*a*, *b*, және *c* қабырғалары бар үшбұрыш.
**Герон формуласы** — Александриялық Герон  атындағы үшбұрыштың ауданын (S) оның қабырғаларының (*a*, *b*, және *c*) ұзындықтары арқылы өрнектейтін формула: 

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
мұндағы *p* — үшбұрыштің жарты периметрі:

{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}
Герон формуласын төмендегідей түрлерде де жазуға болады:

{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}

  

Формуланы Александриялық Герон ашқан болатын, дәлелін ғалымның *Метрика* атты еңбегінен таба аласыз.Алайда үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед 2 ғасыр бұрын ашқан деген тұжырым бар.

Мысал
-----

Айталық, ΔABC — берілген үшбұрыш, оның қабырғалары *a*=7, *b*=4 және *c*=5 болсын.

Жарты периметр — {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8}.

Яғни, аудан —

{\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}}

{\displaystyle ={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8}

Дәлел
-----

Алгебраны қолданған қазіргі дәлел, Геронның Метрика кітабындағы дәлелінен әлдақайда өзгеше.
Айталық, *a*, *b*, *c* үшбұрыштың қабырғалары және *A*, *B*, *C* бұрыштары бұл қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар болсын.

Косинустар теоремасы бойынша:

{\displaystyle \cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
C бұрышының синусын тапсақ:

{\displaystyle \sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
Үшбұрыштың ауданың формуласын қолдана отырып:

{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.\end{aligned}}}

Дереккөздер
-----------

1. ↑  Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo (Spanish). Тексерілді, 30 маусым 2012.

Сыртқы сілтемелер
-----------------

Heron's Formula.  Mathworld. Тексерілді, 19 қараша 2013.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|   Үшбұрыш |
| --- |
|  |
| Үшбұрыштардың түрлері | 
Дұрыс үшбұрыш • Тікбұрышты үшбұрыш (Гипотенуза • Катеттер) • Тең бүйірлі үшбұрыш |
|  |
| Үшбұрышқа қатысты сызықтар | 
Медиана • Биіктік • Биссектриса • Орта перпендикуляр • Орта сызық • Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер • Симсон түзуі • Эйлер түзуі • Симедиана • Чевиана |
|  |
| Үшбұрышқа қатысты нүктелер | 
Ортоцентр • Центроид • Инцентр • Брокар нүктесі • Вектен нүктесі • Жергонн нүктесі • Лемуан нүктесі • Микель нүктесі • Нагель нүктесі • Наполеон нүктелері • Торричелли нүктелері |
|  |
| Теоремалар | 
Үшбұрыш теңсіздігі • Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері • Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теорема • Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы • Пифагор теоремасы • Косинустар теоремасы • Синустар теоремасы • Тангенстер теоремасы • Котангенстер теоремасы • Герон формуласы • Менелай теоремасы • Стюарт теоремасы • Чева теоремасы • Мольвейде формулалары |

 |