y = sgn x ֆունկցիայի գրաֆիկը
**sgn** (սիգնում, լատին․՝ signum-նշան), մասնակի հաստատուն ֆունկցիա, իրական արգումնենտի համար։ Նշանակվում է՝ {\displaystyle \operatorname {sgn} x}։ Սահմանվում է հետևյալ կերպ.

{\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}}
Ֆունկցիան տարրական չէ։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ ներկայացումը․

{\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|}
Ընդ որում զրոյի մոդուլի ածանցյալը, որը սահմանված չէ, վերահաշվարկվում է ձախ և աջ համապատասխան ածանցյալների թվաբանական միջինով։

Ֆունկցիան օգտագործվում է ազդանշանների մշակման տեսության մեջ, մաթեմատիկական վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, որտեղ անհրաժեշտ է տալ թվի նշանը։

Պատմություն և նշանակումներ
--------------------------

{\displaystyle \operatorname {sgn} x} ֆունկցիան 1878 թվականին ներմուծեց Լեոպոլդ Կրոնեկերը, սկզբում նա այն այլ կերպ նշանակեց՝ {\displaystyle [x]}։ 1884 թվականին Կրոնեկերին անհրաժեշտ էր մի հոդվածում օգտագործել {\displaystyle \operatorname {sgn} }–ի հետ նաև «ամբողջ մաս»ի ցույց տվող ֆունկցիան, որը նույնպես նշվում է քառակուսի փակագծերում։ Խառնաշփոթից խուսափելու նպատակով Կրոնեկերը ներմուծեց {\displaystyle sgn\cdot x} նշանակումը, հենց այդ գրությունն էլ (առանց կետի) ընդունվեց գիտության մեջ։ Երբեմն ֆունկցիան նշանակվում է՝ {\displaystyle \operatorname {sign} x}։

Ֆունկցիայի հատկությունները
--------------------------

* Որոշման տիրույթ՝ {\displaystyle \mathbb {R} },
* Արժեքների տիրույթ՝ {\displaystyle \{-1;0;+1\}},
* Որոշված է բոլոր արժեքների համար, բացի զրոյից,
* Ֆունկցիան կենտ չէ
* x=0 կետը հանդիսանում է առաջին կարգի խզման կետ է, քանի որ սահմանները աջից և ձախից համապատասխանաբար հավասար են ՝ {\displaystyle +1} և -1։
* {\displaystyle |x|=\operatorname {sgn} x\cdot x} և {\displaystyle x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|} {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} } համար։ Այլ կերպ ասած․
* {\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}} при {\displaystyle x\neq 0}.
* {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)}, որտեղ {\displaystyle \delta (x)} — Դիրակ դելտայի ֆունկցիան է,
* {\displaystyle \operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)}.
* {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt}.

Ֆունկցիայի ընդհանրացումը կոմպլեքս արգումենտի համար
--------------------------------------------------

{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\begin{cases}z/|z|,&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}}
Ֆունկցիայի նշված ներկայացումը հնարավորություն է տալիս կոմպլեքս արգումենտի համար ֆունկցիայի հնարավոր ընդհանրացումներից մեկը։ Ընդ որում {\displaystyle z/|z|=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }}, где {\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} z} — կոմպլեքս թվի արգումենտ։ Երբ{\displaystyle z\neq 0} {\displaystyle \operatorname {sgn} z} ֆունկցիայի արդյունքը հանդիսանում է միավոր շառավղով շրջանագծի կետ, z–ին մոտ թիվ։ Այս ընդհանրացման իմաստը կայանում է նրանում, որ միավոր երկարությամբ շառավիղ–վեկտորի միջոցով ներկայացումը կոմպլեքս հարթության վրա ճիշտ չէ {\displaystyle z=0} թվի համար։ Բևեռային կոորդինատների համար այդ նույն ուղղությունն է տալիս \varphi  անկյունը։

{\displaystyle z=0} թվին համապատասխան անորոշ ուղղությունը արտահայտվում է ֆունկցիայի զրոյական արժեքով։ Այսպիսով՝ signum ֆունկցիան որոշված է Haskell լեզվի կոմպլեքս թվերի ստանդարտ գրադարանում։

* Ֆունկցիայի ընդհանրացման մյուս տարբերակը նշանակվում է՝ {\displaystyle \operatorname {csgn} }, որը որոշվում է հետևյալ կերպ․

{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}}
Այս ներկայացումը օգտագործվում է Mathcad и Maple հավելվածներում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Simon Peyton Jones (editor) et al.* 13. Complex Numbers // Haskell 98 Language and Libraries : The Revised Report. — 2002.
2. ↑  Maple V documentation. May 21, 1998

Գրականություն
-------------

* *Бронштейн И. Н. Семендяев К. А.* Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
* *Воднев В. Т. Наумович А. Ф. Наумович Н. Ф.* Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.