**Pemisahan variabel** (juga dikenal dengan nama **metode Fourier**) adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial. Metode ini memungkinkan penulisan ulang persamaan agar setiap variabel berada di sisi yang berbeda.

Persamaan diferensial biasa
---------------------------

Apabila persamaan diferensial ditulis dalam bentuk:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}
persamaan ini dapat disederhanakan dengan membuat {\displaystyle y=f(x)}:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}
Asalkan *h*(*y*) ≠ 0, persamaan ini dapat disusun ulang menjadi:

{\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}
sehingga dua variabel *x* dan *y* telah dipisahkan.

### Notasi alternatif

Bagi yang tidak menyukai notasi Leibniz, persamaannya bisa ditulis seperti ini:

{\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}
Setiap sisi kemudian diintegrasikan sehubungan dengan {\displaystyle x}, sehingga diperoleh

{\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)}
atau bisa juga ditulis:

{\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}

Contoh
------

Pertumbuhan populasi sering kali dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial berikut:

{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}
{\displaystyle P} adalah populasi pada waktu {\displaystyle t}, {\displaystyle k} adalah tingkat pertumbuhan, dan {\displaystyle K} adalah kemampuan lingkungan untuk menampung pertambahan jumlah penduduk.

Pemisahan variabel perlu dilakukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}
Untuk mencari integral di sisi kiri, pecahannya disederhanakan:

{\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}
dan pecahan kemudian diubah menjadi pecahan parsial:

{\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}
sehingga diperoleh:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Jika }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}}
Maka solusi persamaan ini adalah:

{\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}
Untuk mencari {\displaystyle A}, asumsikan {\displaystyle t=0} dan {\displaystyle P\left(0\right)=P\_{0}}. Maka diperoleh

{\displaystyle P\_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}
Mengingat bahwa {\displaystyle e^{0}=1}, maka diperoleh:

{\displaystyle A={\frac {K-P\_{0}}{P\_{0}}}.}

Catatan
-------

Referensi
---------

* Polyanin, Andrei D. (2001-11-28). *Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists*. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-299-9.

* Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). *Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers*. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5. Diakses tanggal 2011-03-29. [*pranala nonaktif permanen*]
* Teschl, Gerald (2012). *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*. Graduate Studies in Mathematics. **140**. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s