**Ցուցչային ֆունկցիա**,{\displaystyle f(x)=a^{x}} տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ {\displaystyle a}-ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ {\displaystyle x}-ը՝ ցուցչի աստիճան։

* Իրական դեպքում ցուցչի {\displaystyle a} հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։
* Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
* Առավել ընդհանուր տեսքով՝ {\displaystyle u^{v}}, մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։

Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս {\displaystyle e} թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

Իրական ֆունկցիա
---------------

### Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը

Դիցուք {\displaystyle a}-ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ {\displaystyle x}-ը ռացիոնալ թիվ՝{\displaystyle {\frac {m}{n}}}։ Այդ դեպքում {\displaystyle a^{x}}-ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

* Եթե {\displaystyle x>0}, ապա {\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} ։
* Եթե {\displaystyle x=0} և {\displaystyle a\neq 0} , ապա {\displaystyle a^{x}=1}։
* {\displaystyle 0^{0}} -ի արժեքը որոշված չէ։
* Եթե {\displaystyle x<0} և {\displaystyle a>0} , ապա{\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}}։
* {\displaystyle a^{x}}-ի արժեքը {\displaystyle x<0}, {\displaystyle a=0}-ի դեպքում որոշված չէ։

Ցանկացած {\displaystyle x} իրական ցուցչի դեպքում {\displaystyle a^{x}}-ը կարելի է որոշել որպես {\displaystyle a^{r\_{n}}} հաջորդականության սահման, որտեղ {\displaystyle r\_{n}}-ը {\displaystyle x}-ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}։

### Հատկություններ

Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկը
* {\displaystyle a^{0}=1}
* {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}}
* {\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}
* {\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}

Օգտագործելով {\displaystyle \ln x} բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։
Անալիտիկ հատկություններ՝

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=(\ln a)a^{x}}.

Մասնավորապես՝

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

Ապացույց  

I. Ապացուցենք, որ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

{\displaystyle \lim \_{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x+\triangle x}-e^{x}}{\triangle x}}=\lim \_{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=e^{x}\cdot \lim \_{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}}

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

II. Ապացուցենք, որ {\displaystyle \lim {\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=1}: Դիցուք {\displaystyle e^{\triangle x}-1=u},
այդ դեպքում {\displaystyle e^{\triangle x}=u+1\Rightarrow \triangle x=\ln(u+1)}: Եթե {\displaystyle \triangle x\rightarrow 0}, ապա {\displaystyle u=e^{\triangle x}-1\rightarrow 0},

{\displaystyle \lim \_{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=\lim \_{u\rightarrow 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim \_{u\rightarrow 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim \_{u\rightarrow 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim \_{u\rightarrow 0}\cdot 1}{\lim \_{u\rightarrow 0}}}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}={\frac {1}{\ln \lim \_{u\rightarrow 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1}

III. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}(e^{\ln a})^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a}

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

Շարքի վերածում՝ {\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...}

### Ասիմպտոտիկա

Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

Կոմպլեքս ֆունկցիա
-----------------

Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

{\displaystyle e^{z}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+...}

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։{\displaystyle e^{ix}}շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։
Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ {\displaystyle i^{i}=e^{i\ln(i)}}, քանի որ {\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}(լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

{\displaystyle i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}։

Տես նաև
-------

* Աստիճանի բարձրացում
* Աստիճանային ֆունկցիա
* Էքսպոնենտային ֆունկցիա

Գրականություն
-------------

* Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.