**Կոշիի խնդիր** – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են {\displaystyle t=0}-ի, իսկ լուծումները որոնվում են {\displaystyle t>0}-ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝

1. գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
2. եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
3. լուծումը արդյոք միակն է,
4. եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի y=f(x) լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} կետի փոքր շրջակայքում ունի y=f(x) ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ
----------------------------

* առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x\_{0})=y\_{0}\end{matrix}}\right.},
* n-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ (n-րդ կարգի սովորական համակարգ)`

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f\_{1}(x,y\_{1},\ldots ,y\_{n})\\\ldots \\y\_{n}^{\prime }=f\_{n}(x,y\_{1},\ldots ,y\_{n})\\y\_{1}(x\_{0})=y\_{01}\\\ldots \\y\_{n}(x\_{0})=y\_{0n}\end{matrix}}\iff \right.} {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x\_{0})=y\_{0}\end{matrix}}\right.},
* n-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{(n)}=f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})\\y(x\_{0})=y\_{01}\\\ldots \\y^{(n-1)}(x\_{0})=y\_{0n}\end{matrix}}\iff \right.} {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y\_{1}^{\prime }=y\_{2}\quad (=y')\\\ldots \\y\_{n-1}^{\prime }=y\_{n}\quad (=y^{(n-1)})\\y\_{n}^{\prime }=f(x,y\_{1},\ldots ,y\_{n})\\y\_{1}(x\_{0})=y\_{01}\quad (=y(x\_{0}))\\\ldots \\y\_{n}(x\_{0})=y\_{0n}\quad (=y^{(n-1)}(x\_{0}))\end{matrix}}\right.},

Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար
------------------------------------------------------------------------------

Դիցուք {\displaystyle D\subset R\_{x}\times R\_{y}^{n}} տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }(x)=f(x,y(x))\\y(x\_{0})=y\_{0}\end{matrix}}\right.},
որտեղ {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})\in D}: Դիցուք {\displaystyle {\overline {D}}}-ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք {\displaystyle a>0} և {\displaystyle b>0} այնպիսին են, որ D տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

{\displaystyle R=\{(x,y):x\_{0}-a\leq x\leq x\_{0}+a,y\_{0}-b\leq y\leq y\_{0}+b\}},

այդ դեպքում {\displaystyle [x\_{0}-\alpha ,x\_{0}+\alpha ]} հատվածի վրա, որտեղ {\displaystyle \alpha =\min\{a,b/M\}}, {\displaystyle M=\max \limits \_{(x,y)\in R}|f(x,y)|}, գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, {\displaystyle f(x,y)=y^{2}+1} և {\displaystyle x\_{0}=0,y\_{0}=0}-ի համար {\displaystyle y(x)=\tan(x)}-ի լուծումը գոյություն ունի միայն {\displaystyle (-\pi ,\pi )} միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, {\displaystyle f(x,y)={\sqrt {y}},x\_{0}=0,y\_{0}=0}–ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ, {\displaystyle f(x,y)} ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին D-ի վրա կախված {\displaystyle y}-ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle L} հաստատուն, որ

{\displaystyle |f(x,y\_{1})-f(x,y\_{2})|\leq L|y\_{1}-y\_{2}|}

բոլոր {\displaystyle (x,y\_{i})\in D,i=1,2...}-ի համար։

Դիցուք {\displaystyle f(x,y)}-ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին D-ի վրա կախված {\displaystyle y}-ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ D-ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ {\displaystyle y}-ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք {\displaystyle f} ֆունկցիան բավարարում է {\displaystyle |f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D} պայմանին, որտեղ {\displaystyle A>0} հաստատունը կախված չէ ոչ x-ից և ոչ էլ {\displaystyle y}-ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում D-ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ x գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

Տես նաև
-------

* Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Հատուկ լուծում
* եզրային խնդիր
* Էյլերի մեթոդը
* Ռինգե-Կուտի մեթոդը
* Պեանոյի թեորեմը

Գրականություն
-------------

1. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
2. Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 589)։*  |