במתמטיקה **פונקציה הומוגנית** מסדר n היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c, ערך הפונקציה מוכפל ב־{\displaystyle c^{n}}.

הגדרה מפורטת
------------

תהי {\displaystyle f\colon V\rightarrow W} פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה {\displaystyle F}, ויהי k מספר שלם. אזי הפונקציה {\displaystyle f} תיקרא הומוגנית מסדר *k* אם {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )} לכל {\displaystyle \alpha \in F} שונה מאפס, ולכל {\displaystyle v\in V}.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים **פונקציה הומוגנית חיובית** מסדר k כאשר הדרישה {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )} צריכה להתקיים רק עבור \alpha  חיובי, ו-*k* יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות
-------

### העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית {\displaystyle f\colon V\rightarrow W} היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )} לכל {\displaystyle \alpha \in F} ולכל {\displaystyle v\in V} .

### פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-n משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית {\displaystyle f\colon F^{n}\to F}. לדוגמה שטח של ריבוע - {\displaystyle \ S\left(a\right)=a^{2}} - הוא מונום הומוגני {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר {\displaystyle S\left(ca\right)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a)}.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: {\displaystyle \ x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}} הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

### פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם f הוא פולינום הומוגני מסדר m ו-g הוא פולינום הומוגני מסדר n, אזי {\displaystyle {\frac {f}{g}}} היא פונקציה הומוגנית מסדר {\displaystyle m-n} בכל הנקודות חוץ מבשורשים של *g*.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}}, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות
------------------------

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - {\displaystyle \ E\_{k}\left(m,v\right)={\frac {1}{2}}mv^{2}} - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - {\displaystyle E\_{k}\left(m,cv\right)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2}}, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים {\displaystyle E\_{k}\left(cm,v\right)={\frac {1}{2}}cmv^{2}} .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן t נתון על ידי {\displaystyle \ N\left(N\_{0},t,\tau \right)=N\_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}}, ובעוד שמתקיים {\displaystyle \ N\left(cN\_{0},t,\tau \right)=cN\left(N\_{0},t,\tau \right)}, קרי N היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור {\displaystyle N\_{0}}, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות
------------------------------

### ניסוח המשפט

תהי {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } פונקציה חלקה אזי f הומוגנית חיובית מסדר k אם ורק אם:

{\displaystyle \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}=kf(\mathbf {x} )}.
### הוכחה

{\displaystyle \Leftarrow }: תהי {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר *k* אזי: {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}. נגזור את שני האגפים לפי a ונקבל: {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(a\mathbf {x} )}{\mathrm {d} a}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )}.

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל {\displaystyle a}, נציב {\displaystyle \ a=1} ונקבל: {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}.

{\displaystyle \Rightarrow }: תהי {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } פונקציה חלקה המקיימת {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )} לכל {\displaystyle \mathbf {x} }.

נבחר {\displaystyle \mathbf {x} } כלשהו ונגדיר: {\displaystyle \ g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )}.

כעת: {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )}.

נציב: {\displaystyle a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )}.

ונקבל: {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0}. לכן g היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: {\displaystyle g(1)=f(\mathbf {x} )} לכן לכל {\displaystyle a>0} מתקיים {\displaystyle g(a)=f(\mathbf {x} )}. כלומר {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}

### תוצאה

עבור פונקציה {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } גזירה והומוגנית חיובית מסדר k נקבל ש-{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}} היא הומוגנית מסדר {\displaystyle k-1}. כלומר:

{\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\right|\_{cx}=c^{k-1}\left.{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\right|\_{x}}.
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי {\displaystyle x\_{i}}. שכן על פי משפט אוילר:

{\displaystyle \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}.
נגזור לפי {\displaystyle \ x\_{i}} ונקבל:

{\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x\_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}}.
ולכן:

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}}. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים
----------------

* פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  המשפט לא תקף עבור {\displaystyle \ a<0} משום ש-{\displaystyle \ g} לא מוגדרת בנקודה {\displaystyle \ a=0}.