The Proposal distribution *Q* proposes the next point that the random walk might move to.
**Մետրոպոլիս-Հաստինգսի ալգորիթմը**, սեմպլիրացման ալգորիթմ է, որն հիմնականում օգտագործվում է բաշխման բարդ ֆունկցիաների համար։ Այն մասամբ նման է շեղումներով ընտրության ալգորիթմին, սակայն այստեղ բաշխման օժանդակ ֆունկցիան փոխվում է ժամանակի ընթացքում է։ Առաջին անգամ ալգորիթմը լույս է տեսել Նիկոլաս Մետրոպոլիսի կողմից 1953 թվին, և հետո ընդհանրացվել Հաստինգսի կողմից 1970 թվին. սեմպլիրացում ըստ Գիբբսի հանդիսանում է Մետրոպոլիս-Հաստինգսի ալգորիթմի մասնավոր դեպք, և ավելի հայտնի է իր պարզությամբ և արագությամբ, չնայած առավել հազվադեպ է կիրառվում։

Մետրոպոլիս-Գաստինգի ալգորիթմը թույլ է տալիս սեմպլիրացնել ցանկացած բաշխման ֆունկցիա։ Այն հիմնված է Մարկովի շղթայի ստեղծման վրա, այսինքն ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլին նոր ընտրված {\displaystyle x^{t+1}}-ի իմաստը կախված է նախորդ {\displaystyle x^{t}}-ից.Ալգորիթմն օգտագործում է {\displaystyle Q(x'|x^{t})} բաշխման օժանդակ ֆունկցիան, որը կախված է {\displaystyle x^{t}}-ից, և որի համար գեներացիան выборку հեշտ է (օրինակ, նորմալ բաշխումը). Այս ֆունկցիայի համար ամեն քայլին գեներացվում է {\displaystyle x'}-ի պատահական իմաստ։ Հետո հավանականությամբ՝

{\displaystyle u={\frac {P(x')Q(x^{t}|x')}{P(x^{t})Q(x'|x^{t})}}}

( կամ 1 հավանականությամբ եթե {\displaystyle u>1}), ընտրված իմաստը ընդունվում է որպես նոր՝ {\displaystyle x^{t+1}=x'}, հակառակ դեպքում մնում է նույնը՝ {\displaystyle x^{t+1}=x^{t}}.

Օրինակ, եթե ընդունենք բաշխման նորմալ ֆունկցիան որպես օժանդակ, ապա

{\displaystyle Q(x'|x^{t})\sim N(x^{t},\sigma ^{2}I)\,\!}
.

Այսպիսի ֆունկցիան տալիս է նոր նշանակություն՝կախված նախկին քայլում ստացված նշանակությունից։ Ի սկզբանե Մետրոպոլիսի ալգորիթմը պահանջում էր, որ օժանդակ ֆունկցիան լիներ սիմետրիկ՝ {\displaystyle Q(x',x^{t})=Q(x^{t},x')}, սակայն Գաստինգսի ընդհանրացումը այս սահմանափակումը վերացնում է։

Ալգորիթմ
--------

Ենթադրենք մենք արդեն ընտրել ենք {\displaystyle x^{t}} նշանակությունը։ Մյուս նշանակության ընտրության համար սկզբում {\displaystyle x'} ֆունկցիայի համար պետք է ստանանք {\displaystyle Q(x'|x^{t})} պատահական նշանակությունը։ Հետո գտնենք {\displaystyle a=a\_{1}a\_{2}} ածանցյալը, որտեղ

{\displaystyle a\_{1}={\frac {P(x')}{P(x^{t})}}}

հանդիսանում է միջանկյալ և նախկին նշանակությունների միջև հավանականությունների հարաբերակցություն, իսկ

{\displaystyle a\_{2}={\frac {Q(x^{t}|x')}{Q(x'|x^{t})}}}
սա հարաբերություն է հավանականությունների միջև` անցնելով {\displaystyle x'} -ից {\displaystyle x^{t}} կամ հակառակը. Եթե Q սիմետրիկ է, ապա երկրորդ բազմապատկիչը հավասար է 1. Պատահական նշանակությունը նոր քայլում ընտրվում է կանոններին համապատասխան`

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{If }}a\geq 1:&\\&x^{t+1}=x',\end{matrix}}}
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{and if }}a<1:&\\&x^{t+1}=\left\{{\begin{matrix}x'{\mbox{ with probability }}a\\x^{t}{\mbox{ with probability }}1-a.\end{matrix}}\right.\end{matrix}}}
Ալգորիթմը ծագում է {\displaystyle x^{0}}–ի պատահական նշանակությունից, և սկզբում մի քանի քայլ գործում է միայնակ, որպեսզի մոռացվի սկզբնական նշանակությունը։

Ամենալավը ալգորիթմը գործում է այն ժամանակ, երբ օժանդակ ֆունկցիայի ձևը մոտ է նպատակայինին P ֆունկցիայի ձևին. ։ Սակայն այս չճշտվածությանը հասնելը մասամբ անհնար է։ Խնդրի լուծման համար օժանդակ ֆունկցիան հարմարեցնում են ալգորիթմի աշխատանքի նախապատրաստական փուլի ընթացքում։ Օրինակ, նորմալ բաշխման համար {\displaystyle \sigma ^{2}} պարամետրը ընտրում են այնպես, որ ընդունած պատահական նշանակությունների բաժինը (այսինքն նրանց, որոնց համար {\displaystyle x^{t+1}=x'})-ը մոտ լինի 60%. Եթե {\displaystyle \sigma ^{2}}-ը չափազանց փոքր է, ապա նշանակությունները կստացվեն շատ մոտ և ընդունվածների բաժինը կլինի բարձր։ Եթե {\displaystyle \sigma ^{2}} չափազանց մեծ է, ապա մեծ հավանականությամբ նոր նշանակությունները փոքր P հավանականության զոնայից դուրս կմնան, որից ընդունված նշանակությունների բաժինը փոքր կլինի։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. 1 2 3  *Metropolis N. Rosenbluth A. W. Rosenbluth M. Teller A. H. Teller E.* Equation of State Calculations by Fast Computing Machines // *J. Chem. Phys* / H. Urey, J. E. Mayer, Clyde A. Hutchison, Jr. D. Levy, M. I. Lester — AIP, 1953. — Vol. 21, Iss. 6. — P. 1087–1092. — ISSN 0021-9606; 1089-7690; 1520-9032 — doi:10.1063/1.1699114
2. ↑