수학에서, **변형 함자**(變形函子, 영어: deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 **변형 이론**(變形理論, 영어: deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 F의, 어떤 아르틴 가환환 A에 대한 값 F(A)는 다루고자 하는 대상의, A 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

정의
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### 국소 아르틴 가환환의 범주

체 k 위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 {\mathfrak m}의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 A는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

{\displaystyle A=k[x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{m}]/(x\_{1}^{n\_{1}},x\_{2}^{n\_{2}},\dotsc ,x\_{m}^{n\_{m}},p\_{1},p\_{2},\dotsc ,p\_{r})}
{\displaystyle p\_{1},\dotsc ,p\_{r}\in k[x\_{1},\dotsc ,x\_{m}]}
{\displaystyle p\_{i}(0,0,\dotsc ,0)=0\in k\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,r\}}
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{m})\subsetneq A}
또한, A의 스펙트럼 \operatorname{Spec}A은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 k가 주어졌을 때 {\displaystyle k[x]/(x^{2})}는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x)}이다.

체 k에 대하여, 범주 {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)}를 다음과 같이 정의하자.

* {\displaystyle \operatorname {LocArt} \_{k}}의 대상 {\displaystyle i\colon k\to A}은 k를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, {\displaystyle k\to A\to A/{\mathfrak {m}}}가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
* {\displaystyle \operatorname {LocArt} \_{k}}의 사상 {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}\_{A},i\_{A})\to (B,{\mathfrak {m}}\_{B},i\_{B})}은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 {\displaystyle f\colon A\to B}이다. 즉, {\displaystyle f\circ i\_{A}=i\_{B}}이어야 한다.

이 범주에서, {\displaystyle (k,{\mathfrak {m}}\_{k}=(0),\operatorname {id} \_{k})}는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 A, B의 곱 {\displaystyle A\times \_{\operatorname {LocArt} (k)}B}는 곱집합과 다르며, 구체적으로

{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}\_{A},i\_{A})\times \_{\operatorname {LocArt} (k)}(B,{\mathfrak {m}}\_{B},i\_{B})=\{(a,b)\in A\times \_{\operatorname {Set} }B\colon i\_{A}^{-1}(a+{\mathfrak {m}}\_{A})=i\_{B}^{-1}(b+{\mathfrak {m}}\_{B})\}}
이다. (여기서 {\displaystyle \times \_{\operatorname {Set} }}은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 {\displaystyle A\times \_{\operatorname {CRing} }B}의 부분환으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상 A,B,C 및 사상 {\displaystyle A{\xrightarrow {f}}C{\xleftarrow {g}}B}이 주어졌을 때, 올곱

{\displaystyle A\times \_{C}B=\{(a,b)\in A\times \_{\operatorname {Set} }B\colon f(a)=g(b)\}}
이 존재한다.:209

이 범주에서, 대상 {\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}을 생각하자. 이 경우,

{\displaystyle A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}
이다. 표준적인 환 준동형

{\displaystyle A\times A\to A}
{\displaystyle (a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)}
을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

### 작은 농화

두 국소 아르틴 가환환

{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
{\displaystyle (A',{\mathfrak {m}}')}
사이의 환 준동형

f\colon A\to A'
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, **작은 농화**(-濃化, 영어: small thickening)라고 한다.

* 전사 함수이다.
* \ker f는 A'의 주 아이디얼이다.
* {\displaystyle (\ker f){\mathfrak {m}}'=0}이다.

이에 따라, \ker f는 1차원 {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}-벡터 공간이다. 예를 들어, 체 k 및 양의 정수 n에 대하여

{\displaystyle k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})}
은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

### 변형 함자

체 k가 주어졌을 때, {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)}에서 집합과 함수의 범주 \operatorname {Set} 로 가는 함자

{\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} }
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, {\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)} 속의 두 환 준동형 {\displaystyle B\to A\leftarrow C}에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수

{\displaystyle g\colon F(B\times \_{A}C)\to F(B)\times \_{F(A)}F(C)}
가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.

* (H0) 집합 {\displaystyle F(k)}는 한원소 집합이다.
	+ 여기서 {\displaystyle F(k)}의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
* (H1) 만약 {\displaystyle C\to A}가 작은 농화라면, g가 전사 함수이다.
* (H2) 만약 {\displaystyle A=k}이며, {\displaystyle C=k[x]/(x^{2})}라면, g가 전단사 함수이다.
* (H4) 만약 {\displaystyle C\to A}가 작은 농화이며 B\to A가 동형 사상이라면, g가 전단사 함수이다.

(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 F를 **변형 함자**라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 **준변형 함자** 영어: pre-deformation functor라고 한다.)

성질
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### 접공간

변형 함자 F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 {\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))}를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 k-벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \alpha v=F(\sigma \_{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))}
{\displaystyle v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)}
여기서

{\displaystyle \sigma \_{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}
{\displaystyle \sigma \_{\alpha }\colon x\mapsto \alpha x}
는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,

{\displaystyle g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))}
는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,

{\displaystyle \mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}
는 {\displaystyle k[x]/(x^{2})} 위의 군 대상 구조이다.

이 경우, 벡터 공간 {\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))}를 변형 함자 F의 **접공간**(接空間, 영어: tangent space)이라고 한다.

### 표현 가능성

변형 함자 {\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} }가 주어졌다고 하자. {\displaystyle \operatorname {ComplLocNoeth} (k)}가 k-대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 k-대수 {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

{\displaystyle {\hat {F}}(A)=\varprojlim \_{n\to \infty }F(A/{\mathfrak {m}}^{n})}
여기서 유한한 n\in \mathbb {N} 에 대하여 {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}^{n}}이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자

{\displaystyle {\hat {F}}\colon \operatorname {ComplLocNoeth} (k)\to \operatorname {Set} }
를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle {\hat {F}}}가 표현 가능 함자이다.
* (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 k-벡터 공간이다.

예
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대수적으로 닫힌 체 k 위의 매끄러운 대수다양체 X\_0가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

* 국소 아르틴 k-대수 A
* 스킴 {\displaystyle X\_{A}}
* 평탄 사상 {\displaystyle X\_{A}\to \operatorname {Spec} A}
* 스킴 사상 {\displaystyle X\_{0}\to X}

이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.

* 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.
{\displaystyle {\begin{matrix}X\_{0}&\to &X\_{A}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} k&\to &\operatorname {Spec} A\end{matrix}}}
* 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 {\displaystyle X\_{0}\to X\_{A}\times \_{\operatorname {Spec} A}\operatorname {Spec} k}는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 X\_0이다.)

그렇다면, F(A)가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, F는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은

{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X\_{0},\mathrm {T} X\_{0})}
이다.

역사
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변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어: John Michael Schlessinger)가 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Schlessinger, Michael (1968). "Functors of Artin rings". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **130**: 208–222. doi:10.1090/S0002-9947-1968-0217093-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 994967. MR 217093.