Sebuah bola berjari-jari {\displaystyle r} memiliki luas permukaan {\displaystyle 4\pi r^{2}}
**Luas permukaan** dari suatu bangun ruang adalah suatu ukuran dari jumlah luas yang menyelimuti permukaan suatu objek. Definisi matematis dari luas permukaan di hadapan permukaan yang melengkung jauh lebih terlibat daripada definisi dari panjang busur dari kurva-kurva satu dimensi, atau dari luas permukaan untuk polihedra (yaitu, objek dengan permukaan poligonal datar), untuk yang luas permukaan adalah jumlah dari luas-luas permukaannya. Permukaan halus, seperti sebuah bola, luas permukaan ditugaskan menggunakan reprsentasi mereka sebagai permukaan parametrik. Definisi ini dari luas permukaan berdasarkan metode dari kalkulus infinitesimal dan melibatkan turunan parsial dan integral ganda.

Sebuah definisi umum dari luas permukaan dicari oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski pada pergantian abad keduapuluh. Pekerjaan mereka dipimpi untuk mengembangkan teori pengukuran geometris, yang mempelajari berbaga gagasan-gagasan dari luas permukaan untuk objek tidak beraturan dari setiap dimensi. Sebuah contoh yang penting adalah konten Minkowski dari sebuah permukaan.

Definisi
--------

Selagi luas dari banyak permukaan sederhana sudah diketahui sejak zaman dahulu, definisi yang akurat dari luas membutuhkan banyak perhatian. Ini seharusnya menyediakan suatu fungsi 


S
↦
A
(
S
)

{\displaystyle S\mapsto A(S)}

{\displaystyle S\mapsto A(S)}yang memberikan suatu bilangan real positif ke suatu kelas permukaan tertentu yang memenuhi beberapa syarat. Sifat yang paling fundamental dari luas permukaan adalah **keaditifan** (*additivity*), yang berbunyi bahwa luas keseluruhannya adalah penjumlahan dari luas bagian-bagian. Dalam penjelasan yang lebih tepatnya, jika suatu permukaan {\displaystyle S} adalah gabungan dari banyak bagian-bagian mulus {\displaystyle S\_{1},\dots ,S\_{r}} yang tak bertumpang tindih, kecuali di batas bagian-bagian tersebut, maka 


A
(
S
)
=
A
(

S

1

)
+
⋯
+
A
(

S

r

)
.

{\displaystyle A(S)=A(S\_{1})+\cdots +A(S\_{r}).}

{\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}

Luas permukaan dari bangun yang berbentuk poligon datar harus sesuai dengan luas yang didefinisikan secara geometris. Oleh karena luas permukaan adalah gagasan geometris, luas dari permukaan yang kongruen harus sama dan luasnya harus bergantung hanya pada bangun permukaannya, tetapi tidak pada posisinya dan orientasi di dalam ruang. Hal Ini mengartikan bahwa luas permukaan invarian di bawah grup gerakan Euklides. Sifat-sifat ini mencirikan luas permukaan sebagai suatu kelas permukaan geometris yang sangat besar, yang dikenal dengan sebutan *piecewise smooth*. Permukaan tersebut tersusun atas banyak potongan yang dapat dinyatakan dengan bentuk parametrik



S

D

:

r
→

=

r
→

(
u
,
v
)
,

(
u
,
v
)
∈
D

{\displaystyle S\_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}

{\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}dengan fungsi kontinu terdiferensialkan {\displaystyle {\vec {r}}}. Luas dari suatu potongan individual didefinisikan dengan rumus


A
(

S

D

)
=

∬

D

|


r
→

u

×

r
→

v

|

d
u

d
v
.

{\displaystyle A(S\_{D})=\iint \_{D}\left|{\vec {r}}\_{u}\times {\vec {r}}\_{v}\right|\,du\,dv.}

{\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}
Dengan demikian, luas dari {\displaystyle S\_{D}} diperoleh dengan mengintegrasikan panjang dari vektor normal {\displaystyle {\vec {r}}\_{u}\times {\vec {r}}\_{v}} ke permukaan di atas daerah {\displaystyle D} yang sesuai di bidang {\displaystyle uv} parametrik. Luas dari suatu permukaan diperoleh dengan menjumlahkan luas dari bagian-bagiannya dengan menggunakan keaditifan dari luas permukaan. Rumus utamanya dapat ditentukan untuk kelas permukaan yang berbeda, yang dinyatakan secara khusus untuk rumus luas grafik {\displaystyle z=f(x,y)} dan permukaan benda putar.

Lentera Schwarz dengan irisan aksial {\displaystyle M} dan simpul radial {\displaystyle N}. Limit dari luas sebagai {\displaystyle M} dan {\displaystyle N}cenderung ke tak terhingga tidak konvergen. Khususnya, itu tidak konvergen ke luas dari silinder.
Salah satu kehalusan luas permukaan, jika dibandingkan dengan panjang busur kurva, adalah luas permukaan itu tidak bisa didefinisikan secara sederhana sebagai limit dari luas bentuk-bentuk polihedral mendekati sebuah diberikan permukaan mulus. Itu didemonstrasikan oleh Hermann Schwarz yang sudah untuk tabung, pilihan yang berbeda untuk mendekati permukaan datar dapat meyebabkan nilai pembatas yang berbeda, contoh ini dikenal sebagai lentera Schwarz.

Berbagai pendekatan untuk sebuah definisi umum luas permukaan dikembangkan di akhir abad kesembilanbelas dan awal abad keduapuluh oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski. Sedangkan untuk permukaan mulus sedikit demi sedikit, terdapat sebuah gagasan alami yang unik dari luas permukaan, jika sebuah permukaan sangat tidak teratur, atau kasar, maka itu mungkin tidak memungkinkan untuk menetapkan sebuah luas sama sekali. Sebuah contoh khas diberikan oleh sebuah permukaan dengan paku yang tersebar dengan cara yang padat. Banyak permukaan dari jenis ini terjadi dalam studi tentang fraktal. Perpanjangan dari gagasan luas yang sebagian memenuhi fungsinya dan dapat didefinisikan bahkan untuk permukaan tidak teratur yang sangat buruk dipelajari dalam teori pengukur geometris.

Rumus umum
----------

Luas permukaan bentuk tiga dimensi umum| Bentuk | Persamaan | Variabel |
| --- | --- | --- |
| Kubus | {\displaystyle 6s^{2}\,} | {\displaystyle s} = panjang sisi |
| Balok | {\displaystyle 2(pl+pt+lt)\,} | {\displaystyle p}= panjang, {\displaystyle l} = lebar, {\displaystyle t} = tinggi |
| Prisma segitiga | {\displaystyle 2(1/2a\times t)=a\times t+t(a+b+c)} | {\displaystyle b} = panjang alas segitiga, {\displaystyle t} = tinggi segitiga, {\displaystyle l} = jarak antara alas segitiga, {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c} = sisi-sisi segitiga |
| Semua prisma | {\displaystyle 2La+Ka\times t\,} | {\displaystyle La} = luas satu alas, {\displaystyle Ka} = keliling satu alas, {\displaystyle t} = tinggi |
| Bola | {\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,} | {\displaystyle r} = jari-jari bola, {\displaystyle d} = diameter |
| Lune bola | {\displaystyle 2r^{2}\theta \,} | {\displaystyle r} = jari-jari bola, {\displaystyle \theta } = sudut dihedral |
| Torus | {\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr} | {\displaystyle r} = jari-jari kecil (jari-jari pipa), {\displaystyle R} = jari-jari utama (jarak dari tengah pipa ke tengah torus) |
| Silinder tertutup | {\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,} | {\displaystyle r} = jari-jari dari alas melingkat, {\displaystyle h} = tinggi dari silinder |
| Luas permukaan lateral pada sebuah kerucut | {\displaystyle \pi r\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi rs\,} | {\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
{\displaystyle s} = tinggi miring dari kerucut,{\displaystyle r} = jari-jari dari alas melingkar,{\displaystyle h} = tinggi dari kerucut |
| Luas permukaan penuh dari sebuah kerucut | {\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r(r+s)\,} | {\displaystyle s} = tinggi miring dari kerucut,{\displaystyle r} = jari-jari alas melingkar,{\displaystyle h} = tinggi dari kerucut |
| Limas | {\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}} | {\displaystyle B} = luas alas, {\displaystyle P} = perimeter alas, {\displaystyle L} = panjang miring |
| Piramida persegi | {\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}} | {\displaystyle b} = panjang alas, {\displaystyle s} = tinggi miring, {\displaystyle h} = tinggi vertikal |
| Piramida persegi panjang | {\displaystyle lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}} | {\displaystyle \ell } = panjang, {\displaystyle w} = lebar, {\displaystyle h} = tinggi |
| Tetrahedron | {\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}} | {\displaystyle a} = panjang sisi |

### Rasio luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama

Sebuah kerucut, bola, dan tabung jari-jari {\displaystyle r} dan tinggi {\displaystyle h}
Diberikan rumus di bawah dapat digunakan untuk menunjukkan bawa luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama dalam rasio **2 ː 3**, sebagai berikut.

Misalkan jari-jari menjadi {\displaystyle r} dan tinggi menjadi {\displaystyle h} (yang {\displaystyle 2r} untuk

bola).

  

{\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Luas permukaan bola}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Luas permukaan tabung}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}

Penemuan rasio ini dikreditkan ke Archimedes.

Dalam kimia
-----------

Luas permukaan partikel dari ukuran yang berbeda.
Luas permukaan penting dalam kinetika kimia. Meningkatkan luas permukaan dari sebuah substansi umumnya meningkatkan laju dari sebuah reaksi kimia. Sebagai contoh, besi dalam bubuk halus akan terbakar, sedangkan dalam balok padat cukup stabil untuk digunakan dalam struktur. Untuk penerapan yang berbeda, sebuah luas permukaan minimal atau maksimal mungkin diinginkan.

Dalam biologi
-------------

Membran bagian dalam dari mitokondria memiliki sebuah luas permukaan yang besar karena pembungkusan, memungkinkan laju respirasi seluler yang tinggi (mikrograf elektron)
Luas permukaan pada sebuah organisme pentinh dalam beberapa pertimbangan, seperti regulasi suhu tubuh dan pencernaan. Hewan-hewan menggunakan gigi mereka untuk menggiling makanan menjadi partikel-partikel kecil, meningkatkan luas permukaan yang tersedia untuk pencernaan. Jaringan epitel yang melapisi saluran pencernaan mengandung mikrovilli, sangat meningkatkan luas yang tersedia untuk penyerapan. Gajah memiliki telinga yang besar, memungkinikan mereka untuk mengatur suhu tubuh mereka sendiri. Dalam kasus lain, hewan-hewan perlu meminimalkan luas permukaan, sebagai contoh, orang-orang akan melipat lengan mereka di atas dada mereka ketika dingin untuk meminimalkan kehilangan panas.

Rasio luas permukaan terhadap volume ({\displaystyle SA:V}) dari sebuah sel memaksakan batas atas ukuran, sebagai volume meningkat jauh lebih cepat daripada luas permukaan, demikian membatasi laju difusi zat dari interior melintasi ke ruang interstisial atau sel lainnya. Memang, mewakili sebuah sel sebagai sebuah bidang yang ideal dengan jari-jari {\displaystyle r}, volume dan luas permukaan, masing-masing, {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} dan {\displaystyle SA=4\pi r^{2}}. Luas permukaan yang dihasilkan ke rasio volume karena itu {\displaystyle {\frac {3}{r}}}. Demikian, jika sebuah sel memiliki sebuah jari-jari 1 μm, rasio {\displaystyle SA:V} adalah 3, sedangkan jika jari-jari dari sel 10 μm, maka rasio {\displaystyle SA:V} adalah 0.03. Demikian, luas permukaan turun dengan tajam dengan meningkatkan volume.

Lihat pula
----------

* Panjang perimeter
* Teori BET, teknik untuk pengukuran dari luas permukaan material
* Trigonometri bola
* Permukaan integral

Referensi
---------

1. ↑  (Inggris) Weisstein, Eric W. "Surface Area". *MathWorld*.
2. ↑  "Schwarz's Paradox" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2017-03-21.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ↑  "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-12-15. Diakses tanggal 2012-07-24.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. ↑  Rorres, Chris. "Tomb of Archimedes: Sources". Courant Institute of Mathematical Sciences. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2006-12-09. Diakses tanggal 2007-01-02.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

* Yu.D. Burago, V.A. Zalgaller, L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Area", dalam Hazewinkel, Michiel, *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

Pranala luar
------------

* Surface Area Video Diarsipkan 2012-03-06 di Wayback Machine. at Thinkwell