**השורש הריבועי של 3**, אשר מסומן כ-{\displaystyle {\sqrt {3}}} או **31/2**, הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-3. השורש הריבועי של 3 הוא מספר אי רציונלי. הוא ידוע גם בתור **הקבוע של תיאודורוס**, על שם תיאודורוס מקירנה, שהוכיח את האי-רציונליות שלו.

נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של {\displaystyle {\sqrt {3}}}. 65 הספרות הראשונות של {\displaystyle {\sqrt {3}}}:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
הספרות של {\displaystyle {\sqrt {3}}} הן סדרה A002194 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.

השבר9756 (1.732142857...) הוא קירוב לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-110,000 (בערך{\displaystyle 9.2\times 10^{-5}}).

השבר 716035413403 (1.732 050 807 56...) הוא מדויק בכ-1100000000000 ({\displaystyle {\frac {1}{10^{11}}}}).

ארכימדס חישב טווח עבור הערך של השורש: {\displaystyle \left({\frac {1351}{780}}\right)^{2}>3>\left({\frac {265}{153}}\right)^{2}}; הגבול התחתון מדויק עבור 1608400 (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור 223409 (4 ספרות אחרי הנקודה).

ביטויים
-------

ניתן לבטא אותו כשבר משולב [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (סדרה A040001 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

ולכן ניתן לומר כי:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{bmatrix}}}
וכאשר {\displaystyle n\to \infty }:

{\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a\_{22}}{a\_{12}}}-1}
ניתן לבטא אותו גם כשבר משולב מוכלל כגון:

{\displaystyle [2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}}

גיאומטריה וטריגונומטריה
-----------------------

הגובה של משולש שווה-צלעות בעל אורכי צלעות 2 הוא {\displaystyle {\sqrt {3}}}. בנוסף, אורך הניצב הארוך במשולש זהב (משולש בעל זוויות 30, 60 ו-90) שאורך היתר שלו הוא 2 הוא {\displaystyle {\sqrt {3}}}.יתר על כן, הגובה במשושה משוכלל שאורכי צלעותיו הוא 1 הוא {\displaystyle {\sqrt {3}}}.
 אורך האלכסון בקוביית יחידה הוא {\displaystyle {\sqrt {3}}}
 היטל זה של תריסריון בילינסקי הוא מעוין עם יחס אלכסוני של {\displaystyle {\sqrt {3}}}.
ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות החוסם מעגל בקוטר 1.

אם משולש שווה-צלעות בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, היתר של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ו-{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}. מכאן, טנגנס של 60° שווה ל-{\displaystyle {\sqrt {3}}}, והסינוס של 60° והקוסינוס של 30° שווים ל-{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}.

השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°.

{\displaystyle {\sqrt {3}}} הוא המרחק בין צלעות מקבילות של משושה משוכלל בעל צלעות באורך 1.

זהו אורך האלכסון הפנימי של קוביית יחידה.

לווסיקה פיסקיס יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל-{\displaystyle {\sqrt {3}}}:1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו.

שימושים אחרים
-------------

### הנדסת הספק

בהנדסת הספק, המתח בין שתי פאזות במערכת תלת-פאזית הוא פי {\displaystyle {\sqrt {3}}} מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי {\displaystyle {\sqrt {3}}} מהרדיוס.

ראו גם
------

* השורש הריבועי של 2

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **השורש הריבועי של 3** בוויקישיתוף
* השורש הריבועי של 3, באתר MathWorld (באנגלית)

* S. D.; Jones, M. F. (1968). "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100". *Mathematics of Computation*. **22** (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
* Uhler, H. S. (1951). "Approximations exceeding 1300 decimals for {\displaystyle {\sqrt {3}}}, {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}, {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{3}})} and distribution of digits in them". *Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A*. **37** (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
* Wells, D. (1997). *The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers* (Revised ed.). London: Penguin Group. p. 23.
* Archimedes and the Square Root of 3
* Department of Mathematics | King’s College London

הערות שוליים
------------

1. ↑  Łukasz Komsta. "Computations | Łukasz Komsta". *komsta.net*. נבדק ב-24 בספטמבר 2016. `{{cite web}}`:  (עזרה)
2. ↑  Knorr, Wilbur R. (1976), "Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation", *Archive for History of Exact Sciences*, **15** (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462, S2CID 120954547.
3. ↑  Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

| מספרים אי-רציונליים נודעים |
| --- |
| מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δ*Ag* •  היחס הפלסטי 𝜌 |  |
| מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל |
| מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הםאלגבריים או טרנסצנדנטיים | קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין |
| טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |