ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში **დისპერსია** წარმოადგენს მონაცემთა გაფანტულობის საზომს. შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია ეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოხატავს, თუ რამდენადაა გაფანტული შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური ლოდინიდან. დისპერსია წარმოადგენს მეორე რიგის ცენტრალურ მომენტს.

განმარტება
----------

თუ {\displaystyle \scriptstyle X} შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც {\displaystyle \scriptstyle D(X)} და

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\,.\end{aligned}}}
სადაც {\displaystyle \mu =E[X]} არის {\displaystyle \scriptstyle X} შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}
როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც {\displaystyle \scriptstyle \sigma \_{X}^{2}} ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ {\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}} (სიგმა კვადრატი), სადაც {\displaystyle \scriptstyle \sigma } საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია" და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: {\displaystyle \operatorname {Var} (X)}.

თვისებები
---------

* დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: {\displaystyle D[X]\geqslant 0;}
* თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
* თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: {\displaystyle D[a]=0.} სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ {\displaystyle D[X]=0,} მაშინ {\displaystyle X=E[X]} თითქმის ყველგან;
* ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:
{\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}, სადაც {\displaystyle \!{\text{cov}}(X,Y)} — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა;
* ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:
{\displaystyle \!D\left[\sum \_{i=1}^{n}c\_{i}X\_{i}\right]=\sum \_{i=1}^{n}c\_{i}^{2}D[X\_{i}]+2\sum \_{1\leqslant i<j\leqslant n}c\_{i}c\_{j}\,{\text{cov}}(X\_{i},X\_{j})}, სადაც {\displaystyle c\_{i}\in \mathbb {R} };

კერძოდ, {\displaystyle \displaystyle D[X\_{1}+...+X\_{n}]=D[X\_{1}]+...+D[X\_{n}]}, თუ შემთხვევითი სიდიდეები {\displaystyle \displaystyle X\_{1},...X\_{n}} დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);
* {\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}
* {\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}
* {\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}

მაგალითი
--------

ვთქვათ, მოცემულია {\displaystyle \displaystyle [0,1]} სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე {\displaystyle \displaystyle X}, ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:

{\displaystyle f\_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}
გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.

{\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\int \limits \_{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert \_{0}^{1}={\frac {1}{3}},}
{\displaystyle E\left[X\right]=\int \limits \_{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert \_{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}
საბოლოოდ:

{\displaystyle D[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}

იხილეთ აგრეთვე
--------------

* შერჩევითი დისპერსია
* საშუალო სტანდარტული გადახრა
* მომენტი
* კოვარიაცია
* მათემატიკური ლოდინი

ლიტერატურა
----------

* *ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია*, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
* *Ширяев А.Н*, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6

რესურსები ინტერნეტში
--------------------

* მათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება [*მკვდარი ბმული*]