Halaman ini berisi artikel tentang konsep matematika. Untuk empat orang grup Perlawanan anti-Nazi, lihat Vierergruppe (Perlawanan Jerman).
Artikel ini bukan mengenai Grup Kleinian, sub-grup terpisah dari PSL(2, C).

| Struktur aljabar → **Teori grup**Teori grup |
| --- |
|  |
| Gagasan dasar

|  |
| --- |
| * Subgrup
* Subgrup normal
* Grup hasil bagi
* darab langsung
* semi-darab langsung
 |
| *Homomorfisme grup* |
| * kernel
* bayangan
* jumlah langsung
* karangan bunga
* sederhana
* hingga
* takhingga
* kontinu
* multiplikatif
* aditif
* siklik
* Abel
* dihedral
* nilpoten
* terselesaikan
* aksi
 |
| * Glosarium teori grup
* Daftar topik teori grup
 |

 |
| Grup hingga

| Klasifikasi grup sederhana hingga |
| --- |
| * siklik
* bergantian
* tipe Lie
* sporadik
 |
| * Teorema Cauchy
* Teorema Lagrange
* Teorema Sylow
* Teorema Hall
* grup-p
* Grup Abel elementer
* Grup Frobenius
* Pengganda Schur
 |
| * Grup simetrik {\displaystyle \mathrm {S} \_{n}}
* Grup Klein {\displaystyle \mathrm {V} }
* Grup dihedral {\displaystyle \mathrm {D} \_{n}}
* Grup kuaternion {\displaystyle \mathrm {Q} }
* Grup disiklik {\displaystyle \mathrm {Dic} \_{n}}
 |

 |
| * Grup diskret
* Kekisi

* Bilangan bulat ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* Grup bebas

Grup modular * {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
* {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}

* Grup aritmetika
* Kekisi
* Grup hiperbolik
 |
| Topologis dan Grup Lie
* Solenoid
* Lingkaran

* Linear umum {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}

* Linear khusus {\displaystyle \mathrm {SL} (n)}

* Ortogonal {\displaystyle \mathrm {O} (n)}

* Euklides {\displaystyle \mathrm {E} (n)}

* Ortogonal khusus {\displaystyle \mathrm {SO} (n)}

* Uner {\displaystyle \mathrm {U} (n)}

* Uniter khusus {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}

* Simplektik {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}

* G2
* F4
* E6
* E7
* E8

* Lorentz
* Poincaré
* konformal

* Difeomorfisme
* Gelung

Grup Lie berdimensi takhingga * {\displaystyle O(\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
 |
| Grup aljabar
* Grup aljabar linear

* Grup reduktif

* Varietas Abel

* Kurva eliptik
 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika, **Klein empat grup** adalah  grup dengan empat elemen, di mana setiap elemen adalah  self-inverse (menyusunnya dengan sendirinya menghasilkan identitas)
dan di mana menyusun dua dari tiga elemen non-identitas menghasilkan yang ketiga.
Ini dapat dideskripsikan sebagai grup simetri dari non-persegi persegi panjang (dengan tiga elemen non-identitas menjadi refleksi horizontal dan vertikal dan rotasi 180 derajat),
sebagai grup operasi  bitwise eksklusif atau pada nilai biner dua bit,
atau lebih  abstrak sebagai Z2 × Z2,  produk langsung dari dua salinan dari grup siklik dari  pesanan 2. Nama ***Vierergruppe*** (yang berarti empat grup) oleh Felix Klein pada tahun 1884.
Ini juga disebut **Grup Klein**, dan sering dilambangkan dengan huruf V atau sebagai K4.

Grup empat Klein, dengan empat elemen, adalah grup terkecil yang bukan merupakan grup siklik. Hanya ada satu grup lain dari orde empat, hingga  isomorfisme, grup siklik urutan 4. Keduanya adalah grup abelian. Golongan non-abelian terkecil adalah golongan simetris derajat 3, yang berurutan 6.

Presentasi
----------

Tabel Cayley dari grup Klein diberikan oleh:

| \* | e | *a* | *b* | *c* |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | *a* | *b* | *c* |
| *a* | *a* | e | *c* | *b* |
| *b* | *b* | *c* | e | *a* |
| *c* | *c* | *b* | *a* | e |

Empat kelompok Klein juga ditentukan oleh presentasi grup

{\displaystyle \mathrm {V} =\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}
Semua elemen non -  identitas dari grup Klein memiliki urutan 2, sehingga dua elemen non-identitas mana pun dapat berfungsi sebagai generator dalam presentasi di atas. Empat kelompok Klein adalah non-grup siklik terkecil. Namun ini adalah kelompok abelian, dan isomorfik ke kelompok dihedral urutan (kardinalitas) 4, yaitu D4 (atau D2, menggunakan konvensi geometris); selain grup urutan 2, itu adalah satu-satunya grup dihedral yang abelian.

Grup empat Klein juga isomorfik terhadap jumlah langsung Z2 ⊕ Z2, sehingga bisa direpresentasikan sebagai pasangan {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}  di bawah penambahan berdasarkan komponen  modulo 2 (atau yang setara dengan  bit strings {00, 01, 10, 11} di bawah bitwise XOR); dengan (0,0) menjadi elemen identitas kelompok. Jadi, empat kelompok Klein adalah contoh dari  kelompok abelian dasar 2, yang juga disebut grup Boolean. Kelompok empat Klein dengan demikian juga kelompok yang dihasilkan oleh perbedaan simetris sebagai operasi biner pada himpunan bagian dari himpunan kekuatan dari suatu himpunan dengan dua elemen, yaitu di atas bidang himpunan dengan empat elemen, misalnya{\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}; himpunan kosong adalah elemen identitas grup dalam kasus ini.

