Untuk aksioma teori himpunan, lihat Skema aksioma pemisahan.

Ilustrasi sifat Hausdorffness, keteraturan dan normalitasIlustrasi dari beberapa aksioma pemisahan. Daerah garis putus-putus amorf abu-abu menunjukkan set terbuka di sekitar set atau titik tertutup yang terputus-putus: lingkaran garis besar merah menunjukkan himpunan tertutup sedangkan titik hitam melambangkan titik.
Dalam topologi dan bidang-bidang terkait lainnya di matematika, ada beberapa batasan yang sering dibuat seseorang untuk jenis ruang topologi yang ingin dia pertimbangkan. Beberapa dari batasan ini diberikan oleh **aksioma pemisahan**. Aksioma ini terkadang juga disebut dengan *aksioma pemisahan Tychonoff*, dari nama Andrey Tychonoff.

Aksioma pemisahan merupakan aksioma hanya dalam artian bahwa, ketika mendefinisikan gagasan tentang ruang topologi, seseorang dapat menambahkan kondisi ini sebagai aksioma tambahan untuk mendapatkan pengertian yang lebih terbatas tentang apa itu ruang topologi. Pendekatan modern untuk masalah ini adalah untuk menetapkan sekali dan untuk semua aksiomatisasi tentang ruang topologi, kemudian berbicara tentang *jenis-jenis* ruang topologi.Namun, penggunaan istilah "aksioma pemisahan" sudah menetap. Aksioma pemisahan dilambangkan dengan huruf "T" setelah bahasa jerman *Trennungsaxiom*, yang berarti "aksioma pemisahan".

Arti yang spesifik dari istilah-istilah yang terkait dengan aksioma pemisahan telah banyak berubah dari waktu ke waktu. Penting untuk memahami definisi yang digunakan penulis untuk setiap kondisi yang mereka disebutkan, guna mengetahui dengan tepat apa yang mereka maksud; terutama saat membaca literatur-literatur yang lebih tua.

Definisi awal
-------------

Sebelum kita mendefinisikan aksioma pemisahan itu sendiri, kita memberikan arti konkret pada konsep himpunan (dan titik) yang terpisah di ruang topologi. (Kumpulan terpisah tidak sama dengan *ruang terpisah* , yang ditentukan di bagian selanjutnya.)

Aksioma pemisahan adalah tentang penggunaan cara topologis untuk membedakan titik himpunan terpisah dan berbeda. Tidaklah cukup bagi elemen-elemen ruang topologis untuk dibedakan (yaitu, tidak sama); kami mungkin ingin mereka menjadi *dapat dibedakan secara topologis*. Demikian pula, tidak cukup subhimpunan dari ruang topologis menjadi terputus-putus; kita mungkin ingin mereka *dipisahkan* (dengan berbagai cara). Semua aksioma pemisahan mengatakan, dengan satu atau lain cara, bahwa titik atau himpunan yang dapat dibedakan atau dipisahkan dalam arti yang lemah juga harus dapat dibedakan atau dipisahkan dalam arti yang lebih kuat.

Contohnya {\displaystyle X} menjadi ruang topologi. Kemudian dua titik {\displaystyle x} dan {\displaystyle y} di  *{\displaystyle X}*  adalah **dapat dibedakan secara topologis** bila mereka tidak memiliki lingkungan lingkungan yang persis sama (atau lingkungan terbuka yang sama); yaitu, setidaknya salah satu dari mereka memiliki lingkungan yang bukan merupakan lingkungan dari yang lain (atau yang ekuivalen ada himpunan terbuka yang dimiliki satu titik tetapi titik lainnya tidak).

Dua titik {\displaystyle x} dan {\displaystyle y} adalah **terpisah** jika masing-masing memiliki lingkungan yang bukan merupakan lingkungan satu sama lain; artinya, tidak ada yang termasuk dalam penutupan lainnya. Secara lebih umum, dua himpunan bagian {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} dari  *{\displaystyle X}*  adalah **dipisahkan** bila masing-masing terpisah dari penutupan lainnya. (Penutupan itu sendiri tidak harus terputus-putus.) Semua kondisi yang tersisa untuk pemisahan himpunan juga dapat diterapkan ke titik (atau ke titik dan himpunan) dengan menggunakan himpunan tunggal. Titik{\displaystyle x} dan {\displaystyle y} akan dianggap dipisahkan, oleh lingkungan, oleh lingkungan tertutup, oleh fungsi berkelanjutan, tepatnya oleh fungsi, bila dan hanya jika himpunan tunggal mereka {\displaystyle \{x\}} dan {\displaystyle \{y\}} dipisahkan sesuai dengan kriteria yang sesuai.

Subhimpunan{\displaystyle A} dan {\displaystyle B} **dipisahkan oleh lingkungan** jikasubhimpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} memiliki lingkungan yang terpisah. Subhimpunannya **dipisahkan oleh lingkungan tertutup** jika memiliki lingkungan tertutup yang lepas. Mereka **dipisahkan oleh fungsi kontinu** jika ada fungsi kontinu {\displaystyle f} dari ruang{\displaystyle X} ke garis bilangan real {\displaystyle \mathbb {R} }sedemikian rupa sehingga citra {\displaystyle f(A)} sama dengan {\displaystyle \{0\}} dan {\displaystyle f(B)} sama dengan {\displaystyle \{1\}}. Pada akhirnya, subhimpunan tersebut **dipisahkan dengan tepat oleh fungsi kontinu** jika ada fungsi kontinu {\displaystyle f} dari {\displaystyle X} menjadi **{\displaystyle \mathbb {R} }** sedemikian rupa sehingga gambar awal {\displaystyle f^{-1}(\{0\})} sama dengan {\displaystyle A} dan {\displaystyle f^{-1}(\{1\})} sama dengan {\displaystyle B}.

Syarat-syarat berikut diberikan agar memperkuat definisi berikut: Dua titik yang dapat dibedakan secara topologis harus berbeda, dan dua titik yang terpisah harus dapat dibedakan secara topologis. Dua himpunan yang terpisah harus dipisah, dua himpunan yang dipisahkan oleh lingkungan harus dipisahkan, dan seterusnya.

*Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai syarat-syarat berikut (diantaranya penggunaannya di luar aksioma pemisahan), lihat artikel Himpunan terpisah dan Dapat dibedakan secara topologis.*

Definisi utama
--------------

Semua definisi ini pada dasarnya menggunakan definisi awal di atas.

Banyak dari nama-nama ini memiliki arti alternatif dalam beberapa literatur matematika, seperti yang dijelaskan di Sejarah aksioma pemisahan; misalnya, arti dari "normal" dan "T4" terkadang dipertukarkan, serupa "biasa" dan "T3", dll. Banyak konsep juga memiliki beberapa nama; namun, yang terdaftar pertama selalu paling tidak ambigu.

Kebanyakan aksioma ini memiliki definisi alternatif dengan arti yang sama; definisi yang diberikan di sini jatuh ke dalam pola yang konsisten yang menghubungkan berbagai pengertian tentang pemisahan yang didefinisikan sebelumnya. Definisi lain yang mungkin dapat ditemukan di artikel individu.

Dalam semua definisi berikut,  *X*  sekali lagi adalah spasi topologis.

* *X* adalah **T0**, atau  *Kolmogorov* , jika ada dua titik berbeda di  *X*  yang dapat dibedakan secara topologis. (Ini akan menjadi tema umum di antara aksioma pemisahan untuk memiliki satu versi aksioma yang membutuhkan T0 dan satu versi yang tidak.)
* *X* adalah **R0**, atau  *simetris* , bila ada dua titik yang dapat dibedakan secara topologis di  *X*  yang dipisahkan.
* *X* adalah **T1**, atau  *dapat diakses*  atau  *Fréchet*  atau  *Tikhonov* , jika ada dua titik berbeda dalam  *X*  yang dipisahkan. Jadi,  *X*  adalah T1 jika dan hanya jika keduanya T0 dan R0. (Meskipun Anda mungkin mengatakan hal-hal seperti itu "T1 spasi "," topologi Fréchet ", dan" anggaplah bahwa ruang topologi  *X*  adalah Fréchet "; hindari mengucapkan "Ruang Fréchet" dalam konteks ini, karena ada pengertian lain yang sama sekali berbeda tentang Ruang Fréchet di analisis fungsional.)
* *X* adalah **R1**, atau  *preregular* , jika ada dua titik yang dapat dibedakan secara topologis di  *X*  yang dipisahkan oleh lingkungan. Setiap ruang R1 juga R0.

|  | Terpisah | Dipisahkan oleh Lingkungan | Dipisahkan oleh Lingkungan Tertutup | Dipisahkan oleh Fungsi
Tepatnya Dipisahkan oleh Fungsi |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Titik yang terbedakan | Simetris | Preregular |  |  |  |
| **Titik berbeda** | Fréchet | Hausdorff | Urysohn | Benar-benar Hausdorff | Hausdorff Sempurna |
| Himpunan tertutup dan di luar titik | (selalu benar) | (selalu benar) | Regular | Completely regular | Perfectly regular |
| **Himpunan tertutup yang lepas** | (always true) | Normal | Perfectly normal |
| Himpunan terpisah | (always true) | Completely normal |  |  |  |

Hubungan antar aksioma
----------------------

Aksioma T0 spesial karena tidak hanya bisa ditambahkan ke sifat (sehingga benar-benar ditambah T 0  adalah Tychonoff) tetapi juga dikurangkan dari sifat (sehingga Hausdorff dikurangi T0 adalah R1), dalam arti yang cukup tepat; lihat hasil bagi Kolmogorov untuk informasi lebih lanjut. Jika diterapkan pada aksioma pemisahan, ini mengarah ke hubungan dalam tabel di kiri bawah. Dalam tabel ini, Anda pergi dari sisi kanan ke sisi kiri dengan menambahkan persyaratan T 0 , dan Anda pergi dari sisi kiri ke sisi kanan dengan menghapus persyaratan itu, menggunakan Kolmogorov. (Nama-nama dalam tanda kurung yang diberikan di sisi kiri tabel ini umumnya ambigu atau setidaknya kurang dikenal; tetapi mereka digunakan dalam diagram di bawah ini.)

Diagram Hasse dari aksioma pemisahan.Diagram Hasse dari aksioma pemisahan.

| T0 version | Bukan versi T 0  |
| --- | --- |
| T0 | (Tidak ada persyaratan) |
| T1 | R0 |
| Hausdorff (T2) | R1 |
| T2½ | (Tidak ada nama khusus) |
| Completely Hausdorff | (Tidak ada nama khusus) |
| Hausdorff biasa (T3) | Reguler |
| Tychonoff (T3½) | Komplek teratur |
| Normal T0 | Normal |
| Normal Hausdorff (T4) | Normal regular |
| Komplek normal T0 | Komplek normal |
| Completely normal Hausdorff (T5) | Komplek normal regular |
| Perfectly normal T0 | Perfek normal |
| Perfectly normal Hausdorff (T6) | Perfek normal regular |

Selain penyertaan atau pengecualian T 0 , hubungan antara aksioma pemisahan ditunjukkan pada diagram di sebelah kanan. Dalam diagram ini, versi non-T 0  dari suatu kondisi ada di sisi kiri garis miring, dan versi T 0  ada di sisi kanan. Huruf digunakan untuk singkatan sebagai berikut:
"P" = "pefek", "C" = "komplek", "N" = "normal", dan "R" (tanpa subskrip) = "biasa". Peluru menunjukkan bahwa tidak ada nama khusus untuk spasi di tempat itu. Tanda hubung di bagian bawah menunjukkan tidak ada kondisi.

Anda dapat menggabungkan dua properti menggunakan diagram ini dengan mengikuti diagram ke atas hingga kedua cabang bertemu. Misalnya, jika spasi sepenuhnya normal ("CN") dan kompleks Hausdorff ("CT2"), lalu mengikuti kedua cabang ke atas, Anda menemukan tempat "•/T5".
Karena spasi yang sepenuhnya Hausdorff adalah T 0  (walaupun spasi yang sepenuhnya normal mungkin tidak), Anda mengambil sisi T 0  dari garis miring, jadi spasi Hausdorff yang sepenuhnya normal sama dengan spasi T 5  (kurang ambigu disebut sebagai spasi Hausdorff yang sepenuhnya normal, seperti yang Anda lihat pada tabel di atas).

Seperti yang Anda lihat dari diagram, normal dan R 0  bersama-sama menyiratkan sejumlah properti lain, karena menggabungkan dua properti mengarahkan Anda untuk mengikuti jalur melalui banyak node di kanan. Karena keteraturan adalah yang paling terkenal, spasi yang normal dan R 0  biasanya disebut "ruang reguler normal". Dengan cara yang agak mirip, spasi yang normal dan T 1  sering disebut "ruang Hausdorff normal" oleh orang yang ingin menghindari notasi "T" yang ambigu. Konvensi ini dapat digeneralisasikan ke ruang reguler dan ruang Hausdorff lainnya.

Lihat pula
----------

* Persamaan
* Logaritma
* Aljabar

Catatan
-------

1. ↑  Hansen, Vagn Lundsgaard (1999). *Fundamental Concepts in Modern Analysis* (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-02-3894-0.

Referensi
---------

* Schechter, Eric (1997). *Handbook of Analysis and its Foundations*. San Diego: Academic Press. ISBN 0126227608.  (has R*i* axioms, among others)
* Willard, Stephen (1970). *General topology*. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-486-43479-6.  (has all of the non-R*i* axioms mentioned in the Main Definitions, with these definitions)
* Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). *Topological Methods in Chemistry*Perlu mendaftar (gratis). New York: Wiley. ISBN 0-471-83817-9.  (gives a readable introduction to the separation axioms with an emphasis on finite spaces)

Pranala luar
------------

* Separation Axioms at ProvenMath
* Table of separation and metrisability axioms from Schechter