Քառանիստ
**Տետրաէդր** կամ **քառանիստ** (հին հունարեն՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։

Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար
------------------------------

Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։

4 + 4 - 6 = 2
2 = 2

Քառանիստի տեսակներ
------------------

### Հավասարանիստ քառանիստ

Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք
Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.

* Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
* Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
* Եռանիստ անկյունները հավասար են։
* Հակադիր անկյունները հավասար են։
* Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
* Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
* Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
* Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
* Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
* Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
* Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
* Նիստերի պարագծերը հավասար են։
* Նիստերի մակերեսները հավասար են։
* Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
* Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
* Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
* Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
* Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
* Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
* Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
* Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
* Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։

Քառանիստի ծավալ
---------------

Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են {\displaystyle ~\mathbf {r} \_{1}(x\_{1},y\_{1},z\_{1})},
{\displaystyle ~\mathbf {r} \_{2}(x\_{2},y\_{2},z\_{2})}, {\displaystyle ~\mathbf {r} \_{3}(x\_{3},y\_{3},z\_{3})},
{\displaystyle ~\mathbf {r} \_{4}(x\_{4},y\_{4},z\_{4})}, որոնք հավասար են։

{\displaystyle ~V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x\_{1}&y\_{1}&z\_{1}\\1&x\_{2}&y\_{2}&z\_{2}\\1&x\_{3}&y\_{3}&z\_{3}\\1&x\_{4}&y\_{4}&z\_{4}\end{vmatrix}}}

Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում
-----------------------------------------

| Մակերես (Ծավալ) |
| --- |
| {\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}} | {\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha \_{2,1}^{2}&\alpha \_{3,1}^{2}&\alpha \_{4,1}^{2}\\1&\alpha \_{2,1}^{2}&0&\alpha \_{3,2}^{2}&\alpha \_{4,2}^{2}\\1&\alpha \_{3,1}^{2}&\alpha \_{3,2}^{2}&0&\alpha \_{4,3}^{2}\\1&\alpha \_{4,1}^{2}&\alpha \_{4,2}^{2}&\alpha \_{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}, որտեղ {\displaystyle \alpha \_{1,2}}-ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է։ |
| {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah\_{a}} | {\displaystyle V={\frac {1}{3}}S\_{1}H\_{1}} |
| {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } | {\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S\_{1}S\_{2}}{\alpha \_{3,4}}}\sin(\phi \_{1,2})},

որտեղ {\displaystyle \phi \_{1,2}} -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, {\displaystyle S\_{1}} և {\displaystyle S\_{2}}-ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները։ |
| Կիսորդի երկարություն (մակերես) |
| {\displaystyle l\_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}} | {\displaystyle L\_{1,2}={\frac {2S\_{1}S\_{2}\cos({\frac {\phi \_{1,2}}{2}})}{S\_{1}+S\_{2}}}} |
| Միջնագծի երկարություն |
| {\displaystyle m\_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}} | {\displaystyle m\_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha \_{1,2}^{2}+\alpha \_{1,3}^{2}+\alpha \_{1,4}^{2})-(\alpha \_{2,3}^{2}+\alpha \_{2,4}^{2}+\alpha \_{3,4}^{2})}}{3}}} |
| Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ |
| {\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}} | {\displaystyle r={\frac {3V}{S\_{1}+S\_{2}+S\_{3}+S\_{4}}}} |
| Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ |
| {\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}} | {\displaystyle R={\frac {S\_{T}}{6V}}}, որտեղ {\displaystyle S\_{T}}-ն {\displaystyle \alpha \_{1,2}\alpha \_{3,4},\alpha \_{1,3}\alpha \_{2,4},\alpha \_{1,4}\alpha \_{2,3}} կողմերով եռանկյան մակերեսն է |
| Կոսինուսների թեորեմ |
| {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}} | {\displaystyle \cos(\phi \_{1,2})={\frac {A\_{1,2}}{16S\_{1}S\_{2}}}},

որտեղ {\displaystyle \phi \_{1,2}}-ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, {\displaystyle S\_{1}} և {\displaystyle S\_{2}} -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները, {\displaystyle A\_{1,2}}-ն՝ {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha \_{2,1}^{2}&\alpha \_{3,1}^{2}&\alpha \_{4,1}^{2}\\1&\alpha \_{2,1}^{2}&0&\alpha \_{3,2}^{2}&\alpha \_{4,2}^{2}\\1&\alpha \_{3,1}^{2}&\alpha \_{3,2}^{2}&0&\alpha \_{4,3}^{2}\\1&\alpha \_{4,1}^{2}&\alpha \_{4,2}^{2}&\alpha \_{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}} մատրիցայի {\displaystyle \alpha \_{2,1}^{2}} տարի հանրահաշվական լրացումը |
| Սինուսների թեորեմ |
| {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}} | {\displaystyle {\frac {S\_{1}}{\Psi \_{1}}}={\frac {S\_{2}}{\Psi \_{2}}}={\frac {S\_{3}}{\Psi \_{3}}}={\frac {S\_{4}}{\Psi \_{4}}}},

որտեղ {\displaystyle S\_{1},S\_{2},S\_{3},S\_{4}}-ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են{\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos(B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}}, որտեղ {\displaystyle A,B,C}-ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են ։ |
| Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն) |
| {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} | {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi \_{2,1}\right)&-\cos \left(\phi \_{3,1}\right)&-\cos \left(\phi \_{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi \_{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi \_{3,2}\right)&-\cos \left(\phi \_{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi \_{3,1}\right)&-\cos \left(\phi \_{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi \_{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi \_{4,1}\right)&-\cos \left(\phi \_{4,2}\right)&-\cos \left(\phi \_{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0},

որտեղ {\displaystyle \phi \_{1,2}} -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է։ |
| Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն |
| {\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr} | {\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S\_{1}S\_{2}\alpha \_{1,2}^{2}+S\_{1}S\_{3}\alpha \_{1,3}^{2}+S\_{1}S\_{4}\alpha \_{1,4}^{2}+S\_{2}S\_{3}\alpha \_{2,3}^{2}+S\_{2}S\_{4}\alpha \_{2,4}^{2}+S\_{3}S\_{4}\alpha \_{3,4}^{2}}{(S\_{1}+S\_{2}+S\_{3}+S\_{4})^{2}}}},

որտեղ {\displaystyle S\_{1},S\_{2},S\_{3},S\_{4}} -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած
նիստերի մակերեսներն են։
Արտահայտության երկրորդ գրառում. {\displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,} որտեղ {\displaystyle T} -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է։ |

Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում
-----------------------------------------

### Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ

Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։

### Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն

{\displaystyle \operatorname {det} \Psi >0} — գնդային քառանիստի համար։

{\displaystyle \operatorname {det} \Psi <0} — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ {\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A\_{2,1})&-\cos(A\_{3,1})&-\cos(A\_{4,1})\\-\cos(A\_{2,1})&1&-\cos(A\_{3,2})&-\cos(A\_{4,2})\\-\cos(A\_{3,1})&-\cos(A\_{3,2})&1&-\cos(A\_{4,3})\\-\cos(A\_{4,1})&-\cos(A\_{4,2})&-\cos(A\_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}} -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

{\displaystyle A\_{i,j}}-ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։

### Կոսինուսների թեորեմ

{\displaystyle \cos(A\_{i,j})=-{\frac {\Phi \_{i,j}}{\sqrt {\Phi \_{i,i}\Phi \_{j,j}}}}} — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

{\displaystyle \cos(\alpha \_{i,j})={\frac {\Psi \_{i,j}}{\sqrt {\Psi \_{i,i}\Psi \_{j,j}}}}} — գնդային քառանիստի համար։

{\displaystyle \operatorname {ch} (\alpha \_{i,j})={\frac {\Psi \_{i,j}}{\sqrt {\Psi \_{i,i}\Psi \_{j,j}}}}} — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ {\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha \_{2,1})&\cos(\alpha \_{3,1})&\cos(\alpha \_{4,1})\\\cos(\alpha \_{2,1})&1&\cos(\alpha \_{3,2})&\cos(\alpha \_{4,2})\\\cos(\alpha \_{3,1})&\cos(\alpha \_{3,2})&1&\cos(\alpha \_{4,3})\\\cos(\alpha \_{4,1})&\cos(\alpha \_{4,2})&\cos(\alpha \_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}} -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

{\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha \_{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha \_{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha \_{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha \_{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

{\displaystyle \alpha \_{i,j}} -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

{\displaystyle \Psi \_{i,j}}-ն {\displaystyle \Psi } մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։

### Սինուսների թեորեմ

{\displaystyle {\frac {\Phi \_{1,1}}{\Psi \_{1,1}}}={\frac {\Phi \_{2,2}}{\Psi \_{2,2}}}={\frac {\Phi \_{3,3}}{\Psi \_{3,3}}}={\frac {\Phi \_{4,4}}{\Psi \_{4,4}}}} — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

### Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha \_{2,1})&\cos(\alpha \_{3,1})&\cos(\alpha \_{4,1})&1\\\cos(\alpha \_{2,1})&1&\cos(\alpha \_{3,2})&\cos(\alpha \_{4,2})&1\\\cos(\alpha \_{3,1})&\cos(\alpha \_{3,2})&1&\cos(\alpha \_{4,3})&1\\\cos(\alpha \_{4,1})&\cos(\alpha \_{4,2})&\cos(\alpha \_{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0} — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. {\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi \_{1,1}}}{\overrightarrow {n\_{1}}}+{\sqrt {\Phi \_{2,2}}}{\overrightarrow {n\_{2}}}+{\sqrt {\Phi \_{3,3}}}{\overrightarrow {n\_{3}}}+{\sqrt {\Phi \_{4,4}}}{\overrightarrow {n\_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}, որտեղ {\displaystyle {\overrightarrow {n\_{1}}},{\overrightarrow {n\_{2}}},{\overrightarrow {n\_{3}}},{\overrightarrow {n\_{4}}}} քառանիստի նիստերի նորմալներն են։

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. {\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i\_{1}}}&{\overrightarrow {i\_{2}}}&{\overrightarrow {i\_{3}}}&{\overrightarrow {i\_{4}}}\\1&X\_{1}&Y\_{1}&Z\_{1}&T\_{1}\\1&X\_{2}&Y\_{2}&Z\_{2}&T\_{2}\\1&X\_{3}&Y\_{3}&Z\_{3}&T\_{3}\\1&X\_{4}&Y\_{4}&Z\_{4}&T\_{4}\\\end{vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha \_{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha \_{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha \_{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha \_{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha \_{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0} — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։

### Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

{\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(r)}}={\frac {\Phi \_{1,1}+\Phi \_{2,2}+\Phi \_{3,3}+\Phi \_{4,4}+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{2,2}}}\cos(\alpha \_{1,2})+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{3,3}}}\cos(\alpha \_{1,3})+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{4,4}}}\cos(\alpha \_{1,4})+2{\sqrt {\Phi \_{2,2}\Phi \_{3,3}}}\cos(\alpha \_{2,3})+2{\sqrt {\Phi \_{2,2}\Phi \_{4,4}}}\cos(\alpha \_{2,4})+2{\sqrt {\Phi \_{3,3}\Phi \_{4,4}}}\cos(\alpha \_{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}} — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. {\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi \_{1,1}}}{\overrightarrow {r\_{1}}}+{\sqrt {\Phi \_{2,2}}}{\overrightarrow {r\_{2}}}+{\sqrt {\Phi \_{3,3}}}{\overrightarrow {r\_{3}}}+{\sqrt {\Phi \_{4,4}}}{\overrightarrow {r\_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}, որտեղ {\displaystyle {\overrightarrow {r\_{1}}},{\overrightarrow {r\_{2}}},{\overrightarrow {r\_{3}}},{\overrightarrow {r\_{4}}}} քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{\frac {\Phi \_{1,1}+\Phi \_{2,2}+\Phi \_{3,3}+\Phi \_{4,4}+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{2,2}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{1,2})+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{1,3})+2{\sqrt {\Phi \_{1,1}\Phi \_{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{1,4})+2{\sqrt {\Phi \_{2,2}\Phi \_{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{2,3})+2{\sqrt {\Phi \_{2,2}\Phi \_{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{2,4})+2{\sqrt {\Phi \_{3,3}\Phi \_{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha \_{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}} — հիպերբոլային քառանիստի համար։

### Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն

{\displaystyle {\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)}}={\frac {{\sqrt {\Phi \_{1,1}}}+{\sqrt {\Phi \_{2,2}}}+{\sqrt {\Phi \_{3,3}}}+{\sqrt {\Phi \_{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}} — գնդային քառանիստի համար։

### Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով

* Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

{\displaystyle \mathbf {J} \_{r}({\sqrt {\Phi \_{1,1}}},{\sqrt {\Phi \_{2,2}}},{\sqrt {\Phi \_{3,3}}},{\sqrt {\Phi \_{4,4}}}).} — գնդային քառանիստի համար։

* Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

{\displaystyle \mathbf {J} \_{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J\_{1}} &\mathbf {J\_{2}} &\mathbf {J\_{3}} &\mathbf {J\_{4}} \\1&1&\cos(\alpha \_{1,2})&\cos(\alpha \_{1,3})&\cos(\alpha \_{1,4})\\1&\cos(\alpha \_{2,1})&1&\cos(\alpha \_{2,3})&\cos(\alpha \_{2,4})\\1&\cos(\alpha \_{3,1})&\cos(\alpha \_{3,2})&1&\cos(\alpha \_{3,4})\\1&\cos(\alpha \_{4,1})&\cos(\alpha \_{4,2})&\cos(\alpha \_{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.} — գնդային քառանիստի համար։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  "Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»". Արխիվացված է the original 2014 թ․ դեկտեմբերի 28-ին. Retrieved 2020 թ․ փետրվարի 20. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|deadlink=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)
2. ↑  Селиванов Д. Ф. (1890–1907). "Тело геометрическое". *Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)*. Սանկտ Պետերբուրգ.`{{cite book}}`: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) CS1 սպաս․ հավելյալ կետադրություն (link)
3. ↑
4. ↑

Գրականություն
-------------

* Матизен В. Э. Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
* Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
* Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.