Բնական լոգարիթմի ֆունկցիան (կապույտ կոր) հակադարձը ցուցչային ֆունկցիայով (կարմիր կոր)
Բնական լոգարիթմի ֆունկցիայի գրաֆիկը․ ֆունկցիան դանդաղ ձգտում է դրական անվերջության, երբ *x*-ը մեծանում է, և արագ մոտենում է բացասական անվերջության, երբ *x*-ը ձգտում է 0-ի
**Բնական լոգարիթմ**, *e* հիմքով լոգարիթմ, որը իռացիոնալ հաստատուն է և հավասար է մոտ 2.72։ Այն նշանակվում է {\displaystyle \ln x}, {\displaystyle \log \_{e}x} կամ երբեմն ուղղակի {\displaystyle \log x}, երբ հիմքը ենթադրվում է {\displaystyle e}։ Սովորաբար լոգարիթմատակ արտահայտության {\displaystyle x} արգումենտը իրական թիվ է, բայց այս հասկացությունը կարելի է ընդհանրացնել նաև կոմպլեքս թվերի համար։

Սահմանումից հետևում է, որ լոգարիթմական ֆունկցիան {\displaystyle y=e^{x}} ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է, ուստի նրանց գրաֆիկները համաչափ են առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդի նկատմամբ։ Այն պատկանում է տրանսցենդենտ ֆունկցիաների դասին։

Բնական լոգարիթմները օգտակար են այն հանրահաշվական հավասարումների լուծման մեջ, որտեղ անհայտը ցուցիչում է։ Անփոխարինելի է մաթեմատիկական անալիզում, մաթեմատիկայի շատ բնագավառներում, կիրառական որոշ գիտություններում, ֆինանսական ոլորտի բազմաթիվ խնդիրներում (օրինակ բարդ տոկոսների հաշվման մեջ)։

Սահմանում
---------

*x* թվի բնական լոգարիթմ է կոչվում այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել *e* հիմքը՝ *x* ստանալու համար։ Այլ կերպ ասած․ բնական լոգարիթմը՝ {\displaystyle \ln a} դա {\displaystyle e^{x}=a} հավասարման {\displaystyle x} լուծումն է։
Օրինակներ․

{\displaystyle \ln e=1}, քանի որ {\displaystyle e^{1}=e};
{\displaystyle \ln 1=0}, քանի որ {\displaystyle e^{0}=1}։

Իրական բնական լոգարիթմներ
-------------------------

{\displaystyle \ln a} սահմանվում է որպես կորով սահմանափակված տիրույթի մակերես {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} {\displaystyle 1}-ից մինչև {\displaystyle a}
{\displaystyle \ln a} բնական լոգարիթմը {\displaystyle a} իրական թվի համար նույնպես սահմանվում է և ճիշտ է ցանկացած դրական {\displaystyle a} թվի համար։

Բնական լոգարիթմը ցանկացած դրական իրական *a* թվի համար սահմանվում է նաև երկրաչափորեն՝ որպես {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} կորով սահմանափակված տիրույթի մակերես {\displaystyle [1;a]} հատվածի վրա։

### Հատկություններ

Լոգարիթմի սահմանումից էլ հենց ստացվում է հիմնական լոգարիթմական նույնությունը։

{\displaystyle e^{\ln a}=a}
Կարևոր են նաև հետևյալ նույնությունները, որտեղ արժեքները համարվում են դրական․:


|  | Բանաձև | Օրինակ |
| --- | --- | --- |
| Արտադրյալ | {\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y} | {\displaystyle \ln(4\cdot 3)=\ln 4+\ln 3} |
| Քանորդ | {\displaystyle \ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln x-\ln y} | {\displaystyle \ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2} |
| Աստիճան | {\displaystyle \ln(x^{p})=p\ln x} | {\displaystyle \ln(64)=\ln(2^{6})=6\ln 2} |
| Արմատ | {\displaystyle \ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}} | {\displaystyle \ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10} |
|

Այլ հատկություններ

* Արգումենտի աճի հետ աճում է նաև լոգարիթմը․ եթե {\displaystyle 0<x<y,}, ապա {\displaystyle \ln x<\ln y};
* {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,}, եթե {\displaystyle h>-1}։

### Կապը այլ հիմքով լոգարիթմի հետ

Լոգարիթմը կարող է որոշված լինել ոչ միայն {\displaystyle e} հիմքի, այլ ցանկացած դրական {\displaystyle 1}-ից տարբեր հիմքի համար։ 
{\displaystyle a} հիմքով {\displaystyle \log \_{a}b} լոգարիթմը կարելի է ձևափոխել  բնական լոգարիթմի և հակառակը․

{\displaystyle \ln b={\frac {\log \_{a}b}{\log \_{a}e}}=\log \_{a}b\cdot \ln a}
{\displaystyle \log \_{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}
Տասնորդական({\displaystyle \lg x}) լոգարիթմի և բնական լոգարիթմի կապը․ 

{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}
Երկուական ({\displaystyle \operatorname {lb} x}) լոգարիթմի և բնական լոգարիթմի կապը․

{\displaystyle \ln x\approx 0,693147\operatorname {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}։
### Լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները;կարմիր կորը բնական լոգարիթմն է
Եթե լոգարիթմվող թիվը ընդունենք որպես փոփոխական, ապա կստանանք {\displaystyle y=\ln x} լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշված է,երբ {\displaystyle x>0}։ Արժեքների տիրույթն է՝ {\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}։ Այս կորը հաճախ անվանվում է *լոգարիթմական*։ Ֆունկցիան աճող է, անընդհատ ու դիֆերենցելի իրեն որոշման տիրույթում։
Աբցիսների առանցքը ({\displaystyle x=0}) հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ

{\displaystyle \lim \_{x\to 0+0}\ln x=-\infty }
Բնական լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է․

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}։
Այս բանաձևի պարզության պատճառով է հենց լոգարիթմական ֆունկցիան կիրառվում մաթեմատիկական անալիզում և դիֆերենցիալ հավասարումներում։

Բնական լոգարիթմը հավասար է հիպերբոլի մակերեսին
Ինտեգրելով ածանցյալի բանաձևը {\displaystyle x=1}-ից մինչև {\displaystyle x=b} միջակայքը, մենք կստանաք․

{\displaystyle \ln b=\int \limits \_{1}^{b}{\frac {dx}{x}}}
Այլ խոսքով․ բնական լոգարիթմը հավասար է {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} հիպերբոլով սահմանափակված մակերեսին *x* միջակայքի համար։

### Ֆունկցիայի անալիտիկ հատկությունները

{\displaystyle y=1/x} ֆունկցիայի նախնականը ունի հետևյալ տեսքը․

{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln |x|+C,}
որտեղ {\displaystyle C}-ն ինտեգրման հաստատունն է։ Քանի որ {\displaystyle y=1/x} ֆունկցիան կազմված է երկու ճյուղերից (մեկը դրական, մյուսը՝ բացասական {\displaystyle x}-երի համար), ապա {\displaystyle y=1/x}-ի նախնականների ընտանիքը նույնպես կազմված է երկու ենթաընտանիքներից, ընդ որում նրանց ինտեգրման հաստատունները անկախ են միմյանցից։ Բնական լոգարիթմից անորոշ ինտեգրալը հեշտ է գտնել մասերով ինտեգրմամբ։

{\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C}
Մաթեմատիկական անալիզում և Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունում մեծ դեր ունի {\displaystyle f(x)} ֆունկցիայի լագարիթմական ածանցյալ հասկացությունը․

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}}։
### Լոգարիթմի հաշվման մեթոդներ

Բնական լոգարիթմը վերլուծենք ըստ Թեյլորի շարքի․


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots } | (շարք 1) |

Այս շարքը, որը կոչվում է Մերկատորի շարք, զուգամիտում է, երբ {\displaystyle -1<x\leqslant 1}։ Մասնավորապես․


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots } |  |

Շարքը զուգամիտում է դանդաղ։ Նրանից կարելի է ստանալ առավել հարմար բանաձև․


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)} | (շարք 2) |

Այս շարքը արդեն արագ է զուգամիտում։ Բացի այդ, բանաձևի ձախ մասով կարելի է արտահայտել ցանկացած դրական թվի լոգարիթմ։ Այս ալգորիթմով հնարավոր է հաշվել լոգարիթմների արժեքները, բայց այն դժվար է։ 
Շատ թվանշանների առկայության դեպքում Թեյլորի շարքով հաշվարկը էֆեկտիվ չէ։ Կիրառելի է որպես այլընտրանքային միջոց Նյուտոնի մեթոդը։ Դիտարկվում է հետևյալ բանաձևը․
։

{\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2}
որտեղ {\displaystyle M} դա 1 և 4/s-ի թվաբանա-երկրաչափական միջինն է։

{\displaystyle s=x\,2^{m}>2^{p/2}}։
### Օգտակար սահմաններ

Բերենք մի քանի օգտակար սահմանների օրինակներ լոգարիթմների համար ․

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}
{\displaystyle \ln x=\lim \_{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim \_{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}
{\displaystyle \ln x=\lim \_{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}
### Անընդհատ կոտորակներ

Լոգարիթմի ներկայացման համար կիրառվում են մի քանի անընդհատ կոտորակներ․

{\displaystyle \ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}}
{\displaystyle \ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}}

Պատմություն
-----------

Բնական լոգարիթմի մասին առաջին տեղեկությունները հայտնվեցին 1619 թվականին, երբ լոնդոնցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ Ջոն Սպենդելը վերահրատարակեց Նեպերի լոգարիթմական աղյուսակը՝ լրացնելով այն բնական լոգարիթմի աղյուսակներով։ 1649 թվականին բելգիացի մաթեմատիկոս Գրեգուար դը Սեն-Վենսանը ցույց տվեց, որ {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} հիպերբոլով սահմանափակված պատկերի մակերեսը փոխվում է լոգարիթմական օրենքով, և առաջարկեց դրանց անվանել «հիպերբոլական» լոգարիթմներ։
«Բնական լոգարիթմ» տերմինը առաջին անգամ օգտագործել է Նիկոլաս Մերկատորը իր *«Logarithmotechnia»* աշխատությունում, որը հրապարակվեց 1668 թվականին։ Այստեղ Մերկատորը ներկայացրեց լոգարիթմի վերլուծությունը Մերկատորի շարքով։
XVII—XVIII դարերում Գոթֆրիդ Լայբնիցը և Իոհան Բեռնուլլին բնական լոգարիթմը փորձեցին տարածել կոմպլեքս թվերի վրա, բայց ստեղծել ամբողջական տեսություն նրանց չհաջողվեց։ Բացասական և կոմպլեքս թվերի լոգարիթմների տեսությունը հրապարակվեց 1747-1751 թվականներին Էյլերի կողմից, և չի տարբերվում ժամանակակից տեսությունից։

Կոմպլեքս լոգարիթմներ
--------------------

**Կոմպլեքս լոգարիթմը** անալիտիկ ֆունկցիա է, որը ստացվում է իրական լոգարիթմը կոմպլեքս հարթության վրա տարածելով (բացի 0-ից)։ Կոմպլեքս լոգարիթմի ֆունկցիան բազմարժեք է։
**Սահմանում** Կոմպլեքս {\displaystyle z} թվի {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} բնական լոգարիթմը դա {\displaystyle e^{w}=z.} հավասարման լուծումն է {\displaystyle w}։

{\displaystyle z} ոչ զրոյական թիվը կարելի է ներկայացնել {\displaystyle z=r\cdot e^{i(\varphi +2\pi k)}\;\;,} բանաձևով, որտեղ {\displaystyle k} —կամայակն ամբողջ թիվ է
Ապա {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} որոշվում է

{\displaystyle \mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)} բանաձևով։ Այստեղ {\displaystyle \ln \,r=\ln \,|z|} իրական լոգարիթմն է։ Այսպիսով․
{\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} կոմպլեքս լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած {\displaystyle z\neq 0} համար, և նրա իրական մասը որոշվում է միանշանակորեն, իսկ կեղծ մասը ունի անվերջ բազմությամբ լուծումներ՝ տարբերվելով միմյանցից {\displaystyle 2\pi } արժեքով։

Բացասական թվի լոգարիթմը որոշվում է։

{\displaystyle \mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )} բանաձևով
Օրինակներ

{\displaystyle \ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i}
{\displaystyle \ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi }
{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2}}\pi }
* Բնական լոգարիթմի ֆունկցիաները կոմպլեքս հարթության վրա(գլխավոր ճյուղ)
* z
        =
        R
        e
        (
        ln
        ⁡
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=Re(\ln(x+iy))|}{\displaystyle z=Re(\ln(x+iy))|}
* z
        =
        I
        m
        (
        ln
        ⁡
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=Im(\ln(x+iy))|}{\displaystyle z=Im(\ln(x+iy))|}
* z
        =
        
          |
        
        ln
        ⁡
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=|\ln(x+iy)|}{\displaystyle z=|\ln(x+iy)|}
* Երեք նախկին գրաֆիկների ընդհանրությունը Երեք նախկին գրաֆիկների ընդհանրությունը

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Mortimer, Robert G.* Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — С. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
2. ↑  Հանրահաշիվ և անալիզի հիմունքներ; 10-11 դասարանների դասագիրք; 12-րդ հրատարակություն, М.: Просвещение, 2002. էջ 233.
3. ↑  Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 187
4. ↑  Корн Г. Корн Т. Справочник по математике, 1973, էջ 34
5. ↑  Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 189
6. 1 2  Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
7. ↑  *Sasaki T. Kanada Y.* Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)(անգլ.) // *Journal of Information Processing*. — 1982. — В. 4. — Т. 5. — С. 247—250.
8. ↑  *Ahrendt, Timm* Fast computations of the exponential function. Lecture notes in computer science (und). — 1999. — Т. 1564. — С. 302—312. — doi:10.1007/3-540-49116-3\_28
9. ↑  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164
10. ↑  *Cajori, Florian* A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — С. 152. — ISBN 0821821024
11. ↑  Flashman, Martin. «Estimating Integrals using Polynomials». Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 11-ին. Վերցված է 2011 թ․ հունիսի 30-ին.
12. ↑  J J O'Connor and E F Robertson (2001-09). «The number e». The MacTutor History of Mathematics archive. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 11-ին. Վերցված է 2011 թ․ հունիսի 30-ին.
13. ↑  *Կ․Ա․ Ռիբնիկով* Մաթեմատիկայի պատմություն, 2 հատոր. — Մ․: Հր․. ՄՊՀ, 1963.
14. 1 2  Корн Г. Корн Т. Справочник по математике, 1973, էջ 623.

Գրականություն
-------------

* *Выгодский М. Я.* Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
	+ Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
* Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
* *Корн Г. Корн Т.* Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
* Ա․Գ․Սվեշնիկով, Ա․Ն․Տիխոնով; Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն, Մ․, Նաուկա,1966,էջ304։
* Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն
* Տիպերի տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Կոմուտատիվ
* Տարրական
* Խմբերի տեսություն
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ
* Չափերի տեսություն

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |