Misalkan {\displaystyle V} adalah ruang vektor atas bidang {\displaystyle F} dan {\displaystyle {\vec {v}}\_{1},{\vec {v}}\_{2}} adalah dua vektor dalam {\displaystyle V}. **Kombinasi linear** dari {\displaystyle {\vec {v}}\_{1}} dan {\displaystyle {\vec {v}}\_{2}} adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut. Pada ruang vektor {\displaystyle V} berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor {\displaystyle {\vec {v}}\_{1}} dan {\displaystyle {\vec {v}}\_{2}} dapat dikalikan dengan skalar {\displaystyle k,m\in F}, sehingga terbentuk {\displaystyle k{\vec {v}}\_{1}} dan {\displaystyle m{\vec {v}}\_{2}}. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh {\displaystyle k{\vec {v}}\_{1}+m{\vec {v}}\_{2}}. Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari {\displaystyle {\vec {v}}\_{1}} dan {\displaystyle {\vec {v}}\_{2}}.

Definisi
--------

Misalkan {\displaystyle F} adalah bidang dan {\displaystyle V} adalah ruang vektor atas lapangan {\displaystyle F}. Anggota-anggota {\displaystyle V} disebut vektor dan anggota-anggota {\displaystyle F} disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor {\displaystyle {\vec {v}}\_{1},{\vec {v}}\_{2},\ldots ,{\vec {v}}\_{n}} adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

{\displaystyle k\_{1}{\vec {v}}\_{1}+k\_{2}{\vec {v}}\_{2}+\ldots +k\_{n}{\vec {v}}\_{n}}

untuk suatu skalar {\displaystyle k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{n}\in F}.

Contoh
------

### Ruang Vektor Euclidean

Himpunan {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} adalah ruang vektor atas lapangan {\displaystyle \mathbb {R} }. Vektor {\displaystyle (2,7)} merupakan kombinasi linear dari {\displaystyle {\vec {e}}\_{1}=(1,0)} dan {\displaystyle {\vec {e}}\_{2}=(0,1)}, sebab terdapat skalar {\displaystyle 2,7\in \mathbb {R} } sehingga

{\displaystyle (2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\vec {e}}\_{1}+7{\vec {e}}\_{2}}

Lebih lanjut, setiap vektor dalam {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari {\displaystyle e\_{1}} dan {\displaystyle e\_{2}}. Ini terjadi karena sebarang vektor {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} dapat ditulis sebagai

{\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&=(x,0)+(0,y)\\&=x(1,0)+y(0,1)\\&=x{\vec {e}}\_{1}+y{\vec {e}}\_{2}\end{aligned}}}

### Polinomial

Himpunan {\displaystyle P\_{2}} merupakan ruang vektor atas lapangan {\displaystyle \mathbb {R} }. Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari {\displaystyle \mathbb {R} }. Misalkan {\displaystyle p\_{1}=1+x^{2}} dan {\displaystyle p\_{2}=2x^{2}}. Apakah polinomial {\displaystyle 1+x} merupakan kombinasi linear dari {\displaystyle p\_{1}} dan {\displaystyle p\_{2}}? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar {\displaystyle k\_{1},k\_{2}\in \mathbb {R} } yang memenuhi persamaan

{\displaystyle 1+x=k\_{1}(1+x^{2})+k\_{2}(2x^{2})}

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

{\displaystyle 1+1x+0x^{2}=k\_{1}+0x+(k\_{1}+2k\_{2})x^{2}}

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat {\displaystyle x} pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar {\displaystyle k\_{1},k\_{2}\in \mathbb {R} } yang memenuhi persamaan

{\displaystyle 1+x=k\_{1}(1+x^{2})+k\_{2}(2x^{2})}

Dengan demikian, {\displaystyle 1+x} bukan kombinasi linear dari {\displaystyle p\_{1}} dan {\displaystyle p\_{2}}.

Referensi
---------

1. ↑  Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed). Wellesley - Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.
2. ↑  Izzulhaq, Agung. "Kombinasi Linear: Materi dan Contoh Soal". *www.kimiamath.com*. Diakses tanggal 2020-03-02.

Pranala luar
------------

* (Inggris)Kombinasi Linear di MathWorld

| * l
* b
* s
Aljabar linear |
| --- |
| Konsep dasar | 
* Skalar
* Vektor
* Ruang vektor
* Perkalian skalar
* Proyeksi vektor
* Rentang linear
* Peta linear
* Proyeksi linear
* Kebebasan linear
* Kombinasi linear
* Basis
* Vektor kolom dan baris
* Ruang kolom dan baris
* Keortogonalan
* Kernel
* Nilai eigen dan vektor eigen
* Hasil kali luar
* Ruang hasil kali dalam
* Hasil kali titik
* Transpos
* Proses Gram–Schmidt
* Persamaan linear

 | Ruang Euklides tiga dimensi |
| Aljabar vektor | 
* Hasil kali silang
* Hasil kali tripel
* Hasil kali silang tujuh dimensi

 |
| Aljabar multilinear | 
* Aljabar geometri
* Aljabar eksterior
* Bivektor
* Multivektor
* Tensor
* Morfisme luar

 |
| Matriks | 
* Blok
* Penguraian
* Dapat dibalik
* Minor
* Perkalian
* Rank
* Transformasi
* Aturan Cramer
* Eliminasi Gauss
* Determinan

 |
| Konstruksi aljabar | 
* Dual
* Hasil kali tensor
* Jumlah langsung
* Kuosien
* Ruang fungsi
* Subruang

 |
| Numerik | 
* Floating-point
* Stabilitas numerik
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* Matriks rongga
* Perbandingan pustaka aljabar linear
* Perbandingan perangkat lunak analisis numerik

 |
| 
* Category Kategori
* List-Class article Garis besar
* Portal Portal matematika
* Wikibooks page Wikibuku

 |