Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Հաշվարկման համակարգ (այլ կիրառումներ)
**Հաշվարկման համակարգ** մաթեմատիկայում անվանում են թվերի գրության և ներկայացման կանոնների համախումբը։ Նշանները, որոնք օգտագործվում են հաշվարկման համակարգում անվանում են թվանշաններ։ Հաշվարկման համակարգը կարելի է ներկայացնել երկու ձևով՝ **ոչ դիրքային** և **դիրքային**։

Ոչ դիրքային համակարգ
--------------------

Ոչ դիրքային համակարգում թվերի գրառման մեջ թվանշանների դիրքից կախված չէ նրա մեծությունը։ Ոչ դիրքային համակարգի օրինակներից է հռոմեական համակարգը (հռոմեական թվեր)։ Հռոմեական համակարգում թվանշանների փոխարեն օգտագործում են լատինական տառերը՝ I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000։

**Օրինակ 1։** CCCXXI թիվը կազմված է երեք հարյուրակից, երկու տասնյակից և մեկ միավորից՝ 321։
Հռոմեական թվերում թվանշանները գրվում են ձախից աջ՝ նվազման կարգով։ Այս դեպքում նրանց արժեքները գումարվում են։ Եթե ձախից գրված է փոքր թիվ, իսկ աջում՝ մեծ, ապա նրանց արժեքները հանվում են։

**Օրինակ 2։** CX = 100 + 10 = 110, իսկ XC = 100 – 10 = 90։

**Օրինակ 3։** MCMXCVI = 1000 + (1000-100) + (100 - 10) + 5 + 1 = 1996։

Դիրքային համակարգ
-----------------

Հաշվարկման դիրքային համակարգում թվերի գրության մեջ օգտագործվող թվանշանի արժեքը կախված է նրա դիրքից։ Թվերի գրառման մեջ օգտագործվող թվանշանների քանակը անվանում են հաշվարկման դիրքային համակարգի հիմք, իսկ թվանշանները՝ այբուբեն։

Հաշվարկման համակարգը, որն օգտագործվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում, հանդիսանում է դիրքային տասական համակարգը։ Նրա հիմքը հավասար է 10-ի, քանի որ թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում են տաս թվանշան՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (արաբական թվանշաններ)։

Այս համակարգի դիրքայնությունը հեշտ է հասկանալ ցանկացած բազմանիշ թվի գրառության վրա։ Օրինակ, 547 թվում առաջին թվանշանը նշանակում է հինգ հարուրյակ, երկրորդը՝ չորս տասնյակ, երրորդը՝ յոթ միավոր։

Այժմ դիտարկենք հաշվարկման դիրքային համակարգը, որոնց հիմքը N է։ Սա նշանակում է, որ տվյալ դիրքային համակարգում թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում է N թվանշան։ Սովորաբար, երբ N<10, օգտագործվում են արաբական թվանշանները, իսկ N>10 դեպքում արաբական թվանշաններին ավելացնում են լատինական տառերը։ Բերենք հաշվարկման դիրքային համակարգերի օրինակներ՝ իրենց այբուբենով.  


| Հիմքը | անվանումը | այբուբենը |
| --- | --- | --- |
| 2 | երկուական | 0,1 |
| 3 | երեքական | 0,1,2 |
| 7 | յոթական | 0,1,2,3,4,5,6 |
| 10 | տասական | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
| 16 | տասնվեցական | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |

Եթե թվի գրառությունում պետք է նշել հաշվարկման համակարգի հիմքը, ապա այն գրվում է այդ թվի ներքևի ինդեքսում՝ 10112, 6057, 8A0BF16։

**Օրինակ 4։** Գրենք առաջին 17 թվերը 2-ական և 7-ական հաշվարկման համակարգերում։  


| Տասական | երկուական | յոթական |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 11 | 3 |
| 4 | 100 | 4 |
| 5 | 101 | 5 |
| 6 | 110 | 6 |
| 7 | 111 | 10 |
| 8 | 1000 | 11 |
| 9 | 1001 | 12 |
| 10 | 1010 | 13 |
| 11 | 1011 | 14 |
| 12 | 1100 | 15 |
| 13 | 1101 | 16 |
| 14 | 1110 | 20 |
| 15 | 1111 | 21 |
| 16 | 10000 | 22 |
| 17 | 10001 | 23 |

P հիմքով հաշվարկման համակարգում (P-ական համակարգ) թվի գրառման ընդլայնված ձև կոչվում է գրառումը, որն ունի այսպիսի տեսք՝

AP=±(an-1Pn-1+an-2Pn-2+. .. +a0P0+a-1P−1+. .. +a-mP-m),

որտեղ AP հենց ինքը՝ թիվն է, P–ն հաշվարկման համակարգի հիմքն է, ai–ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվանշաններն են, n-ը՝ թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է, m-ը՝ թվի կոտորակային մասի կարգերի թիվն է։

**Օրինակ 5։** Տասական համակարգի 8542 և 72,604 թվերը ներկայացնել ընդլայնված տեսքով։

8542 = 8\*103 + 5\*102 + 4\*101 + 2\*100,

72,604 = 7\*101 + 2\*100 + 6\*10−1 +0\*10−2 + 4\*10−3։

**Օրինակ 6։** Ստանալ տարբեր [համակարգերում] գրված 406257, 1101012, 2F3CA16, 110,1012 թվերի ընդլայնված տեսքերը։

406257 = 4\*104 + 0\*103 + 6\*102 + 2\*101 + 5\*100,

1101012 = 1\*10101 + 1\*10100 + 0\*1011 + 1\*1010 + 0\*101 + 1\*100,

2F3CA16 = 2\*104 + F\*103 + 3\*102 + C\*101 + A\*100,

110,1012 = 1\*1010 + 1\*101 + 0\*100 + 1\*10−1 + 0\*10−10 + 1\*10−11։

Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկացած հաշվարկման համակարգում նրա հիմքը գրված է 10։

Եթե ոչ տասական համակարգի թվերի ընդլայնված տեսքում բոլոր գումարելիները ներկայացնենք տասական համակարգով, ապա կստանանք տվյալ հաշվարկման համակարգի թվին համապատասխան տասական համակարգի թիվը։ Այս սկզբունքով ոչ տասական համակարգի թիվը բերվում է տասական համակարգի թվի։

**Օրինակ 7.** [Նախորդ] օրինակում բերված բոլոր թվերը ձևափոխել 10-ական համակարգում։

406257 = 4\*74 + 0\*73 + 6\*72 + 2\*71 + 5\*70 = 991710,

1101012 = 1\*25 + 1\*24 + 0\*23 + 1\*22 + 0\*21 + 1\*20 = 5310,

2F3CA16 = 2\*164 + 15\*163 + 3\*162 + 12\*161 + 10\*160 = 19271410,

110,1012 = 1\*22 + 1\*21 + 0\*20 + 1\*2−1 + 0\*2−2 + 1\*2−3 = 6,62510։  


|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 225)։*  |