Diagram komutatif dari Lemma Snake
Dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan teori kategori, suatu diagram dikatakan sebagai **diagram komutatif** jika untuk suatu objek {\displaystyle A} dan {\displaystyle B}, setiap lintasan yang berawal di {\displaystyle A} dan berakhir di {\displaystyle B} sama. Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi teori kategori untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma

Definisi
--------

Suatu diagram komutatif terdiri atas:

* Objek
* Morfisma (atau panah)
* Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:

* Monomorfisma dengan {\displaystyle \hookrightarrow }
* Epimorfisma dengan {\displaystyle \twoheadrightarrow }
* Isomorfisma dengan {\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}
* Jika panah yang digunakan digambar dengan garis putus-putus, umumnya panah tersebut melambangkan suatu morfisma yang diklaim ada (misalnya dalam suatu teorema); panah tersebut sering kali diberi label {\displaystyle \exists } untuk menekankan eksistensinya
	+ Jika morfisma yang diklaim tersebut tunggal, umumnya diberi label {\displaystyle \exists !}

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalam teori kategori

Istilah
-------

Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

Contoh
------

Dalam teori grup, misalkan {\displaystyle G,H} suatu grup dengan operasi {\displaystyle \circ \_{G}}dan {\displaystyle \circ \_{H}} serta {\displaystyle f:G\rightarrow H} suatu pemetaan antara himpunan untuk grup {\displaystyle G} dan {\displaystyle H}. Andaikan {\displaystyle f} adalah suatu homomorfisma grup, diagram berikut komutatif:

dengan pemetaan {\displaystyle f\times f} didefinisikan secara per-komponen sebagai

{\displaystyle f\times f:(a,b)\mapsto (f(a),f(b))}
untuk sebarang {\displaystyle a,b\in G}. Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlaku {\displaystyle f(a\circ \_{G}b)=f(a)\circ \_{H}f(b)}, yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah pada Lemma Snake. Pada suatu kategori abel dengan diagram komutatif

yang memiliki barisan eksak di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak

{\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}
sehingga diagram berikut komutatif:

Diagram Sebagai Fungtor
-----------------------

Misalkan {\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {C}}} suatu kategori dan {\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}} suatu fungtor dari kategori {\displaystyle {\mathcal {I}}} ke kategori {\displaystyle {\mathcal {C}}}. Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor {\displaystyle F} dan kategori {\displaystyle {\mathcal {I}}} disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).

Referensi
---------

1. ↑  Leinster, Tom (2016). *Basic Category Theory*. ISBN 978-1-107-04424-1.  Versi daring tersedia di arXiv pada arXiv:1612.09375v1
2. ↑  Smith, Peter (2016). *Category Theory A Gentle Introduction*.  Versi daring tersedia di sini
3. ↑  Aluffi, Paolo (2009). *Algebra: Chapter 0*. ISBN 978-0-8218-4781-7.

Pranala luar
------------

* Commutative Diagram di nLab

| * l
* b
* s
Matematika (Bidang matematika) |
| --- |
| Fondasi | 
* Filsafat matematika
* Logika matematika
* Teori himpunan
* Teori informasi
* Teori kategori
* Teori tipe

 |
| Aljabar | 
* Abstrak
* Elementer
* Homologis
* Komutatif
* Linear
* Multilinear
* Universal
* Teori grup
* Teori representasi

 |
| Analisis | 
* Kalkulus
* Analisis fungsional
* Analisis harmonik
* Analisis kompleks
* Analisis real
* Persamaan diferensial
* Teori ukuran
* Teori sistem dinamis

 |
| Diskret | 
* Kombinatorika
* Teori graf
* Teori order

 |
| Geometri | 
* Aljabar
* Analitis
* Diferensial
* Diskrit
* Euklides
* Hingga
* Trigonometri

 |
| Komputasi | 
* Analisis numerik (Topik)
* Ilmu komputer
* Komputasi simbolik
* Teori komputasi
* Teori kompleksitas komputasi
* Optimisasi matematika

 |
| Teori bilangan | 
* Aritmetika
* Geometri Diophantine
* Teori bilangan aljabar
* Teori bilangan analitis

 |
| Topologi | 
* Teori homotopi
* Aljabar
* Diferensial
* Geometris
* Umum

 |
| Terapan | 
* Matematika biologi
* Matematika ekonomi
* Matematika keuangan
* Fisika matematis
* Kimia matematika
* Psikologi matematis
* Statistika
* Statistika matematika
* Teori peluang
* Ilmu sistem (Teori kendali, Teori permainan, Riset operasi)

 |
| Divisi | 
* Matematika murni
* Matematika terapan
* Matematika diskret
* Matematika komputasi

 |
| Topik terkait | 
* Matematika dan seni
* Matematika rekreasi
* Pendidikan matematika
* Sejarah matematika

 |
| 
* Category **Kategori**
* Portal **Portal matematika**
* Kerangka
* Daftar

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata | 
* Microsoft Academic

 |