리만 기하학에서 **킬링 벡터장**(Killing vector場, 영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다.:214, 부록 C 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

정의
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### 킬링 벡터장

일반화 리만 다양체 (M,g)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}에 대하여, 리 미분

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{X}g}
을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약

{\mathcal L}\_{X}g=0
이 성립한다면, X를 (M,g)의 **킬링 벡터장** {\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환

{\displaystyle X\mapsto {\mathcal {L}}\_{X}g}
의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

{\mathcal L}\_{X}g=0을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.:§3.3, (3.10)

\nabla \_{{(\mu }}X\_{{\nu )}}=0
여기서 \nabla 는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건({\displaystyle \nabla \_{\mu }X\_{\nu }=0})을 약화시킨 것이다.

(M,g)의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군

{\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;M)\colon f^{\*}g=g\}}
을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {isom}}(M,g)}를 이룬다.

### 킬링 지평선

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 부분 집합 {\displaystyle \{x\in M\colon g(X,X)|\_{x}=0\}}을 X의 **킬링 지평선**(Killing地平線, 영어: Killing horizon)이라고 한다.:§3.3 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

성질
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정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

### 리 대수 구조

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 (M,g), {\displaystyle (M',g')}에 대하여, 표준적으로

{\displaystyle {\mathfrak {isom}}(M\sqcup M',g\sqcup g')\cong {\mathfrak {isom}}(M,g)\oplus {\mathfrak {isom}}(M',g')}
이다.

k개의 연결 성분을 갖는, n차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 {\displaystyle kn(n+1)/2} 이하이다.:443, §C.3 (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

### 위상 수학적 성질

콤팩트 리만 다양체 (M,g)에 대하여, 다음이 성립한다.

* 만약 M의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
* 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, M의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 X에 대하여, {\displaystyle X|\_{x}=0\in \mathrm {T} \_{x}M}인 x\in M이 존재한다.

### 조화 함수와의 관계

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X의 발산은 0이다.

{\displaystyle \nabla \cdot X=0}

**유도:**

{\displaystyle \nabla \cdot X=g^{\mu \nu }\nabla \_{\mu }X\_{\nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\nabla \_{\mu }X\_{\nu }-\nabla \_{\nu }X\_{\mu })={\frac {1}{2}}(g^{\mu \nu }-g^{\nu \mu })\nabla \_{\mu }X\_{\nu }=0}

X의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.:442, (C.3.6)

{\displaystyle \nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }X\_{\rho }=R\_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }}

**유도:**

리만 곡률 텐서의 정의에 따라

{\displaystyle [\nabla \_{\mu },\nabla \_{\nu }]X\_{\rho }=R\_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X\_{\sigma }}
이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라

{\displaystyle \nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }X\_{\rho }+\nabla \_{\nu }\nabla \_{\rho }X\_{\mu }=R\_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X\_{\sigma }}
이다. 이제, 양변에 {\displaystyle (\mu ,\nu ,\rho )}에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,

{\displaystyle 2(\nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }X\_{\rho }+\nabla \_{\nu }\nabla \_{\rho }X\_{\mu }+\nabla \_{\rho }\nabla \_{\mu }X\_{\nu })=(R\_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }+R\_{\nu \rho \mu }{}^{\sigma }+R\_{\rho \mu \mu }{}^{\sigma })X\_{\sigma }=0}
이다. 따라서,

{\displaystyle \nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }X\_{\rho }=-(\nabla \_{\nu }\nabla \_{\rho }X\_{\mu }+\nabla \_{\rho }\nabla \_{\mu }X\_{\nu })=-\nabla \_{\nu }\nabla \_{\rho }X\_{\mu }+\nabla \_{\rho }\nabla \_{\nu }X\_{\mu }=R\_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }}
이다.

특히, X의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.:443, (C.3.9)

{\displaystyle \nabla ^{2}X\_{\mu }=-R\_{\mu \nu }X^{\nu }}
특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 R\_{{\mu \nu }}=0이며, {\displaystyle X\_{\mu }}의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 {\displaystyle X\_{\mu }}가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 {\displaystyle X\_{\mu }}는 로렌츠 게이지 조건 {\displaystyle \nabla \cdot X=0} 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.

### 측지선에 대한 물리량의 보존

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X와 측지선

\gamma \colon \mathbb {R} \to M
{\displaystyle \gamma \colon t\mapsto \gamma (t)}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|\_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} }
즉, 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 {\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }})}는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.

**유도:**

벡터장 Y가

{\displaystyle Y|\_{\gamma (t)}={\dot {\gamma }}(t)\in \mathrm {T} \_{\gamma (t)}M\qquad \forall t\in \mathbb {R} }
인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 \gamma 가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식

{\displaystyle (Y^{\mu }\nabla \_{\mu }Y^{\nu })|\_{\gamma (t)}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} }
을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|\_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=\left.Y^{\mu }\nabla \_{\mu }(X\_{\nu }Y^{\nu })\right|\_{\gamma (t)}=\left.Y^{\mu }\left((\nabla \_{\mu }X\_{\nu })Y^{\nu }+X\_{\nu }\nabla \_{\mu }Y^{\nu }\right)\right|\_{\gamma (t)}=0}
이다.

마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 {\displaystyle T\_{\mu \nu }=(R\_{\mu \nu }-Rg\_{\mu \nu }/2)/(8\pi G)}를 생각할 때,

{\displaystyle \nabla \_{\mu }T^{\mu \nu }=0}
{\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}
이므로, 임의의 벡터장 X^{\mu }에 대하여

{\displaystyle \nabla \_{\mu }(T^{\mu \nu }X\_{\nu })=T^{\mu \nu }\nabla \_{\mu }X\_{\nu }={\frac {1}{2}}T^{\mu \nu }\left(\nabla \_{\mu }X\_{\nu }+\nabla \_{\nu }X\_{\mu }\right)}
이다. 따라서, 만약 X^{\mu }가 킬링 벡터장이라면 {\displaystyle T^{\mu \nu }X\_{\nu }}는 공변 보존류이다.

### 표면 중력

 이 부분의 본문은 표면 중력입니다.
킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle \kappa \colon \{x\in M\colon g(X,X)|\_{x}=0\}\to \mathbb {R} }
가 존재하며, 이 \kappa 를 킬링 지평선 {\displaystyle \{x\in M\colon g(X,X)|\_{x}=0\}}의 **표면 중력**이라고 한다.

{\displaystyle \partial \_{\mu }\left(g(X,X)\right)=-2\kappa g\_{\mu \nu }X^{\nu }}
이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

{\displaystyle X^{\mu }\nabla \_{\mu }X^{\nu }=\kappa X^{\nu }}
위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, \kappa 를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, \kappa 는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.:§3.3

* 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 {\displaystyle x\partial \_{t}+t\partial \_{x}}와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
* 우세 에너지 조건이 성립할 경우

### 킬링 지평선 근처의 기하

d+1차원 로런츠 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌다고 하자. 또한, X가 U\subseteq M에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, {\displaystyle g(X,X)|\_{x}<0\qquad \forall x\in U}). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 {\displaystyle (t,x^{i})}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-f(x)^{2}(\mathrm {d} t+\theta \_{i}(x)\mathrm {d} x^{i})^{2}+h\_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}}
여기서 {\displaystyle h\_{ij}}는 양의 정부호 이차 형식이며, {\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,d\}}이며, 또한 f와 \theta \_{i}와 {\displaystyle h\_{ij}}는 {\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{d})}에만 의존하고, t에 의존하지 않는다. 이 경우, {\displaystyle h\_{ij}}를 **궤도 공간 계량**(軌道空間計量, 영어: orbit-space metric)이라고 한다.

일반화
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킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.

### 킬링 텐서장과 킬링 스피너장

유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 T는 다음을 만족한다.

{\mathcal L}\_{X}T=0
\nabla \_{{(\mu }}T\_{{\nu \rho )}}=0
### 정칙 킬링 벡터장

켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 **정칙 킬링 벡터장**(正則Killing vector場, 영어: holomorphic Killing vector field)라고 한다.:239–244:266–270 켈러 다양체의 접다발 TM^{{{\mathbb C}}}은 정칙적 부분 T^{+}M과 반정칙적 부분 T^{-}M으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 T^{+}M의 단면이다.

X^{i}가 켈러 다양체 (M,g\_{{i{\bar \jmath }}}) 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

\nabla \_{i}X^{k}g\_{{k{\bar \jmath }}}+{\bar \nabla }\_{{{\bar \jmath }}}{\bar X}^{{{\bar k}}}g\_{{{\bar k}i}}=0
이에 따라, X는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

X^{i}=-ig^{{i{\bar \jmath }}}{\bar \partial }\_{{{\bar \jmath }}}D(z,{\bar z})
{\bar X}^{{{\bar \imath }}}=ig^{{j{\bar \imath }}}\partial \_{j}D(z,{\bar z})
여기서 D(z,{\bar z})는 **킬링 퍼텐셜**(영어: Killing potential)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

예
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공변 상수 벡터장 (즉, {\displaystyle \nabla \_{\mu }X^{\nu }=0}인 벡터장 X)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X 및 국소 좌표계 (x^1,\dots,x^n)이 주어졌으며, 계량 텐서 g\_{\mu\nu}의 성분이 x^{1}에 의존하지 않는다고 하자.

