수학에서 **사유한군**(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의
--

**사유한군**은 하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분 집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.

이 조건은 이 위상군이 이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다.

성질
--

* (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다.
* 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
* 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

### 사유한 완비화

임의의 군 G의 **사유한 완비화**(射有限完備化, 영어: profinite completion) {\displaystyle {\widehat {G}}}는 다음과 같다.

{\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim \_{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph \_{0}}G/N}
즉, G의 모든 유한 지표 정규 부분군 N에 대한 몫군들의 사영극한이다. {\displaystyle {\widehat {G}}}는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 {\displaystyle G\to {\widehat {G}}}가 존재하며, 이 준동형의 상은 {\displaystyle {\widehat {G}}}의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, {\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}\not \cong {\widehat {G}}}일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Grp} }}}와 군의 범주 \operatorname {Grp}  사이의 망각 함자

{\displaystyle F\colon {\widehat {\operatorname {Grp} }}\to \operatorname {Grp} }
의 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\colon \operatorname {Grp} \to {\widehat {\operatorname {Grp} }}}
{\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\vdash F}
를 이룬다.:345

함자의 구성:

사유한 완비화 {\displaystyle {\widehat {G}}}는 다음 조건을 만족시키는 원소

{\displaystyle (g\_{N}N)\_{N}\in \prod \_{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph \_{0}}G/N}
들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

* 임의의 유한 지표 정규 부분군 {\displaystyle N\subset N'\subset G}에 대하여, {\displaystyle g\_{N}N'=g\_{N'}N'}

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

\phi \colon G\to H
의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

{\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon {\widehat {G}}\to {\widehat {H}}}
{\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon (g\_{N}N)\_{N}\mapsto (\phi (g\_{\phi ^{-1}(N')})N')\_{N'}}

예
-

모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 \mathbb Z\_p는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 \mathbb Z/p^n들의 사영극한으로 정의된다. 정수군 \mathbb {Z} 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \_{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \prod \_{p}\mathbb {Z} \_{p}}
사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 L/K가 주어지면 K를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 \operatorname {Gal} (L/K)는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 F/K들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

참고 문헌
-----

1. ↑  Horel, Geoffroy (2017). "Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group" (영어) **321**: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.
2. ↑  Waterhouse, William C. (1974). "Profinite groups are Galois groups". 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) **42** (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.

* Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). 《Field arithmetic》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) **11** 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds" (영어). arXiv:math/0604399.
* Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "On finitely generated profinite groups. II. Products in quasisimple groups" (영어). arXiv:math/0604400.
* Serre, Jean-Pierre (1994). 《Cohomologie galoisienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) **5** 5판. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0108758. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.