**Խառը վիճակ**, քվանտային վիճակ, որը չի նկարագրվում վիճակի վեկտորով (ոչ էլ ալիքային ֆունկցիայով), այլ հանդիսանում է մաքուր քվանտային վիճակների խառնուրդ։ Դա նշանակում է, որ քվանտային համակարգը որոշակի {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2}...\omega \_{n}} հավանականություններ ունի գտնվելու {\displaystyle |\psi \_{1}\rangle ,|\psi \_{2}\rangle ...|\psi \_{n}\rangle } վիճակի վեկտորներով նկարագրվող մաքուր վիճակներից յուրաքանչուրում։ Խառը վիճակի նկարագրման համար օգտագործվում է խտության մատրիցը։

Խտության մատրից
---------------

Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ

{\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum \_{i}^{n}\omega \_{i}|\psi \_{i}\rangle \langle \psi \_{i}|},

որտեղ {\displaystyle |\psi \_{i}\rangle }-ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ {\displaystyle \omega \_{i}}-ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։ {\displaystyle |\psi \rangle } մաքուր վիճակին համապատասխանում է {\displaystyle {\hat {\rho }}\_{\text{մ}}=|\psi \rangle \langle \psi |} խտության մատրիցը։

### Հատկություններ

1. {\displaystyle {\hat {\rho }}}-ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }})=\sum \_{\alpha }\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =1:} Այստեղ {\textstyle |\alpha \rangle }-ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
2. խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})\leq 1}:
3. Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող {\hat A} օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով{\textstyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum \_{i}\omega \_{i}\langle \psi \_{i}|{\hat {A}}|\psi \_{i}\rangle =\sum \_{i}\omega \_{i}\langle \psi \_{i}|{\hat {A}}\left(\sum \_{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |\right)|\psi \_{i}\rangle =\sum \_{\alpha }\langle \alpha |\left(\sum \_{i}\omega \_{i}|\psi \_{i}\rangle \langle \psi \_{i}|{\hat {A}}\right)|\alpha \rangle ={\rm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})}:
4. խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ



∂

∂
t



ρ
^

=

1

i
ℏ

[

H
^

,

ρ
^

]
,

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],} որտեղ {\displaystyle {\hat {H}}}-ը նկարագրվող համակարգի համիլտոնյանն է։

### Մաքուր վիճակի խտության մատրիցը

Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.

1. {\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}},
2. {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})=1},
3. ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը {\displaystyle S=-Tr({\hat {\rho }}\ln({\hat {\rho }}))=0}։

Խառը վիճակի և քվանտային վերադրման տարբերությունը
------------------------------------------------

Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում {\textstyle |\psi >=c\_{1}|\downarrow >+c\_{2}|\uparrow >} վեկտորը և {\textstyle {\hat {\rho }}=|c\_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c\_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |} խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է



ρ
^

=
(

c

1

|

↓>
+

c

2

|

↑>
)
(

c

1

∗

<↓

|

+

c

2

∗

<↑

|

)
=

|

c

1

|

2

|

↓><↓

|

+

|

c

2

|

2

|

↑><↑

|

+

(

c

1

c

2

∗

|

↓><↑

|

+

c

1

∗

c

2

|

↑><↓

|

)

:

{\displaystyle {\hat {\rho }}=(c\_{1}|\downarrow >+c\_{2}|\uparrow >)(c\_{1}^{\*}<\downarrow |+c\_{2}^{\*}<\uparrow |)=|c\_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c\_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |+\left(c\_{1}c\_{2}^{\*}|\downarrow ><\uparrow |+c\_{1}^{\*}c\_{2}|\uparrow ><\downarrow |\right):}

{\displaystyle {\hat {\rho }}=(c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >)(c_{1}^{*}<\downarrow |+c_{2}^{*}<\uparrow |)=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |+\left(c_{1}c_{2}^{*}|\downarrow ><\uparrow |+c_{1}^{*}c_{2}|\uparrow ><\downarrow |\right):}

Ենթահամակարգի նկարագրությունը
-----------------------------

Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք {\textstyle A}-ն և {\textstyle {\tilde {A}}}-ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են |\psi \rangle  վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի {\textstyle {\mathcal {H}}} hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է ենթահամակարգների տարածությունների {\textstyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H\_{A}}}\otimes {\mathcal {H\_{\tilde {A}}}}}: Դա նշանակում է որ {\textstyle {\mathcal {H}}} տարածության բազիսը կարելի է կազմել {\textstyle {\mathcal {H\_{A}}}}-ի և {\textstyle {\mathcal {H\_{\tilde {A}}}}}-ի {\displaystyle |a\_{i}\rangle } և {\displaystyle |{\tilde {a}}\_{j}\rangle } բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ {\displaystyle |a\_{i},{\tilde {a}}\_{j}\rangle =|a\_{i}\rangle \otimes |{\tilde {a}}\_{j}\rangle }:

Դիտարկենք {\textstyle A} ենթահամակարգում {\textstyle f} ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ

{\displaystyle \langle \psi |{\hat {f}}|\psi \rangle =\sum \_{i,j}\sum \_{i',j'}\langle \psi |a\_{i},{\tilde {a}}\_{j}\rangle \langle a\_{i},{\tilde {a}}\_{j}|{\hat {f}}|a\_{i'},{\tilde {a}}\_{j'}\rangle \langle a\_{i'},{\tilde {a}}\_{j'}|\psi \rangle =\sum \_{i'}\left[\sum \_{i}\langle a\_{i'}|\left(\sum \_{j}\langle {\tilde {a}}\_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}\_{j}\rangle \right)|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}|{\hat {f}}|a\_{i'}\rangle \right]=\sum \_{i'}\langle a\_{i'}|\left(\sum \_{j}\langle {\tilde {a}}\_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}\_{j}\rangle \right){\hat {f}}|a\_{i'}\rangle ={\rm {Tr}}\_{A}({\hat {\rho }}\_{A}{\hat {f}})}

Այստեղ {\displaystyle {\hat {\rho }}\_{A}}-յով նշանակված է {\textstyle A} ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է {\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |} օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն {\textstyle A} և {\textstyle {\tilde {A}}} ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում {\displaystyle |\psi \rangle =|\psi \_{A}\rangle \otimes |\psi \_{\tilde {A}}\rangle }իսկ {\textstyle {\hat {\rho }}\_{A}=|\psi \_{A}\rangle \langle \psi \_{A}|}:

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  F. Schwabl (2006)։ *Statistical mechanics*։ Springer-Verlag։ էջ 35։ ISBN 3-540-32343-0
2. ↑  Sakurai J. Napolitano J. (2010)։ *Modern quantum mechanics*։ Pearson։ էջ 179։ ISBN 978-0805382914

Գրականություն
-------------

* *F. Schwabl* Quantum mechanics. — Мunich: Springer-Verlag, 2007. — 424 с. — P. 371-377.
* *Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц* Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 61-65. — 800 с.