|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

בטופולוגיה ויישומיה, **סביבה** של נקודה היא קבוצה של נקודות העוטפת, אינטואיטיבית, את הנקודה הנתונה.

סביבות משתמשות לתאר התנהגות מקומית של אובייקטים מתמטיים במרחב הטופולוגי. כך למשל ניתן להגדיר פונקציה רציפה בנקודה מסויימת על-פי התנהגותה בכל סביבה של נקודה זו. באופן דומה ניתן לנסח תכונות מקומיות של מרחב טופולוגי באמצעות הסביבות של כל נקודה במרחב, כדוגמת קומפקטיות מקומית או קמירות מקומית.

הגדרה פורמלית
-------------

פורמלית, במרחב טופולוגי נתון, **סביבה** של {\displaystyle a} היא קבוצה המכילה קבוצה פתוחה ש-{\displaystyle a} שייכת אליה. כלומר, בהינתן {\displaystyle (X,\tau )} מרחב טופולוגי, נאמר ש-{\displaystyle N} **סביבה** של {\displaystyle a\in X} אם קיימת קבוצה פתוחה {\displaystyle U\in \tau } כך ש-{\displaystyle a\in U\subset N}.

**סביבה מנוקבת** (או **סביבה נקובה**) של הנקודה היא סביבה כנ"ל, פרט לנקודה עצמה. דהיינו, אם הקבוצה {\displaystyle A} היא סביבה של נקודה {\displaystyle a}, אזי הקבוצה {\displaystyle A\setminus \{a\}} היא סביבה מנוקבת של נקודה {\displaystyle a}.

סביבה שהיא קבוצה פתוחה בעצמה, נקראת **סביבה פתוחה**.

מערכת סביבות ובסיס מקומי
------------------------

עבור מרחב טופולוגי {\displaystyle (X,\tau )} כלשהו ונקודה {\displaystyle x\in X} כלשהי, נהוג לסמן ב-{\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} את קבוצת כל הסביבות של {\displaystyle x}. {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} זו נקראת **מערכת הסביבות של** {\displaystyle x} (neighborhood system). מערכת הסביבות של כל נקודה {\displaystyle x\in X} כלשהי מהווה מסנן.

קבוצה {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)} תקרא **בסיס סביבתי של {\displaystyle x}** (neighborhood base) או **בסיס מקומי של {\displaystyle x}** (local base) אם ורק אם כל סביבה של **{\displaystyle x}** מכילה איבר מ-{\displaystyle {\mathcal {B}}}. פורמלית, {\displaystyle {\mathcal {B}}} בסיס מקומי אם לכל {\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(x)} קיים {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} כך ש-{\displaystyle B\subseteq A}.

באמצעות הבסיס המקומי של נקודה כלשהי ניתן לחקור את התנהגות המרחב או אובייקט במרחב בנקודה זו. כך למשל במקרה של פונקציה רציפה, מספיק להוכיח את תנאי הרציפות לבסיס המקומי על-מנת להוכיחו לכל סביבה כלשהי.

במקרה של מרחב וקטורי טופולוגי, ניתן להשתמש בבסיס המקומי על-מנת להגדיר בסיס לכל המרחב הטופולוגי כולו, זאת על ידי פעולות של הזזה.

דוגמאות
-------

* במרחב מטרי, סביבה היא קבוצה המכילה כדור פתוח סביב הנקודה. במרחב מטרי משתמשים לעיתים במונח "{\displaystyle \varepsilon }-סביבה", כדי לציין סביבה המהווה כדור ברדיוס {\displaystyle \varepsilon } שמרכזו בנקודה, באותו אופן, משתמשים לעיתים במונח "{\displaystyle \varepsilon }-סביבה מנוקבת" לציון סביבה של כדור המהווה כדור ברדיוס {\displaystyle \varepsilon } שמרכזו בנקודה, ממנו הוציאו את הנקודה.

* סביבה של נקודה על הישר הממשי היא קבוצה המכילה קטע פתוח שהנקודה שייכת אליו. סביבה של נקודה במישור האוקלידי {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} היא קבוצה המכילה עיגול פתוח שהנקודה שייכת אליו. סביבה של נקודה במרחב האוקלידי התלת-ממדי {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} היא קבוצה המכילה כדור פתוח שהנקודה שייכת אליו.

תיאור גרפי של סביבה פתוחה של הנקודה {\displaystyle a} המוגדרת על ידי {\displaystyle B\_{\varepsilon }(a)=(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )=\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\varepsilon \}}

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **סביבה** בוויקישיתוף
* סביבה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  neighborhood in nLab, ncatlab.org
2. ↑  Neighborhood of a Point | eMathZone, ‏2014-08-03 (באנגלית)
3. ↑  neighborhood base in nLab, ncatlab.org

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |