{\displaystyle \scriptstyle {5-2=3}}
**Հանում** (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ մաթեմատիկական բինար գործողություն (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն), որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ {\displaystyle a-b=c}։ Հանման գործողությունը գումարման գործողության հակառակն է։

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ {\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c} ընդհանուր տեսքով , որտեղ {\displaystyle a\in A} և {\displaystyle b\in A}։ Այսինքն {\displaystyle (a,b)}տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է {\displaystyle A}բազմության {\displaystyle c=a-b} տարրը, որը կոչվում է {\displaystyle a} և {\displaystyle b} թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը (ունեն նույն տիպը)։  
Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ {\displaystyle 5-2=3}կարելի է դիտարկել որպես {\displaystyle 5+(-2)=3} գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ {\displaystyle A=}{\displaystyle \mathbb {R} }-ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝ {\displaystyle a-b=-(b-a),\quad \forall a,b\in \ A}
Ոչ զուգորդականություն՝ {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}
Բաշխականություն՝ {\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}
Երբ թվից հանում ենք {\displaystyle 0} արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ {\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}ː
Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված {\displaystyle 5-2=3} գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։

Գրելաձև և տերմինաբանություն
---------------------------

Սիմվոլներ և նշաններ
Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «{\displaystyle -}» կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «{\displaystyle =}» կիրառմամբ, օրինակ՝

{\displaystyle a-b=c} ,
{\displaystyle 6-3=3} («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,
{\displaystyle 64-35=29} («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։
Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

Հատկություններ
--------------

Թվային {\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

* Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

**Հակատեղափոխականություն**՝ {\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A}
* Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

**Հակազուգորդականություն**՝ {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}
* Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք

**Բաշխականություն**՝ {\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}
* {\displaystyle A}բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝

**Զրոյական տարր**՝ {\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}
* Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին

**Իդեմպոտետություն**՝ {\displaystyle x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A},
* Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ {\displaystyle a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A}ː

{\displaystyle \mathbb {N} } բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

{\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː{\displaystyle }

Հանման գործողության կատարում
----------------------------

Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː

 Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ

Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

6 թվից 4 թվի հանման գործողության քայլ առ քայլ կատարումը
Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

{\displaystyle a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b}
{\displaystyle a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} \_{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} \_{b}},

որտեղ՝ {\displaystyle 1+1+\dots +1} -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է {\displaystyle a} անգամ,  
{\displaystyle -1-1-\dots -1} - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված {\displaystyle b} անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից.

Տասնորդական հաշվարկման համակարգի հանման աղյուսակ

| **-** | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1 |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2 |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |  |  |  |
| 3 |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |  |  |
| 4 |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |  |
| 5 |  |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |
| 6 |  |  |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |
| 7 |  |  |  |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |
| 8 |  |  |  |  |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |
| 9 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|
|

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː

Թվերի հանում
------------

### Բնական թվեր

Օգտվենք {\displaystyle \mathbb {N} } բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː {\displaystyle C,A,B} վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ {\displaystyle [C],[A],[B]}ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.

{\displaystyle [C]=[A]-[B]=[A\setminus B]},
որտեղ {\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset A\}} — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

{\displaystyle A}վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը {\displaystyle N\_{a}}հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես {\displaystyle A} բազմության տարրերի համարակալում՝{\displaystyle \quad A\sim N\_{a}}ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական {\displaystyle a} և {\displaystyle b} թվեր, որ 

{\displaystyle a=a\_{n-1}a\_{n-2}\dots a\_{0},\quad b=b\_{n-1}b\_{n-2}\dots b\_{0},\quad \forall a\_{k},b\_{k}\in \{P\},\quad \forall a\_{n-1},b\_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} }
որտեղ՝ {\displaystyle a\_{0\dots n-1}=a\_{k}P^{k},\quad b\_{0\dots n-1}=b\_{k}P^{k}}, {\displaystyle n} - թվի թվանշանների քանակն է {\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}, {\displaystyle k} - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), {\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}, {\displaystyle P} - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, {\displaystyle \{P\}}-ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է{\displaystyle \{P\_{2}\}=\{0,1\}}, {\displaystyle \{P\_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}, {\displaystyle \{P\_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}, երբ

{\displaystyle c=a-b,\quad c\_{n-1}c\_{n-2}\dots c\_{0}=a\_{n-1}a\_{n-2}\dots a\_{0}-b\_{n-1}b\_{n-2}\dots b\_{0},}
Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

* {\displaystyle c\_{0}={\begin{cases}a\_{0}-b\_{0},\quad &{\text{if }}a\_{0}\geqslant b\_{0}{\text{ }}\\a\_{0}+P-b\_{0},\quad a\_{1}=a\_{1}-1&{\text{if }}a\_{0}<b\_{0}{\text{ }}\end{cases}}}
* {\displaystyle c\_{1}={\begin{cases}a\_{1}-b\_{1},\quad &{\text{if }}a\_{1}\geqslant b\_{1}{\text{ }}\\a\_{1}+P-b\_{1},\quad a\_{2}=a\_{2}-1&{\text{if }}a\_{1}<b\_{1}{\text{ }}\end{cases}}}
* {\displaystyle ...\quad \quad ...\quad \quad ...}
* {\displaystyle c\_{n-1}={\begin{cases}a\_{n-1}-b\_{n-1},\quad &{\text{if }}a\_{n-1}\geqslant b\_{n-1}{\text{ }}\\a\_{n-1}+P-b\_{n-1},\quad a\_{n}=a\_{n}-1&{\text{if }}a\_{n-1}<b\_{n-1}{\text{ }}\end{cases}}}

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման {\displaystyle a\_{k}-b\_{k}} գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի {\displaystyle P}հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&.&.&\_{10}&&.&\_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&\_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&\_{10}&&&\_{.}&\_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}}
### Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը {\displaystyle \mathbb {N} }բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է {\displaystyle -n} տեսքի բացասական թվերի ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են {\displaystyle \mathbb {Z} }-ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

Դրական և բացասական թվերը թվային առանցքի վրա
* Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ {\displaystyle c=a-b},
* Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ {\displaystyle c=-a-b=-(a+b)}կամ {\displaystyle c=a-(-b)=a+b},
* Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ {\displaystyle c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a}ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ {\displaystyle -6-4=-10}, քանի որ {\displaystyle -6}և {\displaystyle 4} թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից {\displaystyle -6-4=-(6+4)}, շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք {\displaystyle -10}ː

### Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են {\displaystyle \mathbb {Q} }(անգլ.՝ quotient «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝ {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}

Սովորական՝ {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի {\displaystyle a} և {\displaystyle b}ռացիոնալ թվեր, որ {\displaystyle a={\frac {m\_{a}}{n\_{a}}},b={\frac {m\_{b}}{n\_{b}}}\quad \forall m\_{a},n\_{a},m\_{b},n\_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n\_{a}},{n\_{b}}\neq 0} (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝{\displaystyle c=a-b={\frac {m\_{a}}{n\_{a}}}-{\frac {m\_{b}}{n\_{b}}}={\frac {m\_{a}\cdot n\_{b}}{n\_{a}\cdot n\_{b}}}-{\frac {n\_{a}\cdot m\_{b}}{n\_{a}\cdot n\_{b}}}={\frac {m\_{a}\cdot n\_{b}-m\_{b}\cdot n\_{a}}{n\_{a}\cdot n\_{b}}}} , կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

* + Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ {\displaystyle M=[n\_{a},n\_{b}]}ː
	+ Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ {\displaystyle {\frac {M}{n\_{a}}}}ː
	+ Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ {\displaystyle {\frac {M}{n\_{b}}}}ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են *{\displaystyle M}*-ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː {\displaystyle M}-ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝

{\displaystyle {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7}{15}}}
Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

{\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}}
Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

{\displaystyle {\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}}
Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

### Իրական թվեր

Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝ 

{\displaystyle \alpha =\pm a\_{0},a\_{1}a\_{2}\ldots a\_{n}\ldots =\{a\_{n}\}},
{\displaystyle \beta =\pm b\_{0},b\_{1}b\_{2}\ldots b\_{n}\ldots =\{b\_{n}\}}
սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝ {\displaystyle \alpha =[a\_{n}]} և {\displaystyle \beta =[b\_{n}]}, ապա նրանաց տարբերությունը կլինի {\displaystyle \gamma =[c\_{n}]}, սահմանված {\displaystyle \{a\_{n}\}} և {\displaystyle \{b\_{n}\}} հաջորդականությունների տարբերությամբ՝

