| Struktur aljabar → **Teori grup**Teori grup |
| --- |
|  |
| Gagasan dasar

|  |
| --- |
| * Subgrup
* Subgrup normal
* Grup hasil bagi
* darab langsung
* semi-darab langsung
 |
| *Homomorfisme grup* |
| * kernel
* bayangan
* jumlah langsung
* karangan bunga
* sederhana
* hingga
* takhingga
* kontinu
* multiplikatif
* aditif
* siklik
* Abel
* dihedral
* nilpoten
* terselesaikan
* aksi
 |
| * Glosarium teori grup
* Daftar topik teori grup
 |

 |
| Grup hingga

| Klasifikasi grup sederhana hingga |
| --- |
| * siklik
* bergantian
* tipe Lie
* sporadik
 |
| * Teorema Cauchy
* Teorema Lagrange
* Teorema Sylow
* Teorema Hall
* grup-p
* Grup Abel elementer
* Grup Frobenius
* Pengganda Schur
 |
| * Grup simetrik {\displaystyle \mathrm {S} \_{n}}
* Grup Klein {\displaystyle \mathrm {V} }
* Grup dihedral {\displaystyle \mathrm {D} \_{n}}
* Grup kuaternion {\displaystyle \mathrm {Q} }
* Grup disiklik {\displaystyle \mathrm {Dic} \_{n}}
 |

 |
| * Grup diskret
* Kekisi

* Bilangan bulat ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* Grup bebas

Grup modular * {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}
* {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}

* Grup aritmetika
* Kekisi
* Grup hiperbolik
 |
| Topologis dan Grup Lie
* Solenoid
* Lingkaran

* Linear umum {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}

* Linear khusus {\displaystyle \mathrm {SL} (n)}

* Ortogonal {\displaystyle \mathrm {O} (n)}

* Euklides {\displaystyle \mathrm {E} (n)}

* Ortogonal khusus {\displaystyle \mathrm {SO} (n)}

* Uner {\displaystyle \mathrm {U} (n)}

* Uniter khusus {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}

* Simplektik {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}

* G2
* F4
* E6
* E7
* E8

* Lorentz
* Poincaré
* konformal

* Difeomorfisme
* Gelung

Grup Lie berdimensi takhingga * {\displaystyle O(\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}
* {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
 |
| Grup aljabar
* Grup aljabar linear

* Grup reduktif

* Varietas Abel

* Kurva eliptik
 |
| * l
* b
* s
 |

 Diagram siklus dari Q8. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa i2 = e, i3 = i dan i4 = e.
Dalam teori grup, **grup angka empat** Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari  urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen
{\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}} dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

{\displaystyle \mathrm {Q} \_{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}
di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.

 Presentasi Q 8  lainnya adalah:

{\displaystyle \mathrm {Q} \_{8}=\langle a,b\mid a^{4}=\mathbf {1} ,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}

Dibandingkan dengan grup dihedral
---------------------------------

Grup quaternion Q 8  memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

|  | Q8 | D4 |
| --- | --- | --- |
| Grafik Cayley | Panah merah terhubung *g*→*gi*, koneksi hijau *g*→*gj*. |  |
|  Grafik siklus |  |  |

Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan **R**2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di **R**2 atau **R**3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8  dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley
------------

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8  diberikan oleh:

| × | e | e | i | i | j | j | k | k |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | e | i | i | j | j | k | k |
| e | e | e | i | i | j | j | k | k |
| i | i | i | e | e | k | k | j | j |
| i | i | i | e | e | k | k | j | j |
| j | j | j | k | k | e | e | i | i |
| j | j | j | k | k | e | e | i | i |
| k | k | k | j | j | i | i | e | e |
| k | k | k | j | j | i | i | e | e |

Sifat
-----

Perhatikan bahwa  *i* ,  *j* , dan  *k*  semuanya memiliki  urutan empat di Q 8  dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup.  Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

{\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}
Seseorang mungkin mengambil, misalnya, {\displaystyle i=x,j=y}, dan {\displaystyle k=xy}.

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai  Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah  normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.

Grup angka empat Q 8  dan grup dihedral D 4  adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian  nilpoten.

 Pusat dan subgrup komutator dari Q 8  adalah subgrup {\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}. Grup automorfisme dalam dari Q 8  diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8  adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat  *Representasi matriks*  di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8  adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8  memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

**Representasi trivial**

**Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel**: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal  *N* , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi *G*/*N*. Representasi mengirimkan elemen  *N*  ke 1, dan elemen di luar  *N*  ke -1.

**Representasi 2 dimensi**: Dijelaskan di bawah dalam  *Representasi matriks* .

Tabel karakter dari Q 8  ternyata sama dengan D4: 

| Representasi (ρ)/kelas konjugasi | { e } | { e } | { i, i } | { j, j } | { k, k } |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Representasi trivial | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Tanda representasi dengan i-kernel | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| Tanda representasi dengan j-kernel | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| Tanda representasi dengan k-kernel | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| Representasi 2 dimensi | 2 | -2 | 0 | 0 | 0 |

Karena karakter yang tidak dapat direduksi {\displaystyle \chi \_{\rho }} pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan  dekomposisi dari  aljabar grup nyata dari {\displaystyle G=Q\_{8}} menjadi minimal dua sisi  ideal: {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} [Q\_{8}]\ =\ \bigoplus \_{\rho }(e\_{\rho })}, di mana  idempotensi {\displaystyle e\_{\rho }\in \mathbb {R} [Q\_{8}]} sesuai dengan irreducibles: {\displaystyle \textstyle e\_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum \_{g\in G}\chi \_{\rho }(g^{-1})g}, seperti

> {\displaystyle e\_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}
> 
> 
> {\displaystyle e\_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}
> 
> 
> {\displaystyle e\_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}
> 
> 
> {\displaystyle e\_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}
> 
> 
> {\displaystyle e\_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})}.
> 
> 

Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata {\displaystyle \mathbb {R} }. Ideal terakhir {\displaystyle (e\_{2})} isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat {\displaystyle \mathbb {H} } dengan korespondensi:

> {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.}
> 
> 

Selanjutnya, proyeksi homomorfisme {\displaystyle \mathbb {R} [Q\_{8}]\to (e\_{2})\cong \mathbb {H} } diberikan oleh {\displaystyle r\mapsto re\_{2}} memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:

> {\displaystyle e\_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e\_{1}+e\_{i{\text{-ker}}}+e\_{j{\text{-ker}}}+e\_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),} 
> 
> 

sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi {\displaystyle \mathbb {R} [Q\_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }.

Aljabar grup kompleks dengan demikian {\displaystyle \mathbb {C} [Q\_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M\_{2}(\mathbb {C} )}, dimana {\displaystyle M\_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes \_{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} } adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks
--------------------

Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok  SL (2, **C**). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau),  *i*  (biru), -1 (merah), - *i*  (kuning).
Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi  representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum {\displaystyle \operatorname {GL} \_{2}(\mathbb {C} )}. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j}, yang memiliki representasi reguler {\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \mathrm {M} \_{2}(\mathbb {C} )} perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis {\displaystyle \{1,j\}}, sehingga {\displaystyle z\in \mathbb {H} } sesuai dengan **C**-pemetaan linier {\displaystyle \rho \_{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot (a{+}jb)}. Representasi yang dihasilkan {\displaystyle \rho :\mathrm {Q} \_{8}\to \mathrm {GL} \_{2}(\mathbb {C} ),\ g\mapsto \rho \_{g},} diberikan oleh:

{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8  dalam grup linear khusus SL2(**C**).

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka {\displaystyle g\in Q\_{8}} sesuai dengan pemetaan linier {\displaystyle \rho \_{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}}, sehingga {\displaystyle \rho :\mathrm {Q} \_{8}\to \mathrm {SU} \_{2}} diberikan oleh:

{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}

Tabel perkalian dari grup quaternion sebagai subgrup SL(2,3). Elemen lapangan dilambangkan dengan 0, +, -. 
Ada juga tindakan penting Q 8  pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga **F**3 = {0,1,−1} (tabel di kanan).  Representasi modular {\displaystyle \rho :\mathrm {Q} \_{8}\to \mathrm {SL} (2,3)} diberikan oleh

{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
Representasi ini dapat diperoleh dari  bidang ekstensi **F**9 = **F**3[*k*] = **F**31 + **F**3*k*, dimana *k*2 = −1 dan grup perkalian (**F**9)× memiliki generator ±(*k*+1), ±(*k*-1) urutan 8. Dua dimensi **F**3-ruang vektor **F**9 mengakui pemetaan linier {\displaystyle \mu \_{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)} untuk  *z*  pada **F**9, serta  Automorfisme Frobenius {\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}} satisfying {\displaystyle \phi ^{2}=\mu \_{1}} dan {\displaystyle \phi \mu \_{z}=\mu \_{\phi (z)}\phi }. Maka matriks representasi di atas adalah {\displaystyle \rho ({\bar {e}})=\mu \_{-1}}, {\displaystyle \rho (i)=\mu \_{k+1}\phi }, {\displaystyle \rho (j)=\mu \_{k-1}\phi }, dan {\displaystyle \rho (k)=\mu \_{k}}.

Grup Galois
-----------

Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/**Q**) dimana **Q** adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas **Q** dari polinomial

{\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}.
Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara **Q** dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

Grup angka empat digeneralisasi
-------------------------------

**Grup kuatnion umum** Q4*n* urutan 4*n*  ditentukan oleh presentasi

{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }
untuk bilangan bulat *n* ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh *n* = 2.  Coxeter menggunakan Q4*n* grup siklik {\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }, kasus khusus dari grup polihedral biner {\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle } dan terkait dengan grup polihedral {\displaystyle (p,q,r)} dan grup dihedral {\displaystyle (2,2,n)}. Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup {\displaystyle \operatorname {GL} \_{2}(\mathbb {C} )} dihasilkan oleh

{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega \_{n}&0\\0&{\overline {\omega }}\_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}
dimana {\displaystyle \omega \_{n}=e^{i\pi /n}}. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh {\displaystyle x=e^{i\pi /n}} dan {\displaystyle y=j}.

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup  abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup  *p*  terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo  *p*  adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga  *F*  dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(*F*) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka *pr* menjadi ukuran  *F* , di mana  *p*  adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(*F*) adalah 2*n*, dimana *n* = ord2(*p*2 − 1) + ord2(*r*).

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi

{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}

Lihat pula
----------

* sel-16
* Grup tetrahedral biner
* Aljabar Clifford
* Grup dikiklik
* Angka empat integral Hurwitz
* Daftar grup kecil

Catatan
-------

1. ↑  See also a table Diarsipkan 2018-04-28 di Wayback Machine. dari Wolfram Alpha
2. 1 2 3  Johnson 1980, pp. 44–45
3. ↑  See Hall (1999), p. 190 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
4. ↑  See Kurosh (1979), p. 67
5. ↑  Artin 1991
6. ↑  Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". *The American Mathematical Monthly*. **88** (1): 42–45. JSTOR 2320711.
7. ↑  Beberapa penulis Rotman 1995, hlm. 87, 351) merujuk ke grup ini sebagai grup disiklik, menyimpan nama grup quaternion umum untuk kasus di mana  *n*  adalah pangkat 2.
8. ↑  Brown 1982, p. 98
9. ↑  Brown 1982, p. 101, exercise 1
10. ↑  Cartan & Eilenberg 1999, Theorem 11.6, p. 262
11. ↑  Brown 1982, Theorem 4.3, p. 99
12. ↑  Roman, Steven (2011). *Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach*. Springer. hlm. 347–348. ISBN 9780817683016.

Referensi
---------

* Artin, Michael (1991), *Algebra*, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
* Brown, Kenneth S. (1982), *Cohomology of groups* (edisi ke-3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
* Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), *Homological Algebra*, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
* Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). *Generators and Relations for Discrete Groups*. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.  Parameter `|name-list-style=` yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
* Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
* Gorenstein, D. (1980), *Finite Groups*, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
* Johnson, David L. (1980), *Topics in the theory of group presentations*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161
* Rotman, Joseph J. (1995), *An introduction to the theory of groups* (edisi ke-4th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
* P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
* Hall, Marshall (1999), *The theory of groups* (edisi ke-2nd), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
* Kurosh, Alexander G. (1979), *Theory of Groups*, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1

Pranala luar
------------

* (Inggris) Weisstein, Eric W. "Quaternion group". *MathWorld*.
* Quaternion groups on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
* Quaternion group on GroupProps Diarsipkan 2023-05-14 di Wayback Machine.
* Conrad, Keith. "Generalized Quaternions" Diarsipkan 2023-06-02 di Wayback Machine.