이론물리학에서 **천-사이먼스 이론**([陳]-Simons理論, 영어: Chern–Simons theory)은 3차 천-사이먼스 형식을 작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다. 끈 이론과 응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다. 천-사이먼스 이론은 미분기하학에서 천-사이먼스 형식을 도입한 두 수학자 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스의 이름에서 유래했다.

천-사이먼스 범함수
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다음이 주어졌다고 하자.

* 유향 콤팩트 3차원 매끄러운 다양체 M
* 연결 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G. 그 실수 리 대수를 {\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {g}}}라고 하자.
* G-매끄러운 주다발 P. M이 3차원 이하이며, G가 연결 단일 연결이므로, P는 항상 자명한 올다발이다. (그러나 P의 자명화는 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.)

P 위의 주접속의 공간을

{\displaystyle \operatorname {Conn} (P)}
라고 하자. 이는 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \Omega ^{1}(M)}과 동형인 아핀 공간이다. (P의 단면을 고른다면 이는 벡터 공간이 된다.) 이 위에는 게이지 변환군 {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}이 다음과 같은 오른쪽 작용을 갖는다.

{\displaystyle A\cdot g=\operatorname {Ad} (g^{-1})A+g^{-1}\mathrm {d} g}
이에 대한 몫공간

{\displaystyle {\mathcal {A}}(M,G)={\frac {\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}{{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}}}
을 정의할 수 있다.

**천-사이먼스 범함수**(-汎函數, 영어: Chern–Simons functional)는 다음과 같은 함수이다.

{\displaystyle \exp(2\pi \mathrm {i} S)\colon {\mathcal {A}}(M,G)\to \operatorname {U} (1)}
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선,

{\displaystyle A\in \operatorname {Conn} (P)}
가 주어졌을 때, 다음을 고르자.

* M에서 공집합으로 가는 보충 경계 {\tilde {M}}. 즉, {\tilde {M}}은 유향 4차원 경계다양체이며, {\displaystyle \partial {\tilde {M}}=M}이다. (이러한 {\tilde {M}}은 항상 존재한다.)
* {\displaystyle \partial {\tilde {M}}}의 근방 U 및 미분 동형 {\displaystyle U\cong M\times [0,1)}
* 매끄러운 단면 {\displaystyle s\in \Gamma (P)}. 이는 표준적으로 동형 사상 {\displaystyle \operatorname {Conn} (P)\cong \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}를 정의한다. 즉, 아핀 공간의 원점을 정의하여 벡터 공간으로 만든다. 따라서 {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}로 간주할 수 있다.
* 표준적 사영 함수 {\displaystyle \pi \colon U\cong M\times [0,1)\to M}에 대하여, {\displaystyle {\tilde {A}}\upharpoonright U=\pi ^{\*}A\in \Omega ^{1}(U;{\mathfrak {g}})}가 되는 {\displaystyle {\tilde {A}}\in \Omega ^{1}({\tilde {M}};{\mathfrak {g}})}

그렇다면, 다음을 정의하자.

{\displaystyle S(A)={\frac {1}{2}}\int \_{\tilde {M}}\operatorname {tr} \left({\frac {F}{2\pi }}\wedge {\frac {F}{2\pi }}\right)}
이 값은 {\displaystyle ({\tilde {M}},U,{\tilde {A}})}의 선택에 대하여 불변이다.

**증명:**

우선, {\displaystyle ({\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')}와 {\displaystyle ({\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')}를 골랐을 때, 이들을 이어붙여 4차원 콤팩트 매끄러운 다양체 {\displaystyle {\bar {M}}={\tilde {M}}\cup \_{M}{\tilde {M}}'}를 정의할 수 있으며, 그 위에 {\tilde A}와 {\displaystyle {\tilde {A}}'}을 짜깁기하여 {\displaystyle {\bar {A}}\in \Omega ^{1}({\bar {M}};{\mathfrak {g}})}를 정의할 수 있다. 이 경우

{\displaystyle S(A;{\tilde {M}},U,{\tilde {A}})-S(A;{\tilde {M}}',U',{\tilde {A}}')=\int \_{\bar {M}}F\_{\bar {A}}\wedge F\_{\bar {A}}}
가 된다. 만약 {\mathfrak {g}}의 충실한 표현을 골랐을 때, 이는 {\bar M} 위의, 자명한 주다발에 대응되는 연관 벡터 다발의 2차 천 특성류에 비례한다. 자명한 벡터 다발의 천 특성류는 0이므로, 위 적분은 항상 0이다.

사실, 구체적으로

{\displaystyle F^{2}=\mathrm {d} \operatorname {CS} [{\tilde {A}}]}
가 되는 3차 미분 형식 {\displaystyle \operatorname {CS} [{\tilde {A}}]\in \Omega ^{1}({\tilde {M}};{\mathfrak {g}})}가 존재하며, 이를 **천-사이먼스 형식**이라고 한다. {\mathfrak {g}}의 임의의 충실한 행렬 표현에서 이는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {CS} [A]=\operatorname {tr} \left(F\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A\right)}
스토크스 정리에 따라서

{\displaystyle S={\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\int \_{M}\operatorname {CS} [A]}
이다.

S는 일반적으로 주다발 매끄러운 단면 {\displaystyle s\in \Gamma (P)}의 선택에 의존한다. 주다발의 정의에 의하여, {\displaystyle \Gamma (P)}는 게이지 변환군 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}의 주동차 공간(영어: principal homogeneous space, torsor)이다. 즉, 임의의

{\displaystyle s,s'\in \Gamma (P)}
에 대하여 항상

{\displaystyle s'=sg}
인 게이지 변환 {\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}가 존재한다. s에 게이지 변환을 가하는 것은 {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}에 게이지 변환을 가하는 것과 동치이다.

이 경우, S는 다음과 같이 변환한다.

{\displaystyle S[A\cdot g]=S[A]+\deg g}
여기서 {\displaystyle \deg g\in \mathbb {Z} }는 다음과 같다. 우선,

{\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(G;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }
이다. 그 생성원의 하나를 \alpha 라고 하자. 그렇다면

{\displaystyle \deg g=\int \_{M}g^{\*}\alpha \in \mathbb {Z} }
가 된다. ({\displaystyle \pm \alpha } 가운데 하나의 생성원의 선택은 표준적으로 주어진다. 단순 리 군의 경우 원점에서 구조 상수로 주어지는 왼쪽 불변 3차 미분 형식이 존재하며, 이 미분 형식의 양수배로 주어지는 생성원을 고르면 된다.)

따라서, S는 {\displaystyle {\mathcal {A}}=\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})/{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)} 위에 잘 정의되지 않는다. 그러나

{\displaystyle \exp(2\pi \mathrm {i} S)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {U} (1)}
은 잘 정의된다. 사실, {\mathcal A}의 범피복 공간

{\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}\cong {\frac {\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}{{\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)\_{1}}}}
{\displaystyle {\mathcal {A}}\cong {\tilde {\mathcal {A}}}/\mathbb {Z} }
를 취하자. 여기서 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)\_{1}\leq {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}은 상수 함수와 호모토픽한 원소들로 구성된 부분군(즉, 항등원을 포함하는 연결 성분)이다. 그렇다면 S는 {\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}} 위에 잘 정의된다.

고전적 천-사이먼스 이론
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천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론을 **고전적 천-사이먼스 이론**(영어: classical Chern–Simons theory)이라고 한다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속이다. 즉, 아핀 공간 위의 범함수

{\displaystyle S\colon \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})\to \mathbb {R} }
의 임계점

{\displaystyle {\frac {\delta S[A]}{\delta A}}=0}
인 것이다. 이 경우

{\displaystyle {\frac {\delta S[A]}{\delta A}}\propto \int \_{M}F[A]\wedge \delta A}
이므로, 이 조건은 {\displaystyle F[A]=0}인 것과 동치이다. 즉, 고전적 천-사이먼스 이론의 해는 평탄 주접속이다. (이 조건은 게이지 변환의 작용에 대하여 불변이다.)

### 해밀턴 역학

천-사이먼스 이론은 해밀턴 역학으로도 묘사할 수 있으며, 이는 이후 기하학적 양자화에 용이하다. 이를 위하여, 시공간 M이 시간과 공간의 곱공간, 즉

{\displaystyle M=\Sigma \times \mathbb {R} }
의 꼴이라고 하자. 여기서 \Sigma 는 유향 콤팩트 곡면이다. (아직 여기에 복소구조 등은 존재하지 않는다.)

M의 꼴로 인하여, {\displaystyle A=(A\_{0},A\_{1},A\_{2})}에 대하여 다음과 같은 게이지 고정 조건(**바일 게이지** 영어: Weyl gauge)을 가할 수 있다.

A\_{0}=0
천-사이먼스 형식의 두 항

{\displaystyle \operatorname {tr} (A\wedge \mathrm {d} A)}
{\displaystyle \operatorname {tr} (A\wedge A\wedge A)\propto f\_{abc}A\_{0}^{a}A\_{1}^{b}A\_{2}^{c}}
가운데, 둘째 항은 항상 A\_{0}을 포함하므로 0이 되며, 첫 항의 경우 오직

{\displaystyle A\_{1}\partial \_{0}A\_{2}-A\_{2}\partial \_{0}A\_{1}}
만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {k}{8\pi }}\int \_{0}^{1}\mathrm {d} t\int \_{\Sigma }\mathrm {d} ^{2}x\,\epsilon ^{ij}\operatorname {Tr} A\_{i}{\dot {A}}\_{j}}
여기서 i,j=1,2이며, \Sigma  위의 부피 형식 {\displaystyle \epsilon ^{ij}}을 임의로 골랐다. \Sigma 가 2차원이므로, 이는 심플렉틱 다양체의 구조와 같다.

이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.

{\dot A}\_{i}=0
또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.:367

F\_{{ij}}=0
따라서, 고전적으로 위상 공간은 \Sigma  위의 G-평탄 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간 {\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,G)}이다.

평탄 주접속은 홀로노미

{\displaystyle \pi \_{1}(\Sigma )\to G}
에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 {\displaystyle \pi \_{1}(-)}은 (임의의 밑점에 대한) 곡면의 기본군이다. 이 위에는 G가 게이지 변환으로 작용하므로, 모듈라이 공간은

{\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {\hom \_{\operatorname {Grp} }(\pi \_{1}(\Sigma ),G)}{G}}}
이다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이룬다. \Sigma 의 심플렉틱 다양체 구조(부피 형식)로부터, {\mathcal {M}}은 (오비폴드 특이점을 무시하면) 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

특히, 만약 {\displaystyle \Sigma =\mathbb {S} ^{2}}가 2차원 구일 경우, {\displaystyle \pi \_{1}(\mathbb {S} ^{2})=1}(자명군)이므로 {\displaystyle {\mathcal {M}}} 역시 한원소 공간이다. 반면, 만약 {\displaystyle M=\mathbb {T} ^{2}}(원환면)인 경우,

{\displaystyle \pi \_{1}(\mathbb {T} ^{2})=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
이므로

{\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2},G)={\frac {T\times T}{\operatorname {Weyl} (G)}}}
이다. 여기서 T는 G의 임의의 극대 원환면이며, \operatorname {Weyl}(G)는 그 위에 작용하는 바일 군이다.

양자 천-사이먼스 이론
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천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다. 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 다음과 같은 꼴이 된다.

{\displaystyle Z=\int \_{\operatorname {Conn} P}\mathrm {D} A\exp(2\pi \mathrm {i} kS[A])}
여기서 경로 적분이 잘 정의되기 위하여 k는 정수이어야 하며, 이를 (양자) 천-사이먼스 이론의 **준위**(영어: level 레벨[\*])라고 한다. 이 경우, k=0인 경우는 자명한 이론을 얻으며, {\displaystyle k\mapsto -k}는 매끄러운 다양체 M의 방향을 뒤집는 것에 해당한다. 즉, 일반성을 잃지 않고 k를 양의 정수로 놓을 수 있다.

3차원 다양체 \Sigma \times [0,1]을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, \Sigma 에 대응하는 복소수 힐베르트 공간 {\mathcal H}(\Sigma )이 존재하여야 한다. 기하학적 양자화를 가하려면, {\mathcal {M}} 위에 켈러 다양체의 구조가 존재해야 한다.

평탄 주접속의 모듈라이 공간 {\mathcal {M}}은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 \Sigma 에 임의의 복소구조 J를 가하면, 이에 따라 {\mathcal {M}}은 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. {\mathcal {M}}에 준양자 구조 L을 가하면, 그 힐베르트 공간은

{\mathcal H}\_{J}=H^{0}(M;L)
이다. 보다 일반적으로, 준위가 k인 경우, 힐베르트 공간은

{\mathcal H}\_{J}(\Sigma )=H^{0}({\mathcal M}(\Sigma );L^{{\otimes k}})
가 된다.:369

힐베르트 공간 {\mathcal H}\_{J}는 \Sigma 의 복소구조 J에 의존하며, 따라서 \Sigma 의 복소구조의 모듈라이 공간(타이히뮐러 공간 T\_{\Sigma }) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 {\mathcal {H}}은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 P({\mathcal H})는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 베스-추미노-위튼 모형의 등각 블록의 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 만약 \Sigma 가 리만 구라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 (한원소 공간의 양자화이므로) 1차원이다. 종수 0의 타이히뮐러 공간은 자명하므로 이 경우 복소구조에 의존하지 않음은 자명하다.

