Biografi
--------

Friedrich Wilhelm Bessel (22 Juli 1784 – 17 Maret 1846) adalah seorang ahli matematika, astronomi dan perumus Fungsi Bessel yang sebelumnya dicetuskan oleh Daniel Bernoulli. Di bidang astronomi, Bessel merupakan orang pertama yang menggunakan parallax dalam mengkalkulasi jarak terhadap bintang. Bessel lahir di Westphalia, putra seorang pegawai pemerintah yang miskin. 

Pada usia 15 tahun, ia memasuki perusahaan ekspor-impor. Selama magang, memimpikan perjalanan, dia mempelajari bahasa, geografi, kebiasaan orang-orang yang jauh, dan prinsip-prinsip navigasi, yang membawanya ke astronomi dan matematika.

Bessel adalah seorang ilmuwan yang karyanya meletakkan dasar untuk penentuan yang lebih baik daripada metode sebelumnya yang memungkinkan skala alam semesta dan ukuran bintang, galaksi, dan gugusan galaksi. Selain itu, dia memberikan kontribusi mendasar pada astronomi posisi yang akurat, pengukuran yang tepat dari posisi benda langit; ke mekanika angkasa, berurusan dengan gerakan mereka; dan untuk geodesi, studi tentang ukuran dan bentuk Bumi. Selanjutnya, dia memperbesar sumber daya matematika murni dengan pengenalan dan penyelidikan tentang apa yang sekarang dikenal sebagai fungsi Bessel, yang dia gunakan pertama kali pada tahun 1817 untuk menyelidiki masalah yang sangat sulit dalam menentukan gerakan tiga benda yang bergerak di bawah gravitasi timbal balik. Tujuh tahun kemudian dia mengembangkan fungsi Bessel secara lebih lengkap untuk perlakuan gangguan planet.

Definisi
--------

### **Persamaan Bessel**

Fungsi Bessel adalah solusi dari persamaan diferensial, 

{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-p^{2})y=0}, 

dimana y disebut fungsi Bessel jenis pertama dalam orde p dan ditulis sebagai {\displaystyle J\_{p}(x)}.


J

p

(
x
)
=

1

Γ
(
1
)
−
Γ
(
1
+
p
)

(

x
2

)

2

−

1

Γ
(
2
)
−
Γ
(
2
+
p
)

(

x
2

)

2
+
p

+

1

Γ
(
3
)
−
Γ
(
3
+
p
)

(

x
2

)

4
+
p

−

1

Γ
(
4
)
−
Γ
(
4
+
p
)

(

x
2

)

6
+
p

+
.
.
.
=

∑

n
=
0

∞


(
−
1

)

n

Γ
(
n
+
1
)
−
Γ
(
n
+
1
+
p
)

(

x
2

)

2
n
+
p

{\displaystyle J\_{p}(x)={\frac {1}{\Gamma (1)-\Gamma (1+p)}}({\frac {x}{2}})^{2}-{\frac {1}{\Gamma (2)-\Gamma (2+p)}}({\frac {x}{2}})^{2+p}+{\frac {1}{\Gamma (3)-\Gamma (3+p)}}({\frac {x}{2}})^{4+p}-{\frac {1}{\Gamma (4)-\Gamma (4+p)}}({\frac {x}{2}})^{6+p}+...=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)-\Gamma (n+1+p)}}({\frac {x}{2}})^{2n+p}}

{\displaystyle J_{p}(x)={\frac {1}{\Gamma (1)-\Gamma (1+p)}}({\frac {x}{2}})^{2}-{\frac {1}{\Gamma (2)-\Gamma (2+p)}}({\frac {x}{2}})^{2+p}+{\frac {1}{\Gamma (3)-\Gamma (3+p)}}({\frac {x}{2}})^{4+p}-{\frac {1}{\Gamma (4)-\Gamma (4+p)}}({\frac {x}{2}})^{6+p}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)-\Gamma (n+1+p)}}({\frac {x}{2}})^{2n+p}}
### **Solusi kedua persamaan Bessel**

Solusi lain untuk s=-p,

{\displaystyle J\_{p}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)-\Gamma (n-p+1)}}({\frac {x}{2}})^{2n-p}}

### **Fungsi Pembangkit**

{\displaystyle e^{z(t-1/t)/2}=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J\_{n}(z)}

### **Persamaan Diferensial dengan solusi fungsi Bessel**

Persamaan diferensial yang bukan bentuk standar, tetapi penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk fungsi Bessel

{\displaystyle y''+{\frac {1-2\alpha }{x}}y'+[(bcx^{c}-1)^{2}+{\frac {a^{2}-p^{2}c^{2}}{x^{2}}}]y=0},

yang memiliki solusi {\displaystyle y=x^{a}Z\_{p}(bx^{c})}.

Sifat
-----

### **Grafik dan fungsi Nol Bessel**

Plot Jp(x) untuk p=0,1,2, dan 3**Plot Jp(x) untuk p=0,1,2, dan 3**
Plot bersama Jp(x) untuk p=0,1,2,3, dst**Plot bersama Jp(x) untuk p=0,1,2,3, dst**

  

semua {\displaystyle J\_{p}(x)}, kecuali untuk {\displaystyle J\_{0}(x)} mulai dari asal berperilaku seperti {\displaystyle x^{p}} dan berosilasi seperti sin x tetapi dengan penurunan amplitudo, {\displaystyle J\_{0}(x)} sama dengan 1 pada x = 0 sehingga terlihat seperti kosinus teredam.

### **Relasi Rekursi**

{\displaystyle {d \over dx}[x^{p}J\_{p}(x)]=x^{p}J\_{p-1}(x)},

{\displaystyle {d \over dx}[x^{-p}J\_{p}(x)]=-x^{-p}J\_{p+1}(x)},

{\displaystyle J\_{p-1}(x)+J\_{p+1}(x)={\frac {2p}{x}}J\_{p}(x)},

{\displaystyle J\_{p-1}(x)-J\_{p+1}(x)=2J\_{p}(x)},

{\displaystyle J\_{p}(x)=-{\frac {p}{x}}J\_{p}(x)+J\_{p-1}(x)={\frac {p}{x}}J\_{p}(x)-J\_{p+1}(x)}.

### **Ortogonalitas fungsi Bessel**

Sifat ortogonalitas fungsi Bessel dituliskan sebagai

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{1}xJ\_{p}(\alpha x)J\_{p}(\beta x)dx={\begin{cases}0,&{\text{if }}\alpha \neq \beta \ \\{\frac {1}{2}}J\_{p+1}^{2}(\alpha )={\frac {1}{2}}J\_{p-1}^{2}(\alpha )={\frac {1}{2}}J\_{p}^{2}(\alpha ),&{\text{if }}\alpha =\beta \ \end{cases}}}

Dimana {\displaystyle \alpha } dan {\displaystyle \beta } akar-akar dari {\displaystyle J\_{p}(x)=0}.

Referensi
---------

* Mary L. Boas. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences (Third Edition). United States: John Wiley & Sons, Inc.
* Weisstein, Eric W. "Bessel Function Zeros." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionZeros.html
* Weisstein, Eric W. "Bessel Function of the First Kind." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html
* Bessel polynomials - HandWiki