| Կանոնավոր օկտաէդր |
| --- |
|  |
| Համաչափության խումբ | {\displaystyle O\_{h}} |
| Տիպ | կանոնավոր բազմանիստ |
| Նշանակում | \* O
* aT
 |
| Շլեֆլիի սիմվոլ | \* {\displaystyle \{3,4\}}* {\displaystyle r\{3,3\}} или {\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}
 |
| Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 2 3 |

Օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթ
**Օկտաէդր** (հուն․՝ οκτάεδρον, οκτώ «ութ» + έδρα «հիմք»), ութ նիստերից կազմված բազմանիստ։

**Կանոնավոր օկտաէդրը** հանդիսանում է հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից (այսպես կոչված պլատոնյան մարմիններ) մեկը, նրա նիստերը ութ հավասարակողմ եռանկյուններ են։ Կանոնավոր օկտաէդրը.

* երկակի է խորանարդին,
* տետրաէդրի ամբողջական հատույթ է,
* քառակուսային երկբուրգ է ցանկացած երեք օրթոգոնալ ուղղություններով,
* եռանկյունային անտիպրիզմա է ցանկացած չորս ուղղություններով։

Օկտաէդրը հիպերօկտաէդրի առավել ընդհանուր տարբերակն է եռաչափ տարածությունում։

Կանոնավոր օկտաէդր
-----------------

Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։

### Չափեր

Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է *а*, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.

{\displaystyle r\_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a},
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.

{\displaystyle r\_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a:}
Երկնիստ անկյունը. {\displaystyle \alpha =2\phi \approx 109,47^{\circ }}, որտեղ {\displaystyle \phi =arccos({\frac {\sqrt {3}}{3}})}:

Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է

{\displaystyle r\_{m}={\frac {a}{2}}=0.5\cdot a}:
### Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները

*Օկտաէդրն* ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին։

Օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ| Կենտրոնադրում | Կողով | Նիստի նորմալով | Գագաթով | Նիստով |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Պատկեր |  |  |  |  |
| Պրոյեկտիվ համաչափություն | [2] | [2] | [4] | [6] |

### Գնդային խճանկար

Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։

|  |  |
| --- | --- |
|  | Եռանկյունա-կենտրոնադրած |
| Օրթոգոնալ պրոյեկցիա | Տարածագրական պրոյեկցիա |

### Դեկարտյան կոորդինատներ

{\displaystyle {\sqrt {2}}} երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1):
*x*-*y*-*z* ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (*a*, *b*, *c*) կետով կենտրոնով և *r* շառավղով բոլոր (*x*, *y*, *z*) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ

{\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r:}
### Մակերես և ծավալ

*a* երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է

{\displaystyle S=2a^{2}{\sqrt {3}}\approx 3.46410162a^{2}}:
Օկտաէդրի ծավալը (*V*) հաշվարկվում է

{\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471404521a^{3}}
բանաձևով։
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):

Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.

{\displaystyle \left|{\frac {x}{x\_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y\_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z\_{m}}}\right|=1,}
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝

{\displaystyle A=4\,x\_{m}\,y\_{m}\,z\_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x\_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y\_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z\_{m}^{2}}}}}}
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x\_{m}\,y\_{m}\,z\_{m}}
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.

{\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y\_{m}^{2}+z\_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x\_{m}^{2}+z\_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x\_{m}^{2}+y\_{m}^{2})\end{bmatrix}}}
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. {\displaystyle x\_{m}=y\_{m}=z\_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}}:

### Երկրաչափական կապեր

Օկտաէդրն իրենից ներկայացնում է երկու տետրաէդրերի հատում
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. *stella octangula*): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։

Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։

Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը։

* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ։
* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ։
* Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում։

### Համասեռ գունավորում և սիմետրիա

Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:

Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, **D4h** (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։

| Անվանում | Օկտաէդր | Ամբողջությամբ 
հատած
տետրաէդր(Տետրատետրաէդր) | Եռանկյունային անտիպրիզմա | Քառակուսային երկբուրգ | Շեղանկյունային երկբուրգ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Պատկեր(Նիստերի գունավորում) | (1111) | (1212) | (1112) | (1111) | (1111) |
| Շլեֆլիի սիմվոլ | {3,4} | r{3,3} | s{2,6}sr{2,3} | ft{2,4}{ } + {4} | ftr{2,2}{ } + { } + { } |
| Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2  | 2 3 2 |  |  |
| Համաչափություն | Oh, [4,3], (\*432) | Td, [3,3], (\*332) | D3d, [2+,6], (2\*3)D3, [2,3]+, (322) | D4h, [2,4], (\*422) | D2h, [2,2], (\*222) |
| Կարգ | 48 | 24 | 126 | 16 | 8 |

### Փռվածքներ

Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք։

### Երկակիություն

Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին։

### Հատույթ

Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։

|  |  |
| --- | --- |
| Օկտաէդր | Տետրահեմիհեկսաէդր |

Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր
----------------------

Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։

* *Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝* երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ։ Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են։
* Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ։ Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ։
* Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի։

### Այլ ուռուցիկ ութանիստեր

Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող։

Վեցանկյուն պրիզմա
Երեսակված տետրաէդր
 Քառանկյուն տետրաէդր
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով։

Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.

* Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը։
* Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն)։ Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ։
* Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր ։
* Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին։

Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում
------------------------------

### Օկտաէդրերը բնության մեջ

Ֆլյուրոիտե օկտաէդր
* Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք։ Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
* Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր)։
* Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ։

### Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ

Երկու միանման դասավորած ռուբիկի օձերը կարող են մոտարկել օկտաէդր:
* Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
* Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ.
* Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ։
* Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև։

### Տետրաէդալ կապ

Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։

Կապված բազմանիստեր
------------------

Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
| Տետրաէդր | Աստղաձև օկտաէդր |

### Տետրատետրաէդր

Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։

Համասեռ տետրաէդրալ բազմանիստերի ընտանիք| Համաչափություն։ [3,3], (\*332) | [3,3]+, (332) |
| --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |
| {3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
| Երկակի բազմանիստեր
 |
|  |  |  |  |  |  |  |  |
| V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |

Տես նաև
-------

* Կոմպլեքս միացություններ

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, էջ 894–912
2. 1 2 3  Կաղապար:MathWorld3
3. ↑  Steven Dutch. «Enumeration of Polyhedra». Արխիվացված է օրիգինալից 2011 թ․ հոկտեմբերի 10-ին. Վերցված է 2015 թ․ նոյեմբերի 8-ին.
4. ↑  Counting polyhedra
5. ↑  «Архивированная копия». Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ նոյեմբերի 17-ին. Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 14-ին.
6. ↑  Klein, 2002, էջ 633–649

Գրականություն
-------------

* Большая советская энциклопедия
* *Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer* On well-covered triangulations. III // *Discrete Applied Mathematics*. — 2010. — В. 8. — Т. 158. — doi:10.1016/j.dam.2009.08.002
* *Douglas J. Klein* Resistance-Distance Sum Rules // *Croatica Chemica Acta*. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
* *R. Williams* Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Կաղապար:Mathworld
* Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
* Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
* Paper model of the octahedron
* K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
* The Uniform Polyhedra
* Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
	+ Conway Notation for Polyhedra Try: dP4