Երեք անշարժ կետերով արտացոլում
**Անշարժ կետ**, մաթեմատիկայում ֆունկցիայի տիրույթի տարր, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը հավասար է այդ կետին, այլ կերպ ասած՝ {\displaystyle f(x)=x} հավասարման լուծումը։ Օրինակ եթե {\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3}-ը իրական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիա է, ապա f-ի անշարժ կետերն են {\displaystyle x=1} և {\displaystyle x=3}, քանի որ {\displaystyle f(1)=1} և {\displaystyle f(3)=3}։

Սա նշանակում է, որ {\displaystyle f(f(...f(x)...))=f^{n}(x)=x} կամայական *x* անշարժ կետի համար, ինչը կարևոր դիտարկում է ֆունկցիան ռեկուրսիվ հաշվելու համար։ Անշարժ կետերի բազմությունը երբեմն կոչում են անշարժ բազմություն։

Ամեն ֆունկցիաները չէ, որ ունեն անշարժ կետեր, օրինակ, {\displaystyle f(x)=x+1} ֆունկցիան անշարժ կետեր չունի, քանի որ {\displaystyle x=x+1}։ արտահայտությունը կամայական իրական թվի համար սխալ է։ Գրաֆիկորեն x-ը f ֆունկցիայի անշարժ կետ է, եթե {\displaystyle (x,f(x))} կետը գտնվում է {\displaystyle y=x} ուղղի վրա, այլ կերպ ասած՝ f ֆունկցիայի գրաֆիկը հատվում է {\displaystyle y=x} ուղղի հետ։

Այն կետերը, որը վերադառնում են ինքին իրեն որոշակի թվով լուծումներից հետո {\displaystyle f(f(\dots f(x)\dots ))=x}, կոչվում են պարբերական, մասնավորապես, անշարժ կետերը 1 պարբերությամբ կետեր են։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունում պրոեկտիվության անշարժ կետը կոչվում է կրկնակի կետ։

Ձգող անշարժ կետեր
-----------------

{\displaystyle x\_{n+1}=\cos(x\_{n})} սկզբնակոտը {\displaystyle x\_{1}=-1}Դոտի թիվը համարվում է սահման։
f արտապատկերման {\displaystyle x=f(x)} անշարժ կետը ձգող է, եթե f-ի նախնական կիրառումը y -ի նկատմամբ x-ին բավականին մոտ կետի վրա, կձգտի x-ի։

{\displaystyle \underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} \_{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty }.
Ընդ որում պահանջվում է, որ ամեն ինտերեցիայի արդյունքում ստացվող կետը X կետի շրջակա որոշակի տարացքից դուրս չընկն, որպեսզի X կետը լինի ասիմտոտապես հաստատուն։

Մասնաորապես, որպեսզի կետը լինի ձգող՝ բավարար պայման է հանդիսանում {\displaystyle |f'(x)|<1}։

### Նյուտոնի մեթոդ

Ձգող անշարժ կետի գաղափարի առաջին օգտագործումը հանդիսանում է Նյուտոնի մեթոդը, որի դեպքում հավասարման լուծումը հանդիսանում է ձգող անշարժ կետ, այդ իսկ պատճառով կարելի է այն գտնել, որպես շատ արագ մոտարկվող թվերի սահման, որոնք ստացվում են մեթոդի կրկնակի կիրառմամբ։

Այդ մեթոդի կիրառման ամենահայտնի օրինակ է հանդիսանում {\displaystyle a\geqslant 0} թվի քառակուսի արմատի հաշվումը, որպես արտապատկերման ինտերացիայի սահման․

{\displaystyle f(x)={\cfrac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}}.

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Coxeter H. S. M. (1942)։ *Non-Euclidean Geometry*։ University of Toronto Press։ էջ 36
2. ↑  G. B. Halsted (1906) *Synthetic Projective Geometry*, page 27

Գրականություն
-------------

* *Колмогоров А. Н. Фомин С. В.* Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
* *Красносельский М. А. Забрейко П. П.* Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
* Agarwal R. P. Meehan M. O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press, 2001. - ISBN 0-521-80250-4.
* Borisovich Yu. G. Gel'man B. D. Myshkis A. D. Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, Issue 6, pp 719–791.
* Fitzpatrick P. M. Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Մեծ կատալոնական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | BNF: 12266972t · LCCN: sh85048934 · Microsoft: 61445026 |

 |