추상대수학에서 **요르단 대수**(Jordan代數, 영어: Jordan algebra)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.

정의
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### 쌍선형 형식을 통한 정의

2가 가역원인 가환환 K 위의 **요르단 대수** A는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K-가군 A
* 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 {\displaystyle \bullet \colon \operatorname {Sym} \_{K}^{2}(A)\to A}
* 이 이항 연산의 항등원 1\_{A}\in A

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* (요르단 항등식 영어: Jordan identity) {\displaystyle (x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))\qquad \forall x,y\in A}

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

### 이차 형식을 통한 정의

가환환 K 위의 **요르단 대수** A는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K-가군 A
* 원소 1\_{A}\in A
* 함수 {\displaystyle U\colon A\to \hom \_{K}(A,A)}, {\displaystyle x\mapsto U\_{x}}

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

* {\displaystyle U\_{1\_{A}}=1\_{A}}
* {\displaystyle U\_{\alpha x}=\alpha ^{2}U\_{x}}
* {\displaystyle U\_{U\_{x}y}=U\_{x}\circ U\_{y}\circ U\_{x}}
* {\displaystyle U\_{x}\circ V\_{y,x}=V\_{x,y}\circ U\_{x}} ({\displaystyle V\_{x,y}z=(U\_{x+z}-U\_{x}-U\_{z})y})

또한, 이 공리들은 K의 임의의 스칼라 확장 {\displaystyle K\to {\tilde {K}}}에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

| 첫째 정의 | 둘째 정의 | A가 결합 대수일 경우 |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle 2x\bullet (x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y} | {\displaystyle U\_{x}y} | {\displaystyle xyx} |
| {\displaystyle 2\left(x\bullet (y\bullet z)+(x\bullet y)\bullet z-(x\bullet z)\bullet y\right)} | {\displaystyle V\_{x,y}z=(U\_{x+z}-U\_{x}-U\_{z})y} | {\displaystyle xyz+zyx} |
| {\displaystyle x\bullet y} | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V\_{x,y}1} | {\displaystyle (xy+yx)/2} |

그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

연산
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### 직합

같은 가환환 K 위의 두 요르단 대수 A, B가 주어졌을 때, 그 **직합** A\oplus B을 정의할 수 있다. K-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

{\displaystyle (a,b)\bullet (a',b')=(a\bullet a',b\bullet b')\qquad \forall a,a'\in A,\;b,b'\in B}
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 **기약 요르단 대수**(영어: irreducible Jordan algebra)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.:38, §5

### 몫

가환환 K 위의 요르단 대수 A의 **요르단 아이디얼**(영어: Jordan ideal)은 다음과 같은 K-부분 가군 {\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}이다.

* {\displaystyle A\bullet {\mathfrak {I}}\subseteq {\mathfrak {I}}}

U로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.

* {\displaystyle U\_{\mathfrak {I}}(A)+U\_{A}({\mathfrak {I}})\subseteq {\mathfrak {I}}}

요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 **몫 요르단 대수**(영어: quotient Jordan algebra)

{\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 {\displaystyle \phi \colon A\to B}이 주어졌을 때, 그 핵 {\displaystyle \phi ^{-1}(0\_{B})\subseteq A}은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 ({\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A}라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼({\displaystyle \{0\},A})을 갖는 요르단 대수를 **단순 요르단 대수**(單純Jordan代數, 영어: simple Jordan algebra)라고 한다.

### 동위 연산

가환환 K 위의 요르단 대수 {\displaystyle (A,\bullet )}의 임의의 원소 {\displaystyle u\in A}에 대하여, {\displaystyle U\_{u}\colon A\to A}가 전단사 함수라고 하자 (즉, {\displaystyle U\_{u}\in \operatorname {GL} (A;K)}). 그렇다면, A 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

{\displaystyle U\_{x}^{(u)}=U\_{x}\circ U\_{u}}
만약 {\displaystyle 2\in \operatorname {Unit} (K)}라면, 새 이항 연산 {\displaystyle \bullet ^{(u)}}은 다음과 같다.

{\displaystyle x\bullet ^{(u)}y={\frac {1}{2}}V\_{x,u}(z)=x\bullet (u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y-(x\bullet y)\bullet u}
이 요르단 대수 구조를 {\displaystyle A^{(u)}}라고 하며, 이를 A의 **동위**(同位, 영어: isotope)라고 한다.:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2) ({\displaystyle U\_{u}}가 가역원이라는 조건은 {\displaystyle A^{(u)}}의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

{\displaystyle A^{(1)}=A}
{\displaystyle A^{(u)(v)}=A^{U\_{u}(v)}}
이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)

### 피어스 분해

요르단 대수 {\displaystyle (A,\bullet )}에서, 만약 어떤 원소 {\displaystyle e\in A}가 e^{2}=e를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

{\displaystyle e\bullet ((2e-1)\bullet ((e-1)\bullet x))=2(e\bullet (e\bullet x))-3e\bullet (e\bullet x)+e\bullet x=0\qquad \forall x\in A}
이에 따라서, 만약 {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}이며 A가 유한 차원이라면, e에 의한 왼쪽 곱셈 사상 {\displaystyle (e\bullet )\colon A\to A}의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, A는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

{\displaystyle A=A\_{0}(e)\oplus A\_{1/2}(e)\oplus A\_{1}(e)}
이를 **피어스 분해**(영어: Peirce decomposition)라고 한다.

### 구조 리 대수

K가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, {\displaystyle (A,\bullet )}가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

{\displaystyle [x\bullet ,y\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

{\displaystyle (x\bullet )\colon A\to A\in {\mathfrak {gl}}(A;K)}
이며, 리 괄호는 {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(A;K)}의 것이며, {\displaystyle {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}은 A의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, K-벡터 공간

{\displaystyle {\mathfrak {str}}(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A}
위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 K-리 대수로 만들 수 있다.

{\displaystyle [\delta ,\epsilon ]\_{{\mathfrak {str}}(A)}=[\delta ,\epsilon ]\_{{\mathfrak {der}}(A)}\qquad \forall \delta ,\epsilon \in {\mathfrak {der}}(V)}
{\displaystyle [\delta ,x]=\delta (x)\qquad \forall \delta \in {\mathfrak {der}}(V),\;x\in A}
{\displaystyle [x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\qquad \forall x,y\in A}
이를 요르단 대수 A의 **구조 리 대수**(構造Lie代數, 영어: structure Lie algebra)라고 한다.:12, §Ⅰ.0.3

물론, A의 항등원 1\_{A}\in A은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 K-리 대수

{\displaystyle {\mathfrak {str}}'(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A/\operatorname {Span} \_{K}\{1\_{A}\}}
를 정의할 수 있다.

성질
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일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 {\displaystyle (A,\bullet )}에서 다음이 성립한다.

* (멱결합성 영어: power-associativity) 임의의 원소 x\in A에 대하여, x로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, x^{n} (n\in \mathbb {N} )과 같은 표현이 잘 정의된다.
* {\displaystyle (x^{m}\bullet y)\bullet x^{n}=x^{m}\bullet (y\bullet x^{n})\qquad \forall x,y\in A,\;m,n\in \mathbb {N} }

**두 명제의 증명:**

편의상, 결합자

{\displaystyle [a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)}
를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.

{\displaystyle [a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0}
{\displaystyle [a,b,c]=-[c,b,a]}
요르단 항등식에 의하여,

{\displaystyle ((\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)-((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}=0}
를 전개하고, {\displaystyle \alpha \beta \gamma }에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

{\displaystyle [b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0}
수학적 귀납법을 사용하여, {\displaystyle n\leq N}에 대하여 x^{n}이 잘 정의된다고 하자. 이제,

{\displaystyle m+n\leq N\implies [x^{m},y,x^{n}]=0}
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

{\displaystyle [x^{m},y,x^{n}]=[x^{m-1}x,y,x^{n}]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}
이므로, 이를 통해

{\displaystyle -[x^{n},y,x^{m}]=[x^{m},y,x^{n}]=m[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}
이다. 그런데 n=1로 놓으면

{\displaystyle -[x,y,x^{m}]=m[x,y,x^{m}]}
이 되어, 즉 {\displaystyle [x^{n},y,x^{m}]\propto [x,y,x^{m}]=0}이 된다.

### 맥도널드 원리

3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 {\displaystyle p(x,y,z)}이 주어졌다고 하자. 만약

* p가 x에 대하여 1차 이하이며,
* {\displaystyle p(x,y,z)=0}가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,

{\displaystyle p(x,y,z)=0}는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 **맥도널드 원리**(영어: Macdonald principle)라고 한다.:199, Theorem Ⅱ.5.1.1 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

### 형식적 실수 요르단 대수

**형식적 실수 요르단 대수**(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 A다.

임의의 x\_{1},\dots ,x\_{n}\in A\setminus \{0\}에 대하여, x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\dotsb +x\_{n}^{2}\neq 0이다.

분류
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실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 **단순 요르단 대수**(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

* n\times n 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}이다.
* n\times n 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}이다.
* n\times n 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}이다.
* \mathbb {R} ^{n}으로 생성되고 조건 x^{2}=\lVert x\rVert ^{2}을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 n+1차원 요르단 대수이며, **스핀 인자**(영어: spin factor) 또는 **클리퍼드형 대수**(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
* 3\times 3 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}이다. 이를 **예외 요르단 대수**(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 **앨버트 대수**(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.

| 기호 | 실수 차원 | 이름 | 정의 |
| --- | --- | --- | --- |
| \operatorname {H} (n;\mathbb {R} ) | n(n+1)/2 | n\times n 실수 대칭 행렬 대수 | {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} |
| {\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {C} )} | n^2 | n\times n 복소 에르미트 행렬 대수 | {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} |
| {\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {H} )} | n(2n-1) | n\times n 사원수 에르미트 행렬 대수 | {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} |
| {\displaystyle \operatorname {JSpin} (n)} | n+1 | 스핀 인자 {\mathbb R}\oplus {\mathbb R}^{n} | {\displaystyle (r,\mathbf {u} )\bullet (s,\mathbf {v} )=(rs+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ,r\mathbf {v} +s\mathbf {u} )} |
| {\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )} 또는 {\mathbb {A}} | 27 | 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수) | {\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2} |

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (0)=\mathbb {R} \qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}:50, §12
{\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (1+\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} )\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}:50, §13
구체적으로,

{\displaystyle a\_{-1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
{\displaystyle a\_{0}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle a\_{i}={\begin{pmatrix}0&e\_{i}\\-e\_{i}&0\end{pmatrix}}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\})}
로 잡으면,

{\displaystyle a\_{i}\bullet a\_{j}=\delta \_{ij}1\_{2\times 2}\qquad \forall i,j\in \{-1,0,1,\dotsc ,\dim \_{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\}}
임을 알 수 있다 (\delta \_{{ij}}는 크로네커 델타).

예
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### 자명한 요르단 대수

임의의 가환환 K에 대하여, 0차원 또는 1차원 K-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

### 결합 대수에 대응되는 요르단 대수

표수가 2가 아닌 체 K 위의 임의의 결합 대수 A가 주어졌을 때,

{\displaystyle x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

**증명**:

요르단 항등식을 증명하면 족하다.

{\displaystyle (x\bullet y)\bullet x^{2}=(xy+yx)x^{2}+x^{2}(xy+yx)=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}
{\displaystyle x\bullet (y\bullet x^{2})=x(yx^{2}+x^{2}y)+(yx^{2}+x^{2}y)x=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}

이는 K-결합 대수의 범주에서 K-요르단 대수의 범주로 가는 함자

{\displaystyle (-)^{+}\colon \operatorname {Assoc} \_{K}\to \operatorname {Jord} \_{K}}
를 정의한다.

### 자유 요르단 대수

주어진 체 K위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 **자유 요르단 대수**(영어: free Jordan algebra)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Jord} \_{K}\to \operatorname {Vect} \_{K}}
의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 K-벡터 공간이다.

하나의 원소 x로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 K[x]이다.

응용
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요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.

역사
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파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)
파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. X,Y가 에르미트 관측 가능량이라면 {\displaystyle X\bullet Y=(XY+YX)/2} 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼(영어: Kevin McCrimmon)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 "올바른" 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 요르단 대수의 이야기는 결합 법칙을 따르지 않는 곱 {\displaystyle x\bullet y}에 대한 이야기가 아니라, 가능한 한 결합 법칙을 최대한 따르는 이차 곱 {\displaystyle U\_{x}(y)}에 대한 이야기이다.
The story of Jordan algebras is not the story of a nonassociative product {\displaystyle x\bullet y}, it is the story of a quadratic product {\displaystyle U\_{x}(y)} which is about as associative as it can be. | "|
|   | — :8, §Ⅰ.0.2
 |

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6  McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001.
2. ↑  Jacobson, Nathan (1968). 《Structure and representations of Jordan algebras》. American Mathematical Society Colloquium Publication 39 (영어). Providence, R.I.: American Mathematical Society. MR 0251099. Zbl 0218.17010.
3. ↑  Jacobson, Nathan (1969). 《Lectures on quadratic Jordan algebras》 (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research.
4. ↑  Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984). 《Jordan Operator Algebras》 (영어). Monographs and Studies in Mathematics 21. Pitman. ISBN 0273086197.
5. 1 2 3 4 5  Jordan, Pascual; von Neumann, John; Wigner, Eugene (1934). "On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism". 《Annals of Mathematics》 (영어) **35** (1): 29–64. doi:10.2307/1968117. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968117. MR 1503141. Zbl 0008.42103.
6. ↑  Rios, Michael (2007년 3월). "Jordan algebras and extremal black holes" (영어). arXiv:hep-th/0703238. Bibcode:2007hep.th....3238R.
7. ↑  Jordan, Pascual (1933). "Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik". 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 (독일어) **41**: 209–217. JFM 59.0796.02. Zbl 0007.08502.
8. ↑  Jordan, Pascual (1933년 5월). "Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen". 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) **80**: 285–291. Bibcode:1933ZPhy...80..285J. doi:10.1007/BF01333854.