Մաթեմատիկայում **հավասարման լուծումը արգումենտների գտնելու խնդիր է** (թվեր, ֆունկցիաներ և այլն), որոնց դեպքում պահպանվում է հավասարությունը (հավասարման նշանի ձախ և աջ կողմերում գրված արտահայտությունները դառնում են համարժեք)։ Անհայտ փոփախականների այն արժեքները, որոնց դեպքում պահպանվում է հավասարությունը, կոչվում են այդ հավասարման լուծումներ կամ արմատներ։ Լուծել հավասարումը, նշանակաում է գտնել նրա բոլոր հնարավոր լուծումները (արմատները), կամ ապացուցել, որ լուծում չունի (չկան հավասարման պայմաններին բավարարող արմատներ)։

Օրինակ, {\displaystyle x+y=2x-1} հավասարումը լուծելու համար անհայտ {\displaystyle x}-ը կարտահայտենք {\displaystyle x=y+1}-ով, քանի որ {\displaystyle x} -ի փոխարեն տեղադրելով {\displaystyle y+1} արտահայտությունը, հավասարումը դառնում է նույնություն՝ {\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1.} Բացի այդ, եթե փոխարինենք {\displaystyle y} անհայտ փոփախականը, ապա հավասարումը լուծվում է {\displaystyle y=x-1} նշանակման օգնությամբ։ {\displaystyle y} փոփախականը նշանակելով {\displaystyle x-1} արտահայտությամբ՝ հավասարումը դառնում է նույնություն՝ {\displaystyle x+(x-1)=2x-1}: Այսպես, {\displaystyle x}-ը և {\displaystyle y}-ը միաժամանակ կարող ենք դիտարկել որպես անհայտ փոփոխականներ։ Նման դեպքերում հավարման համար գոյություն ունեն բազմակի լուծումեր, օրինակ՝ {\displaystyle (x,y)=(1,0)} , այսինքն՝ {\displaystyle x=1} և {\displaystyle y=0,} իսկ բոլոր հնարավոր արժեքները՝ {\displaystyle (x,y)=(a+1,{\text{ }}a)}:

Կախված առաջադրանքից, գուցե անհրաժեշտ է գտնել հավասարման ընդամենը մեկ լուծում (ցանկացած հարմար լուծում), կամ բոլոր լուծումները։ Հավասարման բոլոր լուծումներին կանվանենք լուծումների բազմություն։ Բացի հավասարման լուծումները գտնելուց, առաջադրանքը կարող է պահանջել գտնել հավասարաման որևէ լուծում պարամետրով։ Այս տեսակի առաջադրանքները կոչվում են օպտիմիզացման խնդիրներ։ Որպես կանոն, օպտիմիզացման խնդիրները լուծելը չի կոչվում «հավասարման լուծում»։

Հավասարումների լուծման վերլուծական եղանակ
-----------------------------------------

Մինչև մեթոդի հասկանալը, նախ քայլ առ քայլ տանք լուծման ալգորիթմը։

Լուծման վերլուծական եղանակը (այսուհետ՝ վերլուծական լուծում) արտահայտություն է, որը կարող է հաշվարկել գործողությունների վերջնական քանակով։ Այնուամենայնիվ, կան բանաձևեր (արտահայտություններ), որոնք տեսության և տեխնոլոգիայի զարգացման տրված պահին պարունակում են անհաշվելի (կամ չներկայացվող) ֆունկցիաներ։ Հետագայում, վերլուծական լուծմամբ մենք կունենանք ցանակացած լուծման տեսքը՝ գրված բանաձևով, պարամետրերի հայտնի կամ որոշակի ֆունկցիաներ (թվային հավասարումների դեպքում) կամ փոփոխականներ (ֆունկցիոնալ հավասարումների դեպքում)։ Ստորև ներկայացված են տարբեր տեսքի հավասարումների լուծման հիմնական վերլուծական եղանակները։

### Արժեքի ընտրության եղանակ

Հավասարումի լուծման ամենապարզ անտրամաբանական (քանի որ այն չի պահանջում որևէ հնազանդություն մաթեմատիկական տրամաբանության օրենքներին), որը բաղկացած է ճիշտ արմատային արժեքը կռահելուց։ Այս մեթոդով դասընթացները սկսում են ավելի բարդ հավասարումներ լուծել, քան գծային (օրինակ՝ քառակուսի և խորանարդ) Ռուսաստանում հանրակրթական դպրոցի 5-7-րդ դասարաններում։

Ընտրության մեթոդով հավասարումը լուծելու օրինակ. {\displaystyle x^{2}-2x+1=0}

Հեշտ է կռահել, որ հավասարման արմատներից մեկը կլինի {\displaystyle 1.} Ընտրված արժեքի ճշգրտությունը ստուգելու համար անհրաժեշտ է այն փոխարինել փոփոխականի փոխարեն բնօրինակ հավասարման մեջ {\displaystyle x:{\text{ }}1^{2}-2\cdot 1+1=0\Longleftrightarrow 0=0.}.

Ինչպես տեսնում եք, պահանջվող ինքնության հավասարությունը պահպանում է, ինչը նշանակում է, որ մեր գտած արժեքը ճիշտ է (այսինքն՝ այն ներառված է հավասարման լուծումների շարքում)։

Ընտրության մեթոդի թերությունները.

* Ամենից հաճախ հավասարման արմատները իռացիոնալ (հանրահաշվական իռացիոնալ կամ նույնիսկ տրանսցենդենտալ) համարներն են, որոնց մասին կռահելը գրեթե անհնար է,
* Ընտրության եղանակը չի կարող ցույց տալ լուծման բացակայությունը՝ լուծումների արժեքի որևէ սահմանափակումով,
* Անսահման թվով լուծումների առկայության դեպքում (օրինակ՝ երկու կամ ավելի փոփոխականների հետ հավասարումների դեպքում) այս մեթոդը լիովին անթերի է, այնուամենայնիվ, օգտակար է, երբ ընտրեք մեկ այլ ճիշտ արժեք՝ օգտագործելով մեկ այլ հայտնի մեթոդ՝ օգտագործելով, կարող եք ձեռք բերել այլ վավեր լուծումներ,
* Ոչ բոլոր հավասարումները ներկայացված են որպես փոփոխականի պարզ գործառույթներ, ուստի ընտրության մեթոդը նույնպես ի վիճակի չէ լուծել այդպիսի հավասարումները,
* Այս մեթոդի կիրառելիությունը սահմանափակված է ոչ միայն հավասարումների բարդության, դրանց լուծման տեսակների և տեսանկյունից, այլ նաև լավ հաշվարկային ունակությունների առկայության, ամենատարածված արժեքների իմացության և դրանց համապատասխանության որոշակի տեսակի հավասարումների հետ։

Ընտրության մեթոդի առավելությունները.

* Օգտագործման դյուրինություն (ընտրության մեթոդի օգտագործումը չի պահանջում գրեթե ցանկացած տրամաբանական գործողություն իրականացնել, բացառությամբ ստուգման),
* Լուծման հասնելու արագությունը (սովորաբար, երբ համատեքստում նշվում է ընտրության մեթոդի կիրառման անհրաժեշտությունը, որոշումները բավականին արագ ընտրվում են),
* Օգտագործման մատչելիությունը (ի վերջո, երբեմն պատահում է, որ ինչ-որ տեսակի հավասարման վերլուծական լուծում ամբողջովին բացակայում է, բայց արժեքը դեռևս հեշտ է ընտրել կոնկրետ դեպքում, օրինակ՝ հավասարումը {\displaystyle 2^{x}-x^{2}-1=0} դեռևս անհնար է վերլուծական լուծում տալ, բայց, այնուամենայնիվ, ընտրության մեթոդով առնվազն մեկ արմատ ստանալը բավականին պարզ է. {\displaystyle x=1\longrightarrow 2^{1}-1^{2}-1=0\Longleftrightarrow 0=0).}

### Ամբողջական որոնում

Ընտրության մեթոդի հատուկ դեպք է սպառման որոնման մեթոդը, այսինքն`լուծում գտնելը` սպառելով բոլոր հնարավոր տարբերակները։ Այն օգտագործվում է, եթե բոլոր լուծումների (կամ որոշակի պայմանները բավարարող բոլոր լուծումների) փաթեթը վերջավոր է։

### Հակադարձ գործողության եղանակ

Հավասարումների լուծման այս մեթոդը, որը այլապես կոչվում է հակադարձ ֆունկցիայի կառուցման եղանակ, հիմնված է հակադարձ ֆունկցիայի հատկության վրա՝ գործառույթի ազդեցությունը փոփոխականության արժեքի վրա հավասարեցնելու համար.

