**Սահմանների տեսություն**, տեսություն, որն արդի *մաթեմատիկական անալիզի* հիմքն է․ Սահմանների տեսության հիման վրա են կառուցվում *դիֆերենցիալ հաշիվը, ինաեգրալ հաշիվը*, շարքերի տեսությունը ևն։ Ուսումնասիրության հիմնական առարկան *սահմանն* է։ Սահմանների տեսության մեթոդի էությունն այն է, որ նախ առանձնացվում և հանգամանորեն ուսումնասիրվում են {\displaystyle 0}-ի ձգտող փոփոխականները՝ անվերջ փոքր մեծությունները, և ապա սահմանների վերաբերյալ բոլոր հարցերը հանգեցվում այդ պարզագույն մասնավոր դեպքին։ Դրա համար հիմք է հանդիսանում հետնյալ դրույթը, եթե {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a} (այստեղ և հետագայում ամենուրեք {\displaystyle n\rightarrow \infty }), ապա {\displaystyle x\_{n}=a+a\_{n}}, որտեղ {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0} ե, հակադարձաբար, եթե {\displaystyle x\_{n}=a+a\_{n}}, որտեղ {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0}, ապա {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a}։ Սահմանների տեսութում նախ ապացուցվում են հետևյալ հիմնական առաջադրությունները, որոնց օգնությամբ էլ կառուցվում է ողջ տեսությունը։ 

Անվերջ փոքրերի հիմնական հատկությունները։

1․ Սահմանափակ թվով անվերջ փոքրերի գումարը անվերջ փոքր է (եթե {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0} {\displaystyle \beta \_{n}\rightarrow 0} և, ապա նաև {\displaystyle a\_{n}\pm \beta \_{n}\rightarrow 0})։ 2․ Անվերջ փոքրի և սահմանափակ մեծության արտադրյալը անվերջ փոքր է (եթե {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0} և {\displaystyle \mid x\mid <c}, ապա {\displaystyle a\_{n}x\rightarrow 0})։ 

Հիմնական թեորեմներ սահմանների վերաբերյալ։ 

Եթե {\displaystyle x\_{n}}-ը և {\displaystyle y\_{n}}-ը ունեն վերջավոր սահմաններ, ապա դրանց գումարը (տարբերությունը), արտադրյալը և քանորդը նույնպես ունեն վերջավոր սահմաններ, ընդ որում՝ {\displaystyle limx(x\_{n}\pm y\_{n})=limx\_{n}\pm limy\_{n},} {\displaystyle lim(x\_{n}\cdot y\_{n})=limx\_{n}\cdot limy\_{n},lim{y\_{n} \over x\_{n}}={limx\_{n} \over limy\_{n}}{\biggl (}limy\_{n}\neq 0{\biggr )}:}

Եթե {\displaystyle x\_{n}=y\_{n}} և {\displaystyle y\_{n}\rightarrow a}, ապա նաև {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a}, եթե {\displaystyle x\_{n}\leqslant y\_{n}} և {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a}, {\displaystyle y\_{n}\rightarrow b}, ապա {\displaystyle a\leqslant b} , եթե {\displaystyle x\_{n}\leqslant z\_{n}\leqslant y\_{n}} և {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a}, {\displaystyle y\_{n}\rightarrow a}, ապա նաև{\displaystyle z\_{n}\rightarrow a}։ 

Սահմանի գոյության հայտանիշներ։ 

1․Անհրաժեշտ պայման։ Եթե {\displaystyle x\_{n}}-ը ունի վերջավոր սահման, ապա {\displaystyle x\_{n}}-ը սսհմանափակ է։ 

2 Բավարար պայման։ Վայերշտրասի հայտանիշը, եթե աճող (նվազող) հաջորդականությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակ է, ապա ունի վերջավոր սահման, հակառակ դեպքում ձգտում է անվերջության։ 

3․ Անհրաժեշտ և բավարար պայման։ Բոլցանոյի–Կոշիիսկզբունքը․ {\displaystyle (x\_{n})} հաջորդականության վերջավոր սահմանի գոյության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի ցանկացած \varepsilon>0 թվի համար (որքան էլ այն փոքր վերցնենք) գոյություն ունենա {\displaystyle n\_{o}=n\_{o}(\varepsilon )}, որից մեծ ցանկացած n–ի և m-ի դեպքում {\displaystyle \mid x\_{n}-x\_{m}\mid <\varepsilon }, այսինքն՝ հաջորդականության անդամները, բավականաչափ մեծ համարից սկսած, ցանկացած չափով մոտենան միմյանց։ 

Բերված բոլոր առաջադրությունները հանգունորեն ձևակերպվում են նաև ցանկացած ֆունկցիաների համար։ 

Անորոշություններ։ Անվերջ փոքրերի հատկություններում գումարելիների թվի և երկրորդ բազմապատկիչի սահմանափակ լինելը, հիմնական թեորեմներում սահմանների վերջավոր լինելը և քանորդի հայտարարի սահմանի ոչ {\displaystyle 0} լինելը էական պայմաններ են․ դրանց խախտվելու դեպքում առաջադրությունների եզրակացությունները կարող են ճիշտ չլինել։ Այսպես, օրինակ, երբ {\displaystyle x\_{n}\rightarrow \infty } և {\displaystyle y\_{n}\rightarrow \infty } կամ {\displaystyle x\_{n}\rightarrow 0} և , ապա {\displaystyle {x\_{n} \over y\_{n}}}քանորդը կարող է ձգտել ցանկացած սահմանի (վերջավոր կամ անվերջ) կամ սահման չունենալ։ 

Օրինակ, 


x

n

=

1
n

→
0
,

y

n

=

1

a
n
+
1

→
0
,

{\displaystyle x\_{n}={1 \over n}\rightarrow 0,y\_{n}={1 \over an+1}\rightarrow 0,}

{\displaystyle x_{n}={1 \over n}\rightarrow 0,y_{n}={1 \over an+1}\rightarrow 0,}
{\displaystyle {x\_{n} \over y\_{n}}={an+1 \over n}=a+{1 \over n}} (a-ն ցանկացած թիվ է), 


x

n

=

(
−
1

)

n

n

→
0
,

y

n

=

1
n

→
0
,


x

n


y

n



=
(
−
1

)

n

{\displaystyle x\_{n}={(-1)^{n} \over n}\rightarrow 0,y\_{n}={1 \over n}\rightarrow 0,{\begin{matrix}x\_{n}\\y\_{n}\end{matrix}}=(-1)^{n}}

{\displaystyle x_{n}={(-1)^{n} \over n}\rightarrow 0,y_{n}={1 \over n}\rightarrow 0,{\begin{matrix}x_{n}\\y_{n}\end{matrix}}=(-1)^{n}}
Նույնը տեղի ունի {\displaystyle x\_{n}\cdot y\_{n}} արտադրյալի համար՝ {\displaystyle x\_{n}\rightarrow 0,y\_{n}\rightarrow \infty } դեպքում, {\displaystyle x\_{n}-y\_{n}} տարբերության համար՝ {\displaystyle x\_{n}\rightarrow +\infty ,y\rightarrow +\infty }, դեպքում, և {\displaystyle x\_{n}+y\_{n}} գումարի համար՝ {\displaystyle x\_{n}\rightarrow +\infty ,y\_{n}\rightarrow -\infty } դեպքում։ Այս դեպքերում, գիտենալով հանդերձ {\displaystyle x\_{n}}-ի և {\displaystyle y\_{n}}-ի սահմանները, նրանց գումարի, արտադրյալի կամ քանորդի սահմանի մասին որոշակի բան ասել հնարավոր չէ։ Այս նկատառումով էլ այդպիսի արտահայտություններն անվանում են անորոշություններ։ Գոյություն ունեն յոթ տիպի անորոշւսթյուններ․

