미분기하학에서 **천-베유 준동형**([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 G

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

* G의 복소수 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
* {\mathfrak {g}} 위의 다항식환 {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}
* {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]} 위의 G의 딸림표현 작용. 이에 따라 {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}는 군환 {\displaystyle \mathbb {C} [G]}의 왼쪽 가군을 이룬다.
{\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} \_{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})}
* G의 작용에 대한 불변량 부분 대수 {\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}.
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}}
* G의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus \_{k=0}^{\infty }\mathbb {C} \_{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}
{\displaystyle p\in \mathbb {C} \_{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)}
* 동차 다항식 {\displaystyle p\in \mathbb {C} \_{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 k개의 변수를 갖는 함수 {\displaystyle {\bar {p}}\colon {\mathfrak {g}}^{\oplus k}\to \mathbb {C} }가 존재한다.
{\displaystyle {\bar {p}}(x,\dotsc ,x)=p(x)\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}
{\displaystyle {\bar {p}}(x\_{1},\dotsc ,x\_{k})={\bar {p}}(x\_{\sigma (1)},\dotsc ,x\_{\sigma (k)})\qquad \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (k),\;(x\_{i})\_{1\leq i\leq k}\in {\mathfrak {g}}^{\oplus k}}

또한, 다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M
* G-매끄러운 주다발 {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}

그렇다면, **천-베유 준동형**은 다음과 같은 \mathbb {C} -결합 대수 준동형이다.

{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
### 추상적 정의

리 군 G에 대하여, 분류 공간 {\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}를 생각하자. (G의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}
(복소수 계수이므로, 좌변은 G의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라, G-주다발 P는 어떤 연속 함수

{\displaystyle f\colon M\to \mathrm {B} G}
에 의하여

{\displaystyle P=f^{\*}\mathrm {E} B}
로서 주어진다. 또한, 이 f는 코호몰로지 환의 등급환 준동형

{\displaystyle f^{\*}\colon \mathrm {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}
을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, f^{\*}는 등급환 준동형

{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
을 정의한다. 이를 **천-베유 준동형**이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군 G은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

### 구체적 정의

천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, P 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이

{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}
라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle p\in \mathbb {C} \_{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}에 대하여 다음을 정의하자.

{\displaystyle p(F)\in \Omega ^{2k}(P;{\mathfrak {g}})}
{\displaystyle p(F)(v\_{1},\dotsc ,v\_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum \_{\sigma \in \operatorname {Sym} (2k)}(-)^{\sigma }{\bar {p}}\left(F(v\_{\sigma (1)},v\_{\sigma (2)}),\dotsc ,F(v\_{\sigma (2k-1)},v\_{\sigma (2k)})\right)}
여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

* s\in P는 주다발 전체 공간의 점
* {\displaystyle v\_{1},\dotsc ,v\_{2k}\in \mathrm {T} \_{s}P}는 주다발의 한 접공간의 2k 개의 벡터들
* {\displaystyle (-)^{\sigma }}는 순열의 부호수
* {\displaystyle \operatorname {Sym} (2k)}는 크기 {\displaystyle (2k)!}의 대칭군

그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

* p의 G-불변성에 의하여, {\displaystyle p(F)}는 P 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, {\displaystyle \mathrm {d} p(F)=0}이다.
* {\displaystyle p(\Omega )=\pi ^{\*}\alpha \_{F}}가 되는 유일한 미분 형식 {\displaystyle \alpha \_{F}\in \Omega ^{2k}(M;\mathbb {C} )}가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
* 또한, {\displaystyle \alpha \_{F}}는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 {\displaystyle [\alpha \_{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}는 주접속에 의존하지 않는다.

이에 따라, **천-베유 준동형**은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
{\displaystyle p\mapsto [\alpha \_{F}]}

예
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### 1차 천 특성류

 이 부분의 본문은 천 특성류입니다.
{\displaystyle \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }} (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 {\displaystyle \operatorname {U} (1)})을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

{\displaystyle \mathrm {B} \operatorname {U} (1)\simeq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty }}
이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )=\operatorname {Span} \_{\mathbb {C} }\{1,x,x^{2},\dotsc \}}
{\displaystyle \deg x=2}
{\displaystyle \mathrm {d} x=0}
이다.

\mathbb C^\times는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

{\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )}
이다.

\mathbb C^\times-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

{\displaystyle p(x)\mapsto p(\operatorname {c} \_{1}(F))}
로서 주어진다.

### 천 특성류

 이 부분의 본문은 천 특성류입니다.
보다 일반적으로, {\displaystyle G=\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}-매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

{\displaystyle p(x)=\det \left(1-{\frac {x}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}
{\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}
그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 **총 천 특성류**

{\displaystyle \operatorname {c} (P)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}
이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}t^{k}p\_{k}(x)=\det \left(1-{\frac {tx}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (t\in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}
{\displaystyle p\_{k}\in \mathbb {C} \_{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}
k차 **천 특성류**

{\displaystyle \operatorname {c} \_{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}
를 정의할 수 있다.

이 경우, \operatorname{GL}(n;\mathbb C)-주다발 P 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발

{\displaystyle E=P\times \_{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}
을 사용하여

{\displaystyle \operatorname {c} \_{k}(E)=\operatorname {c} \_{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}
로 적을 수 있다.

역사
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1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,:64–65, §Ⅲ.6 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.
I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ. | "|
|   | — :0, §Introduction |

참고 문헌
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1. 1 2  Chern, Shiing-shen (1951). 《Topics in differential geometry》 (영어). The Institute for Advanced Study.

* Bott, R. (1973), "On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups", 《Advances in Mathematics》 **11**: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
* Shiing-Shen Chern, *Complex Manifolds Without Potential Theory* (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
* Chern, S.-S.; Simons, J (1974), "Characteristic forms and geometric invariants", 《Annals of Mathematics》, Second Series **99** (1): 48–69, JSTOR 1971013 .
* Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨) .
* Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), "Existence of universal connections", 《Amer. J. Math.》 **83**: 563–572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896 .
* Morita, Shigeyuki (2000), "Geometry of Differential Forms", 《Translations of Mathematical Monographs》 **201** .