अब्रहम डि मायवर
**डी मॉयवर का प्रमेय** या **डी मॉयवर का सूत्र** (De Moivre's formula) समिश्र संख्याओं के घात (इन्डेक्स) से सम्बन्धित एक महत्वपूर्ण सूत्र है। इसका प्रतिपादन अब्राहम डी मॉयवर (Abraham de Moivre) ने किया था।

इस प्रमेय के अनुसार,

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}
जहाँ *n* कोई पूर्णांक (integer) है तथा *x* कोई भी समिश्र संख्या है। (अतः *x* के वास्तविक मान के लिये भी सत्य है)

इस सूत्र की महत्ता इस बात में है कि यह समिश्र संख्याओं को त्रिकोणमिति से जोड़ता है।'"cos *x* + *i* sin *x*"' को प्रयः '"cis *x*"' के संक्षिप्त रूप से भी व्यक्त किया जाता है।

उपपत्ति (Derivation)
--------------------

डी मायवर का प्रमेय समिश्र विश्लेषण सम्बन्धी आयलरर के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है (यद्यपि डी मायवर का प्रमेय, आयलर के प्रमेय से पहले सिद्ध किया जा चुका था।)

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}
तथा चरघातांकी के नियम (exponential law) के अनुसार,

{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}
अत: यूलर के सूत्र के अनुसार,

{\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}

गणितीय आगमन विधि से सिद्ध
-------------------------

यहाँ तीन अवस्थाएं सम्भव हैं : 

1. *n* > 0, के लिए हम गणितीय आगमन सिद्धान्त का उपयोग करते हैं। जब *n* = 1 हो तो यह स्वयंसिद्ध है क्योंकि वाम हस्थ व दक्षिण हस्थ व्यंजक समान हो जाते हैं। नियमानुसार हम मान लेते हैं कि किसी धन पूर्णांक *k* के लिए प्रमेय सही है अर्थात परिणाम सत्य है। तब हम लिख सकते हैं

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}
अब, *n* = *k* + 1 के लिए व्यंजक लिखने पर :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{by the induction hypothesis}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}}
We deduce that the result is true for *n* = *k* + 1 when it is true for *n* = *k*. By the principle of mathematical induction it follows that the result is true for all positive integers *n*≥1.

When *n* = 0 the formula is true since {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}, and (by convention) {\displaystyle z^{0}=1}.

When *n* < 0, we consider a positive integer *m* such that *n* = −*m*. So

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}
Hence, the theorem is true for all integer values of *n*.

कोज्या (cosine) एवं ज्या (sine) के लिये सूत्र
---------------------------------------------

Being an equality of complex numbers, one necessarily has equality both of the real parts and of the imaginary parts of both members of the equation. If *x*, and therefore also {\displaystyle \cos x} and {\displaystyle \sin x}, are real numbers, then the identity of these parts can be written (interchanging sides) as

**पार्स नहीं कर पाये (अज्ञात फंक्शन '\begin{alignat}'): {\displaystyle \begin{alignat}2 \cos(nx)&=\sum\_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k}(\sin{x})^{2k}& &=\sum\_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(\cos{x})^{n-2k}((\cos{x})^2-1)^k\\ \sin(nx)&=\sum\_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k-1}(\sin{x})^{2k+1}& &=(\sin{x})\sum\_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(\cos{x})^{n-2k-1}((\cos{x})^2-1)^k.\\ \end{alignat}}**

These equations are in fact even valid for complex values of *x*, because both sides are holomorphic functions of *x*, and two such functions that coincide on the real axis necessarily coincide on the whole complex plane. Here are the concretre instances of these equations for {\displaystyle n=2} and {\displaystyle n=3}:

**पार्स नहीं कर पाये (अज्ञात फंक्शन '\begin{alignat}'): {\displaystyle \begin{alignat}2 \cos(2x) &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\ \sin(2x) &= 2(\sin{x})(\cos{x})\\ \cos(3x) &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\ \sin(3x) &= 3(\cos{x})^2(\sin{x})-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3.\\ \end{alignat}}**

The right hand side of the formula for {\displaystyle \cos(nx)} is in fact the value {\displaystyle T\_{n}(\cos x)} of the Chebyshev polynomial {\displaystyle T\_{n}} at {\displaystyle \cos x.}

सामान्यीकरण (Generalization)
----------------------------

डी मॉयवर के सूत्र का जो स्वरूप सबसे उपर वर्णित किया गया है, उससे भी अधिक सामान्य स्थितिके लिये यह सत्य है। वस्तुतः यह सूत्र तब भी सत्य है जब *z* और *w* दोनो ही समिश्र संखायें हों। 

**ध्यान दीजिये कि**

{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}
अनेक मानों वाला फलन (multivalued function) है, जबकि

{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}
**नहीं**। अतः निम्नलिखित कथन सत्य है:

{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}           {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,} का **एक** मान है।

उपयोग
-----

डी मॉयवर के सूत्र की सहायता से किसी भी समिश्र संख्या का nवाँ मूल (roots) निकाला जा सकता है। यदि {\displaystyle z} एक समिश्र संख्या है तो इसे **ध्रुवीय स्वरूप** में इस प्रकार से लिख सकते हैं:

{\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,}
तब 

{\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}
जहाँ **k** एक पूर्णांक है। **z** के **n** अलग-अलग मूल प्राप्त करने के लिये **k** के केवल उन्ही मानों को लिया जाता है जो **0** और **(n-1)** के बीच में होते हैं।

 कम्प्लेक्स प्लेन में इकाई के तीनों मूलों का चित्रण

इन्हें भी देखें
---------------

* यूलर का सूत्र (Euler's formula)
* इकाई के मूल (Root of unity)

सन्दर्भ
-------

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. *(p. 74)*.

बाहरी कड़ियाँ
-------------

* De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, The Wolfram Demonstrations Project.