Dalam matematika, terutama di bidang teori grup, **grup divisibel** atau disebut juga **grup yang dapat dibagi** adalah grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan *n* untuk setiap bilangan bulat positif *n*. Grup terpisahkan penting dalam memahami struktur grup abelian, terutama karena mereka adalah grup abelian  injektif.

Definisi
--------

Grup abelian {\displaystyle (G,+)} adalah **divisibel** jika, untuk setiap bilangan bulat positif {\displaystyle n} dan setiap {\displaystyle g\in G}, disana terdapat {\displaystyle y\in G} adalah {\displaystyle ny=g}. Kondisi yang setara adalah: untuk bilangan bulat positif {\displaystyle n}, {\displaystyle nG=G}, karena keberadaan {\displaystyle y} untuk setiap {\displaystyle n} dan {\displaystyle g} menyiratkan bahwa {\displaystyle nG\supseteq G}, dan ke arah lain {\displaystyle nG\subseteq G} benar untuk setiap kelompok. Kondisi ketiga yang setara adalah bahwa grup abelian {\displaystyle G} dapat dibagi jika dan hanya jika {\displaystyle G} adalah objek injeksi dalam kategori grup abelian]; untuk alasan ini, grup yang dapat dibagi kadang-kadang disebut **grup injektif**.

Grup abelian adalah {\displaystyle p}-**habis dibagi** untuk bilangan prima {\displaystyle p} jika untuk {\displaystyle g\in G}, terdapat {\displaystyle y\in G} sehingga {\displaystyle py=g}. Sama halnya, grup abelian adalah {\displaystyle p}-habis dibagi jika dan hanya jika {\displaystyle pG=G}.

Contoh
------

* Bilangan rasional {\displaystyle \mathbb {Q} } membentuk kelompok yang dapat dibagi di bawah penambahan.
* Lebih umum lagi, grup aditif yang mendasari dari setiap ruang vektor di atas habis dibagi {\displaystyle \mathbb {Q} }.
* Setiap  hasil bagi dari grup yang dapat dibagi habis. Jadi, habis dibagi {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }.
* Kompenen prima-p {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} } pada {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }, yang mana  isomorfik ke  *p* -grup kuasiklik habis dibagi {\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}.
* Grup perkalian dari bilangan kompleks {\displaystyle \mathbb {C} ^{\*}} is divisible.
* Setiap grup abelian eksistensial tertutup (dalam pengertian teori model) dapat dibagi.

Sifat
-----

* Jika grup yang dapat dibagi adalah subkelompok dari grup abelian maka itu adalah penjumlahan langsung dari grup abelian itu.
* Setiap grup abelian dapat  disematkan dalam grup yang dapat dibagi.
* Grup yang dapat dibagi non-sepele bukan  dihasilkan secara terbatas.
* Selanjutnya, setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi sebagai subgrup penting dengan cara yang unik.
* Sebuah grup abelian habis dibagi jika dan hanya jika itu adalah habis dibagi- *p*  untuk setiap prima  *p* .
* Misalkan {\displaystyle A} menjadi  gelanggang. Jika {\displaystyle T} adalah grup yang dapat dibagi, maka {\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)} adalah injektif dalam  kategori dari  modul{\displaystyle A}.

Teorema struktur grup habis
---------------------------

Karena  *G*  menjadi grup yang dapat dibagi. Kemudian subgrup torsi Tor(*G*) dari  *G*  habis dibagi. Karena grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi.

{\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}
Sebagai hasil bagi dari grup yang dapat dibagi, *G*/Tor(*G*) habis dibagi. Selain itu, ini  bebas torsi. Jadi, ini adalah ruang vektor di atas **Q** dan ada himpunan  *I*  sehingga

{\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus \_{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}
Struktur subgrup torsi lebih sulit ditentukan, tetapi dapat dilihat bahwa untuk semua bilangan prima  *p*  ada {\displaystyle I\_{p}} sedemikian rupa sehingga

{\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))\_{p}=\bigoplus \_{i\in I\_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I\_{p})},}
dimana {\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))\_{p}} adalah komponen utama Tor(*G*).

Jadi, jika **P** adalah himpunan bilangan prima,

{\displaystyle G=\left(\bigoplus \_{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I\_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}
Kardinalitas dari himpunan  *I*  dan *I**p* untuk  *p*  ∈  *'P'*  secara unik ditentukan oleh grup  *G* .

Amplop injektif
---------------

Artikel utama: Amplop injektif
Seperti yang dinyatakan di atas, setiap grup abelian  *A*  dapat disematkan secara unik dalam grup yang dapat dibagi  *D*  sebagai subgrup penting. Grup yang dapat dibagi  *D*  ini adalah **amplop injektif** dari  *A* , dan konsep ini adalah injeksi hull dalam kategori grup abelian.

Lihat pula
----------

* Objek injektif
* Modul injektif

Catatan
-------

1. ↑  Griffith, p.6
2. ↑  Hall, p.197
3. ↑  Griffith, p.17
4. ↑  Griffith, p.19
5. ↑  Lang, p. 106
6. ↑  Kaplansky 1965.
7. ↑  Fuchs 1970.

Referensi
---------

* Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), *Homological algebra*, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, MR 1731415  With an appendix by David A. Buchsbaum; Reprint of the 1956 original
* Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible is injective", *Soochow J. Math.*, **32** (2): 241–243, ISSN 0250-3255, MR 2238765
* Griffith, Phillip A. (1970). *Infinite Abelian group theory*. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
* Hall, Marshall, jr (1959). *The theory of groups*. New York: Macmillan.  Chapter 13.3.
* Kaplansky, Irving (1965). *Infinite Abelian Groups*. University of Michigan Press.
* Fuchs, László (1970). *Infinite Abelian Groups Vol 1*. Academic Press.
* Lam, Tsit-Yuen (1999), *Lectures on modules and rings*, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
* Serge Lang (1984). *Algebra, Second Edition*. Menlo Park, California: Addison-Wesley.
* Matlis, Eben (1958). "Injective modules over Noetherian rings". *Pacific Journal of Mathematics*. **8**: 511–528. doi:10.2140/pjm.1958.8.511 alt=Dapat diakses gratis. ISSN 0030-8730. MR 0099360. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-19.
* Nicholson, W. K.; Yousif, M. F. (2003), *Quasi-Frobenius rings*, Cambridge Tracts in Mathematics, **158**, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. xviii+307, doi:10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, MR 2003785