**Բոլցմանի հավասարումը** կամ **Բոլցմանի կինետիկական հավասարումը** կինետիկական երևույթների, մասնավորապես՝ անհավասարակշիռ վիճակագրական մեխանիկայի ամենահիմնարար հավասարումներից մեկն է։ Այն ստացվել է 1872 թվականին ավստրիացի ֆիզիկոս Լյուդվիգ Բոլցմանի կողմից և կրում է վերջինիս անունը։

Բոլցմանի հավասարմամբ տրվում է համակարգի մասնիկների բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը։ Այն իրենից ներկայացնում է մասնակի ածանցյալներով գծային ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարում։

Հավասարումը նախապես ստացվել է նոսր գազերի համար, սակայն ունի կիրառելիության բավականին լայն սահմաններ և ընկած է մի շարք ֆիզիկական երևույթների դասական ու քվազիդասական նկարագրության հիմքում։

Ընդհանուր պատկերացումներ
------------------------

### Փուլային տարածություն։ Բաշխման ֆունկցիա

Ներմուծենք **r**(*x, y, z*) դեկարտյան կոորդինատների և **v**(*vx, vy, vz*) արագությունների 6-չափանի փուլային տարածություն, որը հաճախ անվանում են նաև μ-տարածություն։ Փուլային տարածության (**r**, **v**) կետի շուրջ ծավալի տարրը կլինի՝

{\displaystyle d\mathbf {r} \,d\mathbf {v} =dx\,dy\,dz\,dv\_{x}\,dv\_{y}\,dv\_{z}:}

f(**r**, **v**, *t*) **միամասնիկային բաշխման ֆունկցիան** սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)d\mathbf {r} \,d\mathbf {v} =dN,}

որտեղ dN-ը ժամանակի *t* պահին d**r**d**v** փուլային ծավալում եղած մասնիկների թիվն է։ Իսկ մասնիկների N լրիվ թիվը կլինի՝

{\displaystyle N=\int d\mathbf {r} d\mathbf {v} f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t):}  

Այստեղ ինտեգրումը կատարվում է ըստ ողջ փուլային տարածության։

Միամասնիկային բաշխման ֆունկցիայի և **N-մասնիկային** ρ(**r**1, **v**1, ... **r**N, **v**N, *t*) **բաշխման ֆունկցիայի** միջև կապը տրվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle f(\mathbf {r} \_{1},\mathbf {v} \_{1},t)=N\int d\mathbf {r} \_{2}d\mathbf {v} \_{2}...\int d\mathbf {r} \_{N},d\mathbf {v} \_{N}\rho (\mathbf {r} \_{1},\mathbf {v} \_{1},...\mathbf {r} \_{N},\mathbf {v} \_{N},t):}

### Բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը

Փուլային տարածության (**r**, **v**) կետում բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային {\displaystyle \partial f/\partial t} փոփոխությունը պայմանավորված է տվյալ կետի շուրջ ծավալի տարրում եղած մասնիկների թվի փոփոխությամբ, ինչը կարող է տեղի ունենալ հետևյալ պատճառներով՝ մասնիկների դիֆուզիայի, արտաքին ուժերի ազդեցությամբ տարածական տեղաշարժի և մասնիկների ցրումների։ Ասվածը ճիշտ է, եթե մասնիկների ընդհանուր քանակը մնում է հաստատուն։ Ընդհանուր դեպքում, օրինակ՝ կիսահաղորդիչներում ազատ լիցքակիրների բաշխումը դիտարկելիս, պետք է հաշվի առնել նաև լիցքակիրների գեներացիան և ռեկոմբինացիան։ Գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն պրոցեսների բնութագրական ժամանակը մասնիկների ազատ վազքի ժամանակից շատ անգամ մեծ է, հետևաբար, լիցքակիրների ցրման խնդիրները քննարկելիս կարելի է համարել, որ ցրումը տեղի է ունենում լիցքակիրների անփոփոխ կոնցենտրացիայի պայմանում և գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն երևույթների ներդրումը կարելի է անտեսել։

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը (փոփոխման արագությունը) ֆորմալ ձևով կարելի է ներկայացնել այսպես՝

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {force} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {diff} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {coll} }:}

Այստեղ հավասարման աջ մասի անդամները ֆորմալ ձևով ներկայացնում են համապատասխանաբար արտաքին ուժերի ազդեցությունը, դիֆուզիան և ցրումները։

Բոլցմանի հավասարման պարզ ստացումը
---------------------------------

Հավասարումը Բոլցմանի կողմից ստացվել է բազմամասնիկային համակարգի (միաատոմային նոսր գազի) մասնիկների միջև ցրման երևույթների վերլուծության միջոցով։ Այստեղ հակիրճ կներկայացնենք հիմնական մոտեցումը։

Դիտարկենք ժամանակային d*t* տեղաշարժի ազդեցությունը f(**r**, **v**, *t*) բաշխման ֆունկցիայի վրա։ Ցրումների բացակայության դեպքում, համաձայն Լիուվիլիի թեորեմի, ունենք՝

{\displaystyle f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} ,t+dt)=f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t):}

Ցրումները ներառելու դեպքում այս հավասարությունը կխախտվի՝

{\displaystyle f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} ,t+dt)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=dt\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {coll} }:}

Հավասարման ձախ մասի առաջին անդամը վերլուծելով շարքի ըստ d**r**, d**v**, d*t* -ի աստիճանների, և սահմանափակվելով առաջին կարգի անդամներով, կստանանք՝

{\displaystyle dt{\frac {\partial f}{\partial t}}+d\mathbf {r} \cdot \nabla \_{\mathbf {r} }f+d\mathbf {v} \cdot \nabla \_{\mathbf {v} }f=dt\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {coll} },}

որտեղ

{\displaystyle \nabla \_{\mathbf {r} }\equiv ({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}),} {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }\equiv ({\frac {\partial }{\partial v\_{x}}},{\frac {\partial }{\partial v\_{y}}},{\frac {\partial }{\partial v\_{z}}}):}

Այնուհետև, տեղադրելով

{\displaystyle {d\mathbf {r} \over dt}=\mathbf {v} ,{d\mathbf {v} \over dt}=\mathbf {a} ,\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}

վերջնականապես ստացվում է՝

{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \_{\mathbf {r} }+{1 \over m}\mathbf {F} \cdot \nabla \_{\mathbf {v} }\right]f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)\_{\mathrm {coll} }:}

Սա էլ հենց Բոլցմանի հավասարման ընդհանուր տեսքն է։ Այստեղ **F**-ը համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժն է, իսկ m-ը՝ մասնիկների զանգվածը։

Հավասարման աջ մասի անդամը ֆորմալ ձևով ներկայացնում է ցրումները։ Այն անվանում են **ցրումների անդամ** կամ **ցրումների ինտեգրալ** և երբեմն նշանակում *J(f)*-ով։

Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն
------------------------------------

Բոլցմանի հավասարումը լուծելու համար պետք է մանրամասն վերլուծել ցրումների անդամը, ինչն ընդհանուր դեպքում բավականին բարդ խնդիր է։ Պետք է հաշվի առնել ցրման մեխանիզմը, մասնիկների միջև փոխազդեցության բնույթը և այլն։ Այն տրվում է ցրման հավանականությունների ինտեգրալային արտահայտությամբ (այստեղից էլ ցրման ինտեգրալ անունը)։ Ցրման հավանականության որոշումը հանգում է մաքուր քվանտային խնդրի, իսկ Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է ինտեգրալադիֆերենցիալ հավասարման։ Այս պատճառով Բոլցմանի հավասարումը լուծվում է միայն հստակ դեպքերի համար։

Արտաքին ազդեցութունների բացակայության և ջերմային հավասարակշռության պայմաններում Բոլցմանի հավասարման ձախ մասը հավասարվում է զրոյի, հետևաբար այս դեպքում ցրումների ինտեգրալը զրո է։ Այս պայմանը կոչվում է մանրամասն հավասարակշռության սկզբունք։ Տվյալ դեպքում հավասարման լուծումը հավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան է։ Վերջինս նշանակենք f0-ով։ Այն իրենից ներկայացնում է Մաքսվել-Բոլցմանի կամ Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան։

Հավասարակշռության վիճակից փոքր շեղումների դեպքում f անհավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

{\displaystyle f=f\_{0}+f\_{1}}

ձևով, որտեղ f1-ը ներկայացնում է շեղումը հավասարակշռության վիճակից՝

{\displaystyle f\_{1}\ll f\_{0}:}

Ցրման երևույթները քննարկելիս խնդիրների մեծամասնության դեպքում մասնիկների միջև ցրումները կարելի է համարել առաձգական կամ քվազիառաձգական։ Կինետիկական երևույթների տեսությունում ցույց է տրվում, որ այդ դեպքում ցրումների ինտեգրալը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle J(f)=-{\frac {f-f\_{0}}{\tau }}=-{\frac {f\_{1}}{\tau }},}

որտեղ τ գործակիցը կոչվում է ռելաքսացիայի ժամանակ։ Վերջինս ցույց է տալիս այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում անհավասարակշիռ համակարգը արտաքին աազդեցությունները վերացնելուց հետո անցնում է հավասարակշիռ վիճակի։

Ռելաքսացիայի ժամանակը կախված է մասնիկների արագությունից (էներգիայից), հետևաբար՝ արտաքին ազդեցությունից։ Սակայն արտաքին թույլ ազդեցությունների դեպքում կարելի է համարել, որ այն կախված չէ արտաքին ազդեցությունից և որոշվում է միայն ցրման մեխանիզմով։ Ռելաքսացիայի ժամանակը մեծ մասամբ ազատ վազքի ժամանակի կարգի մեծություն է։

Վերը նշված մոտեցումը կոչվում է **ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն**, իսկ Բոլցմանի հավասարումը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \_{\mathbf {r} }+{1 \over m}\mathbf {F} \cdot \nabla \_{\mathbf {v} }\right]f=-{\frac {f-f\_{0}}{\tau }}:}

Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորությունը զգալիորեն հեշտացնում է Բոլցմանի հավասարման լուծումը։

Կիրառելիության սահմանները
-------------------------

Բոլցմանի հավասարումն իր օրիգինալ տարբերակով մաքուր դասական հավասարում է։ Պայմանավորված քվանտային երևույթներով՝ հավասարման կիրառելիության վրա դրվում են մի շարք սահմանափակումենր։

Հավասարումը կիրառելի է այն դեպքում, երբ մասնիկների դը Բրոյլի ալիքի երկարությունները շատ ավելի փոքր են ազատ վազքի երկարությունից (ունենք դասական պատկեր), իսկ մասնիկի ցրման տևողությունը շատ ավելի փոքր է ազատ վազքի ժամանակից։ Համարվում է նաև, որ համակարգի խտությունը շատ մեծ չէ՝ այնպես, որ կարելի է անտեսել միաժամանակ երկուսից ավել մասնիկների միմյանց հետ ցրվելու հավանականությունը։

Սահմանափակում է դրվում նաև արտաքին ազդեցությունների (դաշտերի) վրա, մասնավորապես՝ համարվում է, որ արտաքին ուժերի ազդեցությամբ մասնիկի էներգիայի փոփոխության չափը փոքր է հավասարակշռության վիճակում ունեցած էներգիայից։ Օրինակ՝ արտաքին մագնիսական դաշտը համարվում է ոչ քվանտացնող։

Բոլցմանի հավասարման ընդլայնված տարբերակները
-------------------------------------------

Բազմամասնիկային համակարգերում ցրման երևույթների մանրամասն վերլուծության շնորհիվ 1940-ականներին Բոգոլյուբովը, Բորնը, Գրինը, Կիրկվուդը և Իվոնը ստեղծեցին, այսպես կոչված, **ԲԲԳԿԻ հավասարումների հիերարխիան** (շարքը)՝ 1, 2, ... N-մասնիկային բաշխաման ֆունկցիաների համար։

Բոլցմանի հավասարումն իր համապատասխան ընդլայնված տարբերակներն ունի ինչպես Հարաբերականության տեսությունում (Բոլցմանի ռելյատիվիստական հավասարում), այնպես էլ քվանտային մեխանիկայում։ Քվանտային երևույթների մասնակի ներառման դեպքում Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է Բոլցմանի քվազիդասական հավասարման։ Բացի այս, դաշտի քվանտային տեսությունում գոյություն ունի, այսպես կոչված, Բոլցմանի էֆեկտիվ հավասարումը։

Գրականություն
-------------

1. Franz Schwabl, *Statistical Mechanics*, 2-nd ed. Springer, 2006
2. C. Kittel, *Elementary Statistical Physics*, John Wiley & Sons, Inc. 1958
3. А.П. Крюков, *Элементы Физической Кинетики*, Москва, Издательство МЭИ, 1995