**Ֆունկցիայի էքստրեմում**, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է **մինիմումի կետ**, իսկ եթե ամենամեծին՝ **մաքսիմումի կետ**։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։

Սահմանումներ
------------

Եթե {\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} и {\displaystyle x\_{0}\in M^{0}}, ապա {\displaystyle f.}-ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե {\displaystyle {\dot {U}}(x\_{0})}, ապա {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x\_{0})\quad f(x)\geq f(x\_{0}).}։

* ։ x\_{0} է կոչվում {\displaystyle f,} ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի {\displaystyle {\dot {U}}(x\_{0})} հարթություն, որի համար
* ։ {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x\_{0})\quad f(x)\geq f(x\_{0}).}։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա x\_{0}-ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։
* x\_{0} է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
* ։ {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leq f(x\_{0});}
* x\_{0} է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
* ։ {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geq f(x\_{0}).}

{\displaystyle f(x\_{0})} ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։

Նշում
-----

{\displaystyle M,} տարածությունում բաժանված {\displaystyle f,} ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ {\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}

Հիմնական էքստրեմումների գոյության անհրաժեշտ պայմաններ
-----------------------------------------------------

* Ֆերմայի թեորեմից հետևում է՝

Օրինակ, եթե x\_{0}-ը ~f ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է x\_{0} տարածքում, ապա
կա՛մ {\displaystyle ~f'(x\_{0})} գոյություն չունի, կա՛մ {\displaystyle ~f'(x\_{0})=0}.

Բավարար պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար
---------------------------------------------------------

* Օրինակ, եթե {\displaystyle f\in C(x\_{0})}-ն շարունակական է {\displaystyle x\_{0}\in M^{0},} տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ {\displaystyle ~f'\_{+}(x\_{0}),f'\_{-}(x\_{0})}, ապա

{\displaystyle f'\_{+}(x\_{0})<0,\;f'\_{-}(x\_{0})>0}
պայմանում x\_{0}-ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե 

{\displaystyle f'\_{+}(x\_{0})>0,\;f'\_{-}(x\_{0})<0,}
ապա x\_{0} հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի x\_{0} կետը

* ։ {\displaystyle ~f'(x\_{0})=0} и {\displaystyle ~f''(x\_{0})<0}

պայմանում x\_{0}-ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

{\displaystyle ~f'(x\_{0})=0} и {\displaystyle ~f''(x\_{0})>0}
պայմանում x\_{0}-ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

* ։ f ֆունկցիան x\_{0} կետում դիֆերենցելի է n անգամ և {\displaystyle f'(x\_{0})=f''(x\_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x\_{0})=0}, իսկ {\displaystyle f^{(n)}(x\_{0})\neq 0}։

Եթե n-ն հաշվելի է և {\displaystyle f^{(n)}(x\_{0})<0}, ապա x\_{0} հիմնական մաքսիմումի կետն է։
Եթե n-ն հաշվելի է և {\displaystyle f^{(n)}(x\_{0})>0}, ապա x\_{0}-ն հիմնական մինիմումի կետն է։
Եթե n-ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 559)։*  |