Երեք իրական արմատով (հորիզոնական առանցքի հետ հատման կետում, որտեղ у = 0) {\displaystyle y=(x^{3}+3x^{2}-6x-8)/4} խորանարդ հավասարման գրաֆիկը։ Առկա է 2 կրիտիկական կետ։
{\displaystyle 8x^{3}+7x^{2}-4x+1} հավասարումն ունի մեկ իրական և երկու կեղծ արմատ։
**Խորանարդ հավասարում**, երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, ընդհանուր տեսքն է՝ {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}, որտեղ {\displaystyle a\neq 0}։ Խ. հ. {\displaystyle x=y-b/3a} տեղադրությամբ բերվում է «թերի», կանոնիկ տեսքի՝ {\displaystyle y^{3}+py+q=0}, որը լուծվում է Կարդանոյի բանաձևով՝

Լուծումը կարող է տրվել Սցիպիոս դել Ֆերոյի և Տարտագալիայի մեթոդներով, որը հրատարակվել է Գերալամո Կարդանոյի կողմից 1545 թ.-ին

Մեթոդը թույլ է տալիս հավասարումը բերել թերի խորանարդ հավասարման.

{\displaystyle t^{3}+pt+q=0\,.\qquad (2)}
Մենք ներկայացնում ենք *u* և *v* փոփոխականների կապը հետևյալ հավասարման տեսքով.

{\displaystyle u+v=t\,}
և (2) հավասարումից օգտվելով այն կարելի է բերել հետևյալ հավասարման.

{\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0\qquad (3)\,}։
Եվ այստեղ էլ Կառնոն առաջ է քաշում ևս մի պայման՝ *u* և *v* փոփոխականների համար։ 

{\displaystyle 3uv+p=0\,}։
Քանի որ (3) հավասարման մեջ առաջին փակագիծն անհետանում է, մենք ստանում ենք {\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q} և {\displaystyle u^{3}v^{3}=-p^{3}/27}. հավասարումները։ Որտեղից {\displaystyle u^{3}} և {\displaystyle v^{3}} հավասարման երկու արմատներն են։ 

{\displaystyle z^{2}+qz-{p^{3} \over 27}=0\,.}
Այստեղից, Կարդանոն, որը չգիտեր կոմպլեքս թվերի մասին, ենթադրում է, որ թիվը ռեալ է և այն որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ. {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}>0\,.}

Լուծելով այս հավասարումը մենք կարող ենք {\displaystyle u} և {\displaystyle v} փոփոխականների արժեքները փոխարինել մեր արդյունքներով և ունենալ.

{\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}} և {\displaystyle v^{3}=-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}։
Եվ քանի որ այս թվերը ըստ Կարդանոյի ռեալ են, մենք ստանում ենք.

{\displaystyle t\_{1}=u+v={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}
Բարդ խորանարդային հավասարումը լուծելիս ունենում ենք երկու կոմպլեքս արմատներ։ Այն փաստը, որ {\displaystyle uv} արտադրյալն իրական թիվ է, մենք ստանում ենք, որ{\displaystyle \,{\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,} և մյուս կողմից {\displaystyle \,{\tfrac {-1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,}։

Եթե {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\,} պարտադիր չէ, որ խորանարդ հավասարման արժեքը լինի դրական, ապա մենք կարող ենք որոշել {\displaystyle u^{3}} արժեքը։ Քանի որ մենք {\displaystyle v^{3}} խորանարդ հավասարման համար ուղիղ լուծման ճանապարհ չունենք, ապա այն մենք կարող ենք լուծել հետևյալ հավասարմամբ. {\displaystyle v=-{\frac {p}{3u}}}, որը մեզ կտա 

{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\qquad (4)}
և

{\displaystyle t=u-{\frac {p}{3u}}\,.}
Նշենք որ արմաատի նշանը չի ազդում t փոփոխականի վրա, որովհետև նրա արժեքների փոփոխումը բերում է u և v փոփխականների արժեքի փոփոխման։ Մենք ընտրում ենք մինուս նշանը ունենալով, որ {\displaystyle u\neq 0}, երբ {\displaystyle p=0} և {\displaystyle q\neq 0} թիվը զրոյի վրա բաժանվելուց խուսափելու համար։ Այս ընտրության դեպքում t փոփոխականի համար վերը նշված արտահայտությունները միշտ աշխատում են՝ բացառությամբ երբ {\displaystyle p=q=0}, որտեղ երկրորդ մասը դառնում է {\displaystyle 0/0}։ Այս դեպքում մենք ունենում ենք եռակի արմատ. {\displaystyle t=0}.

Բայց խնդրի լուծման համար նշենք ևս մի քանի տարբերակներ, երբ խնդիրը հանգեցվում է քիչ քանակությունով քառակասի և խորանարդ արմատների գտնելուն.

Եթե {\displaystyle p=q=0} մենք ունենում ենք երեք արտատ
{\displaystyle t=0.\,}
Եթե {\displaystyle p=0} և {\displaystyle q\neq 0} ապա
{\displaystyle u=-{\sqrt[{3}]{q}}{\text{ and }}v=0}
և երեք արմատները {\displaystyle -q} խորանարդ արմատներն են։
Եթե {\displaystyle p\neq 0} և {\displaystyle q=0} ապա
{\displaystyle u={\sqrt {p \over 3}}\qquad {\text{and}}\qquad v=-{\sqrt {p \over 3}},}
այս դեպքում երեք արմատները հետևյալն են.
{\displaystyle t=u+v=0,\qquad t=\omega \_{1}u-{p \over 3\omega \_{1}u}={\sqrt {-p}},\qquad t={u \over \omega \_{1}}-{\omega \_{1}p \over 3u}=-{\sqrt {-p}},}
որտեղ
{\displaystyle \omega \_{1}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i.}
Ի վերջո, եթե {\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0} և {\displaystyle p\neq 0}, ստացվում է կրկնակի արմատ և պարզագույն արմատ, որոնք կարող են լինել ռացիոնալ p և {\displaystyle q} փոփոխականների տեսանկյունից, բայց այս արտահայտությունն արմատից անմիջապես չենք կարող ստանալ.
{\displaystyle t\_{1}=t\_{2}=-{\frac {3q}{2p}}\quad } և {\displaystyle \quad t\_{3}={\frac {3q}{p}}\,.}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Jacobson 2009, էջ. 210


|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 86)։*  |