대수기하학에서 **기하 불변량 이론 몫**(幾何不變量理論몫, 영어: geometric invariant theory [GIT] quotient)은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다. 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

정의
--

### 아핀 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

* 체 k
* k 위의 아핀 스킴 {\displaystyle X/\operatorname {Spec} k=\operatorname {Spec} A}
* k 위의 대수군 {\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}
* 작용 {\displaystyle G\times \_{k}X\to X}

그렇다면, A 위에는 군의 작용

{\displaystyle G\times A\to A}
{\displaystyle (g.a)(x)=a(g^{-1}.x)}
이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수

{\displaystyle A^{G}=\{a\in A\colon \forall g\in G\colon g.a=a\}}
를 정의할 수 있다. 이 역시 k 위의 가환 결합 대수이다.

그렇다면, S의 **기하 불변량 이론 몫**은 다음과 같다.

{\displaystyle A/\!/G=\operatorname {Spec} (A^{G})}
만약 A가 k 위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, G가 가약군이라면, {\displaystyle A^{G}} 역시 k 위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (**나가타 정리** 영어: Nagata’s theorem).

### 일반 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

* 체 k
* k 위의 유한형 스킴 {\displaystyle X/\operatorname {Spec} k}
* 대수적 선다발 {\displaystyle L\twoheadrightarrow X}
* k 위의 대수군 {\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}
* 작용 {\displaystyle G\times \_{k}X\to X}

그렇다면, 이 데이터의 **선형화**는 L 위의 G의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.

* 임의의 l\in L에 대하여, {\displaystyle \pi (g.l)=g.\pi (y)}. 즉, 이는 각 올 {\displaystyle L\_{x}}에 대하여 사상 {\displaystyle L\_{x}\to L\_{x}}를 정의한다.
* 또한, 임의의 x\in X에 대하여, {\displaystyle G\times \_{k}L\_{x}\to L\_{x}}는 k-선형 변환이다.

이 경우, 대수적 선다발 L에 대하여 X의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)

{\displaystyle \operatorname {Spec} {\bar {K}}\to X}
에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, x를 **준안정점**이라고 한다.

* 어떤 양의 정수 n 및 G-불변 단면 {\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}에 대하여, {\displaystyle s(x)\neq 0}이며 {\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}}이 아핀 열린 부분 스킴이다.

만약 위 정의에 추가로 {\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}}에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 x를 **안정점**이라고 한다.

준안정점들은 열린 부분 스킴

{\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\subseteq X}
을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 N\in \mathbb {N}  및 G-불변 단면

{\displaystyle s\_{1},\dotsc ,s\_{n}\in \Gamma ({\mathcal {L}}^{\otimes N})}
에 대하여

{\displaystyle \{x\in X\colon s\_{i}(x)\neq 0\}\cong \operatorname {Spec} R\_{i}}
{\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{n}\operatorname {Spec} R\_{i}=X^{\operatorname {ss} }}
가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫

{\displaystyle V\_{i}=\operatorname {Spec} R\_{i}^{G}}
를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 k 위의 유한형 스킴

{\displaystyle X/\!/G}
를 정의할 수 있다. 이를 X의 **기하 불변량 이론 몫**이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

성질
--

체 k 위의 유한형 스킴 X 및 그 위에 작용하는 대수군 G 및 선다발 L 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }} 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 {\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}이 존재한다. 이 경우 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }}의 경우 몫공간인 스킴 {\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G}를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\hookrightarrow &X^{\operatorname {ss} }&\hookrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\hookrightarrow &X/\!/G\end{matrix}}}

예
-

### 오비폴드

아핀 스킴 {\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{2}=K[x,y]} 위의, 이산군 \operatorname {Cyc} (2)(2차 순환군)의 작용

{\displaystyle (x,y)\mapsto (-x,-y)}
을 생각하자. 또한, {\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}라고 하자. 그렇다면,

{\displaystyle {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\cong K[x,y]^{G}}
{\displaystyle (a,b,c)\mapsto (x^{2},xy,y^{2})}
가 된다. 따라서

{\displaystyle \mathbb {A} \_{K}^{2}/\!/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}
는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.

### 사영 공간

체 k가 주어졌다고 하자. 곱셈군 K^\times이 사영 공간 {\displaystyle X=\mathbb {P} \_{k}^{n}} 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

{\displaystyle \lambda .[x\_{0}:x\_{1}:\dotsb :x\_{n}]=[\lambda ^{-n}x\_{0}:\lambda x\_{1}:\dotsb :\lambda x\_{n}]}
그렇다면, 닫힌 점 {\displaystyle x=[x\_{0}:\dotsb :x\_{n}]}는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.

* 만약 {\displaystyle x\_{0}\neq 0}이며 {\displaystyle (x\_{1},\dotsc ,x\_{n})\neq (0,\dotsc ,0)}이라면, x는 안정점이다.
* 만약 {\displaystyle x=[1:0:\dotsb :0]}이라면, x는 안정점도, 준안정점도 아니다.
* 만약 {\displaystyle x\_{0}=0}이라면, x는 안정점도, 준안정점도 아니다.

(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은

{\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\cong \mathbb {A} \_{K}^{n}\setminus \{0\}}
이며, 그 위의 k^\times의 작용은

{\displaystyle \lambda .(x\_{1},\dotsc ,x\_{n})=(\lambda x\_{1},\dotsc ,\lambda x\_{n})}
이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은

{\displaystyle X/\!/k^{\times }=\mathbb {P} \_{k}^{n-1}}
이다.

참고 문헌
-----

1. ↑  Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970). "Invariant theory, old and new". 《Advances in Mathematics》 (영어) **4**: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. ISSN 0001-8708. MR 0255525.
2. ↑  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, Frances (1994). 《Geometric invariant theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) **34** 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57916-5. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.