**Լայբնիցի շարք**, շարքն ուսումնասիրած գերմանացի մաթեմատիկոս Լայբնիցի անունով կոչված նշանահեթափոխ շարք (չնայած նրան, որ այդ շարքը հայտնի է եղել ավելի շուտ).

{\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}:}
Այս շարքի զուգամիտությունն անմիջապես հետևում է Լայբնիցի նշանահերթափոխ շարքերի մասին թեորեմից։ Լայբնիցը ցույց տվեց, որ շարքի գումարը հավասար է {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}:} Այս հայտնագործությունը առաջին անգամ ցույց տվեց, որ պի թիվը, որը սկզբնապես սահմանված է երկրաչափության մեջ, Իրականում համընդհանուր մաթեմատիկական հաստատուն է. հետագայում այս փաստը մշտապես նոր հաստատում է գտել։

Զուգամիտության արագություն
--------------------------

Լայբնիցի շարքը զուգամիտում է շատ դանդաղ։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս \pi շարքին զուգամիտության արագությունը՝ բազմապատկած չորսով։

| n(Շարքիանդամների թիվը) | {\displaystyle 4\cdot \sum \_{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}} (Մասնակի գումար, ճիշտ նշաններն ընգծված են սև գույնով) | Հարաբերական  ճշգրչտություն |
| --- | --- | --- |
| 2 | 2,666666666666667 | 0,848826363156775 |
| 4 | 2,895238095238095 | 0,921582908570213 |
| 8 | 3,017071817071817 | 0,960363786700453 |
| 16 | 3,079153394197426 | 0,980124966449415 |
| 32 | 3,110350273698686 | 0,990055241612751 |
| 64 | 3,125968606973288 | 0,995026711499770 |
| 100 | 3,131592903558553 | 0,996816980705689 |
| 1.000 | 3,140592653839793 | 0,999681690193394 |
| 10.000 | 3,141492653590043 | 0,999968169011461 |
| 100.000 | 3,141582653589793 | 0,999996816901138 |
| 1.000.000 | 3,141591653589793 | 0,999999681690114 |
| 10.000.000 | 3,141592553589793 | 0,999999968169011 |
| 100.000.000 | 3,141592643589793 | 0,999999996816901 |
| 1.000.000.000 | 3,141592652589793 | 0,999999999681690 |

Պատմություն
-----------

Լայբնիցի շարքը հեշտությամբ ստացվում է արկտանգենսի՝ Թեյլորի շարքի վերլուծմամբ.

{\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }
Տեղադրելով {\displaystyle x=1,} մենք ստանում ենք Լայբնիցի շարքը։

Արկտանգենսի համար Թեյլորի շարքն առաջին անգամ առաջ բերեց Մաթեմատիկոս Մադխավան, ով Կերալայի աստղագիտության և մաթիմատիկայի դպրոցի հիմնադիրն էր (XIV դար)։ Մեդխավան օգտագործեց շարքը \pi թիվը հաշվելու համար։ Սակայն լայբնիցի շարքը {\displaystyle x=1}-ով, ինչպես ցույց է տրված վերևում, զուգամիտում է շատ դանդաղ, այդ պատճառով Մեդխավան տեղադրեց {\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{3}}} և ստացավ ավելի արագ զուգամիտող շարք։

{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}
Առաջին 21 գումարելիների գումարը տալիս է {\displaystyle 3{,}14159265359}, ընդ որում բոլոր նշանները, բացի վերջինից, ճիշտ են։

Մեդխավայի և իր աշակերտների ջանքերը հայտնի չէին Եվրոպայում XVII դարում, և արկտանգենսի վերլուծումը իրենցից անկախ հայտնագործեցին Գրեգորի Ջեյմսը (1671) և Լայբնիցը (1676)։ Այդ պատճառով, որոշ աղբյուրներ առաջարկում են շարքն անվանել «Մադխավա-Լայբնիցի շարք» կամ «Գրեգորի-Լայբնիցի շարք»։ Գրեգորին, այնուամենայնիվ, աշդ շարքը չէր կապում \pi թվի հետ։

Զուգամիտության արագացում
------------------------

Լայբնիցի շարքի ևս մեկ ձևափոխություն, որն այն դարձնում է \pi թվի հաշվարկի համար ավելի պիտանի, դա այդ շարքի անդամների զույգ առ զույգ միավորումն է։ Արդյունքում ունենում ենք հետևյալ շարքը.

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}
Հաշվարկի հետագա օպտիմալացման համար կարելի է կիրառել Էյլեր-Մակլորենի բանաձևը և օգտագործելով թվային ինտեգրման մեթոդները։

Տես նաև
-------

* Հարմոնիկ շարք

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Фихтенгольц, 2003, էջ 401
2. ↑  *Паплаускас А. Б.* Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // *Историко-математические исследования*. — М.: Наука, 1973. — Т. XVIII. — С. 104—131.
3. ↑  *C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari* On an untapped source of medieval Keralese Mathematics(անգլ.) // *Archive for History of Exact Sciences* : journal. — 1978. — Т. 18. — С. 89—102. — doi:10.1007/BF00348142
4. ↑  Вездесущее число «пи», 2007, էջ 47
5. ↑  *R C Gupta* Madhava's and other medieval Indian values of pi(անգլ.) // *Math. Education*. — 1975. — Т. 9. — № 3. — С. B45—B48.

Գրականություն
-------------

* *Жуков А. В.* Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6
* *Фихтенгольц Г. М.* Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9

Արտաքին հղումներ
----------------

* Wolfram MathWorld կայքում