**Aturan Trapesium Rekursif** merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik. Di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann. Selanjutnya, menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

Dengan *F(x)* adalah antiderivatif *f(x)* (yakni *F’(x)=f(x)*). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran *f(x)*tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.

Aturan Trapesium Rekursif
-------------------------

Misalkan {\displaystyle f}
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada {\displaystyle [a,b]}. Misalkan
{\displaystyle a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<...<x\_{n}} suatu
partisi sedemikian seihngga {\displaystyle x\_{k}=x\_{0}+kh}
dengan {\displaystyle h=(b-a)/n} untuk
{\displaystyle k=0,1,2,3,...n}. Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
{\displaystyle f} terhadap partisi di atas (untuk keperluan
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
menyertakan cacah dan lebar subinterval),

{\displaystyle \ T\_{n}(f,h)={\frac {h}{2}}(f\_{0}+2f\_{1}+2f\_{2}+....+2f\_{n-1}+f\_{n})}

{\displaystyle ={\frac {h}{2}}(f\_{0}+f\_{n})+h(f\_{1}+f\_{2}+....+f\_{(}n-1))}
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}(f\_{0}+f\_{n})+h\sum \_{k=1}^{n-1}f\_{k}}...................(1)
Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat

{\displaystyle \ T\_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {h}{4}}(f\_{0}+f\_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum \_{k=1}^{2n-1}f\_{k}}

{\displaystyle ={\frac {h}{4}}(f\_{0}+f\_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum \_{j=1}^{n-1}f\_{2j}+{\frac {h}{2}}\sum \_{j=1}^{n}f\_{2j-1}}...................(2)
{\displaystyle \ T\_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {T\_{n}(f,h}{2}}+{\frac {h}{2}}\sum \_{j=1}^{n}f\_{2j-1}}...................(3)

Pada (1) berlaku {\displaystyle f\_{k}=f(x\_{0}+kh)}, sedangkan pada
(2) berlaku {\displaystyle f\_{k}=f(x\_{0}+kh/2},
sehingga {\displaystyle f\_{2k}}, pada (2) sama
dengan {\displaystyle f\_{k}} pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk {\displaystyle h=(b-a)}, dan
{\displaystyle n=1,2,4,8,16.......} atau
{\displaystyle n=2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},......2^{k}......} Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium {\displaystyle T\_{0},T\_{1},T\_{2},T\_{3},.....T\_{k},....} dengan,
{\displaystyle T\_{0}=T\_{1}(f,h)={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}
dan,{\displaystyle T\_{k}=T\_{2^{k}}(f,{\frac {h}{2^{k}}})}, k=1,2,3,...
yang memenuhi hubungan {\displaystyle T\_{k+1}={\frac {T\_{k}}{2}}+{\frac {h}{2^{k+1}}}\sum \_{j=1}^{2^{k}}f\_{2j-1}},
dengan {\displaystyle f\_{1}=f(a+i({\frac {h}{2^{k+1}}})}............... (4)

Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif
-----------------------------------------

Dalam menghitung hampiran {\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx}dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;

  

**{\displaystyle h=b-a}**

{\displaystyle T\_{0}={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}

{\displaystyle T\_{1}={\frac {T\_{0}}{2}}+{\frac {h}{2}}f\_{1}}

{\displaystyle T\_{2}={\frac {T\_{1}}{2}}+{\frac {h}{4}}(f\_{1}+f\_{3})}

{\displaystyle T\_{3}={\frac {T\_{2}}{2}}+{\frac {h}{8}}(f\_{1}+f\_{3}+f\_{5})}
.
.
.
dst

Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB
-----------------------------------------------

Misalkan kita akan menghitung integral {\displaystyle \int \_{1}^{5}f(x)\,dx},dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya

  

function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)

h=b-a;

if n==0, Tn=h\*(f(a)+f(b))/2;

else if n>0,

```
      index=[1:2:2^n-1];
```

```
      x=a+h*index/(2^n);
```

```
      F=f(x);
```

```
      Jf=sum(F);
```

```
      Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);
```

```
   end
```

end

  

Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;

>> f=inline(‘exp(x)’)

kemudian akan munncul hasil sebagai berikut

f =

```
    Inline function:
    f(x) = exp(x)
```

selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,

>> T=[];

>> for n=0:10,

Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);

T=[T;n Tn];

end

Selanjutnya kita tampilkan nilai T

>> T

kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,

T =

```
        0  302.2629
   1.0000  191.3025
   2.0000  157.6385
   3.0000  148.7176
   4.0000  146.4529
   5.0000  145.8845
   6.0000  145.7423
   7.0000  145.7067
   8.0000  145.6978
   9.0000  145.6956
  10.0000  145.6951
```

Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.

Daftar Pustaka
--------------

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta