**LU-վերլուծություն**՝ {\displaystyle A} մատրիցի ներկայացումը երկու մատրիցների արտադրյալի տեսքով՝ {\displaystyle A=LU}, որտեղ {\displaystyle L}-ը ստորին եռանկյունաձև մատրից է, իսկ {\displaystyle U}-ն՝ վերին եռանկյունաձև մատրից։

LU-վերլուծությունն օգտագործվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման, մատրիցի հակադարձի և որոշիչի հաշվման համար։ LU-վերլուծություն գոյություն ունի այն և միայն այն դեպքում, եթե {\displaystyle A} մատրիցը հակադարձելի է, իսկ {\displaystyle A} մատրիցի բոլոր գլխավոր անկյունային մինորները ոչ զրոյական են։

Կիրառությունը
-------------

### Գծային հավասարումների համակարգի լուծում

{\displaystyle A} (համակարգի գործակիցների մատրից) մատրիցի ստացված LU-վերլուծությունը գծային հավասարումների համակարգի ընտանիքի լուծման համար կարող է օգտագործվել աջ մասի {\displaystyle b} տարբեր վեկտորներով՝

{\displaystyle Ax=b}։
Եթե հայտնի է {\displaystyle A} մատրիցի LU-վերլուծությունը՝ {\displaystyle A=LU}, սկզբնական համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

{\displaystyle LUx=b}։
Այս համակարգը կարող է լուծվել երկու քայլով։

Առաջին քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

{\displaystyle Ly=b}։
Քանի որ {\displaystyle L}-ն ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն ուղիղ տեղադրմամբ։

Երկրորդ քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

{\displaystyle Ux=y}։
Քանի որ {\displaystyle U}-ն վերևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն հակադարձ տեղադրմամբ։

### Մատրիցի ձևափոխում

{\displaystyle A} մատրիցի ձևափոխումը համարժեք է հետևյալ հավասարումների համակարգի լուծմանը՝

{\displaystyle AX=I},
որտեղ {\displaystyle X}-ը անհայտ մատրից է, իսկ {\displaystyle I}-ն՝ միավոր մատրից։ Այս համակարգի {\displaystyle X} լուծումը հանդիսանում է {\displaystyle A^{-1}} հակադարձ մատրիցը։

Համակարգը կարելի է լուծել վերևում նկարագրված LU-վերլուծության մեթոդով։

### մատրիցի որոշիչի հաշվում

Ունենալով {\displaystyle A} մատրիցի LU-վերլուծությունը՝

{\displaystyle A=LU},
կարելի է անմիջականորեն հաշվել նրա որոշիչը՝

{\displaystyle \det(A)=\det(LU)=\det(L)\det(U)=\left(\prod \_{i=1}^{n}L\_{ii}\right)\left(\prod \_{i=1}^{n}U\_{ii}\right)},
որտեղ {\displaystyle n}-ը {\displaystyle A} մատրիցի չափն է, {\displaystyle L\_{ii}}-ն և {\displaystyle U\_{ii}}-ն {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցների անկյունագծերի էլեմենտներն են։

Բանաձևի դուրսբերումը
--------------------

Ելնելով կիրառման ոլորտից LU-վերլուծությունը կարող է կիրառվել միայն ոչհատուկ մատրիցի համար, որի համար մենք հետագայում կընդունենք, որ {\displaystyle A} մատրիցն ոչհատուկ է։

Քանի որ {\displaystyle L} մատրիցի և առաջին տողում, և {\displaystyle U} մատրիցի առաջին սյունում բոլոր էլեմենտները, հնարավոր է բացի առաջինից, հավասար են զրոյի, ունենք՝

{\displaystyle a\_{11}=l\_{11}u\_{11}}։
Եթե {\displaystyle a\_{11}=0}, ապա {\displaystyle l\_{11}=0} կամ {\displaystyle u\_{11}=0}։ Առաջին դեպքում {\displaystyle L} մատրիցի առաջին տողը ամբողջությամբ կազմված է զրոներից, իսկ երկրորդ դեպքում՝ {\displaystyle U} մատրիցի առաջին սյունը։ Հետևաբար, {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցները ոչհատուկ են, իսկ դա նշանակում է {\displaystyle A}-ն նույնպես ոչհատուկ է, որը բերում է հակասության։ Այսպիսով, եթե {\displaystyle a\_{11}=0}, ապա ոչհատուկ {\displaystyle A} մատրիցը չունի LU-վերլուծություն։

Դիցուկ {\displaystyle a\_{11}\neq 0}, այդ դեպքում {\displaystyle l\_{11}\neq 0} և {\displaystyle u\_{11}\neq 0}։ Քանի որ {\displaystyle L}-ը և {\displaystyle U}-ն որոշված են {\displaystyle U}-ն հաստատունի վրա բազմապատկման ճշտությամբ և նույն հաստատունի վրա {\displaystyle L}-ի բաժանման ճշտությամբ, մենք կարող ենք պահանջել, որ {\displaystyle l\_{11}=1}։ Այդ դեպքում {\displaystyle u\_{11}=a\_{11}}։

