호몰로지 대수학에서 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 **도롱뇽 정리**(도롱[龍]定理, 영어: salamander lemma) 및 그 특수한 경우인 **3×3 정리**(三×三定理, 영어: 3×3 lemma) · **뱀 정리**와 같은 정리들이 성립한다.

정의
--

아벨 범주 {\mathcal A} 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname {Ch}\_{\bullet }({\mathcal A}) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체 {\displaystyle C\_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}}))}는 다음과 같은 꼴이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\\dotsb &\to &C\_{m,n}&{\overset {\partial \_{m,n}^{\text{h}}}{\to }}&C\_{m-1,n}&\to &\dotsb \\&&{\scriptstyle \partial \_{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \partial \_{m,n}^{\text{v}}}&&{\color {White}\scriptstyle \partial \_{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial \_{m-1,n}^{\text{v}}}\\\dotsb &\to &C\_{m,n-1}&{\underset {\partial \_{m,n-1}^{\text{h}}}{\to }}&C\_{m-1,n-1}&\to &\dotsb \\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
즉, 이는 **수평 경계 사상**(水平境界寫像, 영어: horizontal boundary map)

{\displaystyle \partial \_{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {h} }\colon C\_{\bullet ,\bullet }\to C\_{\bullet -1,\bullet }}
및 **수직 경계 사상**(垂直境界寫像, 영어: vertical boundary map)

{\displaystyle \partial \_{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {v} }\colon C\_{\bullet ,\bullet }\to C\_{\bullet ,\bullet -1}}
을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

{\displaystyle \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} }=0}
{\displaystyle \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {v} }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} }=0}
{\displaystyle \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {v} }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} }=\partial \_{m,n-1}^{\operatorname {h} }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} }}
### 전체 사슬 복합체

{\mathcal A}에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체 {\displaystyle C\_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\operatorname {Ch} \_{\bullet }{\mathcal {A}}))}의 **전체 사슬 복합체**(全體사슬複合體, 영어: total chain complex) {\displaystyle \operatorname {Tot} \_{\bullet }(C)\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }({\mathcal {A}})}는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

{\displaystyle \operatorname {Tot} \_{n}(C)=\bigoplus \_{p+q=n}C\_{p,q}}
{\displaystyle \partial \_{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus \_{p+q=n}\partial \_{p,q}^{\operatorname {h} }+(-)^{p}\partial \_{p,q}^{\operatorname {v} }}
이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 **전체 호몰로지**(영어: total homology)라고 한다.

### 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙

문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.

{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=\partial \_{m,n}^{\operatorname {h} }}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=(-)^{n}\partial \_{m,n}^{\operatorname {v} }}
즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.

{\displaystyle \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=0}
{\displaystyle \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0}
{\displaystyle \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} \prime }+\partial \_{m,n-1}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0}
즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.

{\displaystyle \partial \_{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus \_{p+q=n}\partial \_{p,q}^{\operatorname {h} \prime }+\partial \_{p,q}^{\operatorname {v} \prime }}
### 수직 · 수평 호몰로지

아벨 범주 {\mathcal A} 위의 이중 사슬 복합체 {\displaystyle C\_{\bullet ,\bullet }}가 주어졌다고 하자.

그렇다면, **수평 호몰로지**(垂直homology, 영어: horizontal homology)

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\operatorname {h} }={\frac {\ker ^{\operatorname {h} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {h} }}}}
및 **수직 호몰로지**(水平homology, 영어: vertical homology)

{\displaystyle \operatorname {H} ^{\operatorname {v} }={\frac {\ker ^{\operatorname {v} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {v} }}}}
를 정의할 수 있다.

### 교내 사상과 교외 사상

임의의 대상 {\displaystyle A=C\_{m,n}}에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}\\{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}&A&{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}\\&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}&\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}\end{matrix}}}
위 그림에서, {\displaystyle \partial ^{\operatorname {vh} }=\partial ^{\operatorname {h} }\circ \partial ^{\operatorname {v} }=\partial ^{\operatorname {v} }\circ \partial ^{\operatorname {h} }}는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.:Definition 1.1

| 용어 | 기호 | 정의 |
| --- | --- | --- |
| **수평 호몰로지** | {\displaystyle \_{=}A} | {\displaystyle {\frac {\ker \partial \_{mn}^{\operatorname {h} }}{\operatorname {im} \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} }}}} |
| **수직 호몰로지** | {\displaystyle A^{\|}} | {\displaystyle {\frac {\ker \partial \_{mn}^{\operatorname {v} }}{\operatorname {im} \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {v} }}}} |
| **기증자**(寄贈者, 영어: donor) | {\displaystyle A\_{\square }} | {\displaystyle {\frac {\ker \partial \_{mn}^{\operatorname {vh} }}{\operatorname {im} (\partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} }\sqcup \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {v} })}}} |
| **수령자**(受領者, 영어: receptor) | {\displaystyle ^{\square }A} | {\displaystyle {\frac {\ker(\partial \_{mn}^{\operatorname {v} }\times \partial \_{mn}^{\operatorname {h} })}{\operatorname {im} \partial \_{m-1,n-1}^{\operatorname {vh} }}}} |

이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, {\displaystyle \_{=}A} · {\displaystyle A^{\|}} · {\displaystyle ^{\square }A} · A\_{\bullet }는 모두 A의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}^{\square }A&\to &A^{\|}\\\downarrow &&\downarrow \\\_{=}A&\to &A\_{\square }\end{matrix}}}
이는 다음과 같이 적을 수 있다.

{\displaystyle {\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}}
이 사상들을 **교내 사상**(校內寫像, 영어: intramural map)이라고 하자.:Definition 1.3

또한, 수평 경계 사상

A\to B
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

{\displaystyle A\_{\square }\to {}^{\square }B}
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

{\displaystyle A\_{\square }\nearrow {}^{\square }B}
마찬가지로, 수직 경계 사상

{\displaystyle {\begin{matrix}A\\\downarrow \\B\end{matrix}}}
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

{\displaystyle {\begin{matrix}A\_{\square }\\\downarrow \\^{\square }B\end{matrix}}}
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}A\_{\square }\\\swarrow \\^{\square }B\end{matrix}}}
이 사상들을 **교외 사상**(校外寫像, 영어: extramural map)이라고 하자.:Definition 1.5

성질
--

### 도롱뇽 정리

이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

{\displaystyle {\begin{matrix}C\\\downarrow \\A&\rightarrow &B\\&&\downarrow \\&&D\end{matrix}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **도롱뇽 정리**에 따르면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 완전열**(도롱[龍]完全列, 영어: salamander exact sequence)이 존재한다.:Lemma 1.7

{\displaystyle {\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C\_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&\_{=}A\to A\_{\square }\to {}^{\square }B\to {}\_{=}B&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B\_{\square }\end{matrix}}}
여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}\_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}\_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}\_{\square }\\&&\swarrow \\&&{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}\_{\square }\end{matrix}}}
특히, 만약 {\displaystyle \_{=}A\cong {}\_{=}B\cong 0}이라면, 교외 사상 {\displaystyle A\_{\square }\to {}^{\square }B}는 동형 사상이다.

마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

{\displaystyle {\begin{matrix}C&\to &A\\&&\downarrow \\&&B&\to &D\end{matrix}}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 완전열**이 존재한다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C\_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&A^{\|}\to A\_{\square }\to {}^{\square }B\to {}B^{\|}&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B\_{\square }\end{matrix}}}
이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}\_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}&\nearrow &{}^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{A}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}\\&&\swarrow \\&&^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{B}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\nearrow &{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}^{\square }\end{matrix}}}
특히, 만약 {\displaystyle A^{\|}\cong B^{\|}\cong 0}이라면, 교외 사상 {\displaystyle A\_{\square }\to {}^{\square }B}는 동형 사상이다.

### *n*×*n* 정리

아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A&\to &B&\to &C\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &D&\to &E&\to &F\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &G&\to &H&\to &I\\\end{matrix}}}
또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.

* 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다.
* 둘째 · 셋째 행이 완전열이다.

**3×3 정리**에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.:11, Exercise 1.3.2

**도롱뇽 완전열을 통한 증명**::Lemma 2.3

{\displaystyle \_{=}A\cong {}\_{=}B\cong 0}임을 보이면 족하다.

가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로

{\displaystyle X^{\|}\cong 0\qquad (X\in \{A,B,D,E\})}
이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로

{\displaystyle \_{=}X\cong 0\qquad (X\in \{D,E,G,H\})}
이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&0\_{\square }&&0\_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&\color {Green}\swarrow &&\\0\_{\square }&&^{\square }A\_{\square }&&^{\square }B\_{\square }\\&&\color {Blue}\swarrow &&\color {Red}\swarrow &&\\0\_{\square }&\color {Blue}\nearrow &^{\square }D\_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }E\_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&&&\\0\_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }G\_{\square }\\\end{matrix}}}
물론, {\displaystyle 0\_{\square }\cong 0}이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 {\displaystyle ^{\square }D,A\_{\square },{}^{\square }G,D\_{\square },\dotsc } 등이 모두 0임을 알 수 있다.

이제, {\displaystyle ^{\square }A\cong A\_{\square }\cong {}^{\square }B\cong B\_{\square }\cong 0}이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 {\displaystyle \_{=}A\cong {}\_{=}B\cong 0}임을 알 수 있다.

{\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}\_{\square }}0\_{\square }\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}\_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}\_{\square }\\&&\swarrow \\&&^{\square }E\color {White}\_{\square }\end{matrix}}}

**뱀 완전열을 통한 증명:**

처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.

보다 일반적으로, **n\times n 정리**에 따르면, 임의의 자연수 n에 대하여, n\times n개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체

{\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A\_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A\_{0,n-1}\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &\ddots &\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A\_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A\_{0,0}\\\end{matrix}}}
가 주어졌을 때, 만약

* 모든 열이 완전열이며,
* 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면,

첫째 행 또한 완전열이다.

**증명**:

그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략

* 교외 사상들의 지그재그를 통해, {\displaystyle \_{\square }(-)\cong (-)^{\square }\cong 0}임을 보인다.
* 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.

(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

예
-

### 사슬 복합체의 텐서곱

가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 {\displaystyle (A,A)}-쌍가군들의 아벨 범주 {\displaystyle \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체

{\displaystyle C\_{\bullet },D\_{\bullet }\in \operatorname {Ch} \_{\bullet }(\_{A}\operatorname {Mod} \_{A})}
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 {\displaystyle E\_{\bullet ,\bullet }}를 정의할 수 있다.

{\displaystyle E\_{m,n}=C\_{m}\otimes \_{A}D\_{n}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial \_{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial \_{m}^{C}\otimes \operatorname {id} \_{D\_{n}}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial \_{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial \_{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}}
{\displaystyle \partial \_{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} \_{C\_{m}}\otimes \partial \_{n}^{D}}
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱

{\displaystyle (C\otimes D)\_{\bullet }=\operatorname {Tot} \_{\bullet }(E)=\bigoplus \_{p+q=\bullet }C\_{p}\otimes \_{A}D\_{q}}
과 같다.

### 순환 호몰로지

 이 부분의 본문은 순환 호몰로지입니다.
순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.

역사
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책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)
3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.:Lemma 5.5

1971년에 칼 에릭 린더홀름(영어: Carl Eric Linderholm)은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| 틱택토 판을 그린다. 판을 ⭕/❌로 채우지 말고, 대신 굽은 화살표를 사용한다. 선을 추가로 그려서 3×3 판을 4×4 판으로 확장한다. 판 위에 손을 가리키며 복잡하게 흔들어 댄다. ⭕를 몇 개 그린다 (하지만 네모 속에 그리지 말고, 대신 가로·세로 선 끝에 그린다). 얼굴을 찡그린다. 이제 당신은 다음 정리들을 증명하였다.
(a) 9항 정리
(b) 16항 정리
(c) 25항 정리
[…]
Draw a noughts-and-crosses board, sometimes also referred to as a tic-tac-toe board. Do not fill it in with noughts and crosses, sometimes also called exes and ohs. Instead, use curved arrows. By drawing more lines, make it a board for four-by-four (instead of three-by-three) noughts and crosses. Wave your hands about in complicated patterns over this board. Make some noughts, but not in the squares; put them at both ends of the horizontal and vertical lines. Make faces. You have now proved:
(a) the Nine Lemma
(b) the Sixteen Lemma
(c) the Twenty-five Lemma
[…]
 | "|
|   | — :201 |

도롱뇽 정리 및 "교내 사상" · "교외 사상"이라는 용어는 조지 마크 버그먼(영어: George Mark Bergman, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. "도롱뇽 정리"라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. "교내 사상" · "교외 사상"이라는 용어는 이는 같은 기호 A의 각 첨자 {\displaystyle \_{=}^{\square }A\_{\square }^{\|}}를 "학교"로 여길 경우, 교내 사상

{\displaystyle {\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}}
은 같은 "학교" 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상

{\displaystyle A\_{\square }\nearrow {}^{\square }B}
은 서로 다른 "학교"에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Weibel, Charles Alexander (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) **38**. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
2. 1 2 3 4 5 6  Bergman, George Mark (2012). "On diagram-chasing in double complexes". 《Theory and Applications of Categories》 (영어) **26**: 60–96. arXiv:1108.0958. Bibcode:2011arXiv1108.0958B. ISSN 1201-561X. Zbl 1264.18018.
3. 1 2  Buchsbaum, David Alvin (1955). "Exact categories and duality". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **80** (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993003. MR 0074407. Zbl 0065.25502.
4. ↑  Linderholm, Carl Eric (1971). 《Mathematics made difficult. A handbook for the perplexed》 (영어). World Publishing. ISBN 978-0-529-04552-2. OCLC 279066. Zbl 0217.00102.