Bilangan segitiga membentuk barisan {\textstyle \left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)=(1,3,6,10,15,21,...)}
Dalam matematika, **barisan** (atau **banjar***,* atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan **deret**) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, fungsi, peubah acak, dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu. Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu. Benda dengan indeks *i* disebut *suku ke-i*. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut *panjang* barisan.

Berbeda dengan himpunan, urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli.

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri, atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Penulisan barisan
-----------------

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang *berbaris*. Masing-masing anggota barisan disebut *suku* dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang {\displaystyle u\_{n}}, yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni {\displaystyle 1} dikaitkan dengan {\displaystyle u\_{1}}, {\displaystyle 2} dikaitkan dengan {\displaystyle u\_{2}}, dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli {\displaystyle U:\mathbb {N} \to K} untuk sebarang himpunan {\displaystyle K} dengan nilai {\displaystyle U(n)=u\_{n}}. Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang {\displaystyle U} atau {\displaystyle (u\_{n})} atau {\textstyle (u\_{n}\mid n\in \mathbb {N} )} atau {\displaystyle \langle u\_{n}\rangle }.

Penentuan barisan
-----------------

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

* mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
* menyuratkan rumus suku umumnya,
* relasi perulangan
* menerangkannya dengan kalimat.

### Mendaftarkan suku-sukunya

Sepuluh rumus barisan dengan suku awal {\displaystyle (1,2,3...)} dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan interpolasi sukubanyak Lagrange.
Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai {\textstyle (3,10,17,24,31)}. Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti {\displaystyle (u\_{1},u\_{2},u\_{3},...u\_{n})}. Jika barisan itu tak hingga, biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan {\displaystyle (2,4,6,8,...)} yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan {\displaystyle (1,2,3...)} adalah barisan bilangan asli {\displaystyle (1,2,3,4,5,6.7...)}. Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan {\displaystyle (1,2,3,1,-7,-24,-53,...)}. Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu {\textstyle (3,1,4,1,5,...)} Antara dugaan yang mungkin adalah {\textstyle (3,1,4,1,5,1,6,7,...)}. Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit pi, yaitu {\textstyle (3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)}. Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

### Menyuratkan rumus suku umumnya

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

* barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai {\textstyle a\_{n}={\frac {1}{n^{2}}}},
* barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai {\displaystyle a\_{n}=(-1)^{n}}.
* **barisan aritmatika** dengan suku awal {\displaystyle a} dan beda dua suku berurutan {\displaystyle b} dirumuskan sebagai {\displaystyle a\_{n}=a+(n-1)b},
* **barisan geometri** dengan suku awal {\displaystyle a} dan perbandingan dua suku berurutan {\displaystyle r} dirumuskan sebagai {\displaystyle a\_{n}=ar^{n-1}}.

### Relasi perulangan

Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)
Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci {\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+a\_{n-2},} dengan syarat awal {\displaystyle a\_{0}=0} dan {\displaystyle a\_{1}=1.} Juga barisan Recamán yang didefinisikan dengan


{

a

n

=

a

n
−
1

−
n
,

jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,



a

n

=

a

n
−
1

+
n
,

selainnya

,



{\displaystyle {\begin{cases}a\_{n}=a\_{n-1}-n,\quad {\text{jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,}}\\a\_{n}=a\_{n-1}+n,\quad {\text{selainnya}},\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{selainnya}},\end{cases}}}Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu {\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+b,\ a\_{1}=a}. untuk barisan aritmatika, dan {\displaystyle a\_{n}=ra\_{n-1},\ a\_{1}=a} untuk barisan geometri.

Penerapan barisan
-----------------

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi, ruang, dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis, seperti pengertian limit fungsi, pengertian turunan, dan pengertian integral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan.

Sifat barisan
-------------

### Kemonotonan barisan

Suatu barisan dikatakan:

* *monoton naik* apabila untuk sebarang bilangan bulat {\displaystyle n} berlaku {\displaystyle a\_{n}\leq a\_{n+1}},
* *monoton naik sejati* apabila untuk sebarang bilangan bulat {\displaystyle n} berlaku *{\displaystyle a\_{n}<a\_{n+1}},*
* *monoton turun* apabila untuk sebarang bilangan bulat {\displaystyle n} berlaku {\displaystyle a\_{n}\geq a\_{n+1}},
* *monoton turun sejati* apabila untuk sebarang bilangan bulat {\displaystyle n} berlaku *{\displaystyle a\_{n}>a\_{n+1}},*

### Barisan terbatas

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai {\displaystyle A} sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku {\displaystyle u\_{n}<A}. Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai {\displaystyle B} sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku {\displaystyle u\_{n}<B}. Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

### Kekonvergenan barisan

Artikel utama: Limit barisan
Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak, barisan {\displaystyle (u\_{n})} dikatakan *konvergen menuju {\displaystyle u}* jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan *{\displaystyle u}* ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan *divergen* apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

Lihat juga
----------

* Net (topologi), perumuman barisan, dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya.
* On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Permutasi
* Kombinasi
* Relasi perulangan
* Sequence space
* Deret (matematika)
* Himpunan (matematika)

### Jenis

* Barisan Farey
* Look-and-say sequence
* Thue–Morse sequence

### Konsep terkait

* List (computing)
* Ordinal-indexed sequence
* Recursion (computer science)
* Rangkap
* Teori himpunan

### Operasi

* Cauchy product
* Limit suatu barisan

Referensi
---------

1. ↑  Kerami, Djari; Sitanggang, Cormentya (2003). *Kamus Matematika*. Jakarta: Balai Pustaka.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. ↑  Panggabean, A.B (2014). *Kalkulus Tingkat Lanjut*. Yogyakarta: Graha Ilmu. ISBN 978-602-262-264-2.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ↑  Spiegel, Murray R. (1986). *Teori dan soal-soal matematika dasar*. Diterjemahkan oleh Drs. Kasir Iskandar, M.Sc. Jakarta: Erlangga. OCLC 975000500.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. ↑  Kulpers, L.; Meulenbeld, R.; Rawuh (1973). *Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA*. Jakarta: Pradnya Paramita.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. ↑  Afidah Khairunnisa (2018). *Matematika Dasar*. Depok: Rajawali Pers. ISBN 978-979-769-764-8.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. 1 2  Julan Hernadi (2015). *Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik*. Jakarta: Erlangga. ISBN 978-602-298-591-4.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
7. ↑  Endang Cahya; Makbul Muksar (2011). *Analisis Real*. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-979-011-674-0.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
8. ↑  Hendra Gunawan (2016). *Pengantar Analisis Real*. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Pranala luar
------------

* Definisi kamus barisan di Wiktionary
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Sequence", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Journal of Integer Sequences (free)
* (Inggris) sequence (ID: barisan) di PlanetMath.org.

| * l
* b
* s
Barisan dan deret |
| --- |
| Barisanbilangan bulat | 

|  |  |
| --- | --- |
| Dasar | 
* Barisan dan deret aritmetika
* Barisan dan deret geometri
* Barisan harmonik
* Bilangan persegi
* Bilangan kubik
* Faktorial
* Perpangkatan bilangan dua
* Perpangkatan bilangan tiga
* Perpangkatan bilangan 10

 |
| Lanjutan (daftar) | 
* Barisan lengkap
* Bilangan Fibonacci
* Bilangan figurasi
* Bilangan heptagonal
* Bilangan heksagonal
* Bilangan Lucas
* Bilangan Pell
* Bilangan pentagonal
* Bilangan poligonal
* Bilangan segitiga

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| Sifat-sifat barisan | 
* Barisan Cauchy
* Barisan monoton
* Barisan periodik

 |
| Sifat-sifat deret | 

|  |  |
| --- | --- |
| Deret | 
* Selang-seling
* Konvergen
* Divergen
* Teleskopik

 |
| Konvergensi | 
* Mutlak
* Bersyarat
* Seragam

 |

 |
| Deret eksplisit | 

|  |  |
| --- | --- |
| konvergen | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (Fungsi zeta Riemann)

 |
| Divergen | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi)
* Deret aritmetika tak terbatas
* 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)

 |

 |
| Jenis deret | 
* Deret Taylor
* Deret kuasa
* Deret kuasa formal
* Deret Laurent
* Deret Puiseux
* Deret Dirichlet
* Derer Trigonometrik
* Deret Fourier
* Deret umum

 |
| DeretHipergeometrik | 
* Deret hipergeometrik umum
* Fungsi hipergeometrik untuk argumen matriks
* Deret hipergeometrik Lauricella
* Deret hipergeometrik modular
* Persamaan diferensial Riemann
* Deret hipergeometrik theta

 |
| 
* Book
* Category

 |

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Umum | 
* Integrated Authority File (Jerman)

 |
| Perpustakaan nasional | 
* Spanyol
* Prancis (data)
* Amerika Serikat
* Jepang
* Republik Ceko

 |
| Lain-lain | 
* Faceted Application of Subject Terminology
* Microsoft Academic

 |