**Բեսելի ֆունկցիաները**, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

{\displaystyle x^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+x{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}

որտեղ \alpha−ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ \alpha և {\displaystyle (-\alpha )} առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի \alpha-ով հարթ։

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։

Կիրառությունը
-------------

Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

* Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
* Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
* Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
* Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
* Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
* Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։

Սահմանումներ
------------

Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։

### Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված {\displaystyle J\_{\alpha }(x)}, դրանք հանդիսանում են լուծումներ, x=0 կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական \alpha: Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական \alpha-ների դեպքում)։

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)=\sum \_{m=0}^{\infty }{(-1)^{m} \over m!\Gamma (m+\alpha +1}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}

Այստեղ {\displaystyle \Gamma (z)}-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն {\displaystyle 1 \over {\sqrt {x}}}, չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։

Բերված են {\displaystyle J\_{\alpha }(x)} գրաֆիկները {\displaystyle \alpha =0,1,2} արժեքների համար։

График функции Бесселя первого рода J
Եթե \alpha-ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, {\displaystyle J\_{\alpha }(x)} և {\displaystyle J\_{-\alpha }(x)} ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

{\displaystyle J\_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J\_{\alpha }(x)}

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։

### Բեսելի ինտեգրալներ

\alpha ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)={1 \over \pi }\int \limits \_{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau }

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)={1 \over 2\pi }\int \limits \_{-\pi }^{\pi }e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau }

Հատկություններ
--------------

### Օրթոգոնալ

Ենթադրենք {\displaystyle \mu \_{1},\mu \_{2}} Բեսելի {\displaystyle J\_{\alpha }(x)} ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{xJ\_{\alpha }(\mu \_{1}x)J\_{\alpha }(\mu \_{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu \_{1}\neq \mu \_{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'\_{\alpha }(\mu \_{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu \_{1}=\mu \_{2}\end{matrix}}\right.}

### Ասիմպտոտիկա

Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում {\displaystyle (0<x<<{\sqrt {\alpha +1}})} և ոչ բացասական \alpha-ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)\longrightarrow {1 \over {\Gamma (\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{\alpha }}

{\displaystyle Y\_{\alpha }(x)\longrightarrow {\begin{cases}{2 \over \pi }[\ln(x/2)+\gamma ]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\-{\Gamma (\alpha ) \over \pi }\left({2 \over \pi }\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\\\end{cases}}}

Որտեղ \gamma—Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ {\displaystyle \Gamma }-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար {\displaystyle (x>>|\alpha ^{2}-{1 \over 4}|)} բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\cos {\left(x-{\alpha \pi \over 2}-{\pi \over 4}\right)}}

{\displaystyle Y\_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\sin {\left(x-{\alpha \pi \over 2}-{\pi \over 4}\right)}}

### Հիպերերկրաչափական շարք

Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

{\displaystyle J\_{\alpha }(z)={(z/2)^{\alpha } \over \Gamma (\alpha +1)}F\_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4)}

Այսպիսով ամբողջ {\displaystyle \alpha }-ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան *եզակի անալիտիկ է,* իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`*բազմակի անալիտիկ:*

### Գեներացնող ֆունկցիա

Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

{\displaystyle e^{{z \over 2}\left(w-{1 \over w}\right)}=\sum \_{n=-\infty }^{+\infty }J\_{n}(z)w^{n}}

Հարաբերակցություն
-----------------

### Գումարման թեորեմա

Ցանկացած ամբողջ n-ի և կոմպլեքս {\displaystyle z\_{1},z\_{2}}-ի համար կատարվում է`

{\displaystyle J\_{n}(z\_{1}+z\_{2})=\sum \_{k=-\infty }^{\infty }J\_{k}(z\_{1})J\_{n-k}(z\_{2})}

### Ինտեգրալային արտահայտություններ

Ցանկացած {\displaystyle a} և {\displaystyle b} (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-at}J\_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}}

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-at}J\_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

Գրականություն
-------------

* *Ватсон Г.*  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
* *Бейтмен Г. Эрдейи А.*  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
* *Лаврентьев М. А. Шабат Б. В.*  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա (11-րդ) · Բրիտանիկա (օնլայն) · Բրիտանիկա (օնլայն) · Բրոքհաուսի և Եփրոնի · Մեծ կատալոնական · Մեծ կատալոնական · Մեծ ռուսական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | BNF: 119819398 · LCCN: sh85013431 · Microsoft: 107706756 · NDL: 00560629 · NKC: ph158537 |

 |