Lingkaran satuan.
Dalam matematika, **lingkaran satuan** adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Seringkali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan *S*1.

Apabila (*x*, *y*) adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka *x* dan *y* merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras, *x* dan *y* memenuhi persamaan:

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}
Karena *x*2 = (−*x*)2 untuk setiap *x*, dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu-*x* ataupun sumbu-*y* juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik (*x*, *y*) pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

Pada bidang kompleks
--------------------

Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks *z* dalam bentuk



z
=

e

i
t

=
cos
⁡
t
+
i
sin
⁡
t
=
cis
⁡
(
t
)

{\displaystyle z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {cis} (t)}

{\displaystyle z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {cis} (t)}
untuk setiap *t* (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi


|

z

|

=
1.

{\displaystyle |z|=1.}

{\displaystyle |z|=1.}

Fungsi trigonometri
-------------------

Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut *θ* dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika (*x*, *y*) merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke (*x*, *y*) membentuk sudut *θ* dari sumbu-*x* positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka {\displaystyle \cos(\theta )=x\,\!} dan {\displaystyle \sin(\theta )=y.\,\!}

Persamaan *x*2 + *y*2 = 1 menghasilkan relasi:

{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1.\,\!}
yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

{\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )\,\!} dan {\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )\,\!}
untuk setiap bilangan bulat *k*.

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari OP dari titik asal O menuju titik P(*x*1,*y*1) pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut *t* (dengan 0 < *t* < π2) terbentuk dengan sumbu-*x* positif. Sekarang perhatikan titik Q(*x*1,0) dan segmen garis PQ ⊥ OQ. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku △OPQ dengan ∠QOP = *t*. Karena panjang PQ adalah *y*1, panjang OQ adalah *x*1, dan OP panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka sin(*t*) = *y*1 dan cos(*t*) = *x*1.

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari OR dari titik asal ke titik R(−*x*1,*y*1) pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut *t* tadi terbentuk dengan sumbu-*x* negatif. Sekarang perhatikan titik S(−*x*1,0) dan segmen garis RS ⊥ OS. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku △ORS dengan ∠SOR = *t*. Dari sini bisa terlihat bahwa ∠ROQ = π − *t*, sehingga koordinat R ialah (cos(π − *t*), sin(π − *t*)) serupa seperti *P* yang berada pada titik (cos(*t*), sin(*t*)).

Oleh karena (−*x*1, *y*1) sama dengan (cos(π − *t*), sin(π − *t*)) dan (*x*1,*y*1) sama dengan (cos(*t*), sin(*t*)), maka dapat disimpulkan sin(*t*) = sin(π − *t*) dan −cos(*t*) = cos(π − *t*). Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan tan(π − *t*) = −tan(*t*), lantaran tan(*t*) = *y*1*x*1 dan tan(π − *t*) = *y*1−*x*1. Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan sin(π4) = sin(3π4) = 1√2.

Secara geometris, semua fungsi trigonometri dari sudut *θ* (theta) dapat dikonstruksi dalam lingkaran sauan yang berpusat pada *O*.
Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari π2. Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil – termasuk sudut yang lebih dari 2π. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

Grup lingkaran
--------------

Artikel utama: Grup lingkaran
Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan *a* + *bi* dapat dipandang sebagai titik (*a*, *b*). Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut *grup lingkaran*; biasanya disimbolkan dengan {\displaystyle \mathbb {T} .} Di bidang, perkalian oleh cos *θ* + *i* sin *θ* menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar *θ*. Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

Dinamika kompleks
-----------------

Lingkaran satuan dalam dinamika kompleks.
Artikel utama: Dinamika kompleks
Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:



f

0

(
x
)
=

x

2

{\displaystyle f\_{0}(x)=x^{2}}

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

Lihat pula
----------

* Bola satuan
* Cakram satuan
* Hiperbola satuan
* Identitas Pythagoras
* Lingkaran Riemann
* Persegi satuan
* Putaran (sudut)
* Sudut satuan
* Transformasi-z
* Ukuran sudut

Pranala luar
------------

* Weisstein, Eric W. "Unit circle". *MathWorld*.