*y* = *x*2 ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։
**Թվի քառակուսի** (հանրահաշիվ), հանրահաշվայկան գործողություն {\displaystyle x} թվի հետ, որը հավասար է թվի ու իր արտադրյալին {\displaystyle x\cdot x}, և գրառվում է {\displaystyle x^{2}}ձևով։ {\displaystyle x^{2}}-ու հաշվումը մաթեմատիկական գործողություն է, որը կոչվում է քառակուսի բարձրացնել։

y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկն է 0-ից 25 ամբողջ թվերի հատվածում ։
5 թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավսար է 5-ի։
Ամբողջ, ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ շարքը (A000290-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …
Պատմականորեն այս շարքի բնական թվերը կոչվում են «քառակուսի» թվեր։

Ներկայացման ձևեր
----------------

Բնական {\displaystyle n} թվի քառակուսին կարելի է ներկայացնել առաջին {\displaystyle n} կենտ թվերի արտադրյալի տեսքով։

1: {\displaystyle 1=1}
2: {\displaystyle 4=1+3}
…
7: {\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
…
Ահա բնական թվի քառակուսին ներկայացնելու ևս մեկ ձև։

{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}

Օրինակ․

1: {\displaystyle 1=1}
2: {\displaystyle 4=1+1+2}
…
4: {\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
…
Առաջին {\displaystyle n} բնական թվերի քառակուսին հաշվվում է հետևյալ բանաձևով։

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

**Դուրսբերում․ Ձև 1․**

Դիտարկենք 1-ից {\displaystyle n+1}բնական թվերի խորանարդների գումարը։

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum \_{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum \_{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum \_{k=0}^{n}k^{3}+\sum \_{k=0}^{n}3k^{2}+\sum \_{k=0}^{n}3k+\sum \_{k=0}^{n}1=\sum \_{k=0}^{n}k^{3}+3\sum \_{k=0}^{n}k^{2}+3\sum \_{k=0}^{n}k+\sum \_{k=0}^{n}1}
Կստանանք․
{\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum \_{k=0}^{n}k^{2}+3\sum \_{k=0}^{n}k+\sum \_{k=0}^{n}1=3\sum \_{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
Բազմապատկենք 2-ով և խմբավորենք։
{\displaystyle 6\sum \_{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}       (Պնդումներում օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը։ {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}, որի դուրսբերումը նման է արդեն դուրսբերվածին։)
**Դուրսբերում․ Ձև 2․**

**Անհայտ գործակիցների մեթոդ․**

Նկատենք, որ {\displaystyle N} աստիճանի ֆունկցիայի գումարը արտահայտված է ինչպես {\displaystyle N+1}աստիճանի ֆունկցիա։
{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
{\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
Կստանանք գծային հավասարումների համակարգ փնտրվող գործակիցների նկատմամբ։
{\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}
Լուծելով կստանանք․ {\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}
Այսպիսով․
{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Կոմպլեքս թվի քառակուսի
----------------------

Կոմպլեք թվի հանրահաշվական տեսքի քառակուսին կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով։

{\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}
Նմանատիպ եռանկյունաչափական բանաձև կոմպլեքս թվի համար։

{\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}

Երկրաչափական իմաստ
------------------

Թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է տրված թվին։

Գրականություն
-------------

* Грэхем Р. Кнут Д. Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

Տես նաև
-------

* Քառակուսի արմատի հաշվումը քառակուսի բարձրացնելու հակառակ ֆունկցիան է։
* Թվի խորոնարդ
* Ավելի բարձր աստիճանների ընդհանրացում

Ծանոթագագրություն
-----------------

* Տեսաձայնային նյութեր Վիքիպահեստում

1. ↑  на Вольфраме.