**Տենզոր** (լատին․՝ tensus «լարվածություն» բառից), գծային հանրահաշվի օբյեկտ, որը գծային կերպով վերափոխում է մեկ գծային տարածության տարրերը մյուս տարրերի։ Տենզորների հատուկ դեպքերն են մասշտաբները, վեկտորները, երկգծային ձևերը և այլն։

Երկրորդ կարգի մեխանիկական լարվածության տենզոր։ Տենզորի բաղադրիչները կոորդինատների եռաչափ դեկարտյան համակարգում ձևավորում են մատրիցա {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} \_{1})}&\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} \_{2})}&\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} \_{3})}\end{bmatrix}}=\\&={\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}&\sigma \_{13}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}&\sigma \_{23}\\\sigma \_{31}&\sigma \_{32}&\sigma \_{33}\end{bmatrix}},\end{aligned}}} որի սյունակները խորանարդի {\displaystyle \mathbf {e} \_{1}}, {\displaystyle \mathbf {e} \_{2}} և {\displaystyle \mathbf {e} \_{3}} նիստերի վրա ազդող ուժերն են
Հաճախ տենզորները ներկայացվում են, որպես բազմաչափ զանգված {\displaystyle d\times d\times \cdots \times d}, լրացված թվերով՝ տենզորի բաղադրիչներ (որտեղ {\displaystyle d}-ն վեկտորական տարածության չափն է, որի վրա տրված է տենզորը, և գործոնների քանակը համընկնում է այսպես կոչված վալենտականության կամ լարվածության աստիճանի հետ)։ Նման զանգնածը կոչվում է երկչափ այն դեպքում դեպքում, երբ {\displaystyle d\times d} զանգված (2-րդ աստիճանի տենզոր) մատրիցի մուտքը՝

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}&\sigma \_{13}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}&\sigma \_{23}\\\sigma \_{31}&\sigma \_{32}&\sigma \_{33}\end{bmatrix}}}
Կարևոր է, որ նման ներկայացուցչությունը (բացառությամբ զրոյական մասշտաբի արժեքի տենզորների) հնարավոր է միայն հիմք (կամ գծային հանրահաշվով համակարգված համակարգ) ընտրելուց հետո։

Տենզորը ինքնին, որպես «երկրաչափական սուբյեկտ», կախված չէ հիմքի ընտրությունից, որը պարզ երևում է վեկտորի օրինակով, որը տենզորի հատուկ դեպք է. վեկտորի բաղադրիչները փոխվում են, երբ փոխվում են կոորդինատային առանցքները, բայց վեկտորը ինքնին, որը կարող է ուղղորդված հատված լինել, չի փոխվում։

Տենզորի կոորդինատները սովորաբար նշվում են որոշ տառերով` վերին (հակադրողական) և ստորին (կովարիտ) ցուցանիշների համադրությամբ. {\displaystyle X\_{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{s}}^{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{r}}}։ Երբ հիմքը փոխվում է, փոխադրվող բաղադրիչները փոխվում են նույն ձևով, ինչ հիմքը (օգտագործելով նույն տրանսֆորմացիան), մինչդեռ հակասականները փոխվում են հակադարձ՝ հիմնարար փոփոխության (հակադարձ վերափոխում)։

«Տենզոր» տերմինը նույնպես հաճախ կրճատվում է «տենզորային դաշտ» տերմինի համար, որի ուսումնասիրությամբ զբաղվում է տենզորային հաշվարկը։

Տենզորների նշանակման համար օգտագործվում են մի քանի մոտեցումներ։

1. կոորդինատների վրա հիմնված գրառում.
	1. մատրիցների ձայնագրում — {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}}}, {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\end{bmatrix}}}, {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}\end{bmatrix}}}։
	2. ինդեքսի մուտքագրում — {\displaystyle T\_{ij\dots }^{k\ell \dots }}, {\displaystyle X\_{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{s}}^{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{r}}} или {\displaystyle \sigma \_{nm}}։
2. գրավոր ուղիղ (երբեմն կոչվում է համակարգվածություն, անբիծ) ձև։
	1. ֆունկցիոնալ կամ օպերատիվ գրառում։ {\displaystyle x,y} փոփոխականներ, վեկտոր {\displaystyle {\vec {v}}}, ֆունկցիա {\displaystyle f(\cdot )}, օպերատոր {\displaystyle \mathbf {T} } կամ {\displaystyle \mathbf {T} (\cdot )};
3. ձայնագրման գրաֆիկական ձև.
	1. առաջարկված Ռոջեր Պենրոզայի դիագրամիկական նոտայով։

Տենզորների օրինակներ
--------------------

Տենզորները լայնորեն օգտագործվում են դիֆերենցիալ երկրաչափության, հանրահաշվի, մեխանիկայի, տեսական և մաթեմատիկական ֆիզիկայի, հարաբերականության ընդհանուր տեսության և գիտության շատ այլ ճյուղերում։ Ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի շատ հավասարումներ, tensor նոտան օգտագործելիս դառնում են ավելի կարճ և հարմար։ Տենորների օգտագործումը թույլ է տալիս տեսնել ֆիզիկական քանակությունների, հավասարումների և մոդելների տարբեր համաչափություններ։

Ներկայացվածները տենորների ամենապարզ օրինակներն են, որոնց ընկալումը մեծապես կհեշտացնի կամայական վալենս տենզորի (աստիճանի) ընդհանուր սահմանման ընկալումը։

### Տենզորի աստիճանը 0 է

Զրոյական աստիճանի տենզորը կոչվում է նաև տենզոր (0,0) կամ սկալար։

Սկալարի ամենապարզ օրինակներից մեկը վեկտորի {\displaystyle v} վեկտորի երկարությունն է {\displaystyle V} Էվկլիդյան տարածություն։

Սկալարների կարևոր հատկությունն այն է, որ դրանք չեն փոխվում տարածության նոր հիմքի անցման ժամանակ։ Հարկ է նաև նշել, որ կշեռքը գծային տարածության տարր չէ, այլ այն դաշտի մի տարր, որի վրա տրվում է այս տարածքը։ Էվկլիդյան տարածության համար այս {\displaystyle \mathbb {R} } դաշտն է հետևաբար բոլոր տիպի տենզորները {\displaystyle (0,0)} են և էվկլիդայի տարածության շուրջ իրական թվեր են։

Ակնհայտ է, որ վեկտորի երկարությունը կախված չէ տարածքի հիմքի ընտրությունից և, հետևաբար, մասշտաբ է, բայց խստության համար, պարզապես կարող եք ապացուցել այս փաստը։

Վեկտորի երկարությունը, ըստ սահմանման, հաշվարկվում է բանաձևով։



|

v

|

=

(
v
,
v
)

,

{\displaystyle |v|={\sqrt {(v,v)}},}

{\displaystyle |v|={\sqrt {(v,v)}},}որտեղ {\displaystyle (v,v)} — սկալյար արտադրյալ ֆունկցիա {\displaystyle (\cdot \,,\cdot ):V\times V\rightarrow \mathbb {R} }, որի արժեքը կախված է միայն փաստարկի վեկտորներից և չի փոխվում, երբ հիմքը փոխվում է։ Հետևաբար վեկտորի երկարությունը կախված չէ հիմքի ընտրությունից։

### Դասակարգեք 1–ին աստիճանի տենզորների օրինակ

1-ին աստիճանի տենզորների երկու տեսակ կա.

* {\displaystyle (1,0)} տիպի տենզոր – վեկտորներ — {\displaystyle V}տարածական տարեր,երբեմն դրանք նաև կոչվում են հակասական վեկտորներ։
* {\displaystyle (0,1)} տիպի վեկտորներ – գծային ձև— {\displaystyle V^{\*}}կապակցված տարրեր, երբեմն կոչվում են կոնվեկտորներ։

#### 1-ին աստիճանի տենզորի օրինակ

Այս օրինակում մենք օգտագործում ենք վեկտորի տարածքը *{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}* (Euclidean plane), որի տարրերն են իրական թվերի զույգեր։

Դիտարկենք {\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}} (նկարում կանաչ) վեկտորը

Վեկտորներից բաղկացած հարթության վրա մենք ներդնում ենք բազիս {\displaystyle {\color {red}e\_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} և {\displaystyle {\color {red}e\_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} ( {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} այդպիսի հիմքը կոչվում է ստանդարտ հիմք, իսկ նկարում այն նշված է կարմիրով)։ Նշեք {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}} վեկտորը այն կախված չէ բազայի ընտրությունից և սահմանվում է անկախ նրանից։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում {\displaystyle x^{1},\;x^{2}}, հիմքի հետ կապված {\displaystyle \color {red}e\_{1}}, {\displaystyle \color {red}e\_{2}} {\displaystyle \color {limegreen}v}–ը ունի {\displaystyle v^{1}=1}, {\displaystyle v^{2}=2} կոորդինատները, այսինքն

{\displaystyle {\color {limegreen}v}=v^{1}{\color {red}e\_{1}}+v^{2}\color {red}e\_{2}}։

Այժմ մենք ներկայացնում ենք նոր հիմք {\displaystyle \color {blue}f\_{1}}, {\displaystyle \color {blue}f\_{2}}, ստացված առաջինից` {\displaystyle 45^{\circ }} դրական ուղղությամբ շրջելով։ Ապա {\displaystyle {\color {blue}f\_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}, {\displaystyle {\color {blue}f\_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}։

Նկարում երև ում է, որ վեկտորի {\displaystyle {\tilde {v}}^{1}}, {\displaystyle {\tilde {v}}^{2}} կոորդինատները նոր հիմքում տարբերվում են բուն **{\displaystyle \color {limegreen}v}** վեկտորի կոորդինատներից։ Դա շատ կարևոր է, քանի որ **{\displaystyle \color {limegreen}v}** վեկտորը ինքը, որպես գծային տարածքի տարր, ոչ մի կերպ կախված չէ տարածության մեջ բազայի ընտրությունից, սակայն {\displaystyle {\tilde {v}}^{1}}, {\displaystyle {\tilde {v}}^{2}} վեկտորի կոորդինատները փոփոխվում են նոր բազային անցնելու ժամանակ, հատուկ (վեկտորային) փոխարկման օրենքով։

Նմանապես, այլ արժեքների տենզորների համար (բայց տարբերվում է 0-ից), իրենք էլ են տենզորները որևէ կերպ կախված չեն տարածքի հիմքից, բայց դրանց կոորդինատները, որոնց օգնությամբ նրանք հաճախ աշխատում են տենզորների հետ, կախված են հիմքի ընտրությունից։

Օրինակ {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}} վեկտորի այս օրինակում մենք ստանում ենք վեկտորի կոորդինատների փոխարկման օրենքը, երբ անցնում է մեկ բազիսից մյուսը։ Տարածեք {\displaystyle \color {blue}f\_{1}}, {\displaystyle \color {blue}f\_{2}} վեկտորները {\displaystyle \color {red}e\_{1}}, {\displaystyle \color {red}e\_{2}} բազայում և նշեք վեկտորի {\displaystyle c\_{i}^{j}} {\displaystyle j} կոորդինատի միջոցով, ապա՝



f

i

=

c

i

1


e

1

+

c

i

2


e

2

=

c

i

j


e

j

,

i
=
1
,
2
,

{\displaystyle {\color {blue}f\_{i}}=c\_{i}^{1}{\color {red}e\_{1}}+c\_{i}^{2}{\color {red}e\_{2}}=c\_{i}^{j}{\color {red}e\_{j}},\quad i=1,2,}

{\displaystyle {\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_{2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,}որտեղ, ինչպես և ցանկացած այլ վայրում, ենթադրվում է, որ կրկնվող վերին և ստորին ցուցանիշների ամփոփումը (ըստ {\displaystyle j} ցուցանիշի)։ Մատրիցան {\displaystyle (c\_{i}^{j})} կոչվում է անցումային մատրից՝ {\displaystyle \color {red}e\_{1}}, {\displaystyle \color {red}e\_{2}} հիմքից մինչև {\displaystyle \color {blue}f\_{1}}, {\displaystyle \color {blue}f\_{2}}։ Այս օրինակում {\displaystyle (c\_{i}^{j})={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}։ Մենք բաժանենք {\displaystyle v} վեկտորը երկու բազիսներով և կիրառենք նախկինում ստացված արտահայտությունը {\displaystyle \color {blue}f\_{i}} -ի համար։


v

=

v
~

i


f

i

=

v
~

i

c

i

j


e

j

=

v

j


e

j



{\displaystyle {\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f\_{i}}={\tilde {v}}^{i}c\_{i}^{j}{\color {red}e\_{j}}=v^{j}{\color {red}e\_{j}}}

{\displaystyle {\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}}=v^{j}{\color {red}e_{j}}}Երկրորդ հավասարությունից մենք ստանում ենք նոր և հին հիմունքներում կոորդինատների միջև փոխհարաբերությունները։ {\displaystyle v^{j}=c\_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}} հավասարությունը բազմապատկելով հակադարձ մատրիցով {\displaystyle ({\bar {c}}\_{i}^{j})} - ով, մենք ստանում ենք {\displaystyle {\tilde {v}}^{k}={\bar {c}}\_{s}^{k}v^{s}} արտահայտություն, որը թույլ է տալիս գտնել վեկտորի կոորդինատները {\displaystyle v} - ի հիմքում {\displaystyle \color {blue}f\_{1}}, {\displaystyle \color {blue}f\_{2}}։

Նշեք վեկտորի կոորդինատների վերափոխման նախկինում նշված օրենքը։

Նշենք միայն, որ այս օրինակում՝ բազիսում {\displaystyle \color {blue}f\_{1}}, {\displaystyle \color {blue}f\_{2}} վեկտորը {\displaystyle {\color {limegreen}v}} ունի կոորդինատներ {\displaystyle {\tilde {v}}^{1}={\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}}, {\displaystyle {\tilde {v}}^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}, դա հնարավոր է ձեռք բերել, օգտագործելով հավասարման համար {\displaystyle {\tilde {v}}^{k}}։

Ակնհայտ է, որ, կոորդինատները վեկտորի նոր բազայում, իրոք, տարբերվում են կոորդինատների հին բազայում։

#### Գծային ֆունկցիայի օրինակ (տենզորի տեսակը{\displaystyle (0,1)}, գաղտնի)

Գծային ֆունկցիոնալությունը վեկտորի տարածությունից գծային արտացոլումն է {\displaystyle V} դաշտում {\displaystyle K}, որի վրա տրված է այս տարածքը (էվկլիդայի տարածությունների համար՝ {\displaystyle K=\mathbb {R} }).

Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք կօգտագործենք էվկլիդյան տարածքը՝ {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}.

Մենք ամրագրում ենք վեկտորը {\displaystyle a\in V}, փոխում ենք երկարությունը և փոխարինում ենք {\displaystyle \varphi (x)=(a,x)} գործառույթը, որը վեկտորը {\displaystyle x\in V} կապում է {\displaystyle x} վեկտորի և վեկտորի {\displaystyle a} սկալյար արտադրյալի հետ։

Քանի որ սկալյար արտադրանքը գծային է երկու փաստարկներով՝ {\displaystyle \varphi :V\longrightarrow \mathbb {R} ,\;x\longmapsto (a,x)} գծային է։

Գծային քարտեզագծման համար, դուք կարող եք մուտքագրել բազմապատկում գործողությունները թվի լրացում է կանոն {\displaystyle (\lambda \_{1}\varphi \_{1}+\lambda \_{2}\varphi \_{2})(x)=\lambda \_{1}\varphi \_{1}(x)+\lambda \_{2}\varphi \_{2}(x)}), շատ բոլոր գծային գործառույթների հետներմուծված գործողություններով բոլոր գծային ֆունկցիաների հավաքածուն գծային տարածք է, որը կոչվում է կոնյուկտիվային տարածք և նշվում է {\displaystyle V^{\ast }}։

Ինչպես {\displaystyle V} տարածության մեջ, {\displaystyle V^{\ast }} -ում կարելի է ընտրել հիմք, համակցված տարածության համար բազիսային տարրերն են {\displaystyle V}-ից {\displaystyle K} գործառույթները, Այնուհետև դիտարկենք հաճախ օգտագործվող, կարևոր, {\displaystyle V^{\ast }}-ի բազիսը։

{\displaystyle V} տարածության մեջ ամրագրել որոշ {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\dots ,e\_{n}} բազիս և սահմանել {\displaystyle e^{1},\,e^{2},\dots ,e^{n}\in V^{\ast }} ցուցադրումը {\displaystyle e^{i}(x):=x^{i}}, կանոնով, որտեղ {\displaystyle x^{i}} — {\displaystyle i}-ի կոորդինատային վեկտորը համակարգել x բազայում {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\dots ,e\_{n}} ։ {\displaystyle e^{1},\dots ,e^{n}} կոորդինատների գործառույթները գծային գործառույթներ են և հիմք են կազմում (կոչվում է երկակի) {\displaystyle V^{\ast }} տարածության մեջ։

Քանի որ {\displaystyle V^{\ast }} - ն վեկտորային տարածք է, դրա տարր {\displaystyle \varphi }, նախկինում ներդրված պրոյեկցիայի ֆունկցիոնալ) կարող է ընդարձակվել՝ {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\dots ,e\_{n}}: {\displaystyle \varphi =\varphi \_{i}e^{i}} հիմքի։

{\displaystyle \varphi \_{1},\,\varphi \_{2}} համարները կոչվում են տենզոր {\displaystyle \varphi }- ի կոորդինատները, դրանք կախված են երկակի հիմքի {\displaystyle e^{1},\dots ,e^{n}}- ից, որը որոշվում է {\displaystyle V} տարածության մեջ {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\dots ,e\_{n}} հիմքի ընտրությամբ։ Հետևաբար, եթե դուք ընտրում եք {\displaystyle V} -ի մեկ այլ հիմք, ապա գծային ֆունկցիայի կոորդինատները կփոխվեն, չնայած ֆունկցիոնալ ինքն է մնում անփոփոխ։

Տենզորի տիպի օրինակում {\displaystyle (1,0)}, նմանատիպ եղանակով կարելի է ստանալ {\displaystyle {\tilde {\varphi }}\_{i}=c\_{i}^{s}\varphi \_{s},\;\varphi \_{i}={\bar {c}}\_{i}^{s}{\tilde {\varphi }}\_{s}} վեկտորի կոորդինատների փոխակերպման։ Մենք դա չենք անելու, բայց ևս մեկ անգամ նշենք, որ տիպի տենսորների (0,1) տողի կոորդինատները վերափոխվում են, երբ հիմքը փոխվում է ըստ հատուկ, գաղտնի օրենքի, տենզորը ինքնին (քարտեզագրման {\displaystyle \varphi } ) չի փոխվում:Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են ավելի բարձր արժեքների տենդերների համար։

### 2-րդ աստիճանի տենզորի օրինակ

Երկրորդ աստիճանի թենիսի ֆիզիկական (և մասամբ երկրաչափական) նշանակությունը հասկանալու ամենապարզ պատկերացումը, հավանաբար, կլինի արտաքին ծանրաբեռնվածության տակ հյուսվածքների սթրեսի լարվածության {\displaystyle \mathbf {T} } - ի դիտարկումը (տես նկ.): Ձեռքերով այն տարբեր ուղղություններով ձեր ձեռքերով ձգելը կամ գործվածքը որոշ բարդ ձևի վրա քաշելը կարող է ծառայել որպես բեռ մի կտոր գործվածքների համար։ Ինտուիտիվ հասկանալի է, որ մոլեկուլների, ատոմային շերտերի ձևի, կողմնորոշման և տարբեր հյուսվածքների մանրաթելերի տարբեր մասերում հյուսվածքների լարման պատճառով տարբեր կլինի։ Դա նման է, թե ինչպես ցանկացած տարածք կարող է տեղավորել իր ջերմաստիճանը կամ օդի ճնշումը։ Այսպիսով, հյուսվածքների յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է իր մաթեմատիկական օբյեկտին՝ {\displaystyle \mathbf {T} } լարման տենզոր (երկրորդ աստիճանի տենզոր)։ Որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես տենզոր T–ն ցույց է տալիս, որ վիճակը լարման ցանկացած կետում գործվածքների, դուք կարող եք կատարել մի փոքր կտրվածք է տվյալ կետում, և տեսնել, թե որ ուղղությամբ են տարամետ այդ կրճատումներ. Այնպես որ, վերին գործիչ, մենք արել երկու կտրել տարբեր կտոր նը։ ուղղությունը մեկ կտրե {\displaystyle \color {red}c} -ն ցույց է տալիս կարմիր կետավոր գիծը, մյուս {\displaystyle \color {blue}c} —ն՝ կապույտ կետավոր գծի ուղղությունը։ {\displaystyle \mathbf {T} }–ն մաթեմատիկորեն նկարագրել ուղղությունը տվյալների կրճատումներ, վեկտորը օգտագործվում է նորմալ (հարթության վրա ուղղահայաց վեկտոր)։ Այսպիսով, {\displaystyle \color {red}c} - ի բաժնի համար նորմալ վեկտոր {\displaystyle \color {red}{\vec {c}}} - ն կարմիր է և ուղղահայաց հատվածի հարթության վրա, {\displaystyle \color {blue}c} - ի հատվածի դեպքում իրավիճակը նման է:Հյուսվածքի մեջ բացի աճի ուղղությունը ցույց է տալիս մանուշակագույն վեկտորները {\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}}։

Կանխատեսելու համար, թե որտեղ կտրումը կզարգանա, և օգտագործվում է լարվածության տենզոր։ Մաթեմատիկորեն այս կանխատեսումը նման կլիներ։

1. Սահմանել « Տենզոր գործառույթը» {\displaystyle f(x,y)=\mathbf {T} \_{x,y}}, որի փաստարկները մարմնի ներսում կետերի կոորդինատներն են, և արժեքը տենզորն է, որը նկարագրում է մարմնի տվյալ կետում լարվածության վիճակը։
2. Ընտրեք մարմնի կետը, օրինակ, {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} и из {\displaystyle f(x,y)} Ստացեք տենզոր, որը նկարագրում է լարման վիճակը կետում {\displaystyle \mathbf {T} \_{x\_{0},y\_{0}}}։
3. Որոշեք ինքնաթիռի ուղղությունը {\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}, որի մեջ կկտրվի մարմինը։
4. Բազմապատկել T կտրել ուղղությունը կետում {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} տենզոր լարման տվյալ կետում {\displaystyle \mathbf {T} \_{x\_{0},y\_{0}}}, որ մաթեմատիկական ռեկորդային կարծես {\displaystyle \mathbf {T} \_{x\_{0},y\_{0}}\color {red}{\vec {c}}=\color {RedViolet}{\vec {t}}}։
5. Վեկտոր {\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}}–ն ցույց կտա, թե որտեղ է {\displaystyle \color {red}{\vec {c}}} –ն տարածվելու {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} կետում։

Պետք է հասկանալ, որ տարբեր ուղղվածություն ունեցող կտրվածքները, որոնք կատարվել են մարմնի միևնույն կետում, հանգեցնում են հյուսվածքների տարբեր արձագանքների։ Այս երևույթը ցույց է տրված ստորև նկարում, որտեղ հյուսվածքի պատռման աճը տեղի է ունենում {\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}} -ի տարբեր ուղղություններով և տարբեր ինտենսիվությամբ {\displaystyle \|{\color {RedViolet}{\vec {t}}}\|}– ի պատասխան նույն կետում կատարված {\displaystyle \color {red}{\vec {c}}} և {\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}} նախնական կտրվածքների տարբեր ուղղությունների։

Պարզապես նման բարդ պահվածքը նկարագրելու համար օգտագործվում են տենորներ, որոնք այս դեպքում ծառայում են որպես վեկտորի գործառույթներ {\displaystyle f\_{x\_{0},y\_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T} \_{x\_{0},y\_{0}}{\vec {c}}={\vec {t}}}, սահմանված յուրաքանչյուր կետում {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} գործվածքների կտորներ, որոնք սահմանում են բոլոր հնարավոր ուղղությունները {\displaystyle {\vec {c}}} կրճատումներ ըստ բոլոր հնարավոր ուղղություններով {\displaystyle {\vec {t}}} հյուսվածքի հետագա քայքայումը։

2-րդ կարգի տենզորների ավելի վերացական օրինակներ.

* Տենզոր աստիճան {\displaystyle (0,2)} կա բիլինային ձև, օրինակ, մետրիկ տենզոր {\displaystyle g\_{ij}} շոշափելի տարածության վրա։
	+ Ռիմայական թեքության փաթաթում-տենզոր Ռիչչի {\displaystyle R\_{ij}} աստիճան {\displaystyle (0,2)}.
* Տենզոր աստիճան {\displaystyle (1,1)}(նաև կոչվում է խարիսխ աֆիոնոր) ունեն գծային օպերատոր {\displaystyle A:V\to V} или {\displaystyle A:V^{\*}\to V^{\*}}
	+ Մասնավորապես, ինքնության օպերատորը, որը կարող է ներկայացված լինել ինքնության մատրիցով {\displaystyle \delta \_{j}^{i}}, — տենզոր աստիճան {\displaystyle (1,1)}.

### 3 աստիճանի տենզորի օրինակ

Լևիի խորհրդանիշը Չիվիտան 3-րդ կարգի տենզոր {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}}.

