Տե՛ս նաև՝ Պի (այլ կիրառումներ)

Π π
**Պին** (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի **П** տառը։

Համագրություններ
----------------

* Հայկական` **Պ**
* Կիրիլիցայի` **П**
* Լատինական` **P**
* Թամիլական` **ப்**
* Վրացական` **პ**
* Եբրայական` **פּ**

Նշանակումները
-------------

Մեծ Π տառով՝

* Մաթեմատիկայում \textstyle\prod-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես \textstyle\sum-ով՝ գումարը։

Փոքրատառ π-ով՝

* Մաթեմատիկական **π** ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
* \pi(x) ֆունկցիան x-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
* պի-մեզոն տարրական մասնիկը

```
π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան
```

### Հարաբերություններ

Հայտնի են \pi թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

* Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝

\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots
pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ {\displaystyle \sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }, որի արդյունքում ստացվում է՝
{\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi }
մնում է ավելացնել {\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}}}ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝
* Վալիսի բանաձև։

\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
* Լայբնիցի շարք՝

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* այլ շարքեր՝

\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum\_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum\_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum\_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}
 \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits\_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}
* բազմակի շարքեր՝

\pi=8\sum\limits\_{k=1}^{\infty}\sum\limits\_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits\_{k=1}^{\infty}\sum\limits\_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits\_{k=1}^{\infty}\sum \limits\_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}
* Սահմաններ՝

\pi=\lim \limits\_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}
\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits\_{n\to\infty}\prod \limits\_{k=1 \atop p\_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p\_{k}^2}\right ) }}\quad \to  здесь {\displaystyle p\_{k}} — простые числа
{\displaystyle \pi =\lim \_{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}, որտեղ n հավասար է արտահայտության արմատին։
* Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝

e^{i \pi} + 1 = 0\;
* Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝

\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits\_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} 
\pi \cdot e = 6 \prod \limits\_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}
* Պուասոնի ինտեգրալ կամ Գաուսի ինտեգրալ՝

\int\limits\_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}, որտեղ {\displaystyle Br(x)} — Բրինգի արմատն է։
* Ինտեգրալային սինուս`

\int\limits\_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi 
* Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`

\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}\_2\left(\frac{1}{2}\right)}
* անկախ ինտեգրալով՝

\int\limits\_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi

Տես նաև
-------

* Հունարենի այբուբեն

|  |  |
| --- | --- |
| Հունական այբուբեն |  |
| Α • Β • Γ • Δ • Ε • Ζ • Η • Θ • Ι • Κ • Λ • Μ • Ν • Ξ • Ο • Π • Ρ • Σ • Τ • Υ • Φ • Χ • Ψ • Ω |

1. ↑  *Ромер П.* Новое выражение для π(ռուս.) // *В.О.Ф.Э.М.*. — 1890. — № 97. — С. 2—4.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Pi Squared", *MathWorld*.