Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։
**Նյոթերի թեորեմը** պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.

* Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
* Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
* Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
* Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին։

Ձևակերպում
----------

### Դասական մեխանիկա

{\displaystyle g^{s}(q\_{i})} դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

{\displaystyle I=\sum \_{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q\_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}}։
Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը

{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)}
տեսքն ունի, իսկ {\displaystyle L(q,\;{\dot {q}},\;t)} Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն

{\displaystyle {\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),\;{\dot {{\vec {q}}\_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},\;t),\;t)=0}, եթե {\displaystyle s=0}։
Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի *առաջին ինտեգրալ*, որը հավասար է

{\displaystyle I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum \_{i=1}^{n}\psi \_{i}({\vec {q}},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}}։
Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ {\displaystyle \tau } պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում {\displaystyle t=\tau }։ Այդ դեպքում

{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)}
{\displaystyle g^{s}(t)=t\_{0}+s\xi ({\vec {q}},\;t)}
ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝

{\displaystyle I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)}։
### Դաշտի տեսություն

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է {\displaystyle n} պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են {\displaystyle k} կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա

{\displaystyle S=\int L(A^{i},\;\partial \_{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}}
տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների {\displaystyle g^{s}} խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է

{\displaystyle J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }A^{i})}},}
վեկտորը, որը կոչվում է *Նյոթերի հոսքի վեկտոր*։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. {\displaystyle \partial \_{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}։
Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ

{\displaystyle \ \partial \_{\mu }J^{\mu }=0,}
այդ պատճառով {\displaystyle J} հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ *ժամանակ* կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա {\displaystyle J} հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

### Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիցուք ունենք {\displaystyle S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}} գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ {\displaystyle L}-ը լագրանժյանն է. {\displaystyle x}-ն՝ անկախ փոփոխականներ, {\displaystyle u}-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ {\displaystyle x}-ից։ {\displaystyle L} կարող է կախված լինել նաև {\displaystyle u}-ի ածանցյալներից ըստ {\displaystyle x}-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել

{\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q}

տեսքով, որտեղ {\displaystyle \mathrm {E} }-երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

{\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u\_{\alpha }}}-\sum \_{i=1}^{p}{\frac {d}{dx\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u\_{x\_{i}}^{\alpha }}}+\dots ~~~},

{\displaystyle u\_{x\_{i}}^{\alpha }}-ն {\displaystyle u^{\alpha }} ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ {\displaystyle x\_{i}} փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե {\displaystyle L}-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա {\displaystyle \mathrm {E} }-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ
{\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} =\sum \_{J}(-D)\_{J}{\frac {\partial }{\partial u\_{J}^{\alpha }}}},

որտեղ {\displaystyle J} — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ {\displaystyle u\_{J}^{\alpha }} ածանցյալը մտնում է {\displaystyle L}-ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է {\displaystyle S} ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

#### Պահպանման օրենքներ

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ {\displaystyle \mathrm {Div} }-ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ {\displaystyle x}-ի։ {\displaystyle {\vec {P}}}-ն {\displaystyle u}-ի, {\displaystyle x}-ի և ըստ {\displaystyle x}-ի {\displaystyle u}-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։
*Պահպանման տրիվալ օրենքներ* են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

* որոնց համար {\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
* որոնց համար {\displaystyle {\vec {P}}}-ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
* որոնց համար {\displaystyle {\vec {P}}}-ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե {\displaystyle {\vec {P}}} և {\displaystyle {\vec {R}}} ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար {\displaystyle {\vec {P}}-{\vec {R}}} տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են *համարժեք*։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }}},

որտեղ {\displaystyle \Delta }-ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. {\displaystyle {\vec {\Delta }}=0}։ Նկարագրվող դեպքի համար {\displaystyle \Delta \_{\alpha }=E\_{\alpha }(L)} և

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum \_{\alpha }Q\_{\alpha }E\_{\alpha }(L)}։

{\displaystyle Q\_{\alpha }} կախված են {\displaystyle u}-ից, {\displaystyle x}-ից և ըստ {\displaystyle x}-ի {\displaystyle u}-ի ածանցյալներից և կոչվում են *պահպանման օրենքի բնութագրեր*։

#### Վարիացիոն սիմետրիաներ

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

{\displaystyle {\vec {v}}=\sum \_{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum \_{\alpha =1}^{q}\varphi \_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ {\displaystyle \xi } և {\displaystyle \varphi }-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն {\displaystyle u}-ից և {\displaystyle x}-ից, այլև {\displaystyle u}-ի ածանցյալներից ըստ {\displaystyle x}-ի։

*Սահմանում.* {\displaystyle {\vec {v}}}-ն կոչվում է {\displaystyle S} ֆունկցիոնալի *վարիացիոն սիմետրիա*, եթե գոյություն ունի {\displaystyle {\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )} համախումբ այնպես, որ

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}}։

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}}-ն {\displaystyle {\vec {v}}}-ի *շարունակությունն* է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ {\displaystyle {\vec {v}}}-ի գործողությունը {\displaystyle u}-ի և {\displaystyle x}-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum \_{\alpha ,J}\varphi \_{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u\_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi \_{\alpha }^{J}=D\_{J}{\bigl (}\varphi \_{\alpha }-\sum \_{i}\xi ^{i}u\_{i}^{\alpha }{\bigr )}}

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի {\displaystyle {\vec {v}}}-ից վերցնել այնպիսի {\displaystyle \partial /\partial u\_{J}^{\alpha }}-ով բաղադրիչներ, որոնց համար {\displaystyle u\_{J}^{\alpha }}-ն մտնում է {\displaystyle L}-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ {\displaystyle {\vec {v}}}-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են {\displaystyle S} ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե {\displaystyle {\vec {v}}}-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա {\displaystyle {\vec {v}}}-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} \_{\alpha }(L)\vert \_{\mathrm {E} \_{\alpha }(L)=0}=0}։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ {\displaystyle \mathrm {E} \_{\alpha }(L)} արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են {\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} \_{\alpha }(L)} տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

#### Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր

{\displaystyle Q\_{\alpha }=\varphi \_{\alpha }-\sum \_{i}\xi ^{i}u\_{i}^{\alpha }} ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է {\displaystyle {\vec {v}}} վեկտորական դաշտի բնութագիր։ {\displaystyle {\vec {v}}}-ի փոխարեն կարելի է վերցնել

{\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}=\sum \_{\alpha }Q\_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է {\displaystyle {\vec {v}}}-ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։

{\displaystyle {\vec {v}}}-ն և {\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}}-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են {\displaystyle Q\_{\alpha }}-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ {\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}}-ի շարունակությունը որոշվում է {\displaystyle {\vec {v}}}-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու {\displaystyle \xi }- երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

#### Նյոթերի թեորեմ

{\displaystyle {\vec {v}}} ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է {\displaystyle S} ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա {\displaystyle {\vec {Q}}} բնութագիրը {\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0} պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներ
------------------

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

Կիրառություններ
---------------

Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

* Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե *X* առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով {\displaystyle p\_{x}} իմպուլսը պահպանվում է։
* Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
* Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը *Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն* է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Noether E (1918). «Invariante Variationsprobleme». *Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse*. **1918**: 235–257.
2. ↑  Calculating the entropy of stationary black holes. (անգլ.)

Գրականություն
-------------

* Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
* Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с. 1983 г.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
* Ջոն Բաեսի հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին (անգլ.)
* Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
* Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում (անգլ.)
* Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (անգլ.)
* *Giachetta G. Mangiarotti L.Sardanashvily G.* On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. **50** (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Մեծ նորվեգական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 80892491 |

 |