두 점이 열린집합에 의해 분리되는 공간에 대해서는 하우스도르프 공간 문서를 참고하십시오.
일반위상수학에서 **분해 가능 공간**(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합이 조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

정의
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위상 공간 X의 **밀도**(密度, 영어: density) d(X)는 X 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 \aleph\_0 이하인 위상 공간을 **분해 가능 공간**이라고 한다.:192 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

성질
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### 제2 가산성과의 관계

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.:192

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:195

* 분해 가능 공간이다.
* 제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

콤팩트 공간 \subsetneq :194 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간:191–192
### 분해 가능성을 보존하는 연산

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y 및 조밀 집합 D\subseteq X이 주어졌을 때, 그 상 f(D)\subseteq f(X)는 치역 f(X) 속의 조밀 집합이다. 따라서

d(f(X))\le d(X)
이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.:194

위상 공간 X의 열린집합 U\subseteq X 및 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때, U\cap D는 U의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

d(U)\le d(X)
특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.:Theorem 16.4b 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간

X=\prod\_{i\in I}X\_i
및 무한 기수 \kappa 가 주어졌다고 하자. **휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리**(영어: Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem)에 따르면, 만약

{\displaystyle d(X\_{i})\leq \kappa \qquad (\forall i\in I)}
{\displaystyle |I|\leq 2^{\kappa }}
라면,

{\displaystyle d(X)\leq \kappa }
이다. 특히, 2^{\aleph \_{0}}개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.:194:109, Theorem 16.4c 곱위상 대신 상자 위상을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리의 증명::81, Theorem 2.3.15

편의상 {\displaystyle |I|=2^{\kappa }}라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 \kappa  이하인 조밀 집합 D\_i\subseteq X\_i들의 곱집합 \textstyle D=\prod\_{i\in I}D\_i\subseteq X는 조밀 집합이다. 따라서, D의 크기 \kappa  이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 이제, Y가 크기 2의 이산 공간이라고 하고, {\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}}가 {\displaystyle 2^{\kappa }}개의 크기 \kappa 의 이산 공간 Z들의 곱공간이라고 하자. 그렇다면 전사 연속 함수

{\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}\to D}
가 존재한다. 따라서 {\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}}에서 크기 \kappa  이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 곱공간 {\displaystyle Y^{\kappa }}는 크기 \kappa  이하의 기저 {\mathcal B}를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 \kappa 이다). 이제,

{\displaystyle A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}}
가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 서로소 집합들의 집합 {\displaystyle \{B\_{1},\dots ,B\_{n}\}\subset {\mathcal {B}}}가 존재하는 원소

{\displaystyle f\in Z^{Y^{\kappa }}}
들의 집합이라고 하자.

* 각 {\displaystyle f|\_{B\_{i}}\colon B\_{i}\to Z}는 상수 함수이다.
* {\displaystyle f|\_{Y^{\kappa }\setminus (B\_{1}\cup \cdots \cup B\_{n})}\colon Y^{\kappa }\setminus (B\_{1}\cup \cdots \cup B\_{n})\to Z}는 상수 함수이다.

그렇다면, {\displaystyle A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}}가 조밀 집합이며, {\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \kappa }이므로 {\displaystyle |A|\leq \kappa }이다.

### 크기 관련 성질

모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.

* 제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 2^{\aleph \_{0}} 이하이다.
* 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 2^{2^{\aleph\_0}} 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.

* 분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.:194
* 분해 가능 공간 X가 주어졌을 때, X 위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는 2^{\aleph \_{0}} 이하이다.
\mathcal C(X,\mathbb R)\le2^{\aleph\_0}

이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이 이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 {\tilde X} 및 단사 함수 \iota\colon X\hookrightarrow\tilde X를 찾을 수 있다.:49

* |X|=|\tilde X|이며, \tilde X\setminus\iota(X)는 가산 집합이다.
* X는 그 상 \iota (X)와 위상 동형이다.
* 만약 X가 하우스도르프 공간이라면, {\tilde X}역시 하우스도르프 공간이다.

### 힐베르트 공간

 힐베르트 공간 문서를 참고하십시오.
(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 {\mathcal {H}}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* {\mathcal {H}}의 힐베르트 차원이 \aleph\_0 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
* {\mathcal {H}}는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 및 L2 공간 L^2(\mathbb R)는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 \mathbb Q^n\subsetneq\mathbb R^n은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

예
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임의의 위상 공간 X에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.

d(X)\le|X|
따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

|X|=d(X)
특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다.
비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다.

{\displaystyle d(X)=\min\{1,|X|\}}
따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

역사
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휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(영어: Ralph Philip Boas Jr. 1912~1992), 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt, 1920~1999), 에드바르트 마르체프스키(폴란드어: Edward Marczewski, 1907~1976, \kappa =\aleph \_{0})가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리(영어: E. S. Pondiczery)는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

참고 문헌
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
2. 1 2  Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581.
3. ↑  Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) **6** 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
4. ↑  Sierpiński, Wacław (1952). 《General topology》. Mathematical Expositions (영어) **7**. University of Toronto Press. MR 0050870.
5. ↑  Pondiczery, E. S. (1944). "Power problems in abstract spaces". 《Duke Mathematical Journal》 (영어) **11**: 835–837. doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3. ISSN 0012-7094. MR 0011104. Zbl 0060.39601.
6. ↑  Hewitt, Edwin (1946). "A remark on density characters". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) **52**: 641–643. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08613-9. ISSN 0002-9904. MR 0017329. Zbl 0060.39602.
7. ↑  Marczewski, Edward (1947). "Separabilité et multiplication cartesienne des espaces topologiques". 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) **34**: 127–143. doi:10.4064/fm-34-1-127-143. ISSN 0016-2736. MR 0021680. Zbl 0032.19104.