असली हिस्सा (लाल) और महत्वपूर्ण लाइन रे (एस) = १/२ साथ रीमान जीटा समारोह की काल्पनिक हिस्सा (नीला)। पहली गैर तुच्छ) शून्य आईएमएस में देखा जा सकता = १४।१३५ ±, ± २१.0२२ और ± २५.0११।
गणित में रीमान परिकल्पना, एक निष्कर्ष है जिसके प्रकार रीमान ज़ीटा समारोह केवल नकारात्मक सम संख्या और जटिल संख्य जिसका असली भाग १/२ होने पर शून्य होता है। बर्नहार्ड रीमन(१८५९) इस परिकल्पना को प्रस्थापित किया इसीलिये उनका नाम ही रखा गया है। यही नाम इस तरह के परिमित क्षेत्रों से अधिक गटत के लिये रीमान परिकल्पना के रूप में कुछ निकट से संबन्धित अनुरूप के लिये प्रयोग किय जाता है।
रीमान परिकल्पना, सम संख्यों के वितरण के बारे बताता है। उपयुक्त समान्यीकरण के साथ कुछ गणितज्ञों का मानना है कि यह गणित के सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझे हुए विवाद का विषय है।रीमान परिकल्पना,गोल्डब्याच का अनुमान के साथ-साथ,२३ अनसुलझी समस्यओं के डेविड हिलबर्ट की सूची में आठवें समस्या का हिस्सा है।यह क्ले गणित सम्स्थान के मिल्लेनियम प्रैज़ प्रोब्लम्स में एक है।
रीमान ज़ीटा समारोह ζ(s) एक ऐसा समारोह है जो १ के अलावा कोई भी जटिल स्ंख्या देने पर उसका मूल्य जटिल ही रहता है। इसके नकारत्मक सम स्ंख्यो पर शून्य रह्त है। माने s=-२,-४,-६, आदी रहने पर ही ζ(s) = ० हो सकता है। इन्हे तुछ शून्य कहते हैं। इसके अलावा जो मूल्य है जिसके लिए ζ(s) = ० होता है उन्हे गैर तुछ शून्य कहते हैं।रीमन परिकल्पना इन गैर तुछ शून्यों के स्थानों के साथ संब्ंधित है।उसका कहना है कि :
रीमान ज़ीटा समारोह के हर गैर तुछ शून्य का असमली हिस्सा है १/२।
अगर यह परिकल्पना सहि निकली तो,सारे गैर तुछ शून्य विकत लैन पर रहते हैं जो जटिल संख्यओं से भरा है जो १/२+ i t के प्रकार रहता है। इसके बारे में बहुत सारे गैर तकनीकि किताबे रची गयी है।देब्रीशैर(२००३),रोकमोर(२००५),दु सौटोइ(२००३) आदी इस प्रकार के किताबे है।

रीमान ज़ीटा समारोह।
-------------------

रीमान ज़ीटा समारोह {\displaystyle \zeta (z)} जटिल विमान का एक आयताकार क्षेत्र में प्रतिनिधित्व है.यह एक साजिश विधि का एक संस्करण का उपयोग कर के रूप में उत्पन्न होता है।
रीमान जीटा समारोह बिल्कुल अभिसरण अनंत श्रृंखला से असली भाग 1 से अधिक के साथ जटिल s के लिए परिभाषित किया गया है।

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .}
लियोनार्ड यूलर से पता चला है कि इस श्रृंखला यूलर उत्पाद के बराबर होती है।

{\displaystyle \zeta (s)=\prod \_{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }
जहां अनंत उत्पाद सभी प्रमुख संख्या पी पर फैली हुई है, और फिर १ से अधिक से अधिक वास्तविक भाग के साथ जटिल एस के लिए यूलर उत्पाद के अभिसरण से पता चलता है कि ζ (s) इस क्षेत्र में कोई शून्य है, जैसे कारकों में से कोई भी शून्य है। 
रीमान परिकल्पना इस श्रृंखला और यूलर उत्पाद के अभिसरण के क्षेत्र के बाहर शून्य पर चर्चा है।इस डिर्चलेट ईटीए समारोह के रूप में इस प्रकार के मामले में इसे व्यक्त करने के द्वारा किया जा सकता है। अगर s का असली भाग एक से अधिक है, तो जीटा समारोह को संतुष्ट करता है।

{\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .}
जीटा समारोह, साथ ही, सीमा ले रही है, एस = 1 पर एक सरल पोल के लिए छोड़कर सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ के सभी मूल्यों के लिए एक निश्चित मूल्य देकर इन मूल्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है।

रीमान परिकल्पना के परिणाम।
--------------------------

रीमान परिकल्पना के व्यावहारिक उपयोग करता है कई रीमान परिकल्पना के तहत सच में जाना जाता है, और कुछ है जो रीमान परिकल्पना के बराबर दिखाया जा सकता है।

सम संख्यों का वितरण।
--------------------

रीमान जीटा समारोह के शून्य पर एक योग के संदर्भ में दी गई संख्या से कम सम संख्या के लिए रीमान की स्पष्ट सूत्र का कहना है कि उनकी उम्मीद स्थिति के आसपास सम संख्यों की दोलनों के परिमाण के शून्य की असली भागों द्वारा नियंत्रित किया जाता है जीटा समारोह।विशेष रूप से सम संख्या प्रमेय में त्रुटि अवधि बारीकी से शून्य की स्थिति से संबंधित है: उदाहरण के लिए, शून्य की असली भागों की β संख्या कि त्रुटि हे शून्य(xβ) किया जाता है। 
वॉन के कोच (१९०१) साबित कर दिया कि रीमान परिकल्पना "सबसे अच्छा संभव" प्रधानमंत्री संख्या प्रमेय की त्रुटि के लिए बाध्य कर निकलता है। कोच के परिणाम, शोएनफ़ेल्ड (१९७६) के कारण का एक सटीक संस्करण का कहना है कि रीमान परिकल्पना का तात्पर्य

{\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}
जहां π (x) प्राइम गिनती समारोह है, और लॉग (x), x का प्राकृतिक लघुगणक है।
शोएनफ़ेल्ड (१९७६) भी रीमान् परिकल्पना का तात्पर्य इस तरह दिया।

{\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}
जहां ψ (x) चेबिशेव का दूसरा कार्य है।

गणित कार्यों का बढति।
---------------------

रीमान परिन्कल्पना,सम संख्यों के गिनती समारोह के अलावा कई अन्य गणित कार्यों के विकास पर मजबूत सीमा का तात्पर्य देती है। 
मोबियस समारोह इसका एक उदाहरण है।उस समीकरण के बयान है की:

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
१/२ से अधिक वास्तविक भाग के साथ हर S के लिए मान्य है,जहा दाहिने हाथ की ओर अभिसारी पर योग, रीमान परिकल्पना के बराबर है।

बडे सम संख्यों के बीच का अंतर।
------------------------------

सम संख्या प्रमेय हमे बताते हैं की, एक सम संख्या(अ) से उसके बाद के सम संख्या का अंतर लाग(अ) रहता है।तथापि कुछ संदर्भो में यह इस से ज़्यादा भी हो सकता है।क्रेमर ने साबीत किया कि, रीमान परिकल्पना मानते हुए, हर खाई (√p लॉग पी) है।यह एक मामला है, जिसमें भी सबसे अच्छा है कि साबित किया जा सकता बाध्य का उपयोग कर रीमान परिकल्पना सच लगती है क्या की तुलना में कहीं कमजोर है।संख्यात्मक सबूत क्रेमर के अनुमान का समर्थन करता है।

सामान्यीक्रुत रीमान परिकल्पना।
------------------------------

सामान्यीक्रुत रीमान् परिकल्पना के कैइ सारी उपयोग है।रीमान ज़ीटा समारोह बहुत सारी चीज़े आसानि से डिरिच्लेट एल सीरीज़ के साथ जुड सकते हैं।जो तरीका रीमान परिकल्पना, रीमान ज़ीटा समारोह को साबीत करती है वही तरीका डिरिच्लिट कर्यों को भी साबीत करने हेतु अपना सकते हैं।सामान्यीक्रुत रीमान परिकल्पना की यह एक विशिश्ट और प्रशम्सनीय बात है।इस तरीके से साबीत किये गये बहुत सारे निश्कर्श बाद में समान्यीक्रुत रीमान परिकल्पना के बिना भि साबीत किय गया है।

सन्दर्भ
-------

1. ↑  "संग्रहीत प्रति". मूल से 20 मार्च 2015 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि 5 नवंबर 2016.

* Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", *Mathematische Zeitschrift*, **19** (1): 207–246, डीओआइ:10.1007/BF01181075
* Backlund, R. J. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", *C. R. Acad. Sci. Paris*, **158**: 1979–1981, मूल से 8 नवंबर 2016 को पुरालेखित, अभिगमन तिथि 5 नवंबर 2016