Քառակուսային ֆունկցիա՝ {\displaystyle x=1} և {\displaystyle x=4} արմատներով
**Քառակուսային բանաձև**, բանաձև է տարրական հանրահաշվում, որով կարող ենք քառակուսային հավասարումներ լուծել։ Քառակուսային հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ կան, ինչպես, օրինակ՝ ֆակտորիզացիան (ուղղակի ֆակտորիզացիա, խմբավորում), քառակուսին լրացնելը, գրաֆիկ գծելը և այլն։

Տրված է քառակուսային հավասարում՝ իր ընդհանուր տեսքով {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}, որտեղ {\displaystyle x}֊ը անհայտն է, {\displaystyle a}֊ն, {\displaystyle b}֊ն և {\displaystyle c}֊ն՝ հաստատուններ են, այնպես, որ {\displaystyle a\neq 0}։ Քառակուսային բանաձևը հետևյալն է․



x
=

−
b
±

b

2

−
4
a
c

2
a

 
 

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ }

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ }
Բանաձևի պլյուս֊մինուսի նշանը՝ {\displaystyle \pm }, ցույց է տալիս, որ քառակուսային հավասարումը երկու արմատ ունի։ Առանձին գրելու դեպքում կստանանք հետևյալ երկու բանաձևերը․

{\displaystyle x\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{և}}\quad x\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Երկու արժեքներից յուրաքանչյուրը կոչվում է քառակուսային հավասարման արմատ (կամ՝ զրո)։ Երկրաչափորեն՝ արմատներն {\displaystyle x}֊ի այն արժեքներն են ներկայացնում, որոնցում {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} հավասարմամբ սահմանված *ցանկացած* պարաբոլ կհատի {\displaystyle x}֊երի առանցքը։

Քառակուսային հավասարումը կարող է նաև օգտակար լինել պարաբոլի համաչափության առանցքները և քառակուսային հավասարման իրական զրոների քանակը գտնելուն։

Համարժեք ձևակերպումներ
----------------------

Քառակուսային հավասարումը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով․

{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,}

որը կարող ենք պարզեցնել․

{\displaystyle x=-\left({\frac {b}{2a}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ :}

Բանաձևի այս տեսքը հարմար է կոմպլեքս արմատների առկայության դեպքում․ քառակուսի արմատից դուրս հատվածը կներկայացնի կոմպլեքս արմատի իրական մասը, իսկ քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը՝ կեղծ մասը։ Քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը դիսկրիմինանտ է։

### Մյուլլերի մեթոդը

Պակաս հայտնի քառակուսային բանաձև է, որը օգտագործվում է Մյուլլերի մեթոդում, ինչպես նաև հայտնվում է Վիետի թեորեմում։ Տալիս է նույն արմատները՝ հետևյալ հավասարմամբ․

{\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .}

### Ձևակերպումներ՝ այլընտրանքային պարամետրիզացիայի հիման վրա

Քառակուսային հավասարման ստանդարտ պարամերիզացիան հետևյալն է․ {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}։ Որոշ աղբյուրներ՝ հատկապես հին աղբյուրները, օգտագործում են հետևյալ այլընտրանքային ձևակերպումը․
{\displaystyle ax^{2}-2b\_{1}x+c=0}, որտեղ {\displaystyle b\_{1}=-b/2}, կամ {\displaystyle ax^{2}+2b\_{2}x+c=0}, որտեղ {\displaystyle b\_{2}=b/2}:

Այլընտրանքային ձևակերպումների համապատասխան բանաձևերը փոքր֊ինչ տարբերվող տեսք ունեն, բայց բովանդակայնորեն համարժեք են ստանդարտին։

Բանաձևի ստացումը
----------------

Գիտական գրականության մեջ քառակուսային բանաձև ստանալու շատ մեթոդներ կան նկարագրված։ Ամենատարածվածը քառակուսու լրացման տեխնիկան է։ Այլընտրանքային մեթոդները երբեմն ավելի պարզ են, քան քառակուսին լրացնելը, և կարող են օգտակար լինել մաթեմատիկայի այլ ոլորտների հետ կապեր տեսնելուն։

### Քառակուսին լրացնելով

#### Ստանդարտ մեթոդ

Բաժանեք քառակուսային հավասարումը {\displaystyle a}֊ով, ինչը հնարավոր է, քանի որ {\displaystyle a\neq 0} երաշխավորված է սահմանմամբ․

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}

Երկու կողմից հանեք {\displaystyle {\dfrac {c}{a}}}՝ ստանալով․

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}

Քառակուսային հավասարումն այժմ այն տեսքով է, որով հնարավոր է լրացնել քառակուսին։ Իրականում, հավասարման երկու կողմերին պարզապես հաստատուն ավելացնելով՝ կարող ենք ձախ կողմում ամբողջական քառակուսի ստանալ․

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}

որից ստանում ենք․

{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}

Համապատասխանաբար, աջ կողմում անդամները վերադասավորելով և ընդհանուր հայտարարի բերելով կարող ենք ստանալ․

{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

Քառակուսին լրացված է։ Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանելով ստանում ենք․

{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}

Արդեն նպատակահարմար է անհայտները հավաքել հավասարման մի կողմում, հայտնիների՝ մյուս կողմում, վերջնական բանաձևը ստանալու համար․

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

Բանաձևի ստացման շատ այլընտրաքային ճանապարհներ կան՝ չնչին տարբերություններով․ հիմնական տարբերությունը {\displaystyle a}-ի հետ արվող փոփոխություններն են։

#### Երկրորդ մեթոդ

Վերջին մի քանի տասնամյակում հրատարակվաշ հանրահաշվական աշխատությունների մեծամասնությունը քառակուսին լրացնելու համար հետևյալ հաջորդականությունն է առաջարկում․

1. Բաժանել հավասարման երկու կողմը {\displaystyle a}-ով՝ միավոր գործակցով առաջատար անդամով բազմանդամ ստանալու համար։
2. Վերախմբավորել։
3. Հավասարման երկու կողմին {\displaystyle \left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}} ավելացնել։
4. Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
5. Մեկուսացնել {\displaystyle x}֊ը։

Քառակուսին լրացնելը երբեմն հնարավոր է իրականացնել ավելի պարզ ու կարճ հաջորդականությամբ․

1. Բազմապատկել յուրաքանչյուր կողմը {\displaystyle 4a}֊ով
2. Վերադասավորել։
3. Երկու կողմին {\displaystyle b^{2}} ավելացնել՝ քառակուսին լրացնելու համար։
4. Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
5. Մեկուսացել {\displaystyle x}֊ը։

Այսպիսով, քառակուսային բանաձևը կարող ենք ստանալ հետևյալ հաջորդականության արդյունքում․

{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}
Քառակուսային բանաձևի այս ստացման եղանակը բավականին հին է, և հայտնի էր Հնդկաստանում արդեն առնվազն 1025 թվականին։ Ի հակադրությունտ ստանդարտ ստացման՝ այս այլընտրաքային մեթոդը մինչև վերջին քայլը խուսափում է կոտորակների ու քառակուսային ֆունկցիաների կիրառումից, և այդպիսով երրորդ քայլից հետո ընդհանուր հայտարարի բերման համար վերադասավորում չի պահանջում։

#### Երրորդ մեթոդ

Առաջին՝ ստանդարտ մեթոդի նման, բաժանել հավասարման երկու կողմը {\displaystyle a}֊ով՝ քառակուսային փոփոխականի գործակիցը {\displaystyle 1} դարձնելու համար․

{\displaystyle x^{2}+{\dfrac {b}{a}}x+{\dfrac {c}{a}}=0}

Արտագրել հավասարումն ավելի սեղմ ու հեշտ ընթեռնելի ձևով․

{\displaystyle x^{2}+Bx+C=0}

որտեղ {\displaystyle B={\dfrac {b}{a}}} և {\displaystyle C={\dfrac {c}{a}}}։ Լրացնել քառակուսին՝ առաջին երկու անդամին {\displaystyle {\dfrac {B^{2}}{4}}} գումարելով, իսկ երրորդից՝ հանելով․

{\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}\right)^{2}+\left(C-{\dfrac {B^{2}}{4}}\right)=0}

Խմբավորել ձախ կողմը՝ քառակուսիների տարբերություն ստանալու համար․

{\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}\right)^{2}-\left({\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)^{2}=0}

Ֆակտորիզացնել այն․

{\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}+{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)\left(x+{\dfrac {B}{2}}-{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)=0}

ինչից հետևում է

{\displaystyle x+{\frac {B}{2}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}

