Գրաֆների տեսությունում` **Էռդոշ-Ռենյի մոդել** հասկացողությունը օգտագործվում է պատահական գրաֆների գեներացման երկու սերտորեն կապված մոդելներից որևէ մեկը մատնանշելու համար։ Նրանք անվանվել են ի պատիվ Պոլ Էռդոշի և Ալֆրեդ Ռենյիի, ովքեր առաջիններն են ներկայացրել այս մոդելներից մեկը 1959-ին; մյուս մոդելը ներդրվել է նրանցից անկախ և միաժամանակ Էդգար Գիլբերտի կողմից։ Էռդոշի և Ռենյիի ներկայացրած մոդելում նույն գագաթների բազմության վրա կառուցված և հավասար քանակությամբ կողեր ունեցող բոլոր գրաֆները հավասար հավանական են; Գիլբերտի ներկայացված մոդելում յուրաքանչյուր կող ունի ֆիքսված հավանականություն առկա լինելու կամ չլինելու՝ անկախ այլ կողերից։ Այս մոդելները կարող են օգտագործվել որպես որոշակի հատկությունների բավարարող գրաֆների գոյության ապացույցի հավանականային միջոց, և կամ ապահովել խիստ սահմանում՝ թե ինչ է նշանակում հատկությունը բավարարվում է գրեթե բոլոր գրաֆների համար։

Սահմանումը
----------

Տարբերակում են պատահական գրաֆների Էռդոշ-Ռենյի (ER) մոդելի երկու սերտորեն կապված տարբերակ՝

* {\textstyle G(n,M)} մոդելի դեպքում գրաֆը ընտրվում է պատահականորեն՝ հավասարաչափ {\textstyle n} հանգույց և {\textstyle M} կող ունեցող բոլոր գրաֆների բազմությունից։ Օրինակ՝ {\textstyle G(3,2)} մոդելում երեք գագաթ և երկու կող ունեցող բոլոր հնարավոր երեք գրաֆները ընդգրկված են 1/3 հավանականությամբ։
* {\textstyle G(n,p)} մոդելում գրաֆը կառուցվում է հանգույցների միջև պատահականորեն կապեր ստեղծելով։ Յուրաքանչյուր կող ընդգրկվում է գրաֆում {\textstyle p} հավանականությամբ՝ անկախ մնացած կողերից։ Համարժեքորեն՝ բոլոր {\textstyle n} հանգույց և {\textstyle M} կող պարունակող գրաֆները ունեն կողերի գոյության {\displaystyle p^{M}(1-p)^{{n \choose 2}-M}} հավանականությունը։

Այս մոդելի p պարամետրը կարելի է ընդունել որպես կշռային ֆունկցիա՝ {\textstyle p}-ի 0-ից 1 աճին համընթաց ավելի հավանական է դառնում, որ մոդելը կներառի շատ կող պարունակող գրաֆները և ավելի քիչ հավանական է դառնում, որ այն կներառի քիչ կող պարունակողներին։ Մասնավորապես, {\textstyle p=0.5} դեպքը համապատասխանում է այն իրավիճակին, երբ բոլոր {\textstyle 2^{\binom {n}{2}}} {\textstyle n}-գագաթանի գրաֆները ընտրվում են հավասար հավանականությամբ։

Պատահական գրաֆների վարքը հաճախ ուսումնասիրում են այն դեպքում, երբ գագաթների թիվը՝ {\textstyle n}-ը, ձգտում է անվերջության։ Չնայած {\textstyle p}-ն և {\textstyle M}-ը կարող են ֆիքսված լինել այս դեպքում՝ նրանք կարող են նաև {\textstyle n}-ից կախված ֆունկցիաներ լինել։ Օրինակ հետևյալ պնդումը՝

{\textstyle G(n,2ln(n)/n)}-ում գրեթե բոլոր գրաֆները կապակցված են։

նշանակում է հետևյալը՝

{\textstyle n}-ի՝ անվերջության ձգտելուն համընթաց, {\textstyle n} գագաթանի և կողերի {\textstyle 2ln(n)/n} հավանականություն ունեցող գրաֆի կապակցված լինելու հավանականությունը ձգտում է 1-ի։

Երկու մոդելների համեմատությունը
-------------------------------

{\displaystyle G(n,p)}-ում սպասվող կողերի քանակը հավասար է {\displaystyle {\binom {n}{2}}p} և մեծ թվերի օրենքի համաձայն {\displaystyle G(n,p)}-ից ցանկացած գրաֆ գրեթե վստահորեն կունենա նշված քանակությամբ կողեր (կողերի քանակը անվերջության ձգտելու դեպքում)։ Հետևաբար, կոպիտ էվրիստիկան հետևյալն է՝ եթե {\displaystyle pn^{2}\to \infty }, ապա n-ը աճելիս {\displaystyle G(n,p)}-ն իրեն պետք է պահի ինչպես {\displaystyle G(n,M)}-ը {\displaystyle M={\binom {n}{2}}p} համար։

Գրաֆների բազում հատկությունների համար նշվածը կատարվում է։ Եթե P-ն որևէ հատկություն է, որը մոնոտոն է ըստ ենթագրաֆների տեսակավորման (այն է՝ եթե A-ն B-ի ենթագրաֆ է և A-ն բավարարում է P-ին, ապա B-ն նույնպես բավարարում է P-ին), ապա հետևյալ երկու պնդումները՝

1. P-ն տեղի ունի {\displaystyle G(n,p)}-ի գրեթե բոլոր գրաֆների համար, և
2. P-ն տեղի ունի {\displaystyle G(n,{\binom {n}{2}}p)}-ի գրեթե բոլոր գրաֆների համար

համարժեք են {\displaystyle pn^{2}\to \infty } դեպքում։ Օրինակ, նկարագրվածը տեղի ունի, եթե P-ն կապակցված լինելու հատկությունն է կամ P-ն Համիլտոնյան ցիկլ պարունակելու հատկությունն է։ Սակայն, պարտադիր չէ, որ այս ամենը տեղի ունենա եթե հատկությունը մոնոտոն չէ (օրինակ՝ զույգ քանակով կողեր պարունակելու հատկությունը)։

Գործնականում ավելի հաճախ օգտագործվում է {\displaystyle G(n,p)} մոդելը՝ ի շնորհիվ, մասնավորապես, կողերի անկախությամբ պայմանավորված հետազոտությունների պարզության։

{\displaystyle G(n,p)}-ի հատկությունները
----------------------------------------

{\displaystyle G(n,p)}-ն միջինում ունի {\displaystyle {\binom {n}{2}}p} կող։

Ցանկացած գագաթի աստիճանի բաշխումը բինոմիալ է՝

{\displaystyle P(\operatorname {deg} (v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k},}

որտեղ n-ը գրաֆում գագաթների քանակն է։ Քանի որ

{\displaystyle P(\operatorname {deg} (v)=k)\to {\frac {(np)^{k}\mathrm {e} ^{-np}}{k!}}\quad {\mbox{ երբ }}n\to \infty {\mbox{ և }}np=\mathrm {const} ,}

ապա նշվածը Պուասոնի բաշխում է մեծ n-երի և {\displaystyle np=const}դեպքում։

1960 թվականի իրենց հոդվածում Էռդոշը և Ռենյին շատ ճշգրիտ կերպով նկարագրել են {\displaystyle G(n,p)}-ի վարքը p-ի տարբեր արժեքների դեպքում։ Ստորև այդ նկարագրությունները բերված են սեղմ տեսքով։

* Եթե {\displaystyle np<1}, ապա {\displaystyle G(n,p)}-ի գրաֆը գրեթե անկասկած չի պարունակի {\displaystyle O(log(n))}-ից մեծ կապակպցված բաղադրիչներ։
* Եթե {\displaystyle np=1}, ապա {\displaystyle G(n,p)}-ի գրաֆը գրեթե անկասկած կպարունակի խոշորագույն բաղադրիչ, որի չափը {\displaystyle n^{2/3}} կարգի է։
* Եթե {\displaystyle np\to c>1}, որտեղ c-ն հաստատուն է, ապա {\displaystyle G(n,p)}-ի գրաֆը գրեթե անկասկած կպարունակի միակ հսկա բաղադրիչ, որում պարունակվող գագաթների քանակի հարաբերությունը բոլոր գագաթների քանակին հաստատուն է։ Բոլոր այլ բաղադրիչները պարունակելու են ոչ ավել, քան {\displaystyle O(log(n))} գագաթ։
* Եթե {\displaystyle p<{\tfrac {(1-\epsilon )\ln n}{n}}}, ապա {\displaystyle G(n,p)}-ի գրաֆը գրեթե անկասկած կպարունակի իզոլացված գագաթներ և՝ որպես հետևանք, գրաֆը կլինի ոչ կապակցված։
* Եթե {\displaystyle p>{\tfrac {(1+\epsilon )\ln n}{n}}}, ապա {\displaystyle G(n,p)}-ի գրաֆը գրեթե անկասկած կլինի կապակցված։

Այսպիսով, {\displaystyle {\tfrac {\ln n}{n}}}-ը {\displaystyle G(n,p)}-ի կապակցվածության ճշգրիտ շեմն է։

Պատմություն
-----------

{\displaystyle G(n,p)} մոդելը առաջին անգամ առաջարկել է Էդգար Գիլբերտը իր 1959 թվականի կապակցվածության շեմին նվիրված հոդվածում։ {\displaystyle G(n,M)} մոդելը առաջարկվել է Էռդոշի և Ռենյիի կողմից իրենց 1959 թվականի հոդվածում։ Ինչպես և Գիլբերտի դեպքում, նրանց առաջին հետազոտությունները նվիրված էին {\displaystyle G(n,M)}-ի կապակցվածությանը, իսկ ավելի մանրամասն վերլուծությունը հետևեց 1960-ին։

Հղումներ
--------

1. ↑  Erdős P. Rényi, A. (1959)։ «On Random Graphs. I»։ *Publicationes Mathematicae* **6**: 290–297
2. ↑  , ISBN 0-521-79722-5։
3. 1 2  Gilbert E.N. (1959)։ «Random Graphs»։ *Annals of Mathematical Statistics* **30** (4): 1141–1144։ doi:10.1214/aoms/1177706098


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
|  ⛭   Չափորոշչային վերահսկողություն | Microsoft: 34814168 |

 |