Պարզ մակերևույթի օրինակ
**Մակերևույթ**, երկրաչափություն և երկկողմանի տոպոլոգիական բազմազանություն։

Մակերևույթների ամենահայտնի օրինակները երկրաչափական մարմինների սահմաններն են, սովորական եռաչափ էվկլիդիայի տարածքում։ Մյուս կողմից, գոյություն ունեն մարմիններ (օրինակ, Կլայնի շիշը), որոնք հնարավոր չէ տեղադրել եռաչափ էվկլիդիայի տարածության մեջ` առանց ներգրավելով եզակի կետի ֆունկցիայով կամ էլ սեփական հատման կետի։ Մակերեւույթի «երկչափություն» նշանակում է դրա վրա կոորդինատային համակարգի մեթոդների կիրառում, սկակայն ոչ բոլոր կետերի համար։ Այսպիսով Երկրի մակերեսը (իդեալական) երկկողմանի գունդ է, յուրաքանչյուր կետի լայնությունը և երկայնությունը նրա կոորդինատներն են (բացառությամբ բևեռների և 180-րդ միջօրեականի)։ Մակերեսի հասկացությունը կիրառվում է ֆիզիկայի, ճարտարագիտության, համակարգչային գրաֆիկայի և ֆիզիկական օբյեկտների ուսումնասիրման այլ բնագավառներում։ Օրինակ, ինքնաթիռի աերոդինամիկական հատկությունների վերլուծությունը հիմնված է իր մակերևույթի շուրջ օդային հոսքի վրա։

Խնդրի ձևերը
-----------

Մակերեսը սահմանվում է որպես բազմաթիվ կետեր, որոնց կոորդինատները բավարարում են որոշակի տեսակի հավասարումների`

{\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)}
Եթե որոշ կետերում {\displaystyle F(x,\,y,\,z)} ֆունկցիան անընդհատ է և շարունակական մասնիկի ածանցյալներ, որոնցից առնվազն մեկը չի զրոյանում, ապա այդ կետի մոտակայքում մակերեսը (1) հասավասարումում, կլինի *կանոնավոր մակերևույթ*։ Բացի վերը նշվածից *անուղղակի խնդրի լուծման ձևից*, մակերեսը որոշվում է ուղղակի, եթե փոփոխականներից մեկը՝ օրինակ z-ը, կարելի է արտահայտել մյուսներով՝

{\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1')}
Կա նաև խնդրի պարամետրային լուծում։ Այս դեպքում մակերեսը հաշվվում է հավասարումների համակարգով`

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\qquad (1'')}

Պարզ մակերևույթի հասկացություն
------------------------------

Ինտուիտիվ կերպով պարզ մակերեսը կարելի է պատկերացնել ինչպես հարթության մի կտոր, ենթարկված անընդհատ դեֆորմացված (ձգավծ, սեղմված և ճգված)։

Ավելի որոշակի` **պարզ մակերևույթը** կոչվում է պատկերի հոմեոմորֆիզմ արտացոլումը (այսինքն փոխադարձ համարժեք և փոխադարձ չընդատվող արտացոլումը) քառակուսու մեջ միավորվող։ Այս սահմանումը կարող է տրվել անալիտիկ արտահայտմամբ։

Դիցուք հարթության վրա ուղղանկյուն համակարգով կոորդինատներ {\displaystyle u} և {\displaystyle v} տրված է քառակուսի, ներքին կետերի կոորդինատները, որոնք բավարարում են անհավասարություններին {\displaystyle 0<u<1,0<v<1}: Քառակուսու հոմեոմորֆային պատկերը տարածության մեջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգով {\displaystyle x,y,z} տվում է բանաձևի միջոցով {\displaystyle x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)} (մակերեսի պարամետրային սահմանում)։ Այս դեպքում ֆունկցիան {\displaystyle x(u,v),y(u,v)} и {\displaystyle z(u,v)} պահանջում է, այնպես որ նրանք անընդհատ են և նաև տարբեր կետերի համար {\displaystyle (u,v)} և {\displaystyle (u',v')} համապատասխանաբար լինեն տարբեր կետեր {\displaystyle (x,y,z)} և {\displaystyle (x',y',z')}։

*Պարզ մակերևույթի* օրինակ է հանդիսանում կիսագունդը։ Ամեն դեպքում գունդը չի հանդիսանում *պարզ մակերևույթ*։ Սա պահանջում է մակերեսի հասկացության հետագա ընդհանրացում։

