**Նաբլա օպերատոր** (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են։ Նշանակվում է {\displaystyle \nabla } (նաբլա) սիմվոլով։

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}

որտեղ {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}} -ն համապատասխանաբար  {\displaystyle x,y,z} առանցքների միավոր վեկտորներն են։

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝

{\displaystyle \nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}}
Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ **grad** (գրադիենտ), **div** (դիվերգենցիա), **rot** (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը։

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում։

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝

{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x\_{1}}{\vec {e}}\_{1}+{\partial \over \partial x\_{2}}{\vec {e}}\_{2}+...+{\partial \over \partial x\_{n}}{\vec {e}}\_{n}}, որտեղ {\displaystyle {\vec {e}}\_{1},{\vec {e}}\_{2},...{\vec {e}}\_{n}} վեկտորները համապատասխանաբար {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}}առանցքների միավոր վեկտորներն են։
Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ {\displaystyle {\vec {\nabla }}}, օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար։ Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 

* Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են *գրադիենտի օպերատոր:*
* Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ։

Նաբլա օպերատորի հատկությունները
-------------------------------

Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք {\displaystyle \nabla }-ն և \phi-ն, կստացվի հետևյալը՝

{\displaystyle \nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi }

որը իրենից ներկայացնում է \phi ֆունկցիայի գրադիենտը։

Եթե {\displaystyle \nabla }-ն և \vec{a} վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla \_{x}a\_{x}+\nabla \_{y}a\_{y}+\nabla \_{z}a\_{z}={\partial a\_{x} \over \partial x}+{\partial a\_{y} \over \partial y}+{\partial a\_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}},

այսինքն \vec{a} վեկտորի դիվերգենցիան։

Եթե {\displaystyle \nabla }-ն և \vec{a} վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի \vec{a} վեկտորի ռոտորը՝

{\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a\_{z}} \over \partial y}-{\partial {a\_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a\_{x}} \over \partial z}-{\partial {a\_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a\_{y}} \over \partial x}-{\partial {a\_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}
* Դիտողություն՝ երբեմն  {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}}-ի փոխարեն գրում են {\displaystyle (\nabla ,{\vec {a}})}, իսկ {\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}}-ի փոխարեն՝ {\displaystyle [\nabla ,{\vec {a}}]}:

{\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր։ Այն նշվում է նաև{\displaystyle \ \Delta } սիմվոլով։ Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները։

Օրինակ՝

{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }

{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը։

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա։

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝

{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla }
Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ։ Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից։

Երկրորդ կարգի օպերատորներ
-------------------------

Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ։ Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝

{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}
{\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}
Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն։
Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}

{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

{\displaystyle (\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

{\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}

Պատմություն
-----------

Վ. Ռ. Համիլտոնը
1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց {\displaystyle \nabla } նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է։ Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին։ Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր։

Կարծիք կա, որ {\displaystyle \nabla }-ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ։ «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»։

Օրինակ
------

1. {\displaystyle z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}
2. {\displaystyle z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}

Տես նաև
-------

* Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *«Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля»*, В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
2. ↑  О. В. Мантуров и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Под ред. Л. В. Сабинина. Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.