이차 형식 이론에서, **가우스 합성**(Gauß合成, 영어: Gauss composition)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

정의
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### 이차 형식

가환환 R 위의 2차 자유 가군 R^{2} 위의 두 이차 형식

{\displaystyle Q,Q'\colon R^{2}\to R}
이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 **동치**라고 하자.

{\displaystyle Q\sim Q'\iff \exists M\in \operatorname {GL} (2;R),r\in R^{\times }=\operatorname {GL} (1;R)\colon rQ(M(-))=Q'}
이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 R-자유 가군 L의 값을 갖는 함수

{\displaystyle Q\colon V\to L}
로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은

{\displaystyle Q\in \operatorname {Sym} \_{R}^{2}V^{\*}\otimes \_{R}L=L\otimes \_{R}{\frac {V^{\*}\otimes \_{R}V^{\*}}{(u\otimes \_{R}v-v\otimes \_{R}u)\_{u,v\in V^{\*}}}}}
이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 계수 2의 {\mathcal O}\_{X}-국소 자유 가군층 V 및 {\mathcal O}\_{X}-가역 가군층 L이 주어졌을 때, V 위의 L 값의 **이차 형식**

{\displaystyle Q\in \Gamma (X;\operatorname {Sym} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{2}(V)\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}L)}
은 {\mathcal O}\_{X}-가군층 {\displaystyle \operatorname {Sym} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{2}(V)\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}L}의 단면이다.

#### 판별식

만약 R가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 R^{2} 위의 이차 형식

{\displaystyle Q\colon R^{2}\to R}
{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}
의 판별식은 {\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)=b^{2}-4ac}이다.

보다 일반적으로, 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의, 2차 {\mathcal O}\_{X}-국소 자유 가군층 {\mathcal {M}} 위의, {\mathcal O}\_{X}-가역층 {\mathcal L} 값의 이차 형식

{\displaystyle Q\in \Gamma (\operatorname {Sym} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{2}(M^{\*})\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\mathcal {L}})}
의 판별식 {\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)}는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 {\mathcal O}\_{X}-가역층의 대역적 단면을 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)\in \Gamma \left(X;\left(\operatorname {Sym} \_{{\mathcal {O}}\_{X}}^{2}(M^{\*})\otimes \_{{\mathcal {O}}\_{X}}{\mathcal {L}}\right)^{\otimes 2}\right)}
### 이차 대수

가환환 R 위의 **이차 대수**(영어: quadratic algebra) {\displaystyle R\to A}는 다음과 같은 가환 R-결합 대수이다.

* 임의의 소 아이디얼 {\mathfrak p}\in \operatorname {Spec}R에 대하여 {\displaystyle A\otimes \_{R}R\_{\mathfrak {p}}}는 2차 R\_{{{\mathfrak p}}}-자유 가군이다. (즉, A는 계수 2의 R-평탄 가군이다.)

R 위의 이차 대수 A 위의 가군 M이 다음 조건을 만족시킨다면, **대각합 가능 가군**(영어: traceable module)이라고 한다.

* M은 R 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
* 임의의 원소 a\in A에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{A/R}\colon A\to R}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{A/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} \_{R}(a\cdot \colon A\to A)}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{M/R}\colon A\to R}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{M/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} \_{R}(a\cdot \colon M\to M)}

보다 일반적으로, 임의의 스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 **이차 대수층**은 {\mathcal O}\_{X}-가환 대수층 가운데 2차 {\mathcal O}\_{X}-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 {\mathcal A} 위의 **대각합 가능 가군층** {\mathcal {M}}은 {\mathcal A}-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

* {\mathcal O}\_{X}-가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
* 임의의 열린집합 U\subseteq X의 단면 {\displaystyle a\in \Gamma (U;{\mathcal {A}})}에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {A}})\to \Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} \_{\Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})}(a\cdot \colon A\to A)}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\colon A\to R}
{\displaystyle \operatorname {tr} \_{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} \_{\Gamma (U;{\mathcal {O}}\_{X})}(a\cdot \colon M\to M)}

두 A-가군 M,M'이 주어졌을 때, 텐서곱 {\displaystyle M\otimes \_{A}M'}을 정의할 수 있으므로, A-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. A-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

#### 판별식

스킴 (X,{\mathcal O}\_{X}) 위의 이차 대수층 {\mathcal A} 위의 대각합 가능 가군층 {\mathcal {M}}의 **판별식**은 대각합 사상

{\displaystyle \operatorname {tr} \_{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {O}}\_{X}}
의 행렬식

{\displaystyle \operatorname {Disc} ({\mathcal {A}},{\mathcal {M}})=\det \left(\operatorname {tr} \_{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}\_{X}}\right)\in \Gamma \left(X;\left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}\right)}
이다. 이는 {\mathcal O}\_{X}-가역층 {\displaystyle \textstyle \left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}}의 대역적 단면이다.

### 가우스 합성

임의의 가환환 R 및 그 위의 2차 자유 가군 {\displaystyle V=R^{2}}에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

* V 위의 이차 형식들 {\displaystyle Q\colon V\to L}의 동치류들의 집합
* R 위의 이차 대수 A와 그 위의 대각합 가능 가군 M들의 동치류들의 집합

구체적으로, {\displaystyle (A,M)}이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 R-가군 준동형을 생각하자.

{\displaystyle (A/R)\otimes \_{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)}
{\displaystyle (a+R)\otimes \_{R}(m\wedge \_{R}m')\mapsto (am)\otimes \_{R}m'-m\otimes \_{R}(am')}
이는 R-가군

{\displaystyle \left((A/R)\otimes \_{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{\*}\otimes \_{R}\operatorname {Sym} ^{2}(M;R)}
의 원소를 정의하며, 이는 M^{\*} 위에 정의된,

{\displaystyle L=\left((A/R)\otimes \_{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{\*}}
값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 Q가 원시 이차 형식(영어: primitive quadratic form)인 것은 M이 A-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 **가우스 합성**이라고 한다.

예
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### 정수환의 경우

\mathbb {Z}  위의 이차 형식의 {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )\times \operatorname {GL} (1;\mathbb {Z} )}-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.

* 2차 \mathbb {Z} -환 {\displaystyle A\_{D}}. 이는 그 판별식 {\displaystyle D\in 4\mathbb {Z} +\{0,1\}}으로부터 다음과 같이 결정된다.
{\displaystyle A\_{D}={\begin{cases}\mathbb {Z} [t]/(t^{2})&D=0\\\mathbb {Z} \cdot (1,1)+{\sqrt {D}}(\mathbb {Z} ^{2})&{\sqrt {D}}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {D+{\sqrt {D}}}{2}}\right]&{\sqrt {D}}\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}
* A-가군 M 가운데 아벨 군으로서 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}이며, {\displaystyle \operatorname {tr} \_{A/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z} }가 {\displaystyle \operatorname {tr} \_{M/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z} }가 같은 것 (둘째 조건은 M이 A-아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, {\displaystyle D\neq 0}일 때, M은 항상 {\displaystyle A\_{D}}의 아이디얼과 동형이다. 그러나 D=0일 경우 일반적으로 M은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 {\displaystyle A\_{0}=\mathbb {Z} [t]/(t^{2})}이며 {\displaystyle M=\mathbb {Z} x\oplus \mathbb {Z} y}, {\displaystyle tx=ty=0\_{M}}이다.

\mathbb {Z}  위의 이차 형식의 {\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )}-동치류를 분류하려면, {\displaystyle (A,M)} 및 M의 방향 \epsilon\in\{\pm1\}을 사용하여야 한다.

### 정역의 경우

가환환 R가 정역일 때, R 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 A 및 A-가군 M에 대하여, M은 항상 A의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

역사
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카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

참고 문헌
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2. ↑  Gavss, Carolus Fridericus (1801). 《Disqvisitiones arithmeticae》 (라틴어). 라이프치히: in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun.
3. ↑  Kneser, Martin (1982년 12월). "Composition of binary quadratic forms". 《Journal of Number theory》 (영어) **15** (3): 406–413. doi:10.1016/0022-314X(82)90041-5. ISSN 0022-314X.
4. ↑  Wood, Melanie Eggers Matchett (2011년 1월 30일). "Gauss composition over an arbitrary base". 《Advances in Mathematics》 (영어) **226** (2): 1756–1771. arXiv:1007.5285. Bibcode:2010arXiv1007.5285M. doi:10.1016/j.aim.2010.08.018. ISSN 0001-8708.

* Wood, Melanie Eggers Matchett (2009년 6월). 《Moduli spaces for rings and ideals》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 만줄 바르가바). 프린스턴 대학교. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
* Bhargava, Manjul (2004). "Higher composition laws I: a new view on Gauss composition, and quadratic generalizations" (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) **159** (1): 217–250.
* Bhargava, Manjul (2004). "Higher composition laws II: on cubic analogues of Gauss composition". 《Annals of Mathematics》 (영어) **159** (2): 865–886.
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* Belabas, Karim (2004년 6월). "Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants (d’après M. Bhargava)". 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) **46**: 267–300. ISSN 0303-1179. MR 2167210. Zbl 1090.11066.