Dalam matematika, operator **jumlah taktentu** atau operator **antiselisih**, dilambangkan sebagai {\displaystyle \sum \_{x}} atau {\displaystyle \Delta ^{-1}}, adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) \Delta. Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

{\displaystyle \Delta \sum \_{x}f(x)=f(x)}.
Lebih eksplisit lagi, jika {\displaystyle \sum \_{x}f(x)=F(x)}, kemudian

{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)}
Jika {\displaystyle F(x)} adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi {\displaystyle f(x)}, maka {\displaystyle F(x)+C(x)} untuk setiap fungsi periodik {\displaystyle C(x)} dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif {\displaystyle C}. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

{\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit
-----------------------------------------

Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː 

{\displaystyle \sum \_{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}

Definisi
--------

### Rumus Penjumlahan Laplace

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)=\int \_{0}^{x}f(t)dt-\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {c\_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}
dimana {\displaystyle c\_{k}=\int \_{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx} adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua. [*butuh rujukan*]

### Rumus Newton

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)=\sum \_{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)\_{k}+C}
dimana {\displaystyle (x)\_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}} adalah faktorial menurun.

### Rumus Faulhaber

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B\_{n}(x)+C\,,}
persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

### Rumus Mueller

Jika {\displaystyle \lim \_{x\to {+\infty }}f(x)=0,} maka

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}
### Rumus Euler–Maclaurin

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)=\int \_{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}

Pilihan dengan suku konstanta
-----------------------------

Seringkali, konstanta {\displaystyle C} pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

{\displaystyle F(x)=\sum \_{x}f(x)+C}
Maka, konstanta {\displaystyle C} diperbaiki dengan kondisi

{\displaystyle \int \_{0}^{1}F(x)dx=0}
atau

{\displaystyle \int \_{1}^{2}F(x)dx=0}
Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

{\displaystyle \sum \_{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}
atau dengan 1

{\displaystyle \sum \_{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}.

Penjumlahan menurut bagian
--------------------------

Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

{\displaystyle \sum \_{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum \_{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}
{\displaystyle \sum \_{x}f(x)\Delta g(x)+\sum \_{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum \_{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}
Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

{\displaystyle \sum \_{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum \_{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}

Kaidah periode
--------------

Jika {\displaystyle T} adalah periode fungsi {\displaystyle f(x)}, maka

{\displaystyle \sum \_{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}
Jika {\displaystyle T} adalah fungsi antiperiode {\displaystyle f(x)}, yaitu {\displaystyle f(x+T)=-f(x)}, maka

{\displaystyle \sum \_{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}

Penggunaan alternatif
---------------------

Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}f(k).}
Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup {\displaystyle F(k)} untuk penjumlahan adalah solusi untuk

{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}
disebut sebagai persamanan *teleskop*. Kebalikan dari operator selisih mundur {\displaystyle \nabla }. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu
-----------------------

Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

### Antiselisih pada Fungsi rasional

{\displaystyle \sum \_{x}a=ax+C}
{\displaystyle \sum \_{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C}
{\displaystyle \sum \_{x}x^{a}={\frac {B\_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\,a\notin \mathbb {Z} ^{-}}
dimana {\displaystyle B\_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)}, yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.
{\displaystyle \sum \_{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}}
dimana {\displaystyle \psi ^{(n)}(x)} adalah fungsi poligamma .
{\displaystyle \sum \_{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C}
dimana {\displaystyle \psi (x)} adalah fungsi digamma.
{\displaystyle \sum \_{x}B\_{a}(x)=(x-1)B\_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B\_{a+1}(x)+C}
### Antiselisih pada Fungsi eksponensial

{\displaystyle \sum \_{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}
Terutama,

{\displaystyle \sum \_{x}2^{x}=2^{x}+C}
### Antiselisih pada fungsi logaritma

{\displaystyle \sum \_{x}\log \_{b}x=\log \_{b}\Gamma (x)+C}
{\displaystyle \sum \_{x}\log \_{b}ax=\log \_{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C}
### Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

{\displaystyle \sum \_{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}
{\displaystyle \sum \_{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}
{\displaystyle \sum \_{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi \_{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi \_{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}
dimana {\displaystyle \psi \_{q}(x)} adalah fungsi q-digamma .
### Antiselisih pada fungsi trigonometri

{\displaystyle \sum \_{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
{\displaystyle \sum \_{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
{\displaystyle \sum \_{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
{\displaystyle \sum \_{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
{\displaystyle \sum \_{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi \_{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
dimana {\displaystyle \psi \_{q}(x)} adalah fungsi q-digamma .
{\displaystyle \sum \_{x}\tan x=ix-\psi \_{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum \_{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-z\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+z\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}
{\displaystyle \sum \_{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi \_{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
### Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

{\displaystyle \sum \_{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}
### Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

{\displaystyle \sum \_{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}
### Antiselisih pada fungsi khusus

{\displaystyle \sum \_{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}
{\displaystyle \sum \_{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}
dimana {\displaystyle \Gamma (s,x)} adalah fungsi gamma tidak kompleks.
{\displaystyle \sum \_{x}(x)\_{a}={\frac {(x)\_{a+1}}{a+1}}+C}
dimana {\displaystyle (x)\_{a}} adalah faktorial menurun .
{\displaystyle \sum \_{x}\operatorname {sexp} \_{a}(x)=\ln \_{a}{\frac {(\operatorname {sexp} \_{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}
(lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula
----------

* Produk tak tentu
* Kalkulus skala waktu
* Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

Referensi
---------

1. ↑  Indefinite Sum di PlanetMath.org.
2. ↑  On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376[*pranala nonaktif permanen*]
3. ↑  "If *Y* is a function whose first difference is the function *y*, then *Y* is called an indefinite sum of *y* and denoted Δ−1*y*" *Introduction to Difference Equations*, Samuel Goldberg
4. ↑  "Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1
5. ↑  Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld
6. ↑  Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, *Algorithms Seminar 2001–2002*, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
* Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa
* Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler
* SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2.
* "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968