**Մյոբիուսի ֆունկցիա**, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

Սահմանում
---------

{\displaystyle \mu (n)} որոշված է բոլոր {\displaystyle n} բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված {\displaystyle n} թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

* {\displaystyle \mu (n)=1}, եթե {\displaystyle n}-ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
* {\displaystyle \mu (n)=-1}, եթե {\displaystyle n}-ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
* {\displaystyle \mu (n)=0}, եթե {\displaystyle n}-ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել {\displaystyle \mu (1)=1}։

50 առաջին կետերը50 առաջին կետերը

Հատկություններ
--------------

* Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած {\displaystyle a} և {\displaystyle b} փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է {\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)} հավասարությունը։
* {\displaystyle n} ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։

{\displaystyle \sum \_{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}}
Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

* {\displaystyle \sum \limits \_{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1}
* {\displaystyle \sum \limits \_{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,} որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
* {\displaystyle \sum \limits \_{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1}
* Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․

{\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}.
Շարքը բացարձակ զուգամետ է {\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1} ուղղի վրա, {\displaystyle {\rm {Re}}\,s=1} ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, {\displaystyle 1/2<{\rm {Re}}\,s<1} միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ {\displaystyle {\rm {Re}}\,s<1/2} դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ {\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1} ճիշտ է նաև․

* {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}
* {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},} որտեղ p — պարզ թիվ է։
* Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

{\displaystyle M(n)=\sum \_{k=1}^{n}\mu (k).}
* Ճշմարիտ են նաև․

{\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits \_{n\leq x}\mu (n)=o(1)} երբ {\displaystyle x\rightarrow \infty }
{\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits \_{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})},
Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է {\displaystyle 1-1/\zeta (2)=0,3920729}, իսկ միավորների խտությունը՝ {\displaystyle 1/2\zeta (2)=0,30396355}։

Մյոբիուսի հղում
---------------

### Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև

Երկու թվաբանական {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաների համար

{\displaystyle g(n)=\sum \_{d\,\mid \,n}f(d)}
այն և միայն այն դեպքում, երբ

{\displaystyle f(n)=\sum \_{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}։
### Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը

Երկու իրական {\displaystyle f(x)} և {\displaystyle g(x)} ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են {\displaystyle x\geqslant 1} համար

{\displaystyle g(x)=\sum \_{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)}
այն և միայն այն դեպքում, երբ

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}։
Այստեղ {\displaystyle \sum \_{n\leqslant x}} գումարը մեկնաբանվում է որպես {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\lfloor x\rfloor }}։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը
------------------------------

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն {\displaystyle \prec } հարաբերությամբ։ Համարենք, որ {\displaystyle a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b}։

### Սահմանում

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

{\displaystyle {\mu \_{A}^{\*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits \_{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu \_{A}^{\*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&b\prec a\end{cases}}} ռեկուրենտ առընչությամբ։
### Հղման բանաձևը

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ {\displaystyle A} բազմության վրա և տեղի ունի {\displaystyle g(x)=\sum \limits \_{y\preccurlyeq x}{f(y)}} պայմանը։

```
Ապա {\displaystyle f(x)=\sum \limits \_{y\preccurlyeq x}{{\mu \_{A}^{\*}}(y,x)g(y)}}։
```

### Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ

Եթե {\displaystyle A} բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ {\displaystyle a\prec b} հարաբերության փոխարեն {\displaystyle a\mid b\land a\not =b} հարաբերությունը, ապա կստանանք {\displaystyle {\mu \_{\mathbb {N} }^{\*}}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)}, որտեղ {\displaystyle \mu } - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Տես նաև
-------

Դիրիխլեյի բանաձևը

Գրականություն
-------------

* Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
* *Холл М.* Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5(չաշխատող հղում)
, 2013.
* Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6(չաշխատող հղում)
, 2013.
* Обобщённая формула обращения Мёбиуса