**Ռելակսացիայի մեթոդ**, գծային հանրահաշվական հավասարումների լուծման իտերացիոն մեթոդ։

Մեթոդի նկարագրությունը
----------------------

Գծային հավասարումների համակարգը

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\_{11}x\_{1}+\ldots +a\_{1n}x\_{n}&=&b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+\ldots +a\_{2n}x\_{n}&=&b\_{2}\\&\ldots &\\a\_{n1}x\_{1}+\ldots +a\_{nn}x\_{n}&=&b\_{n}\\\end{matrix}}\right.}

բերենք այսպիսի տեսքի՝

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}P\_{11}x\_{1}+P\_{12}x\_{2}+\ldots +P\_{1n}x\_{n}+c\_{1}&=&0\\&\ldots &\\P\_{n1}x\_{1}+P\_{n2}x\_{2}+\ldots +P\_{nn}x\_{n}+c\_{n}&=&0\\\end{matrix}}\right.}

որտեղ 

{\displaystyle P\_{ij}=-{\frac {a\_{ij}}{a\_{ii}}}}, {\displaystyle c\_{i}={\frac {b\_{i}}{a\_{ii}}}}
Կգտնվի {\displaystyle R\_{j}} կապը այնպես, որ

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}R\_{1}^{(0)}&=&c\_{1}-x\_{1}^{(0)}+\sum \limits \_{j=2}^{n}P\_{1j}x\_{j}^{(0)}\\R\_{2}^{(0)}&=&c\_{2}-x\_{2}^{(0)}+\sum \limits \_{j=1,j\neq 2}^{n}P\_{2j}x\_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R\_{n}^{(0)}&=&c\_{n}-x\_{n}^{(0)}+\sum \limits \_{j=1}^{n-1}P\_{nj}x\_{j}^{(0)}\\\end{matrix}}\right.}

Ընտրվում է սկզբնական {\displaystyle X^{(0)}=0} մոտարկումը։ Յուրաքանչյուր քայլում անհրաժեշտ է առավելագույն կապը տանել զրոյի
{\displaystyle R\_{s}^{(k)}=\delta x\_{s}^{(k)}\Rightarrow R\_{s}^{(k+1)}=0,R\_{i}^{(k+1)}=R\_{i}^{(k)}+P\_{is}\delta x\_{s}^{(k)}}։

Դադարեցման պայմանը՝ 

{\displaystyle |R\_{j}^{(k)}|<\varepsilon ,\forall j={\overline {1,n}}}։
Պատասխանը գտնվում է այս բանաձևով՝

{\displaystyle x\_{i}\approx x\_{i}^{(0)}+\sum \_{j}\delta x\_{i}^{(j)}}։

Օրինակ
------

Դիտարկենք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը՝

{\displaystyle {\begin{aligned}4x\_{1}-x\_{2}-6x\_{3}+0x\_{4}=2,\\-5x\_{1}-4x\_{2}+10x\_{3}+8x\_{4}=21,\\0x\_{1}+9x\_{2}+4x\_{3}-2x\_{4}=-12,\\1x\_{1}+0x\_{2}-7x\_{3}+5x\_{4}=-6.\end{aligned}}}
Հավասարումների համակարգը լուծելու համար որպես մոտարկման արժեք ընդոունենք՝ {\displaystyle \omega =0.5} և նախնական մոտարկման վեկտոր՝ {\displaystyle \phi =(0,0,0)}։ Համաձայն ռելակսացիայի մեթոդի հաջորդական քայլերին անցման ստանում ենք հետևյալ աղյուսակը, որն իրենից ներկայացնում է մոտարկումների հաջորդականություն։ Այն իդեալականորեն, սակայն ոչ պարտադիր մոտենում է ճիշտ լուծմանը՝ (3, −2, 2, 1), 38 քայլերով։

| Iteration | {\displaystyle x\_{1}} | {\displaystyle x\_{2}} | {\displaystyle x\_{3}} | {\displaystyle x\_{4}} |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0.25 | -2.78125 | 1.6289062 | 0.5152344 |
| 2 | 1.2490234 | -2.2448974 | 1.9687712 | 0.9108547 |
| 3 | 2.070478 | -1.6696789 | 1.5904881 | 0.76172125 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 37 | 2.9999998 | -2.0 | 2.0 | 1.0 |
| 38 | 3.0 | -2.0 | 2.0 | 1.0 |

Վերևում բերված հավասարումների համակարգի լուծումը ներկայացնենք **Python** ծրագրավորման լեզվով՝

```
import numpy as np

def sor\_solver(A, b, omega, initial\_guess, convergence\_criteria):
 """
 This is an implementation of the pseudo-code provided in the Wikipedia article.
 Arguments:
 A: nxn numpy matrix.
 b: n dimensional numpy vector.
 omega: relaxation factor.
 initial\_guess: An initial solution guess for the solver to start with.
 convergence\_criteria: The maximum discrepancy acceptable to regard the current solution as fitting.
 Returns:
 phi: solution vector of dimension n.
 """
    phi = initial\_guess[:]
    residual = np.linalg.norm(np.matmul(A, phi) - b) #Initial residual
    while residual > convergence\_criteria:
        for i in range(A.shape[0]):
            sigma = 0
            for j in range(A.shape[1]):
                if j != i:
                    sigma += A[i][j] \* phi[j]
            phi[i] = (1 - omega) \* phi[i] + (omega / A[i][i]) \* (b[i] - sigma)
        residual = np.linalg.norm(np.matmul(A, phi) - b)
        print('Residual: {0:10.6g}'.format(residual))
    return phi

# An example case that mirrors the one in the Wikipedia article
residual\_convergence = 1e-8
omega = 0.5 #Relaxation factor

A = np.matrix([4, -1, -6, 0],
              [-5, -4, 10, 8],
              [0, 9, 4, -2],
              [1, 0, -7, 5])

b = np.matrix([2, 21, -12, -6])

initial\_guess = np.zeros(4)

phi = sor\_solver(A, b, omega, initial\_guess, residual\_convergence)
print(phi)

```

Արտաքին հղումներ
----------------

* Աբրահամ Բերման, Ռոբերտ Պլեմմոնս, «Ոչբացասական մատրիցները մաթեմատիկական գիտություններում»', 1994, SIAM. 0-89871-321-8.
* Black, Noel and Moore, Shirley, "Successive Overrelaxation Method", *MathWorld*.
* Netlib-ի պատճեի օրինակով «Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման կաղապարներ», Բարեթ և այլն։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Յուսիֆ Սաադ, *Iterative Methods for Sparse Linear Systems*, 1-ին հրատ․, PWS, 1996.։
2. ↑  Ա․ Հաջիդիմոս, *Successive overrelaxation (SOR) and related methods*, Հաշվողական և կիրառական մաթեմատիկայի հանդես 123 (2000), 177-199։

Արտաքին հղումներ
----------------

* Module for the SOR Method

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն
* Տիպերի տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Կոմուտատիվ
* Տարրական
* Խմբերի տեսություն
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ
* Չափերի տեսություն

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |