| Struktur aljabar → **Teori grup**Teori grup |
| --- |
|  |
| Gagasan dasar

|  |
| --- |
| * Subgrup
* Subgrup normal
* Grup hasil bagi
* darab langsung
* semi-darab langsung
 |
| *Homomorfisme grup* |
| * kernel
* bayangan
* jumlah langsung
* karangan bunga
* sederhana
* hingga
* takhingga
* kontinu
* multiplikatif
* aditif
* siklik
* Abel
* dihedral
* nilpoten
* terselesaikan
* aksi
 |
| * Glosarium teori grup
* Daftar topik teori grup
 |

 |
| Grup hingga

| Klasifikasi grup sederhana hingga |
| --- |
| * siklik
* bergantian
* tipe Lie
* sporadik
 |
| * Teorema Cauchy
* Teorema Lagrange
* Teorema Sylow
* Teorema Hall
* grup-p
* Grup Abel elementer
* Grup Frobenius
* Pengganda Schur
 |
| * Grup simetrik {\displaystyle \mathrm {S} \_{n}}
* Grup Klein {\displaystyle \mathrm {V} }
* Grup dihedral {\displaystyle \mathrm {D} \_{n}}
* Grup kuaternion {\displaystyle \mathrm {Q} }
* Grup disiklik {\displaystyle \mathrm {Dic} \_{n}}
 |

 |
| * Grup diskret
* Kekisi

* Bilangan bulat ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* Grup bebas

Grup modular * {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
* {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}

* Grup aritmetika
* Kekisi
* Grup hiperbolik
 |
| Topologis dan Grup Lie
* Solenoid
* Lingkaran

* Linear umum {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}

* Linear khusus {\displaystyle \mathrm {SL} (n)}

* Ortogonal {\displaystyle \mathrm {O} (n)}

* Euklides {\displaystyle \mathrm {E} (n)}

* Ortogonal khusus {\displaystyle \mathrm {SO} (n)}

* Uner {\displaystyle \mathrm {U} (n)}

* Uniter khusus {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}

* Simplektik {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}

* G2
* F4
* E6
* E7
* E8

* Lorentz
* Poincaré
* konformal

* Difeomorfisme
* Gelung

Grup Lie berdimensi takhingga * {\displaystyle O(\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
 |
| Grup aljabar
* Grup aljabar linear

* Grup reduktif

* Varietas Abel

* Kurva eliptik
 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam teori grup, **hasilkali karangan bunga** atau **darab karangan bunga** (Inggris: *Wreath product*code: en is deprecated ) adalah hasil kali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup {\displaystyle A} dan {\displaystyle H}, terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: **hasilkali karangan bunga takterbatas** {\displaystyle A\operatorname {Wr} H} (juga ditulis {\displaystyle A\wr H} dengan simbol LaTeX **\wr**) dan **hasilkali karangan bunga terbatas** {\displaystyle A\operatorname {wr} H}. Diberikan himpunan Ω dengan *tindakan-*{\displaystyle H}, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} atau {\displaystyle A\operatorname {wr} \_{\Omega }H}.

Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi
--------

Misalkan {\displaystyle A} dan {\displaystyle H} menjadi grup dan {\displaystyle \Omega } satu himpunan dengan {\displaystyle H}bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan {\displaystyle K} menjadi hasilkali grup langsung

{\displaystyle K=\prod \_{\omega \in \Omega }A\_{\omega }}
dari salinan {\displaystyle A\_{\omega }:=A} diindeks oleh himpunan {\displaystyle \Omega }. Elemen {\displaystyle K} dapat dilihat sebagai sembarang urutan {\displaystyle (a\_{\omega })} dari elemen {\displaystyle A} diindeks oleh {\displaystyle \Omega } dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan {\displaystyle H} pada {\displaystyle \Omega } meluas secara alami menjadi tindakan {\displaystyle H} pada grup {\displaystyle K} oleh

{\displaystyle h(a\_{\omega }):=(a\_{h^{-1}\omega })}.
Kemudian **hasilkali karangan bunga takterbatas** {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} dari {\displaystyle A} oleh {\displaystyle H} adalah hasilkali setengah langsung {\displaystyle K\rtimes H}. Subgrup {\displaystyle K} dari {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} disebut **basis** dari hasilkali karangan bunga.

**Hasilkali karangan bunga terbatas** {\displaystyle A\operatorname {wr} \_{\Omega }H} dibuat dengan cara yang sama seperti hasil kali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

{\displaystyle K=\bigoplus \_{\omega \in \Omega }A\_{\omega }}
sebagai dasar hasil kali karangan bunga. Dalam hal ini elemen {\displaystyle K} adalah urutan {\displaystyle (a\_{\omega })} elemen di{\displaystyle A} diindeks oleh {\displaystyle \Omega } yang semuanya kecuali banyak {\displaystyle a\_{\omega }} adalah elemen identitas dari {\displaystyle A}.

