Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում
**Գրավիտացիոն պոտենցիալ**, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է \varphi  տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ
---------------------------------------------

Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

{\displaystyle L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi }, որտեղ m֊ը մասնիկի զանգվածն է, q֊ն՝ կոորդինատները, \varphi ֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։
*L* լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0},
ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

{\displaystyle {\ddot {q}}=-grad(\varphi )}:

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը
-------------------------------------------------

Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը
---------------------------------------------------------

Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է 

{\displaystyle \varphi =-{\frac {Gm}{R}}},
որտեղ G֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, m֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, R֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական {\displaystyle \rho } խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․ 

{\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho },
որտեղ \Delta ֊ն Լապլասի օպերատորն է, {\displaystyle \rho }֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 

{\displaystyle \varphi =-G\int \_{V}{\frac {\rho dV}{r}},},
որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։ Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան
-------------------------------------------

Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

{\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int {\mu \varphi dV},\qquad \qquad (1)}
արտահայտությունը, որտեղ \mu ֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, \varphi ֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, {\displaystyle V}֊ն՝ մարմնի ծավալը։

Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ
-------------------------------------------------

Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

{\displaystyle \varphi =-G\left({\frac {M}{R\_{0}}}+{\frac {1}{6}}D\_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial {X\_{\alpha }}\partial {X\_{\beta }}}}{\frac {1}{R\_{0}}}+...\right)\qquad \qquad (2),}
տեսքը, որտեղ {\displaystyle M=\int \mu dV}֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ 

{\displaystyle D\_{\alpha \beta }=\int \mu (3x\_{\alpha }x\_{\beta }-r^{2}\delta \_{\alpha \beta })dV}
մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

{\displaystyle J\_{\alpha \beta }=\int \mu (r^{2}\delta \_{\alpha \beta }-x\_{\alpha }x\_{\beta })dV}
իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

{\displaystyle D\_{\alpha \beta }=J\_{\gamma \gamma }\delta \_{\alpha \beta }-3J\_{\alpha \beta }}
առնչություններով։

Մոլորակների գրավիտացիոն պոտենցիալը
----------------------------------

Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

{\displaystyle U={\frac {GM}{r}}\left(1-\sum \_{n=2}^{\infty }J\_{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}P\_{n}(\sin \theta )+\sum \_{n=2}^{\infty }\sum \_{k=2}^{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}(C\_{nm}\cos(m\lambda )+S\_{nm}\sin(m\lambda ))P\_{n}^{k}(\sin \theta )\right)}։
Այստեղ {\displaystyle r,\theta ,\lambda }֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, {\displaystyle P\_{n}}֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, {\displaystyle P\_{n}^{k}}֊ը՝ Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, {\displaystyle J\_{n},C\_{nm},S\_{nm}}֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան
----------------------------------------------------

Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով (2) արտահայտությունը։ *m* զանգվածով, *a* շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի *U* գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

{\displaystyle U={\frac {-3Gm^{2}}{5a}}}։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը
----------------------------------------------------------------

հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի 

{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma \_{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds}}{\frac {dx^{s}}{ds}}=0},
տեսքը, որտեղ {\displaystyle \Gamma \_{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}({\frac {dg\_{kr}}{dx^{s}}}+{\frac {dg\_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg\_{rs}}{dx^{k}}})}֊ն Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, g\_{{ik}}֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}} շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ \varphi  գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ 
Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}\Gamma \_{44}^{i}}
տեսքը {\displaystyle i=1,2,3} տարածական և {\displaystyle x^{4}=ct} ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, {\displaystyle \Gamma \_{44}^{i}}֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել {\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {dg\_{44}}{dx^{i}}}} և այսպիսով ստանալ 

{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}}
շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ \varphi  գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի {\displaystyle g\_{44}} բաղադրիչները կապված են 

{\displaystyle \varphi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g\_{44}+1)}, {\displaystyle g\_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right)}
առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է 

{\displaystyle ds^{2}=g\_{44}(dx^{4})^{2}},
իսկ ժամանակը՝ 

{\displaystyle t={\frac {x^{4}}{c}}},
ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի 

{\displaystyle t\_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g\_{44}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}\approx t(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}})}։
Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։

Տես նաև
-------

* Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Внутреннее строение Земли и планет, 1978, էջ 46
2. ↑  В. Паули, Теория относительности, М. ОГИЗ, 1947, тир. 16000 экз. 300 стр.

Գրականություն
-------------

* Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд. стереотип. М. «Физматлит», 2002, 224 с. ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
* Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд. стереотип. М. «Физматлит», 2001, 536 с. ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
* С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
* К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб. 2008. — 72 с. ББК 22.6.
* *Жарков В. Н.* Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 127090403 |

 |