Գնդոլորտային սեգմենտի օրինակ (ներկված է կապույտ գույնով): Երկրորդ մասը նույնպես իրենից սեգմենտ է ներկայացնում։
**Գնդոլորտային սեգմենտ**, մակերևույթ, որևէ հարթությունով հատված գնդոլորտի մաս։ Հարթությունը գունդը բաժանում է 2 սեգմենտի։ Փոքրը կոչվում է գնդոլորտային շրջան։ Եթե հարթությունը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա այդպիսի գնդային սեգմենտները կոչվում են կիսագնդեր։

Գնդային սեգմենտը, հիմք հանդիսացող շրջանով և գնդոլորտային սեգմենտով սահմանափակված մարմին է։

Մակերևույթի մակերես և ծավալ
---------------------------

Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է {\displaystyle a}, բարձրությունը {\displaystyle h}, ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է.

{\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})},
սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

{\displaystyle A=2\pi rh}
կամ

{\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}.
{\displaystyle a}, {\displaystyle h} և {\displaystyle r} պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

{\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}},
{\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}.
Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

{\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})}.
Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում {\displaystyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}, ներքին մասում {\displaystyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}, հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․ {\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}} և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

{\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}.
կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

{\displaystyle V=\int \_{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos(\theta )+2)(\cos(\theta )-1)^{2}}.

Օգտագործումը
------------

### Երկու հատվող գնդոլորտների հատում և միավորում

*r*1 և *r*2 ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը․

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}},
որտեղ

{\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r\_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r\_{2}^{3}}
Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

{\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h\_{1}^{2}}{3}}(3r\_{1}-h\_{1})+{\frac {\pi h\_{2}^{2}}{3}}(3r\_{2}-h\_{2})}
Եթե *d* < *r*1 + *r*2 գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա *h*1 և *h*2 մեծությունների բացառումը բերում է

{\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r\_{1}+r\_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r\_{1}+r\_{2})-3(r\_{1}-r\_{2})^{2}\right)} արտահայտությանը։
### Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերես

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ *r* շառավղով գնդոլորտի և *φ*1 և *φ*2 լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է։

{\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi \_{1}-\sin \phi \_{2}|}.

Ընդհանրացում
------------

### Հիպերգնդոլորտի սեգմենտ

{\displaystyle n}-աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, {\displaystyle h} բարձրությամբ {\displaystyle r} շառավղով {\displaystyle n}-աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է․

{\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits \_{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}
որտեղ՝ {\displaystyle \Gamma } (գամմա ֆունկցիա) տրվում է {\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}արտահայտությամբ։

Մակերևույթի {\displaystyle A} մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել {\displaystyle n}-աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

{\displaystyle A\_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}A\_{n}\,r^{n-1}I\_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)},
որտեղ {\displaystyle 0\leq h\leq r}.

Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը․{\displaystyle A=A\_{n}p\_{n-2}(q),V=V\_{n}p\_{n}(q)}, որտեղ{\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p\_{n}(q)=(1-G\_{n}(q)/G\_{n}(1))/2},

{\displaystyle G\_{n}(q)=\int \limits \_{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}.

{\displaystyle n=2k+1}դեպքում

{\displaystyle G\_{n}(q)=\sum \_{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}.

Ցույց է տրվում, որ {\displaystyle n\to \infty } և {\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const }}}դեպքում․ {\displaystyle p\_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}։

Գրականություն
-------------

* *А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров* Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Энциклопедия элементарной математики, 1963, էջ 519-520
2. ↑  Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), *Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists*, CRC Press, p. 69, ISBN 9781584885023,  .
3. ↑  Connolly, Michael L. (1985). «Computation of molecular volume». *J. Am. Chem. Soc*. **107**: 1118–1124. doi:10.1021/ja00291a006.
4. ↑  Pavani, R.; Ranghino, G. (1982). «A method to compute the volume of a molecule». *Comput. Chem*. **6**: 133–135. doi:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
5. ↑  Bondi, A. (1964). «Van der Waals volumes and radii». *J. Phys. Chem*. **68**: 441–451. doi:10.1021/j100785a001.
6. ↑  Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel. «Successful Software Development». Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 29-ին.
7. ↑  Li, S (2011). «Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap». *Asian J. Math. Stat*. **4** (1): 66–70. doi:10.3923/ajms.2011.66.70.
8. ↑  Chudnov, Alexander M. (1986). «On minimax signal generation and reception algorithms (rus.)». *Problems of Information Transmission*. **22** (4): 49–54.
9. ↑  Chudnov, Alexander M (1991). «Game-theoretical problems of synthesis of signal generation and reception algorithms (rus.)». *Problems of Information Transmission*. **27** (3): 57–65.