Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն
Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած և ներգծած շրջանագծեր: Շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը նույնն է. {\displaystyle d=r\,}:
Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյանն ու սովորական հավասարասրուն եռանկյանը հավասար՝ {\displaystyle d=r\,}, ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր:
**Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն**, միաժամանակ և՛ հավասարասրուն է, և՛ ուղղանկյուն եռանկյուն։ Այս եռանկյան մեջ ներքին անկյուններից երկուսը հավասար է 45°.

{\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}
իսկ երրորդ ներքին անկյունն ուղիղ է.

{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}
Ներքին անկյուններն ունեն 1 : 1 : 2 հարաբերակայնությունը։

Սրունքներից յուրաքանյուրը հավասար են.

{\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}
իսկ հիմքը՝

{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}
կողմերը հարաբերում են ինչպես 1 ։ 1 ։ √2: Սրունքները հանդիսանում են էջեր, իսկ հիմքը՝ ներքնաձիգ։

Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հավասար է նրա կեսին.

{\displaystyle h\_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}
որտեղ *R*-ը արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

Պարագիծ
-------

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը հավասար է.

{\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,:}

Մակերես
-------

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է.

{\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,:}
Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև Հերոնի բանաձևերի օգնությամբ.

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}
որտեղ *p*-ն հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան կիսապարագիծն է։

{\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,:}

Ընդհանուր բնութագրիչներ
-----------------------

### Արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծեր

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունը, ինչպես յուրաքանչյուր եռանկյուն, հանդիսանում է երկկենտրոն։ Նրանում.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle r\!\,} | {\displaystyle R\!\,} | {\displaystyle a\!\,} | {\displaystyle c\!\,} |
| {\displaystyle R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,} | {\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,} | {\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,} | {\displaystyle {\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,} |

Այստեղ *r*-ը ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է, *R*-ը՝ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, *a*-ն եռանկյան էջերն է, իսկ *c*-ն ներքնաձիգը։

Էվկլիդյան հարթության անկանոն ծածկույթը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուններով
Մեկ-հիմգ հիմնական սիմվոլներով պոլյաբոլներ
Չորս հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները մնացած յոթ հիմնական պատկերների հետ միասին ձևավորում են Բերմունդյան եռանկյուն, փազլ գլուխկոտրուկի միջոցով
Արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնների *d* հեռավորությունը հավասար է ներգծյալ շրջանագծի *r* շառավղին և տրվում է Էյլերի բանաձևով.

{\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,}
{\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,:}
Հավասարասրուն եռանկյունը, որն ունի հավասար արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագիծ և նրանց կենտրոնների միջև հավասար հեռավորություն ({\displaystyle d=r\,})՝ ունի հետևյալ անկյունները.

{\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}
{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,:}
### Էվկլիդյան հարթության ծածկույթ

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունը հանդիսանում այն երեք եռանկյուններից մեկը, որոնք ծածկում են էվկլիդյան հարթությունը։ Միայն կանոնավոր եռանկյուններով (եռանկյուն 60-60-60), որոնք հանդիսանում են կանոնավոր բազմանկյուններ, կարելի հարթությունը ճիշտ ծածկել։ Երրորդ եռանկյունը, որը հարթությունը ծածկում է ոչ ճիշտ, իրենից ներկայացնում է ուղղանկյուն եռանկյուն 30-60-90։ Այս երեք եռանկյունները կոչվում են Մյոբիուսի եռանկյուններ, ինչը նշանակում է, որ դրանք հարթությունը ծածկում են առանց հատվելու, իրենց կողմերն արտապատկերելով։

### Բազմաձևերը գլուխկոտրուկներում

Բազմաձևերը, որոնց հիմնական պատկերներն հանդիսանում են հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները, դրանք պոլյաբոլներ են։

Հինգ հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները մեկ քառակուսու և մեկ զուգահեռագծի հետ ձևավորում են փազլ գլուխկոտրուկ։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization», *Forum Geometricorum* **6**: 335–342,
2. ↑  Posamentier, Alfred S. and Salkind, Charles T. *Challenging Problems in Geometry*, Dover, 1996.