Թվային հաջորդականություն
**Թվային հաջորդականություն**, թվային տարրերի հաջորդականություն, մաթեմատիկական անալիզի հիմնական դիտարկման առարկա։

Սահմանում
---------

Օբյեկտների կարգավորված ցանցը կոչվում է հաջորդականություն։

Եղանակներ
---------

Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ։

### Հաջորդականության տրման անալիտիկ եղանակ

***Սահմանում 1.***

Եթե թվային արժեքներ ընդունող {\displaystyle f} ֆունկցիայի որոշման տիրույթ է հանդիսանում բնական թվերի բազմությունը՝ n∈N, ապա այդպիսի ֆունկցիային անվանում են **անվերջ թվային հաջորդականություն**, *կամ պարզապես, հաջորդականություն, իսկ {\displaystyle x\_{n}=f(n)} թվերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ*։

Հաջորդականությունը նշանակում են {\displaystyle \{x\_{n}\},\{x\_{n}\}\_{1}^{\infty }} կամ

{\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4},...x\_{n},...} (1)

{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},...{\frac {1}{3n-1}},...} (2)

{\displaystyle {\frac {3}{2}},{\frac {4}{9}},{\frac {5}{28}},...{\frac {n+2}{n^{3}+1}},...} (3)

{\displaystyle -2,0,-2,...-2,0,...} (4)

{\displaystyle 5,5,5,...5,...} (5)

(4) հաջորդականությունում {\displaystyle x\_{n}=-1+(-1)^{n}}, իսկ (5), ում՝ {\displaystyle x\_{n}=5}:

Դիցուք ունենք {\displaystyle \{x\_{n}\}}-ը և {\displaystyle \{y\_{n}\}}-ը թվային հաջորդականություններ են։ Նրանց գումար, տարբերություն, արտադրյալ և քանորդ են կոչվում համապատասխանաբար՝ {\displaystyle \{x\_{n}+y\_{n}\}}, {\displaystyle \{x\_{n}-y\_{n}\}}, {\displaystyle \{x\_{n}\centerdot y\_{n}\}}, {\displaystyle \{{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}\}}, {\displaystyle (y\_{n}\neq 0)} հաջորդականությունները։

***Սահմանում 2:***

*{\displaystyle \{x\_{n}\}} հաջորդականությունը կոչվում է վերևից (ներքևից) սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M (m) թիվ, որ ցանկացած n բնական թվի համար տեղի ունի անհավասարությունը՝*

{\displaystyle x\_{n}\eqslantless M} {\displaystyle (x\_{n}\geqslant m)}:

***Սահմանում 3:***

*{\displaystyle \{x\_{n}\}}*

հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն լինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից սահմանափակ:

***Սահմանում 4:***

*{\displaystyle \{x\_{n}\}}*

հաջորդականությունը կոչվում է անսահմանափակ, եթե ցանկացած *{\displaystyle L>0}* թվի համար *{\displaystyle x\_{k}\in \{x\_{n}\}}: {\displaystyle |x\_{k}|>L:}*

#### Օրինակներ

***Օրինակ 1:***

{\displaystyle -5,-10,-15,...-5n,...}

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն վերևից, ներքևից սահմանափակ չէ։

***Օրինակ 2:***

{\displaystyle 1,6,11,...5n-4,...}

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն ներքևից, վերևից սահմանափակ չէ։

***Օրինակ 3:***

{\displaystyle 3,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2^{2}}}...{\frac {3}{2^{n}-1}},...}

հաջորդականությունը սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից։

***Օրինակ 4:***

{\displaystyle -2,2^{2},-3,3^{2},...-n,n^{2},...}

հաջորդականությունը սահմանափակ չէ ո՛չ վերևից, ո՛չ էլ ներքևից։

### Հաջորդականության բառային նկարագիր

Հաջորդականության բառային նկարագրում, այսինքն պարզ թվերի հաջորդականություն և տասնորդական կոտորակներ։

#### Օրինակներ

**ա)** Պարզ թվերի հաջորդականություն

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

**բ)** Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին

0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 0.11111, ...

### Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակ

*Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը դա այն է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության {\displaystyle n}-րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները:*Այս դեպքում իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ կարողենք գտնել ինչքան որ հարկավոր է։

Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է '***ռեկուրենտ'*** (լատիներեն *recurrentis*՝ անդրադարձ բառից)։

#### Օրինակ

Ունենք {\displaystyle x\_{1}=4}, {\displaystyle x\_{n}=x\_{n-1}+5}, եթե {\displaystyle n=2,3,4,5,6,7,...}, հաշվենք {\displaystyle x\_{2},x\_{3},x\_{4},x\_{5},...} հաջորդականությունը.

{\displaystyle x\_{1}=4}

{\displaystyle x\_{2}=x\_{2-1}+5=x\_{1}+5=4+5=9}

{\displaystyle x\_{3}=x\_{3-1}+5=x\_{2}+5=9+5=14}

{\displaystyle x\_{4}=x\_{4-1}+5=x\_{3}+5=14+5=19}

{\displaystyle x\_{5}=x\_{5-1}+5=x\_{4}+5=19+5=24}

Այսպիսով ստացանք՝ 4, 9, 14, 19, 24, ... հաջորդականությունը։

Գրականություն
-------------

* Օհանյան Վ. Հ. «Մաթեմատիկական անալիզ», Երևան 2008, Գլուխ 3, էջ 34, 35։
* Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013