Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում**Ֆունկցիայի ածանցյալ**, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։
Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Ֆունկցիայի ածանցելիություն
--------------------------

* {\displaystyle f} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle X\_{0}} կետում, եթե կամայական {\displaystyle h\_{n}} անվերջ փոքրի համար զուգամետ է {\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+2c-2\_{(}2f-2n)h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}} հաջորդականությունը։
* Եթե {\displaystyle f} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle X\_{0}} կետում, ապա {\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}} հաջորդականության սահմանն անվանում են {\displaystyle f} ֆունկցիայի ածանցյալ {\displaystyle x\_{0}} կետում և նշանակում {\displaystyle f'(x\_{0})} (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ {\displaystyle x\_{0}})

{\displaystyle f'(x\_{0})=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}}։

Դիցուք {\displaystyle D}-ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում {\displaystyle y=f(x)} ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր {\displaystyle x} կետի համապատասխանեցնելով {\displaystyle f'(x)} թիվը, կստանանք {\displaystyle D} բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են {\displaystyle y=f(x)} ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ {\displaystyle f'} կամ {\displaystyle y'}։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները
-----------------------------

* {\displaystyle s(t)} օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի {\displaystyle V(t)} արագությունը ժամանակի {\displaystyle t} պահին հավասար է {\displaystyle s(t)} ֆունկցիայի ածանցյալին՝

{\displaystyle V(t)=s'(t)}։

* Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է {\displaystyle V(t)} օրենքով, ապա նրա {\displaystyle a(t)} արագացումը ժամանակի {\displaystyle t} պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

{\displaystyle a(t)=V'(t)}

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը
------------------------------

{\displaystyle f(x)=a} հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած {\displaystyle x\_{0}} կետի և կամայական {\displaystyle h\_{n}} անվերջ փոքրի համար՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}={\frac {a-a}{h\_{n}}}=0:}

*Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։*

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը
---------------------------

Օրինակ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)=6x+1} գծային ֆունկցիայի ածանցյալը։

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {6(x+h\_{n})+1-6x-1}{h\_{n}}}\rightarrow 6:}

Հետևաբար, {\displaystyle (6x+1)'=6}։

{\displaystyle f(x)=kx+b} գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած {\displaystyle x\_{0}} կետի և կամայական {\displaystyle h\_{n}} անվերջ փոքրի համար՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {k(x+h\_{n})+b-kx-b}{h\_{n}}}=k:}

Հետևաբար, {\displaystyle (kx+b)'=k}։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը
---------------------------------

Օրինակ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)=4x^{2}} քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը։

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {(4x+h\_{n})^{2}-(4x)^{2}}{h\_{n}}}=4\cdot 2x+h\_{n}\rightarrow 8x:}

Հետևաբար՝ {\displaystyle (4x^{2})'=8x}։

{\displaystyle f(x)=x^{2}} ֆունկցիայի ածանցյալը՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}={\frac {(x+h\_{n})^{2}-x^{2}}{h\_{n}}}=2x+h\_{n}\rightarrow 2x:}

Հետևաբար՝ {\displaystyle (x^{2})'=2x}։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը
-----------------------------

Օրինակ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)={\frac {1}{5x}}} հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը։

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {{\frac {1}{5x+h\_{n}}}-{\frac {1}{5x}}}{h\_{n}}}=-{\frac {1}{5x(5x+h\_{n})}}\rightarrow -{\frac {1}{25x^{2}}}}

Հետևաբար՝ {\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{5x}}\right)'=-{\frac {1}{25x^{2}}}}։

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր {\displaystyle x} կետում՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}={\frac {{\frac {1}{x+h\_{n}}}-{\frac {1}{x}}}{h\_{n}}}=-{\frac {1}{x(x+h\_{n})}}:}

Եթե {\displaystyle h\_{n}}-ն անվերջ փոքր է, ապա {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }(x+h\_{n})=x}։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}\rightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}:}

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}:}

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը
------------------------------

Օրինակ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)={\sqrt {8x+1}}} ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը։

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {{\sqrt {(8x+1)+h\_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}}{h\_{n}}}={\frac {({\sqrt {(8x+1)+h\_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}){\sqrt {(8x+1)+h\_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}{h\_{n}({\sqrt {(8x+1)+h\_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}}=}

{\displaystyle ={\frac {1}{{\sqrt {(8x+1)+h\_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}}}}\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}:}

Հետևաբար {\displaystyle f(x)=\left({\sqrt {8x+1}}\right)'={\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}}։

{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր {\displaystyle x} կետում՝

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}={\frac {{\sqrt {x+h\_{n}}}-{\sqrt {x}}}{h\_{n}}}={\frac {({\sqrt {x+h\_{n}}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h\_{n}}}+{\sqrt {x}})}{h\_{n}({\sqrt {x+h\_{n}}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h\_{n}}}+{\sqrt {x}}}}:}

Հաշվի առնելով, որ {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt {(x+h\_{n})}}={\sqrt {x}}}, ստանում ենք՝

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}։

Հետևաբար {\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը
---------------------------

* Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում
Եթե {\displaystyle f} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle x\_{0}} կետում, ապա կամայական {\displaystyle h\_{n}} անվերջ փոքրի համար

{\displaystyle \beta \_{n}={\frac {f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})}{h\_{n}}}-f'(x\_{0})} հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

{\displaystyle f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})=f'(x\_{0})\cdot h\_{n}+\beta \_{n}\cdot h\_{n}}։

Քանի որ {\displaystyle h\_{n}} և {\displaystyle \beta \_{n}} հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն {\displaystyle f(x\_{0}+h\_{n})-f(x\_{0})} հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ {\displaystyle f} ֆունկցիան {\displaystyle x\_{0}} կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնը
-----------------------

Օրինակներ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)=6x^{2}+9x} և {\displaystyle (\sin x+\cos x)} ֆունկցիաների ածանցյալը՝ գումարի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

{\displaystyle f(x)=(6x^{2}+9x)'=(6x^{2})'+(9x)'=12x+9}

{\displaystyle (\sin x+\cos x)'=(\sin x)'+(\cos x)'=\cos x-\sin x}

* Եթե {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ {\displaystyle k}-ն հաստատուն է, ապա {\displaystyle k\cdot f,f+g} և {\displaystyle f-g} ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

{\displaystyle (k\cdot f)'=k\cdot f',~~~(f+g)'=f'+g',~~~(f-g)'=f'-g'}։

### Ապացուցում

Դիցուք {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաներն ածանցելի են {\displaystyle x} կետում, և {\displaystyle h\_{n}}-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

{\displaystyle {\frac {(f(x+h\_{n})+g(x+h\_{n}))-(f(x)+g(x))}{h\_{n}}}={\frac {f(x+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}+{\frac {g(x+h\_{n})-g(x)}{h\_{n}}}\rightarrow f'(x)+g'(x):}

### Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական {\displaystyle t} պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից {\displaystyle s\_{1}(t)} է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ {\displaystyle s\_{2}(t)} է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է {\displaystyle V\_{1}(t)=s'\_{1}(t)}արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ {\displaystyle V\_{2}(t)=s'\_{2}(t)} արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա {\displaystyle t} պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝{\displaystyle s(t)=s\_{1}(t)+s\_{2}(t)}, իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ {\displaystyle s(t)=s\_{1}(t)-s\_{2}(t)}։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից
կհեռանա

{\displaystyle V(t)=s'(t)=s'\_{1}(t)+s'\_{2}(t)=V\_{1}(t)+V\_{2}(t)}

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

{\displaystyle V(t)=s'(t)=s'\_{1}(t)-s'\_{2}(t)=V\_{1}(t)-V\_{2}(t)}

Արտադրյալի ածանցման կանոնը
--------------------------

Օրինակներ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)=6x^{2}\cdot 9x} և {\displaystyle (\sin x\cdot \cos x)} ֆունկցիաների ածանցյալը՝ արտադրյալի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

{\displaystyle f(x)=(6x^{2}\cdot 9x)'=(6x^{2})'\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot (9x)'=12x\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot 9=108x^{2}+54x^{2}=162x^{2}}

{\displaystyle (\sin x\cdot \cos x)'=(\sin x)'\cdot \cos x+\sin x\cdot (\cos x)'=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}

* Եթե {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև {\displaystyle f\cdot g} ֆունկցիան, ընդ որում՝

{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}։

### Ապացուցում

Դիցուք {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաներն ածանցելի են {\displaystyle x} կետում, և {\displaystyle h\_{n}}-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

{\displaystyle f(x+h\_{n})\cdot g(x+h\_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h\_{n})\cdot [f(x+h\_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h\_{n})-g(x)]:}

Քանի որ {\displaystyle g} ֆունկցիան {\displaystyle x} կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է {\displaystyle x} կետում։
Հետևաբար, {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }g(x+h\_{n})=g(x):}
Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h\_{n})\cdot g(x+h\_{n})-f(x)\cdot g(x)}{h\_{n}}}=\lim \_{n\rightarrow \infty }g(x+h\_{n})\cdot \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h\_{n})-f(x)}{h\_{n}}}+f(x)\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h\_{n})-g(x)}{h\_{n}}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x):}

Քանորդի ածանցման կանոնը
-----------------------

Օրինակներ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)={\frac {6x^{2}}{9x}}} և {\displaystyle {\frac {2x}{\cos x}}} ֆունկցիաների ածանցյալը՝ քանորդի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

{\displaystyle f(x)=\left({\frac {6x^{2}}{9x}}\right)'={\frac {(6x^{2})'\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot (9x)'}{(9x)^{2}}}={\frac {12x\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot 9}{81x^{2}}}={\frac {2}{3}}}

{\displaystyle \left({\frac {2x}{\cos x}}\right)'={\frac {(2x)'\cdot \cos x+2x\cdot (\cos x)'}{(\cos ^{2}x)}}={\frac {2\cos x-2x\cdot \sin x}{cos^{2}x}}}

***Թեորեմ 1։*** Եթե {\displaystyle g} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle x} կետում և {\displaystyle g(x)\neq 0}, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև {\displaystyle {\frac {1}{g}}} ֆունկցիան, ընդ որում

{\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}}։

### Ապացուցում

Դիցուք {\displaystyle h\_{n}}-ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x+h\_{n})}}-{\frac {1}{g(x)}}}{h\_{n}}}=-{\frac {1}{g(x)g(x+h\_{n})}}\cdot {\frac {g(x+h\_{n})-g(x)}{h\_{n}}}:}

Քանի որ {\displaystyle g} ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է {\displaystyle x} կետում, ուստի

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h\_{n})-g(x)}{h\_{n}}}=g'(x),~~~\lim \_{n\rightarrow \infty }g(x+h\_{n})=g(x):}

***Թեորեմ 2։*** Եթե {\displaystyle f} և {\displaystyle g} ֆունկցիաններն ածանցելի են {\displaystyle x} կետում և {\displaystyle g(x)\neq 0}, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև {\displaystyle {\frac {f}{g}}} ֆունկցիան, ընդ որում

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}}։

### Ապացուցում

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{g^{2}(x)}}\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}:}

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը
-------------------------

Օրինակ  

Գտնենք {\displaystyle f(x)=\cos(2x^{2}+6)} բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը։

{\displaystyle (\cos(2x^{2}+6))'=(2x^{2}+6)'\cdot (\cos(2x^{2}+6))'=-4x\sin(2x^{2}+6)}

***Թեորեմ 1։*** Եթե {\displaystyle t=g(x)} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle x\_{0}} կետում, իսկ {\displaystyle y=f(t)} ֆունկցիան՝ {\displaystyle t\_{0}=g(x\_{0})} կետում, ապա {\displaystyle F=f\circ g} ֆունկցիան ածանցելի է {\displaystyle x\_{0}} կետում, և

{\displaystyle F'(x\_{0})=f'(g(x\_{0}))\cdot g'(x\_{0}):}

***Թեորեմ 2։*** Եթե {\displaystyle f} ֆունկցիան ածանցելի է, ապա {\displaystyle F(x)=f(kx+b)} ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

{\displaystyle F'(x)=k\cdot f'(kx+b):}

### Ապացուցում

Դիցուք {\displaystyle h\_{n}}-ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև {\displaystyle k\cdot h\_{n}} հաջորդականությունը, ուստի

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {F(x+h\_{n})-F(x)}{h\_{n}}}=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+kh\_{n}+b)-f(kx+b)}{h\_{n}}}=k\cdot \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+b+kh\_{n})-f(kx+b)}{kh\_{n}}}=k\cdot f'(kx+b):}

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները
----------------------------------

* {\displaystyle (x^{a})'=a\cdot x^{a-1}}
* {\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
* {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
* {\displaystyle (\mathrm {tg} \ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
* {\displaystyle (\mathrm {ctg} \ x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
* {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
* {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
* {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}
* {\displaystyle (\log \_{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}
* {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
* {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
* {\displaystyle (\mathrm {arctg} \ x)'={\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}
* {\displaystyle (\mathrm {arcctg} \ x)'=-{\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր(11-րդ դասարան):Հեղինակներ Գ.Գ. Գևորգյան, Ա. Ա. Սահակյան
Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց (չաշխատող հղում)

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Լարուսի · Կրուգոսվետ · Մեծ նորվեգական · Treccani |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4233840-2 · LCCN: sh2011005437 · Microsoft: 103572491 · NDL: 00560650 · NKC: ph137564 |

 |