{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x} կամ, ըստ էության, նույն բանը, {\displaystyle f(f^{-1}(x))=x.}

Մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է որպես որոշման այլ մեթոդների մաս և ինքնուրույն օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ փոփոխականներն ու կայունությունները գտնվում են հավասար նշանի հակառակ կողմերում. {\displaystyle f(x)=g(a\_{0},a\_{1},...a\_{i}),a\_{i}=const.}

Ամենապարզ օրինակը գծային հավասարումը է. {\displaystyle 5x=10.} Այստեղ {\displaystyle f(x)=5x,{\text{ }}g(a\_{i})=10,}նշանակում է {\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{5}},} և ստանում ենք {\displaystyle f^{-1}(f(x))={\frac {5x}{5}}=x,} այժմ նույն բանը պետք է արվի հավասարման մյուս մասի հետ. {\displaystyle f^{-1}(g(a\_{i}))={\frac {10}{5}}=2,} այստեղից {\displaystyle x=2.} Ստուգում. {\displaystyle 5\cdot 2=10\Longleftrightarrow 10=10.}

Մեկ այլ օրինակ. {\displaystyle x^{2}=4\Longleftrightarrow x=\pm {\sqrt {4}}\Longleftrightarrow x\_{1,2}=2;-2.}

Հակառակ գործողության մեթոդի թերությունները.

* Երբեմն փոփոխականի հակադարձ գործառույթը, որպես լուծման այլ մեթոդների մաս, հանգեցնում է մի քանի արդյունքների, որի պատճառով արտասովոր արմատները հայտնվում են լուծման մեջ, որը ստացվել է տրամաբանական եղանակով, բայց չի տեղավորվում հավասարման մեջ (խախտել ինքնության հավասարությունը), ինչ պարզվում է միայն ստուգման ընթացքում,
* Հակադարձ գործողությունները, ամենից հաճախ, շատ ավելի բարդ են թվում, քան սովորականները (օրինակ՝ տարրական դասարանների երեխաները բաժանումը ընկալում են որպես ավելի բարդ գործողություն, քան նրանց համար «ծանոթ» բազմապատկումը, ավագ դպրոցի աշակերտները հաճախ հարմարվում են երկար ժամանակով, քանի որ տարբերակումը նույնպես շատ տարածված է նրանց համար, ընկալվում է ավելի հեշտ),
* Դեպքերը հազվադեպ են լինում, բայց նույնը պատահում է, երբ այս կամ այն գործողությունն ինքնին հակառակ է (օրինակ, որպես գծային ֆունկցիա) {\displaystyle f(x)=x,} կամ էքսպոնենցիոնալ գործառույթի ինտեգրալ և ֆունկցիա{\displaystyle f(x)=e^{x}});
* Ոչ բոլոր հակադարձ գործառույթները ներկայացվում են որպես այլ հայտնի գործառույթների կոմպոզիցիաներ (ամենից հաճախ դրանք ինտեգրալներ են՝ Ֆրենելիայի Ինտեգրվալ, LԼ ֆունկցիան, ինտեգրալ սինուս և կոսինո, ինտեգրալ էքսպոնենտ կամ, օրինակ, ոչ տարրական, ինչպես օրինակ՝ Լամբերտի W ֆունկցիա, թեստացիա և գերտերություն),
* Յուրաքանչյուր հակադարձ գործողություն չի տալիս վավեր կամ նույնիսկ գոնե որոշ լուծում (օրինակ, գործառույթ {\displaystyle f(x)=x^{2}} տալիս է իրական թիվ՝ փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար, այնուամենայնիվ, այս արժեքը միշտ ոչ բացասական է, որի պատճառով հակադարձ ֆունկցիան գտնելը սահմանափակվում է փաստարկի ոչ բացասականությամբ. նույնպես, օրինակ, կան ոչ ինտեգրվող կամ չտարբերակված ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են Դիրիխլեի ֆունկցիաները, Վեյերշտրասի գործառույթները և այլն),
* Որոշ հակադարձ գործողությունների համար դեռևս չկա հաշվարկման ալգորիթմ, ուստի այդ գործառույթների արժեքները, որպես որոշ հավասարումների լուծումներ, մնում են բանաձևերի տեսքով (օրինակ՝ գերլոգարիթմը, Ռիմանի ζ- գործառույթը և այլն)։ Հակադարձ մեթոդի առավելությունները.
* Ի տարբերություն ընտրության մեթոդի, հակադարձ գործառույթների օգտագործումը, ամենից հաճախ, թույլ է տալիս բաց չթողնել առկա իրագործելի լրացուցիչ լուծումները, նույնիսկ եթե դրանցից շատերը անսահմանորեն կան,
* Հակադարձ գործողությունները հավասարումների լուծման համարյա ցանկացած տրամաբանական մեթոդների հիմնական բաղադրիչներից են, դրանք շատ ավելի հաճախ են օգտագործվում և, իրենց օրինակով, օգնում են ավելի լավ հասկանալ ընդունելի արժեքների սահմանների, սահմանման տիրույթի և փաստարկի (ներ) ի արժեքի փոփոխության շրջանակները,
* Շատ դեպքերում, հակառակ գործառույթների արժեքները կարող են հաշվարկվել՝ օգտագործելով տարբեր տեսակի հաշվիչներ, կամ, հակառակը, մնացել են բանաձևի արտահայտության մեջ՝ հետագա օգտագործման հարմարության համար։

### Գրաֆիկական եղանակ

Խնդիրների (այդ թվում՝ հավասարումների) լուծման այս եղանակը հիմնված է ֆունկցիաների գրաֆիկների հիմնական հատկության հիման վրա` արգումենտների և այդ արգումենտներով ֆունկցիաների արժեքների որոշակի և (իդեալականորեն) ճշգրիտ ցուցադրում կոորդինատական տարածությունում, որի արդյունքում գրաֆիկների յուրաքանչյուր կետ ունի այդ արժեքների առավելագույնը մեկ խումբ՝ յուրաքանչյուր ֆունկցիայի համար (այսինքն՝ նույն արգումենտը չի կարող ունենալ երկու արժեք կոորդինատների որևէ կետում)։

Ըստ սահմանման, երկու ֆունկցիաներ ունեն մեկ ընդհանուր կետ (գրաֆիկների հատման կետը), երբ նրանց արժեքները նույն արգումենտ(ներ)ի դեպքում հավասար են՝ {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...x\_{i})=g(x\_{1},x\_{2},...x\_{i}):}

Օրինակ՝ {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10=x-2} հավասարումը լուծել գրաֆիկորեն (նայել ստորև տրված նկարին)։ Այստեղ սև գույնով կտեսնեք {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10}ֆունկցիայի գրաֆիկը, կապույտ գույնով՝ {\displaystyle g(x)=x-2} ֆունկցիայի գրաֆիկը։ A և B կետերի աբսցիսները կազմում են սկզբնական հավասարման լուծումների բազմությունը։ {\displaystyle x\_{1}=4,x\_{2}=6,} որը հեշտությամբ գտնում ենք աբսցիսների առանցքի վրա կետերի պկոյեկտմամբ։ ({\displaystyle x}-երի առանցք)։ Ստուգենք՝ {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 4^{2}-4\cdot 4+10=4-2\Longleftrightarrow 2=2} և {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 6^{2}-4\cdot 6+10=6-2\Longleftrightarrow 4=4:} Լուծումը սպառիչ է, քանի որ ուղիղը չի կարող հատել պարաբոլը երկուսից ավելի կետերում (համաձայն հանրահաշվի հիմանական հատկության)։

Գրաֆիկական մեթոդի թերությունները.

* Գրաֆիկականորեն, բացառությամբ պարզ դեպքերի, դուք կարող եք ստանալ միայն մոտավոր լուծում։
* Ոչ բոլոր արժեքներն ու գործառույթները հաշվարկելի են, հետևաբար դրանց գրաֆիկները հնարավոր չէ ինքնուրույն կառուցել։
* Առանց իմանալու հավասարման մեջ ներառված գործառույթների հատկությունները, անհնար է ճշգրիտ նշել, թե լուծումների ստացված փաթեթը սպառիչ է։
* Ամենից հաճախ, այս մեթոդի կիրառելիությունը սահմանափակվում է կոորդինատների կենտրոնի հարևանությամբ գործառույթները պլանավորելու միջոցով։
* Ֆունկցիայի գծապատկերների վերարտադրությունը, ինչպես ասում են, «մտքում» կարող է լինել բավականին դժվար, նման դեպքերում դուք չեք կարող անել առանց լրացուցիչ սարքերի։

Գրաֆիկական մեթոդի առավելությունները.

* Օգտագործման դյուրինություն (ավագ դպրոցի գիտելիքների մակարդակը բավարար է);
* Օգտագործման մատչելիությունը (օրինակ, երբ հավասարման լուծումը դեռ չի ուսումնասիրվել կամ ընդհանրապես բացակայում է);
* Ներկայացման հստակություն (օգնում է ավելի լավ հասկանալ, թե որն է լուծումը և ինչպես կարող է ներկայացվել)։

Բացի նկարագրված մեթոդից, կան հատուկ փոփոխված գրաֆիկական մեթոդներ, ինչպիսիք են, օրինակ, Լիլի մեթոդը։

### ОДЗ գնահատման մեթոդ

ОДЗ (թույլատրելի արժեքների շրջանակը) գնահատման եղանակը որոշ արժեքների շարքից կտրելն է այն գործառույթի արժեքների շարքից, որի ֆունկցիան գոյություն չունի (հակառակ դեպքում, կտրեք այն արժեքները, որոնք նա չի կարող վերցնել)։

Օրինակ՝ ОДЗ գնահատման մեթոդով մենք լուծում ենք հավասարումների հետևյալ համակարգը.

