Gabungan dari dua himpunan{\displaystyle ~A\cup B}Dalam teori himpunan, **gabungan** (bahasa Inggris: *union*) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪. 

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari dua himpunan
--------------------------

Gabungan dari himpunan {\displaystyle A} dan {\displaystyle B} adalah himpunan anggota yang berada di {\displaystyle A}, atau {\displaystyle B}, atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.


A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A

 atau 

x
∈
B
}
.

{\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ atau }}x\in B\}.}

{\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ atau }}x\in B\}.}Sebagai contoh, jika {\displaystyle A=\{1,3,5,7\}} dan {\displaystyle B=\{1,2,4,6,7\}}, maka {\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}}. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː


A
=
{
x

 adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1

}

{\displaystyle A=\{x{\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}}\}}

{\displaystyle A=\{x{\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}}\}}

B
=
{
x

 adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1

}

{\displaystyle B=\{x{\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}}\}}

{\displaystyle B=\{x{\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}}\}}

A
∪
B
=
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
…
}
.

{\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.}

{\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.}
Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\dots \}} dan juga himpunan dari bilangan genap {\displaystyle \{2,4,6,8,10.\dots \}}, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari {\displaystyle \{1,2,3\}} dan {\displaystyle \{2,3,4\}} adalah {\displaystyle \{1,2,3,4\}}. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Sifat aljabar
-------------

Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C}, berlaku


A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
.

{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}

{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}
Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai {\displaystyle A\cup B\cup C}. Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa {\displaystyle A\cup \varnothing =A}, untuk setiap himpunan {\displaystyle A}. Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan


A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
,

{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}

{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}dan gabungan distribusi atas irisan


A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
.

{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}

{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}Himpunan kuasa dari himpunan {\displaystyle U}, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.


A
∪
B
=

(

A

c

∩

B

c

)

c

,

{\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}

{\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta {\displaystyle U}.

Gabungan terhingga
------------------

Gabungan dari tiga himpunan{\displaystyle ~A\cup B\cup C}
Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C} mengandung semua anggota dari {\displaystyle A}, semua anggota dari {\displaystyle B}, dan semua anggota dari {\displaystyle C}, dan tidak ada lagi. Dengan demikian, {\displaystyle x} adalah anggota dari {\displaystyle A\cup B\cup C} jika dan hanya jika {\displaystyle x} setidaknya ada di dalam salah satu himpunan {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, dan {\displaystyle C}.

**Gabungan terhingga** adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

Gabungan sebarang
-----------------

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut *gabungan tak terhingga*. Jika {\displaystyle \mathbf {M} } adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka {\displaystyle x} adalah gabungan dari {\displaystyle \mathbf {M} } jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota {\displaystyle A} dari {\displaystyle \mathbf {M} } sehingga {\displaystyle x} anggota dari {\displaystyle A}. Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol


x
∈
⋃

M

⟺

∃
A
∈

M

,
 
x
∈
A
.

{\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}

{\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, {\displaystyle A\cup B\cup C} adalah gabungan dari koleksi {\displaystyle \{A,B,C\}}. Juga, jika {\displaystyle \mathbf {M} } adalah koleksi kosong, maka gabungan dari {\displaystyle \mathbf {M} } adalah himpunan kosong

### Notasi

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan {\displaystyle S\_{1},S\_{2},S\_{3},\dots ,S\_{n}}, acapkali ditulis sebagai {\displaystyle S\_{1}\cup S\_{2}\cup S\_{3}\cup \dots \cup S\_{n}} atau



⋃

i
=
1

n

S

i

.

{\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{n}S\_{i}.}

{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}.}Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti {\textstyle \bigcup \mathbf {M} }, {\textstyle \bigcup \_{A\in \mathbf {M} }A}, atau {\textstyle \bigcup \_{i\in I}A\_{i}}, yang mengacu pada gabungan dari koleksi {\displaystyle \left\{A\_{i}:i\in I\right\}}, dengan {\displaystyle I} adalah himpunan indeks, dan {\displaystyle A\_{i}} adalah himpunan untuk {\displaystyle i\in I}. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks {\displaystyle I} yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi



⋃

i
=
1

∞

A

i

,

{\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i},}

{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i},}yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

