|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **פונקציה מטריציאלית** (Matrix function) היא פונקציה הממפה מטריצה אחת למטריצה אחרת.

הרחבת פונקציה סקלרית לפונקציות מטריציאליות
------------------------------------------

קיימות מספר שיטות להצגת פונקציה ממשית כמטריצה ריבועית כך שתכונות מעניינות יישמרו.
הטכניקות הבאות מניבות את אותה פונקציה מטריציאלית, אך התחומים שבהם מוגדרת הפונקציה עשויים להיות שונים.
  

### טור חזקות

אם לפונקציה ממשית קיימת הצגה כטור טיילור

{\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }
אז הפונקציה המטריציאלית יכולה להיות מוגדרת על ידי החלפת x במטריצה: החזקות הופכות לחזקות של מטריצות, החיבור לחיבור מטריצות והכפל לפעולות דירוג. אם הסדרה ממשית מתכנסת עבור {\displaystyle \|A\|<r} אז סדרת המטריצות המקבילה תתכנס למטריצה A אם {\displaystyle \|A\|<r}עבור נורמת מטריצה כלשהי {\displaystyle \|\cdot \|}שמקיימת {\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}.
  

### מטריצה לכסינה

אם A לכסינה, ניתן למצוא מטריצה P ומטריצה אלכסונית D כך ש {\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1}}. נפעיל את סדרת החזקות על הפירוק ונקבל כי (f(A מוגדר על ידי

{\displaystyle f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d\_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d\_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~},
כאשר {\displaystyle d\_{1},\dots ,d\_{n}} הם ערכי האלכסון של D.

לדוגמה, נניח כי מחפשים (A! = Γ(A+1 עבור

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}~}.
ניתן לרשום את A באופן הבא

{\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~},
כאשר

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~}.
מהפעלת הנוסחה נקבל

{\displaystyle A!={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (2-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (2+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}3.6274&8.8423\\5.8949&3.6274\end{bmatrix}}~}.
ובאופן דומה

{\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73.00&84.00\\56.00&73.00\end{bmatrix}}~}.
  

### פירוק ז'ורדן

כל המטריצות המרוכבות, לכסינות או לא, בעלות צורת ז'ורדן {\displaystyle A=P\cdot J\cdot P^{-1}}, כאשר המטריצה J מורכבת מבלוקי ז'ורדן.
נסתכל על כל בלוק בנפרד ונפעיל עליו את סדרת החזקות:

{\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\ldots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ldots &\ddots &\lambda &1\\0&\ldots &\ldots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\ldots &{\frac {f^{(n)}(\lambda )}{n!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ldots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\ldots &\ldots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}}.
הגדרה זו יכולה לשמש כדי להרחיב את תחום הפונקציה המטריציאלית מעבר לקבוצת מטריצות עם רדיוס ספקטרלי קטן יותר מרדיוס ההתכנסות של טור החזקות.

  

### אינטגרל קושי

נוסחת האינטגרל של קושי באנליזה מרוכבת יכולה לשמש להכללת פונקציות סקלריות לפונקציות מטריציאליות. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לכל פונקציה אנליטית f המוגדרת בקבוצה D,

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{C}{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~},
כאשר C היא עקומה סגורה בתחום D בצירוף x.
כעת, נחליף את x במטריצה A כאשר C היא בתוך D ומכילה את כל הערכים העצמיים של A. אז, (f(A מוגדר על ידי

{\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~}.
אינטגרל זה ניתן בקלות להעריך באמצעות כלל הטרפז, אשר במקרה זה מתכנס באופן אקספוננציאלי. כלומר, הדיוק של התוצאה מוכפל כאשר מספר הצמתים מוכפל.

מחלקות של פונקציות מטריציאליות
------------------------------

חלק ממחלקות הפונקציות הסקליות ניתנות להרחבה לפונקציות מטריציאליות של מטריצות הרמיט, באמצעות שימוש ביחס סדר על מטריצות (
{\displaystyle X-Y\Leftrightarrow X\preceq Y}
מטריצה חיובית ו-

{\displaystyle X-Y\Leftrightarrow X\prec Y}
מטריצה חיובית לחלוטין.)

### אופרטור מונוטוני

פונקציה f נקראת אופרטור מונוטוני אם ורק אם
{\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}
לכל {\displaystyle A,H} מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של f.
  

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות מונוטוניות במקרה הסקלרי.

### אופרטור קעור/קמור

פונקציה f נקראת אופרטור קעור אם ורק אם {\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)} לכל **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle A,H}**
 מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של f ו- {\displaystyle \tau \in [0,1]}.
  

ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות קעורות במקרה הסקלרי.
אופרטור קמור מוגדר על ידי החלפת {\displaystyle \preceq } ב {\displaystyle \succeq } בהגדרה הנ"ל.

ראו גם
------

* אנליזה מתמטית

לקריאה נוספת
------------

* Higham, Nicholas J. (2008). *Functions of matrices theory and computation*. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898717778.

קישורים חיצוניים
----------------

* תורת הפונקציות המטריציאליות (באנגלית)
* פונקציות מטריציאליות: תאוריה ואלגוריתמים (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  מושג קשור נוסף הוא הפירוק של ז'ורדן-צ'אוולי, המבטא מטריצה כסכום של חלק אלכסוני וחלק נילפוטנטי.
2. ↑  דרך אחת להשיג זאת היא לקחת את C להיות מעגל סביב הראשית עם רדיוס גדול מ עבוד נורמת מטריצה כלשהי.

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4169117-9

 |