**Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ**, ստորև ներկայացված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների անորոշ և որոշյալ ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

Անորոշ ինտեգրալներ
------------------

{\displaystyle \int e^{x}\;\mathrm {d} x=e^{x}}
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm {d} x=e^{f(x)}}
{\displaystyle \int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}}
{\displaystyle \int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{cx}} {\displaystyle a>0,\ a\neq 1}
{\displaystyle \int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
{\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
{\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\mathrm {d} x=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}=e^{cx}\sum \_{i=0}^{n}(-1)^{i}\,{\frac {n!}{(n-i)!\,c^{i+1}}}\,x^{n-i}}
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x}}\;\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}}
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,\mathrm {d} x\right)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
{\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)\right)}
{\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)={\frac {e^{cx}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}\sin(bx-\phi )\qquad \cos(\phi )={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}}
{\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)={\frac {e^{cx}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}\cos(bx-\phi )\qquad \cos(\phi )={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}}
{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
{\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
{\displaystyle \int e^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}\operatorname {erf} ({\sqrt {c}}x)} (ուր {\displaystyle \operatorname {erf} }- ը սխալի ֆունկցիան է)
{\displaystyle \int xe^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}}
{\displaystyle \int {\frac {e^{-x^{2}}}{x^{2}}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {e^{-x^{2}}}{x}}-{\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)}
{\displaystyle \int {{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}
{\displaystyle \int e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x=e^{x^{2}}\left(\sum \_{j=0}^{n-1}c\_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c\_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;\mathrm {d} x\quad {\mbox{ }}n>0,}
ուր {\displaystyle c\_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .}

{\displaystyle {\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} \_{m}\,dx=\sum \_{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum \_{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a\_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\mbox{( }}x>0{\mbox{)}}}}

{\displaystyle \int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\,} {\displaystyle b\neq 0}, {\displaystyle \lambda \neq 0}, {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,.}
{\displaystyle \int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]\,} a\neq 0, {\displaystyle \lambda \neq 0}, {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,.}

Որոշյալ ինտեգրալներ
-------------------

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits \_{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits \_{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}} {\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}\pm 2bx+c}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-{\frac {ac-b^{2}}{a}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I\_{0}(x)} ({\displaystyle I\_{0}} -ն առաջին կարգի Բեսսելի ֆունկցիա է )
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I\_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,=\Gamma (s)\zeta (s)}

Տես նաև
-------

* Ֆունկցիայի ածանցյալ
* Ածանցելի ֆունկցիաներ

Գրականություն
-------------

### Գրքեր

* Градштейн И. С. Рыжик И. М. *Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений* (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
* Двайт Г. Б. *Таблицы интегралов* СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
* D. Zwillinger. *CRC Standard Mathematical Tables and Formulae*, 31st ed. 2002. ISBN 1-58488-291-3.
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, 1964. ISBN 0-486-61272-4

### Ինտեգրալների աղյուսակներ

* Ինտեգրալներ EqWorld-ում
* S.O.S. Մաթեմատիկա

### Ինտեգրալների հաշվում

* The Integrator *(Wolfram Research)*
* Թվեր