닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.
기하학에서 **닮음**(영어: similarity)은 유클리드 공간의 모든 각을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 **닮음**이라고 한다. 닮음 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이가 비례하는 것이다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 원, 두 직각이등변삼각형, 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 정다각형, 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 부채꼴, 두 구, 면의 개수가 같은 두 정다면체 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

정의
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양의 실수 {\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{+}}가 주어졌다고 하자.

**비 k의 닮음**(영어: similarity with ratio k)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 {\displaystyle S\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}이다.

* 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, {\displaystyle \Vert S(\mathbf {x} )-S(\mathbf {y} )\Vert =k\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.:171

### 중심닮음

중심닮음을 취한 오각형
점 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} 및 실수 k\in\mathbb R가 주어졌다고 하자.

**중심 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}} 및 비 k의 중심닮음(호모세티)**(영어: central similarity (homothety) with center {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}} and ratio k)은 다음과 같은 함수이다.

{\displaystyle H\_{\mathbf {x} \_{0},k}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
{\displaystyle H\_{\mathbf {x} \_{0},k}\colon \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} \_{0}+k(\mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0})\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}

성질
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아핀 변환 {\displaystyle S\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:172

* S는 닮음이다.
* (각의 보존) 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle {\frac {S(\mathbf {x} )\cdot S(\mathbf {y} )}{\Vert S(\mathbf {x} )\Vert \Vert S(\mathbf {y} )\Vert }}={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\Vert \mathbf {x} \Vert \Vert \mathbf {y} \Vert }}}
* (직각의 보존) 임의의 {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}에 대하여, {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =0}라면, {\displaystyle S(\mathbf {x} )\cdot S(\mathbf {y} )=0}

비 k의 닮음은 d차원 도형의 초부피를 {\displaystyle k^{d}}배 확대(축소)한다.

비가 k인 중심닮음은 비가 |k|인 닮음이다. 이는 k>0일 경우 방향을 보존하며, k<0일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 k의 닮음이 고정점 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}}을 가진다면, 이는 중심 {\displaystyle \mathbf {x} \_{0}} 및 비 {\displaystyle \pm k}의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 k일 경우 {\displaystyle k\_{n\times n}}이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다.:171

### 삼각형의 닮음

두 삼각형 ABC와 {\displaystyle A'B'C'}의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 **S를 옆으로 눕힌 기호(∽)**를 사용한다. {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A'B'C'}와 같이 표기한다.

두 삼각형 ABC 및 {\displaystyle A'B'C'}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A'B'C'}. 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
* {\displaystyle \textstyle {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {AC}{A'C'}}={\frac {BC}{B'C'}}}. 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 **변변변 닮음**(영어: SSS similarity)이라고 한다.
* {\displaystyle \textstyle {\frac {AC}{A'C'}}={\frac {BC}{B'C'}}}이며 {\displaystyle \angle C=\angle C'}. 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 **변각변 닮음**(영어: SAS similarity)이라고 한다.
* {\displaystyle \angle A=\angle A'}이며 {\displaystyle \angle B=\angle B'}. 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 **각각 닮음**(영어: AA similarity)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 k라면, 넓이의 비는 k^{2}이다.

예
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모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면 {\mathbb R}^{2} 위에서, 원점 (0,0)을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}\qquad \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}