Տատանվող լարը կարող է դիտարկվել որպես Հիլբերտյան տարածության կետ։
**Հիլբերտյան տարածություն**, արդի մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություններից։ Ձևավորվել է XX դ. սկզբին, գերմանացի մաթեմատիկոս Դավիթ Հիլբերտի աշխատություններում արտահայտված գաղափարների ազդեցությամբ։ Հիլբերտյան տարածություն սահմանման մեջ հանդես եկող հիմնական հասկացությունը ներքին կամ սկալյար արտադրյալն է։ Այդպես կոչվում է այն արտապատկերումը, որը կոմպլեքս (կամ իրական) {\displaystyle H} գծային տարածության տարրերի (վեկտորների) յուրաքանչյուր {\displaystyle x,y} զույգին համապատասխանեցնում է կոմպլեքս (իրական) {\displaystyle (x,y)} թիվ և {\displaystyle H}-ի կամայական {\displaystyle x,y,z} տարրերի և {\displaystyle \lambda } կոմպլեքս (իրական) թվի համար բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝ 

1. {\displaystyle (x,x)\geqslant 0}, ընդ որում {\displaystyle (x,x)=0} միայն {\displaystyle x=0} դեպքում,
2. {\displaystyle (x+y,z)=(x,z)+(y,z)},
3. {\displaystyle (\lambda x,y)=\lambda (x,y)},
4. եթե {\displaystyle (y,x)=\alpha +i\beta }, ապա {\displaystyle (y,x)=\alpha -i\beta }, այսինքն՝ {\displaystyle (x,y)={\vec {(}}y,x)}:

{\displaystyle p(x,y)={\sqrt {(x-y,x-y)}}} և {\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}} մեծությունները համապատասխանաբար որոշում են {\displaystyle x} և {\displaystyle y} վեկտորների միջև հեռավորությունը և {\displaystyle x} վեկտորի երկարությունը (նորմը), որոնց միջոցով {\displaystyle H}-ում ներմուծվում է մետրիկական ու նորմավորված տարածությունների կառուցվածք։ Ներքին արտադրյալով օժտված գծային տարածությունը, որը լրիվ է որպես մետրիկական տարածություն, կոչվում է հիլբերտյան տարածություն։ Հիլբերտյան տարածությունը էվկլիդեսյան տարածության հասկացության լայն ընդհանրացումն է։ Հիլբերտյան տարածության կարևոր օրինակ է {\displaystyle \alpha =(\alpha \_{1},\alpha \_{2},....),(|\alpha \_{1}|^{2}+|\alpha \_{2}|^{2}+....<\infty )} հաջորդականությունների {\displaystyle l^{2}} գծային տարածությունը՝ {\displaystyle (\alpha ,\beta )=\alpha \_{1}{\bar {\beta }}\_{1}+\alpha \_{2}{\bar {\beta }}\_{2}+....} ներքին արտադրյալով։

Սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունը պարունակում է օրթոնորմավորված բազիս, այսինքն՝ տարրերի այնպիսի {\displaystyle {e\_{n}}} համակարգ {\displaystyle (||e\_{n}||=1,(e\_{n},e\_{m})=0,m\neq n)}, որի կամայական {\displaystyle x} տարր ունի միարժեք ներկայացում՝ {\displaystyle x=\sum \limits \_{n}C\_{n}e\_{n}}, որտեղ {\displaystyle C\_{n}}-երը թվեր են, իսկ շարքը զուգամիտում է {\displaystyle H}-ի նորմով։ Վերը նշված {\displaystyle l\_{2}} տարածությունը սեպարաբել է, որում օրթոնորմալ բազիս է, օրինակ, {\displaystyle e\_{1}=(1,0,0,....),e\_{2}=(0,1,0,....),....} վեկտորների համակարգը։ Հիլբերտյան տարածությունների իզոմորֆիզմ ասելով հասկանում են գծային կառուցվածքը և ներքին արտադրյալը պահպանող փոխմիարժեք համապատասխանությունը։ Բոլոր սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունները իզոմորֆ են։ Հիլբերտյան տարածության կիրառությունների ոլորտը ապահովվում է, առաջին հերթին, հիլբերտյան տարածությունում գծային օպերատորների խոր և բովանդակալից տեսությամբ, որը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ բնագավառներում՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունում, ֆունկցիոնալ անալիզում, քվանտային մեխանիկայում ևն։

Տես նաև
-------

* Մետրիկական տարածություն

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 403)։*  |