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이론물리학에서 **행렬 이론**(行列理論, 영어: M(atrix) theory)은 매우 큰 행렬들을 다루는 양자역학 모형이다. 이는 축소화시키지 않은 11차원 민코프스키 공간에서의 M이론의 비섭동적인 정의다.

역사와 어원
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1996년에 토머스 뱅크스(영어: Thomas Banks)와 빌리 피스흘러르(네덜란드어: Willy Fischler), 스티븐 하트 솅커(영어: Stephen Hart Shenker)와 레너드 서스킨드가 발견하였다. 영어명인 영어: M(atrix)는 행렬을 뜻하는 영어: matrix 메이트릭스[\*]의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 발견자들의 이름을 따 **BFSS 행렬 이론**(영어: BFSS matrix theory)이라고 하기도 한다.

민코프스키 공간에서의 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론 뒤에, IIB종 초끈 이론을 나타내는 **IKKT 행렬 이론**이나, 평면파 배경에서의 M이론을 나타내는 **BMN 행렬 이론** 등이 발견되었다.

유도
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IIA종 초끈 이론에서, 끈 결합 상수 g\_{{\text{s}}}가 매우 작은 경우를 생각하자. 이 경우, 11번째 차원의 반지름이 {\displaystyle R=g\_{\text{s}}{\sqrt {\alpha '}}}이 매우 크게 되므로, IIA종 초끈 이론은 11차원에 존재하는 M이론으로 다룰 수 있다.

이제, 11번째 차원으로 로런츠 변환을 취하자. 11번째 차원이 축소화되어 있으므로, 운동량의 11번째 차원의 크기는 1/R의 단위로 양자화된다. 즉,

{\displaystyle p\_{11}=N/R} ({\displaystyle N\in \mathbb {Z} })
이다. 이제, 다음과 같은 극한을 취하자.

{\displaystyle R\to \infty }
{\displaystyle N/R\to \infty }
이 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 *N*개의 D0-막과 여기에 붙은 바닥 상태 열린 끈 뿐이다. 이는 단순히 로런츠 변환을 한 것이므로, 11차원 M이론을 *N*개의 겹친 D0-막의 세계선 위에 존재하는 양자역학적 모형으로 나타낼 수 있다. 이를 **행렬 이론**이라고 한다.

정의
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빛의 속력보다 매우 느린, *N*개의 겹친 D0-막의 해밀토니언은 다음과 같다.

{\displaystyle H=\operatorname {tr} \left({\frac {g\_{\text{s}}\ell \_{\text{s}}}{2}}\sum \_{i=1}^{9}P\_{i}P\_{i}-\sum \_{i,j=1}^{9}{\frac {1}{16\pi ^{2}g\_{\text{s}}\ell \_{\text{s}}^{5}}}[X^{i},X^{j}]^{2}-\sum \_{i=1}^{9}{\frac {1}{4\pi \ell \_{\text{s}}^{2}}}\lambda \Gamma ^{0}\Gamma ^{i}[X^{i},\lambda ]\right)}
여기서 \ell \_{{\text{s}}}={\sqrt {\alpha '}}는 끈 길이이고, g\_{{\text{s}}}=\exp(\langle \Phi \rangle )는 닫힌 끈 결합 상수다. D0-막의 정지 질량 항 {\displaystyle N/(g\_{\text{s}}\ell \_{\text{s}})}은 생략하였다.

여기서 X^{i}와 P\_{i}, \lambda ^{i}는 각각 {\displaystyle N\times N} 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 정준 교환 관계를 가진다.

{\displaystyle [(X^{i})^{a}{}\_{b},(P\_{j})^{c}{}\_{d}]=i\delta \_{j}^{i}\delta \_{c}^{a}\delta \_{d}^{b}}
\lambda 는 {\displaystyle N\times N} 에르미트 행렬이며, 행렬의 각 성분은 마요라나-바일 스피너이다.
이를 M이론 변수들

{\displaystyle R=g\_{\text{s}}\ell \_{\text{s}}}
{\displaystyle \ell \_{\text{p}}=g\_{\text{s}}^{1/3}\ell \_{\text{s}}}
로 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle H=R\operatorname {tr} \left({\frac {1}{2}}\sum \_{i=1}^{9}P\_{i}P\_{i}-\sum \_{i,j=1}^{9}{\frac {1}{16\pi ^{2}\ell \_{\text{p}}^{6}}}[X^{i},X^{j}]^{2}-\sum \_{i=1}^{9}{\frac {1}{4\pi \ell \_{\text{p}}^{2}}}\lambda \Gamma ^{0}\Gamma ^{i}[X^{i},\lambda ]\right)}
이를 해밀토니언으로 가지는 양자역학계를 **행렬 이론**이라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Banks, T.; W. Fischler, S.H. Shenker, L. Susskind (1997년 4월). "M Theory As A Matrix Model: A Conjecture". 《Physical Review D》 (영어) **55**: 5112–5128. arXiv:hep-th/9610043. Bibcode:1997PhRvD..55.5112B. doi:10.1103/PhysRevD.55.5112.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  "IKKT관련". arXiv:hep-th/9908038.
3. ↑  "BMN관련". arXiv:hep-th/0405107.

* Banks, Tom. "Matrix theory" (영어). arXiv:hep-th/9710231. Bibcode:1998NuPhS..67..180B. doi:10.1016/S0920-5632(98)00130-3.
* Banks, Tom. "The state of Matrix theory" (영어). arXiv:hep-th/9706168. Bibcode:1998NuPhS..62..341B. doi:10.1016/S0920-5632(97)00676-2.
* Banks, Tom. "TASI lectures on Matrix theory" (영어). arXiv:hep-th/9911068. Bibcode:1999hep.th...11068B.
* Bigatti, Daniela; Leonard Susskind. "Review of Matrix theory" (영어). arXiv:hep-th/9712072. Bibcode:1997hep.th...12072B.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Bilal, Adel. "M(atrix) theory: a pedagogical introduction" (영어). arXiv:hep-th/9710136. Bibcode:1999ForPh..47....5B. doi:10.1002/(SICI)1521-3978(199901)47:1/3<5::AID-PROP5>3.0.CO;2-B.
* Polchinski, Joseph. "M-theory and the light cone" (영어). arXiv:hep-th/9903165. Bibcode:1999PThPS.134..158P. doi:10.1143/PTPS.134.158.
* Taylor, Washington. "The M(atrix) model of M-theory" (영어). arXiv:hep-th/0002016. Bibcode:2000hep.th....2016T.
* Taylor, Washington. "M(atrix) Theory: Matrix Quantum Mechanics as a Fundamental Theory" (영어). arXiv:hep-th/0101126. Bibcode:2001RvMP...73..419T. doi:10.1103/RevModPhys.73.419.