בטופולוגיה, **למת הצינור** היא לֶמה, בעזרתה ניתן להוכיח כי מכפלה של מספר סופי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, מבלי להידרש למשפט טיכונוף (הגורס זאת לאוסף כלשהו של מרחבים קומפקטיים).

ניסוח הלמה והרחבתה
------------------

**למת הצינור:** יהיו {\displaystyle X,Y} שני מרחבים טופולוגיים כך ש- Y קומפקטי. תהי נקודה {\displaystyle x\_{0}\in X} ונניח שקיימת קבוצה פתוחה {\displaystyle O\subset X\times Y} המכילה את החתך {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y}. אזי {\displaystyle O} מכילה קבוצה מהצורה {\displaystyle W\times Y} כאשר W היא סביבה פתוחה של x\_0, ז"א מתקיים {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y\subset W\times Y\subset O}.

את הקבוצה {\displaystyle W\times Y} מכנים לעיתים **צינור** (tube).

ניתן להראות כי ניסוח שקול של הלמה בעזרת העתקות סגורות הוא כדלקמן: אם {\displaystyle X,Y} זוג מרחבים טופולוגיים כך ש- Y קומפקטי, אז ההטלה {\displaystyle \pi \colon X\times Y\to X}, {\displaystyle \pi \colon (x,y)\mapsto x} היא סגורה.

הלמה ניתנת להרחבה באופן הבא:

**הרחבת למת הצינור:** יהיו {\displaystyle X,Y} שני מרחבים טופולוגיים, ונניח כי {\displaystyle A\subset X} ו- {\displaystyle B\subset Y} תתי-קבוצות קומפקטיות. אם קיימת {\displaystyle O\subset X\times Y} פתוחה כך ש- {\displaystyle A\times B\subset O}, אז קיימות קבוצות פתוחות {\displaystyle U\subset X} ו- {\displaystyle V\subset Y} כך ש- {\displaystyle A\times B\subset U\times V\subset O}.

הוכחת למת הצינור
----------------

ראשית, נעיין בכיסוי של החתך {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y} בידי קבוצות בסיסיות: {\displaystyle \{U\_{\alpha },V\_{\alpha }\}\_{\alpha \in I}} כך שלכל {\displaystyle \alpha \in I}, {\displaystyle U\_{\alpha }\subset X} ו- {\displaystyle V\_{\alpha }\subset Y} פתוחות בטופולוגיות המתאימות. נוכל להניח שכל הקבוצות האלו מוכלות ב- {\displaystyle O} (ניתן הרי לחתוך כל אחת מהן עם {\displaystyle O} הפתוחה, שניתנת גם לרישום כאיחוד קבוצות בסיסיות).

החתך {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y} קומפקטי, שכן הוא הומיאומורפי ל- Y, שקומפקטי לפי הנחת המשפט. מכאן, הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי {\displaystyle \{U\_{i}\times V\_{i}\}\_{i=1}^{n}}. נוכל להניח שכל אחת מקבוצות אלו חותכת את {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y}, שכן אחרת נוכל להשמיטה מהכיסוי.

נגדיר {\displaystyle W=\bigcap \_{i=1}^{n}U\_{i}}. זו קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות, והיא גם מכילה את x\_0 כי הוא שייך ל- U\_{i} לכל {\displaystyle i\in [n]} (מההנחה שכל קבוצה בכיסוי חותכת את החתך). אם כן, {\displaystyle \{x\_{0}\}\times Y\subset W\times Y}, ונותר לוודא כי {\displaystyle O} מכילה את {\displaystyle W\times Y}. זה נכון מכיוון ש- {\displaystyle \{U\_{i}\times V\_{i}\}\_{i=1}^{n}} מהווה גם כיסוי של {\displaystyle W\times Y}. אכן, בהינתן נקודה {\displaystyle (x,y)\in W\times Y} נוכל לעיין בנקודה {\displaystyle (x\_{0},y)\in \{x\_{0}\}\times Y}. מהגדרת הכיסוי קיים {\displaystyle i\_{0}\in [n]} עבורו {\displaystyle (x\_{0},y)\in U\_{i\_{0}}\times V\_{i\_{0}}}, ולכן בפרט {\displaystyle y\in V\_{i\_{0}}}. מתקיים כי {\displaystyle x\in U\_{i\_{0}}} שכן למעשה {\displaystyle x\in U\_{i}} לכל {\displaystyle i\in [n]} מהגדרת W כחיתוך כל ה- U\_{i}-ים. לכן {\displaystyle (x,y)\in U\_{i\_{0}}\times V\_{i\_{0}}} ואזי {\displaystyle W\times Y\subset \bigcup \_{i=1}^{n}(U\_{i}\times V\_{i})\subset O} (הרי {\displaystyle U\_{i}\times V\_{i}\subset O} לכל {\displaystyle i\in [n]}).

תכונות ומסקנות
--------------

1. הדרישה בלמת הצינור ש- Y קומפקטי היא הכרחית. למשל ב- {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} } (בוחרים {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }), הקבוצה הפתוחה {\displaystyle O=\{(x,y):|xy|<1\}} מכילה את החתך {\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }, אך היא אינה מכילה אף צינור סביבו. אכן, אם קיים בשלילה צינור {\displaystyle W\times Y} המכיל את החתך {\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} } ומוכל ב- {\displaystyle O}, נובע כי {\displaystyle W\subset (-1/y,1/y)} לכל {\displaystyle y>0}, מה שגורר כי {\displaystyle W=\{0\}}, בסתירה להיותו קבוצה פתוחה ב- \mathbb{R}.
2. כאמור, מלמת הצינור ניתן להוכיח שמכפלה סופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, באופן הבא (ההוכחה היא למכפלה של שני מרחבים קומפקטיים, וההכללה למספר סופי כלשהו באינדוקציה): יהיו {\displaystyle X,Y} זוג מרחבים קומפקטיים, ונראה שמכפלתם X \times Y קומפקטית אף היא. יהי {\mathcal {A}} כיסוי פתוח של X \times Y, ויש להראות שקיים לו תת-כיסוי סופי. לכל x\in X, החתך {\displaystyle \{x\}\times Y} קומפקטי (הוא הומיאומורפי ל- Y), ומכיוון ש- {\mathcal {A}} מכסה אותו הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i=1}^{m}}. הקבוצה {\displaystyle O=\bigcup \_{i=1}^{m}A\_{i}} פתוחה (כאיחוד של פתוחות) ומכילה את החתך {\displaystyle \{x\}\times Y}. לכן מלמת הצינור קיימת {\displaystyle W\_{x}\subset X} פתוחה כך ש- {\displaystyle \{x\}\times Y\subset W\_{x}\times Y\subset O}. נסיק כי {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i=1}^{m}} הוא תת-כיסוי סופי גם של {\displaystyle W\_{x}\times Y}. האוסף {\displaystyle \{W\_{x}\}\_{x\in X}} מהווה כיסוי פתוח של X הקומפקטי, ולכן קיים לו תת-כיסוי סופי {\displaystyle \{W\_{x\_{i}}\}\_{i=1}^{n}}. מכאן {\displaystyle \{W\_{x\_{i}}\times Y\}\_{i=1}^{n}} הוא כיסוי סופי של X \times Y, וכפי שהוצג קודם כל אחד מאיבריו מכוסה על ידי מספר סופי של איברי {\mathcal {A}}. מכאן נסיק שיש ל- X \times Y תת-כיסוי סופי מאיברי {\mathcal {A}}.
3. אין די בלמת הצינור בכדי להוכיח את משפט טיכונוף, המכליל את התוצאה הקודמת למכפלות אינסופיות של קבוצות קומפקטיות.

לקריאה נוספת
------------

* James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, p. 167-169