**Transformasi Fourier**, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.

*Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.*

Definisi
--------

Transformasi Fourier dari suatu fungsi f secara tradisional dilambangkan {\displaystyle {\hat {f}}}, dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }. One of them is

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(Persamaan.1)** |

 |

untuk semua bilangan riil ξ.

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu
by {\displaystyle f(x)=e^{2\pi i\xi \_{0}x}} sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol {\displaystyle \xi \_{0}.} Konvensi tanda negatif menyebabkan produk {\displaystyle e^{2\pi i\xi \_{0}x}e^{-2\pi i\xi x}} to be 1 (frekuensi nol) kapan {\displaystyle \xi =\xi \_{0},} menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di {\displaystyle \xi =\xi \_{0}}, yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal {\displaystyle e^{2\pi i\xi \_{0}x}.}

Ketika variabel independen x mewakili *waktu*, variabel transformasi ξ mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai, f ditentukan oleh {\displaystyle {\hat {f}}} melalui transformasi terbalik:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle f(x)=\int \_{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi ,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(Persamaan.2)** |

 |

untuk bilangan riil untuk fungsi x.

Pernyataan dari mana f dapat menentukan {\displaystyle {\hat {f}}} dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier *Analytical Theory of Heat*, meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian. Fungsi f dan {\displaystyle {\hat {f}}} sering disebut sebagai *pasangan integral Fourier* atau *pasangan transformasi Fourier*.

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut ω alih-alih frekuensi ξ, lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel x sering mewakili posisi dan momentum ξ. Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada *L*2 dan homomorfisme aljabar dari *L*1 untuk *L*∞, tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.

Pengertian
----------

Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi ƒ: **R** → **C**. Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx},   untuk setiap bilangan riil ξ.

Sejarah
-------

Artikel utama: Analisis Fourier § Sejarah, dan Deret Fourier § Sejarah
Pada tahun 1822, Joseph Fourier menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.

Catatan kaki
------------

1. ↑  Kaiser 1994, hlm. 29.
2. ↑  Rahman 2011, hlm. 11.
3. ↑  "Tandatangani Konvensi dalam Gelombang Elektromagnetik (EM)" (PDF).
4. ↑  Fourier 1822, hlm. 525.
5. ↑  Fourier 1878, hlm. 408.
6. ↑  (Jordan 1883) membuktikan pada hal. 216–226 Teorema integral Fourier sebelum mempelajari deret Fourier.
7. ↑  Titchmarsh 1986, hlm. 1.
8. ↑  Rahman 2011, hlm. 10.
9. ↑  Folland 1989.
10. ↑  
Kaiser, Gerald (1994), *A Friendly Guide to Wavelets*, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3711-7
11. ↑  Fourier 1822.

Referensi
---------

* Smith, Steven W. *The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing*, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. *(also available online: )*
* A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, *Handbook of Integral Equations*, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

Lihat pula
----------

* Transformasi Nomor Teoritik
* Transformasi Laplace
* Transformasi Laplace dua sisi
* Transformasi Mellin
* Fungsi Orthogonal
* Wavelet
* Chirplet
* Fungsi karakteristik (teori kemungkinan)
* Bispectrum
* Spektrofotometer Fourier Transform Infra Red

Pranala luar
------------

* Online Computation Diarsipkan 2005-11-10 di Wayback Machine. of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
* Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.


1. ↑  Fungsi dari {\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi \_{0}x)\equiv \cos(-2\pi \xi \_{0}x)} juga merupakan sinyal dengan frekuensi {\displaystyle \xi \_{0}}, tetapi integral jelas menghasilkan tanggapan yang identik pada keduanya {\displaystyle \xi \_{0}} dan {\displaystyle -\xi \_{0}}, yang juga konsisten dengan rumus Euler: {\displaystyle \cos(2\pi \xi \_{0}x)\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i2\pi \xi \_{0}x}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i2\pi \xi \_{0}x}.}