**Կատեգորիաների տեսություն**, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։

Կատեգորիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 

1. կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն,
2. յուրաքանչյուր {\displaystyle A,B} օբյեկտների համար տրված {\displaystyle Mor(A,B)} մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են {\displaystyle \varphi :A\to B}),
3. մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր {\displaystyle \varphi :A\to B} և {\displaystyle \psi :B\to C} զույգին համապատասխանեցնում է {\displaystyle \psi \_{0}\varphi :A\to C} մորֆիզմ։

Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին.  

ա. ցանկացած {\displaystyle \varphi :A\to B,\psi :B\to C,\chi :C\to D} մորֆիզմների եռյակի համար՝ {\displaystyle \chi \cdot (\psi \cdot \varphi )=(\chi \cdot \psi )\cdot \varphi } (արտադրյալի զուգորդականություն),   

բ. կամայական A օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle 1\_{A}:A\to A} մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն {\displaystyle \varphi :A\to B} և {\displaystyle \psi :C\to A} մորֆիզմները՝ {\displaystyle \varphi \cdot 1\_{A}=\varphi } և {\displaystyle 1\_{A}\cdot \psi =\psi } (միավոր մորֆիզմի գոյություն),   

գ. {\displaystyle Mor(A,B)} և {\displaystyle Mor(C,D)} բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե {\displaystyle A\neq C} կամ {\displaystyle B\neq D}։ 

Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 

1. օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական {\displaystyle A,B} եռանկյունների համար {\displaystyle Mor(A,B)}՝ A-ն B-ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։
2. Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, {\displaystyle Mor(a,b)}-ն՝ a շրջանագիծը b շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում {\displaystyle Mor(A,B)} և {\displaystyle Mor(C,D)} բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե {\displaystyle A\neq C} կամ {\displaystyle B\neq D}։

Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է {\displaystyle \Phi } կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի {\displaystyle \Phi (A)} օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր {\displaystyle \varphi :A\to B} մորֆիզմին՝ Բ-ի {\displaystyle \Phi (\varphi ):\Phi (A)\to \Phi (B)} [համապատասխանաբար {\displaystyle \Phi (\varphi ):\Phi (B)\to \Phi (A)}] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները,   

ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած {\displaystyle \varphi :A\to B} և {\displaystyle \psi :B\to C} մորֆիզմների համար {\displaystyle \Phi (\psi \_{0}\varphi )=\Phi (\psi \_{0})\Phi (\varphi )} [համապատասխանաբար {\displaystyle \Phi (\varphi \_{0}\psi )=\Phi (\varphi \_{0})\Phi (\psi )}],  

բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ {\displaystyle \Phi (1\_{A})=1\_{\Phi (A)}}։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։

Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 288)։*  |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * դ
* ք
* խ
Մաթեմատիկայի ճյուղեր |
| --- |
|  |
| Հիմունքներ | 
* Կատեգորիաների տեսություն
* Ինֆորմացիայի տեսություն
* Մաթեմատիկական տրամաբանություն
* Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
* Բազմությունների տեսություն

 |
|  |
| Հանրահաշիվ | 
* Աբստրակտ
* Տարրական
* Գծային
* Բազմագծային

 |
|  |
| Անալիզ | 
* Calculus
* Իրական անալիզ
* Կոմպլեքս անալիզ
* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Ֆունկցիոնալ անալիզ

 |
|  |
| Դիսկրետ | 
* Կոմբինատորիկա
* Գրաֆների տեսություն
* Կարգերի տեսություն
* Խաղերի տեսություն

 |
|  |
| Երկրաչափություն | 
* Հանրահաշվական
* Անալիտիկ
* Դիֆերենցիալ
* Դիսկրետ
* Էվկլիդեսյան
* Վերջավոր

 |
|  |
| Թվերի տեսություն | 
* Թվաբանություն
* Հանրահաշվական թվերի տեսություն
* Անալիտիկ թվերի տեսություն
* Դիոֆանտյան երկրաչափություն

 |
|  |
| Տոպոլոգիա | 
* Հանրահաշվական
* Դիֆերենցիալ
* Երկրաչափական

 |
|  |
| Կիրառական | 
* Կառավարման տեսություն
* Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
* Մաթեմատիկական ֆինանսներ
* Մաթեմատիկական ֆիզիկա
* Մաթեմատիկական վիճակագրություն
* Հավանականությունների տեսություն
* Վիճակագրություն

 |
|  |
| Հաշվողական | 
* Ինֆորմատիկա
* Theory of computation
* Թվային մեթոդներ
* Օպտիմիզացիա
* Computer algebra

 |
|  |
| Այլ | 
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Ժամանցային մաթեմատիկա
* Մաթեմատիկա և արվեստ
* Մաթեմատիկայի ուսուցում

 |
|  |
| 
* Category **Կատեգորիա**
* Commons page**Վիքիպահեստ**

 |

 |