### 4 աստիճանի տենզորի օրինակ

Ռիմանյան կորություն իր բնական տեսքով {\displaystyle {R^{i}}\_{jkl}} — ի տենզորի {\displaystyle (1,3)}աստիճանի օրինակ։

### Տենզորի n աստիճանի օրինակ

{\displaystyle n}-ծավալային գծային տարածության վրա հատորի ձևը դասի (0, n) աստիճանի հակիմետրիկ լարիչի օրինակ է (կամ կովարիալտ)։

Տենզորի ներկայացումը մատրիցային տեսքով
--------------------------------------

{\displaystyle \mathbf {T} } –ն գրենք ոչ թե ֆունկցիոնալ (օպերատորի) տեսքով, օրինակ, {\displaystyle \mathbf {T} =f(\cdot )}, այլ մատրիցի {\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}\end{bmatrix}}} ։ Նախ անհրաժեշտ է ընտրել հիմք, որի վերաբերյալ հաշվարկվելու է «տենզորի կոորդինատները » {\displaystyle \sigma \_{nm}}. :

Եթե հաշվի առնենք, որ տենզորի լարման օրինակ վերը նշված, ակնհայտ է, որ ֆիզիկական տեսանկյունից, հյուսվածք վարքագիծը ոչ մի կերպ կախված է մաթեմատիկական տեսանկյունից-ընտրության համակարգում համակարգի։ Այսինքն, ինչ հիմք էլ ընտրի դիտորդը, նա ոչ մի կերպ չի կարող ազդել այն բանի վրա, թե ինչպես է հյուսվածքը արձագանքում իր մարմնի կտրվածքներին

Պատկերը, որտեղ մեկ բարդ օբյեկտ ունի տարբեր ստվերներ՝| մինի | Համալիր 3-ծավալային օբյեկտը ունի երկչափ տարբեր ներկայացուցչություն, որը կախված է տեսանկյունի տեսանկյունից կամ տարրալուծման հիմքից ընտրությունից:, նման է ամբիցիաների երևույթին, որտեղ 3-մասշտաբային ֆիզիկական օբյեկտը կարող է ունենալ տարբեր երկչափ ստվերներ։ Այսպիսով, գործիչը ցույց է տալիս մի բարդ առարկա, որն ունի երեք տարբեր (կախված տեսքի տեսանկյունից) ստվերներից, {\displaystyle \color {red}{\mathbf {A} }}, {\displaystyle \color {green}{\mathbf {B} }} и {\displaystyle \color {blue}{\mathbf {C} }}։ Այս երկրաչափական օբյեկտի և տենզորի միջև անալոգիա կառուցելու համար մենք կազմում ենք աղյուսակ։

Ambigram- ի և տենզոր- ի հետ կապված հասկացությունների համապատասխանության աղյուսակ| ուսումնասիրվող առարկա | օբյեկտի չափման մեթոդներ | օբյեկտի չափման մեթոդներ | չափման արդյունքների փոխադարձ փոխակերպման օրենք |
| --- | --- | --- | --- |
| ամբիցիա- բարդ երկրաչափական ձև | լույս կարմիր, կանաչ և կապույտ լապտերից | {\displaystyle \color {red}{\mathbf {A} }}, {\displaystyle \color {green}{\mathbf {B} }} և {\displaystyle \color {blue}{\mathbf {C} }} տառերի տեսքով երկչափ ստվեր | 3D ալբիգրամ օբյեկտի հենց ձևը պատմում է, թե ինչպես են դրա ստվերները կապված |
| գնդիկավոր գրիչ | տարբեր երկարության քանոններ | քանոնի երկարությունը {\displaystyle \color {red}{\begin{bmatrix}a\_{11}\end{bmatrix}}}սանտիմետրերով և {\displaystyle \color {green}{\begin{bmatrix}b\_{11}\end{bmatrix}}} դույմով | դյույմ սանտիմետրը վերափոխելու բանաձևը և հակառակը {\displaystyle {\color {red}{\begin{bmatrix}a\_{11}\end{bmatrix}}}=2{,}54\cdot \color {green}{\begin{bmatrix}b\_{11}\end{bmatrix}}} |
| {\displaystyle \mathbf {T} } — տենզոր | «Կարմիր», «կանաչ», «կապույտ» հիմք | մատրիցների հավաքածու
{\displaystyle \color {red}{\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{bmatrix}}\color {green}{\begin{bmatrix}b\_{11}&b\_{12}\\b\_{21}&b\_{22}\end{bmatrix}}\color {blue}{\begin{bmatrix}c\_{11}&c\_{12}\\c\_{21}&c\_{22}\end{bmatrix}}} | կոորդինատների վերափոխման օրենքում ասվում է, թե ինչպես կարող են կապված լինել տենզորի (մատրիցի) տարբեր ներկայացուցչություններ, {\displaystyle {\color {green}b\_{nm}}=M{\color {red}a\_{nm}},\ {\color {blue}c\_{nm}}=M'{\color {red}a\_{nm}},\ \dots } |

Այլ կերպ ասած, {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}\end{bmatrix}}} մատրիցան կարելի է ներկայացնել որպես ֆիզիկական օբյեկտի մաթեմատիկական ստվեր՝ {\displaystyle \mathbf {T} }-ի՝ ինչ-որ ընտրված բազայում։ Եթե դուք ընտրեք մեկ այլ հիմք ( {\displaystyle \mathbf {T} } - ի վրա «տեսողական մաթեմատիկական տեսանկյուն»), ապա մատրիցան տարբեր կլինի (այսինքն՝ մատրիցայի բաղադրիչները տարբեր կլինեն)։

Կարևոր է հասկանալ, որ տենզորը պարզապես թվերի շարք չէ։ Քանի որ տենզորը T- ը մատրիցա չէ, այնպես որ 3D օբյեկտը (ambigram) ստվեր չէ։ Ընդհակառակը, 2D ստվերները պատկերացում են տալիս երկչափ պատկերների մասին, թե ինչպես կարող է նման լինել նրանց համար անհասկանալի 3D օբյեկտը։

Պետք է հիշել, որ ոչ միայն տենզորը մատրիցա չէ, այլ նաև՝ «ոչ մի մատրիցա թենզոր կա»։ Տենզորը միայն երբեմն գրված է մատրիցային ձևով, բայց երբեմն մատրիցային ձևը անհարմար է և ավելորդ։ Այսպիսով, մատրիցան միայն տենզորի ձայնագրման եղանակներից մեկն է, այլ ոչ թե մաթեմատիկական օբյեկտը՝ տենզորը

Պետք է նաև հասկանալ, որ {\displaystyle f(\cdot )=\mathbf {T} } յուրաքանչյուր գծային օպերատոր տենզոր չէ։

Տենզորը տարբերվում է մաթեմատիկական այլ առարկաներից, որոնք նույնպես կարող են գրվել մատրիցային ձևով, քանի որ բացի մատրիցից, տենսորը որոշելու համար անհրաժեշտ է նաև հստակեցնել տարբեր հիմքերի միջև համակարգված փոխակերպման օրենքը։

Օրինակ՝ մատրիցների ներկայացման համար ընտրենք «կանաչ հիմքը» և ստացնենք մատրիցը (կանաչ ստվեր)

{\displaystyle \mathrm {T} =\color {green}{\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}\end{bmatrix}},}
այնուհետև {\displaystyle \mathbf {T} } -ի լիարժեք առաջադրանքի համար անհրաժեշտ է նաև նշել, թե ինչպես կարելի է փոխարկել {\displaystyle \color {green}\sigma \_{nm}} -ի «կանաչ մատրիցայի» բաղադրիչները «կարմիր» և «կապույտ» մատրիցայի (նույն {\displaystyle \mathbf {T} }-ի մատրիցային պատկերացումները, բայց այլ բազիսներում)։

Այլ կերպ ասած, լարիչը նշելու համար, բացի մատրիցայինից, անհրաժեշտ է նաև կոորդինատների վերափոխման օրենք տալ։ Այստեղից մենք կարող ենք տալ տենզորի հետևյալ կեղծ կեղծ սահմանումը՝ տենզոր = բաղադրիչի զանգված + բաղադրիչի վերափոխման օրենքը հիմքը փոխարինելիս։

Ոչ օրինակներ
------------

Ինչպես բնութագրվում է հետևյալից, տենզորի բաղադրիչները պետք է որոշակի ձևով սինխրոն փոխվեն այն տարածքի վեկտորների բաղադրիչների հետ, որոնց վրա այն սահմանվում է համակարգված տրանսֆորմացիայի ընթացքում։ Հետևաբար, ոչ բոլոր թիթեղները կամ ինդեքսի արժեքը, որոնք կարծես տենզորի ներկայացուցչություն են, իրականում ներկայացնում են լարիչ։

* Նման ափսեի պարզ, չնայած ընդհանուր առմամբ արհեստական, օրինակ, որը չի ներկայացնում տենսոր, կարող է լինել մի ափսե, որի բաղադրիչները ներկայացնում են կամայական թվերի մի շարք, որոնք կամայականորեն չեն փոխվում կամայական համակարգված փոխակերպումների ժամանակ։ Նման օբյեկտը չի ներկայացնում տենսոր կամ, ամեն դեպքում, չի ներկայացնում տենսոր այն գծային տարածքում, որում տեղի է ունեցել կոորդինատային վերափոխումը։ Այսպիսով, երեք համարների հավաքածուն չի ներկայացնում եռաչափ վեկտոր, եթե այդ թվերը չեն փոխարկվում, երբ կոորդինատները շատ կոնկրետ ձևով փոխարինում են։
* Նաև ընդհանուր դեպքում, ավելի բարձր աստիճանի տենզորի բաղադրիչների ենթաբազմությունը ավելի ցածր աստիճանի տենզսոր չէ։
* Օբյեկտն էլ չի ներկայացնում տենսոր, նրա բոլոր բաղադրիչները ունեն զրո առնվազն մեկ ոչ դեգեներատիվ կոորդինատային համակարգում (ամբողջ հիմունքներով), իսկ մյուսում առնվազն մեկ բաղադրիչը ոչ զրոյական է։ Այս փաստը տենզերների (բազմա) գծայնության հետևանք է։

Կան օբյեկտներ, որոնք ոչ միայն նման են տենզորներին, բայց որոնց համար սահմանված են (և ունեն ողջամի և ճիշտ իմաստ) տենզորային գործողություններ (այլ տենզորների, մասնավորապես վեկտորների հետ փաթաթում), սակայն տենզորներ չեն։

* Նախ և առաջ, կոորդինատների վերափոխման մատրիցաներն իրենք են (յակոբիի մատրիցաներ), որը երկու բազմազանության միջև դիֆեոմորֆիզմի հատուկ դեպք է, չեն տարածվում տենզոորների վրա, որոնց օգնությամբ ներդրվում է տենզորի դասական սահմանում, չնայած դրանց շատ հատկություններում դրանք նման են տենզորի։ Նրանց համար կարող եք նաև մուտքագրել գրություններ և բաժանորդագրություններ, բազմապատկման, լրացման և գումարման գործառնություններ։ Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն տենզորի, որի բաղադրիչները կախված են միայն տվյալ մանիֆոլդի կոորդինատներից, Ջակոբիի մատրիցայի բաղադրիչները կախված են նաև բազմաբևեռ պատկերի կոորդինատներից։ Այս տարբերությունն ակնհայտ է այն դեպքում, երբ հաշվի են առնվում երկու կամայական սորտերի դիֆեոմորֆիզմի Ջակոբիիի մատրիցաները, այնուամենայնիվ, բազմապատկերը ինքնին քարտեզագրելու ժամանակ, դուք կարող եք դա չնկատել, քանի որ պատկերի և հակադարձ պատկերի շոշափելի տարածքները (ոչ կանոնական) են։ Այնուամենայնիվ, այն շարունակում է մնալ։ Ջակոբիի մատրիցաների և տենորների միջև անալոգիան կարելի է զարգացնել, եթե հաշվի առնենք կամայական վեկտորային կապոցները բազմաբնույթ հատվածի և դրանց արտադրանքի վրա, և ոչ միայն շոշափելի և կոկորդային փաթեթներ։
* Քրիստոֆելի խորհրդանիշներ {\displaystyle {\Gamma ^{i}}\_{jk}} դրանք նաև տենզոր չեն ներկայացնում, միայն այն պատճառով, որ դրանք կարող են անհետանալ կամայական կետի մոտակայքում գտնվող կոորդինատների ընտրությամբ, ճիշտ այնպես, ինչպես ընտրությունը (կորովի գծով) կոորդինատները կարող են կատարվել ոչ զրոյի։ Այնուամենայնիվ, վեկտորի հետ կապի բաղադրիչը ստանում է իրական վեկտորը, և դրանց տարբերությունը իրական տենզոր է (Տենզոր ոլորում)։ Քրիստոֆելի խորհրդանիշները, ինչպես և կապակցվածության ցանկացած գործակից, ավելի բարդ տարածության տարրերն են, քան տենզորների տարածությունը՝ ինքնաթիռի շերտավորումը։

Սահմանումներ
------------

Տենզորը սահմանվում է որպես երկրաչափական առարկա, որը նկարագրվում է բազմաչափ զանգվածով, այսինքն՝ մի քանի ցուցանիշներով համարակալված թվերի մի շարք կամ, այլ կերպ ասած, {\displaystyle n} -ծավալային աղյուսակի միջոցով, որտեղ {\displaystyle n} - ն է տենզորի վալենտը (տե՛ս վերևում)։

Այսպիսով, վեկտորը (առաջին աստիճանի տենսոր) սահմանվում է միակողմանի զանգվածով կամ որպես տող

{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}&x\_{2}&\dots &x\_{m}\end{bmatrix}}}
կամ որպես սյուն

{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{m}\end{bmatrix}},}
և առարկաներ, ինչպիսիք են գծային օպերատորը և քառակուսի ձևը, երկչափ մատրիցով

{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}&\sigma \_{13}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}&\sigma \_{23}\\\sigma \_{31}&\sigma \_{32}&\sigma \_{33}\end{bmatrix}}.}
Սկալյարը (զրոյական աստիճանի տենզոր) սահմանվում է մեկ թվով {\displaystyle \mathbf {x} }- ով, որը կարելի է համարել որպես մեկ տարրով զրոյական ծավալային զանգվածի կրճատված նոտա, այսինքն` {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}\end{bmatrix}}} ։ Հարմար է դիտարկել նման զրոյական չափերի մատրիցաները որպես տենզորների հատուկ դեպքեր, քանի որ դրանց համար բոլոր տենզորային սահմանումները և թեորեմները վավեր են, իսկ մասշտաբներով վեկտորները ընդհանուր առմամբ չեն կարող առանձին նշել։

### Ժամանակակից բնորոշում

Ընդհանուր առմամբ, տենզոր կարելի է անվանել տարրեր տենզոր աշխատանքի կամայական վեկտորային տարածքների, այդ թվում, տարբեր և ոչ թե կապված են միմյանց հետ։ Այնուամենայնիվ, հատկապես կարևոր են տենզորները որոշակի վեկտորային տարածքի վրա, որոնք սահմանվում են ստորև։

Տենզորի {\displaystyle (n,m)} աստիճան կոչումավելի քան {\displaystyle d} -ծավալային վեկտոր տարածության {\displaystyle V} տարրը տենզոր աշխատանքի {\displaystyle n} և {\displaystyle m} հարակից տարածքների {\displaystyle V^{\*}} (այսինքն տարածքների գծային ֆունկցիոնալ (գորգ) V)։

{\displaystyle \tau \in T\_{m}^{n}(V)=\underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} \_{n}\otimes \underbrace {V^{\*}\otimes \ldots \otimes V^{\*}} \_{m}.}
{\displaystyle n+m} թվերի գումարը կոչվում է տենզորի վալենտություն (այն հաճախ նաև կոչվում է կոչում)։ Տենզորի {\displaystyle (n,m)} աստիճան կոչվում է նաև {\displaystyle n} անգամ հակադրություն և {\displaystyle m} անգամ covariant, երբեմն ասում են՝ *n–րդ* դասի տենզոր, նշանակում է դաս (0, *n*) կամ (n, 0), օրինակ՝ {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}} - ը 3-րդ կարգի տենզոր է (3 ցուցանիշ)։

### Տենզորը` որպես բազմաշերտ գործառույթ

Ճիշտ այնպես, ինչպես {\displaystyle (0,1)} աստիճանի մի տենզոր կարող է ներկայացվել որպես գծային ֆունկցիա {\displaystyle V} հարթության վրա, հարմար է պատկերացնել մի {\displaystyle \tau } տենզոր (0, n) աստիճանի՝ որպես n վեկտորի փաստարկների {\displaystyle \tau (v\_{1},v\_{2},\ldots ,v\_{n})} գործառույթ, որը գծային է յուրաքանչյուր փաստարկում {\displaystyle v\_{i}\in V} (օրինակ գործառույթները կոչվում են բազմաշերտ), այսինքն` {\displaystyle F} դաշտի ցանկացած հաստատուն c- ի համար (որի վրա որոշվում է վեկտորի տարածքը) այն պահում է։

{\displaystyle \tau (v\_{1},\ldots ,cv\_{A},\ldots ,v\_{n})=c\tau (v\_{1},\ldots ,v\_{A},\ldots ,v\_{n}),}
{\displaystyle \tau (v\_{1},\ldots ,v\_{A}+v\_{A}',\ldots ,v\_{n})=\tau (v\_{1},\ldots ,v\_{A},\ldots ,v\_{n})+\tau (v\_{1},\ldots ,v\_{A}',\ldots ,v\_{n}).}
Նույն երեսին, կամայական աստիճանի մի {\displaystyle \tau } տենզոր {\displaystyle (n,m)} ներկայացված է {\displaystyle m} վեկտորների և {\displaystyle n} ուղղիչների բազմաշերտ գործառույթով։

{\displaystyle \tau (v\_{1},v\_{2},\ldots ,v\_{m},\omega ^{1},\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{n}),}
{\displaystyle \tau \colon V^{m}\times (V^{\*})^{n}\to F.}

Տենզորի բաղադրիչները
--------------------

### Տենզորի ներկայացումը բազայի բաղադրիչներում

Ընտրել տարածության մեջ {\displaystyle V} բազիս {\displaystyle \{\mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\ldots ,\mathbf {e} \_{d}\}}, և համապատասխանաբար {\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{d}\}}- երկակի բազիս է հարակից տարածքում {\displaystyle V^{\*}} (այսինքն, ( {\displaystyle (\mathbf {e} \_{a}\cdot \mathbf {f} ^{b})=\delta \_{a}^{b}}, где {\displaystyle \delta \_{a}^{b}} Կրոնեկերի խորհրդանիշ)։

Այնուհետև տենզորների {\displaystyle \mathrm {T} \_{m}^{n}(V)=\left(\bigotimes \_{i=1}^{n}V\right)\otimes \left(\bigotimes \_{i=1}^{m}V^{\*}\right)} տարածքում, բնականաբար, առաջանում է հիմք

{\displaystyle \{\mathbf {e} \_{i\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{n}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{m}}\},\quad 1\leqslant i\_{a},j\_{b}\leqslant d}։
{\displaystyle \tau \in \mathrm {T} \_{m}^{n}(V)} -ի կամայական տենզորը կարելի է ձայնագրել, որպես բազային տենզորային ստեղծագործությունների գծային համադրություն։

{\displaystyle \tau =\sum \_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{m}}\sum \_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}}{\tau \_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{m}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}}}\mathbf {e} \_{i\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{n}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{m}}.}
Էյնշտեյնի համաձայնագիրը օգտագործելով, այս տարրալուծումը կարող է գրվել ինչպես

{\displaystyle \tau ={\tau \_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{m}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}}}\mathbf {e} \_{i\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} \_{i\_{n}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j\_{m}}.}
{\displaystyle \tau \_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{m}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{n}}} համարները կոչվում են {\displaystyle \tau } տենզորի բաղադրիչներ։ Տենզորի բաղադրիչների բաժանորդագրությունները կոչվում են ճշգրիտ, իսկ մակագրությունները կոչվում են հակասական։ Օրինակ՝ որոշ երկբևեռ կովարի տենզորների {\displaystyle h} տարրալուծումը կլինի այսպիսին։

{\displaystyle h=\sum \_{j,k}h\_{jk}\mathbf {f} ^{j}\otimes \mathbf {f} ^{k}}
Եթե մենք սահմանում ենք տենսորը որպես բազմաշերտ գործառույթ, ապա դրա բաղադրիչները որոշվում են այս գործառույթի արժեքների հիման վրա {\displaystyle \mathrm {T} \_{n}^{m}(V)=\left(\bigotimes \_{i=1}^{n}V^{\*}\right)\otimes \left(\bigotimes \_{i=1}^{m}V\right)}:

{\displaystyle {\tau \_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{n}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{m}}}=\tau (\mathbf {f} ^{i\_{1}},\mathbf {f} ^{i\_{2}},\ldots ,\mathbf {f} ^{i\_{m}},\mathbf {e} \_{j\_{1}},\mathbf {e} \_{j\_{2}},\ldots ,\mathbf {e} \_{j\_{n}}),\quad 1\leqslant i\_{a},j\_{b}\leqslant d.}

Տենզոր գործողությունները
------------------------

Տենզորները թույլ են տալիս հետևյալ հանրահաշվային գործողությունները.

* Սկալյար բազմապատկում - յուրաքանչյուր տենզորի բաղադրիչի բազմապատկում`մասշտաբի միջոցով։ Վեկտորի կամ մասշտաբային քանակի բազմապատկման նման (երկուսն էլ մասնավոր հատուկ դեպքեր են)։
* Նույն վալենտության և ցուցանիշների կազմի թենիզի ավելացում (գումարը կարող է հաշվարկվել բաղադրիչորեն, ինչ վերաբերում է վեկտորներին)։
	+ Սկալար բազմապատկման առկայությունը և տենորների հավելումը կազմում են նույն տեսակի տենսորային տարածքը գծային տարածություն։
* Տենզորային արտադրանք - առանց սահմանափակումների։ Վարկանիշի տենզորի {\displaystyle (m,n)} աստիճանի տենզորի {\displaystyle (m',n')} արտադրանքը ընդհանուր {\displaystyle (m+m',n+n')} աստիճանի տենզոր է, այսինքն, եթե {\displaystyle \sigma \in T\_{n}^{m}} и {\displaystyle \tau \in T\_{n'}^{m'}}- ը նրանց արտադրանքն է։

{\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T\_{n+n'}^{m+m'}=T\_{n}^{m}\otimes T\_{n'}^{m'}.}
Տենզորային արտադրանքի բաղադրիչները, օրինակ, գործոնների համապատասխան բաղադրիչների արտադրանքն են․
{\displaystyle P\_{\ \ kl}^{ij}\ =A^{ij}B\_{kl}}
* Տենզորի կոնսուլյացիան հատուկ տենսզրային գործողություն է, որը նվազեցնում է տենզորային վալենտությունը, հաշվարկվում է մի զույգ ինդեքսի (վերին և ստորին, եթե դրանք տարբերվում են) ամփոփմամբ և վազքով, միմյանց հետ մնալով հավասար, դրանց բոլոր արժեքները, օրինակ.
{\displaystyle B\_{\ kl}^{i}\ =\sum \_{j}A\_{\ \ jkl}^{ji}=A\_{\ \ jkl}^{ji}}
	+ (վերջինս՝ Էյնշտեյնի նոտայում, որտեղ ինքնաբերաբար ենթադրվում է վերին և ստորին ցուցանիշի կրկնողության բարձրացումը)։ Հաճախ, եթե ոչ, որպես կանոն, բանաձևը (այսինքն`ցնցումային գործողության արդյունքը) նշվում է նույն տառով, ինչպես տենզորը, որի վրա կիրառվում է փեղկավորումը, միայն, իհարկե, երկու պակաս ցուցանիշներով։
	+ Մատրիցայի հետքն իրենից ներկայացնում է տենզորը ծալելու հատուկ դեպք։
* Երկու կամ ավելի տենզորների (ներառյալ տենզորների և վեկտորների) գումարումը, օրինակ.
{\displaystyle C\_{jk}^{i}\ =\sum \_{m}B\_{m}^{i}A\_{jk}^{m}=B\_{m}^{i}A\_{jk}^{m}} (վերջինս Էյնշտեյնի ռեկորդում է)։
- գործողություն, որը կարող է կրճատվել այս տենզորների հաջորդական տենզորի բազմապատկման վրա (տե՛ս մի փոքր ներքևում), իսկ այնուհետև արդյունքում ստացվող լարվածի (հնարավոր է մի քանի անգամ) բաշխումը։ Ակնհայտ է, որ այս գործողությունը գծային է բոլոր մուտքային ալիքներում։ Այսպիսով, տենզորի հետ կապված հանգույցը տենսորային տարածությունների գծային կամ բազմաշերտ գծագրում է կատարում տենզորային տարածության վրա (ընդհանուր առմամբ, մյուսի վրա), մասնավորապես, վեկտորները դեպի վեկտորները և վեկտորները դեպի մասշտաբները։
	+ Երկու վալենտային լարվածությամբ վեկտորի հանգույցը վեկտորի վրա այս տենզորի կողմից սահմանված գծային օպերատորի գործողությունն է.{\displaystyle u^{i}\ =\sum \_{j}A\_{j}^{i}v^{j}=A\_{j}^{i}v^{j}} (վերջինը`Էյնշտեյնի ռեկորդում)։
	+ Երկու վալենտ տենզի երկու կոնվենցիան (մեկական) իրականացնում է այս տենորների կողմից սահմանված գծային օպերատորների կազմը.{\displaystyle C\_{j}^{i}\ =\sum \_{k}B\_{k}^{i}A\_{j}^{k}=B\_{k}^{i}A\_{j}^{k}} (վերջինը`Էյնշտեյնի ռեկորդում).
* Համաչափացում և հակասիմետրացում - նույն տեսակի տենզորի նախագծում որոշակի տեսակի սիմետրիայով։ Օրինակ՝ տենսորի {\displaystyle T\_{ij}} - ի սիմետրացումը` սիմետրիկ լարիչ {\displaystyle \scriptstyle T\_{(ij)}={1 \over 2}\left(T\_{ij}+T\_{ji}\right)}, իսկ հակասիմետրացումը` հակասիմետրիկ լարիչ {\displaystyle \scriptstyle T\_{[ij]}={1 \over 2}\left(T\_{ij}-T\_{ji}\right)}։ Ընդհանուր առմամբ, սիմետրիզացիան n ցուցանիշներով ունի հետևյալ տեսքը.

