במתמטיקה, **המשפט היסודי של תורת גלואה** הוא המשפט הבסיסי ביותר בדבר הרחבת שדות מממד סופי. למשפט שני חלקים – הראשון קובע מתי הרחבה היא הרחבת גלואה, והשני קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: חבורות ושדות. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה F ושדה E שמכיל אותו, אומרים כי {\displaystyle E/F} היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה E שמשמרים את F. חבורה זו מכונה **חבורת גלואה** של ההרחבה.

החלק הראשון של המשפט קובע מתי ההרחבה היא **הרחבת גלואה**, והחלק השני מאפשר להפיק מידע על המבנה של ההרחבה מתוך מבנה חבורת גלואה של ההרחבה.

ניסוח פורמלי
------------

תהא {\displaystyle E/F} הרחבת שדות מממד סופי. נסמן בתור {\displaystyle G(E/F)=\operatorname {Gal} (E/F)} את חבורת גלואה של {\displaystyle E/F}.

### המשפט הראשון

התנאים הבאים שקולים:

* ההרחבה היא הרחבת גלואה (הרחבה ספרבילית ונורמלית).
* שדה השבת של E תחת חבורה כלשהי הוא F.
* E שדה פיצול של פולינום ספרבילי עם מקדמים מ-F.

התנאי השני למעשה חזק יותר, זאת לפי משפט של אמיל ארטין: אם {\displaystyle E^{G}=F} אז בהכרח {\displaystyle G=G(E/F)}.

התנאי השני קובע כי לכל איבר שאיננו בשדה הבסיס, קיים אוטומורפיזם שלא משאיר אותו במקום – זוהי אחת הדרכים (האחרות) לחשוב על הרחבת גלואה, ובהקשרים מסוימים היא אף מוגדרת כך.

### המשפט השני

קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה {\displaystyle E/F} ותתי-החבורות של החבורה {\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}, הנקראת **התאמת גלואה** ומוגדרת כך:

* (בכיוון הראשון) לכל שדה ביניים {\displaystyle F\subseteq K\subseteq E} מותאמת תת-החבורה {\displaystyle G(E/K)} – אוסף האוטומורפיזמים של E שמשמרים את K.
* (בכיוון השני) לכל תת-חבורה {\displaystyle H\subseteq G(E/F)} מותאם שדה השבת של כל אברי H אותו נסמן {\displaystyle E^{H}=\{x\in E\mid \forall \sigma \in H:\sigma (x)=x\}} (ומתקיים {\displaystyle F\subseteq E^{H}\subseteq E}).

שתי ההתאמות לעיל הפכיות אחת לשנייה.

התאמת גלואה מקיימת את התכונות הבאות:

* ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם {\displaystyle F\subseteq K\_{1}\subseteq K\_{2}\subseteq E} אז {\displaystyle G(E/K\_{2})\subseteq G(E/K\_{1})}.
* ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם K\_i הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה {\displaystyle H\_{i}} אזי {\displaystyle G(E/K\_{1}\cap K\_{2})=\langle H\_{1},H\_{2}\rangle } (כאן {\displaystyle \langle H\_{1},H\_{2}\rangle } היא תת-החבורה הנוצרת על ידי H\_1 ו-{\displaystyle H\_{2}}) וכן {\displaystyle G(E/K\_{1}K\_{2})=H\_{1}\cap H\_{2}}.
* דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: {\displaystyle \left[E:K\right]=|G(E/K)|} לכל {\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}.
* עבור שדה ביניים K, {\displaystyle K/F} היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם {\displaystyle G(E/K)} היא תת-חבורה נורמלית של {\displaystyle G(E/F)}. במקרה זה מתקיים {\displaystyle G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F)}, כלומר חבורת גלואה של {\displaystyle K/F} איזומורפית לחבורת המנה של {\displaystyle G(E/F)} על ידי {\displaystyle G(E/K)}.

דוגמה
-----

נתבונן בפולינום {\displaystyle f(x)=x^{3}-2} מעל \mathbb{Q}. אם נסמן {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=\theta } ו-{\displaystyle \omega =e^{i{\frac {2\pi }{3}}}} (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם {\displaystyle \theta ,\theta \omega ,\theta \omega ^{2}}. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא {\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ,\omega )}.

נסמן {\displaystyle F=\mathbb {Q} } ו-{\displaystyle E=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}.

ידוע כי כל אוטומורפיזם של E שמשמר את F מבצע תמורה של שורשי f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת גלואה {\displaystyle G(E/F)} היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית {\displaystyle S\_{3}}.

ניתן להוכיח כי {\displaystyle [E:F]=6} ולכן על פי המשפט היסודי {\displaystyle |G(E/F)|=6}, ולכן בהכרח {\displaystyle G(E/F)=S\_{3}}.

לחבורה הסימטרית {\displaystyle S\_{3}} שלוש תת-חבורות מסדר {\displaystyle 2}, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות {\displaystyle E/F(\theta ),E/F(\theta \omega ),E/F(\theta \omega ^{2})}. תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות {\displaystyle F(\theta )/F,F(\theta \omega )/F,F(\theta \omega ^{2})/F} אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית {\displaystyle S\_{3}} תת-חבורה אחת מסדר 3 – חבורת התמורות הזוגיות. לתת-חבורה זו מתאימה ההרחבה {\displaystyle E/F(\omega )} ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה {\displaystyle F(\omega )/F} היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).

משפט גלואה האינסופי
-------------------

התאמת גלואה איננה נשארת נכונה כאשר הרחבת השדות איננה מממד סופי – לא לכל תת-חבורה מתאימה הרחבת ביניים. בכל זאת, המבנה של הרחבה אינסופית ידוע ומכליל את המקרה הסופי.

ראשית, יש להבין מהי חבורת גלואה במקרה האינסופי. נניח כי נתונה הרחבת שדות {\displaystyle K/k}, ונניח כי {\displaystyle N/M/L/k} הוא מגדל הרחבות **סופיות** המוכלות ב-K. בהתאם למשפט במקרה הסופי, ישנו אפימורפיזם {\displaystyle \phi \_{ML}:\operatorname {Gal} (M/k)\to \operatorname {Gal} (L/k)}, ומתקיים {\displaystyle \phi \_{NL}=\phi \_{ML}\circ \phi \_{NM}}. לכן, המערכת {\displaystyle (\operatorname {Gal} (L/k),\phi \_{ML})} עבור כל הרחבות גלואה היא מערכת פרויקטיבית, ולכן מוגדרת חבורת הגבול ההפוך שלה {\displaystyle \varprojlim {\operatorname {Gal} (L/k)}}. למעשה זוהי חבורה טופולוגית, מצוידת בטופולוגיה הפרו-סופית, כאשר על כל חבורה סופית נתונה הטופולוגיה הדיסקרטית. מתקיים:

**משפט**: {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)\cong \varprojlim {\operatorname {Gal} (L/k)}}. בפרט, החבורה היא פרו-סופית.

כעת, ננסח את ההכללה של משפט גלואה.

**משפט**: בהינתן הרחבת גלואה {\displaystyle K/k}, ישנה התאמה מלאה (כמו במקרה הסופי) בין תתי-הרחבות לבין תתי-חבורות **סגורות** של {\displaystyle {\operatorname {Gal} (K/k)}}, ומתקיימות אותן הטענות כמו במשפט הרגיל.

המשפט מכליל את המקרה הסופי, שכן אז הטופולוגיה דיסקרטית וכל תת-חבורה ממילא סגורה. בניגוד למקרה הסופי, התאוריה במקרה האינסופי שונה ועשירה יותר: בכל הרחבה אינסופית קיימת תת-חבורה לא סגורה (למשל בת מנייה), ולכן לא מתאים לה שדה.

ניתן לתת ניסוחים נוספים למשפט גלואה האינסופי, באמצעות אלגברת Étale וניסוח אחר באמצעות כיסוי גלואה.

### דוגמאות

* יהי {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} השדה הסופי מסדר p, ויהי {\displaystyle {\mathbb {F} \_{p}}\_{s}} סגור ספרבילי שלו. היות שקיים שדה סופי יחיד מכל סדר {\displaystyle p^{n}} והוא בעל חבורת גלואה {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }, חבורת גלואה האינסופית היא חבורת ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\mathbb {F} \_{p}}\_{s}/\mathbb {F} \_{p})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}.
* חבורת גלואה של הרחבת כל השורשים ה-{\displaystyle \{p^{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }} פרימיטיביים היא {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\mu \_{p^{\infty }})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} \_{p}^{\times }}, חבורת השלמים ה-p-אדיים, וחבורת גלואה של הרחבת כל השורשים הפרימיטיביים היא {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\mu )/\mathbb {Q} )\cong {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }}.
* תת-החבורה {\displaystyle \mathbb {Z} \leq {\hat {\mathbb {Z} }}} היא בת מנייה ולכן לא סגורה, ולכן למשל בדוגמה הראשונה לא מתאים לה שדה ביניים.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **המשפט היסודי של תורת גלואה** בוויקישיתוף
* גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של תורת גלואה, באתר "לא מדויק", 21 במאי 2018