복소해석학에서 **코시 변환**(영어: Cauchy transform) 또는 **코시형 적분**(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.

정의
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조각마다 \mathcal C^1 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 {\displaystyle \varphi \colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }의 **코시 변환** 상 {\displaystyle {\mathcal {C}}f}는 다음과 같은 함수이다.

{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }
{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w}}\mathrm {d} z\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}

성질
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조각마다 \mathcal C^1 곡선 {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 {\displaystyle f\colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }의 코시 변환 상 {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 n 및 {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle ({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)={\frac {n!}{2\pi i}}\int \_{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}

증명::89

임의의 {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 및 {\displaystyle w'\in \operatorname {B} (w,d(w,\gamma ([a,b]))/2)}를 취하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z-w'}}&={\frac {1}{z-w}}\cdot {\frac {1}{1-(w'-w)/(z-w)}}\\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\end{aligned}}}
이다. 이 급수는

{\displaystyle {\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\leq {\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}<\infty }
이므로 {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])}에서 균등 수렴한다. 따라서,

{\displaystyle ({\mathcal {C}}f)(w')={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w'}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\sum \_{n=0}^{\infty }(w'-w)^{n}\int \_{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}
이다. 즉, {\displaystyle {\mathcal {C}}f}는 w에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 n에 대하여,

{\displaystyle {\frac {({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}
가 성립한다.

유계 연결 열린집합 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }의 경계 \partial D가 유한 개의 조각마다 \mathcal C^1 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} }가 D에서 정칙 함수라고 하자. **코시 적분 공식**에 따르면, {\displaystyle f|\_{\partial D}}의 코시 변환 상은

{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial D\to \mathbb {C} }
{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}f(w)&w\in D\\0&w\not \in D\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial D}
이다.

예
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(양의 방향을 갖는) 곡선:5-6

{\displaystyle \partial \operatorname {B} (0,2)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=2\}}
위의 연속 함수

{\displaystyle f\colon \partial \operatorname {B} (0,2)\to \mathbb {C} }
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-i)(z-3i)}}\qquad \forall z\in \varphi \colon \partial \operatorname {B} (0,2)}
에 대한 코시 변환 상은

{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} }
{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}1/(w-3i)&w\in \operatorname {B} (0,1)\\1/2i(w-i)&w\not \in \operatorname {B} (0,1)\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)}
이다.