**Հաշվումներում,** սովորաբար հնարավոր է հաշվարկել երկու ֆունկցիաների գումարի, տարբերության, արտադրյալի, քանորդի կամ աստիճանի սահմանը՝ յուրաքանչյուր համապատասխան ֆունկցիայի առանձին սահմանների համապատասխան գումարը վերցնելով։ Օրինակ,

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim \_{x\to c}f(x)+\lim \_{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim \_{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim \_{x\to c}f(x)\cdot \lim \_{x\to c}g(x),\end{aligned}}}
ինչպես նաև այլ թվաբանական գործողությունների համար. սա երբեմն կոչվում է հանրահաշվական սահմանային թեորեմ: Այնուամենայնիվ, որոշակի սահմանափակ արժեքների որոշակի գումարներ չեն կարող այս կերպ հաշվարկվել, և յուրաքանչյուր ֆունկցիայի սահմանն առանձին իմանալը բավարար չէ գումարի սահմանը որոշելու համար: Այս կոնկրետ իրավիճակներում սահմանը համարվում է անորոշ ձևով, որը նկարագրված է ոչ պաշտոնական արտահայտություններում։

{\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ or }}\infty ^{0},}
որտեղ յուրաքանչյուր արտահայտություն նշանակում է ֆունկցիայի սահման, որը կառուցված է երկու ֆունկցիաների թվաբանական գումարի միջոցով, որոնց սահմանները համապատասխանաբար նշված են։

Այս անորոշ ձևերից որևէ մեկն ընդունող սահմանը կարող է ձգտել զրոյի, կարող է ձգտել դեպի ցանկացած վերջավոր արժեք, կարող է ձգտել դեպի անսահմանություն կամ կարող է ձգտել՝ կախված ներգրավված հատուկ ֆունկցիաներից: Սահմանի օրինակ, որը միանշանակորեն ձգտում է դեպի անսահմանություն {\textstyle \lim \_{x\to 0}1/x^{2}=\infty ,} չի համարվում անորոշ։ Տերմինն ի սկզբանե ներմուծվել է Կոշիի աշակերտ Մոյնոյի կողմից 19-րդ դարի կեսերին։

Անորոշ ձևի ամենատարածված օրինակը երկու ֆունկցիաների քանորդն է, որոնցից յուրաքանչյուրը համընկնում է զրոյի: Այս անորոշ ձևը նշվում է {\displaystyle 0/0}.Օրինակ, ինչպես 𝑥 ձգտում է 0, գործակիցները {\displaystyle x/x^{3}}, {\displaystyle x/x}, and {\displaystyle x^{2}/x} ձգտում է {\displaystyle \infty }, {\displaystyle 1}, և {\displaystyle 0} համապատասխանաբար։ Յուրաքանչյուր դեպքում, եթե համարիչի և հայտարարի սահմանները փոխարինվեն. {\displaystyle 0/0}, ստացված արտահայտությունը անորոշ է։ Այս առումով, {\displaystyle 0/0} կարող է ընդունել արժեքներ {\displaystyle 0}, {\displaystyle 1}, or {\displaystyle \infty }, համարիչի և հայտարարի մեջ դնելու գործառույթների համապատասխան ընտրություն: Գործառույթների մի զույգ, որի սահմանը ցանկացած որոշակի արժեք է, կարող է իրականում գտնվել: Նույնիսկ ավելի զարմանալի է, հավանաբար, որ երկու ֆունկցիաների գործակիցները կարող են իրականում ձգտել դեպի անսահմանություն: Օրինակ, {\displaystyle x\sin(1/x)/x}.

Այսպիսով, այն փաստը, որ երկու ֆունկցիաներ {\displaystyle f(x)} և {\displaystyle g(x)} ձգտեն {\displaystyle 0} ինչպես {\displaystyle x} մոտենում է որոշ սահմանային 𝑐 կետի,  սահմանը որոշելու համար բավարար չէ։

Արտահայտությունը, որն առաջանում է հանրահաշվական սահմանային թեորեմը կիրառելուց բացի այլ եղանակներով, կարող է ունենալ անորոշ ձևի նույն ձևը: Այնուամենայնիվ, տեղին չէ արտահայտությունն անվանել «անորոշ ձև», եթե արտահայտությունն արված է սահմանների որոշման համատեքստից դուրս: Օրինակ է արտահայտություն {\displaystyle 0^{0}}. Անկախ նրանից, թե այս արտահայտությունը մնացել է չսահմանված, թե սահմանվել է հավասար 1, կախված է կիրառման ոլորտից և կարող է տարբեր լինել: Նշենք, որ 0∞․  իսկ անսահմանություն պարունակող այլ արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն:

Որոշ օրինակներ
--------------

### Անորոշ ձև 0/0

* Նկար 1Նկար 1
* Նկար 2Նկար 2
* Նկար 2Նկար 2
* Նկար 4Նկար 4
* Նկար 5Նկար 5
* Նկար 6Նկար 6

Անորոշ ձև {\displaystyle 0/0} շատ տարածված է, քանի որ այն հաճախ առաջանում է ածանցյալ գործիքների գնահատման ժամանակ՝ օգտագործելով դրանց սահմանը:

Ինչպես նշվեց վերևում, մինչդեռ սա բավական է ցույց տալու համար {\displaystyle 0/0} iանորոշ ձև է։ Այս անորոշ ձևով այլ օրինակներ ներառում են թվի ուղղակի փոխարինում *{\displaystyle x}*-ով։ Այս արտահայտություններից որևէ մեկի մոտեցումները ցույց են տալիս, որ սրանք օրինակներ են, որոնք համապատասխանում են անորոշ ձևին {\displaystyle 0/0}, բայց այս սահմանները կարող են ենթադրել շատ տարբեր արժեքներ, ցանկալի արժեք 𝑎 ։ Այս անորոշ ձևի {\displaystyle \infty } համար, կարելի է նաև արժեք ստանալ (անսահմանության շեղման իմաստով)։

### Անորոշ ձև 00

* Նկար 7Նկար 7
* Նկար 8Նկար 8

Հետևյալ սահմանները ցույց են տալիս, որ {\displaystyle 0^{0}}արտահայտությունը անորոշ ձև է։

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, իմանալով, որ {\displaystyle \textstyle \lim \_{x\to c}f(x)\;=\;0} and {\displaystyle \textstyle \lim \_{x\to c}g(x)\;=\;0} սահմանը գնահատելու համար բավարար չէ։

Եթե ֆունկցիաներ {\displaystyle f} և {\displaystyle g} վերլուծական են {\displaystyle c}-ին և {\displaystyle f} -ի համար դրական է 𝑥  բավականաչափ մոտ (բայց ոչ հավասար) 𝑐, ապա սահման {\displaystyle f(x)^{g(x)}} կլիմի {\displaystyle 1}։ Հակառակ դեպքում սահմանը գնահատելու համար օգտագործեք ստորև բերված աղյուսակի փոխակերպումը:

### Արտահայտություններ, որոնք անորոշ ձևեր չեն

Արտահայտությունը {\displaystyle 1/0} սովորաբար չի դիտվում որպես անորոշ ձև, եթե սահման {\displaystyle f/g} գոյություն ունի, ապա դրա արժեքի վերաբերյալ երկիմաստություն չկա, քանի որ այն միշտ տարբերվում է: Մասնավորապես, եթե {\displaystyle f} ձգտում է {\displaystyle 1} և {\displaystyle g} ձգտում է {\displaystyle 0,} ապա {\displaystyle f} և {\displaystyle g} կարող է ընտրվել այնպես, որ.

1. {\displaystyle f/g} ձգտում է {\displaystyle +\infty },
2. {\displaystyle f/g} ձգտում է {\displaystyle -\infty };
3. Սահմանը գոյություն չունի:

Յուրաքանչյուր դեպքում բացարձակ արժեքը {\displaystyle |f/g|} ձգտում է {\displaystyle +\infty }, և այսպես գործակիցը {\displaystyle f/g} պետք է շեղվի՝ ընդլայնված իրական թվերի իմաստով (պրոյեկտիվ ընդլայնված իրական գծի շրջանակներում սահմանը անստորագիր անվերջությունն է {\displaystyle \infty } բոլոր երեք դեպքերում)։ Նման ձևի ցանկացած արտահայտություն {\displaystyle a/0} -ն {\displaystyle a\neq 0} հետ (այդ թվում {\displaystyle a=+\infty } և {\displaystyle a=-\infty }) անորոշ ձև չէ, քանի որ նման արտահայտություն առաջացնող գործակիցը միշտ տարբերվելու է:

{\displaystyle 0^{\infty }} արտահայտությունը անորոշ ձև չէ. Արտահայտություն՝ {\displaystyle 0^{+\infty }} հաշվի առնելով ստացված {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}} տալիս է {\displaystyle 0,} սահման պայմանով, որ {\displaystyle f(x)} մնում է ոչ բացասական, քանի որ {\displaystyle x} ձգտում է {\displaystyle c}։ Արտահայտություն՝ {\displaystyle 0^{-\infty }} նմանապես համարժեք է {\displaystyle 1/0}; եթե {\displaystyle f(x)>0} ինչպես 𝑥  ձգտում է 𝑐, սահմանը ստացվում է {\displaystyle x} ձգտում է {\displaystyle c}, սահմանը ստացվում է {\displaystyle +\infty }։

Տեսնելու համար, թե {\displaystyle L=\lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)},} որտեղ {\displaystyle \lim \_{x\to c}{f(x)}=0,} և {\displaystyle \lim \_{x\to c}{g(x)}=\infty .} Վերցնելով երկու կողմերի բնական լոգարիթմը և օգտագործելով {\displaystyle \lim \_{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,} մենք դա ստանում ենք {\displaystyle \ln L=\lim \_{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,} նշանակում է, որ {\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}

Անորոշ ձևերի գնահատում
----------------------

Անորոշ ածանցյալը չի նշանակում, որ սահմանը գոյություն չունի, ինչպես ցույց են տալիս վերը նշված օրինակներից շատերը: Շատ դեպքերում, հանրահաշվական մոտարկումը, Լոպիտալիի կանոնը կամ այլ մեթոդներ կարող են օգտագործվել արտահայտությունը շահարկելու համար, որպեսզի սահմանը հնարավոր լինի գնահատել:

### Անսահման փոքրին համարժեք

Երբ երկու փոփոխական {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } նույն սահմանային կետում ձգտում են զրոյի և {\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1},դրանք կոչվում են համարժեք անվերջ փոքր (համարժեք. {\displaystyle \alpha \sim \beta }).

Ընդ որում, եթե փոփոխականներ {\displaystyle \alpha '} և {\displaystyle \beta '} այնպիսին են, որ {\displaystyle \alpha \sim \alpha '} և {\displaystyle \beta \sim \beta '}։

Ահա մի հակիրճ ապացույց.

Ենթադրենք կան երկու համարժեք անվերջ փոքրեր {\displaystyle \alpha \sim \alpha '} և {\displaystyle \beta \sim \beta '}.

{\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}
Անորոշ ձևի գնահատման համար {\displaystyle 0/0}, կարելի է օգտագործել հետևյալ փաստերը համարժեք անվերջ փոքրերի վերաբերյալ (օրինակ. {\displaystyle x\sim \sin x} եթե *x* մոտենում է զրոյին):

Օրինակ,

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim \_{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim \_{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim \_{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}
2-րդ հավասարության մեջ, {\displaystyle e^{y}-1\sim y} ,որտեղ {\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}} երբ y-ը մոտենում է 0-ին և {\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}} ,որտեղ {\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}} օգտագործվում է 4-րդ հավասարության մեջ, և {\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}} օգտագործվում է 5-րդ հավասարության մեջ։

### Լոպիտալի կանոն

Լոպիտալի կանոնը անորոշ ձևերի {\displaystyle 0/0} և {\displaystyle \infty /\infty } գնահատման ընդհանուր մեթոդ է։ Այս կանոնը սահմանում է, որ (համապատասխան պայմաններում) {\displaystyle f'} և {\displaystyle g'}, {\displaystyle f} և {\displaystyle g}-ի ածանցյալները (Նկատի ունեցեք, որ այս կանոնը չի տարածվում {\displaystyle \infty /0}, {\displaystyle 1/0} և այլ արտահայտությունների վրա, քանի որ այս արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն)։ Այս ածանցյալները թույլ կտան կատարել հանրահաշվական պարզեցում և ի վերջո գնահատել սահմանը:

Լոպիտալի կանոնը կարող է կիրառվել նաև այլ անորոշ ձևերի վրա՝ նախ օգտագործելով համապատասխան հանրահաշվական փոխակերպումը։ Օրինակ՝ ձևը գնահատելու համար և այլն, քանի որ այս արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն:) Այս ածանցյալները թույլ կտան կատարել հանրահաշվական պարզեցում և ի վերջո գնահատել սահմանը:

Լոպիտալի կանոնը կարող է կիրառվել նաև այլ անորոշ ձևերի վրա՝ նախ օգտագործելով համապատասխան հանրահաշվական փոխակերպումը։ Օրինակ՝ 00 ձևը գնահատելու համար։ Աջ կողմը ձև է {\displaystyle \infty /\infty }, Լոպիտալի կանոնը կիրառվում է դրա համար. Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարումը վավեր է (քանի դեռ սահմանված է աջ կողմը), քանի որ բնական լոգարիթմ (ln) շարունակական ֆունկցիա է. կապ չունի, թե որքան լավ է իրեն պահում 𝑓  և 𝑔  կարող է (կամ չի կարող) լինել այնքան ժամանակ, որքանմ 𝑓  ասիմպտոտիկ դրական է: (լոգարիթմների տիրույթը բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է):

Չնայած Լոպիտալի կանոնը վերաբերում է երկուսին էլ {\displaystyle 0/0} և {\displaystyle \infty /\infty }, Այս ձևերից մեկը կարող է ավելի օգտակար լինել, քան մյուսը կոնկրետ դեպքում (հետագայում հանրահաշվական պարզեցման հնարավորության պատճառով): Կարող է փոխվել այս ձևերի միջև՝ փոխակերպվելով {\displaystyle f/g} to {\displaystyle (1/g)/(1/f)}։

Անորոշ ձևերի ցանկ
-----------------

Հետևյալ աղյուսակը թվարկում է ամենատարածված անորոշ ձևերը և Լոպիտալի կանոնը կիրառելու եղանակները,

| Անորոշ ձև | Պայմաններ | Փոխակերպում դեպի {\displaystyle 0/0} | Փոխակերպում դեպի {\displaystyle \infty /\infty } |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle 0}{\displaystyle 0} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=0,\ \lim \_{x\to c}g(x)=0\!} | — | {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} |
| {\displaystyle \infty }{\displaystyle \infty } | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim \_{x\to c}g(x)=\infty \!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} | — |
| {\displaystyle 0\cdot \infty } | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=0,\ \lim \_{x\to c}g(x)=\infty \!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)g(x)=\lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)g(x)=\lim \_{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!} |
| {\displaystyle \infty -\infty } | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim \_{x\to c}g(x)=\infty \!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim \_{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim \_{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!} |
| {\displaystyle 0^{0}} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=0^{+},\lim \_{x\to c}g(x)=0\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} |
| {\displaystyle 1^{\infty }} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=1,\ \lim \_{x\to c}g(x)=\infty \!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} |
| {\displaystyle \infty ^{0}} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim \_{x\to c}g(x)=0\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} | {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim \_{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} |

Ծանոթագրություններ
------------------

1. 1 2  Weisstein, Eric W. «Indeterminate». *mathworld.wolfram.com* (անգլերեն). Վերցված է 2019-12-02-ին.
2. ↑  Louis M. Rotando; Henry Korn (January 1977). «The indeterminate form 00». *Mathematics Magazine*. **50** (1): 41–42. doi:10.2307/2689754. JSTOR 2689754.
3. ↑  «Undefined vs Indeterminate in Mathematics». *www.cut-the-knot.org*. Վերցված է 2019-12-02-ին.
4. ↑  «Table of equivalent infinitesimals» (PDF). *Vaxa Software*.