**스토크스 변수**는 (가시광선 등을 포함한) 전자기파의 편광 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 1852년 조지 가브리엘 스토크스에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, *I*), 편광도(Degree of polarization, *p*), 그리고 편광 타원의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다.

포앵카레 구면포앵카레 구면
{\displaystyle {\begin{matrix}S\_{0}&=&I\\S\_{1}&=&Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S\_{2}&=&Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S\_{3}&=&Ip\sin 2\chi \end{matrix}}}
여기에서 {\displaystyle Ip}, {\displaystyle 2\psi }, {\displaystyle 2\chi }는 스토크스 변수 S\_{1}, S\_{2}, {\displaystyle S\_{3}}를 3차원 공간상에 표현했을 때 편광 상태의 구면 좌표계 성분들이다. 위 식에서 \psi  앞의 상수 2는 어떤 편광 타원이든 180°회전시 구분할 필요가 없음을 뜻하고, \chi 앞의 2는 타원의 반축 길이가 90°회전과 연계되어 바뀜을 가리킨다. 네 스토크스 변수들은 각각 *I*, *Q*, *U*, *V*로 쓰이기도 한다.

스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

편광 타원편광 타원
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&S\_{0}\\2\psi &=&\tan ^{-1}{\frac {S\_{2}}{S\_{1}}}\\2\chi &=&\tan ^{-1}{\frac {\cos 2\psi }{S\_{1}}}\\p&=&{\frac {s3}{I\sin 2\chi }}\\\end{matrix}}}

스토크스 벡터
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스토크스 변수들은 종종 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다.

{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S\_{0}\\S\_{1}\\S\_{2}\\S\_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}
스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분편광(partially polarized), 또는 완전편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 참고로, 존스 벡터는 완전편광된 빛의 공간만 생성할 뿐이지만 결맞은 빛의 문제를 해결하는 데에는 더 유용하기 때문에 널리 쓰인다. 사실 네 개의 스토크스 변수는 공간에서의 축요소(basis)로 쓸 수 있는 것도 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택한 것이다.

광학계의 편광 효율는 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.

### 예시

다음 예시는 일반적인 빛의 몇몇 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 편광형태 | 선형편광 (수평) | 선형편광 (수직) | 선형편광 (+45˚) | 선형편광 (-45˚) |
| 스토크스 벡터 | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}} |
| 편광형태 | 우원편광 | 좌원편광 | 무편광 |
| 스토크스 벡터 | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} |

다른 방식의 설명
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단색 평면파는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector) {\displaystyle {\vec {k}}}와 축요소가 {\displaystyle ({\hat {\epsilon }}\_{1},{\hat {\epsilon }}\_{2})}일 때 전기장의 복소수 진폭 {\displaystyle E\_{1}}, {\displaystyle E\_{2}}의 관계식으로 표현할 수 있다. 또한, 전파 벡터, 위상 \phi , (그리고 고정된 평면에서 전기장의 변화 곡선을 투영한) 편광 상태 \Psi 의 관계식으로 표현할 수도 있다. 널리 알려진 편광 상태인 직선편광과 원편광은 가장 일반적인 타원편광의 특수한 경우라 할 수 있다.

일반적인 타원편광은 편광 타원의 반장축(半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축(半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 *x* 축에서 \theta 만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 스토크스 변수 *I*, *Q*, *U*, *V*는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다.

### 정의

스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}I&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E\_{x}|^{2}+|E\_{y}|^{2},\\&=&|E\_{a}|^{2}+|E\_{b}|^{2},\\&=&|E\_{l}|^{2}+|E\_{r}|^{2},\\Q&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E\_{x}|^{2}-|E\_{y}|^{2},\\U&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E\_{a}|^{2}-|E\_{b}|^{2},\\V&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E\_{l}|^{2}-|E\_{r}|^{2},\end{matrix}}}
여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. 데카르트 좌표에서 ({\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}), **데카르드 좌표계**를 45°회전시킨 경우의 ({\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}), 원통 좌표계에서 ({\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}). 원통 좌표계에서 {\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}이다. 다음 그림은 스토크스 변수의 부호가 편광 타원의 반장축 방향과 회전방향에 따라 어떻게 바뀌는지 보여준다.

### 고정된 축에 대한 표현

고정된 ({\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}})에 대해, 스토크스 변수는 다음과 같다.

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{x}|^{2}+|E\_{y}|^{2},\\Q&=&|E\_{x}|^{2}-|E\_{y}|^{2},\\U&=&2{\mbox{Re}}(E\_{x}^{\*}E\_{y}),\\V&=&2{\mbox{Im}}(E\_{x}^{\*}E\_{y}),\\\end{matrix}}}
반면, {\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}에 대해선,

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{a}|^{2}+|E\_{b}|^{2},\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E\_{a}^{\*}E\_{b}),\\U&=&|E\_{a}|^{2}-|E\_{b}|^{2},\\V&=&2{\mbox{Im}}(E\_{a}^{\*}E\_{b}).\\\end{matrix}}}
이고, {\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}에 대해선

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{l}|^{2}+|E\_{r}|^{2},\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E\_{l}^{\*}E\_{r}),\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E\_{l}^{\*}E\_{r}),\\V&=&|E\_{l}|^{2}-|E\_{r}|^{2}.\\\end{matrix}}}
이 된다.

### 속성

순수한 단색의 결맞은 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔

{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},\end{matrix}}}
이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.\end{matrix}}}
그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity) {\displaystyle I\_{p}}를 정의해서

{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I\_{p}^{2},\end{matrix}}}
로 쓸 수 있고, {\displaystyle I\_{p}/I}는 전체 편광 비율이 된다.

선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자.

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|L|e^{i2\theta }\\&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &Q+iU.\\\end{matrix}}}
편광 타원에서 {\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}로 회전했을 때, *I* 와 *V*는 불변이지만,

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}}
이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}}
여기서 *I*는 전체 광량을 의미하고, {\displaystyle |V|}, {\displaystyle |L|}은 각각 원편광, 선형편광된 광량을 뜻한다. 이때 전체 편광된 광량 {\displaystyle I\_{p}={\sqrt {L^{2}+V^{2}}}}이고, 타원축의 방향과 회전은 다음과 같이 주어지게 된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
여기서 {\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}이고 {\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}이기 때문에,

{\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}}
이 된다.

### 편광 타원과의 관계

편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인

{\displaystyle {\begin{matrix}I\_{p}&=&A^{2}+B^{2},\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=&2ABh.\\\end{matrix}}}
를 가리키며, 위 식을 통해

{\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I\_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I\_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
임을 알 수 있다.