|  |
| --- |
| Bagian dari serial artikel mengenai |
| *e* |
| Artikel mengenai e |
| {\displaystyle 2.718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\,287\dots } |
| Penggunaan
* Bunga majemuk
* Identitas Euler
* Rumus Euler
* Waktu paruh (pertumbuhan dan peluruhan eksponensial)
 |
| Sifat
* Logaritma alami
* Fungsi eksponensial
 |
| Nilai
* Bukti bahwa e irasional
* Representasi dari e
* Teorema Lindemann-Weierstrass
 |
| Tokoh
* John Napier
* Leonhard Euler
 |
| Topik terkait
* Konjektur Schanuel
 |
| Portal Matematika |
| * l
* b
* s
 |

**Fungsi eksponensial** adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif. Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(*x*) atau *e**x*, di mana *e* adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Sebagai fungsi variabel bilangan real *x*, grafik *e**x* selalu positif (berada di atas sumbu *x*) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu *x*, tetapi mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(*x*), didefinisikan untuk nilai *x* yang positif.

Secara umum, variabel *x* dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal di bawah ini.

Sifat-sifat
-----------

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi

{\displaystyle \!\,a^{x}=e^{x\ln a}}
yang terdefinisikan untuk *a* > 0, dan semua bilangan real *x*, disebut juga **fungsi eksponensial dengan basis** ***a***.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk *a* = *e*, karena

{\displaystyle \!\,e^{x\ln e}=e^{x\cdot 1}=e^{x}.}
Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari *rumus-rumus eksponen* sebagai berikut:

{\displaystyle \!\,a^{0}=1}
{\displaystyle \!\,a^{1}=a}
{\displaystyle \!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}}
{\displaystyle \!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}}
{\displaystyle \!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}}
{\displaystyle \!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}}
Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif *a* dan *b* dan semua bilangan real *x* dan *y*. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

{\displaystyle {1 \over a}=a^{-1}}
dan, untuk semua *a* > 0, bilangan real *b*, dan bilangan bulat *n* > 1:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}}

Turunan dan persamaan diferensial
---------------------------------

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}
Dengan kata lain, fungsi *e**x* jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

* Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
* Bertambahnya nilai fungsi pada *x* sama dengan nilai fungsi pada *x*
* Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial {\displaystyle y'=y}.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan *e*):

{\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}}
jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal
---------------

Fungsi eksponensial e*x* dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
atau sebagai limit berikut ini:

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}
Dalam definisi di atas, {\displaystyle n!} adalah faktorial dari *n*, dan *x* dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar (atau matriks persegi).

Nilai numerik
-------------

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

{\displaystyle e^{x}={1 \over 0!}+x\,\left({1 \over 1!}+x\,\left({1 \over 2!}+x\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)}
{\displaystyle =1+{x \over 1}\left(1+{x \over 2}\left(1+{x \over 3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}
Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

Bacaan lebih lanjut
-------------------

* *Matematika SMA dan MA 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA*. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 979-304-505-X.  Parameter `|couauthors=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter `|first1=` tanpa `|last1=` di Authors list (bantuan)

| * l
* b
* s
Daftar fungsi matematika |
| --- |
| Fungsi polinomial | 
* Fungsi konstan {0)
* Fungsi linear (1)
* Fungsi kuadrat (2)
* Fungsi kubik (3)
* Fungsi kuartik (4)
* Fungsi kuintik (5)

 |
| Fungsi aljabar | 
* Fungsi rasional
* Fungsi eksponensial
	+ Lambert W
	+ Superakar
* Fungsi hiperbolik
* Fungsi logaritma
	+ Berdasarkan basis
		- 2
		- e
		- 10
	+ teriterasi
	+ Superlogaritma

 |
| Fungsi dalamteori bilangan | 
* Fungsi Möbius
* Fungsi partisi
* Fungsi perhitungan bilangan prima
* Fungsi phi Euler
* Fungsi sigma

 |
| Fungsi trigonometri | 
* Sinus (trigonometri)
* Kosinus
* Tangen
* Sekan
* Kosekan
* Kotangen
* Versinus
* Koversinus
* Verkosinus
* Koverkosinus
* Ekssekan
* Ekskosekan
* Haversinus
* Hakoversinus
* Haverkosinus
* Hakoverkosinus

* Gudermann
* sinc

 |
| Fungsi berdasarkanhuruf Yunani | 
* Fungsi beta
	+ Dirichlet
	+ taklengkap
* Fungsi chi
	+ Legendre
* Fungsi delta
	+ Fungsi delta Dirac
	+ Fungsi delta Kronecker
	+ potensial delta
* Fungsi eta
	+ Dirichlet
* Fungsi gamma
	+ Fungsi digamma
	+ Barnes
	+ Meijer
	+ banyak
	+ eliptik
	+ Hadamard
	+ multivariabel
	+ *p*-adik
	+ *q*
	+ taklengkap
	+ Fungsi poligamma
	+ Fungsi trigamma
* Fungsi lambda
	+ Dirchlet
	+ modular
	+ von Mangoldt
* Fungsi mu
	+ Möbius
* Fungsi phi
	+ Euler
* Fungsi pi
* Fungsi sigma
	+ Weierstrass
* Fungsi theta
* Fungsi zeta
	+ Hurwitz
	+ Riemann
	+ Weierstrass

 |
| Fungsi berdasarkannama matematikawan | 
* Airy
* Ackermann
* Bessel
* Bessel–Clifford
* Bottcher
* Chebyshev
* Clausen
* Dawson
* Dirichlet
	+ beta
	+ eta
	+ L
	+ lambda
* Faddeeva
* Fermi–Dirac
	+ lengkap
	+ taklengkap
* Fresnel
* Fox
* Gudermann
* Hermite
* Fungsi Jacob
	+ eliptik Jacobi
* Kelvin
* Fungsi Kummer
* Fungsi Lambert
	+ W
* Lamé
* Laguerre
* Legendre
	+ chi
	+ iring
* Liouville
* Mathieu
* Meijer
* Mittag-Leffler
* Painlevé
* Riemann
	+ xi
	+ zeta
* Riesz
* Scorer
* Spence
* von Mangoldt
* Weierstrass
	+ eliptik
	+ eta
	+ sigma
	+ zeta

 |
| Fungsi khusus | 
* Fungsi bagian bilangan bulat
	+ Fungsi bilangan bulat terbesar
	+ Fungsi bilangan bulat terkecil
* Fungsi gergaji
* Fungsi indikator
* Fungsi nilai mutlak
* Fungsi persegi
* Fungsi segitiga
* Fungsi tanda
* Fungsi tangga
	+ Fungsi tangga Heaviside

 |
| Fungsi lainnya | 
* Aritmetik-geometrik
* eliptik
* Fungsi hiperbolik
	+ konfluen
* K
* sinkrotron
* tabung parabolik
* tanda tanya Minkowski
* Pentasi
* Student
* Tetrasi

 |