Dalam matematika, **notasi anak panah Knuth** adalah salah satu cara untuk melambangkan bilangan bulat dengan nilai yang besar, diciptakan oleh Donald Knuth tahun 1976. Notasi ini berhubungan dekat dengan hiperoperasi, di mana contohnya perkalian dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari penjumlahan, perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, di mana notasi anak panah Knuth dapat digunakan.

Penjelasan
----------

Operasi matematika yang sudah kita kenal seperti penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan dapat disusun menjadi deret hiperoperasi seperti berikut:

Perkalian adalah iterasi atau perulangan dari penjumlahan:

{\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} \_{b\ kali}}

Misalnya:

{\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12}

Perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:

{\displaystyle a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} \_{b\ kali}}

Misalnya:

{\displaystyle 4\uparrow 3=4^{3}={4\times 4\times \times 4}}

Iterasi selanjutnya disebut tetrasi yang merupakan perulangan dari perpangkatan, dilambangkan dengan dua anak panah:

{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\ ^{b}\!a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.^{.^{a}}}}}}} \_{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow ({...\uparrow a))}} \_{b\ kali}}

Misalnya:

{\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3=\ ^{3}\!4=4^{4^{4}}=4\uparrow (4\uparrow 4)=4^{256}\approx 1.34078079\times 10^{154}}

Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah anak panah:

Pentasi:

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow a))} \_{b\ kali}}

Heksasi:

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow \uparrow a))} \_{b\ kali}}

Jadi, notasi anak panah-{\displaystyle n} didefinisikan sebagai deret anak panah-({\displaystyle n-1}):

{\displaystyle a\underbrace {\uparrow \uparrow ...\uparrow } \_{n}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } \_{n-1}(a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } \_{n-1}(...\underbrace {\uparrow ...\uparrow } \_{n-1}a))} \_{b\ kali}}

Notasi
------

Terdapat notasi versi pendek dengan menggunakan {\displaystyle a\uparrow ^{n}b}, contohnya {\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}. Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan notasi hiperoperasi, misalnya dalam hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama tetrasi karena *n*-nya adalah empat, bukan heksasi yang *n*-nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk {\displaystyle a\uparrow ^{n+2}b}, contohnya {\displaystyle a\uparrow ^{5}b=a\uparrow \uparrow \uparrow b}, dan diberinama pentasi sesuai dengan *n*-nya yaitu lima.

Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti bahasa pemrograman dan e-mail berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu pengodean karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" (^).

Notasi alternatif lainnya adalah notasi anak panah berantai yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\rightarrow b\rightarrow n}

Pranala luar
------------

* Weisstein, Eric W. "Arrow Notation". *MathWorld*.
* Robert Munafo, *Large Numbers*

Referensi
---------

1. ↑  Knuth, Donald E. (1976-12-17). "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness". *Science* (dalam bahasa Inggris). **194** (4271): 1235–1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235. ISSN 0036-8075. PMID 17797067.

| * l
* b
* s
Googologi |
| --- |
| Notasi | Notasi Ilmiah ·  Notasi anak panah Knuth ·  BEAF ·  Notasi Steinhaus-Moser ·  Notasi Hiper-E ·  Notasi panah hiperfaktorial ·  Notasi Pound-Star ·  *Copy Notation* |
| Hirarki | Hirarki cepat-bertumbuh ·  Hirarki Hardy ·  Hirarki lambat-bertumbuh |
| Awalan | Gar- ·  Fz- ·  Fuga- ·  Megafuga- ·  Booga- |
| Bilangan penting | Triliun ·  Kuadriliun ·  Kuintiliun ·  Sekstiliun ·  Septiliun ·  Oktiliun ·  Noniliun ·  Desiliun · Undesiliun ·  Vigintiliun ·  Googol ·  Trigintiliun ·  Faxul ·  Googolplex ·  Centiliun ·  Googolduplex ·  Bilangan Graham Tehtrathoth ·  Bilangan Rayo |
| Tokoh | Chris Bird ·  Jonathan Bowers ·  John H. Conway ·  Harvey Friedman ·  Aarex Tiaokhiao ·  Andre Joyce ·  Larwence Hollom ·  Donald Knuth ·  Agustin Rayo ·  Leo Moser ·  Tibor Rado ·  Hugo Steinhaus |
| Daftar bilangan | Kelas ·  Bilangan kelas 0 ·  Bilangan kelas 1 ·  Bilangan kelas 2 ·  Bilangan kelas 3 ·  Bilangan kelas 4 ·  Bilangan kelas 5 |
| Lihat pula: Daftar lengkap bilangan |

|  |  |
| --- | --- |
| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata | 
* Microsoft Academic

 |