Sebuah **persamaan beda rasional** adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk

{\displaystyle x\_{n+1}={\frac {\alpha +\sum \_{i=0}^{k}\beta \_{i}x\_{n-i}}{A+\sum \_{i=0}^{k}B\_{i}x\_{n-i}}}~,}
dimana kondisi awal {\displaystyle x\_{0},x\_{-1},\dots ,x\_{-k}} sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk {\displaystyle n} apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama
--------------------------------------

Sebuah **persamaan beda rasional urutan pertama** adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

{\displaystyle w\_{t+1}={\frac {aw\_{t}+b}{cw\_{t}+d}}.}
Bila {\displaystyle a,b,c,d} dan kondisi awal {\displaystyle w\_{0}} adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai **persamaan beda Riccati**.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis {\displaystyle w\_{t}} sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain {\displaystyle x\_{t}} yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada {\displaystyle x\_{t}}.

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.

Memecahkan persamaan urutan pertama
-----------------------------------

### Pendekatan pertama

Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah {\displaystyle x\_{t}}, ketika {\displaystyle ad-bc\neq 0} ditulis sebagai

{\displaystyle y\_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y\_{t}}}}
dimana {\displaystyle \alpha =(a+d)/c} dan {\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}} dan dimana {\displaystyle w\_{t}=y\_{t}-d/c}.

Penulisan lebih lanjut {\displaystyle y\_{t}=x\_{t+1}/x\_{t}} ditampilkan sebagai hasil

{\displaystyle x\_{t+2}-\alpha x\_{t+1}+\beta x\_{t}=0.}
### Pendekatan kedua

Pendekatan ini diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk {\displaystyle x\_{t}} alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana {\displaystyle (d-a)^{2}+4bc} bukanlah negatif. Tulis sebagai {\displaystyle x\_{t}=1/(\eta +w\_{t})} diimplikasikan {\displaystyle w\_{t}=(1-\eta x\_{t})/x\_{t}}, dimana {\displaystyle \eta } yang diberikan oleh {\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c} dan dimana {\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}. Maka dapat ditunjukkan bahwa {\displaystyle x\_{t}} dievolusikan sebagai

{\displaystyle x\_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x\_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}
### Pendekatan ketiga

Persamaan

{\displaystyle w\_{t+1}={\frac {aw\_{t}+b}{cw\_{t}+d}}}
juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

{\displaystyle X\_{t+1}=-(E+BX\_{t})(C+AX\_{t})^{-1},}
dimana semua *A, B, C, E,* dan *X* adalah matriks *n*×*n* (dalam hal ini *n*=1); solusinya adalah

{\displaystyle X\_{t}=N\_{t}D\_{t}^{-1}}
dimana

{\displaystyle {\begin{pmatrix}N\_{t}\\D\_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X\_{0}\\I\end{pmatrix}}.}

Aplikasi
--------

Hal ini ditunjukkan bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

{\displaystyle H\_{t-1}=K+A'H\_{t}A-A'H\_{t}C(C'H\_{t}C)^{-1}C'H\_{t}A,}
yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks *C* hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi
---------

1. ↑  Skellam, J.G. (1951). "Random dispersal in theoretical populations", *Biometrika* **38** 196−218, eqns (41,42)
2. ↑  Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). *Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures*. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books.
3. 1 2  Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). *Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures*. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books.
4. ↑  Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", *Mathematical Gazette* 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
5. ↑  "Equivalent resistance in ladder circuit". *Stack Exchange*. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
6. ↑  "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". *Youtube*. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
7. ↑  Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," *American Mathematical Monthly* **62**, September 1955, 489–492. online
8. ↑  Mitchell, Douglas W. "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," *Journal of Economic Dynamics and Control* 24, 2000, 615–622.
9. ↑  Martin, C. F. and Ammar, G. "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), *The Riccati Equation*, Springer-Verlag, 1991.
10. ↑  Balvers, Ronald J. and Mitchell, Douglas W. "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," *Journal of Economic Dynamics and Control* 31, 2007, 141–159.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," *Mathematical Gazette* 93, November 2009, 500-504.