|  |
| --- |
| **Ekonomi** |
|  |
|   **Ekonomi menurut kawasan** 
Afrika ·  Amerika
Amerika Selatan · Asia
Eropa · Oseania
 |
| Kategori umum |
| 
Ekonomi mikro ·  Ekonomi makro 
Sejarah pemikiran ekonomi 
Metodologi  ·  Pendekatan heterodoks |
| Bidang dan subbidang |
| 
Perilaku  ·  Budaya  ·  Evolusi 
Pertumbuhan  ·  Pengembangan  ·  Sejarah 
Internasional ·  Sistem ekonomi 
Keuangan  dan  Ekonomi keuangan 
Masyarakat  dan  Ekonomi kesejahteraan 
Kesehatan  ·  Buruh  ·  Manajerial 
Bisnis Informasi  · Informasi · Teori permainan 
Organisasi Industri  ·  Hukum 
Pertanian  ·  Sumber daya alam  Lingkungan ·  Ekologis Geografi Ekonomi  ·  Kota ·  Pedesaan  ·  Kawasan  Peta ekonomi |
| Teknik |
| 
Matematika  · 
Ekonometrika

Eksperimental ·  Neraca nasional |
| **Daftar** |
| Jurnal · Publikasi 
Kategori · Topik · Ekonom
 |
|  **Ideologi ekonomi**  
Anarkisme · Kapitalisme 
Komunisme ·  Korporatisme 
Fasisme · Georgisme 
Islam  · Globalisasi Ekonomi 
Pasar sosialisme ·  Merkantilisme 
Proteksionis ·  Sosialisme 
Sindikalisme ·  Jalan Ketiga 
 |
| **Perekonomian: Konsep dan Sejarah** |
|  Portal Bisnis dan ekonomi |
| Kotak ini: * lihat
* bicara
* sunting
 |

| Strategi |
| --- |
| Strategy Topics |
| Dimensi utama
* Strategi • Manajemen strategis
* Strategi militer • Strategi berpikir
* Perencanaan strategis • Teori permainan
* Strategi belajar
 |
| Para pemikir
* Michael Porter  • Henry Mintzberg
* Bruce Henderson  • Gary Hamel • C. K. Prahalad
* Jim Collins  • Liddell Hart
* Carl Von Clausewitz  • Sun Tzu
* Adrian Slywotzky  • Chris Zook
 |
| Konsep
* Model bisnis
* Competitive advantage  • Experience curve
* Rantai nilai • Teori Portfolio
* Kompetensi inti • Generic strategies
* Uberisasi
 |
| Peralatan
* SWOT • Lima Kekuatan
* Kartu skor berimbang • Peta strategi
* PEST  • Matriks BCG
 |
| * l
* b
* s
 |

**Teori permainan** (bahasa Inggris: *game theory*) adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari interaksi antar agen yang bersifat rasional. Setiap keputusan atau strategi yang dipilih oleh agen akan memiliki hasil yang berbeda (*payoff*) pada agen kompetitor. Pertama kali dikembangkan sebagai cabang tersendiri dari ilmu matematika oleh Oskar Morgenstern dan John von Neumann, cabang ilmu ini telah berkembang sedemikian pesat hingga melahirkan banyak tokoh peraih nobel, seperti John Nash (AS), Reinhard Selten (Jerman), dan John Harsanyi (AS) pada tahun 1999 dan Thomas Schelling (AS), Robert Aumann (Israel) pada tahun 2005, dan Leonid Hurwicz (Amerika Serikat) pada tahun 2007.

Dasar teori permainan
---------------------

Permodelan teori permainan paling mudah biasanya dimodelkan dalam bentuk matriks *payoff* atau pohon keputusan. Pada dasarnya, teori permainan diasumsikan semua agen bersifat rasional. Rasionalitas yang dimaksud adalah dimana setiap agen diasumsikan memutuskan strategi untuk memaksimalkan *payoff* dari agen itu sendiri yang tergantung pada pengetahuan dari agen terhadap strategi kompetitor. Variabel-variabel yang diformulasikan pada teori permainan mencakup keputusan (strategi) dari setiap agen dan *payoff* yang berupa hasil dari pengambilan keputusan tersebut. Apabila digambarkan pada agen {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, maka agen {\displaystyle A} dapat memiliki strategi {\displaystyle S\_{1}^{A}}, {\displaystyle S\_{2}^{A}}, ... sampai {\displaystyle S\_{n}^{A}} dan agen {\displaystyle B} memiliki strategi {\displaystyle S\_{1}^{B}}, {\displaystyle S\_{2}^{B}}, ... sampai {\displaystyle S\_{m}^{B}}. Kemungkinan hasil atau *payoff* yang diperoleh agen {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} dapat berjumlah {\displaystyle n\times m}. Diketahui bahwa agen {\displaystyle A} dan agen {\displaystyle B} memiliki *Payoff* berupa {\displaystyle f\_{A}(S\_{n}^{A},S\_{m}^{B})} dan {\displaystyle f\_{B}(S\_{m}^{B},S\_{n}^{A})}. {\displaystyle f\_{A}(S\_{n}^{A},S\_{m}^{B})} adalah fungsi *payoff* dari agen {\displaystyle A} mempertimbangkan strategi Agen {\displaystyle A} ({\displaystyle S\_{n}^{A}}) yang ke {\displaystyle n} dan strategi Agen {\displaystyle B} ({\displaystyle S\_{m}^{B}}) yang ke {\displaystyle m}. Tabel matriks *payoff* dari agen {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} adalah sebagai berikut:

|  | Agen {\displaystyle B} |
| --- | --- |
| {\displaystyle S\_{1}^{B}} | {\displaystyle S\_{2}^{B}} | ... | {\displaystyle S\_{m}^{B}} |
| Agen {\displaystyle A} | {\displaystyle S\_{1}^{A}} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{1}^{A},S\_{1}^{B}),f\_{B}(S\_{1}^{B},S\_{1}^{A})} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{1}^{A},S\_{2}^{B}),f\_{B}(S\_{2}^{B},S\_{1}^{A})} | ... | {\displaystyle f\_{A}(S\_{1}^{A},S\_{m}^{B}),f\_{B}(S\_{m}^{B},S\_{1}^{A})} |
| {\displaystyle S\_{2}^{A}} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{2}^{A},S\_{1}^{B}),f\_{B}(S\_{1}^{B},S\_{2}^{A})} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{2}^{A},S\_{2}^{B}),f\_{B}(S\_{2}^{B},S\_{2}^{A})} | ... | {\displaystyle f\_{A}(S\_{2}^{A},S\_{m}^{B}),f\_{B}(S\_{m}^{B},S\_{2}^{A})} |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| {\displaystyle S\_{n}^{A}} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{n}^{A},S\_{1}^{B}),f\_{B}(S\_{1}^{B},S\_{n}^{A})} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{n}^{A},S\_{2}^{B}),f\_{B}(S\_{2}^{B},S\_{n}^{A})} |  | {\displaystyle f\_{A}(S\_{n}^{A},S\_{m}^{B}),f\_{B}(S\_{m}^{B},S\_{n}^{A})} |

Penyelesaian atau solusi dari permasalahan ini disebut ini keseimbangan *Nash* (*Nash Equilibrium*) apabila setiap agen sudah mencapai *payoff* maksimum tergantung dari strategi agen lain dan seluruh agen tidak dapat lagi merubah strateginya. Keseimbangan *Nash* ditemukan oleh John Forbes Nash Jr. dalam studinya yang berjudul *Noncooperative games**.* Sebagai contoh, permasalahan dilema tahanan (*prisoner's dilemma*) adalah penerapan teori permainan untuk dua tahanan yang sedang diinterogasi. Tahanan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} ditangkap karena kejahatan yang dilakukan mereka secara bersamaan oleh penegak hukum. Setiap tahanan yang diinterogasi memiliki dua strategi yaitu **mengakui kejahatannya** atau **tidak**. *Payoff* dari kedua tahanan ini adalah lama tahanan akan dipenjara. Setiap strategi yang dilakukan akan menghasilkan payoff yang berbeda-beda untuk setiap Tahanan. Jika dimodelkan dengan matriks *payoff*, strategi dan *payoff* kedua tahanan adalah berikut ini:

|  | Pengakuan Tahanan {\displaystyle B} |
| --- | --- |
| Mengaku {\displaystyle (S\_{1}^{B})} | Tidak {\displaystyle (S\_{2}^{B})} |
| Pengakuan 
Tahanan
{\displaystyle A} | Mengaku {\displaystyle (S\_{1}^{A})} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{1}^{A},S\_{1}^{B})=} 3 tahun
{\displaystyle f\_{B}(S\_{1}^{B},S\_{1}^{A})=} 3 tahun | {\displaystyle f\_{A}(S\_{1}^{A},S\_{2}^{B})=} bebas
{\displaystyle f\_{B}(S\_{2}^{B},S\_{1}^{A})=} 5 tahun |
| Tidak {\displaystyle (S\_{2}^{A})} | {\displaystyle f\_{A}(S\_{2}^{A},S\_{1}^{B})=} 5 tahun
{\displaystyle f\_{B}(S\_{1}^{B},S\_{2}^{A})=} bebas | {\displaystyle f\_{A}(S\_{2}^{A},S\_{2}^{B})=} 1 tahun
{\displaystyle f\_{B}(S\_{2}^{B},S\_{2}^{A})=} 1 tahun |

Contoh matriks *payoff* menunjukan efek dari penetapan setiap strategi tahanan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} terhadap lama mereka akan dipenjara. Sebagai contoh, Jika tahanan {\displaystyle A} mengakui perbuatannya dan tahanan {\displaystyle B} tidak, maka tahanan {\displaystyle A} akan bebas dan tahanan {\displaystyle B} dipenjara selama 5 tahun. Berdasar dari konsep keseimbangan *Nash*, jika tahanan {\displaystyle B} memilih mengaku, maka respon terbaik tahanan {\displaystyle A} adalah juga mengakui perbuatannya. Jika tahanan {\displaystyle B} memilih untuk tidak mengakui, respon terbaik tahanan {\displaystyle A} adalah masih mengakui perbuatannya. Apapun strategi yang dipilih tahanan {\displaystyle B}, tahanan {\displaystyle A} sebaiknya memilih untuk mengakui perbuatannya. Hal ini pun juga berlaku untuk tahanan {\displaystyle B}. Jika tahanan {\displaystyle A} memilih mengaku, maka respon terbaik tahanan {\displaystyle B} adalah juga mengakui perbuatannya. Jika tahanan {\displaystyle A} memilih untuk tidak mengakui, respon terbaik tahanan {\displaystyle B} adalah masih mengakui perbuatannya. Alhasil, kedua tahanan akan memilih untuk mengakui perbuatannya. Hal ini disebut keseimbangan *Nash* dimana kedua tahanan yang sudah mengaku tidak lagi dapat memperbaharui strateginya. Akhirnya kedua tahanan memiliki *payoff* berupa dipenjara selama 3 tahun. Kondisi permainan yang dilakukan juga termasuk kedalam permainan nonkooperatif (*Noncooperative game*), dimana semua agen rasional berkompetisi tanpa ada interaksi antar mereka. Jika kedua tahanan memilih untuk berinteraksi, maka satu-satunya *payoff* paling optimal diperoleh jika keduanya tidak mengaku. Mereka akan hanya dipenjara selama satu tahun. Skema interaksi ini dinamakan permainan kooperatif (*Cooperative game*).

Selain dimodelkan dengan matriks *payoff*, permainan dapat dimodelkan dengan menggunakan pohon keputusan (*Decision tree*). Penggunaan pohon keputusan dalam teori permainan dapat merujuk kepada permainan sekuensial (*Sequential game*) dan permainan *extensive form*. Jika diaplikasikan pada permainan dilema tahanan, strategi tahanan {\displaystyle A} yang dari tahanan {\displaystyle B} dapat dilihat pada gambar pohon keputusan.

Penerapan teori permainan dalam pemodelan ekonomi
-------------------------------------------------

Pemodelan kompetisi antar agen dari teori permainan dan penyelesaian solusinya berupa keseimbangan *Nash* memberikan beberapa dampak pada berbagai sektor kehidupan masyarakat. Salah satunya adalah dalam pemodelan ekonomi. Beberapa model yang terdampak adalah model kuantitas *Cournot*, model penetapan harga *Bertrand*, dan model kepemimpinan *Stackelberg*.

### Model kuantitas *Cournot*

Pada 1838, matematikawan dan ekonom prancis yang bernama Antoine Augustin Cournot, menerbitkan sebuah publikasi dengan judul *Recherches sur les principes mathématiques de la Théorie des richesses*. Publikasinya menjelaskan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dalam hal kuantitas produksi sebuah barang. Keputusan antar perusahaan sifatnya independen namun rasional. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan *Cournot*:

1. Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
2. Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (*perfect and complete information*).
3. Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (*Information sharing*).
4. Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang seimbang, sehingga mereka menetapkan keputusannnya secara simultan (*Simultaneous*).
5. Semua perusahaan berkompetisi untuk menghasilkan kuantitas produk yang cukup dan jumlah kuantitas produk mempengaruhi harga.
6. Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau *payoff* mereka.

Grafik penawaran dan permintaan (*Supply* *and Demand*)
Berdasar pada hubungan penawaran dan permintaan (*supply and demand*), model *Cournot* fokus pada fungsi permintaan dimana kenaikan jumlah kuantitas yang diproduksi akan menurunkan harga dari produk itu. Sebagai contoh jika perusahaan {\displaystyle A} berkompetisi kuantitas dengan perusahaan {\displaystyle B}. Perusahaan {\displaystyle A} menghasilkan produk sebesar {\displaystyle q\_{A}} unit dan perusahaan {\displaystyle B} menghasilkan produk sebesar {\displaystyle q\_{B}} unit. Jumlah kuantitas produk digambarkan pada fungsi {\displaystyle Q=q\_{A}+q\_{B}}. Karena harga dipengaruhi oleh kuantitas produk pada model ini, maka fungsi harga digambarkan pada persamaan berikut:




p
(
Q
)

=
a
−
b
×
Q

p
(

q

A

,

q

B

)

=
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)



{\displaystyle {\begin{aligned}p(Q)&=a-b\times Q\\p(q\_{A},q\_{B})&=a-b\times (q\_{A}+q\_{B})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}p(Q)&=a-b\times Q\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\end{aligned}}}
Model penetapan harga diatas menjelaskan bahwa setiap harga {\displaystyle p(Q)} atau {\displaystyle p(q\_{A},q\_{B})} sangat bergantung terhadap jumlah kuantitas {\displaystyle Q} unit dari {\displaystyle q\_{A}} dan {\displaystyle q\_{B}}. Parameter {\displaystyle a} adalah nilai *intercept* dari sebuah model ekonometrika yang menjelaskan kesediaan pasar untuk membayar jika produk sama sekali tidak tersedia. Parameter {\displaystyle b} adalah nilai *slope* yang menunjukan besar pengaruh kuantitas terhadap perubahan harga. Parameter ini juga dapat dikatakan sebagai elastisitas harga dengan satuan {\textstyle {\frac {\text{harga}}{\text{unit}}}}. Model harga ini juga terkenal dengan sebutan fungsi permintaan terbalik (*inverse demand function*). Fungsi ini dipakai kembali pada penetapan model pendapatan (*revenue*) untuk perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}.



π

A

(

q

A

,

q

B

)

=
p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

A



=
[
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)
]
×

q

A


π

B

(

q

B

,

q

A

)

=
p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

B



=
[
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)
]
×

q

B



{\displaystyle {\begin{aligned}\pi \_{A}(q\_{A},q\_{B})&=p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{A}\\&=[a-b\times (q\_{A}+q\_{B})]\times q\_{A}\\\pi \_{B}(q\_{B},q\_{A})&=p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{B}\\&=[a-b\times (q\_{A}+q\_{B})]\times q\_{B}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(q_{A},q_{B})&=p(q_{A},q_{B})\times q_{A}\\&=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{A}\\\pi _{B}(q_{B},q_{A})&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{B}\end{aligned}}}
Perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} akan menerima pendapatan sebesar {\displaystyle \pi \_{A}} dan {\displaystyle \pi \_{B}}. Pendapatannya berupa jumlah harga yang ditetapkan ({\displaystyle p(q\_{A},q\_{B})}) dikalikan dengan kuantitas produksi dari masing masing perusahaan ({\displaystyle q\_{A}} dan {\displaystyle q\_{B}}). Karena fungsi pendapatan dari perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} berbentuk model ordo kedua (*second-order*), maka kedua model diasumsikan memiliki bentuk *concave*. Untuk menemukan titik optimum global, kedua fungsi pendapatan diturunkan. Kondisi ordo pertama dari model pendapatan adalah:





d

π

A

(

q

A

,

q

B

)

d

q

A



=
a
−
b
(
2

q

A

+

q

b

)
=
0


d

π

B

(

q

B

,

q

A

)

d

q

B



=
a
−
b
(

q

A

+
2

q

b

)
=
0



{\displaystyle {\begin{aligned}{d\pi \_{A}(q\_{A},q\_{B}) \over dq\_{A}}&=a-b(2q\_{A}+q\_{b})=0\\{d\pi \_{B}(q\_{B},q\_{A}) \over dq\_{B}}&=a-b(q\_{A}+2q\_{b})=0\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{d\pi _{A}(q_{A},q_{B}) \over dq_{A}}&=a-b(2q_{A}+q_{b})=0\\{d\pi _{B}(q_{B},q_{A}) \over dq_{B}}&=a-b(q_{A}+2q_{b})=0\\\end{aligned}}}
Dari turunan model pendapatan perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, respon terbaik (*best response function*) dari setiap perusahaan untuk menghasilkan kuantitas produk dapat diperoleh. Dalam teori permainan, respon terbaik adalah strategi terbaik yang ditentukan oleh agen itu sendiri yang tergantung pada strategi dari kompetitor. Fungsi dari respon terbaik setiap perusahaan merupakan modifikasi dari turunan model pendapatan. Fungsi perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} adalah sebagai berikut:




a
−
b
(
2

q

A

+

q

b

)

=
0


q

A


=

a
−
b
×

q

B

2
b


a
−
b
(

q

A

+
2

q

B

)

=
0


q

B


=

a
−
b
×

q

A

2
b



{\displaystyle {\begin{aligned}a-b(2q\_{A}+q\_{b})&=0\\q\_{A}&={\frac {a-b\times q\_{B}}{2b}}\\a-b(q\_{A}+2q\_{B})&=0\\q\_{B}&={\frac {a-b\times q\_{A}}{2b}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}a-b(2q_{A}+q_{b})&=0\\q_{A}&={\frac {a-b\times q_{B}}{2b}}\\a-b(q_{A}+2q_{B})&=0\\q_{B}&={\frac {a-b\times q_{A}}{2b}}\end{aligned}}}
Setelah menemukan respon terbaik dari setiap perusahaan untuk memaksimalkan pendapatannya, hasil keseimbangan *Nash* pada model *Cournot* dapat ditemukan melalui persamaan respon terbaik dari {\displaystyle q\_{A}} dan {\displaystyle q\_{B}} atau dari {\textstyle {\frac {d\pi \_{A}(q\_{A},q\_{B})}{dq\_{A}}}={\frac {d\pi \_{B}(q\_{B},q\_{A})}{dq\_{B}}}=0}. Dengan mensubsitusi fungsi {\displaystyle q\_{A}} pada fungsi {\displaystyle q\_{B}}, keseimbangan *Cournot Nash* ditemukan pada:



q

B


=

a
−
b
×

q

A

2
b



=

a
−
b
×
(

a
−
b
×

q

B

2
b

)

2
b



=

a

3
b



q

A


=

a
−
b
×

q

B

2
b



=

a
−
b
×
(

a

3
b

)

2
b



=

a

3
b



{\displaystyle {\begin{aligned}q\_{B}&={\frac {a-b\times q\_{A}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a-b\times q\_{B}}{2b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\\q\_{A}&={\frac {a-b\times q\_{B}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a}{3b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}q_{B}&={\frac {a-b\times q_{A}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a-b\times q_{B}}{2b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\\q_{A}&={\frac {a-b\times q_{B}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a}{3b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\end{aligned}}}
Jadi perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} akan mencoba untuk memproduksi {\displaystyle q\_{A}} dan {\displaystyle q\_{B}} produk sebesar {\textstyle {\frac {a}{3b}}} unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:




Q

=

q

A

+

q

B



=

a

3
b

+

a

3
b



=

2
a

3
b


p
(

q

A

,

q

B

)

=
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)



=
a
−
b
(

2
a

3
b

)



=

a
3


π

A


=

π

B



p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

A


=
p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

B



=

a
3

×

a

3
b



=

a

2

9
b



{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=q\_{A}+q\_{B}&\\&={\frac {a}{3b}}+{\frac {a}{3b}}\\&={\frac {2a}{3b}}\\p(q\_{A},q\_{B})&=a-b\times (q\_{A}+q\_{B})\\&=a-b({\frac {2a}{3b}})\\&={\frac {a}{3}}\\\pi \_{A}&=\pi \_{B}\\p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{A}&=p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{B}\\&={\frac {a}{3}}\times {\frac {a}{3b}}\\&={\frac {a^{2}}{9b}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=q_{A}+q_{B}&\\&={\frac {a}{3b}}+{\frac {a}{3b}}\\&={\frac {2a}{3b}}\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\\&=a-b({\frac {2a}{3b}})\\&={\frac {a}{3}}\\\pi _{A}&=\pi _{B}\\p(q_{A},q_{B})\times q_{A}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&={\frac {a}{3}}\times {\frac {a}{3b}}\\&={\frac {a^{2}}{9b}}\end{aligned}}}
Permodelan *Cournot* yang dilakukan tentunya cukup terbatas. Apabila diterapkan model keuntungan (*profit*) dengan nilai biaya (*cost*) yang berbeda akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.

### Model Penetapan Harga *Bertrand*

Pada tahun 1883, matematikawan dan ekonom prancis yang bernama Joseph Louis François Bertrand, mengkritisi model *Cournot* dalam publikasinya yang berjudul *Book Review of "Théorie Mathématique de la Richesse Social" and of "Recherches sur les Principes Mathématique de la Theorie des Richesses* yang diterbitkan di *Journal des savants*. Bertrand mengkritisi model kuantitas *Cournot* bahwa perusahaan-perusahaan lebih memiliki kompetisi dalam hal perang harga. Penetapan harga tentunya baru akan memperngaruhi kuantitas produksi. Keputusan antar perusahaan sifatnya masih independen dan rasional seperti model *Cournot*. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan *Bertrand*:

1. Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
2. Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (*perfect and complete information*).
3. Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (*Information sharing*).
4. Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang seimbang, sehingga mereka menetapkan keputusannnya secara simultan (*Simultaneous*).
5. Semua perusahaan berkompetisi untuk menetapkan harga yang tepat dan harga produk mempengaruhi kuantitas produksi.
6. Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau *payoff* mereka.
7. Pola permintaan sangat dipengaruhi oleh keputusan harga setiap perusahaan yang berkompetisi.

Poin 1, 2, 3, 4,dan 6 sama seperti model *Cournot*, yang membedakan model *Bertrand* dengan *Cournot* adalah pada poin 5 dan 7. Berdasar pada hubungan penawaran dan permintaan (*supply and demand*), model *Bertrand* fokus pada fungsi permintaan dimana kenaikan harga akan permintaan (*demand*) dari produk itu. Sebagai contoh jika perusahaan {\displaystyle A} berkompetisi harga dengan perusahaan {\displaystyle B}. Perusahaan {\displaystyle A} menetapkan harga produk sebesar {\displaystyle P\_{A}} dan perusahaan {\displaystyle B} menetapkan harga produk sebesar {\displaystyle P\_{B}}. Jumlah kuantitas produk digambarkan pada fungsi {\displaystyle Q=D\_{A}(P\_{A},P\_{B})+D\_{B}(P\_{B},P\_{A})} dimana kuantitas produk akan sama dengan total permintaan pada perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}. Permintaan pada perusahaan {\displaystyle A} ({\displaystyle D\_{A}}) akan dipengaruhi oleh penetapan harga perusahaan {\displaystyle A} itu sendiri ({\displaystyle P\_{A}}) dan harga dari kompetitor ({\displaystyle P\_{B}}). Permintaan pada perusahaan {\displaystyle B} ({\displaystyle D\_{B}}) akan dipengaruhi oleh penetapan harga perusahaan {\displaystyle B} itu sendiri ({\displaystyle P\_{B}}) dan harga dari kompetitor ({\displaystyle P\_{A}}). Model permintaan ini juga terkenal dengan sebutan fungsi permintaan (*demand function*). Fungsi ini dipakai pada penetapan model pendapatan (*revenue*) untuk perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}.



π

A

(

P

A

,

P

B

)

=

P

A

×

D

A

(

P

A

,

P

B

)


π

B

(

P

B

,

P

A

)

=

P

B

×

D

B

(

P

B

,

P

A

)



{\displaystyle {\begin{aligned}\pi \_{A}(P\_{A},P\_{B})&=P\_{A}\times D\_{A}(P\_{A},P\_{B})\\\pi \_{B}(P\_{B},P\_{A})&=P\_{B}\times D\_{B}(P\_{B},P\_{A})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(P_{A},P_{B})&=P_{A}\times D_{A}(P_{A},P_{B})\\\pi _{B}(P_{B},P_{A})&=P_{B}\times D_{B}(P_{B},P_{A})\end{aligned}}}
Sama seperti model *Cournot*, perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} akan menerima pendapatan sebesar {\displaystyle \pi \_{A}} dan {\displaystyle \pi \_{B}}. Pendapatannya berupa jumlah harga yang ditetapkan ({\displaystyle P\_{A}} dan {\displaystyle P\_{B}}) dikalikan dengan permintaan produk dari masing masing perusahaan ({\displaystyle D\_{A}} dan {\displaystyle D\_{B}}). Karena fungsi pendapatan dari perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} berbentuk model ordo kedua (*second-order*), maka kedua model diasumsikan memiliki bentuk *concave*. Untuk menemukan titik optimum global, kedua fungsi pendapatan diturunkan. Kondisi ordo pertama dari model pendapatan dapat diperoleh jika fungsi pendapatan diturunkan terhadap masing-masing keputusan harga. Respon terbaik dapat diperoleh jika {\textstyle {d\pi \_{A}(P\_{A},P\_{B}) \over dP\_{A}}=0} dan {\textstyle {d\pi \_{B}(P\_{B},P\_{A}) \over dP\_{B}}=0}. Keseimbangan *Bertrand Nash* akan ditemukan pada kondisi berikut:



D

A

>

D

B


=
0

jika

P

B

≥

P

A


D

B

>

D

A


=
0

jika

P

A

≥

P

B


D

B

=

D

A



jika

P

A

=

P

B



{\displaystyle {\begin{aligned}D\_{A}>D\_{B}&=0&{\text{jika}}\quad P\_{B}\geq P\_{A}\\D\_{B}>D\_{A}&=0&{\text{jika}}\quad P\_{A}\geq P\_{B}\\D\_{B}=D\_{A}&&{\text{jika}}\quad P\_{A}=P\_{B}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}D_{A}>D_{B}&=0&{\text{jika}}\quad P_{B}\geq P_{A}\\D_{B}>D_{A}&=0&{\text{jika}}\quad P_{A}\geq P_{B}\\D_{B}=D_{A}&&{\text{jika}}\quad P_{A}=P_{B}\end{aligned}}}
Permodelan *Bertrand* pun juga cukup terbatas dengan beberapa asumsi dan batasan. Model *Bertrand* mengasumsikan bahwa permintaan sangat dipengaruhi oleh harga. Tentunya, setiap permintaan memiliki pola preferensi yang berbeda (tidak hanya harga). Apabila diterapkan model keuntungan (*profit*) dengan nilai biaya (*cost*) yang berbeda pada setiap perusahaan, akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.

### Model kepemimpinan *Stackelberg*

Pada 1934, matematikawan dan ekonom jerman yang bernama Heinrich Freiherr von Stackelberg, mengembangkan model pasar kepemimpinan pada bukunya yang berjudul *Market Structure and Equilibrium* (*Marktform und Gleichgewicht*). Stackelberg menuturkan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dimana beberapa perusahaan pasti akan memiliki kekuatan pasar yang lebih kuat. Model *Stackelberg* memiliki dua jenis agen dalam permainannya, pemimpin (*leader*) dan pengikut (*follower*). Pemimpin merupakan tipe pemain dengan kekuatan pasar yang lebih kuat dibanding tipe pemain pengikut. Pemimpin akan menentukan strateginya lebih dahulu (*First mover*) dibanding pengikut. Alhasil, tipe permainan dari model *Stackelberg* adalah permainan sekuensial (*Sequential Games*). Penyelesaian tipe permainan ini menggunakan *backward induction*. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan *Stackelberg* :

1. Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
2. Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (*perfect and complete information*).
3. Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (*Information sharing*).
4. Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang tidak seimbang. Beberapa perusahaan merupakan perusahaan berkekuatan pasar yang besar (pemimpin) dan berkekuatan pasar yang kecil (pengikut)
5. Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau *payoff* mereka.

Poin 1, 2, 3 dan 5 cukup sama dengan pemodelan *Cournot* dan *Bertrand*. Kunci dari model ini adalah pada poin 4. Kondisi keseimbangan dari permainan sekuensial disebut *Subperfect Nash Equilibrium*. Hal ini cukup berseberangan dengan konsep keseimbangan *Nash* dimana semua agen yang berkompetisi menetapkan strateginya secara simultan. Sebagai contoh pada pemodelan *Cournot*, perusahaan {\displaystyle A} adalah pemimpin dan perusahaan {\displaystyle B} adalah pengikut. Artinya, perusahaan {\displaystyle A} memilliki kekuatan pasar yang lebih besar dibanding perusahaan {\displaystyle B}. Dalam *Cournot,* perusahaan {\displaystyle A} menghasilkan produk sebesar {\displaystyle q\_{A}} unit dan perusahaan {\displaystyle B} menghasilkan produk sebesar {\displaystyle q\_{B}} unit. Pemodelan *Stackelberg* yang diformulasikan dengan pendekatan pemrograman matematika (*Mathematical Programming*) disebut pemrograman *Bilevel* atau *Nested Optimization*. Bentuk model pendapatan dari perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} adalah sebagai berikut.




max
(

q

A

)

π

A

(

q

A

,

q

B

)
=
[
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)
]
×

q

A


S
.
T



q

B

∈
arg
⁡
max
(

q

B

)

π

B

(

q

B

,

q

A

)
=
[
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)
]
×

q

B



{\displaystyle {\begin{aligned}&\max(q\_{A})\quad \pi \_{A}(q\_{A},q\_{B})=[a-b\times (q\_{A}+q\_{B})]\times q\_{A}\\&S.T\\&q\_{B}\in \arg \max(q\_{B})\quad \pi \_{B}(q\_{B},q\_{A})=[a-b\times (q\_{A}+q\_{B})]\times q\_{B}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&\max(q_{A})\quad \pi _{A}(q_{A},q_{B})=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{A}\\&S.T\\&q_{B}\in \arg \max(q_{B})\quad \pi _{B}(q_{B},q_{A})=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{B}\end{aligned}}}
Pendekatan yang digunakan untuk menyelesaikan model berikut adalah *Backward Induction*. Perusahaan {\displaystyle A}, sebagai pemimpin, dapat mengantisipasi gerakan dari perusahaan {\displaystyle B} sebagai pengikut. Jadi dalam fungsi pendapatan perusahaan {\displaystyle A}, respon terbaik dari perusahaan {\displaystyle B} digunakan untuk mensubsitusi {\displaystyle q\_{B}}. Alhasil, perusahaan {\displaystyle A} dapat dikatakan bergerak lebih dahulu (*first mover*).

{\displaystyle {\begin{aligned}q\_{B}&={\frac {a-b\times q\_{A}}{2b}}\\\pi \_{A}(q\_{A})&=[a-b\times (q\_{A}+{\frac {a-b\times q\_{A}}{2b}})]\times q\_{A}\\\end{aligned}}}

Karena fungsi pendapatan perusahaan {\displaystyle A} masih termasuk ke model ordo kedua (*second-order*), maka fungsi pendapatan diturunkan terhadap {\displaystyle q\_{A}}untuk melihat kondisi ordo pertamanya (*first-order*).



d

π

A

(

q

A

)

d

q

A


=

b

2

−
2

2

×
(
a
−
2
b
×

q

A

)
=
0

{\displaystyle {d\pi \_{A}(q\_{A}) \over dq\_{A}}={\frac {b^{2}-2}{2}}\times (a-2b\times q\_{A})=0}

{\displaystyle {d\pi _{A}(q_{A}) \over dq_{A}}={\frac {b^{2}-2}{2}}\times (a-2b\times q_{A})=0}
Kondisi optimal dari perusahaan {\displaystyle A} adalah:


q

A

=

a

2
b


{\displaystyle q\_{A}={\frac {a}{2b}}}

{\displaystyle q_{A}={\frac {a}{2b}}}
Berdasar strategi dari {\displaystyle q\_{A}} dari perusahaan {\displaystyle A},maka perusahaan {\displaystyle B} akan menentukan strateginya berdasar respon terbaiknya. Dengan mensubsitusi fungsi {\displaystyle q\_{A}} pada respon terbaik {\displaystyle q\_{B}}, strategi perusahaan {\displaystyle B} adalah sebagai berikut:



q

B


=

a
−
b
×

a

2
b


2
b



=

a

4
b



{\displaystyle {\begin{aligned}q\_{B}&={\frac {a-b\times {\frac {a}{2b}}}{2b}}\\&={\frac {a}{4b}}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}q_{B}&={\frac {a-b\times {\frac {a}{2b}}}{2b}}\\&={\frac {a}{4b}}\\\end{aligned}}}
Dengan keputusan strategi yang sudah ditetapkan perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, strategi mencapai *Subperfect Nash Equilibrium*. Jadi perusahaan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} akan mencoba untuk memproduksi {\displaystyle q\_{A}} dan {\displaystyle q\_{B}} produk sebesar {\displaystyle {\frac {a}{2b}}} dan {\displaystyle {\frac {a}{4b}}} unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:




Q

=

q

A

+

q

B



=

a

2
b

+

a

4
b



=

3
a

4
b


p
(

q

A

,

q

B

)

=
a
−
b
×
(

q

A

+

q

B

)



=
a
−
b
(

3
a

4
b

)



=

a
4


π

A


=
p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

A



a
4

×

a

2
b



=

a

2

8
b



π

b


=
p
(

q

A

,

q

B

)
×

q

B



a
4

×

a

4
b



=

a

2

16
b



{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=q\_{A}+q\_{B}&\\&={\frac {a}{2b}}+{\frac {a}{4b}}\\&={\frac {3a}{4b}}\\p(q\_{A},q\_{B})&=a-b\times (q\_{A}+q\_{B})\\&=a-b({\frac {3a}{4b}})\\&={\frac {a}{4}}\\\pi \_{A}&=p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{A}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{2b}}\\&={\frac {a^{2}}{8b}}\\\pi \_{b}&=p(q\_{A},q\_{B})\times q\_{B}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{4b}}\\&={\frac {a^{2}}{16b}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=q_{A}+q_{B}&\\&={\frac {a}{2b}}+{\frac {a}{4b}}\\&={\frac {3a}{4b}}\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\\&=a-b({\frac {3a}{4b}})\\&={\frac {a}{4}}\\\pi _{A}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{A}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{2b}}\\&={\frac {a^{2}}{8b}}\\\pi _{b}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{4b}}\\&={\frac {a^{2}}{16b}}\end{aligned}}}
Dari strategi, harga, dan *payoff* dari setiap perusahaan, perusahaan {\displaystyle A} akan menghasilkan kuantitas produksi 2 kali lipat dibanding perusahaan {\displaystyle B} ({\displaystyle {\frac {q\_{A}}{q\_{B}}}={\frac {\frac {a}{2b}}{\frac {a}{4b}}}=2}) dan perusahaan {\displaystyle A} akan mendapatkan pendapatan 2 kali lipat dari perusahaan {\displaystyle B} ({\displaystyle {\frac {\pi \_{A}}{\pi \_{B}}}={\frac {\frac {a^{2}}{8b}}{\frac {a^{2}}{16b}}}=2}). Hal ini menunjukan sebuah keuntungan menjadi pemimpin atau agen dengan cakupan pasar yang lebih besar dibanding dengan pengikut.

