Դիցուք տրված է որևէ ***G*** բազմություն։ Ընդունված է ասել, որ այդ բազմության վրա սահմանված է գործողություն, եթե տրված է արտապատկերում ***GxG*** դեկարտյան արտադրյալից ***G*** բազմություն։ Այլ կերպ ասած G-ի տարրերի յուրաքանչյուր կարգավորված զույգին՝ **(a,b)** համապատասխանության մեջ է դրված միարժեքորեն որոշված ***G***-ի որոշակի տարր։ **(a,b)**-ին համապատասխանող տարրը սովորաբար նշանակում են **a×b**-ով (կամ ուղղակի **ab**-ով, բաց թողնելով **×** նշանը) և ասում են, որ ***G*** բազմության վրա սահմանված է բազմապատկման գործողություն։

***Սահմանում***։ Դիցուք ***G*** բազմության վրա սահմանված է բազմապատկման գործողություն։ ***G*** բազմությունը կոչվում է ***խումբ*** բազմապատկման գործողության նկատմամբ, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները․

1. **(ab)c = a(bc)** - **ասոցիատիվության** պայման
2. գոյություն ունի **e** տարր ***G***-ից, այնպիսին որ ցանկացած **a**-ի համար ***G***-ից **ae = ea = a** - **միավոր** տարրի գոյության պայման
3. ցանկացած **a** ***G***-ի համար, գոյություն ունի **b** տարր ***G***-ից, այնպիսին որ **ab = ba = e** - **հակադարձ** տարրի գոյության պայման

Ասոցիատիվության պայմանից բխում է, որ եթե սկզբում հաշվենք **ab**-ն հետո արդյունքը բազմապատկենք **c**-ով կստանանք ճիշտ նույն բանն ինչ կստացվի, եթե սկզբում հաշվենք **bc**-ն և հետո արդյունքը ձախից բազմապատկենք **a**-ով։ Այսինքն կարելի է գրել ուղղակի **abc** առանց փակագծեր օգտագործելու, քանի որ արդյունքը կախված չէ հաշվման կարգից։

Երկրորդ պայմանն ասում է, որ գոյություն ունի մեկ հատուկ տարր, որը նշանակվում է **e** տառով և կոչվում է **միավոր**, որը բազմապատկելիս ***G*** բազմության որևէ տարրով արդյունքում տալիս է հենց այդ նույն տարրը (այսինքն միավորը խաղում է 1 թվի դերը)։ Միավոր տարրը միակն է։ Եթե ունենք 2 միավոր **e1** և **e2**, ապա պարզ է, որ **e1 = e1e2 = e2**:

Երրորդ պայմանը հաստատում է, որ ամեն մի **a** տարրի համար ***G***-ից, կգտնվի ***G***-ի այնպիսի **b** տարր, որ **ab = ba = e**: Այդպիսի **b**-ն կոչվում է **a**-ի **հակադարձ** տարր և այն նշանակվում է **a−1** նշանով (թեև ընդհանուր դեպքում որևէ կապ չունի թվի հակադարձի հետ)։ Պարզ է, որ **a**-ն էլ իր հերթին **b**-ի հակադարձն է։ Հակադարձը միակն է։ Եթե **b1**-ը և **b2**-ը a-ի հակադարձերն են, ապա **b1 = b1(ab2) = (b1a)b2 = b2**:

Եթե բացի (1)-(3) պայմաններից ճիշտ է նաև

4․ կամայական **a, b** տարրերի համար ***G***-ից, **ab = ba**

պայմանը, ապա ***G*** խումբը կոչվում է **տեղափոխելի** կամ **աբելյան**։

Եթե ի սկզբանե ցանկանում են նշել, որ խումբը աբելյան է, բազմապատկման նշանի փոխարեն օգտագործում են գումարման **+** նշանը։ Այդ դեպքում միավոր տարրը նշանակվում է **0**-ով, իսկ **a**-ի հակադարձը՝ **-a**-ով, և այն անվանվում է **հակադիր**։

***G*** խմբի գործողությունը "**բազմապատկում**" անվանելը և **ab**-ով նշանակելն արդարացված է այն բանով, որ գործողության կանոնները շատ նման են թվերի բազմապատկման կանոններին (և թվերի բազմապատկումն իրոք խումբ է սահմանում ոչ զրոյական իրական թվերի բազմության վրա)։ Դա թույլ է տալիս գործել օգտվելով հարմար դարձած թվաբանության ավանդական բանաձևերից։ Օրինակ, եթե ընդունենք որ **a0 = e** և նշանակենք **an**-ով (բնական **n** թվի համար) **n** հատ **a**-երի արտադրյալը, իսկ **a-n**-ով **n** հատ **a−1**-երի արտադրյալը, ապա դյուրին է համոզվել, որ կամայական ամբողջ **m** և **n** թվերի համար կիրառելի են հետևյալ ստանդարտ կանոննեևը․

**anam = am+n**

**(am)n = amn**