일반 상대성 이론과 미분기하학에서 **더시터르 공간**(de Sitter空間, 영어: de Sitter space)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식의 진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. *n*차원 더시터르 공간의 기호는 dS*n*.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 더시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사
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1917년에 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타 가 독자적으로 발견하였다.

정의
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*n*차원 **더시터르 공간**은 *n*+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. *n*+1차원 민코프스키 공간 {\mathbb R}^{{1,n}}의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

ds^{2}=-dx\_{0}^{2}+\sum \_{{i=1}}^{n}dx\_{i}^{2}.
더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

-x\_{0}^{2}+\sum \_{{i=1}}^{n}x\_{i}^{2}=\alpha ^{2}
여기서 \alpha 는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, **더시터르 반지름**(영어: de Sitter radius)이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(induced metric)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 \alpha ^{2} 을 -\alpha ^{2}으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 *n*차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질
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### 기하학적 성질

더시터르 공간은 동차공간

\operatorname {dS}\_{n}=O(1,n)/O(1,n-1)
으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(*p*,*q*)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,*n*) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 *n*(*n*+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(영어: maximally symmetric space)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

R\_{{\rho \sigma \mu \nu }}={1 \over \alpha ^{2}}(g\_{{\rho \mu }}g\_{{\sigma \nu }}-g\_{{\rho \nu }}g\_{{\sigma \mu }})
리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

R\_{{\mu \nu }}={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g\_{{\mu \nu }}
따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 \Lambda 를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.
더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .
4차원 더시터르 공간의 경우 \Lambda =3/\alpha ^{2}, R=4\Lambda =12/\alpha ^{2}이다.

### 위상수학적 성질

*n*차원 더시터르 공간은 S^{n-1}\times \mathbb {R} 과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 기본군 \mathbb {Z} 를 가진다.)

### 펜로즈 그림

더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.
더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 S^{n-1}\times \mathbb {R} 이므로, 정사각형 내부의 각 점은 S^{{n-2}}에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 S^{{n-1}}의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계
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더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

### 정적 좌표계

**정적 좌표계**(靜的座標系, 영어: static coordinate system)로서 (t,r,\ldots ) 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

x\_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )
x\_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )
x\_{i}=rz\_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.
여기서 z\_{i}은 **R***n*−1 안에서의 표준 매장으로서의 (*n*−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{{-1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega \_{{n-2}}^{2}.
여기서 r=\alpha 에 사건 지평선이 존재한다. 이를 **우주론적 지평선**(宇宙論的地平線, 영어: cosmological horizon)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(영어: observable universe)라고 한다.

### FLRW 좌표계

더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

*n*차원 FLRW 계량은

ds^{2}=-dt^{2}+a(t)^{2}d\Sigma ^{2}
이며, 여기서

d\Sigma ^{2}=d\Omega \_{{n-1}}^{2} (*n*−1차원 초구 계량, k=+1인 경우)
d\Sigma ^{2}=dr^{2}+r^{2}d\Omega \_{{n-2}}^{2} (*n*−1차원 유클리드 공간 계량, k=0인 경우)
d\Sigma ^{2}=dr^{2}+(\sinh ^{2}r)d\Omega \_{{n-2}}^{2} (*n*−1차원 쌍곡공간 계량, k=-1인 경우)
이다. 척도인자 a(t)는 다음과 같다.

a(t)=\alpha \cosh(t/\alpha ) (k=+1)
a(t)=\exp(t/\alpha ) (k=0)
a(t)=\alpha \sinh(t/\alpha ) (k=-1)

열역학
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더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 **번치-데이비스 진공**(영어: Bunch–Davies vacuum)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

T={\frac {\hbar }{k\_{B}2\pi \alpha }}
이다. 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이

A=\operatorname {vol}(S^{{n-2}})\alpha ^{{n-2}}
는 유한하다. (여기서 \operatorname {vol}(S^{{n-2}})는 반지름이 1인 n-2차원 초구의 넓이다.)
따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

S={\frac {k\_{B}c^{3}A}{4\hbar G}}={\frac {k\_{B}c^{3}\operatorname {vol}(S^{{n-2}})\alpha ^{{n-2}}}{4\hbar G}}
를 계산할 수 있다.

참고 문헌
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