Dalam aljabar, **kompleks Amitsur** adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan *datar dan setia* (bahasa Inggris: *faithfully flat*), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.

Definisi
--------

Misal {\displaystyle \theta \colon R\to S} adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial {\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}} (dengan {\displaystyle \otimes } merujuk pada {\displaystyle \otimes \_{R}}, bukan {\displaystyle \otimes \_{\mathbb {Z} }}). Kemudian, definisikan wajah peta {\displaystyle d^{i}\colon S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}} dengan menyisipkan 1 pada titik ke-*i* :

{\displaystyle d^{i}(x\_{0}\otimes \cdots \otimes x\_{n})=x\_{0}\otimes \cdots \otimes x\_{i-1}\otimes 1\otimes x\_{i}\otimes \cdots \otimes x\_{n}.}
Kemudian, definisikan degenerasi {\displaystyle s^{i}\colon S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}} dengan mengalikan ke-*i* dan titik-(*i' ' + 1):*

{\displaystyle s^{i}(x\_{0}\otimes \cdots \otimes x\_{n})=x\_{0}\otimes \cdots \otimes x\_{i}x\_{i+1}\otimes \cdots \otimes x\_{n}.}
Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, {\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}} adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi {\displaystyle \theta } pada **kompleks Amitsur**:

{\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }
dengan {\displaystyle \delta ^{n}=\sum \_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}

Ketepatan kompleks Amitsur
--------------------------

### Kasus *faithfully flat*

Dalam notasi di atas, jika {\displaystyle \theta } adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) {\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}} adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika {\displaystyle \theta } adalah rata tepat kanan, maka *M* untuk setiap modul kiri-*R*,

{\displaystyle 0\to M\to S\otimes \_{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes \_{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes \_{R}M\to \cdots }
adalah eksak.

*Bukti*:

**Langkah 1**: Pernyataan benar jika {\displaystyle \theta \colon R\to S} terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi {\displaystyle \theta }" adalah menyatakan {\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} \_{R}} untuk beberapa homomorfisme {\displaystyle \rho \colon S\to R} ({\displaystyle \rho } merupakan retraksi dan terbagi {\displaystyle \theta }). Diberikan {\displaystyle \rho } sebagai

{\displaystyle h\colon S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}
oleh

{\displaystyle {\begin{aligned}&h(x\_{0}\otimes m)=\rho (x\_{0})\otimes m,\\&h(x\_{0}\otimes \cdots \otimes x\_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x\_{0}))x\_{1}\otimes \cdots \otimes x\_{n}\otimes m.\end{aligned}}}
Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan {\displaystyle \delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} \_{M}\colon M\to S\otimes \_{R}M},

{\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} \_{S^{\otimes n+1}\otimes M}}.
Hal ini untuk menyebutkan bahwa *h* adalah operator homotopi dan dengan demikian {\displaystyle \operatorname {id} \_{S^{\otimes n+1}\otimes M}} sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

**Langkah 2**: Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa {\displaystyle S\to T:=S\otimes \_{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x} adalah bagian dari {\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}. Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi {\displaystyle S\to T} menyatakan:

{\displaystyle 0\to M\_{S}\to T\otimes \_{S}M\_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes \_{S}M\_{S}\to \cdots ,}
dimana {\displaystyle M\_{S}=S\otimes \_{R}M} adalah eksak. Karena {\displaystyle T\otimes \_{S}M\_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes \_{R}M}, dsg. dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak. {\displaystyle \square }

### Kasus topologi busur

Bhargav Bhatt and Peter Scholze (2019, §8) tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika *R* dan *S* adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).

Catatan
-------

1. ↑  Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan {\displaystyle s\_{0}} dan {\displaystyle d^{2}} di catatan.

Referensi
---------

1. ↑  Artin 1999, III.7.
2. ↑  Artin 1999, III.6.
3. ↑  Artin 1999, Theorem III.6.6.

Bibliografi
-----------

* Artin, Michael (1999), *Noncommutative rings (Berkeley lecture notes)* (PDF)
* Amitsur, Shimshon (1959), "Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields", *Transactions of the American Mathematical Society*, **90** (1): 73–112
* Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2019), *Prisms and Prismatic Cohomology*, arXiv:1905.08229 alt=Dapat diakses gratis
* Amitsur complex di *nLab*