**Պարզ թվեր,** բնական (ամբողջ դրական) թվեր, որոնք բաժնվում են երկու տարբեր բնական թվերի՝ մեկի և հենց իր վրա։ Այս էջը պարունակում է առաջին 500 պարզ թվերի ցանկը և որոշ հատուկ տեսակի պարզ թվերի ցանկը։

Առաջին 500 պարզ թվերի աղյուսակ
------------------------------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
| 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
| 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
| 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
| 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 |
| 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 |
| 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 | 1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
| 1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 | 1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 |
| 1229 | 1231 | 1237 | 1249 | 1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 | 1327 | 1361 | 1367 | 1373 |
| 1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 | 1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
| 1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 | 1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 |
| 1663 | 1667 | 1669 | 1693 | 1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 | 1787 | 1789 | 1801 | 1811 |
| 1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 | 1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
| 1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 | 2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 |
| 2131 | 2137 | 2141 | 2143 | 2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 | 2269 | 2273 | 2281 | 2287 |
| 2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 | 2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
| 2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 | 2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 |
| 2621 | 2633 | 2647 | 2657 | 2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 | 2719 | 2729 | 2731 | 2741 |
| 2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 | 2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
| 2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 | 3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 |
| 3083 | 3089 | 3109 | 3119 | 3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 | 3229 | 3251 | 3253 | 3257 |
| 3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 | 3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
| 3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 | 3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 |

(A000040-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Գիլբերտի խնդրի ուսումնասիրման ստուգման ծրագիրը հայտնում է, որ հաշվարկվել են մինչև {\displaystyle 10^{18}}բոլոր պարզ թվերը։ Դա կազմում է 24 739 954 287 740 860 պարզ թիվ, բայց դրանք չեն պահպանվել։ Գոյություն ունեն բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվել պարզ թվերի քանակը (մինչև տրված արժեքը) ավելի արագ, քան պարզ թվերի հաշվարկը։ Այդ մեթոդը օգտագործվել է մինչև {\displaystyle 10^{23}}թիվը պարզ թվերի քանակըհաշվելու համար։ Դրանց թիվը 1 925 320 391 606 803 968 923 է։

Բելի պարզ թվեր
--------------

Պարզ թվեր են, որոնք հանդիսանում են {\displaystyle n}թվով շարքի բաշխման թիվը։

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Հաջորդ թիվը 6539 նիշ ունի։ (A051131-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

Քառակուսային պարզ թվեր
----------------------

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1} տեսքի թվերրը կոչվում են քառակուսյինհ պարզ։

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (A002407-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2} նույնպես քառակուսային պարզ են։

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

(A002648-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Գերպարզ թվեր
------------

Պարզ թվեր, որոնք պարզ թվերի շարքում գրավում են պարզ թվերով կարգերում, այսինքն, երկրորդը, երրորդը, հինգերորդը և այլն։

Գերպարզ թվերի շարքի առաջին անդամներն են․ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, … 
Последовательность OEIS:A006450 թվային շարք

Մեկերից կազմված պարզ թվեր
-------------------------

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 թվով մեկերից կազմված պարզ թվերի շարք (A004023-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվեր
------------------------------------

Բացի միայն մեկերից կազմված պարզ թվերից բացի կարելի է նշել նաև մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվերը։ Առաջին տաս միլիոնի սահմաններում այդպիսին են 11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 և այլն։ (A020449-ի հաջորդականությունը OEIS-ում):

Պարզ պալինդրոմներ(դյուրադարձուկներ)
-----------------------------------

Պոլինդրոմներ են կոչվում այն թվերը, որոնք թե՛ աջից ձախ, թե՛ ձախից աջ կարդացվում են նույն ձևով, օրինակ՝30103։Դրանց թվում կան պարզ թվեր։ Պարզ է, որ յուրաքանչյուր պարզ պոլինդրոմ կազմված է կենտ թվով նիշերից ,բացառությամբ 11-ը։ Առաջին պոլինդրոմներն են ՝Я

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, …

(A002385-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Վիլսոնի պարզ թվեր
-----------------

P Պարզ թվերն են ,որոնց համար {\displaystyle (p-1)!+1} -ը բաժանվում է {\displaystyle p^{2}} առանց մնացորդի։ Վիլսոնի հայտնի պարզ թվերն են 5, 13, 563( A007540-ի հաջորդականությունը OEIS-ում) այլ Վիլսոնի պարզեր մինջև 2×1013 ,հայտնի չեն։

Քերոլի պարզ թվեր
----------------

{\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2} տեսքի պարզ թվեր .

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087 (A091516-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Կալենի պարզ թվեր
----------------

{\displaystyle n2^{n}+1} տեսքի պարզ թվեր։

Բոլոր Կալենի պարզ թվերը համապատասխանում են {\displaystyle n}-ին, որը հավասար է․

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (A005849-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).
Ենթադրվում է, որ գոյություն ունի անվերջ թվով Կալենի պարզ թվեր։

Մարկովի պարզ թվեր
-----------------

{\displaystyle p} պարզ թվերն են, որոնց համար գոյություն ունենամբողջ {\displaystyle x} և {\displaystyle y} թվերը այօիսիք,որ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}.

