**Յակոբիի մեթոդը** գծային հանրահաշվում հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ իտերացիայի տարատեսակներից է։ Այն անվանվել է ի պատիվ Կարլ Գուստավ Յակոբիի։

Խնդրի դրվածքը
-------------

Վերցնենք գծային հավասարումների համակարգը.

{\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}, где {\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccc}a\_{11}&\ldots &a\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&\ldots &a\_{nn}\end{array}}\right),\quad {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b\_{1}\\\vdots \\b\_{n}\end{array}}\right)}

կամ

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a\_{11}x\_{1}+\ldots +a\_{1n}x\_{n}&=&b\_{1}\\\ldots ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\a\_{n1}x\_{1}+\ldots +a\_{nn}x\_{n}&=&b\_{n}\end{array}}\right.}

Մեթոդի նկարագրությունը
----------------------

Որպեսզի կառուցենք Յակոբիի մեթոդի իտերատիվ ընթացակարգը, անհրաժեշտ է իրականացնել {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} հավասարումների համակարգի նախնական ձևափոխում {\displaystyle {\vec {x}}=B{\vec {x}}+{\vec {g}}} իտերացիոն տեսքին։ Այն կարող է կատարվել հետևյալ կանոններից որևէ մեկի համաձայն՝

* {\displaystyle B=E-D^{-1}A=D^{-1}(D-A),\quad {\vec {g}}=D^{-1}{\vec {b}};}
{\displaystyle B=-D^{-1}(L+U)=-D^{-1}(A-D),\quad {\vec {g}}=D^{-1}{\vec {b}}}
{\displaystyle D\_{ii}^{-1}=1/D\_{ii},D\_{ii}\neq 0,\,i=1,2,...n\quad ,}

որտեղ ըստ ընդունված նշանակումների D-ն մատրից է, որի գլխավոր անկյունագծի վրա գտնվում են A մատրիցի համապատասխան էլեմենտները, իսկ մնացած բոլոր էլեմենտները զրոներ են, այնինչ U և L մատրիցները պարունակում են A մատրիցի վերևի և ներքևի եռանկյունային մասերը, որոնց գլխավոր անկյունագծի վրա զրոներ են, իսկ E-ն միավոր մատրից է։

Այդ դեպքում լուծման գտնելու ընթացակարգը ունիայսպիսի տեսք՝

{\displaystyle {\vec {x}}^{(k+1)}=B{\vec {x}}^{(k)}+{\vec {g}},}
կամ ըստ էլեմենտային բանաձևի տեսքով՝

{\displaystyle x\_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a\_{ii}}}\left(b\_{i}-\sum \_{j\neq i}a\_{ij}x\_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n,}
որտեղ k-ն իտերացիայի հաշվիչն է։

Ի տարբերություն Զեյդելի մեթոդի մենք չենք կարող փոխարինել {\displaystyle x\_{i}^{(k)}}-ը {\displaystyle x\_{i}^{(k+1)}}-ի իտերացիայի գործընթացի ընթացքում, քանի որ այդ արժեքները անհրաժեշտ են մյուս հաշվարկների համար։

Սա ամենաէական տարբերությունն է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման Յակոբիի և Գաուս-Զեյդել մեթոդների միջև։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր իտերացիայի ժամանակ անհրաժեշտություն է առաջանում մոտարկումների երկու վեկտորները՝ հին և նոր, պահպանել։

Զուգամիտության պայման
---------------------

Բերենք զուգամիտության մեթոդի բավարար պայման։

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | **Թեորեմ.**Դիցուկ {\displaystyle \|B\|<1}։ Այդ դեպքում ցանկացած {\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}} սկզբնական մոտարկման ընտրության դեպքում՝ 
1. Գաուս-Զեյդելի մեթոդը զուգամիտում է,
2. մեթոդի զուգամիտության արագությունը հավասար է երկրաչափական պրոգրեսիայի զուգամիտության արագությանը {\displaystyle q=\|\mathrm {A} \_{2}\|} հայտարարով,
3. ճիշտ է {\displaystyle \|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0)}-{\vec {x}}\|} գնահատման սխալը։
 |  |

Դադարեցման պայմանը
------------------

Իտերացիոն գործընթացի ավարտի պայմանը անհրաժեշտ \varepsilon  ճշգրտության դեպքում ունի այսպիսի տեսք՝

{\displaystyle \parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \leq {\frac {1-q}{q}}\varepsilon }։
B (երբ {\displaystyle \parallel B\parallel =q<1/2}) մատրիցի համար առավել լավ այն կատարվում է, երբ

{\displaystyle \parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \leq \varepsilon }։
Այս չափանիշը չի պահանջում մատրիցի նորմայի հաշվարկ և գործնականում հաճախ է օգտագործվում։ Այդ դեպքում կրկնվող գործընթացի ավարտի ճշգրիտ պայմանը ունի այսպիսի տեսք՝

{\displaystyle \parallel Ax^{(k)}-b\parallel \leq \varepsilon }
և պահանջում է լրացուցիչ բազմապատկում մատրիցն վեկտորին յուրաքանչյուր իտերացիայում, որը մոտավորապես երկու անգամ մեծացնում է ալգորիթմի հաշվարկային բարդությունը։

Ալգորիթմ
--------

Ներքևում բերենք ալգորիթմի իրականացումը С++ -ում։

```
#include <math.h>
const double eps = 0.001; ///< ցանկալի ճշտությունը

..........................

/// N - մատրիցի չափը; A[N][N] - գործակիցների մատրիցն, F[N] - ազատ անդամների սյունը,
/// X[N] - սկզբնական մոտարկումը, պատասխանը նույնպես գրվում է X[N]-ում;
void Jacobi (int N, double\*\* A, double\* F, double\* X)
{
 double\* TempX = new double[N];
 double norm; // նորման, որոշված որպես ամենամեծ տարբերությունը հարևան իտերացիաների սյուների միջև

 do {
 for (int i = 0; i < N; i++) {
 TempX[i] = F[i];
 for (int g = 0; g < N; g++) {
 if (i != g)
 TempX[i] -= A[i][g] \* X[g];
 }
 TempX[i] /= A[i][i];
 }
 norm = fabs(X[0] - TempX[0]);
 for (int h = 0; h < N; h++) {
 if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)
 norm = fabs(X[h] - TempX[h]);
 X[h] = TempX[h];
 }
 } while (norm > eps);
 delete[] TempX;
}

```

Տես նաև
-------

* Գաուս-Զեյդելի մեթոդ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Յուսիֆ Սաադ, *Iterative Methods for Sparse Linear Systems*, 1-ին հրատ․, PWS, 1996.։


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |