**Անվերջ փոքր**, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է զրոյի։

**Անվերջ մեծ**, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է որոշակի նշանի անվերջության։

Անվերջ փոքրերի և մեծերի հաշիվ
-----------------------------

*Անվերջ փոքրերի հաշիվ*, հաշվարկ, որն իրականացվում է անվերջ փոքր մեծությունների հետ, որոնց ժամանակ ածանցված արդյունքը դիտարկվում է որպես անվերջ փոքրերի անվերջ գումար։ Անվերջ փոքր մեծությունների հաշիվը ընդհանուր հասկացություն է համարվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվների համար, որոնք միասին կազմում են ժամանակակից բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմքը։ Անվերջ փոքր մեծության հասկացությունը սերտորեն կապված է սահմանի հասկացության հետ։

### Անվերջ փոքր

{\displaystyle a\_{n}} հաջորդականությունն անվանում են *անվերջ փոքր*, եթե {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0}։ Օրինակ, {\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{n}}} թվերի հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ փոքր* {\displaystyle x\_{0}} *կետի շրջակայքում*, եթե {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=0}։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ փոքր անվերջության վրա*, եթե {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=0} կամ {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=0}։

Անվերջ փոքր է համարվում նաև այն ֆունկցիան, որն իրենից ներկայացնում է ֆունկցիայի և իր սահմանի տարբերությունը, այսինքն եթե {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=a}, ապա {\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}, {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}։

### Անվերջ մեծ

Ներքևում ներկայացված բոլոր բանաձևերում հավասարության աջ մասի անվերջությունը որոշակի նշան ունի (կամ «պլյուս», կամ «մինուս»)։ Այսինքն, օրինակ, {\displaystyle x\sin x} ֆունկցիան, որն երկու կողմից էլ սահամանափակ չէ, չի համարվում անվերջ մեծ ֆունկցիա, երբ {\displaystyle x\to +\infty }։

{\displaystyle a\_{n}} հաջորդականությունը անվանում են *անվերջ մեծ*, եթե {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty }։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ մեծ* {\displaystyle x\_{0}} *կետի շրջակայքում*, եթե {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=\infty }։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ մեծ անվերջության վրա*, եթե {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=\infty } կամ {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=\infty }։

### Անվերջ փոքրերի հատկությունները

* Վերջավոր թվի և անվերջ փոքր ֆունկցիայի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։
* Անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
* Անվերջ փոքր հաջորդականության և սահմանափակ հաջորդականության արտադրյալն անվերջ փոքր է։ Որպես հետևանք, անվերջ փոքր թվի և հաստատունի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
* Եթե {\displaystyle a\_{n}}-ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է, որն պահպանում է իր նշանը, ապա {\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{a\_{n}}}}-ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է։

Անվերջ փոքրերի համեմատումը
--------------------------

### Սահմանումներ

Ենթադրենք, մենք ունենք {\displaystyle \alpha (x)} և {\displaystyle \beta (x)} անվերջ փոքրերը (կամ անվերջ փոքր հաջորդականությունները) միևնույն {\displaystyle x\to a} մեծության դեպքում։

* Եթե {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=0}, ապա {\displaystyle \beta } անվերջ փոքրը ավելի *բարձր մակարդակի անվերջ փոքր* է, քան {\displaystyle \alpha }-ն։ Նշանակում են {\displaystyle \beta =o(\alpha )} կամ β≺α։
* Եթե {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=\infty }, ապա {\displaystyle \beta } անվերջ փոքրը ավելի *ցածր մակարդակի անվերջ փոքր* է, քան {\displaystyle \alpha }-ն։ Համապատասխանաբար, {\displaystyle \alpha =o(\beta )} կամ α≺β։
* Եթե {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=c} (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա {\displaystyle \alpha }-ն և {\displaystyle \beta }-ն համարվում են *միևնույն մակարդակի* անվեջ փոքր մեծություններ։ Սա նշանակում են որպես α≍β կամ որպես {\displaystyle \beta =O(\alpha )} և {\displaystyle \alpha =O(\beta )} հարաբերությունների միաժամանակ կատարում։ Նկատենք, որ որոշ աղբյուրներում կարելի է հանդիպել նշանակում, որտեղ որպես մակարդակների միևնույնություն օգտագործվում է միայն մեկ «O մեծ» հարաբերություն, ինչը համարվում է տվյալ նշանի ազատ օգտագործում։
* Եթե {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c} (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա {\displaystyle \beta } անվերջ փոքր նեծությունը *{\displaystyle m}-րդ կարգի անվերջ փոքր է*, համեմատած {\displaystyle \alpha }-ի հետ։

