**Քառակուսի արմատ** {\displaystyle a} (2-րդ աստիճանի արմատ, {\displaystyle {\sqrt {a}}}), այն ոչ բացասական {\displaystyle x} թիվն է, որը քառակուսի բարձրացնելիս հավասար է {\displaystyle a}։ Հավասարազոր սահմանում․ {\displaystyle a}-ի քառակուսի արմատը՝ {\displaystyle x^{2}=a.}հավասարման լուծումը հանդիսացող թիվն է։ {\displaystyle {\sqrt {a}}} արժեքի հաշվման գործողությունը կոչվում է «քառակուսի արմատի հանում» {\displaystyle a} թվից։

Ավելի հաճախ {\displaystyle x} և {\displaystyle a} թվերը իրական թվեր են, բայց գոյություն ունի նաև կոմպլեքս թվերի և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների համար արված ընդհանրացում։ Օրինակ՝ իրական թվերի համար․ {\displaystyle {\sqrt {9}}=\pm 3,} որովհետև {\displaystyle {(\pm 3)}^{2}=9.}Քառակուսի արմատն ունի երկու արժեք, որոնք հակադարձ թվեր են, այսինքն, նույն արժեքն ունեցող, նշանով տարբերվող թվեր են, ինչը դժվարացնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Միանշանակություն ապահովելու համար ներմուծում են թվաբանական արմատ հասկացությունը։ Մեր օրինակում դա 3-ն է։

### Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ {\displaystyle a}-երի դեպքում {\displaystyle x^{2}=a}հավասարումը միշտ չէ, որ ռացիոնալ լուծում ունի։ Նույնիսկ դրական {\displaystyle a}-երի դեպքում, այս հավասարումը լուծում ունի միայն ու միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle a}-ի թե՛ հայտարարը, և թե՛ համարիչը, հանդիսանում են քառակուսային թվեր։

Ռացիոնալ թվից արմատից ստացված անընդհատ կոտորակը պարբերական է, որը մի կողմից ապահովում է լավ ռացիոնալ,մյուս կողմից սահմանափակոիմ է մոտարկում ն ճշգրտությունը․ {\displaystyle |{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}}, որտեղ {\displaystyle C} կախված է {\displaystyle r}։ Ճիշտ է նաև, որ ցանկացած շղթայական կոտորակ, քառակուսային իռացիոնալություն է հանդիսանում։

### Իրական թվեր

**Թեորեմ։** Ցանկացած դրական {\displaystyle a} թվի համար գոյություն ունի երկու իրական արմատ,որոնք հավասար են մոդուլով և հակադարձ նշանով։

Ոչ բացասական {\displaystyle a} թվից ոչ բացասական արմատ կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է արմատի նշանով {\displaystyle {\sqrt {a}}}։

### Կոմպլեքս թվեր

Կոմպլեքս թվերի դեպքում, լուծումները միշտ երկուսն են և տարբերվում են միայն նշանով(բացառությամբ զրոյի)։ Հաճախ այն նշանակում են՝ {\displaystyle {\sqrt {a}}}, սակայն պիտի դա անել զգուշությամբ։ Տարածված սխալ է՝

{\displaystyle -1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1} (ինչը, իհարկե, սխալ է)
Սխալը ստացվում է, քանի որ քառակուսի արմատը բազմանշանակ ֆունկցիա է։ Մասնավորապես, 1-ից քառակուսի արմատը երկու լուծում ունի՝ -1 և +1։

Կոմպլեքս թվից քառակուսի արմատ հանելու համար հարմար է օգտագործել կոմպլեքս թվի գրառման էքսպոնենցիալ ձևը։

Եթե

{\displaystyle a=|a|e^{i\phi }},
ապա (տես. Մուավրի բանաձև)

{\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}},
որտեղ մոդուլից քառակուսի արմատը ընդունվում է որպես հանրահաշվական արժեք, իսկ k -ն կարող է ընդունել *k* = 0 և *k* = 1 արժեքները։ Արդյունքում ստացվում է երկու տարբեր արժեքներ։

Գոյություն ունի նաև {\displaystyle a+bi}-ից արմատի զուտ հանրահաշվական ներկայացում։ Արմատի արժեքները ունեն հետևյալ տեսքը՝ {\displaystyle \pm (c+di)}, որտեղ

{\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}
{\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}
Որտեղ sgn-ն «նշան» ֆունկցիան է, իսկ արմատները նշանակում են ոչ բացասական իրական թվից սովորական թվաբանական արմատ։ Բանաձևը հեշտությամբ ստուգվում է {\displaystyle c+di} քառակուսի բարձրացնելով։

Օրինակ՝ {\displaystyle 3+4i}-ից քառակուսի արմատի համար ստացվում է երկու արժեք․ {\displaystyle 2+i;\;-2-i.}

Քառակուսի արմատը որպես տարրական ֆունկցիա
----------------------------------------

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}Ֆունկցիայի գրաֆիկ
Քառակուսի արմատը տարրական ֆունկցիա է և {\displaystyle x^{\alpha }}աստիճանային ֆունկցիայի {\displaystyle \alpha =1/2} մասնավոր դեպքն է։ {\displaystyle x>0}դեպքում, հանրահաշվական քառակուսի արմատը հարթ ֆունկցիա է, 0-ում աջից անընդհատ է և չի դիֆերենցվում։ Երկարժեք ֆունկցիա է, որի ճյուղերը միանում են 0-ում։

Քառակուսի արմատը տարրական երկրաչափությունում
--------------------------------------------

Քառակուսի արմատը սերտորեն կապված է տարրական երկրաչափության հետ։Դիցուք՝ տրված է 1 երկարությամբ հատված, ապա կարկինի և քանոնի օգնությամբ կարելի է կառուցել միայն ու միայն այն հատվածները, որոնց երկարությունները գրառվում են՝ ոչ ավելի, քան ամբողջ թիվ ,չորս թվաբանական գործողություն, և քառակուսի արմատ պարունկող արտահայտությամբ։

Տես նաև
-------

* Քառակուսի արմատի օր
* Հերոնի բանաձևը
* Քառակուսային հավասարում
* Արմատ(մաթեմատիկա)
* Խորանարդ արմատ

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
2. ↑  Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
3. ↑  См. А. Я. Хинчин, *Цепные дроби* Արխիվացված 2021-11-02 Wayback Machine, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
4. ↑  Фихтенгольц, Григорий Михайлович. *Курс дифференциального и интегрального исчисления* Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
5. ↑  Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М. 1975 г. п. 1.2.1
6. ↑  *Cooke, Roger* Classical algebra: its nature, origins, and uses. — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3
7. ↑  Фихтенгольц, гл. 2, § 1
8. ↑  Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)

Արտաքին հղումներ
----------------

* Алгоритмы вычисления квадратного корня
* A geometric view of the square root algorithm
* Соловьев Ю. Старый алгоритм