**화살집 표현**(-表現, 영어: quiver representation)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.

정의
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다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 K
* 화살집 Q

### 추상적 정의

Q의 K 계수 **화살집 표현** R는 다음과 같은 함자이다.

{\displaystyle R\colon \operatorname {Free} (Q)\to \operatorname {Mod} \_{K}}
여기서 {\displaystyle \operatorname {Free} (Q)}는 Q로 생성되는 자유 범주이며, {\displaystyle \operatorname {Mod} \_{K}}는 K-가군의 범주이다.

두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** {\displaystyle \phi \colon R\to S}은 함자 사이의 자연 변환이다.

### 구체적 정의

Q의 K 계수 **화살집 표현** R은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 꼭짓점 {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}에 대하여, K-가군 {\displaystyle R\_{v}}
* 각 변 {\displaystyle e\colon u\to v}에 대하여, K-가군 준동형 {\displaystyle R\_{e}\colon R\_{u}\to R\_{v}}

두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** {\displaystyle \phi \colon R\to S}은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 꼭짓점 {\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}에 대하여, K-가군 준동형 {\displaystyle \phi \_{v}\colon R\_{v}\to S\_{v}}

이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 {\displaystyle e\colon u\to v}에 대하여,

{\displaystyle {\begin{matrix}R\_{u}&{\overset {\phi \_{u}}{\to }}&S\_{u}\\{\scriptstyle R\_{e}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle R\_{e}}&&{\color {White}\scriptstyle S\_{e}}\downarrow \scriptstyle S\_{e}\\R\_{v}&{\underset {\phi \_{v}}{\to }}&S\_{v}\end{matrix}}}
### 환론적 정의

화살집 Q 속의, 길이 n\in \mathbb {N} 의 **보행**(영어: walk, path)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열

{\displaystyle v\_{n},e\_{n-1},\dotsc ,e\_{1},v\_{1},e\_{0},v\_{0}}
이다.

{\displaystyle s(e\_{i})=v\_{i}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}
{\displaystyle t(e\_{i})=v\_{i+1}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}
(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

Q의 보행들을 기저로 갖는 K-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.

* 임의의 두 보행 {\displaystyle \alpha =(v\_{n},e\_{n-1},\dotsc ,e\_{0},v\_{0})}, {\displaystyle \beta =(v'\_{n'},e'\_{n'-1},\dotsc ,e'\_{0},v'\_{0})}에 대하여,
	+ 만약 {\displaystyle v\_{0}=v'\_{n'}}이라면, {\displaystyle \alpha \beta =(v\_{n},e\_{n-1},\dotsc ,e\_{0},v\_{0},e'\_{n'-1},\dotsc ,v'\_{0})}
	+ 만약 {\displaystyle v\_{0}\neq v'\_{n'}}이라면, \alpha \beta =0

이는 유사환을 이루며, 만약 Q가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원

{\displaystyle 1=\sum \_{v\in \operatorname {V} (Q)}(v)}
을 가져 환을 이룬다. 이를 Q 위의 **보행 대수**(영어: walk algebra, path algebra) {\displaystyle K[Q]}라고 한다.

이제, 만약 Q의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, Q의 **K-표현**은 보행 대수 {\displaystyle K[Q]}의 왼쪽 가군 R이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

| 범주론적 정의 | 구체적 정의 | 환론적 정의 |
| --- | --- | --- |
| 꼭짓점 v에 대응하는 대상의 상 {\displaystyle R(v)} | 꼭짓점 v에 대응되는 가군 {\displaystyle R\_{v}} | {\displaystyle (v)R} ({\displaystyle (v)}는 길이 0의 보행) |
| 변 e에 대응하는 사상의 상 {\displaystyle R(e)} | 변 {\displaystyle e\colon u\to v}에 대응하는 가군 준동형 {\displaystyle R\_{e}\colon R\_{u}\to R\_{v}} | 길이 1의 보행 {\displaystyle (u,e,v)}의 작용 {\displaystyle (u,e,v)\colon (v)R\to (u)R} |
| 보행 {\displaystyle (v\_{n},\dotsc ,e\_{0},v\_{0})}에 대응하는 사상의 상 {\displaystyle R(e\_{n-1})\circ \dotsb \circ R(e\_{0})} | 보행의 변들에 대응하는 가군 준동형들의 합성 {\displaystyle R\_{e\_{n-1}}\circ \dotsb \circ R\_{e\_{0}}\colon R\_{v\_{0}}\to R\_{v\_{n}}} | 보행의 작용 |

연산
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### 분리합

화살집들의 집합 {\displaystyle (Q\_{i})\_{i\in I}} 및 각 i\in I에 대하여 {\displaystyle Q\_{i}}의 표현 {\displaystyle R^{(i)}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{i\in I}Q\_{i}}의 K-표현 {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{i\in I}R^{(i)}}이 자연스럽게 존재한다.

반대로, {\displaystyle \textstyle \bigsqcup \_{i\in I}Q\_{i}}의 모든 K-표현은 {\displaystyle Q\_{i}}들의 표현들의 족 {\displaystyle (R^{(i)})\_{i\in I}}의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

### 직합

화살집 Q의 K-표현들의 집합 {\displaystyle (R^{(i)})\_{i\in I}}의 **직합**은 다음과 같은 화살집 표현이다.

{\displaystyle R\_{v}=\bigoplus \_{i\in i}R\_{v}^{(i)}\qquad (v\in \operatorname {V} (Q))}
{\displaystyle R\_{e}=\bigoplus \_{i\in i}R\_{e}^{(i)}\qquad (e\in \operatorname {E} (Q))}
직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 **영 표현**(零表現, 영어: zero representation)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 **분해 불가능 표현**(分解不可能表現, 영어: indecomposable representation)이라고 한다.

성질
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임의의 가환환 K 및 화살집 Q에 대하여, Q의 K-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

### 가브리엘 정리

{\displaystyle {\mathsf {A}}\_{n}} · {\displaystyle {\mathsf {D}}\_{n}} · {\displaystyle {\mathsf {E}}\_{n}} 꼴의 근계의 딘킨 도표
**가브리엘 정리**(Gabriel定理, 영어: Gabriel’s theorem)에 따르면, 화살집 Q에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
* 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{n}} · {\displaystyle {\mathsf {D}}\_{n}} · {\displaystyle {\mathsf {E}}\_{6}} · {\displaystyle {\mathsf {E}}\_{7}} · {\displaystyle {\mathsf {E}}\_{8}} 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)

또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 K-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

예
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임의의 가환환 K가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) K-표현을 갖는다.

### A₁

하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{1}}의 표현들은 K-가군이다. 특히, 만약 K가 체일 때, {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{1}}의 분해 불가능 K-표현은 1차원 표현 K 밖에 없다. (이는 {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{1}} 근계의 유일한 양근에 대응한다.)

### A₂

{\displaystyle {\mathsf {A}}\_{2}} 근계는 세 개의 양근 \alpha , \beta, \alpha +\beta 를 갖는다.
두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{2}}의 표현들은 두 K-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 K가 체일 때,

{\displaystyle {\mathsf {A}}\_{2}={\underset {u}{\bullet }}{\overset {e}{-}}{\underset {v}{\bullet }}}
의 분해 불가능 K-표현은 다음 세 개이다. (이는 {\displaystyle {\mathsf {A}}\_{2}} 근계의 세 양근에 대응한다.)

* {\displaystyle R\_{u}=K}, {\displaystyle R\_{v}=0}, {\displaystyle R\_{e}}는 값이 0인 상수 함수
* {\displaystyle R\_{u}=0}, {\displaystyle R\_{v}=K}, {\displaystyle R\_{e}}는 값이 0인 상수 함수
* {\displaystyle R\_{u}=R\_{v}=K}, {\displaystyle R\_{e}}는 항등 함수

역사
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가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.:73, §1.2, Satz

참고 문헌
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1. ↑  Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (2005년 2월). "Quiver representations" (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) **52** (2): 200–206. ISSN 0002-9920. Zbl 1143.16300.
2. ↑  Gabriel, Peter (1972). "Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ". 《Manuscripta Mathematica》 (독일어) **6**: 71–103. doi:10.1007/BF01298413. ISSN 0025-2611.