Կարկանդակը ունի 9 կտոր, կնշանակի 4 հոգուց յուրաքանչյուրը ստանում է 2 կտոր, իսկ 1-ը մնացել է
**Մնացորդով բաժանում,** թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․

Դիցուք, {\displaystyle a} և {\displaystyle b} -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, {\displaystyle b\neq 0}։ {\displaystyle a} թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») {\displaystyle b}-ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ {\displaystyle q} և {\displaystyle r} թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի {\displaystyle a=b\cdot q+r}հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ {\displaystyle q} -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ {\displaystyle r}-ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}, այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի {\displaystyle a=b\cdot q+r} հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

**Օրինակ**

* Դրական {\displaystyle a=78} թվի և {\displaystyle b=33}-ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք {\displaystyle q=2} թերի քանորդ և {\displaystyle r=12} մնացորդ։

Ստուգում․ {\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}
Բաժանում

* Բացասական {\displaystyle a=-78} թվի և դրական {\displaystyle b=33}-ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք {\displaystyle q=-3} թերի քանորդ և {\displaystyle r=21} մնացորդ։

Ստուգում․ {\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}
* Բացասական {\displaystyle a=-9} թվի և բացասական {\displaystyle b=-13} -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք {\displaystyle q=1} թերի քանորդ և {\displaystyle r=4} մնաց

Ստուգում․ {\displaystyle -9=1\cdot (-13)+4.}
* Դրական {\displaystyle a=9} թվի և {\displaystyle b=90} մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան {\displaystyle q=0} թերի քանորդ և {\displaystyle r=9} մնացորդ։

Ստուգում․ {\displaystyle 9=90\cdot 0+9.}
* {\displaystyle a=78} թվի և {\displaystyle b=26} մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք {\displaystyle q=3} թերի քանորդ և {\displaystyle r=0} մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

Սահմանում
---------

Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

{\displaystyle a} և {\displaystyle b} թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել {\displaystyle a}-ն {\displaystyle b}-ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,} երբ {\displaystyle b>0}.
որտեղ կիսափակագծերը {\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor } նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի {\displaystyle q} արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել {\displaystyle r} մնացորդը հետևյալ բանաձևով։ 

{\displaystyle r=a-b\cdot q.}
Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

{\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,} երբ {\displaystyle b<0}.

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ
---------------------------------------------

Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ {\displaystyle a}-ի և {\displaystyle b}-ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես mod

{\displaystyle r=a~~{\bmod {~}}~b.}
Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության {\displaystyle b} նշանակման հետ։ {\displaystyle r}-ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

{\displaystyle r\equiv a{\pmod {b}},}
Այդ համեմատությունը չի ենթադրում {\displaystyle 0\leqslant r<|b|} անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում {\displaystyle r} լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջ
----------------

