| Geometri |
| --- |
| Proyeksi sebuah lingkaran pada sebuah bidang |
| * Garis besar
* Sejarah
 |
| Cabang
* Euklides
* takEuklides
	+ Elips
		- Bola
	+ Hiperbola
* Geometri non-Archimedes
* Projektif
* Afin
* Sintetis
* Analitis
* Aljabar
	+ Aritmetika
	+ Diophantus
* Diferensial
	+ Riemann
	+ Simplektik
	+ Diferensial diskret
* Kompleks
* Tentu
* Diskrit
	+ Digital
* Cembung
* Komputasi
* Fraktal
* Insidens
 |
| * Konsep
* Tampilan
Dimensi
* Konstruksi penggaris dan jangka busur
* Sudut
* Kurva
* Diagonal
* Ortogonalitas (tegak lurus)
* Sejajar
* Titik pojok

* Kekongruenan
* Keserupaan
* Simetri
 |
| Dimensi nol
* Titik
 |
| Dimensi satu
* Garis
	+ segmen
	+ sinar
* Panjang
 |
| Dimensi dua

|  |
| --- |
| * Bidang
* Luas
* Poligon
 |
| Segitiga |
| * Tinggi
* Hipotenusa
* Teorema Phytagoras
 |
| Jajaran genjang |
| * Persegi
* Persegi panjang
* Belah ketupat
 |
| Segi empat |
| * Trapesium
* Layang-layang
 |
| Lingkaran |
| * Diameter
* Keliling
* Luas
 |

 |
| Dimensi tiga
* Volume

* Kubus
	+ Balok
* Tabung
* Limas
* Bola
 |
| Dimensi empat dan lainnya
* Tesseract
* Hiperbola
 |
| Ahli geometri |
| Berdasarkan nama
* Aida
* Aryabhata
* Ahmes
* Alhazen
* Apollonius
* Archimedes
* Atiyah
* Baudhayana
* Bolyai
* Brahmagupta
* Cartan
* Coxeter
* Descartes
* Euklides
* Euler
* Gauss
* Gromov
* Hilbert
* Jyeṣṭhadeva
* Kātyāyana
* Khayyám
* Klein
* Lobachevsky
* Manava
* Minkowski
* Minggatu
* Pascal
* Pythagoras
* Parameshvara
* Poincaré
* Riemann
* Sakabe
* Sijzi
* al-Tusi
* Veblen
* Virasena
* Yang Hui
* al-Yasamin
* Zhang
* Daftar ahli geometri
 |
| Berdasarkan waktu

| BCE |
| --- |
| * Ahmes
* Baudhayana
* Manava
* Pythagoras
* Euclid
* Archimedes
* Apollonius
 |
| 
1–1400-an |
| * Zhang
* Kātyāyana
* Aryabhata
* Brahmagupta
* Virasena
* Alhazen
* Sijzi
* Khayyám
* al-Yasamin
* al-Tusi
* Yang Hui
* Parameshvara
 |
| 
1400-an–1700-an |
| * Jyeṣṭhadeva
* Descartes
* Pascal
* Minggatu
* Euler
* Sakabe
* Aida
 |
| 
1700an–1900an |
| * Gauss
* Lobachevsky
* Bolyai
* Riemann
* Klein
* Poincaré
* Hilbert
* Minkowski
* Cartan
* Veblen
* Coxeter
 |
| 
Sekarang |
| * Atiyah
* Gromov
 |

 |
| * l
* b
* s
 |

**Geometri mutlak** adalah geometri yang didasarkan pada sistem aksioma geometri Euklides tanpa menggunakan postulat paralel maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari postulat Euklidean. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti aksioma Hilbert tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar. Istilah ini diperkenalkan oleh János Bolyai pada tahun 1832. Geometri ini terkadang disebut sebagai  **geometri netral**, dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

Sifat
-----

Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada *Elemen* Euklides, Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut. Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan teorema sudut eksterior (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta Teorema Saccheri – Legendre, yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.

Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut. Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis {\displaystyle l} dan setiap titik {\displaystyle P} yang tidak terletak pada {\displaystyle l}, ada *setidaknya* satu garis yang melewati {\displaystyle P} dan sejajar dengan {\displaystyle l}. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis {\displaystyle m} dari {\displaystyle P} ke {\displaystyle l} yang tegak lurus, lalu membuat garis {\displaystyle n} yang tegak lurus dengan {\displaystyle m} dan melalui {\displaystyle P}. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis *{\displaystyle l}* sejajar dengan {\displaystyle n}. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis {\displaystyle a} dan {\displaystyle b} yang dipotong oleh garis {\displaystyle t} membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis {\displaystyle a} dan {\displaystyle b} saling sejajar.)

Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada segiempat Saccheri tidak mungkin tumpul, dan geometri bola bukanlah geometri absolut.

Hubungannya dengan geometri lain
--------------------------------

Teorema geometri absolut berlaku dalam geometri hiperbolik, yang merupakan geometri non-Euklides, serta dalam geometri Euklides.

Geometri absolut tidak konsisten dengan geometri elips: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.

Geometri absolut adalah perpanjangan dari geometri terurut, dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan geometri affine, yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.
(3: "Untuk mendeskripsikan lingkaran dengan semua pusat dan jarak radius.", 4: "Bahwa semua sudut siku sama satu sama lain.")
Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.

Geometri relativitas khusus telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut. Para penulis Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan rotasi hiperbolik sebagai transformasi yang menghubungkan dua kerangka acuan.

Bidang Hilbert
--------------

Sebuah bidang yang memenuhi aksioma *Incidence* Hilbert, *betweness*, dan kekongruenan, disebut dengan bidang Hilbert. Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.

Ketidaklengkapan
----------------

Geometri absolut adalah sistem aksiomatik yang tidak lengkap, dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten namun tidak saling *compatible*. Hal ini yang menimbulkan geometri Euklides atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.

Lihat pula
----------

* Geometri Affine
* Program Erlangen
* Fondasi geometri
* Geometri insiden
* Geometri Non-Euklides

Catatan
-------

1. ↑  Faber 1983, pg. 131
2. ↑  dalam "*Lampiran menunjukkan ilmu mutlak ruang: terlepas dari kebenaran atau kepalsuan Aksioma XI Euklid (tidak pernah diputuskan sebelumnya)*" (Faber 1983, pg. 161)
3. ↑  Greenberg mengutip W. Prenowitz dan M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) karena telah menggunakan istilah "geometri netral  *untuk merujuk ke bagian geometri Euclidean yang tidak bergantung pada postu paralel Euklid. Dia mengatakan bahwa kata*  absolut  *dalam*  geometri absolut  *secara menyesatkan menyiratkan bahwa semua geometri lain bergantung padanya.*
4. 1 2  Greenberg 2007, p. 163
5. ↑  Seseorang melihat ketidakcocokan geometri absolut dengan geometri elips, karena dalam teori terakhir semua segitiga memiliki jumlah sudut yang lebih besar dari 180°.
6. ↑  Faber 1983, p. 296
7. ↑  Memang, geometri absolut sebenarnya adalah perpotongan antara geometri hiperbolik dan geometri Euclidean jika keduanya dianggap sebagai himpunan proposisi.
8. ↑  Ewald, G. (1971), *Geometry: An Introduction*, Wadsworth
9. ↑  Coxeter 1969, pp. 175–6
10. ↑  Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "Relativitas Ruang-waktu. Prosiding Mekanika dan Elektromagnetik Geometri Non-Euklidean American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
11. ↑  Synthetic Spacetime, sebuah intisari dari aksioma yang digunakan, dan teorema dibuktikan, oleh Wilson dan Lewis. Diarsipkan oleh WebCite
12. ↑  Hartshorne 2005, p.97
13. ↑  Greenberg 2010, p.200

Referensi
---------

* Coxeter, H. S. M. (1969), *Introduction to Geometry* (edisi ke-2nd), New York: John Wiley & Sons
* Faber, Richard L. (1983), *Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry*, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
* Greenberg, Marvin Jay (2007), *Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History* (edisi ke-4th), New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
* Greenberg, Marvin Jay (2010), "Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries" (PDF), *Mathematical Association of America Monthly*, **117**: 198–219, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-03-27, diakses tanggal 2020-10-05
* Hartshorne, Robin (2005), *Geometry: Euclid and Beyond*, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
* Pambuccain, Victor *Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries*, in: *Non-Euclidean geometries* (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

Pranala luar
------------

* Media terkait Absolute geometry di Wikimedia Commons
* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Absolute Geometry". *MathWorld*.