במתמטיקה, **נוסחת נסיגה** היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי. כל איבר מוגדר באמצעות האיברים הקודמים בסדרה. למשל, סדרת פיבונאצ'י מוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה \ F\_{{n+1}}=F\_{n}+F\_{{n-1}}, יחד עם **תנאי ההתחלה** {\displaystyle \ F\_{0}=F\_{1}=1}.

הגדרה רקורסיבית של סדרה
-----------------------

בהגדרה רקורסיבית יש שני חלקים: 

1. תנאי התחלה הקובעים את האיברים הראשונים בסדרה,
2. נוסחת הנסיגה, המגדירה כל איבר בסדרה באופן רקורסיבי לפי האיברים הקודמים לו.

מעבר מנוסחת נסיגה להצגה מפורשת
------------------------------

נוסחת נסיגה מתארת את הקשר בין האיברים בסדרה, אבל אינה נותנת תיאור ישיר שלהם. כדי לחשב את האיבר ה-n בסדרה (ואפילו כדי להעריך את סדר הגודל שלו), יש לחשב את כל האיברים הקודמים. **פתרון** של נוסחת הנסיגה הוא מעבר מנוסחה כזו לנוסחה מפורשת ("**נוסחה ישירה**" או "**נוסחה סגורה**"). ישנן מספר שיטות לעשות כן:

### הצבה חוזרת

במקרים של נוסחת נסיגה פשוטה, ניתן להציב שוב ושוב את הנוסחה בעצמה עד אשר מגיעים אל תנאי ההתחלה, ובכך להגיע לנוסחה סגורה.

דוגמה: נביט בסדרה {\displaystyle x\_{0}=a,x\_{n}=q\cdot x\_{n-1}}. זוהי נוסחה של סדרה הנדסית, שבה המנה של כל שני איברים עוקבים היא {\displaystyle \!\,q}. כעת ניקח את הנוסחה של {\displaystyle \!\,x\_{n}} ונציב בה את עצמה שוב ושוב עד אשר נגיע לאיבר {\displaystyle \!\,x\_{0}}:

{\displaystyle x\_{n}=q\cdot x\_{n-1}=q\cdot q\cdot x\_{n-2}=\dots =q^{n}\cdot x\_{0}=q^{n}\cdot a}.

### ניחוש הפתרון

לעיתים, ובמיוחד במקרים בהם לא ניתנים תנאי התחלה, אין דרך שיטתית לפתור נוסחת נסיגה, אולם ניתן להעריך את צורתו של הפתרון שיתקבל - למשל, האם יהיה מהצורה {\displaystyle \!\,x\_{n}=A+Bn+C^{n}}. כשפותרים בדרך זו, יש להשתמש בתנאי ההתחלה הידועים של נוסחת הנסיגה כדי לחשב את המקדמים של הנוסחה המפורשת, ואז להוכיח (למשל באמצעות אינדוקציה מתמטית) את נכונות הנוסחה המנוחשת.

### משוואה אופיינית

זוהי דרך שיטתית לפתור נוסחאות מהצורה {\displaystyle \!\,x\_{n}=Ax\_{n-1}+Bx\_{n-2}} (סדרת לוקאס) (הערה: נוסחת נסיגה זו, בה יש התייחסות לשני איברים קודמים בסדרה, נקראת "**נוסחת נסיגה כפולה**"). עבור נוסחה שכזו, יש לפתור את המשוואה הריבועית {\displaystyle \!\,r^{2}-Ar-B=0} ולקבל את השורשים {\displaystyle \!\,\lambda \_{1},\lambda \_{2}}.

אם השורשים שונים, האיבר הכללי של נוסחת הנסיגה הוא מהצורה {\displaystyle \!\,x\_{n}=C\lambda \_{1}^{n}+D\lambda \_{2}^{n}}. אם הם זהים, האיבר הכללי הוא {\displaystyle \!\,x\_{n}=C\lambda ^{n}+nD\lambda ^{n}}. את המקדמים {\displaystyle \!\,C,D} יש למצוא באמצעות תנאי ההתחלה.