Բաժանենք {\displaystyle A} մատրիցը վանդակների՝

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\_{11}&w^{T}\\v&A'\\\end{pmatrix}}},
որտեղ {\displaystyle v,w^{T},A'} ունի համապատասխանաբար {\displaystyle (N-1)\times 1}, {\displaystyle 1\times (N-1)}, {\displaystyle (N-1)\times (N-1)} չափեր։

Նույն ձևով բաժանենք վանդակների {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցները՝

{\displaystyle L={\begin{pmatrix}1&0\\v\_{l}&L'\\\end{pmatrix}},\ U={\begin{pmatrix}a\_{11}&w\_{u}^{T}\\0&U'\\\end{pmatrix}}:}
{\displaystyle A=LU} հավասարումը կընդունի այսպիսի տեսք՝

{\displaystyle w^{T}=w\_{u}^{T},}
{\displaystyle v=a\_{11}v\_{l},}
{\displaystyle A'=v\_{l}w\_{u}^{T}+L'U'}:
Լուծելով հավասարումների համակարգը {\displaystyle v\_{l}}, {\displaystyle w\_{u}}, {\displaystyle L'}, {\displaystyle U'} նկատմամբ, կստանանք՝

{\displaystyle w\_{u}=w,}
{\displaystyle v\_{l}=v/a\_{11},}
{\displaystyle L'U'=A'-vw^{T}/a\_{11}}:
Վերջնականապես կունենանք՝

{\displaystyle L={\begin{pmatrix}1&0\\v/a\_{11}&L'\\\end{pmatrix}},}
{\displaystyle U={\begin{pmatrix}a\_{11}&w^{T}\\0&U'\\\end{pmatrix}},}
{\displaystyle L'U'=A'-vw^{T}/a\_{11}}:
Այսպիսով, մենք {\displaystyle N\times N} չափի մատրիցն LU-մասնատմամբ բերեցինք {\displaystyle (N-1)\times (N-1)} > չափի մատրիցի LU-վերլուծության։

{\displaystyle A'-vw^{T}/a\_{11}} արտահայտությունը կոչվում է {\displaystyle a\_{11}} էլեմենտի Շուրի լրացում {\displaystyle A} մատրիցում։

Ալգորիթմ
--------

LU-վերլուծության հաշվարկի ալգորիթմներից մեկը բերենք ներքևում։

Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները մատրիցի էլեմենտների համար՝ {\displaystyle L=(l\_{ij})}, {\displaystyle U=(u\_{ij})}, {\displaystyle i,j=1\dots n}, ընդ որում մատրիցների անկյունագծային էլեմենտներն են՝ {\displaystyle L}: {\displaystyle l\_{ii}=1}, {\displaystyle i=1\dots n}։ Այդ դեպքում, եթե հայտնի է LU-վերլուծության մատրիցն, նրա որոշիչը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

{\displaystyle \det(A)=\det(LU)=\det(L)\det(U)=\det(U)=\prod \_{i=1}^{n}U\_{ii}}:
{\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցները կարելի է գտնել հետևյալ ձևով (քայլերի կատարման հերթականությունը պետք է պահպանել խստորեն, քանի որ հաջորդ էլեմենտները գտնվում են նախորդների օգտագործմամբ)՝

1. {\displaystyle u\_{1j}=a\_{1j},\ j=1\dots n}
2. {\displaystyle l\_{j1}={\frac {a\_{j1}}{u\_{11}}},\ j=1\dots n\ (u\_{11}\neq 0)}

{\displaystyle i=2\dots n}-ի համար՝

1. {\displaystyle u\_{ij}=a\_{ij}-\sum \_{k=1}^{i-1}l\_{ik}u\_{kj},\ j=i\dots n}
2. {\displaystyle l\_{ji}={\frac {1}{u\_{ii}}}(a\_{ji}-\sum \_{k=1}^{i-1}l\_{jk}u\_{ki}),\ j=i\dots n}

Արդյունքում մենք կստանանք {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցները։

Տվյալ մեթոդի ծրագրային իրականացման ժամանակ (Գաուսի կոմպակտ սխեմա) {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցների ներկայացման համար կարելի է բավարարվել միայն մեկ մասիվով, որում {\displaystyle L} և {\displaystyle U} մատրիցները համակցվում են։ Այսպես, {\displaystyle 3\times 3} չափի մատրիցի համար՝

{\displaystyle {\begin{pmatrix}u\_{11}&u\_{12}&u\_{13}\\l\_{21}&u\_{22}&u\_{23}\\l\_{31}&l\_{32}&u\_{33}\\\end{pmatrix}}}

Տես նաև
-------

* Գաուս-Զեյդելի մեթոդ
* Կրամերի մեթոդ
* Ռելակսացիայի մեթոդ

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Գ․ Հ․ Հակոբյան, Ա․ Վ․ Պողոսյան, Գ․ Գ․ Ղազարյան, Գծային հանրահաշիվ և կիրառություններ, Երևան, 2005, էջ 365:
2. ↑  Յու․ Ռ․ Հակոբյան, Թվային մեթոդներ, մաս 1, Երևան, 2017, էջ 114:
3. ↑  Ե․Ե․ Տիրտիշնիկով, մատրիցին անալիզ և գծային հանրահաշիվ, 2004-2005

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |