בתורת החוגים, **לוקליזציה** (לעיתים רחוקות מכונה בעברית **מיקום**) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש R^\* והעתקת חוגים מ-*R* ל-*R^\** כך שכל אחד מאיברי *S* יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R^\**. יתר על כן, דורשים כי *R^\** יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*\*R* הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי {\displaystyle \,S^{-1}R}, או אם {\displaystyle \,S=R-{\mathfrak {p}}}, כאשר {\displaystyle {\mathfrak {p}}} הוא אידיאל ראשוני, על ידי {\displaystyle \,R\_{\mathfrak {p}}}.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים
----------------------------

יהי R חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם {\displaystyle a,b\in S} אז {\displaystyle a\cdot b\in S}, וכמו כן נניח כי {\displaystyle \,1\in S}. על הקבוצה {\displaystyle \,R\times S} נחשוב כעל קבוצת שברים {\displaystyle \,{\frac {r}{s}}}. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי {\displaystyle (r\_{1},s\_{1})\sim (r\_{2},s\_{2})} אם קיים {\displaystyle \,t\in S} כך ש {\displaystyle \,t(r\_{1}s\_{2}-r\_{2}s\_{1})=0\in R}. אם *R* תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- {\displaystyle \,r\_{1}s\_{2}-r\_{2}s\_{1}=0}, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה {\displaystyle {\frac {0}{1}}} ואיבר היחידה יהיה {\displaystyle {\frac {1}{1}}}. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - {\displaystyle {\frac {0}{s}},{\frac {s}{s}}}, עם s\in S).

על קבוצת המנה {\displaystyle \,R\times S/\sim } נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

{\displaystyle \,{\frac {r\_{1}}{s\_{1}}}+{\frac {r\_{2}}{s\_{2}}}={\frac {r\_{1}s\_{2}+r\_{2}s\_{1}}{s\_{1}s\_{2}}}\qquad \qquad {\frac {r\_{1}}{s\_{1}}}\cdot {\frac {r\_{2}}{s\_{2}}}={\frac {r\_{1}r\_{2}}{s\_{1}s\_{2}}}}.
על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב {\displaystyle \,S^{-1}R} מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S.

ההעתקה {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} הנתונה על ידי {\displaystyle \phi (r)={\frac {r}{1}}} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-*S* לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות
-----------------

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג {\displaystyle R'} אחר עם מונומורפיזם {\displaystyle \varphi :R\rightarrow R'} וכך שתמונות איברי S הפיכים ב {\displaystyle R'}, אז בהכרח קיים מונומורפיזם {\displaystyle \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'}. כך ש- {\displaystyle \varphi =\psi \circ \phi }, כאשר \phi  הוגדרה לעיל. 

**הוכחה**: נגדיר ישירות את {\displaystyle \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'} על פי הכלל: {\displaystyle \psi \left({\frac {r}{s}}\right)=\varphi (r)\varphi (s)^{-1}}. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית -
{\displaystyle \psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi \left({\frac {r}{1}}\right)=\varphi (r){\varphi (1)}^{-1}=\varphi (r)}.

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים {\displaystyle {S}^{-1}R}. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים {\displaystyle R,{S}^{-1}R,R'}, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג
---------

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם {\displaystyle I\leq R} אידיאל, גם {\displaystyle S^{-1}I\leq S^{-1}R} אידיאל. בכיוון ההפוך, אם {\displaystyle J\leq S^{-1}R} אידיאל, אז {\displaystyle J=S^{-1}A} עבור {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}}. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם {\displaystyle I\leq R} אידיאל ו-{\displaystyle S\cap I\neq \phi }, אז {\displaystyle S^{-1}I=S^{-1}R} (כי יש בו איבר הפיך).

אם R חוג נותרי או ארטיני, כך גם {\displaystyle S^{-1}R}. 

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים {\displaystyle J\in \operatorname {Spec} (S^{-1}R)} אם ורק אם {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}\in \operatorname {Spec} (R)}. אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את S, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית {\displaystyle \{A\in \operatorname {Spec} (R):A\cap S=\phi \}\leftrightarrow \operatorname {Spec} (S^{-1}R)}.

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג {\displaystyle S^{-1}R} הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו {\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}} עם אידיאל ראשוני {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, מתקבל החוג {\displaystyle R\_{\mathfrak {p}}=(R-{\mathfrak {p}})^{-1}R}. האידיאל המקסימלי הוא {\displaystyle {\mathfrak {p}}R\_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}}.

דוגמאות
-------

* יהי *R* תחום שלמות, ותהי {\displaystyle \,S=R-\{0\}}. במקרה זה {\displaystyle \,S^{-1}R} הוא שדה השברים של *R*.
* אם *R* תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R[x] (חוג הפולינומים) מכיל עותק של {\displaystyle {(R-\{0\})}^{-1}R}, ושווה לשדה השברים של {\displaystyle ({(R-\{0\})}^{-1}R)[x]}.
* אם {\displaystyle R=\mathbb {Z} } ו-{\displaystyle S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z} } כאשר p ראשוני, נקבל כי {\displaystyle S^{-1}R=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b\right\}}, והאידיאל המקסימלי שלו הוא {\displaystyle {\mathfrak {p}}R\_{\mathfrak {p}}=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b,p\mid a\right\}}.
* אם R חוג שלם מעל C (כלומר, כל איבר של R הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-C) אז {\displaystyle S^{-1}R} שלם מעל {\displaystyle S^{-1}C} לכל {\displaystyle S\subseteq C} כנ"ל.

ראו גם
------

* חוג השברים הקלאסי
* תנאי אור
* חוג מקומי

קישורים חיצוניים
----------------

* לוקליזציה, באתר MathWorld (באנגלית)