Հունարենի մեծատառ սիգմա, գումարի պայմանական նշան
**Գումար** (լատին․՝ summa-ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր, ֆունկցիաներ, վեկտորներ, մատրիցներ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը։

{\displaystyle a+b=b+a}
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
{\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}
Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների, իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։

Թվաբանական գումար
-----------------

Դիցուք՝ {\displaystyle \mathbb {N} }բազմությունն ունի {\displaystyle a} անդամ, որոնք կազմում են {\displaystyle A} ենթաբազմությունը և {\displaystyle b} անդամները, որոնք կազմում են {\displaystyle B} ենթաբազմությունը ({\displaystyle A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N} }, a և b - բնական թվեր են)։ Այդ դեպքում {\displaystyle a+b} թվաբանական գումարը կլինի {\displaystyle c} անդամների քանակը, որոնք կազմում են {\displaystyle C\subset \mathbb {N} } ենթաբազմությունը, որն առաջանում է սկզբնական ենթաբազմությունների միավորումից {\displaystyle C=A\sqcup B}։

Հանրահաշվական գումար
--------------------

Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ *(սիգմա)․*

{\displaystyle \sum \_{i\mathop {=} m}^{n}a\_{i}=a\_{m}+a\_{m+1}+a\_{m+2}+\cdots +a\_{n-1}+a\_{n}}
որտեղ․ *i* - գումարման ինդեքսն է, *ai* - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, *m* - գումարման ներքին սահմանը, *n* -գումարման վերին սահմանը։ Նշանի տակ գրված *«i = m»* նշանակում է, որ *i* -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է *m -*ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ *i* -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ *i = n*.։

Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.

Գրառման օրինակներ
{\displaystyle \sum \_{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100}
{\displaystyle \sum \_{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}
Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։

{\displaystyle \sum a\_{i}^{2}=\sum \_{i\mathop {=} 1}^{n}a\_{i}^{2}}
Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական {\displaystyle k} թվերի գումարը գրառվում է․

{\displaystyle \sum \_{0\leq k<100}f(k)}
{\displaystyle S} բազմության {\displaystyle x}անդամների {\displaystyle f(x)}գումարը 

{\displaystyle \sum \_{x\mathop {\in } S}f(x)}
{\displaystyle d} թվի բաժանարար հանդիսացող {\displaystyle n} թվերի {\displaystyle \mu (d)} գումար։ 

{\displaystyle \sum \_{d|n}\;\mu (d)}
Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․

{\displaystyle \sum \_{\ell ,\ell '}=\sum \_{\ell }\sum \_{\ell '}}
### Անվերջ գումար

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։

#### Օրինակ

1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}(a\_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a\_{0}+a\_{n}}{2}}}
  
 

---

   

2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{0}\cdot b^{i}=a\_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}
  
 

---

   

3.{\displaystyle \sum \limits \_{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left(\sum \limits \_{k=1}^{n}k\right)^{2}}

  
 

---

   

4. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}

Ապացույց  

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum \_{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}

  
 

---

   

5. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}

Ապացույց  

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}=\sum \_{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum \_{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum \_{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum \_{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum \_{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }
{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum \_{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}

  
 

---

   

6. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}

Ապացույց  

{\displaystyle (p-1)\sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum \_{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum \_{i=0}^{n}p^{i}-\sum \_{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=}
{\displaystyle =(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=}
{\displaystyle ={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=}
{\displaystyle ={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum \_{i=0}^{n}p^{i}}

Հարկ է նշել,որ {\displaystyle p=10\ } դեպքում {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}, շարքը հավասարություն է, որ ունի հետևյալ տեսքը․  
{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}
### Անորոշ գումար

Անորոշ գումար {\displaystyle a\_{i}} ըստ {\displaystyle i} կոչվում է {\displaystyle f(i)}ֆունկցիան, նշանակվում է {\displaystyle \sum \_{i}^{}a\_{i}},
что {\displaystyle \forall i:f(i+1)-f(i)=a\_{i}}.

### Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև

Եթե գտնվել է անորոշ գումար{\displaystyle \sum \_{i}^{}a\_{i}=f(i)}, ապա {\displaystyle \sum \_{i=a}^{b}a\_{i}=f(b+1),f(a)}.

Տես նաև
-------

* Գումարում
* Արտադրյալ

Ծանոթագրություն
---------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  «Chapter 2: Sums». *Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition)* (PDF) (անգլերեն). Addison-Wesley Professional. 1994. ISBN 978-0201558029. `{{cite book}}`: Cite uses deprecated parameter `|authors=` (օգնություն)(չաշխատող հղում)

Գրականություն
-------------

* *Фихтенгольц Г. М.* Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.