Կոր տոպոլոգիական տարածությունում
**Կոր** տոպոլոգիական տարածությունում, {\displaystyle R^{1}} թվային ուղղի ցանկացած {\displaystyle [a,b],(a<b)}, հատվածի անընդհատ արտապատկերում կամայական տոպոլոգիական տարածության մեջ։ Եթե {\displaystyle t\in [a,b]} թվի իմաստը ժամանակն է, իսկ {\displaystyle x=f(t)} համապատասխան կետը՝ շարժվող կետի դիրքն է պահին, ապա երբ t-ն a-ից b ուղղությամբ անընդհատ անցնում է {\displaystyle [a,b]} հատվածը, {\displaystyle f(t)} կետը անցնում է որոշ «անընդհատ կոր»՝ f կորի «հետագիծը»։ Ընդ որում, թույլատրվում Է, որ շարժվող կետը ժամանակի տարբեր պահերին տարածության միևնույն կետով անցնի մի քանի անգամ կամ որոշ ժամանակահատվածում մնա «անշարժ»։ Դեռ ավելին, չեն բացառվում նաև {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X} հաստատուն կորեր, որոնց համար f արտապատկերումը հաստատուն է, այսինքն յուրաքանչյուր t-ի համար {\displaystyle f(t)=x\_{0}}, որտեղ x\_{0}-ն {\displaystyle X} տարածության որևէ սևեռված կետ է։ Կորի {\displaystyle f(t)} կետերի անցման կարգը էական է, և այդ պատճառով յուրաքանչյուր f կորը ստանում է որոշ ուղղություն՝ {\displaystyle f(a)} սկզբնակետից դեպի {\displaystyle f(b)} վերջնակետը։ Նկարում այդ ուղղությունը նշվում է սլաքով։ {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X} կորը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրակետերը համընկնում են {\displaystyle [f(a)=f(b)]}, և փակ պարզ կորը, եթե նաև {\displaystyle [f(t\_{1})\neq f(t\_{2})]} յուրաքանչյուր {\displaystyle t\_{1},t\_{2}}-ի համար, որտեղ {\displaystyle a<t1<t2<b}։ {\displaystyle R^{n}} էվկլիդեսյան տարածության f' կորը կոչվում է անընդհատ դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունի անընդհատ {\displaystyle f^{1}} ածանցյալ։ Անհրաժեշտ է ընդգծել, որ {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X} կորը դա f արտապատկերումն է, և ոչ թե նրա {\displaystyle x=f(t)} կետերի բազմությունը։ {\displaystyle X} տարածության միևնույն ենթաբազմությունը կարող է դիտվել որպես կետերի բազմություն այդ տարածության տարբեր կորերի համար։ Օրինակ, դիցուք C-ն {\displaystyle R^{2}} հարթության որևէ շրջանագիծ է, O-ն նրա կենտրոնը, իսկ {\displaystyle l\subset R^{2}}‘ O գագաթով սևեռված ճառագայթ։ Այդ շրջանագծի վրա ընտրենք շրջանցման դրական ուղղություն և կառուցենք {\displaystyle f:[0,l]\rightarrow R^{2}} փակ կոր հետևյալ կերպ՝ {\displaystyle f(o)}-ն l ճառագայթի և C շրջանագծի հատման կետն է, իսկ {\displaystyle f(t)}-ն, {\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}, C շրջանագծի այնպիսի կետ է, որի համար l ճառագայթի և O կետը {\displaystyle f(t)} կետի հետ միացնող հատվածի միջև կազմված անկյունը հավասար է {\displaystyle 2\pi t} (տես նկարը)։ Պարզ է, որ փոխելով l ճառագայթի դիրքը՝ կստանանք անթիվ բազմությամբ տարբեր կետեր, որոնց համար կետերի բազմությունը C շրջանագիծն է։ {\displaystyle X} տարածության բոլոր կորերի բազմությունում մտցվում է համարժեքության հարաբերություն հետևյալ կերպ՝ {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X} և {\displaystyle g:[c,d]\rightarrow X} կետերը կոչվում են համարժեք, եթե տեղի ունի {\displaystyle f=goh} առնչությունը, որտեղ {\displaystyle h:[a,b]\rightarrow [c,d]}-ն {\displaystyle [a,b]} հատվածի այնպիսի տոպոլոգիական արտապատկերում է {\displaystyle [c,d]} հատվածի վրա, որի համար {\displaystyle h(a)=c}, իսկ {\displaystyle h(b)=d}։ Եթե {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X} որևէ կոր է, ապա կարելի է կառուցել այնպիսի {\displaystyle g:[0,l]\rightarrow X} կոր, որը լինի համարժեք f կորին։ Օրինակ, {\displaystyle g=foh}, որտեղ {\displaystyle h:[0,l]\rightarrow [a,b]} տոպոլոգիական արտապատկերումը տրվում է {\displaystyle h(t)=(b-a)t+a} բանաձևով։ Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս դիտարկել միայն այնպիսի կորեր, որոնց որոշման տիրույթը {\displaystyle [0,l]} հատվածն է։

Վերը նշված համարժեքության հարաբերության հետևանքով {\displaystyle X} տարածության բոլոր կորերի բազմությունը տրոհվում է իրար համարժեք կորերի դասերի։ Լրիվ խստությամբ {\displaystyle X} տարածության կորը կոչվում է յուրաքանչյուր այդպիսի համարժեքության դաս։ Կորի նշված գաղափարի հետ սերտորեն կապված է գծի բավականաչափ ընդհանուր գաղափարը։ Ժամանակակից տոպոլոգիան առաջադրեց գծի մասին պատկերացման ճշգրտության խնդիրը, որը լուծեց խորհրդային մաթեմատիկոս Պ. Ուրիսոնը (1921)։ Ըստ նրա սահմանման, գիծ է կոչվում յուրաքանչյուր միաչափ կոնտինուում, այսինքն միաչափ, կապակցված, բիկոմպակտ, հաուսդորֆյան տարածություն։ Հարթ գծի սահմանումը (որը համապատասխանում Է Ուրիսոնի սահմանման հետ) տվել է դեռևս Գ. Կանտորը, հարթ գծերը հաճախ անվանում են կանտորյան գծեր։ Որպեսզի {\displaystyle X\subset R^{2}} կոնտինուումը լինի կանտորյան գիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ {\displaystyle X}-ը {\displaystyle R^{2}} հարթության նկատմամբ չունենա ոչ մի ներքին կետ։

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 642)։*  |