**Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը)** իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասական թիվ։  

Հետագայում գտել են, որ **կոմպլեքս թվերի** օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../։  

**Կոմպլեքս թվերի** բազմությունը սովորաբար նշանակում են {\displaystyle \mathbb {C} }-ով /լատին․՝ Complex - **կոմպլեքս** բառից/։

Կոմպլեքս թվերի մեկ այլ տեսակ է Անոիսիեսը(հունարենից թարգմանաբար նշանակում է անիմաստություն ανοησίες) : Նշանակում ենք ψ(փսի)) ψ=a/0 որտեղ aն կամայական հաստատուն թիվ է։ Գիտնականները տասնյակ հազարամյակներ շարունակ չեն կարողացել գտնել այս սահմանումը, սակայն 21րդ դարի գիտնական Գոռը գտավ այն, ով նաև հանդիսանում է Արիստոտելի կրտսեր ծոռը։ Նրա գրական կեղծանունն է Գլաֆիրա(որը թարգմանաբար նշանակում է բարեկազմ, նրբագեղ։

Սահմանում
---------

**Կոմպլեքս թվերի** դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,{\displaystyle \ z^{2}\ =-1} ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են **կեղծ թվեր**։  

Ցանկացած այսպիսի **կեղծ թիվ** կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ {\displaystyle \ x+iy}, որտեղ {\displaystyle \ x}-ը և {\displaystyle \ y}-ը իրական թվեր են, իսկ {\displaystyle \ i}-ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, **կեղծ թիվը** այժմ հաճախ անվանում են **կոմպլեքս**։ **Կոմպլեքս թվի** այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն **կոմպլեքս թվերի** ներկայացման այլ ձևեր։  

Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի {\displaystyle \mathbb {R} } ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և {\displaystyle \ z^{2}+1} բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ **Կոմպլեքս թվերը** ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով {\displaystyle \ n} աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ {\displaystyle \ n} կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում **կոմպլեքս թվերի** լայն կիրառման համար։

### Ստանդարտ մոդել

{\displaystyle \ z} կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ {\displaystyle \ (x,y)}։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝

* {\displaystyle \ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y')},
* {\displaystyle \ (x,\;y)\cdot (x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')}։

Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են **կոմպլեքս թվերի** ենթաբազմություն և ներկայացվում են {\displaystyle \ (x;0)} զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ Զրոն ներկայացվում է {\displaystyle \ 0=(0;0)} զույգով, իսկ մեկը՝ {\displaystyle \ 1=(1;0)} զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ {\displaystyle \ i=(0;1)} զույգով։ **Կոմպլեքս թվերի** բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ **կեղծ թվի** քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է {\displaystyle \ (-1;0)}, այսինքն՝ {\displaystyle \ -1}։   

Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։

### Մատրիցային մոդել

**Կոմպլեքս թվերը** կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝   

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}}  

պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով։  

Իրական միավորին կհամապատասխանի՝   

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}},  

կեղծ միավորին՝   

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}։  

Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ
-----------------------------------

* **Համեմատում**՝

{\displaystyle \ a+bi=c+di} համեմատումը նշանակում է, որ {\displaystyle \ a=c} և {\displaystyle \ b=d} (երկու **կոմպլեքս թվեր** հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։

* **Գումարում**՝

{\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}։

* **Հանում**՝

{\displaystyle \ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}։

* **Բազմապատկում**՝

{\displaystyle \ (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}։

* **Բաժանում**՝

{\displaystyle \ {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i}։

* **Մասնավորապես,**՝

{\displaystyle \ {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-\left({\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)i}։

Երկրաչափական մոդել
------------------

Նկ. 1 **Կոմպլեքս թվի** երկրաչափական մոդելը
Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Յուրաքանչյուր **կոմպլեքս թվին** {\displaystyle \ z=x+iy} հարթության վրա համապատասխանեցնենք {\displaystyle \ (x,y)} կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ)։ Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն)։ Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ։  

Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ)։  

Այս ներկայացման ձևում **կոմպլեքս թվերի** գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին։ **Կոմպլեքս թվերի** արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում։ Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին։ Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները։  

Հարթության վրա **կոմպլեքս թվերը** որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ **կոմպլեքս թվի** վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ **կոմպլեքս թիվը** հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա։  

**Կոմպլեքս թվի** երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ։ Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Կուրոշ, Ա․. *Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց*. Արխիվացված է the original 2021 թ․ օգոստոսի 21-ին. Retrieved 2021 թ․ օգոստոսի 21.

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 545)։*  |