**Тейлор қатары** – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.

Анықтама
--------

{\displaystyle f(x)} {\displaystyle {a}} нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}}
{\displaystyle f} функциясының a нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

### Тейлор формуласы

Теорема:

* {\displaystyle f(x)} {\displaystyle U(a,\epsilon )} a нүктесінің белгілі төңірегінде {\displaystyle n+1} туындысы болсын
* *Пусть {\displaystyle x\in U(a,\epsilon )}*
* *Пусть p — кез келген оң сан,*

онда:
{\displaystyle x<a} үшін {\displaystyle \exists } нүктесі {\displaystyle \xi \in (x,a)} немесе {\displaystyle x>a} болғанда {\displaystyle \xi \in (a,x)}  :

{\displaystyle f(x)=f(a)+\sum \_{k=1}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi )}

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары
-----------------------------------------

*f*(*x*) = 1/(1 + *x*2) функциясының *Pk* Тэйлор полиномдарымен *x* = 0 (қызыл) және *x* = 1 (жасыл) орталандырылған *k* = 1, ... 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.
Экспонента:

{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} }
Натурал логарифм:

{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін
Биномдық жіктеу:

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum \_{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін және барлық {\displaystyle ~\alpha ,} комплекс ан үшін, мұндағы

{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod \_{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}
Жекеше түрі:

* квадраттық түбір:

{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},} барлық {\displaystyle |x|<1\!} үшін
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n},} барлық {\displaystyle |x|<1} үшін
* Шекті геометриялық қатар:

{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{m}x^{n},} барлық {\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} \_{0}\!} үшін
Тригонометриялық функциялар:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
{\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},} барлық
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}},} үшін, мұндағы {\displaystyle B\_{2n}} — Бернулли сандары

{\displaystyle \sec x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін
{\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін
Гиперболалық функция:

{\displaystyle \operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
{\displaystyle \operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
{\displaystyle \operatorname {th} \,\left(x\right)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} үшін
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,\left(x\right)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін
{\displaystyle \operatorname {arth} \,\left(x\right)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}} барлық {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін

Сілтемелер
----------

1. ↑  «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 жыл. ISBN 5-89800-123-9, VIII том