**Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը** (նաև **Բիո-Սավար-ի օրենքը** ) ֆիզիկական օրենք է՝ հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Շղթայի երկայնքով հոսանքի համար (բարակ հաղորդիչով)
-------------------------------------------------

Թող հաստատուն {\displaystyle I} հոսանքն անցնի {\displaystyle \gamma } կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում, {\displaystyle \mathbf {r} \_{0}} - կետն է, որտեղ որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} \_{0})={\mu \_{0} \over 4\pi }\int \limits \_{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu \_{0} \over 4\pi }\int \limits \_{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e\_{r,r\_{o}}} ]}{(\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} )^{2}}},}
որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը, {\displaystyle r} - {\displaystyle \gamma } կոնտուրի կետերի դիրքն է , {\displaystyle dr} - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով); {\displaystyle \mu \_{0}} - մագնիսական հաստատունը ; {\displaystyle \mathbf {e\_{r,r\_{o}}} } միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

* Սկզբունքորեն {\displaystyle \gamma } կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
* Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում), {\displaystyle I} հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

{\displaystyle d{\vec {B}}={\mu \_{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}}
Որտեղ {\displaystyle {\vec {r}}} - {\displaystyle I} հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է , {\displaystyle r} - {\displaystyle {\vec {r}}}-ի մոդուլը, {\displaystyle d{\vec {B}}} - հաղորդչի {\displaystyle d{\vec {r}}} տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը։

{\displaystyle d\mathbf {B} }-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած {\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} } և {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}} վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս {\displaystyle d\mathbf {B} }-ի ուղղությունը, եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ {\displaystyle d\mathbf {B} }-ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

{\displaystyle dB={\mu \_{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},}
Որտեղ {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}} վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով {\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }) և հաղորդչի {\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} } տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} \_{0})={\mu \_{0} \over 4\pi }\int \limits \_{\gamma }{\frac {\mathbf {I} (\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} |}}.}

Բաշխվող հոսանքների համար
------------------------

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության **j** վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը (SI- ում ).

{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} \_{0})={\mu \_{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} |^{3}}},}
որտեղ **j** = **j** ( **r** ), *d* V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ **j** ≠ **0** ), **r** - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին (*d* V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} \_{0})={\mu \_{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} |}}.}

Հետևանքները
-----------

Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

{\displaystyle \oint \limits \_{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}
- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

{\displaystyle \oint \limits \_{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu \_{0}I=\mu \_{0}\int \limits \_{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }
- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

{\displaystyle \mathrm {div} \mathbf {B} =0,}
{\displaystyle \mathrm {rot} \mathbf {B} =\mu \_{0}\mathbf {j} ,}
որտեղ **j** հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում{\displaystyle \mu \_{0}} հաստատունի փոխարեն գրվում է {\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}.} )

Ստացումը Մաքսվելի հավասարումներից
---------------------------------

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} ,}
{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0,}
{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,}
{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {E} =4\pi \rho ,}
Որտեղ {\displaystyle \mathbf {j} } - տարածության մեջ հոսանքի խտությունն է։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը (CGS համակարգում).

{\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} .}
Հավասարումների անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =0.}
Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

{\displaystyle \Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} .}
Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} \_{0})={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}|}}dV.}
Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով (CGS համակարգում)

{\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV=}
{\displaystyle ={\frac {1}{c}}\int \limits \_{\gamma }{\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} \_{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}|^{3}}}dV}
ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

{\displaystyle \mathbf {j} dV=I\mathbf {dl} }
մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

Կիրառությունները
----------------

Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը շատ բարակ {\displaystyle N} փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ) կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է {\displaystyle I} հոսանքը։ Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

{\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {l}}\times {\vec {r}}]}{r^{3}}}}
մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

{\displaystyle dB={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},}
Որտեղ {\displaystyle r} - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում՝ հաստատուն), {\displaystyle \alpha } -ն {\displaystyle {\vec {r}}} (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և {\displaystyle d{\vec {l}}} (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է {\displaystyle 90^{\circ }}։

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

{\displaystyle B={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}{\frac {I}{r^{2}}}\int dl,}
Որտեղ {\displaystyle \int dl=2\pi r} - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում՝ շրջագիծը, ապա

{\displaystyle B=\mu \_{0}{\frac {IN}{2r}}.}
Քանի որ պարույրը պարունակում է {\displaystyle N} փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

{\displaystyle B=\mu \_{0}{\frac {IN}{2r}}.}

Գրականություն
-------------

* The law of Biot and Savart - The Feynman Lectures on Physics