**Բաժանելիության հայտանիշ**, ալգորիթմ, որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է
: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։

Գաղափար բաժանելիության մասին
----------------------------

Եթե {\displaystyle a} և {\displaystyle b} երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle q} թիվ, որ {\displaystyle b\,q=a,}, ապա ասում են, որ {\displaystyle a} թիվը բաժանվում է {\displaystyle b} թվի վրա։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման տասական համակարգում
----------------------------------------------------------

### *2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0},<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

### *3-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}10^{i}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}{\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154, {\displaystyle 1+5+4=10} և {\displaystyle 1+0=1} թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։

### *4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ,
երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 2\cdot 4+2=10} չի բաժանվում 4-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=100\,a\_{2}+10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad 0\leqslant a\_{1}<10,\quad a\_{2}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}2\,a\_{1}+a\_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, {\displaystyle 8\cdot 2+7=23} և {\displaystyle 2\cdot 2+3=7} թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։

### *5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

### *7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

**Հայտանիշ 1**
Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնյակի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ {\displaystyle 15\cdot 3+4=49} բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ {\displaystyle 100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14.} բաժանվում է 7-ի։

Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}3\,a\_{1}+a\_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, {\displaystyle 8\cdot 3+7=31,} {\displaystyle 3\cdot 3+1=10} և {\displaystyle 1\cdot 3+0=3} թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։

### *8-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ
{\displaystyle 9\cdot 4+5\cdot 2+2=48} բաժանվում է 8-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=1000\,a\_{3}+100\,a\_{2}+10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad 0\leqslant a\_{1}<10,\quad 0\leqslant a\_{2}<10,\quad a\_{3}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}4\,a\_{2}+2\,a\_{1}+a\_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567, {\displaystyle 5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,} {\displaystyle 3\cdot 2+9=15} և {\displaystyle 1\cdot 2+5=7} թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։

### *11-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

**Հայտանիշ 1**․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ {\displaystyle \left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22} բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ {\displaystyle \left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0} բաժանվում է 11-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}10^{i}a\_{i}\quad 0\leqslant a\_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)=\left|\sum \_{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a\_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.}
**Հայտանիշ 2**. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ {\displaystyle 10+37+85=132} և {\displaystyle 01+32=33.} բաժանվում են 11-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}100^{i}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum \_{i=0}^{n}a\_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, {\displaystyle 12+34+56=102} և {\displaystyle 1+2=3} թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։

### *13-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

*Հայտանիշ 1*։ Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ.
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 94+9\cdot 4=130} և {\displaystyle 13+0\cdot 4=13} թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։

- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 94-9\cdot 9=13} թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{1}+4\,a\_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}}
*Հայտանիշ 2*։ Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

### *17-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ {\displaystyle \left|161-5\cdot 5\right|=136} և {\displaystyle \left|13-5\cdot 6\right|=17}բաժանվում են 17-ի վրա։

-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

{\displaystyle \left|161+12\cdot 5\right|=221} և {\displaystyle \left|22+12\cdot 1\right|=34} թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a\_{1}-5\,a\_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end{cases}}}
### *19-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են {\displaystyle 119+2\cdot 7=133} և {\displaystyle 13+2\cdot 3=19:}

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{1}+2\,a\_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}}
### *23-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

*Հայտանիշ 1*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 288+3\cdot 42=414} և {\displaystyle 4+3\cdot 14=46} բաժանվում են 23-ի։

*Հայտանիշ 2*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։

*Հայտանիշ 3*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ {\displaystyle 4+7\cdot 3+3\cdot 7=46}-ը բաժանվում է 23-ի։

### *27-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}1000^{i}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum \_{i=0}^{n}a\_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end{cases}}}
### *29-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։
Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ {\displaystyle 26+3\cdot 1=29} բաժանվում է 29-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{1}+3\,a\_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}}
### *31-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ,
217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ {\displaystyle \left|21-3\cdot 7\right|=0} բաժանվում է 31-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)=\left|a\_{1}-3\,a\_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.}
### *37-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

*Հայտանիշ 1:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}1000^{i}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum \_{i=0}^{n}a\_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end{cases}}}
Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

*Հայտանիշ 2:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
{\displaystyle \left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37} -ը բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=100\,a\_{2}+10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad 0\leqslant a\_{1}<10,\quad a\_{2}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)=\left|3\,a\_{2}+4\,a\_{1}-7\,a\_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.}
*Հայտանիշ 3:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
{\displaystyle \left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74} բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=100\,a\_{2}+10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad 0\leqslant a\_{1}<10,\quad a\_{2}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a\_{2}-11\,a\_{1}+10\,a\_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37\leqslant A<100.\end{cases}}}
### *41-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

*Հայտանիշ 1:* Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։
Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ {\displaystyle \left|94-4\cdot 3\right|=82} և {\displaystyle \left|8-4\cdot 2\right|=0} բաժանվում են 41-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)=\left|a\_{1}-4\,a\_{0}\right|,\quad A\geqslant 41}
*Հայտանիշ 2*։ Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։

### *59-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 76+6\cdot 7=118} և {\displaystyle 11+6\cdot 8=59} թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{1}+6\,a\_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59\end{cases}}}
### *79-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ,
711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 71+8\cdot 1=79} բաժանվում է 79-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=10\,a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<10,\quad a\_{1}\geqslant 0,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{1}+8\,a\_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}}
### *99-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։
Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ {\displaystyle 1+25+73=99} բաժանվում է 99-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}100^{i}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum \_{i=0}^{n}a\_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}}
Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, {\displaystyle 12+34+56=102} և {\displaystyle 1+2=3}
թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։

### *101-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը*

Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ {\displaystyle \left|59-5+47\right|=101} բաժանվում է 101-ի վրա։

Բաժանելիության ընդհանուր հայտանիշներ
------------------------------------

### Բաժանելիության հայտանիշը բաժանարարի վրա, որի ցուցիչը հաշվարկման համակարգի հիմքն է

Եթե որոշ {\displaystyle t} և {\displaystyle n} թվերի համար {\displaystyle t^{n}} թիվը բաժանվում է {\displaystyle m} բնական թվի վրա, ապա
{\displaystyle t} հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած {\displaystyle A} ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա {\displaystyle n} փոքր թվանշաններով կազմված թվին։

Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=t^{n}a\_{1}+a\_{0},\quad 0\leqslant a\_{0}<t^{n},\quad a\_{1}\geqslant 0,\quad t^{n}\,\vdots \,m,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a\_{0},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}
Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

### {\displaystyle t^{n}-1} բաժանարարի վրա բաժանելիության հայտանիշ

Եթե որոշ {\displaystyle t} և {\displaystyle n} բնական թվերի համար {\displaystyle t^{n}-1} թիվը բաժանվում է {\displaystyle m} բնական թվի վրա, ապա {\displaystyle t} հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած {\displaystyle A} ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են {\displaystyle n}-ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ {\displaystyle m}-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

{\displaystyle A=\sum \_{i=0}^{n}t^{in}a\_{i},\quad 0\leqslant a\_{i}<t^{n},\quad \quad \left(t^{n}-1\right)\,\vdots \,m,}
{\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum \_{i=0}^{n}a\_{i},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}
Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման այլ համակարգերում
--------------------------------------------------------

Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).

* թիվը բաժանվում է 10*n*- վրա, եթե այն վերջանում է *n* զրոներով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է *k*, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է *k-1*-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է *k-1*-ի վրա։ Մասնավորապես.

* թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-ի

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների
գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

* թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

* եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։

Տես նաև
-------

Պասկալի հայտանիշ

Գրականություն
-------------

* Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Գործնական տեսանկյունից «*համեմատաբար արագ*» նշանակում է «*ավելի արագ, քան հնարավոր է կատարել փաստացի բաժանումը*»