**Metode Iterasi Jacobi** merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

{\displaystyle Ax=b.\,}
Kemudian, diketahui bahwa {\displaystyle A=D+\left({L+U}\right)},
di mana {\displaystyle D} merupakan matriks diagonal, {\displaystyle L} merupakan matriks segitiga bawah, dan {\displaystyle U} merupakan matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

{\displaystyle Dx+\left({L+U}\right)x=b.}  

Kemudian,

{\displaystyle x=D^{-1}\left[b-\left({L+U}\right)x\right],}  

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai:

{\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}\left[b-\left({L+U}\right)x^{(k)}\right],}  

di mana {\displaystyle k} merupakan banyaknya iterasi.
Jika {\displaystyle x^{(k)}} menyatakan hampiran ke- {\displaystyle k} penyelesaian SPL, maka {\displaystyle x^{(0)}} adalah hampiran awal.

{\displaystyle x\_{i}^{(k)}={\frac {1}{a\_{ii}}}\left(b\_{i}-\sum \_{j\neq i}a\_{ij}x\_{j}^{(k-1)}\right),\,i=1,2,\ldots ,n.}

Deskripsi
---------

Jadi

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
menjadi sistem kuadrat dari nilai *n* dalam persamaan linier yaitu:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\cdots &a\_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{n}\end{bmatrix}}.}

Setelah itu nilai *A* dapat diuraikan menjadi komponen diagonal *D*, bagian segitiga bawah *L* dan bagian segitiga atas *U*:

{\displaystyle A=D+L+U\qquad {\text{darimana}}\qquad D={\begin{bmatrix}a\_{11}&0&\cdots &0\\0&a\_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a\_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}L+U={\begin{bmatrix}0&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&0&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}

Algoritme Metode Iterasi Jacobi
-------------------------------

INPUT:

{\displaystyle n}, A, b, dan hampiran awal **Y**=(y1 y2 y3...yn)T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N  

OUTPUT:

**X**=(x1 x2 x3...xn)T, vektor galat hampiran {\displaystyle g}, dan {\displaystyle H} yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.  

1. Set penghitung iterasi k=1
2. WHILE {\displaystyle k<=N} DO
	1. FOR {\displaystyle i=1,2,3,...n}, Hitung {\displaystyle x\_{i}={\frac {1}{a\_{ii}}}\left(b\_{i}-\sum \_{j\neq i}a\_{ij}y\_{j}\right)}
	2. SET {\displaystyle X=(x\_{1}x\_{2}x\_{3}...x\_{n})^{T}}
	3. IF ||X\_Y||<T THEN STOP
	4. Tambah penghitung iterasi, {\displaystyle k=k+1}
	5. FOR {\displaystyle i=1,2,3,...n}, Set *yi=xi*
	6. SET Y=(y1 y2 y3...yn)T
3. Tulis pesan "Metode gagal setelah N iterasi"
4. STOP

```
**Input:** initial guess {\displaystyle x^{(0)}} to the solution, (diagonal dominant) matrix {\displaystyle A}, right-hand side vector {\displaystyle b}, convergence criterion
**Output:** solution when convergence is reached
**Comments:** pseudocode based on the element-based formula above

{\displaystyle k=0}
**while** convergence not reached **do**
    **for** i := 1 **step until** n **do**
        {\displaystyle \sigma =0}
        **for** j := 1 **step until** n **do**
            **if** j ≠ i **then**
                {\displaystyle \sigma =\sigma +a\_{ij}x\_{j}^{(k)}}
            **end**
        **end**
        {\displaystyle x\_{i}^{(k+1)}={{\frac {1}{a\_{ii}}}\left({b\_{i}-\sigma }\right)}}
    **end**
    {\displaystyle k=k+1}
**end**
```

Algoritme Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk *software* Matlab
--------------------------------------------------------------

Penggunaan algoritme Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. Matlab merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT:

{\displaystyle n}, A, b, dan hampiran awal **Y**=(y1 y2 y3...yn)T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N  

OUTPUT:

**X**=(x1 x2 x3...xn)T, vektor galat hampiran {\displaystyle g}, dan {\displaystyle H} yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.  

H=X0'  

n=length (b)  

X=X0  

for k:=1 until N  

for i:=i until n,  

S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) \* X0 ([1:i-1,i+1:n])  

X(i) = S / A (i,i)  

end  

g = abs (X-X0)  

err = norm (g)  

relerr = err / (norm (X)+eps)  

X0 = X  

H = [H;X0']  

if (err<T)|(relerr<T), break, end  

end

Kekonvergenan
-------------

MEtode ini akan bernilai konvergen jika matriksnya merupakan **matriks dominan secara diagonal**, yaitu apabila unsur diagonal pada kolom tersebut lebih besar dari penjumlahan unsur-unsur lainnya pada kolom tersebut.

{\displaystyle \left|a\_{ii}\right|>\sum \_{i\neq j}{\left|a\_{ij}\right|}.}

Contoh
------

Sistem linear dari bentuk {\displaystyle Ax=b} dengan perkiraan awal {\displaystyle x^{(0)}} diberikan oleh

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}\quad {\text{dan}}\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}
Kami menggunakan persamaan {\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})}, dijelaskan di atas, untuk memperkirakan {\displaystyle x}. Pertama, kami menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah {\displaystyle D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})=Tx^{(k)}+C}, dimana {\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)} dan {\displaystyle C=D^{-1}b}. Dari nilai-nilai yang diketahui

{\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{dan}}\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}
we determine {\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)} as

{\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}.}
Further, {\displaystyle C} is found as

{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}.}
Dengan {\displaystyle T} dan {\displaystyle C} dihitung, kami perkirakan {\displaystyle x} sebagai {\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}:

{\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}5\\1.143\\\end{bmatrix}}.}
Hasil iterasi berikutnya

{\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}69/14\\-12/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}4.929\\-1.714\\\end{bmatrix}}.}
Proses ini diulangi sampai konvergensi (yaitu, sampai {\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|} kecil). Solusi setelah 25 iterasi adalah

{\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}
### Contoh lain

Contohnya kita diberi sistem linier berikut:

{\displaystyle {\begin{aligned}10x\_{1}-x\_{2}+2x\_{3}&=6,\\-x\_{1}+11x\_{2}-x\_{3}+3x\_{4}&=25,\\2x\_{1}-x\_{2}+10x\_{3}-x\_{4}&=-11,\\3x\_{2}-x\_{3}+8x\_{4}&=15.\end{aligned}}}
Bila kita memilih (0, 0, 0, 0) sebagai pendekatan awal, maka solusi perkiraan pertama diberikan oleh

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1}&=(6+0-(2\*0))/10=0.6,\\x\_{2}&=(25+0+0-(3\*0))/11=25/11=2.2727,\\x\_{3}&=(-11-(2\*0)+0+0)/10=-1.1,\\x\_{4}&=(15-(3\*0)+0)/8=1.875.\end{aligned}}}
Dengan menggunakan perkiraan yang diperoleh, prosedur iteratif diulangi sampai akurasi yang diinginkan tercapai. Berikut ini adalah solusi yang diperkirakan setelah lima iterasi.

| {\displaystyle x\_{1}} | {\displaystyle x\_{2}} | {\displaystyle x\_{3}} | {\displaystyle x\_{4}} |
| --- | --- | --- | --- |
| 0.6 | 2.27272 | -1.1 | 1.875 |
| 1.04727 | 1.7159 | -0.80522 | 0.88522 |
| 0.93263 | 2.05330 | -1.0493 | 1.13088 |
| 1.01519 | 1.95369 | -0.9681 | 0.97384 |
| 0.98899 | 2.0114 | -1.0102 | 1.02135 |

Solusi yang tepat dari sistem ini adalah (1, 2, −1, 1).

### Contoh menggunakan Python dan NumPy

Prosedur numerik berikut hanya melakukan iterasi untuk menghasilkan vektor solusi.

```
def jacobi(A, b, x\_init, epsilon=1e-10, max\_iterations=500):
    D = np.diag(np.diag(A))
    LU = A - D
    x = x\_init
    for i in range(max\_iterations):
        D\_inv = np.diag(1 / np.diag(D))
        x\_new = np.dot(D\_inv, b - np.dot(LU, x))
        if np.linalg.norm(x\_new - x) < epsilon:
            return x\_new
        x = x\_new
    return x

# problem data
A = np.array([
    [5, 2, 1, 1],
    [2, 6, 2, 1],
    [1, 2, 7, 1],
    [1, 1, 2, 8]
])
b = np.array([29, 31, 26, 19])

# you can choose any starting vector
x\_init = np.zeros(len(b))
x = jacobi(A, b, x\_init)

print("x:", x)
print("computed b:", np.dot(A, x))
print("real b:", b)

```

Menghasilkan keluaran:

```
x: [3.99275362 2.95410628 2.16183575 0.96618357]
computed b: [29. 31. 26. 19.]
real b: [29 31 26 19]

```

Lihat pula
----------

* Metode Gauss–Seidel
* Relaksasi berlebihan berturut-turut
* Metode berulang§Sistem linier
* Propagasi Keyakinan Gaussian
* Pemisahan matriks

Referensi
---------

Sahid. 2005. *Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB*. ANDI, Yogyakarta

Pranala luar
------------

* (Inggris) Black, Noel; Moore, Shirley; and Weisstein, Eric W. "Metode Jacobi". *MathWorld*. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
* Jacobi Method from www.math-linux.com