{\displaystyle \gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a\_{n}]-[b\_{n}]=[a\_{n}-b\_{n}]},{\displaystyle \gamma =\alpha -\beta } իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a''-b'')}ː Այսպիսով երկու  {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի {\displaystyle \gamma } իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր {\displaystyle a'-b'}, մյուս կողմից բոլոր {\displaystyle a''-b''} տարբերություններումː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta }թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ {\displaystyle a} և {\displaystyle b}թվերեվː Որպես {\displaystyle \alpha -\beta }-ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են {\displaystyle a-b} ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են {\displaystyle \alpha }-ին և {\displaystyle \beta }-ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են {\displaystyle \Delta (a-b)=\Delta a+\Delta b}, որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը {\displaystyle \delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)}ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝ {\displaystyle \gamma =\pi -e}, ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

* Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
* Կստանանք՝ {\displaystyle \pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183},
* Հանում ենք ըստ կարգերի՝ {\displaystyle \gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233},
* Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ {\displaystyle \gamma \approx 0.423}ː

### Գրաֆիկ

Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

f(c)=a-b ֆունկցիայի գրաֆիկ
Քանի որ {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }, ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

### Կոմպլեքս թվեր

Երկու կոմպլեքս թվերի c=a-b տարբերությունը կարող է ներկայացվել երկրաչափորեն եռանկյան կառուցման տեսքով
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է {\displaystyle \mathbb {C} } սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովː Սա նշանակում է, որ՝

{\displaystyle c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,\ }
որտեղ՝ {\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }, {\displaystyle i} — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ {\displaystyle a+di} և {\displaystyle b+ei} կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. {\displaystyle A=a\_{1}1+a\_{2}i\_{2}+\dots +a\_{n}i\_{n},~~~B=b\_{1}1+b\_{2}i\_{2}+\dots +b\_{n}i\_{n}}{\displaystyle C=A-B=(a\_{1}1+a\_{2}i\_{2}+\dots +a\_{n}i\_{n})-(b\_{1}1+b\_{2}i\_{2}+\dots +b\_{n}i\_{n})=} {\displaystyle =(a\_{1}-b\_{1})1+(a\_{2}-b\_{2})i\_{2}+\dots +(a\_{n}-b\_{n})i\_{n}=c\_{1}1+c\_{2}i\_{2}+\dots +c\_{n}i\_{n}}

### Էքսպոնենցիալ գրելաձև

Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են {\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}} տեսքով, որտեղ {\displaystyle x}-ը մանտիսն է, {\displaystyle P^{n}}-ը թվի բնութագիրն է, {\displaystyle P} -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝ {\displaystyle a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(a-b)\cdot P^{n}}ː

Օրինակ՝

{\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}}
### Կամայական թվերի հանում

Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է {\displaystyle 9,56} ռացիոնալ թվից հանել բնական {\displaystyle 4} թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ {\displaystyle 4} բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև {\displaystyle 4,00} ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր {\displaystyle 9,56-4,00=5,56}ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} } կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

Տես նաև
-------

* Գումար
* Գումարում
* Բազմապատկում

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Вычитание // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
2. ↑  Կաղապար:PlanetMath
3. ↑  Лебедев, 2003, էջ 97
4. ↑  Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
5. ↑  Истомина, 2005, էջ 165
6. ↑  Выгодский, 2003
7. ↑  Гусев, 1988, էջ 20
8. ↑  Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида {\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}
9. ↑  Ильин, 1985, էջ 46
10. ↑  Конвей, 1986, էջ 107

Գրականություն
-------------

* *Ильин В.А. и др.* Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
* *Эндертон Г.* Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7
* *Барсуков А.Н.* Алгебра. Учебник для 6-8 классов.. — Просвещение, 1966. — 296 с.
* *Гусев В.А. Мордкович А.Г.* Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.. — Просвещение, 1988. — 416 с.
* *Истомина Н.Б.* Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5
* *Выгодский М. Я.* Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
* *В.И. Игошин* КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
* *Кононюк А.Е.* Обобщенная теория моделирования.. — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8
* Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 Օգոստոսի 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 2003. — § 97 (15 հունվարի).
* *Conway, John B.* Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Լարուսի · Մեծ կատալոնական · Մեծ նորվեգական · Մեծ սովետական (1 հրտ.) |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | BNF: 11940282d · GND: 4359078-0 · LCCN: sh85129563 · Microsoft: 68060419 · NKC: ph898519 |

 |