Dalam matematika, **bilangan** **Fibonacci** adalah sebuah bilangan yang di mana setiap bilangannya adalah jumlah dari dari dua bilangan sebelumnya. Bilangan yang merupakan bagian dari bilangan Fibonacci dikenal sebagai **deret** **Fibonacci**, biasanya dilambangkan *Fn* . Bilangannya biasanya dimulai dari 0 dan 1, meskipun beberapa penulis memulai urutannya dari 1 dan 1 atau kadang-kadang (seperti yang dilakukan Fibonacci) dari 1 dan 2. Dimulai dari 0 dan 1, bilangannya dimulai

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Dalam matematika, **bilangan Fibonacci** adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

{\displaystyle F(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{jika }}n=0;\\1,&{\mbox{jika }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{jika tidak.}}\end{cases}}}

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

{\displaystyle F\_{n}={\frac {{x\_{1}}^{n}-{x\_{2}}^{n}}{\sqrt {5}}}}
dengan

* {\displaystyle F\_{n}} adalah bilangan Fibonacci ke-n
* {\displaystyle x\_{1}} dan {\displaystyle x\_{2}} adalah penyelesaian persamaan {\displaystyle x^{2}-x-1=0}

Perbandingan antara {\displaystyle F\_{n+1}} dengan {\displaystyle F\_{n}} hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

Definisi
--------

Spiral Fibonacci: perkiraan spiral emas yang dibuat dengan menggambar busur lingkaran menghubungkan sudut-sudut kotak yang berlawanan pada petak Fibonacci (lihat gambar sebelumnya)
Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan


F

0

=
0
,

F

1

=
1
,

{\displaystyle F\_{0}=0,\quad F\_{1}=1,}

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}
dan


F

n

=

F

n
−
1

+

F

n
−
2

{\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2}}

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
untuk *n* > 1.

Berdasarkan beberapa definisi lama, nilai {\displaystyle F\_{0}=0} dihilangkan, jadi bilangan tersebut dimulai dengan {\displaystyle F\_{1}=F\_{2}=1,} dan perulangan {\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2}} valid untuk *n* > 2.

 
20 bilangan *Fn* Fibonacci pertama adalah:

| *F*0 | *F*1 | *F*2 | *F*3 | *F*4 | *F*5 | *F*6 | *F*7 | *F*8 | *F*9 | *F*10 | *F*11 | *F*12 | *F*13 | *F*14 | *F*15 | *F*16 | *F*17 | *F*18 | *F*19 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 |

Asal mula
---------

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan FibonacciBerdasarkan buku *The Art of Computer Programming* karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. 

### Eropa

Sebuah halaman dari Liber AbaciFibonacci dari Biblioteka Nazionale di Firenze menunjukan (dalam kotak di kanan) 13 entri deret Fibonacci: indeks dari sekarang sampai XII (bulan) sebagai ordinal Latin dan angka romawi serta nomornya (pasangan kelinci) sebagai angka Hindu-Arab yang dimulai dengan 1, 2, 3, 5 dan diakhiri dengan 377.
Bilangan Fibonacci pertama kali muncul pada buku Liber Abaci (*The Book of Calculation*, 1202) oleh Fibonacci yang di mana digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi kelinci. Fibonacci mempertimbangkan pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), berasumsi bahwa: seekor sepasang kelinci yang baru lahir diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya. Fibonacci mengajukan teka-teki: berapa banyak pasangan yang akan ada dalam satu tahun?

* Pada akhir di bulan pertama, mereka kawin, tapi masih ada 1 pasangan saja.
* Pada akhir bulan kedua mereka menghasilkan pasangan baru, jadi ada 2 pasangan di lapangan.
* Pada akhir bulan ketiga, pasangan awal menghasilkan pasangan kedua, tapi pasangan kedua hanya kawin selama sebulan, jadi totalnya ada 3 pasangan.
* Pada akhir bulan keempat, pasangan asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, dan pasangan yang lahir dua bulan lalu juga menghasilkan pasangan pertamanya, sehingga menjadi 5 pasangan.

Pada akhir bulan ke-*n*, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan dalam bulan *n* – 2) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan *n* – 1). Jumlah pada n-th bulan adalah bilangan Fibonacci ke-n.

Nama "Deret Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 Édouard Lucas.

Dalam populasi ideal yang terus bertambah, jumlah pasangan kelinci membentuk deret Fibonacci. Pada akhir bulan *n*-th, jumlah pasangannya sama dengan *Fn.*

Relasi terhadap rasio emas
--------------------------

Artikel utama untuk kategori ini adalah **Rasio emas**.
### Identifikasi

Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif x adalah sebuah bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari {\displaystyle 5x^{2}+4} atau {\displaystyle 5x^{2}-4} adalah persegi sempurna. Hal ini karena rumus Binet yang dapat dituliskan sebagai {\displaystyle F\_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}, dapat dikalikan dengan {\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}} dan diselesaikan sebagai persamaan kuadrat di {\displaystyle \varphi ^{n}} melalui rumus kuadrat:



φ

n

=

F

n

5

±

5

F

n

2

+
4
(
−
1

)

n


2

.

