Այս հոդվածը {\displaystyle (mod\ n)} գրառման    մասին է․ {\displaystyle mod(a,n)} *գործողության համար տես՝ մոդուլո գործողություն։*
Մաթեմատիկայում **մոդուլար հանրահաշիվը** ամբողջ թվերի բազմության հանրահաշվական համակարգ է։ Մոդուլար հանրահաշվում թվերը, որոշակի արժեքի՝ **մոդուլուսի** հասնելուց հետո, «պտտվում են» սկզբնակետի շուրջ։ Մոդուլար հանրահաշվի ժամանակակից մոտեցումը մշակել է Կառլ Գաուսն իր 1801 թվականին հրատարակված *«Disquisitiones Arithmeticae»* գրքում։

Մոդուլար հանրահաշվի ամենօրյա օգտագործման օրինակ է 12-ժամանոց ժամացույցը։ Ժամացույցում օրը բաժանված է երկու 12-ժամյա հատվածների։ Եթե հիմա ժամը 07:00 է, 8 ժամ անց կլինի ժամը 03:00։ Սովորական գումարումը՝ {\displaystyle 7+8=15} կհանգի 15:00-ի, բայց այն կարելի կարդալ որպես 03:00, քանի որ ժամացույցը 12 ժամը մեկ վերսկսում է, և ժամը ներկայացնող թվերը սկսում են զրոյից երբ ժամը հասնում է 12֊ին։ Սա նկարագրում ենք որպես «15-ը *կոնգրուենտ* է 3֊ին մոդուլո 12, և գրանցում որպես {\displaystyle 15\cong 3(mod\ 12)}։ Այսպիսով. {\displaystyle 7+8\cong 3(mod\ 12)}։ Նույն տրամաբանությամբ 8:00 ներկայացնում է 8-ժամյա ժամանակահտված, որի կրկնակին կլինի 16:00: 16:00-ն ժամացույցի վրա ընթերցում ենք որպես 4:00։ Նշանակում է․ {\displaystyle 2\times 8\cong 4(mod\ 12)}։

Կոնգրուենցիա
------------

Հիմնական հոդված՝ Մնացք (թվերի տեսություն)
Եթե տրված է {\displaystyle n>1} ամբողջ թիվ, ապա {\displaystyle a} և {\displaystyle b} ամբողջ թվերը կոչվում են «մոդուլո {\displaystyle n} կոնգրուենտ» եթե {\displaystyle n}-ը դրանց տարբերության բաժանարարն է։ Ասել է թե․ գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } որի համար կարող ենք գրել․

{\displaystyle a-b=kn}
Մոդուլո {\displaystyle n} կոնգրուենցիան գրանցվում է որպես․

{\displaystyle a\cong b(mod\ n)}
Փակագծերը նշանակում են, որ {\displaystyle (mod\ n)}-ը վերաբերում է ամբողջ հավասարմանը, ո՛չ միայն աջ կողմին (օրինակում աջ կողմը {\displaystyle b}-ն է)։

Այս գրառումը պետք չէ շփոթել {\displaystyle b\ mod\ n} (առանց փակագծերի) գրանցման հետ, որը վերաբերում է մոդուլո գործողությանը ({\displaystyle b}-ն {\displaystyle n}-ի բաժանման մնացորդին)։ {\displaystyle b\ mod\ n}-ը արտահայտում է այն եզակի {\displaystyle r} ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ են {\displaystyle 0\leq r<n} և {\displaystyle r\cong b(modn)} պնդումները։

Կոնգրուենտ հարաբերությունը կարելի է ներկայացնել որպես.

