Nama **paravektor** digunakan untuk penjumlahan pada sebuah skalar dan sebuah vektor dalam setiap aljabar Clifford (aljabar Clifford dikenal sebagai aljabar geometris dalam komunitas fisika.)

Nama ini diberikan oleh J. G. Maks, disertasi Doktoral, Techinsche Universiteit Delft (Belanda), 1989.

Aljabar lengkap ini pada paravektor bersama dengan generalisasi kelas yang lebih tinggi yang sesuai, semua dalam konteks pada ruang Euklidean pada tiga dimensi, adalah sebuah alterntif mendekati ke aljabar ruang waktu (dalam bahasa Inggrisː *spacetime algebra*, disingkat *STA*) ysng diperkenalkan oleh David Hestenes. Aljabar alternatif ini disebut aljabar ruang fisika (dalam bahasa Inggrisː *algebra of physical space*, disingkat *APS*).

Aksioma Fundamental
-------------------

Untuk ruang Euklidean, aksioma fundamental menunjukkan bahwa produk pada sebuah vektor dengan diri sendiri adalah nilai skalar pada panjang kuadrat (positif)

{\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }
Ditulis

{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} },
dan memperkenalkan ini ke dalam ekspresi pada aksioma fundamental

{\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,}
kita mendapatkan ekpresi berikut setelah membandingkan dengan aksioma fundamental lagi

{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,}
yang memungkinkan untuk menidentifikasikan produk skalar dengan dua vektor sebagai

{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).}
Sebagai konsekuensi yang penting, kita adpat menyimpulkan bahwa dua vektor orthogoal (dengan nol produk skalar) antikomutatif

{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0}

Ruang Euklidean Tiga Dimensi
----------------------------

Daftar-daftar berikut mewaklili sebuah contoh pada sebuah basis yang sempurna pada ruang {\displaystyle C\ell \_{3}}

{\displaystyle \{1,\{\mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\mathbf {e} \_{3}\},\{\mathbf {e} \_{23},\mathbf {e} \_{31},\mathbf {e} \_{12}\},\mathbf {e} \_{123}\},}

yang membentuk delapan runng dimensi, dimana inceks yang banyak menunjukkan produk pada vektor-vektor basis masing-masing, sebagai contoh

{\displaystyle \mathbf {e} \_{23}=\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}.}

Nilai pada sebuah elemen basis didefinisikan dalam perubahan pada beragam vektor, seperti

| Kelas | Tipe | Elemen dasar |
| --- | --- | --- |
| 0 | Skalar nyata kesatuan | {\displaystyle 1} |
| 1 | Vektor | {\displaystyle \{\mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\mathbf {e} \_{3}\}} |
| 2 | Bivektor | {\displaystyle \{\mathbf {e} \_{23},\mathbf {e} \_{31},\mathbf {e} \_{12}\}} |
| 3 | Elemen Volume Trivektor | {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} |

Menurut aksioma fundamental, dua vektor basis berbeda bersifat antikomutatif,

{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}\mathbf {e} \_{j}+\mathbf {e} \_{j}\mathbf {e} \_{i}=2\delta \_{ij}}
atau dengan kata lain,

{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}\mathbf {e} \_{j}=-\mathbf {e} \_{j}\mathbf {e} \_{i}\,\,;i\neq j}
Ini berarti bahwa elemen volume {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} kuadrat adalah {\displaystyle -1}

{\displaystyle \mathbf {e} \_{123}^{2}=\mathbf {e} \_{1}\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}\mathbf {e} \_{1}\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}=\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}=-\mathbf {e} \_{3}\mathbf {e} \_{3}=-1.}
Bahkan, elemen volume {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} menggantikan dengan setiap elemen lainnya pada aljabar {\displaystyle C\ell (3)}, jadi bisa diidentifikasikan dengan bilangan kompleks {\displaystyle i}, kapanpun tidak ada bahayanya pada kebingungan. Faktanya, Elemen volume {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} sepanjang dengan skalar real membentuk sebuah aljabar isomorfik ke aljabar kompleks standar. Elemen volume bisa digunakan untuk menulis ulang sebuah perubahan ekuivalen ke basis sebagai

| Kelas | Tipe | Elemen dasar / s |
| --- | --- | --- |
| 0 | Skalar real kesatuan | {\displaystyle 1} |
| 1 | Vektor | {\displaystyle \{\mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\mathbf {e} \_{3}\}} |
| 2 | Bivektor | {\displaystyle \{i\mathbf {e} \_{1},i\mathbf {e} \_{2},i\mathbf {e} \_{3}\}} |
| 3 | Elemen volume trivektor | {\displaystyle i} |

### Paravektor

Basis paravektor menyesuaikan bahwa kombinasi sebuah skalar real dan vektor adalah

{\displaystyle \{1,\mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\mathbf {e} \_{3}\}} ,

dimana basis tersebut tersebut membentuk sebuah linear empat dimensi. Ruang tersebut dalam ruang Euklidean tiga dimensi {\displaystyle C\ell \_{3}} dapat digunakan untuk mewakili ruang-waktu pada relativitas khusus sebagai bentuk dalam aljabar ruang fisika.

Ini sangat mudah untuk menulis skalar unit sebagai {\displaystyle 1=\mathbf {e} \_{0}}, jadi bahwa basis yang lengkap bisa ditulis dalam sebuah perubahan padat sebagai

{\displaystyle \{\mathbf {e} \_{\mu }\}},

dimana huruf Yunani {\displaystyle \mu } menuju dari {\displaystyle 0} hingga {\displaystyle 3}.

### Antiautomorfisme

#### Konjugasi pembalikan

Pembalikan anitautomorfisme dilambangkan {\displaystyle \dagger }. Aksi pada konjugasi ini adalah untuk membalikkan urutan pada produk geometri (produk antara bilangan Clifford secara umum).

{\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }} ,

dimana vektor dan bilangan skalar real invarian dalam konjugasi pembalikan dan dikatakan **nyata**, sebagai contohː

{\displaystyle \mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a} }

{\displaystyle 1^{\dagger }=1}

Di sisi lain, trivektor dan biveektor mengubah tanda dibawah konjugasi pembalikan dan dikatakan **imajiner** yang murni. Konjugasi pembalikan diterapkan pada setiap elemen basis diberikan di bawah

| Elemen | Konjugasi pembalikan |
| --- | --- |
| {\displaystyle 1} | {\displaystyle 1} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{12}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{12}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{23}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{23}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{31}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{31}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{123}} |

#### Konjugasi Clifford

Konjugasi Clifford dilambangkan oleh sebuah palang diatas objek {\displaystyle {\bar {}}}. Konjugasi ini disebut **konjugasi palang**.

Konjugasi Clifford merupakan aksi kombinasi pada tingkat kerumitan dan pembalikan.

Aksi konjugasi Clifford pada sebuah paravektor adalah membalikkan tanda pada vektor, mempertahankan tanda pada bilangan skalar real, sebagai contoh

{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a} }

{\displaystyle {\bar {1}}=1}

Ini karena kedua skalar dan vektor invarian ke pembalikan (tidak mungkin untuk membalikkan untuk urutan pada satu atau tidak sama sekali) dan skalar adalah urutan nol dan begitu juga dari vektor nilai genap dan juga melalui sebuah tanda mengubah nilai kerumitan.

Sebagai anti-automorfisme, konjugasi Clifford didistribusikan sebagai

{\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}}

Konjugasi palang diterapkan setiap elemen basis diberikan dibawah ini

| Elemen | Konjugasi palang |
| --- | --- |
| {\displaystyle 1} | {\displaystyle 1} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{1}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{2}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{3}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{12}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{12}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{23}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{23}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{31}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{31}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} |

* Catatanː Elemen volume adalah konstanta di bawah konjugasi

### Nilai automorfisme

Nilai automorfisme pada {\displaystyle {\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }} didiefinisikan sebagai aksi gabungan pada keduanya konjugasi reversi dan konjugasi Clifford dan memiliki efek untuk membalikan tanda pada multivektor nilai ganjil, sambil mempertahankan multivektor invarian nilai genap

| Elemen | Tingkat kerumitan |
| --- | --- |
| {\displaystyle 1} | {\displaystyle 1} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{1}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{2}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{3}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{12}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{12}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{23}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{23}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{31}} | {\displaystyle \mathbf {e} \_{31}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{123}} | {\displaystyle -\mathbf {e} \_{123}} |

### Subruang Invarian menurut Konjugasi

Keempat subruang spesial bisa didefinisikan dalam ruang {\displaystyle C\ell \_{3}}berdasarkan simetrisnya dibawah reversi dan konjugasi Ckifford.

* **Subruang Skalar**ː Invarian dibawah konjugasi Clifford.
* **Subruang Vektor**ː Tanda kebalikan dibawah konjugasi Clifford.
* **Subruang Real**ː Invarian dibawah kebalikan konjugasi.
* **Subruang Imajiner**ː Membalikkan tanda dibawah kebalikan konjugasi.

Misalkan {\displaystyle p} sebagai sebuah bliangan Clifford umum, skalar yang saling melengkapi dan bagian vektor pada {\displaystyle p} diberikan oleh kombinasi simetris dan antisimetris dengan konjugasi Clifford.

{\displaystyle \langle p\rangle \_{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),}

{\displaystyle \langle p\rangle \_{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})} .

Dengan cara yang sama, bagian Real dan Imajiner yang saling melengkapi diberikan oleh kombinasi simetris dan atisimetris dengan konjugasi Reversi.

{\displaystyle \langle p\rangle \_{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),}

{\displaystyle \langle p\rangle \_{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })} .

Itumungkin untuk mendefinisikan keempat persimpangan, yang tercantum di bawah

{\displaystyle \langle p\rangle \_{RS}=\langle p\rangle \_{SR}\equiv \langle \langle p\rangle \_{R}\rangle \_{S}}
{\displaystyle \langle p\rangle \_{RV}=\langle p\rangle \_{VR}\equiv \langle \langle p\rangle \_{R}\rangle \_{V}}
{\displaystyle \langle p\rangle \_{IV}=\langle p\rangle \_{VI}\equiv \langle \langle p\rangle \_{I}\rangle \_{V}}
{\displaystyle \langle p\rangle \_{IS}=\langle p\rangle \_{SI}\equiv \langle \langle p\rangle \_{I}\rangle \_{S}}
Tabel dibawah ini meringkaskan nilai yang terhadap subruang, sebagai contoh, nilai 0 bisa dilihat sebagai persimpangan pada subruang Real dan Skalar

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | Real | Imajiner |
| Skalar | 0 | 3 |
| Vektor | 1 | 2 |

* Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar dan tidak {\displaystyle C\ell \_{3}}menyiratkan perkenalan bilangan kompleks standar sebagian perubahan.

### Subruang Tertutup terhadap Produk

Terdapat dua subruang yang tertutup terhadap produk. Mereka adalah ruang skalar dan ruang genap yang dimana isomorfis dengan aljabar terkenal pada bilangan kompleks dan kuaternion.

* Ruang skalar dibuat dari nilai 0 dan 3 adalah isomorfis dengan aljabar standar pada bilangan kompleks dengan identifikasi pada

{\displaystyle \mathbf {e} \_{123}=i}
* Ruang genap, dibuat dari elemen pada nilai 0 dan 2, adalah isomorfis dengan aljabar pada kuaternion dengan identifikasi pada

{\displaystyle -\mathbf {e} \_{23}=i}
{\displaystyle -\mathbf {e} \_{31}=j}
{\displaystyle -\mathbf {e} \_{12}=k}
### Produk Skalar

Diberikan dua paravektor {\displaystyle u} dan {\displaystyle v}, secara umum produk skalar adalah

{\displaystyle \langle u{\bar {v}}\rangle \_{S}.}

Besar kuadratnya pada sebuah paravektor {\displaystyle u} adalah

{\displaystyle \langle u{\bar {u}}\rangle \_{S},}

dimana ini bukan sebuah perubahan bilinear tentu sama dengan nol bahan paravektor

Itu menunjukkan bahwa ruang paravektor secara otomatis mematuhi metrik pada ruang Minkowski karena {\displaystyle \eta \_{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} \_{\mu }{\overline {\mathbf {e} }}\_{\nu }\rangle s}

dan khususnya:

{\displaystyle \eta \_{00}=\langle \mathbf {e} \_{0}{\bar {\mathbf {e} }}\_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle \_{S}=1,}

{\displaystyle \eta \_{11}=\langle \mathbf {e} \_{1}{\bar {\mathbf {e} }}\_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} \_{1}(-\mathbf {e} \_{1})\rangle \_{S}=-1,}

{\displaystyle \eta \_{01}=\langle \mathbf {e} \_{0}{\bar {\mathbf {e} }}\_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} \_{1})\rangle \_{S}=0.}

### Biparavektor

Diberkan dua paravektor u{\displaystyle u} dan {\displaystyle v}, **biparavektor** {\displaystyle B} didefinisikan sebagaiː

{\displaystyle B=\langle u{\bar {v}}\rangle \_{V}} .

Basis biparavektor bisa ditulis sebagaiː

{\displaystyle \{\langle \mathbf {e} \_{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}\_{\nu }\rangle \_{V}\},}

dimana memiliki enam elemen independen, termasuk istilah real dan imajiner. Ketiga elemen real (vektor) sebagai

{\displaystyle \langle \mathbf {e} \_{0}{\bar {\mathbf {e} }}\_{k}\rangle \_{V}=-\mathbf {e} \_{k},}
dan ketifa elemen imajiner (bivektor) sebagai

{\displaystyle \langle \mathbf {e} \_{j}{\bar {\mathbf {e} }}\_{k}\rangle \_{V}=-\mathbf {e} \_{jk}}
dimana {\displaystyle j,k} menuju dari 1 hingga 3.

Dalam aljabar ruang fisika, medan elektromagnetik diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai

{\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},}
dimana keduanya elektrik dan medan magnet adalah vektor real

{\displaystyle \mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B} }
dan {\displaystyle i} mewakili elemen volume pseudoskalar.

Contoh lain pada biparavektor adalah mewakili pada tingkat rotasi ruang waktu bisa diekspresikan sebagai

{\displaystyle W=i\theta ^{j}\mathbf {e} \_{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} \_{j},}
dengan tiga variabel rotasi sudur biasa, yaitu {\displaystyle \theta ^{j}} dan tiga variabel kecepatan, yaitu {\displaystyle \eta ^{j}}

### Triparavektor

Diberikan tiga paravektor {\displaystyle u}, {\displaystyle v}, dan {\displaystyle w}, triparavektor {\displaystyle T} didefinisikan sebagaiː

{\displaystyle T=\langle u{\bar {v}}w\rangle \_{I}} .

Basisi triparavektor bisa ditulis sebagaiː

{\displaystyle \{\langle \mathbf {e} \_{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}\_{\nu }\mathbf {e} \_{\lambda }\rangle \_{I}\},}

tetapi hanya terdapat empat triparavektor independen, jadi bisa diturunkan ke

{\displaystyle \{i\mathbf {e} \_{\rho }\}} .

### Pseudoskalar

Basis pseudoskalar adalah {\displaystyle \left\{\langle \mathbf {e} \_{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}\_{\nu }\mathbf {e} \_{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}\_{\rho }\rangle \_{IS}\right\}},

namun sebuah kalkulasi mengungkapkan bahwa itu memiliki hanya sebuah istilah tunggal. Isilah tersebut adalah elemen volume {\displaystyle i=\mathbf {e} \_{1}\mathbf {e} \_{2}\mathbf {e} \_{3}}.

Keempat nilai tersebut, diambil dari kombinasi pada pasangan tertentu menghasilkan ruang paravektor, biparavektor, dan triparavektor seperti yang ditunjukkan pada tabel berikutnya, dimana sebagai contoh, kita lihat bahwa paravektor terbuat dari nilai 0 dan 1

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | 1 | 3 |
| 0 | Paravektor | Skalar / Pseudoskalar |
| 2 | Biparavektor | Triparavektor |

### Paragradien

Operator **paragradien** adalah generalisasi pada operator gradien dalam ruang paravektor. Paragradien dalam basos paravektor standar adalah

{\displaystyle \partial =\mathbf {e} \_{0}\partial \_{0}-\mathbf {e} \_{1}\partial \_{1}-\mathbf {e} \_{2}\partial \_{2}-\mathbf {e} \_{3}\partial \_{3},}
yang ini dapat memungkinkan menulis operator d'Alembert sebagai

{\displaystyle \square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle \_{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle \_{S}}
Operator gradien standar bisa didefinisikan secara alami sebagaiː

{\displaystyle \nabla =\mathbf {e} \_{1}\partial \_{1}+\mathbf {e} \_{2}\partial \_{2}+\mathbf {e} \_{3}\partial \_{3},}
sehingga paragradien bisa ditulis sebagai

{\displaystyle \partial =\partial \_{0}-\nabla ,}
dimana {\displaystyle \mathbf {e} \_{0}=1} .

Penerapan pada operator paragradien harus diselesaikan dengan hati-hati, selalu berkenaan dengan non-komutatif. Sebagai contoh, sebuah turunan banyak digunakan seperti

{\displaystyle \partial e^{f(x)\mathbf {e} \_{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} \_{3}}\mathbf {e} \_{3},}
dimana {\displaystyle f(x)} adalah fungsi skalar pada koordinat.

Pararadien merupakan sebuah operator yang dimana selalu dimulai dari kiri jika fungsi adalah sebuah fungsi skalar. Namun, jika fungsi bukanlah skalar, paragradien bisa dimulai dari kanan sedemikian juga. Sebagai contoh, ekpersi berikut bisa diperpanjang sebagaiː

{\displaystyle (L\partial )=\mathbf {e} \_{0}\partial \_{0}L+(\partial \_{1}L)\mathbf {e} \_{1}+(\partial \_{2}L)\mathbf {e} \_{2}+(\partial \_{3}L)\mathbf {e} \_{3}}
### Paravektor Kosong sebagai Proyektor

Paravektor kosong adalah elemen yang tidk perlu nol tetapi memiliki identik ukurannya ke nol. Untuk sebuah paravektor nihil {\displaystyle p}, properti ini perlu mengimplikasikan identitas berikut

{\displaystyle p{\bar {p}}=0.}

Dalam konteks pada relativits khusus, mereka juga disebut paravektor ringan

Proyektor adalah paravektor nihil pada bentukː

{\displaystyle P\_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),}

dimana {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} adalah vektor satuan.

Sebuah proyektor {\displaystyle P\_{\mathbf {k} }} bentuk ini memiliki proyektor pelengkap {\displaystyle {\bar {P}}\_{\mathbf {k} }}

{\displaystyle {\bar {P}}\_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),}

seperti yang

{\displaystyle P\_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}\_{\mathbf {k} }=1}

Sebagai proyektor, mereka idempoten

{\displaystyle P\_{\mathbf {k} }=P\_{\mathbf {k} }P\_{\mathbf {k} }=P\_{\mathbf {k} }P\_{\mathbf {k} }P\_{\mathbf {k} }=...}

dan proyeksi dari satu dengan yang lain adalah nol karena mereka adalah proyektor kosong.

