Bilangan kuadrat 16 dalam jumlah gnomon.
Dalam matematika, sebuah **bilangan persegi** atau **kuadrat sempurna** adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan pangkat dua dari sebuah bilangan bulat; Dengan kata lain, bilangan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. Contohnya, 9 adalah sebuah bilangan persegi, karena sama dengan 32 dan dapat ditulis sebagai 3 × 3.

Notasi yang biasa digunakan untuk kuadrat dari sebuah bilangan *n* adalah bukan hasil kali *n* × *n*, tetapi ekuivalen dengan ekponensial *n*2, yang biasanya diucapkan sebagai "*n* persegi (atau *n* dikuadratkan atau *n* pangkat 2)". Istilah *persegi* berasal dari nama bentuknya. Unit dari luas didefinisikan sebagai luas dari sebuah persegi satuan. Karenanya, sebuah persegi dengan panjang sisi *n* memiliki luas *n*2. Jika sebuah bilangan persegi direpresentasikan oleh *n* titik, titik-titik tersebut dapat disusun dalam barisan sebagai sebuah persegi yang setiap sisinya memiliki jumlah titik yang sama dengan akar kuadrat dari *n.* Dengan demikian, bilangan persegi adalah jenis bilangan bergambar (contoh lainnya adalah bilangan kubus dan bilangan segitiga).

Dalam sistem bilangan riil, bilangan persegi adalah non-negatif. Sebuah bilangan bulat non-negatif adalah sebuah bilangan persegi jika akar kuadratnya adalah bilangan bulat. Sebagai contoh, {\displaystyle {\sqrt {9}}=3,} sehingga 9 adalah bilangan persegi.

Sebuah bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi persegi, kecuali 1 disebut sebagai bilangan bulat bebas kuadrat.

Untuk sebuah bilangan bulat non-negatif n, bilangan persegi ke-n adalah *n*2, dengan 02 = 0 sebagai yang ke-nol. Konsep persegi atau kuadrat dapat diperluas ke beberapa sistem bilangan yang lain. Jika bilangan rasional dimasukkan, maka sebuah persegi atau kuadrat adalah rasio dua bilangan bulat persegi, dan, sebaliknya, rasio dua bilangan bulat persegi adalah persegi, misalnya, 
{\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}.

Dimulai dengan angka 1, terdapat {\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor } banyaknya bilangan persegi hingga dan termasuk m, di mana ekspresi {\displaystyle \lfloor x\rfloor } merepresentasikan fungsi lantai dari bilangan x.

Contoh
------

Bilangan persegi (Barisan A000290 dalam OEIS) lebih kecil dari 602 = 3600:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81

102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361

202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841

302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521

402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401

502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
Selisih antara suatu kuadrat sempurna dan kuadrat sempurna sebelumnya diberikan oleh identitas *n*2 − (*n* − 1)2 = 2*n* − 1. Ekivalen, mungkin untuk menghitung bilangan persegi dengan menambahkan kuadrat terakhir, akar kuadrat terakhir, dan akar saat ini, yaitu, *n*2 = (*n* − 1)2 + (*n* − 1) + *n*.

Sifat-sifat
-----------

Bilangan *m* adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun *m* titik dalam sebuah persegi:

|  |  |
| --- | --- |
| *m* = 12 = 1 |  |
| *m* = 22 = 4 |  |
| *m* = 32 = 9 |  |
| *m* = 42 = 16 |  |
| *m* = 52 = 25 |  |

Ekspresi untuk bilangan persegi ke-*n* adalah *n*2. Ini juga sama dengan jumlah *n* angka ganjil pertama seperti yang dapat dilihat pada gambar di atas, di mana kuadrat dihasilkan dari kuadrat sebelumnya dengan menambahkan titik-titik bernilai ganjil (ditunjukkan dalam warna magenta). Rumusnya adalah sebagai berikut:



n

2

=

∑

k
=
1

n

(
2
k
−
1
)
.

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1).}

{\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}Contohnya, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlah dari *n* bilangan bulat ganjil pertama adalah *n*2. 1 + 3 + 5 + ... + (2*n* − 1) = *n*2. Visualisasi animasi 3D dalam tetrahedron.
Terdapat beberapa metode rekursi untuk menghitung bilangan persegi. Contohnya, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan *n*2 = (*n* − 1)2 + (*n* − 1) + n = (*n* − 1)2 + (2*n* − 1). Selain itu, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari dua angka sebelumnya dengan menggandakan kuadrat ke-(*n* − 1), mengurangkan kuadrat ke-(*n* − 2), dan menambahkan 2, karena *n*2 = 2(*n* − 1)2 − (*n* − 2)2 + 2. Contoh,

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan m selalu merupakan hasil dari {\displaystyle m-1} dan {\displaystyle m+1;} sehingga,



m

2

−
1
=
(
m
−
1
)
(
m
+
1
)
.

{\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}

{\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}Contoh, karena 72 = 49, kita memiliki {\displaystyle 6\times 8=48}. karena sebuah bilangan prima hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri, dan karena *m* = 2 adalah satu-satunya nilai *m* yang tidak nol yang memberikan faktor 1 di ruas kanan persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa 3 adalah satu-satunya bilangan prima yang kurang dari sebuah bilangan persegi (3 = 22 − 1).

  

Secara umum, selisih kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali jumlah dan selisihnya. Artinya,



a

2

−

b

2

=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}Ini adalah selisih dua bilangan kuadrat, yang dapat berguna untuk aritmatika mental. Contohnya, 47 × 53 dapat dengan mudah dihitung sebagai 502 − 32 = 2500 − 9 = 2491.

Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan. Jumlah dari dua bilangan persegi yang berurutan adalah bilangan persegi terpusat. Setiap bilangan persegi ganjil juga merupakan bilangan oktagonal terpusat.

Sifat lain dari bilangan persegi adalah (kecuali 0), bilangan ini memiliki jumlah pembagi positif ganjil, sedangkan bilangan asli lainnya memiliki jumlah pembagi positif genap. Akar bilangan bulat adalah satu-satunya pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan bilangan persegi, sedangkan pembagi lainnya berpasangan.

Teorema empat persegi Langrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat atau kurang dari kuadrat sempurna. Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk 4*k*(8*m* + 7). Sebuah bilangan bulat positif dapat direpresentaskan sebagai jumlah dari dua bilangan persegi tepat jika faktorisasinya mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima yang memiliki bentuk 4*k* + 3. Ini diperluas dalam masalah Waring.

Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut:

* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00;
* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1;
* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4;
* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9;
* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan
* jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.

Dalam basis 12, sebuah bilangan persegi hanya dapat diakhir dnegan digit kuadrat (seperti dalam basis 12, sebuah bilangan prima hanya dapat diakhir oleh digit prima atau 1), yaitu, 0, 1, 4 or 9, sebagai berikut:

* jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3 (yaitu habis dibagi 6), kuadratnya berakhiran 0, dan digit sebelumnya harus 0 atau 3;
* jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2 atau 3, kuadratnya diakhiri dengan 1, dan digit sebelumnya harus genap;
* jika suatu bilangan habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 3, kuadratnya berakhiran 4, dan digit sebelumnya harus 0, 1, 4, 5, 8, atau 9; dan
* jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2, tetapi habis dibagi 3, maka kuadratnya berakhiran 9, dan digit sebelumnya harus 0 atau 6.

Aturan sejenis dapat diberikan untuk basis yang lain, selain yang telah disebutkan sebelumnya, atau untuk digit-digit sebelumnya (contohnya, digit puluhan, bukan digit satuan).[*butuh rujukan*]
. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmatika modular .

Secara umum, jika bilangan prima p membagi bilangan kuadrat m maka kuadrat dari p juga harus membagi m ; jika p gagal membagi *m**p*, maka *m* pasti bukan bilangan persegi. Dengan mengulangi pembagian pada kalimat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan prima harus membagi kuadrat sempurna yang diberikan sebanyak genap (termasuk mungkin 0 kali). Dengan demikian, bilangan *m* adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.

Uji kuadrat dapat digunakan sebagai cara alternatif dalam faktorisasi untuk bilangan besar. Daripada menguji keterbagian, ujilah kuadrat: untuk m dan bilangan tertentu k, jika *k*2 − *m* adalah kuadrat suatu bilangan bulat n lalu *k* − *n* membagi m. (Ini adalah penerapan faktorisasi selisih dua kuadrat.) Misalnya, 1002 − 9991 adalah kuadrat dari 3, jadi 100 − 3 membagi 9991. Tes ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil dalam rentang dari *k* − *n* hingga *k* + *n* dimana k mencakup beberapa rentang bilangan asli {\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}

Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .

Jumlah *n* bilangan persegi pertama adalah



∑

n
=
0

N

n

2

=

0

2

+

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+
⋯
+

N

2

=

N
(
N
+
1
)
(
2
N
+
1
)

6

.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}

{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}Nilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

 Bukti tanpa kata-kata untuk teorema jumlah bilangan ganjil
Jumlah bilangan bulat ganjil pertama yang dimulai dengan satu adalah kuadrat sempurna: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, dst. Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst. satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama. Dari {\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}, untuk *u* = 0 dan konstanta *a* (percepatan gravitasi tanpa hambatan udara); jadi *s* sebanding dengan *t*2, dan jarak dari titik awal adalah kuadrat berurutan untuk nilai bilangan bulat waktu yang telah berlalu. 

Jumlah *n* kubik pertama adalah kuadrat jumlah *n* bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .

Semua pangkat empat, pangkat enam, pangkat delapan, dan seterusnya adalah kuadrat sempurna.

Hubungan unik dengan bilangan segitiga {\displaystyle T\_{n}} adalah:


(

T

n

)

2

+
(

T

n
+
1

)

2

=

T

(
n
+
1

)

2



{\displaystyle (T\_{n})^{2}+(T\_{n+1})^{2}=T\_{(n+1)^{2}}}

{\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}

Bilangan kuadrat ganjil dan genap
---------------------------------

Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap dan habis dibagi 4, karena (2*n*)2 = 4*n*2. Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dan kongruen dengan 1 modulo 8, karena (2*n* + 1)2 = 4*n*(*n* + 1) + 1, dan *n*(*n* + 1) selalu genap. Dengan kata lain, semua bilangan kuadrat ganjil mempunyai sisa 1 jika dibagi 8.

Setiap bilangan ganjil sempurna adalah bilangan oktagonal berpusat. Selisih dua bilangan ganjil sempurna adalah kelipatan 8. Selisih antara 1 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi selalu delapan kali suatu bilangan segitiga, sedangkan selisih antara 9 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi adalah delapan kali suatu bilangan segitiga dikurangi delapan. Karena semua bilangan segitiga mempunyai faktor ganjil, tetapi tidak ada dua nilai dari 2*n* yang berbeda dengan jumlah yang mengandung faktor ganjil, satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2*n* − 1 adalah 1, dan satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2*n* + 1 adalah 9.

Kasus khusus
------------

* Jika suatu bilangan berbentuk *m*5 dimana *m* mewakili digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah *n*25 dimana *n* = *m*(*m* + 1) dan mewakili digit-digit sebelum 25. Misalnya, kuadrat dari 65 dapat dihitung dengan *n* = 6 × (6 + 1) = 42 sehingga kuadratnya sama dengan 4225.
* Jika bilangan tersebut berbentuk *m*0 dimana *m* melambangkan digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah *n*00 dimana *n* = *m*2. Misalnya kuadrat 70 adalah 4900.
* Jika suatu bilangan mempunyai dua digit dan berbentuk 5*m* dimana *m* melambangkan digit satuan, maka kuadratnya adalah *aabb* dengan *aa* = 25 + *m* dan *bb* = *m*2. Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 57, *m* = 7 dan 25 + 7 = 32 dan 72 = 49, jadi 572 = 3249 .
* Jika bilangan digitnya berakhiran 5, kuadratnya akan berakhiran 5; demikian pula untuk berakhiran 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, dst. Jika bilangan berakhiran 6, maka kuadratnya berakhiran 6, begitu pula bilangan yang berakhiran 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Misalnya, kuadrat dari 55376 adalah 3066501376, keduanya berakhiran *376*. (Angka 5, 6, 25, 76, dst disebut bilangan automorfik. Merupakan barisan A003226 dalam OEIS.  )
* Pada basis 10, dua digit terakhir bilangan kuadrat mengikuti pola berulang yang dicerminkan secara simetris di sekitar kelipatan 25. Pada contoh 24 dan 26, keduanya 1 turun dari 25, 242 = 576 dan 262 = 676, keduanya diakhiri dengan 76. Secara umum, {\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}. Pola analogi berlaku untuk 3 digit terakhir di sekitar kelipatan 250, dan seterusnya. Akibatnya, dari 100 kemungkinan 2 digit terakhir, hanya 22 digit yang muncul di antara bilangan kuadrat (karena 00 dan 25 diulang).

Catatan
-------

1. ↑  Beberapa penulis juga menyebut kuadrat bilangan rasional sebagai kuadrat sempurna.
2. ↑  Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2008-01-14). *The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat* (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. hlm. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
3. ↑  Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A003226 (Automorphic numbers: n^2 ends with n.)". *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*. OEIS Foundation.

Bacaan lanjutan
---------------

* Conway, J. H. and Guy, R. K. *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-XISBN 0-387-97993-X
* Kiran Parulekar. *Amazing Properties of Squares and Their Calculations*. Kiran Anil Parulekar, 2012


| * l
* b
* s
Barisan dan deret |
| --- |
| Barisanbilangan bulat | 

|  |  |
| --- | --- |
| Dasar | 
* Barisan dan deret aritmetika
* Barisan dan deret geometri
* Barisan harmonik
* Bilangan persegi
* Bilangan kubik
* Faktorial
* Perpangkatan bilangan dua
* Perpangkatan bilangan tiga
* Perpangkatan bilangan 10

 |
| Lanjutan (daftar) | 
* Barisan lengkap
* Bilangan Fibonacci
* Bilangan figurasi
* Bilangan heptagonal
* Bilangan heksagonal
* Bilangan Lucas
* Bilangan Pell
* Bilangan pentagonal
* Bilangan poligonal
* Bilangan segitiga

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| Sifat-sifat barisan | 
* Barisan Cauchy
* Barisan monoton
* Barisan periodik

 |
| Sifat-sifat deret | 

|  |  |
| --- | --- |
| Deret | 
* Selang-seling
* Konvergen
* Divergen
* Teleskopik

 |
| Konvergensi | 
* Mutlak
* Bersyarat
* Seragam

 |

 |
| Deret eksplisit | 

|  |  |
| --- | --- |
| konvergen | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (Fungsi zeta Riemann)

 |
| Divergen | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi)
* Deret aritmetika tak terbatas
* 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)

 |

 |
| Jenis deret | 
* Deret Taylor
* Deret kuasa
* Deret kuasa formal
* Deret Laurent
* Deret Puiseux
* Deret Dirichlet
* Derer Trigonometrik
* Deret Fourier
* Deret umum

 |
| DeretHipergeometrik | 
* Deret hipergeometrik umum
* Fungsi hipergeometrik untuk argumen matriks
* Deret hipergeometrik Lauricella
* Deret hipergeometrik modular
* Persamaan diferensial Riemann
* Deret hipergeometrik theta

 |
| 
* Book
* Category

 |