בתורת האמידה ובסטטיסטיקה, **חסם צ'פמן-רובינס** (Chapman-Robbins Bound; לעיתים חסם המרסלי-צ'פמן-רובינס) הוא חסם תחתון על השונות של אומדים של פרמטרים דטרמיניסטיים. חסם זה הוא הכללה של חסם קרמר-ראו, ובהשוואה אליו - הוא הדוק יותר ומתאים למגוון רחב יותר של בעיות. עם זאת, חישובו לרוב מסובך יותר.

החסם נגזר לראשונה ובאופן בלתי-תלוי על ידי ג'ון המרסלי ב-1950 ועל ידי דאגלס צ'פמן והרברט רובינס ב-1951. זהו מקרה פרטי של חסם ברנקין (Barankin) המורכב יותר.

החסם
----

יהי \ \theta  פרמטר דטרמיניסטי לא-ידוע, ויהיה {\displaystyle \ T(X)} אומד של פונקציה כלשהי של הפרמטר, {\displaystyle \ \psi (\theta )}. יהי {\displaystyle \ p(x;\theta )}. הפילוג של \ X (שתלוי ב-\ \theta ), ונניח כי הוא מוגדר היטב וחיובי לכל \ x ולכל \ \theta .

אם {\displaystyle \ T(X)} הוא אומד חסר-הטיה של {\displaystyle \ \psi (\theta )}, כלומר:

{\displaystyle \ \mathrm {E} \left[T(X)\right]=\psi (\theta )\,\,\forall \theta }
אז לפי חסם צ'פמן-רובינס:

{\displaystyle \ Var(T(X))\geq \sup \_{h}{\frac {\left[\psi (\theta +h)-\psi (\theta )\right]^{2}}{E\left[{\tfrac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1\right]^{2}}}}.
למעשה, אי השוויון (ללא הוצאת הסופרמום) מתקיים לכל \ h, ולכן החסם ההדוק ביותר הוא כאשר הביטוי מקבל את הסופרמום שלו לפי \ h. התנאי לקיומו של החסם הוא שהתומך של {\displaystyle \ p(x;\theta +h)} יהיה מוכל בתומך של {\displaystyle \ p(x;\theta )}.

הקשר לחסם קרמר-ראו
------------------

חסם צ'פמן-רובינס (הביטוי ללא הסופרמום) מתכנס לחסם קרמר-ראו כאשר {\displaystyle \ h\to 0}, בהנחה שהתנאים הרגולריים הדרושים מתקיימים (ראו בערך). מתוך כך, חסם צ'פמן-רובינס הוא תמיד הדוק לכל הפחות כמו קרמר-ראו. יתר על-כן, חסם צ'פמן-רובינס קיים תחת תנאים רגולריים חלשים משמעותית מאלו של חסם קרמר-ראו. כך למשל, להוכחת החסם לא נדרש כי הפילוג {\displaystyle \ p(x;\theta )} יהיה גזיר. במקרים כאלו, האינפורמציה של פישר לא מוגדרת, ולכן חסם קרמר-ראו לא קיים.

הוכחת החסם
----------

{\displaystyle \ T(X)} הוא משערך חסר-הטיה, ולכן מתקיים:

{\displaystyle \ \int T(x)\cdot p(x;\theta )\,dx=\psi (\theta )}
{\displaystyle \ \int T(x)\cdot p(x;\theta +h)\,dx=\psi (\theta +h)}
חיסור המשוואות:

{\displaystyle \ \int T(x)\cdot (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}
בנוסף מתקיים:

{\displaystyle \ \int \psi (\theta )\cdot (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta )\cdot \int (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta )\cdot (1-1)=0}
נחסיר בין שתי המשוואות האחרונות, לקבלת:

{\displaystyle \ \int (T(x)-\psi (\theta ))\cdot {\frac {p(x;\theta +h)-p(x;\theta )}{p(x;\theta )}}\cdot p(x;\theta )\,dx=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}
כלומר:

{\displaystyle \ \mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))\cdot ({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)\right]=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}
העלאת המשוואה בריבוע ואי-שוויון קושי-שוורץ יניבו:

{\displaystyle \ (\psi (\theta +h)-\psi (\theta ))^{2}=\mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))\cdot ({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)\right]^{2}\leq \mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))^{2}\right]\cdot \mathrm {E} \left[({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)^{2}\right]}
ומכאן:

{\displaystyle \ Var(T(X))\geq {\frac {\left[\psi (\theta +h)-\psi (\theta )\right]^{2}}{({\tfrac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)^{2}}}}
שזהו החסם המבוקש.

ראו גם
------

* חסם קרמר-ראו
* תורת האמידה

לקריאה נוספת
------------

* Hammersley, J. M. (1950), "On estimating restricted parameters", Journal of the Royal Statistical Society, Series B 12 (2): 192–240.
* Chapman, D. G.; Robbins, H. (1951), "Minimum variance estimation without regularity assumptions", Annals of Mathematical Statistics 22 (4): 581–586.
* Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer.