आंकड़ों में, **स्वतंत्रता की डिग्री** की संख्या एक आंकड़े की अंतिम गणना में मूल्यों की संख्या है जो भिन्न होने के लिए स्वतंत्र हैं। गणितीय रूप से अपरिष्कृत श्रोताओं से एक प्रशिक्षक द्वारा सबसे अधिक पूछे जाने वाले प्रश्नों में से एक है, "वास्तव में स्वतंत्रता की डिग्री क्या है?" ऐसा नहीं है कि कोई जवाब नहीं है। गणितीय उत्तर एक एकल वाक्यांश है, "एक द्विघात रूप का पद।" समस्या उन दर्शकों के लिए अनुवाद कर रही है जिनका गणित का ज्ञान हाई स्कूल गणित से आगे नहीं बढ़ता है। यह कहना एक बात है कि स्वतंत्रता की डिग्री एक सूचकांक है और यह वर्णन करना है कि कुछ स्थितियों के लिए इसकी गणना कैसे की जाती है, लेकिन इनमें से कोई भी जानकारी यह नहीं बताती है कि स्वतंत्रता की डिग्री का क्या अर्थ है।

**"एक द्विघात रूप के पद"** के विकल्प के रूप में, मैंने हमेशा अमेरिकी सांख्यिकीविद् "व्हाट आर डिग्रियों ऑफ़ फ़्रीडम?" में जैक गुड के 1973 के लेख का आनंद लिया है। 27, 227-228, जिसमें उन्होंने स्वतंत्रता की डिग्री को पैरामीटर रिक्त स्थान के आयामों में अंतर के बराबर किया है। हालाँकि, यह एक आंशिक उत्तर है। यह बताता है कि कई ची-स्क्वायर परीक्षणों के लिए स्वतंत्रता की डिग्री क्या है और एफ परीक्षणों के लिए स्वतंत्रता की अंश डिग्री है, लेकिन यह टी परीक्षणों या एफ परीक्षणों के लिए स्वतंत्रता की डिनोमिनेटर डिग्री के साथ भी ऐसा नहीं करता है।

फिलहाल, मैं स्कोर रखने के तरीके के रूप में स्वतंत्रता की डिग्री को परिभाषित करने के लिए इच्छुक हूं। एक डेटा सेट में कई अवलोकन होते हैं, कहते हैं, n। वे जानकारी के व्यक्तिगत टुकड़े बनाते हैं। जानकारी के इन टुकड़ों का उपयोग या तो मापदंडों या परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक वस्तु का अनुमान लगाया जा रहा है कि स्वतंत्रता की एक डिग्री खर्च होती है। स्वतंत्रता की शेष डिग्री का उपयोग परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। हमें बस इतना करना है कि ठीक से गिनती की जाए।

एक एकल नमूना
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एन अवलोकन हैं। एक पैरामीटर (माध्य) है जिसका अनुमान लगाने की आवश्यकता है। यह परिवर्तनशीलता का आकलन करने के लिए स्वतंत्रता की n-1 डिग्री छोड़ देता है।

दो नमूने
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n1+n2 अवलोकन हैं। अनुमान लगाने के दो साधन हैं। यह परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए n1+n2-2 डिग्री स्वतंत्रता छोड़ देता है।

जी समूहों के साथ एकतरफा एनोवा:

n1+..+ng अवलोकन हैं। अनुमान लगाने के लिए जी साधन हैं। यह परिवर्तनशीलता का आकलन करने के लिए n1+..+ng-g स्वतंत्रता की डिग्री छोड़ देता है। यह एफ आंकड़े के लिए स्वतंत्रता की हर डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

एकतरफा एनोवा द्वारा परीक्षण की जा रही प्राथमिक शून्य परिकल्पना यह है कि जी जनसंख्या साधन बराबर हैं। शून्य परिकल्पना यह है कि एक ही माध्य होता है। वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि जी व्यक्तिगत साधन हैं। इसलिए, शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए जी-1 - यानी जी (एच 1) शून्य से 1 (एच 0) - स्वतंत्रता की डिग्री हैं। यह एफ अनुपात के लिए स्वतंत्रता की अंश डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

जी समूहों के साथ एकतरफा एनोवा
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n1+..+ng अवलोकन हैं। अनुमान लगाने के लिए जी साधन हैं। यह परिवर्तनशीलता का आकलन करने के लिए n1+..+ng-g स्वतंत्रता की डिग्री छोड़ देता है। यह एफ आंकड़े के लिए स्वतंत्रता की हर डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

एकतरफा एनोवा द्वारा परीक्षण की जा रही प्राथमिक शून्य परिकल्पना यह है कि जी जनसंख्या साधन बराबर हैं। शून्य परिकल्पना यह है कि एक ही माध्य होता है। वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि जी व्यक्तिगत साधन हैं। इसलिए, शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए जी-1 - यानी जी (एच 1) शून्य से 1 (एच 0) - स्वतंत्रता की डिग्री हैं। यह एफ अनुपात के लिए स्वतंत्रता की अंश डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

एफ अनुपात के लिए स्वतंत्रता की अंश डिग्री देखने का एक और तरीका है। शून्य परिकल्पना कहती है कि g जनसंख्या माध्यों में कोई परिवर्तनशीलता नहीं है। जी नमूना साधन हैं। इसलिए, जी साधनों के बीच परिवर्तनशीलता का आकलन करने के लिए जी-1 डिग्री स्वतंत्रता है।

पी भविष्यवक्ताओं के साथ एकाधिक प्रतिगमन
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अनुमानित किए जाने वाले p+1 मापदंडों के साथ n अवलोकन हैं - प्रत्येक भविष्यवक्ताओं और अवरोधन के लिए एक प्रतिगमन गुणांक। यह त्रुटि के लिए स्वतंत्रता की n-p-1 डिग्री छोड़ देता है, जो एनोवा तालिका में स्वतंत्रता की त्रुटि डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

एनोवा तालिका में परीक्षण की गई शून्य परिकल्पना यह है कि भविष्यवाणियों के सभी गुणांक 0 हैं। शून्य परिकल्पना यह है कि अनुमान लगाने के लिए कोई गुणांक नहीं है। वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि अनुमान लगाने के लिए p गुणांक हैं। इसलिए, शून्य परिकल्पना के परीक्षण के लिए p-0 या p स्वतंत्रता की डिग्री हैं। यह एनोवा तालिका में स्वतंत्रता की प्रतिगमन डिग्री के लिए जिम्मेदार है।

स्वतंत्रता की प्रतिगमन डिग्री को देखने का एक और तरीका है। शून्य परिकल्पना कहती है कि भविष्यवक्ताओं के सभी मूल्यों के लिए अपेक्षित प्रतिक्रिया समान है। इसलिए अनुमान लगाने के लिए एक पैरामीटर है - सामान्य प्रतिक्रिया। वैकल्पिक परिकल्पना p+1 मापदंडों के साथ एक मॉडल निर्दिष्ट करती है - p प्रतिगमन गुणांक और एक अवरोधन। इसलिए, शून्य परिकल्पना के परीक्षण के लिए p - यानी p+1 (H1) माइनस 1 (H0) - स्वतंत्रता की प्रतिगमन डिग्री है।

ठीक है, तो द्विघात रूप कहाँ है? आइए एक नमूने के प्रसरण को देखें। यदि y, n बटा 1 प्रेक्षणों का सदिश है, तो 

स्वतंत्रता की डिग्री
स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n बटा n मैट्रिक्स M के रैंक के बराबर है, जो n-1 है।