대수기하학에서 **형식적 스킴**(形式的scheme, 영어: formal scheme)은 스스로의 ‘무한소 근방’의 데이터를 기억하는, 스킴의 개념의 일반화이다.:190–200, §Ⅱ.9

정의
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### 아핀 형식적 스킴

뇌터 가환환 A의 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완비화

{\displaystyle {\hat {A}}=\varprojlim A/{\mathfrak {I}}^{n}}
을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다.

{\displaystyle 0=A/{\mathfrak {I}}^{0}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}^{2}\leftarrow \dotsb \leftarrow {\hat {A}}\leftarrow A}
이 경우, 환의 스펙트럼을 취하자.

{\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}})\leftarrow \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{2})\leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname {Spec} {\hat {A}}\leftarrow \operatorname {Spec} A}
\operatorname{Spec}A를 제외하면, 나머지는 모두 위상 동형이다. (물론, 이들은 환 달린 공간으로서 서로 다르다.)

이 경우, 환 달린 공간 {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}}를 다음과 같이 정의하자.

* 위상 공간으로서 {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}}는 (임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}^{n})}과 위상 동형이다.
* {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}}의 구조층은 가환환층의 사영 극한 {\displaystyle \varprojlim \_{n}{\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})}}이다.

이 구성은 A와 {\mathfrak I}에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는 \hat A의 위상환 구조에만 의존한다. 즉, \hat A와 동형인 위상환을 정의하는 {\displaystyle (A,{\mathfrak {I}}')}을 사용하더라도 동형인 환 달린 공간을 얻는다.

### 일반적 형식적 스킴

**형식적 스킴**은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 환 달린 공간이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴의 관계, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 같다.)

성질
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뇌터 위상환 {\displaystyle {\hat {A}}=\varprojlim \_{n\to \infty }A/{\mathfrak {I}}^{n}}은 자연스럽게 기저

{\displaystyle \{a+{\mathfrak {I}}^{n}\colon a\in {\hat {A}},\;n\in \mathbb {N} \}}
를 갖는 위상을 가져 위상환을 이룬다. 이 경우, {\displaystyle \operatorname {Spf} {\hat {A}}}의 점들은 \hat A의 소 아이디얼 가운데 열린집합인 것들이다.

또한, 정의에 따라 임의의 열린집합 {\displaystyle U\subseteq \operatorname {Spf} {\hat {A}}}에 대하여,

{\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spf} {\hat {A}}})=\varprojlim \_{n\to \infty }\Gamma (U,{\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})})}
이다.

예
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### 자명환

자명환 {\displaystyle 0}은 (이산 공간으로) 위상환을 이루며, 이 위상은 영 아이디얼 (0)으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 공집합이다.

{\displaystyle \operatorname {Spf} 0=\varnothing }
### 형식적 멱급수

뇌터 가환환 K가 주어졌을 때, 다항식환

{\displaystyle A=K[x]}
의 아이디얼

{\displaystyle {\mathfrak {I}}=(x)}
에 대한 완비화는 형식적 멱급수환이다.

{\displaystyle \varprojlim \_{n\to \infty }K[x]/(x^{n})=K[[x]]}
위상환으로서, 이는 이산 공간으로 간주한 K의 가산 무한 곱집합과 위상 동형이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼 {\displaystyle \operatorname {Spf} K[[x]]}을 취할 수 있다.

이제 추가로 K가 체라고 가정하자. 그 소 아이디얼들은 {\displaystyle \operatorname {Spec} K[[x]]=\{(x),(0)\}}이다. 이 가운데 열린집합인 것(즉, 완비화를 정의하는 아이디얼 (x)를 부분 집합으로 포함하는 것)은 (x) 자체 밖에 없다. 즉, {\displaystyle \operatorname {Spf} K[[x]]=\{(x)\}}는 한원소 집합이다. 그 위의 구조층의 단면 대수는 정의에 따라서

{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}\_{\operatorname {Spf} K[[x]]})=K[[x]]}
이다.

### 국소 뇌터 스킴

임의의 가환환 R을 이산 공간으로 간주할 수 있다. 이는 영 아이디얼에 대한 완비화로 생각할 수 있다.

만약 R가 이산 뇌터 가환환이라면, 그 형식적 스펙트럼은 스펙트럼과 (환 달린 공간으로서) 같다.

보다 일반적으로, 모든 국소 뇌터 스킴은 형식적 스킴을 이룬다.

### 닫힌 부분 스킴의 완비화

다음이 주어졌다고 하자.

* 국소 뇌터 스킴 X
* 아이디얼층 {\mathcal {I}}로 정의되는 닫힌 부분 스킴 {\displaystyle Y\hookrightarrow X}

그렇다면, Y의 위상 공간 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.:192, §Ⅱ.9

{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\hat {Y}}=\varprojlim \_{n\to \infty }{\mathcal {O}}\_{X}/{\mathfrak {I}}^{n}}
그렇다면 {\displaystyle {\hat {Y}}=(Y,{\mathcal {O}}\_{\hat {Y}})}는 형식적 스킴을 이룬다. 이를 **X의 Y 근처의 형식적 완비화**(영어: formal completion of X along Y)라고 한다.

물론, 이 경우 {\displaystyle {\mathcal {I}}=0}(즉, {\displaystyle X=Y})로 놓으면, 원래 스킴 X를 얻는다.:Example 9.3.3

역사
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오스카 자리스키가 1949년에 "형식적 정칙 함수"의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 자리스키의 개념을 알렉산더 그로텐디크가 스킴의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Zariski, Oscar (1949). "A fundamental lemma from the theory of holomorphic functions on an algebraic variety". 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) **29**: 187–198. MR 0041488.
3. ↑  Zariski, Oscar (1951). "Theory and applications of holomorphic functions on algebraic varieties over arbitrary ground fields". Memoirs of the American Mathematical Society (영어) **5**. doi:10.1090/memo/0005. MR 0041487.