**Մնացորդների մասին չինական թեորեմ**, մի քանի գծային համակարգի կապակցված պնդումների համեմատում։

Պատմություն
-----------

Այս թեորեմը իր թվաբանական ձևակերպմամբ նկարագրվել է չինական մաթեմատիկոս Սուն Ցզիի «Սուն Ցզի Սուան Ցզին» տրակտատում (չինարեն՝ 孙子算经), մոտավորապես թվագրվել է մ․թ․ա երրորդ դարում և այնուհետև ընդհանրացվել է Ցին Ցզյուշաոյի կողմից իր «Մաթեմատիկական դատողություններ 9 գլխով», տպագրված 1247 թվականին, որտեղ բերված էր ճշգրիտ լուծումը։

Ձևակերպում
----------

Եթե {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}} բնական թվերը զույգ առ զույգ փոխադարձ պարզ են, ապա ցանկացած ամբողջ {\displaystyle r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{n}} այնպիսին է, որ {\displaystyle 0\leqslant r\_{i}<a\_{i}} բոլոր {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\},} համար կգտնվի {\displaystyle N}, որը {\displaystyle a\_{i}} վրա բաժանելիս տալիս է {\displaystyle r\_{i}} մնացորդ բոլոր {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} համար։ Ավելին, եթե գտնվեն այնպիսի երկու՝ {\displaystyle N\_{1}} և {\displaystyle N\_{2}}, ապա {\displaystyle N\_{1}\equiv N\_{2}{\pmod {a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{n}}}}։

Ապացույցներ
-----------

### Ինդդուկցիա հավասարումների քանակով

Օգտվենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից։ {\displaystyle n=1} դեպքում թեորեմի պնդումը ակնհայտ է։
Թող թեորեմը ճշմարիտ լինի {\displaystyle n=k-1} դեպքում, ապա գոյություն ունի {\displaystyle m} թիվը, որը {\displaystyle a\_{i}} {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,k-1\}} դեպքում թվի վրա բաժանելիս տալիս է {\displaystyle r\_{i}} մնացորդը։ Նշանակենք

{\displaystyle d=a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{k-1}}։
Ընտրում ենք {\displaystyle a\_{k}} կամայական թիվը, որը փոխադաչձ պարզ է բոլոր {\displaystyle a\_{1}\dots a\_{k-1}} հետ և դիտարկենք {\displaystyle M=\{m,m+d,m+2d,\dots ,m+(a\_{k}-1)\cdot d\}=\{m+t\cdot d\}\_{0\leqslant t<a\_{k}}} թվերը։Ցույց տանք, որ բոլոր {\displaystyle t\in \{0,\dots ,a\_{k}-1\}} հանդիսանում են մնացորդներ {\displaystyle M} ֊ի ինչ֊որ էլեմենտների՝ {\displaystyle a\_{k}} վրա բաժանելիս։
Ենթադրենք, որ դա այդպես չէ, այսինքն գոյություն ունեն որոշակի {\displaystyle r\_{k}<a\_{k}}, որոնք չեն պատկանում {\displaystyle M} էլեմենտների՝ {\displaystyle a\_{k}} վրա բաժանելիս ստացված մնացորդների բազմությանը։Քանի որ այդ էլեմենտների թիվը հավասար է {\displaystyle |M|=a\_{k}},իսկ {\displaystyle M} ֊ի ինչ֊որ էլեմենտների՝ {\displaystyle a\_{k}} վրա բաժանելիս հնարավոր մնացորդները հնարավոր է շատ չեն, քան {\displaystyle a\_{k}-1} (քանի որ ոչ մի թիվ չի տալիս {\displaystyle r\_{k}} մնացորդ), ապա նրանց մեջ կգտնվեն երկու թիվ, որոնք ունեն հավասար մնացորդներ (Դիրիխլեի արկղի սկզբունք). Թող այդ թվերը լինեն {\displaystyle m+t\_{1}d} և {\displaystyle m+t\_{2}d} , {\displaystyle t\_{1}\neq t\_{2}} դեպքում. Այդ դեպքում իրենց {\displaystyle (m+t\_{1}d)-(m+t\_{2}d)=(t\_{1}-t\_{2})d} տարբերությունը բաժանվում է {\displaystyle a\_{k}} վրա, ինչը հնարավոր է, քանի որ {\displaystyle t\_{1}<a\_{k}}, {\displaystyle t\_{2}<a\_{k}}, {\displaystyle 0<|t\_{1}-t\_{2}|<a\_{k}} և {\displaystyle d=a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{k-1}} {\displaystyle a\_{k}} հետ փոխադարձ պարզ են, այլապես {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{k}} թվերը զույգ առ զույգ փոխադարձ պարզ են (ըստ պայմանի). *Հակասություն։*
Այսպիսով, դիտարկվող թվերի մեջ կգտնվի math>N = m + t\cdot d</math> թիվ, որը {\displaystyle a\_{k}} վրա բաժանելիս տալիս է {\displaystyle r\_{k}} մնացորդ. Միևնույն ժամանակ {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{k-1}} վրա բաժանելիս {\displaystyle N} թիվը համապատասխանաբար տալիս է {\displaystyle r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{k-1}} մնացորդ,քանի որ {\displaystyle m+t\cdot d\equiv m{\pmod {a\_{i}}}}։
Այժմ ապացուցենք, որ {\displaystyle N\_{1}\equiv N\_{2}{\pmod {a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{n}}}}.
Իրականում {\displaystyle N\_{1}\equiv N\_{2}\equiv r\_{i}{\pmod {a\_{i}}}}, այսինքն
{\displaystyle N\_{1}-N\_{2}\equiv 0{\pmod {a\_{i}}}}. այսպիսով, {\displaystyle N\_{1}-N\_{2}} թիվը բոլոր {\displaystyle a\_{i}} բաժանում է առանց մնացորդի, ինչպես նաև իրենց արտադրյալները։ Ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

### Ապացույցի կոնստրուկտիվ մեթոդ

Ներքևում նկարագրված թեորեմի ապացույցը օգնում է լուծել պրակտիկորեն կարևոր խնդիր՝ մոդուլով դծային հավասարումների համակարգի լուծման որոնում։.
Դիտարկենք 

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{cases}x&\equiv r\_{1}{\pmod {a\_{1}}}\\x&\equiv r\_{2}{\pmod {a\_{2}}}\\&\vdots \\x&\equiv r\_{n}{\pmod {a\_{n}}}\\\end{cases}}} | (1)
  |

 հավասարումների համակարգը։

Եթե {\displaystyle (r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{n})} և {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})} բավարարում են թեորեմի պայմաններին, ապա (1)համակարգի լուծումը գոյություն ունի և {\displaystyle M} մոդուլով ճշտությամբ միակն է, որտեղ {\displaystyle M={\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}a\_{i}}}, ընդ որում ճշմարիտ է բանաձևը

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle x=\sum \_{i=1}^{n}r\_{i}M\_{i}M\_{i}^{-1}}, որտեղ {\displaystyle M\_{i}={\frac {M}{a\_{i}}}}, իսկ {\displaystyle M\_{i}^{-1}} — հակադարձ մուլտիպլիկատիվ {\displaystyle M\_{i}\mod a\_{i}} {\displaystyle \mathbb {Z} \_{a\_{i}}} օղակի էլեմենտ է։ | (2)
  |

Ցույց տանք, որ այդ եղանակով որոշված {\displaystyle x} ֊ը հանդիսանում է լուծում։ Ստուգենք, որ նրա համար համակարգումգործում է i-е հավասարությունը։
{\displaystyle x\equiv \sum \_{j=1}^{n}r\_{j}M\_{j}M\_{j}^{-1}\equiv r\_{i}M\_{i}M\_{i}^{-1}\equiv r\_{i}{\pmod {a\_{i}}}}
Երկրորդ հավասարությունը ճշմարիտ է, քանի որ {\displaystyle M\_{j}\equiv {\displaystyle \prod \_{k\neq j}^{n}a\_{k}}\equiv 0{\pmod {a\_{i}}}} , բոլոր {\displaystyle i\neq j} դեպքում, երրորդը, քանի որ {\displaystyle M\_{i}^{-1}} հանդիսանում է հակադարձ {\displaystyle a\_{i}} մոդուլով {\displaystyle M\_{i}} համար։ Բոլոր {\displaystyle i} համար կրկնելով դատողությունը, համոզվենք, որ (2) բանաձևով որոշված {\displaystyle x} ֊ը հանդիսանում է լուծում (1) համար։

