Dalam matematika, **integral kuadratik** adalah integral dengan bentuk umum

{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
dimana nilai {\displaystyle a\neq 0}. Integral di atas dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bagian penyebut, yaitu sebagai berikut

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{4a^{2}x^{2}+4abx+4ac}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax\right)^{2}+(2ax)(b)+b^{2}-b^{2}+4ac}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\\end{aligned}}}

Kasus Diskriminan Positif
-------------------------

Diasumsikan nilai diskriminan {\displaystyle b^{2}-4ac>0}. Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu

* {\displaystyle 2ax+b=t}
* {\displaystyle b^{2}-4ac=k^{2}}

yang mengakibatkan {\displaystyle 2a\,dx=dt} dan {\displaystyle k={\sqrt {b^{2}-4ac}}}. Dari sini, integral kuadratiknya menjadi

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{t^{2}-k^{2}}}\,dt\\&=\int {\frac {2}{(t-k)(t+k)}}\,dt\end{aligned}}}
Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, perhatikan bahwa

{\displaystyle {\frac {2}{(t-k)(t-k)}}={\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{t-k}}-{\frac {1}{t+k}}\right)}
Sehingga diperoleh

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {2}{(t-k)(t+k)}}\,dt\\&=\int {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{t-k}}-{\frac {1}{t+k}}\right)\,dt\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\left(\ln \left|t-k\right|-\ln \left|t+k\right|\right)+{\text{konstanta}}\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {t-k}{t+k}}\right|+{\text{konstanta}}\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|+{\text{konstanta}}\end{aligned}}}

Kasus Diskriminan Nol
---------------------

Pada kasus ini, informasi nilai {\displaystyle b^{2}-4ac=0} akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}
Dengan menggunakan substitusi {\displaystyle t=2ax+b} (yang berarti {\displaystyle dt=2a\,dx}), maka

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{t^{2}}}\,dt\\&=-{\frac {2}{t}}+{\text{konstanta}}\\&=-{\frac {2}{2ax+b}}+{\text{konstanta}}\end{aligned}}}

Kasus Diskriminan Negatif
-------------------------

Dikarenakan nilai diskriminan {\displaystyle b^{2}-4ac<0}, maka suku kedua pada bagian penyebut dari

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\,dx\end{aligned}}}
bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi

* {\displaystyle 2ax+b={\sqrt {4ac-b^{2}}}\tan t}
* {\displaystyle 2a\,dx={\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt}
* {\displaystyle \tan ^{2}t+1=\sec ^{2}t} (lihat identitas Pythagoras)

Akibatnya,

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{\left({\sqrt {4ac-b^{2}}}\tan t\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\cdot {\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt\\&=\int {\frac {2}{\left(4ac-b^{2}\right)\left(\tan ^{2}t+1\right)}}\cdot {\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\int {\dfrac {\sec ^{2}t}{\sec ^{2}t}}\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}t+{\text{konstanta}}\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan \left({\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{konstanta}}.\end{aligned}}}

Referensi
---------

* Weisstein, Eric W. "Quadratic Integral." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
* Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo, ed. *Table of Integrals, Series, and Products* (dalam bahasa English). Diterjemahkan oleh Scripta Technica, Inc. (edisi ke-8). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)

| * l
* b
* s
Kalkulus |
| --- |
| Prakalkulus | 
* Teorema binomial
* Fungsi cekung
* Fungsi kontinu
* Faktorial
* Beda hingga
* Variabel bebas dan variabel terikat
* Grafik fungsi
* Fungsi linear
* Radian
* Teorema Rolle
* Sekan
* Kemiringan
* Garis singgung

 |
| Limit (matematika) | 
* Bentuk tak tentu
* Limit barisan
* Limit fungsi
	+ Limit sepihak
* Urutan aproksimasi
* definisi (ε, δ) dari limit

