Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian *S* dari suatu medan *L* dikatakan **bebas aljabar** pada suatu medan bagian *K* jika unsur-unsur *S* tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup *K*.

Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {*α*} dikatakan bebas aljabar pada *K* jika dan hanya jika α transenden pada *K*. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar *S* pada *K* dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada *K*, dan pada semua perluasan medan pada *K* yang dibangkitkan oleh unsur-unsur *S* lainnya.

Contoh
------

Dua bilangan real {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} dan {\displaystyle 2\pi +1} masing-masing dikatakan sebagai bilangan transenden: mereka bukan akar dari sembarang polinom tak-trivial yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional. Dengan demikian, tiap-tiap dua *singleton* (himpunan unsur) {\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}} dan {\displaystyle \{2\pi +1\}} dikatakan bebas aljabar pada medan bilangan rasional {\displaystyle \mathbb {Q} }.

Meskipun demikian, himpunan {\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}} *tidaklah* bebas aljabar pada bilangan rasional, karena polinom tak-trivial

{\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}
bernilai nol manakala {\displaystyle x={\sqrt {\pi }}} dan {\displaystyle y=2\pi +1}.

Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui
-----------------------------------------------------

Meskipun kedua-dua \pi  dan *e* diketahui sebagai transenden,
tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada {\displaystyle \mathbb {Q} }. Faktanya, bahkan tidak diketahui jika {\displaystyle \pi +e} tak-rasional.
Nesterenko membuktikan pada tahun 1996 bahwa:

* bilangan-bilangan π, *e*π, dan Γ(1/4) dikatakan bebas aljabar pada **Q**.
* bilangan-bilangan π, *e*π√3, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada **Q**.
* untuk semua bilangan bulat positif *n*, bilangan-bilangan π, *e*π√n dikatakan bebas aljabar pada **Q**.

Teorema Lindemann–Weierstrass
-----------------------------

Teorema Lindemann–Weierstrass sering kali dapat digunakan untuk membuktikan bahwa beberapa himpunan dikatakan bebas aljabar pada **Q**. Teorema ini menyatakan bahwa ketika α1,...α*n* merupakan bilangan aljabar yang bebas linear pada **Q**, maka *e*α1,...*e*α*n* dikatakan bebas aljabar pada **Q**.

Matroid aljabar
---------------

Diberikan suatu perluasan medan *L*/*K yang tidak aljabar*, lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari *L* pada *K*. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki kardinalitas yang sama, dikenal sebagai derajat ketransendenan suatu perluasan.

Untuk setiap himpunan *S* dari unsur-unsur *L*, semua himpunan-bagian bebas aljabar dari *S* memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan matroid yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (*rank*) suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (*flat*) yang dibangkitkan oleh suatu himpunan *T* dari unsur-unsur adalah irisan *L* dengan medan *K*[*T*]. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan **matroid aljabar**. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah matroid Vámos.

Ada banyak matroid berhingga yang dapat direpresentasi oleh matriks pada medan *K*, di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan bebas linear. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu *indeterminate* untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu kombinasi linear dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.

Referensi
---------

1. ↑  Patrick Morandi (1996). *Field and Galois Theory*. Springer. hlm. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Diakses tanggal 2008-04-11.
2. ↑  Green, Ben (2008), "III.41 Irrational and Transcendental Numbers", dalam Gowers, Timothy, *The Princeton Companion to Mathematics*, Princeton University Press, hlm. 222
3. ↑  Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). *Introduction to Modern Number Theory*. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. **49** (edisi ke-Second). hlm. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
4. ↑  Nesterenko, Yuri V (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique*. **322** (10): 909–914.
5. ↑  Ingleton, A. W.; Main, R. A. (1975), "Non-algebraic matroids exist", *Bulletin of the London Mathematical Society*, **7**: 144–146, doi:10.1112/blms/7.2.144, MR 0369110 .
6. ↑  Joshi, K. D. (1997), *Applied Discrete Structures*, New Age International, hlm. 909, ISBN 9788122408263 .

Pranala luar
------------

* (Inggris) Chen, Johnny. "Algebraically Independent". *MathWorld*.