| Քվանտային մեխանիկա |
| --- |
| 

---

{\displaystyle \sigma \_{x}\sigma \_{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}Անորոշությունների սկզբունք

---

 |
| Հիմնարար հասկացություններ
* Դեկոհերենտություն
* Էռենֆեստի թեորեմ
* Չափումներ
* Հավանականության ամպլիտուդ
* Ոչ տեղայնություն
* Վերադրում
* Թունելավորում
* Լրացման սկզբունք
* Մասնիկ-ալիքային երկվություն
* Պաուլիի սկզբունք
* Քվանտային վիճակներ
* Քվանտային խճճվածություն
* Անորոշությունների սկզբունք
* Ալիքային ֆունկցիա
 |
| Գիտափորձեր
* Բելի անհավասարություն
* Դեյվիսոն-Ջերմերի
* Շտեռն-Գեռլախի
* Շրյոդինգերի կատու
* Կրկնակի ճեղքով
* Պոպերի փորձ
* Աֆշարի փորձ
* Էլեկտրոնների դիֆրակցիա
 |
| ՁևակերպումներՀայզենբերգի պատկերացում
Շրյոդինգերի պատկերացում
Ըստ հետագծերով ինտեգրում
Մատրիցային մեխանիկա |
| Հավասարումներ
* Դիրակի հավասարում
* Պաուլիի հավասարում
* Շրյոդինգերի հավասարում
* Կլայն-Գորդոնի հավասարում
* Ռիդբերգի բանաձև
 |
| Մեկնաբանություններ
* Մեկնաբանություններ
* Քվանտային տրամաբանություն
* Բազմաթիվ աշխարհներ
* Անհակասական պատմություններ
* Կոպենհագենյան
* Թաքնված պարամետրեր
 |
| Գիտնականներ
* Այնշտայն
* Բոզե
* Բոռն
* Բոր
* դը Բրոյլ
* Դիրակ
* Զոմմերֆելդ
* Էռենֆեստ
* Հայզենբերգ
* Շրյոդինգեր
* Պաուլի
* Պլանկ
* Ֆեյնման
* Զեեման
* Ցայլինգեր
* Բել
* Բոմ
* Էվերեթ
* Լանդաու
* Վին
* Կրամերս
* ֆոն Նեյման
* Վիգներ

 |
| Հիմքը
* Փակագծային նշանակումներ
* Դասական մեխանիկա
* Համիլտոնյան
* Ինտերֆերենցիա
* Հին քվանտային տեսություն
 |
| * դ
* ք
* խ
 |

Պոտենցիալային արգելքի վրա ընկնող էլեկտրոնի ալիքային փաթեթի անցումն ու անդրադարձումը։
**Թունելային երևույթ**, **քվանտային թունելացում**, քվանտամեխանիկական երևույթ, որը նկարագրում է մասնիկի անցումը պոտենցիալային արգելքով, երբ արգելքի բարձրությունը գերազանցում է մասնիկի էներգիան։ Թունելային երևույթն ունի մեծ նշանակություն ինչպես հիմնարար ֆիզիկայում, այնպես էլ կիրառություններում. թունելային երևույթի գոյությամբ են բացատրվում միջուկների ալֆա-տրոհումը, արևի վրա ընթացող ջերմամիջուկային ռեակցիաները և մի շարք այլ ֆիզիկական երևույթներ։ Թունելային երևույթի վրա է հիմնված թունելային դիոդի, տեսածրող թունելային մանրադիտակի և այլ սարքերի աշխատանքը։

Թունելային երևույթը բացառապես քվանտային երևույթ է և բացակայում է դասական ֆիզիկայում. այդպիսի երևույթի գոյությունը հակասում է դասական ֆիզիկայի օրենքներին։ Որպես թունելային երևույթի անալոգ ալիքային օպտիկայում կարելի է դիտարկել լուսային ալիքի թափանցումը անդրադարձնող միջավայր՝ ալիքի երկարության կարգի խորությամբ, այն դեպքում, երբ երկրաչափական օպտիկայի տեսակետից տեղի է ունենում լրիվ ներքին անդրադարձում։

Պատմություն
-----------

Թունելային երևույթի հայտնաբերումն ու տեսության զարգացումը սկիզբ են առել ռադիոակտիվության ուսումնասիրություններից։ Ռադիոակտիվությունը հայտնաբերվել է Անրի Բեքերելի կողմից՝ 1896 թվականին։ Հայտնաբերումից 3 տարի հետո Էլսթերն ու Գեյթելը փորձնականորեն հայտնաբերեցին ռադիոակտիվ տրոհման էքսպոնենցիալ բնույթը, իսկ 1900 թվականին Ռեզերֆորդը ներմուծեց ռադիակտիվ տրոհման կիսապարբերության գաղափարը։ 1905 թվականին Էգոն Շվայլդլերը ցույց տվեց, որ ռադիոակտիվ տրոհումն ունի վիճակագրական բնույթ, իսկ 1906 թվականին Քոհլռաուշը էքսպերիմետալ համոզվեց դրանում։

Ֆրիդրիխ Հունդն առաջինն էր, ով ուշադրություն դարձրեց թունելային երևույթի վրա, երբ ուսումնասիրում էր կրկնակի հորում հիմնական վիճակը։ Թունելային երևույթի առաջին կիրառությունը ալֆա տրոհման մաթեմատիկական բացատրություն է, որը տրվել է Գեորգի Գամովի կողմից՝ 1928 թվականին, և նրանից անկախ Ռոնալդ Գուրնիի և Էդուարդ Քոնդոնի կողմից։ Նրանք լուծել էին Շրեդինգերի հավասարումը տեսական մոդել պոտենցիալի համար և ստացել առնչություն կիսատրոհման պարբերության և առաքման էներգիայի միջև։

Մաքս Բոռնը քննադատորեն է մոտեցել Գամովի աշխատանքին, քանի որ Գամովը ալֆա տրոհումը բացատրել էր՝ հիմնվելով կոմպլեքս համիլտոնյանի վրա, իսկ Բոռնը պնդում էր, որ քվատամեխանիկական համիլտոնյանը պետք է իրական մեծություն լինի՝ իրական սեփական ֆունկցիաներով։ Բոռնը խնդիրը լուծեց՝ հիմնվելով իրական համիլտոնյանի վրա և ստացավ նույն վերջնական արդյունքները։ Բոռնը նաև գլխի ընկավ, որ քվանտային թունելացումը հատուկ է ոչ միայն միջուկային ֆիզիկային, այլ հանդիսանում է ընդհանուր քվանտամեխանիկական սկզբունք։ Նրա առաջին օրինակը էլեկտրոնների սառը արտահոսքի երևույթն էր։

Երևույթի ֆիզիկական մեկնաբանությունը
-----------------------------------

Թունելային երևույթը լրիվ քվանտամեխանիկական երևույթ է և չունի բացատրություն դասական մեխանիկայում։ Դասական և քվանտային մեխանիկաների մեկնաբանությունների տարբերությունը ցուցադրելու համար հարմար է թունելային երևույթին համապատասխան իրավիճակը համեմատել հետևյալ դասական իրավիճակի հետ. գնդակը շարժվում է դեպի H բարձրությամբ սարը՝ որոշակի սկզբնական {\displaystyle E\_{k}} կինետիկ էներգիայով։ Բոլոր տեսակի շփումներն ու դիմադրության ուժերը բացակայում են։ Դասական ֆիզիկայում էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն՝ առավելագույն բարձրությունը, որին կարող է հասնել {\displaystyle E\_{k}} կինետիկ էներգիայով գնդակը, հավասար է {\displaystyle h\_{max}={\frac {E\_{k}}{mg}}}, որտեղ m-ը մասնիկի զանգվածն է, իսկ g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։ Եթե գնդակի սկզբնական {\displaystyle E\_{k}} կինետիկ էներգիան փոքր է սարի գագաթին՝ {\displaystyle V\_{0}=mgH} պոտենցիալ էներգիայից, ապա {\displaystyle h\_{max}<H}, հետևաբար գնդակը չի կարողանա անցնել սարի վրայով։ Փոխարենը՝ {\displaystyle h\_{max}} բարձրության հասնելուց հետո կսկսի հետ սահել սարով ներքև։ Իսկ քվանտային դեպքում, երբ մասնիկը պոտենցիալային արգելքի առավելագույն {\displaystyle V\_{0}} բարձրությունից փոքր էներգիայով է մոտենում արգելքին, այն, այնուամենայնիվ, ունի արգելքն անցնելու հավանականություն։ Ստորև կտեսնենք, որ արգելքն անցնելը հնարավոր է անորոշությունների առնչությունների շնորհիվ, որի պատճառով մասնիկը ձեռք է բերում {\displaystyle V\_{0}} -ից մեծ էներգիա և անցնում է արգելքի վրայով։

Դասական և քվանտային դեպքերի տարբերությունները բխում են մատերիայի տարբեր մեկնաբանություններից։ Քվանտային մեխանիկայում մասնիկներն ունեն սկզբունքային տարբերություն. նրանց համար գործում է անորոշությունների սկզբունքը։ Անորոշությունների առնչության միջոցով մեկնաբանենք թունելացման երևույթը միաչափ շարժման համար։ Մասինկին պոտենցիալային արգելքի {\displaystyle l} լայնությամբ հատվածում հայտնաբերելու համար նրա իմպուլսի անորոշությունը կլինի

{\displaystyle \Delta p={\frac {\hbar }{2\Delta x}}={\frac {\hbar }{2l}}}:
Քանի որ անցման հավանականությունը որոշվում է {\displaystyle D=D\_{0}e^{-{\frac {2}{\hbar }}\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}\!{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx}} արտահայտությամբ, ապա անցման վերջավոր (զրոյի չձգտող) հավանականության դեպքում

{\displaystyle 2{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\approx \hbar } ,
հետևաբար կինետիկ էներգիայի անորոշությունը կլինի

{\displaystyle \Delta E\_{k}={\frac {\Delta p^{2}}{2m}}=V\_{0}-E,}
որտեղ {\displaystyle V\_{0}}-ն պոտենցիալային արգելքի առավելագույն բարձրությունն է։ Այստեղից հստակ երևում է, որ կինետիկ էներգիայի անորոշությունը ընդունակ է մասնիկի էներգիան ավելացնել այնքան, որ այն գերազանցի {\displaystyle V\_{0}}-ն, դրանով իսկ հնարավոր դարձնելով մասնիկի անցումը պոտենցիալային արգելքի վրայով։

Մաթեմատիկական նկարագրություն
----------------------------

Ստորև ներկայացված է թունելային երևույթի նկարագրությունը միաչափ շարժման համար. պոտենցիալային արգելքից անդրադարձման և արգելքով թունելելու հավանականություններն հաշվելու համար լուծված է Շրեդինգերի ժամանակից անկախ (ստացիոնար) հավասարումը միաչափ շարժման համար։ Միաչափ շարժման Շրեդինգերի ստացիոնար հավասարումը մի մասնիկի համար ունի հետևյալ տեսքը

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)\Psi (x)=0,}
որտեղ {\displaystyle \Psi (x)}-ը մասնիկի ստացիոնար վիճակի ալիքային ֆունկցիան է, {\displaystyle V(x)}-ը արտաքին դաշտի պոտենցիալն է (պոտենցիալային արգելքը), {\displaystyle m}-ը՝ մասնիկի զանգվածը, {\displaystyle E}-ն՝ ստացիոնար վիճակի էներգիան, իսկ {\displaystyle \hbar }-ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը։

### Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելք

**Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելք.** արտաքին դաշտի պոտենցիալը հավասար է զրոյի {\displaystyle x} կոորդինատի բոլոր արժեքների դեպքում, բացի {\displaystyle [-a,a]} միջակայքից, որտեղ պոտենցիալն ունի հաստատուն {\displaystyle V\_{0}} արժեք։
Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելքի վրա աջից ընկնող մասնիկների ստացիոնար վիճակի ալիքային ֆունկցիան (կարմիր և կապույտ կոր): Նկարում երևում է, թե ինչպես է յուրաքանչյուր տիրույթում ալիքային ֆունկցիան շարունակում նախորդ տիրույթի ֆունկցիան` հատման կետում ապահովելով ալիքային ֆունկցիայի և նրա ածանցյալի անընդհատությունը։ Արգելքից աջ գտնվող տիրույթում ալիքային ֆունկցիայի ամպլիտուդը զգալիորեն փոքր է։ Դա վկայում է արգելքի միջով անցնելու (թունելելու) փոքր հավանականության մասին։
Թունելային երևույթը կոորդինատների սկզբնակետում (x=0 կետում) դելտա ֆունկցիայի տեսքով պոտենցիալային արգելքի առկայությամբ:
Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելքի դեպքում Շրեդինգերի ստացիոնար հավասարումը պետք է լուծել երեք տիրույթներում, որից հետո հարևան տիրույթների համար ստացված ալիքային ֆունկցիաները պետք ա «կարել» իրար՝ ելնելով ալիքային ֆունկցիայի վրա դրվող ստանդարտ պայմաններից։ Առաջին տիրույթում ալիքային ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը

{\displaystyle \Psi \_{1}=Ae^{ik\_{0}x}+A'e^{-ik\_{0}x},}
որտեղ {\displaystyle A}-ն և {\displaystyle A'}-ը հաստատուններ են, իսկ {\displaystyle k\_{0}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}։ Առաջին գումարելին իրենից ներկայացնում է ձախից դեպի արգելքը տարածվող ալիք, իսկ երկրորդը՝ արգելքից անդրադարձած և դեպի ձախ տարածվող ալիքը։ 
Երկրորդ տիրույթում ալիքային ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը

{\displaystyle \Psi \_{2}=Be^{ikx}+B'e^{-ikx},}
որտեղ {\displaystyle B}-ն և {\displaystyle B'}-ը հաստատուններ են, իսկ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V\_{0})}}{\hbar }}}։ Նկատենք, որ k մեծությունը կեղծ է այն դեպքում, երբ մասնիկի {\displaystyle E} էներգիան փոքր է արգելքի {\displaystyle V\_{0}} բարձրությունից, և իրական՝ այն դեպքում, երբ մասնիկի էներգիան մեծ է արգելքի բարձրությունից։ Ստորև քննարկված են արդյունքներ ինչպես իրական, այնպես էլ կեղծ դեպքերի համար։
Երրորդ տիրույթում՝

{\displaystyle \Psi \_{3}=Ce^{ik\_{0}x},}
Այստեղ բացակայում է աջից դեպի արգելքը տարածվող ալիքին համապատասխան գումարելին, քանի որ խնդրի դրվածքի համաձայն դիտարկում ենք ձախից արգելքի վրա ընկնող մասնիկի անցումն ու անդրադարձումը, և արգելքից աջ չունենք մասնիկների աղբյուրներ։
Տիրույթների հատման կետերում ({\displaystyle x=-a} և {\displaystyle x=a} կետերում) ալիքային ֆունկցիայի և նրա ածանցյալի անընդհատության պայմաններից {\displaystyle A,A',B,B'} և {\displaystyle C} գործակիցների համար ստացվում են հետևյալ առնչությունները

{\displaystyle Ae^{-ik\_{0}a}+A'e^{ik\_{0}a}=Be^{-ika}+B'e^{ika}}
{\displaystyle k\_{0}(Ae^{-ik\_{0}a}-A'e^{ik\_{0}a})=k(Be^{-ika}-B'e^{ika})}
{\displaystyle Be^{ika}+B'e^{-ika}=Ce^{ik\_{0}a}}
{\displaystyle k(Be^{ika}-B'e^{-ika})=k\_{0}Ce^{ik\_{0}a}}
Այս չորս հավասարումները թույլ են տալիս գտնել բոլոր հինգ հաստատունների հարաբերությունները (կան, որ նույնն է, բոլոր հաստատուններն արտահայտել նրանցից մեկի միջոցով), իսկ հաստատունների ճշգրիտ արժեքները կստացվեն, երբ հաշվի կառնենք նաև ալիքային ֆունկցիայի նորմավորումը։ Սակայն անցման և անդրադարձման հավանականությունների հաշվման համար հաստատունների հարաբերության արժեքն իմանալը բավարար է։ Աջից դեպի արգելքը տարածվող մասնիկի հավանականությունների հոսանքի խտությունը համեմատական է {\displaystyle |A|^{2}} մեծությանը, արգելքից անդրադարձողներինը՝ {\displaystyle |A'|^{2}} մեծությանը, իսկ արգելքն անցածներինը (արգելքից դեպի աջ շարժվողներինը)` {\displaystyle |C|^{2}} մեծությանը։ Արգելքից անդրադարձման հավանականությունը կլինի

{\displaystyle R={\frac {|A'|^{2}}{|A|^{2}}}}
իսկ անցման հավանականությունը`

{\displaystyle D={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}} :
Արգելքի բարձրությունից մեծ էներգիաների դեպքում ({\displaystyle E>V\_{0}}) անցման և անդրադարձման հավանականությունների համար ստացվում են հետևյալ արտահայտությունները՝

{\displaystyle R={\frac {1}{1+{\frac {4E(E-V\_{0})}{V\_{0}^{2}sin^{2}kl}}}}} ; {\displaystyle D={\frac {1}{1+{\frac {V\_{0}^{2}sin^{2}kl}{4E(E-V\_{0})}}}},}
որտեղ {\displaystyle l=2a} արգելքի լայնությունն է։ Արգելքի բարձրությունից փոքր էներգիաների դեպքում ({\displaystyle E<V\_{0}})` 

{\displaystyle R={\frac {1}{1+{\frac {4E(V\_{0}-E)}{V\_{0}^{2}sh^{2}k\_{1}l}}}}} ; {\displaystyle D={\frac {1}{1+{\frac {V\_{0}^{2}sh^{2}k\_{1}l}{4E(V\_{0}-E)}}}},}
որտեղ {\displaystyle k\_{1}={\frac {\sqrt {2m(V\_{0}-E)}}{\hbar }}} :
Երկու դեպքում էլ R և D գործակիցների գումարը հավասար է 1։ Սա այն փաստն է արտահայտում, որ մասնիկը արգելքով անցնելոց կամ անդրադառնալուց բացի ուրիշ հնարավորություն չունի. մասնիկը 1 հավանականությամբ անցնում կամ անդրադառնում է։ Կարևոր է նկատել, որ {\displaystyle E>V\_{0}} դեպքում անդրադարձման հավանականությունը զրոյից տարբեր է։ Դասական ֆիզիկայում մասնիկի անդրադարձումը այսպիսի իրավիճակում բացառվում է. դասական ֆիզիկայում {\displaystyle R=0}: Իսկ {\displaystyle E<V\_{0}} դեպքում դասական ֆիզիկայի օրենքների համաձայն {\displaystyle D=0}, սակայն վերը ստացված քվանտային արտահայտության համաձայն` քվանտային ֆիզիկայում {\displaystyle D}-ն զրոյից տարբեր է. կա զրոյից տարբեր հավանականություբ, որ մասնիկը կանցնի արգելքը (հենց սա էլ իրենից ներկայացնում է քվանտային թունելացումը)։

### Կամայական տեսքի պոտենցիալային արգելք

Կամայական տեսքի պոտենցիալային արգելքի միջով անցման հավանականությունը հաշվելու համար արգելքը կարելի է բաժանել այնքան նեղ մասերի, որ մասերից յուրաքանչյուրն հնարավոր լինի համարել ուղղանկյուն, այնուհետև յուրաքանչյուր ուղղանկյան համար գրել անցման հավանականությունը, այնուհետև բոլոր ուղղանկյունների անցման հավանականությունները բազմապատկել իրար։ Երբ ուղղանկյուն արգելքն ունի շատ փոքր Δx լայնություն, անցման հավանականությունը կլինի

{\displaystyle D\approx e^{-{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m(V\_{0}-E)}}\Delta x}}
Հետևաբար, կամայական {\displaystyle V(x)} արգելքի համար թունելման հավանականությունը կլինի

{\displaystyle D=D\_{0}e^{-{\frac {2}{\hbar }}\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}\!{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}
որտեղ {\displaystyle x\_{1}}-ը և {\displaystyle x\_{2}}-ը {\displaystyle E=V(x)} հավասարման լուծումներն էն (ուղղանկյուն արգելքի դեպքում {\displaystyle x\_{1}=-a} և {\displaystyle x\_{2}=a})։ Դասական ֆիզիկայում {\displaystyle x\_{1}}-ն ու {\displaystyle x\_{2}}-ը դարձակետերն են։

