**Լորենց-գործոն**, (*Լորենց-ֆակտոր*), գործակից, որով փոխվում է շարժվող մարմնի ժամանակը, երկարությունը կամ ռելյատիվիստական զանգվածը։ Հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության որոշ բանաձևերում, արտածվում է Լորենցի ձևափոխություններից։ Անունն ստացել է լորենցյան էլեկտրադինամիկայից, որտեղ ավելի վաղ է ի հայտ եկել, հոլանդացի ֆիզիկոս Հենդրիկ Լորենցի անունով։

Սովորաբար նշանակվում է հունարեն փոքրատառ *γ* տառով, երբեմն՝ (հատկապես գերլուսային արագությունները քննարկելիս) մեծատառ *Γ*-ով։

Սահմանում
---------

Լորենց-գործոնը սահմանվում է որպես

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}
որտեղ

* *v*-ն իներցիալ հաշվարկման համակարգերի հարաբերական արագությունն է,
* β-ն *v*-ի և *c* լույսի արագության հարաբերությունն է,
* *τ*-ն դիտորդի սեփական ժամանակն է (դիտորդի սեփական հաշվարկման համակարգում),
* *t*-ն՝ կոորդինատային ժամանակը,
* *c*-ն՝ *լույսի արագությունը վակուումում*։

Գործնականում ամենից հաճախ գործածվում է այս սահմանումը։ Կան նաև այլ սահմանումներ։

Սահմանումը լրացնելու համար որոշ հեղինակներ նաև հակադարձ մեծությունն են սահմանում՝

{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}
տես արագությունների գումարման բանաձևը։

Բանաձևեր
--------

*γ*-ն հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության հետևյալ բանաձևերում․

* *Լորենցի ձևափոխություններ*։ Պարզագույն դեպքը *x*-ի ուղղությամբ շարժումն է (ավելի ընդհանուր դեպքերը ներառում են կամայական ուղղություններ և պտույտներ), որը նկարագրում է, թե ինչպես են տարածաժամանակային կոորդինատները փոխվում մեկ իներցիալ համակարգից (*x*, *y*, *z*, *t*) մյուսին (*x'* , *y'* , *z'* , *t'* ) անցնելիս, եթե հարաբերական արագությունը *v* է՝

{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}
{\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}։
Այս ձևափոխությունների արդյունքը հետևյալն է՝

* *Ժամանակի դանդաղում*։ Շարժվող ժամացույցով հաշվարկման համակարգում ժամանակը ժամացույցի ցույց տված երկու պահերի միջև ավելի մեծ է, քան դադարի վիճակում գտնվող հաշվարկման համակարգում նույն ժամակահատվածը (∆*t*)․

{\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.\,}
* *Երկարության կրճատում*։ Շարժվող հաշվարկման համակարգում չափվող օբյեկտի երկարությունը (∆*x'* ) ավելի փոքր է, քան նույն օբյեկտի երկարությունը (∆*x*) դադարի վիճակում գտնվող համակարգում՝

{\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!}
Կիրառելով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները, ստանում ենք

* *Ռելյատիվիստական զանգված*։ Շարժվող մարմնի *m* զանգվածը կախված է \gamma-ից և *m*0 հանգստի զանգվածից՝

{\displaystyle m=\gamma m\_{0}.\,}
* *Ռելյատիվիստական իմպուլս*։ Ռելյատիվիստական իմպուլսի արտահայտությունը նույնն է, ինչ դասական իմպուլսինը, սակայն ռելյատիվիստական զանգվածի վերը բերված արտահայտությամբ․

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m\_{0}{\vec {v}}.\,}
* *Ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիա*։ Թեթևակի ձևափոխվում է ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիայի արտահայտությունը՝

{\displaystyle E\_{k}=E-E\_{0}=(\gamma -1)m\_{0}c^{2}}։

Թվային արժեքներ
---------------

 *γ* Լորենցի գործակիցը որպես ֆունկցիա արագությունից։ Սկզբնական արժեքը 1 է (երբ *v* = 0)։ Արագությունը լույսի արագությանը ձգտելուն զուգընթաց (*v* → *c*) *γ*-ն անվերջ աճում է (*γ* → ∞)։
Ստորև աղյուսակում ձախակողմյան սյունակում բերված է արագության արժեքը որպես լույսի արագության մաս (այսինքն՝ *c*-ի միավորներով)։ Մեջտեղի սյունակում համապատասխան Լորենց-գործոնն է, վերջինում՝ դրան հակադարձ մեծությունը։ Թավատառով նշված են ճշգրիտ արժեքները։

| Արագություն (c-ի միավորներով) | Լորենց-գործոն | Հակադարձ մեծություն |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \beta =v/c\,\!} | {\displaystyle \gamma \,\!} | {\displaystyle 1/\gamma \,\!} |
| **0.000** | **1.000** | **1.000** |
| **0.050** | 1.001 | 0.999 |
| **0.100** | 1.005 | 0.995 |
| **0.150** | 1.011 | 0.989 |
| **0.200** | 1.021 | 0.980 |
| **0.250** | 1.033 | 0.968 |
| **0.300** | 1.048 | 0.954 |
| **0.400** | 1.091 | 0.917 |
| **0.500** | 1.155 | 0.866 |
| **0.600** | **1.250** | **0.800** |
| **0.700** | 1.400 | 0.714 |
| **0.750** | 1.512 | 0.661 |
| **0.800** | 1.667 | **0.600** |
| 0.866 | **2.000** | **0.500** |
| **0.900** | 2.294 | 0.436 |
| **0.990** | 7.089 | 0.141 |
| **0.999** | 22.366 | 0.045 |
| **0.99995** | 100.00 | 0.010 |
|

Այլ ներկայացումներ
------------------

Լորենց-գործոնը գրելու այլ արտահայտություններ կան, բացի *v*-ի համար գրվածներից։ Դրանցում կարող են կիրառվել այլ մեծություններ, օրինակ՝ իմպուլսը՝

{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}}}}
Մաքսվել-Յուտների (Jüttner) բաշխումում կիրառվում է գամմայի այս արտահայտությունը։ Հիպերբոլական անկյան միջոցով Լորենց-գործոնը կարելի է գրել որպես

{\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!}
որտեղ *φ*-ն հիպերբոլական անկյունն է, {\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!}։
Լորենց-գործակիցը կարելի է ներկայացնել նաև Թեյլորի շարքի միջոցով՝

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod \_{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}։
*γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2 մոտարկումը կարելի է կիրառել՝ հաշվելու համար ռելյատիվիստիկ էֆեկտները ցածր արագությունների դեպքում։ Այն տեղի ունի *v* < 0.4 c-ի համար 1% -ի սխալից (*v* < 120,000 կմ/վ) մինչև *v* < 0.22 *c*-ի համար (*v* < 66,000 կմ/վ) միջակայքում։

Շարքի կրճատված արտահայտությունները ֆիզիկոսներին թույլ են տալիս հաստատել, որ հարաբերականության հատուկ տեսությունը ցածր արագությունների դեպքում վերածվում է նյուտոնյան մեխանիկայի։ Օրինակ՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում տեղի ունեն հետևյալ հավասարումները՝

{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}
*γ* ≈ 1 և *γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2 դեպքում դրանք կրճատվում են՝ բերվելով համապատասխան նյուտոնյան համարժեքներին․

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
{\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
Լորենց-գործոնի հավասարումը կարելի է նաև շրջել՝ հանգելով

{\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}
արտահայտությանը, որի ասիմպտոտիկ տեսքը հետևյալն է՝

{\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }։
Առաջին երկու անդամները հաճախ կիրառվում են *γ*-ի մեծ արժեքների դեպքում արագություններն արագ հաշվելու համար։ *β* ≈ 1 - 1/2 *γ*−2 մոտարկումը տեղի ունի *γ* > 2 համար 1% թույլատրելի շեղման դեպքում, *γ* > 3,5 համար՝ 0,1% թույլատրելի շեղման դեպքում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  One universe, by Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.
2. 1 2  Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
3. ↑  Yaakov Friedman, *Physical Applications of Homogeneous Balls*, Progress in Mathematical Physics **40** Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.
4. ↑  Young, Freedman (2008)։ *Sears' and Zemansky's University Physics* (12th ed.)։ Pearson Ed. & Addison-Wesley։ ISBN 978-0-321-50130-1
5. ↑  Synge, J.L (1957). The Relativistic Gas. Series in physics. North-Holland. LCCN 57-003567
6. ↑  Kinematics, by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Merrifield Michael։ «γ – Lorentz Factor (and time dilation)»։ *Sixty Symbols*։ Brady Haran for the University of Nottingham
* Merrifield Michael։ «γ2 – Gamma Reloaded»։ *Sixty Symbols*։ Brady Haran for the University of Nottingham