대수기하학에서 **유한형 사상**(有限型寫像, 영어: morphism of finite type, 프랑스어: morphisme de type fini)은 대략 유한 개의 변수에 대한 다항 함수에 대응하는 스킴 사이의 사상이다.

정의
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### 유한형 환 준동형

두 가환환 사이의 환 준동형 f\colon R\to S가 주어졌을 때, S는 f를 통해 R-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 S가 R-유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 n에 대하여 S가 R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]의 R-몫대수와 R-가환 결합 대수로서 동형이라면), f를 **유한형 준동형**(有限型準同型, 영어: finite-type homomorphism)이라고 한다.

### 유한형 사상

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다.
스킴 사상 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 **국소 유한형 사상**(局所有限型寫像, 영어: morphism locally of finite type)이라고 한다

* 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 {\displaystyle f(x)\in \operatorname {Spec} S\subseteq Y}가 존재한다.
환 준동형 {\displaystyle S\to R}은 유한형 준동형이다.
* 다음 조건을 만족시키는 Y의 아핀 열린 덮개 {\displaystyle (V\_{i}\cong \operatorname {Spec} R\_{i})\_{i\in I}} 및 각 i\in I에 대하여 {\displaystyle f^{-1}(V\_{i})}의 아핀 열린 덮개 {\displaystyle (U\_{j}\cong \operatorname {Spec} S\_{j})\_{j\in J\_{i}}}가 존재한다.
각 i\in I 및 {\displaystyle j\in J\_{i}}에 대하여, 환 준동형 {\displaystyle R\_{i}\to S\_{j}}는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 **유한형 사상**(有限型寫像, 영어: morphism of finite type)이라고 한다.:84:87, Definition 3.2.1

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

### 유한 표시 사상

두 가환환 사이의 환 준동형 f\colon R\to S가 주어졌을 때, S는 f를 통해 R-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, f를 **유한 표시 준동형**(有限表示準同型, 영어: finitely presented homomorphism)이라고 한다.

* 만약 어떤 충분히 큰 자연수 n에 대하여, S가 R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]의 R-몫대수 {\displaystyle R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}]/{\mathfrak {a}}}와 R-가환 결합 대수로서 동형이며, \mathfrak a는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 {\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X} 및 {\displaystyle f(x)\in \operatorname {Spec} S\subseteq Y}가 존재한다면, f를 **국소 유한 표시 사상**(局所有限表示寫像, 영어: morphism locally of finite presentation)이라고 한다.

* 환 준동형 {\displaystyle S\to R}은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 **유한 표시 사상**(有限表示寫像, 영어: morphism of finite presentation)이라고 한다.

성질
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### 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 스킴 사상 | ⊃ | 국소 유한형 사상 | ⊃ | 유한형 사상 | ⊃ | 고유 사상 | ⊃ | 유한 사상 | ⊃ | 닫힌 몰입 |
|  |  | ∪ |  | ∪ |
|  |  | 국소 유한 표시 사상 | ⊃ | 유한 표시 사상 |
|  |  | ∪ |
|  |  | 에탈 사상 |
|  |  | ∪ |
|  |  | 열린 몰입 |

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우,

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상
유한형 사상 = 유한 표시 사상
이 성립한다.

### 닫힘

{\mathfrak P}가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · 유한 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* (합성에 대한 닫힘) X{\xrightarrow f}Y{\xrightarrow g}Z에 대하여, 만약 f와 g가 {\mathfrak P}-사상이라면 g\circ f 역시 {\mathfrak P}-사상이다.
* (밑 변환에 대하여 안정) {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y\leftarrow Y'} 에 대하여, 만약 f가 {\mathfrak P}-사상이라면 밑 변환 {\displaystyle f'\colon X\times \_{Y}Y'\to Y'} 역시 {\mathfrak P}-사상이다.
* (fpqc 위상에서의 내림) {\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'}에 대하여, 만약 밑 변환 {\displaystyle f'\colon X\times \_{Y}Y'\to Y'}가 {\mathfrak P}-사상이며, g가 fpqc 사상이라면 f 역시 {\mathfrak P}-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예
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체 K에 대하여, 아핀 공간 {\mathbb A}\_{K}^{n}=\operatorname {Spec}K[x\_{1},\dots ,x\_{n}]은 자연스러운 사상

{\mathbb A}\_{K}^{n}\to {\mathbb A}\_{K}^{0}=\operatorname {Spec}K
을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, n>0이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

{\displaystyle K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-x)}
으로 유도되는 아핀 스킴 사상

\operatorname {Spec}K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-x)\to {\mathbb A}\_{K}^{1}
는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

참고 문헌
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1. ↑  Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **52**. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. ↑  Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) **6**. 번역 Erne, Reinie 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.