Dalam matematika, **konjektur Mersenne** adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis bilangan prima yang disebut bilangan prima Mersenne, bilangan prima yang ditulis dalam ekspresi perpangkatan dari dua dikurangi satu.

Konjektur asli
--------------

Konjektur aslinya, yang disebut *konjektur Mersenne*, menyatakan bahwa bilangan {\displaystyle 2^{n}-1} merupakan bilangan prima untuk {\displaystyle n} bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan bilangan komposit untuk semua bilangan bulat positif lain {\displaystyle n\leq 257}. Konjektur ini dinamai dari Marin Mersenne, dan terdapat di dalam *Cogitata Physico-Mathematica*. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu uji Lucas–Lehmer, konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan. Letak kesalahan tersebut di antaranya adalah dua bilangan komposit ({\displaystyle n=67,257}) dan tiga bilangan prima ({\displaystyle n=61,89,107}) saat disubstitusi ke bilangan prima Mersenne. Bilangan yang benar adalah {\displaystyle n} bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 dan 127.

Konjektur baru
--------------

**Konjektur Mersenne baru** atau **konjektur Bateman–Selfridge–Wagstaff** menyatakan bahwa untuk sebarang bilangan asli ganjil {\displaystyle p}, jika dua dari syarat berikut berlaku, maka syara ketiga juga berlaku:

1. {\displaystyle p=2^{k}\pm 1} atau {\displaystyle p=4^{k}\pm 3} untuk suatu bilangan asli {\displaystyle k}. (OEIS A122834)
2. {\displaystyle 2^{p}-1} adalah sebuah bilangan prima Mersenne. (OEIS A000043)
3. {\displaystyle (2^{p}+1)/3} adalah sebuah bilangan prima Wagstaff. (OEIS A000978)

Jika {\displaystyle p} adalah bilangan komposit ganjil, maka {\displaystyle 2^{p}-1} dan **Gagal mengurai (SVG (MathML dapat diaktifkan melalui plugin peramban): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "http://localhost:6011/id.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (2^p + 1)/3 }**
 adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.

Konjektur Lenstra–Pomerance–Wagstaff
------------------------------------

Lenstra, Pomerance, dan Wagstaff menduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne, dan lebih tepatnya bahwa jumlah bilangan prima Mersenne yang lebih kecil daripada {\displaystyle x} secara asimtotik kira-kira sama dengan 


e

γ

⋅

log

2

⁡

log

2

⁡
(
x
)
,

{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log \_{2}\log \_{2}(x),}

{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}
dengan γ adalah konstanta Euler–Mascheroni.

Dengan kata lain, jumlah bilangan prima Mersenne dengan pangkat {\displaystyle p} yang lebih kecil daripada {\displaystyle y} secara asimtotik sama dengan


e

γ

⋅

log

2

⁡
(
y
)
.

{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log \_{2}(y).}

{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}
Lebih umumnya lagi, jumlah bilangan prima {\displaystyle p\leq y} sehingga {\displaystyle (a^{p}-b^{p})/(a-b)} adalah bilangan prima (dengan {\displaystyle a} dan {\displaystyle b} adalah bilangan bulat koprima, {\displaystyle a>1,-a<b<a}, serta {\displaystyle a} dan {\displaystyle b} bukanlah bilangan sempurna pangkat {\displaystyle r} untuk sebarang bilangan asli {\displaystyle r>1}, dan {\displaystyle -4ab} bilangan sempurna pangkat empat) secara asimtotik sama dengan



(

e

γ

+
m
⋅

log

e

⁡
(
2
)
)
⋅

log

a

⁡
(
y
)
,

{\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log \_{e}(2))\cdot \log \_{a}(y),}

{\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y),}
dengan {\displaystyle m} adalah bilangan bulat tak negatif terbesar sehingga {\displaystyle a} dan {\displaystyle -b} adalah bilangan sempurna pangkat {\displaystyle 2^{m}}. Kasus {\displaystyle (a,b)=(2,1)} merupakan kasus bilangan prima Mersenne.

Referensi
---------

1. ↑  Dickson, L. E. (1919). *History of the Theory of Numbers*. Carnegie Institute of Washington. hlm. 31. OL 6616242M.  Dicetak ulang oleh Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
}}
2. ↑  Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff Jr. Samuel S. (1989). "The new Mersenne conjecture". *American Mathematical Monthly*. Mathematical Association of America. **96** (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195. MR 0992073.
3. 1 2  Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture. The Prime Pages. Retrieved on 2014-05-11.