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**샌드위치 정리**(-定理, 영어: sandwich theorem, pinching theorem, squeeze theorem)는 함수의 극한에 관한 정리이다. 미적분학과 해석학에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다. **압착 정리**(壓搾定理), **스퀴즈 정리**, **조임 정리**로도 불린다.

역사
--

샌드위치 정리를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스와 에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다.

샌드위치 정리의 현대적 증명은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌다.

내용
--

### 수열

수열 \{a\_{n}\}, \{b\_{n}\}, \{c\_{n}\}에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수 n에 대해 {\displaystyle a\_{n}\leq c\_{n}\leq b\_{n}}이고 {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\lim \_{n\to \infty }b\_{n}=L}이면, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }c\_{n}=L}이다.

### 함수

함수 f,g,h에 대하여, a에 충분히 가까운 모든 x에 대해 f(x)\leq h(x)\leq g(x)이고 {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=\lim \_{x\to a}g(x)=L}이면, \lim\_{x \to a} h(x) = L이다.

증명
--

아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다.

모든 양의 실수 \epsilon 에 대하여

0<|x-a|<\delta\_1\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon\Rightarrow L-\epsilon<f(x)
0<|x-a|<\delta\_2\Rightarrow|g(x)-L|<\epsilon\Rightarrow g(x)<L+\epsilon
를 만족하는 양의 실수 \delta \_{1},~\delta \_{2}가 존재한다.

또한 전제조건에 의해

0<|x-a|<\delta\_0\Rightarrow f(x)\le h(x)\le g(x)
를 만족하는 양의 실수 \delta\_0이 존재한다.

\delta 를 \min(\delta\_0,\delta\_1,\delta\_2)로 잡으면,

\begin{array}{rcl}
0<|x-a|<\delta & \Rightarrow & 0<|x-a|<\delta\_i,\ i=0,1,2 \\
& \Rightarrow & L-\epsilon<f(x)\le h(x)\le g(x)<L+\epsilon \\
& \Rightarrow & |h(x)-L|<\epsilon
\end{array}
이다.

정리하면 모든 양의 실수 \epsilon 에 대하여 {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|h(x)-L\right|<\epsilon }를 만족하는 양의 실수 \delta 가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여 {\displaystyle \lim \_{x\to a}h(x)=L}이다.

예
-

샌드위치 정리의 예
### 예 1

극한

\lim\_{x\to 0}x^2\sin\frac1x
은 샌드위치 정리에 의해 0이다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2
더 나아가, 임의의 무한소(즉 0을 극한으로 하는 함수)와 유계 함수의 곱은 여전히 무한소이다.

### 예 2

\lim\_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
이는 임의의 x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1
### 예 3

\lim\_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n})=\frac12
이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다.

\begin{array}{cl}
 & \frac12 \\
= & \frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\frac{3}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1} \\
= & \frac{n^2+n}{2n^2+2}
\end{array}
양끝의 수열이 모두 \frac12로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다.

### 예 4

\left(\max\_{1\le i\le n}a\_i\right)^p \le a\_1^p+a\_2^p+\cdots+a\_n^p \le n\left(\max\_{1\le i\le n}a\_i\right)^p
이므로

\left(\frac1n\right)^{\frac1p}\max\_{1\le i\le n}a\_i \le \left(\frac{a\_1^p+a\_2^p+\cdots+a\_n^p}{n}\right)^{\frac1p} \le \max\_{1\le i\le n}a\_i
또한 극한

\lim\_{p\to\infty}\left(\frac1n\right)^{\frac1p}
의 값이 1임에 따라 부등식 양 옆의 함수의 극한은 모두 \max\_{1\le i\le n}a\_i이다. 따라서 다음의 극한이 있다. (멱평균 참고)

\lim\_{p\to\infty}\left(\frac{a\_1^p+a\_2^p+\cdots+a\_n^p}{n}\right)^{\frac1p}=\max\_{1\le i\le n}a\_i

참고 문헌
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1. ↑  Stewart, James (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》 (영어). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.