{\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F\_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F\_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}

{\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}Membandingkan ini dengan {\displaystyle \varphi ^{n}=F\_{n}\varphi +F\_{n-1}=(F\_{n}{\sqrt {5}}+F\_{n}+2F\_{n-1})/2}, itu mengikuti bahwa



5

F

n

2

+
4
(
−
1

)

n

=
(

F

n

+
2

F

n
−
1

)

2

.

{\displaystyle 5{F\_{n}}^{2}+4(-1)^{n}=(F\_{n}+2F\_{n-1})^{2}\,.}

{\displaystyle 5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}
Khususnya, sisi kiri adalah persegi sempurna.

Identitas lain
--------------

Banyak bentuk lain yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai metode. Inilah beberapa di antaranya:

### Identitas Cassini dan Catalan

Artikel utama: Identitas Cassini dan Catalan

Identitas Cassini menyatakan bahwa



F

n

2

−

F

n
+
1

F

n
−
1

=
(
−
1

)

n
−
1

{\displaystyle {F\_{n}}^{2}-F\_{n+1}F\_{n-1}=(-1)^{n-1}}

{\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}Identitas Catalan adalah generalisasi:



F

n

2

−

F

n
+
r

F

n
−
r

=
(
−
1

)

n
−
r


F

r

2

{\displaystyle {F\_{n}}^{2}-F\_{n+r}F\_{n-r}=(-1)^{n-r}{F\_{r}}^{2}}

{\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}}
### Identitas d'Ocagne


F

m

F

n
+
1

−

F

m
+
1

F

n

=
(
−
1

)

n

F

m
−
n

{\displaystyle F\_{m}F\_{n+1}-F\_{m+1}F\_{n}=(-1)^{n}F\_{m-n}}

{\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}} 

F

2
n

=

F

n
+
1

2

−

F

n
−
1

2

=

F

n

(

F

n
+
1

+

F

n
−
1

)

=

F

n

L

n

{\displaystyle F\_{2n}={F\_{n+1}}^{2}-{F\_{n-1}}^{2}=F\_{n}\left(F\_{n+1}+F\_{n-1}\right)=F\_{n}L\_{n}}

{\displaystyle F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}di mana *Ln* adalah bilangan ke-*n* dari bilangan Lucas. Yang terakhir adalah bentuk untuk penggandaan *n*; identitas lain dari jenis ini adalah



F

3
n

=
2

F

n

3

+
3

F

n

F

n
+
1

F

n
−
1

=
5

F

n

3

+
3
(
−
1

)

n

F

n

{\displaystyle F\_{3n}=2{F\_{n}}^{3}+3F\_{n}F\_{n+1}F\_{n-1}=5{F\_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F\_{n}}

{\displaystyle F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}oleh bentuk Cassini.



F

3
n
+
1

=

F

n
+
1

3

+
3

F

n
+
1


F

n

2

−

F

n

3

{\displaystyle F\_{3n+1}={F\_{n+1}}^{3}+3F\_{n+1}{F\_{n}}^{2}-{F\_{n}}^{3}}

{\displaystyle F_{3n+1}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}{F_{n}}^{2}-{F_{n}}^{3}} 

F

3
n
+
2

=

F

n
+
1

3

+
3

F

n
+
1

2

F

n

+

F

n

3

{\displaystyle F\_{3n+2}={F\_{n+1}}^{3}+3{F\_{n+1}}^{2}F\_{n}+{F\_{n}}^{3}}

{\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3{F_{n+1}}^{2}F_{n}+{F_{n}}^{3}} 

F

4
n

=
4

F

n

F

n
+
1

(

F

n
+
1

2

+
2

F

n

2

)

−
3

F

n

2

(

F

n

2

+
2

F

n
+
1

2

)

{\displaystyle F\_{4n}=4F\_{n}F\_{n+1}\left({F\_{n+1}}^{2}+2{F\_{n}}^{2}\right)-3{F\_{n}}^{2}\left({F\_{n}}^{2}+2{F\_{n+1}}^{2}\right)}

{\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left({F_{n+1}}^{2}+2{F_{n}}^{2}\right)-3{F_{n}}^{2}\left({F_{n}}^{2}+2{F_{n+1}}^{2}\right)}Ini dapat ditemukan secara eksperimental menggunakan lattice reduction, dan berguna dalam menyiapkan *special number field sieve* ke bilangan Fibonacci terfaktorisasi.

Lebih umumnya,



F

k
n
+
c

=

∑

i
=
0

k


(

k
i

)

F

c
−
i


F

n

i


F

n
+
1

k
−
i

.

{\displaystyle F\_{kn+c}=\sum \_{i=0}^{k}{k \choose i}F\_{c-i}{F\_{n}}^{i}{F\_{n+1}}^{k-i}.}

{\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.}atau sebagai alternatif



F

k
n
+
c

=

∑

i
=
0

k


(

k
i

)

F

c
+
i


F

n

i


F

n
−
1

k
−
i

.

{\displaystyle F\_{kn+c}=\sum \_{i=0}^{k}{k \choose i}F\_{c+i}{F\_{n}}^{i}{F\_{n-1}}^{k-i}.}

{\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}Menempatkan *k* = 2 dalam rumus ini, kita mendapatkan lagi rumus akhir dari bagian atas Bentuk Matriks.

Referensi
---------

### Catatan kaki penjelas

### Kutipan

1. ↑  Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)". *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*. OEIS Foundation.
2. ↑  Lucas 1891, hlm. 3.
3. ↑  Beck & Geoghegan 2010.
4. ↑  Bóna 2011, hlm. 180.
5. ↑
6. ↑  Sigler 2002, hlm. 404–405.
7. ↑  "Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)", *The University of Utah*, 13 December 2009, diakses tanggal 28 November 2018
8. ↑  Hemenway, Priya (2005), *Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science*, New York: Sterling, hlm. 20–21, ISBN 1-4027-3522-7
9. ↑  Knott, Ron (25 September 2016), "The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1", *University of Surrey*, diakses tanggal 27 November 2018
10. ↑  Knott, Ron, *Fibonacci's Rabbits*, University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences
11. ↑  Gardner, Martin (1996), *Mathematical Circus*, The Mathematical Association of America, hlm. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci
12. ↑  Gessel, Ira (October 1972), "Fibonacci is a Square" (PDF), *The Fibonacci Quarterly*, **10** (4): 417–19, diakses tanggal April 11, 2012
13. 1 2  (Inggris) Weisstein, Eric W. "Fibonacci Number", *MathWorld*

### Kutipan ilmiah

* Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", *Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations*, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0 .
* Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), *The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics*, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
* Bóna, Miklós (2011), *A Walk Through Combinatorics* (edisi ke-3rd), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
* Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), *Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity*, Wiley, hlm. 91–101, ISBN 978-0-471-31515-5
* Lemmermeyer, Franz (2000), *Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein*, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
* Livio, Mario (2003) [2002], *The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number* (edisi ke-First trade paperback), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3
* Lucas, Édouard (1891), *Théorie des nombres* (dalam bahasa Prancis), **1**, Paris: Gauthier-Villars .
* Sigler, L. E. (2002), *Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation*, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Lihat pula
----------

* Program bilangan Fibonacci
* Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama

Pranala luar
------------

* The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
* The Golden Section: Phi Diarsipkan 2006-12-05 di Wayback Machine.
* Menghitung bilangan Fibonacci pada Mesin Turing Diarsipkan 2005-02-06 di Wayback Machine.
* Hemachandra's application to Sanskrit poetry Diarsipkan 2012-07-16 di Wayback Machine.
* Deret Fibonacci Diarsipkan 2005-01-22 di Wayback Machine.
* Representasi Bilangan Bulat menggunakan bilangan Fibonacci Diarsipkan 2007-10-30 di Wayback Machine.

| * l
* b
* s
Barisan dan deret |
| --- |
| Barisanbilangan bulat | 

|  |  |
| --- | --- |
| Dasar | 
* Barisan dan deret aritmetika
* Barisan dan deret geometri
* Barisan harmonik
* Bilangan persegi
* Bilangan kubik
* Faktorial
* Perpangkatan bilangan dua
* Perpangkatan bilangan tiga
* Perpangkatan bilangan 10

 |
| Lanjutan (daftar) | 
* Barisan lengkap
* Bilangan Fibonacci
* Bilangan figurasi
* Bilangan heptagonal
* Bilangan heksagonal
* Bilangan Lucas
* Bilangan Pell
* Bilangan pentagonal
* Bilangan poligonal
* Bilangan segitiga

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| Sifat-sifat barisan | 
* Barisan Cauchy
* Barisan monoton
* Barisan periodik

 |
| Sifat-sifat deret | 

|  |  |
| --- | --- |
| Deret | 
* Selang-seling
* Konvergen
* Divergen
* Teleskopik

 |
| Konvergensi | 
* Mutlak
* Bersyarat
* Seragam

 |

 |
| Deret eksplisit | 

|  |  |
| --- | --- |
| konvergen | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (Fungsi zeta Riemann)

 |
| Divergen | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi)
* Deret aritmetika tak terbatas
* 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)

 |

 |
| Jenis deret | 
* Deret Taylor
* Deret kuasa
* Deret kuasa formal
* Deret Laurent
* Deret Puiseux
* Deret Dirichlet
* Derer Trigonometrik
* Deret Fourier
* Deret umum

 |
| DeretHipergeometrik | 
* Deret hipergeometrik umum
* Fungsi hipergeometrik untuk argumen matriks
* Deret hipergeometrik Lauricella
* Deret hipergeometrik modular
* Persamaan diferensial Riemann
* Deret hipergeometrik theta

 |
| 
* Book
* Category

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s