**Ուղղանկյուն եռանկյուն** կոչվում է այն եռանկյունը, որի 1 անկյունը ուղիղ է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև հարաբերությունը հիմք է հանդիսանում եռանկյունաչափության համար։

Ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր։

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը հանդիսանում են ամբողջ թվեր, ապա այդ եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են Պյութագորասյան եռյակներ:

Հիմնական հատկություններ
-----------------------

1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։ Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունները հավասար են 45°։
2. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
3. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է ներքնաձիգին բարձրություն, որը ներգնաձիգը բաժանում է 2 անհավասար մասերի, ապա բարձրության քառակուսին հավասար է այդ երկու անհավասար մասերի արտադրյալին։

**Մակերես**

Ինչպես ցանկացած եռանկյան մակերես, ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին։ Եթե եռանկյան մակերեսը նշանակենք ***T-*** ով, ապա կունենանք հետևյալ բանաձևը`

{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}
որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են։

**Բարձրություններ**

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրություն:Եթե ուղղանկյուն եռանկյան գագաթից տարված է բարձրություն, որը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնք նման են միմյանց և նաև նման են մեծ եռանկյանը, ապա

* Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հանդիսանում է երկրաչափական միջին մեծություն` ներքնաձիգի երկու անհավասար մասերի համար։
* Եռանկյան յուրաքանչյուր էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին կամ նրա հատվածներին հարակից են էջերին։

Ըստ հավասարման`

{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}
{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}
{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}
որտեղ a, b, c, d, e, f ցույց են տրված գծագրում։ Ինչպես`

{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}
Բարձրության և ներքնաձիքի իրար կապող բանաձևերից մեկը հետևյալն է`

{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}
**Պյութագորասի թեորեմ**

Ըստ Պյութագորասի թեորեմի`ուղղանկյուն եռանկայն ներքնաձիգի երկարության քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։

Արտահայտված բանաձևով`

{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
որտեղ c-ն հանդիսանում է եռանկյան ներքնաձիգը, իսկ a-ն և b-ն` էջերը։

**Ներգծված և արտագծված եռանկյան շառավիղներ**

Եթե ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և եթե այն նշանակենք r-ով, ապա այն հավասար կլինի`

{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}
Ուղղանկյուն առանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին․

{\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}
Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված և ներգծված շրջանագծերի գումարը հավասար է եռանկյան էջերի կեսին.

{\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}
Եթե պետք է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան էջի երկարությունը, ներգծված շրջանագծի միջոցով, ապա օգտվում ենք հետևյալ բանաձևից`

{\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}

Բնութագրեր
----------

### Կողմեր և կիսապարագիծ

* {\displaystyle \displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=c^{2}\quad }
* {\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
* {\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
* {\displaystyle \displaystyle a2+b2+c2=8R^{2}.}

### Անկյուններ

* {\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}
* {\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}
* {\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}
* {\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}

### Մակերես

* {\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
* {\displaystyle \displaystyle T=r\_{a}r\_{b}=rr\_{c}}
* {\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}

### Արտագծված և ներգծված շրջանագծեր

* {\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}
* {\displaystyle \displaystyle r\_{a}=s-b=(a-b+c)/2}
* {\displaystyle \displaystyle r\_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}
* {\displaystyle \displaystyle r\_{c}=s=(a+b+c)/2}
* {\displaystyle \displaystyle r\_{a}+r\_{b}+r\_{c}+r=a+b+c}
* {\displaystyle \displaystyle r\_{a}^{2}+r\_{b}^{2}+r\_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
* {\displaystyle \displaystyle r={\frac {r\_{a}r\_{b}}{r\_{c}}}}

### Բարձրություններ և միջնագծեր

* {\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
* Միջնագծի երկարությունը հավասար է արտագծված շրջանագծի շառավղին։
* ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը նաև հնարավոր է գտնել «Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունների թեորեմի» միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան հավասարութան հայտանիշեր
--------------------------------------------

1․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները հավասար են։

2․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և առընթեր սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

3․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան 2 էջերը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան 2 էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

4․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

Հատուկ ուղղանկյուն եռանկյուն
----------------------------

Ուղղանկյուն եռանկյան հատուկ ձևերը երկուսն են`

1. Այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյունները հավասար են` *30-60-90*
2. Այն ուղղանկյուն եռանկունը, որի անկյունները հավասար են` *45-45-90*

Դիտարկենք առաջին դեպքը, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի, ապա օգտվում ենք ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից մեկից, ըստ որի`

**Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:**

Դիտարկելով երկրորդ դեպքը, նկատում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան երկու անկյունները իրար հավասար են, այսինքն` ստանում ենք հավասարասրուն աղղանկյուն եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են։

### Կեպլերի եռանկյուն

Դիտարկենք եռանկյուն, որի մեջ ունենք հետևյալ կետերը` *H, G, A:* Ընդ որում կետերը համապատասխանաբար հանդիսանում են տվյալ եռանկյան հարմոնիկ միջին մեծությունը, երկրաչափական միջին մեծությունը և թվաբանական միջին մեծությունը։

Ըստ Կեպլերի ունենում ենք հետևյալ բանաձևը`

{\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}
և

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}
որտեղ {\displaystyle \phi } հավասար է {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Posamentier, Alfred S. and Salkind, Charles T. *Challenging Problems in Geometry*, Dover, 1996.
2. ↑  Wentworth p. 156
3. ↑  "Triangle right iff s = 2R + r, *Art of problem solving*, 2011". Արխիվացված է the original 2014 թ․ ապրիլի 28-ին. Retrieved 2017 թ․ օգոստոսի 29.
4. 1 2 3  Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
5. 1 2 3  CTK Wiki Math, *A Variant of the Pythagorean Theorem*, 2011,  Archived 2013-08-05 at the Wayback Machine..
6. ↑  Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization», *Forum Geometricorum* **6**: 335–342,

Աղբյուրներ
----------

* Երկրաչափության 7-րդ դասարանի դասագիրք

Արտաքին հղումներ
----------------

* Calculator for right triangles Archived 2017-09-30 at the Wayback Machine.
* Advanced right triangle calculator