측도론에서 **르베그-스틸티어스 측도**(Lebesgue-Stieltjes測度, 영어: Lebesgue–Stieltjes measure)는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 **르베그-스틸티어스 적분**(Lebesgue-Stieltjes積分, 영어: Lebesgue–Stieltjes integral)이라고 한다.

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 증가 함수 {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

그렇다면, 다음과 같은 외측도 {\displaystyle \mu \_{g}}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mu \_{g}(S)=\inf \left\{\sum \_{(c,d]\in {\mathcal {I}}}(g(d^{+})-g(c^{+}))\colon {\mathcal {I}}\in {\mathcal {P}}\_{\leq \aleph \_{0}}({\mathcal {C}}),\;S\subseteq \bigcup {\mathcal {I}}\right\}\qquad (S\in {\mathcal {B}}([a,b]))}
여기서

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{(c,d]\colon c,d\in \mathbb {R} ,\;c<d\right\}}
는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며,

{\displaystyle {\mathcal {P}}\_{\leq \aleph \_{0}}({\mathcal {C}})=\left\{{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {C}}\colon |{\mathcal {I}}|\leq \aleph \_{0}\right\}}
는 [a,b] 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며,

{\displaystyle g(x^{+})=\lim \_{\epsilon \to 0^{+}}g(x+\epsilon )}
이다.
{\mathcal {C}}로 생성되는 시그마 대수 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 g의 **르베그-스틸티어스 측도**라고 한다.:26, Definition 1.3.7 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

{\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} \mu \_{g}=\int \_{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} g}
### 고차원 르베그-스틸티어스 측도

우선, 임의의 집합 X에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간

{\displaystyle \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})=k\_{1}(x\_{1,1},x\_{2,1},\dots ,x\_{n,1})+k\_{2}(x\_{1,2},x\_{2,2},\dots ,x\_{n,2})+\cdots +k\_{p}(x\_{1,1},x\_{2,1},\dots ,x\_{n,p})\qquad (x\_{i,j}\in X,\;k\_{j}\in \mathbb {Z} )}
을 생각하자. 임의의 함수 {\displaystyle g\colon X^{n}\to \mathbb {R} }를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.

{\displaystyle {\hat {g}}\colon \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \mathbb {R} }
{\displaystyle {\hat {g}}\colon \sum \_{i=1}^{p}k\_{i}{\vec {x}}\_{i}\mapsto \sum \_{i=1}^{p}k\_{i}g({\vec {x}}\_{i})}
이 위에 다음과 같은 \mathbb {Z} -선형 연산자를 정의하자.

{\displaystyle \Delta \_{i;b\_{i}}\colon \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})}
{\displaystyle \Delta \_{i;b\_{i}}\colon (a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{n})\mapsto (a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{i-1},b\_{i},a\_{i+1},\dots ,a\_{n})-{\vec {a}}}
이제, 임의의 {\displaystyle {\vec {b}}\in X^{n}}에 대하여 다음과 같은 \mathbb {Z} -선형 연산자를 정의하자.

{\displaystyle \Delta \_{\vec {b}}\colon \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} \_{\mathbb {Z} }(X^{n})}
{\displaystyle \Delta \_{\vec {b}}=\Delta \_{1;b\_{1}}\circ \Delta \_{2;b\_{2}}\circ \dotsb \circ \Delta \_{n;b\_{n}}}
함수

{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
가 임의의 {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여 ({\displaystyle a\_{i}\leq b\_{i}\qquad \forall 1\leq i\leq n}) 다음 두 조건을 만족시킨다면, **분포 함수**(영어: distribution function)라고 하자.

{\displaystyle g({\vec {b}})\geq g({\vec {a}})}
{\displaystyle {\hat {g}}\left(\Delta \_{\vec {b}}({\vec {a}})\right)\geq 0}
이 경우, 위와 같은 {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mu \_{g}\left(\prod \_{i=1}^{n}(a\_{i},b\_{i}]\right)=\lim \_{{\vec {\epsilon }}\to 0^{+}}{\hat {g}}\left(\Delta \_{{\vec {b}}+{\vec {\epsilon }}}({\vec {a}}+{\vec {\epsilon }})\right)}
이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수 {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} 위에 **르베그-스틸티어스 측도**

{\displaystyle \mu \_{g}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}
를 정의할 수 있다.:27–28, §1.3.3

예
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항등 함수 \mathbb {R} \to \mathbb {R} , x\mapsto x의 르베그-스틸티어스 측도는 **르베그 측도**라고 한다.

함수

{\displaystyle g\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\leq 0\\x&x>0\end{cases}}}
를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

{\displaystyle \mu \_{g}(S)=\mu \_{g}(S\cap [0,\infty ))}
함수

{\displaystyle g\colon x\mapsto \alpha x}
를 생각하자 ({\displaystyle \alpha \geq 0}). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

{\displaystyle \mu \_{g}(S)=\alpha \nu \_{\text{L}}(S)}
여기서 {\displaystyle \nu \_{\text{L}}}는 르베그 측도이다.

성질
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정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

역사
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앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다.

참고 문헌
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1. 1 2  Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.