{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{x+1}}+x+1=2\\\sin ^{2}(x)=x\end{cases}}}

Մենք սկսում ենք վերին հավասարումից՝ փոխադարձ հակադարձ թվերի գումարի հետևյալ հատկության հիման վրա։ {\displaystyle {\frac {1}{n}}+n\geqslant 2,n>0.} Դա ուղղակիորեն բխում է ուժի միջոցների ոչ խիստ անհավասարության հատուկ դեպքից։ Ավելին, երկուսի հավասարությունը հասնում է միայն այն դեպքում, եթե այդ թվերը հավասար են։ {\displaystyle {\frac {1}{x+1}}=x+1\Longleftrightarrow (x+1)^{2}=1\Longleftrightarrow x+1=\pm 1.} Արդյունքում մենք ստանում ենք բազմաթիվ լուծումներ. {\displaystyle x\_{1}=0,{\text{ }}x\_{2}=-2.}

Ներքևի հավասարման մեջ կա ոչ բացասական քառակուսի գործառույթ և գործառույթ {\displaystyle f(x)=\sin(x),} որի արժեքները միջակայքում են {\displaystyle \{-1;{\text{ }}1\}.}

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ լուծումը չի տեղավորվում երկու չափանիշների հետ, ինչը վերացնում է երկրորդ ստուգման անհրաժեշտությունը։ Մնում է ստուգել առաջին արմատը.{\displaystyle \sin(0)=0\Longleftrightarrow \sin ^{2}(0)=0\Longleftrightarrow 0=0.} Հետևաբար, հավասարումների բուն համակարգի միակ լուծումը — это {\displaystyle x\_{1}=0.}

ОДЗ գնահատման մեթոդի թերությունները.

* Կան գործառույթներ, որոնց ուսումնասիրությունը ծայրաստիճան դժվար է, այդ իսկ պատճառով նրանց հատկությունները երկար ժամանակ անհայտ են մնում {\displaystyle {\biggl (}}օրինակ՝ Ռիմանի առաջարկած գործառույթը {\displaystyle f(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}{\displaystyle {\biggr )};}
* Հաճախ գնահատման մեթոդը հանգեցնում է այն ընդմիջմանը, որում ընկած են հնարավոր լուծումները, և այնուհետև դրանք պետք է գտնվեն ընտրության մեթոդով՝ հաշվի առնելով ձեռք բերված սահմանափակումները.
* Գործառույթների արժեքների գնահատումը հիմնված է նրանց հատկությունների իմացության վրա, ինչը, ինչպես հաճախ է պատահում, հենց գործառույթների բազմազանության պատճառով, չեն հավաքվում միասին մեկ աղբյուրում։

DLD գնահատման մեթոդի առավելությունները.

* Այս մեթոդը օգտակար է այն դեպքում, երբ անհրաժեշտ է ապացուցել ընդունելի լուծման բացակայությունը, բայց դա անել այլ մեթոդներով հնարավոր չէ.
* DLD- ի գնահատման եղանակով, ի տարբերություն գրաֆիկական մեթոդի և ընտրության մեթոդի, հնարավոր է ձեռք բերել իրագործելի լուծումների անսահման քանակ։
* Ինչպես ցույց է տրված օրինակում, գնահատման մեթոդի իրավասու օգտագործումը խուսափում է լրացուցիչ ստուգումներից.
* Որոշ հավասարումներ շատ ավելի հեշտ են լուծել այս մեթոդի օգտագործմամբ (օրինակ ՝ իռացիոնալ հավասարումների հատուկ դեպքեր)։

### Գործոնացման մեթոդ

Հավասարումների գործոնացման եղանակը (այսինքն `դրանց գործոնացումը) օգտագործվում է դրանք ներկայացնելու համար` որպես մի քանի պակաս բարդ, ավելի հաճախ, նմանատիպ հավասարումների արտադրանք։ Քայքայումը հիմնված է այն հատկության վրա, որ մի քանի գործոնների արտադրանքը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ գործոններից առնվազն մեկը նույնպես հավասար է զրոյի։

Լուծման այս մեթոդը ճիշտ է բազմամյա հավասարումները երկար դարեր եղել են հանրահաշվի առանձին ուղղություն և միանգամից որոշումների կայացման մի քանի ալգորիթմի համադրություն է։ Դրա արդիականությունն ու նշանակությունը հանրահաշվի հիմնական թեորեմի հետևանք են, ըստ որի, ցանկացած ոչ նոուռոճանական ավարտական աստիճանի ցանկացած բազմամիլիա ունի առնվազն մեկ բարդ արմատ։

Ապամոնտաժման բոլոր մեթոդներից ամենապարզը թերևս բազմամիլիոնի բաժանումն է բազմագույնի։

Բազմաբնակարանների ֆակտորացման մեթոդի թերությունները.

* Մեթոդի համեմատաբար նեղ մասնագիտացում (օրինակ՝ հավասարումը {\displaystyle 2^{x}-3x+2=0} անհնար է գործոնավորել, քանի որ արմատների բանաձևի արտադրանքը չի մշակում բնօրինակ հավասարումը)։
* Քայքայման մեթոդը պարունակում է միանգամից մի քանի ֆակտորացման մեթոդներ և կիրառելի չէ բոլոր բազմակնությունների համար, այլ կերպ ասած, այն համընդհանուր չէ (որոշ իռացիոնալ հավասարումներ դեռևս հնարավոր չէ լուծել կամ վերլուծականորեն կամ տարրալուծվելով, պարզ օրինակ է {\displaystyle x^{\pi }-x+1=0}).

Բազմամյա ֆակտորացման մեթոդի առավելությունները.

* Հավասարումների որոշ հատուկ դեպքեր, որոնց համար ընդհանուր լուծման ալգորիթմ չի գտնվել կամ շատ բարդ է, կարող են լուծվել միայն ընդարձակման միջոցով (օրինակ՝ վեցերորդ և ավելի բարձր աստիճանների հավասարումները, որոնց ապագա լուծման ալգորիթմները չափազանց ծանրաշարժ, դժվար և ժամանակատար են, որի արդյունքում դրանց զարգացումը դառնում է անիրագործելի)։
* Ապամոնտաժման բոլոր մեթոդները մշակվել են վաղուց, առկա են բաց աղբյուրներում, չեն անցնում դպրոցի ուսումնական պլանից և, բացի սովորական հաշվիչից, որպես կանոն, դրանք չեն պահանջում լրացուցիչ գիտելիքներ և սարքեր (ներառյալ հատուկ ծրագրային ապահովման ապրանքներ)։

### Փոխակերպման մեթոդներ

Այս մեթոդների շարքում են հավասարման երկու կողմերում կատարված գործողությունների շարքերը (մինչև հավասար նշանը և դրանից հետո), որոնք հանգեցնում են հետևանքների հավասարումների կամ համարժեք հավասարումների, որոնք շատ ավելի հեշտ են լուծվել դրանց լուծման կամ դրանց ավելի հարմար ձևով ներկայացնելու համար հայտնի ալգորիթմի առկայության պատճառով, որոնք թույլ են տալիս արագորեն փոխկապակցվել  դրանք մեկ կամ մեկ այլ հայտնի լուծման ալգորիթմով։ Հետևյալը հիմնական վերափոխումների ցանկ է։

#### Պայմանների փոխանցում

Հավասարումի ցանկացած մաս կարելի է «տեղափոխել մյուս կողմ՝ հավասար նշանի համար»՝ դրան ավելացնելով հավասարման մյուս մասը և միայն փոխելով նշանը (!) Հակառակն է։

Օրինակ, մենք իրական թվերով լուծում ենք հավասարումը։ {\displaystyle x^{2}-2x+4=2x.}

Դա անելու համար հավասարման աջ կողմը տեղափոխեք ձախ՝ աջ կողմի նշանը փոխելով հակառակը։ {\displaystyle x^{2}-2x+4-2x=0.}

Բացի այդ, բազմապատկման ֆունկցիայի անընդմեջ ասոցիացիայի շնորհիվ մենք ավելացնում ենք այդպիսի պայմաններ։ {\displaystyle x^{2}-4x+4=0.}

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ արդյունքում ստացված ձախ կողմը նման է ամբողջ քառակուսի բանաձևին։ {\displaystyle (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.}

Այստեղից մենք գտնում ենք արմատները։ {\displaystyle \pm (x-2)=0\longrightarrow x\_{1}=x\_{2}=2.} Ստուգեք։ {\displaystyle 2^{2}-2\cdot 2+4=2\cdot 2\Longleftrightarrow 4=4.}

Պայմանների փոխանցումը կարող է իրականացվել ցանկացած դեպքում (առանց գործառույթի տակ դրված փաստարկը հանելու), մինչդեռ արդյունքում ստացված հավասարումները համարժեք են։

#### Ստանդարտի (արտահայտման) լրացում (հանում)

Հավասարումների փոխակերպման այս մեթոդը հիմնված է թվային հավասարության հատկության վրա` դրա անփոփոխությունը լրացման հետ կապված (թվային հավասարությունը կմնա այդպես, նույնիսկ եթե դրա երկու մասերին էլ մի շարք ավելացնենք, ներառյալ բացասական)։ Իր հերթին, թվային հավասարության այս հատկությունը պարզապես թվային ոչ խիստ անհավասարությունների նմանատիպ առանձնահատկության հատուկ դեպք է։ Քանի որ լուծված հավասարումների մեծ մասը կատարվում է ցանկացած թվերի դաշտում (կան ոչ թվային հավասարումներ, օրինակ, ֆունկցիոնալներ, որտեղ գործառույթները գործում են որպես անհայտ փոփոխական), նույն թվային հատկությունները նույնպես կիրառվում են հավասարումների վրա։

