**Գնդային ֆունկցիաներ,** ներկայացնում են Լապլասի հավասարման օրթոգոնալ լուծումների խմբի անկյունային մասը, արձանագրված գնդային կոորդինատներում։ Դրանք լայնորեն օգտագործվում են տիեզերական տարածքներում ֆիզիկական երևույթների ուսումնասիրման համար, որոնք սահմանափակվում են գնդային մակերեսներով և գնդային սիմետրիա ունեցող ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Գնդային ֆունկցիաները մեծ նշանակություն ունեն տեսության մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների և տեսական ֆիզիկայի, մասնավորապես, ատոմների էլեկտրոնային ուղեծրերի հաշվարկման խնդիրների, գեոիդների գրավիտացիոն դաշտի, մոլորակների մագնիսական դաշտի և մնացորդային ճառագայթման ինտենսիվության հաշվարկների համար։

Սահմանում
---------

Իրական գնդային ֆունկցիան Ylm, *l*=0…4 (վերևից ներքև), *m*=0…4 (ձախից աջ).
**Գնդային ֆունկցիաներ** հանդիսանում է գնդային կոորդինատային համակարգի Լապլասի օպերատորի սեփական ֆունկցիա (նշանակվում է {\displaystyle Y\_{l}^{m}(\theta ,\varphi )})։ Նրանք կազմում են երկչափ գնդային ֆունկցիայի հարթությունում օրթոնորմավորված համակարգ․

{\displaystyle \langle Y\_{l}^{m};Y\_{l}^{m}\rangle =\iint |Y\_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}
{\displaystyle \langle Y\_{l}^{m};Y\_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits \_{0}^{2\pi }\int \limits \_{0}^{\pi }Y\_{l'}^{m'\*}Y\_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta \_{ll'}\delta \_{mm'}},
որտեղ \* նշանակում է կոմպլեքս զուգակցում, {\displaystyle \delta \_{ll'}} -Կրոնեկերի նշան։

Գնդային ֆունկցիան ունի {\displaystyle Y\_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta \_{lm}(\theta )}, տեսքը․

որտեղ {\displaystyle \Theta \_{lm}(\theta )} ֆունկցիան հանդիսանումէ հավասարման արմատ

և ունի հետևյալ տեսքը․

{\displaystyle \Theta \_{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P\_{l}^{m}(\cos \theta )}
Այստեղ {\displaystyle P\_{l}^{m}(\cos \theta )} -Լեժանդրի միավորված բազմանդամներն են, իսկ {\displaystyle m!} -ֆակտորիալը։

Լեժանդրի բացասական {\displaystyle m} ունեցող միավորված բազմանդամները գրառվում են․

{\displaystyle P\_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P\_{\ell }^{m}(x)}
Լապլասի հավասարման լուծումը գնդաձև համակարգերում ունի այսպես կոչված գնդային գործառույթ, որը ձեռք է բերվում գնդաձև ֆունկցիայի բազմապատկմամբ շառավղային հավասարման լուծման վրա։

Իրական ձև
---------

Գնդային ֆունկցիաների համար անկյունից կախվածության ձևը {\displaystyle \varphi } կոմպլեքս էքսպոնենտ է։ Օգտագործելով Էյլերի բանաձևը, կարելի է մուտքագրել իրական գնդաձև ֆունկցիաները։

Երբեմն դրանք ավելի հարմար է օգտագործել պայմանավորված նրանով, որ իրական գործառույթները կարող են ավելի տեսանելի ցուցադրվել, ի տարբերություն բարդի։

{\displaystyle {\begin{aligned}Y\_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y\_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y\_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y\_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y\_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y\_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y\_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y\_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y\_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}
Հակառակ ձևափոխությունը․

{\displaystyle Y\_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y\_{\ell |m|}-iY\_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y\_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y\_{\ell |m|}+iY\_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}
Երբեմն իրական գնդաձև ֆունկցիաները անվանում են տարածքային, տեսերալ և սեկտորային։

*m* > 0 ֆունկցիաները կախված են անկյան կոսինուսից, իսկ *m* < 0 -սինուսից։

{\displaystyle Y\_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P\_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P\_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P\_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}

Պտույտներ
---------

Ուումնասիրենք Էյլերի {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,} անկյամբ պտտված {\displaystyle {\mathcal {R}}} կոորդինատային համակարգը, որը ձևափոխում է {\displaystyle \mathbf {r} } միավոր վեկտորը {\displaystyle {\mathbf {r} }'}-ի։ Ընդ որում, նոր կոորդինատային համակարգում {\displaystyle {\mathbf {r} }'} վեկտրի {\displaystyle \theta ',\varphi '} անկյունները արտահայտվում են հետևյալ եղանակով․

{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}
Նոր կոորդինատային համակարգում {\displaystyle \ell } և {\displaystyle m} գործակցով գնդային ֆունկցիան ներկայանալի է դառնալու նույն {\displaystyle \ell } գործակցով, բայց տարբեր {\displaystyle m}-ով գծային կոմբինացիայի տեսքով։ Գծային կոմբինացիայում կոմպլեքս զուգակցվում են D-Վագների մատրիցաները;

{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y\_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y\_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum \_{m'=-\ell }^{\ell }[D\_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{\*}Y\_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}

Հարթ ալիքի տարալուծումը գնդային ֆունկցիաներով
---------------------------------------------

Կոմպլեք էքսպոնենտը կարող է ներկայացվել՝ ըստ գնդային ֆունկցիաների, տարալուծման տեսքով

{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum \_{l=0}^{\infty }i^{l}j\_{l}(kr)\sum \_{m=-l}^{l}Y\_{l}^{m\*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y\_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}
Այստեղ {\displaystyle j\_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J\_{n+{\frac {1}{2}}}(x)} - Բեսելի գնդային ֆունկցիան է։

Տես նաև
-------

* Գնդային ֆունկցիաների ցանկը

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Тихонов А. Н. Самарский, Александр Андреевич *Уравнения математической физики Արխիվացված 2019-12-27 Wayback Machine*
2. ↑  *M. A. Morrison, G. A. Parker*. A guide to rotations in quantum mechanics. — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987

Գրականություն
-------------

* Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}-математические дополнения

Հավելվածներ
-----------

* SHTOOLS: Fortran 95 software archive
* HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
* SpherePack: Fortran 77 software archive
* SpharmonicKit: C software archive
* Frederik J Simons: Matlab software archive
* NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
* Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
* SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

Արտաքին հղումներ
----------------

* Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
* Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
* An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
* Spherical harmonics entry at Citizendium

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա (11-րդ) · Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 3768446 |

 |