Gambar kehomomorfan grup (**h**) dari **G** (kiri) ke **H** (kanan). Oval yang lebih kecil di dalam **H** adalah gambar **h**.  *'N'*  adalah inti dari **h** dan **aN** adalah coset dari **N**.

| Struktur aljabar → **Teori grup**Teori grup |
| --- |
|  |
| Gagasan dasar

|  |
| --- |
| * Subgrup
* Subgrup normal
* Grup hasil bagi
* darab langsung
* semi-darab langsung
 |
| *Homomorfisme grup* |
| * kernel
* bayangan
* jumlah langsung
* karangan bunga
* sederhana
* hingga
* takhingga
* kontinu
* multiplikatif
* aditif
* siklik
* Abel
* dihedral
* nilpoten
* terselesaikan
* aksi
 |
| * Glosarium teori grup
* Daftar topik teori grup
 |

 |
| Grup hingga

| Klasifikasi grup sederhana hingga |
| --- |
| * siklik
* bergantian
* tipe Lie
* sporadik
 |
| * Teorema Cauchy
* Teorema Lagrange
* Teorema Sylow
* Teorema Hall
* grup-p
* Grup Abel elementer
* Grup Frobenius
* Pengganda Schur
 |
| * Grup simetrik {\displaystyle \mathrm {S} \_{n}}
* Grup Klein {\displaystyle \mathrm {V} }
* Grup dihedral {\displaystyle \mathrm {D} \_{n}}
* Grup kuaternion {\displaystyle \mathrm {Q} }
* Grup disiklik {\displaystyle \mathrm {Dic} \_{n}}
 |

 |
| * Grup diskret
* Kekisi

* Bilangan bulat ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* Grup bebas

Grup modular * {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
* {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}

* Grup aritmetika
* Kekisi
* Grup hiperbolik
 |
| Topologis dan Grup Lie
* Solenoid
* Lingkaran

* Linear umum {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}

* Linear khusus {\displaystyle \mathrm {SL} (n)}

* Ortogonal {\displaystyle \mathrm {O} (n)}

* Euklides {\displaystyle \mathrm {E} (n)}

* Ortogonal khusus {\displaystyle \mathrm {SO} (n)}

* Uner {\displaystyle \mathrm {U} (n)}

* Uniter khusus {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}

* Simplektik {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}

* G2
* F4
* E6
* E7
* E8

* Lorentz
* Poincaré
* konformal

* Difeomorfisme
* Gelung

Grup Lie berdimensi takhingga * {\displaystyle O(\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
 |
| Grup aljabar
* Grup aljabar linear

* Grup reduktif

* Varietas Abel

* Kurva eliptik
 |
| * l
* b
* s
 |

Dalam matematika, diberikan dua grup, (*G*, ∗) dan (*H*, ·), sebuah **kehomomorfan grup** dari ( *G* , ∗) ke ( *H* , ·) adalah fungsi *h* : *G* → *H*,  *u*  dan  *v*  dengan  *G*  dirumuskan

{\displaystyle h(u\*v)=h(u)\cdot h(v)}
dimana operasi grup di sisi kiri persamaan adalah  *G*  dan di sisi kanan  *H* .

Dari sifat ini, bahwa  *h*  elemen identitas *eG* dari  *G*  ke elemen identitas *eH* dari  *H* ,

{\displaystyle h(e\_{G})=e\_{H}}
dan invers ke invers dalam arti 

{\displaystyle h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,}
Maka, dikatakan bahwa  *h*  "sesuai dengan struktur grup".

Notasi lama untuk kehomomorfan *h*(*x*) maka *x**h* atau *x**h*,[*butuh rujukan*]
 sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam teori automata, terkadang kehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga *h*(*x*) menjadi  *x h* .[*butuh rujukan*]

Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, *kehomomorfan* berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, kehomomorfan grup topologi harus menggunakan kontinu.

Intuisi
-------

Tujuan dari definisi kehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari kehomomorfan grup adalah: Fungsi *h* : *G* → *H* adalah kehomomorfan grup

*a* ∗ *b* = *c* dirumuskan *h*(*a*) ⋅ *h*(*b*) = *h*(*c*).

Grup  *H*  dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan *G* dan kehomomorfan *h* .

Jenis
-----

MonomorfismeKehomomorfan grup yaitu injeksi (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.
EpimorfismeKehomomorfan grup yaitu surjektif (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.
IsomorfismeSuatu kehomomorfan grup yaitu bijektif; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan kehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup  *G*  dan  *H*  disebut  *isomorfik* ; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.
KeendomorfanKehomomorfan, *h*: *G* → *G*; ranah dan kodomain adalah sama. Juga disebut keendomorfan dari  *G* .
KeautomorfanKeendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua keautomorfan dari grup *G*, dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, *grup keautomorfan*  dari *G.* Dilambangkan dengan Aut(*G*). Sebagai contoh, kelompok keautomorfan (**Z**, +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk **Z**/2**Z**.

Galeri dan kernel
-----------------

Artikel utama: Galeri (matematika) dan Kernel (aljabar)
Mendefinisikan  *kernel dari h*  menjadi himpunan elemen pada  *G*  yang dipetakan ke identitas ke  *H* 

{\displaystyle \operatorname {ker} (h)\equiv \left\{u\in G\colon h(u)=e\_{H}\right\}.}
dan  *galeri dari h*  dirumuskan

{\displaystyle \operatorname {im} (h)\equiv h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}
Kernel dan Galeri kehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme.  teorema isomorfisme pertama menyatakan bahwa citra suatu kelompok kehomomorfan, *h*(*G*) isomorfik ke grup hasil bagi *G*/ker *h*.

Kernel h adalah subgrup normal dari  *G*  dan galeri h adalah subgrup dari  *H* :

{\displaystyle {\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e\_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e\_{H}.\end{aligned}}}
Jika dan hanya jika ker(*h*) = {*e**G*}, kehomomorfan,  *h* , adalah  *grup monomorfisme* ; yaitu,  *h*  adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:

{\displaystyle {\begin{aligned}&&h(g\_{1})&=h(g\_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g\_{1})\cdot h(g\_{2})^{-1}&=e\_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g\_{1}\circ g\_{2}^{-1}\right)&=e\_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e\_{G}\}\\\Rightarrow &&g\_{1}\circ g\_{2}^{-1}&=e\_{G}\\\Leftrightarrow &&g\_{1}&=g\_{2}\end{aligned}}}

Contoh
------

* Pertimbangkan grup siklik **Z**/3**Z** = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat **Z** dengan penambahan. Peta *h* : **Z** → **Z**/3**Z** dengan *h*(*u*) = *u* mod 3 adalah kehomomorfan grup. Ini surjektif dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.

* Pertimbangkan grup
{\displaystyle G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}}
Untuk bilangan kompleks  *u*  fungsi *fu* : *G* → **C\*** didefinisikan oleh:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}}

adalah homomorfisme grup.
* Pertimbangkan kelompok perkalian bilangan riil positif (**R**+, ⋅) untuk bilangan kompleks  *u*  fungsi *fu* : **R**+ → **C** didefinisikan oleh:
{\displaystyle f\_{u}(a)=a^{u}}

adalah homomorfisme grup.

* Peta eksponensial menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan riil **R** dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol **R**\* dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
* Peta eksponensial juga menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan kompleks **C** dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol **C**\* dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2π*ki* : *k* ∈ **Z**}, seperti yang bisa dilihat dari Rumus Euler. Field seperti **R** dan **C** yang memiliki kehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut bidang eksponensial.

Kategori grup
-------------

Jika *h* : *G* → *H* dan *k* : *H* → *K* adalah kehomomorfan grup, maka *k* ∘ *h* : *G* → *K*. Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan kehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu kategori.

Kehomomorfan grup abelian
-------------------------

Jika  *G*  dan  *H*  adalah abelian (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan Hom(*G*, *H*) dari semua kehomomorfan grup dari  *G*  hingga  *H*  adalah grup abelian itu sendiri: jumlah *h* + *k* dari dua kehomomorfan didefinisikan oleh

(*h* + *k*)(*u*) = *h*(*u*) + *k*(*u*)    pada  *u*  ke  *G* .
Komutatif *H*  diperlukan untuk membuktikan *h* + *k* sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka  *f*  adalah Hom(*K*, *G*), *h*, *k* adalah elemen dari Hom(*G*, *H*), dan  *g*  termasuk Hom(*H*, *L*), maka 

(*h* + *k*) ∘ *f* = (*h* ∘ *f*) + (*k* ∘ *f*)    dan    *g* ∘ (*h* + *k*) = (*g* ∘ *h*) + (*g* ∘ *k*).
Karena komposisinya asosiatif, ini menunjukkan bahwa himpunan End( *G* ) dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk gelanggang, yang  *gelanggang keendomorfan*  dari  *G*. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari jumlah langsung dari salinan  *m*  dari **Z**/*n***Z** isomorfik terhadap gelanggang  *m* -oleh- *m*  matriks dengan entri dalam **Z**/*n***Z**. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk kategori preadditif; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah kategori abelian.

Lihat pula
----------

* Teorema dasar kehomomorfan
* Gelanggang homomorfisme

Referensi
---------

* Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). *Abstract Algebra* (edisi ke-3rd). Wiley. hlm. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
* Templat:Lang Algebra

Pranala luar
------------

* (Inggris) Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism". *MathWorld*.  Parameter `|name-list-style=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)