**Մատրիցների արտադրյալ**-մատրիցների նկատմամբ կատարվող հիմնական գործողություններից մեկն է։ Գործողության արդյունքում ստացված մատրիցը կոչվում է արտադրյալ մատրից։ Արտադրյալ մատրիցի տարրերի ստացումը կատարվում է ցուցադրված սխեմայի կանոններով նկարազարդում։ 
{\displaystyle A} և {\displaystyle B} մատրիցները կարելի է բազմապատկել միայն այն դեպքում, երբ նրանք համատեղելի են․ այսինքն {\displaystyle A} մատրիցի սյուների թիվը հավասար է {\displaystyle B} մատրիցի տողերի թվին։ Մատրիցների արտադրյալին բնորոշ են արտադրյալի բոլոր հատկությունները, բացառությամբ՝ կոմուտատիվությունից հատկությունները։
Քառակուսային մատրիցների համար իրականացվում են նաև մատրիցի աստիճան  բարձրացնելու և հակադարձ մատրիցներ գտնելու գործողությունները։

Սահմանում
---------

Դիցուք տրված են երկու ուղղանկյուն {\displaystyle A} և {\displaystyle B} մատրիցներ համապատասխանաբար {\displaystyle l\times m} և {\displaystyle m\times n} չափերով․ 

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1m}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{l1}&a\_{l2}&\cdots &a\_{lm}\end{bmatrix}},\;\;\;B={\begin{bmatrix}b\_{11}&b\_{12}&\cdots &b\_{1n}\\b\_{21}&b\_{22}&\cdots &b\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b\_{m1}&b\_{m2}&\cdots &b\_{mn}\end{bmatrix}}.}
Ապա {\displaystyle C} մատրիցի չափերը կլինեն {\displaystyle l\times n}:

{\displaystyle C={\begin{bmatrix}c\_{11}&c\_{12}&\cdots &c\_{1n}\\c\_{21}&c\_{22}&\cdots &c\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\_{l1}&c\_{l2}&\cdots &c\_{ln}\end{bmatrix}},}
որտեղ․

{\displaystyle c\_{ij}=\sum \_{r=1}^{m}a\_{ir}b\_{rj}\;\;\;\left(i=1,2,\ldots l;\;j=1,2,\ldots n\right).}
կոչվում է նրանց արտադրյալ։ Գործողությունը հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում, երբ առաջին արտադրիչի սյուների թիվը հավասար է երկրորդ արտադրիչի տողերի թվին։ Մասնավորապես գործողությունը միշտ հնարավոր է միևնույն կարգի քառակուսային մատրիցաների համար։ Այսպիսով․ {\displaystyle AB} գոյություն ունենալուց դեռևս չի հետևում {\displaystyle BA}-ի գոյությունը։

Նկարազարդում
------------

Մատրիցների արտադևյալը իր բնույթով նման է տող-վեկտորների սկալյար արտադրյալին։ *AB* մաթրիցի *i, j* ինդեքսով յուրաքանչյուր տարր ստացվում է *A* մատրիցի *i*-րդ տող-վեկտորի և*B* մատրիցի *j*-րդ տող-վեկտորի սկալյար արտադրյալից։ Սխեմայում ներկայացած արտադրյալ մատրիցի յուրաքանչյուր հատում համապատասխանում է *A* մատրիցի տողերին և *B* մատրիցի սյուներին։ 
Հատումների արժեքները, որոնք նշված են շրջանակներով, կլինեն․

{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {Red}x\_{1,2}}&=(a\_{1,1},a\_{1,2})\cdot (b\_{1,2},b\_{2,2})\\&=a\_{1,1}b\_{1,2}+a\_{1,2}b\_{2,2}\\{\color {Blue}x\_{3,3}}&=(a\_{3,1},a\_{3,2})\cdot (b\_{1,3},b\_{2,3})\\&=a\_{3,1}b\_{1,3}+a\_{3,2}b\_{2,3}\end{aligned}}}

Ընդհանուր առմամբ մատրիցների արտադրյալը օժտված չէ տեղափոխական հատկությամբ։ Օրինակ․

{\displaystyle {\overset {3\times 4{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Blue}1&\color {Blue}2&\color {Blue}3&\color {Blue}4\\\end{bmatrix}}}{\overset {4\times 5{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}a&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}c&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}d&\cdot \\\end{bmatrix}}}={\overset {3\times 5{\text{matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &x\_{3,4}&\cdot \\\end{bmatrix}}}}
Э{\displaystyle x\_{3,4}} տարրը արտադրյալ մատրիցում կորոշվի հետևյալ կերպ․

{\displaystyle x\_{3,4}=({\color {Blue}1},{\color {Blue}2},{\color {Blue}3},{\color {Blue}4})\cdot ({\color {Red}a},{\color {Red}b},{\color {Red}c},{\color {Red}d})={\color {Blue}1}\cdot {\color {Red}a}+{\color {Blue}2}\cdot {\color {Red}b}+{\color {Blue}3}\cdot {\color {Red}c}+{\color {Blue}4}\cdot {\color {Red}d}}
Առաջին կոորդինատը ցույց է տալիս տողը, երկրորդը՝ սյունը։ {\displaystyle x\_{{\color {Blue}i}{\color {Red}j}}} տարրը {\displaystyle i}-րդ տողի և {\displaystyle j}-րդ սյան հատաման արդյունքն է, որը հավասար է առաջին մատրիցի {\displaystyle i}-րդ տողի և երկրորդ մատրիցի {\displaystyle j}-րդ սյան սկալյար արտադրյալին։

Հատկություններ
--------------

Զուգորդականություն․

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C} ;}
{\displaystyle \alpha (\mathbf {AB} )=(\alpha \mathbf {A} )\mathbf {B} =\mathbf {A} (\alpha \mathbf {B} )}։
Բաշխականություն (գումարման նկատմամբ)

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ;}
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} }։
Մատրիցի արտադրյալը համապատասխան կարգի {\displaystyle \mathbf {E} } միավոր մատրիցի հետ հավասար է նույն մատրիցին․

{\displaystyle \mathbf {EA} =\mathbf {A} ;}
{\displaystyle \mathbf {AE} =\mathbf {A} }։
Մատրիցի արտադրյալը համապատասխան կարգի {\displaystyle \mathbf {0} } զրոյական մատրիցի հետ հավասար է զրոյական մատրիցի․

{\displaystyle \mathbf {0A} =\mathbf {0} ;}
{\displaystyle \mathbf {A0} =\mathbf {0} }։
Մատրիցների արտադրյալը ընդհանուր առմամբ տեղափոխականության հատկությամբ օժտված չէ․

{\displaystyle \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} }։
Եթե {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} }, ապա {\displaystyle \mathbf {A} } և {\displaystyle \mathbf {B} } մատրիցները կոչվում են կոմուտատիվ իրենց մեջ․
Ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար

* {\displaystyle \mathbf {AA} =\mathbf {AA} =\mathbf {A^{2}} } (մատրիցի քառակուսի բարձրացնելը);
* {\displaystyle \mathbf {AE} =\mathbf {EA} =\mathbf {A} };
* {\displaystyle \mathbf {A0} =\mathbf {0A} =\mathbf {0} };
* {\displaystyle \mathbf {AA^{-1}} =\mathbf {A^{-1}A} =\mathbf {E} }։

Արտադրյալի որոշիչը և հետքը կախված չեն բազմապատկման հերթականությունից․

{\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {BA} )=\det \mathbf {A} \cdot \det \mathbf {B} ;}
{\displaystyle {\mbox{tr}}(\mathbf {AB} )={\mbox{tr}}(\mathbf {BA} ).}

Հակադարձ մատրիցներ
------------------

{\displaystyle A} քառակուսային մատրիցան կոչվում է չվերասերված, եթե գոյություն ունի {\displaystyle A^{-1}} հակադարձ մատրից այնպես, որ 

{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E.}։ Հակառակ դեպքում այն կոչվում է վերասերված։
{\displaystyle n}-րդ կարգի {\displaystyle A=\left[a\_{ik}\right]} մատրիցը չվերասերված է այն և միայն աւյն դեպքում, երբ {\displaystyle \det A=\det \left[a\_{ik}\right]\neq 0} այս դեպքում {\displaystyle A^{-1}} մատրիցը նույն {\displaystyle n}-րդ կարգի քառակուսային մատրից է։

