**ლევი-ჩივიტას სიმბოლო** — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად.

განმარტება
----------

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.
სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}
ანუ {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}} არის 1 თუ (*i*, *j*, *k*) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო. 

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}.}
ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

{\displaystyle \varepsilon \_{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}.}
ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.
მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.
წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

{\displaystyle \det A=\sum \_{i=1}^{3}\sum \_{j=1}^{3}\sum \_{k=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}a\_{1i}a\_{2j}a\_{3k}}
ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად

{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e\_{1}} &\mathbf {e\_{2}} &\mathbf {e\_{3}} \\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum \_{i=1}^{3}\sum \_{j=1}^{3}\sum \_{k=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\mathbf {e\_{i}} a\_{j}b\_{k}}
ან უფრო მარტივად:

{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c\_{i}=\sum \_{j=1}^{3}\sum \_{k=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}a\_{j}b\_{k}.}
### კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა: 

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta \_{il}&\delta \_{im}&\delta \_{in}\\\delta \_{jl}&\delta \_{jm}&\delta \_{jn}\\\delta \_{kl}&\delta \_{km}&\delta \_{kn}\\\end{bmatrix}},}
{\displaystyle =\delta \_{il}\left(\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}\right)-\delta \_{im}\left(\delta \_{jl}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{kl}\right)+\delta \_{in}\left(\delta \_{jl}\delta \_{km}-\delta \_{jm}\delta \_{kl}\right)\,}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{imn}=\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}},
და 

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{3}\sum \_{j=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{ijn}=2\delta \_{kn}}

თვისებები
---------

1. ორ განზომილებაში, როდესაც {\displaystyle i,j,m,n} იღებს მნიშვნელობებს {\displaystyle \{1,2\}}, გვაქვს

{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta \_{i}^{m}\delta \_{j}^{n}-\delta \_{i}^{n}\delta \_{j}^{m}\quad &&(1)\\&\varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{in}=\delta \_{j}^{n}&&(2)\\&\varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{ij}=2&&(3)\end{aligned}}}
2. სამ განზომილებაში, როდესაც {\displaystyle i,j,k,m,n} იღებს მნიშვნელობებს {\displaystyle \{1,2,3\}}, გვაქვს

{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \_{jmn}\varepsilon ^{imn}=2\delta \_{j}^{i}&&(4)\\&\varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6&&(5)\\&\varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta \_{j}^{m}\delta \_{k}^{n}-\delta \_{j}^{n}\delta \_{k}^{m}&&(6)\end{aligned}}}
3. *n* განზომილებაში, როდესაც {\displaystyle i\_{1},...i\_{n},j\_{1},...j\_{n}} იღებს მნიშვნელობებს {\displaystyle \{1,...n\},}:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{j\_{1}\dots j\_{n}}=n!\delta \_{[i\_{1}}^{j\_{1}}\dots \delta \_{i\_{n}]}^{j\_{n}}&&(7)\\&\varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{k}~i\_{k+1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{i\_{1}\dots i\_{k}~j\_{k+1}\dots j\_{n}}=k!(n-k)!~\delta \_{[i\_{k+1}}^{j\_{k+1}}\dots \delta \_{i\_{n}]}^{j\_{n}}&&(8)\\&\varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{i\_{1}\dots i\_{n}}=n!&&(9)\end{aligned}}}

მაგალითები
----------

1. {\displaystyle n\times n} მატრიცის {\displaystyle A=(a\_{ij})} დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით

{\displaystyle \det A=\varepsilon \_{i\_{1}\cdots i\_{n}}a\_{1i\_{1}}\cdots a\_{ni\_{n}},}
სადაც იგულისხმება, რომ ყველა {\displaystyle i\_{l}} სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა. 

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

{\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon \_{i\_{1}\cdots i\_{n}}\varepsilon \_{j\_{1}\cdots j\_{n}}a\_{i\_{1}j\_{1}}\cdots a\_{i\_{n}j\_{n}},}
სადაც ყველა {\displaystyle i\_{l}} და {\displaystyle j\_{l}} ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა {\displaystyle 1,\ldots ,n} შუალედში.

2. თუ {\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})} და {\displaystyle B=(B^{1},B^{2},B^{3})} არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის {\displaystyle i}-ური გეგმილი ტოლია

{\displaystyle (A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.}

იხილეთ აგრეთვე
--------------

* ვექტორული ნამრავლი
* კრონეკერის სიმბოლო

სქოლიო
------

* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, *Gravitation*, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.