{\displaystyle x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}| Nilai {\displaystyle x} | Nilai {\displaystyle P(x)} |
| --- | --- |
| {\displaystyle -8} | {\displaystyle -792} |
| {\displaystyle -4} | {\displaystyle -144} |
| {\displaystyle -2} | {\displaystyle -36} |
| {\displaystyle -1} | {\displaystyle -15} |
| {\displaystyle 1} | {\displaystyle -9} |
| {\displaystyle 2} | {\displaystyle -12} |
| {\displaystyle 4} | {\displaystyle 0} |
| {\displaystyle 8} | {\displaystyle 264} |

**Teorema akar rasional** atau **uji akar rasional** atau **teorema rasional nol** adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

{\displaystyle a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}=0},
dimana {\displaystyle a\_{0},\dots ,a\_{n}\in \mathbb {Z} }. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

{\displaystyle x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a\_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a\_{n}}}\right\}},
asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi {\displaystyle x} (adalah bilangan rasional) harus membagi habis {\displaystyle a\_{n}} dan {\displaystyle a\_{0}}.

Misalnya, diberikan persamaan {\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}. Pada kasus ini, {\displaystyle -8} memiliki faktor {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8} dan {\displaystyle 1} memiliki faktor {\displaystyle \pm 1}. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah {\displaystyle \pm \{1,2,4,8\}}. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai {\displaystyle x} agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh {\displaystyle x=4}.

Bukti
-----

Misal {\textstyle x={\frac {p}{q}}} adalah akar rasional pada persamaan polinomial {\displaystyle P(x)}. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa {\displaystyle p\mid a\_{0}} dan {\displaystyle q\mid a\_{n}}, dimana {\displaystyle \operatorname {FPB} (p,q)=1}. Substitusi nilai {\displaystyle x} sehingga kita memperoleh

{\displaystyle a\_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a\_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a\_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a\_{0}=0}.
Kita akan membuktikan bahwa {\displaystyle p} membagi habis {\displaystyle a\_{0}}. Mula-mula, kita pindah-ruaskan {\displaystyle a\_{0}}.

{\displaystyle a\_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a\_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a\_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a\_{0}}.
Bagi kedua ruas dengan {\displaystyle q^{n}} dan faktor-keluarkan {\displaystyle p} untuk ruas kiri. Kita memperoleh

{\displaystyle p\left(a\_{n}p^{n-1}+\cdots +a\_{1}\right)=-a\_{0}q^{n}}.
Disini, kita memperoleh bahwa {\displaystyle p} membagi habis {\displaystyle a\_{0}}. Sekarang, kita membuktikan {\displaystyle q} membagi habis {\displaystyle a\_{n}}. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan {\textstyle a\_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}} dan kalikan kedua ruas dengan {\displaystyle q^{n}}.

{\displaystyle q\left(a\_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a\_{1}pq^{n+1}+a\_{0}q^{n}\right)=-a\_{n}p^{n}}.
Disini, kita memperoleh bahwa {\displaystyle q} membagi habis {\displaystyle a\_{n}}. {\displaystyle \blacksquare }

Rujukan
-------

1. 1 2  "Teorema akar rasional | matematika". *Teorema akar rasional | matematika*. 2020-06-27. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-20.
2. ↑  "Sutori". *www.sutori.com* (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-23.
3. ↑  "Teorema Akar Rasional". *ICHI.PRO*. Diakses tanggal 2021-12-20.