Contoh penyangkal yang memperkuat teorema limit seragam, apabila digunakan asumsi konvergensi titik demi titik, dibandingkan konvergensi seragam. Fungsi {\displaystyle \sin ^{n}(x)} yang berwarna hijau konvergen ke fungsi berwarna merah yang tak kontinu. Hal ini terjadi hanya jika konvergensinya tidak seragam.
Dalam matematika, **teorema limit seragam** menyatakan bahwa limit seragam dari suatu barisan fungsi kontinu juga fungsi kontinu.

Isi Pernyataan
--------------

Lebih tepatnya, diberikan {\displaystyle X} adalah suatu ruang topologis dan {\displaystyle Y} adalah ruang metrik. Misalkan {\displaystyle f\_{n}\colon X\to Y} adalah barisan fungsi yang konvergen seragam ke fungsi {\displaystyle f\colon X\to Y}. Menurut teorema limit seragam, jika fungsi {\displaystyle f\_{n}} adalah fungsi kontinu (untuk setiap bilangan asli {\displaystyle n}), maka limit fungsinya (yaitu fungsi {\displaystyle f}) adalah fungsi kontinu juga.

Teorema ini tidak berlaku jika hipotesis konvergensi seragam diganti dengan konvergensi titik demi titik. Sebagai contoh, misalkan {\displaystyle f\_{n}\colon \left[0,\,1\right]\to \mathbb {R} } adalah barisan fungsi {\displaystyle f\_{n}(x)=x^{n}}. Dari definisi fungsi {\displaystyle f\_{n}}, terlihat jelas bahwa fungsi {\displaystyle f\_{n}} adalah fungsi kontinu, untuk setiap bilangan asli {\displaystyle n}. Akan tetapi, barisan tersebut konvergen titik demi titik ke suatu fungsi {\displaystyle f} yang diskontinu, dengan



f
(
x
)
=

{

0

untuk 

x
∈

[

0
,

1

)


1

untuk 

x
=
1



{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ccl}0&&{\text{untuk }}x\in \left[0,\,1\right)\\1&&{\text{untuk }}x=1\end{array}}\right.}

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ccl}0&&{\text{untuk }}x\in \left[0,\,1\right)\\1&&{\text{untuk }}x=1\end{array}}\right.} Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di bagian kanan atas halaman ini.

Dalam istilah pada ruang fungsi, teorema limit seragam menyatakan bahwa ruang {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)} dari semua fungsi kontinuu dari ruang topologis {\displaystyle X} ke ruang metrik {\displaystyle Y} adalah himpunan bagian tertutup dari {\displaystyle Y^{X}} terhadap norma seragam. Pada kasus dimana {\displaystyle Y} merupakan ruang metrik lengkap, hal tersebut mengakibatkan {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)} juga merupakan ruang metrik lengkap. Lebih lanjut, jika {\displaystyle Y} adalah ruang Banach, maka {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)} itu sendiri adalah ruang Banach terhadap norma seragam.

Teorema limit seragam juga berlaku jika hipotesis fungsi kontinu diganti dengan kontinu seragam. Dengan kata lain, jika {\displaystyle X} dan {\displaystyle Y} adalah ruang metrik dan {\displaystyle f\_{n}\colon X\to Y} adalah barisan fungsi kontinu seragam yang konvergen seragam ke fungsi {\displaystyle f}, maka fungsi {\displaystyle f} juga fungsi yang kontinu seragam.

Bukti
-----

### Kasus Spesifik : Bilangan Riil dengan Jarak Euklides

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi {\displaystyle f} pada interval {\displaystyle \left[a,\,b\right]\subseteq \mathbb {R} } dengan fungsi jarak beda mutlak, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa


(

∀
ε
>
0

)

(

∃
δ
>
0

)

(

(

|

x
−
c

|

<
δ

)

⟹

(

|

f
(
x
)
−
f
(
c
)

|

<
ε

)

)

{\displaystyle \left(\forall \varepsilon >0\right)\left(\exists \delta >0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta \right)\implies \left(\left|f(x)-f(c)\right|<\varepsilon \right)\right)}

{\displaystyle \left(\forall \varepsilon >0\right)\left(\exists \delta >0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta \right)\implies \left(\left|f(x)-f(c)\right|<\varepsilon \right)\right)}
untuk setiap {\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]}.

