Գծային հանրահաշվում **որոշիչը** (կամ **դետերմինանտը**) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։ {\displaystyle A} մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝ {\displaystyle \det(A)}, {\displaystyle |A|} կամ {\displaystyle \Delta (A)}։

{\displaystyle n\times n} չափի {\displaystyle A} քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված {\displaystyle R} կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է {\displaystyle R} օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։

Այն «որոշում է» {\displaystyle A} մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես, {\displaystyle A} մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է {\displaystyle R} օղակի շրջելի տարր։

Այն դեպքում, երբ {\displaystyle R}-ը դաշտ է, {\displaystyle A} մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle A} մատրիցայի ռանգը փոքր է {\displaystyle n}-ից կամ, եթե {\displaystyle A} մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։

Պատմությունը
------------

Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։

Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները։

Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։

Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին։

Սահմանումը
----------

### Վերադասավորման միջոցով

{\displaystyle n\times n} չափի {\displaystyle A=(a\_{ij})} քառակուսի մատրիցի համար նրա {\displaystyle \det A} որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

{\displaystyle \det A=\sum \_{\alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots ,\alpha \_{n}}(-1)^{N(\alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots ,\alpha \_{n})}\cdot a\_{1\alpha \_{1}}a\_{2\alpha \_{2}}\dots a\_{n\alpha \_{n}}},
որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots ,\alpha \_{n}} թվերի {\displaystyle 1,2,\dots ,n} վերադասավորումներով, իսկ {\displaystyle N(\alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots ,\alpha \_{n})} նշանակում է ինվերսիաների թիվը {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots ,\alpha \_{n}} վերադասավորումներում։

Այսպիսով, որոշիչում մտնում են {\displaystyle n!} գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։

Համարժեք բանաձևը՝

{\displaystyle \det A=\sum \_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}=1}^{n}\varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}\cdot a\_{1i\_{1}}a\_{2i\_{2}}\dots a\_{ni\_{n}}},
որտեղ {\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}} գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝

0, եթե ոչ բոլոր {\displaystyle i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}} ինդեքսներն են տարբեր,
1, եթե բոլոր {\displaystyle i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}} ինդեքսները տարբեր են և {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i\_{1}&i\_{2}&\dots &i\_{n}\end{pmatrix}}\in S\_{n}} վերադասավորումները զույգ են,
−1, եթե բոլոր {\displaystyle i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}} ինդեքսները տարբեր են և {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i\_{1}&i\_{2}&\dots &i\_{n}\end{pmatrix}}\in S\_{n}} վերադասավորումները կենտ են։
### Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում)

Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է {\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R} } ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների՝

1. {\displaystyle \det(A)} — {\displaystyle A} մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,
2. {\displaystyle \det(A)} — {\displaystyle A} մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,
3. {\displaystyle \det(E)=1}, որտեղ {\displaystyle E}-ն {\displaystyle n\times n} չափի միավոր մատրից է։

Մատրիցի որոշիչի արժեքը
----------------------

Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}\end{vmatrix}}=a\_{11}}
### 2 x 2 մատրից

2×2 մատրիցի որոշիչի հաշվարկի սխեման
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է մատրիցի որոշիչի մոդուլին, որը ձևավորվում է զուգահեռագծի կողմերի վեկտորներով
{\displaystyle 2\times 2} մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
Այս {\displaystyle A} մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (*a*, *b*), (*a* + *c*, *b* + *d*) և (*c*, *d*) գագաթներով զուգահեռագծից։

{\displaystyle |ad-bc|} որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը {\displaystyle A}-ի փոխակերպման դեպքում։

Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է {\displaystyle A}-ի փոխակերպման արտապատկերում։

