환론에서 **쌍가군**(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈[\*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의
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환 R와 S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **{\displaystyle (R,S)}-쌍가군**(영어: {\displaystyle (R,S)}-bimodule) {\displaystyle \_{R}M\_{S}}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 아벨 군 (M,+)
* M 위의 R-왼쪽 가군 구조 {\displaystyle \_{R}M}
* M 위의 S-오른쪽 가군 구조 M\_{S}

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 r\in R, s\in S, m\in M에 대하여, {\displaystyle (rm)s=r(ms)}

보다 일반적으로, 가환환 K와 K-단위 결합 대수 R와 S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **{\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군** {\displaystyle \_{R}M\_{S}}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 아벨 군 (M,+)
* M 위의 R-왼쪽 가군 구조 {\displaystyle \_{R}M}
* M 위의 S-오른쪽 가군 구조 M\_{S}

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 r\in R, s\in S, m\in M에 대하여, {\displaystyle (rm)s=r(ms)}
* 모든 {\displaystyle k\in K}에 대하여, {\displaystyle km=mk}

{\displaystyle (R,S)}-쌍가군은 {\displaystyle K=\mathbb {Z} }일 때 {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,S)}-쌍가군의 개념과 같다.

두 {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}}, {\displaystyle \_{R}N\_{S}} 사이의 **쌍가군 준동형**(영어: bimodule homomorphism) \phi \colon M\to N은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

* \phi 는 R-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, {\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\;\forall r\in R,\;m\in M}이다.
* \phi 는 S-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, {\displaystyle \phi (m)s=\phi (ms)\;\forall s\in S,\;m\in M}이다.

성질
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### 가군과의 관계

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

* {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군
* {\displaystyle (K;S^{\operatorname {op} },R^{\operatorname {op} })}-쌍가군
* {\displaystyle R\otimes \_{K}S^{\operatorname {op} }}-왼쪽 가군
* {\displaystyle R^{\operatorname {op} }\otimes \_{K}S}-오른쪽 가군

(여기서 {\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

* 아벨 군
* \mathbb {Z} -가군
* {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}-쌍가군

환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

* R-왼쪽 가군
* R^{\operatorname {op} }-오른쪽 가군
* {\displaystyle (R,\mathbb {Z} )}-쌍가군
* {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R^{\operatorname {op} })}-쌍가군

환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

* R-오른쪽 가군
* R^{\operatorname {op} }-왼쪽 가군
* {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)}-쌍가군
* {\displaystyle (R^{\operatorname {op} },\mathbb {Z} )}-쌍가군

가환환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

* R-가군
* {\displaystyle (R;R,R)}-쌍가군
* {\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)}-쌍가군
* {\displaystyle (R,\mathbb {Z} )}-쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군 준동형은 {\displaystyle R\otimes \_{K}S^{\operatorname {op} }}-왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 R에 대하여, 모든 R-가군 (즉, {\displaystyle (R;R,R)}-쌍가군)은 망각을 통하여 {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)}-쌍가군을 이루지만, 일반적으로 {\displaystyle (R;R,R)}-쌍가군이 아닌 {\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)}-쌍가군이 존재한다.

### 텐서곱 가군과 준동형 가군

{\displaystyle (R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}} 및 {\displaystyle (S,T)}-쌍가군 {\displaystyle \_{S}N\_{T}}이 주어졌을 때, 텐서곱

{\displaystyle \_{R}M\otimes \_{S}N\_{T}}
은 자연스럽게 {\displaystyle (R,T)}-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

{\displaystyle (\_{R}M\otimes \_{S}-)\colon {}\_{S}\operatorname {Mod} \_{T}\to {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{T}}
{\displaystyle (-\otimes \_{S}N\_{T})\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{S}\to {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{T}}
를 정의한다.

또한, {\displaystyle (R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}} 및 {\displaystyle (R,T)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}N\_{T}}가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

{\displaystyle \hom \_{\_{R}\operatorname {Mod} }(\_{R}M\_{S},{}\_{R}N\_{T})}
은

{\displaystyle (sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad \forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom \_{\_{R}\operatorname {Mod} }(\_{R}M\_{S},{}\_{R}N\_{T})}
를 통해 {\displaystyle (S,T)}-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

{\displaystyle \hom \_{R}(\_{R}M\_{S},-)\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{T}\to {}\_{S}\operatorname {Mod} \_{T}}
{\displaystyle \hom \_{R}(-,{}\_{R}N\_{T})\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{S}\to {}\_{S}\operatorname {Mod} \_{T}^{\operatorname {op} }}
를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 {\displaystyle (R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}} 및 {\displaystyle (T,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{T}N\_{S}}가 주어졌을 때, 준동형군

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {Mod} \_{S}}(\_{R}M\_{S},{}\_{T}N\_{S})}
은

{\displaystyle (tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad \forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom \_{\operatorname {Mod} \_{S}}(\_{R}M\_{S},{}\_{T}N\_{S})}
를 통해 {\displaystyle (T,R)}쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

{\displaystyle \hom \_{S}(\_{R}M\_{S},-)\colon {}\_{T}\operatorname {Mod} \_{S}\to {}\_{T}\operatorname {Mod} \_{R}}
{\displaystyle \hom \_{S}(-,{}\_{T}N\_{S})\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \_{S}\to {}\_{T}\operatorname {Mod} \_{R}^{\operatorname {op} }}
를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

{\displaystyle (\_{R}M\otimes \_{S}-)\dashv \hom \_{R}(\_{R}M\_{S},-)}
{\displaystyle (-\otimes \_{R}M\_{S})\dashv \hom \_{S}(\_{R}M\_{S},-)}
특히, {\displaystyle T=\mathbb {Z} } 또는 R={\mathbb Z} 또는 {\displaystyle S=\mathbb {Z} }를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

