בקומבינטוריקה, **זהות ונדרמונד**(או **קונבולוציית ונדרמונד**) היא הזהות הבאה עבור מקדמים בינומיים:

{\displaystyle \sum \_{j\,=\,0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}}
הזהות נקראת על שם אלכסנדר ונדרמונד (1772), אף שהייתה ידועה כבר ב-1303 למתמטיקאי הסיני צ'ו שיצ'י (אנ').

לזהות זו הכללות רבות, וביניהן:

{\displaystyle \sum \_{k\_{1}\,+\,\cdots \,+\,k\_{p}\,=\,k}{\binom {n\_{1}}{k\_{1}}}\cdots {\binom {n\_{p}}{k\_{p}}}={\binom {n\_{1}+\cdots +n\_{p}}{k}}}

הוכחה
-----

### קומבינטורית

יהיו n כדורים אדומים ו-m כדורים שחורים.  

אגף ימין של הזהות מונה כמה דרכים ניתן לבחור k כדורים מתוך {\displaystyle n+m} הכדורים.  

הביטוי המסוכם באגף שמאל מונה כמה דרכים ניתן לבחור את k הכדורים האלו כאשר j מתוכם שחורים והשאר אדומים; אך הסכום מאפשר ל-j לקבל ערך כלשהו, כך ששני האגפים סופרים את אותה הקבוצה.

### באמצעות פונקציות יוצרות



∑

k

=

0

m

+

n


(

m
+
n

k

)



x

k


=
(
1
+
x

)

m
+
n

=
(
1
+
x

)

m

(
1
+
x

)

n



=

[

∑

a

=

0

m


(

m
a

)

x

a

]

[

∑

b

=

0

n


(

n
b

)

x

b

]


=

[

(

m
0

)

+

(

m
1

)

x
+
⋯
+

(

m

m
−
1

)

x

m
−
1

+

(

m
m

)

x

m

]

[

(

n
0

)

+

(

n
1

)

x
+
⋯
+

(

n

n
−
1

)

x

n
−
1

+

(

n
n

)

x

n

]


=

(

m
0

)



(

n
0

)

+

[

(

m
0

)



(

n
1

)

+

(

m
1

)



(

n
0

)

]

x
+
⋯
+

[

(

m

m
−
1

)



(

n
n

)

+

(

m
m

)



(

n

n
−
1

)

]

x

m
+
n
−
1

+

(

m
m

)



(

n
n

)

x

m
+
n



=

∑

k

=

0

m

+

n

(


∑

r

=

0

k


(

m
r

)



(

n

k
−
r

)



)

x

k



{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k\,=\,0}^{m\,+\,n}{\color {red}{\binom {m+n}{k}}}x^{k}&=(1+x)^{m+n}=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&=\left[\sum \_{a\,=\,0}^{m}{\binom {m}{a}}x^{a}\right]\left[\sum \_{b\,=\,0}^{n}{\binom {n}{b}}x^{b}\right]\\&=\left[{\binom {m}{0}}+{\binom {m}{1}}x+\cdots +{\binom {m}{m-1}}x^{m-1}+{\binom {m}{m}}x^{m}\right]\left[{\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{n-1}+{\binom {n}{n}}x^{n}\right]\\&={\binom {m}{0}}{\binom {n}{0}}+\left[{\binom {m}{0}}{\binom {n}{1}}+{\binom {m}{1}}{\binom {n}{0}}\right]x+\cdots +\left[{\binom {m}{m-1}}{\binom {n}{n}}+{\binom {m}{m}}{\binom {n}{n-1}}\right]x^{m+n-1}+{\binom {m}{m}}{\binom {n}{n}}x^{m+n}\\&=\sum \_{k\,=\,0}^{m\,+\,n}\left(\,{\color {red}\sum \_{r\,=\,0}^{k}{\binom {m}{r}}{\binom {n}{k-r}}}\right)x^{k}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\,=\,0}^{m\,+\,n}{\color {red}{\binom {m+n}{k}}}x^{k}&=(1+x)^{m+n}=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&=\left[\sum _{a\,=\,0}^{m}{\binom {m}{a}}x^{a}\right]\left[\sum _{b\,=\,0}^{n}{\binom {n}{b}}x^{b}\right]\\&=\left[{\binom {m}{0}}+{\binom {m}{1}}x+\cdots +{\binom {m}{m-1}}x^{m-1}+{\binom {m}{m}}x^{m}\right]\left[{\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{n-1}+{\binom {n}{n}}x^{n}\right]\\&={\binom {m}{0}}{\binom {n}{0}}+\left[{\binom {m}{0}}{\binom {n}{1}}+{\binom {m}{1}}{\binom {n}{0}}\right]x+\cdots +\left[{\binom {m}{m-1}}{\binom {n}{n}}+{\binom {m}{m}}{\binom {n}{n-1}}\right]x^{m+n-1}+{\binom {m}{m}}{\binom {n}{n}}x^{m+n}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{m\,+\,n}\left(\,{\color {red}\sum _{r\,=\,0}^{k}{\binom {m}{r}}{\binom {n}{k-r}}}\right)x^{k}\end{aligned}}}
### באינדוקציה

{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\sum \_{j\,=\,0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}&=\sum \_{j\,=\,0}^{k}{\frac {k-j}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}+\sum \_{j\,=\,0}^{k}{\frac {j}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}\\&=\sum \_{j\,=\,0}^{k-1}{\frac {n-k+j+1}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j-1}}+\sum \_{j\,=\,1}^{k}{\frac {m-j+1}{k}}{\binom {m}{j-1}}{\binom {n}{k-j}}\\&=\sum \_{j\,=\,0}^{k-1}{\frac {n-k+j+1}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j-1}}+\sum \_{j\,=\,0}^{k-1}{\frac {m-j}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j-1}}\\&=\sum \_{j\,=\,0}^{k-1}{\frac {m+n-k+1}{k}}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j-1}}\\&={\frac {m+n-k+1}{k}}\sum \_{j\,=\,0}^{k-1}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j-1}}\\&={\frac {m+n-k+1}{k}}{\binom {n+m}{k-1}}\\&={\frac {(m+n-k+1)(m+n)!}{k(k-1)!(m+n-k+1)!}}\\&={\frac {(m+n)!}{k!(m+n-k)!}}={\binom {m+n}{k}}\end{alignedat}}}

קישורים חיצוניים
----------------

* זהות ונדרמונד, באתר MathWorld (באנגלית)