호몰로지 대수학에서 **스펙트럼 열**(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

정의
--

어떤 아벨 범주 {\mathcal {C}}의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) (p,q)\in {\mathbb Z}^{2}을 가진다고 하자. 이 경우, **(코호몰로지) 스펙트럼 열** E\_{r}^{{p,q}}는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

* 어떤 정수 r\_{0}\in {\mathbb Z}
* 모든 r\geq r\_{0}에 대하여, {\mathcal {C}}의 대상 E\_{r}^{{p,q}}
* 공경계 사상 {\displaystyle d\_{r}^{p,q}\colon E\_{r}^{p,q}\to E\_{r}^{p+r,q+1-r}}

이들은 다음을 만족시킨다.

* 모든 정수 r\geq r\_{0}에 대하여, d\_{r}\circ d\_{r}=0이다.

{\displaystyle \cdots \to E\_{r}^{p-2r,q-2+2r}{\xrightarrow {d\_{r}}}E\_{r}^{p-r,q-1+r}{\xrightarrow {d\_{r}}}E\_{r}^{p,q}{\xrightarrow {d\_{r}}}E\_{r}^{p+r,q+1-r}{\xrightarrow {d\_{r}}}E\_{r}^{p+2r,q+2-2r}\to \cdots }
* {\displaystyle H(E\_{r}^{p,q})=\ker d\_{r}^{p,q}/\operatorname {im} d\_{r}^{p-r,q-1+r}\cong E\_{r+1}^{p,q}}이다.

**호몰로지 스펙트럼 열**의 경우 대신 E\_{{p,q}}^{r}로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

\partial \_{r}\colon E\_{{p,q}}^{r}\to E\_{{p-r,q-1+r}}^{r}
을 사용한다.

코호몰로지 스펙트럼 수열 E\_{2}^{{p,q}}의 형상화
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 r에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 r\_{0},r\_{0}+1,\dots 인 "책"을 이루며, 책의 r\geq r\_{0}번째 쪽에는 (p,q)에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

### 수렴과 퇴화

스펙트럼 열 E\_{r}^{{p,q}}이 주어졌다고 하자. 만약 각 (p,q)에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 {\displaystyle r\_{0}(p,q)}가 존재한다고 하자.

{\displaystyle d\_{r}^{p-r,q+r+1}=0\qquad \forall r\geq r\_{0}(p,q)}
{\displaystyle d\_{r}^{p,q}=0\qquad \forall r\geq r\_{0}(p,q)}
그렇다면, 주어진 (p,q)에 대하여 E\_{r}^{{p,q}}는 충분히 큰 r에 대하여 같아진다. 이를 {\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}}라고 하고, E\_{r}^{{p,q}}가 **여과 지표**(濾過指標, 영어: filtration index) p에 대하여 {\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}}로 **수렴**(收斂, 영어: converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.

{\displaystyle E\_{r}^{p,q}\Rightarrow \_{p}E\_{\infty }^{p,q}}
보통 {\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}}는 여과 {\displaystyle F^{\bullet }E\_{\infty }^{n}}가 갖추어져 있는 대상 {\displaystyle E\_{\infty }^{n}}으로부터 다음과 같이 얻어진다.

{\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E\_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E\_{\infty }^{p+q}}}}
이 경우 마찬가지로

{\displaystyle E\_{r}^{p,q}\Rightarrow \_{p}E\_{\infty }^{n}}
로 표기한다.

스펙트럼 열 E\_{r}^{{p,q}}이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 r\_{0}가 존재한다면, E\_{r}^{{p,q}}가 r\_{0}에서 **퇴화**(退化, 영어: degenerate)한다고 한다.

{\displaystyle d\_{r}^{p,q}=0\qquad \forall p,q\in \mathbb {Z} ,\;r\geq r\_{0}}
스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

### 제1 사분면 스펙트럼 열

**제1 사분면 스펙트럼 열**(第一四分面spectrum列, 영어: first-quadrant spectral sequence)는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.

