Կարմիր պատկերը կապույտ և կանաչ պատկերների Մինկովսկու գումարն է։
Երկրաչափությունում էվկլիդյան տարածության մեջ գտնվող դիրքային վեկտորների 2 բազմության **Մինկովսկու գումարը** ձևավորվում է առաջին բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի և երկրորդ բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի գումարներով․

{\displaystyle A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}}
Նման կերպ ստացվում է նաև **Մինկովսկու տարբերության** սահմանումը․

{\displaystyle A-B=\{\mathbf {c} \,|\,\mathbf {c} +B\subseteq A\}}
Կարևոր է նկատել, որ ընդհանուր առմամաբ {\displaystyle A-B\neq A+(-B)}։ Մինկովսկու գումարի և տարբերության կապի ճշգրիտ բանաձևը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով 

{\displaystyle A-B=(A^{c}+(-B))^{c}}
Հասկացությունը կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Հերման Մինկովսկու անվամբ.

Օրինակներ
---------

Օրինակ, եթե մենք ունենք 2 բազմություններ, և յուրաքանչյուր բազմության մեջ կա երեք դիրքային վեկտոր՝ ներկայացնող 2 եռանկայան գագաթներ {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}-ում, հետևյալ կոորդինատներով

{\displaystyle A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}}
և

{\displaystyle B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\},}
ապա նրանց Մինկովսկու գումարը կստացվի

{\displaystyle A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(0,-1),(1,-2)\},}
որը համընկնում է հեքսագոնի գագաթների հետ։

Մինկովսկու գումարի համար զրոյական բազմությունը՝ {0}, պարունակող միայն զրոյական վեկտորը, 0 միավոր էլեմենտ է կամայական *S* վեկտորական ենթաբազմության համար 

{\displaystyle S+\{0\}=S.}
Դատարկ բազմությունը կարևոր է Մինկովսկու գումարի համար, քանի որ դատարկ բազմությունը վերացնում է ամեն մի այլ ենթաբազմություն՝ կամայական վեկտորական տարածության *S* ենթաբազմության համար, իր և դատարկ բազմության գումարը դատարկ բազմություն է

{\displaystyle S+\emptyset =\emptyset .}

Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան
----------------------------------------------

Մինկովսկու գումարը լավ է իրեն դրսևորում, երբ վերցնում ենք ուռուցիկ գծային կոմբինացիան, ինչպես նշված է հետևյալ հատկութկունում․

* Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ *S*1 և *S*2 ենթաբազմություննների Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան հավասար է իրենց ուռուցիկ գծային կոմբինացիաների Մինկովսկու գումարին․

{\displaystyle \operatorname {Conv} (S\_{1}+S\_{2})=\operatorname {Conv} (S\_{1})+\operatorname {Conv} (S\_{2}).}
Այս արդյունքը պահպանում է ավելի ընդհանուր կամայական ոչ դատարկ բազմությունների համար․

{\displaystyle \operatorname {Conv} \left(\sum {S\_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S\_{n}).}
Մաթեմատիկայի տերմինաբանության մեջ Մինկովսկու գումարի օպերատորը և ուռուցիկ գծային կոմբինացիան կոմուտատիվ օպերատորներ են։

Եթե S -ը ուռուցիկ բազմություն է, ապա նույնպես ուռուցիկ բազմություն է։ Ավելին 

{\displaystyle \mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S}
կամայական {\displaystyle \mu ,\lambda \geq 0}: Եվ հակառակը, եթե բաշխվածությունը տեղի ունի յուրաքանչյուր իրական {\displaystyle \mu ,\lambda }-ի համար, ապա բազմությունը ուռուցիկ է․

Մինկովսկու գումարը գծայնորեն է գործում 2 չափանի տարածության մեջ գտնվող ուռուցիկ մարմնի պարամետրի վրա։ Ավելին, եթե *K*-ն հաստատուն լայնության կորի արտաքին մասն է․ ապա *K*-ի և իր 180° շրջման Մինկովսկու գումարը դիսկ է։ Այս երկու փաստերը կարող ենք միախառնել ստանալու Բարբիերի թեորեմի կարճ ապացույցը հաստատուն լայնության կորի պարամետրի վրա։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Theorem 3 (pages 562–563): Krein, M.; Šmulian, V. (1940). «On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space». *Annals of Mathematics*. Second Series. Vol. 41. էջեր 556–583. doi:10.2307/1968735. JSTOR 1968735. MR 0002009.
2. ↑  For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). *Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory*. Encyclopedia of mathematics and its applications. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. էջեր xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8. MR 1216521.
3. ↑  The Theorem of Barbier (Java) at cut-the-knot.