52 relasi ekuivalensi pada himpunan 5-anggota yang digambarkan dengan matriks biner 5x5 (kotak yang berwarna, termasuk yang abu-abu, melambangkan 1; kotak putih melambangkan 0.) Indeks kolom dan baris dari kotak yang berwarna adalah anggota yang berkaitan, sementara warna yang dibedakan, selain abu-abu, mengindikasikan kelas ekuivalensi (masing-masing kotak abu-abu merupakan kelas ekuivalensinya sendiri).
Dalam matematika, **relasi ekuivalensi** adalah relasi biner yang bersifat reflektif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek a, b, dan c:

* *a* = *a* (sifat reflektif),
* jika *a* = *b* maka *b* = *a* (sifat simetris), dan
* jika *a* = *b* dan *b* = *c* maka *a* = *c* (sifat transitif).

Sebagai akibat dari sifat reflektif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan partisi dari himpunan pendasar menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.

Notasi
------

Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan *a* dan *b* bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen *R*; biasanya "*a* ~ *b*" dan "*a* ≡ *b*", yang digunakan ketika *R* bersifat tersirat, dan variasi "*a* ~*R* *b*", "*a* ≡*R* *b*", atau "*aRb*" untuk menyebutkan *R* secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "*a* ≁ *b*" atau "{\displaystyle a\not \equiv b}".

Definisi
--------

Suatu relasi biner ~ pada himpunan *X* disebut merupakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua *a*, *b* dan *c* dalam *X*:

* *a* ~ *a*. (Reflektivitas)
* *a* ~ *b* jika dan hanya jika *b* ~ *a*. (Simetri)
* jika *a* ~ *b* dan *b* ~ *c* maka *a* ~ *c*. (Transitivitas)

*X* bersama dengan relasi ~ disebut sebuah setoid. Kelas ekuivalensi dari {\displaystyle a} di bawah ~, dilambangkan dengan {\displaystyle [a]}, didefinisikan sebagai {\displaystyle [a]=\{b\in X\mid a\sim b\}}.

Contoh
------

### Contoh sederhana

Anggap himpunan {\displaystyle \{a,\,b,\,c\}} memiliki relasi ekuivalensi {\displaystyle \{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}}. Himpunan {\displaystyle [a]=\{a\}} dan {\displaystyle [b]=[c]=\{b,c\}} adalah kelas ekuivalensi dari relasi ini.

Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah {\displaystyle \{\{a\},\,\{b,\,c\}\}}. Himpunan ini adalah partisi dari himpunan {\displaystyle \{a,\,b,\,c\}}.

### Relasi ekuivalensi

Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:

* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} sama dengan {\displaystyle {\tfrac {4}{8}}}.
* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
* "kongruen dengan" pada himpunan semua segitiga.
* "kongruen modulo *n* dengan" pada bilangan bulat.
* "Memiliki nilai mutlak yang sama dengan" pada himpunan bilangan real.
* "Memiliki nilai kosinus yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.

### Relasi yang bukan ekuivalensi

* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, namun tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
* Relasi "memiliki faktor pembagi bersama yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, namun tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.

Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi
---------------------------------------------------

Anggap {\displaystyle a,\,b\in X}. Ada beberapa definisi

### Kelas ekuivalensi

Artikel utama: Kelas kesetaraan
Sebuah subhimpunan {\displaystyle Y} dari {\displaystyle X}, dengan {\displaystyle a\sim b} tetap berlaku untuk semua {\displaystyle a,\,b\in Y} namun tidak pernah ketika {\displaystyle a\in Y\ \ {\text{dan}}\ \ b\notin Y}, disebut sebagai sebuah **kelas ekuivalensi *{\displaystyle \sim }*** dari {\displaystyle X}. Anggap {\displaystyle [a]:=\{x\in X\,|\,a\sim x\}} menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen {\displaystyle a}. Semua elemen di {\displaystyle X} yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.

### Himpunan hasil bagi

Artikel utama: Himpunan hasil bagi
Himpunan semua kelas ekuivalensi ***{\displaystyle \sim }*** dari {\displaystyle X}, yang dinyatakan sebagai {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]\mid x\in X\}} , adalah himpunan hasil bagi ***{\displaystyle \sim }*** dari {\displaystyle X}. Jika ***{\displaystyle X}*** adalah ruang topologis, ada cara mudah mengubah {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}} menjadi ruang topologis. Lihat ruang hasil bagi untuk detailnya.

Teorema dasar relasi ekuivalensi
--------------------------------

Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:

* Relasi ekuivalensi *{\displaystyle \sim }* pada himpunan {\displaystyle X} mempartisi himpunan {\displaystyle X} tersebut.
* Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan {\displaystyle X}, terdapat suatu relasi ekuivalensi *{\displaystyle \sim }* yang sesuai pada himpunan {\displaystyle X}.

Anggap {\displaystyle Y} sebagai partisi dari {\displaystyle X}. Pada kedua kasus, sebuah himpunan di {\displaystyle Y} adalah kelas ekuivalensi {\displaystyle \sim } dari {\displaystyle X}. Karena setiap elemen di {\displaystyle X} terletak di tepat satu himpunan di {\displaystyle Y}, dan karena setiap himpunan di {\displaystyle Y} identik ke kelas ekuivalensi {\displaystyle \sim } dari {\displaystyle X}, maka setiap elemen di {\displaystyle X} terletak di tepat satu kelas ekuivalensi {\displaystyle \sim } dari {\displaystyle X}. Dengan demikian, terdapat bijeksi antara himpunan semua relasi ekuivalensi di {\displaystyle X} dengan himpunan semua partisi dari {\displaystyle X}.

Referensi
---------

1. 1 2  "7.3: Equivalence Classes". *Mathematics LibreTexts* (dalam bahasa Inggris). 2017-09-20. Diakses tanggal 2021-02-10.
2. ↑  Wallace, D. A. R. (1998). *Groups, Rings and Fields*. Springer-Verlag. hlm. 31.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ↑  Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). *Abstract Algebra* (edisi ke-3). John Wiley & Sons. hlm. 3.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. ↑  Hrbacek, Karell; Jech, Thomas (1999). *Introduction to Set Theory* (edisi ke-3). Marcel Dekker. hlm. 29-32.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Equivalence relation", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Equivalence relation di PlanetMath


  


|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s