בקומבינטוריקה, **משפט רמזי** (באנגלית: **Ramsey's theorem**) עוסק במבנים המוכרחים להופיע בגרף שלם שהקשתות שלו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול. המשפט קובע שלכל n, אם הגרף שצובעים גדול מספיק, לא ניתן להימנע מיצירת תת-גרף שלם בגודל n שכל הקשתות שלו צבועות בצבע אחיד. את המשפט הוכיח פרנק רמזי, ובעקבותיו פותח תחום שלם בשם תורת רמזי.

משפט רמזי האינסופי
------------------

**משפט**. לכל צביעה של הגרף האינסופי השלם \ G בשני צבעים, קיים תת-גרף אינסופי {\displaystyle \ G'\subseteq G} אשר כל קשתותיו צבועות באותו הצבע.

ניתן להכליל את המשפט לכל מספר סופי של צבעים.

### הוכחה

ההוכחה תתבצע על ידי בניית סדרה של קודקודים. נסמן את שני הצבעים באדום וכחול. 

נתחיל בקודקוד שרירותי \ v\_{0}. בהכרח קיימים לו אינסוף שכנים המחוברים בקשת אדומה, או אינסוף שכנים המחוברים בקשת כחולה. נוכל להניח שקבוצת השכנים האדומים, שאותה נסמן ב-{\displaystyle \ V\_{0}}, היא אינסופית. כך אפשר להניח, באינדוקציה, שבחרנו קודקוד {\displaystyle \ v\_{i}} וקבוצה אינסופית \ V\_{i}, שכל קודקודיה מחוברים בקשת אדומה לכל אחד מן הקודקודים {\displaystyle \ v\_{0},\dots ,v\_{i}}. כעת יש שתי אפשרויות: אם קיים {\displaystyle \ v\_{i+1}\in V\_{i}} לו אינסוף שכנים אדומים ב-\ V\_{i}, נבחר אותו ונסמן ב-{\displaystyle \ V\_{i+1}\subseteq V\_{i}} את קבוצת הקודקודים המחוברים ל-{\displaystyle \ v\_{i+1}} בקשת אדומה. אם התהליך ממשיך, נקבל באינסופו של דבר סדרה של קודקודים, אשר כל אחד מהם קשור לכל האחרים באמצעות קשת אדומה, היינו תת-גרף אשר כל הקשתות שלו אדומות. אחרת, התהליך נעצר בקבוצה אינסופית {\displaystyle \ V\_{k}}, אשר לכל אחד מן הקודקודים שלה יש מספר אינסופי של שכנים כחולים ורק מספר סופי של שכנים אדומים. לכן, אם נחזור על התהליך עבור הקשתות הכחולות בקבוצה {\displaystyle \ V\_{k}}, התהליך לא יעצר ונקבל קבוצה אין סופית של קודקודים שכל שניים ממנה מחוברים בקשת כחולה.

ניתן להכליל את הטענה גם עבור {\displaystyle \ k>2} צבעים, באמצעות טיעון אינדוקטיבי, על ידי התבוננות בקשתות בעלות צבע מסוים, וקשתות ב- {\displaystyle \ k-1} הצבעים הנותרים.

### הכללות

**משפט ארדש-רדו**: יהי {\displaystyle \ \kappa } מונה אינסופי. בכל צביעה ב-{\displaystyle \ \kappa } צבעים (או פחות מזה) של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-{\displaystyle \ 2^{\kappa }}, יש תת-גרף מונוכרומטי שעוצמתו גדולה מ-{\displaystyle \ \kappa }. למשל, בכל צביעה של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-\ 2^{{\aleph \_{0}}}, יש תת-גרף מונוכרומטי שאינו בן מניה.