#### Skema *Cournot* vs. *Stackelberg*

Dengan melakukan perbandingan antara keseimbangan *Nash* dari *Cournot* dan *Subperfect Nash Equilibrium* dari *Stackelberg*, beberapa poin dihasilkan:

* Keputusan dari pemimpin pasar (*leader*) *Stackelberg* akan produksi lebih besar 1,5 kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan ({\displaystyle {\frac {q\_{A}(Stackelberg)}{q\_{A}(Cournot)}}={\frac {\frac {a}{2b}}{\frac {a}{3b}}}=1{\frac {1}{2}}}).
* Keputusan dari pengikut pasar (*follower*) *Stackelberg* akan produksi lebih kecil 0,75 kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan ({\displaystyle {\frac {q\_{B}(Stackelberg)}{q\_{B}(Cournot)}}={\frac {\frac {a}{4b}}{\frac {a}{3b}}}={\frac {3}{4}}}).
* Harga hasil produksi pada permainan *Stackelberg* lebih kecil 0.75 kali lipat dibanding permainan *Cournot* ({\displaystyle {\frac {p(Stackelberg)}{p(Cournot)}}={\frac {\frac {a}{4}}{\frac {a}{3}}}={\frac {3}{4}}})
* Pendapatan dari pemimpin pasar (*leader*) *Stackelberg* akan lebih besar {\displaystyle 1{\frac {1}{8}}} kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan ({\displaystyle {\frac {\pi \_{A}(Stackelberg)}{\pi \_{A}(Cournot)}}={\frac {\frac {a^{2}}{8b}}{\frac {a^{2}}{9b}}}=1{\frac {1}{8}}})
* Pendapatan dari pengikut pasar (*follower*) *Stackelberg* akan lebih kecil {\displaystyle {\frac {9}{16}}} kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan ({\displaystyle {\frac {\pi \_{B}(Stackelberg)}{\pi \_{B}(Cournot)}}={\frac {\frac {a^{2}}{16b}}{\frac {a}{9b}}}={\frac {9}{16}}}).

| * l
* b
* s
Matematika (Bidang matematika) |
| --- |
| Fondasi | 
* Filsafat matematika
* Logika matematika
* Teori himpunan
* Teori informasi
* Teori kategori
* Teori tipe

 |
| Aljabar | 
* Abstrak
* Elementer
* Homologis
* Komutatif
* Linear
* Multilinear
* Universal
* Teori grup
* Teori representasi

 |
| Analisis | 
* Kalkulus
* Analisis fungsional
* Analisis harmonik
* Analisis kompleks
* Analisis real
* Persamaan diferensial
* Teori ukuran
* Teori sistem dinamis

 |
| Diskret | 
* Kombinatorika
* Teori graf
* Teori order

 |
| Geometri | 
* Aljabar
* Analitis
* Diferensial
* Diskrit
* Euklides
* Hingga
* Trigonometri

 |
| Komputasi | 
* Analisis numerik (Topik)
* Ilmu komputer
* Komputasi simbolik
* Teori komputasi
* Teori kompleksitas komputasi
* Optimisasi matematika

 |
| Teori bilangan | 
* Aritmetika
* Geometri Diophantine
* Teori bilangan aljabar
* Teori bilangan analitis

 |
| Topologi | 
* Teori homotopi
* Aljabar
* Diferensial
* Geometris
* Umum

 |
| Terapan | 
* Matematika biologi
* Matematika ekonomi
* Matematika keuangan
* Fisika matematis
* Kimia matematika
* Psikologi matematis
* Statistika
* Statistika matematika
* Teori peluang
* Ilmu sistem (Teori kendali, Teori permainan, Riset operasi)

 |
| Divisi | 
* Matematika murni
* Matematika terapan
* Matematika diskret
* Matematika komputasi

 |
| Topik terkait | 
* Matematika dan seni
* Matematika rekreasi
* Pendidikan matematika
* Sejarah matematika

 |
| 
* Category **Kategori**
* Portal **Portal matematika**
* Kerangka
* Daftar

 |

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Umum | 
* Integrated Authority File (Jerman)

 |
| Perpustakaan nasional | 
* Spanyol
* Prancis (data)
* Amerika Serikat
* Jepang
* Republik Ceko

 |
| Lain-lain | 
* Faceted Application of Subject Terminology
* Microsoft Academic
* SUDOC (Prancis)
	+ 1
	+ 2

 |



  


|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s

|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik ekonomi ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s

1. ↑  Carpenter, J. & Robbett, A. (2022). *Game Theory and Behavior*. MIT Press.
2. ↑  Bicchieri, Cristina. (2004-02-05). Mele, Alfred R.; Rawling, Piers, ed. *RATIONALITY AND GAME THEORY*. Oxford University Press. hlm. 182–205. doi:10.1093/0195145399.003.0010. ISBN 978-0-19-514539-7.
3. ↑  Nash Jr, John (1996-12-26). *Essays on Game Theory*. Edward Elgar Publishing. doi:10.4337/9781781956298.00009. ISBN 978-1-78195-629-8.
4. ↑  Cournot, Antoine-Augustin (1838). *Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot* (dalam bahasa Prancis). chez L. Hachette.
5. ↑  J, Bertrand (1883). "Book Review of Theorie Mathematique de la Richesse Social and of Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses". *Journal des Savants*.
6. ↑  von Stackelberg, Heinrich (2011). *Market Structure and Equilibrium* (dalam bahasa Inggris). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-12586-7. ISBN 978-3-642-12585-0.