Բոլոր {\displaystyle x'\equiv x{\pmod {M}}} թվերը, ընտրված {\displaystyle M} թվի համաձայն,կբավարարեն համակարգին։
Այժմ ցույց տանք, որ {\displaystyle 0,1,\dots ,M-1} (բազմություն {\displaystyle A}) թվերի մեջ մեր գտած լուծումից բացի ուրիշ լուծում չի գտնվի։ Այդ փաստի հակառակ ապացույցը։ Ենթադրենք, որ հաջողվել է մնացորդների որոշակի {\displaystyle r} հավաքածուի համար գտնել գոնե երկու՝ {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in A} լուծում։ Քանի որ բոլոր թույլատրելի {\displaystyle (r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{n})} հավաքածուների բազմությունը հանդիսանում է հավասարահզոր {\displaystyle A} բազմությանը, ապա {\displaystyle {\overline {A}}\_{x}:=A\setminus \{x\_{1},x\_{2}\}} և {\displaystyle {\overline {B}}\_{r}:=B\setminus \{r\}} համար գործում է {\displaystyle |{\overline {A}}\_{x}|<|{\overline {B}}\_{r}|}։ Սակայն, վերը ապացուցվածի համաձայն, {\displaystyle {\overline {B}}\_{r}} ֊ի ցանկացաց հավաքածուի համար գոյություն ունի {\displaystyle {\overline {A}}\_{x}} ֊ից լուծում, հետևաբար Դիրիխլեի սկզբունքի համաձայն կգտնվեն ամենաքիչը երկու մնացորդների հավաքածուներ, որոնց համապատասխանում է նույն {\displaystyle x\in A} ֊ն։ Այդպիսի {\displaystyle x} ֊ի համար կգտնվի այնպիսի {\displaystyle a\_{i}}, որ {\displaystyle x\equiv r\_{1},x\equiv r\_{2}{\pmod {a\_{i}}}} և {\displaystyle r\_{1}\neq r\_{2}}. *Հակասություն*. Ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

### Դիտողություն

Վերը ապացուցվածից հետևում է, որ {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})} ցանկացած հավաքածուի {\displaystyle B} մնացորդների վեկտորի և {\displaystyle A} բազմության թվի միջև գոյություն ունի միարժեք փոխադարձ համապատասխանություն, ինչը նշանակում է, որ (2) ֊ով տրված {\displaystyle B} ֊ի արտապատկերումը {\displaystyle A} մեջ հանդիսանում է բիեկտիվ. Նկատենք, որ

{\displaystyle (x{\pmod {M}})\leftrightarrow (r\_{1}{\pmod {a\_{1}}},r\_{2}{\pmod {a\_{2}}},\dots ,r\_{n}{\pmod {a\_{n}}})}; համապատասխանությունից բացի

ճշմարիտ են նաև 

{\displaystyle (x\_{1}\pm x\_{2}{\pmod {M}})\leftrightarrow (r\_{11}\pm r\_{21}{\pmod {a\_{1}}},r\_{12}\pm r\_{22}{\pmod {a\_{2}}},\dots ,r\_{1n}\pm r\_{2n}{\pmod {a\_{n}}})};

{\displaystyle (x\_{1}x\_{2}{\pmod {M}})\leftrightarrow (r\_{11}r\_{21}{\pmod {a\_{1}}},r\_{12}r\_{22}{\pmod {a\_{2}}},\dots ,r\_{1n}r\_{2n}{\pmod {a\_{n}}})}.

Մնացորդների վեկտորի անցումը թվի ժամանակավոր բարդությունը գնահատվում է {\displaystyle O(k^{2})}, որտեղ k ֊ն վերականգնվող թիվն է բիթերո։

Լուծումների որոշման ալգորիթմ
----------------------------

Բերենք ներքևում խնդիրների լուծման ալգորիթմ, որը դրվում է {\displaystyle x} թվի, որոշակի տրված փոխադարձ պարզ {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}} թվերի բաժանումով իր մնացորդների հավաքածուով, վերականգնման թեորեմում։

### Էլեմենտար հանրահաշիվ

Որպես օրինակ դիտարկենք

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 1{\pmod {2}}\\x\equiv 2{\pmod {3}}\\x\equiv 6{\pmod {7}}\\\end{cases}}} |  |

համակարգը։

Համակարգի լուծման համար առանձին արտագրենք առաջին, երկրորդ և երրորդ հավասարումների լուծումները 2 × 3 × 7 = 42):

{\displaystyle x\_{1}\in \{1,3,5,7,9,11,\dots ,39,\mathbf {41} ,43,\dots \}}
{\displaystyle x\_{2}\in \{2,5,8,11,14,\dots ,38,\mathbf {41} ,44,\dots \}}
{\displaystyle x\_{3}\in \{6,13,20,27,34,\mathbf {41} ,48,\dots \}}
Ակնհայտ է, որ համակարգի լուծումների բազմությունը կլինի վերը ներկայացված բազմությունների հատումը։ Թեորեմի պնդման համաձայն լուծումը գոյություն ունի և միակն է մինչև 42 մոդուլի վերցնելը ճշտությամբ։ Մեր դեպքում {\displaystyle x\in \{41,83,125,\dots \}} կամ {\displaystyle x\equiv 41{\pmod {42}}.}

Ուրիշ ճանապարհ ցույց տալու համար խնդիրը վերաձևակերպենք։ 
Գտնենք թվերի (*u*, *v*, *w*) այնպիսի եռյակ, որ։

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{cases}x=1+2u\\x=2+3v\\x=6+7w\\\end{cases}}} |  |

*x* ֊ը առաջին հավասարումից երկրորդի մեջ տեղափոխելով կստանանք {\displaystyle 1+2u\equiv 2{\pmod {3}}}, այդ դեպքում {\displaystyle 2u\equiv 1{\pmod {3}}}, կամ {\displaystyle 4u\equiv 2{\pmod {3}}}, կամ {\displaystyle u\equiv 2{\pmod {3}}}, կամ {\displaystyle u=2+3s};

հետո *x* ֊ը տեղափոխելով առաջին հավասարումից երրորդի մեջ {\displaystyle u} տեսքի արտահայտության հաշվարկի համար, կստանանք {\displaystyle 1+2(2+3s)\equiv 6{\pmod {7}}} կամ {\displaystyle 6s\equiv 1{\pmod {7}}}, {\displaystyle 36s\equiv 6{\pmod {7}}} և հետևաբար {\displaystyle s\equiv 6{\pmod {7}}};

այդ դեպքում {\displaystyle x=1+2(2+3\cdot 6)=41}.

### Մնացորդների մասին չինական թեորեմի հիմքի վրա ալգորիթմ

Ալգորիթմը տարվում է դեպի թեորեմում տրված բանաձևով լուծումների որոնում։

Քայլ 1. Հաշվում ենք {\displaystyle M={\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}a\_{i}}}։

Քայլ 2. Բոլոր {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} համար գտնում ենք {\displaystyle M\_{i}={\frac {M}{a\_{i}}}}։

Քայլ 3. Գտնում ենք {\displaystyle M\_{i}^{-1}={\frac {1}{M\_{i}}}{\bmod {a\_{i}}}} (օրինակ, օգտագործելով Էվկլիդեսի ընդլայնված ալգորիթմ)։

Քայլ 4. Հաշվում ենք հիմնական արժեքը {\displaystyle x=\sum \_{i=1}^{n}r\_{i}M\_{i}M\_{i}^{-1}\mod M} բանաձևով։

### Գեռների ալգորիթմ

Դիտարկենք մոդուլների {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})} խումբը, բավարարող թեորեմի պայմաններին։ Թվերի տեսության մեկ այլ թեորեմով հիմնավորվում է,որ ցանկացած {\displaystyle 0\leqslant x<M=a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{n}} թիվ միանշանակ ներկայացնելի է

{\displaystyle x=x\_{1}+x\_{2}\cdot a\_{1}+x\_{3}\cdot a\_{1}\cdot a\_{2}+\dots +x\_{n}\cdot a\_{1}\cdot a\_{2}\cdot \ldots \cdot a\_{n-1}} տեսքով։

Հերթականությամբ հաշվելով բոլոր {\displaystyle x\_{i}} для {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} գործակիցները, մենք կկարողանանք տեղադրել դրանք բանաձևում և գտնել հիմնական լուծումը։

Նշանակենք {\displaystyle r\_{ij}=a\_{i}^{-1}{\bmod {a\_{j}}}} և դիտարկենք {\displaystyle a\_{i}} մոդուլով արտահայտություն {\displaystyle x} համար։

{\displaystyle x\_{1}=r\_{1}};

{\displaystyle r\_{2}=(x\_{1}+x\_{2}a\_{1}){\bmod {a\_{2}}}};

{\displaystyle x\_{2}=(r\_{2}-x\_{1})r\_{12}{\bmod {a\_{2}}}};

{\displaystyle r\_{3}=(x\_{1}+x\_{2}a\_{1}+x\_{3}a\_{1}a\_{2}){\bmod {a\_{3}}}};

{\displaystyle x\_{3}=((r\_{3}-x\_{1})r\_{13}-x\_{2})r\_{23}{\bmod {a\_{3}}}}

և այլն։

{\displaystyle x\_{i}} գործակիցների որոնման ալգորիթմը ակնառուության համար կիրառենք կոդով, ենթադրությամբ, որ a, remainders զանգվածները և հակադարձ էլեմենտների inverses երկչափ զանգվածը արդեն ստացել են անհրաժեշտ արժեքները։

```
for (int i = 0; i < n; i++) {
 x[i] = remainders[i];
 for (int j = 0; j < i; j++) {
 x[i] = inverses[j][i] \* (x[i] - x[j]);
 x[i] = x[i] % a[i];
 if (x[i] < 0)
 x[i] += a[i];
 }
}

```

Տրված ալգորիթմի համար {\displaystyle x\_{i}} գործակիցների որոշման բարդությունը {\displaystyle O(n^{2})} է։ Բարդությունը նույնպիսին է նաև գտնված գործակիցներով իրական արժեքի վերականգման դեպքում։

Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ
-----------------------------

### Բանաձևայնացում օղակների համար

Թող {\displaystyle A,B\_{1},\dots ,B\_{n}} —ն լինի միավորով կոմուտատիվ օղակներ, {\displaystyle \varphi \_{i}\colon A\to B\_{i}} ֊ն՝ սյուրեկտիվ հոմոմորֆիզմներ, {\displaystyle \ker \varphi \_{i}+\ker \varphi \_{j}=A} հատկանիշներով օժտված, բոլոր {\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\},i\neq j} համար։ Այդ դեպքում 

{\displaystyle \Phi \colon A\to \prod \_{i=1}^{n}B\_{i}} հոմոմորֆիզմը,
տրված 

{\displaystyle \Phi (a)=(\varphi \_{1}(a),\dots ,\varphi \_{n}(a))} բանաձևով,
հանդիսանում է սյուրեկտիվ։ Առավել ևս, {\displaystyle \Phi } որոշում է իզոմորֆիզմ

{\displaystyle A/\left(\bigcap \_{i=1}^{n}\ker \varphi \_{i}\right)\cong \prod \_{i=1}^{n}B\_{i}}։
Եթե տեղադրել {\displaystyle A=\mathbb {Z} /(a\_{1}\cdot \ldots \cdot a\_{n}\mathbb {Z} ),B\_{i}=\mathbb {Z} /a\_{i}\mathbb {Z} \ (i=1,2,\dots ,n;\ a\_{i}\in \mathbb {Z} )} և հոմոմորֆիզմը որոշել հետևյալ կերպ․ 

{\displaystyle \varphi \_{i}(x)=x\,{\bmod {\,a\_{i}}}},
ապա մենք կստանանք թեորեմի թվաբանական տարբերակը։

Այդպես հաճախ հանդիպում է օղակների էկվիվալենտ ձևակերպումը, որտեղ {\displaystyle B\_{i}} ունեն {\displaystyle A/I\_{i}} տեսքը, իդեալների որոշակի {\displaystyle I\_{1},\dots ,I\_{n}} խմբի, {\displaystyle \varphi \_{i}} հոմոմորֆիզները հանդիսանում են իրական պրոյեկցիաներ {\displaystyle A/I\_{i}} վրաև պահանջվում է, որ {\displaystyle I\_{i}+I\_{j}=A} ցանկացած {\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\},i\neq j} համար։ Ուրիշ բառերով, եթե {\displaystyle I\_{1},\dots ,I\_{n}} իդեալները զույգ առ զույգ փոխադարձ պարզ են (այսինքն երկու իդեալների գումարը հավասար է հենց օղակին), ապա նրանց արտադրյալը համընկնում է իրենց հատման հետ և ֆակտոր օղակը այդ արտադրյալով իզոմորֆ է ֆակտորների արտադրյալին․

{\displaystyle A/(I\_{1}I\_{2}\ldots I\_{n})\cong A/I\_{1}\times A/I\_{2}\times \ldots \times A/I\_{n}}։
### Ապացույց էվկլիդյան օղակների համար

Թող {\displaystyle R} լինի էվլկիդյան օղակ և {\displaystyle m,n} ֊ն՝ փոխադարձ պարզ թվեր։ Այդ դեպքում կապացուցենք, որ գոյություն ունի կոռեկտ տրված իզոմորֆիզմ․

{\displaystyle R/\_{(mn)}\cong R/\_{(m)}\times R/\_{(n)}}

```
{\displaystyle [x]\_{mn}\longrightarrow ([x]\_{m},\ [x]\_{n})} ուղիղ արտապատկերումն ակնհայտ է։
```

Հակառակ արտապատկերման գոյության ապացուցման համար դիտարկենք {\displaystyle [1]} և {\displaystyle [0]} էկվիվալենտության դասերը։

{\displaystyle ([1]\_{m},\ [0]\_{n})\longrightarrow [u]\_{mn}}

{\displaystyle ([0]\_{m},\ [1]\_{n})\longrightarrow [v]\_{mn}}

{\displaystyle [u]\_{mn}} կգտնենք լուծելով հավասարումների հետևյալ համակարգը․

{\displaystyle {\begin{cases}u\equiv 1\ {\pmod {m}}\\u\equiv 0\ {\pmod {n}}\end{cases}}}

{\displaystyle \exists y\in \mathbb {Z} :\ u=ny,\ ny\equiv 1{\pmod {m}}}

Անալոգ ձևով գտնենք {\displaystyle [v]\_{mn}}:

{\displaystyle \exists x\in \mathbb {Z} :\ u=mx,\ mx\equiv 1{\pmod {m}}}

Ցույց տանք, որ ընդհանուր տեսքով գործում է․

{\displaystyle ([a]\_{m},\ [b]\_{n})\longrightarrow [au+bv]\_{mn}}

{\displaystyle au+bv\equiv a{\pmod {m}}}, քանի որ {\displaystyle v\equiv 0{\pmod {m}}} և {\displaystyle u\equiv 1{\pmod {m}}}

{\displaystyle au+bv\equiv b{\pmod {n}}}, քանի որ {\displaystyle u\equiv 0{\pmod {n}}} և {\displaystyle v\equiv 1{\pmod {n}}}

Ստուգենք արտապատկերման կոռեկտությունը, այսինքն, որ {\displaystyle [a]\_{m},\ [b]\_{n}} դասի տարբեր էլէմենտներ վերցնելու դեպքում արդյունքը չի փոխվում։

{\displaystyle {\begin{cases}a\equiv a'{\pmod {m}}\\b\equiv b'{\pmod {n}}\end{cases}}}

Նշանակում է {\displaystyle au+bv\equiv a'u+b'v{\pmod {mn}}}, արտապատկերումը կոռեկտ է։

Կարելի է ստուգել, որ կառուցված արտապատկերումը ճիշտ հակառակն է։

Կիրառում
--------

Մնացորդների մասին չինական թեորեմը լայն կիրառում ունի թվերի տեսության, ծածկագրության մեջ և այլ տեղերում։

* Փոխադարձ միարժեք համապատասխանությունը կամայական թվի և իր մնացորդների միչև,փոխադարձ պարզ թվերի խմբով վորոշվող, որի գոյությունը հաստատվում է թեորեմում, պրակտիկայում օգնում է աշխատել ոչ երկար թվերի հետ, այլ իր մնացորդների կարճ երկարությամբ խմբերի հետ։ Բացի դրանից, մոդուլներից յուրաքանչյուրի հաշվումը կարելի է կատարել զուգահեռ։ Եթե, որպես բազիս վերցնենք, օրինակ, առաջին 500 պարզ թվերը, որոնցից յուրաքանչյուրի երկարությունը չի գերազանցում 12 բիթ, ապա դա բավարար է տասական թվերի ներկայացմանը մինչև 1519 նշան երկարությամբ։ (Թե,որտեղից է վերցրված 1519 թիվը, շատ հեշտ է հասկանալ․ առաջին 500 պարզ թվերի տասական լոգարիթմների գումարը հավասար է 1519,746…)։

Օրինակ, RSA ալգորիթմում հաշվումը կատարվում է *n* շատ մեծ թվի մոդուլով, ներկայացված երկու մեծ պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով։ Թեորեմը թույլ է տալիս անցում կատարել այդ պարզ բաժանարարների մոդուլով հաշվմանը, որոնք մեծությամբ արդեն *n* արմատների կարգի են, նշանակում է ունեն երկու անգամ փոքր բիթային երկարություն։
Նշենք նաև, որ հաշվարկների օգտագործումը, համաձայն մնացորդների մասին չինական թեորեմի, RSA ալգորիթմը ժամանակային հարձակումները դարձնում է ընկալելի։.
* Թեորեմում հիմնավորված են Ասմուտ — բլումի սխեմա և Մինյոտտայի սխեմա — մասնակիցների խմբում գաղտնիքի բաժանարարի մուտքային սխեմաները։ Գաղտիքը կարող են իմանալ *n* մասնակիցներից միայն *k* ֊ն, միավորելով իրենց բանալիները.
* Կիրառումներից մեկը հանդիսանում է պարզ թվերի հիման վրա Ֆուրյեի արագ փոխակերպումը։
* Թեորեմն ընկած է հավասարման ամբողջաթվային արմատների որոնման Խասսեի սկզբունքի հիմքում.
* Թեորեմից հետևում է Էյլերի ֆունկցիայի մուլտիպլիկատիվությունը։
* Թեորեմում հիմնավորվում է հատուկ տեսք ունեցող թվերի համար պոլիմինալ ժամանակից դիսկրետ ալգորիթմի որոնումը՝ Պոլիգ — Խելլմանի ալգորիթմ։
* Թեորեմը բազմակի կիրառում ունի գաղտնագրման համակարգերում վերծանման և ապավերծանման մեջ, օրինակ, Ռաբինի կրիպտոհամակարգում կամ Վիժեների ծածկագրման մեջ։

Գրականություն
-------------

* *С. Ленг* Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 82—83.
* *Гольденберг А.* Задача остатков(ռուս.) // *В.О.Ф.Э.М.*. — 1887. — № 35. — С. 247—253.
* *Н. Смарт* Криптография. — 2005. — 528 с.
* *Нестеренко А.* Введение в современную криптографию.Теоретико-числовые алгоритмы. — 2011. — 190 с.
* *Переславцева О. Н.* Распараллеливание алгоритмов с применением китайской теоремы об остатках. — Вестник ТГУ, 2009. — № 4. — ISSN 1810-0198.
* *Фергюсон, Нильс, Шнаер, Брюс* Практическая криптография. — М.: Вильямс, 2004. — 432 с. — ISBN 5-8459-0733-0
* *Ян Сонг Й* Криптоанализ RSA. — 2011. — 312 с. — ISBN 978-5-93972-873-7
* *Шенец Н. Н.* Модульное разделение секрета и системы электронного голосования. — Вестник БГУ, 2011. — № 1.

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Ишмухаметов, 2011, էջ 36
2. 1 2  Нестеренко, 2011, էջ 19
3. 1 2 3  Габидулин, Кшевецкий, Колыбельников, 2011, էջ 229
4. ↑  Осипов Н.Н. 2008, էջ 80
5. 1 2  Осипов Н.Н. 2008, էջ 19
6. ↑  Габидулин, Кшевецкий, Колыбельников, 2011, էջ 230
7. ↑  Шнаер, 2004, էջ 249
8. ↑  Нестеренко, 2011, էջ 20
9. ↑  Нестеренко, 2011, Теорема 2.4, էջ 21
10. ↑  Нестеренко, 2011, էջ 22
11. ↑  Переславцев, 2009, Вестник ТГУ, 2009. — № 4
12. ↑  Шнаер, 2004, էջ 250
13. ↑  Ян Сонг Й, 2011, 8.4
14. ↑  "Модульное разделение секрета и системы электронного голосования" (PDF). Արխիվացված է the original (PDF) 2018 թ․ ապրիլի 24-ին. Retrieved 2017 թ․ նոյեմբերի 1.
15. ↑  R. Tolimieri FFT Algorithms
16. ↑  Otmar Venjakob p-adic Numbers and the Hasse Principle
17. ↑  Василенко, 2003
18. ↑  М. П. Минеев, В. Н. Чубариков об одном применении китайской теоремы об остатках к шифру Виженера(չաշխատող հղում)
 (2010)

Արտաքին հղումներ
----------------

* *Шенец Н. Н.* Модульное разделение секрета и системы электронного голосования Archived 2018-04-24 at the Wayback Machine.(2011)
* *Ишухаметов Ш. Т.* Методы факторизации натуральных чисел(2011)
* *Нестеренко А.* Введение в современную криптографию Теоретико-числовые алгоритмы (2011)
* *Минеев М. П. Чубариков В. Н.* Об одном применении китайской теоремы об остатках к шифру Виженера(չաշխատող հղում)
 (2010)

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Բառարաններ և հանրագիտարաններ | Բրիտանիկա |
|  |
| Չափորոշչային վերահսկողություն | GND: 4470755-1 · LCCN: sh97002778 · Microsoft: 151635116 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Թվերի տեսություն |
| --- |
|  |
| Ոլորտներ | 
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դասի դաշտի տեսություն, ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն, Իվասավայի տեսություն, Իվասավա-Թեյթի տեսություն, Կումերի տեսություն)
* Անալիտիկ թվերի տեսություն (L-ֆունկցիաների անալիտիկ տեսություն, հավանականական թվերի տեսություն, մաղերի տեսություն)
* Թվերի երկրաչափություն
* Հաշվողական թվերի տեսություն
* Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն (Առաքելովի տեսություն, Հոջ-Առաքելովի տեսություն)
* Թվաբանական կոմբինատորիկա (ադիտիվ թվերի տեսություն)
* Թվաբանական երկրաչափություն (անաբելյան երկրաչափություն, P-ադիկ Հոջի տեսություն)
* Թվաբանական տոպոլոգիա
* Թվաբանական դինամիկա

 |
|  |
| Հիմնական հասկացություններ | 
* Թվեր
* 0
* Բնական թվեր
* Միավոր
* Պարզ թվեր
* Բաղադրյալ թվեր
* Ռացիոնալ թվեր
* Իռացիոնալ թվեր
* Հանրահաշվական թվեր
* Տրանսցենդենտ թվեր
* P-ադիկ թվեր (P-ադիկ անալիզ)
* Թվաբանություն
* Մոդուլար հանրահաշիվ
* Մնացորդների մասին չինական թեորեմ
* Թվաբանական ֆունկցիաներ

 |
|  |
| Այլ | 
* Քատակուսային ձևեր
* Մոդուլային ձևեր
* L-ֆունկցիաներ
* Դիոֆանտյան հավասարում
* Դիոֆանտյան մոտարկում
* Շղթայական կոտորակs

 |

 |