במתמטיקה, **הומולוגיית הוכשילד** היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

הגדרה
-----

תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה {\displaystyle \ \operatorname {\operatorname {HH} } ^{n}(A,M)} של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: {\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} \_{n}^{A^{e}}(A,M)} ו- {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} \_{A^{e}}^{n}(A,M)}, כאשר {\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{op}}. עבור M=A מקצרים וכותבים {\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(A)=\operatorname {HH} \_{n}(A,A)} ו- {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A)=\operatorname {HH} ^{n}(A,A)}, כאשר {\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{op}}. זהו מודול מעל המרכז של A. להלן נציג הגדרה מפורשת.

ההומולוגיה אדיטיבית וכפלית: {\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(A\oplus B)=\operatorname {HH} \_{n}(A)\oplus \operatorname {HH} \_{n}(B)} ו-{\displaystyle \operatorname {HH} \_{\*}(A\otimes \_{k}B)=\operatorname {HH} \_{\*}(A)\otimes \_{k}\operatorname {HH} \_{\*}(B)}. היא תלויה רק בקטגוריית הבימודולים של A (שקילות מוריטה). 

עבור שדה F, 
{\displaystyle \operatorname {HH} \_{0}(F)=F}, ושאר ההומולוגיה מתאפסת. עבור אלגברה (עם יחידה) A, 
{\displaystyle \operatorname {HH} \_{0}(A)=A/[A,A]} היא המנה הקומוטטיבית המקסימלית; מבנה זה מאפשר למיין את המודולים האי-פריקים מעל A. חבורות ההומולוגיה הגבוהות קשורות בהרחבות של מודולים, ובדרך כלל קשה לחשב אותן, בעיקר משום שהסדרה המדויקת המוגדרת על ידי אידיאל של A אינה מספקת סדרה מדויקת ארוכה של חבורות ההומולוגיה. 

### הרזולוציה החופשית

האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית {\displaystyle \ A^{\otimes n}=A\otimes \_{k}\cdots \otimes \_{k}A} היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. **קומפלקס הוכשילד** הוא הקומפלקס {\displaystyle \ \cdots {\stackrel {d\_{1}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 3}{\stackrel {d\_{0}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 2}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0}, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי {\displaystyle \ d(a\_{0}\otimes \cdots \otimes a\_{n+2})=\sum \_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}a\_{0}\otimes \cdots \otimes a\_{i}a\_{i+1}\otimes \cdots \otimes a\_{n+2}}; כאן \ \mu  היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

### קומפלקס הקו-שרשרת

כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור {\displaystyle \ \operatorname {Hom} \_{A-A}(-,M)} על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות {\displaystyle \operatorname {Hom} \_{A-A}(A^{\otimes n+2},M)=\operatorname {Hom} \_{k}(A^{\otimes n},M)}. קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא
{\displaystyle \operatorname {Hom} \_{k}(k,M){\stackrel {\delta \_{0}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} \_{k}(A,M){\stackrel {\delta \_{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} \_{k}(A\otimes A,M){\longrightarrow }\cdots }, כאשר
{\displaystyle \ (\delta \_{n-1}f)(a\_{1}\otimes \cdots \otimes a\_{n})=a\_{1}f(a\_{2}\otimes \cdots \otimes a\_{n})+\sum \_{i=1}^{n}(-1)^{i}f(a\_{1}\otimes \cdots \otimes a\_{i}a\_{i+1}\otimes \cdots \otimes a\_{n})+(-1)^{n+1}f(a\_{1}\otimes \cdots \otimes a\_{n-1})a\_{n}}.

### הקוהומולוגיה

מכיוון ש-{\displaystyle \ d^{2}=0} מתקיים גם {\displaystyle \delta ^{2}=0}, ולכן {\displaystyle \operatorname {im} \delta \_{n-1}\subseteq \operatorname {ker} \delta \_{n}}. בהתאם לכך, מגדירים את **מרחבי הקוהומולוגיה** (עבור {\displaystyle \ n\geq 0}) כמנות {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {ker} \delta \_{n}/\operatorname {im} \delta \_{n-1}}, כאשר {\displaystyle \delta \_{-1}=0}.

הממד
----

אם M בימודול אינג'קטיבי, אז {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0} לכל {\displaystyle \ n\geq 1}. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0} לכל {\displaystyle \ n\geq 1} ולכל בי-מודול M. ה**ממד** של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)\neq 0} למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

לאלגברות בעלות ממד קרול אפס יכול להיות ממד אינסופי: אם {\displaystyle A=F[x]/\langle x^{2}\rangle } אז {\displaystyle \operatorname {HH} \_{n}(A)=A,F,xA,F,xA,F,\dots } עבור n=0,1,2,... .

מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים
---------------------------

לפי ההגדרה, {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{0}(A,M)=\{m\in M\,:\,am=ma\ (\forall a\in A)\}} (ה"מרכז" של M).

### נגזרות

הגרעין של {\displaystyle \ \delta \_{1}} הוא אוסף הנגזרות הפורמליות {\displaystyle \ A\rightarrow M}, בעוד שתמונת {\displaystyle \ \delta \_{0}} כוללת את הנגזרות הפנימיות, {\displaystyle a\mapsto [a,m]}. אם כך, {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)=0} אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב
{\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)} ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה {\displaystyle \ A\ltimes M=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&m\\0&a\end{array}}\right)\right\}} שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}}\right)}.

### הרחבות

**הרחבה** של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-{\displaystyle \ M^{2}=0} ו-{\displaystyle \ B/M\cong A}, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן **שקולות** אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)} ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)=0} אם ורק אם כל הרחבה **מתפצלת** (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

### דפורמציות

תהי A אלגברה אסוציאטיבית. **דפורמציה** של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית \* של המרחב {\displaystyle \ A[[t]]=\sum \_{n=0}^{\infty }At^{n}}, המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר {\displaystyle \ a\*b=ab+F\_{1}(a,b)t+F\_{2}(a,b)t^{2}+\cdots }. שתי דפורמציות הן **שקולות** אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,A)=0} אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על {\displaystyle A[[t]]}). חישוב מראה שהרכיב {\displaystyle \ F\_{1}} לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של {\displaystyle \delta \_{2}}), ולכן קובע מחלקה ב-{\displaystyle \operatorname {HH} ^{2}(A,A)}. איבר כזה נקרא **אינטגרבילי** אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{3}(A,A)=0} אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

קישורים חיצוניים
----------------

* Hochschild cohomology in *nLab*
* Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020
* Richard Melrose, Hochschild homology, MIT
* Topological Hochschild homology in arithmetic geometry