**Մոգական** կամ **կախարդական** քառակուսի, {\displaystyle n\times n} չափի ուղղանկյուն քառակուսի, որը լրացված է {\displaystyle n^{2}} թվերով այնպես, որ յուրաքանչյուր տողում, սյունում և երկու անկյունագծերում թվերի գումարը նույնն է։ Եթե քառակուսու մեջ միայն տողերի և սյուների թվերի գումարներն են հավասար, այդ դեպքում այն անվանում են ***կիսամոգական***։ Մոգական քառակուսին անվանում են ***նորմալ***, եթե այն լրացված է 1-ից {\displaystyle n^{2}} թվերով։ Մոգական քառակուսին անվանում են ***ասսոցիատիվ*** կամ ***սիմետրիկ***, եթե ցանկացած երկու թվերի գումարը, որոնք գտնվում են քառակուսու կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա, հավասար են {\displaystyle n^{2}+1}-ի։

Նորմալ մոգական քառակուսիներ գոյություն ունեն բոլոր {\displaystyle n\geq 1} կարգերի համար, բացառությամբ {\displaystyle n=2}-ի, թեև n=1 դեպքը պարզագույնն է՝ քառակուսին կազմված է մեկ թվից։ Փոքրագույն ոչպարզ դեպքը ցույց է տրված ներքևում, սակայն ունի 3-րդ կարգ։


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  | 2 | 7 | 6 | {\displaystyle \rightarrow } | 15 |
|  |  | 9 | 5 | 1 | {\displaystyle \rightarrow } | 15 |
|  |  | 4 | 3 | 8 | {\displaystyle \rightarrow } | 15 |
|  | {\displaystyle \swarrow } | {\displaystyle \downarrow } | {\displaystyle \downarrow } | {\displaystyle \downarrow } | {\displaystyle \searrow } |  |
| 15 |  | 15 | 15 | 15 |  | 15 |

Յուրաքանչյուր տողում, սյունում և անկյունագծերի վրա թվերի գումարը անվանում են ***մոգական հաստատուն***՝ M։ Նորմալ մոգական քառակուսու մոգական հաստատունը կախված է միայն n-ից և որոշվում է {\displaystyle M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}} բանաձևով։

Ինչու է դա այդպես  

Դիցուք ունենք n կողմով քառակուսի։ Այդ դեպքում նրանում կլինի {\displaystyle n^{2}} թիվ։

Մի կողմից 1-ից {\displaystyle n^{2}} թվերի գումարը հավասար է՝ {\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1)}, իսկ մյուս կողմից՝ {\displaystyle S=nM} (կողմերի և մոգական հաստատունի արտադրյալ)։

Հավասարեցնելով ստացված գումարները կստանանք վերևում նշված բանաձևը։

Առաջին մոգական հաստատունների արժեքները բերված են հետևյալ աղյուսակում (A006003-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)`

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **Կարգ *n*** | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| **M *(n)*** | **15** | **34** | **65** | **111** | **175** | **260** | **369** | **505** | **671** | **870** | **1105** |

Պատմականորեն նշանակալի մոգական քառակուսիներ
-------------------------------------------

### Լո Շուի քառակուսի

Լո Շուի պատկերը դարաշրջանի գրքում Мин

Լո Շու (չինարեն ավանդ. 洛書, հեշտ. 洛书 , պինին: *luò shū*) **3×3** չափի միակ նորմալ մոգական քառակուսին։ Առաջին պատկերը հայտնի է դարձել դեռ Հին Չինաստանում կրիայի պատյանի վրա, որը թվագրվում է մ.թ.ա. 2200 թվականին։

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **4** | **9** | **2** |
| **3** | **5** | **7** |
| **8** | **1** | **6** |

### Կխաջուրախոյում (Հնդկաստան) հայտնաբերված մոգական քառակուսի

Ամենավաղ յուրահատուկ մոգական քառակուսին հայտնաբերվել է հնդկական Կխաջուրախո քաղաքի 9-րդ դարի ձեռագրերում՝

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **7** | **12** | **1** | **14** |
| **2** | **13** | **8** | **11** |
| **16** | **3** | **10** | **5** |
| **9** | **6** | **15** | **4** |

Սա առաջին մոգական քառակուսիներից է, որը դասվում է «սատանայական» քառակուսիներ տարատեսակին։

### Յան Խուեայի (Չինաստան) մոգական քառակուսի

13-րդ դարում չին մաթեմատիկոս Յան Խուեան զբաղվում էր մոգական քառակուսիների կառուցման խնդիրների մեթոդներով։ Իր հետազոտությունները հետագայում շարունակեցին այլ չին մաթեմատիկոսներ։ Յան Խուեան ուսումնասիրում էր ոչ միայն երրորդ կարգի մոգական քառակուսիները, այլ նաև ավելի բարձր կարգի։ Իր որոշ մոգական քառակուսիներ շատ ավելի բարդ էին, սակայն նա միշտ տալիս էր նրանց կառուցման կանոնները։ Նա կարողացավ ստեղծել վեցերորդ կարգի մոգական քառակուսի, ընդ որում վերջինս ստացվեց գրեթե ***ասոցիատիվ*** (նրանում կենտրոնական հակադիր տեղադրված միայն երկու թվերի զույգերի գումարը հավասար չէր **37**-ի)։

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **27** | **29** | **2** | **4** | **13** | **36** |
| **9** | **11** | **20** | **22** | **31** | **18** |
| **32** | **25** | **7** | **3** | **21** | **23** |
| **14** | **16** | **34** | **30** | **12** | **5** |
| **28** | **6** | **15** | **17** | **26** | **19** |
| **1** | **24** | **33** | **35** | **8** | **10** |

### Ալբրեխտ Դյուրերի քառակուսի

Հատված Դյուրերայի «Մելանխոլիա» փորագրությունից
**4×4** չափի մոգական քառակուսին, որը պատկերված է Ալբրեխտ Դյուրերի «Մելանխոլիա» փորագրության վրա, համարվում է ամենավաղը եվրոպական արվեստում։ Ներքին շարքի երկու միջին թվերը ցույց են տալիս փորագրության ստեղծման տարեթիվը (1514)։

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **16** | **3** | **2** | **13** |
| **5** | **10** | **11** | **8** |
| **9** | **6** | **7** | **12** |
| **4** | **15** | **14** | **1** |

Ցանկացած հորիզոնական, ուղղահայաց և անկյունագծերի թվերի գումարը հավասար է **34**-ի։ Այդ գումարը հանդիպում է նաև բոլոր անկյունային **2x2** չափի քառակուսիներում, կենտրոնական քառակուսիում **(10+11+6+7)**, քառակուսու անկյունային վանդակներում **(16+13+4+1)**, քառակուսիներում, որոնք կառուցված են *«ձիու քայլով»* **(2+8+9+15 և 3+5+12+14)**, ուղղանկյուններում, որոնք ձևավորվել են հակադիր կողմերի միջին վանդակների զույգերով **(3+2+15+14 և 5+8+9+12)**։ Լրացուցիչ սիմետրիաների մեծ մասը կապված է նրա հետ, որ ցանկացած կենտրոնական սիմետրիկ տեղաբաշխված թվերի զույգի գումարը հավասար է **17**-ի։

### Հենրի Է.Դյուդենիի և Ալլան Ու.Ջոնսոն-կրտսերի քառակուսիներ

Եթե **n x n** քառակուսային մատրիցայում մտած չէ ոչխիստ բնական թվերի շարքը, ապա այդ մոգական քառակուսին կոչվում է ***ոչավանդական***։ Ներքևում բերված են այդպիսի երկու մոգական քառակուսիներ, լրացված պարզ թվերով (թեև **1**-ը ժամանակակից թվերի տեսությունում չի համարվում պարզ թիվ)։ Առաջինն ունի **n=3** կարգ (Դյուդենիի քառակուսի), իսկ երկրորդը (**4 x 4** չափի)՝ Ջոնսոնի քառակուսի։ Այդ երկու քառակուսիները մշակվել են քսաներորդ դարի սկզբին։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **67** | **1** | **43** |
| **13** | **37** | **61** |
| **31** | **73** | **7** |

 | 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **3** | **61** | **19** | **37** |
| **43** | **31** | **5** | **41** |
| **7** | **11** | **73** | **29** |
| **67** | **17** | **23** | **13** |

 |

Կան նմանատիպ ևս մի քանի օրինակներ՝

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |

Վերջին քառակուսին, որն ստեղծվել է 1913 թվականին Ջ.Ն.Մանսիի կողմից, ուշագրավ է նրանով, որ այն կառուցված է **143** հաջորդական պարզ թվերով՝ բացառությամբ երկու դեպքի. ընդգրկվել է **1** թիվը, որը պարզ թիվ չի համարվում, և չի օգտագործվել միակ զույգ պարզ թիվը՝ **2**-ը։

Լրացուցիչ հատկություններով քառակուսիներ
---------------------------------------

### Սատանայական մոգական քառակուսի

**Սատանայական քառակուսին** կամ **համաանկյունագծային քառակուսին** մոգական քառակուսի է, որում մոգական հաստատունը երկու ուղղություններով նույնպես համընկնում է կոտրված անկյունագծերի թվերի գումարին (անկյունագծեր, որոնց պտտացնելու արդյունքում քառակուսուց ստացվում է տոռ)։

Գոյություն ունեն **4 x 4** չափի պտույտների ճշտության և արտապատկերման **48** սատանայական քառակուսիներ։ Եթե ուշադրություն դարձնենք նաև տոռական զուգահեռ տեղափոխման համաչափությանը, ապա կմնա **3** իրարից տարբեր քառակուսիներ՝

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **1** | **8** | **13** | **12** |
| **14** | **11** | **2** | **7** |
| **4** | **5** | **16** | **9** |
| **15** | **10** | **3** | **6** |

 | 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **1** | **12** | **7** | **14** |
| **8** | **13** | **2** | **11** |
| **10** | **3** | **16** | **5** |
| **15** | **6** | **9** | **4** |

 | 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| **1** | **8** | **11** | **14** |
| **12** | **13** | **2** | **7** |
| **6** | **3** | **16** | **9** |
| **15** | **10** | **5** | **4** |

 |

Համաանկյունագծային քառակուսիներ գոյություն ունեն նաև **n>3** չորրորդ կարգերի համար, ցանկացած կրկնակի զույգության **n=4k (k=1, 2, 3...)** կարգի և գոյություն չունի միակ զույգությամբ **n=4k+2 (k=1, 2, 3, ...)** կարգերի համար։

Չորրորդ կարգի համաանկյունագծային քառակուսիներն ունեն մի շարք լրացուցիչ հատկություններ, որոնց համար նրանց անվանում են **կատարյալ**։ Կենտ կարգի կատարյալ քառակուսիներ գոյություն չունեն։ Գոյություն ունեն **4**-ից բարձր կարգի կրկնակի զույգությամբ կատարյալ համաանկյունագծային քառակուսիներ։

Հինգերորդ կարգի համաանկյունագծային քառակուսիների թիվը **3600** է։ Հաշվի առնելով տոռական զուգահեռ տեղափոխությունը տարբեր համաանկյունագծային քառակուսիների թիվը կազմում է **144**։ Նրանցից մեկը ցույց է տրված ներքևում։

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | **15** | **24** | **8** | **17** |
| **9** | **18** | **2** | **11** | **25** |
| **12** | **21** | **10** | **19** | **3** |
| **20** | **4** | **13** | **22** | **6** |
| **23** | **7** | **16** | **5** | **14** |

Համաանկյունագծային քառակուսու կոտրված անկյունագծեր
Եթե համաանկյունագծային քառակուսին միաժամանակ նաև ասսոցիատիվ է, այդ դեպքում նրան անվանում են ***իդեալական***։ Ներքևում բերված է իդեալական մոգական քառակուսու օրինակ։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
|

Հայտնի է, որ գոյություն չունեն **n=4k+2** կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ և **n=4** կարգի քառակուսի։ Միևնույն ժամանակ գոյություն ունեն **n=8** կարգի իդեալական քառակուսիներ։ Բաղադրյալ քառակուսիների կառուցման մեթոդները կարելի է կառուցել ութերորդ կարգի տվյալ քառակուսու **n=8k**, **k=5, 7, 9, ...** և **n=8p, p=2, 3, 4, ...** կարգերի իդեալական քառակուսիների կառուցման համար։ 2008 թվականին ստեղծվել է **n=4k, k=2, 3, 4, ...** կարգի իդեալական քառակուսիների կառուցման կոմբինատոր մեթոդը։

