Չափիչ բաժակ, որի օգնությամբ կարելի է հեղուկ չափել
**Ծավալ**, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։

Ծավալի հաշվումը
---------------

Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ *V(a)≤W(a)*։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

{\displaystyle V=\iiint \limits \_{A}dxdydz} և
{\displaystyle V=\int \limits \_{Z\_{1}}^{Z\_{2}}S(z)dz} բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։
Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

{\displaystyle V=\iiint \limits \_{A}{\sqrt {g}}\ dx\_{1}dx\_{2}dx\_{3}} բանաձևով, որտեղ g-ն {\displaystyle ds^{2}=g\_{ij}dx^{1}dx^{j}} հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։
Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

{\displaystyle V=\underbrace {\int \int \dots \int } \_{n\ {\text{հատ}}}{\sqrt {g}}\ dx\_{1}\dots dx\_{n}}

Չափի միավորները
---------------

Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ3) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։  

Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ3)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝  

1 լիտր=(10սմ)3=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,
հետևաբար՝  

1 խորանարդ մետր=1000 լիտր
Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝  

1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։
Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձևեր
------------------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Խորանարդ | {\displaystyle a^{3}\;}
որտեղ a-ն կողի երկարությունն է։
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Գլան | {\displaystyle \pi r^{2}h\;}
որտեղ r-ը հիմքի շառավիղն է, h-ը՝ բարձրությունը։
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Պրիզմա | {\displaystyle B\cdot h}
որտեղ՝ B-ն հիմքի մակերեսն է, h-ը՝ բարձրությունը
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Բուրգ | {\displaystyle {\frac {1}{3}}Bh}
որտեղ՝ B-ն հիմքի մակերեսն է, h-ը՝ բարձրությունը
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Կոն | {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}
որտեղ՝ r-ը հիմքի շառավիղն է, h-ը՝ բարձրությունը
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_  |
| Էլիպսոիդ | {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}
որտեղ՝ a-ն, b-ն, c-ն կիսաառանցքներն են։
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Կանոնավոր քառանիստ | {\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}
որտեղ՝ a-ն կողի երկարությունն է։
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
| Զուգահեռանիստ | {\displaystyle abc{\sqrt {K}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}K=1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}}
որտեղ՝ a-ն, b-ն, c-ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն՝ կողերի ներսի անկյունները։ |

### Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը

*r* շառավղով և *h* բարձրությունով կոն, գունդ և գլան
Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես **1 ։ 2 ։ 3**.
Եթե շառավիղը *r* է, բարձրությունը՝ *h*, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,}
գնդինը՝

{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,}
իսկ գլանինը՝

{\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.}
Գնդի և գլանի ծավալների **2 ։ 3** հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

### Ինտեգրալ հաշվումը

| Մարմինը | Ծավալի բանաձևը | Փոփոխական մեծությունները |
| --- | --- | --- |
| Որևէ տարածական մարմին | {\displaystyle \int \_{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h} | h-ը որևէ չափն է, {\displaystyle A(h)}-ը h-ին ուղղահայաց կտրվածքի մակերեսի ֆունկցիան է ըստ h-ի երկայնքի։ a-ն և b-ն տարածական մարմնի ինտեգրալների սահմաններն են։ (Հաշվարկը կարելի է անել այնպիսի դեպքերում, եթե կտրվածքի մակերեսը հնարավոր է որոշել ըստ h-ի)։ |
| Ցանկացած պտտական մարմին | {\displaystyle \pi \int \_{a}^{b}\left({\left[R\_{O}(x)\right]}^{2}-{\left[R\_{I}(x)\right]}^{2}\right)\mathrm {d} x} | {\displaystyle R\_{O}}-ը և {\displaystyle R\_{I}}-ը համապատասխանաբար ներքին և արտաքին շառավիղներն արտահայտող ֆունկցիաներն են։ |

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 118)։*  |