 상이 자명하지 않다. 여기서 R는 M이 가향 다양체일 때 R={\mathbb Z}이며, 아닐 때 {\displaystyle R=\mathbb {F} \_{2}}이다. {\displaystyle \operatorname {K} (-,-)}는 에일렌베르크-매클레인 공간이다.
**그로모프 부등식**(영어: Gromov’s inequality)에 따르면, 각 차원 n에 대하여, 모든 n차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 C\_{n}을 갖는다.

{\displaystyle \operatorname {SR} M\leq C\_{n}}

역사
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수축량의 개념은 카를 뢰브너(독일어: Karl Löwner, 체코어: Karel Löwner 카렐 뢰브네르[\*], 영어: Charles Loewner 찰스 로브너[\*], 1893~1968)가 도입하였다. "수축량"(프랑스어: systole 시스톨[\*])이라는 용어는 마르셀 베르제가 1980년에 도입하였다. 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, 고대 그리스어: συστολή 시스톨레[\*](수축)에서 유래하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Berger, Marcel (2008). "What is … a systole?" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **55** (3): 374–376.
2. ↑  Katz, Mikhail G. (2007). 《Systolic geometry and topology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) **137**. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. MR 2292367.
3. ↑  Gromov, Mikhail (1996). 〈Systoles and intersystolic inequalities〉 (PDF). 《Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992)》. Sémin. Congr. (영어) **1**. 파리: Soc. Math. France. 291—362쪽. 2017년 8월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 6월 15일에 확인함.
4. ↑  Bavard, C. (1986). "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein". 《Mathematische Annalen》 (프랑스어) **274** (3): 439–441. doi:10.1007/BF01457227.