| 대수 구조 |
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| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
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군론에서 **위상군**(位相群, 영어: topological group)은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

정의
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{\displaystyle G}가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산

{\displaystyle G\times G\to G}
{\displaystyle (x,y)\mapsto xy}
와

{\displaystyle G\to G}
{\displaystyle x\mapsto x^{-1}}
이 연속 함수일 경우 {\displaystyle G}를 **위상군**이라 한다. (여기에서 {\displaystyle G\times G}에는 곱위상을 준다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합과 함수의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간과 연속 함수의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 {\displaystyle \operatorname {TopGrp} }라고 한다.

성질
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국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, **하르 측도**라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, **폰트랴긴 쌍대성**이 존재한다.

### 군론적 성질

위상군 {\displaystyle G}에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 {\displaystyle G\_{0}}는 {\displaystyle G}의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 {\displaystyle G/G\_{0}}은 (몫위상을 주면) 완전 분리 공간이다.

위상군 {\displaystyle G}의 부분군 {\displaystyle H\leq G}에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

* 열린닫힌집합이다.
* 내부가 공집합이다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다.

### 위상수학적 성질

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 콜모고로프 공간이다.
* T1 공간이다.
* 하우스도르프 공간이다.
* 티호노프 공간이다.
* 자명한 부분군 {\displaystyle \{1\}}이 닫힌집합이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" {\displaystyle \pi \_{0}(G)}는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

**버코프-가쿠타니 정리**(영어: Birkhoff-Kakutani theorem)에 따르면, 위상군 {\displaystyle G}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 제1 가산 공간이다. 즉, {\displaystyle 1\_{G}}가 가산 국소 기저를 갖는다.
* 유사 거리화 가능 공간이다.
* (왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) {\displaystyle G}의 위상은 어떤 유사 거리 함수 {\displaystyle d\colon G\times G\to [0,\infty )}로부터 유도되며, 이는 {\displaystyle \forall g,h,k\in G\colon d(kg,kh)=d(g,h)}를 만족한다.
* (오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) {\displaystyle G}의 위상은 어떤 유사 거리 함수 {\displaystyle d\colon G\times G\to [0,\infty )}로부터 유도되며, 이는 {\displaystyle \forall g,h,k\in G\colon d(gk,hk)=d(g,h)}를 만족한다.

예
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모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서, 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 위에 유니터리 작용소들의 군 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 {\displaystyle \mathbb {Q} }는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

참고 문헌
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* Arhangel’skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). 《Topological Groups and Related Structures》 (영어). Atlantis Press. doi:10.2991/978-94-91216-35-0. ISBN 90-78677-06-6.
* Husain, Taqdir (1981). 《Introduction to Topological Groups》 (영어). R.E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-193-9.
* Pontryagin, Lev S. (1986). 《Topological Groups》 (영어). 번역 Arlen Brown, P.S.V. Naidu 3판. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6.