**Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ** (*շրջանային ֆունկցիաներ*, *արկֆունկցիաներ*), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.

* արկսինուս (նշանակում{\displaystyle :\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x} — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է x)
* արկկոսինուս (նշանակում։ {\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x} — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է x և այդպես շարունակ)
* արկտանգենս (նշանակում։ {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}; գրականության մեջ նաև՝ {\displaystyle \mathrm {arctan} \,x})
* արկկոտանգենս (նշանակում։ {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}; գրականության մեջ՝ {\displaystyle \mathrm {arccot} \,x} կամ {\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x})
* արկսեկանս (նշանակում։ {\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x})
* արկկոսեկանս (նշանակում։ {\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}; գրականության մեջ՝ {\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x})

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով (լատ.՝ **arc**us — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (գերմ.՝ Karl Scherffer; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. \sin ^{{-1}},{\frac {1}{\sin }}, սակայն դրանք չընդունվեցին։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin−1, cos−1 եղանակը, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, {\displaystyle \arcsin 1/2} իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}, որի սինուսը հավասար է {\displaystyle 1/2}: Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։  

Ընդհանուր առմամբ {\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1} պայմանի դեպքում {\displaystyle \sin x=\alpha } հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ {\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}

Հիմնական նույնություններ
------------------------

{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}

Հիմնական հատկություններ
-----------------------

### Գլխավոր արժեքներ

| Անուն | Նշանակում | Սահմանում | Միջակայք | Անվանական արժքի միջակայք  (ռադիաններով) | Անվանական արժեքի միջակայք  (աստիճաններով) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **arcsine** | *y* = arcsin *x* | *x* = sin *y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | −π/2 ≤ *y* ≤ π/2 | −90° ≤ *y* ≤ 90° |
| **arccosine** | *y* = arccos *x* | *x* = cos *y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | 0 ≤ *y* ≤ π | 0° ≤ *y* ≤ 180° |
| **arctangent** | *y* = arctan *x* | *x* = tg *y* | բոլոր իրական թվերը | −π/2 < *y* < π/2 | −90° < *y* < 90° |
| **arccotangent** | *y* = arccot *x* | *x* = ctg *y* | բոլոր իրական թվերը | 0 < *y* < π | 0° < *y* < 180° |
| **arcsecant** | *y* = arcsec *x* | *x* = sec *y* | *x* ≤ −1 or 1 ≤ *x* | 0 ≤ *y* < π/2 or π/2 < *y* ≤ π | 0° ≤ *y* < 90° or 90° < *y* ≤ 180° |
| **arccosecant** | *y* = arccsc *x* | *x* = csc *y* | *x* ≤ −1 or 1 ≤ *x* | −π/2 ≤ *y* < 0 or 0 < *y* ≤ π/2 | -90° ≤ *y* < 0° or 0° < *y* ≤ 90° |
|

### Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև

Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

| \theta  | {\displaystyle \sin \theta } | {\displaystyle \cos \theta } | {\displaystyle \tan \theta } | Գծագիր |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \arcsin x} | {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x} | {\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}} | {\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |  |
| {\displaystyle \arccos x} | {\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}} | {\displaystyle \cos(\arccos x)=x} | {\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} |  |
| {\displaystyle \arctan x} | {\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \tan(\arctan x)=x} |  |
| {\displaystyle \operatorname {arccot} x} | {\displaystyle \sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}} |  |
| {\displaystyle \operatorname {arcsec} x} | {\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}} | {\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}} | {\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}} |  |
| {\displaystyle \operatorname {arccsc} x} | {\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}} | {\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}} | {\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} |  |
|

### Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև

arcsin(*x*) (կարմիր) և arccos(*x*) (կապույտ) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
arctan(*x*) և arccot(*x*) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
arcsec(*x*) և arccsc(*x*) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
Լրացուցիչ անկյուններ.

{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\[0.5em]\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\[0.5em]\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}}
Բացասական արգումենտներ.

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}}
Դրական արգումենտներ.

{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(1/x)&=\operatorname {arcsec} x\\[0.3em]\arcsin(1/x)&=\operatorname {arccsc} x\\[0.3em]\arctan(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x\,,{\text{if}}x>0\\[0.3em]\arctan(1/x)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x-\pi \,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x\,,{\text{ if}}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x\,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec}(1/x)&=\arccos x\\[0.3em]\operatorname {arccsc}(1/x)&=\arcsin x\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}\,,{\text{ if}}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[0.5em]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\,,{\text{ if}}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}}
### Արկտանգենսի գումարման բանաձև

{\displaystyle \arctan u+\arctan v=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,}
Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,,}
{\displaystyle \alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v\,:}

arcsin ֆունկցիան
----------------

{\displaystyle y=\arcsin x} ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկսինուս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար {\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1:}

{\displaystyle y=\sin x} ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ {\displaystyle y=\arcsin x} ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }, {\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1} միջակայքում,
* {\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }, {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}} միջակայքում,
* {\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad } (որոշման տիրույթ),
* {\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad } (փոփոխման տիրույթ)։

### arcsin ֆունկցիայի հատկություններ

* {\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad } (ֆունկցիան կենտ է).
* {\displaystyle \arcsin x>0\,}, {\displaystyle 0<x\leqslant 1}.
* {\displaystyle \arcsin x=0\,}, {\displaystyle x=0.}
* {\displaystyle \arcsin x<0\,}, {\displaystyle -1\leqslant x<0.}
* {\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
* {\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
* {\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}

### arcsin ֆունկցիայի ստացում

Տրված է {\displaystyle y=\sin x} ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ {\displaystyle y=\arcsin x} ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}: {\displaystyle y=\sin x} ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]} միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է {\displaystyle y=\arcsin x} ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է {\displaystyle y=\sin x} ուղղի նկատմամբ՝ {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]} միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային {\displaystyle Oxy} հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

arccos ֆունկցիան
----------------

{\displaystyle y=\arccos x} ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկոսինուս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար {\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1:}

{\displaystyle y=\cos x} ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ {\displaystyle y=\arccos x} ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

* {\displaystyle \cos(\arccos x)=x}, {\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}
* {\displaystyle \arccos(\cos y)=y}, {\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}
* {\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],} (որոշման տիրույթ),
* {\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].} (փոփոխման տիրույթ)։

### arccos ֆունկցիայի հատկություններ

* {\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\,} (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության {\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)} կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
* {\displaystyle \arccos x>0\,}, {\displaystyle -1\leqslant x<1.}
* {\displaystyle \arccos x=0\,}, {\displaystyle x=1.\,}
* {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}
* {\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
* {\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
* {\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}
* {\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}
* {\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}

### arccos ֆունկցիայի ստացում

Տրված է {\displaystyle y=\cos x} ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ {\displaystyle y=\arccos x} ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ {\displaystyle [0;\pi ]}: {\displaystyle y=\cos x} միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ {\displaystyle [0;\pi ]} միջակայքում {\displaystyle y=\arccos x} ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը y=x ուղղի նկատմամբ համաչափ է {\displaystyle y=\cos x} ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ {\displaystyle [0;\pi ]} միջակայքում։

arctg ֆունկցիան
---------------

{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x} ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկտանգենս** *m* թվից կոչվում է այն \alpha անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =m,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}:}

{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x} ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ {\displaystyle y=\operatorname {arctg} x} ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* {\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}, {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
* {\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}, {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},}
* {\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
* {\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}

### arctg ֆունկցիայի հատկություններ

* {\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }
* {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
* {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}, x > 0
* {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}

### arctg ֆունկցիայի ստացում

Տրված է {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x} ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x} ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right):} Այդ միջակայքի վրա {\displaystyle y=\operatorname {tg} \ x} ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)} միջակայքի վրա այն համարվում է {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x} ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x} ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է y=x ուղղի նկատմամբ՝ {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)} հատվածում։

arcctg ֆունկցիան
----------------

{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x} ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկկոտանգենս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi :}

{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x} ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x} Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

* {\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}, {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
* {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}, {\displaystyle 0<y<\pi ,}
* {\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
* {\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ):}

### arcctg ֆունկցիայի հատկություններ

* {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x} (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է {\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)} կետի նկատմամբ)։
* {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0} ցանկացած x-ի համար։
* {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}
* {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x:}

### arcctg ֆունկցիայի ստացում

Տրված է {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x} ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x} ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ {\displaystyle (0;\pi )}: Այս միջակայքում {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x} ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի {\displaystyle (0;\pi )} միջակայքում համարվում է {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x} ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը y=x ուղղի նկատմամաբ համաչափ է {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x} ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ {\displaystyle (0;\pi )} միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. {\displaystyle x\rightarrow -x}) և բարձրացնելով վերև π/2 միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2:}

arcsec ֆունկցիան
----------------

{\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,}

arccosec ֆունկցիան
------------------

{\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)\,}

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ
------------------------------------------------

{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}  

{\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}  

{\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}  

{\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ
------------------------------------------------

### Անորոշ ինտեգրալներ

Իրական և կոմպլեքս *x*-երի համար.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C:\end{aligned}}}
Իրական թվերի համար՝ *x* ≥ 1:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C:\end{aligned}}}

Կիրառությունը երկրաչափության մեջ
--------------------------------

*ABC* ուղղանկյուն եռանկյուն
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

*α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)*

Կապը բնական լոգարիթմների հետ
----------------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Александрова Н. В.* История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4
2. ↑  Здесь знак −1 определяет функцию *x* = *f*−1 (*y*),  обратную функции *y* = *f* (*x*)
3. ↑  Энциклопедический словарь, 1985, էջ 220

Արտաքին հղումներ
----------------

* Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
* Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
* Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
* Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Տես նաև
-------

* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
* Եռանկյունաչափության պատմություն