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| 관련 기사 시리즈의 일부 |
| 양자역학 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }슈뢰딩거 방정식 |
| * 개론
* 수학적 공식화
* 역사
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| 배경
* 고전역학
* 구양자이론(old quantum theory)
* 브라-켓 표기법

* 해밀토니언
* 간섭

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| 기본
* 상보성
* 결어긋남
* 얽힘
* 에너지 준위
* 측정(measurement)
* 비국소성(nonlocality)
* 양자수
* 상태(state)
* 중첩
* Symmetry
* 터널링
* 불확정성
* 파동 함수
	+ 붕괴

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| 실험
* 벨 부등식
* 데이비슨-거머
* 이중슬릿
* 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman)
* 프랑크-헤르츠
* 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality)
* 마하-젠더(Mach–Zehnder)
* 포퍼(Popper)

* 양자 지우개(quantum eraser)
	+ 지연선택

* 슈뢰딩거의 고양이
* 슈테른-게를라흐
* 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)

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| 공식화
* 개요

* 하이젠베르크
* 상호작용 묘사
* 행렬
* Phase-space
* 슈뢰딩거
* 합계 기록(경로 적분)

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| 방정식
* 디랙
* 클라인-고든
* 파울리(Pauli)
* 뤼드베리
* 슈뢰딩거

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| 해석
* 베이지안
* 정합적 역사
* 코펜하겐
* 드 브로이-봄
* 앙상블
* 숨은 변수
	+ 국소적
* 다세계
* 객관적 붕괴
* 양자 논리
* 관계적
* 트랜잭션(transactional)

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| 고급 주제
* 상대론적 양자역학
* 양자장론
* 양자 정보 과학
* 양자 컴퓨팅(quantum computing)
* 양자 카오스(quantum chaos)
* EPR 역설
* 밀도 행렬
* 산란 이론
* 양자통계역학
* 양자 기계 학습(quantum machine learning)
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| 과학자
* 아하로노프Aharonov
* 벨
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* 뤼드베리
* 슈뢰딩거
* 시몬스Simmons
* 조머펠트
* 폰 노이만
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* 빈
* 위그너
* 제이만
* 차일링거

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| * v
* t
* e
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양자역학에서 **교환 연산자**(exchange operator) 또는 **바꿈 연산자**란 두 동일한 입자의 라벨을 바꾸는 연산자이다. 예를 들어, 두 개의 동일한 입자를 라벨 1,2를 붙여 구별하고 이 입자로 기술되는 계의 파동함수를 uEσ1σ2(1,2)로 쓰자. 그리고 이에 대한 교환연산자를 P1,2라 쓰면 이 연산자의 역할은 다음을 말한다.

{\displaystyle P\_{1,2}u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=u\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)}

운동상수
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퍼텐셜이 스핀과 관련이 없는 경우, 교환연산자는 운동상수이다. 이를 확인하기 위해 간단한 두 개의 동일한 입자로 이루어진 계에서 해밀토니안 연산자와 교환연산자에 교환법칙이 성립하는지 알아보자.

먼저, 스핀과 퍼텐셜이 관련이 없는 경우, 해밀토니언과 퍼텐셜은 아래와 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle H={\frac {p\_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p\_{2}^{2}}{2m}}+V(x\_{1},x\_{2})}
{\displaystyle V(x\_{1},x\_{2})=V(x\_{2},x\_{1})\;}
위 해밀토니언을 입자의 라벨에 대한 함수로 만들어

{\displaystyle H=H(1,2)\;}
라 쓸 수 있다. 그러면, 퍼텐셜이 입자의 교환에 대해 대칭이기 때문에 아래와 같이 해밀토니안 또한 대칭이된다.

{\displaystyle H(1,2)=H(2,1)\;}
이 해밀토니언을 파동함수에 작용시키면

{\displaystyle H(1,2)u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=Eu\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)}
{\displaystyle H(2,1)u\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)=Eu\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)}
이다. 그리고 해밀토니언의 대칭성에 의해

{\displaystyle H(2,1)u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=Eu\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)}
{\displaystyle H(1,2)u\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)=Eu\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)}
을 얻는다. 위의 교환 연산자의 역할을 다시 쓰면,

{\displaystyle P\_{1,2}u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=u\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)}
이다. 이제 두 연산자에 대해 교환법칙이 성립하는지 알아보기 위해 두 연산자를 동시에 파동 함수에 작용시켜보자.

{\displaystyle {\begin{aligned}H(1,2)P\_{1,2}u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=&H(1,2)u\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)\\=&Eu\_{E\_{\sigma \_{2}\sigma \_{1}}}(2,1)\\=&EP\_{1,2}u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)\\=&P\_{1,2}Eu\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)\\=&P\_{1,2}H(1,2)u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)\end{aligned}}}
즉, 두 연산자 사이에 교환법칙이 성립하므로,

{\displaystyle [H,P\_{1,2}]=0\;}
이다. 따라서, 교환연산자는 이 경우 운동상수가 된다.

고윳값과 고유상태
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반전성과 유사하게 교환연산자도 두 번 연속으로 연산을 하게 되면, 원래의 상태로 돌아오게 된다.

{\displaystyle P\_{1,2}P\_{1,2}u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)=u\_{E\_{\sigma \_{1}\sigma \_{2}}}(1,2)}
따라서 P1,2=1 이므로 고윳값은 ±1 이 돤다.

고유상태 또한 반전성처럼 우함수와 기함수가 고유상태인 것처럼 +1인 경우 대칭조합된 파동함수가, -1인 경우 반대칭조합된 파동함수가 고유상태가 된다.

고윳값 +1 : {\displaystyle \psi ^{(S)}={\frac {1}{N\_{S}}}[\psi (1,2)+\psi (2,1)]}
고윳값 -1 : {\displaystyle \psi ^{(A)}={\frac {1}{N\_{A}}}[\psi (1,2)-\psi (2,1)]}
여기서 각 N들은 규격화상수이다.