* 만약 {\displaystyle p<0} 또는 {\displaystyle q<0}이라면 {\displaystyle E\_{r}^{p,q}=0}

즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, r번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.

제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우

{\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}=E\_{\max\{p+1,q+2\}}^{p,q}}
이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시

{\displaystyle E\_{p,q}^{\infty }=E\_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}}
이다.

#### 코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}\Rightarrow \_{p}E\_{\infty }^{p+q}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E\_{3}^{0,2}&E\_{3}^{1,2}&E\_{3}^{2,2}&E\_{3}^{3,2}&\cdots \\E\_{3}^{0,1}&E\_{3}^{1,1}&E\_{3}^{2,1}&E\_{3}^{3,1}&\cdots \\E\_{3}^{0,0}&E\_{3}^{1,0}&E\_{3}^{2,0}&E\_{3}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d\_{2}^{0,2}&\ker d\_{2}^{1,2}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{2,2}}{\operatorname {im} d\_{2}^{0,3}}}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{3,2}}{\operatorname {im} d\_{2}^{1,3}}}&\cdots \\\ker d\_{2}^{0,1}&\ker d\_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d\_{2}^{0,2}}}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{3,1}}{\operatorname {im} d\_{2}^{1,2}}}&\cdots \\E\_{2}^{0,0}&E\_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d\_{2}^{1,1}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E\_{4}^{0,2}&E\_{4}^{1,2}&E\_{4}^{2,2}&E\_{4}^{3,2}&\cdots \\E\_{4}^{0,1}&E\_{4}^{1,1}&E\_{4}^{2,1}&E\_{4}^{3,1}&\cdots \\E\_{4}^{0,0}&E\_{4}^{1,0}&E\_{4}^{2,0}&E\_{4}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d\_{3}^{0,2}&\ker d\_{3}^{1,2}&\ker d\_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d\_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d\_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d\_{2}^{0,1}&\ker d\_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d\_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d\_{3}^{0,3}&\cdots \\E\_{2}^{0,0}&E\_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d\_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.

{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E\_{\infty }^{0,2}&E\_{\infty }^{1,2}&E\_{\infty }^{2,2}&E\_{\infty }^{3,2}&\cdots \\E\_{\infty }^{0,1}&E\_{\infty }^{1,1}&E\_{\infty }^{2,1}&E\_{\infty }^{3,1}&\cdots \\E\_{\infty }^{0,0}&E\_{\infty }^{1,0}&E\_{\infty }^{2,0}&E\_{\infty }^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d\_{3}^{0,2}&\ker d\_{3}^{1,2}&\ker d\_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d\_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d\_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d\_{2}^{0,1}&\ker d\_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d\_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d\_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d\_{3}^{0,3}&\cdots \\E\_{2}^{0,0}&E\_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d\_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
수렴한 성분들이 {\displaystyle E\_{\infty }^{\bullet }}의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

{\displaystyle E\_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E\_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E\_{\infty }^{p+q}}}}
그렇다면 다음이 성립한다.

{\displaystyle E\_{2}^{1,0}\cong E\_{\infty }^{1,0}={\frac {F^{1}E\_{\infty }^{1}}{F^{2}E\_{\infty }^{1}}}=F^{1}E\_{\infty }^{1}}
{\displaystyle \ker d\_{2}^{0,1}\cong E\_{\infty }^{0,2}={\frac {F^{0}E\_{\infty }^{1}}{F^{1}E\_{\infty }^{1}}}={\frac {E\_{\infty }^{1}}{F^{1}E\_{\infty }^{1}}}}
{\displaystyle \operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}\cong E\_{\infty }^{2,0}={\frac {F^{2}E\_{\infty }^{2}}{F^{3}E\_{\infty }^{2}}}=F^{2}E\_{\infty }^{2}}
따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

{\displaystyle 0\to E\_{2}^{1,0}\cong F^{1}E\_{\infty }^{1}\hookrightarrow E\_{\infty }^{1}\to {\frac {E\_{\infty }^{1}}{F^{1}E\_{\infty }^{1}}}\cong \ker d\_{2}^{0,1}\hookrightarrow E\_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d\_{2}^{0,1}}}E\_{2}^{2,0}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}\cong F^{2}E\_{\infty }^{2}\hookrightarrow E\_{\infty }^{2}}
여기서 {\displaystyle \ker d\_{2}^{0,1}}와 {\displaystyle \operatorname {coker} d\_{2}^{0,1}}을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다.

{\displaystyle 0\to E\_{2}^{1,0}\to E\_{\infty }^{1}\to E\_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d\_{2}^{0,1}}}E\_{2}^{2,0}\to E\_{\infty }^{2}}
이를 **5항 완전열**(五項完全列, 영어: five-term exact sequence)이라고 한다.

#### 호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열

{\displaystyle E\_{p,q}^{2}\Rightarrow \_{p}E\_{p+q}^{\infty }}
이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 {\displaystyle E\_{\bullet }^{\infty }}의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

{\displaystyle E\_{p,q}^{\infty }={\frac {F\_{p}E\_{p+q}^{\infty }}{F\_{p-1}E\_{p+q}^{\infty }}}}
그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.

{\displaystyle E\_{1,0}^{2}\cong E\_{1,0}^{\infty }={\frac {F\_{1}E\_{1}^{\infty }}{F\_{0}E\_{1}^{\infty }}}={\frac {E\_{1}^{\infty }}{F\_{0}E\_{1}^{\infty }}}}
{\displaystyle \ker \partial \_{2,0}^{2}\cong E\_{2,0}^{\infty }={\frac {F\_{2}E\_{2}^{\infty }}{F\_{1}E\_{2}^{\infty }}}={\frac {E\_{2}^{\infty }}{F\_{1}E\_{2}^{\infty }}}}
{\displaystyle \operatorname {coker} \partial \_{2,0}^{2}\cong E\_{0,1}^{\infty }={\frac {F\_{0}E\_{\infty }^{2}}{F\_{-1}E\_{\infty }^{2}}}=F\_{0}E\_{\infty }^{2}}
이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

{\displaystyle E\_{2}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E\_{2}^{\infty }}{F\_{1}E\_{2}^{\infty }}}\cong \ker \partial \_{2,0}^{2}\hookrightarrow E\_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial \_{2,0}^{2}}}E\_{0,1}^{2}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} \partial \_{2,0}^{2}\cong F\_{0}E\_{1}^{\infty }\hookrightarrow E\_{1}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E\_{1}^{\infty }}{F\_{0}E\_{1}^{\infty }}}\cong E\_{1,0}^{2}\to 0}
여기서 {\displaystyle \ker \partial \_{2,0}^{2}}와 {\displaystyle \operatorname {coker} \partial \_{2,0}^{2}}을 생략하면, 다음과 같은 **5항 완전열**을 얻는다.

{\displaystyle E\_{2}^{\infty }\to E\_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial \_{2,0}^{2}}}E\_{0,1}^{2}\to E\_{1}^{\infty }\to E\_{1,0}^{2}\to 0}

구성
--

스펙트럼 열은 보통 **완전쌍**이나 사슬 복합체의 **여과**로부터 발생한다.

### 완전쌍

어떤 아벨 범주 속에서의 **완전쌍**(完全雙, 영어: exact couple) (A,E,f,g,h)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 두 개의 대상 A, E
* 사상 A{\xrightarrow f}A{\xrightarrow g}E{\xrightarrow h}A

이들은

\operatorname {im}f=\ker g
\operatorname {im}g=\ker h
\operatorname {im}h=\ker f
를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.

{\begin{matrix}A\qquad &{\xrightarrow f}&\qquad A\\{\scriptstyle h}\nwarrow &&\swarrow \scriptstyle g\\&E\end{matrix}}
완전쌍 (A,E,f,g,h)의 **유도 완전쌍**(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) (A',E',f',g',h')은 다음과 같은 완전쌍이다.

* d=g\circ h
* A'=\operatorname {im}f
* E'=\ker d/\operatorname {im}d
* f'=f|\_{A}\colon A'\to A'
* g'\colon A'\to E'는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) g'\colon a'\mapsto g(f^{{-1}}(a'))이다. 이 경우, f^{{-1}}(a')의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
* h'\colon E'\to A'는 h\colon C\to A에 의하여 유도된다. 즉, h\colon [e]\mapsto h(e)이다. 이 경우, g(h(e))=0이므로 항상 g(h(e))=f(a)인 a\in A가 존재하며, 따라서 h(e)\in f(A)=A'이다.

이를 반복하여, n차 유도 완전쌍 (A^{{(n)}},E^{{(n)}},f^{{(n)}},g^{{(n)}},h^{{(n)}})을 정의할 수 있다. 그렇다면,

E^{{(0)}}{\stackrel d\Rightarrow }E^{{(1)}}{\stackrel {d^{{(1)}}}\Rightarrow }E^{{(2)}}\Rightarrow \cdots 
는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, A 및 C는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

### 여과 복합체의 스펙트럼 열

사슬 복합체 (C\_{\bullet },\partial \_{\bullet })에 증가하는 여과 F\_{\bullet }(C\_{\bullet })가 주어졌다고 하자. 즉,

F\_{p}C\_{\bullet }\subseteq F\_{{p+1}}C\_{\bullet }
라고 하자. 또한, 경계 \partial 가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

\partial (F\_{p}C\_{n})\subseteq \partial (F\_{p}C\_{{n+1}})
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H\_{n+1}(F\_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H\_{n+1}(F\_{p}C^{\bullet }/F\_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H\_{n}(F\_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H\_{n}(F\_{p-1}C^{\bullet }/F\_{p-2}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H\_{n+1}(F\_{p+1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H\_{n+1}(F\_{p+1}C^{\bullet }/F\_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H\_{n}(F\_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H\_{n}(F\_{p}C^{\bullet }/F\_{p-1}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
여기에

A=\bigoplus \_{{p,q}}H\_{q}(F\_{p}C^{\bullet })
E=\bigoplus \_{{p,q}}H\_{q}(F\_{p}C^{\bullet }/F\_{{p-1}}C^{\bullet })
를 정의한다면,

* f\colon A\to A
* g\colon A\to E
* h\colon E\to A

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

예
-

X가 CW 복합체이며, X\_{p}가 그 p차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H\_{n+1}(X\_{p})&{\xrightarrow {g}}&H\_{n+1}(X\_{p},X\_{p-1})&{\xrightarrow {h}}&H\_{n}(X\_{p-1})&{\xrightarrow {g}}&H\_{n}(X\_{p-1},X\_{p-2})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H\_{n+1}(X\_{p+1})&{\xrightarrow {g}}&H\_{n+1}(X\_{p+1},X\_{p})&{\xrightarrow {h}}&H\_{n}(X\_{p})&{\xrightarrow {g}}&H\_{n}(X\_{p},X\_{p-1})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
이에 따라,

A=\bigoplus \_{{p,q}}H\_{q}(X\_{p})
E=\bigoplus \_{{p,q}}H\_{q}(X\_{p},X\_{{p-1}})
로 놓으면,

* f\colon A\to A
* g\colon A\to E
* h\colon E\to A

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 E\_{{p,q}}^{2}에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

역사
--

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. 이는 오늘날 **르레 스펙트럼 열**로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고, 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다. 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스[\*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터[\*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.

1952년에 윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다. 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다.

곧 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.

참고 문헌
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2. ↑  Leray, Jean (1946). "L’anneau d’homologie d’une représentation". 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) **222**: 1366–1368. Zbl 0060.40801.
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