בטופולוגיה, **משפט לוסטרניק-שנירלמן** הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:

* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:

* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

הוכחה
-----

מספיק להוכיח את המשפט ל-{\displaystyle S^{n}} שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} קיימת נקודה {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש-{\displaystyle f(x)=f(-x)}.

### המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם

במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, {\displaystyle d(x,A)}, מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם {\displaystyle d(x,A)=0} אז {\displaystyle x\in {\bar {A}}}.

יהי {\displaystyle F\_{1},\ldots ,F\_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את {\displaystyle S^{n}}. נגדיר פונקציה {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} כך:

{\displaystyle f(x)=(d(x,F\_{1}),\ldots ,d(x,F\_{n}))}
f בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים {\displaystyle x^{\*}\in S^{n}} כך ש-{\displaystyle f(x^{\*})=f(-x^{\*})}. בפרט אם קיים {\displaystyle 1\leq i\leq n} כך ש-{\displaystyle d(x^{\*},F\_{i})=0} אז גם {\displaystyle d(-x^{\*},F\_{i})=0}. אולם F\_{i} סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה {\displaystyle x^{\*},-x^{\*}} הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-F\_{i}.

נותר המקרה בו {\displaystyle d(x^{\*},F\_{i})=d(-x^{\*},F\_{i})\neq 0} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n}. במקרה כזה {\displaystyle x^{\*},-x^{\*}} לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות {\displaystyle F\_{1},\ldots ,F\_{n}} (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-{\displaystyle F\_{n+1}}.

### המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור

יהי {\displaystyle U\_{1},\ldots ,U\_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את {\displaystyle S^{n}}. לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n+1} ולכל {\displaystyle x\in U\_{i}} נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק {\displaystyle V\_{x}} כך ש-{\displaystyle x\in V\_{x}^{i}\subseteq {\bar {V\_{x}^{i}}}\subseteq U\_{i}}. איחוד כל הסביבות {\displaystyle V\_{x}^{i}} לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של {\displaystyle S^{n}}. הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי {\displaystyle V\_{1},\ldots ,V\_{m}}. נאחד את כל הקבוצות {\displaystyle {\bar {V\_{j}}}} המוכלות באותה קבוצה {\displaystyle U\_{i}}. זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה {\displaystyle F\_{i}\subseteq U\_{i}}. קיבלנו כיסוי {\displaystyle F\_{1},\ldots ,F\_{n+1}} של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים l ונקודה {\displaystyle x^{\*}\in S^{n}} כך ש-{\displaystyle x^{\*},-x^{\*}\in F\_{l}\subseteq U\_{l}} כפי שרצינו להוכיח.

### המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח

יהי {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את {\displaystyle S^{n}}. לכל A\_{i} סגורה נגדיר {\displaystyle U\_{i}^{k}=\{x\in S^{n}\mid d(x,A\_{i})<{\tfrac {1}{k}}\}}. ולכל A\_{i} פתוחה נגדיר {\displaystyle U\_{i}^{k}=A\_{i}}. לכל k, {\displaystyle U\_{1}^{k},\ldots ,U\_{n+1}^{k}} כיסוי פתוח של {\displaystyle S^{n}}, ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים {\displaystyle l\_{k}} וזוג נקודות {\displaystyle x\_{k},-x\_{k}\in U\_{l\_{k}}^{k}}. אם ל-k כלשהו {\displaystyle A\_{l\_{k}}} פתוחה סיימנו, כי {\displaystyle x\_{k},-x\_{k}\in U\_{l\_{k}}^{k}=A\_{l\_{k}}}. לכן נניח שלכל k {\displaystyle A\_{l\_{k}}} סגורה. הסדרה {\displaystyle \{l\_{k}\}} היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים {\displaystyle 1\leq l\_{k}\leq n+1}) ולכן יש מספר l שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה {\displaystyle (x\_{k})\_{k}} שאיבריה מקיימים {\displaystyle l\_{k}=l}. נסמן את גבולה {\displaystyle x^{\*}}. מתקיים {\displaystyle d(x^{\*},A\_{l})=\lim \_{k\to \infty }d(x\_{k},A\_{l\_{k}})=0}. ולכן, מכיוון שהנחנו ש-{\displaystyle A\_{l}} סגורה, מתקיים {\displaystyle x^{\*}\in A\_{l}}. מאותה סיבה מתקיים {\displaystyle -x^{\*}\in A\_{l}}.

### בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור

**למה**. ניתן לכסות את {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. 

**הוכחה**. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

**הוכחת בורסוק-אולם**. נניח בשלילה שקיימת פונקציה {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} כך שלכל {\displaystyle x\in S^{n}} מתקיים {\displaystyle f(x)\neq f(-x)}. אזי הפונקציה {\displaystyle g:S^{n}\to S^{n-1}} המוגדרת לפי {\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}}} מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל {\displaystyle x\in S^{n}} מתקיים {\displaystyle g(x)=-g(-x)}.

יהי {\displaystyle F\_{1},\ldots ,F\_{n+1}} כיסוי של {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. {\displaystyle g^{-1}(F\_{1})\ldots ,g^{-1}(F\_{n+1})} הוא כיסוי של {\displaystyle S^{n}} באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים {\displaystyle x^{\*},-x^{\*}\in g^{-1}(F\_{l})}. אולם אז {\displaystyle g(x^{\*})\in f^{-1}(F\_{l})} וגם {\displaystyle -g(x^{\*})=g(-x^{\*})\in f^{-1}(F\_{l})} בסתירה לטענה ש-{\displaystyle F\_{l}} אינה מכילה אנטיפודים.

שימושים
-------

משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.

ראו גם
------

* השערת בורסוק

לקריאה נוספת
------------

* Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. מסת"ב 3-540-00362-2