**משפט האן-בנך** הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל {\displaystyle \ f\_{0}} מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט
-----

יהי {\displaystyle \,L} מרחב בנך מעל השדה {\displaystyle \,F} (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב {\displaystyle \ L\_{0}\subset L}, ופונקציה תת-ליניארית {\displaystyle \ \rho :L\rightarrow {\mathbb {R} }} (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).  

אזי כל פונקציונל ליניארי {\displaystyle \ f\_{0}:L\_{0}\rightarrow F} החסום על ידי \ \rho (כלומר: {\displaystyle \ |f\_{0}(x)|\leq \rho (x)} לכל {\displaystyle \ x\in L\_{0}}) אפשר להרחיב לפונקציונל {\displaystyle \ f:L\rightarrow F} שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

1. {\displaystyle \ \forall x\in L\_{0}\ :\ f(x)=f\_{0}(x)} (כלומר: \ f  הוא אכן הרחבה של {\displaystyle \ f\_{0}}).
2. {\displaystyle \ \forall x\in L\ :\ |f(x)|\leq \rho (x)} (כלומר: \ f  חסום גם כן על ידי {\displaystyle \,\rho }).

מסקנות ושימושים
---------------

* **קיום הרחבה שומרת נורמה:**

אם \ L הוא מרחב בנך ו-\ M הוא תת-מרחב שלו, ואם {\displaystyle f\_{0}:M\to \mathbb {R} } הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על \ M, אזי קיימת לו הרחבה {\displaystyle f:L\to \mathbb {R} } רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: {\displaystyle \|f\_{0}\|\_{L\_{0}^{\*}}=\|f\|\_{L^{\*}}}. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: {\displaystyle \ f\_{0}(x)\leq \|f\_{0}\|\_{\*}\cdot \|x\|}, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, {\displaystyle \,\mathbb {R} } הוא אובייקט אינג'קטיבי.
* **משפט ההפרדה בין נקודות**:

{\displaystyle \ \forall x\_{0}\neq 0\ :\ \exists f\_{0}\neq 0\ {\mbox{bounded functional}}\,\ {\mbox{such that}}\ :\ \ f\_{0}(x\_{0})=\|f\_{0}\|\cdot \|x\_{0}\|\neq 0}.
בפרט, אם נגדיר {\displaystyle \ x\_{0}=x\_{1}-x\_{2}} עבור {\displaystyle \ x\_{1}\neq x\_{2}} אזי נקבל שקיים פונקציונל {\displaystyle \ f\_{0}\neq 0} כך ש {\displaystyle \ f\_{0}(x\_{1})\neq f\_{0}(x\_{2})}. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
* **משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה**:

יהי \ L מרחב בנך ויהי \ M הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי {\displaystyle \ z\notin {\overline {M}}} נקודה שאיננה בסגור של \ M, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) {\displaystyle \ f:M\to \mathbb {R} } כך ש:
1. {\displaystyle \ \forall x\in M\ :\ f(x)=0} ,
2. {\displaystyle \ f(z)=1}
3. ומתקיים ש {\displaystyle \ \|f\|=(\|z\|)^{-1}}

הוכחת המשפט
-----------

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של {\displaystyle \,f\_{0}} החסומות על ידי {\displaystyle \,\rho } לתת-מרחב כלשהו {\displaystyle \ L\_{0}\subset L\_{\alpha }\subset L} עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-{\displaystyle \,E}). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-{\displaystyle \,E} שמהווה הרחבה של {\displaystyle \,f\_{0}} המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל {\displaystyle \,L}.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-{\displaystyle \,E} מוגדרת על תת-מרחב {\displaystyle \ L'\subset L}, כאשר {\displaystyle \ L'\neq L}. אזי קיים {\displaystyle \ y\in L-L'} ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי \ \rho, המוגדרת על ידי:

{\displaystyle \ \forall z\in {\mbox{span}}\left(L'\cup \{y\}\right)\ :\ f(z)=f(x+\lambda y)=f'(x)+\lambda y'}
כאשר {\displaystyle \ z=x+\lambda y} פירוק יחיד של {\displaystyle \,z} כאשר {\displaystyle \ x\in L'} ו-{\displaystyle \,f'} הוא ההרחבה המקסימלית על {\displaystyle \,L'} (והם איברי המשפחה {\displaystyle \,E}). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך {\displaystyle \ f'(y)=y'} כך שלכל {\displaystyle \,z} בתחום ההגדרה יתקיים {\displaystyle \ f'(x)+\lambda y'=f(z)\leq \rho (z)}. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים {\displaystyle \,y'} כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-{\displaystyle \,f'} מ-{\displaystyle \,L'} לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-{\displaystyle \,E}.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של {\displaystyle \,E}, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-{\displaystyle \,E}, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של {\displaystyle \,E} מוגדר היטב על כל {\displaystyle \,L} ומהווה הרחבה של {\displaystyle \,f\_{0}} המקיימת את הנדרש. {\displaystyle \blacksquare }

ראו גם
------

* אנליזה פונקציונלית
* פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית)