Մաթեմատիկայում Կրոնեկերյան արտադրյալը, որը նշանակվում է ⊗, կամայական երկու մատրիցների մաթեմաթիկական գործողություն է, որի արդյունքում ստանում ենք քառակուսի մատրից։ Դա վեկտորներից դեպի մատրիցներ կատարվող արտաքին արտադրյալի գործողության ընդհանրացումն է (որը ունի նույն նշանակումը)։ Կրոնեկերյան արտադրյալը տարբերվում է մատրիցների սովորական բազմապատկումից, որը հիմնովին այլ գործողություն է։ Կրոնեկերյան արտադրյալը երբեմն նաև կոչվում է մատրիցների ուղիղ արտադրյալ։

Կրոնեկերյան արտադրյալը անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Լեոպոլդ Կրոնեկերի (1823-1891) պատվին, չնայած քիչ փաստեր կան, որ առաջինը նա է սահմանել և օգտագործել այն։ Կրոնեկերյան արտադրյալը այլ կերպ կոչվում է նաև «Զեհֆուսի մատրից», Ջոհան Ջորջ Զեհֆուսի պատվին, ով 1858 թվականին նկարագրել է այս գործողությունը, բայց այժմ ամենալայն տարածված տերմինը Կրոնեկերյան արտադրյալն է։

Սահմանում
---------

Եթե **A**֊ն *m* × *n* մատրից է և **B**֊ն *p* × *q* մատրից, ապա Կրոնեկերյան արտադրյալ **A** ⊗ **B** մատրիցների համար կստացվի *pm* × *qn* քառակուսային մատրից։

{\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a\_{11}\mathbf {B} &\cdots &a\_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a\_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}
Բացահայտ տեսքով՝

{\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a\_{11}b\_{11}&a\_{11}b\_{12}&\cdots &a\_{11}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{11}&a\_{1n}b\_{12}&\cdots &a\_{1n}b\_{1q}\\a\_{11}b\_{21}&a\_{11}b\_{22}&\cdots &a\_{11}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{21}&a\_{1n}b\_{22}&\cdots &a\_{1n}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{11}b\_{p1}&a\_{11}b\_{p2}&\cdots &a\_{11}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{p1}&a\_{1n}b\_{p2}&\cdots &a\_{1n}b\_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a\_{m1}b\_{11}&a\_{m1}b\_{12}&\cdots &a\_{m1}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{11}&a\_{mn}b\_{12}&\cdots &a\_{mn}b\_{1q}\\a\_{m1}b\_{21}&a\_{m1}b\_{22}&\cdots &a\_{m1}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{21}&a\_{mn}b\_{22}&\cdots &a\_{mn}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}b\_{p1}&a\_{m1}b\_{p2}&\cdots &a\_{m1}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{p1}&a\_{mn}b\_{p2}&\cdots &a\_{mn}b\_{pq}\end{bmatrix}}.}
Կարճ ասած, մենք ունենք
{\displaystyle (A\otimes B)\_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a\_{rs}b\_{vw}}

Նմանապես
{\displaystyle (A\otimes B)\_{i,j}=a\_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b\_{i-\lfloor (i-1)/p\rfloor p,j-\lfloor (j-1)/q\rfloor q}.}
Օգտագործելով {\displaystyle i\%p=i-\lfloor i/p\rfloor p}, որտեղ {\displaystyle i\%p}֊ն նշանակվում է որպես մնացորդ {\displaystyle i/p}, սա կարող է գրվել ավելի համաչափ տեսքով 

{\displaystyle (A\otimes B)\_{i,j}=a\_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b\_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.}
Եթե **A** և **B** մատրիցները նեռկայացնում են գծային ձևափոխություններ **V**1 → **W**1 և **V**2 → **W**2, ապա․ համապատասխանաբար **A** ⊗ **B** ներկայացնում են տենզոռային արտադրյալ **V**1 ⊗ **V**2 → **W**1 ⊗ **W**2.

### Օրինակներ

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.}
Նմանապես

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}}

Աղբյուրներ
----------

* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), *Topics in Matrix Analysis*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1,  .
* Jain, Anil K. (1989), *Fundamentals of Digital Image Processing*, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-336165-0,  .
* Steeb, Willi-Hans (1997), *Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs*, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-02-3241-2
* Steeb, Willi-Hans (2006), *Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus*, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-256-916-5,

Արտաքին հղումներ
----------------

* Hazewinkel, Michiel, ed։ (2001), «Tensor product», *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4,
* Կաղապար:Planetmath reference
* MathWorld Kronecker Product
* New Kronecker product problems
* Earliest Uses: The entry on The Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices has historical information.
* Generic C++ and Fortran 90 codes for calculating Kronecker products of two matrices.
* RosettaCode Kronecker Product (in more than 30 languages).

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  «Comprehensive List of Algebra Symbols»։ *Math Vault* (en-US)։ 2020-03-25։ Վերցված է 2020-09-06
2. ↑  Weisstein Eric W.։ «Kronecker Product»։ *mathworld.wolfram.com* (անգլերեն)։ Վերցված է 2020-09-06
3. ↑  G. Zehfuss (1858), «Ueber eine gewisse Determinante», *Zeitschrift für Mathematik und Physik* **3**: 298–301, .