Dalam matematika dan fisika, simbol Christoffel adalah deretan angka yang menggambarkan koneksi metrik. Sambungan metrik adalah spesialisasi sambungan affine ke permukaan atau manifold lain yang dilengkapi dengan metrik, yang memungkinkan jarak diukur pada permukaan itu. 

Dalam geometri diferensial, koneksi affine dapat didefinisikan tanpa mengacu pada metrik, dan banyak konsep tambahan berikut: transpor paralel, turunan kovarian, geodesik, dll. juga tidak memerlukan konsep metrik. Namun, ketika metrik tersedia, konsep ini dapat langsung dikaitkan dengan "bentuk" manifold itu sendiri; bentuk itu ditentukan oleh bagaimana ruang singgung dilekatkan ke ruang kotangen oleh tensor metrik. 

Simbol Christoffel memberikan representasi konkret dari koneksi (pseudo-) geometri Riemannian dalam hal koordinat pada manifold. Konsep tambahan, seperti transportasi paralel, geodesik, dll. kemudian dapat dinyatakan dalam simbol Christoffel. Kemudian contohnya dalam ruang Euclidean, simbol Christoffel menggambarkan bagaimana basis koordinat lokal berubah dari titik ke titik.

Simbol Christoffel dinamai oleh Elwin Bruno Christoffel.

Metrik
------

Dengan diberikan sistem koordinat ruang, ambil contoh untuk ruang 3 dimensi, maka kita bisa menulis 
metrik sebagai {\displaystyle g\_{\mu \nu }} dengan index {\displaystyle \mu ,\nu =(0,1,2)}.
dan dengan persamaan {\displaystyle g\_{\mu \nu }={\sum \_{k=0}^{n=2}}{\frac {\partial \zeta ^{k}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{k}}{\partial x^{\nu }}}} = {\displaystyle {\frac {\partial \zeta ^{0}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{0}}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial \zeta ^{1}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{1}}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial \zeta ^{2}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{2}}{\partial x^{\nu }}}}, di mana {\displaystyle \zeta ^{k}=} komponen fungsi. Ambil contoh {\displaystyle (f(x)i,f(y)j,f(z)k)=(\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2})}.

Dan metrik bisa ditulis dengan {\displaystyle {\begin{bmatrix}g\_{00}&g\_{01}&g\_{02}\\g\_{10}&g\_{11}&g\_{12}\\g\_{20}&g\_{21}&g\_{22}\end{bmatrix}}}

Definisi umum
-------------

Simbol Christoffel pertama {\displaystyle \Gamma \_{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g\_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g\_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g\_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(g\_{ca,b}+g\_{cb,a}-g\_{ab,c}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\partial \_{b}g\_{ca}+\partial \_{a}g\_{cb}-\partial \_{c}g\_{ab}\right)\,.}
simbol Christoffel kedua {\displaystyle {\Gamma ^{i}}\_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g\_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g\_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g\_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g\_{mk,l}+g\_{ml,k}-g\_{kl,m}\right),} di mana {\displaystyle g^{ik}} adalah invers metrik atau {\displaystyle {\frac {1}{g}}\_{ik}}

Aplikasi
--------

### Dalam relativitas umum

Simbol Christoffel sering digunakan dalam teori Relativitas umum Einstein, di mana ruang-waktu diwakili oleh manifold Lorentz 4-dimensi melengkung dengan koneksi Levi-Civita. Persamaan medan Einstein—yang menentukan geometri ruangwaktu dengan adanya materi—mengandung tensor Ricci, dan karenanya menghitung simbol Christoffel sangat penting. Setelah geometri ditentukan, jalur partikel dan berkas cahaya dihitung dengan memecahkan persamaan geodesik di mana simbol Christoffel muncul secara eksplisit.

Pranala luar
------------

1. Christoffel symbols in terms of the metric tensor;

2. Metric tensor;

3. Metric tensor exercise: calculation for the surface of a sphere;

4. Christoffel symbol

Catatan kaki
------------

  

1. ↑  See, for instance, (Spivak 1999) and (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)
2. ↑  Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, *Introduction to General Relativity* (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-000423-4 (*See section 2.1*)
3. ↑  Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, *Gravitation* (1973) W. H. Freeman ISBN 0-7167-0334-3 (*See chapters 8-11*)