Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Էլիպս (այլ կիրառումներ)

**Ձվածիրը, կամ Էլիպսը** երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու   
{\displaystyle F1} և {\displaystyle F2} կետերից հաստատուն է և մեծ է {\displaystyle F\_{1}F\_{2}} հատվածի երկարությունից։Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։ {\displaystyle F1}-ը և {\displaystyle F2}-ը կոչվում են *էլիպսի ֆոկուսներ*, իսկ {\displaystyle F\_{1}F\_{2}} հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք *ֆոկուսային հեռավորություն*։

Էլիպսի հավասարումը
------------------

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի {\displaystyle F\_{1}} և {\displaystyle F\_{2}} կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ {\displaystyle F\_{1}F\_{2}} հատվածի միջնակետով։
Այս դեպքում, ըստ սահմանման, էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար՝

 P{\displaystyle F\_{1}} + P{\displaystyle F\_{2}} = 2a 
Հաշվի առնելով, որ {\displaystyle F\_{1}} կետի կոորդինատներն են {\displaystyle F\_{1}}(-c;0) , իսկ {\displaystyle F\_{2}} կետինը {\displaystyle F\_{1}}(c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք՝

 {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a} 
Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի՝

 {\displaystyle ~(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}} 
Պարզեցումներից հետո ստանում ենք՝

 {\displaystyle ~(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})} 
Քանի որ {\displaystyle ~a>c}, ապա {\displaystyle ~a^{2}-c^{2}} > 0 ։ Նշանակենք {\displaystyle ~b^{2}=a^{2}-c^{2}}, ուստի {\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}
հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

 {\displaystyle ~b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}} 
կամ

 {\displaystyle ~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 
որը կոչվում է էլիպսի *կանոնական հավասարում* ։
Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը՝ էլիպսի կենտրոն։ {\displaystyle e={\frac {c}{a}}} թիվը կոչվում է էլիպսի *էքսցենտրիսիտետ* ։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։

### Դիտողություն

Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։
Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

{\displaystyle ~3x^{2}+4y^{2}=5} 
#### Լուծում

հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի՝ ստանում ենք

 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\frac {5}{3}}}+{\frac {y^{2}}{\frac {5}{4}}}=1} 
ուստի {\displaystyle a={\sqrt {\frac {5}{3}}}}; {\displaystyle b={\sqrt {\frac {5}{4}}}}
{\displaystyle ~{c^{2}}={a^{2}}-{b^{2}}={\frac {5}{3}}-{\frac {5}{4}}={\frac {5}{12}}} ,{\displaystyle ~2c=2{\sqrt {\frac {5}{12}}}}
{\displaystyle e={\sqrt {\frac {5}{12}}}:{\sqrt {\frac {5}{3}}}} = {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
001

Գրականություն
-------------

* Ի․ Պրիվալով "Անալիտիկ երկրաչափություն" Գրքի օնլայն տարբերակը Արխիվացված 2021-08-13 Wayback Machine

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 36)։*  |