**Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով**, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

{\displaystyle F(X)=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }a\_{n}X^{n},}
որում գործակիցներ {\displaystyle {a\_{n}}} ընտրվում է մի ինչ որ {\displaystyle {R}} օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն
--------------------------------

Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ {\displaystyle {R}}-ից նշանակում են{\displaystyle R[[X]]}.
{\displaystyle R[[X]]} տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ {\displaystyle {R}} օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է {\displaystyle {R}}) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

{\displaystyle R[[X]]}- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք

{\displaystyle F(X)=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }a\_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }b\_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }c\_{n}X^{n}.}
Այդ ժամանակ։

{\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c\_{n}=a\_{n}+b\_{n}}
{\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c\_{n}=\sum \limits \_{k+l=n}a\_{k}b\_{l}}
{\displaystyle H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c\_{n}=\sum \limits \_{s=1}^{n}a\_{s}\sum \limits \_{k\_{1}+\dots +k\_{s}=n}b\_{k\_{1}}b\_{k\_{2}}\dots b\_{k\_{s}}} (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի {\displaystyle b\_{0}=0})
{\displaystyle H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c\_{n}=(n+1)a\_{n+1}}

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն
---------------------------------

Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ {\displaystyle {X}} իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է **զուգամիտվող** (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է **բացարձակ զուգամիտություն**, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

### Զուգամիտության հայտանիշներ

Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

* **Աբելի առաջին թեորեմ**։ Ենթադրենք {\displaystyle \Sigma \,a\_{n}x^{n}} շարքը զուգամիտվում է {\displaystyle {x\_{0}}} կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես {\displaystyle {|x|<|x\_{0}|}} շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի {\displaystyle {x}} ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է {\displaystyle {x=x\_{0}}} դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած {\displaystyle {x}} դեպքում, այնպիսիք որ {\displaystyle {|x|>|x\_{0}|}}։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի {\displaystyle {R}} շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ {\displaystyle {|x|<R}}-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի x-ի {\displaystyle {|x|<R}}) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ {\displaystyle {|x|>R}} դեպքում տարամիտում է։ Այդ R մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ {\displaystyle {|x|<R}} շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
* **Կոշի-Ադամարի բանաձև**։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․

{\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits \_{n\rightarrow +\infty }}\,|a\_{n}|^{1/n}}
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով {\displaystyle \varlimsup \limits \_{n\rightarrow +\infty }} տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք F(x) և {\displaystyle G(x)}, երկու աստիճանային շարք են {\displaystyle {R\_{F}}} և {\displaystyle {R\_{G}}} զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ

{\displaystyle R\_{F+G}\geq \min\{R\_{F},\,R\_{G}\}}
{\displaystyle R\_{F\cdot G}\geq \min\{R\_{F},R\_{G}\}}
{\displaystyle R\_{F'}\,=\,R\_{F}}
Եթե շարքի համար {\displaystyle G(x)}-ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

{\displaystyle R\_{F\circ G}\geq {R\_{F} \over {R\_{F}+1}}R\_{G}}
Հարցը {\displaystyle {|x|=R}} վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

* **Դալամբերի հայտանիշ**։ Եթե {\displaystyle n>N} և {\displaystyle \alpha >1} դեպքում,

{\displaystyle \left|{a\_{n} \over a\_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)} անհավասարությունը տեղի ունի,
ապա {\displaystyle \Sigma \,a\_{n}x^{n}} աստիճանային շարքը զուգամիտվում է {\displaystyle {|x|=R}} շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ x-ով։
* **Դիրիխլիի հայտանիշ**։ Եթե {\displaystyle \Sigma \,a\_{n}x^{n}} աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և {\displaystyle a\_{n}} հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է {\displaystyle {|x|=1}} շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե {\displaystyle {x=1}} կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես x կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ
-------------------------------

*n* **փոփոխականով աստիճանային շարք**, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

{\displaystyle F(X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})=\sum \limits \_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n}=0}^{+\infty }a\_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n}}X\_{1}^{k\_{1}}X\_{2}^{k\_{2}}\dots X\_{n}^{k\_{n}}} կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
{\displaystyle F(X)=\sum \limits \_{\alpha }a\_{\alpha }X^{\alpha },}
որտեղ {\displaystyle X}-ը {\displaystyle X=(X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})} վեկտորն է, \alpha-ն ՝ {\displaystyle \alpha =(k\_{1},k\_{2},\dots k\_{n})} մուլտիինդեքսը, {\displaystyle X^{\alpha }}-ն {\displaystyle X^{\alpha }=X\_{1}^{k\_{1}}X\_{2}^{k\_{2}}\dots X\_{n}^{k\_{n}}} միանդամը։ n պարամետրերով և R գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ {\displaystyle R[[X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n}]]}։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և n-տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

{\displaystyle F(X)=\sum \limits \_{\alpha }a\_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits \_{\alpha }b\_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits \_{\alpha }c\_{\alpha }X^{\alpha }.}
Ապա.

{\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c\_{\alpha }=a\_{\alpha }+b\_{\alpha }}
{\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c\_{\alpha }=\sum \limits \_{\beta +\gamma =\alpha }a\_{\beta }b\_{\gamma }}
{\displaystyle H={\partial F \over \partial X\_{i}}\Leftrightarrow \forall (k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n})\,c\_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n}}=(k\_{i}+1)a\_{(k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{i}+1,\dots ,k\_{n})}}
{\displaystyle R[[X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n}]]} տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և {\displaystyle R[[X]]}։

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 73905626 |

 |

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 469)։*  |