양자장론에서 **슈윙거-다이슨 방정식**(영어: Schwinger–Dyson equation)은 오일러-라그랑주 방정식에 양자역학적 보정항을 추가한 방정식이다.

정의
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슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분을 통해 유도할 수 있다.:306–308
장 \phi (x)에 대한 범함수 {\displaystyle X[\phi ]=X(\phi ,\partial \_{\mu }\phi ,\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi ,\dots )}의 변분은 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac {\delta X[\phi ]}{\delta \phi }}={\frac {\partial X}{\partial \phi }}-\partial \_{\mu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial \_{\mu }\phi )}}+\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\phi )}}+\cdots }
경로 적분의 측도 D\phi 가 변수의 재정의 {\displaystyle \phi \mapsto \phi +\delta \phi }에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 임의의 연산자 {\displaystyle X[\phi ]}에 대하여,

{\displaystyle 0=\int D\phi \,\delta (X\exp(iS/\hbar ))=\int D\phi \,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar )}
이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 |\psi\rangle에 대하여,

{\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}[X\delta S]|\psi \rangle =-i\hbar \langle \psi |{\mathcal {T}}[\delta X]|\psi \rangle }
이를 **슈윙거-다이슨 방정식**이라고 한다. 여기서 {\mathcal T}[\cdots ]는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식

{\displaystyle \delta S=0}
의 양자장론적 일반화이며, 우변 {\displaystyle \hbar \langle {\mathcal {T}}[\delta X]\rangle }은 양자역학적인 보정항에 해당한다.

예를 들어, {\displaystyle X=\phi (x\_{1})\phi (x\_{2})\cdots \phi (x\_{n})}이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\left[\phi (x\_{1})\phi (x\_{2})\cdots \phi (x\_{n})\left({\frac {\partial S}{\partial \phi (x)}}-\partial \_{\mu }{\frac {\partial S}{\partial (\partial \_{\mu }\phi (x))}}+\cdots \right)\right]|\psi \rangle =-i\sum \_{i=1}^{n}\delta (x-x\_{i})\langle \psi |{\mathcal {T}}[\phi (x\_{1})\cdots \phi (x\_{i-1})\phi (x\_{i+1})\cdots \phi (x\_{n})]|\psi \rangle }

슈윙거-다이슨 으뜸 방정식
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임의의 *n*점 상관 함수 {\displaystyle X=\phi (x\_{1})\phi (x\_{2})\cdots \phi (x\_{n})}에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 **슈윙거-다이슨 으뜸 방정식**(영어: Schwinger–Dyson master equation)으로 적을 수 있다.

우선, 어떤 고전적 샘장 J(x)을 추가하여, 작용이 {\displaystyle S+\int d^{d}x\,\phi (x)J(x)}이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle 0=i\langle \psi |{\mathcal {T}}\left[{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}+J(x)\right]|\psi \rangle \_{J}=\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)\left(J(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\right)=\left(iJ(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)}
여기서

{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]}
는 {\displaystyle \delta S/\delta \phi (x)}에서 모든 \phi (x)를 {\displaystyle -i\delta /\delta J(x)}로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수

{\displaystyle Z[J]=\int D\phi \,\exp(iS+\int \phi J)}
로 쓰면 다음과 같다.

{\displaystyle \left(J(x)+{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)Z[J]=0}
이를 **슈윙거-다이슨 으뜸 방정식**이라고 하며, J(x)에 대하여 테일러 급수로 전개하면 *n*점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

역사
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프리먼 다이슨과 줄리언 슈윙거 가 도입하였다.

참고 문헌
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1. ↑  Peskin, Michael E.; Daniel V. Schroeder (1995년 10월). 《An Introduction to Quantum Field Theory》 (영어). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 7월 4일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. ↑  Dyson, F. (1949). "The *S* matrix in quantum electrodynamics". 《Physical Review》 (영어) **75**: 1736. Bibcode:1949PhRv...75.1736D. doi:10.1103/PhysRev.75.1736.
3. ↑  Schwinger, J. (1951). "On the Green’s functions of quantized fields I". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) **37** (7): 452–455. Bibcode:1951PNAS...37..452S. doi:10.1073/pnas.37.7.452.
4. ↑  Schwinger, J. (1951). "On the Green’s functions of quantized fields II". 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) **37** (7): 455–459. Bibcode:1951PNAS...37..455S. doi:10.1073/pnas.37.7.455.

* Swanson, Eric S. (2010년 11월 12일). 〈A primer on functional methods and the Schwinger–Dyson equations〉. 《XI Hadron Physics》. AIP Conference Proceedings (영어) **1296**. 75–121쪽. arXiv:1008.4337. Bibcode:2010AIPC.1296...75S. doi:10.1063/1.3523221. ISBN 978-0-7354-0848-7.
* Kreimer, Dirk (2007). 〈Dyson–Schwinger equations: from Hopf algebras to number theory〉. 《Universality and Renormalization》. Fields Institute Communications (영어) **50**. American Mathematical Society. 225–248쪽. arXiv:hep-th/0609004. Bibcode:2006hep.th....9004K.
* Roberts, C. D.; A. G. Williams. "Dyson–Schwinger equations and the application to hadronic physics" (영어). arXiv:hep-ph/9403224.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
* Roberts, Craig D. "Strong QCD and Dyson–Schwinger equations" (영어). arXiv:1203.5341.

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