**Тригонометриялық үйлесімдіктер** — ортақ анықталу облысындағы барлық аргументтері үшін орындалатын тригонометриялық функциялардың математикалық өрнектері.

Негізгі тригонометриялық формулалар
-----------------------------------

| Формула | аргументтің мүмкін болатын мәндері | Нөмірі |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1} | {\displaystyle \forall \alpha } | **(1)** |
| {\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha } | {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} } | **(2)** |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha } | {\displaystyle \alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z} } | **(3)** |

**(1)** формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. **(2)** жіне **(3)** формулалар **(1)** формуланы {\displaystyle ~\cos ^{2}\alpha } мен {\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha } сәйкесінше бөлгенде шығады.

Аргументтерді қосу формуласы
----------------------------

| Аргументтерді қосу формуласы |
| --- |
| {\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } | **(5)** |
| {\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } | **(6)** |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}} | **(7)** |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}} | **(8)** |

**(7)** Формула **(5)** формуласын **(6)** формуласына бөлгенде шығады. Ал **(8)** — **(6)** формуласын **(5)** формуласына

Формулаларды қорыту  

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}

4 суретте төрт тік бұрышты үшбұрыштар берілген: ABC, ABE, ADE и CDE.

4 сурет. Аргументтерді қосу формулаларын қорыту
AE = 1, {\displaystyle \angle BAE=\alpha ,\angle EAC=\beta ,\angle BAC=\angle DEC=\alpha +\beta }.

Сондықтан

{\displaystyle (BE)=\sin \alpha }
{\displaystyle (AB)=\cos \alpha }
{\displaystyle (DE)=\sin \beta }
{\displaystyle (AD)=\cos \beta }.
Үшбұрыш ABC-дан шығатыны:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )={\frac {\sin \alpha +(CE)}{\cos \beta +(CD)}}\qquad \qquad (14)}
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +(CD)}}\qquad \qquad (15)}
Үшбұрыш CDE-ден шығатыны:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )={\frac {CD}{CE}}\qquad \qquad \qquad \qquad (16)}
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )={\frac {\sin \beta }{CE}}\qquad \qquad \qquad \qquad (17)}.
(14) пен (16) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

{\displaystyle {\frac {(CD)}{(CE)}}={\frac {\sin \alpha +(CE)}{\cos \beta +(CD)}}}
{\displaystyle (CD)\cos \beta +(CD)^{2}=(CE)\sin \alpha +(CE)^{2}\qquad (18)}
(15) пен (17) теңдеулерінің оң жақтарын теңестіріп шыққанды теңдеуді CE-ге қатысты шешейік:

{\displaystyle {\frac {\sin \beta }{(CE)}}={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +(CD)}}}
{\displaystyle (CE)={\frac {\sin \beta (\cos \beta +(CD))}{\cos \alpha }}\qquad \qquad \qquad (19)}.
(CE) мәнін (19)дан (18)ге салсақ:

{\displaystyle (CD)=\sin \beta {\frac {\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\sin(\beta )\cos(\beta )}{\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}}\qquad (20)}.
Шыққан CD мәнін (15)ке саламыз:

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +\sin \beta {\frac {\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\sin(\beta )\cos(\beta )}{\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}}}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )+\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos ^{2}(\alpha )(1-\cos ^{2}(\beta ))-\sin ^{2}(\beta )(1-\sin ^{2}(\alpha ))+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))(\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta ))}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}}.
Сонымен:

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}.
(15)тен шығатыны:

{\displaystyle (CD)={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\alpha +\beta )}{cos(\alpha +\beta )}}\qquad \qquad (21)}
Ал (16) пен (17) өрнектерінен:

{\displaystyle (CD)=\sin(\beta ){\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22)}
(21) мен (22) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек табатынымыз {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\beta )}}\qquad \qquad \qquad }
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )} мәнін қоямыз:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))}{\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\alpha )\cos ^{2}(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos(\alpha )(1-\cos ^{2}(\beta ))+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}=}
{\displaystyle ={\frac {\cos(\alpha )\sin ^{2}(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}}
Сонымен:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}.

Қос бұрыш формуласы
-------------------

Қос бұрыш формулалары **(5)**, **(6)** , **(7)** және **(8)** формулаларынан β =α десек шығады:

| Қос бұрыш формулалары |
| --- |
| {\displaystyle \operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }} | **(23)** |
| {\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }}{\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }} | **(24)** |
| {\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}} | **(25)** |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}} |  |

Ескерту  

{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha } формуласы үшін:

* {\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} }
* {\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }

{\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha } формуласы үшін: {\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }

Үш бұрыштың формуласы
---------------------

| Үш бұрыштың формулалары |
| --- |
| {\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \,} |
| {\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}} |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}} |

Ескерту  

{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha } формуласы үшін: {\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z} }  

{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha } формуласы үшін: {\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z} };

Дәреже төмендету формулалары
----------------------------

Дәреже төмендету формулалары **(24)** формулаларынан шығады:

| Синус | Косинус | Көбейтінді |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}} | **(26)** | {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}} | **(27)** | {\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}} |
| {\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}} |  | {\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}} |  | {\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}} |
| {\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}} |  | {\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}} |  | {\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}} |
| {\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}} |  | {\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}} |  | {\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}} |

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары
-----------------------------------------------

| Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары |
| --- |
| {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}} | **(28)** |
| {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}} | **(29)** |
| {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}} | **(30)** |
|

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулаларын қорыту  

Функцияларды қосу формулалары (5), (6) және (7) аргументтерді қосу формулаларынан қорытылады.
Мысалы (5) формуласынан шығатыны:

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =}
{\displaystyle =2\sin \alpha \cos \beta }.
Демек:

{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}}    — (29) формула.
Дәл осылай қалған функцияларды қосу формулаллары шығады.

Функциялар қосындысы формулалары
--------------------------------

| Функциялар қосындысы формулалары |
| --- |
| {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}} | **(31)** |
| {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} | **(32)** |
| {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} | **(33)** |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}} | **(34)** |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}} | **(35)** |

Функциялар қосындысы формулаларын қорыту  

Функциялар қосындысы формулалары (28), (29), (30) және (31) функциялар көбейтіндісін түрдлендіру формулаларынан алмастыру арқылы қорытылады:

{\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}
және

{\displaystyle \beta ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}.
Осы өрнектерді (28) формуласына қойсақ:

{\displaystyle \sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})={\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2}}}, яғни
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})}    — (33) формула.
Дәл сола синус пен косинус үшін де қорытуға болады.
(7)ден шығатыны:

{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=}
{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}
{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}, демек
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad }   — (34) формула.
Үш әр-түрлі бүрыш синустар қосындысын көбейтіндіге түрлендіру :{\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =180^{\circ }} болғанда:

{\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \ \sin \beta \ \sin \gamma }

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
-------------------------------------------

* {\displaystyle \sin x=a.}

Егер {\displaystyle |a|>1} — нақты шешуі жоқ.
Егер {\displaystyle |a|\leqslant 1} — мына {\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .} түрдегі сандар шешімі болып табылады
* {\displaystyle \cos x=a}.

Егер {\displaystyle |a|>1} — нақты шешуі жоқ.
Егер {\displaystyle |a|\leqslant 1} — мына {\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .} түрдегі сандар шешімі болып табылады
* {\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}

Мына {\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .} түрдегі сандар шешімі болып табылады
* {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}

Мына {\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .} түрдегі сандар шешімі болып табылады

Әмбебап тригонометриялық алмастыру
----------------------------------

Үйлесімдіктер тек екі жағы (яғни {\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}) бар болғанда ғана мағыналы болады.

* {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}

* {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}

* {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}

Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)
------------------------------

{\displaystyle a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)}

{\displaystyle a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)}

Тригонометриялық функциялардың комплекс түріндедегі түрі
--------------------------------------------------------

*Толық мақаласы: Эйлер формуласы*
Эйлер формуласы кез келген нақты {\displaystyle x} үшін келесі теңдік орындалады дейді:

{\displaystyle ~e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
мұндағы {\displaystyle e} — натурал логарифм негізі,

{\displaystyle i} — жалған бірлік.
Эйлер формуласымен {\displaystyle \sin x} пен {\displaystyle \cos x} функцияларын былай анықтауға болады:

{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}},
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}.
Содан:

{\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}}}