Grup titik dalam tiga dimensi| Simetri involusiCs, (\*)[ ] =  | Simetri siklikCnv, (\*nn)[n] =  | Simetri dihedralDnh, (\*n22)[n,2] =  |
| Grup polihedral, [n,3], (\*n32) |
| Simetri tetrahedralTd, (\*332)[3,3] =  | Simetri oktahedralOh, (\*432)[4,3] =  | Simetri ikosahedralIh, (\*532)[5,3] =  |

Dalam geometri, sebuah **grup titik dalam tiga dimensi** adalah grup isometri dalam tiga dimensi yang meninggalkan asal tetap, atau dengan demikian, grup isometri dari bola. Ini adalah subgrup dari grup ortogonal O(3), grup dari semua isometri yang membiarkan asal tetap, atau dengan demikian, grup dari matriks ortogonal. O(3) sendiri adalah subgrup dari grup Euklides E(3) dari semua isometri.

Grup simetri objek adalah grup isometri. Oleh karena itu, analisis grup isometri adalah analisis kemungkinan simetri. Semua isometri dari objek 3D hingga memiliki satu atau lebih titik tetap yang sama. Apabila memilih asal sebagai salah satunya.

Grup simetri suatu objek terkadang juga disebut **grup simetri penuh**, sebagai lawan dari **grup rotasi** atau **grup simetri baik**, irisan grup simetri penuhnya dan grup rotasi SO(3) dari ruang 3D itu sendiri. Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek adalah kiral.

Grup titik dalam tiga dimensi banyak digunakan dalam kimia, terutama untuk menggambarkan simetri molekul dan orbital molekul yang membentuk ikatan kovalen, dan dalam konteks ini ini disebut juga sebagai **gugus titik molekuler**.

Grup Coxeter hingga adalah himpunan khusus *grup titik* yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pemantulan yang melewati titik yang sama. Grup Coxeter peringkat *n* memiliki cermin *n* dan diwakili oleh diagram Coxeter–Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi kurung ekuivalen dengan diagram Coxeter, simbol markup tersebut untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya.

Struktur grup
-------------

SO(3) adalah subgrup dari E+(3), yang terdiri dari *isometri langsung*; yaitu, isometri kelestarian orientasi tersebut berisi beberapa yang meninggalkan asal tetap.

O(3) adalah produk langsung dari SO(3) dan grup yang dihasilkan oleh inversi (dilambangkan dengan matriks−*I*):

O(3) = SO(3) × { *I* , −*I* }
Jadi, korespondensi 1-ke-1 antara semua isometri langsung dan semua isometri tidak langsung, melalui inversi. Juga korespondensi 1-ke-1 antara semua grup isometri langsung *H* di O(3) dan semua grup *K* dari isometri di O(3) yang berisikan inversi:

*K* = *H* × { *I* , −*I* }
*H* = *K* ∩ SO(3)
Misalnya, jika *H* adalah *C*2, maka *K* adalah *C*2h, atau jika *H*  adalah *C*3, lalu *K* adalah *S*6 (lihat bagian bawah untuk definisi grup ini).

Jika grup isometri langsung *H* memiliki subgrup *L* dari indeks 2, maka, selain dari grup sesuai yang mengandung inversi, grup sesuai yang berisi isometri tidak langsung, namun tidak memiliki inversi:

*M* = *L* ∪ ( (*H* ∖ *L*) × { −*I* } )
dimana isometri ( *A*, *I* ) diidentifikasi dengan *A*. Contohnya adalah *C*4 untuk *H* dan *S*4 untuk *M*.

Jadi *M* diperoleh dari *H* dengan inversi isometri di *H* ∖ *L*. Grup *M* ini sebagai grup abstrak isomorfik dengan *H*. Sebaliknya, untuk semua grup isometri yang mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak memiliki inversi, apabila memperoleh grup rotasi dengan inversi isometri tidak langsung. Ini menjelaskan ketika mengkategorikan grup isometri, lihat di bawah.

Dalam 2D grup siklik dari lipatan-*k* rotasi *Ck* adalah untuk setiap bilangan bulat positif *k* subgrup normal dari O(2,**R**) dan SO(2,**R**). Dengan demikian, dalam 3D, untuk setiap sumbu, grup siklik dari rotasi lipatan-*k* pada sumbu tersebut adalah subgrup normal dari grup semua rotasi terhadap sumbu tersebut. Karena setiap subgrup indeks dua adalah normal, grup rotasi (*Cn*) adalah normal baik pada grup (*Cnv*) diperoleh dengan menjumlahkan (*Cn*) bidang pantul melalui sumbu dan dalam grup (*Cnh*) diperoleh dengan menjumlahkan (*Cn*) bidang pantul yang tegak lurus sumbunya.

Isometrik 3D terluar dari asal tetap
------------------------------------

Isometri dari **R**3 terluar asal tetap, dalam bentuk grup O(3,**R**), apabila dikategorikan sebagai berikut:

* SO(3,**R**):
	+ identitas
	+ rotasi pada sumbu melalui titik asal dengan sudut yang tidak sama dengan 180°
	+ rotasi sekitar sumbu melalui titik asal dengan sudut 180 °;
* sama dengan inversi (**x** dipetakan ke **x**), yaitu masing-masing:
	+ inversi
	+ rotasi pada suatu sumbu dengan sudut yang tidak sama dengan 180°, digabungkan dengan pantulan pada bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu
	+ refleksi dalam bidang melalui titik asal.

Bagian ke-4 dan ke-5 secara khusus, dan dalam arti yang lebih luas juga terdapat bagian ke-6, disebut rotasi tak wajar.

Lihat pula ikhtisar termasuk translasi.

Konjugasi
---------

Saat membandingkan tipe simetri dari dua objek, titik asal yang secara terpisah, yaitu tidak perlu memiliki pusat yang sama. Selain itu, dua objek bertipe simetri yang sama jika grup simetri adalah subgrup konjugat dari O(3) (dua subgrup *H*1, *H*2 dari grup *G* adalah *konjugasi*, apabila jika *g* ∈ *G* sedemikian rupa sehingga *H*1 = *g*−1*H*2*g* ).

