양자장론에서 **c-정리**(c-定理, 영어: *c*-theorem)는 2차원 양자장론들의 공간 위에서, 양자장론의 자유도의 수를 나타내고, 재규격화군 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 *c*가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 재규격화군의 고정점에서, *c*는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하가 된다.

정의
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2차원 공간 위에서, 복소 좌표 z=x+iy를 사용하자. 2차원에서 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 세 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각

T\_{{zz}}(z,{\bar z})=T(z,{\bar z})
{\bar T}\_{{zz}}(z,{\bar z})={\bar T}(z,{\bar z})
T\_{{z{\bar z}}}(z,{\bar z})=\Theta (z,{\bar z})
로 적자. 등각 장론의 경우 후자는 0이 된다.

양자장론은 일련의 결합 상수 g^{i}\in {\mathcal G} 및 재규격화 에너지 눈금 \Lambda \in {\mathbb R}^{+}에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 {\mathcal L}(g,\Lambda ,z,{\bar z})에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.

* **유동 결합 상수** {\hat g}\colon {\mathbb R}^{+}\to {\mathcal G}가 존재하여, 모든 \alpha \in {\mathbb R}^{+}에 대하여

{\mathcal L}({\hat g}(\mu ),\Lambda )={\mathcal L}({\hat g}(\alpha \mu ),\alpha \Lambda )
가 성립한다.
* 유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, **베타 함수** \beta ^{i}\in \Gamma (T{\mathcal G})가 존재하여,

{\frac {d{\hat g}(\mu )}{d\ln \mu }}=\beta ^{i}({\hat g}(\mu ))
이어야 한다.
* 에너지-운동량 텐서의 대각합 \Theta (z,{\bar z})는 다음과 같다.

\Theta (g;z,{\bar z})={\frac d{d\ln \mu }}{\mathcal L}({\hat g}(g\_{0},\mu ),\Lambda ;z,{\bar z})=\beta ^{i}{\frac {\partial {\mathcal L}(g,\Lambda ;z,{\bar z})}{\partial g^{i}}}
***c*-정리**에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 c\colon {\mathcal G}\to [0,\infty )가 존재한다.

* (단조성) c({\hat g}(\mu ))는 \mu 에 대한 증가함수이다.
* (고정점에서의 등각 대칭) 재규격화군의 고정점 (\beta ^{i}의 영점) g\_{0}\in {\mathcal G}에서, 이론은 2차원 비라소로 대수를 대칭으로 가진다. (즉, 단순한 축척 대칭 말고도, 모든 2차원 등각 대칭에 대하여 불변이다.)
* (등각 중심 전하와의 일치) 재규격화군의 고정점 g\_{0}에서, c(g\_{0})는 이에 대응하는 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하 *c*와 일치한다.

*c*의 정의
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다음과 같은 값들을 정의하자.

C(g)=2z^{4}\langle T(z\_{0},{\bar z}\_{0})T(0)\rangle 
H(g)=z^{3}{\bar z}\left\langle T(z\_{0},{\bar z}\_{0})\Theta (0,0)\right\rangle 
G(g)=z^{2}{\bar z}^{2}\left\langle \Theta (z\_{0},{\bar z}\_{0})\Theta (0,0)\right\rangle 
이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 \Lambda \_{0}={\sqrt {z\_{0}{\bar z}\_{0}}}에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한,

G(g)=\beta ^{i}(g)\beta ^{j}(g)G\_{{ij}}(g)
라고 놓으면, G\_{{ij}}는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 ({\mathcal G},G\_{{ij}})는 리만 다양체를 이루며, 또한 항상 G(g)=\beta (g)^{2}\geq 0이 된다.

그렇다면 c\colon {\mathcal G}\to {\mathbb R}는 다음과 같다.

c(g;\Lambda \_{0})=C(g;\Lambda \_{0})+4H(g;\Lambda \_{0})-6G(g;\Lambda \_{0})
이 경우, 캘런-쥐만치크 방정식에 따라서

{\frac d{d\ln \mu }}c({\hat g}(\mu ))=12G(g)>0
이 된다.

역사
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존 카디는 중심 원소 *c*가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, 알렉산드르 자몰롯치코프가 1986년 〈2차원 장론의 재규격화군의 "비가역성"〉이라는 제목의 논문에서 c-정리를 증명하였다.:37–39:91

고차원에서의 c-정리
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*c*-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디는 *c*에 해당하는 값을 정의하였고,, 이는 *a*라고 불리게 되었다. 카디는 *a*가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 ***a*-정리**(영어: *a*-theorem)라고 한다. 4차원의 경우, *a*-정리는 2011년에 증명되었다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 *F*라는 값이 정의되었다. 이는 3차원에서 *c* 또는 *a*에 대응하는 값으로 추측된다.

2010년에는 홀로그래피 원리를 사용하여, 임의의 차원에서의 *c*-정리들이 제안되었다. 이는 3차원에서 이미 정의된 *F*와 일치한다는 사실이 증명되었다.

참고 문헌
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