호몰로지 대수학에서 **Ext 함자**(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의
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Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.

* Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
* 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
* 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.

대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

### 완전열을 통한 정의

#### 0차 Ext

임의의 아벨 범주 {\mathcal A}에 대하여, **0차 Ext 함자**는 다음과 같은 사상군 함자이다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{0}(-,-)=\hom \_{\mathcal {A}}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }
#### 1차 Ext

임의 아벨 범주 {\mathcal A}의 대상 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여, A의 B에 대한 **확대**(영어: extension of A by B)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

{\displaystyle 0\to B\to X\to A\to 0}
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 X\to X'이 존재한다면, 두 확대가 서로 **동치**라고 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow \scriptstyle \wr &&\|\\0\to &B&\to &X'&\to &A&\to 0\end{matrix}}}
(이 사상 X\to X'은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 **베어 합**(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.:78, Definition 3.4.4
두 확대 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}, {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0}가 주어졌을 때, Y를 X와 X'의 A에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi (x)=\pi '(x)\}\supseteq \iota (B)\oplus \iota '(B)}
즉, Y는 B를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 {\displaystyle \operatorname {diag} \_{B}\colon B\to B\oplus B}사용하여, Y의 몫대상

{\displaystyle X''={\frac {Y}{\left((\iota ,-\iota ')\circ \operatorname {diag} \_{B}\right)(B)}}}
을 정의할 수 있다. 이는 Y 속에 존재하는 두 개의 B를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

{\displaystyle 0\to B\to X''\to A\to 0}
는 짧은 완전열을 이룬다. {\displaystyle 0\to X\to X''\to A\to 0}의 동치류를 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}, {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0}의 동치류의 **베어 합**(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 {\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0}이며, 확대 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}의 베어 합에 대한 역원은 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {-\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0} 또는 {\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {-\pi }}A\to 0}이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

{\mathcal A} 속의 대상 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대하여, **1차 Ext 함자** {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{1}(A,B)}는 A의 B에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{1}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }
를 정의한다. 또한, 각 A\in {\mathcal A}에 대하여

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{1}(A,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }
{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{1}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }
는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.:131, Exercise 6.A 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

#### 고차 Ext

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.:79–80, Vista 3.4.6:82–87, §III.5

아벨 범주 {\mathcal A}가 주어졌다고 하자. {\mathcal A} 속의 대상 A, B에 대하여, A의 B에 대한 n차 **확대**(영어: n-fold extension of A by B)는 다음과 같은 완전열이다.

{\displaystyle 0\to B\to X\_{n}\to X\_{n-1}\to \cdots \to X\_{1}\to A\to 0}
두 n차 확대 {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}, {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')} 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}가 {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')}의 **닮은 확대**(영어: similar extension)라고 한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X\_{n}&\to &\cdots &\to &X\_{1}&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\|\\0\to &B'&\to &X\_{n}'&\to &\cdots &\to &X\_{1}'&\to &A'&\to 0\end{matrix}}}
닮음 관계를 {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)\prec (B',X\_{\bullet }',A')}로 표기하자.
닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 n차 확대 {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}, {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')} 사이에 다음과 같은 n차 확대들의 열

{\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)=(B^{(0)},X\_{\bullet }^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X\_{\bullet }^{(1)},A^{(1)}),\dots ,(B^{(k)},X\_{\bullet }^{(k)},A^{(k)})=(B',X\_{\bullet }',A')}
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}와 {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')}가 서로 **동치**라고 하자.

모든 {\displaystyle i=1,2,\dots ,k}에 대하여, {\displaystyle (B^{(i-1)},X\_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec (B^{(i)},X\_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})}이거나 또는 {\displaystyle (B^{(i)},X\_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})\prec (B^{(i-1)},X\_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})}이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}와 {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')}가 서로 동치이다.
* {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)\prec (B'',X\_{\bullet }'',A'')\succ (B',X\_{\bullet }',A')}인 n차 확대 {\displaystyle (B'',X\_{\bullet }'',A'')}가 존재한다.
* {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)\succ (B'',X\_{\bullet }'',A'')\prec (B',X\_{\bullet }',A')}인 n차 확대 {\displaystyle (B'',X\_{\bullet }'',A'')}가 존재한다.

그렇다면, n차 **Ext 함자** {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}는 A의 B에 대한 n차 확대들의 동치류 집합이다.

두 n차 확대 {\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}, {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')}가 주어졌을 때, Y\_{i}를 다음과 같이 정의하자.

