이론물리학에서 **11차원 초중력**(十一次元超重力, 영어: eleven-dimensional supergravity)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.

정의
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11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 **11차원 초중력**이라고 한다.

성질
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### 대칭

이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 {\mathcal N}=1 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수

{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|32)}
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수

{\displaystyle {\mathfrak {o}}(32)}
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은

{\displaystyle \delta \_{\epsilon }\psi \_{M}=D\_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F\_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}\_{M}-8\delta \_{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon }
의 꼴이다.:411:(3.10) 여기서

{\displaystyle D\_{\mu }\epsilon =\partial \_{\mu }+\omega \_{\mu }}
는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

{\displaystyle \delta \_{\epsilon }=0}은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

### 장

11차원 초중력은 중력장 G\_{{MN}}과 마요라나 그래비티노 \psi \_{M}, 또 3차 미분형식 게이지장 C\_{{MNP}}를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

| 이름 | 기호 | 푸앵카레 대칭 표현 | 게이지 대칭 |
| --- | --- | --- | --- |
| 중력장 | G\_{{MN}} | 대칭 텐서 | 미분 동형 |
| 그래비티노 | \psi \_{M} | 벡터-마요라나 스피너 | 국소 초대칭 변환 |
| 게이지장 | C\_{{MNP}} | 3차 미분 형식 | {\displaystyle C\_{MNP}\mapsto C\_{MNP}+\mathrm {d} \_{[M}B\_{NP]}} |

### 작용

11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}\_{M}\Gamma ^{MNP}D\_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi \_{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF\_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}\_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi \_{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})\_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M\_{1}\dots M\_{11}}F\_{M\_{1}\dots M\_{4}}F\_{M\_{5}\dots M\_{8}}C\_{M\_{9}M\_{10}M\_{11}}\end{array}}}
여기서

* {\displaystyle M,N,\dotsc }는 11차원 굽은 공간 지표이다.
* {\displaystyle A,B,\dotsc }는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
* R는 리치 스칼라이다.
* {\displaystyle e\_{M}^{A}}은 필바인이며, {\displaystyle \eta \_{AB}e\_{M}^{A}e\_{N}^{B}=G\_{MN}}이 11차원 계량 텐서이다.
	+ {\displaystyle e=|\det(e\_{M}^{A})|={\sqrt {|\det g\_{MN}|}}}은 부피 형식이다.
	+ \omega 는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
* {\displaystyle F\_{MNPQ}=\partial \_{[M}C\_{NPQ]}}는 C의 4차 미분 형식 장세기이다.
* {\displaystyle \epsilon ^{M\_{1}\dotsc M\_{11}}}은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
* {\displaystyle \kappa =8\pi G}는 중력 상수의 8π배이다.

### L∞-대수를 통한 구성

다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2} 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.:(3.2)

| 이름 | 기호 | {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2} 등급 | 미분 |
| --- | --- | --- | --- |
| 필바인 | e^{a} | (1,+) | {\displaystyle \mathrm {d} e^{a}=\omega ^{a}{}\_{b}\wedge e^{b}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\bar {\psi }}\gamma ^{a}\psi } |
| 스핀 접속 | {\displaystyle \omega ^{ab}} | (1,+) | {\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{a}{}\_{c}=\omega ^{a}{}\_{b}\wedge \omega ^{b}{}\_{c}} |
| 그래비티노 | \psi  | (1,−) | {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\omega ^{a}{}\_{b}\gamma \_{a}{}^{b}\psi } |
| 3차 미분 형식 (전기) 게이지 장 | {\displaystyle C\_{3}} | (3,+) | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\gamma \_{ab}\wedge \psi \wedge e^{a}\wedge e^{b}} |
| 6차 미분 형식 (자기) 게이지 장 | C\_{6} | (6,+) | {\displaystyle \mathrm {d} C\_{6}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\wedge \gamma \_{a\_{1}\dotso a\_{5}}\wedge e^{a\_{1}}\wedge \dotsb \wedge e^{a\_{5}}-{\tfrac {13}{2}}{\bar {\psi }}\gamma \_{ab}\wedge e^{a}\wedge e^{b}\wedge C\_{3}} |

이 L∞-대수 {\displaystyle {\mathfrak {sugra}}}를 **초중력 L∞-대수**라고 한다. 이 가운데, \psi 와 {\displaystyle C\_{3}}, C\_{6}를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 {\displaystyle {\mathfrak {io}}(10,1)}을 얻는다.

