Dalam matematika, **limit invers** (bahasa Inggris: *inverse limit*), atau disebut juga sebagai **limit proyektif** (bahasa Inggris: *projective limit*) adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan merupakan kasus khusus dari konsep  limit dalam teori kategori.

Objek aljabar
-------------

Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi **sistem invers** (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan ( I, ≤) adalah poset terarah atau (tidak semua penulis memerlukan  I untuk diarahkan). Misalkan *A*• = (*A**i*)*i* ∈ *I* adalah keluarga dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme {\displaystyle f\_{ij}:A\_{j}\to A\_{i}} untuk semua {\displaystyle i\leq j} (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:

1. {\displaystyle f\_{ii}} adalah identitas pada {\displaystyle A\_{i}},
2. {\displaystyle f\_{ik}=f\_{ij}\circ f\_{jk}} untuk semua {\displaystyle i\leq j\leq k}.

Maka pasangan {\displaystyle \left(A\_{\bullet },\left(f\_{ij}\right)\_{i\leq j\in I}\right)} disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas {\displaystyle I}, dan morfisme {\displaystyle f\_{ij}} disebut morfisme peralihan dari sistem. 

**Limit invers** dari sistem invers {\displaystyle ((A\_{i})\_{i\in I},(f\_{ij})\_{i\leq j\in I})} didefinisikan sebagai subgrup tertentu dari darab langsung dari *{\displaystyle A\_{i}}*:

{\displaystyle A=\varprojlim \_{i\in I}{A\_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod \_{i\in I}A\_{i}\;\right|\;a\_{i}=f\_{ij}(a\_{j}){\text{ untuk semua }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}
Limit invers {\displaystyle A} dilengkapi dengan *proyeksi alami* (bahasa Inggris: *natural projections*) {\displaystyle \pi \_{i}\colon A\to A\_{i}} yang memilih komponen dari darab langsung ke-{\displaystyle i} untuk setiap {\displaystyle i} di {\displaystyle I}.

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika {\displaystyle A\_{i}} adalah himpunan, semigrup, ruang topologi,  gelanggang, modul (atas *fixed ring*),  aljabar (atas *fixed ring*), dsb,. dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

Definisi umum
-------------

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam kategori sebarang dengan menggunakan sifat universal. Misalkan {\displaystyle (X\_{i},f\_{ij})} adalah sistem invers dari objek dan morfisme di kategori {\displaystyle C}. Limit invers dari sistem invers merupakan objek {\displaystyle X} di {\displaystyle C} dan juga dengan morfisme {\displaystyle \pi \_{i}\colon X\to X\_{i}} (yang disebut *proyeksi*) memenuhi sifat {\displaystyle \pi \_{i}=f\_{ij}\circ \pi \_{j}} untuk semua {\displaystyle i\leq j}. Pasangan {\displaystyle (X,\pi \_{i})} harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain {\displaystyle (Y,\psi \_{i})}, maka ada morfisme unik {\displaystyle u:Y\to X} sehingga diagram berikut 

komutatif untuk setiap {\displaystyle i\leq j}. Jadi, limit invers seringkali dinyatakan sebagai 

{\displaystyle X=\varprojlim X\_{i}}
dengan sistem invers (*X**i*, *f**ij*). 

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers X dan *X*2 dari sistem invers, maka terdapat isomorfisme *unik* {\displaystyle X'\to X} yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

Fungtor yang diturunkan dari limit invers
-----------------------------------------

Untuk suatu kategori Abel {\displaystyle C}, fungtor limit invers

{\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}
eksak kiri. Jika {\displaystyle I} terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan terhitung, dan {\displaystyle C} adalah kategori {\displaystyle \operatorname {Ab} } dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan {\displaystyle f\_{ij}} yang menjamin ketepatan {\displaystyle \varprojlim }. Secara khusus, Eilenberg mengonstruksi suatu fungsi

{\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }
sehingga jika {\displaystyle (A\_{i}.f\_{ij})}, {\displaystyle (B\_{i}.g\_{ij})}, dan {\displaystyle (C\_{i}.h\_{ij})} adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan

{\displaystyle 0\rightarrow A\_{i}\rightarrow B\_{i}\rightarrow C\_{i}\rightarrow 0}
adalah barisan eksak pendek dari sistem invers, maka

{\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A\_{i}\rightarrow \varprojlim B\_{i}\rightarrow \varprojlim C\_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A\_{i}}
merupakan barisan eksak di {\displaystyle \operatorname {Ab} }.

Lihat pula
----------

* Limit langsung

Referensi
---------

1. 1 2 3  John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0.

Bibliografi
-----------

* Templat:Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits
* Bourbaki, Nicolas (1989), *Algebra I*, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
* Templat:Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4
* Templat:Dugundji Topology
* Templat:Grothendieck Topological Vector Spaces
* Mac Lane, Saunders (September 1998), *Categories for the Working Mathematician* (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 0-387-98403-8
* Mitchell, Barry (1972), "Rings with several objects", *Advances in Mathematics*, **8**: 1–161, doi:10.1016/0001-8708(72)90002-3, MR 0294454
* Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)", *Inventiones Mathematicae*, **148** (2): 397–420, doi:10.1007/s002220100197, MR 1906154
* Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", *C. R. Acad. Sci. Paris*, **252**: 3702–3704, MR 0132091
* Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", *J. London Math. Soc.*, Series 2, **73** (1): 65–83, doi:10.1112/S0024610705022416, MR 2197371
* Section 3.5 of Templat:Weibel IHA

Templat:Teori kategori