**Վերջավոր դաշտ**, կամ ընդհանուր հանրահաշվում **Գալուայի դաշտ**, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի **կարգ**։

Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} կամ {\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (հապավումը՝ *Galois field*-ից) և կոչվում է {\displaystyle q} կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ {\displaystyle q}-ն՝ դաշտի տարրերի թիվն է։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ {\displaystyle q=p^{n}}, որտեղ {\displaystyle p}-ն պարզ թիվ է, {\displaystyle n}-ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Ընդ որում {\displaystyle p} լինելու է այդ դաշտի բնութագիրը։

Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսության, խմբերի տեսության , հանրահաշվական երկրաչափության և ծածկագիտություն մեջ։

Սահմանում և հատկություններ
--------------------------

Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի։

Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է։ Այսինքն, {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է *դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ* և նշանակում է {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}^{\*}})։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով։ Այսինքն, գոյություն ունի {\displaystyle g} գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած {\displaystyle a\in \mathbb {F} \_{q}^{\*}} -ի համար կարելի է գրել.

{\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}։

Գեներացնող տարրը՝ {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}^{\*}}, կոչվում է նաև {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}.} դաշտի պարզունակ տարր։ {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} դաշտը պարունակում է {\displaystyle \varphi (q-1)} պարզունակ տարրեր, որտեղ {\displaystyle \varphi }՝ Էյլերի ֆունկցիան է։

Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

* Ըստ Ֆերմայի թեորեմի, {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է {\displaystyle a^{q}=a} հավասարմանը։
* {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{n}}} դաշտն իր մեջ պարունակում է {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{k}}} ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ {\displaystyle k} հանդիսանում է {\displaystyle n}-ի բաժանարար։
* Եթե {\displaystyle f\in \mathbb {F} \_{q}[x]} -ը {\displaystyle m} աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա {\displaystyle \mathbb {F} \_{q^{m}}} դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած {\displaystyle \alpha } արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի {\displaystyle \mathbb {F} \_{q^{m}}} տեսքը։ Այսպիսով, {\displaystyle \mathbb {F} \_{q^{m}}} դաշտը հանդիսանում է {\displaystyle f} բազմանդամի վերլուծման դաշտը {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} դաշտի վար։
* Յուրաքանչյուր {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} վերջավոր դաշտի և {\displaystyle n} բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված, {\displaystyle \mathbb {F} \_{q}} բազմանդամների արտադրյալը հավասար է {\displaystyle x^{q^{n}}-x:} Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է {\displaystyle q^{n}}։
* {\displaystyle \mathbb {F} \_{q},} դաշտի վրա բերվող *n* աստիճանի նորմավորված բազմանդամների {\displaystyle \mathbb {F} \_{q},} թիվը որոշվում է {\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum \_{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}} բանաձևով, որտեղ {\displaystyle \mu } Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս պնդումը հետևում է {\displaystyle q^{n}=\sum \_{d|n}dN(q,d)} բանաձևից։

Պարզ թվով տարրերով դաշտ
-----------------------

Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն, {\displaystyle \mathbb {GF} \_{p}} տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ {\displaystyle p} պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}-ով։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.
{\displaystyle p} պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն {\displaystyle \{0,1,...p-1\}} թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում {\displaystyle p} մոդուլի միջոցով։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։

Նվազեցվող օղակների հետ կապը
---------------------------

Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{n}}} և նվազեցումների օղակները {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող ։

Երբ n > 1 նվազեցված օղակը {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})} դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

{\displaystyle \mathbb {F} \_{8}} ցանկացած տարրի համար ճիշտ է {\displaystyle x+x=0}։

Օղակը {\displaystyle \mathbb {Z} \_{8}}, Հաշվելով 
{\displaystyle x+x} մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ {\displaystyle x=4,x=0}։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։

Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչ
---------------------------

Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝ {\displaystyle F}-ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է {\displaystyle p^{n}} տարրերից, որտեղ {\displaystyle F} դաշտի բնութագրիչը {\displaystyle p} է, իսկ {\displaystyle n} բնական թիվը՝ {\displaystyle F} դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրա.

Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր {\displaystyle p} պարզ և {\displaystyle n} բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝ {\displaystyle p^{n}} տարրերով և {\displaystyle q=p^{n}} տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման {\displaystyle x^{q}-x} դաշտի նկատմամբ՝ {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված {\displaystyle q} կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, *Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝ {\displaystyle q} տարրից*)։

Կառուցում
---------

{\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{n}}} դաշտը *n* > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} \_{p}[x]/(f(x))} ֆակտոր օղակ, որտեղ {\displaystyle f(x)} -ը {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտի նկատմամբ *n*աստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով, {\displaystyle p^{n}} տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել {\displaystyle n} աստիճանի, {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։ {\displaystyle \mathbb {K} } դաշտի տարրերը հանդիսանում են {\displaystyle n}-ից փոքր աստիճաններով, {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} -ից գործակիցներով, {\displaystyle f(x)} բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս։

{\displaystyle f(x)} տարրը համարվում է {\displaystyle \alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} \_{p}[x]/(f(x))} բազմանդամի արմատը և {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}[x]/(f(x))} դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝ {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտում, հետևաբար անցումը {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտից {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}[x]/(f(x))} դաշտ անվանում են {\displaystyle f(x)} *չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը* {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտին։

Օրինակներ
---------

### Երկու տարրերից կազմված դաշտ

{\displaystyle \mathbb {F} \_{2}} դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց։

* Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 | 

| × | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

 |

* Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | F | T |
| --- | --- | --- |
| F | F | T |
| T | T | F |

 | 

| × | F | T |
| --- | --- | --- |
| F | F | F |
| T | F | T |

 |

Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։

### Երեք տարրերից կազմված դաշտ

Դաշտը {\displaystyle \mathbb {F} \_{3}=\{0,1,2\}} -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։ {\displaystyle \mathbb {F} \_{3}} գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

 | 

| × | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |

 |

### Չորս տարրերից կազմված դաշտ

{\displaystyle \mathbb {F} \_{4}} դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես {\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}} բազմություն (որտեղ {\displaystyle \alpha } -ը {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1} բազմանդամի արմատն է {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}} դաշտի վրա, այսինքն՝ {\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}): {\displaystyle \mathbb {F} \_{4}} գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} |
| 1 | 1 | 0 | {\displaystyle \alpha +1} | {\displaystyle \alpha } |
| {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} | 0 | 1 |
| {\displaystyle \alpha +1} | {\displaystyle \alpha +1} | {\displaystyle \alpha } | 1 | 0 |

 | 

| × | 0 | 1 | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} |
| {\displaystyle \alpha } | 0 | {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha +1} | 1 |
| {\displaystyle \alpha +1} | 0 | {\displaystyle \alpha +1} | 1 | {\displaystyle \alpha } |

 |

### Ինը տարրերից կազմված դաշտ

{\displaystyle \mathbb {F} \_{9}=\mathrm {GF} (3^{2})} դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի, {\displaystyle \mathbb {F} \_{3}} -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ։ Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

|  |
| --- |
| {\displaystyle x^{2}+1} |
| {\displaystyle x^{2}+x+2} |
| {\displaystyle x^{2}+2x+2} |

{\displaystyle x^{2}+1} -ի համար որոնվող դաշտը {\displaystyle \mathbb {F} \_{9}=\mathbb {Z} \_{3}[x]/(x^{2}+1)} -ն է (եթե {\displaystyle x^{2}+1}-ի փոխարեն վերձնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում {\displaystyle i} սիմվոլը նշանակում է {\displaystyle x} բազմության համաժեքության դաս՝ {\displaystyle \mathbb {Z} \_{3}[x]/(x^{2}+1)} ֆակտոր իղակում, {\displaystyle i^{2}+1=0} հավասարմանը բավարարող։

{\displaystyle \mathbb {F} \_{9}} գումարման աղյուսակը սահմանվում է {\displaystyle 1+1+1=0} հարաբերությունից ելնելով։

| + | 0 | 1 | 2 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} |
| 1 | 1 | 2 | 0 | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} |
| 2 | 2 | 0 | 1 | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} |
| {\displaystyle i} | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | 0 | 1 | 2 |
| {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} | 1 | 2 | 0 |
| {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | 2 | 0 | 1 |
| {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | 0 | 1 | 2 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} |
| {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} | 1 | 2 | 0 | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} |
| {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | 2 | 0 | 1 | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} |

{\displaystyle \mathbb {F} \_{9}} -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է {\displaystyle i^{2}=-1} հարաբերությունից։

| × | 0 | 1 | 2 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} |
| 2 | 0 | 2 | 1 | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i+1} |
| {\displaystyle i} | 0 | {\displaystyle i} | {\displaystyle 2i} | 2 | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i+2} | 1 | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i+1} |
| {\displaystyle i+1} | 0 | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i} | 1 | {\displaystyle 2i+1} | 2 | {\displaystyle i} |
| {\displaystyle i+2} | 0 | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle 2i+2} | 1 | {\displaystyle i} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i} | 2 |
| {\displaystyle 2i} | 0 | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle i} | 1 | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle i+1} | 2 | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle i+2} |
| {\displaystyle 2i+1} | 0 | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle i+2} | {\displaystyle i+1} | 2 | {\displaystyle 2i} | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle i} | 1 |
| {\displaystyle 2i+2} | 0 | {\displaystyle 2i+2} | {\displaystyle i+1} | {\displaystyle 2i+1} | {\displaystyle i} | 2 | {\displaystyle i+2} | 1 | {\displaystyle 2i} |

### 16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ

Երբ {\displaystyle \mathbb {F} \_{16}=\mathrm {GF} (2^{4})} դաշտը կազմվում է {\displaystyle x^{4}+x+1} չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է {\displaystyle x^{4}+x+1} բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով։ Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է {\displaystyle \alpha =x} տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)

| Բազմանդամ | {\displaystyle \alpha } աստիճան | {\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3}} |
| --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle \alpha ^{0}} | (1, 0, 0, 0) |
| {\displaystyle \alpha } | {\displaystyle \alpha } | (0, 1, 0, 0) |
| {\displaystyle \alpha ^{2}} | {\displaystyle \alpha ^{2}} | (0, 0, 1, 0) |
| {\displaystyle \alpha ^{3}} | {\displaystyle \alpha ^{3}} | (0, 0, 0, 1) |
| {\displaystyle 1+\alpha } | {\displaystyle \alpha ^{4}} | (1, 1, 0, 0) |
| {\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}} | {\displaystyle \alpha ^{5}} | (0, 1, 1, 0) |
| {\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha ^{3}} | {\displaystyle \alpha ^{6}} | (0, 0, 1, 1) |
| {\displaystyle \alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{7}} | (1, 1, 0, 1) |
| {\displaystyle 1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha } | {\displaystyle \alpha ^{8}} | (1, 0, 1, 0) |
| {\displaystyle \alpha +\alpha ^{3}} | {\displaystyle \alpha ^{9}} | (0, 1, 0, 1) |
| {\displaystyle \alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{10}} | (1, 1, 1, 0) |
| {\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}} | {\displaystyle \alpha ^{11}} | (0, 1, 1, 1) |
| {\displaystyle 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{12}} | (1, 1, 1, 1) |
| {\displaystyle 1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{13}} | (1, 0, 1, 1) |
| {\displaystyle 1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{14}} | (1, 0, 0, 1) |
| {\displaystyle 1=\alpha +\alpha ^{4}} | {\displaystyle \alpha ^{15}} | (1, 0, 0, 0) |

Ուսումնասիրության պատմություն
-----------------------------

Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից։ Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ։ Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներից։ Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետ։

### Գալուայի ներդրումը

Էվարիստ Գալուա
1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց, որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը։ Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ) ներ է մուծում համեմատության երևակայական {\displaystyle F(x)\equiv 0{\pmod {p}}} արմատը, որտեղ {\displaystyle F(x)}-ն *p* մոդուլով չբերվող, {\displaystyle \nu } աստիճանի կամայական բազմանդամ է։ Դրանից հետո դիտարկվում է {\displaystyle A=a\_{0}+{a\_{1}}i+{a\_{2}}i^{2}+\ldots +a\_{\nu -1}i^{\nu -1}} ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ {\displaystyle a\_{0},a\_{1},...a\_{\nu -1}}՝ *p* մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր։ Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա {\displaystyle A} արտահայտությունը կընդունի {\displaystyle p^{\nu }} արժեքը։ Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ։ Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը։ Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն {\displaystyle \mathbb {F} \_{p^{n}}} դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել **Գալուայի դաշտ**։

Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել։ Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին։

### Հետագա զարգացում

1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ *յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ*, այսինքն՝ {\displaystyle p^{n}} անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} -ից գործակիցներով բազմանդամների և {\displaystyle n} աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին։ Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը։ Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում։ Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում։

Կիրառում
--------

### Դիոֆանտյան հավասարում

Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե {\displaystyle p} պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ {\displaystyle a} բաժանարար, ապա {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է {\displaystyle a} տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է {\displaystyle p-1} տարրերից։

Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս։ Մասնավորապես, նա նշում է, որ

{\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}
1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել {\displaystyle a^{2}+b^{2}=p} հավասարումը։

Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը {\displaystyle a^{2}+b^{2}=0}։ Եթե {\displaystyle b=0}, ապա հավասարումը տրիվյալ է։ Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել {\displaystyle b^{2}} -ի և փոփոխելով ստանալ {\displaystyle x^{2}+1=0} տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով {\displaystyle x^{2}-1=0} -ով ստացվում է {\displaystyle x^{4}-1=0} հավասարումը։ {\displaystyle x}-ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, *p*-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում։

### Ուղղիչ կոդերի տեսություն

Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից։ Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ։

Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները։ Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}} դաշտի վրա։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում։

### Ծածկագրություն

Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրություն։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր։ Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, *Advanced Encryption Standard*, Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր։

Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա։

### Այլ

Տիեզերական զոնդ «Վոյաջեր»
1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը) կապի համակարգում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. 1 2  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 68
2. 1 2 3  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 66
3. 1 2 3 4  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 5
4. 1 2  Diffie, Hellman, 1976
5. 1 2 3  *Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый.* Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
6. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 69-70
7. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 71
8. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 119
9. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 121
10. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 65
11. ↑  *Егоров А. А.* Сравнения по модулю и арифметика остатков // *Квант*. — 1970. — № 5. — С. 28—33.
12. ↑  Винберг, 2011, էջ 32
13. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 67-68
14. ↑  Винберг, 2011, էջ 409
15. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 51, 66
16. ↑  *Габидулин Э. М. Кшевецкий А. С. Колыбельников А. И. Владимиров С. М.* Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.
17. ↑  *Mullen, Gary L.; Panario, Daniel* Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6
18. ↑  *Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый.* Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.
19. ↑  Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 10
20. ↑  Evariste Galois (1830), *Sur la théorie des nombres*. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
21. ↑  *Бурбаки Н.* Очерки по истории математики / пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: ИЛ, 1963. — С. 102.
22. ↑  *Israel Kleiner.* A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4
23. ↑  *G. Frei.* The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
24. ↑  *Moore, Eliakim Hastings.* A doubly-infinite system of simple groups // *Chicago Congr. Papers*. — 1896. — P. 208-242. Архивировано из первоисточника 19 Նոյեմբերի 2015.
25. ↑  H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521—549
26. ↑  Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)
27. ↑  *Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый.* Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.
28. ↑  R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894
29. ↑  *Шеннон, К.* Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.
30. 1 2  *Хэмминг, К.* Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.
31. ↑  Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.
32. ↑  *О.С Зензин, М.А. Иванов* Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля.. — КУДИЦ-Образ, 2002. — С. 41 - 78. — 176 с. — ISBN 5-93378-046-4
33. 1 2  *Анатолий Болотов, Сергей Гашков, Александр Фролов, Анатолий Часовских* Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. — КомКнига, 2006. — С. 390 — 398. — 527 с. — ISBN 5-484-00443-8
34. ↑  *Bose R. C. Ray-Chaudhuri D. K.* On a class of error-correcting binary group codes // Inform. Control. — vol. 3. — mars 1960. — p. 68—79.

Գրականություն
-------------

* *Винберг Э. Б.* Курс алгебры. — новое изд. перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-685-3
* *Лидл Р. Нидеррайтер Г.* Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1988. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8
* *Журавлев Ю. И. Флеров Ю. А. Вялый М. Н.* Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5
* *Васильев К. К. Глушков В. А. Дормидонтов А. В. Нестеренко А. Г.* Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8
* *Steinitz, Ernst.* Algebraische Theorie der Körper(գերմ.) // *Journal für die reine und angewandte Mathematik*. — 1910. — Т. 137. — С. 167-309.
* *Diffie W. Hellman M. E.* New Directions in Cryptography // *IEEE Trans. Inf. Theory* / F. Kschischang — IEEE, 1976. — Vol. 22, Iss. 6. — P. 644—654. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1976.1055638</includeonly
* *Kleiner, Israel.* A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4