{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\!}
**Квадраттық функция** деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~}, мұнда{\displaystyle a\neq 0~}.

Графигі
-------

{\displaystyle f(x)=ax^{2}|\_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|\_{b=\{1,2,3,4\}}\!}
{\displaystyle f(x)=x^{2}-bx|\_{b=\{1,2,3,4\}}\!}
Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}.
Парабола төбесінің координаттары: {\displaystyle (x\_{0};y\_{0}),x\_{0}=-{\frac {b}{2a}},y\_{0}{}=-{\frac {D}{4a}}~}.

{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}~} түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері
--------------------------------

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі {\displaystyle D=b^{2}-4ac~}

{\displaystyle a>0~} болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері
(Осы түспен {\displaystyle a<0} болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

|  |  |
| --- | --- |
| Қасиеті
  | Дискриминант
  |
| {\displaystyle D>0~} | {\displaystyle D=0~} | {\displaystyle D} |
| Анықталу облысы
  | {\displaystyle D(f)=R~} |
| a>0 болғандағы мәндер жиыны
  | {\displaystyle E(f)=[-{\frac {D}{4a}};+{\mathcal {1}})~} |
|  a<0 болғандағы мәндер жиыны | {\displaystyle E(f)=(-{\mathcal {1}};-{\frac {D}{4a}}]} |
| Функцияның нөлдері
  | {\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}~} | {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}~} | {\displaystyle \emptyset ~} |
| Оң ( теріс) мәндер
  | {\displaystyle (-{\mathcal {1}};x\_{1})\cup (x\_{2};+{\mathcal {1}})~} | {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}~} нүктелерден басқа барлық жерде
  | Барлық жерде
  |
| Теріс ( оң ) мәндер
  | {\displaystyle (x\_{1};x\_{2})~} | Теріс ( оң ) мәндері жоқ
  |
| Кему (өсу) аралығы, егер а>0
  | {\displaystyle (-{\mathcal {1}};-{\frac {b}{2a}}]~} |
| Өсу ( кему) аралығы, егер a>0
  | {\displaystyle [-{\frac {b}{2a}};+{\mathcal {1}})~} |
| Ең кіші ( ең үлкен ) мәні
  | {\displaystyle f(x)\_{min}=-{\frac {D}{4a}}~} |

Практикада кездесетін жерлері
-----------------------------

* Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
* Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау
--------

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:  

{\displaystyle f({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c}
  

Бұл жерде: {\displaystyle A} - квадрат түрдегі матрица, {\displaystyle {\vec {b}}} - тұрақты вектор, {\displaystyle c} - константа.
Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті {\displaystyle A} матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз
------------

* Квадрат теңдеулер
* Афиндік-квадраттық функция
* Математикалық функциялар тізімі

Сілтемелер
----------

* Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 23 сәуірдің 2009 жылы.
* Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 9 қыркүйектің 2013 жылы.