이론물리학에서 **이중 장론**(二重場論, 영어: double field theory, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, d차원 시공간을 묘사하기 위하여 2d차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

전개
--

### 시공간

일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

* D차원 실수 벡터 공간 V 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 {\displaystyle \eta \colon V\to \mathbb {R} }
* 두 리 군 {\displaystyle H\leq G\leq \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.
{\displaystyle {\begin{matrix}H&\to &G\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {O} (V,\eta )&\to &\operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )\end{matrix}}}
* D차원 매끄러운 다양체 M 및 그 접다발의 구조군 G. 즉, 어떤 G-주다발 (틀다발) {\displaystyle F\_{G}} 및 벡터 다발의 동형 사상 {\displaystyle F\_{G}\times \_{G}\mathbb {R} ^{N}\to \mathrm {T} M}이 주어져 있다.
* 접다발의, H로의 구조 축소. 즉, H-주다발 {\displaystyle F\_{H}} 및 벡터 다발의 동형 사상 {\displaystyle E\colon F\_{H}\times \_{H}V\to \mathrm {T} M}.

M의 접다발 지표를 {\displaystyle M,N,\dotsc }, V의 지표를 {\displaystyle A,B,\dotsc }로 표기하면, E의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {T} \_{x}M\to V}
{\displaystyle X^{M}\mapsto E\_{M}^{A}X^{M}}
이제, E는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 G\_{{MN}}를 정의한다. (그 부호수는 \eta 의 부호수와 같다.)

{\displaystyle G\_{MN}=\eta \_{AB}E\_{M}^{A}E\_{N}^{B}}
이제, E에 다음과 같은 H-게이지 대칭을 부여하자.

{\displaystyle E^{A}{}\_{M}\mapsto T^{A}{}\_{B}E\_{M}^{B}\qquad (T\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))}
그렇다면, E는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

{\displaystyle {\frac {G}{H}}}
의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 G\_{{MN}}는 ({\displaystyle H\leq \operatorname {O} (V,Q)}이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

| 이론 | G | H | {\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }(G/H)} | 물리적 해석 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 일반 상대성 이론 | {\displaystyle \operatorname {GL} (D;\mathbb {R} )} | {\displaystyle \operatorname {O} (1,D-1)} | {\displaystyle D(D+1)/2} | 로런츠 계량 텐서 G\_{{MN}} |
| 이중 장론 ({\displaystyle D=2d}) | {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)} | {\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)} | d^{2} | d차원 계량 텐서 및 d차원 2차 미분 형식 |

즉, {\displaystyle G/H=\operatorname {GL} (D)/\operatorname {O} (1,D-1)}인 경우는 D차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, {\displaystyle G/H=\operatorname {O} (d,d)/\operatorname {O} (1,d-1)^{2}}인 경우, 이는 d^{2}개의 성분을 가지며, 이는 d\times d 대칭 행렬(중력장)과 d\times d 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

### 계량의 분해

구체적으로, 필바인 {\displaystyle E\_{M}^{A}}에 의하여 정의되는 계량 텐서

{\displaystyle G\_{MN}=\eta \_{AB}E\_{M}^{A}E\_{N}^{B}}
를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, {\displaystyle \eta \_{AB}}를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.

{\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}0&1\_{d\times d}\\1\_{d\times d}&0\end{pmatrix}}}
즉, 이는 분해

{\displaystyle V=V\_{+}\oplus V\_{-}}
{\displaystyle \dim V\_{+}=\dim V\_{-}=d}
{\displaystyle \eta \_{\pm }\colon V\_{\pm }\to V\_{\mp }^{\*}}
를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

V는 매끄러운 다양체 M의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 {\displaystyle \mathrm {T} \_{x}M}의 마찬가지 분해

{\displaystyle \mathrm {T} M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}
를 정의한다.

이러한 게이지에서, {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}의 원소

{\displaystyle H^{N}{}\_{P}\in \operatorname {O} (d,d)}
{\displaystyle \eta \_{MN}H^{N}{}\_{P}={\begin{pmatrix}g^{-1}&-g^{-1}b\\bg^{-1}&g-bg^{-1}b\end{pmatrix}}\in \operatorname {O} (d,d)}
를 정의할 수 있다. 여기서, g는 중력장을 나타내며, b는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, \eta  및 H와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,:§4.2 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,:§4.2, Table 1 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

### 필바인

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.:(3.52), (3.53) 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.

{\displaystyle E\in {\frac {\operatorname {O} (d,d)}{\operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}은 {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원

{\displaystyle E\_{M}^{A}\in \operatorname {O} (d,d)}
에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환

{\displaystyle E\_{M}^{A}\mapsto L^{A}{}\_{B}E\_{M}^{A}\qquad (L^{A}{}\_{B}\in \operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,D-1))}
을 겪는다. 여기서 {\displaystyle A,B,\dotsc }는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는

{\displaystyle H\_{MN}=E^{A}{}\_{M}H\_{AB}E^{B}{}\_{N}}
이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 **일반화 바이첸뵈크 접속**(영어: generalized Weitzenböck connection)을 정의할 수 있다.:(3.59)

{\displaystyle \Omega \_{ABC}=-\Omega \_{ACB}=E\_{A}{}^{M}\partial \_{M}(E\_{B}{}^{N}E\_{C}{}^{P}\eta \_{PN})}
### 작용

이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.:(3.60)

{\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{2D}x\,\exp(-2\phi )(S\_{1}+S\_{2})}
여기서 

{\displaystyle S\_{1}=9\Omega \_{[ABC]}\Omega \_{[DEF]}\left({\frac {1}{4}}H^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}-{\frac {1}{12}}H^{AD}H^{BE}H^{CF}-{\frac {1}{6}}\eta ^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}\right)+\exp(2\phi )(\eta ^{AB}-H^{AB})}
{\displaystyle S\_{2}=F\_{A}F\_{B}(\eta ^{AB}-H^{AB})}
{\displaystyle F\_{A}=\eta ^{BC}\Omega \_{BCA}+2E\_{A}{}^{M}\partial \_{M}\phi }
여기서 \phi 는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 M 위의, {\displaystyle \operatorname {O} (d,d)} 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

### 장방정식

위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.:(3.81)

{\displaystyle S\_{1}=0}
{\displaystyle 2(H^{C[A}-\eta ^{D[C})\partial ^{B]}F\_{C}+(F\_{C}-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}F\_{CDE}\eta ^{B]E}=0}
이들은 각각 \phi  및 {\displaystyle E\_{A}{}^{M}}에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

### 단면 조건

M 위의 장들은 2d 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 d차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 **단면 조건**(영어: section condition)이라고 하며, 스칼라장 \Phi에 대하여 다음과 같은 꼴이다.:(3.29), (3.30)

{\displaystyle \eta ^{MN}\partial \_{M}\partial \_{N}\Phi =0}

역사
--

워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1993년에 도입하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Aldazabal, Gerardo; Marqués, Diego; Núñez, Carmen (2013). "Double field theory: a pedagogical review". 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) **30**: 163001. arXiv:1305.1907. doi:10.1088/0264-9381/30/16/163001.
2. ↑  Siegel, Warren (1993). "Superspace duality in low-energy superstrings". 《Physical Review D》 (영어) **48**: 2826. arXiv:hep-th/9305073.
3. ↑  Siegel, Warren (1993). "Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity". 《Physical Review D》 (영어) **47**: 5453. arXiv:hep-th/9302036.