Sebagai contoh, kedua fungsi di atas memiliki {\displaystyle \operatorname {argmax} } berupa {0} karena keduanya mencapai nilai maksimum global 1 saat *x*=0. Fungsi berwarna merah memiliki *arg min* berupa (aproksimasi) {−4.49, 4.49} karena fungsi tersebut memiliki dua minimum global sekitar −0.217, yang terjadi saat *x*=±4.49. Namun walaupun memiliki nilai minimum global yang sama, fungsi berwarna biru memiliki *arg min* berupa {−1.43, 1.43} (aproksimasi), karena global minimum terjadi saat *x*=±1.43.
Dalam matematika, **argumen dari maksimum** (*arguments of the maxima,* disingkat sebagai **arg max** atau **argmax**), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai *keluaran* terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai *input* (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

Definisi
--------

Untuk sebarang himpunan {\displaystyle X}, himpunan {\displaystyle Y} dengan urutan total, dan sebuah fungsi {\displaystyle f:X\to Y}, nilai {\displaystyle \operatorname {argmax} } pada suatu subset {\displaystyle S} dari {\displaystyle X} didefinisikan sebagai 



argmax

S

⁡
f
:=

a
r
g

m
a
x

x
∈
S

f
(
x
)
:=
{
x
∈
S
 
:
 
f
(
s
)
≤
f
(
x
)

 untuk setiap 

s
∈
S
}
.

{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}.}

{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}.}

Pada kasus {\displaystyle S=X} atau {\displaystyle S} jelas dari konteks pembicaraan, umumnya {\displaystyle S} tidak ditulis; sebagai contoh:



a
r
g

m
a
x

x

f
(
x
)
:=
{
x
 
:
 
f
(
s
)
≤
f
(
x
)

 for all 

s
∈
S
}
.

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}Dalam kata lain, {\displaystyle \operatorname {argmax} } merupakan himpunan titik {\displaystyle x} yang menyebabkan {\displaystyle f(x)} menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada). {\displaystyle \operatorname {Argmax} } dapat berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika {\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} adalah bilangan real yang diperluas (*extended real numbers*). Dalam kasus khusus ini, jika nilai {\displaystyle f} secara identik sama dengan {\displaystyle \infty } pada {\displaystyle S}, maka {\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:=\varnothing } (dengan kata lain, {\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}\infty :=\varnothing }). Sedangkan pada kasus lainnya {\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f} didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai: 



argmax

S

⁡
f
:=

{

x
∈
S
 
:
 
f
(
x
)
=
inf

S

f

}

{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}\_{S}f\right\}}

{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}}Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan {\displaystyle \inf {}\_{S}f} *hanya* berlaku ketika {\displaystyle f} tidak identik dengan {\displaystyle \infty } pada subset {\displaystyle S}.

### Arg min

Istilah {\displaystyle \operatorname {argmin} } (atau {\displaystyle \operatorname {arg\,min} }) yang merujuk pada **argumen dari minimum**, didefinisikan serupa seperti {\displaystyle \operatorname {argmax} }. Sebagai contoh,

{\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}}
adalah titik-(titik) {\displaystyle x} yang menyebabkan {\displaystyle f(x)} menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari {\displaystyle \operatorname {arg\,max} }. Pada kasus khusus {\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai {\displaystyle f} identik dengan {\displaystyle -\infty } pada {\displaystyle S} maka {\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f:=\varnothing } (dengan kata lain, {\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}-\infty :=\varnothing }). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai {\displaystyle f} tidak sama dengan {\displaystyle -\infty }) , {\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f} punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

{\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}\_{S}f\right\}.}

Contoh
------

Sebagai contoh, jika {\displaystyle f(x)} didefinisikan sebagai {\displaystyle 1-|x|,} maka {\displaystyle f} akan mencapai nilai maksimum {\displaystyle 1} hanya pada titik {\displaystyle x=0.} Dengan demikian,

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}
Operator {\displaystyle \operatorname {argmax} } berbeda dengan operator {\displaystyle \max }. Operator {\displaystyle \max } ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan *himpunan titik* yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

{\displaystyle \max \_{x}f(x)} adalah elemen dari himpunan {\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ untuk setiap }}s\in S\}.}

Sifat
-----

Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:

1. Jika {\displaystyle \theta } adalah sebuah konstanta, maka {\displaystyle \operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmax} f(x)+\theta }
2. Jika {\displaystyle \theta >0}, maka {\displaystyle \operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmax} \theta f(x)}
3. Jika {\displaystyle \theta <0}, maka {\displaystyle \operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmin} \theta f(x)}
4. Jika {\displaystyle \operatorname {argmax} f(x)>0}, maka {\displaystyle \operatorname {argmax} f(x)=\operatorname {argmin} {\frac {1}{f(x)}}}
5. Jika fungsi {\displaystyle g} monotonik secara tegas, yakni {\displaystyle \alpha <\beta } menyebabkan {\displaystyle g(\alpha )<g(\beta )}, terdapat hubungan {\displaystyle \operatorname {argmax} g(f(x))=\operatorname {argmax} f(x)}

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas {\displaystyle \log(x)}. Dengan kata lain 


argmax
⁡

∏

i
=
1

n

p

i

(
x
)
=
argmax
⁡

∑

i
=
1

n

log
⁡

p

i

(
x
)

{\displaystyle \operatorname {argmax} \prod \_{i=1}^{n}p\_{i}(x)=\operatorname {argmax} \sum \_{i=1}^{n}\log p\_{i}(x)}

{\displaystyle \operatorname {argmax} \prod _{i=1}^{n}p_{i}(x)=\operatorname {argmax} \sum _{i=1}^{n}\log p_{i}(x)}

Referensi
---------

1. ↑  "The Unnormalized Sinc Function Diarsipkan 2017-02-15 di Wayback Machine.", University of Sydney
2. 1 2 3  Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B (26 June 2009). *Variational Analysis*. Volume 317 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg. hlm. 1–37. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ↑

Pranala eksternal
-----------------

* arg min and arg max di PlanetMath.org.