«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)
«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ
Մաթեմատիկայի մեջ {\displaystyle x} իրական թվի **ամբողջ մասը** {\displaystyle x} –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև **անտյե** (ֆր.՝ entier), կամ **հատակ** (անգլ.՝ floor)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ **առաստաղ** (անգլ.՝ ceiling), {\displaystyle x} կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

Նշանակությունն ու օրինակներ
---------------------------

{\displaystyle x} թվի ամբողջ մասի նշանակման համար ({\displaystyle [x]}) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ, մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «*A Programming Language*» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց {\displaystyle x} թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» {\displaystyle x} և համապատասխանաբար նշանակել {\displaystyle \lfloor x\rfloor } և {\displaystyle \lceil x\rceil } ։
Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ, {\displaystyle [x]} և {\displaystyle \lfloor x\rfloor }, սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման {\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}, սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

{\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2\end{matrix}}}
Տե՛ս նաև՝ Կլորացում

Սահմանում
---------

{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor } հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար {\displaystyle x}․

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}}
{\displaystyle \lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil } առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար {\displaystyle x}․

{\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}}
Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ *n*–ը ամբողջ թիվ է)․

{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{aligned}}}

Հատկություններ
--------------

Ներքևում գրված բանաձևերում {\displaystyle x} և {\displaystyle y} տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ {\displaystyle n} և {\displaystyle m} տառերով՝ ամբողջները։ 

### Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

{\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad }
Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

* Կիսաանընդհատ վերևից և
* Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

* Կիսաանընդատ ներքևից և
* Անընդհատ ձախից

### Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը

{\displaystyle x} կամայական թվի համար ճիշտ է

{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil } անհավասարությունը։
{\displaystyle x} ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x}
Եթե {\displaystyle x} ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}}
Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

{\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor }
### Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն

Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը
․

{\displaystyle {\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}}
Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

{\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil }
### Հատակ/առաստաղ՝ գումարում

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
:

{\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n}
Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil }
### Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ

Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․

Թող {\displaystyle f(x)} –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

{\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z} } հատկությամբ։
Այդ դեպքում՝

{\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil }
ամեն անգամ, երբ որոշված են {\displaystyle f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )}։

Մասնավորապես,

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil }
եթե {\displaystyle m} և {\displaystyle n}  ամբողջ թվեր են և {\displaystyle n>0}։

### Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ

Եթե {\displaystyle m,n} ամբողջ թվեր են, {\displaystyle m>0}, ապա

{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }
Ընդհանրապես, եթե {\displaystyle x} կամայական իրական թիվ է, իսկ {\displaystyle m}՝ ամբողջ դրական, ապա 

{\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }
Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն
․

{\displaystyle \sum \_{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)}
Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է {\displaystyle m} և {\displaystyle n} նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ *փոխադարձության օրենքը*․

{\displaystyle \sum \_{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum \_{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0}
### Շարքով տրումը

Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

{\displaystyle [x]=\sum \_{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),}
որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),}
որը տրոհվում է։

Կիրառություն
------------

Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

### Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը

Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը *b* հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է

{\displaystyle \lfloor \log \_{b}n\rfloor +1}
### Կլորացում

Հիմնական հոդված՝ Կլորացում
{\displaystyle x} մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

{\displaystyle (x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor } բանաձևով։
### mod բինար գործողություն

Հիմնական հոդված՝ Բաժանումից մնացորդ
«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք {\displaystyle x{\bmod {y}}} , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե {\displaystyle x,y}  կամայական իրական թվեր են և {\displaystyle y\neq 0}, ապա {\displaystyle x}–ը {\displaystyle y}–ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

{\displaystyle \lfloor x/y\rfloor },
իսկ մնացորդը՝

{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor }
### Կոտորակային մաս

Հիմնական հոդված՝ Կոտորակային մաս
{\displaystyle x} իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

{\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }
### Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը

Պահանջվում է գտնել {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն {\displaystyle n} ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

{\displaystyle \alpha \leqslant n\leqslant \beta } անհավասարությանը։
Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

{\displaystyle \lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor }:
Դա հանդիսանում է {\displaystyle \lceil \alpha \rceil } և {\displaystyle \lfloor \beta \rfloor } ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ {\displaystyle \lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}:
Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը։ Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում.
.

{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil }
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor }
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1}
*({\displaystyle \#M} -ով նշանակված է {\displaystyle M} բազմության հզորությունը)*։

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր {\displaystyle \alpha \leqslant \beta } համար, իսկ չորորդը՝ միայն {\displaystyle \alpha <\beta } դեպքում։

### Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը

Թող {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված

{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.} հարաբերությամբ։
Այդ դեպքում թվերի շարքում

{\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots }
յուրաքանչյուր բնական {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ։
Այլ խոսքերով՝

{\displaystyle \{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}} և {\displaystyle \{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}} հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են
Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը։

Ինֆորմատիկայի մեջ
-----------------

### Ծրագրավորման լեզուներում

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների  floor(), ceil() ներկայացումը։

### Էջատման համակարգում

TeX (и LaTeX) -ում հատակի/առաստաղի {\displaystyle \lfloor }, {\displaystyle \rfloor }, {\displaystyle \lceil }, {\displaystyle \rceil } սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները։ Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Lemmermeyer, pp. 10, 23.
2. ↑  Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
3. ↑  Iverson, p. 12.
4. ↑  Higham, p. 25.
5. 1 2  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 88.
6. ↑  Weisstein, Eric W. "Floor Function", *MathWorld*.
7. 1 2  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 90.
8. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 89.
9. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 90-91.
10. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 93.
11. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 108.
12. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 112-117.
13. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 91.
14. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 95-96.
15. ↑  *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — С. 99-100.
16. ↑  *А. Баабабов* «Пентиум» хорошо, а ум лучше // *Квант*. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

Գրականություն
-------------

* *Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.* Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
* *М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко.* Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.