양자장론에서, **2차원 {\mathcal {N}}=4 초등각 장론**(二次元{\mathcal {N}}=4超等角場論, 영어: two-dimensional {\mathcal {N}}=4 superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

정의
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2차원 {\mathcal {N}}=4 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

| 기호 | 이름 | 무게 h | SU(2) R대칭 표현 | 페르미온 수 F |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| T(z) | 에너지-운동량 텐서 | 2 | **1** | 0 |
| G^a(z) | 초전류 | 3/2 | \mathbf2 | +1 |
| \bar G^{\bar a}(z) | 초전류 | 3/2 | \bar{\mathbf2} | −1 |
| J^i(z) | R대칭 보존류 | 1 | \mathbf3=\mathfrak{su}(2) | 0 |
| k | 중심 원소 | 0 | **1** | 0 |

위 표에서 G^a를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, G^a의 에르미트 수반은 \bar G^{\bar a}이다.

중심 원소 k=0,1,2,3,\dots는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 c는 다음과 같다.

c=6k=0,6,12,18,\dots
이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 \cdots 는 z\to 0에서 비특이항을 나타낸다.

T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots
T(z)G(0)=\frac32z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots
T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots
J^i(z)J^j(0)=\frac12kz^{-2}\delta^{ij}+iz^{-1}\epsilon^{ijk}J^k+\cdots
J^i(z)G^a(0)=-\frac12\sigma\_{ab}^iz^{-1}G^b(0)+\cdots
G^a(z)\bar G^{\bar b}(0)=
4k\delta^{ab}z^{-3}
-4\sigma\_{a\bar b}^iz^{-2}J^i(0)
+z^{-1}\left(2\delta^{ab}T(z)-2\sigma\_{a\bar b}^i\partial J^i(0)\right)+\cdots
이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

T(z)=\sum\_nz^{n-2}L\_{-n}
G(z)=\sum\_{r\in\mathbb Z+\eta}z^{r-3/2}G\_{-r}
J^i(z)=\sum\_nz^{n-1}J\_{-n}^i
여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta =0이며 R 경계 조건의 경우 \eta =1/2이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.

[L\_m,L\_n]=(m-n)L\_{m+n}+\frac12k(m^3-m)\delta\_{m+n,0}
[L\_m,G\_r^a]=(m/2-r)G\_{m+r}^a
[L\_m,J\_n^i]=-nJ\_{m+n}^i
[J^i\_m,J^j\_n]=i\epsilon^{ijk}J^k\_{m+n}+\frac12mk\delta^{ij}\delta\_{m+n,0}
[J\_m^i,G\_r^a]=-\frac12\sigma\_{ab}^iG^b\_{m+r}
\{G\_r^a,G\_s^b\}=0
\{G\_r^a,\bar G\_s^{\bar b}\}
=2\delta^{a\bar b}L\_{r+s}-2(r-s)\sigma\_{a\bar b}^iJ^i\_{r+s}+\frac12k(4r^2-1)\delta\_{r+s,0}
### 대역적 대수

NS 대수에서, L\_{{\pm 1}}, L\_{0}, G\_{\pm1/2}^a, \bar G\_{\pm1/2}^{\bar a}, J^i\_0는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다. 

[L\_1,L\_{-1}]=2L\_0
[L\_{\pm1},L\_0]=\pm L\_0
[G\_{\pm12}^a,L\_0]=\pm\frac12G\_{\pm12}^a
[L\_1,G\_{1/2}^a]=[L\_{-1},G\_{-1/2}^a]=0
[L\_{\pm1},G\_{\mp1/2}^a]=\pm G\_{\pm1/2}^a
[J\_0^i,L\_0]=[J\_0^i,L\_{\pm1}]=0
[J\_0^i,J\_0^j]=i\epsilon^{ijk}J\_0^k
\{G\_{\pm 1/2}^a,G\_{\pm 1/2}^b\}=\{G\_{\pm 1/2}^a,G\_{\mp 1/2}^b\}=0
\{G\_{\pm 1/2}^a,\bar G\_{\pm 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L\_{\pm1}
\{G\_{\pm 1/2}^a,\bar G\_{\mp 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L\_0\mp\sigma^i\_{a\bar b}J^i\_0
[J\_0^i,G\_{\pm1/2}^a]=-\frac12\sigma\_{ab}^iG\_{\pm1/2}^b
마찬가지로, R 대수에서, L\_{0}, G\_0^a, \bar G\_0^{\bar a}, J^i\_0, k는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.

[L\_0,L\_0]=[G\_0^a,L\_0]=[\bar G\_0^{\bar a},L\_0]=0
[J\_0^i,L\_0]=[J\_0^i,L\_{\pm1}]=0
[J\_0^i,J\_0^j]=i\epsilon^{ijk}J\_0^k
\{G\_0^a,G\_0^b\}=0
\{G\_0^a,\bar G\_0^b\}=2\delta^{a\bar b}L\_0-\frac12k
[J\_0^i,G\_0^a]=-\frac12\sigma\_{ab}^iG\_0^b

표현
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2차원 {\mathcal {N}}=4 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 h 및 SU(2) 아이소스핀 l=0,1/2,1,\dots에 따라 분류된다. 이는 **유질량 표현**(영어: massive representation)과 **무질량 표현**(영어: massless representation)으로 나뉜다.

|  | NS 경계 조건 | R 경계 조건 |
| --- | --- | --- |
| 무질량 표현 | h=k/4, 0\le l\le k/2 | h=l, 0\le l\le k/2 |
| 유질량 표현 | h>k/4, 0\le l\le k/2-1/2 | h>l, 1/2\le l\le k/2 |

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.

h\ge k/4\qquad(\text{NS})
h\ge|l|\qquad(\text{R})
무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

### 분배 함수

{\mathcal {N}}=4 초등각 장론에서는 {\mathcal {N}}=2인 경우와 달리 (-1)^F\ne (-1)^{J\_0}이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) q에 대한 퓨가시티 z와 페르미온 수 F에 대한 퓨가시티 y를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.

Z(q,z,y)=\sum\_{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^qy^F
이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

예
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초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 {\mathcal N}=(4,4) 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 4k 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 k인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 k=1이다.

응용
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{\mathcal {N}}=4 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 {\mathcal {N}}=4 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.

참고 문헌
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* Schwimmer, Adam; Seiberg, Nathan (1987년 1월 29일). "Comments on the N = 2,3,4 superconformal algebras in two dimensions". 《Physics Letters B》 (영어) **184** (2–3): 191–196. Bibcode:1987PhLB..184..191S. doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1.  `|제목=`에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말)
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