"Coker (matematika)" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Coker (disambiguasi).

Dalam matematika, **kokernel** pada pemetaan linear dari ruang vektor *f* : *X* → *Y* adalah ruang hasil bagi *Y* / im(*f*) dari kodomain dari  *f*  dengan gambar  *f*. Dimensi dari kokernel disebut  *corank*  dari  *f* .

Kokernel ganda ke kernel teori kategori, maka namanya: kernel adalah subobjek dari domain (memetakan ke domain), sedangkan cokernel adalah objek hasil bagi dari kodomain (dipetakan dari kodomain).

Secara intuitif, diberi persamaan *f*(*x*) = *y* yang ingin dipecahkan,
cokernel mengukur *batasan* yang harus dipenuhi oleh *y* agar persamaan ini memiliki solusi sebagai penghalang solusi, sementara kernel mengukur *derajat kebebasan* dalam solusi, jika ada. Ini diuraikan dalam intuisi, di bawah.

Definisi formal
---------------

Seseorang dapat mendefinisikan cokernel dalam kerangka umum teori kategori. Agar definisi masuk akal, kategori yang dipermasalahkan harus memiliki morfisme nol. **Kokernel** dari sebuah morphism *f* : *X* → *Y* didefinisikan sebagai penggabung dari *f* dan morfisme nol 0*XY* : *X* → *Y*.

Secara eksplisit, ini berarti sebagai berikut. Cokernel dari *f* : *X* → *Y* adalah objek *Q* bersama dengan morfisme *q* : *Y* → *Q* seperti diagram

komutatif. Selain itu, morfisme *q* harus universal untuk diagram ini, yaitu *q*′: *Y* → *Q*′ dapat diperoleh dengan menyusun *q* dengan morfisme yang unik *u* : *Q* → *Q*′:

Seperti semua konstruksi universal, cokernel, jika ada, adalah hingga unik isomorfisme, atau lebih tepatnya: if *q* : *Y* → *Q* and *q'* : *Y* → *Q'* adalah dua kokernel dari *f* : *X* → *Y*, lalu ada isomorfisme yang unik *u* : *Q* → *Q'* dengan *q* = *u* *q*.

Seperti semua pengimbang, kokernel *q* : *Y* → *Q* tentu saja merupakan epimorfisme. Sebaliknya, epimorfisme disebut  *normal*  (atau  *conormal* ) jika itu adalah cokernel dari beberapa morfisme. Sebuah kategori disebut  *konormal*  jika setiap epimorfisme normal (misalnya kategori grup normal).

Intuisi
-------

Cokernel dapat dianggap sebagai ruang  *batasan*  yang harus dipenuhi oleh persamaan, sebagai ruang  *penghalang,*  seperti  kernel adalah ruang  *solusi* .

Secara formal, seseorang dapat menghubungkan kernel dan cokernel dari sebuah peta *T*: *V* → *W* oleh urutan persis

{\displaystyle 0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {koker} T\to 0.}
Ini dapat diartikan sebagai: diberi persamaan linear *T*(*v*) = *w* menyelesaikan,

* kernel adalah ruang dari  *solusi*  persamaan  *homogen*  *T*(*v*) = 0, dan dimensinya adalah jumlah  *derajat kebebasan*  dalam suatu solusi, jika ada;
* Kokernel adalah ruang  *kendala*  yang harus dipenuhi jika persamaan tersebut memiliki solusi, dan dimensinya adalah jumlah kendala yang harus dipenuhi agar persamaan memiliki solusi.

Dimensi cokernel ditambah dengan dimensi gambar (peringkat) ditambahkan ke dimensi ruang target, sebagai dimensi ruang hasil bagi {\displaystyle W/T(V)} hanyalah dimensi ruang  *minus*  dimensi gambar.

Referensi
---------

* Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1998, p. 64
* Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.

Templat:Category theory