Бір айнымалылы **көпмүшелік**, полином деп математикада келесі функцияны айтады

{\displaystyle F(x)=c\_{0}+c\_{1}x+\cdots +c\_{n}x^{n},}
мұндағы {\displaystyle c\_{i}} тұрақты коэффициенттер, ал {\displaystyle x} — айнымалы.
Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.

  

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. 
Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

Анықтама
--------

*n* айнымалылы **көпмүшелік** (немесе **полином**) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады 

{\displaystyle \sum \_{I}c\_{I}x\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\cdots x\_{n}^{i\_{n}}},
мұндағы {\displaystyle I=(i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{n})} теріс емес бүтін сандар жиыны (**мультииндекс** деп аталатын), {\displaystyle c\_{I}} — тек мультииндекс *I*-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады 

{\displaystyle c\_{0}+c\_{1}x^{1}+\dots +c\_{n}x^{n}.}
Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті R сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады.
Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер 

{\displaystyle R[x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}].}
деп белгіленетін сақина (оның үстіне R сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

Қосымша анықтамалар
-------------------

* Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік **унитарлы** немесе **келтірілген** деп аталады.
* {\displaystyle cx\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\cdots x\_{n}^{i\_{n}}} түріндегі көпмүшеліктерді **бірмүшелік** немесе **моном** деп атайды
	+ {\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)} мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті **бос мүше** деп атайды.
* Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны **екімүшелік** немесе **бином** дейді,
* Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны **үшмүшелік** деп атайды.
* {\displaystyle c\_{I}x\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\cdots x\_{n}^{i\_{n}}} (нөл емес) бірмүшеліктің **толық дәрежесі** деп мына бүтін санды айтады {\displaystyle |I|=i\_{1}+i\_{2}+\dots +i\_{n}}.
	+ **Көпмүшелік дәрежесі** деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
* Коэффициенттері {\displaystyle c\_{I}} нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын **көпмүшелік игерушісі**, ал оның дөңес қабығын - **Ньютон көпжағы** дейді.

Көбейткіштерге жіктеу
---------------------

**Көбейткіштерге жіктеу**– көпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді. Көбейткіштерге жіктеудің негізгі тәсілдері: 

1. ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы, 2a3b–3ab2 ==ab(2a2–3b),
2. Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы, 4x2–4xy+y2==(2x–y)2, 8a3–b3==(2a–b)(4a2+2ab+b2);
3. қосылғыштарды топтастыру, мысалы, 2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
4. Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a2+3a+2=a2+2a+a+2= =a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).

Бір айнымалы шамаға тәуелді нақты немесе комплекс коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік бірінші дәрежелі көбейткіштерге (комплексті коэффициенттері де болуы мүмкін) жіктеледі. Көпмүшеліктің жіктелуі былай өрнектеледі: 
a0xn+a1xn–1+...+an=a0(x–a1)(x–a2)...(x–an), мұндағы a1, a2, ... an – көпмүшеліктің түбірлері.

Тағы қараңыз
------------

* Безу теоремасы