{\displaystyle A^{-1}=\left[a\_{ik}\right]^{-1}=\left[{\frac {A\_{ki}}{\det A}}\right],}
որտեղ {\displaystyle A\_{ik}} — {\displaystyle a\_{ik}} տարրի հանրահաշվական լրացումն է {\displaystyle \det \left[a\_{ik}\right]} որոշիչի մեջ։

Մատրիցների արագ բազմապատկման մի քանի ալգորիթմներ
------------------------------------------------

Գոյություն ունեն մի քանի էֆեկտիվ ալգորիթմներ, որոնք օգտագործում են մատրիցները արագ բազմապատկելու համար։ Դրանք կիրառվում են առանձնապես մեծ մատրիցների համար, որոնց արագ բազմապատկումը դեռևս շարունակում է մնալ գծային հանրահաշվի չլուծված խնդիրներից մեկը։

* **Շտրասսենի ալգորիթմ (1969)**

Առաջին արագ բազմապատկման աղյուսակը դուրս է բերվել Ֆոլկեր Շտրասսենի կողմից 1969 թվականին։ Ալգորիթմը հիմնված է մատրիցների կրկնվող բաժանման վրա 2X2 բլոկների։ Ստրասենը ապացուցեց, որ 2X2 մատրիցաները կարող են բազմապատկվել ՝ օգտագործելով յոթ բազմապատկում, այնպես որ ռեկուրսիայի յուրաքանչյուր փուլում յոթ բազմապատկումը կատարվում է ութի փոխարեն։ Արդյունքում, այս ալգորիթմի բարդությունը {\displaystyle O(n^{\log \_{2}7})\approx O(n^{2.81})} մեջ է։ Այս մեթոդի անբարենպաստությունը ծրագրավորման ավելի բարդությունն է `համեմատած ստանդարտ ալգորիթմի հետ, թույլ թվային կայունությունը և օգտագործված հիշողության ավելի մեծ քանակությունը։ Մեթոդի հիման վրա մշակվել են մի շարք ալգորիթմներ, որոնք բարելավում են թվային կայունությունը, կայուն արագությունը և դրա մյուս բնութագրերը։ Այնուամենայնիվ, պարզության պատճառով, Շտրասսենի ալգորիթմը շարունակում է մնալ խոշոր մատրիցները բազմապատկելու գործնական ալգորիթմներից մեկը։ 

* **Մատրիցների բազմապատկման արագության ω ցուցանիշի բարելավում**

ω-ի գնահատումների բարելավման ժամանակացույց ՝ մատրիցների բազմապատկման արագության համար:
Հետագայում խոշոր մատրիցների բազմապատկման արագության գնահատումները բազմիցս բարելավվել են։ Այնուամենայնիվ, այս ալգորիթմները տեսական են, հիմնականում մոտավոր։ Մոտեցման բազմապատկման ալգորիթմների անկայունության պատճառով դրանք ներկայումս գործնականում չեն օգտագործվում։

* **Պանի ալգորիթմը (1978)**

1978 թվականին Պանը առաջարկեց մատրիցների բազմապատկամն իր մեթոդը, որի բարդությունը կազմում էր**Θ(n2.78041)**.
* **Բինի ալգորիթմ (1979)**

1979 թվականին իտալացի գիտնականների մի խումբ Բինի գլխավորությամբ մշակեցին բազմապատկման եղանակ տենզորների կիրառմաբ։ Ալգորիթմի բարդությունը կազմում է **Θ(n2.7799)**.
* **Շյոնհագի ալգորիթմները (1981)**

1981 թվականին Շյոնհագը առաջարկեց մեթոդ, որն աշխատում էր **Θ(n2.695)**։Հաշվարկը ստացվում է «մասնակի մատրիցի բազմապատկում» մեթոդով։
Հետագայում նրան հաջողվեց ստանալ **Θ(n2.6087)** գնահատականը։
Հետագայում Շոնհագը *ուղիղ գումարի մեթոդի* հիման վրա ստացավ **Θ(n2.548)** բարդության գնահատականը։ Ռոմանին կարողացավ իջեցնել այն մինչև **Θ(n2.5166)**, իսկ Պանը — մինչև **Θ(n2.5161)**։
* **Կոպպերսմիթ-Վինոգրադի ալգորիթմը (1990)**

