수학에서 **비가환 기하학**(非可換幾何學, 영어: noncommutative geometry, NCG)는 비가환 C\* 대수를 마치 어떤 기하학적 구조 위에 존재하는 함수대수처럼 간주하여 기하학적으로 다루는 분야다.

개론
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**겔판트 표현 정리**(영어: Gelfand representation theorem)에 따라, 모든 가환 C\* 대수는 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 즉, (국소 콤팩트 하우스도르프) 위상 공간을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상 공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다. 물론, 이러한 함수대수들은 모두 가환대수다.

이 위상 공간/C\* 대수 이중성을 비가환 C\* 대수에 대하여 확장하려 한다고 하자. 즉, 비가환 C\* 대수를 어떤 (실재하지 않는 가상의) "위상 공간" 위에 존재하는 함수대수로 간주하여, 기하학적인 기법으로 연구할 수 있다. 즉, 비가환 C\* 대수는 "비가환 위상 공간" 위의 함수대수다. 예를 들어, 비가환 원환면이라고 불리는 비가환 C\* 대수는 마치 원환면 위의 함수대수와 여러 가지 유사한 성질을 지녀, "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 퍼지 구는 일반 구를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

리만 다양체의 구조는 함수 대수에 스피너에 대한 미분 연산자 (**디랙 연산자**)를 추가한, 소위 **스펙트럼 삼조**로 나타내어진다. 이는 알랭 콘이 증명하였다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중은 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

개념 및 도구
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비가환 공간 위에는 가환공간과 유사하게 호흐실트 호몰로지(Hochschild homology)나 순환 호몰로지(cyclic homology)와 같은 호몰로지 및 연산자 K이론을 통한 K이론을 정의할 수 있다. 또한, 비가환 대수기하학도 존재한다.

물리학에서의 비가환성
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비가환 기하학은 양자장론 및 끈 이론에서 널리 쓰인다.

### 비가환 기하학과 쌍극자

공간 좌표의 비가환성은 대략 균일한 자기장 속에 존재하는 전기 쌍극자처럼 생각할 수 있다.

xy 평면에서, 균일한 자기장 B{\hat {{\mathbf z}}}를 생각하자. 이 속에, 전하가 \pm q이고 질량이 m인 두 입자가 존재하고, 이들 사이에 조화 진동자 퍼텐셜

V(\Vert {\mathbf x}\_{1}-{\mathbf x}\_{2}\Vert )={\frac 12}k({\mathbf x}\_{1}-{\mathbf x}\_{2})^{2}
이 존재하여 이 두 입자가 전기 쌍극자로 묶여 있다고 하자. 이 경우, 라그랑지언 L은 다음과 같다.

L={\frac 12}m({\dot {{\mathbf x}}}\_{1}^{2}+{\dot {{\mathbf x}}}\_{2}^{2})+{\frac 12}qB\epsilon \_{{ij}}({\dot x}\_{1}^{i}x\_{1}-{\dot x}\_{2}^{i}x\_{2}^{j})-{\frac 12}k({\mathbf x}\_{1}-{\mathbf x}\_{2})^{2}
이제, 쌍극자 질량 중심의 위치

{\mathbf X}=({\mathbf x}\_{1}+{\mathbf x}\_{2})/2
와 쌍극자의 크기

{\boldsymbol {\Delta }}=({\mathbf x}\_{1}-{\mathbf x}\_{2})/2
를 정의하자. 이 변수로 쓰면, 라그랑지언은 다음과 같다.

L=2m{\dot {{\mathbf X}}}\cdot {\dot {{\boldsymbol {\Delta }}}}+qB\epsilon \_{{ij}}{\dot X}^{i}\Delta ^{j}-2k\Delta ^{2}
라그랑지언으로부터, 쌍극자 질량 중심 {\mathbf X}에 대응하는 일반화 운동량 {\mathbf P}는 다음과 같다.

P\_{i}={\frac {\delta L}{\delta {\dot X}^{i}}}=2m{\dot \Delta }^{i}+qB\epsilon \_{{ij}}\Delta ^{j}
따라서, 이 계를 양자화하려면 다음과 같은 정준 교환 관계

[X^{i},P\_{j}]=i\hbar \delta \_{j}^{i}
를 가한다.

이제, 입자들의 질량 m이 매우 작아 무시할 수 있다고 하자. 그렇다면

P\_{i}=qB\epsilon \_{{ij}}\Delta ^{j}
이다. 즉, 쌍극자의 크기는 그 운동량과 비례한다. 따라서

[X^{i},\Delta ^{j}]=i\hbar \epsilon ^{{ij}}/(qB)
이다. 다시 원래 변수 {\mathbf x}\_{1}={\mathbf X}+{\boldsymbol {\Delta }}, {\mathbf x}\_{2}={\mathbf X}-{\boldsymbol {\Delta }}로 바꾸면

[x\_{1}^{i},x\_{2}^{j}]=-2i\hbar \epsilon ^{{ij}}/qB
기 된다. 따라서, 자기 쌍극자의 양끝의 좌표가 가환하지 않는 것을 알 수 있다.

이에 따라서, 비가환 평면에 존재하는, 운동량 {\displaystyle \mathbf p}를 가진 평면파 \exp(i{\mathbf p}\cdot {\mathbf x})는 크기가 그 운동량에 비례하는 쌍극자로 간주할 수 있다.:§II.B.2

참고 문헌
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