*Untuk kegunaan lain, lihat Univalen*
Dalam analisis kompleks, suatu fungsi holomorfik pada suatu himpunan bagian terbuka dari bidang kompleks disebut **univalen** jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif.

Contoh
------

Misalkan {\displaystyle B\_{r}(a)=\left\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,\left|z-a\right|<r\right\}} adalah cakram terbuka dari himpunan semua bilangan kompleks, maka fungsi {\displaystyle f\colon z\mapsto \left(z+1\right)^{2}} adalah fungsi univalen pada {\displaystyle B\_{1}(0)}, sebab persamaan {\displaystyle f(p)=f(q)} (dengan {\displaystyle p,\,q\in B\_{1}(0)}) mengakibatkan




0

=
f
(
q
)
−
f
(
p
)



=

(

q
+
1

)

2

−

(

p
+
1

)

2



=
(
q
+
p
+
2
)
(
q
−
p
)



{\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(q)-f(p)\\&=\left(q+1\right)^{2}-\left(p+1\right)^{2}\\&=(q+p+2)(q-p)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(q)-f(p)\\&=\left(q+1\right)^{2}-\left(p+1\right)^{2}\\&=(q+p+2)(q-p)\end{aligned}}}
Oleh karena {\displaystyle q+p+2\neq 0}, maka {\displaystyle q-p=0}, sehingga terbukti bahwa fungsi {\displaystyle f} injektif pada {\displaystyle B\_{1}(0)}.

Sifat dasar
-----------

Jika {\displaystyle D\_{1}} dan {\displaystyle D\_{2}} adalah dua himpunan terbuka terhubung pada bidang kompleks, dan {\displaystyle f\colon D\_{1}\to D\_{2}} adalah fungsi univalen sedemikian sehingga



f
(

D

1

)
=

D

2

{\displaystyle f(D\_{1})=D\_{2}}

{\displaystyle f(D_{1})=D_{2}}
(atau dengan kata lain, fungsi {\displaystyle f} bersifat surjektif), maka

* {\displaystyle f'(a)\neq 0\qquad \forall a\in D\_{1}}
* fungsi {\displaystyle f} memiliki invers
* {\displaystyle f^{-1}(z)} juga merupakan fungsi holomorfik

Lebih lanjut, berdasarkan kaidah rantai, diperoleh



(

f

−
1

)
′

(
f
(
z
)
)
=

1

f
′

(
z
)


∀
z
∈

D

1

{\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\dfrac {1}{f'(z)}}\qquad \forall z\in D\_{1}}

{\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\dfrac {1}{f'(z)}}\qquad \forall z\in D_{1}}

Perbandingan dengan fungsi riil
-------------------------------

Dibandingkan fungsi kompleks holomorfik, pernyataan-pernyataan ini gagal terpenuhi oleh fungsi riil analitik. Sebagai contoh, diberikan fungsi {\displaystyle f\colon (-1,\,1)\to (-1,\,1)} dengan



f
(
x
)
=

x

3

{\displaystyle f(x)=x^{3}}

{\displaystyle f(x)=x^{3}}
Terlihat jelas bahwa fungsi {\displaystyle f} adalah fungsi injektif, namun turunannya bernilai {\displaystyle 0} saat {\displaystyle x=0}, dan inversnya tidak analitik, atau bahkan terdiferensialkan, pada seluruh interval {\displaystyle (-1,\,1)}. Akibatnya, saat domain fungsinya diperbesar menjadi himpunan terbuka {\displaystyle D\_{1}\subset \mathbb {C} }, maka fungsinya gagal bersifat injektif, sebab



f
(
k
ω
)
=
f
(
k
)

namun

k
ω
≠
k

{\displaystyle f(k\omega )=f(k)\quad {\text{namun}}\quad k\omega \neq k}

{\displaystyle f(k\omega )=f(k)\quad {\text{namun}}\quad k\omega \neq k}
dengan {\displaystyle \omega =\left\{e^{{\tfrac {2}{3}}\pi i},\,e^{{\tfrac {4}{3}}\pi i}\right\}} dan {\displaystyle k} adalah bilangan riil positif yang kurang dari jari-jari {\displaystyle D\_{1}} sebagai persekitaran dari {\displaystyle 0}.

Lihat juga
----------

* Pemetaan biholomorfik
* Teorema De Branges
* Teorema Koebe perempat
* Teorema pemetaan Riemann
* Kriteria Nevanlinna

Catatan
-------

1. ↑  (Conway 1995, hlm. 32, chapter 14: Conformal equivalence for simply connected regions, Definition 1.12: "A function on an open set is *univalent* if it is analytic and one-to-one.")
2. ↑  (Nehari 1975)

Referensi
---------

* (Inggris)Conway, John B. (1995). "Conformal Equivalence for Simply Connected Regions". *Functions of One Complex Variable II*. Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). **159**. doi:10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN 978-1-4612-6911-3.
* (Inggris)"Univalent Functions". *Sources in the Development of Mathematics* (dalam bahasa Inggris). 2011. hlm. 907–928. doi:10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707.
* (Inggris)Duren, P. L. (1983). *Univalent Functions* (dalam bahasa Inggris). Springer New York, NY. hlm. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0.
* (Inggris)Gong, Sheng (1998). *Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables* (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN 978-94-010-6191-9.
* (Inggris)Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "A remark on separate holomorphy". *Studia Mathematica* (dalam bahasa Inggris). **174** (3): 309–317. arXiv:math/0507305 alt=Dapat diakses gratis. doi:10.4064/SM174-3-5 alt=Dapat diakses gratis.  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
* (Inggris)Nehari, Zeev (1975). *Conformal mapping* (dalam bahasa Inggris). New York: Dover Publications. hlm. 146. ISBN 0-486-61137-X. OCLC 1504503.