**Persamaan fungsional Cauchy** adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear:

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).\ }
Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu {\displaystyle f:x\mapsto cx} untuk setiap konstanta rasional {\displaystyle c}. Selama bilangan riil, {\displaystyle f:x\mapsto cx}, sekarang dengan {\displaystyle c} konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } linier jika:

* {\displaystyle f} adalah kontinu (dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.
* {\displaystyle f} adalah monotonik pada interval apa pun.
* {\displaystyle f} adalah dibatasi pada interval apa pun.
* {\displaystyle f} adalah Lebesgue terukur.

Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan {\displaystyle f}, kemudian (dengan asumsi aksioma pilihan) ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh Georg Hamel menggunakan basis Hamel. Fungsi semacam itu terkadang disebut  *Fungsi Hamel*.

Masalah kelima pada Daftar Hilbert adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat bilangan riil {\displaystyle c} such that {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)\ } dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan masalah ketiga Hilbert dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.

Solusi atas bilangan rasional
-----------------------------

Argumen sederhana, yang hanya melibatkan manipulasi aljabar dasar, menunjukkan bahwa himpunan peta aditif *{\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }* identik dengan kumpulan peta linier.

**Teorema:** *Karena {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} } menjadi fungsi aditif. Kemudian {\displaystyle f} adalah linear.*

***Bukti:*** Kami ingin membuktikan solusi apa pun {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} } untuk persamaan fungsional Cauchy, {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}, mengambil bentuknya {\displaystyle f(q)=cq,\ c\in \mathbb {Q} }. Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kasus-kasus tersebut {\displaystyle q=0,\ q>0,\ q<0}.

*Kasus I:* ({\displaystyle q=0})

Menyetel {\displaystyle y=0}, kami menyimpulkan itu

{\displaystyle f(x)=f(x)+f(0),\quad x\in \mathbb {Q} }
{\displaystyle \Rightarrow f(0)=0}.
*Kasus II:* ({\displaystyle q>0})

Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke {\displaystyle f\left(x+x+\cdots +x\right)=f\left(\alpha x\right)}, kami dapatkan

{\displaystyle \alpha f\left(x\right)=f\left(\alpha x\right),\quad \alpha \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (\*)}
Substitusi dari {\displaystyle x} oleh {\displaystyle {\frac {x}{\alpha }}} dalam (\*), dan perkalian hasilnya dengan {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}}, dimana {\displaystyle \beta \in \mathbb {N} }, yields

{\displaystyle \beta f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (\*\*)}
Penerapan (\*) ke sisi kiri (\*\*) lalu memungkinkan

{\displaystyle f\left({\frac {\beta }{\alpha }}x\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} }
{\displaystyle \Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),\quad q,x\in \mathbb {Q} ,\ q>0}
{\displaystyle \Rightarrow f\left(q\right)=qf\left(1\right)=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{+}},
dimana {\displaystyle c=f(1)\in \mathbb {Q} } adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.

*Kasus III:* ({\displaystyle q<0})

Menyetel {\displaystyle y=-x} dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa {\displaystyle f(0)=0}, kita memperoleh

{\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad x\in \mathbb {Q} }.
Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II *) memberikan*

{\displaystyle f(q)=-f\left(-q\right)=-{\big (}c(-q){\big )}=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{-}}.
Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:

{\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ,\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in \mathbb {Q} .\quad \quad \blacksquare }

Properti solusi linier atas bilangan real
-----------------------------------------

Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi patologis yang tinggi. Khususnya,
kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik {\displaystyle y=f(x)} adalah
padat masuk {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun
kecil) berisi titik dari grafik. Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi
diberikan di paragraf pengantar.

Misalkan tanpa kehilangan keumuman itu {\displaystyle f(q)=q\ \forall q\in \mathbb {Q} },
dan {\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha } untuk beberapa {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }.

Kemudian letakkan {\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}.

Kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan titik dalam lingkaran acak, pusat {\displaystyle (x,y)},
radius {\displaystyle r} dimana {\displaystyle x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y}.

Taruh {\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}} dan pilih bilangan rasional
{\displaystyle b\neq 0} dekat dengan {\displaystyle \beta } dengan:

{\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}
Kemudian pilih bilangan rasional {\displaystyle a} dekat dengan {\displaystyle \alpha } dengan:

{\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}
Sekarang taruh:

{\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }
{\displaystyle Y=f(X)\ }
Kemudian menggunakan persamaan fungsional, kita dapatkan:

{\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }
{\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }
{\displaystyle =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\ }
{\displaystyle =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\ }
{\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }
Karena pilihan kita di atas, titik {\displaystyle (X,Y)} ada di dalam lingkaran.

Adanya solusi nonlinear atas bilangan riil
------------------------------------------

Referensi
---------

1. ↑  Kuczma (2009), p.130
2. ↑  V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

* Kuczma, Marek (2009). *An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Cauchy's equation and Jensen's inequality*. Basel: Birkhäuser. ISBN 9783764387495.

Pranala luar
------------

* Solution to the Cauchy Equation Rutgers University
* The Hunt for Addi(c)tive Monster Diarsipkan 2011-09-29 di Wayback Machine.
* Martin Sleziak; et al. (2013). "Overview of basic facts about Cauchy functional equation". *StackExchange*. Diakses tanggal 20 December 2015.