**팔라티니 변분**(Palatini變分, 영어: Palatini variation)은 아인슈타인-힐베르트 작용(및 추가 물질 작용)을 리만 계량 또는 필바인의 2차 도함수에 대한 범함수 대신, 필바인과 스핀 접속의 1차 도함수에 대한 범함수로 여겨 변분법을 가하는 것을 말한다. 이 경우, 필바인은 일종의 보조장을 이루며, 페르미온 물질이 존재할 경우 일반적으로 스핀 접속은 0이 아닌 비틀림 텐서를 갖는다.

정의
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준 리만 다양체 (M,g)의 필바인

{\displaystyle g\_{\mu \nu }=e\_{\mu }^{a}e\_{\nu }^{b}\eta \_{ab}}
{\displaystyle e\_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)}
과 스핀 접속

{\displaystyle e\_{\nu }^{a}\nabla \_{\mu }e^{b\nu }=\omega \_{\mu }^{ab}}
{\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}\in \Omega ^{1}\left(M;\bigvee ^{2}E\right)}
을 생각하자. 여기서 E는 {\displaystyle \operatorname {SO} (1,D-1)}-구조 벡터 다발이다.

그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle S[e,\omega ]={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,e\_{a}^{\mu }e\_{b}^{\nu }R\_{\mu \nu }{}^{ab}}
{\displaystyle R\_{\mu \nu }{}^{ab}=2\partial \_{[\mu }\omega \_{\nu ]}^{ab}+2\omega \_{[\mu }^{ac}\omega \_{\nu ]c}{}^{b}}:(7.10)
여기서

{\displaystyle X\_{[\mu \_{1}\dotso \mu \_{p}]}={\frac {1}{p!}}\left(X\_{\mu \_{1}\dotso \mu \_{p}}-\dotsb \right)}
는 규격화된 완전 반대칭화이며, {\displaystyle (\det e)}는 D\times D 정사각 행렬

{\displaystyle (e\_{\mu }^{a})\_{\mu ,a\in \{0,\dotsc ,D-1\}}}
의 행렬식이며, 부피 형식의 성분이다.

이제, 이 범함수를 (g\_{\mu\nu}의 2차 도함수의 범함수 대신) 필바인과 e\_{\mu }^{a}(의 0차 도함수)와 스핀 접속 {\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}}(의 0차 및 1차 도함수)의 범함수로 여겨, 변분법을 적용할 수 있다. 이를 **팔라티니 변분**이라고 한다. 이 경우, 필바인의 도함수가 등장하지 않으므로, 필바인은 보조장을 이룬다.

그렇다면, {\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}}에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}=e\_{\nu }^{a}\nabla \_{\mu }e^{b\nu }}
여기서 우변은 물론 e를 사용한, {\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}}의 (원래) 정의와 같다. 이 조건은 스핀 접속이 비틀림 텐서가 0인 레비치비타 접속임을 의미한다.

또한, 이 작용에서 e\_{\mu }^{a}에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 마찬가지로 리치 곡률이 0임, 즉

{\displaystyle R\_{\mu }{}^{a}=e\_{\mu }{}^{b}R\_{\mu \nu }{}^{ab}=0}
임을 의미한다. 이는 아인슈타인 방정식과 같다.

### 페르미온 물질이 있을 경우

필바인을 사용하지 않으면 일반적으로 스피너를 정의할 수 없다. 필바인을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, 스핀 접속은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 비틀림 텐서를 갖게 된다.

구체적으로, 스피너장 \psi 에 대하여 공변 미분

{\displaystyle \nabla \_{\mu }\psi =\left(\partial \_{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega \_{\mu }^{ab}\gamma \_{ab}\right)\psi }
{\displaystyle \psi {\overset {\leftarrow }{\nabla }}\_{\mu }=\partial \_{\mu }{\bar {\psi }}-{\frac {1}{4}}\omega \_{\mu }^{ab}{\bar {\psi }}\gamma \_{ab}}
를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다.

{\displaystyle S=S\_{\text{EH}}+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,\left(-{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla \_{\mu }\psi +{\bar {\psi }}{\overset {\leftarrow }{\nabla }}\_{\mu }e\_{a}^{\mu }\gamma ^{\mu }\psi \right)}
이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.:(8.3)

{\displaystyle \omega \_{\mu }^{ab}=\omega \_{\mu }^{ab}[e]-{\frac {1}{4}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma \_{abc}e^{c\nu }\psi }
즉, 이는 비틀림 텐서

{\displaystyle 2\Gamma \_{[\mu \nu ]}^{\rho }=T\_{\mu \nu }{}^{\rho }={\frac {1}{2}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma \_{\mu \nu \rho }\psi }
에 해당한다.

이는 물리학적으로 S를 필바인의 2차 도함수로 구성된 범함수로 여기는 것과 다른 결과이다.:§8 (다만, 중력 상수가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.)

역사
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이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니(이탈리아어: Attilio Palatini, 1889~1949)의 이름이 붙어 있다.

참고 문헌
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1. 1 2 3  Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). "Ingredients of supergravity". 《Fortschritte der Physik》 (영어) **59** (11–12): 1118–1126. arXiv:1106.1097. Bibcode:2011ForPh..59.1118F. doi:10.1002/prop.201100059.
2. ↑  Palatini, Attilio (1919). "Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton". 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) **43**: 203–212.

* Tsamparlis, M. (1978). "On the Palatini method of variation". 《J. Math. Phys.》 **19** (3): 555. Bibcode:1978JMP....19..555T. doi:10.1063/1.523699.
* Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Reina, C. (1982). "Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 'Palatini's Method' Discovered by Einstein in 1925". 《Gen. Rel. Grav.》 **14**: 243–254. Bibcode:1982GReGr..14..243F. doi:10.1007/BF00756060.