Տիեզերքի ենթաբազմությունը, որի յուրաքանչյուր կետ ունի միջակայք, հանդիսանում է *պարզ մակերևույթ*, կոչվում է **ճիշտ մակերևույթ։**

Դիֆերենցիալ երկրաչափական մակերևույթ
-----------------------------------

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ուսումնասիրվող մակերևույթները սովորաբար ենթարկվում են պայմանների, կապված դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդների կիրառման հնարավորության հետ։

Որպես կանոն, դրանք պայմաններ են կապված մակերևույթի *ողորկության* հետ, այսինքն `առանձին մակերեսի յուրաքանչյուր կետում գոյություն ունենի շոշոփող հարթություն, թեքություններ և այլն։

Այս պահանջներից բխում է, որ ֆունկցիաները, մակերևույթ սահմանող ֆունկցիաները, ենթադրվում է մեկ, երկու, երեք անգամներ և որոշ հարցերում անսահմանափակ անգամներ դիֆերենցիալ ֆունկցիաների կամ էլ նույնիսկ անալիտիկ ֆունկցիաներով։ Բացի այդ, օրինաչափության պայմանը պարտադիր է։

**Տրված է անհայտով խնդիր**՝ մակերևույթ, տրված է հավասարում {\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0,\;F:\Omega \to \mathbb {R} ^{3}}, հանդիսանում է *հարթ մակերես*, եթե
{\displaystyle \exists P\_{0}(x\_{0},\,y\_{0},\,z\_{0}):\;F(x\_{0},\,y\_{0},\,z\_{0})=0}, {\displaystyle F} ֆունկցիան անընդհատ դիֆերենցիալ է իր տարածքում {\displaystyle \Omega } որոշելու համար, և դրա մասնակի ածանցյալները միաժամանակ չեն վերանում (ճշգրտության պայման) {\displaystyle \Omega } չի հավասարվում զրոյի։

{\displaystyle \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}>0}
**Պարամետրային նշանակության խնդիր** Սահմանենք մակերևույթը վեկտորային ֆունկցիայով {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}, կամ նույնը, երեք հավասարումներ համակարգով՝

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\quad (u,\,v)\in \Omega }
Այս հավասարումների համակարգը սահմանում է *հարթ մակերեսը*, եթե պահպանվել են պայմանները՝

* համակարգը հաստատում է պատկերի և նախատիպի միջև մեկից-մեկ հաղորդումը {\displaystyle \Omega }
* {\displaystyle x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)} ֆունկցիան չընդհատվող դիֆերենցիալ է {\displaystyle \Omega }
* պահպանվել է անհավասարության պայմանները

{\displaystyle {\begin{vmatrix}x'\_{u}&x'\_{v}\\y'\_{u}&y'\_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y'\_{u}&y'\_{v}\\z'\_{u}&z'\_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z'\_{u}&z'\_{v}\\x'\_{u}&x'\_{v}\end{vmatrix}}^{2}>0}
Երկրաչափական վերջին պայմանը նշանակում է, որ վեկտորները {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}} զուգահեռ չեն։

Կոորդինատային ցանց գնդոլորտի վրա
Պարամետրեր *u, v* կարելի է դիտել որպես մակերևույթի ներքին կետերի կոորդինատներ։ Ֆիքսելով կոորդինատներից մեկը, մենք ունենում են երկու օջախ **կորերի կոորդինատներ**, որոնք մակերևույթը ծածկում են կոորդինատային ցանցով։

**Պարզ խնդիր**։ {\displaystyle S} մակերևույթը կարող է սահմանվել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ {\displaystyle z=f(x,y)}՝ երբ {\displaystyle S} հանդիսանում է *հարթ մակերևույթ*, եթե {\displaystyle f} ֆունկցիան դիֆերենցվում է։ Այս տարբերակը կարելի է դիտել որպես մասնավոր դեպք պարամետրային խնդիրներում՝ {\displaystyle x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)}։

### Շոշափողի գծի հարթություն

Մակերևույթի կետով տարված շոշոփող հարթություն
**Շփվող հարթություն՝** հարթ մակերևույթի առումով՝ սա հարթություն է, որը ունի առավելագույն կարգի շփումը այս կետի մակերևույթի հետ։ Համարժեք տարբերակը սահմանվում է՝ շփվող հարթությունը դա հարթություն է, որը ներառում է շոշափող ուղիղներ, որոնք շփում են այդ կետով անցնող բոլոր ուղիղ կորերին։

Դիցուք հարթ կորը պարամետրային խնդրում տրված ՝ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)} ձևով՝

{\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}.
Ուղղությամբ {\displaystyle \mathbf {v} } կոր շփվողը դառում է վեկտոր՝ 

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}{\frac {dv}{dt}}}
Այստեղից պարզ է դառնում, որ բոլոր շոշափողները հատվում են կորի նույն կետում, և գտնվում են միևնույն հարթության վրա՝ վեկտոր պարունակող {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}, որը մենք վերևում նշել ենք, որ չեն հատվում։

Նույն կետի շոշափողի հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝ {\displaystyle \mathbf {r\_{0}} =(x\_{0},y\_{0},z\_{0})}

{\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r\_{0}} ,{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)=0\quad } (խառն արտադրյալով վեկտորներ).
Հավասարման մեջ շոշափողի կոորդինատները տարբեր խնդիրների համար ներկայացված են աղյուսակում՝

|  |  |
| --- | --- |
|  | Մակերևույթին տարված շոշափող հարթություն {\displaystyle (x\_{0},y\_{0},z\_{0})} կետում |
| ոչ բացահայտ խնդիր | {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x-x\_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(y-y\_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(z-z\_{0})=0} |
| բացահայտ խնդիր | {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x-x\_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(y-y\_{0})=(z-z\_{0})} |
| պարամետրային խնդիր | {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x\_{0}&y-y\_{0}&z-z\_{0}\\x\_{u}'&y\_{u}'&z\_{u}'\\x\_{v}'&y\_{v}'&z\_{v}'\end{vmatrix}}=0} |

Բոլոր ածանցյալները վերցվում է կետից՝ {\displaystyle (x\_{0},y\_{0},z\_{0})}։

### Մետրական և ներքին երկրաչափություն

Կրկին քննարկենք հարթ կորը՝ 

{\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}
Նրա երկարության տարրը որոշվում է հարաբերակցությունից՝

{\displaystyle ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}},
որտեղ {\displaystyle E=\mathbf {r'\_{u}} \mathbf {r'\_{u}} ;\ F=\mathbf {r'\_{u}} \mathbf {r'\_{v}} ;\ G=\mathbf {r'\_{v}} \mathbf {r'\_{v}} }.

Այս քառանկյուն ձևը կոչվում է առաջին քառակուսի ձև և իրենից ներկայացնում է երկակի ձևի մետրիկ մակերևույթ։ Կանոնավոր մակերևույթի համար դիսկրիմինանտ։ Մասնավորապես, հարթ մակերևույթում դեկարտյան կոորդինատները {\displaystyle u,\ v} մետրիկայում ստացվում է {\displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}} (Պյութագորասի թեորեմ)։

Հելիկոիդ
Կատենոիդ
Մետրիկան բացառապես չի որոշում մակերևույթի ձևը։ Օրինակ՝ հելեկոիդի և կատենոիդի մետրային չափումը, համապատասխան պարամետրերով, համընկնում է այսինքն նրանց միջև կա համապատասխան հեռավորություն պահպանելով ամբողջ երկարությունը (իզոմետրիա)։ Հատկություններ, որոնք պահվում են իզոմետրիկ փոփոխությունների ժամանակ, կոչվում են **ներքին երկրաչափական** մակերևույթ։ Ներքին երկրաչափական մակերևույթը կախված չէ տարածության մեջ մակերևույթի դիրքից և չի փոփոխվում նրա տարածքի մեջ թեքվելուց և սեղմվելուց (օրինակ, գլանը թեքվելիս կոն)։

Մետրային գործակիցները {\displaystyle E,\ F,\ G} որոշում են ոչ միայն բոլոր կորերի երկարությունները, ինչպես նաև մակերևույթի ներսում բոլոր չափումների արդյունքները (անկյունները, մակերեսը, կորությունը և այլն)։ Հետևաբար այն ամենը ինչը կախված է մետրային չափումներից, վերագրվում են ներքին երկրաչափությանը։

### Ուղղահայաց և կանոնավոր հատում

Մակերևույթի կետերում տարված նորմալ վեկտորներ
Մակերևույթի հիմնական հատկանիշներից մեկն է հանդիսանում նորմալը՝ միավոր վեկտորը, ուղղահայաց շոշափողի հարթությունը տրված կետում՝ շոշափողի հարթությունը տրված կետում՝ մակերևույթում որոշակի անկյուն {\displaystyle \theta }։ Այս դեպքում կորությունը {\displaystyle k}կորը կապված է կորության հետ {\displaystyle k\_{n}}կանոնավոր հատումը (նույն շոշափողով) Մյոնի թեորեմն է։

{\displaystyle k\_{n}=\pm k\,\cos \,\theta }
Մակերեսի որոշման տարբեր եղանակների համար նորմալի միջանկյալ կոորդինատները ներկայացված են աղյուսակում՝

|  |  |
| --- | --- |
|  | Կոորդինատների նորմալը մակերևույթի կետի վրա |
| ոչ բացահայտ խնդիր | {\displaystyle {\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}} |
| բացահայտ խնդիր | {\displaystyle {\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}} |
| պարամետրային խնդիր | {\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}} |

Որտեղ {\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'\_{u}&y'\_{v}\\z'\_{u}&z'\_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'\_{u}&z'\_{v}\\x'\_{u}&x'\_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'\_{u}&x'\_{v}\\y'\_{u}&y'\_{v}\end{vmatrix}}}.

Բոլոր ածանցյալները վերցված են հետևյալ կետից՝ {\displaystyle (x\_{0},y\_{0},z\_{0})}.

Բացասական (ձախից), զրոյական (կենտրոնում) և դրական (աջից) կորություն ունեցող մակերևույթներ։
### Մակերես

Մակերևույթի կարևոր հատկանիշներից է նրա մակերեսը, որը հաշվարկվում է բանաձևով՝

{\displaystyle S=\iint \,|[\mathbf {r} '\_{u}\times \mathbf {r} '\_{v}]|\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}
Որտեղ {\displaystyle \mathbf {r} '\_{u}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right\},\ \mathbf {r} '\_{v}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right\}}.

Կոորդինատներում ստանում ենք՝ 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | բացահայտ խնդիր | պարամետրային խնդիր |
| մակերեսի արտահայտման համար | {\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\;\mathrm {d} \,x\,\mathrm {d} \,y} | {\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v} |

Մակերևույթը տոպոլոգիայի մեջ
---------------------------

### Կողմնորոշում

Մյոբիուսի ժապավենը
Մակերևույթի կարևոր առանձնահատկություն է նրա *կողմնորոշումը*։

Մակերևույթը կոչվում է *երկկողմանի*, եթե նա ամբողջ երկարությամբ ունի շարունակական նորմալ վեկտոր։ Հակառակ դեպքում մակերևույթը անվանում են *միակողմանի։*

*Ուղղորդված* կոչվում է երկկողմանի մակերևույթը ընտրված նորմալի ուղղությամբ։

Հետևաբար միակողմանի մակերևույթների օրինակներ են ոչ կողմնորոշված մակերևույթները՝ Կլայնի շիշը կամ Մյոբիուսի թերթը։

### Տոպոլոգիական ձևի մակերևույթներ

Ըստ տոպոլոգիական կառուցվածքի, մակերևույթները լինում են ինպես երկակի, այնպես էլ բազմաձև։

* փակ և բաց
* Կողմնորոշված և ոչ կողմորոշված
* և այլն

Ընդհանրացում
------------

Տեսության բազմաշերտ անալոգային տեսակների մասին, տես՝

* Հիպերմակերևույթ
* Բազմաձևություն
* Թենզորային վերլուծություն

Գրականություն
-------------

* *Ильин В. А. Позняк Э. Г.* Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
* *Кудрявцев Л. Д.* Курс математического анализа. — М.: Дрофа. — 570 с.
* *Погорелов А. И.* Дифференциальная геометрия. — 6-е издание. — М.: Наука, 1974.
* *Рашевский П. К.* Курс дифференциальной геометрии. — 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.
* «Մակերևույթ». *Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)*. Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.`{{cite book}}`: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Рашевский П. К. 1950, Глава 7

Արտաքին հղումներ
----------------

* The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem

|  |  |
| --- | --- |
|  | Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Մակերևույթ» հոդվածին։ |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Թեմատիկ կայքեր | NCI Thesaurus  |
|  |
| Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | LCCN: sh00005762 · NDL: 00567234 |

 |

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 264)։*  |