בטופולוגיה, **מרחב נורמלי לחלוטין** ו**מרחב {\displaystyle \ T\_{5}}** הם סוגים של מרחבים טופולוגיים המקיימים תכונות הפרדה חזקות במיוחד.

הגדרות
------

קבוצות A ו- B במרחב טופולוגי הן **קבוצות מופרדות**, אם כל אחת מהן זרה לסגור של הקבוצה השנייה. במקרה כזה, לכל נקודה ב- A יש סביבה זרה ל- B, ולהפך. קבוצות מופרדות חייבות להיות זרות; אם שתי קבוצות סגורות הן זרות, אז הן גם מופרדות. 

* מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי לחלוטין, אם אפשר להפריד בו קבוצות מופרדות באמצעות סביבות פתוחות; כלומר: לכל שתי קבוצות מופרדות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות U ו- V המכילות את A ואת B, בהתאמה.

* מרחב נורמלי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא **מרחב {\displaystyle \ T\_{5}}**.

במרחב שבו אפשר להפריד קבוצות מופרדות, בוודאי אפשר להפריד קבוצות סגורות וזרות. לכן כל מרחב נורמלי לחלוטין הוא בפרט מרחב נורמלי. מאותה סיבה, כל מרחב {\displaystyle \ T\_{5}} הוא מרחב T4.

תכונות נוספות
-------------

התכונה החשובה ביותר של מרחבים נורמליים לחלוטין היא שלא רק הם עצמם נורמליים, אלא גם כל תת-מרחב שלהם (ביחס לטופולוגיה המושרית). במרחב נורמלי, תכונה זו שקולה לכך שהמרחב נורמלי לחלוטין. מסיבה זו מרחב נורמלי לחלוטין נקרא גם **מרחב נורמלי תורשתית**.

כל מרחב נורמלי באופן מושלם הוא בפרט נורמלי לחלוטין, ובאופן דומה גם כל מרחב T6 הוא מרחב {\displaystyle \ T\_{5}}. בפרט, כל מרחב מטרי הוא מרחב {\displaystyle \ T\_{5}}. 

ההוכחה לכך שמרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי לחלוטין אינה מידית, ולכן אנחנו כוללים כאן הוכחה ישירה וקלה לכך שבמרחב מטרי אפשר להפריד בסביבות פתוחות כל שתי קבוצות מופרדות. יהי X מרחב מטרי עם המטריקה d. נתונות שתי קבוצות מופרדות A ו- B (שאינן בהכרח סגורות). נסמן ב- {\displaystyle \ d\_{A}(x)=\inf \_{a\in A}d(a,x)} את פונקציית ה"מרחק מ-A", ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה {\displaystyle \ d\_{B}}. מכיוון שרק לנקודות בסגור של A יש מרחק 0 מ-A, כל נקודה של B היא בעלת מרחק חיובי מ- A, ולהפך. נסמן ב- {\displaystyle \ U\_{A}} את איחוד הכדורים ברדיוס {\displaystyle \ d\_{B}(a)/2} סביב a, לכל הנקודות {\displaystyle \ a\in A}; זו כמובן קבוצה פתוחה המכילה את A. באופן דומה נבנה את {\displaystyle \ U\_{B}}. כדי להיווכח ש- {\displaystyle \ U\_{A}} ו- {\displaystyle \ U\_{B}} זרות, די לבדוק שהדבר נכון לכל זוג של כדורים המרכיבים קבוצות אלה. אבל לכל {\displaystyle \ a\in A,\,b\in B} מתקיים {\displaystyle \ d\_{A}(b),d\_{B}(a)\leq d(a,b)}, ולכן {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}d\_{A}(b)+{\frac {1}{2}}d\_{B}(a)\leq d(a,b)}.

יש לציין שכאשר מדובר בקבוצות מופרדות, הפרדה באמצעות סביבות פתוחות היא ההפרדה החזקה ביותר שלה אפשר לצפות. בערך על אקסיומות ההפרדה אנו מונים ארבע רמות הפרדה, שההפרדה בקבוצות פתוחות היא הנמוכה בהן. ברמה הבאה דורשים הפרדה באמצעות סביבות סגורות, אלא שזה בלתי אפשרי אפילו במרחבים מטריים. לדוגמה, הקטעים \ (0,1) ו- {\displaystyle \ (1,2)} הם קבוצות מופרדות, שלא ניתן להפריד בסביבות סגורות (ובוודאי לא בפונקציה רציפה).

ראו גם
------

* אקסיומות ההפרדה
* מרחב נורמלי באופן מושלם
* מרחב נורמלי

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |