Artikel ini membahas tentang persamaan fungsional tertentu. Untuk persamaan diferensial biasa yang berbentuk kubik dalam fungsi yang tidak diketahui, lihat Persamaan abel jenis pertama.
**Persamaan Abel**, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

{\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}
atau, setara, 

{\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}
dan mengontrol iterasi f.

Kesetaraan
----------

Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa  α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

{\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}
Pengambilan *x* = *α*−1(*y*), persamaan dapat ditulis sebagai

{\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}
Untuk fungsi   *f*  ( *x* ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut *α*−1≡*h*, possibly satisfying additional requirements, such as *α*−1(0) = 1.

Perubahan variabel *s**α*(*x*) = Ψ(*x*), untuk parameter nyata  s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(*f*(*x*)) = *s* Ψ(*x*) .

The further change *F*(*x*) = exp(*s**α*(*x*)) into Böttcher's equation, *F*(*f*(*x*)) = *F*(*x*)*s*.

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,

{\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}
e.g. for {\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}, 

{\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}.     (Observe  *ω*(*x*,0) = *x*.)
Fungsi Abel *α*(*x*) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Lihat pula: Fungsi Iterasi § Properti Abelian dan urutan Iterasi

Sejarah
-------

Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum

was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.

Kasus khusus
------------

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan *f* = exp.

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

{\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}
dan seterusnya,

{\displaystyle \alpha (f\_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}

Solusi
------

* solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if {\displaystyle u} is solution, then {\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}, where {\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}, is also solution.)
* solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola
* Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di {\displaystyle E} jika dan hanya jika {\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}, dimana {\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}, n times.

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

Lihat pula
----------

* Persamaan fungsional
	+ Persamaan Schröder
	+ Persamaan Böttcher
* Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
* Fungsi berulang
* Operator shift
* Superfungsi

Referensi
---------

1. ↑  Aczél, János, (1966): *Kuliah tentang Persamaan Fungsional dan Aplikasinya*, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
2. ↑  Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." *Journal für die reine und angewandte Mathematik*. **1**: 11–15.
3. ↑  A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". *Bull. Amer. Math. Soc*. **19** (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 alt=Dapat diakses gratis.
4. ↑  Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", *Bull Sci Math & Astron* **6**(1) 228—242. 
online
5. ↑  G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). *Studia Mathematica*. **134** (2): 135–141.
6. ↑  Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". *Nonlinear Analysis: Hybrid Systems*. **1** (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
7. ↑  G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). *Studia Mathematica*. **127**: 81–89.
8. ↑  Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
9. ↑  R. Tambs Lyche,ÉTUDES SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE D'ABEL DANS LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES. University of Trondlyim, Norvege
10. ↑  Dudko, Artem (2012). *Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets* Ph.D. Thesis
11. ↑  R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege