**Բեսսելի Ֆիլտր**, էլեկտրոնիկայի և ազդանշանների մշակման առավել տարածված գծային ֆիլտր։ Ինչպես բոլոր գծային ֆիլտրերում, այս դեպքում էլ Բեսսելի ֆիլտրի մուտքային ազդանշանի վրա կիրառում են գծային օպերատոր, նպատակ ունենալով ճնշել կամ առանձնացնել ազդանշանի որոշակի հաճախություն։ Նրա առանձնահատկությունը առավելագույն հարթ խմբային հապաղման մեջ է(գծային փուլահաճախային բնութագիր), որը պահպանում է ֆիլտրված ազդանշանների ալիքների ձևը անցման շերտերում(այն տիրույթն է, որն անցնում է ֆիլտրի միջով) : Բեսսելի ֆիլտրը հաճախ օգտագործում են ձայնային տեխնոլոգիաներում։ Ֆիլտրն իր անվանումը ստացել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Բեսսելի(1784–1846) պատվին, ով մշակել է մաթեմատիկական այն տեսությունը, որի վրա հիմնված է ֆիլտրը։ Այն անվանում են նաև Բեսսել-Թոմսոնի ֆիլտր։ Թոմսոնը աշխատել է այն ուղղությամբ, թե ինչպես պետք է կիրառել Բեսսելի ֆունկցիաները :

Փոխանցման ֆունկցիա
------------------

 Ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը և խմբային հապաղումը չորրորդ կարգի ցածր հաճախային Բեսսելի ֆիլտրի համար: Նշենք, որ ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը զգալիորեն ավելի քիչ ուղղաձիգ է, քան այլ գծային ֆիլտրերում, սակայն խմբային համաղումը մնում է անփոփոխ հաճախությունների անցման տիրույթում: 
Բեսսելի ֆիլտրի փոխանցման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը`

{\displaystyle H(s)={\frac {\theta \_{n}(0)}{\theta \_{n}(s/\omega \_{0})}}\,}, որտեղ {\displaystyle \theta \_{n}(s)}-ը Բեսսելի հակադարձ բազմանդամն է, իսկ {\displaystyle \omega \_{0}}-ն ընտրված հաճախությունն է, որը տալիս է անհրաժեշտ հաճախության կտորը։ Ֆիլտրը ունի {\displaystyle 1/\omega \_{0}} ցածր-հաճախային հապաղման խումբ։

Օրինակ
------

 Երրորդ կարգի Բեսսելի ֆիլտրի նորմավորված հաճախություն
Երրորդ կարգի Բեսսելի ֆիլտրի խմբային հապաղված հաճախություն
Երրորդ կարգի Բեսսելի ցածր հաճախային փոխանցման ֆունկցիան կարգավորում է հապաղման խումբը`

{\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}.}, որտեղ *s* = −1.8389 ± *j*1.7544

Ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը`

{\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}\,}:

Փուլահաճախային բնութագիրը`

{\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=-\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right)\,}:

Այսպիսի ֆիլտրի խմբային հապաղումը `

{\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}\,}:

Խմբային հապաղման վերլուծումը Թեյլորի աստիճանային շարքով`

{\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots }

Վերջին արտահայտությունից երևում է, որ *ω*2 և *ω*4 աստիճանների գործակիցները հավասար են զրոյի, իսկ ավելի բարձր աստիճանների դեպքում շատ փոքր են ստացվում, որից էլ ցածր հաճախություններում խմբային հապաղումը մոտ է մեկին։

Թվային
------

Որպես Բեսսելի ֆիլտրի կարևոր բնութագիր է հանդիսանում առավելագույն հարթ խմբային հապաղումը, այլ ոչ թե ամպլիտուդային արձագանքը։ Բեսսելի ֆիլտրին թվային տեսք տալու համար նպատակահարմար չէ օգտագործել ոչ գծային անալոգային փոխակերպում,քանի որ այն պահպանում է ամպլիտուդի արձագանքը, բայց ոչ խմբի հապաղումը։

Թվայինը համարժեք է Թիրանի ֆիլտրին, ինչպես նաև առավելագույն հարթ խմբային հապաղմամբ ցածր հաճախային ֆիլտրի, որը նույնպես կարող է վերափոխվել փուլային ֆիլտրի, իրականացնելու համար մասնակի հապաղումներ։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  «Bessel Filter». 2013 թ․ հունվարի 24. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ հունվարի 24-ին. Վերցված է 2016 թ․ հունվարի 6-ին.
2. ↑  Thomson, W.E. "Delay Networks having Maximally Flat Frequency Characteristics", *Proceedings of the Institution of Electrical Engineers*, Part III, November 1949, Vol. 96, No. 44, pp. 487–490.
3. ↑  
Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino (2007). *Electronic filter simulation & design*. McGraw–Hill Professional. էջեր 31–43. ISBN 978-0-07-149467-0.
4. ↑  Thiran, J. P. (1971 թ․ նոյեմբերի 1). «Recursive digital filters with maximally flat group delay». *IEEE Transactions on Circuit Theory*. **18** (6): 659–664. doi:10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN 0018-9324.
5. ↑  Madisetti, Vijay (1997 թ․ դեկտեմբերի 29). «Section 11.3.2.2 Classical IIR Filter Types». *The Digital Signal Processing Handbook* (անգլերեն). CRC Press. էջ 282. ISBN 9780849385728. «A fifth IIR filter ... is the all-pole filter that possesses a maximally flat group delay ... It should be noted that this filter is not obtained directly from the analog equivalent, the Bessel filter ... Instead, it can be derived directly in the digital domain [Thiran]»
6. ↑  Smith III, Julius O. (2015 թ․ մայիսի 22). «Thiran Allpass Interpolators». W3K Publishing. Վերցված է 2016 թ․ ապրիլի 29-ին.
7. ↑  Välimäki, Vesa (1995 թ․ հունվարի 1). «Discrete-time modeling of acoustic tubes using fractional delay filters» (PDF) (English). Otaniemi: Helsinki University of Technology. «Thiran (1971) proposed an analytic solution for the coefficients of an all-pole low-pass filter with a maximally flat group delay ... it seems that the result of Thiran is better suited to the design of allpass than all-pole filters.» `{{cite journal}}`: Cite journal requires `|journal=` (օգնություն)CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link)