수학에서 **이항 관계**(二項關係, 영어: binary relation)는 "…는 …보다 크다" 또는 "…와 …는 같다"와 같이, 두 대상에 대하여 정의되는 성질을 추상화한 개념이다. 이항 관계는 순서쌍들로 구성된 집합이다. 어떤 순서쌍이 이항 관계의 원소라면, 순서쌍의 두 성분 사이에 관계가 성립한다고 해석한다.

예를 들어, "…는 …의 약수"라는 조건은 두 정수 사이의 이항 관계 \mid 를 정의한다. 이 이항 관계는 구체적으로 m이 n의 약수인 경우의 모든 순서쌍 (m,n)들의 집합이다. {\displaystyle (5,20)}은 이 이항 관계의 원소이며, {\displaystyle (6,13)}은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 {\displaystyle (5,20)\in {\mid }}나 {\displaystyle (6,13)\not \in {\mid }} 대신

{\displaystyle 5\mid 20}
{\displaystyle 6\nmid 13}
와 같이 적는다.

이항 관계의 개념은 모임 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, 고유 모임일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.

이항 관계는 관계의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 **관계**라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 **대응**(對應, correspondence)이라고 일컫는다.

정의
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**이항 관계**는 다음 조건을 만족시키는 집합 R이다.

* 모든 원소는 순서쌍이다. 즉, 임의의 r\in R에 대하여, {\displaystyle r=(x,y)}인 집합 x, y가 존재한다.

만약 {\displaystyle (x,y)\in R}라면, x와 y 사이에 관계 R가 성립한다고 해석한다. xRy는 {\displaystyle (x,y)\in R}를 뜻한다. {\displaystyle x\not Ry}는 {\displaystyle (x,y)\not \in R}를 뜻한다. {\displaystyle xRySz}는 {\displaystyle (x,y)\in R}이며 {\displaystyle (y,z)\in S}임을 뜻한다.

집합 X와 Y 위의 이항 관계는 이항 관계 {\displaystyle R\subseteq X\times Y}를 뜻한다. 집합 X 위의 이항 관계는 X와 X 위의 이항 관계 {\displaystyle R\subseteq X\times X}를 뜻한다. 모든 이항 관계 R는 어떤 집합 (예를 들어, {\displaystyle X=\bigcup \bigcup R}) 위의 이항 관계이다.

연산
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### 합성

이항 관계 R와 S의 **합성** {\displaystyle S\circ R}는 다음과 같다.

{\displaystyle S\circ R=\{(x,z)|\exists y\colon (x,y)\in R\land (y,z)\in S\}}
이항 관계의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다.

{\displaystyle (T\circ S)\circ R=T\circ (S\circ R)}
이에 따라, 집합과 이항 관계의 범주 \operatorname {Rel}를 다음과 같이 정의할 수 있다.

* 대상은 집합이다.
* 두 집합 사이의 사상 f\colon X\to Y은 이항 관계 {\displaystyle f\subseteq X\times Y}이다.
* 사상의 합성은 이항 관계의 합성이다.
* 집합 X의 항등 사상은 대각선 {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X}이다.

범주 \operatorname {Rel}은 모든 작은 곱과 쌍대곱을 가지며, 둘 모두 분리합집합으로 주어진다. 또한, 동등자를 가지지 않지만, 모든 작은 약한 동등자(영어: weak equalizer)를 갖는다.

### 역관계

이항 관계 R의 **역관계** {\displaystyle R^{-1}}는 R 속 순서쌍의 두 성분을 뒤바꾼 이항 관계이다.

{\displaystyle R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}}
역관계는 자명하게 멱등 연산이다.

{\displaystyle (R^{-1})^{-1}=R}
역관계와 합성은 다음과 같이 호환된다.

{\displaystyle (S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}}
### 정의역과 치역

이항 관계 R가 주어졌을 때,

* 집합 또는 모임 A의 **상**은 A의 원소와 관계를 이루는 원소들의 집합이다.
{\displaystyle R(A)=\{y|\exists x\in A\colon (x,y)\in R\}}
* 집합 또는 모임 B의 **원상**은 역관계에 대한 상이다.
{\displaystyle R^{-1}(B)=\{x|\exists y\in B\colon (x,y)\in R\}}
* R의 **정의역** {\displaystyle \operatorname {dom} R}는 모든 집합의 고유 모임의 원상이다. (이는 범주 \operatorname {Rel}에서의 정의역과 다른 개념이다.)
{\displaystyle \operatorname {dom} R=R^{-1}(V)=\{x|\exists y\colon (x,y)\in R\}}
* R의 **치역** {\displaystyle \operatorname {ran} R}는 모든 집합의 고유 모임의 상이다.
{\displaystyle \operatorname {ran} R=R(V)=\{y|\exists x\colon (x,y)\in R\}}

만약 {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in R}라면, {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in \bigcup R}이므로, {\displaystyle x,y\in \bigcup \bigcup R}이다. 따라서, 이항 관계의 상·원상·정의역·치역은 항상 집합이다.:27, Definition I.6.6, Justification

임의의 이항 관계 R에 대하여, 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {dom} R^{-1}=\operatorname {ran} R}
{\displaystyle \operatorname {ran} R^{-1}=\operatorname {dom} R}
{\displaystyle \operatorname {dom} R\cup \operatorname {ran} R=\bigcup \bigcup R}

종류
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* **함수**는 이항관계의 중요한 유형이다. 이항관계 {\displaystyle F\subseteq X\times Y}가 함수 {\displaystyle F\colon X\to Y}일 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
	+ {\displaystyle \forall x\in X\exists y\in Y\colon xFy}
	+ {\displaystyle \forall x\in X\forall y,z\in Y\colon xFy\land xFz\implies y=z}
* 이항관계는 일반적으로 함수가 아니다. 예를 들어 약수 관계에서, 5로 나누어지는 정수는 유일하지 않다.
* **반사관계**는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 {\displaystyle R\subseteq X^{2}}이다.

{\displaystyle \forall x\in X\colon xRx}
* **대칭관계**는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 {\displaystyle R\subseteq X^{2}}이다.

{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\implies yRx}
* **반대칭관계**는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 {\displaystyle R\subseteq X^{2}}이다.

{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\land yRx\implies x=y}
* **추이관계**는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 {\displaystyle R\subseteq X^{2}}이다.

{\displaystyle \forall x,y,z\in X\colon xRy\land yRz\implies xRz}
* **완전관계**는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 {\displaystyle R\subseteq X^{2}}이다.

{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\lor yRx}

참고 문헌
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1. ↑  Kunen, Kenneth (2011). 《Set theory》. Studies in Logic (London) (영어) **34**. London: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9. MR 2905394. Zbl 1262.03001.