**ბოლცანო-კოშის თეორემა** — თეორემა უწყვეტი ფუნქციის შუალედური მნიშვნელობების შესახებ მათემატიკურ ანალიზსა და ტოპოლოგიაში. ის ამბობს, რომ თუ უწყვეტი ფუნქცია იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, მაშინ ის ასევე იღებს მათ შორის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობას.

ფორმულირება
-----------

დავუშვათ მოცემულია უწყვეტი ფუნქცია შუალედზე {\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}}. ასევე დავუშვათ, რომ {\displaystyle f(a)\neq f(b)}, და ზოგადობის შეუზღუდავად ვივარაუდოთ, რომ {\displaystyle f(a)=A<B=f(b)}. მაშინ ნებისმიერი {\displaystyle C\in [A,B]} არსებობს ისეთი {\displaystyle c\in [a,b]}, რომ {\displaystyle f(c)=C}.

დამტკიცება
----------

განვიხილოთ ფუნქცია {\displaystyle \,g(x)=f(x)-C}. ის უწყვეტია სეგმენტზე {\displaystyle \,[a,b]} და {\displaystyle \,g(a)<0}, {\displaystyle \,g(b)>0}. ვაჩვენოთ, რომ არსებობს ისეთ წერტილი{\displaystyle \,c\in [a,b]}, რომ{\displaystyle \,g(c)=0}. გავყოთ სეგმენტი {\displaystyle \,[a,b]} წერტილით {\displaystyle \,x\_{0}} ორ ტოლი სიგრძის ნაწილად, მაშინ ან {\displaystyle \,g(x\_{0})=0} და საჭირო წერტილი {\displaystyle \,c=x\_{0}} მიღებულია, ანდა {\displaystyle g(x\_{0})\neq 0} და მაშინ მიღებული შუალედებისგან ერთ-ერთის ბოლოებში ფუნქცია {\displaystyle \,g(x)} იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშნელობებს (მარცხენა ბოლოში ნულზე ნაკლები, მარჯვენაში - მეტი).

აღვნიშნოთ მიღებული სეგმენტი {\displaystyle \,[a\_{1},b\_{1}]}, ისევ გავყოთ ის ორ ტოლ ნაწილად და ა.შ. მაშინ ბიჯთა სასრული ოდენობის მერე ჩვენ მივალთ საძებნ წერტილამდე {\displaystyle \,c}, ან მივიღებთ ერთმანეთში ჩალაგებულ სეგმენტთა სიმრავლეს {\displaystyle \,[a\_{n},b\_{n}]}, რომლების სიგრძე მიისწრაფის ნულისკენ და {\displaystyle \,g(a\_{n})<0<g(b\_{n})}.

დავუშვათ {\displaystyle \,c} - ყველა სეგმენტის საერთო წერტილია {\displaystyle \,[a\_{n},b\_{n}]}, {\displaystyle \,n=1,2,...} მაშინ {\displaystyle c=\lim a\_{n}=\lim b\_{n},} და ფუნქციის უწყვეტობის გამო {\displaystyle \,g(x):}

{\displaystyle g(c)=\lim g(a\_{n})=\lim g(b\_{n}).}

რადგან {\displaystyle \lim g(a\_{n})\leq 0\leq \lim g(b\_{n})}, მივიღებთ, რომ {\displaystyle \,g(c)=0.}

თეორემიდან გამომდინარე
----------------------

* (თეორემა უწყვეტი ფუნქციის ნულის შესახებ.) თუ ფუნქცია შუალედის ბოლოებში იღებს საწინააღმდეგო ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ არსებობს წერტილი, სადაც მისი მნიშვნელობა ხდება ნულის ტოლი. უფრო ზუსტად, დავუშვათ {\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},} და {\displaystyle f(a)f(b)<0}. მაშინ {\displaystyle \exists c\in (a,b)} ისეთი, რომ {\displaystyle f(c)=0}.
* კერძოდ, ნებისმიერი კენტი რიგის მრავალწევრს გააჩნია სულ მცირე ერთი ნული;

შენიშვნა
--------

* ზოგჯერ (სახელმძღვანელოებში) მოსაზრებას ნულის შესახებ უწოდებენ ბოლცანო-კოშის პირველ თეორემას, ხოლო ზოგადს - მეორე თეორემას, შესაბამისად. სინამდვილეში კი, ისინი ერთი და იგივეა.

განზოგადება
-----------

**ბოლცანო-კოშის თეორემა** უშვებს განზოგადებას უფრო ზოგად ტოპოლოგიურ სივრცეებზე. ყოველი უწყვეტი ფუნქცია {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }, განსაზღვრული წრფივად ბმულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე, რომელიც იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, ასევე იღებს ნებისმიერ მათ შორის მდებარე მნიშვნელობას. უფრო ზუსტად, დავუშვათ მოცემულია ბმული ტოპოლოგიური სივრცე {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),} და ფუნქცია{\displaystyle f\in C(X)}. დავუშვათ {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in X,\;f(x\_{1})=y\_{1},\;f(x\_{2})=y\_{2},} და {\displaystyle y\_{1}<y\_{2}.} მაშინ: {\displaystyle \forall y\in [y\_{1},y\_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.}
კერძოდ, უწყვეტი წრფივად ბმული სიმრავლის განსახიერება წრფივად ბმულია.

ისტორია
-------

ბოლცანო-კოშის თეორემა ჩამოაყალიბეს ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად ბოლცანოს 1817 წელს და კოშის მიერ 1821 წელს.