| 대수 구조 |
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| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
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* t
* e
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 이 문서는 결합 법칙을 만족시키는 일반적인 대수에 관한 것입니다. 순서론과 조합론에서, 근접 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 대해서는 근접 대수 문서를 참고하십시오.
추상대수학에서 **결합 대수**(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.

정의
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### 유사 결합 대수

가환 유사환 R 위의 **유사 결합 대수**(영어: (possibly) non-unital associative algebra) (M,0,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}},\*)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

* (M,0,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}})는 R의 가군을 이룬다.
* (M,0,+,\*)은 유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

* 모든 r\in R 및 m,n\in M에 대하여, r\cdot (m\*n)=(r\cdot m)\*n=m\*(r\cdot n)

이는 유사환의 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\{z\in M\colon m\*z=z\*m\}은 M의 중심이다.

유사 결합 대수의 **준동형**은 (0,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}},\*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 {\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}}이라고 하자.

### 결합 대수

가환환 R 위의 **(단위) 결합 대수**(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra) (M,0,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}},\*,1)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

* (M,0,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}},\*)는 R 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
* (M,0,1,+,\*)은 환을 이룬다.

이는 환 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\{z\in M\colon m\*z=z\*m\}은 M의 중심이다.

결합 대수의 **준동형**은 (0,1,+,\{r\cdot \}\_{{r\in R}},\*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 R{\text{-Assoc}}이라고 하자.

### 가환 대수

가환환 R 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 **가환 대수**(영어: commutative algebra)라고 한다. R 위의 단위 가환 대수 M은 가환환 준동형 R\to M과 같다.

성질
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결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

| 구조 | 유사 결합 대수 | 결합 대수 |
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| 시작 대상 | 영가군 | R |
| 끝 대상 | 영가군 | 영가군 |
| 곱 | 유사환으로서의 곱 | (유사)환으로서의 곱 |
| 쌍대곱 | 결합 대수의 자유곱 | 단위 결합 대수의 자유곱 |

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 **텐서곱** \otimes \_{R}이 존재하며, 이는 R 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

### 망각 함자

유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}\to \operatorname {Rng} }
및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to \operatorname {Ring} }
가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 S\mapsto R\otimes \_{{{\mathbb Z}}}S이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to R{\text{-nuAssoc}}}
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는
단위원이 없는 유사 결합 대수 A를

A\mapsto R\oplus A
로 대응시킨다 (\oplus 는 아벨 군의 직합). 이 경우, R\oplus A 위의 연산은 다음과 같다.

s\cdot (r,a)=(sr,s\cdot a)
(r,a)\*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a\*b)

분류
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복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.

### 3차원 이하 복소수 결합 대수

\mathbb {C}  위의 1차원 결합 대수는 \mathbb {C}  자체 밖에 없다. \mathbb {C}  위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)}
{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}
둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 \pm 1으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

\mathbb {C}  위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)}
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)}
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}
{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{4})}
{\displaystyle \mathbb {C} \langle x,y\rangle /\left(x^{2}-1,y^{2},(x-1)y,y(x-1)\right)}
이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

예
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### 환론

특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

| 가환환 R | R 위의 유사 결합 대수 | R 위의 결합 대수 |
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| 정수환 \mathbb {Z}  | 유사환 | 환 |
| \mathbb {Z} /(n) | 표수가 n의 약수인 유사환 (ns=0\forall s) | 표수가 n의 약수인 환 |

모든 환 S는 스스로의 중심 Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 R에 대하여 환 준동형 R\to Z(S)가 주어졌다면, S는 R 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 R\to S가 주어졌다면, S는 R 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

### 추가 구조를 갖는 대수

리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다.

복소수체 \mathbb {C} 와 사원수 대수 {\mathbb H}는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 a+bi\subseteq \{a+bi+cj+dk\}를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

### 함수 대수

R가 위상환이라고 하자. 위상 공간 X 위의 연속 함수 {\mathcal C}(X;R)의 집합은 자연스럽게 R 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)
f\*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)
0\colon x\mapsto 0\_{R}
1\colon x\mapsto 1\_{R}
마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 함수의 집합 {\mathcal C}^{\infty }(M;{\mathbb R})은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

참고 문헌
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1. ↑  Rakhimov, I. S.; Rikhsiboev, I. M.; Basri, W. "Complete lists of low dimensional complex associative algebras" (영어). arXiv:0910.0932. Bibcode:2009arXiv0910.0932R.

* Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **242**. Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285.