Contoh notasi O besar: {\displaystyle {\color {red}f(x)}\in O{\color {blue}(g(x))}} karena ada {\displaystyle M>0} (yakni, {\displaystyle M=1}) dan {\displaystyle x\_{0}} (yakni, {\displaystyle x\_{0}=5}) sehingga {\displaystyle {\color {red}f(x)}\leq {\color {blue}Mg(x)}} dengan {\displaystyle x\geq x\_{0}}.**Notasi *O* besar**, atau **notasi** **Bachmann–Landau** atau **notasi asimtotik** merupakan notasi matematika yang menjelaskan perilaku pada batas suatu fungsi ketika argumen cenderung menuju ke nilai yang khusus atau takhingga. Notasi O besar merupakan anggota dari keluarga notasi yang ditemukan oleh Paul Bachmann, Edmund Landau, dan matematikawan lain. Notasi O yang dipilih Bachmann mengartikan *Ordnung*, yang berarti orde aproksimasi.

Notasi O besar dikaitkan dengan notasi yang berbeda. Ada yang menggunakan *o*, Ω, *ω*, dan Θ, yang dipakai untuk menjelaskan jenis batas lain pada laju pertumbuhan asimtotik.

Definisi formal
---------------

Misalkan {\displaystyle f} adalah fungsi bernilai riil ataupun kompleks dan {\displaystyle g} adalah fungsi bernilai riil, dan keduanya terdefinisi pada sebuah subhimpunan tak hingga dari bilangan riil positif, sedemikian sehingga {\displaystyle g(x)} bernilai positif untuk semua nilai {\displaystyle x} yang cukup besar, maka

{\displaystyle f(x)=O(g(x))} ketika {\displaystyle x\to \infty }
jika dan hanya jika untuk semua nilai {\displaystyle x} yang cukup besar, nilai absolut dari {\displaystyle f(x)} tidak melebihi {\displaystyle g(x)} dikali dengan sebuah konstanta positif. Dengan kata lain, {\displaystyle f(x)=O(g(x))} jika dan hanya jika terdapat sebuah bilangan riil positif {\displaystyle M} dan sebuah bilangan riil {\displaystyle x\_{0}} sedemikian sehingga

{\displaystyle |f(x)|\leq \;Mg(x)}, untuk semua {\displaystyle x\geq x\_{0}}.
Dalam banyak kasus, kita hanya tertarik dengan laju pertumbuhan variabel {\displaystyle x} yang menuju tak hingga sehingga pernyataan tersebut tidak disebutkan lagi, dan hanya ditulis sebagai

{\displaystyle f(x)=O(g(x))}.
Notasi ini juga dapat mendeskripsikan perilaku fungsi {\displaystyle f} di dekat sebuah bilangan riil {\displaystyle a} (biasanya {\displaystyle a=0}), maka dapat dikatakan

{\displaystyle f(x)=O(g(x))} ketika {\displaystyle x\to a}.
jika dan hanya jika terdapat bilangan positif {\displaystyle \delta } dan {\displaystyle M} sedemikian sehingga

{\displaystyle |f(x)|\leq \;Mg(x)} ketika {\displaystyle 0<|x-a|<\delta }.

Contoh
------

Dalam penggunaannya, notasi {\displaystyle O} dapat menyederhanakan fungsi {\displaystyle f}. Sebagai contoh, misalkan {\displaystyle f(x)=6x^{4}-2x^{3}+5}, fungsi {\displaystyle f} dapat ditulis sebagai

{\displaystyle f(x)=O(x^{4})}.

Referensi
---------

1. ↑  Bachmann, Paul (1894), *Analytische Zahlentheorie* [*Teori Bilangan Analitik*] (dalam bahasa Jerman). Vol. 2. Leipzig: Teubner.
2. ↑  Landau, Edmund (1909). *Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen* [*Pedoman tentang teori dari distribusi bilangan prima*] (dalam bahasa Jerman). Leipzig: B. G. Teubner. hlm. 883.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* Hardy, G. H. (1910). *Orders of Infinity: The 'Infinitärcalcül' of Paul du Bois-Reymond*. Cambridge University Press.
* Knuth, Donald (1997). "1.2.11: Asymptotic Representations". *Fundamental Algorithms*. The Art of Computer Programming. **1** (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1.
* Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "3.1: Asymptotic notation". *Introduction to Algorithms* (edisi ke-2nd). MIT Press and McGraw-Hill. ISBN 978-0-262-03293-3.
* Sipser, Michael (1997). *Introduction to the Theory of Computation*Akses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan. PWS Publishing. hlm. 226–228. ISBN 978-0-534-94728-6.
* Avigad, Jeremy; Donnelly, Kevin (2004). *Formalizing O notation in Isabelle/HOL* (PDF). International Joint Conference on Automated Reasoning. doi:10.1007/978-3-540-25984-8\_27.
* Black, Paul E. (11 March 2005). Black, Paul E. ed. "big-O notation". *Dictionary of Algorithms and Data Structures*. U.S. National Institute of Standards and Technology. Diakses tanggal December 16, 2006.
* Black, Paul E. (17 December 2004). Black, Paul E. ed. "little-o notation". *Dictionary of Algorithms and Data Structures*. U.S. National Institute of Standards and Technology. Diakses tanggal December 16, 2006.
* Black, Paul E. (17 December 2004). Black, Paul E. ed. "Ω". *Dictionary of Algorithms and Data Structures*. U.S. National Institute of Standards and Technology. Diakses tanggal December 16, 2006.
* Black, Paul E. (17 December 2004). Black, Paul E. ed. "ω". *Dictionary of Algorithms and Data Structures*. U.S. National Institute of Standards and Technology. Diakses tanggal December 16, 2006.
* Black, Paul E. (17 December 2004). Black, Paul E. ed. "Θ". *Dictionary of Algorithms and Data Structures*. U.S. National Institute of Standards and Technology. Diakses tanggal December 16, 2006.

Pranala luar
------------


Wikibooks *Data Structures* memiliki halaman di:
*Big-O Notation*

Wikiversity solved a *MyOpenMath problem* using ***Big-O Notation***

* Growth of sequences — OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) Wiki
* Landau Symbols
* Big-O Notation – What is it good for
* Big O Notation explained in plain english
* An example of Big O in accuracy of central divided difference scheme for first derivative Diarsipkan 2018-10-07 di Wayback Machine.
* A Gentle Introduction to Algorithm Complexity Analysis