Grafik yang menunjukkan representasi diagram dari batas yang mendekati tak terhinggaFungsi invers: *y* = 1/*x*. Untuk setiap *x* kecuali 0, *y* mewakili kebalikan perkaliannya. Grafik tersebut membentuk hiperbola persegi panjang.
Dalam matematika, **invers perkalian** (Inggris: multiplicative inversecode: en is deprecated ) atau **timbal balik** (Inggris: reciprocalcode: en is deprecated ) untuk bilangan *x*, dilambangkan dengan 1/*x* atau *x*−1, adalah bilangan yang ketika dikalikan dengan *x* menghasilkan identitas perkalian, 1. Pembalikan perkalian dari sebuah pecahan *a*/*b* adalah *b*/*a*. Untuk pembalikan perkalian bilangan real, bagilah 1 dengan bilangan tersebut. Misalnya, kebalikan dari 5 adalah seperlima (1/5 atau 0,2), dan kebalikan dari 0,25 adalah 1 dibagi 0,25, atau 4. **Fungsi invers**, fungsi *f*(*x*) dengan peta *x* untuk 1/*x*, adalah salah satu contoh paling sederhana dari suatu fungsi yang merupakan kebalikannya sendiri (sebuah involusi).

Mengalikan sebuah bilangan sama dengan membagi kebalikannya dan sebaliknya. Misalnya, perkalian dengan 4/5 (atau 0,8) akan memberikan hasil yang sama seperti pembagian dengan 5/4 (atau 1,25). Oleh karena itu, perkalian dengan bilangan diikuti dengan perkalian kebalikannya menghasilkan bilangan asli (karena perkaliannya adalah 1).

Istilah *inverse* umum digunakan setidaknya sejauh edisi ketiga *Encyclopædia Britannica* (1797) untuk menggambarkan dua angka yang hasil kalinya 1; kuantitas geometris dalam proporsi terbalik dijelaskan sebagai *inverse* dalam terjemahan tahun 1570 dari *Elemen* Euklides.

Dalam frase *invers perkalian*, kualifikasi *perkalian* sering dihilangkan dan kemudian dipahami secara diam-diam (berbeda dengan Invers aditif). Pembalikan perkalian dapat didefinisikan di banyak domain matematika serta angka. Dalam kasus ini bisa terjadi itu *ab* ≠ *ba*; kemudian "inverse" biasanya menyiratkan bahwa suatu elemen adalah kiri dan kanan invers.

Notasi *f* −1 terkadang juga digunakan untuk fungsi invers dari fungsi *f*, yang secara umum tidak sama dengan invers perkalian. Misalnya, invers perkalian 1/(sin *x*) = (sin *x*)−1 adalah cosecant dari x, dan bukan sinus terbalik dari *x* denoted by sin−1 *x* or arcsin *x*. Hanya untuk peta linier yang terkait erat (lihat di bawah). Perbedaan terminologi *timbal balik* versus *invers* tidak cukup untuk membuat perbedaan ini, karena banyak penulis lebih menyukai konvensi penamaan yang berlawanan, mungkin karena alasan historis (misalnya dalam Prancis, fungsi invers lebih disukai disebut Bijection réciproque

Contoh dan contoh balasan
-------------------------

Dalam bilangan riil, nol tidak memiliki kebalikan karena tidak ada bilangan real dikalikan 0 menghasilkan 1 (hasil perkalian bilangan berapa apa pun). Dengan pengecualian nol, kebalikan dari setiap bilangan riil adalah nyata, kebalikan dari setiap bilangan rasional adalah rasional, dan kebalikan dari setiap bilangan kompleks adalah kompleks. Properti bahwa setiap elemen selain nol memiliki pembalikan perkalian adalah bagian dari definisi dari sebuah bidang, yang semuanya adalah contoh. Di sisi lain, tidak ada bilangan bulat selain 1 dan −1 yang memiliki kebalikan integer, sehingga bilangan bulat tersebut bukan bidang.

Dalam aritmetika modular, pembalikan perkalian modular dari *a* juga ditentukan: ini adalah bilangan *x* sehingga *ax* ≡ 1 (mod *n*). Pembalikan perkalian ini ada jika dan hanya jika *a* dan *n* adalah koprima. Misalnya inversi dari 3 modulo 11 adalah 4 karena 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). Algoritme Euklides diperluas dapat digunakan untuk menghitungnya.

Sedenion adalah aljabar di mana setiap elemen bukan nol memiliki invers perkalian, tetapi tetap memiliki pembagi nol, yaitu elemen bukan nol *x*, *y* seperti *xy* = 0.

Bilangan kompleks
-----------------

Seperti disebutkan di atas, kebalikan dari setiap bilangan kompleks bukan nol *z* = *a* + *bi*. Ini dapat ditemukan dengan mengalikan bagian atas dan bawah 1/*z* dengan konjugasi kompleks {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi} dan menggunakan properti {\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}, nilai absolut dari *z* kuadrat, yang merupakan bilangan riil *a*2 + *b*2:

{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}
Secara khusus, jika ||*z*||=1 (*z* memiliki besaran satuan), lalu {\displaystyle 1/z={\bar {z}}}. Akibatnya, satuan imajiner, ±*i*, memiliki pembalikan penjumlahan sama dengan pembalikan perkalian, dan merupakan satu-satunya bilangan kompleks yang memiliki sifat ini. Misalnya, invers aditif dan perkalian dari *i* ialah −(*i*) = −*i* dan 1/*i* = −*i*, berturutan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk kutub *z* = *r*(cos φ + *i* sin φ), kebalikannya hanya mengambil kebalikan dari besarnya dan negatif dari sudut:

{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}
Intuisi geometris untuk integral dari 1/*x*. Tiga integral dari 1 sampai 2, dari 2 sampai 4, dan dari 4 sampai 8 semuanya sama. Setiap daerah merupakan daerah yang sebelumnya dibelah dua secara vertikal dan dua kali lipat secara horizontal. Memperluas ini, integral dari 1 hingga 2*k* adalah *k* kali integral dari 1 sampai 2, sama seperti ln 2*k* = *k* ln 2.

Kalkulus
--------

Dalam kalkulus sesungguhnya, turunan dari 1/*x* = *x*−1 diberikan oleh kaidah pangkat dengan pangkat −1:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}
Aturan pangkat untuk integral (rumus kuadrat Cavalieri) tidak dapat digunakan untuk menghitung integral dari 1/*x*, karena hal itu akan menghasilkan pembagian dengan 0:

{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C}
Sebaliknya integral diberikan oleh:

{\displaystyle \int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C.}
dengan ln adalah logaritma natural. Untuk menunjukkan perhatikan {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}, jadi jika {\displaystyle y=e^{x}} dan {\displaystyle x=\ln y}, kita punya:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.}

Algoritme
---------

Kebalikannya dapat dihitung dengan tangan dengan menggunakan pembagian panjang.

Menghitung kebalikannya penting dalam banyak algoritma pembagian, karena hasil bagi *a*/*b* dapat dihitung dengan menghitung 1/*b* terlebih dahulu dan kemudian mengalikannya dengan *a*. Memperhatikan itu {\displaystyle f(x)=1/x-b} memiliki nol di *x* = 1/*b*, Metode Newton dapat menemukan nol itu, dimulai dengan tebakan {\displaystyle x\_{0}} dan mengulang menggunakan aturan:

{\displaystyle x\_{n+1}=x\_{n}-{\frac {f(x\_{n})}{f'(x\_{n})}}=x\_{n}-{\frac {1/x\_{n}-b}{-1/x\_{n}^{2}}}=2x\_{n}-bx\_{n}^{2}=x\_{n}(2-bx\_{n}).}
Ini berlanjut sampai ketepatan yang diinginkan tercapai. Misalnya, kita ingin menghitung 1/17 ≈ 0,0588 dengan presisi 3 digit. Pengambilan *x*0 = 0.1, urutan berikut diproduksi:

*x*1 = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03
*x*2 = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447
*x*3 = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554
*x*4 = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586
*x*5 = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588
Tebakan awal tipikal dapat ditemukan dengan membulatkan *b* ke pangkat 2 terdekat, kemudian menggunakan pergeseran sedikit untuk menghitung kebalikannya.

