**Ենթաբազմություն** բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն

Էյլերի դիագրամում երևում է, որ A բազմությունը B բազմության ենթաբազմություն է

Սահմանում
---------

{\displaystyle A} բազմությունը համարվում է {\displaystyle B} բազմության ենթաբազմություն, եթե {\displaystyle A}-ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև {\displaystyle B}-ին։

{\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B).}
Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

| «{\displaystyle A}-ն {\displaystyle B}-ի ենթաբազմություն է». նշանակվում է | «{\displaystyle A}-ն {\displaystyle B}-ի սեփական ենթաբազմություն է». նշանակվում է | Ծանոթություն |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle A\subseteq B} | {\displaystyle A\subset B} | {\displaystyle \subseteq } սիմվոլի արտաքին տեսքը ցույց է տալիս, որ եթե {\displaystyle A=B}, ապա {\displaystyle A\subseteq B}. |
| {\displaystyle A\subset B} | {\displaystyle A\subsetneq B} | «Ենթաբազմության» հասկացության համար օգտագործվում է ավելի պարզ սիմվոլ, քանի որ այդ հասկացությունն ավելի հիմնավոր է։ |

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են {\displaystyle \subset } տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։
Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։
{\displaystyle A} բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}:

### Սեփական ենթաբազմություն

Ցանկացած {\displaystyle B} բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք {\displaystyle B} բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք **սեփական** ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

{\displaystyle A} բազմությունը համարվում է {\displaystyle B} բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե {\displaystyle A\subset B} և {\displaystyle A\neq B}:
Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

{\displaystyle A} բազմությունը համարվում է {\displaystyle B} բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե {\displaystyle A}-ն {\displaystyle B}-ի սեփական ենթաբազմություն է և {\displaystyle A\neq \varnothing }:

Օրինակներ
---------

* {\displaystyle \varnothing ,\{0\},\{1,3,4\}} բազմությունները {\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}} բազմության ենթաբազմություններ են։
* {\displaystyle \{\varnothing ,\uparrow ,moose\},\{\$,\%,\*,\uparrow \},\{\varnothing \},\varnothing } բազմությունները {\displaystyle \{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,\*,moose\}} բազմության ենթաբազմություններ են։
* Եթե {\displaystyle A=\{a,b\}}, ապա {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}:
* Եթե {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\}}, ապա {\displaystyle B\subset A,\;C\not \subset A}:

Հատկություններ
--------------

Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով

* Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
	+ Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.
	{\displaystyle B\subset B}
	+ Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.
	{\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)}
	+ Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.
	{\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)}
* Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.
{\displaystyle \varnothing \subset B}
* Ցանկացած {\displaystyle A} և {\displaystyle B} երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.
	+ {\displaystyle A\subset B}
	+ {\displaystyle A\cap B=A}
	+ {\displaystyle A\cup B=B}
	+ {\displaystyle B^{\complement }\subset A^{\complement }}

Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններ
-------------------------------------------

Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, {\displaystyle n} տարր ունեցող բազմությունն ունի {\displaystyle 2^{n}} ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը։ Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների {\displaystyle n}-ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք {\displaystyle n} տարր ունեցող բազմության միայն {\displaystyle k\leq n} տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել {\displaystyle n} եղանակով, երկրորդը {\displaystyle n-1} եղանակով, և այսպես շարունակ, {\displaystyle k}-րդ տարրը՝ {\displaystyle n-k+1}: Այսպիսով, ստանում ենք {\displaystyle k} տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ {\displaystyle k!} այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի {\displaystyle \textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}={\binom {n}{k}}} ենթաբազմություններ։

Ծանոթագրություններ
------------------

1. ↑  ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд. перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 (ռուս.)

Գրականություն
-------------

* *Верещагин Н. К. Шень А.* Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд. стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)