**Relasi biner** dalam matematika, singkatnya **relasi**, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.

Definisi
--------

Jika terdapat himpunan *A* dan himpunan *B* (*A* bisa sama dengan *B*), maka relasi *R* dari *A* ke *B* adalah subhimpunan dari *A*×*B*.

{\displaystyle R\_{AB}\subseteq A\times B}

Relasi dan fungsi proposisi
---------------------------

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan *B* = { *apel, jeruk, mangga, pisang* } dengan himpunan *W* = { *hijau, kuning, orange*}. Suatu relasi *R* dari *A* ke *B* didefinisikan sebagai *R* = {(*apel, hijau*), (*jeruk, orange*), (*mangga, hijau*), (*pisang, kuning*)}. Terdapat fungsi proposisi *w*(*x, y*) = "*x* berwarna *y*", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(*apel, hijau*), (*jeruk, orange*), (*mangga, hijau*), (*pisang, kuning*)}, yang tidak lain adalah relasi *R*.

Relasi A×A
----------

Sebuah relasi *A*×*A*, yaitu relasi dari himpunan *A* kepada *A* sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

* Refleksif
* Irefleksif
* Simetrik
* Anti-simetrik
* Transitif

Kita menyebut relasi *R* dari *A* kepada *A* sebagai relasi *R* dalam *A*.

### Relasi refleksif

Sebuah relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen *A* berhubungan dengan dirinya.

{\displaystyle \forall \_{a\in A}\quad (a,a)\in R}
atau

{\displaystyle \forall \_{a\in A}\quad aRa}
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi "*x* selalu bersama *y*.", dengan *x* dan *y* adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

### Relasi irefleksif

Relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen *A* tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

{\displaystyle \forall \_{a\in A}\quad (a,a)\notin R}
atau

{\displaystyle \forall \_{a\in A}\quad \lnot (aRa)}
Contoh relasi irefleksif adalah relasi "*x* mampu mencukur rambut *y* dengan rapi sempurna.", dengan *x* dan *y* adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur *a* yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

### Relasi simetrik

Relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota *A* berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika *a* terhubung dengan *b*, maka *b* juga terhubung dengan *a*. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R}
atau

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa}
Sebuah relasi "{\displaystyle x+y} genap" adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang *x* dan *y* yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai *y* dan *x*, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

### Relasi anti-simetrik

Jika setiap *a* dan *b* yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi *a* dan *b* berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow ((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\notin R)}
atau

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow (aRb\rightarrow \lnot (bRa))}
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b}
atau

{\displaystyle \forall \_{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b}
Relasi {\displaystyle \leq } bersifat anti-simetrik, karena {\displaystyle 5\leq 6} mengakibatkan {\displaystyle \lnot (6\leq 5)}. Demikian juga jika ada *p* dan *q* yang terhadap mereka berlaku {\displaystyle p\leq q} dan {\displaystyle q\leq p} berarti {\displaystyle p=q}.

### Relasi transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika *a* berhubungan dengan *b*, dan *b* berhubungan dengan *c*, maka *a* berhubungan dengan *c* secara langsung.

{\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}
atau

{\displaystyle \forall \_{a,b,c\in A}{aRb\wedge bRc\rightarrow aRc}}
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus
-------------

### Relasi ekuivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalen jika relasi tersebut bersifat:

* Refleksif
* Simetrik, dan
* Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas kesetaraan atau kelas kesetaraan.

### Orde parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

* Refleksif
* Anti-simetrik, dan
* Transitif

Lihat pula
----------

* Teori himpunan
* Himpunan
* Fungsi
* Kelas kesetaraan

|  |  |
| --- | --- |
| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata | 
* Microsoft Academic

 |