Diambil sembarang {\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]} dan suatu nilai {\displaystyle \varepsilon >0}. Berdasarkan hipotesis,

1. Diketahui bahwa fungsi {\displaystyle f\_{n}} konvergen seragam ke {\displaystyle f}. Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka 

(

∃
k
∈

N

)

(

(

n
≥
k

)

⟹

(

|

f

n

(
x
)
−
f
(
x
)

|

<

ε
3

)

)

{\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\left|f\_{n}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}

{\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)} untuk sembarang {\displaystyle x\in \left[a,\,b\right]}. Jika dipilih {\displaystyle n=k}, maka berlaku pertidaksamaan 

|

f

k

(
x
)
−
f
(
x
)

|

<

ε
3


{\displaystyle \left|f\_{k}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}

{\displaystyle \left|f_{k}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}} untuk sembarang {\displaystyle x\in \left[a,\,b\right]}. Oleh karena {\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]}, maka berlaku juga 

|

f

k

(
c
)
−
f
(
c
)

|

<

ε
3


{\displaystyle \left|f\_{k}(c)-f(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}

{\displaystyle \left|f_{k}(c)-f(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}
2. Diketahui bahwa fungsi {\displaystyle f\_{n}} adalah fungsi kontinu pada interval {\displaystyle \left[a,\,b\right]}, untuk setiap {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Berdasarkan definisi kontinuu, maka 

(

∃

δ

0

>
0

)

(

(

|

x
−
c

|

<

δ

0

)

⟹

(

|

f

n

(
x
)
−

f

n

(
c
)

|

<

ε
3

)

)

{\displaystyle \left(\exists \delta \_{0}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta \_{0}\right)\implies \left(\left|f\_{n}(x)-f\_{n}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}

{\displaystyle \left(\exists \delta _{0}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta _{0}\right)\implies \left(\left|f_{n}(x)-f_{n}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)} Oleh karena {\displaystyle k\in \mathbb {N} }, maka 

(

∃

δ

0

>
0

)

(

(

|

x
−
c

|

<

δ

0

)

⟹

(

|

f

k

(
x
)
−

f

k

(
c
)

|

<

ε
3

)

)

{\displaystyle \left(\exists \delta \_{0}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta \_{0}\right)\implies \left(\left|f\_{k}(x)-f\_{k}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}

{\displaystyle \left(\exists \delta _{0}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta _{0}\right)\implies \left(\left|f_{k}(x)-f_{k}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}

Apabila dipilih {\displaystyle \delta =\min \left\{\delta \_{0},\,{\tfrac {1}{k}}\right\}}, maka semua pertidaksamaan di atas akan terpenuhi, sehingga dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, diperoleh



|

f
(
x
)
−

f

k

(
x
)
+

f

k

(
x
)
−

f

k

(
c
)
+

f

k

(
c
)
−
f
(
c
)

|

≤

|

f
(
x
)
−

f

k

(
x
)

|

⏟

Konvergensi seragam

+

|

f

k

(
x
)
−

f

k

(
c
)

|

⏟

Kekontinuan dari 

f

k

(
x
)

+

|

f

k

(
c
)
−
f
(
c
)

|

⏟

Konvergensi seragam

<

ε
3

+

ε
3

+

ε
3



|

f
(
x
)
−
f
(
c
)

|

<
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}\left|f(x)-f\_{k}(x)+f\_{k}(x)-f\_{k}(c)+f\_{k}(c)-f(c)\right|&\leq \underbrace {\left|f(x)-f\_{k}(x)\right|} \_{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\left|f\_{k}(x)-f\_{k}(c)\right|} \_{{\text{Kekontinuan dari }}f\_{k}(x)}+\underbrace {\left|f\_{k}(c)-f(c)\right|} \_{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\left|f(x)-f(c)\right|&<\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|f(x)-f_{k}(x)+f_{k}(x)-f_{k}(c)+f_{k}(c)-f(c)\right|&\leq \underbrace {\left|f(x)-f_{k}(x)\right|} _{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\left|f_{k}(x)-f_{k}(c)\right|} _{{\text{Kekontinuan dari }}f_{k}(x)}+\underbrace {\left|f_{k}(c)-f(c)\right|} _{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\left|f(x)-f(c)\right|&<\varepsilon \end{aligned}}}
Oleh karena nilai {\displaystyle c} dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi {\displaystyle f} kontinuu pada {\displaystyle \left[a,\,b\right]}.

### Perumuman

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi {\displaystyle f} pada suatu ruang topologis {\displaystyle X} dengan suatu ruang metrik {\displaystyle Y}, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap {\displaystyle \varepsilon >0}, terdapat suatu persekitaran {\displaystyle S} dari setiap titik {\displaystyle x\in X} sedemikian sehingga


(

∀
y
∈
S

)

⟹

(

‖
f
(
x
)
−
f
(
y
)
‖
<
ε

)

{\displaystyle \left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \right)}

{\displaystyle \left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \right)}
Diambil sembarang {\displaystyle x\in X} dan suatu nilai {\displaystyle \varepsilon >0}. Berdasarkan hipotesis,

1. Diketahui bahwa fungsi {\displaystyle f\_{n}} konvergen seragam ke {\displaystyle f}. Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka 

(

∃
k
∈

N

)

(

∀
a
∈
X

)

(

(

n
≥
k

)

⟹

(

‖

f

n

(
a
)
−
f
(
a
)
‖
<

ε
3

)

)

{\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\forall a\in X\right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\|f\_{n}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}

{\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\forall a\in X\right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\|f_{n}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)} Jika dipilih {\displaystyle n=k}, maka berlaku pertidaksamaan 

‖

f

k

(
a
)
−
f
(
a
)
‖
<

ε
3


{\displaystyle \|f\_{k}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}

{\displaystyle \|f_{k}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}} untuk sembarang {\displaystyle a\in X}. Oleh karena {\displaystyle x\in X}, maka berlaku 

‖

f

k

(
x
)
−
f
(
x
)
‖
<

ε
3


{\displaystyle \|f\_{k}(x)-f(x)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}

{\displaystyle \|f_{k}(x)-f(x)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}
2. Diketahui bahwa fungsi {\displaystyle f\_{n}} adalah fungsi kontinu pada ruang topologis {\displaystyle X}, untuk setiap {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Berdasarkan definisi kontinuu, maka 

(

∃
S

)

(

∀
y
∈
S

)

⟹

(

‖

f

n

(
x
)
−

f

n

(
y
)
‖
<

ε
3

)

{\displaystyle \left(\exists S\right)\left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f\_{n}(x)-f\_{n}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)}

{\displaystyle \left(\exists S\right)\left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)} Oleh karena {\displaystyle k\in \mathbb {N} }, maka 

(

∃
S

)

(

∀
y
∈
S

)

⟹

(

‖

f

k

(
x
)
−

f

k

(
y
)
‖
<

ε
3

)

{\displaystyle \left(\exists S\right)\left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f\_{k}(x)-f\_{k}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)}

{\displaystyle \left(\exists S\right)\left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f_{k}(x)-f_{k}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)}

Diambil sembarang {\displaystyle y\in S}. Dengan menggunakan aksioma pertidaksamaan segitiga pada ruang metrik {\displaystyle Y}, diperoleh




