*y* = 1/*x* ֆունկցիան: Աջից դեպի 0 *x*-ի աճին զուգընթաց *y*-ի աճը անվերջ դրական ուղղությամբ է։ Ձախից դեպի 0 *x*-ի աճին զուգընթաց *y*-ի աճը անվերջ բացասական է:
Զրոյի վրա բաժանելիս Անդրոիդի հաշվիչը ցույց է տալիս անվերջության նշանը։
**Զրոյի վրա բաժանումը** մաթեմատիկայում տեղի է ունենում, երբ բաժանարարը (հայտարարը) զրո է։ Նման բաժանումը կարող է ունենալ {\displaystyle a/0} տեսքը, որտեղ {\displaystyle a}-ն համարիչն է։ Տարրական թվաբանության մեջ այդ արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ չկա մի թիվ, որը բազմապատկելով զրոյով, կստանանք {\displaystyle a} թիվը (ենթադրելով, որ {\displaystyle a\neq 0})։ Եվ քանի որ ցանկացած թիվ զրոյի բազմապատկելիս ստացվում է զրո, {\displaystyle 0/0} արտահայտությունը նույնպես չունի սահմանված արժեք։

Պատմականորեն, ամենավաղ արձանագրված տվյալներով {\displaystyle a/0} արտահայտությանը արժեքը նշանակելու անհնարության մասին կա Ջորջ Բերկլիի (1685 – 1753)՝ «criticism of infinitesimal calculus»-ում։

Ծրագրավորման մեջ զրոյի վրա բաժանելու դեպքում կարող է ծրագրի մեջ խնդիր առաջանալ։ Դա կախված է ծրագրավորման միջավայրից և այն թվի տեսակից, որի վրա կատարվում է բաժանումը։ Կարող է առաջացնել դրական կամ բացասական անվերջություն, բացառություն, սխալի ուղերձ, կարող է նաև ծրագիրը դադարի աշխատել կամ կարող է հանգեցնել հատուկ *ոչ մի թիվ* կոչված արժեքին (NaN)։

Տարրական թվաբանության մեջ
-------------------------

Երբ բաժանումը բացատրվում է տարրական թվաբանական մակարդակով, այն հաճախ դիտվում է որպես մի շարք օբյեկտների միջև կիսում հավասար մասերի։ Որպես օրինակ, ենթադրենք ունենք տասը բլիթ, և այդ բլիթները պետք է հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած հինգ մարդկանց միջև։ Յուրաքանչյուր մարդ կստանա {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{5}}=2} բլիթ։ Նմանապես, եթե կա տասը բլիթ և մեկ մարդ, նա կստանա {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{1}}} բլիթ։

Բայց {\displaystyle 0}-ի վրա բաժանելու համար պետք է տանք հետևյալ հարցը՝ եթե բլիթները հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած {\displaystyle 0} մարդկանցից միջև, քանի՞ բլիթ կհասնի յուրաքանչյուրին։ {\displaystyle 10} բլիթները {\displaystyle 0} հավասար մասի բաժանելու հնարավոր ձև։ Մաթեմատիկական ժարգոնով կարելի է ասել, որ {\displaystyle 10} առարկաներ չեն կարող բաժանվել {\displaystyle 0} ենթաբազմությունների. այսինքն, {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{0}}} արտահայտությունը տարրական թվաբանության մեջ կա՛մ համարվում է անիմաստ, կա՛մ՝ դատարկ բազմություն։

Մեկ այլ եղանակ կա համոզվելու, որ թիվը չի կարող բաժանվել զրոյի։ Բաժանումը միշտ կարող ենք ստուգել բազմապատկման միջոցով։ Դիտարկելով վերը բերված {\displaystyle 10/0}-ի օրինակը՝ նշանակենք {\displaystyle x=10/0}։ Եթե {\displaystyle x}-ը հավասար է տասը բաժանած զրոյի, ապա {\displaystyle x} անգամ զրո պետք է հավասար լինի տասի։ Բայց մենք գիտենք, որ չկա այնպիսի {\displaystyle x}, որը զրոյով բազմապատկելիս ստացվի {\displaystyle 10} (կամ զրոյիից բացի այլ թիվ)։ Իսկ եթե {\displaystyle 10}-ի փոխարեն գրենք {\displaystyle 0}, կստանանք {\displaystyle x=0/0}։ Այս դեպքում {\displaystyle x}-ը կարող է լինել ցանկացած արժեք։

Հանրահաշվում
------------

### Բաժանումը՝ բազմապատկման հակառակ գործողություն

Այս հասկացությամբ բաժանումը հանրահաշվում ներկայացվում է որպես բազմապատկման հակառակ գործողություն։ Օրինակ՝

{\displaystyle {\frac {6}{3}}=2},
ուրեմն 2-ը այն անհայտ մեծության արժեքն է, որի դեպքում ճիշտ է

{\displaystyle ?\times 3=6}
արտահայտությունը։

Մինչդեռ

{\displaystyle {\frac {6}{0}}=\,x}
արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ լինի

{\displaystyle x\times 0=6}
հավասարումը։ Բայց ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Այսինքն՝ չկա այնպիսի թիվ, որը կբավարարի այդ հավասարմանը։

{\displaystyle {\frac {0}{0}}=\,x}
արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ կլինի

{\displaystyle x\times 0=0}
հավասարումը։

Նորից, ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Հետևաբար, այս դեպքում ցանկացած թիվ բավարարում է ներքևի հավասարմանը, բայց չի կարող բավարարել վերևինին։

Այսպիսով, {\displaystyle 0/0} տեսքի արտահայտությունը կոչվում է անորոշություն։

### {\displaystyle 0}-ի վրա բաժանելիս առաջացող շփոթություններ

Հնարավոր է ունենալ զրոյի վրա բաժանման այնպիսի հանրահաշվական արգումենտի դեպք, որը կհանգեցնի կեղծ ապացույցների, ինչպես օրինակ՝ {\displaystyle 1=2,3=4,8=20} և այլն։
Օրինակ՝ ընդունելով, որ

{\displaystyle 0\times 1=0}
{\displaystyle 0\times 2=0},
պետք է ճիշտ լինի

{\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}
հավասարությունը։ Այս հավասարության երկու կողմերը բաժանելով զրոյի, կստանանք՝

{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2}։
Պարզեցնելով այդ արտահայտությունը՝ կստանանք, որ

{\displaystyle 1=2.\,}
Այստեղ տրամաբանական սխալը ոչ ակնհայտ ենթադրությունն էր, ըստ որի 0-ի վրա բաժանելը նույնպիսի հատկություններով թույլատրելի մաթեմատիկական գործողություն է, ինչպես ցանկացած թվի վրա բաժանելն է։

Պատմական դեպքեր
---------------

1997 թվականի սեպտեմբերի 21-ին ամերիկյան «USS Yorktown (CG-48)»-ի հրթիռային հածանավի տվյալների հեռակա կառավարման համակարգում զրոյի վրա բաժանման հետևանքով շարքից դուրս եկան բոլոր ցանցային սարքերը, ինչի հետևանքով խափանվեց նավի շարժիչ համակարգը։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Cajori, Florian, «Absurdities due to division by zero: An historical note», *The Mathematics Teacher*: 366–368 .
2. ↑  «Sunk by Windows NT»։ *Wired News*։ 1998-07-24
3. ↑  William Kahan (հոկտեմբերի 14, 2011)։ «Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering»