리 군 표현론에서 **바일 지표 공식**(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.

정의
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체 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 유한 차원 표현 r\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V;K)의 **지표**(指標, 영어: character)는 다음과 같다.

\operatorname{ch}(V)\colon\mathfrak g\to K
\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\operatorname{tr}\_K\exp(r(x))
여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

* K={\mathbb C}이다.
* {\mathfrak {g}}는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수가 \mathfrak h\cong\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g]이며, 그 바일 군은 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)이다. {\mathfrak {g}}의 양근들의 집합을 \Delta^+(\mathfrak g)\subset\mathfrak h^\*라고 하자.
* V는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게는 \lambda \in {\mathfrak h}^{\*}이다.

바일 군의 원소 w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)는 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}} 위에 표현

w\cdot\colon\mathfrak h\to\mathfrak h
을 가진다. 이 표현의 행렬식 \det w은 바일 군의 원소의 **길이**(영어: length)\operatorname{length}w와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 w의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우

\det w=(-1)^{\operatorname{length}(w)}
이다.

그렇다면, **바일 지표 공식**은 다음과 같다.

\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\left(\prod\_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\frac1{2\sinh(\frac12\alpha(x))}\right)\sum\_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}(\det w)\exp\left(w\cdot(\lambda(x)+\frac12\sum\_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\alpha(x))\right)

특수한 경우
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### 바일 차원 공식

지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 x=0을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 x\to0인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 **바일 차원 공식**(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다.

 \dim V= \frac{\prod\_{\alpha \in \Delta^+}(\lambda+\rho,\alpha)}{ \prod\_{\alpha \in \Delta^+}(\rho,\alpha)}
여기서

\rho=\frac12\sum\_{\alpha\in\Delta^+}\alpha
이다.

### 바일 분모 공식

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 **바일 분모 공식**(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다.

\prod\_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}2\sinh\left(\frac12\alpha(x)\right)=\sum\_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}
(\det w)
\prod\_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}
\exp\left(\frac12w\cdot\alpha(x)\right)

예
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가장 간단한 복소수 단순 리 대수인 \mathfrak a\_1=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군 x\mapsto-x이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 {\sqrt {2}}이므로, 기본 무게의 길이는 1/{\sqrt {2}}이다.

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. n차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 (n-1)배이다. 따라서, n차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

\operatorname{ch}\_n(x)=\frac1{2\sinh(x/\sqrt2))}\left(\exp(nx/\sqrt2)
-\exp(-nx/\sqrt2)\right)
=\frac{\sinh(nx/\sqrt2)}{\sinh(x/\sqrt2))}
이다. x\to0 극한을 취하면, 바일 차원 공식

\lim\_{x\to0}\operatorname{ch}\_n(x)=n
을 얻는다.

역사
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헤르만 바일이 발견하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Weyl, Hermann (1925). "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **23**: 271–309. doi:10.1007/BF01506234. ISSN 0025-5874.
2. ↑  Weyl, Hermann (1926). "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **24**: 328–376. doi:10.1007/BF01216788. ISSN 0025-5874.
3. ↑  Weyl, Hermann (1926). "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III". 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) **24**: 377–395. doi:10.1007/BF01216789. ISSN 0025-5874.