**Երկրաչափական պրոգրեսիա**, {\displaystyle b\_{1},\ b\_{2},\ b\_{3},\ \ldots } թվերի (պրոգրեսիայի ոչ զրոյական անդամների) այնպիսի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) հավասար է նախորդ անդամի և միևնույն {\displaystyle q\quad } թվի (պրոգրեսիայի հայտարարի) արտադրյալին՝

{\displaystyle b\_{1}\not =0}, {\displaystyle q\not =0}։ {\displaystyle b\_{1},\ b\_{2}=b\_{1}q,\ b\_{3}=b\_{2}q,\ \ldots ,\ b\_{n}=b\_{n-1}q}

Նկարագրություն
--------------

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

{\displaystyle b\_{n}=b\_{1}q^{n-1}\quad }
Եթե {\displaystyle b\_{1}>0} և {\displaystyle q>1}, պրոգրեսիան կոչվում է *աճող*, իսկ {\displaystyle 0<q<1} դեպքում՝ *նվազող*, իսկ {\displaystyle q=1} —ի դեպքում *հաստատուն*

Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

{\displaystyle |b\_{n}|={\sqrt {b\_{n-k}b\_{n+k}}},}

Օրինակներ
---------

* {\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi } — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
* 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
* 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով

Հատկություններ
--------------

* Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։

Ապացույց.

Դիցուք {\displaystyle w\_{n}}-ը հաջորդականություն է՝ {\displaystyle w\_{n}=\log \_{p}b\_{n}\ }

{\displaystyle \forall n>1\quad {\frac {w\_{n-1}+w\_{n+1}}{2}}={\frac {\log \_{p}b\_{n-1}+\log \_{p}b\_{n+1}}{2}}={\frac {\log \_{p}b\_{1}q^{n-2}+\log \_{p}b\_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log \_{p}(b\_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log \_{p}b\_{1}q^{n-1}}{2}}=\log \_{p}b\_{n}=w\_{n}\ }
Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.
* {\displaystyle b\_{n}^{2}=b\_{n-i}b\_{n+i},i<n}

Ապացույց.

{\displaystyle b\_{n}^{2}=b\_{n}b\_{n}=b\_{1}q^{n-1}b\_{1}q^{n-1}=b\_{1}q^{n-1-i}b\_{1}q^{n-1+i}=b\_{n-i}b\_{n+i}}

* Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
* ։ {\displaystyle P\_{n}=(b\_{1}\cdot b\_{n})^{\frac {n}{2}}},

Ապացույց.

{\displaystyle P\_{n}=\prod \_{i=1}^{n}b\_{i}=\prod \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}^{n}\prod \_{i=1}^{n}q^{i-1}=b\_{1}^{\frac {n}{2}}b\_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b\_{1}b\_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b\_{1}b\_{n})^{\frac {n}{2}}}

* Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին {\displaystyle n} անդամների գումարը՝
* ։ {\displaystyle S\_{n}={\begin{cases}\sum \_{i=1}^{n}b\_{i}={\frac {b\_{1}q^{n}-b\_{1}}{q-1}}={\frac {b\_{1}(q^{n}-1)}{q-1}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\nb\_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}

Ապացույց.

* Գումարի միջոցով՝
* ։ {\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+\sum \_{i=2}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+q\sum \_{i=2}^{n}b\_{1}q^{i-2}=b\_{1}+q\sum \_{i=1}^{n-1}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+q\sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}-b\_{1}q^{n}\Rightarrow }

### ։ {\displaystyle \Rightarrow (1-q)\sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}-b\_{1}q^{n}\Rightarrow \sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}

* Եթե {\displaystyle \left|q\right|<1}, ապա {\displaystyle b\_{n}\to 0} երբ {\displaystyle n\to +\infty }, և
* ։ {\displaystyle S\_{n}\to {b\_{1} \over 1-q}} այն դեպքում երբ {\displaystyle n\to +\infty }.

Տես նաև
-------

* Թվաբանական պրոգրեսիա
* Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)