Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.
Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.
Dalam aljabar linear, **matriks simetrik** adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks {\displaystyle A}didefinisikan matriks simetrik jika {\displaystyle A=A^{\text{T}}}. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal {\displaystyle a\_{ij}} menyatakan elemen matriks {\displaystyle A} pada baris ke-{\displaystyle i} dan kolom ke-{\displaystyle j}. Matriks {\displaystyle A} simetrik jika dan hanya jika untuk setiap {\displaystyle i,\,j} berlaku {\displaystyle a\_{ij}=a\_{ji}}.

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh
------

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran {\displaystyle 3\times 3} :

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}}

Sifat
-----

### Sifat dasar

* Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

* Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, matriks {\displaystyle AB} bersifat simetrik jika dan hanya jika {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} saling komutatif, yakni, jika {\displaystyle AB=BA}.

* Untuk bilangan bulat {\displaystyle n}, {\displaystyle A^{n}} matriks simetrik jika {\displaystyle A} matriks simetrik.

* Jika {\displaystyle A^{-1}} ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika {\displaystyle A} simetrik.

### Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal {\displaystyle {\mbox{Mat}}\_{n}} menyatakan ruang matriks ukuran {\displaystyle n\times n}. Jika {\displaystyle {\mbox{Sym}}\_{n}} adalah ruang matriks simetrik ukuran {\displaystyle n\times n} dan {\displaystyle {\mbox{Skew}}\_{n}} adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran {\displaystyle n\times n}, maka {\displaystyle {\mbox{Mat}}\_{n}={\mbox{Sym}}\_{n}+{\mbox{Skew}}\_{n}} dan {\displaystyle {\mbox{Sym}}\_{n}\cap {\mbox{Skew}}\_{n}=\{0\}}; yakni,

{\displaystyle {\mbox{Mat}}\_{n}={\mbox{Sym}}\_{n}\oplus {\mbox{Skew}}\_{n},}
dengan {\displaystyle \oplus } adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal {\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}\_{n}}. Matriks {\displaystyle X} dapat dinyatakan sebagai

{\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)}.
Perhatikan bahwa {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}\_{n}} dan {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}\_{n}}. Hal ini benar untuk semua matriks persegi {\displaystyle X} dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)} skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)} skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

### Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika {\displaystyle X} adalah matriks simetrik, begitu pula matriks {\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }} untuk sebarang matriks {\displaystyle A}.

Daftar pustaka
--------------

* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), *Matrix analysis* (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Symmetric matrix", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
* How to implement a Symmetric Matrix in C++

| * l
* b
* s
Kelas-kelas matriks |
| --- |
| Batasan pada elemen matriks | 
* (0,1)
* Alternatif
* Anti-diagonal
* Anti-Hermitian
* Anti-simetris
* Panah condong
* Bidiagonal
* Biner
* Bisimetris
* Diagonal balok
* Blok
* Blok segitiga
* Sentrosimetri
* Konferensi
* Hadamard kompleks
* Kopositif
* Dominan diagonal
* Ekuivalen
* Permutasi generalisasi
* Bilangan bulat
* Logis
* Monomial
* Nonnegatif
* Dipartisi
* Persimetris
* Polinomial
* Positif
* Kuarter
* Tanda
* Signatur
* Hermitian-miring
* Simetris-miring
* Garis langit
* Z

* Boole
* Cauchy
* Diagonal
* Elementer
* Frobenius
* Hadamard
* Hankel
* Hermite
* Hessenberg
* Metzler
* Moore
* Parisi
* Pita
* Permutasi
* Rongga
* Segitiga
* Simetrik
* Sylvester
* Transformasi Fourier diskret
* Tridiagonal
* Toeplitz
* Uniter
* Vandermonde
* Walsh

 |
| Konstan | 
* Bergeser
* Pertukaran

* Hilbert
* Identitas
* Lehmer
* Nol
* Pascal
* Pauli
* Redheffer
* Satu

 |
| Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya | 
* Kompasi
* Konvergen
* Defektif
* Diagonalisasi
* Generalisasi-positif

* Stabilitas
* Hurwitz
* Stieltjes

 |
| Batasan pada hasil perkalian atau inversnya | 
* Congruent
* Involutori
* Generalisasi unimodular
* Penimbangan

* Idempoten atau Proyeksi
* Nilpoten
* Normal
* Ortogonal
* Singular
* Terbalikkan (nonsingular)
* Unimodular
* Unipoten

 |
| Dengan aplikasi tertentu | 
* Adjugat
* Tanda alternatif
* Augmenten
* Lingkaran
* Komutasi
* Kofunsi
* Derogasi
* Duplikasi
* Eliminasi
* Jarak Euklides
* Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
* Generator
* Geser
* Persamaan

* Acak
* Bézout
* Carleman
* Cartan
* Coxeter
* Gram
* Hesse
* Householder
* Imbalan
* Jacobi
* Jarak
* Kofaktor
* Seifert
* Simplektik
* Transformasi
* Pick
* Positif total
* Rotasi
* Wedderburn
* X–Y–Z

 |
| Digunakan dalam statistika | 
* Centering
* Design
* Dispersion
* Doubly stochastic
* Fisher information
* Hat
* Precision

* Bernoulli
* Korelasi
* Kovariansi
* Stokastik (Markov)

 |
| Digunakan dalam teori graf | 
* Adjacency
* Biadjacency
* Degree
* Incidence
* Seidel adjacency
* Skew-adjacency

* Edmonds
* Laplace
* Tutte

 |
| Digunakan dalam sains dan teknik | 
* Fundamental (computer vision)
* Fuzzy associative
* Irregular
* Overlap
* State transition
* Substitution
* Z (chemistry)

* Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
* Densitas
* Gamma
* Gell-Mann
* Hamilton
* S

 |
| Istilah yang berhubungan | 
* Jordan canonical form
* Matrix exponential
* Matrix representation of conic sections
* Perfect matrix
* Quaternionic matrix

* Bebas linear
* Bentuk eselon baris
* Invers semu
* Wronskian

 |
| 
* Daftar jenis matriks
* Kategori:Matriks

 |