կամ

{\displaystyle x+{\frac {B}{2}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը կարող ենք լուծել {\displaystyle x}֊ի համար՝ ստանալով․

{\displaystyle x=-{\dfrac {B}{2}}-{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}} կամ {\displaystyle x=-{\dfrac {B}{2}}+{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}}

Ներկայացնելով {\displaystyle B}֊ի ու {\displaystyle C}֊ի նախնական արժեքները՝ կստանաք օրիգինալ քառակուսային բանաձևը։

### Փոխարինմամբ

Լուծման մեկ այլ տեխնիկա է փոխարինումը։ Այս տեխնիկայով մենք փոխարինում ենք {\displaystyle x=y+m} քառակուսային հավասարման մեջ և ստանում {\displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0} հավասարումը։ Բացելով փակագծերն ու անհայտի աստիճաններն իրար հետ հավաքելով ստանում ենք․

{\displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+\left(am^{2}+bm+c\right)=0}

Քանի որ ո՛չ {\displaystyle y}֊ի, ո՛չ {\displaystyle m}֊ի համար որևէ սահմանափակում նկարագրված չէր, մենք կարող ենք {\displaystyle m}֊ն այնպես ընտրել, որ միջին անդամն անհետանա։ Այսինքն՝ {\displaystyle 2am+b=0} կամ {\displaystyle m={\dfrac {-b}{2a}}}: Հավասարման երկու կողմից ազատ անդամը հանելով, ապա՝ {\displaystyle a}֊ով բաժանելով (նկատեք, որ, ըստ սահմանման {\displaystyle a\neq 0}), ստանում ենք․

{\displaystyle y^{2}={\frac {-\left(am^{2}+bm+c\right)}{a}}}

Փոխարինելով {\displaystyle m}֊ի արժեքը․

{\displaystyle y^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

Այդպիսով․

{\displaystyle y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}

Այժմ կարող ենք կրկին փոխարինել {\displaystyle y}֊ի արժեքը՝ {\displaystyle x}֊ով արտահայտված, օգտագործելով {\displaystyle x=y+m=y-{\dfrac {b}{2a}}} հավասարումը։ Արդյունքում կստանանք սովորական քառակուսային բանաձևը․

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

### Հանրահաշվական նույնություններով

Հետևյալ մեթոդը պատմական տարբեր շրջաններում բազմաթիվ մաթեմատիկոսներ են օգտագործել․

դիցուք, {\displaystyle r\_{1}}֊ը և {\displaystyle r\_{2}}֊ը ստանդարտ քառակուսային հավասարման արմատներն են։ Բանաձևի ստացումը սկսվում է հետևյալ նույնությամբ․

{\displaystyle (r\_{1}-r\_{2})^{2}=(r\_{1}+r\_{2})^{2}-4r\_{1}r\_{2}}

Յուրաքանչյուր կողմից քառակուսի արմատ հանենք․

{\displaystyle r\_{1}-r\_{2}=\pm {\sqrt {(r\_{1}+r\_{2})^{2}-4r\_{1}r\_{2}}}}

Քանի որ հավասարման քառակուսային անդամի գործակիցը՝ {\displaystyle a}֊ն, ըստ սահմանման {\displaystyle \neq 0}, կարող ենք ստանդարտ հավասարումը բաժանել {\displaystyle a}-ի վրա՝ նույն արմատներն ունեցող քառակուսային բազմանդամ ստանալու համար․

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r\_{1})(x-r\_{2})=x^{2}-(r\_{1}+r\_{2})x+r\_{1}r\_{2}}

Այստեղից կարող ենք տեսնել, որ քառակուսային հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի {\displaystyle -{\dfrac {b}{a}}}, իսկ արտադրյալը՝ {\displaystyle {\dfrac {c}{a}}}։ Այդպիսով, նույնությունը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով․

{\displaystyle r\_{1}-r\_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}

  

Այժմ,

{\displaystyle r\_{1}={\frac {(r\_{1}+r\_{2})+(r\_{1}-r\_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Քանի որ {\displaystyle r\_{2}=-r\_{1}-{\dfrac {b}{a}}}, եթե օգտագործենք {\displaystyle r\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}, կստանանք․

{\displaystyle r\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Իսկ եթե վերցնենք {\displaystyle r\_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}, կարող ենք հաշվել նաև հետևյալ բանաձևը․ {\displaystyle r\_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}։

