Artikel ini bukan mengenai Matriks keserupaan.Untuk kegunaan lain, lihat Kesebangunan (geometri).Dalam aljabar linear, dua matriks persegi {\displaystyle \mathbf {A} } and {\displaystyle \mathbf {B} } berukuran {\displaystyle n\times n} disebut **serupa** jika ada matriks terbalikkan {\displaystyle \mathbf {P} } yang memenuhi hubungan



B

=

P

−
1

A

P

.

{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .}

{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .}Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan {\displaystyle \mathbf {P} } menjadi matriks perubahan basis. Transformasi {\displaystyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} } disebut *transformasi keserupaan* atau *konjugasi* dari matriks {\displaystyle \mathbf {A} }. Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup *H* dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan {\displaystyle \mathbf {P} } berada di *H*.

Gambaran umum
-------------

Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-*z* positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai



S

=

[

cos
⁡
θ

−
sin
⁡
θ

0

sin
⁡
θ

cos
⁡
θ

0

0

0

1

]

,

{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}

{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}dengan {\displaystyle \theta } menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai


y

′

=

S

x

′

,

{\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {S} \mathbf {x} ',}

{\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {S} \mathbf {x} ',}dengan {\displaystyle \mathbf {x} '} dan {\displaystyle \mathbf {y} '} masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai 



y

=

T

x

,

{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {T} \mathbf {x} ,}

{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {T} \mathbf {x} ,}dengan vektor {\displaystyle \mathbf {x} } dan {\displaystyle \mathbf {y} }, dan matriks tranformasi {\displaystyle \mathbf {T} } yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan {\displaystyle \mathbf {T} } menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis {\displaystyle \mathbf {P} } yang memetakan {\displaystyle \mathbf {x} } dan {\displaystyle \mathbf {y} } menjadi {\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {P} \mathbf {x} } dan {\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {P} \mathbf {y} }, sehingga:





y

′

=

S

x

′


⇒

P

y

=

S

P

x


⇒

y

=

(

P

−
1

S

P

)

x

=

T

x

.



{\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathbf {y} '&=\mathbf {S} \mathbf {x} '\\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {P} \mathbf {y} &=\mathbf {S} \mathbf {P} \mathbf {x} \\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {y} &=\left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} \right)\mathbf {x} =\mathbf {T} \mathbf {x} .\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathbf {y} '&=\mathbf {S} \mathbf {x} '\\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {P} \mathbf {y} &=\mathbf {S} \mathbf {P} \mathbf {x} \\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {y} &=\left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} \right)\mathbf {x} =\mathbf {T} \mathbf {x} .\end{aligned}}}Alhasil, matriks transformasi di basis awal, {\displaystyle \mathbf {T} }, dapat dihitung dengan mudah sebagai {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} }. Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru ({\displaystyle \mathbf {P} }), lakukan transformasi yang lebih sederhana ({\displaystyle \mathbf {S} }), lalu kembali ke basis yang lama ({\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}}).

Sifat-sifat
-----------

Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

* Rank
* Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
	+ Determinan
	+ Teras
	+ Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
* Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh {\displaystyle \mathbf {P} })
* Polinomial minimal
* Bentuk normal Frobenius
* Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
* Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks {\displaystyle \mathbf {A} }, pencarian matriks "bentuk normal" {\displaystyle \mathbf {B} } yang serupa dengan {\displaystyle \mathbf {A} } dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks {\displaystyle \mathbf {A} } dapat dimudahkan dengan menelitik matriks {\displaystyle \mathbf {B} } yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika {\displaystyle K} adalah sublapangan dari lapangan {\displaystyle L}, dan {\displaystyle \mathbf {A} } dan {\displaystyle \mathbf {B} } adalah matriks atas {\displaystyle K}, maka {\displaystyle \mathbf {A} } dan {\displaystyle \mathbf {B} } saling serupa atas {\displaystyle K} jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas {\displaystyle L}. Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas {\displaystyle K} juga merupakan bentuk kanonik rasional atas {\displaystyle L}. Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

Lihat pula
----------

* Bentuk kanonik
* Kekongruenan matriks
* Kesetaraan matriks

Referensi
---------

### Kutipan

1. ↑  Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). *A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields*Perlu mendaftar (gratis). Boston: Houghton Mifflin Co. hlm. 240–243. ISBN 0-395-14017-X.
2. ↑  Bronson, Richard (1970), *Matrix Methods: An Introduction*, New York: Academic Press, hlm. 176–178, LCCN 70097490

### Pustaka

* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). *Matrix Analysis*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.  (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)