Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka (*a*, *b*) membentuk vektor pada diagram yang disebut diagram Argand, mewakili bidang kompleks. "Re"adalah sumbu nyata,"Im"adalah sumbu imajiner, dan *i* memuaskan *i*2 = −1.
**Bilangan kompleks** dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh {\displaystyle a+bi\,}, di mana *a* dan *b* adalah bilangan riil, dan *i* adalah suatu bilangan imajiner di mana *i* 2 = −1. Bilangan riil *a* disebut juga *bagian riil* dari bilangan kompleks, dan bilangan real *b* disebut *bagian imajiner*. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai *b* adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real *a*.

Sebagai contoh, 3 + 2*i* adalah *bilangan kompleks* dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2*i*.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana *i* digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis *a* + *bj*.

Garis besar
-----------

### Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan **C**, atau {\displaystyle \mathbb {C} }. Bilangan real, **R**, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan **C** dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: {\displaystyle a=a+0i}.

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan *i* 2 = −1:

(*a* + *bi*) + (*c* + *di*) = (*a*+*c*) + (*b*+*d*)*i*
(*a* + *bi*) − (*c* + *di*) = (*a*−*c*) + (*b*−*d*)*i*
(*a* + *bi*)(*c* + *di*) = *ac* + *bci* + *adi* + *bd i* 2 = (*ac*−*bd*) + (*bc*+*ad*)*i*
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

### Definisi

Ilustrasi dari bilangan kompleks *z* = *x* + *iy* dalam medan kompleks. Bagian yang sebenarnya adalah x, dan bagian imajinernya adalah y.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (*a*, *b*) dengan operasi sebagai berikut:

* {\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}
* {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,}

Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan **C**.

Karena bilangan kompleks *a* + *bi* merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (*a*, *b*), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil *a* dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (*a*, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil **R** menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks **C**.

Dalam **C**, berlaku sebagai berikut:

* identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
* identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
* invers penjumlahan (*a*,*b*): (−*a*, −*b*)
* invers perkalian (reciprocal) bukan nol (*a*, *b*): {\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).}

Notasi
------

### Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

{\displaystyle a+bi}
### Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
dan

{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}
maka

{\displaystyle a+bi=r(\cos \theta +i\sin \theta )}
Untuk mempersingkat penulisan, bentuk {\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )} juga sering ditulis sebagai {\displaystyle r\,cis\theta }.

### Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

{\displaystyle re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )}

Bidang kompleks
---------------


Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan **bidang kompleks** atau **Diagram Argand**.

Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil *x* dan bagian imajiner *y*, sedangkan koordinat sirkulernya adalah *r* = |*z*|, yang disebut modulus, dan φ = arg(*z*), yang disebut juga *argumen kompleks* dari *z* (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }.\,}
Kadang-kadang, notasi *r* cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar,
dapat diperoleh:

{\displaystyle r\_{1}e^{i\phi \_{1}}\cdot r\_{2}e^{i\phi \_{2}}=r\_{1}r\_{2}e^{i(\phi \_{1}+\phi \_{2})}\,}
dan

{\displaystyle {\frac {r\_{1}e^{i\phi \_{1}}}{r\_{2}e^{i\phi \_{2}}}}={\frac {r\_{1}}{r\_{2}}}e^{i(\phi \_{1}-\phi \_{2})}.\,}
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam ({\displaystyle \pi /2} radian). Secara geometris, persamaan *i*2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (\pi  radian).

Konstruksi formal
-----------------

### Konstruksi sebagai tatanan

William Rowan Hamilton memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan **C** dari bilangan kompleks sebagai himpunan **R**2 pasangan order (*a*, *b*) dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:

{\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}}
Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan (*a*, *b*) sebagai *a* + *bi*.

### Konstruksi sebagai medan hasil bagi

Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar **C** lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, hukum distributif

{\displaystyle (x+y)z=xz+yz}
harus memegang untuk tiga elemen x, y dan z dari sebuah lapangan. Himpunan **R** bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial *p*(*X*) dengan koefisien nyata adalah ekspresi dari bentuk

{\displaystyle a\_{n}X^{n}+\dotsb +a\_{1}X+a\_{0},}
Dimana *a*0, ... *a**n* adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan **R**[*X*] dari semua polinomial dengan struktur gelanggang. Gelanggang ini disebut gelanggang polinomial di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai gelanggang hasil bagi **R**[*X*]/(*X* 2 + 1). Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari −1, yaitu (coset dari) *X* dan −*X*, masing-masing. (Koset dari) 1 dan *X* membentuk dasar dari **R**[*X*]/(*X* 2 + 1) sebagai ruang vektor nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan (*a*, *b*) dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena *X*2 + 1 adalah tak tersederhanakan berakhir **R**, sehingga ideal yang dihasilkan adalah maksimal.

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring **R**[*X*], modulo the relation *X*2 = −1, sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

### Wakilan matriks dari bilangan kompleks

 
Bilangan kompleks *a* + *bi* bisa juga diwakili oleh 2 × 2 matriks yang memiliki bentuk sebagai berikut:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}
Di sini entri a dan b adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan perkalian dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&-d\\d&\;\;c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-ad-bc\\bc+ad&\;\;-bd+ac\end{pmatrix}}}
Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam matriks rotasi dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan determinan matriks tersebut:

{\displaystyle |z|^{2}={\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}
Konjugasi {\displaystyle {\overline {z}}} sesuai dengan transpos dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks  *selain*  {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}} kuadrat itu ke negatif dari matriks identitas. Lihat artikel tentang 2 × 2 matriks riil untuk representasi lain dari bilangan kompleks.

Geometri
--------

### Bentuk

Tiga poin non-collinear {\displaystyle u,v,w} di pesawat tentukan  *'bentuk'*  segitiga {\displaystyle \{u,v,w\}}. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmatika kompleks sebagai

{\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}
Bentuk {\displaystyle S} sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan transformasi affin), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan kesamaan. Demikianlah setiap segitiga {\displaystyle \{u,v,w\}} berada dalam kelas kesamaan segitiga dengan bentuk yang sama.

### Geometri fraktal

Set Mandelbrot dengan sumbu nyata dan imajiner berlabel.
Himpunan Mandelbrot adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi {\displaystyle c} tempat melakukan iterasi urutan {\displaystyle f\_{c}(z)=z^{2}+c} tidak menyimpang ketika iterasi tanpa batas. Demikian pula, himpunan Julia memiliki aturan yang sama, kecuali di mana {\displaystyle c} tetap konstan.

### Segitiga

Setiap segitiga memiliki Steiner inellipse unik sebuah elips di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. fokus dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut teorema Marden: Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai *a* = *x**A* + *y**A**i*, *b* = *x**B* + *y**B**i*, and *c* = *x**C* + *y**C**i*. Tulis persamaan kubik {\displaystyle \scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. Teorema Marden mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

Lihat pula
----------


Wikimedia Commons memiliki media mengenai ***Complex numbers***.

* iconPortal matematika

* Bilangan asli
* Bilangan bulat
* Bilangan cacah
* Bilangan imajiner
* Bilangan riil
* Bilangan rasional
* Bilangan irasional
* Bilangan prima
* Bilangan komposit
* Pecahan
* Permukaan aljabar
* Gerakan melingkar menggunakan bilangan kompleks
* Sistem basis kompleks
* Geometri kompleks
* Bilangan kompleks ganda
* Bilangan bulat Eisenstein
* Identitas Euler
* Aljabar geometri (yang menyertakan bidang kompleks sebagai subruang 2-dimensi spinor {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{2}^{+}})
* Akar persatuan
* Bilangan kompleks satuan

Catatan
-------

Referensi
---------

1. ↑  Corry, Leo (2015). *A Brief History of Numbers*. Oxford University Press. hlm. 215–16.
2. ↑
3. ↑
4. ↑  Lester, J.A. (1994), "Triangles I: Shapes", *Aequationes Mathematicae*, **52**: 30–54, doi:10.1007/BF01818325  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. ↑  Kalman, Dan (2008a), "An Elementary Proof of Marden's Theorem", *American Mathematical Monthly*, **115** (4): 330–38, doi:10.1080/00029890.2008.11920532, ISSN 0002-9890, diarsipkan dari versi asli tanggal 8 March 2012, diakses tanggal 1 January 2012  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. ↑  Kalman, Dan (2008b), "The Most Marvelous Theorem in Mathematics", *Journal of Online Mathematics and its Applications*, diarsipkan dari versi asli tanggal 8 February 2012, diakses tanggal 1 January 2012  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

### Kutipan

* Ahlfors, Lars (1979), *Complex analysis* (edisi ke-3rd), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
* Apostol, Tom (1981). *Mathematical analysis*. Addison-Wesley.
* Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Complex number", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Bacaan lebih lanjut
-------------------


Wikiversity memiliki bahan belajar tentang ***Bilangan Kompleks***

Wikibooks memiliki buku di:
*Kalkulus / Bilangan Kompleks*

Wikisource memiliki teks artikel the 1911 *Encyclopædia Britannica* tentang ***Number/Complex Numbers***.

* Penrose, Roger (2005), *The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe*, Alfred A. Knopf, ISBN 978-0-679-45443-4
* Derbyshire, John (2006), *Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra*, Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-09657-7
* Needham, Tristan (1997), *Visual Complex Analysis*, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853447-1

### Matematika

* Ahlfors, Lars (1979), *Complex analysis* (edisi ke-3rd), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
* Conway, John B. (1986), *Functions of One Complex Variable I*, Springer, ISBN 978-0-387-90328-6
* Joshi, Kapil D. (1989), *Foundations of Discrete Mathematics*, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6
* Pedoe, Dan (1988), *Geometry: A comprehensive course*, Dover, ISBN 978-0-486-65812-4
* Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.5 Complex Arithmetic", *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (edisi ke-3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
* Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Complex number", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

### Sejarah

* Bourbaki, Nicolas (1998), "Foundations of mathematics § logic: set theory", *Elements of the history of mathematics*, Springer
* Burton, David M. (1995), *The History of Mathematics* (edisi ke-3rd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9
* Katz, Victor J. (2004), *A History of Mathematics, Brief Version*, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2
* Nahin, Paul J. (1998), *An Imaginary Tale: The Story of {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}*, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02795-1 
A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
* Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991), *Numbers* (edisi ke-hardcover), Springer, ISBN 978-0-387-97497-2 
An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

| * l
* b
* s
Sistem bilangan |
| --- |
| Himpunan terhitung | 
* Bilangan asli ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} })
* Bilangan bulat ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} })
* Bilangan rasional ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} })
* Bilangan aljabar ({\displaystyle \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}})
* Perioda
* Bilangan terkomputasi
* Bilangan aritmetis

 |
| Bilangan riil dancabangan | 
* Bilangan riil ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} })
* Bilangan kompleks ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} })
* Kuaternion ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} })
* Oktonion ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} })
* Sedenion ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} })
* Aljabar Cayley–Dickson
* Bilangan rangkap
* Bilangan kompleks hiperbolik
* Bilangan hiperkompleks
* Bilangan superreal
* Bilangan irasional
* Bilangan transenden
* Bilangan hiperreal
* Bilangan surreal

 |
| Sistem lain | 
* Bilangan kardinal
* Bilangan ordinal
* Bilangan p-adik
* Bilangan supernatural

 |

Templat:Bilangan kompleks

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Umum | 
* Integrated Authority File (Jerman)

 |
| Perpustakaan nasional | 
* Prancis (data)
* Amerika Serikat
* Latvia
* Jepang
* Republik Ceko

 |
| Lain-lain | 
* Microsoft Academic

 |