गणित में, एक मोनोमियल मोटे तौर पर बोल रहा है, एक बहुपद जिसमें केवल एक शब्द है। एक मोनोमियल की दो परिभाषाओं का सामना करना पड़ सकता है:

1. एकपदी, जिसे **पावर उत्पाद** भी कहा जाता है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाले चर की शक्तियों का एक उत्पाद है, या, दूसरे शब्दों में, संभवतः दोहराव के साथ चर का एक उत्पाद है। उदाहरण के लिए, {\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz} एकपदी है. अटल {\displaystyle 1} एकपदी है, जो खाली उत्पाद और के बराबर है {\displaystyle x^{0}} किसी भी चर के लिए {\displaystyle x}. यदि केवल एक ही चर {\displaystyle x} माना जाता है, इसका मतलब है कि एकपदी या तो है {\displaystyle 1} या एक शक्ति {\displaystyle x^{n}} का {\displaystyle x}, साथ {\displaystyle n} एक सकारात्मक पूर्णांक. यदि कई चरों पर विचार किया जाए, तो कहें, {\displaystyle x,y,z,} फिर प्रत्येक को एक घातांक दिया जा सकता है, ताकि कोई भी एकपदी का रूप हो {\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}} साथ {\displaystyle a,b,c} गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (ध्यान दें कि कोई भी घातांक {\displaystyle 0} संगत कारक को बराबर बनाता है {\displaystyle 1} ).
2. एकपदी एकपदी है जिसे पहले अर्थ में एक गैरशून्य स्थिरांक से गुणा किया जाता है, जिसे एकपदी का गुणांक कहा जाता है। पहले अर्थ में एकपदी दूसरे अर्थ में एकपदी का एक विशेष मामला है, जहां गुणांक है {\displaystyle 1}. उदाहरण के लिए, इस व्याख्या में {\displaystyle -7x^{5}} और {\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}} एकपदी हैं (दूसरे उदाहरण में, चर हैं {\displaystyle x,y,z,} और गुणांक एक सम्मिश्र संख्या है)।

लॉरेंट बहुपद और लॉरेंट श्रृंखला के संदर्भ में, एक मोनोमियल के घातांक नकारात्मक हो सकते हैं, और प्यूसेक्स श्रृंखला के संदर्भ में, घातांक तर्कसंगत संख्या हो सकते हैं।

चूंकि "एक-द्विआधारी" शब्द के साथ-साथ "बहुपद" शब्द, लैटिन शब्द "बाइनोमियम" ("बाइ-" उपसर्ग को बदलकर "एक-एक" शब्द) से आया है, इसलिए एक-द्वियाधारी को सैद्धांतिक रूप से "एक-एकाधिकार" कहा जाना चाहिए। "मोनोमियल" "मोनोनोमियल" के हैप्लोलॉजी द्वारा एक सिंकोप है।

दो परिभाषाओं की तुलना
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किसी भी परिभाषा के साथ, मोनोमियल का सेट सभी बहुपदों का एक सबसेट है जो गुणन के तहत बंद है।

इस धारणा के दोनों उपयोग पाए जा सकते हैं, और कई मामलों में भेद को बस अनदेखा कर दिया जाता है, उदाहरण के लिए पहले और दूसरे अर्थ के लिए उदाहरण देखें। अनौपचारिक चर्चाओं में भेद शायद ही कभी महत्वपूर्ण होता है, और प्रवृत्ति व्यापक दूसरे अर्थ की ओर होती है। बहुपदों की संरचना का अध्ययन करते समय, किसी को अक्सर निश्चित रूप से पहले अर्थ के साथ एक धारणा की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए यह मामला है जब एक बहुपद की अंगूठी के मोनोमियल आधार, या उस आधार के मोनोमियल क्रम पर विचार किया जाता है। पहले अर्थ के पक्ष में एक तर्क यह भी है कि इन मूल्यों को नामित करने के लिए कोई स्पष्ट अन्य धारणा उपलब्ध नहीं है (शब्द शक्ति उत्पाद उपयोग में है, विशेष रूप से जब मोनोमियल का उपयोग पहले अर्थ के साथ किया जाता है, लेकिन यह स्थिरांक की अनुपस्थिति को स्पष्ट नहीं करता है), जबकि बहुपद का धारणा शब्द स्पष्ट रूप से मोनोमियल के दूसरे अर्थ के साथ मेल खाता है।

*इस लेख का शेष भाग "एकपदी" का पहला अर्थ मानता है।*

एकपदी आधार
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एकपदी (पहला अर्थ) के बारे में सबसे स्पष्ट तथ्य यह है कि कोई भी बहुपद उनका एक रैखिक संयोजन होता है, इसलिए वे सभी बहुपदों के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं, जिसे *एकपदी आधार* कहा जाता है - गणित में निरंतर अंतर्निहित उपयोग का एक तथ्य।

संख्या
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डिग्री के एकपदी की संख्या {\displaystyle d} में {\displaystyle n} वेरिएबल्स के बहुसंयोजनों की संख्या है {\displaystyle d} तत्वों में से चुना गया {\displaystyle n} चर (एक चर को एक से अधिक बार चुना जा सकता है, लेकिन क्रम मायने नहीं रखता), जो मल्टीसेट गुणांक द्वारा दिया जाता है {\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}. यह व्यंजक द्विपद गुणांक के रूप में, बहुपद व्यंजक के रूप में भी दिया जा सकता है {\displaystyle d}, या बढ़ती फैक्टोरियल शक्ति का उपयोग करना {\displaystyle d+1} :

