체론에서 **체의 확대**(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의
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두 체 K와 L이 주어졌을 때, K에서 L로 가는 **확대**는 K에서 L로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 K를 L의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 K를 L의 **부분체**(部分體, 영어: subfield), 반대로 L을 K의 **확대체**(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. L이 K의 확대체라는 것은 기호로 L/K로 쓴다.

일련의 체 K\_{0},K\_{1},\dots ,K\_{n}들이 서로 체의 확대

K\_{0}\subseteq K\_{1}\subseteq \cdots \subseteq K\_{n}
를 이룰 때, \{K\_{i}\}\_{{i=0,1,\dots ,n}}를 **체의 탑**(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

### 차수

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, L은 K 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 L/K의 **차수**(次數, 영어: degree)는 L의 K-벡터 공간으로서의 차원이며, [L:K]로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 **유한 확대**(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 **이차 확대**(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 **삼차 확대**(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

### 초월 차수

체의 확대 L/K 및 L의 부분 집합 S\subset L이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 p\in K[|S|]에 대하여, p(S)=0인 다항식은 p=0밖에 없다면, S를 **대수적 독립 집합**(영어: algebraically independent set)이라고 한다. L/K의 **초월 차수**(영어: transcendence degree)는 L에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, \operatorname {trdeg}\_{K}L와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 **대수적 확대**(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 **초월 확대**(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

L/K의 **초월 기저**(超越基底, 영어: transcendence basis) S는 L/K(S)가 대수적인 대수적 독립 집합 S\subset L이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 L=K(S)라면, L/K를 **순수 초월 확대**(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

### 생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 L/K 및 L의 부분 집합 S\subset L이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **L속에서 S로 생성되는 K의 확대** K(S)는 S\cup K를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 L의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. K[S]\subseteq L가, S의 원소들에 대한 K 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 K(S)는 K[S]의 분수체와 동형이다.

K(S)=\operatorname {Frac}K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L
또한, 만약 S가 유한 집합이며, L이 대수적 확대라면 K(S)/K는 유한 확대이다.

체의 확대 M/K 속에서 두 부분체

K\subseteq L\_{1}\subseteq M
K\subseteq L\_{2}\subseteq M
가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 **합성체**(合成體, 영어: compositum)는 K(L\_{1}\cup L\_{2})\subseteq M이다.

### 체 노름과 체 대각합

유한 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 L은 유한 차원 K-벡터 공간이며, 임의의 원소 a\in L에 대하여 a\cdot \colon L\to L은 K-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 **체 노름**(體norm, 영어: field norm) \operatorname N\_{L/K}과 **체 대각합**(體對角合, 영어: field trace) \operatorname T\_{L/K}이라고 한다.

\operatorname N\_{{L/K}}\colon L\to K
\operatorname N\_{{L/K}}\colon a\mapsto \det(a\cdot )
\operatorname T\_{L/K}\colon L\to K
\operatorname T\_{L/K}\colon a\mapsto\operatorname{tr}(\cdot a)
보다 일반적으로, a\cdot 의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 K 계수의 일계수 다항식이다.

\chi\_{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot)\in K[x]
이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

\chi\_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname T\_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots+(-1)^{[L:K]}\operatorname N\_{L/K}(a)
체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 a\in L에 대하여, 그 최소 다항식이 p\_a\in K[x]라고 하고, 그 근들의 중복집합이 \{\sigma\_1(a),\dots,\sigma\_n(a)\}\in\bar K라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\operatorname N\_{L/K}(a)=\left(\prod\_{i=1}^n\sigma\_i(a)\right)^{[L:K(a)]}
\operatorname T\_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum\_{i=1}^n\sigma\_i(a)
만약 L/K가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 L/K가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

\operatorname N\_{L/K}(a)=\prod\_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)
\operatorname T\_{L/K}(a)=\sum\_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)
여기서 \operatorname {Gal} (L/K)는 갈루아 군이다.

성질
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체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 **자기 동형**(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 L/K가 존재한다면, K와 L의 표수는 서로 일치한다.

\exists L/K\implies \operatorname {char}K=\operatorname {char}L
### 차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L/K 및 M/L이 주어졌을 때, 합성 확대 M/K의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[M:K]=[L:K][M:L]
\operatorname {trdeg}\_{K}M=\operatorname {trdeg}\_{K}L+\operatorname {trdeg}\_{L}M
여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.

### 체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 a,b\in L에 대하여

\operatorname N\_{{L/K}}(ab)=\operatorname N\_{{L/K}}(a)\operatorname N\_{{L/K}}(b)
이며, 만약 a\neq 0이라면

\operatorname N\_{{L/K}}(a^{{-1}})=\operatorname N\_{{L/K}}(a)^{{-1}}
이다. 또한, 만약 체의 확대 L/K 및 M/L이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

\operatorname {N}\_{{M/K}}=\operatorname {N}\_{{L/K}}\circ \operatorname {N}\_{{M/L}}
대수적 수체 K/{\mathbb Q}에서, 모든 대수적 정수 a\in\mathcal O\_K의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

\forall a\in\mathcal O\_K\colon \operatorname N\_{K/\mathbb Q}(a)\in\mathbb Z
또한, 다음이 성립한다.

\forall a\in\mathcal O\_K\colon|\operatorname N\_{K/\mathbb Q}(a)|=|\mathcal O\_K/(a)|
여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, {\mathcal {O}}\_{K}의 임의의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여

\operatorname N\_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O\_K/\mathfrak a|
로 정의한다.

분류
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체의 확대 L/K가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 S\subset L\setminus K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K(S)/K는 순수 초월 확대이며, L/K(S)는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 K의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 K(S)와 동형이며, 이는 S의 집합의 크기 |S|에 따라 완전히 분류된다.

체 K(S)의 대수적 확대의 분류는 K 위의 |S|차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K가 대수적으로 닫힌 체이며 |S|=1인 경우, 이는 K 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류
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위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

* 갈루아 확대
* 분해 가능 확대
* 정규 확대
* 아벨 확대
* 단순 확대

예
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### 대수적 폐포

임의의 체 K에 대하여, 대수적 폐포 {\bar {K}} 및 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep}}를 정의할 수 있으며, 또한 K의 표수에 따라서 K\_{0}를 다음과 같이 정의하자.

K\_{0}={\begin{cases}{\mathbb F}\_{p}&p=\operatorname {char}K>0\\{\mathbb Q}&\operatorname {char}K=0\end{cases}}
여기서 \mathbb {F} \_{p}는 크기 p의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K\_{0}\subseteq K\subseteq K^{{\operatorname {sep}}}\subseteq {\bar K}
{\bar K}/K는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

### 유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 K에 대하여, 유리 함수체 K(x)=\operatorname {Frac}K[x] 및 형식적 로랑 급수체 K((x))=\operatorname {Frac}K[[x]]를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[K(x):K]=\aleph \_{0}
\operatorname {trdeg}\_{K}K(x)=1
[K((x)):K]=2^{{\aleph \_{0}}}
### 유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 \mathbb {Q} , 실수체 \mathbb {R} , 복소수체 \mathbb {C} 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

{\mathbb Q}\subsetneq {\mathbb R}\subsetneq {\mathbb C}
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[{\mathbb R}:{\mathbb Q}]=2^{{\aleph \_{0}}}
\operatorname {trdeg}\_{{{\mathbb Q}}}{\mathbb R}=2^{{\aleph \_{0}}}
[{\mathbb C}:{\mathbb R}]=2
\operatorname {trdeg}\_{{{\mathbb R}}}{\mathbb C}=0
체의 확대 {\mathbb C}/{\mathbb R}에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname N\_{{{\mathbb C}/{\mathbb R}}}\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}
이다.

### 유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 **수체**라고 하며, \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q나 {\mathbb Q}({\sqrt {-1}})/{\mathbb Q} 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 \pi 및 자연 로그의 밑 e는 초월수이므로, {\mathbb Q}[\pi ]/{\mathbb Q}와 {\mathbb Q}(e)/{\mathbb Q}는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 \{\pi ,e\}가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, {\mathbb Q}(\pi ,e)/{\mathbb Q}는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

[{\mathbb Q}(\pi ):{\mathbb Q})]=[{\mathbb Q}(e):{\mathbb Q}]=[{\mathbb Q}(\pi ,e):{\mathbb Q}]=\aleph \_{0}
\operatorname {trdeg}\_{{{\mathbb Q}}}{\mathbb Q}(\pi )=\operatorname {trdeg}\_{{{\mathbb Q}}}{\mathbb Q}(e)=1
\operatorname {trdeg}\_{{{\mathbb Q}}}{\mathbb Q}(\pi ,e)\in \{1,2\}
이차 수체 {\mathbb Q}[{\sqrt n}]/{\mathbb Q}에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname N\_{\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q}\colon a+\sqrt nb\mapsto(a+\sqrt nb)(a-\sqrt nb)=a^2-nb^2
이다.

### *p*진수체

 이 부분의 본문은 p진수입니다.
소수 p가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 \mathbb Q\_p를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

{\mathbb Q}\subsetneq {\mathbb Q}\_{p}\subsetneq {\bar {{\mathbb Q}}}\_{p}\subsetneq {\mathbb C}\_{p}
여기서 \mathbb Q\_p는 p진수체이며, {\bar {{\mathbb Q}}}\_{p}는 그 대수적 폐포이며, {\mathbb C}\_{p}는 그 완비화이다. {\mathbb C}\_{p}는 복소수체 \mathbb {C} 와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

[{\mathbb Q}\_{p}:{\mathbb Q}]=2^{{\aleph \_{0}}}
### 유한체

 이 부분의 본문은 유한체입니다.
소수 p가 주어졌을 때, 표수 p의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

{\mathbb F}\_{p}\subsetneq {\mathbb F}\_{{p^{2}}}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathbb F}\_{{p^{n}}}\subsetneq \cdots {\bar {{\mathbb F}}}\_{p}=\varinjlim ^{{n\to \infty }}{\mathbb F}\_{{p^{n}}}
여기서 {\bar {{\mathbb F}}}\_{p}는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

[{\mathbb F}\_{{p^{{n+1}}}}:{\mathbb F}^{p}]=p
[{\bar {{\mathbb F}}}\_{p}:{\mathbb F}\_{{p^{n}}}]=\aleph \_{0}
### 대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X가 주어졌을 때, X 위의 유리 함수체

L=\Gamma (X,{\mathcal K}\_{X})
는 K의 확대이다. 이 경우, X의 쌍유리 동치류는 확대 L/K로부터 완전히 결정된다. 특히, X의 크룰 차원은 L/K의 초월 차수와 같다.

\dim X=\operatorname {trdeg}\_{K}L
이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

n차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K(x\_{1},\dots ,x\_{n})이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

y^{2}=p(x)
여기서 p(x)\in K[x]는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x 위의 올은 \pm {\sqrt {p(x)}}이다. 2\lceil (\deg p)/2\rceil 개의 분기점들은 p의 근 및 (만약 2\nmid \deg p인 경우) 무한대 \widehat \infty 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

K(x,{\sqrt {p(x)}})/K
로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

{\mathbb C}(\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g\_{2}\wp +g\_{3}}}\rho ')
이는 바이어슈트라스 타원 함수가 \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g\_{2}\wp +g\_{3}를 만족시키기 때문이다.

참고 문헌
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* Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **158** 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.
* Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **211** 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.