수리물리학에서 **ADHM 작도**(ADHM作圖, 영어: ADHM construction)는 선형대수학만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 순간자들을 작도하는 방법이다.

전개
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SO(4)=SU(2)L×SU(2)R이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)L의 기본 표현 **2**의 지수는 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots =1,2}로, SU(2)R의 기본 표현 **2**의 지수는 {\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots =1,2}로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 **4**=(**2**,**2**)이므로, 4차원 벡터의 지표는 {\displaystyle a{\dot {a}}}가 된다.

통상적으로,

{\displaystyle \psi ^{\dot {\alpha }}=\epsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\psi \_{\dot {\beta }}}
{\displaystyle \psi ^{\alpha }=\epsilon ^{\alpha \beta }\psi \_{\beta }}
이다.

### ADHM 데이터

SU(*N*) 양-밀스 이론에서, 순간자수가 k인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 **ADHM 작도**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* {\displaystyle X\_{\mu }\in \hom(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{k})}. 이는 {\displaystyle X\_{\alpha {\dot {\alpha }}}=\sigma \_{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }X\_{\mu }}로 적을 수 있다.
* {\displaystyle W\_{\dot {\alpha }}\in \hom(\mathbb {C} ^{N},\mathbb {C} ^{k})}. 이는 {\displaystyle k\times N} 복소 행렬로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 **ADHM 방정식**(영어: ADHM equation)이라고 한다.

{\displaystyle W\_{\dot {\alpha }}(W\_{\dot {\beta }})^{\dagger }=iC\epsilon \_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}+i\epsilon ^{\alpha \beta }X\_{\alpha {\dot {\alpha }}}(X\_{\beta {\dot {\beta }}})^{\dagger }}
여기서 {\displaystyle C\in {\mathfrak {u}}(k)}는 임의의 {\displaystyle k\times k} 에르미트 행렬이다.

### 작도

이 데이터로, 순간자 A\_{\mu }를 다음과 같이 작도할 수 있다.

시공간 좌표 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}는 4차원 벡터이므로,

{\displaystyle x\_{\alpha {\dot {\alpha }}}=x\_{\mu }\sigma \_{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }}
로 적을 수 있다. 여기서 \sigma ^{\mu }는 파울리 행렬이다.

{\displaystyle 2k\times (N+2k)} 복소행렬 \Delta 를 다음과 같이 정의하자.

{\displaystyle \Delta \_{\dot {\alpha }}(x)=W\_{\dot {\alpha }}}
{\displaystyle \Delta \_{\alpha {\dot {\alpha }}}(x)=X\_{\alpha {\dot {\alpha }}}+x\_{\alpha {\dot {\alpha }}}\otimes I\_{k\times k}}
{\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}\Delta \_{\dot {1}}&\Delta \_{1{\dot {1}}}&\Delta \_{2{\dot {1}}}\\\Delta \_{\dot {2}}&\Delta \_{1{\dot {2}}}&\Delta \_{2{\dot {2}}}\end{pmatrix}}}
위 조건에 따라서, 2k\times 2k 행렬 {\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)}는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)={\begin{pmatrix}F^{-1}(x)&0\_{k\times k}\\0\_{k\times k}&F^{-1}(x)\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \Delta (x)}는 {\displaystyle \mathbb {C} ^{N+2k}}에 작용한다. 거의 모든 {\displaystyle x\_{\alpha {\dot {\alpha }}}}에 대하여, {\displaystyle \ker \Delta (x)}는 N차원이다. 따라서, \Delta 의 규칙화 영 모드들을 {\displaystyle (2k+N)\times N} 행렬 {\displaystyle U(x)}로 적자.

{\displaystyle \Delta (x)U(x)=0}
{\displaystyle U^{\dagger }(x)U(x)=I\_{N\times N}}
그렇다면 순간자 게이지 퍼텐셜 A\_{\mu }는 다음과 같다.

{\displaystyle A\_{\mu }=iU^{\dagger }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}U(x)}
### 모듈러스 공간의 차원

{\displaystyle X\_{\mu }}는 {\displaystyle 4k^{2}}개의 실수 매개변수, {\displaystyle W\_{\dot {\alpha }}}는 {\displaystyle 4Nk}개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 {\displaystyle 3k^{2}}개의 제약을 가하고, 또한 임의의 {\displaystyle M\in \operatorname {U} (k)}에 대하여

{\displaystyle W\_{\dot {\alpha }}\to MW\_{\dot {\alpha }}}
{\displaystyle X\_{\alpha {\dot {\alpha }}}\mapsto MX\_{\alpha {\dot {\alpha }}}M^{-1}}
와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 {\displaystyle 4Nk}이다.

### 끈 이론에서의 해석

ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다. 이 경우, *N*개의 겹친 D3-막에 녹아 있는 *k*개의 D(−1)-막들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 {\mathcal {N}}=2 (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 상이 존재한다.

* 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다.
* 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다.

따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다.

| 기호 | ADHM 작도 | 끈 이론 해석 |
| --- | --- | --- |
| *N* | 게이지 군 SU(*N*)의 계수 | 겹친 D3-막의 수 |
| *k* | 순간자수 | D(−1)-막의 수 |
|  | ADHM 방정식 | D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항 |
| {\displaystyle W\_{\dot {\alpha }}} |  | D3-막과 D(−1)-막을 잇는 끈으로 발생하는 스칼라장 |
| {\displaystyle X\_{\mu }} |  | D(−1)-막의 (비가환) 위치 |
|  | 순간자 모듈러스 공간 | D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간 |

역사
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마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 발표하였다. 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다.

참고 문헌
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1. ↑  Tong, David (2005). "TASI lectures on solitons" (영어). arXiv:hep-th/0509216. Bibcode:2005hep.th....9216T.
2. ↑  Atiyah, Michael Francis; Drinfeld, Vladimir; Hitchin, Nigel; Manin, Yuri (1978년 3월 6일). "Construction of instantons". 《Physics Letters A》 (영어) **65** (3): 185–187. Bibcode:1978PhLA...65..185A. doi:10.1016/0375-9601(78)90141-X. ISSN 0375-9601. MR 598562. Zbl 0424.14004.

* Dorey, Nick; Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis (2002년 12월). "The calculus of many instantons". 《Physics Reports》 (영어) **371** (4-5): 231-459. arXiv:hep-th/0206063. Bibcode:2002PhR...371..231D. doi:10.1016/S0370-1573(02)00301-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Prasad, M. K. (1980년 6월). "Instantons and monopoles in Yang–Mills gauge theories". 《Physica D: Nonlinear Phenomena》 (영어) **1** (2): 167–191. Bibcode:1980PhyD....1..167P. doi:10.1016/0167-2789(80)90010-X.
* Nekrasov, Nikita A. (2001). 〈Trieste lectures on solitons in noncommutative gauge theories〉. 《Superstrings and Related Matters: Proceedings of the Trieste 2000 Spring Workshop, ICTP, Trieste, Italy, 27 March – 4 April 2000》 (영어). World Scientific. 141–205쪽. arXiv:hep-th/0011095. Bibcode:2001srm..conf..141N. doi:10.1142/9789812810274\_0004. ISBN 978-981-02-4525-2.