באלגברה ליניארית, **מטריצת בלוקים** היא מטריצה שחולקה למספר חלקים שגם הם מטריצות. מטריצת בלוקים היא צורת כתיבה נוחה וחסכונית של מטריצות, שבאה לידי ביטוי במקומות רבים באלגברה ליניארית, כדוגמת צורת ז'ורדן וצורה רציונלית.

דוגמה
-----

בדוגמה שלהלן, את המטריצה A חילקנו לבלוקים שהם המטריצות {\displaystyle B,C,D,E}:



A
=

(

1

−
9

2

2

4

π

−
1.5

e

0

4

3

0

1

3

1

−
8

)

=

(

B

C

D

E

)

;

B
=

(

1

−
9

4

π

)

,

C
=

(

2

2

−
1.5

e

)

,

D
=

(

0

4

1

3

)

,

E
=

(

3

0

1

−
8

)

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-9&2&2\\4&\pi &-1.5&e\\0&4&3&0\\1&3&1&-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix}};\quad B={\begin{pmatrix}1&-9\\4&\pi \end{pmatrix}},\quad C={\begin{pmatrix}2&2\\-1.5&e\end{pmatrix}},\quad D={\begin{pmatrix}0&4\\1&3\end{pmatrix}},\quad E={\begin{pmatrix}3&0\\1&-8\end{pmatrix}}}

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-9&2&2\\4&\pi &-1.5&e\\0&4&3&0\\1&3&1&-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix}};\quad B={\begin{pmatrix}1&-9\\4&\pi \end{pmatrix}},\quad C={\begin{pmatrix}2&2\\-1.5&e\end{pmatrix}},\quad D={\begin{pmatrix}0&4\\1&3\end{pmatrix}},\quad E={\begin{pmatrix}3&0\\1&-8\end{pmatrix}}}
הפירוק ודאי לא חייב להיות סימטרי, כלומר המטריצות לא חייבות להיות ריבועיות.

פעולות על מטריצות בלוקים
------------------------

בהינתן שתי מטריצות וחלוקתן לבלוקים, אם החלוקה מקיימת תנאים מסוימים ניתן לבצע את פעולות הכפל בסקלר, החיבור וכפל המטריצות על תתי המטריצות.

* **כפל בסקלר** - כאן אין כל דרישה על המטריצות. בהינתן מטריצת בלוקים, הכפל שלה בסקלר כלשהו הוא כפל הבלוקים באותו הסקלר, כלומר:



c
⋅

(


X

11

⋯

X

1
n



⋮

⋱

⋮



X

m
1

⋯

X

m
n


)

=

(


c
⋅
X

11

⋯

c
⋅
X

1
n



⋮

⋱

⋮



c
⋅
X

m
1

⋯

c
⋅
X

m
n


)

{\displaystyle c\cdot {\begin{pmatrix}{X}\_{11}&\cdots &{X}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}\_{m1}&\cdots &{X}\_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{c\cdot X}\_{11}&\cdots &{c\cdot X}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{c\cdot X}\_{m1}&\cdots &{c\cdot X}\_{mn}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle c\cdot {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{c\cdot X}_{11}&\cdots &{c\cdot X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{c\cdot X}_{m1}&\cdots &{c\cdot X}_{mn}\end{pmatrix}}}
* **חיבור -** בהינתן שתי מטריצות עם אותה חלוקה לבלוקים, החיבור הוא בלוק בלוק, כלומר:



(


X

11

⋯

X

1
n



⋮

⋱

⋮



X

m
1

⋯

X

m
n


)

+

(


Y

11

⋯

Y

1
n



⋮

⋱

⋮



Y

m
1

⋯

Y

m
n


)

=

(


X

11

+

Y

11

⋯

X

1
n

+

Y

1
n



⋮

⋱

⋮



X

m
1

+

Y

m
1

⋯

X

m
n

+

Y

m
n


)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}\_{11}&\cdots &{X}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}\_{m1}&\cdots &{X}\_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{Y}\_{11}&\cdots &{Y}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}\_{m1}&\cdots &{Y}\_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{X}\_{11}+{Y}\_{11}&\cdots &{X}\_{1n}+{Y}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}\_{m1}+{Y}\_{m1}&\cdots &{X}\_{mn}+{Y}\_{mn}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{Y}_{11}&\cdots &{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}_{m1}&\cdots &{Y}_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{X}_{11}+{Y}_{11}&\cdots &{X}_{1n}+{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}+{Y}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}+{Y}_{mn}\end{pmatrix}}}
* **כפל -** בהינתן שתי מטריצות וחלוקה שלהן, כך שמוגדר הכפל בין כל הבלוקים המתאימים, ניתן להתייחס לבלוקים כאל איברים של מטריצות ולהכפיל כרגיל, כלומר:


(


X

11

⋯

X

1
t



⋮

⋱

⋮



X

m
1

⋯

X

m
t


)

⋅

(


Y

11

⋯

Y

1
n



⋮

⋱

⋮



Y

t
1

⋯

Y

t
n


)

=

(

∑

s
=
1

t


X

1
s

Y

s
1


⋯

∑

s
=
1

t


X

1
s

Y

s
n



⋮

⋱

⋮


∑

s
=
1

t


X

m
s

Y

s
1


⋯

∑

s
=
1

t


X

m
s

Y

s
n



)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}\_{11}&\cdots &{X}\_{1t}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}\_{m1}&\cdots &{X}\_{mt}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{Y}\_{11}&\cdots &{Y}\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}\_{t1}&\cdots &{Y}\_{tn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum \_{s=1}^{t}{{X}\_{1s}{Y}\_{s1}}&\cdots &{\sum \_{s=1}^{t}{{X}\_{1s}{Y}\_{sn}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \_{s=1}^{t}{{X}\_{ms}{Y}\_{s1}}&\cdots &\sum \_{s=1}^{t}{{X}\_{ms}{Y}\_{sn}}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1t}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mt}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{Y}_{11}&\cdots &{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}_{t1}&\cdots &{Y}_{tn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{s=1}^{t}{{X}_{1s}{Y}_{s1}}&\cdots &{\sum _{s=1}^{t}{{X}_{1s}{Y}_{sn}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{s=1}^{t}{{X}_{ms}{Y}_{s1}}&\cdots &\sum _{s=1}^{t}{{X}_{ms}{Y}_{sn}}\end{pmatrix}}}
* **שחלוף -** בהינתן מטריצת בלוקים U המורכבת מ{\displaystyle m\times n} בלוקים מסדר זהה, נסמן את הבלוק ה{\displaystyle ij} של U ב{\displaystyle u\_{ij}} (כלומר {\displaystyle U=[u\_{ij}]}). אז {\displaystyle U^{t}=[u\_{ji}^{t}]}.

בנייה זו נותנת דרך נוחה להתעסק עם צורות שונות של מטריצות, בעיקר בהוכחות שונות בלכסון מטריצות וצורות ג'ורדן.

ראו גם
------

* מטריצת בלוקים אלכסונית
* צורת ג'ורדן
* צורה רציונלית

קישורים חיצוניים
----------------

* מטריצת בלוקים, באתר MathWorld (באנגלית)