{\displaystyle i} terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

**Unit imajiner** atau **bilangan imajiner unit** ({\displaystyle i}) adalah solusi untuk persamaan kuadrat {\displaystyle x}2 {\displaystyle +1=0}. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, {\displaystyle i} dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah {\displaystyle 2+3i}.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil {\displaystyle \mathbb {R} } ke sistem bilangan kompleks {\displaystyle \mathbb {C} }, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial {\displaystyle P(x)} yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu {\displaystyle i} dan {\displaystyle -i}, sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks {\displaystyle j} yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan {\displaystyle i}, sebab {\displaystyle i} dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan {\displaystyle j} alih-alih {\displaystyle i}, karena {\displaystyle i} biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.

Definisi
--------

| Nilai siklus perpangkatan dari i: |
| --- |
| {\displaystyle ...} (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang) |
| {\displaystyle i^{-3}=i} |
| {\displaystyle i^{-2}=-1} |
| {\displaystyle i^{-1}=-i} |
| **{\displaystyle i^{0}=1}** |
| **{\displaystyle i^{1}=i}** |
| **{\displaystyle i^{2}=-1}** |
| **{\displaystyle i^{3}=-i}** |
| {\displaystyle i^{4}=1} |
| {\displaystyle i^{5}=i} |
| {\displaystyle i^{6}=-1} |
| {\displaystyle ...} (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang) |

Bilangan imajiner {\displaystyle i} didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah {\displaystyle -1}:


i

2

=
−
1.

{\displaystyle i^{2}=-1.}

{\displaystyle i^{2}=-1.}
Oleh karena itu, {\displaystyle i} dan {\displaystyle -i} sama-sama merupakan akar kuadrat dari {\displaystyle -1}.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan {\displaystyle i} sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan {\displaystyle i^{2}} dengan −1). Perpangkatan dari {\displaystyle i} yang lebih tinggi dapat digantikan dengan {\displaystyle -i}, {\displaystyle 1}, {\displaystyle i}, atau {\displaystyle -1}:



i

3


=

i

2

i
=
(
−
1
)
i
=
−
i


i

4


=

i

3

i
=
(
−
i
)
i
=
−
(

i

2

)
=
−
(
−
1
)
=
1


i

5


=

i

4

i
=
(
1
)
i
=
i
.



{\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}}
Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:


i

0

=

i

1
−
1

=

i

1

i

−
1

=

i

1

1
i

=
i

1
i

=

i
i

=
1.

{\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.}

{\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.}
Sebagai bilangan kompleks, {\displaystyle i} dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai {\displaystyle 0+1i}, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, {\displaystyle i} dapat dinyatakan sebagai {\displaystyle 1\times e^{i\pi /2}} (atau cukup tulis {\displaystyle e^{i\pi /2}}), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari {\displaystyle \pi /2} radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari {\displaystyle 2\pi }). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, {\displaystyle i} adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat
-----

### Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari {\displaystyle i} dalam bidang kompleksTiga buah akar kubik dari {\displaystyle i} dalam bidang kompleks
Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, {\displaystyle i} mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu 



±

(

2

2

+

2

2

i

)

=
±

2

2

(
1
+
i
)
.

{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}

{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:




(

±

2

2

(
1
+
i
)

)

2

 

=

(

±

2

2

)

2

(
1
+
i

)

2

 



=

1
2

(
1
+
2
i
+

i

2

)



=

1
2

(
1
+
2
i
−
1
)
 



=
i
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}}
Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan



i

=

2

2

(
1
+
i
)
.

{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}

{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
Tiga buah akar kubik dari {\displaystyle i} adalah:


(

−
i
,

3

2

+

i
2

,
−

3

2

+

i
2

)

.

{\displaystyle \left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).}

{\displaystyle \left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).}
Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari {\displaystyle i} adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan
-------

1. ↑  Cara mencari akar kuadrat dari {\displaystyle i} adalah dengan menyelesaikan persamaan {\textstyle (x+iy)^{2}=i} dengan x dan y adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis {\displaystyle x^{2}+2ixy-y^{2}=i.} Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi {\displaystyle x^{2}-y^{2}+2ixy=0+i.} Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan:




x

2

−

y

2


=
0

2
x
y

=
1.



{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}

Dengan mensubstitusi {\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}} ke persamaan pertama, maka didapatkan


x

2

−

1
4

x

−
2

=
0

⟹

4

x

4

=
1.

{\displaystyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.}

{\displaystyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.}

Karena {\displaystyle x} bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk {\displaystyle x}. yaitu {\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} dan {\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}. Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan {\displaystyle 2xy=1}, maka didapatkan hasil yang sama untuk {\displaystyle y}. Dengan demikian, akar kuadrat dari {\displaystyle i} adalah {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i} dan {\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}.

Rujukan
-------

1. ↑  Boas, Mary L. (2006). *Mathematical Methods in the Physical Sciences*Akses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan (edisi ke-3). New York [u.a.]: Wiley. hlm. 49. ISBN 0-471-19826-9.
2. ↑  "What is the square root of {\displaystyle i}?". *University of Toronto Mathematics Network*. Diakses tanggal 26 Maret 2007.
3. ↑  Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). *A first course in complex analysis with applications*. Boston: Jones and Bartlett. hlm. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC 50495529.