Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)
**Լեբեգի ինտեգրալ**, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Դիցուք {\displaystyle A\_{1},....A\_{n}}-ը {\displaystyle [a,b]} հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն {\displaystyle A\_{1}} բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը {\displaystyle [a,b]}-ն է։

{\displaystyle S(x)}-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե {\displaystyle A\_{1}}-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է {\displaystyle a\_{1}}: {\displaystyle S(x)}-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է {\displaystyle \sum \limits \_{i=1}^{n}Q\_{i}\mu A\_{i}} արտահայտությունը և նշանակվում՝ {\displaystyle \int \_{a}^{b}S(x)dx} ({\displaystyle \mu }-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե {\displaystyle f(x)}-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման {\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)dx=\sup \_{0\leqslant S\leqslant f}\int \_{a}^{b}S(x)dx}, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների {\displaystyle (0\leqslant S\leqslant f)} դասում։

Քանի որ կամայական չափելի {\displaystyle f(x)}-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ {\displaystyle f\_{1}-f\_{2}}, ապա {\displaystyle f(x)}-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում{\displaystyle \int \_{a}^{b}f\_{1}(x)dx-\int \_{a}^{b}f\_{2}(x)dx} արտահայտությունը ({\displaystyle \infty -\infty } դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ {\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)dx} կամ {\displaystyle (L)\int \_{a}^{b}f(x)dx}: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե {\displaystyle [a,b]}-ն փոխարինվի {\displaystyle (a,+\infty ),(-\infty ,b),(-\infty ,\infty )} բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե {\displaystyle (L)\int \_{a}^{b}f(x)dx} վերջավոր է, ապա {\displaystyle f}-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե {\displaystyle f\_{n},g} ֆունկցիաները հանրագումարելի են, {\displaystyle |f\_{n}|\leqslant g,f\_{n}\to f} եթե {\displaystyle n\to \infty }, ապա {\displaystyle f}-ը նույնպես հանրագումարելի է և {\displaystyle \int \_{a}^{b}f\_{n}(x)dx\to \_{n\to \infty }\int \_{a}^{b}f(x)dx}:

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաև
-------

* Ինտեգրալ հաշիվ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | BNF: 125110551 · LCCN: sh94008345 · Microsoft: 14158598 · NDL: 00567363 · NKC: ph117704 |

 |

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 510)։*  |