측도론에서 **예고로프 정리**(Егоров定理, 영어: Egorov’s theorem)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴과 균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.

정의
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측도 공간 (X,{\mathcal F},\mu )에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 (Y,d)으로 가는 일련의 가측 함수의 열

{\displaystyle f\_{n}\colon X\to Y\qquad (n\in \mathbb {N} )}
에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.

* \mu (X)<\infty
* f\_{n}은 거의 어디서나 점별 수렴한다.

**예고로프 정리**에 따르면, 임의의 양의 실수 \epsilon >0에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 X\_{\epsilon }\in {\mathcal F}가 존재한다.:73:72, Theorem 7.1.12

* \mu (X)-\mu (X\_{\epsilon })<\epsilon
* f\_{n}은 X\_{\epsilon } 위에서 균등 수렴한다.

증명:

임의의 가측 함수 f,g\colon X\to Y에 대하여,

{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y))}
{\displaystyle x\mapsto (f(x),g(x))}
는 가측 함수이며,

{\displaystyle d\colon (Y\times Y,{\mathcal {B}}(Y\times Y))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 Y가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 {\displaystyle {\mathcal {B}}(Y\times Y)}는 곱 시그마 대수 {\displaystyle {\mathcal {B}}(Y)\times {\mathcal {B}}(Y)}와 일치한다. 따라서

{\displaystyle x\mapsto d(f(x),g(x))}
는 가측 함수이다.

이제, f\_{n}의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 f를 취하자. 임의의 \epsilon >0이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\mu \left(\bigcup \_{m'=1}^{\infty }\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f\_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m'}}\right\}\right)\\&\geq \mu \left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f\_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\\&=\lim \_{n\to \infty }\mu \left(\bigcup \_{i=n}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f\_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)\end{aligned}}}
이다. (함수 {\displaystyle x\mapsto d(f\_{i}(x),f(x))}가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f\_{i}(x),f(x))>{\frac {1}{m}}\right\}\right)<{\frac {\epsilon }{2^{m}}}}
인 {\displaystyle n(m)\in \mathbb {N} }이 존재한다.

이제

{\displaystyle X\_{\epsilon }=\bigcap \_{m=1}^{\infty }\bigcap \_{i=n(m)}^{\infty }\left\{x\in X\colon d(f\_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\right\}\in {\mathcal {F}}}
이라고 하자. 그렇다면

\mu (X\setminus X\_{\epsilon })<\epsilon 
이며, 임의의 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}에 대하여,

{\displaystyle d(f\_{i}(x),f(x))\leq {\frac {1}{m}}\qquad (\forall i\geq n(m),\;x\in X\_{\epsilon })}
이다. 즉, f\_{i}는 X\_{\epsilon } 위에서 f로 균등 수렴한다.

예
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만약 \mu (X)<\infty  조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수

f\_{n}\colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}
f\_{n}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in [n,n+1]\\0&x\not \in [n,n+1]\end{cases}}
을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 S에 대하여 이 함수열은 {\mathbb R}\setminus S에서 균등 수렴하지 않는다.

역사
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이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(이탈리아어: Carlo Severini)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다. 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 10일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. ↑  Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.
3. ↑  Severini, Carlo (1910). "Sulle successioni di funzioni ortogonali". 《Atti dell’Accademia Gioenia》. serie 5a, (이탈리아어) **3** (5): Memoria XIII, 1−7. JFM 41.0475.04.
4. ↑  Egoroff, D. Th. (1911). "Sur les suites des fonctions mesurables". 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) **152**: 244–246. JFM 42.0423.01.