Grafik dari fungsi poligamma {\displaystyle \psi }, {\displaystyle \psi ^{(1)}}, {\displaystyle \psi ^{(2)}}, dan {\displaystyle \psi ^{(3)}} dari argumen real
Dalam matematika, **fungsi poligamma urutan** {\displaystyle m} adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks {\displaystyle \mathbb {C} } didefinisikan sebagai turunan ke {\displaystyle (m+1)} pada logaritma dari fungsi gammaː

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)},
Dengan demikian

{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
berlaku dimana {\displaystyle \psi (z)} adalah fungsi digamma dan {\displaystyle \Gamma (z)} adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada {\displaystyle \mathbb {C} \backslash -\mathbb {N} \_{0}}. Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan {\displaystyle m+1}. Fungsi {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} terkadang disebut fungsi trigamma.

**Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks**|  |  |  |
| {\displaystyle \ln \Gamma (z)} | {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} |
|  |  |  |
| {\displaystyle \psi ^{(2)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(3)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(4)}(z)} |

Representasi integral
---------------------

Ketika {\displaystyle m>0} dan {\displaystyle \operatorname {Re} (z)>0}, fungsi poligamma sama dengan

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int \_{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int \_{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}}
Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari {\displaystyle {\frac {(-1)^{m+1}t^{m}}{(1-e^{-t})}}}. Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk {\displaystyle m>0} dan real {\displaystyle x} dan tak negatif, {\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)} adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan {\displaystyle m=0} pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus {\displaystyle m=0} di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan {\displaystyle {\frac {e^{t}}{t}}}

Relasi pengulangan
------------------

Itu memenuhi relasi perulangan

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}
yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

{\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum \_{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum \_{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}
dan

{\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum \_{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}
untuk semua {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain {\displaystyle \mathbb {N} } (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan {\displaystyle \psi ^{(m)}(1)}, kecuali dalam kasus {\displaystyle m=0} dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} dimnita tambahannya. Kasus {\displaystyle m=0} harus diperlakukan berbeda karena {\displaystyle \psi ^{(0)}} tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

Relasi refleksi
---------------

{\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P\_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}
dimana {\displaystyle P\_{m}} adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap {\displaystyle \left|m-1\right|} dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien {\displaystyle (-1)^{m}\lceil 2^{m-1}\rceil }. Mereka mematuhi persamaan rekursi

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{0}(x)&=x\\P\_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP\_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'\_{m}(x)\right).\end{aligned}}}

Teorema perkalian
-----------------

Teorema perkalian memberikan

{\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum \_{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}
dan

{\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum \_{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
untuk fungsi digamma.

Representasi deret
------------------

Fungsi poligamma memiliki representasi deret

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
yang berlaku untuk {\displaystyle m>0} dan setiap kompleks {\displaystyle z} tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z)}.
Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}}.
Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}}.

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right)}.
Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta \_{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta \_{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}
Dimana {\displaystyle \delta \_{n0}} adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

{\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}
bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

Deret Taylor
------------

Deret Taylor pada {\displaystyle z=1} adalah

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}
dan

{\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}
yang konvergen untuk {\displaystyle \left|z\right|<1}. Disini, {\displaystyle \zeta } adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

Ekspansi asimtotik
------------------

Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B\_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}
dan

{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{k}}{kz^{k}}}}
dimana kita memilih {\displaystyle B\_{1}={\frac {1}{2}}}, yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

Pertidaksamaan
--------------

Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

{\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1},
dan ini menyiratkan bahwa fungsi

{\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}
adalah tak negatif untuk semua {\displaystyle m\geq 1} dan {\displaystyle t\geq 0}. Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

{\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}
benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas {\displaystyle e^{t}\geq 1+t} menyiratkan bahwa

{\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}
adalah tak negatif untuk semua {\displaystyle m\geq 1} dan {\displaystyle t\geq 0}, sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

{\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)}
yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua {\displaystyle m\geq 1}, dan {\displaystyle x>0},

{\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}}.

Lihat pula
----------

* Faktorial
* Fungsi digamma
* Fungsi gamma
* Fungsi poligamma umum
* Fungsi trigamma

Referensi
---------

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). "Section 6.4". *Handbook of Mathematical Functions*. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-09-02. Diakses tanggal 2020-11-17.

| * l
* b
* s
Daftar fungsi matematika |
| --- |
| Fungsi polinomial | 
* Fungsi konstan {0)
* Fungsi linear (1)
* Fungsi kuadrat (2)
* Fungsi kubik (3)
* Fungsi kuartik (4)
* Fungsi kuintik (5)

 |
| Fungsi aljabar | 
* Fungsi rasional
* Fungsi eksponensial
	+ Lambert W
	+ Superakar
* Fungsi hiperbolik
* Fungsi logaritma
	+ Berdasarkan basis
		- 2
		- e
		- 10
	+ teriterasi
	+ Superlogaritma

 |
| Fungsi dalamteori bilangan | 
* Fungsi Möbius
* Fungsi partisi
* Fungsi perhitungan bilangan prima
* Fungsi phi Euler
* Fungsi sigma

 |
| Fungsi trigonometri | 
* Sinus (trigonometri)
* Kosinus
* Tangen
* Sekan
* Kosekan
* Kotangen
* Versinus
* Koversinus
* Verkosinus
* Koverkosinus
* Ekssekan
* Ekskosekan
* Haversinus
* Hakoversinus
* Haverkosinus
* Hakoverkosinus

* Gudermann
* sinc

 |
| Fungsi berdasarkanhuruf Yunani | 
* Fungsi beta
	+ Dirichlet
	+ taklengkap
* Fungsi chi
	+ Legendre
* Fungsi delta
	+ Fungsi delta Dirac
	+ Fungsi delta Kronecker
	+ potensial delta
* Fungsi eta
	+ Dirichlet
* Fungsi gamma
	+ Fungsi digamma
	+ Barnes
	+ Meijer
	+ banyak
	+ eliptik
	+ Hadamard
	+ multivariabel
	+ *p*-adik
	+ *q*
	+ taklengkap
	+ Fungsi poligamma
	+ Fungsi trigamma
* Fungsi lambda
	+ Dirchlet
	+ modular
	+ von Mangoldt
* Fungsi mu
	+ Möbius
* Fungsi phi
	+ Euler
* Fungsi pi
* Fungsi sigma
	+ Weierstrass
* Fungsi theta
* Fungsi zeta
	+ Hurwitz
	+ Riemann
	+ Weierstrass

 |
| Fungsi berdasarkannama matematikawan | 
* Airy
* Ackermann
* Bessel
* Bessel–Clifford
* Bottcher
* Chebyshev
* Clausen
* Dawson
* Dirichlet
	+ beta
	+ eta
	+ L
	+ lambda
* Faddeeva
* Fermi–Dirac
	+ lengkap
	+ taklengkap
* Fresnel
* Fox
* Gudermann
* Hermite
* Fungsi Jacob
	+ eliptik Jacobi
* Kelvin
* Fungsi Kummer
* Fungsi Lambert
	+ W
* Lamé
* Laguerre
* Legendre
	+ chi
	+ iring
* Liouville
* Mathieu
* Meijer
* Mittag-Leffler
* Painlevé
* Riemann
	+ xi
	+ zeta
* Riesz
* Scorer
* Spence
* von Mangoldt
* Weierstrass
	+ eliptik
	+ eta
	+ sigma
	+ zeta

 |
| Fungsi khusus | 
* Fungsi bagian bilangan bulat
	+ Fungsi bilangan bulat terbesar
	+ Fungsi bilangan bulat terkecil
* Fungsi gergaji
* Fungsi indikator
* Fungsi nilai mutlak
* Fungsi persegi
* Fungsi segitiga
* Fungsi tanda
* Fungsi tangga
	+ Fungsi tangga Heaviside

 |
| Fungsi lainnya | 
* Aritmetik-geometrik
* eliptik
* Fungsi hiperbolik
	+ konfluen
* K
* sinkrotron
* tabung parabolik
* tanda tanya Minkowski
* Pentasi
* Student
* Tetrasi

 |