**Կրամերի մեթոդը** գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցի գործակիցների համակարգի գլխավոր որոշիչին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է։

Մեթոդի նկարագրությունը
----------------------

{\displaystyle n} անհայտով {\displaystyle n} գծային հավասարումների համակարգի համար 

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+\ldots +a\_{1n}x\_{n}=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+\ldots +a\_{2n}x\_{n}=b\_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a\_{n1}x\_{1}+a\_{n2}x\_{2}+\ldots +a\_{nn}x\_{n}=b\_{n}\\\end{cases}}}
լուծումը (համակարգի ոչզրոյական {\displaystyle \Delta } մատրիցի որոշիչով) գրվում է հետևյալ տեսքով՝

{\displaystyle x\_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a\_{11}&\ldots &a\_{1,i-1}&b\_{1}&a\_{1,i+1}&\ldots &a\_{1n}\\a\_{21}&\ldots &a\_{2,i-1}&b\_{2}&a\_{2,i+1}&\ldots &a\_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a\_{n-1,1}&\ldots &a\_{n-1,i-1}&b\_{n-1}&a\_{n-1,i+1}&\ldots &a\_{n-1,n}\\a\_{n1}&\ldots &a\_{n,i-1}&b\_{n}&a\_{n,i+1}&\ldots &a\_{nn}\\\end{vmatrix}}}
(համակարգի մատրիցի {\displaystyle i}-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։

Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c1, c2, …, cn գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝

{\displaystyle (c\_{1}x\_{1}+c\_{2}x\_{2}+\dots +c\_{n}x\_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\ldots &a\_{1n}&b\_{1}\\a\_{21}&a\_{22}&\ldots &a\_{2n}&b\_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\ldots &a\_{nn}&b\_{n}\\c\_{1}&c\_{2}&\ldots &c\_{n}&0\\\end{vmatrix}}}
Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ {\displaystyle \Delta } զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական օղակի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների օղակում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ {\displaystyle b\_{1},b\_{2},...b\_{n}} և {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}}, կամ {\displaystyle c\_{1},c\_{2},...c\_{n}} կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների օղակի էլեմենտներից, այլ այդ օղակի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։

Օրինակ
------

Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+a\_{13}x\_{3}=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+a\_{23}x\_{3}=b\_{2}\\a\_{31}x\_{1}+a\_{32}x\_{2}+a\_{33}x\_{3}=b\_{3}\\\end{cases}}}
Որոշիչներ՝

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta \_{1}={\begin{vmatrix}b\_{1}&a\_{12}&a\_{13}\\b\_{2}&a\_{22}&a\_{23}\\b\_{3}&a\_{32}&a\_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }
{\displaystyle \Delta \_{2}={\begin{vmatrix}a\_{11}&b\_{1}&a\_{13}\\a\_{21}&b\_{2}&a\_{23}\\a\_{31}&b\_{3}&a\_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta \_{3}={\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&b\_{1}\\a\_{21}&a\_{22}&b\_{2}\\a\_{31}&a\_{32}&b\_{3}\\\end{vmatrix}}}
Որոշիչներում համապատասխան անհայտով գործակիցների սյունը փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով։

Լուծում՝

{\displaystyle x\_{1}={\frac {\Delta \_{1}}{\Delta }},\ \ x\_{2}={\frac {\Delta \_{2}}{\Delta }},\ \ x\_{3}={\frac {\Delta \_{3}}{\Delta }}}
Օրինակ՝

{\displaystyle {\begin{cases}2x\_{1}+5x\_{2}+4x\_{3}=30\\x\_{1}+3x\_{2}+2x\_{3}=150\\2x\_{1}+10x\_{2}+9x\_{3}=110\\\end{cases}}}
Որոշիչներ՝

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta \_{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }
{\displaystyle \Delta \_{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta \_{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}
{\displaystyle x\_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x\_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x\_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254}

Հաշվարկային բարդություն
-----------------------

Կրամերի մեթոդը պահանջում է {\displaystyle n\times n} չափի {\displaystyle n+1}-րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի {\displaystyle O(n^{4})} կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել {\displaystyle O(n^{3})} բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը։

Գրականություն
-------------

* *Ի․Ա․ Մացև*։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա, «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ

Տես նաև
-------

* Գաուսի մեթոդ

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Cramer, Gabriel (1750)։ «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (ֆրանսերեն)։ Geneva: Europeana։ էջեր 656–659։ Վերցված է 2012-05-18
2. ↑  *Ken Habgood and Itamar Arel.* 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |