Գլանաձև կոորդինատային համակարգ
**Գլանաձև կոորդինատային համակարգ**, եռաչափ կոորդինատային համակարգ է, որը սահմանում է կետերի դիրքերը՝ կախված ընտրված առանցքի հեռավորությունից (առանցքը L՝ հակառակ պատկերում), առանցքից ուղղությունը ընտրված հղման ուղղության նկատմամբ (առանցք A) և հեռավորությունը առանցքին ուղղահայաց ընտրված հղման հարթությունից (մանուշակագույն հատված պարունակող հարթություն)։ Վերջին հեռավորությունը տրվում է որպես դրական կամ բացասական թիվ՝ կախված նրանից, թե հղման հարթության որ կողմն է ուղղված կետին։

Համակարգի ծագումն այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք կոորդինատները կարող են տրվել որպես զրո։ Սա հղման հարթության և առանցքի խաչմերուկն է։ Առանցքը տարբեր կերպ կոչվում է գլանաձև կամ երկայնական առանցք՝ այն տարբերելու բևեռային առանցքից, որն այն ճառագայթն է, որն ընկած է հղման հարթությունում՝ սկսած սկզբնակետից և ուղղված է հղման ուղղությամբ։ Երկայնական առանցքին ուղղահայաց մյուս ուղղությունները կոչվում են շառավղային գծեր։

Առանցքից հեռավորությունը կարելի է անվանել շառավղային հեռավորություն կամ շառավիղ, մինչդեռ անկյունային կոորդինատը երբեմն կոչվում է անկյունային դիրք կամ ազիմուտ։ Շառավիղը և ազիմուտը միասին կոչվում են բևեռային կոորդինատներ, քանի որ դրանք համապատասխանում են հարթության երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգին, որն անցնում է կետով, հղումային հարթությանը զուգահեռ։ Երրորդ կոորդինատը կարող է կոչվել բարձրություն կամ բարձրություն (եթե հղման հարթությունը համարվում է հորիզոնական), երկայնական դիրք, կամ առանցքային դիրք։

Գլանաձև կոորդինատները օգտակար են երկայնական առանցքի շուրջ որոշակի պտտվող սիմետրիա ունեցող առարկաների և երևույթների հետ կապված, ինչպիսիք են ջրի հոսքը ուղիղ խողովակում՝ կլոր խաչմերուկով, ջերմության բաշխումը մետաղական գլանում, էլեկտրամագնիսական դաշտերը, որոնք առաջանում են էլեկտրական հոսանքի միջոցով։ երկար, ուղիղ մետաղալարեր, ակրեցիոն սկավառակներ աստղագիտության մեջ և այլն։

Դրանք երբեմն կոչվում են «գլանային բևեռային կոորդինատներ» և «բևեռային գլանաձև կոորդինատներ» և երբեմն օգտագործվում են գալակտիկայում աստղերի դիրքը որոշելու համար («գալակտոկենտրոն գլանաձև բևեռային կոորդինատներ»)։

Սահմանում
---------

P կետի երեք կոորդինատները (ρ, φ, z) սահմանվում են հետևյալ կերպ.

* Ռ ճառագայթային հեռավորությունը էվկլիդեսյան հեռավորությունն է զ առանցքից մինչև Պի կետ։
* Ֆ ազիմուտը անկյունն է ընտրված հարթության վրա հղման ուղղության և հարթության վրա Պի սկզբնակետից մինչև Պի պրոյեկցիան գծի միջև։
* Առանցքային կոորդինատը կամ բարձրությունը զ-ն ընտրված հարթությունից մինչև Պի կետ նշանավոր հեռավորությունն է։

### Եզակի գլանաձև կոորդինատներ

Ինչպես բևեռային կոորդինատներում, նույն կետը գլանաձև կոորդինատներով (ρ, φ, z) ունի անսահման շատ համարժեք կոորդինատներ, մասնավորապես (ρ, φ ± n×360°, z) և (−ρ, φ ± (2n + 1)×։ 180°, z), որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Ավելին, եթե շառավիղը զրո է, ապա ազիմուտը կամայական է։

Այն իրավիճակներում, երբ ինչ-որ մեկը ցանկանում է յուրաքանչյուր կետի համար եզակի կոորդինատների հավաքածու,շառավիղը չի կարող լինել ոչ բացասական (ρ ≥ 0), իսկ φ ազիմուտը՝ 360° ընդգրկող որոշակի միջակայքում, օրինակ՝ [−180°, +180°] կամ [0,360°]:

### Կոնվենցիաներ

Գլանային կոորդինատների նշումը միատեսակ չէ։ ԻՍՈ ստանդարտ 31-11-ը խորհուրդ է տալիս (ρ, φ, z), որտեղ ρ-ը ճառագայթային կոորդինատն է, φ ազիմուտը և z բարձրությունը։ Այնուամենայնիվ, շառավիղը նաև հաճախ նշվում է r կամ s, ազիմուտը՝ θ կամ t, իսկ երրորդ կոորդինատը՝ h կամ (եթե գլանաձև առանցքը հորիզոնական է) x կամ համատեքստին հատուկ տառերով։

Գլանային կոորդինատների կոորդինատային մակերեսները (ρ, φ, z). Կարմիր մխոցը ցույց է տալիս ρ = 2-ով կետերը, կապույտ հարթությունը ցույց է տալիս z = 1-ով կետերը, իսկ դեղին կիսհարթությունը՝ φ = −60°-ով կետերը: Z-առանցքը ուղղահայաց է, իսկ x-առանցքը ընդգծված է կանաչով: Երեք մակերեսները հատվում են P կետում այդ կոորդինատների հետ (ցուցադրվում է որպես սև գունդ); P-ի դեկարտյան կոորդինատները մոտավորապես (1.0, −1.732, 1.0) են։
Գլանաձև կոորդինատային մակերեսներ. Երեք ուղղանկյուն բաղադրիչներ՝ ρ (կանաչ), φ (կարմիր) և z (կապույտ), որոնցից յուրաքանչյուրը աճում է հաստատուն արագությամբ: Կետը գտնվում է երեք գունավոր մակերեսների խաչմերուկում:
Կոնկրետ իրավիճակներում և շատ մաթեմատիկական գծագրերում դրական անկյունային կոորդինատը չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես երևում է դրական բարձրություն ունեցող ցանկացած կետից։

Կոորդինատների համակարգի փոխարկումները
-------------------------------------

Գլանային կոորդինատային համակարգը շատ եռաչափ կոորդինատային համակարգերից մեկն է։ Նրանց միջև փոխակերպման համար կարող են օգտագործվել հետևյալ բանաձևերը։

### Դեկարտյան կոորդինատները

Գլանային և դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման համար հարմար է ենթադրել, որ առաջինի հարթությունը դեկարտյան xy հարթությունն է (z = 0 հավասարումով), իսկ գլանաձև առանցքը դեկարտյան z առանցքն է։ Այնուհետև z-կոորդինատը նույնն է երկու համակարգերում, և գլանաձևի (ρ, φ, z) և դեկարտյան (x, y, z) միջև համապատասխանությունը նույնն է, ինչ բևեռային կոորդինատների համար, մասնավորապես.




x

=
ρ
cos
⁡
φ

y

=
ρ
sin
⁡
φ

z

=
z



{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}
մի ուղղությամբ, և




ρ

=

x

2

+

y

2



φ

=

{

indeterminate

if 

x
=
0

 and 

y
=
0

arcsin
⁡

(

y
ρ

)

if 

x
≥
0

−
arcsin
⁡

(

y
ρ

)

+
π

if 

x
<
0

 and 

y
≥
0

−
arcsin
⁡

(

y
ρ

)

+
π

if 

x
<
0

 and 

y
<
0




{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}
մյուսի մեջ։ Արկսինային ֆունկցիան սինուսի ֆունկցիայի հակառակն է և ենթադրվում է, որ վերադարձնում է տիրույթի անկյունը [−π2, +π2] = [−90°, +90°]։ Այս բանաձևերը տալիս են ազիմուտ φ միջակայքում [−90°, +270°].

Օգտագործելով արկտանգենս ֆունկցիան, որը վերադարձնում է նաև տիրույթի անկյուն [−π2, +π2] = [−90°, +90°], կարելի է նաև հաշվարկել 𝜑 առանց հաշվարկների 𝜌  առաջին




φ

=

{

indeterminate

if 

x
=
0

 and 

y
=
0



π
2

y

|

y

|


if 

x
=
0

 and 

y
≠
0

arctan
⁡

(

y
x

)


if 

x
>
0

arctan
⁡

(

y
x

)

+
π

if 

x
<
0

 and 

y
≥
0

arctan
⁡

(

y
x

)

−
π

if 

x
<
0

 and 

y
<
0




{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}
Այլ բանաձևերի համար տե՛ս Բևեռային կոորդինատային համակարգը։

Շատ ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են ֆունկցիա, որը կհաշվի ճիշտ ազիմուտ φ, (−π, π) միջակայքում, տրված x և y, առանց վերը նշված դեպքերի վերլուծություն կատարելու անհրաժեշտության։ Օրինակ, այս ֆունկցիան C ծրագրավորման լեզվում կոչվում է atan2(y, x), իսկ Common Lisp-ում (atan y x):

### Գնդաձև կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատները (շառավիղ r, բարձրություն կամ թեքություն θ, ազիմուտ φ), կարող են փոխարկվել գլանաձև կոորդինատների կամ դրանցից՝ կախված նրանից, թե θ-ը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն, հետևյալ կերպ,

Գնդաձև և գլանաձև կոորդինատների միջև փոխակերպում| Փոխակերպում | կոորդինատ | θ բարձրություն | θ թեքություն |
| --- | --- | --- | --- |
| Գլանաձև | ρ = | *r* cos *θ* | *r* sin *θ* |
| φ = | φ |
| z = | *r* sin *θ* | *r* cos *θ* |
| Գնդաձև | r = | {\textstyle {\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}} |
| θ = | {\textstyle \arctan \left({\frac {z}{\rho }}\right)} | {\textstyle \arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)} |
| φ = | φ |

Գծային և ծավալային տարրեր
-------------------------

Գլանային կոորդինատներում ծավալների ինտեգրման մանրամասների համար օգտվում են մի քանի ինտեգրալներից, իսկ վեկտորային հաշվարկի բանաձևերի համար՝ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներից։

Գլանաձև բևեռային կոորդինատների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների դեպքում օգտակար է իմանալ գծի և ծավալի տարրերը. դրանք օգտագործվում են ինտեգրման մեջ՝ ուղիների և ծավալների հետ կապված խնդիրների լուծման համար։

Գծային տարրն է



d

r

=

d

ρ

ρ
^

+
ρ

d

φ

φ
^

+

d

z

z
^

.

