측도론에서 **카라테오도리 확장 정리**(Carathéodory擴張定理, 영어: Carathéodory’s extension theorem) 또는 **한-콜모고로프 정리**(Hahn-Колмого́ров定理, 영어: Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 집합 X
* **집합 반환**(集合半環, 영어: semiring of sets) {\displaystyle \Sigma \_{0}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}. 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
	+ {\displaystyle \varnothing \in \Sigma \_{0}}
	+ (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 {\displaystyle A,B\in \Sigma \_{0}}에 대하여, {\displaystyle A\cap B\in \Sigma \_{0}}
	+ 임의의 {\displaystyle A,B\in \Sigma \_{0}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle A\setminus B=\bigcup \_{i=1}^{n}C\_{i}}인 유한 개의 서로소 집합 {\displaystyle C\_{1},\dots ,C\_{n}\in \Sigma \_{0}}이 존재한다.
* **준측도**(準測度, 영어: premeasure) {\displaystyle \mu \_{0}\colon \Sigma \_{0}\to [0,\infty ]}. 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
	+ {\displaystyle \mu \_{0}(\varnothing )=0}
	+ (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}에 대하여, 만약 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\in \Sigma \_{0}}이라면, {\displaystyle \textstyle \mu \_{0}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})}
		- (단조성) 특히, 만약 {\displaystyle A,B\in \Sigma \_{0}}이며 A\subseteq B라면, {\displaystyle \textstyle \mu \_{0}(A)\leq \mu \_{0}(B)}이다. (아래 증명 참고)
		- (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}이며 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\in \Sigma \_{0}}이라면, {\displaystyle \textstyle \mu \_{0}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})}이다. (아래 증명 참고)

또한,

{\displaystyle \mu ^{\*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
{\displaystyle \mu ^{\*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \_{i=0}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})\colon A\subseteq \bigcup \_{i=0}^{\infty }A\_{i},\;A\_{i}\in \Sigma \_{0}\right\}\qquad (A\subseteq X)}
가 \mu\_0으로 유도된 외측도라고 하고,

{\displaystyle \Sigma =\{A\subseteq X\colon \forall S\subseteq X\colon \mu ^{\*}(S)=\mu ^{\*}(S\cap A)+\mu ^{\*}(S\setminus A)\}}
가 {\displaystyle \mu ^{\*}}-카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. **카라테오도리 확장 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.

* \Sigma 는 {\mathcal P}(X)의 부분 시그마 대수를 이룬다.
* {\displaystyle \mu =\mu ^{\*}|\_{\Sigma }}는 완비 측도를 이룬다.
* {\displaystyle \Sigma \_{0}\subseteq \Sigma } (따라서 {\displaystyle \sigma (\Sigma \_{0})\subseteq \Sigma })
* {\displaystyle \mu |\_{\Sigma \_{0}}=\mu \_{0}}
* 만약 \mu\_0이 시그마 유한 준측도라면 (즉, {\displaystyle \textstyle X=\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}}이며 {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \mu \_{0}(A\_{i})<\infty }인 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}이 존재한다면), {\displaystyle \mu |\_{\sigma (\Sigma \_{0})}}은 \mu\_0을 확장하여 얻을 수 있는 {\displaystyle \sigma (\Sigma \_{0})} 위의 유일한 측도이다.

여기서 {\displaystyle \sigma (\Sigma \_{0})}은 \Sigma \_{0}을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

증명
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우선, {\displaystyle \mu ^{\*}}는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 {\displaystyle \mu ^{\*}(\varnothing )=0}이며, 또한 만약 {\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}라면 {\displaystyle \mu ^{\*}(A)\leq \mu ^{\*}(B)}이다. 따라서 {\displaystyle \mu ^{\*}}가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \subseteq X}가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 \epsilon >0 및 {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여,

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{ij})\leq \mu ^{\*}(A\_{i})+{\frac {\epsilon }{2^{i}}}}
이며 {\displaystyle \textstyle A\_{i}\subseteq \bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{ij}}인 {\displaystyle A\_{i1},A\_{i2},\dots \in \Sigma \_{0}}이 존재한다. 그렇다면 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\subseteq \bigcup \_{i=1}^{\infty }\bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{ij}}이므로,

{\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\sum \_{j=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{ij})\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{i})+\epsilon }
이다.

{\displaystyle \mu ^{\*}}-카라테오도리 가측 집합의 집합 \Sigma 가 {\mathcal P}(X)의 부분 시그마 대수라는 사실과 {\displaystyle \mu =\mu ^{\*}|\_{\Sigma }}는 그 위의 완비 측도라는 사실은 {\displaystyle \mu ^{\*}}가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, \Sigma 가 {\mathcal P}(X)의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 {\displaystyle \varnothing \in \Sigma }이며, 임의의 {\displaystyle A\in \Sigma }에 대하여 {\displaystyle X\setminus A\in \Sigma }이다. 따라서 \Sigma 가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 {\displaystyle A,B\in \Sigma } 및 S\subseteq X에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(S)&=\mu ^{\*}(S\cap A)+\mu ^{\*}(S\setminus A)\\&=\mu ^{\*}((S\cap A)\cap B)+\mu ^{\*}((S\cap A)\setminus B)+\mu ^{\*}((S\setminus A)\cap B)+\mu ^{\*}((S\setminus A)\setminus B))\\&=\mu ^{\*}(S\cap (A\cap B))+\mu ^{\*}(S\cap (A\setminus B))+\mu ^{\*}(S\cap (B\setminus A))+\mu ^{\*}(S\setminus (A\cup B))\\&\geq \mu ^{\*}(S\cap (A\cup B))+\mu ^{\*}(S\setminus (A\cup B))\\&\geq \mu ^{\*}(S)\end{aligned}}}
이므로, {\displaystyle A\cup B\in \Sigma }이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 {\displaystyle A,B\in \Sigma } 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 가산 준가법성 때문이다.

이제, \Sigma 가 {\mathcal P}(X)의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 \Sigma 가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,\in \Sigma } 및 임의의 부분 집합 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(S)&=\mu ^{\*}\left(S\cap \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\\&\geq \mu ^{\*}\left(S\cap \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&=\mu ^{\*}(S\cap A\_{n})+\mu ^{\*}\left(S\cap \bigcup \_{i=1}^{n-1}A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&=\mu ^{\*}(S\cap A\_{n})+\mu ^{\*}(S\cap A\_{n-1})+\mu ^{\*}\left(S\cap \bigcup \_{i=1}^{n-2}A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&\vdots \\&=\sum \_{i=1}^{n}\mu ^{\*}(S\cap A\_{i})+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\end{aligned}}}
이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i},A\_{n}\in \Sigma } 때문이며, 둘째 줄의 등호는 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 단조성 때문이다. 이에 n에 대한 극한을 취하면

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(S)&\geq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}(S\cap A\_{i})+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&\geq \mu ^{\*}\left(S\cap \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(S\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&\geq \mu ^{\*}(S)\end{aligned}}}
를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 가산 준가법성 때문이다.

이제, {\displaystyle \mu =\mu ^{\*}|\_{\Sigma }}가 \Sigma  위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 {\displaystyle \textstyle S=\bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{j}}를 취하면

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}\left(\bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{j}\right)&=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}\left(\bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{j}\cap A\_{i}\right)+\mu ^{\*}\left(\bigcup \_{j=1}^{\infty }A\_{j}\setminus \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{i})+\mu ^{\*}(\varnothing )\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{i})\end{aligned}}}
를 얻으며, 이에 따라 \mu 는 \Sigma  위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 {\displaystyle \mu ^{\*}}-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 A\subseteq X가 {\displaystyle \mu ^{\*}(A)=0}을 만족시키며, 또한 {\displaystyle B\subseteq A}라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(S)&\leq \mu ^{\*}(S\cap B)+\mu ^{\*}(S\setminus B)\\&=\mu ^{\*}(S\setminus B)\\&\leq \mu ^{\*}(S)\end{aligned}}}
이다. 첫째 줄의 부등호는 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 {\displaystyle S\cap B\subseteq A} 및 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 {\displaystyle S\setminus B\subseteq S} 및 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 단조성 때문이다.

이제, {\displaystyle \Sigma \_{0}\subseteq \Sigma }를 증명하자. 임의의 {\displaystyle A\in \Sigma \_{0}} 및 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여,

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})\leq \mu ^{\*}(S)+\epsilon }
이며 {\displaystyle \textstyle S\subseteq \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}}인 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}이 존재한다. 각 {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle A\_{i}\setminus A=\bigcup \_{j=1}^{n\_{i}}B\_{ij}}인 서로소 집합 {\displaystyle B\_{i1},\dots ,B\_{in\_{i}}\in \Sigma \_{0}}을 취하자. 그렇다면,

{\displaystyle S\cap A\subseteq \bigcup \_{i=1}^{\infty }(A\_{i}\cap A)}
{\displaystyle S\setminus A\subseteq \bigcup \_{i=1}^{\infty }(A\_{i}\setminus A)=\bigcup \_{i=1}^{\infty }\bigcup \_{j=1}^{n\_{i}}B\_{ij}}
이므로,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(S)&\leq \mu ^{\*}(S\cap A)+\mu ^{\*}(S\setminus A)\\&\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i}\cap A)+\sum \_{i=1}^{\infty }\sum \_{j=1}^{n\_{i}}\mu \_{0}(B\_{ij})\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})\\&\leq \mu ^{\*}(S)+\epsilon \end{aligned}}}
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 \mu\_0의 가산 가법성 때문이다.

이제, \mu\_0의 단조성을 증명하자. {\displaystyle A,B\in \Sigma \_{0}}이며 A\subseteq B라고 하자. 그렇다면 {\displaystyle \textstyle B\setminus A=\bigcup \_{i=1}^{n}C\_{i}}인 서로소 집합 {\displaystyle C\_{1},\dots ,C\_{n}\in \Sigma \_{0}}을 고를 수 있다. 그렇다면

{\displaystyle \mu \_{0}(B)=\mu \_{0}(A)+\sum \_{i=1}^{n}\mu \_{0}(C\_{i})\geq \mu (A)}
이다.