{\displaystyle T\_{(i\_{1}\ldots i\_{n})}={1 \over n!}\sum \_{\sigma }T\_{\sigma (i\_{1})\ldots \sigma (i\_{n})},}
և հակասիմետրացում։
{\displaystyle T\_{[i\_{1}\ldots i\_{n}]}={1 \over n!}\sum \_{\sigma }\mathrm {sign} \,(\sigma )T\_{\sigma (i\_{1})\ldots \sigma (i\_{n})}}
Այստեղ {\displaystyle \sigma } -բոլոր տեսակի վերադասավորումների ցուցանիշների ինդեքսները {\displaystyle i\_{1},\ldots ,i\_{n},} իսկ {\displaystyle \mathrm {sign} \,(\sigma )} — հավասարություն վերադասավորումների {\displaystyle \sigma .} Իհարկե, անհրաժեշտ չէ լարվածությունը համադրել բոլոր ցուցանիշներով, այստեղ այն օգտագործվում է միայն նոտաները պարզեցնելու համար։
* Եթե {\displaystyle T\_{i\_{1}\ldots i\_{n}}}–ն սիմետրիկ է {\displaystyle i\_{1}\ldots i\_{n}}, ապա այդ ցուցանիշների համաչափությունը համընկնում է {\displaystyle T} -ի հետ և հակասիմետրիկացումը տալիս է զրոյական տենզոր ։ Նմանապես, որոշ ցուցանիշներով հակասիմետրիայի դեպքում։
* Եթե {\displaystyle T\_{ij}\in V\otimes V,} то {\displaystyle T\_{(ij)}\in V\vee V,} {\displaystyle T\_{[ij]}\in V\wedge V.} Այստեղ {\displaystyle \vee } — սիմետրիկ а {\displaystyle \wedge } — վեկտորային տարածքների արտաքին արտադրանքն է։

Սիմետրիաներ
-----------

Տարբեր ծրագրերում հաճախ առաջանում են որոշակի սիմետրիային հատկություն ունեցող տենորներ։

Սիմետրիկ երկու համահեղինակ (հակասական) տարբերակային ցուցիչով կոչվում է լարիչ, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը.

{\displaystyle T({\underline {e^{j\_{1}},e^{j\_{2}}}},\ldots ,e^{j\_{n}},e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}},\ldots ,e\_{i\_{m}})=T({\underline {e^{j\_{2}},e^{j\_{1}}}},\ldots ,e^{j\_{n}},e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}},\ldots ,e\_{i\_{m}});}
{\displaystyle T(e^{j\_{1}},e^{j\_{2}},\ldots ,e^{j\_{n}},{\underline {e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}}}},\ldots ,e\_{i\_{m}})=T(e^{j\_{1}},e^{j\_{2}},\ldots ,e^{j\_{n}},{\underline {e\_{i\_{2}},e\_{i\_{1}}}},\ldots ,e\_{i\_{m}})}
կամ բաղադրիչների մեջ

{\displaystyle {T\_{{\underline {j\_{1},j\_{2}}},\ldots ,j\_{n}}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{m}}={T\_{{\underline {j\_{2},j\_{1}}},\ldots ,j\_{n}}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{m}},\quad \forall j\_{1},j\_{2}=1,2,\ldots ,(\dim(V)=\dim(V^{\*}));}
{\displaystyle {T\_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{n}}}^{{\underline {i\_{1},i\_{2}}},\ldots ,i\_{m}}={T\_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{n}}}^{{\underline {i\_{2},i\_{1}}},\ldots ,i\_{m}},\quad \forall i\_{1},i\_{2}=1,2,\ldots ,(\dim(V)=\dim(V^{\*})).}
Նմանապես որոշվում է թեք սիմետրիա (կամ անտիսիմետրիկություն)։

{\displaystyle T({\underline {e^{j\_{1}},e^{j\_{2}}}},\ldots ,e^{j\_{n}},e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}},\ldots ,e\_{i\_{m}})=-T({\underline {e^{j\_{2}},e^{j\_{1}}}},\ldots ,e^{j\_{n}},e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}},\ldots ,e\_{i\_{m}});}
{\displaystyle T(e^{j\_{1}},e^{j\_{2}},\ldots ,e^{j\_{n}},{\underline {e\_{i\_{1}},e\_{i\_{2}}}},\ldots ,e\_{i\_{m}})=-T(e^{j\_{1}},e^{j\_{2}},\ldots ,e^{j\_{n}},{\underline {e\_{i\_{2}},e\_{i\_{1}}}},\ldots ,e\_{i\_{m}})}
կամ բաղադրիչների մեջ

{\displaystyle T\_{{\underline {j\_{1},j\_{2}}},\ldots ,j\_{n}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{m}}=-T\_{{\underline {j\_{2},j\_{1}}},\ldots ,j\_{n}}^{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{m}},\quad \forall j\_{1},j\_{2}=1,2,\ldots ,(\dim(V)=\dim(V^{\*}));}
{\displaystyle T\_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{n}}^{{\underline {i\_{1},i\_{2}}},\ldots ,i\_{m}}=-T\_{j\_{1},j\_{2},\ldots ,j\_{n}}^{{\underline {i\_{2},i\_{1}}},\ldots ,i\_{m}},\quad \forall i\_{1},i\_{2}=1,2,\ldots ,(\dim(V)=\dim(V^{\*})).}
Սիմետրիան կամ հակասիմետրիան պարտադիր չէ ծածկել միայն հարակից ինդեքսները, այն կարող է ներառել ցանկացած ցուցանիշներ, հաշվի առնելով, սակայն, հետևյալը։ Սիմետրիան կամ հակասիմետրիան կարող են առնչվել միայն նույն տիպի ցուցանիշներին։ Սիմետրիաները, համադրելով համահեղինակային և հակասական լարվածության ցուցանիշները, որպես կանոն, շատ իմաստ չեն ունենում, քանի որ նույնիսկ եթե դրանք նկատվում են բաղադրիչներում, դրանք ոչնչացվում են, երբ մենք անցնում ենք այլ հղման այլ հիմքի (այսինքն, դրանք անփոխարինելի են)։

Այնուամենայնիվ, մետրային լարվածության առկայության դեպքում ինդեքսի բարձրացման կամ իջեցման առկայությունը վերացնում է այս անհարմարությունը, և դրանով սահմանափակումը, ըստ էության, հանվում է, երբ տենսորը համապատասխան ձևով է ներկայացվում (օրինակ՝ Ռիմանի կորի տենսորը {\displaystyle R\_{mjkl}=g\_{im}R\_{jk\ell }^{i}} առաջին և վերջին երկու ցուցանիշներում հակասիմետրիկ է)։

Այս սահմանումները, բնականաբար, ընդհանրացված են երկուից ավելի ցուցանիշների դեպքում։ Ավելին, այն ցուցանիշների ցանկացած թույլատրելիության համար, որոնց համար լարիչը սիմետրիկ է, դրա գործողությունը չի փոխվում, իսկ ցուցանիշների հակիմետրիայի դեպքում տենսորի գործողությունների նշանը փոխվում է տարօրինակ վերադասավորումների համար (ստացված ցուցանիշների նախնական դասավորությունից ստացված տարօրինակ թվով փոխադրություններով։ Երկու ցուցանիշների թույլատրելիությամբ) և պահպանվում է։

Կան նաև ավելի բարդ սիմետրիա, Օրինակ, առաջին ինքնությունը Բյանկի համար տենզոր թեքություն։

Տենիսներ ֆիզիկայում
-------------------

Ֆիզիկայում տենզորները լայնորեն կիրառվում են այն տեսություններում, որոնք ունեն երկրաչափական բնույթ (օրինակ՝ ընդհանուր հարաբերականություն) կամ, որոնք թույլ են տալիս լրիվ կամ նշանակալի երկրաչափություն (գրեթե բոլոր ժամանակակից հիմնարար տեսությունները`էլեկտրոդինամիկա, ռելատիվիստիկ մեխանիկա և այլն) դրանք կարող են վերագրվել մեծ մասամբ։ ինչպես նաև անիզոտրոպային մեդիայի տեսության մեջ (որը կարող է ի սկզբանե անիզոտրոպ լինել, որպես ցածր սիմետրիայի բյուրեղներ կամ նրա շարժման կամ սթրեսի պատճառով, որպես հոսող հեղուկ կամ գազ կամ որպես դեֆորմացված) ե ամուր)։ Բացի այդ, տենզորները լայնորեն օգտագործվում են բացարձակապես կոշտ մարմնի մեխանիկայում։

Քվանտային մեխանիկի գծային օպերատորները, իհարկե, կարող են մեկնաբանվել նաև որպես տենզորներ որոշակի վերացական տարածությունների (պետական տարածքների) վրա, բայց ավանդաբար տենզոր տերմինի նման կիրառումը գործնականում չի օգտագործվում, քանի որ այն չափազանց հազվադեպ է օգտագործվում գծային օպերատորների նկարագրման համար`անսահման-ծավալային տարածությունների վրա։ Ընդհանուր առմամբ, ֆիզիկայում տենզոր տերմինը հակված է կիրառել միայն տենորների վրա սովորական ֆիզիկական 3-ծավալային տարածության կամ 4-ծավալային տարածության-ժամանակի կամ, ծայրահեղ դեպքերում, այդ տարածքների ամենապարզ և առավել ուղղակի ընդհանրացումների վերաբերյալ, չնայած որ սկզբունքորեն հնարավոր է այն կիրառել ավելի ընդհանուր դեպքերում մնում է։

Ֆիզիկայի տենզորների օրինակներ են։

* մետրիկ տենզորը պսեվդորիմանյան 4-ծավալային բազմազանության նկատմամբ, որը նյուտոնյան գրավիտացիոն ներուժի հայեցակարգի զարգացման մեջ է։
* նրա միջոցով արտահայտվող թենզոր Ռիմայական թեքությունը և նրա փաթաթանները, որոնք կապված են նույն տեսության հետ, գրավիտացիոն դաշտի էներգիայի հետ և ուղղակիորեն մտնում են տեսության հիմնական հավասարման մեջ։
* էլեկտրամագնիսական դաշտի լարվածությունը Մինկովսկու տարածության վրա, որը պարունակում է էլեկտրական և մագնիսական դաշտեր և հանդիսանում է դասական էլեկտրոդինամիկայի հիմնական առարկան՝ 4-չափաչափ ձայնագրման մեջ։ Մասնավորապես,Մաքսվելի հավասարումները գրվում են նրա օգնությամբ՝ մեկ 4-ծավալային հավասարման տեսքով։
* առաձգականության տեսության մեջ սթրեսներն ու լարվածությունները նկարագրվում են թենիզիստների կողմից՝ ավելի քան 3-էվոլյուցիայի տարածություն։ Նույնը վերաբերում է այնպիսի քանակություններին, ինչպիսիք են առաձգական մոդուլը։
* գրեթե ամենա արժեքները, որոնք հանդիսանում են նյութի սկալյար բնութագրերը, վերջինիս իզոտոպության դեպքում, անիզոտրոպային նյութի դեպքում տենզորներ են։ Ավելի կոնկրետ ասած, դա վերաբերում է սուբստանցիալ գործակցով, որը կապում է վեկտորային արժեքները կամ արտադրանքի առջև կանգնած (մասնավորապես, հրապարակները) վեկտորները։ Օրինակներ կարող են լինել կոնկրետ էլեկտրական հաղորդունակություն (նաև հակադարձ դիմադրություն), ջերմային հաղորդունակություն, Դիէլեկտրիկ զգայունություն և Դիէլեկտրիկ թափանցելիություն, ձայնի արագություն (կախված ուղղությունից) և այլն։
* բացարձակ պինդ մարմնի մեխանիկայի մեջ կարևորագույն դեր է խաղում իներցիայի թենզորը, որը անկյունային արագությունը կապում է իմպուլսի պահի և պտտման կինետիկ էներգիայի հետ։ Այս տենզոր տարբերվում է շատ այլ տենզոր ֆիզիկան ներկայացնող, ընդհանուր առմամբ, տենզոր դաշտերը, այն փաստը, որ մեկ տենզոր բնութագրում է մի բոլորովին ամուր մարմին, լիովին սահմանելով, հետ միասին զանգվածի, դրա իներցիան,
* նմանատիպ հատկություն ունեն տենզորները, որոնք մտնում են բազմաբնույթ տարրալուծման մեջ. միայն մեկ տենզորը ամբողջությամբ ներկայացնում է տվյալ պահին համապատասխան կարգի գանձումների բաշխման պահը։
* հաճախ ֆիզիկայի օգտակար կեղծ կոդավորիչ Լեվի-Չիվիտայի, որը մտնում է, օրինակ, կոորդինատային ձայնագրման վեկտոր և խառը աշխատանքների վեկտորների։ Այս տենզորի բաղադրիչները միշտ գրվում են գրեթե հավասարապես (ճշգրտությամբ՝ մետրից կախված սկալյար բազմապատկիչ), իսկ աջ օրթոնորմավորված բազիսում՝ բոլորովին նույնն է միշտ (յուրաքանչյուրը հավասար է 0,+ 1 կամ -1)։
* «4-տենսոր» տերմինը օգտագործվում է քառաչափ տիեզերական ժամանակի ցանկացած տենսոր նշանակելու համար, տեղեկանքային համակարգի շրջադարձերը, որոնցում ներառված են ինչպես եռաչափ տարածության, այնպես էլ սովորական շրջադարձեր, ինչպես նաև միմյանց համեմատ տարբեր արագությամբ շարժվող հղումային համակարգերի միջև անցում։ Սա լարիչ է 4 վեկտորների տարածության համար, լարիչ, որի յուրաքանչյուր ցուցանիշը տևում է չորս արժեք՝ մեկ «ժամանակավոր» և երեք «տարածական»։

Հեշտ է տեսնել, որ ֆիզիկայի տեզնորների մեծ մասը (առանց հաշվի առնելով մասշտաբներն ու վեկտորները) ունեն ընդամենը երկու ցուցանիշ։ Մեծ վալենտականություն ունեցող տենորները, որպես կանոն, հանդիպում են միայն տեսությունների մեջ, որոնք համարվում են բավականին բարդ, և նույնիսկ դրանից հետո նրանք հաճախ հայտնվում են հիմնականում ավելի ցածր արժևորման իրենց համոզումների տեսքով։ Դրանց մեծ մասը սիմետրիկ է կամ հակիմետրիկ։

Դեվիատոր և գնդակը
-----------------

Երկրորդ աստիճանի ցանկացած տենզոր {\displaystyle \sigma \_{ij}} կարող է ներկայացվել որպես դեվիատորի գումար {\displaystyle s\_{ij}} և գնդակի մասի գումար։

{\displaystyle \sigma \_{ij}=-p\delta \_{ij}+s\_{ij},\quad p=-{\frac {\sum \_{i=1}^{N}\sigma \_{i}}{N}}.}
Որտեղ {\displaystyle \sigma \_{i}} — ն տենզորի սեփական արժեքներն են։ ընդհանուր շեղող արժեքներ {\displaystyle s\_{i}} կապված են տենզորի առանձնահատկությունների հետ, {\displaystyle s\_{i}=\sigma \_{i}+p,\ i=1,\dots ,N}։ Դեվիատորի գաղափարը լայնորեն կիրառվում է շարունակական մեխանիկայում։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  *А. П. Норден.* Пространства аффинной связности. — М. : Наука, 1976. — С. 35. — 432 с.
2. ↑  *Климов Д. М. Петров А. Г. Георгиевский Д. В.* Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. — М. Наука, 2005. — с. 21 — ISBN 5-02-032945-2.

Գրականություն
-------------

* Ֆեյնմանի դասախոսություններ - Տենզորներ
* Quick introduction to tensor analysis
* *Коренев Г. В.* Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру. 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — Ч. II: Линейная Алгебра. — 368 с. — ISBN 978-5-94057-888-8.
* *Кочин Н. Е.* Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965.
* *Победря Б. Е.* Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986.
* *Рашевский П. К.* Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967.
* *Шарипов Р. А.* Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.