|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **אקוטוטיאנט** הוא מספר טבעי *n* שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי *m* לבין כמות המספרים הקטנים מ-*m ש*זרים ל-*m*.

הגדרה
-----

בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו n הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה {\displaystyle m-\varphi (m)=n}, כאשר \varphi  מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים.

ה**קוטוטיאנט** **של m** מוגדר כהפרש {\displaystyle m-\varphi (m)}, כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-*m* שאינם זרים לו.
ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו n הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי.

תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,...

זוגיות המספרים האקוטוטיאנטים
----------------------------

משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי *n* כסכום של שני ראשוניים שונים *p* ו-*q,* אזי

{\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1}
כלומר, המספר האי זוגי n-1 הוא הקוטוטיאנט של {\displaystyle pq}, ולכן אינו אקוטונטיאנט.
לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי: {\displaystyle 1=2-\varphi (2),3=9-\varphi (9)} ו {\displaystyle 5=25-\varphi (25)} .

עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי

{\displaystyle 2pq-\varphi (2pq)=2pq-(p-1)(q-1)=pq+p+q-1=(p+1)(q+1)-2}
לפיכך, כל המספרים הזוגיים *n* שעבורם מתקיים: {\displaystyle (p+1)\times (q+1)=n+2} (כש {\displaystyle n=p+q} מספרים ראשוניים כלשהם) הם קוטוטיאנטים.

סדרות קשורות
------------

| 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| סדרת הקוטוטיאנט של *n* |
| 14 | 5 | 16 | 1 | 12 | 9 | 12 | 1 | 12 | 1 | 8 | 7 | 8 | 1 | 8 | 1 | 6 | 3 | 4 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | - | cototient(n) |
| סדרת המספרים *k* כך ש *k* המספר הכי קטן שהקוטוטיאנט שלו הוא *n* (0 אם לא קיים *k* כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט): |
| 0 | 69 | 36 | 95 | 30 | 45 | 38 | 51 | 34 | 65 | 24 | 39 | 26 | 33 | 18 | 35 | 0 | 21 | 12 | 15 | 10 | 25 | 6 | 9 | 4 | 2 | 1 | k |
| סדרת המספרים *l* כך ש *l* המספר הכי גדול שהקוטוטיאנט שלו הוא *n* (0 אם לא קיים *l* כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט): |
| 0 | 133 | 46 | 529 | 30 | 85 | 38 | 361 | 34 | 289 | 32 | 55 | 26 | 169 | 22 | 121 | 0 | 27 | 16 | 49 | 10 | 25 | 8 | 9 | 4 | ∞ | 1 | l |
| סדרת המספרים s כך ש-s הוא כמות המספרים שהם הקוטוטיאנט של n: |
| 0 | 3 | 4 | 4 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | ∞ | 1 | s |

שכיחות האקוטיאנטים
------------------

ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית {\displaystyle 2^{k}\cdot 509203} הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים.

לקריאה נוספת
------------

* Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). J. Browkin, A. Schinzel, On integers not of the form \(n-\varphi(n)\), **Colloquium Mathematicum** 68, 1995, עמ' 55–58 doi: 10.4064/cm-68-1-55-58.
* Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). A. Flammenkamp, F. Luca, Infinite families of noncototients, **Colloquium Mathematicum** 86, 2000, עמ' 37–41 doi: 10.4064/cm-86-1-37-41.
* Guy, Richard K. (2004). Richard K. Guy, **Unsolved problems in number theory**, 3rd ed. New York, NY: Springer-Verlag, 2004, Probl. Books Math.. (בenglish).

קישורים חיצוניים
----------------

* הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld
* אקוטוטיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  סדרה A005278 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
2. ↑  סדרה A051953 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
3. ↑  סדרה A063507 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
4. ↑  סדרה A063748 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
5. ↑  סדרה A063740 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים