The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.

| Kalkulus |
| --- |
| * Teorema dasar

* Limit fungsi
* Kontinuitas

* Teorema nilai purata
* Teorema Rolle

 |
| Diferensial

| 
Definisi |
| --- |
| * Turunan (perumuman)

* Tabel turunan
* Diferensial
	+ infinitesimal
	+ fungsi
	+ total

 |
| 
Konsep |
| 
* Notasi untuk pendiferensialan
* Turunan kedua
* Turunan ketiga
* Perubahan variabel
* Pendiferensialan implisit
* Laju yang berkaitan
* Teorema Taylor

 |
| Kaidah dan identitas |
| 
* Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
* Perkalian
* Rantai
* Pangkat
* Pembagian
* Rumus Faà di Bruno

 |

 |
| Integral

| 
Definisi |
| --- |
| * Antiderivatif
* Integral (takwajar)
* Integral Riemann
* Integrasi Lebesgue
* Integrasi kontur
* Tabel integral
 |
| 
Integrasi secara |
| * parsial
* cakram
* kulit tabung
* substitusi (trigonometri)
* pecahan parsial
* Urutan
* Rumus reduksi
 |

 |
| Deret

|  |
| --- |
| * geometri (aritmetika-geometrik)
* harmonik
* selang-seling
* pangkat
* binomial
* Taylor
 |
| Uji kekonvergenan |
| * uji suku
* rasio
* akar
* integral
* perbandingan langsung
* perbandingan limit
* deret selang-seling
* kondensasi Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vektor

|  |
| --- |
| * Gradien
* Divergence
* Keikalan
* Laplace
* berarah
* identitas
 |
| 
Teorema |
| * Kedivergenan
* Gradien
* Green
* Stokes
 |

 |
| Multivariabel

| 
Formalisme |
| --- |
| * matriks
* tensor
* eksterior
* geometrik
 |
| 
Definisi |
| * Turunan parsial
* Integral lipat
* Integral garis
* Permukaan integral
* integral volume
* Jacobi
* Hesse
 |

 |
| Khusus
* fraksional
* Malliavin
* stokastik
* variasi

 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika modern, **Integral Lebesgue** suatu konsep integral.

Konstruksi
----------

### Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}.

### Integral dari fungsi sederhana

**Fungsi karakteristik** {\displaystyle \chi \_{A}:X\rightarrow \{0,1\}} untuk himpunan {\displaystyle A\subseteq X} adalah

{\displaystyle \chi \_{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.}
Suatu fungsi {\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} } tersebut **fungsi sederhana**, jika

{\displaystyle \phi =\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\chi \_{A\_{i}}}
untuk {\displaystyle \alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{n}\in \mathbb {R} }, {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}\in \Sigma } dan {\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana {\displaystyle \phi =\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}\chi \_{A\_{i}}} sebagai

{\displaystyle \int \_{X}\phi \,d\mu =\sum \_{i=1}^{n}\,\alpha \_{i}\mu (A\_{i}).}
### Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

{\displaystyle \int \_{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int \_{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.}
Perhatikan bahwa {\displaystyle \int \_{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]}.

### Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif {\displaystyle f^{+}} dan {\displaystyle f^{-}} adalah didefinisikan tik demi tik sebagai {\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}} dan {\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}.
Perhatikan bahwa {\displaystyle f=f^{+}-f^{-}} dan {\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}}.

Jika {\displaystyle \int \_{X}f^{+}\,d\mu <\infty } dan {\displaystyle \int \_{X}f^{-}\,d\mu <\infty }, maka {\displaystyle f} dikatakan **terintegralkan** dan kita mendefinisikan

{\displaystyle \int \_{X}f\,d\mu =\int \_{X}f^{+}\,d\mu -\int \_{X}f^{-}\,d\mu .}
Jelas, {\displaystyle f} terintegralkan jika dan hanya jika {\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty }.

Sifat-sifat dasar
-----------------

* Integral itu linear, yaitu jika {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } dan {\displaystyle f,g} fungsi terintegralkan, maka {\displaystyle \alpha f+\beta g} juga terintegralkan dengan

{\displaystyle \int \_{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int \_{X}f\,d\mu +\beta \int \_{X}g\,d\mu .}
* Integral itu monoton, yaitu jika {\displaystyle f,g} fungsi terintegralkan dan {\displaystyle f\leq g}, maka

{\displaystyle \int \_{X}f\,d\mu \leq \int \_{X}g\,d\mu .}

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Perpustakaan nasional | 
* Prancis (data)
* Amerika Serikat
* Jepang
* Republik Ceko

 |
| Lain-lain | 
* Microsoft Academic

 |