Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։
**Գծային հավասարումների համակարգ,** հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

Սահմանումներ
------------

Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+\dots +a\_{1n}x\_{n}=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+\dots +a\_{2n}x\_{n}=b\_{2}\\\dots \\a\_{m1}x\_{1}+a\_{m2}x\_{2}+\dots +a\_{mn}x\_{n}=b\_{m}\\\end{cases}}}
Որտեղ՝ {\displaystyle m} — հավասարումների քանակն է, {\displaystyle n}—փոփոխականների քանակը, {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, {\displaystyle a\_{11},a\_{12},\dots ,a\_{mn}} գործակիցներն են, {\displaystyle b\_{1},b\_{2},\dots ,b\_{m}}ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ({\displaystyle a\_{ij}}) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ({\displaystyle i}) հավասարման համարն է, երկրորդը ({\displaystyle j}) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է.

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ({\displaystyle b\_{1}=b\_{2}=\dots b\_{m}=0}), այլապես — ոչ համասեռ։

**Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային *,*** եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ({\displaystyle m=n}). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների {\displaystyle c\_{1},c\_{2},\dots ,c\_{n}}թվերի {\displaystyle n} բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,{\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}}փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձև
-------------

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{pmatrix}}}
կամ

{\displaystyle Ax=b}.
Այստեղ {\displaystyle A} -ն համակարգի մատրիցն է, {\displaystyle x} -ը անհայտների սյունակը, իսկ {\displaystyle b}-ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե {\displaystyle A} մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր
-----------------------------------------

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

{\displaystyle A\mathbf {x} \ =\mathbf {b} } տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է {\displaystyle CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b} }։

*x* − 2*y* = −1, 3*x* + 5*y* = 8, և 4*x* + 3*y* = 7 գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

Լուծման ձևերը
-------------

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

* Գաուսի մեթոդը
* Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
* Կրամերի մեթոդը
* Պտտման մեթոդ

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

* Մասնատման ձևով։ {\displaystyle (M-N)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+1}=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b} }
* Զանազանման ձևով։ {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min }
* Պրոյեկցիոն ձևով ։ {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf {m} }

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Ильин В. А. Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд. стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
2. ↑  *Вержбицкий В. М.* Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Արտաքին հղումներ
----------------

* *Куксенко С. П. Газизов Т. Р.* Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5