Նկար 1
Երկրաչափության մեջ Բրետշնայդերի բանաձևը կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի, {\displaystyle \alpha \,} և {\displaystyle \gamma \,} հանդիպակած անկյուների միջև՝

{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}
հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, {\displaystyle \alpha }-ն և {\displaystyle \gamma }-ն՝ երկու հանդիպակած անկյունները։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդը։

Ապացույց
--------

{\displaystyle \triangle DAB} և {\displaystyle \triangle BCD} նշանակենք համապատասխանաբար {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}} և {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{2}} տառերով։ Ըստ եռանկյան մակերեսի

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}={\dfrac {ab\sin \alpha }{2}}}, {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{2}={\dfrac {cd\sin \gamma }{2}}} ըստ մակերեսների աքսիոմի
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\dfrac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma +c^{2}d^{2}\sin ^{2}\gamma \right)} (1)
ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝

{\displaystyle e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }
{\displaystyle e^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
այստեղից՝

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
հավասարման երկու կողմերին գումարելով {\displaystyle 2ab\cos \alpha -c^{2}-d^{2}} արտահայտությունը կստանանք

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\cos \alpha -2cd\cos \gamma }
կամ՝

{\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -8abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +4c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma }
հավասարումը, որը համարժեք է

{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma \right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=0}
արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} և {\displaystyle \cos \left({x-y}\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y} նույնություններից կստանանք

{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd-8abcd\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}(-a+b+c+d)\cdot (a-b+c+d)\cdot (a+b-c+d)\cdot (a+b+c-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \left(1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)}
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\dfrac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}

Տես նաև
-------

* Բրահմագուպտայի բանաձև

Աղբյուրներ
----------

* Ayoub B. Ayoub: *Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems*. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
* E. W. Hobson: *A Treatise on Plane Trigonometry*. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
* C. A. Bretschneider. *Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes.* Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
* F. Strehlke: *Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes*. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)

Արտաքին հղումներ
----------------

* Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula", *MathWorld*.
* Bretschneider's formula at proofwiki.org