**Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա** (հայտնի է նաև արեաֆունկցիա կամ արեա-ֆունկցիա), տարրական ֆունկցիաների ընտանիք՝ սահմանվող որպես հիպերբոլական ֆունկցիաներին հակադարձ ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները որոշում են միավոր հիպերբոլի սեկտորի մակերեսը *x*2 − *y*2 = 1։ Համանման ձևով՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆուկցիաները որոշում են միավոր շրջանագծի աղեղի երկարությունը *x*2 + *y*2 = 1։ Այս ֆունկցիաների համար հաճախ օգտագործվում են arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, սակայն, դա սխալ է համարվում, քանի որ arc նշանակում է աղեղ (*arcus*), իսկ *ar* նշանակում է մակերես (*area* )։ Ավելի ճիշտ են համարվում arsinh, arsh և այլն։

Իրական արգումենտի արեասինուս
Իրական արգումենտի արեակոսինուս
Իրական արգումենտի արեատանգենս
Իրական արգումենտի արեակոտանգենս
Իրական արգումենտի արեասեկանս
Իրական արգումենտի արեակոսեկանս
Կոմպլեքսային հարթության մեջ այդ ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ նրանց հակադարձ ֆունկցիաները` բազմարժեք։

Ֆունկցիայի որոշումը
-------------------

| ֆունկցիայի անուն | Նշանակում | Անգլերեն նշանակում |
| --- | --- | --- |
| Արեասինուս | arsh | arsinh, sinh−1 |
| Արեակոսինուս | arch | arcosh, cosh−1 |
| Արեատանգենս | arth | artanh, tanh−1 |
| Արեակոտանգենս | arcth | arcotanh, cotanh−1 |
| Արեասեկանս | arsch, arsech | arsech, sech−1 |
| Արեակոսեկանս | arcsch | arcsch, csch−1 |

Կոմպլեքսային հարթության մեջ ֆունկցիայի գլխավոր արժեքները կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևերով․

* արեասինուս

{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);}
* արեակոսինուս

{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,);}
* արեատնգենս

{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);}
* արեակոտանգենս

{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);}
* արեասեկանս

{\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right);}
* արեակոսեկանս

{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}
Քառակուսի արմատները այս բանաձևերում հանդիսանում են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքները։ Z կոմպլեքս թիվը, եթե ներկայացնենք որպես {\displaystyle z=re^{i\varphi }}, երբ {\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }), իսկ լոգարիթմական ֆունկցիաները հանդիսանում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ, ապա կարող ենք կատարել որոշակի պարզեցում։

Օրինակ՝{\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}որոնք միշտ չէ, որ ճիշտ են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքի համար։

Ներկայացում շարքով
------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
Ասիմպտոտիկ ներկայացումը arsh *x* տրվում է բանաձևով․

{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}

Ածանցիալներ
-----------

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}.\\\end{aligned}}}
Իրական *x*-երի համար․

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}
Ածանցման օրինակ, եթե θ = arsh *x*, ապա՝

{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}

Հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցկիաների կոմբինացիա
-------------------------------------------------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *М.Я. Выготский* Справочник по высшей математике. — Наука, 1963. — С. 594. — 873 с.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Inverse hyperbolic functions
* Inverse hyperbolic functions Archived 2013-04-13 at the Wayback Machine.