Konstruksi numerik lain dari grup empat Klein adalah himpunan { 1, 3, 5, 7 }, dengan operasi menjadi  perkalian modulo 8. Di sini  *a*  adalah 3,  *b*  adalah 5, dan *c* = *ab* adalah 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

Empat grup Klein memiliki representasi sebagai matriks nyata 2x2 dengan operasi perkalian matriks:

{\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,\,b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

Geometri
--------

Secara geometris, dalam dua dimensi, empat grup Klein adalah grup simetri dari belah ketupat dan persegi panjang yang bukan  persegi, Empat elemen tersebut adalah identitas, refleksi vertikal, refleksi horizontal, dan rotasi 180 derajat.

Dalam tiga dimensi, ada tiga kelompok simetri berbeda yang secara aljabar merupakan empat grup Klein V:

* satu dengan tiga sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus: D 2
* satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat, dan bidang refleksi tegak lurus: C2*h* = D1*d*
* satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat dalam bidang refleksi (dan karenanya juga dalam bidang refleksi tegak lurus): C2*v* = D1*h*.

Representasi permutasi
----------------------

Identitas dan ganda -  transposisi dari empat objek membentuk V
Permutasi lain dari empat objek, membentuk V juga  
  
Lihat:  4 himpunan bagian elemen dari S4
Tiga elemen orde dua dalam grup empat Klein dapat dipertukarkan: grup automorfisme dari V adalah grup permutasi dari ketiga elemen ini.

Permutasi empat kelompok Klein dari elemennya sendiri dapat dianggap secara abstrak sebagai representasi permutasi pada empat poin:

V = { (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }
Dalam representasi ini, V adalah subgrup normal dari grup bergantian A4
(dan juga grup simetris S4) pada empat huruf. Nyatanya, ini adalah  kernel dari sebuah surjektif group homomorphism dari S4 ke S3.

Representasi lain di dalam S4 adalah:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

Mereka bukan subgrup normal dari S4.

Aljabar
-------

Menurut teori Galois, keberadaan empat kelompok Klein (dan khususnya, representasi permutasi dari itu) menjelaskan keberadaan rumus untuk menghitung akar persamaan kuartik s dalam hal  radikal, sebagaimana ditetapkan oleh Lodovico Ferrari:
peta S4 → S3 sesuai dengan kubik pemecah, dalam hal resolusi Lagrange.

Dalam konstruksi gelanggang berhingga, delapan dari sebelas cincin dengan empat elemen memiliki empat kelompok Klein sebagai substruktur aditifnya.

Jika **R**× menunjukkan kelompok perkalian dari non-nol real dan **R**+ kelompok perkalian riil positif, **R**× × **R**× adalah grup unit dari gelanggang **R** × **R**, dan **R**+ × **R**+ adalah subgrup dari **R**× × **R**× (sebenarnya ini adalah komponen identitas dari **R**× × **R**×). Grup hasil bagi (**R**× × **R**×) / (**R**+ × **R**+) isomorfik ke empat kelompok Klein. Dengan cara yang sama, kelompok unit  gelanggang bilangan kompleks pisah, jika dibagi dengan komponen identitasnya, juga menghasilkan grup empat Klein.

Teori grafik
------------

 sederhana grafik terhubung yang paling sederhana yang mengakui empat grup Klein sebagai  grup automorfisme adalah grafik berlian yang ditunjukkan di bawah ini. Ini juga merupakan grup automorfisme dari beberapa grafik lain yang lebih sederhana dalam arti memiliki lebih sedikit entitas. Ini termasuk grafik dengan empat simpul dan satu sisi, yang tetap sederhana tetapi kehilangan konektivitas, dan grafik dengan dua simpul yang dihubungkan satu sama lain oleh dua sisi, yang tetap terhubung tetapi kehilangan kesederhanaan.

Musik
-----

Dalam komposisi musik, empat kelompok adalah kelompok dasar permutasi dalam teknik dua belas nada. Dalam contoh itu tabel Cayley ditulis;

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| S | I: | R: | RI: |
| I: | S | RI | R |
| R: | RI | S | I |
| RI: | R | I | S |

Lihat pula
----------

* Grup angka empat
* Daftar grup kecil

Referensi
---------

1. ↑  *Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade* (Kuliah tentang ikosahedron dan solusi persamaan derajat kelima)
2. ↑  Babbitt, Milton. (1960) "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants", *Musical Quarterly* 46(2):253 Edisi Khusus: Masalah Musik Modern: Seminar Princeton dalam Studi Musik Tingkat Lanjut (April): 246–59, Oxford University Press

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* M. A. Armstrong (1988) *Groups and Symmetry*, Springer Verlag, page 53.
* W. E. Barnes (1963) *Introduction to Abstract Algebra*, D.C. Heath & Co. page 20.

Pranala luar
------------

* Weisstein, Eric W. "Vierergruppe". *MathWorld*.