군론에서 **자유군**(自由群, 영어: free group)은 그 아무런 관계를 갖지 않는 표시를 가질 수 있는 군이다. 즉, 군의 대수 구조 다양체의 자유 대수이다.

정의
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**자유군**은 군의 구체적 범주 \operatorname {Grp}\to \operatorname {Set}의 자유 대상이다. 즉, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} }
는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle \langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Grp} }
{\displaystyle \langle -\rangle \dashv \operatorname {Forget} }
를 가지며, 집합 S로부터 생성되는 **자유군** {\displaystyle \langle S\rangle }은 함자 {\displaystyle \langle -\rangle }에 대한 상이다.

### 구성

집합 S로부터 생성되는 자유군은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. S의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 기호들의 집합 {\displaystyle S^{-1}=\{s^{-1}\colon s\in S\}}를 생각하자. 그렇다면, 알파벳 {\displaystyle S\sqcup S^{-1}}으로 구성되는 문자열 {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{\*}}을 생각할 수 있다 (^{\*}는 클레이니 스타).

문자열 {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{\*}}이

{\displaystyle ss^{-1}\qquad (s\in S)}
또는

{\displaystyle s^{-1}s\qquad (s\in S)}
꼴의 부분 문자열을 갖지 않는다면, 이를 **기약 문자열**(영어: reduced string)이라고 한다. 임의의 문자열 {\displaystyle \sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{\*}}에 대하여, 위의 꼴의 부분 문자열들을 (임의의 순서로) 거듭하여 제거하면 결국 기약 문자열을 얻으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열의 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 **축소화**(영어: reduction)라고 하자. 그렇다면, 자유군 {\displaystyle \langle S\rangle }은 {\displaystyle (S\sqcup S^{-1})^{\*}} 속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 {\displaystyle \sigma ,\sigma '\in (S\sqcup S^{-1})^{\*}}에 대하여, 군 이항 연산 {\displaystyle \sigma \cdot \sigma '}은 두 문자열의 이음 {\displaystyle \sigma \sigma '}의 축소화이다.

이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 \sigma 의 역원은 \sigma 의 순서를 거꾸로 한 뒤, s\in S 꼴의 알파벳은 {\displaystyle s^{-1}}로, {\displaystyle s^{-1}\in S} 꼴의 알파벳은 s로 치환하여 얻는 문자열이다. (이러한 문자열은 항상 기약 문자열이다.)

성질
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### 크기

집합 S로부터 생성되는 자유군 {\displaystyle \langle S\rangle }의 크기는 다음과 같다.

{\displaystyle |\langle S\rangle |={\begin{cases}1&|S|=0\\\aleph \_{0}&1\leq |S|\leq \aleph \_{0}\\|S|&|S|\geq \aleph \_{0}\end{cases}}}
두 집합 S, T에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

* {\displaystyle |S|=|T|}
* {\displaystyle \langle S\rangle }와 {\displaystyle \langle T\rangle }는 군으로서 서로 동형이다.

자유군 F의 **계수**는 F를 생성하는 집합의 크기이다. 이는 위 정리에 따라 유일하다.

### 군론적 성질

계수가 0인 자유군은 자명군이다. 계수가 1인 자유군은 무한 순환군이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 정의에 따라, 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 나타낼 수 있다. 가산 계수의 자유군의 몫군으로 나타내어지는 군을 **유한 생성 군**(영어: finitely generated group)이라고 한다.

자유군의 아벨화는 자유 아벨 군이다.

#### 부분군

**닐센-슈라이어 정리**(영어: Nielsen–Schreier theorem)에 따르면, 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen, 1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며, 오토 슈라이어(독일어: Otto Schreier, 1901~1929)가 1927년 하빌리타치온 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다. 닐센-슈라이어 정리의 증명은 선택 공리를 필요로 한다. 선택 공리가 성립하지 않으며, 닐센-슈라이어 정리 역시 거짓인 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이 존재한다.

계수가 2개 이상인 자유군은 모든 가산 계수의 자유군을 부분군으로 갖는다.

### 논리학적 성질

알프레트 타르스키는 1945년 경에 계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이며, 이는 결정 가능 이론이라고 추측하였다. 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 2006년에 발표되었으나, 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다.

응용
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계수 2의 자유군의 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

대수적 위상수학에서, 임의의 기수 \kappa 에 대하여, \kappa 개의 원들의 쐐기합 {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\kappa }\mathbb {S} ^{1}}의 기본군은 계수 \kappa 의 자유군이다.

참고 문헌
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1. ↑  Nielsen, Jakob (1921). "Om Regning med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien". 《Matematisk Tidsskrift B》 (덴마크어) **1921**: 78–94. JFM 48.0123.03.
2. ↑  Schreier, Otto (1927). "Die Untergruppen der freien Gruppe". 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) **5**: 161–183. doi:10.1007/BF02952517.
3. ↑  Tarski, Alfred; Sinaceur, Hourya (2000년 3월). "Address at the Princeton University Bicentennial Conference on Problems of Mathematics (December 17-19, 1946)". 《The Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) **6** (1): 1–14. doi:10.2307/421074. JSTOR 421074.
4. ↑  Sela, Zlil (2006년 6월). "Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group". 《Geometric and Functional Analysis》 (영어) **16** (3): 707–730. doi:10.1007/s00039-006-0565-8. ISSN 1016-443X. MR 2238945.
5. ↑  Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2006). "Elementary theory of free non-abelian groups" (PDF). 《Journal of Algebra》 (영어) **302** (2): 451–552. doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033. MR 2293770. 2016년 10월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 1월 1일에 확인함.
6. ↑  Sela, Zlil (2014). "A report on Tarski’s decidability problem: "Elementary theory of free nonabelian groups" by O. Kharlampovich and A. Myasnikov" (영어). arXiv:1401.5711. Bibcode:2014arXiv1401.5711S.
7. ↑  Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2014). "On Tarski’s decidability Problem: response to Sela’s report" (영어). arXiv:1402.0482. Bibcode:2014arXiv1402.0482K.