Փոխակերպման էությունն այն է, որ թվային գործառույթով նույն թիվը կամ արտահայտությունը կարող են ավելացվել հավասարման երկու մասերի, որոնց ОДЗ ոչ ավելին է, քան բուն հավասարման մեջ գործառույթների ОДЗ- ը։ Պայմանների փոխանցումը պարզապես հատուկ դեպք է (ավելացնելը) հանելու արտահայտությունները։ Մասնավորապես, հավասար նշանի հակառակ կողմերում նույնական տերմինների «փոխադարձ ոչնչացումը» փոխանցման հնարավորության հետևանք է։

Թվային արտահայտություն ավելացնելը միշտ էլ հնարավոր է, այնուամենայնիվ, հանգեցնում է համարժեք հավասարման միայն այն դեպքում, երբ արտահայտության մեջ գործառույթի ОДЗ տարածաշրջանը նեղ չէ, քան բնօրինակ հավասարման գործառույթների ОДЗ: Օրինակ՝ երկու մասերին էլ ավելացնելով արտահայտությունը {\displaystyle {\sqrt {x}}} մենք հասնում ենք եզրակացության հավասարման, որում փոփոխականի չհամապատասխանությունը {\displaystyle x} կարող է վնասել գոյություն ունեցող բացասական արմատները, որոնց պատճառով հետագայում մենք ստիպված կլինենք հաշվի առնել այս սահմանափակումը։

Մի փոքր հակադարձ տեխնիկա նույնպես օգտակար է` կարևորելով մի տերմին, օրինակ. {\displaystyle {\frac {x^{2}+5x+6}{x+2}}=0\Longleftrightarrow {\frac {(x^{2}+4x+4)+(x+2)}{x+2}}=0\Longleftrightarrow {\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longleftrightarrow (x+2)+1=0\longrightarrow x\_{1}=-3.}

#### Բազմապատկում (բաժանում) ոչ նազերային հաստատունով (արտահայտությամբ)

Բազմապատկում թվային արտահայտությամբ թվային հավասարությունների (այսինքն՝ թվային հավասարումների) բազմապատկումը այս արտահայտությունն ավելացնելու հնարավորության հետևանք է, և, հետևաբար, ընդլայնում է իր հատկությունները՝ ավելացնելով, հնարավոր է, փոփոխականի չհավասարության սահմանափակումը զրոյին ավելացնելով։

Օգտագործելով նախորդ օրինակը. {\displaystyle x^{2}+5x+6=0\Longleftrightarrow (x^{2}+4x+4)+(x+2)=0\Longleftrightarrow (x+2)^{2}+(x+2)=0.}

Այժմ մենք երկու պայմանն էլ բաժանում ենք {\displaystyle (x+2):{\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longleftrightarrow x+2+1=0\longrightarrow x\_{1}=-3.}

Այնուամենայնիվ, բաժանվելով այս արտահայտությունից՝ մենք սահմանեցինք սահմանափակում ՝ դրա անհավասարությունը զրոյի։ {\displaystyle x+2\neq 0\longrightarrow x\neq -2.} Հետևաբար, այժմ անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք այս արժեքը բուն հավասարման արմատն է, վերացված հենց այս սահմանափակմամբ, {\displaystyle (-2)^{2}+5\cdot (-2)+6=4-10+6=0.}

Ինչպես տեսնում եք, ОДЗ նեղացումը նույնիսկ մեկ կետով (թվով) կարող է մեծապես խեղաթյուրել հնարավոր բոլոր հնարավոր լուծումների շարքը։

#### Արտահայտությունները փոխարինելով

Փոփոխականի նույնական փոխարինումը փոփոխականի գործառույթները պարունակող մեկ այլ արտահայտությամբ, որի ОДЗ ավելի նեղ չէ, քան բնօրինակ հավասարման գործառույթների ОДЗ, միշտ էլ հանգեցնում է համարժեք հավասարման։ Դրա շատ հնարավորությունն ու համարժեքությունը հիմնված են թվերի փոխակերպելիության հատկության վրա (եթե թվերի եռակի մեջ երկու երկու համարները հավասարապես հավասար են երրորդին, հետևաբար, բոլոր երեք համարները հավասար են միմյանց):

Փոխարինումը շատ հաճախ օգտագործվում է ցանկացած տիպի հավասարության և նույնիսկ ավելին։ (օրինակ, երրորդ կարգի հավասարման համար կա Vietton տրիգոնոմետրիկ բանաձև, հակաերդիվատորներ գտնելու համար - համընդհանուր եռանկյունաչափական Вейерштрасса փոխարինում, բանական գործառույթների ինտեգրալների համար - Էյլերի հատուկ փոխարինումներ և այլն)։

Փաստորեն, հավասարման արմատների ցանկացած բանաձև փոխարինման հատուկ դեպք է, երբ փոփոխականը փոխարինող արտահայտությունն ընդհանրապես փոփոխականներ չի պարունակում (այսինքն՝ այս արտահայտության մեջ գործառույթը պարունակում է հաստատուն (ներ) ը որպես փաստարկ (ներ))։

Արտահայտություն փոխարինելը կօգնի նաև ավելի թեթև հավասարման հասնել։ Այնուամենայնիվ, շատերը հաճախ շփոթում են եզրակացության արմատները բուն հավասարման արմատների հետ, սխալմամբ դրանք փոխարինելով սխալ հավասարումով` ստուգման համար։ Այսպիսով, օրինակ, փոխարինում կատարելը {\displaystyle x=a^{y}} և ստանալով որոշակի արժեք {\displaystyle y\_{0}} քանի որ փոխադարձ հավասարման արմատը փոփոխականի հետ {\displaystyle y}, ստուգելու համար նախ պետք է փոխարինել {\displaystyle y\_{0}} փոխարինման բանաձևի մեջ {\displaystyle x=a^{y},} հաշվարկել {\displaystyle x\_{0}}, որը կլինի փոփոխականի բնօրինակ հավասարման արմատը {\displaystyle x} և որը պետք է փոխարինվի դրանում՝ ստուգման համար։

Այնուամենայնիվ, կան հավասարումների այնպիսի տեսակներ, որոնց համար չի կարելի կատարել փոխարինման որոշակի տեսակներ։

Օրինակ՝ ձևի հավասարումը։ {\displaystyle a^{(n)}x=x,{\text{ }}a\neq 0,} ուր {\displaystyle a^{(n)}x}— սա կարգի հիպեր օպերատոր է {\displaystyle n} (նրանցից յուրաքանչյուրի համար կան լրացուցիչ սահմանափակումներ {\displaystyle a})

Եթե դուք փոխարինում եք կատարում {\displaystyle x=a^{(n+1)}y,} ապա մենք ստանում ենք եզրակացության հավասարումը։ {\displaystyle a^{(n)}{\bigl (}a^{(n+1)}y{\bigr )}=a^{(n+1)}y\Longleftrightarrow a^{(n+1)}(y+1)=a^{(n+1)}y.}

Դրանից էլ հետևում է {\displaystyle y+1=y} և լուծում չկա (ինչը հակասում է «տեսական պրակտիկային»), կամ հիպերպերատորները երկիմաստ են (ինչը ճիշտ չէ առաջին երեք օպերատորների համար` հավելում, բազմապատկում և ցուցադրում)։

Պարզության համար մենք ենթադրում ենք դա {\displaystyle n=3}: {\displaystyle a^{(3)}x=x\Longleftrightarrow a^{x}=x.} Կատարեք փոխարինում {\displaystyle x=a^{(4)}y={}^{y}a:} {\displaystyle a^{{}^{y}a}={}^{y}a\Longleftrightarrow {}^{y+1}a={}^{y}a,} որտեղ ենք մենք հասնում հակասությանը {\displaystyle y+1=y,} չնայած որ այս նախնական հավասարման լուծում գոյություն ունի և արտահայտվում է երկրորդ աստիճանի գերծանրքաշային ճանապարհով։

Կառուցման աստիճանը

Թվային արտահայտությունը բազմապատկելու հնարավորության շնորհիվ հնարավոր է դառնում բարձրացնել թվային արտահայտությունը ոչ զրոյական աստիճանի,որը ինքնության գործոններով բազմապատկման հատուկ դեպք է. Այնուամենայնիվ, էքսպոզիցիոնացիան խստորեն սահմանվում է միայն ոչ բացասական թվերի համար, հետևաբար, բարձրացնելով փոփոխականով ցուցիչ, անհրաժեշտ է նշել համապատասխան սահմանափակում և հետագայում հաշվի առնել այն։

Եթե դուք դեռ չեք կարող անել առանց բացասական արտահայտման ուժը բարձրացնելու, ապա ցուցիչը պետք է լինի ամբողջ թիվ,հակառակ դեպքում, նման փոխակերպումը կհանգեցնի մեկի փոխարեն երկու հավասարումների լուծմանը և արտաքին արմատների քանակի ավելացմանը, քանի որ. {\displaystyle (-n)^{\frac {1}{k}}=-{\sqrt[{k}]{n}},{\frac {k+1}{2}}\in \mathbb {Z} ,}բայց միևնույն ժամանակ {\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {2}{2k}}\longrightarrow (-n)^{\frac {2}{2k}}={\sqrt[{2k}]{(-n)^{2}}}={\sqrt[{2k}]{1\cdot n^{2}}}={\sqrt[{k}]{n}},k\in \mathbb {Z} .} Իռացիոնալ ցուցանիշներով իրավիճակը դեռ որոշված չէ։

Դեպի զրոյի աստիճանի զրոյական մակարդակի բարձրացումը (կամ արտահայտությունը, որը կարող է զրոյական արժեք ստանալ) նույնպես անհնար է (տես Անորոշություն)։

Նույնիսկ ցուցանմուշները կրկնապատկում են լուծման համար հավասարումների քանակը, քանի որ նույնիսկ աստիճանների էքսպոզիցիոն գործառույթները հավասար են։ Ավելանում է նաև արտաքին արմատների քանակը.

#### Լոգարիթմ

Համաձայն թվային ոչ խիստ անհավասարությունների հատկությունների, հավասարման երկու կողմերը կարող են լոգարիթմվել:Այնուամենայնիվ, կան նաև բացառություններ (իրական թվերի դաշտի համար).

* Եթե լոգարիթմը իրականացվում է դրական բազային թվով, ապա լոգարիթմի արտահայտությունը (համարը) նույնպես պետք է լինի դրական.
* Եթե լոգարիթմն իրականացվում է բացասական բազային թվով, ապա լոգարիթմի արտահայտությունը (համարը) նույնպես պետք է լինի բացասական (այս դեպքում պետք է հստակեցվի լոգարիթմի սահմանումը);
* Հիմքի արժեքներին հակառակ ՝ հակառակ արժեքներով արտահայտությունների լոգարիթմը անհնար է։

Ահա թե ինչու լոգարիթմը, որպես կանոն, չի հանգեցնում սահանների աճի, այլ իսկական արմատների կորստի։

Ի տարբերություն ստացման, թվային հավասարությունները կարող են վերափոխվել աստիճաններով։ {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2}...)=g(a\_{1},a\_{2},...)\Longleftrightarrow b^{f(x\_{1},x\_{2}...)}=b^{g(a\_{1},a\_{2},...)},b,a\_{1},a\_{2}...=const.}

Այնուհետև, քանի որ թվային արտահայտությունները կարող են լինել ցանկացած հիմքի 
{\ displaystyle b
 պետք է լինի դրական (կամ բացասական ՝ փոփոխականի նկատմամբ համապատասխան սահմանափակումների պարտադրմամբ)

Այնուամենայնիվ նույնիսկ արտահայտությունների էքսպոզիցիան կարող է ուժեղացվել, այնուամենայնիվ, քանի որ բազայի և աստիճանի միջև կա մի տեսակ սահմանափակող փոխկապակցվածություն, որի պատճառով հիմքը չի կարող լինել.

{\displaystyle f^{n}(x\_{1},x\_{2},...)=g^{m}(a\_{1},a\_{2},...)\Longleftrightarrow f^{(k^{n})}(x\_{1},x\_{2},...)=g^{(k^{m})}(a\_{1},a\_{2},...),{\text{if }}k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{m-n}}.}

Սա հեշտությամբ ապացուցվում է հետևյալ կերպ.

{\displaystyle f^{n}(x\_{1},x\_{2},...)=g^{m}(a\_{1},a\_{2},...)}

{\displaystyle f^{(k^{n})}(x\_{1},x\_{2},...)=g^{(k^{m})}(a\_{1},a\_{2},...)}

{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...)=g^{\frac {(k^{m})}{(k^{n})}}(a\_{1},a\_{2},...)\Longleftrightarrow f(x\_{1},x\_{2},...)=g^{(k^{m-n})}(a\_{1},a\_{2},...)}

Փոխարենը փոխարինեք{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...)} արդյունքում ստացված արտահայտությունը տեղադրենք սկզբնական հավասարման մեջ.

{\displaystyle g^{n(k^{m-n})}(a\_{1},a\_{2},...)=g^{m}(a\_{1},a\_{2},...),} այստեղից մենք ստանում ենք։ {\displaystyle n(k^{m-n})=m.} Հետո

{\displaystyle k^{m-n}={\frac {m}{n}}\Longleftrightarrow k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{m-n}}.} {\displaystyle m=1} -ի դեպքում բանաձևը ամբողջությամբ պարզեցվում է`

{\displaystyle k={\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-n}}\Longleftrightarrow k={\Biggl (}{\frac {1}{n^{\frac {1}{1-n}}}}{\Biggr )}\Longleftrightarrow k=n^{-{\frac {1}{1-n}}}=n^{\frac {1}{n-1}}.}

#### Կառուցում 2-ի ցուցիչով

Թվային արտահայտությունները կարելի է բարձրացնել թեքության մեջ `2-ի ցուցիչով (այսինքն` իրենց աստիճանի).

{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2}...)=g(a\_{1},a\_{2},...)\Longleftrightarrow {}^{2}{f(x\_{1},x\_{2}...)}={}^{2}{g(a\_{1},a\_{2},...)}\Longleftrightarrow {\bigl (}f(x\_{1},x\_{2},...){\bigr )}^{f(x\_{1},x\_{2},,,,)}={\bigl (}g(a\_{1},a\_{2},...){\bigr )}^{g(a\_{1},a\_{2},,,,)},b,a\_{1},a\_{2}...=const.}

Իհարկե, սա նաև սահմանափակումներ է առաջացնում արտահայտությունների դրական արտահայտման կամ դրանց բացասականության դեպքում բարձրացնում աստիճանը ։

Բարձր մակարդակի բարձրացման ինդեքսների բարձրացումը ենթադրում է որոշակի սահմանափակումներ արտահայտությունների փոխկապակցվածության ձևով (տե՛ս վերևում), քանի որ այդ ժամանակից հետո տեղի կունենան այսպես կոչված «ուժային աշտարակներ»։ Հնարավոր է նաև հանել համապատասխան ցուցիչը, բայց հարկ է նաև հաշվի առնել, որ այս գործողությունը ճշգրիտ սահմանված է մինչ այժմ միայն դրական թվերի համար։

Օրինակ`. {\displaystyle x^{2}=4\Longleftrightarrow {}^{2}(x^{2})={}^{2}4\Longleftrightarrow (x^{2})^{(x^{2})}=4^{4}\Longleftrightarrow x^{2x^{2}}=256.}

Կատարեք փոխարինում {\displaystyle x=y^{\frac {1}{2}}:} {\displaystyle (y^{\frac {1}{2}})^{2(y^{\frac {1}{2}})^{2}}=256\Longleftrightarrow y^{y}=256\longrightarrow y=4\longrightarrow x\_{1}=2.}

Այնուամենայնիվ, ոչ դրական թվերով անորոշ չափով թեքացման պատճառով հավասարման երկրորդ արմատն անհետացավ. {\displaystyle x\_{2}=-2.}

#### Գերհզորացում

Նաև շնորհիվ նախորդ կրկնությունը կիրառելու հնարավորության (կառուցման աստիճանը) կիրառելու հնարավորության պատճառով հնարավոր է թվային հավասարությունները վերածել թետրացման ցուցանիշների.

{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2}...)=g(a\_{1},a\_{2},...)\Longleftrightarrow {}^{f(x\_{1},x\_{2}...)}b={}^{g(a\_{1},a\_{2},...)}b;b,a\_{1},a\_{2}...=const.}

Այս դեպքում արժե հաշվի առնել հիմքի դրականությունը
{\ displaystyle b

 (քանի որ նույնիսկ զրոյը չի կարող բարձրացվել ինքնուրույնության ուժով) և թեստավորման ոչ ամբողջական և (կամ) բացասական ցուցանիշների տարբեր բացառություններ (թերագնահատումներ)։

Այս միտումը կարելի է շարունակել այն ավելի խորացնել (տես հիպերատոր)

Դեռևս անհնար է գերլոգարիթմացնել թվային արտահայտությունները ճշգրիտ որոշակիությամբ `հիպերպերատորների չբացահայտված հատկությունների և դրանց համար հակադարձ գործառույթների պատճառով,քանի որ պարզ չէ, ինչ սահմանափակումներ են պարտադրվում նման վերափոխումը։

### Լուծման հատուկ մեթոդներ

#### Եռանկյունաչափական հավասարումների փոխակերպում

Եռանկյունաչափական հավասարումները կոչվում են այն հավասարումները, որոնք պարունակում են որպես փոփոխականների ֆունկցիաներ միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (այսինքն՝ հավասարումներ, որոնք պարունակում են միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կոմպոզիցիաներ)։

Այս տեսակի հավասարումների լուծման ժամանակ օգտագործվում են տարբեր նույնություններ՝ ելնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններից։ Այս փոխակերպումներում, այնուամենայնիվ, արժե հաշվի առնել տանգենսի և կոտանգենտի բաղադրյալ բնույթը, որի կազմում սինուսն ու կոսինոսը միմյանցից անկախ ֆունկցիաներ են նույն փոփոխականից։

Այսպիսով, ակնհայտ փոխարինում կատարելով {\displaystyle {\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}},} մենք ստանում ենք բոլորովին նոր ֆունկցիա, որի արժեքները կտարբերվեն տանգենսի տրված հարաբերակցությունից. {\displaystyle {\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}} (տե՛ս ստորև ներկայացված գրաֆիկները);

y=tg(x) ֆունկցիաների գրաֆիկն առանց փոփոխության (ձախից) և կոսինուսը սինուսով փոխելու դեպքում (աջից)
Նման փոփոխությունը տեղի է ունենում այն պատճառով, որ փոխարինմամբ բանաձևը ենթադրում է թվաբանական արմատ, որի արժեքը միշտ էլ ոչ բացասական է։ Այնուամենայնիվ, եթե ավելացնեինք «±», ապա տանգենսի ֆունկցիան կկորցներ իրեն բնորոշ միարժեքությունը։

* {\displaystyle \sin(x)=n\longrightarrow x=(-1)^{k}\arcsin(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\text{ }}k\in \mathbb {Z} ;}
* {\displaystyle \cos(x)=n\longrightarrow x=\pm \arccos(n)+2\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\text{ }}k\in \mathbb {Z} ;}
* {\displaystyle {\text{tg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\text{ }}k\in \mathbb {Z} ;}
* {\displaystyle {\text{ctg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arcctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\text{ }}k\in \mathbb {Z} .}

Օրինակ՝ լուծենք ավելի բարդ հավասարում. {\displaystyle \sin(x)\cos(x)\cos(2x)={\frac {1}{8}}.}

Քանի որ {\displaystyle \sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\sin(2x),} ապա ստանում ենք.{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{8}}.}

Բազմապատկեք 4-ով և կրկին կստանանք կրկնակի անկյան սինուս. {\displaystyle 2\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow \sin {4x}={\frac {1}{2}}.}

Վերջնական արմատների բանաձևը. {\displaystyle x\_{0,1,...}=(-1)^{k}{\frac {\arcsin {\frac {1}{2}}+\pi k}{4}}=(-1)^{k}{\frac {\pi }{24}}+{\frac {\pi k}{4}},{\text{ }}k\in \mathbb {Z} .}

#### Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների վերափոխումները

Դիֆերենցիալ հավասարումները, որպես կանոն, թվային գործառույթներ և դրանց ածանցյալներ պարունակող հավասարումներ են։ Այսպիսով, թվային հավասարումների վրա կատարված բոլոր վերափոխումները կիրառվում են այս տեսակի հավասարումների վրա։ Հիմնական բանը`հիշել, որ ավելի լավ է իրականացնել այնպիսի վերափոխումներ, որոնցում հավասարման մեջ ներառված գործառույթների ընդունելի արժեքների միջակայքերը ընդհանրապես չեն փոխվում։ Թվային թվերից դիֆերենցիալ հավասարումների տարբերակիչ առանձնահատկությունն հավասար նշանի երկու կողմերում դրանց ինտեգրման (տարբերակման) հնարավորությունն է։ Դիֆերենցիալ հավասարումները, ինչպես նաև թվային դրանք լուծվում են անալիտիկ ֆունկցիայի կամ թվային որոնման ժամանակ վերլուծական (խորհրդանշական ինտեգրացիա) լուծմամբ - ցանկացած ինտերվալը որոշակի ինտեգրալի հաշվարկելիս։ Ստորև ներկայացված են հիմնական և առավել հաճախ օգտագործվող վերափոխումները՝ վերլուծական լուծում գտնելու համար։ Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակների մեծ մասը հնարավոր է կրճատել փոփոխական փոփոխականների հավասարումների հետ, որոնց ընդհանուր լուծումն արդեն հայտնի է։ Այս վերափոխումները ներառում են.

* Միասեռ հավասարումների հավասարեցում փոխարինմամբ {\displaystyle y(x)=xz(x)} երբ {\displaystyle x>0;}
* Քվասիհոգեն հավասարումների հավասարեցումը համասեռ փոփոխության {\displaystyle y(x)=z^{\frac {\beta }{\alpha }},} և ապա բաժանումներով փոփոխական փոփոխություններով հավասարումների։ Գծային դիֆերենցիալ հավասարումները սովորաբար լուծվում են երեք մեթոդով։
* Ինտեգրման գործոնի մեթոդը,
* Լագրանժա մեթոդը (տատանողական կայուն),
* Բեռնուլիի մեթոդ։

Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումները նույնպես իջնում են կամ գծային կամ հավասարեցումների՝ բաժանվող փոփոխականներով օգտագործելով փոխարինողներ։

Երկրորդ և ավելի բարձր կարգերի համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումները լուծվում են գործառույթը փոխարինելով {\displaystyle y(x)=e^{kx}} և այս ձևով անցում դեպի փոփոխականում բնորոշ հանրահաշվական հավասարման լուծմանը {\displaystyle k} աստիճանը հավասար է բնօրինակ դիֆերենցիալ հավասարման կարգին։

Կան ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակներ, որոնց կարգը կարող է կրճատվել որոշ կարգի ածանցյալը փոխարինելով մեկ այլ գործառույթով։ Նույն կերպ, դրանք կարող են իջեցվել բաժանելի փոփոխականների հետ հավասարումների։ Ինտեգրալ հավասարումները ավելի բարդ են, քան դիֆերենցիալները, բայց դրանց լուծումներում, ինչպես նրանց, դրանք հաճախ պարունակում են ինտեգրալ վերափոխումներ.

* Ֆուրերի վերափոխում,
* Լապլասա վերափոխում,
* Հարթլիի վերափոխում,
* Աբել ինտեգրալ վերափոխում,
* Նույնական վերափոխում,
* և այլք (տե՛ս ինտեգրալ վերափոխումներ # փոխակերպման աղյուսակը)։

Դիֆերենցիալից և ինտեգրալից բացի, կա նաև խառը տիպ`ինտեգրրո-դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնց լուծման հիմնական ուղղությունն է` տարբեր մեթոդներով դրանք նախորդ երկու տեսակի հավասարումների իջեցնելը։

#### Ֆունկցիոնալ վերափոխումներ

Գործառնական հավասարումների ընդհանուր լուծում չկա, և ոչ էլ ընդհանուր մեթոդները։ Ֆունկցիոնալ հավասարումները իրենք իրենց լուծման հատկություններն են`գործառույթ կամ գործառույթի տեսակ։ Օրինակ՝ լուծելով ֆունկցիոնալ Աբելի հավասարումը{\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x}} համարվում է գործառույթ {\displaystyle \alpha (x)={\text{slog}}\_{a}x.}:

Հավասարումների լուծման թվային մեթոդներ
--------------------------------------

Այս մեթոդները հանդիսանում են որոշակի ճշգրտությամբ որոշակի հավասարման լուծում ստանալու համար ալգորիթմների առանձին շարք։ Հիմնական տարբերությունները վերլուծական լուծումից.

* Հաշվարկման սխալը (վերլուծական մեթոդով, իռացիոնալ համարները մատչելի են բանական բանաձևերի տեսքով, ուստի, ցանկության դեպքում, կարող են հաշվարկվել ցանկացած ճշգրտությամբ՝ ցանկացած հատուկ դեպքի համար),
* Դիմումի ունիվերսալություն (նույն թվային մեթոդները կարող են կիրառվել բոլորովին տարբեր տեսակի հավասարումների համար),
* Լուծման գործընթացի վերականգնումը (մեկ հավասարման յուրաքանչյուր տիպի յուրաքանչյուր հատուկ դեպքի համար, մեթոդը պետք է կիրառվի նորից և ի սկզբանե, ի տարբերություն վերլուծական լուծման, իմանալով, թե որ արմատները հաշվարկելու համար բավական է անհրաժեշտ գործակիցները փոխարինել արդեն հայտնի, այսինքն՝ ավելի վաղ ստացված բանաձևին),
* Լրացուցիչ սարքավորումների օգտագործման անհրաժեշտությունը (ինչպիսիք են հաշվիչներ և ծրագրային ապահովման արտադրանքները, վերլուծական լուծումները հորինված են «գլխից», չնայած կան հատուկ կայքեր կամ տեղադրված ծրագրակազմ, որոնք կարող են բխել արդեն իսկ հայտնի վերլուծական լուծումների բանաձևերից)։

### Բիսեկցիայի մեթոդ (դիկոտոմիա)

Հավասարումի լուծման այս թվային մեթոդը հիմնված է իր զրոյի մոտ շարունակական գործառույթի նշանների հակառակի վրա։ Ալգորիթմը ինքնին բավականին պարզ է.

1. Վերցվում է մի հատված, որի ծայրերում գործառույթը տալիս է հակառակ արժեքներ՝ նշանով։
2. Սեգմենտը բաժանվում է կիսով չափ, որից հետո հատվածի կեսի գործառույթի արժեքը բազմապատկվում է դրա ավարտի արժեքներով. Բացասական արդյունքը հանգեցնում է սկզբնական հատվածի նեղացմանը նախկին կեսից մինչև վերջ, որի վրա արտադրանքը բացասական էր,
3. Մենք նորից բաժանեցինք նոր հատվածը կիսով չափ և կրկնում ենք ընթացակարգը, մինչև հատվածը հասնի նշված ճշգրտությանը։

Օրինակ. Գտեք հավասարման դրական արմատը {\displaystyle 2^{x}=x^{2}+2.} Դա անելու համար մենք հավասարումը վերաշարադրում ենք մի գործառույթով. {\displaystyle f(x)=2^{x}-x^{2}-2.} Այս գործառույթը գծագրելով՝ հեշտ է հաստատել, որ ցանկալի արժեքը ընկած է ընդմիջման մեջ {\displaystyle [4;{\text{ }}5].} Գտեք գործառույթի արժեքները այս հատվածի ծայրերից և դրա կեսից. {\displaystyle f(4)=-2;} {\displaystyle f(5)=5;} {\displaystyle f(4,5)\approx 0,377416997969519,}- ինչպես տեսնում եք, արժեքների արտադրանք{\displaystyle f(4)} и {\displaystyle f(4,5)} տալիս է բացասական արդյունք, ի տարբերություն {\displaystyle f(4,5)\cdot f(5).} Այժմ այն հատվածը, որի հիմքում ընկած է արմատը, կրճատվում է. {\displaystyle [4;{\text{ }}4,5].} Մենք նորից կրկնում ենք ընթացակարգը (այս դեպքում ծայրերում գտնվող գործառույթի արժեքներն արդեն հայտնի են նախորդ հաշվարկներից)։

{\displaystyle f(4,25)\approx -1,035186159956460,} - այժմ հատվածը կրճատվել է «այլ ուղղությամբ». {\displaystyle [4,25;{\text{ }}4,5].} Հաջորդ ցիկլը. {\displaystyle f(4,375)\approx -0,391192125583853,} - մենք ստանում ենք նոր հատված. {\displaystyle [4,375;{\text{ }}4,5].} Ցիկլը շարունակում է պահանջվող ճշգրտությունը, այնուհետև, որպես արմատի մոտավոր արժեք, ընտրվում է հատվածի վերջը, որի գործառույթի արժեքը ամենամոտ է զրոյին։ Մեր օրինակում՝ 4.44129 արժեքը կլինի սկզբնական հավասարման արմատը՝ մինչև հինգերորդ տասնորդական տեղը։

### Խորդի (ճյուղավորվող) մեթոդը

Տրված ճշգրտությամբ հավասարման արմատը գտնելու համար բազմացնող թվային մեթոդ, որը հիմնված է արմատին անընդհատ մոտարկման վրա՝ ակորդիս առանցքի ակորդների խաչմերուկի միջոցով։ Այստեղ օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

{\displaystyle x\_{i+1}=x\_{i}-{\dfrac {f(x\_{i})\cdot (x\_{i}-x\_{0})}{f(x\_{i})-f(x\_{0})}},} այնուամենայնիվ, այն ունի ցածր կոնվերգենցիայի արագություն, հետևաբար փոխարենն ավելի հաճախ է գործածվում ալգորիթմը.

{\displaystyle x\_{i+1}=x\_{i-1}-{\dfrac {f(x\_{i-1})\cdot (x\_{i}-x\_{i-1})}{f(x\_{i})-f(x\_{i-1})}};} տարբեր աղբյուրներում երկուսն էլ այս բանաձևերը այլ կերպ են կոչվում`ակորդի մեթոդ և, կամ գաղտնազերծման մեթոդ։

Երկրաչափական իմաստով մեթոդն օգտագործելու ընդհանուր ալգորիթմն ունի ձև.

1. Նախ պետք է համոզվեք, որ հավասարման գործառույթը շարունակական է, և քննարկվող ընդմիջումի վրա կա միայն մեկ արմատ, և ածանցյալի զրոներ չկան (հակառակ դեպքում հաշվարկը կարող է ընդհանրապես չհամընկնել),
2. Այնուհետև ընտրեք երկու կետ, որոնք պատկանում են գործառույթի գրաֆիկին (դրա վրա պառկած), որի բացակայությունները գտնվում են տվյալ ընդմիջումներում և այն գործառույթի արժեքները, որոնցում նշվում են հակառակ,
3. Այս երկու կետերն էլ միացված են՝ կազմելով ակորդ (հատիկ), հաշվարկվում է ակորդի առանցքի հետ ակորդի հատման կետը,
4. Աբցիսների առանցքի ուղղահայաց գծանշանը գծվում է խաչմերուկի կետից դեպի գործառույթի գրաֆիկը (գործառույթի գծապատկերում հատման կետի կանխատեսումը),
5. Գործառույթի գրաֆիկի վրա գոյություն ունեցող ակորդի հակառակ ծայրով ստացված կետը միացված է՝ կազմելով նոր ակորդ, որի համար անհրաժեշտ կլինի նաև հատման կետը հաշվարկել աբցիսների առանցքի հետ ... և այլն։

### Նյուտոնի մեթոդը

Նյուտոնի մեթոդի հիմնական գաղափարը հետևյալ ալգորիթմի համաձայն՝ տարբերակիչ գործառույթի կրկնող մոտեցումն օգտագործելն է։

{\displaystyle f'(x\_{n})={\text{tg}}\alpha \_{n}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {0-f(x\_{n})}{x\_{n+1}-x\_{n}}}\longrightarrow x\_{n+1}=x\_{n}-{\frac {f(x\_{n})}{f'(x\_{n})}}}

Նախ պետք է համոզվեք, որ գործառույթը, որն այս հավասարման մեջ հավասար է զրոյի, բավարարում է որոշ չափանիշներ, սահմանափակումներ և պայմաններ այս մեթոդի կիրառելիության համար, ապա համոզվեք, որ հայտնաբերված անհայտ արմատի կողքին այլ անհայտ արմատներ չկան (հակառակ դեպքում, դուք պարզապես կարող եք «շփոթվել» ) Այժմ ընտրեք փոփոխականի արժեքը. {\displaystyle x\_{n}}, արմատին մոտ (որքան մոտ է, այնքան լավ) և փոխարինիր վերը նշված բանաձևով։ Հնարավոր է երկու հնարավոր արդյունք.

1. Եթե ստացված արժեքը {\displaystyle x\_{n+1}} ընկած է նույն ընդմիջումից, ինչպես ցանկալի արմատը, այն կրկին կարող է փոխարինվել բանաձևով. յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը ավելի ճշգրիտ է, քան նախորդը;
2. Եթե ստացված արժեքը {\displaystyle x\_{n+1}} չի ընկնում նույն ընդմիջումից, ինչպես ցանկալի արմատը, անհրաժեշտ է փոխարինել {\displaystyle x\_{n+1}} վրա {\displaystyle {\frac {x\_{n}+x\_{n+1}}{2}}} մինչև նոր արժեքը վերադառնա միջակայքին։ Կրկնվող գործընթացը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև հավասարման պահանջվող արմատից ստացված մոտավորումը հասնի պահանջվող ճշգրտությանը։

### Կրկնության պարզ մեթոդ։

Ամփոփելով ակորդների (արժեթղթերի) և Նյուտոնի մեթոդը՝ կարող ենք եզրակացնել, որ դրանք երկուսն էլ նույն ալգորիթմի տատանում են։ Այն կարելի է բնութագրել հետևյալ կերպ.

1. Հավասարումը {\displaystyle f(x)=0} կրճատվել է. {\displaystyle x=\varphi (x)}, - Այժմ կարող եք գրել այն կրկնող բանաձևը, ինչպես {\displaystyle x\_{i+1}=\varphi (x\_{i});}
2. Ֆունկցիան {\displaystyle \varphi (x\_{i})} սովորաբար պետք է ընտրվեն մեթոդի համընկնման պայմաններին համապատասխան {\displaystyle \varphi (x\_{i})=x\_{i}-\lambda (x)f(x\_{i}),} որպես անկախ {\displaystyle \lambda (x)} կարող է ընտրել հաստատուն {\displaystyle \lambda \_{0},} որի նշանը համընկնում է ածանցյալի նշանի հետ

{\displaystyle f'(x)} իսկական արմատը և առաջին արժեքը միացնող հատվածի վրա {\displaystyle x\_{0}.}

Մասնավորապես, պարամետրերը {\displaystyle \lambda \_{0}={\frac {1}{f'(x\_{0})}},} մենք հանդիպում ենք մի ալգորիթմ, որը կոչվում է մեկ շոշափող մեթոդ. և երբ {\displaystyle \lambda (x)={\frac {1}{f'(x)}}} ստացանք նույն Նյուտոնի մեթոդը։

Օրինակ. Գտեք հավասարման արմատի մոտավորությունը {\displaystyle 0,25\sin(x)-x-\pi =0.} Նախ մենք սահմանում ենք մի ֆունկցիա {\displaystyle \varphi (x)} և արտահայտել {\displaystyle x} նրա միջոցով

{\displaystyle x=0,25\sin(x)-\pi \longrightarrow \varphi (x)=0,25\sin(x)-\pi ,} - հիմա անհրաժեշտ է ճշտել, թե արդյոք ստացված գործառույթը համապատասխանում է կոնվերգենցիայի պայմանին, — {\displaystyle |\varphi '(x)|<1:}

{\displaystyle \varphi '(x)=0,25\cos(x)\longrightarrow |0,25\cos(x)|<1,} но {\displaystyle \cos(x)\in {[-1;1]}{\text{ }}\forall x.}

Այժմ մնում է ընտրել առաջին կրկնության համար արժեք, արմատին մոտ (այնքան մոտ է, այնքան արագ է մեթոդի կոնվերգենցիան)։ Թող {\displaystyle x\_{0}=-3,} тогда {\displaystyle \varphi (-3)=x\_{1}=0,25\sin(-3)-\pi \approx -3,176872655604760.}

Կրկնել կարգը նոր արժեքի համար. {\displaystyle \varphi (x\_{1})=x\_{2}\approx 0,25\sin(-3,176872655604760)-\pi \approx -3,132774482649750...}

Ավարտելով այս եղանակով կրկնման 22 քայլերը, մենք ստանում ենք մոտարկումը {\displaystyle x\_{22}\approx -3,141592653589790,} որի համար հավասարությունը ճշմարիտ է մինչև տասնհինգերորդ տասնորդական տեղը. {\displaystyle x\_{22}=-\pi }. Ստուգում։ {\displaystyle 0,25\sin(\pi )-(-\pi )-\pi =0,25\cdot 0+\pi -\pi =0\Longleftrightarrow 0=0.}

Նկատի ունեցեք, որ կոնվերգենցիայի մակարդակը նույնպես կախված է հենց գործառույթից։ Այսպիսով, եթե բազմապատկիչի փոխարեն {\displaystyle 0,25} մենք դնելու ենք {\displaystyle 0,5}, ապա նույն նախնական արժեքով {\displaystyle x\_{0}} և սխալի մակարդակը, քայլերի քանակը կավելանա 22-ից մինչև 44։

Լուծման ստուգման մեթոդներ
-------------------------

Լուծման ստուգումը անհրաժեշտ է պարզելու համար ստացված լուծույթը ճշմարիտ է և (կամ) արտառոց։ Հավասարումը խնդրի հատուկ դեպքն է, հետևաբար, նույնականացման մեթոդները կիրառվում են դրանց վրա, մասնավորապես։

* **Լուծման ալգորիթմի փորձարկումը** լուծման ընթացքը ստուգելու հիմնական մեթոդն է, որը բաղկացած է ալգորիթմի բոլոր կատարված մաթեմատիկական գործողությունների տրամաբանությունից արդարացնելով (այսինքն՝ դրանց հետևողականությունը մաթեմատիկական տեսությունների հետ, որոնց շրջանակներում լուծվում է հավասարումը)։

Այնուամենայնիվ, ալգորիթմի ստուգումը միշտ չէ, որ հնարավոր է կամ ամբողջությամբ հնարավոր չէ, ավելին, սխալները կարող են կատարվել նաև ինքնին ստուգումը կատարելիս, և այս մեթոդը գրեթե երբեք չի ստուգում լուծման ամբողջականությունը։ Նման դեպքերում օգտագործվում են այլ մեթոդներ, ինչպիսիք են, օրինակ։

* **Արմատների փոխարինումը** բնօրինակ հավասարման մեջ`հաստատելու համար, որ տվյալ հավասարումը նույնական է տվյալ լուծման համար (սակայն լուծումների անսահման շարքերը չեն կարող հաստատվել այս եղանակով)։
* **ՕԴԶ**-ի համապատասխանության ստուգումը չի երաշխավորում լուծման ճիշտությունը և ամբողջականությունը, բայց որոշում է դրանց ճշմարտացիությունը և օգնում է խուսափել լրացուցիչ լուծումներից (և, հետևաբար, ստուգումներից), եթե հայտնվում են արտասովոր արմատներ։
* **Լուծումը ստուգվում է** վերլուծական լուծույթի վրա պարզ և (կամ) սահմանափակող դեպքերի համար, որպեսզի ապացուցի դրա համընդհանուրությունը կամ դրանում սահմանափակող գործառույթների առկայությունը, այսինքն. գտեք հնարավոր լուծումների շրջանակը այս հատուկ տեսակի հավասարման համար։
* **Հավասարումի լուծույթի** կառուցվածքի համապատասխանության ստուգումը թույլ է տալիս նախօրոք որոշել հավասարման լրացուցիչ հնարավոր լուծումները` ելնելով հավասարման մեջ ներառված գործառույթների հատկությունների հիման վրա, ինչպիսիք են սիմետրիան, պարիտետը, կրկնությունը և այլն։
* **Այլընտրանքային լուծումը օգտակար է** այն դեպքում, երբ դուք պետք է ստուգեք որոշակի ալգորիթմ (վերլուծական լուծում), այս մեթոդի շնորհիվ բացվում են նոր բանաձևեր, հարաբերություններ և արդեն հայտնի գործառույթների փոխկապակցվածություններ։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Closed-form expression(անգլ.) // *Wikipedia*. — 2018-06-06.
2. ↑  *Кудряшова Т. Г.* Методы решения математических задач. 5 класс. — М.: НФ «Вольное дело», 2008. — С. 132. — 208 с. — ISBN 978-5-90415-801-9, ББК 22.1я721, К-88
3. ↑  *Бакланова Е. А.* Решение текстовых задач различными способами // *Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»* : сайт. — 2012.
4. ↑  *Farrugia P. S. Mann R. B. Scott T. C.* N-body Gravity and the Schrödinger Equation(անգլ.) // *Class. Quantum Grav.*. — 2007. — Т. 24. — № 18. — С. 4647—4659. — doi:10.1088/0264-9381/24/18/006
5. ↑  *Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. Дудницын Ю. П. Ивлев Б. М. Шварцбурд С. И.* Глава IV. Показательная и логарифмическая функции, пар. 10 — Показательная и логарифмическая функции, п. 40 — Понятие об обратной функции // Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. А. Н. Колмогорова. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — С. 246—247. — ISBN 978-5-09-019513-3
6. ↑  *Мордкович А. Г. Семёнов П. В.* Глава 4. Тригонометрические уравнения, пар. 23 — Методы решения тригонометрических уравнений, п. 2. — Метод разложения на множители // Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — 6-е изд. — М.: Мнемозина, 2009. — С. 191. — ISBN 978-5-346-01201-6 «Արխիվացված պատճենը». Արխիվացված է օրիգինալից 2019 թ․ ապրիլի 6-ին. Վերցված է 2020 թ․ մայիսի 11-ին.
7. ↑  *Мордкович А. Г.* Глава 4. Квадратные уравнения, п. 30 — Иррациональные уравнения // Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — 12-е. — М.: Мнемозина, 2010. — С. 175. — ISBN 978-5-346-01427-0
8. ↑  Экспонента(ռուս.) // *Википедия*. — 2017-12-21.
9. ↑  Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М.: «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.
10. ↑  Интеграл Римана(ռուս.) // *Википедия*. — 2017-03-11.
11. ↑  Дифференцируемая функция(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-05-20.
12. ↑  *Макарычев Ю. Н. Миндюк Н. Г. Нешков К. И. Суворова С. Б.* Глава II. Функции, пар. 5 — Фукнции и их графики, п. 14 — График функции // Алгебра. 7 класс: учеб для общеобразоват. учреждений / под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — С. 60. — ISBN 978-5-09-021255-7
13. ↑  *И. И. Жогин* О средних // *Математическое просвещение* : журнал  / под ред. И. Н. Бронштейна, А. М. Лопшица, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича, И. М. Яглома. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — В. 6. — С. 217.
14. ↑  *Joseph Gerver* The Differentiability of the Riemann Function at Certain Rational Multiples of π // *American Journal of Mathematics*. — 1970. — В. 1. — Т. 92. — С. 33—55. — doi:10.2307/2373496
15. ↑  *Мордкович А. Г. Семёнов П. В.* Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 27 — Общие методы решения уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 211—218. — ISBN 5-346-729-6
16. ↑  *Савин А. П.* Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
17. ↑  «Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II». ilib.mccme.ru. Արխիվացված է օրիգինալից 2011 թ․ սեպտեմբերի 18-ին. Վերցված է 2018 թ․ հունիսի 3-ին.
18. ↑  Суперкорень(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-05-31.
19. ↑  *R. Bruce King.* Chapter 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation. — Birkhäuser Boston, 2008. — С. 139—149. — 149 с. — (Modern Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364.
20. 1 2 3 4 5  *Мордкович А. Г. Семёнов П. В.* Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 26 — Равносильность уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 201—211. — ISBN 5-346-729-6
21. 1 2  Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
22. ↑  Равенство третьему(ռուս.) // *Википедия*. — 2017-02-21.
23. ↑  Суперкорень(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-06-22.
24. 1 2 3  Обыкновенное дифференциальное уравнение(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-05-27.
25. ↑  Дифференциальное уравнение Бернулли(ռուս.) // *Википедия*. — 2017-04-06.
26. ↑  Суперлогарифм(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-07-06.
27. ↑  Метод Ньютона(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-05-21.
28. 1 2  *Худак Ю. И. Асланян А. Г.* Проверка правильности задачи — важный этап обучения и воспитания школьника (ru, en) // *Издательство ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» (РУДН)* : сайт. — С. 25—30. Архивировано из первоисточника 28 Հուլիսի 2018.

Գրականություն
-------------

* Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
* *Уравнение* հոդվածը Սովետական մեծ հանրագիտարանում
* Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. — 2000. // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
* *Уравнение* // Энциклопедия Кругосвет
* *И. М. Виноградов* Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.