Dalam matematika, **kategori ruang topologi**, sering dilambangkan **Top**, adalah kategori yang objek adalah ruang topologi dan morfisme adalah peta kontinu. kategori komposisi dari dua peta kontinu pada kontinu, dan fungsi identitas kontinu. Studi tentang **Top** dan sifat ruang topologi menggunakan teknik teori kategori dikenal sebagai **topologi kategorikal**.

Beberapa penulis menggunakan nama **Top** untuk kategori dengan manifold topologi atau dengan ruang kompak sebagai objek dan peta kontinu sebagai morfisme.

Sebagai kategori konkrit
------------------------

Seperti banyak kategori, kategori **Top** adalah kategori konkret, yang berarti objek himpunan dengan struktur tambahan (yaitu topologi) dan morfismenya adalah fungsi yang menjaga struktur ini

*U* : **Top** → **Himpunan**
ke kategori himpunan yang menetapkan ke setiap ruang topologi himpunan yang mendasari dan ke setiap peta pada fungsi kontinu yang mendasari.

Functor pelupa  *U*  memiliki adjoin kiri

*D* : **Himpunan** → **Top**
yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi diskrit, dan adjoin kanan

*I* : **Himpunan** → **Top**
yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi indiskrit. Kedua fungsi ini sebenarnya invers kanan menjadi  *U*  (artinya  *UD*  dan  *UI*  sama dengan identitas funktor pada **Himpunan**). Selain itu, karena setiap fungsi antara ruang diskrit atau antara ruang tak berlainan adalah kontinu, kedua fungsi ini memberikan embedding penuh dari **Himpunan** ke **Top**.

**Top** adalah model dari apa yang disebut kategori topologi. Kategori ini dicirikan oleh fakta bahwa setiap sumber terstruktur {\displaystyle (X\to UA\_{i})\_{I}} memiliki initial awal unik {\displaystyle (A\to A\_{i})\_{I}}. Dalam **Top** initial awal diperoleh dengan menempatkan topologi awal pada sumbernya. Kategori topologi memiliki banyak sifat yang sama dengan **Top** (seperti kelengkapan serat, fungsi diskrit dan tidak terpisah, dan pengangkatan batas yang unik).

Limit dan kolimit
-----------------

Kategori **Top** adalah kompleks, yang berarti bahwa semua limit dan kolimit kecil **Top**. Faktanya, fungsi pelupa  *U*  : **Top** → **Himpunan** secara unik mengangkat limit. Oleh karena itu, (ko)limit di  *'Atas'*  diberikan dengan menempatkan topologi pada (ko)limit yang sesuai di **Himpunan**.

Secara khusus, jika  *F*  adalah diagram di **Top' l *dan (*L*,* φ*:* L *→* F*) adalah batas*  UF  *di*  'Set' *, batas yang sesuai dari*  F  *di*** *Top'* diperoleh dengan menempatkan topologi awal di (*L*, *φ* : *L* → *F*). Dually, kolimit dalam **Top** diperoleh dengan menempatkan topologi akhir pada kolom yang sesuai di **Himpunan**.

Tidak seperti banyak kategori  *aljabar* , fungsi pelupa *U* : **Top** → **Himpunan** tidak membuat atau mencerminkan batasan karena biasanya akan ada kerucut non-universal di **Top** yang mencakup kerucut universal di **Himpunan**.

Referensi
---------

* Herrlich, Horst: *Topologische Reflexionen und Coreflexionen*. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
* Herrlich, Horst: *Categorical topology 1971–1981*. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279–383.
* Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology – its origins, as exemplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255–341.
* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). *Abstract and Concrete Categories* Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine. (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).