**Կրկնակի ճոճանակ**՝ ճոճանակ մեկ այլ ճոճանակին կպած, ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի դինամիկական համակարգերի բնագավառում։ Կրկնակի ճոճանակը հանդիսանում է պարզ ֆիզիկական համակարգ, որը ցուցաբերում է սկզբնական պայմաններից կախված, տարատեսակ դինամիկ վարք։ Ճոճանակի շարժումը ղեկավարվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով։ Որոշ էներգիաների համար նրա շարժումը կարող ենք քաոսային համարել։

Կրկնակի ճոճանակ

#### Վերլուծություն

Կարելի է դիտարկել կրկնակի ճոճանակների մի քանի տարբերակներ՝ երկու օղակները կարող են լինել միատեսակ կամ ունենալ տարբեր զանգվածներ ու երկարություններ, նրանք կարող են լինել պարզ ճոճանակներ կամ ֆիզիկական ճոճանակներ, շարժումը կարող է տեղի ունենալ երեք չափումներով կամ սահմանափակված ուղղահայց հարթությամբ։ Հետագա վերլուծության ժամանակ օղակները ընտրված են այնպես, ինչպես {\displaystyle \ell } երկարությամբ և {\displaystyle m} զանգվածով միատեսակ ֆիզիկական ճոճանակներ, և նրանց շարժումը սահմանափակված է երկու չափումներով։ Ֆիզիկական ճոճանակի զանգվածը տեղաբաշխված է նրա ամբողջ երկարությամբ։ Եթե զանգվածը բաշխված է հավասարաչափ, ապա յուրաքանչյուր օղակի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է իր երկրաչափական կենտրոնի հետ և օղակը ունենում է այսպիսի իներցիայի մոմենտ {\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}՝ այդ կետի համար։

Կրկնակի ֆիզիկական ճոճանակ
Յուրաքանչյուր օղակի միջև եղած անկյունները կարելի է օգտագործել և ուղղահայց՝ որպես ընդհանրացված կոորդինատներ, որոշելով համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարածությունը։ Եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը դնենք առաջին ճոճանակի կախման կետում, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածի կենտրոնը կգտնվի՝

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta \_{1}\\y\_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta \_{1}\end{cases}}}

իսկ մյուսինը՝

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{2}=\ell \left(\sin \theta \_{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta \_{2}\right)\\y\_{2}=-\ell \left(\cos \theta \_{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta \_{2}\right).\end{cases}}}
Այս ինֆորմացիան բավական է, որպեսզի գրառենք Լագրանժի հավասարումները։

### Լագրանժյան

Լագրանժյանը հանդիսանում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը՝

{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v\_{1}^{2}+v\_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}\_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}\_{2}}^{2}\right)-mg\left(y\_{1}+y\_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}\_{1}}^{2}+{{\dot {y}}\_{1}}^{2}+{{\dot {x}}\_{2}}^{2}+{{\dot {y}}\_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}\_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}\_{2}}^{2}\right)-mg\left(y\_{1}+y\_{2}\right)\end{aligned}}}
Առաջին գումարելին մարմնի զանգվածի կենտրոնի *գծային* կինետիկ էներգիան է, երկրորդ գումարելին յուրաքանչյուր առանցքի զանգվածի կենտրոնի *պտտման* կինետիկ էներգիան է։ Վերջին գումարելին մարմնի պոտենցիալ էներգիան համասեռ գրավիտացիոն դաշտում։ 
Համեմատելով կոորդինատներն ու խմբավորելով հավասարումները՝ կունենանք

{\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}\_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}\_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}\_{1}}{{\dot {\theta }}\_{2}}\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta \_{1}+\cos \theta \_{2}\right).}
 Կրկնակի ճոճանակի շարժումը (շարժման հավասարման քանակական ինտեգրումից)
Կրկնակի ճոճանակի հետագիծը
 երկար պահաժամի դեպքում, կրկնակի ճոճանակը ցուցաբերում է քաոսային շարժում (դիտված է ֆոտոդիոդի կողմից)
Ամփոփված իմպուլները կարելի է այսպես գրել

{\displaystyle {\begin{cases}p\_{\theta \_{1}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}\_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}\_{1}}+3{{\dot {\theta }}\_{2}}\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})\right]\\\\p\_{\theta \_{2}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}\_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}\_{2}}+3{{\dot {\theta }}\_{1}}\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})\right].\end{cases}}}
Այս արտահայտությունները կարելի է ձևափոխել, որպեսզի ստացվի

{\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {\theta }}\_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p\_{\theta \_{1}}-3\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})p\_{\theta \_{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta \_{1}-\theta \_{2})}}\\\\{{\dot {\theta }}\_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p\_{\theta \_{2}}-3\cos(\theta \_{1}-\theta \_{2})p\_{\theta \_{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta \_{1}-\theta \_{2})}}.\end{cases}}}
Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներից ստացվող շարժման հավասարումները, կարելի է գրել որպես՝

{\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {p}}\_{\theta \_{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta \_{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}\_{1}}{{\dot {\theta }}\_{2}}\sin(\theta \_{1}-\theta \_{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \_{1}\right]\\\\{{\dot {p}}\_{\theta \_{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta \_{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}\_{1}}{{\dot {\theta }}\_{2}}\sin(\theta \_{1}-\theta \_{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \_{2}\right].\end{cases}}}
Վերջին չորս հավասարումները հանդիսանում են տրվյալ ընթացիկ վիճակով ժամանակային համակարգի զարգացման բանաձևերն են։ Հնարավոր չէ առաջ անցնել և անալիտիկորեն ինտեգրել այդ հավասարումները, որպեսզի բանաձևեր ստանանք θ1 և θ2-ի համար, որպես ժամանակից ֆունկցիաներ։ Սակայն, հնարավոր է կատարել անդամային ինտեգրում, օգտագործելով Ռունգե-Կուտտեյի մեթոդը կամ համանման տեխնիկա։

Սկզբնական պայմաններից կախված ճոճանակի պտտման ժամանակի գրաֆիկը

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  Levien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.*American Journal of Physics* 1993; 61 (11) : 1038

Տես նաև
-------

* Double inverted pendulum
* Pendulum (mathematics)
* Mid-20th century physics textbooks use the term "double pendulum" to mean a single bob suspended from a string which is in turn suspended from a V-shaped string. This type of pendulum, which produces Lissajous curves, is now referred to as a Blackburn pendulum.

Գրականություն
-------------

* Animations and explanations of a double pendulum and a physical double pendulum (two square plates) by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
* Interactive Open Source Physics JavaScript simulation with detailed equations double pendulum
* Interactive Javascript simulation of a double pendulum
* Double pendulum physics simulation from www.myphysicslab.com using open source JavaScript code
* Simulation, equations and explanation of Rott's pendulum
* Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions ՅուԹյուբում
* Double Pendulum Simulator - An open source simulator written in C++ using the Qt toolkit.
* Online Java simulator Արխիվացված 2022-08-16 Wayback Machine of the Imaginary exhibition.