Misalnya, dua objek 3D memiliki tipe simetri yang sama:

* jika keduanya memiliki simetri cermin, namun pada bidang cermin yang berbeda
* jika keduanya memiliki simetri putar 3 kali lipat, namun pada sumbu yang berbeda.

Dalam kasus beberapa bidang cermin dan/atau sumbu rotasi, dua grup simetri memiliki tipe simetri yang sama jika dan hanya jika rotasi memetakan seluruh struktur grup simetri pertama ke struktur kedua. Definisi konjugasi juga akan memungkinkan bayangan cermin dari struktur, tetapi ini tidak diperlukan, struktur itu sendiri adalah akiral. Misalnya, jika grup simetri berisi sumbu rotasi 3 kali lipat, hal tersebut apabila rotasi dalam dua arah yang berlawanan. (Struktur ***adalah*** kiral untuk 11 pasang ***ruang grup*** dengan sumbu sekrup.)

Grup isometri tak hingga
------------------------

Lihat pula: Simetri putar § simetri putar terhadap sembarang sudut
Ada banyak **grup isometri tak hingga**; misalnya, "grup siklik" (artinya dihasilkan oleh satu elemen—jangan bingung dengan grup torsi) yang dihasilkan oleh rotasi oleh bilangan irasional putaran sebuah kapak. Apabila grup abelian non-siklus dengan menambahkan lebih banyak rotasi di sekitar sumbu yang sama. Ada juga grup non-abelian yang dihasilkan oleh rotasi di sekitar sumbu yang berbeda. Ini biasanya (umumnya) grup bebas. Apabila akan menjadi tak hingga kecuali rotasi dipilih secara khusus.

Semua grup tak hingga yang disebutkan sejauh ini tidak tertutup sebagai subgrup topologi dari O(3). Sekarang membahas subgrup tertutup topologi dari O(3).

Bola yang tidak bertanda memiliki simetri O(3).
Seluruh O(3) adalah grup simetri dari simetri bola; SO(3) adalah grup rotasi yang sesuai. Grup isometrik tak hingga lainnya terdiri dari semua rotasi tentang sumbu melalui titik asal, dan grup dengan refleksi tambahan pada bidang yang melalui sumbu, dan/atau pantulan pada bidang melalui titik asal, tegak lurus terhadap sumbu. Dengan refleksi bidang melalui sumbu, dengan atau tanpa refleksi bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu, adalah grup simetri untuk dua jenis simetri tabung. Perhatikan bahwa setiap objek fisik yang memiliki simetri rotasi tak hingga juga akan memiliki simetri bidang cermin yang melalui sumbu.

Ada tujuh grup kontinu yang semuanya merupakan limit grup isometri hingga. Ini disebut *grup titik pembatas* atau *grup pembatas Curie* dinamai Pierre Curie yang merupakan orang pertama yang menyelidikinya. Tujuh barisan tak hingga dari grup aksial mengarah ke lima grup pembatas (dua di antaranya adalah duplikat), dan tujuh grup titik tersisa menghasilkan dua grup lebih kontinu. Dalam notasi internasional, daftarnya adalah ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞, dan ∞∞m.

Grup isometri hingga
--------------------

Simetri dalam 3D dikarenakan titik asal tetap sepenuhnya dicirikan oleh simetri pada bola yang berpusat di titik asal. Untuk grup titik 3D hingga, lihat pula grup simetri bola.

Hingga konjugasi, himpunan grup titik 3D hingga terdiri dari:

* 7 deret tak hingga dengan banyak satu sumbu rotasi lebih dari 2 kali lipat; ia adalah grup simetri terbatas pada tabung tak hingga, atau ekuivalen, dan tabung hingga. Ia terkadang disebut grup titik aksial atau prismatik.
* 7 grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih; ia juga dapat dicirikan sebagai grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat, karena semua 7 mencakup sumbu ini; berhubungan dengan sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih, kombinasi yang mungkin adalah:
	+ 4 sumbu 3 kali lipat
	+ 4 sumbu 3 kali lipat dan 3 sumbu 4 kali lipat
	+ 10 sumbu 3 kali lipat dan 6 sumbu 5 kali lipat

Menurut teorema restriksi kristalografi, sejumlah grup titik hingga kompatibel dengan simetri translasi diskrit: 27 dari 7 deret tak hingga, dan 5 dari 7 lainnya. Bersama-sama, ini membentuk 32 apa yang disebut grup titik kristalografi.

Tujuh deret tak hingga dari grup aksial
---------------------------------------

Deret tak hingga dari grup aksial atau prismatik memiliki indeks *n*, yang berupa bilangan bulat; setiap deret, grup simetri ke-n berisi lipatan-*n* simetri rotasi suatu sumbu, yaitu simetri terhadap rotasi dengan sudut 360°/*n*. *n*=1 mencakup kasus tidak ada simetri rotasi sama sekali. Ada empat deret tanpa sumbu simetri rotasi lainnya (lihat simetri siklik) dan tiga dengan sumbu tambahan simetri lipat 2 (lihat simetri dihedral). Apabila dipahami sebagai grup titik dalam dua dimensi diperpanjang dengan koordinat aksial dan refleksi di dalamnya. Terkait dengan grup dekorasi; yang ditafsirkan sebagai pola grup dekorasi yang berulang kali *n* di sekitar tabung.

Tabel berikut mencantumkan beberapa notasi untuk grup titik: notasi Hermann–Mauguin (digunakan dalam kristalografi), notasi Schönflies (digunakan untuk mendeskripsikan simetri molekuler), notasi orbifold, dan notasi Coxeter. Tiga yang terakhir tidak hanya terkait dengan sifatnya, tetapi juga dengan urutan grup. Notasi orbifold adalah notasi terpadu, juga berlaku untuk grup bingkai dan grup dekorasi. Grup kristalografi memiliki *n* hingga pada 1, 2, 3, 4, dan 6; menghapus pembatasan kristalografi memungkinkan setiap bilangan bulat positif.
Deret tersebut adalah:

| H–M | Schön. | Orb. | Cox. | Dekorasi | Struktur.(Urutan) | Contoh | Catatan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ganda *n* | Ganjil *n* | (tabung) |
| *n* | C*n* | *nn* | [n]+ | p1 | Z*n*(*n*) |  | Lipatan simetri rotasi-*n* |
| 2*n* | *n* | S2*n* | *n*× | [2n+,2+] | p11g | Z2*n*(2*n*) |  | Lipatan refleksi rotor simetri-*n*Jangan disamakan dengan abstrak grup simetris |
| *n*/m | 2*n* | C*n*h | *n*\* | [n+,2] | p11m | Z*n*×Z2(2*n*) |  |  |
| *n*mm | *n*m | C*n*v | \**nn* | [n] | p1m1 | Dih*n*(2*n*) |  | Piramida simetri;dalam biologi, simetri biradial |
| *n*22 | *n*2 | D*n* | 22*n* | [n,2]+ | p211 | Dih*n*(2*n*) |  | Simetri dihedral |
| 2*n*2m | *n*m | D*n*d | 2\**n* | [2n,2+] | p2mg | Dih2*n*(4*n*) |  | Antiprismaatik simetri |
| *n*/mmm | 2*n*2m | D*n*h | \*22*n* | [n,2] | p2mm | Dih*n*×Z2(4*n*) |  | Prismatik simetri |

Untuk ganjil *n* memiliki Z2*n* = Z*n* × Z2 dan Dih< sub>2*n* = Dih*n* × Z2.

Grup Cn (termasuk trivial C1) dan Dn adalah kiral, yang lainnya kiral.

Istilah horizontal (h) dan vertikal (v), dan subskrip sesuai, mengacu pada bidang cermin tambahan, yang sejajar dengan sumbu rotasi (vertikal) atau tegak lurus terhadap sumbu rotasi (horizontal).

Grup aksial nontrivial paling sederhana setara dengan grup abstrak Z2:

* *C**i* (dengan ekuivalen S2) – **inversi simetri**
* *C*2 – **lipatan-2 simetri rotasi**
* *C**s* (dengan ekuivalen C1h dan C1v) – **simetri refleksi**, atau disebut juga  **simetri bilateral**.

Pola pada pita tabung yang menggambarkan kasus *n* = 6 untuk masing-masing dari 7 keluarga tak hingga grup titik. Grup simetri dari setiap pola adalah grup yang ditunjukkan.
Yang kedua adalah pertama dari grup uniaksial (grup siklik) *Cn* urutan *n* (juga berlaku dalam 2D), yang dihasilkan oleh satu putaran sudut 360°/*n*. Selain itu, apabila menambahkan bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu, memberikan grup *Cnh* orde 2*n*, atau satu himpunan bidang cermin *n* yang berisi sumbu, memberikan grup *Cnv*, juga dari urutan 2*n*. Yang terakhir adalah grup simetri untuk piramida bersisi *n* beraturan. Objek tipikal dengan grup simetri *C**n* atau *D**n* adalah kitiran.

Jika bidang refleksi horizontal dan vertikal ditambahkan, perpotongannya memberikan sumbu rotasi 'n' hingga 180°, sehingga grup bukan uniaksial. Grup baru dari urutan 4*n* ini disebut *Dnh*. Subgrup rotasinya adalah grup dihedral *Dn* urutan 2*n*, yang masih memiliki sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus terhadap sumbu rotasi primer, tetapi bukan dari bidang cermin.

Catatan: dalam 2D, *Dn* menyertakan refleksi, yang juga dilihat sebagai inversi benda datar tanpa membedakan bagian depan dan belakang; namun dalam 3D, operasi tersebut dibedakan: *Dn* adalah "inversi", bukan refleksi.

Ada satu grup lagi dalam keluarga ini, yang disebut *Dnd* (atau *Dnv*), yang memiliki bidang cermin vertikal sebagai sumbu rotasi utama, namun alih-alih memiliki bidang cermin horizontal, ia memiliki isometri yang menggabungkan refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/*n*. *Dnh* adalah grup simetri untuk "gonal-*n* "biasa" prisma dan juga untuk "gonal-*n* "biasa" bipiramid. *Dnd* adalah grup simetri untuk "gonal-*n* "biasa" antiprisma, dan juga untuk "gonal-*n* "biasa" trapezohedron. *Dn* adalah grup simetri dari prisma yang diputar sebagian ("memutar").

Grup *D*2 dan *D*2*h* diperhatikan karena tidak ada sumbu rotasi khusus. Sebaliknya, ada tiga sumbu tegak lurus lipatan-2. *D*2 adalah subgrup dari semua simetri polihedral (lihat di bawah), dan *D*2*h* adalah subgrup dari grup polihedral Th dan O h. *D*2 pada homotetramer seperti Concanavalin A, dalam senyawa koordinasi tetrahedral dengan empat ligan kiral identik, atau dalam molekul seperti tetrakis(klorofluorometil)metana jika semua gugus klorofluorometil memiliki kiralitas yang sama. Unsur *D*2 berada dalam korespondensi 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh satuan kuaternion Lipschitz.

Grup *Sn* dihasilkan oleh kombinasi refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 360°/n. Untuk *n* ganjil ini sama dengan grup yang dihasilkan oleh keduanya secara terpisah, *Cnh* urutan 2*n*, dan oleh karena itu notasi *Sn* tidak diperlukan; namun, untuk *n* berbeda dari ganjil, dan urutan *n*. Seperti *Dnd* adalah sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.

Semua grup simetri dalam 7 deret tak hingga berbeda, kecuali untuk empat pasang yang sama besar berikut:

* *C1h* dan *C1v*: grup urutan 2 dengan refleksi tunggal (*Cs* )
* *D*1 dan *C*2: grup urutan 2 dengan satu putaran 180°
* *D*1*h* dan *C*2*v*: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis pada bidang tersebut
* *D*1*d* dan *C*2*h*: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis yang tegak lurus bidang tersebut.

*S*2 adalah grup urutan 2 dengan satu inversi (*Ci* ).

"Sama dengan" dimaksudkan sebagai sama hingga konjugasi dalam ruang. Ini lebih kuat dari "isomorfisme aljabar hingga". Misalnya, tiga grup berbeda dari urutan dua dalam pengertian pertama, tetapi hanya ada satu dalam pengertian kedua. Demikian pula, misalnya *S2n* isomorfik secara aljabar dengan Z*2n*.

Grup apabila dibangun sebagai berikut:

* C*n*. Dihasilkan oleh elemen juga disebut C*n*, sesuai dengan rotasi dengan sudut 2π/*n* di sekitar sumbu. Unsur-unsurnya adalah E (identitas), C*n*, C*n*2, ... C *n**n*−1, sesuai dengan sudut rotasi 0, 2π/*n*, 4π/*n*, ... 2(*n* − 1)π/*n*.
* S2*n*. Dihasilkan oleh elemen C2*n*σh, dimana σh adalah refleksi dalam arah sumbu. Elemennya adalah elemen C*n* dengan C*2n*σh, C2*n*3σh, ... C2*n*2*n*−1σh.
* C*n*h. Generated by element C*n* and reflection σh. Its elements are the elements of group C*n*, with elements σh, C*n*σh, C*n*2σh, ... C*n**n*−1σh added.
* C*n*v. Dihasilkan oleh elemen C*n* dan refleksi v dalam arah pada bidang tegak lurus terhadap sumbu. Elemennya adalah elemen grup C*n*, dengan elemen σv, C*n*σv, C*n*2σv, ... C*n**n*−1σv.
* D*n*. Dihasilkan oleh elemen C*n* dan rotasi 180° U = σhσv di sekitar arah pada bidang tegak lurus sumbu. Elemennya adalah elemen grup C*n*, dengan elemen U, C*n*U, C*n*2U, ... C*n**n* − 1U.
* D*n*d. Dihasilkan oleh elemen C2*n*σh dan σv. Elemennya adalah elemen grup C*n* dan elemen tambahan S2*n* dan C*n*v , dengan elemen C2*n*σhσv, C2*n*3σhσv, ... C2*n*2*n* − 1σhσv.
* D*n*h. Dihasilkan oleh elemen C*n*, σh, and σv. Elemennya adalah elemen grup C*n* dan elemen tambahan dari C elements*n*h, C*n*v, dan D*n*.

Mengambil *n* ke ∞ menghasilkan grup dengan rotasi aksial kontinu:

| H–M | Schönflies | Orbifold | Coxeter | Batas | Grup abstrak |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ∞ | C∞ | ∞∞ | [∞]+ |  | C*n* | Z∞ | SO(2) |
| ∞, ∞/m | C∞h | ∞\* | [2,∞+] |  | C*n*h, S2*n* | Z2×Z∞ | Z2×SO(2) |
| ∞m | C∞v | \*∞∞ | [∞] |  | C*n*v | Dih∞ | O(2) |
| ∞2 | D∞ | 22∞ | [2,∞]+ |  | D*n* | Dih∞ | O(2) |
| ∞m, ∞/mm | D∞h | \*22∞ | [2,∞] |  | D*n*h, D*n*d | Z2×Z∞ | Z2×O(2) |

Tujuh grup titik yang tersisa
-----------------------------

Grup titik yang tersisa dikatakan sangat tinggi atau simetri polyhedral karena mereka memiliki lebih dari satu sumbu rotasi dengan orde lebih besar dari 2. Disini, Cn menunjukkan sumbu rotasi melalui 360°/n dan Sn menunjukkan sumbu rotasi takwajar melalui yang sama. Dalam tanda kurung adalah notasi orbifold, notasi Coxeter (diagram Coxeter), kelengkapan notasi Hermann–Mauguin, dan yang disingkat jika berbeda. Grup tersebut adalah:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **T**, (332)[3,3]+ ()23urutan 12 | **kiral simetri tetrahedral** | Ada empat sumbu C3, melalui dua simpul kubus (diagonal badan) atau salah satu dari tetrahedron biasa, dan tiga sumbu C2, melalui pusat permukaan kubus, atau titik tengah tepi tetrahedron. Grup ini adalah isomorfik hingga *A*4, grup alternatif pada 4 elemen, dan merupakan grup rotasi untuk tetrahedron reguler. Ini adalah subgrup normal dari Td, Th, dan simetri oktahedral. Unsur dari grup sesuai 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh 24 satuan kuaternion Hurwitz ("grup tetrahedral biner"). |
| **Td**, (\*332)[3,3] ()43murutan 24 | **simetri tetrahedral penuh** | Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, namun dengan enam bidang cermin, dua sisi kubus atau satu sisi tetrahedron, satu sumbu C2 dan dua sumbu C3. Sumbu C2 sekarang sebenarnya adalah sumbu S4. Grup ini adalah grup simetri untuk tetrahedron reguler. Td isomorfik ke *S*4, grup simetris pada 4 huruf, karena korespondensi 1-ke-1 antara elemen Td dan 24 permutasi dari empat sumbu lipatan tiga. Sebuah objek simetri *C*3v di bawah salah satu sumbu 3 kali lipat menimbulkan aksi Td ke orbit yang terdiri dari empat objek tersebut, dan Td sesuai dengan himpunan permutasi dari empat objek ini. Td adalah subgrup normal dari Oh. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan. |
| **Th**, (3\*2)[3+,4] ()2/m3, m3 urutan 24 | **simetri piritohedral** | Jahitan bola voli memiliki simetri Th. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan *T*, dengan bidang cermin sejajar dengan permukaan kubus. Sumbu C3 menjadi sumbu S6, dan terdapat simetri inversi. Th isomorfik ke *A*4 × *Z*2 (karena T dan Ci keduanya adalah subgrup normal), dan bukan untuk grup simetris S4. Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis yang membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol di garis pemisah dan menjadi sempit. Ini adalah subgrup (namun bukan subgrup normal) dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu tiga kali lipat. Ini adalah subgrup normal dari Oh. |
| **O**, (432)[4,3]+ ()432urutan 24 | **kiral simetri oktahedral** | Grup dengan T, namun sumbu C2 sekarang menjadi sumbu C4, dan selain itu 6 sumbu C2, melalui titik tengah tepi kubus. Grup ini juga isomorfik pada *S*4 karena elemen berkorespondensi 1-ke-1 dengan 24 permutasi dari sumbu lipatan 3, dengan T. Objek *D*3 simetri bawah salah satu sumbu lipatan 3 memunculkan bawah tindakan O ke orbit yang terdiri dari empat objek, dan O sesuai dengan himpunan permutasi dari keempat objek ini. Ini adalah grup rotasi dari kubus dan oktahedron. Mewakili rotasi dengan kuaternion, O terdiri dari 24 satuan kuaternion Hurwitz dan 24 kuaternion Lipschitz dari norma kuadrat 2 dinormalisasi dengan membagi dengan {\displaystyle {\sqrt {2}}}. Seperti sebelumnya, ini adalah korespondensi 1-ke-2. |
| **Oh**, (\*432)[4,3] ()4/m32/m, m3murutan 48 | **simetri oktahedral penuh** | Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan *O*, namun dengan bidang cermin, terdiri dari bidang cermin *Td* dan *Th*. Grup isomorfik ini pada *S*4 × *Z*2 (karena O dan *Ci* adalah subkelompok normal), dan merupakan grup simetri dari kubus dan oktahedron. Lihat pula isometri kubus. |
| **I**, (532)[5,3]+ ()532urutan 60 | **kiral simetri ikosahedral** | grup rotasi ikosahedron dan dodesahedron. Ini adalah subgrup normal dari indeks 2 dalam grup penuh simetri **Ih**. Grup ini adalah 10 versi *D3* dan 6 versi *D5* (simetri rotasi seperti prisma dan antiprisma). Ini juga adalah lima versi *T* (lihat Gabungan lima tetrahedra). Grup **I** adalah isomorfik hingga *A*5, grup alternatif pada 5 huruf, karena elemen bersesuaian 1-ke-1 dengan permutasi genap dari lima simetri **Th** (atau lima tetrahedra yang baru saja disebutkan). Mewakili rotasi dengan kuaternion, **I** terdiri dari 120 satuan ikosian. Seperti sebelumnya, ini adalah korespondensi 1-ke-2. |
| **Ih**, (\*532)[5,3] ()532/m, 53murutan 120 | **simetri ikosahedral penuh** | grup simetri ikosahedron dan dodecahedron. Grup **Ih** isomorfik dengan *A*5 × *Z*2 karena I dan *C*i keduanya adalah subgrup normal. Grup ini adalah 10 versi *D3d*, 6 versi *D5d* (simetri seperti antiprisma), dan 5 versi T h. |

