Dalam analisis matematika, **teorema Bohr–Mollerup** adalah sebuah teorema yang dibuktikan oleh matematikawan Denmark Harald Bohr dan Johannes Mollerup. Teoremanya mencirikan fungsi gamma, didefinisikan untuk {\displaystyle x>0} oleh

{\displaystyle \Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
sebagai fungsi *hanya* {\displaystyle f} pada interval {\displaystyle x>0} yang secara bersamaan memiliki tiga sifat

* {\displaystyle f(1)=1}, dan
* {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} untuk *x* > 0 dan
* {\displaystyle f} adalah cembung secara logaritmik.

Pembahasan teorema ini ada dalam buku Artin  *The Gamma Function* , yang telah dicetak ulang oleh AMS dalam koleksi tulisan Artin.

Teorema ini pertama kali diterbitkan dalam buku teks tentang analisis kompleks, seperti yang menurut Bohr dan Mollerup telah dibuktikan.

Pernyataan
----------

**Teorema Bohr–Mollerup.**     {\displaystyle \Gamma (x)} adalah satu-satunya fungsi yang memenuhi {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} dengan {\displaystyle \log(f(x))} cembung dan juga dengan {\displaystyle f(1)=1}.

Bukti
-----

Misalkan {\displaystyle \Gamma (x)} adalah fungsi dengan sifat asumsi yang ditetapkan di atas: {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} dan {\displaystyle \log(\Gamma (x))} adalah cembung, dan {\displaystyle \Gamma (1)=1}. Dari {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}, kita bisa membangun:

{\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}

Tujuan dari ketentuan bahwa {\displaystyle \Gamma (1)=1} memaksa sifat {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} untuk menduplikasi faktorial dari bilangan bulat sehingga kita bisa menyimpulkan sekarang bahwa {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} jika {\displaystyle n\in \mathbb {N} } dan jika {\displaystyle \Gamma (x)} ada sama sekali. Karena hubungan kita untuk {\displaystyle \Gamma (x+n)}, jika kita bisa mengerti sepenuhnya {\displaystyle \Gamma (x)} untuk {\displaystyle 0<x\leq 1}, maka kita memahami {\displaystyle \Gamma (x)} untuk semua nilai {\displaystyle x}. Kemiringan dari sebuah garis menghubungkan dua titik {\displaystyle (x\_{1},\log(\Gamma (x\_{1})))} dan {\displaystyle (x\_{2},\log(\Gamma (x\_{2})))}, sebut saja {\displaystyle S(x\_{1},x\_{2})}, meningkat secara monoton di setiap argumen dengan {\displaystyle x\_{1}<x\_{2}} karena kita memiliki {\displaystyle \log(\Gamma (x))} yang ditetapkan adalah cembung. Dengan demikian, kita tahu bahwaː

{\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{untuk semua }}x\in (0,1].}

Setelah menyederhanakan menggunakan berbagai sifat-sifat logaritma, dan kemudian mengeksponesiasikan (yang mempertahankan pertidaksamaan karena fungsi eksponensial meningkat secara monotonik) kita memperoleh:

{\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!}.

Dari kerja sebelumnya, ini berkembang menjadi:

{\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!},

dan juga:

{\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)}.

Barisan terakhir adalah pernyataan yang kuat. Khususnya, *itu benar untuk semua nilai* {\displaystyle n}. Artinya, {\displaystyle \Gamma (x)} tidak lebih besar daripada sisi kanan untuk setiap pilihan {\displaystyle n} dan juga, {\displaystyle \Gamma (x)} tidak kurang dari sisi kiri untuk setiap pilihan {\displaystyle n}. Setiap pertidaksamaan tunggal berdiri sendiri dan dapat diartikan sebagai pernyataan independen. Karena fakta ini, kita akan bebas untuk memilih nilai-nilai {\displaystyle n} yang berbeda untuk sisi kanan dan sisi kiri. Khususnya, jika kita menetapkan {\displaystyle n} untuk sisi kanan dan memilih {\displaystyle n+1} untuk sisi kiri, kita mendapatkan:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}

Terbukti dari baris terakhir ini bahwa suatu fungsi diapit di antara dua ekspresi,suatu teknik analisis umum untuk membuktikan berbagai hal seperti adanya suatu limit, atau kekonvergenan. Misalkan {\displaystyle n\to \infty }:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}

jadi sisi kiri dari pertidaksamaan terakhir didorong untuk menyamakan sisi kanan dalam limit dan:

{\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}

diapit di antaranya. Itu hanya bisa berarti bahwa:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x)}.

Dalam konteks pada bukti ini, ini berarti bahwa:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}

memiliki tiga sifat-sifat tertentu milik {\displaystyle \Gamma (x)}. Juga, buktinay menyediakan sebuah ekspresi yang spesifik untuk {\displaystyle \Gamma (x)}. Dan bagian penting terakhir dari pembuktiannya adalah mengingat bahwa limit dari sebuah urutan tersebut tunggal. Ini berarti bahwa untuk setiap pilihan {\displaystyle 0<x\leq 1} hanya satu kemungkinan bilangan {\displaystyle \Gamma (x)} bisa ada. Oleh karena itu, tidak ada fungsi lain dengan semua sifat-sifat yang ditetapkan {\displaystyle \Gamma (x)}. Ujung longgar yang tersisa adalah pertanyaan untuk membuktikan bahwa {\displaystyle \Gamma (x)} masuk akal untuk semua {\displaystyle x} dimana:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}

ada. Masalahnya adalah bahwa pertidaksamaan ganda pertama kita:

{\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}

dibangun dengan batas {\displaystyle 0<x\leq 1}. Jika, katakan, {\displaystyle x>1} maka faktanya bahwa {\displaystyle S} meningkat secara monotonik akan membuat {\displaystyle S(n+1,n)<S(n+x,n)}, bertentangan dengan pertidaksamaan di mana seluruh bukti dibangun. Namun,

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim \_{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}

yang mendemonstrasikan bagaimana melakukan bootstrap {\displaystyle \Gamma (x)} untuk semua nilai {\displaystyle x} dimana limit didefinisikan.

Lihat pula
----------

* Teorema Wielandt

Referensi
---------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Bohr–Mollerup theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Bohr–Mollerup Theorem". *MathWorld*.
* Proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
* Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
* Artin, Emil (1964). *The Gamma Function*Perlu mendaftar (gratis). Holt, Rinehart, Winston.
* Rosen, Michael (2006). *Exposition by Emil Artin: A Selection*. American Mathematical Society.
* Mollerup, J. Bohr, H. (1922). *Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen*.  (*Textbook in Complex Analysis*)