Dalam matematika, **grup automorfisme** dari sebuah objek  *X*  adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari  *X*. Misalnya, jika  *X*  adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari  *X*  adalah grup linier umum dari  *X* , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari  *X*  menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut **grup transformasi** (terutama dalam literatur lama).

Contoh
------

* Grup automorfisme dari himpunan  *X*  adalah grup simetris dari  *X* .
* A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan  *X*  sama dengan aksi grup pada  *X* : memang, setiap kiri  *G* , trivial pada satu himpunan  *X*  menentukan {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma \_{g},\,\sigma \_{g}(x)=g\cdot x}, dan, sebaliknya, setiap homomorfisme {\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)} mendefinisikan aksi dengan {\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}.
* Misalkan {\displaystyle A,B} menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)} himpunan dari semua bijeksi {\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}. Kemudian {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}, yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)} dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)} adalah torsor untuk {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)} (lih. #Dalam kategori teori).
* Grup automorfisme {\displaystyle G} dari grup siklik dari urutan  *n*  adalah isomorfis ke {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\*}} dengan isomorfisme yang diberikan oleh {\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma \_{a}\in G,\,\sigma \_{a}(x)=x^{a}}. Secara khusus, {\displaystyle G} adalah grup abelian.
* Diberikan ekstensi bidang {\displaystyle L/K}, grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang  *L*  yang fix  *K* : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari {\displaystyle L/K}.
* Grup automorfisme dari proyektif  *n*  - spasi di atas bidang  *k*  adalah grup linear proyektif {\displaystyle \operatorname {PGL} \_{n}(k).}
* Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] {\displaystyle {\mathfrak {g}}} memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika  *G*  adalah grup Lie dengan aljabar Lie {\displaystyle {\mathfrak {g}}}, maka grup automorfisme dari  *G*  memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari {\displaystyle {\mathfrak {g}}}.
* Misalkan  *P*  menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang  *R*. Maka melekatkan {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} \_{n}(R)}, unique up to inner automorphisms.

Dalam teori kategori
--------------------

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika  *X*  adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari  *X*  adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari  *X*  untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari  *X*. (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika {\displaystyle A,B} adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)} dari semua {\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B} adalah kiri {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}-torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)} dibedakan secara jelas oleh elemen dari {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}, atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika {\displaystyle X\_{1}} dan {\displaystyle X\_{2}} adalah objek dalam kategori {\displaystyle C\_{1}} dan {\displaystyle C\_{2}}, dan jika {\displaystyle F:C\_{1}\to C\_{2}} adalah functor memetakan {\displaystyle X\_{1}} ke {\displaystyle X\_{2}}, kemudian {\displaystyle F} menginduksi homomorfisme grup {\displaystyle \operatorname {Aut} (X\_{1})\to \operatorname {Aut} (X\_{2})}, karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika  *G*  adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek \* atau, lebih umum, jika  *G*  adalah groupoid, maka setiap functor {\displaystyle G\to C}, *C* kategori, disebut aksi atau representasi  *G*  pada objek {\displaystyle F(\*)}, or the objects {\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}. Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek {\displaystyle G} (sebagaimana mereka ditindaklanjuti {\displaystyle G}); lih. {\displaystyle \mathbb {S} }-object. Jika {\displaystyle C} adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka {\displaystyle G} -objek juga disebut {\displaystyle G} -modul.

Funktor grup automorfisme
-------------------------

Misalkan {\displaystyle M} menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang  *k*  yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu,  *M*  adalah aljabar berdimensi-hingga di atas  *k* ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan  *k*  - peta linear {\displaystyle M\to M} yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor {\displaystyle \operatorname {End} \_{\text{alg}}(M)} dari {\displaystyle \operatorname {End} (M)}. Grup unit dari {\displaystyle \operatorname {End} \_{\text{alg}}(M)} adalah grup automorfisme {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}. Ketika basis pada  *M*  dipilih, {\displaystyle \operatorname {End} (M)} adalah ruang dari matriks kuadrat dan {\displaystyle \operatorname {End} \_{\text{alg}}(M)} adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)} adalah grup aljabar linear di atas  *k* .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif  *R*  di atas  *k* , pertimbangkan  *R* -peta linear {\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R} melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan {\displaystyle \operatorname {End} \_{\text{alg}}(M\otimes R)}. Kemudian grup unit gelanggang matriks {\displaystyle \operatorname {End} \_{\text{alg}}(M\otimes R)} lebih  *R*  adalah grup automorfisme {\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)} dan {\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)} adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas  *k*  ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut **skema grup automorfisme** dan dilambangkan dengan {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}.

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula
----------

* Grup automorfisme luar
* Struktur level, trik untuk grup automorfisme
* Grup Holonomi

Referensi
---------

1. ↑  Dummit & Foote 2004, § 2.3. Exercise 26.
2. ↑  Hartshorne 1977, Ch. II, Example 7.1.1.
3. ↑  Hochschild, G. (1952). "The Automorphism Group of a Lie Group". *Transactions of the American Mathematical Society*. **72** (2): 209–216. JSTOR 1990752.
4. ↑  (following Fulton & Harris 1991, Exercise 8.28.) Pertama, jika  *G*  hanya terhubung, grup automorfisme dari  *G*  adalah {\displaystyle {\mathfrak {g}}}. Kedua, setiap grup Lie yang terhubung berbentuk {\displaystyle {\widetilde {G}}/C} dimana {\displaystyle {\widetilde {G}}} adalah grup Lie yang terhubung sederhana dan  *C*  adalah subgrup pusat dan grup automorfisme  *G*  adalah grup automorfisme dari {\displaystyle G} yang mempertahankan  *C*. Ketiga, berdasarkan konvensi, grup Lie dapat dihitung kedua dan memiliki paling banyak komponen yang terhubung; dengan demikian, kasus umum direduksi menjadi casing yang terhubung.
5. ↑  Milnor 1971, Lemma 3.2.
6. ↑  Waterhouse 2012, § 7.6.

* Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). *Abstract Algebra* (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
* Templat:Fulton-Harris
* Templat:Hartshorne AG
* Milnor, John Willard (1971). *Introduction to algebraic K-theory*. Annals of Mathematics Studies. **72**. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24.
* Waterhouse, William C. (2012) [1979]. *Introduction to Affine Group Schemes*. Graduate Texts in Mathematics. **66**. Springer Verlag. ISBN 9781461262176. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24.

Pranala luar
------------

* Diarsipkan 2022-11-30 di Wayback Machine.