**Ընդլայնված թվային ուղիղ,** իրական թվերի {\displaystyle \mathbb {R} } բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ {\displaystyle +\infty } (դրական անվերջություն) և {\displaystyle -\infty } (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}։

Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , ըստ սահմանման ենթադրվում է {\displaystyle -\infty <x<+\infty } անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու {\displaystyle \pm \infty } կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով։

Իրական թվերի {\mathbb {R}} բազմությունը գծային համարակալված են \leqslant-ի նկատմամբ, սակայն {\mathbb {R}} -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}համակարգ հենց կայանում է {\displaystyle +\infty }(առավելագույն) և {\displaystyle -\infty }(նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։

Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և {\displaystyle +\infty }, եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում {\displaystyle +\infty } և {\displaystyle -\infty } ներմուծման հարմարավետությունը։

Ընդլայնված թվային ուղղի տոպոլոգիա
---------------------------------

### Բաց բազմություններ և շրջակայքեր

Կարգավորման առընչությունը < առաջ է բերում \tau տոպոլոգիան {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}-ի վրա։ \tau-ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \},\quad (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \},\quad [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \},},
որտեղ {\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}}.

{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}} կետի {\displaystyle U(a)} շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ \tau տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած a կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է a կետը։

Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են {\displaystyle U\_{\varepsilon }(a)} կետի *\varepsilon* շրջակայքի մասնավոր հասկացությունը, որտեղ({\displaystyle \varepsilon >0})։

{\displaystyle a\in \mathbb {R} }դեպքում, այսինքն, երբ, a-ն թիվ է, a-ի \varepsilon - շրջակայք կոչվում է

{\displaystyle U\_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}բազմությունը։
Եթե {\displaystyle a=+\infty }, ապա։

{\displaystyle U\_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],},
իսկ եթե {\displaystyle a=-\infty }, ապա։

{\displaystyle U\_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}։
\varepsilon -շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ a-ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա \varepsilon  թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ {\displaystyle 0<\varepsilon \_{1}<\varepsilon \_{2}\Rightarrow U\_{\varepsilon \_{1}}(a)\subset U\_{\varepsilon \_{2}}(a)}.

### Սահմաններ

{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} -ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։

Դիցուք՝ {\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}, որտեղ {\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} }}}. Մասնավորապես f կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։

Դիցուք՝ {\displaystyle x\_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}}. Այդ դեպքում․

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U\_{\delta }(x\_{0})\Rightarrow f(x)\in U\_{\varepsilon }(a))}

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  *Кудрявцев Л. Д.* Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6

Գրականություն
-------------

* *Колмогоров А. Н. Фомин С. В.* Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
* *Кудрявцев, Л. Д.* Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
* *Рудин У.* Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3