동역학계 이론에서, **페아노 존재 정리**(-存在定理, 영어: Peano existence theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의
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다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자.

y'(t)=f(t,y(t))
y(t\_{0})=y\_{0}
열린집합 U\subseteq {\mathbb R}^{n} 및 연속 함수 {\displaystyle f\colon [t\_{0},t\_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}가 주어졌다고 하자. **페아노 존재 정리**에 따르면, 임의의 {\displaystyle y\_{0}\in U}에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to U} ({\displaystyle 0<\delta \leq a})를 갖는다.:13, §3.2, Theorem 3.3 만약 추가로 {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}이며 f가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해 {\displaystyle \phi \colon [t\_{0},t\_{0}+a]\to U}를 갖는다.:12, §3.2, Theorem 3.2

증명 (국소적 해의 존재):

우선

{\displaystyle b>0}
{\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y-y\_{0}|\leq b\}\subseteq U}
{\displaystyle M=\sup \_{[t\_{0},t\_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}|f|<\infty }
{\displaystyle \delta =\min \left\{a,{\frac {b}{M}}\right\}}
라고 하자. 연속 함수 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}들의 상한 노름 {\displaystyle \Vert \cdot \Vert \_{\infty }}에 대한 바나흐 공간 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}
{\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y\_{0}+\int \_{t\_{0}}^{t}f(s,y(s))\mathrm {d} s}
이 작용소의 공역을 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}로 제한할 수 있는 것은 임의의 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 및 {\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여

{\displaystyle |(T\phi )(t)-y\_{0}|\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq M\delta \leq b}
이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}는 자명하게 T의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, T의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

* ㈀ T는 연속 함수
* 치역 {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)))}은 {\displaystyle {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))}의 상대 콤팩트 집합

아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

* ㈁ {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)))}는 유계 집합
* ㈂ {\displaystyle T({\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)))}는 균등 동등 연속 함수족

㈀: {\displaystyle \Vert \phi \_{n}-\phi \Vert \_{\infty }\to 0}라고 가정하자. f는 {\displaystyle [t\_{0},t\_{0}+\delta ]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b)}에서 균등 연속 함수이므로,

{\displaystyle \sup \_{s\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}|f(s,\phi \_{n}(s))-f(s,\phi (s))|\to 0}
이다. 또한

{\displaystyle |(T\phi \_{n}-T\phi )(t)|\leq \int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq \delta \sup \_{s\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|}
이므로,

{\displaystyle \Vert T\phi \_{n}-T\phi \Vert \_{\infty }\leq \delta \sup \_{s\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0}
이다.

㈁: 임의의 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 및 {\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여,

{\displaystyle |(T\phi )(t)|\leq |y\_{0}|+\int \_{t\_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |y\_{0}|+M\delta }
㈂: 임의의 {\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t\_{0},t\_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y\_{0},b))} 및 {\displaystyle t,t'\in [t\_{0},t\_{0}+\delta ]}에 대하여,

{\displaystyle |(T\phi )(t)-(T\phi )(t')|\leq \left|\int \_{t'}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\right|\leq M|t-t'|}

증명 (대역적 해의 존재):

만약 {\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}이며 f가 유계 함수라면, 위 증명에서 {\displaystyle b=\infty } 및 {\displaystyle M=\sup |f|} 및 {\displaystyle \delta =a}를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다.

역사
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주세페 페아노의 이름을 땄다.