בתורת החבורות, **פעולה טרנזיטיבית** היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות {\displaystyle x,y\in X} קיים איבר {\displaystyle g\in G} המעביר את x ל-y, אז הפעולה היא **פעולה טרנזיטיבית**. 

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון אם X הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-X מרחב הומוגני (אם X הוא גרף, הוא נקרא **גרף טרנזיטיבי**). 

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה {\displaystyle G\_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}}. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה X איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של G) למרחב הקוסטים {\displaystyle G/G\_{x}}. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוה
---------------------

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי {\displaystyle g(x\_{1},\dots ,x\_{k})=(g(x\_{1}),\dots ,g(x\_{k}))}, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה {\displaystyle X^{k}} את **האלכסון המוכלל** ומשאירים רק את הקבוצה {\displaystyle X^{[k]}} של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים. 

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על {\displaystyle X^{[k]}}, אז הפעולה שלה על X היא **פעולה k-טרנזיטיבית**. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{k}} שונים זה מזה, ולכל {\displaystyle y\_{1},\dots ,y\_{k}} שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר {\displaystyle g(x\_{i})=y\_{i}}. אם יש בחבורה איבר יחיד g כנ"ל, אז הפעולה היא k-טרנזיטיבית **חדה**. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית S\_n על הקבוצה {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות A\_{n} על אותה קבוצה היא ({\displaystyle n-2})-טרנזיטיבית (חדה). כאשר {\displaystyle m<n-1}, הפעולה של S\_n היא m-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

### פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת **טרנזיטיבית במידה רבה** (highly transitive) אם היא k-טרנזיטיבית לכל k, ואוליגומורפית אם לכל k יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל k.

מיון של פעולות טרנזיטיביות
--------------------------

### טרנזיטיביות מדרגה ראשונית

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות {\displaystyle \ AGL\_{1}(p)} המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת {\displaystyle \ P\Gamma {}L\_{n}(p)} המכילות את 
{\displaystyle \ PSL\_{n}(p)} במקרים שבהם הסדר {\displaystyle \ (p^{n}-1)/(p-1)} של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: {\displaystyle \ PSL\_{2}(11)} בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו {\displaystyle \ M\_{11}} ו-{\displaystyle \ M\_{23}}.

### טרנזיטיביות מסדר גבוה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן {\displaystyle S\_{4},S\_{5},A\_{6}} וחבורת מתיו {\displaystyle M\_{11}}; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן {\displaystyle S\_{5},S\_{6},A\_{7}} וחבורת מתיו {\displaystyle M\_{12}}, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן k-טרנזיטיבי חד, עבור {\displaystyle k\geq 6}, הן {\displaystyle S\_{k},S\_{k+1},A\_{k}}. 

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן {\displaystyle \operatorname {PGL} \_{2}(q)} (לכל חזקת-ראשוני q), ו-{\displaystyle M(q)} (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); {\displaystyle M(q)} היא תת-חבורה של {\displaystyle \operatorname {PGL} \_{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle } המכילה את {\displaystyle \operatorname {PSL} \_{2}(q)}.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות S\_n ו-A\_{n}, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: {\displaystyle M\_{11}} ו-{\displaystyle M\_{23}} הן 4-טרנזיטיביות, ו-{\displaystyle M\_{12}} ו-{\displaystyle M\_{24}} הן 5-טרנזיטיביות)
.

ראו גם
------

* חבורת תמורות
* פעולה פרימיטיבית

הערות שוליים
------------

1. ↑  Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc. Cambridge Univ. Press; משפט 4.11