Սահմանում
---------

Հերմիտի բազմանդամների գրաֆիկը {\displaystyle n=0,1,...5} դասավորությամբ
Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!};
Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ

{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}.
Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների ({\displaystyle n=0,1,...10}) համար։

{\displaystyle H\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle H\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle H\_{2}(x)=x^{2}-1\,}
{\displaystyle H\_{3}(x)=x^{3}-3x\,}
{\displaystyle H\_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}
{\displaystyle H\_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}
{\displaystyle H\_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}
{\displaystyle H\_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}
{\displaystyle H\_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}
{\displaystyle H\_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}
{\displaystyle H\_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,} ։
Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ ({\displaystyle n=0,1,...10}) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

{\displaystyle H\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle H\_{1}(x)=2x\,}
{\displaystyle H\_{2}(x)=4x^{2}-2\,}
{\displaystyle H\_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}
{\displaystyle H\_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}
{\displaystyle H\_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
{\displaystyle H\_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}
{\displaystyle H\_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}
{\displaystyle H\_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}
{\displaystyle H\_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}
{\displaystyle H\_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle H\_{n}(x)=\sum \_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}

Հատկություն
-----------

{\displaystyle H\_{n}(x)} բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ n թիվը։
{\displaystyle H\_{2n}(-x)=H\_{2n}(x),~~H\_{2n+1}(-x)=-H\_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots }:

x=0-ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

{\displaystyle H\_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H\_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,},
{\displaystyle H\_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H\_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,}. (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)
{\displaystyle H\_{n}(x)} բազմանդամը կարելի է պատկերասնել {\displaystyle n\times n} մատրիցի որոշչի տեսքով։

{\displaystyle H\_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}

### Գումարման բանաձև

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։

{\displaystyle {\frac {(a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+\cdots +a\_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H\_{\mu }\left[{\frac {a\_{1}x\_{1}+a\_{2}x\_{2}+\cdots a\_{n}x\_{n}}{\sqrt {a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+\cdots +a\_{n}^{2}}}}\right]=\sum \_{m\_{1}+\cdots +m\_{n}=\mu }{\frac {a\_{1}^{m\_{1}}}{m\_{1}!}}\cdots {\frac {a\_{n}^{m\_{n}}}{m\_{n}!}}H\_{m\_{1}}(x\_{1})\cdots H\_{m\_{n}}(x\_{n})~.}
Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

* {\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=\cdots =a\_{n}=1}, {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}}. ապա

{\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H\_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum \_{m\_{1}+\cdots +m\_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m\_{1}!\cdots m\_{n}!}}H\_{m\_{1}}(x)\cdots H\_{m\_{n}}(x)}.
* {\displaystyle n=2}, {\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=1}, {\displaystyle x\_{1}={\sqrt {2}}x,~x\_{2}={\sqrt {2}}y}. ապա

{\displaystyle 2^{\mu }H\_{\mu }(x+y)=\sum \_{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H\_{p}(x)H\_{q}(x)H\_{p}(y)H\_{q}(y)}.
* {\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=\cdots =a\_{n}=1}, {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}}. ապա

{\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H\_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum \_{m\_{1}+\cdots +m\_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m\_{1}!\cdots m\_{n}!}}H\_{m\_{1}}(x)\cdots H\_{m\_{n}}(x)}.
* {\displaystyle n=2}, {\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=1}, {\displaystyle x\_{1}={\sqrt {2}}x,~x\_{2}={\sqrt {2}}y}. ապա

{\displaystyle 2^{\mu }H\_{\mu }(x+y)=\sum \_{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H\_{p}(x)H\_{q}(x)H\_{p}(y)H\_{q}(y)}.

Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը
--------------------------------------------

Օրթոգոնալություն
----------------

Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ինտերվալում {\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!} կամ {\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!} զանգվածով, կախված սահմանումից։

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{n}(x)H\_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta \_{\mathit {nm}}},
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{n}(x)H\_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta \_{\mathit {nm}}}, (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)
որտեղ {\displaystyle \delta \_{mn}}-ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։
Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական p ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։

{\displaystyle {\frac {x^{p}}{p!}}=\sum \_{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H\_{p-2k}(x).}

Դրանից բխում է կապ {\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}} ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և {\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }A\_{n}H\_{n}(x)} ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

{\displaystyle A\_{n}={\frac {1}{n!}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a\_{n+2k},~~~a\_{n}={\frac {1}{n!}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A\_{n+2k}}

Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}\_{2}F\_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H\_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},}
Որտեղ {\displaystyle {}\_{2}F\_{2}(a\_{1},a\_{2};b\_{1},b\_{2};x)} -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ {\displaystyle \Gamma (x)}-ը գամմա ֆունկցիան է։

### Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց

Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես {\displaystyle f(x)=\sum \_{k=1}^{p}c\_{k}e^{\alpha \_{k}x},}-ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }A\_{n}H\_{n}(x)~,~~~A\_{n}={\frac {1}{n!}}\sum \_{k=1}^{p}c\_{k}\alpha \_{k}^{n}e^{\frac {\alpha \_{k}^{2}}{2}}~.}
Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle \mathrm {ch} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H\_{2n}(x),~~~\mathrm {sh} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H\_{2n+1}(x),}
{\displaystyle \cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H\_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H\_{2n+1}(x),}

Դիֆերենցիալ հավասարումները
--------------------------

Հիմնական հոդված՝ Դիֆերենցիալ հավասարումներ
{\displaystyle H\_{n}(x)} Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

{\displaystyle y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,}

Եթե n հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

{\displaystyle y(x)=AH\_{n}(x)+Bh\_{n}(x)\,},

որտեղ {\displaystyle A,B} կամայական հաստատուններ են, իսկ {\displaystyle h\_{n}(x)} ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝ {\displaystyle e^{x^{2}/2}} և {\displaystyle \int \_{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz} միջոցով։

Արտահայտում
-----------

Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։

{\displaystyle H\_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint \_{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz}

Որտեղ {\displaystyle \Gamma } ուրվագիծն է, որը ներառում է կոորդինատի սկիզբը

{\displaystyle H\_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy}.

Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ
-------------------------------

* Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.

{\displaystyle H\_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}\_{1}F\_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H\_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}\_{1}F\_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)}
* Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.

{\displaystyle H\_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L\_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H\_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L\_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!}