Dalam matematika, aljabar asosiatif **matriks riil 2 × 2** dilambangkan dengan {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbf {R} )}. Dua matriks {\displaystyle p} dan {\displaystyle q} dalam {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbf {R} )} memiliki sebuah jumlah {\displaystyle p+q} diberikan oleh penjumlahan matriks. Hasil kali matriks {\displaystyle p\cdot q} dibentuk dari produk dot dari baris dan kolom dari faktornya melalui perkalian matriks. Untuk

{\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
misalkan

{\displaystyle q^{\*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}
Maka, {\displaystyle qq\*=q\*q=(ad-bc)I}, dimana {\displaystyle I} adalah matriks identitas 2 × 2. Bilangan real {\displaystyle ad-bc} disebut determinan {\displaystyle q}. Ketika {\displaystyle ad-bc\neq 0}, {\displaystyle q} adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, dan kemudian

{\displaystyle q^{-1}={\frac {q\*}{ad-bc}}}.
Kumpulan dari semua seperti matriks yang dapat dibalik merupakan grup linear umum {\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )}. Dalam istilah aljabar abstrak, {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbf {R} )} dengan terkait operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sebuah gelanggang, dan {\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )} adalah grup satuan tersebut. {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbf {R} )} juga sebuah ruang vektor empat-dimensi, jadi ini ditinjau sebagai aljabar asosiatif.

**Matriks real 2 × 2** ada di korespondensi satu-satu dengan pemetaan linear dari sistem koordinat Kartesius dua dimensi menjadi dirinya sendiri oleh aturan

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}}
Bagian selanjutnya memperlihatkan {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )} adalah sebuah gabungan tampang lintang planar yang termasuk sebuah garis riil. {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )} adalah isomorfis gelanggang ke kuaternion terbagi, dimana ini adalah sebuah gabungan yang mirip namun dengan himpunan indeks yaitu hiperbolik.

Profil
------

Dalam {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbf {R} )}, perkalian dengan bilangan riil dari matriks identitas {\displaystyle I} dapat dianggap sebuah garis real. Garis real ini adalah tempat dimana semua subgelanggang komutatif datang bersama.

Misalkan {\displaystyle P\_{m}=\{xI+ym:x,y\in \mathbb {R} \}} dimana {\displaystyle m^{2}\in \{-I,0,I\}}. Maka {\displaystyle P\_{m}} adalah sebuah subgelanggang komutatif dan {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )=\bigcup P\_{m}} dimana gabungan pada semua {\displaystyle m} seperti {\displaystyle m^{2}\in \{-I,0,I\}}.

Untuk mengidentifikasi {\displaystyle m}, pertama kuadratkan matriks umum:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}}
Ketika {\displaystyle a+d=0}, kuadrat ini adalah sebuah matriks diagonal.

Jadi salah satunya mengasumsikan {\displaystyle d=-a} ketika mencari untuk {\displaystyle m} untuk membentuk subgelanggang komutatif. Ketika {\displaystyle mm=-I}, maka {\displaystyle bc=-1-aa}, sebuah persamaan menggambarkan sebuah paraboloid hiperbolik dalam ruang parameter {\displaystyle (a,b,c)}. Seperti sebuah {\displaystyle m} berfungsi sebagai sebuah satuan khayal. Dalam kasus ini {\displaystyle P\_{m}} isomorfik dengan medan bilangan kompleks (biasa).

Ketika {\displaystyle mm=+I}, {\displaystyle m} adalah sebuah matriks involutori. Maka {\displaystyle bc=+1-aa}, juga memberikan sebuah paraboloid hiperbolik. Jika sebuah matriks adalah sebuah matriks idempoten, ini pasti terletak pada {\displaystyle P\_{m}} dan dalam kasus ini {\displaystyle P\_{m}} isomorfik dengan gelanggang bilangan kompleks terbagi

Kasus dari sebuah matriks nilpoten, {\displaystyle mm=0}, muncul ketika hanya salah satu dari {\displaystyle b} dan {\displaystyle c} tak nol, dan subgelanggang komutatif {\displaystyle P\_{m}} kemudian sebuah salinan dari bidang bilangan dual.

Ketika {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )} dikonfigurasi ulang dengan sebuah penukaran basis, profil ini berubah menjadi profil kuaternion terbagi dimana himpunan akar kuadrat {\displaystyle I} dan {\displaystyle -I} mengambil sebuah bentuk simetris sebagai hiperboloid.

Pemetaan ekui-areal
-------------------

Pertama, ubah satu vektor diferensial ke yang lainnya:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}}
Luas-luas diukur dengan *densitas* {\displaystyle dx\wedge dy}, 2 bentuk diferensial yang melibatkan penggunaan aljabar eksterior. Densitas yang diubah tersebut adalah

{\displaystyle {\begin{aligned}du\wedge dv&=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&=(ps-qr)\ dx\wedge dy\\&=\det(g)\ dx\wedge dy\end{aligned}}}
Demikian pemetaan ekui-areal diidentifikasi dengan {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\{g\in \operatorname {M} (2,\mathbb {R} ):\det(g)=1\}} (lihat SL2(R)), grup linear khusus. Diberikan profil di atas, setiap {\displaystyle g} terletak dalam sebuah subgelanggang komutatif {\displaystyle P\_{m}} mewakili sebuah tipe bidang kompleks menurut kuadrat dari {\displaystyle m} Karena {\displaystyle gg^{\*}=I}, salah satu dari tiga alternatif berikut terjadi:

* {\displaystyle mm=-I} dan {\displaystyle g} ada pada sebuah lingkaran rotasi Eukildes; atau
* {\displaystyle mm=I} dan {\displaystyle g} ada pada sebuah hiperbola pemetaan apit, atau
* {\displaystyle mm=0} dan {\displaystyle g} ada pada sebuah garis pemetaan geser.

Menulis mengenai pemetaan afin planar, Rafael Artzy membuat sebuah trikotomi planar yang serupa, pemetaan linear dalam bukunya *Linear Geometry* (1965).

Fungsi matriks real 2 × 2
-------------------------

Subgelanggang komutatif {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )} menentukan teori fungsi; khususnya tiga tipe subbidang memiliki struktur aljabar kepunyaan mereka yang menetapkan nilai ekspresi aljabar. Pertimbangan fungsi akar kuadrat dan fungsi logaritma tersebut berfungsi untuk mengilustrasikan batasnya tersirat oleh sifat-sifat khusus setiap tipe subbidang {\displaystyle P\_{m}} yang digambarkan di profil di atas. Konsep komponen identitas dari grup satuan {\displaystyle P\_{m}} mengarah ke penguraian polar elemen dari grup satuan:

* Jika {\displaystyle mm=-I}, maka {\displaystyle z=\rho \exp(\theta m)}.
* Jika {\displaystyle mm=0}, maka {\displaystyle z=\rho \exp(sm)} atau {\displaystyle z=-\rho \exp(sm)}.
* Jika {\displaystyle mm=1}, maka {\displaystyle z=\rho \exp(am)} atau {\displaystyle z=-\rho \exp(am)} atau {\displaystyle z=m\rho \exp(am)} atau {\displaystyle z=-m\rho \exp(am)}.

Dalam kasus pertama {\displaystyle \exp(\theta m)=\cos(\theta )+m\sin(\theta )}. Dalam kasus bilangan dual {\displaystyle \exp(sm)=1+sm}. Terakhir, dalam kasus bilangan kompleks terbagi terdapat empat komponen dalam grup satuan. Komponen identitas berparameter oleh {\displaystyle \rho } dan {\displaystyle \exp(am)=\cosh(a)+m\sinh(a)}.

Sekarang {\displaystyle {\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp \left({\frac {1}{2}}am\right)} terlepas dari subbidang {\displaystyle P\_{m}}, tetapi argumen dari fungsi harus diambil dari *komponen identitas grup satuannya*. Setengah bidang hilang dalam kasus dari struktur bilangan dual, tiga per empat dari bidang harus dikecualikan dalam kasus dari struktur bilangan kompleks terbagi.

Dengan cara yang sama, jika {\displaystyle \rho \exp(am)} adalah sebuah elemen dari komponen identitas dari grup satuan dari sebuah bidang yang terkait dengan matriks 2 × 2 dari {\displaystyle m}, maka fungsi logaritma tersebut menghasilkan sebuah nilai {\displaystyle \log \rho +am}. Domain dari fungsi logaritma tersebut mendapat batasan yang sama seperti halnya fungsi akar kuadrat yang digambarkan di atas, setengah atau tiga perempat {\displaystyle P\_{m}} harus dikecualikan dalam kasus {\displaystyle mm=0} atau {\displaystyle mm=I}.

Teori fungsi yang lebih lanjut dapat dilihat di artikel fungsi kompleks untuk struktur {\displaystyle C}, atau di artikel variabel motor untuk struktur kompleks terbagi.

Matriks real 2 × 2 sebagai bilangan kompleks
--------------------------------------------

Setiap matriks real 2 × 2 dapat diartikan sebagai salah satu dari tiga bilangan kompleks (yang disamaratakan): bilangan kompleks standar, bilangan dual, dan bilangan kompleks terbagi. Di atas, aljabar matriks 2 × 2 diprofilkan sebagai sebuah gabungan bilangan kompleks, semua membagi sumbu real yang sama. Bidang-bidang ini diperkenalkan sebagai subgelanggang komutatif {\displaystyle P\_{m}}. Salah satunya dapat menentukan bliangan matriks yang mana sebuah matriks 2 × 2 yang diberikan milik sebagai berikut dan menggolongkan jenis bilangan kompleks yang bidang tersebut mewakili.

Anggap matriks 2 × 2

{\displaystyle z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
Bilangan kompleks {\displaystyle P\_{m}} yang berisi {\displaystyle z} ditemukan sebagai berikut.

Seperti yang disebutkan di atas, kuadrat dari matriks {\displaystyle z} adalah diagonal ketika {\displaystyle a+d=0}. Matriks {\displaystyle z} harus diekspresikan sebagai jumlah sebuah perkalian dari matriks identitas {\displaystyle I} dan sebuah matriks dalam hiperbidang {\displaystyle a+d=0}. Memproyeksikan {\displaystyle z} secara alternatif ke subruang-subruang {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} ini menghasilkan

{\displaystyle z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI}
Selanjutnya,

{\displaystyle n^{2}=pI}
dimana

{\displaystyle p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc}
Sekarang {\displaystyle z} merupakan salah satu dari tiga tipe bilangan kompleks:

* Jika {\displaystyle p<0}, maka ini adalah sebuah bilangan kompleks biasa:

Misalkan {\displaystyle q={\frac {1}{\sqrt {-p}}},\quad m=qn}. Maka {\displaystyle m^{2}=I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}}.

* Jika {\displaystyle p=0}, maka ini adlaah bilangan dual:

{\displaystyle z=xI+n}
* Jika {\displaystyle p>0}, maka {\displaystyle z} adalah sebuah bilangan kompleks terbagi:

Misalkan {\displaystyle q={\frac {1}{\sqrt {p}}},\quad m=qn}. Maka {\displaystyle m^{2}=I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}}.

Dengan cara yang sama, sebuah matriks 2 × 2 dapat juga diekspresikan dalam koordinat polar dengan peringatan bahwa terdapat dua komponen terhubung dari grup satuan dalam bidang bilangan dual, dan empat komponen dalam bidang bilangan kompleks terbagi.

Grup proyektif
--------------

Sebuah matriks real 2 × 2 yang diberikan dengan {\displaystyle ad\neq bc} bertindak pada koordinat projektif {\displaystyle [x:y]} dari garis projektif real {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbb {R} )} sebagai sebuah transformasi pecahan linear:



[
x
:
y
]

(

a

c

b

d

)

 
=
 
[
a
x
+
b
y
:
 
c
x
+
d
y
]

{\displaystyle [x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+by:\ cx+dy]}

{\displaystyle [x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+by:\ cx+dy]}Ketika {\displaystyle cx+dy=0}, titik gambar tersebut adalah titik di takhingga, sebaliknya


[
a
x
+
b
y
:
 
c
x
+
d
y
]
 
∼

[

a
x
+
b
y

c
x
+
d
y

:
 
1

]

{\displaystyle [ax+by:\ cx+dy]\ \thicksim \left[{\frac {ax+by}{cx+dy}}:\ 1\right]}

{\displaystyle [ax+by:\ cx+dy]\ \thicksim \left[{\frac {ax+by}{cx+dy}}:\ 1\right]}
Daripada bertindak pada bidang tersebut sebagai dalam seperti di bagian atas, sebuah matriks bertindak pada garis projektif {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbb {R} )}, dan semua matriks sebanding bertindak dengan cara yang sama.

Misalkan {\displaystyle p=ad-bc\neq 0}. Maka

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}}
Aksi dari matriks ini pada garis projektif real tersebut adlaah

{\displaystyle [x:y]{\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}\ =\ [px:py]\thicksim [x:y]} karena koordinat projektif, sehingga aksi tersebut adalah pemetaan identitas pada garis projektif real. Oleh karena itu {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}} dan {\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}} bertindak sebagai invers perkalian.

Grup projektif tersebut dimulai dengan grup satuan {\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )} dari {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {R} )}, dan kemudian menghubungkan dua elemen jika mereka sebanding, karena aksi sebanding pada {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbb {R} )} identik:

{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {R} )={\frac {\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}{\sim }}} (lihat PGL(2,R)) dimana {\displaystyle \sim } menghubungkan matriks sebanding. Setiap elemen dari grup linear projektif {\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {R} )} adalah sebuah kelas kesetaraan dibawah {\displaystyle \sim } dari matriks real 2 × 2 sebanding.

Referensi
---------

1. ↑  t Sobczyk (2012). "Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers". *New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of*

* Rafael Artzy (1965) *Linear Geometry*, Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, hlm. 94, Addison-Wesley.
* Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", ditemukan di
	+ *Rings and Geometry*, R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, hlm. 437–509, termasuk 449,50, D. Reidel ISBN 90-277-2112-2 .
* Svetlana Katok (1992) *Fuchsian groups*, hlm. 113ff, University of Chicago Press ISBN 0-226-42582-7 .
* Garret Sobczyk (2012). "Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers". *New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number.* Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8384-9.