그래프 이론에서 **그래프 라플라스 연산자**(graph Laplace演算子, 영어: graph Laplacian operator)는 그래프의 꼭짓점들로 생성되는 힐베르트 공간 위에 정의되는 유계 작용소이다.:279–306, Chapter 13

정의
--

다음이 주어졌다고 하자.

* 그래프 \Gamma. 또한, \Gamma 의 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 상한을 갖는다고 하자 ({\displaystyle \textstyle \sup \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg v<\aleph \_{0}}).
* 체 {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}

그렇다면, {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )}로 생성되는 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간

{\displaystyle V=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {V} (\Gamma );\mathbb {K} )}
를 생각하자.

**그래프 라플라스 연산자**

{\displaystyle \Delta \_{\Gamma }\colon V\to V}
는 유계 작용소이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으나, 이 두 정의는 서로 동치이다.

만약 \Gamma 가 유한 그래프라면, {\displaystyle \operatorname {V} (\Gamma )} 위에 임의의 전순서를 부여하면 그래프 라플라스 연산자는 {\displaystyle |\operatorname {V} (\Gamma )|\times |\operatorname {V} (\Gamma )|} 정수 성분 대칭 행렬로 표현된다. 이를 \Gamma 의 **라플라스 행렬**이라고 한다.

### 직접적 정의

편의상, V의 원소는 함수

{\displaystyle f\colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {K} }
{\displaystyle \sum \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}|f(v)|^{2}<\infty }
로 여겨질 수 있다.

이제, 다음과 같은 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환

{\displaystyle \Delta \_{\Gamma }\colon V\to V}
을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \Delta \_{\Gamma }f\colon v\mapsto \sum \_{uv\in \operatorname {E} (\Gamma )}\left(f(v)-f(u)\right)}
즉, 임의의 두 꼭짓점 {\displaystyle u,v\in \operatorname {V} (\Gamma )}에 대하여 다음과 같다.

{\displaystyle \langle u|\Delta \_{\Gamma }|v\rangle ={\begin{cases}-1&uv\in \operatorname {E} (\Gamma )\\\deg v&u=v\\0&u\neq v,\;uv\not \in \operatorname {E} (\Gamma )\end{cases}}}
### 인접 연산자를 통한 정의

그래프 \Gamma 의 (방향이 없는) 변들로 생성되는 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간을 정의하자.

{\displaystyle W=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {E} (\Gamma );\mathbb {K} )}
또한, \Gamma  위에 임의의 유향 그래프 구조를 주고, 그 유향 변들의 집합을

{\displaystyle \operatorname {E\_{or}} (\Gamma )\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )^{2}}
라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.

{\displaystyle E\colon W\to V}
{\displaystyle E|u,v\rangle =|u\rangle -|v\rangle \qquad \left((u,v)\in \operatorname {E\_{or}} (\Gamma )\right)}
이는 자명하게 유계 작용소를 정의한다. 따라서, 그 에르미트 수반

{\displaystyle E^{\dagger }\colon V\to W}
를 정의할 수 있으며, 이들을 합성하여 유계 작용소

{\displaystyle \Delta \_{\Gamma }=EE^{\dagger }}
{\displaystyle \Delta \_{\Gamma }\colon V\to V}
를 정의할 수 있다. 또한, 이것이 \Gamma 의 유향 그래프 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있다. (반면, {\displaystyle E^{\dagger }E\colon W\to W}는 일반적으로 유향 그래프 구조에 의존한다.)

성질
--

그래프 라플라스 연산자는 유계 작용소이자 자기 수반 작용소이며, 그 성분들은 꼭짓점에 대한 표준 정규 직교 기저에서 모두 정수이다. 즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한한 임의의 그래프 \Gamma  및 {\displaystyle u,v\in \operatorname {V} (\Gamma )}에 대하여

{\displaystyle \langle u|\Delta \_{\Gamma }|v\rangle =\langle v|\Delta \_{\Gamma }|u\rangle \in \mathbb {Z} }
이다. 또한, 그 고윳값들은 모두 음이 아닌 실수이다.:142, §2, Lemma 1 즉, 그래프 라플라스 연산자의 고윳값들을 (중복수를 고려하여)

{\displaystyle \lambda \_{0}(\Delta \_{\Gamma })\leq \lambda \_{1}(\Delta \_{\Gamma })\leq \lambda \_{2}(\Delta \_{\Gamma })\leq \dotsb }
로 표기하면,

{\displaystyle 0\leq \lambda \_{0}(\Delta \_{\Gamma })}
이다.

그래프 라플라스 연산자의 작용소 노름은 다음과 같은 상계를 갖는다.:144, Corollary

{\displaystyle \|\Delta \_{\Gamma }\|\leq 2\max \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg v}
### 생성나무

다음이 주어졌다고 하자.

* 유한 그래프 \Gamma
* 임의의 꼭짓점 {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )}

그렇다면, {\displaystyle \Delta \_{\Gamma }}에서 v에 대응하는 행과 열을 생략한 {\displaystyle (|\operatorname {V} (\Gamma )|-1)\times (|\operatorname {V} (\Gamma )|-1)} 행렬을 {\displaystyle \Delta \_{\Gamma }[v]}로 표기하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* 정수 {\displaystyle \det \Delta \_{\Gamma }[v]\in \mathbb {Z} }는 항상 자연수이다.
* {\displaystyle \det \Delta \_{\Gamma }[v]}는 {\displaystyle v\in \operatorname {V} (\Gamma )}의 선택에 의존하지 않는다.
* {\displaystyle \det \Delta \_{\Gamma }[v]}는 \Gamma 의 생성나무의 수와 같다.:282, Theorem 13.2.1
* {\displaystyle \textstyle \det \Delta \_{\Gamma }[v]=|\operatorname {V} (\Gamma )|^{-1}\sum \_{i=1}^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}\lambda \_{i}(\Delta \_{\Gamma })}이다.:284, Lemma 13.2.4

### 부분 그래프

다음이 주어졌다고 하자.

* 유한 그래프 \Gamma
* 꼭짓점 집합 {\displaystyle S\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )}

그렇다면, 다음이 성립한다.:288, Theorem 13.5.1

{\displaystyle \lambda \_{1}(\Gamma )\leq \lambda \_{1}(\Gamma \setminus S)+|S|}
### 표현

유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n}이 주어졌다고 하자. 유한 그래프 \Gamma 의 **균형 직교 표현**(영어: balanced orthogonal representation)은 다음 조건을 만족시키는 함수

{\displaystyle \rho \colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {R} ^{n}}
이다.

* (균형성) {\displaystyle \textstyle \sum \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\rho (v)=0}
* (직교성) {\displaystyle \textstyle \sum \_{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\rho \_{i}(v)\rho \_{j}(v)=\delta \_{ij}\qquad \forall i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}

이 두 조건에 의하여, 균형 직교 표현이 존재하려면 {\displaystyle n\geq 1+\operatorname {V} (\Gamma )}이어야 한다.

유한 그래프 \Gamma 의 \mathbb {R} ^{n} 속의 균형 직교 표현 \rho 가 주어졌으며, 또한

{\displaystyle \lambda \_{1}(\Delta \_{\Gamma })>0}
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.:287, Theorem 13.4.1

{\displaystyle \sum \_{uv\in \operatorname {E} (\Gamma )}\|\rho (u)-\rho (v)\|\geq \lambda \_{1}(\Delta \_{\Gamma })+\lambda \_{2}(\Delta \_{\Gamma })+\dotsb +\lambda \_{n}(\Delta \_{\Gamma })}

예
-

### 완전 그래프

유한 완전 그래프 K\_{n}의 라플라스 행렬은 다음과 같다.

{\displaystyle \langle u|\Delta \_{K\_{n}}|v\rangle =n\langle u|v\rangle -1={\begin{cases}n-1&u=v\\-1&u\neq v\end{cases}}}
즉,

{\displaystyle \Delta \_{K\_{n}}=n-{\mathsf {J}}}
이며, 여기서 {\displaystyle {\mathsf {J}}}는 모든 성분이 1인 행렬(아다마르 곱의 항등원)이다. 이에 따라, K\_{n} 속의 생성 나무의 수는

{\displaystyle \det \Delta \_{K\_{n}}[u]=\det(n-{\mathsf {J}}\_{(n-1)\times (n-1)})=n^{n-2}}
이다.

특히, K\_{2}의 라플라스 행렬은 다음과 같다.

{\displaystyle \Delta \_{K\_{2}}={\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}
즉, 그 고윳값은

{\displaystyle \lambda \_{0}(\Delta \_{K\_{2}})=0}
{\displaystyle \lambda \_{1}(\Delta \_{K\_{2}})=2}
이다.

### 무변 그래프

꼭짓점 차수가 상한을 갖는 (유한 또는 무한) 그래프에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 무변 그래프이다.
* 그래프 라플라스 연산자가 0이다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3 4 5 6  Godsil, Christopher David; Royle, Gordon. 《Algebraic graph theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **207**. Springer Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-0163-9. ISBN 978-0-387-95220-8. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Merris, Russell (1995). "A survey of graph Laplacians". 《Linear and Multilinear Algebra》 (영어) **39** (1–2): 19–31. doi:10.1080/03081089508818377.
3. ↑  Merris, Russell (1994년 1월). "Laplacian matrices of graphs: a survey". 《Linear Algebra and its Applications》 (영어). 197–198: 143–176. doi:10.1016/0024-3795(94)90486-3.
4. ↑  Newman, Michael Willian (2000년 7월 1일). 《The Laplacian spectrum of graphs》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. 매니토바 대학교. ISBN 0-612-57564-0. 2017년 8월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 26일에 확인함.
5. 1 2  Anderson, William N. Jr.; Morley, Thomas D. (1985). "Eigenvalues of the Laplacian of a graph". 《Linear and Multilinear Algebra》 (영어) **18** (2): 141–145. doi:10.1080/03081088508817681. Zbl 0594.05046.