작용소 이론에서 **에르미트 수반**(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의
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{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두 {\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V, W 사이의 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환 {\displaystyle A\colon V\to W}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A의 **에르미트 수반**은 다음과 같은 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환이다.

{\displaystyle A^{\*}\colon W'\to V'}
{\displaystyle A^{\*}\phi \colon v\mapsto \phi (Av)\qquad (\forall \phi \in W',\;v\in V)}
여기서 V'와 {\displaystyle W'}은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 V 또는 W가 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 {\displaystyle V'\cong {\bar {V}}}, {\displaystyle W'\cong {\bar {V}}}가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 {\displaystyle {\bar {W}}\to {\bar {V}}}가 된다.

### 부분 정의 작용소의 경우

{\displaystyle \mathbb {K} }-바나흐 공간 V, W가 주어졌으며, V 속의 조밀 부분 {\displaystyle \mathbb {K} }-벡터 공간 {\displaystyle D\subseteq V} 위에 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환

{\displaystyle A\colon D\to W}
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

{\displaystyle A^{\*}\colon W'\to D'}
을 얻을 수 있다. 그러나 {\displaystyle D'\supseteq V'}이므로, 만약 공역이 V'이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 {\displaystyle E\subseteq W'}으로 제한하여야 한다.

이 경우, {\displaystyle E\subseteq W'}를 다음과 {\displaystyle \phi \circ A}가 유한 유계 작용소가 되게 하는 {\displaystyle \phi \in W'}들의 공간으로 정의하자.

{\displaystyle \phi \in E\iff \|\phi \circ A\|=\sup \_{v\in D\setminus \{0\}}{\frac {|\phi (Av)|}{\|v\|\_{V}}}<\infty }
그렇다면, 정의에 따라, 임의의 {\displaystyle \phi \in E}에 대하여,

{\displaystyle \phi \circ A\colon D\to \mathbb {K} }
는 D 위의 유계 작용소이다. 즉, {\displaystyle \phi \circ A\in D'}이며, 이는 {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환

{\displaystyle (\circ A)\colon E\to D'}
을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 {\displaystyle \phi \in E}에 대하여 {\displaystyle \phi \circ A}는 사실 {\displaystyle V'\subseteq D'}에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, {\displaystyle \mathbb {K} }-선형 변환

{\displaystyle A^{\*}\colon E\to V'}
이 존재한다. 이를 A의 **에르미트 수반**이라고 한다.

### 힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우

{\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 ({\mathcal H},\langle \cdot |\cdot \rangle )의 조밀 부분공간 \operatorname {dom}A\subset {\mathcal H}에 정의된 선형변환 A\colon \operatorname {dom}A\to {\mathcal H}의 **수반**(영어: adjoint) A^{\*}은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 \operatorname {dom}A가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.):59

* \operatorname {dom}A^{\*}=\{u\in {\mathcal H}|\forall v\in \operatorname {dom}A\exists {\tilde u}\in {\mathcal H}\colon \langle u|Av\rangle =\langle {\tilde u}|v\rangle \}
* \forall v\in \operatorname {dom}A\colon \langle A^{\*}u|v\rangle =\langle u|Av\rangle

성질
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일반적으로, \operatorname {dom}A가 조밀하더라도 \operatorname {dom}A^{\*}는 조밀하지 못할 수 있다.:59

A 및 A'이 {\displaystyle \mathbb {K} }-힐베르트 공간 {\mathcal {H}} 전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, {\displaystyle \lambda ,\lambda '\in \mathbb {K} }라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

* \operatorname {dom}A=\operatorname {dom}A^{\*}={\mathcal H}
* A^{{\*\*}}=A
* (\lambda A+\lambda A')^{\*}={\bar \lambda }A^{\*}+{\bar \lambda }'A'^{\*}
* {\displaystyle (AA')^{\*}=A'^{\*}A^{\*}}
* \|A\|=\|A^{\*}\| (\|\cdot \|는 작용소 노름)
* \|A^{\*}A\|=\|A\|^{2}

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ({\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }인 경우) 대칭 행렬이거나 ({\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }인 경우) 에르미트 행렬이다.

참고 문헌
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1. 1 2  Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) **99**. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.