Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ#Նույնություններ
**Էյլերի նույնություն**, հավասարություն մաթեմատիկայում։ Հաճախ գրվում է հետևյալ տեսքով՝

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0},
որտեղ

{\displaystyle e}-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է՝ Էյլերի թիվը,
{\displaystyle i}-ն՝ կեղծ միավորը, որը բավարարում է {\displaystyle i^{2}=-1} պայմանին և
{\displaystyle \pi }-ն՝ պի թիվը, որը ցույց է տալիս շրջանագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։
Էյլերի նույնությունը կոչվել է ի տապիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերի։ Այն համարվում է մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։

Մաթեմատիկական գեղեցկություն
---------------------------

Էյլերի նույնությունը հաճախ նշվում է որպես խորը մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։ Թվաբանական հիմնական գործողություններից երեքը՝ գումարը, բազմապատկումը և աստիճանը, նույնության մեջ հանդիպում են ճիշտ մեկ անգամ։ Նույնությունը նաև կապում է հինգ հիմնարար մաթեմատիկական հաստատուններ.

* Զրո թիվը,
* Մեկ թիվը,
* {\displaystyle \pi } թիվը ({\displaystyle \pi =3.141...}),
* {\displaystyle e} թիվը ({\displaystyle e=2.718...}), որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկական անալիզում,
* {\displaystyle i} թիվը, որը կոմպլեք թվերի կեղծ միավորն է։

Բացի դա, հավասարությունը տրված է այնպես, որ արտահայտությունը հավասարեցվում է զրոյի, որը տարածված պրակտիկա է մաթեմատիկայի որոշ բաժիններում։

Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինը ասել է՝ «Շեքսպիրի սոնետի նման, որը նկարագրում է սիրո բուն էությունը, կամ մի նկարի նման, որը ցույց է տալիս մարդկային կերպարանքի գեղեցկությունը, որը շատ ավելին է, քան պարզապես մաշկի խորություն, Էյլերի նույնությունը հասցնում է գոյության ամենախորքային մասերին»։ Նյու Հեմփշիրի համալսարանի պրոֆեսոր Պոլ Նահինը Էյլերի բանաձևին և ֆուրիեի անալիզում դրա կիրառության մասին գրքում նկարագրում է Էյլերի նույնությունը որպես «նուրբ գեղեցկություն»։

Ըստ մաթեմատիկական գրող Կոնստանս Ռիդի՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենահայտնի բանաձևն է»։ Հարվարդի համալսարանի պրոֆեսոր, 19-րդ դարի ամերիկացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Բենջամին Պիրսը դասախոսության ընթացքում Էյլերին նույնությունը ապացուցելուց հետո նշել է, որ նույնությունը «ամբողջությամբ պարադոքսալ է. մենք չենք կարող հասկանալ այն և մենք չգիտենք, թե այն ինչ է նշանակում, բայց մենք ապացուցել ենք այն և հետևաբար մենք գիտենք, որ այն պետք է ճիշտ լինի»։

Ըստ «*The Mathematical Intelligencer*» ամսագրի կողմից արված 1990 թվականի հարցման՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ թեորեմն է»։ «*Physics World*» ամսագրի կողմից արված մեկ այլ հարցման (2004 թվական) համաձայն՝ Էյլերի նույնությունը և Մաքսվելի հավասարումները «երբևէ եղած ամենամեծ հավասարումներն են»։

16 մաթեմատիկոսների գլխուղեղը ուսումնասիրող մի հետազոտության համաձայն «էմոցիոնալ ուղեղը» (մասնավորապես՝ միջին օրբիտոֆրոնտային կորտեքսը, որը ակտիվանում է գեղեցիկ երաժշտության, պոեզիայի, նկարների և այլն համար) ավելի կայուն ակտիվանում է Էյլերի նույնության, քան այլ բանաձևի համար։

Էյլերի նույնության մասին առնվազն երկու հանրամատչելի մաթեմատիկական գիրք է հրատարակվել (Դեյվիդ Սթիփի «*A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics*»-ը (2017 թվական) և Ռուբին Ուիլսոնի «*Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics*»-ը (2018 թվական))։

Բացատրություն
-------------

### Կեղծ ցուցիչներ

Հիմնական հոդված՝ Էյլերի բանաձև
Տե՛ս նաև՝ Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք
Այս անիմացիան կոմպլեքս հարթությունում կրկնվող բազմապատկման միջոցով ցույց է տալիս, թե ինչպես է {\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}-ը ձգտում {\displaystyle -1}-ի (n-ը փոխվում է {\displaystyle 1}-ից մինչև {\displaystyle 100})։ {\displaystyle (1+i\pi /n)^{k},}-ի արժեքները ({\displaystyle k=0,1,...n}) բեկյալի գագաթներն են, որի ամենաձախ կետը {\displaystyle (1+i\pi /k)^{k}}-ն է (իրական {\displaystyle k}-ի համար)։ Այստեղից երևում է, որ {\displaystyle k}-ի մեծ արժեքների դեպքում {\displaystyle (1+i\pi /k)^{k}}-ը ձգտում է {\displaystyle -1}-ի, ինչը պատկերավորում է Էյլերի նույնությունը՝ {\displaystyle e^{i\pi }=-1.}
Ըստ Էյլերի նույնության՝ {\displaystyle e^{i\pi }=-1}: Այստեղ {\displaystyle e^{i\pi }} արտահայտությունը {\displaystyle e^{z}} արտահայտության մասնավոր դեպք է, որտեղ {\displaystyle z}-ը կամայական կոմպլեքս թիվ է։ Կոմպլեքս {\displaystyle z} թվերի համար {\displaystyle e^{z}} արտահայտությունը սահմանվում է ըստ ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումներից մեկի։ Օրինակ՝ տարածված սահմանումներից մեկն է՝

{\displaystyle e^{z}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}։
Այս դեպքում, Էյլերի նույնությունը ցույց է տալիս, որ երբ {\displaystyle n}-ը ձգտում է անվերջության, {\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}-ը ձգտում է {\displaystyle -1}-ի։ Այս սահմանի պատկերավոր ներկայացման համար տես աջ կողմի նկարը։

Էյլերի բանաձևը կամայական անկյան համար
Էյլերի նույնությունը Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք է, ըստ որի՝ կամայական {\displaystyle x} իրական թվի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x},
որտեղ սինուս և կոսինուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները տրված են ռադիանով։

Մասնավորապես, երբ {\displaystyle x=\pi },

{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi }։
Քանի որ

{\displaystyle \cos \pi =-1}
և

{\displaystyle \sin \pi =0,}
հետևաբար՝

{\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}
որից հետևում է Էյլերի նույնությունը՝

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}։
### Երկրաչափական մեկնաբանում

Կամայական {\displaystyle z=x+iy} կոմպլեքս թիվ կարելի է կոմպլեքս հարթությունում ներկայացնել {\displaystyle (x,y)} կետով։ Այս կետը նաև կարելի է ներկայացնել բևեռային կոորդինատներով որպես {\displaystyle (r,\theta )}, որտեղ {\displaystyle r}-ը {\displaystyle z}-ի բացարձակ արժեքն է (կենտրոնից հեռավորությունը) իսկ {\displaystyle \theta }-ն՝ {\displaystyle z}-ի արգումենտը ({\displaystyle x} առանցքի հետ կազմած ակյունը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ Ըստ սինուսի և կոսինուսի սահմանման՝ այս կետրի դեկարդյան կոորդինատներն են {\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}, հետևաբար՝ {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}։ Ըստ Էյլերի բանաձևի, սա համարժեք է {\displaystyle z=re^{i\theta }}-ին։

Ըստ Էյլերի նույնության՝ {\displaystyle -1=e^{i\pi }}։ Քանի որ {\displaystyle e^{i\pi }} նույնն է ինչ {\displaystyle re^{i\theta }}, եթե {\displaystyle r=1} և {\displaystyle \theta =\pi }, ուրեմն Էյլերի նույնությունը կարելի է մեկնաբանել որպես {\displaystyle -1} թվի մասին փաստ. կենտրոնից հեռավորությունը 1 է, իսկ դրական {\displaystyle x} առանցքի հետ կազմած անկյունը՝ {\displaystyle \pi } ռադիան։

Բացի դա, կամայական կոմպլեքս {\displaystyle z} թիվ {\displaystyle e^{i\theta }}-ով բազմապատկելը ունենում նույն արդյուքնը, ինչ {\displaystyle z} թիվը կոմպլեքս հարությունում ժամացույցի սլաքիի հակառակ ուղղությամբ {\displaystyle \theta } ռադիան պտտելը։ Քանի որ թիվը -1-ով բազմապատկելիս այն արտացոլվում է կենտրոնի նկատմաբ, Էյլերի նույնությունը պարզապես նշում է, որ կամայական կետ կենտրոնի նկատմամբ {\displaystyle \pi } ռադիան պտտելը նույնն է, ինչ այն կենտրոնի նկատմամբ արտացոլելը։

Ընդհանրացումներ
---------------

Էյլերի նույնությունը հետևյալ ավելի ընդհանուր նույնության մասնավոր դեպք է ({\displaystyle n>1})՝

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0}։
Հնարավոր է նաև ցույց տալ նմանատիպ նույնություն քվատերնիոնների համար. ենթադրենք {\displaystyle \{i,j,k\}}-ը բազիսային տարրեր են, ուրեմն

{\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0}։
Ընդհանուր առմամաբ, եթե {\displaystyle a\_{1},a\_{2}} և {\displaystyle a\_{3}} իրական թվերի համար տեղի ունի {\displaystyle a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+a\_{3}^{2}=1} նույնությունը, ուրեմն

{\displaystyle e^{\left(a\_{1}i+a\_{2}j+a\_{3}k\right)\pi }+1=0}։
Օկտոնիոնների դեպքում, եթե {\displaystyle a\_{n}}-ը իրական թիվ է, այնպես, որ {\displaystyle a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+...+a\_{7}^{2}=1} և օկտոնիոն բազիսային տարրերն են՝ {\displaystyle \{i\_{1},i\_{2},...i\_{7}\}}, ուրեմն

{\displaystyle e^{\left(a\_{1}i\_{1}+a\_{2}i\_{2}+\dots +a\_{7}i\_{7}\right)\pi }+1=0}։

Պատմություն
-----------

Էյլերի նույնությունը հնարավոր է գտնել Էյլերի 1748 թվականին հրատարակված մաթեմատիկական անալիզին վերաբերող «*Introductio in analysin infinitorum*» աշխատությունում։ Սակայն, պարզ չէ, թե արդյոք այս նույնությունը կարելի է վերագրել Էյլերին։ Ավելին, չնայած Էյլերը իր աշխատությունում գրել է այժմ Էյլերի բանաձև անվամբ հայտնի բանաձևի մասին, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Քոթսը (մահացել է 1716 թվականին, երբ Էյլերը 9 տարեկան էր) նույնպես տեղյակ էր այս բանաձևի մասին։ Էյլերը հավանաբար այս գիտելիքը ձեռք է բերել իր շվեյցարացի հայրենակից Յոհան Բերնուլիից։

Ըստ Ռուբին Ուիլսոնի՝

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | Մենք տեսել ենք, թե դա *[Էյլերի նույնությունը]* ինչպես կարելի է ստանալ Յոհան Բերնուլիի և Ռոջեր Քոթսի արդյունքներից, բայց նրանցից ոչ մեկը, կարծես թե, չի արել դա։ Նույնիսկ Էյլերը բացահայտ այն չի գրել (այն չի հանդիպում իր ոչ մի հրատարակությունում), բայց նա անշուշտ պետք է հասկացած լիներ, որ այն ուղղակի հետևոմ է իր նույնությունից *[Էյլերի բանաձևից]*՝ {\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}}։ Բացի դա, անհայտ է, թե ով է առաջինը բացահայտ նշել արդյունքը... |  |

Նշումներ
--------

1. ↑  *Էյլերի նույնություն* եզրը նաև օգատգործվում է այլ հասկացությունների համար, այդ թվում՝ այս նույնության հետ կապված ընդհանուր բանաձևը՝ {\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}} և Էյլերի արտադրյալի բանաձևը։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Dunham, 1999, p. xxiv.
2. ↑  Stepanov S. A. (7 February 2011)։ «Euler identity»։ *Encyclopedia of Mathematics*։ Վերցված է 7 September 2018
3. ↑  Gallagher James (փետրվարի 13, 2014)։ «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty»։ *BBC News Online*։ Վերցված է դեկտեմբերի 26, 2017
4. ↑  Paulos, 1992, p. 117.
5. ↑  Nahin, 2006, էջ 1։
6. ↑  Nahin, 2006, p. xxxii.
7. ↑  Reid, chapter *e*.
8. ↑  Maor, էջ 160, and Kasner & Newman, էջեր 103–104.
9. ↑  Wells, 1990.
10. ↑  Crease, 2004.
11. ↑  Zeki et al. 2014.
12. ↑  Conway & Guy, p. 254–255.
13. 1 2  Sandifer, p. 4.
14. ↑  Wilson, p. 151-152.

Աղբյուրներ
----------

* Conway, John H. and Guy, Richard K. (1996), *The Book of Numbers*, Springer 978-0-387-97993-9
* Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", *Physics World* [registration required]
* Dunham, William (1999), *Euler: The Master of Us All*, Mathematical Association of America 978-0-88385-328-3
* Euler, Leonhard (1922), *Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus*, Leipzig: B. G. Teubneri
* Kasner, E. and Newman, J. (1940), *Mathematics and the Imagination*, Simon & Schuster
* Maor, Eli (1998), *e: The Story of a number*, Princeton University Press 0-691-05854-7
* Nahin, Paul J. (2006), *Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills*, Princeton University Press 978-0-691-11822-2
* Paulos, John Allen (1992), *Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics*, Penguin Books 0-14-014574-5
* Reid, Constance (various editions), *From Zero to Infinity*, Mathematical Association of America
* Sandifer, C. Edward (2007), *Euler's Greatest Hits*, Mathematical Association of America 978-0-88385-563-8
* Stipp, David (2017), *A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics*, Basic Books
* Wells, David (1990), "Are these the most beautiful?", *The Mathematical Intelligencer*, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
* Wilson, Robin (2018), *Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics*, Oxford University Press
* Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», *Frontiers in Human Neuroscience* **8**, doi:10.3389/fnhum.2014.00068

Արտաքին հղումներ
----------------

* Complete derivation of Euler's identity
* Intuitive understanding of Euler's formula