함수해석학에서 **유계 작용소**(有界作用素, 영어: bounded operator)는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.

정의
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위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K-선형 변환 T\colon V\to W에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 선형 변환 T를 **유계 작용소**라고 한다.:24, §1.31

* 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다.

즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq V}이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.

* 임의의 0의 근방 {\displaystyle U\ni 0}에 대하여, {\displaystyle B\subseteq \alpha U}인 {\displaystyle \alpha \in K}가 존재한다.

V와 W 사이의 유계 작용소들의 집합은 {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}라고 한다. 이는 자연스럽게 K-벡터 공간을 이룬다.

### 균등 공간 구조

위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W이 주어졌을 때,

* V 위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 {\displaystyle \operatorname {Born} (V)}가 존재한다.
* W 위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다.

이에 따라, 함수 집합 {\displaystyle W^{V}} 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}}에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}는 K-위상 벡터 공간을 이룬다.

만약 {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며 V와 W가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.

### 작용소 위상

유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 **강한·약한 작용소 위상**을 부여할 수도 있다.

함수 집합 {\displaystyle W^{V}}에 곱위상을 부여하면, {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}}이므로 {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 **강한 작용소 위상**(強한作用素位相, 영어: strong operator topology)이라고 한다.

마찬가지로, W에 약한 위상을 부여한 것을 {\displaystyle W^{\text{weak}}}로 놓고, 함수 집합 {\displaystyle (W^{\text{weak}})^{V}}에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq (W^{\text{weak}})^{V}}을 **약한 작용소 위상**(弱한作用素位相, 영어: weak operator topology)이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 V의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

성질
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### 연속성과의 관계

위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W 사이의 모든 연속 K-선형 변환은 유계 작용소이다.:24, Theorem 1.32:III.4, Proposition III.1.4

**증명:**

연속 K-선형 변환 T\colon V\to W가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 {\displaystyle B\subseteq V} 및 임의의 {\displaystyle 0\_{W}}의 근방 {\displaystyle 0\in U\subseteq W}가 주어졌다고 하자.

그렇다면, {\displaystyle T^{-1}(U)}는 {\displaystyle 0\_{V}}의 근방이며, B가 유계 집합이므로 {\displaystyle \alpha T^{-1}(U)\supseteq B}가 되는 스칼라 {\displaystyle \alpha \in K}를 찾을 수 있다. 그렇다면 {\displaystyle \alpha U\supseteq T(B)}이다.

따라서 {\displaystyle T(B)}는 유계 집합이다.

만약 {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며, V와 W가 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.:24, Theorem 1.32 (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.:253, Example 8.8.8)

### 작용소 노름

 이 부분의 본문은 작용소 노름입니다.
만약 {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}이며, V와 W가 {\displaystyle \mathbb {K} }-노름 공간일 경우, {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}는 **작용소 노름**을 통해 노름 공간을 이룬다.:92–93, Theorem 4.1 만약 W가 바나흐 공간이라면, {\displaystyle \operatorname {B} (V,W)} 역시 바나흐 공간을 이룬다.:92–93, Theorem 4.1

### 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계

자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 균등 수렴 위상 | ⊃ | 강한 작용소 위상 |
| ∪ |  | ∪ |
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 |  | 약한 작용소 위상 |

여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.

실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 균등 수렴 위상 | ⊃ | 강한 작용소 위상 |
| ∪ |  | ∪ |
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 | ⊃ | 약한 작용소 위상 |

**증명:**

두 노름 공간 V,W 사이의 작용소열 {\displaystyle T\_{0},T\_{1},\dotsc \in \operatorname {B} (V,W)} 및 {\displaystyle T\_{\infty }\in \operatorname {B} (V,W)}가 주어졌다고 하자. 만약 T\_{i}가 {\displaystyle T\_{\infty }}로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

{\displaystyle \forall \phi \in \operatorname {B} (V,W)'\colon \phi (T\_{i})\to \phi (T\_{\infty })}
약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

{\displaystyle \forall v\in V\forall \chi \in W'\colon \chi (T\_{i}v)\to \chi (T\_{\infty }v)}
즉, 임의의 {\displaystyle (v,\chi )\in V\oplus W'}에 대하여,

{\displaystyle \phi \_{v,\chi }\colon \operatorname {B} (V,W)\to K}
{\displaystyle \phi \_{v,\chi }\colon T\mapsto \chi (Tv)}
를 정의하면, {\displaystyle \phi \_{v,\chi }\in \operatorname {B} (V,W)'}인 것을, 즉 ({\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는

{\displaystyle |\chi (Tv)|\leq \|\chi \|\|Tv\|\leq \|\chi \|\|T\|\|v\|\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)}
이므로

{\displaystyle \|\phi \_{v,\chi }\|\leq \|\chi \|\|v\|<\infty }
이다.

예
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두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

르베그 실수열 공간 \ell ^{2}({\mathbb R}) 위의 연산자

L\colon (x\_{0},x\_{1},x\_{2},\dots )\mapsto (0,x\_{0},x\_{1},x\_{2},\dots )
는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

{\displaystyle \Delta \colon \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
는 유계 작용소이다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}}는 하디 공간이며, L^{2}는 *L*p 공간의 하나이다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. ↑  Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson.
3. ↑  Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6.

* Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) **1**. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.
* Takesaki, M. 《Theory of Operator Algebras I》 (영어). ISBN 3-540-42248-X.