심플렉틱 기하학에서 **운동량 사상**(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵[\*], 영어: moment map 모먼트 맵[\*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 심플렉틱 다양체 (M,\omega )
* 리 군 G
* 매끄러운 군 표현 {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Ham} (M,\omega )}가 주어졌다고 하자. 여기서 {\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{\*}\omega =\omega \}}는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 \omega 를 보존하는 미분 동형 {\displaystyle M\to M})들의 군이다.

리 대수의 원소 {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)}에 대하여, M 위에는 G의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 {\displaystyle v\_{\xi }}가 존재한다.

{\displaystyle v\_{\xi }=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|\_{t=0}\rho (\exp(t\xi ))(x)}
여기서 \exp 는 리 지수 사상이다.
G의 작용 \rho 의 **운동량 사상** {\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {lie}}(G)^{\*}}는 임의의 {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)}에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

{\displaystyle d\langle \mu ,\xi \rangle =\omega (v\_{\xi },\cdot )}
이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \partial \_{j}\mu \_{a}=\omega \_{ij}v\_{a}^{i}}
여기서 i,j는 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}의 지표이고, a는 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}의 지표다.

성질
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심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 위의 리 군 G의 작용의 운동량 사상 {\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{\*}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의

{\displaystyle \zeta \in ({\mathfrak {g}}^{\*})^{G}}
에 대하여 {\displaystyle \mu +\zeta } 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}}는 G의 딸림표현의 쌍대 표현이며,

{\displaystyle ({\mathfrak {g}}^{\*})^{G}=\left\{\phi \in {\mathfrak {g}}^{\*}\colon \forall x,y\in {\mathfrak {g}}\colon \phi ([x,y])=0\right\}=\operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}}^{\*})}
는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, {\mathfrak {g}} 위의 무게의 집합, 또는 {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}} 계수의 {\mathfrak {g}}의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.

### 심플렉틱 몫공간

G가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 {\displaystyle \mu ^{-1}(0)\subset M}은 G의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}는 M의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 **심플렉틱 몫공간**(영어: symplectic quotient) 또는 **마즈든-와인스타인 몫공간**(영어: Marsden–Weinstein quotient)이라고 하며, {\displaystyle M/\!/G}라고 쓴다. 이 경우

{\displaystyle \dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G}
이다.

물론, 0 대신 임의의 {\displaystyle \zeta \in ({\mathfrak {g}}^{\*})^{G}}에 대하여 {\displaystyle \mu ^{-1}(0)}를 사용할 수도 있다.

특히, M이 추가로 켈러 다양체 {\displaystyle (M,\omega ,J)}를 이루며, G의 작용이 심플렉틱 구조 \omega  및 복소구조 J를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간

{\displaystyle M/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}
는 켈러 다양체이다.

### 초켈러 몫공간

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 M은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 {\displaystyle \omega \_{I}} ({\displaystyle I=1,2,3})을 가진다. 군의 작용 G\times M\to M이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 {\displaystyle \mu \_{I}\colon M\to {\mathfrak {g}}^{\*}}이 존재한다. 이들을 합쳐서

{\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{\*}\otimes \mathbb {R} ^{3}}
을 정의하자. 그렇다면

{\displaystyle M/\!/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}
는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

{\displaystyle \dim \_{\mathbb {R} }(M/\!/\!/G)=\dim \_{\mathbb {R} }M-4\dim \_{\mathbb {R} }G}
이다.

예
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G가 1차원 아벨 리 군 \mathbb {R} 이라고 하자. 그렇다면 \mu 는 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field) v를 생성시키는 해밀토니언이다.

### 복소수 사영 공간

복소수 내적 공간 {\mathbb C}^{n}은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 \mathbb C^\times이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.

{\displaystyle \mu \colon \mathbb {C} ^{n}\to {\mathfrak {lie}}(\operatorname {U} (1))=\mathrm {i} \mathbb {R} }
{\displaystyle \mu \colon z\mapsto \mathrm {i} \|z\|^{2}-\mathrm {i} C}
여기서 {\displaystyle C\in \mathbb {R} }는 임의의 실수 상수이다.

이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, {\displaystyle C>0}일 때 복소수 사영 공간 {\displaystyle \mathbb {P} \_{\mathbb {C} }^{n-1}}을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, {\displaystyle C<0}일 경우는 공집합을 얻는다.

### 복소수 사영 공간의 접공간

사원수 벡터 공간 {\displaystyle W=\mathbb {H} ^{n}}은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 n차원 복소수 내적 공간 V에 대하여

{\displaystyle W=V\oplus V^{\*}=\mathrm {T} ^{\*}V}
로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용

{\displaystyle (x,\xi )\mapsto (\lambda x,\lambda ^{-1}\xi )}
에 대한 운동량 사상

{\displaystyle \mu \_{1}(x,\xi )=\mathrm {i} (\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2})-\mathrm {i} C}
{\displaystyle \mu \_{2}(x,\xi )+\mathrm {i} \mu \_{3}(x,\xi )=\xi (x)-D}
를 취하면, {\displaystyle D=0}일 때

{\displaystyle \mu ^{-1}(0)=\{(x,\xi )\in \mathrm {T} ^{\*}V\colon \xi \perp x,\;\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2}=C\}}
이다. 이 경우 초켈러 몫공간은 V 위의 사영 공간의 공변접다발 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}\mathbb {P} (V)}이다. 특히, 만약 V가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.

참고 문헌
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