მათემატიკაში სინუსი და კოსინუსი არის კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. სამკუთხედის მახვილი კუთხის სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის კონტექსტში. მოცემული კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი — მიმდებარე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. კუთხე {\displaystyle \alpha }-სთვის, სინუსი და კოსინუსი აღინიშნება როგორც {\displaystyle \sin \alpha } და {\displaystyle \cos \alpha }.

აღნიშვნა
--------

 *α* კუთხის მოპირდაპირე კათეტი (მწვანედ), მიმდებარე კათეტი (ლურდჯად) და ჰიპოტენუზა (წითლად)
სინუსი და კოსინუსი ჩაიწერება ფუნქციური აღნიშვნის გამოყენებით, აბრევიატურებით *sin* და *cos*.

თუ არგუმენტი საკმაოდ მარტივია, ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც {\displaystyle \sin \alpha } და არა როგორც {\displaystyle \sin(\alpha )}.

სინუსისა და კოსინუსი არის კუთხის ფუნქციები და ჩვეულებრივ გამოისახება რადიანებსა და გრადუსებში, თუ სხვა რამ არ არის დაკონკრეტებული.

განსაზღვრება
------------

### მართკუთხა სამკუთხედი

*α* მახვილი კუთხის სინუსის განსასაზღვრად მართკუთხა სამკუთხედში მის მოპირდაპირე გვერდს (კათეტს) ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსის შემთხვევაში კი მიმდებარეს ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან.

### ერთეულოვანი წრეწირი

ერთეულოვანი წრე: რადიუსი უდრის 1 ერთეულს.
ერთი ერთეულის სიგრძის რადიუსის მქონე წრეწირში (ერთეულოვან წრეწირში), სინუსი განსაზღვრულია როგორც *y* კოორდინატი, კოსინუსი კი *x* კოორდინატი.
რადიუსი მოძრაობას იწყებს საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო (დადებითი) მიმართულებით და მის თითოეულ პოზიციას შეესაბამება კუთხე (რადიანებში), რომელსაც რადიუსი დადებით *x*-ღერძთან ადგენს, პირობითად *θ* კუთხე.

წერტილს, რომელიც წრეწირზე ძევს, შეესაბამება პირობითი კოორდინატები (*a*, *b*). თუკი წერტილიდან *x* ღერძისკენ დავუშვებთ სიმაღლეს, შეიქმნება მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ჰიპოტენუზა იქნება 1 (რადგან ერთეულოვანი წრეწირი გვაქვს). *θ* კუთხის სინუსი იქნება:{\displaystyle \sin(\theta )={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{1}}={\text{მოპირდაპირე}}}, ანუ *b*, რადგან მოპირდაპირე კუთხის სიგრძე ემთხვევა წერტილის კოორდინატს *y* ღერძზე. ანალოგიურადაა კოსინუსის შემთხვევაშიც: {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\text{მიმდებარე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\text{მიმდებარე}}=a}.

### {\displaystyle y=\sin x} ფუნქცია

კოსინუსი (ლურჯი) და სინუსი (წითელი)
* {\displaystyle y=\sin x} ფუნქციის განსაზღვრის არეა {\displaystyle D(y)=R}, მნიშვნელობათა სიმრავლე კი {\displaystyle E(y)=[-1;1]} .

* სინუს ფუნქცია კენტია, რადგან ნებისმიერი {\displaystyle x}-ისათვის {\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}, ვინაიდან {\displaystyle P\_{,}x} და {\displaystyle P\_{,}(-x)} წერტილთა კოორდინატები მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან.

* {\displaystyle y=\sin x} პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია {\displaystyle 2\pi }, ანუ ნებისმიერი {\displaystyle R\_{0}(x+2\pi )=R\_{0}x}
* {\displaystyle y=\sin x} ფუნქცია ზრდადია {\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]} შუალედში და კლებადია {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}]} შუალედში, რადგან სინუსი პერიოდულია ცხადია , იგი ზრდადია ნებისმიერ {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z} , ხოლო კლებადია {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {3\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში
* {\displaystyle y=\sin x} ფუნქცია სიმეტრიულია (0,0) წერტილის მიმართ, რადგან ნებისმიერი {\displaystyle x}-ისათვის {\displaystyle \sin(-x)=\sin(x)} და მის გრაფიკს სინუსოიდა ეწოდება.

### {\displaystyle y=\cos x} **ფუნქცია**

* {\displaystyle y=\cos x} ფუნქციის განსაზღვრის არეა {\displaystyle D(y)=R}, ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე {\displaystyle E(y)=[-1;1]}
* {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია ლუწია, რადგან ნებისმიერ {\displaystyle x}-ისათვის {\displaystyle \cos(-x)=\cos x},ვინაიდან აბცისთა ღერძის მიმართ {\displaystyle P\_{,}x} და {\displaystyle P\_{,}(-x)} წერტილების აბცისები ტოლია
* {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია {\displaystyle 2\pi } , რაც ნიშნავს , {\displaystyle R\_{0}(x+2\pi )=R\_{0}x}
* {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია ზრდადია {\displaystyle [-\pi ,0]} შუალედში , ხოლო კლებადია {\displaystyle [0,\pi ]} შუალედში. იქიდან გამომდინარე , რომ კოსინუსის უმცირესი დადებითი პედიოდია {\displaystyle 2\pi } , გამომდინარეობს , რომ იგი ზრდადია ნებისმიერ {\displaystyle [-\pi +2\pi \cdot k,2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში , ხოლო კლებადია {\displaystyle [2\pi \cdot k,\pi +2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში
* კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ , რადგან ლუწი ფუნქციაა. ნებისმიერი {\displaystyle x}-ისათვის {\displaystyle \cos(-x)=-\cos(x)}
* {\displaystyle y=\cos x} ფუნქციის გრაფიკს კოსინუსოიდა ეწოდება

იგივეობები
----------

#### იგივეობები (რადიანის გამოყენებით):

ეს ეხება ყველა {\displaystyle \alpha } მნიშვნელობას.

{\displaystyle \sin(\alpha )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)}
{\displaystyle \cos(\alpha )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}

{\displaystyle \sin \alpha =\cos({\frac {3\pi }{2}}+\alpha )}
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {tg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}}
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}\alpha }}}}
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {ctg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}}

### პითაგორას ტრიგონომეტრიული იგივეობა

ეს იგივეობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ერთეულოვან წრეწირში სინუსი Y კოორდინატია, კოსინუსი X და ჰიპოტენუზა — რადიუსი (1), ანუ სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამი 1-ია 

{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1}

{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )=1-\cos ^{2}(\alpha )}
სადაც sin 2 (x) ნიშნავს sin(x)) 2 -ს.

### ორმაგი არგუმენტის ფორმულები

{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )}
{\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1=1-2\sin ^{2}(\alpha )}
### ორი არგუმეტის ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot \cos \beta +sin\beta \cdot \cos \alpha }

{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta }

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }

{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta }

### ნახევარი არგუმენტის ფორმულები

{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}

{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}

### სამმაგი არგუმენტის ფორმულები

{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }

{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }

### ხარისხის დაყვანის ფორმულები

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}}

{\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin(3\alpha )}{4}}}

{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}}

{\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos(3\alpha )}{4}}}

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}(2\alpha )}{4}}}

მეოთხედებთან დაკავშირებული თვისებები
------------------------------------

 დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ოთხი მეოთხედი

| მეოთხედი | კუთხე | სინუსი | კოსინუსი |
| --- | --- | --- | --- |
| გრადუსები | რადიანები | Ნიშანი | Ნიშანი |
|
| 1-ლი მეოთხედი, I | {\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }} | {\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle +} |
| მე-2 მეოთხედი, II | {\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi } | {\displaystyle +} | {\displaystyle -} |
| მე-3 მეოთხედი, III | {\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }} | {\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}} | {\displaystyle -} | {\displaystyle -} |
| მე-4 მეოთხედი, IV | {\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi } | {\displaystyle -} | {\displaystyle +} |

თეორემები
---------

სინუსების თეორემა გვიჩვენებს, რომ სამკუთხედისთვის *a*, *b* და *c* გვერდებით და *A*, *B* და *C* გვერდების მოპირდაპირე კუთხეებით:

{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.}
ეს ეკვივალენტურია ქვემოთ მოცემული პირველი სამი გამოსახულებისა:

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
სადაც *R* არის სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი .

კოსინუსების თეორემიდან ვიცით, რომ სამკუთხედისთვის *a*, *b* და *c* გვერდებისა და *A*, *B* და *C* გვერდების მოპირდაპირე კუთხეების მქონე სამკუთხედისთვის:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}}
როცა {\displaystyle C=\pi /2} (ანუ მართია), {\displaystyle \cos(C)=0} და ეს გადაიქცევა პითაგორას თეორემად: მართკუთხა სამკუთხედისთვის, {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},} სადაც *c* არის ჰიპოტენუზა.

წყაროები
========

1. ს.თოფურია , ბ.აბესიზე მათემატიკა I ნაწილი 1991 წლის გამოშვება.
2. \* ტრიგონომეტრია | მათემატიკა | ხანის აკადემია (khanacademy.org)
3. J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). "The trigonometric functions". Retrieved 2 March 2010.
4. Eli Maor (1998), *Trigonometric Delights*, Princeton: Princeton University Press, p. 35-36.

1. ↑   *{{{title}}}*.
2. ↑  შეცდომა თარგის გამოძახებისას: cite web: პარამეტრები **url** და **title** აუცილებელად უნდა მიეთითოს..