Ilustrasi untuk n=3. Penggunaan rumus Pythagoras secara berulang menghasilkan rumus jarak Euklides
Dalam matematika, **jarak Euklides** atau **metrik Euklides** adalah jarak garis lurus "biasa" antara dua titik dalam ruang Euklides. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi ruang metrik. Norma yang terkait disebut **norma Euklides**. Literatur lampau menyebutnya dengan **metrik Pythagoras**. Bentuk umum dari norma Euklides adalah norma L2 atau jarak L2.

Definisi
--------

Jarak Euklides antara titik **p** dan **q** adalah jarak ruas garis yang menghubungkan mereka (disimbolkan {\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}).

Dalam koordinat Kartesius, jika **p** = (*p*1, *p*2,... *p**n*) dan **q** = (*q*1, *q*2,... *q**n*) adalah dua titik dalam ruang Euklides berdimensi *n*, jarak Euklides (d) dari **p** ke **q** (atau sebaliknya) dihitung dengan rumus Pythagoras seperti berikut.


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=d(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )&={\sqrt {(q\_{1}-p\_{1})^{2}+(q\_{2}-p\_{2})^{2}+\cdots +(q\_{n}-p\_{n})^{2}}}\\[8pt]&={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(q\_{i}-p\_{i})^{2}}}\end{aligned}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Letak titik pada ruang Euklides berdimensi *n* adalah vektor Euklides, maka **p** dan **q** dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di titik acuan dan berujung di letak mereka (**p** dan **q**). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

{\displaystyle \left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p\_{1}^{2}+p\_{2}^{2}+\cdots +p\_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}
dengan {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} } adalah operasi produk skalar antara **p** dan **p**.

Hubungan antara titik **p** dan **q** bisa juga memiliki arah (misalnya, dari **p** ke **q**). Hubungan tersebut dapat digambarkan sebagai vektor berikut.

{\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =(q\_{1}-p\_{1},q\_{2}-p\_{2},\cdots ,q\_{n}-p\_{n})}
Dalam ruang berdimensi dua atau tiga, hal tersebut biasa digambarkan dengan sebuah panah dari **p** ke **q**. Dalam ruang apa pun, ia dapat bermakna sebagai letak **p** terhadap **q**. Panah itu bisa disebut vektor perpindahan.

Jarak Euklides antara **p** dan **q** hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:

{\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}
### Satu dimensi

Jarak antara dua titik pada garis bilangan adalah selisih dari koordinatnya. Misalkan *p* dan *q* adalah titik pada garis bilangan, maka jarak antara keduanya adalah

{\displaystyle {\sqrt {(q-p)^{2}}}=|q-p|.}
### Dua dimensi

Pada bidang Euklides, misalkan **p** = (*p*1, *p*2) dan **q** = (*q*1, *q*2), maka jarak antara keduanya adalah

{\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q\_{1}-p\_{1})^{2}+(q\_{2}-p\_{2})^{2}}}.}
Rumus tersebut ekuivalen dengan rumus Pythagoras.

### Tiga dimensi

Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah

{\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q\_{1}-p\_{1})^{2}+(q\_{2}-p\_{2})^{2}+(q\_{3}-p\_{3})^{2}}}.}
### *n* dimensi

Secara umum, untuk ruang berdimensi *n*, jarak keduanya adalah

{\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{i}-q\_{i})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}{(p\_{i}-q\_{i})^{2}}}}.}

Kuadrat jarak Euklides
----------------------

Nilai kuadrat dari jarak Euklides juga menjadi perhatian. Berikut persamaannya:

{\displaystyle d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{i}-q\_{i})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}.}
Kuadrat jarak Euklides tidak termasuk metrik karena tidak memenuhi pertidaksamaan segitiga. Teorema Pythagoras lebih sederhana dalam bentuk kuadrat (karena tidak memerlukan tanda akar). Misalkan {\displaystyle \mathbf {pq} \perp \mathbf {qr} }, maka

{\displaystyle d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {r} )=d^{2}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+d^{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {r} )}
atau

{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {r} }}^{2}={\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}^{2}+{\overline {\mathbf {q} \mathbf {r} }}^{2}.}
### Contoh penerapan

Dalam ilmu komputer, terutama grafika komputer, simulasi, dan pengembangan permainan video, penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan operasi akar kuadrat. Algoritme yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku {\displaystyle d(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )>d(\mathbf {c} ,\mathbf {d} )}, maka {\displaystyle d^{2}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )>d^{2}(\mathbf {c} ,\mathbf {d} )} juga berlaku dan dapat dipakai.

Lihat pula
----------

* Jarak Chebyshev
* Jarak Mahalanobis
* Jarak Manhattan
* Jarak Minkowski

Referensi
---------

1. ↑  "Compendium of Mathematical Symbols". *Math Vault* (dalam bahasa Inggris). 1 Maret 2020. Diakses tanggal 1 September 2020.
2. 1 2  Anton, Howard (1994), *Elementary Linear Algebra* (edisi ke-7th), John Wiley & Sons, hlm. 170–171, ISBN 978-0-471-58742-2
3. 1 2  Weisstein, Eric W. "Distance". *mathworld.wolfram.com* (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 1 September 2020.
4. 1 2  "Distance Between 2 Points". *www.mathsisfun.com*. Diakses tanggal 1 September 2020.
5. ↑  "mathematics - Are there any disadvantages of using Distance Squared checks rather than Distance?". *Game Development Stack Exchange*. Diakses tanggal 18 Agustus 2020.
6. ↑  "Fast Square Root For Distance Calculations?". *GameDev.net* (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 18 Agustus 2020.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2009). *Encyclopedia of Distances*. Springer. hlm. 94.
* "Cluster analysis". 2 Maret 2011. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2015-05-01. Diakses tanggal 2020-09-12.