수학에서, **사영 극한**(射影極限, 영어: projective limit) 또는 **역극한**(逆極限, 영어: inverse limit)은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합의 반대 범주로 나타낸다.) 기호는 {\displaystyle \varprojlim } 또는 {\displaystyle \projlim }. 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

정의
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범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 **여과 체계**(영어: filtered system) {\displaystyle ((X\_{i})\_{i\in I},(f\_{ij})\_{i\lesssim j})}는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 상향 원순서 집합 {\displaystyle (I,\lesssim )}
* 임의의 {\displaystyle i\in I}에 대하여, 대상 {\displaystyle X\_{i}\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}
* 임의의 {\displaystyle i\lesssim j}에 대하여, 사상 {\displaystyle f\_{ij}\colon X\_{j}\to X\_{i}}

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 함자 {\displaystyle I^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
	+ 임의의 {\displaystyle i\in I}에 대하여, {\displaystyle f\_{ii}=\operatorname {id} \_{X\_{i}}}
	+ 임의의 {\displaystyle i\lesssim j\lesssim k}에 대하여, {\displaystyle f\_{ik}=f\_{ij}\circ f\_{jk}}

범주 {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 여과 체계 {\displaystyle ((X\_{i})\_{i\in I},(f\_{ij})\_{i\lesssim j})}의 **사영 극한** {\displaystyle (X,(\pi \_{i}\colon X\to X\_{i})\_{i\in I})}은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.

* 대상 {\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}
* 임의의 {\displaystyle i\in I}에 대하여, 사상 {\displaystyle \pi \_{i}\colon X\to X\_{i}}

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

* 임의의 {\displaystyle i\lesssim j}에 대하여, {\displaystyle \pi \_{i}=f\_{ij}\circ \pi \_{j}}
* 만약 {\displaystyle Y\in \operatorname {op} ({\mathcal {C}})}와 {\displaystyle (\psi \_{i}\colon Y\to X\_{i})\_{i\in I}}가 임의의 {\displaystyle i\lesssim j}에 대하여 {\displaystyle \psi \_{i}=f\_{ij}\circ \psi \_{j}}를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 {\displaystyle u\colon Y\to X}가 존재한다.
	+ 임의의 {\displaystyle i\in I}에 대하여, {\displaystyle \psi \_{i}=\pi \_{i}\circ u}

보통 {\displaystyle X=\varprojlim X\_{i}}로 쓴다.

예
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사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

### 대수 구조 다양체

임의의 대수 구조 다양체 {\displaystyle {\mathcal {V}}}에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 {\displaystyle ((A\_{i})\_{i\in (I,\lesssim )},(\phi \_{ij}\colon A\_{j}\to A\_{i})\_{i\lesssim j})}의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수

{\displaystyle \varprojlim A\_{i}=\left\{a\in \prod \_{i\in I}A\_{i}\colon a\_{i}=\phi \_{ij}(a\_{j})\qquad (i\lesssim j)\right\}}
및 사영 함수

{\displaystyle \varprojlim A\_{i}\to A\_{i}\qquad (i\in I)}
들로 주어진다.

### 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 {\displaystyle \operatorname {Top} } 속 여과 체계 {\displaystyle ((X\_{i})\_{i\in (I,\lesssim )},(f\_{ij})\_{i\lesssim j})}의 사영 극한은 집합론적 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든 {\displaystyle X\_{i}}가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 {\displaystyle X\_{i}}가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 또한 이 경우 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 {\displaystyle X\_{i}}가 공집합인 것이다.

### 균등 공간

마찬가지로, 균등 공간과 균등 연속 함수들의 범주 {\displaystyle \operatorname {Unif} }에서, 여과 체계 {\displaystyle ((X\_{i})\_{i\in (I,\lesssim )},(f\_{ij})\_{i\lesssim j})}의 사영 극한은 집합론적 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든 {\displaystyle X\_{i}}가 하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 {\displaystyle X\_{i}}가 공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

참고 문헌
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* Bergman, George M. (2015). 《An invitation to general algebra and universal constructions》. Universitext (영어) 2판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-11478-1. ISBN 978-3-319-11477-4. LCCN 2014954583. MR 3309721. Zbl 1317.08001.
* Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)