Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, **gelanggang komutatif** adalah gelanggang dengan operasi perkalian komutatif. Studi tentang gelanggang komutatif disebut aljabar komutatif. Sebagai pelengkap, aljabar nonkomutatif adalah studi tentang gelanggang nonkomutatif dimana perkalian tidak digunakan sebagai komutatif.

| Struktur aljabar → **Teori gelanggang**Teori gelanggang |
| --- |
|  |
| Konsep dasar**Gelanggang**
• Subgelanggang
• Ideal
• Gelanggang hasil bagi
• Ideal pecahan
• Gelanggang hasil bagi total
• Gelanggang produk
• Produk bebas dari aljabar asosiatif
• Produk tensor gelanggang
**Gelanggang homomorfisme**
• Kernel
• Keautomorfan dalam
• Endomorfisme Frobenius
**Struktur aljabar**
• Modul
• Aljabar asosiatif
• Gelanggang bergradasi
• Gelanggang involutif
• Kategori gelanggang
• Gelanggang initial {\displaystyle \mathbb {Z} }
• Gelanggang terminal {\displaystyle 0=\mathbb {Z} \_{1}}
**Struktur terkait**
• Medan
• Medan hingga
• Gelanggang non-asosiatif
• Gelanggang Lie
• Gelanggang Jordan
• Semigelanggang
• Semimedan

---

 |
| Aljabar komutatif**Gelanggang komutatif**
• Ranah integral
• Ranah tertutup secara integral
• Ranah GCD
• Ranah faktorisasi unik
• Ranah ideal utama
• Ranah Euklides
• Medan
• Medan hingga
• Gelanggang komposisi
• Gelanggang polinomial
• Gelanggang deret kuasa/pangkat formal
**Teori bilangan aljabar**
• Medan bilangan aljabar
• Gelanggang bilangan bulat
• Kebebasan aljabar
• Teori bilangan transendental
• Derajat transendensi
**Teori bilangan dan desimal *p*-adik**
• Limit langsung/Limit invers
• Gelanggang nol {\displaystyle \mathbb {Z} \_{1}}
• Bilangan modulo *p*n {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
• Prüfer gelanggang-*p* {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
• Base-*p* gelanggang lingkaran {\displaystyle \mathbb {T} }
• Base-*p* bilangan bulat {\displaystyle \mathbb {Z} }
• Rasional *p*-adik {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}
• Base-*p* bilangan real {\displaystyle \mathbb {R} }
• Bilangan bulat*p*-adik {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}
• Bilangan *p*-adik {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}
• Salenoid *p*-adik {\displaystyle \mathbb {T} \_{p}}
**Geometri aljabar**
• Variasi Afin

---

 |
| Aljabar nonkomutatif**Gelanggang nonkomutatif**
• Gelanggang pembagian
• Gelanggang semiprimitif
• Gelanggang sederhana
• Komutator
**Geometri aljabar nonkomutatif**
**Aljabar bebas**
**Aljabar Clifford**
• Aljabar geometris
**Operasi aljabar** |
| * l
* b
* s
 |

| Struktur aljabar |
| --- |
| Sejenis grup
* Grup
* Semigrup / Monoid
* Rak dan ganjal
* Grup semu dan gelung

* Grup abelian
* Magma
* Grup Lie


*Teori grup* |
| Sejenis gelanggang
* Gelanggang
* Semigelanggang
* Gelanggang dekat
* Gelanggang komutatif
* Ranah integral
* Medan
* Gelanggang pembagian

*Teori gelanggang* |
| Sejenis kekisi
* Kekisi
* Semikekisi
* Kekisi dikomplemenkan
* Urutan total
* Aljabar Heyting
* Aljabar boolean

* Peta kekisi
* *Teori kekisi*
 |
| Sejenis modul
* Modul
* Grup dengan operator
* Ruang vektor

* *Aljabar linear*
 |
| Sejenis aljabar
* Aljabar

* Asosiatif
* Non-asosiatif
* Aljabar komposisi

* Aljabar Lie
* Bertingkat
* Bialjabar

 |
| * l
* b
* s
 |

Definisi dan contoh pertama
---------------------------

Informasi lebih lanjut mengenai definisi gelanggang: Gelanggang (matematika)
*Gelanggang* adalah himpunan *R* yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu operasi yang menggabungkan dua elemen gelanggang ke sepertiga. Mereka disebut *penjumlahan* dan *perkalian* dan biasanya dilambangkan dengan "+" dan "⋅"; misalnya *a* + *b* dan *a* ⋅ *b*. Untuk membentuk sebuah gelanggang, kedua operasi menggunakan sejumlah sifat: gelanggang berupa grup abelian di bawah penjumlahan serta monoid di bawah perkalian, dimana perkalian distributif lebih dari penjumlahan; yaitu, *a* ⋅ (*b* + *c*) = (*a* ⋅ *b*) + (*a* ⋅ *c*). Elemen identitas untuk penjumlahan dan perkalian dilambangkan dengan 0 dan 1.

