Մաթեմատիկայում -1-ը 1 թվի գումարման հակադիրն է, այսինքն՝ այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս արդյունքում ստացվում է 0։ Բացասական ամբողջ թիվ, որը մեծ է բացասական երկուսից (-2) և փոքր զրոյից։

Բացասական մեկը կապված է Էյլերի նույնության ({\displaystyle e^{i\pi }=-1}), որը հաճախ համարվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արտահայտությունը։

Ծրագրավորման մեջ **-1**-ը տարածված սկզբնական արժեք է ամբողջ թվերի համար։ Որոշ դեպքերում ցույց է տալիս, որ փոփոխականը օգտակար ինֆորմացիա չի պարունակում։

Ծրագրավորման լեզուներում **−1**-ը կարող է օգտագործվել զանգվածի վերջին (կամ վերջից 2-րդ) տարրը համարակալելու համար՝ կախված նրանից, թե առաջին տարրը համարակալված է 0-ով թե 1-ով։

Հանրահաշվական հատկություններ
----------------------------

Թիվը -1-ով բազմապատկելը համարժեք է թվի նշանը դրականից բացասական կամ բացասական դրական փոխելուն։ Այս հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով բաշխման օրենքից և այն աքսիոմից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Տրված իրական x թվի համար,

{\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}
որտեղ օգտագործվեց միայն այն փաստը, որ կամայական x իրական թվի և 0-ի արտադրյալը 0 է, կրճատման հատկությունից հետևում է՝

{\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}
 0, 1, −1, ***i***, և - ***i*** թվերը կոմպլեքս հարթությունում։ 
Այլ կերպ ասած,

{\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}
այսպիսով −1 · *x*-ը կամ -*x*-ը x թվի թվաբանական հակադարձն է։

### -1-ի քառակուսի

−1 թվի քառակուսին (այսինքն՝ -1 անգամ -1) հավասար է 1։ Հետևաբար, երկու բացասական իրական թվերի արտադրյալը դրական է։

Այս արդյունքը հանրահաշվորեն կարելի է ապացուցել օգտվելով հետևյալ հավասարությունից՝

{\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}
Առաջին հավասարությունը հետևում է արդեն ստացված արդյունքից։ Երկրորդը՝ այն փաստից, որը -1-ը 1-ի գումարման հակադարձն է. այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս ստացվում է 0։ Այժմ, օգտվելով բաշխման կանոնից, ստանում ենք՝

{\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}
Երկրորդ հավասարությունը հետևում է այն փաստից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Բայց հավասարության երկու կողմերին 1 գումարելով կստանանք՝

{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}
Վերոնշյալ փաստարկը գործում է կամայական օղակում (աբստրակտ հանրահաշվի հասկացություն, որը ամբողջ և իրական թվերի ընդլայնում է)։

### −1-ի քառակուսի արմատ

Չնայած -1-ը չունի իրական թառակուսի արմատ, կոմպլեքս {\displaystyle i}թիվը բավարարում է {\displaystyle i^{2}=-1} հատկությանը, հետևաբար կարող է համարվել -1-ի քառակուսի արմատ։ Բացասական մեկից բացի միակ կոմպլեքս թիվը, որի քառակուսին 1 է, {\displaystyle -i}-ն է։ Քվատերնիոնների հանրահաշվում, որը իր մեջ ներառում է կոմպլեքս հարթությունը, {\displaystyle x^{2}=-1}հավասարումը ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ։

Բացասական աստիճան
-----------------

Զրոյից տարբեր իրական թվի աստիճան բարձրացնելու գործողությունը կարելի է սահմանել նաև բացասական աբողջ ցուցիչների համար։ Ըստ սահմանման {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}։ Այս սահմանումը կարելի է ընդլայնել բոլոր բացասական ամբողջ թվերի վրա՝ պահպանելով աստիճան բարձրացնելու {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}+x^{a+b}} (կամայական իրական {\displaystyle a} և {\displaystyle b} թվերի համար) հատկությունը։

Բացասական աստիճանը կարելի է ընդլայնել օղակի շրջելի էլեմենտների համար` {\displaystyle x^{-1}} արտահայտությունը սահմանելով որպես {\displaystyle x}-ի բազմապատկական նույնություն։

Մատրիցների կամ ֆունկցիաների վերտողում գրվող -1-ը աստիճան բարձրացնելու իմաստ չունի. այն համապատասխանաբար նշանակում է հակադարձ ֆունկցիա և հակադարձ մատրից։ Օրինակ, {\displaystyle f^{-1}(x)}-ը {\displaystyle f^{1}(x)} ֆունկցիայի հակադարձն է, կամ {\displaystyle \sin ^{-1}{x}}-ը՝ {\displaystyle \arcsin {x}} հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիան է։

Համակարգչային ներկայացում
-------------------------

Համակարգիչների մեծ մասում բացասական մեկը ներկայացվում է երկուսի լրացում կոդի միջոցով։ Նման համակարգերում -1-ը ներկայացվում է ամբողջությամբ մեկերից բաղկացած բիթերով։ Օրինակ՝ 8 բիթ ամբողջ թվով (նշանով) -1-ը կներկայացվի "11111111" տեսքով (Հաշվարկման տասնվեցական համակարգով՝ "FF")։ Նույն սիմվոլային տողը աննշան ամբողջ թիվ ներկայացնելու դեպքում *n* քանակությամբ 1-ը կհամապատասխանի {\displaystyle 2^{n}-1} (հնարավոր ամենամեծ թիվը *n* երկարութմաբ բիթերի սիմվոլային տողը կարող է ներկայացնել)։ Այսինքն, այս դեպքում "11111111"-ը ներկայացնում է {\displaystyle 2^{8}-1=255}։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Gallagher, James (2014 թ․ փետրվարի 13). «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty». *BBC News Online*. Վերցված է 2017 թ․ դեկտեմբերի 26-ին.
2. ↑  «Ask Dr. Math». Math Forum. Վերցված է 2012 թ․ հոկտեմբերի 14-ին.
3. ↑  E.g. "Signed integers are two's complement binary values that can be used to represent both positive and negative integer values.", Section 4.2.1 in Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual, Volume 1: Basic Architecture, November 2006
4. ↑  Thomas Finley (April 2000). «Two's Complement». cs.cornell.edu. Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 22-ին.

Աղբյուրներ
----------

* Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande, 1-84265-189-7