Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)
Տես նաև՝ հաջորդականության սահման և ֆունկցիայի սահման։
**Սահման**, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L,}
և կարդացվում է «{\displaystyle f(x)} ֆունկցիայի սահմանը, երբ {\displaystyle x}-ը ձգտում է {\displaystyle c}-ի հավասար է {\displaystyle L}-ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c}։

Ֆունկցիայի սահման
-----------------

Հիմնական հոդված՝ Ֆունկցիայի սահման
Whenever a point x is within a distance δ of c, the value *f*(*x*) is within a distance ε of L.
For all *x* > *S*, the value *f*(*x*) is within a distance ε of *L*.
Ենթադրենք {\displaystyle f}-ը իրական ֆունկցիա է իսկ {\displaystyle c}-ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L}
ինտուիտիվ նշանակում է, որ {\displaystyle f(x)} ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ {\displaystyle L}-ին՝ {\displaystyle x} թիվը {\displaystyle c}-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «{\displaystyle f(x)} ֆունկցիայի սահմանը, երբ {\displaystyle x}-ը ձգտում է {\displaystyle c}-ի հավասար է {\displaystyle L}-ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին, հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ {\displaystyle f(x)} ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է {\displaystyle L}-ին նշանակում է, որ {\displaystyle f(x)} ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է {\displaystyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )} միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } Այս դեպքում «{\displaystyle x}-ը ձգտում է {\displaystyle c}-ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք {\displaystyle x}-ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը {\displaystyle c}-ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն {\displaystyle x}-երը, որոնք գտնվում են {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )} կամ {\displaystyle (c,c+\delta )} միջակայքում, ինչը կարելի է գրել {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը {\displaystyle 0<|x-c|} կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ {\displaystyle x\neq c}։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե {\displaystyle f(c)\neq L}։ Տրված {\displaystyle f} ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել {\displaystyle c} կետում։

Օրինակ, եթե

{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
ուրեմն {\displaystyle f(1)}-ը սահմանված չէ, բայց երբ {\displaystyle x}-ը ձգտում է {\displaystyle 1}-ի, {\displaystyle f(x)}-ը ձգտում է {\displaystyle 2}-ի.

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *f*(0.9) | *f*(0.99) | *f*(0.999) | *f*(1.0) | *f*(1.001) | *f*(1.01) | *f*(1.1) |
| 1.900 | 1.990 | 1.999 | սահմանված չէ | 2.001 | 2.010 | 2.100 |

Հետևաբար, {\displaystyle f(x)}-ի արժեքը կարող է {\displaystyle 2}-ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ {\displaystyle x} ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, {\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական {\displaystyle x} թվի համար {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}։

Քանի որ {\displaystyle x+1} ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել {\displaystyle x=1} արժեքը, հետևաբար՝ {\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2}։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

{\displaystyle f(x)={2x-1 \over x}}
* *f*(100) = 1.9900
* *f*(1000) = 1.9990
* *f*(10000) = 1.99990

Շատ մեծ {\displaystyle x} արժեքների դեպքում {\displaystyle f(x)} ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ {\displaystyle f(x)} ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ {\displaystyle x}-ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2}։

Հաջորդականության սահման
-----------------------

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման
Ենթադրենք {\displaystyle a\_{1},a\_{2},...}-ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ {\displaystyle L} իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L},
որը կարդում են՝

{\displaystyle a\_{n}} հաջորդականությանը սահմանը, երբ {\displaystyle n}-ը ձգտում է անվերջության, {\displaystyle L} է։
Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ 

Կամայական {\displaystyle \epsilon >0} իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle N} բնական թիվ, որ բոլոր {\displaystyle n>N} թվերի համար ճիշտ է {\displaystyle |a\_{n}-L|<\epsilon } արտահայտությունը։
Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ {\displaystyle |a\_{n}-L|} բացարձակ արժեքը {\displaystyle a\_{n}}-ի և {\displaystyle L}-ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ {\displaystyle a\_{n}} հաջորդականության սահմանը, երբ {\displaystyle n}-ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ {\displaystyle n} բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Stewart James (2008)։ *Calculus: Early Transcendentals* (6th ed.)։ Brooks/Cole։ ISBN 978-0-495-01166-8
2. 1 2 3  Larson Ron, Edwards Bruce H. (2010)։ *Calculus of a single variable* (Ninth ed.)։ Brooks/Cole, Cengage Learning։ ISBN 978-0-547-20998-2

Արտաքին հղումներ
----------------

* Weisstein, Eric W. "Limit", *MathWorld*.
* Mathwords: Limit,

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Մեծ նորվեգական · Treccani · Universalis · Universalis |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4316404-3 · Microsoft: 151201525 · NDL: 00567231 |

 |