Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Եռանկյուն (այլ կիրառումներ)
**Եռանկյուն**, եռակողմ բազմանկյուն։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։

Եռանկյան տեսակներ
-----------------

Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են), 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Ուղղանկյուն եռանկյուն | Բութանկյուն եռանկյուն | Սուրանկյուն եռանկյուն |
| Ուղղանկյուն | Բութանկյուն | Սուրանկյուն |

հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

|  |  |
| --- | --- |
| Հավասարակողմ եռանկյուն | Հավասարասրուն եռանկյուն |
| Հավասարակողմ | Հավասարասրուն |

Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն
------------------------------------------

### Եռանկյունների հավասարություն

Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝

* Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
* Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
* Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

### Եռանկյունների նմանություն

Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A1B1C1 նման եռանկյունների միջև

\frac{AB}{A\_1B\_1} = \frac{AC}{A\_1C\_1} = \frac{BC}{B\_1C\_1}, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1։

Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝

* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։
* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։
* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։

Եռանկյան հետ կապված սահմանումներ
--------------------------------

Եռանկյան գագաթից տարված «բարձրություն» է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը։ Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը կոչվում է եռանկյան օրթոկենտրոն։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։

Եռանկյան գագաթից տարված «կիսորդ» է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան «միջնագիծ» է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։

Եռանկյան «միջին գիծ» է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։

«Ուղղանկյուն եռանկյուն» է կոչվում այն եռանկյունը, որի ներքին անկյուններից մեկը 90 աստիճան է (ուղիղ անկյուն)։ Այդ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է «ներքնաձիգ», իսկ կից կողմերը կոչվում են ուղղանկյուն եռանկյան «էջեր»։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «սինուս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

\sin \alpha = \frac {a} {h}\,.
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոսինուս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

\cos \alpha = \frac {b} {h}\,.
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «տանգենս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝

\tan \alpha = \frac {a} {b}\,.
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոտանգենս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝

\cot \alpha = \frac {b} {a}\,.

Եռանկյունների հետ կապված հիմնական փաստեր
----------------------------------------

Եռանկյունների մասին հիմնական փաստերը ուսումնասիրվել են Էվկլիդեսի կողմից՝ իր «Սկզբունքներ» ձեռնարկի 1–4 գրքերում մոտ մ․թ․ա․ 300 թվականին։

d-ն պատկերված եռանկյան արտաքին անկյունն է։
Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյան անկյուններից գոնե երկուսը սուր են։

Եռանկյան տրված գագաթի «արտաքին անկյուն» կոչվում է եռանկյան այդ գագաթի անկյանը կից անկյունը։ Եռանկյան տրված գագաթի անկյունը նույն գագաթի ներքին անկյան հետ չշփոթելու համար, այն անվանում են «ներքին անկյուն»։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին։

Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից։ Այս հատկությունը կոչվում է «եռանկյան անհավասարություն»։

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը համընկնում են։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։
Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2։1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։ Միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է նաև համասեռ եռանկյունաձև մարմնի ծանրության կենտրոնը։

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ
Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը անցնում է եռանկյան բոլոր գագաթներով։ Եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան կողմերի միջնակետերով անցնող և այդ կողմերին տարած ուղղահայացների հատման կետում։

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ
Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը շոշափում է եռանկյան բոլոր կողմերը։ Եռակյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսորդների հատման կետում։

### Պյութագորասի թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Պյութագորասի թեորեմ
Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝

a^2 + b^2 = c^2\,։
### Կոսինուսների թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Կոսինուսների թեորեմ
Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։

### Սինուսների թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Սինուսների թեորեմ
Եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.
Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Եռանկյան մակերես
----------------

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։
Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը՝

\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh։
Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Մակերեսը հաշվելու բանաձևեր.

1. S\_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh\_b*, քանի որ \ h\_b = a \sin \gamma, ուստի*
2. S\_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
3. S\_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr
4. S\_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
5. S\_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} - Հերոնի բանաձև
6. S\_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
7. S\_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
8. S\_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x\_A & y\_A & 1 \\ x\_B & y\_B & 1 \\ x\_C & y\_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x\_A(y\_B-y\_C)+x\_B(y\_C-y\_A)+x\_C(y\_A-y\_B)\right|}{2}=  

=\frac {\left|(x\_B - x\_A)(y\_C-y\_A)-(x\_C-x\_A)(y\_B-y\_A)\right|}{2}
9. S\_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR - ուղղանկյուն եռանկյան համար
10. S\_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(ctg\alpha+ctg\beta)} - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

**Որտեղ**

* \ h\_b - \ b կողմիին տարված բարձրությունն է,
* p=\frac {a+b+c}{2} - պարագծի կեսն է,
* \ r - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
* \ R - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
* \ (x\_A, y\_A) ; (x\_B, y\_B) ; (x\_C, y\_C)  - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

Միջին գիծ
---------

Եռանկյան միջին գիծը, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է։Միջին գիծը զուգահեռ է կողմերից մեկին և հավասար դրա կեսին։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ
---------------------------------------

*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց
կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան մի կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Աղբյուրներ
----------

* Ա. Վ. Պոգորելով «Երկրաչափություն», 1988։
* М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математики», 1977։

Վիքիբառարան

|  |  |
| --- | --- |
|  | Ընթերցե՛ք **«եռանկյուն»** բառի բացատրությունը Հայերեն Վիքիբառարանում։ |

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 519)։*  |