**Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը)** հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե {\displaystyle f} ֆունկցիան {\displaystyle x\_{0}} կետում ածանցելի է, իսկ {\displaystyle g} ֆունկցիան {\displaystyle y\_{0}=f(x\_{0})} կետում ունի ածանցյալ, ապա {\displaystyle h(x)=g(f(x))} ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ {\displaystyle x\_{0}} կետում։

Պատմություն
-----------

Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է {\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}} ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և {\displaystyle a+bz+cz^{2}\!} ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Միակողմանի դեպք
---------------

Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված {\displaystyle f:U(x\_{0})\to V(y\_{0})} ֆունկցիաները, որտեղ {\displaystyle y\_{0}=f(x\_{0}),} և {\displaystyle g:V(y\_{0})\to \mathbb {R} }։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x\_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y\_{0})}։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ {\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x\_{0}),} և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

{\displaystyle h'(x\_{0})=g'{\bigl (}f(x\_{0}){\bigr )}\cdot f'(x\_{0})}։
### Դիտողություն

Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը {\displaystyle y=y(x)} ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ {\displaystyle x=x(t)} ընդունում է հետևյալ տեսքը

{\displaystyle h'(x\_{0})=g'{\bigl (}f(x\_{0}){\bigr )}\cdot f'(x\_{0}).}
### Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը

{\displaystyle y\_{0}} կետում դիֆերենցելի {\displaystyle z=g(y)} ֆունկցիան ունի

{\displaystyle dz=g'(y\_{0})\,dy} տեսքը, որտեղ

```
{\displaystyle dy} —ը {\displaystyle y\to y\_{0}} ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է
```

{\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} }։
Դիցուք այժմ {\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x\_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x\_{0})}։ Ապա {\displaystyle dy=f'(x\_{0})\,dx} և համաձայն շղթայական կանոնի

{\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x\_{0}){\bigr )}\cdot f'(x\_{0})\,dx=g'(y\_{0})\,dy}։
Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

### Օրինակ

Դիցուք {\displaystyle h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}} ։ Ապա {\displaystyle h} ֆունկցիան կարելի է գրել {\displaystyle h=g\circ f,} կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}
{\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}
Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}
{\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}
կստանանք

{\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5)}։

Բազմաստիճան դեպք
----------------

Դիզուք տրված են {\displaystyle f:U(x\_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y\_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},} և {\displaystyle g:V(y\_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}} ֆունկցիաները, որտեղ {\displaystyle y\_{0}=f(x\_{0})}։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x\_{0})} և {\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y\_{0})}։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

{\displaystyle dh(x\_{0})=dg(y\_{0})\circ df(x\_{0})} տեսքը։
Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից {\displaystyle h} ֆունկցիան հանդիսանում է {\displaystyle g} և {\displaystyle f} ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

{\displaystyle {\frac {\partial (h\_{1},\ldots ,h\_{p})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{m})}}={\frac {\partial (h\_{1},\ldots ,h\_{p})}{\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{m})}}.}
### Հետևանքներ

* Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․
{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h\_{1},\ldots ,h\_{n})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h\_{1},\ldots ,h\_{n})}{\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{n})}}\right\vert .}

Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

* {\displaystyle {\frac {\partial h(x\_{0})}{\partial x\_{j}}}=\sum \limits \_{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y\_{0})}{\partial y\_{i}}}{\frac {\partial f(x\_{0})}{\partial x\_{j}}},\quad j=1,\ldots m}։

### Օրինակ

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով {\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;} ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ {\displaystyle x} փոփոխականի։ 
{\displaystyle h\;} ֆունկցիան կարող է գրվել որպես {\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w)}, որտեղ

{\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}
{\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}
{\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}
{\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}
Ապա {\displaystyle h} ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ {\displaystyle x} փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}
Հաշվենք ածանցյալները․

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}
Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}
Արդյունքում

{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}

Գրականություն
-------------

* *Выгодский М. Я.* Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
* Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Rodríguez Omar Hernández, López Fernández Jorge M. (2010)։ «A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule»։ *The Mathematics Enthusiast* **7** (2): 321–332։ Վերցված է 2019-08-04
2. ↑  Spivak Michael (1965)։ *Calculus on Manifolds*։ Boston: Addison-Wesley։ էջեր 19–20։ ISBN 0-8053-9021-9

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |