| Geometri |
| --- |
| Proyeksi sebuah lingkaran pada sebuah bidang |
| * Garis besar
* Sejarah
 |
| Cabang
* Euklides
* takEuklides
	+ Elips
		- Bola
	+ Hiperbola
* Geometri non-Archimedes
* Projektif
* Afin
* Sintetis
* Analitis
* Aljabar
	+ Aritmetika
	+ Diophantus
* Diferensial
	+ Riemann
	+ Simplektik
	+ Diferensial diskret
* Kompleks
* Tentu
* Diskrit
	+ Digital
* Cembung
* Komputasi
* Fraktal
* Insidens
 |
| * Konsep
* Tampilan
Dimensi
* Melukis dengan penggaris dan jangka busur
* Sudut
* Kurva
* Diagonal
* Ortogonalitas (tegak lurus)
* Sejajar
* Titik pojok

* Kekongruenan
* Keserupaan
* Simetri
 |
| Dimensi nol
* Titik
 |
| Dimensi satu
* Garis
	+ segmen
	+ sinar
* Panjang
 |
| Dimensi dua

|  |
| --- |
| * Bidang
* Luas
* Poligon
 |
| Segitiga |
| * Tinggi
* Hipotenusa
* Teorema Phytagoras
 |
| Jajaran genjang |
| * Persegi
* Persegi panjang
* Belah ketupat
 |
| Segi empat |
| * Trapesium
* Layang-layang
 |
| Lingkaran |
| * Diameter
* Keliling
* Luas
 |

 |
| Dimensi tiga
* Volume

* Kubus
	+ Balok
* Tabung
* Limas
* Bola
 |
| Dimensi empat dan lainnya
* Tesseract
* Hiperbola
 |
| Ahli geometri |
| Berdasarkan nama
* Aida
* Aryabhata
* Ahmes
* Alhazen
* Apollonius
* Archimedes
* Atiyah
* Baudhayana
* Bolyai
* Brahmagupta
* Cartan
* Coxeter
* Descartes
* Euklides
* Euler
* Gauss
* Gromov
* Hilbert
* Jyeṣṭhadeva
* Kātyāyana
* Khayyám
* Klein
* Lobachevsky
* Manava
* Minkowski
* Minggatu
* Pascal
* Pythagoras
* Parameshvara
* Poincaré
* Riemann
* Sakabe
* Sijzi
* al-Tusi
* Veblen
* Virasena
* Yang Hui
* al-Yasamin
* Zhang
* Daftar ahli geometri
 |
| Berdasarkan waktu

| BCE |
| --- |
| * Ahmes
* Baudhayana
* Manava
* Pythagoras
* Euclid
* Archimedes
* Apollonius
 |
| 
1–1400-an |
| * Zhang
* Kātyāyana
* Aryabhata
* Brahmagupta
* Virasena
* Alhazen
* Sijzi
* Khayyám
* al-Yasamin
* al-Tusi
* Yang Hui
* Parameshvara
 |
| 
1400-an–1700-an |
| * Jyeṣṭhadeva
* Descartes
* Pascal
* Minggatu
* Euler
* Sakabe
* Aida
 |
| 
1700an–1900an |
| * Gauss
* Lobachevsky
* Bolyai
* Riemann
* Klein
* Poincaré
* Hilbert
* Minkowski
* Cartan
* Veblen
* Coxeter
 |
| 
Sekarang |
| * Atiyah
* Gromov
 |

 |
| * l
* b
* s
 |

**Lingkaran** adalah bentuk yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang sehingga jaraknya dari titik tertentu adalah konstan. Jarak antara titik mana pun dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari. Artikel ini adalah tentang lingkaran dalam geometri Euklides, dan, khususnya, bidang Euklides, kecuali jika dinyatakan sebaliknya.

Secara khusus, sebuah lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah: interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah "lingkaran" dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk pada batas gambar, atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebut cakram.

Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus di mana dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0, atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.

Lingkaran adalah bentuk geometri dua dimensi yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang memiliki jarak yang sama dari satu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran.

Definisi Euclid
---------------

> Lingkaran adalah sosok bidang yang dibatasi oleh satu garis lengkung, dan sedemikian rupa sehingga semua garis lurus yang ditarik dari titik tertentu di dalamnya ke garis pembatas, adalah sama. Garis pembatas disebut kelilingnya dan titiknya, pusatnya.
> 
> — Euclid, *Elements*, Book I:4

Definisi topologis
------------------

Di bidang topologi, lingkaran tidak terbatas pada konsep geometris, tetapi untuk semua homeomorfismenya. Dua lingkaran topologi setara jika satu dapat ditransformasikan menjadi yang lain melalui deformasi **R**3 pada dirinya sendiri (dikenal sebagai ambient isotopy)

Istilah dalam lingkaran
-----------------------

Beberapa istilah geometri mengenai lingkaran, yaitu:

* **Titik pusat**: merupakan titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

* **Jari-jari** atau **radius**: merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan sebarang titik pada lingkaran.
* **Tali busur**: merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda pada lingkaran.
* **Diameter**: merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
* **Garis potong**: merupakan garis perpanjangan tali busur, memotong lingkaran di dua titik berbeda.
* **Garis singgung**: merupakan garis yang menyentuh lingkaran tepat hanya pada satu titik.
* **Apotema**: merupakan ruas garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

* **Busur**: merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
* **Keliling lingkaran**: merupakan busur terpanjang pada lingkaran
* **Juring**: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
* **Tembereng**: merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
* **Cakram**: merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Sejarah
-------

Dalam bahasa Inggris, lingkaran disebut dengan *circle* serta memiliki kaitan yang erat dengan kata *circus* ataupun *circuit.* Sementara itu, lingkaran dalam bahasa Yunani adalah κίρκος/κύκλος (*kirkos/kuklos*) yang merupakan metatesis dari bahasa Yunani homerik yaitu κρίκος atau *krikos* artinya cincin, gelang, atau simpai.

Gambar lingkaran dalam astronomi Arab kunoGambar lingkaran dalam astronomi Arab kuno
Keberadaan lingkaran telah ada sejak zaman prasejarah. Objek-objek alami seperti Bulan dan Matahari memiliki bentuk lingkaran jika diamat. Penemuan bangun datar lingkaran juga telah menjadi dasar dari perkembangan cabang ilmu lainnya seperti geometri, astronomi, dan kalkulus. Penemuan roda menjadi cikal bakal penemuan dari sifat-sifat yang dimiliki lingkaran.

Bangsa Yunani mengatakan bahwa bangsa Mesir merupakan bangsa penemu ilmu geometri. Ahmes yang merupakan seorang penulis Rhind papyrus mengemukakan aturan untuk menentukan luas lingkaran yang bernilai 256/81 atau sekitar 3,16. Sementara itu, pada 650 SM, Thales merupakan orang yang pertama kali mengemukakan teorema yang berkaitan dengan lingkaran. Pada buku The Euclid III mengemukakan tentang elemen-elemen lingkaran dan penulisan segibanyak. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah mencari luas persegi dengan luas yang sama seperti lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal' pertama kali dicoba untuk memecahkan masalah tersebut. Anaxagoras pada 450 SM adalah matematikawan yang tercatat pertama kali mempelajari masalah ini.

Persamaan lingkaran
-------------------

Suatu lingkaran memiliki persamaan

{\displaystyle (x-x\_{0})^{2}+(y-y\_{0})^{2}=R^{2}\!}
dengan {\displaystyle R\!} adalah jari-jari lingkaran dan {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})\!} adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di {\displaystyle (0,0)\!}, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\!}
Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

{\displaystyle x^{2}+Ax+y^{2}+By+C=0\!}
dengan {\displaystyle {\sqrt {{\frac {A^{2}+B^{2}}{4}}-C}}\!} adalah jari-jari lingkaran dan {\displaystyle (-{\frac {A}{2}},-{\frac {B}{2}})\!} adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

### Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

{\displaystyle x=x\_{0}+R\cos(t)\!}
{\displaystyle y=y\_{0}+R\sin(t)\!}
yang apabila dibiarkan menjalani *t* akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang *x-y*.