‖
f
(
x
)
−

f

k

(
x
)
+

f

k

(
x
)
−

f

k

(
y
)
+

f

k

(
y
)
−
f
(
y
)
‖

≤

‖
f
(
x
)
−

f

k

(
x
)
‖

⏟

Konvergensi seragam

+

‖

f

k

(
x
)
−

f

k

(
y
)
‖

⏟

Kekontinuan dari 

f

k

(
x
)

+

‖

f

k

(
y
)
−
f
(
y
)
‖

⏟

Konvergensi seragam

<

ε
3

+

ε
3

+

ε
3


‖
f
(
x
)
−
f
(
y
)
‖

<
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}\|f(x)-f\_{k}(x)+f\_{k}(x)-f\_{k}(y)+f\_{k}(y)-f(y)\|&\leq \underbrace {\|f(x)-f\_{k}(x)\|} \_{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\|f\_{k}(x)-f\_{k}(y)\|} \_{{\text{Kekontinuan dari }}f\_{k}(x)}+\underbrace {\|f\_{k}(y)-f(y)\|} \_{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\|f(x)-f(y)\|&<\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\|f(x)-f_{k}(x)+f_{k}(x)-f_{k}(y)+f_{k}(y)-f(y)\|&\leq \underbrace {\|f(x)-f_{k}(x)\|} _{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\|f_{k}(x)-f_{k}(y)\|} _{{\text{Kekontinuan dari }}f_{k}(x)}+\underbrace {\|f_{k}(y)-f(y)\|} _{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\|f(x)-f(y)\|&<\varepsilon \end{aligned}}}
Oleh karena nilai {\displaystyle x} dan {\displaystyle y} dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi {\displaystyle f} kontinuu pada {\displaystyle X}.

Teorema Limit Seragam dalam Analisis Kompleks
---------------------------------------------

Terdapat beberapa variasi dari teorema limit seragam yang digunakan dalam analisis kompleks,
There are also variants of the uniform limit theorem that are used in complex analysis, walau dengan modifikasi asumsi.

**Teorema 1** — Misalkan {\displaystyle D} adalah himpunan bagian terbuka dari bilangan kompleks. Jika untuk setiap {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, {\displaystyle f\_{n}\colon D\to \mathbb {C} } adalah barisan fungsi-fungsi holomorfik yang konvergen seragam ke fungsi {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } pada setiap himpunan bagian kompak dari {\displaystyle D}, maka fungsi {\displaystyle f} holomorfik pada {\displaystyle D}. Lebih lanjut, barisan dari turunan fungsi {\displaystyle f\_{n}'} akan konvergen seragam ke fungsi {\displaystyle f'} pada setiap himpunan bagian kompak dari {\displaystyle D}.

**Teorema 2** — Misalkan {\displaystyle D} adalah himpunan bagian terbuka dan terhubung dari bilangan kompleks. Jika untuk setiap {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, {\displaystyle f\_{n}\colon D\to \mathbb {C} } adalah barisan fungsi-fungsi univalen yang konvergen seragam ke fungsi {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }, maka fungsi {\displaystyle f} holomorfik pada {\displaystyle D}. Lebih lanjut, fungsi {\displaystyle f} adalah fungsi konstan atau univalen pada {\displaystyle D}.

Catatan
-------

1. ↑  Theorems 5.2 and 5.3, pp.53-54 in E. M. Stein and R.Shakarachi's Complex Analysis.
2. ↑  Section 6.44, pp.200-201 in E. C. Titchmarsh's The Theory of Functions. Titchmarsh uses the terms 'simple' and 'schlicht' (function) in place of 'univalent'.

Referensi
---------

* James Munkres (1999). *Topology* [*Topologi*] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

* E. M. Stein, R. Shakarachi (2003). *Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2)*, Princeton University Press.

* E. C. Titchmarsh (1939). *The Theory of Functions*, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.