Բեռնուլիի բազմանդամի գրաֆիկ:
**Բեռնուլիի բազմանդամներ,** մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը {\displaystyle \ [0,1]} միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։

Արտահայտություն
---------------

Բեռնուլիի{\displaystyle \ B\_{n}(x)} բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։

### Ակնհայտ տեսք

{\displaystyle B\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}B\_{n-k}x^{k}}, որտեղ {\displaystyle C\_{n}^{k}}-ն բինոմային գործակիցն է, {\displaystyle \ B\_{k}}-ն՝ Բեռնուլիի թիվ,
Կամ

{\displaystyle B\_{n}(x)=\sum \_{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum \_{k=0}^{m}(-1)^{k}C\_{m}^{k}(x+k)^{n}:}
### Ածանցյալ ֆունկցիա

Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝

{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:}
### Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով

{\displaystyle B\_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}, որտեղ D -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։
### Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք

Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ

{\displaystyle B\_{0}(x)=1,}
{\displaystyle B\_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}
{\displaystyle B\_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}
{\displaystyle B\_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}
{\displaystyle B\_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}
{\displaystyle B\_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}
{\displaystyle B\_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}

Հատկություն
-----------

### Սկզբնական տվյալներ

Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի{\displaystyle \ x=0} համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։

{\displaystyle \ B\_{n}(0)=B\_{n}}.
### Դիֆերենցում և ինտեգրում

Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝

{\displaystyle te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {B'\_{n}(x)}{n!}}t^{n}}.
Ձախ մասը տարբերվում է միայն {\displaystyle \ t} բազմապատկիչով, այդպիսով՝

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {B'\_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {B\_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}.
Հավասարացնելով գործակիցները նույն{\displaystyle \ t} աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝

{\displaystyle {\frac {B'\_{n}(x)}{n!}}={\frac {B\_{n-1}(x)}{(n-1)!}}},որտեղից
{\displaystyle \ B'\_{n}(x)=nB\_{n-1}(x)}. (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։
Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։

{\displaystyle \ B\_{n}(x)=B\_{n}+n\int \_{0}^{x}B\_{n-1}(t)\,dt}.
Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։

{\displaystyle \int \_{0}^{1}B\_{n}(x)dx=0} (երբ {\displaystyle n>0} )
### Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին

Եթե *m-*ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum \_{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum \_{s=0}^{m-1}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {B\_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.}
Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝

{\displaystyle B\_{n}(mx)=m^{n-1}\sum \_{s=0}^{m-1}B\_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)}.
### Համաչափություն

{\displaystyle \ B\_{n}(1-x)=(-1)^{n}B\_{n}(x),}
{\displaystyle \ (-1)^{n}B\_{n}(-x)=B\_{n}(x)+nx^{n-1}:}

Արտաքին հղումներ
----------------

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, (1972) Dover, New York.