**스티븐스 상수**(Stephens' Constant)에 대한 설명이다.

{\displaystyle \prod \_{p}\left(1-{{p} \over {p^{3}-1}}\right)=0.57595996889294543964316337549249669...}(OEIS의 수열 A065478)
스티븐스상수는 소수 및 오일러의 곱셈 공식과 관련하여 소수 분포 밀도에대한 수학 상수이다.

스티븐스(Stephens, P. J.)는 일반화된 리만 가설을 가정하고서, 소수에 대한 집합의 밀도를 표현해 보였다.

알틴상수와 스티븐스 상수
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{\displaystyle C\_{S}=\prod \_{p}\left(1-{{p} \over {p^{3}-1}}\right)}

**과정**:

{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(1-{{p} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p-p} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{p^{3}-p-1} \over {p^{3}-1}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {(p(p^{2}-1))+p-1}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p(p-1)}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{p(p^{2}-1)-1} \over {((p+1)^{2}-p)(p-1)}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{p(p^{2}-1)-{1}} \over {(p-1)}}\right)\left({{1} \over {((p+1)^{2}-p)}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{p\left((p^{2}-1)-{{1} \over {p}}\right)} \over {(p-1)}}\right)\left({{1} \over {p^{2}+2p+1-p}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {(p-1)}}\right)\left({{p} \over {p^{2}+p+1}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {(p-1)}}\right)\left({{p} \over {p(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {p(p-1)}}\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{{1} \over {p}} \over {p(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{p-1-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}

{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(C\_{A}+\left({{(p-1)-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle C\_{A}}는 알틴 상수
{\displaystyle \;\;\;=\prod \_{p}\left(C\_{A}+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}

란다우 토션트 상수 및 토션트 상수의 스트븐스 상수 표현
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{\displaystyle C\_{S}=\prod \_{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle C\_{S}=\prod \_{p}\left(C\_{Lt}-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle C\_{S}=\prod \_{p}\left(C\_{Lt}-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)+C\_{t}-\left({{p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}
{\displaystyle C\_{Lt}=} 란다우 토션트 상수
{\displaystyle C\_{Lt}=\prod \_{p}\left(1+{{1} \over {p(p-1)}}\right)}
{\displaystyle C\_{t}=} 토션트 상수
{\displaystyle C\_{t}=\prod \_{p}^{}\left(1+{{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)}

참고
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1. ↑  (Stephen 1976)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.
2. ↑  Mathematical Constants (공)저: Steven R. Finch -StephensConstant,with Artin's Constant(2.4)

* (Binary strings without zigzags

Emanuele Munarini - Norma Zagaglia Salvi,S´eminaire Lotharingien de Combinatoire 49 (2004), Article B49h) ()

* (매스월드)
* (OEIS)
* (OEIS)
* (OEIS)Sequence in context: A136644 A111963 A206923 \* A176982 A079728 A181801
* (Stephens' constant)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.