Lihat pula
----------

* Aljabar dari himpunan
* Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
* Aksioma dari gabungan
* Gabungan penguraian
* Irisan (teori himpunan)
* Operasi biner berulang
* Teori himpunan naif
* Beda setangkup

Catatan
-------

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Union". Wolfram's Mathworld. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-02-07. Diakses tanggal 2009-07-14.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. ↑  Hernadi, Julan (2017). *Fondasi Matematika dan Metode Pembuktian*. Ponorogo: Penerbit UMPO Press.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. 1 2  Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (2002-01-01). *Basic Set Theory* (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.
4. ↑  Halmos, P. R. (2013-11-27). *Naive Set Theory* (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
5. ↑  "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". *www.probabilitycourse.com*. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-06. Diakses tanggal 2020-09-05.
6. ↑  Dasgupta, Abhijit (2013-12-11). *Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets* (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
7. ↑  "Finite Union of Finite Sets is Finite - ProofWiki". *proofwiki.org*. Diarsipkan dari versi asli tanggal 11 September 2014. Diakses tanggal 29 April 2018.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
8. 1 2  Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (2014-08-01). *A Transition to Advanced Mathematics* (dalam bahasa Inggris). Cengage Learning. ISBN 9781285463261.

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Union of sets", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Infinite Union and Intersection at ProvenMath Diarsipkan 2023-01-07 di Wayback Machine. De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

| * l
* b
* s
Teori himpunan |
| --- |
| Umum | 
* Himpunan (matematika)

 | Diagram Venn irisan himpunan |
| Aksioma | 
* Adjungsi
* Batas ukuran
* Determinasi
* Gabungan
* Himpunan kuasa
* Keberaturan
* Kebisadibangunan (V=L)
* Perluasan
* Pasangan
* Pemilihan
	+ tercacah
	+ terikat
	+ global
* Takhingga
* Aksioma Martin

* Skema aksioma
	+ penggantian
	+ spesifikasi

 |
| Operasi | 
* Gabungan
* Gabungan lepas
* Himpunan kuasa
* Hukum De Morgan
* Irisan
* Komplemen
* Produk Kartesius
* Selisih himpunan
* Beda setangkup

 |
| * Konsep
* Metode
 | 
* Argumen diagonal
* Bilangan kardinal (besar)
* Bilangan ordinal
* Diagram Venn
* Elemen
	+ pasangan terurut
	+ rangkap
* Hipotesis kontinum
* Induksi lintas-hingga
* Kardinalitas
* Kelas
* Keluarga
* Korespondensi satu-ke-satu
* Pemaksaan
* Semesta yang bisa dibangun

 |
| Jenis himpunan | 
* Himpunan bagian **·** Superhimpunan
* Berhingga (turun-temurun)
* Takhingga (takhingga Dedekind)
* Kabur
* Kosong
* Rekursif
* Semesta
* Tercacah
* Tak tercacah
* Transitif

 |
| Teori | 
* Aksiomatik
* Alternatif
* Naif
* Teorema Cantor

* Zermelo
	+ Umum
* *Principia Mathematica*
	+ New Foundations (NF, NFU)
* Zermelo–Fraenkel (ZFC)
	+ von Neumann–Bernays–Gödel (NBG)
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * Paradoks
* Masalah
 | 
* Paradoks Russell
* Masalah Suslin
* Paradoks Burali-Forti

 |
| Teoretisi himpunan | 
* Abraham Fraenkel
* Bertrand Russell
* Ernst Zermelo
* Georg Cantor
* John von Neumann
* Kurt Gödel
* Paul Bernays
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Thomas Jech
* Thoralf Skolem
* Willard Quine

 |

| * l
* b
* s
Operator besar |
| --- |
| 
* Notasi Sigma {\displaystyle \sum }
* Notasi kapital Pi {\displaystyle \prod }
* Gabungan sembarang {\displaystyle \bigcup }
* Irisan sembarang {\displaystyle \bigcap }
* Koproduk {\displaystyle \coprod }
* Jumlah langsung {\displaystyle \bigoplus }
* Darab Kronecker {\displaystyle \bigotimes }
* Kekisi (tatanan) {\displaystyle \bigvee }
* Kekisi (tatanan) {\displaystyle \bigwedge }
* Gabungan lepas {\displaystyle \bigsqcup }, {\displaystyle \biguplus }

 |