**고유 길이**(영어: Proper length) 또는 **정지 길이**(영어: rest length)는 어떤 물체가 정지되어 있는 것으로 보이는 계(frame)에서 측정한 길이이다.

길이 측정은 고전역학보다 상대성이론에서 더 복잡하다. 고전역학에서 길이는 관련된 모든 점의 위치가 동시에 측정된다는 가정에 따라 측정된다. 그러나 상대성이론에서 동시성의 개념은 관찰자에 따라 서로 다르다.

이와 다른 용어인 **고유 거리**는 모든 관찰자에 대해 동일한 값을 갖는 불변 거리를 제공한다.

고유 거리는 **고유 시간**과 유사한데 그 차이점은 두 개의 공간적으로 분리된 사건 사이에서(또는 공간과 같은 경로를 따라) 고유 거리가 정의되는 반면에, 시간과 같이 분리된 두 개의 사건 사이에서(또는 시간과 같은 경로를 따라) 고유 시간이 정의된다는 것이다.

고유 길이 또는 정지 길이
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물체의 고유 길이 또는 정지 길이는 표준 측정 막대기를 어떤 물체에 적용하여 정지해 있는 관찰자가 측정하는 어떤 물체의 길이이다. 물체의 양 끝점 측정은 동시일 필요가 없다. 끝점은 물체의 정지 프레임에서 동일한 위치에 지속적으로 정지해 있기 때문에 Δ *t* 와 무관하다. 따라서 이때의 길이는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle L\_{0}=\Delta x.}
그러나 물체에 대하여 상대적으로 움직이는 프레임에서는 물체의 끝점이 지속적으로 위치를 변경하기 때문에 물체의 양 끝점을 동시에 측정해야 한다. 그 결과 길이는 정지 길이보다 짧아지는데, 이는 길이 수축 공식으로 제공된다(여기서 *γ* 는 로런츠 계수이다).

{\displaystyle L={\frac {L\_{0}}{\gamma }}.}
이에 비해 동일한 물체의 끝점에서 발생하는 임의의 두 이벤트 사이의 불변 고유 거리는 다음과 같이 제공된다.

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.}
따라서 Δ*σ* 는 Δ*t* 에 의존하지만 (위에서 설명한 대로) 물체의 정지 길이 *L*0 는 Δ*t* 와 독립적으로 측정할 수 있다. 동일한 물체의 끝점에서 측정된 *Δσ* 및 *L0* 는 물체의 정지 프레임에서 측정 이벤트가 동시에 발생하여 Δt가 0인 경우에만 서로 일치한다. 이는 Fayngold에 의하여 다음과 같이 설명된 바와 같다.

p. 407: "두 이벤트 사이의 고유 거리는 일반적으로 끝점이 이러한 이벤트와 각각 일치하는 객체의 고유 길이와 동일 하지 않다. 일정한 고유 길이 *l*0 의 단단한 막대기를 고려하자. 만일 이 막대의 정지 프레임 *K*0 에 있으면서 길이를 측정하려는 경우에는, 먼저 끝점을 표시하여 측정을 수행할 수 있다. 그리고 이 끝점들은 *K*0 에서 동시에 표시할 필요는 없다. *K*0 의 한쪽 끝(순간 *t* 1 )과 나중에 다른 쪽 끝(순간 *t* 2 )을 표시한 다음 조용히 표시 사이의 거리를 측정할 수 있다. 이러한 측정을 고유 길이의 가능한 조작적 정의로도 고려할 수 있다. 실험 물리학의 관점에서 마크가 동시에 만들어져야 한다는 요구 사항은 일정한 모양과 크기를 가지는 고정된 물체에 대해서는 중복되는 것으로, 이 경우에는 이러한 정의에서 제외될 수 있다. 막대기는 *K*0에 고정되어 있으므로 두 표시 사이의 시간 경과에 관계없이 표시 사이의 거리는 막대기의 고유길이이다. 반면에 *K*0 에서 마크가 동시에 이루어지지 않으면 마킹 이벤트 사이의 고유 거리가 아니다."

평평한 공간에서 두 이벤트 사이의 고유 거리
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특수 상대성이론에서 공간처럼(space-like) 분리된 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 관성 기준 프레임에서 측정된 두 사건 사이의 거리이다. 이러한 특정 프레임에서 거리는 다음과 같이 주어된다.


Δ
σ
=

Δ

x

2

+
Δ

y

2

+
Δ

z

2

,

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},}

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},}여기서,

* Δ *x*, Δ *y* 및 Δ *z* 는 두 이벤트의 선형, 직교, 공간 좌표의 차이이다.

이 정의는 다음과 같이 모든 관성 참조 프레임에 대해 동일하게 제공될 수 있다(이벤트가 해당 프레임에서 동시에 발생하지 않아도 됨).


Δ
σ
=

Δ

x

2

+
Δ

y

2

+
Δ

z

2

−

c

2

Δ

t

2

,

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},}

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},}여기서,

* *Δt* 는 두 이벤트의 시간 좌표의 차이이고,
* *c* 는 빛의 속도이다.

두 공식은 시공간 간격의 불변성 때문에 동일한데, 이는 이벤트가 주어진 프레임에서 동시일 때 정확히 *Δt* = 0이기 때문이다.

위의 공식이 Δ *σ* 에 대해 0이 아닌 실제 값을 제공하는 경우에만 두 이벤트가 공간적으로 분리된다.

경로를 따른 고유 거리
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두 사건 사이의 고유 거리에 대한 위의 공식은 두 사건이 발생하는 시공간이 평평하다고 가정한다. 따라서 위의 공식은 휘어진 시공간을 고려하는 일반 상대성이론에서는 일반적으로 사용할 수 없다. 그러나 곡선이든 평면이든 모든 시공간에서 경로를 따라 고유 거리를 정의하는 것은 가능하다. 평평한 시공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 두 사건 사이의 직선 경로를 따라 고유 거리이다. 휘어진 시공간에서는 두 사건 사이에 하나 이상의 직선 경로(측지선)가 있을 수 있으므로 두 사건 사이의 직선 경로를 따라 고유 거리는 두 사건 사이의 고유 거리를 유일하게 정의하지 않는다.

임의의 공간과 같은 경로 *P* 를 따라 고유 거리는 선적분에 의해 텐서 구문으로 제공된다.


L
=
c

∫

P

−

g

μ
ν

d

x

μ

d

x

ν

,

{\displaystyle L=c\int \_{P}{\sqrt {-g\_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},}

{\displaystyle L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},}여기서,

* *g μν* 는 현재 시공간 및 좌표 매핑에 대한 메트릭 텐서이고,
* *dx μ는* 경로 *P* 를 따라 인접한 이벤트 사이의 좌표 분리이다.

위 방정식에서 메트릭 텐서는 **`+−−−`** 메트릭 부호를 사용하는 것으로 가정하고 거리 대신 시간을 반환하도록 정규화되었다고 가정하고 있다. 방정식의 − 기호는 대신 **`−+++`** 메트릭 부호를 사용하는 메트릭 텐서와 함께 삭제되어야 한다. 또한 광속 c는, 거리를 사용하도록 정규화되거나 또는 기하 단위를 사용하는 미터법 텐서와 함께 삭제해야 한다.