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229 (A178444-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

Մերսենի պարզ թվեր
-----------------

{\displaystyle 2^{n}-1}տեսքի պարզ թվերն են, առաջին 12-ը հետևյալն են․

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727
(A000668-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Նյումենի-Շենքսի-Ուլյամսի պարզ թվեր
----------------------------------

{\displaystyle p} պարզ թվերն են, որոնց կարելի ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

{\displaystyle S\_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}
Մի քանի առաջին ՆՇՈՒ պարզ թվերն են 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679 (A088165-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Պրոտի պարզ թվեր
---------------

{\displaystyle P=k\cdot 2^{n}+1} տեսքի պարզ թվերն են ,որտեղ {\displaystyle k} կենտ է և {\displaystyle 2^{n}>k} և (A080076-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Սոֆի-Ժարմենի պարզ թվեր
----------------------

{\displaystyle p}պարզ թվերն են, այնպիսիք, որ {\displaystyle 2p+1} նույնպես լինեն պարզ։

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953
(A005384-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ֆերմայի պարզ թվեր
-----------------

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}տեսքի պարզ թվերն են։Հայտնի են 3, 5, 17, 257, 65537 (A019434-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ֆիբոնաչիի պարզ թվեր
-------------------

Ֆիբոնաչիի *F*0 = 0, *F*1 = 1,
*F**n* = *F**n*−1 + *F**n*−2 շարքի պարզ թվերն են․

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 (A005478-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

Չենի պարզ թվեր
--------------

Такие простые числаԱյն {\displaystyle p}պարզ թվերն են, որոնց {\displaystyle p+2}-ըկամ պարզ է կամ կիսապարզ։

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409 (A109611-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Պելի պարզ թվեր
--------------

В теории чисел числами Пелля называется бесконечная последовательность целых чисел, являющихся знаменателями подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается с 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, так что последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Несколько первых простых чисел Пелля: 2, 5, 29, 5741, … (A086383-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

{\displaystyle n^{4}+1}տեսքի պարզ թվեր
--------------------------------------

Այս տեսքի պարզ թվերն են․Հավասարակշռված պարզ թվեր

2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001 (A037896-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Հավասարակշռված պարզ թվեր
------------------------

Նախորդ և հաջորդ պարզ թվերի թվաբանական միջինը հանդիսացող պարզ թվերն են․

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (A006562-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ունիկալ պարզ թվեր
-----------------

{\displaystyle p}պարզ թվերն են, որոնց {\displaystyle {\frac {1}{p}}}տեսքի կոտորակի պարբերականության շարքը նման չէ որևէ այլ պարզ թվի շարքին։

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991
(A040017-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ֆակտորիալային պարզ թվեր
-----------------------

{\displaystyle n!\pm 1} տեսքի պարզ թվեր, որոնց համար {\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 (A088054-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Կենտրոնացված պարզ թվեր
----------------------

{\displaystyle n^{2}+(n+1)^{2}}տեսքի պարզ թվերն են․

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681 (A027862-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Կենտրոնացված եռանկյուն պարզ թվեր
--------------------------------

{\displaystyle (3n^{2}+3n+2)/2}տեսքի պարզ թվերն են․

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589 (A125602-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Կենտրոնացված յոթանկյուն թվեր
----------------------------

{\displaystyle (7n^{2}-7n+2)/2}տեսքի պարզ թվերն են․

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691, 50821, 54251, 56897, 57793, 65213, 68111, 72073, 76147, 84631, 89041, 93563 (A069099-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Կենտրոնացված տասնանկյուն թվեր
-----------------------------

{\displaystyle 5(n^{2}-n)+1}տեսքի պարզ թվերն են․

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751 (A090562-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ծանոթագրություն
---------------

1. ↑  Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.
2. ↑  93074010508593618333…(6499 other digits)…83885253703080601131, The Largest Known Primes — primes.utm.edu
3. ↑  A Search for Wilson primes
4. ↑  Lal, M. (1967). «Primes of the Form n4 + 1» (PDF). *Mathematics of Computation*. AMS. **21**: 245–247. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222007-9. ISSN 1088-6842.
5. ↑  Bohman, J. (1973). «New primes of the form *n*4 + 1». *BIT Numerical Mathematics*. Springer. **13** (3): 370–372. doi:10.1007/BF01951947. ISSN 1572-9125.

Գրականություն
-------------

* *Генри С. Уоррен, мл.* Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: Вильямс, 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4

Արտաքին հղումներ
----------------

* Списки простых и факторизованных составных чисел Արխիվացված 2015-08-10 Wayback Machine