**Սպին**, տարրական և բաղադրյալ (հադրոններ և ատոմական միջուկներ) մասնիկները բնութագրող հիմնարար հատկություն քվանտային մեխանիկայում և տարրական մասնիկների ֆիզիկայում։ Անգլերենից թարգմանաբար spin նշանակում է «պտույտ, «հոլ», սակայն տվյալ դեպքում այն ոչ մի ընդհանրություն չունի առօրյայից մեզ հայտնի այդ հասկացությունների հետ։ Տարրական մասնիկների ֆիզիկայում և քվանտային աշխարհում կիրառվող «սպին» բառը ներատոմային մասնիկները բնութագրող անքակտելի հատկանիշ է և ենթարկվում է որոշակի կանոնների։

Որևէ տեսակին պատկանող բոլոր տարրական մասնիկներն ունեն միևնույն **սպինային քվանտային թիվը**, որը մասնիկի քվանտային վիճակի կարևորագույն բաղկացուցիչներից է։ Սպինային վիճակագրության թեորեմը գալիս է այն եզրակացության, որ էլեկտրոնի սպին ունենալուց բխում է Պաուլիի արգելման սկզբունքը, որն իր հերթին հանգում է քիմիական տարրերի պարբերական աղյուսակին։ Մասնիկի **սպինի ուղղությունը** (կարճության համար երբեմն նաև պարզապես «սպին» են ասում) մասնիկի կարևոր ազատության աստիճան է։

Առաջին անգամ սպինի հասկացությունը կիրառել է Վոլֆգանգ Պաուլին, առանց, սակայն, անվանելու այն։ 1925 թ. Ռալֆ Քրոնիգը, Ջորջ Ուլենբեկը և Սեմյուել Գաուդսմիթը առաջարկեցին իրենց առանցքի շուրջը պտտվող մասնիկի ֆիզիկական մեկնաբանությունը։ 1927 թ. Պաուլին հիմնավորապես մշակեց մաթեմատիկական տեսությունը։ 1928 թ. երբ Պոլ Դիրակը զարգացնում էր իր ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկան, այնտեղ սպինը արդեն հիմնավոր դեր ուներ։
Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսի մոմենտի երկու բաղկացուցիչներ կան՝ *ուղեծրային իմպուլսի մոմենտը*, որը դասական մեխանիկայի իմպուլսի մոմենտի ընդհանրացումն է, ({\displaystyle L=r\cdot p}) և սպինը, որը դասական մեխանիկայում չունի անալոգ։ Քանի որ սպինը իմպուլսի մոմենտի տարատեսակ է, այն SI համակարգում ունի նույն չափողականությունը` Ջ•վ։ Սակայն գործնականում սպինը երբեք չի նկարագրվում ՄՄՀ միավորներով, այլ ներկայացվում է որպես Պլանկի բերված հաստատունի` *ħ*-ի բազմապատիկը։ Բնական միավորներում *ħ*-ը անտեսվում է, ուստի սպինը գրվում է որպես չափողականություն չունեցող թիվ։ Ըստ սահմանման, սպինային քվանտային թիվը նույնպես չափողականություն չունի։

Սպինային քվանտային թիվ
----------------------

Ինչպես նշվեց, սպինը սկզբնականում ներկայացվում էր որպես մասնիկի պտույտ իր սեփական առանցքի շուրջը։ Այս պատկերացումը կենսունակ է, քանի դեռ սպինը ենթարկվում է միևնույն մաթեմատիկական օրենքներին, ինչ և իմպուլսի քվանտացված մոմենտը։ Մյուս կողմից, սպինն ունի մի քանի յուրօրինակ հատկանիշներ, որոնք էլ նրան տարբերակում են ուղեծրային իմպուլսի մոմենտից.

* Սպինային քվանտային թվերը կարող են ունենալ ինչպես ամբողջ, այնպես էլ կիսաամբողջ արժեքներ։
* Չնայած սպինի ուղղությունը կարող է փոխվել, տարրական մասնիկը չի կարող դրա հետևանքով ավելի արագ կամ դանդաղ պտտվել։
* Լիցքավորված մասնիկի սպինը զուգորդվում է 1-ից տարբեր g-ֆակտոր ունեցող մագնիսական դիպոլային մոմենտի հետ։ Դասական ֆիզիկայում սա դրսևորվում է, միայն եթե մասնիկի ներքին լիցքը բաշխումը տարբեր է զանգվածի բաշխումից (գիրոմագնիսական հարաբերություն)։

### Սպինային վիճակագրության թեորեմը

Մասնիկի սպինը որոշիչ հետևանքներ ունի վիճակագրական մեխանիկայում նրա հատկությունների դրսևորման մեջ։ Կիսաամբողջ սպինով մասնիկները ենթարկվում են Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությանը և հայտնի են ֆերմիոններ ընդհանուր անունով։ Նրանցով պահանջվում է զբաղեցնել հակասիմետրիկ քվանտային վիճակները։ Այս հատկությունը ֆերմիոններին արգելում է զբաղեցնել միևնույն քվանտային վիճակը. սահմանափակում, որը հայտնի է Պաուլիի սկզբունք անունով։ Հակառակը, ամբողջ թվով մասնիկները ենթարկվում են Բոզե-Այնշտայնի վիճակագրությանը և հայտնի են որպես բոզոններ։ Այս մասնիկները զբաղեցնում են *սիմետրիկ վիճակները*, ուստի կարող են բաժանել քվանտային վիճակներ։ Այս պնդումը հայտնի է որպես սպինային վիճակագրության թեորեմ։ Այն հիմնվում է քվանտային մեխանիկայի և հարաբերականության հատուկ տեսության վրա։ *Սպինի և վիճակագրության միակցումը հարաբերականության հատուկ տեսության ամենակարևոր կիրառություններից մեկն է*։

Սպինի ուղղությունը
------------------

### Սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվը և սպինային պատիկությունը

Դասական մեխանիկայում մասնիկի անկյունային մոմենտը ունի ոչ միայն մեծություն (որը ցույց է տալիս մարմնի պտտման արագությունը), այլև ուղղություն (մասնիկի պտտման առանցքով դեպի վերև կամ ներքև)։ Քվանտամեխանիկական սպինը նույնպես տեղեկություն է հաղորդում ուղղության մասին, սակայն ոչ ուղղակիորեն։ Ըստ քվանտային մեխանիկայի, որևէ ուղղությամբ չափված անկյունային մոմենտի տարածական վեկտորը կարող է ընդունել միայն հետևյալ արժեքները

{\displaystyle S\_{i}=\hbar s\_{i},\quad s\_{i}\in \{-s,-(s-1),\cdots ,s-1,s\}\,\!}
որտեղ {\displaystyle S\_{i}}-ն սպինի բաղադրիչն է {\displaystyle i} առանցքի վրա (կամ {\displaystyle x,y,z}), {\displaystyle s\_{i}}-ն սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվն է {\displaystyle i} առանցքով, {\displaystyle s}-ը գլխավոր սպինային քվանտային թիվն է։ Պայմանականորեն որպես ուղղություն ընտրված է {\displaystyle z} առանցքը՝

{\displaystyle S\_{z}=\hbar s\_{z},\quad s\_{z}\in \{-s,-(s-1),\cdots ,s-1,s\}\,\!}
որտեղ {\displaystyle S\_{z}} սպինի բաղադրիչն է {\displaystyle z} առանցքով, {\displaystyle s\_{z}}-ը սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվն է {\displaystyle z} առանցքով։

Ինչպես տեսնում ենք, {\displaystyle s\_{z}}-ի հնարավոր արժեքները {\displaystyle 2s+1} են։ {\displaystyle 2s+1} թիվը սպինային համակարգի սպինային բազմապատիկն է։ Օրինակ, {\displaystyle 1/2} սպին ունեցող մասնիկների համար կան միայն երկու հնարավոր արժեքներ՝{\displaystyle s\_{z}=+1/2} և {\displaystyle s\_{z}=-1/2}: Սրանք համապատասխանում են այնպիսի քվանտային վիճակների, որոնցում սպինը համապատասխանաբար ցույց է տալիս {\displaystyle +z} կամ{\displaystyle -z} ուղղությունները և հաճախ նշվում են որպես «սպինը վերև» և «սպինը ներքև»։ {\displaystyle 3/2} սպինով մասնիկի համար, ինչպիսին է դելտա բարիոնը, հնարավոր արժեքներն են {\displaystyle +3/2,+1/2,-1/2,-3/2}:

### Սպինային վեկտոր

Տրված քվանտային վիճակի համար կարելի է խոսել {\displaystyle \langle S\rangle } սպինային վեկտորից, որի բաղադրիչները յուրաքանչյուր առանցքի երկայնքով սպինի բաղադրիչների սպասվող արժեքներն են, այսինքն՝ {\displaystyle \langle S\rangle =[\langle S\_{x}\rangle ,\langle S\_{y}\rangle ,\langle S\_{z}\rangle ]}: Այդ դեպքում այս վեկտորը կնկարագրի սպինի նշած «ուղղությունը»` պտտման առանցքի դասական հասկացությանը համապատասխան։ Ստացվում է, որ սպինային վեկտորը այնքան էլ օգտակար չէ փաստացի քվանտամեխանիկական հաշվարկներում, քանի որ չի կարող չափվել անմիջականորեն. {\displaystyle s\_{x}}-ը, {\displaystyle s\_{y}}-ը և {\displaystyle s\_{z}}-ը չեն կարող ունենալ միաժամանակյա որոշված արժեքներ իրենց միջև առկա անորոշությունների առնչությունների պատճառով։ Այնուհանդերձ, միևնույն մաքուր քվանտային վիճակում գտնվող մասնիկների` վիճակագրության համար բավարար թվով հավաքածուի համար (ինչպիսին կարելի է ստանալ Սթերն-Գեռլախի սարքի միջոցով) սպինային վեկտորը պետք է ունենա լավ որոշարկված փորձարարական իմաստ՝այն հատկորոշում է ուղղությունը սովորական տարածության մեջ, որում հաջորդական դեդեկտորը պետք է կողմնորոշված լինի՝հասնելու համար հավաքածուում յուրաքանչյուր մասնիկը որոշելու առավելագույն հնարավոր հավանականության (100%)։ {\displaystyle 1/2} սպինով մասնիկների համար առավելագույն հավանականությունը հավասարաչափ ընկնում է սպինային վեկտորով և դետեկտորով կազմված անկյան աճին զուգընթաց, մինչև 180°, այսինքն՝ երբ դետեկտորն ուղղված է սպինային վեկտորին հակառակ, հավանականությունը հասնում է նվազագույնին՝ 0%:

Սպինային վեկտորը հաճախ ավելի դյուրընկալելի է որպես որակական հասկացություն, քանի որ հեշտ է նկարագրել դասականորեն։ Օրինակ, քվանտամեխանիկական սպինը կարելի է ներկայացնել դասական գիրոսկոպական էֆեկտին համարժեք երևույթով։ Կարելի է էլեկտրոնի վրա ազդել **պտտման մոմենտով**` այն դնելով մագնիսական դաշտում։ Արդյունքում սպինային վեկտորը պրեցեսիայի է ենթարկվում` ճիշտ ինչպես դասական գիրոսկոպը։ Այս երևույթն օգտագործվում է միջուկային մագնիսական ռեզոնանսը ի հայտ բերելիս։
Մաթեմատիկորեն քվանտամեխանիկական սպինը չի նկարագրվում վեկտորով, ինչպես դասական անկյունային մոմենտը, այլ՝ սպինորով։ Կոորդինատային համակարգը պտտելու դեպքում սպինորի և վեկտորի միջև նուրբ տարբերություն է դիտվում։ Օրինակ՝ {\displaystyle 1/2} սպինով մասնիկը 360°-ով պտտելիս այն չի վերադառնում միևնույն քվանտային վիճակին, այլ՝ հակառակ քվանտային փուլով վիճակին։ Սկզբունքորեն այս երևույթը հնարավոր է նկատել ինտերֆերենցային փորձերի ժամանակ։ Մասնիկն իր սկզբնական վիճակին վերադարձնելու համար անհրաժեշտ է այն պտտել 720°-ով։ Զրո սպին ունեցող մասնիկը կարող է ունենալ միայն մեկ քվանտային վիճակ, նույնիսկ եթե պտտվող մոմենտ է կիրառվել։ 2 սպին ունեցող մասնիկը 180°-ով պտտելով՝ այն կարելի է ետ բերել միևնույն քվանտային վիճակին, իսկ 4 սպին ունեցող մասնիկը միևնույն քվանտային վիճակին ետ բերելու համար այն պետք է պտտել 90°-ով։ 2 սպինով մասնիկը կարելի է համեմատել ուղիղ ձողի հետ, որը նույն դիրքին է վերադառնում 180°-ով պտտելիս, իսկ 0 սպին ունեցող մասնիկը նման է գնդի, որը միևնույն տեսքն ունի՝ ինչ անկյունով էլ պտտենք։

Սպինի մաթեմատիկական ձևակերպումը
-------------------------------

### Սպինային օպերատոր

Ինչպես ուղեծրային անկյունային մոմենտը, սպինը նույնպես ենթարկվում է կոմուտացման առնչություններին.

{\displaystyle [S\_{i},S\_{j}]=i\hbar \epsilon \_{ijk}S\_{k}}
որտեղ {\displaystyle \epsilon \_{ijk}}-ը Լևի-Չիվիտի սիմվոլն է։ Այստեղից բխում է (ինչպես անկյունային մոմենտի դեպքում), որ {\displaystyle S^{2}}-ի և {\displaystyle S\_{z}}-ի սեփական վեկտորները`

{\displaystyle S^{2}|s,m\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle }
{\displaystyle S\_{z}|s,m\rangle =\hbar m|s,m\rangle }:
Ծնման և ոչնչացման օպերատորները կիրառելով այս սեփական վեկտորների հանդեպ, կստանանք`

{\displaystyle S\_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1),m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle }, որտեղ {\displaystyle S\_{\pm }=S\_{x}\pm iS\_{y}}:
Սակայն ի տարբերություն ուղեծրային անկյունային մոմենտի, սեփական սֆերիկ հարմոնիկներ չեն։ Դրանք ֆունկցիաներ չեն *θ*-ից և *φ*-ից։

Ի լրումն մյուս բնորոշ հատկանիշների, բոլոր քվանտամեխանիկական մասնիկները ունեն սեփական սպին (կարող են ունանալ նաև 0 սեփական սպին)։ Սպինը քվանտացվում է Պլանկի բերված հաստատունի միավորներով, այնպես որ մասնիկի վիճակի ֆունկցիան ոչ թե {\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )} է, այլ՝ {\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,,}, որտեղ {\displaystyle \sigma }-ն հետևյալ դիսկրետ արժեքների ցանկում չէ.

{\displaystyle \sigma \in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}\,\!}:
Ըստ սպինի՝ տարբերակվում են բոզոններ (ամբողջ սպին) և ֆերմիոններ (կիսաամբողջ սպին)։ Փոխազդեցության ընթացքում պահպանվող լրիվ անկյունային մոմենտը ուղեծրային անկյունային մոմենտի և սպինի *գումարն* է։

### Պաուլիի մատրիցներ և սպինային օպերատորներ

Սպինի դիտարկումների հետ զուգորդվող քվանտամեխանիկական օպերատորներն են՝

{\displaystyle S\_{x}={\hbar \over 2}\sigma \_{x},\quad S\_{y}={\hbar \over 2}\sigma \_{y},\quad S\_{z}={\hbar \over 2}\sigma \_{z}.}
{\displaystyle 1/2} սպինով մասնիկների մասնավոր դեպքում {\displaystyle \sigma \_{x},\sigma \_{y}} և {\displaystyle \sigma \_{z}} երեք Պաուլիի մատրիցներն են.

{\displaystyle \sigma \_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma \_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma \_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}:}
### Սպինը և Պաուլիի արգելման սկզբունքը

{\displaystyle N} նույնական մասնիկների համակարգի համար Պաուլիի արգելման սկզբունքն ասում է, որ{\displaystyle N} մասնիկներից ցանկացած երկուսի փոխազդեցության արդյունքում պետք է տեղի ունենա

{\displaystyle \psi (\cdots \mathbf {r} \_{i},\sigma \_{i}\cdots \mathbf {r} \_{j},\sigma \_{j}\cdots )=(-1)^{2s}\psi (\cdots \mathbf {r} \_{j},\sigma \_{j}\cdots \mathbf {r} \_{i},\sigma \_{i}\cdots )}
հավասարությունը։ Այսպիսով, բոզոնների համար {\displaystyle (-1)^{2s}} բազմապատկիչը {\displaystyle +1} է, ֆերմիոնների համար՝ {\displaystyle -1}: Քվանտային մեխանիկայում ցանկացած մասնիկ կա՛մ բոզոն է, կա՛մ ֆերմիոն։ Դաշտի քվանտային որոշ հիպոթետիկ տեսություններում գոյություն ունեն նաև «վերսիմետրիկ» մասնիկներ, որտեղ ի հայտ են գալիս ֆերմիոնների և բոզոնների գծային կոմբինացիաներ։ Երկչափ դեպքում {\displaystyle (-1)^{2s}} բազմապատկիչը կարող է փոխարինվել {\displaystyle 1} բացարձակ մեծություն ունեցող ցանկացած կոմպլեքս թվով (տես էնիոն)։

Էլեկտրոնը {\displaystyle s=1/2} սպինով ֆերմիոն է, լույսի քվանտը՝ ֆոտոնը, {\displaystyle s=1} սպինով բոզոն է։ Այս հանգամանքից ակնհայտ է նաև, որ *սպին* հատկությունը չի կարող մեկնաբանվել որպես դասական սեփական ուղեծրային անկյունային մոմենտ, քանի որ ուղեծրային անկյունային պտույտները կարող են տալ միայն {\displaystyle s}-ի ամբողջ արժեքներ։ Այստեղ գործ ունենք հարաբերականության էական հետևանքի հետ։ Ֆոտոնը, ըստ էության, նաև ռելյատիվիստական մասնիկ է (արագությունը՝ {\displaystyle v\approx c})։
{\displaystyle N} մասնիկների վիճակի ֆունկցիաների համար վերև բերված փոխատեղությունը նախապայման է առօրյա կյանքի ամենակարևոր երևույթներից մեկի՝ պարբերական աղյուսակի համար։

Կիրառությունները
----------------

Սպինը ունի կարևոր տեսական և գործնական կիրառություններ։ Սպինի քաջ հայտնի *ուղղակի* կիրառություններից են՝

* Միջուկային մագնիսական ռեզոնանսային սպեկտրասկոպիան քիմիայում.
* Էլեկտրոնային սպինային ռեզոնանսային սպեկտրասկոպիան քիմիայում և ֆիզիկայում.
* Մագնիսական ռեզոնանսային պատկերումը (MRI) բժշկության մեջ.
* Գիգանտային մագնիսադիմադրության երևույթը (GMR) ժամանակակից կոշտ սկավառակների տեխնոլոգիայում։

Էլեկտրոնի սպինը կարևոր դեր ունի մագնիսականության մեջ, ինչը կիրառվում է, օրինակ, համակարգչի հիշողությունում։ Ռադիոալիքների *միջուկային սպինի* օգտագործումը (միջուկային մագնիսական ռեզոնանս) կարևոր է քիմիական սպեկտրասկոպիայում և բժշկական պատկերագրության մեջ։

Սպին-ուղեծրային փոխազդեցությունը հանգեցնում է ատոմի սպեկտրի նուրբ կառուցվածքին, ինչն օգտագործվում է ատոմական ժամացույցներում և վայրկյանը ժամանակակից եղանակներով չափելու համար։ Էլեկտրոնի {\displaystyle g}-ֆակտորի ճշգրիտ չափումները կարևոր դեն են խաղում քվանտային էլեկտրադինամիկայի մշակման և ստուգման մեջ։ *Պրոտոնի սպինը* զուգորդվում է լույսի բևեռացման հետ։

Սպինի ուղղակի կիրառության ապագա հնարավորություններից է երկուական տեղեկույթի կրիչը սպինային տրանզիստորներում։ Սկզբնական հասկացությունը, որն առաջ է քաշվել 1990 թ, հայտնի է որպես Դատա-Դասի սպինային տրանզիստոր։
Սպինի և Պաուլիի սկզբունքի կիրառության և հետևանքների բազմաթիվ *անուղղակի* օրինակներ կան, որոնցից ամենահայտնին տարրերի պարբերական աղյուսակն է։

Պատմություն
-----------

Սպինի գաղափարը ծագեց ալկալիական մետաղների ճառագայթման սպեկտրի ուսումնասիրությունից։ 1924 թ. Վոլֆգանգ Պաուլին ներկայացրեց իր դիտարկումները (որոնք անվանեց «երկու արժեքանի քվանտային ազատության աստիճաններ»)` կապված էլեկտրոնային թաղանթի արտաքին էլեկտրոնի հետ։ Նա ձևակերպեց արգելման սկզբունքը, որի համաձայն` **երկու էլեկտրոններ չեն կարող միաժամանակ գտնվել միևնույն քվանտային վիճակում**։ Սկզբում հնարավոր չէր գտնել Պաուլիի «ազատության աստիճանների» ֆիզիկական մեկնաբանությունը։ 1925 թ. սկզբին Ալֆրեդ Լանդեի օգնականներից մեկը՝ Ռալֆ Քրոնիգը, ներկայացրեց էլեկտրոնի սեփական պտույտի գաղափարը։ Պաուլին խստորեն քննադատեց այն՝ նշելով, որ էլեկտրոնի հիպոթետիկ մակերևույթը այդ դեպքում պետք է շարժվի լույսի արագությունից ավելի մեծ արագությամբ՝ պահանջվող անկյունային մոմենտը ունենալու համար։ Սա կհակասեր հարաբերականության տեսությանը։ Առավելապես Պաուլիի քննադատության պատճառով Քրոնիգը չհրապարակեց իր գաղափարը։

1925 թ. աշնանը նույն մտքին եկան երկու դանիացի ֆիզիկոսներ՝ Ջորջ Ուլենբեկը և Սամուել Գուդսմիթը։ Պոլ Էռենֆեստի խորհրդով նրանք հրապարակեցին իրենց հետազոտությունը։ Այն աստիճանաբար ճանաչում գտավ, հատկապես երբ Լյուելին Թոմասը համեմատեց իր ստացած փորձնական տվյալները Ուլենբեկի և Գուդսմիթի հաշվարկների հետ։ Չնայած իր սկզբնական առարկություններին, Պաուլին 1927 թ. ձևակերպեց սպինի տեսությունը՝ օգտվելով արդեն իսկ Շրեդինգերի և Հայզենբերգի մշակած քվանտային մեխանիկայից։ Նա կիրառության մեջ դրեց Պաուլիի մատրիցները որպես սպինային օպերատորների ներկայացում և ներկայացրեց երկկոմպոնենտանի սպինորային ալիքային ֆունկցիան։
Պաուլիի սպինի տեսությունը ոչ ռելյատիվիստական էր։ 1928 թ. Պոլ Դիրակը հրապարակեց Դիրակի հավասարումը, որոնցով նկարագրվում է ռելյատիվիստական էլեկտրոնը։ Դիրակի հավասարման մեջ էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիայի համար օգտագործվում է քառակոմպոնենտ սպինոր («Դիրակի սպինոր»)։ 1940 թ. Պաուլին ապացուցեց *սպինային վիճակագրության թեորեմը*, որի համաձայն ֆերմիոնը ունի կիսամաբողջ սպին, իսկ բոզոնը՝ ամբողջ։
Էլեկտրոնի սպինի առաջին ուղղակի փորձարարական ապացույցը դեռ 1922 թ. ստացվել էր Սթերն-Գեռլախի փորձով։ Սակայն այս փորձի ճշգրիտ բացատրությունը տրվեց միայն 1927 թ.:

Տես նաև
-------

* Շտեռն-Գեռլախի փորձ
* Պաուլիի հավասարում

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  "Angular Momentum Operator Algebra", class notes by Michael Fowler
2. ↑  *A modern approach to quantum mechanics*, by Townsend, p31 and p80
3. ↑  Pauli, Wolfgang (1940). «The Connection Between Spin and Statistics» (PDF). *Phys. Rev*. **58** (8): 716–722. Bibcode:1940PhRv...58..716P. doi:10.1103/PhysRev.58.716.
4. ↑  Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1
5. ↑  Datta. S and B. Das (1990). «Electronic analog of the electrooptic modulator». *Applied Physics Letters*. **56** (7): 665–667. Bibcode:1990ApPhL..56..665D. doi:10.1063/1.102730.
6. ↑  
B. Friedrich, D. Herschbach (2003). «Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics». *Physics Today*. **56** (12): 53. Bibcode:2003PhT....56l..53F. doi:10.1063/1.1650229.