Grup kontinu yang terkait dengan grup ini adalah:

* ∞∞, **K**, atau SO(3), semua kemungkinan rotasi.
* ∞∞m, **Kh**, atau O(3), semua kemungkinan rotasi dan refleksi.

Seperti disebutkan di atas untuk grup isometri tak hingga, setiap benda fisik yang memiliki simetri K juga akan memiliki simetri Kh.

Relasi antara notasi orbifold dan urutan
----------------------------------------

Urutan setiap grup adalah 2 dibagi dengan orbifold karakteristik Euler; yang terakhir adalah 2 dikurangi jumlah nilai fitur, ditetapkan sebagai berikut:

* *n* tanpa atau sebelum \* dihitung sebagai (*n*−1)/*n*
* *n* setelah \* dihitung sebagai (*n*−1)/(2*n*)
* \* dan × dihitung sebagai 1

Ini juga dapat diterapkan untuk grup bingkai dan grup dekorasi: bagi mereka, jumlah nilai fitur adalah 2, memberikan urutan tak hingga; lihat karakteristik Euler orbifold untuk grup bingkai

Grup Coxeter reflektif
----------------------

Domain dasar grup Coxeter 3D| A3, [3,3],  | B3, [4,3],  | H3, [5,3],  |
| --- | --- | --- |
| cermin 6 | cermin 3+6 | cermin 15 |
| 2A1, [1,2],  | 3A1, [2,2],  | A1A2, [2,3], 
 |
| cermin 2 | cermin 3 | cermin 4 |
| A1, [1],  | 2A1, [2],  | A2, [3],  |
| cermin 1 | cermin 2 | cermin 3 |

Grup titik reflektif dalam tiga dimensi juga disebut grup Coxeter dan diberikan oleh diagram Coxeter-Dynkin dan mewakili satu himpunan cermin potongan di satu titik pusat, dan mengikat domain segitiga bola pada permukaan bola. Grup Coxeter dengan kurang dari 3 generator memiliki domain segitiga bola yang merosot, seperti lune atau hemibola. Dalam notasi Coxeter kelompok-kelompok ini adalah simetri tetrahedral [3,3], simetri oktahedral [4,3], simetri ikosahedral [5,3], dan simetri dihedral [p,2]. Jumlah cermin untuk grup tak tereduksi adalah *nh/2*, dimana *h* adalah bilangan Coxeter grup Coxeter, *n* adalah dimensi (3).

| GrupWeyl | Notasi Coxeter | Urutan | BilangnCoxeter(h) | Cermin(m) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Grup polihedral |
| **A**3 |  | [3,3] | 24 | 4 | 6 |
| **B**3 |  | [4,3] | 48 | 6 | 3+6 |
| **H**3 |  | [5,3] | 120 | 10 | 15 |
| Grup dihedral |
| 2**A**1 |  | [1,2] | 4 |  | 1+1 |
| 3**A**1 |  | [2,2] | 8 |  | 2+1 |
| **I**2(p)**A**1 |  | [p,2] | *4p* |  | p+1 |
| Grup siklik |
| 2**A**1 |  | [2] | 4 |  | 2 |
| **I**2(p) |  | [p] | *2p* |  | p |
| Cermin tunggal |
| **A**1 |  | [ ] | 2 |  | 1 |

Grup rotasi
-----------

Grup rotasi, yaitu subgrup hingga SO(3), adalah: grup siklik *C*n (grup rotasi dari piramida kanonik), grup dihedral *D*n (grup rotasi seragam prisma, atau kanonik bipiramid), dan grup rotasi *T*, *O* dan *I* dari tetrahedron reguler, oktahedron/kubus dan icosahedron/dodecahedron.

Secara khusus, grup dihedral *D*3, *D*4 dll. adalah grup rotasi dari poligon beraturan bidang yang tertanam dalam ruang tiga dimensi, dan sosok seperti itu dapat dianggap sebagai prisma reguler yang merosot. Oleh karena itu, ia juga disebut *dihedron* (Yunani: padat dengan dua wajah), yang menjelaskan nama *grup dihedral*.

* Sebuah objek dengan grup simetri *Cn*, *Cnh*, *Cnv* atau *S2n* memiliki grup rotasi *Cn.*
* Objek dengan grup simetri *Dn*, *Dnh*, atau *Dnd* memiliki grup rotasi *Dn.*
* Sebuah objek dengan salah satu dari tujuh grup simetri lainnya memiliki grup rotasi yang sesuai tanpa subscript: *T*, *O* atau *I*.

Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek tersebut kiral. Dengan kata lain, objek kiral adalah objek dengan grup simetrinya dalam daftar grup rotasi.

Diberikan dalam notasi Schönflies, notasi Coxeter, (notasi orbifold), subgrup rotasi adalah:

| Refleksi | Refleksi/rotasi | Rotasi takwajar | Rotasi |
| --- | --- | --- | --- |
| *Cnv*, [n], (\*nn) | *Cnh*, [n+,2], (n\*) | *S2n*, [2n+,2+], (n×) | *Cn*, [n]+, (nn) |
| *Dnh*, [2,n], (\*n22) | *Dnd*, [2+,2n], (2\*n) |  | *Dn*, [2,n]+, (n22) |
| *Td*, [3,3], (\*332) |  |  | *T*, [3,3]+, (332) |
| *Oh*, [4,3], (\*432) | *Th*, [3+,4], (3\*2) |  | *O*, [4,3]+, (432) |
| *Ih*, [5,3], (\*532) |  |  | *I*, [5,3]+, (532) |
|

Korespondensi antara grup rotasi dan grup lain
----------------------------------------------

Grup berikut berisi inversi:

* *C**nh* dan *D**nh* untuk nilai genap *n*
* *S*2*n* dan *D**nd* untuk nilai ganjil *n* (*S2* = *Ci* adalah grup yang dihasilkan oleh inversi; *D**1d* = *C**2h*)
* *Th*, *Oh*, dan *Ih*

Seperti dijelaskan di atas, ada korespondensi 1-ke-1 antara grup ini dan semua grup rotasi:

* *C**nh* untuk nilai genap *n* dan *S*2*n* untuk nilai ganjil *n* sesuai dengan *C**n*
* *D**nh* untuk nilai genap *n* dan *D**nd* untuk nilai ganjil *n* sesuai dengan *D**n*
* *Th*, *Oh*, dan *Ih* sesuai dengan *T*, *O*, dan *I*.

Grup lain mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak inversi:

* *C**nv*
* *C**nh* dan *D**nh* untuk nilai ganjil *n*
* *S*2*n* dan *D**nd* untuk nilai genap *n*
* *Td*

Sesuai dengan grup rotasi *H* dan subgrup *L* dari indeks 2 dalam arti bahwa apabila diperoleh dari *H* dengan membalikkan isometri di *H* \ *L*, seperti yang dijelaskan di atas:

* *C**n* adalah subgrup dari *D**n* dari indeks 2, menghasilkan *C**nv*
* *C**n* adalah subgrup dari *C**2n* dari indeks 2, memberikan *C**nh* untuk nilai ganjil *n* dan *S*2*n* untuk nilai genap *n*
* *D**n* adalah subgrup dari *D**2n* dari indeks 2, memberikan *D**nh* untuk nilai ganjil *n* dan *D**nd* untuk nilai genap *n*
* T adalah subgrup dari *O* dari indeks 2, memberikan *Td*

Simetri maksimal
----------------

Ada dua grup titik diskret dengan sifat yang tidak dimiliki grup titik diskret sebagai subgrup yang tepat: *Oh* dan *Ih*. Subgrup umum terbesar adalah *Th*. Kedua grup diperoleh dari mengubah simetri putar lipatan 2 menjadi lipatan 4, dan masing-masing menambahkan simetri lipatan 5.

Ada dua grup titik kristalografi dengan sifat yang tidak dimiliki kelompok titik kristalografi sebagai subgrup yang tepat: *Oh* dan *D6h*. Subgrup umum maksimal, bergantung pada orientasinya, adalah *D3d* dan *D2h*.

Grup tersusun berdasarkan tipe grup abstrak
-------------------------------------------

Di bawah grup yang dijelaskan di atas disusun berdasarkan jenis grup abstrak.

Grup abstrak terkecil yang *bukan* merupakan grup simetri dalam 3D, adalah grup kuaternion (urutan 8), Z3 × Z3 (urutan 9), grup disiklik Dadu3 (urutan 12), dan 10 dari 14 grup urutan 16.

Kolom "# elemen urutan 2" pada tabel berikut menunjukkan jumlah total subgrup isometri tipe *C2*, *Ci*, *Cs*. Jumlah total ini adalah salah satu karakteristik yang membantu membedakan berbagai jenis grup abstrak, sedangkan tipe isometrinya membantu membedakan berbagai grup isometri dari grup abstrak yang sama.

Dalam kemungkinan grup isometri dalam 3D, ada banyak sekali tipe grup abstrak dengan elemen 0, 1 dan 3 urutan 2, ada dua dengan 2*n* + 1 elemen urutan 2, dan ada tiga dengan 2*n* + 3 elemen orde 2 (untuk masing-masing *n* ≥ 2 ). Tidak pernah ada bilangan genap positif dari elemen urutan 2.

### Grup simetri dalam 3D siklik sebagai grup abstrak

simetri kelompok untuk lipatan-*n* rotasi simetri adalah *Cn*; tipe grup abstraknya adalah grup siklik Zn, yang juga dilambangkan dengan *Cn*. Namun, ada dua deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

* Untuk urutan genap 2*n* ada grup *S2n* (notasi Schoenflies) yang dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 180°/n terhadap sumbu, digabungkan dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Untuk *S2* digunakan notasi *Ci*; itu dihasilkan oleh inversi.
* Untuk setiap urtan 2*n* dimana nilai gankil *n*, memiliki *Cnh*; ia memiliki sumbu rotasi lipatan *n*, dan bidang refleksi tegak lurus. Ini dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 360°/*n* tentang sumbu, dikombinasikan dengan refleksi. Untuk *C*1*h* digunakan notasi *Cs*; itu dihasilkan oleh refleksi dalam bidang.

Jadi, dengan huruf tebal dari 10 grup titik kristalografi siklik, dimana pembatas kristalografi berlaku:

| Urutan | Grup isometri | Grup abstrak | # urutan 2 elemen | Diagram siklus |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | ***C1*** | Z1 | 0 |  |
| 2 | ***C2***, ***Ci***, ***Cs*** | Z2 | 1 |  |
| 3 | ***C3*** | Z3 | 0 |  |
| 4 | ***C4***, ***S4*** | Z4 | 1 |  |
| 5 | *C5* | Z5 | 0 |  |
| 6 | ***C6***, ***S6***, ***C3h*** | Z6 = Z3 × Z2 | 1 |  |
| 7 | *C7* | Z7 | 0 |  |
| 8 | *C8*, *S8* | Z8 | 1 |  |
| 9 | *C9* | Z9 | 0 |  |
| 10 | *C10*, *S10*, *C5h* | Z10 = Z5 × Z2 | 1 |  |

dll.

### Grup simetri dalam 3D dihedral sebagai grup abstrak

Dalam 2D grup dihedral *Dn* mencakup refleksi, yang juga dilihat sebagai benda datar inversi tanpa membedakan bagian depan dan belakang.

Namun, dalam 3D dua operasi dibedakan: grup simetri yang dilambangkan dengan *Dn* berisi *n* sumbu lipatan 2 tegak lurus dengan sumbu lipatan *n*, bukan pantulan. *Dn* adalah grup rotasi dari sisi *n* prisma dengan basis reguler, dan sisi *n* bipiramid dengan alas beraturan, dan juga sisi beraturan *n* antiprisma dan sisi beraturan *n* trapezohedron. Grup juga merupakan grup simetri penuh dari objek setelah membuat kiral dengan tanda kiral identik pada setiap wajah, atau beberapa modifikasi dalam bentuk.

Jenis grup abstrak adalah grup dihedral Dih*n*, yang juga dilambangkan dengan *Dn*. Namun, tiga deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

* *Cnv* urutan 2*n*, grup simetri dari sisi beraturan *n* piramida
* *Dnd* urutan 4*n*, grup simetri dari sisi *n* beraturan antiprisma
* *Dnh* dari urutan 4*n* untuk ganjil *n*. Untuk *n* = 1 menghasilkan *D*2, menjadi *n* ≥ 3.

Perhatikan sifat berikut:

Dih*4n+2* {\displaystyle \cong } Dih*2n+1* × Z2
Jadi, dengan huruf tebal dari 12 kelompok titik kristalografi, dan menulis *D1d* sebagai ekuivalen *C2h*:

| Urutan | Grup isometri | Grup abstrak | # elemen urutan 2 | Diagram siklus |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 4 | ***D2***, ***C2v***, ***C2h*** | Dih2 = Z2 × Z2 | 3 |  |
| 6 | ***D3***, ***C3v*** | Dih3 | 3 |  |
| 8 | ***D4***, ***C4v***, ***D2d*** | Dih4 | 5 |  |
| 10 | *D*5, *C*5*v* | Dih5 | 5 |  |
| 12 | ***D6***, ***C6v***, ***D3d***, ***D3h*** | Dih6 = Dih3 × Z2 | 7 |  |
| 14 | *D*7, *C*7*v* | Dih7 | 7 |  |
| 16 | *D*8, *C*8*v*, *D*4*d* | Dih8 | 9 |  |
| 18 | *D*9, *C*9*v* | Dih9 | 9 |  |
| 20 | *D*10, *C*10*v*, *D*5*h*, *D*5*d* | Dih10 = *D*5 × Z2 | 11 |  |

dll.

### Lain

*C2n,h* urutan 4*n* adalah tipe grup abstrak Z2*n* × Z2. Untuk *n* = 1 menghasilkan Dih2, menjadi *n* ≥ 2.

Jadi, dengan huruf tebal dari 2 kelompok titik kristalografi siklik:

| Urutan | Grup isometri | Grup abstrak | # dari urutan 2 elemen | Diagram siklus |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 8 | ***C4h*** | Z4 × Z2 | 3 |  |
| 12 | ***C6h*** | Z6 × Z2 = Z3 × Z22 = Z3 × Dih2 | 3 |  |
| 16 | *C8h* | Z8 × Z2 | 3 |  |
| 20 | *C10h* | Z10 × Z2 = Z5 × Z22 = Z5 × Dih2 | 3 |  |

dll.

*Dnh* urutan 4*n* adalah tipe grup abstrak Dihn × Z2. Untuk ganjil *n*, jadi *D*2*n*h urutan 8*n*, yang merupakan grup abstrak Dih2*n* × Z2 (*n*≥1).

Jadi, dengan huruf tebal dari 3 kelompok titik kristalografi dihedral:

| Urutan | Grup isometri | Grup abstrak | # dari urutan 2 elemen | Diagram siklus |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 8 | ***D2h*** | Z23 | 7 |  |
| 16 | ***D4h*** | Dih4 × Z2 | 11 |  |
| 24 | ***D6h*** | Dih6 × Z2 = Dih3 × Z22 | 15 |   |
| 32 | *D8h* | Dih8 × Z2 | 19 |   |

dll.

Tujuh sisanya adalah, dengan huruf tebal dari 5 grup titik kristalografi (lihat pula di atas):

| Urutan | Grup isometri | Grup abstrak | # dari urutan 2 elemen | Diagram siklus |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 12 | ***T*** | *A*4 | 3 |  |
| 24 | ***T*d**, ***O*** | *S*4 | 6 |  |
| 24 | ***Th*** | *A*4 × Z2 | 6 |  |
| 48 | ***Oh*** | *S*4 × Z2 | 6 |  |
| 60 | *I* | *A*5 |  |  |
| 120 | *Ih* | *A*5 × Z2 |  |  |

Domain fundamental
------------------

Triacontahedron Disdyakis|  |  |
| Bidang refleksi untuk simetri ikosahedral potongan dengan bola pada lingkaran besar, dengan domain dasar segitiga bola siku-siku |

Domain fundamental dari grup titik adalah padatan berbentuk kerucut. Sebuah objek dengan simetri tertentu dalam orientasi tertentu dicirikan oleh domain fundamental. Jika objeknya adalah permukaan, ia dicirikan oleh permukaan dalam domain fundamental yang berlanjut ke permukaan atau permukaan bordal radialnya. Jika salinan permukaan tidak cocok, permukaan atau permukaan radial dapat ditambahkan. Ia akan tetap cocok jika domain fundamental dibatasi oleh bidang refleksi.

Untuk polihedron, permukaan ini dalam domain dasar dapat menjadi bagian dari bidang sembarang. Misalnya, dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain dasar dari simetri ikosahedral. Menyesuaikan orientasi bidang memberikan berbagai kemungkinan untuk menggabungkan dua atau lebih wajah yang berdekatan menjadi satu, memberikan berbagai polihedra lain dengan simetri yang sama. Polihedron adalah cembung jika permukaannya sesuai dengan salinannya dan garis radial yang tegak lurus terhadap bidang berada dalam domain fundamental.

Juga permukaan dalam domain fundamental dapat terdiri dari beberapa wajah.

Grup polihedral biner
---------------------

Peta Spin(3) → SO(3) adalah sampul ganda dari grup rotasi oleh grup putaran dalam 3 dimensi (ini adalah satu-satunya penutup SO(3) yang terhubung, karena Spin(3) terhubung secara sederhana).
Dengan teorema kekisi, apabila hubungan Galois antara subgrup Spin(3) dan subgrup SO(3) (grup titik rotasi): citra subgrup Spin(3) adalah grup titik rotasi, dan citra awal grup titik adalah subgrup Spin(3). Perhatikan bahwa Spin(3) memiliki deskripsi alternatif sebagai grup satuan khusus SU(2) dan sebagai grup dari unit kuaternion. Secara topologi, grup Kebohongan ini adalah bola 3-dimensi **S**3.

Pragambaran grup titik berhingga disebut **grup polihedral biner**, direpresentasikan sebagai ⟨l,n,m⟩, dan disebut dengan nama yang sama dengan grup titiknya, dengan awalan **biner**, dengan urutan dua lipatan dari grup polihedral yang terkait (l,m,n). Misalnya, citra awal grup ikosahedral (2,3,5) adalah grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩.

Grup polihedral biner adalah:

* {\displaystyle A\_{n}}: grup siklik biner dari gon-(*n* + 1), urutan 2*n*
* {\displaystyle D\_{n}}: grup dihedral biner dari gon-*n*, ⟨2,2,*n*⟩, urutan 4*n*
* {\displaystyle E\_{6}}: grup tetrahedral biner, ⟨2,3,3⟩, urutan 24
* {\displaystyle E\_{7}}: grup oktahedral biner, ⟨2,3,4⟩, urutan 481
* {\displaystyle E\_{8}}: grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩, urutan 120

Ini diklasifikasikan oleh klasifikasi ADE, dan hasil bagi dari **C**2 oleh aksi grup polihedral biner adalah singularitas Du Val.

Untuk grup titik yang orientasinya terbalik, situasinya lebih rumit, karena ada dua grup pin, jadi ada dua kemungkinan grup biner yang sesuai dengan grup titik yang diberikan.

Perhatikan bahwa ini adalah penutup dari *grup,* bukan penutup dari *ruang*–bola adalah hanya terhubung, dan dengan demikian tidak memiliki ruang peliput. Dengan demikian tidak ada gagasan tentang "polihedron biner" yang menutupi polihedron 3 dimensi. Grup polihedral biner adalah subgrup diskrit dari grup Spin, dan di bawah representasi grup spin bertindak pada ruang vektor, dan dapat menstabilkan polihedron dalam representasi ini – di bawah peta Spin(3) → SO(3) yang bertindak pada polihedron sama dengan grup mendasarinya (non-biner), sementara di bawah representasi spin atau representasi lain dapat menstabilkan polihedra lainnya.

Ini berbeda dengan projective polyhedra–bola menutupi ruang proyektif (dan juga ruang lensa), dan dengan demikian sebuah tessellasi ruang proyektif atau ruang lensa menghasilkan gagasan yang berbeda dari polihedron.

Lihat pula
----------

* Daftar grup simetri bola
* Daftar tabel karakter untuk grip titik 3D secara kimiawi
* Grup titik dalam dua dimensi
* Grup titik dalam empat dimensi
* Simetri
* Isometri bidang Euklides
* Tindakan grup
* Grup titik
* Sistem kristal
* Grup ruang
* Daftar grup kecil
* Simetri molekul

Catatan kaki
------------

1. ↑  Curie, Pierre (1894). "Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" [On symmetry in physical phenomena, symmetry of an electric field and a magnetic field] (PDF). *Journal de Physique* (dalam bahasa Prancis). **3** (1): 393–415. doi:10.1051/jphystap:018940030039300. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2021-08-30. Diakses tanggal 2021-07-05.
2. ↑  Shubnikov, A.V. (1988). "On the Works of Pierre Curie on Symmetry". *Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers*. Pergamon Press. hlm. 357–364. doi:10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.
3. ↑  Vainshtein. B. K. (1994). *Modern Crystallography, Vol. 1. Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography* (edisi ke-2nd enlarged). Springer-Verlag Berlin. hlm. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
4. ↑  Fisher, G.L.; Mellor, B. (2007), "Three-dimensional finite point groups and the symmetry of beaded beads" (PDF), *Journal of Mathematics and the Arts*, **1** (2): 85–96, doi:10.1080/17513470701416264, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2021-08-31, diakses tanggal 2021-07-05  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. ↑  Coxeter, *Politop beraturan', 12.6 Jumlah pantulan, persamaan 12.61*
6. ↑  "Du Val Singularities, by Igor Burban" (PDF). Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2012-09-11. Diakses tanggal 2021-07-05.

Referensi
---------


* Coxeter, H. S. M. (1974), "7 The Binary Polyhedral Groups", *Regular Complex Polytopes*, Cambridge University Press, hlm. 73–82 .
* Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). *Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition*. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.  Parameter `|name-list-style=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
* Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), "The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups", *Structural Chemistry*, Springer Netherlands, **13** (3): 247–257, doi:10.1023/A:1015851621002  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Pranala luar
------------

* Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – membentuk bagian pertama (selain melewatkan *n*=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D yang terpisah
* Ikhtisar sifat grup titik Diarsipkan 2021-06-16 di Wayback Machine.
* Polihedra Kanonik Paling Sederhana dari Setiap Jenis Simetri (menggunakan Java)
* Grup Titik dan Sistem Kristal, oleh Yi-Shu Wei, hlm. 4–6
* Pusat Geometri: 10.1 Rumus Simetri dalam Koordinat Kartesius (tiga dimensi) Diarsipkan 2021-04-18 di Wayback Machine.