Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar. Untuk grupoid dalam teori kategori, lihat Grupoid. Untuk kegunaan lain, lihat Magma (disambiguasi).

| Struktur aljabar |
| --- |
| Sejenis grup
* Grup
* Semigrup / Monoid
* Rak dan ganjal
* Grup semu dan gelung

* Grup abelian
* Magma
* Grup Lie


*Teori grup* |
| Sejenis gelanggang
* Gelanggang
* Semigelanggang
* Gelanggang dekat
* Gelanggang komutatif
* Ranah integral
* Medan
* Gelanggang pembagian

*Teori gelanggang* |
| Sejenis kekisi
* Kekisi
* Semikekisi
* Kekisi dikomplemenkan
* Urutan total
* Aljabar Heyting
* Aljabar boolean

* Peta kekisi
* *Teori kekisi*
 |
| Sejenis modul
* Modul
* Grup dengan operator
* Ruang vektor

* *Aljabar linear*
 |
| Sejenis aljabar
* Aljabar

* Asosiatif
* Non-asosiatif
* Aljabar komposisi

* Aljabar Lie
* Bertingkat
* Bialjabar

 |
| * l
* b
* s
 |

Struktur aljabar antara magma dan grup.
Dalam aljabar abstrak, **magma**, **biner** atau **grupoid** adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Sejarah dan istilah
-------------------

Istilah *groupoid* ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman *Gruppoid*). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937). Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah  *groupoid*  adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996): 

> "Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata  *groupoid*  digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah  *magma*  digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."
> 
> 

 Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki *Éléments de mathématique*, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

Definisi
--------

Magma adalah himpunan {\displaystyle M} dengan operasi {\displaystyle \bullet } dimana elemen {\displaystyle a,b\in M} ke elemen {\displaystyle a\bullet b}. Simbol {\displaystyle \bullet } adalah *placeholder* umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi {\displaystyle (M,\bullet )} menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai *magma* atau  *aksioma ketertutupan*):

Untuk {\displaystyle a}, {\displaystyle b} dan {\displaystyle M}, hasil operasi {\displaystyle a\bullet b} adalah {\displaystyle M}.
Dan dalam notasi matematika:

{\displaystyle a,b\in M\implies a\cdot b\in M}.
Jika {\displaystyle \bullet } operasi parsial, maka {\displaystyle (M,\bullet )} disebut **magma parsial** atau disebut juga grupoid parsial.

Morfisme magma
--------------

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, {\displaystyle f\colon M\to N}, memetakan magma {\displaystyle M} ke magma {\displaystyle N}, yang dimana operasi biner:

{\displaystyle f(x\bullet \_{M}y)=f(x)\bullet \_{N}f(y)}
dimana {\displaystyle \bullet \_{M}} dan {\displaystyle \bullet \_{N}} menunjukkan operasi biner pada {\displaystyle M} dan {\displaystyle N}.

Notasi dan kombinatorik
-----------------------

Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi {\displaystyle \bullet } dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

{\displaystyle (a\bullet (b\bullet c))\bullet d=(a(bc))d}
Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, {\displaystyle xy\bullet z=(x\bullet y)\bullet z}. Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:

{\displaystyle (a\bullet bc)d}.
Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis {\displaystyle \bullet \bullet a\bullet bcd}. Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis {\displaystyle abc\bullet \bullet d\bullet }, di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi {\displaystyle n} dari operator magma dari bilangan Catalan, {\displaystyle C\_{n}}. Jadi, {\displaystyle C\_{2}=2}, yang mana hanya pernyataan {\displaystyle (ab)c} dan {\displaystyle a(bc)} adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: {\displaystyle C\_{3}=5}: {\displaystyle ((ab)c)d}, {\displaystyle (a(bc))d}, {\displaystyle (ab)(cd)}, {\displaystyle a((bc)d)}, dan {\displaystyle a(b(cd))}.

Terdapat {\displaystyle n^{n^{2}}} magma dengan elemen {\displaystyle n} adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).

Magma bebas
-----------

**Magma bebas**, {\displaystyle M\_{X}}, himpunan {\displaystyle X} adalah magma yang digunakan untuk {\displaystyle X} (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada {\displaystyle X} dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

{\displaystyle (a\bullet b)=(a)(b)}
{\displaystyle (a\bullet (a\bullet b))=(a)((a)(b))}
{\displaystyle (a\bullet a)\bullet b=((a)(a))(b)}
{\displaystyle M\_{X}} dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif {\displaystyle X} dengan tanda kurung dipertahankan.

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen {\displaystyle X}. Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika {\displaystyle f\colon X\to N} adalah fungsi dari {\displaystyle X} ke magma, {\displaystyle N}, maka perluasan dari {\displaystyle f} ke morfisme magma, {\displaystyle f'}

{\displaystyle f'\colon M\_{X}\to N}.
Lihat pula: Semigrup bebas, Grup bebas, Himpunan Hall, dan Bilangan Wedderburn–Etherington

Jenis magma
-----------

Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Grup semuMagma di mana pembagian selalu mungkin
GelungKuasigrup dengan elemen identitas
SemigrupMagma yang dimana operasinya asosiatif
Semigrup balikanSemigrup dengan balikan.
SemikisiSemigrup operasinya komutatif dan idempoten
MonoidSemigrup dengan elemen identitas
GrupSebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
Grup AbelianGrup yang operasinya bersifat komutatif
Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Penggolongan berdasarkan sifat
------------------------------

| Struktur grup |
| --- |
|  | Totalitas | Asosiatif | Identitas | Invers | Komutativitas |
| Semigrupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kategori Kecil | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Grupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kuasigrup | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma Unital | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Loop | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup invers | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid komutatif | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan |
| Grup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Grup Abelian | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan |
| **^α** Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda. |

Magma {\displaystyle (S,\bullet )}, dengan {\displaystyle x,y,u,z\in S}, disebut

MedialJika identitas, {\displaystyle xy\bullet uz\equiv xu\bullet yz}
Semimedial kiriJika identitas, {\displaystyle xx\bullet yz\equiv xy\bullet xz}
Semimedial kananJika identitas, {\displaystyle yz\bullet xx\equiv yx\bullet zx}
SemimedialJika keduanya semimedial kiri dan kanan
Distributif kiriJika memenuhi identitas, {\displaystyle x\bullet yz\equiv xy\bullet xz}
Distributif kananJika memenuhi identitas, {\displaystyle yz\bullet x\equiv yx\bullet zx}
AutodistributifJika keduanya distributif kiri dan kanan
KomutatifJika memenuhi identitas, {\displaystyle xy\equiv yx}
IdempotenJika identitas, {\displaystyle xx\equiv x}
UnipotenJika identitas, {\displaystyle xx\equiv yy}
NolpotenJika identitas, {\displaystyle xx\bullet y\equiv xx\equiv y\bullet xx}
AlternatifJika identitas {\displaystyle xx\bullet y\equiv x\bullet xy} dan {\displaystyle x\bullet yy\equiv xy\bullet y}
Daya-asosiatifJika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
Fleksibeljika {\displaystyle xy\bullet x\equiv x\bullet xy}
Semigrup, atau asosiatifJika identitas, {\displaystyle x\bullet yz\equiv xy\bullet z}
Uner kiriJika identitas, {\displaystyle xy\equiv xz}
Uner kananJika identitas, {\displaystyle yx\equiv zx}
Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nolJika identitas, {\displaystyle xy\equiv uv}
UnitalJika memiliki elemen identitas

Kategori magma
--------------

Kategori magma, dilambangkan **Mag**, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori **Mag** memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: **Himpunan → Med ↪ Mag** sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: {\displaystyle x\,\mathrm {T} \,y=y}.

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan {\displaystyle (\{^{\*}\},^{\*})} adalah objek nol dari **Mag**, dan karena **Mag** adalah aljabar **Mag** pada kompleks.

Perampatan
----------

Lihat grup *n*-er.

Lihat pula
----------

* Kategori magma
* Objek magma otomatis
* Aljabar universal
* Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
* Magma takasosiatif komutatif
* Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
* Aljabar grupoid
* Himpunan Hall

Referensi
---------

1. ↑  Bergman, Clifford, *Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics*
2. ↑  Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", *American Journal of Mathematics*, **59** (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
3. ↑  Hollings, Christopher (2014), *Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups*, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
4. ↑  Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), *Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings*, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
5. ↑  Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", *Algebra I: Chapters 1–3*, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
6. 1 2  Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), *Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift*, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
7. ↑  Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, *Nineteen Papers on Algebraic Semigroups*, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1
8. ↑  Weisstein, Eric W. "Groupoid". *MathWorld*.
9. ↑  Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", *Graduate Algebra: Noncommutative View*, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5
10. ↑  Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), *Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica*, **35** (1): 53–60
11. ↑  Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). *Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories*. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.

* M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* M. Hazewinkel (2001) [1994], "Free magma", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W. "Groupoid". *MathWorld*.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* Bruck, Richard Hubert (1971), *A survey of binary systems* (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3