| कलन |
| --- |
| 
* मूलभूत प्रमेय
* फलन की सीमा
* निरंतरता
* माध्यमान प्रमेय
* रॉल प्रमेय

 |
| अंतर कलन
* अवकलज
* Change of variables
* Implicit differentiation
* टेलर प्रमेय
* Related rates
* अवकलजों की सूचीPower ruleगुणन का नियमभाग का नियमशृंखला नियम

 |
| समाकलन
* समाकल
* समाकल सूची
* अनंत समाकल
* समाकलनभागों सेचक्रcylindrical shellsप्रतिस्थापन सेत्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनआंशिक भिन्नchanging order

 |
| सदिश कलन
* प्रवणता
* डाइवर्जेन्स (अपसरण)
* कर्ल
* लाप्लास संकारक
* प्रवणता प्रमेय
* ग्रीन प्रमेय
* स्टॉक प्रमेय
* अपसरण प्रमेय

 |
| बहुचर कलन
* मेट्रिक्स कलन
* आंशिक अवकलज
* गुणित समाकल
* रेखा समाकलन
* पृष्ठ समाकल
* आयतन समाकल
* जेकोबियन

 |
| * दे
* वा
* सं
 |

कैलकुलस में, **पावर नियम का** उपयोग फॉर्म के कार्यों को अलग करने के लिए किया जाता है {\displaystyle f(x)=x^{r}}, जब कभी भी {\displaystyle r} एक वास्तविक संख्या है. चूँकि विभेदीकरण, अवकलनीय फलनों के स्थान पर एक रैखिक संक्रिया है, इस नियम का उपयोग करके बहुपदों को भी विभेदित किया जा सकता है। पावर नियम टेलर श्रृंखला का आधार है क्योंकि यह एक पावर श्रृंखला को फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के साथ जोड़ता है।

शक्ति नियम का कथन
-----------------

होने देना {\displaystyle f} एक कार्य संतोषजनक हो {\displaystyle f(x)=x^{r}} सभी के लिए {\displaystyle x}, कहाँ {\displaystyle r\in \mathbb {R} }.  फिर,

{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}

एकीकरण के लिए शक्ति नियम यह बताता है

{\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {\displaystyle r\neq -1}. इसे विभेदन के लिए घात नियम को उल्टा करके प्राप्त किया जा सकता है। इस समीकरण में C कोई स्थिरांक है।

सबूत
----

वास्तविक प्रतिपादकों के लिए प्रमाण

आरंभ करने के लिए, हमें के मूल्य की एक कार्यशील परिभाषा चुननी चाहिए {\displaystyle f(x)=x^{r}}, कहाँ {\displaystyle r} क्या कोई वास्तविक संख्या है? यद्यपि मूल्य को तर्कसंगत शक्तियों के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित करना संभव है जो कि जब भी हम ऐसी शक्ति का सामना करते हैं तो तर्कहीन शक्ति तक पहुंचते हैं, या दी गई शक्ति से कम तर्कसंगत शक्तियों के सेट की सबसे ऊपरी सीमा के रूप में, इस प्रकार का परिभाषा विभेदीकरण के लिए उत्तरदायी नहीं है। इसलिए कार्यात्मक परिभाषा का उपयोग करना बेहतर है, जिसे आमतौर पर माना जाता है {\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)} के सभी मूल्यों के लिए {\displaystyle x>0}, कहाँ {\displaystyle \exp(x)=e^{x}} प्राकृतिक घातीय कार्य है और {\displaystyle e} यूलर का नंबर है.   सबसे पहले, हम यह प्रदर्शित कर सकते हैं कि का व्युत्पन्न {\displaystyle f(x)=e^{x}} is {\displaystyle f'(x)=e^{x}}.

अगर {\displaystyle f(x)=e^{x}}, तब {\displaystyle \ln(f(x))=x}, कहाँ {\displaystyle \ln } प्राकृतिक लघुगणक फलन है, जो घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जैसा कि यूलर द्वारा प्रदर्शित किया गया है।  चूँकि बाद वाले दो फलन सभी मानों के लिए समान हैं {\displaystyle x>0}, उनके व्युत्पन्न भी बराबर होते हैं, जब भी कोई व्युत्पन्न मौजूद होता है, तो हमारे पास, श्रृंखला नियम के अनुसार,



1

f
(
x
)

⋅

f
′

(
x
)
=
1

{\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}

{\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}या {\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}, जैसा कि आवश्यक था। इसलिए, श्रृंखला नियम को लागू करना {\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}, हमने देखा कि


f
′

(
x
)
=

r
x

e

r
ln
⁡
x

=

r
x

x

r

{\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}

{\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}जो सरल बनाता है {\displaystyle rx^{r-1}}.

कब {\displaystyle x<0}, हम उसी परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं {\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}, अब हमारे पास कहां है {\displaystyle -x>0}. यह आवश्यक रूप से उसी परिणाम की ओर ले जाता है। ध्यान दें क्योंकि {\displaystyle (-1)^{r}} कब इसकी कोई पारंपरिक परिभाषा नहीं है {\displaystyle r} एक परिमेय संख्या नहीं है, ऋणात्मक आधारों के लिए अपरिमेय घात फलन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं। इसके अलावा, चूँकि सम हर (न्यूनतम पदों में) के साथ −1 की तर्कसंगत घातें वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं, ये अभिव्यक्तियाँ केवल विषम हर (न्यूनतम शब्दों में) के साथ तर्कसंगत घातों के लिए वास्तविक मूल्य हैं।

अंत में, जब भी फ़ंक्शन भिन्न होता है {\displaystyle x=0}, व्युत्पन्न के लिए परिभाषित सीमा है:


lim

h
→
0



h

r

−

0

r

h

{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}जो केवल तभी 0 उत्पन्न करता है {\displaystyle r} विषम हर (न्यूनतम पदों में) वाली एक परिमेय संख्या है {\displaystyle r>1}, और 1 कब {\displaystyle r=1}. के अन्य सभी मूल्यों के लिए {\displaystyle r}, इजहार {\displaystyle h^{r}} के लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है {\displaystyle h<0}, जैसा कि ऊपर बताया गया था, या यह एक वास्तविक संख्या नहीं है, इसलिए सीमा वास्तविक-मूल्यवान व्युत्पन्न के रूप में मौजूद नहीं है। जो दो मामले मौजूद हैं, उनके मान 0 पर मौजूदा पावर नियम के मान से सहमत हैं, इसलिए कोई अपवाद बनाने की आवश्यकता नहीं है।

अभिव्यक्ति का बहिष्कार {\displaystyle 0^{0}} (मामला {\displaystyle x=0}) घातांक की हमारी योजना इस तथ्य के कारण है कि फ़ंक्शन {\displaystyle f(x,y)=x^{y}} (0,0) पर इसकी कोई सीमा नहीं है {\displaystyle x^{0}} जैसे-जैसे x 0 की ओर बढ़ता है, 1 की ओर बढ़ता है {\displaystyle 0^{y}} जैसे-जैसे y 0 के करीब पहुंचता है। इस प्रकार, इसके लिए कोई विशेष मूल्य निर्धारित करना समस्याग्रस्त होगा, क्योंकि यह मूल्य आवेदन पर निर्भर दो मामलों में से एक का खंडन करेगा। इसे परंपरागत रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया गया है।

पूर्णांक घातांक के लिए प्रमाण
-----------------------------

### प्रेरण द्वारा प्रमाण (प्राकृतिक संख्याएँ)

होने देना {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. इसे साबित करना जरूरी है {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.} आधार मामला कब हो सकता है {\displaystyle n=0} या {\displaystyle n=1}, यह इस पर निर्भर करता है कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय कैसे परिभाषित किया जाता है।

कब {\displaystyle n=0}, 

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim \_{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}

कब {\displaystyle n=1},

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim \_{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}

इसलिए, आधार मामला किसी भी तरह से सही है।

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}

कब {\displaystyle n=k+1} ,



d

d
x

x

k
+
1

=

d

d
x

(

x

k

⋅
x
)
=

x

k

⋅

d

d
x

x
+
x
⋅

d

d
x

x

k

=

x

k

+
x
⋅
k

x

k
−
1

=

x

k

+
k

x

k

=
(
k
+
1
)

x

k

=
(
k
+
1
)

x

(
k
+
1
)
−
1

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं *n* के लिए सत्य है।

### द्विपद प्रमेय द्वारा प्रमाण (प्राकृतिक संख्या)

होने देना {\displaystyle y=x^{n}}, कहाँ {\displaystyle n\in \mathbb {N} } .

तब,

### 




d
y

d
x



=

lim

h
→
0


(
x
+
h

)

n

−

x

n

h



=

lim

h
→
0

1
h

[

x

n

+

(

n
1

)

x

n
−
1

h
+

(

n
2

)

x

n
−
2

h

2

+
⋯
+

(

n
n

)

h

n

−

x

n

]


=

lim

h
→
0

[

(

n
1

)

x

n
−
1

+

(

n
2

)

x

n
−
2

h
+
⋯
+

(

n
n

)

h

n
−
1

]


=
n

x

n
−
1



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim \_{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim \_{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim \_{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}ऋणात्मक पूर्णांक घातांकों का सामान्यीकरण

एक ऋणात्मक पूर्णांक *n* के लिए, मान लीजिए {\displaystyle n=-m} ताकि *m* एक धनात्मक पूर्णांक हो।

व्युत्क्रम नियम का उपयोग करते हुए,



d

d
x

x

n

=

d

d
x

(

1

x

m

)

=

−

d

d
x

x

m

(

x

m

)

2


=
−

m

x

m
−
1

x

2
m

=
−
m

x

−
m
−
1

=
n

x

n
−
1

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}
निष्कर्षतः, किसी भी पूर्णांक के लिए {\displaystyle n}, {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}

### तर्कसंगत घातांकों का सामान्यीकरण

यह साबित करने पर कि घात नियम पूर्णांक घातांकों के लिए मान्य है, नियम को तर्कसंगत घातांकों तक बढ़ाया जा सकता है।

### शृंखला नियम द्वारा प्रमाण

यह प्रमाण दो चरणों से बना है जिसमें विभेदन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग शामिल है।

1.होने देना {\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}, कहाँ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}. तब {\displaystyle y^{n}=x}. शृंखला नियम से, {\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}. के लिए समाधान {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} ,



d
y

d
x

=

1

n

y

n
−
1


=

1

n

(

x

1
n

)

n
−
1


=

1

n

x

1
−

1
n


=

1
n

x

1
n

−
1

=
r

x

r
−
1

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}इस प्रकार, घात नियम प्रपत्र के तर्कसंगत घातांक के लिए लागू होता है 

{\displaystyle 1/n}, कहाँ {\displaystyle n} एक शून्येतर प्राकृतिक संख्या है. इसे प्रपत्र के तर्कसंगत प्रतिपादकों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है {\displaystyle p/q} श्रृंखला नियम का उपयोग करके पूर्णांक घातांक के लिए घात नियम लागू करके, जैसा कि अगले चरण में दिखाया गया है।

2.होने देना {\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}, कहाँ {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},} ताकि {\displaystyle r\in \mathbb {Q} }. शृंखला नियम से, 



d
y

d
x

=

d

d
x


(

x

1
q

)

p

=
p

(

x

1
q

)

p
−
1

⋅

1
q

x

1
q

−
1

=

p
q

x

p

/

q
−
1

=
r

x

r
−
1

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}उपरोक्त परिणामों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कब 

{\displaystyle r} एक परिमेय संख्या है, {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}

### अन्तर्निहित विभेदन द्वारा प्रमाण

तर्कसंगत घातांकों के लिए घात नियम का अधिक सीधा सामान्यीकरण अंतर्निहित विभेदीकरण का उपयोग करता है।

होने देना {\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}, कहाँ {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} } ताकि {\displaystyle r\in \mathbb {Q} } .

तब,


y

q

=

x

p

{\displaystyle y^{q}=x^{p}}

{\displaystyle y^{q}=x^{p}}समीकरण के दोनों पक्षों के संबंध में अंतर करना {\displaystyle x} ,


q

y

q
−
1

⋅

d
y

d
x

=
p

x

p
−
1

{\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}

{\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}के लिए समाधान {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} ,



d
y

d
x

=

p

x

p
−
1

q

y

q
−
1


.

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}तब से {\displaystyle y=x^{p/q}} ,


d

d
x

x

p

/

q

=

p

x

p
−
1

q

x

p
−
p

/

q


.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}घातांक के नियम लागू करना,



d

d
x

x

p

/

q

=

p
q

x

p
−
1

x

−
p
+
p

/

q

=

p
q

x

p

/

q
−
1

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}इस प्रकार, देना {\displaystyle r={\frac {p}{q}}}, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}} कब {\displaystyle r} एक परिमेय संख्या है.

