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위상수학과 해석학에서 **연속 함수**(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function, continuous map)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다. 즉, 변수가 연속적으로 변할 때 함숫값도 연속적으로 변하는 함수이다. 이는 함숫값에 갑작스러운 변화가 생기지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는, 임의의 작은 함숫값의 변화에 대해, 충분히 작은 범위 안에 있는 변수의 함숫값이 그 변화보다 작도록 할 수 있을 때 함수가 연속이라고 한다. 연속이 아닌 함수는 **불연속 함수(**영어: discontinuous function)라고 한다. 예를 들어 성장하는 중인 나무의 특정 시각 t에서의 높이가 {\displaystyle H(t)}라고 하면 함수 H는 연속 함수로 볼 수 있다. 반면 특정 시각 t에 은행 계좌에 들어있는 돈을 {\displaystyle M(t)}라고 하면 함수 M은 돈을 넣거나 뺄 때마다 순간적으로 변하므로 불연속 함수로 볼 수 있다. 19세기까지 수학자들은 다소 직관적인 방식에 의존하여 연속이라는 개념을 사용하였지만, 이후 소위 엡실론-델타 논법을 사용하여 연속을 엄밀하게 정의하였다.

연속 함수는 실수 집합 또는 복소수 집합 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있으며, 보다 일반적으로 임의의 거리 공간 또는 위상 공간 사이의 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 집합 사이의 함수 가운데 어떤 것들이 연속 함수인지는 집합 위에 정의된 위상에 따라 다르다. 이를테면, 스콧 연속 함수는 스콧 위상을 부여한 원순서 집합 사이의 연속 함수를 일컫는다. 다른 한편, 정의역이나 공역의 거리 구조를 바꾸더라도 위상이 변하지 않는다면 연속 함수의 개념은 변하지 않는다.

연속 함수 조건의 더 강한 형태로는 균등 연속 함수나 립시츠 연속 함수 따위가 있다. 다만, 이 조건들을 정의하려면 위상 공간 구조만으로는 부족하다. 균등 연속 함수의 정의역과 공역은 적어도 균등 공간 구조를 갖추어야 하며, 립시츠 연속 함수가 정의되기 위해서는 거리 공간 구조가 필요하다.

정의
--

점 x에서의 연속: 임의의 f(x)의 근방 *V*에 대하여, f(U)\subseteq V인 x의 근방 *U*가 존재한다.
위상 공간 X 및 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y 및 점 x\in X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 f를 **점 x에서 연속**(continuous at the point x)이라고 한다.

* 임의의 f(x)의 근방 V\ni f(x)에 대하여, f(U)\subseteq V인 x의 근방 U\ni x가 존재한다.
* 임의의 그물 x\_{\alpha }\in X에 대하여, 만약 x\_{\alpha }\to x라면 f(x\_{\alpha })\to f(x)이다.

위상 공간 X 및 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 **연속 함수**라고 한다.

* 임의의 열린집합 U\subseteq Y에 대하여, 원상 f^{-1}(U)\subseteq X는 열린집합이다.
* 임의의 닫힌집합 C\subseteq Y에 대하여, 원상 f^{{-1}}(C)\subseteq X는 닫힌집합이다.
* f는 X의 모든 점에서 연속이다.
* 임의의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, 항상 f(\operatorname {cl}(A))\subseteq \operatorname {cl}(f(A))이다. 여기서 \operatorname {cl} 은 폐포를 일컫는다.
* 임의의 부분 집합 {\displaystyle B\subseteq Y}에 대하여, 항상 {\displaystyle \operatorname {cl} (f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} B)}이다.

위상 공간 X 및 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면, f를 **점렬 연속 함수**(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

* 임의의 점렬 x\_{i}\in X 및 점 x\in X에 대하여, 만약 x\_{i}\to x라면 f(x\_{i})\to f(x)이다.

성질
--

위상 공간 X, Y, Z 및 연속 함수 f\colon X\to Y 및 g\colon Y\to Z에 대하여, 그 합성

g\circ f\colon X\to Z
역시 연속 함수이다.

