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유계 집합(위)과 유계가 아닌 집합(아래)
수학에서 **유계 집합**(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서나 거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

정의
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유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 **무계 집합**(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

### 원순서 집합의 유계 집합

원순서 집합 {\displaystyle (X,\lesssim )}의 부분 집합 {\displaystyle S\subset X}에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle x\in X}가 존재한다면, {\displaystyle S}가 **위로 유계**(영어: bounded from above)라고 하며, {\displaystyle x}를 {\displaystyle S}의 **상계**(영어: upper bound)라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle s\in X}에 대하여, {\displaystyle s\lesssim x}

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 {\displaystyle x\in X}가 존재한다면, {\displaystyle S}가 **아래로 유계**(영어: bounded from below)라고 하며, {\displaystyle x}를 {\displaystyle S}의 **하계**(영어: lower bound)라고 한다.

* 임의의 {\displaystyle s\in X}에 대하여, {\displaystyle x\lesssim s}

**유계 집합**은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

### 거리 공간의 유계 집합

거리 공간 {\displaystyle (X,d)}의 부분 집합 {\displaystyle S\subset X}에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 {\displaystyle x\in X}가 존재한다면, {\displaystyle S}가 **유계 집합**이라고 한다.

{\displaystyle \sup \_{s\in S}d(x,s)<\infty }
만약 {\displaystyle M} 전체가 유계라면, {\displaystyle M}은 **유계 공간**이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

### 위상 벡터 공간의 유계 집합

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. {\displaystyle \mathbb {K} }-위상 벡터 공간 {\displaystyle V}의 부분 집합 {\displaystyle S\subset V}에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 {\displaystyle S}를 **(폰 노이만) 유계 집합**이라고 한다.

* 영벡터의 임의의 근방 {\displaystyle N\ni 0}에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 {\displaystyle a\in \mathbb {K} }가 존재한다.
{\displaystyle S\subset aN}
* 영벡터의 임의의 근방 {\displaystyle N\ni 0}에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}가 존재한다.
	+ 임의의 {\displaystyle a\in \mathbb {K} }에 대하여, 만약 {\displaystyle |a|\geq r}라면 {\displaystyle S\subset aN}
* 임의의 점렬 {\displaystyle (s\_{n})\_{n=0}^{\infty }\subset S} 및 {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {K} }에 대하여, 만약 {\displaystyle a\_{n}\to 0}이라면, {\displaystyle a\_{n}s\_{n}\to 0}이다.:23, Theorem 1.30

이때

{\displaystyle aN=\{an\colon n\in N\}}
이다.

### 서로 다른 정의의 호환

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 {\displaystyle \mathbb {R} }의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

유계인 예시와 유계가 아닌 예시
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* 모든 유한한 점들의 집합은 유계이다
* 코시 열의 점들의 집합은 유계집합이지만, 코시 그물의 점들의 집합은 유계일 필요는 없다.
* 위상 벡터 공간의 모든 상대 콤팩트 집합은 유계집합이다. 공간에 약한 위상이 있으면 그 반대도 참이다.
* 하우스도르프 위상 벡터 공간의 (영공간이 아닌) 부분집합은 유계가 **아니다**

특성
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* 유계 집합의 폐포는 유계이다.
* 국소 볼록 공간에서, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계이다. (국소 볼록성이 없다면, {\displaystyle 0<p<1}인 {\displaystyle L^{p}}공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
* 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계이다.
* 위상 벡터 공간들 간의 연속 선형 사상은 유계성을 제공한다.
* 국소 볼록 공간은 영의 유계 근방이 존재할 때만 반노름화 가능하다.
* 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
* 집합 *A*의 모근 가산 부분집합이 유계이면 집합 *A*는 유계이다

일반화
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유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 *R*에 있는 위상 가군 *M*의 부분집합 *A*는 *0M*의 모든 근방 *N*에 대해서 *w A ⊂ N*가 성립하도록 하는 0*R*의 근방 *w*이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

참고 문헌
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1. ↑  Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.

* Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics **53**. Cambridge University Press. 44–46쪽.
* H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM **3**. Springer-Verlag. 25–26쪽. ISBN 0-387-05380-8.