Bidang yang direntang oleh vektor **u** dan **v** di **R**3.
Dalam aljabar linear, **rentang linear** atau **span** dari sebarang himpunan {\displaystyle S} berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di {\displaystyle S.} Rentang linear dari {\displaystyle S} umum disimbolkan dengan {\displaystyle {\text{span}}(S).} Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung {\displaystyle S,} maupun sebagai subruang yang mengandung {\displaystyle S.} Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor {\displaystyle V} adalah rentang linear dari subset {\displaystyle S,} beberapa pernyataan berikut umum digunakan: {\displaystyle S} merentang {\displaystyle V,} {\displaystyle S} adalah *himpunan merentang* dari {\displaystyle V,} {\displaystyle V} direntang/dibangkitkan oleh {\displaystyle S,} atau {\displaystyle S} adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari {\displaystyle V.}

Definisi
--------

Untuk sebarang ruang vektor {\displaystyle V} atas lapangan {\displaystyle K,} rentang dari suatu himpunan {\displaystyle S} yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan {\displaystyle W} dari semua subruang dari {\displaystyle V} yang mengandung {\displaystyle S.} Irisan {\displaystyle W} disebut sebagai subruang yang *direntang oleh* {\displaystyle S,} atau oleh vektor-vektor di {\displaystyle S.} Kebalikannya, {\displaystyle S} disebut *himpunan merentang* dari {\displaystyle W}, dan kita katakan {\displaystyle S} *merentang {\displaystyle W.}*

 

Rentang dari {\displaystyle S} juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di {\displaystyle S.} Secara matematis, ini dituliskan sebagai


span
⁡
(
S
)
=

{


∑

i
=
1

k

λ

i

v

i

|

k
∈

N

,

v

i

∈
S
,

λ

i

∈
K

}

.

{\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum \_{i=1}^{k}\lambda \_{i}\mathbf {v} \_{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} \_{i}\in S,\lambda \_{i}\in K}\right\}.}

{\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}Pada kasus {\displaystyle S} berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh
------

Ruang vektor riil {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dapat direntang oleh himpunan {\displaystyle \{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}}. Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Jika {\displaystyle (-1,0,0)} digantikan dengan {\displaystyle (1,0,0)}, himpunan tersebut merupakan basis standar dari {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Contoh himpunan pembangkit lain dari {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} adalah {\displaystyle \{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(-1,{\tfrac {1}{2}},3),\,(1,1,1)\}}, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan {\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(1,1,0)\}} bukan himpunan merentang dari {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} yang komponen terakhirnya bernilai {\displaystyle 0.} Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan {\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0)\},} karena {\displaystyle (1,1,0)} adalah kombinasi linear dari {\displaystyle (1,0,0)} dan {\displaystyle (0,1,0).}

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari {\displaystyle \{(0,0,0)\},} karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},} dan {\displaystyle \{(0,0,0)\}} adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial {\displaystyle x^{n},} dengan {\displaystyle n} adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema
-------

### Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor {\displaystyle V} atas lapangan {\displaystyle K,} himpunan semua kombinasi linear dari subset {\displaystyle S} dari {\displaystyle V,} adalah subruang terkecil dari {\displaystyle V} yang mengandung {\displaystyle S.}

*Bukti.* Pertama kita tunjukkan bahwa {\displaystyle {\text{span}}(S)} adalah subruang dari {\displaystyle V.} Karena {\displaystyle S} adalah subset dari {\displaystyle V,} kita cukup membuktikan bahwa vektor {\displaystyle \mathbf {0} } anggota dari {\displaystyle {\text{span}}(S),} bahwa {\displaystyle {\text{span}}(S)} dibawah penjumlahan, dan bahwa {\displaystyle {\text{span}}(S)} tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan {\displaystyle S=\{\mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}\}}, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di {\displaystyle V} ada di {\displaystyle {\text{span}}(S),} karena {\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} \_{1}+0\mathbf {v} \_{2}+\cdots +0\mathbf {v} \_{n}.} Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari {\displaystyle S} akan menghasilkan kombinasi linear dari {\displaystyle S:}

(

λ

1

v

1

+
⋯
+

λ

n

v

n

)
+
(

μ

1

v

1

+
⋯
+

μ

n

v

n

)
=
(

λ

1

+

μ

1

)

v

1

+
⋯
+
(

λ

n

+

μ

n

)

v

n

,

{\displaystyle (\lambda \_{1}\mathbf {v} \_{1}+\cdots +\lambda \_{n}\mathbf {v} \_{n})+(\mu \_{1}\mathbf {v} \_{1}+\cdots +\mu \_{n}\mathbf {v} \_{n})=(\lambda \_{1}+\mu \_{1})\mathbf {v} \_{1}+\cdots +(\lambda \_{n}+\mu \_{n})\mathbf {v} \_{n},}

{\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},}dengan semua {\displaystyle \lambda \_{i},\mu \_{i}\in K}, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari {\displaystyle S} dengan sebarang skalar {\displaystyle c\in K} akan menghasilkan kombinasi linear dari {\displaystyle S:} 

c
(

λ

1

v

1

+
⋯
+

λ

n

v

n

)
=
c

λ

1

v

1

+
⋯
+
c

λ

n

v

n

.

{\displaystyle c(\lambda \_{1}\mathbf {v} \_{1}+\cdots +\lambda \_{n}\mathbf {v} \_{n})=c\lambda \_{1}\mathbf {v} \_{1}+\cdots +c\lambda \_{n}\mathbf {v} \_{n}.}

{\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.}Alhasil, {\displaystyle {\text{span}}(S)} adalah subruang dari {\displaystyle V.}
Misalkan {\displaystyle W} adalah subruang {\displaystyle V} yang mengandung {\displaystyle S.} Perhatikan bahwa {\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S,} karena semua {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}} merupakan kombinasi linear dari {\displaystyle S} (secara langsung). Karena {\displaystyle W} tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear {\displaystyle \lambda \_{1}\mathbf {v} \_{1}+\cdots +\lambda \_{n}\mathbf {v} \_{n}} harus berada di {\displaystyle W.} Akibatnya, {\displaystyle {\text{span}}(S)} terkandung di semua subruang dari {\displaystyle V} yang mengandung {\displaystyle S.} Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari {\displaystyle S.}
### Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan {\displaystyle S} yang merentang ruang vektor {\displaystyle V} harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari {\displaystyle V.}

*Bukti.* Misalkan {\displaystyle S=\{\mathbf {v} \_{1},\ldots ,\mathbf {v} \_{m}\}} adalah suatu himpunan merentang dan {\displaystyle W=\{\mathbf {w} \_{1},\ldots ,\mathbf {w} \_{n}\}} adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di {\displaystyle V.} Kita akan menunjukkan bahwa {\displaystyle m\geq n.}
Karena {\displaystyle S} merentang {\displaystyle V,} maka {\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} \_{1}\}} juga harus merentang {\displaystyle V,} dan {\displaystyle \mathbf {w} \_{1}} harus merupakan hasil kombinasi linear dari {\displaystyle S.} Akibatnya {\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} \_{1}\}} bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari {\displaystyle S} yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota {\displaystyle S} lainnya. Vektor ini tidak mungkin {\displaystyle \mathbf {w} \_{i}} karena {\displaystyle W} bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah {\displaystyle \{\mathbf {w} \_{1},\mathbf {v} \_{1},\ldots ,\mathbf {v} \_{i-1},\mathbf {v} \_{i+1},\ldots ,\mathbf {v} \_{m}\},} yang merupakan himpunan merentang bagi {\displaystyle V.} Kita ulangi proses ini sebanyak {\displaystyle n} kali, yang tahap ke-{\displaystyle p}-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan {\displaystyle \{\mathbf {w} \_{1},\ldots ,\mathbf {w} \_{p}\}} dan {\displaystyle m-p} vektor dari {\displaystyle S.}
Dapat dipastikan sampai tahap ke-{\displaystyle n} akan selalu ada suatu {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}} untuk dibuang dari {\displaystyle S}, akibatnya {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}} setidaknya sama banyaknya dengan {\displaystyle \mathbf {w} \_{i}}; dengan kata lain, {\displaystyle m\geq n.} Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap {\displaystyle m<n.} Saat tahap ke-{\displaystyle m}, kita memiliki himpunan {\displaystyle \{\mathbf {w} \_{1},\ldots ,\mathbf {w} \_{m}\}} dan kita dapat menambahkan vektor baru {\displaystyle \mathbf {w} \_{m+1}.} Tapi karena {\displaystyle \{\mathbf {w} \_{1},\ldots ,\mathbf {w} \_{m}\}} adalah himpunan merentang dari {\displaystyle V,} vektor {\displaystyle \mathbf {w} \_{m+1}} adalah kombinasi linear dari {\displaystyle \{\mathbf {w} \_{1},\ldots ,\mathbf {w} \_{m}\}}. Ini adalah kontradiksi, karena {\displaystyle W} bersifat bebas linear.
### Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan {\displaystyle V} adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang {\displaystyle V} dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi {\displaystyle V,} dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus {\displaystyle V} berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika {\displaystyle V} berdimensi hingga.

