**Գծային արտապատկերում** - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ {\displaystyle y=kx}) տեսքի ֆունկցիաներ։

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։

**Գծային օպերատորը (ձևափոխումը)** հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։

Ֆորմալ սահմանումը
-----------------

{\displaystyle V} վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը {\displaystyle K} դաշտի վրա {\displaystyle W} վեկտորային տարածությունում նույն {\displaystyle K} դաշտի համար (գծային օպերատոր {\displaystyle V}-ից {\displaystyle W}) կոչվում է արտապատկերում՝

{\displaystyle f\colon V\to W},
որը բավարարում է *գծային պայմանին*՝

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)},
{\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}.
ցանկացած {\displaystyle x,y\in V} և {\displaystyle \alpha \in K}։

Եթե {\displaystyle V} և {\displaystyle W} միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա {\displaystyle f}-ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ **գծային ձևափոխություն**։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածություն
-------------------------------------

Եթե {\displaystyle K} հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

* {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V}
* {\displaystyle (kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K}

ապա {\displaystyle V}-ից {\displaystyle W} բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}-ով։

### Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։

Եթե {\displaystyle V} և {\displaystyle W} վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի {\displaystyle N} թիվ այնպիսի, որ {\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|\_{W}\leqslant N\|x\|\_{V}}: Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ {\displaystyle N} հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է **օպերատորի նորմա**․
{\displaystyle \|A\|=\sup \_{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup \_{\|x\|=1}{\|Ax\|}:}

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե {\displaystyle W} տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

### Հակադարձ օպերատոր

{\displaystyle A^{-1}} օպերատորը կոչվում է հակադարձ {\displaystyle A} գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․ {\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=1}։

{\displaystyle A^{-1}} օպերատորը, որը հակադարձ է {\displaystyle A} գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե {\displaystyle A} -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ {\displaystyle F}-տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

### Գծային արտապատկերման

**Գծային արտապատկերման**  – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք {\displaystyle \mathbf {e} \_{k}} բազիսը։ Դիցուք {\displaystyle \mathbf {x} }-ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

{\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} \_{k}},
որտեղ {\displaystyle x^{k}}-ն {\displaystyle \mathbf {x} } վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։
Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։
Դիցուք {\displaystyle \mathbf {A} }-ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

{\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} \_{k}}։
{\displaystyle \mathbf {Ae} \_{k}} վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

{\displaystyle \mathbf {Ae} \_{k}=a\_{k}^{j}\mathbf {e} \_{j}},
որտեղ {\displaystyle a\_{k}^{j}}-ն {\displaystyle \mathbf {Ae} \_{k}}-ի {\displaystyle k}-րդ վեկտորի {\displaystyle j}-րդ կոորդինատը է։
Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

{\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}a\_{k}^{j}\mathbf {e} \_{j}=(a\_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} \_{j}}։
{\displaystyle a\_{k}^{j}x^{k}} արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, {\displaystyle a\_{k}^{j}} մատրիցը {\displaystyle x^{k}} սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի {\displaystyle \mathbf {Ax} } վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է {\displaystyle \mathbf {x} } վեկտորի վրա {\displaystyle \mathbf {A} } օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

(!) **Մեկնաբանություն՝** Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է {\displaystyle \mathbf {e} \_{k}} բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

### Փոխակերպման օրինակ

Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։
Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,}
այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (*a*, *b*), (*a* + *c*, *b* + *d*) և (*c*, *d*) գագաթներով զուգահեռակողմի։
Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է '*A* մատրիցի և {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} ու {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։
Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան **R**2 գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։ 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Հորիզոնական տեղաշարժ[en] (m=1.25) | Հորիզոնական արտապատկերում | Սեղմում[en] (r=3/2) | Երկրաչափություն (3/2) | Պտույտ (π/6R = 30°) |
| {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}} |
|  |  |  |  |  |

Կարևոր մասնավոր դեպքեր
----------------------

* **Գծային տեսք** — գծային արտապատկերում, որի համար {\displaystyle W=K}:  
    {\displaystyle f\colon V\to K}։
* **Գծային էնդոֆորմիզմ** — գծային արտապատկերում, որի համար {\displaystyle V=W}(օպերատոր)։  
    {\displaystyle f\colon V\to V}։
* **Նույնական օպերատոր** (միակ օպերատոր)— {\displaystyle x\mapsto x} օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
* **Զրոյական արտապատկերում** — օպերատոր, որը ձևափոխում է {\displaystyle V}-ի յուրաքանչյուր էլեմենտ {\displaystyle W}-ի զրոյական էլեմենտի։
* **Պրոյեկտոր** — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր {\displaystyle x}-ին իր պրոյեկցիայի հետ։
* **Համակցված արտապատկերում** {\displaystyle A\in L(V)} արտապատկերմանը — {\displaystyle A^{\*}}-ն {\displaystyle V^{\*}}-ի վրա արտապատկերում, տրված {\displaystyle A^{\*}f(x):=f(Ax)} հարաբերակցությամբ։
* **Ինքնահամակցված օպերատոր** — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են **հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ**։
* **Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր** — այնպիսի {\displaystyle A} օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ {\displaystyle A} որոշման տիրույթի բոլոր {\displaystyle x,y} զույգերի համար {\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
* **Ունիտար օպերատոր** — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է {\displaystyle (Ax,Ay)=(x,y)} սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած {\displaystyle \|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|} վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է {\displaystyle A^{-1}=A^{\*}} համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ *К* իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է *օրթոգոնալ*։

Առնչվող հասկացություններ
------------------------

* Գծային արտապատկերման {\displaystyle f\colon V\to W} *միջուկ* է կոչվում {\displaystyle V} ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։

{\displaystyle {\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}}
Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային {\displaystyle V} տարածությունում։
* {\displaystyle f} գծային արտապատկերման *պատկեր* կոչվում է հետևյալ {\displaystyle W} ենթաբազմությունը՝
{\displaystyle {\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}}
Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն {\displaystyle W} գծային տարածությունում։
* {\displaystyle M\subset V} ենթաբազմության պատկեր {\displaystyle A} գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է {\displaystyle AM=\{Ax:x\in M\}} բազմությունը։
* {\displaystyle V} և {\displaystyle W} գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը {\displaystyle f\colon V\times U\to W} գծային {\displaystyle U} տարածքին կոչվում է *բիգծային*, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։ {\displaystyle f\colon A\_{1}\times \dots \times A\_{n}\to B} մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է *բազմագծային*, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
* {\displaystyle {\tilde {L}}} օպերատորը կոչվում է *գծային տարասեռ* (կամ *աֆինացված*), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝
{\displaystyle {\tilde {L}}=L+v}

որտեղ {\displaystyle L} գծային օպերատոր է, իսկ {\displaystyle v}-ն՝ վեկտոր։
* Դիցուկ {\displaystyle A:V\to V}։ {\displaystyle M\subset V} ենթատարածությունը կոչվում է *ինվարիանտ* գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե {\displaystyle \forall x\in M,Ax\in M}

Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ {\displaystyle M\subset X}-ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ {\displaystyle X} տրոհվում է {\displaystyle X=M\oplus N} ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում {\displaystyle M} ինվարիանտ է {\displaystyle A} գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle P\_{M}AP\_{M}=AP\_{M}}, որտեղ {\displaystyle P\_{M}}-ը պրոյեկտոր {\displaystyle M} ենթատարածության վրա։
* **Ֆակտոր-օպերատորներ**։ Դիցուկ {\displaystyle A:V\to V}-ը գծային օպերատոր է և դիցուկ {\displaystyle M}-ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն {\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}} ըստ {\displaystyle M} ենթատարածության։ Այդ դեպքում **ֆակտոր-օպերատորը** կոչվում է {\displaystyle A^{+}} օպերատորը, որը կիրառվում է {\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}-ի վրա {\displaystyle \forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]} կանոնով, որտեղ {\displaystyle [Ax]}-ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է {\displaystyle Ax}-ը։
* Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Օրինակներ
---------

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

* դիֆերենցացման օպերատոր՝ {\displaystyle L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}};
* ինտեգրման օպերատոր՝ {\displaystyle y(t)=\int \limits \_{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau };
* որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ {\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)};
* տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ {\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\int \limits \_{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau };
* {\displaystyle x\_{0}} կետում {\displaystyle f} ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝ {\displaystyle L\{f\}=f(x\_{0})};
* վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ {\displaystyle b=Ax};
* վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

* ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
* {\displaystyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)};
* {\displaystyle y(t)=\int \limits \_{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)};
* {\displaystyle y(t)=\varphi \_{1}(t)x(t)+\varphi \_{2}(t)};

որտեղ {\displaystyle \varphi (t)}, {\displaystyle \varphi \_{1}(t)} և {\displaystyle \varphi \_{2}(t)}-ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ {\displaystyle x(t)}-ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Э.Б. Винберг* Курс алгебры. — МЦНМО, 2013. — С. 234. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8, ББК 22.14
2. ↑  Шилов, 1961, էջ 203
3. ↑  M-ը կարող է չլինել ենթատարածություն։
4. ↑  Կամ։ {\displaystyle AM\subset M}։
5. ↑  Օգտագործվում է նաև **ֆակտորօպերատորներ** գրառումը։
6. ↑  Որոշ դեպքերում նշանակվում է {\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{+\infty }\!f(x){\delta }(x-x\_{0})\,dx}-ով։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |