미분기하학에서 **점근 국소 평탄 공간**(漸近局所平坦空間, 영어: asympotically locally flat [ALF] space)은 무한대에서 3차원 유클리드 공간의 오비폴드 위의 원군 주다발로 수렴하는 4차원 초켈러 다양체이다.

정의
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4차원 초켈러 다양체 (M,g)가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, **점근 국소 평탄 공간**이라고 한다.:Definition 3.1

* 어떤 콤팩트 집합 {\displaystyle K\subsetneq M} 및 {\displaystyle R>0} 및 유한군 {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {O} (3)} 및 원군 주다발 {\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\tilde {M}}\twoheadrightarrow (\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\Gamma } 및 그 위의 주접속 {\displaystyle A\in \Omega ^{1}({\tilde {M}})}에 대하여, 미분 동형 {\displaystyle M\setminus K\cong {\tilde {M}}}이 존재하며, 이 미분 동형 아래 M의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다.
{\displaystyle g=g\_{\mathbb {R} ^{3}/\Gamma }+A^{2}+{\mathcal {O}}(r^{-t})\qquad (t>0)}

분류
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점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 {\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {O} (3)}에 의하여 분류되며, {\displaystyle \Gamma =\{1\}} 및 {\displaystyle \Gamma =\operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군)이 가능하다. {\displaystyle \Gamma =\{1\}}인 경우는 **순환군형**(循環群型, 영어: cyclic type) 또는 **A형**이라고 하며, A−1, A0, A1, …가 있다. {\displaystyle \Gamma =\operatorname {Cyc} (2)}인 경우는 **정이면체군형**(正二面體群型, 영어: dihedral type0 또는 **D형**이라고 하며, D0, D1, …가 있다.

### 순환군형

순환군형은 기호로 A*n*의 꼴이며, 여기서 *n*은 −1 이상의 정수이다.
일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에 n+1개의 점 (너트의 위치)

{\displaystyle {\vec {r}}\_{0},\dotsc ,{\vec {r}}\_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}
을 골랐을 때, 퍼텐셜

{\displaystyle V({\vec {x}})=l+\sum \_{i=0}^{n}{\frac {1}{2\|{\vec {x}}-{\vec {r}}\_{i}\|}}}
을 사용하여 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 A*n*형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 l은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다.

즉, 그 모듈라이 공간은

{\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{+}\times {\frac {\operatorname {Conf} (n+1,\mathbb {R} ^{3})}{\operatorname {ISO} (3;\mathbb {R} )}}}
{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}\_{n}={\begin{cases}1&n\in \{-1,0\}\\2&n=1\\3(n-1)+1&n\geq 2\end{cases}}}
이다. 이는 n+1개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은 l에 해당하며, 리만 계량의 스칼라배에 해당한다.

### 정이면체군형

정이면체군형은 기호로 D*n*의 꼴이며, 여기서 *n*은 음이 아닌 정수이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜

{\displaystyle V({\vec {x}})=l-{\frac {2}{\|{\vec {x}}\|}}+\sum \_{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2\|{\vec {r}}\_{i}-{\vec {x}}\|}}+{\frac {1}{2\|{\vec {r}}\_{i}+{\vec {x}}\|}}\right)}
을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각하자. 이는 {\displaystyle \|{\vec {x}}\|\ll 1}인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 {\displaystyle {\vec {x}}\mapsto -{\vec {x}}}에 대하여 대칭이므로 {\displaystyle (\mathbb {R} ^{3}\setminus \operatorname {ball} (R))/\operatorname {Cyc} (2)} 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 l이 충분히 크다면, 가운데에 D0 공간을 이어붙이면 이는 D*n* 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D*n*이 되도록 변형할 수 있다.:Remark 3.7

즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은

{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}\_{n}={\begin{cases}1&n=0\\2&n=1\\3n-2&n\geq 2\\\end{cases}}}
여기서 한 차원은 l에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.

성질
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### 위상수학적 성질

점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.:§3.2.1, §3.2.2

| 점근 국소 평탄 공간 | 기본군 {\displaystyle \pi \_{1}} | 베티 수 {\displaystyle (b\_{0},b\_{1},b\_{2},b\_{3},b\_{4})} |
| --- | --- | --- |
| A−1 | 무한 순환군 Cyc(∞) | (1,1,0,0,0) |
| A*n* (*n*≥0) | 자명군 1 | (1,0,*n*,0,0) |
| D0 | 2차 순환군 Cyc(2) | (1,0,0,0,0) |
| D*n* (*n*≥1) | 자명군 1 | (1,0,*n*,0,0) |

특히, A−1은 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}이므로, 원 \mathbb {S} ^{1}과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A0은 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{4}과 미분 동형이다.

### 기하학적 성질

점근 국소 평탄 공간의 킬링 벡터장의 수는 다음과 같다.

| 점근 국소 평탄 공간 | 킬링 벡터장의 수 |
| --- | --- |
| A−1 | 4 |
| A0 | 4 |
| A1 | 2 |
| A*n* (*n*≥2) | 1 |
| D0 | 3 |

이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다.

예
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* A−1형 점근 국소 평탄 공간은 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}이다.
* A0형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다.
* D0형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다.
* D1형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다.

응용
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점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 이들이 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Foscolo, Lorenzo (2019). "ALF gravitational instantons and collapsing Ricci‐flat metrics on the *K*3 surface". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **112** (1): 79-120. arXiv:1603.06315. doi:10.4310/jdg/1557281007. MR 3948228. Zbl 07054920.