| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

**Limit** suatu **fungsi** merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran *f(x)* untuk setiap masukan *x*. Fungsi tersebut memiliki limit *L* pada titik masukan *p* bila *f(x)* "dekat" pada L ketika *x* dekat pada *p*. Dengan kata lain, *f(x)* menjadi semakin dekat kepada *L* ketika *x* juga mendekat menuju *p*. Lebih jauh lagi, bila *f* diterapkan pada tiap masukan yang *cukup* dekat pada *p*, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan *L*. Bila masukan yang *dekat* pada *p* ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi *f* dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Sejarah
-------

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya *Cours d'analyse* (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan **lim** dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya *A Course of Pure Mathematics* pada tahun 1908.

Definisi
--------

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

### Fungsi pada garis bilangan riil

Bila *f*: **R** {\displaystyle \rightarrow } **R** terdefinisi pada garis bilangan riil, dan *p, L* {\displaystyle \in } **R** maka kita menyebut **limit *f* ketika *x* mendekati *p* adalah *L***, yang ditulis sebagai:

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}
jika dan hanya jika untuk setiap *ε* > *0* terdapat *δ* > *0* sehingga |*x* - *p*|< *δ* mengimplikasikan bahwa |*f* (*x*) - *L* | < *ε*. Di sini, baik *ε* maupun *δ* merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai *f* (*p*)

### Limit searah

Limit saat: x → x0+ ≠ x → x0-. Maka, limit x → x0 tidak ada.
Masukan *x* dapat mendekati *p* dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{+}}f(x)=L}
atau

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{-}}f(x)=L}
Bila kedua limit ini sama nilainya dengan *L*, maka *L* dapat diacu sebagai **limit *f(x)* pada *p***. Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan *L*, maka limit *f(x)* pada *p* tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit *f*(*x*) saat *x* mendekati *p* dari atas adalah *L* bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |*f*(*x*) - L| < ε pada saat 0 < *x* - *p* < δ. Limit *f*(*x*) saat *x* mendekati *p* dari bawah adalah *L* bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |*f*(*x*) - L| < ε bilamana 0 < *p* - *x* < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

### Limit fungsi pada ketakhinggaan

 Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.
Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila *f*(*x*) adalah fungsi riil, maka **limit *f* saat *x* mendekati tak hingga** adalah *L*, dilambangkan sebagai:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L,}
jika dan hanya jika untuk semua *ε* > *0* terdapat *S* > 0 sedemikian rupa sehingga |*f* (*x*) - *L*| < *ε* bilamana *x > S*.

Dengan cara yang sama, **limit *f* saat *x* mendekati tak hingga adalah tak hingga**, dilambangkan oleh

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=\infty ,}
jika dan hanya jika bila untuk semua *R* > 0 terdapat *S* > sedemikian sehingga *f*(*x*) > *R* bilamana *x > S*.

Rumus biasa
-----------

{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)+\lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)-\lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)/\lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x))^{n}&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x))^{n}\\\lim \limits \_{x\to p}&{\sqrt[{n}]{(f(x)}}&=&{\sqrt[{n}]{\lim \limits \_{x\to p}f(x)}}\\\end{matrix}}}

Rumus
-----

{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {x}{\tan x}}&=1\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {\tan x}{x}}&=1\\\lim \limits \_{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits \_{x\to \infty }&x\tan({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {ax}{\tan bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits \_{x\to 0}&{\frac {\tan ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits \_{x\to \infty }&p^{x}&=0,\qquad -1<p<1\\\lim \limits \_{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits \_{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits \_{x\to \infty }&{\sqrt[{3}]{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}}-{\sqrt[{3}]{px^{3}+qx^{2}+rx+s}}&={\frac {b-q}{3{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}},\qquad a=p\\\lim \limits \_{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits \_{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits \_{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits \_{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}}

Lihat pula
----------

* Aturan L'Hôpital

Rujukan
-------

1. ↑  MacTutor History of Bolzano
2. 1 2  "Jeff Miller's history of math website". Diarsipkan dari versi asli tanggal 1998-12-05. Diakses tanggal 2008-10-15.
3. ↑  MacTutor History of Weierstrass.