양자장론에서 **등각 장론**(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원 등각 장론의 경우는 특별한 성질을 지닌다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.

전개
--

### 등각 대칭

 이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.
리만 다양체 (M,g)의 **등각 대칭군** \operatorname {Conf} (M,g)은 다음과 같은 리 군이다.

\operatorname {Conf} (M,g)=\{(f,\phi )\in \operatorname {Diff} (M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+})\colon f^{\*}g=\phi g\}
즉, 등각 변환은 등거리변환이 되는, 미분동형사상과 바일 변환의 합성이다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다. 우선 계량 부호수가 (p,q)인 d=p+q차원 유클리드 공간 (\mathbb {R} ^{p,q})을 생각하자. 만약 d>2인 경우, 등각 대칭군은 SO(p+1,q+1)을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

* d개의 시공 평행 이동
* d(d-1)/2개의 로런츠 변환
* 1개의 확대 변환(영어: dilatation)
* d개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

I\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }/x^{2}
를 말한다. 즉 평행 이동

T\_{a}\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+a^{\mu }
와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

S\_{a}=I\circ T\_{a}\circ I
의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

#### 축척 대칭과 등각 대칭

푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.

### 등각장

등각 장론에서의 장 가운데 일부를 **준일차장**(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 준일차장들은 축척 변환 D에 대한 고윳값인 **등각 차원** \Delta 와, 로런츠 대칭 \operatorname {SO} (p,q)의 표현 l에 의해 명시된다.

2차원의 경우, **일차장**(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 **이차장**(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

푸앵카레 대칭에 대한 위그너 분류와 마찬가지로, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. (p,q)=(d-1,1)일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원은 다음과 같다.

| 로런츠 표현 | 등각 차원의 하한 | 하한을 포화하는 예 |
| --- | --- | --- |
| 스칼라 | \Delta \geq (d-2)/2 | 자유 스칼라장 |
| 스피너 | \Delta \geq (d-1)/2 | 자유 페르미온 |
| 벡터 | \Delta \geq d-1 | 뇌터 보존류 |
| p차 미분 형식 (0<p\leq \lfloor d/2\rfloor ) | \Delta \geq d-p | 전자기장 텐서 (d=4,p=2) |
| 완전 대칭 완전 무대각합 \ell -텐서 (\ell \geq 1) | \Delta \geq d-2+\ell  | 에너지-운동량 텐서 (\ell =2) |

이들 하한들을 **유니터리 하한**(영어: unitarity bound)이라고 하며, 이들은 대체로 자유장에 의하여 포화된다.

이들 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 전자기 퍼텐셜 A\_{\mu }는 벡터임에도 불구하고 차원이 1이다. 하지만 이는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 전자기 텐서 F\_{\mu \nu }는 유니터리 하한을 만족시킨다.

d=2인 경우, 유니터리 하한은 단순히 h,{\bar {h}}\geq 0이다. d=3인 경우, 스핀이 j\in \{0,1/2,1,\dots \}인 표현의 유니터리 하한은

\Delta \geq \min\{2j,j+1\}
이다.:(2.42), (2.43), (2.44)
d=4인 경우, 스핀이 (j,{\tilde {\jmath }})인 표현의 유니터리 하한은

\Delta \geq j+{\tilde {\jmath }}+1+\min\{1/2,j\}+\min\{1/2,{\tilde {\jmath }}\}
이다.:(2.45), (2.46)

성질
--

### 방사 양자화와 상태-연산자 대응성

등각 다양체로서, \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}과 S^{n-1}\times \mathbb {R} 은 서로 동치이다. 따라서, 초구 S^{{n-1}} 위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표 x^{i}\in \mathbb {R} ^{d}가 주어지면, 원점으로부터의 거리 r=|x|를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 **방사 양자화**(放射量子化, 영어: radial quantization)라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다.:100 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서(영어: time ordering)와 마찬가지로, **방사 순서**(영어: radial ordering) 연산자

R(A(x)B(y))={\begin{cases}A(x)B(y)&|x|>|y|\\B(y)A(x)&|x|<|y|\\\end{cases}}
를 정의한다.:19 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.

\langle 1|O\_{1}(z\_{1})O\_{2}(z\_{2})\cdots O\_{n}(z\_{n})|1\rangle =\langle 1|R\left(O\_{1}(z\_{1})O\_{2}(z\_{2})\cdots O\_{n}(z\_{n})\right)|1\rangle 
또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이를 이를 **상태-연산자 대응성**(영어: state–operator correspondence)이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 |1\rangle 에 대응하는 연산자는 항등 연산자 1이다.

특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수 z\in \mathbb {C} 로 나타내게 된다. 이 경우, C^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}과 \mathbb {C} /2\pi i\cong S^{1}\times \mathbb {R}  사이의 등각 동형사상은 지수함수

z=\exp w=\exp(t+i\theta )
로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점 z=0 (t=-\infty )는 무한 과거에 대응하며, 반면 z=\widehat \infty  (t=+\infty )는 무한 미래에 해당한다.

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 O(z,{\bar {z}})가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 O에 대응하는 초기 상태(브라) |O\rangle 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

|O\rangle =\lim \_{z,{\bar {z}}\to 0}O(z,{\bar {z}})|1\rangle 
연산자 O가 좌표 변환 f(z)=1/z에 대하여

(f^{\*}O)(z,{\bar {z}})=p(\partial f,{\bar {\partial }}f)O(f(z),f(z))
의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 O에 대응하는 최종 상태(켓) \langle O|는

\langle O|=\lim \_{w,{\bar {w}}\to 0}\langle 1|O(w,w)=\lim \_{z,{\bar {z}}\to \infty }\langle 1|{\frac {1}{f(z)}}O(z,{\bar {z}})
가 된다. 무게가 (h,{\bar {h}})인 1차장의 경우

(f^{\*}O)(z,{\bar {z}})=(\partial f)^{h}({\bar {\partial }}{\bar {f}})^{\bar {h}}O(f(z),{\bar {f}}({\bar {z}}))
의 꼴로 변환하므로,

{\displaystyle \langle O|=\lim \_{z,{\bar {z}}\to {\widehat {\infty }}}\langle 1|z^{2h}{\bar {z}}^{2{\bar {h}}}O(z,{\bar {z}})}
이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 T(z,{\bar {z}}))의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

### 상관 함수의 성질

임의의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 즉, 등각 대칭을 사용하여 임의의 세 점 x\_{1},x\_{2},x\_{3}\in \mathbb {R} ^{d}을 각각 0,e\_{1},\infty 로 보낼 수 있다 (e\_{1}=(1,0,0,\dots ,0)). 다시 말해, 세 개의 점으로는 아무런 등각 불변량을 정의할 수 없다. 반면, 네 개의 점 x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4}\in \mathbb {R} ^{d}이 주어지면 비조화비라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서, 등각 대칭은 3점 함수를 완전히 결정시키지만, 4점 함수는 완전히 결정시키지 못한다.

### 에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

### *c*-정리와 *a*-정리

 이 부분의 본문은 c-정리입니다.
임의의 2차원 양자 장론에 대하여, *c*라는 값이 존재한다. 이는

* c는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
* c의 재규격화군 부동점 g\_{i}=g\_{i}^{\*}에서는 c(g\_{i}^{\*},\mu )는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 c의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 **c-정리**(c-theorem)으로 일컫는다.

최근 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되었다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 *c*와 유사한 *a*라는 값이 정의되었다.

2차원 등각 장론
---------

 이 부분의 본문은 2차원 등각 장론입니다.
2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 현저히 다른 현상을 보인다. 특히, 2차원에서는 등각 대칭이 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 확장된다.

4차원 등각 장론
---------

### 4차원 등각 대수

4차원 등각 대수는 M\_{\mu \nu } (회전), P\_{\mu } (병진), D (확대), K\_{\mu } (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 푸앵카레 대칭을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.:98

[D,K\_{\mu }]=-iK\_{\mu }
[D,P\_{\mu }]=iP\_{\mu }
[K\_{\mu },P\_{\nu }]=2i\eta \_{\mu \nu }D-2iM\_{\mu \nu }
[K\_{\mu },M\_{\nu \rho }]=i(\eta \_{\mu \nu }K\_{\rho }-\eta \_{\mu \rho }K\_{\nu })
[P\_{\rho },M\_{\mu \nu }]=i(\eta \_{\rho \mu }P\_{\nu }-\eta \_{\rho \nu }P\_{\mu })
[M\_{\mu \nu },M\_{\rho \sigma }]=i(\eta \_{\nu \rho }M\_{\mu \sigma }+\eta \_{\mu \sigma }M\_{\nu \rho }-\eta \_{\mu \rho }M\_{\nu \sigma }-\eta \_{\nu \sigma }M\_{\mu \rho })
스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.:98

M\_{\mu \nu }=i(x\_{\mu }\partial \_{\nu }-x\_{\nu }\partial \_{\mu })
P\_{\mu }=-i\partial \_{\mu }
D=-ix\_{\mu }\partial ^{\mu }
K\_{\mu }=i(x^{2}\partial \_{\mu }-2x\_{\mu }x\_{\nu }\partial ^{\nu })

| 생성원 | 설명 | 보존량 | 개수 | 질량 차원 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *Mμν* | 회전과 로런츠 변환 | 각운동량 x\_{\nu }T\_{\mu \rho }-x\_{\mu }T\_{\nu \rho } | d(d-1)/2 | 0 |
| *Pμ* | 병진 변환 | 에너지-운동량 텐서 T\_{\mu \nu } | d | 1 |
| *D* | 확대 변환 | x^{\mu }T\_{\mu \nu }:§1.1 | 1 | 0 |
| *Kμ* | 특수 등각 변환 | (2x\_{\mu }x^{\lambda }-x^{2}\delta \_{\mu }^{\lambda })T\_{\lambda \nu }:§1.1 | d | −1 |

### 초등각 게이지 이론

4차원 {\mathcal {N}}=2 초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.

| 게이지 군 | (기본 표현 하이퍼 초다중항) 맛깔의 수 |
| --- | --- |
| SU(*N*) | 2N:§1 |
| USp(2*N*) | 2N+2:§4.4:§3.1 |
| SO(*N*) | N-2:§3.1 |

초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막과 NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화(영어: Hanany–Witten brane cartoon)으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(*N*) 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.:§2.1, §4.1

초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면에 축소화하여 유도할 수 있다.

예
-

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

* 2차원
	+ 최소 모형 — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.:45,97:71–72 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, **등각 붓스트랩**(영어: conformal bootstrap)을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는

c=1-{\frac {6(m-n)}{mn}} (m,n은 서로소 양의 정수)
의 꼴이다. 임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형은 최소 모형의 특수한 경우다.
* + 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 위상 양자장론의 하나인 천-사이먼스 이론과 관련있다.
	+ 리우빌 장론은 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 딜라톤을 포함하는 2차원 양자 중력을 나타낸다. 행렬 이론과 관계있다.
	+ (초)끈 이론에서, 기본 끈 위에 존재하는 세계면 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.
* 3차원
	+ M2-막 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 ABJM 이론은 3차원 초등각 장론이다.
* 4차원
	+ 4차원 {\mathcal {N}}=4 초대칭 양-밀스 이론은 초등각 장론이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 D3-막의 세계부피 이론이며, SL(2,ℤ) S-이중성을 가진다. 이는 AdS/CFT 대응성의 원래 예이다.
* 6차원
	+ M5-막 위에 존재하는 세계면 이론은 6차원 (2,0) 초등각 장론이다.

응용
--

### 끈 이론

 이 부분의 본문은 끈 이론입니다.
등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 2차원 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 이론은 2차원 𝒩=1 초등각 장론이 된다.) 이 장론의 등각 변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 {\mathcal {N}}=4 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

### 통계역학

등각 장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.

### 비입자

하워드 조자이는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 표준 모형 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다. 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 **비입자**(非粒子, 영어: unparticle)라고 한다.

역사
--

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 제창하였다.

참고 문헌
-----

1. 1 2 3  Ginsparg, Paul (1988년 11월). "Applied conformal field theory" (영어). arXiv:hep-th/9108028. Bibcode:1991hep.th....8028G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. 1 2 3  Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 10월 23일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. ↑  Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
4. ↑  Schottenloher, Martin (2008). 《A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg》 (영어). Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43 2판. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. MR 2492295. Zbl 1161.17014.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
5. ↑  Ketov, Sergei V. (1995년 2월). 《Conformal Field Theory》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/9789812831972. ISBN 978-981-02-1608-5.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
6. ↑  Gaberdiel, Matthias R. (2000). "An introduction to conformal field theory". 《Reports on Progress in Physics》 (영어) **63** (4): 607. arXiv:hep-th/9910156. Bibcode:2000RPPh...63..607G. doi:10.1088/0034-4885/63/4/203.
7. ↑  Schellekens, A. N. (1996). "Introduction to conformal field theory". 《Fortschritte der Physik》 (영어) **44** (8): 605–705. doi:10.1002/prop.2190440802. ISSN 0015-8208. MR 1428306.
8. ↑  임채호 (1995년 2월 1일). 《등각장론》. 서울: 민음사. ISBN 89-374-3586-1.
9. 1 2 3  Nakayama, Yu. "A lecture note on scale invariance vs conformal invariance" (영어). arXiv:1302.0884. Bibcode:2013arXiv1302.0884N.
10. ↑  Fortin, Jean-François; Benjamín Grinstein, Andreas Stergiou (2012년 7월). "Scale without conformal invariance: theoretical foundations". 《Journal of High Energy Physics》 (영어) **2012** (7): 25. arXiv:1107.3840. Bibcode:2012JHEP...07..025F. doi:10.1007/JHEP07(2012)025. ISSN 1029-8479.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
11. 1 2 3  Minwalla, Shiraz (1998). "Restrictions Imposed by Superconformal Invariance on Quantum Field Theories". 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) **2** (4): 781–846. arXiv:hep-th/9712074. Bibcode:1997hep.th...12074M. Zbl 1041.81534.
12. ↑  Tong, David (2009). "Lectures on string theory" (영어). arXiv:0908.0333. Bibcode:2009arXiv0908.0333T.
13. 1 2  Gaiotto, Davide (2012년 8월). "*N*=2 dualities". 《Journal of High Energy Physics》 (영어) **2012** (8): 34. arXiv:0904.2715. Bibcode:2012JHEP...08..034G. doi:10.1007/JHEP08(2012)034. ISSN 1029-8479.
14. 1 2  Tachikawa, Yuji. "Six-dimensional D\_N theory and four-dimensional SO-USp quivers".
15. ↑  Witten, Edward (1997년 9월 1일). "Solutions of four-dimensional field theories via M-theory". 《Nuclear Physics B》 (영어) **500** (1–3): 3–42. arXiv:hep-th/9703166. Bibcode:1997NuPhB.500....3W. doi:10.1016/S0550-3213(97)00416-1.
16. ↑  Becker, Katrin; Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 3일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
17. 1 2  Belavin, A.A.; A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov (1984년 7월). "Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory". 《Nuclear Physics B》 (영어) **241** (2): 333–80. Bibcode:1984NuPhB.241..333B. doi:10.1016/0550-3213(84)90052-X.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
18. ↑  Cardy, John (2001년 3월). "Conformal invariance and percolation". arXiv:math-ph/0103018. Bibcode:2001math.ph...3018C.
19. ↑  Cardy, John (2008). "Conformal field theory and statistical mechanics". arXiv:0807.3472. Bibcode:2008arXiv0807.3472C.
20. ↑  Malte Henkel, Dragi Karevski. 《Conformal invariance: An introduction to loops, interfaces and stochastic Loewner evolution》. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-27934-8. ISBN 978-3-642-27933-1.
21. ↑  Henkel, Malte (1999). 《Conformal Invariance and Critical Phenomena》. Texts and Monographs in Physics. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03937-3. ISBN 978-3-540-65321-9. ISSN 1864-5879.
22. ↑  Georgi, Howard (2007). "Unparticle physics". 《Physical Review Letters》 (영어) **98** (22): 221601. arXiv:hep-ph/0703260. Bibcode:2007PhRvL..98v1601G. doi:10.1103/PhysRevLett.98.221601.
23. ↑  Georgi, Howard (2007). "Another odd thing about unparticle physics". 《Physics Letters B》 (영어) **650** (4): 275–278. arXiv:0704.2457. Bibcode:2007PhLB..650..275G. doi:10.1016/j.physletb.2007.05.037.