{\displaystyle a=kn+b},
բացահայտ ցուցադրելով Էվկլիդեսյան բաժանման հետ զուգահեռները։ Մեզ անհրաժեշտ չէ, որպեսզի {\displaystyle b}-ն լինի {\displaystyle n}-ով {\displaystyle a}-ի բաժանման մնացորդը։ Փոխարենը, {\displaystyle a\cong b(mod\ n)} պնդում է, որ {\displaystyle n}-ով բաժանելիս {\displaystyle a}-ն ու {\displaystyle b}-ն նույն մնացորդն ունեն․

{\displaystyle a=pn+r}
{\displaystyle b=qn+r},
որտեղ {\displaystyle 0\leq r<n}-ը ընդհանուր մնացորդն է։ Երկու հավասարումներն իրարից հանելուվ կարող են վերականգնել սկզբնական հարաբերությունը․ {\displaystyle a-b=kn}, որտեղ {\displaystyle k=p-1}։

Մոդուլո {\displaystyle n} կոնգրուենցիան կոնգրուենտ հարաբերություն է․ կոնգրուենցիան էկվիվալենտ հարաբերություն է և համադրելի է գումարման, հանման ու բազմապատկման գործողությունների հետ։

### Օրինակներ

Մոդուլուս 12 համակարգում կարող ենք պնդել, որ {\displaystyle 38\cong 14(mod\ 12)}, քանի որ {\displaystyle 38-14} տարբերությունը հավասար է {\displaystyle 24=2\times 12}. {\displaystyle 12}-ի բազմապատիկ է։ Համապատասխանաբար, {\displaystyle 12}-ով բաժանելիս {\displaystyle 38}-ն ու {\displaystyle 14}-ը նույն մնացորդն ունեն։

Կոնգրուենցիայի սահմանումն աշխատում է նաև բացասական արժեքների համար։ Օրինակ․

{\displaystyle {\begin{aligned}2\cong -3{\pmod {5}}\\-8\cong 7{\pmod {5}}\\-3\cong -8{\pmod {5}}\end{aligned}}}

Հատկություններ
--------------

### Հիմնարար հատկություններ

Կոնգրուենտ հարաբերությունը պետք է բավարարի էկվիվալենտ հարաբերության բոլոր պայմանները․

* Ռեֆլեքսիվություն․ {\displaystyle a\cong a(mod\ n)}
* Համաչափություն {\displaystyle a\cong b(mod\ n)} եթե {\displaystyle b\cong a(mod\ n)}
* Անցողականություն․ եթե {\displaystyle a\cong b(mod\ n)} և {\displaystyle b\cong c(mod\ n)}, ապա {\displaystyle a\cong c(mod\ b)}

Եթե {\displaystyle a\_{1}\cong b\_{1}(mod\ n)} և {\displaystyle a\_{2}\cong b\_{2}(mod\ n)}, կամ եթե {\displaystyle a\cong b(mod\ n)}, ապա.

* {\displaystyle a+k\cong b+k(mod\ n)}, ցանկացած {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }-ի համար (տռանսլյացիայի հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle ka\cong kb(mod\ n)} ցանկացած {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }-ի համար (մասշտաբի հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle ka\cong kb(mod\ kn)} ցանկացած {\displaystyle k\neq 0\in \mathbb {Z} }-ի համար
* {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}\cong b\_{1}+b\_{2}(mod\ n)} (գումարման հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle a\_{1}-a\_{2}\cong b\_{1}-b\_{2}(mod\ n)} (հանման հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle a\_{1}\times a\_{2}\cong b\_{1}\times b\_{2}(mod\ n)} (բազմապատկման հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle a^{k}\cong b^{k}(mod\ n)} ցանկացած ոչ-բացասական {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }-ի համար (ցուցիչի հետ համադրելիություն)
* {\displaystyle p(a)=p(b)\ (mod\ n)} ցանկացած ամբողջ թվերով գործակիցներով {\displaystyle p(k)} բազմանդամի համար (համադրելիություն բազմանդամի գնահատման հետ)։

Եթե {\displaystyle a\cong b(mod\ n)}, {\displaystyle k^{a}\cong k^{b}(mod\ n)} պնդումն ընդհանուր դեպքի համար ճիշտ չէ։ Սակայն հետևյալ պնդումը ճիշտ է․

* եթե {\displaystyle c\cong d(mod\ \phi (n))}, որտեղ {\displaystyle \phi }-ն Էյլերի ֆունկցիան է, ապա {\displaystyle a^{c}\cong a^{d}(mod\ n)}` ենթադրելով, որ {\displaystyle a}-ն փոխադարձ պարզ է {\displaystyle n}-ին։

Ընդհանուր անդամների չեղարկման համար ունենք հետևյալ կանոնները․

* եթե {\displaystyle a+k\cong b+k(mod\ b)}, որտեղ {\displaystyle k}-ը կամայական ամբողջ թիվ է, ապա {\displaystyle a\cong b(mod\ n)}
* եթե {\displaystyle ka\cong kb(mod\ n)} և {\displaystyle k}-ը փոխադարձ պարզ է {\displaystyle n}-ին, ապա {\displaystyle a\cong b(mod\ n)}
* եթե {\displaystyle ka\cong kb(mod\ kn)} և {\displaystyle k\neq 0}, ապա {\displaystyle a\cong b(mod\ n)}։

Վերջին կանոնը կարելի է օգտագործել մոդուլար հանրահաշիվը բաժանման տիրույթ տեղափոխելու համար։ Եթե {\displaystyle b}-ն բաժանում է {\displaystyle a}֊ն, ապա {\displaystyle (a/b)\ mod\ n=(a\ mod\ bn)/b}։

Մոդուլար բազմապատիկ հակադարձը սահմանվում է հետևյալ կանոններով․

* Գոյություն․ {\displaystyle a^{-1}} գրառմամբ նշանակվող ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ է {\displaystyle aa^{-1}\cong 1(mod\ n)} պնդումը, գոյություն ունի միայն և միայն այն դեպքում, եթե {\displaystyle a}-ը փոխադարձ պարզ է {\displaystyle n}-ին։ Այդ {\displaystyle a^{-1}} ամբողջ թիվը կոչվում է {\displaystyle a}-ի մոդուլո {\displaystyle n} *մոդուլար բազապատիկ հակադարձ*։
* Եթե {\displaystyle a\cong b(mod\ n)} և {\displaystyle a^{-1}}-ը գոյություն ունի, ապա {\displaystyle a^{-1}=b^{-1}(mod\ n)} (համադրելիություն բազմապատիկ հակադարձի հետ, և, եթե {\displaystyle a=b}, մոդուլո {\displaystyle n} եզակիություն)։
* Եթե {\displaystyle ax\cong b(mod\ n)} և {\displaystyle a}-ն փոխադարձ պարզ է {\displaystyle n}-ին, ապա այս գծային կոնգրուենցիայի լուծումը տրված է {\displaystyle x\cong a^{-1}b(mod\ n)} հավասարմամբ։

{\displaystyle x\cong a^{-1}(mod\ n)} բազմապատիկ համադարձը գտնելու արդյունավետ տարբերակ է Բեզուի հավասարումը՝ {\displaystyle ax+ny=1}, {\displaystyle x}-ի և {\displaystyle y}-ի համար լուծելը։ Այն կարելի է լուծել Էվկլիդեսի ընդարձակված ալգորիթմով։

Մասնավորապես․ եթե {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է, ապա {\displaystyle a}-ն {\displaystyle p}-ի հետ փոխադարձ պարզ է ցանկացած {\displaystyle 0<a<p}-ի համար։ Այսպիսով բազապատիկ հակադարձ գոյություն ունի բոլոր այն {\displaystyle a}-երի համար, որոնք {\displaystyle p} մոդուլոյով զրոյին կոնգրուենտ չեն։

### Այլ հատկություններ

Ստորև ներկայացված են կոնգրուենտ հարաբերության այլ հատկություններ․

* Ֆերմայի փոքրիկ թեորեմը․ եթե {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է և չի բաժանում {\displaystyle a}-ին, ապա {\displaystyle a^{p-1}\cong 1(mod\ p)}
* Էյլերի թեորեմը․ եթե {\displaystyle a}-ն և {\displaystyle n}-ը փոխադարձ պարզ են, ապա {\displaystyle a^{\phi (n)}\cong 1(mod\ n)}, որտեղ {\displaystyle \phi }-ն Էյլերի ֆունկցիան է։
	+ Ֆերմայի փոքրիկ թեորեմի հետևանքներից է, որ, եթե {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է, ապա {\displaystyle a^{-1}\cong a^{p-2}(mod\ p)}-ն {\displaystyle 0<a<p} թվի բազմապատիկ հակադարձն է։
		- Ավելի ընդհանուր՝ Էյլերի թեորեմից, եթե {\displaystyle a}-ն և {\displaystyle n}-ը փոխադարձ պարզ թվեր են, ապա {\displaystyle a^{-1}\cong a^{\phi (n)-1}(mod\ n)}։
	+ Մեկ այլ պարզ հետևանք է, որ, եթե {\displaystyle a\cong b(mod\ \phi (n))}, որտեղ {\displaystyle \phi }-ն Էյլերի ֆունկցիան է, և {\displaystyle k}-ը փոխադարձ պարզ է {\displaystyle n}-ին, ապա {\displaystyle k^{a}\cong k^{b}(mod\ n)}

* Ուիլսոնի թեորեմը. {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է միայն և միայն եթե {\displaystyle (p-1)!\cong -1(mod\ p)}։

* Մնացորդների մասին չինական թեորեմը. ցանկացած {\displaystyle a}, {\displaystyle b} և փոխադարձ պարզ {\displaystyle m}, {\displaystyle n} թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի եզակի {\displaystyle x(mod\ mn)}, որի համար ճիշտ են {\displaystyle x\cong a(mod\ m)} և {\displaystyle x\cong b(mod\ n)} պնդումները։
	+ Ավելին․ {\displaystyle x\cong bm\_{n}^{-1}m+an\_{m}^{-1}n(mod\ mn)}, որտեղ {\displaystyle m\_{n}^{-1}}-ը {\displaystyle m}-ի մոդուլո {\displaystyle n}-ի հակադարձն է, իսկ {\displaystyle n\_{m}^{-1}}-ը՝ {\displaystyle n}-ի մոդուլո {\displaystyle m}-ի։

* Լագրանժի թեորեմը․ {\displaystyle f(x)\cong 0(mod\ p)} կոնգրուենցիան, որտեղ {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է և {\displaystyle f(x)=a\_{0}x^{n}+\dots +a\_{n}}-ն ամբողջ թվերի գործակիցներով բազմանդամ է որտեղ {\displaystyle a\_{0}\neq 0(mod\ p)}, առավելագույնն {\displaystyle n} արմատ ունի։

* Մոդուլո {\displaystyle n} պարզունակ արմատ. {\displaystyle g} թիվը մոդուլո {\displaystyle n} պարզունակ արմատ է, եթե {\displaystyle n}-ին փոխադարձ պարզ յուրաքանչյուր {\displaystyle a} ամբողջ թվի համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle k} ամբողջ թիվ, որի համար ճիշտ է {\displaystyle g^{k}\cong a(mod\ n)} հավասարումը։
	+ Մոդուլո {\displaystyle n} պարզունակ արմատ գոյություն ունի միայն ու միայն եթե {\displaystyle n}-ը հավասար է {\displaystyle 2}-ի, {\displaystyle 4}-ի, {\displaystyle p^{k}}-ի կամ {\displaystyle 2p^{k}}-ի, որտեղ {\displaystyle p}-ն կենտ պարզ թիվ է և {\displaystyle k}-ը դրական ամբողջ թիվ է։
	+ Եթե մոդուլո {\displaystyle n} պարզունակ արմատ գոյություն ունի, ապա գոյություն ունեն ճիշտ {\displaystyle \phi (\phi (n))} նման պարզունակ արմատներ, որտեղ {\displaystyle \phi }-ն Էյլերի ֆունկցիան է։

* Քառակուսային մնացորդ․ {\displaystyle a} ամբողջ թիվը մոդուլո {\displaystyle n} քառակուսային մնացորդ է, եթե գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle x} ամբողջ թիվ, որի համար ճիշտ է {\displaystyle x^{2}\cong a(mod\ n)} հավասարումը։
	+ Էյլերի չափանիշը փաստում է, որ, եթե {\displaystyle p}-ն կենտ պարզ թիվ է և {\displaystyle a}-ն {\displaystyle p}-ի բազմապատիկը չէ, ապա {\displaystyle a}-ն մոդուլո {\displaystyle p} քառակուսային մնացորդ է միայն ու միայն եթե {\displaystyle a^{(p-1)/2}\cong 1(mod\ p)}

Մնացորդային համակարգեր
----------------------

Յուրաքանչյուն մոդուլո {\displaystyle n} մնացորդային դասակարգ կարելի է ներկայացնել իր կամայական անդամով։ Սովորաբար այն ներկայացնում ենք այն փոքրագույն ոչ-բացասական ամբողջ թվով, որը դասակարգի անդամ է (սա կլինի բաժանման արդյունքում ստացված մնացորդը)։ Տարբեր դասակարգերի կամայական անդամներ իրար մոդուլո {\displaystyle n} ինկոնգրուենտ են։ Ավելին․ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ պատկանում է միայն մի մոդուլո {\displaystyle n} մնացորդային դասակարգի։

Ամբողջ թվերի {\displaystyle \{0,1,2\dots n-1\}} բազմությունը կոչվում է **մոդուլո {\displaystyle n} նվազագույն մնացորդների համակարգ**։ {\displaystyle n} ամբողջ թվերի կամայական բազմություն, որում կամայական երկու անդամ իրար մոդուլո {\displaystyle n} կոնգրուենտ չեն կոչվում է **մոդուլո {\displaystyle n} մնացորդների ամբողջ համակարգ**։

Նվազագույն մնացորդների համակարգը մնացորդների ամբողջ համակարգ է, և մնացորդների ամբողջ համակարգը պարզապես մոդուլո {\displaystyle n} մնացորդային յուրաքանչյուր դասակարգից մեկ ներկայացուցիչ պարունակող բազմություն է։

Օրինակ մոդուլո {\displaystyle 4} նվազագույն մնացորդների համակարգը {\displaystyle \{0,1,2,3\}} բազմությունն է։ Այլ մնացորդների ամբողջ համակարգերից են․ {\displaystyle \{1,2,3,4\}}, {\displaystyle \{13,14,15,16\}}, {\displaystyle \{-2,-1,0,1\}}, {\displaystyle \{-5,0,6,21\}} կամ {\displaystyle \{27,32,37,42\}}

Մոդուլո {\displaystyle 4} մնացորդների ամբողջ համակարգ չհանդիսացող բազմության օրինակներ են․ {\displaystyle \{-5,0,6,22\}}, քանի որ {\displaystyle 6}-ը {\displaystyle 22}-ին մոդուլո {\displaystyle 4} կոնգրուենտ է, կամ {\displaystyle \{5,15\}}, քանի որ մոդուլո {\displaystyle 4} մնացորդների ամբողջ համակարգը պետք է {\displaystyle 4} ոչ֊կոնգրուենտ անդամ ունենա։

### Նվազեցրած մնացորդերի համակարգեր

Հիմնական հոդված՝ Նվազեցրած մնացորդերի համակարգեր
Տրված ունենալով Էյլերի ֆունկցիա {\displaystyle \phi (n)}-ը, {\displaystyle \phi (n)} ամբողջ թվերի կամայական բազմություն, որի անդամները փոխադարձ պարզ են {\displaystyle n}-ին և իրար մոդուլո {\displaystyle n} ինկոնգրուենտ են, կոչվում է **մոդուլո {\displaystyle n} նվազեցրած մնացորդերի համակարգ**։ Վերին օրինակի {\displaystyle \{5,15\}} բազմությունը նվազեցրած մնացորդների համակարգի օրինակ է։

Մոդուլո m ամբողջ թվեր
---------------------

Նշում․ այս պարբերությունների կոնտեքստում {\displaystyle m} մոդուլուսը գրեթե միշտ որպես դրական է վերցված։

Մոդուլո {\displaystyle m} բոլոր կոնգրուենտ դասակարգերի բազմությունը կոչվում է **մոդուլո {\displaystyle m} ամբողջ թվերի օղակ**, և նշանակվում է որպես {\textstyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }, {\displaystyle \mathbb {Z} /m} կամ {\displaystyle \mathbb {Z} \_{m}}։ {\displaystyle \mathbb {Z} \_{m}} գրառումը, սակայն, խորհուրդ չի տրվում, քանի որ այն կարելի է շփոթել {\displaystyle m}-ադիկ ամբողջ թվերի բազմության հետ։ {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } օղակը մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերի հիմքում է։ 

Տրված ունենալով {\displaystyle m>0}, ունենք

{\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}\_{m}\mid a\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{{\overline {0}}\_{m},{\overline {1}}\_{m},{\overline {2}}\_{m},\ldots ,{\overline {m{-}1}}\_{m}\right\}}։
Երբ {\displaystyle m=1}, {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }֊ն զրո օղակն է։ Երբ {\displaystyle m=0}, {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }֊ն դատարկ բազմությունը չէ․ այն փոխարենն իզոմորֆիկ է {\displaystyle \mathbb {Z} }-ին, քանի որ {\displaystyle {\overline {a\_{0}}}=\{a\}}։

{\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } օղակում գումարումը, հանումը և բաժանումը տրված են հետևյալ կանոններով․

* {\displaystyle {\overline {a}}\_{m}+{\overline {b}}\_{m}={\overline {(a+b)}}\_{m}}
* {\displaystyle {\overline {a}}\_{m}-{\overline {b}}\_{m}={\overline {(a-b)}}\_{m}}
* {\displaystyle {\overline {a}}\_{m}{\overline {b}}\_{m}={\overline {(ab)}}\_{m}}։

Վերում նշված հատկություններից կարող ենք եզրակացնել, որ այս գործողությունների ներքո {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }-ն տեղափոխական (կոմուտատիվ) օղակ է։ Օրինակ {\displaystyle \mathbb {Z} /24\mathbb {Z} } օղակում ունենք․

{\displaystyle {\overline {12}}\_{24}+{\overline {21}}\_{24}={\overline {33}}\_{24}={\overline {9}}\_{24}},
ինչև համարժեք է 24-ժամյա ժամացույցի հանրահաշվին։

{\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } գրառումն օգտագործում ենք, քանի որ այս օղակը {\displaystyle \mathbb {Z} } բազմության քանորդ օղակն է՝ {\displaystyle m\mathbb {Z} } իդեալով. բոլոր {\displaystyle k\ m}-ով (որտեղ {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }) ձևավորված բազմությամբ։

Գումարման տակ խումբ համարվելով՝ {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }-ն ցիկլիկ խումբ է։ Բոլոր ցիկլիկ խմբերն ինչ֊որ {\displaystyle m}֊ի համար {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }-ին իզոմորֆիկ են։

Մոդուլո {\displaystyle m} ամբողջ թվերի օղակը դաշտ է միայն և միայն այն դեպքում, եթե {\displaystyle m}-ը պարզ թիվ է․ սա երաշխավորում է, որ յուրաքանչյուր ոչ-զրոյական անդամ բազմապատիկ հակադարձ ունի։ Եթե {\displaystyle m}-ը հավասար է {\displaystyle p^{k}}-ին որևէ {\displaystyle k>1}-ի համար, (եթե այն պարզ թվի աստիճան է), ապա գոյություն ունի իզոմորֆությամբ եզակի {\displaystyle \mathrm {GF} (m)=\mathbb {F} \_{m}} դաշտ` {\displaystyle m} անդամներով, որը իզոմորֆիկ *չէ* {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }-ին։ Այն դաշտ չէ, քանի որ ունի զրոյական բաժանարարներ։

Եթե {\displaystyle m>1}, ապա {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }} արտահայտությամբ գրառում ենք մոդուլո {\displaystyle m} հակադարձ ունեցող ամբողջ թվերի բազմապատիկ խումբը։ Այն բաղկացած է *a**m* կոնգրուենտ դասակարգերից, որտեղ {\displaystyle a}-ն փոխադարձաբար պարզ է {\displaystyle m}-ին; սրանք հենց այն դասակարգեր են, որոնք բազմապատիկ հակադարձ ունեն։ Նրանք բազմապատկման ներքո աբելյան խումբ են կազմում; կարգը {\displaystyle \phi (m)} է, որտեղ {\displaystyle \phi }-ն Էյլերի ֆունկցիան է։

Կիրառումներ
-----------

Մաքուր մաթեմատիկայում մոդուլար հանրահաշիվը թվերի տեսության հիմունքներից է, և կիրառվում է թվերի տեսության ուսումնասիրման գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Մուդուլար հանրահաշիվը նաև լայն կիրառում ունի խմբերի տեսության, օղակների տեսության, կապերի տեսության մեջ և աբստրակտ հանրահաշվում։

Կիրառական մաթեմատիկայում մոդուլար հանարահաշիվը կիրառություն ունի համակարգչային հանրահաշվում, կրիպտոգրաֆիայում, ինֆորմատիկայում, քիմիայում, կերպարվեստում և երաժշտության մեջ։

Մոդուլար հանրահաշվի շատ պրակտիկ կիրառումներից է թվային սերիալ նույնականացման ցուցիչների ստուգիչ գումարի հաշվարկը։ Օրինակ գրքի միջազգային ստանդարտ համարի (ԳՄԱՀ) համակարգը սխալների բացահայտման համար oգտագործում է մոդուլո 11 (10-նշային ԳՄԱՀ-ի համար) կամ մոդուլո 10 (13-նշային ԳՄԱՀ-ի համար) հանրահաշիվ։ Նմանապես, միջազգային բանկային հաշվեհամարների համակարգը մոդուլո 97 հանրահաշիվ է օգտագործում հաշվեհամարի մուտքագրման սխալները նկատելու համար։ Քիմիայում CAS գրանցման համարի վերջին նիշը ստուգիչ նիշ է, որը հաշվում են մոդուլո 10 հանրահաշվով․ այն հավասար է գրանցման համարի առաջին երկու մասի վերջին նշի ու 1-ի արտադրայլի, նախորդ նշի ու 2-ի, դրա նախորդ նշի ու 3-ի, և այլն, գումարին մոդուլո 10։

Գաղտնագրության մեջ մոդուլար հանրահաշիվը հանրային բանալիների գաղտնագրության համակարգերի (ինչպիսիք են, օրինակ, RSA ալգորիթմն ու Դիֆֆի֊Հելմանի բանալու փոխանակման արձանագրությունը) հիմնաքարն է։ [RSA|RSA ալգորիթմն]] ու Դիֆֆի֊Հելմանի բանալու փոխանակման արձանագրությունն օգտագործում են մոդուլար աստիճան (էքսպոնենտ)։ Մոդուլար հանրահաշիվը նաև առաջարկում է վերջավոր դաշտեր, որոնցով կարելի է էլիպտիկ կորեր կառուցել և օգտագործել համաչափ բանալու տարատեսակ ալգորիթմներում, ներառյալ՝ Ծածկագրման Առաջադեմ Ստանդարտ(AES), Տվյալների Ծածկագրման Միջազգային Ալգորիթմը (IDEA) և RC4։