Մակրոսկոպիկ դրսևորումներ
------------------------

Հիմնական հոդված՝ Մակրոսկոպիկ քվանտային երևույթներ
Քվանտային թունելացումը մակրոսկոպիկ կերպով դրսևորվում է այնպիսի համակարգերում, որտեղ միաժամանակ թունելում են շատ մեծ քանակությամբ մասնիկներ։ Թունելային երևույթի մակրոսկոպիկ դրսևորումներն են՝

* p-n անցումով լիցքակիրների թունելացումը։ Այս երևույթի հիման վրա է աշխատում թունելային դիոդը։
* լիցքակիրների թունելացումը գերհաղորդականության վիճակում գտնվող երկու մետաղների միջև գտնվող բարակ մեկուսիչ շերտով։ Այս երևույթն է ընկած Ջոզեֆսոնի էֆեկտի հիմքում։

Տես նաև
-------

* Քվանտային մեխանիկա
* Դասական ֆիզիկա
* Ջոզեֆսոնի երևույթ
* Թունելային դիոդ
* Սքանավորող թունելային մանրադիտակ
* Ալֆա-տրոհում
* Էլեկտրոնների սառը արտահոսք
* Շրեդինգերի հավասարում
* Ալիքային ֆունկցիա

Գրականություն
-------------

* Mohsen Razavy, *"Quantum Theory of Tunneling"*, World scientific, 2003
* Սահակյան Գ. Ս. Չուբարյան Է. Վ. *Քվանտային մեխանիկա*, Երրորդ վերամշակված և լրացված հրատարակություն, ԵՊՀ հրատարակչություն, Երևան 2009
* Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. *Курс теоретической физики: Т. III. Квантовая механика(нерелятивистская теория)*, 6-е изд. испр. ФИЗМАТЛИТ 2004, ISBN 5-9221-0530-2.

Ծանոթագրություններ
------------------

1. 1 2  Razavy, Mohsen (2003). *Quantum Theory of Tunneling*. World Scientific. pp. 4, 462. ISBN 9812564888.
2. ↑  Elster, J. (1899). "Bequerel rays". *Wied. Ann*. **66**: 735. `{{cite journal}}`: Cite has empty unknown parameter: `|1=` (help)
3. ↑  E.R. von Schweidler, Premier Congres de Radiologie, Liege (1905)
4. ↑  Nimtz; Haibel (2008). *Zero Time Space*. Wiley-VCH. p. 1.
5. ↑  Gurney, R. W.; Condon, E. U. (1928). "Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration". *Nature*. **122**: 439. Bibcode:1928Natur.122..439G. doi:10.1038/122439a0.
6. ↑  Gurney, R. W.; Condon, E. U. (1929). "Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration". *Phys. Rev*. **33** (2): 127–140. Bibcode:1929PhRv...33..127G. doi:10.1103/PhysRev.33.127.
7. ↑  "Interview with Hans Bethe by Charles Weiner and Jagdish Mehra at Cornell University, 27 October 1966 accessed 5 April 2010". Արխիվացված է the original 2014 թ․ սեպտեմբերի 10-ին. Retrieved 2014 թ․ դեկտեմբերի 27. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)
8. ↑  Friedlander, Gerhart; Kennedy, Joseph E.; Miller, Julian Malcolm (1964). *Nuclear and Radiochemistry* (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 225–7. ISBN 978-0-471-86255-0.
9. ↑  David J. Griffiths, Introduction to quantum mechanics (2nd edition), «Pearson Education Limited», 2004, ISBN 978-0131118928։
10. 1 2 3 4 5  Սահակյան Գ. Ս. Չուբարյան Է. Վ. Քվանտային մեխանիկա (Երրորդ վերամշակված և լրացված հրատարակություն), Երևան, «ԵՊՀ հրատարակչություն», 2009, ISBN 978-5-8084-1133-3։
11. ↑  Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Квантовая механика(нерелятивистская теория), հ. III (6-е изд. испр.), «ФИЗМАТЛИТ», 2004, ISBN 5-9221-0530-2։

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 244)։*  |