### 3 x 3 մատրից

{\displaystyle 3\times 3} մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}=a\_{11}{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}-a\_{12}{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}+a\_{13}{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}=}
{\displaystyle =a\_{11}a\_{22}a\_{33}-a\_{11}a\_{23}a\_{32}-a\_{12}a\_{21}a\_{33}+a\_{12}a\_{23}a\_{31}+a\_{13}a\_{21}a\_{32}-a\_{13}a\_{22}a\_{31}}
Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։

Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }-ով։

### N × N մատրից

Ընհանուր դեպքում, {\displaystyle n\times n} կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝

{\displaystyle \Delta =\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}{\bar {M}}\_{j}^{1}}, որտեղ {\displaystyle {\bar {M}}\_{j}^{1}}-ն {\displaystyle a\_{1j}} տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է **տրոհում ըստ տողերի**։
Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝

{\displaystyle \Delta =\sum \_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}{\bar {M}}\_{1}^{i}}։

Ապացույց  

դիցուք {\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\sum \_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}{\bar {M}}\_{1}^{i}}։

Ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ {\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\Delta }։ Հեշտ է տեսնել, որ {\displaystyle 2\times 2} մատրիցի համար այն ճիշտ է՝

{\displaystyle {\tilde {\Delta \_{2}}}=\sum \_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}{\bar {M}}\_{1}^{i}=a\_{11}a\_{22}-a\_{21}a\_{12}=\Delta \_{2}}
Ենթադրենք, որ {\displaystyle n-1} կարգի մատրիցի համար {\displaystyle {\tilde {\Delta }}\_{n-1}=\Delta \_{n-1}} այն ճշմարիտ է։

{\displaystyle {\tilde {\Delta \_{n}}}=\sum \_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}{\bar {M}}\_{1}^{i}=a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}{\bar {M}}\_{1}^{i}=a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a\_{i1}\sum \_{j=2}^{n}(-1)^{j}a\_{1j}{\bar {M}}\_{1j}^{i1}=}
{\displaystyle =a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{i=2}^{n}\sum \_{j=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a\_{i1}a\_{1j}{\bar {M}}\_{1j}^{i1}}
{\displaystyle {\Delta \_{n}}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}{\bar {M}}\_{j}^{1}=a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}{\bar {M}}\_{j}^{1}=a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}\sum \_{i=2}^{n}(-1)^{i}a\_{i1}{\bar {M}}\_{j1}^{1i}=}
{\displaystyle =a\_{11}{\bar {M}}\_{1}^{1}+\sum \_{j=2}^{n}\sum \_{i=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a\_{1j}a\_{i1}{\bar {M}}\_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta \_{n}}}}

Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝

{\displaystyle \Delta =\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}{\bar {M}}\_{j}^{i}}։

Ապացույց  

դիցուք {\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}{\bar {M}}\_{j}^{i}}.

Ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ {\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\Delta }։
Հեշտ է տեսնել, որ {\displaystyle 2\times 2} մատրիցի համար այն ճիշտ է՝

{\displaystyle {\tilde {\Delta \_{2}}}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}{\bar {M}}\_{j}^{i}=-a\_{21}a\_{12}+a\_{22}a\_{11}=\Delta \_{2}}
Ենթադրենք, որ {\displaystyle n-1} կարգի մատրիցի համար {\displaystyle {\tilde {\Delta }}\_{n-1}=\Delta \_{n-1}} ճշմարիտ է։

{\displaystyle {\tilde {\Delta \_{n}}}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}{\bar {M}}\_{j}^{i}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a\_{ij}\left(\sum \_{k<j}(-1)^{1+k}a\_{1k}{\bar {M}}\_{jk}^{i1}+\sum \_{k>j}(-1)^{k}a\_{1k}{\bar {M}}\_{jk}^{i1}\right)}
Գործակիցները {\displaystyle {\bar {M}}\_{j\_{0}k\_{0}}^{i\,\,1}}-ի համար՝

