Dalam matematika, **identitas Sophie Germain** adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa 



x

4

+
4

y

4


=

(

(
x
+
y

)

2

+

y

2

)

⋅

(

(
x
−
y

)

2

+

y

2

)



=
(

x

2

+
2
x
y
+
2

y

2

)
⋅
(

x

2

−
2
x
y
+
2

y

2

)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}
Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan  untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus {\displaystyle x^{4}+4y^{4}}, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.

Sejarah
-------

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut



x

4

+

y

4


=
(

x

2

−

y

2

)

2

+
2
(
x
y

)

2



=
(

x

2

+

y

2

)

2

−
2
(
x
y

)

2

.



{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}}
Mengubah persamaan ini dengan mengalikan {\displaystyle y} oleh {\displaystyle {\sqrt {2}}} memberikan


x

4

+
4

y

4

=
(

x

2

+
2

y

2

)

2

−
4
(
x
y

)

2

,

{\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}

{\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}
sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain. Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya *History of the Theory of Numbers*. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan. Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.

Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat
------------------------------------------

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk


n

4

+

4

n

{\displaystyle n^{4}+4^{n}}

{\displaystyle n^{4}+4^{n}}
tidak dapat berupa bilangan prima untuk {\displaystyle n>1}. (Untuk {\displaystyle n=1}, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika {\displaystyle n} adalah bilangan genap, dan jika {\displaystyle n} bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan {\displaystyle x=n} dan {\displaystyle y=2^{(n-1)/2}}. Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari {\displaystyle n=0}) membentuk barisan bilangan bulat

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (barisan A001589 pada OEIS).
Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan {\displaystyle x=1} dan {\displaystyle y=2^{k}} dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi



Φ

4

(

2

2
k
+
1

)

=

2

4
k
+
2

+
1



=
(

2

2
k
+
1

−

2

k
+
1

+
1
)
⋅
(

2

2
k
+
1

+

2

k
+
1

+
1
)
,



{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \_{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}}
dengan {\displaystyle \Phi \_{4}(x)=x^{2}+1} adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum, {\displaystyle \Phi \_{4}} adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari {\displaystyle \Phi \_{4}} sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.

Perumuman
---------

Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional



f
(
x

)

2

+
4
f
(
y

)

2

=

(

f
(
x
+
y
)
+
f
(
y
)

)

(

f
(
x
−
y
)
+
f
(
y
)

)

.

{\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )}.}

{\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )}.}
Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.

Referensi
---------

1. 1 2  Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2019), "Proof without words: Sophie Germain's identity", *The College Mathematics Journal*, **50** (3): 197, doi:10.1080/07468342.2019.1603533, MR 3955328  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. 1 2  "CC79: Show that if {\displaystyle n} is an integer greater than 1, then {\displaystyle n^{4}+4} is not prime" (PDF), The contest corner, *Crux Mathematicorum*, **40** (6): 239, Juni 2014 ; berasal dari 1979 APICS Math Competition
3. 1 2 3  Engel, Arthur (1998), *Problem-Solving Strategies*, Problem Books in Mathematics, New York: Springer-Verlag, hlm. 121, doi:10.1007/b97682, ISBN 0-387-98219-1, MR 1485512
4. 1 2  Łukasik, Radosław; Sikorska, Justyna; Szostok, Tomasz (2018), "On an equation of Sophie Germain", *Results in Mathematics*, **73** (2), Paper No. 60, doi:10.1007/s00025-018-0820-y, MR 3783549  Parameter `|s2cid=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. 1 2 3  Whitty, Robin, "Sophie Germain's identity" (PDF), *Theorem of the day*
6. ↑  Dickson, Leonard Eugene (1919), *History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality*, Carnegie Institute of Washington, hlm. 382
7. 1 2  Bogomolny, Alexander, "Sophie Germain's identity", *Cut-the-Knot*, diakses tanggal 2023-06-19
8. ↑  Granville, Andrew; Pleasants, Peter (2006), "Aurifeuillian factorization", *Mathematics of Computation*, **75** (253): 497–508, doi:10.1090/S0025-5718-05-01766-7, MR 2176412