בתורת ההסתברות, איגודיות (Lumpability) היא תכונה של שרשרת מרקוב המאפשרת לצמצם את מרחב המצבים של השרשרת. שיטת הצמצום פורסמה לראשונה על ידי קמני וסנל.

הגדרה
-----

בהינתן שרשרת מרקוב שמרחב המצבים שלה ניתן לחלוקה על ידי תתי קבוצות זרות המסומנות ב *ti*, כך שמתקבלת החלוקה {\displaystyle \scriptstyle {T=\{t\_{1},t\_{2},\ldots \}}} של מצבי השרשרת, השרשרת תיקרא ניתנת לאיגוד ביחס לחלוקה *T* אם ורק אם

{\displaystyle \forall t\_{i},t\_{j}\in T,\forall n,n'\in t\_{i}:\sum \_{m\in t\_{j}}q(n,m)=\sum \_{m\in t\_{j}}q(n',m),}
כאשר {\displaystyle q(i,j)} היא ההסתברות לעבור ממצב i למצב j.

כלומר, עבור כל שני מצבים מאוגדים {\displaystyle t\_{i}} ו-{\displaystyle t\_{j}} (כולל האפשרות {\displaystyle i=j}), סכום ההסתברויות של המעברים מכל מצב מקורי בודד שהתאגד ל-{\displaystyle t\_{i}} אל כל המצבים שהתאגדו ל-{\displaystyle t\_{j}} זהה.

דוגמאות
-------

בהינתן מטריצת הסתברויות המעברים

{\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{16}}\\{\frac {7}{16}}&{\frac {7}{16}}&0&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{16}}&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {7}{16}}\\0&{\frac {1}{16}}&{\frac {3}{8}}&{\frac {9}{16}}\end{pmatrix}}}
נבחין שמצבי המטריצה ניתנים לאיגוד על ידי החלוקה
{\displaystyle \scriptstyle {T=\{(1,2),(3,4)\}}}
אז נגדיר מטריצה חדשה *P**t* שתיקרא המטריצה המאוגדת של *P* על *t*:

{\displaystyle P\_{t}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{8}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{16}}&{\frac {15}{16}}\end{pmatrix}}}
הסבר:

החלוקה {\displaystyle \scriptstyle {T=\{(1,2),(3,4)\}}} מאגדת את המצבים 1 ו-2 יחד ואת המצבים 3 ו-4 יחד. ההסתברות לעבור ממצב מספר 1 לעצמו היא {\frac {1}{2}} ולמצב 2 היא {\displaystyle {\frac {3}{8}}}, ובסה"כ {\displaystyle {\frac {7}{8}}}. שתי ההסתברויות למעברים ממצב 2 למצב 1 וממצב 2 לעצמו הן {\displaystyle {\frac {7}{16}}} ובסה"כ {\displaystyle {\frac {7}{8}}} .

מכיוון ששני סכומי ההסתברויות שווים זה לזה, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 לעצמו תהיה {\displaystyle {\frac {7}{8}}}.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 3 לעצמו היא {\frac {1}{2}} ולמצב 4 היא {\displaystyle {\frac {7}{16}}}, ובסה"כ {\displaystyle {\frac {15}{16}}}. ההסתברות לעבור ממצב מספר 4 לעצמו היא {\displaystyle {\frac {9}{16}}} ולמצב 3 היא {\displaystyle {\frac {3}{8}}}, ובסה"כ {\displaystyle {\frac {15}{16}}}.

מכיוון ששני סכומי ההסתברויות שווים זה לזה, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 לעצמו תהיה {\displaystyle {\frac {15}{16}}}.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 1 למצב מספר 3 או למצב מספר 4 היא {\displaystyle {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}={\frac {1}{8}}}. ההסתברות לעבור ממצב מספר 2 למצב מספר 3 או למצב מספר 4 היא {\displaystyle 0+{\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}}. 

מכיוון שההסתברויות למעברים מהמצבים 1 ו-2 שאוגדו יחד אל מצבים 3 ו-4 שאוגדו יחד זהות, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 למצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 תהיה {\displaystyle {\frac {1}{8}}}.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 3 למצב מספר 1 או למצב מספר 2 היא {\displaystyle {\frac {1}{16}}+0={\frac {1}{16}}}. ההסתברות לעבור ממצב מספר 4 למצב מספר 1 או למצב מספר 2 היא {\displaystyle 0+{\frac {1}{16}}={\frac {1}{16}}}. 

מכיוון שההסתברויות למעברים מהמצבים 3 ו-4 שאוגדו יחד אל מצבים 1 ו-2 שאוגדו יחד זהות, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 למצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 תהיה {\displaystyle {\frac {1}{16}}}.

הערות שוליים
------------

1. ↑  הן מרחב המצבים והן החלוקה שלו יכולים להיות סופיים או בני-מנייה