| Եքիդնաեդր |
| --- |
|  |
| Համաչափության խումբ | Իկոսաեդրական (*I**h*) |
| Տիպ | Իկոսաեդրի աստղային ձև |
| Նշանակում | Դյու Վալ՝ **H**Վենինջեր՝ **W42** |
| Տարրեր(աստղային բազմանկյան տեսքով) | *Г* = 20, *Р* = 90*В* = 60 (*χ* = −10) |
| Տարրեր(իկոսաեդրի համաստեղության տեսքով) | *Г* = 180, *Р* = 270*В* = 92 (*χ* = 2) |
| Հատկություններ(որպես աստղային բազմանկյուն) | վերնանցումային, անկյունային֊անցումային |
| 

| Եքիդնաեդրի էնեագրամ | Աստղային բազմանիստի կողմնային կողերը | Ուռուցիկ մարմին |
| --- | --- | --- |
|  | Իկոսաեդր | Հատած իկոսաեդր |

 |

**Եքիդնաեդր** (անգլ.՝ echidnahedron), իկոսաեդրի աստղային վերջին ձևը։ Կոչվում է նաև իկոսաեդրի լրիվ կամ ավարտուն տեսք, քանի որ այն պարունակում է իկոսաեդրի աստղային դիագրամի բջիջները։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից։ Պատկերին անվանում է տվել Էնդրյու Հյումը` հենվելով այն բանի վրա, որ նրա անկյունները վերին մասում փոքր են և դա նրան նմանեցնում է ոզնու կամ եքիդնայի։

Պատկերացում
-----------

Հրեական ծագումով ամերիկացի մաթեմատիկոս Բրանկո Գրյունբամը գիտական գրականության վերլուծության հիման վրա «Կարո՞ղ է արդյոք բազմանկյան ամեն հարթությունն ունենալ մի քանի կողմեր» հոդվածում նշում է, որ գոյություն ունեն բազմանկյունները դիտարկելու առնվազն երեք եղանակներ։ Եքիդնաեդրի դեպքոիմ դրանք են.

* 180 եռանկյունային կողմերի միավորում
* 20 ինքնահատվող կողմերի հատում` էնեագրամ
* 18 անկյունանի աստղաձև բազմանկյունների հատում։

### Իկոսաեդրի համաստեղության ձև

Ինչպես բազմանկյան պարզ, տեսանելի մակերևույթը, եքիդնաեդրի արտաքին տեսքը կազմված է 180 եռանկյուն կողմերից, որոնք ձևավորում են 270 նիստեր, որոնք, իրենց հերթին, հանդիպում են 92 գագաթներում։

Եքիդնադրի բոլոր գագաթները գտնվում են համակենտրոն երեք գնդերի մակերևույթին։ Ներքին` 20 գագաթներից կազմված խումբը ձևավորում է կանոնավոր դոդեկաեդրի գագաթներ։ 12 գագաթների հաջորդ խումբը ձևավորում է կանոնովոր իկոսաեդրի գագաթներ, իսկ արտաքին` 60 գագաթների շերտը ձևավորում է հատած իկոսաեդրի գագաթներ։

Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության ուռուցիկ մակերևույթը| Ներքին | Միջին | Արտաքին | Բոլոր երեքը |
| --- | --- | --- | --- |
| 20 գագաթ | 12 գագաթ | 60 գագաթ | 92 գագաթ |
| Դոդեկաեդր | Իկոսաեդր | Հատած իկոսաեդր | Եքիդնաեդր |

### Աստղային բազմանիստերի ձև

20 (9/4) բազմանկյուն կողեր
Իկոսաեդրի աստղային դիագրամը
Իկոսաեդրի աստղային ձևը դիտարկվել է որպես ինքնահատվող աստղային բազմանիստ, որն ունի 20 նիստ, ինչը համապատասխանում է իկոսաեդրի 20 նիստերին։ Ամեն նիստը անկանոն աստղակերպ բազմանիստ է (կամ էնեագրամ)։ Յուրաքանչյուր երեք ծայրերը ձևավորում են մեկ գագաթ, այդ իսկ պատճառով էլ եքիդնաեդրն ունի 20 × 9 ÷ 3 = 60 գագաթ և 20 × 9 ÷ 2 = 90 կողեր (աստղային բազմանիստի յուրաքանչյուր կող ներառում է բազմանիստի 180 տեսանելի կողերից երկուսը)։

### Իկոսաեդրի վերջնական ձև

Բազմանիստի այս աստղային ձևը ձևավորվում է իկոսաեդրին բոլոր հատվածների միացման եղանակով, որոնք ստացվում են իկոսաեդրի կողմը անվերջ հարթություններով երկարացնելիս։ Այդպիսով ստացվում է նոր բազմանիստ, որ սահմանափակված է այդ հարթություններով որպես կոզմեր, իսկ հարթությունների հատումը նիստերն են։ Հարոլդ Կոկստերի «Հիսունինը իկոսաեդր» գրքում թվարկված են իկոսաեդրի համաստեղությունները (ներառյալ` եքիդնաեդրը)` համապատասխան ամերիկացի հոգեբան Ջեֆրի Միլլերի առաջ քաշած կանոնների։

Առանձնահատկություններ
---------------------

### Անվանում և դասակարգում

* Եքիդնաեդրի Դյու Վալի խորհրդանիշ։ Դա H-ն է, քանի որ ներառում է համստեղության սխեմայի բոլոր բջիջները, այդ թվում` «h» մակարդակը։
* Մագնուս Վենինջերի գրքում գրքում եքիդնաեդրն ունի **W42** ինդեքս։
* Եթե եքիդնաեդրի կողմերը լինեին կանոնավոր էնեագրամներ, ապա այն կարելի էր դիտարկել Շլեֆլիի խորհրդանիշով {9/4, 3} կանոնավոր բազմանիստ։ Դա նշանակում է, որ ամեն գագաթին հատվում են երեք կողմեր, որտեղ ամեն կողմը անկանոն` 9/4 աստղային բազմանիստ է։

### Բնութագրիչներ

Եքիդնաեդրի Էյլերի բնութագիրը հավասար է 2-ի։ Այդ բնութագիրը հաշվվում է {\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},} բանաձևով, որտեղ *Г*-ն, *Р*-ն և *В*-ն համապատասխանաբար կողմերը, նիստերը և գագաթներն են մատնանշում։

* Եթեեքիդնաեդրը դիտարկենք որպես աստղակերպ բազմանիստ, ապա իկոսաեդր ավարտուն ձևը կլինի կատարյալ բազմանիստ, քանի որ այն հավասարանիստ է։

### Բանաձևեր

Եթե եքիդնաեդրը դիտարկենք որպես երկրաչափական մարմին` նիստերի a, Φa, Φ2a և Φ2a√2 երկարությամբ (որտեղ Φ-ը ոսկե հատումն է), ապա եքիդնաեդրի մակերևույթի մակերեսը կլինի 

{\displaystyle S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,}
իսկ ծավալը` 
{\displaystyle V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.}
* Գնդերի շառավիղները, որոնց վրա տեղադրված են եքիդնաեդրի գագաթները, գտնվում են հետևյալ հարաբերության մեջ

{\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.}.
* Եքիդնաեդրի իներցիայի տենզորը կարող է ներկայացվել որպես 3×3 անկյունագծային մատրիցա, որի գլխավոր անկյունագծի տարրերը հավասար են {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}} (որտեղ *M* — ընդհանուր զանգված)։

Պատմական ակնարկ
---------------

Եքիդնաեդրը աստղային բազմանիստերից է, որոնք առաջին անգամ նկարագրվել են 1619 թվականին Յոհան Կեպլերի *Harmonices Mundi* գրքում։ Կեպլերը մաթեմատիկորեն հիմնավորել է կանոնավոր աստղային բազմանիստերի երկու տեսակ` աստղային փոքր դոդեկաեդրը և աստղային մեծ դոդեկաեդրը։ Ավելի ուշ` 1809 թվականին, Լուի Պուանսոն կրկին բացահայտել է Կեպլերի բազմանիստերը` բացահայտելով աստղային բազմանիստերի ևս երկու տեսակ` մեծ դոդեկաեդրը և մեծ իկոսաեդրը, որոնք ներկայումս կոչվում են Կեպլեր-Պուանսոյի մարմիններ։ 1812 թվականին Օգյուստեն Լուի Կոշին ապացուցել է, որ գոյություն ունի կանոնավոր աստղային բազմանիստերի 4 տեսակ միայն։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից բազմանկյունների մասին «Բազմանկյուններ ու բազմանիստեր» դասական աշխատության մեջ, որտեղ բացի նրանից նկարագրվել են իկոսաեդրի աստղային 9 ձևեր ևս։ Դրանից հետո եքիդնաեդրը հայտնվել է նաև ուրիշ մաթեմատիկոսների աշխատություններում, ընդ որում այն միասնական նշանակություն չի ունեցել:1924 թվականին Ալբերտ Վիլերը հրատարակել է աստղային 20 պատկերներ, որոնց թվում էր նաև եքիդնաեդրը։ Աստղային բազմանիստերի ավելի լիարժեք ուսումնասիրություն է անցկացրել Հարոլդ Քոքսեթերը Պատրիկ դյու Վալի, Ֆլեյզերի և Ջոն Պետրիի հետ։ Քոքսեթերն ապացուցել է, որ գոյություն ունի իկոսաեդրի աստղակերպ 59 տեսակ միայն, որից 32-ն ունեն լիարժեք, իսկ 27-ը` ոչ լիարժեք իկոսաեդրալ համաչափություն։ Եքիդնաեդրը գրքում ութերորդն է։ Մագնուս Վենինջերի «Բազմանիստերի մոդելներ» աշխատության մեջ, որ տպագրվել է 1974 թվականին, եքիդնաեդրը ներկայացված է որպես իկոսաեդրի 17-րդ մոդել` W42 ցուցիչով։

Իկոսաեդրի վերջին աստղային ձևի ժամանակակից անվանումը տվել է Էնդրյու Հյումը 1995 թվականին` *echidnahedron* (եքիդնան ոչ մեծ կաթնասուն է` ծածկված կոպիտ մազերով ու փշերով, որոնք գնդի են վերածվում պաշտպանության ժամանակ)։

Գրականություն
-------------

* *Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie* Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3
* *Magnus J. Wenninger* Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9
* *Louis Poinsot* Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
* *Peter R. Cromwell* Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5
* *Max Brückner* Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1
* *A. H. Wheeler* Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников(անգլ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // *Proc. Internat. Math. Congress*. —Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
* *Gerald Jenkins, Magdalen Bear* Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6
* *Branko Grünbaum* Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон?(անգլ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Դյու Վալը ստեղծել է նմանակերպ բջիջների համակարգի նույնականացման համար խորհրդանշական նշանակումը այն դիտարկման իման վրա, որ դրանք գտնվում են բուն իկոսաեդրի շուրջ
2. 1 2 3  Ехиднаэдр на MathWorld
3. ↑  Веннинджер, 1971