|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **תבנית ריבועית** היא תבנית מהצורה {\displaystyle Q(x)=b(x,x)}, כאשר b היא תבנית ביליניארית; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, {\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}} היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה {\displaystyle x^{2}+yx+3x} לא, משום שהאיבר האחרון, {\displaystyle 3x} הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי איזומורפיזם), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה {\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=1}) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה {\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=3}), והן מהוות נושא למחקר פורה.

הגדרה
-----

יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. **תבנית ביליניארית** היא פונקציה {\displaystyle b\colon V\times V\to F} המהווה העתקה ליניארית בכל אחד מהרכיבים שלה. (V,b) נקרא **מרחב ביליניארי**. התבנית היא **סימטרית** אם {\displaystyle b(x,y)=b(y,x)} לכל x,y\in V.

**תבנית ריבועית** היא פונקציה המתקבלת מההצבה {\displaystyle Q(x)=b(x,x)} בתבנית ביליניארית b. תבנית כזו היא פולינום הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא הממד של V, הקרוי גם ה**ממד** של התבנית. צורתה הכללית היא q(x\_{1},...x\_{n})=\sum \_{{i,j}}{a\_{{i,j}}x\_{i}x\_{j}}, עם a\_{{i,j}}\in F. הזוג (V,q) נקרא **מרחב ריבועי**.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם **איזומטריים** אם קיים איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, המשמר את התבנית.

תבניות ריבועיות וביליניאריות
----------------------------

במאפיין שונה מ-2, כל תבנית ריבועית מושרית מתבנית ביליניארית סימטרית. גם ההפך נכון, כלומר כל תבנית ביליניארית סימטרית מוגדרת על ידי תבנית ריבועית, לפי **הזהות הפולרית** b(x,y)={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)). מזהות זו נובע כי התבנית הבילינארת הסימטרית המשרה את התבנית הריבועית היא יחידה. במאפיין 2 הקשר מעט יותר מסובך, והקורא שאינו מעוניין במקרה זה יכול לדלג על שאר הסעיף.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-{\displaystyle \mathrm {Bil} } את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית b, לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי {\displaystyle q\_{b}(x)=b(x,x)}, וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת {\displaystyle b(x,x)=0} נקראת **תבנית מתחלפת** (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-{\displaystyle \mathrm {Alt} }. יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות {\displaystyle \mathrm {Quad} }, לבין מרחב המנה {\displaystyle \mathrm {Bil} /\mathrm {Alt} }. מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית {\displaystyle b\_{q}(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y)}; זוהי העתקה מ-{\displaystyle \mathrm {Quad} } אל {\displaystyle \mathrm {Sym} } (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא {\displaystyle b\_{q\_{b}}(x,y)=b(x,y)+b(y,x)}.

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק {\displaystyle \operatorname {Bil} =\operatorname {Sym} \oplus \operatorname {Alt} }, וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: {\displaystyle \operatorname {Sym} =\operatorname {Alt} \oplus \operatorname {Diag} } (כאשר {\displaystyle \mathrm {Diag} } הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 מתקיים {\displaystyle b\_{q\_{b}}(x,x)=2b(x,x)=0}, התבנית {\displaystyle b\_{q}} היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה {\displaystyle \operatorname {Quad} \to \operatorname {Alt} } המוגדרת לפי {\displaystyle q\mapsto b\_{q}} הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.

מטריצות והצורה האלכסונית
------------------------

לאחר שקובעים למרחב הווקטורי V בסיס B, כל תבנית \*ביליניארית\* אפשר לייצג באופן יחיד על ידי מטריצה ריבועית, לפי הנוסחה {\displaystyle b(x,y)=[x]\_{B}^{t}M[y]\_{B}}. בחירת בסיס שונה תוביל למטריצה מייצגת חופפת. לכן, מיון תבניות ביליניאריות עד כדי איזומורפיזם, שקול למיון של מטריצות עד כדי חפיפה. התבנית סימטרית אם ורק אם המטריצה סימטרית.

במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג ב**צורה אלכסונית** : q(x\_{1},...x\_{n})=a\_{1}x\_{1}^{2}+...+a\_{n}x\_{n}^{2}, אותה מסמנים q=\langle a\_{1},...a\_{n}\rangle .

מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.

הרדיקל
------

תהי b תבנית ביליניארית סימטרית, U\subseteq V תת-מרחב. נסמן U^{{\perp }}=\{x\in V:b(x,u)=0,\forall u\in U\}, זהו **המרחב הניצב** ל-U **ביחס ל-** b. ה**רדיקל** של התבנית הוא {\displaystyle \operatorname {rad} (V)=V^{\perp }=\{x\in V|b(x,v)=0,\forall x\in V\}}. אומרים ש-b **רגולרית** אם יש לה רדיקל טריוויאלי - {\displaystyle \operatorname {rad} (V)={0}}, ואז המרחב (V,b) נקרא **מרחב רגולרי**. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.

הרדיקל של תבנית ריבועית q מוגדר לפי {\displaystyle \operatorname {rad} (q)=\{x\in \operatorname {rad} (b\_{q}):q(x)=0\}}. במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-{\displaystyle \operatorname {rad} (q)\subset \operatorname {rad} (b\_{q})}. תבנית ריבועית q היא **רגולרית** אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.

איזוטרופיות ומרחב היפרבולי
--------------------------

יהי (V,q) מרחב ריבועי רגולרי. וקטור v\in V נקרא **איזוטרופי** אם q(v)=0. תת-מרחב U\subseteq V נקרא **מרחב איזוטרופי** (לחלוטין) אם כל u\in U איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא **אנאיזוטרופי**. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית q(x\_{1},...x\_{n})=x\_{1}^{2}+...+x\_{n}^{2} היא אנאיזוטרופית.

המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית {\displaystyle \ q(x\_{1},x\_{2})=x\_{1}x\_{2}} נקרא **המישור ההיפרבולי** (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה {\displaystyle q(x\_{1},x\_{2})=x\_{1}^{2}-x\_{2}^{2}}). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא **מרחב היפרבולי**.

הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של V; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-V תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של V, אז V מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.

המבנה של מרחב ריבועי
--------------------

כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; **אינדקס ויט** של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.

כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר {\displaystyle [a\_{1},b\_{1}]\perp \cdots \perp [a\_{t},b\_{t}]\perp \langle c\_{1},\dots ,c\_{s}\rangle }, כאשר {\displaystyle [a,b]} מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית {\displaystyle q(x\_{1},x\_{2})=ax\_{1}^{2}+x\_{1}x\_{2}+bx\_{2}^{2}} ו-{\displaystyle \langle c\_{1},\dots ,c\_{s}\rangle } הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-t=0. תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת **לא-מנוונת**. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו {\displaystyle s=0} או {\displaystyle s=1}.

ראו גם
------

* תבנית ביליניארית
* חוג ויט
* תבנית פיסטר
* תבנית קילינג, שהיא תבנית ריבועית הקשורה לאלגברת לי, ומאפשרת לקבוע האם האלגברה פשוטה למחצה.

לקריאה נוספת
------------

* The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, E. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, AMS Coll Pub 56, 2008.
* עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **תבנית ריבועית** בוויקישיתוף
* תבנית ריבועית, באתר MathWorld (באנגלית)
* תבניות ריבועיות, דף שער בספרייה הלאומית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007545854605171
* BnF: cb11935832h (data)
* GND: 4128297-8
* LCCN: sh85050828
* LNB: 000140089
* NDL: 00568586
* NKC: ph520062

 |