**Բազմապատկման աղյուսակ**, նույն ինքը՝ **Պյութագորասի աղյուսակ,** աղյուսակ, որտեղ տողերն ու սյունակներն արտադրիչներ են, իսկ աղյուսակի բջիջներում՝ դրանց արտադրյալն է։ Օգտագործվում է դպրոցականներին բազմապատկել սովորեցնելու նպատակով։

Տասնորդական թվային համակարգի բազմապատկման աղյուսակը ավանդաբար դասավանդվում է որպես տարրական թվաբանության անբաժանելի մաս ամբողջ աշխարհում, քանի որ այն հիմք է ստեղծում տասնորդական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների համար։ Շատ ուսուցիչներ կարծում են, որ աղյուսակը պետք է հիշել մինչև 9 × 9։

Պատմություն
-----------

Պատերազմող թագավորությունների ժամանակաշրջանի բազմապատկման աղյուսակ, (Չինաստան, Մ. թ. ա. 305)
Հայտնի ամենահին բազմապատկման աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Բաբելոնում և մոտավորապես 4000 տարեկան է։ Այն հիմնված է վաթսունական թվային համակարգի վրա։ Բազմապատկման ամենահին տասնորդական աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Չինաստանում և թվագրվում է Մ. թ. ա. 305 թվականին։ Դրանք այսպես կոչված պատերազմող թագավորությունների բամբուկե տախտակներ են, ձեռք են բերվել 2008 թվականի հուլիսին հոնկոնգյան մշակութային մասունքների շուկայում և պահվում են Ցինխուայի համալսարանում․ ընդհանուր առմամբ՝ 2388 տախտակ, որոնցից ամենաերկարը 46 սմ է, իսկ ամենակարճը՝ 10 սմ։

«Պյութագորասի աղյուսակը»
Երբեմն բազմապատկման աղյուսակի գյուտը վերագրվում է հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասին, որի անունը աղյուսակը կրում է տարբեր լեզուներում, ներառյալ իսպաներենում, իտալերենում, ռուսերենում, ֆրանսերենում, երբեմն անգլերենում։ Պահպանված հունական բազմապատկման ամենահին աղյուսակը գտնվում է մոմե ափսեի վրա, որը թվագրվում է 1-ին դարով և ներկայումս պահվում է Բրիտանական թանգարանում։

493 թվականին Վիկտոր Ակվիտանացին ստեղծել է 98 սյունակներից բաղկացած աղյուսակ, որը հռոմեական թվերով ներկայացնում էր 2-ից 50 թվերի բազմապատկման արդյունքը։

Մաթեմատիկոս Ջոն Լեսլին իր «Թվաբանության փիլիսոփայություն» (*The Philosophy of Arithmetic*) (1820) գրքում հրատարակել է մինչև 99 թվերի բազմապատկման աղյուսակը, որը թույլ է տալիս բազմապատկել թվանշանները զույգերով։ Նա նաև աշակերտներին խորհուրդ էր տալիս անգիր սովորել բազմապատկման աղյուսակը մինչև 25 × 25:

Ուսումնասիրում
--------------

Ժամանակին անգիր սովորած բազմապատկման աղյուսակի ներդրումը հեղափոխեց բանավոր և գրավոր հաշվումը։ Մինչ այդ օգտագործվել են միանիշ թվերի արտադրյալը հաշվարկելու տարբեր խորամանկ եղանակներ, որոնք մեծապես դանդաղեցրել են ամբողջ գործընթացը և ծառայել որպես լրացուցիչ սխալների աղբյուր։

Սովետական միությունում բազմապատկման աղյուսակը սովորաբար «հանձնարարվում էր ամռանը» 1-ին դասարանից հետո և ամրապնդվում էր 2-րդ դասարանում (8 տարեկան հասակում)։ Ռուսական դպրոցներում առավել հաճախ ուսուցանվում է 2-րդ դասարանում։ Անգլիական դպրոցական կրթության ստանդարտների համաձայն, բազմապատկման աղյուսակը պետք է սովորել 11 տարեկանում (նախատեսվում է խստացնել պահանջը մինչև 9 տարեկան)։

Սովորական ներկայացում
---------------------

Շատ դպրոցներ օգտագործում են բազմապատկման 9 × 9 աղյուսակ, որը ցույց է տրված ստորև․


| ×
 | 0
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 |
| 1
 | 0
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 
 |
| 2
 | 0
 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 
 |
| 3
 | 0
 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 
 |
| 4
 | 0
 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 
 |
| 5
 | 0
 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 
 |
| 6
 | 0
 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 
 |
| 7
 | 0
 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 
 |
| 8
 | 0
 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 
 |
| 9
 | 0
 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 
 |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2 | 2 | 4 |  |  |  |  |  |  |  |
| 3 | 3 | 6 | 9 |  |  |  |  |  |  |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |  |  |  |  |  |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |  |  |  |  |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |  |  |  |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 |  |  |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 |  |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Ինչպե՞ս գտնել արտադրյալը բազմապատկման աղյուսակից օգտվելով
---------------------------------------------------------

{\displaystyle 4\cdot 8} արտադրյալի արժեքը պարզելու համար, պետք է գտնել չորս թիվը ձախ սյունակում և ութը՝ վերին շարքում, այնուհետև պետք է տանել 4-ից հորիզոնական գիծ և 8-ից՝ ուղղահայաց։ Բջիջը, որի վրա գծերը հանդիպում են, հենց արտադրյալն է (այս դեպքում՝ 32):


| · | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | **32** | 36 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |

Կիրառում
--------

Բացի բնական թվերը բազմապատկելու գործնական հմտություններ զարգացնելու համար դասական բազմապատկման աղյուսակի լայնորեն կիրառությունից, այն կարող է օգտագործվել որոշ մաթեմատիկական ապացույցներում, օրինակ՝ բնական թվերի խորանարդների գումարի բանաձևը կամ քառակուսիների գումարի համար նմանատիպ արտահայտություն ստանալիս։

Քելիի աղյուսակ
--------------

Ընդհանուր հանրահաշվի մեջ Քելիի աղյուսակը նկարագրում է վերջնական հանրահաշվական համակարգերի կառուցվածքը մեկ բինար գործողությամբ։ Անվանվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Արթուր Քելիի անունով։ Կարևոր նշանակություն ունի դիսկրետ մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ խմբերի տեսության մեջ, որտեղ որպես գործողություններ դիտարկվում են բազմապատկումն ու գումարումը։ Աղյուսակը թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք խումբը աբելյան է, գտնել խմբի կենտրոնը և հակադարձ տարրերը՝ այդ խմբի մյուս տարրերի հարաբերությամբ։

Բարձրագույն հանրահաշվում Քելիի աղյուսակները կարող են օգտագործվել նաև դաշտերում, օղակներում և հանրահաշվական այլ կառույցներում բինար գործողությունները որոշելու համար։ Դրանք նաև հարմար են հետևյալ կառույցներում գործողություններ իրականացնելիս։

### Մոդուլյար թվաբանություն

Բնական թվի վրա բաժանումից մնացած բոլոր մնացորդները կազմում են օղակ, իսկ պարզ թվի վրա բաժանումից՝ դաշտ։ Սա պատկերվում է բազմապատկման աղյուսակներով։

Բազմապատկման աղյուսակը 8 մոդուլով հանման օղակում

| · | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
| 6 | 0 | 6 | 4 | 2 | 0 | 6 | 4 | 2 |
| 7 | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |

Բազմապատկման աղյուսակը 5 մոդուլով հանման դաշտում

| · | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

Տես նաև
-------

* Բազմապատկում
* Բաժանում (մաթեմատիկա)
* Գումարում
* Հանում

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Trivett, John (1980), «The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!», *For the Learning of Mathematics* **1** (1): 21–25 .
2. ↑  *Jane Qiu* Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips(անգլ.) // *Nature* : journal. — 2014. — doi:10.1038/nature.2014.14482 Архивировано из первоисточника 22 հունվարի 2014.
3. ↑  吴晓欣 (2022 թ․ հունվարի 20). «清华大学藏战国竹简». Большая китайская энциклопедия, 3-е издание. Արխիվացված օրիգինալից 2023 թ․ ապրիլի 21-ին. Վերցված է 2023 թ․ ապրիլի 22-ին.
4. ↑  Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: ábaco // Большой испанско-русский словарь. Более 150 000 слов, словосочетаний и выражений / Н. В. Загорская, Н. Н. Курчаткина, Б. П. Нарумов и др.; под ред. Б. П. Нарумова. — 9-е изд. — М.: Русский язык—Медиа; Дрофа, 2009. — С. 13. — 4000 экз. — ISBN 978-5-9576-0456-3
5. ↑  Например, в *Farrar, John* An Elementary Treatise on Arithmetic.
6. ↑  *Maher, David W.; Makowski, John F.* Literary evidence for Roman arithmetic with fractions(անգլ.) // *Classical Philology*. — 2001. — № 4 (96). — С. 383.
7. ↑  Leslie, John (1820). *The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand*. Edinburgh: Abernethy & Walker.
8. ↑  Children must learn times tables by age nine… Archived 2011-12-18 at the Wayback Machine. // Daily Mail, 17.12.2011
9. ↑  *Роу С.* Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.