Mencari arah perkalian silang dengan menggunakan kaidah tangan kanan
**Perkalian vektor** adalah operasi perkalian dengan dua *operand* (objek yang dikalikan) berupa vektor. Tetapi hasil operasi ini tidak selalu adalah vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu **produk skalar** atau **perkalian titik** (bahasa Inggris: *dot product *atau* scalar product*, **perkalian silang** (bahasa Inggris: *cross product *atau* vector product *atau* directed area product*) dan **perkalian langsung** (bahasa Inggris: *direct product*).

Produk skalar
-------------

Produk skalar (atau "perkalian titik") dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

{\displaystyle \!{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(a\_{x}{\hat {i}}+a\_{y}{\hat {j}}+a\_{z}{\hat {k}})\cdot (b\_{x}{\hat {i}}+b\_{y}{\hat {j}}+b\_{z}{\hat {k}})}
{\displaystyle =a\_{x}b\_{x}+a\_{y}b\_{y}+a\_{z}b\_{z}\!}
Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

{\displaystyle {\hat {i}}\cdot {\hat {i}}=1}
{\displaystyle {\hat {j}}\cdot {\hat {j}}=1}
{\displaystyle {\hat {k}}\cdot {\hat {k}}=1}
dan

{\displaystyle {\hat {i}}\cdot {\hat {j}}={\hat {j}}\cdot {\hat {i}}=0}
{\displaystyle {\hat {j}}\cdot {\hat {k}}={\hat {k}}\cdot {\hat {j}}=0}
{\displaystyle {\hat {k}}\cdot {\hat {i}}={\hat {i}}\cdot {\hat {k}}=0}
Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker {\displaystyle \!\delta \_{mn}}, yaitu

{\displaystyle {\hat {m}}\cdot {\hat {n}}=\delta \_{mn}}

Perkalian silang
----------------

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

{\displaystyle {\vec {A}}\times {\vec {B}}=(a\_{x}{\hat {i}}+a\_{y}{\hat {j}}+a\_{z}{\hat {k}})\times (b\_{x}{\hat {i}}+b\_{y}{\hat {j}}+b\_{z}{\hat {k}})}
{\displaystyle =(a\_{y}b\_{z}-a\_{z}b\_{y}){\hat {i}}+(a\_{z}b\_{x}-a\_{x}b\_{z}){\hat {j}}+(a\_{x}b\_{y}-a\_{y}b\_{x}){\hat {k}}}
Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {j}}={\hat {k}}}
{\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {k}}={\hat {i}}}
{\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {i}}={\hat {j}}}
dan

{\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {i}}=-{\hat {k}}}
{\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {j}}=-{\hat {i}}}
{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {k}}=-{\hat {j}}.}

Perkalian langsung
------------------

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

{\displaystyle {\vec {A}}{\vec {B}}=(a\_{x}{\hat {i}}+a\_{y}{\hat {j}}+a\_{z}{\hat {k}})(b\_{x}{\hat {i}}+b\_{y}{\hat {j}}+b\_{z}{\hat {k}})}
{\displaystyle ={\hat {i}}(a\_{x}b\_{x}){\hat {i}}+{\hat {i}}(a\_{x}b\_{y}){\hat {j}}+{\hat {i}}(a\_{x}b\_{z}){\hat {k}}}
{\displaystyle +{\hat {j}}(a\_{y}b\_{x}){\hat {i}}+{\hat {j}}(a\_{y}b\_{y}){\hat {j}}+{\hat {j}}(a\_{y}b\_{z}){\hat {k}}}
{\displaystyle +{\hat {k}}(a\_{z}b\_{x}){\hat {i}}+{\hat {k}}(a\_{z}b\_{y}){\hat {j}}+{\hat {k}}(a\_{z}b\_{z}){\hat {k}}}
Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

{\displaystyle ({\hat {a}})({\hat {b}})={\hat {a}}{\hat {b}}}
{\displaystyle {\hat {a}}{\hat {b}}\neq {\hat {b}}{\hat {a}}}

Lihat pula
----------

* Perkalian (aritmetika dasar)
* Perkalian matriks


  


|  |  |
| --- | --- |
| Ikon rintisan | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |

* l
* b
* s