**Բերտրանի պոստուլատը** թեորեմ է, ըստ որի կամայական ամբողջ թվի համար {\displaystyle n>3}, գոյություն ունի նվազագույնը մեկ այնպիսի պարզ թիվ p, որ

{\displaystyle n<p<2n-2}
Մեկ այլ բանաձև, որտեղ {\displaystyle p\_{n}}-ը n-րդ պարզ թիվն է և {\displaystyle n\geq 1}

{\displaystyle p\_{n+1}<2p\_{n}}
Այս պնդումը առաջին անգամ առաջարկել է Ջոզեֆ Բերտրանը (1822-1900) 1845 թվականին։ Բերտրանը ստուգել է այն [2, 3 × 106] բոլոր թվերի համար։ Նրա պնդումը վերջնականորեն ապացուցվել է Չեբիշևի (Chebyshev) (1821-1894) կողմից 1852 թվականին։ Այժմ պոստուլատը հայտնի է նաև որպես **Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմ** կամ **Չեբիշևի թեորեմ**։ Չեբիշևի թեորեմը կարելի է ներկայացնել {\displaystyle \scriptstyle \pi (x)\,} ֆունկցիայի միջոցով, որտեղ {\displaystyle \scriptstyle \pi (x)\,}-ը {\displaystyle \scriptstyle x\,}-ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։

{\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,} բոլոր {\displaystyle \,x\geq 2.\,}
1919 թվականին Ռամանուջանը (1887-1920) օգտագործել է գամմա ֆունկցիան՝ ավելի պարզ ապացույց գտնելու համար, որից առաջացել են Ռամանուջանյան պարզ թվերը։ 1932 թվականին Էրդյոշը (Erdős) (1913-1996) հրապարակել է նմանատիպ ապացույց՝ օգտագործելով բինոմական գործակիցները և Չեբիշևի ֆունկցիան՝

{\displaystyle \vartheta (x)=\sum \_{p=2}^{x}\ln(p)}, որտեղ *p* ≤ *x*։

Էրդյոշի թեորեմ
--------------

1934 թվականին Էրդյոշը ապացուցել է, որ կամայական բնական *k* թվի համար գոյություն ունի այնպիսի *N* բնական թիվ, որ բոլոր *n* > *N* թվերի համար գոյություն ունեն առնվազն *k* պարզ թվեր, որոնք ընկած են *n*-ի և *2n*-ի միջև։ Համարժեք մի պնդում ապացուցել է Ռամանուջանը 1919 թվականին։

Պարզ թվերի թեորեմից (մինչև *x* ընկած պարզ թվերի քանակը մոտավորապես հավասար է *x*/ln(*x*)-ի) հետևում է, որ եթե *x*-ի փոխարեն տեղադրենք *2x*, ապա անվերջ մեծ *x*-երի համար մինչև *x* ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է մինչև *2x* ընկած պարզ թվերի քանակի կեսին։ Այս պատճառով անվերջ մեծ *n* բնական թվերի համար *n*-ից մինչև *2n* ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է *n*/ln(*n*), որը շատ ավելի մեծ թիվ է, քան պնդում է Բերտրանի պոստուլատը։ Այսպիսով, Բերտրանի պոստուլատը ավելի թույլ թեորեմ է, քան պարզ թվերի թեորեմը։

Նմանատիպ, թեև չլուծված խնդիր է Լեժանդրի վարկածը, որը պնդում է, որ կամայական *n* բնական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի *p* պարզ թիվ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին․ *n*2 < *p* < (*n* + 1)2։ Այս վարկածն ապացուցելիս պարզ թվերի թեորեմը չի օգնում, քանի որ անվերջ մեծ *x*-երի համար *x*2/ln(*x*2)-ը հավասար է (*x* + 1)2/ln((*x* + 1)2)-ին։

Ավելի լավ արդյունքներ
---------------------

Պարզ թվերի թեորեմից հետևում է, որ կամայական իրական {\displaystyle \epsilon >0} թվի համար գոյություն ունեն այնպիսի {\displaystyle n\_{0}>0} և p պարզ թվեր, որ բոլոր {\displaystyle n>n\_{0}} համար տեղի ունի {\displaystyle n<p<(1+\epsilon )n} անհավասարումը։ Հեշտությամբ կարելի է ապացուցել, որ

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\epsilon ,}
որից հետևում է, որ {\displaystyle \pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)} արտահայտությունը ձգտում է անվերջության։

Ոչ ասիմպտոտային սահմանները նույնպես ապացուցված են։ 1952 թվականին Ջիտսուրո Նագուրան (Jitsuro Nagura) ապացուցել է, որ *n* ≥ 25-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է *n*-ի և (1 + 1/5)n-ի միջև։

1976 թվականին Լոուել Շոնֆելդը (Lowell Schoenfeld) ցույց է տվել, որ *n* ≥ 2010760-ի համար միշտ գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որ ընկած է *n*-ի և (1 + 1/16597)*n*-ի միջև։

1998 թվականին Պիեր Դուսարտը (Pierre Dusart) իր դոկտորական թեզում լավացրեց այդ արդյունքը՝ ցույց տալով, որ *k* ≥ 463, *p**k*+1 ≤ (1 + 1/(ln2*pk*))*pk*-ի, և, մասնավորապես, *x* ≥ 3275-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է x-ի և (1 + 1/(2ln2*x*))*x*-ի միջև։

Բեյքերը, Հարմանը և Պինցը ապացուցեցին, որ բոլոր մեծ x-երի համար գոյություն ունի գոնե մեկ պարզ թիվ, որն ընկած է {\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]} միջակայքում։

Բերտրանի պոստուլատի ընդհանրացումները ստացվում են նաև պարզ մեթոդներով։ 2006 թվականին Մ․ Էլ Բախռաուին (M. El Bachraoui) ապացուցել է, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 2*n*-ի և 3*n*-ի միջև։ 2011 թվականին Էնդի Լուն (Andy Loo) ապացուցեց, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 3*n*-ի և 4*n*-ի միջև։ Ավելին, նա ապացուցեց, որ երբ *n*-ը ձգտում է անվերջության, 3*n*-ի և 4*n*-ի միջև գոյություն ունեցող պարզ թվերի քանակը նույնպես ձգտում է անվերջության՝ ընդհանրացնելով Էրդյոշի ու Ռամանուջանի ստացած արդյունքները։ Այս ապացույցներից ոչ մեկը չի պահանջում խորը անալիզի գիտելիքներ։