Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բաշխում (այլ կիրառումներ)
**Հավանականության բաշխում** կամ պարզապես **բաշխում**, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական գաղափարներից։ Պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը (կամ հավանականությունների բաշխման օրենքը) տրվում է նրա {\displaystyle F(x)=P(\xi <x)} բաշխման ֆունկցիայով կամ այնպիսի բնութագրով, որի օգնությամբ որոշակի կանոններով կարող է ստացվել նշված բաշխման ֆունկցիան։ Այսպես, հավանականությունների բաշխում․ կարող է տրվել {\displaystyle x\_{1}<\xi <x\_{2}} անհավասարության հավանականությունը ներկայացնող {\displaystyle P(x\_{1},x\_{2})} միջակայքի ֆունկցիայով։ Այդ դեպքում նրա բաշխման ֆունկցիան որոշվում է {\displaystyle >F(x)=P(-\infty <\xi <x)=P(-\infty ,x)} բանաձևով։ Ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է այդ մեծության հնարավոր {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n},...} արժեքների և նրանց համապատասխան {\displaystyle P\_{1},P\_{2},...P\_{n},...} հավանականությունների նշմամբ, որտեղ {\displaystyle P\_{n}\geq 0} և {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }P\_{n}=1}։ Այդ դեպքում {\displaystyle F(x)=\sum \_{n}P\_{n}=1}, որտեղ գումարը տարածվում է այն {\displaystyle n}–երի վրա, որոնց համար {\displaystyle x\_{n}<x}։ Անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա {\displaystyle P(x)} բաշխման խտությամբ, որտեղ {\displaystyle P(x)\geq 0}; {\displaystyle \int \_{-\infty }^{+\infty }P(x)dx=1}։ Այդ դեպքում {\displaystyle F(x)=\int \_{-\infty }^{x}P(t)dt}։ Կամայական {\displaystyle \xi } պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել ուղղի ցանկացած բորելյան {\displaystyle E} բազմության համար որոշված և {\displaystyle \xi }-ն {\displaystyle E}-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող {\displaystyle P(E)} ֆունկցիայով։ Եթե {\displaystyle E}-ն {\displaystyle (-\infty ,x)} միջակայքն է, ապա {\displaystyle F(x)=P(E)}։

Հավանականությունների ընտրովի բաշխումը որոշվում է պատահական մեծության հետ արված {\displaystyle n} թվով անկախ փորձերի արդյունքում ստացված {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}}-երի ընտրությամբ։ Այն տրվում է բաշխման ընտրովի {\displaystyle F\_{n}^{\*}(x)} ֆունկցիայով, որպես ընտրության մեջ {\displaystyle x}-ից փոքր արժեքների հաճախականություն, այսինքն՝ {\displaystyle F\_{n}\*(x)={\frac {m(x)}{n}}}․ Երկչափ {\displaystyle (\xi ,\eta )} պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա {\displaystyle F(x,y)=P(\xi <x\cap \eta <y)} բաշխման ֆունկցիայով։ Մասնավորաբար, երկչափ ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է հնարավոր {\displaystyle (x\_{n},y\_{m})} զույգերի բազմության և համապատասխան {\displaystyle P\_{nm}=P(\xi =x\_{n}\cap \eta =y\_{m}),n,m=l,2,...} հավանականությունների նշմամբ, ընդ որում {\displaystyle F(x,y)=\sum \_{n}\sum \_{m}P\_{nm}}, որտեղ գումարները տարածվում են այն {\displaystyle n}-երի և {\displaystyle m}-երի վրա, որոնց համար {\displaystyle x\_{n}<x,y\_{m}<y}։ Երկչափ անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա {\displaystyle P(x,y)} խտության բաշխմամբ, այնպես որ {\displaystyle F(x,y)=\int \_{-\infty }^{x}\int \_{-\infty }^{y}P(x,y)dxdy}։ Կամայական երկչափ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել հարթության բոլոր բորելյան բազմությունների համար որոշված և {\displaystyle (\xi ,\eta )} կետը {\displaystyle E}-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող {\displaystyle P(E)} ֆունկցիայով։ Եթե {\displaystyle E}-ն համընկնում է {\displaystyle (-\infty ,x;-\infty ,y)} երկչափ միջակայքի հետ, ապա {\displaystyle F(x,y)=P(E)}։

Սահմանում
---------

**Սահմանում 1.** Ենթադրենք տրված է {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} հավանականային հարթություն, և դրա վրա որոշված է {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} } պատահակական մեծություն։ Հիմնականում {\displaystyle X}-ը համարվում է {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} չափելի հարթության չափելի ֆունկցիա {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}, որտեղ {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} չափելի հարթության մեջ, նշանակում է Բորելյան բազմությունը {\displaystyle \mathbb {R} }-ով։ Այդ դեպքում {\displaystyle X} պատահական մեծությունը առաջացնում է {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} հավանականային մեծություն {\displaystyle \mathbb {R} }-ի վրա հետևյալ եղանակով՝

