| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika, **teorema Green** memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana *C* dan integral ganda pada bidang *D* yang dibatasi oleh *C*. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green  dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.

Teorema
-------

Misalkan {\displaystyle C} adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (*piecewise*), dan berorientasi positif, dan misalkan {\displaystyle D} adalah daerah yang dibatasi oleh {\displaystyle C}. Jika {\displaystyle L} dan {\displaystyle M} adalah fungsi terhadap {\displaystyle (x,\,y)} yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup D dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka



∮

C

(
L

d
x
+
M

d
y
)
=

∬

D

(

∂
M

∂
x

−

∂
L

∂
y

)

d
x

d
y

{\displaystyle \oint \_{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy}

{\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy}dengan arah integrasi sepanjang {\displaystyle C} bersifat berlawanan jarum jam.

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

Bukti ketika *D* adalah daerah sederhana
----------------------------------------

Bila *D* adalah daerah sederhana (tipe I) dengan batas-batasnya terdiri dari kurva *C*1, *C*2, *C*3, *C*4, kita dapat menunjukkan separuh dari Teorema Green.Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah {\displaystyle D} yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I dimana {\displaystyle C\_{1}} dan {\displaystyle C\_{3}} adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika {\displaystyle D} adalah daerah tipe II di mana {\displaystyle C\_{2}} dan {\displaystyle C\_{4}} adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.

Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungan

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \oint \_{C}L\,dx=\iint \_{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

dan

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \oint \_{C}\ M\,dy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)dA} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

bersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah {\displaystyle D}. Bukti persamaan (**1**) dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan (**2**) untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III.

Misalkan {\displaystyle D} adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, oleh


D
=
{
(
x
,
y
)
∣
a
≤
x
≤
b
,

g

1

(
x
)
≤
y
≤

g

2

(
x
)
}

{\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g\_{1}(x)\leq y\leq g\_{2}(x)\}}

{\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}dengan {\displaystyle g\_{1}} dan {\displaystyle g\_{2}} adalah fungsi kontinu pada {\displaystyle [a,\,b]}. Dengan menghitung integral ganda pada persamaan (**1**):

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\iint \_{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int \_{a}^{b}\,\int \_{g\_{1}(x)}^{g\_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int \_{a}^{b}\left[L(x,g\_{2}(x))-L(x,g\_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(3)** |

Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (**1**). Kurva {\displaystyle C} dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: {\displaystyle C\_{1}}, {\displaystyle C\_{2}}, {\displaystyle C\_{3}}, dan {\displaystyle C\_{4}}.

Pada {\displaystyle C\_{1}}, persamaan parametrik {\displaystyle x=x,\,y=g\_{1}(x)} untuk {\displaystyle a\leq x\leq b} dapat digunakan untuk menyatakan {\displaystyle C\_{1}}. Selanjutnya



∫

C

1

L
(
x
,
y
)

d
x
=

∫

a

b

L
(
x
,

g

1

(
x
)
)

d
x
.

{\displaystyle \int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx=\int \_{a}^{b}L(x,g\_{1}(x))\,dx.}

{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}Pada {\displaystyle C\_{3}}, persamaan parametrik {\displaystyle x=x,\,y=g\_{3}(x)} untuk {\displaystyle a\leq x\leq b} dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya,



∫

C

3

L
(
x
,
y
)

d
x
=
−

∫

−

C

3

L
(
x
,
y
)

d
x
=
−

∫

a

b

L
(
x
,

g

2

(
x
)
)

d
x
.

{\displaystyle \int \_{C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{-C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{a}^{b}L(x,g\_{2}(x))\,dx.}

{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}Integral atas {\displaystyle C\_{3}} bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari {\displaystyle b} menuju {\displaystyle a}, sama dengan arah orientasi {\displaystyle C} yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada {\displaystyle C\_{2}} dan {\displaystyle C\_{4}}, nilai {\displaystyle x} tidak berubah, mengartikan



∫

C

4

L
(
x
,
y
)

d
x
=

∫

C

2

L
(
x
,
y
)

d
x
=
0.

{\displaystyle \int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx=\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx=0.}

{\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}Akibatnya,

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{C}L\,dx&=\int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{3}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int \_{a}^{b}L(x,g\_{1}(x))\,dx-\int \_{a}^{b}L(x,g\_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(4)** |

Menggabungkan hasil pada persamaan (**3**) dengan persamaan (**4**), didapatkan bukti persamaan (**1**) untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan (**2**) pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

Wilayah yang terhubung banyak
-----------------------------

**Teorema.** Misalkan {\displaystyle \Gamma \_{0},\Gamma \_{1},\ldots ,\Gamma \_{n}} berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} yang memenuhi

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \_{i}\subset R\_{0},&&{\text{ji }}1\leq i\leq n\\\Gamma \_{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus {\overline {R}}\_{j},&&{\text{jika }}1\leq i,j\leq n{\text{ dan }}i\neq j,\end{aligned}}}
dengan {\displaystyle R\_{i}} adalah daerah bagian dalam dari {\displaystyle \Gamma \_{i}}. Misalkan pula {\displaystyle D} sebagai {\displaystyle D=R\_{0}\smallsetminus ({\overline {R}}\_{1}\cup {\overline {R}}\_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}\_{n}),} dan {\displaystyle p:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} } dan {\displaystyle q:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} } adalah fungsi kontinu yang batasannya (*restriction*) di {\displaystyle D} adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

{\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e\_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e\_{2}}}(x,y)}
terintegralkan Riemann atas {\displaystyle D}, maka berlaku hubungan:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \_{\Gamma \_{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum \_{i=1}^{n}\int \_{\Gamma \_{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int \_{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e\_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e\_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}

Lihat pula
----------

* Teorema Divergensi
* Teorema Stokes

Catatan
-------

1. ↑  George Green, *An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism* (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada halaman 10-12 dari karyanya (*Essay')'.*

Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), *Comptes rendus*, **23**: 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi *k* sepanjang kurva *s* yang membatasi daerah S)

Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) *Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse* (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.
2. ↑  Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). *Mathematical Methods for Physics and Engineering*Perlu mendaftar (gratis). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
3. ↑  Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). *Vector Analysis*. Schaum’s Outlines (edisi ke-2nd). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.