Jika perkalian komutatif, yaitu

*a* ⋅ *b* = *b* ⋅ *a*,
maka gelanggang *R* disebut *komutatif*. Di sisa artikel ini, semua gelanggang akan menjadi komutatif, kecuali secara eksplisit dinyatakan lain.

### Contoh pertama

Contoh penting dan dalam arti penting, adalah gelanggang bilangan bulat **Z** dengan dua operasi penjumlahan dan perkalian. Karena perkalian bilangan bulat adalah operasi komutatif dan gelanggang komutatif. Biasanya dilambangkan dengan **Z** sebagai singkatan dari bahasa Jerman kata *Zahlen* (bilangan).

Medan adalah gelanggang komutatif dimana {\displaystyle 0\not =1} dan setiap bukan nol elemen *a* dapat dibalik; yaitu, memiliki pembalikan perkalian *b* maka *a* ⋅ *b* = 1. Oleh karena itu, menurut definisi, medan adalah gelanggang komutatif. Medan dengan bentuk rasional, riil dan bilangan kompleks.

Jika *R* adalah gelanggang komutatif tertentu, maka himpunan dari semua polinomial dalam variabel *X* yang koefisiennya adalah *R* bentuk gelanggang polinomial dilambangkan dengan *R*[*X*]. Hal yang sama berlaku untuk beberapa variabel.

Jika *V* adalah beberapa ruang topologi, misalnya himpunan bagian dari beberapa **R***n* sebagai fungsi kontinu bilangan riil atau kompleks dengan *V* membentuk gelanggang komutatif. Hal yang sama berlaku untuk terdiferensiasi atau fungsi holomorfik, ketika dua konsep tersebut didefinisikan, seperti untuk *V* lipatan kompleks.

Pembagian
---------

Berbeda dengan medan lain, dimana setiap elemen bukan nol dapat dibalik secara multiplikasi, konsep pembagian untuk gelanggang. Elemen *a* dari gelanggang *R* disebut sebagai unit jika memiliki invers perkalian. Jenis elemen khusus lainnya adalah pembagi nol, yaitu elemen *a* sedemikian rupa maka terdapat elemen bukan nol *b* dari gelanggang tersebut sebagai *ab* = 0. Jika *R* tidak memiliki pembagi bukan nol disebut pula sebagai domain integral (atau domain). Elemen *a* yang menggunakan *a**n* = 0 untuk beberapa bilangan bulat positif *n* disebut nilpoten.

### Lokalisasi

Artikel utama: Lokalisasi gelanggang
*Lokalisasi* gelanggang adalah proses dimana beberapa elemen dibuat dapat dibalik, yaitu pembalikan perkalian ditambahkan ke gelanggang. Secara konkret, jika *S* adalah himpunan bagian penjumlahan penutupan dari *R* (yaitu *s*, *t* ∈ *S* maka begitu pula *st*) *lokalisasi* dari *R* dengan *S* atau *gelanggang pecahan* dengan penyebut *S*, dilambangkan *S*−1*R* terdiri dari simbol

{\displaystyle {\frac {r}{s}}} dengan *r* ∈ *R*, *s* ∈ *S*
kaidah tertentu yang menggunakan pembatalan akrab dari bilangan rasional. Dalam translasi ini **Q** adalah pelokalan dari **Z** di semua bilangan bulat bukan nol. Konstruksi ini berfungsi untuk domain integral *R* bukan **Z**. Lokalisasi (*R* \ {0})−1*R* adalah medan bidang hasil bagi dari *R*.

Ideal dan modul
---------------

Berikut ini, R menunjukkan gelanggang komutatif.
Banyak dari pengertian berikut untuk gelanggang komutatif tidak harus, tetapi definisi dan sifat biasanya lebih rumit. Misalnya, semua ideal dalam lingkaran komutatif secara otomatis dua sisi, yang sangat menyederhanakan situasi.

### Modul dan ideal

Artikel utama: Modul
Untuk gelanggang *R* adalah ruang vektor untuk medan. Artinya, elemen dalam modul dapat ditambahkan atau dikalikan dengan elemen *R* dimana aksioma yang sama sebagai ruang vektor. Studi tentang modul secara signifikan lebih terlibat dari studi ruang vektor di aljabar linear, karena beberapa fitur ruang vektor gagal untuk modul secara umum: modul tidak digunakan bebas yaitu dalam bentuk

{\displaystyle M=\bigoplus \_{i\in I}R.}
Bahkan untuk modul bebas, peringkat modul bebas (yaitu analog dari dimensi ruang vektor) mungkin tidak terdefinisi dengan baik. Akhirnya, submodul dari modul hingga tidak dibuat secara hingga (kecuali *R* adalah Noetherian, lihat di bawah).

### Ideal

Artikel utama: Ideal dan Gelanggang faktor
*Ideal* dari gelanggang *R* adalah submodul dari  *R* , yaitu modul yang terdapat dalam *R*. Lebih detail, ideal *I* adalah himpunan bagian tidak kosong dari *R* maka untuk semua *r* dengan *R*, *i* dan *j* dengan *I*, baik *ri* dan *i*+*j* dengan *I*. Untuk berbagai aplikasi, memahami ideal adalah gelanggang sangat penting, tetapi sering kali melanjutkan dengan mempelajari modul secara umum.

Setiap gelanggang memiliki dua ideal, yaitu nol ideal {0} dan *R* keseluruhannya adalah gelanggang. Kedua ideal jika *R* adalah sebuah bidang. Diberikan himpunan bagian *F* = {*f**j*}*j* ∈ *J* of *R* dimana *J* adalah beberapa himpunan indeks, ideal *dihasilkan dari F* adalah ideal terkecil yang digunakan *F*. Secara ekuivalen diberikan kombinasi linear hingga, maka

{\displaystyle r\_{1}f\_{1}+r\_{2}f\_{2}+\dots +r\_{n}f\_{n}}.
#### Domain ideal utama

Jika *F* terdiri dari satu elemen *r*, ideal yang dihasilkan *F*  terdiri dari kelipatan *r*, yaitu elemen dengan bentuk *rs*  untuk elemen *s*. Ideal yang disebut sebagai prinsip ideal. Jika setiap ideal adalah ideal prinsipal, *R* disebut sebagai gelanggang ideal utama; dua kasus penting adalah **Z** dan *k*[*X*] gelanggang polinomial di atas bidang *k*. Keduanya adalah domain tambahan, sehingga disebut domain ideal utama.

Tidak seperti gelanggang umum, untuk domain ideal utama, sifat elemen individu sangat terikat dengan sifat gelanggang secara keseluruhan. Misalnya, setiap domain ideal utama *R* adalah domain faktorisasi unik (DFU) yang berarti bahwa setiap elemen adalah produk dari elemen yang tidak dapat direduksi, dengan cara yang unik (hingga penataan ulang faktor). Maka, elemen *a* dalam domain disebut tak tereduksi jika satu-satunya cara untuk mengekspresikannya sebagai produk

*a* = *bc*,
adalah *b* atau *c* sebagai satu unit. Contoh, penting dalam teori medan adalah polinomial tak tersederhanakan, yaitu elemen tak tersederhanakan dalam *k*[*X*] untuk medan *k*. Bahwa **Z** adalah DFU dapat dinyatakan sebagai elementer dengan bilangan asli didekomposisi unik sebagai hasil perkalian bilangan prima. Maka dikenal sebagai teorema dasar aritmetika.

Unsur *a* adalah elemen utama jika setiap *a* membagi produk *bc*, *a* membagi *b* atau *c*. Dalam domain, prima berarti tidak dapat direduksi. Kebalikannya benar dalam domain faktorisasi unik, tetapi salah secara umum.

#### Gelanggang faktor

Definisi ideal sedemikian rupa sehingga "membagi" *{\displaystyle I}* "luar "memberikan gelanggang lain, *gelanggang faktor* *{\displaystyle R}* / *{\displaystyle I}*: itu adalah himpunan kohimpunan dari *{\displaystyle I}* dengan operasi

*{\displaystyle \left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I}* dan *{\displaystyle \left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I}*.
Misalnya, gelanggang {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } (juga dilambangkan dengan {\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}}), dimana *{\displaystyle n}* adalah bilangan bulat gelanggang dari bilangan bulat modulo *{\displaystyle n}*. Ini adalah dasar dari aritmetika modular.

Idealnya adalah *tepat* jika lebih kecil dari keseluruhan gelanggang. Ideal yang tidak sepenuhnya terkandung dalam ideal yang benar disebut maksimal.  Ideal *{\displaystyle m}* adalah maksimal jika dan hanya jika *{\displaystyle R}* / *{\displaystyle m}* adalah sebuah lapangan.  Kecuali untuk gelanggang nol, setiap gelanggang (dengan identitas) memiliki setidaknya satu ideal maksimal; mengikuti dari lemma Zorn.

### Gelanggang Noether

Artikel utama: Gelanggang Noether
Gelanggang disebut *Noether* (terhormat Emmy Noether, yang mengembangkan konsep ini) jika setiap rantai naik ideal

*{\displaystyle 0\subseteq I\_{0}\subseteq I\_{1}\subseteq \dots \subseteq I\_{n}\subseteq I\_{n+1}\dots }*
menjadi stasioner, yaitu menjadi konstanta di luar beberapa indeks *{\displaystyle n}*. Secara ekuivalen, setiap ideal dihasilkan oleh banyak elemen yang tak terhingga atau ekuivalen, submodul dari modul yang dibuat secara terbatas akan dibuat secara terbatas.

Being Noetherian adalah kondisi keterbatasan yang sangat penting, dan kondisi tersebut dalam banyak operasi yang terjadi dalam geometri. Misalnya, jika *{\displaystyle R}* adalah Noether, begitu pula gelanggang polinomial *{\displaystyle R\left[X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n}\right]}* (dengan teorema dasar Hilbert), lokalisasi *{\displaystyle S^{-1}R}*, dan pula gelanggang faktor *{\displaystyle R}* / *{\displaystyle I}*.

Gelanggang taknoether *{\displaystyle R}* adalah gabungan dari subgelanggang Noether. Fakta ini, yang dikenal sebagai hampiran Noether, memungkinkan perluasan teorema tertentu ke gelanggang taknoether.

### Gelanggang Artin

Gelanggang disebut Artin (dinamakan Emil Artin), jika setiap rantai menurun dari ideal

*{\displaystyle R\supseteq I\_{0}\supseteq I\_{1}\supseteq \dots \supseteq I\_{n}\supseteq I\_{n+1}\dots }*
menjadi stasioner pada akhirnya. Meskipun kedua kondisi tampak simetris, gelanggang Noether lebih umum dari gelanggang Artin. Sebagai contoh, ***{\displaystyle \mathbb {Z} }*** adalah Noether, karena setiap ideal dapat dihasilkan oleh satu elemen, tetapi bukan Artin, sebagai rantai

***{\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots }***
Faktanya, menurut teorema Hopkins–Levitzki setiap gelanggang Artin adalah Noether. Lebih tepatnya, gelanggang Artin dapat dicirikan sebagai gelanggang Noether yang dimensi Krull-nya nol.

Spektrum gelanggang komutatif
-----------------------------

### Ideal prima

Artikel utama: Ideal prima
Seperti disebutkan di atas, **Z** adalah domain faktorisasi tunggal. Tentu tidak benar untuk gelanggang lebih umum, seperti yang disadari oleh aljabar-wan pada abad ke-19. Misalnya, dalam

{\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}
ada dua cara yang sangat berbeda untuk menulis 6 sebagai produk:

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}
Ideal utama, sebagai lawan dari elemen utama, sebagai cara untuk menghindari masalah ini. Ideal utama adalah ideal yang tepat (yaitu, secara ketat terkandung dalam *R*) *p* sedemikian rupa, setiap produk *ab* dari dua elemen gelanggang *a* dan *b* dengan *p*, setidaknya satu dari dua elemen sudah tersedia dalam *p*. Kesimpulan yang berlawanan berlaku untuk ideal, menurut definisi. Jadi, jika sebuah ideal prima adalah prinsipal, ia secara ekuivalen dihasilkan dari elemen prima. Namun, dalam gelanggang {\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}, ideal utama tidak menjadi prinsipal. Membatasi penggunaan elemen prima dalam teori gelanggang. Landasan teori bilangan aljabar adalah, bagaimanapun, fakta bahwa dalam gelanggang Dedekind (yang mencakup {\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]} dan lebih umum gelanggang bilangan bulat dalam bidang bilangan) setiap ideal (seperti yang dihasilkan oleh 6) terurai secara unik sebagai produk dari ideal prima.

### Spektrum

Artikel utama: Spektrum gelanggang
Spek (**Z**) menggunakan titik untuk ideal nol. Penutupan titik ini adalah seluruh ruang. Poin yang tersisa adalah poin yang sesuai dengan ideal (*p*), dimana *p* adalah bilangan prima. Titik ini adalah *c*.
*Spektrum gelanggang R*, dilambangkan dengan Spek*R*, adalah himpunan dari semua ideal utama dari *R*. Digunakan dengan topologi yaitu topologi Zariski dimana sifat aljabar *R* dasar himpunan bagian terbuka diberikan oleh

*D*(*f*) = {*p* ∈ *Spek R*, *f* ∉ *p*}, dimana *f* adalah elemen gelanggang.
Menafsirkan *f* sebagai fungsi yang mengambil nilai *f* mod *p* (yaitu, gambar *f* dalam bidang residu *R*/*p*), himpunan bagian ini adalah lokus dimana *f* bukan nol. Spektrum membuat intuisi yang tepat bahwa lokalisasi dan gelanggang faktor saling melengkapi: peta alam *R* → *R**f* dan *R* → *R* / *fR* setelah diberikan spektrum gelanggang tersebut dengan topologi Zariski, untuk melengkapi terbuka dan tertutup. Bahkan untuk gelanggang dasar dengan diilustrasikan untuk *R* = **Z** bagian kanan, topologi Zariski sangat berbeda dari himpunan bilangan riil.

Spektrum dengan himpunan ideal maksimal yang terkadang dilambangkan dengan mSpek (*R*). Untuk medan tertutup aljabar *k*, mSpek (k[*T*1, ... *T**n*] / (*f*1, ... *f**m*)) terdapat dalam bijeksi dengan himpunan

{*x* =(*x*1, ... *x**n*) ∊ *k**n* | *f*1(*x*) = ... = *f**m*(*x*) = 0.}
Dengan demikian, ideal maksimal merumuskan sifat geometris himpunan solusi polinomial merupakan motivasi awal untuk mempelajari gelanggang komutatif. Namun, pertimbangan ideal non-maksimal sebagai bagian dari sifat geometris sebuah gelanggang berguna karena beberapa alasan. Misalnya, ideal prima minimal (yaitu, tidak hanya berisi yang lebih kecil) sesuai dengan komponen tak tersederhanakan dari Spek *R*. Untuk gelanggang Noetherian *R*, Spek *R* menggunakan banyak komponen tak tersederhanakan. Pernyataan kembali geometris dari dekomposisi primer dengan setiap ideal diuraikan sebagai produk dari banyak ideal primer. Fakta ini adalah generalisasi akhir dari dekomposisi menjadi ideal utama dalam gelanggang Dedekind.

### Skema Affin

Pengertian spektrum adalah dasar umum dari aljabar komutatif dan geometri aljabar. Geometri aljabar dilanjutkan dengan menganugerahi Spek *R* dengan berkas {\displaystyle {\mathcal {O}}} entitas yang mengumpulkan fungsi yang ditentukan secara lokal, yaitu pada himpunan bagian terbuka yang bervariasi. Datum ruang dan berkas disebut skema affin. Diberikan skema affin, gelanggang yang mendasari *R* dapat dipulihkan sebagai bagian global dari {\displaystyle {\mathcal {O}}}. Selain itu, korespondensi satu-ke-satu antara gelanggang dan skema affin kompatibel dengan homomorfisme gelanggang: hanya *f* : *R* → *S* memunculkan peta kontinu ke arah yang berlawanan

Spek *S* → Spek *R*, *q* ↦ *f*−1(*q*), yaitu setiap ideal prima dari *S* dipetakan ke precitra di bawah *f*, yang merupakan ideal prima dari *R*.
Ekuivalen yang dihasilkan dari dua kategori tersebut secara tepat mencerminkan sifat aljabar gelanggang secara geometris.

Mirip dengan fakta Thatcher lipatan diberikan secara lokal oleh himpunan bagian terbuka dari **R***n* skema affin adalah model lokal untuk skema, yang merupakan objek kajian dalam geometri aljabar. Oleh karena itu, beberapa pengertian tentang gelanggang komutatif berasal dari intuisi geometris.

### Dimensi

Artikel utama: Dimensi Krull
*Dimensi Krull* (atau dimensi) redup *R* gelanggang *R* mengukur "ukuran" gelanggang dengan menghitung elemen independen dalam *R*. Dimensi aljabar di atas bidang *K* dapat diukur dengan empat properti:

* Dimensi adalah sifat lokal: redup *R* = supp ∊ Spec *R* redup *R**p*.
* Dimensi tidak bergantung pada elemen nilpoten: jika *I* ⊆ *R* adalah nilpoten maka redup *R* = dim *R* / *I*.
* Dimensi tetap konstan di bawah ekstensi hingga: jika *S* adalah aljabar-*R* yang dibuat tak hingga sebagai modul-*R*, maka redup *S* = redup *R*.
* Dimensi dikalibrasi dengan redup *k*[*X*1, ... *X**n*] = *n*. Aksioma ini dimotivasi oleh tentang gelanggang polinomial dalam variabel *n* sebagai analog aljabar dari ruang dimensi-*n*.

Dimensi ditentukan, untuk setiap gelanggang *R*, sebagai supremum panjang *n* kaidah ideal utama

*p*0 ⊊ *p*1 ⊊ ... ⊊ *p**n*.
Misalnya, sebuah bidang berdimensi nol, karena satu-satunya ideal prima adalah ideal nol. Bilangan bulat adalah satu dimensi, karena kaidah berbentuk (0) ⊊ (*p*), dengan *p* adalah bilangan prima. Untuk gelanggang non-Noetherian, dan gelanggang non-lokal, dimensinya mungkin tidak hingga, tetapi gelanggang lokal Noetherian memiliki dimensi hingga. Di antara empat aksioma di atas, dua yang pertama adalah konsekuensi dasar dari definisi, sedangkan dua sisanya bergantung pada fakta penting dalam aljabar komutatif, teorema naik dan teorema ideal utama Krull.

