추상대수학에서 **케일리-딕슨 구성**(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.:160–164, §Ⅱ.2.5 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

정의
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가환환 K가 주어졌다고 하자.

그 위의 **\*-대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* K-가군 A
* K-가군 준동형 {\displaystyle \star \colon A\otimes \_{K}A\to A}. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
* K-가군 준동형 {\displaystyle (-)^{\*}\colon A\to A}. 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
	+ {\displaystyle (xy)^{\*}=y^{\*}x^{\*}\qquad \forall x,y\in A}
	+ {\displaystyle x^{\*\*}=x\qquad \forall x\in A}

또한, K의 가역원 {\displaystyle \mu \in \operatorname {Unit} (K)}이 주어졌다고 하자.

그렇다면, K-가군의 직합 A\oplus A 위에 다음과 같은 K-대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

{\displaystyle (x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^{\*}y,y'x+yx'^{\*})}
(x,y)^{\*}=(x^{\*},-y)
즉, 새 원소 i=(0,1)를 추가하며, (a,b)=a+bi로 쓰면, 모든 a,b,c\in A에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

{\displaystyle ai=ia^{\*}}
{\displaystyle a(bi)=(ba)i}
{\displaystyle (ai)b=(ab^{\*})i}
{\displaystyle (ai)(bi)=\mu b^{\*}a}
i^{\*}=-i
그렇다면 이는 \*-대수 \operatorname {CD}(A)를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 \*-대수 준동형 A\to \operatorname {CD}(A)가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 {\displaystyle i\mapsto \alpha i}와 같이 재정의할 경우, {\displaystyle \mu \mapsto \mu /\alpha ^{2}}가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 {\displaystyle [\mu ]\in \operatorname {Unit} (K)/\operatorname {Unit} (K)^{2}}에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

성질
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유사환 R 위의 대합 대수 A 및 그 케일리-딕슨 대수 \operatorname {CD}(A)에 대하여, A가 다음 조건을 만족시킨다면, \operatorname {CD}(A)는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

| A의 성질 | \operatorname {CD}(A)의 성질 |
| --- | --- |
| 단위원 1\_{A}\in A을 갖는다 | 단위원 1\_{A}+0i를 갖는다 |
| \*-조건이 성립 | \*-조건이 성립 |
| 교환 법칙이 성립하며, ^{\*}는 항등 함수 | 교환 법칙이 성립 |
| 교환 법칙·결합 법칙이 성립 | 결합 법칙이 성립 |
| 결합 법칙이 성립하며, \*-조건이 성립 | 교대 대수 |

여기서 \*-조건은 다음과 같다.

* 모든 a,b,c에 대하여, 0=[a+a^{\*},b]=[aa^{\*},b]=(a+a^{\*},b,c)=(aa^{\*},b,c)=(b,a+a^{\*},c)=(b,aa^{\*},c)=(b,c,a+a^{\*})=(b,c,aa^{\*})

여기서

[a,b]=ab-ba
(a,b,c)=(ab)c-a(bc)
는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체 K 위의 모든 합성 대수는 K로부터 0번 ~ 3번 (\mu 를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 [[합성 대수는 K 자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

예
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실수 \mathbb {R} 를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.

| 대수 | 이름 | 성질 |
| --- | --- | --- |
| \mathbb {R}  | 실수 | 교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재 |
| {\mathbb C}=\operatorname {CD}({\mathbb R}) | 복소수 | 교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재 |
| {\mathbb H}=\operatorname {CD}({\mathbb C}) | 사원수 | 결합 법칙 · \*-조건 · 단위원 존재 |
| {\mathbb O}=\operatorname {CD}({\mathbb H}) | 팔원수 | 교대 대수 · \*-조건 · 단위원 존재 |
| {\displaystyle \mathbb {S} =\operatorname {CD} (\mathbb {O} )} | 십육원수 | \*-조건 · 단위원 존재 |

이 대수들의 경우

\|a\|^{2}=a^{\*}a\in [0,\infty )\subset {\mathbb R}\subset \operatorname {CD}^{n}({\mathbb R})\qquad \forall a\in \operatorname {CD}^{n}({\mathbb R})
이므로, 곱셈과 호환되는 노름 \|\cdot \|\colon \operatorname {CD}^{n}({\mathbb R})\to [0,\infty )을 줄 수 있다.

역사
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아서 케일리와 레너드 유진 딕슨 이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  McCrimmon, Kevin (2004). 《A Taste of Jordan Algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924.
2. ↑  Dickson, Leonard Eugene (1919). "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem". 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) **20** (3): 155–171. doi:10.2307/1967865. ISSN 0003-486X. JSTOR 1967865.

* Baez, John (2002). "The octonions". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 **39** (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087.  오류 정정 Baez, John (2005). "Errata for "The octonions"". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 **42** (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
* Schafer, Richard D. (1966). 《An introduction to non-associative algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) **22**. Academic Press. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 23일에 확인함.