Sebuah sinar yang melalui grafik hiperbola satuan {\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} di titik {\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}, dengan {\displaystyle a} bernilai dua kali lipat dari luas di antara sinar dengan grafik hiperbola dan sumbu-{\displaystyle x}.
Fungsi hiperbolik invers
Dalam matematika, **fungsi hiperbolik invers** merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik.

Notasi
------

Asal-usul prefiks **ar-** berasal dari singkatan dari notasi fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arsinh dan arcosh) berdasarkan ISO 80000-2. Prefiks **arc-** yang berasal dari fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arcsinh dan arccosh) juga seringkali dipakai berdasarkan penamaan fungsi invers trigonometri. Namun sayangnya, pemakaian kedua prefiks tersebut keliru sebab prefiks *arc* merupakan singkatan dari *arcus*, sedangkan prefiks *ar* merupakan singkatan dari *area* (bahasa Indonesia: luas, daerah). Karena itu, fungsi hiperbolik secara tidak langsung dikaitkan dengan busur.

Notasi seperti sinh−1(*x*), cosh−1(*x*), dst. juga dipakai sebagai penggantinya. Namun sayangnya, superskrip −1 membingungkan para pembaca karena dapat diartikan sebagai perpangkatan atau fungsi invers (sebagai contoh, bandingkan cosh−1(*x*) dengan cosh(*x*)−1).

Definisi fungsi invers hiperbolik dalam logaritma
-------------------------------------------------

Karena fungsi hiperbolik merupakan fungsi rasional dari *e**x*, dengan derajat pada pembilang maupun penyebut setidaknya bernilai dua, fungsi-fungsi tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk *e**x* dengan menggunakan rumus kuadratik. Maka, dengan mengambil logaritma alami akan memberikan ekspresi berikut untuk fungsi hiperbolik invers.

| Nama fungsi invers hiperbolik | Definisi fungsi invers hiperbolik dalam | Domain |
| --- | --- | --- |
| **Fungsi sinus hiperbolik invers**: | {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} | Di seluruh garis bilangan real |
| **Fungsi kosinus hiperbolik invers** | {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} | Di interval tertutup [1, +∞ ) |
| **Fungsi tangen hiperbolik invers** | {\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)} | Di interval terbuka (−1, 1) |
| **Fungsi kotangen hiperbolik invers** | {\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)} | Di gabungan dari interval terbuka (−∞, −1) dan (1, +∞) |
| **Fungsi sekan hiperbolik invers** | {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)} | Di interval semi- terbuka (0, 1] |
| **Fungsi kosekan hiperbolik invers** | {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)} | Di garis bilangan real, tetapi tidak memuat 0. |

Rumus penambahan
----------------

{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}

Identitas lainnya
-----------------

{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}
{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}

Komposisi dari fungsi hiperbolik dan fungsi hiperbolik invers
-------------------------------------------------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{untuk}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{untuk}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{untuk}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{untuk}}\quad |x|>1\end{aligned}}}

Komposisi dari fungsi invers hiperbolik dan fungsi trigonometri
---------------------------------------------------------------

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}
{\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}

Konversi
--------

{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}

Turunan
-------

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ untuk semua bilangan real }}x{\text{, kecuali }}0\\\end{aligned}}}

Sebagai contoh, misalkan {\displaystyle \theta =\operatorname {arsinh} x}, maka 



d

arsinh
⁡
x

d
x

=

d
θ

d
sinh
⁡
θ

=

1

cosh
⁡
θ

=

1

1
+

sinh

2

⁡
θ

=

1

1
+

x

2


.

{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}

{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}dengan {\displaystyle \sinh ^{2}\theta =(\sinh \theta )^{2}}.

Ekspansi deret
--------------

Ekspansi deret dapat diperoleh untuk fungsi-fungsi di atas:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
Ekspansi asimtotik untuk fungsi {\displaystyle \operatorname {arsinh} x} dinyatakan dengan

{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}

Referensi
---------

1. ↑  Menurut Jan Gullberg, *Mathematics: From the Birth of Numbers* (New York: W. W. Norton & Company, 1997), ISBN 0-393-04002-X, hlm. 539:
> Another form of notation, arcsinh *x*, arccosh *x*, etc. is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with arc, but with area, as is demonstrated by their full Latin names,
> arsinh     *area sinus hyperbolicus*
> arcosh     *area cosinus hyperbolicus, etc.*

Terjemahan:
> Bentuk notasi yang lain, seperti fungsi arcsinh *x*, arccosh *x*, dsb. sebaiknya dihindari. Sebab fungsi-fungsi tersebut tidak mempunyai kaitan dengan [awalan] arc, melainkan area (bahasa Indonesia: luas), seperti yang ditunjukkan berdasarkan nama panjang dalam bahasa Latin, seperti arsinh (*area sinus hyperbolicus*), arcosh (*area cosinus hyperbolicus*), dsb.
2. ↑  Menurut Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch dan Hans Rudolf Schwarz (diterjemahkan oleh Bruce Hunt, ke *Oxford Users' Guide to Mathematics* (Oxford: Oxford University Press, 2004), ISBN 0-19-850763-1, Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", hlm. 68:
> "The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of *x*). ..." This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.

Terjemahan:
> "Nama-nama untuk fungsi hiperbolik invers, dalam bahasa Latin, adalah *area sinus hyperbolicus*, *area cosinus hyperbolicus*, *area tangens hyperbolicus*, dan *area kontangen hyperbolicus* (dari *x*). ...". Sumber yang telah disebutkan memakai notasi arsinh, arcosh, artanh, dan arcoth untuk masing-masing fungsi hiperbolik invers.
3. ↑  Menurut Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol dan Heiner Mühlig, *Handbook of Mathematics* (Berlin: Springer-Verlag, 5th ed. 2007), ISBN 3-540-72121-5, DOI:10.1007/978-3-540-72122-2, Section 2.10: "Area Functions", hlm. 91:
> The *area functions* are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e. the *inverse hyperbolic functions*. The functions sinh *x*, tanh *x*, and coth *x* are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh *x* has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name *area* refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...

Terjemahan:
> *Area functions* (bahasa Indonesia: *fungsi luas*) merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik, atau disebut sebagai *fungsi hiperbolik invers*. Fungsi-fungsi tersebut seperti sinh *x*, tanh *x*, dan coth *x* merupakan [fungsi yang] monoton dengan sempurna, yang membuat fungsi tersebut hanya mempunyai satu buah fungsi invers tanpa adanya batasan. Di sisi lain, fungsi cosh *x* mempunyai dua interval monotonik, dan begitupula kita dapat menganggap kedua fungsi invers [yang lain]. Nama *area* (bahasa Indonesia: *luas*) mengacu pada fakta bahwa definisi geometri dari fungsi merupakan luas dari daerah-daerah hiperbolik tertentu ...
4. ↑  Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions". *mathworld.wolfram.com* (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2020-08-30.
5. ↑  "Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics". *encyclopediaofmath.org*. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-11. Diakses tanggal 2020-08-30.
6. ↑  Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992). "Section 5.6. Quadratic and Cubic Equations". *Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing* (edisi ke-2nd). New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43064-X.
7. ↑  Woodhouse, N. M. J. (2003), *Special Relativity*, London: Springer, hlm. 71, ISBN 1-85233-426-6
8. ↑  "Identities with inverse hyperbolic and trigonometric functions". *math stackexchange*. stackexchange. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 3 November 2016.

Bibilografi
-----------

* Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) *Projective Geometry and Projective Metrics*, page 207, Academic Press.

Pranala luar
------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inverse hyperbolic functions", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4