**Ենսենի անհավասարությունը** պնդում է այն գաղափարը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը ցածր է ֆունկցիայի հատող հատվածից ։
Մաթեմատիկայում **Ենսենի անհավասարությունը** կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (*t* ∈ [0,1]-ի համար),

{\displaystyle tf(x\_{1})+(1-t)f(x\_{2}),}
մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

{\displaystyle f\left(tx\_{1}+(1-t)x\_{2}\right).}
Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

{\displaystyle f\left(tx\_{1}+(1-t)x\_{2}\right)\leq tf(x\_{1})+(1-t)f(x\_{2}).}
Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե *X-ը Պատահական մեծություն է և φ*-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

{\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

Պնդումներ
---------

Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

### Վերջավոր տեսք

\varphi իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}} թվերով, և {\displaystyle a\_{i}} կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a\_{i}x\_{i}}{\sum a\_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a\_{i}\varphi (x\_{i})}{\sum a\_{i}}}\qquad \qquad (1)}
Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե \varphi -ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a\_{i}x\_{i}}{\sum a\_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a\_{i}\varphi (x\_{i})}{\sum a\_{i}}}.\qquad \qquad (2)}
Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}} կամ երբ \varphi -ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե {\displaystyle a\_{i}} կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x\_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x\_{i})}{n}}\qquad \qquad (3)}
{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x\_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x\_{i})}{n}}\qquad \qquad (4)}
Օրինակ log(*x*) ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով {\displaystyle \varphi (x)=\log(x)} նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

{\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \_{i=1}^{n}\log \!\left(x\_{i}\right)}{n}}\quad {\text{կամ}}\quad {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot x\_{2}\cdots x\_{n}}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Jensen J. L. W. V. (1906)։ «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes»։ *Acta Mathematica* **30** (1): 175–193։ doi:10.1007/BF02418571

Հղումներ
--------

* David Chandler (1987)։ *Introduction to Modern Statistical Mechanics*։ Oxford։ ISBN 0-19-504277-8
* Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
* Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996)։ *Analisi Matematica Due*։ Liguori։ ISBN 978-88-207-2675-1
* Walter Rudin (1987)։ *Real and Complex Analysis*։ McGraw-Hill։ ISBN 0-07-054234-1

Արտաքին հղումներ
----------------

* Jensen's Operator Inequality of Hansen and Pedersen.
* Weisstein, Eric W. "Jensen's inequality", *MathWorld*.
* Arthur Lohwater (1982)։ «Introduction to Inequalities»։ Online e-book in PDF format