गणित में, **सकारात्मक वास्तविक संख्याओं** का समुच्चय, {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},} उन वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय है जो शून्य से बड़ी हैं। **गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ**, {\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},} शून्य भी शामिल है. यद्यपि प्रतीक {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}} और {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} इनमें से किसी एक के लिए अस्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, संकेतन {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}} या {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} के लिए {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}} और {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}^{\*}} या {\displaystyle \mathbb {R} \_{\*}^{+}} के लिए {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}} यह भी व्यापक रूप से नियोजित किया गया है, एक स्टार के साथ शून्य तत्व के बहिष्कार को दर्शाने के बीजगणित में अभ्यास के साथ गठबंधन किया गया है, और अधिकांश अभ्यास गणितज्ञों के लिए समझ में आना चाहिए।

एक जटिल तल में, {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}} सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, और आमतौर पर एक क्षैतिज किरण के रूप में खींचा जाता है। इस किरण का उपयोग सम्मिश्र संख्या के ध्रुवीय रूप में सन्दर्भ के रूप में किया जाता है। वास्तविक धनात्मक अक्ष जटिल संख्याओं से मेल खाता है {\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },} तर्क के साथ {\displaystyle \varphi =0.}

गुण
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सेट {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}} जोड़, गुणा और विभाजन के तहत बंद है। यह वास्तविक रेखा से एक टोपोलॉजी विरासत में मिला है और इस प्रकार, एक गुणक टोपोलॉजिकल समूह या एक योजक टोपोलॉजिकल सेमीग्रुप की संरचना है।

किसी दिए गए सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए {\displaystyle x,} क्रम {\displaystyle \left\{x^{n}\right\}} इसकी अभिन्न शक्तियों के तीन अलग-अलग भाग्य हैं: कब {\displaystyle x\in (0,1),} सीमा शून्य है; कब {\displaystyle x=1,} क्रम स्थिर है; और जब {\displaystyle x>1,} अनुक्रम असीमित है.

{\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )} और गुणक व्युत्क्रम फलन अंतरालों का आदान-प्रदान करता है। कार्य मंजिल, {\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,} और अधिकता, {\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,} किसी तत्व का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया है {\displaystyle x\in \mathbb {R} \_{>0}} एक सतत अंश के रूप में {\displaystyle \left[n\_{0};n\_{1},n\_{2},\ldots \right],} जो कि आधिक्य के पारस्परिक होने के बाद फ़्लोर फ़ंक्शन से प्राप्त पूर्णांकों का एक क्रम है। तर्कसंगत के लिए {\displaystyle x,} अनुक्रम सटीक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के साथ समाप्त होता है {\displaystyle x,} और द्विघात अपरिमेय के लिए {\displaystyle x,} अनुक्रम एक आवधिक निरंतर अंश बन जाता है।

ऑर्डर किया गया सेट {\displaystyle \left(\mathbb {R} \_{>0},>\right)} कुल ऑर्डर बनाता है लेकिन सुव्यवस्थित सेट *not* है। दोगुनी अनंत ज्यामितीय प्रगति {\displaystyle 10^{n},} कहाँ {\displaystyle n} एक पूर्णांक है, पूरी तरह से निहित है {\displaystyle \left(\mathbb {R} \_{>0},>\right)} और पहुंच के लिए इसे खंडित करने का कार्य करता है। {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}} एक **अनुपात पैमाना** बनाता है, जो माप का उच्चतम स्तर है । तत्वों को वैज्ञानिक संकेतन में इस प्रकार लिखा जा सकता है {\displaystyle a\times 10^{b},} कहाँ {\displaystyle 1\leq a<10} और {\displaystyle b} दोगुना अनंत प्रगति में पूर्णांक है, और इसे दशक कहा जाता है। भौतिक परिमाणों के अध्ययन में, दशकों का क्रम अनुपात पैमाने में निहित एक क्रमिक पैमाने का जिक्र करते हुए सकारात्मक और नकारात्मक ऑर्डिनल प्रदान करता है।

शास्त्रीय समूहों के अध्ययन में, प्रत्येक के लिए {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} निर्धारक से एक नक्शा देता है {\displaystyle n\times n} वास्तविक से वास्तविक संख्याओं पर आव्यूह: {\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .} व्युत्क्रमणीय आव्यूहों तक सीमित करने से सामान्य रैखिक समूह से गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं तक का मानचित्र मिलता है: {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.} सकारात्मक निर्धारक वाले आव्यूहों तक सीमित करने से मानचित्र मिलता है {\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \_{>0}} ; सामान्य उपसमूह द्वारा छवि को भागफल समूह के रूप में व्याख्या करना {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),} जिसे विशेष रैखिक समूह कहा जाता है, सकारात्मक वास्तविकताओं को झूठ समूह के रूप में व्यक्त करता है।

अनुपात पैमाना
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माप के स्तरों के बीच, अनुपात पैमाना बेहतरीन विवरण प्रदान करता है। विभाजन फ़ंक्शन एक का मान लेता है जब अंश और हर बराबर होते हैं। अन्य अनुपातों की तुलना लघुगणक द्वारा की जाती है, अक्सर आधार 10 का उपयोग करके सामान्य लघुगणक। अनुपात पैमाना तब विज्ञान और प्रौद्योगिकी में उपयोग किए जाने वाले परिमाण के आदेशों द्वारा खंडित होता है, जिसे माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

अनुपात पैमाने की एक प्रारंभिक अभिव्यक्ति यूडोक्सस द्वारा ज्यामितीय रूप से व्यक्त की गई थी: "यह था ... ज्यामितीय भाषा में यूडोक्सस के अनुपात का सामान्य सिद्धांत विकसित किया गया था, जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत के बराबर है।

लघुगणक माप
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अगर {\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} \_{>0}} तो फिर एक अंतराल है {\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a} के कुछ उपसमूहों पर एक माप निर्धारित करता है {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0},} लघुगणक के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं पर सामान्य लेबेस्ग माप के पुलबैक के अनुरूप: यह लघुगणकीय पैमाने पर लंबाई है। वास्तव में, यह गुणन के संबंध में एक अपरिवर्तनीय माप है {\displaystyle [a,b]\to [az,bz]} ए द्वारा {\displaystyle z\in \mathbb {R} \_{>0},} जिस प्रकार लेबेस्ग माप जोड़ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। टोपोलॉजिकल समूहों के संदर्भ में, यह माप हार माप का एक उदाहरण है।

इस माप की उपयोगिता लघुगणक पैमाने के अन्य अनुप्रयोगों के बीच, डेसीबल में तारकीय परिमाण और शोर के स्तर का वर्णन करने के लिए इसके उपयोग में दिखाई गई है। अंतर्राष्ट्रीय मानकों आईएसओ 80000-3 के प्रयोजनों के लिए, आयामहीन मात्राओं को स्तर कहा जाता है।

अनुप्रयोग
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गैर-नकारात्मक वास्तविकताएं गणित में मैट्रिक्स, मानदंडों और उपायों के लिए छवि के रूप में काम करती हैं।

0 सहित, सेट {\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq 0}} इसकी एक सेमीरिंग संरचना है (0 योगात्मक पहचान है), जिसे संभाव्यता सेमीरिंग के रूप में जाना जाता है; लघुगणक लेने (एक लघुगणकीय इकाई देने वाले आधार के विकल्प के साथ) लॉग सेमीरिंग के साथ एक समरूपता देता है (0 के अनुरूप) {\displaystyle -\infty } ), और इसकी इकाइयाँ (परिमित संख्याओं को छोड़कर)। {\displaystyle -\infty } ) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के अनुरूप है।

वर्ग
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होने देना {\displaystyle Q=\mathbb {R} \_{>0}\times \mathbb {R} \_{>0},} कार्तीय तल का प्रथम चतुर्थांश। चतुर्थांश को रेखा द्वारा ही चार भागों में विभाजित किया गया है {\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}} और मानक अतिपरवलय {\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}

{\displaystyle L\cup H} जबकि एक त्रिशूल बनाता है {\displaystyle L\cap H=(1,1)} केन्द्रीय बिंदु है. यह दो एक-पैरामीटर समूहों का पहचान तत्व है जो वहां प्रतिच्छेद करते हैं:



{

{

(

e

a

,
 

e

a

)

:
a
∈
R

}

,
×
}

 on 

L

 and 

{

{

(

e

a

,
 

e

−
a

)

:
a
∈
R

}

,
×
}

 on 

H
.

{\displaystyle \{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.}

{\displaystyle \{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.}
तब से {\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}} एक समूह है, {\displaystyle Q} समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है। *क्यू* में एक-पैरामीटर उपसमूह *एल* और *एच* उत्पाद में गतिविधि को प्रोफाइल करते हैं, और {\displaystyle L\times H} समूह कार्रवाई के प्रकारों का एक समाधान है।

व्यवसाय और विज्ञान के क्षेत्र अनुपातों में प्रचुर मात्रा में हैं, और अनुपातों में कोई भी परिवर्तन ध्यान आकर्षित करता है। अध्ययन *Q* में अतिशयोक्तिपूर्ण निर्देशांक को संदर्भित करता है। *एल* अक्ष के विरुद्ध गति ज्यामितीय माध्य में परिवर्तन का संकेत देती है {\displaystyle {\sqrt {xy}},} जबकि *H के* अनुदिश परिवर्तन एक नए अतिपरवलयिक कोण को इंगित करता है।

संदर्भ
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1. ↑  "positive number in nLab". *ncatlab.org*. अभिगमन तिथि 2020-08-11.
2. ↑  E. J. Dijksterhuis (1961) Mechanization of the World-Picture, page 51, via Internet Archive