| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

Integral sebagai luasan antara dua kurva.
Integral lipat dua sebagai volume terhadap permukaan *z* = 10 − *x*2 − *y*28. Pada bagian bawah benda (di grafik tersebut), daerah berbentuk persegi panjang merupakan domain pengintegralan, sedangkan permukaannya merupakan integral dari grafik dari fungsi dua variabel.
Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), **integral lipat** merupakan integral tentu dari fungsi variabel real banyak, contohnya seperti *f*(*x*, *y*) atau *f*(*x*, *y*, *z*). Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real ({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}) disebut **integral lipat dua**, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real ({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}) disebut **integral lipat tiga**.

Pengenalan
----------

Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili luas daerah antara grafik fungsi dan sumbu-x. Mirip dengan sebelumnya, **integral lipat dua** dari fungsi positif dua variabel mewakili volume daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di bidang Kartesius berdimensi tiga, dengan *z* = *f*(*x*, *y*)) dan bidang yang memuat domain fungsinya. Integral lipat akan memberikan hipervolume dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.

Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel n: *f*(*x*1, *x*2, ... *x**n*) pada domain D biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:

{\displaystyle \int \cdots \int \_{\mathbf {D} }\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\,dx\_{1}\!\cdots dx\_{n}}
Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi integral taktentu biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.

Definisi secara matematis
-------------------------

Untuk *n* > 1, misalkan T adalah domain *hyperrectangle* berdimensi n, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

{\displaystyle T=[a\_{1},b\_{1})\times [a\_{2},b\_{2})\times \cdots \times [a\_{n},b\_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}
Partisi masing-masing interval [*aj*, *bj*) dengan keluarga hingga Ij dari subinterval tak-bertindih ijα, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari *subrectangle* C yang dinyatakan sebagai

{\displaystyle C=I\_{1}\times I\_{2}\times \cdots \times I\_{n}}
merupakan partitisi dari T. Dalam artian, *subrectangle* Ck tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah T. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan *f* : *T* → **R** adalah fungsi yang didefinisikan oleh T. Misalkan pula partisi C dari T seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga C adalah keluarga dari *subrectangle* m, dinyatakan sebagai Cm. Secara matematis, ditulis sebagai 

{\displaystyle T=C\_{1}\cup C\_{2}\cup \cdots \cup C\_{m}}
Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi (*n* + 1) dengan batas bawahnya adalah *hyperrectangle* T berdimensi n dan batas atasnya adalah grafik f berdimensi n. Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{m}f(P\_{k})\,\operatorname {m} (C\_{k})}
dengan Pk adalah titik di Ck dan m(*C**k*) merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah Ck, juga dikenal sebagai ukuran dari Ck.

**Diameter** suatu *subrectangle* Ck merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah Ck. Diameter dari partisi T yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari *subrectangle* dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi C dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah *subrectangle* m semakin besar, dan ukuran m(*C**k*) dari masing-masing *subrectangle* semakin kecil. Fungsi f dikatakan **terintegralkan Riemann** jika limit

{\displaystyle S=\lim \_{\delta \to 0}\sum \_{k=1}^{m}f(P\_{k})\,\operatorname {m} (C\_{k})}
ada, dengan limitnya mengambil semua partisi T yang mungkin dari diameter setidaknya δ.

Jika f adalah terintegralkan Riemann, maka S disebut **integral Riemann** dari f pada T dan dinyatakan sebagai

{\displaystyle \int \cdots \int \_{T}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\,dx\_{1}\!\cdots dx\_{n}}
atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai

{\displaystyle \int \_{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}
dengan **x** mewakili (*x*1, …, *xn*) kelipatan n dan *d**n***x** merupakan diferensial volume berdimensi n.

Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi n dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi n disebut **integral lipat**.

### Sifat-sifat

Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai teorema Fubini.

### Kasus istimewa

Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. **Integral lipat dua** dari f di T ditulis

{\displaystyle l=\iint \_{T}f(x,y)\,dx\,dy}
untuk kasus {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}, sedangkan **integral lipat tiga** dari f di T ditulis

{\displaystyle l=\iiint \_{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
untuk kasus {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}.

Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.

Metode-metode pengintegralan
----------------------------

Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi integral teriterasi, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui teorema Fubini, asalkan fungsinya kontinu. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.

Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:

### Fungsi konstan integran

Ketika integrannya adalah fungsi konstan c, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari c dan ukuran domain pengintegralan. Jika *c* = 1 dan domainnya merupakan subdaerah dari **R**2, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari **R**3, maka integral memberikan volume daerah. 

