**משפט שפלי שוביק** הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.

**הערה**: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.

המשפט ההפוך אינו נכון.

הוכחה
-----

הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.   
  

במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק.   
  

נסמן ב- {\displaystyle X^{S}} את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה S:   
  

{\displaystyle X^{S}:=\left\{(x^{i})\_{i\in {S}}:x^{i}\in \mathbb {R} \_{+}^{L}\quad \forall {i}\in {S},\quad x(S)=a(S)\right\}\subseteq {\mathbb {R} \_{+}^{|S|L}}}
  
  

כאשר {\displaystyle a(S)=\sum \_{i\in {s}}a^{i}} הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה \ S.

נגדיר את התשלום לקואליציה \ S בצורה הבאה: {\displaystyle v(S)=max\left\{\sum \_{i\in {S}}u\_{i}(x^{i}):x=(x^{i})\_{i\in {S}}\in {X^{S}}\right\}}, כאשר {\displaystyle \ u\_{i}} היא פונקציית הייצור.  

לכל קואליציה {\displaystyle S\neq \varnothing } נבחר הקצאה {\displaystyle x^{S}=(x^{S,i})\_{i\in {S}}\in \mathbb {R} \_{+}^{|S|L}} שבה מתקבל המקסימום בהגדרת {\displaystyle \ v(S)}.
  
   

מתקיים:   
  

(i)
{\displaystyle x^{S,i}\in \mathbb {R} \_{+}^{L}} לכל שחקן i.
  
   

(ii)
{\displaystyle x^{S}(S)=\sum \_{i\in {S}}x^{S,i}=\sum \_{i\in {s}}a^{i}=a(S)}, כאשר {\displaystyle a^{i}\in \mathbb {R} \_{+}^{L}} הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.
  
   

(iii)
{\displaystyle v(S)=\sum \_{i\in {S}}u\_{i}(x^{S,i})}
  
  

נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.   
   

יהי {\displaystyle \delta =(\delta \_{S})\_{s\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\in {P}}, כאשר {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\*}} הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-\ N, ו-\ P היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\*}}. 
  
   

צריך להראות כי {\displaystyle v(N)\geq \sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}v(S)}. 
  

נגדיר:   
   

{\displaystyle \forall {i}\in {N}.\quad z^{i}:=\sum \_{\{s\in {{\mathcal {D}}^{\*}}:i\in {S}\}}\delta \_{S}x^{S,i}}.
  
  

נראה כי {\displaystyle z=(z^{i})\_{i\in {N}}} הוא הקצאה אפשרית:   
  

{\displaystyle z^{i}\in \mathbb {R} \_{+}^{L}} כי הוא ממוצע של וקטורים ב-{\displaystyle \mathbb {R} \_{+}^{L}}.
נותר להראות כי {\displaystyle \ z(N)=a(N)}:
  
  

{\displaystyle z(N)=\sum \_{i\in {N}}z^{i}=\sum \_{i\in {N}}\sum \_{\{S:i\in {S}\}}\delta \_{S}x^{S,i}=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\sum \_{i\in {S}}\delta \_{S}x^{S,i}=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}\sum \_{i\in {S}}x^{S,i}=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}x^{S}(S)}
  

מכיוון ש-{\displaystyle \ x^{S}(S)=a(S)} ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
  
  

{\displaystyle z(N)=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}a(S)=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}\sum \_{i\in {S}}a^{i}=\sum \_{i\in {N}}a^{i}\sum \_{\{S:i\in {S}\}}\delta \_{S}}
  
  

\ \delta  הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -   
  

{\displaystyle \sum \_{\{S:i\in {S}\}}\delta \_{S}=1}
  

לכן -   
  

{\displaystyle z(N)=\sum \_{i\in {N}}a^{i}=a(N)}
  

כלומר \ z הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת \ v ומהגדרת \ z נקבל: 
  
  

{\displaystyle v(N)\geq \sum \_{i\in {N}}u\_{i}(z^{i})=\sum \_{i\in {N}}u\_{i}\left(\sum \_{\{S:i\in {S}\}}\delta \_{S}x^{S,i}\right)\geq \sum \_{i\in {N}}\sum \_{\{S:i\in {S}\}}\delta \_{S}u\_{i}(x^{S,i})}
  
  

אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות {\displaystyle \ u\_{i}}.
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:   
  

{\displaystyle v(N)\geq \sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\sum \_{i\in {S}}\delta \_{S}u\_{i}(x^{S,i})=\sum \_{S\in {{\mathcal {D}}^{\*}}}\delta \_{S}v(S)}.
  
  

כיון ש- \delta הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.
{\displaystyle \blacksquare }

ראו גם
------

* תורת המשחקים
* משחק שוק
* ליבה של משחק שיתופי
* משפט בונדרבה-שפלי

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946