***Մեդիալ գործողությունները*** են կոչվում այն գործողությունները, որորնք բավարարում են {\displaystyle (xy)(zt)=(xz)(yt)} նույնությանը։

Դիցուք {\displaystyle I\subseteq R} որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ)։

Կասենք, որ {\displaystyle (\cdot ):I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունը ինքնահամընկնող (իդեմպոտենտ) է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ {\displaystyle xx=x}:
Կասենք, որ {\displaystyle (\cdot ):I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունը տեղափոխական է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ {\displaystyle xy=yx}:

Եթե {\displaystyle \circ :I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունը անընդհատ է և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, և տեղի ունի հետևյալ պայմանները՝

{\displaystyle (x\circ y)\circ (z\circ t)=(x\circ z)\circ (y\circ t)} (**Մեդիալություն**)

{\displaystyle x\circ x=x} (**Ինքնահամընկնում**)

{\displaystyle x\circ y=y\circ x} (**Տեղափոխականություն**),

ապա գոյություն ունի {\displaystyle k:I\rightarrow R} անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա այնպիսին, որ {\displaystyle x\circ y=k^{-1}\left({\frac {k(x)+k(y)}{2}}\right)}, որտեղ {\displaystyle k^{-1}:k(I)\rightarrow I} ֆունկցիան որոշվում է հետևյալ կերպ՝ {\displaystyle k^{-1}(k(x))=x,\forall x\in I}:

Եթե {\displaystyle N:I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, իդեմպոտենտ, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle k:I\rightarrow R} անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի {\displaystyle a,b\in R}, {\displaystyle a+b=1,a,b\neq 1} իրական թվեր, որ {\displaystyle N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y))}։

Եթե {\displaystyle N:I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle k:I\rightarrow R} անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի {\displaystyle a,b,c\in R,ab\neq 0} իրական թվեր, որ {\displaystyle N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y)+c)}։

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԵԴԻԱԼ ԶՈՒՅԳԵՐ
--------------------------------

Դիցուք {\displaystyle I\subseteq R} ենթաբազմությունը որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ), իսկ {\displaystyle M,N:I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունները որոշված են միևնույն {\displaystyle I} բազմության վրա։ Կասենք, որ {\displaystyle M} և {\displaystyle N} երկտեղ գործողությունների {\displaystyle (M,N)} զույգը մեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝
{\displaystyle N(M(x,y),M(z,t)))=M(N(x,z),N(y,t))}։

Դիցուք {\displaystyle M,N:I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում, {\displaystyle M}-ն ու {\displaystyle N}-ն անընդհատ են և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների և {\displaystyle M}-ը մեդիալ է։ Այդ դեպքում {\displaystyle N}-ը ևս մեդիալ է։

Դիցուք {\displaystyle \cdot :I^{2}\rightarrow I} կամայական երկտեղ գործողություն է։ Կասենք որ {\displaystyle \cdot } գործողությունը նախամեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝
{\displaystyle (xy)(zx)=(xz)(yx)}:

Դիցուք {\displaystyle \circ ,\cdot :I^{2}\rightarrow I} երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում այդ գործողությունները անընդհատ են, խիստ մոնոտոն և նախամեդիալ, իսկ {\displaystyle \circ } գործողությունը ինքնահամընկնող է։ Այդ դեպքում {\displaystyle \circ } և {\displaystyle \cdot } գործողությունները մեդիալ են։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Ацел Я. Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными
2. 1 2 3  Մաթեմատիկան բարձրագույն դպրոցում․ Հատոր 12 N 2-3 (16-23)