함수 f는 파란 선, 각 접선은 빨간 선이다. 접선의 영점을 반복적으로 취해 나갈 때, xn과 실제 영점의 오차가 점차 줄어듦을 확인할 수 있다.
수치해석학에서 **뉴턴 방법**(영어: Newton's method)은 실숫값 함수의 영점을 근사하는 방법의 하나이다.
**뉴턴-랍슨 방법**(영어: Newton–Raphson method)이라고도 불린다.

정의
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연속 미분 가능 함수 f\colon [a,b]\to {\mathbb R}가 영점 {\displaystyle {\hat {x}}\in (a,b)}를 갖는다고 하자. 또한, {\displaystyle f'({\hat {x}})\neq 0}라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 열린집합 {\displaystyle {\hat {x}}\in U\subseteq (a,b)}가 존재한다.

* 임의의 {\displaystyle x\_{0}\in U}에 대하여, 수열 {\displaystyle x\_{n+1}=x\_{n}-f(x\_{n})/f'(x\_{n})} ({\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}})은 {\displaystyle {\hat {x}}}로 수렴한다.

이를 통해 영점 {\displaystyle {\hat {x}}}를 근사하는 방법을 **뉴턴 방법**이라고 한다. 반복 계산을 정지하기 위한 정지조건은 할선법에서 사용된 것 중 하나가 쓰인다. 뉴턴 방법은 매우 효과적인 방법이지만 초기 가정치 x\_0를 근에 충분히 가깝게 하지 않으면 수렴하지 않는다는 단점이 있다. 또한 접선이 거의 수평인 즉 {\displaystyle f'(x\_{0})\approx 0}인 x\_0를 선택해선 안 된다.

성질
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### 오차

만약 f가 2번 연속 미분 가능 함수라면, 점렬의 항과 영점 사이의 오차에 대하여 다음을 만족시키는 상수 c가 존재한다.

{\displaystyle |x\_{n+1}-{\hat {x}}|\leq c|x\_{n}-{\hat {x}}|^{2}}
### 점렬의 단조성

만약 f가 2번 연속 미분 가능 함수라면,

* 만약 임의의 x\in U에 대하여 {\displaystyle f'(x)f''(x)<0}라면, {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }}은 증가 수열이다.
* 만약 임의의 x\in U에 대하여 {\displaystyle f'(x)f''(x)>0}라면, {\displaystyle (x\_{n})\_{n=0}^{\infty }}은 감소 수열이다.

예제
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### 루트값 구하기

*x*2 = *a*를 만족하는 양수 *x*를 구해서 결국 a의 루트값을 구해보자. 뉴튼방법은 루트값을 구하는 여러 가지 계산법 중에 하나이다. 루트를 구하는 이 문제를 다음과 같이 함수 *f*(*x*) = *x*2 − *a*의 해를 구하는 문제로 생각할 수 있다. 1차 미분은 *f′*(*x*) = 2*x*로 주어진다.

612의 루트값을 계산하는 경우를 다뤄보자. 초기값을 *x*0 = 10로 하고, 뉴튼법을 적용하면 다음과 같다:

{\displaystyle {\begin{matrix}x\_{1}&=&x\_{0}-{\dfrac {f(x\_{0})}{f'(x\_{0})}}&=&10-{\dfrac {10^{2}-612}{2\times 10}}&=&35.6\qquad \qquad \qquad \quad \;\,{}\\x\_{2}&=&x\_{1}-{\dfrac {f(x\_{1})}{f'(x\_{1})}}&=&35.6-{\dfrac {35.6^{2}-612}{2\times 35.6}}&=&{\underline {2}}6.395\,505\,617\,978\dots \\x\_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.7}}90\,635\,492\,455\dots \\x\_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,6}}88\,294\,075\dots \\x\_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,633\,753\,7}}67\dots \end{matrix}}}
여기서 참값과 같은 부분의 숫자는 밑줄이 그어져있다. 많지 않은 몇번의 반복을 통해 매우 정확한 루트값이 계산되는 것을 볼 수 있다.

위의 반복 수식을 아래와 같이 재배열하면 루트를 구하는 바빌로이안 방법을 얻는다:

{\displaystyle x\_{n+1}=x\_{n}-{\frac {f(x\_{n})}{f'(x\_{n})}}=x\_{n}-{\frac {x\_{n}^{2}-a}{2x\_{n}}}={\frac {1}{2}}{\biggl (}2x\_{n}-{\Bigl (}x\_{n}-{\frac {a}{x\_{n}}}{\Bigr )}{\biggr )}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}x\_{n}+{\frac {a}{x\_{n}}}{\Bigr )}}
즉, 루트를 구하는 뉴튼법은 결국 현재 추측한 루트값의 *xn* 과 *a*/*x**n*의 산술\_평균을 반복적으로 적용한 것이다.

### cos(*x*) = *x*3의 해 구하기

cos(*x*) = *x*3을 만족하는 *x*를 구하는 문제를 생각해보자. 이 문제는 *f*(*x*) = cos(*x*) − *x*3이 0이 되는 해를 찾는 문제로 바뀔 수 있다. 1차 미분은 *f′*(*x*) = −sin(*x*) − 3*x*2로 주어진다. 모든 *x*에 대해 cos(*x*) ≤ 1 이고 *x* > 1에 대해 *x*3 > 1이므로, 이 함수가 0이되는 구간은 0과 1사이라는 것을 알 수 있다.

초기 추정해를 *x*0 = 0.5라 하고 뉴튼방법을 적용하면 (초기값을 0으로 선택하면 미분값이 0이 되고, 0으로 나누기 연산을 해서 계산이 실패한다. 즉, 무한대값이 발생한다. 뉴튼방법에서 초기값 선택은 해로 수렴하는데 큰 영향을 미친다) 아래와 같은 결과를 얻는다:

{\displaystyle {\begin{matrix}x\_{1}&=&x\_{0}-{\dfrac {f(x\_{0})}{f'(x\_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x\_{2}&=&x\_{1}-{\dfrac {f(x\_{1})}{f'(x\_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x\_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x\_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x\_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x\_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}}
여기서 참값과 같은 부분의 숫자는 밑줄이 그어져있다. 구해진 *x*6값은 소숫점아래 12자리까지 참값과 같다. 위의 계산예에서 2자리까지 참값과 일치하는 *x*3가 이어지는 계산에서 5자리, 10자리로 일치하는 이차수렴(quadratic convergence)속도를 보이는 것을 알 수 있다.

프로그램
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아래 프로그램은 뉴튼방법을 쥴리아 언어로 구현한 것으로 미분값 `fprime`을 갖는 함수 `f`의 근을 구한다.

근의 초기값은 *x*0 = 1으로 설정되었고 함수는 *f*(*x*) = *x*2 − 2 미분은 *f′*(*x*) = 2*x*이다.

뉴튼 방법이 매번 반복될 때마다 갱신되는 값은 `x1`이다. 반복 계산할 때마다 분수의 나눠지는 분모부분이 (`yprime`) 너무 작아지지 않는지 (`epsilon`보다 더 작아지지 않는지) 확인한다. 즉, *f′*(*x**n*) ≈ 0이 발생하면 큰 수치오차가 발생한다.

```
x0 = 1 # The initial guess
f(x) = x^2 - 2 # The function whose root we are trying to find
fprime(x) = 2x # The derivative of the function
tolerance = 1e-7 # 7 digit accuracy is desired
epsilon = 1e-14 # Do not divide by a number smaller than this
maxIterations = 20 # Do not allow the iterations to continue indefinitely
solutionFound = false # Have not converged to a solution yet

for i = 1:maxIterations
 y = f(x0)
 yprime = fprime(x0)

 if abs(yprime) < epsilon # Stop if the denominator is too small
 break
 end

 global x1 = x0 - y/yprime # Do Newton's computation

 if abs(x1 - x0) <= tolerance # Stop when the result is within the desired tolerance
 global solutionFound = true
 break
 end

 global x0 = x1 # Update x0 to start the process again
end

if solutionFound
 println("Solution: ", x1) # x1 is a solution within tolerance and maximum number of iterations
else
 println("Did not converge") # Newton's method did not converge
end

```

참고 문헌
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* Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.

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