במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, **יריעה אלגברית אָפִינית** היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.

הגדרה פורמלית
-------------

נניח כי *k* הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב{\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} את המרחב האפיני ה-*n*-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-*k*, כלומר {\displaystyle \,k^{n}}. ניתן לראות באיבר *f* בחוג הפולינומים ב-*n* משתנים {\displaystyle \,k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]} פונקציה {\displaystyle f:\,\mathbb {A} ^{n}\rightarrow k}. בהינתן תת-קבוצה {\displaystyle \,S\subset k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]}, נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של *S* על ידי:



V

(
S
)
=
Z
(
S
)
=
{
x
∈

A

n

:
∀
f
∈
S
,
f
(
x
)
=
0
}

{\displaystyle \,{\mathcal {V}}(S)=Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}:\forall f\in S,f(x)=0\}}

{\displaystyle \,{\mathcal {V}}(S)=Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}:\forall f\in S,f(x)=0\}}
תת קבוצה *V* של {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} תקרא **יריעה אלגברית אפינית** אם {\displaystyle \,V=Z(S)} עבור קבוצה {\displaystyle \,S\subseteq k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]} כלשהי. 

### יריעות אי-פריקות

יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה *V* תקרא **אי-פריקה** אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. 
בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים. כאשר משתמשים בה, נהוג לקרוא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות".

### טופולוגית זריצקי

על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות.

בהינתן תת-קבוצה *V* של {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}, נגדיר את הקבוצה *(I(V* להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל *V*, כלומר:



I

(
V
)
=
{
f
∈
k
[

x

1

,
…
,

x

n

]
:
∀
x
∈
V
,
f
(
x
)
=
0
}

{\displaystyle \,{\mathcal {I}}(V)=\{f\in k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]:\forall x\in V,f(x)=0\}}

{\displaystyle \,{\mathcal {I}}(V)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall x\in V,f(x)=0\}}
זהו אידיאל בחוג {\displaystyle \,k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]}.

*V* סגורה אם ורק אם 



V
=

V

(

I

(
V
)
)

{\displaystyle V={\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(V))}

{\displaystyle V={\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(V))}

חוג הקואורדינטות והממד של יריעה
-------------------------------

ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית *V* היא אי פריקה אם ורק אם *(I(V* הוא אידיאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית *V*, לחוג המנה {\displaystyle \,k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]/{\mathcal {I}}(V)} קוראים *חוג הקואורדינטות* של *V*. מאחר שבמקרה זה *(I(V* הוא אידיאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של *V* הוא תחום שלמות.
הממד של יריעה אלגברית *V* מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של *V*. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}) הוא בדיוק *n*.
מכיוון שעבור זוג פולינומים {\displaystyle \,f,g\in k[x\_{1},\dots ,x\_{n}]} מתקיים כי {\displaystyle \,f-g\in {\mathcal {I}}(V)} אם ורק אם לכל {\displaystyle \,x\in V} מתקיים {\displaystyle \,f(x)=g(x)}, הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של *V* פונקציות המוגדרות על *V*.

מורפיזמים של יריעות אלגבריות
----------------------------

**מורפיזם** בין שתי יריעות אלגבריות {\displaystyle X\subset \mathbb {A} ^{n}} ו {\displaystyle Y\subset \mathbb {A} ^{m}} הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} ו {\displaystyle \mathbb {A} ^{m}} (זאת אומרת m פולינומים ב n משתנים) שמעבירה את X ל-Y.

יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים f: X \to Y ו-{\displaystyle g:Y\to X} כך ש-{\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} \_{X}} ו-{\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} \_{Y}}, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה. באופן דומה, אם קיימות קבוצות פתוחות לא ריקות {\displaystyle U\subseteq X} ו{\displaystyle V\subseteq Y} ומורפיזמים {\displaystyle f:U\to V,g:V\to U} כך ש {\displaystyle f\circ g=1\_{V},g\circ f=1\_{U}} אז היריעות X ו-Y נקראות שקולות בי-רציונלית.

ראו גם
------

* ספקטרום (גאומטריה אלגברית)
* משפט האפסים של הילברט
* יריעה קווזי-פרויקטיבית
	+ יריעה אלגברית פרויקטיבית
	+ יריעה קווזי-אפינית
* יריעה פרידה
	+ יריעה שלמה
* יריעה טורית

לקריאה נוספת
------------

* G. Kempf, Algebraic Varieties. Cambridge University Press, 1993
* Hartshorne, Robin (1977), *Algebraic Geometry*, vol. 52, Springer-Verlag ,New York, Graduate Texts in Mathematics, מסת"ב 978-0-387-90244-9
* Milne, *Algebraic geometry*

קישורים חיצוניים
----------------

* יריעה אלגברית אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)