Luas lingkaran
--------------

Artikel utama: Luas lingkaran
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus

{\displaystyle L=\pi r^{2}\!}
L = luas
r = jari-jari (radius)
π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

{\displaystyle \mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r}
dalam koordinat polar, yaitu

{\displaystyle \int \mathrm {d} A=\int \_{r=0}^{R}\int \_{\theta =0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r=\int \_{r=0}^{R}r\,\mathrm {d} r\int \_{\theta =0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}(R^{2}-0^{2})\ (2\pi -0)=\pi R^{2}}.
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam {\displaystyle R\_{1}\!} dan jari-jari luar {\displaystyle R\_{2}\!}.

### Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar *r* berarti sama dengan *R* yaitu jari-jari lingkaran.

### Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari *R* dan *θ*, yaitu;

{\displaystyle A(R,\theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\theta \!}
dengan batasan nilai *θ* adalah antara *0* dan *2π*. Saat *θ* bernilai *2π*, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas juring adalah {\displaystyle {\frac {\theta }{360}}\pi r^{2}} atau {\displaystyle {\frac {\theta }{2}}r^{2}}

### Luas tembereng


Luas tembereng = {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta -{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )}

dengan batasan nilai *θ* adalah antara *0* dan *2π.*

### Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam {\displaystyle r} dan jari-jari luar {\displaystyle R}, yaitu

{\displaystyle A\_{\text{cincin}}=\pi (R^{2}-r^{2})}
di mana untuk {\displaystyle r=0\!} , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

### Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

{\displaystyle A\_{\text{potongan cincin}}={\frac {\pi }{2}}(R^{2}-r^{2})\theta }
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran
------------------

Keliling lingkaran memiliki rumus:

{\displaystyle K=2\pi r\!=\pi d\!}
K = keliling
r = jari-jari
π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)
d = diameter
dimana {\displaystyle K}, {\displaystyle r}, {\displaystyle d} melambangkan keliling, jari-jari, dan diameter lingkaran.

### Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

{\displaystyle L=R\theta \!}
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

{\displaystyle \mathrm {d} L=\int {\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x}
di mana digunakan

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda {\displaystyle \pm } mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Panjang busur adalah {\displaystyle {\frac {\theta }{360}}2\pi r} atau {\displaystyle \theta r}

Garis singgung lingkaran
------------------------

Garis yang menyinggung di sisi luar lingkaranGaris yang menyinggung di sisi luar lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah sebuah garis yang ditarik dari suatu titik bersinggungan langsung dengan sisi luar atau pinggir atau busur lingkaran.

Garis singgung yang terdapat pada dua buah lingkaran dibagi menjadi dua jenis yaitu:

### Garis singgung persekutuan dalam dan luar

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus:

{\displaystyle d={\sqrt {p^{2}-(r1+r2)^{2}}}}

d = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak antara dua pusat lingkaran
r1 = jari-jari lingkaran pertama
r2 = jari-jari lingkaran kedua
Sementara itu, untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus:

{\displaystyle l={\sqrt {p^{2}-(r1-r2)^{2}}}}

l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak antara dua pusat lingkaran
r1 = jari-jari lingkaran pertama yang lebih besar
r2 = jari-jari lingkaran kedua yang lebih kecil

π (Pi)
------

Artikel utama: π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling *K* dengan diameternya *D*:

{\displaystyle \pi ={\frac {K}{D}}}

Catatan kaki
------------

1. ↑  π merupakan bilangan irasional, dimana jumlah bilangan desimal π tidak terhingga (π = 3.141592653589793238462643383...).

Referensi
---------

1. ↑  "Lingkaran, Rumus, Keliling Lingkaran". 2022-09-28. Diakses tanggal 2023-04-15.
2. ↑  Azhar, Ali. "Lingkaran, Rumus, Keliling Lingkaran". *soal matematika*. Diakses tanggal 2023-15-04.  Periksa nilai tanggal di: `|access-date=` (bantuan)
3. ↑  "Irrational Numbers". Diakses tanggal 2019-08-12.
4. ↑  "Gamelin, Theodore (1999). Pengantar topologi. Mineola, N.Y: Publikasi Dover". *Wikipedia* (dalam bahasa Inggris).
5. ↑  "Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, κρίκ-ος". *www.perseus.tufts.edu*. Diakses tanggal 2020-08-29.
6. 1 2  "Circle". *jwilson.coe.uga.edu*. Diakses tanggal 2020-08-29.
7. ↑  Dkk, Sukismo (2018). *Fokus UN 2019 SMP/MTS*. Jakarta: Erlangga. hlm. 392. ISBN 9786024860325.  Parameter `|url-status=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
8. ↑  "Irrational Numbers". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-08-12. Diakses tanggal 2019-08-12.
9. ↑  "Proving Pi is Irrational: a step-by-step guide to a "simple proof" requiring only high school calculus – Mind Your Decisions".
10. ↑  "Pi - Proof that Pi is Irrational". *crypto.stanford.edu*.

Pustaka
-------

* Pedoe, Dan (1988). *Geometry: a comprehensive course*. Dover.
* "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

Pranala luar
------------


Wikimedia Commons memiliki media yang terkait dengan:
 ***Lingkaran*** (kategori)

Wikiquote memiliki koleksi kutipan yang berkaitan dengan: ***Lingkaran***.

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Circle", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Circle di PlanetMath.org.
* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Circle". *MathWorld*.
* Interactive Java applets untuk sifat dan konstruksi dasar yang melibatkan lingkaran.
* Interactive Standard Form Equation of Circle Klik dan seret poin untuk melihat persamaan bentuk standar dalam aksi
* Munching on Circles at cut-the-knot


Wikimedia Commons memiliki media mengenai ***Lingkaran***.

Wikibooks *Subjek:Matematika* memiliki halaman di:
*Materi:Lingkaran*

| * l
* b
* s
Bangun geometri |
| --- |
| Elemen geometri menurut dimensi | Titik (0D)  ·  Garis (1D)  ·  Bidang (2D)  ·  Ruang (3D) |
| Besaran geometri menurut dimensi | Panjang (1D)  ·  Luas (area) (2D)  ·  Volume (3D) |
| Istilah dasar lain | Radius (jari-jari)  ·  Sisi (segi)  ·  Sudut |
| Bangun 2 dimensi | Belah ketupat  ·  Elips  ·  Jajar genjang  ·  Layang-layang  ·  Lingkaran  ·  Persegi  ·  Persegi panjang  ·  Poligon (segi-n)  ·  Segi empat  ·  Segitiga  ·  Trapesium |
| Bangun 3 dimensi | Balok  ·  Bola  ·  Kerucut  ·  Kubus  ·  Limas  ·  Polihedron (bidang-n)  ·  Prisma  ·   Sferoid (elipsoid revolusi)  ·  Tabung (silinder) |

| * l
* b
* s
Irisan kerucut |
| --- |
| Bentuk | Garis Lurus/Linear ·  Parabola/Kuadrat ·  Lingkaran ·  Elips ·  Hiperbola |
| Persamaan | Garis Lurus/Linear ·  Parabola/Kuadrat ·  Lingkaran ·  Elips ·  Hiperbola |

| Pengawasan otoritas Sunting ini di Wikidata |
| --- |
| Umum | 
* Integrated Authority File (Jerman)

 |
| Perpustakaan nasional | 
* Amerika Serikat
* Latvia
* Republik Ceko

 |