במתמטיקה, **מספר טרנסצנדנטי** הוא מספר שאינו מאפס אף פולינום בעל מקדמים רציונליים. מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם הקבועים המתמטיים π ו-e. כל מספר טרנסצנדנטי הוא מספר אי-רציונלי, אך ההפך אינו נכון:  {\displaystyle {\sqrt {2}}}, למשל, הוא מספר אי רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית {\displaystyle x^{2}-2=0}. למונח הוצע גם השם העברי **מספר נעלה**. מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא **אלגברי**.

במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים כחריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שכמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים. תכונה זו הוכחה בשנת 1874 על ידי גאורג קנטור, שהראה שעוצמת קבוצת המספרים האלגבריים היא {\displaystyle \aleph \_{0}} (קרי: אָלֶף אֶפֶס), בעוד שעוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא {\displaystyle \aleph =2^{\aleph \_{0}}}.

ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל והתוצאה קרויה על שמו משפט ליוביל. על סמך המשפט נתן ליוביל בשנת 1851 דוגמה ראשונה למספר טרנסצנדנטי הנקרא קבוע ליוביל:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000....}
במספר ליוביל הספרה ה-n מימין לנקודה העשרונית היא 1 כאשר n הוא עצרת, ו-0 אחרת (ראו **קירובים רציונליים**, להלן). המספר הראשון שהוכח שהוא מספר טרנסצנדנטי, מבלי שהמספר נבנה מלכתחילה למטרה זו, הוא הקבוע המתמטי e. את ההוכחה סיפק שארל הרמיט בשנת 1873 (ראו טרנסצנדנטיות של e).

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שקובע, בין השאר, ש־{\displaystyle \ \pi } (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות בסרגל ומחוגה ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שלא ניתן לבנות עמם יחס טרנסצנדנטי. הוכחה זו פתרה את בעיית ריבוע העיגול, שהיא אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שראשיתן ביוון העתיקה.

הילברט ובעיית המספר הטרנסצנדנטי
-------------------------------

 ערך מורחב – **הבעיה השביעית של הילברט**  

הבעיה השביעית ב-23 הבעיות של הילברט ביקשה תשובה לשאלה:
האם {\displaystyle \ a^{b}} טרנסצנדנטי, כאשר {\displaystyle \ a\neq 0,1} אלגברי ו-{\displaystyle \ b} אלגברי אי-רציונלי? הבעיה הוצגה על ידי הילברט בשנת 1900, ותשובה חיובית לה ניתנה בשנת 1934 על ידי אלכסנדר גלפונד, במשפט הידוע בשם משפט גלפונד-שניידר.

קירובים רציונליים
-----------------

סדרה של שברים {\displaystyle {\frac {n\_{i}}{m\_{i}}}} מהווה "סדרת קירובים רציונליים מסדר {\displaystyle \,t}" של המספר הממשי {\displaystyle \,a}, אם סדרת המכנים {\displaystyle \,m\_{i}} עולה,
ו- {\displaystyle \left|a-{\frac {n\_{i}}{m\_{i}}}\right|<{\frac {x}{m\_{i}^{t}}}} כאשר {\displaystyle \,x>0} קבוע.

את הטרנסצנדנטיות של מספר ליוביל אפשר להוכיח בעזרת משפט ליוביל: מספר אלגברי מדרגה d (כלומר, מספר המהווה שורש לפולינום ממעלה d בעל מקדמים רציונליים) אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-d; מכיוון שכך, מספר שיש לו סדרת קירובים רציונליים מכל סדר, מוכרח להיות טרנסצנדנטי (מספר כזה נקרא מספר ליוביל).

הכללה
-----

על איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים בהקשר רחב יותר, ראו איבר אלגברי.

ראו גם
------

|  |  |
| --- | --- |
|  | **ספר: מספרים טרנסצנדנטיים** |
| אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד. |

* הרחבת שדות

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **מספר טרנסצנדנטי** |

* מספר טרנסצנדנטי, באתר MathWorld (באנגלית)
* מספר טרנסצנדנטי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

| מספרים אי-רציונליים נודעים |
| --- |
| מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δ*Ag* •  היחס הפלסטי 𝜌 |  |
| מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל |
| מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הםאלגבריים או טרנסצנדנטיים | קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין |
| טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {N} } (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים {\displaystyle \mathbb {Z} } (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים {\displaystyle \mathbb {Q} } (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים {\displaystyle \mathbb {R} } (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים {\displaystyle \mathbb {C} } (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} • חוג השלמים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון {\displaystyle \ {\mathbb {H} }}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי {\displaystyle \ {\mathbb {O} }}) • אלגברות קיילי-דיקסון |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007538746705171
* BnF: cb11939601n (data)
* LCCN: sh85093223
* NDL: 00573599
* NKC: ph215331

 |