다른 뜻에 대해서는 단조 수렴 정리 (수열) 문서를 참고하십시오.
실해석학에서 **단조 수렴 정리**(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의
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측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 위의 음이 아닌 가측 함수의 열 {\displaystyle f\_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))} (n\in \mathbb {N} ) 및 함수 {\displaystyle f\colon X\to [0,\infty ]}가 다음을 만족시킨다고 하자.

* (증가 함수열) 임의의 n\in \mathbb {N}  및 x\in X에 대하여, {\displaystyle f\_{n}(x)\leq f\_{n+1}(x)}
* (점별 수렴) 임의의 x\in X에 대하여, \lim \_{{n\to \infty }}f\_{n}(x)=f(x)

**단조 수렴 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.:30

* f는 가측 함수이다.
* {\displaystyle \int \_{X}fd\mu =\lim \_{n\to \infty }\int \_{X}f\_{n}d\mu }

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 {\displaystyle g\_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}에 대하여, 다음이 성립한다.

* {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }g\_{n}}는 가측 함수이다.
* {\displaystyle \int \_{X}\sum \_{n=0}^{\infty }g\_{n}d\mu =\sum \_{n=0}^{\infty }\int \_{X}g\_{n}d\mu }

증명:

우선 f가 가측 함수임을 보이자. 임의의 {\displaystyle a\in [0,\infty ]}에 대하여, 각 f\_{n}이 가측 함수이므로, {\displaystyle f\_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }이며, 따라서

{\displaystyle f^{-1}([0,a])=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }f\_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }
이다. 즉, f는 가측 함수가 맞다.

임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle \forall x\in X\colon f\_{n}(x)\leq f(x)}이므로,

{\displaystyle \int \_{X}f\_{n}d\mu \leq \int \_{X}fd\mu }
이며, 이에 n\to \infty 을 취하면

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{X}f\_{n}d\mu \leq \int \_{X}fd\mu }
을 얻는다.

이제, {\displaystyle \forall x\in X\colon s(x)\leq f(x)}인 임의의 단순 함수 s와 임의의 {\displaystyle 0<\alpha <1}을 고정하고, 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여

{\displaystyle A\_{n}=\{x\in X\colon \alpha s(x)\leq f\_{n}(x)\}\in \Sigma }
라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle A\_{0}\subseteq A\_{1}\subseteq \cdots }이며, {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}=X}이다. 또한, 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여,

{\displaystyle \alpha \int \_{A\_{n}}sd\mu \leq \int \_{A\_{n}}f\_{n}d\mu \leq \int \_{X}f\_{n}d\mu }
이다. n\to \infty 을 취하면

{\displaystyle \alpha \int \_{X}sd\mu \leq \int \_{X}f\_{n}d\mu }
를 얻으며, 다시 {\displaystyle \alpha \to 1}을 취하면

{\displaystyle \int \_{X}sd\mu \leq \int \_{X}f\_{n}d\mu }
를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

{\displaystyle \int \_{X}fd\mu \leq \int \_{X}f\_{n}d\mu }
이다.

따름정리
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### 급수에 대한 푸비니 정리

 이 부분의 본문은 푸비니 정리입니다.
단조 수렴 정리를 자연수의 집합 {\mathbb N} 위의 셈측도 공간 {\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),|\cdot |)}에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 {\displaystyle (a\_{mn})\_{m,n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty ]}에 대하여, 다음이 성립한다.:168

{\displaystyle \sum \_{m=0}^{\infty }\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{mn}=\sum \_{n=0}^{\infty }\sum \_{m=0}^{\infty }a\_{mn}}
### 절대 연속 측도

 이 부분의 본문은 절대 연속 측도입니다.
임의의 측도 공간 (X,\Sigma ,\mu ) 및 음이 아닌 가측 함수 {\displaystyle f\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}에 대하여, 함수

{\displaystyle \nu (A)=\int \_{A}fd\mu \qquad (A\in \Sigma )}
는 (X,\Sigma ) 위의 측도를 이루며, 또한 이는 \mu -절대 연속 측도를 이룬다 (즉, {\displaystyle \mu (A)=0}은 {\displaystyle \nu (A)=0}을 함의한다).

증명:

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 {\displaystyle A\_{0},A\_{1},\dots \subseteq \Sigma }에 대하여, 각 {\displaystyle f1\_{A\_{n}}}은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

{\displaystyle \nu \left(\bigcup \_{n=0}^{\infty }A\_{n}\right)=\int \_{X}f1\_{\bigcup \_{n=0}^{\infty }A\_{n}}d\mu =\int \_{X}\sum \_{n=0}^{\infty }f1\_{A\_{n}}d\mu =\sum \_{n=0}^{\infty }f1\_{A\_{n}}d\mu =\sum \_{n=0}^{\infty }\nu (A\_{n})}
이다. 따라서 \nu 는 측도이다.

만약 {\displaystyle A\in \Sigma }이며 {\displaystyle \mu (A)=0}이라면, \mu -거의 어디서나 {\displaystyle f1\_{A}=0}이므로,

{\displaystyle \nu (A)=\int f1\_{A}d\mu =0}
이다. 따라서 \nu 는 \mu -절대 연속 측도이다.

참고 문헌
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* Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.