Gelanggang homomorfisme
-----------------------

Artikel utama: Gelanggang homomorfisme
*Gelanggang homomorfisme* atau *peta* adalah peta *f*:*R* → *S* maka

*f*(*a* + *b*) = *f*(*a*) + *f*(*b*), *f*(*ab*) = *f*(*a*)*f*(*b*) dan *f*(1) = 1.
Kondisi ini memastikan *f*(0) = 0. Mirip dengan struktur aljabar lainnya, homomorfisme gelanggang dengan demikian merupakan peta yang kompatibel dengan struktur objek aljabar yang dimaksud. Dalam situasi, *S* disebut sebagai *R*, dengan memahami bahwa *s* dalam *S* dapat dikalikan dengan beberapa *r* dari *R*, dengan

*r* · *s* := *f*(*r*) · *s*.
*Kernel* dan *citra* dari *f* didefinisikan oleh ker (*f*) = {*r* ∈ *R*, *f*(*r*) = 0} dan im (*f*) = *f*(*R*) = {*f*(*r*), *r* ∈ *R*}. Kernel adalah ideal dari *R* dan citra adalah subgelanggang dari *S*.

Homomorfisme gelanggang disebut isomorfisme jika bersifat bijektiva. Contoh isomorfisme gelanggang, yang dikenal sebagai teorema sisa Tiongkok, adalah

{\displaystyle \mathbf {Z} /n=\bigoplus \_{i=0}^{k}\mathbf {Z} /p\_{i}}
dimana *n* = *p*1*p*2...*p**k* adalah produk dari bilangan prima yang berbeda berpasangan.

Gelanggan komutatif dengan homomorfisme gelanggang membentuk kategori. Gelanggang **Z** adalah objek awal dalam kategori ini, yang berarti bahwa untuk setiap gelanggang komutatif *R* maka homomorfisma gelanggang unik adalah **Z** → *R*. Melalui peta ini, bilangan bulat *n* sebagai elemen *R*. Misalnya, rumus binomial

{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}
yang berlaku untuk dua elemen *a* dan *b* dalam setiap gelanggang komutatif *R* dipahami dalam pengertian dengan menafsirkan koefisien binomial sebagai elemen *R* menggunakan peta.

Sifat universal dari *S* ⊗*R* *T* menyatakan bahwa untuk dua peta *S* → *W* dan *T* → *W* dimana trivial segi empat luar, peta unik *S* ⊗*R* *T* → *W* dimana diagram trivial.
Diberikan dua aljabar-*R* dengan *S* dan *T*, produk tensor

*S* ⊗*R* *T*
merupakan aljabar komutatif *R*. Dalam beberapa kasus, hasil kali tensor berfungsi untuk mencari *T* yang terkait dengan *Z* karena *S* terkait dengan *R*. Sebagai contoh,

*R*[*X*] ⊗*R* *T* = *T*[*X*].
### Generasi hingga

Aljabar-*R* dengan *S* disebut generalisasi tak hingga (sebagai aljabar) jika banyak elemen hingga *s*1, ... *s**n* sedemikian rupa sehingga setiap elemen *s* diekspresikan sebagai polinomial *s**i*. Sama halnya, *S* isomorfik menjadi

*R*[*T*1, ... *T**n*] / *I*.
Kondisi yang jauh lebih kuat adalah *S* adalah generalisasi sebagai modul-*R* berarti bahwa setiap *s* diekspresikan sebagai kombinasi linear-*R* dari beberapa himpunan hingga *s*1, ... *s**n*.

Gelanggang lokal
----------------

Gelanggang disebut sebagai lokal jika hanya memiliki satu ideal maksimal tunggal, dilambangkan dengan *m*. Untuk setiap gelanggang (tidak lokal) *R*, maka

*R**p*
pada ideal utama *p* bersifat lokal. Lokalisasi ini sebagai sifat geometris dari Spek  *R*  "sekitar *p*". Beberapa gagasan dan masalah dalam aljabar komutatif direduksi menjadi kasus *R* bersifat lokal, untuk gelanggang lokal sebagai kelas gelanggang yang dipelajari. Medan residu dari *R* didefinisikan sebagai

*k* = *R* / *m*.
Setiap modul-*R* dengan *M* menghasilkan ruang vektor-*k* yang diberikan oleh *M* / *mM*. Lemma Nakayama menunjukkan bahwa bagian untuk menyimpan informasi penting: modul *M* yang dihasilkan secara tak hingga adalah nol jika dan hanya jika *M* / *mM* adalah nol.

### Gelanggang lokal reguler

Kurva bidang kubik (merah) yang ditentukan oleh persamaan *y*2 = *x*2(*x* + *1*) adalah singular di asalnya, yaitu gelanggang *k*[*x*, *y*] / *y*2 − *x*2(*x* + *1*), bukan gelanggang reguler. Kerucut tangen (biru) adalah gabungan dua garis, yang juga sebagai singularitas.
Ruang vektor-*k* *m*/*m*2 adalah inkarnasi aljabar dari ruang kotangen. Secara informal, elemen *m* sebagai fungsi lenyap pada titik *p*, sedangkan *m*2 adalah dengan urutan hilang setidaknya 2. Untuk setiap gelanggang lokal Noetherian *R*, pertidaksamaan

redup*k* *m*/*m*2 ≥ redup *R*
sebagai gagasan bahwa ruang kotangen (atau ekuivalen dengan tangen) memiliki dimensi dari ruang Spek *R*. Jika pertidaksamaan benar dalam perkiraan ini, maka *R* disebut gelanggang lokal reguler. Gelanggang lokal Noetherian adalah teratur jika dan hanya jika gelanggang (yang merupakan gelanggang fungsi pada kerucut tangen)

{\displaystyle \bigoplus \_{n}m^{n}/m^{n+1}}
isomorfik ke gelanggang polinomial di atas *k*. Secara garis besar, gelanggang lokal biasa agak mirip dengan gelanggang polinomial. Gelanggang lokal biasa adalah DFU.

Gelanggang penilaian diskrit dilengkapi dengan fungsi bilangan bulat ke setiap elemen *r*. Bilangan ini, disebut penilaian *r* secara informal sebagai urutan nol atau kutub dari *r*. Gelanggang penilaian diskrit tepatnya adalah gelanggang lokal biasa satu dimensi. Misalnya, gelanggang kuman fungsi holomorfik pada permukaan Riemann adalah gelanggang penilaian diskrit.

### Persimpangan kompleks

Kubik terpuntir (hijau) adalah persimpangan kompleks teoretis himpunan, tetapi bukan perpotongan kompleks.
Dengan teorema ideal utama Krull, hasil dasar dalam teori dimensi gelanggang, dimensi gelanggang

*R* = *k*[*T*1, ... *T**r*] / (*f*1, ... *f**n*)
setidaknya *r* − *n*. Gelanggang *R* disebut gelanggang persimpangan kompleks jika ditampilkan dengan cara mencapai batas minimal ini. Gagasan ini banyak dipelajari untuk gelanggang lokal. Gelanggang lokal biasa adalah gelanggang persimpangan kompleks, tetapi tidak sebaliknya.

Gelanggang *R* adalah perpotongan kompleks *himpunan teoretis* jika gelanggang tereduksi terkait dengan *R*, yaitu gelanggang yang diperoleh dengan membagi semua elemen nilpoten adalah persimpangan kompleks. Pada tahun 2017, secara umum tidak diketahui, apakah kurva dalam ruang tiga dimensi merupakan perpotongan kompleks teori-himpunan.

### Gelanggang Cohen–Macaulay

Kedalaman dari gelanggang lokal *R* adalah jumlah elemen dalam beberapa urutan reguler maksimal, yaitu urutan *a*1, ... 
*a**n* ∈ *m* dengan semua *a**i* adalah pembagi bukan nol dalam

*R* / (*a*1, ... *a**i*−1).
Untuk gelanggang Noetherian lokal, pertidaksamaan

kedalaman (*R*) ≤ redup (*R*).
Lingkaran lokal dimana keekuivalen terjadi disebut gelanggang Cohen–Macaulay. Lingkaran persimpangan kompleks lokal, dan fortiori, lingkaran lokal reguler adalah Cohen–Macaulay, tetapi tidak sebaliknya. Cohen–Macaulay menggabungkan sifat yang diinginkan dari gelanggang biasa (seperti sifat gelanggang katener universal, yang berarti bahwa dimensi (ko)bilangan prima), tetapi lebih dalam mengambil hasil bagi dari gelanggang lokal biasa.

Sifat
-----

Dengan Teorema Wedderburn, setiap gelanggang pembagian berhingga adalah komutatif, dan karenanya medan berhingga. Kondisi lain yang memastikan komutatifitas gelanggang, karena Jacobson adalah sebagai berikut: untuk setiap elemen *r* dari *R* terdapat bilangan bulat *n* > 1 maka *r**n* = *r*. Jika, *r*2 = *r* untuk setiap *r*, gelanggang tersebut disebut gelanggang Boolean. Kondisi yang lebih umum yang menjamin komutatifitas gelanggang pula diketahui.

Generalisasi
------------

### Gelanggang komutatif bergradasi

sepasang celana adalah kobordisme antara lingkaran dan dua lingkaran yang saling lepas. Kelas kobordisme dengan hasil kartesius sebagai perkalian dan satuan disjoin sebagai penjumlahannya, membentuk gelanggang kobordisme.
Gelanggang bertingkat *R* = ⨁*i*∊**Z** *R**i* disebut komutatif bertingkat jika

*ab* = (−1)derajat *a* ⋅ derajat *b*.
Jika *R**i* dihubungkan oleh perbedaan ∂ sedemikian rupa sehingga bentuk abstrak dari kaidah perkalian berlaku, yaitu

∂(*ab*) = ∂(*a*)*b* + (−1)derajat *a*∂(*b*),
*R* disebut diferensial komutatif aljabar (adb). Contohnya adalah bentuk diferensial kompleks pada lipatan, dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian eksterior, adalah adb. Kohomologi cdga adalah gelanggang komutatif bertingkat, kadang-kadang disebut sebagai gelanggang kohomologi. Berbagai contoh gelanggang bertingkat muncul dengan cara ini. Misalnya, gelanggang Lazard adalah gelanggang kelas kobordismeobordisme dari lipatan kompleks.

Gelanggang komutatif bertingkat sehubungan dengan penilaian oleh **Z**/2 (sebagai lawan **Z**) disebut superaljabar.

Gagasan terkait adalah gelanggang hampir komutatif, yang berarti bahwa *R* difilter sedemikian rupa sehingga gelanggang bergradasi terkait

gr *R* := ⨁ *F**i**R* / ⨁ *F**i*−1*R*
bersifat komutatif. Contohnya adalah aljabar Weyl dan gelanggang yang lebih umum dari operasi diferensial.

### Gelanggang komutatif sederhana

Gelanggang komutatif sederhana adalah objek sederhana dalam kategori gelanggang komutatif. Mereka adalah blok penyusun untuk (ikat) geometri aljabar turunan. Gagasan yang terkait erat tetapi lebih umum adalah tentang gelanggang-E∞.

Lihat pula
----------

* Gelanggang almost, generalisasi tertentu dari gelanggang komutatif.
* Divisibiliti (teori gelanggang): elemen nilpoten, contoh: bilangan ganda
* Ideal dan modul: Radikal ideal, Kesetaraan Morita
* Homomorfisme gelanggang: elemen integral: Teorema Cayley–Hamilton, Domain tertutup integral, Gelanggang Krull, Teorema Krull–Akizuki
* Prima: Lemma penghindaran utama, radikal Jacobson, gelanggang nilradikal, Spektrum: Ruang kompak, Gelanggang terhubung, Kalkulus diferensial atas aljabar komutatif, Teorema Banach–Stone
* Dering lokal: gelanggang Gorenstein: Dualitas (matematika), Eben Matlis; Modul ganda, Teorema Popescu, Teorema aproksimasi Artin.
* "Aplikasi "(gelanggang komutatif yang timbul dalam matematika): Fungsi Holomorfik, Teori-K Aljabar, Teori-K topologi, Struktur pangkat bagi, Witt vector, Hecke aljabar, gelanggang periode Fontaine, Cluster aljabar, Aljabar konvolusi (dari grup komutatif), lihat juga Aljabar Fréchet

Catatan
-------

1. ↑  Gagasan ini dapat dikaitkan dengan spektrum dari operasi linear, lihat Spektrum aljabar C\* dan representasi Gelfand.

### Kutipan

1. ↑  (Matsumura, §7, Komentar, hal. 143)
2. ↑  (Matsumura, §19, Teorema 48)
3. ↑  (Lyubeznik 1989)
4. ↑  (Eisenbud 1995, Korollari 18.10, Proposisi 18.13)
5. ↑  Jacobson 1945
6. ↑  Pinter-Lucke 2007

Referensi
---------

* Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), *Introduction to commutative algebra*, Addison-Wesley Publishing Co.
* Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), *Commutative Noetherian and Krull rings*, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd. ISBN 978-0-13-155615-7
* Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), *Dimension, multiplicity and homological methods*, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications. Chichester: Ellis Horwood Ltd. ISBN 978-0-13-155623-2
* Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010), "Growth in the minimal injective resolution of a local ring", *Journal of the London Mathematical Society*, Second Series, **81** (1): 24–44, arXiv:0812.4672 alt=Dapat diakses gratis, doi:10.1112/jlms/jdp058
* Eisenbud, David (1995), *Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry.*, Graduate Texts in Mathematics, **150**, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
* Hochster, Melvin (2007), "Homological conjectures, old and new" (PDF), *Illinois J. Math.*, **51** (1): 151–169, doi:10.1215/ijm/1258735330, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-10-29, diakses tanggal 2017-08-01  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
* Jacobson, Nathan (1945), "Structure theory of algebraic algebras of bounded degree", *Annals of Mathematics*, **46** (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205
* Kaplansky, Irving (1974), *Commutative rings* (edisi ke-Revised), University of Chicago Press, MR 0345945
* Lyubeznik, Gennady (1989), "A survey of problems and results on the number of defining equations", *Representations, resolutions and intertwining numbers*, hlm. 375–390, Zbl 0753.14001
* Matsumura, Hideyuki (1989), *Commutative Ring Theory*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
* Nagata, Masayoshi (1975) [1962], *Local rings*, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, **13**, Interscience Publishers, hlm. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
* Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", *Expositiones Mathematicae*, **25** (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001 alt=Dapat diakses gratis, ISSN 0723-0869
* Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), *Commutative Algebra I, II*, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.  *(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)*

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Umum | 
* Integrated Authority File (Jerman)

 |
| Perpustakaan nasional | 
* Prancis (data)
* Amerika Serikat
* Jepang

 |
| Lain-lain | 
* Faceted Application of Subject Terminology
* Microsoft Academic
* SUDOC (Prancis)
	+ 1

 |