Sebuah **roda** merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah *roda* terinspirasi oleh gambar topologis {\displaystyle \odot } dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan {\displaystyle \bot ={\frac {0}{0}}}.

Definisi
--------

Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar {\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}, di mana

* {\displaystyle W} merupakan sebuah himpunan,
* {\displaystyle 0} dan {\displaystyle 1} merupakan elemen dari himpunan tersebut,
* {\displaystyle +} dan {\displaystyle \cdot } merupakan operator biner,
* {\displaystyle /} merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

* Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan {\displaystyle 0} dan {\displaystyle 1} sebagai masing-masing identitasnya.
* {\displaystyle //x=x} ({\displaystyle /} adalah involusi)
* {\displaystyle /(xy)=/y/x} ({\displaystyle /} adalah perkalian)
* {\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}
* {\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}
* {\displaystyle 0\cdot 0=0}
* {\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}
* {\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}
* {\displaystyle 0/0+x=0/0}

Aljabar roda
------------

Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen {\displaystyle /x} mirip (tapi tak identis) dengan invers perkalian {\displaystyle x^{-1}}, sehingga {\displaystyle a/b} menjadi tulisan cepat untuk {\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}, tetapi bukan baik {\displaystyle a\cdot b^{-1}} maupun {\displaystyle b^{-1}\cdot a} umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

* {\displaystyle 0x\neq 0} dalam kasus umum
* {\displaystyle x-x\neq 0} dalam kasus umum
* {\displaystyle x/x\neq 1} dalam kasus umum, karena {\displaystyle /x} tidak sama dengan invers perkalian dari {\displaystyle x}.

Jika terdapat sebuah elemen {\displaystyle a} sehingga {\displaystyle 1+a=0}, maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan {\displaystyle -x=ax} dan {\displaystyle x-y=x+(-y)}.

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

* {\displaystyle 0x+0y=0xy}
* {\displaystyle x-x=0x^{2}}
* {\displaystyle x/x=1+0x/x}

Dan, untuk {\displaystyle x} dengan {\displaystyle 0x=0} dan {\displaystyle 0/x=0} kita mendapatkan yang biasa

* {\displaystyle x-x=0}
* 

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan {\displaystyle \{x\,|\,0x=0\}} merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika {\displaystyle x} adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka {\displaystyle x^{-1}=x}. Dengan demikian, setiap kali {\displaystyle x^{-1}} masuk akal, ini sama dengan {\displaystyle /x}, tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika {\displaystyle x=0}.

Contoh
------

### Roda pecahan

Misalkan {\displaystyle A} menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan {\displaystyle S} menjadi sebuah submonoid perkalian dari {\displaystyle A}. Mendefinisikan relasi kekongruenan {\displaystyle \sim \_{S}} pada {\displaystyle A\times A} melalui

{\displaystyle (x\_{1},x\_{2})\sim \_{S}(y\_{1},y\_{2})} berarti bahwa terdapat suatu {\displaystyle s\_{x},s\_{y}\in S} sehingga {\displaystyle (s\_{x}x\_{1},s\_{x}x\_{2})=(s\_{y}y\_{1},s\_{y}y\_{2})}.

Mendefinisikan *roda pecahan* dari {\displaystyle A} yang terhadap {\displaystyle S} sebagai kuosien {\displaystyle A\times A~/\sim \_{S}} (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi {\displaystyle (x\_{1},x\_{2})} sebagai {\displaystyle [x\_{1},x\_{2}]} dengan operasi

{\displaystyle 0=[0\_{A},1\_{A}]}           (identitas tambahan)

{\displaystyle 1=[1\_{A},1\_{A}]}            (identitas perkalian)

{\displaystyle /[x\_{1},x\_{2}]=[x\_{2},x\_{1}]}           (operasi timbal-balik)

{\displaystyle [x\_{1},x\_{2}]+[y\_{1},y\_{2}]=[x\_{1}y\_{2}+x\_{2}y\_{1},x\_{2}y\_{2}]}            (operasi penambahan)

{\displaystyle [x\_{1},x\_{2}]\cdot [y\_{1},y\_{2}]=[x\_{1}y\_{1},x\_{2}y\_{2}]}           (operasi perkalian)

### Garis proyektif dan bola Riemann

Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen {\displaystyle \bot }, dimana {\displaystyle 0/0=\bot }. Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur {\displaystyle \infty }, dimana {\displaystyle z/0=\infty } untuk setiap elemen {\displaystyle z\neq 0} dalam medan. Namun, {\displaystyle 0/0} masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan {\displaystyle 0/0} memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

Kutipan
-------

1. ↑  Carlström 2004.

Referensi
---------

* Setzer, Anton (1997), *Wheels* (PDF)  (a draft)
* Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", *Mathematical Structures in Computer Science*, Cambridge University Press, **14** (1): 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110  (also available online here).
* A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 April 2007). "The rational numbers as an abstract data type". *Journal of the ACM* (dalam bahasa Inggris). **54** (2): 7. doi:10.1145/1219092.1219095.  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
* Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "Division by Zero in Common Meadows". *Software, Services, and Systems: Essays Dedicated to Martin Wirsing on the Occasion of His Retirement from the Chair of Programming and Software Engineering*. Lecture Notes in Computer Science (dalam bahasa Inggris). Springer International Publishing. **8950**: 46–61. doi:10.1007/978-3-319-15545-6\_6. ISBN 978-3-319-15544-9.  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)