Dalam analisis numerik, **interpolasi polinomial** adalah sebuah metode interpolasi untuk suatu himpunan titik, dengan menggunakan polinomial derajat terkecil yang melewati semua titik pada himpunan tersebut. Secara lebih formal, untuk himpunan *n* + 1 titik {\displaystyle (x\_{0},y\_{0}),\ldots ,(x\_{n},y\_{n})}, dengan tidak ada dua {\displaystyle x\_{j}} yang sama, sebuah fungsi polinomial {\displaystyle p(x)} dikatakan menginterpolasi data jika {\displaystyle p(x\_{j})=y\_{j}} untuk setiap {\displaystyle j\in \{0,1,\dotsc ,n\}}.

Dua rumus eksplisit yang umum untuk jenis polinomial ini adalah polinomial Langrange dan polinomial Newton.

Penerapan
---------

Polinomial dapat digunakan untuk menghampiri bentuk kurva-kurva yang rumit, contohnya kurva yang membentuk huruf-huruf dalam tipografi.[*butuh rujukan*]
Beberapa penerapan lainnya adalah untuk menaksir nilai fungsi logaritma alami dan fungsi-fungsi trigonometri. Hal ini dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di beberapa titik, lalu membuat polinomial interpolasi dari titik-titik tersebut. Perhitungan menggunakan polinomial memungkinkan hasil didapatkan dalam waktu yang lebih singkat. Interpolasi polinomial berperan penting dalam algoritma perkalian dan pemangkatan sub-kuadratik, seperti perkalian Karatsuba dan perkalian Toom–Cook. Interpolasi polinomial juga menjadi dasar algoritma-algoritma integrasi numerik, solusi numerik dari sistem persamaan diferensial biasa, dan skema-skema pembagian rahasia*.*

Teorema interpolasi
-------------------

Teorema ini menyatakan keberadaan sebuah polinomial dengan derajat maksimum {\displaystyle n} yang unik dan menginterpolasi himpunan titik {\displaystyle (x\_{0},y\_{0}),\dotsc ,(x\_{n},y\_{n})\in \mathbb {R} ^{2}}, jika tidak ada dua {\displaystyle x\_{j}} yang sama. Dalam sudut pandang lain, untuk sebuah pemilihan titik-titik interpolasi {\displaystyle x\_{j}}, interpolasi polinomial mendefinisikan sebuah bijeksi linear antara bilangan real rangkap-n (n-tuple) {\displaystyle (y\_{0},\ldots ,y\_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}} dan ruang vektor polinomial real {\displaystyle P(n)} dengan derajat maksimum *n*; yakni {\textstyle L\_{n}:\mathbb {R} ^{n+1}{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\,\Pi \_{n}.}

Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan fungsi-fungsi basis Langrage



L

n
,
j

(
x
)
=

∏

k
≠
j


x
−

x

k


x

j

−

x

k


,

{\displaystyle L\_{n,j}(x)=\prod \_{k\neq j}{\frac {x-x\_{k}}{x\_{j}-x\_{k}}},}

{\displaystyle L_{n,j}(x)=\prod _{k\neq j}{\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}},}yang setiap fungsinya, {\displaystyle L\_{n,j}}, adalah sebuah polinomial berderajat {\displaystyle n}. Lebih lanjut, {\displaystyle L\_{n,j}(x\_{k})=\delta \_{kj}} berlaku untuk setiap {\displaystyle x\_{k}}, dengan {\displaystyle \delta \_{kj}} adalah fungsi delta Kronecker. Hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan kombinasi linear 


p
(
x
)
=

∑

j
=
0

n

y

j

L

n
,
j

(
x
)

{\displaystyle p(x)=\sum \_{j=0}^{n}y\_{j}L\_{n,j}(x)}

{\displaystyle p(x)=\sum _{j=0}^{n}y_{j}L_{n,j}(x)}adalah sebuah fungsi polinomial interpolasi berderajat {\displaystyle n}. Sifat unik (tunggal) dari fungsi ini dibuktikan secara kontradiksi: anggap ada polinomial interpolasi {\displaystyle q(x)} lainnya yang berderajat maksimum {\displaystyle n}. Karena {\displaystyle p(x\_{k})=q(x\_{k})} untuk setiap {\displaystyle k=0,\dotsc ,n}, polinomial {\displaystyle p-q} memiliki {\displaystyle n+1} akar yang berbeda. Akan tetapi, {\displaystyle p-q} memiliki derajat maksimum {\displaystyle n,} sehingga berdasarkan teorema dasar aljabar fungsi {\displaystyle p-q} hanya memiliki {\displaystyle n} akar yang berbeda. Karena anggapan salah, {\displaystyle p=q} (tidak ada polinomial interpolasi lainnya).

Teorema ini juga dapat dibuktikan dengan bantuan matriks Vandermonde. Sistem persamaan linear dapat dihasilkan lewat menjabarkan persamaan interpolasi {\displaystyle p(x\_{j})=y\_{j}} dengan 


p
(
x
)
=

a

n

x

n

+

a

n
−
1

x

n
−
1

+
⋯
+

a

2

x

2

+

a

1

x
+

a

0

,

{\displaystyle p(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0},}

{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}untuk setiap pasangan {\displaystyle (x\_{j},\,y\_{j})}. Dalam bentuk matriks, sistem persamaan dalam koefisien {\displaystyle a\_{j}} tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{0}^{n}&x\_{0}^{n-1}&x\_{0}^{n-2}&\ldots &x\_{0}&1\\x\_{1}^{n}&x\_{1}^{n-1}&x\_{1}^{n-2}&\ldots &x\_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x\_{n}^{n}&x\_{n}^{n-1}&x\_{n}^{n-2}&\ldots &x\_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\_{n}\\a\_{n-1}\\\vdots \\a\_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\_{0}\\y\_{1}\\\vdots \\y\_{n}\end{bmatrix}}.}
Fungsi polinomial interpolasi {\displaystyle p(x)} berkorespondensi pada solusi {\displaystyle A=(a\_{n},\ldots ,a\_{0})} dari persamaan matriks {\displaystyle X\cdot A=Y} di atas. Matriks {\displaystyle X} di sisi kiri merupakan matriks Vandermonde, dengan nilai determinannya ditentukan dari persamaan {\displaystyle \textstyle \det(X)=\prod \_{1\leq i<j\leq n}(x\_{j}-x\_{i}).} Nilai determinan ini tidak nol karena setiap titik {\displaystyle x\_{j}} berbeda. Hal ini memastikan matriks dapat diinvers dan persamaan tersebut memiliki solusi unik {\displaystyle A=X^{-1}\cdot Y}. Dengan kata lain {\displaystyle p(x)} ada dan unik.

Sebagai akibat dari teorema ini, jika {\displaystyle f} adalah polinomial berderajat maksimum {\displaystyle n}, maka polinomial interpolasi dari {\displaystyle f} dengan menggunakan {\displaystyle n+1} titik berbeda, akan menghasilkan {\displaystyle f} itu sendiri.

Catatan kaki
------------

1. ↑  Tiemann, Jerome J. (May–June 1981). "Polynomial Interpolation". *I/O News*. **1** (5): 16. ISSN 0274-9998. Diakses tanggal 3 November 2017.
2. ↑  Humpherys, Jeffrey; Jarvis, Tyler J. (2020). "9.2 - Interpolation". *Foundations of Applied Mathematics Volume 2: Algorithms, Approximation, Optimization*. Society for Industrial and Applied Mathematics. hlm. 418. ISBN 978-1-611976-05-2.
3. ↑  Humpherys, Jeffrey; Jarvis, Tyler J.; Evans, Emily J. (2017). "15.3: The Fundamental Theorem of Arithmetic". *Foundations of Applied Mathematics Volume 1: Mathematical Analysis*. Society for Industrial and Applied Mathematics. hlm. 591. ISBN 978-1-611974-89-8.

Referensi
---------

* Bernstein, Sergei N. (1912). "Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes de degré donné" [On the order of the best approximation of continuous functions by polynomials of a given degree]. *Mem. Acad. Roy. Belg.* (dalam bahasa Prancis). **4**: 1–104.
* Faber, Georg (1914). "Über die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen" [On the Interpolation of Continuous Functions]. *Deutsche Math. Jahr.* (dalam bahasa Jerman). **23**: 192–210.
* Watson, G. Alistair (1980). *Approximation Theory and Numerical Methods*. John Wiley. ISBN 0-471-27706-1.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* Atkinson, Kendell A. (1988). "Chapter 3.". *An Introduction to Numerical Analysis*Perlu mendaftar (gratis) (edisi ke-2nd). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-50023-2.
* Brutman, L. (1997). "Lebesgue functions for polynomial interpolation — a survey". *Ann. Numer. Math*. **4**: 111–127.
* Powell, M. J. D. (1981). "Chapter 4". *Approximation Theory and Methods*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-29514-9.
* Schatzman, Michelle (2002). "Chapter 4". *Numerical Analysis: A Mathematical Introduction*. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850279-6.
* Süli, Endre; Mayers, David (2003). "Chapter 6". *An Introduction to Numerical Analysis*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Interpolation process", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Implementasi oleh ALGLIB yang menggunakan C++ / C#.
* Kode interpolasi polinomial GSL dalam bahasa C.