> **Contoh.** Misalkan *f*(*x*, *y*) = 2 dan
> 
> 
> {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}
> maka integral darinya adalah
> 
> 
> {\displaystyle \int \_{3}^{6}\int \_{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int \_{3}^{6}\int \_{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {luas} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}
> karena menurut definisi, diperoleh:
> 
> 
> {\displaystyle \int \_{3}^{6}\int \_{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {luas} (D).}

### Metode menggunakan simetri

Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah fungsi ganjil terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah fungsi genap terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.

> **Contoh 1.** Tinjau fungsi *f*(*x*,*y*) = 2 sin(*x*) − 3*y*3 + 5 diintegralkan pada domain
> 
> 
> {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}
> sebuah cakram berjari-jari 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.
> 
> 
> Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:
> 
> 
> {\displaystyle \iint \_{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint \_{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint \_{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint \_{T}5\,dx\,dy}
> 
> Fungsi 2 sin(*x*) adalah fungsi ganjil di variabel x dan cakram T simetri terhadap sumbu-y, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi 3*y*3 adalah fungsi ganjil dariy, dan T simetri terhadap sumbu-x, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5*π*.
> 
> 

> **Contoh 2.** Tinjau fungsi *f*(*x*, *y*, *z*) = *x* exp(*y*2 + *z*2) dan ketika mengintegralkan daerah bola berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
> 
> 
> {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\},}
> maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-x untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.
> 
>

Contoh
------

### Integral ganda di atas persegi panjang

Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel f di suatu wilayah A:

{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ dan }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}
Dari sini kami merumuskan integral iterasi

{\displaystyle \int \_{7}^{10}\int \_{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}
Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan x dan mengambil y sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada y, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan y.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]\_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}
Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan y.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}\_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}
Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, *x* pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan *y* pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{11}^{14}\int \_{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int \_{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}\_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int \_{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}\_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}
### Integral ganda di atas domain normal

Example: double integral over the normal region *D*
Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):

{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}
Hitung

{\displaystyle \iint \_{D}(x+y)\,dx\,dy.}
Domain ini normal dalam kaitannya dengan *x* dan *y* sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan *D* dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}
sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan *x* = 0, jadi interval dari [*a*, *b*] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu *x* untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

{\displaystyle \iint \_{D}(x+y)\,dx\,dy=\int \_{0}^{1}dx\int \_{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int \_{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]\_{x^{2}}^{1}}
(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan  *x*  sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

{\displaystyle \int \_{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]\_{x^{2}}^{1}\,dx=\int \_{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}
Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu  *y*  - kita dapat menghitung

{\displaystyle \int \_{0}^{1}dy\int \_{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}
dan mendapatkan nilai yang sama.

Example of domain in **R**3 that is normal with respect to the *xy*-plane.
### Menghitung volume

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.

* **Tabung**: Volume tabung dengan tinggi h dan dasar lingkaran jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta h di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.

{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int \_{0}^{2\pi }d\varphi \,\int \_{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]\_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma

{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{luas alas}}\times {\text{tinggi}}.}
* **Bola**: Volume bola dengan jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint \_{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint \_{D}1\,dV\\&=\iiint \_{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int \_{0}^{2\pi }\,d\theta \int \_{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int \_{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int \_{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}\_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}
* **Tetrahedron** (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang *ℓ* sepanjang x-, y- dan z-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int \_{0}^{\ell }dx\int \_{0}^{\ell -x}\,dy\int \_{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int \_{0}^{\ell }dx\int \_{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int \_{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]\_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}
Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramida
{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{luas dasar}}\times {\text{tinggi}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}
Example of an improper domain.

Beberapa integral tak wajar
---------------------------

Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan **integral tidak tepat rangkap dua** atau **integral tidak tepat rangkap tiga**.

Lihat pula
----------

* Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:
	+ Teorema divergensi
	+ Teorema Stokes
	+ Teorema Green

Referensi
---------

1. 1 2 3  Stewart, James (2008). *Calculus: Early Transcendentals*Perlu mendaftar (gratis) (edisi ke-6th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
2. ↑  Larson; Edwards (2014). *Multivariable Calculus* (edisi ke-10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
3. ↑  Rudin, Walter. *Principles of Mathematical Analysis*Perlu mendaftar (gratis). Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (edisi ke-3rd). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
4. ↑  Jones, Frank (2001). *Lebesgue Integration on Euclidean Space*Akses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan. Jones and Bartlett. hlm. 527–529. [*tanpa ISBN*]

Pranala luar
------------

* e(Inggris) Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". *MathWorld*.
* (Inggris) L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4