* {\displaystyle i=1}일 때, Y\_{1}은 X\_{1}과 {\displaystyle X\_{1}'}의 A에 대한 당김이다.
* {\displaystyle 1<i<n}일 때, {\displaystyle Y\_{i}=X\_{1}\oplus X\_{1}'}이다.
* i=n일 때, {\displaystyle X\_{n}{\xrightarrow {f}}{\tilde {Y}}{\xleftarrow {f'}}X\_{n}'}를 {\displaystyle B{\xrightarrow {\iota }}X\_{n}}과 {\displaystyle B{\xrightarrow {\iota '}}X\_{n}}의 B에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 {\displaystyle \operatorname {diag} \_{B}\colon B\to B\oplus B}를 사용하여, {\displaystyle (f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} \_{B}\colon B\to {\tilde {Y}}}를 정의할 수 있다. 그렇다면, {\displaystyle Y\_{n}={\tilde {Y}}/((f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} \_{B})(B)}이다.

그렇다면 {\displaystyle (B,Y\_{\bullet }',A)}는 n차 확대를 이룬다.
{\displaystyle (B,X\_{\bullet },A)}의 동치류와 {\displaystyle (B',X\_{\bullet }',A')}의 동치류의 합을 {\displaystyle (B,Y\_{\bullet }',A)}의 동치류로 정의하자.

{\displaystyle [(B,X\_{\bullet },A)]+[(B',X\_{\bullet }',A')]=[(B,Y\_{\bullet }',A)]}
그렇다면, 이 합에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }
를 이루며, 각 A\in {\mathcal C}에 대하여

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }
{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }
둘 다 가법 함자를 이룬다.

#### 요네다 합성

Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 {\mathcal A}의 대상 {\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 \otimes 는 아벨 군의 텐서곱이다.)

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,B)\otimes \hom \_{\mathcal {A}}(B,C)\to \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,C)}
{\displaystyle \hom \_{\mathcal {A}}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,C)}
이는 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{0}=\hom \_{\mathcal {A}}}와 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}}를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 m,n\in {\mathbb N}에 대하여 다음과 같은, **요네다 합성**(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.:82–87, §III.5

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{m}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{m+n}(A,C)}
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

{\displaystyle 0\to A\to X\_{1}\to \cdots \to X\_{m}{\xrightarrow {\pi }}B\to 0\qquad (m\geq 1)}
{\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}Y\_{1}\to \cdots \to Y\_{n}\to C\to 0\qquad (m\geq 1)}
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

{\displaystyle 0\to A\to X\_{1}\to \cdots \to X\_{m}{\xrightarrow {\iota \circ \pi }}Y\_{1}\to \cdots \to Y\_{n}\to C\to 0}
그렇다면 {\displaystyle (A,X\_{\bullet },B)}의 동치류와 {\displaystyle (B,Y\_{\bullet },C)}의 동치류의 **요네다 합성**은 {\displaystyle (A,X\_{\bullet },Y\_{\bullet },C)}의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 {\displaystyle \operatorname {GrAb} \_{\mathbb {N} }} 위의 풍성한 범주 {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}를 다음과 같이 정의할 수 있다.

* {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}의 대상은 {\mathcal A}의 대상과 같다.
* {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
{\displaystyle \hom \_{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,B)=\bigoplus \_{n}\operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}
* {\displaystyle \operatorname {Ext} ({\mathcal {A}}}에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
* {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}에서 항등 사상은 {\mathcal A}에서의 항등 사상과 같다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{0}=\hom \_{\mathcal {A}}}만 남으므로 원래 범주 {\mathcal A}를 얻는다.

특히, 대상 A\in {\mathcal A}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}에서의 자기 사상 등급 아벨 군

{\displaystyle \hom \_{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,A)=\bigoplus \_{n}\operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,A)}
은 자연수 등급환을 이룬다.

### 유도 함자를 통한 정의

아벨 범주 {\mathcal A} 속의 대상 A\in {\mathcal A}에 대하여,

{\displaystyle \hom \_{\mathcal {A}}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }
는 왼쪽 완전 함자이며,

{\displaystyle \hom \_{\mathcal {A}}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }
는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 {\mathcal A}가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {A}}(A,-)}의 오른쪽 유도 함자를 **Ext 함자**라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,-)=\operatorname {R} ^{n}\hom \_{\mathcal {C}}(A,-)}
만약 {\mathcal A}가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 {\displaystyle \hom \_{\mathcal {A}}(-,A)}의 왼쪽 유도 함자를 **Ext 함자**라고 한다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(-,A)=\operatorname {L} ^{n}\hom \_{\mathcal {C}}(-,A)}
이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R{\text{-Mod}}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 {\displaystyle \operatorname {Ext} \_{R}^{n}(-,-)}로 표기한다.