{\displaystyle j\_{0}>k\_{0}\colon \;(-1)^{i+j\_{0}}a\_{ij\_{0}}(-1)^{1+k\_{0}}a\_{1k\_{0}}+(-1)^{i+k\_{0}}a\_{ik\_{0}}(-1)^{j\_{0}}a\_{1j\_{0}}=(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}(a\_{ij\_{0}}a\_{1k\_{0}}-a\_{ik\_{0}}a\_{1j\_{0}})=}
{\displaystyle =(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}M\_{j\_{0}k\_{0}}^{1\,\,i}}
{\displaystyle j\_{0}<k\_{0}\colon \;(-1)^{i+j\_{0}}a\_{ij\_{0}}(-1)^{k\_{0}}a\_{1k\_{0}}+(-1)^{i+k\_{0}}a\_{ik\_{0}}(-1)^{j\_{0}+1}a\_{1j\_{0}}=(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}(a\_{ik\_{0}}a\_{1j\_{0}}-a\_{ij\_{0}}a\_{1k\_{0}})=}
{\displaystyle =(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}M\_{j\_{0}k\_{0}}^{1\,\,i}}
{\displaystyle {\tilde {\Delta \_{n}}}=\sum \_{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M\_{jk}^{1i}{\bar {M}}\_{jk}^{1i}}
{\displaystyle \Delta =\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}{\bar {M}}\_{j}^{1}=\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}\left(\sum \_{k<j}(-1)^{i+k-1}a\_{ik}{\bar {M}}\_{jk}^{1i}+\sum \_{k>j}(-1)^{i+k-2}a\_{ik}{\bar {M}}\_{jk}^{1i}\right)}
Գործակիցները {\displaystyle {\bar {M}}\_{j\_{0}k\_{0}}^{i\,\,1}}-ի համար՝

{\displaystyle j\_{0}>k\_{0}\colon \;(-1)^{1+j\_{0}}a\_{1j\_{0}}(-1)^{i+k\_{0}-1}a\_{ik\_{0}}+(-1)^{1+k\_{0}}a\_{1k\_{0}}(-1)^{i+j\_{0}-2}a\_{ij\_{0}}=(-1)^{j\_{0}+i+k\_{0}}(a\_{1j\_{0}}a\_{ik\_{0}}-a\_{1k\_{0}}a\_{ij\_{0}})=}
{\displaystyle =(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}M\_{j\_{0}k\_{0}}^{1\,\,i}}
{\displaystyle j\_{0}<k\_{0}\colon \;(-1)^{1+j\_{0}}a\_{1j\_{0}}(-1)^{i+k\_{0}-2}a\_{ik\_{0}}+(-1)^{1+k\_{0}}a\_{1k\_{0}}(-1)^{i+j\_{0}-1}a\_{ij\_{0}}=(-1)^{k\_{0}+i+j\_{0}}(a\_{1k\_{0}}a\_{ij\_{0}}-a\_{1j\_{0}}a\_{ik\_{0}})=}
{\displaystyle =(-1)^{i+j\_{0}+k\_{0}+1}M\_{j\_{0}k\_{0}}^{1\,\,i}}
{\displaystyle {\Delta \_{n}}=\sum \_{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M\_{jk}^{1i}{\bar {M}}\_{jk}^{1i}={\tilde {\Delta \_{n}}}}

Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած {\displaystyle k} տողով (սյունով)՝

{\displaystyle \Delta =\sum \_{1\leqslant j\_{1}<\ldots <j\_{k}\leqslant n}(-1)^{i\_{1}+\ldots +i\_{k}+j\_{1}+\ldots +j\_{k}}M\_{j\_{1}\ldots j\_{k}}^{i\_{1}\ldots i\_{k}}{\bar {M}}\_{j\_{1}\ldots j\_{k}}^{i\_{1}\ldots i\_{k}}}։
### Հաշվարկի այլընտրանքային մեթոդներ

* Ջոնսոնի կոնդենսացիայի մեթոդ, որը հիմնված է ռեկուրսիվ բանաձևի վրա՝

{\displaystyle \det(M)={\frac {\det(M\_{1}^{1})\det(M\_{k}^{k})-\det(M\_{1}^{k})\det(M\_{k}^{1})}{\det(M\_{1,k}^{1,k})}},} որտեղ {\displaystyle M\_{1}^{1},M\_{k}^{k},M\_{1}^{k},M\_{k}^{1},M\_{1,k}^{1,k}} մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։

Որոշիչի հիմնական հատկությունները
--------------------------------

Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝

1. {\displaystyle \det E=1} (միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);
2. {\displaystyle \det cA=c^{n}\det A} ({\displaystyle n} չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է {\displaystyle n} աստիճանի միատար ֆունկցիա);
3. {\displaystyle \det A^{T}=\det A} (Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);
4. {\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B} (Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին, {\displaystyle A} և {\displaystyle B} մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);
5. {\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1}}, ընդ որում {\displaystyle A} մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա {\displaystyle \det A} որոշիչը;
6. Գոյություն ունի {\displaystyle AX=0} հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ {\displaystyle \det A=0} (կամ էլ {\displaystyle \det A}-ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ {\displaystyle R}-ը ոչամբողջական օղակ է)։

### Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա

Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում {\displaystyle {\hat {A}}\_{i}} տառերով նշանակվում են {\displaystyle A} մատրիցի տողերը (սյուները)։ 

1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։
Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝

{\displaystyle \det({\hat {A}}\_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}\_{i}+\beta {\hat {A'}}\_{i},\ldots ,{\hat {A}}\_{n})=\alpha \det({\hat {A}}\_{1},\ldots ,{\hat {A}}\_{i},\ldots ,{\hat {A}}\_{n})+\beta \det({\hat {A}}\_{1},\ldots ,{\hat {A'}}\_{i},\ldots ,{\hat {A}}\_{n})}
2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։
{\displaystyle \det(\ldots ,{\hat {A}}\_{i},\ldots ,{\hat {A}}\_{j},\ldots )=-\det(\ldots ,{\hat {A}}\_{j},\ldots ,{\hat {A}}\_{i},\ldots )}
3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝
{\displaystyle {\hat {A}}\_{i}={\hat {A}}\_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}\_{i},\ldots ,{\hat {A}}\_{j},\ldots )=0}
**Ուշադրություն։** 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե {\displaystyle R} օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1 + 1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝

4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։
5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։
6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։
7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։
Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են {\displaystyle V} (կամ վերջավոր բազիսով {\displaystyle V}-ի {\displaystyle R} մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝

**Թեորեմ։** դիցուք {\displaystyle V}-ն {\displaystyle n}-րդ կարգի ազատ {\displaystyle R} մոդուլն է ({\displaystyle n}-նիշային վեկտորային տարածություն {\displaystyle R}-ի վրա, եթե {\displaystyle R}-ը դաշտ է)։ դիցուք {\displaystyle \varphi (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})}-ը {\displaystyle R}-նիշային ֆունկցիա է {\displaystyle V^{n}}-ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում {\displaystyle V} տարածության {\displaystyle E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n}} բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle c\_{0}=\varphi (E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n})} հաստատուն, որ ցանկացած {\displaystyle X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n}} արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝
{\displaystyle \varphi (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})=c\_{0}\det({\hat {X}}\_{1},{\hat {X}}\_{2},\dots ,{\hat {X}}\_{n})},
որտեղ {\displaystyle {\hat {X}}\_{i}}-ը {\displaystyle X\_{i}} վեկտորի սյան կոորդինատն է {\displaystyle E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n}} բազիսի նկատմամբ։

Ապացույց  

{\displaystyle X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n}} վեկտորները տրոհենք ըստ {\displaystyle E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n}}: {\displaystyle X\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}x\_{ij}E\_{j}} բազիսների։
Այդ դեպքում նրանց կհամապատասխանի հետևյալ {\displaystyle {\hat {X}}\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}x\_{ij}{\hat {E}}\_{j}} սյունները։

Հաշվի առնելով {\displaystyle \varphi } ֆունկցիայի բազմագծայնությունը 
{\displaystyle \varphi (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})=\varphi (\sum \_{i\_{1}=1}^{n}x\_{1i\_{1}}E\_{i\_{1}},\sum \_{i\_{2}=1}^{n}x\_{2i\_{2}}E\_{i\_{2}},\dots ,\sum \_{i\_{n}=1}^{n}x\_{ni\_{n}}E\_{i\_{n}})=\sum \_{i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{n}=1}^{n}\varphi (E\_{i\_{1}},E\_{i\_{2}},\dots ,E\_{i\_{n}})\cdot x\_{1i\_{1}}x\_{2i\_{2}}\dots x\_{ni\_{n}}}։

Համաձայն 3-րդ հատկության, եթե {\displaystyle i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{n}} ինդեկսներում կան համընկնողներ, ապա 

{\displaystyle \varphi (E\_{i\_{1}},E\_{i\_{2}},\dots ,E\_{i\_{n}})=0}։
Հակառակ դեպքում, կոսիմետրիկության պատճառով (հատկություն 2), կստացվի՝ 

{\displaystyle \varphi (E\_{i\_{1}},E\_{i\_{2}},\dots ,E\_{i\_{n}})=\varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}\varphi (E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n})}։
Այսպիսով, {\displaystyle \varphi (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})=c\_{0}\det({\hat {X}}\_{1},{\hat {X}}\_{2},\dots ,{\hat {X}}\_{n})}, որտեղ {\displaystyle c\_{0}=\varphi (E\_{1},E\_{2},\dots ,E\_{n})}։

### Որոշիչ և կողմնորոշված ծավալ

դիցուք {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} երեք վեկտորներ են {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են {\displaystyle {\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}} շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։

{\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})} օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե {\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})} վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։

{\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})} ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ {\displaystyle {\vec {a}}} վեկտորի։ Եթե {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}} վեկտորը գծային կախված է, {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}-ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ {\displaystyle {\vec {a}}} վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}} վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք {\displaystyle {\vec {n}}}-ով միավոր նոմինալ վեկտորը {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}} վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0}։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}} վեկտորներով, և {\displaystyle {\vec {a}}} վեկտորից չկախված և {\displaystyle {\vec {a}}} վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է {\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle } սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է {\displaystyle {\vec {a}}} վեկտորին։ Ըստ {\displaystyle {\vec {a}}}-ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։

Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} տարածության {\displaystyle ({\vec {e}}\_{1},{\vec {e}}\_{2},{\vec {e}}\_{3})} օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝

{\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e}}\_{1},{\vec {e}}\_{2},{\vec {e}}\_{3})\det {\begin{pmatrix}a\_{1}&b\_{1}&c\_{1}\\a\_{2}&b\_{2}&c\_{2}\\a\_{3}&b\_{3}&c\_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a\_{1}&b\_{1}&c\_{1}\\a\_{2}&b\_{2}&c\_{2}\\a\_{3}&b\_{3}&c\_{3}\end{pmatrix}}},
որտեղ {\displaystyle a\_{i},b\_{i},c\_{i}}-ը {\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})} վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։

Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։

Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} տարածության վրա։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Ի․Ն․ Բրոնշտեյն, Կ․Ա․ Սեմենդյաև, «Մաթեմատիկայի տեղեկագիրք ինժեներների և բուհ ընդունվողների համար», 13-րդ հրատ․, լրամշակված, Մոսկվա, Նաուկա, 1986, էջ 157
2. ↑  Է. Ի. Բերյոզկինա, Հին Չինաստանի մաթեմատիկան, Մ․, Նաուկա, 1980 թ․
3. ↑  H. W. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing, 1990
4. ↑  «Լ․Ա․ Սկորնյակով», Հանրահաշվի տարրերը, Մ․, Նաուկա, 1986, էջեր 16-23, Տպաքանակ - 21 000 հատ