Artikel ini bukan mengenai Rata-rata aritmetika–geometrik.

| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika, **barisan aritmetika-geometrik** adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-{\displaystyle n} dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-{\displaystyle n} dari barisan aritmetika dengan suku ke-{\displaystyle n} dari barisan geometrik. Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum

{\displaystyle u\_{n+1}=r\,u\_{n}+cr^{n}}
untuk suatu nilai {\displaystyle c} dan {\displaystyle r}. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.

* Jika {\displaystyle r=1}, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
* Jika {\displaystyle c=0}, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

Suku barisan
------------

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal {\displaystyle a} dan beda {\displaystyle b}, dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal {\displaystyle k} dan rasio {\displaystyle r}. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:

{\displaystyle {\begin{aligned}u\_{1}&=\color {blue}{a}\color {red}{k}\\u\_{2}&=\color {blue}{(a+b)}\color {red}{(kr)}\\u\_{3}&=\color {blue}{(a+2b)}\color {red}{(kr^{2})}\\&\vdots \\u\_{n}&=\color {blue}{(a+(n-1)b)}\color {red}{(kr^{n-1})}\end{aligned}}}
### Contoh

Sebagai contoh, barisan

{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {red}{2}}},\,{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {red}{4}}},\,{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {red}{8}}},\,{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {red}{16}}},\,{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {red}{32}}},\ldots }
dapat dikonstruksikan dengan memilih {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} dan {\displaystyle {\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}}.

Jumlahan berhingga
------------------

Jumlahan {\displaystyle n} suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&={\frac {ak-(a+nd)\,kr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A\_{1}G\_{1}-A\_{n+1}G\_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G\_{1}-G\_{n+1}).\end{aligned}}}
### Bukti

#### Deret Teleskopik

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan {\displaystyle S\_{n}}, dengan indeks {\displaystyle n} menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi {\displaystyle A\_{n}} untuk menyatakan suku ke-{\displaystyle n} dari barisan aritmetika, dan notasi {\displaystyle G\_{n}} untuk menyatakan suku ke-{\displaystyle n} dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa {\displaystyle A\_{i}=A\_{i-1}+b} dan {\displaystyle G\_{i}=r\,G\_{i-1}}, perhatikan bahwa

{\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}S\_{n}&=&A\_{1}\,G\_{1}&+&A\_{2}\,G\_{2}&+&A\_{3}\,G\_{3}&+&\ldots &+&A\_{n}\,G\_{n}&&&\\rS\_{n}&=&{\phantom {A\_{1}\,G\_{1}}}&+&A\_{1}\,G\_{2}&+&A\_{2}\,G\_{3}&+&\ldots &+&A\_{n-1}\,G\_{n}&+&A\_{n}\,G\_{n+1}&-\\\hline (1-r)\,S\_{n}&=&A\_{1}\,G\_{1}&+&b\,G\_{2}&+&b\,G\_{3}&+&\ldots &+&b\,G\_{n}&-&A\_{n}\,G\_{n+1}&\\\end{array}}}
Sehingga diperoleh

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\,S\_{n}&=A\_{1}\,G\_{1}+b\,G\_{2}+b\,G\_{3}+\,\ldots \,+b\,G\_{n}-A\_{n}\,G\_{n+1}\\&=A\_{1}\,G\_{1}-A\_{n}\,G\_{n+1}+b\,G\_{2}+b\,G\_{3}+\,\ldots \,+b\,G\_{n}\\&=A\_{1}\,G\_{1}-A\_{n}\,G\_{n+1}-b\,G\_{n+1}+b\,G\_{2}+b\,G\_{3}+\,\ldots \,+b\,G\_{n}+b\,G\_{n+1}\\&=A\_{1}\,G\_{1}-\left(A\_{n}+b\right)\,G\_{n+1}+b\left(G\_{2}+G\_{3}+\,\ldots \,+G\_{n}+G\_{n+1}\right)\\&=A\_{1}\,G\_{1}-A\_{n+1}\,G\_{n+1}+b\cdot {\frac {G\_{2}-G\_{n+2}}{1-r}}\\S\_{n}&={\frac {A\_{1}\,G\_{1}-A\_{n+1}\,G\_{n+1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\left(G\_{1}-G\_{n+1}\right)\end{aligned}}}
Oleh karena {\displaystyle A\_{n}=a+(n-1)b} dan {\displaystyle G\_{n}=kr^{n-1}}, maka rumus {\displaystyle S\_{n}} di atas dapat ditulis ulang sebagai

{\displaystyle S\_{n}={\frac {ak-(a+nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}}
#### Penjabaran Langsung

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan {\displaystyle S\_{n}}, dengan indeks {\displaystyle n} menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa {\displaystyle S\_{n}} dapat dituliskan sebagai

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle S\_{n}} | {\displaystyle =} | {\displaystyle u\_{1}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle u\_{2}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle u\_{3}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle +} | {\displaystyle u\_{n}} |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  | {\displaystyle =} | {\displaystyle ak} | {\displaystyle +} | {\displaystyle akr} | {\displaystyle +} | {\displaystyle akr^{2}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle +} | {\displaystyle akr^{n-1}} |
|  |  |  |  | {\displaystyle +} |  | {\displaystyle +} |  |  |  | {\displaystyle +} |
|  |  |  |  | {\displaystyle bkr} | {\displaystyle +} | {\displaystyle bkr^{2}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle +} | {\displaystyle bkr^{n-1}} |
|  |  |  |  |  |  | {\displaystyle +} |  |  |  | {\displaystyle +} |
|  |  |  |  |  |  | {\displaystyle bkr^{2}} | {\displaystyle +} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle +} | {\displaystyle bkr^{n-1}} |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | {\displaystyle +} |
|  |  |  |  |  |  |  |  | {\displaystyle \ddots } |  | {\displaystyle \vdots } |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | {\displaystyle +} |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | {\displaystyle bkr^{n-1}} |

Dengan menuliskan {\displaystyle S\_{n}} menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai {\displaystyle S\_{n}} diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka



S

n


=
a
k

(

1
+
r
+

r

2

+

…

+

r

n
−
1

)

+
b
k

(

r
+

r

2

+

…

+

r

n
−
1

)

+
b
k

(

r

2

+

…

+

r

n
−
1

)

+

…

+
b
k

r

n
−
1



=
a
k
⋅

1
−

r

n

1
−
r

+
b
k
⋅

r
−

r

n

1
−
r

+
b
k
⋅

r

2

−

r

n

1
−
r

+

…

+
b
k
⋅

r

n
−
1

−

r

n

1
−
r



=
a
k
⋅

1
−

r

n

1
−
r

+
b
k

(

r

1
−
r

−

r

n

1
−
r

+

r

2

1
−
r

−

r

n

1
−
r

+

…

+

r

n
−
1

1
−
r

−

r

n

1
−
r

)


=
a
k
⋅

1
−

r

n

1
−
r

+
b
k

(

r

1
−
r

−

r

n

1
−
r

+

r

2

1
−
r

−

r

n

1
−
r

+

…

+

r

n
−
1

1
−
r

−

r

n

1
−
r

+

r

n

1
−
r

−

r

n

1
−
r

)


=
a
k
⋅

1
−

r

n

1
−
r

+
b
k

(

r
+

r

2

+

…

+

r

n

1
−
r

−

n

r

n

1
−
r

)


=

a
k
−
a
k

r

n

1
−
r

+
b
k

(

r
−

r

n
+
1

(
1
−
r

)

2


−

n

r

n

1
−
r

)


=

a
k

1
−
r

−

(
a
)
(
k

r

n

)

1
−
r

+

b
k
r
(
1
−

r

n

)

(
1
−
r

)

2


−

(
n
b
)
(
k

r

n

)

1
−
r



{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&=ak\left(1+r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+\,\ldots \,+bkr^{n-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r^{2}-r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+bk\cdot {\frac {r^{n-1}-r^{n}}{1-r}}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{n}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n}}{1-r}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ak\left(1+r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+\,\ldots \,+bkr^{n-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r^{2}-r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+bk\cdot {\frac {r^{n-1}-r^{n}}{1-r}}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{n}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n}}{1-r}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}
#### Kalkulus Diferensial

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan {\displaystyle S\_{n}}, dengan indeks {\displaystyle n} menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&=\sum \_{i\,=\,1}^{n}A\_{i}\,G\_{i}\\&=\sum \_{i\,=\,1}^{n}(a+(i-1)b)(kr^{i-1})\\&=\sum \_{i\,=\,0}^{n-1}(a+ib)(kr^{i})\\&=\sum \_{i\,=\,0}^{n-1}akr^{i}+\sum \_{i\,=\,0}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\sum \_{i\,=\,0}^{n-1}r^{i}+(0)bkr^{0}+\sum \_{i\,=\,1}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum \_{i\,=\,1}^{n-1}ir^{i-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum \_{i\,=\,1}^{n-1}\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left(\sum \_{i\,=\,1}^{n-1}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bkr\,\left({\frac {1}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{(1-r)^{2}}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\\end{aligned}}}
yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

