이 문서는 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환에 관한 것입니다. 비트 벡터로 구성된 가환환에 대해서는 비트 벡터 문서를 참고하십시오.
이차 형식 이론에서, **비트 환**(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

정의
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### 비트 분해

**비트 분해 정리**(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 이차 형식 Q는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

{\displaystyle (V,Q)=(V\_{0},0)\oplus (V\_{1},Q\_{1})\oplus (V\_{2},Q\_{2})}
여기서 각 성분은 다음과 같다.

* {\displaystyle (V\_{0},0)}은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})}은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
* {\displaystyle (V\_{2},Q\_{2})}는 **분할 이차 공간**(영어: split quadratic space)이다. 즉, {\displaystyle \dim \_{K}V\_{2}=2n}는 짝수이며, V\_{2} 속에서 {\displaystyle Q\_{2}|\_{W}=0}인 n차원 부분 공간 {\displaystyle W\subseteq V\_{2}}이 존재한다.

이 경우 {\displaystyle (V\_{1},Q\_{1})}을 (V,Q)의 **핵심**(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한, {\displaystyle \dim \_{K}(V\_{1}\oplus V\_{2})}를 Q의 **계수**(階數, 영어: rank)라고 하며, {\displaystyle (\dim \_{K}V\_{2})/2}를 Q의 **비트 지표**(영어: Witt index)라고 한다.:58 비트 정리에 따라, {\displaystyle Q|\_{W}=0}이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

### 비트 환

같은 체 위의 두 이차 공간 (V,Q), {\displaystyle (V',Q')}의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 **비트 동치**(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 K 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

* {\displaystyle (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')}. \oplus 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
* {\displaystyle -(V,Q)=(V,-Q)}
* {\displaystyle 0=(K^{0},0)}. 여기서 {\displaystyle K^{0}}는 K 위의 0차원 벡터 공간이다.
* {\displaystyle (V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')} \otimes 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
* {\displaystyle 1=(K^{1},x\mapsto x^{2})}

이 가환환을 K의 **비트 환**이라고 한다.

성질
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### 계수와 행렬식

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

{\displaystyle (\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)}
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 \mathbb {Z} /2-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 {\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)=\ker(\dim {\bmod {2}})\subseteq \operatorname {Witt} (K)}을 비트 환의 **기본 아이디얼**(영어: fundamental ideal)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 Q의 **행렬식**(영어: determinant) 또는 **판별식**(영어: discriminant) {\displaystyle \det Q\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}}은 Q를 나타내는 대칭 행렬 {\displaystyle Q(x)=x^{\top }Mx}의 행렬식 \det M의 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 A를 통해 바꾼다면

{\displaystyle AM'A=M}
{\displaystyle (\det M')(\det A)^{2}=\det M}
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 K에 대하여, 다음과 같은 가환환 {\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}를 정의하자.

{\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}}
{\displaystyle (d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)}
{\displaystyle (d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{e},ee')}
즉, {\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}의 원소는 K의 \mathbb {Z} /(2)-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.:113

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)}
{\displaystyle (V,Q)\mapsto (\det Q,\dim \_{K}V{\bmod {2}})}
이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.:12

### 하세-비트 불변량

표수가 2가 아닌 체 K 위의 n차원 벡터 공간 V 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 {\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})}가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) {\displaystyle \left({\tfrac {a\_{i},a\_{j}}{K}}\right)}들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 {\displaystyle \operatorname {Br} (K)}의 원소들의 대표원들을 이룬다. Q의 **하세-비트 불변량**(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

{\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a\_{i},a\_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)}
이는 Q의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

### 밀너 환과의 관계

표수가 2가 아닌 체 K의 비트 환 {\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}의 기본 아이디얼 {\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {Witt} (K)}의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots }
이에 대응되는 {\mathbb N}-등급환

{\displaystyle R(K)=\bigoplus \_{n=0}^{\infty }R\_{n}(K)}
{\displaystyle R\_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}}
을 정의할 수 있다.

체 K 위의 **피스터 이차 형식**(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의, 2^{n}차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

{\displaystyle \operatorname {diag} (1,-a\_{1})\otimes \_{K}\operatorname {diag} (1,-a\_{2})\otimes \_{K}\cdots \otimes \_{K}\operatorname {diag} (1,-a\_{n})}
{\displaystyle i(K)^{n}}의 원소들은 모두 유한 개의 2^{n}차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.:316

체 K의 밀너 환

{\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))\_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}}
의 원소를 {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}\}\in \operatorname {K} \_{n}^{\operatorname {M} }(K)}로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {K} \_{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R\_{\bullet }(K)}
{\displaystyle \{a\_{1},\dots ,a\_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a\_{1})\otimes \_{K}\operatorname {diag} (1,-a\_{2})\otimes \_{K}\cdots \otimes \_{K}\operatorname {diag} (1,-a\_{n})}
**이차 형식에 대한 밀너 추측**(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.

예
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### 복소수체

K가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K^{n} 위의 이차 형식은 그 계수 r에 따라서 완전히 분류된다.

K 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, K 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, K의 비트 환은 \mathbb {Z} /(2)이다.:34

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

### 실수체

{\displaystyle (K,\leq )}가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K가 실수체 \mathbb {R} 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

K의 비트 환은 \mathbb {Z} 와 동형이다.:34

{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z} }
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

* 계수 n\in \mathbb {Z} ^{+}의 양의 정부호 형식은 n에 대응한다.
* 계수 n\in \mathbb {Z} ^{+}의 음의 정부호 형식은 -n에 대응한다.
* 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 {\displaystyle 0}에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 {\mathbb H}로 구성되며, 2차 순환군이다.

{\displaystyle \operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)}
이 경우 힐베르트 기호가

{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}}
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 {\displaystyle (n\_{+},n\_{-})}의 비퇴화 이차 형식 Q의 하세-비트 불변량은

{\displaystyle \epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}}
이다.

### 국소체

비아르키메데스 국소체 K의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 q라고 하고, q가 홀수라고 하자. 그렇다면, K의 비트 환은 다음과 같다.:152

{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
여기서 \operatorname {Cyc} (2)는 2차 순환군이며, R[G]는 군환을 뜻한다.

### 유리수체

유리수체 \mathbb {Q} 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.:166

{\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)}
### 홀수 표수의 유한체

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb {F} \_{q} 위의 벡터 공간 \mathbb {F} \_{q}^{n} 위의 이차 형식의 동치류는 총 2n+1개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. a\in \mathbb {F} \_{q}가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

{\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} \_{q}\colon b^{2}=a}
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

{\displaystyle Q\_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}
{\displaystyle Q\_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}
즉, 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle Q\_{1}^{(n)}(x)=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}}
{\displaystyle Q\_{2}^{(n)}(x)=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +ax\_{n}^{2}}
만약 n이 홀수라면, {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}는 {\displaystyle \alpha Q\_{1}^{(n)}}과 동치이다.:69 이 경우 비트 지표는 {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}, {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}} 둘 다 (n-1)/2이다.

만약 n이 짝수라면, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}은 {\displaystyle \alpha Q\_{1}^{(n)}}과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.:59

* n\equiv 2{\pmod 4}이며 {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}인 경우, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}의 비트 지표는 {\displaystyle n/2-1}이며 {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}의 비트 지표는 n/2이다.
* {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}이거나 또는 q\equiv 1{\pmod 4}인 경우, {\displaystyle Q\_{1}^{(n)}}의 비트 지표는 n/2이며 {\displaystyle Q\_{2}^{(n)}}의 비트 지표는 {\displaystyle n/2-1}이다.

이 경우, 비트 지표가 n/2인 경우를 **플러스형**(영어: plus-type), {\displaystyle n/2-1}인 경우를 **마이너스형**(영어: minus-type)이라고 한다.:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}
홀수 차수 유한체 \mathbb {F} \_{q}의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q에 따라 구체적으로 다음과 같다.:37

{\displaystyle W(\mathbb {F} \_{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} \_{2}[\mathbb {F} \_{q}^{\times }/(\mathbb {F} \_{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}인 경우| {\displaystyle \mathbb {Z} /(4)} | 0 | 1 | 2 | 3 |
| {\displaystyle W(\mathbb {F} \_{q})} | {\displaystyle Q\_{1}^{(0)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(1)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(2)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(1)}} |

q\equiv 1{\pmod 4}인 경우| {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}[x]/(x^{2})} | 0 | 1 | *x* | 1+*x* |
| {\displaystyle \operatorname {Witt} (\mathbb {F} \_{q})} | {\displaystyle Q\_{1}^{(0)}} | {\displaystyle Q\_{1}^{(1)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(2)}} | {\displaystyle Q\_{2}^{(1)}} |

역사
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에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.

참고 문헌
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2. 1 2 3 4 5 6 7  Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **67**. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
3. ↑  Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》. Series in Pure Mathematics (영어) **2**. World Scientific. doi:10.1142/0066. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017.
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5. ↑  Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). "An exact sequence for K\**M*/2 with applications to quadratic forms". 《Annals of Mathematics》 (영어) **165**: 1–13. doi:10.4007/annals.2007.165.1. MR 2276765. Zbl 1124.14017.
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7. ↑  Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) **493**. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.