연속 전단사 함수 f\colon X\to Y의 역함수 {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}는 일반적으로 연속 함수가 아니다. 그러나 만약 X가 콤팩트 공간이며, Y가 하우스도르프 공간이라면, f^{{-1}}는 연속 함수가 된다. 즉, 이 경우 연속 전단사 함수는 위상 동형 사상과 동치이다. 이는 콤팩트 공간 X에서 하우스도르프 공간 Y으로 가는 모든 연속 함수는 닫힌 함수이기 때문이다.

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.

* 만약 X가 콤팩트 공간이라면, f(X)도 콤팩트 공간이다.
* 만약 X가 연결 공간이라면, f(X)도 연결 공간이다.
* 만약 X가 경로 연결 공간이라면, f(X)도 경로 연결 공간이다.

임의의 두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약 X가 제1 가산 공간이라면, X와 Y 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

균등 공간 사이에서, 모든 균등 연속 함수는 연속 함수이다. 거리 공간 사이에서, 모든 립시츠 연속 함수는 균등 연속 함수이며, 따라서 연속 함수이다. 정의역이 콤팩트 균등 공간인 경우, 연속성은 균등 연속성과 동치이다 (하이네-칸토어 정리).

### 거리 공간에서의 연속 함수

두 거리 공간 (X,d\_X) 및 (Y,d\_Y) 사이의 함수 f\colon X\to Y 및 점 x\in X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* f는 x에서 연속이다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta \_{\epsilon }>0이 존재한다.
	+ 임의의 x'\in X에 대하여, 만약 d\_{X}(x,x')<\delta \_{\epsilon }라면, d\_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon 이다.
* f는 x에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬 x\_{i}\in X에 대하여, 만약 x\_{i}\to x라면 f(x\_{i})\to f(x)이다.

### 실수값 연속 함수

임의의 위상 공간 X 위의 두 연속 함수

f,g\colon X\to {\mathbb R}
에 대하여, 다음이 성립한다.

* f+g\colon X\to {\mathbb R}는 연속 함수이다.
* fg\colon X\to {\mathbb R}는 연속 함수이다.
	+ 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 g가 임의의 실수 r라면, rf\colon X\to {\mathbb R}는 연속 함수이다. 특히, {\displaystyle r=-1}인 경우 {\displaystyle -f\colon X\to \mathbb {R} }는 연속 함수이다.
* 만약 모든 x\in X에 대하여 f(x)\neq 0이라면, 1/f는 연속 함수이다.

### 실수 위의 함수

어떤 구간 I\subset {\mathbb R} 및 위상 공간 Y 사이의 함수 f\colon I\to Y 및 실수 r\in I에 대하여, 다음을 정의하자.

* 만약 {\displaystyle \lim \_{x\to r^{+}}f(x)=f(r)}이라면 f는 r에서 **우연속**(영어: right-continuous)이다.
* 만약 {\displaystyle \lim \_{x\to r^{-}}f(x)=f(r)}이라면 f는 r에서 **좌연속**(영어: left-continuous)이다.

실수 구간 I\subset {\mathbb R}으로부터 위상 공간 Y로 가는 함수 f\colon I\to Y 및 임의의 실수 r\in I에 대하여, 다음이 성립한다.

* f는 r에서 연속이다.
* f는 r에서 좌연속이며 우연속이다.

### 실수 위의 실수값 함수

구간 {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 및 함수 f\colon I\to {\mathbb R} 및 점 x\in I에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* f는 x에서 연속이다.
* {\displaystyle \lim \_{x'\to x}f(x')=f(x)}. 여기서 {\displaystyle \lim \_{x'\to x}}은 함수의 극한이다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta \_{\epsilon }>0이 존재한다.
	+ 임의의 {\displaystyle x'\in I}에 대하여, 만약 {\displaystyle |x-x'|<\delta \_{\epsilon }}라면, {\displaystyle |f(x)-f(x')|<\epsilon }이다.
* f는 x에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬 x\_i\in U에 대하여, 만약 x\_{i}\to x라면 f(x\_{i})\to f(x)이다.