{\displaystyle P\_{\mathbf {k} }{\bar {P}}\_{\mathbf {k} }=0.}

Vektor satuan berkaitan pada proyektor bisa diekstrasikan sebagai

{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=P\_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}\_{\mathbf {k} },}

Ini berarti bahwa {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} adalah sebuah operator dengan fungsi eigen {\displaystyle P\_{\mathbf {k} }} dan {\displaystyle {\bar {P}}\_{\mathbf {k} }}, dengan masing-masing nilai eigen {\displaystyle 1} dan {\displaystyle -1}.

Dari hasil sebelumnya, identitas berikut adalah asumsi yang sah bahwa {\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})} analitik disekitar nol.

{\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P\_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}\_{\mathbf {k} }.}

Ini memberikan asalnya ke properti **pacwoman**, sedemikian rupa sehingga identitas berikut terpenuhi

{\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})P\_{\mathbf {k} }=f(1)P\_{\mathbf {k} }},

{\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}\_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}\_{\mathbf {k} }}.

### Basis Kosong pada Ruang Paravektor

Sebuah basis pada elemen-elemen, setiap satu dari mereka kosong, bisa dikosntruksi pada ruang {\displaystyle C\ell \_{3}} yang sempurna. Basis yang penting adalah sebagai berikut.

{\displaystyle \{{\bar {P}}\_{3},P\_{3}\mathbf {e} \_{1},P\_{3},\mathbf {e} \_{1}P\_{3}\}}

sehingga sebuah paravektor sembarang

{\displaystyle p=p^{0}\mathbf {e} \_{0}+p^{1}\mathbf {e} \_{1}+p^{2}\mathbf {e} \_{2}+p^{3}\mathbf {e} \_{3}}

dapat ditulis sebagai

{\displaystyle p=(p^{0}+p^{3})P\_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}\_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} \_{1}P\_{3}+(p^{1}-ip^{2})P\_{3}\mathbf {e} \_{1}}

Pernyataan ini sangat berguna untuk beberapa sistem dimana secara alami diekspresikan dalam istilah pada variabel kerucut cahaya dimana koefisien pada {\displaystyle P\_{3}} dan {\displaystyle {\bar {P}}\_{3}} masing-masing.

Setiap ekspresi dalam ruang paravektor bisa ditulis dalam istilah basis kosong. Sebuah paravektor {\displaystyle p} secara umum diparameter oleh dua skalar bilangna real {\displaystyle \{u,v\}} dan sebuah bilangan skalar umum {\displaystyle w} (termasuk skalar dan bilangan pseudoskalar)

{\displaystyle p=u{\bar {P}}\_{3}+vP\_{3}+w\mathbf {e} \_{1}P\_{3}+w^{\dagger }P\_{3}\mathbf {e} \_{1}}

paragradien dalam basis kosong adalah

{\displaystyle \partial =2P\_{3}\partial \_{u}+2{\bar {P}}\_{3}\partial \_{v}-2\mathbf {e} \_{1}P\_{3}\partial \_{w^{\dagger }}-2P\_{3}\mathbf {e} \_{1}\partial \_{w}}

Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi
---------------------------------

Sebuah ruang Euklidean {\displaystyle n} dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai {\displaystyle n} (vektor ke-{\displaystyle n}). Dimensi pada ruang vektor ternyata sama dengan {\displaystyle n} dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah {\displaystyle {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}}. Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai {\displaystyle m} adalah {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}} dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford {\displaystyle C\ell (n)} adalah {\displaystyle 2^{n}}.

Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi {\displaystyle \dagger }. Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː

| Nilai | Klasifikasi |
| --- | --- |
| {\displaystyle 0} | Hermitian |
| {\displaystyle 1} | Hermitian |
| {\displaystyle 2} | Anti-Hermitian |
| {\displaystyle 3} | Anti-Hermitian |
| {\displaystyle 4} | Hermitian |
| {\displaystyle 5} | Hermitian |
| {\displaystyle 6} | Anti-Hermitian |
| {\displaystyle 7} | Anti-Hermitian |
| {\displaystyle \vdots } | {\displaystyle \vdots } |

