대수적 위상수학에서 **에일렌베르크-매클레인 공간**(-空間, 영어: Eilenberg–MacLane space)은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

정의
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군 G 및 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여, **에일렌베르크-매클레인 공간** K(G,n)은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

\pi \_{k}(K(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\1&k\neq n\end{cases}}
만약 n>1이라면, G는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 G에 대하여, 고리 공간 함자 L을 통해

{\displaystyle \cdots {\xrightarrow {L}}K(G,2){\xrightarrow {L}}K(G,1){\xrightarrow {K}}(G,0)}
을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, **에일린베르크-매클레인 스펙트럼**이라고 한다. 이는 G 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

구성
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임의의 군 G 및 양의 정수 n이 주어졌으며, 만약 n>1이라면 G가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면
K(G,n)는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

### CW 복합체를 통한 구성

K(G,n)을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, n차원 초구들의 쐐기합의 n차 호모토피 군은 n=1일 경우 자유군이고, n>1일 경우 자유 아벨 군이다.

{\displaystyle \pi \_{1}\left(\bigvee \_{I}\mathbb {S} ^{1}\right)\cong \langle I\rangle }
{\displaystyle \pi \_{n}\left(\bigvee \_{I}\mathbb {S} ^{n}\right)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus I}}
군 G의 표시

{\displaystyle G\cong \langle I|(R\_{j})\_{j\in J}\rangle \qquad (R\_{j}\in F(I)}
를 임의로 고르자. 여기서 {\displaystyle F(I)}는 n=1일 경우 집합 I 위의 자유군이며 n>1일 경우 집합 I 위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, n차원 초구들의 쐐기합

{\displaystyle X\_{n}=\bigvee \_{i\in I}\mathbb {S} ^{n}}
을 생각하자. 각 j\in J에 대하여, {\displaystyle R\_{j}\in F(I)\cong \pi \_{n}(X\_{1})}에 대응하는 사상

{\displaystyle f\_{j}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \pi \_{n}(X\_{1})}
을 고르자. 이 사상을 따라, n+1차원 세포들을 붙여 CW 복합체 {\displaystyle X\_{n+1}}을 만들 수 있다. 그렇다면

{\displaystyle \pi \_{i}(X\_{n+1})=0\qquad \forall i<n}
{\displaystyle \pi \_{n}(X\_{n+1})\cong G}
이다. 그러나 {\displaystyle X\_{n+1}}은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.

* {\displaystyle \pi \_{n+1}(X\_{n+1})}의 생성원들을 골라, 그 수만큼 {\displaystyle n+2}차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 {\displaystyle X\_{n+2}}라고 하자.
* {\displaystyle \pi \_{n+2}(X\_{n+2})}의 생성원들을 골라, 그 수만큼 {\displaystyle n+3}차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 {\displaystyle X\_{n+3}}라고 하자.
* ⋮

이와 같이 계속하여 모든 n에 대하여 X\_{n}을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

{\displaystyle X\_{\infty }=\varinjlim \_{n\to \infty }X\_{n}}
을 취하자. 그렇다면 X\_{n}은 K(G,n)을 이룬다.

### 분류 공간을 통한 구성

군 G에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {B} G}는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간

{\displaystyle \operatorname {B} G\simeq K(G,1)}
을 이룬다. 이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, {\displaystyle \operatorname {E} G}가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.

* {\displaystyle \operatorname {E} G}의 n차원 단체의 집합은 {\displaystyle G^{n+1}}이다.
* {\displaystyle [g\_{0},\dots ,g\_{n}]\in G^{n+1}}은 각 i에 대하여 면 {\displaystyle [g\_{0},\dots ,{\hat {g}}\_{i},\dots ,g\_{n}]\in G^{n}}과 붙여져 있다.

이는 축약 가능 공간이다. {\displaystyle \operatorname {E} G} 위에는 다음과 같은 G의 작용이 존재한다.

{\displaystyle g\colon \operatorname {E} G\to \operatorname {E} G}
{\displaystyle g\colon (g\_{0},\dots ,g\_{n})\mapsto (gg\_{0},\dots ,gg\_{n})}
이에 따라 몫공간 {\displaystyle \operatorname {B} G=\operatorname {E} G/G}를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 {\displaystyle \pi \_{1}(\operatorname {B} G)\cong G}이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

성질
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다음이 성립한다.

K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)
K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)
여기서 \Omega X는 X 위의 고리 공간(영어: loop space)이다.

에크먼-힐튼 쌍대성(영어: Eckman–Hilton duality) 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X;G)\cong \hom \_{\operatorname {hTop} \_{\bullet }}\left(X,K(G,n)\right)}
특히,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom \_{\operatorname {hTop} \_{\bullet }}\left(X,\mathbb {S} ^{1}\right)}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom \_{\operatorname {hTop} \_{\bullet }}\left(X,\mathbb {CP} ^{\infty }\right)}
이다.

* 첫 등식은 {\displaystyle \operatorname {S} ^{1}}이 무한 순환군의 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {B} \mathbb {Z} }이므로, \mathbb {Z} -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {S} ^{1}}에 대응하는 코호몰로지류는 \mathbb {S} ^{1}의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
* 둘째 등식은 {\mathbb {CP}}^{1}이 원군의 분류 공간 {\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {U} (1)}이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {CP} ^{\infty }}에 대응하는 코호몰로지류는 \mathbb {CP} ^{\infty }의 2차 코호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })\cong \mathbb {Z} }의 생성원의 당김이다.

예
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대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.

|  |  |
| --- | --- |
| K({\mathbb Z},1) | \mathbb {S} ^{1} |
| K({\mathbb Z}^{{\oplus n}},1) | 타원면 \mathbb {T} ^{n} |
| K(F\_{k},1) (k차 자유군) | 원의 쐐기합 \bigwedge \_{{i=1}}^{k}{\mathbb S}^{1} |
| K({\mathbb Z}/2,1) | 무한 차원 실수 사영 공간 {\mathbb P}^{\infty }({\mathbb R}) |
| K({\mathbb Z}/m,1) | 무한 차원 렌즈 공간 {\mathbb S}^{\infty }/({\mathbb Z}/m) |
| K(\pi \_{1}(\Sigma \_{g}),1) | \Sigma \_{g} (종수 g 콤팩트 가향 곡면) |
| K(\pi \_{1}(S^{3}\setminus K),1) | S^{3}\setminus K (K는 매듭) |
| K({\mathbb Z},2) | 무한 차원 복소수 사영 공간 {\mathbb P}^{\infty }({\mathbb C}) |
| {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)} | 초구 위의 무한 차원 짜임새 공간 {\displaystyle \operatorname {Conf} ^{\infty }(\mathbb {S} ^{n})} |

유한 차수 원소를 갖는 군 G에 대하여, {\displaystyle K(G,1)}은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

역사
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사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Eilenberg, S.; MacLane, S. (1945). "Relations between homology and homotopy groups of spaces". 《Annals of Mathematics》 (영어) **46**: 480–509. ISSN 0003-486X.
2. ↑  Eilenberg, S.; MacLane, S. (1950). "Relations between homology and homotopy groups of spaces II". 《Annals of Mathematics》 (영어) **51**: 514–533. ISSN 0003-486X.