Ենթադրենք L-ը վեկտորական հարթություն է K հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են {\displaystyle K=\mathbb {R} } և {\displaystyle K=\mathbb {C} } հարթությունները)։

**Երկգծային ձև** կոչվում է {\displaystyle F\colon L\times L\to K} ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։

{\displaystyle F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)},
{\displaystyle F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)},
{\displaystyle F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)},
{\displaystyle F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)},
Այստեղ {\displaystyle x,y,z\in L} և {\displaystyle \lambda \in K}

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանում
------------------------

Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք L-ը վեկտորների բազմություն է {\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})} տեսակի, որտեղ {\displaystyle x\_{i}\in K,i={\overline {1,n}}}։

Երկգծային ձևեր են կոչվում {\displaystyle F\colon L\times L\to K} ֆունկցիաները {\displaystyle F(x,y)=\sum \_{i,\,j=1}^{n}a\_{ij}x\_{i}y\_{j}} տեսակի

որտեղ {\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}),} {\displaystyle y=(y\_{1},y\_{2},\dots ,y\_{n}),} իսկ a\_{{ij}}՝ {\displaystyle K.} հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից n փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներ
----------------------

* F երկգծային ձևը կոչվում է **սիմետրիկ**, եթե {\displaystyle F(x,\,y)=F(y,\,x)} {\displaystyle x,y\in L} ցանկացած վեկտորների համար։
* F երկգծային ձևը կոչվում է **կոսոսիմետրիկ** (հակասիմետրիկ), եթե {\displaystyle F(x,\,y)=-F(y,\,x)} {\displaystyle x,y\in L} ցանկացած վեկտորների համար։
* {\displaystyle x\in L} վեկտորը կոչվում է *օրթոգոնալ* (ավելի ճիշտ, *աջից օրթոգոնալ*) {\displaystyle M\subset L} ենթահարթության մեջ F-ի նկատմամբ, եթե {\displaystyle F(x,\,y)=0} բոլոր {\displaystyle y\in M} համար։ {\displaystyle x\in L} վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ {\displaystyle M\subset L} ենթահարթության մեջ տրված F երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է **օրթոգոնալ լրացում** F-ի նկատմամբ {\displaystyle M\subset L} ենթահարթության համար և նշանակվում է {\displaystyle M^{\perp }}։
* F երկգծային ձևի **արմատ** կոչվում է F-ի նկատմամբ L հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ {\displaystyle x\in L} վեկտորների {\displaystyle L^{\perp }} ամբողջություն, որոնց համար {\displaystyle F(x,\,y)=0} բոլոր {\displaystyle y\in L} դեպքում։

Հատկություններ
--------------

* {\displaystyle W(L,L)} երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
* Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
* Ընտրված {\displaystyle e\_{1},\ldots ,e\_{n}} L-ում բազիսում ցանկացած F երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով

{\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e\_{1},\,e\_{1})&F(e\_{1},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{1},\,e\_{n})\\F(e\_{2},\,e\_{1})&F(e\_{2},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{2},\,e\_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e\_{n},\,e\_{1})&F(e\_{n},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{n},\,e\_{n})\end{pmatrix}},}
այնպես, որ ցանկացած {\displaystyle x=x^{1}e\_{1}+x^{2}e\_{2}+\cdots +x^{n}e\_{n}} և {\displaystyle y=y^{1}e\_{1}+y^{2}e\_{2}+\cdots +y^{n}e\_{n}} վեկտորների համար

{\displaystyle F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e\_{1},\,e\_{1})&F(e\_{1},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{1},\,e\_{n})\\F(e\_{2},\,e\_{1})&F(e\_{2},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{2},\,e\_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e\_{n},\,e\_{1})&F(e\_{n},\,e\_{2})&\ldots &F(e\_{n},\,e\_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}
այսինքն՝

{\displaystyle F(x,\,y)=\sum \_{i,j=1}^{n}f\_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f\_{ij}=F(e\_{i},\,e\_{j}).}
* Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
* {\displaystyle W(L,L)} հարթության չափականությունը {\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2}}։
* Չնայած նրան, որ F երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է F երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է **ոչ այլասերված**, եթե դրա կարգը հավասար է {\displaystyle \dim L}:
* Ցանկացած {\displaystyle M\subset L} ենթահարթության համար {\displaystyle M^{\perp }} օրթոգոնալ լրացումը համարվում է {\displaystyle M^{\perp }\subset L} ենթահարթություն։
* {\displaystyle \dim L^{\perp }=\dim L-r}, որտեղ r-ը F երկգծային ձևի ռանգ է։

Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ
------------------------------------------------------------

Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները {\displaystyle X^{i}} հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր {\displaystyle x^{i}}-ում \beta  մատրիցի միջոցով
{\displaystyle X^{i}=\sum \beta \_{j}^{i}x^{j}}, կամ {\displaystyle X=\beta x} մատրիցային արտահայտությամբ, ապա F երկգծային ձևը ցանկացած x և y վեկտորների վրա կգրվի, որպես

{\displaystyle F(x,\,y)=\sum \_{i,j}F\_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum \_{i,j,k,m}F\_{ij}\beta \_{k}^{i}\beta \_{m}^{j}x^{k}y^{m}},
այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն

{\displaystyle f\_{km}=\sum \_{i,j}F\_{ij}\beta \_{k}^{i}\beta \_{m}^{j}},
կամ մատրիցային ձևով՝

{\displaystyle f=\beta ^{T}F\beta },
{\displaystyle \beta =\alpha ^{-1}}, որտեղ \alpha՝ {\displaystyle x=\alpha X} կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։

Տես նաև
-------

* Քառակուսային ձև
* Երկգծային օպերացիա
* Երկգծային փոխակերպում

Գրականություն
-------------

* *Мальцев А. И.* Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
* *Гельфанд И. М.* Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
* *Фаддеев Д. К.* Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
* *Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.*
* *Гельфанд И. М.*, Линейная алгебра Archived 2003-07-06 at the Wayback Machine.. Курс лекций.
* *Шафаревич И. Р. Ремизов А. О.* Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4138018-6 · Microsoft: 8828549 |

 |