**"सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं"** एक मिथ्या विरोधाभास है जो इस कथन को सिद्ध करने के लिए गणितीय प्रेरण के त्रुटिपूर्ण उपयोग से उत्पन्न होता है सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं। कोई वास्तविक विरोधाभास नहीं है, क्योंकि इन तर्कों में एक महत्वपूर्ण दोष है जो उन्हें गलत बनाता है। यह उदाहरण मूल रूप से जॉर्ज पोल्या द्वारा 1954 की एक पुस्तक में अलग-अलग शब्दों में उठाया गया था: "क्या कोई n संख्याएँ समान हैं?" या "किसी भी लड़कियों की आंखें एक ही रंग की होती हैं", गणितीय प्रेरण में एक अभ्यास के रूप में।[2] इसे "सभी गायों का एक ही रंग होता है" के रूप में भी पुनर्कथित किया गया है।[3]

विरोधाभास का "घोड़े" संस्करण 1961 में जोएल ई. कोहेन के एक व्यंग्य लेख में प्रस्तुत किया गया था। यह एक लेम्मा के रूप में कहा गया था, जिसने विशेष रूप से लेखक को "साबित" करने की अनुमति दी कि सिकंदर महान मौजूद नहीं था और उसके पास अनंत संख्या में अंग थे। [4]

बहस

सभी घोड़े एक ही रंग के विरोधाभास हैं, n = 1. के लिए प्रेरण चरण विफल हो रहा है

तर्क प्रेरण द्वारा प्रमाण है। पहले हम एक घोड़े के लिए एक आधार केस स्थापित करते हैं ({\displaystyle n=1}n=1)। फिर हम सिद्ध करते हैं कि यदि {\displaystyle n}n घोड़ों का रंग समान है, तो {\displaystyle n+1}n+1 घोड़ों का भी रंग समान होना चाहिए।

आधार मामला: एक घोड़ा

सिर्फ एक घोड़े का मामला मामूली है। यदि "समूह" में केवल एक घोड़ा है, तो स्पष्ट रूप से उस समूह के सभी घोड़ों का रंग समान है।

आगमनात्मक चरण

मान लें कि {\displaystyle n}n घोड़े हमेशा एक ही रंग के होते हैं। {\displaystyle n+1}n+1 घोड़ों वाले समूह पर विचार करें।

सबसे पहले, एक घोड़े को बाहर करें और केवल दूसरे {\displaystyle n}n घोड़ों को देखें; ये सभी एक ही रंग के हैं क्योंकि {\displaystyle n}n घोड़े हमेशा एक ही रंग के होते हैं। इसी तरह, कुछ अन्य घोड़े को बाहर करें (पहले हटाए गए घोड़े के समान नहीं) और केवल अन्य {\displaystyle n}n घोड़ों को देखें। उसी तर्क से, ये भी एक ही रंग के होने चाहिए। इसलिए, बाहर रखा गया पहला घोड़ा गैर-बहिष्कृत घोड़ों के समान रंग का है, जो बदले में अन्य बहिष्कृत घोड़े के समान रंग के हैं। इसलिए पहले घोड़े को बाहर रखा गया, गैर-बहिष्कृत घोड़ों, और अंतिम घोड़े को बाहर रखा गया, सभी एक ही रंग के हैं, और हमने यह साबित कर दिया है:

अगर {\displaystyle n}n घोड़ों का रंग एक जैसा है, तो {\displaystyle n+1}n+1 घोड़ों का भी वही रंग होगा।

हमने पहले ही बेस केस में देखा है कि नियम ("सभी घोड़ों का रंग एक जैसा है") {\displaystyle n=1}n=1 के लिए मान्य था। यहां सिद्ध किए गए आगमनात्मक चरण का तात्पर्य है कि चूंकि नियम {\displaystyle n=1}n=1 के लिए मान्य है, यह {\displaystyle n=2}n=2 के लिए भी मान्य होना चाहिए, जिसका अर्थ यह है कि नियम मान्य है। {\displaystyle n=3}n=3 वगैरह के लिए।

इस प्रकार घोड़ों के किसी भी समूह में, सभी घोड़ों का रंग समान होना चाहिए।[2][5]

व्याख्या

ऊपर दिया गया तर्क यह अंतर्निहित धारणा बनाता है कि {\displaystyle n+1}n+1 घोड़ों के सेट का आकार कम से कम 3,[3] है ताकि घोड़ों के दो उचित उपसमुच्चय जिस पर प्रेरण धारणा लागू हो, अनिवार्य रूप से साझा करेंगे एक सामान्य तत्व। यह इंडक्शन के पहले चरण में सच नहीं है, यानी, जब {\displaystyle n+1=2}{\displaystyle n+1=2}।

मान लीजिए दो घोड़े घोड़े A और घोड़े B हैं। जब घोड़ा A हटा दिया जाता है, तो यह सच है कि सेट में शेष घोड़े एक ही रंग के हैं (केवल घोड़ा B रहता है)। घोड़े बी को हटा दिए जाने पर भी यही सच है। हालांकि यह कथन "समूह में पहला घोड़ा बीच में घोड़ों के समान रंग का है" अर्थहीन है, क्योंकि "बीच में घोड़े" (दो सेटों में सामान्य तत्व (घोड़े) नहीं हैं)। इसलिए, उपरोक्त प्रमाण में एक तार्किक लिंक टूटा हुआ है। सबूत एक झूठा विरोधाभास बनाता है; ऐसा लगता है कि वैध तर्क से कुछ ऐसा दिखाई देता है जो स्पष्ट रूप से गलत है, लेकिन वास्तव में तर्क त्रुटिपूर्ण है।