| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika, **matriks Hesse** adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai **matriks Hessian**, **Hessian**, atau **Hesse*.*** Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat
------------------

Misal *f* : ℝ*n* → ℝ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor **x** ∈ ℝ*n* dan menghasilkan skalar *f*(**x**) ∈ ℝ. Jika semua turunan parsial kedua *f* ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse **H** dari *f* merupakan matriks persegi *n*×*n*, biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

{\displaystyle \mathbf {H} f={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{1}\,\partial x\_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{1}\,\partial x\_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{2}\,\partial x\_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{2}\,\partial x\_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{n}\,\partial x\_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{n}\,\partial x\_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}
atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks *i* dan *j*:

{\displaystyle (\mathbf {H} f)\_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}.}
Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan **H**(*f*(**x**)) = **J**(∇*f*(**x**)).

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua *f* kontinu dalam lingkungan *D* dari titik **x** yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

{\displaystyle \mathbf {H} f\_{ij}={\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x\_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x\_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\right)=\mathbf {H} f\_{ji}}

Aplikasi
--------

### Uji turunan kedua

Artikel utama: Uji turunan parsial kedua
Matriks Hesse dari suatu fungsi cembung bersifat semidefinit positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu titik kritis *x* merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse definit positif di *x*, maka *f* mencapai minimum lokal terpencil di *x*. Sedangkan jika matriks Hesse definit negatif di *x*, maka *f* mencapai maksimum lokal terpencil di *x*. Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka *x* adalah titik pelana untuk *f*. Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka *x* adalah minimum lokal, dan jika negatif maka *x* adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

### Titik kritis

Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi *f* nol pada suatu titik **x**, maka *f* memiliki *titik kritis* (atau *titik stasioner*) di **x**. Determinan matriks Hesse di **x** kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka **x** disebut *titik kritis merosot* *f*, atau *titik kritis non-Morse* *f*. Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut *titik kritis Morse* *f*.

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.

Lihat pula
----------

* Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
* Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
* Matriks Jacob
* Persamaan Hesse

Catatan
-------

1. ↑  Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). *Calculus Concepts and Methods*. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.
2. ↑  Callahan, James J. (2010). *Advanced Calculus: A Geometric View* (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.
3. ↑  Casciaro, B.; Fortunato, D.; Francaviglia, M.; Masiello, A. ed. (2011). *Recent Developments in General Relativity* (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 178. ISBN 9788847021136.
4. ↑  Domenico P. L. Castrigiano; Sandra A. Hayes (2004). *Catastrophe theory*. Westview Press. hlm. 18. ISBN 978-0-8133-4126-2.

Bacaan lanjutan
---------------

* Lewis, David W. (1991). *Matrix Theory*. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
* de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". *Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003*. Contemporary Mathematics. **369**. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627.
* de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". *Journal of Algebra*. **282** (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". *MathWorld*.

| * l
* b
* s
Kelas-kelas matriks |
| --- |
| Batasan pada elemen matriks | 
* (0,1)
* Alternatif
* Anti-diagonal
* Anti-Hermitian
* Anti-simetris
* Panah condong
* Bidiagonal
* Biner
* Bisimetris
* Diagonal balok
* Blok
* Blok segitiga
* Sentrosimetri
* Konferensi
* Hadamard kompleks
* Kopositif
* Dominan diagonal
* Ekuivalen
* Permutasi generalisasi
* Bilangan bulat
* Logis
* Monomial
* Nonnegatif
* Dipartisi
* Persimetris
* Polinomial
* Positif
* Kuarter
* Tanda
* Signatur
* Hermitian-miring
* Simetris-miring
* Garis langit
* Z

* Boole
* Cauchy
* Diagonal
* Elementer
* Frobenius
* Hadamard
* Hankel
* Hermite
* Hessenberg
* Metzler
* Moore
* Parisi
* Pita
* Permutasi
* Rongga
* Segitiga
* Simetrik
* Sylvester
* Transformasi Fourier diskret
* Tridiagonal
* Toeplitz
* Uniter
* Vandermonde
* Walsh

 |
| Konstan | 
* Bergeser
* Pertukaran

* Hilbert
* Identitas
* Lehmer
* Nol
* Pascal
* Pauli
* Redheffer
* Satu

 |
| Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya | 
* Kompasi
* Konvergen
* Defektif
* Diagonalisasi
* Generalisasi-positif

* Stabilitas
* Hurwitz
* Stieltjes

 |
| Batasan pada hasil perkalian atau inversnya | 
* Congruent
* Involutori
* Generalisasi unimodular
* Penimbangan

* Idempoten atau Proyeksi
* Nilpoten
* Normal
* Ortogonal
* Singular
* Terbalikkan (nonsingular)
* Unimodular
* Unipoten

 |
| Dengan aplikasi tertentu | 
* Adjugat
* Tanda alternatif
* Augmenten
* Lingkaran
* Komutasi
* Kofunsi
* Derogasi
* Duplikasi
* Eliminasi
* Jarak Euklides
* Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
* Generator
* Geser
* Persamaan

* Acak
* Bézout
* Carleman
* Cartan
* Coxeter
* Gram
* Hesse
* Householder
* Imbalan
* Jacobi
* Jarak
* Kofaktor
* Seifert
* Simplektik
* Transformasi
* Pick
* Positif total
* Rotasi
* Wedderburn
* X–Y–Z

 |
| Digunakan dalam statistika | 
* Centering
* Design
* Dispersion
* Doubly stochastic
* Fisher information
* Hat
* Precision

* Bernoulli
* Korelasi
* Kovariansi
* Stokastik (Markov)

 |
| Digunakan dalam teori graf | 
* Adjacency
* Biadjacency
* Degree
* Incidence
* Seidel adjacency
* Skew-adjacency

* Edmonds
* Laplace
* Tutte

 |
| Digunakan dalam sains dan teknik | 
* Fundamental (computer vision)
* Fuzzy associative
* Irregular
* Overlap
* State transition
* Substitution
* Z (chemistry)

* Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
* Densitas
* Gamma
* Gell-Mann
* Hamilton
* S

 |
| Istilah yang berhubungan | 
* Jordan canonical form
* Matrix exponential
* Matrix representation of conic sections
* Perfect matrix
* Quaternionic matrix

* Bebas linear
* Bentuk eselon baris
* Invers semu
* Wronskian

 |
| 
* Daftar jenis matriks
* Kategori:Matriks

 |