이제, 그 베유 대수(영어: Weil algebra)

{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{\*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])}
를 정의할 수 있다. 이는 {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}-등급 미분 등급 대수이다.

시공간이 매끄러운 다양체 M이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)}
이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }e^{a}} (비틀림 텐서)
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }C\_{3}}
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }C\_{6}+15(\mathrm {d} \_{\mathrm {W} }C\_{3})\wedge C\_{3}}
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }\psi }
{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }\omega ^{ab}} (리치 곡률 텐서의 일반화)
11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은

1. 이 대상들이 e^{a}와 \psi 로 생성되는 아이디얼에 속하며,
2. \psi 를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 e만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.

즉, 예를 들어, {\displaystyle C\_{3}}의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 {\displaystyle G\_{4}\in \Omega ^{4}(M;\mathbb {R} )}이 존재하여야 한다.

{\displaystyle \mathrm {d} \_{\mathrm {W} }C\_{3}=(G\_{4})\_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}}
이러한 꼴의 조건을 **리오노미**(영어: rheonomy)라고 한다.

### 차원 축소

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

| 차원 | 이론 |
| --- | --- |
| 11 | 11차원 초중력 |
| 10 | ⅡA형 ({\mathcal N}=(1,1)) 초중력 |
| 9 | {\mathcal {N}}=2 초중력 |
| 8 | {\mathcal {N}}=2 초중력 |
| 7 | {\mathcal {N}}=2 초중력 |
| 6 | {\mathcal N}=(2,2) 초중력 |
| 5 | {\mathcal {N}}=4 초중력 |
| 4 | {\mathcal N}=8 초중력 |

### E₇과의 관계

11차원 초중력을

{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}}
{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 G와 게이지 장 C)은 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle G\_{MN}={\begin{pmatrix}G\_{\mu \nu }&G\_{m\mu }\\G\_{m\mu }&G\_{mn}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle A\_{MNP}=\left(A\_{mnp},A\_{\mu mn},A\_{\mu \nu m},A\_{\mu \nu \rho }\right)}
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

| (10,1)차원 | (3,1)+7차원 | (3,1)차원 (유사)스칼라장의 수 | (3,1)차원 벡터장의 수 | (3,1)차원 텐서장의 수 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| G\_{{MN}} | G\_{{\mu \nu }} | — | — | 1 |
| {\displaystyle G\_{\mu m}} | — | 7 | — |
| {\displaystyle G\_{mn}} | 28 | — | — |
| C\_{{MNP}} | {\displaystyle C\_{\mu \nu \rho }} | — | — | — |
| {\displaystyle C\_{m\mu \nu }} | 7 | — | — |
| {\displaystyle C\_{mn\mu }} | — | 21 | — |
| {\displaystyle C\_{mnp}} | 35 | — | — |
| 계 | 70 | 28 | 1 |

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 {\displaystyle (G\_{mn},C\_{mnp})} 및 

{\displaystyle \partial \_{\mu }\phi \_{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial \_{\nu }C\_{\rho \sigma m}}
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 {\displaystyle \phi \_{m}}을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

{\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}/\operatorname {SU} (8)}
의 좌표를 이룬다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

#### 스칼라장과 유사스칼라장

28개의 스칼라장 {\displaystyle (G\_{m,n})\_{1\leq m,n\leq 7}}과 {\displaystyle C\_{mn\mu }}를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 {\displaystyle \phi \_{m}}을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.:(4.4)

{\displaystyle S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}\_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}
{\displaystyle \Delta =|\det(g\_{mn})\_{1\leq m,n\leq 7}|}
이는 동차 공간 {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )}의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 {\displaystyle 63-28=35}차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환

{\displaystyle S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))}
을 겪는다. 게이지 변환 가운데 {\displaystyle \operatorname {SO} (7;\mathbb {R} )} 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 {\displaystyle C\_{mnp}}가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} \_{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}
{\displaystyle \operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)}
이에 따라, S에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}의 원소로 확장할 수 있다. 다만, {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.:(4.24)

#### 벡터장

이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8)} 대칭에 대하여, 이 보손들은 {\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )} 및 {\displaystyle \operatorname {SO} (8)}의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {28} \_{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} \_{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} \_{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} \_{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} \_{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} \_{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} \_{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {SU} (8)}의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.

#### 페르미온

11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.

{\displaystyle \mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)}
{\displaystyle 320=28\times 8+4\times 24}
28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다:170, §6 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.:170, §6

페르미온들은 대역적 대칭 {\displaystyle \operatorname {E} \_{7(7)}}에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}의 표현을 이루지만 {\displaystyle \operatorname {GL} (4)}의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

### E₆과의 관계

11차원 초중력을

{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}}
{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 G와 게이지 장 C)은 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle G\_{MN}={\begin{pmatrix}G\_{\mu \nu }&G\_{m\mu }\\G\_{m\mu }&G\_{mn}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle A\_{MNP}=\left(A\_{mnp},A\_{\mu mn},A\_{\mu \nu m},A\_{\mu \nu \rho }\right)}
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

| (10,1)차원 | (4,1)+6차원 | (4,1)차원 (유사)스칼라장의 수 | (4,1)차원 벡터장의 수 | (4,1)차원 대칭 텐서장의 수 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| G\_{{MN}} | G\_{{\mu \nu }} | — | — | 1 |
| {\displaystyle G\_{\mu m}} | — | 6 | — |
| {\displaystyle G\_{mn}} | {\displaystyle \textstyle {\binom {6+1}{2}}=21} | — | — |
| C\_{{MNP}} | {\displaystyle C\_{\mu \nu \rho }} | 1 | — | — |
| {\displaystyle C\_{m\mu \nu }} | — | 6 | — |
| {\displaystyle C\_{mn\mu }} | — | {\displaystyle \textstyle {\binom {6}{2}}=15} | — |
| {\displaystyle C\_{mnp}} | {\displaystyle \textstyle {\binom {6}{3}}=20} | — | — |
| 계 | 42 | 27 | 1 |

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 {\displaystyle (G\_{mn},C\_{mnp})} 및 

{\displaystyle \partial \_{\mu }\phi =\epsilon \_{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial \_{\nu }C\_{\rho \sigma \tau }}
에 의하여 정의되는 스칼라장 \phi 를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

{\displaystyle \operatorname {E} \_{6(6)}/\operatorname {USp} (8)}
의 좌표를 이룬다. 여기서 {\displaystyle \operatorname {E} \_{6(6)}}은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다.

응용
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끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.

역사
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11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(프랑스어: Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(프랑스어: Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Miemiec, André; Igor Schnakenburg (2006년 1월). "Basics of M-Theory". 《Fortschritte der Physik》 (영어) **54** (1): 5–72. arXiv:hep-th/0509137. Bibcode:2006ForPh..54....5M. doi:10.1002/prop.200510256.
2. 1 2  Cremmer, Eugène; Julia, Bernard; Scherk, Joel (1978년 6월 19일). "Supergravity in theory in 11 dimensions". 《Physics Letters B》 (영어) **76** (4): 409–412. Bibcode:1978PhLB...76..409C. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8.
3. ↑  Miemiec, André; Schnakenburg, Igor (2006). "Basics of M-theory". 《Fortschritte der Physik》 (영어) **54**: 5–72. doi:10.1002/prop.200510256.
4. ↑  Fré, Pietro; Grassi, Pietro Antonio (2008). "Free differential algebras, rheonomy and pure spinors" (영어). arXiv:0801.3076.
5. 1 2 3 4 5  Cremmer, Eugène; Julia, Bernard (1979년 11월 12일). "The SO(8) supergravity". 《Nuclear Physics B》 (영어) **159** (1–2): 141–212. doi:10.1016/0550-3213(79)90331-6.