**Պասկալի հայտանիշ,** մեթոդ, որն օգնում է ստանալու ցանկացած թվի վրա բաժանելիության հայտանիշները։ Իր տեսակով «բաժանելիության յուրահատուկ մեթոդ»։

Ընդհանուր տեսքը
---------------

Դիցուք տրված է հաշվարկման տասական համակարգում {\displaystyle {\overline {a\_{n}a\_{n-1}\ldots a\_{2}a\_{1}a\_{0}}}} տեսքով ներկայացված ~A բնական թիվը, որտեղ {\displaystyle \!a\_{0}} — միավորն է, {\displaystyle \!a\_{1}} — տասնյակը և այլն։
Դիցուք {\displaystyle ~m} —ը ցանկացած բնական թիվ է, որի վրա ցանկանում ենք բաժանել և արտածել նրա վրա բաժանելիության հայտանիշը։
Գտնենք մնացորդների շարքը հետևյալ սխեմայով.

{\displaystyle \!r\_{1}} — {\displaystyle ~10}-ը {\displaystyle ~m}-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
{\displaystyle \!r\_{2}} — {\displaystyle 10\cdot r\_{1}} -ը {\displaystyle ~m}-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
{\displaystyle \!r\_{3}} — {\displaystyle 10\cdot r\_{2}} -ը {\displaystyle ~m}-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
{\displaystyle \!r\_{n}} — {\displaystyle 10\cdot r\_{n-1}}-ը {\displaystyle ~m}-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
{\displaystyle r\_{1}\equiv 10{\pmod {m}}}
{\displaystyle r\_{i}\equiv 10\cdot r\_{i-1}{\pmod {m}},\;i={\overline {2...n}}}
Քանի որ մնացորդների քանակը վերջավոր է, ապա այս գործընթացն ավարտվում է (ոչ ուշ, քան {\displaystyle ~m} քայլից)և այլևս կարելի է չշարունակել։ Սկսած որևէ {\displaystyle i=i\_{0},~r\_{i+p}=r\_{i}} որտեղ {\displaystyle ~p}-ն {\displaystyle ~\{r\_{i}\}} հաջորդականության ստացված պարբերություննէ։
Կարելի է ընդունել {\displaystyle ~r\_{0}=1}։ Այդ դեպքում ~A ունի {\displaystyle ~m}- վրա բաժանելուց ստացված նույն մնացորդը, ինչ որ {\displaystyle r\_{n}\cdot a\_{n}+\ldots +r\_{2}\cdot a\_{2}+r\_{1}\cdot a\_{1}+a\_{0}}. թիվը։

Հիմնական մասնավոր դեպքեր
------------------------

### 2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ {\displaystyle \!m=2}:
Քանի որ {\displaystyle 10~\vdots ~2}, ապա {\displaystyle ~r\_{0}=1,~r\_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. **Թիվը 2-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 2-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին**, կամ սովորաբար. **Թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է**։

### 3-ի և 9-ի վրա բաժանելիության հայտանիշները

Այստեղ {\displaystyle \!m=3} կամ {\displaystyle \!m=9}:
Քանի որ {\displaystyle 10^{i}\equiv 1(mod\ 3),i\in \mathbb {N} } (*10-ը ինչպես 9-ի, այնպես էլ 3-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1*), ապա բոլոր {\displaystyle ~r\_{i}=1}: Նշանակում է, **թիվը 3-ի (կամ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների գումարը 3-ի (համապատասխանաբար՝ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ այլ կերպ,** թիվը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի), եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի)**։**

### 4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ {\displaystyle ~m=4}:
Գտնենք մնացորդների հաջորդականությունը.{\displaystyle ~r\_{0}=1,~r\_{1}=2,~r\_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }: Այստեղից ստանում ենք հայտանիշը. **թիվը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասարէ {\displaystyle ~2\cdot a\_{1}+a\_{0}} -ը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին**, կամ, նկատի ունենալով, որ մնացորդը կախված է միայն վերջին երկու թվանշաններից, կստացվի. **թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի** ։

### 5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ {\displaystyle ~m=5}.
Քանի որ {\displaystyle 10~\vdots ~5}, ապա {\displaystyle ~r\_{0}=1,~r\_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. **Թիվը 5-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 5-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին**, կամ սովորաբար. **Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը 0 է կամ 5**։

### 7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ {\displaystyle \!m=7}:
Գտնենք մնացորդները.

1. {\displaystyle 10=1\cdot 7+3\Rightarrow r\_{1}=3}
2. {\displaystyle 10\cdot r\_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r\_{2}=2}
3. {\displaystyle 10\cdot r\_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r\_{3}=6}
4. {\displaystyle 10\cdot r\_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r\_{4}=4}
5. {\displaystyle 10\cdot r\_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r\_{5}=5}
6. {\displaystyle 10\cdot r\_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r\_{6}=1=r\_{0}}, ցիկլը փակվում է։

Հետևաբար,  **ցանկացած {\displaystyle A={\overline {a\_{n}a\_{n-1}\ldots a\_{2}a\_{1}a\_{0}}}} թվի համար 7-ի վրա նրա բաժանելուց ստացված մանցորդը հավասար է.**

{\displaystyle a\_{0}+3a\_{1}+2a\_{2}+6a\_{3}+4a\_{4}+5a\_{5}+a\_{6}+\ldots }**:**
#### Օրինակ

Դիտարկենք 48916 թիվը։ Վերը ապացուցվածի համաձայն,

{\displaystyle 48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=}
{\displaystyle 6+3+18+48+16=91\equiv 0(mod\ 7)},
նշանակում է, 48916 թիվը բաժանվում է 7-ի վրա։

### 11 -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ {\displaystyle \!m=11}.
Քանի որ {\displaystyle 10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1(mod\ 11)}, ապա բոլոր {\displaystyle ~r\_{2i}=1}, իսկ {\displaystyle r\_{2i-1}=10\equiv -1(mod\ 11)}: Այստեղից կարելի է ստանալ 11-ի վրա բաժանելիության պարզ հայտանիշը.

թիվը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների այն գումարը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդին, որտեղ յուրաքանչյուր կենտ թվով արտահայտված դիրքում գտնվող թվանշանը (սկսած միավորից) վերցված է «−» նշանով։
Այլ կերպ ասած.

եթե թվի բոլոր թվանշանները բաժանենք երկու խմբի այնպես, որ մի խմբում լինեն բոլոր կենտ դիրքերում գտնվող թվանշանները, մյուսում` զույգ, յուրաքանչյուր խմբում գումարենք բոլոր թվանշանները և ստացված գումարներից մեկից հանենք մյուսը, ապա ստացված թիվը 11-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի նույնը, ինչ ելակետային թվի համար։

Գրականություն
-------------

Признаки делимости Archived 2020-07-18 at the Wayback Machine. М. "Наука" 1988 г. 94 стр. 165 000 экз. (Популярные лекции по математике)