**Պարաբոլիկ հավասարումներ,** դիֆերենցիալ հավասարումների մասնավոր դաս։ Ոչ ստացիոնար գործընթացները նկարագրող հավասարումների մի տեսակներից։

Սահմանում
---------

Պարաբոլիկ հավասարման լուծման տեսողական ներկայացում(ջերմության փոխանցում)
Հաշվի առեք ֆունկցիայի մասշտաբային երկրորդ կարգի մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ձևը։ Դիտարկենք սկալարային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր տեսքը, մասնավորապես՝ ֆունկցիայի նկատմամբ երկրորդ կարգի ածանցյալ {\displaystyle u:R^{n}\rightarrow R}։

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}+\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}{\frac {\partial u}{\partial x\_{k}}}+cu=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})}
Ընդ որում հավասարումը գրված է սիմետրիկ տեսքով, այսինքն՝ {\displaystyle a\_{ij}=a\_{ji}}։ Այդ դեպքում հավասարմանը համարժեք քառակուսի ձևի տեսքի հավասարումը կլինի․

{\displaystyle \left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})},
որտեղ {\displaystyle A=A^{T}}.

A մատրիցան կոչվում է հիմնական գործակիցի մատրիցա։

Եթե ստացված ձևի արժեքն է (n-1,0), այսինքն ՝ A մատրիցան ունի մեկ սեփական արժեք, որը հավասար է զրոյի և n-1-ի, սեփական արժեքներն ունեն նույն նշանը, ապա հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ տիպի։

Մեկ այլ, համարժեք սահմանում. Հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ, եթե այն կարող է ներկայացվել հետևյալ տեսքով․  

{\displaystyle Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n-1},t)},
որտեղ։ {\displaystyle L} — էլիպսային օպերատոր, {\displaystyle a\neq 0}.

Պարաբոլիկ հավասարումների լուծում
--------------------------------

Միակ լուծումը գտնելու համար հավասարումը դիտարկվում է սկզբնական և սահմանային պայմանների հետ համատեղ։ Քանի որ երբ հավասարումը առաջին կարգի է, ապա սկզբնական պայմանը դրվում է որոնելի ֆունկցիայի վրա։

* Պարաբոլիկ ինչպես նաև վերացական պարաբոլիկ հավասարումների լուծումներ գտնելու համար, կարող են կիրառվել օպերատորների կիսախմբի տեսությունը։
* Անսահման տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների (Կոշիի խնդիրը պարաբոլիկ հավասարման համար) վերլուծական լուծման համար օգտագործվում է հատուկ ինտեգրալ բանաձև։
* Սահմանափակ տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների վերլուծական լուծման համար կարող է օգտագործվել Ֆուրյեի փոփոխական բաժանում մեթոդը։
* Պարաբոլիկ հավասարումների թվային լուծման համար օգտագործվում են վերջավոր տարրերի մեթոդը, վերջավոր տարբերությունների մեթոդը, վերջավոր ծավալի մեթոդը, ինչպես նաև դրանց համակցությունները և լուծվող խնդրին հարմար թվային այլ մեթոդներ։

Առավելագույն սկզբունքը
----------------------

Պարաբոլիկ հավասարման նշված տեսքի համար

{\displaystyle -a^{2}\Delta u+\partial \_{t}u=0\ (x\_{1},\ldots \,x\_{n-1})\in \Omega }
Լուծումները {\displaystyle u(x\_{1},\ldots ,x\_{n-1},t)} ընդունում են իրնց մեծագույն արժեքները երբ {\displaystyle t=0}, կամ {\displaystyle \Omega } տրույթի սահմանին։

Պարաբոլիկ հավասարումների օրինակներ
----------------------------------

* Կոնվեկցիայի և դիֆուզիոն գործընթացները նկարագրող հավասարումներ, ներառյալ դիֆուզիոն հավասարումը և դրա հատուկ դեպքը՝ ջերմահաղորդման հավասարումը։
* Նավիե-Ստոքսի հավասարումների համակարգը, որը նկարագրում է հեղուկների և գազերի շարժը, որը հանդիսանում է տարաբնույթ սահմանափակումներով պարաբոլիկ հավասարումների համակարգ։
* Մաքսվելի հավասարումներից, կարելի է ստանալ {\displaystyle \mathbf {A} } կամ {\displaystyle \mathbf {E} } վեկտորների նկատմամբ պարաբոլիկ հավասարումներ։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Тихонов А.Н, Самарский А.А.* Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
2. ↑  *Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов* Дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. — ISBN 5-7038-1270-4
3. ↑  *Соловейчик Ю.Г. Рояк М.Э. Персова М.Г.* Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9