*x*, *y*, *z* կողմերով եռանկյան մեջ (*x* + *y*)-ը միշտ մեծ է *z* -ից
**Եռանկյան անհավասարություն,** երկրաչափության , ֆունկցիոնալ վերլուծության և դրանց առնչվող առարկաներում հեռավորության ինտուիտիվ հատկություններից մեկը։ Այն պնդում է, որ եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը միշտ փոքր է, քան մյուս 2 կողմերի երկարությունների գումարը։ Եռանկյան անհավասարությունը չափային տարածության, նորմայի և այլնի սահմանման մեջ, ներառված է որպես աքսիոմ։ Դա հաճախ նաև թեորեմ է հանդիսանում տարբեր տեսություններում։

Էվկլիդեսյան երկրաչափություն
---------------------------

Էվկլիդեսյան երկրաչափության եռանկյան անհավասարության պացույց
Դիցուք՝ տրված է {\displaystyle \Delta ABC.} և {\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,} ընդորում {\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|} ստացվում է միայն այն դեպքում, երբ եռանկյան մեջ {\displaystyle B} գտնվում է {\displaystyle A} և {\displaystyle C} կետերի միջև, մի ուղղի վրա։

BD- ն՝ AB- ի շարունակությունն է (ըստ կառուցման):Ընդորում, β> α և AD> AC: Սակայն AD = AB + BD = AB + BC, այնպես, որ AB + BC> AC: Այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի տեսությունում( Գիրք 1)։

Ապացուցում է եռանկյան անհավասարությունը հետևյալ կերպ։ Նախ՝ ապացուցվում է թեորեմ այն մասին, որ եռանկյան արտաքին անկյունը մեծ է ներքին անկյունից, որը նրան կից չէ։ Դրանից բխում է թեորեմ,որ եռանկյունու մեծ կողմի հանդիպակած անկյունը մեծ է։ Հետագայում, օգտագործելով հակառակ եղանակը, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եռանկյան ավելի մեծ ներքին անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմը, և այս թեորեմից դուրս է բերում եռանկյան անհավասարությունը։

Նորմավորված տարածություն
------------------------

Դիցուք՝ {\displaystyle (X,\|\cdot \|)}֊ն նորմավորված վեկտորական տարածությունն է, որտեղ {\displaystyle X}֊ը կամայական բազմություն է իսկ {\displaystyle \|\cdot \|}֊ը {\displaystyle X}֊ի վրա որոշված նորմ։ Այդ դեպքում ըստ վերջինիս սահմանման ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը․

{\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.}

Մետրիկական տարածություն
-----------------------

Դիցուք՝ {\displaystyle (X,\rho )}֊ն մետրիկական տարածություն է, որտեղ {\displaystyle X}-ը կամայական բազմություն է, իսկ {\displaystyle \rho }-ն {\displaystyle X} -ի վրա որոշված մետրիկա։ Ըստ վերջինիս սահմանման

{\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}

Տարբերակում և ընդհանրացում
--------------------------

* {\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))} Եռանկյան մեծ անհավասարություն

### Եռանկյան հակառակ անհավասարություն

Մետրական և նորմավորված տարածությունում եռանկյան անհավասարության հետևանքն է հանդիսանում հետևյալ անհավասարությունը․

* {\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}

### Եռանկյան անհավասարությունը եռանիստ անկյան համար

Ուռուցիկ եռանիստ անկյան յուրաքանչյուր հարթ անկյուն փոքր է մյուս երկու հարթ անկյունների գումարից։

### Կետերի կամայական թիվ

Նշանակենք {\displaystyle \rho (x\_{i},x\_{j})}֊ով {\displaystyle x\_{i}} և {\displaystyle x\_{j}} կետերի հեռավորությունը։ Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը՝ {\displaystyle \rho (x\_{1},x\_{m})\leqslant \rho (x\_{1},x\_{2})+\rho (x\_{2},x\_{3})+...+\rho (x\_{m-1},x\_{m})}։ Անհավասարությունը ստացվում է երեք կետերի համար եռանկյան անհավասարությունը հաջորդաբար կիրառելով․

{\displaystyle \rho (x\_{1},x\_{m})\leqslant \rho (x\_{1},x\_{2})+\rho (x\_{2},x\_{m})\leqslant \rho (x\_{1},x\_{2})+\rho (x\_{2},x\_{3})+\rho (x\_{3},x\_{m})\leqslant ...}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  
David E. Joyce (1997)։ «Euclid's elements, Book 1, Proposition 20»։ *Euclid's elements*։ Dept. Math and Computer Science, Clark University։ Վերցված է 2010 թ․ հունիսի 25
2. ↑  *Шилов Г. Е.* Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Մեծ նորվեգական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 182964748 · NKC: ph602139 |

 |