**Թվաբանության հիմնական թեորեմը.** 

Ցանկացած բնական թիվ {\displaystyle n>1} կարելի է ներկայացնել {\displaystyle n=p\_{1}\cdot \dots \cdot p\_{k}} տեսքի, որտեղ {\displaystyle p\_{1},\dots ,p\_{k}} պարզ թվեր են, ընդ որում` այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների հետևելու ճշգրտությամբ։

Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել որպես զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»։

Որպես հետևանք՝ ցանկացած n բնական թիվ միակ եղանակով ներկայացված է 

{\displaystyle n=p\_{1}^{d\_{1}}\cdot p\_{2}^{d\_{2}}\cdot \dots \cdot p\_{k}^{d\_{k}}} տեսքով, որտեղ {\displaystyle p\_{1}<p\_{2}<\dots <p\_{k}}պարզ թվեր են և {\displaystyle d\_{1},\dots ,d\_{k}}՝ որոշ բնական թվեր։
Այդպիսի n թվի ներկայացումը անվանում են նրա *կանոնական վերլուծությունը* պարզ համաբազմապատկիչների։

Պատմություն
-----------

Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը։ Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է։ Մասնավորապես, թեորեմը հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30)։ Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » (ֆր.՝ Essai sur la Théorie des Nombres) գրքում՝ գրված 1798 թվականին։ Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» (լատ.՝ Disquisitiones Arithmeticae) գրքում՝ հրատարակված 1801 թվականին։

Հետևանքներ
----------

* Թվաբանության հիմնական թեորեմը տալիս է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն։

**Ա. Ը. Բ.**{\displaystyle (a,b)=p\_{1}^{min(d\_{1},d\_{1}')}\cdot p\_{2}^{min(d\_{2},d\_{2}')}\cdot p\_{3}^{min(d\_{3},d\_{3}')}\cdot p\_{4}^{min(d\_{4},d\_{4}')}\cdots =\prod p\_{i}^{min(d\_{i},d\_{i}')},}
**Ա. Ը. Բ.**{\displaystyle (a,b)=p\_{1}^{max(d\_{1},d\_{1}')}\cdot p\_{2}^{max(d\_{2},d\_{2}')}\cdot p\_{3}^{max(d\_{3},d\_{3}')}\cdot p\_{4}^{max(d\_{4},d\_{4}')}\cdots =\prod p\_{i}^{max(d\_{i},d\_{i}')},}
* Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների՝ կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները։

```
{\displaystyle N} բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի k բնական թիվ, որի համար {\displaystyle N=k\cdot l}, որտեղ l այլ բնական թիվ է։
```

Օրինակ՝ {\displaystyle N=1164=97\cdot 3\cdot 2\cdot 2=97^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}}.

Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով՝ կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը։ Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները. 

{\displaystyle 1,2,3,97,2\cdot 2,2\cdot 3,2\cdot 97,3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3,2\cdot 2\cdot 97,2\cdot 3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3\cdot 97}
Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը։ {\displaystyle d\_{1},...d\_{k}} բնական թվերը ոչ այլ ինչ են, եթե ոչ {\displaystyle p\_{1},...p\_{k}} տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերը։ Այսպիսով՝ եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել {\displaystyle d\_{1},...d\_{k}} թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը։
Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ։ Հետևաբար, {\displaystyle N} թվի բաժանարար գտնելիս, {\displaystyle d\_{3}} կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները, այսինքն՝ կա 3 արժեք։ Նշանակում է, որ ընդհանուր բաժանարարների քանակը հաշվարկելու համար պետք է բազմապատկել {\displaystyle d\_{k}} տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը։ Մեր դեպում ՝ {\displaystyle m\_{del}=2\cdot 2\cdot 3=12}

* Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը՝

{\displaystyle a\cdot b=p\_{1}^{d\_{1}+d\_{1}'}\,p\_{2}^{d\_{2}+d\_{2}'}\,p\_{3}^{d\_{3}+d\_{3}'}\,p\_{4}^{d\_{4}+d\_{4}'}\cdots =\prod p\_{i}^{d\_{i}+d\_{i}'}.}
Օրինակ՝ {\displaystyle 68\cdot 36=(2\cdot 2\cdot 17)\cdot (2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot )=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 17}

* Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը։

Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը)։ {\displaystyle 8^{5}+8^{3}\cdot 61=8^{3}\cdot (8^{2}+61)=8^{3}\cdot 125=8^{3}\cdot 5^{3}=...}

Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ)
----------------------------

**Գոյություն**։ Ապացուցենք n թվի վերլուծման գոյությունը։ Ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է n-ից։ Եթե n-ը պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է։ Եթե n-ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել a և b երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ է 1-ից, բայց փոքր n-ից։. a և b թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է)։ Տեղադրելով նրանց վերլուծությունը {\displaystyle n=a\cdot b} - ի մեջ՝ կստանանք տրված n թվի վերլուծությունը պարզ թվերի։ Գոյությունը ապացուցված է:

**Միակություն**։ Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմման։ Եթե m թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր m պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի։ Ենթադրենք m թիվը բաժանվում է p-ի, և p-ն պարզ է։ Այդ դեպքում տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես {\displaystyle m=p\cdot m^{(1)}}, որտեղ {\displaystyle m^{(1)}}, բնական թիվ է։ Այդ ժամանակ m-ի վերլուծությունը կլինի {\displaystyle m^{(1)}} թվի վերլուծությունը՝ ավելացրած p բազմապատկիչը։ Մեր ենթադրությամբ գոյություն ունի m թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար p թիվը պետք է հանդիպի նրանում։ Լեմման ապացուցված է։

Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց)
---------------------------------

Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ:
Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանքը։

```
{\displaystyle n\cdot a} և {\displaystyle n\cdot b} ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը n անգամ վերցրած *a* և *b* ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։
```

Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը։

```
Եթե *p*-ն պարզ թիվ է, և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է *p*-ի, ապա երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի *p*-ի։
```

Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը։

**Գոյություն։** հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմի հետևանք։ Այդ թեորեմի ապացուցման համար դիտարկենք *p* պարզ թիվը և {\displaystyle n\cdot a} արտադրյալը։ Ենթադրենք {\displaystyle n\cdot a}-ն բաժանվում է *p*-ի, բայց *a*-ն չի բաժանվում *p*-ի։ Քանի որ *p*-ն պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարներն են 1 և p թվերը։ Այդ դեպքում 1-ը *p*-ի և *a*-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է։ Հետևաբար Ա. Ը. Բ. {\displaystyle n\cdot p} և {\displaystyle n\cdot a} հավասար է *n*-ի։ Ակնհայտ է, որ {\displaystyle n\cdot p} բաժանվում է *p*-ի։ Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար հանդիսանում է բաժանարար նաև նրանց Ա. Ը. Բ-ի համար, իսկ *p*-ն հանդիսանում է {\displaystyle n\cdot p} և {\displaystyle n\cdot a} թվերի ընդհանուր բաժանարար, այսինքն՝ *n*-ը բաժանվում է *p*-ի։

**Միակություն։** ենթադրենք *n* թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.

{\displaystyle n=p\_{1}\cdot p\_{2}\cdot p\_{3}\cdot ...=p'\_{1}\cdot p'\_{2}\cdot p'\_{3}\cdot ...}
Քանի որ {\displaystyle p'\_{1}\cdot p'\_{2}\cdot p'\_{3}\cdot ...} բաժանվում է {\displaystyle p\_{1}}-ի, ապա կամ {\displaystyle p'\_{1}}, կամ {\displaystyle p'\_{2}\cdot p'\_{3}\cdot ...} բաժանվում է {\displaystyle p\_{1}}-ի։ Եթե {\displaystyle p'\_{1}}-ն բաժանվում է {\displaystyle p\_{1}}-ի, ապա {\displaystyle p'\_{1}=p\_{1}}, քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ։ Եթե {\displaystyle p'\_{2}\cdot p'\_{3}\cdot ...} բաժանվում է {\displaystyle p\_{1}}-ի, ապա շարունակենք նախորդ դատողությունները։ Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ {\displaystyle p'\_{1},p'\_{2},p'\_{3},...} թվերից ցանկացածը հավասար է {\displaystyle p\_{1}} թվին։ Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, որ երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են։ Այսպիսով միակություն ապացուցված է։

ԹՀԹ օղակներում
--------------

Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեմն ավելի ընդհանուր դեպքում՝ սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում։

### ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում

Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում։
Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը։
Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան։ Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար թվաբանության հիմնական թեորեմի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար։

### Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում

Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում ։

Դիտարկենք, օրինակ, {\displaystyle a=m+i\cdot n\cdot {\sqrt {5}}} տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ {\displaystyle m}, n ամբողջ թվեր են։ Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր։
Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ {\displaystyle N(a)=m^{2}+5\cdot n^{2}=a^{2}}:

Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունեն երկու տարբեր վերլուծություններ {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-i\cdot {\sqrt {5}})\cdot (1+i\cdot {\sqrt {5}})}: Մնում է ապացուցել, որ {\displaystyle 2,3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}} թիվը հանդիսանում է պարզ։ Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է։

Ենթադրենք {\displaystyle 2=(m\_{1}+i\cdot n\_{1}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (m\_{2}+i\cdot n\_{2}\cdot {\sqrt {5}})}.
այդ ժամանակ {\displaystyle 4=(m\_{1}^{2}+5\cdot n\_{1}^{2})\cdot (m\_{2}^{2}+5\cdot n\_{2}^{2})}.
հետևաբար, {\displaystyle m\_{1}^{2}+5\cdot n\_{1}^{2}=m\_{2}^{2}+5\cdot n\_{2}^{2}=2}.

Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է։ Հանգունորեն դիտարկվում են {\displaystyle 3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}} թվերը։

Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, կոչվում է ֆակտորիալ։

Տես նաև
-------

* Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
* Անալիզի հիմնական թեորեմ
* Պարզ թիվ
* Էվկլիդեսի ալգորիթ
* Թվաբանության հիմնական թեորեմն ապացուցող տեսանյութ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Дэвенпорт, 1965
2. ↑  Жиков, 2000, էջ 112
3. ↑  Дэвенпорт, 1965, էջ 17
4. ↑  Дэвенпорт, 1965, էջ 15-16
5. ↑  Дэвенпорт, 1965, էջ 26-27
6. 1 2  Жиков, 2000, էջ 116

Գրականություն
-------------

* *Жиков В.В.* Основная теорема арифметики // *Соросовский Образовательный Журнал*. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
* *Г. Дэвенпорт.* Высшая арифметика. — Наука, 1965. — С. 15-38. — 176 с.
* *Л. А. Калужин.* Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
* *И. М. Виноградов.* Основы теории чисел. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
* *Р. Курант, Г. Роббинс.* Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика? — МЦНМО, 2000. — 568 с.