{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2} ֆունկցիայի գրաֆիկ  

**Քառակուսային ֆունկցիա,** երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ a\neq 0 և {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} } ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։

Հիմնական հատկություններ
-----------------------

Քառակուսային {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են a գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները։

| Հատկություն | a>0 | {\displaystyle a<0} |
| --- | --- | --- |
| Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ | {\displaystyle D(f)=\mathbb {R} } |
| Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ | {\displaystyle E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty \right)} | {\displaystyle E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]} |
| Ֆունկցիայի զույգությունը | Զույգ է {\displaystyle b=0} դեպքում, կենտ է {\displaystyle b\neq 0} դեպքում |
| Ֆունկցիայի պարբերականությունը | Ոչ պարբերական ֆունկցիա |
| Ֆունկցիայի անընդհատությունը | Անընդհատ է, խզման կետեր չկան |
| Ֆունկցիայի զրոները | {\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}, եթե {\displaystyle D=b^{2}-4ac\geq 0}իրական զրոներ չկան, եթե {\displaystyle D=b^{2}-4ac<0} |
| Ֆունկցիայի սահմանը {\displaystyle x\to \pm \infty } դեպքում | {\displaystyle f(x)\to +\infty } , {\displaystyle x\to \pm \infty } դեպքում | {\displaystyle f(x)\to -\infty }, {\displaystyle x\to \pm \infty } դեպքում |
| Ֆունկցիայի դիֆերենցելիություն | Ամենուր բազմակի դիֆերենցելի է{\displaystyle f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0} |
| Էքստրեմումի կետերը (բացարջակ էքստրեմում) | {\displaystyle x\_{min}={\frac {-b}{2a}}} (մինիմում) | {\displaystyle x\_{max}={\frac {-b}{2a}}} (մաքսիմում) |
| Խիստ մոնոտոնության միջակայքերը | նվազում է {\displaystyle \left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]}աճում է {\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)} | աճում է {\displaystyle \left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]}նվազում է {\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)} |
| Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը | Ամենուրեք գոգավոր ֆունկցիա | Ամենուրեք ուռուցիկ ֆունկցիա |
| Ճկման կետ | Ճկման կետերը բցակայում են |
| Ֆունկցիայի սահմանափակումները | Սահմանափակ ներքևից | Սահմանափակ վերևից |
| Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը | Բացակայում է | {\displaystyle y\_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} |
| Ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը | {\displaystyle y\_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} | Բացակայում է |
| Ֆունկցիայի դրական արժեքները | {\displaystyle (-\infty ;x\_{1})\cup (x\_{2};+\infty )} | {\displaystyle (x\_{1};x\_{2})} |
| Ֆունկցիայի բացասական արժեքները | {\displaystyle (x\_{1};x\_{2})} | {\displaystyle (-\infty ;x\_{1})\cup (x\_{2};+\infty )} |

Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրա
---------------------------------------------------

### Քառակուսյին ֆունկցիայի գրառման ստանդարտ ձև

### 

a, b и c իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ։ Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների։

a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ։

Եթե {\displaystyle a>0}, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում։

Եթե {\displaystyle a<0}, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։

Եթե {\displaystyle |a|<1}, ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ։

Եթե {\displaystyle |a|>1}, ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։

a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա{\displaystyle f(x)=ax^{2}}։ Այն դեպքում, երբ a=0 քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։

c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար)։ Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով։ Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ, b գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր։

Ցանկացած {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը {\displaystyle f(x)=a(x-x\_{0})^{2}+y\_{0}} տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
{\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c}
{\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c}
{\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c}
{\displaystyle =a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}}
{\displaystyle =a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
{\displaystyle =a\cdot \left(x-x\_{0}\right)^{2}+y\_{0}}, где {\displaystyle x\_{0}={\frac {-b}{2a}}} и {\displaystyle y\_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}

Ֆունկցիայի զրոներ
-----------------

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում։

Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

| Լրիվ դիսկրիմինանտ (որոշիչ) | Կրճատ դիսկրիմինանտ | Բերված դիսկրիմինանտ |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} | {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} | {\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q} |
| {\displaystyle D=b^{2}-4ac} | {\displaystyle D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac} | {\displaystyle D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} |

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

* Եթե {\displaystyle D=0}, ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
* Եթե {\displaystyle D>0}, ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
* Եթե {\displaystyle D<0}, ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
* Օրինակ, {\displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5} ֆունկցիայի համար՝

{\displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0}.
Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական զրոներ։

Դրսևորումներ գործնականում
-------------------------

* Ազատ անկում կատարող մարմնի բարձրության կախումը ժամանակից․
* Շրջանի չափերի կախումը իր գծային չափերից օրինակ՝ շառավղից։
* Հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության կախումը ժամանակից։

Տես նաև
-------

* Քառակուսային եռանդամ
* Պարաբոլ

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М. : «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.

Գրականություն
-------------

* *Сканави М.И.* График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд. перераб. и доп. — М. 1974. — С. 130—133. — 592 с.
* *Каплан И.А.* Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.