Halaman ini berisi artikel tentang istilah matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Monomorfik (disambiguasi) dan Polimorfisme (disambiguasi).

Dalam konteks aljabar abstrak atau aljabar universal, **monomorfisme** adalah injeksi homomorfisme. Sebuah monomorfisme dari X dengan Y sering dilambangkan dengan notasi *X* ↪ *Y*.

Dalam pengaturan yang lebih umum dari teori kategori, **monomorfisme** (juga disebut **morfisme monik** atau **mono**) adalah pembatal-kiri morphism. Artinya, anak panah *f* : *X* → *Y* seperti itu untuk semua objek   *Z*  dan semua morfisme *g*1, *g*2: *Z* → *X*,

{\displaystyle f\circ g\_{1}=f\circ g\_{2}\implies g\_{1}=g\_{2}.}
Monomorfisme adalah generalisasi kategorikal dari fungsi injeksi s (juga disebut "fungsi satu-ke-satu"); dalam beberapa kategori, pengertian tersebut bertepatan, tetapi monomorfisme lebih umum, seperti pada contoh di bawah.

Dual kategorikal dari monomorfisme adalah epimorfisme, yaitu, monomorfisme dalam kategori  *C*  adalah epimorfisme dalam kategori ganda *C*op. Setiap bagian adalah monomorfisme, dan setiap retraksi adalah epimorfisme.

Kaitannya dengan kemampuan terbalik
-----------------------------------

Morfisme pembalik kiri harus monik: jika  *l*  adalah kebalikan kiri untuk *f* (artinya  *l*  adalah morfisme dan {\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} \_{X}}), maka  *f*  adalah monik, maka

{\displaystyle f\circ g\_{1}=f\circ g\_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g\_{1}=l\circ f\circ g\_{2}\Rightarrow g\_{1}=g\_{2}.}
Morfisme yang dapat dibalikkan kiri disebut  *'split mono'*  atau **bagian**. 

Namun, monomorfisme tidak perlu dibalik. Misalnya, dalam kategori **Grup** dari semua grup dan homomorfisme grup di antara mereka, jika  *H*  adalah subgrup dari  *G*  lalu penyertaan *f* : *H* → *G* selalu monomorfisme; tetapi  *f*  memiliki invers kiri dalam kategori jika dan hanya jika  *H*  memiliki komplemen normal di  *G*. 

Morfisme *f* : *X* → *Y* monic jika dan hanya jika peta induksi *f*∗ : Hom(*Z*, *X*) → Hom(*Z*, *Y*), mendefinisikan oleh *f*∗(*h*) = *f* ∘ *h* untuk semua morfisme *h* : *Z* → *X*, adalah injeksi untuk semua objek  *Z* .

Contoh
------

Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasari adalah monomorfisme; dengan kata lain, jika morfisme benar-benar berfungsi di antara himpunan, maka morfisme apa pun yang merupakan fungsi satu-ke-satu akan menjadi monomorfisme dalam arti kategoris. Dalam kategori himpunan hal yang sebaliknya juga berlaku, jadi monomorfisme persisnya adalah morfisme injektif. Kebalikannya juga berlaku di sebagian besar kategori aljabar yang terjadi secara alami karena adanya objek bebas pada satu generator.

Secara umum tidak benar bahwa semua monomorfisme harus injektif dalam kategori lain; yaitu, ada pengaturan di mana morfisme adalah fungsi antar himpunan, tetapi seseorang dapat memiliki fungsi yang tidak bersifat injektif namun merupakan monomorfisme dalam arti kategori. Misalnya, dalam kategori  *'Div'*  habis grup (abelian) dan homomorfisme grup di antara mereka terdapat monomorfisme yang tidak suntik: consider, misalnya, peta hasil bagi *q* : **Q** → **Q**/**Z**, di mana **Q** adalah rasio di bawah tambahan, **Z** bilangan bulat (juga dianggap sebagai grup di bawah penambahan), dan **Q**/**Z** adalah sesuai grup hasil bagi. Ini bukan peta suntik, karena misalnya setiap bilangan bulat dipetakan ke 0. Namun demikian, ini adalah monomorfisme dalam kategori ini. Ini mengikuti dari implikasinya *q* ∘ *h* = 0 ⇒ *h* = 0, yang sekarang akan kami buktikan. Jika *h* : *G* → **Q**, where *G* adalah beberapa kelompok yang dapat dibagi, dan *q* ∘ *h* = 0, setelah itu *h*(*x*) ∈ **Z**, ∀ *x* ∈ *G*. Sekarang perbaiki beberapa *x* ∈ *G*. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian *h*(*x*) ≥ 0 (jika tidak, pilih -  *x* ). Lalu, biarkan *n* = *h*(*x*) + 1, karena  *G*  adalah grup yang dapat dibagi, ada beberapa *y* ∈ *G* seperti *x* = *ny* maka akan menjadi *h*(*x*) = *n* *h*(*y*). Dari ini, dan 0 ≤ *h*(*x*) < *h*(*x*) + 1 = *n*, maka rumusnya adalah

{\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}
Karena *h*(*y*) ∈ **Z**, Kita merumuskan *h*(*y*) = 0, dan dengan cara *h*(*x*) = 0 = *h*(−*x*), ∀ *x* ∈ *G*. Maka itu merumuskan *h* = 0, seperti yang diinginkan.

Konsep terkait
--------------

Di antara konsep berguna lainnya adalah *epimorfisme biasa*, *epimorfisme ekstrem*, *epimorfisme langsung*, *epimorfisme kuat*, dan *epimorfisme terbagi*. 

* Sebuah epimorfisme dikatakan **biasa** jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
* Sebuah epimorfisme {\displaystyle \varepsilon } dikatakan **ekstrem** jika di setiap representasi {\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }, dimana \mu adalah monomorfisme, morfisme \mu secara otomatis menjadi isomorfisme.
* Sebuah epimorfisme {\displaystyle \varepsilon } dikatakan **langsung** jika dalam setiap representasi {\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}, dimana \mu adalah monomorfisme dan {\displaystyle \varepsilon '} adalah epimorfisme, morfisme \mu secara otomatis menjadi isomorfisme.
* Sebuah epimorfisme {\displaystyle \varepsilon :A\to B} dikatakan **kuat** jika ada monomorphism {\displaystyle \mu :C\to D} dan morfisme apapun {\displaystyle \alpha :A\to C} dan {\displaystyle \beta :B\to D} seperti yang {\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }, ada morfisme {\displaystyle \delta :B\to C} seperti yang {\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha } dan {\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }.
* Sebuah epimorfisme {\displaystyle \varepsilon } dikatakan **terbelah** jika ada morfisme \mu seperti yang {\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1} (dalam hal ini \mu disebut invers sisi kanan untuk {\displaystyle \varepsilon }).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis *dalam teori cincin. Morfisme* f*:* A *→* B *of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan:*
D(*f*) : D(*B*) → D(*A*).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S1. 

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme *f*1 : *X* → *Y*1 dan *f*2 : *X* → *Y*2 dikatakan  *setara*  jika terdapat isomorfisme  *j* : *Y*1 → *Y*2 with *j* *f*1 = *f*2. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari *X*.

Lihat pula
----------

* Menyematkan (matematika)
* Dekomposisi nodal
* Subobjek

Catatan
-------

1. 1 2  Borceux 1994.
2. ↑  Tsalenko & Shulgeifer 1974.

Referensi
---------

* Bergman, George (2015). *An Invitation to General Algebra and Universal Constructions*. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
* Borceux, Francis (1994). *Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory*. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Monomorphism", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Van Oosten, Jaap (1995). *Basic Category Theory* (PDF). BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus. ISSN 1395-2048.
* Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). *Foundations of category theory*. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.

Pranala luar
------------

* monomorphism di *nLab*
* Strong monomorphism di *nLab*