Մոգական քառակուսիների կառուցումը
--------------------------------

### Կտուրների մեթոդը

*Նկարագրված է Յու.Վ.Չերբակովի «Մոգական մատրիցաների տեսությունում»*։

Տրված կենտ **n** թվի համար գծենք **n x n** չափի քառակուսային աղյուսակ։ Այդ աղյուսակի բոլոր չորս կողմերում կառուցենք կտուրներ (փոքր բուրգեր)։ Արդյունքում կստանանք աստիճանային սիմետրիկ պատկեր։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Y |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 4 |  |  |  |  |  | 5 |  |  |  |  |
| 3 |  |  |  |  | 4 |  | 10 |  |  |  |
| 2 |  |  |  | 3 |  | 9 |  | 15 |  |  |
| 1 |  |  | 2 |  | 8 |  | 14 |  | 20 |  |
| 0 |  | 1 |  | 7 |  | 13 |  | 19 |  | 25 |
| -1 |  |  | 6 |  | 12 |  | 18 |  | 24 |  |
| -2 |  |  |  | 11 |  | 17 |  | 23 |  |  |
| -3 |  |  |  |  | 16 |  | 22 |  |  |  |
| -4 |  |  |  |  |  | 21 |  |  |  |  |
|. |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  | {\displaystyle X} | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

 |

Սկսելով աստիճանային պատկերի ձախ գագաթից լրացնենք նրա անկյունագծային շարքերը 1-ից {\displaystyle N^{2}} բնական թվերով։

Դրանից հետո թվերի **n**-րդ կարգի դասական մատրիցա ստանալու համար, որոնք գտնվում են կտուրների վրա, տեղադրենք **n x n** չափի աղյուսակի այն տեղերում, որոնցում նրանք կարող էին գտնվել, եթե տեղափոխենք նրանք կտուրների հետ միասին այնքան, քանի դեռ կտուրի հիմքը չի միացել աղյուսակի հակառակ կողմին։

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Y |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 4 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 3 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2 |  |  |  | 3 | 16 | 9 | 22 | 15 |  |  |
| 1 |  |  |  | 20 | 8 | 21 | 14 | 2 |  |  |
| 0 |  |  |  | 7 | 25 | 13 | 1 | 19 |  |  |
| -1 |  |  |  | 24 | 12 | 5 | 18 | 6 |  |  |
| -2 |  |  |  | 11 | 4 | 17 | 10 | 23 |  |  |
| -3 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| -4 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|. |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  | {\displaystyle X} | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

 |

  


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | 16 | 9 | 22 | 15 |
| 20 | 8 | 21 | 14 | 2 |
| 7 | 25 | 13 | 1 | 19 |
| 24 | 12 | 5 | 18 | 6 |
| 11 | 4 | 17 | 10 | 23 |

 |

### Այլ եղանակներ

Մոգական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիաների կախված իրենց կարգից՝ կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնապատիկին կամ հավասար է կենտ թվի քառապատիկին։ Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդ հայտնի չէ, թեև հաճախ կիրառվում են տարբեր սխեմաներ։ Գտնել n-րդ կարգի բոլոր մոգական քառակուսիները հնարավոր է միայն {\displaystyle n\leq 4}-ի համար, դրա համար մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում մոգական քառակուսիների կառուցման մասնավոր ընթացակարգեր {\displaystyle n>4}-ի համար։ Ամենահեշտ ձևն է մշակել կենտ կարգի մոգական քառակուսիներ։ Անհրաժեշտ է {\displaystyle (i,j)} կոորդինատն ունեցող դաշտում տեղադրել 

{\displaystyle 1+((i-j+(n-1)/2){\bmod {n}})n+((i+j+(n+1)/2){\bmod {n}})}
Առավել հեշտ է կառուցել քառակուսին հետևյալ ձևով։ Վերցնենք {\displaystyle nxn} մատրիցան։ Նրա ներսում ստեղծվում է աստիճանային շեղանկյուն։ Նրանում բջիջները ձախից վերև անկյունագծով լրացվում է հաջորդական կենտ թվերով։ Որոշվում է կենտրոնի բջջի C արժեքը։ Այդ դեպքում մոգական քառակուսու անկյուններում արժեքները կլինեն այսպիսին՝ վերին աջ բջիջը՝ {\displaystyle C-1}, ներքևի ձախ բջիջը՝ {\displaystyle C+1}, ներքևի աջ բջիջը՝ {\displaystyle C-n}, վերևի աջ բջիջը՝ {\displaystyle C+n}։ Աստիճանային անկյունային եռանկյուններում դատարկ բջիջները լրացվում են հաշվի առնելով հետևյալ պարզ կանոնները՝ 1) տողերով՝ թվերը ձախից աջ մեծացվում են {\displaystyle n+1} քայլով, 2) սյուներով՝ թվերը վերևից ներքև մեծացվում են {\displaystyle n-1} քայլով։

Մշակված են ալգորիթմներ համաանկյունագծային քառակուսիներ, ինչպես նաև {\displaystyle 9x9} չափի իդեալական մոգական քառակուսիներ կառուցելու համար։
 Այդ արդյունքները հնարավորություն են տալիս կառուցել {\displaystyle n=9(2k+1),k=0,1,2,3,\dots } կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ։ Գոյություն ունեն նաև ընդհանուր մեթոդներ կենտ {\displaystyle n>3}
 կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ ձևավորելու համար։ Մշակվել են {\displaystyle n=8k,k=1,2,3,\dots } կարգի իդեալական մոգական քառակուսիների և կատարյալ մոգական քառակուսիների ստեղծման մեթոդներ։ Զույգ-կենտ կարգի համաանկյունագծային և իդեալական քառակուսիների ձևավորումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե նրանք ոչավանդական են։
 Ամեն դեպքում, կարելի է գտնել գրեթե համաանկյունագծային քառակուսիներ։ Գտնվել են իդեալական-կատարյալ մոգական քառակուսիների հատուկ խումբ (ավանդդական և ոչավանդական)։.

Ավելի բարդ քառակուսիների օրինակներ
----------------------------------

Խիստ մեթոդաբանորեն մշակվել են կենտ կարգի և կրկնակի զույգության կարգի մոգական քառակուսիներ։ Միայնակ զույգության կարգի քառակուսիների ֆորմալացումը ավելի բարդ է, ինչը ցույց են տալիս հետևյալ սխեմաները՝

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 18 | 24 | **5** | 6 | 12 |
| 22 | **3** | **9** | **15** | 16 |
| **1** | **7** | **13** | **19** | **25** |
| 10 | **11** | **17** | **23** | 4 |
| 14 | 20 | **21** | 2 | 8 |

 | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
| 9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
| 17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
| 40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
| 32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
| 41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
| 49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
| 8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |

 | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 100 | 99 | 93 | 7 | 5 | 6 | 4 | 8 | 92 | 91 |
| 11 | 89 | 88 | 84 | 16 | 15 | 17 | 83 | 82 | 20 |
| 30 | 22 | 78 | 77 | 75 | 26 | 74 | 73 | 29 | 21 |
| 61 | 39 | 33 | 67 | 66 | 65 | 64 | 38 | 32 | 40 |
| 60 | 52 | 48 | 44 | 56 | 55 | 47 | 43 | 49 | 51 |
| 50 | 42 | 53 | 54 | 46 | 45 | 57 | 58 | 59 | 41 |
| 31 | 62 | 63 | 37 | 36 | 35 | 34 | 68 | 69 | 70 |
| 71 | 72 | 28 | 27 | 25 | 76 | 24 | 23 | 79 | 80 |
| 81 | 19 | 18 | 14 | 85 | 86 | 87 | 13 | 12 | 90 |
| 10 | 9 | 3 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 2 | 1 |

 |

Գոյություն ունեն մոգական քառակուսիներ կառուցելու մի քանի տասնյակ այլ մեթոդներ։

Շախմատային մոտեցում
-------------------

Հայտնի է, որ շախմատը, ինչպես նաև մոգական քառակուսիները, առաջացել են Հնդկաստանում տասնյակ դարեր առաջ։ Պատահական չէ, որ մոգական քառակուսիների կառուցումն առաջացել է շախմատային մոտեցման գաղափարից։ Առաջին անգամ այս միտքը տվել է Էյլերը։ Նա փորձեց ստանալ ամբողջ մոգական քառակուսին ձիու անընդհատ քայլերի միջոցով։ Սակայն այն նրան չհաջողվեց, քանի որ գլխավոր անկյունագծերում թվերի գումարը տարբերվում էր մոգական հաստատունից։ Այնուամենայնիվ, շախմատային տրոհումը թույլ է տալիս ստեղծել ցանկացած մոգական քառակուսի։ Թվերը լցվում են կանոնավոր և տող առ տող՝ հաշվի առնելով դաշտերի գույները։

