**Ռիկատիի հավասարում**, 1-ին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ունեն հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (\*)}
Ռիկատիի հավասարումներ է կոչվում նաև {\displaystyle (\*)}-ի բազմաչափ անալոգը, այսինքն {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} անկախ փոփոխականներով սովորական դիֆֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս դեպքում հավասարման աջ մասը {\displaystyle t} գործակցից կախված {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} փոփոխականների երկրորդ կարգի բազմանդամ է։

Համասեռ, միաչափ Ռիկատիի հավասարումը կիրառում են մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում՝ գծային հանրահաշվի մեջ, համիլտոնյան համակարգերում, վարիացիոն հաշիվներում, կոնֆորմ արտապատկերումներում, դաշտի քվանտային տեսությունում։

Պատմություն
-----------

Հավասարման մասնավոր դեպք է հանդիսանում հետևյալը՝

{\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (\*\*)}
որտեղ {\displaystyle \alpha ,\,a,\,b\neq 0}-ն հաստատուններ են, որոնք հետազոտվել են իտալացի մաթեմատիկոս Յակոպո Ֆրանչեսկո Ռիկատիի և Բեռնուլի ընտանիքի (Դանիել, Յոհան, Նիկոլայ կրտսեր և Նիկոլայ ավագ) կողմից։

Նրանց կողմից է հայտնաբերվել նաև այն պայմանը, ըստ որի թույլատրվում է փոփոխականների անջատումը և, հետևաբար, {\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} } կամ {\displaystyle \alpha =-2.}քառակուսով ինտեգրումը թույլատրելի է։

Ընդհանուր լուծումը տրվում է գլանային կոորդինատներով։

{\displaystyle (\*)} հավասարումը հաճախ անվանում են Ռիկատիի ընդհանուր հավասարում, իսկ {\displaystyle (\*\*)}-ն՝ Ռիկատիի հատուկ հավասարում։

Հատկություններ
--------------

* Ռիկատիի հավասարումը {\displaystyle a(t)=0} դեպքում գծային է և քառակուսով ինտեգրելի է։
* Ռիկատիի հավասարումը {\displaystyle c(t)=0} դեպքում վերածվում է Բեռնուլիի հավասարման և քառակուսով ինտեգրելի է, եթե կատարվում է {\displaystyle y=1/x} փոխարինումը։
* Ռիկատիի հավասարման ընդհանուր լուծումը ինտեգրման հաստատունից կախված կոտորակագծային ֆունկցիա է։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած առաջին կարգի դիֆֆենցիալ հավասարում, որը բավարարում է այս պայմանին, համարվում է Ռիկատիի հավասարում։
* Եթե {\displaystyle x\_{1}(t),\ldots ,x\_{4}(t)}-երը Ռիկատիի հավասրաման մասնակի լուծումներն են, որոնք համապատասխանում են {\displaystyle c\_{1},\ldots ,c\_{4}} ինտեգրման հաստատուններին, ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

{\displaystyle {\frac {x\_{3}(t),x\_{1}(t)}{x\_{3}(t),x\_{2}(t)}}:{\frac {x\_{4}(t),x\_{1}(t)}{x\_{4}(t),x\_{2}(t)}}\equiv {\frac {c\_{3}-c\_{1}}{c\_{3}-c\_{2}}}:{\frac {c\_{4}-c\_{1}}{c\_{4}-c\_{2}}}.\quad (\*\*\*)}
* {\displaystyle (\*\*\*)} հավասարության ձախ մասը մասնավոր լուծումների կրկնակի կապակցություն է։ Այն համարվում է Ռիկատիի հավասարման առաջին ինտեգրալը։ Այսպիսով, հավասրաման ընդհանուր լուծումը վերականգվում է {\displaystyle (\*\*\*)} մասնակի լուծումների 3 անկախ մասերով։

Ընդհանրացում
------------

Ռիկատիի մատրիցային հավասարում է անվանվում հետևյալ դիֆֆերենցիալ հավասարումը՝

{\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B\_{1}(t)X+XB\_{2}(t)+C(t)}
Այն կախված է {\displaystyle n}-րդ կարգի {\displaystyle X=(x\_{ij})}-ից, որտեղ {\displaystyle A,B\_{1},B\_{2},C}-ն {\displaystyle n}-րդ կարգի տրված քառակուսային մատրիցներ են, որոնք կախված են փոփոխական {\displaystyle t} գործակիցներից։

Վարիացիոն հաշիվներում կարևոր դեր է կատարում Ռիկատիի մատրիցային հավասարման հետևյալ տեսքը՝

{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{\*}(t)+W),Q(t)}, այն իրենից ներկայացնում է {\displaystyle n}-րդ կարգի {\displaystyle W=(w\_{ij})} քառակուսային մատրիցից կախվածություն, որտեղ {\displaystyle P,Q,R}-ն {\displaystyle t} փոփոխական գործակիցներից կախված {\displaystyle n}-րդ կարգի քառակուսային մատրիցներ են։ Ընդ որում {\displaystyle \det P\neq 0}: Այն կապված է Յակոբի հավասարման հետ, որը տրվում է հետևյալ ինտեգրալային ֆունկցիոնալի {\displaystyle {\widehat {x}}(\cdot )} հաստատուն կետում երկրորդ վարիացիայի համար՝{\displaystyle J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x\_{1},\ldots ,x\_{n})}:
Այդ դեպքում մատրիցները ստացվում են հետևյալ կերպ՝
{\displaystyle P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}\_{i}\partial {\dot {x}}\_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}\_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}\_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial {\dot {x}}\_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}\_{{\widehat {x}}(t)}}:

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
2. ↑  Захаров В. Е. Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
3. ↑  Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
4. ↑  Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
5. ↑  Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
6. ↑  Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.(չաշխատող հղում)
7. ↑  Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.

Գրականություն
-------------

* *Зеликин М. И.* Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
* *Егоров А. И.* Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
* *Лауфер М. Я.* О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.

Արտաքին հղումներ
----------------

* Riccati equation - Encyclopedia of Mathematics
* Riccati Differential Equation - from Wolfram MathWorld