범주론에서 **국소화**(局所化, 영어: localization)는 범주의 일부 사상들을 동형 사상으로 만드는 과정이다.

정의
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작은 범주 {\mathcal {C}} 및 그 속의 사상들의 집합 {\displaystyle {\mathfrak {W}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}가 주어졌다고 하자. 또한, {\mathfrak {W}}가 모든 동형 사상을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자.

그렇다면, {\mathcal {C}}의 {\mathfrak {W}}에서의 **국소화** {\displaystyle L\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다.

* 임의의 작은 범주 {\mathcal D} 및 함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}에 대하여, 만약 F가 {\mathfrak {W}}에 속하는 모든 사상을 {\mathcal D}의 동형 사상으로 대응시킨다면, {\displaystyle D\simeq U\circ L}인 함자 {\displaystyle U\colon {\mathcal {C}}[{\mathfrak {M}}^{-1}]\to {\mathcal {D}}} 및 자연 동형 {\displaystyle F\Rightarrow U\circ L}이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\xrightarrow {L}}&{\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]\\&{\scriptstyle F}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists U\\&&{\mathcal {D}}\end{matrix}}}
작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다.

(만약 {\mathfrak {W}}가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약 {\displaystyle {\bar {\mathfrak {W}}}}를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면, {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\bar {\mathfrak {W}}}^{-1}]}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 {\mathfrak {W}}가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)

### 집합론적 문제

작은 범주의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주의 국소화는 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다.

만약 그로텐디크 전체를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체에 의존할 수 있다.

만약 범주가 모형 범주의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 약한 동치에서의 국소화를 구성할 수 있다.

구성
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작은 범주 {\mathcal {C}}와, 동형 사상을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합 {\displaystyle {\mathfrak {W}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합

{\displaystyle \Sigma =\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\sqcup \{{\bar {w}}\colon w\in {\mathfrak {W}}\}}
의 원소가 사상 {\displaystyle f\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}} 또는 각 {\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}에 대하여 형식적 기호 {\displaystyle {\bar {w}}}로 구성되었다고 하자. {\displaystyle a\in \Sigma }에 대하여 다음을 정의하자.

* 만약 {\displaystyle a\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}}라면, {\displaystyle \operatorname {dom} a}는 a의 정의역이며 {\displaystyle \operatorname {codom} a}는 a의 공역이다.
* 만약 {\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}라면, {\displaystyle \operatorname {dom} {\bar {w}}=\operatorname {codom} w}이며 {\displaystyle \operatorname {codom} {\bar {w}}=\operatorname {dom} w}이다.

\Sigma  위의 문자열

{\displaystyle a\_{0}a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{k}\in \Sigma ^{\*}}
가 다음 두 성질을 만족시킨다면, **지그재그**(영어: zigzag)라고 한다. (\Sigma ^{\*}는 클레이니 스타이다.)

* 길이가 1 이상이다.
* 모든 {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {dom} a\_{i-1}=\operatorname {codom} a\_{i}}이다.

지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.

{\displaystyle \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \cdots \to \bullet }
(여기서 {\displaystyle {\overset {\sim }{\to }}}는 {\mathfrak {W}}에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상 {\mathfrak {W}}의 원소만을 사용한다.

이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 동치 관계를 부여하자.

* 임의의 문자열 {\displaystyle s\_{1},s\_{2}\in \Sigma ^{\*}}에 대하여, (만약 s\_1 및 s\_2 가운데 하나가 양의 길이를 갖는다면) {\displaystyle s\_{1}\operatorname {id} \_{X}s\_{2}\sim s\_{1}s\_{2}\sim s\_{1}{\overline {\operatorname {id} \_{X}}}s\_{2}}
* 임의의 문자열 {\displaystyle s\_{1},s\_{2}\in \Sigma ^{\*}} 및 {\displaystyle f,g\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}}에 대하여, {\displaystyle s\_{1}fgs\_{2}\sim s\_{1}(f\circ g)s\_{2}}
* 임의의 문자열 {\displaystyle s\_{1},s\_{2}\in \Sigma ^{\*}} 및 {\displaystyle w,w'\in {\mathfrak {W}}}에 대하여, {\displaystyle s\_{1}{\bar {w}}'{\bar {w}}s\_{2}\sim s\_{1}{\overline {w\circ w'}}s\_{2}}
* 임의의 문자열 {\displaystyle s\_{1},s\_{2}\in \Sigma ^{\*}} 및 {\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}에 대하여,
{\displaystyle s\_{1}w{\bar {w}}s\_{2}\sim s\_{1}\operatorname {id} \_{\operatorname {dom} {\bar {w}}}s\_{2}}
{\displaystyle s\_{1}{\bar {w}}ws\_{2}\sim s\_{1}\operatorname {id} \_{\operatorname {dom} w}s\_{2}}
* 임의의 문자열 {\displaystyle s\_{1},s\_{2}\in \Sigma ^{\*}} 및 사상 f\colon X\to Y, {\displaystyle f'\colon X'\to Y'} 및 {\displaystyle w\_{X}\colon X\to X'}, {\displaystyle w\_{Y}\colon Y\to Y'}이 주어졌고, {\displaystyle w\_{X}f'=fw\_{Y}}이며 {\displaystyle w\_{X},w\_{Y}\in {\mathfrak {W}}}일 때, {\displaystyle s\_{1}f'{\bar {w}}\_{Y}s\_{2}\sim s\_{1}{\bar {w}}\_{X}fs\_{2}}
{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &{\overset {\sim }{\to }}&\bullet \\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle f'}\\\bullet &{\underset {\sim }{\to }}&\bullet \end{matrix}}}

그렇다면, **국소화** {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}는 다음과 같은 범주이다.

* {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}의 대상은 {\mathcal {C}}의 대상과 같다.
* {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}의 사상은 {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}})}의 지그재그의 동치류이다.
* 지그재그 {\displaystyle a\_{0}a\_{1}\cdots a\_{n}}의 정의역은 a\_n의 정의역이며, 공역은 a\_{0}의 공역이다.
* X\in {\mathcal {C}}의 항등 사상은 지그재그 {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}}의 동치류이다.

### 오레 조건

환의 국소화를 오레 조건을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 **오레 조건**을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다.

범주 {\mathcal {C}} 및 그 속의 사상 모임 {\mathfrak {W}}가 다음 조건들을 만족시킨다면, **오른쪽 오레 조건**이 성립한다고 한다. (여기서, {\mathfrak {W}}의 원소를 {\displaystyle {\overset {\sim }{\to }}}로 표기하였다.)

* {\mathfrak {W}}는 모든 동형 사상을 포함한다.
* {\mathfrak {W}}는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 그림 {\displaystyle X\to Y{\overset {\sim }{\leftarrow }}Y'}에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 {\displaystyle X{\overset {\sim }{\leftarrow }}X'\to Y'}이 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\underset {\exists }{\overset {\sim }{\leftarrow }}}&X'\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \exists \\Y&{\underset {\sim }{\leftarrow }}&Y'\end{matrix}}}
* 임의의 {\displaystyle X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y{\underset {w}{\overset {\sim }{\to }}}Y'}에 대하여, 만약 {\displaystyle w\circ f=w\circ g}라면, {\displaystyle f\circ v=g\circ v}가 되는 {\displaystyle X'{\underset {v}{\overset {\sim }{\to }}}X}가 존재한다.

**오른쪽 지붕**(영어: right roof)은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

{\displaystyle \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \bullet }
같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\bullet \\&{^{\sim }}\!\swarrow &&\searrow \\\bullet &&&&\bullet \\&{\_{\sim }}\!\nwarrow &&\nearrow \\&&\bullet \end{matrix}}}
에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\bullet \\&{^{\sim }}\!\swarrow &\uparrow &\searrow \\\bullet &{\overset {\sim }{\leftarrow }}&\bullet &&\bullet \\&{\_{\sim }}\!\nwarrow &\downarrow &\nearrow \\&&\bullet \end{matrix}}}
만약 {\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}})}가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 **왼쪽 오레 조건**(영어: left Ore condition)을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 **왼쪽 지붕**(영어: left roof)으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

### 모형 범주

 이 부분의 본문은 모형 범주입니다.
모형 범주 ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})가 주어졌다고 하자. 그 **호모토피 범주** {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}는 다음과 같다.

* {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}의 대상은 {\mathcal {C}}의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다.
* {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}의 사상은 {\mathcal {C}}의 호모토피류이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)

그렇다면, 국소화 {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}는 호모토피 범주 {\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}와 동치이다.

특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은 {\mathcal {C}}가 작은 범주가 아니더라도 국소적으로 작은 범주라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.

성질
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일반적으로, 국소화 함자 {\displaystyle L\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}는 충실한 함자도, 충만한 함자도 아니다. 예를 들어, 사상 f,g\colon X\to Y 및 {\displaystyle w\colon Y\to Y'}에 대하여, 만약 {\displaystyle f\circ w=g\circ w}이지만 f\neq g라면, 국소화 함자 L 아래 {\displaystyle Lf=Lg}가 된다.

{\displaystyle \bullet {\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}\bullet {\overset {\sim }{\to }}\bullet }
이는 {\mathcal {C}}에서 w가 단사 사상이 아니더라도, {\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}에서는 항상 동형 사상이므로 특히 단사 사상이 되기 때문이다.

예
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아벨 범주의 유도 범주는 유사동형의 모임에 대한 국소화이다.

위상 공간의 호모토피 범주는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주가 아니지만, 호모토피 범주는 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.

임의의 아벨 다양체 *A*에서 *B*로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 핵을 갖는 전사 함수이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, *등원한 차이를 제외한 아벨 다양체*(abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 *A*의 아벨 부분 다양체 *A1*에 대하여 

*A1* × *A2*
가 *A*와 *등원한(isogenous)* 부분 다양체 *A2*가 존재한다.