**Տանգենսների թեորեմ**, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։

Պատմություն
-----------

Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (լատ.՝ Regiomontanus): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

Նկար 1. Եռանկյուն
Նկար 1-ում *a*, *b*, և *c*-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, *α*, *β*, և *γ*-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:}

Ապացույց
--------

Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}:}
Թող՝

{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}
որտեղից

{\displaystyle a=d\sin \alpha }
{\displaystyle b=d\sin \beta :}
Այստեղից հետևում է, որ

{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}:}
Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},\;}
ստանում ենք.

{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:\qquad \blacksquare }
Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

{\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}:

Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց
---------------------------------------------

* Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը

{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};}
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}:}
որտեղ {\displaystyle A,\;B,\;C}-ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և {\displaystyle a,\;b,\;c}-ն՝ համապատասխանաբար B և C, *C* և A, *A* և *B* գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

* Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.

{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}:}
* Հաշվի առնելով, որ {\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}, վերջնական ունենում ենք.

{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},}
ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Տես նաև
-------

* Եռանկյունների լուծում
* Կոսինուսների թեորեմ
* Կոտանգենսների թեորեմ
* Սինուսների թեորեմ
* Եռանկյունաչափական նույնություններ
* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *Eli Maor.* Trigonometric Delights // Princeton University Press, 2002.
2. ↑  *Marie-Thérèse Debarnot* Trigonometry // Encyclopedia of the history of Arabic science, volume 2 / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — С. 182. — ISBN 0415124115
3. ↑  *Q. Mushtaq, J. L. Berggren* Trigonometry // History of Civilizations of Central Asia, volume 4, rart 2 / Bosworth C. E. Asimov M. S.. — Motilal Banarsidass Publ. 2002. — С. 190. — ISBN 8120815963
4. ↑  *О. В. Мантуров.* Толковый словарь математических терминов