**Միջին հարմոնիկ**-միջոց է որոշակի թվերի հավաքածուի «միջին» մեծությունը հասկանալու համար։ Հաճախ օգտագործվում է միջին արագությունը որոշելիս։ Այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ․ դիցուք տրված են **դրական** {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} թվերը, ապա նրանց միջին հարմոնիկը կլինի այն {\displaystyle H} թիվը, որը

{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x\_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x\_{n}}}}.
Կարելի է ստանալ միջին հարմոնիկի համար իրական բանաձև․

{\displaystyle H(x\_{1},\ldots ,x\_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+{\frac {1}{x\_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits \_{i=1}^{n}{\frac {1}{x\_{i}}}}}},
այսինքն միջին հարմոնիկը {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} թվերի հակադարձների միջինի հակադարձ մեծությունն է։

Հատկությունները
---------------

* Միջին հարմոնիկը իսկապես հանդիսանում է միջին այն իմաստով, որ {\displaystyle \min(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\leqslant H(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\leqslant \max(x\_{1},\ldots ,x\_{n})}։
* Ընդհանրապես միջին հարմոնիկը միջին աստիճանային է -1 աստիճանով։
* Միջին հարմոնիկը երկակի է միջին թվաբանականին հետևյալ իմաստով․

{\displaystyle H(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=A^{-1}(x\_{1}^{-1},\ldots ,x\_{n}^{-1})} и
{\displaystyle A(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=H^{-1}(x\_{1}^{-1},\ldots ,x\_{n}^{-1})} (երբ վերջինս որոշված է)։
* Միջին հարմոնիկը չի գերազանցում միջին երկրաչափականին, միջին թվաբանականին և միջին քառակուսայինին, ընդ որում․ բոլոր միջինները հավասար են բոլոր {\displaystyle x\_{1}=\ldots =x\_{n},} թվերի հավասարության դեպքում, այսինքն․

{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
որտեղ {\displaystyle H} — միջին հարմոնիկն է;
{\displaystyle G} — միջին երկրաչափականն է;
{\displaystyle A} — միջին թվաբանականն է;
{\displaystyle S} — միջին քառակուսայինն է։

Կշռված միջին հարմոնիկ
---------------------

Դիցուք տրված է ոչ բացասական թվերի {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} համախումբը և {\displaystyle w\_{1},\ldots ,w\_{n}} թվերի համախումբը, որտեղ {\displaystyle w\_{i}}-ն կոչվում է {\displaystyle x\_{i}} մեծության «զանգված»։ Ապա նրանց կշռված միջին հարմոնիկ է կոչվում հետևյալ թիվը․

{\displaystyle H(x\_{1},\ldots ,x\_{n};w\_{1},\ldots ,w\_{n})={\frac {w\_{1}+\ldots +w\_{n}}{{\frac {w\_{1}}{x\_{1}}}+\ldots +{\frac {w\_{n}}{x\_{n}}}}}}։
Հեշտ է նկատել, որ երբ {\displaystyle w\_{1}=\ldots =w\_{n}\neq 0}(երբ բոլորը հավասարամեծ են)ստացվումէ սովորական միջին հարմոնիկ։

У սեղանի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը զուգահեռ է հիմքերին, և հավասար է նրանց միջին հարմոնիկին։

Ներկված շրջանների տրամագծերը նույնն են(կոչվում են երկվորյակ շրջաններ) և հավասար են AB և BC հատվածների վրա կառուցված կիսաշրջանագծերի շառավիղների միջին հարմոնիկին։

Օրինակներ
---------

Վիճակագրության մեջ միջին հարմոնիկը օգտագործվում է այն դեպքում, երբ դիտարկումները, որոնց համար անհրաժեշտ է թվաբանական միջինի հաշվում ձեռք , տրվում են հակադարձ արժեքներով։

Բարակ ոսպնյակի բանաձևում երկու անգամ կիզակետային երկարությունը հավասար է ոսպնյակներից մինչև առարկայի հեռավորության ը և ոսպնյակներից մինչև պատկերի հեռավորության միջին հարմոնիկին։ Նմանատիպ եղանակով, միջին հարմոնիկը ներառված է գնդաձև հայելու համար բանաձևում։
Միջին արագությունը մի ճանապարհի վրա, որը բաժանված է հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, հավասար է ուղու այդ հատվածների արագությունների նմիջին հարմոնիկին։ Ընդհանուր առմամբ, եթե ուղին բաժանվում է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, ապա միջին արագությունը հավասար կլինի կշռված միջին հարմոնիկ արագությանը (յուրաքանչյուր արագություն գալիս է համապատասխան քաշի երկարությանը հավասար քաշով)։
Ալյումինի միջին խտությունը հավասար է ձուլված նյութերի կշռված միջին հարմոնիկ խտությանը (կշիռներ - համապատասխան նյութերի մասերի զանգվածներ)։
Զուգահեռ միացված են մի քանի դիմադրիչների ձեռք բերած դիմադրությունը հավասար է դրանց դիմադրությունների միջին հարմոնիկին՝ բաժանված ըստ դրանց քանակի։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է շարքի միացված կոնդենսատորների համար։

Տես նաև
-------

* Հարմոնիկ համամասնություն
* Հարմոնիկ շարք
* Միջին թվաբանական

Արտաքին հղումներ
----------------

* Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Роу С.* Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 65.