일반 상대성 이론에서 **믹스마스터 우주**(Mixmaster宇宙, 영어: Mixmaster universe)는 SU(2) 대칭을 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다. 이는 혼돈적 성질을 보인다.

정의
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### 가설 풀이

**믹스마스터 우주**는 위상 공간으로서 {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {R} }이다. 여기서 3차원 초구 \mathbb {S} ^{3}는 공간 방향이며, \mathbb {R} 는 시간 방향이다. \mathbb {S} ^{3} 위에 표준적인 구면 좌표계 {\displaystyle (\theta ,\psi ,\phi )}를 주자.

초구 \mathbb {S} ^{3} 위의 세 1차 미분 형식

{\displaystyle \sigma \_{1}=\sin \psi \mathrm {d} \theta -\cos \psi \sin \theta \mathrm {d} \phi }
{\displaystyle \sigma \_{2}=\cos \psi \mathrm {\theta } +\sin \psi \sin \theta \mathrm {d} \phi }
{\displaystyle \sigma \_{3}=-\mathrm {d} \psi -\cos \theta \mathrm {d} \phi }
을 부여할 수 있으며, 이는

{\displaystyle \mathrm {d} \sigma \_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon \_{ijk}\sigma \_{j}\wedge \sigma \_{k}}
를 만족시킨다.

이제, M 위의 다음과 같은 (부호수 −+++의) 리만 계량 가설 풀이를 생각하자.

{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\sum \_{i=1}^{3}\left(L\_{i}(t)\right)^{2}\sigma \_{i}^{2}}
이 가설 풀이는 비안키 분류 Ⅸ형의 일반형이며, {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}의 \operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2) 대칭 가운데 하나의 \operatorname {SU} (2)만을 보존한다. 이 가설 풀이는 세 개의 미지의 함수 {\displaystyle L\_{1}(t),L\_{2}(t),L\_{3}(t)}를 갖는다. 이들은 편의상 우주의 팽창을 나타내는 함수 (L\_{i}의 자연 로그의 산술 평균 × −1)

{\displaystyle \Omega (t)=-{\frac {1}{3}}\left(\ln L\_{1}(t)+\ln L\_{2}(t)+\ln L\_{3}(t)\right)}
와 우주의 비등방성을 나타내는 두 함수

{\displaystyle \beta \_{+}(t)=\Omega (t)-\ln(L\_{3}(t))}
{\displaystyle \beta \_{-}(t)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\ln {\frac {L\_{1}(t)}{L\_{2}(t)}}}
로 다시 쓸 수 있다. \Omega 는 대략 우주의 너비의 로그 ×−1에 해당하며, \Omega 가 더 클 수록 우주의 부피가 더 작다 (즉, 빅뱅은 {\displaystyle \Omega \to \infty } 극한이다). 마찬가지로, {\displaystyle \beta \_{\pm }}가 (양 또는 음으로) 0에서 더 멀 수록 우주는 더 일그러진 모양을 한다. 만약 {\displaystyle \beta \_{+}=\beta \_{-}=0}인 경우 (등방적 우주) 이는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량이 된다.

### 동역학

이제, 아인슈타인 방정식을 {\displaystyle \Omega (t)}와 {\displaystyle \beta \_{\pm }(t)}에 대하여 적용할 수 있다. 사실, 일단 {\displaystyle \beta \_{\pm }}(우주의 모양)을 {\displaystyle \Omega (t)}(우주의 크기)의 함수로 우선 풀 수 있다. 편의상 에너지-운동량 텐서와 우주 상수가 0이라고 가정하자 (즉, 리치 곡률이 0이라고 하자).

이제, {\displaystyle \Omega \to +\infty } 극한(빅뱅 근처)에서, 아인슈타인 방정식은 다음과 같은 두 방정식이 된다.:1072, (5), (6)

{\displaystyle 4=\left({\frac {\mathrm {d} \beta \_{+}}{\mathrm {d} \Omega }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} \beta \_{-}}{\mathrm {d} \Omega }}\right)^{2}+4\Lambda (t)^{-1}\exp(-4\Omega (t))V(\beta \_{+},\beta \_{-})}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} \Omega }}=-4\Lambda ^{-1}\exp(-4\Omega (t))V(\beta \_{+},\beta \_{-})}
(첫째 식에 의하여 {\displaystyle \Lambda (t)}를 정의할 수 있다.) 둘째 식에 의하여, \Lambda 는 {\displaystyle \Omega \gg 1}일 때 거의 변화하지 않는다.

즉, 이 경우 \Omega 를 일종의 "시간"으로 간주하고, {\displaystyle {\vec {\beta }}=(\beta \_{+},\beta \_{-})}를 일종의 "위치"로 간주한다면, 이는 시간 의존 라그랑지언:1072, (7)

{\displaystyle L(\beta \_{+},\beta \_{-};\Omega )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\Lambda (\Omega )}}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}^{2}-{\frac {2V(\beta \_{+},\beta \_{-})}{{\sqrt {\Lambda (\Omega )}}\exp(4\Omega )}}}
에 의하여 묘사된다. (이 라그랑지언에서 \Lambda 는 오직 \Omega 만의 함수로 간주한다.)
여기서 퍼텐셜 {\displaystyle V(\beta )}는 다음과 같다.:1072, (8)

{\displaystyle V(\beta \_{+},\beta \_{-})=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta \_{+})-{\frac {4}{3}}\exp(-\beta \_{+})\cosh({\sqrt {3}}\beta \_{-})+{\frac {2}{3}}\exp(2\beta \_{+})\left(\cosh \left(2{\sqrt {3}}\beta \_{-}\right)-1\right)}
이 퍼텐셜의 벽은 매우 가파르게 증가한다. 시간 의존 "질량"에 해당하는 {\displaystyle \Lambda (\Omega )^{2}}가 우주 초기({\displaystyle \Omega \gg 1})에는 매우 천천히 변한다. 따라서, 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처에서의 시간 변화는 대략 일종의 "당구대" 위의 "당구공"의 운동으로 근사되는데, 이러한 동역학계는 혼돈적 현상을 보이는 대표적인 유이다.

성질
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믹스마스터 우주가 혼돈적이라는 것은 1996년에 엄밀히 증명되었다.

### 믹스마스터 퍼텐셜

믹스마스터 우주의 퍼텐셜

{\displaystyle V(\beta \_{+},\beta \_{-})=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta \_{+})-{\frac {4}{3}}\exp(-\beta \_{+})\cosh({\sqrt {3}}\beta \_{-})+{\frac {2}{3}}\exp(2\beta \_{+})\left(\cosh \left(2{\sqrt {3}}\beta \_{-}\right)-1\right)}
는 항상 임의의 {\displaystyle (\beta \_{+},\beta \_{-})\in \mathbb {R} ^{2}}에 대하여 {\displaystyle V\geq 0}을 만족시키며, 원점에서 {\displaystyle V(0,0)=0}이 성립한다.

원점 근처에서의 매클로린 급수는 다음과 같다.

{\displaystyle V(\beta \_{+},\beta \_{-})=2\beta \_{+}^{2}+2\beta \_{-}^{2}+O(\beta \_{+}\beta \_{-}^{2})+O(\beta \_{-}^{4})}
이 퍼텐셜은 {\displaystyle \beta \_{-}\mapsto -\beta \_{-}} 대칭을 가지며, 그 "바닥"은 대략 {\displaystyle \beta \_{+}} 축을 대칭축으로 하고, 원점({\displaystyle \beta \_{+}=\beta \_{-}=0})을 중심으로 하는 이등변 삼각형의 모양을 한다.

이 이등변 삼각형의 각 "꼭짓점"은 사실 무한히 계속되는 "골짜기"의 모양을 하며, 이들의 위치는 각각 다음과 같다.

* {\displaystyle 1\ll \beta \_{+}} {\displaystyle |\beta \_{-}|^{-1}\gg \exp(\beta \_{+})}. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다.
{\displaystyle V=1+4\exp(2\beta \_{+})\beta \_{-}^{2}+O\left(\exp(2\beta \_{+})\beta \_{-}^{4}\right)+O\left(\exp(-\beta \_{+})\right)}
* {\displaystyle 1\ll -\beta \_{+}}, {\displaystyle \beta \_{-}\approx \pm {\sqrt {3}}\beta \_{+}}. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다. 편의상 {\displaystyle \beta \_{-}=\pm {\sqrt {3}}\beta \_{+}\mp (\ln a)/{\sqrt {3}}}로 놓자.
{\displaystyle V=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta \_{+})(1-a)^{2}+O\left(\exp(2\beta \_{+})\right)}

역사
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미스너 (2009년 사진)
믹스마스터 브랜드 믹서 (1969년~1972년 경 생산)
찰스 윌리엄 미스너(영어: Charles William Misner, 1932~)가 1969년에 도입하였다. "믹스마스터"라는 이름은 미국의 가전 제품 회사 선빔프로덕츠(영어: Sunbeam Products, 舊名 시카고 유연 샤프트 회사 영어: Chicago Flexible Shaft Company)가 1930년부터 생산하기 시작한 믹서 브랜드 믹스마스터(영어: Mixmaster, 혼합mix 믹스[\*]의 달인master 마스터[\*])에서 딴 것이다.

미스너는 이 모형을 원래 우주론의 지평선 문제를 해결하기 위하여 개발하였다. 빅뱅 초기의 우주가 마치 "믹서"로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서, 믹스마스터 우주는 급팽창 이론으로 대체되었다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Misner, Charles William (1969년 5월 19일). "Mixmaster universe" (PDF). 《Physical Review Letters》 (영어) **22** (20): 1071–1074. Bibcode:1969PhRvL..22.1071M. doi:10.1103/PhysRevLett.22.1071. 2010년 3월 15일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2010년 3월 15일에 확인함.
2. 1 2  Pontzen, Andrew (2016). "Bianchi universes". 《Scholarpedia》 (영어) **11** (4): 32340. doi:10.4249/scholarpedia.32340. ISSN 1941-6016.
3. ↑  Cornish, Neil John; Levin, Janna J. (1997). "The mixmaster universe is chaotic". 《Physical Review Letters》 (영어) **78**: 998–1001. arXiv:gr-qc/9605029. Bibcode:1997PhRvL..78..998C. doi:10.1103/PhysRevLett.78.998.
4. ↑  Cornish, Neil John; Levin, Janna J. (1997). "The mixmaster universe: a chaotic Farey tale". 《Physical Review D》 (영어) **55**: 7489–7510. arXiv:gr-qc/9612066. Bibcode:1997PhRvD..55.7489C. doi:10.1103/PhysRevD.55.7489.

| * v
* t
* e
상대론 |
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| 특수상대론 | 

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| 배경 | 
* 상대성 원리 (갈릴레이 상대론
* 갈릴레이 군)
* 특수 상대성이론
* 이중 특수 상대성이론(doubly special relativity)

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* 빛의 속력
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* 고유 시간
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* 사다리 역설(ladder paradox)
* 쌍둥이 역설
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| 배경 | 
* 개론
* 수학적 공식화(mathematical formulation)

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