위상수학에서 **라이데마이스터 비틀림**(Reidemeister뒤틀림, 영어: Reidemeister torsion) 또는 **해석적 뒤틀림**(解析的뒤틀림, 영어: analytic torsion)은 그 기본군의 표현이 주어진 위상 공간에 대하여 정의되는 불변량이다. 특별한 경우, 이는 평탄 코쥘 접속을 갖는 매끄러운 벡터 다발 값을 갖는 미분 형식의 라플라스 연산자의 제타 함수 조절 행렬식으로 계산될 수 있다.

정의
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### 해석적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 연결 콤팩트 가향 리만 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
* E 위의 평탄 코쥘 접속 {\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E\otimes \_{M}\mathrm {T} ^{\*}M)}

그렇다면, E값 k차 미분 형식의 공간 {\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)} 위의 라플라스 연산자

{\displaystyle \Delta ^{(k)}\colon \Omega ^{k}(M;E)\to \Omega ^{k}(M;E)}
를 정의할 수 있다. 그 고윳값들을 {\displaystyle (\lambda \_{i}^{(k)})\_{i\in I\_{k}}}라고 하자. (콤팩트성 가정에 의하여 연속 스펙트럼이 존재하지 않는다.)

그렇다면, E의 k차 **제타 함수**는 충분히 큰 실수 성분을 갖는 s에 대하여 다음과 같다.

{\displaystyle \zeta \_{k}(s)=\sum \_{i\in I,\;\lambda \_{i}^{(k)}\neq 0}(\lambda \_{i}^{(k)})^{-s}\qquad (\operatorname {Re} s\gg 0)}
이를 복소평면에 해석적 연장을 가할 수 있다.

그렇다면, {\displaystyle \Delta ^{(k)}}의 행렬식을 다음과 같이 제타 함수 조절로 정의할 수 있다.

{\displaystyle \det(\Delta ^{(k)})=\exp(-\zeta '\_{i}(0))}
이 값들은 물론 일반적으로 리만 계량 g 및 M의 매끄러움 구조에 의존한다. 그런데 다음과 같은 조합은 리만 계량 및 매끄러움 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이를 **라이데마이스터 비틀림**이라고 한다.

{\displaystyle \rho (M;E)=\prod \_{i=0}^{\dim M}(\det \Delta ^{(k)})^{-(-)^{k}k/2}}
### 위상수학적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 연결 유한 CW 복합체 X. 그 범피복 공간을 {\tilde X}라고 하자.
* \pi \_{1}(X)의 유한 차원 직교 행렬 표현 {\displaystyle r\colon \pi \_{1}(X)\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}

그렇다면, 실수 계수 사슬 복합체 {\displaystyle (D\_{\bullet },\partial \_{\bullet })}를 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\displaystyle D\_{\bullet }=V\otimes \_{\mathbb {Z} [\pi \_{1}(X)]}\operatorname {C} \_{\bullet }({\tilde {X}})}
그 호몰로지가 모두 0이라고 하자.

{\displaystyle \operatorname {H} \_{\bullet }(D)=0}
이제, 다음 조건을 만족시키는 임의의 사슬 사이의 성분별 사상

{\displaystyle \gamma \_{\bullet }\colon D\_{\bullet }\to D\_{\bullet +1}}
을 생각하자.

{\displaystyle \partial \_{n+1}\circ \gamma \_{n}+\gamma \_{n-1}\circ \partial \_{n}=1}
(이는 사슬 사상이 아니다.) 그렇다면

{\displaystyle (\partial +\gamma )\_{2\bullet }\colon D\_{2\bullet }\to D\_{2\bullet +1}}
{\displaystyle (\partial +\gamma )\_{2\bullet +1}\colon D\_{2\bullet +1}\to D\_{2\bullet }}
를 생각할 수 있다. 이들은 {\displaystyle D\_{2\bullet }=\textstyle \bigoplus \_{n\in \mathbb {Z} }D\_{2n}}과 {\displaystyle D\_{2\bullet +1}=\textstyle \bigoplus \_{n\in \mathbb {Z} }D\_{2n+1}} 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

그렇다면, {\displaystyle (X,V)}의 **라이데마이스터 비틀림**은 다음과 같다.

{\displaystyle \rho (X;V)=|\det(\partial +\gamma )\_{2\bullet +1}|^{-1}\in \mathbb {R} ^{+}}
이 값은 \gamma 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

### 두 정의 사이의 관계

다음이 주어졌다고 하자.

* 연결 콤팩트 리만 다양체 (M,g)
* M 위의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
* E의 평탄 코쥘 접속 \nabla

그렇다면, 임의의 점 x\in M에 대하여, 홀로노미

{\displaystyle \operatorname {hol} \_{E}\colon \pi \_{1}(M,x)\to \operatorname {GL} (E\_{x})}
를 정의할 수 있다. 이는 군 준동형이다.

그렇다면,

{\displaystyle \rho (X;\operatorname {hol} \_{E})=\rho (X;E)}
이다. 여기서 좌변은 위상수학적 정의이며, 우변은 해석적 정의이다.

응용
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라이데마이스터 비틀림은 천-사이먼스 이론의 섭동 이론적 양자화에서 등장한다.

역사
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쿠르트 베르너 프리드리히 라이데마이스터(독일어: Kurt Werner Friedrich Reidemeister, 1893~1971)가 1935년에 렌즈 공간을 분류하기 위하여 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 도입하였다. 라이데마이스터의 정의는 오직 성분별 선형 위상 동형(영어: piecewise linear homeomorphism)에 대하여 불변이었으나, 1960년에 브로디(영어: E. J. Brody)가 이 값이 모든 위상 동형에 대하여 불변임을 증명하였다.

1971년에 대니얼 버릴 레이(영어: Daniel Burrill Ray, 1928~1980)와 이저도어 싱어가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 도입하였으며, 이 두 정의가 서로 동치라고 추측하였다. 이 추측은 1978년 경에 제프 치거와 베르너 뮐러(독일어: Werner Müller)가 각각 독자적으로 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Nicolaescu, Liviu I. (2003). 《The Reidemeister torsion of 3-manifolds》. de Gruyter Studies in Mathematics (영어) **30**. Walter de Gruyter & Co. ISBN 3-11-017383-2. MR 1968575.
2. ↑  Reidemeister, Kurt (1935). "Homotopieringe und Linsenräume". 《Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg》 (독일어) **11**: 102–109. doi:10.1007/BF02940717.
3. ↑  Brody, E. J. (1960). "The topological classification of the lens spaces". 《Annals of Mathematics》 (영어) **71** (1): 163–184. doi:10.2307/1969884. JSTOR 1969884.
4. ↑  Ray, Daniel Burrill; Singer, Isadore Manuel (1971). "*R*-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.". 《Advances in Math.》 (영어) **7** (2): 145–210. doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4. MR 0295381.
5. ↑  Cheeger, Jeff (1977). "Analytic Torsion and Reidemeister Torsion". 《PNAS》 (영어) **74** (7): 2651–2654. doi:10.1073/pnas.74.7.2651. MR 0451312. PMC 431228. PMID 16592411.
6. ↑  Cheeger, Jeff (1979). "Analytic torsion and the heat equation". 《Annals of Mathematics》 **109** (2): 259–322. doi:10.2307/1971113. JSTOR 1971113. MR 0528965.
7. ↑  Müller, Werner (1978). "Analytic torsion and *R*-torsion of Riemannian manifolds.". 《Advances in Mathematics》 (영어) **28** (3): 233–305. doi:10.1016/0001-8708(78)90116-0. MR 0498252.