**Սկալյար արտադրյալ** (երբեմն՝ **ներքին արտադրյալ**), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է *x* վեկտորի *երկարության* բազմապատկումը *x* վեկտորի վրա *y* վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle },
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )},
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} },
(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

{\displaystyle \langle a|b\rangle }.
Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0} բոլոր a-երի համար ({\displaystyle a\not =0}).
Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

Սահմանում
---------

{\displaystyle \mathbb {L} } վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի {\displaystyle \mathbb {C} } (կամ իրական թվերի {\displaystyle \mathbb {R} }) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է {\displaystyle \langle x,y\rangle } ֆունկցիան, որը որոշված է {\displaystyle x,y\in \mathbb {L} } ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ {\displaystyle \mathbb {C} } - ում (կամ {\displaystyle \mathbb {R} }-ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

1. {\displaystyle \mathbb {L} } տարածության ցանկացած երեք {\displaystyle x\_{1},x\_{2}} և {\displaystyle y} տարրերի և {\displaystyle \mathbb {C} }-ի (կամ {\displaystyle \mathbb {R} }-ի) ցանկացած {\displaystyle \alpha ,\beta } թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. {\displaystyle \langle \alpha x\_{1}+\beta x\_{2},y\rangle =\alpha \langle x\_{1},y\rangle +\beta \langle x\_{2},y\rangle };
2. ցանկացած {\displaystyle x} և {\displaystyle y}-ի համար ճիշտ է {\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}} հավասարությունը;
3. ցանկացած {\displaystyle x}-ի համար ունենք {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}, ընդ որում

{\displaystyle \langle x,x\rangle =0} միայն {\displaystyle x=0} դեպքում։

Հանրահաշվական սահմանում
-----------------------

***n***-աչափ իրական տարածությունում **a** = [*a*1, *a*2, ... *a**n*] և **b** = [*b*1, *b*2, ... *b**n*] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}b\_{i}=a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+\cdots +a\_{n}b\_{n}}:
Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}
**a** = [*a*1, *a*2, ... *a**n*] և **b** = [*b*1, *b*2, ... *b**n*] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}{\overline {b\_{i}}}=a\_{1}{\overline {b\_{1}}}+a\_{2}{\overline {b\_{2}}}+\cdots +a\_{n}{\overline {b\_{n}}}}:
Օրինակ, 
{\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}

Երկրաչափական սահմանում
----------------------

== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

Հատկություններ
--------------

* Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

{\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}
* Անկյունը վեկտորների միջև.
{\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}}
* Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}} բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։
* {\displaystyle \mathbf {a} } վեկտորի պրոյեկցիան {\displaystyle \mathbf {e} } միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
{\displaystyle a\_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}, քանի որ {\displaystyle |\mathbf {e} |=1}
* {\displaystyle \mathbf {a} } և {\displaystyle \mathbf {b} } վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.

{\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}
* {\displaystyle \mathbf {a} \ } և {\displaystyle \mathbf {b} \ } երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

{\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ }
### Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն

Գծային տարածության ցանկացած {\displaystyle \mathbf {x} } և {\displaystyle \mathbf {y} } էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը  Արխիվացված 2009-02-27 Wayback Machine

{\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }:

Պատմություն
-----------

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։

Տես նաև
-------

* Խառն արտադրյալ
* Հիլբերտյան տարածություն
* Վեկտորական արտադրյալ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Bra–ket notation
2. ↑  S. Lipschutz, M. Lipson (2009). *Linear Algebra (Schaum’s Outlines)* (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. ↑  *Crowe M. J.* A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
4. ↑  *Hamilton W. R.* On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // *Philosophical Magazine. 3rd Series*. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Մեծ նորվեգական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4181619-5 · Microsoft: 32900221 |

 |