{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}

{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}
Ծավալի տարրն է


d

V
=
ρ

d

ρ

d

φ

d

z
.

{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}
Մակերեւութային տարրը հաստատուն շառավղով ρ (ուղղահայաց գլան) մակերեսում է


d

S

ρ

=
ρ

d

φ

d

z
.

{\displaystyle \mathrm {d} S\_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

{\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}
Մակերեւութային տարրը հաստատուն ազիմուտ φ (ուղղահայաց կիսահարթություն) մակերեսում է


d

S

φ

=

d

ρ

d

z
.

{\displaystyle \mathrm {d} S\_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}

{\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}
Մակերեւութային տարրը մշտական բարձրության z (հորիզոնական հարթություն) մակերեսում է


d

S

z

=
ρ

d

ρ

d

φ
.

{\displaystyle \mathrm {d} S\_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}

{\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}
Այս համակարգում del օպերատորը հանգեցնում է գրադիենտի, դիվերգենցիայի, գանգուրի և լապլասիի հետևյալ արտահայտությունների։




∇
f

=

∂
f

∂
ρ



ρ
^

+

1
ρ


∂
f

∂
φ



φ
^

+

∂
f

∂
z



z
^


∇
⋅

A

=

1
ρ

∂

∂
ρ

(

ρ

A

ρ

)

+

1
ρ


∂

A

φ

∂
φ

+

∂

A

z

∂
z


∇
×

A

=

(

1
ρ


∂

A

z

∂
φ

−

∂

A

φ

∂
z

)

ρ
^

+

(

∂

A

ρ

∂
z

−

∂

A

z

∂
ρ

)

φ
^

+

1
ρ

(

∂

∂
ρ

(

ρ

A

φ

)

−

∂

A

ρ

∂
φ

)

z
^



∇

2

f

=

1
ρ

∂

∂
ρ

(

ρ

∂
f

∂
ρ

)

+

1

ρ

2



∂

2

f

∂

φ

2


+

∂

2

f

∂

z

2



{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A\_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A\_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A\_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A\_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A\_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A\_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A\_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A\_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A\_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}

Գլանային ներդաշնակություն
-------------------------

Գլանային համաչափություն ունեցող համակարգում Լապլասի հավասարման լուծումները կոչվում են գլանային ներդաշնակություն։

Կինեմատիկա
----------

Գլանաձև կոորդինատային համակարգում մասնիկի դիրքը կարելի է գրել այսպես


r

=
ρ

ρ
^

+
z

z
^

.

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}
Մասնիկի արագությունը նրա դիրքի ժամանակային ածանցյալն է,


v

=

d

r

d

t

=

ρ
˙


ρ
^

+
ρ

φ
˙


φ
^

+

z
˙


z
^

,

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}
որտեղ ժամանակը {\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}} հաշվում են Պուասոնի բանաձևով {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}. Իսկ արագացումը ստացվում է


a

=

d

v

d

t

=

(

ρ
¨

−
ρ


φ
˙

2

)

ρ
^

+

(

2

ρ
˙


φ
˙

+
ρ

φ
¨

)

φ
^

+

z
¨


z
^


{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Krafft, C.; Volokitin, A. S. (2002 թ․ հունվարի 1). «Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves». *Physics of Plasmas*. **9** (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl....9.2786K. doi:10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ ապրիլի 14-ին. Վերցված է 2013 թ․ փետրվարի 9-ին. «...in cylindrical coordinates (*r*,*θ*,*z*) ... and *Z* = *vbzt* is the longitudinal position...»
2. ↑  Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). «Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow». *Physical Review Letters*. **78** (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol/9610008. Bibcode:1997PhRvL..78.1460G. doi:10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. «...where r, θ, and z are cylindrical coordinates ... as a function of axial position...»
3. ↑  Szymanski, J. E. (1989). *Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications*. Tutorial Guides in Electronic Engineering (no. 16). Taylor & Francis. էջ 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
4. ↑  Nunn, Robert H. (1989). *Intermediate Fluid Mechanics*. Taylor & Francis. էջ 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
5. ↑  Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). *Galaxies in the Universe: An Introduction* (2nd ed.). Cambridge University Press. էջ 37. ISBN 978-0-521-85593-8.
6. 1 2  Taylor, John R. (2005). *Classical Mechanics*. Sausalito, California: University Science Books. էջ 29.