שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 



|  |
| --- |
| **ערך מחפש מקורות** |
| רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. 
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה. |

בתורת המספרים האדיטיבית, **משפטי שנירלמן** הם משפטים מרכזיים העוסקים בצפיפות של קבוצות מספרים, החלקיות לקבוצת המספרים הטבעיים. למשפטים אלו יש השלכה לבעיית וארינג והרבה מאוד משפטים העוסקים בתורת המספרים האדיטיבית.

ניסוח המשפטים
-------------

יהו \ A,B קבוצות מספרים המוכלות בקבוצת המספרים הטבעיים, אזי:  

1){\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)}. כאשר הסימון \ \delta  מייצג את צפיפות שנירלמן.   
 
2)אם {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert B(n)\vert >n-1} אזי \ n מופיע בקבוצה {\displaystyle \ A+B}  

3)אם {\displaystyle \ \delta (A)+\delta (B)\geq 1} אזי {\displaystyle \ A+B=\mathbb {N} } (קבוצת המספרים הטבעיים).  
 
במשפט השני והשלישי אנחנו מניחים כי {\displaystyle \ 0\in A,B}.

הוכחת המשפטים
-------------

### המשפט הראשון

נבדוק שני מקרים: מקרה ראשון כאשר \ A,B מכילים לכל היותר איבר אחד, ומקרה שני כאשר לפחות אחד מהקבוצות \ A,B מכילות יותר מאיבר אחד. בהינתן שמתקיים המקרה הראשון האי-שוויון הוא טריוויאלי, שכן במקרה זה {\displaystyle \ \delta (A)=\delta (B)=0} ודי ברור ש {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq 0=\delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)}.עכשיו נותר להוכיח את המשפט למקרה השני.

נניח בלי הגבלת הכלליות שמספר האיברים ב- \ A גדול מאחד, נסדר את איברי A לפי הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים:

{\displaystyle \ A=\left\{a\_{1},a\_{2},\dots \right\}}
כאשר **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ a\_n < a\_{n+1}}**
 לכל אינדקס n.  

יהיו {\displaystyle \ a\_{k},a\_{k+1}} מספרים השייכים ל-**הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \ A**
, אז לפי סידור איברי הקבוצה: {\displaystyle \ a\_{k}<a\_{k+1}}. 
נגדיר {\displaystyle \ a\_{k+1}-a\_{k}-1=L\_{k}}. ברור שהמספרים {\displaystyle \ a\_{k}+1,a\_{k}+2,...a\_{k}+L\_{k}=a\_{k+1}-1} לא שייכים לקבוצה \ A. כמו כן המספר {\displaystyle \ a\_{k}+r} יופיעו ב{\displaystyle \ A+B}
אם ורק אם \ r שייך ל- \ B כאשר \ r הוא מספר קטן מ- {\displaystyle \ L\_{k}} וגדול מ- **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \ 1**
,לכן \ r שייך ל {\displaystyle \ B(L\_{k})}.  

לכן הקבוצה {\displaystyle \ a\_{k}+B(L\_{k})}(כלומר הקבוצה שכל איבריה שווים לסכום האיבר {\displaystyle \ a\_{k}} ועוד איבר כלשהו מ{\displaystyle \ B(L\_{k})}) מוכל ב**הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ A+B}**
.לכן גם אחוד כל הקבוצות מהצורה{\displaystyle \ a\_{k}+B(L\_{k})} כאשר**הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \ K**
 רץ מ\ 1 ל \ n-1 מוכל ב{\displaystyle \ A+B} שזה הקבוצה {\displaystyle \ A(n)+\sum \_{k=1}^{n-1}B(L\_{k})}   

.מכאן נובע ש- {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert \sum \_{k=1}^{n-1}B(L\_{k})\vert \leq \vert (A+B)(n)\vert } 
לפי הגדרת הצפיפות {\displaystyle \ \vert B(L\_{k})\vert \geq \delta (B)\*L\_{k}}
וגם {\displaystyle \ \vert A(n)\vert \geq \delta (A)\*n}, ומובן ש{\displaystyle \ \sum \_{k=1}^{n-1}L\_{k}=n-A(n)} (כי המקומות שבהם אין איבר מ**הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \ A**
הוא סכום כל האיברים שנמצאים בין {\displaystyle \ a\_{k+1}}ל{\displaystyle \ a\_{k}})
  

לכן

{\displaystyle \ \vert (A+B)(n)\vert \geq \vert A(n)\vert +\sum \_{k=1}^{n-1}\vert B(L\_{k})\vert }  

{\displaystyle \ \geq \vert A(n)\vert +\delta (B)\sum \_{k=1}^{n-1}L\_{k}=\vert A(n)\vert +\delta (B)(n-\delta (A)\*n)\geq \delta (A)\*n+\delta (B)\*n-\delta (A)\delta (B)\*n}
  

לכן לכל n
{\displaystyle \ {\frac {\vert (A+B)(n)\vert }{n}}\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)}
לכן בהכרח מתקיים {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)}.   

מ.ש.ל

### משפט שני

נניח כי {\displaystyle \ n\in A}.ידוע כי {\displaystyle \ 0\in B} ולכן {\displaystyle \ n=n+0\in A+B}.כלומר המשפט מתקיים כאשר \ n נמצא ב**הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \ A**
(באותו אופן המשפט נכון כאשר {\displaystyle \ n\in B}).לכן אם נוכיח את הטענה ל{\displaystyle \ n\not \in B,A} נוכיח את המשפט.  
כאשר {\displaystyle \ n\not \in B,A} מתקיים {\displaystyle \ A(n)=A(n-1),B(n)=B(n-1)} ונקבל {\displaystyle \ A(n-1)+B(n-1)>n-1}.נגדיר {\displaystyle \ \vert A(n-1)\vert =r,\vert B(n-1)\vert =s} כלומר {\displaystyle \ r+s>n-1}.לכן אם יש {\displaystyle \ r+s} מספרים כאשר כל המספרים הם בין \ 1 ל\ n-1 אז יש לפחות מספר אחד שמופיע פעמיים.  
לכן בהכרח שניים מהמספרים {\displaystyle \ a\_{1},a\_{2},...a\_{r},n-b\_{1},n-b\_{2},...n-b\_{s}} מתלכדים.כלומר ישנו {\displaystyle \ i,j} כך ש {\displaystyle \ a\_{i}=n-b\_{j}} כלומר {\displaystyle \ A+B\ni a\_{i}+b\_{j}=n}  

מ.ש.ל

### משפט שלישי

לפי הגדרת הצפיפות לכל \ n מתקיים {\displaystyle \ {\frac {\vert A(n)\vert }{n}}\geq \delta (A),{\frac {\vert B(n)\vert }{n}}\geq \delta (B)}. לכן {\displaystyle \ {\frac {\vert A(n)\vert }{n}}+{\frac {\vert B(n)\vert }{n}}\geq \delta (A)+\delta (B)\geq 1} כלומר {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert B(n)\vert \geq n>n-1} לכן,לפי משפט 2, כל \ n נמצא ב{\displaystyle \ A+B} ולכן {\displaystyle \ A+B=N}  

מ.ש.ל

ראו גם
------

* צפיפות שנירלמן