| Քվանտային մեխանիկա |
| --- |
| 

---

{\displaystyle \sigma \_{x}\sigma \_{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}Անորոշությունների սկզբունք

---

 |
| Հիմնարար հասկացություններ
* Դեկոհերենտություն
* Էռենֆեստի թեորեմ
* Չափումներ
* Հավանականության ամպլիտուդ
* Ոչ տեղայնություն
* Վերադրում
* Թունելավորում
* Լրացման սկզբունք
* Մասնիկ-ալիքային երկվություն
* Պաուլիի սկզբունք
* Քվանտային վիճակներ
* Քվանտային խճճվածություն
* Անորոշությունների սկզբունք
* Ալիքային ֆունկցիա
 |
| Գիտափորձեր
* Բելի անհավասարություն
* Դեյվիսոն-Ջերմերի
* Շտեռն-Գեռլախի
* Շրյոդինգերի կատու
* Կրկնակի ճեղքով
* Պոպերի փորձ
* Աֆշարի փորձ
* Էլեկտրոնների դիֆրակցիա
 |
| ՁևակերպումներՀայզենբերգի պատկերացում
Շրյոդինգերի պատկերացում
Ըստ հետագծերով ինտեգրում
Մատրիցային մեխանիկա |
| Հավասարումներ
* Դիրակի հավասարում
* Պաուլիի հավասարում
* Շրյոդինգերի հավասարում
* Կլայն-Գորդոնի հավասարում
* Ռիդբերգի բանաձև
 |
| Մեկնաբանություններ
* Մեկնաբանություններ
* Քվանտային տրամաբանություն
* Բազմաթիվ աշխարհներ
* Անհակասական պատմություններ
* Կոպենհագենյան
* Թաքնված պարամետրեր
 |
| Գիտնականներ
* Այնշտայն
* Բոզե
* Բոռն
* Բոր
* դը Բրոյլ
* Դիրակ
* Զոմմերֆելդ
* Էռենֆեստ
* Հայզենբերգ
* Շրյոդինգեր
* Պաուլի
* Պլանկ
* Ֆեյնման
* Զեեման
* Ցայլինգեր
* Բել
* Բոմ
* Էվերեթ
* Լանդաու
* Վին
* Կրամերս
* ֆոն Նեյման
* Վիգներ

 |
| Հիմքը
* Փակագծային նշանակումներ
* Դասական մեխանիկա
* Համիլտոնյան
* Ինտերֆերենցիա
* Հին քվանտային տեսություն
 |
| * դ
* ք
* խ
 |

**Կլայն-Գորդոնի հավասարում** (երբեմն՝ **Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում** կամ **Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում**,Կլայն-Ֆոկի հավասարում), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։

{\displaystyle \partial \_{x}^{2}\psi +\partial \_{y}^{2}\psi +\partial \_{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial \_{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0},
Կամ, բնական միավորներով (որտեղ {\displaystyle \hbar =c=1})՝

{\displaystyle (\square \ -m^{2})\psi =0},
որտեղ {\displaystyle \square \ }-ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար։
Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

* Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
* Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
* Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։

Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

* Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք {\displaystyle \pm mc^{2}/\hbar } հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի {\displaystyle m} զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։

Պատմություն
-----------

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։

1926 թ. Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։

Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին։

Արտածում
--------

Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝

{\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E}։
Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝

{\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi },
որտեղ 

{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }
մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, ∇-ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ 

{\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}
իսկ էներգիայի օպերատորն է։

Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։

Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝

{\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E}
Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

{\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }
հավասարումը։

Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝

{\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}},
որը, քվանտացվելով, տալիս է 

{\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi }։
Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝

{\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi }։
Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք

{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}։
Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։

Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան diag(−*c*2, 1, 1, 1), ստանում ենք

{\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}
կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես

{\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}
որտեղ

{\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}}
և

{\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}։
Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։

Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։

### Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համար

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ *V*(*ψ*) պոտենցիալով դաշտը որպես

{\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial {}V}{\partial \psi }}=0}։

Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համար
----------------------------------------------------

Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }
հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},}
այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման {\displaystyle \mathbf {k} }-ի և {\displaystyle \omega }-ի համար.

{\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}}։
Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} }
{\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega }։
Գտնված {\displaystyle k} և {\displaystyle \omega } առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}։
Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։

Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել {\displaystyle m=0}։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}
տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության {\displaystyle \mathbf {v} \_{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \ } բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։

Գործողություն
-------------

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial \_{\mu }{\bar {\psi }}\partial \_{\nu }\psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x},
որտեղ *ψ*-ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, *m*-ը՝ դրա զանգվածը։ *ψ*-ի կոմպլեքս համալուծը {\displaystyle {\bar {\psi }}} է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi }։
Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի

{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial \_{\alpha }{\bar {\psi }}\partial \_{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\psi }}\psi }։

Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցություն
---------------------------------

Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

{\displaystyle D\_{\mu }D^{\mu }\phi =-(\partial \_{t}-ieA\_{0})^{2}\phi +(\partial \_{i}-ieA\_{i})^{2}\phi =m^{2}\phi }
բնական միավորներով, որտեղ *A*-ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

{\displaystyle D\_{\mu }D^{\mu }\phi +AF^{\mu \nu }D\_{\mu }\phi D\_{\nu }(D\_{\alpha }D^{\alpha }\phi )=0}։
Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։

Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է *i*-ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։

Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

{\displaystyle S=\int \_{x}\left(\partial \_{\mu }\phi ^{\*}+ieA\_{\mu }\phi ^{\*}\right)\left(\partial \_{\nu }\phi -ieA\_{\nu }\phi \right)\eta ^{\mu \nu }=\int \_{x}|D\phi |^{2}}։

Գրավիտացիոն փոխազդեցություն
---------------------------

Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla \_{\mu }\nabla \_{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla \_{\mu }(\partial \_{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial \_{\mu }\partial \_{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}\_{\mu \nu }\partial \_{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \end{aligned}}}
կամ դրա համարժեքը՝

{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial \_{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial \_{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0},
որտեղ *g**αβ*-ն մետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, *g*-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, ∇*μ*-ն կովարիանտ ածանցյալն է, Γ*σμν*-ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։

Տես նաև
-------

* Դիրակի հավասարում
* Շրյոդինգերի հավասարում
* Մաքսվելի հավասարումներ
* Դաշտի քվանտային տեսություն

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Ю.Н. Демков. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете
2. ↑  Л. Д. Фаддеев. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН, 2013, май (том 183, № 5), с. 490
3. ↑  см. Боголюбов Н. Н. Ширков Д. В. - "Введение в теорию квантованных полей" §§ 4,6
4. ↑  Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242
5. ↑  Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226
6. ↑  Klein, O. 1926. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37:895–906.
7. ↑  «W.Gordon, "Эффект Комптона в теории Шредингера.", 1926» (PDF). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2015 թ․ հունվարի 2-ին. Վերցված է 2015 թ․ ապրիլի 4-ին.
8. ↑  David Tong, Lectures on Quantum Field Theory, Lecture 1, Section 1.1.1
9. ↑  S.A. Fulling, Aspects of Quantum Field Theory in Curved Space–Time, Cambridge University Press, 1996, p. 117

Արտաքին հղումներ
----------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/k055480 "Klein–Gordon equation"], Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W. "Klein–Gordon equation", MathWorld.
* Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
* Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
* Introduction to nonlocal equations.