A ray through the unit hyperbola {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} in the point {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}, where {\displaystyle \scriptstyle a} is twice the area between the ray, the hyperbola, and the {\displaystyle \scriptstyle x}-axis. For points on the hyperbola below the {\displaystyle \scriptstyle x}-axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions).
गणित में, **अतिपरवलयिक फलन** (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं। 

**हाइपरबोलिक साइन** "sinh" (/ˈsɪntʃ/ या /ˈʃaɪn/), और **हाइपरबोलिक कोसाइन** "cosh" (/ˈkɒʃ/), मूलभूत **अतिपरवलयिक फलन** हैं। इनसे **हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट** "tanh" (/ˈtæntʃ/ या /ˈθæn/), **हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट** "csch" या "cosech" (/ˈkoʊʃɛk/ या /ˈkoʊsɛtʃ/), **हाइपरबोलिक सेकेन्ट** "sech" (/ˈʃɛk/ या /ˈsɛtʃ/), तथा **हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट** "coth" (/ˈkoʊθ/ या /ˈkɒθ/), व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा
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sinh, cosh and tanh
csch, sech and coth
(a) cosh(*x*) is the average of *ex* and *e−x*
(b) sinh(*x*) is half the difference of *ex* and *e−x*
अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

* **Hyperbolic sine**:

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
* **Hyperbolic cosine**:

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
* **Hyperbolic tangent**:

{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=}
{\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.}
* **Hyperbolic cotangent**:

{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}
{\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}
* **Hyperbolic secant**:

{\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=}
{\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.}
* **Hyperbolic cosecant**:

{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=}
{\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}
हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (*s*, *c*) हैं-

{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
such that 
*s*(0) = 0 and *c*(0) = 1.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं-
{\displaystyle f''(x)=f(x),}
such that {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,} for the hyperbolic cosine, and {\displaystyle f(0)=0,f'(0)=1,} for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

* Hyperbolic sine:

{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
* Hyperbolic cosine:

{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
* Hyperbolic tangent:

{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
* Hyperbolic cotangent:

{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
* Hyperbolic secant:

{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
* Hyperbolic cosecant:

{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
where *i* is the imaginary unit with the property that {\displaystyle i^{2}=-1.}

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.

सन्दर्भ
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1. ↑  (1999) *Collins Concise Dictionary*, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
2. 1 2  *Collins Concise Dictionary*, p. 328
3. ↑  *Collins Concise Dictionary*, p. 1520
4. ↑  *Collins Concise Dictionary*, p. 1340
5. ↑  *Collins Concise Dictionary*, p. 329
6. ↑  "tanh" (PDF). मूल से 31 अक्तूबर 2017 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 14 अक्तूबर 2017.

| * दे
* वा
* सं
फलन |
| --- |
| प्रकार | वैश्लेषिक • एकैकी आच्छादन • अवमुख • Divisor • प्रारंभिक • चरघातांकी • फैक्टोरियल • तत्समक • आविष्टि • सर्वत्र वैश्लेषिक • प्रतिलोम • पुनरावृत्त • परिबद्ध • शेबीशेव समाकलन • लघुगणक • प्राकृतिक लघुगणक • एकदिष्ट (मोनोटोनस) • आंशिक • बहुपदीय • लांबिक फलन • पृथक्मान (Simple function) • चिह्न फलन • आच्छादी • मसृण फलन (smooth function) |  |
| त्रिकोणमितीय | ज्या • कोज्या • स्पर्शज्या • व्युस्पर्शज्या • सेकैन्ट • कोसेकैन्ट |
| अतिपरवलयिक | हाइपरबोलिक साइन • हाइपरबोलिक कोसाइन • हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट • हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट • हाइपरबोलिक सेकैन्ट • हाइपरबोलिक कोसेकैन्ट |
| नामी फलन | आकरमान • बेसेल • डिरिचलेट • गामा • हेवीसाइड • Mertens • Möbius • Weierstrass |
| संकल्पनाएँ | Assimptota/Assíntota • वक्र • अवकलन • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • समाकलन • सीमा • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta |
| अर्थशास्त्र सम्बन्धी | माँग • आपूर्ति • उपयोगिता |