범주론에서 **왼쪽 역사상**(-逆寫像, 영어: left inverse morphism)과 **오른쪽 역사상**(-逆寫像, 영어: right inverse morphism)은 각각 왼쪽 또는 오른쪽에서 합성하였을 때 항등 사상이 되는 사상이다. 왼쪽 역사상 및 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 각각 **분할 단사 사상**(分割單射寫像, 영어: split monomorphism)과 **분할 전사 사상**(分割全射寫像, 영어: split epimorphism)이라고 한다.

정의
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범주 {\mathcal {C}}의 두 사상

f\colon X\to Y
g\colon Y\to X
이 주어졌다고 하자. 만약 g\circ f=\operatorname {id}\_{X}가 성립할 경우, 이를 다음과 같이 표현한다.

* g는 f의 **왼쪽 역사상**(-逆寫像, 영어: left inverse morphism) 또는 **수축**(收縮, 영어: retraction)이다.
* f는 g의 **오른쪽 역사상**(-逆寫像, 영어: right inverse morphism) 또는 **단면**(斷面, 영어: section)이다.
* 만약 추가로 f\circ g=\operatorname {id}\_{Y}가 성립한다면 (즉, g가 f의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), g를 f의 **양쪽 역사상**(兩-逆寫像,영어: two-sided inverse morphism)이라고 한다.

여기서 "수축"/"단면"이라는 이름은 위상수학에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 위상 공간의 범주에서 올다발의 단면을 일반화한 것이다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상을 **분할 단사 사상**(分割單射寫像, 영어: split monomorphism)이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 **분할 전사 사상**(分割全射寫像, 영어: split epimorphism)이라고 한다. 양쪽 역사상을 갖는 사상을 **동형 사상**이라고 한다.

어떤 범주에서 모든 단사 사상이 분할 단사 사상이라면, 이 범주에서 **선택 공리**가 성립한다고 한다.

성질
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### 함의 관계

이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 단사 사상이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 전사 사상이다.

**증명:**

f\colon X\to Y, g\colon Y\to X가 g\circ f=\operatorname {id}\_{X}를 만족시킨다고 하자.

사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 {\displaystyle h,h'\colon Z\to X}에 대하여, 만약 {\displaystyle f\circ h=f\circ h'}이라면 {\displaystyle h=g\circ f\circ h=g\circ f\circ h'=h'}이다. 따라서 분할 단사 사상 f는 단사 사상이다.

마찬가지로, 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 {\displaystyle h,h'\colon Y\to Z}에 대하여, 만약 {\displaystyle h\circ g=h'\circ g}라면 {\displaystyle h=h\circ g\circ f=h'\circ g\circ f=h'}이다. 따라서 분할 전사 사상 f는 전사 사상이다.

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 {\mathcal {C}}에서의 분할 단사 사상은 그 반대 범주 {\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다.

임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

* 단사 사상이며, 분할 전사 사상이다.
* 전사 사상이며, 분할 단사 사상이다.
* 동형 사상이다.

(그러나 단사 사상이자 전사 사상인 사상이 동형 사상일 필요는 없다.)

**증명:**

두 사상 f\colon X\to Y, g\colon Y\to X가 주어졌으며, g\circ f=\operatorname {id}\_{X}라고 하자. 그렇다면, {\displaystyle f\circ g\circ f=\operatorname {id} \_{Y}\circ f}이며 {\displaystyle g\circ f\circ g=g\circ \operatorname {id} \_{Y}}이다.

만약 f가 전사 사상이라고 하면, {\displaystyle (f\circ g)\circ f=\operatorname {id} \_{Y}\circ f}이므로 f\circ g=\operatorname {id}\_{Y}이며, 따라서 f 및 g는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 g가 단사 사상이라고 하면, {\displaystyle g\circ (f\circ g)=g\circ \operatorname {id} \_{Y}}이므로 f\circ g=\operatorname {id}\_{Y}이며, 따라서 f 및 g는 서로 양쪽 역사상이다.

### 유일성

주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

### 단사·사영 대상과의 관계

 이 부분의 본문은 단사 대상입니다.
임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

예
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### 집합

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

* 분할 단사 사상은 공역이 공집합이거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이다.
* 전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리와 동치이다.)

### 군

 이 부분의 본문은 반직접곱입니다.
군과 군 준동형의 범주 \operatorname {Grp} 에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이며, 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 반직접곱과 깊은 관련을 갖는다.

구체적으로, 단사 군 준동형 {\displaystyle i\colon H\hookrightarrow G}가 분할 단사 사상일 필요충분조건은 다음과 같다.

* H는 i에 의하여 G의 부분군을 이루며, {\displaystyle G\cong N\rtimes H}인 정규 부분군 N\vartriangleleft G이 존재한다. (여기서 {\displaystyle \rtimes }는 반직접곱을 뜻한다.)

마찬가지로, 전사 군 준동형 {\displaystyle q\colon G\twoheadrightarrow Q}가 분할 전사 사상이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

* {\displaystyle G\cong \ker q\rtimes Q}이다. (여기서 {\displaystyle \rtimes }는 반직접곱을 뜻한다.)

### 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname {Top} 에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다.

구체적으로, \operatorname {Top} 에서, 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이며, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이며, 동형 사상은 위상 동형이다. 전단사 함수이자 연속 함수이지만, 그 역함수가 연속 함수가 아니어서 위상 동형이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 단사 사상이자 전사 사상이지만, 분할 단사 사상이 아니며 분할 전사 사상도 아니다.

### 원순서 집합

원순서 집합 (X,\lesssim )을 작은 범주로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다.

### 아벨 범주

 이 부분의 본문은 분할 완전열입니다.
아벨 범주에서 사상 {\displaystyle f\colon A\to B}이 단사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

{\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B\to \operatorname {coker} f\to 0}
(여기서 {\displaystyle 0}은 아벨 범주의 영 대상이며, \operatorname {coker}는 여핵을 뜻한다.) 이 경우, f가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

마찬가지로, 아벨 범주에서 사상 {\displaystyle g\colon B\to C}이 전사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

{\displaystyle 0\to \ker g\to B{\overset {g}{\to }}C\to 0}
(여기서 {\displaystyle 0}은 아벨 범주의 영 대상이며, {\displaystyle \ker }는 핵을 뜻한다.) 이 경우, g가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

참고 문헌
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* Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.