Dalam matematika, **Relasi Green** adalah lima relasi ekivalen yang mencirikan elemen-elemen dari semigrup dalam hal prinsip ideal yang mereka hasilkan. Hubungan tersebut dinamai untuk James Alexander Green, yang memperkenalkannya dalam makalah tahun 1951. John Mackintosh Howie, seorang ahli teori semigrup terkemuka, mendeskripsikan pekerjaan ini sebagai "begitu meluas sehingga, saat menghadapi semigroup baru, hampir pertanyaan pertama yang ditanyakan adalah 'Seperti apa relasi Green itu?'" (Howie 2002). Relasi berguna untuk memahami sifat perpecahan di dalam kelompok semigroup; mereka juga valid untuk  grup, tetapi dalam kasus ini tidak ada yang berguna, karena grup.

Alih-alih bekerja langsung dengan semigroup  *S* , akan lebih mudah untuk mendefinisikan relasi Green melalui monoid *S*1. (*S*1 adalah "*S*  dengan identitas yang digabungkan jika perlu"; jika  *S*  belum berbentuk monoid, elemen baru disambungkan dan didefinisikan sebagai identitas.) Ini memastikan bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh beberapa elemen semigroup memang mengandung elemen itu. Untuk elemen  *a*  dari  *S* , cita-cita yang relevan adalah:

* *Prinsip kiri ideal*  dihasilkan 0ada *a*: {\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}. This is the same as {\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}, dim mana {\displaystyle Sa\cup \{a\}}.
* *Prinsip kanan ideal* dihasilkan pada *a*: {\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}, or equivalently {\displaystyle aS\cup \{a\}}.
* *ideal dari dua sisi utama* dihasilkan pada *a*: {\displaystyle S^{1}aS^{1}}, atau {\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}.

Relasi L, R, dan J
------------------

Untuk elemen  *a*  dan  *b*  dari  *S* , relasi Green  *L* ,  *R*  dan  *J*  ditentukan oleh

* *a* *L* *b* jika dan hanya jika *S*1 *a* = *S*1 *b*.
* *a* *R* *b* jika dan hanya jika *a* *S*1 = *b* *S*1.
* *a* *J* *b* jika dan hanya jika *S*1 *a* *S*1 = *S*1 *b* *S*1.

Artinya,  *a*  dan  *b*  adalah  *L*  terkait jika mereka menghasilkan ideal kiri yang sama;  *R*  terkait jika mereka menghasilkan ideal hak yang sama; dan  *J*  - terkait jika mereka menghasilkan ideal dua sisi yang sama. Ini adalah relasi ekivalen pada  *S* , sehingga masing-masing menghasilkan partisi  *S*  menjadi kelas ekivalen. Kelas  *L*  dari  *a*  dilambangkan *L**a* (dan juga untuk relasi lainnya). Kelas  *L*  dan  *R*  dapat dipahami secara ekuivalen sebagai komponen relasi dari kiri dan kanan grafik Cayley dari *S*1. Selanjutnya, relasi  *L* ,  *R* , dan  *J*  mendefinisikan tiga preorder ≤*L*, ≤*R*, dan ≤*J*, dimana *a* ≤*J* *b* berlaku untuk dua elemen  *a*  dan  *b*  dari  *S*  jika kelas  *J*  dari  *a*  termasuk dalam kelas  *b* , yaitu *S*1 *a* *S*1 ⊆ *S*1 *b* *S*1, dan ≤*L* dan ≤*R* didefinisikan secara analogis.

Hijau menggunakan huruf kecil blackletter {\displaystyle {\mathfrak {l}}}, {\displaystyle {\mathfrak {r}}} dan {\displaystyle {\mathfrak {f}}} untuk hubungan ini, dan menulis {\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})} untuk  *a*   *L*   *b*  (dan juga untuk  *R*  dan  *J* ). Matematikawan saat ini cenderung menggunakan huruf skrip seperti {\displaystyle {\mathcal {R}}} sebagai gantinya, dan ganti notasi gaya aritmetika modular Green dengan gaya infix yang digunakan di sini. Huruf biasa digunakan untuk kelas kesetaraan.

Relasi  *L*  dan  *R*  adalah kiri-kanan ganda satu sama lain; teorema tentang satu dapat diterjemahkan ke dalam pernyataan serupa tentang yang lain. Misalnya,  *L*  is  *right-compatible* : jika  *a*   *L*   *b*  dan  *c*  adalah elemen lain dari  *S* , maka  *ac*   *L*   *bc*. Dually,  *R*  is  *kompatibel kiri* : jika  *a*   *R*   *b* , maka *ca* *R* *cb*.

Jika  *S*  komutatif, maka  *L* ,  *R*  dan  *J*  bertepatan.

Relasi H dan D
--------------

Relasi yang tersisa diturunkan dari  *L*  dan  *R*. Persimpangan mereka adalah  *H* :

*a* *H* *b* jika dan hanya jika *a* *L* *b* dan *a* *R* *b*.
Ini juga merupakan hubungan kesetaraan pada  *S*. Kelas *H**a* adalah persimpangan dari *L**a* dan *R**a*. Lebih umum lagi, perpotongan dari setiap kelas  *L*  dengan kelas  *R*  bisa berupa kelas  *H*  atau himpunan kosong.

*Teorema Green* menyatakan bahwa untuk semua kelas {\displaystyle {\mathcal {H}}}, *H* dari semigrup S juga (i) {\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset } atau (ii) {\displaystyle H^{2}=H} dan  *H*  adalah subgrup dari  *S*. Sebuah konsekuensi penting adalah bahwa kelas kesetaraan *H**e*, di mana  *e*  adalah idempoten, adalah subgrup  *S*  (identitasnya adalah  *e* , dan semua elemen memiliki invers), dan memang merupakan subgrup terbesar dari  *S*  mengandung  *e*. Tidak ada {\displaystyle {\mathcal {H}}} -kelas yang dapat berisi lebih dari satu idempoten, sehingga {\displaystyle {\mathcal {H}}} adalah  *pemisah idempoten*. Dalam monoid  *M* , kelas *H*1 secara tradisional disebut **grup unit**. (Hati-hati bahwa unit tidak berarti identitas dalam konteks ini, yaitu pada umumnya terdapat elemen non-identitas pada *H*1. Terminologi "satuan"  berasal dari teori cincin.) Misalnya, dalam transformasi monoid pada elemen  *n* , *T**n*, kelompok unit adalah grup simetris *S**n*.

Akhirnya,  *D*  didefinisikan:  *a*   *D*   *b*  jika dan hanya jika ada  *c*  di  *S*  sehingga  *a*   *L*   *c*  dan  *c*   *R*   *b*. Dalam bahasa  kisi,  *D*  adalah gabungan dari  *L*  dan  *R*. (Gabungan untuk relasi ekivalen biasanya lebih sulit untuk didefinisikan, tetapi disederhanakan dalam hal ini oleh fakta bahwa  *a*   *L*   *c*  dan  *c*   *R*   *b*  untuk beberapa  *c*  jika dan hanya jika  *a*   *R*   *d*  dan  *d*   *L*   *b*  untuk beberapa  *d* .)

Karena  *D*  adalah relasi ekivalen terkecil yang mengandung  *L*  dan  *R* , kita tahu bahwa  *a*   *D*   *b*  menyiratkan *a* *J* *b* , jadi  *J*  berisi  *D*. Dalam semigroup terbatas,  *D*  dan  *J*  adalah sama, seperti juga dalam monoid rasional.[*butuh klarifikasi*] Selanjutnya mereka juga bertepatan di epigrup.

Ada juga rumusan  *D*  dalam istilah kelas kesetaraan, yang diturunkan langsung dari definisi di atas:

*a* *D* *b* if and only if the intersection of *R**a* and *L**b* is not empty.
Consequently, the *D*-classes of a semigroup can be seen as unions of *L*-classes, as unions of *R*-classes, or as unions of *H*-classes. Clifford and Preston (1961) suggest thinking of this situation in terms of an "egg-box":

Contoh
------

Transformasi penuh semigroup  *T*  3  terdiri dari semua fungsi dari himpunan {1, 2, 3} ke dirinya sendiri; ada 27 di antaranya. Tulis ( *a*   *b*   *c* ) untuk fungsi yang mengirimkan 1 ke  *a* , 2 ke  *b* , dan 3 ke  *c*. Karena *T*  3  berisi peta identitas, (1 2 3), tidak perlu menggabungkan identitas.

Diagram kotak telur untuk  *T*  3  memiliki tiga kelas  *D*. Mereka juga merupakan kelas  *J* , karena relasi ini bertepatan untuk semigroup hingga.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **(1 1 1)** | **(2 2 2)** | **(3 3 3)** |

 |
|  | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **(1 2 2)**,(2 1 1) | **(1 3 3)**,(3 1 1) | (2 3 3),(3 2 2) |
| (2 1 2),**(1 2 1)** | (3 1 3),(1 3 1) | **(3 2 3)**,(2 3 2) |
| (2 2 1),(1 1 2) | (3 3 1),**(1 1 3)** | (3 3 2),**(2 2 3)** |

 |
|  |  | 

|  |
| --- |
| **(1 2 3)**, (2 3 1),(3 1 2), (1 3 2),(3 2 1), (2 1 3) |

 |

Dalam  *T*  3 , dua fungsi terkait dengan  *L*  jika dan hanya jika keduanya memiliki  gambar yang sama. Fungsi tersebut muncul di kolom yang sama pada tabel di atas. Demikian juga, fungsi  *f*  dan  *g*  adalah  *R*  terkait jika dan hanya jika

*f*(*x*) = *f*(*y*) ⇔ *g*(*x*) = *g*(*y*)
untuk  *x*  dan  *y*  di {1, 2, 3}; fungsi tersebut ada di baris tabel yang sama. Akibatnya, dua fungsi terkait dengan  *D*  jika dan hanya jika gambarnya berukuran sama.

Elemen yang dicetak tebal adalah idempoten. Setiap kelas  *H*  - yang mengandung salah satunya adalah subgrup (maksimal). Secara khusus, kelas  *D*  ketiga isomorfik ke grup simetris *S*3. Ada juga enam subgrup orde 2, dan tiga orde 1 (serta subgrup dari subgrup ini). Enam elemen dari  *T*  3  tidak ada dalam subgrup manapun.

Generalisasi
------------

Pada dasarnya ada dua cara untuk menggeneralisasi teori aljabar. Salah satunya adalah mengubah definisinya sehingga mencakup lebih banyak atau objek berbeda; cara lain yang lebih halus, adalah menemukan beberapa hasil yang diinginkan dari teori dan mempertimbangkan cara alternatif untuk mencapai kesimpulan itu.

Mengikuti rute pertama, versi analog dari hubungan Green telah ditentukan untuk semigelanggang (Grillet 1970) dan cincin (Petro 2002). Beberapa, tapi tidak semua, properti yang terkait dengan relasi dalam semigroup terbawa ke kasus ini. Dengan tetap berada dalam dunia semigroup, hubungan Green dapat diperluas hingga mencakup relativ ideal, yang merupakan himpunan bagian yang hanya ideal berkenaan dengan subsemigroup (Wallace 1963).

Untuk generalisasi jenis kedua, peneliti telah berkonsentrasi pada sifat-sifat bijection antara kelas  *L*  dan  *R*. Jika  *x*   *R*   *y* , maka selalu mungkin untuk menemukan bijections antara *L**x* dan *L**y* yaitu  *R*  pengawetan kelas. (Artinya, jika dua elemen dari kelas  *L* , maka gambar mereka di bawah kebijaksanaan akan tetap berada di kelas  *R*  yang sama.) Pernyataan ganda untuk  *x*   *L*   *y*  juga berlaku. Bijections ini adalah terjemahan kanan dan kiri, terbatas pada kelas kesetaraan yang sesuai. Pertanyaan yang muncul adalah: bagaimana lagi bisa?

Misalkan Λ dan Ρ adalah semigroup transformasi parsial dari beberapa semigroup  *S*. Dalam kondisi tertentu, dapat ditunjukkan bahwa jika *x* Ρ = *y* Ρ, dengan *x* *ρ*1 = *y* dan *y* *ρ*2 = *x*, lalu pembatasan

*ρ*1 : Λ *x* → Λ *y*
*ρ*2 : Λ *y* → Λ *x*
adalah bias yang saling berlawanan. (Biasanya, argumen ditulis di kanan untuk Λ, dan di kiri untuk Ρ.) Kemudian hubungan  *L*  dan  *R*  dapat didefinisikan dengan

*x* *L* *y* jika dan hanya jika Λ *x* = Λ *y*
*x* *R* *y* jika dan hanya jika *x* Ρ = *y* Ρ
dan  *D*  dan  *H*  ikuti seperti biasa. Generalisasi  *J*  bukan bagian dari sistem ini, karena ia tidak berperan dalam properti yang diinginkan.

Kami menyebut (Λ, Ρ) sebagai  *Pasangan Hijau*. Ada beberapa pilihan semigroup transformasi parsial yang menghasilkan relasi asli. Salah satu contohnya adalah dengan menjadikan Λ sebagai semigroup dari semua terjemahan kiri pada  *S*  1 , terbatas pada  *S* , dan Ρ semigroup terkait dari terjemahan kanan yang dibatasi.

Definisi ini disebabkan oleh Clark dan Carruth (1980). Mereka memasukkan karya Wallace, serta berbagai definisi umum lainnya yang diusulkan pada pertengahan 1970-an. Aksioma penuh cukup panjang untuk dinyatakan; informal, persyaratan yang paling penting adalah bahwa Λ dan Ρ harus berisi transformasi identitas, dan elemen Λ.

Lihat pula
----------

* Grup Schutzenberger

Referensi
---------

1. ↑  "How can you use Green's relations to learn about a monoid?". *Stack Exchange*. November 19, 2015.
2. ↑  Johnson, Marianne; Kambites, Mark (2011). "Green's J-order and the rank of tropical matrices".  *arΧiv:1102.2707* [math.RA].
3. ↑  Howie, p. 171
4. ↑  Gomes, Pin & Silva (2002), p. 94
5. ↑  Sakarovitch, Jacques (September 1987). "Easy multiplications I. The realm of Kleene's theorem". *Information and Computation*. **74** (3): 173–197. doi:10.1016/0890-5401(87)90020-4 alt=Dapat diakses gratis. Zbl 0642.20043.
6. ↑  Peter M. Higgins (1992). *Techniques of semigroup theory*. Oxford University Press. hlm. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
7. ↑  Lawson (2004) p. 219
8. ↑  Lawson (2004) p. 220

* C. E. Clark and J. H. Carruth (1980) *Generalized Green's theories*, Semigroup Forum 20(2);  95–127.
* A. H. Clifford and G. B. Preston (1961) *The Algebraic Theory of Semigroups*, volume 1, (1967) volume 2, American Mathematical Society, Green's relations are introduced in Chapter 2 of the first volume.
* J. A. Green (July 1951) "On the structure of semigroups", Annals of Mathematics (second series) 54(1): 163–172.
* Grillet, Mireille P. (1970). "Green's relations in a semiring". *Port. Math*. **29**: 181–195. Zbl 0227.16029.
* John M. Howie (1976) *An introduction to Semigroup Theory*, Academic Press ISBN 0-12-356950-8. An updated version is available as *Fundamentals of Semigroup Theory*, Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-851194-9.
* John M. Howie (2002) "Semigroups, Past, Present and Future", *Proceedings of the International Conference on Algebra and its Applications*, Chulalongkorn University, Thailand
* Lawson, Mark V. (2004). *Finite automata*. Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074.
* Petraq Petro (2002) *Green's relations and minimal quasi-ideals in rings*, Communications in Algebra 30(10): 4677–4686.
* S. Satoh, K. Yama, and M. Tokizawa (1994) "Semigroups of order 8", Semigroup Forum 49: 7–29.
* Gomes, G.M.S.; Pin, J.E.; Silva, J.E. (2002). *Semigroups, algorithms, automata, and languages. Proceedings of workshops held at the International Centre of Mathematics, CIM, Coimbra, Portugal, May, June and July 2001*. World Scientific. ISBN 978-981-238-099-9. Zbl 1005.00031.