20/4=5
**Բաժանում** (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։», թեք «{\displaystyle /}» կամ հորիզոնական «—» գիծը։

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

**Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։**

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն
--------------------------------

Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «{\displaystyle \,~/,~:,~-}» ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

* Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
* Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր *Acta eruditorum* աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
* Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

{\displaystyle a:b=c} ․
{\displaystyle 6:3=2}(«վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․
{\displaystyle 65:5=13}(«վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

Հատկություններ
--------------

{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

* Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․

{\displaystyle a:b\neq b:a;}
* Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։

{\displaystyle (a:b):c\neq a:(b:c);}
* Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք

{\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}
* {\displaystyle x:1=x;}
* {\displaystyle 1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;}

* {\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}

* {\displaystyle x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}

* {\displaystyle x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.}

Թվերի բաժանում
--------------

### Բնական թվերի

Օգտագործում ենք բնական {\displaystyle \mathbb {N} } թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք {\displaystyle C,A,B,R} դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները{\displaystyle [C],[A],[B],[R]}։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

1. {\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]} -բաժանում հավասար մասերի․
2. {\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]}-բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ {\displaystyle A/B} դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

{\displaystyle B\_{\alpha }=B\_{\beta },}{\displaystyle \quad \bigcup \limits \_{\alpha \in C}B\_{\alpha }+R=A,} {\displaystyle \quad \bigcap \_{\alpha ,\beta \in C}(B\_{\alpha },B\_{\beta },R)=\{\emptyset \},} բոլոր գործակիցների համար {\displaystyle \alpha ,\beta \in C}, այնպիսիք, որ {\displaystyle \alpha \not =\beta ;}

{\displaystyle R}-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը {\displaystyle \{\emptyset \}\leqslant R<B},

мини

### Ամբողջ թվերի բաժանում

Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝ {\displaystyle -7/(-3)=2} մնացորդը (-1) կամ {\displaystyle -7\equiv 2{\pmod {3}}}.

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

### Ռացիոնալ թվերի բաժանում

Կոտորակների բաժանում․

### {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}}

### Իրական թվերի բաժանում

Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է {\displaystyle \mathbb {R} }. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

{\displaystyle \alpha =\pm a\_{0},a\_{1}a\_{2}\ldots a\_{n}\ldots =\{a\_{n}\},}
{\displaystyle \beta =\pm b\_{0},b\_{1}b\_{2}\ldots b\_{n}\ldots =\{b\_{n}\},}
Եթե ՝ {\displaystyle \alpha =[a\_{n}]} և {\displaystyle \beta =[b\_{n}]}, ապա դրանց քանորդ համարվում է {\displaystyle \gamma =[c\_{n}]}, որը որոշվում է{\displaystyle \{a\_{n}\}} և {\displaystyle \{b\_{n}\}}:

{\displaystyle \gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a\_{n}]:[b\_{n}]=[a\_{n}/b\_{n}]},
իրական {\displaystyle \gamma =\alpha :\beta } թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').}
Այսպիսով, երկու իրական {\displaystyle \alpha } և {\displaystyle \beta } թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական {\displaystyle \gamma } թիվը, որը գտնվում էբոլոր {\displaystyle a':b'} տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից {\displaystyle a'':b''}քանորդների միջև։

{\displaystyle \gamma =\pi :e} բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

* Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
* Ստանում ենք՝ {\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}․
* Բաժանում ենք սյունակով՝ {\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}․
* Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ {\displaystyle \gamma \approx 1.156}.

Տես նաև
-------

* Բաժանելիության հայտանիշներ
* Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
* Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
* Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
* Մնացորդով բաժանում

Ծանոթագրություններ
------------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
2. ↑  Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида {\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}
3. ↑  Ильин, 1985, էջ 46

Գրականություն
-------------

* *Ильин В.А. и др.* Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
* Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 223)։*  |