Dalam geometri, **teorema Stewart** menyatakan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dan panjang cevian segitiga. Nama teorema Stewart digunakan untuk menghormati matematikawan Skotlandia Matius Stewart yang mempublikasikan teorema ini pada tahun 1746.

Teorema
-------

Misalkan {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, dan {\displaystyle c} panjang sisi-sisi segitiga. Misalkan {\displaystyle d} panjang cevian pada sisi dengan panjang {\displaystyle a}. Jika cevian membagi {\displaystyle a} menjadi dua segmen dengan panjang {\displaystyle m} dan {\displaystyle n} dimana {\displaystyle m} berdekatan dengan {\displaystyle c} dan {\displaystyle n} berdekatan dengan {\displaystyle b}, maka teorema Stewart menyatakan bahwa

{\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}
(persamaan ini juga dapat ditulis {\displaystyle man+dad=bmb+cnc.}, dalam beberapa referensi bahasa inggris, bentuk ini digunakan agar mudah dihafal menjadi sebuah kalimat, misalnya "A man and his dad put a bomb in the sink.")
Teorema Apollonius adalah kasus khusus di mana {\displaystyle d} adalah garis berat.

Teorema ini juga dapat dinyatakan menggunakan panjang segmen bertanda, yaitu panjang *AB* bisa positif atau negatif bergantung pada posisi *A* di sebelah kiri atau di sebelah kanan *B* pada garis yang sudah di tetapkan. Dalam kasus ini, teorema Stewart menyatakan jika *A*, *B*, dan *C* adalah titik-titik yang berada dalam satu garis, dan *P* adalah sembarang titik, maka

{\displaystyle PA^{2}\cdot BC+PB^{2}\cdot CA+PC^{2}\cdot AB+BC\cdot CA\cdot AB=0.}

Bukti
-----

Diagram dari teorema StewartDiagram dari teorema Stewart
Teorema Stewart dapat dibuktikan dengan aturan cosinus:

Misalkan *θ* sudut antara *m* dan *d* dan *θ'* sudut antara *n* dan *d*. *θ'* adalah suplemen dari *θ* sehingga cos *θ'* = −cos *θ*. dengan menggunakan atura cosinus untuk *θ* dan *θ'*,

{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}
Kalikan persamaan pertama dengan *n*, persamaan kedua dengan *m*, dan jumlahkan keduanya untuk mengeliminasi cos *θ*, diperoleh

{\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}}
dan bukti selesai.

alternatif lain, teorema ini dapat dibuktikan dengan menggambar garis tegak lurus dari titik sudut segitiga ke sisi yang berhadapan dan menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang *b*, *c*, dan *d*.

Catatan
-------

1. ↑  Stewart, Matthew (1746), *Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics*, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran  "Proposition II"
2. ↑  Russell 1905, p. 3
3. ↑  Proof of Stewart's Theorem di PlanetMath.org.

Referensi
---------

* Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", *Pure Geometry*, Clarendon Press, OCLC 5259132

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* I.S Amarasinghe, Solutions to the Problem **43.3**: Stewart's Theorem (*A **New Proof** for the Stewart's Theorem **using Ptolemy's Theorem***), *Mathematical Spectrum*, Vol **43(03)**, pp. 138 – 139, 2011.
* Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), *Geometry by Its History*, Springer, hlm. 112, ISBN 978-3-642-29162-3

Pranala luar
------------

* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Stewart's Theorem". *MathWorld*.
* Stewart's Theorem di PlanetMath.org.

Konten pada artikel ini adalah terjemahan dari aritkel wikepedia bahasa inggris en:Stewart's theorem dengan melakukan beberapa perubahan