리 대수 이론에서, **보편 포락 대수**(普遍包絡代數, 영어: universal enveloping algebra)는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

정의
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보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

* 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

### 구체적 정의

가환환 K에 대한 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

{\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})=\bigoplus \_{n=0}^{\infty }{\mathfrak {g}}^{\otimes \_{K}n}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes \_{K}{\mathfrak {g}}\oplus \dotsb }
에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 {\mathfrak I}를 생각하자.

a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad \forall a,b\in {\mathfrak g}\subset T({\mathfrak g})
이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})={\frac {\operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}}
를 {\mathfrak {g}}의 **보편 포락 대수** {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}라고 한다. 이는 K-결합 대수를 이룬다.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}이므로, 자연스러운 K-선형 변환

{\mathfrak g}\to U({\mathfrak g})
이 존재한다.

보편 포락 대수 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}는 텐서 대수 T({\mathfrak g})로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 a,b\in\mathfrak g에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.

* 곱셈: ab
* 단위원: 1
* 쌍대곱: \Delta (a)=a\otimes 1+1\otimes a
* 쌍대단위원: \epsilon (a)=0
* 앤티포드: S(a)=-a

### 범주론적 정의

가환환 K가 주어졌을 때, K-리 대수의 범주 \operatorname {LieAlg} \_{K}와 K-결합 대수의 범주 \operatorname {Assoc}\_{K}를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Assoc} \_{K}\to \operatorname {LieAlg} \_{K}}
{\displaystyle (A,\cdot )\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)}
는 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle \operatorname {U} \dashv \operatorname {Forget} }
{\displaystyle \operatorname {U} \colon \operatorname {LieAlg} \_{K}\to \operatorname {Assoc} \_{K}}
를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 **보편 포락 대수**라고 한다.

### 보편 포락 대수의 쌍대 대수

보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. {\mathfrak {g}}가 체 K 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 K-벡터 공간의 짧은 완전열

{\displaystyle 0{\mathfrak {I}}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\to 0}
은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)

{\displaystyle 0\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{\*}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{\*}\to {\mathfrak {I}}^{\*}\to 0}
여기서

{\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{\*}=\operatorname {T} ({\mathfrak {g}}^{\*})}
이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소

{\displaystyle p=\sum \_{i=0}p\_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{\*}}
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 각 자연수 i\in \mathbb {N} 에 대하여, 선형 변환 {\displaystyle p\_{i}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes i}\to K}

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

{\displaystyle \sup\{i\in \mathbb {N} \colon p\_{i}\neq 0\}<\infty }
{\displaystyle p\_{2+m+n}(x\_{1},\dotsc ,x\_{m},y,z,w\_{1},\dotsc ,w\_{n})-p\_{2+m+n}(x\_{1},\dotsc ,x\_{m},z,y,w\_{1},\dotsc ,w\_{n})=p\_{1+m+n}(x\_{1},\dotsc ,x\_{m},[y,z],w\_{1},\dotsc ,w\_{n})\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\_{1},\dotsc ,x\_{m},y,z,w\_{1},\dotsc ,w\_{n}\in {\mathfrak {g}}}
예를 들어

{\displaystyle p\_{2}(x,y)-p\_{2}(y,x)=p\_{1}([x,y])}
{\displaystyle p\_{3}(x,y,z)-p\_{3}(x,z,y)=p\_{2}(x,[y,z])}
{\displaystyle p\_{3}(x,y,z)-p\_{3}(y,x,z)=p\_{2}([x,y],z)}
이다. ({\displaystyle p\_{0}\in K}는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.

{\displaystyle (pq)\_{0}()=p\_{0}()q\_{0}()}
{\displaystyle (pq)\_{1}(x)=p\_{0}()q\_{1}(x)+p\_{1}(x)q\_{0}()}
{\displaystyle (pq)\_{2}(x,y)=p\_{0}()q\_{2}(x,y)+p\_{1}(x)q\_{2}(y)+p\_{1}(y)q\_{1}(x)+p\_{2}(x,y)q\_{0}()}
{\displaystyle (pq)\_{3}(x,y,z)=p\_{0}()q\_{3}(x,y,z)+p\_{1}(x)q\_{2}(y,z)+p\_{1}(y)q\_{2}(x,z)+p\_{1}(z)q\_{2}(x,y)+p\_{2}(x,y)q\_{1}(z)+p\_{2}(x,z)q\_{2}(y)+p\_{2}(y,z)q\_{2}(x)+p\_{3}(x,y,z)q\_{0}()}
\vdots
일반적으로 {\displaystyle (pq)\_{i}}의 표현은 {\displaystyle 2^{i}}개의 항을 갖는다. 그 항등원은

{\displaystyle e\_{0}()=1}
{\displaystyle e\_{i}=0\qquad \forall i>0}
이다.

성질
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### 환론적 성질

임의의 가환환 K 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 체 K 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

### 연산과의 호환

체 K 위의 두 리 대수 {\mathfrak {g}}, {\mathfrak {h}}의 직합 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.:63, Corollary 1.2.4

{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}})=\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes \_{K}\operatorname {U} ({\mathfrak {h}})}
### 푸앵카레-버코프-비트 정리

**푸앵카레-버코프-비트 정리**(-定理, 영어: Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.

{\displaystyle \iota \_{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}
또한, U({\mathfrak g})는 항상 {\mathfrak {g}}로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환 K 위의 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하고, {\mathfrak {g}}가 K-자유 가군이라고 하자. {\mathfrak {g}}의 (하멜) 기저 {\displaystyle B\subseteq {\mathfrak {g}}}를 고르자. 또한, B 위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면, U({\mathfrak g}) 역시 K-자유 가군이며, 집합

{\displaystyle \left\{\iota \_{\mathfrak {g}}(b\_{1})\iota \_{\mathfrak {g}}(b\_{2})\dotsm \iota \_{\mathfrak {g}}(b\_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;b\_{1},b\_{2},\dotsc ,b\_{n}\in B\right\}}
은 U({\mathfrak g})의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc \}}은 자연수의 집합이며, 특히 n=0일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

### 하리시찬드라 동형 정리

복소수체 위의 가약 리 대수(영어: reductive Lie algebra) {\mathfrak {g}}의 보편 포락 대수 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}의 중심 {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))}을 생각하자. 이 경우, 바일 군 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)을 정의할 수 있다. 또한, {\mathfrak {g}}의 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}를 고른다면, \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)는 {\mathfrak {h}} 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 {\mathfrak {h}} 위의 다항식환 (대칭 대수) {\displaystyle \operatorname {Sym} {\mathfrak {h}}} 위에도 자연스럽게 작용한다.

**하리시찬드라 동형 정리**(हरीश चन्द्र同型定理, 영어: Harish-Chandra isomorphism theorem)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} {\mathfrak {g}}))=(\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}}
여기서 {\displaystyle (\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}}는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

### 카시미르 불변량

n차원 복소수 단순 리 대수 {\mathfrak {g}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식

{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{\*}}
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 B-정규 직교 기저

{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{X^{1},\dots ,X^{n}\}}
{\displaystyle B(X^{i},X^{j})=\delta ^{ij}}
가 주어졌을 때, {\mathfrak {g}}의 **카시미르 불변량**(Casimir不變量, 영어: Casimir invariant)은 다음과 같은 보편 포락 대수 {\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}의 원소이다.

{\displaystyle C=\sum \_{i=1}^{n}B(X^{i},X^{j})\in U({\mathfrak {g}})}
보다 일반적으로, 체 K 위의 유한 차원 리 대수 {\mathfrak {g}} 위의 대칭 쌍선형 형식

{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{\*}}
가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.

{\displaystyle B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}}
그렇다면, 마찬가지로 **카시미르 불변량** {\displaystyle C(B)\in U({\mathfrak {g}})}를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. K=\mathbb {R} 일 경우, 단일 연결 리 군 G의 리 대수 \operatorname {Lie} (G) 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 B는 G 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 G 위의 라플라스-벨트라미 연산자 {\displaystyle \Delta \_{B}}와 같다.

역사
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1880년대에 알프레도 카펠리(이탈리아어: Alfredo Capelli)가 리 대수 {\mathfrak {gl}}(n;K)에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다. 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프와 에른스트 비트가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 "버코프-비트 정리"로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 "푸앵카레-버코프-비트 정리"(프랑스어: théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt)로 일컫기 시작하였다.

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L.; Vinberg, E. B. (1993). 《Lie groups and Lie algebras Ⅰ. Foundations of Lie Theory. Lie transformation groups》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어) **20**. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57999-8.
2. ↑  Poincaré, Henri (1900). "Sur les groupes continus". 《Transactions of the Cambrdige Philosophical Society》 (프랑스어) **18**: 220–225.
3. ↑  Birkhoff, Garrett (1937년 4월). "Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices". 《Annals of Mathematics》 (영어) **38** (2): 526–532. doi:10.2307/1968569. JSTOR 1968569.
4. ↑  Witt, Ernst (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe". 《J. Reine Angew. Math.》 (독일어) **177**: 152–160.
5. ↑  Bourbaki, Nicolas (1960). 《Groupes et algèbres de Lie》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann.

* Dixmier, Jacques (1996). 《Enveloping algebras》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **11** 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0560-2. MR 1393197. Zbl 0867.17001.
* Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **131**. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-6867-5. Zbl 1255.17001.