### 유도 범주를 통한 정의

Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
아벨 범주 {\mathcal A}가 주어졌다고 하자. {\mathcal A}의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, {\mathcal A}는 사슬 복합체 범주 \operatorname {Ch}({\mathcal A})의 충만한 부분 범주를 이룬다.

{\mathcal A} 속의 사슬 복합체 A에 대하여,

{\displaystyle A[i]^{\bullet }=X^{\bullet +i}}
{\displaystyle d\_{A[i]}=(-1)^{n}d|\_{A}}
로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 {\displaystyle \deg d=+1}이다.) 또한, {\mathcal A}의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, {\mathcal A}의 두 대상 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}에 대한 n차 **Ext 함자**는 유도 범주 {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}의 다음과 같은 사상군이다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{\mathcal {A}}^{n}(A,B)=\hom \_{\operatorname {D} ({\mathcal {A}})}(A,B[i])}
(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질
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만약 M이 사영 가군이거나 N이 단사 가군이라면,

\operatorname {Ext} \_{R}^{n}(M,N)=0\qquad \forall n>0
이다. 또한, 다음이 성립한다.

\operatorname {Ext} \_{R}^{n}\left(\bigoplus \_{i\in I}M\_{i},\prod \_{j\in J}N\_{j}\right)\cong \prod \_{i\in I}\prod \_{j\in J}\operatorname {Ext} \_{R}^{n}(M\_{i},N\_{j})

예
-

### 벡터 공간

체 K 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

0\to V\to I^{0}=V\to 0
0\to P^{0}=V\to V\to 0
따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

\operatorname {Ext} \_{K}^{0}(V,W)=\hom(V,W)
\operatorname {Ext} \_{K}^{n}(V,W)=0\qquad \forall n>0
### 아벨 군

정수환 \mathbb {Z}  위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G는 자유 아벨 군 P^{0}의 몫군 P^{0}/P^{1}으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0
마찬가지로, 임의의 아벨 군 G는 나눗셈군 I^{0}의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

0\to G\to I^{0}\to I^{1}\to 0
아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가 G\cong P^{0}/P^{1}이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

0\to \hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{0},H){\xrightarrow {\operatorname {res} }}\hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)\to 0
여기서 \operatorname {res} \colon \hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{0},H)\to \hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)은 포함 사상 P^{1}\hookrightarrow P^{0}으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)\cong \hom \_{\operatorname {Ab} }(G,H)
이며,

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)\cong \hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)/\operatorname {res} (\hom \_{\operatorname {Ab} }(P^{0},H))
는 군의 확대

0\to H\to E\to G\to 0
들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{n}(G,H)=0\qquad \forall n\geq 2
또한, 임의의 나눗셈군 H에 대하여

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)=0
이다. 특히, 유리수의 군 \mathbb {Q} 나 그 몫군 \mathbb {Q} /\mathbb {Z} 은 나눗셈군이므로

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} )=\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=0
이다.

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)=\hom \_{\operatorname {Ab} }(G,H)| G\backslash H | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {Z}  | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| \mathbb {Z} /(m) | 0 | \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\}) | 0 |
| \mathbb {Q}  | 0 | 0 | \mathbb {Q}  |

\operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)| G\backslash H | \mathbb {Z}  | \mathbb {Z} /(n) | \mathbb {Q}  |
| --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {Z}  | 0 | 0 | 0 |
| \mathbb {Z} /(m) | \mathbb {Z} /(m) | \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\}) | 0 |
| \mathbb {Q}  | \mathbb {Q} ^{\oplus 2^{\aleph \_{0}}} | 0 | 0 |

### 리 대수 코호몰로지

 이 부분의 본문은 리 대수 코호몰로지입니다.
리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

### 층 코호몰로지

위상 공간 X 위의 아벨 군층 {\mathcal F}의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Ext} ^{\bullet }({\underline {\mathbb {Z} }},{\mathcal {F}})}
여기서

* Ext 함자는 X 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
* \underline {{\mathbb Z}}는 정수환 값의 상수층이다.

스킴 X 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

{\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}\_{X},{\mathcal {O}}\_{X})=\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}\_{X})}

어원
--

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 \operatorname {Ext} \_{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)와 일대일 대응한다.

참고 문헌
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