באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא **מטריצה חיובית** (positive) אם התבנית הריבועית {\displaystyle q(x)=x^{T}Ax} היא חיובית, כלומר אם {\displaystyle q(x)\geq 0} לכל וקטור (ממשי) x. המטריצה A היא **חיובית לחלוטין** (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: {\displaystyle q(x)>0} לכל {\displaystyle x\neq 0} (זו כמובן תכונה חזקה יותר).

התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) x מתקיים {\displaystyle x^{\*}Ax\geq 0}, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור {\displaystyle x\neq 0} מתקיים {\displaystyle x^{\*}Ax>0}. תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים. לדוגמה, מטריצה {\displaystyle A=(a)} בגודל {\displaystyle 1\times 1} היא הרמיטית רק כאשר a ממשי. המטריצה חיובית אם {\displaystyle a\geq 0}, וחיובית לחלוטין אם a>0.

תכונות של מטריצות חיוביות וחיוביות לחלוטין
------------------------------------------

אוסף המטריצות החיוביות סגור לחיבור ולכפל בסקלר חיובי. כך גם אוסף המטריצות החיוביות לחלוטין. בנוסף לזה, מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא הפיכה. לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין. שני האוספים סגורים גם לפעולה {\displaystyle A\mapsto PAP^{t}}. 

מאחר שכל הערכים העצמיים של מטריצה חיובית הם חיוביים, מתקבל כי אם {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} מטריצה חיובית אז {\displaystyle \det(A)\geq 0} ו-{\displaystyle \operatorname {tr} (A)\geq 0}. מעבר לכך, אם {\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}} מטריצות חיוביות מתקיים כי {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)\geq 0}.

כאמור, מטריצה הרמיטית M היא חיובית אם לכל \ z\in {\mathbb {C}}^{n} מתקיים \ z^{\*}Mz\geq 0. על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק את תכונת החיוביות לווקטורים ממשיים \ z\in {\mathbb {R}}^{n}.

אם \ M,N חיוביות אז גם מכפלת הדמר \ M\circ N חיובית; זהו "משפט המכפלה של שור".

קריטריון לבדיקה האם מטריצה היא חיובית הוא קריטריון סילווסטר (Sylvester's criterion).

פירוק של מטריצה חיובית
----------------------

כידוע, לכל מספר מרוכב \ z\neq 0, הנורמה המרוכבת \ |z|^{2}=z{\bar {z}} היא מספר ממשי חיובי. ההכללה של עובדה פשוטה זו למטריצות קובעת שלכל מטריצה (מרוכבת) \ C, המטריצה \ A=C^{\*}C היא חיובית; אם \ C הפיכה, אז \ A חיובית לחלוטין.   

בעזרת משפט הלכסון האוניטרי, אפשר להראות שגם ההפך נכון: כל מטריצה חיובית \ A אפשר לפרק בצורה \ A=C^{\*}C עבור מטריצה \ C מתאימה. יתרה מזו, אם \ A (סימטרית) ממשית, אפשר לדרוש שגם \ C תהיה ממשית. בדרך דומה אפשר להוכיח גם ש(כמו במספרים ממשיים חיוביים) אם \ A חיובית, אז לכל n טבעי קיימת מטריצה חיובית \ B כך ש- \ A=B^{n}.

הקשר למרחבי מכפלה פנימית
------------------------

במרחב מכפלה פנימית, טרנספורמציה הרמיטית T היא חיובית אם (Tx,x)\geq 0 לכל וקטור x, וחיובית לחלוטין אם \ (Tx,x)>0 לכל וקטור \ x\neq 0. הגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה עבור מטריצות, אם בוחרים כמרחב המכפלה הפנימית את \ {\mathbb {C}}^{n} (או \ \mathbb {R} ^{n}), עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ורואים את המטריצה A כטרנספורמציה \ x\mapsto Ax של כפל ב- A. 

