**Ֆուրիեի շարք**, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Սահմանումը
----------

Ենթադրենք {\displaystyle f}-ը որևէ ինտեգրելի {\displaystyle 2\pi }-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{\infty }A\_{n}\cdot \sin(nt+\phi \_{n}),A\_{n}\geq 0}։
Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }\left(\overbrace {a\_{n}} ^{A\_{n}\sin(\phi \_{n})}\cos(nt)+\overbrace {b\_{n}} ^{A\_{n}\cos(\phi \_{n})}\sin(nt)\right)\\\end{aligned}}} |

տեսքով։ 
Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }c\_{n}\cdot e^{int}}
ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար 

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }
Էյլերի բանաձևից։

Եթե {\displaystyle f}-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ {\displaystyle a\_{n}} և {\displaystyle b\_{n}} գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{2\pi }f(t)\cdot \cos({\tfrac {nt}{P}})\ dt}, {\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{2\pi }f(t)\cdot \sin(nt)\ dt},
իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

{\displaystyle c\_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }f(t)\cdot e^{-int}\ dt}
բանաձևով։  

Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի {\displaystyle f} ֆունկցիայի համար կդիտարկենք 

{\displaystyle {\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }\left(a\_{n}\cos(nt)+b\_{n}\sin(nt)\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }c\_{n}\cdot e^{int}}
եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ {\displaystyle a\_{n}}, {\displaystyle b\_{n}} և {\displaystyle c\_{n}} գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք {\displaystyle f} ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։   

Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

Ներկայացում
-----------

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

{\displaystyle f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi )}
ֆունկցիան, որտեղ {\displaystyle A\geq 0}։   

Սովորաբար {\displaystyle t}-ով նշվում է ժամանակը, իսկ {\displaystyle f(t)} ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։  

Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, {\displaystyle f(t)}-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։   

{\displaystyle A}-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, {\displaystyle \lambda }-ն՝ հաճախականություն, իսկ {\displaystyle \phi }-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։  

Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք {\displaystyle N} տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

{\displaystyle f\_{n}(t)=A\_{n}\cdot \sin(\lambda \_{n}t+\phi \_{n})},
նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{N}A\_{n}\cdot \sin(\lambda \_{n}t+\phi \_{n})}։
Պարզագույն դեպքում, բոլոր {\displaystyle \lambda \_{n}}-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ {\displaystyle f\_{n}(t)}-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ {\displaystyle \lambda \_{n}=n}, այսինքն դիտարկում ենք {\displaystyle 2\pi }-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{N}A\_{n}\cdot \sin(nt+\phi \_{n})}։
Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ {\displaystyle 2\pi }-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝ 

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{\infty }A\_{n}\cdot \sin(nt+\phi \_{n})}։
Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Երկրաչափական մեկնաբանություն
----------------------------

Նկատենք, որ 

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=0}^{N}A\_{n}\cdot \sin(nt+\phi \_{n}),A\_{n}\geq 0}
վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի {\displaystyle A\_{0}} շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի {\displaystyle A\_{1}} շառավիղ, որի կենտրոնը {\displaystyle (A\_{0}\cos(0t+\phi \_{0}),A\_{0}\sin(0t+\phi \_{0}))} կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի {\displaystyle \left(A\_{N}\cos(Nt+\phi \_{N}),A\_{N}\sin(Nt+\phi \_{N})\right)} դիրքին համապատասխանող կետի {\displaystyle y} կոորդինատը {\displaystyle t} պահին կլինի {\displaystyle f(t)}-ն։

* f
        (
        t
        )
        =
        sgn
        ⁡
        [
        sin
        ⁡
        (
        t
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle f(t)=\operatorname {sgn}[\sin(t)]}
  
 քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը {\displaystyle f(t)=\operatorname {sgn}[\sin(t)]} քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը
*

Ընդհանրացումներ
---------------

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

Կիրառություններ
---------------

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։   

Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։
Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

Աղբյուրներ
----------

1. ↑  "Կանտորի կողմից բազմությունների տեսության ստեղծման մասին

Գրականություն
-------------

* Grafakos, Loukas (2008), *Classical Fourier analysis*, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437
* Grafakos, Loukas (2009), *Modern Fourier analysis*, Graduate Texts in Mathematics, vol. 250 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316
* Zygmund, A. (2002) [1935], *Trigonometric series. Vol. I, II*, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498
* Katznelson, Yitzhak (1976). «An introduction to harmonic analysis» (Second corrected ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. `{{cite journal}}`: Cite journal requires `|journal=` (օգնություն)
* Nina K. Bary, *A treatise on trigonometric series*, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co. New York 1964.
* Körner, T.W. (1988), *Fourier Analysis*, Cambridge University Press, ISBN 0521389917

Արտաքին հղումներ
----------------

* Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին (անգլ.)

|  |  |
| --- | --- |
|  | Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ֆուրիեի շարք» հոդվածին։ |

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա (11-րդ) · Բրիտանիկա · Լարուսի · Մեծ նորվեգական |
|  |
| 

|  Չափորոշչային վերահսկողություն |
| --- |
|  |
| BNE: XX540313 · BNF: 11979488t · GND: 4155109-6 · LCCN: sh85051090 · Microsoft: 207864730 · NDL: 00562088 · NKC: ph135377 |

 |

 |