Խաղացողը վճարում է որոշակի գումար, և ապա նետում մետաղադրամ
**Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքս** (կամ **Սանկտ Պետերբուրգյան վիճակախաղ**), պարադոքս տնտեսագիտության մեջ, որը ցույց է տալիս խաղացողի տեսականորեն օպտիմալ վարքագծի և «առողջ բանականության» միջև եղած տարբերությունը։

Պարադոքսի ձևակերպում
--------------------

Դիտարկվում է հետևյալ խնդիրը։ Մտնելով խաղի մեջ՝ խաղացողը վճարում է որոշակի գումար, և ապա նետում մետաղադրամ (հավանականությունը յուրաքանչյուր արդյունքի 50 % է) այնքան, մինչև արծիվ ընկնի։ Երբ արծիվ է ընկնում, խաղն ավարտվում է, իսկ խաղացողը ստանում է շահույթ, որը նախատեսված է հետևյալ կանոնների համաձայն։
Եթե արծիվը ընկում է առաջին նետումից, ապա խաղացողը ստանում {\displaystyle 2^{0}} դուկատ (հին արծաթե կամ ոսկե դրամ Եվրոպայում), երկրորդ նետումով՝ {\displaystyle 2^{1}} դուկատ և այլն ({\displaystyle n} նետումով՝ {\displaystyle 2^{n-1}} դուկատ)։

Այլ կերպ ասած՝ շահույթները, որոնք աճում են նետումից նետում, հետևողականորեն անցնում են կրկնակի աստիճանի՝ 1, 2, 4, 8, 16, 32 և այլն։

Հարց. Ինչպիսի՞ ներածական վճարման դեպքում է խաղը դառնում արդար։

Դժվար չէ գտնել շահող խաղացողի մաթեմատիկական սպասումը, որը հավասար է անվերջության․

{\displaystyle M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1}{16}}\cdot 8+\cdots =}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =}
{\displaystyle =\infty \,.}
Պարադոքսն այն է, որ, չնայած այս արդար ներդրման հաշվարկված արժեքը հավասար է անսահմանության, այսինքն՝ ավելի բարձր է, քան ցանկացած հնարավոր շահույթ, իրական խաղացողները կարծում են, որ նույնիսկ 25 դուկատը չափազանց բարձր գին է խաղի մեջ մտնելու համար։

Պարադոքսի լուծումներ
--------------------

### Լուծում իրական աշխարհի սահմանափակումների միջոցով

Փորձենք պարադոքսի լուծումների համար գնահատականներ տալ՝ սահմանափակելով խաղերի քանակն ու ժամանակը։

Հավանականությունը, որ որոշակի խաղում նետումների քանակը կգերազանցի մի ինչ-որ {\displaystyle n}, հավասար է {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}}։ Պետք է խաղացողը խաղա ոչ ավելին, քան {\displaystyle k} խաղեր։ Այդ դեպքում հավանականությունը, որ նետումների քանակը գոնե մեկ խաղում կգերազանցի {\displaystyle n}-ը, հավասար է {\displaystyle 1-\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)^{k}}։ Մեծ {\displaystyle n} համար այն մոտավոր հավասար է {\displaystyle {\frac {k}{2^{n}}}}։

Ենթադրենք, որ եթե իրադարձությունը հավանականություն ունի փոքր լինել մի ինչ-որ {\displaystyle p}-ից, երբեք տեղի չի ունենա։ Այդ դեպքում նետումների «իրական» թիվը չի գերազանցի {\displaystyle \log \_{2}(k/p)}-ը։ Նման ենթադրության դեպքում միջին շահույթը մեկ խաղի համար մոտավոր հավասար է․

{\displaystyle 1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {n}{2}},} որտեղ {\displaystyle n=\log \_{2}{\frac {k}{p}}.}

Այսինքն, միջին շահույթը հավասար է {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \_{2}{\frac {k}{p}}.}

Օրինակ, 1000 խաղի և *p* = 10−6-ի համար միջին շահույթը մոտ 15 ենք ստանում։

### Լուծում օգտակար գործառույթի միջոցով

Լուծման մեկ այլ տարբերակ է փողի օգտակարության ֆունկցիայի միջոցովը։ Դիտարկելով սահմանային օգտակարության տեսության գործառույթը (հաճախ՝ լոգարիթմական)՝ մենք կրկին ապահովում ենք դրա մաթեմատիկական սպասումների ամբողջականությունը։

