Elips dan sifat-sifat matematisnya
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.
Elips: notasi
Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat
Dalam matematika, sebuah **elips** atau **oval yang beraturan** adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut **fokus**).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni *bulat lonjong* (atau *lonjong* saja)*, bulat bujur*, dan *bulat panjang*.

Definisi sebagai lokus poin
---------------------------

Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus
Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar
Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetap {\displaystyle F\_{1},F\_{2}} disebut fokus dan jarak {\displaystyle 2a} yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin {\displaystyle P} sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak {\displaystyle |PF\_{1}|,\ |PF\_{2}|} adalah sama dengan {\displaystyle 2a}:{\displaystyle E=\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF\_{2}|+|PF\_{1}|=2a\}\ .}
Titik tengah {\displaystyle C} dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor. Sumbu utama memotong elips pada *titik- titik simpul* {\displaystyle V\_{1},V\_{2}}, yang memiliki jarak {\displaystyle a} ke pusat. Jarak {\displaystyle c} dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi {\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}} adalah eksentrisitas .

Kasus {\displaystyle F\_{1}=F\_{2}} dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jika {\displaystyle c\_{2}} adalah lingkaran dengan titik tengah {\displaystyle 2a}, maka jarak suatu titik {\displaystyle P} ke lingkaran {\displaystyle c\_{2}} sama dengan jarak ke fokus {\displaystyle F\_{1}}:
{\displaystyle |PF\_{1}|=|Pc\_{2}|.}
{\displaystyle c\_{2}} disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus {\displaystyle F\_{2}}) of the ellipse. Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat Kartesius
--------------------------

Lihat pula: Koordinat Kartesius pada Elips
### Persamaan standar

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya
{\displaystyle F\_{1}=(c,\,0),\ F\_{2}=(-c,\,0)},

simpulnya adalah {\displaystyle V\_{1}=(a,\,0),\ V\_{2}=(-a,\,0)}.
Untuk titik arbitrer {\displaystyle (x,y)} jarak ke fokus {\displaystyle (c,0)} adalah 
{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}} dan ke fokus lainnya {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}. Karena itu intinya {\displaystyle (x,\,y)} is on the ellipse whenever: 

{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}
Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan {\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}} menghasilkan persamaan standar elips:

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}
atau, memecahkan *y:*

{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}
Keliling lebar dan tinggi {\displaystyle a,\;b} disebut sumbu semi mayor dan semi minor. Poin atas dan bawah {\displaystyle V\_{3}=(0,\,b),\;V\_{4}=(0,\,-b)}

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

### Keliling

#### Sumbu semi mayor dan semi minor

Sepanjang artikel ini {\displaystyle a} Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu {\displaystyle a\geq b>0\ .} Secara umum persamaan elips kanonik {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} mungkin {\displaystyle a<b} (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi {\displaystyle b}. Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

#### Eksentritas linear

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.

### Keanehan

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}},
#### Rektum semi-lektur

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus. Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus {\displaystyle \ell } Perhitungan menunjukkan:

{\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}
### Garis singgung

Garis arbitrer {\displaystyle g} memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong. Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik {\displaystyle (x\_{1},\,y\_{1})} dari elips {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} memiliki persamaan koordinat:

{\displaystyle {\frac {x\_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y\_{1}}{b^{2}}}y=1.}
Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\_{1}\\y\_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}\;\!-y\_{1}a^{2}\\\;\ \ \ x\_{1}b^{2}\end{pmatrix}}\ } with {\displaystyle \ s\in \mathbb {R} \ .}
**Bukti**: Biarkan {\displaystyle (x\_{1},\,y\_{1})} be a point on an ellipse and {\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\_{1}\\y\_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}} menjadi persamaan garis apa pun {\displaystyle g} mengandung {\displaystyle (x\_{1},\,y\_{1})}. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati {\displaystyle {\frac {x\_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y\_{1}^{2}}{b^{2}}}=1} yields:

{\displaystyle {\frac {\left(x\_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y\_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x\_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y\_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}
### Elips bergeser

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat {\displaystyle \left(x\_{\circ },\,y\_{\circ }\right)}, persamaannya adalah

{\displaystyle {\frac {\left(x-x\_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y\_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips
----------

Luas elips adalah {\displaystyle L=\pi ab}

Keliling elips
--------------

Keliling elips adalah

Keliling I
{\displaystyle K\approx 2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}
Keliling II (model Ramanujan)
{\displaystyle K\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}}\right]}
dan

{\displaystyle K\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)} di mana {\displaystyle h={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}}
Keliling III (model integral)
{\displaystyle K=2\pi a\left[1-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]}
dan

{\displaystyle K=\pi (a+b)\left[1+\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right]}

Lihat pula
----------

* Elipsoid

Referensi
---------

1. ↑  Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), *New Horizons in Geometry*, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, hlm. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
2. ↑  Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai "Lingkaran Direktur", tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris (lihat Director circle).
3. ↑  (Protter & Morrey 1970, hlm. 304,APP-28)

Pranala luar
------------


Wikimedia Commons memiliki media mengenai ***Ellipses***.

* Elips (matematika) di *Encyclopædia Britannica*
* Elips di PlanetMath.org
* The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. oleh Clark Kimberling

| * l
* b
* s
Bangun geometri |
| --- |
| Elemen geometri menurut dimensi | Titik (0D)  ·  Garis (1D)  ·  Bidang (2D)  ·  Ruang (3D) |
| Besaran geometri menurut dimensi | Panjang (1D)  ·  Luas (area) (2D)  ·  Volume (3D) |
| Istilah dasar lain | Radius (jari-jari)  ·  Sisi (segi)  ·  Sudut |
| Bangun 2 dimensi | Belah ketupat  ·  Elips  ·  Jajar genjang  ·  Layang-layang  ·  Lingkaran  ·  Persegi  ·  Persegi panjang  ·  Poligon (segi-n)  ·  Segi empat  ·  Segitiga  ·  Trapesium |
| Bangun 3 dimensi | Balok  ·  Bola  ·  Kerucut  ·  Kubus  ·  Limas  ·  Polihedron (bidang-n)  ·  Prisma  ·   Sferoid (elipsoid revolusi)  ·  Tabung (silinder) |

| * l
* b
* s
Irisan kerucut |
| --- |
| Bentuk | Garis Lurus/Linear ·  Parabola/Kuadrat ·  Lingkaran ·  Elips ·  Hiperbola |
| Persamaan | Garis Lurus/Linear ·  Parabola/Kuadrat ·  Lingkaran ·  Elips ·  Hiperbola |