**Интералдық теңдеулер** - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.

Интегралдық теңдеулерді санаттау
--------------------------------

### Сызықтық Интегралдық теңдеулер

Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:

{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),}
мұндағы {\displaystyle \varphi (x)} — искомая функция, {\displaystyle f(x)}, {\displaystyle K(x,\;s)} — белгілі функциялар, {\displaystyle \lambda } — параметр. {\displaystyle K(x,\;s)} функциясы Интегралдық теңдеудің *ядросы* болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

#### Фредгольм теңдеулері

*Толық мақаласы: Фредгольмның Интегралдық теңдеулері*
##### 2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері

Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits \_{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).}
Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: {\displaystyle a\leqslant x,\;s\leqslant b}, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: {\displaystyle K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])}, немесе келесі шарт орындалу керек:

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{b}\int \limits \_{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits \_{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .}
Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар *фредгольмдік* деп те аталады. Егер {\displaystyle [a,\;b]} интервалында {\displaystyle f(x)\equiv 0} болса, онда теңдеу **біртекті**, әйтпесе **біртексіз интегралдық теңдеу** деп аталады.

##### 1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),}
ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

#### Вольтерра теңдеулері

*Толық мақаласы: Вольтерра Интегралдық теңдеулері*
##### 2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:

{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits \_{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.}
##### 1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).}
Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

{\displaystyle {\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}}
Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

### Сызықтық емес теңдеулер

Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

#### Урысон теңдеулері

*Толық мақаласы: Урысон Интегралдық теңдеулері* 
{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits \_{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).}
Тұрақты M — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

#### Гаммерштейн теңдеулері

*Толық мақаласы: Гаммерштейн Интегралдық теңдеулері*
Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:

{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits \_{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,}
мұндағы {\displaystyle K(x,\;s)} — фредгольмдік ядро.

#### Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері

Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:

{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits \_{a}^{b}K\_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits \_{a}^{b}\int \limits \_{a}^{b}K\_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots }
#### Вольтерра сызықтық емес теңдеулері

{\displaystyle \varphi (x)=\int \limits \_{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,}
мұндағы функция {\displaystyle F(x,\;s,\;\varphi )} барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.

Дереккөздер
-----------


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Бұл үлгіні қарау Бұл үлгіні талқылау Бұл үлгіні өңдеуМатематика |
| --- |
|  |
| Негіздері | 
Сандар теориясы (Арифметика) · Математикалық логика (Буль алгебрасы) · Ақпарат теориясы · Жиындар теориясы · Типтер теориясы |
|  |
| Алгебра және талдау | 
Бастапқы алгебра · Сызықтық алгебра · Абстрактылық алгебра · Интегралдық есептеу (Интегралдық теңдеулер) · Дифференциалдық есептеу (Дифференциалдық теңдеулер) · Функционалдық талдау (Вариациялық есептеу) |
|  |
| Геометрия және топология | 
Алгебралық · Аналитикалық · Дифференциалдық · Дискреттік · Евклидтік геометрия · Планиметрия · Стереометрия · Топология |
|  |
| Дискреттік математика | 
Комбинаторика · Графтар теориясы · Реттер теориясы · Ойындар теориясы |
|  |
| Қолданбалы математика | 
Математикалық физика · Математикалық модельдеу · Математикалық экономика · Математикалық статистика · Сандық талдау · Ықтималдық теориясы · Басқару теориясы · Алгоритмдер теориясы · Есептеу математикасы |
|  |
|  Математика порталы · Commons page Медиафайлдар |

 |