Representasi Matriks
--------------------

Aljabar pada ruang {\displaystyle C\ell (3)} isomorfik ke aljabar matriks Pauli seperti

|  | Pernyataan Matriks 3D | Matriks eksplisit |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{0}} | {\displaystyle \sigma \_{0}^{}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&1\end{pmatrix}}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle \sigma \_{1}^{}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle \sigma \_{2}^{}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle \sigma \_{3}^{}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}} |

dari basis kosong menjadiː{\displaystyle {P\_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}\_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P\_{3}}\mathbf {e} \_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} \_{1}{P}\_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}

Sebuah bliangan Clifford secara umum dalam 3D bisa diulis sebagai

{\displaystyle \Psi =\psi \_{11}P\_{3}-\psi \_{12}P\_{3}\mathbf {e} \_{1}+\psi \_{21}\mathbf {e} \_{1}P\_{3}+\psi \_{22}{\bar {P}}\_{3},}
dimana koefisien {\displaystyle \psi \_{jk}} adalah elemen-elemen skalar (termasuk pseudoskalar). Indeksnya dipilih sehingga pernyataan pada bulangan Clifford dalam istilah pada matriks Pauli adalah

{\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi \_{11}&\psi \_{12}\\\psi \_{21}&\psi \_{22}\end{pmatrix}}}
### Konjugasi

Konjugasi reversi diterjemahkan menjadi konjugasi Hermitian dan konjugasi palang diterjemahkan menjadi matriks berikut.

{\displaystyle \Psi \to {\begin{pmatrix}\psi \_{22}&-\psi \_{12}\\-\psi \_{21}&\psi \_{11}\end{pmatrix}}}, sedemikian rupa sehingga bgian skalar diterjemahkan sebagai

{\displaystyle \langle \Psi \rangle \_{S}\rightarrow {\frac {\psi \_{11}+\psi \_{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} \_{2\times 2}}
Subruang sisanya diterjemakan sebagai

{\displaystyle \langle \Psi \rangle \_{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi \_{12}\\\psi \_{21}&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \langle \Psi \rangle \_{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi \_{11}+\psi \_{11}^{\*}&\psi \_{12}+\psi \_{21}^{\*}\\\psi \_{21}+\psi \_{12}^{\*}&\psi \_{22}+\psi \_{22}^{\*}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \langle \Psi \rangle \_{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi \_{11}-\psi \_{11}^{\*}&\psi \_{12}-\psi \_{21}^{\*}\\\psi \_{21}-\psi \_{12}^{\*}&\psi \_{22}-\psi \_{22}^{\*}\end{pmatrix}}}
### Dimensi yang Lebih Tinggi

Perwakilan matriks pada sebuah ruang Euklidean dalam dimensi yang lebih tinggi bisa dikonstruksikan dalam istilah produk Kronecker pada matriks Pauli, menghasilkan dalam matriks kompleks pada dimensi 

|  | Perwakilan Matriks 4D |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{1}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{2}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{3}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{4}} | {\displaystyle \sigma \_{2}\otimes \sigma \_{0}} |

Perwaklian 7D bisa 

|  | Perwakilan Matriks 7D |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}} | {\displaystyle \sigma \_{0}\otimes \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{1}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} | {\displaystyle \sigma \_{0}\otimes \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{2}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} | {\displaystyle \sigma \_{0}\otimes \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{3}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{4}} | {\displaystyle \sigma \_{0}\otimes \sigma \_{2}\otimes \sigma \_{0}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{5}} | {\displaystyle \sigma \_{3}\otimes \sigma \_{1}\otimes \sigma \_{0}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{6}} | {\displaystyle \sigma \_{1}\otimes \sigma \_{1}\otimes \sigma \_{0}} |
| {\displaystyle \mathbf {e} \_{7}} | {\displaystyle \sigma \_{2}\otimes \sigma \_{1}\otimes \sigma \_{0}} |

Aljabar Lie
-----------

Aljabar Clifford bisa digunakan untuk mewakili setiap aljabar Lie klasik. Secara umum, itu mungkin untuk mengidentifikasikan aljabar Lie pada grup kompak dengan menggunakan elemen anti-Hermitian, dimana bisa meluas ke non-grup kompak dengan menambahkan elemen Hermitian.

Bivektor pada sebuah ruang Euklidean {\displaystyle n}-dimensi merupakan elemen Herimtian dan bisa digunakan untuk mewakili aljabar Lie {\displaystyle {\text{Spin}}(n)}.

Bivektor pada ruang Euklidean tiga dimensi membentuk aljabar Lie {\displaystyle {\text{Spin}}(3)}, yang isomorfik ke aljabar Lie {\displaystyle {\text{SU}}(2)}. Kebetulan isomorfik ini memungkinkan ke gambar sebuah penafsiran geometrik pada pernyataan pada ruang Hilbert dua dimensi dengan mengguakan bola Bloch. Salah satu dari sistem itu berputar ½ partikel.

Aljabar Lie {\displaystyle {\text{Spin}}(3)} bisa diperpanjang dengan menambahkan tiga vektor kesatuan untuk membentuk sebuah aljabar Lie ke aljabar Lie {\displaystyle {\text{SL}}(2,C)}, yang merupakan penutup ganda pada grup Lorentz {\displaystyle {\text{SO}}(3,1)}. Isomorfis ini memungkinkan kemungkinan untuk berkembang sebuah formalism pada relativitas khusus berdasarkan {\displaystyle {\text{SL}}(2,C)}, yang dilakukan dalam bentuk pada aljabar ruang fisika.

Hanya ada satu isomorfis kebetulan tambahan antara sebuah spin aljabar Lie dan sebuah aljabar Lie {\displaystyle {\text{SU}}(N)}. Ini adalah isomorfis antara {\displaystyle {\text{Spin}}(6)} dan {\displaystyle {\text{SU}}(4)}.

Isomorfis menarik lainnya ada antara {\displaystyle {\text{Spin}}(5)} dan {\displaystyle {\text{Sp}}(4)}. Jadi, aljabar Lie {\displaystyle {\text{Sp}}(4)} bisa digunakan untuk menghasilkan grup {\displaystyle {\text{USp}}(4)}. Meskipun bahwa grup ini lebih kecil daripada grup {\displaystyle {\text{SU}}(4)}, itu terlihat cukup untuk menjangkau ruang Hilbert empat dimensi.

Lihat pula
----------

* Aljabar ruang fisika
* Persamaan Dirac dalam aljabar ruang fisika

Referensi
---------

### Buku Teks

* Baylis, William (2002). *Electrodynamics: A Modern Geometric Approach* (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
* Baylis, William, Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhauser (1999)
* [H1999] David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)
* Chris Doran and Antony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge, 2003

### Artikel

* Baylis, W E (2004-11-01). "Relativity in introductory physics". *Canadian Journal of Physics*. Canadian Science Publishing. **82** (11): 853–873. arXiv:physics/0406158 alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1139/p04-058. ISSN 0008-4204.
* Doran, C.; Hestenes, D.; Sommen, F.; Van Acker, N. (1993). "Lie groups as spin groups". *Journal of Mathematical Physics*. AIP Publishing. **34** (8): 3642–3669. doi:10.1063/1.530050. ISSN 0022-2488.
* Cabrera, R.; Rangan, C.; Baylis, W. E. (2007-09-04). "Sufficient condition for the coherent control of n-qubit systems". *Physical Review A*. American Physical Society (APS). **76** (3): 033401. arXiv:quant-ph/0703220 alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1103/physreva.76.033401. ISSN 1050-2947.
* Vaz, Jayme; Mann, Stephen (2018). "Paravectors and the Geometry of 3D Euclidean Space". *Advances in Applied Clifford Algebras*. Springer Science and Business Media LLC. **28** (5): 99. arXiv:1810.09389 alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1007/s00006-018-0916-1. ISSN 0188-7009.