Տես նաև
-------

* Մոգական վեցանկյուն
* Լատինական քառակուսի
* Պալինդրոմ
* Սուպերմոգական քառակուսի
* Մոգական խորանարդ
* Սուպերմոգական խորանարդ
* Թվային գլուխկոտրուկ
* Շրջանակային մոգական քառակուսիներ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  404(չաշխատող հղում)
2. ↑  Telesmi
3. ↑  Mathline: Magic Squares and Stars(անգլ.)
4. ↑  В. Е. Еремеев *«Традиционная наука Китая Archived 2008-02-25 at the Wayback Machine.»*, Глава 5: *Математика*.
5. ↑  Н.Макарова *«Магический квадрат Дюрера»*
6. ↑  А. К. Дьюдени *«Просеивание числового песка в поисках простых чисел»*
7. ↑  Н.Макарова *«Совершенные магические квадраты»*
8. 1 2  Г.Александров *«Идеальные магические квадраты порядка {\displaystyle n=9+18k}, где {\displaystyle k=2,3,4,\dots }»*
9. ↑  H.Danielsson *«Ultramagisches Quadrat 8. Ordnung»*(գերմ.)
10. ↑  Н.Макарова *«Идеальные квадраты чётно-чётного порядка»*
11. ↑  Энциклопедия *«Кругосвет»*: *«Магический квадрат »*.
12. ↑  Н. Макарова *«Методы построения магических квадратов (обзорная статья)»*
13. ↑  Г.Александров *«Метод построения идеального магического квадрата нечётного порядка»*
14. ↑  Г.Александров

	* *«Идеальный panmagic»*
	* *«Пандиагональный квадрат порядка 4k»*
	* *«Программа на Yabasic для построения пандиагонального квадрата порядка n = 4»*
15. ↑  Г.Александров

	* *«Идеальный магический квадрат 9 x 9»*
	* *«Еще один идеальный квадрат 9 x 9»*
16. ↑  Н.Макарова *«Магические квадраты девятого порядка»*
17. ↑  Н.Макарова *«Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных девяти»*
18. ↑  Г.Александров

	* *«Идеальные магические квадраты»*
	* *«Пять примеров идеальных магических квадратов 21x21»*
	* *«Идеальные магические квадраты любого нечётного порядка n>3»*
19. ↑  Н. Макарова

	* *«Идеальные магические квадраты. Метод качелей»*
	* *«Метод построения идеальных магических квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов»*
20. ↑  Н.Макарова *«Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k»*
21. ↑  Н. Макарова

	* *«Метод построения совершенных магических квадратов из обратимых»*
	* *«Метод построения совершенных магических квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов»*
	* *«Построение совершенных магических квадратов методом качелей»*
22. ↑  Е.Слкуни *«Нетрадиционные пандиагональные магические квадраты 6-го порядка»*
23. ↑  Н.Макарова

	* *«Нетрадиционные магические квадраты»*
	* *«Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2»*.
24. ↑  Г.Александров *«Идеальный нетрадиционный магический квадрат порядка n=4k+2*
25. ↑  Г.Александров *»Почти пандиагональные магические квадраты порядка 4k+2"*
26. ↑  Г.Александров *«Идеальный совершенный магический квадрат четного порядка*
27. ↑

Գրականություն
-------------

* Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. - Сеятель, 1924.
* Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.։ ГИФМЛ, 1958. - 576 с.
* М. М. Постников Магические квадраты. - М.։ Наука, 1964.
* Н. М. Рудин От магического квадрата к шахматам. - М.։ Физкультура и спорт, 1969.
* Е. Я. Гуревич Тайна древнего талисмана. - М.։ Наука, 1969.
* М. Гарднер Математические досуги. - М.։ Мир, 1972.
* Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. - М.։ Педагогика, 1989. - 352 с. - ISBN 5-7155-0218-7.
* Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - СПб.։ СПб гос. техн. ун-т, 1995.
* Ю. В. Чебраков Теория магических матриц. - СПб. 2008.
* М. Гарднер Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. - М.։ Мир, 1990.
* Чирказов Д. Буквенные магические квадраты как симметричные текстовые массивы. // Современные научные исследования и инновации. – № 11 Ноябрь 2012

Արտաքին հղումներ
----------------

* М. Гарднер *»Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри"*(ռուս.)
* H. Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns(անգլ.)
* Н. Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты Archived 2011-04-28 at the Wayback Machine.(ռուս.)
* Шахматный подход(ռուս.)
* Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел(ռուս.)
* Наименьшие магические квадраты из простых чисел(ռուս.)
* «Общие формулы магических квадратов.»(ռուս.)