**წარმოებული** — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის {\displaystyle f} ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე {\displaystyle x\_{0}}წერტილის მიდამოში არგუმენტის {\displaystyle x-x\_{0}} ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება {\displaystyle f(x)-f(x\_{0})}. სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული {\displaystyle x\_{0}} წერტილის მიდამოში.

**განსაზღვრება**: ერთი ნამდვილი ცვლადის {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ფუნქციის **წარმოებული** {\displaystyle x\_{0}\in ]a,\;b[} წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი {\displaystyle f'(x\_{0})} და

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x\_{0})=\lim \limits \_{x\to x\_{0}}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}.}

თუ {\displaystyle x\_{0}=a} ან {\displaystyle x\_{0}=b}, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს {\displaystyle f'(a)} და {\displaystyle f'(b)} ვუწოდებთ შესაბამისად **მარცხენა** და **მარჯვენა** წარმოებულებს. თუ {\displaystyle x\_{0}} წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს {\displaystyle \Delta x=x-x\_{0}\;\;{\text{დ ა}}\;\;\Delta f(x\_{0})=f(x)-f(x\_{0})}, მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს

{\displaystyle (1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x\_{0})=\lim \limits \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x\_{0})=\lim \limits \_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x\_{0})}{\Delta x}}.}

წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია {\displaystyle \varepsilon (x)={\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}-f'(x\_{0})} აკმაყოფილებს ტოლობას {\displaystyle \lim \limits \_{x\to x\_{0}}\varepsilon (x)=0}. ამიტომ უტოლობიდან {\displaystyle |f(x)-f(x\_{0})|\leq |f'(x\_{0})(x-x\_{0})|+|\varepsilon (x)(x-x\_{0})|}, გამომდინარეობს {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა {\displaystyle x\_{0}} წერტილში. ამდენად {\displaystyle f'(x\_{0})} წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა {\displaystyle x\_{0}} წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას {\displaystyle f(x)=|x|} არ გააჩნია წარმოებული {\displaystyle f'(0)}. მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.

თუ ფუნქციას {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ყოველ {\displaystyle x\_{0}\in [a,\,b]} წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ {\displaystyle x\_{0}\in [a,\,b]} რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს {\displaystyle f'(x\_{0})} აღვნიშნავთ სიმბოლოთი {\displaystyle f'} და ვუწოდებთ {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულ {\displaystyle f'} ფუნქციას არ გააჩნია პირველი გვარის წყვეტები.

თუ {\displaystyle f'} ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას {\displaystyle f''}, რომელსაც ეწოდება {\displaystyle f} ფუნქციის **მეორე რიგის წარმოებული**. ანალოგიურად {\displaystyle f''} ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ {\displaystyle f'''} -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ {\displaystyle n-}ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი {\displaystyle f^{(n)}}და

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x\_{0})=(f^{(n-1)}(x\_{0}))'=\lim \limits \_{x\to x\_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x\_{0})}{x-x\_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),}

სადაც {\displaystyle f^{(0)}:=f}. ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული {\displaystyle f',f'',\cdots ,f^{(n)}}, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები {\displaystyle {\frac {df}{dx}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},\cdots ,{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}} შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები {\displaystyle {\dot {f}},{\ddot {f}}.} ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის {\displaystyle x\_{0}} წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები {\textstyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\bigg \vert }\_{x=x\_{0}}\;\;{\text{ან}}\;\;\;\;{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x\_{0})}.

თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე **გლუვს**.

წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი
--------------------------------

ნახ.1
ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის {\displaystyle A} წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის {\displaystyle A} და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ {\displaystyle B} წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ {\displaystyle A} წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი {\displaystyle f} ფუნქციის გრაფიკის {\displaystyle A(x\_{0},\;f(x\_{0}))} წერტილში მხების ასაგებად, {\displaystyle x\_{0}} წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი {\displaystyle x\_{1}:=x\_{0}+\Delta x\;(\Delta x\not =0)} წერტილი და {\displaystyle f} ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი {\displaystyle B(x\_{0}+\Delta x,\;f(x\_{0}+\Delta x))} წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ {\displaystyle A} და {\displaystyle B} წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება

{\displaystyle (2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell \_{\text{ქორდ}}(x)={\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}(x-x\_{0})+f(x\_{0})}.

ნახ. 2
ახლა თუ {\displaystyle x\_{1}} წერტილით მივუახლოვედებით {\displaystyle x\_{0}} წერტილს, შესაბამისად {\displaystyle B} წერტილიც მიუახლოვდება {\displaystyle A} წერტილს და {\displaystyle \ell \_{\text{ქორდ}}} ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ {\displaystyle \ell \_{\text{მხებ}}}მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე {\displaystyle x\_{1}\to x\_{0}\;(\Delta x\to 0)}, და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell \_{\text{მხებ}}(x)=f'(x\_{0})(x-x\_{0})+f(x\_{0})}.

უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების {\displaystyle k} კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან {\displaystyle k=\tan \alpha }, სადაც {\displaystyle \alpha } არის კუთხე მხებსა და {\displaystyle OX} ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x\_{0})=\tan \alpha }.

კავშირი ფუნქციასა და მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის
-----------------------------------------------------------

წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ {\displaystyle f'(x\_{0})>0} მაშინ {\displaystyle {\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}>0} როდესაც {\displaystyle x} საკმარისად ახლოსაა {\displaystyle x\_{0}} წერტილთან, რაც ნიშნავს {\displaystyle f} ფუნქციის **მკაცრად ზრდადობას** {\displaystyle x\_{0}} წერტილში. ანალოგიურად თუ {\displaystyle f'(x\_{0})<0} მაშინ ფუნქცია {\displaystyle f} **მკაცრად კლებადია** {\displaystyle x\_{0}} წერტილში. თუ {\displaystyle \displaystyle f'(x\_{0})=0}, მაშინ {\displaystyle f} ფუნქცია {\displaystyle x\_{0}} წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს {\displaystyle x\_{0}} წერტილში, ასეთებია ვთქვათ {\displaystyle x\_{0}=0} წერტილში მკაცრად ზრდადი {\displaystyle x^{3}} და მკაცრად კლებადი {\displaystyle -x^{3}} ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს **ექსტრემუმი**. კერძოდ {\displaystyle f} ფუნქციას გააჩნია ლოკალური **მაქსიმუმი** (**მინიმუმი**) თუ {\displaystyle \displaystyle f'(x\_{0})=0} და {\displaystyle x\_{0}} წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).

აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ {\displaystyle f''(x\_{0})<0\;\;(f''(x\_{0})>0)} მაშინ {\displaystyle f} ფუნქცია **ამოზნექილია** (**ჩაზნექილია**) {\displaystyle x\_{0}} წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.

თუ {\displaystyle f''(x\_{0})=0} და {\displaystyle x\_{0}} წერტილში {\displaystyle f''} იცვლის ნიშანს, მაშინ {\displaystyle x\_{0}} წერტილს ეწოდება {\displaystyle f} ფუნქციის **გადაღუნვის** წერტილი.

გაწარმოების (წარმოებულის გამოთვლის) წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები
----------------------------------------------------------------------------------

ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:

  

**1.** {\displaystyle c'=0} (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} **5.** {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x};

**2.** {\displaystyle (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}\;(\alpha \in R)}, კერძოდ {\displaystyle x'=1}; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} **6.** {\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;\;(x\not ={\frac {\pi }{2}}+\pi k),\;\;\;} {\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;\;(x\not =\pi k)};

**3**. {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a\;\;(a>0)}, კერძოდ {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} **7.** {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\;\;\;(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\;x\in (-1,\;1)};

**4.** {\displaystyle (\log \_{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}\;\;(a>1)}, კერძოდ {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} **8.** {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}},\;\;\;(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}.

თუ {\displaystyle f} და {\displaystyle g} წარმოებადი ფუნქციებია და {\displaystyle \alpha \in R}, მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი:
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\;\;{\Bigl (}{\frac {f}{g}}{\Bigr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\;\;(g\not =0),}

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)={\frac {df(y)}{dy}}{\bigg \vert }\_{y=g(x)}{\frac {dg(x)}{dx}},\;\;\;\;\;\;(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}.}

მრავალი ცვლადის ფუნქციის კერძო და მიმართული წარმოებულები
--------------------------------------------------------

ვთქვათ {\displaystyle D\subset R^{n}} და ყოველ {\displaystyle x=(x\_{1},\cdots ,x\_{n})\in D} ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი {\displaystyle y\in R}, ანუ მოცემული გვაქვს {\displaystyle n} ცვლადის {\displaystyle f:D\to R} ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ {\displaystyle x\_{i}\;(1\leq i\leq n)} ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ {\displaystyle x\_{1}=a\_{1},\cdots ,x\_{i-1}=a\_{i-1},x\_{i+1}=a\_{i+1},\cdots ,x\_{n}=a\_{n}}, მაშინ {\displaystyle g(x\_{i}):=f(a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},x\_{i},a\_{i},\cdots ,a\_{n})} იქნება ერთი {\displaystyle x\_{i}} ცვლადის ფუნქცია. თუ {\displaystyle g} ფუნქციას გააჩნია წარმოებული {\displaystyle x\_{i}=a\_{i}} წერტილში, მაშინ რიცხვს {\displaystyle g'(a\_{i})} ვუწოდებთ {\displaystyle f} ფუნქციის **კეძო წარმოებულს {\displaystyle x\_{i}} ცვლადით {\displaystyle a:=(a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},a\_{i},a\_{i},\cdots ,a\_{n})} წერტილში** და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(a\_{1},\cdots ,a\_{n})}, ანუ

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(a\_{1},\cdots ,a\_{n})=\lim \limits \_{h\to 0}{\frac {f(a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},a\_{i}+h,a\_{i+1}\cdots a\_{n})-f(a\_{1},\cdots ,a\_{n})}{h}}}.

თუ ყოველ {\displaystyle (a\_{1},\cdots ,a\_{n})\in D} წერტილს შეესაბამება რიცხვი {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(a\_{1},\cdots ,a\_{n})}, მივიღებთ {\displaystyle n} ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება {\displaystyle f} ფუნქციის **კეძო წარმოებული {\displaystyle x\_{i}} ცვლადით** და აღინიშნება სიმბოლოთი {\displaystyle {\frac {\partial f(x\_{1},\cdots ,x\_{n})}{\partial x\_{i}}}}, {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(x\_{1},\cdots ,x\_{n})}, ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}}.

ნახ. 3
განვიხილოთ ვექტორი {\displaystyle v:=(v\_{1},\cdots ,v\_{n})}. ადვილი დასანახია, რომ თუ {\displaystyle h\to 0} {\displaystyle (h\in R)}, მაშინ ვექტორი {\displaystyle x:=a+vh}, უახლოვდება {\displaystyle a:=(a\_{1},\cdots ,a\_{n})} ვექტორს {\displaystyle v} ვექტორის მიმართულებით, რადგან {\displaystyle x-a=vh} და {\displaystyle v} ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)). ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D\_{v}f(a):=\lim \limits \_{h\to 0}{\frac {f(a+vh)-f(a)}{h}}},

**{\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებული {\displaystyle a} წერტილში {\displaystyle v} მიმართულებით.** ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D\_{v}f(x)=(\triangledown f\cdot v)=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x\_{i}}}v\_{i}},

სადაც {\displaystyle (\quad \cdot \quad )} არის სკალარული ნამრავლი და {\displaystyle \triangledown f={\Bigl (}{\frac {\partial f(x)}{\partial x\_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial f(x)}{\partial x\_{n}}}{\Bigr )}} ანუ {\displaystyle f} ფუნქციის გრადიენტია.

კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის წარმოებული
---------------------------------------

ვთქვათ {\displaystyle C} არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, {\displaystyle D\subset C} არის არე, {\displaystyle z\_{0}\in D} და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია {\displaystyle f:D\to C.} მაშინ

{\displaystyle (3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z\_{0})=\lim \limits \_{z\to z\_{0}}{\frac {f(z)-f(z\_{0})}{z-z\_{0}}}.}

მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია {\displaystyle z}-ის {\displaystyle z\_{0}} რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} ფუნქციას სადაც {\displaystyle z=x+iy}, გააჩნია წარმოებული {\displaystyle z\_{0}=x\_{0}+iy\_{0}} წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ {\displaystyle u} და {\displaystyle v} ფუნქციები დიფერენცირებადია {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial u(x\_{0},y\_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial v(x\_{0},y\_{0})}{\partial y}},\;\;\;{\frac {\partial u(x\_{0},y\_{0})}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x\_{0},y\_{0})}{\partial x}}}.

თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია {\displaystyle D} არეში, ამბობენ რომ ის **ანალიზური** ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა

**კოშის თეორემა (1842 წ.)** თუ {\displaystyle f} ფუნქცია ანალიზურია {\displaystyle D} არეში და უწყვეტია {\displaystyle {\overline {D}}} ({\displaystyle D}-ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int \limits \_{\gamma \_{D}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi \;\;\;(z\in D),}

სადაც {\displaystyle \gamma \_{D}} არის {\displaystyle D} არის საზღვარი.

სქოლიო
------

1. ↑  W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. 1953; 3rd ed. 1976, 342 pp.
2. ↑  ვ. ჭელიძე, ე. წითლანაძე, მათემატიკური ანალიზის კურსი ტ.II, თსუ, თბილისი (1975).
3. ↑  R. Remmert, Theory of complex functions. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (1998)
4. ↑  М. Лаврентьев, Б. Шабат, Методы теории функции комплексного переменного. Наука, Москва (1965)