m տողերով և n սյուներով A մատրիցի տողերի (սյուների) համակարգի **ռանգ** են անվանում գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն թիվը։ Մի քանի տող (սյուն) անվանում են գծորեն անկախ, եթե նրանցից յուրաքանչյուրը չի կարող գծորեն ներկայացվել մյուսների միջոցով։ Տողերի համակարգի ռանգը միշտ հավասար է սյուների համակարգի ռանգի հետ, և այդ թիվն անվանում են մատրիցի ռանգ։

**Մատրիցի ռանգ**, տվյալ մատրիցի մինորների կարգերից առավելագույնը, որը հավասար չէ զրոյի։

**Մատրիցի ռանգ**, {\displaystyle dim(im(A))} գծային օպերատորի տեսքի մեծություն, որին համապատասխանում է մատրիցը։

Սովորաբար A մատրիցի ռանգը նշանակում են {\displaystyle \operatorname {rang} A} ({\displaystyle \operatorname {rg} A}) կամ {\displaystyle \operatorname {rank} A}։

Սահմանում
---------

Ենթադրենք, {\displaystyle A\_{m\times n}}֊ը ուղղանկյուն մատրից է։

Այդ դեպքում ըստ սահմանման A **մատրիցի ռանգը** հավասար է՝

* զրո, եթե A֊ն զրոյական մատրից է,
* {\displaystyle r\in \mathbb {N} :\;\exists M\_{r}\neq 0,\;\forall M\_{r+1}=0} թվին, որտեղ {\displaystyle M\_{r}}֊ը՝ r կարգի A մատրիցի մինորն է, իսկ {\displaystyle M\_{r+1}} նրան սահմանակից {\displaystyle (r+1)} կարգի մինորը, եթե դրանք գոյություն ունեն։

**Թեորեմ (ռանգերի որոշման ճշտության մասին)**
Ենթադրենք k կարգի {\displaystyle A\_{m\times n}} մատրիցի բոլոր մինորներրը հավասար են զրոյի ({\displaystyle M\_{k}=0})։ Այդ դեպքում {\displaystyle \forall M\_{k+1}=0}, եթե դրանք գոյություն ունեն։

Օրինակներ
---------

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}
Այս մատրիցի ռանգը հավասար է 2֊ի․ առաջին երկու տողերը գծորեն անկախ են, ուստի մատրիցի ռանգի նվազագույն արժեքը 2 է։ Բայց բոլոր երեք տողերը գծորեն կախված են (առաջինը հավասար է երկրորդի և երրորդի գումարին), ուստի ռանգը 3֊ից փոքր պետք է լինի։

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}
A մատրիցի ռանգը 1 է․ այն ունի ոչ զրոյական սյուներ, ուստի ռանգը դրական է։ Բայց սյուների ցանկացած երկուսը գծորեն կախված են։ Նմանապես, A֊ի վերադասավորման արդյունքում ստացված

{\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}
մատրիցի ռանգը հավասար է 1֊ի։ Իսկապես, քանի որ A֊ի սյուների վեկտորները {\displaystyle A^{T}}֊ի տողերի վեկտորներն են, մատրիցի սյուների և տողերի ռանգերի հավասարության պայմանը համարժեք մատրիցի և իր վերադասավորության ռանգերի հավասարության պայմանին, այսինքն, {\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A^{T}}։

Կապակցված սահմանումներ
----------------------

* m\times n չափանի M մատրիցի {\displaystyle \operatorname {rang} M} ռանգն անվանում են **լրիվ**, եթե {\displaystyle \operatorname {rang} M=\min\{m,n\}}։
* A մատրիցի **բազիսային մինորը** r կարգի A մատրիցի ցանկացած ոչ զրոյական մինորն է, որտեղ {\displaystyle r=\operatorname {rang} A}։
	+ Այն տողերն ու սյուները, որոնց հատման վրա կառուցված է բազիսային մինորը, կոչվում են ***բազիսային տողեր և սյուներ***։

Հատկություններ
--------------

* **"Թեորեմ (բազիսային մինորի մասին)։** Ենթադրենք {\displaystyle r=\operatorname {rang} A}, իսկ {\displaystyle M\_{r}}֊ը A մատրիցի բազիսային մինորն է։ Այդ դեպքում՝
	1. բազիսային տողերն ու բազիսային սյուները գծորեն անկախ են,
	2. A մատրիցի ցանկացած տող (սյուն) բազիսային տողերի (սյուների) գծային կոմբինացիան է։
* **Հետևանքներ**
	+ Եթե մատրիցի ռանգը r է, ապա այդ մատրիցի ցանկացած {\displaystyle p\colon p>r} տողեր կամ սյուներ կլինեն գծորեն անկախ։
	+ Եթե A֊ն քառակուսի մատրից է, և {\displaystyle \det A=0\iff }, ապա այդ մատրիցի տողերն ու սյուները գծորեն անկախ են։
	+ Ենթադրենք {\displaystyle r=\operatorname {rang} A}։ Այդ դեպքում այդ մատրիցի գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն քանակը հավասար կլինի r֊ի։
* **Թեորեմ (տարրական ձևափոխությունների ժամանակ ռանգի անփոփոխելիության մասին)։** Ներմուծենք {\displaystyle A\sim B} նշանակումը այն մատրիցների համար, որոնք միմյանցից ստացվում են տարրական ձևափոխությունների հետևանքով։ Այդ դեպքում կարելի է պնդել, որ *եթե {\displaystyle A\sim B}, ապա դրանց ռանգերը հավասար են*։
* **Կրոնեքեր֊Կապելլիի թեորեմը։** Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը համատեղելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրան հիմնական մատրիցի ռանգը հավասար է նրա ընդլայնված մատրիցի ռանգին։ Մասնավորապես՝
	+ Համակարգի գլխավոր փոփոխականների քանակը հավասար է համակարգի ռանգին։
	+ Համատեղելի համակարգը կորոշվի (նրա լուծումը միակն է), եթե համակարգի ռանգը հավասար լինի նրա բոլոր փոփոխականների ռանգին։

Գծային ձևափոխությունները և մատրիցի ռանգը
----------------------------------------

Ենթադրենք A֊ն m\times n չափի մատրից է C (կամ R) դաշտի վրա։ Ենթադրենք T֊ն գծային ձևափոխությունը է, որը համապատասխանում է A֊ին ստանդարտ բազիսում․ դա նշանակում է, որ {\displaystyle T(x)=Ax}։ ***A*** *մատրիցի ռանգը* T ձևափոխության արժեքների տարածքի մեծությունն է։

Մեթոդներ
--------

Գոյություն ունեն ռանգի որոշման մի քանի մեթոդներ։

* **Տարրական ձևափոխությունների մեթոդ**

Մատրիցի ռանգը հավասար է մատրիցի ոչ զրոյական տողերի քանակին՝ նրա տողերի նկատմամբ տարրական ձևափոխությունների կիրառման միջոցով պարզ տեսքի բերելուց հետո։
* **Սահմանակից մինորների մեթոդ**

Ենթադրենք, A մատրիցում գտնված է k-րդ կարգի M մինորը։ Դիտարկենք նրա {\displaystyle (k+1)} կարգի բոլոր մինորները, որոնք իրենց մեջ ներառում են (սահմանակից են) M մինորը։ Եթե դրանք բոլորը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցի ռանգը հավասար է k֊ի։ Հակառակ դեպքում սահմանակից մինորների մեջ կգտնվի ոչ զրոյական մինոր և ամբողջ գործընթացը կկրկնվի։