Այնպես որ, եթե ենթադրենք, որ խաղացողի համար կարևոր է ավելացնել ոչ թե որոշակի գումար, այլ մի ինչ-որ քանակ, ապա դա կգնահատի շահույթը ըստ լոգարիթմական ֆունկցիայի օգտակարության, առավելագույն արժեքը՝ {\displaystyle \ln {\frac {X}{X\_{0}}}}, որտեղ {\displaystyle X}՝ շահույթ, {\displaystyle X\_{0}}՝ մուտքի վճարը, իսկ Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսի դասական հայտարարության մեջ պարադոքսի ծառայությունների մաթեմատիկական սպասումը կդառնա վերջնական․

```
{\displaystyle M\ln {\frac {X}{X\_{0}}}=\sum \_{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1}}{X\_{0}}}\right)2^{-i}=2\ln 2-\ln X\_{0}=\ln 4-\ln X\_{0}.}
```

Այստեղից հեշտ է ստանալ խաղի իրական արժեքը՝ {\displaystyle X\_{0}=4}։

Այս լուծումը կարելի է կատարելագործել՝ հաշվի առնելով շահույթի օգտակարությունը՝ խաղացողի արդեն իսկ առկա կապիտալի ավելացումը {\displaystyle w}-ի (1000 դուկատ աճը մեծացնում է մուրացկանի օգտակարության գործառույթը ավելի մեծ չափով, քան միլիարդատիրոջ օգտակարության գործառույթը), սակայն պատասխանը միայն մի փոքր է փոխվում։
Ավելին, հնարավոր է փոխել վճարային համակարգն այնպես, որ այս որոշումն անընդունելի լինի․ յուրաքանչյուր «անսահմանափակ» օգտակար գործառույթի համար գոյություն ունի արծվի կորստի համար վճարների հերթականության {\displaystyle n}-м քայլեր, որ սպասվող օգտակար ծրագիրը կրկին հավասար կլինի անսահմանությանը։

### Կշռադատված հավանականություններ

Նիկոլայ Բերնուլին պարադոքսի լուծման համար մեկ այլ գաղափար է առաջարկել։ Նա ուշադրություն հրավիրեց այն բանին, որ մարդիկ անտեսում են անհավանական իրադարձությունները (Դե Մոնմոր, 1713)։
Քանի որ Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսում միայն քիչ հավանական իրադարձություններն են բերում բարձր շահույթներ, որոնք հանգեցնում են մաթեմատիկական շահույթի անսահման արժեքի, ապա դա կարող է օգնել լուծել պարադոքսը։

Կշռված հավանականությունների գաղափարը վերստին հայտնվել է շատ ավելի ուշ՝ Դենիել Կահնեմանի և Ամոս Տվերսկու հեռանկարների տեսության վրա աշխատելու ընթացքում։ Սակայն նրանց փորձարկումները ցույց են տվել, որ մարդիկ, ընդհակառակը, հակված են չափազանցնելու առանձին քիչ հավանական իրադարձությունների ծանրությունը։ Հնարավոր է, որ հենց այդ պատճառով Նիկոլայ Բերնուլիի առաջարկած որոշումը ոմանց կողմից չի դիտվում որպես լիովին բավարար։

*Հեռանկարային ընդհանուր (կուտակային) տեսությունը* ակնկալվող օգտակարության տեսության տարածված ընդհանրացումներից մեկն է, որը կարող է բազմաթիվ վարքագծային օրինաչափությունների բացատրություններ առաջարկել (Թվերսկի, Կանեման, 1992)։ Այնուամենայնիվ, անհավանական իրադարձությունների ծանրության չափազանցությունը, որը ներկայացվել է հեռանկարների համախմբված տեսության մեջ, կարող է վերականգնել սանկտ-պետերբուրգյան պարադոքսը։ Հեռանկարների համախմբված տեսությունը պարադոքսը լուծում է միայն այն դեպքերի համար, երբ օգտակարության ֆունկցիայի ցուցանիշը պակաս է կշռադատված հավանականության ֆունկցիայի ցուցանիշից (Բլավացկին, 2005)։ Ինտուիտիվորեն, պարադոքսը լուծելու համար օգտակարության գործառույթը չպետք է լինի պարզապես գոգավոր, բայց այն պետք է լինի հակիրճ՝ կապված կշռված հավանականության գործառույթի հետ։

Դրա համար կարելի է հակադարձել, որ հեռանկարների տեսության մեջ օգտակարության ֆունկցիայի ցուցանիշը ստացվել է ոչ ավելի, քան 400 ԱՄՆ դոլարի տվյալների հիման վրա (Թվերսկի, Կանեման, 1992)։ Միևնույն ժամանակ, Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսը առաջանում է, երբ չափերը գնահատվում են մինչև անսահմանություն։ Այսինքն, Կանեման-Թվերսկիի բանաձևերի օգտագործումը այս դեպքում ճիշտ չէ։

### Մաթեմատիկական սպասումը՝ որպես հաշվարկման մեթոդ օգտագործելու մերժում

Տարբեր հեղինակներ, այդ թվում՝ Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերը և Ջոն Մեյնարդ Քեյնսը, հերքել են ոչ միայն մաթեմատիկական սպասման առավելագույնին հասցնելու մոտեցումը` որպես համապատասխան հաշվարկման մեթոդ, այլև նման դեպքերի համար մաթեմատիկական սպասման։ Մասնավորապես, Քեյնսը պնդել է, որ այլընտրանքային իրադարձության «հարաբերական ռիսկը» կարող է բավական բարձր լինել, որպեսզի հրաժարվի այս այլընտրանքային իրադարձության բոլոր տարբերակներից, նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրական իրադարձության սպասումը գերմեծն է։

Այլ կերպ ասած՝ եթե խաղատունն առաջարկում է խաղալ այս խաղը 25 դուկատով, խաղացողների ճնշող մեծամասնությունը կհրաժարվի՝ համարելով, որ ավելի հավանական է, որ հաղթելու է խաղի գումարների ավելի քիչ մասը, քան 25 դուկատը։

### Պատասխան՝ օգտագործելով թեստեր

Թեստերի կիրառմամբ մաթեմատիկորեն ճիշտ մոտեցում է առաջարկվել 1937 թվականին Ուիլյամ Ֆելերի կողմից։ Խիստ նկարագրությունից խուսափելու պարագայում ինտուիտիվ բացատրությունը հետևյալն է։ Մեթոդն օգտագործում է տեխնիկան՝ «խաղալ այս խաղը բազմաթիվ մարդկանցով, և ապա հաշվարկել մաթեմատիկական սպասումը հաղթելու փորձությունները»։ Այս մեթոդիկայի համաձայն՝ եթե շահույթների գումարային սպասումների հաջորդականությունը տարբերվում է, ապա պահանջվում է անվերջ ժամանակի ենթադրություն խաղի համար, իսկ եթե խաղերի քանակը մեկ անձի կողմից սահմանափակված է որոշակի թվով, ապա մաթեմատիկական սպասումը շատ ավելի փոքր է, քան այս թիվն ու արժեքը։

Ծագման պատմություն
------------------

Պարադոքսն առաջին անգամ հրապարակվել է Դանիել Բեռնուլիի կողմից «Սանկտ Պետերբուրգի ակադեմիայի մեկնաբանություններում»։ Ավելի վաղ իրավիճակը նկարագրվել էր Դանիելի եղբորորդու՝ Նիկոլայ I Բերնուլիի կողմից, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ Մոնմորի հետ նրա նամակագրության մեջ։

Երբեմն պարադոքսի հեղինակությունը վերագրվում է Լեոնարդ Էյլերին, իսկ անվանումը կապում են այն հանգամանքի հետ, որ Էյլերը երկար ժամանակ ապրել և աշխատել է Պետերբուրգում։

Տես նաև
-------

* Պասկալի գրազը
* Սթիվ Ջոբս
* Տնտեսագիտություն
* ՀՊՏՀ

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Essay d'analyse sur les jeux de hazard. — Second. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1713. — ISBN 978-0-8218-3781-8։ Անգլերեն թարգմանություն․ Pulskamp, Richard J. "Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game" (PDF). Արխիվացված է the original (PDF) 2008 թ․ սեպտեմբերի 9-ին. Retrieved 2010 թ․ հուլիսի 22.
2. 1 2  *Tversky, A.; Kahneman, D.* Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty(անգլ.) : journal. — 1992. — Т. 5. — № 4. — С. 297—323. — doi:10.1007/bf00122574
3. ↑  *Blavatskyy, P.* Back to the St. Petersburg Paradox? // *Management Science*. — 2005. — Т. 51. — № 4. — С. 677—678. — doi:10.1287/mnsc.1040.0352
4. ↑  Краткая биография Бернулли
5. ↑  "Новые грани санкт-петербургского парадокса". Արխիվացված է the original 2020 թ․ մայիսի 17-ին. Retrieved 2020 թ․ մայիսի 7. `{{cite web}}`: Unknown parameter `|dead-url=` ignored (`|url-status=` suggested) (help)

Գրականություն
-------------

* *Кудрявцев А. А.* Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսը և դրա նշանակությունը տնտեսական տեսության համար // *Вестн. С.-Петерб. ун-та.*. — 2013. — В. 3. — С. 41—55.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 2776758771 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Հայտնի պարադոքսներ |
| --- |
|  |
| Փիլիսոփայական | 
* Ազատական
* Ամենազորության
* Բուրիդանի կամուրջ
* Գեղարվեստական
* Երազանքի վեճ
* Երբ սպիտակ ձին ձի չէ
* Զենոնի
* Էպիկուրյան
* Ընկերության
* Թեսևսի նավ
* Ինդուկցիայի նոր հանելուկ
* Կույտի
* Հյումի սկզբունք
* Հեդոնիզմի
* Միայն ավելացման
* Մուրի
* Նյուքոմի
* Նիհիլիզմի
* Նախաբանի
* Վերլուծության
* Փաստարկ ազատ կամքից
* Ֆիթչի իմացելիության

 |
|  |
| Տրամաբանական | 
* Ագռավի
* Ազատ ընտրության պարադոքս
* Անսպասելի մահապատժի
* Բազմությունների տեսության պարադոքսներ
* Բերրիի
* Բհարտրիհարիի
* Բուրալի Ֆորտիի
* Գալիլեյի
* Գրանտ հոթելիի Հիլբերտի
* Գրելինգ–Նելսոնի
* Էպիմենիդեսի
* Էվատլոսի սոֆիզմ
* Խմիչքի
* Խաղամոլի
* Կարագով կատվի
* Կարտոֆիլի
* Կարիի
* Կլինի Ռոզերի
* Կոկորդիլոսի երկընտրանք
* Կորած քառակուսու
* Հակառակ օր
* Հավ կամ ձու
* Նյութական ենթատեքստի պարադոքսներ
* Պլատոնի մորուք
* Ջերմային մահվան
* Ջերմաստիճանի
* Ջրափնյա գծի
* Ռասելի
* Ռիշարի
* Ռոսի
* Ստախոսի 
	+ Քարտի
	+ Ոչ–ոչի
	+ Պինոքիոյի
	+ Քուայնի
	+ Յաբլոյի
* Սոկրատյան
* Վարսավիրի պարադոքս
* Վիճակախաղի
* Քերոլի
* Օլբերսի պարադոքս

 |
|  |
| Տնտեսական | 
* Ալլեի
* Աշխատանքի
* Արտադրողականության
* Բարգավաճման
* Բերտրանի
* Բրեսսի
* Գիբսոնի
* Գիֆենյան ապրանք
* Դաունս–Թոմսոնի
* Եկամուտ և բերրիություն
* Եվրոպական
* Էջևորթի
* Էլսբերգի
* Էրրոուի տեղեկատվական
* Թալոքի
* Իկարոսի
* Իսթերլինի
* Լապյերի
* Լեոնտյևի
* Լերների
* Լուկասի
* Խնայողության
* Ծառայության վերականգնման
* Հակամենաշնորհային
* Մանդևիլի
* Մեյֆիլդի
* Մեցլերի
* Մորավեկի
* Մրցակցության
* Պաշարների
* Ջևոնսի
* Սանկտ Պետերբուրգի
* Սմիթի
* Սցիտովսկու

 |
|  |
| Որոշումների տեսություն | 
* Աբիլինի
* Բաժանեմասի
* Բանտարկյալի երկընտրանք
* Բնակչության
* Բուրիդանի ավանակ
* Գյուտարարի
* Ծննդյան օրերի
* Կամքի ուժի
* Կանխարգելման
* Կանաչի
* Կավկայի տոքսինների գլուխկոտրուկ
* Կոնդորսեի
* Հանդուրժողականության
* Մոնտի Հոլի
* Մորտոնի պատառաքաղ
* Նավարկության
* Նետի
* Նյուքոմբի
* Ոզնու
* Որոշումների կայացման
* Պարոնդոյի
* Պատրաստվածության
* Պլանկտոնի պարադոքս
* Տան միապաղաղություն
* Քվեարկության
* Ֆեննոյի
* Ֆրեդկինի
* Ֆրանսիական

 |
|  |
| Ֆիզիկական | 
* Արիստոտելի
* Բելլի
* Երկվորյակների
* Էյնշտեյն-Պոդոլսկի-Ռոզենի
* Էրենֆեստի
* Լապլասի
* Հիդրոստատիկական
* Մաքսվելի
* Միրիմանովի
* Շրյոդինգերի
* Քվանտային

 |

 |