Համակարգչային հանրահաշվում մոդուլար հանրահաշիվը հաճախ է օգտագործվում միջանկյան տվյալներում կամ հաշվարկներում ամբողջ թվերով գործակիցների չափը կարգավորելու նխատակով։ Մոդուլար հանրահաշիվն օգտագործվում է նաև բազմանդամների ֆակտորիզացիայում․ խնդիր, որի լուծման հայտնի բոլոր արդյունավետ ալգորիթմները մոդուլար հանրահաշիվ են օգտագործում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Սանդոր Լեհոսկի; Ռիչարդ Ռուսկի (2006). Դեյվիդ Պատրիկ (ed.). *Խնդիրներ լուծելու արվեստը* (անգլերեն). Vol. 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. էջ 44. ISBN 0977304566.
2. ↑  Վեյսշտայն, Էրիկ. «Մոդուլար հանրահաշիվ». *mathworld.wolfram.com* (անգլերեն). Վերցված է 2020 թվականի օգոստոսի 12-ին.
3. ↑  Pettofrezzo & Byrkit (1970, էջ. 90) harvtxt error: no target: CITEREFPettofrezzoByrkit1970 (help)
4. ↑  Long (1972, էջ. 78) harvtxt error: no target: CITEREFLong1972 (help)
5. ↑  Long (1972, էջ. 85) harvtxt error: no target: CITEREFLong1972 (help)
6. ↑  
Ստորև ցույց կտանք որ այն օղակ է։
7. ↑  «Մոդուլո {\displaystyle n} ամբողջ թվեր». *Mathematics LibreTexts* (անգլերեն). 2013, նոյեմբերի 16. Վերցված է 2020, օգոստոսի 12-ին.
8. ↑  Սենգադիր Թ. *Դիսկրետ Մաթեմատիկա և Կոմբինատորիկա*, p. 293, at Google Books

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Թվերի տեսություն |
| --- |
|  |
| Ոլորտներ | 
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դասի դաշտի տեսություն, ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն, Իվասավայի տեսություն, Իվասավա-Թեյթի տեսություն, Կումերի տեսություն)
* Անալիտիկ թվերի տեսություն (L-ֆունկցիաների անալիտիկ տեսություն, հավանականական թվերի տեսություն, մաղերի տեսություն)
* Թվերի երկրաչափություն
* Հաշվողական թվերի տեսություն
* Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն (Առաքելովի տեսություն, Հոջ-Առաքելովի տեսություն)
* Թվաբանական կոմբինատորիկա (ադիտիվ թվերի տեսություն)
* Թվաբանական երկրաչափություն (անաբելյան երկրաչափություն, P-ադիկ Հոջի տեսություն)
* Թվաբանական տոպոլոգիա
* Թվաբանական դինամիկա

 |
|  |
| Հիմնական հասկացություններ | 
* Թվեր
* 0
* Բնական թվեր
* Միավոր
* Պարզ թվեր
* Բաղադրյալ թվեր
* Ռացիոնալ թվեր
* Իռացիոնալ թվեր
* Հանրահաշվական թվեր
* Տրանսցենդենտ թվեր
* P-ադիկ թվեր (P-ադիկ անալիզ)
* Թվաբանություն
* Մոդուլար հանրահաշիվ
* Մնացորդների մասին չինական թեորեմ
* Թվաբանական ֆունկցիաներ

 |
|  |
| Այլ | 
* Քատակուսային ձևեր
* Մոդուլային ձևեր
* L-ֆունկցիաներ
* Դիոֆանտյան հավասարում
* Դիոֆանտյան մոտարկում
* Շղթայական կոտորակներ

 |

 |