**Ռոտոր**, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

* {\displaystyle \operatorname {rot} } (ռուսական գրականության մեջ),
* {\displaystyle \operatorname {curl} } (անգլալեզու գրականության մեջ,առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
* որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }: Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ **F** վեկտորական դաշտի վրա անվանում են **F** դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ

{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }:

Մաթեմատիկական բացատրություն
---------------------------

{\displaystyle \mathbf {a} } վեկտորական դաշտի {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {a} }, որի պրոյեկցիա {\displaystyle \operatorname {rot} \_{\mathbf {n} }\mathbf {a} }-ն յուրաքանչյուր **n** ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է *L* կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։

*L*-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

{\displaystyle \operatorname {rot} \_{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim \_{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits \_{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}}:
Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք {\displaystyle \mathbf {n} }-ի ուղղությամբ, *L*-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ։ Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \operatorname {rot} \;(F\_{x}\mathbf {e} \_{x}+F\_{y}\,\mathbf {e} \_{y}+F\_{z}\mathbf {e} \_{z})=}

{\displaystyle =\left(\partial \_{y}F\_{z}-\partial \_{z}F\_{y}\right)\mathbf {e} \_{x}+\left(\partial \_{z}F\_{x}-\partial \_{x}F\_{z}\right)\mathbf {e} \_{y}+\left(\partial \_{x}F\_{y}-\partial \_{y}F\_{x}\right)\mathbf {e} \_{z}\equiv }

{\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F\_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} \_{x}+\left({\frac {\partial F\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F\_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} \_{y}+\left({\frac {\partial F\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F\_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} \_{z}} կամ

{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{x}=\partial \_{y}F\_{z}-\partial \_{z}F\_{y}\equiv {\frac {\partial F\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F\_{y}}{\partial z}}}

{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{y}=\partial \_{z}F\_{x}-\partial \_{x}F\_{z}\equiv {\frac {\partial F\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F\_{z}}{\partial x}}}

{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{z}=\partial \_{x}F\_{y}-\partial \_{y}F\_{x}\equiv {\frac {\partial F\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F\_{x}}{\partial y}}}

Այստեղ **F**-ը {\displaystyle F\_{x},F\_{y},F\_{z}} դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ {\displaystyle \mathbf {e} \_{x},\mathbf {e} \_{y},\mathbf {e} \_{z}}-ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։
Հարմարության համար կարելի է գրել՝

{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} \_{x}&\mathbf {e} \_{y}&\mathbf {e} \_{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F\_{x}&F\_{y}&F\_{z}\end{vmatrix}}}:
### Կապված բացատրություն

Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։

### Ընդհանրացում

Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{12}=\left({\frac {\partial F\_{2}}{\partial x\_{1}}}-{\frac {\partial F\_{1}}{\partial x\_{2}}}\right)}
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{13}=\left({\frac {\partial F\_{3}}{\partial x\_{1}}}-{\frac {\partial F\_{1}}{\partial x\_{3}}}\right)}
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{23}=\left({\frac {\partial F\_{3}}{\partial x\_{2}}}-{\frac {\partial F\_{2}}{\partial x\_{3}}}\right)}
...

կամ

{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )\_{mn}=\partial \_{m}F\_{n}-\partial \_{n}F\_{m}\equiv {\frac {\partial F\_{n}}{\partial x\_{m}}}-{\frac {\partial F\_{m}}{\partial x\_{n}}}}
*m*-ը և *n*-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։

Վերջինը կարելի է գրել՝

{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F} }
* Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ թենզորային դաշտ է։

Հիմնական հատկություններ
-----------------------

### Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից

* Գծայնություն՝

{\displaystyle \operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }
ցանկացած **F** և **G** դաշտերի համար և ցանկացած *a* և *b* հաստատունների համար։

* Եթե {\displaystyle \varphi }-ը սկալյար դաշտ է, իսկ **F**-ը՝ վեկտորական՝

{\displaystyle \operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,}
կամ

{\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )}:
* Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝

{\displaystyle \operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0} կամ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}Ճիշտ է նաև հակառակը՝
{\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }:

* Եթե **F**-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝

{\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}: Ճիշտ է նաև հակառակը՝
{\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi }:

* Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝

{\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }
### Ստոքսի թեորեմ

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։

{\displaystyle \oint \limits \_{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits \_{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS} }: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով
-----------------------------

### Ընդհանուր դեպք

{\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )\_{i}=\varepsilon \_{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}և
{\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon \_{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}:
### Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը

{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q\_{1}} A\_{1}+\mathbf {q\_{2}} A\_{2}+\mathbf {q\_{3}} A\_{3})=}
{\displaystyle ={\frac {1}{H\_{2}H\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{2}}}(A\_{3}H\_{3})-{\frac {\partial }{\partial q\_{3}}}(A\_{2}H\_{2})\right]\mathbf {q\_{1}} \ +}
{\displaystyle +\ {\frac {1}{H\_{3}H\_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{3}}}(A\_{1}H\_{1})-{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}(A\_{3}H\_{3})\right]\mathbf {q\_{2}} \ +}
{\displaystyle +\ {\frac {1}{H\_{1}H\_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}(A\_{2}H\_{2})-{\frac {\partial }{\partial q\_{2}}}(A\_{1}H\_{1})\right]\mathbf {q\_{3}} ,}
որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։

Օրինակներ
---------

Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը՝

{\displaystyle F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} \_{y}}: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝ 
Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} \_{x}+0\mathbf {e} \_{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} \_{z}=-2x\mathbf {e} \_{z}}
Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:
### Ընդհանուր օրինակներ

Դիտարկենք **∇ ×** [ **v** × **F** ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

{\displaystyle \mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}
Եթե **v**-ն և **∇**-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

{\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla \_{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}
որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ **∇**F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ **F** ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն **F**-ին։ Այլ օրինակ՝

**∇ ×** [ **∇** × **F** ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}
որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ **v** → **∇**:

Տես նաև
-------

* Վեկտորական անալիզ
* Գրինի թեորեմ
* Վեկտորական անալիզի բանաձևեր

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
2. ↑  О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
3. ↑  Точнее — если **F** — псевдовекторное поле, то rot **F** — обычное векторное поле (вектор rot **F** — полярный), и наоборот, если поле **F** — поле обычного (полярного) вектора, то rot **F** — псевдовекторное поле.
4. ↑  Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
5. ↑  То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
6. ↑  Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку **rot const = 0**; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости {\displaystyle v\_{y}(x)}, поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось *y* совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость {\displaystyle \mathbf {v} (z)} не будет уже константой, однако {\displaystyle \partial v\_{y}/\partial z} будет нулем при *z* = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

Արտաքին հղումներ
----------------

* The idea of curl of a vector field
* Curl BetterExplained

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Մեծ կատալոնական · Մեծ նորվեգական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4178485-6 · Microsoft: 72332146 |

 |