**Էվկլիդեսի ալգորիթմը** երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու արդյունավետ ալգորիթմ է։ Ալգորիթմը իր անունը ստացել է ի պատիվ հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսի։ Էվկլիդեսի ալգորիթմի ամենապարզ դեպքը վերաբերվում է երկու ամբողջ դրական թվերի զույգին, որոնցից ձևավորվում է նոր թվերի զույգ, որը կազմված է այդ երկու թվերի փոքրագույնից և մեծագույնի ու փոքրագույնի տարբերությունից։ Գործընթացը շարունակվում է այնքան ժամանակ, քանի դեռ թվերը կդառնան հավասար։ Այդ ստացված թիվն էլ հանդիսանում է տրված երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։ Այս ալգորիթմի մասին առաջին անգամ նշվել է Էվկլիդես «Սկզբունքներ» գրքում (մոտավորապես մ.թ.ա. 300 թ.)։ Այդ իսկ պատճառով էլ այն համարվում է ամենահին թվային ալգորիթմներից մեկը, որը օգտագործվում է մեր ժամանակներում։ Բայց XIX դարում այն ընդհանրացվել է տարբեր տիպի թվերի համար, ինչպիսիք են՝ Գաուսի ամբողջ թվերը, բազմանդամները։ Որից հետո հանրահաշվում առաջացավ Էվկլիդեսյան օղակ եզրույթը։ Հետագայում Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ընդլայնել է իր շրջանակները։
Այս ալգորիթմը ունի շատ տեսական և գործնակնան կիրառություններ։ Այն օգտագործվում է գծային հավասարումների լուծման ժամանակ։ էվկլիդեսյան ալգորիթմը մեծ դեր ունի Ժամանակակից թվերի տեսության թեորեմների ապացույցների ժամանակ։

Պատմական ակնարկ
---------------

Հույն մաթեմատիկոսները այս ալգորիթմը անվանել են ἀνθυφαίρεσις կամ ἀνταναίρεσις — «փոխադարձ հանում»։ Այս ալգորիթմը Էվկլիդեսի հայտնագործությունը չէ, քանի որ ալգորիթմի մասին նշել է Արիստոտելը իր «Տոպիկա» տրամաբանական տեսության մեջ։ Իր «Սկզբունքներ» գրքում Էվկլիդեսը այս ալգորիթմին անդրադարձել է երկու անգամ՝ ինչպես գտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (VII գրքում) և ինչպես որոշել երկու նույն կարգի մեծությունների մեծագույնը (X գրքում)։ Երկու դեպքում էլ տրված է ալգորիթմի երկրաչափական իմաստը։ Պատմաբան մաթեմատիկների կողմից ենթադրվում է, որ հենց Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ է, որ հույն մաթեմատիկոսները առաջ քաշեցին անսահմանության գաղափարը։ Սակայն, այս ենթադրությունը չունի հստակ փաստաթղթային ապացույց։

Նկարագրություն
--------------

### Էվկլիդեսի ալգգորիթմը ամբողջ թվերի համար

Դիցուք a և b — ամբողջ թվեր են, որոնք միաժամանակ հավասար չեն 0-ի, և այդ թվերի հաջորդականությունը

{\displaystyle a>b>r\_{1}>r\_{2}>r\_{3}>r\_{4}>\cdots >r\_{n}}
որոշվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր {\displaystyle r\_{k}} — դա նախորդի և վերջինիս նախորդի բաժանումից ստացած մնացորդն է, իսկ նախավերջինը անմնացորդ բաժավում է վերջինի վրա, այսինքն.

{\displaystyle a=bq\_{0}+r\_{1},}
{\displaystyle b=r\_{1}q\_{1}+r\_{2},}
{\displaystyle r\_{1}=r\_{2}q\_{2}+r\_{3},}
{\displaystyle \cdots }
{\displaystyle r\_{k-2}=r\_{k-1}q\_{k-1}+r\_{k},}
{\displaystyle \cdots }
{\displaystyle r\_{n-2}=r\_{n-1}q\_{n-1}+r\_{n},}
{\displaystyle r\_{n-1}=r\_{n}q\_{n}.}
Այսինքն՝ ԱԸԲ (*a*, *b*), ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար *a* և *b*, հավասար է *r*n, այդ հաջորդականության վերջին ոչ զրոյական անդամին։.

Այսպիսի *r*1, *r*2, ... *r*n, հաջորդականության գոյությամբ, կամայական ամբողջ *m* և *n* թվերի համար, որտեղ *m*-ը կամայական ամբողջ թիվ է և ամբողջ *n* ≠ 0 թվերի համար, ապացուցվում է ըստ ինդուկցիայի մեթոդի։
Այսպիսով, կարելի է առանձնացել հետևյալ հետևանքները։

* Դիցուք՝ *a* = *b*⋅*q* + *r*, ապա ԱԸԲ (a, b) = ԱԸԲ (b, r).
* ԱԸԲ (*r*, 0) = *r* յուրաքանչյուր *r*≠ 0 թվի համար (քանի որ 0 բաժանվում է յուրաքանչյուր ամբողջ թվի վրա, բացի 0).

### Էվկլիդեսի ալգորիթմի երկրաչափական իմաստը

Դիցսուք՝ տրված է *a* և *b* հատվածներ։ Հաշվենք այս երկու հատվածների տարբերությունը և մեծ հատվածի արժեքը փոխարինենք ստացված տարբերությամբ։ Կրկնում ենք այս գործողությունը այնքան ժամանակ, քանի դեռ հատվածները կդառնան հավասար։ Եթե ստանում ենք նույն թիվը, ապա հենց այս թիվն էլ հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր մեծույթունը։ Եթե ընդհանուր մաս չունի, ապա այս գործընթացը անվերջ կարելի է կատարել։ Էվկլիդեսը դիտարկել է այս դեպքը ևս, որը իրականացվում է կարկինի և քանոնի միջոցով։

Կիրառություն
------------

### Էվկլիդեսի ալգորիթմի ընդհանրացումը Բեզուի նկատմամբ

Բանաձևերը {\displaystyle r\_{i}}-ի համար կլինեն հետևյալ կերպ.

{\displaystyle r\_{1}=a+b(-q\_{0})}
{\displaystyle r\_{2}=b-r\_{1}q\_{1}=a(-q\_{1})+b(1+q\_{1}q\_{0})}
{\displaystyle \vdots }
*ԱԸԲ* {\displaystyle (a,b)=r\_{n}=as+bt}
Ընդ որում` *s* и *t* ամբողջ թվեր են։ ԱԸԲ-ի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է Բեզուի հարաբերակցութուն, իսկ *s և* *t թվերը`* Բեզուի գործակիցներ։ Հանրահաշվի հիմնական թեորեմի և Էվլիդեսի լեմմայի ապացուցման մեջ էականորեն մեծ դեր ունի Բեզուի հարաբերակցութունը։

### Շղթայական կոտորակներ

Էվկլիդեսի ալգորիթմը սերտ կապակցված է շղթայական կոտորակների հետ։ *a*/*b ներկայացվում է շղթայական կոտորակների տեսքով հետևյալ կերպ.*

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=[q\_{0};q\_{1},q\_{2},\cdots ,q\_{n}]}.
Ընդ որում՝ շղթայական կոտորակը առանց վերջին անդամի հավասար է Բեզուի գործակիցների հարաբերությանը՝ վերցված բացասական նշանով.

{\displaystyle [q\_{0};q\_{1},q\_{2},\cdots ,q\_{n-1}]=-{\frac {t}{s}}}.

Հավասարումների հաջորդականությունը, որը ներկայացնում է Էվկլիդեսի ալգորիթմ, կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&=q\_{0}+{\frac {r\_{0}}{b}}\\{\frac {b}{r\_{0}}}&=q\_{1}+{\frac {r\_{1}}{r\_{0}}}\\{\frac {r\_{0}}{r\_{1}}}&=q\_{2}+{\frac {r\_{2}}{r\_{1}}}\\&{}\ \vdots \\{\frac {r\_{k-2}}{r\_{k-1}}}&=q\_{k}+{\frac {r\_{k}}{r\_{k-1}}}\\&{}\ \vdots \\{\frac {r\_{N-2}}{r\_{N-1}}}&=q\_{N}\end{aligned}}}
Առաջին երկու հավասարումների միավորումից կունենանք.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q\_{0}+{\cfrac {1}{q\_{1}+{\cfrac {r\_{1}}{r\_{0}}}}}}
Հաշվի առնելով երրորդ հավասարությունը, *r*1/*r*0 կոտորակի հայտարարաը փոխարինելով, կունենանք.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q\_{0}+{\cfrac {1}{q\_{1}+{\cfrac {1}{q\_{2}+{\cfrac {r\_{2}}{r\_{1}}}}}}}}
Այսպիսով, *r**k*/*r**k*−1 կոտորակը միշտ կարող է փոխարինել հավասարումների հաջորդականության հաջորդ հավասարումով։ Այս գործընթացը կարելի է շարունակել մինչև վերջին հավասարումը։ Արդյունքում կստացվի շղթայական կոտորակ.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q\_{0}+{\cfrac {1}{q\_{1}+{\cfrac {1}{q\_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{q\_{N}}}}}}}}}=[q\_{0};q\_{1},q\_{2},\ldots ,q\_{N}]}

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Վինոգրադով, 1952, էջ 9-10
2. ↑  Կուրանտ, 2001, էջ 67-70
3. ↑  Մորդուխայ-Բոլստովսկի, 1949, էջ 103—105
4. ↑  Վինոգրադով, 1952, էջ 14-18


|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 85)։*  |