범주론과 추상대수학에서 **귀납적 극한**(歸納的極限, 영어: inductive limit, direct limit, injective limit)은 범주의 대상에 대한 일종의 극한이다. 기호는 {\displaystyle \varinjlim } 또는 {\displaystyle \injlim }.

정의
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범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}}에 대하여, 대상의 집합 {\displaystyle {\mathcal {X}}\subset \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}와 사상의 집합 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subset \hom({\mathcal {C}})}가 다음을 만족한다고 하자.

1. 모든 {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}에 대하여, {\displaystyle f\colon X\to Y}이면 {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {X}}}이다.
2. {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}\cap \hom(X,Y)}라면 {\displaystyle f=g}이다.
3. (반사성) 모든 {\displaystyle X\in {\mathcal {X}}}에 대하여, {\displaystyle 1\_{X}\in {\mathcal {F}}}이다.
4. (추이성) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}}이고 {\displaystyle fg}가 존재한다면 {\displaystyle fg\in {\mathcal {F}}}이다.
5. (유한 집합의 상한의 존재) {\displaystyle X,Y\in {\mathcal {X}}}이라면, {\displaystyle f\colon X\to Z}, {\displaystyle g\colon Y\to Z}인 {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}}, {\displaystyle Z\in {\mathcal {X}}}가 존재한다.

이러한 조건을 만족하는 {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}를 **유향체계**(有向體系, 영어: directed system)이라고 한다.

{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}가 유향체계라고 하자. 편의상 {\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\_{i}\}}, {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\_{ij}\}}로 쓰자. 이 경우 {\displaystyle f\_{ij}}가 존재한다면 {\displaystyle f\_{ij}\colon X\_{i}\to X\_{j}}이다. 이 유향체계의 **귀납적 극한** {\displaystyle \varinjlim {\mathcal {X}}}은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

* 대상 {\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}
* 각 {\displaystyle X\_{i}\in {\mathcal {X}}}에 대하여, 사상 {\displaystyle \phi \_{i}\colon X\_{i}\to X}

이들은 다음과 같은 보편 성질을 만족하여야 한다. {\displaystyle \phi \_{i}=\phi \_{j}f\_{ij}}이어야 하고, 또한 임의의 또다른 대상 {\displaystyle Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}와 사상들 {\displaystyle \psi \_{i}\colon X\_{i}\to Y}에 대하여, 만약 {\displaystyle \psi \_{i}=\psi \_{j}f\_{ij}}라면 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 사상 {\displaystyle u\colon X\to Y}가 존재하여야 한다.

이를 보통 {\displaystyle \varinjlim X\_{i}=X}로 쓴다.

예
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일반적인 범주에서 귀납적 극한은 존재하지 않을 수도 있다. 다만, 대수 구조의 범주(군이나 환의 범주, 주어진 환에 대한 가군의 범주 따위)의 경우에는 항상 존재한다. 또한 집합이나 위상 공간의 범주에서도 항상 존재한다.

### 대수 구조 다양체

연산 집합 {\displaystyle \{f\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}}을 갖는 대수 구조 다양체 {\displaystyle {\mathcal {V}}}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한이 존재한다. 구체적으로, {\displaystyle {\mathcal {V}}} 속 대수 구조들의 유향 체계 {\displaystyle ((A\_{i})\_{i\in (I,\lesssim )},(\phi \_{ij}\colon A\_{i}\to A\_{j})\_{i\lesssim j})}의 귀납적 극한은 집합으로서 분리 합집합의 몫집합

{\displaystyle \varinjlim A\_{i}=\left(\bigsqcup \_{i\in I}A\_{i}\right)/{\sim }}
{\displaystyle (a,i)\sim (b,j)\iff \exists k\in I\colon i,j\lesssim k\land \phi \_{ik}(a)=\phi \_{jk}(b)}
이며, 이 위의 {\displaystyle n}항 연산 {\displaystyle f\_{\alpha }}는 다음과 같이 정의된다.:385, Lemma 9.1.10

{\displaystyle \forall i\_{1},\dots ,i\_{n}\in I\forall a\_{1}\in A\_{i\_{1}}\cdots \forall a\_{n}\in A\_{i\_{n}}\forall k\gtrsim i\_{1},\dots ,i\_{n}\colon f\_{\alpha }^{\varinjlim A\_{i}}([(a\_{1},i\_{1})],\dots ,[(a\_{n},i\_{n})])=[(f\_{\alpha }^{A\_{k}}(\phi \_{i\_{1}k}(a\_{1}),\dots ,\phi \_{i\_{n}k}(a\_{n})),k)]}
### 위상 공간과 연속 함수의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 {\displaystyle \operatorname {Top} }는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 위상 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 집합으로서 집합론적 귀납적 극한(즉, 집합의 대수 구조 다양체에서의 귀납적 극한)이다. 이 위에는 분리 합집합 위에 유도되는 자연스러운 위상의 몫위상을 취한다.

참고 문헌
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1. ↑  Bergman, George M. (2015). 《An invitation to general algebra and universal constructions》. Universitext (영어) 2판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-11478-1. ISBN 978-3-319-11477-4. LCCN 2014954583. MR 3309721. Zbl 1317.08001.

* Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)