Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ **Բրահմագուպտայի բանաձևը** կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։

Բանաձև
------

Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը *K* է, իսկ կողմերը՝ *a*, *b*, *c*, *d*, ապա՝

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
որտեղ *s*–ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
Բանաձևը եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե *d* կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։

Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}},}
որը հավասար է

{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}} հավասարմանը։

Ապացույց
--------

Գծանկար ապացույցի համար
### Եռանկյունաչափական ապացույց

Ներգծյալ քառանկյան *K* մակերեսը հավասար է △*ADB* և △*BDC* եռանկյունների մակերեսների գումարին (գծանկար)․

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C}։
Բայց քանի որ *ABCD*–ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն ∠*DAB* = 180° − ∠*DCB*։ Հետևաբար՝ sin *A* = sin *C*։ Այստեղից՝

{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,}
Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ △*ADB* և △*BDC* եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր *DB* կողը, կստանանք՝

{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}
Փոխարինելով cos *C* = −cos *A* (քանի որ *A* և *C* անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

{\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}
Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}
Հավասարման աջ կողմը *a*2 − *b*2 = (*a* − *b*)(*a* + *b*) տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,}
որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,}
{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,}
Ներմուծելով *S* = *p* + *q* + *r* + *s*2 կիսապարագիծը,

{\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}
և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

{\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}
### Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարում

Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները։

Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համար
-------------------------------------------

Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
որտեղ *θ*-ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ. եթե ընտրվի մյուս զույգը, ապա դրանց կիսագումարը կլինի 180° − *θ*։ Քանի որ cos(180° − *θ*) = −cos *θ*, ուրեմն՝ cos2(180° − *θ*) = cos2 *θ*)։ Այս՝ ավելի ընդլայնված բանաձևը, հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։

Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում *θ*–ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}
Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։

Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է՝

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}
որտեղ *p*–ն և *q*–ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի, *pq* = *ac* + *bd* և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", *Forum Geometricorum* 12 (2012), 191–192.
2. ↑  J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", *American Mathematical Monthly*, **46** (1939) pp. 345-347.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". *MathWorld*.

*This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.*

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 98287048 |

 |