선형대수학에서 **아다마르 행렬**(또는 하다마드 행렬, Hadamard行列, 영어: Hadamard matrix)은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다.

정의
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실수 성분 n\times n 정사각 행렬 {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )}에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 M을 **아다마르 행렬**이라고 한다.

* 모든 성분이 \pm 1이며, {\displaystyle M/{\sqrt {n}}}은 직교 행렬이다.
* 모든 성분이 \pm 1이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 {\displaystyle i,i'\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여 {\displaystyle \textstyle \sum \_{j=1}^{n}M\_{ij}M\_{i'j}=n\delta \_{ij}}이다. 즉, {\displaystyle MM^{\top }=n1\_{n\times n}}이다.
* 모든 성분이 \pm 1이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 {\displaystyle j,j'\in \{1,\dotsc ,n\}}에 대하여 {\displaystyle \textstyle \sum \_{i=1}^{n}M\_{ij}M\_{ij'}=n\delta \_{jj'}}이다. 즉, {\displaystyle M^{\top }M=n1\_{n\times n}}이다.
* 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, {\displaystyle \det M=\pm n^{n/2}}이다.

여기서 \delta 는 크로네커 델타이다.

### 아다마르 설계

첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 **표준형 아다마르 행렬**(標準型Hadamard行列, 영어: standard Hadamard matrix)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.

n\times n 표준형 아다마르 행렬 {\displaystyle M\_{n\times n}}이 주어졌을 때,

1. 첫째 행과 첫째 열을 제거하고,
2. 성분을 {\displaystyle (+1,-1)\mapsto (+1,0)}으로 치환하자.

그렇다면, 성분이 0 또는 1인 {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 정사각 행렬을 얻는다.

만약 n이 4의 배수일 경우, 이 {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 행렬은 {\displaystyle (t=2,n/2-1,n-1)}-블록 설계의 결합 행렬을 이루며,

{\displaystyle \lambda \_{0}=n-1}
{\displaystyle \lambda \_{1}=n/2-1}
{\displaystyle \lambda \_{2}=n/4-1}
이다. 즉,

* n-1개의 블록이 있으며,
* 모든 점은 {\displaystyle n/2-1}개의 블록에 속하며,
* 서로 다른 임의의 두 점은 {\displaystyle n/4-1}개의 블록에 공통적으로 속한다.

이를 **아다마르 설계**(Hadamard設計, 영어: Hadamard design)라고 한다.

반대로, {\displaystyle \lambda \_{0}=n-1}인 {\displaystyle (2,n/2,n-1)}-블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

성질
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### 존재

임의의 자연수 n\in \mathbb {N} 에 대하여, n\times n 아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

{\displaystyle n\in \{1,2\}}이거나, 또는 n은 4의 배수이다.
이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 **아다마르 추측**(Hadamard推測, 영어: Hadamard conjecture)이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 {\displaystyle n<668}에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다.

n\times n 아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다.

* n은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다.
	+ 2
	+ {\displaystyle q+1}, {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}, q는 소수의 거듭제곱
	+ {\displaystyle 2(q+1)}, {\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}, q는 소수의 거듭제곱

### 행렬식

행렬 공간 {\displaystyle {\mathcal {X}}\_{n}=\{M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )\colon |M\_{ij}|\leq 1\;\forall i,j\}}을 정의하자. 그렇다면, **아다마르 부등식**(영어: Hadamard inequality)에 따르면,

{\displaystyle \forall M\in {\mathcal {X}}\_{n}\colon |\det M|\leq n^{n/2}}
이다.

n\times n 아다마르 행렬의 행렬식은 {\displaystyle \pm n^{n/2}}이다. 즉, 만약 n\times n 아다마르 행렬이 존재한다면, 이는 {\displaystyle {\mathcal {X}}\_{n}} 위에서 행렬식 절댓값 함수 {\displaystyle M\mapsto |\det M|}를 최대화한다.

### 정칙 아다마르 행렬

n\times n 아다마르 행렬 H의 **초과량**(超過量, 영어: excess)은 그 모든 성분들의 합이다.

{\displaystyle \operatorname {E} (H)=\sum \_{i,j}H\_{i,j}\in \mathbb {Z} }
이는 다음과 같은 상계를 갖는다.

{\displaystyle |\operatorname {E} (H)|\leq n^{3/2}}
n\times n 아다마르 행렬 H에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 **정칙 아다마르 행렬**(영어: regular Hadamard matrix)이라고 한다.

* {\displaystyle \operatorname {E} (H)=n^{3/2}}
* 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 {\displaystyle i,i'\in \{1,2,\dotsc ,n\}}에 대하여, {\displaystyle \textstyle \sum \_{j=1}^{n}(M\_{i,j}-M\_{i',j})=\sum \_{j=1}^{n}(M\_{j,i}-M\_{j,i'})=0}이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉, {\displaystyle 1\times 1} 또는 {\displaystyle 4m^{2}\times 4m^{2}}의 꼴이다.

