범주론에서 **칸 확대**(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.

정의
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### 대역적 칸 확대

범주 {\mathcal {C}}, {\mathcal C}' 및 함자

{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F와의 합성은 임의의 범주 {\mathcal D}에 대하여, 두 함자 범주 사이의 함자

{\displaystyle F^{\*}\colon [{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]\to [{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}
{\displaystyle F^{\*}\colon X\mapsto X\circ F}
를 정의한다. 만약 {\displaystyle F^{\*}}가 왼쪽 수반 함자

{\displaystyle F\_{!}\dashv F^{\*}}
를 갖는다면, 임의의 함자 X\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}에 대하여 함자 F\_{!}(X)\colon {\mathcal C}'\to {\mathcal D}를 X의 F에 대한 **왼쪽 칸 확대**(영어: left Kan extension)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 {\displaystyle \operatorname {Lan} \_{F}X}로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 {\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}에 대하여 자연 동형

{\displaystyle \hom \_{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{\*}Y)\cong \hom \_{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} \_{F}X,Y)}
이 존재한다.

마찬가지로, 만약 {\displaystyle F^{\*}}가 오른쪽 수반 함자

{\displaystyle F^{\*}\dashv F\_{\*}}
를 갖는다면, 임의의 함자 X\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}에 대하여 함자 F\_{\*}(X)\colon {\mathcal C}'\to {\mathcal D}를 X의 F에 대한 **오른쪽 칸 확대**(영어: right Kan extension)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 {\displaystyle \operatorname {Ran} \_{F}X}로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 {\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}에 대하여 자연 동형

{\displaystyle \hom \_{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{\*}Y,X)\cong \hom \_{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} \_{F}X)}
이 존재한다.

### 국소 칸 확대

위에서 정의된 함자 {\displaystyle \operatorname {Lan} \_{F}} 및 {\displaystyle \operatorname {Ran} \_{F}}가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 X에 대하여 {\displaystyle \operatorname {Lan} \_{F}X} 또는 {\displaystyle \operatorname {Ran} \_{F}X}가 존재할 수 있다.

이러한 **국소 칸 확대**(영어: local Kan extension)의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, X의 F에 대한 (국소) **왼쪽 칸 확대**는 함자

{\displaystyle \operatorname {Lan} \_{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}
및 자연 동형

{\displaystyle \hom \_{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{\*}(-))\cong \hom \_{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} \_{F}X,-)}
으로 구성된다. 마찬가지로, X의 F에 대한 (국소) **오른쪽 칸 확대**는 함자

{\displaystyle \operatorname {Ran} \_{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}
및 자연 동형

{\displaystyle \hom \_{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{\*}Y,X)\cong \hom \_{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} \_{F}X)}
으로 구성된다.

예
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### 극한

1이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 X\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}에 대하여, X의 {\mathcal C}\to 1에 대한 오른쪽 칸 확대는 X의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 X의 쌍대극한이다.

### 수반 함자

함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}의 왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 {\displaystyle \operatorname {Id} \_{\mathcal {C}}}의 F에 대한 오른쪽 칸 확대 {\displaystyle F\_{\*}\operatorname {Id} \_{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}와 같다.

{\displaystyle F\_{\*}\operatorname {Id} \_{\mathcal {C}}\dashv F}
함자 F\colon {\mathcal C}\to {\mathcal D}의 오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 {\displaystyle \operatorname {Id} \_{\mathcal {D}}}의 F에 대한 왼쪽 칸 확대 {\displaystyle F\_{!}\operatorname {Id} \_{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}와 같다.

{\displaystyle F\dashv F\_{!}\operatorname {Id} \_{\mathcal {D}}}

역사
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다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

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| "| 모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다.All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory. | "|
|   | — 손더스 매클레인 |

참고 문헌
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1. ↑  Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **5** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.