संभाव्यता वितरण
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यदि यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणाम इसकी संगत संभावना से जुड़े हैं, तो इसे प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन कहा जाता है।
जैसे: एक चर X मान 1,2,3,4 ले सकता है। प्रत्येक परिणाम से जुड़ी संभावनाएँ हैं

| **परिणाम** | **संभावना** |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |

*संभाव्यता वितरण के प्रकार*
  
1। असतत संभावना वितरण
  
2। सतत संभावना वितरण
  

  

**असतत संभावना वितरण**
  
असतत संभावना वितरण एक असतत यादृच्छिक चर के प्रत्येक मूल्य की घटना की संभावना का वर्णन करता है। असतत संभाव्यता वितरण के 6 प्रकार हैं।
  
**1) बर्नौली वितरण**
  
यह जैकब बर्नौली द्वारा पेश किया गया था। यह बर्नौली ट्रेल्स पर आधारित है। एक यादृच्छिक चर X को बर्नौली वितरण का अनुसरण करने के लिए कहा जाता है, अगर यह सफलता के संभावित संभावना of p ’और विफलता’ q ’की संभावना के साथ केवल दो संभव मान 1 और 0 लेता है।  

P (X = x) = (p ^ x) \* (q ^ (1-x)) जहाँ x = 0, 1  

उदाहरण: 5 सिक्कों को उछालने में, 3 सिर प्राप्त करने का मौका खोजें?   

समाधान: x = 3, n = 5, p = 1/5, q = 1/5  

हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, P (X = 3) = 0.3125  

इसका मतलब है कि 5 सिक्कों को फेंकने पर 3 सिर होने की 31.25% संभावना है।  

**2) द्विपद वितरण**
यह भी जैकब बर्नौली द्वारा पेश किया गया था। यह तब उठता है जब बर्नौली ट्रेल्स को निश्चित संख्या के लिए बार-बार when n ’कहते हैं। द्विपद वितरण सांख्यिकीय महत्व के लोकप्रिय द्विपद परीक्षण का आधार है।  

द्विपद वितरण का उपयोग अक्सर आकार N की जनसंख्या से प्रतिस्थापन के साथ आकार n के नमूने में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है।  

P (X = x) = nCx \* px \* (1-p) n-x for x = 0, 1, 2…n। जहां x सफलताओं की कुल संख्या है और p एक व्यक्तिगत प्रयोग पर सफलता की संभावना है।  

उदाहरण: एक मशीन 10% दोषपूर्ण वस्तुओं का उत्पादन करती है। 10 आइटम यादृच्छिक पर चुने गए हैं। 2 से अधिक वस्तुओं के ख़राब होने की संभावना का पता लगाएं।
  
समाधान: p = 0.1, q = 1-p = 1-0.1 = 0.9, n = 10, x = 0, 1, 2
  
P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) =?
  
हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, 0.9298
  
इसका मतलब है कि 2 दोषपूर्ण वस्तुओं के कम होने की संभावना 92.98% है।  

**3) पॉसों वितरण**
शिमोन डेनिस पॉइसन जिन्होंने 1838 में इसकी खोज की थी। कहा जाता है कि यदि कोई गैर-नकारात्मक मान रखता है तो एक यादृच्छिक चर एक्स का पोइसन वितरण का पालन करना चाहिए।  

P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x! जहाँ x प्रयोग से होने वाली सफलताओं की वास्तविक संख्या है, और e लगभग 2.71828 के बराबर है।  

उदाहरण: यह पाया गया है कि टाइपिस्ट के प्रति टाइप किए गए पेज की औसतन गलतियों की संख्या 1.5 है। इस संभावना को ढूंढें कि 3 या उससे कम गलतियाँ हैं।  

समाधान: μ = 1.5, P (x <= 3) =?  

  
हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, 0.9345
  
इसका मतलब है कि 93.45% संभावना है कि 3 से कम गलतियाँ हैं।  

**4) नकारात्मक द्विपद वितरण**
जैकब बर्नौली द्वारा खोजा गया। इसे पास्कल का वितरण भी कहा जाता है। ऋणात्मक द्विपद वितरण, एक निर्धारित (गैर-यादृच्छिक) विफलताओं (निरूपित r) की संख्या से पहले स्वतंत्र और पहचान वाले बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम में सफलताओं की संख्या का एक असतत संभाव्यता वितरण है।  

P (x) = (x + r-1) C (r-1) \* P^r \* Q^x जहां r सफलताओं की संख्या है और x यादृच्छिक चर है।  

उदाहरण: रॉबर्ट एक फुटबॉल खिलाड़ी है। गोल मारने की उनकी सफलता की दर 70% है। क्या संभावना है कि रॉबर्ट अपने पांचवें प्रयास पर अपना तीसरा गोल मारते हैं?
  
समधान: p = 70% = 0.7, q = 0.3, r = 3, n = 5, x = n-r = 2  

P (X = 2) =?  

हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, 0.1852  

18.52% संभावना है कि रॉबर्ट अपने पांचवें प्रयास में अपने तीसरे लक्ष्य को मारेंगे।  

**5) ज्यामितीय वितरण**
पहली सफलता से पहले x विफलताएं होने की संभावना क्ष (x) \* p द्वारा दी गई है। यह केवल गैर-नकारात्मक मूल्यों को मानता है।  

P(X = x) = q^(x-1)p, जहां x यादृच्छिक चर और q = 1-p है।  

उदाहरण: मैथ्यू एक हाई स्कूल बास्केटबॉल खिलाड़ी और 75% मुक्त थ्रो शूटर है। क्या संभावना है कि मैथ्यू अपने पांचवें शॉट पर अपना पहला फ्री थ्रो बनाए?  

समधान: p = 0.75, q = 0.25, x = 4  

P (X = 4) =?  

हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, 0.0029  

मैथ्यू की 0.29% संभावना है कि वह अपने पांचवें शॉट पर अपना पहला फ्री थ्रो बनाए।  

**6) हाइपर ज्यामितीय वितरण**
एक यादृच्छिक चर X में एक हाइपर ज्यामितीय वितरण होता है और इसे एक हाइपर ज्यामितीय यादृच्छिक चर के रूप में संदर्भित किया जाता है यदि और केवल इसकी संभावना वितरण द्वारा दी गई हो:  
 P (x: n, M, N) = (MCx \* (NM) C ( nx)) / (NCn) जहां N जनसंख्या का आकार है, n नमूना आकार है, M सफलता की संख्या है और X मनाया सफलता की संख्या है।
उदाहरण: नौकरी के लिए 120 आवेदकों में से केवल 80 वास्तव में योग्य हैं। यदि आवेदकों में से 5 को एक गहन साक्षात्कार के लिए बेतरतीब ढंग से चुना जाता है, तो इस संभावना को ढूंढें कि 5 में से केवल 2 ही नौकरी के लिए योग्य होंगे?  

समाधान: एन = 120, एम = 80, एन-एम = 40, एन = 5, एक्स = 2  

P (X = 2) =?  

हमें प्राप्त सूत्र में प्रतिस्थापित करके, 0.1678  

16.78% संभावना है कि 5 में से केवल 2 ही नौकरी के लिए योग्य होंगे।