באלגברה, **תת חבורה נורמלית** היא תת חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: תת-החבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות.

הגדרה
-----

תהא {\displaystyle G} חבורה ותהא {\displaystyle N\leq G} תת-חבורה שלה. לכל איבר {\displaystyle g\in G}, הקבוצה {\displaystyle g^{-1}Ng=\left\{g^{-1}xg:x\in N\right\}} היא ה"הצמדה" של {\displaystyle N} על ידי {\displaystyle g}. אם לכל איבר {\displaystyle g} מתקיים {\displaystyle g^{-1}Ng\subseteq N}, אז {\displaystyle N} היא **תת חבורה נורמלית** של {\displaystyle G}, ומסמנים {\displaystyle N\trianglelefteq G}. אם בנוסף {\displaystyle N\neq G} אז מסמנים {\displaystyle N\vartriangleleft G}.

### הגדרה באמצעות קוסטים

קבוצה מהצורה {\displaystyle Ng=\{xg:x\in N\}} או {\displaystyle gN=\{gx:x\in N\}} נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של {\displaystyle N}. תת-החבורה {\displaystyle N} נורמלית אם ורק אם לכל {\displaystyle g\in G} מתקיים {\displaystyle gN=Ng}. במקרה כזה, לכל {\displaystyle g\in G} ולכל {\displaystyle n\_{1}\in N} קיים {\displaystyle n\_{2}\in N} כך ש-{\displaystyle gn\_{1}=n\_{2}g}.

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל {\displaystyle g\in G} ולכל {\displaystyle n\in N} מתקיים {\displaystyle ng=gn}.

תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה
------------------------------

בהינתן חבורה {\displaystyle G} ותת חבורה {\displaystyle N\leq G}, חבורת המנה {\displaystyle G/N} מוגדרת היטב אם ורק אם {\displaystyle N\trianglelefteq G}. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי הקוסטים השונים יהיה מוגדר היטב: תהי H תת-חבורה של {\displaystyle G} ויהיו {\displaystyle g\_{1},g\_{2}\in G}. אנו רוצים שהכפל בין הקוסטים יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר {\displaystyle (g\_{1}H)(g\_{2}H)=g\_{1}g\_{2}H}. נוכיח זאת: יהיו {\displaystyle g\_{1},g\_{2}\in G} איברים כלשהם ב-{\displaystyle G}. השוויון {\displaystyle (g\_{1}H)(g\_{2}H)=g\_{1}g\_{2}H} מתקיים רק אם קיימים {\displaystyle h\_{1},h\_{2},h\_{3}\in H} כך ש-{\displaystyle g\_{1}h\_{1}g\_{2}h\_{2}=g\_{1}g\_{2}h\_{3}}, ובאמצעות אלגברה נקבל {\displaystyle h\_{1}g\_{2}=g\_{2}h\_{3}h\_{2}^{-1}}, ואם נסמן {\displaystyle g=g\_{2}\in G,\ n\_{1}=h\_{1},\ n\_{2}=h\_{3}h\_{2}^{-1}\in H} נקבל {\displaystyle n\_{1}g=gn\_{2}} לכל {\displaystyle g\in G} וקיום תנאי זה אומר ש-H היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו {\displaystyle G} הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle G}. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle G} היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו {\displaystyle G}.

הנורמליזטור
-----------

אם {\displaystyle G} חבורה ו-H תת-חבורה, ה**מנרמל** (או: ה**נורמליזטור**) של H ב-{\displaystyle G} הוא תת-החבורה {\displaystyle N\_{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}}. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של {\displaystyle G} שבתוכה H נורמלית. המְרכז של H,
{\displaystyle C\_{G}(H)=\{x\in G:\forall h\in H,xhx^{-1}=h\}}, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים {\displaystyle C\_{G}(H)\trianglelefteq G}. האינדקס של הנורמליזטור ב-{\displaystyle G} שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה {\displaystyle xHx^{-1}} (היינו, תת-החבורות הצמודות ל-H).

הליבה של חבורה
--------------

אם {\displaystyle H\leq G} תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), **הליבה** של H מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: {\displaystyle \operatorname {Core} \_{G}(H)=\bigcap \_{g\in G}gHg^{-1}}. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-H (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד {\displaystyle g} מכל קוסט ימני של H, אם H תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

חבורות פשוטות
-------------

חבורה {\displaystyle G} אשר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן {\displaystyle G} עצמה ו-{\displaystyle \left\{e\right\}} נקראת **חבורה פשוטה**. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

תת-חבורות אופייניות
-------------------

תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle G} היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של {\displaystyle G}. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא **תת-חבורה אופיינית** (או **קרקטריסטית**): זוהי תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של {\displaystyle G} (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של {\displaystyle G}). לדוגמה, המרכז של {\displaystyle G} הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם {\displaystyle A} תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle B} ו-{\displaystyle B} נורמלית (ואפילו אופיינית) של {\displaystyle C}, אז {\displaystyle A} עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle C}. לעומת זאת, אם {\displaystyle A} אופיינית ב-{\displaystyle B}, אז התכונות של {\displaystyle B} עוברות בירושה ל-{\displaystyle A}: אם {\displaystyle B} נורמלית ב-{\displaystyle C} אז כך גם {\displaystyle A}, ואם {\displaystyle B} אופיינית ב-{\displaystyle C} אז כך גם {\displaystyle A}.

תת-חבורות תת-נורמליות
---------------------

אם קיימת שרשרת של תת-חבורות {\displaystyle G\_{t}\leq \cdots \leq G\_{1}\leq G} כך שכל {\displaystyle G\_{i+1}\trianglelefteq G\_{i}}, אז אומרים ש-{\displaystyle G\_{t}} תת-חבורה **תת-נורמלית** של {\displaystyle G}. לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת-p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה H אפשר לבנות את השרשרת {\displaystyle H\subseteq N\_{G}(H)\subseteq N\_{G}(N\_{G}(H))\subseteq N\_{G}(N\_{G}(N\_{G}(H)))\subseteq \cdots }; בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; H תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה {\displaystyle G}. חבורה היא **כמעט תת-נורמלית** אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.

חיתוך טריוויאלי
---------------

אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI ‏.

תת חבורה *H* של *{\displaystyle G}* נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאינו שייך ל-*H* נחתכת עם *H* רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

דוגמאות
-------

* בכל חבורה אבלית כל תת-חבורה היא נורמלית.
* A\_{n} תת-חבורה נורמלית של S\_n, כאשר S\_n היא החבורה הסימטרית מסדר n ואילו A\_{n} היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר n.
* החבורה הציקלית שנוצרת על ידי הסיבוב ב-{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{n}}} היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הדיהדרלית מסדר n.
* את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם {\displaystyle [G:N]=2}, אז לכל {\displaystyle g\not \in H}, הן {\displaystyle gH} והן {\displaystyle Hg} הם הקוסט הלא טריוויאלי היחיד של H.
* עבור {\displaystyle n\geq 5} אין ל-S\_n תת-חבורות נורמליות פרט ל-A\_{n}.

קישורים חיצוניים
----------------

* תת-חבורה נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  למידע נוסף: Trivial intersection groups, Gary Walls, Archiv der Matheamatic, Vol. 32, pp. 1-4, 1979

| אלגברה מופשטת |
| --- |
| ענפים | אלגברה לינארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות |
| מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית |
| מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה לינארית |