{\displaystyle y=e^{x}} էքսպոնենտի գրաֆիկը (կապույտով ). e^x -ի շոշափողը կարմիրով։ Թեքությունը՝ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })}.

Օրինակի համար դրված է նաև {\displaystyle y=2^{x}} (կետերով) և {\displaystyle y=4^{x}} (գծիկներով)
**Էքսպոնենտ,** {\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}} ցուցչային ֆունկցիա, որտեղ e -ն Էյլերի թիվն է {\displaystyle (e\approx 2{,}718)}.

Որոշում
-------

Էքսպոնենտալ ֆունկցիան կարող է որոշվել տարբեր համարժեք ձևերով։ Օրինակ՝ Թեյլորի շարքի միջոցով․

{\displaystyle e^{x}=1+\sum \_{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
կամ սահմանի միջոցով․

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}

Այստեղ x-ը ցանկացած կոմպլեքս թիվ է։

Հատկություններ
--------------

* (e^{x})'=e^{x}, մասնավորապես, էքսպոնենտը՝ {\displaystyle y'=y} դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումն է, {\displaystyle y(0)=1} սկզբնական տվյալով։ Բացի այդ, էքսպոնենտի միջոցով արտահայտվում է համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները։
* Էքսպոնենտը որոշված է ամբողջ իրական թվերի առանցքով։ Այն ամենուր աճում է և միշտ մեծ է զրոյից։
* Էքսպոնենտը ուռուցիկ ֆունկցիա է։
* Նրան հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է {\displaystyle (\ln x)}։
* Ֆուրիեի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գույաություն չունի, եթե նրան ընդունենք որպես սովորական ֆունկցիա, իսկ եթե ընդունենք որպես ընդհանրացված, ապա այդպիսին կհամարվի Դիրակի դելտա-ֆունկցիան։
* Լապլասի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գոյություն ունի․
* Ածանցյալը զրոյում հավասար է մեկի,այդ պատճառով այդ կետում շոշափողը թեքված է {\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}} աստիծանով։
* Ցանկացած ցուցչային ֆունկցիայի նման, նրա հիմնական հատկությունն է․
{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}.
	+ Այդպիսի հատկությամբ անընդհատ ֆունկցիան կամ նույնականորեն հավասար է 0, կամ ունի {\displaystyle \exp(cx)} տեսքը, որտեղ c հաստատուն է։։
* {\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}, որտեղ {\displaystyle \operatorname {sh} } և {\displaystyle \operatorname {ch} } ՝ հիպերբոլական սինուս և կոսինուս են։

Կոմպլեքս էքսպոնենտ
------------------

Էքսպոնենտի գրաֆիկը կոմպլեքս հարթությունում․
Կոմպլեքս էքսպոնենտը մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որը տրվում է {\displaystyle f(z)=e^{z}}բանաձևով, որտեղ z-ը կոմպլեքս թիվ է։

{\displaystyle f(x)=e^{x}} իրական x փոփոխականով։

Որոշենք կապը՝

{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}.

Այս ձևով որոշված արտահայտությունը իրական թվերի առանցքի վրա համընկնելու է իրական դասական էքսպոնենտի հետ։ Լիարժեքության համար պետք է ցույց տալ, որ {\displaystyle e^{z}}-ը բաժանվում է որոշակի, այդ ֆունկցիային ձգտող շարքի։

Ցույց տանք․

{\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Տվյալ շարքի համապատասխանելիությունը հեշտությամբ ապացուցվում է․

{\displaystyle \left|e^{iy}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum \_{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum \_{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}.

### h-էքսպոնենտ

հ-էքսպոնենտի ներմուծումը հիմնված է երկրորդ հրաշալի սահմանի վրա։

{\displaystyle e\_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}

{\displaystyle h\to 0} դեպքում ստացվում է սովորական էքսպոնենտ.

Հակադարձ ֆունկցիա
-----------------

Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է։ Նշանակվում է \ln x։

{\displaystyle \ln x=\log \_{e}x.}

Տես նաև
-------

* Ցուցչային ֆունկցիա
* Էքսպոնենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

Գրականություն
-------------

* Лаврентьев М. А. Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
* Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Արտաքին հղումներ
----------------

* «Экспонента и число е: просто и понятно Archived 2015-09-25 at the Wayback Machine.» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained(անգլ.)