**Կավարի տեսություն**, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ A բազմության վրա որոշված երկտեղանի \leqslant հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {{\displaystyle A,\leqslant }} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե A-ի կամայական a, b, c տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները. 

1. {\displaystyle a\leqslant a},
2. եթե {\displaystyle a\leqslant b} և {\displaystyle b\leqslant c}, ապա {\displaystyle a\leqslant c},
3. եթե a\leqslant b և {\displaystyle b\leqslant a}, ապա {\displaystyle a=b}։

Եթե {\displaystyle a\leqslant b}, բայց a-ն հավասար չէ b-ին, ապա ասում են, որ a-ն խիստ փոքր է b-ից և նշանակում՝ a<b։ A բազմությունը կոչվում է {{\displaystyle A,\leqslant }} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {{\displaystyle A,\leqslant }} համակարգը կոչվում է կավար, եթե A-ի կամայական a,b տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. *գոյություն ունի A-ին պատկանող a,b տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ \leqslant հարաբերության*
բ. *գոյություն ունի A-ին պատկանող a,b տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ \leqslant հարաբերության*
a,b տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են {\displaystyle a\vee b}, իսկ ստորինը՝ {\displaystyle a\wedge b}։ {{\displaystyle A,\leqslant }} համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝ {\displaystyle a\vee b=max(a,b)}, {\displaystyle a\wedge b=min(a,b)}։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ {\displaystyle [a,b]} հատվածը, որտեղ a,b-ն իրական թվեր են և a<b, իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {{\displaystyle A,\leqslant }} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle a\in A} տարր, որ կամայական {\displaystyle b\in A} բավարարում է {\displaystyle b\leqslant a} պայմանին, ապա a-ն կոչվում է {{\displaystyle A,\leqslant }} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում \delta-ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են 1 նշանով, նվազագույնը՝ {\displaystyle 0} նշանով։ Եթե {\displaystyle a\in A} և գոյություն չունի այնպիսի {\displaystyle b\in A}, որ a<b, ապա a տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում \delta-ն մաքսիմալ տարր է, իսկ \alpha և \varphi  տարրերը՝ մինիմալ։ 

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական a, b, c տարրերի համար տեղի ունի {\displaystyle a\land (b\vee c)=(a\land b)\vee (a\land c)} առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն {\displaystyle 0} և 1, յուրաքանչյուր {\displaystyle a\in A} տարրին համապատասխանում է այնպիսի {\displaystyle {\bar {a}}\in A} տարր, որ {\displaystyle a\vee {\bar {a}}=1} և {\displaystyle a\land {\bar {a}}=0}։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ {\displaystyle 0,1}, և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն
-------------

* Բիրկգոֆ Գ. «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
* Սկրոնյակով Լ. Ա. «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
* Սիկորսկի Ռ. Булевы алгебры, пер.с англ. Մոսկվա, 1969

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 280)։*  |