리 군론에서 **가해 리 대수**(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

정의
--

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

* 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
* 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
* 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

### 유도열을 통한 정의

가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **유도열**(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}}
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{i+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}}]}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{1}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{2}{\mathfrak {g}}\supseteq \cdots }
만약 어떤 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0}이라면, {\mathfrak {g}}를 **가해 리 대수**라고 한다.:31 ({\displaystyle 0}는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 {\mathfrak {g}}의 극대 부분 리 대수는 **보렐 부분 대수**(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수 {\mathfrak {g}}의 최대 리 대수 아이디얼은 **근기**라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

### 표현론을 통한 정의

표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 {\mathfrak {g}}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* {\mathfrak {g}}는 가해 리 대수이다.
* {\mathfrak {g}}의 딸림표현 \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)는 가해 리 대수이다.
* [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]는 멱영 리 대수이다.:Proposition 1.39
* (**카르탕 가해성 조건** 영어: Cartan’s criterion for solvability) {\mathfrak {g}}의 킬링 형식 B가 주어졌을 때, B({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0이다.

### 리 군 이론을 통한 정의

{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 {\displaystyle \mathbb {K} }-리 대수 {\mathfrak {g}}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathfrak {g}}를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 G는 (군으로서) 가해군이다.
* G\_{0}=G이며, G\_{i+1}=\operatorname {cl} ([G\_{i},G\_{i}])라고 하자. 여기서 \operatorname {cl} 은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, G\_{i}가 한원소 집합인 자연수 i가 존재한다.
* {\mathfrak {g}}는 가해 리 대수이다.

이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군 G의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* G의 연결 성분 G\_{0}는 (군으로서) 가해군이다.
* G의 리 대수 \operatorname {Lie} (G)는 가해 리 대수이다.

성질
--

### 함의 관계

임의의 가환환 K에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.

K-아벨 리 대수 ⊆ K-멱영 리 대수 ⊆ K-가해 리 대수 ⊆ K-리 대수
### 연산에 대한 닫힘

리 대수의 짧은 완전열

{\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}\to 0}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathfrak {g}}가 가해 리 대수이다.
* \mathfrak a와 {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}가 둘 다 가해 리 대수이다.

**증명 ({\mathfrak {g}} 가해 ⇒ \mathfrak a, {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}} 가해):**

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0}이라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0}이며, 또한 자연스러운 전사 함수

{\displaystyle 0={\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow {\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})}
에 따라 {\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0}이다.


**증명 (\mathfrak a, {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}} 가해 ⇒ {\mathfrak {g}} 가해):**

충분히 큰 자연수 m,n\in {\mathbb N}에 대하여

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{m}({\mathfrak {a}})={\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0}
라고 하자. 그렇다면, 

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathfrak {a}}}
이므로,

{\displaystyle {\mathcal {D}}^{m+n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathcal {D}}^{m}{\mathcal {a}}=0}
이다.

즉,

* 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

분류
--

**리 정리**(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 K 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 n에 대하여 {\mathfrak {b}}(n;K)의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

예
-

체 K에 대하여, {\mathfrak {b}}(n;K)가 모든 n\times n 상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

역사
--

리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2  Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) **140** 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. ↑  Lie, Sophus (1876). "Theorie der Transformationsgruppen (Abhandlung Ⅱ)". 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) **1**: 152–193.