리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 **점근적 평탄 다양체**(漸近的平坦多樣體, 영어: asymptotically flat manifold)는 어떤 콤팩트 집합("중심")을 제외하면, 유클리드 공간에 점근적으로 근접하는 리만 계량을 갖는 조각들("끝")로 구성된 리만 다양체이다.

정의
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n차원 리만 다양체 (M,g)가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 \alpha \in {\mathbb R}^{+}가 주어졌다고 하자.
M의 **점근적 평탄 끝**(영어: asymptotically flat end) {\displaystyle (\Sigma ,\iota \_{\Sigma })}는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* M의 n차원 부분 다양체 {\displaystyle \Sigma \subseteq M}
* 미분 동형 사상 {\displaystyle \iota \_{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma }

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle {\frac {\partial ^{l}}{\partial x^{i\_{1}}\partial x^{i\_{2}}\cdots \partial x^{i\_{l}}}}\left(\iota \_{\Sigma }^{\*}g\left({\frac {\partial }{\partial x\_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x\_{j}}}\right)-\delta \_{ij}\right)\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}
여기서

{\displaystyle r={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}}
이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \partial \_{i\_{1}}\cdots \partial \_{i\_{l}}(g\_{ij}-\delta \_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}
n차원 리만 다양체 (M,g)와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝 {\displaystyle (\iota \_{1},\Sigma \_{a})\_{a=1,\dots ,m}}이 주어졌으며, 만약

{\displaystyle M\setminus (\Sigma \_{1}\cup \Sigma \_{2}\cup \cdots \Sigma \_{m})}
이 콤팩트 공간이라면, M을 **점근적 평탄 다양체**(영어: asymptotically flat manifold)라고 한다. 이 경우, 위의 m의 최솟값을 M의 **끝의 수**(영어: number of ends)라고 한다.

### 로런츠 다양체의 경우

위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, 로런츠 다양체를 시공간으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다.

n+1 로런츠 다양체 {\displaystyle ({\mathcal {M}},g)}가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 \alpha \in {\mathbb R}^{+}가 주어졌다고 하자.

{\mathcal {M}}의 **점근적 평탄 끝**(영어: asymptotically flat end) {\displaystyle (\Sigma ,\iota \_{\Sigma })}는 다음과 같은 데이터로 주어진다.:§3.6

* {\mathcal {M}}의 n차원 공간형 부분 다양체 {\displaystyle \Sigma \subseteq M} (즉, {\displaystyle g\upharpoonright \Sigma }는 리만 계량을 이룬다)
* 미분 동형 사상 {\displaystyle \iota \_{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma }

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \partial \_{i\_{1}}\cdots \partial \_{i\_{l}}(g\_{ij}-\delta \_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}
{\displaystyle \partial \_{i\_{1}}\cdots \partial \_{i\_{l}}(\operatorname {II} \_{ij}-\delta \_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}
여기서

{\displaystyle r={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}}
이며, {\displaystyle \operatorname {II} \_{ij}}는 \Sigma 의 제2 기본 형식이다. (이는 {\displaystyle \mathrm {T} ^{\*}\Sigma \otimes \mathrm {T} ^{\*}\Sigma \otimes \mathrm {N} \_{{\mathcal {M}}/\Sigma }}의 단면인데, 법다발 {\displaystyle \mathrm {N} \_{{\mathcal {M}}/\Sigma }}은 {\mathcal {M}}의 로런츠 계량 g로 인하여 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.)

진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우, n\geq 3이라면 항상 {\displaystyle \alpha =n-2}로 잡을 수 있다.:(3.26), §3.7

예
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콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

원점을 제외한 유클리드 공간 {\mathbb R}^{n}\setminus \{0\} 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=r^{-2}\,\mathrm {d} r^{2}+(\ln(r+1/r))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}
좌표 변환

{\displaystyle r=\exp t}
를 가하면 이는

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} t^{2}+(\ln(2\cosh(t))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}
가 되므로, 이는 {\displaystyle t\to \pm \infty }에서

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\approx \mathrm {d} t^{2}+|t|^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}
이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서 t=0 조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다.

참고 문헌
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1. 1 2  Chruściel, Piotr T.; Galloway, Gregory J.; Pollack, Daniel (2010년 10월). "Mathematical general relativity: a sampler". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **47** (4): 567–638. arXiv:1004.1016. Bibcode:2010arXiv1004.1016C. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01304-5. ISSN 0273-0979. MR 2721040.