**Կոշի-Ադամարի թեորեմ** (նաեւ, **Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին**), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։

Ձեւակերպումը
------------

Դիցուք, {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }a\_{\nu }(z-z\_{0})^{\nu }} - ը R զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

{\displaystyle (\alpha )} եթե {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}} վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա {\displaystyle R={\frac {1}{\varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}}}};

{\displaystyle (\beta )} եթե {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}=0}, ապա {\displaystyle R=+\infty };

{\displaystyle (\gamma )} եթե {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}}վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա {\displaystyle R=0}:

Ապացույց
--------

{\displaystyle (\alpha )} Դիցուք, {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}\in (0;+\infty )}.

Եթե {\displaystyle z\in \mathbb {C} } այնպիսի կետ է, որ {\displaystyle |z-z\_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}}, ապա  {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|}}<1} եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի {\displaystyle q<1} թիվ, որ գրեթե բոլոր \nu-երի համար տեղի ունենա {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|}}<q\,} անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }} երկրաչափական պրոգրեսիան {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }|a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|} շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ {\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}}:

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե {\displaystyle z\in \mathbb {C} } բավարարում է {\displaystyle |z-z\_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}}պայմանին, ապա {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}\cdot |z-z\_{0}|)>1} եւ անվերջ թվով \nu համարների համար տեղի կունենա  {\displaystyle |a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|\geqslant 1} անհավասարությունը։ Հետեւաբար, {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }|a\_{\nu }(z-z\_{0})^{\nu }|} շարքը z կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

{\displaystyle (\beta )} Դիցուք, {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}=0}: Այս դեպքում ցանկացած {\displaystyle z\in \mathbb {C} }-ի համար {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|}}} հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։ Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք {\displaystyle q=q(z)\in (0;1)} թիվ, ապա գրեթե բոլոր \nu համարների համար տեղի կունենա {\displaystyle |a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }} անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ {\displaystyle (\alpha )} դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը z կետում։ Ֆորմալ՝ {\displaystyle R={\frac {1}{+0}}=+\infty }:

{\displaystyle (\gamma )} {\displaystyle \varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}} վերին սահմանը {\displaystyle \mathbb {R} } - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits \_{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}}) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}} հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե {\displaystyle z\neq z\_{0}}, ապա անսահմանափակ է նաեւ{\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }{(z-z\_{0})}^{\nu }|}}} հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }a\_{\nu }(z-z\_{0})^{\nu }} շարքը {\displaystyle z\neq z\_{0}} կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ {\displaystyle z=z\_{0}} դեպքում {\displaystyle \sum \_{\nu =0}^{+\infty }a\_{\nu }(z-z\_{0})^{\nu }} շարքը զուգամիտում է {\displaystyle a\_{0}}-ի։ Վերջնական՝ {\displaystyle R=0} (այսինքն, ֆորմալ՝ {\displaystyle R={\frac {1}{+\infty }}=+0}, փաստացի՝ {\displaystyle R=\varliminf \limits \_{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a\_{\nu }|}}}=0}):

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Cauchy, A. L. (1821), *Analyse algébrique* .
2. ↑  Bottazzini, Umberto (1986), *The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass*, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.
3. ↑  Hadamard, J. «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», *C. R. Acad. Sci. Paris* **106**: 259–262 .
4. ↑  Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», *Journal de Mathématiques Pures et Appliquées*, 4e Série **VIII**,  . Также в *Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques*, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Գրականություն
-------------

* Գրաուերտ Գ. Լիբ Ի. Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ. Мир, 1971