**Դաշտի տեսություն** մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

Նկարագրություն
--------------

### Սկալյար և վեկտորական դաշտեր

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում {\displaystyle u(P)} թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ {\displaystyle {\vec {a}}(P)} վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված {\displaystyle u(P)} կամ {\displaystyle {\vec {a}}(P)} ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։{\displaystyle u(x,y,z)}

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

{\displaystyle {\vec {a}}(P)}-ի {\displaystyle a\_{x},a\_{y},a\_{z}}
պրոյեկցիաների տրմանը։

### Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր

Եթե {\displaystyle u(P)}, {\displaystyle {\vec {a}}(P)} ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է *ստացիոնար* (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ *ոչ ստացիոնար* (փոփոխական)։

### Ոլորտային և գլանային դաշտեր

Սկալյար դաշտերը պատկերվում են {\displaystyle u(P)=const} հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ {\displaystyle u(P)}-ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է *կենտրոնական* կամ *ոլորտային* (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

### Դաշտի գրադիենտ

Եթե {\displaystyle u(x,y,z)}-ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, անգլ.՝ gradu), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

### Վեկտորական մակերևույթներ

Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր P կետում ունեն {\displaystyle {\vec {a}}(P)} վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

{\displaystyle {\frac {dx}{a\_{x}}}={\frac {dy}{a\_{y}}}={\frac {dz}{a\_{z}}}}
հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր {\displaystyle {\vec {a}}(P)} վեկտոր ընկած է P կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է *վեկտորական խողովակ*։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

### Վեկտորական դաշտի հոսք

Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է 

{\displaystyle \iint \limits \_{S}a\_{n}ds=\iint \limits \_{S}a\_{x}dydz+a\_{y}dsdx+a\_{z}dxdy}
ինտեգրալը, որտեղ {\displaystyle a\_{n}}-y {\displaystyle {\vec {a}}(P)} վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

### Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա

Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա) L փակ կորով կոչվում է 

{\displaystyle \oint \_{L}a\_{r}ds=\oint \_{L}a\_{x}dx+a\_{y}dy+a\_{z}dz}
ինտեգրալը, որտեղ {\displaystyle a\_{r}}-ը {\displaystyle {\vec {a}}(P)}-ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

### Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր

Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի *տարամիտություն* (*դիվերգենցիա*, {\displaystyle div{\vec {a}}}) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի *մրրիկ* (*ռոտոր*, {\displaystyle rot{\vec {a}}})։

### Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր

Վեկտորական դաշտը կոչվում է *պոտենցիալ*՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է {\displaystyle rot{\vec {a}}=0} պայմանով), եթե 

{\displaystyle {\vec {a}}(P)=gradu(P)}։
Վեկտորական դաշտը կոչվում է *սոլենոիդալ* (բնութագրվում է {\displaystyle div{\vec {a}}=0} պայմանով), եթե 

{\displaystyle {\vec {a}}(P)=rot{\vec {b}}(P)}։
Այս դեպքում {\displaystyle {\vec {b}}(P)}-ն կոչվում է {\displaystyle {\vec {a}}(P)} դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում
------------------------------------------------

Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

Գրականություն
-------------

* Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
* Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 289)։*  |