**משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין** בתורת הקבוצות אומר שאם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה {\displaystyle A} לקבוצה {\displaystyle B}, וקיימת פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה {\displaystyle B} לקבוצה {\displaystyle A}, אז קיימת פונקציה שהיא גם חד-חד-ערכית וגם על מהקבוצה {\displaystyle A} לקבוצה {\displaystyle B}, כלומר שתי הקבוצות שקולות - עוצמתן זהה. המשפט נקרא על שם גאורג קנטור, ארנסט שרדר ופליקס ברנשטיין.

בכתיב עוצמות ניתן לנסח את המשפט כך: אם {\displaystyle |A|\leq |B|} וגם {\displaystyle |B|\leq |A|} אז {\displaystyle |A|=|B|}. המשפט מכונה גם "למת הסנדוויץ'" (משום שהוא מסיק מאי-השוויונות {\displaystyle |A|\leq |B|\leq |A|} את שוויון העוצמות).

חשיבותו הרבה של המשפט היא בכך שהוא מראה שהיחס "{\displaystyle |A|\leq |B|} אם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ-{\displaystyle A} ל-{\displaystyle B}" הוא יחס יחס אנטי-סימטרי. ברור שהיחס הזה טרנזיטיבי, ואם כך הוא מהווה יחס סדר חלש. כדי להוכיח שהיחס הוא יחס סדר מלא, כלומר שלכל שתי עוצמות {\displaystyle a,b} מתקיים {\displaystyle a\leq b} או {\displaystyle b\leq a}, דרושה אקסיומת הבחירה.

הוכחות של המשפט
---------------

נניח ש-{\displaystyle f} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-{\displaystyle A} ל-{\displaystyle B}, וש-{\displaystyle g} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-{\displaystyle B} ל-{\displaystyle A}. 
נציג כמה הוכחות של המשפט, המבוססות כולן, בדרכים שונות, על חלוקה של אחת הקבוצות לשני חלקים ושימוש ב-{\displaystyle f} עבור אחד מהחלקים וב-{\displaystyle g} עבור השני כדי להגדיר את הבייקציה בין הקבוצות.

### הוכחה באמצעות סיווג של האיברים

נוכיח את המשפט על ידי בניית פונקציה חד-חד-ערכית ועל {\displaystyle h} מ־{\displaystyle A} ל־{\displaystyle B}. 

נניח, ללא הגבלת הכלליות שהקבוצות {\displaystyle A} ו-{\displaystyle B} זרות. נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר {\displaystyle a} של הקבוצה {\displaystyle A}, וכל איבר {\displaystyle b} של הקבוצה {\displaystyle B}, סדרת איברים מ-{\displaystyle A} ומ-{\displaystyle B} לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו:

*{\displaystyle \cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a))\rightarrow g^{-1}(a)\rightarrow a\rightarrow f(a)\rightarrow g(f(a))\rightarrow \cdots }*
נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש-{\displaystyle f^{-1}} ו-{\displaystyle g^{-1}} לא מוגדרות לכל איברי {\displaystyle B} ו-{\displaystyle A} בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של {\displaystyle A}, להסתיים משמאל באיבר של {\displaystyle B}, או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כ**סדרות קצה-{\displaystyle A}**, **סדרות קצה-{\displaystyle B}** או **סדרות ללא קצה** בהתאמה. מכיוון ש-{\displaystyle f} ו-{\displaystyle g} הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות חלוקה של האיחוד של {\displaystyle A} ו-{\displaystyle B}. לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-{\displaystyle A} ל-{\displaystyle B} בכל אחת מהסדרות בנפרד.

כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל {\displaystyle h} מ-{\displaystyle A} ל-{\displaystyle B}: עבור איברי {\displaystyle A} ששייכים לסדרת קצה-{\displaystyle A}, נגדיר את {\displaystyle h(a)} כ-{\displaystyle f(a)} (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי {\displaystyle A} ששייכים לסדרת קצה-{\displaystyle B}, נגדיר את {\displaystyle h(a)} כ-{\displaystyle g^{-1}(a)} (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את {\displaystyle h} עבור איברי {\displaystyle A} ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה {\displaystyle h} היא אכן חד-חד-ערכית ועל.

### בניה ישירה של ההתאמה

נחליף את הקבוצה {\displaystyle B} בתמונה שלה {\displaystyle g(B)\subseteq A}, שהיא ממילא שוות עוצמה ל-{\displaystyle B} משום ש-{\displaystyle g} חד-חד-ערכית. 

כעת אפשר להניח ש-{\displaystyle B\subseteq A} ונתונה פונקציה חד-חד-ערכית {\displaystyle f:A\rightarrow B}; עלינו לבנות פונקציה כזו שהיא חד-חד-ערכית ועל. נסמן ב-{\displaystyle f^{n}} את ההרכבה של {\displaystyle f} על עצמה {\displaystyle n} פעמים (כאשר {\displaystyle f^{0}} היא פונקציית הזהות). נאמר שאיבר {\displaystyle x\in A} הוא מ**סוג ראשון** אם קיימים {\displaystyle a\in A\setminus B} ו-{\displaystyle n\geq 0} כך ש-{\displaystyle x=f^{n}(a)}, ומ**סוג שני** אחרת.
נגדיר פונקציה {\displaystyle h:A\rightarrow B} באופן הבא: {\displaystyle h(x)=f(x)} אם {\displaystyle x} מסוג ראשון, ו-{\displaystyle h(x)=x} אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות:

1. {\displaystyle h} מוגדרת לתוך {\displaystyle B}. אכן, כל איבר של {\displaystyle A\setminus B} הוא מסוג ראשון, ולכן {\displaystyle h(A)\subseteq f(A\setminus B)\cup B=B}.
2. {\displaystyle h} חד-חד-ערכית. נניח ש-{\displaystyle h(x)=h(y)}. אם {\displaystyle x,y} שניהם מסוג ראשון הם שווים כי {\displaystyle f} חד-חד-ערכית; ואם שניהם מסוג שני הם שווים לפי ההנחה. נניח, אם כך, ש-{\displaystyle x} מסוג ראשון ו-{\displaystyle y} מסוג שני. מכיוון ש-{\displaystyle x} מסוג ראשון אפשר לכתוב {\displaystyle x=f^{n}(a)} עבור {\displaystyle a\in A\setminus B}, ומכיוון ש-{\displaystyle y} מסוג שני, {\displaystyle y=h(y)=h(x)=f(x)=f^{n+1}(a)}, כלומר גם {\displaystyle y} מסוג ראשון, בסתירה להנחה שהאברים מסוגים שונים.
3. {\displaystyle h} על: אם {\displaystyle b\in B} הוא מסוג שני, אז הוא שווה לתמונת {\displaystyle h} של עצמו; ואם הוא מסוג ראשון אז {\displaystyle b=f^{n}(a)} ובהכרח {\displaystyle n>0}, ולכן {\displaystyle b'=f^{n-1}(a)} גם הוא מסוג ראשון, ואז {\displaystyle h(b')=f(b')=f^{n}(a)=b}, כך ש-{\displaystyle b} בתמונת {\displaystyle h} בכל מקרה.

### הוכחה באמצעות למת נקודת השבת

מסמנים ב-{\displaystyle P(A)} את קבוצת החזקה של {\displaystyle A}.
נשתמש בלמה הבאה:

**למה**: תהי {\displaystyle F:P(A)\rightarrow P(A)} פונקציה שומרת הכלה (כלומר, אם {\displaystyle X\subseteq Y} אז {\displaystyle F(X)\subseteq F(Y)}). אז יש לה נקודת שבת (כלומר קבוצה {\displaystyle C\subseteq A} כך ש-{\displaystyle F(C)=C}). 

| **הוכחה** |
| --- |
| נתבונן באוסף {\displaystyle {\mathcal {L}}} של כל הקבוצות {\displaystyle X\subseteq A} כך ש- {\displaystyle X\subseteq F(X)}. (זהו אוסף לא ריק כי הקבוצה הריקה מקיימת את התנאי). נסמן ב-{\displaystyle C} את איחוד כל הקבוצות באוסף. לכל {\displaystyle c\in C} יש {\displaystyle X\in {\mathcal {L}}} כך ש-{\displaystyle c\in X} ואז {\displaystyle c\in X\subseteq F(X)\subseteq F(C)}, כלומר {\displaystyle c\in F(C)}. הוכחנו, אם כך, ש-{\displaystyle C\subseteq F(C)}. מכיוון ש-{\displaystyle F} שומרת הכלה, מתקיים {\displaystyle F(C)\subseteq F(F(C))}, כלומר {\displaystyle F(C)\in {\mathcal {L}}}, ולפי ההגדרה של {\displaystyle C} כאיחוד, {\displaystyle F(C)\subseteq C}. לכן {\displaystyle C} היא נקודת שבת. |

כעת נבחר {\displaystyle F(X)=A\setminus g(B\setminus f(X))}. ברור שהפונקציה הזו שומרת הכלה, ולפי הלמה יש לה נקודת שבת, שנסמן ב-{\displaystyle C}. מכיוון ש-{\displaystyle g(B\setminus f(C))=A\setminus C}, קיבלנו ש-{\displaystyle |A\setminus C|=|g(B\setminus f(C))|=|B\setminus f(C)|}, ולכן {\displaystyle |A|=|A\setminus C|+|C|=|B\setminus f(C)|+|f(C)|=|B|}.

דוגמה לשימוש במשפט
------------------

נחשב את {\displaystyle |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \}|} (כלומר עוצמת קבוצת הפונקציות מהטבעיים לעצמם, שמסומנת גם {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}):

ראשית נשים לב שמתקיים {\displaystyle \{f|f:\mathbb {N} \to \{1,0\}\}\subset \{f|f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \}\subset \{f|f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \}} כי כל פונקציה מהטבעיים לקבוצה {\displaystyle \{0,1\}} היא בפרט פונקציה מהטבעיים לטבעיים, וכל פונקציה מהטבעיים לטבעיים היא בפרט פונקציה מהטבעיים לממשיים.

פונקציית הזהות היא תמיד חד-חד-ערכית, ולכן אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז עוצמתה לא גדולה ממנה. מכאן:

{\displaystyle |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \{1,0\}\}|\leq |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \}|\leq |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} \}|}

לפי ההגדרה המוכללת לחזקה, האי שוויון הנ"ל שקול ל:

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\leq \aleph \_{0}^{\aleph \_{0}}\leq \aleph ^{\aleph \_{0}}} (כאשר {\displaystyle \aleph \_{0}} היא אָלֶף אֶפֶס ו-{\displaystyle \aleph } היא עוצמת הרצף)

אבל מתקיים {\displaystyle |2^{\aleph \_{0}}|=\aleph } וכמו כן, על פי חוקי החזקות: {\displaystyle \aleph ^{\aleph \_{0}}=(2^{\aleph \_{0}})^{\aleph \_{0}}=2^{\aleph \_{0}\cdot \aleph \_{0}}=2^{\aleph \_{0}}=\aleph } (להוכחת השוויון {\displaystyle \aleph \_{0}\cdot \aleph \_{0}=\aleph \_{0}}, ראו כאן)

לכן {\displaystyle \aleph \leq \aleph \_{0}^{\aleph \_{0}}\leq \aleph }, ועל פי משפט קנטור-שרדר ברנשטיין נקבל {\displaystyle \aleph \_{0}^{\aleph \_{0}}=\aleph }, משמע קיבלנו {\displaystyle |\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }|=\aleph }.

ראו גם
------

* פונקציית הזיווג של קנטור

| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין** בוויקישיתוף
* משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)