| Struktur aljabar → **Teori grup**Teori grup |
| --- |
|  |
| Gagasan dasar

|  |
| --- |
| * Subgrup
* Subgrup normal
* Grup hasil bagi
* darab langsung
* semi-darab langsung
 |
| *Homomorfisme grup* |
| * kernel
* bayangan
* jumlah langsung
* karangan bunga
* sederhana
* hingga
* takhingga
* kontinu
* multiplikatif
* aditif
* siklik
* Abel
* dihedral
* nilpoten
* terselesaikan
* aksi
 |
| * Glosarium teori grup
* Daftar topik teori grup
 |

 |
| Grup hingga

| Klasifikasi grup sederhana hingga |
| --- |
| * siklik
* bergantian
* tipe Lie
* sporadik
 |
| * Teorema Cauchy
* Teorema Lagrange
* Teorema Sylow
* Teorema Hall
* grup-p
* Grup Abel elementer
* Grup Frobenius
* Pengganda Schur
 |
| * Grup simetrik {\displaystyle \mathrm {S} \_{n}}
* Grup Klein {\displaystyle \mathrm {V} }
* Grup dihedral {\displaystyle \mathrm {D} \_{n}}
* Grup kuaternion {\displaystyle \mathrm {Q} }
* Grup disiklik {\displaystyle \mathrm {Dic} \_{n}}
 |

 |
| * Grup diskret
* Kekisi

* Bilangan bulat ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* Grup bebas

Grup modular * {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
* {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}

* Grup aritmetika
* Kekisi
* Grup hiperbolik
 |
| Topologis dan Grup Lie
* Solenoid
* Lingkaran

* Linear umum {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}

* Linear khusus {\displaystyle \mathrm {SL} (n)}

* Ortogonal {\displaystyle \mathrm {O} (n)}

* Euklides {\displaystyle \mathrm {E} (n)}

* Ortogonal khusus {\displaystyle \mathrm {SO} (n)}

* Uner {\displaystyle \mathrm {U} (n)}

* Uniter khusus {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}

* Simplektik {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}

* G2
* F4
* E6
* E7
* E8

* Lorentz
* Poincaré
* konformal

* Difeomorfisme
* Gelung

Grup Lie berdimensi takhingga * {\displaystyle O(\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
 |
| Grup aljabar
* Grup aljabar linear

* Grup reduktif

* Varietas Abel

* Kurva eliptik
 |
| * l
* b
* s
 |

Sebuah kohimpunan dengan akar uniti
**Grup hasil bagi** adalah  grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu {\displaystyle G} dengan bantuan sebagai pembagi normal {\displaystyle N\trianglelefteq G} terbentuk. Maka dilambangkan dengan {\displaystyle G/N} dan merupakan himpunan dari  kelas minor.

Konstruksi
----------

Elemen-elemen dari {\displaystyle G/N} adalah  kelas minor sehubungan dengan {\displaystyle N}, maka

{\displaystyle G/N:=\{gN:g\in G\}}.
Koneksi batin {\displaystyle \circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N} didefinisikan sebagai:

{\displaystyle (gN)\circ (hN):=(gh)N}.
Dengan bantuan properti pembagi normal {\displaystyle N} seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan {\displaystyle (G/N,\ circ)} adalah grup. Grup ini disebut *grup hasil bagi* dari {\displaystyle G} hingga {\displaystyle N}. Elemen netral dari {\displaystyle G/N} adalah {\displaystyle N} dan elemen terbalik ke {\displaystyle gN} diberikan {\displaystyle g^{-1}N}. 

Produk {\displaystyle (gN)\circ (hN)=(gh)N} setuju dengan produk kompleks {\displaystyle (gN)\cdot (hN)} pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup {\displaystyle U} dari sebuah grup {\displaystyle (G,\cdot )} adalah pembagi normal, jika untuk semua {\displaystyle g,h\in G} persamaan {\displaystyle (gU)\cdot (hU)=(gh)U}.

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

 urutan dari grup faktor {\displaystyle G/N} tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari {\displaystyle N}. Angka ini disebut  *Indeks* oleh {\displaystyle N} pada {\displaystyle G} dan dengan {\displaystyle (G:N)} ditunjuk. Jika {\displaystyle G} adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange {\displaystyle (G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}}.

Bilangan bulat genap dan ganjil
-------------------------------

Pertimbangkan grup bilangan bulat **Z** (di bawah tambahan) dan subgrup 2**Z** yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena **Z** adalah  abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi **Z**/2**Z** adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian **Z**/2**Z** *memadai* himpunan  {0,1} dengan tambahan modulo 2.

