**Metode integrasi numerik** adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan:

Metode Euler Eksplisitmerupakan metode integrasi yang paling mudah
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k-1}+Bu\_{k-1}=f(x\_{k-1},u\_{k-1})}
{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+h{\dot {x}}\_{k-1}}

Metode Euler Implisit
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k}+Bu\_{k}=f(x\_{k},u\_{k})}
{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+h{\dot {x}}\_{k}}

Pada metode integrasi implisit nilai aktual {\displaystyle x\_{k}} juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

{\displaystyle {\dot {x}}\_{k}=Ax\_{k-1}+Bu\_{k}=f(x\_{k-1},u\_{k})}
{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}\_{k}}

J adalah matriks Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matriks J = A

Metode HeunAlgoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu {\displaystyle u\_{k}} dan {\displaystyle u\_{k-1}}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k-1}+Bu\_{k-1}=f(x\_{k-1},u\_{k-1})}

{\displaystyle x\_{k}^{p}=x\_{k-1}+h{\dot {x}}\_{k-1}}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k}^{p}=f(x\_{k}^{p},u\_{k})}

{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}\_{k-1}+{\dot {x}}\_{k}^{p})}

Metode Runge-Kuttamerupakan integrator dengan empat masukan.
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k-1}+Bu\_{k-1}=f(x\_{k-1},u\_{k-1})}

{\displaystyle x\_{k-0.5}^{p1}=x\_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}\_{k-1}}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-0.5}^{p1}=f(x\_{k-0.5}^{p1},u\_{k-0.5})}

{\displaystyle x\_{k-0.5}^{p2}=x\_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}\_{k-0.5}^{p1}}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-0.5}^{p2}=f(x\_{k-0.5}^{p2},u\_{k-0.5})}

{\displaystyle x\_{k}^{p3}=x\_{k-1}+h{\dot {x}}\_{k-0.5}^{p2}}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k}^{p3}=f(x\_{k}^{p3},u\_{k})}

{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}\_{k-1}+2{\dot {x}}\_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}\_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}\_{k}^{p3})}

Metode Trapesium (Trapez)merupakan nilai tengah dari metode Euler eksplisit dan metode Euler implisit.
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k-1}+Bu\_{k-1}=f(x\_{k-1},u\_{k-1})}
{\displaystyle {\dot {x}}\_{k}=Ax\_{k}+Bu\_{k}=f(x\_{k},u\_{k})}
{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}\_{k}+{\dot {x}}\_{k+1})}

Sama halnya dengan metode Euler implisit, metode ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

{\displaystyle {\dot {x}}\_{k-1}=Ax\_{k-1}+{B \over 2}(u\_{k-1}+u\_{k})=f(x\_{k-1},u\_{k-1},u\_{k})}
{\displaystyle x\_{k}=x\_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}\_{k}}

Metode Newton–Cotes

| No. | Nama Aturan | Rumus | Estimasi Kesalahan |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | Trapesium | {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f\_{0}+f\_{1})} | {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )} |
| 2 | Simpson 1/3 | {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(f\_{0}+4f\_{1}+f\_{2})} | {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )} |
| 3 | Simpson 3/8 | {\displaystyle {\frac {3(b-a)}{8}}(f\_{0}+3f\_{1}+3f\_{2}+f\_{3})} | {\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )} |
| 4 | Boole atau Bode | {\displaystyle {\frac {2(b-a)}{45}}(7f\_{0}+32f\_{1}+12f\_{2}+32f\_{3}+7f\_{4})} | {\displaystyle -{\frac {8(b-a)^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )} |

Lihat pula
----------

* Integrasi numerik