आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद **{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}** को **{\displaystyle a(x-h)^{2}+k\,}** के रूप में बदलने को **पूर्ण वर्ग बनाना** (Completing the square) कहते हैं। यहाँ **h** तथा **k** का मान **x** से स्वतंत्र है। नीचे पूर्ण वर्ग बनाने के कुछ उदाहरण दिये हैं-

{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}

उपयोग
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गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-

* वर्ग समीकरण के हल में
* द्विघात बहुपदों के अधिकतम और न्यूनतम मान निकालने के लिये
* द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
* कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने में
* लाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में

उदाहरण
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5

x

2

+
7
x
−
6


=
5

(

x

2

+

7
5

x

)

−
6



=
5

(

x

2

+

7
5

x
+

(

7
10

)

2

)

−
6
−
5

(

7
10

)

2




=
5

(

x
+

7
10

)

2

−
6
−

7

2

2
⋅
10

 
−

169
20

.



{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right)-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\ -{169 \over 20}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right)-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\ -{169 \over 20}.\end{aligned}}}

सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला)
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यदि **a** धनात्मक हो तो,

{\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,\!}
जहाँ,

{\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}}
अर्थात् -

{\displaystyle ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,\!}

पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल
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{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,\,\!}
सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,

{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.\,\!}
इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,

{\displaystyle (x+3)^{2}=4.\,\!}
इससे स्पष्ट है कि, 

{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}
अतः

{\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब *x*2 का गुणांक **1** के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगे बढ़ना चाहिये।

पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन
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निम्नलिखित समाकलन की गणना करने के लिये,

{\displaystyle \int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x}
पूर्ण वर्ग बनाने पर,

{\displaystyle 4x^{2}-8x+13=\ldots =4(x-1)^{2}+9\,.}
अतः

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+({\frac {3}{2}})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{3}}\arctan {\frac {2(x-1)}{3}}+C\end{aligned}}}
क्योंकि,

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}

इन्हें भी देखें
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* श्रीधराचार्य
* वर्ग समीकरण