Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Զուգորդություն (այլ կիրառումներ)
Մաթեմատիկայում, **զուգորդությունը** բազմություններից որոշակի անդամների առանց կրկնության ընտրությունն է, այնպես, որ ընտրված անդամների հերթականությունը կարևոր չէ։ Օրինակ, եթե տրված է երեք միրգ՝ խնձոր, նարինջ և տանձ, ապա այդ բազմությունից կարելի է ընտրել երկու տարր երեք ձևով՝ խնձոր և տանձ, խնձոր և նարինջ կամ տանձ և նարինջ։ Ֆորմալ սահմանմամբ, *S* բազմության որևէ *k* հզորությամբ և չկրկնվող անդամներով ենթաբազմությունը կոչվում է *S* բազմության *k-զուգորդություն* կամ *զուգորդություն*։ Այսպիսով, երկու զուգորդություններ նույնական են այն և միայն այն դեպքում, երբ դրանք ունեն նույն անդամները (անդամների հերթականությունը կարևոր չէ)։ Եթե բազմությունը ունի *n* տարր, ապա բազմության *k-զուգորդությունների* քանակը նշանակվում է {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}-ով, {\displaystyle C(n,k)}-ով կամ {\displaystyle C\_{k}^{n}}-ով և հավասար է 

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},}
որը կարելի է ներկայացնել ֆակտորիալի տեսքով որպես {\displaystyle \textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}} երբ {\displaystyle k\leq n}։ {\displaystyle k>n} դեպքում այն հավասար է զրոյի։ Այս բանաձևը կարելի է ստանալ այն փաստից, որ *n* տարր ունեցող *S* բազմության յուրաքանչյուր k-զուգորդություն ունի {\displaystyle k!} կարգավորություն, հետևաբար՝ {\displaystyle P\_{k}^{n}=C\_{k}^{n}\times k!} or {\displaystyle C\_{k}^{n}=P\_{k}^{n}/k!}։ *S* բազմության բոլոր *k*-զուգորդությունների բազմությունը հաճախ նշանակվում է {\displaystyle \textstyle {\binom {S}{k}}}-ով։

*k*-զուգորդության գաղափարը համապատասխանում է բազմությունից *k* անգամ առանց կրկնության անդամներ վերցնելուն։ Եթե կրկնություն թույլատրվում է, ապա այն կոչում են զուգորդություն կրկնություններով և քանակը նշանակում են {\displaystyle \textstyle {\binom {\hat {n}}{k}}}-ով կամ {\displaystyle \textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}-ով։ Եթե վերևի օրինակում հնարավոր լինել մրգերից երկու հատ ընտրել, ապա հնարավոր ընտրությունների քանակը կավելանար երեքով՝ երկու խնձոր, երկու նարինջ և երկու տանձ։

Չնայած երեք մրգերի օրինակում բոլոր զուգորդությունների ցանկը կազմելը հեշտ էր, այդ խնդիրը ոչ պրակտիկ է դառնում մեծ բազմությունների դեպքում։ Օրինակ, պոկերի ձեռքը կարելի է ներկայացնել որպես 52 քաղաքարտի 5-զուգորդություն, քանի որ ձեռքում խաղաքարերն իրարից տարբեր են և հերթականությունը կարևոր չէ։ Գոյություն ունեն 2,598,960 զուգորդություններ։

k-զուգորդությունների քանակ
--------------------------

5 տարր ունեցող բազմության 3 տարրանոց ենթաբազմություն
Տրված *n* տարր ունեցող *S* բազմության *k*-զուգորդությունը հաճախ նշանակվում է {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}-ով, {\displaystyle C(n,k)}-ով, {\displaystyle C\_{k}^{n}}-ով, {\displaystyle {}\_{n}C\_{k}}-ով, {\displaystyle {}^{n}C\_{k}}-ով, {\displaystyle C\_{n,k}}-ով կամ {\displaystyle C\_{n}^{k}}-ով (վերջին տարբերակը տարածված է ֆրանսերեն, ռումիներեն, ռուսերեն և չինարեն գրականությունում): Կարելի է {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}-ը սահմանել բոլոր բնական *k* թվերի համար հետևյալ կերպ՝

{\displaystyle (1+X)^{n}=\sum \_{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},}
ինչից պարզ է, որ 

{\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,}
և

{\displaystyle {\binom {n}{k}}=0}
կամայական *k* > *n* համար։

Տեսնելու համար, որ այս գործակիցները հաշվում են *S*-ից *k*-զուգորդությունները, դիտարկենք *n* տարրերից բոլոր *k*-զուգորդությունները։ Բոլոր հնարավոր եղանակներով կարգավորենք նրանցից յուրաքանչյուրը։ Ամեն մի *k*-զուգորդությունից ստացվում է {\displaystyle k!} հատ *n* տարրերից *k*-կարգավորություն։ Քանի որ արդյունքում կստանանք *n* տարրերից բոլոր k-կարգավորությունները, հետրևաբար {\displaystyle r!\textstyle {\binom {n}{k}}=n(n-1)...(n-k+1)}: Եվ պարզ է, որ 

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)...(n-r+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)}}}:
*n* տարրերից *k-*զուգորդությունների քանակը կարելի է հաշվել նաև հետևյալ անդրադարձ առնչությունների միջոցով*.*

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},}
որտեղ 0 < *k* < *n*, որը հետևում է (1 + *X*)*n* = (1 + *X*)*n* − 1(1 + *X*)-ից։ Այս մեթոդով կարելի է կառուցել Պասկալի եռանկյունը, որի կից թվերը կախված են հետևյալ առնչությամբ։

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\binom {n}{k-1}}{\frac {n-k+1}{k}}&\quad {\text{եթե }}k>0\\{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{n-k}}&\quad {\text{եթե }}k<n\\{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n}{k}}&\quad {\text{եթե }}n,k>0\end{cases}}.}
Այս և {\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}} նույնության միջոցով կարելի է հաջորդաբար հաշվել Պասկալի եռանկյան յուրաքանչյուր տող։

### Զուգորդությունների քանակը հաշվելու օրինակ

Հաշվենք ստանդարտ 52 խաղաքարտերից 5 խաղաքարտ ընտրելու բոլոր հնարավոր տարբերակների քանակը.

{\displaystyle {52 \choose 5}={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\frac {311{,}875{,}200}{120}}=2{,}598{,}960:}
Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ արտահայտությունը ֆակտորիալի տեսքով և համարաչին ու հայտարարը ընհանուր արտադրիչներով բաժանելու միջոցով.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{52 \choose 5}&={\frac {52!}{5!47!}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48\times {\cancel {47!}}}{5\times 4\times 3\times 2\times {\cancel {1}}\times {\cancel {47!}}}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2}}\\[5pt]&={\frac {(26\times {\cancel {2}})\times (17\times {\cancel {3}})\times (10\times {\cancel {5}})\times 49\times (12\times {\cancel {4}})}{{\cancel {5}}\times {\cancel {4}}\times {\cancel {3}}\times {\cancel {2}}}}\\[5pt]&={26\times 17\times 10\times 49\times 12}\\[5pt]&=2{,}598{,}960.\end{alignedat}}}
Կամ, կարելի է օգտվել հետևյալ համարժեք հավասարումից.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n-0)}{1}}\times {\frac {(n-1)}{2}}\times {\frac {(n-2)}{3}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}{k}},}
որից

{\displaystyle {52 \choose 5}={\frac {52}{1}}\times {\frac {51}{2}}\times {\frac {50}{3}}\times {\frac {49}{4}}\times {\frac {48}{5}}=2{,}598{,}960:}

  

Առանց կրճատման հաշվելու դեպքում ստացվում է.

{\displaystyle {\begin{aligned}{52 \choose 5}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {52!}{5!(52-5)!}}={\frac {52!}{5!47!}}\\[6pt]&={\tfrac {80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times 258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000}}\\[6pt]&=2{,}598{,}960:\end{aligned}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Reichl, Linda E. (2016). «2.2. Counting Microscopic States». *A Modern Course in Statistical Physics*. WILEY-VCH. էջ 30. ISBN 978-3-527-69048-0.
2. ↑  Mazur 2010, p. 10 harvnb error: no target: CITEREFMazur2010 (help)
3. ↑  Ryser 1963, p. 7 harvnb error: no target: CITEREFRyser1963 (help) also referred to as an *unordered selection*.
4. ↑  Տոնոյան, Ռ.Ն. (1999). *Դիսկրետ մաթեմատիկայի դասընթաց*. Երևան: Երևանի համալսարանի հրատարակչություն. էջեր 23–52.
5. ↑  When the term *combination* is used to refer to either situation (as in (Brualdi 2010)) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.
6. ↑  Uspensky 1937, էջ. 18 harvnb error: no target: CITEREFUspensky1937 (help)
7. ↑  *High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B* (չինարեն) (2nd ed.). China: People's Education Press. 2006 թ․ հունիս. էջեր 107–116. ISBN 978-7-107-19616-4.
8. ↑  *人教版高中数学选修2-3 (Mathematics textbook, volume 2-3, for senior high school, People's Education Press)*. People's Education Press. էջ 21.
9. ↑  Mazur 2010, p. 21 harvnb error: no target: CITEREFMazur2010 (help)