Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы
---------------------------------------------

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы – үш орта перпендикулярдың қиылысу нүктесі және ол үшбұрыштың **бірінші тамаша нүктесі** болып табылады *(1 - сурет)*.

1 picture 
Үш орта перпендикулядың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

*Теорема:*

```
Кесіндінің орта перпендикулярында жататын кез-келген нүкте берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.  *(3 - сурет)*
```

2 picture 
m ─ АВ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр, ал О нүктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын *(2- сурет)*. m түзуінің бойынан кез-келген бірақ О нүктесінен басқа бір Р нүктесі алынсын. Р нүктесі мен АВ кесіндісінің ұштары қосылды.

3 picture
*Дәлелдеу керек:* АР = ВР

5 picture
*Дәлелдеуі:* АРВ үшбұрышын қарастырса, m түзуінде жатқан РО кесіндісі үшбұрыштың АВ табанына жүргізілген әрі медианасы, әрі биіктігі болып табылады. Осыдан, бұл үшбұрыш тең бүйірлі үшбұрыш және АВ ─ оның табаны. Демек, АР мен РВ үшбұрыштың бүйір қабырғалары, және олар тең, яғни АР = ВР. Дәлелденді.
Теореманы тағы басқа жолмен де дәлелдеуге болады: ОАР және ОВР тікбұрыштары екі катеті бойынша тең (ОА = ОВ, ОР ─ ортақ катет). Сондықтан, АР = ВР. Дәлелденді. *(3- сурет)*

*Кері теорема*: 

```
Кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан әр нүкте кесіндіге жүргізілген орта перпендикулярдың бойында жатады. *(5 - сурет)"*
```

4 picture 
АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жататын кез-келген N нүктесін қарастырып, оның m түзуінде жататынын дәлелдеу керек *(4 - сурет).*

7 picture
*Дәлелдеу керек* : N нүктесі m түзуінде жатады.

*Дәлелдеуі*: АNВ үшбұрышы қарастырылады: АN = NВ. Демек, АNВ үшбұрышы тең бүйірлі ұшбұрыш, сәйкесінше АВ ─ оның табаны. Демек үшбұрыштың N төбесінен табанына жүргізілген NО – оның әрі биіктігі, әрі медианасы. Осыдан, NО ─ АВ кесіндісінің орта перпендикуляры, яғни m түзуінде жатады. Дәлелденді. *(5 - сурет)"*

*Салдары:*

```
Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.  *(7- сурет )*
```

*Дәлелдеуі:* АВС үшбұрышы, m және n ─ орта перпендикуляр, және олар О нүктесінде қиылысады *(6 - сурет)*. 6 picture Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, АО = ОВ және ОВ = ОС. Бұдан, АО = ОС. Демек, О нүктесі АС-ның орта перпендикулярында жатады, яғни, m, n және р орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысады. Дәлелденді *(7 - сурет*). ,

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы
-------------------------------------------

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы - ішкі бұрыштардың үш биссектрисасының қиылысу нүктесі, және ол үшбұрыштың **екінші тамаша нүктесі** болып табылады. *(8 сурет).*
8picture

Үш биссектрисаның бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

*Теорема:*

```
Жазыңқы емес бұрыштың биссектрисасының бойындағы кез-келген нүкте оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады. *(10- сурет)*
```

9 picture

10 picture
АВС бұрышының В бұрышынан шыққан m биссектриса бойынан кез келген D нүктесі алынды (9- сурет). Осы нүктеден АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді.

*Дәлелдеу керек:* DH = DN

12 picture
*Дәлелдеуі:* ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары қарастырылады (9- сурет). Олар сүйір бұрышы және гипотенузасы бойынша тең ( BD – ортақ қабырғалары, 1 және 2 бұрыштары тең, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың DH және DN катеттері де тең, яғни DH = DN. Дәлелденді *(10- сурет).*

*Кері теорема:*

```
Бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта және бұрыштың ішінде жататын әрбір нүкте осы бұрыштың биссектрисасында жатады.   *(12- сурет)*
```

11 picture 
АВС бұрышының ішінен оның АВ және ВС қабырғаларынан тең қашықтықта жататын кез-келген D нүктесі алынды (11- сурет).

*Дәлелдеу керек:* ВD түзуі АВС бұрышының биссектрисасы.

*Дәлелдеуі:* D нүктесінен АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді. Гипотенуза мен катет бойынша ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары тең (BD – ортақ гипотенуза, берілгені бойынша DH =DN, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың HВD және NВD бұрыштары тең, яғни ВD ─ АВС бұрышының биссектрисасы. Дәлелденді *(12- сурет)*.

*Салдары:*

```
Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады. *(14- сурет)*
```

14 picture
*Дәлелдеуі:* О нүктесі ─ АА1 және ВВ1 биссектрисаларының қиылысу нүктесі (13- сурет).
13 picture О нүктесінен АВ, ВС, АС қабырғаларына сәйкесінше ОК, ОL, OM перпендикулярларын түсіреміз. Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, ОК = OM, ОК = ОL. Сондықтан, ОМ = ОL, яғни О нүктесі АСВ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтыұта, бұдан О нүктесі осы бұрыштың СС1 биссектрисасында жатады. Сондықтан да АВС үшбұрышының барлық үш биссектрисасы да бір О нүктесінде қиылысатыны дәлелденді *(14- сурет)*. 



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Бұл үлгіні қарау Бұл үлгіні талқылау Бұл үлгіні өңдеуҮшбұрыш |
| --- |
|  |
| Үшбұрыштардың түрлері | 
Дұрыс үшбұрыш • Тікбұрышты үшбұрыш (Гипотенуза • Катеттер) • Тең бүйірлі үшбұрыш |
|  |
| Үшбұрышқа қатысты сызықтар | 
Медиана • Биіктік • Биссектриса • Орта перпендикуляр • Орта сызық • Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер • Симсон түзуі • Эйлер түзуі • Симедиана • Чевиана |
|  |
| Үшбұрышқа қатысты нүктелер | 
Ортоцентр • Центроид • Инцентр • Брокар нүктесі • Вектен нүктесі • Жергонн нүктесі • Лемуан нүктесі • Микель нүктесі • Нагель нүктесі • Наполеон нүктелері • Торричелли нүктелері |
|  |
| Теоремалар | 
Үшбұрыш теңсіздігі • Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері • Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теорема • Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы • Пифагор теоремасы • Косинустар теоремасы • Синустар теоремасы • Тангенстер теоремасы • Котангенстер теоремасы • Герон формуласы • Менелай теоремасы • Стюарт теоремасы • Чева теоремасы • Мольвейде формулалары |

 |

1. 1 2  1. Л.С.Атанасян, В.Ф.Вутузов, С.Б.Кадомцев. Геометрия 7-9 класс. Москва. Просвещение, 2010. 146-147, 176-180 бет
2. ↑  Замечательные точки треугольника.
3. ↑  Четыре замечательные точки треугольника.