באנליזה מתמטית, **משפט בוהר מולרופ** הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית. המשפט קרוי על שם הארלד בוהר ויוהאנס מולרופ (אנ') שהוכיחו אותו.

לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} לכל x>0 וכן מקיימת {\displaystyle f(1)=1}.

הוכחה
-----

ראשית נבחין שמתקיים {\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1}. כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} .

על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים {\displaystyle 0<\delta <\Delta }. מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:

{\displaystyle {(\int \_{\delta }^{\Delta }{t^{{x+y-2} \over {2}}e^{-t}dt})}^{2}={(\int \_{\delta }^{\Delta }{(t^{{x-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})(t^{{y-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})dt})}^{2}\leq {\int \_{\delta }^{\Delta }{t^{x-1}e^{-t}dt}\int \_{\delta }^{\Delta }{t^{y-1}e^{-t}dt}}}

כאשר נשאיף בנוסחה {\displaystyle \delta \rightarrow 0,\Delta \rightarrow \infty }נקבל {\displaystyle \Gamma ^{2}({{x+y} \over {2}})\leq \Gamma (x)\Gamma (y)}.

נוציא לוג ונקבל כי {\displaystyle \ln(\Gamma ({{x+y} \over {2}}))\leq {{1} \over {2}}\ln(\Gamma (x))+{{1} \over {2}}\ln(\Gamma (y))} וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.

בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט. נוכיח שהיא יחידה.

מהדרישה {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} נקבל באינדוקציה כי {\displaystyle f(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)}. בפרט לכל n טבעי נקבל {\displaystyle f(n)=(n-1)!} (כי נתון ש-{\displaystyle f(1)=1}).

נסמן ב {\displaystyle S(x,y)}את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות {\displaystyle (x,\ln(f(x))),(y,\ln(f(y)))}. לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y. לכן לכל {\displaystyle 0<x\leq 1} ולכל n מס טבעי נקבל:

{\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)}.

{\displaystyle {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n-1))}{n-(n-1)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+x))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+1))}{n-(n+1)}}}

נציב את הערך של f למספרים טבעיים:

{\displaystyle {\frac {\ln((n-1)!)-\ln((n-2)!)}{1}}\leq {\frac {\ln(f(n+x))-\ln((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\ln((n)!)-\ln((n-1)!)}{1}}}

לאחר חישוב מקבלים:

{\displaystyle \ln {({(n-1)}^{x}(n-1)!)}\leq \ln {(f(n+x))}\leq \ln {({n}^{x}(n-1)!)}}

ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:

{\displaystyle {(n-1)}^{x}(n-1)!\leq f(n+x)\leq {n}^{x}(n-1)!}

נציב את הביטוי שקיבלנו עבור {\displaystyle f(n+x)}ונקבל:

{\displaystyle {(n-1)}^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)\leq {n}^{x}(n-1)!}

{\displaystyle {\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}}

{\displaystyle {\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})}

נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:

{\displaystyle {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})}

נשאיף את n לאינסוף. מתקיים {\displaystyle {\frac {x+n}{n}}\rightarrow 1}ולכן הגבול של {\displaystyle {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}} חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל f(x) וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.

הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל {\displaystyle 0<x\leq 1}. אבל מהדרישה {\displaystyle f(x+1)=xf(x)}רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.

תוצאות נוספות
-------------

המתמטיקאי Wielandt הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה {\displaystyle 1\leq \Re (z)<2}.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט בוהר-מולרופ, באתר MathWorld (באנגלית)
* משפט בוהר-מולרופ, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* מספר הוכחות ללוג קמירות של פונקציית גאמא באתר ProofWiki:

הערות שוליים
------------

1. ↑  Reinhold Remmert, Wielandt's Theorem About the Γ-Function, **The American Mathematical Monthly
Vol. 103, No. 3 (Mar. 1996), pp. 214-220 (7 pages)**