**מטריצות גאמה של דיראק** הן אוסף של 4 מטריצות {\displaystyle \ \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}} (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

{\displaystyle \ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial \_{\mu }-mc\right)\psi =0}
כאשר {\displaystyle \mu =0,1,2,3} ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות
------

### הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}
כאשר {\displaystyle \sigma ^{k}} הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

{\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon \_{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}}
### הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \ \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\quad ,} |
| {\displaystyle \ \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \ \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad ,} |

כאשר {\displaystyle \sigma ^{k}} הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

{\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon \_{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}}}
בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

 :{\displaystyle \psi \_{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi \_{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi }
### הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}

תכונות
------

### זהויות בסיסיות

* מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
{\displaystyle \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I\_{4\times 4}}

כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-\eta  היא מטריקת מינקובסקי {\displaystyle \ \eta ^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)}.
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל {\displaystyle \mu \neq \nu } מתקיים {\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }}
* מכאן נובע ש:
	+ {\displaystyle \ (\gamma ^{0})^{2}=I\_{4\times 4}}
	+ {\displaystyle \ (\gamma ^{k})^{2}=-I\_{4\times 4}} כאשר k=1,2,3.
* ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
	+ {\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}
	+ {\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}} כאשר k=1,2,3.

* מטריצת הכיראליות {\displaystyle \gamma ^{5}} מקיימת:
	+ {\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}}
	+ {\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{2}=I\_{4\times 4}}
	+ {\displaystyle \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=0}, כלומר: {\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }}
* מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

### זהויות סכימה

| Num | Identity |
| --- | --- |
| 1 | {\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma \_{\mu }=4I} |
| 2 | {\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma \_{\mu }=-2\gamma ^{\nu }} |
| 3 | {\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma \_{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I} |
| 4 | {\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma \_{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }} |

### זהויות עקבה

| Num | Identity |
| --- | --- |
| 1 | העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות {\displaystyle \ \gamma ^{\mu }} היא אפס. |
| 2 | {\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }} |
| 3 | {\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })} |
| 4 | {\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0} |
| 5 | {\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }} |

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

* ליניאריות: {\displaystyle \ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B)}
* ציקליות: {\displaystyle \ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)}

### יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

{\displaystyle \ S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

{\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{0},\gamma ^{k}]=-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&-\sigma ^{k}\end{pmatrix}}\ }
והסיבובים נתונים על ידי

{\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}\Sigma ^{k}\ }

לקריאה נוספת
------------

* Peskin & Schroeder, **Introduction to Quantum Field Theory**, עמודים 40-41 ועמוד 50