환론에서 **반완전환**(半完全環, 영어: semiperfect ring)은 모든 유한 생성 가군이 사영 덮개를 갖는 환이다.

정의
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환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **반완전환**(영어: semiperfect ring)이라고 한다.

* {\displaystyle 1=e\_{1}+e\_{2}+\cdots +e\_{k}}가 되는, 국소 멱등원들의 직교 유한 집합 {\displaystyle \{e\_{1},e\_{2},\dots ,e\_{k}\}}가 존재한다.:347, Theorem 23.6
* {\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)}는 반단순환이며, {\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)}의 모든 멱등원 {\displaystyle [e]\in R/\operatorname {rad} (R)}에 대하여 {\displaystyle e\in [e]}가 되는 R-멱등원 e\in R가 존재한다.:346, Definition 23.1
* 모든 R-유한 생성 왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.
* 모든 R-유한 생성 오른쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.

(여기서 모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환·오른쪽 아르틴 환이며, {\displaystyle \operatorname {rad} R}는 제이컵슨 근기를 뜻한다.)

환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **왼쪽 완전환**(-完全環, 영어: left perfect ring)이라고 한다.

* 모든 R-왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.
* 모든 R-평탄 왼쪽 가군은 사영 왼쪽 가군이다.
* (배스 정리 P 영어: Bass’s theorem P) R-주 오른쪽 아이디얼들 {\displaystyle \{rR\colon r\in R\}}은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (※ 왼쪽이 아니라, 주 오른쪽 아이디얼이다.)
* {\displaystyle R/\operatorname {rad} R}는 반단순환이며, 임의의 열 {\displaystyle j\_{0},j\_{1},j\_{2},\dots \in \operatorname {rad} R}에 대하여 {\displaystyle j\_{0}j\_{1}j\_{2}\cdots j\_{n}=0}이 되는 자연수 n\in \mathbb {N} 이 존재한다.
* {\displaystyle R/\operatorname {rad} R}는 반단순환이며, 모든 R-왼쪽 가군은 영가군이 아니라면 극대 부분 가군을 갖는다.

마찬가지로 **오른쪽 완전환**(-完全環, 영어: right perfect ring)의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다.

성질
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반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 (가군만을 통해 정의되므로) 모리타 동치에 대하여 불변이다.

### 함의 관계

임의의 (곱셈 항등원을 갖는) 환에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.:335

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 오른쪽 아르틴 환 | ⇒ | 오른쪽 뇌터 환 |  | 오른쪽 완전환 |
|  | ⇘ |  | ⇗ |  | ⇘ |
|  |  | 반으뜸환 |  | 국소환 | ⇒ | 반완전환 | ⇒ | 반국소환 |
|  | ⇗ |  | ⇘ |  | ⇗ |
| 왼쪽 아르틴 환 | ⇒ | 왼쪽 뇌터 환 |  | 왼쪽 완전환 |

여기서 **반으뜸환**(半-環, 영어: semiprimary ring)은 그 제이컵슨 근기 {\displaystyle \operatorname {rad} R}가 멱영 아이디얼이며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환 {\displaystyle R/\operatorname {rad} R}가 반단순환인 환 R를 뜻한다.

### 사영 가군

R가 반완전환이며, \{e\_1,\dots,e\_k\}가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자.

반완전환 R 위의 모든 유한 생성 사영 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}은 다음과 같은 꼴의 유한 직합으로 분해된다.

{\displaystyle M=(Re\_{1})^{\oplus n\_{1}}\oplus (Re\_{2})^{\oplus n\_{2}}\oplus \cdots \oplus (Re\_{k})^{\oplus n\_{k}}}
여기서 각 {\displaystyle n\_{k}\in \mathbb {N} }은 자연수이다.

R가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자. R 위의 모든 사영 왼쪽 가군 {\displaystyle \_{R}M}은 다음과 같은 꼴 직합으로 분해된다.

{\displaystyle M=(Re\_{1})^{\oplus \kappa \_{1}}\oplus (Re\_{2})^{\oplus \kappa \_{2}}\oplus \cdots \oplus (Re\_{k})^{\oplus \kappa \_{k}}}
여기서 각 {\displaystyle \kappa \_{i}}는 (무한 또는 유한) 기수이다.

### 주 분해 불가능 가군

R가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, 원시 멱등원 e\in R에 대하여, Re와 같은 꼴의 왼쪽 가군을 **주 분해 불가능 왼쪽 가군**(영어: principal indecomposable left module)이라고 한다. 이들은 분해 불가능 가군이며 사영 가군이다.

그렇다면, R 위의 단순 왼쪽 가군들의 동형류 집합은 R 위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 원시 멱등원 e\in R가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군 Re에 대응하는 단순 왼쪽 가군은

{\displaystyle {\frac {Re}{\operatorname {rad} (R)e}}}
이다.

### 나카야마 순열

반완전환 R가 유한 개의 원시 멱등원 {\displaystyle \{e\_{1},\dots ,e\_{n}\}}을 갖는다고 하자. 만약

{\displaystyle \operatorname {soc} (Re\_{\sigma (i)})\cong {\frac {Re\_{i}}{\operatorname {rad} (R)e\_{i}}}}
{\displaystyle \operatorname {soc} (e\_{i}R)\cong {Re\_{\sigma (i)}}{e\_{\sigma (i)}\operatorname {rad} (R)}}
라면, \sigma 를 R의 **나카야마 순열**([中山]順列, 영어: Nakayama permutation)이라고 한다. 이는 나카야마 다다시가 도입하였다.

분류
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반완전환 R는 다음과 같은 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.:361, Theorem 25.4

{\displaystyle R=e\_{1}R\times e\_{2}R\times \cdots \times e\_{k}R}
여기서 각 {\displaystyle e\_{i}\in \operatorname {Z} (R)}는 중심에 속하는 원시 멱등원들이다. 각 {\displaystyle e\_{i}R}는 항등원 {\displaystyle e\_{i}\in e\_{i}R}를 갖는 반완전환이다.

반완전환 R의 **기초 멱등원**(영어: basic idempotent) e\in R는 다음과 같은 꼴의 멱등원이다.

{\displaystyle e=e\_{1}+e\_{2}+\cdots +e\_{k}}
여기서

* 각 {\displaystyle e\_{i}\in R}는 원시 멱등원이며, {\displaystyle e\_{i}e\_{j}=e\_{j}e\_{i}\qquad \forall i,j}이다.
* {\displaystyle \{Re\_{1},Re\_{2},\dots ,Re\_{k}\}}는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다.

기초 멱등원 e\in R가 주어졌을 때, {\displaystyle eRe}는 반완전환을 이루며, 이는 R의 모리타 동치류의 표준적인 대표원을 이룬다.:364

역사
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1956년에 사무엘 에일렌베르크는 모든 대상이 사영 덮개를 갖는 아벨 범주를 "완전 범주"(영어: perfect category)라고 명명하였다. 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, 하이먼 배스가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5  Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) **131** 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.
2. ↑  Eilenberg, Samuel (1956년 9월). "Homological dimension and syzygies". 《Annals of Mathematics》 (영어) **64** (2): 328–336. doi:10.2307/1969977. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969977.
3. ↑  Bass, Hyman (1960). "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings". 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) **95** (3): 466–488. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993568. MR 0157984.