Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ *a*2 + *b*2 = *c*2:
Մաթեմատիկայում **Դիֆանտյան հավասարում,** այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ **Գծային դիֆանտանտային հավասարումը** հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ **Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը** մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

**Դիոֆանտյան խնդիրներում** հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է **Դիոֆանտյան անալիզ**։

Օրինակներ
---------

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում *w*, *x*, *y*, և *z* տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

|  |  |
| --- | --- |
| *ax* + *by* = 1 | Գծային Դիոֆանտյան հավասարում։ |
| *w*3 + *x*3 = *y*3 + *z*3 | Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 123 + 13 = 93 + 103 = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ։ |
| *xn* + *yn* = *zn* | *n* = 2 լուծմանը (*x*,*y*,*z*) համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները։ Իսկ *n* -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով։ |
| *x*2 − *ny*2 = ±1 | Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի։ Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից։ |
| 4*n* = 1*x* + 1*y* + 1*z* | Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար *n* ≥ 2, գոյություն ունի *x*, *y*, և *z*, ցանկացած լուծում։ Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ 4*xyz* = *yzn* + *xzn* + *xyn* = *n*(*yz* + *xz* + *xy*): |
| *x*4 + *y*4 + *z*4 = *w*4 | Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ։ Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից։ Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր։ |

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ
-------------------------------

### Մեկ հավասարում

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ *ax* + *by* = *c*, որտեղ *a*, *b* և *c* տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

*Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում* (որտեղ *x* և *y* տրված ամբողջ թվեր են) *եթե միայն* *c* *թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար* *a* *և* *b* *թվերի համար,* *ավելին եթե* (*x*, *y*) *թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝* (*x* + *kv*, *y* − *ku*), *որտեղ* *k* թիվը կամայական թիվ է*, իսկ* *u* *և* *v* *թվերը քանորդ են հանդիսանում* *a* *և* *b* *թվերի(համապատասխանաբար)* *համար*։
### Չինական մնացորդի թեորեմ

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ *n*1, …, *n**k* թվերը և *k* փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ *a*1, …, *a**k* թվերը *k* քանորդ, *N* թիվը հանդիսանա արտադրյալ *n*1 ··· *n**k*. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի 0 ≤ *x* < *N*, ընդ որում՝

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\_{1}+n\_{1}\,x\_{1}\\&\vdots \\x&=a\_{k}+n\_{k}\,x\_{k}\end{aligned}}}
### Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

*A* *X* = *C*,
որտեղ *A* -ն *m* × *n* չափի մատրիքս է, իսկ *X*-ը և *C*-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ *n* × 1 և *m* × 1:

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

*B* = [*b**i*,*j*] = *UAV*
Որտեղ *b**i*,*i* հավասար չէ զրոյի, իսկ *i* թիվը մեծ չէ *k*-ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

*B* (*V*−1*X*) = *UC*.
ընդ որում՝

*b**i*,*i* *y**i* = *d**i* for 1 ≤ *i* ≤ *k*,
0 *y**i* = *d**i* for *k* < *i* ≤ *n*:
Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ *x* դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն *x* = *Vy* հավասարումը որոշված է այնպիսի *y*-ի համար, որ *By* = *D*:

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ *i* ≤ *k* և *d**i* = 0 for *i* > *k*, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle V\,\left[{\begin{array}{c}{\frac {d\_{1}}{b\_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d\_{k}}{b\_{k,k}}}\\h\_{k+1}\\\vdots \\h\_{n}\end{array}}\right]\,,}
որտեղ *h**k*+1, ... *h**n* կամայական ամբողջ թվեր են։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Everest, G.; Ward, Thomas (2006), *An Introduction to Number Theory*, Graduate Texts in Mathematics, **232**, Springer, p. 117, ISBN 9781846280443,  .
2. ↑  Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). *Annals of Mathematics*. Annals of Mathematics. **141** (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Արխիվացված է the original (PDF) 2011 թ․ մայիսի 10-ին. Retrieved 2017 թ․ հոկտեմբերի 15. `{{cite journal}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)
3. ↑  Noam Elkies (1988). "On *A*4 + *B*4 + *C*4 = *D*4". *Mathematics of Computation*. **51** (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
* Diophantine Equation Archived 2016-03-08 at the Wayback Machine.. From PlanetMath.
* Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 397)։*  |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Թվերի տեսություն |
| --- |
|  |
| Ոլորտներ | 
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դասի դաշտի տեսություն, ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն, Իվասավայի տեսություն, Իվասավա-Թեյթի տեսություն, Կումերի տեսություն)
* Անալիտիկ թվերի տեսություն (L-ֆունկցիաների անալիտիկ տեսություն, հավանականական թվերի տեսություն, մաղերի տեսություն)
* Թվերի երկրաչափություն
* Հաշվողական թվերի տեսություն
* Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն (Առաքելովի տեսություն, Հոջ-Առաքելովի տեսություն)
* Թվաբանական կոմբինատորիկա (ադիտիվ թվերի տեսություն)
* Թվաբանական երկրաչափություն (անաբելյան երկրաչափություն, P-ադիկ Հոջի տեսություն)
* Թվաբանական տոպոլոգիա
* Թվաբանական դինամիկա

 |
|  |
| Հիմնական հասկացություններ | 
* Թվեր
* 0
* Բնական թվեր
* Միավոր
* Պարզ թվեր
* Բաղադրյալ թվեր
* Ռացիոնալ թվեր
* Իռացիոնալ թվեր
* Հանրահաշվական թվեր
* Տրանսցենդենտ թվեր
* P-ադիկ թվեր (P-ադիկ անալիզ)
* Թվաբանություն
* Մոդուլար հանրահաշիվ
* Մնացորդների մասին չինական թեորեմ
* Թվաբանական ֆունկցիաներ

 |
|  |
| Այլ | 
* Քատակուսային ձևեր
* Մոդուլային ձևեր
* L-ֆունկցիաներ
* Դիոֆանտյան հավասարում
* Դիոֆանտյան մոտարկում
* Շղթայական կոտորակs

 |

 |