פירוש נוסף ערך זה עוסק בשני משפטים הקרויים על שם ויירשטראס באנליזה ממשית. אם התכוונתם למשפטים אחרים הקרויים על שם ויירשטראס, ראו משפט ויירשטראס.
שני המשפטים שהוכיח קארל ויירשטראס על פונקציות ממשיות הם מן המשפטים היסודיים בחשבון האינפיניטסימלי. המשפטים עוסקים בפונקציות רציפות המוגדרות בקטע סגור וחסום.

**המשפט הראשון** קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור, חסומה שם.

**המשפט השני** מוסיף וקובע כי הפונקציה מקבלת בקטע ערכי מינימום ומקסימום.

תכונות אלה לא מתקיימות בהכרח בפונקציות רציפות מעל קטעים שאינם סגורים. לדוגמה, הפונקציה {\displaystyle f(x)=1/x} רציפה בקטע {\displaystyle (0,1)}, שאינו סגור, ואינה חסומה שם. באופן דומה, הפונקציה {\displaystyle g(x)=x} חסומה בקטע {\displaystyle (0,1)}, אבל אינה מקבלת בו מינימום או מקסימום (לכל נקודה בקטע הפתוח יש נקודה שמאלית/ימנית ממנה בקטע ששם מתקבל ערך קטן/גדול יותר בהתאמה).

שני המשפטים חלים גם על פונקציות ממשיות של כמה משתנים: פונקציה רציפה המוגדרת על קבוצה סגורה וחסומה ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, היא חסומה, וערכי המינימום והמקסימום שלה מתקבלים.

באופן כללי אף יותר, המשפטים נותנים את אחת התכונות היסודיות של פונקציות המוגדרות על קבוצות קומפקטיות: פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית היא חסומה, ומקבלת את ערך המקסימום שלה בתחום ההגדרה. כפי שיוסבר בהמשך, הסיבה העקרונית לשתי התכונות היא שתמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת המשפט הראשון
------------------

נביא כאן הוכחה עבור פונקציה רציפה {\displaystyle f} המוגדרת על קטע סגור {\displaystyle A=[a,b]} ב- {\displaystyle \mathbb {R} }. ההוכחה הכללית עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} דומה.

נניח שתמונת {\displaystyle f} אינה חסומה. אם כך, לכל {\displaystyle n} קיימת נקודה {\displaystyle x\_{n}\in A} כך ש- {\displaystyle f(x\_{n})>n}. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת, {\displaystyle x\_{n\_{k}}\rightarrow x}. מכיוון ש-{\displaystyle A} סגורה, {\displaystyle x\in A}. אבל {\displaystyle f} רציפה ב-{\displaystyle x}, ולכן {\displaystyle \infty =\lim \_{k\rightarrow \infty }f(x\_{n\_{k}})=\lim \_{n\rightarrow \infty }f(x\_{n})=f(x)}, וזה בלתי אפשרי.

הוכחת המשפט השני
----------------

### הוכחה א'

לפי המשפט הראשון, הפונקציה חסומה מלעיל ב-{\displaystyle A}. לכן, בשל שלמות הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמן {\displaystyle s=\sup f\left(A\right)}. מכיוון שזהו חסם עליון, קיימת לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } נקודה {\displaystyle x\_{n}\in A} כך ש- {\displaystyle s-{\frac {1}{n}}<f(x\_{n})\leq s}, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }f(x\_{n})=s}. שוב לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת לסדרה שבנינו תת-סדרה מתכנסת, {\displaystyle x\_{n\_{k}}}. נסמן {\displaystyle x\_{0}=\lim \_{k\rightarrow \infty }x\_{n\_{k}}}. לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle a\leq x\_{n\_{k}}\leq b}, ולכן {\displaystyle a\leq \lim \_{k\rightarrow \infty }x\_{n\_{k}}\leq b} ומכאן {\displaystyle x\_{0}=\lim \_{k\rightarrow \infty }x\_{n\_{k}}\in [a,b]=A}. מכיוון ש-{\displaystyle f} רציפה ב-{\displaystyle A} היא בפרט רציפה ב-{\displaystyle x\_{0}} ולכן מתקיים {\displaystyle f(x\_{0})=\lim \_{k\rightarrow \infty }f(x\_{n\_{k}})}. אבל, {\displaystyle f(x\_{n\_{k}})} תת-סדרה של הסדרה המתכנסת {\displaystyle f(x\_{n})} ולכן היא מתכנסת ל-{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }f(x\_{n})}, ומכאן {\displaystyle f(x\_{0})=\lim \_{k\rightarrow \infty }f(x\_{n\_{k}})=\lim \_{n\rightarrow \infty }f(x\_{n})=s}. כלומר, מצאנו נקודה {\displaystyle x\_{0}\in A} כך שלכל {\displaystyle x\in A} מתקיים {\displaystyle f(x)\leq \sup f\left(A\right)=s=f(x\_{0})} ולכן היא נקודת מקסימום.

### הוכחה ב'

אפשר להציע **הוכחה שונה** מעט למשפט השני, הנסמכת על המשפט הראשון במקום על משפט בולצאנו-ויירשטראס: אם {\displaystyle s} הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז {\displaystyle s-f(x)>0} והפונקציה {\displaystyle {\frac {1}{s-f(x)}}} חיובית ורציפה בכל הקטע. לפי המשפט הראשון היא חסומה מלעיל, כלומר קיים {\displaystyle z>0} כך שלכל {\displaystyle x\in A} מתקיים {\displaystyle {\frac {1}{s-f(x)}}\leq z}. מכך נובע ש- {\displaystyle f(x)\leq s-1/z<s}, בסתירה לכך ש- {\displaystyle s} הוא החסם העליון.

הוכחה כללית
-----------

לכל שני מרחבים טופולוגיים {\displaystyle X,Y} ופונקציה רציפה {\displaystyle f:X\rightarrow Y}, התמונה של קבוצה קומפקטית במרחב {\displaystyle X} היא קומפקטית במרחב {\displaystyle Y} (להוכחה עיינו בערך קומפקטיות). כעת נניח שהמרחב השני הוא הישר הממשי עם הטופולוגיה המטרית. נזכיר שקבוצה קומפקטית על הישר הממשי היא קבוצה סגורה וחסומה, ולכן היא כוללת את החסם התחתון והחסם העליון של עצמה. מכאן נובע שפונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום ומינימום.

כדי לסיים את גזירת המשפטים של ויירשטראס עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, נשאר להפעיל את משפט היינה-בורל שלפיו קבוצות כאלה הן קומפקטיות.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

קישורים חיצוניים
----------------

* משפטי ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)