**Фибоначчи сандары** – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары 

{\displaystyle F\_{0}=0,\qquad F\_{1}=1,\qquad F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2},\quad n\geqslant 2.}
арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы
--------------

**Бине формуласы** {\displaystyle F\_{n}} мүшелерін *n*ге қатысты функция ретінде өрнектейді:

{\displaystyle F\_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}},
мұндағы {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} — алтын қима. Сонымен қатар {\displaystyle \varphi \,\!} мен {\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi \,\!} сипаттауыш {\displaystyle x^{2}-x-1=0\,\!} теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген {\displaystyle n\geqslant 0} үшін, {\displaystyle F\_{n}} {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\,} санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни {\displaystyle F\_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }. Жеке түрде, {\displaystyle n\to \infty } болғанда {\displaystyle F\_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} асимптотика орындалады.

Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:

{\displaystyle F\_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right)}
Ал {\displaystyle F\_{z+2}=F\_{z+1}+F\_{z}} теңдігі кез келген комплекс сан *z* үшін орындалады.

Теңдіктер
---------

* {\displaystyle F\_{1}+F\_{2}+F\_{3}+\dots +F\_{n}=F\_{n+2}-1}

* {\displaystyle F\_{1}+F\_{3}+F\_{5}+\dots +F\_{2n-1}=F\_{2n}}

* {\displaystyle F\_{2}+F\_{4}+F\_{6}+\dots +F\_{2n}=F\_{2n+1}-1}

* {\displaystyle F\_{n+1}F\_{n+2}^{}-F\_{n}F\_{n+3}=(-1)^{n}}

* {\displaystyle F\_{1}^{2}+F\_{2}^{2}+F\_{3}^{2}+\dots +F\_{n}^{2}=F\_{n}F\_{n+1}}

* {\displaystyle F\_{n}^{2}+F\_{n+1}^{2}=F\_{2n+1}}

* {\displaystyle F\_{2n}=F\_{n+1}^{2}-F\_{n-1}^{2}}

* {\displaystyle F\_{3n}=F\_{n+1}^{3}+F\_{n}^{3}-F\_{n-1}^{3}}

* {\displaystyle F\_{5n}=25F\_{n}^{5}+25(-1)^{n}F\_{n}^{3}+5F\_{n}}

Жалпы формулалар:

* {\displaystyle F\_{n+m}^{}=F\_{n-1}F\_{m}+F\_{n}F\_{m+1}=F\_{n+1}F\_{m+1}-F\_{n-1}F\_{m-1}}

* {\displaystyle F\_{(k+1)n}^{}=F\_{n-1}F\_{kn}+F\_{n}F\_{kn+1}}

* {\displaystyle F\_{n}^{}=F\_{l}F\_{n-l+1}+F\_{l-1}F\_{n-l}}

* Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: {\displaystyle F\_{n+1}=K\_{n}(1,\dots ,1)}, сол дегеніміз

{\displaystyle F\_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}, сонымен қатар {\displaystyle \ F\_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}},
мұндағы матрицалар өлшемі {\displaystyle n\times n}, *i* — жалған бірлік.
* Фибоначчи сандарын Чебышев көпмүшеліктерімен өрнектеуге болады:

{\displaystyle F\_{n+1}=(-i)^{n}U\_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right)=(-i)^{n}T\_{n}(-i),}
{\displaystyle F\_{2n+2}=U\_{n}\left({\frac {3}{2}}\right)=T\_{n}(3).}