Ռիմանի զետա ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության ուղղանկյուն տիրույթում։ Նկարը ստացված է Matplotlib  գրադարանի plot ֆունկցիայի օգնությամբ՝ օգտագործելով domain coloring մեթոդը.
Նկարում արտացոլված են Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բևեռը {\displaystyle z=1}
**Ռիմանի** **զետա ֆունկցիան** կամ **Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան** իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{i=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
Այս շարքը զուգամետ է {\displaystyle s}-ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.
{\displaystyle s}-ի այլ  արժեքների համար Ֆունկցիայի  ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։

Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը։

Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝  {\displaystyle \zeta (2)}-ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է {\displaystyle \zeta (3)}-ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։

Սահմանում
---------

Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են {\displaystyle s=\sigma +it}, որտեղ {\displaystyle \sigma }-ն և {\displaystyle t}-ն {\displaystyle s}-ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 

Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \qquad \sigma =\operatorname {Re} (s)>1:}
Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},}
որտեղ

{\displaystyle \Gamma (s)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}
հայտնի գամմա ֆունկցիան է։

Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ {\displaystyle s}-ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝ {\displaystyle s=1} կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

{\displaystyle \lim \_{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1:}
Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝ {\displaystyle s=1} և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  «Jupyter Notebook Viewer». *Nbviewer.ipython.org*. Վերցված է 2017 թ․ հունվարի 4-ին.
2. ↑  This paper also contained the Riemann hypothesis, a conjecture about the distribution of complex zeros of the Riemann zeta function that is considered by many mathematicians to be the most important unsolved problem in pure mathematics.Bombieri, Enrico. «The Riemann Hypothesis – official problem description» (PDF). Clay Mathematics Institute. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2015 թ․ դեկտեմբերի 22-ին. Վերցված է 2014 թ․ օգոստոսի 8-ին.