Terdapat lima akar satuan di bidang kompleks. Akar-akar satuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.
Dalam matematika, **akar satuan** (bahasa Inggris: *root of unity*), berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum
-------------

Akar satuan ke-*n*, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

{\displaystyle z^{n}=1.}
Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah

{\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}

Sifat dasar
-----------

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-*n* juga merupakan akar satuan ke-*n*, sebab

{\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}
Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-*n* adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-*n*:

{\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}

Sifat pada grup
---------------

### Grup semua akar satuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika *xm* = 1 dan *yn* = 1, maka (*x*−1)*m* = 1, dan (*xy*)*k* = 1, dengan *k* adalah kelipatan persekutuan terkecil dari *m* dan *n*.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

### Grup akar satuan ke-*n*

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-*n* juga merupakan akar satuan ke-*n*. Oleh karena itu, akar satuan ke-*n* membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri
---------------------

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}
Substitusi *x* = 2π*n* menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu

{\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}
akan tetapi

{\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}
untuk *k* = 1, 2, …, *n* − 1. Dengan kata lain, 

{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}
merupakan akar satuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar *n* = 3 dan *n* = 5 di kanan).

Rumus Euler

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk

{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}

Grup siklik
-----------

Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

Catatan
-------

1. ↑  Terkadang akar satuan disebut juga sebagai bilangan de Moivre.