Catatan kaki
------------

1. ↑  (Axler 2015) p. 29, § 2.7
2. ↑  (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
3. ↑  (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
4. ↑  (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
5. ↑  (Roman 2005) pp. 41-42
6. ↑  (MathWorld 2021) Vector Space Span.

Daftar pustaka
--------------

### Buku

* Axler, Sheldon Jay (2015). *Linear Algebra Done Right* (edisi ke-3rd).  Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
* Hefferon, Jim (2020). *Linear Algebra* (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
* Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. *Algebra* (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
* Roman, Steven (2005). *Advanced Linear Algebra* (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
* Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). *Linear Functional Analysis*. Springer. ISBN 978-1848000049.
* Lay, David C. (2021) *Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)*. Pearson.

### Situs web

* Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011.
* Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". *MathWorld*. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
* "Linear hull". *Encyclopedia of Mathematics*. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021.

Pranala luar
------------

* Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
* Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

| * l
* b
* s
Aljabar linear |
| --- |
| Konsep dasar | 
* Skalar
* Vektor
* Ruang vektor
* Perkalian skalar
* Proyeksi vektor
* Rentang linear
* Peta linear
* Proyeksi linear
* Kebebasan linear
* Kombinasi linear
* Basis
* Vektor kolom dan baris
* Ruang kolom dan baris
* Keortogonalan
* Kernel
* Nilai eigen dan vektor eigen
* Hasil kali luar
* Ruang hasil kali dalam
* Hasil kali titik
* Transpos
* Proses Gram–Schmidt
* Persamaan linear

 | Ruang Euklides tiga dimensi |
| Aljabar vektor | 
* Hasil kali silang
* Hasil kali tripel
* Hasil kali silang tujuh dimensi

 |
| Aljabar multilinear | 
* Aljabar geometri
* Aljabar eksterior
* Bivektor
* Multivektor
* Tensor
* Morfisme luar

 |
| Matriks | 
* Blok
* Penguraian
* Dapat dibalik
* Minor
* Perkalian
* Rank
* Transformasi
* Aturan Cramer
* Eliminasi Gauss
* Determinan

 |
| Konstruksi aljabar | 
* Dual
* Hasil kali tensor
* Jumlah langsung
* Kuosien
* Ruang fungsi
* Subruang

 |
| Numerik | 
* Floating-point
* Stabilitas numerik
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* Matriks rongga
* Perbandingan pustaka aljabar linear
* Perbandingan perangkat lunak analisis numerik

 |
| 
* Category Kategori
* List-Class article Garis besar
* Portal Portal matematika
* Wikibooks page Wikibuku

 |