**Contoh dijelaskan lebih lanjut...**

Maka {\displaystyle \gamma (m)=} sisa dari {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } saat membagi dengan {\displaystyle 2}.  

Kemudian {\displaystyle \gamma (m)=0} jika {\displaystyle m} adalah genap dan {\displaystyle \gamma (m)=1} when {\displaystyle m} adalah ganjil.  

Menurut definisi {\displaystyle \gamma }, inti dari {\displaystyle \gamma },  

ker({\displaystyle \gamma }) {\displaystyle =\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}, adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.  

Maka {\displaystyle H=} ker({\displaystyle \gamma }).  

Kemudian {\displaystyle H} adalah subgrup, karena identitasnya di {\displaystyle \mathbb {Z} }, which is {\displaystyle 0}, dalam {\displaystyle H},  

jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika {\displaystyle m} dan {\displaystyle n} berada di {\displaystyle H}, {\displaystyle m+n} dalam {\displaystyle H} (penutupan)  

dan jika {\displaystyle m} genap, {\displaystyle -m} juga genap dan {\displaystyle H} berisi inversnya.  

Menetapkan {\displaystyle \mu :} {\displaystyle \mathbb {Z} } / H{\displaystyle \to \mathbb {Z} \_{2}} sebagai {\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)} ke {\displaystyle a\in \mathbb {Z} }  

dan  {\displaystyle \mathbb {Z} } / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri;  {\displaystyle \mathbb {Z} } / H{\displaystyle =\{H,1+H\}}.  
 
Dengan cara yang telah kami tentukan {\displaystyle \mu }, {\displaystyle \mu (aH)} adalah {\displaystyle 1} jika {\displaystyle a} ganjil dan {\displaystyle 0} jika {\displaystyle a} genap.  
 
Jadi, {\displaystyle \mu } adalah isomorfisme dari  {\displaystyle \mathbb {Z} } / H ke {\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}}.

Quotients dari grup Lie
-----------------------

Jika *{\displaystyle G}* adalah grup lie dan *{\displaystyle N}* adalah subgrup Lie normal *{\displaystyle G}*, hasil bagi *{\displaystyle G}* / *{\displaystyle N}* juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli  *{\displaystyle G}*  memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah  utama  *{\displaystyle N}* -bundel), dengan ruang dasar *{\displaystyle G}* / *{\displaystyle N}* dan serat *{\displaystyle N}*.

Untuk subgruo Lie non-normal *{\displaystyle N}*, ruang *{\displaystyle G}* / *{\displaystyle N}* dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana  *{\displaystyle G}*  bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup  *{\displaystyle N}*  ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen *{\displaystyle G}* / *{\displaystyle N}* banding {\displaystyle \mathrm {dim} \ G-\mathrm {dim} \ N}.

Sifat universal dari grup hasil bagi
------------------------------------

Jika {\displaystyle H} adalah pembagi normal dari {\displaystyle G}, maka pemetaannya adalah {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow G/H} dengan {\displaystyle g\mapsto gH} dengan kernel {\displaystyle H} a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup {\displaystyle \varphi \colon G\rightarrow G'} mit {\displaystyle H\subseteq ker(\varphi )} persis satu grup homomorfisme {\displaystyle \varphi '\colon G/H\rightarrow G'} mit {\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \pi } existiert. 

Contoh: jika {\displaystyle \pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} } proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } Homomorfisme grup.
Lalu grup lie {\displaystyle 6\mathbb {Z} } pada inti {\displaystyle \varphi } dan {\displaystyle \varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } menghasilkan:

{\displaystyle \varphi '([0]\_{6})=[0]\_{3}}

{\displaystyle \varphi '([1]\_{6})=[1]\_{3}}

{\displaystyle \varphi '([2]\_{6})=[2]\_{3}}

{\displaystyle \varphi '([3]\_{6})=[0]\_{3}}

{\displaystyle \varphi '([4]\_{6})=[1]\_{3}}

{\displaystyle \varphi '([5]\_{6})=[2]\_{3}}.

Lihat pula
----------

* Ekstensi grup
* Kategori hasil bagi
* Urutan persis pendek

Catatan
-------

1. ↑  John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

Referensi
---------

* Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), *Abstract Algebra* (edisi ke-3rd), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
* Herstein, I. N. (1975), *Topics in Algebra* (edisi ke-2nd), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X