इतिहास
------

इंटीग्रल्स के लिए पावर नियम को पहली बार 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में सभी सकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए इतालवी गणितज्ञ बोनावेंटुरा कैवेलियरी द्वारा ज्यामितीय रूप में प्रदर्शित किया गया था। {\displaystyle {\displaystyle n}}, और 17वीं शताब्दी के मध्य में गणितज्ञों पियरे डी फ़र्मेट, इवांजेलिस्टा टोरिसेली, गाइल्स डी रोबरवाल, जॉन वालिस और ब्लेज़ पास्कल द्वारा सभी तर्कसंगत शक्तियों के लिए, प्रत्येक स्वतंत्र रूप से काम कर रहे थे। उस समय, वे एक तर्कसंगत शक्ति फ़ंक्शन के ग्राफ और क्षैतिज अक्ष के बीच के क्षेत्र को निर्धारित करने पर ग्रंथ थे। हालाँकि, पीछे से देखने पर, इसे कैलकुलस का खोजा गया पहला सामान्य प्रमेय माना जाता है।  विभेदन के लिए शक्ति नियम 17वीं शताब्दी के मध्य में तर्कसंगत शक्ति कार्यों के लिए आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था, जिन्होंने तब इसका उपयोग व्युत्क्रम संचालन के रूप में इंटीग्रल के लिए शक्ति नियम प्राप्त करने के लिए किया था। यह आधुनिक बुनियादी कलन पाठ्यपुस्तकों में संबंधित प्रमेयों को प्रस्तुत करने के पारंपरिक तरीके को प्रतिबिंबित करता है, जहां विभेदीकरण नियम आमतौर पर एकीकरण नियमों से पहले होते हैं। 

हालाँकि दोनों व्यक्तियों ने कहा कि उनके नियम, केवल तर्कसंगत मात्राओं के लिए प्रदर्शित, सभी वास्तविक शक्तियों के लिए काम करते हैं, न ही इसका प्रमाण मांगा, क्योंकि उस समय सिद्धांत के अनुप्रयोगों का संबंध ऐसे विदेशी शक्ति कार्यों और अभिसरण के प्रश्नों से नहीं था। अनंत शृंखलाएँ अभी भी अस्पष्ट थीं।

का अनोखा मामला {\displaystyle r=-1} 17वीं सदी के मध्य में फ्लेमिश जेसुइट और गणितज्ञ ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट और उनके छात्र अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने प्रदर्शित किया कि संबंधित निश्चित अभिन्न अंग,

{\displaystyle \int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}

आयताकार हाइपरबोला के बीच के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना {\displaystyle xy=1} और x-अक्ष, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन था, जिसका आधार अंततः पारलौकिक संख्या e के रूप में खोजा गया था। इस निश्चित समाकलन के मान के लिए आधुनिक संकेतन है {\displaystyle \ln(x)}, प्राकृतिक लघुगणक।

सामान्यीकरण
-----------

### जटिल शक्ति कार्य

यदि हम प्रपत्र के कार्यों पर विचार करें {\displaystyle f(z)=z^{c}} कहाँ {\displaystyle c} कोई जटिल संख्या है और {\displaystyle z} एक स्लिट कॉम्प्लेक्स प्लेन में एक कॉम्प्लेक्स संख्या है जिसमें 0 का शाखा बिंदु और उससे जुड़ी कोई भी शाखा कट शामिल नहीं है, और हम पारंपरिक बहुमूल्य परिभाषा का उपयोग करते हैं {\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}, तो यह दिखाना सीधा है कि, जटिल लघुगणक की प्रत्येक शाखा पर, ऊपर इस्तेमाल किया गया एक ही तर्क एक समान परिणाम देता है: {\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}. 

इसके अलावा, यदि {\displaystyle c} एक धनात्मक पूर्णांक है, तो शाखा कटौती की कोई आवश्यकता नहीं है: कोई परिभाषित कर सकता है {\displaystyle f(0)=0}, या जटिल गुणन के माध्यम से सकारात्मक अभिन्न जटिल शक्तियों को परिभाषित करें, और दिखाएं {\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}} सभी जटिल के लिए {\displaystyle z}, व्युत्पन्न और द्विपद प्रमेय की परिभाषा से।

संदर्भ
------

1. ↑  If {\displaystyle r} is a rational number whose lowest terms representation has an odd denominator, then the domain of {\displaystyle f} is understood to be {\displaystyle \mathbb {R} }. Otherwise, the domain is {\displaystyle (0,\infty )}.

1. ↑  Landau, Edmund (1951). *Differential and Integral Calculus*. New York: Chelsea Publishing Company. पृ॰ 45. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0821828304.
2. ↑  Spivak, Michael (1994). *Calculus* (3 संस्करण). Texas: Publish or Perish, Inc. पपृ॰ 336–342. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-914098-89-6.
3. ↑  Maor, Eli (1994). *e: The Story of a Number*. New Jersey: Princeton University Press. पृ॰ 156. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-691-05854-7.
4. ↑  Boyer, Carl (1959). *The History of the Calculus and its Conceptual Development*. New York: Dover. पृ॰ 127. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-486-60509-4.
5. ↑  Boyer, Carl (1959). *The History of the Calculus and its Conceptual Development*. New York: Dover. पपृ॰ 191, 205. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-486-60509-4.
6. ↑  Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). *Complex Analysis* (2 संस्करण). Heidelberg: Springer-Verlag. पृ॰ 46. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-3-540-93982-5.