0.∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞0: Ս․ տ․ տալիս է անորոշ արտահայտությունների սահմանները գտնելու՝ անորոշությունները բացելու պարզ կանոննելը, որոնք հիմնված են վերը նշված առաջադրությունների, ինչպես և դիֆերենցիալ հաշվի որոշ բանաձևերի վրա։

Տեսական ու կիրառական շատ հարցերում անհրաժեշտություն է առաջանում միմյանց հետ բաղդատելու երկու անվերջ փոքրերի նվազման կամ երկու անվերջ մեծերի աճման արագությունները, որ կատարվում է դրանց հարաբերությունների սահմանի օգնությամբ և հանգեցնում դրանց համար տարբեր կարգեր սահմանլու գաղափարին, եթե, ապա an և βn կոչվում են համարժեք անվերջ փոքրեր (գրվում Է՝ аn~βn), եթե, ապա аn և βn-ը նույն կարգի են [գրվում Է՝ аn= 0(βn)], եթե, ապա аn և βn-ը նկատմամբ բարձրկարգի անվերջ փոքր է [գրվում Է՝ аn=о(βn)]։ Հանգունորեն սահմանվում են նաև անվերջ մեծերի կարգերը։

Պատմական տեղեկություններ։ Սահմանային անցման գործողություններ կատարել են դեռևս հին հույները։ Նրանք, թեպետև բացահայտ չեն մուծել «սահման» հասկացությունը և որևէ ընդհանուր կանոն չեն ձևակերպել, սակայն երկրաչափական պատկերների մակերեսներ ու ծավալներ հաշվելիս յուրաքանչյուր առանձին դեպքում ապացուցել են մեծությունների մոնոտոն և սահմանափակ հաջորդականության սահմանի գոյությունն ու միակությունը։

Սահմանների տեսութ ստեղծելու առաջին քայլերն արել են XVII դ․, limes (լատ․ սահման) տերմինն առաջին անգամ գործածել է Ի․ Նյուտոնը (1686)։ XVIII դ․ Սահմանների տեսութունը օգտագործվել է միայն դիֆերենցիալ հաշվի ստացած առանձին արդյունքներ բացատրելու համար, սակայն չի հանդիսացել որպես ամբողջ նոր հաշիվը հիմնավորելու միջոց։ Արդի Սահմանների տեսութուն սկսել է ձևավորվել XIX դ․ սկզբներին՝ կապված ֆունկցիաների բավականաչափ լայն դասերի ընդհանուր հատկությունները զուտ թվաբանորեն հետազոտելու հարցերի հետ։ Օ․ Կոշրն 1821–23 թթ․ թվաբանորեն ձևակերպել է սահմանի հասկացությունը, մշակել Սահմանների տեսությունը և նրա հիման վրա կառուցել անվերջ փոքրերի հաշիվը։ Սակայն, Կոշիի մշակած Սահմանների տեսություում հիմնական դեր է կատարում ոչ թե սահմանի բուն սահմանումը, այլ Բոլցանոյի–Կոշիի սկզբունքը, որն արտահայտում է վերջավոր սահմանի ձգտող մեծության փոփոխման ներքին էությունը։ Սահմանի այժմյան «ε–δ» սահմանումը պատկանում է Կ․ Վայերշտրասին (1880)։

Գրականություն
-------------

* Սմիրնով Վ․ Ի․, Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց, հ․ 1, Ե․, 1948։
* Ֆիխտենգոլց Գ․ Մ․, Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները, հ․ 1, Ե․, 1970։
* Александров П-С․, Введение в общую теорию множеств и функций, М․–Л․, 1948:
* Никольский С․ М․, Курс математического анализа, т․ 1–2, М․, 1973․

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 10, էջ 147)։*  |