호모토피 이론에서 **고리 공간**(-空間, 영어: loop space)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다. 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.

정의
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점을 가진 공간 X 위의 **고리 공간**은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 \hom \_{{\operatorname {Top}\_{\bullet }}}({\mathbb S}^{1},X)이며, \Omega X로 쓴다.

위상 공간 X 위의 **자유 고리 공간**(영어: free loop space)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 \hom \_{{\operatorname {Top}}}({\mathbb S}^{1},X)이며, {\mathcal L}X로 쓴다.

### 고리군

 이 부분의 본문은 고리군입니다.
위상군 G는 항등원 1\in G을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 \Omega G 및 자유 고리 공간 {\mathcal L}G는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

\alpha \beta \colon \theta \mapsto \alpha (\theta )\beta (\theta )
이를 각각 **고리군**(영어: loop group) 및 **자유 고리군**(영어: free loop group)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

\operatorname {ev}\_{0}\colon {\mathcal L}G\to G
\operatorname {ev}\_{0}\colon \alpha \mapsto \alpha (0)
이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

\Omega G=\ker \operatorname {ev}\_{0}
### 유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체

M이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.

구체적으로, M 위의 고리

\gamma\colon [0,1]\to M
{\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}
가운데, 일종의 소볼레프 공간 {\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},M)}에 속하는 것들을 생각하자. 즉,

{\displaystyle \int \_{[0,1]}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t<\infty }
인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.

그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) {\mathcal L}M을 이룬다. 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간

{\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{\dim M})}
과 동형이다.

또한, 표준적으로

{\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {L}}M\cong {\mathcal {L}}\mathrm {T} M}
가 된다.

소볼레프 매장 정리(영어: Sobolev embedding theorem)에 의하여, 모든 {\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}} 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

### 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체

M이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수

{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M}
들의 공간 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},M)}에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간

{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ,\mathbb {R} ^{\dim M})}
과 동형이다.

성질
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### 위상수학

고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.

\pi \_{{k+1}}(X)=\pi \_{k}(\Omega X)
특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 X, Y에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.

[\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]
여기서 \Sigma X는 X의 축소 현수이며, [-,-]는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다.

{\displaystyle [X\times \mathbb {S} ^{1},Y]\leftrightarrow [X,{\mathcal {L}}Y]}
고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산

\Omega X\times \Omega X\to \Omega X
이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A∞-공간을 이룬다.

### 미분기하학

유한 차원 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 자유 고리 공간 {\mathcal L}M을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다.

{\displaystyle (\exp(2\pi \mathrm {i} t)\cdot \gamma )(s)=\gamma (s+t)}
이는 벡터장

{\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} {\mathcal {L}}M)}
을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱

{\displaystyle X\lrcorner \colon \Omega ^{\bullet }({\mathcal {L}}M)\to \Omega ^{\bullet -1}({\mathcal {L}}M)}
이 존재한다.

고리 공간 위에는 **천 미분 형식**(영어: Chen differential form) 또는 **반복 적분**(영어: iterated integral)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다. 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식

{\displaystyle \alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k}\in \Omega (M)}
{\displaystyle \deg \alpha \_{i}=n\_{i}+1}
일 때, **천 미분 형식**

{\displaystyle \int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k})\in \Omega ^{n\_{1}+\dotsb +n\_{k}+1}({\mathcal {L}}M)}
을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle \int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k})=\int \dotsi \int \_{0\leq t\_{1}\leq \dotsb \leq t\_{k}\leq 1}\mathrm {d} t\_{1}\dotsm \mathrm {d} t\_{k}(X\lrcorner \operatorname {ev} \_{t\_{1}}^{\*}\alpha \_{1})\wedge \dotsb \wedge (X\lrcorner \operatorname {ev} \_{t\_{k}}^{\*}\alpha \_{k})}
여기서

* t\in [0,1]에 대하여, 값매김 사상 {\displaystyle \operatorname {ev} \_{t}\colon {\mathcal {L}}M\to M}은 {\displaystyle \gamma \mapsto \gamma (t)}이다. {\displaystyle \operatorname {ev} \_{t}^{\*}}은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
* {\displaystyle \textstyle \int \dotsi \int \_{0\leq t\_{1}\leq \dotsb \leq t\_{k}\leq 1}}은 k차원 단체 {\displaystyle \triangle \_{k}} 위의 적분이다.

특히, 만약 한 1차 미분 형식 A만이 주어졌을 때, 이는 함수

{\displaystyle {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} }
{\displaystyle \gamma \mapsto \int \_{\gamma }A}
에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

{\displaystyle \int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k})\wedge \int (\alpha \_{k+1},\dotsc ,\alpha \_{k+l})=\sum \_{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,l)}(-)^{\sigma }\int (\alpha \_{\sigma (1)},\dotsc ,\alpha \_{\sigma (k+l)})}
여기서

* {\displaystyle \operatorname {Sh} (k,l)}은 셔플 순열의 집합이다. 즉, {\displaystyle \{1,\dotsc ,k+l\}}의 순열 가운데 {\displaystyle \sigma (1)\leq \dotsb \leq \sigma (k)}이며 {\displaystyle \sigma (k+1)\leq \dotsb \leq \sigma (k+l)}인 것이다.
* {\displaystyle (-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}}는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.:Proposition 1.6

{\displaystyle \mathrm {d} \int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k})=-\sum \_{i=1}^{k}(-)^{n\_{1}+\dotsb +n\_{i-1}}\int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{i-1},\mathrm {d} \alpha \_{i},\alpha \_{i+1},\dotsc ,\alpha \_{k})-\operatorname {ev} \_{0}^{\*}\alpha \_{1}\wedge \int (\alpha \_{k},\dotsc ,\alpha \_{k})-(-)^{n\_{1}}\int (\alpha \_{1}\wedge \alpha \_{2},\alpha \_{3},\dotsc ,\alpha \_{k})-(-)^{n\_{1}+n\_{2}}\int (\alpha \_{1},\alpha \_{2}\wedge \alpha \_{3},\alpha \_{4},\dotsc ,\alpha \_{k})-\dotsb -(-)^{n\_{1}+\dotsb +n\_{k-1}}\left(\int (\alpha \_{1},\dotsc ,\alpha \_{k\_{1}})\right)\wedge \operatorname {ev} \_{1}^{\*}\alpha \_{k}}

참고 문헌
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1. ↑  Adams, John Frank (1978). 《Infinite loop spaces》. Annals of Mathematics Studies (영어) **90**. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08206-6. MR 505692.
2. ↑  May, J. Peter (1972). 《The geometry of iterated loop spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **271**. Springer. doi:10.1007/BFb0067491. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. MR 0420610. 2015년 7월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 6월 14일에 확인함.
3. ↑  Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). 《Loop groups》. Oxford Mathematical Monographs (영어). New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X. MR 0900587.
4. ↑  Klingensberg, W. (1983). 《Closed geodesics on Riemannian manifolds》. CBMS Regional Conference Series in Mathematics (영어) **53**. 2018년 8월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 8월 29일에 확인함.
5. 1 2  Getzler, Ezra; Jones, John D. S.; Petrack, Scott (1991년 11월 3일). "Differential forms on loop spaces and the cyclic bar complex". 《Topology》 (영어) **30** (3): 339–371. doi:10.1016/0040-9383(91)90019-Z.