| 대수 구조 |
| --- |
|  |
| 군 관련범주  ·  마그마  ·  반군  ·  모노이드  ·  준군  ·  아벨 군  ·  위상군  ·  리 군 |
| 환 관련유사환  ·  가환환  ·  정역  ·  데데킨트 정역  ·  유일 인수 분해 정역  ·  주 아이디얼 정역  ·  유클리드 정역  ·  위상환 |
| 체 관련나눗셈환  ·  체  ·  순서체  ·  대수적 수체 |
| 가군 관련아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 |
| 대수 관련등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 |
| 격자 관련반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 |
| * v
* t
* e
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대수적 수론에서 **대수적 수체**(代數的數體, 영어: algebraic number field), 줄여서 **수체**(數體, 영어: number field)는 유리수체 \mathbb {Q} 의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.

정의
--

**대수적 수체** K는 유리수체 \mathbb {Q} 의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.

### 자리

**오스트롭스키 정리**(Островский定理, 영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 수체 K 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.

* 실수로의 매장 \iota \colon K\hookrightarrow {\mathbb R}에 대하여, |\cdot |\_{\iota }=|\cdot |\_{{{\mathbb R}}}\circ \iota. 여기서 |\cdot |\_{{{\mathbb R}}}는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **실수 무한 자리**(實數無限-, 영어: real infinite place)라고 한다.
* 복소수로의 매장 \iota \colon K\hookrightarrow {\mathbb R}에 대하여 (\iota (K)\not \subset {\mathbb R}), |\cdot |\_{\iota }=|\cdot |\_{{{\mathbb C}}}\circ \iota. 여기서 |\cdot |\_{{{\mathbb C}}}는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, \iota 와 {\bar \iota }는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 **복소수 무한 자리**(複素數無限-, 영어: complex infinite place)라고 한다.
* 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 소 아이디얼 {\mathfrak {p}}에 대하여, {\mathfrak {p}}진 절댓값의 자리. 이를 **유한 자리**(有限-, 영어: finite place)라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 {\bar {{\mathbb Q}}}\_{p}로의 매장과 대응한다. 즉, \mathfrak p\mid(p)라면, {\mathfrak {p}}진 자리는 매장 K\hookrightarrow\bar{\mathbb Q}\_p을 정의하며, 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}\_p/\mathbb Q\_p)의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

* 자명 자리 |\cdot |\_{0}
* 소수 p에 대하여, p진 자리 |\cdot |\_{p}
* 하나의 실 무한 자리 |\cdot |\_{\infty }

수체 K에서, 실수 자리의 수를 r\_{1}, 복소수 자리의 수를 r\_{2}라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.

[K:{\mathbb Q}]=r\_{1}+2r\_{2}
이는 K에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)

대수적 수체 K는 대역체이므로, 다음과 같은 **곱 공식**(영어: product formula)이 성립한다.:185, Proposition III.1.3

{\displaystyle \prod \_{v}|a|\_{v}=1,\forall a\in K^{\times }}
여기서 \textstyle\prod\_v는 K의 모든 자리에 대한 곱이며, |-|\_v는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수

a=s\prod\_pp^{n\_p},\;s\in\{\pm1\}
의 경우

|a|\_\infty=\prod\_pp^{n\_p}
|a|\_p=p^{-n\_p}
이므로

|a|\_\infty|a|\_2|a|\_3\cdots=\prod\_pp^{n\_p}\cdot\prod\_pp^{-n\_p}=1
이다.

### 수체의 대수적 성질

가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.

모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.

* 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 r\_1+2r\_2와 같다 (r\_{1}은 실수 자리의 수, r\_{2}는 복소수 자리의 수).
* 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다.

그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다.

대수적 수체 K에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 \hat K는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.

{\hat K}\cong {\mathbb A}\_{K}/K

대수적 정수환의 덧셈 구조
--------------

 대수적 정수 문서를 참고하십시오.
대수적 수체 K의 **대수적 정수환**(代數的整數環, 영어: ring of algebraic integers) {\mathcal {O}}\_{K}는 \mathbb Z\subset K의, K 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.

{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}}
이는 K의 부분환을 이룬다.

대수적 수체 K의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.:192

모든 대수적 수체 K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.

* {\mathcal {O}}\_{K}는 정수적으로 닫힌 정역이다.
* {\mathcal {O}}\_{K}는 뇌터 환이다.
* 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다.

대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 K에서, 다음이 성립한다.

\mathcal O\_K\cap\mathbb Q=\mathbb Z
K=\operatorname{Frac}\mathcal O\_K
여기서 \operatorname{Frac}은 분수체를 뜻한다.

### 정수 기저

대수적 수체의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 K/{\mathbb Q}의 차수와 같다.

\operatorname{rank}\mathcal O\_K=[K:\mathbb Q]=r\_1(K)+2r\_2(K)
차수 *n*의 수체 K의 **정수 기저**(영어: integral basis)는 {\mathcal {O}}\_{K}의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 \{b\_{1},\dots ,b\_{n}\}이다. 따라서 K의 모든 대수적 정수들을

\sum \_{{i=1}}^{n}k\_{i}b\_{i} (k\_{i}\in {\mathbb Z})
로 유일하게 나타낼 수 있고, K의 모든 원소들을

\sum \_{{i=1}}^{n}r\_{i}b\_{i} (r\_{i}\in {\mathbb Q})
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가

{\displaystyle b\_{i}=b\_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r\_{1}+2r\_{2}}
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 **거듭제곱 정수 기저**(영어: power integral basis)라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 **단일생성체**(영어: monogenic field)라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

### 정칙 표현

 체 노름 문서를 참고하십시오.
 체 대각합 문서를 참고하십시오.
n차 수체 K의 정수 기저 v\_{1},\dots ,v\_{n}\subset {\mathcal O}\_{K}가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

xv\_{i}=\sum a\_{{ij}}v\_{j}.
따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬

X = (a\_{ij})\_{i,j=1,\dots,n}
로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ... vn에 대한 **정칙 표현**(正則表現, 영어: regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 x가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

X의 고유 다항식

\det(\lambda-X)=\lambda^n+c\_1\lambda^{n-1}+\cdots+c\_n
은 x를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, X의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

\operatorname{tr}X=-c\_1
\det X=(-1)^nc\_n
이 경우, X의 대각합은 \operatorname T\_{K/\mathbb Q}(x)로 쓰고, **x의 대각합**이라고 한다. 마찬가지로, X의 행렬식은 \operatorname N\_{K/\mathbb Q}(x)로 쓰고, **x의 노름**이라 한다.

대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.

* (대각합의 선형성) \operatorname T\_{K/\mathbb Q}(ax+by)=a\operatorname T\_{K/\mathbb Q}(x)+b\operatorname T\_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a,b\in\mathbb Q
* (노름의 승법성) \operatorname N\_{K/\mathbb Q}(axy)=a^n\operatorname N\_{K/\mathbb Q}(x)\operatorname N\_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a\in\mathbb Q

### 판별식

수체의 **판별식**(判別式, 영어: discriminant)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

수체 K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 정수 기저 \{b\_1,\dots,b\_r\}\subset O\_K를 고르자 (r=r\_1+2r\_2). K의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

\sigma\_1^{\mathbb R},\dots,\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R
\sigma\_1^{\mathbb C},\dots,\sigma\_{r\_2}^{\mathbb C}\colon K\hookrightarrow\mathbb C
그렇다면 다음과 같은 r\times r 정사각 행렬을 정의할 수 있다.

M=\begin{pmatrix}
\sigma\_1^{\mathbb R}(b\_1)&\cdots\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}(b\_1)&\sigma\_1^{\mathbb C}(b\_1)&\cdots\sigma\_{r\_2}^{\mathbb C}(b\_1)&\bar\sigma\_1(b\_1)&\cdots&\bar\sigma\_{r\_2}(b\_1)\\
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
\sigma\_1^{\mathbb R}(b\_r)&\cdots\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}(b\_r)&\sigma\_1^{\mathbb C}(b\_r)&\cdots\sigma\_{r\_2}^{\mathbb C}(b\_r)&\bar\sigma\_1(b\_r)&\cdots&\bar\sigma\_{r\_2}(b\_r)\\
\end{pmatrix}

이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 K의 **판별식** \Delta \_{K}라고 한다.

\Delta\_K=(\det M)^2
수체의 판별식 \Delta \_{K}는 다음과 같은 성질을 가진다.

* **브릴 정리**(영어: Brill’s theorem): 수체의 판별식의 부호는 \operatorname{sgn}\Delta\_K=(-1)^{r\_2(K)}이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
* **슈티켈베르거 정리**(영어: Stickelberger’s theorem): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
\Delta \_{K}\equiv 0,1{\pmod 4}
* **민코프스키 하한**(영어: Minkowski’s bound): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 r=r\_1+2r\_2=[K:\mathbb Q]이다.
\sqrt{|\Delta\_K|}\ge\frac{r^r}{r!}\left(\frac\pi4\right)^{r\_2}
* **민코프스키 정리**(영어: Minkowski’s theorem): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
|\Delta \_{K}|\geq 2\qquad (K\neq {\mathbb Q})
* **에르미트-민코프스키 정리**(영어: Hermite–Minkowski theorem): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

대수적 정수환의 곱셈 구조
--------------

### 디리클레 가역원 정리

K에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, \operatorname{Tors}(\mathcal O\_K^\times)라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, K에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 w\_K라고 하면

\operatorname{Tors}(\mathcal O\_K^\times)=\operatorname{Cyc}(w\_K)이다.
**디리클레 가역원 정리**(Dirichlet可逆元定理, 영어: Dirichlet unit theorem)에 따르면, K의 대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 가역원군 \mathcal O\_K^\times은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.

\mathcal O\_K^\times\cong\operatorname{Cyc}(w\_k)\oplus\mathbb Z^{\oplus(r\_1+r\_2-1)}
즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 r\_1+r\_2-1이다. 예를 들어, 다음과 같다.

| 수체 | 가역원군 | 실수 자리 수 r\_{1} | 복소수 자리 수 r\_{2} | 가역원군의 크기 | 차수 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \mathbb {Q}  | \{\pm 1\} | 1 | 0 | 0 | 1 |
| {\mathbb Q}({\sqrt d}) (d는 양의 무제곱 정수) |  | 2 | 0 | 1 | 2 |
| {\mathbb Q}({\sqrt {-d}}) (d는 양의 무제곱 정수) |  | 0 | 1 | 0 | 2 |
| {\mathbb Q}(i) (가우스 정수) | \{\pm 1,\pm i\} | 0 | 1 | 0 | 2 |
| {\mathbb Q}(\omega )/(\omega ^{2}+\omega +1) (아이젠슈타인 정수) | \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\} | 0 | 1 | 0 | 2 |

### 가역원 기준

수체의 **가역원 기준**(可逆元基準, 영어: regulator 레귤레이터[\*])은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

대수적 정수환 {\mathcal {O}}\_{K}의 가역원군 \mathcal O\_K^\times이 주어졌다고 하자. K에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 \operatorname{Cyc}(m)=\{1,\zeta\_m,\zeta\_m^2,\dots\}에 대한 몫군

\mathcal O\_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)
을 생각하자. 이 군의 생성원

\mathcal O\_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)=\langle u\_1,\dots,u\_r\rangle
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, r=r\_1(K)+r\_2(K)-1이다 (r\_1(K)은 실수 자리의 수, r\_2(K)는 복소수 자리의 수).

K의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

\sigma^{\mathbb R}\_1,\dots,\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R
\sigma\_1^{\mathbb C},\dots,\sigma^{\mathbb C}\_{r\_2}\colon K\hookrightarrow\mathbb C
그렇다면 다음과 같은 r\times(r+1)행렬을 생각하자.

M=\begin{pmatrix}
\ln|\sigma\_1^{\mathbb R}(u\_1)|&\cdots&\ln|\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}(u\_1)|&2\ln|\sigma\_1^{\mathbb C}(u\_1)|&\cdots&2\ln|\sigma\_{r\_2}^{\mathbb C}(u\_1)|\\
\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
\ln|\sigma\_1^{\mathbb R}(u\_r)|&\cdots&\ln|\sigma\_{r\_1}^{\mathbb R}(u\_r)|&2\ln|\sigma\_1^{\mathbb C}(u\_r)|&\cdots&2\ln|\sigma\_{r\_2}^{\mathbb C}(u\_r)|\\
\end{pmatrix}

M의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.

\sum\_jM\_{i,j}=\ln\left|f\_1(u\_i)\cdots f\_{r\_1}(u\_i)g\_1(u\_i)^2\cdots g\_{r\_2}(u\_i)^2
\right|=\ln|\operatorname N\_{K/\mathbb Q}(u\_i)|=0\quad\forall i=1,\dots,r
M에서 임의의 한 열 M\_{-,j}을 제거한 r\times r 정사각 행렬을 M\_{-,\hat j}라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 \det M\_{-,\hat j}는 j에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 u\_i의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 K의 **가역원 기준** \operatorname{Reg}\_K라고 한다.

\operatorname{Reg}\_K=\det M\_{-,\hat j}\quad\forall j=1,\dots,r+1
### 유일 인수 분해의 실패

 이 부분의 본문은 유수 공식입니다.
대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 H\_K 및 그 크기인 유수(類數) h\_K=|H\_K|를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.

### 분기화

 이 부분의 본문은 분기화입니다.
대수기하학적으로, 포함 관계 \mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O\_K는 반대로 스킴 사상 \operatorname{Spec}\mathcal O\_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 K/{\mathbb Q} 및 소수 p\in\mathbb Z^+가 주어졌을 때, p로 생성되는 주 아이디얼은 {\mathcal {O}}\_{K}에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.

(p)=\mathfrak p\_1^{e\_1}\mathfrak p\_2^{e\_2}\dotsb\mathfrak p\_k^{e\_k}
여기서 e\_{i}를 K의 {\mathfrak p}\_{i}에서의 **분기 지표**(영어: ramification index)라고 한다.

이 경우, p는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

* 만약 e\_{i}>1인 {\mathfrak p}\_{i}가 존재한다면, p는 **분기화된다**(영어: ramified).
* 만약 모든 e\_i=1이라면, p는 **분기화되지 않는다**(영어: unramified)
	+ 만약 k=1이라면, p는 **분해되지 않는다**(영어: unsplit).
	+ 만약 k>1이지만 e\_{1}=e\_{2}=\dots =e\_{k}=1이라면, p는 (다른 소수들의 곱으로) **분해된다**(영어: split).

수체 K/{\mathbb Q}에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* 소수 p는 분기화된다.
* \mathcal O\_K/(p)=\prod\_i\mathcal O\_K/\mathfrak p\_i^{e\_i}는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
* p\mid\Delta\_K. 여기서 \Delta \_{K}는 K의 판별식이다.

판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

대수기하학적으로, 포함 관계 \mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O\_K는 반대로 스킴 사상 \operatorname{Spec}\mathcal O\_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체의 기타 불변량
----------

위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 K에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.

* K의 **종수체**(영어: genus field) G/K. 이는 K의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 **종수군**(영어: genus group)이라고 하며, 종수체의 차수는 **종수**(영어: genus) g(K)=[G:K]라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다.
* K의 **힐베르트 유체**(영어: Hilbert class field) E/K. 이 역시 K의 아벨 확대이다. E/K의 갈루아 군은 K의 아이디얼 유군과 같다.
* K의 **데데킨트 제타 함수** \zeta \_{K}(s). 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
* **아델 환** \mathbb A\_K. 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 **이델 군**이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.

예
-

다음과 같은 예들이 있다.

* 유리수체 \mathbb {Q}
* 이차 수체
* 원분체
* \mathbb Q(\sqrt[3]2)는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 x^3-2의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
* x^3-x^2-2x-8의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.

### 유리수체

 이 부분의 본문은 유리수입니다.
유리수체 \mathbb {Q} 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

**오스트롭스키 정리**(영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 \mathbb {Q} 는 다음과 같은 자리들을 가진다.

* 자명한 자리
|x|={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}
* 표준 자리 (통상적인 절댓값)
* 소수 *p*에 대하여, *p*진 자리
{\begin{cases}|0|&=0\\|p^{n}a/b|\_{p}=p^{{-n}}\end{cases}}
(a,b,p는 서로소)

특히, \mathbb {Q} 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.

r\_1(\mathbb Q)=1
r\_2(\mathbb Q)=0
유리수체의 대수적 정수환은 정수환 \mathbb {Z} 이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.

\operatorname T\_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=\operatorname N\_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=x
유리수체의 대수적 정수환 \mathbb {Z} 의 정수 기저는 \{1\}을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.

\Delta\_{\mathbb Q}=\left(\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\right)^2=1
유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 \{\pm 1\}이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.

\operatorname{Reg}\_{\mathbb Q}=1
유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 \zeta (s)이다. 리만 제타 함수의 s=1에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.

1=\frac{2^{r\_1(\mathbb Q)}(2\pi)^{r\_2(\mathbb Q)}h\_{\mathbb Q}\operatorname{Reg}\_{\mathbb Q}}{|\operatorname{Tors}(\mathcal O\_{\mathbb Q}^\times)|\sqrt{|\Delta\_{\mathbb Q}|}}
=\frac{2^1\cdot(2\pi)^0\cdot1\cdot1}{2\cdot\sqrt{|1|}}=1
### 이차 수체

 이 부분의 본문은 이차 수체입니다.
제곱 인수가 없는 정수 d에 대하여, 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)=\mathbb Q+\sqrt d\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-d)
를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, d가 양수일 경우 **실수 이차 수체**, 음수일 경우 **허수 이차 수체**라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 \mathbb Q(i)=\mathbb Q+i\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-1)가 있다. 다른 예로, \mathbb Q(\sqrt{-5})는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)}이다.

기저를 \{1,{\sqrt d}\}로 잡으면, 각 원소

a+b{\sqrt d}\in {\mathbb Q}({\sqrt d})
는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다.

a+b{\sqrt d}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.

T(a+b{\sqrt d})=2a
N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}
이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 d에 대하여,

\Delta \_{{{\mathbb Q}({\sqrt d})}}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod 4}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod 4}\end{cases}}
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 **기본 판별식**(영어: fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS의 수열 A003658)
음의 기본 판별식들은 다음과 같다.

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS의 수열 A003657)
### 원분체

 이 부분의 본문은 원분체입니다.
원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 \zeta\_n을 추가하여 정의한다.

\mathbb Q(\zeta\_n)=\mathbb Q[x]/(x^n-1)
특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 \mathbb Q(\zeta\_3)=\mathbb Q+\mathbb Q(\zeta\_3)가 있다.

n>2일 때, 원분체 \mathbb Q(\zeta\_n)의 판별식은 다음과 같다.

\Delta \_{{{\mathbb Q}(\zeta \_{n})}}=(-1)^{{\varphi (n)/2}}n^{{\varphi (n)}}\prod \_{{p|n}}p^{{-\varphi (n)/(p-1)}}
여기서

* \varphi (n)은 오일러 피 함수이다.
* \prod \_{{p|n}}은 n의 소인수들에 대한 곱이다.

### 대수적 수체가 아닌 확대

다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.

* \mathbb Q(\pi)/\mathbb Q는 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* {\mathbb R}/{\mathbb Q}나 \mathbb C/\mathbb Q 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* \mathbb Q(x)/\mathbb Q 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* 대수적 수의 체를 \bar\mathbb Q라고 하자. \bar\mathbb Q/\mathbb Q는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
* {\mathbb C}/{\mathbb R}는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.

참고 문헌
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1. ↑  Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) **322**. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
2. ↑  Cassels, J.W.S. (1986). 《Local fields》. London Mathematical Society Student Texts (영어) **3**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.

* Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **110** 2판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
* Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **84** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISSN 0072-5285.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)