**Լապլասի օպերատոր** (**լապլասիան,** դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է{\displaystyle \ \Delta } տառով։

n-չափանի տարածությունում {\displaystyle F\ } ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

{\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x\_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x\_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x\_{n}^{2}}\right)F}:
Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ {\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }:
Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}:
Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում
--------------------------------------------------

Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ {\displaystyle q\_{1},\ q\_{2},\ q\_{3}} կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
{\displaystyle \Delta f(q\_{1},\ q\_{2},\ q\_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q\_{1},\ q\_{2},\ q\_{3})=}
{\displaystyle ={\frac {1}{H\_{1}H\_{2}H\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}\left({\frac {H\_{2}H\_{3}}{H\_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q\_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{2}}}\left({\frac {H\_{1}H\_{3}}{H\_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q\_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{3}}}\left({\frac {H\_{1}H\_{2}}{H\_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q\_{3}}}\right)\right],}
որտեղ {\displaystyle H\_{i}\ }-ն Լամեի գործակիցն է։
### Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներով`
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}

### Սֆերիկ կոորդինատներ

Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
կամ
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
Այն դեպքում, երբ{\displaystyle \ f=f(r)} n-չափանի տարածության մեջ է՝
{\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}
### Պարաբոլական կոորդինատներ

Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}
### Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ

Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

{\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն
----------------------------------------------------

Հիմնական հոդված՝ Ռիմանի տարածություն
Դիցուք հարթ բազմաձև {\displaystyle X}-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և {\displaystyle g\_{ij}}-ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է {\displaystyle X}-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
{\displaystyle ds^{2}=\sum \_{i,j=1}^{n}g\_{ij}dx^{i}dx^{j}} .
{\displaystyle g^{ij}}-ով նշանակենք {\displaystyle (g\_{ij})^{-1}} մատրիցի էլեմենտները՝

{\displaystyle g=\operatorname {det} g\_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}}.
{\displaystyle F^{i}} տրված կոորդինատներով որոշվող {\displaystyle F} վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է {\displaystyle \sum \_{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) *X* բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

{\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})},
իսկ *f* ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
{\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum \_{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}
Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը {\displaystyle X}-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum \_{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.}
{\displaystyle \Delta f}-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

Կիրառություն
------------

Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

Վարիացիա և ընդհանրացում
-----------------------

* Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
* Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

Տես նաև
-------

* Նաբլա օպերատոր
* Լապլասի հավասարում
* Հարմոնիկ ֆունկցիա
* Կիրխհոֆի մատրից

Արտաքին հղումներ
----------------

* MathWorld description of Laplacian

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա · Մեծ կատալոնական · Մեծ նորվեգական |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4166772-4 · LCCN: sh85074667 · Microsoft: 165700671 · NDL: 01181008 |

 |