בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, **התפלגות היפרגאומטרית שלילית** היא התפלגות בדידה המתארת הסתברויות לדגימה ללא החזרה מאוכלוסייה סופית המחולקת לשתי קטגוריות זרות שמכונות באופן שרירותי "הצלחות" ו-"כישלונות". כאשר נערך מדגם מקרי מתוך האוכלוסייה, כמו בהתפלגות ההיפרגאומטרית, כל בחירה אקראית של איבר במדגם מקטינה את האוכלוסייה ומשנה את ההסתברות ל-"הצלחה". בניגוד להתפלגות היפרגאומטרית המתארת את מספר ההצלחות בגודל מדגם קבוע, ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית, מתארת את ההסתברות לדגימת {\displaystyle k} "הצלחות" עד שנדגמו r "כישלונות".

הגדרה
-----

נתונה קבוצה של {\displaystyle N} איברים, מתוכם {\displaystyle K} מוגדרים כ"הצלחות" והשאר "כישלונות".

בוחרים באופן אקראי, מתוך הקבוצה, איבר, איבר *ללא* החזרה, עד שמבין האיברים שנבחרו יש {\displaystyle r} כישלונות. מספר ה-"הצלחות" {\displaystyle k} שנבחרו עד אותו הרגע מהווה משתנה מקרי {\displaystyle X} עם ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית. ניתן לסמן זאת באופן הבא: {\displaystyle X\sim NHG(N,K,r)}.

ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית היא מקרה פרטי של ההתפלגות הבטא-בינומית  עם פרמטרים שלמים {\displaystyle \alpha =r} ו {\displaystyle \beta =N-K-r+1} ו- {\displaystyle n=K}.

בנתונים אלו, כדי לקבל {\displaystyle X=k}, חייבות להתרחש במהלך ה-{\displaystyle (k+r-1)} הבחירות הראשונות בדיוק {\displaystyle k} בחירות של "הצלחות" (ההסתברות לכך ניתנת לחישוב באמצעות יישום ישיר של ההתפלגות ההיפרגאומטרית {\displaystyle HG(N,K,k+r-1)}), ואז הבחירה ה-{\displaystyle k+r} חייבת להיות "כישלון" (ההסתברות לכך היא ה-"כישלונות" שעדיין לא נבחרו {\displaystyle N-K-(r-1)} לחלק במספר כל האיברים שעדיין לא נבחרו {\displaystyle N-(k+r-1)} ). לכן, ההסתברות שיש בדיוק {\displaystyle k} "הצלחות" עד ל"כישלון" ה- {\displaystyle r}-י כשל היא מכפלה שתי ההסתברויות :

{\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}.}
לכן, פונקציית ההסתברות (pmf) של משתנה מקרי {\displaystyle X} עם התפלגות היפרגאומטרית השלילית ניתנת על ידי

{\displaystyle f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}\quad {\text{, }}k=0,1,2,\dotsc ,K}
כאשר

* {\displaystyle N} הוא מספר כלל האיברים,
* {\displaystyle K} הוא מספר כלל האיברים המוגדרים כ"הצלחה",
* {\displaystyle r} הוא מספר האיברים שיבחרו שהם "כישלונות",
* {\displaystyle k} הוא מספר האיברים שיבחרו שהם "הצלחות",
* {\displaystyle a \choose b} הוא מקדם בינומי

התפלגויות קשורות
----------------

התפלגות היפרגאומטרית שלילית (כמו ההתפלגות ההיפרגאומטרית) עוסקת בהגרלות *ללא החזרה*, כך שההסתברות ל"הצלחה" שונה בכל בחירה. לעומת זאת, התפלגות בינומית שלילית (כמו ההתפלגות הבינומית) עוסקת בבחירות *עם החזרה*, כך שההסתברות להצלחה זהה והניסויים בלתי תלויים. הטבלה הבאה מסכמת את ארבעת ההתפלגויות הקשורות:

|  | עם תחליפים | אין תחליפים |
| --- | --- | --- |
| מספר "הצלחות" מתוך מספר קבוע של בחירות אקראיוח | התפלגות הבינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
| מספר "הצלחות" שמתרחש עד שמתקבל מספר קבוע מראש של "כישלונות" | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |

אם {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי בעל התפלגות היפרגאומטרית שלילית, {\displaystyle X\sim NHG(N,K,r)} ו-{\displaystyle Y} הוא משתנה מקרי היפרגאומטרי, {\displaystyle Y\sim HG(N,N-K,k+r)} אז מתקיים {\displaystyle F\_{X}(k)=1-F\_{Y}(r-1)}, כאשר {\displaystyle F\_{X},F\_{Y}} הן פונקציות ההצטברות (cdf) של {\displaystyle X,Y} בהתאמה. באופן שקול ניתן לכתוב, {\displaystyle \Pr(X\leq k)=\Pr(Y\geq r)}.

לעיתים   מגדירים את ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית כמספר ההגרלות הנדרשות עד לקבלתה"כישלון" ה-{\displaystyle r}-י. אם נסמן ב- {\displaystyle Y} את המספר הזה אז ברור ש {\displaystyle Y=X+r} כאשר {\displaystyle X} הוא כפי שהוגדר למעלה. מכאן פונקציית ההסתברות (pmf):

{\displaystyle \Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{N-K-r}}{\binom {N}{N-K}}}}
אם נסמן ב-{\displaystyle M} את כלל {\displaystyle N-K} האיברים שהם "כישלונות" אז,

{\displaystyle \Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{M-r}}{\binom {N}{M}}}}
התומך של {\displaystyle Y} הוא הקבוצה {\displaystyle \{r,r+1,\dots ,N-M+r\}} ולכן,

{\displaystyle E[Y]=E[X]+r={\frac {r(N+1)}{M+1}}}, ו- {\displaystyle {\textrm {Var}}(X)={\textrm {Var}}(Y)}.

הערות שוליים
------------

1. 1 2  Negative hypergeometric distribution in Encyclopedia of Math.
2. ↑  Johnson, Norman L.; Kemp, Adrienne W.; Kotz, Samuel (2005). *Univariate Discrete Distributions*. Wiley. ISBN 0-471-27246-9. §6.2.2 (p.253–254)
3. ↑  Rohatgi, Vijay K. and AK Md Ehsanes Saleh. An introduction to probability and statistics. John Wiley & Sons, 2015.
4. ↑  Khan, RA (1994). A note on the generating function of a negative hypergeometric distribution. Sankhya: The Indian Journal of Statistics B, 56(3), 309-313.