{\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}
बाद वाले फॉर्म विशेष रूप से तब उपयोगी होते हैं जब कोई चरों की संख्या तय करता है और डिग्री को भिन्न होने देता है। इन अभिव्यक्तियों से पता चलता है कि निश्चित *n* के लिए, डिग्री *d* के एकपदी की संख्या एक बहुपद अभिव्यक्ति है {\displaystyle d} डिग्री का {\displaystyle n-1} अग्रणी गुणांक के साथ {\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}} .

उदाहरण के लिए, तीन चरों में एकपदी की संख्या ( {\displaystyle n=3} ) डिग्री *d* का है {\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)} ; ये संख्याएँ क्रम 1, 3, 6, 10, 15, ... बनाती हैं त्रिकोणीय संख्याओं का.

हिल्बर्ट श्रृंखला किसी दी गई डिग्री के एकपदी की संख्या को व्यक्त करने का एक संक्षिप्त तरीका है: डिग्री के एकपदी की संख्या {\displaystyle d} में {\displaystyle n} चर डिग्री का गुणांक है {\displaystyle d} की औपचारिक शक्ति श्रृंखला के विस्तार की

{\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}
*n* चरों में अधिकतम *d* डिग्री वाले एकपदों की संख्या है {\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}. यह डिग्री के एकपदी के बीच एक-से-एक पत्राचार से होता है {\displaystyle d} में {\displaystyle n+1} चर और अधिकतम डिग्री के एकपदी {\displaystyle d} में {\displaystyle n} चर, जिसमें अतिरिक्त चर को 1 से प्रतिस्थापित करना शामिल है।

मल्टी-इंडेक्स नोटेशन
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*मल्टी-इंडेक्स नोटेशन* अक्सर कॉम्पैक्ट नोटेशन के लिए उपयोगी होता है, खासकर जब दो या तीन से अधिक चर होते हैं। यदि उपयोग किए जा रहे चर एक अनुक्रमित परिवार बनाते हैं जैसे {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3},\ldots ,} कोई भी सेट कर सकता है

{\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2},x\_{3},\ldots ),}
और

{\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}
फिर एकपदी

{\displaystyle x\_{1}^{a}x\_{2}^{b}x\_{3}^{c}\cdots }
संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

{\displaystyle x^{\alpha }.}
इस अंकन के साथ, दो मोनोमियल का उत्पाद केवल घातांक वैक्टर के योग का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

{\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}

डिग्री
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एकपदी की डिग्री को चर के सभी घातांकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें उन चरों के लिए 1 के अंतर्निहित घातांक भी शामिल हैं जो घातांक के बिना दिखाई देते हैं; उदाहरण के लिए, पिछले अनुभाग के उदाहरण में, डिग्री है {\displaystyle a+b+c}. की डिग्री {\displaystyle xyz^{2}} 1+1+2=4 है. एक शून्येतर स्थिरांक की डिग्री 0 है। उदाहरण के लिए, −7 की घात 0 है।

एक मोनोमियल की डिग्री को कभी-कभी आदेश कहा जाता है, मुख्य रूप से श्रृंखला के संदर्भ में। इसे कुल डिग्री भी कहा जाता है जब इसे चर में से एक में डिग्री से अलग करने की आवश्यकता होती है।

मोनोमियल डिग्री अपरिवर्तनीय और बहुभिन्नरूपी बहुपदों के सिद्धांत के लिए मौलिक है। स्पष्ट रूप से, इसका उपयोग बहुपद की डिग्री और सजातीय बहुपद की धारणा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, साथ ही ग्रोबनेर आधारों को तैयार करने और कंप्यूटिंग करने में उपयोग किए जाने वाले वर्गीकृत मोनोमियल ऑर्डरिंग के लिए भी किया जाता है। स्पष्ट रूप से, इसका उपयोग टेलर श्रृंखला की शर्तों को कई चर में समूहीकृत करने में किया जाता है।

ज्यामिति
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बीजगणितीय ज्यामिति में एकपदी समीकरणों द्वारा परिभाषित किस्में {\displaystyle x^{\alpha }=0} α के कुछ सेट में समरूपता के विशेष गुण होते हैं। इसे बीजगणितीय समूहों की भाषा में, बीजगणितीय टोरस की समूह क्रिया के अस्तित्व के संदर्भ में (समान रूप से विकर्ण मैट्रिक्स के गुणक समूह द्वारा) व्यक्त किया जा सकता है। इस क्षेत्र का अध्ययन *टोरस एम्बेडिंग* के नाम से किया जाता है।

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संदर्भ
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1. ↑  *American Heritage Dictionary of the English Language*, 1969.
2. ↑  Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). *Using Algebraic Geometry*. Springer Verlag. पपृ॰ 1. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-387-98487-9.
3. ↑  हेज़विंक्ल, मिच्येल, संपा॰ (2001), "Monomial", *एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथमैटिक्स*, स्प्रिंगर, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-1-55608-010-4