სხვადასხვა პარამეტრების მქონე ნორმალურ განაწილებათა განაწილების ფუნქციები.
ალბათობის თეორიაში **ალბათური განაწილების ფუნქცია** (იგივე **განაწილების ფუნქცია** ან **კუმულატიური განაწილების ფუნქცია**) წარმოადგენს ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობაც ყოველ x წერტილში არის ალბათობა იმისა, რომ ამ განაწილების ფუნქციის შესაბამისი შემთხვევითი სიდიდე მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.

განსაზღვრება
------------

ვთქვათ, მოცემულია ალბათური სივრცე {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} მასზე განსაზღვრული შემთხვევით სიდიდით {\displaystyle \displaystyle X} და განაწილებით {\displaystyle \mathbb {P} \_{X}}. {\displaystyle \displaystyle X} შემთხვევითი სიდიდის განაწილების ფუნქცია ვუწოდოთ ფუნქციას {\displaystyle F\_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

{\displaystyle F\_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} \_{X}\left((-\infty ,x]\right)}.
ანუ, განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში {\displaystyle x} წარმოადგენს ალბათობას ხდომილებისა {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leqslant x\}}.

აღსანიშნავია, რომ ზოგჯერ განაწილების ფუნქციას განსაზღვრავენ შემდეგნაირად:

{\displaystyle F\_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} \_{X}\left((-\infty ,x)\right)}.
თვისობრივი განსხვავება ამ ორ განმარტებას შორის არ არის; მეორენაირად განმარტებული განაწილების ფუნქცია მარცხნიდან უწყვეტია (ნაცვლად მარჯვნიდან უწყვეტისა).

თვისებები
---------

განაწილების ფუნქციას ოთხი ძირითადი თვისება გააჩნია:

* {\displaystyle \displaystyle F\_{X}} უწყვეტია მარჯვნიდან:
{\displaystyle \lim \limits \_{\varepsilon \to 0+}F\_{X}(x+\varepsilon )=F\_{X}(x)}
* {\displaystyle \displaystyle F\_{X}} არაკლებადია მთელ ღერძზე.
* {\displaystyle \lim \limits \_{x\to -\infty }F\_{X}(x)=0}.
* {\displaystyle \lim \limits \_{x\to +\infty }F\_{X}(x)=1}.

  

შემთხვევითი სიდიდის განაწილება {\displaystyle \mathbb {P} \_{X}} ცალსახად განსაზღვრავს განაწილების ფუნქციას. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ფუნქცია {\displaystyle F(x)} აკმაყოფილებს ზემოთ მოყვანილ ოთხ თვისებას, მაშინ არსებობს ალბათური სივრცე და მასზე განსაზღვრული ისეთი შემთხვევითი სიდიდე, რომ {\displaystyle F(x)} მის განაწილების ფუნქციას წარმოადგენს.

მარჯვნიდან უწყვეტობის თვისების ძალით განაწილების ფუნქციას ყოველთვის გააჩნია მარჯვენა ზღვარი {\displaystyle F\_{X}(x+)} და ის ემთხვევა {\displaystyle F\_{X}(x)}-ს ყოველი {\displaystyle x\in \mathbb {R} }. არაკლებადობის თვისება კი უზრუნველყოფს {\displaystyle F\_{X}(x-)} ზღვრის არსებობას, თუმცა არაა აუცილებელი, რომ ეს უკანასკნელი ემთხვეოდეს ფუნქციის მნიშვნელობას {\displaystyle x} წერტილში. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი {\displaystyle x\in \mathbb {R} } წერტილისთვის {\displaystyle F\_{X}} ან უწყვეტია, ან გააჩნია პირველი გვარის წყვეტა.

  

### კავშირი ალბათობასთან

ალბათობის თვისებებიდან გამომდინარე, {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }, თუ {\displaystyle \displaystyle a<b}, სამართლიანია შემდეგი ტოლობები:

* {\displaystyle \mathbb {P} (X>x)=1-F\_{X}(x)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (X<x)=F\_{X}(x-)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F\_{X}(x-)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=F\_{X}(x)-F\_{X}(x-)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F\_{X}(b)-F\_{X}(a)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F\_{X}(b)-F\_{X}(a-)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F\_{X}(b-)-F\_{X}(a)};
* {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F\_{X}(b-)-F\_{X}(a-)}.

ლიტერატურა
----------

* *ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია*, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
* *Ширяев А.Н*, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6


|  |  |
| --- | --- |
|  | *ეს სტატია მათემატიკის შესახებ ჯერჯერობით ესკიზია. თქვენ შეგიძლიათ დაგვეხმაროთ მის შევსებაში.* |