Չշփոթել Համիլտոնի ֆունկցիայի հետ։

| Քվանտային մեխանիկա |
| --- |
| 

---

\sigma\_x \sigma\_p \ge \frac{\hbar}{2}Անորոշությունների սկզբունք

---

 |
| Հիմնարար հասկացություններ
* Դեկոհերենտություն
* Էռենֆեստի թեորեմ
* Չափումներ
* Հավանականության ամպլիտուդ
* Ոչ տեղայնություն
* Վերադրում
* Թունելավորում
* Լրացման սկզբունք
* Մասնիկ-ալիքային երկվություն
* Պաուլիի սկզբունք
* Քվանտային վիճակներ
* Քվանտային խճճվածություն
* Անորոշությունների սկզբունք
* Ալիքային ֆունկցիա
 |
| Գիտափորձեր
* Բելի անհավասարություն
* Դեյվիսոն-Ջերմերի
* Շտեռն-Գեռլախի
* Շրյոդինգերի կատու
* Կրկնակի ճեղքով
* Պոպերի փորձ
* Աֆշարի փորձ
* Էլեկտրոնների դիֆրակցիա
 |
| ՁևակերպումներՀայզենբերգի պատկերացում
Շրյոդինգերի պատկերացում
Ըստ հետագծերով ինտեգրում
Մատրիցային մեխանիկա |
| Հավասարումներ
* Դիրակի հավասարում
* Պաուլիի հավասարում
* Շրյոդինգերի հավասարում
* Կլայն-Գորդոնի հավասարում
* Ռիդբերգի բանաձև
 |
| Մեկնաբանություններ
* Մեկնաբանություններ
* Քվանտային տրամաբանություն
* Բազմաթիվ աշխարհներ
* Անհակասական պատմություններ
* Կոպենհագենյան
* Թաքնված պարամետրեր
 |
| Գիտնականներ
* Այնշտայն
* Բոզե
* Բոռն
* Բոր
* դը Բրոյլ
* Դիրակ
* Զոմմերֆելդ
* Էռենֆեստ
* Հայզենբերգ
* Շրյոդինգեր
* Պաուլի
* Պլանկ
* Ֆեյնման
* Զեեման
* Ցայլինգեր
* Բել
* Բոմ
* Էվերեթ
* Լանդաու
* Վին
* Կրամերս
* ֆոն Նեյման
* Վիգներ

 |
| Հիմքը
* Փակագծային նշանակումներ
* Դասական մեխանիկա
* Համիլտոնյան
* Ինտերֆերենցիա
* Հին քվանտային տեսություն
 |
| * դ
* ք
* խ
 |

**Համիլտոնյան** (նշանակվում է {\displaystyle {\hat {H}}} կամ *H*), համակարգի լրիվ էներգիայի օպերատորը քվանտային մեխանիկայում։ Կոչվել է իռլանդացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Համիլտոնի անունով։

Համիլտոնյանի սպեկտրը հնարավոր արժեքների բազմությունն է համակարգի լրիվ էներգիայի փոփոխության դեպքում։ Սպեկտրը կարող է լինել դիսկրետ կամ անընդհատ։ Կարող է նաև այնպիսի դեպք լինել (օրինակ՝ կուլոնյան պոտենցիալը), երբ սպեկտրը բաղկացած է ընդհատ և անընդհատ մասերից։

Քանի որ էներգիան իրական մեծություն է, համիլտոնյանը ինքնահամալուծ օպերատոր է։

Շրյոդինգերի հավասարում
----------------------

Հիմնական հոդված՝ Շրյոդինգերի հավասարում
Համիլտոնյանը հարուցում է քվանտային վիճակների ժամանակավոր փոփոխություն։ Եթե {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }-ն համակարգի վիճակն է *t* պահին, ապա

{\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle }:
Այս հավասարումը կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում (այն նույն տեսքն ունի, ինչ Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումը դասական մեխանիկայում)։ Իմանալով վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին (*t* = 0), մենք կարող ենք լուծել Շրյոդինգերի հավասարումը և ստանալ վիճակի վեկտորը ժամանակի ցանկացած հաջորդ պահի համար։ Մասնավորապես, եթե *H*-ը կախված չէ ժամանակից, ապա

{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle }
Էքսպոնենտի օպերատորը Շրյոդինգերի հավասարման աջ մասում որոշվում է ըստ *H*-ի աստիճանային շարքով։

Ըստ հոմոմորֆ հատկությունների,

{\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}
օպերատորն ունիտար է։ Դա փակ քվանտային համակարգի *ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորն* է (կամ պրոպագատորը)։

Եթե համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից, {U(t)}-ն միապարամետրական խումբ է կազմում, որտեղից հետևում է принцип детального равновесия.

Համիլտոնյանի արտահայտությունը կոորդինատային պատկերացումով
---------------------------------------------------------

### Ազատ մասնիկ

Եթե մասնիկը պոտենցիալ էներգիա չունի, ապա համիլտոնյանը ամենապարզն է։ Մեկ չափողականության դեպքում

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}
Եռաչափ դեպքում

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }
### Պոտենցիալ փոս

*V* = *V*0 հաստատուն պոտենցիալով (ժամանակից և կոորդինատներից անկախ) մասնիկի համար մեկ չափողականության դեպքում համիլտոնյանը՝

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V\_{0}}
Եռաչափ դեպքում

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\_{0}}։
### Պարզագույն հարմոնիկ տատանակ

Պարզ հարմոնիկ տատանակի համար միաչափ դեպքում պոտենցիալը կախված է կոորդինատից (բայց ոչ ժամանակից) որպես

{\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},}
որտեղ տատանակի անկյունային հաճախությունը, *k* առաձգականության գործակիցը և *m* զանգվածը բավարարում են

{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}
առնչությանը, այդ պատճառով համիլտոնյանի տեսքը հետևյալն է՝

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}։
Եռաչափ դեպքում համիլտոնյանը ընդունում է

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}
տեսքը, որտեղ **r** եռաչափ շառավիղ-վեկտորի մեծությունը որոշվում է որպես

{\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}։
Լրիվ համիլտոնյանը միաչափ համիլտոնյանների գումարն է՝

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}}։

Դաշտի քվանտային տեսություն
--------------------------

Դաշտի դասական տեսությունում ընդհանրացված կոորդինատների դերը կատարում են դաշտի ֆունկցիաները տարածաժամանակի յուրաքանչյուր կետում, իսկ դաշտի քվանտային տեսությունում դրանք վերածվում են օպերատորների։ Փոխազդող դաշտերի համակարգի համար համիլտոնյանն իրենից ներկայացնում է ազատ դաշտերի էներգիաների և փոխազդեցության էներգիաների օպերատորների գումար։ Ի տարբերություն լագրանժյանյի, համիլտոնյանը չի տալիս համակարգի բացահայտ ռելյատիվիստական-ինվարիանտ նկարագրություն․ էներգիան տարբեր իներցիալ համակարգերում տարբեր է, չնայած ռելյատիվիստական համակարգերի համար կարելի է ապացուցել այդ ինվարիանտությունը։

Գրականություն
-------------

* The Feynman Lectures on Physics, Volume III
* *Дирак П.* Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
* *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9