Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գունդ (այլ կիրառումներ)
**Գնդի մակերևույթը** (*գնդոլորտը* կամ *սֆերան* (հուն․՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն, իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Ոլորտով պարփակված և ոլորտի կենտրոնը պարունակող տարածության մասը կոչվում է *գունդ*։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Անալիտիկ երկրաչափություն
------------------------

Անալիտիկ երկրաչափության տեսակետից ոլորտը 2-րդ կարգի կենտրոնավոր մակերևույթ է, որի հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում ունի 

{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}}
տեսքը, որտեղ a, b, c-ն ոլորտի կենտրոնի կոորդինատներն են։

Գունդը բնութագրող բանաձևերը
---------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Մակերևույթի մակերեսը | {\displaystyle S\_{O}\,=\,4\pi r^{2}} |
| Ծավալը | {\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}} |
| Սեգմենտի ծավալը | {\displaystyle V\_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)} |
| Իներցիայի մոմենտը | {\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}} |

Ապացույց  

Վերցնենք R շառավղով չորս շրջան որոնց կենտրոնները գտնվում են {\displaystyle \left(R;0\right)} կետում։ Այդ շրջանի շրջանագծի հավասարումն է՝ {\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}, որտեղից {\displaystyle y^{2}=2Rx-x^{2}}։

{\displaystyle y={\sqrt {2Rx-x^{2}}},x\in (0;R)} ֆունկցիան անընդհատ է, աճող և ոչ բացասական։ {\displaystyle Ox} առանցքի շուրջ շրջանի էարորդի պտտման դեպքում կստացվի կիսագունդ, հետևաբար՝

{\displaystyle {1 \over 2}V=\pi \int \limits \_{0}^{R}(2Rx-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(Rx^{2}-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}\_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}

Որտեղից {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

* {\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}

Ապացույց  

{\displaystyle d=2R,V={4 \over 3}\pi R^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}}ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։

Գնդային գոտի
------------

Գունդ
Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է *գնդային շերտ*։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք *կիսագունդ*։

Գնդային սեկտոր
--------------

Գնդային սեկտոր
Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։
Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ {\displaystyle S=2\pi Rh} որտեղ R-ը գնդի շառավիղն է, h-ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը, \pi-ն մոտավորապես հավասար է 3.14։
Եթե գնդի շառավիղը R է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը՝ h, ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է {\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h} բանաձևով։

### Թեորեմ

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում, եթե գնդի շառավիղը հավասար է R, իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է d, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-d^{2}}}}։

Ապացույց
--------

Դիցուք O-ն գնդի կենտրոնն է, {\displaystyle O'}-ը գնդի կենտրոնի պրոյեկցիան է հատույթի հարթության վրա, {\displaystyle OO'=|x|}, A-ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված {\displaystyle OO'A} եռանկյունում {\displaystyle \angle OO'A=90^{\circ }} ։ Հետևաբար {\displaystyle O'A={\sqrt {OA^{2}-O'O^{2}}}} {\displaystyle ={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}}։ Այստեղից հետևում է, որ A-ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած {\displaystyle O'} կենտրոնով և r շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։

Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ
------------------------------------

* Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է ներգծված բազմանիստին։ 

* Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է արտագծված բազմանիստին։ 

* Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
* Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
* Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
* Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
* Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
* Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
* Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Equation 5.19.4, *NIST Digital Library of Mathematical Functions.* , Release 1.0.6 of 2013-05-06.


|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 252)։*  |

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրոքհաուսի և Եփրոնի · Բրոքհաուսի և Եփրոնի փոքր |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 122041747 · NKC: ph386369 |

 |