**מטריצת סיבוב** היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

סימון
-----

מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: {\displaystyle M} (קיצור של Matrix), {\displaystyle R} (קיצור של Rotation) ו-{\displaystyle C} (קיצור של Cosine).

נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.

לדוגמה סיבוב ממערכת צירים {\displaystyle a} למערכת צירי {\displaystyle b}:
{\displaystyle C\_{a}^{b}}

תכונות
------

תהי {\displaystyle M} מטריצת סיבוב מסדר {\displaystyle \ n\times n}. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

* המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =M\mathbf {A} \cdot M\mathbf {B} }
* המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

{\displaystyle {M}\,{M}^{-1}={M}\,{M}^{\top }={I}} כאשר {\displaystyle {I}} היא מטריצת היחידה.
* ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית **A**:

{\displaystyle {\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}}
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת {\displaystyle \mathbf {A} ^{n}} נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד
------

סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ. כאשר הווקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.
בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית {\displaystyle \theta }, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית {\displaystyle \theta } היא:

{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}
כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

{\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}
ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה {\displaystyle 2\times 2} אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:
  

{\displaystyle {\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

תלת-ממד
-------

* מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - {\displaystyle x} בזווית {\displaystyle \phi } היא:

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\0&\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\phi \\0&\phi &0\end{bmatrix}}\right)}
* מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - {\displaystyle y} בזווית {\displaystyle \theta } היא:

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&0&\sin {\theta }\\0&1&0\\-\sin {\theta }&0&\cos {\theta }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta \\0&0&0\\-\theta &0&0\end{bmatrix}}\right)}
* מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - {\displaystyle z} בזווית {\displaystyle \psi } היא:

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{z}(\psi )={\begin{bmatrix}\cos {\psi }&-\sin {\psi }&0\\\sin {\psi }&\cos {\psi }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\psi &0\\\psi &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)}
כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

* מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x:


R

=

R

z

(
ψ
)

R

y

(
θ
)

R

x

(
ϕ
)
=

[

cos
⁡
θ
cos
⁡
ψ

−
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
ψ
+
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
cos
⁡
ψ

sin
⁡
ϕ
sin
⁡
ψ
+
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
cos
⁡
ψ

cos
⁡
θ
sin
⁡
ψ

cos
⁡
ϕ
cos
⁡
ψ
+
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
sin
⁡
ψ

−
sin
⁡
ϕ
cos
⁡
ψ
+
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
sin
⁡
ψ

−
sin
⁡
θ

sin
⁡
ϕ
cos
⁡
θ

cos
⁡
ϕ
cos
⁡
θ

]

{\displaystyle \mathbf {R} =R\_{z}(\psi )R\_{y}(\theta )R\_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \mathbf {R} =R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}
### זוויות אוילר

באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:

* {\displaystyle \phi =atan2(R(2,1),R(1,1))}
* {\displaystyle \theta =arcsin(-R(3,1))}
* {\displaystyle \psi =atan2(R(3,2),R(3,3))}

ראו גם
------

* מטריצה אורתוגונלית
* זוויות אוילר
* מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים
----------------

* מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  סיבוב ראשון סביב ציר x, לאחר מכן סיבוב סביב ציר y ולבסוף סיבוב סביב ציר z