Templat:Ring theory sidebar

Dalam matematika, **kategori gelanggang**, dilambangkan dengan **Gelanggang**, adalah  kategori yang objeknya adalah  gelanggang (dengan identitas) dan yang morfisme adalah homomorfisme gelanggang (yang melestarikan identitas). Seperti banyak kategori dalam matematika, kategori gelanggang adalah  besar, yang berarti bahwa  kelas dari semua cincin adalah  layak.

Sebagai kategori konkrit
------------------------

Kategori **Gelanggang** adalah kategori beton yang berarti bahwa objek tersebut  himpunan dengan struktur tambahan (penjumlahan dan perkalian) dan morfisme adalah  fungsi yang mempertahankan struktur ini. Ada fungsi pelupa alami

*U* : **Gelanggang** → **Himpunan**
untuk kategori gelanggang ke kategori himpunan yang mengirimkan setiap gelanggang ke set yang mendasarinya (sehingga "melupakan" operasi penjumlahan dan perkalian). Funktor ini memiliki penyambung kiri

*F* : **Himpunan** → **Gelanggang**
which assigns to each set *X* the free ring generated by *X*.

Seseorang juga dapat melihat kategori gelanggang sebagai kategori konkret di atas **Ab** (kategori grup abelian) atau di atas **Mon** (kategori monoid). Secara khusus, ada fungsi pelupa

*A* : **Gelanggang** → **Ab**
*M* : **Gelanggamg** → **Mon**
yang masing-masing "melupakan" perkalian dan penjumlahan. Kedua fungsi ini meninggalkan adjoint. Adjoint kiri  *A*  adalah functor yang menetapkan ke setiap grup abelian  *X*  (dianggap sebagai **Z**- modul ) gelanggang tensor  *T* ( *X* ). Adjoint kiri  *M*  adalah functor yang menetapkan ke setiap monoid  *X*  integral gelanggang monoid **Z**[*X*].

Limit dan kolimit
-----------------

Kategori **Gelanggang** keduanya  lengkap dan lengkap, yang berarti bahwa semua batas dan kolom kecil ada di **Gelanggang**. Seperti banyak kategori aljabar lainnya, functor pelupa  *U* : **Gelanggang** → **Himpunan**  membuat (dan mempertahankan) batas dan kolimit filter, tetapi tidak mempertahankan produk bersama atau penggabung. Fungsi pelupa untuk **Ab** dan **Mon** juga membuat dan mempertahankan batasan.

Morfisme
--------

Artikel utama: gelanggang homomorfisme
Tidak seperti banyak kategori yang dipelajari dalam matematika, tidak selalu ada morfisme antara pasangan objek dalam **Gelanggang**. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa homomorfisme cincin harus menjaga identitas. Misalnya, tidak ada morfisme dari gelanggang nol **0** ke gelanggang bukan nol. Suatu kondisi yang diperlukan untuk menjadi morfisme dari  *R*  ke  *S*  adalah bahwa  karakteristik dari  *S*  membagi bahwa dari  *R* .

Perhatikan bahwa meskipun beberapa hom-set kosong, kategori **Gelanggan** masih  terhubung karena memiliki objek awal.

Sifat lainnya
-------------

* Satu-satunya objek injeksi dalam **Gelanggang** hingga isomorfisme adalah gelanggang nol (yaitu objek terminal).
* Jika tidak memiliki morfisme nol, kategori cincin tidak boleh menjadi kategori preadditif. (Namun, setiap gelanggang — dianggap sebagai kategori kecil dengan satu objek — adalah kategori pra-tambahan).
* Kategori cincin adalah kategori monoidal simetris dengan hasil kali tensor gelanggang ⊗**Z** sebagai produk monoid dan Gelanggang bilangan bulat **Z** sebagai objek satuan. Ini mengikuti dari teorema Eckmann–Hilton, bahwa  monoid di **Gelanggang** hanyalah sebuah gelanggang komutatif.

Catatan
-------

Referensi
---------

* Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). *Abstract and Concrete Categories* (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-21. Diakses tanggal 2020-11-15.
* Mac Lane, Saunders; Garrett Birkhoff (1999). *Algebra* (edisi ke-(3rd ed.)). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1646-2.
* Mac Lane, Saunders (1998). *Categories for the Working Mathematician*. Graduate Texts in Mathematics **5** (edisi ke-(2nd ed.)). Springer. ISBN 0-387-98403-8.