באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט
-----------

תהי {\mathcal {A}}אלברת בנך ונסמן ב {\displaystyle G({\mathcal {A}})}את אוסף האיברים ההפיכים על {\mathcal {A}}. נסמן ב e את איבר היחידה ב {\mathcal {A}}. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על {\mathcal {A}}. בבירור צריך להתקיים ש {\displaystyle F(e)=1} וכן ש {\displaystyle F(x)\neq 0} לכל x ב {\displaystyle G({\mathcal {A}})}. לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על {\mathcal {A}} המקיים {\displaystyle \phi (e)=1,\phi (x)\neq 0\forall x\in G({\mathcal {A}})} הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה
-----

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

**עובדה:** יהי {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}כך ש {\displaystyle \|x\|<1}אז {\displaystyle x-e} הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של {\displaystyle \sum \_{k}x^{k}} היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

**למה:** תהי f פונקציה שלמה המקיימת {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,0<|f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}} אז {\displaystyle f\equiv 1}.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש {\displaystyle g(0)=g'(0)=0} וכן {\displaystyle \Re (g(\lambda ))\leq |\lambda |}. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל {\displaystyle |\lambda |\leq r}, {\displaystyle |g(\lambda )|\leq |2r-g(\lambda )|}. נגדיר את הפונקציה הבאה:

{\displaystyle h\_{r}(\lambda ):={\tfrac {r^{2}g(\lambda )}{\lambda ^{2}(2r-g(\lambda ))}}}. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס {\displaystyle 2r}. כמו כן אם {\displaystyle |\lambda |=r}אז נקבל ש{\displaystyle |h\_{r}(\lambda )|\leq 1}. כעת מעקרון המקסימום, {\displaystyle |h\_{r}(\lambda )|\leq 1} לכל {\displaystyle |\lambda |\leq r}. נשאיף {\displaystyle r\to \infty }ונקבל שבהכרח g=0.

**הוכחת המשפט:**

יהי {\displaystyle N=\ker(\phi )}. יהו {\displaystyle x,y\in {\mathcal {A}}}ההנחה ש {\displaystyle \phi (e)=1}גוררת שאפשר לרשום {\displaystyle x=a+\phi (x)e,y=b+\phi (y)e}כאשר {\displaystyle a,b\in N}. {\displaystyle \phi (xy)=\phi (ab)+\phi (x)\phi (y)}ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש {\displaystyle a,b\in N\Rightarrow ab\in N}.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N}. נקבל ש {\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}}. נציב x+y במקום x ונקבל ש {\displaystyle \phi (xy+yx)=2\phi (x)\phi (y)}. לכן {\displaystyle x\in N\Rightarrow xy+yx\in N}. נתבונן בזהות הבאה: {\displaystyle (xy-yx)^{2}+(xy+yx)^{2}=2(x(yxy)+(yxy)x)}.

נניח ש {\displaystyle x\in N}. מהטענה הקודמת ומההנחה ש {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N} נקבל שצד ימין וכן {\displaystyle (xy+yx)^{2}}ב N. לכן {\displaystyle (xy-yx)^{2}}ב N וכיוון ש {\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}}נקבל ש {\displaystyle xy-yx}ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש \phi רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, {\displaystyle \|x-e\|\geq 1\forall x\in N}. לכן לכל {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,x\in N} {\displaystyle \|x-\lambda e\|\geq |\lambda |=|\phi (x-\lambda e)|} לכן נסיק ש \phi רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N}. נקבע {\displaystyle a\in N}. ללא הגבלת הכלליות, {\displaystyle \|a\|=1}. נגדיר {\displaystyle f(\lambda ):=\sum \_{k=0}^{\infty }{\tfrac {\phi (a^{n})\lambda ^{n}}{n!}}}. כיוון ש {\displaystyle |\phi (a^{n})|\leq \|a^{n}\|\leq \|a\|^{n}=1}נקבל ש f שלמה ומקיימת {\displaystyle |f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}} בבירור {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=\phi (a)=0}. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה {\displaystyle E(\lambda ):=\sum \_{k=0}^{\infty }{\tfrac {\lambda ^{n}}{n!}}a^{n}} מתכנסת בנורמה ומרציפות \phi  נקבל ש {\displaystyle f(\lambda )=\phi (E(\lambda ))} הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: {\displaystyle E(\lambda \_{1}+\lambda \_{2})=E(\lambda \_{1})E(\lambda \_{2})}(אותה הוכחה). בפרט {\displaystyle e=E(0)=E(\lambda )E(-\lambda )}. לכן

לכל {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }, {\displaystyle E(\lambda )}הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש {\displaystyle f\equiv 1}ובפרט {\displaystyle \phi (a^{2})=f''(0)=0}וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם
------

* אלגברת בנך

לקריאה נוספת
------------

* רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.