리 군론에서 **6차원 회전군**(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의
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**6차원 회전군**은 6차원 실수 계수 직교군 {\displaystyle \operatorname {O} (6;\mathbb {R} )}이다. 그 딘킨 도표는

{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }
이다.

6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.

{\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}
즉, {\displaystyle \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )}는 {\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}이다.

그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.

| 킬링 형식의 부호수 | 기호 | 직교군 기호 | 유니터리·선형군 기호 | 사타케 도표 | 보건 도표 | 비고 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (0,15) |  | Spin(6) | SU(4) | \bullet -\bullet -\bullet  | {\displaystyle \circ -\circ -\circ } | 콤팩트 형태 |
| (5,10) | A₃Ⅱ, D₃Ⅱ | Spin(1,5) | {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {SU} ^{\*}(4)} | {\displaystyle \bullet -\circ -\bullet } | {\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } } |
| (8,7) | A₃Ⅲ, D₃Ⅱ | Spin(2,4) | SU(2,2) | {\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } } | {\displaystyle \circ -\bullet -\circ } |
| (9,6) | A₃Ⅰ, D₃Ⅰ | Spin(3,3) | {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} | {\displaystyle \circ -\circ -\circ } | {\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } } | 분할 형태 |
| (10,5) | A₃Ⅲ, D₃Ⅲ | SO\*(6) | SU(3,1) | {\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } } | {\displaystyle \bullet -\circ -\circ } |

사타케 도표에서, 중괄호 ({\displaystyle \underbrace {\color {White}m} })는 화살표({\displaystyle \leftrightarrow })를 나타낸다.

성질
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### 콤팩트 형태

Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 {\mathbf 4} 및 그 복소수 켤레 {\displaystyle {\overline {\mathbf {4} }}}에 해당한다.

마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 {\displaystyle \mathbf {6} }은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.

Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. \operatorname {SU}(4)에서, 이는

{\displaystyle \{\mathrm {i} ^{a}1\_{4\times 4}\colon a\in \{0,1,2,3\}\}\subsetneq \operatorname {SU} (4)}
에 해당한다. 이 중심은 몫군 {\displaystyle \operatorname {SO} (6)}에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 {\displaystyle \{\pm 1\_{6\times 6}\}}에 해당한다.

### 분할 형태

Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}에서, 이는

{\displaystyle \{\pm 1\_{4\times 4}\}\subsetneq \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
에 해당한다.

Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.

| 실수 차원 | Spin(3,3) 묘사 | {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 묘사 | {\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )} 영 타블로 |
| --- | --- | --- | --- |
| 4 | 오른쪽 마요라나-바일 스피너 | 벡터 (정의 표현) | □ |
| 4′ | 왼쪽 마요라나-바일 스피너 | (0,1)-텐서 (쌍대 벡터) | □□□ |
| 6 | 벡터 (정의 표현) | 반대칭 2-텐서 | □□ |
| 10 | 자기 쌍대 3-텐서 | 대칭 (2,0)-텐서 | □□ |
| 10′ | 자기 반쌍대 3-텐서 | 대칭 (0,2)-텐서 | □□□□□□ |
| 15 | 반대칭 2-텐서 (딸림표현) | 무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현) | □□□□ |
| 20 | 대칭 무대각합 2-텐서 | 대칭-반대칭 4-텐서 | □□□□ |
| 20′ | 오른손 벡터-스피너 | 대칭-반대칭 (3,0)-텐서 | □□□ |
| 20″ | 왼손 벡터-스피너 | 대칭-반대칭 (0,3)-텐서 | □□□□□ |
| 20‴ | 자기 쌍대 3-텐서-스피너 | 완전 대칭 (3,0)-텐서 | □□□ |
| 20⁗ | 자기 반쌍대 3-텐서-스피너 | 완전 대칭 (0,3)-텐서 | □□□□□□□□□ |

이들의 텐서곱은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {4} '\otimes \mathbf {4} '=\mathbf {6} \oplus \mathbf {10} }
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} '=\mathbf {1} \oplus \mathbf {15} }
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} '\oplus \mathbf {20} '}
{\displaystyle \mathbf {4} '\otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} \oplus \mathbf {20} ''}
### SO(1,5)

Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 {\displaystyle \operatorname {SU} ^{\*}(4)}의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.

Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 {\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)

### SO(2,4)

Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 \operatorname {SU}(2,2)의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.

### SU(1,3)

{\displaystyle \operatorname {SO} ^{\*}(6)}은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 {\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}의 반대칭 2-텐서 표현이다.

또한, {\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 {\displaystyle \operatorname {SO} ^{\*}(6)}의 왼쪽과 오른쪽 "바일 스피너"에 해당한다.

참고 문헌
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* Sbaih, Mahmoud A. A.; Srour, Moeen K. H.; Hamada, M. S.; Fayad, H.M. (2013). "Lie algebra and representation of SU(4)" (PDF). 《Electronic Journal of Theoretical Physics》 (영어) **10** (28): 9–26. ISSN 1729-5254. 2018년 4월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 2월 3일에 확인함.