פירוש נוסף ערך זה עוסק במשפט מתחום החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. אם התכוונתם לחוק מתחום ההידרודינמיקה, ראו חוק סטוקס.

|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **משפט סטוקס** הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.

בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית M ותבנית דיפרנציאלית {\displaystyle \omega } המוגדרת על M מתקיים:

{\displaystyle \int \_{M}\,\mathrm {d} \omega =\int \_{\partial M}\omega \!\,}
כאשר {\displaystyle d\omega } היא הנגזרת החיצונית של \omega  ו-{\displaystyle \partial M} היא השפה של M.

מקרים פרטיים
------------

### חוק סטוקס

במרחב הווקטורי {\mathbb {R}}^{3}, ניתן לנסח את המשפט כך: {\displaystyle \oint \_{\partial A}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}=\iint \_{A}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}}, כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך A. שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים **חוק סטוקס**) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.

#### משפט גרין

 ערך מורחב – **משפט גרין**  

משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=(P,Q)}. במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין C, נקרא לשטח החסום על ידי המסילה D ויתקיים:  

{\displaystyle \oint \_{C}(P\,\mathrm {d} x+Q\,\mathrm {d} y)=\oint \_{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}=\iint \_{D}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot {\hat {z}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint \_{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}

### משפט גאוס

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־{\mathbb {R}}^{3} היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): {\displaystyle \iiint \_{V}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}})\,\mathrm {d} V=\iint \limits \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}}, כאשר V הוא נפח ב־{\mathbb {R}}^{3}, {\displaystyle S=\partial V} היא המעטפת הכולאת אותו, ו־{\hat {n}} הוא וקטור נורמלי למשטח S. האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של {\vec F} על הנפח V, ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של {\vec F} דרך S. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.

### משפט הגרדיאנט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון לייבניץ ואומר שאם {\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} מסילה גזירה ו- {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:  

{\displaystyle \int \_{\gamma }({\vec {\nabla }}f)\cdot {\vec {\mathrm {d} r}}=f(\gamma (b))-f(\gamma (a))}

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **משפט סטוקס** בוויקישיתוף
* זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית.
* HIT משפט סטוקס - הסבר על משפט סטוקס, הרצאה של קורס במכון הטכנולוגי חולון, עברית
* CurlTheorem.html משפט סטוקס, באתר MathWorld (באנגלית)

| אנליזה וקטורית |
| --- |
| מושגים | אנליזה מתמטית - מונחים • מרחב וקטורי • שדה סקלרי • שדה וקטורי • גרדיאנט • נגזרת כיוונית • דיברגנץ • רוטור • לפלסיאן • דל במערכות צירים שונות • ד'אלמברטיאן • פוטנציאל וקטורי |
| משפטים | משפט גאוס • משפט גרין • משפט הגרדיאנט • משפט סטוקס |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה • גאומטריה דיפרנציאלית |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4759656-9

 |