Dalam matematika konstruktif, untuk bilangan real *x* memiliki timbal balik, itu tidak cukup bahwa *x* ≠ 0. Sebaliknya harus diberi bilangan *rasional* *r* sedemikian rupa 0 < *r* < |*x*|. Dalam hal pendekatan algoritme yang dijelaskan di atas, ini diperlukan untuk membuktikan bahwa perubahan dalam *y* pada akhirnya akan menjadi kecil secara sewenang-wenang.

Grafik f(*x*) = *x**x* menunjukkan minimum pada (1/*e*, *e*−1/*e*).
Iterasi ini juga dapat digeneralisasikan ke jenis inversi yang lebih luas; misalnya, matriks invers.

Kebalikan dari bilangan irasional
---------------------------------

Setiap bilangan real atau kompleks tidak termasuk nol memiliki kebalikan, dan kebalikan dari bilangan irasional tertentu dapat memiliki sifat khusus yang penting. Contohnya termasuk kebalikan dari *e* (≈ 0.367879) dan rasio emas timbal balik (≈ 0.618034). Kebalikan pertama adalah istimewa karena tidak ada bilangan positif lain yang dapat menghasilkan bilangan yang lebih rendah ketika dipangkatkan sendiri; {\displaystyle f(1/e)} adalah minimum global dari {\displaystyle f(x)=x^{x}}. Bilangan kedua adalah satu-satunya bilangan positif yang sama dengan kebalikannya ditambah satu:{\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}. Invers penjumlahan adalah satu-satunya bilangan negatif yang sama dengan kebalikannya dikurangi satu:{\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}.

Fungsi {\displaystyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0} memberikan jumlah tak terbatas dari bilangan irasional yang berbeda dengan kebalikannya oleh bilangan bulat. Sebagai contoh, {\displaystyle f(2)} adalah irasional {\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}. Kebalikannya {\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})} adalah {\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}, justru {\displaystyle 4} masih kurang. Bilangan irasional seperti itu memiliki sifat yang terbukti: bilangan tersebut memiliki bagian pecahan yang sama sebagai kebalikannya, karena bilangan ini berbeda dengan bilangan bulat.

Keterangan lebih lanjut
-----------------------

Jika perkaliannya asosiatif, elemen  *x*  dengan pembalikan perkalian tidak bisa menjadi pembagi nol ( *x*  adalah pembagi nol jika beberapa bukan nol *y*, *xy* = 0). Untuk melihat ini, cukup dengan mengalikan persamaan *xy* = 0 dengan kebalikan dari  *x*  (di sebelah kiri), lalu sederhanakan menggunakan asosiatif. Dengan tidak adanya asosiativitas, sedenion memberikan contoh yang berlawanan.

Kebalikannya tidak berlaku: elemen yang bukan pembagi nol tidak dijamin memiliki pembalikan perkalian.
Dalam **Z**, semua bilangan bulat kecuali −1, 0, 1 memberikan contoh; mereka bukan pembagi nol dan juga tidak memiliki invers **Z**.
Jika gelanggang atau aljabar adalah terbatas, maka semua elemen  *a*  yang bukan pembagi nol memiliki invers (kiri dan kanan). Sebab, amati dulu peta itu *f*(*x*) = *ax* maka injektif: *f*(*x*) = *f*(*y*) berarti *x* = *y*:

{\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}
Elemen yang berbeda dipetakan ke elemen yang berbeda, sehingga gambar terdiri dari elemen dengan jumlah terbatas yang sama, dan peta harus subjektif. Secara khusus, ƒ (yaitu perkalian dengan *a*) harus memetakan beberapa elemen  *x*  ke 1, *ax* = 1, jadi  *x*  adalah kebalikan dari  *a* .

Lihat pula
----------

* Pembagian (matematika)
* Peluruhan eksponensial
* Pecahan
* Grup (matematika)
* Hiperbola
* Daftar jumlah timbal balik
* Desimal berulang
* Koordinat enam bola
* Pecahan satuan - kebalikan dari bilangan bula

Catatan
-------

1. ↑  "Dalam Parallelipedons yang sama, basa-basa berbanding terbalik dengan ketinggiannya ". *OED*" Reciprocal "§3a. Sir Henry Billingsley terjemahan Elemen XI, 34.
2. ↑  Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". *Ask Dr. Math*. Drexel University. Diakses tanggal 22 March 2013.

Referensi
---------

* Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. *Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications* vol 28 pp 147–148 1992