|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **גרופואיד** (נקרא גם **חבורואיד**) הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

הגדרה
-----

ביתר פירוט, **גרופואיד** {\displaystyle {\mathcal {G}}} הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים {\displaystyle X} ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם {\displaystyle A} עם 2 העתקות {\displaystyle s,t:A\to X} הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) {\displaystyle f:x\to y}

{\displaystyle s(f)=s(x\to y)=x} ו-{\displaystyle t(f)=t(x\to y)=y}.
לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-{\displaystyle x} ל-{\displaystyle y}. סימון מקובל לחץ הוא

{\displaystyle f:x\to y} או {\displaystyle x{\stackrel {f}{\longrightarrow }}y}.
בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של {\displaystyle f} ו-{\displaystyle g} מוגדרת כאשר {\displaystyle s(g)=t(f)} ואז {\displaystyle g\circ f:s(f)\to t(g)} הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב

{\displaystyle A\times \_{X}A=\left\{(f,g)\in A\times A\mid t(f)=s(g)\right\}}
וטווח שהוא {\displaystyle A}. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של {\displaystyle f,g,h\in A} מוגדרת אזי מתקיים {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}.

ישנו גם שיכון של {\displaystyle X} בתוך {\displaystyle A} המתאים לכל אובייקט {\displaystyle x\in X} את מורפיזם הזהות {\displaystyle 1\_{x}} שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל {\displaystyle f:w\to x} מתקיים {\displaystyle 1\_{x}\circ f=f} ולכל {\displaystyle g:x\to y} מתקיים {\displaystyle g\circ 1\_{x}=g}.

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם {\displaystyle f:x\to y} הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי {\displaystyle f^{-1}:y\to x} כך שמתקיים {\displaystyle f^{-1}\circ f=1\_{x}} ו-{\displaystyle f\circ f^{-1}=1\_{y}}.   

את הגרופואיד מסמנים {\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightrightarrows X} או {\displaystyle {\mathcal {G}}=\left[A\rightrightarrows X\right]}.

דוגמאות
-------

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד {\displaystyle X=\{x\}} ולכן כל חץ הוא מהצורה {\displaystyle f:x\to x} וכל החצים ב-*A* ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא {\displaystyle 1\_{x}}. לכל חץ {\displaystyle f} יש הפכי {\displaystyle f^{-1}}, ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי **גרופואיד אינדוקטיבי**; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה {\displaystyle G\times X\rightrightarrows X} - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה {\displaystyle X} שחבורה {\displaystyle G} פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי {\displaystyle x\to g\cdot x} לכל {\displaystyle x\in X,g\in G}, כלומר: כל חץ הוא זוג סדור {\displaystyle (g,x)} כך ש-{\displaystyle (g,x):x\to g\cdot x}. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-{\displaystyle (g,x)^{-1}=(g^{-1},g\cdot x)=g\cdot x\to g^{-1}\cdot (g\cdot x)=x}.

תכונות
------

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה {\displaystyle X} והמורפיזמים מ-{\displaystyle a} ל-{\displaystyle b} נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, {\displaystyle G}. "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של {\displaystyle G}.

ראו גם
------

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

לקריאה נוספת
------------

* The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston.

קישורים חיצוניים
----------------

* גרופואיד, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* גרופואיד, באתר MathWorld (באנגלית)