수학에서 **드무아브르의 공식**(영어: de Moivre’s formula) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 *i*는 허수 단위를 뜻한다.

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos {nx}+i\sin {nx}
이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.

x가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 \cos {x},\sin {x}만을 사용하여 \cos {nx}와 \sin {nx}을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, z^{n}=1의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.

유도
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역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

e^{{ix}}\,=\,\cos x+i\sin x
지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

\left(e^{{ix}}\right)^{n}=e^{{inx}}
그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

e^{{i(nx)}}\,=\,\cos {nx}+i\sin {nx}

수학적 귀납법을 이용한 증명
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세 가지 경우로 나누어 생각한다.

n>0인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n=1일 때, 이 등식은 참이다. 이제 k일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\,=\,\cos {kx}+i\sin {kx}
이제 n=k+1일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{{k+1}}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{{k}}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos {kx}+i\sin {kx}\right)\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\cos {kx}\cos x-\sin {kx}\sin x+i\left(\cos {kx}\sin x+\sin {kx}\cos x\right)\\&=\cos {\left(k+1\right)x}+i\sin {\left(k+1\right)x}\end{alignedat}}
이 식이 n=k+1일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 \scriptstyle n\geq 1인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 n=0일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, \scriptstyle \cos {0x}+i\sin {0x}=1+i\cdot 0=1 또는 z^{0}=1라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 n<0일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 n=-m을 만족하는 양의 정수 m에 대하여 생각하여 보면,

{\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{{n}}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{{-m}}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{{m}}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos {mx}-i\sin {mx}\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos {nx}+i\sin {nx}\end{aligned}}
이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법
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복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다.   

만약 {\displaystyle \cos x}와 {\displaystyle \sin x}가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {nx}&=\sum \_{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i}(\sin {x})^{2i}&&=\sum \_{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i}}(\cos {x})^{n-2i}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\sin {nx}&=\sum \_{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(-1)^{i}(\cos {x})^{n-2i-1}(\sin {x})^{2i+1}&&=(\sin {x})\sum \_{i=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\tbinom {n}{2i+1}}(\cos {x})^{n-2i-1}((\cos {x})^{2}-1)^{i}\\\end{alignedat}}}
이 식은 x가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 n=2,3을 대입해보면,

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos {2x}&=(\cos {x})^{2}+((\cos {x})^{2}-1)&&=2(\cos {x})^{2}-1\\\sin {2x}&=2{\sin {x}}{\cos {x}}\\\cos {3x}&=(\cos {x})^{3}+3\cos {x}((\cos {x})^{2}-1)&&=4(\cos {x})^{3}-3\cos {x}\\\sin {3x}&=3(\cos {x})^{2}{\sin {x}}-(\sin {x})^{3}&&=3\sin {x}-4(\sin {x})^{3}\\\end{alignedat}}}
\scriptstyle \cos {nx}에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 \scriptstyle T\_{n}(\cos x)의 값이다.

일반화
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이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. z와 w가 복소수라면, \cos(wz)+i\sin(wz)\,와는 달리

\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}
는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서

\cos(wz)+i\sin(wz)\,
는 \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,의 여러 값중 하나일 뿐이다.

복소평면위에 찍은 x^{3}-1=0의 근.

활용
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이 공식은 x^{n}-1=0의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 w가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,
이 때 k가 정수라면,

w^{{{}^{{{\frac {1}{n}}}}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{{}^{{{\frac {1}{n}}}}}}=r^{{{}^{{{\frac {1}{n}}}}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]
n개의 서로 다른 근을 구할 때, k=0부터 n-1까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.
  

또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, {\displaystyle x^{n}=a}의 꼴로, 이항방정식 이되겠다.

역사
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아브라암 드무아브르가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.

참고 문헌
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* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. *(p. 74)*.