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수학에서 **아벨 변환**(-變換, 영어: Abel transformation) 또는 **아벨 보조정리**(-補助定理, 영어: Abel's lemma) 또는 **아벨 부분합 공식**(-部分合公式, 영어: Abel's partial summation formula) 또는 **부분 합산**(部分合算, 영어: summation by parts)은 두 수열의 곱의 합을 다른 두 수열의 곱의 합으로 바꾸는 방법이다. 부분 적분의 이산적 형태다.

정의
--

**아벨 변환**에 따르면, 임의의 자연수 {\displaystyle n\geq 0} 및 두 묶음의 복소수 {\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dots ,a\_{n}\in \mathbb {C} } 및 {\displaystyle b\_{0},b\_{1},\dots ,b\_{n}\in \mathbb {C} }에 대하여,

{\displaystyle A\_{i}=a\_{0}+a\_{1}+\cdots +a\_{i}\qquad (i=0,1,\dots ,n)}
라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.:180

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{i}b\_{i}=A\_{n}b\_{n}+\sum \_{i=0}^{n-1}A\_{i}(b\_{i}-b\_{i+1})}
보다 일반적으로, 가환환 {\displaystyle K} 및 {\displaystyle K}-가군 {\displaystyle V}, {\displaystyle W}, {\displaystyle M} 및 {\displaystyle K}-쌍선형 변환 {\displaystyle \phi \colon V\otimes W\to M}이 주어졌을 때, 임의의 자연수 {\displaystyle n\geq 0} 및 두 묶음의 가군 원소 {\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dots ,a\_{n}\in V} 및 {\displaystyle b\_{0},b\_{1},\dots ,b\_{n}\in W} 및

{\displaystyle A\_{i}=a\_{0}+a\_{1}+\cdots +a\_{i}\in V\qquad (i=0,1,\dots ,n)}
에 대하여, 다음 공식이 성립한다.

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}\phi (a\_{i},b\_{i})=\phi (A\_{n},b\_{n})+\sum \_{i=0}^{n-1}\phi (A\_{i},b\_{i}-b\_{i+1})}
이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

응용
--

아벨 변환을 사용하여, 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명할 수 있다. 그 중 일부는 다음과 같다.

* 교대급수 판정법
* 디리클레 판정법
* 아벨 판정법
* 크로네커 보조정리

예
-

### 등차수열의 합

처음 {\displaystyle n}개의 양의 정수의 합

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n}
을 구하자.

{\displaystyle a\_{n}=1}
{\displaystyle b\_{n}=k}
라고 하자. 그렇다면 첫 번째 수열의 부분합은

{\displaystyle A\_{n}=a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{n}=\underbrace {1+1+\cdots +1} \_{n}=n}
이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 가하면 다음을 얻는다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}k&=\sum \_{k=1}^{n}(1\cdot k)\\&=n\cdot n+\sum \_{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\&=n^{2}-\sum \_{k=1}^{n-1}k\\&=n^{2}-\left(\sum \_{k=1}^{n}k-n\right)\\&=n^{2}+n-\sum \_{k=1}^{n}k\end{aligned}}}
우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 {\displaystyle n}개의 양의 정수의 합

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n}
을 얻는다.

### 제곱수의 합

제곱수의 합

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}=1+4+\cdots +n^{2}}
을 생각하자.

{\displaystyle a\_{n}=b\_{n}=n}
라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라

{\displaystyle A\_{n}=a\_{1}+\cdots +a\_{n}=1+2+\cdots +n={\frac {n^{2}+n}{2}}}
이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {n^{2}+n}{2}}\cdot n+\sum \_{k=1}^{n-1}{\frac {k^{2}+k}{2}}\cdot (k-(k+1))\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-\sum \_{k=1}^{n-1}{\frac {k^{2}+k}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-\sum \_{k=1}^{n}{\frac {k^{2}+k}{2}}+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum \_{k=1}^{n}k^{2}-{\frac {1}{2}}\sum \_{k=1}^{n}k+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {n^{3}+n^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum \_{k=1}^{n}k^{2}-{\frac {n^{2}+n}{4}}+{\frac {n^{2}+n}{2}}\\&={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{4}}-{\frac {1}{2}}\sum \_{k=1}^{n}k^{2}\end{aligned}}}
이다. 따라서, 제곱수의 합은

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}}
이다.

마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 아벨 변환을 통하여 귀납적으로 구할 수 있다.

### 교대급수

교대급수

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}}
는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 직접 적용해 보자.

{\displaystyle a\_{n}=(-1)^{n-1}}
{\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{n}}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
로 놓자. 그렇다면

{\displaystyle A\_{n}=a\_{1}+\cdots +a\_{n}={\begin{cases}1&n=1,3,5,\dots \\0&n=2,4,6,\dots \end{cases}}}
이다. 따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다 ({\displaystyle \lfloor x\rfloor }는 바닥 함수).

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}&=A\_{n}\cdot {\frac {1}{n}}+\sum \_{k=1}^{n-1}A\_{k}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=A\_{n}\cdot {\frac {1}{n}}+\sum \_{k=1}^{n-1}A\_{k}\cdot {\frac {1}{k(k+1)}}\end{aligned}}}
여기에 극한 {\displaystyle n\to \infty }를 취하면 다음을 얻는다.

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}}
새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

역사
--

닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다.

참고 문헌
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1. ↑  김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.