이 문서는 일반적인 범주에서의 단사 사상에 관한 것입니다. 집합 사이의 단사 사상에 대해서는 단사 함수 문서를 참고하십시오.
범주론에서 **단사 사상**(單射寫像, 영어: monomorphism)은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.

정의
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범주 {\mathcal {C}}의 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면, **단사 사상**이라고 한다.

* 임의의 대상 Z 및 사상 g\_{1},g\_{2}\colon Z\to X에 대하여, 만약 f\circ g\_{1}=f\circ g\_{2}라면 g\_{1}=g\_{2}이다.
{\displaystyle Z{\overset {g\_{1}}{\underset {g\_{2}}{{}\rightrightarrows {}}}}X\xrightarrow {f} Y}

### 정규 단사 사상

 이 부분의 본문은 핵 (수학)입니다.
영 사상을 갖는 범주 {\mathcal {C}}에서, 어떤 사상 f\colon X\to Y의 핵 {\displaystyle \ker f\colon K\to X}으로 나타내어질 수 있는 사상을 **정규 단사 사상**이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.

### 강한 단사 사상

범주 {\mathcal {C}}에서, **강한 단사 사상**(強-單射寫像, 영어: strong monomorphism)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 {\displaystyle i\colon A\to B}가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}
에서 \pi가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 {\displaystyle Y\to A}가 존재한다.
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &{\scriptstyle \exists !}\swarrow &\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}
### 극단 단사 사상

범주 {\mathcal {C}}의 사상 f\colon X\to Y가 다음 두 조건을 만족시키면, **극단 단사 사상**(極端單射寫像, 영어: extremal monomorphism)이라고 한다.

* 단사 사상이다.
* 임의의 대상 Z 및 전사 사상 {\displaystyle g\colon X\to Z} 및 사상 h\colon Z\to Y에 대하여, 만약 f=h\circ g라면 g는 동형 사상이다.
{\displaystyle {\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\\Z&{\xrightarrow[{h}]{}}&Y\end{matrix}}}

극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &B&{\overset {g}{\rightrightarrows }}&C&\rightrightarrows &D\\&\searrow &&\nearrow \\&&E\end{matrix}}}
이 범주에서 f와 g는 극단 단사 사상이지만, g\circ f는 극단 단사 사상이 아니다.

성질
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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 f\colon X\to Y 및 그 왼쪽 역사상 {\displaystyle r\colon Y\to X}이 주어졌을 때 {\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} \_{Y}\}}이기 때문이다.

### 요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 {\mathcal {C}} 속의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* f는 단사 사상이다.
* 임의의 대상 Z에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 {\displaystyle (f\circ )\colon \hom \_{\mathcal {C}}(Z,X)\to \hom \_{\mathcal {C}}(Z,Y)}는 단사 함수이다.
* 준층 토포스 {\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}로 가는 요네다 매장 함자 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}아래서, f의 상 {\displaystyle (f\circ )\colon \hom \_{\mathcal {C}}(-,X)\to \hom \_{\mathcal {C}}(-,Y)}은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

### 반대 범주

범주 {\mathcal {C}}의 단사 사상은 그 반대 범주 {\mathcal C}^{{\operatorname {op}}}의 전사 사상이다.

예
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구체적 범주 {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} 에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} 의 왼쪽 수반 함자 \operatorname {Set}\to {\mathcal C}가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.

* 군의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
* 환의 범주 \operatorname {Ring} 에서, 단사 사상은 단사 함수인 환 준동형이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.

* 나눗셈군과 군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 {\mathbb Q}\to {\mathbb Q}/{\mathbb Z}는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

### 집합의 범주

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

* 단사 사상은 단사 함수이다.
* 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

### 군의 범주

군과 군 준동형의 범주 \operatorname {Grp} 에서는 다음이 성립한다.

* 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
* 정규 단사 사상은 정규 부분군의 포함 준동형이다.
* 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

### 벡터 공간의 범주

체 K 위의 벡터 공간과 선형 변환의 아벨 범주 \operatorname {Vect} \_{K}에서는 다음이 성립한다.

* 단사 사상은 단사 함수인 선형 변환이다.
* 단사 사상 · 정규 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

### 위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname {Top} 에서는 다음이 성립한다.

* 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이다.
* 정칙 단사 사상은 위상 공간의 매장이다. 즉, 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의하는 단사 연속 함수이다. 모든 유효 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

참고 문헌
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* Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.