미분기하학과 이론물리학에서 **디랙 연산자**(Dirac演算子, 영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.:Chapter 3

정의
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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
* E 위의 코쥘 접속 {\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{\*}M)}
* {\displaystyle E\otimes E^{\*}}의 매끄러운 단면 {\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{\*})}. (흔히 T=0으로 잡는다.)

그렇다면, 라플라스 연산자

{\displaystyle \Delta =g^{\mu \nu }\nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
및 일반화 라플라스 연산자

{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
를 정의할 수 있다.

이 경우, **디랙 연산자**

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
는

D^{2}=\Delta 
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, **디랙형 연산자**(Dirac形演算子, 영어: Dirac-type operator) 또는 **일반화 디랙 연산자**(영어: generalized Dirac operator)

{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

{\displaystyle D^{2}=\Delta +T}
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

### 등급 디랙 연산자

클리퍼드 대수는 자연스럽게 \mathbb {Z} /2-등급 대수를 이룬다.

{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\oplus \operatorname {Cliff} ^{-}(V,Q;K)}
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.:116, Definition 3.36

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 다양체 (M,g)
* 두 매끄러운 벡터 다발 {\displaystyle E^{\pm }\twoheadrightarrow M}. 편의상 {\displaystyle E=E^{+}\oplus E^{-}}로 표기하자.
* E 위의 초접속 {\displaystyle \nabla \colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)}
* {\displaystyle E^{\pm }\otimes (E^{\mp })^{\*}}의 매끄러운 단면 {\displaystyle T^{\pm }\in \Gamma ^{\infty }(E^{\pm }\otimes {E^{\mp }}^{\*})} (복부호 동순)

그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
를 정의할 수 있다.

그렇다면, **등급 디랙 연산자**(영어: graded Dirac operator)

{\displaystyle D^{\pm }\colon \Gamma ^{\infty }(E^{\pm })\to \Gamma ^{\infty }(E^{\mp })} (복부호 동순)
는

{\displaystyle D^{-}D^{+}=\Delta +T}
{\displaystyle D^{+}D^{-}=\Delta +T}
를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류
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### 클리퍼드 가군 다발 접속

리만 다양체 (M,g) 위의 클리퍼드 가군 다발 E 위의 코쥘 접속 \nabla 가 다음 조건을 만족시킨다면, **클리퍼드 가군 다발 접속**이라고 하자.

{\displaystyle \nabla \_{X}(a\cdot s)=a\cdot \nabla \_{X}s+(\nabla \_{X}a)\cdot s\qquad \forall a\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)),\;s\in \Gamma ^{\infty }(E),\;X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}
여기서 {\displaystyle \nabla \_{X}a}는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, **클리퍼드 가군 다발 초접속**을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, \mathbb {Z} /2-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

### 디랙 연산자의 분류

리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위에 디랙 연산자 D가 주어졌을 때, E 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 E\_x이 클리퍼드 대수 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} \_{x}M,g\_{x})}의 왼쪽 가군을 이룬다.:116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다.

{\displaystyle D(fs)-f(Ds)=(\mathrm {d} f)\cdot s}
여기서

* f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)는 M 위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
* {\displaystyle \mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(M)=\Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{\*}\!M)}은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 {\displaystyle \Omega ^{1}(M)\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} ^{\*}\!M,g^{-1})\cong \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}이 존재한다.
* \cdot 은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.

클리퍼드 다발 {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}의 매끄러운 단면은 벡터장 {\displaystyle X=(\mathrm {d} f)^{\sharp }}으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, E는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,

* 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 E + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 \operatorname {End}(E) 꼴의 아핀 공간이다.
* 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 \mathbb {Z} /2-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 \mathbb {Z} /2-등급 다발 {\displaystyle E^{\pm }} + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 {\displaystyle \operatorname {End} ^{+}(E)} 꼴의 아핀 공간이다.

예
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### 곡선 위의 벡터다발

계량이 주어진 곡선 \gamma  위의 다발 E\twoheadrightarrow \gamma 의 경우, 디랙 연산자는 단순히

D=\nabla 
이다.

### 접다발

리만 다양체 (M,g) 위의 접다발 {\displaystyle \mathrm {T} M}에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 M이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

{\displaystyle \mathrm {T} M\hookrightarrow \mathrm {S} M}
으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. {\displaystyle \mathrm {S} M}은 2^{{\lfloor \dim M/2\rfloor }}차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 {\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)} 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

{\displaystyle \gamma \colon \mathrm {T} M\hookrightarrow \operatorname {Cl} (M,g)}
{\displaystyle \gamma \colon v^{i}\mapsto v^{i}\gamma \_{i}}
이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

D=g^{{ij}}\gamma \_{i}\nabla \_{j}
이다. 즉,

D^{2}=\{D,D\}/2={\frac 12}\{\gamma ^{i}\gamma ^{j}\}\nabla \_{i}\nabla \_{j}=g^{{ij}}\nabla \_{i}\nabla \_{j}=\Delta 
이다.

만약 M이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.

{\displaystyle D^{\pm }=(D\upharpoonright \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M))\colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\mp }M))} (복부호 동순)
따라서, 이는 {\displaystyle \mathrm {S} ^{\pm }M} 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

### 호지-드람 연산자

매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식의 다발

{\displaystyle E=\bigwedge ^{\bullet }\mathrm {T} ^{\*}M}
을 생각하자. 즉,

{\displaystyle \Gamma (E)=\Omega (M)}
이다. 만약 M이 콤팩트 다양체라면, 외미분

{\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}
의 에르미트 수반

{\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}
을 정의할 수 있다. 그렇다면,

{\displaystyle (\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=\{\mathrm {d} ,\mathrm {d} ^{\dagger }\}=\Delta }
이 된다. 여기서 \Delta 는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

{\displaystyle D=\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger }}
를 정의하면, D는 E 위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사
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최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4  Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) **298**. Springer-Verlag.
2. ↑  Friedrich, Thomas (1997Mathematics). 《Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie》. Advanced Lectures in Mathematics (독일어) **25**. Vieweg-Verlag. ISBN 978-3-528-06926-1. ISSN 0932-7134.  다음 날짜 값 확인 필요: `|date=` (도움말)
3. ↑  Esposito, Giampiero (1995). "Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry" (영어). arXiv:gr-qc/9507046. Bibcode:1995gr.qc.....7046E.