**감쇠장**(減衰場, 영어: evanescent field) 또는 **소산장**(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 **소멸파**(消滅波, 영어: evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.

도체 속에서의 전자기파
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일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 {\displaystyle {\vec {J\_{free}}}\neq 0}이다. 옴의 법칙에 따르면, {\displaystyle {\vec {J\_{free}}}=\sigma {\vec {E}}}이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho \_{free}}{\epsilon }}}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

  

이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.

{\displaystyle {\frac {\partial \rho \_{free}}{\partial t}}=-\sigma ({\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}})=-{\frac {\sigma }{\epsilon }}\rho \_{free}}

  

따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.

{\displaystyle \rho \_{free}(t)=e^{-{\frac {\sigma }{\epsilon }}t}\rho \_{free}(0)}

  

이 때, 고유시간 {\displaystyle \tau =\epsilon /\sigma }는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 {\displaystyle \sigma =\infty }이므로 {\displaystyle \tau =0}이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}=0}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

{\displaystyle {\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

  

이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.

{\displaystyle \triangledown ^{2}{\vec {E}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

{\displaystyle \triangledown ^{2}{\vec {B}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

  

이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.

{\displaystyle {\widetilde {\vec {E}}}(z,t)={\widetilde {\vec {E\_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}}

{\displaystyle {\widetilde {\vec {B}}}(z,t)={\widetilde {\vec {B\_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}}

  

이 때, {\displaystyle {\widetilde {k}}^{2}=\mu \epsilon \omega ^{2}+i\mu \sigma \omega }이므로, {\displaystyle {\widetilde {k}}}는 복소수이고, {\displaystyle {\widetilde {k}}=k+i\kappa }라고 할 때,

{\displaystyle k=\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}+1]^{\frac {1}{2}}}

{\displaystyle \kappa =\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}-1]^{\frac {1}{2}}}

  

로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.

{\displaystyle {\vec {E}}(z,t)=E\_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta \_{E})}

{\displaystyle {\vec {B}}(z,t)=B\_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta \_{E}+\phi )}

  

이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.

이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파
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### 소개

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평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.
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### 소멸파에 대한 Christoffel equation

조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle u\_{n}=U\_{n}e^{i\omega (m\_{j}x\_{j}-t)}}

(이 때, {\displaystyle {\vec {u}}}는 변위벡터, {\displaystyle {\vec {U}}}는 단위 편광 벡터, {\displaystyle \omega }는 각속도 {\displaystyle {\vec {m}}}은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 {\displaystyle {\vec {k}}=\omega {\vec {m}}}이다.)

  

이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.

{\displaystyle m\_{j}=m\_{j}^{re}+im\_{j}^{im}}

{\displaystyle u\_{n}=U\_{n}e^{i\omega (m\_{j}^{re}x\_{j}-t)-\omega m\_{j}^{im}x\_{j}}}

  

이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.

{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u\_{i}}{\partial t^{2}}}-c\_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u\_{k}}{\partial x\_{j}\partial x{l}}}=0}

(일반적으로 {\displaystyle c\_{ijkl}}은 christoffel matrix라고 물리우며, {\displaystyle G\_{ik}}로 쓰인다. 여기서 {\displaystyle \delta \_{ik}}는 Kronecker symbol이다.)

  

소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 {\displaystyle \ vec{m},{\vec {U}}}에 대한 coupled equation을 준다.

지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor {\displaystyle c\_{ijkl}}는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.

{\displaystyle |{\vec {m}}^{re}|^{2}={\frac {1}{V^{2}}}+|{\vec {m}}^{im}|^{2}}

{\displaystyle {\vec {m}}^{re}\cdot {\vec {m}}^{im}=0}

(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, {\displaystyle {\vec {m}}^{im}}에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 {\displaystyle {\vec {m}}^{re}}에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.

  

{\displaystyle {\vec {m}}^{im}}의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도({\displaystyle {\frac {1}{|{\vec {m}}^{re}|}}})는 {\displaystyle |{\vec {m}}^{im}|}의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.

이 때, 소멸파는 [{\displaystyle x\_{1}}, {\displaystyle x\_{2}}] plane으로 진행하며, {\displaystyle x\_{3}} 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [{\displaystyle x\_{1}} , {\displaystyle x\_{3}}]에서 다루기에 충분하다. 따라서 {\displaystyle m\_{2}=0}이다.

{\displaystyle {\vec {m}}^{re}=\{m\_{1}^{re},0,0\},{\vec {m}}^{im}=\{0,0,m\_{3}^{im}\}}

  

따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle u\_{n}=U\_{n}e^{i\omega (m\_{1}x\_{1}-t)-\omega m\_{3}x\_{3}}}

  

그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 {\displaystyle c\_{ijkl}m\_{j}m\_{l}-\rho \delta \_{ik}=0}에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.

{\displaystyle [c\_{11}(m\_{1}^{re})^{2}-c\_{55}(m\_{3}^{im})^{2}-\rho ]U\_{1}+i(c\_{13}+c\_{55})m\_{1}^{re}m\_{3}^{im}U\_{3}=0}

{\displaystyle [c\_{66}(m\_{1}^{re})^{2}-c\_{55}(m\_{3}^{im})^{2}-\rho ]U\_{2}=0}

{\displaystyle i(c\_{13}+c\_{55})m\_{1}^{re}m\_{3}^{im}U\_{1}+[c\_{55}(m\_{1}^{re})^{2}-c\_{33}(m\_{3}^{im})^{2}-\rho ]U\_{3}=0}

  

여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.

### SH-wave에 대한 정확한 해

SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [{\displaystyle x\_{1}}, {\displaystyle x\_{3}}]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.

{\displaystyle c\_{66}m\_{1}^{2}-c\_{55}m\_{3}^{2}-\rho =0}

  

이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

{\displaystyle m\_{1}^{2}={\frac {1}{V\_{hor,SH}^{2}}}+{\frac {c\_{55}}{c\_{66}}}m\_{3}^{2}={\frac {1}{1+2\gamma }}({\frac {1}{V\_{S0}^{2}+m\_{3}^{2}}})}

{\displaystyle V\_{hor,SH}={\sqrt {\frac {c\_{66}}{\rho }}}=V\_{S0}{\sqrt {1+2\gamma }}}

(여기서 \gamma 는 Thomsen anisotropy parameter이며, {\displaystyle \gamma ={\frac {c\_{66}-c\_{55}}{2c\_{55}}}}이고, {\displaystyle V\_{S0}}는 shear-wave vertical velocity로 {\displaystyle V\_{S0}={\sqrt {\frac {c\_{55}}{\rho }}}}이다. 또한 {\displaystyle V\_{hor,SH}}는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.)

  

등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 {\displaystyle V\_{hor,SH}} 보다 {\displaystyle |m\_{3}|}만큼 작았다. 일반적으로 \gamma 는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 {\displaystyle m\_{1}} 값에 대해 {\displaystyle m\_{3}^{2}}값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.

  

### P-wave와 SV-wave의 정확한 해

P-wave와 SV-wave는 각각

{\displaystyle [c\_{11}(m\_{1}^{re})^{2}-c\_{55}(m\_{3}^{im})^{2}-\rho ]U\_{1}+i(c\_{13}+c\_{55})m\_{1}^{re}m\_{3}^{im}U\_{3}=0}

{\displaystyle i(c\_{13}+c\_{55})m\_{1}^{re}m\_{3}^{im}U\_{1}+[c\_{55}(m\_{1}^{re})^{2}-c\_{33}(m\_{3}^{im})^{2}-\rho ]U\_{3}=0}

에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 {\displaystyle {\vec {U}}}에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.

등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 {\displaystyle U\_{1},U\_{3}}를 각각 실수, 허수로 정하였다.

(단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 {\displaystyle U\_{1},U\_{3}}는 언제든지 complex로 정할 수 있다.)

만일 {\displaystyle U\_{1}}이 실수이고, {\displaystyle U\_{3}=i|U\_{3}|}라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.

{\displaystyle (c\_{11}m\_{1}^{2}-c\_{55}m\_{3}^{2}-\rho )U\_{1}-(c\_{13}+c\_{55})m\_{1}m\_{3}|U\_{3}|=0}

{\displaystyle (c\_{13}+c\_{55})m\_{1}m\_{3}U\_{1}+(c\_{55}m\_{1}^{2}-c\_{33}m\_{3}^{2}-\rho )|U\_{3}|=0}

  

위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 {\displaystyle U\_{1}}과 {\displaystyle |U\_{3}|}에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,

{\displaystyle (c\_{11}m\_{1}^{2}-c\_{55}m\_{3}^{2}-\rho )(c\_{55}m{1}^{2}-c\_{33}m\_{3}^{2}-\rho )+(c\_{13}+c\_{55})^{2}m\_{1}^{2}m\_{3}^{2}=0}

  

### P-wave에 대한 약한 이방성 근사

{\displaystyle m\_{1}}과 {\displaystyle m\_{3}}에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 {\displaystyle |m\_{1}|}이 {\displaystyle |m\_{3}|}보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

{\displaystyle m\_{1}^{2}={\frac {1}{V\_{hor}^{2}}}+m\_{3}^{2}(1-4\epsilon +2\delta )-2m\_{3}^{4}V\_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )}

(단, {\displaystyle V\_{hor}=V\_{P0}{\sqrt {1+2\epsilon }}})

  

만일 {\displaystyle \epsilon =\delta =0}이라면 {\displaystyle m\_{1}^{2}={\frac {1}{V\_{P0}^{2}}}+m\_{3}^{2}}이므로,

{\displaystyle m\_{1}}은 {\displaystyle m\_{3}}가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.

만일 {\displaystyle \epsilon }과 \delta 가 {\displaystyle V\_{hor}}과 {\displaystyle m\_{3}^{2}}항에 대해 큰 변화를 주고, {\displaystyle m\_{3}^{4}}항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

{\displaystyle {\frac {m\_{1}^{2}}{{\frac {1}{V\_{P0}^{2}}}+m\_{3}^{2}}}=1-2\epsilon -2m\_{3}^{2}V\_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )}

  

{\displaystyle m\_{3}V\_{P0}}의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 {\displaystyle \epsilon }에 의해서 조정된다.

일반적인 TI 모델은 {\displaystyle \epsilon >0,\epsilon >\delta }인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 {\displaystyle m\_{3}}에 대해 {\displaystyle m\_{1}}를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 {\displaystyle m\_{1}}에 대해서 이방성 성분이 {\displaystyle m\_{3}}을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.

  

### SV-wave에 대한 약한 이방성 근사

P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.

{\displaystyle m\_{1}^{2}={\frac {1}{V\_{S0}^{2}}}+m\_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m\_{3}^{4}V\_{S0}^{2}\sigma }

  

그리고 {\displaystyle \rho =(V\_{P0}^{2}/V\_{S0}^{2})(\epsilon -\delta )} 이므로,

{\displaystyle m\_{1}^{2}={\frac {1}{V\_{S0}^{2}}}+m\_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m\_{3}^{4}V\_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )}

  

이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 {\displaystyle V\_{S0}}와 같다.

일반적으로 \sigma 는 0보다 크기 때문에 이는 {\displaystyle m\_{3}}를 줄이기 때문에, 고정된 {\displaystyle m\_{1}} 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.