1990 թվականին Կոպպերսմիթը և Վինոգրադը հրապարակեցին ալգորիթմ, ըստ որի ՝ 2011-ին Վիլյամս Վասիլևսկայայի ձևափոխմամբ, մատրիցաները բազմապատկում են **O(n2.3727)**արագությամբ։ Այս ալգորիթմը օգտագործում է Շտրասսենի ալգորիթմի նման գաղափարներ:Մինչ օրս ալգորիթմի փոփոխությունները ամենաշատն են ընկալվում։ Ալգորիթմը արդյունավետ է միայն աստղագիտական չափի մատրիցների վրա և չի կարող կիրառվել գործնականում։
* **Կապը խմբային տեսության հետ(1979)**

2003 թվականին Կոխը ու մի քանիսը իր աշխատություններում ուսումնասիրեցին Շտրասսենի և Կոպպերսմիթ-Վինոգրադի ալգորիթմները խմբային տեսանկյունից։ Նրանք ապացուցեցին, որ Շտրասսենի ալգորիթմը ճիշտ է, եթե տեղի ունի խմբային տեսության վարկածներից մեկը։

Մատրիցի աստիճանը
----------------

Քառակուսային մատրիցները կարելի է ինքն իրենով բազմապատկել մի քանի անգամ, քանի որ նրանց մոտ հավասար են տողերի և սյուների թիվը։ Այսպիսի հաջորդական բազմապատկումը կոչվում է մատրիցի «աստիճան բարձրացում»։ Ուղղանկյուն մատրիցների մոտ տողերի և սյուների քանակները հավասար չեն ուստի աստիճան բարձրացնելը նրանց դեպքում հնարավոր չէ։ *n* × *n* չափերով **A** մնատրիցի աստիճան բարձրացնելը որոշվում է {\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } \_{k}} բանաձևով և ունի հետևյալ հատկությունները․

**Զրոյական աստիճան**

{\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {E} }
որտեղ **E** - միավոր մատրից է։ Սա անալոգն է այն փաստի, որ թվի զրոյական աստիճանը հավասար է 1։

**Սկալյարով բազմապատկում** (*λ* — սկալյար մեծություն է)

{\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )^{k}=\lambda ^{k}\mathbf {A} ^{k}}
**Որոշիչ**

{\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{k})=\det(\mathbf {A} )^{k}}։
Մատրիցի աստիճանը հաշվելու ամենապարզ մեթոդը՝ մատրիցը ինքն իրենով {\displaystyle k} անգամ բազմապատկելն է։ Առանձին ուշադրության են արժանի անկլյունագծային մատրիցները։ Քանի որ նրանց արտադրյալը հանգում է անկյունագծային տարրերի արտադրյալին, ապա {\displaystyle A} մատրիցի {\displaystyle k} աստիճանը կլինի

{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}={\begin{pmatrix}a\_{11}&0&\cdots &0\\0&a\_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a\_{nn}\end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}a\_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a\_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a\_{nn}^{k}\end{pmatrix}}.}

Այդ պատճառով էլ անկյունագծային մատրիցը աստիճան բարձրացնելը դժվար չէ։

Տես նաև
-------

Կրոնեկերի արտադրյալ

Գրականություն
-------------

* Տ․ Կորն, Գ․ Կորն «Մատրիցների հանրահաշիվ և մատրիցային հաշնարկ»; մթեմատիկայի տեղեկագիրք, 4-րդ հրատարակություն;М: Наука, 1978։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Кибернетический сборник. Новая серия. Вып. 25. Сб. статей 1983 — 1985 гг.: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988 — В.Б. Алекссев. Сложность умножения матриц. Обзор.
2. ↑  Pan V. Ya, Strassen’s algorithm is not optimal — trilinear technique of aggregating uniting and canceling for constructing fast algorithms for matrix operations. — Proc. 19th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, Ann Arbor, Mich. 1978
3. ↑  Bini D. Capovani M. Lotti G. Romani F. — {\displaystyle O(n^{2.7799})} complexity for approximate matrix multiplication. — Inform. Process. Lett. 1979
4. ↑  Schonhage A. Partial and total matrix multiplication. — SIAM J. Comput. 1981
5. ↑  Don Coppersmith and Shmuel Winograd. Matrix multiplication via arithmetic progressions. *Journal of Symbolic Computation*, 9:251-280, 1990.
6. ↑  Williams, Virginia (2011), Multiplying matices in O(n2.3727 time