Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի **ածանցման հիմնական կանոնները**։

Ածանցման տարրական կանոններ
--------------------------

Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում։

### Ածանցումը գծային է

Կամայական {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաների և {\displaystyle a} և {\displaystyle b} իրական թվերի համար {\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)} ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ {\displaystyle x}-ի հավասար է՝

{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}{\text{։}}}
Մասնավոր դեպքեր․

* *Հաստատում արտադրիչի կանոն՝*

{\displaystyle (af)'=af'}
* *Գումարման կանոն՝*

{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
* Հանման կանոն՝

{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
### Բազմապատկման կանոն

Կամայական *f* և *g* ֆունկցիաների համար *h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ *x*-ի հավասար է՝

{\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
### Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն

Հիմնական հոդված՝ Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում
{\displaystyle h(x)=f(g(x))} ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|\_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}{\text{։}}}
Դիֆերենցումը որպես {\displaystyle {\text{D}}} արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

{\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]\_{x}=[{\text{D}}h]\_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]\_{x}\,{\text{։}}}
### Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք

Եթե f ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան g-ն է, այսինքն՝ {\displaystyle g(f(x))=x} և {\displaystyle f(g(y))=y,} ապա

{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}{\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}{\text{։}}}

Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն
------------------------------------------------------------

### Բազմանդամի ածանցիալ

Եթե{\displaystyle f(x)=x^{r}}, որտեղ {\displaystyle r\neq 0,} ապա 

{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}{\text{։}}}
Երբ {\displaystyle r=1,} սա ապա {\displaystyle f(x)=x,} հետևաբար՝ {\displaystyle f'(x)=1}։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

### Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն

Կամայական չանհետացող *f* ֆունցիայի դեպքում {\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}} ֆունցկայի ածանցյալն է՝

{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}} որտեղ *f*-ը զրոյական չէ։
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}{\text{։}}}
Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

### Քանորդների կանոն

Եթե *f* և *g* ֆունկցիաների համար

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad } որտեղ *g*-ը զրոյական չէ։
Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

### Ընդհանուր աստիճանային կանոն

Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական *f* և *g* ֆունկցիաների համար՝

{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են։

Հատուկ դեպքերից են՝

* եթե {\textstyle f(x)=x^{a}\!}, ապա {\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}երբ *a*-ն տարբեր է զրոյից իսկ *x*-ը՝ դրական։
* Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ {\textstyle g(x)=-1\!}։

Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ
-------------------------------------------------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}
այս հավասարումը ճիշտ է կամայական c-ի համար, բայց {\textstyle c<0} դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log \_{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական *c* թիվի համար, բայց {\textstyle c<0\!} դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}.}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{եթե }}f(x)>0,{\text{ և եթե }}{\frac {df}{dx}}{\text{ և }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ գոյություն ունեն։}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f\_{1}(x)^{f\_{2}(x)^{\left(...\right)^{f\_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits \_{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x\_{k}}}\left(f\_{1}(x\_{1})^{f\_{2}(x\_{2})^{\left(...\right)^{f\_{n}(x\_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }\_{x\_{1}=x\_{2}=...=x\_{n}=x},{\text{ եթե }}f\_{i<n}(x)>0{\text{ և }}} {\displaystyle {\frac {df\_{i}}{dx}}{\text{ գոյություն ունի։ }}}
### Լոգարիթմական ածանցյալ

Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․

{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad } եթե *f*-ը դրական է։
Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։ Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ
------------------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\sin x)'=\cos x} | {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x} | {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x} | {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}} |
| {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)} | {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}} |
| {\displaystyle (\sec x)'=\tan x\sec x} | {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}} |
| {\displaystyle (\csc x)'=-\cot x\csc x} | {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}} |

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ {\displaystyle \arctan(y,x)\!}։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են {\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!} միջակայքում և արտահայտում է {\displaystyle (x,y)\!} կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ {\displaystyle x>0\!}) {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}, and {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.} |

Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ
-------------------------------------

Տե՛ս նաև՝ Հիպերբոլական ֆունկցիաներ

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} | {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}} |
| {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} | {\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} |
| {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}} | {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x} | {\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x} | {\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x} | {\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}} |

Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ
-------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Գամմա ֆունկցիա {\displaystyle \quad \Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
{\displaystyle \Gamma '(x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
{\displaystyle \,=\Gamma (x)\left(\sum \_{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \,=\Gamma (x)\psi (x)}
որտեղ {\displaystyle \psi (x)}-ն դիգամմա ֆունկցիան է |  |

|  |
| --- |
| Ռիմանի զետա ֆունկցիա{\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}
{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }
{\displaystyle \,=-\sum \_{p{\text{ պարզ}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod \_{q{\text{ պարզ}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}} |

Տես նաև
-------

* Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
* Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
* Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
* Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Calculus (5th edition)*, F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-150861-2.
2. ↑  *Advanced Calculus (3rd edition)*, R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, 978-0-07-162366-7.
3. ↑  *Complex Variables*, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, 978-0-07-161569-3
4. ↑  «The Exponent Rule for Derivatives»։ *Math Vault* (en-US)։ 2016-05-21։ Վերցված է 2019-07-25

Գրականություն
-------------

* Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
* *Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)*, S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7.
* *The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-57507-2.
* *Mathematical methods for physics and engineering*, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-86153-3
* *NIST Handbook of Mathematical Functions*, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-19225-5.