**SageMath**(과거 명칭: Sage 또는 SAGE, "System for Algebra and Geometry Experimentation")는 대수학, 조합론, 그래프 이론, 수치해석, 수론, 미적분학, 통계학 등 수학의 다양한 분야의 기능을 갖춘 컴퓨터 대수학 시스템이다.

SageMath의 첫 버전은 2005년 2월 24일 GNU 일반 공중 사용 허가서를 따르는 오픈 소스 자유 소프트웨어로 배포되었다. SageMath는 마그마, 메이플, 매스매티카, MATLAB을 대체하는 오픈 소스 소프트웨어를 개발하는 것을 목적으로 개발되었다.

사용 예제
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### 대수 및 미적분

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x, a, b, c = var('x, a, b, c')
# Note that IPython also supports a faster way to do this, by calling
# this equivalent expression starting with a comma:
# ,var x a b c

log(sqrt(a)).simplify\_log() # returns 1/2\*log(a)
log(a / b).expand\_log() # returns log(a) - log(b)
sin(a + b).simplify\_trig() # returns sin(a)\*cos(b) + sin(b)\*cos(a)
cos(a + b).simplify\_trig() # returns -sin(a)\*sin(b) + cos(a)\*cos(b)
(a + b)^5 # returns (a + b)^5
expand((a + b) ^ 5) # a^5 + 5\*a^4\*b + 10\*a^3\*b^2 + 10\*a^2\*b^3 + 5\*a\*b^4 + b^5

limit((x ^ 2 + 1) / (2 + x + 3 \* x ^ 2), x=Infinity) # returns 1/3
limit(sin(x) / x, x=0) # returns 1

diff(acos(x), x) # returns -1/sqrt(-x^2 + 1)
f = exp(x) \* log(x)
f.diff(x, 3) # returns e^x\*log(x) + 3\*e^x/x - 3\*e^x/x^2 + 2\*e^x/x^3

solve(a \* x ^ 2 + b \* x + c, x) # returns [x == -1/2\*(b + sqrt(-4\*a\*c + b^2))/a,
                                # x == -1/2\*(b - sqrt(-4\*a\*c + b^2))/a]

f = x ^ 2 + 432 / x
solve(f.diff(x) == 0, x) # returns [x == 3\*I\*sqrt(3) - 3,
                         # x == -3\*I\*sqrt(3) - 3, x == 6]

```

### 미분 방정식

```
t = var('t') # define a variable t
x = function('x')(t) # define x to be a function of that variable
de = (diff(x, t) + x == 1)
desolve(de, [x, t]) # returns (c + e^t)\*e^(-t)

```

### 선형 대수

```
A = matrix([[1, 2, 3], [3, 2, 1], [1, 1, 1]])
y = vector([0, -4, -1])
A.solve\_right(y) # returns (-2, 1, 0)
A.eigenvalues() # returns [5, 0, -1]

B = matrix([[1, 2, 3], [3, 2, 1], [1, 2, 1]])
B.inverse() # returns
   [   0  1/2 -1/2]
   [-1/4 -1/4    1]
   [ 1/2    0 -1/2]

# same matrix, but over the ring of doubles (not rationals, as above)
sage: B = matrix(RDF, [[1, 2, 3], [3, 2, 1], [1, 2, 1]])
sage: B.inverse()

[-5.55111512313e-17                0.5               -0.5]
[             -0.25              -0.25                1.0]
[               0.5                0.0               -0.5]

# The Moore-Penrose pseudo-inverse
sage: C = matrix([[1 , 1], [2 , 2]])
sage: C.pseudoinverse()
[1/10  1/5]
[1/10  1/5]

# Alternatively, call NumPy for the pseudo-inverse
# (only numerical)
import numpy
C = matrix([[1 , 1], [2 , 2]])
matrix(numpy.linalg.pinv(C)) # returns
   [0.1 0.2]
   [0.1 0.2]

```

### 정수론

```
prime\_pi(1000000) # returns 78498, the number of primes less than one million

E = EllipticCurve('389a') # construct an elliptic curve from its Cremona label
P, Q = E.gens()
7 \* P + Q # returns (24187731458439253/244328192262001 :
          # 3778434777075334029261244/3819094217575529893001 : 1)

```

```
sage: E2 = EllipticCurve(CC, [0,0,-2,1,1])
sage: E2
Elliptic Curve defined by y^2 + (-2.00000000000000)*y = 
         x^3 + 1.00000000000000*x + 1.00000000000000 over
         Complex Field with 53 bits of precision
sage: E2.j_invariant()
61.7142857142857

```

### 가환대수

```
sage: P.<x, y, z> = PolynomialRing(QQ) # polynomial ring in x, y, z over the rationals
sage: (x\*\*3 + y\*\*3 + z\*\*3 - 3\*x\*y\*z).factor()
(x + y + z) \* (x^2 - x\*y + y^2 - x\*z - y\*z + z^2)

sage: I = P.ideal(x\*\*2, x\*y - y\*\*2) # ideals defined by generators
sage: I.groebner\_basis()
[y^3, x^2, x\*y - y^2]

```