{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}

{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} մեծությունը կոչվում է պատահական {\displaystyle X} մեծության բաշխում։ Այլ կերպ ասած, {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)}, այդպիսով {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)} սահմանում է այն բանի հավանականությունը, որ {\displaystyle X} պատահական մեծությունը ընկնում է {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} բազմության մեջ։

Բաշխում առաջադրելու եղանակներ
-----------------------------

**Սահմանում 2.** Ֆունկցիա {\displaystyle F\_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)} կոչվում է {\displaystyle X} պատահական մեծության (կոմուլյատիվ) ֆունկցիայի բաշխում։ Հավանականության հատկություններից բխում է

**Թեորեմ 1.** {\displaystyle F\_{X}(x)} բաշխման ֆունկցիան ցանկացած պատահական մեծության բավարարում է հետևյալ երեք հատկություններով։

1. {\displaystyle F\_{X}}—սկզբնական ֆունկցիա,
2. {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }F\_{X}(x)=0,\;\lim \_{x\to \infty }F\_{X}(x)=1};
3. {\displaystyle F\_{X}} անընդհատ է աջից։

Այն փաստից, որ Բորելյան բազմությունը իրական թվերի մեջ առաջանում է {\displaystyle \{(-\infty ,x]\}\_{x\in \mathbb {R} }} տիպի ինտերվալների ընտանիքից, հետևում է

**Թեորեմ 2.** Ցանկացած {\displaystyle F(x)} ֆունկցիա, որը բավարարում է վերը նշված երեք հատկություններին, համարվում է ինչ-որ {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}-ի (բաշխում) բաշխման ֆունկցիա։

Հավանականությունների բաշխումների համար, որոնք ունեն որոշակի հատկություններ, կան ավելի առաջադրելու համար հարմարավետ եղանակներ։

### Դիսկրետ բաշխում

**Սահմանում 3.** Պատահական մեծությունը համարվում է **պարզ** կամ **դիսկրետ**, եթե այն ընդունում է ոչ ավելի, քան հաշվելի թվերի նշանակությունը։ Այսինքն՝
{\displaystyle X(\omega )=a\_{i},\;\forall \omega \in A\_{i}}, որտեղ {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i=1}^{\infty }}՝ {\displaystyle \Omega } մասնատում։

Այդ դեպքում պարզ պատահական մեծության բաշխումը տրվում է {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum \_{i:a\_{i}\in B}\mathbb {P} (A\_{i})}: Նշանակելով {\displaystyle p\_{i}=\mathbb {P} (A\_{i})p(a\_{i})=p\_{i}}՝ կարելի է նշանակել {\displaystyle p(a\_{i})=p\_{i}}: Ակնհայտ է, որ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }p\_{i}=1}: Օգտագործելով {\displaystyle \mathbb {P} } թվային ադիտիվություն, հեշտությամբ ցույց կտանք, որ այդ ֆունկցիան միանշանակ սահմանում է {\displaystyle X}-ը։

**Սահմանում 4.** Ֆունկցիա {\displaystyle p(a\_{i})=p\_{i}}, որտեղ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }p\_{i}=1} հաճախ անվանում են **դիսկրետ բաշխում**։

**Օրինակ 1.** Ենթադրենք {\displaystyle p} ֆունկցիան նշանակված է այնպես, որ {\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}} և {\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}: Այդ ֆունկցիան ունի {\displaystyle X}, որի համար {\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}} (Բերնուլլի բաշխում)։

**Թեորեմ 3.** Դիսկրետ բաշխումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1. {\displaystyle p\_{i}\geqslant 0}

2. {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}=1}

### Վանդակավոր բաշխում

**Սահմանում 5.** Վանդակավոր են կոչվում ֆունկցիայի դիսկրետ բաշխմամբ բաշխումները, և ֆունկցիայի բաշխման խզման կետից ստեղծում են {\displaystyle a+nh}, որտեղ {\displaystyle a}-ն իրական թիվ է, {\displaystyle h>0,n}-ը ամբողջ թիվ է։

**Օրինակ 2.** Պուասոնի բաշխում համարվում է վանդակավոր։

**Օրինակ 3.** Բինոմական բաշխումը համարվում է վանդակավոր։

**Թեորեմ 4.** Որպեսզի {\displaystyle F} ֆունկցիայի բաշխումը լինի վանդակավոր {\displaystyle h} քայլով, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրա բնութագրիչ {\displaystyle f} ֆունկցիան բավարարի {\displaystyle |f(2\pi /h)|=1} պայմանին։

Ապացույց։

Անհրաժեշտ պայման։ Նշանակենք {\displaystyle \left\{a+nh\right\}} բազմություն, որը պարունակում է {\displaystyle F} ֆունկցիայի բոլոր խզման կետերը և {\displaystyle p\_{n}=F(a+nh)-F(a+nh-0)}: Այդ դեպքում {\displaystyle f(t)=\sum \_{n}p\_{n}\exp \left[i(a+nh)t\right]}: Հետևում է {\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})} և {\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}:

Բավարար պայման։ Եթե {\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}, ապա {\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})} ինչ-որ {\displaystyle a} իրական թվի համար։ Այդ դեպքում {\displaystyle \int \exp \left[{\frac {i2\pi (x-a)}{h}}\right]dF(x)=1}։ Այս հավասարությունից հետևում է {\displaystyle \int (1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right])dF(x)=0}: Ֆունկցիայի տակ գտնվող ֆունկցիայի ոչ բացասականության դեպքում, {\displaystyle \left\{x:1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right]>0\right\}} բազմության չափը հավասար է զրոյի։ Այդպիսով {\displaystyle F} ֆունկցիայի բաշխումը կարող է ունենալ սեփական բարձրության կետերով կետեր միայն {\displaystyle \left\{a+nh\right\}} բազմությունից։
Այս թեորեմի հետևանքն է վանդակավոր բաշխման հետևյալ հատկությունները։ Եթե {\displaystyle F} ֆունկցիայի {\displaystyle h} քայլով վանդակավոր բաշխումը համարվում է {\displaystyle F\_{1}} և {\displaystyle F\_{2}} ֆունկցիաների բաշխման շղթա {\displaystyle F=F\_{1}\*F\_{2}}, ապա {\displaystyle F\_{1}}-ը և {\displaystyle F\_{2}}-ը նույնպես համարվում են վանդակավոր {\displaystyle h} քայլով։

Ապացույց։ Նշանակենք {\displaystyle f,f\_{1},f\_{2}} բնութագրիչ ֆունկցիաներով {\displaystyle F,F\_{1},F\_{2}} ֆունկցիաների բաշխումները։ Այդ դեպքում {\displaystyle \left|f\_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|\left|f\_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|}: Քանի որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիայի մոդուլը իրական թվերի առանցքի վրա չի գերազանցում {\displaystyle 1}-ը, ապա {\displaystyle \left|f\_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f\_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=1} և ապացույցը ավարտված է։

### Անընդհատ բաշխումներ

Անընդհատ բաշխումը ատոմներ չունեցող բաշխում է։

### Բացարձակապես անընդհատ բաշխում

Բացարձակապես անընդհատ անվանում են այն բաշխումները, որոնք ունեն հավանականության խտություն։ Այդպիսի բաշխումների կոմուլյատիվ ֆունկցիաները բացարձակ անընդհատ են Լեբեգի իմաստով։

**Սահմանում 6.** {\displaystyle X} պատահական մեծության բաշխումը կոչվում է բացարձակապես անընդհատ, եթե կա ոչ բացասական այնպիսի {\displaystyle f\_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \_{+}} ֆունկցիա, որ {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits \_{B}f\_{X}(x)\,dx}: {\displaystyle f\_{X}} ֆունկցիան այդ դեպքում կոչվում է {\displaystyle X} պատահական մեծության բաշխման խտություն։

**Օրինակ 4.** Ենթադրենք {\displaystyle f(x)=1}, երբ {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}, և {\displaystyle 0}՝ հակառակ դեպքում։ Այդ ժամանակ {\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits \_{a}^{b}1\,dx=b-a}, եթե {\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}:

Ակնհայտ է, որ ցանկացած {\displaystyle f\_{X}} խտության բաշխման համար {\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }f\_{X}(x)\,dx=1} ճիշտ է։ Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը։

**Թեորեմ 5.** Եթե {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ֆունկցիան այնպիսին է, որ

1. {\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} };
2. {\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1},

ապա գոյություն ունի {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} բաշխում այնպիսին, որ {\displaystyle f(x)}-ը համարվում է դրա խտությունը։

Նյուտոնի-Լեյբնիցի բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է պարզ հարաբերության կոմուլյատիվ ֆունկցիայի և բացարձակ անընդհատ բաշխման խտության միջև։

**Թեորեմ 6.** Եթե {\displaystyle f(x)}-ը բաշխման անընդհատ խտությունն է, իսկ {\displaystyle F(x)}-ը նրա կոմուլյատիվ ֆունկցիան, ապա

1. {\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}
2. {\displaystyle F(x)=\int \limits \_{-\infty }^{x}f(t)\,dt}։

Էմպիրիկ տվյալներով բաշխման կառուցման ժամանակ պետք է խուսափել հաշվարկի կլորացման սխալանքից։

### Սինգուլյար բաշխում

Սինգուլյար են կոչվում այն բաշխումները, որոնք կենտրոնացած են զրոյական չափողականության բազմության վրա (սովորաբար Լեբեգի չափ)։

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. 1 2 3 4 5  Рамачандран, 1975, էջ 38

Գրականություն
-------------

* *Рамачандран Б.* Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 293)։*  |

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Մեծ նորվեգական · MESH ID |
|  |
| 

|  Չափորոշչային վերահսկողություն |
| --- |
|  |
| BNF: 119780901 · GND: 4121894-2 · LCCN: sh85038545 · Microsoft: 149441793 · NDL: 00564751 · NKC: ph125263 |

 |

 |