| 대수 구조 |
| --- |
|  |
| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
 |

가환대수학에서 **유일 인수 분해 정역**(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 **인자환**(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다.

정의
--

정역 R가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **유일 인수 분해 정역**이라고 한다.

* 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 소원들의 곱으로 나타낼 수 있다.
* 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, a\in R\setminus \{0\}를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자.

a=\prod P=\prod Q
여기서 P=\{p\_{1},\dots ,p\_{m}\}=P 및 Q=\{q\_{1},\dots ,q\_{n}\}는 모두 기약원들로 구성된 중복집합이다. 그렇다면 전단사 함수 \phi \colon P\to Q가 존재하며, 모든 p\in P에 대하여
\phi (p)=u(p)p
인 가역원 u(p)\in R이 존재한다.

성질
--

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* R는 유일 인수 분해 정역이다.
* R는 주 아이디얼 정역이다.
* R의 아이디얼 유군이 자명군이다.
* R의 유수가 1이다.

즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다.

### 유일 인수 분해의 충분 조건

**가우스 보조정리**(영어: Gauss’ lemma)에 따르면, 유일 인수 분해 정역 R에 대하여, 그 다항식환 R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}] 역시 유일 인수 분해 정역이다.

뇌터 정역에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:234, Corollary 10.6:161–162, Theorem 20.1

* 유일 인수 분해 정역이다.
* 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

**나가타 보조정리**(영어: Nagata’s lemma)는 다음과 같다.:483, Lemma 19.20 R가 뇌터 정역이며, r\in R가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

* r\neq 0
* (r)는 소 아이디얼이다.
* 국소화 R\_{r}는 유일 인수 분해 정역이다.

그렇다면 R는 유일 인수 분해 정역이다.

**오슬랜더-북스바움 정리**(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.:483, Theorem 19.19:163, Theorem 20.3

뇌터 유일 인수 분해 정역 D에 대하여, 만약 S\subseteq D에 대하여 0\not \in S라면, 국소화 S^{{-1}}D 역시 유일 인수 분해 정역이다.

### 대수적 정수환의 유일 인수 분해

일반적으로, 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 아이디얼 유군이 자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.)

n이 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 실수 이차 수체 {\mathbb Q}({\sqrt n})의 대수적 정수환 {\mathbb Z}[{\sqrt n}]이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다.

*n* = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … (OEIS의 수열 A3172)
허수 이차 수체 {\mathbb Q}({\sqrt {-n}})의 대수적 정수환 {\mathbb Z}[{\sqrt {-n}}]이 유일 인수 분해 정역을 이루는 n을 **헤그너 수**라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.

*n* = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A3173)
n\in \mathbb {Z} ^{+}이 양의 정수라고 하며,

n\not \equiv 2{\pmod 4}
라고 하자. 또한, \zeta\_n이 \zeta\_n^n=1을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 \mathbb Q(\zeta\_n)의 대수적 정수환 {\mathbb Z}[\zeta \_{n}]이 유일 인수 분해 정역인 n은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

*n* = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848)
(만약 n\equiv 2{\pmod 4}인 경우 {\mathbb Q}(\zeta \_{n})={\mathbb Q}(\zeta \_{{n/2}})이므로 중복된다.)

예
-

수학에서 등장하는 많은 환들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다.

* 정수의 환 \mathbb {Z}  · 가우스 정수 환 {\mathbb Z}[i] · 아이젠슈타인 정수 환 {\mathbb Z}[\zeta \_{3}]은 모두 주 아이디얼 정역이므로 유일 인수 분해 정역이다.
* 모든 체(유리수체 · 실수체 · 복소수체 · 유한체 등)는 유일 인수 분해 정역이다. 이 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이며, 따라서 이 경우는 자명한 예이다.
* 체 K에 대한 형식적 거듭제곱 급수 환 K[[x\_{1},\dots ,x\_{n}]]은 유일 인수 분해 정역이다.
* 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 K[x\_{1},x\_{2},\dots x\_{n}]은 주 아이디얼 정역이 아닌 유일 인수 분해 정역의 예이다. (이 경우 (x\_{1},x\_{2})는 주 아이디얼이 아니다.)

유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.

* 대수적 정수환 {\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}})
* 복소 평면 \mathbb {C}  위의 정칙 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수 분해 할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 z\mapsto \sin z는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수 분해할 수 없다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3  Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **150**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
2. 1 2  Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **8**. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
3. ↑  Auslander, Maurice; Buchsbaum, David Alvin (1959). "Unique factorization in regular local rings". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 **45**: 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733. ISSN 0027-8424. JSTOR 90213. MR 0103906.

* Samuel, Pierre (1964). 《Lectures on unique factorization domains》 (PDF). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (영어) **30**. Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579.
* Sharpe, David (1987년 8월). 《Rings and factorization》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511565960. ISBN 978-052133718-2. Zbl 0674.13008.