დალაგების და მესრების თეორიაში, **კლინის უძრავი წერტილის თეორემა**, რომელიც ატარებს ამერიკელი მათემატიკოსის სტივენ კოულ კლინის, სახელს, შემდეგნაირია:

*ვთქვათ {\displaystyle (L,\leq )}  სრული ნაწილობრივი დალაგებაა (CPO), და {\displaystyle f:L\rightarrow L} არის სკოტის აზრით უწყვეტი (და მაშასადამე მონოტონური) ფუნქცია. მაშინ {\displaystyle f}-ს გააჩნია  უმცირესი უძრავი წერტილი, რომელიც არის {\displaystyle f}-ის შესაბამისი **კლინის აღმავალი ჯაჭვის** სუპრემუმი.*
{\displaystyle f}-ის შესაბამისი **კლინის აღმავალი ჯაჭვი** არის  ჯაჭვი

{\displaystyle \bot \;\sqsubseteq \;f(\bot )\;\sqsubseteq \;f\left(f(\bot )\right)\;\sqsubseteq \;\dots \;\sqsubseteq \;f^{n}(\bot )\;\sqsubseteq \;\dots }
შედგენილი {\displaystyle f}-ის იტერაციებით {\displaystyle L}-ის უმცირეს ელემენტზე {\displaystyle \bot }.

სიმოკლისათვის:

{\displaystyle {\textrm {lfp}}(f)=\sup \left(\left\{f^{n}(\bot )\mid n\in \mathbb {N} \right\}\right)}
სადაც {\displaystyle {\textrm {lfp}}} აღნიშნავს უმცირეს უძრავ წერტილს.

ამ შედეგს ხშირად ალფრედ ტარსკის მიაწერენ, მაგრამ ტარსკის უძრავი წერტილი თეორემა შეეხება მონოტონურ ფუნქციებს სრულ მესრებზე.

დამტკიცება
----------

ჯერ ვაჩვენოთ {\displaystyle f}-ის შესბამისი კლინის ჯაჭვის არსებობა {\displaystyle L}-ში. ამისათვის დავამტკიცოთ შემდეგი ლემა:

ლემა 1:*თუ {\displaystyle L} არის CPO, და {\displaystyle f:L\rightarrow L} სკოტის აზრით უწყვეტია, მაშინ {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n+1}(\bot ),n\in \mathbb {N} \_{0}}*
დავამტკიცოთ ინდუქციით {\displaystyle n}-ის მიმართ: 

* დავუშვათ {\displaystyle n=0}. მაშინ {\displaystyle f^{0}(\bot )=\bot \sqsubseteq f^{1}(\bot )}, რადგან {\displaystyle \bot } უმცირესი ელემენტია.
* დავუშვათ {\displaystyle n>0}. საჩვენებელია რომ {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n+1}(\bot )}. ინდუქციის დაშვებით გვაქვს {\displaystyle f^{i-1}(\bot )\sqsubseteq f^{i}(\bot ),i\leq n}. რადგან {\displaystyle f} მონოტონურია სამართლიანია {\displaystyle f(f^{n-1}(\bot ))\sqsubseteq f(f^{n}(\bot ))} რისი ჩვენებაც გვინდოდა.

ლემიდან უშუალოდ გამომდინარეობს კლინის ჯაჭვის არსებობა.

ვთქვათ {\displaystyle \mathbb {M} } არის ჯაჭვის ელემენტთა სიმრავლე: {\displaystyle \mathbb {M} =\{\bot ,f(\bot ),f(f(\bot )),\ldots \}}. **ლემა 1**-დან გამომდინარეობს რომ ჯაჭვი არის მიმართული {\displaystyle \omega } -ჯაჭვი. CPO-ს გამნარტებიდან გამომდინარეობს რომ ამ სიმრავლეს აქვს სუპრემუმი, ავღნიშნოთ ის {\displaystyle m}-ით. საჩვენებელი დარჩა მხოლოდ ის, რომ {\displaystyle m} უმცირესი უძრავი წერტილია.

თავდაპირველად ვაჩვენოთ, რომ {\displaystyle m} უძრავი წერტილია, სხვა სიტყვებით {\displaystyle f(m)=m}. რადგან {\displaystyle f} არის სკოტის აზრით უწყვეტი , {\displaystyle f(\sup(\mathbb {M} ))=\sup(f(\mathbb {M} ))}, რაც იგივეა რაც {\displaystyle f(m)=\sup(f(\mathbb {M} ))}. რადგანაც {\displaystyle f(\mathbb {M} )=\mathbb {M} \setminus \{\bot \}} და ასევე რადგან {\displaystyle \bot } არ ღებულობს მონაწილეობას სუპრემუმის დადგენისას, გვაქვს {\displaystyle \sup(f(\mathbb {M} ))=\sup(\mathbb {M} )}. აქედან კი {\displaystyle f(m)=m}, რაც იმას ნიშნავს რომ {\displaystyle m} არის {\displaystyle f}-ის უძრავი წერტილი.

იმის საჩვენებლად რომ {\displaystyle m} სინამდვილეში **უმცირესი უძრავი წერტილია** საკმარისია ვაჩვენოთ რომ {\displaystyle \mathbb {M} } სიმრავლის ყველა ლემენტი ნაკლებია ვიდრე {\displaystyle f}-ის ნებისმიერი უძრავი წერტილი (რადგან სუპრემუმის (უმცირესი ზედა საზღვრის) განმარტებიდან, თუ ყველა ელემენტი სიმრავლიდან {\displaystyle D\subseteq L} ნაკლებია ვიდრე {\displaystyle L} სიმრავლის რაიმე დაფიქსირებული ელემენტი {\displaystyle l}, მაშინ {\displaystyle \sup(D)} ასევე ნალებია ვიდრე {\displaystyle l}).

ვაჩვენოთ ეს ინდუქციის საშუალებით: დავუშვათ {\displaystyle k} არის {\displaystyle f}-ის რაიმე უძრავი წერტილი. დავამტკიცოთ ინდუქციით {\displaystyle i}-ს მიმართ რომ {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon f^{i}(\bot )\sqsubseteq k}. ავიღოთ {\displaystyle i=0}: {\displaystyle f^{0}(\bot )=\bot \sqsubseteq k} ცხადია სრულდება, რადგან {\displaystyle \bot } უმცირესი ელემენტია {\displaystyle L}-ში. ინდუქციის დაშვებად ავიღოთ {\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k}. ინდუქციის ბიჯი: ინდუქციის დაშვებიდან და {\displaystyle f}-ის მონოტონურობიდან, შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი: {\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k\implies f^{i+1}(\bot )\sqsubseteq f(k)}. რადგანაც {\displaystyle k} არის {\displaystyle f}-ის უძრავი წერტილი, გვაქვს {\displaystyle f(k)=k}, საიდანაც ვღებულობთ {\displaystyle f^{i+1}(\bot )\sqsubseteq k}.

იხილეთ აგრეთვე
--------------

* კნასტერ-ტარსკის თეორემა

ლიტერატურა
----------

* S.C. Kleene "Introduction to Metamathematics (Bibliotheca Mathematica)" 1952 ISBN-13: 978-0923891572