수학에서 **토메 함수**(영어: Thomae’s function)는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

정의
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**토메 함수** f\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음과 같다.

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}},\;p,q\in \mathbb {Z} ,\;\gcd\{p,q\}=1,\;q>0\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}

성질
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### 연속성

토메 함수 f는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 x\in\mathbb R에 대하여,

{\displaystyle \lim \_{y\to x}f(y)=0}
이기 때문이다.

증명:

임의의 x\in\mathbb R 및 \epsilon >0에 대하여, {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}<\epsilon }인 양의 정수 n\in \mathbb {Z} ^{+}를 취하자. 분모가 \{1,\dots ,n\}에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을

{\displaystyle A=\mathbb {Z} \cup {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \cup \cdots \cup {\frac {1}{n}}\mathbb {Z} }
라고 하자. 그렇다면, A 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n^{2}}}} 이상이므로, A는 극한점을 갖지 않는다. 특히, x는 A의 극한점이 아니므로,

{\displaystyle ((x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta ))\cap A=\varnothing }
인 \delta >0를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )}에 대하여, y는 무리수이거나, y는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 n보다 큰 유리수이므로,

{\displaystyle |f(y)|=f(y)<{\frac {1}{n}}<\epsilon }
이다.

만약 {\displaystyle x\in \mathbb {Q} }라면

{\displaystyle \lim \_{y\to x}f(y)=0\neq f(x)}
이므로 x에서 불연속이다. 만약 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }라면

{\displaystyle \lim \_{y\to x}f(y)=0=f(x)}
이므로 x에서 연속이다.

### 극댓값

토메 함수 f는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다.

증명:

임의의 {\displaystyle x\in \mathbb {Q} }에 대하여,

{\displaystyle \lim \_{y\to x}f(y)=0}
f(x)>0
이므로,

{\displaystyle f(y)<f(x)\qquad \forall y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )}
인 \delta >0가 존재한다.

### 미분

토메 함수 f는 모든 점에서 미분 불가능이다.

증명:

f는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다.

이제, 임의의 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }에 대하여, x의 소수점 표기를

{\displaystyle x=x\_{0}.x\_{1}x\_{2}\cdots }
라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열 {\displaystyle (y\_{n})\_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {Q} }을 취하자.

{\displaystyle y\_{n}=x\_{0}.x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}
그렇다면, {\displaystyle (y\_{n})\_{n=0}^{\infty }}은 x로 수렴하며, 임의의 {\displaystyle n\geq 0}에 대하여,

{\displaystyle \left|{\frac {f(y\_{n})-f(x)}{y\_{n}-x}}\right|={\frac {f(y\_{n})}{0.0\cdots 0x\_{n+1}x\_{n+2}\cdots }}\geq {\frac {1/10^{n}}{1/10^{n}}}=1}
이다. 따라서

{\displaystyle \limsup \_{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\geq \limsup \_{n\to \infty }\left|{\frac {f(y\_{n})-f(x)}{y\_{n}-x}}\right|\geq \liminf \_{n\to \infty }\left|{\frac {f(y\_{n})-f(x)}{y\_{n}-x}}\right|\geq 1}
이다. 반면, x로 수렴하는 임의의 무리수 수열 {\displaystyle (z\_{n})\_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }을 취했을 경우, 임의의 {\displaystyle n\geq 0}에 대하여,

{\displaystyle \left|{\frac {f(z\_{n})-f(x)}{z\_{n}-x}}\right|=0}
이므로,

{\displaystyle \liminf \_{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\leq \lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {f(z\_{n})-f(x)}{z\_{n}-x}}\right|=0}
이다. 따라서, 극한

{\displaystyle \lim \_{y\to \infty }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}}
은 존재하지 않는다.

### 적분

토메 함수 f는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한,

{\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }f(x)dx=0}
이다.

증명:

f의 불연속점의 집합 \mathbb {Q} 는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 f는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 f의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,

{\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }f(x)dx=\lim \_{a\to -\infty }\int \_{a}^{0}f(x)dx+\lim \_{b\to \infty }\int \_{0}^{b}f(x)dx=0}
이다.

역사
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카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다.

참고 문헌
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* Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), *Introduction to Real Analysis, 3rd Edition* (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
* Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
* Abbot, Stephen. *Understanding Analysis*. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5