בחשבון אינפיניטסימלי, **אינטגרל לא אמיתי** או **אינטגרל מוכלל** מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית
אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה
כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות
------------------------------------------

### ניסוח פורמלי

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומה שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיים הגבול {\displaystyle \lim \_{t\to b^{-}}\int \_{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}, אז נאמר כי f\, **אינטגרבילית במובן המוכלל** בקטע [a,b)\, והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f\, בקטע [a,b)\, וסימונו יהיה {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,}. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה **מתכנס**. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא **מתבדר**.

**דוגמה:** חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי {\displaystyle \int \_{0}^{1}{{\,\mathrm {d} x} \over {x^{t}}}} מתכנס אם ורק אם t<1\,.

#### אינטגרביליות בהחלט

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומה שם. אם f\, אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם האינטגרל {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x} מתכנס, אז נאמר ש-f\, אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} **מתכנס בהחלט**. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית. (במובן המוכלל).

### הרחבת ההגדרה

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע (a,b)\,. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע (a,b)\, ואם קיים b>d>a\, כך שהאינטגרלים {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{d}f(x)\,\mathrm {d} x},{\displaystyle \textstyle \int \_{d}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנסים, נאמר ש-f\, אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע (a,b)\,.

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

### מבחני התכנסות

#### מבחן קושי

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\,. אז {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אם ורק אם לכל \varepsilon >0 קיים \delta >0\, כך שלכל w>v\, ממשיים בקטע (b-\delta ,b)\, מתקיים:

{\displaystyle \left|\int \_{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
#### מבחן ההשוואה

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה f,g\, פונקציות המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומות שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיימת סביבה שמאלית של b\, שבה מתקיים 0\leq f(x)\leq g(x) אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.
* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר.

קיימות הכללות למשפט זה עבור {\displaystyle (a,b]\,},[a,\infty )\, ועבור {\displaystyle (-\infty ,b]\,}.

#### מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה f,g\, פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומות שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיים הגבול \lim \_{{x\to b^{-}}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} ו- {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.

אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים
-------------------------------------

### ניסוח פורמלי

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,+\infty )\,, ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול {\displaystyle \lim \_{t\to \infty }\int \_{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,}, אז נאמר כי f\, אינטגרבילית בקטע [a,+\infty )\, והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f\, בקטע [a,+\infty )\, 
וסימונו יהיה {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\,}. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה **מתכנס**. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא **מתבדר**.

**דוגמה:**

האינטגרל {\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}} מתכנס, שכן {\displaystyle \lim \_{t\to \infty }\int \_{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=\lim \_{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},}.

#### אינטגרביליות בהחלט

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,+\infty )\,. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x} מתכנס, אז נאמר ש-f\, אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} **מתכנס בהחלט**. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

### הרחבת ההגדרה

תהי f\, פונקציה המוגדרת ב-\mathbb{R} ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים a ממשי כך שהאינטגרלים {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}, {\displaystyle \textstyle \int \_{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנסים, נאמר ש-f\, אינטגרבילית ב-\mathbb{R}.

### מבחני התכנסות

#### מבחן קושי

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,\infty )\, בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,\infty )\,. אז {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אם ורק אם לכל \varepsilon >0 קיים {\displaystyle \ M>a\,} כך שלכל w>v>M\, ממשיים מתקיים:

{\displaystyle \left|\int \_{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon }
#### מבחן ההשוואה

תהיינה f,g\, פונקציות המוגדרת בקטע [a,\infty )\,. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,\infty )\, ואם קיים b\in [a,\infty ) כל שלכל x>b מתקיים 0\leq f(x)\leq g(x) אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.
* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר.

#### מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה f,g\, פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע [a,\infty )\,. אם קיים הגבול \lim \_{{x\to \infty }}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} ו- {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדרים ומתכנסים יחדיו. 

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

* אם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם {\displaystyle \textstyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר.

#### מבחן דיריכלה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות **גם כאשר הן משנות סימן**, ובזה כוחו.

תהיינה f,g\, פונקציות בקטע [a,+\infty )\,. אם מתקיים:

* f\, מונוטונית בקטע [a,+\infty )\,.
* \lim \_{{x\to \infty }}f(x)=0.
* g\, אינטגרבילית בקטע [a,+\infty )\,.
* הפונקציה {\displaystyle \textstyle G(x)=\int \_{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t} חסומה בקטע [a,+\infty )\,.

בתנאים אלו האינטגרל {\displaystyle \int \_{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.

#### מבחן אבל

מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.

תהיינה f,g\, פונקציות בקטע [a,+\infty )\,. אם מתקיים:

* f\, מונוטונית בקטע [a,+\infty )\,.
* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L} כאשר L קיים וסופי.
* g\, אינטגרבילית בקטע [a,+\infty )\, ו-{\displaystyle \int \_{a}^{\infty }g(t)\,\mathrm {d} t} מתכנס.

בתנאים אלו האינטגרל {\displaystyle \int \_{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס.

##### הוכחה למבחן אבל

ע"פ הנתונים נקבל כי:

{\displaystyle \int \_{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L+L)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x+L\int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x}

כעת כפי שניתן לראות, {\displaystyle \int \_{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x} מתכנס ע"פ מבחן דיריכלה ו-{\displaystyle L\int \_{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס ע"פ הגדרה.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **אינטגרל לא אמיתי** בוויקישיתוף
* אינטגרל לא אמיתי, באתר MathWorld (באנגלית)