ln *x*! 과 *x* ln *x* − *x*의 그래프. *x*가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 1로 수렴한다.

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수학에서 **스털링 근사**(영어: Stirling’s approximation) 또는 **스털링 공식**(영어: Stirling’s formula)은 큰 계승을 구하는 근사법이다.

정의
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매우 큰 n에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다.

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}
\ln n!\sim n(\ln n-1)+{\frac 12}\ln(2\pi n)
이는 구체적으로 다음을 말한다.

\lim \_{{n\to \infty }}{\frac 1{n!}}{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}=1
구체적으로, 모든 양의 정수 n에 대하여 다음과 같은 상계와 하계가 존재한다.

{\sqrt {2\pi }}n^{{n+1/2}}\exp(-n)\leq n!\leq e\ n^{{n+1/2}}\exp(-n)
### 스털링 급수

스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 **스털링 급수**(영어: Stirling series)를 정의할 수 있다.

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac 1{12n}}+{\frac 1{288n^{2}}}+\cdots \right)
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A1163), (OEIS의 수열 A1164)

1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …
로그로 쓰면 다음과 같다.

\ln(n!)\sim n\ln(n)-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac 1{12n}}-{\frac 1{360n^{3}}}+\cdots \cdots 
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A46968), (OEIS의 수열 A46969)

1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …
스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 점근 전개(asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 *n*에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 *n*에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.

역사
--

아브라암 드무아브르는 《해석학 잡론》(라틴어: Miscellanea Analytica, 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판에 추가된 부록에서 정규 분포를 다루기 위하여 계승을

n!\sim Bn^{{n+1/2}}e^{{-n}}
과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수 B를

\ln B\approx 1-1/12+1/360-1/1260+1/1680
로 근사하였다. 이는

B^{2}/2\approx 3.1435\cdots 
이다. 드무아브르의 근사는 《확률론》(영어: The Doctrine of Chances, 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판에서도 등장한다.

제임스 스털링은 상수 B가 B^{2}/2=\pi 임을 보였다. 이후 자크 비네(프랑스어: Jacques Binet)가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.

증명
--

### 개략적인 증명

먼저 \ln n!을 로그의 성질에 의해 전개하자.

\ln n!=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln n=\sum \_{{k=1}}^{{n}}\ln k
n이 크다면, 리만 합과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사할 수 있다.

\sum \_{{k=1}}^{{n}}\ln k\approx \int \_{1}^{n}\ln xdx
이제 적분을 계산하면 다음과 같다.

\int \_{1}^{n}\ln xdx=\left[x\ln x-x\right]\_{1}^{n}=(n\ln n-n)-(1\cdot 0-1)=n\ln n-n+1
을 얻고, n\gg 1이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.

\ln n!\approx n\ln n-n
### 더 엄밀한 증명

증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수를 사용하자. n이 자연수일 때, 다음이 성립한다.

n!=\Gamma (n+1)=\int \_{0}^{\infty }x^{n}e^{{-x}}dx
피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 n이 매우 클 경우, 중심 극한 정리에 의해 정규 분포로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면

x^{n}e^{{-x}}=e^{{n\ln x-x}}
가 된다. 이제 y\,\equiv \,x-n 이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,

{\begin{aligned}n\ln x-x&=n\ln(n+y)-n-y\\&=n\ln \left[n\left(1+{y \over n}\right)\right]-n-y\\&=n\ln n-n+n\ln \left(1+{y \over n}\right)-y\end{aligned}}
정규분포의 확률 밀도 함수의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서 y\ll n 이므로 가능 )

\ln \left(1+{y \over n}\right)\approx {y \over n}-{1 \over 2}\left({y \over n}\right)^{2}
이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.

x^{n}e^{{-x}}\approx n^{n}e^{{-n}}e^{{-y^{2} \over 2n}}
감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로, y가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 y에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.

n!=\int \_{0}^{\infty }x^{n}e^{{-x}}dx\approx n^{n}e^{{-n}}\int \_{{-\infty }}^{\infty }e^{{-y^{2} \over 2n}}dy=n^{n}e^{{-n}}{\sqrt {2\pi n}}

응용
--

스털링 근사는 통계역학에서 흔히 등장하는 매우 큰 계승을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서의 입자 수는 보통 아보가드로 수(≈6×10^23)에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.

참고 문헌
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1. ↑  de Moivre, Abraham (1733). 《Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variæ considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quæ in motibus corporum cœlestium occurrunt》 (라틴어) 2판. 런던: J. Tonson and J. Watts.
2. ↑  Pearson, Karl (1924년 12월). "Historical note on the origin of the normal curve of errors". 《Biometrika》 (영어) **16**: 402–404. doi:10.2307/2331714. JSTOR 2331714.
3. ↑  de Moivre, Abraham (1738). 《The Doctrine of Chances: or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play》 (영어) 2판. 런던: H. Woodfall.
4. ↑  Le Cam, L. (1986). "The central limit theorem around 1935". 《Statistical Science》 (영어) **1** (1): 78–96 [p. 81]. doi:10.1214/ss/1177013818. ISSN 0883-4237. The result, obtained using a formula originally proved by de Moivre but now called Sterling's formula, occurs in his ‘Doctrine of Chances’ of 1733.

* Abramowitz, M. and Stegun, I. *Handbook of Mathematical Functions*,  Archived 2008년 9월 26일 - 웨이백 머신
* Paris, R. B. and Kaminsky, D. *Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals*, Cambridge University Press, 2001
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N. *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3