Irisan dari dua himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari {\displaystyle A\cap B}.Dalam matematika, **irisan** dari dua himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} adalah himpunan yang memuat semua anggota dari {\displaystyle A} juga milik {\displaystyle B} (atau, semua anggota dari {\displaystyle B} yang juga milik {\displaystyle A}). Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:

{\displaystyle A\cap B},

Notasi dan istilah
------------------

Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam notasi infiks. Berikut adalah contoh-contohnya:

{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}
{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{1,5,10\}\cap \{1,4,9\}=\{1\}}
{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\emptyset }
{\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}
Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti notasi Sigma, yang ditulis sebagai

{\displaystyle \bigcap \_{i=1}^{n}A\_{i}}.

Definisi
--------

Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya dipandang sebagai bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.Contoh irisan dari himpunan.
Irisan dari dua himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, dilambangkan dengan {\displaystyle A\cap B}, merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}. Secara matematis, ditulis

{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ dan }}x\in B\}.}
Hal ini mengartikan bahwa {\displaystyle x} adalah anggota dari irisan {\displaystyle A\cap B} jika dan hanya jika {\displaystyle x} adalah anggota dari {\displaystyle A} dan anggota dari {\displaystyle B}. Sebagai contohː

* Irisan dari himpunan {\displaystyle \{1,2,3\}} dan {\displaystyle \{2,3,4\}} adalah {\displaystyle \{2,3\}}.
* Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\dots \}} dan himpunan bilangan ganjil {\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\dots \}}, karena 9 bukanlah bilangan prima.

### Himpunan beririsan dan saling lepas

Himpunan {\displaystyle A} dikatakan *beririsan* dengan himpunan {\displaystyle B} jika terdapat {\displaystyle x} yang merupakan anggota dari himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}.

Himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} dikatakan *saling lepas* jika {\displaystyle A} tidak beririsan dengan {\displaystyle B}. Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan {\displaystyle A\cap B=\varnothing }.

Sebagai contoh, himpunan {\displaystyle \{1,2\}} dan {\displaystyle \{3,4\}} saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabar
-------------

Irisan dari tiga himpunan {\displaystyle ~A\cap B\cap C}
* Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, berlaku:  
{\displaystyle A\cap B=B\cap A}.
* Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C}, berlaku:  
{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}.   
Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai {\displaystyle A\cap B\cap C}.
* Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan {\displaystyle A} berlaku   
 {\displaystyle A\cap A=A}

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

* Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, berlaku:  
{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}.  
{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}.
* Dalam semesta {\displaystyle U}, komplemen {\displaystyle A^{\complement }} dari himpunan {\displaystyle A} dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari {\displaystyle U} yang tidak termuat dalam {\displaystyle A}. Selanjutnya, irisan dari {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum de Morganː 

A
∩
B
=

(

A

c

∪

B

c

)

c

.

{\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}.}

{\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}.}

Irisan sebarang
---------------

Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang *kumpulan* *takkosong* himpunan-himpunan. Jika {\displaystyle M} adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka {\displaystyle x} adalah anggota dari irisan dari {\displaystyle M} jika dan hanya jika untuk setiap anggota {\displaystyle A} dari {\displaystyle M}, {\displaystyle x} adalah sebuah anggota dari {\displaystyle A}. Secara matematis ditulisː

{\displaystyle \left(x\in \bigcap \_{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right)}.
Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis {\textstyle \bigcap M}, sementara yang lainnya menulis {\textstyle \bigcap \_{A\in M}A}. Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi {\textstyle \bigcap \_{i\in I}A\_{i}}, yang mengacu pada irisan kumpulan {\displaystyle \{A\_{i}:i\in I\}}. Dalam notasi terakhir itu, {\displaystyle I} adalah himpunan takkosong, dan {\displaystyle A\_{i}} adalah sebuah himpunan dari setiap {\displaystyle i} dalam {\displaystyle I}.

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks {\displaystyle I} adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

{\displaystyle \bigcap \_{i=1}^{\infty }A\_{i}}.
Notasi tersebut juga dapat ditulis {\displaystyle A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap \dots }.

Irisan kosong
-------------

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung.  
  
Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (bandingkan darab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.
Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk {\displaystyle M} adalah himpunan kosong ({\displaystyle \varnothing }). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan {\displaystyle M} didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

{\displaystyle \bigcap \_{A\in M}A=\{x:\forall A\in M,x\in A\}.}
Jika {\displaystyle M} kosong, maka tidak ada himpunan {\displaystyle A} dalam {\displaystyle M}. Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: "{\displaystyle x} manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan {\displaystyle x}. Ketika {\displaystyle M} kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) , namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pula
----------

* Aljabar himpunan
* Beda setangkup
* Gabungan
* Irisan graf
* Kardinalitas
* Komplemen
* Logika konjungsi
* MinHash
* Operasi biner teriterasi
* Teori himpunan naif

Referensi
---------

1. ↑  "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08.
2. 1 2  "Comprehensive List of Set Theory Symbols". *Math Vault* (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04.
3. ↑  "Intersection of Sets". *web.mnstate.edu*. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal 2020-09-04.
4. 1 2  "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". *www.probabilitycourse.com*. Diakses tanggal 2020-09-04.
5. ↑  Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", *An introduction to Banach space theory*, Graduate Texts in Mathematics, **183**, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3

Bacaan lanjutan
---------------

* Devlin, K. J. (1993). *The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory* (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
* Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". *Topology* (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
* Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". *Discrete Mathematics and Its Applications* (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Pranala luar
------------

* Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.

| * l
* b
* s
Teori himpunan |
| --- |
| Umum | 
* Himpunan (matematika)

 | Diagram Venn irisan himpunan |
| Aksioma | 
* Adjungsi
* Batas ukuran
* Determinasi
* Gabungan
* Himpunan kuasa
* Keberaturan
* Kebisadibangunan (V=L)
* Perluasan
* Pasangan
* Pemilihan
	+ tercacah
	+ terikat
	+ global
* Takhingga
* Aksioma Martin

* Skema aksioma
	+ penggantian
	+ spesifikasi

 |
| Operasi | 
* Gabungan
* Gabungan lepas
* Himpunan kuasa
* Hukum De Morgan
* Irisan
* Komplemen
* Produk Kartesius
* Selisih himpunan
* Beda setangkup

 |
| * Konsep
* Metode
 | 
* Argumen diagonal
* Bilangan kardinal (besar)
* Bilangan ordinal
* Diagram Venn
* Elemen
	+ pasangan terurut
	+ rangkap
* Hipotesis kontinum
* Induksi lintas-hingga
* Kardinalitas
* Kelas
* Keluarga
* Korespondensi satu-ke-satu
* Pemaksaan
* Semesta yang bisa dibangun

 |
| Jenis himpunan | 
* Himpunan bagian **·** Superhimpunan
* Berhingga (turun-temurun)
* Takhingga (takhingga Dedekind)
* Kabur
* Kosong
* Rekursif
* Semesta
* Tercacah
* Tak tercacah
* Transitif

 |
| Teori | 
* Aksiomatik
* Alternatif
* Naif
* Teorema Cantor

* Zermelo
	+ Umum
* *Principia Mathematica*
	+ New Foundations (NF, NFU)
* Zermelo–Fraenkel (ZFC)
	+ von Neumann–Bernays–Gödel (NBG)
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * Paradoks
* Masalah
 | 
* Paradoks Russell
* Masalah Suslin
* Paradoks Burali-Forti

 |
| Teoretisi himpunan | 
* Abraham Fraenkel
* Bertrand Russell
* Ernst Zermelo
* Georg Cantor
* John von Neumann
* Kurt Gödel
* Paul Bernays
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Thomas Jech
* Thoralf Skolem
* Willard Quine

 |

| * l
* b
* s
Operator besar |
| --- |
| 
* Notasi Sigma {\displaystyle \sum }
* Notasi kapital Pi {\displaystyle \prod }
* Gabungan sembarang {\displaystyle \bigcup }
* Irisan sembarang {\displaystyle \bigcap }
* Koproduk {\displaystyle \coprod }
* Jumlah langsung {\displaystyle \bigoplus }
* Darab Kronecker {\displaystyle \bigotimes }
* Kekisi (tatanan) {\displaystyle \bigvee }
* Kekisi (tatanan) {\displaystyle \bigwedge }
* Gabungan lepas {\displaystyle \bigsqcup }, {\displaystyle \biguplus }

 |