복소해석학에서 **항등 정리**(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

정의
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연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }에 정의된 두 정칙 함수 {\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} }가 주어졌고, 집합

{\displaystyle \{z\in D\colon f(z)=g(z)\}}
가 D에서 극한점을 갖는다고 하자. **항등 정리**에 따르면, 임의의 {\displaystyle z\in D}에 대하여 f(z)=g(z)이다.:209

특히, 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }에 정의된 정칙 함수 {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }의 영점의 집합은 D 전체이거나, D에서 극한점을 갖지 않는다.:208, Theorem 10.18 후자의 경우, f의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

증명
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연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }에 정의된 정칙 함수 {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }의 영점의 집합이 D에 속하는 극한점 {\displaystyle z\_{0}\in D}를 갖는다고 하자. 또한,

{\displaystyle S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots \}}
라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle S=D}임을 보이는 것으로 족하다.

우선 S\neq \varnothing 임을 보이자. {\displaystyle z\_{0}\in S}를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 {\displaystyle z\_{0}\not \in S}라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle m=\min\{n\geq 0\colon f^{(n)}(z\_{0})\neq 0\}}
이 정의된다. f는 연속 함수이므로, f(z\_{0})=0이며, 따라서 {\displaystyle m\geq 1}이다. {\displaystyle \operatorname {B} (z\_{0},r)\subseteq D}인 r>0을 고정하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z\_{0},r)}에 대하여,

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z\_{0})}{n!}}(z-z\_{0})^{n}=\sum \_{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z\_{0})}{n!}}(z-z\_{0})^{n}}
이다. 즉, 정칙 함수 {\displaystyle g\colon \operatorname {B} (z\_{0},r)\to \mathbb {C} }를

{\displaystyle g(z)=\sum \_{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z\_{0})}{n!}}(z-z\_{0})^{n-m}\qquad (z\in \operatorname {B} (z\_{0},r))}
와 같이 정의할 경우,

{\displaystyle g(z\_{0})={\frac {f^{(m)}(z\_{0})}{m!}}\neq 0}
이고, 임의의 {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z\_{0},r)}에 대하여

{\displaystyle f(z)=(z-z\_{0})^{m}g(z)}
이다. 따라서 r을 충분히 작게 다시 정의할 경우 g가 {\displaystyle \operatorname {B} (z\_{0},r)}에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 f는 {\displaystyle \operatorname {B} (z\_{0},r)\setminus \{z\_{0}\}}에서 영점을 갖지 않는다. 이는 z\_{0}이 E의 극한점인 데 모순이다.

이제 S가 열린집합임을 보이자. 임의의 {\displaystyle z\_{1}\in S}를 고정하고, {\displaystyle \operatorname {B} (z\_{1},r)\subseteq D}인 r>0을 고정하자. 그렇다면, f는 {\displaystyle z\_{1}}에서 정칙 함수이므로, 임의의 {\displaystyle z\in \operatorname {B} (z\_{1},r)}에 대하여

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z\_{1})}{n!}}(z-z\_{1})^{n}=0}
이다. 즉, {\displaystyle z\in S}이며, 따라서 {\displaystyle z\_{1}}은 S의 내부점이다.

마지막으로 S가 D의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 {\displaystyle z\_{2}\in S'\cap D}를 고정하자. (여기서 {\displaystyle (-)'}는 \mathbb {C} 에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 {\displaystyle n\geq 0}에 대하여, f^{{(n)}}이 연속 함수이므로 {\displaystyle f^{(n)}(z\_{2})=0}이다. 즉, {\displaystyle z\_{2}\in S}이다.

즉, S는 D의 열린닫힌집합이며, S\neq \varnothing 이다. D는 연결 집합이므로, {\displaystyle S=D}이다. 특히, 임의의 {\displaystyle z\in D}에 대하여, f(z)=0이다.

예
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항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }가 두 연결 성분 {\displaystyle D,U\setminus D}를 가질 때, 함수

f\colon U\to {\mathbb C}
{\displaystyle f(z)={\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}}\qquad (z\in U)}
는 정칙 함수이며, 영점 집합 D는 정의역 U 전체가 아니지만, D는 U에서 D의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.:210

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }
{\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})}
의 영점 집합

{\displaystyle \left\{{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}
은 {\displaystyle 0\not \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}을 극한점으로 한다.:97, §3.4, 예3

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-1/x^{2}\right)\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )}
는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

{\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}
의 극한점이다.:96, §3.4, 예2

참고 문헌
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* 강승필 (2007). 《해설 복소함수론》. 경문사.