Dalam teori bilangan, **faktorion** pada suatu basis bilangan {\displaystyle b} adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.

Definisi
--------

Katakan {\displaystyle n} adalah bilangan asli. Untuk basis {\displaystyle b>1}, kita tentukan **jumlah faktorial dari digit-digit**   {\displaystyle n}, {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }, kira-kira:

{\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}(n)=\sum \_{i=0}^{k-1}d\_{i}!.}
Di mana {\displaystyle k=\lfloor \log \_{b}n\rfloor +1} adalah jumlah digit bilangan pada basis {\displaystyle b}, {\displaystyle n!} adalah faktorial dari {\displaystyle n} dan

{\displaystyle d\_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}
adalah nilai dari digit ke-{\displaystyle i} bilangan tersebut. Bilangan asli {\displaystyle n} tergolong {\displaystyle b} - **faktorion** jika bilangannya menjadi titik tetap untuk {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}}, yaitu jika {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}(n)=n}. {\displaystyle 1} dan {\displaystyle 2} adalah titik tetap untuk seluruh basis {\displaystyle b}, dan dengan demikian merupakan **faktor trivial** untuk setiap {\displaystyle b}, dan keseluruhan faktor lainnya adalah **faktor nontrivial** .

Contoh: 145 pada basis {\displaystyle b=10} adalah faktorion karena {\displaystyle 145=1!+4!+5!} .

Untuk {\displaystyle b=2}, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka {\displaystyle k} pada basis 2 karena {\displaystyle 0!=1!=1} .

Suatu bilangan asli {\displaystyle n} adalah **faktorion sosiabel** apabila ia merupakan titik periodik {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}}, Di mana {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}^{k}(n)=n} untuk bilangan bulat positif {\displaystyle k}, dan membentuk siklus periode {\displaystyle k}. Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai {\displaystyle k=1}, dan **faktor amisabel** adalah faktor yang sosiabel dengan nilai {\displaystyle k=2}.  

Semua bilangan asli {\displaystyle n} adalah poin praperiodik untuk {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}}, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis {\displaystyle b} dengan digit-digit {\displaystyle k} menghasilkan {\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)} .Tapi, jika {\displaystyle k\geq b}, maka {\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)} untuk {\displaystyle b>2}, jadi apapun {\displaystyle n} akan menghasilkan {\displaystyle n>\operatorname {SFD} \_{b}(n)} hingga {\displaystyle n<b^{b}}. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari {\displaystyle b^{b}}, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari {\displaystyle b^{b}}, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk {\displaystyle b=2}, jumlah digit {\displaystyle k\leq n} untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis {\displaystyle b} .

{\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}^{i}(n)} perlu jumlah iterasi {\displaystyle i} untuk mencapai titik tetap {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}} fungsi persistensi {\displaystyle n}, dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion SFD*b*
----------------

### *b* = ( *k* − 1)!

Katakan {\displaystyle k} adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan {\displaystyle b=(k-1)!}. Oleh sebab itu:

* {\displaystyle n\_{1}=kb+1} adalah faktorion {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}} untuk semua {\displaystyle k.}

* {\displaystyle n\_{2}=kb+2} adalah faktorion {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}} untuk semua {\displaystyle k} .

Faktorion| {\displaystyle k} | {\displaystyle b} | {\displaystyle n\_{1}} | {\displaystyle n\_{2}} |
| --- | --- | --- | --- |
| 4 | 6 | 41 | 42 |
| 5 | 24 | 51 | 52 |
| 6 | 120 | 61 | 62 |
| 7 | 720 | 71 | 72 |

### *b* = *k* ! − *k* +1

Katakan {\displaystyle k} adalah bilangan bulat positif dan basis {\displaystyle b=k!-k+1}. Oleh sebab itu:

* {\displaystyle n\_{1}=b+k} adalah faktorion {\displaystyle \operatorname {SFD} \_{b}} untuk semua {\displaystyle k} .

### Tabel faktorion dan siklus SFD*b*

Basis {\displaystyle b} mewakilkan semua angka.

| Basis {\displaystyle b} | Faktorion nontrivial ( {\displaystyle n\neq 1}, {\displaystyle n\neq 2} )  | Siklus |
| --- | --- | --- |
| 2 | {\displaystyle \varnothing } | {\displaystyle \varnothing } |
| 3 | {\displaystyle \varnothing } | {\displaystyle \varnothing } |
| 4 | 13 | 3 → 12 → 3 |
| 5 | 144 | {\displaystyle \varnothing } |
| 6 | 41, 42 | {\displaystyle \varnothing } |
| 7 | {\displaystyle \varnothing } | 36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36 |
| 8 | {\displaystyle \varnothing } | 3 → 6 → 1320 → 12

175 → 12051 → 175 |
| 9 | 62558 |  |
| 10 | 145, 40585 | 871 → 45361 → 871 
872 → 45362 → 872  |

Referensi
---------

1. ↑  Sloane, Neil, "A014080", *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*
2. ↑  Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", *Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind*, Vintage Books, hlm. 61 and 64, ISBN 9780394726236
3. ↑  Madachy, Joseph S. (1979), *Madachy's Mathematical Recreations*, Dover Publications, hlm. 167, ISBN 9780486237626
4. ↑  Pickover, Clifford A. (1995), "The Loneliness of the Factorions", *Keys to Infinity*, John Wiley & Sons, hlm. 169–171 and 319–320, ISBN 9780471193340
5. ↑  Gupta, Shyam S. (2004), "Sum of the Factorials of the Digits of Integers", *The Mathematical Gazette*, The Mathematical Association, **88** (512): 258–261, doi:10.1017/S0025557200174996, JSTOR 3620841
6. ↑  Sloane, Neil, "A061602", *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*
7. ↑  Abbott, Steve (2004), "SFD Chains and Factorion Cycles", *The Mathematical Gazette*, The Mathematical Association, **88** (512): 261–263, doi:10.1017/S002555720017500X, JSTOR 3620842
8. 1 2  Sloane, Neil, "A214285", *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*
9. 1 2  Sloane, Neil, "A254499", *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*
10. ↑  Sloane, Neil, "A193163", *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*