פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור {\displaystyle \ -6\pi \leq x\leq 6\pi }.
במתמטיקה, **sinc**, שמסומנת {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}, היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש ב**פונקציית ה-sinc המנורמלת**, המוגדרת כך:

{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה {\displaystyle \ x=0} לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח sinc הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

תכונות
------

לפונקציית ה-sinc ה**מנורמלת** יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

* {\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,} ו {\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,} עבור {\displaystyle k\neq 0\,} and ו {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,} (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
* הפונקציות {\displaystyle x\_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ } יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} עם תדירות זוויתית מקסימלית {\displaystyle \omega \_{\mathrm {H} }=\pi \,} (כלומר התדירות המקסימלית היא {\displaystyle f\_{\mathrm {H} }=1/2\,}).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

* נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,} מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\cos(x)\,} לכל נקודה בה הנגזרת של {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,} היא 0.
* פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, {\displaystyle j\_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}\,}. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת {\displaystyle j\_{0}(\pi x)\,}.
* האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי ({\displaystyle \pi \,}). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,} הם מספרים שלמים השונים מאפס.
* התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,} הוא {\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,}.

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}\,\mathrm {d} t=\mathrm {rect} (f)},
כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
* אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {rect} (0)=1}
הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,\mathrm {d} x=\infty }
* {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
* {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}

כאשר {\displaystyle \Gamma (x)} היא פונקציית גמא.
* {\displaystyle \int \_{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\mathrm {Si} (x)}

כאשר (Si(*x* הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
* לפי נוסחת אוילר:

{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\,}

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק
----------------------------

אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc **המנורמלת** יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק {\displaystyle \ \delta (x)} כך:

{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x)}
זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

{\displaystyle \lim \_{a\rightarrow 0}\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,\mathrm {d} x=\varphi (0),}
לכל פונקציה חלקה {\displaystyle \varphi (x)} עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של {\displaystyle \ \pm 1/(\pi x)}, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של {\displaystyle \ \delta (x)} כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם
------

* הגבול של sin(x)/x
* אנטי אליאסינג (Anti-aliasing)
* מסנן sinc (Sinc filter)
* נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון (Whittaker–Shannon interpolation formula)

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **Sinc** בוויקישיתוף
* sinc באתר MathWorld
* Sinc, באתר MathWorld (באנגלית)