Պյութագորասի թեորեմը՝  

ուղիղ անկյանը կից *a* և *b* կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է *c* ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։
**Պյութագորասի թեորեմը** ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։   

Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ *Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։* Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։
Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝  

A քառակուսի + B քառակուսի= C քառակուսի
Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։  

Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ.- մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ
-----------

### Նման եռանկյունների մեթոդ

80px‎80px‎
Դիցուք *ABC*-ն *A* ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։
*A* գագաթից տանենք *AD* բարձրությունը։
*ADC* և *ABC* եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։
Նմանապես *BAD* եռանկյունը նման է *ABC* եռանկյանը։
Մտցնենք հետևյալ նշանակումները

 |AB|=a, |AC|=b, |BC|=c\,
ստացանք

 \frac{a}{c}=\frac{|BD|}{a}; \frac{b}{c}=\frac{|CD|}{b}.
ինչը համարժեք է

a^2=c\cdot |BD|; b^2=c\cdot |CD|.\,
Գումարելով կստանանք

a^2+b^2=c\cdot\left(|BD|+|CD|\right)=c^2.
կամ

a^2+b^2=c^2\,, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։
### Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ

Կոսինուսների թեորեմը երբեմն անվանում են Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ։ Այս անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ կոսինուսների թեորեմը իր մեջ ներառում է նաև Պյութագորասի թեորեմը՝ որպես մասնավոր դեպք։ Իրոք, եթե ABC եռանկյան A անկյունը ուղիղ է, ապա cosA=cos900=0: Կոսինուսների թեորեմով կստացվի՝ a2=b2+c2-2bccos900 , որտեղից էլ a2=b2+c2:
Օգտվելով թեորեմից՝ կարելի է պարզել նաև եռանկյան տեսակը՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն կամ բութանկյուն։ Մասնավորապես, եթե

1. a2=b2+c2, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է,
2. a2 < b2+c2 , ապա եռանկյունը սուրանկյուն է,
3. a2 > b2+c2, ապա եռանկյունը բութանկյուն է։ Ընդ որում a>b, a>c:

### Վերադասավորումներով ապացույց

  


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով։
Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։
Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։
Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ 
Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։
Պյութագորասի թվեր

Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։
Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ 32+42=52։
Դրան հաջորդող եռյակներն են՝
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25;
20, 21, 29;
21, 28, 35;
12, 35, 37;
9, 40, 41....
Ծանոթագրություններ

1. ↑  (Loomis 1968, Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113)

Արտաքին հղումներ

|  |  |
| --- | --- |
|  | Պյութագորասի թեորեմ Վիքիպահեստում |

* Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)



 |