4차원 초입방체의 3차원 투영.
달리 크로스, 정팔포체의 전개도.
**정팔포체** 또는 **4차원 초입방체**(영어: Tesseract)는 8개의 정육면체로 이루어진 4차원의 정다포체이다.

정육면체 철사를 비눗물에 2번 담궈서 비눗방울을 만들 때 일종의 정팔포체의 투영의 형태가 되는 것으로 알려져 있다. (단, 이때 면은 약간 비뚤어진다.)

기하학적으로 보았을 때 정팔포체는 정육면체의 4차원 아날로그라고 할 수 있다. 정육면체의 표면이 6개의 정사각형 모양의 면으로 구성되어 있는 것처럼 정팔포체의 초표면(hypersurface)은 8개의 정육면체 모양의 포로 구성되어 있는 것이다. 정팔포체는 6개의 4차원 볼록 정다포체 중 하나이다.

정팔포체의 영어 표기는 일반적으로 **tesseract**이며 그 외에도 **8-cell**, **C8**, **octachoron**, **octahedroid**, **cubic prism**, **tetracube**라고도 불린다. 이것은 **4차원 초입방체**(영어: four-dimensional hypercube) 또는 초입방체의 차원 계열의 일부인 **4-정육면체**(영어: 4-cube) 또는 "측정 폴리토프"이다.

옥스포드 영어사전(영어: *Oxford English Dictionary*)에 따르면 1888년 찰스 하워드 힌톤이 그의 저서 《생각의 새로운 시대》(영어: *A New Era of Thought*)에서 고대 그리스어의 τέσσερεις ακτίνες(téssereis aktines, 4개의 광선)에서 단어를 따와 최초로 *tesseract*라는 단어를 사용했다고 한다(정팔포체가 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점까지 총 4개의 변이 있다는 성질을 이용한 것이다). 그러나 이 간행물과 힌튼의 후기 저작물에서는 이 단어는 간혹 tess**a**ract라고 쓰이기도 했다.

기하학
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정팔포체의 전개도
정팔포체는 여러 방법으로 만들 수 있다. 정팔포체는 모든 모서리 주위에 함께 접혀진 3개의 정육면체를 가진 정다포체로서 그것은 384개의 사면체 대칭을 가진 슐레플리 기호 {4, 3, 3}을 가지고 있다. 두 개의 평행 정육면체로 구성된 4D 하이프리즘으로 제작되었으며 대칭성 순서 96을 갖는 합성 슐레플리 기호인 {4, 3} × { }로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 64를 갖는 4-4 듀오프리즘일 때 2개의 사각형이 곱집합되며 이것은 합성 슐레플리 기호인 {4}×{4}로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 16을 갖는 하이퍼래탱글로써 그것은 합성 슐레플리 기호인 { } × { } × { } × { } 또는 { }4로 명명될 수 있다.

정팔포체의 각 꼭짓점은 4개의 모서리에 인접하므로 정팔포체의 정점도는 사면체이다. 정팔포체의 이중 폴리토프는 슐레플리 기호 {3,3,4}를 가지고 있는 정십육포체(영어: hexadecachoron 또는 16-cell)이다.

유클리드 4 공간의 표준인 정팔포체는 점(±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록한 선체로 주어진다. 즉 아래와 같은 점으로 구성된다:

{\displaystyle \{(x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\,:\,-1\leq x\_{i}\leq 1\}}
정팔포체는 8개의 초평면으로 제한된다(*x*i = ±1). 비평행형 초평면의 각 쌍은 교차하여 정팔포체에서 정사각형 모양의 면 24개를 형성한다. 3개의 정육면체와 3개의 사각형이 각 모서리에서 교차한다. 모든 정점에서 4개의 정육면체, 6개의 정사각형 및 4개의 모서리가 있는 것이다. 모두 8개의 정육면체, 24개의 사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성되는 것이다.

### 2차원 투영

초입방체의 구성은 아래와 같이 생각할 수 있다:

* **1차원** : 2개의 점 A와 점 B를 선으로 연결하여 선분 AB를 만든다.
* **2차원** : 2개의 평행한 선분 AB와 선분 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 만든다.
* **3차원** : 2개의 평행한 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH를 연결하여 정육면체 ABCDEFGH를 만든다.
* **4차원** : 2개의 평행한 정육면체 ABCDEFGH와 IJKLMNOP를 연결하여 초입방체 ABCDEFGHIJKLMNOP를 만든다.

왼쪽에서 오른쪽으로, 위에서 아래로 그림을 양분하는 평면에 대해 간단한 회전을 수행하는 정팔포체의 3D 투영법

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| 0차원(점)에서 4차원(정팔포체)까지를 만드는 과정을 보여주는 다이어그램 | 0차원부터 4차원까지 차원이 바뀌는 과정을 보여주는 애니메이션 |

정육면체를 2차원 투영할 수 있듯이 정팔포체도 2, 3차원 투영이 가능하다.

2D 평면상에 투영된 꼭짓점들의 위치를 재배치함으로써 더 유익해진다. 이러한 방식으로 더 이상 정팔포체 내의 공간 관계를 반영하지 않는, 아래 예재와 같이 꼭짓점의 연결 구조를 나타내는 그림을 얻어낼 수 있다:

정팔포체는 원칙적으로 2개의 정육면체를 결합하여 얻는다. 이 원칙은 2개의 정사각형으로 이루어진 구조의 정육면체와 비슷하며 하위 차원인 정육면체의 두 복사본을 병치하고 해당 꼭짓점을 연결한다는 것이다. 정팔포체의 각 모서리는 길이가 같다. 이것은 네트워크 토폴로지가 여러 프로세서를 병렬 컴퓨팅으로 연결하기 위한 기초로 정팔포체를 사용할 때 중요하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이고 무게 균형을 허용하는 많은 경로가 있다.

### 3차원으로의 평행 투영

마름모꼴의 12면체는 정팔포체의 꼭짓점 - 1번째 평행 투영의 볼록한 선체를 형성한다. 이 투영법의 레이어에 있는 꼭짓점의 수는 1 4 6 4 1— 파스칼의 삼각형의 4번째 행이다.

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| 정팔포체의 평행 투영 엔벨로프이다(각 포는 다른 색상면으로 그려져 있고 반전된 포는 비연전).
정팔포체의 3차원 공간으로의 *첫 번째 포*의 평행 투영은 정육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 가장 가까운 포와 가장 먼 포가 정육면체로 투영되고 나머지 6개의 포가 6개의 정사각형 모양의 면에 투영된다.
정팔포체의 3차원 공간으로의 *첫 번째 면*의 평행 투영은 직육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 이 엔벨로프의 상반부와 하반부에 2쌍의 포가 돌출되어 있으며 나머지 4개의 포는 측면에 투사된다.
정팔포체의 3차원 공간으로의 *첫 번째 모서리*의 평행 투영은 육각기둥 모양의 엔벨로프를 갖는다. 6개의 포는 3차원 입방체의 면이 육각형 엔벨로프로 6개의 마름모에 투영되는 것과 유사한 방식으로 육각기둥에 배치된 마름모꼴 프리즘에 투영되고, 나머지 2개의 포는 각기둥의 밑면에 투영된다. |

갤러리
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* 정팔포체의 회전도정팔포체의 회전도
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* 왼쪽의 그림을 평행법으로 입체적으로 볼 수 있다.왼쪽의 그림을 평행법으로 입체적으로 볼 수 있다.
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