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| * v
* t
* e
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해밀턴 역학에서 **디랙 괄호**(영어: Dirac bracket)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.

정의
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### 구속된 해밀턴 계

해밀턴 계 (M,\omega ,H)가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 (M,\omega )는 계의 위상 공간이고, H는 계의 해밀토니언이다. M 위의 매끄러운 함수들의 대수를 {\mathcal C}^{\infty }(M)이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호

\{f,g\}=(\omega ^{{-1}})^{{\mu \nu }}\partial \_{\mu }f\partial \_{\nu }g
가 존재한다.

이 계 위에 주어진 **구속**(영어: constraint) \Phi \subset {\mathcal C}^{\infty }는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.

* \Phi는 {\mathcal C}^{\infty }(M)의 아이디얼이자, {\mathcal C}^{\infty }(M)에 대한 자유 가군이다. 즉,
	+ 임의의 함수 f\in {\mathcal C}^{\infty }(M) 및 제약 \phi \in \Phi 에 대하여, f\phi ^{i}\in \Phi 이다.
	+ 임의의 \phi ,\phi '\in \Phi 에 대하여, \phi +\phi '\in \Phi 이다.
	+ \Phi의 기저 \{\phi ^{i}\}\_{{i\in I}}\subset \Phi 가 존재한다. 즉, 임의의 \phi \in \Phi 를 \phi =u\_{i}\phi ^{i} (u\_{i}\in {\mathcal C}^{\infty }(M))의 꼴로 나타낼 수 있다.
* (일관성) 쌍대가군 \Phi ^{\*}=\hom(\Phi ,{\mathcal C}^{\infty }(M))의 원소 u\in \Phi ^{\*}가 존재하여, 다음을 만족시킨다.(\{\phi ,H\}+u\_{i}\{\phi ,\phi ^{i}\})|\_{{{\tilde M}}}=0\forall \phi \in \Phi

여기서, {\tilde {M}}은 **구속된 상태 공간** {\tilde M}\subset M으로, 다음과 같다.

{\tilde M}=\{x\in M|\phi ^{i}(x)=0\forall \phi \in \Phi \}
즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

### 1종 및 2종 구속

**1종 구속**(영어: first-class constraint)의 집합 \Phi \_{1}\subset \Phi 은 다음과 같다.

\Phi \_{1}=\{\phi \_{1}\in \Phi \colon \{\phi \_{1},\Phi \}|\_{{{\tilde M}}}=0\}
모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.

\{\Phi \_{1},H\}=0
또한, 1종 구속들의 집합 \Phi \_{1} 역시 {\mathcal C}^{\infty }(M)의 아이디얼이자, {\mathcal C}^{\infty }(M)-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 f\in {\mathcal C}^{\infty }(M)와 1종 제약 \phi \_{1}\in \Phi \_{1}에 대하여, f\phi \_{1}\in \Phi \_{1}이다.
이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다.
짧은 완전열

0\to \Phi \_{1}\hookrightarrow \Phi \twoheadrightarrow \Phi \_{2}\to 0
은 분할 완전열이며, 따라서 \Phi를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\Phi \cong \Phi \_{1}\oplus \Phi \_{2}
물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. \Phi \_{2}\cong \Phi /\Phi \_{1}을 **2종 구속**(영어: second-class constraint)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.

### 디랙 괄호

2차 구속 \Phi \_{2}의 기저를 \{\phi \_{2}^{i}\}\_{{i\in I}}로 잡자. 그렇다면 행렬 C\_{{ij}}를 다음과 같이 정의하자.

\{\phi \_{2}^{i},\phi \_{2}^{j}\}C\_{{jk}}=\delta \_{i}^{k}
이 경우, **디랙 괄호** \{,\}\_{{{\text{D}}}}는 다음과 같다.

\{f,g\}\_{{{\text{D}}}}=\{f,g\}-\{f,\phi \_{2}^{i}\}C\_{{ij}}\{\phi \_{2}^{j},g\}
제약된 해밀턴 계 (M,\omega ,H,\Phi )에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 f\in {\mathcal C}^{\infty }(M)의 시간 변화 {\dot f}는 다음과 같다.

{\dot f}=\{f,H\}\_{{{\text{D}}}}
이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다. 

\{\phi ,H\}\_{{{\text{D}}}}|\_{{{\tilde M}}}=0\forall \phi \in \Phi 
즉, 임의의 2종 구속 \phi \_{2}^{i}의 경우

\{\phi \_{2}^{i},H\}\_{{{\text{D}}}}=0
이고, 임의의 1종 구속 \phi \_{1}^{i}의 경우

\{\phi \_{1}^{i},H\}\_{{{\text{D}}}}=\{\phi \_{1}^{1},H\}=0
이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, {\tilde {M}}에 국한하면 유일하다.

예
-

### 강한 자기장에서의 비가환 기하학

심플렉틱 다양체 (M,\omega ) 위에, 전하 q의 입자가 자기장 B\_{{\mu \nu }}=B\omega \_{{\mu \nu }}와 위치 에너지 V\colon M\to {\mathbb R}에 영향을 받는다고 하자. 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.

