წრფივ ალგებრაში, რაიმე {\displaystyle A} კვადრატული მატრიცის **საკუთრივი ვექტორი** ეწოდება ისეთ არა-ნულოვან {\displaystyle x} ვექტორს, რომლის {\displaystyle A} მატრიცაზე გამრავლებით მიიღება {\displaystyle x}-ის კოლინეარული ვექტორი, ანუ იგივე ვექტორი, ოღონდ გამრავლებული რაიმე სკალარზე {\displaystyle \lambda }: 

{\displaystyle Ax=\lambda x}

აღნიშნულ სკალარს ეწოდება **საკუთრივი მნიშვნელობა**.

მიმოხილვა
---------

უმრავლესობა ვექტორებისა იცვლის მიმართულებას, როცა მათ რაიმე მატრიცაზე ამრავლებენ. თუმცა, მოცემული მატრიცისთვის შესაძლებელია მოძებნილ იქნას ისეთი ვექტორები, რომელთა მიმართულება ამ მატრიცაზე გამრავლებით არ შეიცვლება და გაიზრდება/შემცირდება მხოლოდ მასშტაბი. მაგალითისთვის განვიხილოთ შემდეგი მატრიცა:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}.
ამ მატრიცის გამრავლებით ვექტორზე

{\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}
მიიღება ვექტორი

{\displaystyle b={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}},
რომელიც მასშტაბით "სამჯერ მეტია" {\displaystyle x}-ზე: {\displaystyle Ax=b=3x}. მაშასადამე, {\displaystyle x} წარმოადგენს {\displaystyle A} მატრიცის *საკუთრივ ვექტორს*, ხოლო 3-იანი კი {\displaystyle A} მატრიცის *საკუთრივი მნიშვნელობაა*.

შევნიშნოთ, რომ თუ {\displaystyle A} იგიური მატრიცაა, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი მის საკუთრივს წარმოადგენს, რადგან {\displaystyle Ax=x}, ანუ {\displaystyle \lambda =1}.

საკუთრივი მნიშვნელობების თვისებები
----------------------------------

დადებითად განსაზღვრული მატრიცის საკუთრივი მნიშვნელობები დადებითია.

მატრიცის ახარისხებისას მისი საკუთრივი ვექტორები უცვლელი რჩება, ხოლო საკუთრივი მნიშვნელობები კი ახარისხდება.

საკუთრივი მნიშვნელობებისა და ვექტორების გამოთვლა
------------------------------------------------

გვაქვს, რომ

{\displaystyle Ax=\lambda x}

{\displaystyle Ax-\lambda x=0}

{\displaystyle (A-\lambda I)x=0}

საიდანაც, თუ ამონახსნი {\displaystyle x\neq 0}, {\displaystyle A-\lambda I} მატრიცა შეუქცევადია და მისი დეტერმინანტი

{\displaystyle det(A-\lambda I)=0}.

ამ უკანასკნელ განტოლებას *მახასიათებელი განტოლება* ეწოდება და მას გააჩნია იმდენი ამონახსნი ({\displaystyle \lambda } საკუთრივი მნიშვნელობა), რამდენიცაა {\displaystyle A} მატრიცის რიგი. თითოეული {\displaystyle \lambda }-თვის შესაძლებელია ნაპოვნი იქნეს შესაბამისი საკუთრივი ვექტორი {\displaystyle x} შემდეგი განტოლების ამოხსნით:

{\displaystyle (A-\lambda I)x=0}.

მაგალითი
--------

ვიპოვოთ 

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}

მატრიცის ყველა საკუთრივი მნიშვნელობა და ვექტორი. ჩავწეროთ მახასიათებელი განტოლება:

{\displaystyle det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}=0}.

ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია {\displaystyle \lambda \_{1}=3} და {\displaystyle \lambda \_{2}=1}. მოძიებული საკუთრივი მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ შესაბამისი {\displaystyle x\_{1}} და {\displaystyle x\_{2}} საკუთრივი ვექტორები:

{\displaystyle (A-\lambda \_{1}I)x\_{1}={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}^{1}\\x\_{1}^{2}\end{bmatrix}}=0}

საიდანაც ერთ-ერთი ამონახსნი იქნება

{\displaystyle x\_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი {\displaystyle kx\_{1}} ვექტორიც, სადაც {\displaystyle k} რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.

ანალოგიურად, 

{\displaystyle (A-\lambda \_{2}I)x\_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{2}^{1}\\x\_{2}^{2}\end{bmatrix}}=0}

{\displaystyle x\_{2}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი {\displaystyle kx\_{2}} ვექტორიც, სადაც {\displaystyle k} რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.

იხილეთ აგრეთვე
--------------

* საკუთრივი ფუნქცია

იტერატურა
---------

* ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 8, თბ. 1984. — გვ. 685.