만약 \Sigma 가 원환면이라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 아핀 리 대수의, 무게 k의 적분 가능 표현들의 공간이다. 천-사이먼스 이론에서, 윌슨 고리를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 베스-추미노-위튼 모형에서 중간에 진공(항등 함수)이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다.

### 준위의 재규격화

양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 k가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 G이고, 고전적으로 준위가 k인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가

k'=k+h^{\vee }(G)
가 된다. 여기서 h^{\vee }(G)는 G의 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.

* 게이지 군이 G인 3차원 {\displaystyle {\mathcal {N}}=0,1,2,3} 양-밀스 이론에, 준위 k의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가

이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 {\displaystyle {\mathcal {N}}\leq 3}만이 가능하다.:§5 이 경우, 초대칭의 수 {\mathcal N}에 따라 준위의 재규격화가 달라진다. {\mathcal N}=1 (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 준위의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 준위가 정수라는 것이다.

k'=k+h^{\vee }(G)/2\in {\mathbb Z}
따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 준위 k가 반정수가 된다. {\mathcal N}=2,3인 경우 재규격화가 없다.

| 초대칭 수 {\mathcal N} | 준위의 변화 |
| --- | --- |
| {\mathcal N}=0 | k'=k+h^{\vee }(G) |
| {\mathcal N}=1 | k'=k+h^{\vee }(G)/2 |
| {\mathcal N}=2,3 | k'=k |

초대칭 천-사이먼스 이론
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순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, **초대칭 천-사이먼스 이론**(영어: supersymmetric Chern–Simons theory)을 만들 수 있다. 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 {\displaystyle {\mathcal {N}}=1,2,4} 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, {\mathcal N}=1 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 A에 대응하는 마요라나 게이지노 \lambda 를 추가하면 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int \_{M}\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A-{\frac {2}{3}}iA\wedge A\wedge A-{\bar {\lambda }}\lambda \,\operatorname {vol} \_{M}\right)}
여기서

* \lambda 는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
* {\displaystyle \operatorname {vol} \_{M}}은 M의 (3차) 부피 형식이다.

게이지노 장 \lambda 의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.:(5), (6)

{\displaystyle \delta A\_{i}=\mathrm {i} {\bar {\epsilon }}\gamma \_{\mu }\lambda }
{\displaystyle \delta \chi ={\frac {1}{2}}\gamma ^{\mu \nu }F\_{\mu \nu }\epsilon }
여기서 \epsilon 은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

응용
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### 3차원 양자 중력

3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다. 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질 위 자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

### 매듭 이론

천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식과 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

### 분수 양자 홀 효과

응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.

### 끈 이론

초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

역사
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1978년에 알베르트 시바르츠가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다.

1981년에 조너선 숀펠드(영어: Jonathan F. Schonfeld)가 3차원 양-밀스 이론에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다. 1982년에 스탠리 데저(영어: Stanley Deser)와 로만 야츠키프(폴란드어: Roman Jackiw), 스티븐 템플턴(영어: Stephen Templeton)이 비아벨 천-사이먼스 항이 존재한다면 레벨이 양자화됨을 지적하였다.:977, (9):§Ⅲ.A, (3.15) 1986년에 그레그 저커먼(영어: Gregg J. Zuckerman)이 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론(즉, 양-밀스 항을 포함하지 않고, 오직 천-사이먼스 항만을 포함하는 이론)을 고전적으로 다루었다.

에드워드 위튼이 1989년에 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, 존스 다항식 및 베스-추미노-위튼 모형과의 관계를 밝혔다.

