Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին
------------------------------------------------------------------

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

{\displaystyle {{\dot {x}}\_{j}}(t)=\sum \limits \_{s=1}^{n}{{a\_{js}}(t){x\_{s}}}+\sum \limits \_{i=1}^{k}{\alpha \_{i}}\left({\sum \limits \_{s=1}^{r\_{i}}{b\_{js}^{(i)}(t)u\_{s}^{(i)}}}\right)\quad \quad (j=1,...n)}**(1.1)**

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

 ***Սահմանում*** [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի {\displaystyle \left[{{t\_{0}},{t\_{1}}}\right]} ժամանակահատվածի վրա, եթե {\displaystyle \{{u^{(1)}},\ldots ,{u^{(k)}}\}} ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական {\displaystyle x({t\_{0}})} սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական {\displaystyle x({t\_{1}})} վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

{\displaystyle B(t,\alpha )=(\alpha \_{1}B^{(1)}(t),\ldots ,\alpha \_{k}B^{(k)}(t)),\,U=\left({\begin{array}{c}u^{(1)}\\\vdots \\u^{(k)}\end{array}}\right)}**(1.2)**

Այստեղ {\displaystyle B(t,\alpha )} մատրիցը ունի {\displaystyle (n\times r)} չափողականություն, որտեղ {\displaystyle r={\underset {i=1}{\overset {k}{\sum }}}r\_{i},\,\alpha } պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

{\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+B(t,\alpha )U}**(1.3)**

Ենթադրենք {\displaystyle A(t)} և {\displaystyle B(t,\alpha )} մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև {\displaystyle (n-2)}–րդ և {\displaystyle (n-1)}–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, {\displaystyle \left[{{t\_{0}},{t\_{1}}}\right]} հատվածի գոնե ինչ-որ {\displaystyle t={t\_{\*}}} կետի շրջակայքում։ Այդ {\displaystyle t={t\_{\*}}} կետի շրջակայքում ներմուծենք {\displaystyle {L\_{k}}(t,\alpha )} մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

{\displaystyle {L\_{1}}(t,\alpha )=B(t,\alpha ),\;{L\_{j}}(t,\alpha )=A(t){L\_{j-1}}(t,\alpha )-{\frac {d{L\_{j-1}}(t,\alpha )}{dt}},\;(j=2,...n)}**(1.4)**

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

 ***Թեորեմ 1:***  Դիցուք {\displaystyle \left[{{t\_{0}},{t\_{1}}}\right]} հատվածում գոյություն ունի {\displaystyle t={t\_{\*}}} կետ, որում

{\displaystyle K(t,\alpha )=\{{L\_{1}}(t,\alpha ),\ldots ,{L\_{n}}(t,\alpha )\}}**(1.5)**

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(\alpha )U}**(1.6)**

ապա {\displaystyle K(t,\alpha )=K(\alpha )} մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

{\displaystyle K(\alpha )=\{B(\alpha ),AB(\alpha ),\ldots ,{A^{n-1}}B(\alpha )\}}**(1.7)**

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

 ***Թեորեմ 2:***  Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական {\displaystyle \left[{{t\_{0}},{t\_{1}}}\right]} հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության {\displaystyle K(\alpha )} (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի {\displaystyle {u^{(i)}}\;(i=1,...k)} ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\dot {{x}\_{1}}}=x\_{1}+2x\_{2}+\alpha \_{1}u\_{1}-\alpha \_{2}u\_{2}\\{\dot {{x}\_{2}}}=2x\_{1}+x\_{2}+\alpha \_{1}u\_{1}-\alpha \_{2}u\_{2}\end{array}}\right.}**(1.8)**

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ {\displaystyle {\alpha \_{2}}=0,\;{\alpha \_{1}}=0} և միաժամանակ {\displaystyle {\alpha \_{1}}\neq 0,\;{\alpha \_{2}}\neq 0} դեպքերում)։

{\displaystyle K\_{1}(\alpha \_{1})=\left({\begin{array}{cc}\alpha \_{1}&3\alpha \_{1}\\\alpha \_{1}&3\alpha \_{1}\end{array}}\right),\,}

{\displaystyle K\_{2}(\alpha \_{2})=\left({\begin{array}{cc}-\alpha \_{2}&\alpha \_{2}\\\alpha \_{2}&-\alpha \_{2}\end{array}}\right),\,}

{\displaystyle K(\alpha \_{1},\alpha \_{2})=\left({\begin{array}{cccc}\alpha \_{1}&-\alpha \_{2}&3\alpha \_{1}&\alpha \_{2}\\\alpha \_{1}&\alpha \_{2}&3\alpha \_{1}&\alpha \_{2}\end{array}}\right)}

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ {\displaystyle {u\_{1}}} ղեկավարման կամ {\displaystyle {u\_{2}}} ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ {\displaystyle {K\_{1}}({\alpha \_{1}})} և {\displaystyle {K\_{2}}({\alpha \_{2}})} մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ {\displaystyle {u\_{1}}} և {\displaystyle {u\_{2}}} ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում {\displaystyle K({\alpha \_{1}},{\alpha \_{2}})} մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը {\displaystyle {u\_{1}}} և {\displaystyle {u\_{2}}} ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ
----------------

* Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 105)։*  |