Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (անգլ.՝ **de Moivre's formula**  , նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած *x* կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի) և *n* ամբողջ թվի համար

{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}
որտեղ *i*֊ն կեղծ միավորն է (*i**2* = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։ cos (*x*) + *i* sin (*x*) արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (*x*)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ *x*֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(*nx*)֊ի և sin(*nx*)֊ի համար cos (*x*)֊ի և sin (*x*)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ *n* ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել *n*֊րդ միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, *z* կոմպլեքս թվերին այնպես, որ *zn* = 1։

Էյլերի բանաձևից ածանցում
------------------------

Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}
և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}
Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

{\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}

Ինդուկցիայով ապացույց (*n* ամբողջ թվի համար)
--------------------------------------------

Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ *n* ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(*n*):

{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).}
*n* > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(*k*)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ *k*բնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

{\displaystyle \left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}
Հիմա համարելով S(*k* + 1):

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k+1}&=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)&&\qquad {\text{ինդուկցիայի վարկածով}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos(x)-\sin \left(kx\right)\sin(x)+i\left[\cos \left(kx\right)\sin(x)+\sin \left(kx\right)\cos(x)\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\text{եռանկյունաչափական նույնություններով}}\end{alignedat}}}
Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(*k*) ենթադրում է S(*k* + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ cos(0*x*) + *i* sin(0*x*) = 1 + 0*i* = 1։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք −*n* էքսպոնենտը *n* բնական թվի համար։

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{-n}&=\left[\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{n}\right]^{-1}\\&=\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (\*)\\\end{aligned}}}
Հավասարումը (\*) նույնության արդյունք է

{\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}
*z* = cos (*nx*) + *i* sin (*nx*) համար։ Այդ պատճառով, S(*n*)֊ը բավարարում է բոլոր *n* ամբողջ թվերին։

Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև
-------------------------------

Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե *x*֊ը, հետևաբար նաև cos *x*֊ն ու sin *x*֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\sin \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\\\cos(nx)&=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\cos \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}։
Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում *x* կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ *x*֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա *n* = 2 և *n* = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2x)&=\left(\cos {x}\right)^{2}+\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos {x}\right)^{2}-1\\\sin(2x)&=2\left(\sin {x}\right)\left(\cos {x}\right)\\\cos(3x)&=\left(\cos {x}\right)^{3}+3\cos {x}\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos {x}\right)^{3}-3\cos {x}\\\sin(3x)&=3\left(\cos {x}\right)^{2}\left(\sin {x}\right)-\left(\sin {x}\right)^{3}&&=3\sin {x}-4\left(\sin {x}\right)^{3}\\\end{aligned}}}
cos(*nx*)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում *T**n*Չեբիշեվի բազմանդամի *T**n*(cos *x*) արժեքն է cos *x*֊ով։

Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում
---------------------------------------------

Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։ Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է *n* ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ *n* = 12, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for *x* = 0 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = 1, և
for *x* = 2 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = −1
Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 11⁄2 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից, 1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե *z*֊ը և *w*֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}
բազմարժեք է, մինչդեռ

{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}
ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)}
is one value of

{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}
### Կոմպլեքս թվերի արմատներ

Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, 1*n*րդ աստիճան) *n*֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե *z*֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

{\displaystyle z=r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right),\,}
ապա *n* *n*֊րդ արմատները *z*֊ի տրվում են

{\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right]}
որտեղ *k*֊ն ընկած է 0 ֊ից *n* − 1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում
---------------------------------

### Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն

Քանի որ cosh *x* + sinh *x* = *ex*, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր *n* ∈ ℤ համար

{\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx}
Նաև, եթե *n* ∈ ℚ, ապա (cosh *x* + sinh *x*)*n* մեկ արժեքը կարող է լինել cosh *nx* + sinh *nx*:

### Քվատերնիոններ

Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

{\displaystyle d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }
կարող է ներկայացվել

{\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \mathrm {for} \;0\leq \theta <2\pi }
Այս տեսքում,

{\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}
և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես 

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad \mathrm {and} \quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}
Այս դեպքում այդ *a*2 + *b*2 + *c*2 ≠ 0,

{\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}
այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

{\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}
#### Օրինակ

{\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}
խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել 

{\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad \mathrm {where} \;\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}
Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}

Ծանոթագրություններ
------------------

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). *Handbook of Mathematical Functions*. New York: Dover Publications. էջ 74. ISBN 0-486-61272-4. `{{cite book}}`: Invalid `|name-list-style=yes` (օգնություն).

1. ↑  Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J. Daniels (2008). *College Algebra and Trigonometry* (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. էջ 792. ISBN 9780321497444.
2. ↑  Mukhopadhyay, Utpal (2006 թ․ օգոստոս). «Some interesting features of hyperbolic functions». *Resonance*. **11** (8): 81–85. doi:10.1007/BF02855783.
3. ↑  Brand, Louis (1942 թ․ հոկտեմբեր). «The roots of a quaternion». *The American Mathematical Monthly*. **49** (8): 519–520. doi:10.2307/2302858. Վերցված է 2012 թ․ օգոստոսի 19-ին.

Արտաքին հղումներ
----------------

* De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project