Այսպիսի սահմանների հաշվման համար օգտագործվում է Լոպիտալի կանոնը։

### Համեմատման օրինակներ

* {\displaystyle {x\to 0}} դեպքում {\displaystyle x^{5}}-ն ավելի բարձր մակարդակի փոքր է, քան {\displaystyle x^{3}}-ը, քանի որ {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {x^{5}}{x^{3}}}=0}։ Մյուս կողմից, {\displaystyle x^{3}}-ն ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան {\displaystyle x^{5}}-ը, քանի որ {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty }։

Օգտագործելով *О*-նշանակումը, ստացված արդյունքները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝ {\displaystyle x^{5}=o(x^{3})}։
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {2x+6}{1}}=\lim \_{x\to 0}(2x+6)=6}, այսինքն, երբ {\displaystyle x\to 0}, {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} և {\displaystyle g(x)=x} ֆունկցիաները համարվում են նույն մակարդակի անվերջ փոքրեր։

Տվյալ դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ գրառումները՝ {\displaystyle 2x^{2}+6x=O(x)} և {\displaystyle x=O(2x^{2}+6x)}։
* Երբ {\displaystyle {x\to 0}}, {\displaystyle 2x^{3}} անվերջ փոքր մեծությունը երրորդ կարգի անվերջ փոքր է {\displaystyle x}-ի հետ համեմատած, քանի որ {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {2x^{3}}{x^{3}}}=2}, {\displaystyle 0{,}7x^{2}} անվերջ փոքրը՝ երկրորդ կարգի, {\displaystyle {\sqrt {x}}} անվերջ փոքրը՝ 0,5-րդ կարգի։

Համարժեք մեծություններ
----------------------

### Սահմանումներ

Եթե {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=1}, ապա {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } անվերջ փոքր և անվերջ մեծ մեծությունները անվանում են *համարժեքներ* (նշանակվում է որպես {\displaystyle \alpha \thicksim \beta })։

Ակնհայտ է, որ համարժեք մեծությունները համարվում են նույն կարգի անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) մեծությունների մասնավոր դեպքեր։

Երբ {\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x\_{0}}]{}}0}, տեղի են ունենում համարժեքության հետևյալ հարաբերությունները (որպես հետևանք, այսպես կոչված, նշանավոր սահմանների)՝

* {\displaystyle \sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle \arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle \mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle \log \_{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}}, որտեղ {\displaystyle a>0};
* {\displaystyle \ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}}, որտեղ {\displaystyle a>0};
* {\displaystyle e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)};
* {\displaystyle 1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}}};
* {\displaystyle (1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R} }, այդ իսկ պատճառով օգտագործում են հետևյալ արտահայտությունը

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1}, որտեղ {\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x\_{0}}]{}}0}։
### Թեորեմ

*Երկու անվերջ փոքր կամ անվերջ մեծ մեծությունների (հարաբերության) մասնավոր սահմանը չի փոխվի, եթե նրանից մեկը (կամ երկուսն էլ) փոխարինենք համարժեք մեծությամբ*։
Այս թեորեմն ունի կիրառական նշանակություն սահմաններ գտնելու ժամանակ (տես՝ օրինակը)։

### Օգտագործման օրինակներ

* Գտնել {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin 2x}{x}}}։

Փոխարինելով {\displaystyle \sin 2x}-ը {\displaystyle 2x} համարժեք մեծությամբ, ստանում ենք՝
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin 2x}{x}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {2x}{x}}=2}։
* Գտնել {\displaystyle \lim \_{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}}։

Քանի որ {\displaystyle \sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}}, երբ {\displaystyle x\to {\frac {\pi }{2}}}, կստանանք, որ՝
{\displaystyle \lim \_{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim \_{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {4\cos x}{\cos x}}=4}։
* Հաշվել {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}}։

Եթե հաշվենք, օգտագործելով համարժեք մեծությունը, կստանանք՝ {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1}։ Իսկ եթե հաշվենք հաշվիչով (ստանանք առավել ճշտգրիտ արժեքը), կստանանք՝ {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095}։ Այսինքն, սխալը կազմում է մոտ 0,005 (1%-ից էլ պակաս), այսինքն այս մեթոդն օգտակար է իր պարզության շնորհիվ, երբ գործ ունենք ոչ այնքան նուրբ հաշվարկների հետ։

Տես նաև
-------

* «O» մեծ և «o» փոքր
* Դիֆերենցիալ (մաթեմատիկա)
* Հաջորդականության սահման
* Ֆունկցիայի սահման
* Անվերջ փոքր