**გადალაგება** კომბინატორიკაში — სიმრავლის ელემენტების ისეთი გადანაცვლება, რომელშიც არც ერთი ელემენტი არ ემთხვევა თავისი პოზიციის ნომერს. 

{\displaystyle n}-ელემენტიანი სიმრავლის გადალაგებების რაოდენობა ცნობილია, როგორც {\displaystyle n}-ის ქვეფაქტორიალი, ან გადალაგების {\displaystyle n}-ური წევრი და აღნიშნავენ, როგორც: !*n,* *Dn* ან *dn*.

დამტკიცებადია, რომ {\displaystyle !n=n!/e} დამრგვალებული უახლოეს მთელ რიცხვამდე, სადაც {\displaystyle e} არის ეილერის რიცხვი. 

გადალაგებების ამოცანა პირველად განიხილა პიერ რეიმონდ დე მონტმორტმა 1708 წელს და ამოხსნა 1713 წელს, ამავე დროს ნიკოლას ბერნულიმაც.

მაგალითი
--------

 24 გადანაცვლებიდან გამოკვეთილია 9 გადალაგება 
დავუშვათ, მასწავლებელმა ტესტირება ჩაუტარა {\displaystyle 4-A,B,C,D} სტუდენტს და სურს, რომ მათ ერთმანეთის ტესტები შეაფასონ. ცხადია, რომ მას არ უნდა რომელიმე სტუდენტმა თავისი ნაშრომი მიიღოს. კითხვა შემდეგია: რამდენი გზა არსებობს ტესტების დარიგებისა ისეთი, რომ არც ერთმა სტუდენტმა თავისი ნაშრომი არ მიიღოს? {\displaystyle 4!=24} შესაძლებელი გადანაცვლებიდან

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ABCD, | ABDC, | ACBD, | ACDB, | ADBC, | ADCB, |
| BACD, | BADC, | BCAD, | BCDA, | BDAC, | BDCA, |
| CABD, | CADB, | CBAD, | CBDA, | CDAB, | CDBA, |
| DABC, | DACB, | DBAC, | DBCA, | DCAB, | DCBA. |

არსებობს მხოლოდ 9 გადალაგება (აღნიშნულია ლურჯად) და სხვა გადანაცვლებებში ერთი მაინც სტუდენტი არსებობს, რომელიც თავის ნაშრომს (ანუ აკრძალულს) იღებს მასწავლებლისგან. 

ამ ამოცანის უამრავი ინტერპრეტაცია არსებობს, მაგრამ ცხადია, რომ ყველა დაიყვანება გადალაგების {\displaystyle n}-ური წევრის გამოთვლამდე.

გადალაგებების გამოანგარიშება
----------------------------

დავუშვათ, {\displaystyle n} ადამიანს, გადანომრილი {\displaystyle 1}-დან {\displaystyle n}-ის ჩათვლით, სურს დაიხუროს ასევე {\displaystyle n} ქუდი, გადანომრილი ასევე {\displaystyle 1}-დან {\displaystyle n}-ის ჩათვლით, ისე, რომ არც ერთი ადამიანი თავისი ნომრის ქუდს არ იხურავდეს. ვთქვათ, პირველი ადამიანი იხურავს {\displaystyle i}-ურ ქუდს. {\displaystyle i}-ური ქუდის ამორჩევის სულ {\displaystyle (n-1)} ვარიანტია, რადგან მხოლოდ პირველი ქუდის დახურვა არ შეუძლია მას. ამის შემდეგ, ამოცანა შეიძლება ორ ნაწილად გავყოთ {\displaystyle i}-ური ადამიანის არჩევნის მიხედვით: 

1. თუ {\displaystyle i}-ურმა ადამიანმა საპასუხოდაც პირველი ქუდი აიღო, მაშინ ორი ადამიანი და ორი ქუდი მოგვარდა, დაგვრჩა გადავალაგოთ {\displaystyle (n-2)} ადამიანი და {\displaystyle (n-2)} ქუდი, ანუ გვაქვს {\displaystyle (n-2)} გადალაგება.
2. თუ {\displaystyle i}-ურმა ადამიანმა პირველი არ აიღო, მაშინ გვექნება {\displaystyle n-1} გადალაგება. რადგან პირველი არ გვაქვს, მე-{\displaystyle 2} ადამიანი ვერ აიღებს მე-{\displaystyle 2} ქუდს, მე-{\displaystyle 3} ადამიანი ვერ აიღებს მე-{\displaystyle 3}-ს, {\displaystyle i}-ური ვერ აიღებს პირველ ქუდს (რადგან ეს ვარიანტი უკვე განვიხილეთ) {\displaystyle (i+1)}-ური ვერ აიღებს {\displaystyle (i+1)}-ურ ქუდს და ა.შ. ანუ დაგვრჩა {\displaystyle (n-1)} ადამიანი, და თითოეულს ერთი აკრძალული ქუდი აქვს, შესაბამისად გვაქვს {\displaystyle (n-1)} გადალაგება.

აქედან გამომდინარეობს შემდეგი რეკურენტული ფორმულა: 

{\displaystyle !n=(n-1)({!(n-1)}+{!(n-2)}).\,}
სადაც {\displaystyle !0=1} და {\displaystyle !1=0}.

ლიტერატურა
----------

* de Montmort, P. R. (1708). Essay d'analyse sur les jeux de hazard. Paris: Jacque Quillau. Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paris: Jacque Quillau. 1713.
* Hassani, M. "Derangements and Applications." J. Integer Seq. 6, No. 03.1.2, 1–8, 2003