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}g\_{\mu \nu }=0\qquad \forall \mu ,\nu \in \{1,\dots ,n\}}
그렇다면, 벡터장

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}}
은 킬링 벡터장이다.

**유도:**

벡터장

{\displaystyle X^{\mu }=\delta \_{1}^{\mu }}
이 주어졌을 때,

{\displaystyle X\_{\mu }=g\_{\mu \nu }X^{\nu }=g\_{\mu 1}}
이다. 그렇다면,

{\displaystyle \nabla \_{\nu }X\_{\mu }+\nabla \_{\mu }X\_{\nu }=\partial \_{\nu }X\_{\mu }+\partial \_{\mu }X\_{\nu }-2\Gamma \_{\mu \nu }^{\rho }X\_{\rho }=\partial \_{\nu }g\_{\mu 1}+\partial \_{\mu }g\_{\nu 1}-(\partial \_{\nu }g\_{1\mu }+\partial \_{\mu }g\_{1\nu }-\partial \_{1}g\_{\mu \nu })=\partial \_{1}g\_{\mu \nu }}
이다.

### 슈바르츠실트 계량

 이 부분의 본문은 슈바르츠실트 계량입니다.
D차원 시공간의 슈바르츠실트 계량

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r\_{0}/r)^{D-3}\right)dt^{2}+\left(1-(r\_{0}/r)^{D-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega \_{D-2}^{2}}
에서, \partial /\partial t는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는

{\displaystyle g\_{tt}=-1+(r\_{0}/r)^{D-3}=0}
이 되는 곳, 즉 r=r\_{0}이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 {\displaystyle \mathrm {SO} (D-1)} 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

### 커 계량

 이 부분의 본문은 커 계량입니다.
마찬가지로, 3+1차원 커 계량

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {r\_{0}r}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\rho ^{2}\,\mathrm {d} r^{2}}{r^{2}-r\_{0}r+\alpha ^{2}}}+\rho ^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r\_{0}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+{\frac {2r\_{0}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }
{\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }
은 두 킬링 벡터

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}}
를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은

{\displaystyle rr\_{0}=\rho ^{2}}
의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

### 민코프스키 공간

2차원 민코프스키 공간

{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}=\{(t,x)\}}
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}}
에서, 킬링 벡터장

{\displaystyle X=x\partial \_{t}+t\partial \_{x}}
를 생각하자.:(3.11) 이는

{\displaystyle \nabla \_{i}X\_{j}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은

{\displaystyle \{(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x=\pm t\}}
인데, 이는 {\displaystyle x=t=0}에서 매끄럽지 않다.

역사
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빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.:167, §10

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(영어: Luther Pfahler Eisenhart, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"(영어: equations of Killing)이라고 지칭하였다.:234, (70.2)

참고 문헌
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1. ↑  권영헌; 윤달선 (2002). 《현대 기하학 입문》. 京文社. ISBN 978-89-7282535-7.
2. 1 2 3 4  Chruściel, Piotr T.; Galloway, Gregory J.; Pollack, Daniel (2010년 10월). "Mathematical general relativity: a sampler". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **47** (4): 567–638. arXiv:1004.1016. Bibcode:2010arXiv1004.1016C. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01304-5. ISSN 0273-0979. MR 2721040. Zbl 1205.83002.
3. 1 2 3  Wald, Robert M. (1984년 6월). 《General relativity》 (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022687033-5. Zbl 0549.53001.
4. ↑  Wald, Robert M. (1974년 9월 15일). "Black hole in a uniform magnetic field". 《Physical Review D》 (영어) **10** (6): 1680–1685. doi:10.1103/PhysRevD.10.1680. ISSN 2470-0010.
5. ↑  Wess, Julius; Bagger, Jonathan (1992). 《Supersymmetry and supergravity》 (영어). Princeton University Press. Bibcode:1992susu.book.....W. ISBN 0-691-02530-4.
6. ↑  Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2012년 4월). 《Supergravity》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2012supe.book.....F. doi:10.1017/CBO9781139026833. ISBN 9780521194013.
7. ↑  Killing, Wilhelm (1892). "Ueber die Grundlagen der Geometrie". 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) **109**: 121–186. doi:10.1515/crll.1892.109.121. ISSN 0075-4102. JFM 24.0496.02.
8. ↑  Eisenhart, Luther Pfahler (1926). 《Riemannian geometry》 (영어). Princeton University Press. JFM 52.0721.01.