대수적 위상수학에서 **퀴네트 정리**(영어: Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

정의
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### 체 계수

X와 Y가 위상 공간이라고 하고, {\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(-;K)}가 체 K의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

{\displaystyle \bigoplus \_{i+j=k}\operatorname {H} \_{i}(X;K)\otimes \_{K}\operatorname {H} \_{j}(Y;K)\cong \operatorname {H} \_{k}(X\times Y;K)}
이를 **퀴네트 정리**라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

{\displaystyle b\_{X}(t)=\sum \_{i}t^{i}\dim \_{\mathbb {Q} }\operatorname {H} \_{i}(X;\mathbb {Q} )}
가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면

b\_{X}(t)b\_{Y}(t)=b\_{{X\times Y}}(t)
이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }}이라고 적으면, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)\otimes \_{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;K)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X\times Y;K)}
여기서 좌변은 등급환의 K-텐서곱이다.

### 주 아이디얼 정역 계수

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 R인 경우, **퀴네트 정리**에 따르면 다음과 같은 R-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to \bigoplus \_{i+j=k}\operatorname {H} \_{i}(X;R)\otimes \_{R}\operatorname {H} \_{j}(Y;R)\to \operatorname {H} \_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus \_{i+j=k-1}\operatorname {Tor} \_{1}^{R}(\operatorname {H} \_{i}(X;R),\operatorname {H} \_{j}(Y;R))\to 0}
여기서 \operatorname {Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 R 계수의 코호몰로지에 대하여, R-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

{\displaystyle 0\to \bigoplus \_{i+j=k}\operatorname {H} ^{i}(X;R)\otimes \_{R}\operatorname {H} ^{j}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus \_{i+j=k+1}\operatorname {Tor} \_{1}^{R}(\operatorname {H} ^{i}(X;R),\operatorname {H} ^{j}(Y;R))\to 0}
여기서 \operatorname {Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

### 호몰로지 스펙트럼 열

임의의 가환환 R 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 **퀴네트 스펙트럼 열**(영어: Künneth spectral sequence) {\displaystyle E\_{\bullet \bullet }^{\bullet }}로 표현된다.:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

{\displaystyle E\_{pq}^{2}=\bigoplus \_{q\_{1}+q\_{2}=q}\operatorname {Tor} \_{p}^{R}\left(\operatorname {H} \_{q\_{1}}(X;R),\operatorname {H} \_{q\_{2}}(Y;R)\right)}
이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

{\displaystyle E\_{pq}^{2}\Rightarrow E\_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} \_{p+q}(X\times Y;R)}
보다 일반적으로, 위상군 G가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 X 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 Y가 주어졌고, {\displaystyle Y\twoheadrightarrow Y/G}가 G-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 G의 호몰로지 {\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(G;R)}는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 X와 Y의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

{\displaystyle E\_{pq}^{2}=\bigoplus \_{q\_{1}+q\_{2}=q}\operatorname {Tor} \_{p}^{\operatorname {H} \_{\bullet }(G;R)}\left(\operatorname {H} \_{q\_{1}}(X;R),\operatorname {H} \_{q\_{2}}(Y;R)\right)}
은 다음과 같은 G-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.:§3.1

{\displaystyle E\_{pq}^{2}\Rightarrow E\_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} \_{p+q}(X\times \_{G}Y;R)}
여기서

{\displaystyle X\times \_{G}Y={\frac {X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim (x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}}}
이다. 이는 G가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

### 코호몰로지 스펙트럼 열

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.:§3.2

{\displaystyle E\_{2}^{pq}=\bigoplus \_{q\_{1}+q\_{2}=q}\operatorname {Tor} \_{p}^{R}\left(\operatorname {H} ^{q\_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q\_{2}}(Y;R)\right)}
만약 X와 Y의 코호몰로지가 각 차수에서 R-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 X\times Y의 코호몰로지로 수렴한다.

{\displaystyle E\_{2}^{pq}\Rightarrow E\_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)}
보다 일반적으로, 연속 함수 {\displaystyle f\colon X\to B}, {\displaystyle g\colon Y\to B}가 주어졌으며 g는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}는 X와 Y의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

* B는 단일 연결 공간이다.
* X, Y, B의 코호몰로지는 각 차수에서 R-유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

{\displaystyle E\_{2}^{pq}=\bigoplus \_{q\_{1}+q\_{2}=q}\operatorname {Tor} \_{p}^{\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}\left(\operatorname {H} ^{q\_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q\_{2}}(Y;R)\right)}
은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.:§3.2

{\displaystyle E\_{2}^{pq}\Rightarrow E\_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times \_{B}Y;R)}
여기서 {\displaystyle X\times \_{B}Y}는 범주론적 당김

{\displaystyle X\times \_{B}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}}
이다. 이는 B가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

역사
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독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어).
2. ↑  Künneth, H. (1923년 3월). "Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **90**: 65–85. doi:10.1007/BF01456242. ISSN 0025-5831. JFM 49.0408.01.
3. ↑  Künneth, H. (1924년 3월). "Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten". 《Mathematische Annalen》 (독일어) **91**: 125–134. doi:10.1007/BF01498384. ISSN 0025-5831. JFM 50.0658.03.

* Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.