축소하는 닫힌구간들의 열
수학에서 **축소구간열**(縮小區間列, sequence of nested intervals)은 각 구간이 바로 앞 구간의 부분 집합인 구간들의 열이다. **축소구간정리**(縮小區間定理, 영어: nested intervals theorem)에 따르면, 닫힌구간으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다.

정의
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### 축소구간열

**축소구간열**은 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle I\_{n}\supseteq I\_{n+1}}을 만족시키는 구간열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이다.

축소구간열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}의 각 항 I\_{n}의 양쪽 끝점을 {\displaystyle a\_{n},b\_{n}\in \mathbb {R} }이라고 하자. 그렇다면 자명하게, 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

* {\displaystyle |I\_{n}|\geq |I\_{n+1}|} (여기서 {\displaystyle |I\_{n}|=b\_{n}-a\_{n}}은 구간의 길이이다.)
* {\displaystyle a\_{n}\leq a\_{n+1}\leq b\_{n+1}\leq b\_{n}}
* {\displaystyle {\begin{cases}a\_{n}\notin I\_{n}\\a\_{n+1}\in I\_{n+1}\end{cases}}\implies a\_{n}<a\_{n+1}}
* {\displaystyle {\begin{cases}b\_{n}\notin I\_{n}\\b\_{n+1}\in I\_{n+1}\end{cases}}\implies b\_{n+1}<b\_{n}}

### 축소구간정리

 실수의 완비성 § 축소 구간 정리 문서를 참고하십시오.
구간열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

* 모두 닫힌구간이다. 즉, 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle I\_{n}=\operatorname {cl} I\_{n}}이다.
* 축소구간열이다. 즉, 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle I\_{n}\supseteq I\_{n+1}}이다.

**축소구간정리**에 따르면, 이 구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 즉,

{\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=[a,b]}
이게 되는 두 실수 a\le b가 존재한다.

특히, {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음과 같은 조건을 추가로 만족한다고 하자.

* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }|I\_{n}|=0} 즉, 구간의 길이가 0으로 수렴한다.

그렇다면, a=b이며, 교집합은 한원소 집합이다.

{\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=\{a=b\}}
축소구간정리는 코시 성질과 동치이다. 즉, 아르키메데스 성질을 덧붙이면 실수의 완비성을 나타내는 여러 공리들과 동치가 된다. 문헌에 따라서는 세 번째 조건이 빠진 서술을 뜻하기도 하는데, 이 또한 더 강한 조건의 축소구간정리와 동치이다.

예와 반례
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다음 구간열들은 축소구간정리의 전제 조건을 만족하며, 따라서 교집합이 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left[1-{\frac {1}{n}},2+{\frac {1}{n}}\right]=[1,2]}
* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left[1-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right]=\{1\}}

일반적인 축소구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간일 필요가 없다. 즉, 열린구간이나 공집합 등일 수 있다.

* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left(0,{\frac {1}{n}}\right]=\varnothing }
* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }(0,1)=(0,1)}

다른 전제 조건
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축소구간열의 "닫힌구간" 전제 조건은 다음과 같은 조건으로 바꿀 수 있다.

축소구간열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 만약 조건

* 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle a\_{n}<a\_{n+1}<b\_{n+1}<b\_{n}}이다.

를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 이는

{\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} I\_{n}}
이기 때문이다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {cl} I\_{n}}은 폐포이며, 이들은 닫힌구간으로 구성된 축소 구간열을 이룬다. 예를 들어, 다음과 같다.

* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left(-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]=\{0\}}
* {\displaystyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left[0,{\frac {1}{n}}\right)=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\{0\}} (이는 오른쪽 끝점에만 위 결론을 적용한 경우이다.)

비슷하게, 축소구간열 {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 만약 조건

* 임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle a\_{n}<\sup \_{n\in \mathbb {N} }a\_{n}\leq \sup \_{n\in \mathbb {N} }b\_{n}<b\_{n}}이다.

를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

일반화
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 이 부분의 본문은 칸토어의 교점 정리입니다.
### 거리 공간

축소구간정리는 유클리드 공간을 비롯한 거리 공간으로 일반화할 수 있다.

거리 공간 X의 부분 집합의 열 {\displaystyle (K\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여, K\_{n}은 공집합이 아닌 콤팩트 집합이다.
* 임의의 n\in \mathbb {N} 에 대하여, {\displaystyle K\_{n}\supseteq K\_{n+1}}이다.

그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\operatorname {diam} K\_{n}=0} 즉, 거리 공간의 지름이 0으로 수렴한다.

그렇다면, 그들의 교집합은 한원소 집합이다.

### 위상 공간

위상 공간 속, 공집합이 아닌 콤팩트 닫힌집합의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다.

응용
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이분법 (수학)