Sebuah segiempat garis singgung bersama dengan lingkaran dalamnya
Dalam geometri Euklides, **segiempat garis singgung** adalah segiempat yang bersifat cembung dengan keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaran, dan lingkaran itu merupakan lingkaran dalam.

Ciri-ciri
---------

Menurut teorema Pitot, dua pasangan sisi yang berhadapan di sebuah segiempat garis singgung itu sama panjang, sehingga jumlah darinya sama dengan semiperimeter dari segiempat



a
+
c
=
b
+
d
=

a
+
b
+
c
+
d

2

.

{\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}.}

{\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
Sebaliknya, jumlah panjang sisi {\textstyle a+c=b+d} di sebuah segiempat cembung harus tangensial.

Luas
----

### Luas tanpa menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai



r
⋅
s
,

{\displaystyle r\cdot s,}

{\displaystyle r\cdot s,}
dengan {\displaystyle s} adalah semiperimeter dan {\displaystyle r} adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalah



1
2


p

2

q

2

−
(
a
c
−
b
d

)

2

,

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}},}

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}},}
dengan {\displaystyle p} dan {\displaystyle q} adalah garis diagonal, serta {\displaystyle a,b,c,d} adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.

Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung {\displaystyle e,f,g,h}



(
e
+
f
+
g
+
h
)
(
e
f
g
+
f
g
h
+
g
h
e
+
h
e
f
)

.

{\displaystyle {\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

{\displaystyle {\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}
### Luas dengan menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi {\displaystyle a,b,c,d} beserta dua buah sudut hadapan



a
b
c
d

sin
⁡

A
+
C

2

=

a
b
c
d

sin
⁡

B
+
D

2

.

{\displaystyle {\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

{\displaystyle {\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}
Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah siklik dan *bicentric*. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah {\textstyle {\sqrt {abcd}}} sebab sudut hadapannya adalah suplementer. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan kalkulus.

Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung {\displaystyle ABCD} yang melibatkan dua sudut hadapan adalah


(

I
A
⋅
I
C
+
I
B
⋅
I
D

)

sin
⁡

A
+
C

2

{\displaystyle \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}

{\displaystyle \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}
dengan {\displaystyle I} adalah pusat lingkaran dalam.

Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagai



a
b
sin
⁡

B
2

csc
⁡

D
2

sin
⁡

B
+
D

2

.

{\displaystyle ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

{\displaystyle ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Catatan kaki
------------

1. ↑  Josefsson 2011, hlm. 65; Andreescu & Enescu 2006, hlm. 64–68.
2. ↑  Durell & Robson 2003, hlm. 28–30.
3. ↑  Josefsson 2010.
4. ↑  Durell & Robson 2003, hlm. 28–30; Siddons & Hughes 1929, hlm. 203; Grinberg 2008, hlm. 11; Yiu 1998, hlm. 156–157.
5. ↑  Hoyt 1986.
6. ↑  Grinberg 2008, hlm. 19.
7. ↑  Durell 2003, hlm. 28–30.

Referensi
---------

* Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), *Mathematical Olympiad Treasures*, Birkhäuser .

* Durell, C.V.; Robson, A. (2003), *Advanced Trigonometry*, Dover reprint .

* Grinberg, Darij (2008), *Circumscribed quadrilaterals revisited* (PDF) .

* Hoyt, John P. (1986), "Maximizing the Area of a Trapezium", *American Mathematical Monthly*, **93** (1): 54–56, doi:10.2307/2322549 .

* Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), *Forum Geometricorum*, **10**: 119–130 .</ref>

* Josefsson, Martin (2011), "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF), *Forum Geometricorum*, **11**: 65–82 .

* Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), *Trigonometry*, Cambridge Univ. Press .

* Yiu, Paul (1998), *Euclidean Geometry* (PDF) .