"천-사이먼스"라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Dunne, Gerald V. (1999). "Aspects of Chern–Simons theory". arXiv:hep-th/9902115. Bibcode:1999tald.conf..177D.
2. ↑  Labastida, J. M. F. (1999). "Chern–Simons gauge theory: ten years after". 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 **484**: 1–40. arXiv:hep-th/9905057. Bibcode:1999AIPC..484....1L. doi:10.1063/1.59663. ISBN 1563968940.
3. 1 2 3 4  Witten, Edward (1989). "Quantum field theory and the Jones polynomial". 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) **121** (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007/BF01217730. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005.
4. 1 2  Axelrod, Scott; Della Pietra, Steve; Witten, Edward (1991). "Geometric quantization of Chern–Simons gauge theory". 《Journal of Differential Geometry》 (영어) **33** (3): 787–902. MR 1100212. Zbl 0697.53061.
5. ↑  Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 8월 17일). "Operator formalism for Chern-Simons theories" (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) **227** (1): 92–102. doi:10.1016/0370-2693(89)91289-6. 2013년 6월 14일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 5일에 확인함.
6. ↑  Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 9월 14일). "Chern-Simons theory and conformal blocks". 《Physics Letters B》 (영어) **228** (2): 214–222. doi:10.1016/0370-2693(89)90661-8.
7. ↑  Kao, Hsien-Chung; Kimyeong Lee. "Self-Dual Chern-Simons Higgs Systems with an N=3 Extended Supersymmetry". 《Physical Review D》 (영어). arXiv:hep-th/9205115. Bibcode:1992PhRvD..46.4691K. doi:10.1103/PhysRevD.46.4691.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
8. ↑  Kao, Hsien-Chung; Lee, Kimyeong; Lee, Taejin (1995년 6월 26일). "The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories". 《Physics Letters B》 (영어). arXiv:hep-th/9506170. Bibcode:1995hep.th....6170K. doi:10.1016/0370-2693(96)00119-0.
9. ↑  Witten, Edward (1999년 4월 11일). "Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory" (영어). arXiv:hep-th/9903005. Bibcode:1999hep.th....3005W.
10. ↑  Nishino, Hitoshi; Gates, Sylvester James, Jr. (1993). "Chern–Simons theories with supersymmetries in three dimensions". 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) **8** (19): 3371–3421. doi:10.1142/S0217751X93001363.
11. 1 2  Schwarz, John Henry (2004년 11월). "Superconformal Chern–Simons theories". 《Journal of High Energy Physics》 (영어) **2004** (11): 78. arXiv:hep-th/0411077. Bibcode:2004JHEP...11..078S. doi:10.1088/1126-6708/2004/11/078.
12. ↑  Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). "A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories". 《Physics Letters B》 (영어) **180**: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1.
13. ↑  Witten, Edward (1988년 12월 19일). "(2+1)-dimensional gravity as an exactly soluble system" (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어) **311** (1): 46–78. Bibcode:1988NuPhB.311...46W. doi:10.1016/0550-3213(88)90143-5.
14. ↑  Witten, Edward. "Three-dimensional gravity revisited" (영어). arXiv:0706.3359.
15. ↑  Zanelli, Jorge (2008년 3월 21일). "Lecture notes on Chern–Simons (super-)gravities" (영어). arXiv:hep-th/0502193. Bibcode:2005hep.th....2193Z.
16. ↑  Lopez, Ana; Eduardo Fradkin (1997년 4월 7일). "Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect" (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
17. ↑  Schwartz, A. S. (1978년 1월). "The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants". 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) **2** (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412.
18. ↑  Schonfeld, Jonathan F. (1981년 7월 13일). "A mass term for three dimensional gauge fields". 《Nuclear Physics B》 (영어) **185** (1): 157–171. doi:10.1016/0550-3213(81)90369-2.
19. ↑  Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 4월 12일). "Three-dimensional massive gauge theories". 《Physical Review Letters》 (영어) **48** (15): 975–978. Bibcode:1982PhRvL..48..975D. doi:10.1103/PhysRevLett.48.975.
20. ↑  Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 5월). "Topologically massive gauge theories". 《Annals of Physics》 (영어) **140** (2): 372–411. doi:10.1016/0003-4916(82)90164-6.
21. ↑  Zuckerman, Gregg J. (1987년 9월). 〈Action principles and global geometry〉. Yau, S.-T. 《Mathematical Aspects of String Theory. Proceedings of the Conference on Mathematical Aspects of String Theory, California, USA, August 1986》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) **1**. World scientific. 259–284쪽. doi:10.1142/9789812798411\_0013. ISBN 978-9971-5-0274-4.