Արդյունքները ստանդարտ {\displaystyle \pm } նշանով միացորելով, ստանում ենք քառակուսային հավասարման լուծումները գտնելու հետևյալ բանաձևը․

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

Պատմությունը
------------

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ամենավաղ հայտնաբերված եղանակը երկրաչափականն է։ Բաբելոնյան սեպագիր հուշատախտակներում խնդիրներ կան, որոնք կարելի է լուծել քառակուսային հավասարում ներկայացնելով։ Եգիպտական Բեռլինի Պապիրուսը, որը ժամանակագրվում է Միջին Թագավորության (մ․թ․ա․ 2050 ֊ մ․թ․ա․ 1650 թվականներ) ժամանակաշրջան, երկու անդամով քառակուսային հավասարումների լուծման եղանակներ է պարունաում։

Հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ․թ․ա․ 300) իր *Սկզբունքներ* երկի երկրորդ գրքում քառակուսային հավասարումներ լուծեու երկրաչափական եղանակներ է նկարագրել։ Քառակուսային հավասարման կանոնները հանդիպում են նաև չինական *Ինը Գլուխ Մաթեմատիկական Արվեստի մասին* աշխատությունում (մ․թ․ա․ 200)։ Իր *Թվաբանություն* աշխատությունում հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտը (մոտ․ 250 թվական) քառակուսային հավասարումներ է լուծում հանրահաշվականին ավելի մոտ եղանակով, քան Էվկլիդեսի նկարագրած երկրաչափական հանրահաշիվն էր։ Դիոֆանտի եղանակը հավասարման միայն մի լուծումն է գտնում, նույնիսկ այն դեպքում, երբ երկու արմատներն էլ դրական են։

Հնդիկ մաթեատիկոս Բրահմագուպտան (597–668 թվականներ) հստակ նկարագրել է քառակուսային բանաձևն իր *Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում* գրքում, որը հրատարակվել է 628 թվականին, սակայն նկարագրել է այն բառերով՝ առանց նշաններ օգտագործելու։ Բրահմագուպտայի՝ {\displaystyle ax^{2}+bx=c} քառակուսային հավասարում լուծելու առաջարկած եղանակը հետևյալն էր․ «բացարձակ թվի (քառակուսու գործակցի) քառապատիկի արտադրյալին գումարե՛ք միջին անդամի (գործակցի) քառակուսին; նույնի քառակուսի արմատը, հանած միջին անդամը (միջին անդամի գործակիցը), բաժանած քառակուսու (գործակցի) կրկնապատիկով, (և կստանաք) արժեքը»։ Ինչը համարժեք է {\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}} բանաձևին։

9֊րդ դարի պարսիկ մաթեմատիկոս Մուհամեդ իբն Մուսա Խորեզմին հանրահաշվորեն քառակուսային հավարումներ է լուծել։ Բոլոր հնարավոր դեպքերը հաշվի առնող առաջին բանաձևը հայտնաբերել է Սիմոն Սթևինը 1594 թվականին։ 1637 թվականին Ռենե Դեկարտը հրատարակել է *Երկրաչափությունը*, որտեղ ներկայացրել է մեր՝ այսօր օգտագործվող քառակուսային բանաձևի կիրառման հատուկ դեպքերը։

Կիրառումներ
-----------

### Երկրաչափական կիրառում

Պարաբոլը ցանկացած կոր է, որի {\displaystyle x,y} - կոորդինատները սահմանվում են երկրորդ աստիճանի բազմանդամով․ {\displaystyle y=p(x)=a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}}, որտեղ {\displaystyle p}-ն ներկայացնում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամը, իսկ {\displaystyle a\_{0},a\_{1}} և {\displaystyle a\_{2}\neq 0} գործակից հաստատուններ են, որոնց ինդեքսները համընկնում են իրենց համապատասխան անհայտի աստիճանին։ Երկրաչափական մեկնաբանությամբ, քառակուսային բանաձևը սահմանում է այն կետերը, որտեղ պարաբոլը կհատի {\displaystyle x}֊երի առանցքը։ Ավելին․ եթե քառակուսային հավասարումը դիտարկվի երկու անդամով․

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}
Համաչափության առանցքը կհամընկնի {\displaystyle x=-{\dfrac {b}{2a}}} ուղղի հետ։ Մյուս անդամը՝ {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}, ներկայացնում է արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից։ Արմատներից մեկը «դրական»՝ դեպի աջ, հեռավորություն ունի, մյուսը՝ «բացասական», դեպի ձախ։

Եթե արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից հասնում է զրոյի, համաչափության առանցքի արժեքը հավասար կլինի արմատի արժեքին՝ այն {\displaystyle x} արժեքին, որում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այսինքն՝ քառակուսային հավասարումը միայն մի լուծում ունի։ Հանրահաշվորեն սա նշանակում է, որ {\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}=0}, այսինքն․ {\displaystyle b^{2}-4ac=0}։ Նկատեք, որ հավասարման ձախ հատվածը պարզապես դիսկրիմինանտն է։

Դիսկրիմինանտի արժեքը ցույց է տալիս, թե պարաբոլը քանի զրո կունենա։ Երեք հնարավոր դեպք կա․ դիսկրիմինանտը կարող է լինել դրական, ինչի դեպքում հեռավորությունը նույնպես դրական կլինի, և պարաբոլը երկու զրո կունենա, հավասարումն էլ, համապատասխանաբար՝ երկու իրական լուծում։ Սակայն, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, հեռավորությունը *կեղծ* է՝ կոմպլեք արմատ {\displaystyle i} թվի որևէ իրական բազմատիկ, ինչը նշանակում է, որ պարաբոլի զրոները կոմպլեքս թվեր են։

Քառակուսային հավասարման կոմպլեքս արմատները կոմպլեքս զույգեր են, որոնց իրական մասի արժեքը հավասար է համաչափության առանցքի արժեքին։ Նման պարաբոլը որևէ իրական {\displaystyle x} արժեքի համար {\displaystyle x}-երի առանցքը չի հատի։

### Տարածական անալիզ

Եթե {\displaystyle a,b} և {\displaystyle c} հաստատուններն անմիավոր չեն, {\displaystyle x}-ի միավորը պետք է հավասար լինի {\displaystyle {\dfrac {b}{a}}} մեծության միավորին, քանի որ հավասարման {\displaystyle ax^{2}} և {\displaystyle bx} անդամները պետք է նույն միավորն ունենան։ Ավելին՝ նույն տրամաբանությամբ {\displaystyle c} հաստատունի միավորը պետք է համընկնի {\displaystyle {\dfrac {b^{2}}{a}}} մեծության միավորին, ինչը կարող ենք հաստատել առանց հավասարումը լուծելու։ Այս փաստը հնարավորություն է տալիս քառակուսային հավասարումը լուծելուց առաջ ստուգել, արդյո՞ք ֆիզիկական մեծություններ արտահայտող հավասարումը ճիշտ է սահմանված, թե՞՝ ոչ։

Տեսեք նաև
---------

* Դիսկրիմինանտ
* Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
* Վիետի թեորեմ

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  «Քառակուսային Ֆակտորիզացիա․ Ամբողջական ուղեցույց». *Մեթ Վոլտ* (անգլերեն). 2016, մարտի 13. Վերցված է 2019, նոյեմբերի 10-ին.
2. ↑  Ստեռլինգ, Մերի Ջեյն (2010), *Հանրահաշիվ I Հիմարիկների համար*, Wiley Publishing, էջ 219, ISBN 978-0-470-55964-2
3. ↑  «Հասկանանք Քառակուսային բանաձևը». *Khan Academy* (անգլերեն). Վերցված է 2019, նոյեմբերի 10-ին.
4. ↑  «Պարաբոլի Համաչափության Առանցքները․ Ինչպես գտնել առանցքները գրաֆիկից։ Համաչափության առանցքները գտնելու համար․․․». *www.mathwarehouse.com*. Վերցված է 2019, նոյեմբերի 10-ին.
5. ↑  «Դիսկրիմինանտի ամփոփում». *Khan Academy* (անգլերեն). Վերցված է 2019, նոյեմբերի 10-ին.
6. ↑  Կահան, Ուիլիամ (2004, նոյեմբերի 20), *On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic* (PDF), Վերցված է 2012, դեկտեմբերի 25-ին
7. ↑  «Քառակուսային բանաձև», *Ապացույցների Վիքի*, Վերցված է 2016, հոկտեմբերի 08-ին
8. ↑  Ռիչ, Բարնեթ; Շմիթ, Ֆիլիպ (2004), *Տարրական Հանրահաշվի Թեորիայի ու Խնդիրների Շոմի Ուրվագիծը*, The McGraw – Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Գլուխ 13 §4.4, էջ 291
9. ↑  Լի, Շուհույ (2007). *Միջին դպրոցի հանրահաշվի ուսուցիչների հանրահաշվական հավասարումների լուծման դասավանդման գիտելիքի հետազոտություն*. ProQuest. էջ 56.
10. ↑  
Ռոքսվոլդ, Գերի (2002). *Համալսարանական հանրահաշիվ և եռանկյունաչափություն և նախնական անալիզ*. Addison Wesley. էջ 178.
11. ↑  
Բեքենբախ, Էդվին (1986). *Ժամանակակից համալսարանական հանրահաշիվ և եռանկյունաչափություն*. Wadsworth Pub. Co. էջ 81.
12. 1 2  Հոեն, Լերրի (1975). «Քառակուսային բանաձևի ստացման առավել էլեգանտ մեթոդ». *Մաթեմատիկայի Ուսուցիչը*. **68** (5): 442 ֊ 443.
13. ↑  Սմիթ, Դեյվիդ Ի․ (1958). *Մաթեմատիկայի Պատմություն, Հատոր II*. Dover Publications. էջ 446. ISBN 0486204308.
14. ↑  
Ջոզեֆ Ջ․ Րոթման։ (2010)։ Ժամանակակից Առաջադեմ Հանրահաշիվ։ (Հատոր 114)։ Ամերկյան Մաթեմատիկոսների Հասարակություն։ Բաժին 1.1
15. ↑  Դեբնաթ, Լոքենաթ (2009). «Լեոնարդ Էյլերի ժառանգությունը – երեքդարյա հարգանքի տուրք». *Գիտությունների և Տեխնոլոգիայի Մաթեմատիկական կրթության Միջազգային Ամսագիր*. **40** (3): 353–388. doi:10.1080/00207390802642237. S2CID 123048345.
16. ↑  Իրվինգ, Ռոն (2013). *Քառակուսային բանաձևից այն կողմ*. MAA. էջ 34. ISBN 978-0-88385-783-0.
17. ↑  *Քեմբրիջի Հնագույն Պատմություն Մաս 2․ Միջին Արևելքի Հին Պատմություն*. Cambridge University Press. 1971. էջ 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
18. 1 2  Իրվինգ, Ռոն (2013). *Քառակուսային բանաձևից այն կողմ*. MAA. էջ 39. ISBN 978-0-88385-783-0.
19. ↑  Այտկեն, Ուեյն. «Չինական Դասականներ․ Ինը Գլուխները» (PDF). Մաթեմարիկայի Ֆակուլտետ, Կալիֆոռնիայի Պետական Համալսարան. Վերցված է 2013, ապրիլի 28-ին.
20. ↑  Սմիթ, Դեյվիդ Յուջին (1958). *Մաթեմատիկայի Պատմություն*. Courier Dover Publications. էջ 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
21. ↑  Սմիթ, Դեյվիդ Յուջին (1958). *Մաթեմատիկայի պատմություն*. Courier Dover Publications. էջ 134. ISBN 0-486-20429-4.
22. ↑  
Բրեդլի, Մայքլ *Մաթեմատիկայի Ծնունդը․ Հնագույն ժամանակներից 1300 թվական*, էջ 86 (Infobase Publishing 2006)
23. ↑  
Մաքքենզի, Դեյնա *Տիեզերքը Զրո Բառով․ Մաթեմատիկայի պատմությունը՝ Հավասարումների միջոցով*, էջ 61 (Princeton University Press, 2012)
24. ↑  Սթիլվել, Ջոն (2004). *Մաթեմատիկան ու դրա Պատմությունը (2-րդ հրատ․)*. Springer. էջ 87. ISBN 0-387-95336-1.
25. ↑  Իրվինգ, Ռոն (2013). *Քառակուսային բանաձևից այն կողմ*. MAA. էջ 42. ISBN 978-0-88385-783-0.
26. ↑  Ստրուիկ, Դ․ Ջ․; Սթևին, Սիմոն (1958), *Սիմոն Սթևինի հիմնական գործերը, Մաթեմատիկա* (PDF), vol. II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, էջ 470
27. ↑  Ռենե Դեկարտ. *Երկրաչափություն* (անգլերեն).