{\displaystyle (\_{R}M\otimes \_{S}-)\colon {}\_{S}\operatorname {Mod} \to {}\_{R}\operatorname {Mod} }
{\displaystyle (-\otimes \_{R}M\_{S})\colon \operatorname {Mod} \_{R}\to \operatorname {Mod} \_{S}}
{\displaystyle \hom \_{R}(\_{R}M\_{S},-)\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \to {}\_{S}\operatorname {Mod} }
{\displaystyle \hom \_{R}(-,{}\_{R}M\_{S})\colon {}\_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} \_{S}^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle \hom \_{S}(\_{R}M\_{S},-)\colon \operatorname {Mod} \_{S}\to \operatorname {Mod} \_{R}}
{\displaystyle \hom \_{S}(-,{}\_{R}M\_{S})\colon \operatorname {Mod} \_{S}\to {}\_{R}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}
{\displaystyle (\_{R}M\otimes \_{S})\dashv \hom \_{R}(\_{R}M\_{S},-)}
{\displaystyle (-\otimes \_{R}M\_{S})\dashv \hom \_{S}(\_{R}M\_{S},-)}
### 쌍가군의 2-범주

임의의 가환환 K와 K-단위 결합 대수 R, S에 대하여, {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군을 대상으로 하고, {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 {\displaystyle \_{R}K{\text{-uAssocAlg}}\_{S}}가 존재한다. {\displaystyle K=\mathbb {Z} }인 경우 이는 단순히 {\displaystyle \_{R}\operatorname {Mod} \_{S}}로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 K에 대하여 다음과 같은 2-범주 {\displaystyle \operatorname {Bimod} \_{K}}가 존재한다.

* {\displaystyle \operatorname {Bimod} \_{K}}의 대상은 K-단위 결합 대수이다. (즉, {\displaystyle K{\text{-uAssocAlg}}}의 대상과 같다.)
* {\displaystyle \operatorname {Bimod} \_{K}}에서, 단위 결합 대수 R, S 사이의 1-사상은 {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}}이다. {\displaystyle \_{R}M\_{S}}의 정의역은 R, 공역은 S이다.
	+ 두 쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}}, {\displaystyle \_{S}N\_{T}}의 합성은 쌍가군의 텐서곱 {\displaystyle \_{R}M\otimes \_{S}N\_{T}}이다.
	+ 환 R 위의 항등 사상은 {\displaystyle \_{R}R\_{R}}이다.
* 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 {\displaystyle \_{R}M\_{S}}, {\displaystyle \_{R}N\_{S}} 사이의 2-사상은 {\displaystyle (K;R,S)}-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 {\displaystyle \hom \_{\operatorname {Bimod} }(R,S)={}\_{R}K{\text{-uAssocAlg}}\_{S}}이다.

예
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### 아이디얼

환 R의 왼쪽 아이디얼은 R-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 R-오른쪽 가군을 이룬다. R의 양쪽 아이디얼 {\mathfrak a}\subseteq R은 {\displaystyle (R,R)}-쌍가군을 이룬다.

특히, R 전체는 R의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 {\displaystyle (R,R)}-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 K 위의 단위 결합 대수 R가 주어졌을 때, K-가군을 이루는 R-양쪽 아이디얼 {\mathfrak a}\subseteq R는 {\displaystyle (K;R,R)}-쌍가군을 이룬다. 특히, R 전체는 {\displaystyle (K;R,R)}-쌍가군을 이룬다.

### 부분환

{\displaystyle (R,S)}-쌍가군 {\displaystyle \_{R}M\_{S}} 및 R의 부분환 {\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R}와 S의 부분환 {\displaystyle {\tilde {S}}\subseteq S}가 주어졌을 때, M은 망각을 통해 자연스럽게 {\displaystyle \_{\tilde {R}}M\_{\tilde {S}}}-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 R의 부분환 {\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R}가 주어졌을 때, 쌍가군 {\displaystyle \_{R}R\_{R}}에 망각을 가하여 쌍가군 {\displaystyle \_{\tilde {R}}R\_{R}} 및 {\displaystyle \_{R}R\_{\tilde {R}}} 및 {\displaystyle \_{\tilde {R}}R\_{\tilde {R}}}를 정의할 수 있다.

### 가군의 자기 사상

환 R 위의 오른쪽 가군 M\_{R}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \operatorname {Mod} \_{R}는 가법 범주이므로 M\_{R}의 자기 사상 집합 {\displaystyle \operatorname {End} \_{\operatorname {Mod} \_{R}}(M\_{R})=\hom \_{\operatorname {Mod} \_{R}}(M\_{R},M\_{R})}는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 M\_{R}의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 M\_{R}는 {\displaystyle (\operatorname {End} M,R)}-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, R 위의 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}은 자연스럽게 {\displaystyle \left(R,(\operatorname {End} M)^{\operatorname {op} }\right)}-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

### 행렬 쌍가군

환 R 위의 m\times n 행렬로 구성된 아벨 군 {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}을 생각하자. 만약 m=n이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)=\operatorname {Mat} (n;R)}는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 R-쌍선형 함수
{\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)\otimes \_{R}\operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)}
를 이룬다. 이에 따라, {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}는 자연스럽게 {\displaystyle (\operatorname {Mat} (m;R),\operatorname {Mat} (n;R))}-쌍가군을 이룬다.

물론, R는 (대각 행렬로서) \operatorname {Mat}(n;R)의 부분환을 이룬다. 이에 따라, {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}는 {\displaystyle (R,R)}-쌍가군을 이룬다. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}는 단순히 자유 가군 {\displaystyle R^{mn\oplus }}으로 생각할 수 있다.

응용
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쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.