5개의 원소의 집합의 분할. 총 52가지가 있으며, 따라서 B\_{5}=52이다.
4개의 원소의 집합의 분할. 총 15가지가 있으며, 따라서 B\_{4}=15이다.
조합론에서 **벨 수**(Bell數, 영어: Bell number)는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다.

정의
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*n*번째 **벨 수**(영어: Bell number) *B**n*은 n개의 원소들로 구성된 집합을 분할하는 방법의 가지수이다. 이는 *n*개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또 n행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다.

제2종 스털링 수 {\displaystyle \textstyle \{{n \atop k}\}}는 n개의 원소들로 구성된 집합을 k개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다.

{\displaystyle B\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}
### 투샤르 다항식

**투샤르 다항식**(영어: Touchard polynomial) 또는 벨 다항식(영어: Bell polynomial)은 다음과 같은 다항식열이다.

{\displaystyle T\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}}
이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다.:186–187 하강 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

{\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle L\colon x^{n}\mapsto x^{\underline {n}}}
여기서 x^{\underline n}은 하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수

{\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} [x]}
{\displaystyle L\colon x^{\underline {n}}\mapsto x^{n}}
를 생각하면,

{\displaystyle L(x^{n})=T\_{n}(x)}
가 된다.

벨 수는 투샤르 다항식의 x=1인 값이다.

{\displaystyle B\_{n}=T\_{n}(1)=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}
투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는 {\displaystyle D\mapsto \exp D-1}의 역함수인

{\displaystyle \log \left(1+{\frac {d}{dx}}\right)}
이다.

표
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벨 수열의 값은 다음과 같다. (*B*0 = *B*1 = 1부터 시작한다.) (OEIS의 수열 A000110)

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …
투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다.

{\displaystyle T\_{0}(x)=1}
{\displaystyle T\_{1}(x)=x}
{\displaystyle T\_{2}(x)=x^{2}+x}
{\displaystyle T\_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x}
{\displaystyle T\_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x}
{\displaystyle T\_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x}
{\displaystyle T\_{6}(x)=x^{6}+15x^{5}+65x^{4}+90x^{3}+31x^{2}+x}

성질
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### 점화식

투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

{\displaystyle T\_{n+1}(x)=x\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}T\_{n}(x)}
{\displaystyle B\_{n+1}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B\_{k}}
이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.:187, Lemma 4.2.3

{\displaystyle L^{-1}(x^{n+1})=xL^{-1}\left((x+1)^{n}\right)}
### 도빈스키 공식

다음 공식은 **도빈스키 공식**(영어: Dobiński’s formula)라고 불린다.

{\displaystyle B\_{n}={\frac {1}{e}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}
이에 따라, n번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포

{\displaystyle \Pr(x=k)={\frac {1}{e}}{\frac {1}{k!}}}
의 n번째 모멘트이다.

이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다.:188, 4.2.4 우선

{\displaystyle \forall n\colon \exp x=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{\underline {n}}}{k!}}}
이다. 따라서,

{\displaystyle \operatorname {eval} \_{x\mapsto 1}\circ L^{-1}\colon x^{\underline {n}}\mapsto 1={\frac {1}{e}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} \_{x\mapsto k}x^{\underline {n}}}
이므로,

{\displaystyle \operatorname {eval} \_{x\mapsto 1}\circ L^{-1}={\frac {1}{e}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} \_{x\mapsto k}}
이다. 즉,

{\displaystyle B\_{n}=\operatorname {eval} \_{x\mapsto 1}L^{-1}(x^{n})={\frac {1}{e}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}k^{n}}
가 된다.

### 생성 함수

투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }T\_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=L^{-1}\exp(xt)=\exp(x(\exp(t)-1))}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\operatorname {eval} \_{x\mapsto 1}L^{-1}\exp(xt)=\exp(\exp(t)-1)}
이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.:186, Theorem 4.2.2 하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분

{\displaystyle \Delta f=f(x+1)-f(x)}
이며, 따라서

{\displaystyle L{\frac {d}{dx}}=\Delta L}
이다. 즉,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L^{-1}=L^{-1}\Delta }
이다. 그런데

{\displaystyle \Delta \exp(xt)=\left(\exp(t)-1\right)\exp(xt)}
이므로

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L^{-1}\exp(xt)=\left(\exp(t)-1\right)L^{-1}\exp(xt)}
이다. 따라서

{\displaystyle L^{-1}\exp(xt)=\exp \left(x\left(\exp(t)-1\right)\right)}
이다.

### 적분 표현

지수 생성 함수에 코시 적분 정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다.

{\displaystyle T\_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {\exp(x(\exp(z)-1))}{z^{n+1}}}\,dz}
{\displaystyle B\_{n}=T\_{n}(1)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint \_{\gamma }{\frac {\exp(\exp(z)-1)}{z^{n+1}}}\,dz}
여기서 \gamma 는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다.

역사
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52개의 겐지몬. 원래 겐지몬은 채색되어 있지 않으며, 색깔은 대응하는 집합의 분할을 구체적으로 보이기 위해 첨가하였다.
19세기 《겐지모노가타리》 삽화. 왼쪽 상단에 6장 〈스에쓰무하나〉(일본어: 末摘花)에 대응하는 겐지몬이 표시돼 있다.
벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지모노가타리》에서의 한 일화로부터 겐지코(일본어: 源氏香)라는 놀이가 등장했는데, 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총 B\_{5}=52가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬(일본어: 源氏紋)이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉(일본어: 夢浮橋)에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉(일본어: 若菜下) 와 42장 〈니오노미야〉(일본어: 匂宮)의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.)

| 번호 | 제목 | 집합의 분할 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 기리쓰보 | 13, 2, 45 |
| 2 | 하하키기 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| 3 | 우쓰세미 | 1, 2, 3, 45 |
| 4 | 유가오 | 1, 2, 34, 5 |
| 5 | 와카무라사키 | 1, 23, 45 |
| 6 | 스에쓰무하나 | 1234, 5 |
| 7 | 모미지 노 가 | 1, 235, 4 |
| 8 | 하나 노 엔 | 1, 2, 35, 4 |
| 9 | 아오이 | 12, 3, 4, 5 |
| 10 | 사사키 | 123, 45 |
| 11 | 하나 치루 사토 | 1, 24, 35 |
| 12 | 스마 | 134, 25 |
| 13 | 아카시 | 1, 23, 4, 5 |
| 14 | 미오쓰쿠시 | 1, 245, 3 |
| 15 | 요모규 | 123, 4, 5 |
| 16 | 세키야 | 1, 234, 5 |
| 17 | 에아와세 | 13, 25, 4 |
| 18 | 마쓰카제 | 12, 34, 5 |
| 19 | 우스구모 | 1, 2345 |
| 20 | 아사가오 | 134, 2, 5 |
| 21 | 오토메 | 13, 2, 4, 5 |
| 22 | 다마카즈라 | 12, 345 |
| 23 | 하쓰네 | 13, 24, 5 |
| 24 | 고초 | 14, 235 |
| 25 | 호타루 | 124, 3, 5 |
| 26 | 도코나쓰 | 1, 2, 345 |
| 27 | 가가리비 | 1, 24, 3, 5 |
| 28 | 노와키 | 12, 3, 45 |
| 29 | 미유키 | 13, 245 |
| 30 | 후지바카마 | 14, 2, 3, 5 |
| 31 | 마키바시라 | 15, 24, 3 |
| 32 | 우메가에 | 1235, 4 |
| 33 | 후지 노 우라바 | 1, 25, 34 |
| 34 | 와카나 노 조 | 125, 34 |
| 35 | 와카나 노 게 | 124, 35 (분할은 42와 같지만, 겐지몬이 다름) |
| 36 | 가시와기 | 135, 2, 4 |
| 37 | 요코부에 | 145, 2, 3 |
| 38 | 스즈무시 | 15, 2, 34 |
| 39 | 유기리 | 14, 2, 35 |
| 40 | 미노리 | 14, 25, 3 |
| 41 | 마보로시 | 15, 2, 3, 4 |
| 42 | 니오노미야 | 124, 35 (분할은 35와 같지만, 겐지몬이 다름) |
| 43 | 고바이 | 1, 25, 3, 4 |
| 44 | 다케가와 | 15, 234 |
| 45 | 하시히메 | 1345, 2 |
| 46 | 시가모토 | 14, 23, 5 |
| 47 | 아게마키 | 145, 23 |
| 48 | 사와라비 | 12, 35, 4 |
| 49 | 야도리기 | 1245, 3 |
| 50 | 아즈마야 | 125, 3, 4 |
| 51 | 우키후네 | 15, 23, 4 |
| 52 | 가게로 | 135, 24 |
| 53 | 데나라이 | 12345 |
| 54 | 유메 노 우키하시 | (물결 모양, 집합 분할과 관계없음) |

1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키(폴란드어: Gustaw Dobiński)가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다. 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에, 알렉산더 에잇컨(영어: Alexander C. Aitken)이 1933년에 거론하였다.

스리니바사 라마누잔은 노트 2권 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다.

에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다. 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"(영어: exponential number)라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르(프랑스어: Jacques Touchard)는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2  Gardner, Martin (1978). "The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes". 《Scientific American》 (영어) **238**: 24–30. doi:10.1038/scientificamerican0578-24.
2. 1 2 3 4  Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511803895. ISBN 978-0-521-88389-4. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 28일에 확인함.
3. 1 2  Dobiński, G. (1877). "Summirung der Reihe \textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}} für *m* = 1, 2, 3, 4, 5, …". 《Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten》 (독일어) **61**: 333–336. JFM 09.0178.04.  `|title=`에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말)
4. ↑  Peirce, C. S. (1880). "On the algebra of logic". 《American Journal of Mathematics》 (영어) **3** (1): 15–57. JFM 12.0041.01. JSTOR 2369442.
5. ↑  Aitken, A. C. (1933). "A problem in combinations". 《Edinburgh Mathematical Notes》 (영어) **28**: 18–23. doi:10.1017/S1757748900002334. JFM 59.0937.01. Zbl 0007.38907.
6. ↑  Ramanujan, Srinivasa (1957). 《Notebooks Vol. 2》 (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research.
7. ↑  Berndt, Bruce C. (2011년 4월). "Ramanujan reaches his hand from his grave to snatch your theorems from you" (PDF). 《Asia Pacific Mathematics Newsletter》 (영어) **1** (2): 8–13.
8. ↑  Bell, E. T. (1934). "Exponential polynomials". 《Annals of Mathematics》 (영어) **35**: 258–277. JFM 60.0295.01. JSTOR 1968431. Zbl 0009.21202.
9. ↑  Touchard, Jacques (1939). "Sur les cycles des substitutions". 《Acta Mathematica》 **70** (1): 243–297. doi:10.1007/BF02547349. ISSN 0001-5962. MR 1555449.