Dalam matematika dan ilmu komputer, **monoid sintaktik** *M*(*L*) dari bahasa formal  *L*  adalah monoid terkecil yang mengenali bahasa  *L* .

Hasil bagi sintaktik
--------------------

Monoid bebas pada suatu  himpunan adalah monoid yang elemen-elemennya adalah semua untai dari nol atau lebih elemen dari himpunan, dengan rangkaian untai sebagai operasi monoid dan untai kosong sebagai elemen identitas. Diberikan himpunan bagian {\displaystyle S} dari sebuah monoid bebas {\displaystyle M}, salah satunya dapat mendefinisikan himpunan yang terdiri dari kiri atau kanan formal invers dari elemen di {\displaystyle S}. Ini disebut hasil bagi, dan salah satunya dapat mendefinisikan hasil bagi kanan atau kiri, bergantung pada sisi mana yang digabungkan. Jadi, **hasil bagi** dari {\displaystyle S} oleh elemen {\displaystyle m} dari {\displaystyle M} adalah himpunan

{\displaystyle S\ /\ m=\{u\in M\;\vert \;um\in S\}.}
Demikian pula, **hasil bagi kiri** adalah

{\displaystyle m\setminus S=\{u\in M\;\vert \;mu\in S\}.}

Kesetaraan sintaktik
--------------------

Hasil bagi sintaktik menginduksi sebuah relasi setara pada  *M* , yang disebut **relasi sintaktik**, atau **kesetaraan sintaktik** (diinduksi oleh  *S* ). Kesetaraan sintaktik yang tepat adalah hubungan kesetaraan

{\displaystyle \sim \_{S}\;=\{(s,t)\in M\times M\,\vert \;S\ /\ s=S\ /\ t\}.}
Demikian pula, relasi sintaktik kiri adalah

{\displaystyle {}\_{S}{\sim }\,=\{(s,t)\in M\times M\,\vert \;s\setminus S=t\setminus S\}.}
**Kekongruenan sintaktik** atau **kekongruenan Myhill** dapat didefinisikan sebagai

{\displaystyle s\equiv \_{S}t\Leftrightarrow \forall x,y\in M(xsy\in S\Leftrightarrow xty\in S).}
Definisi tersebut meluas ke kekongruenan yang didefinisikan oleh himpunan bagian *S*  dari monoid umum *M.* **Himpunan terpisah** adalah himpunan bagian *S* sedemikian rupa sehingga kekongruenan sintaktik yang didefinisikan oleh *S* adalah relasi kesetaraan.

Mari kita sebut {\displaystyle [s]\_{S}} kelas setara dari {\displaystyle s} untuk kekongruenan sintaktik.
kekongruenan sintaktik adalah serasi dengan penggabungan dalam monoid, yang satu memiliki

{\displaystyle [s]\_{S}[t]\_{S}=[st]\_{S}}
untuk {\displaystyle s,t\in M}. Jadi, hasil bagi sintaktiknya adalah morfisme monoid, dan menginduksi sebuah hasil bagi monoid

{\displaystyle M(S)=M\ /\ {\equiv \_{S}}.}
Monoid {\displaystyle M(S)} ini disebut **monoid sintaktik** dari  *S* .
Dapat ditunjukkan bahwa itu adalah monoid terkecil yang mengenali *S* ; yaitu,  *M*(*S*) mengenali *S*, dan untuk setiap monoid *N* mengenali *S*, *M*(*S*) adalah hasil bagi dari submonoid dari *N*. Monoid sintaktik dari *S* juga merupakan monoid transisi dari automata minimal dari  *S* .

Demikian pula, bahasa  *L*  biasa jika dan hanya jika rumpun quotients

{\displaystyle \{m\setminus L\,\vert \;m\in M\}}
Bukti yang menunjukkan kesetaraan cukup mudah. Asumsi bahwa sebuah pengenalan automaton hingga {\displaystyle L} membaca masukan *x* yang mengarah untuk menyatakan *p*. Jika  *y*  adalah untai lain yang dibaca oleh mesin, juga diakhiri dalam status yang sama  *p* , maka jelas {\displaystyle x\setminus L\,=y\setminus L}. Demikian, jumlah elemen di {\displaystyle \{m\setminus L\,\vert \;m\in M\}} paling banyak sama dengan jumlah status automata dan {\displaystyle \{m\setminus L\,\vert \;m\in L\}} adalah paling banyak jumlah status akhir. Asumsikan, sebaliknya, bahwa jumlah elemen dalam {\displaystyle \{m\setminus L\,\vert \;m\in M\}} terhingga. Salah satunya kemudian dapat membangun automaton di mana {\displaystyle Q=\{m\setminus L\,\vert \;m\in M\}} adalah himpunan bagian, {\displaystyle F=\{m\setminus L\,\vert \;m\in L\}} adalah himpunan keadaan akhir, bahasa *L* merupakan keadaan awal, dan fungsi transisi diberikan oleh {\displaystyle y\setminus (x\setminus L)=(xy)\setminus L}. Jelas, automaton ini mengenali  *L*. Jadi, bahasa  *L*  dikenali jika dan hanya jika disetel {\displaystyle \{m\setminus L\,\vert \;m\in M\}} adalah hingga. Perhatikan bahwa buktinya juga membangun automaton minimal.

Diberikan ekspresi reguler  *E*  yang mewakili  *S* , maka mudah untuk menghitung monoid sintaktik dari  *S* .

**bahasa grup** adalah salah satu yang monoid sintaktiknya adalah  grup.

Contoh
------

* Misalkan *L* menjadi bahasa atas *A* = {*a*,*b*} mengenai kata-kata yang panjangnya genap. kekongruenan sintaktik memiliki dua kelas,  *L*  itu sendiri dan *L*1, kata-kata yang panjangnya ganjil. Monoid sintaktik adalah grup tingkat 2 {*L*,*L*1}.
* Monoid bisiklik adalah monoid sintaktik dari bahasa Dyck (bahasa kumpulan tanda kurung yang seimbang).
* Monoid bebas pada *A* (|*A*| > 1) adalah monoid sintaktik { *ww*R | *w* in *A*\* }, dimana *w*R menunjukkan pembalikan kata  *w* .
* Setiap monoid berhingga bersifat homomorfik[*butuh klarifikasi*] ke monoid sintaktik dari beberapa bahasa taktrivial, tetapi tidak setiap monoid hingga isomorfik ke monoid sintaktik.
* Setiap grup berhingga isomorfik dengan monoid sintaktik dari beberapa taktrivial.
* Bagian terakhir {*a*,*b*} di mana jumlah kemunculan *a* dan *b* adalah modulo kongruen 2*n* adalah bagian kelompok dengan monoid sintaktik **Z**/2*n*.
* Monoid teras adalah contoh dari monoid sintaktik.
* Marcel-Paul Schützenberger ditandai bahasa bebas bintang sebagai bahasa dengan monoid sintaktik takberkala hingga.

Referensi
---------

1. 1 2 3  Holcombe (1982) p.160
2. 1 2  Lawson (2004) p.210
3. ↑  Lawson (2004) p.232
4. ↑  Straubing (1994) p.55
5. 1 2  Sakarovitch (2009) p.342
6. ↑  Straubing (1994) p.54
7. 1 2  McNaughton, Robert; Papert, Seymour (1971). *Counter-free Automata*Perlu mendaftar (gratis). Research Monograph. **65**. With an appendix by William Henneman. MIT Press. hlm. 48. ISBN 0-262-13076-9. Zbl 0232.94024.
8. ↑  Lawson (2004) p.233
9. ↑  Marcel-Paul Schützenberger (1965). "On finite monoids having only trivial subgroups" (PDF). *Information and Computation*. **8** (2): 190–194. doi:10.1016/s0019-9958(65)90108-7.
10. ↑  Straubing (1994) p.60

* Anderson, James A. (2006). *Automata theory with modern applications*. With contributions by Tom Head. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-61324-8. Zbl 1127.68049.
* Holcombe, W.M.L. (1982). *Algebraic automata theory*. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. **1**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-60492-3. Zbl 0489.68046.
* Lawson, Mark V. (2004). *Finite automata*. Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074.
* Pin, Jean-Éric (1997). "10. Syntactic semigroups". Dalam Rozenberg, G.; Salomaa, A. *Handbook of Formal Language Theory* (PDF). **1**. Springer-Verlag. hlm. 679–746. Zbl 0866.68057.
* Sakarovitch, Jacques (2009). *Elements of automata theory*. Translated from the French by Reuben Thomas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177.
* Straubing, Howard (1994). *Finite automata, formal logic, and circuit complexity*Perlu mendaftar (gratis). Progress in Theoretical Computer Science. Basel: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3719-2. Zbl 0816.68086.