Deret takhingga
---------------

Jika {\displaystyle \left|r\right|<1}, maka {\displaystyle r^{n}} akan mendekati {\displaystyle 0} apabila nilai {\displaystyle n} cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan {\displaystyle S}) ialah

{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum \_{i\,=\,1}^{\infty }u\_{i}\\&=\lim \_{n\,\to \,\infty }\sum \_{i\,=\,1}^{\infty }u\_{i}\\&=\lim \_{n\,\to \,\infty }S\_{n}\\&=\lim \_{n\,\to \,\infty }{\frac {ak}{1-r}}-\underbrace {\frac {(a+nb)(kr^{n})}{1-r}} \_{{\text{mendekati }}0}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {ak}{1-r}}+{\frac {bkr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A\_{1}\,G\_{1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\,G\_{1}\end{aligned}}}
Jika {\displaystyle r} berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk

* Deret divergen menuju {\displaystyle \pm \infty }, saat {\displaystyle r>1}, atau saat {\displaystyle r=1} (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta {\displaystyle a\neq 0} dan {\displaystyle b\cdot k\neq 0}
	+ Jika {\displaystyle a=0} dan {\displaystyle b\cdot k=0}, semua nilai suku nya akan menjadi {\displaystyle 0}, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
* Deret selang-seling, saat nilai {\displaystyle r\leq -1}

### Tangga Jibril

Jika {\displaystyle A\_{n}=n} dan {\displaystyle k=1}, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan *tangga Jibril*:

{\displaystyle \sum \_{i\,=\,1}^{\infty }ir^{i}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\qquad {\text{dengan }}\,0<r<1}
### Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan

Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}. Apabila {\displaystyle P(X=k)} menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah {\displaystyle k} lemparan, maka diperoleh

{\displaystyle {\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}}

| Penjelasan  |
| --- |
| Karena {\displaystyle L\_{k}} menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah {\displaystyle k} lemparan, maka lemparan pertama sampai lemparan ke-{\displaystyle (k-1)} haruslah muncul "angka". Oleh karena lemparan koin bersifat saling bebas, maka rumus peluang koin adil yang dilempar adalah {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}}.
Dikarenakan lemparan terakhir haruslah muncul "gambar", maka rumus peluangnya harus dikalikan dengan peluang munculnya "gambar", sehingga didapatkan
{\displaystyle {\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}} |

Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan

{\displaystyle E(X)=\sum \_{k\,=\,1}^{\infty }k\cdot P(X=k)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\ldots }
yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} dan {\displaystyle {\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}}. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke {\displaystyle E(X)=2}

Referensi
---------

1. ↑  "Arithmetic-Geometric Progression" [Barisan Aritmetika-Geometrik]. *brilliant.org* (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-04-21.
2. 1 2  K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). *Mathematical methods for physics and engineering*Perlu mendaftar (gratis) [*Metode matematis untuk fisika dan teknik*] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-3rd). Cambridge University Press. hlm. 118. ISBN 978-0-521-86153-3.
3. ↑  Swain, Stuart G. (2018). "Proof Without Words: Gabriel's Staircase" [Bukti Tanpa Kata: Tangga Jibril] (PDF). *Mathematics Magazine* (dalam bahasa Inggris). **67** (3): 209–209. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214. ISSN 0025-570X.
4. ↑  Edgar, Tom (2018). "Staircase Series" [Deret Tangga]. *Mathematics Magazine* (dalam bahasa Inggris). **91** (2): 92–95. doi:10.1080/0025570X.2017.1415584. ISSN 0025-570X.

Bacaan lanjutan
---------------

* D. Khattar. *The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)* [*Panduan Matematika dari Pearson untuk Seleksi Bersama Masuk Institut Teknologi India, 2/e (Edisi Baru)*] (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. hlm. 10.8. ISBN 81-317-2876-5.
* P. Gupta. *Comprehensive Mathematics XI* [*Matematika Komprehensif XI*] (dalam bahasa Inggris). Laxmi Publications. hlm. 380. ISBN 81-7008-597-7.


| * l
* b
* s
Kalkulus |
| --- |
| Prakalkulus | 
* Teorema binomial
* Fungsi cekung
* Fungsi kontinu
* Faktorial
* Beda hingga
* Variabel bebas dan variabel terikat
* Grafik fungsi
* Fungsi linear
* Radian
* Teorema Rolle
* Sekan
* Kemiringan
* Garis singgung

 |
| Limit (matematika) | 
* Bentuk tak tentu
* Limit barisan
* Limit fungsi
	+ Limit sepihak
* Urutan aproksimasi
* definisi (ε, δ) dari limit

 |
| Kalkulus diferensial | 
* Turunan
* Turunan kedua
* Turunan parsial
* Diferensial
* Operator diferensial
* Teorema nilai purata
* Notasi
	+ Notasi Leibniz
	+ Notasi Newton
* Kaidah pendiferensialan
	+ jumlahan
	+ linearitas
	+ pangkat
	+ Rantai
	+ L'Hôpital
	+ darab
		- Aturan umum Leibniz
	+ Hasil-bagi
* Teknik lainnya
	+ Turunan implisit
	+ Turunan fungsi invers
	+ Turunan logaritmik
	+ Laju yang berkaitan
* Titik stasioner
	+ Uji turunan pertama
	+ Uji turunan kedua
	+ Teorema nilai ekstrem
	+ Maksimum dan minimum
* Penerapan lebih lanjut
	+ Metode Newton
	+ Teorema Taylor
* Persamaan diferensial
	+ Persamaan diferensial biasa
	+ Persamaan diferensial parsial
	+ Persamaan diferensial stokastik
	+ Persamaan diferensial-integral

 |
| Kalkulus integral | 
* Integral tak tentu
* Panjang busur
* Integral Riemann
* Sifat dasar
* Konstanta integrasi
* Teorema dasar kalkulus
	+ Kaidah integral Leibniz
* Pengintegralan parsial
* Integral substitusi
	+ Substitusi trigonometri
	+ Substitusi Euler
	+ Substitusi tangen setengah sudut
* Dekomposisi pecahan parsial
	+ Integral kuadratik
* Kaidah trapesium
* Volume
	+ Integrasi cakram
	+ Integrasi kulit
* Persamaan integral
* Persamaan diferensial-integral

 |
| Kalkulus vektor | 
* Turunan
	+ Gradien
	+ Turunan berarah
	+ Divergensi
	+ Kerul
	+ Laplace
* Teorema dasar
	+ Integral garis
	+ Green
	+ Stokes
	+ Gauss

 |
| Kalkulus multivariabel | 
* Turunan parsial
* Pengali Lagrange
* Integral lipat
* Integral garis
* Integral permukaan
* Integral volume
* Matriks Hesse
* Matriks Jacobi
* Geometrik
* Matrix
* Topik lanjutan
	+ Bentuk diferensial
	+ Luar
	+ Perumuman teorema Stokes
	+ Tensor

 |
| Deret | 
* Barisan aritmetika-geometrik
* Jenis-jenis deret
	+ Geometrik
	+ Takhingga
	+ Harmonik
	+ Pangkat
		- Taylor
		- Maclaurin
	+ Selang-seling
	+ Binomial
	+ Fourier
	+ Deret teleskopik
* Uji konvergensi
	+ suku ke-n
	+ Rasio
	+ Akar
	+ Integral
	+ Perbandingan langsung
	+ Perbandingan limit
	+ Deret selang-seling
	+ Kondensasi Cauchy
	+ Dirichlet
	+ Abel

 |
| Fungsi danbilangan khusus | 
* Bilangan Bernoulli
* e (konstanta matematika)
* Fungsi eksponensial
* Logaritma alami
* Aproksimasi Stirling

 |
| Sejarah kalkulus | 
* Adequality
* Brook Taylor
* Colin Maclaurin
* Fluksion
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Hukum kekontinuan
* Infinitesimal
* Isaac Newton
* Kalkulus infinitesimal
* Keumuman aljabar
* Leonhard Euler
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| Daftar-daftar | 
* Kaidah pendiferensialan
* Daftar limit
* Daftar integral
* Daftar integral dari fungsi eksponensial
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers
* Daftar integral dari fungsi irasional
* Daftar integral dari fungsi logaritmik
* Daftar integral dari fungsi rasional
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik
	+ Sekan
	+ Sekan kubik

 |
| Topik lainnya | 
* Kalkulus kompleks
	+ Integral kontur
* Geometri diferensial
	+ Manifol
	+ Kelengkungan
	+ dari kurva
	+ dari permukaan
	+ Tensor
* Rumus Euler–Maclaurin
* Terompet Jibril
* Integration bee
* Bukti bahwa 22/7 melebihi π
* Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus

 |