Dalam matematika, **matriks dasar** atau **matriks elementer** adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GL*n*(**F**) dengan **F** adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili **operasi baris dasar**, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili **operasi kolom dasar**.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer
-----------------------

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, namun dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan {\displaystyle R\_{i}} menyatakan baris ke-{\displaystyle i} dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran barisSuatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.
{\displaystyle R\_{i}\leftrightarrow R\_{j}}
Perkalian barisSetiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai *penskalaan* suatu baris.
{\displaystyle kR\_{i}\rightarrow R\_{i},\ {\mbox{dengan }}k\neq 0}
Penambahan barisSuatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.
{\displaystyle R\_{i}+kR\_{j}\rightarrow R\_{i},{\mbox{dengan }}i\neq j}

Matriks elementer
-----------------

Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas. Jika {\displaystyle \mathbf {E} } adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks {\displaystyle \mathbf {A} } akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan {\displaystyle \mathbf {A} }dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain, *{\displaystyle \mathbf {EA} }*.

### Transformasi pertukaran baris

Lihat pula: Matriks permutasi
Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks {\displaystyle \mathbf {A} } adalah menukar baris ke-{\displaystyle i} dengan baris ke-{\displaystyle j}. Matriks elementer {\displaystyle \mathbf {T} \_{i,j}} yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke-{\displaystyle i} dengan baris ke-{\displaystyle j} matriks identitas:

{\displaystyle \mathbf {T} \_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}
Jadi, matriks {\displaystyle \mathbf {T} \_{i,j}\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke-{\displaystyle i} dengan baris ke-{\displaystyle j} matriks {\displaystyle \mathbf {A} }.

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain, {\displaystyle \mathbf {T} \_{i,j}^{-1}=\mathbf {T} \_{i,j}}. Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa {\displaystyle \det(\mathbf {T} \_{i,j})=-1}. Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi {\displaystyle \mathbf {A} }, berlaku hubungan {\displaystyle \det(\mathbf {T} \_{i,j}\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )}

### Transformasi perkalian baris

Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke-{\displaystyle i} matriks {\displaystyle \mathbf {A} } dengan skalar {\displaystyle m} yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke-{\displaystyle i}-nya bernilai {\displaystyle m}:

{\displaystyle \mathbf {D} \_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}
Jadi, matriks {\displaystyle \mathbf {D} \_{i}(m)\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke-{\displaystyle i} matriks {\displaystyle \mathbf {A} } dengan {\displaystyle m}.

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan {\displaystyle \mathbf {D} \_{i}(m)^{-1}=\mathbf {D} \_{i}({\tfrac {1}{m}})}. Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan {\displaystyle m}. Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi {\displaystyle \mathbf {A} } berlaku hubungan {\displaystyle \det(\mathbf {D} \_{i}(m)\mathbf {A} )=m\det(\mathbf {A} )}.

### Transformasi penambahan baris

Tipe terakhir operasi baris pada matriks {\displaystyle \mathbf {A} } adalah menambahkan baris ke-{\displaystyle j} yang dikalikan dengan suatu skalar {\displaystyle m} ke baris ke-{\displaystyle i}. Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke-{\displaystyle (i,\,j)} bernilai {\displaystyle m}:

{\displaystyle \mathbf {L} \_{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}
Jadi, {\displaystyle \mathbf {L} \_{i,j}(m)\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan {\displaystyle m} kali baris ke-{\displaystyle j} ke baris ke-{\displaystyle i} matriks {\displaystyle \mathbf {A} }. Sedangkan {\displaystyle \mathbf {AL} \_{i,j}(m)} adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan {\displaystyle m} kali kolom ke-{\displaystyle i} ke kolom ke-{\displaystyle j} matriks {\displaystyle \mathbf {A} }.

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan {\displaystyle \mathbf {L} \_{i,j}(m)^{-1}=\mathbf {L} \_{i,j}(-m)}. Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan {\displaystyle \det(\mathbf {L} \_{i,j}(m)\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )} untuk sembarang matriks persegi {\displaystyle \mathbf {A} }.

Referensi
---------

* Axler, Sheldon Jay (1997), *Linear Algebra Done Right* (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
* Lay, David C. (August 22, 2005), *Linear Algebra and Its Applications* (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
* Meyer, Carl D. (February 15, 2001), *Matrix Analysis and Applied Linear Algebra*, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

* Poole, David (2006), *Linear Algebra: A Modern Introduction* (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
* Anton, Howard (2005), *Elementary Linear Algebra (Applications Version)* (edisi ke-9th), Wiley International
* Leon, Steven J. (2006), *Linear Algebra With Applications* (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall
* Strang, Gilbert (2016), *Introduction to Linear Algebra* (edisi ke-5th), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6

| * l
* b
* s
Kelas-kelas matriks |
| --- |
| Batasan pada elemen matriks | 
* (0,1)
* Alternatif
* Anti-diagonal
* Anti-Hermitian
* Anti-simetris
* Panah condong
* Bidiagonal
* Biner
* Bisimetris
* Diagonal balok
* Blok
* Blok segitiga
* Sentrosimetri
* Konferensi
* Hadamard kompleks
* Kopositif
* Dominan diagonal
* Ekuivalen
* Permutasi generalisasi
* Bilangan bulat
* Logis
* Monomial
* Nonnegatif
* Dipartisi
* Persimetris
* Polinomial
* Positif
* Kuarter
* Tanda
* Signatur
* Hermitian-miring
* Simetris-miring
* Garis langit
* Z

* Boole
* Cauchy
* Diagonal
* Elementer
* Frobenius
* Hadamard
* Hankel
* Hermite
* Hessenberg
* Metzler
* Moore
* Parisi
* Pita
* Permutasi
* Rongga
* Segitiga
* Simetrik
* Sylvester
* Transformasi Fourier diskret
* Tridiagonal
* Toeplitz
* Uniter
* Vandermonde
* Walsh

 |
| Konstan | 
* Bergeser
* Pertukaran

* Hilbert
* Identitas
* Lehmer
* Nol
* Pascal
* Pauli
* Redheffer
* Satu

 |
| Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya | 
* Kompasi
* Konvergen
* Defektif
* Diagonalisasi
* Generalisasi-positif

* Stabilitas
* Hurwitz
* Stieltjes

 |
| Batasan pada hasil perkalian atau inversnya | 
* Congruent
* Involutori
* Generalisasi unimodular
* Penimbangan

* Idempoten atau Proyeksi
* Nilpoten
* Normal
* Ortogonal
* Singular
* Terbalikkan (nonsingular)
* Unimodular
* Unipoten

 |
| Dengan aplikasi tertentu | 
* Adjugat
* Tanda alternatif
* Augmenten
* Lingkaran
* Komutasi
* Kofunsi
* Derogasi
* Duplikasi
* Eliminasi
* Jarak Euklides
* Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
* Generator
* Geser
* Persamaan

* Acak
* Bézout
* Carleman
* Cartan
* Coxeter
* Gram
* Hesse
* Householder
* Imbalan
* Jacobi
* Jarak
* Kofaktor
* Seifert
* Simplektik
* Transformasi
* Pick
* Positif total
* Rotasi
* Wedderburn
* X–Y–Z

 |
| Digunakan dalam statistika | 
* Centering
* Design
* Dispersion
* Doubly stochastic
* Fisher information
* Hat
* Precision

* Bernoulli
* Korelasi
* Kovariansi
* Stokastik (Markov)

 |
| Digunakan dalam teori graf | 
* Adjacency
* Biadjacency
* Degree
* Incidence
* Seidel adjacency
* Skew-adjacency

* Edmonds
* Laplace
* Tutte

 |
| Digunakan dalam sains dan teknik | 
* Fundamental (computer vision)
* Fuzzy associative
* Irregular
* Overlap
* State transition
* Substitution
* Z (chemistry)

* Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
* Densitas
* Gamma
* Gell-Mann
* Hamilton
* S

 |
| Istilah yang berhubungan | 
* Jordan canonical form
* Matrix exponential
* Matrix representation of conic sections
* Perfect matrix
* Quaternionic matrix

* Bebas linear
* Bentuk eselon baris
* Invers semu
* Wronskian

 |
| 
* Daftar jenis matriks
* Kategori:Matriks

 |