가환대수학과 대수적 수론에서 **분수 아이디얼**(分數ideal, 영어: fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.

정의
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### 분수 아이디얼

가환환 R가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 \operatorname {Frac}(R)라고 하자. R의 **분수 아이디얼** {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \operatorname {Frac} R}는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

* {\mathfrak I}는 R에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
	+ I는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 {\displaystyle a,b\in {\mathfrak {I}}}에 대하여, {\displaystyle a+b\in {\mathfrak {I}}}이다.
	+ 임의의 r\in R 및 {\displaystyle a\in {\mathfrak {I}}}에 대하여, {\displaystyle ra\in {\mathfrak {I}}}이다.
* {\displaystyle r{\mathfrak {I}}\subseteq R}인 r\in R가 존재한다.

두 분수 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}}의 **곱**은 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}=\left\{a\_{1}b\_{1}+\cdots +a\_{n}b\_{n}\colon a\_{1},\dots ,a\_{n}\in {\mathfrak {I}},\;b\_{1},b\_{2},\dots ,b\_{n}\in {\mathfrak {J}},\;n\in \mathbb {N} \right\}}
이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, R는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 ({\displaystyle {\mathfrak {I}}R=R{\mathfrak {I}}={\mathfrak {I}}}). 따라서, 정역 R의 분수 아이디얼들의 집합 {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)}은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 **가역 분수 아이디얼**(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }\subsetneq \operatorname {FracIdeal} (R)}을 이룬다.

두 분수 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}\subseteq \operatorname {Frac} R}의 **합**

{\displaystyle {\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}}=\{a+b\colon a\in {\mathfrak {I}},b\in {\mathfrak {J}}\}}
역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 r,s\in R에 대하여 {\displaystyle r{\mathfrak {I}},s{\mathfrak {J}}\subseteq R}라면 {\displaystyle rs({\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}})\subseteq R}이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 \{0\}은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, {\displaystyle \operatorname {FracIdeal} (R)}는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 {\displaystyle ({\mathfrak {I}}\_{i})\_{i\in I}}의 교집합

{\displaystyle \bigcap \_{i\in I}{\mathfrak {I}}}
역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (\operatorname {Frac} R 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

### 주 분수 아이디얼

다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

{\displaystyle (\operatorname {Frac} R,\times )\to (\operatorname {FracIdeal} (R),\times )}
{\displaystyle a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}}
{\displaystyle (Ra)(Rb)=R(ab)\qquad \forall a,b\in R}
그러나 일반적으로 {\displaystyle Ra+Rb\neq R(a+b)}이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

R의 **주 분수 아이디얼**(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합 {\displaystyle \operatorname {PrFracIdeal} (R)\subseteq \operatorname {FracIdeal} (R)}은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 Ra의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

{\displaystyle Ra=Rb\iff \exists u\in R^{\times }\colon a=ub}
즉, 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }\cong {\frac {\operatorname {Frac} (R)^{\times }}{R^{\times }}}}
### 인자 아이디얼

\operatorname {Frac} R의 R-부분 가군 {\mathfrak I}에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

{\displaystyle (R:{\mathfrak {I}})=\{a\in \operatorname {Frac} R\colon a{\mathfrak {I}}\subseteq R\}}
즉, {\displaystyle (R:(R:{\mathfrak {I}}))}는 {\mathfrak I}를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 {\mathfrak I}가

{\displaystyle {\mathfrak {I}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}))}
를 만족시킨다면, {\mathfrak I}를 **인자 아이디얼**(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을 {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)}로 표기하자.

{\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)} 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\mathfrak {I}}\cdot {\mathfrak {J}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}))}
이 곱에 대하여 {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)}는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 I의 역원은 (R:I)이다.

{\displaystyle a\in (\operatorname {Frac} R)^{\times }}에 대하여 {\displaystyle (R:Ra)=Ra^{-1}}이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 {\displaystyle (R:{\mathfrak {I}})={\mathfrak {I}}^{-1}}이다.

성질
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임의의 정역 R에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }&\subseteq &\operatorname {DivIdeal} (R)&\subsetneq &\operatorname {FracIdeal} (R)\\&\cup &&&&\cup \\\operatorname {PrFracIdeal} (R)\cap \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }=&\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }&&\subsetneq &&\operatorname {PrFracIdeal} (R)\end{matrix}}}
### 크룰 정역

크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 R에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, {\displaystyle \operatorname {DivIdeal} (R)}를 생성한다.

이 경우, 몫군

{\displaystyle {\frac {\operatorname {DivIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }}}=\operatorname {Div} (R)}
을 R의 **인자 유군**이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

### 데데킨트 정역

데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* R는 데데킨트 정역이다.
* R의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.

이 경우, 몫군

{\displaystyle {\frac {\operatorname {FracIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)}}=\operatorname {Cl} (R)}
을 R의 **아이디얼 유군**이라고 한다.

두 데데킨트 정역 {\displaystyle R\subseteq S}이 주어졌으며, S가 R의 (분수체 {\displaystyle \operatorname {Frac} S} 속의) 정수적 폐포라고 한다면, **아이디얼 노름**이라는 곱셈 모노이드 준동형

{\displaystyle \operatorname {N} \_{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} S\to \operatorname {FracIdeal} R}
을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

### 유일 인수 분해 정역

유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* R는 유일 인수 분해 정역이다.
* R는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.

### 주 아이디얼 정역과 체

주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
체에서는 아이디얼이 (0)과 (1)밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

예
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정수환 \mathbb {Z} 의 경우, 임의의 유리수 p/q\in {\mathbb Q}에 대하여

(p/q)={\frac pq}{\mathbb Z}=\{np/q\colon n\in {\mathbb Z}\}
는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 p/q\in {\mathbb Q}에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약 p/q\neq 0이라면

({\mathbb Z}:(p/q))={\frac qp}{\mathbb Z}=(q/p)
이며,

({\mathbb Z}:(q/p))={\frac 1n}{\mathbb Z}
이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 p/q=0이라면,

({\mathbb Z}:(0))={\mathbb Q}
({\mathbb Z}:{\mathbb Q})=(0)
이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.