이제, 준측도 \mu\_0의 가산 준가법성을 증명하자. {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}이며 {\displaystyle \textstyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\in \Sigma \_{0}}이라고 하자. 그렇다면 각 {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여,

{\displaystyle B\_{i}=A\_{i}\setminus \bigcup \_{j=1}^{i-1}A\_{j}=\bigcup \_{j=1}^{n\_{i}}B\_{ij}}
인 서로소 집합 {\displaystyle B\_{i1},\dots ,B\_{in\_{i}}\in \Sigma \_{0}}을 고를 수 있다. 그렇다면 각 {\displaystyle i\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여

{\displaystyle C\_{i}=A\_{i}\cap \bigcup \_{j=1}^{i-1}A\_{j}=A\_{i}\cap \bigcup \_{k=1}^{i-1}B\_{k}=\bigcup \_{k=1}^{i-1}\bigcup \_{j=1}^{n\_{j}}(A\_{i}\cap B\_{kj})}
이므로,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})&=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(B\_{i}\cup C\_{i})\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\left(\sum \_{j=1}^{n\_{i}}\mu \_{0}(B\_{ij})+\sum \_{k=1}^{i-1}\sum \_{j=1}^{n\_{k}}\mu \_{0}(A\_{i}\cap B\_{kj})\right)\\&\geq \sum \_{i=1}^{\infty }\sum \_{j=1}^{n\_{i}}\mu \_{0}(B\_{ij})\\&=\mu \_{0}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\end{aligned}}}
이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도 \mu\_0의 가산 가법성 때문이다.

이제, {\displaystyle \mu |\_{\Sigma \_{0}}=\mu \_{0}}를 증명하자. 임의의 {\displaystyle A\in \Sigma \_{0}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여,

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})<\mu ^{\*}(A)+\epsilon }
이며 {\displaystyle \textstyle A\subseteq \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}}인 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}이 존재한다. 그렇다면

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{\*}(A)&\leq \mu \_{0}(A)\\&=\mu \_{0}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }(A\cap A\_{i})\right)\\&\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\cap A\_{i})\\&\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu \_{0}(A\_{i})\\&<\mu ^{\*}(A)+\epsilon \end{aligned}}}
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 {\displaystyle \mu ^{\*}}의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 \mu\_0의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 {\displaystyle \sigma (\Sigma \_{0})}에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 {\displaystyle \mu \_{1},\mu \_{2}\colon \Sigma \to [0,\infty ]}에 대하여, 만약 {\displaystyle \mu \_{1}|\_{\Sigma \_{0}}=\mu \_{2}|\_{\Sigma \_{0}}}이며, 준측도 {\displaystyle \mu \_{1}|\_{\Sigma \_{0}}}이 시그마 유한 준측도라면, {\displaystyle \mu \_{1}|\_{\sigma (\Sigma \_{0})}=\mu \_{2}|\_{\sigma (\Sigma \_{0})}}임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 \Sigma \_{0}가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 \Sigma \_{0}에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in \Sigma \colon \forall B\in \Sigma \_{0}\setminus \mu \_{1}^{-1}(\infty )\colon \mu \_{1}(A\cap B)=\mu \_{2}(A\cap B)\}}
라고 하자. 그렇다면, {\mathcal A}는 λ계이며 {\displaystyle \Sigma \_{0}\subseteq {\mathcal {A}}}이므로, π-λ 정리에 따라 {\displaystyle \sigma (\Sigma \_{0})\subseteq {\mathcal {A}}}이다. {\displaystyle \textstyle X=\bigcup \_{i=1}^{\infty }B\_{i}}이며 {\displaystyle \textstyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \mu \_{1}(B\_{i})<\infty }인 {\displaystyle B\_{1},B\_{2},\dots \in \Sigma \_{0}}을 취하자. 그렇다면, 임의의 {\displaystyle A\in \sigma (\Sigma \_{0})}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \_{1}(A)&=\mu \_{1}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }(A\cap B\_{i})\right)\\&=\lim \_{n\to \infty }\mu \_{1}\left(\bigcup \_{i=1}^{n}(A\cap B\_{i})\right)\\&=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{k}\leq n}\mu \_{1}(A\cap B\_{i\_{1}}\cap \cdots \cap B\_{i\_{k}})\\&=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{k}\leq n}\mu \_{2}(A\cap B\_{i\_{1}}\cap \cdots \cap B\_{i\_{k}})\\&=\mu \_{2}(A)\end{aligned}}}
이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 {\displaystyle 1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{k}\leq n}에 대하여 {\displaystyle B\_{i\_{1}}\cap \cdots \cap B\_{i\_{k}}\in \Sigma \_{0}\setminus \mu \_{1}^{-1}(\infty )}이기 때문이다.

역사
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오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다.

참고 문헌
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* Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.
* Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
* Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.
* Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) **126**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.