Պասկալի եռանկյունի
**Նյուտոնի երկանդամ**, բանաձև, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած աստիճանի բազմանդամ վերլուծել և ներկայացնել անդամների գումարի տեսքով.

{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}}
որտեղ {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}-ը համարվում է երկանդամի գործակից, իսկ {\displaystyle n}-ը ցանկացած բնական թիվ։ Այս բանաձևը հայտնի է եղել հնդկական և իսլամական մաթեմատիկայում։ Նյուտոնը ստեղծել է այս բանաձևը ցանկացած աստիճանի համար՝ նույնիսկ իրական և կոմպլեքս թվերի համար։

Ապացույց
--------

Ապացուցում  

Երբ {\displaystyle n=0} երկանդամը ընդունում է {\displaystyle 1} արժեքը.

{\displaystyle (a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}}
**Ինդուկցիոն քայլեր.** ցանկացած {\displaystyle n}-ի դեպքում՝

{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
Ապացուցենք {\displaystyle n+1}-ի համար.

{\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum \_{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}
Սկսենք ապացույցը.

{\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}
Երբ {\displaystyle k=0}.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}}
Երբ {\displaystyle k=n}.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum \_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}}
{\displaystyle a^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=}
{\displaystyle =\sum \_{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum \_{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum \_{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum \_{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}
Ապացուցված է։

Ընդհանրացում
------------

Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը հանդիսանում է {\displaystyle (1+x)^{r}} ֆունկցիայի մասնավոր դեպքը՝ Թեյլորի շարքից.

{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum \_{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}},
որտեղ r-ը կարող է լինել կոմպլեքս թիվ։ Այս ընդլայման գործակիցները կան բանաձևի մեջ.

{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod \_{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}\,}
Այս շարքում՝

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}
{\displaystyle |z|\leq 1}

Մասնավորապես եթե {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} և {\displaystyle \alpha =x\cdot m}, ապա ստացվում է այսպես.

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}
Երբ {\displaystyle m\to \infty } և {\displaystyle \lim \_{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} ապա.

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}:
### Բազմանդամային թեորեմ

Այս բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի համար.

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \limits \_{k\_{j}\geqslant 0,k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}x\_{1}^{k\_{1}}\ldots x\_{m}^{k\_{m}},},
որտեղ {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}}։

Պատմություն
-----------

Երկար ժամանակ համարվում էր, որ բնական ցուցիչով աստիճանի համար այս բանաձևը, հայտնաբերել է Բլեզ Պասկալը՝ 17-րդդարում։ Մի քանի պատմաբաններ կարծում էին, որ այս բանաձևը հայտնաբերել է ճապոնացի մաթեմաթիկոս Յանու Խուեյուն, որը ապրել է 18-րդդարում, և նույնիսկ իսլամական մաթեմաթիկոս ատ Տուին (18-րդդար) և ալ Կաշին (15-րդդար)։

1676 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ամփոփել է այս բանաձևը։

Գեղարվեստական գրականության մեջ
------------------------------

Գեղարվեստական գրականության մեջ Նյուտոնի երկանդամը հիշատակվում է մի քանի համատեքստերում, որտեղ խոսվում է բարդ բաների մասին։

* Արթուր Կոնան Դոյլի «Հոլմսի վերջին գործը» պատմվածքի մեջ, Հոլմսը ասում է մաթեմաթիկայի պրոֆեսոր Մորիարտիին.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | Երբ լրացավ նրա 21 տարին նա աշխատություն գրեց Նյուտոնի երկանդամի մասին, որի շնորհիվ հայտնի դարձավ ողջ Եվրոպայում։ Դրանից հետո նա գավառական համալսարաններից մեկում մաթեմատիկայի ամբիոնում աշխատանքի տեղ ստացավ, և ամենայն հավանականությամբ, նրան հիանալի կարիերա էր սպասում |  |

* Հայտնի է Մ. Ա. Բուլգակովի «Վարպետը և Մարգարիտան» վեպի մեջբերումը. «Իմացի՛ր, Նյուտոնի երկանդամը»։ Ավելի ուշ այդ արտահայտությունը հիշատակվել է Ա. Ա. Տարկովսկու «Ստալկեր» ֆիլմում։

Տես նաև
-------

* Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր
* Երկանդամի գործակից

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  "Արխիվացված պատճենը". Արխիվացված է the original 2011 թ․ հունիսի 14-ին. Retrieved 2014 թ․ դեկտեմբերի 3. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)