일 차원의 완화자이다(위쪽). 아래는 빨간색은 꺽인 점(왼쪽)과 뾰족한 도약(오른쪽)이 있는 함수이고, 파란색은 완화된 형태이다.
수학에서 **완화자**는 분포 이론에서 합성곱으로 매끄럽지 않은 (일반화된) 함수를 근사해 매끄러운 함수의 수열을 만들 때 쓰이는 매끄러운 함수이다. 직관적으로 주어진 불규칙한 함수가 완화자로 합성곱을 취한 함수는 "완화"된 것이다. 즉 원래의 매끄럽지않은 (일반화된) 함수화 가까우면서 그 날카로운 특징이 매끄러워질 것이다. 이것을 만든 커트 오토 프리드리히(Kurt Otto Friedrichs) 이후 **프리드리히 완화자**로 불리게 되었다.

역사적 메모
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완화자는 편미분방정식의 고전적인 이론의 분기점으로 불리는 커트 오토 프리드리히의 논문 (Friedrichs 1944, pp. 136–139)에서 알려졌다. 이 수학적 대상의 이름은 기이한 기원을 가지고 있다: 럭스 페테르는 이 이름에 관한 이야기를 그의 주석(Friedrichs 1986, volume 1, p. 117)에서 밝혔다. 럭스에 의하면, 그 때에 수학자 도날드 알렉산더 플랜더스는 프리드리히의 동료였다: 그는 영어 사용에 관하여 조언하는 것을 즐겨했기 때문에 그는 플랜더스에게 자신이 사용하는 매끄럽게 하는 연산자의 이름에 관하여 조언을 구했다. 플랜더스는 청도교였기 때문에 그의 친구 Moll이 그의 도덕적 자질을 인정받아 몰 플랜더스(Moll Flanders)라는 이름을 얻게 되었다: 따라서 그는 두 플랜더스의 새로운 이름과 동사'완화하다'(to mollify)를 결합한 말장난으로 새로운 수학적 개념을 "mollifier" 라고 이름붙였다. 이는 비유적으로 '매끄럽게 하다'라는 의미를 가진다.

이전에 세르게이 리보비치 소볼레프가 완화자를 그의 1938년에 논문에 사용했다. 그 논문은 소볼레프 내장 정리의 증명을 포함한다: Friedrichs (1953, 196쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1953 (help)는 스스로 완화자를 처음 소개한것은 소블레프의 업적이였음을 인정했다:-"*이 완화자는 소볼라프와 그 저자에 의해서 소개되었다...*".

완화자의 개념에 약간의 오해가 있음을 지적해야 한다: 프리드리히는 "**완화자**"를 그 커널이 지금 완화자라고 하는 함수의 일종인 적분 연산자라고 정의했다. 하지만 그 선형 적분의 특성은 그 커널에 의해 완전히 결정되었기 때문에 완화자라는 이름은 일반적으로 많이 사용되는 커널이 물려받게 되었다.

정의
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점진적인 완화를 거치고 있는 함수이다.
### 현대적(분포 기반) 정의

Definition 1. 만약 *\varphi* 가 ℝ*n*, *n* ≥ 1에서 다음의 세 조건을 만족하는 매끄러운 함수라면

(1)   콤팩트 지지집합을 가지고 있어야 한다
(2)  {\displaystyle \int \_{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}
(3)  {\displaystyle \lim \_{\epsilon \to 0}\varphi \_{\epsilon }(x)=\lim \_{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}
여기서 {\displaystyle \delta (x)} *\varphi*는 **완화자**이다. 함수 *\varphi* 는 또한 다음의 조건들을 만족할 수 있다: 예를 들어 이것이 다음을 만족한다면

(4)   모든 *x* ∈ ℝ*n*,에 대해서 \varphi (x) ≥ 0 라면 이것은 **양의 완화자**라고 불린다
(5)   어떤 무한히 미분가능한 함수 *\mu*  : ℝ+ → ℝ에 대하여 \varphi (x)=\mu (|x|)라면 이것은 **대칭 완화자**라고 불린다
### 프리드리히의 정의에 대한 주석

**주 1**. 분포 이론이 여전히 넓게 알려지지도 사용되지도 않았을 때, 위의 특징 **(3)**은 함수 *{\displaystyle \scriptstyle \varphi \_{\epsilon }}*와 적절한 힐베르트나 바나흐 공간에 속해 있는 주어진 함수의 합성곱이 마지막에 *ε* → 0으로 수렴한다고 말함으로써 얻어졌다: 이것이 정확히 프리드리히가 한 것이다. 이것은 또한 완화자가 왜 approximate identities와 관계가 있는지를 명확히한다.

**주 2**. 이 문서의 "역사적 메모"에서 간략히 설명했듯이 용어 "완화자"는 다음의 합성곱 연산자를 정의하는 것이였다:

{\displaystyle \Phi \_{\epsilon }(f)(x)=\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\varphi \_{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}
여기서 {\displaystyle \scriptstyle \varphi \_{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )} 이고 *\varphi*는 위에서 기술한 처음 세 조건을 만족하고 하나 이상의 추가조건을 만족하는 매끄러운 함수이다.

구체적인 예
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다음과 같이 정의된 ℝ*n* 에서 변수를 갖는 함수 {\displaystyle \varphi (x)}를 생각해보자

{\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I\_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}

여기서 수치적 상수 {\displaystyle I\_{n}}은 정상화를 보장한다. 이것은 쉽게 이 함수가 무한히 미분가능하고, 비 해석적이며 미분계수가 |*x*| = 1에서 0이 되는 것을 볼 수 있다. *\varphi*는 따라서 위에서 서술한대로 완화자로 사용할 수 있다: 이것은 또한 쉽게 *\varphi*(x)가 *양이면서 대칭인 완화자*임을 볼 수 있다.

일 차원에서 함수 {\displaystyle \varphi (x)}

특성
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완화자의 모든 속성은 합성곱의 연산의 행태와 관련되어 있다: 다음은 분포 이론의 내용에서 찾을 수 있는 모든 증명의 목록이다.

### 매끄럽게하기 속성

어떤 분포 T에 대해 실수 \epsilon 

{\displaystyle T\_{\epsilon }=T\ast \varphi \_{\epsilon }}
여기서 {\displaystyle \ast } 합성곱이며, 이것은 매끄러운 함수이다.

### Approximation of identity

어떤 분포 T에 대하여 실수 \epsilon  의 지표를 갖는 다음의 합성곱은 T

{\displaystyle \lim \_{\epsilon \to 0}T\_{\epsilon }=\lim \_{\epsilon \to 0}T\ast \varphi \_{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}
### 합성곱의 지지

어떤 분포 T

{\displaystyle \mathrm {supp} T\_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi \_{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi \_{\epsilon }}
여기서 {\displaystyle \mathrm {supp} }은 분포의 의미에서 지지를 나타내며, + 는 민코프스키 덧셈을 나타낸다.

적용
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완화자의 기본적인 적용은 매끄러운 함수에 유효한 특성들이 매끄럽지 않은 경우에도 유효한지 증명하는 것이다:

### 분포의 결과

일부 일반화된 함수의 이론에서, 완화자는 분포의 곱셈을 정의하는데 사용된다: 정확하게, S와 T

{\displaystyle \lim \_{\epsilon \to 0}S\_{\epsilon }\cdot T=\lim \_{\epsilon \to 0}S\cdot T\_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}
은 다양한 일반화된 함수의 이론에서 그 생산물을 (만약 존재한다면)정의한다.

### "약=강" 이론

매우 비공식적으로 완화자는 두 다른 종류의 미분연산자의 확장의 특성을 증명하는데 사용된다: 강한 확장과 약한 확장. 논문 (Friedrichs 1944)은 이 개념을 꽤 잘 나타낸다: 하지만  이것이 진정으로 무엇을 의미하는지를 서술하기 위해서 많은 기술적 상세기술이 필요하나 이 짧은 설명에서는 정식으로 설명할 수 없다.

### 매끄러운 절단 함수

단위 구 {\displaystyle B\_{1}=\{x:|x|<1\}}의 특성 함수와 매끄러운 함수 *{\displaystyle \varphi \_{1/2}}* (**(3)**에서 {\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2})의 합성곱을 통해 다음의 함수를 얻는다.

{\displaystyle \chi \_{B\_{1},1/2}(x)=\chi \_{B\_{1}}\ast \varphi \_{1/2}(x)=\int \_{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi \_{B\_{1}}(x-y)\varphi \_{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int \_{B\_{1/2}}\!\!\!\chi \_{B\_{1}}(x-y)\varphi \_{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi \_{1/2})=B\_{1/2})}
이것은 {\displaystyle B\_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}{\displaystyle B\_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}. T이것은 |x| ≤ 1/2이고 {\displaystyle |y|} ≤ 1/2{\displaystyle |x-y|} ≤ 1 따라서 |x| ≤ 1/2

{\displaystyle \int \_{B\_{1/2}}\!\!\!\chi \_{B\_{1}}(x-y)\varphi \_{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int \_{B\_{1/2}}\!\!\!\varphi \_{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}.
이 생성이 주어진 컴팩트 집합의 근방에서 동일한 매끄러운 함수를 얻기 위해 어떻게 일반화 될 수 있는지, 그리고이 집합까지의 거리가 주어진 {\displaystyle \scriptstyle \epsilon }. 이런 함수는 (매끄러운) **절단 함수**라고 불린다: 이 함수들은 곱셈을 통해 주어진 (일반화된) 함수의 특이점을 제거하는데 쓰인다. 이것은 주어진 집합에서만 곱해져서 (일반화된) 함수의 값에서 바뀌지 않은 값이 나온다 따라서 이는 지지를 수정한다: 또한 절단 함수는 매끄러운 단위 분할의 기본적인 부분이다.

출처
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1. ↑  Respect to the topology of the given space of generalized functions.
2. ↑  See (Friedrichs 1944, 136–139쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help).
3. ↑  See the commentary of Peter Lax to the paper (Friedrichs 1944) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) in (Friedrichs 1986, volume 1, p. 117) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1986 (help).
4. ↑  Lax (Friedrichs 1986, volume 1, p. 117) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1986 (help) writes precisely that:-"*On English usage Friedrichs liked to consult his friend and colleague, Donald Flanders, a descendant of puritans and a puritan himself, with the highest standard of his own conduct, noncensorious towards others.*
5. ↑  See (Sobolev 1938) harv error: 대상 없음: CITEREFSobolev1938 (help).
6. ↑  Such as a bump function
7. ↑  See (Giusti 1984, 11쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFGiusti1984 (help).
8. ↑  As when the paper (Friedrichs 1944) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) was published, few years before Laurent Schwartz widespread his work.
9. ↑  Obviously the topology with respect to convergence occurs is the one of the Hilbert or Banach space considered.
10. ↑  See (Friedrichs 1944, 136–138쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help), properties **PI**, **PII**, **PIII** and their consequence **PIII0**.
11. ↑  Also, in this respect, Friedrichs (1944, 132쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) says:-"*The main tool for the proof is a certain class of smoothing operators approximating unity, the "mollifiers"*.
12. ↑  See (Friedrichs 1944, 137쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help), paragraph 2, "*Integral operators*".
13. ↑  See (Hörmander 1990, 14쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help), lemma 1.2.3.: the example is stated in implicit form by first defining *f*(*t*) = exp(-1/*t*) for *t* ∈ ℝ+, and then considering *f*(*x*) = *f* (1-|*x*|2) = exp(-1/(1-|*x*|2)) for *x* ∈ ℝ*n*.
14. ↑  See for example (Hörmander 1990) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help).
15. ↑  A proof of this fact can be found in (Hörmander 1990, 25쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help), Theorem 1.4.1.