리 대수 이론에서, **무게**(영어: weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의
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체 K에 대한 리 대수 {\mathfrak {g}}의 **무게** {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {g}}^{\vee }}는 다음 성질을 만족시키는 K-선형 범함수이다. (여기서 (-)^{\vee }는 쌍대 공간이다.)

{\displaystyle \lambda ([a,b])=0\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}}
무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 {\mathfrak {g}}의 무게는 그 가환화 \mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g]의 무게로 제한될 수 있다. 즉, {\mathfrak {g}}의 무게는 (\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g])^\*의 원소를 정의한다.

### 무게 가군

다음이 주어졌다고 하자.

* 체 K
* K-리 대수 {\mathfrak {g}}
* {\mathfrak {g}}의 표현 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {\mathfrak {gl}} (V;K)}
* {\mathfrak {g}}의 무게 \lambda\in\mathfrak g^\*

그렇다면, V 속의, 무게 \lambda 의 **무게 공간**(영어: weight space) V\_\lambda는 V의 다음과 같은 부분 공간이다.

V\_\lambda=\{v\in V\colon \forall a\in\mathfrak g\colon av=\lambda(a)v\}
{\displaystyle V\_{\lambda }\neq \{0\}}이라면 \lambda 를 V의 **무게**라고 하고, 무게 공간의 원소를 **무게 벡터**(영어: weight vector)라고 한다.

만약 V가 그 무게 공간들의 직합이라면, V를 {\mathfrak {g}}의 **무게 가군**(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. V 속의, 무게 \lambda 의 **일반화 무게 공간**(영어: generalized weight space) V\_\lambda는 V의 다음과 같은 부분 공간이다.:130

{\displaystyle V\_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (a-\lambda (a))^{n}v=v\}}
{\displaystyle V\_{\lambda }\neq \{0\}}이라면 \lambda 를 V의 **일반화 무게**(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 **일반화 무게 벡터**(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원 V의 경우 사실 항상 {\displaystyle n=\dim V}로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 **일반화 무게 가군**(영어: generalized weight module)이라고 한다.

성질
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복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 {\mathfrak {n}}의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.:130, Proposition II.2.4

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 \mathfrak a의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

### 반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게

만약 {\mathfrak {g}}가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}를 고르자. {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}이므로, {\mathfrak {g}} 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 {\mathfrak {h}}는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, {\mathfrak {g}}의 모든 유한 차원 표현은 ({\mathfrak {h}}에 제한되었을 때) {\mathfrak {h}}의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 V=\mathfrak g의 {\mathfrak {h}}-무게들을 {\mathfrak {g}}의 **근**(根, 영어: root)이라고 하며, 이들은 {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\*}}의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 \lambda 에 대응하는 **쌍대근**(雙對根, 영어: coroot) {\displaystyle \lambda ^{\vee }\in {\mathfrak {h}}}은

\lambda^\vee=\frac{2\lambda}{\langle\lambda,\lambda\rangle}
이다.

### 단순 리 대수의 무게

{\mathfrak {g}}가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}를 고르자. {\mathfrak {g}}의 **정수 무게**(整數-, 영어: integral weight) \lambda \in {\mathfrak h}^{\*}는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

* 모든 쌍대근 \gamma^\vee=2\gamma/\langle\gamma,\gamma\rangle에 대하여, \lambda(\gamma^\vee)\in\mathbb Z. (다시 말해, 모든 근 \gamma 에 대하여, {\displaystyle 2\langle \lambda ,\gamma \rangle /\langle \gamma ,\gamma \rangle \in \mathbb {Z} }.)

정수 무게들의 집합 {\displaystyle P({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \mathbb {h} }는 (덧셈군으로서) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus \dim {\mathfrak {h}}}}와 동형이며, 이를 **정수 무게 격자**(영어: integral weight lattice)라고 한다.

{\mathfrak {g}}의 근계의 양근 {\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 및 이를 생성하는 단순근 {\displaystyle \operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}를 고르자.
그렇다면, {\mathfrak {g}}의 **기본 무게**(基本-, 영어: fundamental weight) \lambda\_i는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 {\displaystyle \operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=(\alpha \_{i})\_{i\in \{1,\dotsc ,\dim \_{\mathbb {h} }\}}}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 {\displaystyle (\omega \_{i})\_{i\in \{1,\dotsc ,\dim \_{\mathbb {h} }\}}\subseteq {\mathfrak {h}}}이다.

{\displaystyle 2{\frac {\langle \omega \_{i},\alpha \_{j}\rangle }{\langle \alpha \_{j},\alpha \_{j}\rangle }}=\delta \_{ij}}
이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

{\mathfrak {g}}의 **우세 무게**(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 {\displaystyle \gamma \in {\mathfrak {h}}}가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) \alpha 에 대하여

{\displaystyle \langle \gamma ,\alpha \rangle \geq 0}
인 것이다. {\mathfrak {g}}의 **우세 정수 무게**(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 **기본 바일 방**(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 무게 | ⊃ | 정수 무게 | ⊃ | *근* | ⊃ | *양근* | ⊃ | *단순근* |
| ∪ |  | ∪ |
| 우세 무게 | ⊃ | 우세 정수 무게 | ⊃ | *기본 무게* |
|  |  | ⟒ |
|  |  | *영벡터* (0) |

여기서

* 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
* *기울어지게* 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

예
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다음과 같은 A2 근계를 생각하자.

여기서

* 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
* 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
* 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 화살표의 머리들({\displaystyle \pm \gamma \_{1}}, {\displaystyle \pm \gamma \_{2}}, {\displaystyle \pm (\gamma \_{1}+\gamma \_{2})})은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
* 양근은 {\displaystyle \gamma \_{1}}, {\displaystyle \gamma \_{2}}, {\displaystyle \gamma \_{1}+\gamma \_{2}}이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
* 단순근은 {\displaystyle \gamma \_{1}}, {\displaystyle \gamma \_{2}}이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
* 기본 무게는 \omega \_{1}, \omega \_{2}이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B2 근계를 생각하자.

여기서

* 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 격자 {\displaystyle \mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \beta /2}의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
* {\displaystyle \mathbb {N} (\alpha +\beta )+\mathbb {N} (\alpha +\beta /2)}의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
* 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 화살표의 머리들({\displaystyle \pm \alpha }, {\displaystyle \pm \beta }, {\displaystyle \pm (\alpha +\beta )} {\displaystyle \pm (2\alpha +\beta )})은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
* 양근은 \alpha , \beta, \alpha +\beta , {\displaystyle 2\alpha +\beta }이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
* 단순근은 \alpha , \beta이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
* 기본 무게는 \alpha +\beta , {\displaystyle \alpha +\beta /2}이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

참고 문헌
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1. 1 2  Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) **140** 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

* Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **129**. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001.