{\displaystyle x^{y}=y^{x}} հավասարման գրաֆիկը
Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց {\displaystyle x^{y}=y^{x}} հավասարումը լուծում ունի որոշ {\displaystyle (x,y)} թվերի համար, օրինակ՝ {\displaystyle x=2,y=4}։

Պատմություն
-----------

{\displaystyle x^{y}=y^{x}} հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ {\displaystyle x\neq y} դեպքում {\displaystyle (2,4)} զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է {\displaystyle y=vx} փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե {\displaystyle r,n} դրական ամբողջ թվեր են, {\displaystyle r\geqslant 3} կամ {\displaystyle n\geqslant 3,} ապա {\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r},} այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել {\displaystyle x=1} և {\displaystyle x=2} դեպքերը։

Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։

Լուծում իրական թվերով
---------------------

Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը {\displaystyle x=y} հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝ {\displaystyle x\neq y,} {\displaystyle y=vx}։
Այդ դեպքում՝

{\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}}։
Հավասարման երկու կողմերն էլ {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} աստիճան բարձրացնելու և հետո {\displaystyle x}-ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․

{\displaystyle v=x^{v-1}}։
Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես

{\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}}},
{\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}}։
Բնական թվերով {\displaystyle 4^{2}=2^{4}} ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե {\displaystyle v=2} կամ {\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}։

### Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով

{\displaystyle y^{x}=x^{y}} հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի {\displaystyle W(x)} ոչ տարրական W ֆունկցիայով {\displaystyle x} փոփոխականով․

{\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}}, կատարենք փոխարինում՝ {\displaystyle x={\frac {1}{z}}}:

{\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}}

Այդ դեպքում {\displaystyle z} փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ {\displaystyle z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}

Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ {\displaystyle x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}

Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը, {\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1} կամ {\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1} միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ {\displaystyle x\_{1},x\_{2}}։

Թե պարամետրերից որը ({\displaystyle y} կամ {\displaystyle x}) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։

Եթե {\displaystyle x}(կամ {\displaystyle y}) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է {\displaystyle y}(կամ {\displaystyle x})<{\displaystyle e^{\frac {1}{e}}} անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։

### Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով

{\displaystyle y^{x}=x^{y}} հավասարումը {\displaystyle y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const} հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ {\displaystyle b=1} և {\displaystyle n=y}։ Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

{\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x\_{1,2,3}=y\log \_{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x\_{1,2,3}=-y\log \_{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}}

Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ {\displaystyle y}-ի դեպքում {\displaystyle y^{x}=x^{y}} և {\displaystyle y^{x}=(-x)^{y}} հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով, {\displaystyle f(z)={}^{\frac {1}{2}}z} երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ {\displaystyle f(z)=z^{z}} ֆունկցիայի հակադարձն է ({\displaystyle f(z)={}^{2}z}), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։

Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․ {\displaystyle -y\log \_{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}}։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։

{\displaystyle -y\log \_{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log \_{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}, ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

{\displaystyle \log \_{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log \_{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}։ Ապացուցված նույնությունը {\displaystyle b=-y} առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Lajos Lóczi. "On commutative and associative powers". KöMaL. Արխիվացված է the original 2002 թ․ հոկտեմբերի 15-ին.
2. 1 2 3  David Singmaster. "Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition". Արխիվացված է the original 2004 թ․ ապրիլի 16-ին.
3. 1 2 3 4  *Marta Sved* On the Rational Solutions of xy = yx // *Mathematics Magazine*. — 1990. Архивировано из первоисточника 4 Մարտի 2016.
4. 1 2 3 4  *Leonard Eugene Dickson* Rational solutions of xy = yx // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.
5. ↑  *Hengel, Johann van* Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt. — 1888. Архивировано из первоисточника 14 Ապրիլի 2016.
6. ↑  *Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом* 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М.: Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 экз.
7. ↑  *Гальперин Г. А. Толпыго А. К.* Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.
8. ↑  The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — Mathematical Association of America, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7
9. ↑  A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, *Amer. Math. Monthly* 68 (1961), 856—861.
10. ↑  W-функция Ламберта(ռուս.) // *Википедия*. — 2017-09-13.
11. 1 2  Суперкорень(ռուս.) // *Википедия*. — 2018-06-22.
12. ↑  *А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С.К. Сайков* W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. — Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006. — 160 с. — ISBN 5-9515-0065-6, ББК 22.311я 73, Д79 "Արխիվացված պատճենը". Արխիվացված է the original 2018 թ․ հունիսի 27-ին. Retrieved 2022 թ․ նոյեմբերի 10. `{{cite web}}`: Cite has empty unknown parameter: `|dead-url=` (help)

Արտաքին հղումներ
----------------

* "Rational Solutions to x^y = y^x". *CTK Wiki Math*. Արխիվացված է the original 2021 թ․ օգոստոսի 15-ին. Retrieved 2022 թ․ նոյեմբերի 10. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)
* "x^y = y^x - commuting powers". *Arithmetical and Analytical Puzzles*. Torsten Sillke. Արխիվացված է the original 2015 թ․ դեկտեմբերի 28-ին.
* dborkovitz (2012 թ․ հունվարի 29). "Parametric Graph of x^y=y^x". GeoGebra.