במתמטיקה, בעיקר באנליזה וקטורית, **משפט הגרדיאנט**, ידע גם בתור  **המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור אינטגרל מסילתי**, הוא משפט מרכזי בתחום האנליזה הווקטורית, ובכלל באנליזה מתמטית, ומשמש כהכללה למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור כל עקומה {\displaystyle n}-ממדית.

המשפט: בהינתן פונקציה {\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ועקומה {\displaystyle \gamma } מנקודה {\displaystyle \mathbf {p} } לנקודה {\displaystyle \mathbf {q} }, אז:

{\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int \_{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}
כאשר {\displaystyle \nabla \varphi } מסמל את הגרדיאנט של הפונקציה {\displaystyle \varphi }. 
מהמשפט נובעת המסקנה החשובה כי ניתן לתאר כל שדה וקטורי משמר בתור הגרדיאנט של שדה סקלרי.

הוכחה
-----

ידוע כי אם {\displaystyle \varphi } היא פונקציה גזירה, מתת קבוצה פתוחה {\displaystyle U} של {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ל-{\displaystyle \mathbb {R} }, ואם {\displaystyle \mathbf {r} } היא פונקציה גזירה מאינטרוול ממשי {\displaystyle [a,b]} ל-{\displaystyle U}, אז על פי כלל השרשרת, הפונקציה {\displaystyle \varphi \circ \mathbf {r} } היא פונקציה גזירה בתחום {\displaystyle (a,b)} ומתקיים

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
לכל {\displaystyle t\in (a,b)}.

עכשיו נניח כי בתחום *{\displaystyle U}* קיימת עקומה גזירה {\displaystyle \gamma } בעלת נקודות קיצון **{\displaystyle \mathbf {p} }** ו-**{\displaystyle \mathbf {q} }**. אם **{\displaystyle \mathbf {r} }** מייצג פרמטר של {\displaystyle \gamma } עבור כל {\displaystyle t\in [a,b]}, אז ניתן לראות מטענה הנ"ל כי

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} &=\int \_{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int \_{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\end{aligned}}}
כאשר השוויון הראשון נובע מההגדרה של אינטגרל קווי, והשוויון השלישי נובע מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

גרסה מורחבת
-----------

ישנה גרסה מורחבת של משפט הגרדיאנט אשר עוסקת בשדות וקטורים.
אם {\displaystyle F=(F\_{1},F\_{2})} שדה וקטורי חלק ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, התכונות הבאות שקולות:

1. קיימת פונקציה חלקה {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } כך שמתקיים לכל {\displaystyle p}, {\displaystyle \nabla \_{p}f=F(p)}.
2. לכל {\displaystyle p}, {\displaystyle {\frac {\partial F\_{1}}{\partial y}}\_{p}={\frac {\partial F\_{2}}{\partial x}}\_{p}}.
3. לכל עקום חלק {\displaystyle \Gamma } במישור, האינטגרל {\displaystyle \int \_{\Gamma }F\_{1}dx+F\_{2}dy} תלוי רק בקצוות העקום.
4. לכל עקום חלק וסגור {\displaystyle \Gamma } במישור, האינטגרל {\displaystyle \int \_{\Gamma }F\_{1}dx+F\_{2}dy=0}.

הנוסחה לעיל נובעת משקילות תנאים אלו. הגרסה המורחבת נכונה גם עבור שדות וקטורים מממדים יותר גבוהים לאחר הכללות מתאימות. 

| אנליזה וקטורית |
| --- |
| מושגים | אנליזה מתמטית - מונחים • מרחב וקטורי • שדה סקלרי • שדה וקטורי • גרדיאנט • נגזרת כיוונית • דיברגנץ • רוטור • לפלסיאן • דל במערכות צירים שונות • ד'אלמברטיאן • פוטנציאל וקטורי |
| משפטים | משפט גאוס • משפט גרין • משפט הגרדיאנט • משפט סטוקס |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה • גאומטריה דיפרנציאלית |

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט הגרדיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)