באנליזה פונקציונלית, **משפט קריין-סמוליאן** הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מרק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט
-----------

תהי {\displaystyle A\subset X^{\*}}קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-\* ונגדיר {\displaystyle A\_{r}=A\cap B\_{r}^{\*}} כאשר {\displaystyle B\_{r}^{\*}} הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w\*.

2) {\displaystyle A\_{r}} סגורה w\* לכל r>0.

2') קיימת סדרה {\displaystyle r\_{n}\to \infty } כך שלכל n, {\displaystyle A\_{r\_{n}}} סגורה w\*.

הוכחה
-----

**סימונים:** נסמן ב {\displaystyle B\_{r}^{\*}} את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב {\displaystyle B\_{r}} הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב {\mathbb {K}} את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו {\displaystyle B\_{r}^{\*}} הוא w\* קומפקטי ולכן w\* סגורה. כמו כן אם {\displaystyle 0<s<r} אז{\displaystyle A\_{s}=A\_{r}\cap B\_{s}^{\*}}. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל 2'. באותו אופן ברור ש (1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא {\displaystyle (2)\Rightarrow (1)}.

**טענה 1:** תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם {\displaystyle A+\phi ,\lambda A(\lambda >0,\phi \in X^{\*})} מקיימות את (2).

**הוכחה:**

ניפוח: לכל {\displaystyle \lambda ,r>0} מתקיים ש {\displaystyle (\lambda A)\_{r}=\lambda A\_{r/\lambda }}. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע {\displaystyle r>0,\phi \in X^{\*}}. תהי {\displaystyle \{\psi \_{\lambda }\}\_{\lambda \in \Lambda }\subset (A+\phi )\_{r}} רשת המתכנסת w\* לאיבר {\displaystyle \psi \in X^{\*}}. נראה ש {\displaystyle \psi \in (A+\phi )\_{r}}. מכיוון ש {\displaystyle B\_{r}^{\*}} w\* סגורה, מספיק להוכיח ש {\displaystyle \psi \in A+\phi }. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש {\displaystyle ||\psi \_{\lambda }-\phi ||\leq ||\phi ||+||\psi \_{\lambda }||\leq ||\phi ||+r} לכן {\displaystyle \{\psi \_{\lambda }-\phi \}\_{\lambda \in \Lambda }\subset (A)\_{r+||\phi ||}} רשת המתכנסת ל {\displaystyle \psi -\phi }. מההנחה נקבל ש {\displaystyle \psi -\phi \in A\Rightarrow \psi \in A+\phi } וסיימנו.

**טענה 2:** אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

**הוכחה:**

תהי {\displaystyle \phi \_{n}\to \phi ,\phi \_{n}\in A}. בפרט יש r>0 כך ש {\displaystyle \phi \_{n}\in A\_{r}}. מההנחה {\displaystyle \phi \_{n}\to \phi } ולכן {\displaystyle \phi \_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\to }}\phi } ומההנחה {\displaystyle \phi \in A\_{r}\subset A}.

המשך הוכחת המשפט:

יהי {\displaystyle \phi \in X^{\*}\setminus A} רוצים למצוא סביבה חלשה V של \phi  כך ש {\displaystyle A\cap V=\emptyset }. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש {\displaystyle \phi =0}. נשתמש בלמה הבאה:

**למה:** נניח ש {\displaystyle 0\not \in A} אז יש סדרה {\displaystyle x\_{n}\in X} המקיימת:

1) {\displaystyle x\_{n}\to 0}

2) לכל {\displaystyle \phi \in A} יש n כך ש {\displaystyle |\phi (x\_{n})|>1}.

**הוכחת הלמה:**

בהינתן קבוצה {\displaystyle M\subset X} נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת {\displaystyle P(M)=\{\phi \in X^{\*}:|\phi (x)|\leq 1\forall x\in M\}}. כיוון ש A סגורה בנורמה, יש {\displaystyle \rho >0} כך שלכל x ב A, {\displaystyle ||x||\geq \rho }. על ידי ניפוח ניתן להניח ש {\displaystyle \rho >1} ולכן {\displaystyle A\_{1}=\emptyset }. נקבע {\displaystyle F\_{0}=\{0\}} ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות {\displaystyle F\_{n}\subset X} המקיימות לכל {\displaystyle n\geq 1}:

א. {\displaystyle F\_{n}\subset B\_{1/n}}.

ב. {\displaystyle A\_{n}\cap (\cap \_{i=0}^{n-1}P(F\_{i}))=\emptyset }.

כיוון ש {\displaystyle A\_{1}=\emptyset }, רואים ש {\displaystyle F\_{0}} מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=0}^{N-1}} נמצא את {\displaystyle F\_{N}}. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה\*, נקבל שהקבוצה {\displaystyle K=A\_{N+1}\cap (\cap \_{i=0}^{N-1}P(F\_{i}))\subset B\_{N+1}^{\*}} היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה\* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית {\displaystyle G\subset B\_{1/N}} מתקיים {\displaystyle K\cap P(G)\not =\emptyset }. מקומפקטיות נקבל ש {\displaystyle \cap \_{G\subset B\_{1/N},|G|<\infty }(K\cap P(G))\not =\emptyset }. יהי \phi  בחיתוך הנ"ל. אז {\displaystyle \phi \in K}. כמו כן לכל {\displaystyle x\in X,||x||<1/N} מתקיים ש {\displaystyle |\phi (x)|\leq 1}. מכך נקבל ש {\displaystyle ||\phi ||\leq N} ואז {\displaystyle \phi \in K\cap B\_{N}^{\*}=A\_{N}\cap (\cap \_{i=0}^{N-1}P(F\_{i}))} בסתירה להנחה שבחרנו על {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=0}^{N-1}}. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=0}^{\infty }} סופיות אז {\displaystyle \cup \_{i=0}^{\infty }F\_{i}} בן מנייה ויהי {\displaystyle \{x\_{n}\}} מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי {\displaystyle \phi \in A}. נקבע N כך {\displaystyle ||\phi ||\leq N+1}. מתנאי ב נקבל שיש {\displaystyle j\leq N} כך ש {\displaystyle \phi \not \in P(F\_{j})} ולכן יש {\displaystyle x\_{n}\in F\_{j}} כך ש {\displaystyle |\phi (x\_{n})|>1} וקיבלנו את (2).

**הוכחת המשפט:** נקבע סדרה {\displaystyle x\_{n}\in X} כמו בלמה. מ (1) יש r>0 כך שמתקיים {\displaystyle ||x\_{n}||\leq r}. נתבונן באופרטור

{\displaystyle T:X^{\*}\to \mathbb {K} ^{\mathbb {N} },T(\phi )=\{\phi (x\_{n})\}\_{n=1}^{\infty }}. ברור ש T ליניארי ומ- (1) נקבל כי {\displaystyle Range(T)\subset c\_{0}}. כמו כן ברור ש T רציף כיוון ש {\displaystyle ||T(\phi )\_{n}||=||\phi (x\_{n})||\leq ||\phi ||||x\_{n}||\leq ||\phi ||r}. מקמירות A נקבל ש {\displaystyle T(A)} קמורה. תהי {\displaystyle B=\{b\in c\_{0}:||b||\_{\infty }<1\}}. אז B סגורה ומ (2) נקבל ש {\displaystyle T(A)\cap B=\emptyset }. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל {\displaystyle \eta \in (c\_{0})^{\*}} וכן {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } כך ש {\displaystyle \Re (\eta (a))\geq \alpha >\Re (\eta (b)),\forall a\in T(A),b\in B}. אם נציב b=0 נקבל ש {\displaystyle \alpha >0}. כיוון ש {\displaystyle (c\_{0})^{\*}\cong l\_{1}} נקבל שיש סדרה {\displaystyle t=(t\_{n})\in l\_{1}} כך ש {\displaystyle \eta (y)=\sum \_{i=1}^{\infty }t\_{i}y\_{i}}. מתקיים {\displaystyle ||t\_{n}x\_{n}||=|t\_{n}|||x\_{n}||\leq |t\_{n}|r\Rightarrow \sum \_{i=1}^{\infty }||t\_{n}x\_{n}||\leq r\sum \_{i=1}^{\infty }|t\_{n}|<\infty } וכיוון ש X מרחב בנך מקבלים שיש {\displaystyle x=\sum \_{i=1}^{\infty }t\_{n}x\_{n}}. לכל {\displaystyle \phi \in X^{\*}} מתקיים: {\displaystyle \eta (T(\phi ))=\sum \_{i=1}^{\infty }t\_{i}T(\phi )\_{n}=\sum \_{i=1}^{\infty }t\_{i}\phi (x\_{n})=\phi (x)}. לכן נקבל עבור {\displaystyle \phi \in A}ש {\displaystyle \Re (\phi (x))\geq \alpha }. לכן אם נבחר את הסביבה {\displaystyle V=\{\phi \in X^{\*}|\Re (\phi )<\alpha \}} אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים
-------

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה\* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה\*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה\* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה\*.

ראו גם
------

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת
------------

* בונסל פ. הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.

* Diestel, Joseph (1984), *Sequences and series in Banach spaces*, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
* Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), *Linear operators, Part I*, Wiley-Interscience.
* Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", *Mathematische Annalen*, **172** (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091.

קישורים חיצוניים
----------------

* הוכחת המשפט
* הרחבות של המשפט