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan {\displaystyle \Omega :=H}, di mana {\displaystyle H} bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasil kali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan {\displaystyle A\operatorname {Wr} H} dan {\displaystyle A\operatorname {wr} H}. Ini disebut hasil kali karangan bunga **beraturan**.

Notasi dan konvensi
-------------------

Struktur hasil kali karangan bunga dari {\displaystyle A} oleh {\displaystyle H} bergantung pada himpunan *{\displaystyle H}* dari {\displaystyle \Omega } dan jika {\displaystyle \Omega } tak terbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasil kali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

* Dalam literatur, {\displaystyle A\wr \_{\Omega }H} dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} atau hasilkali karangan bunga terbatas {\displaystyle A\operatorname {wr} \_{\Omega }H}.
* Demikian, {\displaystyle A\wr H} dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas {\displaystyle A\operatorname {Wr} H} atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas {\displaystyle A\operatorname {wr} H}.
* Dalam literatur, himpunan-{\displaystyle H}dari {\displaystyle \Omega } dapat dihilangkan dari notasi meskipun {\displaystyle \Omega \neq H}.
* Dalam kasus khusus bahwa {\displaystyle H=S\_{n}} adalah grup simetrik derajat {\displaystyle n} adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya {\displaystyle \Omega =\{1,\dots ,n\}} (dengan tindakan alami {\displaystyle S\_{n}}) dan kemudian hilangkan {\displaystyle \Omega } dari notasi. Yaitu, {\displaystyle A\wr S\_{n}} biasanya menunjukkan {\displaystyle A\wr \_{(1,\dots ,n)}S\_{n}} bukan hasilkali karangan bunga beraturan {\displaystyle A\wr \_{S\_{n}}S\_{n}}. Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari {\displaystyle n} salinan dari {\displaystyle A}, dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari {\displaystyle n!} salinan dari *{\displaystyle A}* (dimana {\displaystyle !} melambangkan faktorial).

Sifat
-----

### Perjanjian hasil kali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga {\displaystyle \Omega }

Karena hasil kali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasi lkali karangan bunga tak terbatas {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} dan terbatas {\displaystyle A\operatorname {wr} \_{\Omega }H} setuju jika himpunan-{\displaystyle H} *dari* {\displaystyle \Omega } terbatas. Khususnya, ini benar ketika {\displaystyle \Omega =H}.

### Sub grup

{\displaystyle A\operatorname {wr} \_{\Omega }H}selalu merupakan subgrup dari {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H}.

### Kekardinalan

Jika {\displaystyle A}*,* {\displaystyle H} dan {\displaystyle \Omega } adalah terhingga, maka

{\displaystyle \left|A\wr \_{\Omega }H\right|=\left|A\right|^{\left|\Omega \right|}\left|H\right|}.

### Teorema pembenaman semesta

Artikel utama: Teorema pembenaman semesta
Jika {\displaystyle G} adalah ekstensi dari {\displaystyle A} oleh {\displaystyle H}*,* maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas {\displaystyle A\wr H} yang isomorfik dengan{\displaystyle G}. Ini juga dikenal sebagai *teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine*. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.

Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga
-----------------------------------------

Jika grup {\displaystyle A} bertindak pada himpunan {\displaystyle \Lambda }, maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari {\displaystyle \Omega } dan {\displaystyle \Lambda } yang mana {\displaystyle A\operatorname {Wr} \_{\Omega }H} (and therefore also *A* wrΩ *H*) can act.

* Tindakan hasilkali karangan bunga **takprimitif** pada Λ × Ω.

Jika ((*a**ω*),*h*) ∈ *A* WrΩ *H* and (*λ*,*ω*′) ∈ Λ × Ω, then
{\displaystyle ((a\_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a\_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}
* Tindakan hasilkali karangan bunga **primitif** di ΛΩ.

Elemen pada Λ Ω  adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan  *H*  Ω. Diberikan sebuah elemen ((*a*ω), *h*) ∈ *A* WrΩ *H* operasinya pada (*λ**ω*) ∈ ΛΩ is given by
{\displaystyle ((a\_{\omega }),h)\cdot (\lambda \_{\omega }):=(a\_{h^{-1}\omega }\lambda \_{h^{-1}\omega }).}

Referensi
---------

1. ↑  Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
2. ↑  M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
3. ↑  J D P Meldrum (1995). *Wreath Products of Groups and Semigroups*. Longman [UK] / Wiley [US]. hlm. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.

Pranala luar
------------

* Wreath product in *Encyclopedia of Mathematics*.
* Some Applications of the Wreath Product Construction. Diarsipkan 21 February 2014 di Wayback Machine.