실수 항등 함수의 그래프
수학에서 **항등 함수**(恒等函數, 영어: identity function) 또는 **항등 *사상은 개뿔 수학진짜 너무 재미없거든***

정의
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집합 {\displaystyle X}의 **항등 함수** {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}}는 다음과 같은 함수이다.

* {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}\colon X\to X}
* 임의의 {\displaystyle x\in X}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}(x)=x}

성질
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임의의 함수 {\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

{\displaystyle f\circ \operatorname {id} \_{X}=\operatorname {id} \_{Y}\circ f=f}
즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, {\displaystyle X}의 자기 함수의 집합 {\displaystyle \operatorname {End} (X)}는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

증명:

임의의 {\displaystyle x\in X}에 대하여,

{\displaystyle (f\circ \operatorname {id} \_{X})(x)=f(\operatorname {id} \_{X}(x))=f(x)}
이므로,

{\displaystyle f\circ \operatorname {id} \_{X}=f}
이다. 마찬가지로 임의의 {\displaystyle y\in Y}에 대하여,

{\displaystyle (\operatorname {id} \_{Y}\circ f)(y)=\operatorname {id} \_{Y}(f(y))=f(y)}
이므로,

{\displaystyle \operatorname {id} \_{Y}\circ f=f}
이다.

임의의 함수 {\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

* {\displaystyle f}는 전단사 함수이다.
* 다음을 만족시키는 함수 {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}가 존재한다. (이를 {\displaystyle f}의 역함수라고 한다.)
	+ {\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} \_{X}}
	+ {\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} \_{Y}}

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, {\displaystyle X}의 자기 전단사 함수의 집합 {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 {\displaystyle X}의 대칭군이라고 한다.

예
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양의 정수의 집합 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 {\displaystyle \mathbb {R} }의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념
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### (범주 속의) 항등 사상

범주의 각 대상의 **항등 사상**(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.

### 항등 함자

범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}}의 **항등 함자**(恒等函子, 영어: identity functor) {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}}는 다음과 같은 함자이다.

* {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
* 모든 대상 {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(X)=X}
* 모든 대상 {\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 {\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(f)=f}

만약 {\displaystyle {\mathcal {C}}}가 작은 범주일 경우, 항등 함자 {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}}는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ({\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}}는 함자):

모든 대상 {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}에 대하여

{\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(\operatorname {id} \_{X})=\operatorname {id} \_{X}=\operatorname {id} \_{\operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(X)}}
이며, 모든 대상 {\displaystyle X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 {\displaystyle g\colon Y\to Z}에 대하여

{\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(g)\circ \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}(f)}
이므로, {\displaystyle \operatorname {id} \_{\mathcal {C}}}는 (공변) 함자이다.

### 항등 자연 변환

함자 {\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}의 **항등 자연 변환**(恒等自然變換, 영어: natural transformation) {\displaystyle \operatorname {id} \_{F}}는 다음과 같은 자연 변환이다.

* {\displaystyle \operatorname {id} \_{F}\colon F\Rightarrow F}
* 모든 대상 {\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}에 대하여, {\displaystyle (\operatorname {id} \_{F})\_{X}=\operatorname {id} \_{F(X)}}

만약 {\displaystyle {\mathcal {C}}}와 {\displaystyle {\mathcal {D}}}가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 {\displaystyle \operatorname {id} \_{F}}는 {\displaystyle {\mathcal {C}}}와 {\displaystyle {\mathcal {D}}} 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 ({\displaystyle \operatorname {id} \_{F}}는 자연 변환):

모든 대상 {\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})} 및 사상 {\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여,

{\displaystyle (\operatorname {id} \_{F})\_{Y}\circ F(f)=\operatorname {id} \_{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ \operatorname {id} \_{F(X)}=F(f)\circ (\operatorname {id} \_{F})\_{X}}
이므로, {\displaystyle \operatorname {id} \_{F}}는 자연 변환이다.