ייצוג וויזואלי של הטנזור
במתמטיקה ובפיזיקה, **סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה** (באנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי־צ'יוויטה קרוי **טנזור לוי־צ'יוויטה**.

הגדרה
-----

סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים {\displaystyle (i,j,k)} באופן הבא:


ϵ

i
j
k

=

{

+
1
,

(
i
,
j
,
k
)

 is 

(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)

 or 

(
3
,
1
,
2
)

−
1
,

(
i
,
j
,
k
)

 is 

(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)

 or 

(
2
,
1
,
3
)

0
,

otherwise: 

i
=
j

 or 

j
=
k

 or 

k
=
i



{\displaystyle \epsilon \_{ijk}={\begin{cases}+1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or }}(2,1,3)\\0,&{\mbox{otherwise: }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}

{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or }}(2,1,3)\\0,&{\mbox{otherwise: }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}

תכונות והכללה
-------------

סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה {\displaystyle \left(1,2,3\right)\mapsto \left(i,j,k\right)}: הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם {\displaystyle n>3}):

* הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של {\displaystyle \ \left(1,2,3,\cdots ,n\right)}.
* הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של {\displaystyle \left(1,2,3,\cdots ,n\right)}.
* הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים.

### זהויות

עבור {\displaystyle n=3\!}, סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:

* {\displaystyle \sum \_{i=1}^{3}\epsilon \_{ijk}\epsilon \_{imn}=\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}}
* {\displaystyle \sum \_{i,j=1}^{3}\epsilon \_{ijk}\epsilon \_{ijn}=2\delta \_{kn}}

ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים

* {\displaystyle \sum \_{i,j,k,\dots =1}^{n}\epsilon \_{ijk\dots }\epsilon \_{ijk\dots }=n!}

שימושים
-------

באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:

{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e\_{1}} &\mathbf {e\_{2}} &\mathbf {e\_{3}} \\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum \_{i,j,k=1}^{3}\epsilon \_{ijk}\mathbf {e\_{i}} a\_{j}b\_{k}}
ביתר פשטות, אם {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} }, אז

{\displaystyle c\_{i}=\sum \_{j,k=1}^{3}\epsilon \_{ijk}a\_{j}b\_{k}}
או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

{\displaystyle \left(\mathbf {a\times b} \right)\_{i}=\epsilon \_{ijk}a\_{j}b\_{k}}
באופן דומה, אם מסמנים {\displaystyle (x,y,z)=\left(x\_{1},x\_{2},x\_{3}\right)}, אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:

{\displaystyle \left(\operatorname {curl} \ \mathbf {a} \right)\_{i}=\left(\nabla \times \mathbf {a} \right)\_{i}=\sum \_{j,k=1}^{3}\epsilon \_{ijk}{\frac {\partial a\_{k}}{\partial x\_{j}}}}

ראו גם
------

* תמורה (מתמטיקה)
* חבורת התמורות S\_n
* טנזור
* הדלתא של קרונקר

קישורים חיצוניים
----------------

* סימן לוי-צ'יוויטה, באתר MathWorld (באנגלית)