예
-

함수 {\displaystyle x\mapsto 1/x}의 그래프. 이 함수는 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 만약 {\displaystyle 0\mapsto 0}이라고 추가 정의하면 이 함수는 0에서 불연속이 된다. 만약 {\displaystyle 0\mapsto \infty }로 정의하면 이 함수는 0에서도 연속이 되며, 복소평면에서 리만 구로 가는 유리형 함수로 확장할 수 있다. 이는 이 함수를 복소함수로 보았을 때, 0은 위수가 1인 극점이고, 유한한 주부분을 가진 로랑 급수가 특이점 주변에서 정의될 수 있기 때문이다.
실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

* 모든 다항식 \mathbb {R} \to \mathbb {R}
* 지수 함수 \exp \colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}
* 사인 \sin \colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}
* 코사인 \cos \colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}
* 절댓값 |\cdot |\colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

* 부호 함수 \operatorname {sgn}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}

실함수의 연속
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### 정의

실수에서 실수로 가는 실함수는 데카르트 좌표계에서 그래프로 나타낼 수 있다. 이 때 대략적으로 말하면, 그래프가 전체 구간에서 끊어지지 않은 하나의 곡선일 때 함수가 연속이다. 수학적으로 엄밀한 정의는 극한을 이용하여 정의한다. 변수 x에 대한 함수 f(x)가 주어졌을 때, 실수 c에 대해 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한이 f(c)와 같다면 함수가 **c에서 연속**이라고 한다.

함수의 연속을 정의하는 방법은 여러 가지가 있는데, 이는 함수의 정의역의 성질에 따라 달라진다. 방금 정의는 특정 점에서의 연속에 대한 정의였다. 한편 어떤 열린 구간에 대하여, 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 내의 모든 점에서 함수가 연속일 때, 함수가 **구간에서 연속**이라고 한다. 또한 함수가 구간 {\displaystyle (-\infty ,\infty )}에서 연속일 때(즉, 실직선 위에서 연속일 때), 이를 단순히 **연속 함수**라고 부른다. 예를 들어 다항 함수는 모든 점에서 연속이므로 연속 함수이다.

어떤 구간이 열린 구간이 아니라 반열린 구간 혹은 닫힌 구간인 경우, 그 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 안의 모든 내부점에서 함수가 연속이며 구간의 끝점에서의 함숫값이 구간 내의 변수가 끝점으로 갈 때의 함숫값과 같을 때, 함수가 **구간에서 연속**이라고 한다. 예를 들어 함수 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}는 정의역인 반열린 구간 [0,\infty )에서 연속이다.

일반적으로 고립점을 제외한 실수 전체를 정의역으로 가지는 부분 정의 함수의 연속을 다루는 경우가 많다. 예를 들어 f(x)={\frac {1}{x}}와 {\displaystyle f(x)=\tan x}는 각각 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}}과 {\displaystyle x\in \mathbb {R} \backslash \{n\pi |n\in \mathbb {N} \}}에서 정의된 부분 정의 함수이다. 이처럼 함수가 정의역에 해당하는 구간에서 연속일 때, 실직선 위에서 연속인 것은 아니더라도 통상적으로 함수가 연속이라고 말하기도 한다.

부분 정의 함수에 대하여 어떤 점이 정의역의 폐포에 속할 때, 이 점이 정의역에 속하지 않거나 점에서 그 어떤 값을 가지도록 정의하더라도 연속이 아니라면 함수가 그 점에서 불연속이라고 한다. 예를 들어 f(x)={\frac {1}{x}}와 {\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}}는 0에서 정의되지 않고 0에서 어떤 값을 가지더라도 연속이 아니므로 0에서 연속이 아니다. 어떤 점에서 함수가 불연속일 때 이 점을 불연속점이라고 한다.

연속은 아래와 같이 다양한 방식으로 정의할 수 있다.

#### 함수의 극한을 이용한 정의

함수 f와 함수의 정의역에 속하는 점 c에 대해, x가 정의역 내에서 c로 다가갈 때 그 극한 f(x)가 존재하고 f(c)와 같다면, f는 c에서 연속이다. 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.

\lim \_{{x\to c}}f(x)=f(c)

구체적으로 이는 다음의 세 가지 조건을 함의한다. 첫째, f는 c에서 정의되어야 한다.(즉, c가 f의 정의역에 속해야 한다.) 둘째, 극한이 존재해야 한다. 셋째, 극한값이 f(c)와 같아야 한다. (한편 이 정의에서함수의 정의역은 고립점을 가지지 않는다고 가정한다.)

#### 근방을 이용한 정의

실수에서 점 c의 근방이란 c로부터 일정한 거리 내에 있는 모든 점을 포함하는 구간이다. 직관적으로 말하면, 점 c에 대하여 c의 근방의 길이가 0으로 수렴할 때 그 근방에서 함숫값의 구간이 점 f(c)를 포함하면서 길이가 0에 수렴하면 함수가 c에서 연속이라고 한다. 더 정확하게는 함수의 치역에서 임의의 근방 {\displaystyle N\_{1}(f(c))}이 주어졌을 때, {\displaystyle x\in N\_{2}(c)}인 모든 x에 대해 {\displaystyle f(x)\in N\_{1}(f(c))}를 만족하도록 하는 정의역 위에서의 근방 {\displaystyle N\_{2}(c)}을 항상 잡을 수 있다면 함수가 c에서 연속이라고 한다.

근방은 임의의 위상 공간에 대해 정의할 수 있는 개념이기 때문에, 함수의 연속은 실수 위에서 정의된 실함수뿐만 아니라 위상 공간 위에서 정의된 함수에 대해서 보다 일반적으로 정의할 수 있다. 함수는 고립점 위에서 자동으로 연속이 되며, 예를 들어 정의역이 정수인 실함수는 항상 연속이다.

#### 수열의 극한을 이용한 정의

{\displaystyle f(x)=e^{x}}과 c=0으로 수렴하는 수열 {\displaystyle x\_{n}={\frac {1}{n}}}에 대해 {\displaystyle f(x\_{n})=e^{\frac {1}{n}}}은 f(0)=1로 수렴한다. 따라서 f는 0에서 연속이다.
정의역 D 위의 점들로 구성된 임의의 수열 (x\_{n})\_{{n\in {\mathbb {N}}}}에 대해, 이 수열이 c로 수렴하고 그에 대응하는 수열 {\displaystyle (f(x\_{n}))\_{n\in \mathbb {N} }}이 f(c)로 수렴한다면, f는 c에서 연속이라고 한다. 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.

{\displaystyle \forall (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim \_{n\to \infty }x\_{n}=c\Rightarrow \lim \_{n\to \infty }f(x\_{n})=f(c)}

#### 엡실론-델타 논법을 이용한 정의

엡실론-델타 논법을 이용한 연속의 정의에 대한 설명: 함수 f가 x=2에서 연속임을 보이려고 한다. 이때 ε=0.5라는 값이 주어졌다고 하자. 그러면 δ=0.5일 때, 2를 기준으로 2-δ보다 크고 2+δ보다 작은 모든 x는 함숫값이 f(2)-ε보다 크고 f(2)+ε보다 작다. 즉 조건을 만족하는 δ=0.5를 잡을 수 있다. 방금은 ε 값으로 0.5가 주어졌지만, 아무리 작은 ε가 주어지더라도 조건을 만족하는 δ를 잡을 수 있다면 f는 x=2에서 연속이다.
엡실론-델타 논법을 이용하여 연속을 정의할 수 있다. 함수 {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }과 정의역 D 위의 점 x\_0에 대해, 다음을 조건을 만족하면 f가 x\_0에서 연속이라고 한다.

*임의의 작은 실수 \varepsilon >0이 주어졌다고 하자. 이때 어떤 실수 \delta >0이 존재하여 {\displaystyle x\_{0}-\delta <x<x\_{0}+\delta }인 정의역 위의 모든 x에 대해 함숫값 f(x)가 {\displaystyle f(x\_{0})-\varepsilon <f(x)<f(x\_{0})+\varepsilon }를 만족한다.*

이를 아래처럼 표현할 수도 있다.

*임의의 \varepsilon >0에 대해, \delta >0이 존재하여서 모든 x\in D에 대해 {\displaystyle |x-x\_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x\_{0})|<\varepsilon }을 만족한다.*

직관적으로 설명하면, 이는 x에 대한 함숫값 f(x)이 f(x\_0)를 기준으로 하는 어떤 작은 근방 내에 있도록 하고 싶다면 x가 x\_0를 기준으로 하는 작은 근방 내에 있어야 한다는 것과 같다. 이때 f(x\_0)를 기준으로 하는 근방이 아무리 작더라도 이를 만족하는 x\_0를 기준으로 하는 근방을 항상 찾을 수 있다면, 함수가 x\_0에서 연속이라고 한다.

### 연속 함수의 구성

삼차 함수의 그래프. 삼차 함수는 \mathbb {R}  위에서 연속이다.
주어진 함수가 연속인지 판별하기 위해서는 함수가 위의 연속의 정의 중 하나를 만족하는지 알아보면 된다. 한편 어떤 정의역 위에서 정의된 두 연속 함수가 주어졌을 때, 두 함수의 합으로 만들어지는 함수 또한 같은 정의역 위에서 연속이다. 즉, 두 연속 함수

{\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} }

가 주어졌을 때, 두 연속 함수의 합

{\displaystyle s=f+g}

는 D에서 연속이다.(이때 모든 x\in D에 대해 {\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}로 정의된다.) 두 연속 함수의 곱에 대해서도 같은 결과가 성립한다. 즉, 두 연속 함수의 곱

{\displaystyle p=f\cdot g}

는 D에서 연속이다.(이때 모든 x\in D에 대해 {\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}로 정의된다.)

한편 상수 함수와 항등 함수는 실수 \mathbb {R}  위에서 연속이다. 그리고 모든 다항 함수는 상수 함수와 항등 함수의 합과 곱들로 나타낼 수 있다. 따라서 위의 결과들에 의해 다항 함수는 \mathbb {R}  위에서 연속이다.

유리 함수의 그래프. {\displaystyle x=-2}에서 함수는 정의되지 않는다. 수직선과 수평선은 유리함수의 점근선이다.
위와 비슷한 방식으로, 연속 함수의 역수

{\displaystyle r=1/f}

는 {\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}}에서 연속이다.(이때 {\displaystyle f(x)\neq 0}인 모든 x\in D에 대해 {\displaystyle r(x)=1/f(x)}로 정의된다.) 따라서 g의 근을 제외한 정의역에서, 두 연속 함수의 몫

{\displaystyle q=f/g}

는 {\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}}에서 연속이다.(이때 {\displaystyle g(x)\neq 0}인 모든 x\in D에 대해 {\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수

{\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}

은 분자와 분모가 모두 연속 함수이므로 {\displaystyle x\neq -2}인 모든 실수점 위에서 연속이다. {\displaystyle x=-2}에서는 함수가 정의되지 않으므로 연속성에 대해 논의할 수 없다.

함수의 합성으로 연속 함수를 구성하는 것도 가능하다. 두 연속 함수

{\displaystyle g:D\_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R\_{g}\subseteq \mathbb {R} }과 {\displaystyle f:D\_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R\_{f}\subseteq D\_{g}}

가 주어졌을 때, 두 함수의 합성 {\displaystyle c=f\circ g:D\_{f}\to \mathbb {R} }는 연속이다.(이때 모든 {\displaystyle x\in D\_{f}}에 대해 {\displaystyle c(x)=g(f(x))}로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수

{\displaystyle y(x)=e^{\sin(\ln x)}}

은 x>0에서 연속인 함수 e^{x}와 \sin x, 그리고 \ln x의 합성이므로 x>0에서 연속이다.

참고 문헌
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* Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.