**Պոյnնտինգի թեորեմ**, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

{\displaystyle W=\int \_{V}\left({\frac {{\overline {E}}{\overline {D}}}{2}}+{\frac {{\overline {H}}{\overline {B}}}{2}}\right)dV=\int \_{V}\left({\frac {\epsilon \_{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu \_{a}E^{2}}{2}}\right)dV}
Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

{\displaystyle {\begin{aligned}&\epsilon \_{a}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\text{rot}}{\overline {H}}-{\overline {j}}\\&\mu \_{a}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}=-{\text{rot}}{\overline {E}}\end{aligned}}}
Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \epsilon \_{a}{\overline {E}}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}+\mu \_{a}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}={\overline {E}}\;{\text{rot}}\;{\overline {H}}-{\overline {H}}\;{\text{rot}}\;{\overline {E}}-{\overline {j}}{\overline {E}}} | (1) |

Բայց,

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {E}}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {E}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)\\&{\overline {H}}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {H}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(H^{2}\right)\\\end{aligned}}}
Սակայն համաձայն նույնության

{\displaystyle {\overline {E}}\;{\text{rot}}\;{\overline {H}}-{\overline {H}}\;{\text{rot}}\;{\overline {E}}=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)}
1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\epsilon \_{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu \_{a}H^{2}}{2}}\right)=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)-{\overline {j}}{\overline {E}}}
կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

{\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\int \_{V}\left({\frac {\epsilon \_{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu \_{a}H^{2}}{2}}\right)dV=\int \_{V}{\overline {j}}{\overline {E}}dV+\int \_{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}}
Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

{\displaystyle \int \_{V}{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dV=\int \_{S}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dS}
Այնուհետև նշանակելով

{\displaystyle {\overline {E}}\times {\overline {H}}={\overline {\Pi }}}
կստանանք


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\int \_{V}\left({\frac {\epsilon \_{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu \_{a}H^{2}}{2}}\right)dV=\int \_{V}{\overline {j}}{\overline {E}}dV+\int \_{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}} | (2) |

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։

Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։
Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։
Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է S մակերեսով։
Այսպիսով՝


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle -{\frac {dW}{dt}}=P\_{\Pi }+\int \_{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}} | (3) |

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։
(3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։

Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։