משפט רמזי הסופי
---------------

**מספר רמזי** \ R\_{n,m} הוא הגודל הקטן ביותר של גרף שלם שקשתותיו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול, המבטיח שהגרף יכיל תת-גרף שלם בן n קודקודים שכולו אדום, או תת-גרף שלם בן m קודקודים שכולו כחול. העובדה שמספרים אלה קיימים היא משפט רמזי. ההוכחה, באינדוקציה, מראה שלמעשה \ R\_{n,m} \leq R\_{n-1,m}+R\_{n,m-1}, ומכיוון ש- {\displaystyle \ R\_{2,n}=R\_{n,2}=n}, מתקיים {\displaystyle \ R\_{n,m}\leq {\binom {n+m-2}{n-1}}}. הערכים המדויקים של מספרי רמזי {\displaystyle \ R\_{n,n}} אינם ידועים עבור {\displaystyle \ n\geq 5}. ידועים החסמים {\displaystyle \ (n+1)\cdot 2^{(n+1)/2}\leq R\_{n+1,n+1}\leq {\binom {2n}{n}}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}4^{n}}. ב-2020 הצליח Ashwin Sah, בעזרת שיטות של קוואזי-אקראיות, להכפיל את החסם העליון בגורם של {\displaystyle \ e^{-c(\log n)^{2}}} כאשר c קבוע. ב-2023 הושג, לראשונה מאז 1935, שיפור אקספוננציאלי של החסם העליון: {\displaystyle \ R\_{n,n}<(3.993)^{n}} .

את ההגדרה לעיל אפשר להרחיב למספר סופי כלשהו של צבעים, ולגרפים כלשהם במקום תת-הגרפים השלמים.

ניסוח מהופך של המשפט קובע שבכל צביעה בשני צבעים של הגרף השלם על n קודקודים, יש תת-גרף חד-צבעי בן d קודקודים, כאשר {\displaystyle \ d=2\log \_{2}({\frac {e^{2}}{8}}{\frac {n}{\log \_{2}(n)}})+o(1)\approx 2\log \_{2}(n)}; תוצאה זו היא הטובה ביותר האפשרית.

### הוכחת המשפט

ההוכחה תעשה באינדוקציה על \ m,n

ברור ש-{\displaystyle \ R\_{1,m}=R\_{n,1}=1} לכל n,m, משום שקודקוד בודד הוא גרף שלם בגודל 1 (וכל אפס הקשתות שלו אדומות וגם כחולות). 

עבור {\displaystyle \ n,m>1} נראה כי {\displaystyle \ R\_{n,m}\leq R\_{n-1,m}+R\_{n,m-1}}. 

נניח נתון גרף מלא \ G בגודל \ R\_{n-1,m}+R\_{n,m-1} שקשתותיו צבועות בכחול ואדום. נבחר ממנו צומת v ונסמן ב B את כל הצמתים שיש מהם קשת כחולה ל v ונסמן ב A את כל הצמתים שיש מהם קשת אדומה ל v.
על ידי סימון זה מקבלים ש {\displaystyle \ R\_{n-1,m}+R\_{n,m-1}=1+|A|+|B|}. לא ייתכן שגם {\displaystyle \ R\_{n-1,m}>|A|} וגם {\displaystyle \ R\_{n,m-1}>|B|} - נניח תחילה ש {\displaystyle R\_{n-1,m}\leq |A|}.

אם בגרף הנפרש על ידי צומתי \ A יש קליקה בגודל \ n-1 שכל הקשתות בה צבועות בצבע אדום, אז יחד עם הצומת \ v מקבלים קליקה בגרף \ G בגודל \ n שכל קשתותיה אדומות. אחרת, מהנחת האינדוקציה מקבלים שבגרף הנפרש על ידי צומתי \ A ישנה קליקה בגודל \ m שכל קשתותיה כחולות.

בצורה דומה, אם {\displaystyle \ R\_{n,m-1}\leq |B|} אז או שבגרף הנפרש על ידי \ B יש קליקה בגודל \ n שכל קשתותיה צבועות באדום, או שיש קליקה בגודל {\displaystyle \ m-1} שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול, ואז יחד עם \ v מקבלים קליקה ב \ G בגודל \ m שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול.

סה"כ מקבלים שב \ G ישנה קליקה אדומה בגודל \ n או קליקה כחולה בגודל \ m.

ראו גם
------

* משפט טורן

לקריאה נוספת
------------

* R. Graham, B. Rothschild, J.H. Spencer, **Ramsey Theory**, John Wiley and Sons, NY, 1990

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **משפט רמזי** |

* משפט רמזי, באתר MathWorld (באנגלית)
* משפט רמזי, באתר לא מדויק