Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

Հայտանիշներ
-----------

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը։ {\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.} Կամ որ նունն է՝

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակաց անկյան ներիքին անկյանը։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակաց կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը։

Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին :էջ.25։

{\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ

{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}
Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե{\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}

Մակերես
-------

Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով։

{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,} որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։

Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով։

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով

{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}} բանաձևով,
կամ

{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}
որտեղ *θ* անկյունագծերի կազմած անկյունն է։

Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև

{\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.} բանաձևով
Ներգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով՝

{\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}
որպես ուղղակի հետևանք

{\displaystyle K\leq 2R^{2}}
անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։

Անկյունագծեր
------------

Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝

{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}
{\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.}
Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}}

Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

{\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}}

Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։

Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակաց եռանկյունները նման են։

Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

{\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}}

Անկյուներ
---------

a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

{\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}}

{\displaystyle }{\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}}

{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}}

Անկյունագծերի կազմած *θ*  անկյան տանգենսը հավասար է՝

{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}}

Եթե a և c հանդիպակաց հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են {\displaystyle \phi } անկյուն ապա՝

{\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}

Պարամեշվարայի բանաձև
--------------------

Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։

Տես նաև
-------

* Քառանկյուն

Ծանոթագրություններ
------------------

1. 1 2  Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), «10. Cyclic quadrilaterals», *The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition*, Research in mathematics education, IAP, էջեր 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 `{{citation}}`: External link in ``|chapterurl=`` (օգնություն); Unknown parameter `|chapterurl=` ignored (`|chapter-url=` suggested) (օգնություն)
2. ↑  Joyce, D. E. (1997 թ․ հունիս), «Book 3, Proposition 22», *Euclid's Elements*, Clark University `{{citation}}`: External link in ``|chapterurl=`` (օգնություն); Unknown parameter `|chapterurl=` ignored (`|chapter-url=` suggested) (օգնություն)
3. ↑  Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), «2.3 Cyclic quads», *Mathematical Olympiad Treasures*, Springer, էջեր 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063 `{{citation}}`: External link in ``|chapterurl=`` (օգնություն); Unknown parameter `|chapterurl=` ignored (`|chapter-url=` suggested) (օգնություն)
4. 1 2 3 4 5  Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], *Advanced Trigonometry*, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
5. ↑  Hajja, Mowaffaq (2008), «A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic» (PDF), *Forum Geometricorum*, **8**: 103–6
6. ↑  Bradley, Christopher J. (2007), *The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates*, Highperception, էջ 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
7. ↑  Peter, Thomas (2003 թ․ սեպտեմբեր), «Maximizing the area of a quadrilateral», *The College Mathematics Journal*, **34** (4): 315–6, JSTOR 3595770
8. ↑  Prasolov, Viktor, *Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry* (PDF), Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2018 թ․ սեպտեմբերի 21-ին, Վերցված է 2014 թ․ դեկտեմբերի 9-ին
9. ↑  Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), «4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals», *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*, Mathematical Association of America, էջ 64, ISBN 978-0-88385-342-9 `{{citation}}`: External link in ``|chapterurl=`` (օգնություն); Unknown parameter `|chapterurl=` ignored (`|chapter-url=` suggested) (օգնություն)