במרחב \ V={\mathbb {C}}^{n}, התבנית \ \langle x,y\rangle =x^{\*}My היא הרמיטית אם ורק אם המטריצה הרמיטית, והיא מכפלה פנימית אם ורק אם M מטריצה חיובית לחלוטין. גם ההפך נכון: כל מכפלה פנימית במרחב V ניתנת להצגה כזו על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.

שימושים באנליזה
---------------

תהי \ f{}:{}{\mathbb {R}}^{n}\rightarrow {\mathbb {R}} פונקציה ממשית של n משתנים, שכל נגזרותיה החלקיות מסדר שני הן רציפות. תנאי זה מבטיח שמטריצת ההסיאן שלה \ H(f) (דהיינו מטריצת הנגזרות השניות) תהיה מטריצה סימטרית (בגודל \ n\times n). תנאי הכרחי לכך שנקודה \ x\_0 תהיה נקודת קיצון, הוא שכל הנגזרות החלקיות יתאפסו, כלומר הגרדיאנט הוא אפס \nabla f(x\_{0})=0. במקרה זה, הפיתוח לטור טיילור מראה שמטריצת ההסיאן \,A=H(f) קשורה קשר הדוק להתנהגות של הפונקציה בסביבות הנקודה: אם \,A חיובית לחלוטין, אז \ x\_0 מינימום מקומי במובן החזק (כלומר: קיימת סביבה של \ x\_0, שבה \ f(x\_{0})<f(x) לכל \ x\neq x\_{0}). ואם \ x\_0 מינימום מקומי במובן החלש (כלומר: קיימת סביבה של \ x\_0, שבה \ f(x\_{0})\leq f(x) לכל \,x), אז \,A היא מטריצה חיובית. הכיוון ההפוך אינו נכון בשני המקרים.

מינורים
-------

המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקובי מצא דרך לבדוק את החיוביות של מטריצה בעזרת המינורים הראשיים שלה: מטריצה \,A היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים. על ידי הצמדה במטריצת תמורה, נובע מכאן שאם כל המינורים הראשיים חיוביים, אז **כל** המינורים חיוביים. (לתכונות נוספות, ראו משפט יעקובי על שקילות למטריצה אלכסונית).

הדטרמיננטה של מטריצה חיובית לחלוטין \,A מקיימת את "אי-שוויון פישר", שגילה E. Fischer ב-1908: \ \det(A)\leq \det(A[X])\det(A[X^{c}]). כאן \ A[X] הוא המינור המתקבל ממחיקת כל השורות והעמודות שאינן בקבוצת האינדקסים \,X, ו-\ X^{c} הוא המשלים של הקבוצה \,X. אי-שוויון זה מכליל אי-שוויון מפורסם אחר, שגילה אדמר ב-1893: \ \det(A)\leq A\_{{11}}\dots A\_{{nn}}.

מושגים קרובים
-------------

בדומה לתכונת החיוביות, אומרים שמטריצה הרמיטית היא **מטריצה שלילית** אם כל הערכים העצמיים שלה שליליים, ו**שלילית לחלוטין** אם הערכים העצמיים שליליים ושונים מאפס. מטריצה (הרמיטית) שיש לה ערכים עצמיים חיוביים ושליליים, **אינה מוחלטת** (indefinite). 

בשל הקרבה בין המונח האנגלי definite לשורש define, יש שקוראים למטריצה חיובית לחלוטין "מוגדרת חיובית", ולמטריצה שאינה מוחלטת, "לא מוגדרת". 

בניתוח של מטריצות סטוכסטיות קוראים למטריצה ממשית *completely positive* אם היא חיובית לחלוטין, ויש לה פירוק בצורה \ B^{t}B שבו כל הרכיבים של B חיוביים.

הכללה
-----

באלגבראות סי-כוכב, בהינתן אלגברת סי-כוכב A, אומרים שאיבר a\in A הוא חיובי אם קיים איבר x\in A כך ש a=x^{{\*}}x. באופן שקול - a הוא חיובי אם ורק אם הספקטרום שלו מורכב רק מאיברים ממשיים אי שליליים.

קישורים חיצוניים
----------------

* מטריצה חיובית, באתר MathWorld (באנגלית)