**라플라스 변환**(Laplace transform)은 어떠한 함수 f(t)에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의
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함수 f(t)의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F(s)로 정의된다.

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int \_{{0^{-}}}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.
여기서 0^{-}는 \lim \_{{\epsilon \rightarrow +0}}-\epsilon 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 s=\sigma +i\omega \,, σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}로 표기하기도 한다.

성질
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### 선형성

{\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}
### 미분

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}
{\mathcal {L}}\left\{f^{{(n)}}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{{n-1}}f(0)-\cdots -f^{{(n-1)}}(0)
{\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)
{\mathcal {L}}\{t^{{n}}f(t)\}=(-1)^{{n}}F^{{(n)}}(s)
{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int \_{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma 
### 적분

{\mathcal {L}}\left\{\int \_{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)\*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)
### *t* shifting

{\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{{-as}}F(s)
{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{e^{{-as}}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)
참고: u(t)는 층계 함수이다.

### 합성곱

{\mathcal {L}}\{f\*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}
### 주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

{\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{{-ps}}}\int \_{0}^{p}e^{{-st}}f(t)\,dt

역변환
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함수 f(t)의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 다음 식을 통해 F(s)로부터 f(t)를 구할 수 있다.

{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{a-i\infty }^{a+i\infty }F(s)e^{st}\,ds,\quad i={\sqrt {-1}}.}
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어

F(s)={\frac 1{s^{2}+3s+2}},
로 F(s)가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해

F(s)={\frac 1{s^{2}+3s+2}}={\frac 1{s+1}}-{\frac 1{s+2}},
를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 f(t)는 다음과 같다.

{\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{{\frac 1{s+1}}\right\}-{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{{\frac 1{s+2}}\right\}\\&=e^{{-t}}-e^{{-2t}},\quad t\geq 0.\end{aligned}}

미분방정식의 풀이
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### 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식

다음과 같은 n차 연립 상미분 방정식을 고려하자

{\dot {{\mathbf {x}}}}(t)={\mathbf {A}}{\mathbf {x}}(t)+{\mathbf {B}}{\mathbf {u}}(t).
양변에 라플라스 변환을 취하면

{\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s),}
이고 이를 {\mathbf {X}}(s)에 관해 정리하면

{\mathbf {X}}(s)=(s{\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})^{{-1}}{\mathbf {x}}(0)+(s{\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})^{{-1}}{\mathbf {B}}{\mathbf {U}}(s),
이다. 따라서, {\mathbf {x}}(t)는 다음과 같다.

{\mathbf {x}}(t)=\exp \left[{\mathbf {A}}t\right]{\mathbf {x}}(0)+\int \_{{0}}^{{t}}\exp \left[{\mathbf {A}}(t-\tau )\right]{\mathbf {B}}{\mathbf {u}}(\tau )\,d\tau .

참고 문헌
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1. ↑  Kreyszig, E. (2006). 《Advanced Engineering Mathematics》 9판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72897-9.
2. ↑  Chen, C.-T. (2009). 《Linear System Theory and Design》 3판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-539207-4.