연산
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만약 H가 아다마르 행렬이라면, {\displaystyle -H} 역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다.

* 임의의 한 열에 −1을 곱하기
* 임의의 한 행에 −1을 곱하기
* 열의 순서를 뒤바꾸기
* 행의 순서를 뒤바꾸기

### 실베스터 구성

임의의 두 아다마르 행렬

{\displaystyle H\_{m\times m}\in \operatorname {Mat} (m,m;\mathbb {R} )}
{\displaystyle H\_{n\times n}\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )}
이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱

{\displaystyle H\_{m\times m}\otimes H\_{n\times n}=H\_{mn\times mn}}
은 역시 아다마르 행렬이다. 특히,

{\displaystyle H\_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
를 사용하여, 크기 2^{k}의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 **실베스터 구성**(영어: Sylvester’s construction)이라고 한다.

이에 따라,

{\displaystyle H\_{1\times 1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}
로부터 시작하여 {\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}} 크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.

### 페일리 구성

**페일리 구성**(영어: Paley construction)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.

q가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수

{\displaystyle \chi \colon \mathbb {F} \_{q}\to \{-1,0,1\}}
{\displaystyle \chi \colon a\mapsto {\begin{cases}0&a=0\\1&a\in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} \_{q}^{\times }\}\\-1&a\not \in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} \_{q}\}\end{cases}}}
를 정의하자. (여기서 \mathbb {F} \_{q}는 유한체이다.)

이제, 임의의 전단사 함수

{\displaystyle \{1,2,\dotsc ,q\}\to \mathbb {F} \_{q}}
{\displaystyle i\mapsto a\_{i}}
를 고르자. 그렇다면, {\displaystyle q\times q} 행렬

{\displaystyle Q\_{ij}=\chi (a\_{i}-a\_{j})}
를 정의할 수 있다. 이를 **야콥스탈 행렬**(영어: Jacobsthal matrix)이라고 한다. 만약 q\equiv 1{\pmod 4}일 경우 {\displaystyle -1\in \mathbb {F} \_{q}}은 제곱수이며, Q는 대칭 행렬이다 ({\displaystyle Q\_{ij}=Q\_{ji}}). 반면, 만약 {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}일 경우 -1은 제곱수가 아니며, Q는 반대칭 행렬이다 ({\displaystyle Q\_{ij}=-Q\_{ji}}).

이제, {\displaystyle (q+1)\times (q+1)} 행렬

{\displaystyle M\_{(q+1)\times (q+1)}={\begin{pmatrix}0&j\_{1\times q}\\-j\_{q\times 1}&Q\_{q\times q}\end{pmatrix}}}
을 정의할 수 있다. 여기서

{\displaystyle j\_{1\times q}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}}
{\displaystyle j\_{q\times 1}={\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}
이다.

만약 {\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}일 경우,
{\displaystyle H\_{(q+1)\times (q+1)}=1\_{(q+1)\times (q+1)}+M\_{(q+1)\times (q+1)}}
는 {\displaystyle (q+1)\times (q+1)} 아다마르 행렬이다.

만약 q\equiv 1{\pmod 4}일 경우, M의 각 성분을

{\displaystyle 0\mapsto {\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \pm 1\mapsto \pm {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
로 치환하면, {\displaystyle 2(q+1)\times 2(q+1)} 아다마르 행렬을 얻는다.

예
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1×1 행렬

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}
및

{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}}
은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다.

2×2 행렬

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.

역사
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1867년에 제임스 조지프 실베스터가 {\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}} 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다. 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식의 절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며, 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 "아다마르 행렬"이라고 불리게 되었다.

1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Hedayat, A.; Wallis, W. D. (1978년 11월). "Hadamard matrices and their applications". 《The Annals of Statistics》 (영어) **6** (6): 1184–1238. ISSN 0090-5364. JSTOR 2958712.
2. ↑  Agaian, S. S. (1985). 《Hadamard matrices and their applications》. Lecture Notes in Mathematics (영어) **1168**. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0101073. ISBN 978-3-540-16056-4. ISSN 0075-8434.
3. ↑  Seberry, Jennifer; Yamada, Mieko (1992년 6월). 〈Hadamard matrices, sequences, and block designs〉 (PDF). Dinitz, Jeffrey H.; Stinson, Douglas R. 《Contemporary design theory: a collection of surveys》. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization (영어). Wiley. 431–560쪽. ISBN 978-0-471-53141-8.
4. ↑  Sylvester, James Joseph (1867). "Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers". 《Philosophical Magazine》 (영어) **34**: 461–475.
5. ↑  Hadamard, Jacques (1893). "Résolution d’une question relative aux déterminants". 《Bulletin des Sciences Mathématiques》 (프랑스어) **17**: 240–246. JFM 25.0221.02.
6. ↑  Paley, Raymond Edward Alan Christopher (1933년 4월). "On orthogonal matrices". 《Journal of Mathematics and Physics》 (영어) **12** (1–4): 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311. JFM 59.0114.04. Zbl 0007.10004.