L(x,{\dot x})=qA\_{\mu }{\dot x}^{\mu }-V(x)
여기서 A\_{\mu }는 자기 퍼텐셜로,

(dA)\_{{\mu \nu }}=\partial \_{\mu }A\_{\nu }-\partial \_{\nu }A\_{\mu }=B\omega \_{{\mu \nu }}
를 만족시킨다. 편의상

A\_{\nu }={\frac 12}Bx^{\mu }\omega \_{{\mu \nu }}
으로 놓을 수 있다. 즉,

L(x,{\dot x})={\frac 12}qBx^{\mu }{\dot x}^{\nu }\omega \_{{\mu \nu }}-V(x)
이다.

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.

p\_{\nu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot x}^{\nu }}}={\frac 12}qBx^{\mu }\omega \_{{\mu \nu }}
즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

H=p\_{\mu }{\dot x}^{\mu }-L=V(x)
또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 {\dot x}, {\dot y}를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.

\phi \_{\nu }=p\_{\nu }-{\frac 12}qBx^{\mu }\omega \_{{\mu \nu }}=0
이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

\{\phi \_{\mu },\phi \_{\nu }\}=qB\omega \_{{\mu \nu }}
이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.

\{f,g\}\_{{{\text{D}}}}=\{f,g\}+{\frac 1{qB}}\{f,\phi \_{\mu }\}\omega ^{{\mu \nu }}\{\phi \_{\nu },g\}
특히,

\{x^{\mu },x^{\mu }\}\_{{{\text{D}}}}=-\omega ^{{\mu \nu }}/(qB)
이므로, 이를 양자화하면

[x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{{\mu \nu }}/(qB)
이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 M 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 A\_{\mu }가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 \omega \_{{\mu \nu }}의 코호몰로지류 [\omega ]\in H^{2}(M;{\mathbb R})가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 g\_{\mu\nu}가 심플렉틱 구조 \omega \_{{\mu \nu }}와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 V(x)의 경우 순서가 모호하게 된다.

### 부분다양체에 구속된 입자

리만 다양체 (M,g) 위에 존재하는, 질량 m의 입자가 위치 에너지 V({\mathbf x})의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 C\colon M\to {\mathbb R}의 영집합 C^{{-1}}(0)\subset M에 구속되었다고 하자. 이 경우, 임의의 x\in M에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.

H={\frac 1{2m}}g^{{\mu \nu }}p\_{\mu }p\_{\nu }+V(x)
물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.

\phi ^{1}=C(x)=0
\phi ^{2}=g^{{\mu \nu }}p\_{\mu }\partial \_{\nu }C(x)=0
이 경우,

\{\phi ^{1},\phi ^{2}\}=g^{{\mu \nu }}\partial \_{\mu }C\partial \_{\nu }C=(\partial C)^{2}
이다. 따라서, 만약 C^{{-1}}(0)에서 \partial C\neq 0이라면, \phi ^{1}과 \phi ^{2} 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 C^{{-1}}(0)이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.

\{f,g\}\_{{{\text{D}}}}=\{f,g\}+(\partial C)^{{-2}}\{f,\phi ^{i}\}\epsilon \_{{ij}}\{\phi ^{j},g\}
예를 들어,

\{x^{\mu },x^{\nu }\}\_{{{\text{D}}}}=0
\{x^{\mu },p\_{\nu }\}\_{{{\text{D}}}}=\delta \_{\nu }^{\mu }-(\partial C)^{{-2}}\partial ^{\mu }C\partial \_{\nu }C
\{p\_{\mu },p\_{\nu }\}\_{{{\text{D}}}}=(\partial C)^{{-2}}p^{\rho }\left((\nabla \_{\rho }\partial \_{\mu }C)(\partial \_{\nu }C)-(\partial \_{\mu }C)(\nabla \_{\rho }\partial \_{\nu }C)\right)
가 된다.

참고 문헌
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* Mukunda, N.; E. C. G. Sudarshan (1968년 3월). "Structure of the Dirac bracket in classical mechanics" (PDF). 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) **9** (3): 411–417. Bibcode:1968JMP.....9..411M. doi:10.1063/1.1664594. 2012년 8월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 10일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Wipf, Andreas W. (1994). 〈Hamilton’s formalism for systems with constraints〉. 《Canonical Gravity: From Classical to Quantum. Proceedings of the 117th WE Heraeus Seminar Held at Bad Honnef, Germany, 13–17 September 1993》. Lecture Notes in Physics (영어) **434**. 22–58쪽. arXiv:hep-th/9312078. Bibcode:1994LNP...434...22W. doi:10.1007/3-540-58339-4\_14. ISBN 978-3-540-58339-4.
* Salisbury, D. C. "Peter Bergmann and the invention of constrained Hamiltonian dynamics" (영어). arXiv:physics/0608067. Bibcode:2006physics...8067S.