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사다리꼴 근사. 적분될 함수의 이계도함수가 음수이므로, 사다리꼴 공식 근사는 실제 정적분보다 더 작다.
N=1일 경우의 사다리꼴 근사는 임의의 함수를 선형 함수로 어림한다.

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수치 해석에서 **사다리꼴 공식**(-公式, 영어: trapezoidal rule)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다. 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다.

정의
--

닫힌구간 {\displaystyle [t\_{0},t\_{N}]} 위의 적분 가능 함수

{\displaystyle f\colon [t\_{0},t\_{N}]\to \mathbb {R} }
및 수열

{\displaystyle t\_{0}\leq t\_{1}\leq \dotsc \leq t\_{N-1}\leq t\_{N}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

{\displaystyle F=\int \_{t\_{0}}^{t\_{N}}f(x)\,\mathrm {d} x}
의 **사다리꼴 공식 근사**는 다음과 같다.

{\displaystyle {\tilde {F}}=\sum \_{i=0}^{N-1}{\frac {(t\_{i+1}-t\_{i})(f(t\_{i+1})+f(t\_{i}))}{2}}}
특히, N=1일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

{\displaystyle {\tilde {F}}={\frac {(t\_{1}-t\_{0})(f(t\_{1})+f(t\_{0}))}{2}}}

성질
--

사다리꼴 공식 근사의 오차

{\displaystyle {\tilde {F}}-F}
를 생각하자. 만약 f가 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle \xi \in [t\_{0},t\_{N}]}가 존재한다.

{\displaystyle {\tilde {F}}-F={\frac {1}{12}}f''(\xi )\sum \_{i=0}^{N-1}(t\_{i+1}-t\_{i})^{3}}

**증명:**

다음과 같은 함수들을 정의하자.

{\displaystyle g\_{i}\colon [0,t\_{i+1}-t\_{i}]\to \mathbb {R} }
{\displaystyle g\_{i}(s)={\frac {1}{2}}s(f(t\_{i})+f(t\_{i}+s))-\int \_{t\_{i}}^{t\_{i}+t}f(x)\,\mathrm {d} x}
즉,

{\displaystyle {\tilde {F}}-F=\sum \_{i=0}^{N-1}g\_{i}(t\_{i+1}-t\_{i})}
이다. 그러면

{\displaystyle g\_{i}(0)=g\_{i}'(0)=g\_{i}''(0)=0}
{\displaystyle g\_{i}'(s)={\frac {1}{2}}\left(f(t\_{i})-f(t\_{i}+s)\right)+{\frac {1}{2}}sf'(t\_{i}+s)}
{\displaystyle g\_{i}''(s)={\frac {1}{2}}sf''(t\_{i}+s)}
이다. 즉,

{\displaystyle K=\min \_{x\in [t\_{0},t\_{N}]}f''(x)}
{\displaystyle L=\max \_{x\in [t\_{0},t\_{N}]}f''(x)}
를 정의하면,

{\displaystyle {\frac {1}{2}}Ks\leq g''\_{i}(s)\leq {\frac {1}{2}}Ls}
이며, 이를 두 번 적분하면

{\displaystyle {\frac {1}{12}}Ks^{3}\leq g\_{i}(s)\leq {\frac {1}{12}}Ls^{3}}
가 된다. 즉,

{\displaystyle {\frac {K}{12}}\sum \_{i=0}^{N-1}(t\_{i+1}-t\_{i})^{3}\leq {\tilde {F}}-F\leq {\frac {L}{12}}\sum \_{i=0}^{N-1}(t\_{i+1}-t\_{i})^{3}}
이다. {\displaystyle f''}가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라

{\displaystyle f''(\xi )={\frac {{\tilde {F}}-F}{\sum \_{i=0}^{N-1}(t\_{i+1}-t\_{i})^{3}}}}
인 {\displaystyle \xi \in [t\_{0},t\_{N}]}가 존재한다.

특히, 만약 t\_{i}들이 산술 수열을 이룬다면,

{\displaystyle {\frac {1}{12}}\sum \_{i=0}^{N-1}(t\_{i+1}-t\_{i})^{3}={\frac {(t\_{N}-t\_{0})^{3}}{12}}N^{-2}}
가 된다. 즉, N\to \infty 일 때, 오차는 {\displaystyle N^{-2}}의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 {\displaystyle f''}가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 {\displaystyle {\tilde {F}}}는 F보다 더 작으며, 반대로 {\displaystyle f'''}가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 {\displaystyle {\tilde {F}}}는 F보다 더 크다.

참고 문헌
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1. ↑  Atkinson, Kendall E. 《An introduction to numerical analysis》 (영어) 2판. ISBN 0-47162489-6. OCLC 17551990.