수학에서, **작용소 K이론**(作用素K異論, 영어: operator K-theory)는 C\* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C\* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.

정의
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### 사영원

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 A의 원소 a\in A가 만약 {\displaystyle a^{2}=a^{\*}=a}를 만족시킨다면, a를 **사영원**(영어: projection element)이라고 한다. 사영원의 집합을 {\displaystyle \operatorname {P} (A)}로 표기하자.

원소 a\in A에 대하여, 만약 {\displaystyle a^{\*}a\in \operatorname {P} (A)}라면, a를 **부분 등거리원**(영어: partial isometry)이라고 한다. 만약 a가 부분 등거리원이라면, {\displaystyle a^{\*}} 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 {\displaystyle \operatorname {PI} (A)}로 표기하자.

{\displaystyle \operatorname {P} (A)} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

{\displaystyle a\sim b\iff \exists c\in \operatorname {PI} (A)\colon a=c^{\*}c,\;b=cc^{\*}}
### 무한 행렬 공간

(항등원을 갖는) C\* 대수 A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A성분의 n\times n 정사각 행렬들의 C\* 대수 {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)}를 정의할 수 있다. n\times n 행렬에 모든 성분이 0인 n+1번째 행 및 열을 추가하는 사상을

{\displaystyle \iota \_{n}\colon \operatorname {Mat} (n;A)\to \operatorname {Mat} (n+1;A)}
라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)=\lim \_{n\to \infty }\operatorname {Mat} (n;A)}
이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)} 위에 이항 연산

{\displaystyle M\oplus N={\begin{pmatrix}M&0\_{m\times n}\\0\_{n\times m}&N\end{pmatrix}}\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}
을 정의하자.

{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)} 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

{\displaystyle M\sim N\iff \exists P\in \operatorname {Mat} (m,n;A)\colon M=PP^{\*},\;N=P^{\*}P\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}
그렇다면, {\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)/\sim }는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 {\displaystyle \operatorname {D} (A)}로 표기하자. {\displaystyle \operatorname {D} (A)}의 그로텐디크 군을 A의 **0차 K군**이라고 하며, {\displaystyle \operatorname {K} \_{0}(A)}로 표기한다.

### K1

마찬가지로, A계수의 일반 선형군

{\displaystyle \operatorname {GL} (n;A)=\operatorname {Unit} \left(\operatorname {Mat} (n;A)\right)}
및

{\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)=\lim \_{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;A)}
를 정의하자. ({\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)}는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, A의 **i차 K군**은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {K} \_{i}(A)=\pi \_{i-1}(\operatorname {GL} (\infty ;A))\qquad (i\geq 1)}

성질
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보트 주기성에 따라

{\displaystyle \operatorname {K} \_{i+2}(A)=\operatorname {K} \_{i}(A)}
이다.

예
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1차원 C\* 대수 \mathbb {C} 를 생각하자. {\displaystyle \operatorname {K} \_{0}(\mathbb {C} )}는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {D} (\mathbb {C} )\cong \mathbb {N} }
{\displaystyle \operatorname {K} \_{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }
구체적으로,

{\displaystyle n\mapsto [1\_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}
이다. 이는 복소수 정사각 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )} 가운데 {\displaystyle M^{2}=1}이라면

{\displaystyle M=\operatorname {diag} (e\_{1},e\_{2},\dotsc ,e\_{n})}
{\displaystyle e\_{1},\dotsc ,e\_{n}\in \{0,1\}}
의 꼴이기 때문이다.

참고 문헌
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* Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000년 1월). 《An introduction to *K*-theory for C\*-algebras》. London Mathematical Society Student Texts (영어) **49**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511623806. ISBN 978-0-521-78334-7.
* Brodzky, Jacek (1996). "An introduction to *K*-theory and cyclic cohomology" (영어). arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:996funct.an..6001B.
* Blackadar, Bruce (1986). 《*K*-theory for operator algebras》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) **5**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 978-1-4613-9574-4. ISSN 0940-4740.