गणित में **अपसारी श्रेणी** एक अनन्त श्रेणी है जो अभिसारी नहीं है, मतलब यह कि श्रेणी के आंशिक योग का अनन्त अनुक्रम का सीमान्त मान नहीं होता।

यदि एक श्रेणी अभिसरण करती है तो इसका व्याष्‍टिकारी पद (*n*वाँ पद जहाँ *n* अनन्त की ओर अग्रसर है।) शून्य की ओर अग्रसर होना चहिए। अतः कोई भी श्रेणी जिसका व्याष्‍टिकारी पद शून्य की ओर अग्रसर नहीं होता तो वह अपसारी होती है। तथापि अभिसरण की शर्त थोडी प्रबल है: जिस श्रेणियों का व्याष्‍टिकारी पद शून्य की ओर अग्रसर हो वह आवश्यक रूप से अभिसारी नहीं होती। इसका एक गणनीय उदाहरण निम्न हरात्मक श्रेणी है:

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}
हरात्मक श्रेणी का अपसरण मध्यकालीन गणितज्ञ निकोल ऑरेसम द्वारा सिद्ध किया जा चुका है।

अबेलियन माध्य
-------------

### एबल संकलन (Abel summation)

यदि λ*n* = *n*, तब हमें **एबल संकलन** विधि से प्राप्त होती है। यहाँ

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\exp(-nx)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}z^{n},}
जहाँ *z* = exp(−*x*) है। अतः जैसे ही *x* यदि धनात्मक दिशा की ओर से शून्य की ओर अग्रसर है तो सीमा का मान *f*(*x*) धनात्मक वास्तविक संख्याओं की तरफ से *z* एक (1) की ओर अग्रसर है तो *f*(*z*) की घातीय श्रेणी के लिए सीमा होगी और एबल संकलन *A*(*s*) निम्न प्रकार परिभाषित है:

{\displaystyle A(s)=\lim \_{z\rightarrow 1^{-}}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}z^{n}}
एबल संकलन रोचक है क्योंकि इसका संगत हल सिसैरा-संकलन से अधिक प्रबल है: *A*(*s*) = *C**k*(*s*) जब भी उत्तरवर्ती परिभाषित हो।

### लिन्डलाफ संकलन

यदि 1 = λ*n* = *n* ln(*n*), तब (एक से अनुक्रमण)

{\displaystyle f(x)=a\_{1}+a\_{2}2^{-2x}+a\_{3}3^{-3x}+\cdots .}
तब *L*(*s*), **लिन्डलाफ संकलन** (वोलकॉव 2001), जैसे *x* शून्य की ओर अग्रसर हो तो ƒ(*x*) होगा। लिन्डलाफ संकलन एक लाभदायक विधि है जब अन्य अनुप्रयोगों के मध्य एक घातीय श्रेणी पर लागू किया जाता है।

यदि *g*(*z*) चकती के शून्य के चारों ओर विश्‍लेषणात्मक है और अतः धनात्मक त्रिज्या के अभिसरण सहित मैक्लारिन श्रेणी *G*(*z*) है, तब मित्ताग-लेफ्फ्लेर सितारा (\*) में *L*(*G*(*z*)) = *g*(*z*)। इसके अतिरिक्त *g*(*z*) का अभिसरण इस सितारे के संहत उपसमुच्चय एकरूप है।

ये भी देखें
-----------

* अनन्त श्रेणी
* अभिसारी श्रेणी
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
* बोरल संकलन
* ऑयलर संकलन
* लैम्बर्ट संकलन

सन्दर्भ
-------

* आर्टेका, जी॰ ए॰; फेर्नान्देज़, एफ॰ एम॰; कास्त्रो, ई॰ ए॰ (1990), *लार्ज-आर्डर पर्टबेशन थ्योरी एंड सम्मेशन मेथड्स इन क्वांटम मैकेनिक्स*, बर्लिन: स्प्रिंगर-वेरलेग.
* बाकर, जूनियर, जी॰ ए॰; ग्रेवज-मोर्रिस, पी॰ (1996), *Padé Approximants*, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
* ब्रेज़िन्सकी, सी॰; ज़गलिया, एम॰ रेडिवो (1991), *Extrapolation Methods. Theory and Practice*, उत्तर हॉलैंड।
* हार्डी, जी॰ एच॰ (1949), *अपसारी श्रेणी (Divergent Series)*, ऑक्सफ़ोर्ड: क्लेरेंडॉन प्रेस, मूल से 16 जून 2013 को पुरालेखित, अभिगमन तिथि 27 मई 2013।
* LeGuillou, जे॰-सी॰; Zinn-Justin, जे॰ (1990), *Large-Order Behaviour of Perturbation Theory*, Amsterdam: उत्तर हॉलैंड.
* वोलकॉव, आय॰ आय॰ (2001), "Lindelöf summation method", प्रकाशित हेज़विंक्ल, मिच्येल (संपा॰), *एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथमैटिक्स*, स्प्रिंगर, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-1-55608-010-4।
* ज़खरॉव, ए॰ ए॰ (2001), "हाबिल संकलन विधि (Abel summation method)", प्रकाशित हेज़विंक्ल, मिच्येल (संपा॰), *एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथमैटिक्स*, स्प्रिंगर, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-1-55608-010-4।

| * दे
* वा
* सं
श्रेणी और अनुक्रम |
| --- |
| समान्तर अनुक्रम | 

|  |  |
| --- | --- |
| अपसारी श्रेणी | 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·  •  1 + 2 + 3 + 4 + · · ·  •  1 − 2 + 3 − 4 + · · ·  •  अनन्त समान्तर श्रेणी |

 | 34 इकाई की भुजा वाले एक वर्ग का फिबोनाची सप्रिल। |
| गुणोत्तरअनुक्रम | 

|  |  |
| --- | --- |
| अभिसारी श्रेणी | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  •  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  •  1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · |
| अपसारी गुणोत्तर श्रेणी | 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯  •  1 + 2 + 4 + 8 + · · ·  •  1 − 2 + 4 − 8 + · · ·  •  ग्रांडी श्रेणी  •  दो की घात |

 |
| पूर्णांक अनुक्रम | सूची  •  क्रमगुणित  •  फिबोनकी संख्या  •  त्रिकोण संख्या |