Pada geometri aljabar, **ruang singgung Zariski** (Inggris: Zariski tangent spacecode: en is deprecated ) didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik *P* di suatu varietas aljabar *V.* Konstruksi geometris ini tidak menggunakan kalkulus ataupun derivatif, dan hanya didasarkan pada aljabar abstrak. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan sistem persamaan linear.

Motivasi
--------

Definisikan kurva *C* pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan polinomial berikut,

*F(X,Y)=0*
dan representasikan *P* sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada *F(X, Y)* dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari *F(X, Y).* Misalkan

*L(X,Y)=0*
adalah "versi linear" dari *F(X, Y)* yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, *L* bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus *L* bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva *C* di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika *L* merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva *C* adalah garis *L* itu sendiri, dengan menganggap *L* sebagai ruang afin. Jika *P* bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di *C,* lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik *P* adalah ruang afin dan *P* merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor. 

Pada lapangan real, ruang *L* dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama *F*. Jika turunan parsial pertama *F* terhadap *X* dan *Y* di titik *P* bernilai 0, maka *P* disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik *P* disebut titik singular kurva *C* apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

Definisi
--------

**Ruang ko-singgung** (*cotangent space*) dari gelanggang lokal {\displaystyle R}, dengan ideal maksimal {\displaystyle {\mathfrak {m}}} didefinisikan sebagai

{\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}
Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor-{\displaystyle k} dengan {\displaystyle k} adalah lapangan residu *{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}*. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-{\displaystyle k}) disebut ruang tangen dari {\displaystyle R}*.* 

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan {\displaystyle V} merupakan varietas aljabar afin dan {\displaystyle v} adalah titik di {\displaystyle V}. Secara konkret, modulo *{\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}* pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan {\displaystyle V} dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung {\displaystyle T\_{P}(X)} dan ruang ko-singgung {\displaystyle T\_{P}^{\*}(X)} dari skema {\displaystyle X} di titik {\displaystyle P} adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X,P}}. Karena fungtor {\displaystyle \operatorname {Spec} } fungtorial, homomorfisme faktor alami {\displaystyle f:R\to R/I} menginduksi homomorfisme {\displaystyle g:{\mathcal {O}}\_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}\_{Y,P}} dengan {\displaystyle X=\operatorname {Spec} R} dan {\displaystyle P} adalah suatu titik di {\displaystyle Y=\operatorname {Spec} R/I}. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen {\displaystyle T\_{P}(Y)} ke dalam ruang tangen {\displaystyle T\_{f^{-1}P}(X)}.  Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh {\displaystyle g} merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian, {\displaystyle g} menginduksi morfisme-{\displaystyle k} antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui

{\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{P}/{\mathfrak {m}}\_{P}^{2}}
{\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}
{\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}^{2}+I)}
{\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}\_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}
Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose {\displaystyle k^{\*}:T\_{P}(Y)\rightarrow T\_{f^{-1}P}(X)} bersifat injektif.

(Seringkali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)

Fungsi analitik
---------------

Misalkan {\displaystyle V} adalah subvarietas dari ruang vektor berdimensi {\displaystyle n} yang didefinisikan oleh ideal {\displaystyle I}, sehingga {\displaystyle R=F\_{n}/I}, dengan {\displaystyle F\_{n}} adalah gelanggang fungsi mulus/analitik/holomorfik pada ruang vektor tersebut. Ruang singgung Zariski di titik {\displaystyle x} adalah

{\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{x}/(I+{\mathfrak {m}}\_{x}^{2})},

dengan {\displaystyle {\mathfrak {m}}\_{x}} adalah ideal maksimal yang berisi fungsi-fungsi di {\displaystyle F\_{n}} yang lenyap di {\displaystyle x}.

Sifat
-----

Jika {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} adalah gelanggang Noether lokal, dimensi dari ruang tangen bernilai lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari {\displaystyle R}:

{\displaystyle \dim m/m^{2}\geq \dim R}

Gelanggang {\displaystyle R} adalah **gelanggang regular** jika kesamaan terjadi. Dalam geometri aljabar, jika {\displaystyle R} adalah gelanggang lokal pada varietas {\displaystyle V} di titik {\displaystyle v} dan {\displaystyle R} merupakan gelanggang regular, maka titik {\displaystyle v} disebut titik regular. Jika {\displaystyle v} bukan merupakan titik regular, maka titik {\displaystyle v} disebut **titik singular.**

Ruang tangen Zariski juga memiliki interpretasi melalui {\displaystyle \operatorname {Spec} k[t]/(t^{2})}. Misalkan {\displaystyle X} adalah skema-{\displaystyle k} dan {\displaystyle x} adalah titik rasional-{\displaystyle k} di {\displaystyle X}. Maka, morfisme-{\displaystyle k} dari {\displaystyle \operatorname {Spec} k[t]/(t^{2})} ke skema {\displaystyle X} dengan imej {\displaystyle \{x\}} berkorespondensi satu-satu dengan elemen yang ada pada ruang tangen Zariski di titik {\displaystyle x}.

Secara umum, dimensi ruang tangen Zariski dapatmenjadi sangat besar. Sebagai contoh, misalkan {\displaystyle C^{1}(\mathbf {R} )} adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di {\displaystyle \mathbf {R} }. Misalkan {\displaystyle R=C\_{0}^{1}(\mathbf {R} )} adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di titik asal. Maka, {\displaystyle R} adalah gelanggang lokal dengan ideal maksimal {\displaystyle {\mathfrak {m}}} terdiri atas fungsi-fungsi di {\displaystyle R} yang bernilai nol di titik asal. Fungsi-fungsi berbentuk {\displaystyle x^{\alpha }} dengan {\displaystyle \alpha \in (1,2)} membentuk himpunan bebas linear di ruang kotangen Zariski {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}, sehingga dimensi dari {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m^{2}}}} memiliki dimensi minimal {\displaystyle {\mathfrak {c}}}, kardinalitas dari kontinuum. Maka, dimensi dari ruang tangen Zariski {\displaystyle ({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{\*}} bernilai minimal {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}. Di sisi lain, gelanggang fungsi mulus di suatu titik pada manifold berdimensi {\displaystyle n} merupakan ruang kotangen Zariski berdimensi-{\displaystyle n}.

Referensi
---------

1. ↑  Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). *The geometry of schemes*. Graduate texts in mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98637-1.
2. ↑  *Smoothness and the Zariski Tangent Space*, James McKernan, 18.726 Spring 2011 Lecture 5