Թերի քանորդի և մնացորդի հաշվումը ծրագրավորման տարբեր լեզուներում| Լեզու | Թերի քանորդ | Մնացորդ | Մնացորդի նշանը |
| --- | --- | --- | --- |
| *ActionScript* |  | `%` | Բաժանելի |
| *Ada* |  | `mod` | Բաժանարար |
| `rem` | Բաժանելի |
| Besic | `\` | `MOD` | Որոշված չէ |
| C (ISO 1990) | `/` | `%` | Որոշված չէ |
| C (ISO 1999) | `/` | `%` | Բաժանելի |
| *C++* (ISO 2003) | `/` | `%` | Որոշված չէ |
| *C++* (ISO 2011) | `/` | `%` | Բաժանելի |
| *C#* | `/` | `%` | Բաժանելի |
| *ColdFusion* |  | `MOD` | Բաժանելի |
| *Common Lisp* |  | `mod` | Բաժանարար |
|  | `rem` | Բաժանելի |
| D | `/` | `%` | Բաժանելի |
| *Delphi* | `div` | `mod` | Բաժանելի |
| *Eiffel* | `//` | `\\` | Բաժանելի |
| Erlang | `div` | `rem` | Բաժանելի |
| *Euphoria* |  | `remainder` | Բաժանելի |
| Microsoft Excel (անգ․) | `QUOTIENT()` | `MOD()` | Բաժանարար |
| Microsoft Excel (ռուս․) | `ЧАСТНОЕ()` | `ОСТАТ()` |
| *FileMaker* | `Div()` | `Mod()` | Բաժանարար |
| *Fortran* |  | `mod` | Բաժանելի |
|  | `modulo` | Բաժանելի |
| *GML (Game Maker)* | `div` | `mod` | Բաժանելի |
| Go | `/` | `%` | Բաժանելի |
| Haskell | `div` | `mod` | Բաժանարար |
| `quot` | `rem` | Բաժանելի |
| *J* |  | `|~` | Բաժանարար |
| *Java* | `/` | `%` | Բաժանելի |
| `Math.floorDiv` | `Math.floorMod` | Բաժանարար (1.8+) |
| *JavaScript* | .toFixed(0) | `%` | Բաժանելի |
| *Lua* |  | `%` | Բաժանարար |
| *Mathematica* | `Quotient` | `Mod` | Բաժանարար |
| *MATLAB* | `idivide(?, ?, 'floor')` | `mod` | Բաժանարար |
| `idivide` | `rem` | Բաժանելի |
| *MySQL* | `DIV` | `MOD``%` | Բաժանելի |
| *Oberon* | `DIV` | `MOD` | +, եթե բաժանարարը >0 |
| *Objective Caml* |  | `mod` | Որոշված չէ |
| *Pascal* | `div` | `mod` | Բաժանելի |
| *Perl* | Нет | `%` | Բաժանարար |
| *PHP* | Нет | `%` | Բաժանելի |
| *PL/I* |  | `mod` | Բաժնարար(*ANSI PL/I*) |
| Prolog (ISO 1995) |  | `mod` | Բաժանարար |
| PureBasic | `/` | `Mod``%` | Բաժանելի |
| Python | `//` | `%` | Բաժանարար |
| QBasic | `\` | `MOD` | Բաժանելի |
| R |  | `%%` | Բաժանարար |
| RPG |  | `%REM` | Բաժանելի |
| Ruby | `/` | `%` | Բաժանարար |
| Scheme |  | `modulo` | Բաժանարար |
| SenseTalk |  | `modulo` | Բաժանարար |
| `rem` | Բաժանելի |
| Tcl |  | `%` | Բաժանարար |
| Verilog (2001) |  | `%` | Բաժանելի |
| VHDL |  | `mod` | Բաժանարար |
| `rem` | Բաժանելի |
| Visual Basic | `\` | `Mod` | Բաժանելի |
|

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով `mod`գործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկ`div-ը` կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է 

```
78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

```

Ընդհանրացում
------------

### Իրական թվեր

Եթե {\displaystyle a} և {\displaystyle b} երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա {\displaystyle a}-ն կարելի է բաժանել {\displaystyle b}-ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}, ապա {\displaystyle a=bq+r}, որտեղ {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}.

Օրինակ
7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3} (թերի քանորդ)․
{\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6} (մնացորդ)։
### Գաուսի ամբողջ թվեր

Գաուսյան թիվը, դա {\displaystyle a+bi} տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած {\displaystyle u} գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր {\displaystyle v} թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

{\displaystyle u=vq+r},
որտեղ {\displaystyle q} քանորդը և {\displaystyle r} մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում {\displaystyle |r|<|v|}

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․ {\displaystyle 7+2i} կարելի է բաժանել {\displaystyle 3-i} ՝ երեք եղանակով։

{\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}
### Բազմանդամներ

Երկու {\displaystyle f(x)} և {\displaystyle g(x)} բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

{\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}, причём {\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}.
Օրինակ
{\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2} (մնացորդ **3**), քանի որ {\displaystyle 1=2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}.

Տես նաև
-------

* Էվկլիդեսի ալգորիթմ
* Բաժանելիություն
* Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
* Անընդհատ կոտորակ
* Մոդուլով համեմատում

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
2. ↑  *Потапов М. К. Александров В. В. Пасиченко П. И.* Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с. С. 9.
3. ↑  ISO/IEC 9899:TC2: *When integers are divided, the result of the `/` operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]*; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
4. ↑  *«*ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++*»*, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 `{{citation}}`: Italic or bold markup not allowed in: `|publisher=` (օգնություն)CS1 սպաս․ location (link). *«the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined»*.
5. ↑  N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
6. ↑  «D language specification» (PDF) (անգլերեն). dlang.org. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017 թ․ հոկտեմբերի 3-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 29-ին.
7. ↑  *К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс* Язык программирования Java. — 3-е изд. — М. СПб. Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0
8. ↑  Стандарт 1973 года: *div — division with truncation*.
9. ↑  PHP: Arithmetic Operators — Manual