**0,(9)** կամ **0,999…** ({\displaystyle 0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}}) («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է 1 թիվը։ Այլ բառերով՝ 

{\displaystyle 1=0{,}(9).}
Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։

Ապացույցներ
-----------

### Հանրահաշվական

#### Սյունակով բաժանում

Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝ {\displaystyle {\frac {1}{3}}} բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 × 1⁄3 համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1։

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle 1=3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9);} |  |  | {\displaystyle 1=9\cdot {\frac {1}{9}}=9\cdot 0{,}111\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9).} |

#### Թվերի տեղաշարժում

Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․ 

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots ;\\10x&=9{,}999\ldots ;\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots ;\\9x&=9;\\x&=1;\\0{,}999\ldots &=1.\end{aligned}}}
#### Տարբերության գտնելը

Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (*առաջին իտերացիա*), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (*ստացվում է 0,99*), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (*երկրորդ իտերացիա*) տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (*երրորդ իտերացիա*) թվերի տարբերությունը և այլն․ 

{\displaystyle {\begin{aligned}1-0{,}9&=0{,}1\\1-0{,}99&=0{,}01\\1-0{,}999&=0{,}001\\\ldots \\\end{aligned}}}
Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 

{\displaystyle {\begin{aligned}1-0{,}\underbrace {99\ldots 9} \_{n}&=0{,}\underbrace {00\ldots 0} \_{m=n-1}1,\\\end{aligned}}}
որտեղ ***n***՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),  

***m***՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։  

1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ {\displaystyle n=\infty }։ Այդ դեպքում {\displaystyle m=n-1=\infty }.  

Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը

{\displaystyle 1-0{,}(9)=[0{,}(0)1]}։
Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի *մաքուր պարբերական կոտորակի* տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է *պարբերական տասնորդական կոտորակի* տեսքով․

{\displaystyle 0{,}(0)=0.}
Այսպիսով,

{\displaystyle 1-0{,}(9)=0,}
ինչը նշանակում է․

{\displaystyle 1=0{,}(9).}
### Վերլուծականներ

Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես {\displaystyle b\_{0}.b\_{1}b\_{2}b\_{3}b\_{4}b\_{5}\dots }

#### Անվերջ հաջորդականություններ

Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․ 

{\displaystyle b\_{0}.b\_{1}b\_{2}b\_{3}b\_{4}\ldots =b\_{0}+b\_{1}({\tfrac {1}{10}})+b\_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b\_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b\_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .}
0,999…-ի համար կիրառենք հատվող երկարաչափական պրոգրեսիայի գումարի մասին տեսությունը․

Եթե {\displaystyle |r|<1} , ապա {\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}
Զուգամիտության շառավիղ (պրոգրեսիայի հայտարար) {\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}, և այդկերպ․

{\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}
Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին Լեոնարդ Էյլերի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում։

Միավոր ինտերվալներ, (0.3, 0.33, 0.333, …)՝ համամիտող 1-ի (հաշվարկման չորսական համակարգում)։
Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված *An Introduction to Algebra* դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար։ XIX դարում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը *պետք է* հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը։

Հաջորդականությունը (*x*0, *x*1, *x*2, …) ունի *x* սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |*x* − *x**n*| անվերջ փոքր է *n* աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման․

{\displaystyle 0.999\ldots =\lim \_{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} \_{n}=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim \_{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.}
Վերջին {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0} քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։

Կիրառություն
------------

Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ 1802 թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․ 

* 1/7 = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
* 1/73 = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.

1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։

Մշակույթում
-----------

*The Straight Dope* նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… 1⁄3 և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․ 

> 
> Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե *թիվ*, այլ *գործողություն*։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։
> 
> 
> Հիմարություն.
> 
> 
> 

0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․

> 
> Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը։
> 
> 
> 

Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, *Calculus made easy*, St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
2. ↑  Քառակուսի փակագծերը ցույց են տալիս իրենց ներսում գտնվող արտահայտության ձևականությունը։ Եվ միշտ չէ, որ ձևական արտահայտությունը հավասար է իրականին։ Այդ դեպքում հենց նրանք տարբերվում են{\displaystyle ([x]\neq x)}.
3. ↑  Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
4. ↑  Euler p.170
5. ↑  Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
6. ↑  For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
7. ↑  The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) *Thomas' Calculus: Early Transcendentals* 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
8. ↑  Cecil Adams (2003 թ․ հուլիսի 11). "An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?". *The Straight Dope*. Chicago Reader. Արխիվացված է the original 2012 թ․ փետրվարի 18-ին. Retrieved 2006 թ․ սեպտեմբերի 6. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)
9. ↑  Blizzard Entertainment:Press Releases