 |
| Kalkulus diferensial | 
* Turunan
* Turunan kedua
* Turunan parsial
* Diferensial
* Operator diferensial
* Teorema nilai purata
* Notasi
	+ Notasi Leibniz
	+ Notasi Newton
* Kaidah pendiferensialan
	+ jumlahan
	+ linearitas
	+ pangkat
	+ Rantai
	+ L'Hôpital
	+ darab
		- Aturan umum Leibniz
	+ Hasil-bagi
* Teknik lainnya
	+ Turunan implisit
	+ Turunan fungsi invers
	+ Turunan logaritmik
	+ Laju yang berkaitan
* Titik stasioner
	+ Uji turunan pertama
	+ Uji turunan kedua
	+ Teorema nilai ekstrem
	+ Maksimum dan minimum
* Penerapan lebih lanjut
	+ Metode Newton
	+ Teorema Taylor
* Persamaan diferensial
	+ Persamaan diferensial biasa
	+ Persamaan diferensial parsial
	+ Persamaan diferensial stokastik
	+ Persamaan diferensial-integral

 |
| Kalkulus integral | 
* Integral tak tentu
* Panjang busur
* Integral Riemann
* Sifat dasar
* Konstanta integrasi
* Teorema dasar kalkulus
	+ Kaidah integral Leibniz
* Pengintegralan parsial
* Integral substitusi
	+ Substitusi trigonometri
	+ Substitusi Euler
	+ Substitusi tangen setengah sudut
* Dekomposisi pecahan parsial
	+ Integral kuadratik
* Kaidah trapesium
* Volume
	+ Integrasi cakram
	+ Integrasi kulit
* Persamaan integral
* Persamaan diferensial-integral

 |
| Kalkulus vektor | 
* Turunan
	+ Gradien
	+ Turunan berarah
	+ Divergensi
	+ Kerul
	+ Laplace
* Teorema dasar
	+ Integral garis
	+ Green
	+ Stokes
	+ Gauss

 |
| Kalkulus multivariabel | 
* Turunan parsial
* Pengali Lagrange
* Integral lipat
* Integral garis
* Integral permukaan
* Integral volume
* Matriks Hesse
* Matriks Jacobi
* Geometrik
* Matrix
* Topik lanjutan
	+ Bentuk diferensial
	+ Luar
	+ Perumuman teorema Stokes
	+ Tensor

 |
| Deret | 
* Barisan aritmetika-geometrik
* Jenis-jenis deret
	+ Geometrik
	+ Takhingga
	+ Harmonik
	+ Pangkat
		- Taylor
		- Maclaurin
	+ Selang-seling
	+ Binomial
	+ Fourier
	+ Deret teleskopik
* Uji konvergensi
	+ suku ke-n
	+ Rasio
	+ Akar
	+ Integral
	+ Perbandingan langsung
	+ Perbandingan limit
	+ Deret selang-seling
	+ Kondensasi Cauchy
	+ Dirichlet
	+ Abel

 |
| Fungsi danbilangan khusus | 
* Bilangan Bernoulli
* e (konstanta matematika)
* Fungsi eksponensial
* Logaritma alami
* Aproksimasi Stirling

 |
| Sejarah kalkulus | 
* Adequality
* Brook Taylor
* Colin Maclaurin
* Fluksion
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Hukum kekontinuan
* Infinitesimal
* Isaac Newton
* Kalkulus infinitesimal
* Keumuman aljabar
* Leonhard Euler
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| Daftar-daftar | 
* Kaidah pendiferensialan
* Daftar limit
* Daftar integral
* Daftar integral dari fungsi eksponensial
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik
* Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers
* Daftar integral dari fungsi irasional
* Daftar integral dari fungsi logaritmik
* Daftar integral dari fungsi rasional
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers
* Daftar integral dari fungsi trigonometrik
	+ Sekan
	+ Sekan kubik

 |
| Topik lainnya | 
* Kalkulus kompleks
	+ Integral kontur
* Geometri diferensial
	+ Manifol
	+ Kelengkungan
	+ dari kurva
	+ dari permukaan
	+ Tensor
* Rumus Euler–Maclaurin
* Terompet Jibril
* Integration bee
* Bukti bahwa 22/7 melebihi π
* Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus

 |