Halaman ini berisi artikel tentang konsep dalam aljabar linear. Untuk konsep *minor* dalam teori graf, lihat Graf minor.
Dalam aljabar linear, **minor** dari matriks {\displaystyle \mathbf {A} } adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks {\displaystyle \mathbf {A} }. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan **minor pertama**) diperlukan untuk menghitung matriks **kofaktor**, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi
--------

### Minor pertama

Jika {\displaystyle \mathbf {A} } adalah sebuah matriks persegi, maka *minor* dari entri baris ke-{\displaystyle i} dan kolom ke-{\displaystyle j} matriks tersebut, adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-{\displaystyle i} dan kolom ke-{\displaystyle j}. Determinan ini juga disebut dengan *minor* {\displaystyle (i,j)}, atau *minor pertama*. Bilangan ini seringkali dilambangkan {\displaystyle M\_{i,j}}. Bilangan lain yang disebut *kofaktor* {\displaystyle C\_{i,j}}, diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh {\displaystyle (-1)^{i+j}}.

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks {\displaystyle 3\times 3} berikut,


[



1

4

7


3

0

5

−
1

9

11

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}Minor {\displaystyle M\_{2,3}} didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:



M

2
,
3

=
det

[


1

4

◻



◻

◻

◻


−
1

9

◻

]

=
det

[



1

4


−
1

9

]

=
(
9
−
(
−
4
)
)
=
13
,

{\displaystyle M\_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13,}

{\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13,}dan kofaktor {\displaystyle C\_{2,3}} adalah



C

2
,
3

=
(
−
1

)

2
+
3

(

M

2
,
3

)
=
−
13.

{\displaystyle C\_{2,3}=(-1)^{2+3}(M\_{2,3})=-13.}

{\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}
### Definisi umum

Misalkan {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks berukuran {\displaystyle m\times n} dan {\displaystyle k} adalah bilangan bulat dengan {\displaystyle 0<k\leq m}, dan {\displaystyle k\leq n}. *Minor* {\displaystyle k\times k} dari {\displaystyle \mathbf {A} } adalah determinan dari suatu matriks berukuran {\displaystyle k\times k} yang diperoleh dengan menghapus {\displaystyle m-k} baris dan {\displaystyle n-k} kolom dari *{\displaystyle \mathbf {A} }*. Determinan ini juga disebut sebagai *determinan minor orde-{\displaystyle k} dari {\displaystyle \mathbf {A} }*, atau ketika {\displaystyle m=n}, disebut dengan *determinan minor ke-*{\displaystyle (n-k)} dari *{\displaystyle \mathbf {A} }*. Untuk matriks *{\displaystyle \mathbf {A} }* tersebut, terdapat sebanyak {\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}} minor berukuran {\displaystyle k\times k}. *Minor orde-nol* sering didefinisikan bernilai {\displaystyle 1}. Pada kasus matriks persegi, *minor ke-nol* sama saja dengan determinan dari matriks.

Misalkan {\displaystyle 1\leq i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{k}\leq m} dan {\displaystyle 1\leq j\_{1}<j\_{2}<\cdots <j\_{k}\leq n} adalah barisan dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai {\displaystyle I} dan {\displaystyle J}. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor


det

(

(

A

i

p

,

j

q


)

p
,
q
=
1
,
…
,
k

)

{\displaystyle \det \left((\mathbf {A} \_{i\_{p},j\_{q}})\_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}

{\displaystyle \det \left((\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa {\textstyle \det \_{I,J}\mathbf {A} }, {\textstyle [\mathbf {A} ]\_{I,J}}, {\textstyle M\_{I,J}}, {\textstyle M\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k},j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{k}}}, atau {\displaystyle M\_{(i),(j)}} (dengan {\displaystyle (i)} melambangkan barisan indeks {\displaystyle I}, dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulis menganggap minor dengan indeks {\displaystyle I} dan {\displaystyle J}, merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di {\displaystyle I} dan indeks kolomnya ada di {\displaystyle J}. Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di {\displaystyle I} dan menghapus kolom-kolom di {\displaystyle J}. Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Pengecualian untuk kedua gaya notasi yang berbeda ini adalah kasus minor-{\displaystyle (i,\,j)}; definisi



M

i
,
j

=
det

(

(

A

p
,
q

)

p
≠
i
,
q
≠
j

)

{\displaystyle M\_{i,j}=\det \left(\left(\mathbf {A} \_{p,q}\right)\_{p\neq i,q\neq j}\right)}

{\displaystyle M_{i,j}=\det \left(\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}telah menjadi standar dimanapun, dan dipakai dalam artikel ini.

Penerapan minor dan kofaktor
----------------------------

### Ekspansi kofaktor dari determinan

Artikel utama: Ekspansi Laplace
Konsep kofaktor sangat berperan dalam rumus ekspansi Laplace, yakni suatu metode untuk menghitung determinan matriks berukuran besar menggunakan determinan matriks-matriks yang berukuran lebih kecil. Untuk sebarang matriks {\displaystyle A=(a\_{ij})} berukuran {\displaystyle n\times n}, determinan {\displaystyle \mathbf {A} } yang dilambangkan dengan {\displaystyle \det {(\mathbf {A} )}}, dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari perkalian kofaktor-kofaktor setiap baris (maupun setiap kolom) matriks dengan entri-entri matriks yang menghasilkan kofaktor-kofaktor tersebut. Secara lebih matematis, dengan menuliskan {\displaystyle C\_{ij}=(-1)^{i+j}M\_{ij}}, ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-{\displaystyle i} dapat dituliskan sebagai


 
det
(

A

)
=

a

i
1

C

i
1

+

a

i
2

C

i
2

+

a

i
3

C

i
3

+
⋯
+

a

i
n

C

i
n

=

∑

j
=
1

n

a

i
j

C

i
j

=

∑

j
=
1

n

a

i
j

(
−
1

)

i
+
j

M

i
j

.

{\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a\_{i1}C\_{i1}+a\_{i2}C\_{i2}+a\_{i3}C\_{i3}+\cdots +a\_{in}C\_{in}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}(-1)^{i+j}M\_{ij}.}

{\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.}Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-{\displaystyle j} dapat dituliskan


det
(

A

)
=

a

i
1

C

i
1

+

a

i
2

C

i
2

+

a

i
3

C

i
3

+
⋯
+

a

i
n

C

i
n

=

∑

j
=
1

n

a

i
j

C

i
j

=

∑

j
=
1

n

a

i
j

(
−
1

)

i
+
j

M

i
j

.

{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=a\_{i1}C\_{i1}+a\_{i2}C\_{i2}+a\_{i3}C\_{i3}+\cdots +a\_{in}C\_{in}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}(-1)^{i+j}M\_{ij}.}

{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.}
### Invers dari matriks

Artikel utama: Matriks terbalikkan
Invers dari matriks terbalikkan dapat dihitung dari kofaktor-kofaktornya dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Misalkan {\displaystyle \mathbf {C} } adalah matriks yang dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi {\displaystyle \mathbf {A} }. Matriks ini disebut *matriks kofaktor* memiliki bentuk matematis



C

=

[

C

11


C

12

⋯

C

1
n


C

21


C

22

⋯

C

2
n



⋮

⋮

⋱

⋮


C

n
1


C

n
2

⋯

C

n
n


]

.

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C\_{11}&C\_{12}&\cdots &C\_{1n}\\C\_{21}&C\_{22}&\cdots &C\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C\_{n1}&C\_{n2}&\cdots &C\_{nn}\end{bmatrix}}.}

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.}Invers dari {\displaystyle \mathbf {A} } selanjutnya dapat dinyatakan sebagai transpos dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan {\displaystyle \mathbf {A} }ː


A

−
1

=

1

det
⁡
(

A

)


C

T

.

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}Transpos dari matriks kofaktor juga dikenal sebagai *matriks adjoin* dari {\displaystyle \mathbf {A} }.

Rumus di atas dapat diperumum sebagai berikut. Misalkan {\displaystyle \mathbf {A} } adalah sebarang matriks persegi {\displaystyle n\times n}, dan {\displaystyle 1\leq i\_{1}<i\_{2}<\ldots <i\_{k}\leq n} dan {\displaystyle 1\leq j\_{1}<j\_{2}<\ldots <j\_{k}\leq n} adalah barisan (dengan urutan menaik) dari indeks-indeks {\displaystyle \mathbf {A} }. Berlaku hubungan

{\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]\_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]\_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}

dengan {\displaystyle I'} dan {\displaystyle J'} melambangkan barisan urutan dari indeks (juga dengan urutan menaik), yang komplementer dengan {\displaystyle I}, {\displaystyle J}. Artinya setiap indeks {\displaystyle 1,\dots ,n} muncul tepat sekali di salah satu {\displaystyle I} atau {\displaystyle I'}, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk {\displaystyle J} dan {\displaystyle J'}). Simbol {\displaystyle [\mathbf {A} ]\_{I,J}} melambangkan determinan dari submatriks {\displaystyle \mathbf {A} } dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks {\displaystyle I} dan kolom dari himpunan indeks {\displaystyle J}; secara matematis,


[

A

]

I
,
J

=
det

(

(

A

i

p

,

j

q


)

p
,
q
=
1
,
…
,
k

)

.

{\displaystyle [\mathbf {A} ]\_{I,J}=\det \left((A\_{i\_{p},j\_{q}})\_{p,q=1,\ldots ,k}\right).}

{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right).}
### Penerapan lainnya

Untuk sebarang matriks {\displaystyle m\times n} dengan entri bilangan riil (atau entri dari sebarang lapangan lainnya) dan rank {\displaystyle r}, terdapat setidaknya satu minor {\displaystyle r\times r} yang tak-nol, sedangkan semua minor-minor yang lebih besar bernilai nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Misalkan {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks berukuran {\displaystyle m\times n}, {\displaystyle I} adalah subset dari {\displaystyle \{1,\dots ,m\}} dengan {\displaystyle k} anggota, dan {\displaystyle J} adalah subset dari {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} dengan {\displaystyle k} anggota. Notasi {\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\_{I,J}} untuk minor {\displaystyle k\times k} dari {\displaystyle \mathbf {A} }, dihasilkan dari mengambil elemen-elemen matriks {\displaystyle \mathbf {A} }, yang indeks barisnya ada di {\displaystyle I} dan indeks kolomnya ada di {\displaystyle J}.

* Jika {\displaystyle I=J}, maka {\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\_{I,J}} disebut *minor utama* (*principal minor*).
* Jika matriks yang berkorespodensi dengan minor utama adalah submatriks yang terletak di bagian atas-kiri dari matriks yang besar (artinya, matriks tersebut beranggotakan elemen yang baris-dan-kolomnya memiliki indeks dari {\displaystyle 1} hingga {\displaystyle k}), maka minor utama disebut *minor utama terdepan* (*leading principal minor*). Untuk matriks persegi {\displaystyle n\times n}, ada sebanyak {\displaystyle n} minor utama terdepan.
* Untuk matriks Hermite, minor utama terdepan dapat digunakan untuk menguji sifat ketentuan positif (*positive definiteness*) dan minor utama dapat digunakan untuk menguji sifat kesemitentuan positif (*semidefiniteness positive*). Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Baik rumus untuk perkalian matriks biasa maupun rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari perkalian dua matriks, adalah kasus khusus dari pernyataan umum berikut terkait minor-minor dari perkalian dua matriks. Misalkan {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks ukuran {\displaystyle m\times n}, {\displaystyle \mathbf {B} } adalah matriks ukuran {\displaystyle n\times p}, {\displaystyle I} adalah subset dari {\displaystyle \{1,\dots ,m\}} dengan {\displaystyle k} anggota, dan {\displaystyle J} adalah subset dari {\displaystyle \{1,\dots ,p\}} dengan {\displaystyle k} anggota. Terdapat hubungan


[

A
B

]

I
,
J

=

∑

K

[

A

]

I
,
K

[

B

]

K
,
J


{\displaystyle [\mathbf {AB} ]\_{I,J}=\sum \_{K}[\mathbf {A} ]\_{I,K}[\mathbf {B} ]\_{K,J}\,}

{\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}dengan penjumlahan dilakukan atas semua subset {\displaystyle K} yang mungkin dari himpunan {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} dengan {\displaystyle k} anggota. Rumus ini merupakan sebuah perumuman langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Lihat pula
----------

* Submatriks

Catatan kaki
------------

1. ↑  Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde".
2. ↑  Dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.

Referensi
---------

1. ↑  Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) *Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form*.
2. 1 2  Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
3. 1 2  "Minor". *Encyclopedia of Mathematics*.
4. ↑  Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
5. ↑  Viktor Vasil\_evich Prasolov (13 June 1994). *Problems and Theorems in Linear Algebra*. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

Pranala luar
------------

* MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* PlanetMath entry of *Cofactors* Diarsipkan 2012-04-08 di Wayback Machine.
* Springer Encyclopedia of Mathematics entry for *Minor*

| * l
* b
* s
Aljabar linear |
| --- |
| Konsep dasar | 
* Skalar
* Vektor
* Ruang vektor
* Perkalian skalar
* Proyeksi vektor
* Rentang linear
* Peta linear
* Proyeksi linear
* Kebebasan linear
* Kombinasi linear
* Basis
* Vektor kolom dan baris
* Ruang kolom dan baris
* Keortogonalan
* Kernel
* Nilai eigen dan vektor eigen
* Hasil kali luar
* Ruang hasil kali dalam
* Hasil kali titik
* Transpos
* Proses Gram–Schmidt
* Persamaan linear

 | Ruang Euklides tiga dimensi |
| Aljabar vektor | 
* Hasil kali silang
* Hasil kali tripel
* Hasil kali silang tujuh dimensi

 |
| Aljabar multilinear | 
* Aljabar geometri
* Aljabar eksterior
* Bivektor
* Multivektor
* Tensor
* Morfisme luar

 |
| Matriks | 
* Blok
* Penguraian
* Dapat dibalik
* Minor
* Perkalian
* Rank
* Transformasi
* Aturan Cramer
* Eliminasi Gauss
* Determinan

 |
| Konstruksi aljabar | 
* Dual
* Hasil kali tensor
* Jumlah langsung
* Kuosien
* Ruang fungsi
* Subruang

 |
| Numerik | 
* Floating-point
* Stabilitas numerik
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* Matriks rongga
* Perbandingan pustaka aljabar linear
* Perbandingan perangkat lunak analisis numerik

 |
| 
* Category Kategori
* List-Class article Garis besar
* Portal Portal matematika
* Wikibooks page Wikibuku

 |