모형 이론에서 **정의 가능 집합**(定義可能集合, 영어: definable set)은 어떤 주어진 언어의 모형 속의, 어떤 술어를 만족시키는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의
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1차 논리 언어 {\mathcal L}에 대한 모형 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M의 부분 집합 {\displaystyle A\subseteq M}이 다음 조건을 만족시킨다면, A를 M의 **정의 가능 집합**이라고 한다.:762, §3

{\displaystyle \{x\in M\colon \phi (m)\}}이 성립하는, 하나의 자유 변수 x를 갖는 명제 \phi (x)가 존재한다.

성질
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언어 {\mathcal L}의 모형 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, (고전 명제 논리의 경우) M의 정의 가능 부분 집합들의 집합족 {\displaystyle \operatorname {Def} (M)\subseteq {\mathcal {P}}(M)}은 불 대수인 멱집합 {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}의 부분 불 대수를 이룬다. 즉,

{\displaystyle M\setminus \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\lnot \phi )^{M}(x)\}}
{\displaystyle \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cap \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \land \chi )^{M}(x)\}}
{\displaystyle \{x\in M\colon \phi ^{M}(x)\}\cup \{x\in M\colon \chi ^{M}(x)\}=\{x\in M\colon (\phi \lor \chi )^{M}(x)\}}
이다.

### 자기 동형의 고정점

언어 {\mathcal L}의 모형 M 및 그 위의 {\mathcal L}-자기 동형 사상 \phi \colon M\to M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, M의 정의 가능 집합 {\displaystyle A\subseteq M}은 \phi 의 고정점이다. 즉,

{\displaystyle \phi (A)=\{\phi (a)\colon a\in A\}=A}
이다.

### 베트 정의 가능성 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 1차 논리 언어 {\mathcal L}
* {\mathcal L}에 속하지 않는 술어 {\displaystyle {\mathsf {P}}(-)}. {\mathcal L}에 {\displaystyle {\mathsf {P}}}를 추가한 언어를 {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\mathsf {P}}}라고 하자.
* {\mathcal L}-문장들의 집합 {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}

**베트 정의 가능성 정리**(영어: Beth definability theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:762, §

* (명시적 정의 가능성) {\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \forall x({\mathsf {P}}(x)\iff \phi (x))}가 성립하는 {\mathcal L}-술어 \phi 가 존재한다.
* (암시적 정의 가능성) \mathcal T의 임의의 모형 M에 대하여, M을 확장하는 {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\mathsf {P}}}-구조는 유일하다.

예
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### 전순서 집합으로서의 자연수

자연수의 전순서 집합의 1차 논리 언어

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\text{toset}}=\{\leq \}}
에서, 모든 유한 집합은 정의 가능 집합이다. 예를 들어, 다음과 같은 일련의 술어들을 정의하자.

{\displaystyle \phi \_{k}(x)=\forall n\colon \left(n\leq x\implies n=x\lor \phi \_{1}(x)\lor \cdots \lor \phi \_{k-1}(x)\right)}
그렇다면, 모형 ({\mathbb N},\leq )에서,

{\displaystyle \{x\in \mathbb {N} \colon \phi \_{k}^{\mathbb {N} }(x)\}=\{k\}}
이며, 마찬가지로 모든 유한 집합은

{\displaystyle \phi \_{k\_{1}}(x)\lor \phi \_{k\_{2}}(x)\lor \cdots \lor \phi \_{k\_{p}}(x)}
의 꼴의 술어로 정의할 수 있다.

반면, {\mathbb N}의 무한 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아닐 수 있다. 사실, {\mathbb N}의 정의 가능 집합들의 수는 \aleph\_0이지만 {\mathbb N}의 모든 부분 집합들의 수는 2^{\aleph \_{0}}이므로, {\mathbb N}의 대부분의 부분 집합들은 정의 가능 집합이 아니다.

### 반환으로서의 자연수

반환의 1차 논리 언어

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\text{semiring}}=\{0,1,+,\cdot \}}
를 생각하자. 자연수의 반환 {\mathbb N}은 이 언어의 모형을 이룬다. 반환의 언어로 정의 가능한 {\mathbb N}의 부분 집합을 **산술 집합**(영어: arithmetical set)이라고 한다.

반환의 언어로 자연수의 전순서를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle x\leq y\iff \exists z\colon x+z=y}
따라서, 전순서 집합의 언어로 정의 가능한 자연수 집합은 항상 반환의 언어로도 정의 가능하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 전순서 집합으로서의 정수

정수의 전순서 집합 {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}는 전순서 집합의 1차 논리 언어

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\text{toset}}=\{\leq \}}
의 모형이다. 이 경우, n\mapsto n+1은 \mathbb {Z} 의 자기 동형 사상이다. 따라서, \mathbb {Z} 의 정의 가능 집합들은 이 자기 동형 사상에 대하여 불변이어야 하므로, \mathbb {Z} 의 정의 가능 집합은 공집합과 \mathbb {Z}  전체 밖에 없다. (이들은 각각 항상 거짓인 술어와 항상 참인 술어를 통해 정의된다.)

역사
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베트 정리는 1900년에 알레산드로 파도아(이탈리아어: Alessandro Padoa, 1868~1937)가 최초로 도입하였다. 이후 1953년에 에버르트 빌럼 베트(네덜란드어: Evert Willem Beth, 1908~1964)가 이를 1차 논리에 대하여 재증명하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Swĳtink, Zeno (1998). 〈Beth’s theorem and Craig’s theorem〉 (PDF). Craig, Edward. 《Routledge Encyclopedia of Philosophy》 (영어). Routledge. 760–764쪽. doi:10.4324/9780415249126-Y021-1. ISBN 978-041507310-3.
2. ↑  Padoa, Alessandro (1901). 〈Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une introduction logique à une théorie déductive quenconque〉. 《Bibliothèque du congrès international de philosophie III: logique et histoire des sciences》 (프랑스어). 파리: Librairie Armand Colin. 309–365쪽.
3. ↑  Beth, Evert Willem (1953). "On Padoa’s method in the theory of definition". 《Indagationes Mathematicae》 (영어) **15**: 30-39. ISSN 0019-3577. MR 58537.

* Makkai, Michael (1993). 《Duality and definability in first order logic》. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) **503**. ISBN 978-0-8218-2565-5.