이 문서는 수학에서 리 대수를 분류하는 벡터의 집합에 관한 것입니다. 식물학에서 식물의 뿌리들의 구조에 대해서는 뿌리 문서를, 대한민국의 지명에 대해서는 근계리 문서를 참고하십시오.
예외 리 군 G2의 근계. \alpha 와 \beta는 단순근이다.
리 군 이론에서, **근계**(根系, 영어: root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 **근**(根, 영어: root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 **단순근**(單純根, 영어: simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 **딘킨 도표**(영어: Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 **기약 근계**(旣約根系, 영어: irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

정의
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유한 차원 실수 내적 공간 {\displaystyle (V,(\cdot ,\cdot ))} 속의 부분 집합 {\displaystyle \Phi \subseteq V}가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, **근계**라고 한다.

* (선형 생성) {\displaystyle V=\operatorname {Span} \_{\mathbb {R} }\Phi }. 즉, V의 모든 원소는 \Phi의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
* (스칼라배의 제한) \alpha\in\Phi라면, -\alpha \in \Phi 이고, 그 밖의 다른 스칼라배 {\displaystyle t\Phi } (t\in \mathbb {R} )는 \Phi의 원소가 아니다.
* (반사에 대한 닫힘) 임의의 \alpha ,\beta \in \Phi 에 대하여, \alpha 에 대하여 수직인 초평면에 대한 \beta의 반사\beta -2\alpha (\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha )도 \Phi의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
* (정수성) {\displaystyle 0\not \in \Phi }이며, {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \Phi \colon 2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha )\in \mathbb {Z} }
* 유한 집합이다.

근계의 원소는 **근**이라고 부른다. 근계의 **계수**(階數, 영어: rank)는 V의 차원이다.

두 실수 내적 공간 V, V' 및 그 속의 근계 {\displaystyle \Phi \subseteq V}, {\displaystyle \Phi '\subseteq V'}에 대하여, 만약 {\displaystyle f(\Phi )=\Phi '}가 되는 전단사 실수 선형 변환 {\displaystyle f\colon V\to V'}이 존재하며, 또한

{\displaystyle {\frac {(f(\alpha ),f(\beta ))\_{V'}}{(f(\alpha ),f(\alpha ))\_{V'}}}={\frac {(\alpha ,\beta )\_{V}}{(\alpha ,\alpha )\_{V}}}\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Phi }
라면, {\displaystyle (V,\Phi )}와 {\displaystyle (V',\Phi ')}를 서로 **동형**이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 {\displaystyle (V,(-,-))\to (V,2(-,-))} 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 {\sqrt {2}}로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 1 또는 {\sqrt {2/3}}이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle ={\frac {2(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}
(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

### 양근과 단순근

근계 \Phi의 **양근의 집합**(陽根의 集合, 영어: set of positive roots) \Phi ^{+}\subset \Phi 는 다음을 만족하는 부분집합이다.

* 임의의 \alpha\in\Phi에 대하여, \alpha \in \Phi ^{+}이거나 -\alpha \in \Phi ^{+}이지만, \{\alpha ,-\alpha \}\subset \Phi ^{+}는 아니다.
* \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}이고, \alpha +\beta \in \Phi 이면 \alpha +\beta \in \Phi ^{+}이다.

양근의 집합의 원소를 **양근**(陽根, 영어: positive root)이라고 한다. 양근의 집합 {\displaystyle \Phi ^{+}\subseteq \Phi }이 주어졌을 때, 격자

{\displaystyle \{v\in V\colon \forall \alpha \in \Phi \colon \alpha ^{\vee }(v)\in \mathbb {Z} \}}
위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

{\displaystyle u\leq v\iff \forall \alpha \in \Phi ^{+}\colon \alpha ^{\vee }(v-u)\geq 0}
이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

### 단순근

어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, **단순근**(單純根, 영어: simple root)은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 V의 기저를 이룬다.

### 카르탕 행렬

근계 \Phi와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 {\displaystyle \alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{r}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 **카르탕 행렬**(영어: Cartan matrix) M은 다음과 같은 r\times r 정사각 행렬이다.

{\displaystyle M=(M\_{ij})\_{i,j=1,\dots ,r}}
{\displaystyle M\_{ij}=2{\frac {(\alpha \_{i},\alpha \_{j})}{(\alpha \_{i},\alpha \_{i})}}}
정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

### 딘킨 도표

기약근계의 딘킨 도표
각 근계 {\displaystyle (V,\Phi )}에 대하여, **딘킨 도표**(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 {\displaystyle (V,\Phi )}의 양근의 집합 {\displaystyle \Phi ^{+}\subseteq \Phi }를 고르자.

* 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
* 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
* 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.

| 근 사이 각 (라디안) | 근 사이 각 (°) | 변의 종류 |
| --- | --- | --- |
| \pi /2 | 90° | 변 없음 |
| 2\pi /3 | 120° | 하나의 변 |
| 3\pi /4 | 135° | 두 개의 변 + 화살표 |
| 5\pi /6 | 150° | 세 개의 변 + 화살표 |

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

성질
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정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 \pi /2, \pi /3, \pi /4, \pi /6 또는 이들의 여각이다.
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

{\displaystyle \mathbb {Z} \ni 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}.}
2\cos(\theta )\in [-2,2]이므로,

{\displaystyle \cos \theta =0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}},\pm 1}
이다. 즉, \theta 는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

연산
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### 스칼라배

근계 {\displaystyle (V,\Phi )} 및 임의의 실수 {\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} 및 임의의 직교 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {O} (V;\mathbb {R} )}에 대하여, {\displaystyle (V,tM\Phi )} 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 {\displaystyle (V,\Phi )}와 동형이다.

### 직합

두 근계 {\displaystyle (V,\Phi )}, {\displaystyle (V',\Phi ')}가 주어졌을 때, 그 **직합** \Phi \oplus \Phi '은 다음과 같은 근계이다.

{\displaystyle \Phi \oplus \Phi '=\iota (\Phi )\cup \iota '(\Phi ')}
{\displaystyle V{\xrightarrow {\iota }}V\oplus V'{\xleftarrow {\iota '}}V'}
여기서 \iota 와 {\displaystyle \iota '}은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

**기약 근계**(旣約根系, 영어: irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 **긴 근**(영어: long root), 짧은 것은 **짧은 근**(영어: short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 {\sqrt {2}}이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 {\sqrt {2}}로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) 1로 잡는다.)

### 쌍대 근계

근계 {\displaystyle (V,\Phi )}의 **쌍대 근계**(雙對根系, 영어: dual root system)는 다음과 같다.

* {\displaystyle V^{\vee }}는 V의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 {\displaystyle V\to V^{\vee }}이 존재한다.
* {\displaystyle \Phi ^{\vee }=\{\alpha ^{\vee }\colon \alpha \in \Phi \}}
* 임의의 u,v\in V에 대하여, {\displaystyle u^{\vee }\in V^{\*}}, {\displaystyle u^{\vee }(v)=\langle u,v\rangle =2(u,v)/(u,u)}

그렇다면 {\displaystyle (V^{\vee },\Phi ^{\vee })} 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 {\displaystyle (V,\Phi )}는 그 이중 쌍대 근계 {\displaystyle (V^{\vee \vee },\Phi ^{\vee \vee })}와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, B\_{n}의 쌍대 근계는 C\_{n}이다. 다른 단순 근계들(A\_{n}, D\_{n}, {\displaystyle E\_{6},E\_{7},E\_{8},F\_{4},G\_{2}})은 스스로의 쌍대 근계이다.

분류
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### 기약 근계의 목록

기약 근계는 다음과 같이 분류한다. **고전 근계**(영어: classical root system)는 네 개의 족 A\_{n}, B\_{n}, C\_{n}, D\_{n}으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 **예외 근계**(영어: exceptional root system) G\_{2},F\_{4},E\_{6},E\_{7},E\_{8}이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 {\sqrt {2}}가 되도록 정규화하였다.

| 근계 | 근의 수 | 짧은 근 수 | 긴 근 부분격자의 지표 | 카르탕 행렬식 | 바일 군의 크기 | 콕서터 수 h | 이중 콕서터 수 h^{\vee } | 딘킨 도표 | 콕서터 라벨:43 | 이중 콕서터 라벨:43 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A*n* (*n* ≥ 1) | *n*(*n* + 1) |   |   | *n* + 1 | (*n* + 1)! | n+1 | \bullet -\bullet -\cdots -\bullet  | 1-1-\cdots -1 |
| B*n* (*n* ≥ 2) | 2*n*2 | 2*n* | 2 | 2 | 2*n* *n*! | 2n | 2n-1 | \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet  | 1-2-\cdots -2\Rightarrow 2 | 1-2-\cdots -2\Rightarrow 1 |
| C*n* (*n* ≥ 3) | 2*n*2 | 2*n*(*n* − 1) | 2 | 2 | 2*n* *n*! | 2n | n+1 | \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Leftarrow \bullet  | 2-2-\cdots -2\Leftarrow 1 | 1-1-\cdots -1\Leftarrow 1 |
| D*n* (*n* ≥ 4) | 2*n*(*n* − 1) |   |   | 4 | 2*n* − 1 *n*! | 2n-2 | \bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet } | 1-2-\cdots -2<{1 \atop 1} |
| E6 | 72 |   |   | 3 | 27×34×5 | 12 | {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet  | {1-2 \atop 1-2}>3-2 |
| E7 | 126 |   |   | 2 | 210×34×5×7 | 18 | {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet  | {2 \atop {}}{- \atop {}}{3 \atop 2}>4-3-2-1 |
| E8 | 240 |   |   | 1 | 214×35×52×7 | 30 | {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet  | {2 \atop {}}{- \atop {}}{4 \atop 3}>6-5-4-3-2 |
| F4 | 48 | 24 | 4 | 1 | 27×32 | 12 | 9 | \bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet  | 2-3\Rightarrow 4-2 | 2-3\Rightarrow 2-1 |
| G2 | 12 | 6 | 3 | 1 | 22×3 | 6 | 4 | \bullet \Rrightarrow \bullet  | 2\Rrightarrow 3 | 2\Rrightarrow 1 |

### 고전적 기약 근계

A\_{n}형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 \mathbb {R} ^{n+1}의 원소로 표기하였다.)

\alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)
\alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)
\vdots
\alpha ^{n}=(0,0,\dots ,1,-1)
B\_{n}형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)
\alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)
\vdots
\alpha ^{{n-1}}=(0,0,\dots ,1,-1)
\alpha ^{n}=(0,0,\dots ,0,1)
C\_{n}형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)
\alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)
\vdots
\alpha ^{{n-1}}=(0,0,\dots ,1,-1)
\alpha ^{n}=(0,0,\dots ,0,2)
D\_{n}형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)
\alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)
\vdots
\alpha ^{{n-1}}=(0,0,\dots ,1,-1)
\alpha ^{n}=(0,0,\dots ,1,1)
### 예외적 기약 근계

예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

E8| 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| -½ | -½ | -½ | -½ | -½ | -½ | -½ | -½ |

F4| 1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| -½ | -½ | -½ | -½ |

G2| {\sqrt {2/3}} | 0 |
| -{\sqrt {3/2}} | 1/{\sqrt {2}} |

예
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### 낮은 차원의 근계

0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.

1차원 근계는 하나 밖에 없으며, \{-{\sqrt 2},{\sqrt 2}\}\subset {\mathbb R}이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, B\_{2}와 C\_{2}는 서로 동형이며, A\_1\times A\_1과 D\_{2} 역시 서로 동형이다.)

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Root system A1 + A1 | Root system A2 | Root system B2 |
| A\_{1}\times A\_{1} | A\_{2} | B\_{2} |
| Root system C2 | Root system D2 | Root system G2 |
| C\_{2} | D\_{2} | G\_{2} |

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

### 반단순 리 대수에 대응되는 근계

 이 부분의 본문은 무게 (표현론)입니다.
복소수체 위의 반단순 리 대수 {\mathfrak {g}} 및 그 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. {\mathfrak {h}}는 {\mathfrak {g}}의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, {\mathfrak {g}}의 딸림표현에 대응하는 {\mathfrak {h}}-무게들

{\displaystyle \Phi =\{\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\vee }\colon {\mathfrak {g}}\_{\alpha }\neq 0\}\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }}
을 생각하자. 그렇다면, {\displaystyle ({\mathfrak {h}}^{\vee },\Phi )}는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.

* {\mathfrak {g}}의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 {\displaystyle ({\mathfrak {h}}^{\vee },\Phi )}의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
* 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
* 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

역사
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근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Polchinski, Joseph. 《String theory. Volume 2》 (영어).
2. 1 2  Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016.

* Dynkin, E. B. *The structure of semi-simple algebras.* Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.