|  |
| --- |
| Bagian dari serial artikel mengenai |
| π |
| Artikel mengenai π |
| {\displaystyle 3.141\,529\,653\,587\,893\,238\,462\,\dots } |
| Penggunaan
* Luas lingkaran
* Keliling lingkaran
 |
| Sifat
* Irasional
* Transendensi
 |
| Nilai
* Kurang dari 22/7
* Perkiraan
* Mengingat π
 |
| Tokoh
* Archimedes
* Liu Hui
* Zu Chongzhi
* Aryabhata
* Madhava
* Ludolph van Ceulen
* Seki Takakazu
* Takebe Kenko
* William Jones
* John Machin
* William Shanks
* Srinivasa Ramanujan
* John Wrench
* Chudnovsky bersaudara
* Yasumasa Kanada
 |
| Sejarah
* Kronologi
* Buku
 |
| Budaya
* Hari Pi
 |
| Topik terkait
* Mengkuadratkan lingkaran
* Masalah Basel
* 6 buah angka "9" pada π
* Artikel lainnya
 |
| Portal Matematika |
| * l
* b
* s
 |

Hasil pembuktian matematis mengenai nilai bilangan rasional {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} lebih dari \pi  (pi) telah ada sejak dahulu. Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan namun hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena keindahan dan koneksinya dengan teori Hampiran Diophantus. Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran \pi ". Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran pecahan berlanjut dari \pi  dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.

Tujuan dari pembuktian ini bukanlah untuk meyakinkan pembaca kalau nilai {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} (atau {\displaystyle 3\,{\dfrac {1}{7}}}) lebih dari \pi ; terdapat berbagai metode sistematis untuk menghitung nilai dari \pi. Jika seseorang mengetahui kalau \pi  memiliki nilai sekitar {\displaystyle 3.14159}, maka secara trivial, dapat disimpulkan kalau {\displaystyle \pi <{\dfrac {22}{7}}}, yakni sekitar {\displaystyle 3.142857}. Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan {\displaystyle \pi <{\dfrac {22}{7}}} jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai \pi  itu sekitar {\displaystyle 3.14159}.

Latar Belakang
--------------

Nilai {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} adalah hampiran Diophantus dari \pi  yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari \pi , yang dapat dilihat dari representasi desimal dari kedua nilai tersebut:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi &=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}
Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama. Archimedes menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} melebihi \pi  pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja Archimedes bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} lebih dari rasio dari keliling segi-96 beraturan terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.

Pembuktian
----------

Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:

{\displaystyle 0<\int \_{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi }
Sehingga, diperoleh {\displaystyle 0<{\dfrac {22}{7}}-\pi } atau {\displaystyle \pi <{\dfrac {22}{7}}}.

Integral ini merupakan soal pertama pada Kompetisi Putnam tahun 1968.

Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk Institut Teknologi India.

Detail Pengerjaan Integral
--------------------------

Hasil integral yang positif datang dari nilai integran yang non-negatif; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}. Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.

Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}-\pi }

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&=\int \_{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&{\text{Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang}}\\[8pt]&=\int \_{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,{\text{d}}x&{\text{Pembagian polinomial dengan cara bersusun}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|\_{0}^{1}&{\text{Teorema dasar kalkulus}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi &{\text{Ingat bahwa }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ dan }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi &{\text{Penjumlahan}}\end{aligned}}}
(lihat Pembagian polinomial dengan cara bersusun dan Teorema dasar kalkulus)

Estimasi Batas Atas dan Batas Bawah
-----------------------------------

Mengacu pada (Dalzell 1944), jika nilai {\displaystyle x} pada penyebut diganti dengan {\displaystyle 1}, maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai {\displaystyle x} pada penyebut diganti dengan {\displaystyle 0}, maka akan diperoleh batas atas dari integralnya. Perhatikan bahwa

{\displaystyle \int \_{0}^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int \_{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}}
Sehingga,

{\displaystyle {\begin{matrix}{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,{\text{d}}x}\\{\dfrac {1}{1260}}&<&{\dfrac {22}{7}}-\pi &<&{\dfrac {1}{630}}\\-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi -{\dfrac {22}{7}}&<&-{\dfrac {1}{1260}}\\{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi &<&{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{1260}}\end{matrix}}}
yang berarti {\displaystyle 3.1412<\pi <3.1421} dalam representasi desimal. Batas tersebut menyimpang kurang dari {\displaystyle 0.015\%} from \pi. Lihat juga (Dalzell 1971).

Bukti kalau 355/113 melebihi \pi
--------------------------------

Seperti yang telah dibahas pada (Lucas 2005), hampiran Diophantus {\displaystyle {\dfrac {355}{113}}} yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk \pi  dapat diperoleh dari

{\displaystyle 0<\int \_{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi }
{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots }
dimana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari \pi. Jika nilai {\displaystyle x} pada penyebut diganti dengan {\displaystyle 0}, maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164}}\,dx={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}\approx 0.000\,000\,173\ldots }
Substitusikan nilai {\displaystyle 1} pada variabel {\displaystyle x} di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga

{\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}
Dalam representasi desimal, ini artinya {\displaystyle {\underline {3.141592}}57<\pi <{\underline {3.141592}}74}, dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan \pi .

Lihat juga
----------

* Hampiran dari \pi
* Kronologi dari komputasi bilangan \pi
* Teorema Lindemann–Weierstrass (bukti bahwa \pi  adalah Bilangan transenden)
* Daftar topik yang berkaitan dengan \pi
* Bukti bahwa \pi  merupakan bilangan irasional

Catatan kaki
------------

### Catatan

1. ↑  Proposisi 3: Rasio keliling lingkaran apapun terhadap diameternya itu kurang dari {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}} namun lebih dari {\displaystyle {\dfrac {223}{71}}}.

### Sitasi

1. ↑  Lucas, Stephen (2005), "Integral proofs that 355/113 > π" [Bukti integral mengenai {\displaystyle {\dfrac {355}{113}}>\pi }] (PDF), *Australian Mathematical Society Gazette* (dalam bahasa Inggris), **32** (4): 263–266, MR 2176249, Zbl 1181.11077
2. ↑  Havil, Julian (2003), *Gamma. Exploring Euler's Constant* [*Gamma. Menjelajahi Konstanta Euler*] (dalam bahasa Inggris), Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 96, ISBN 0-691-09983-9, MR 1968276, Zbl 1023.11001
3. ↑  
Archimedes (2002) [1897], "Measurement of a circle", dalam Heath, T.L. *The Works of Archimedes* [*Karya dari Archimedes*], Dover Publications, hlm. 93–96, ISBN 0-486-42084-1
4. ↑  Alexanderson, Gerald L.; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C. ed. (1985), *The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984* [*Kompetisi Matematika William Lowell Putnam: Soal dan Jawaban: 1965-1984*] (dalam bahasa Inggris), Washington, DC: The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-463-5, Zbl 0584.00003
5. ↑  Ujian Masuk ITI 2010, soal nomor 41 pada halaman 12, bagian matematika.
6. ↑  Dalzell, D. P. (1944), "On 22/7", *Journal of the London Mathematical Society*, **19** (75 Part 3): 133–134, doi:10.1112/jlms/19.75\_part\_3.133, MR 0013425, Zbl 0060.15306 .
7. ↑  Dalzell, D. P. (1971), "On 22/7 and 355/113", *Eureka; the Archimedeans' Journal*, **34**: 10–13, ISSN 0071-2248 .

Pranala luar
------------

* The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.

| * l
* b
* s
Kalkulus |
| --- |
| Prakalkulus | 
* Beda hingga
* Faktorial
* Fungsi cekung
* Fungsi kontinu
* Fungsi linear
* Garis singgung
* Grafik fungsi
* Kemiringan
* Peubah banyak dan peubah batas
* Radian
* Sekan
* Teorema binomial
* Teorema dasar
* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Limit | 
* Bentuk tak tentu
* Limit barisan
* Limit fungsi
	+ Limit sepihak
* Urutan aproksimasi
* (ε, δ)-definisi limit

 |
| Kalkulus diferensial | 
* Aturan L'Hôpital
* Aturan Leibniz
* Aturan paling sederhana
	+ Aturan faktor konstanta dalam pendiferensialan
	+ Aturan pangkat
	+ Kelinearan pendiferensialan
	+ Aturan jumlah pendiferensialan
* Aturan rantai
* Diferensial
* Fungsi invers dan diferensial
* Kaidah hasil kali
* Kaidah hasil-bagi
* Laju yang berkaitan
* Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus
* Metode Newton
* Notasi
	+ Notasi Leibniz
	+ Notasi Newton
* Operator diferensial
* Pendefirensialan implisit
* Persamaan diferensial
* Teorema nilai purata
* Teorema Taylor
* Titik stasioner
	+ Maksimum dan minimum
	+ Teorema nilai ekstrem
	+ Uji turunan pertama
	+ Uji turunan kedua
* Turunan
* Turunan logaritmik

 |
| Kalkulus integral | 
* Antiturunan
* Aturan paling sederhana
	+ Aturan faktor konstanta dalam integrasi
	+ Kelinearan integrasi
	+ Aturan jumlah dalam integrasi
* Aturan trapesium
* Bukti bahwa 22/7 melebihi π
* Integral dari fungsi sekan
* Integral parsial
* Integral sekan kubik
* Integral substitusi
	+ Substitusi trigonometri
	+ Substitusi setengah sudut tangen
* Konstanta integrasi
* Panjang busur
* Pecahan parsial dalam integrasi
	+ Integral kuadratik
* Pendiferensialan di bawah tanda integral
* Teorema dasar kalkulus

 |
| Kalkulus vektor | 
* Gradien
* Kedivergenan
* Keikalan
* Laplace
* Teorema Gradien
* Teorema kedivergenan
* Turunan berarah
* Teorema Green
* Teorema Stokes

 |
| Kalkulus multivariabel | 
* Geometrik
* Integral garis
* Integral lipat
* Integral permukaan
* Integrasi cakram
* Integrasi kulit
* Integral volume
* Kelengkungan
* Matrix
* Matriks Hesse
* Matriks Jacobi dan determinan
* Pengali Langrange
* Tensor
* Teorema kedivergenan
* Terompet Gabriel
* Luar
* Turunan parsial

 |
| Deret | 
* Barisan aritmetiko-geometrik
* Binomial
* Fourier
* Geometrik
* Harmonik
* Maclaurin
* Pangkat
* Rumus Euler–Maclaurin
* Selang-seling
* Takhingga
* Taylor
* Uji Abel
* Uji akar
* Uji deret selang-seling
* Uji Dirichlet
* Uji integral untuk kekonvergenan
* Uji kondensasi Cauchy
* Uji perbandingan langsung
* Uji perbandingan limit
* Uji rasio
* Uji suku

 |
| Fungsi danbilangan khusus | 
* Aproksimasi Stirling
* Bilangan Bernoulli
* e (konstanta matematika)
* Fungsi eksponensial
* Logaritma natural

 |
| Sejarah kalkulus | 
* Adequality
* Brook Taylor
* Colin Maclaurin
* Fluks
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Hukum kekontinuan
* Infinitesimal
* Isaac Newton
* Kalkulus infinitesimal
* Keumuman aljabar
* Leonhard Euler
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| Daftar-daftar | 
* Daftar integral dari fungsi eksponensial
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers
* Daftar integral dari fungsi irasional
* Daftar integral dari fungsi logaritmik
* Daftar integral dari fungsi rasional
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik
* Daftar limit
* Daftar integral
* Kaidah diferensiasi

 |