Mittenpunkt {\displaystyle M} dari segitiga berwarna hitam berada di pusat elips dalam Mandart (berwarna merah). Garis berwarna biru yang melalui titik middenpunkt, melewati segitiga pusat singgung luar dan masing-masing titik tengah di sisi segitiga.
Dalam geometri, **mittenpunkt** dari segitiga adalah sebuah titik yang terdefinisi dari segitiga yang invarian terhadap transformasi Euklides segitiga. Titik ini ditemukan Christian Heinrich von Nagel pada tahun 1836 sebagai titik simmedian dari segitiga pusat singgung luar.

Koordinat
---------

Mittenpunkt memiliki koordinat trilinear:


(
b
+
c
−
a
)
:
(
c
+
a
−
b
)
:
(
a
+
b
−
c
)

{\displaystyle (b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)}

{\displaystyle (b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)}dengan {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, dan {\displaystyle c} adalah panjang sisi dari segitiga. Koordinat trilinear ini juga ditulis dalam bentuk sudut {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C}, yang ditulis sebagai:


cot
⁡

A
2

:
cot
⁡

B
2

:
cot
⁡

C
2

=
(
csc
⁡
A
+
cot
⁡
A
)
:
(
csc
⁡
B
+
cot
⁡
B
)
:
(
csc
⁡
C
+
cot
⁡
C
)

{\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C)}

{\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C)}Selain itu, mittenpunkt juga mempunyai koordinat barisentrik, yaitu:


a
(
b
+
c
−
a
)
:
b
(
c
+
a
−
b
)
:
c
(
a
+
b
−
c
)
=
(
1
+
cos
⁡
A
)
:
(
1
+
cos
⁡
B
)
:
(
1
+
cos
⁡
C
)

{\displaystyle a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C)}

{\displaystyle a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C)}

Kolinearitas
------------

Mittenpunkt adalah sebuah titik yang terletak di perpotongan dari garis. Perpotongan tersebut menghubungkan titik sentroid dan titik Gergonne, serta garis tersebut menghubungkan pusat lingkaran dalam dan titik simmedian, sehingga mengakibatkan kedua titik tersebut kolinear dan bertemu dengan titik mittenpunkt.

Gambar yang terkait
-------------------

Mittenpunkt adalah sebuah titik yang pada saat terdapat tiga garis yang menghubungkan pusat lingkaran singgung luar dari segitiga ke masing-masing titik tengah di sisi segitiga. Jadi, mittenpunkt adalah pusat perspektif dari segitiga pusat lingkaran singgung luar dan segitiga garis berat, dengan masing-masing sumbu perspektif merupakan kutub trilinear dari titik Gergonne. Selain itu, mittenpunkt merupakan sentroid dari elips dalam Mandart dari segitiga.

Referensi
---------

1. ↑  Berasal dari bahasa Jerman, yang berarti *titik tengah*.
2. 1 2  Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", *Mathematics Magazine*, **67** (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021
3. ↑  v. Nagel, C. H. (1836), *Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise*, Leipzig .
4. ↑  "ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS". *faculty.evansville.edu*. Diakses tanggal 2022-09-01.
5. ↑   Encyclopedia of Triangle Centers
6. ↑  Paul Yiu, "The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry"  Diarsipkan 2017-08-11 di Wayback Machine.
7. ↑  Eddy, Roland H. (1989), "A Desarguesian dual for Nagel's middlespoint", *Elemente der Mathematik*, **44** (3): 79–80, MR 0999636 .
8. ↑  Gibert, Bernard (2004), "Generalized Mandart conics" (PDF), *Forum Geometricorum*, **4**: 177–198, MR 2130231 .

Pranala luar
------------

* Weisstein, Eric W. "Mittenpunkt". *MathWorld*.