범주론에서 **정칙 범주**(正則範疇, 영어: regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

정의
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### 정칙 사상

범주 {\mathcal {C}}에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 쌍대 동등자

{\displaystyle \operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q}
로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 전사 사상**(영어: regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 {\mathcal {C}}에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 동등자

{\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X}
로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 단사 사상**(영어: regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

### 유효 사상

사상 f\colon X\to Y가 스스로와의 당김

\pi \_{1},\pi \_{2}\colon X\times \_{Y}X\to X
을 가지며, {\displaystyle \pi \_{1},\pi \_{2}}의 쌍대 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 전사 사상**(영어: effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 **핵쌍**(영어: kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 f\colon X\to Y가 스스로와의 밂

{\displaystyle \iota \_{1},\iota \_{2}\colon Y\to Y\sqcup \_{X}Y}
을 가지며, {\displaystyle \iota \_{1},\iota \_{2}}의 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 단사 사상**(영어: effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, {\displaystyle \iota \_{1},\iota \_{2}}의 동등자는 f의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

### 정칙 범주

범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건들을 만족시킨다면 **정칙 범주**라고 한다.

* 유한 완비 범주이다.
* 임의의 사상 f\colon X\to Y의 스스로에 대한 당김 {\displaystyle {\xleftarrow {\pi \_{1}}}XX\times \_{Y}X{\xrightarrow {\pi \_{2}}}X}에 대하여, {\displaystyle \pi \_{0},\pi \_{1}\colon X\times \_{Y}X\to X}의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 f의 **핵쌍**이라고 한다.
* 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 **정칙 함자** F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.

* 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
* 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.

작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 {\displaystyle \operatorname {RegCat} }라고 하자.

### 유효 정칙 범주

정칙 범주 {\mathcal {C}}가 다음 조건을 만족시킨다면, **유효 정칙 범주**(영어: effective regular category) 또는 **바 완전 범주**(영어: Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)

* 임의의 대상 X가 주어졌으며, X\times X의 부분 대상 {\displaystyle r\colon Y\hookrightarrow X\times X}가 동치 관계를 이룰 때, r는 핵쌍으로부터 유도된다.

성질
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정칙 범주 {\mathcal {C}}에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 {\displaystyle \operatorname {RegEpi} ({\mathcal {C}})}과 단사 사상들의 모임 {\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})}은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여,

{\displaystyle f=m\circ e}
인 정칙 전사 사상 {\displaystyle e\colon X\to Y'}과 단사 사상 {\displaystyle m\colon Y'\to Y}이 존재한다. Y의 부분 대상 m을 f의 **치역**이라고 한다.

### 정칙 사상

임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
* 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
* 동형 사상이다.

(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 f\colon X\to Y 및 그 왼쪽 역사상 {\displaystyle r\colon Y\to X}이 주어졌을 때 {\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} \_{Y}\}}이기 때문이다. 마찬가지로,
분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 f\colon X\to Y 및 그 오른쪽 역사상 {\displaystyle s\colon Y\to X}이 주어졌을 때 {\displaystyle f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} \_{X}\}}이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 f\colon X\to Y의 스스로와의 당김 X\times \_{Y}X이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.

* 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
* 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

### 완전열

정칙 범주 {\mathcal {C}} 속에서, **짧은 완전열**은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

{\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}
여기서

* {\displaystyle \{\iota ,\iota '\}}는 q의 핵쌍이다.

만약 {\mathcal {C}}가 추가로 아벨 범주라면, {\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은

{\displaystyle 0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0}
가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

### 정칙 논리

1차 논리에서 **정칙 공식**(영어: regular formula)은

* 명제 변수 {\displaystyle P\_{1},P\_{2},\dots }
* 논리곱 \land
* 존재 기호 \exists

만으로 나타낼 수 있는 공식이다. **정칙 논리**는

{\displaystyle \forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))}
꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 {\mathcal {C}}의 끝 대상 1\in {\mathcal {C}}을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

| 정칙 논리 | 정칙 범주 |
| --- | --- |
| 종류(영어: sort) | {\mathcal {C}}의 대상 X\in {\mathcal {C}} |
| {\displaystyle \forall (x:X),(x':X)\colon x=x'}인 종류 X | 끝 대상 1\in {\mathcal {C}} |
| 종류 X의 상수 c | 사상 {\displaystyle c\colon 1\to X} |
| 종류 X\to Y의 함수 f | 사상 f\colon X\to Y |
| 함수의 합성 f\circ g | 사상의 합성 f\circ g |
| {\displaystyle \forall (x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'}가 성립하는 함수 f | 단사 사상 {\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y} |
| 종류 Y에 대한 술어 {\displaystyle R(y)\iff \exists x\in X\colon f(x)=y} | 부분 대상 {\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y} |
| {\displaystyle \forall (y\colon Y)\exists (x\colon X)\colon f(x)=y}가 성립하는 함수 f | 정칙 전사 사상 f\colon X\twoheadrightarrow Y |
| {\displaystyle \forall (z,z'\colon X\times Y)\colon \pi \_{X}(z)=\pi \_{X}(z')\land \pi \_{Y}(z)=\pi \_{Y}(z')\implies z=z'},{\displaystyle \forall (x\colon X)\forall (y\colon Y)\exists (z\colon X\times Y)\colon (\pi \_{X}(z)=x\land \pi \_{Y}(z)=y)} | 곱 {\displaystyle X{\overset {\pi \_{X}}{\leftarrow }}X\times Y{\overset {\pi \_{Y}}{\to }}Y} |
| {\displaystyle \forall (x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies \exists (y:Y)\colon h(y)=x} | 동등자 {\displaystyle h\colon Y\hookrightarrow X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y} |

참고 문헌
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* Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **236**. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0058579. ISSN 0075-8434.
* Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》. Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series (영어) **98–2**. ISSN 1395-2048.
* Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) **97**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107340985. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.