בתור דוגמה נפתור את סדרת פיבונאצ'י, שהיא כזכור מהצורה {\displaystyle \!\,x\_{n}=x\_{n-1}+x\_{n-2}}, כלומר אנו מחפשים את שורשי המשוואה {\displaystyle \!\,r^{2}-r-1=0}. הפתרונות למשוואה זו הם 
{\displaystyle \!\,\lambda \_{1,2}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}. לכן האיבר הכללי הוא מהצורה {\displaystyle \!\,x\_{n}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}.

כעת נמצא את המקדמים. ראשית נציב {\displaystyle \!\,n=0} ונקבל {\displaystyle \!\,x\_{0}=C+D}. כעת נציב {\displaystyle \!\,n=1} ונקבל {\displaystyle \!\,x\_{1}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}.

מהמשוואה הראשונה נקבל: {\displaystyle \!\,C+D=0} (כי האיבר הראשון הוא 0) ולכן {\displaystyle \!\,C=-D}. האיבר השני הוא 1, ולכן לאחר שנציב את הנתונים במשוואה השנייה נקבל: {\displaystyle \!\,C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-C\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)=1}.

ממשוואה זו נקבל {\displaystyle \!\,C={\frac {1}{\sqrt {5}}}}. על כן, הנוסחה הכללית של פיבונאצ'י היא: {\displaystyle \!\,{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}.

### פונקציות יוצרות

דרך נוספת לפתרון נוסחאות נסיגה היא באמצעות פונקציות יוצרות שמקדמיהן הם איברי הנוסחה.

### סדרה ליניארית לא הומוגנית

אם נתון יחס הנסיגה {\displaystyle y\_{n}=a\_{1}y\_{n-1}+a\_{2}y\_{n-2}+...+a\_{k}y\_{n-k}+b} עם תנאי התחלה {\displaystyle (y\_{1},...y\_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} כאשר b\neq 0 אומרים שזו סדרת נסיגה ליניארית לא-הומוגנית. לפני שניגשים לפתור אותה בשיטות שתוארו קודם יש לבצע לה הומוגניזציה. אם לסדרה יש מצב יציב או גבול של סדרה אז הדבר אפשרי. נסמן 



y

∞

=

lim

n
→
∞

y

n

=

b

1
−

a

1

−
.
.
.
−

a

k


{\displaystyle y\_{\infty }=\lim \_{n\to \infty }y\_{n}={\frac {b}{1-a\_{1}-...-a\_{k}}}}

{\displaystyle y_{\infty }=\lim _{n\to \infty }y_{n}={\frac {b}{1-a_{1}-...-a_{k}}}}
זהו הגבול של הסדרה וקיים רק אם {\displaystyle a\_{1}+...+a\_{k}\neq 1} (נוסחה זו מתקבלת על ידי החלפת כל ה-y-ים בגבול {\displaystyle y\_{\infty }}). כעת נגדיר סדרה חדשה: {\displaystyle z\_{n}=y\_{n}-y\_{\infty }}. סדרה זו מקיימת את היחס הבא: 



z

n

=

a

1

z

n
−
1

+

a

2

z

n
−
2

+
.
.
.
+

a

k

z

n
−
k

{\displaystyle z\_{n}=a\_{1}z\_{n-1}+a\_{2}z\_{n-2}+...+a\_{k}z\_{n-k}}

{\displaystyle z_{n}=a_{1}z_{n-1}+a_{2}z_{n-2}+...+a_{k}z_{n-k}}
ומכאן אפשר להמשיך כמו מקודם. מוצאים את k השורשים של הפולינום האופייני 



λ

k

−

a

1

λ

n
−
1

−
.
.
.
−

a

k
−
1

λ

1

−

a

k

=
0

{\displaystyle \lambda ^{k}-a\_{1}\lambda ^{n-1}-...-a\_{k-1}\lambda ^{1}-a\_{k}=0}

{\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{n-1}-...-a_{k-1}\lambda ^{1}-a_{k}=0}. אם יש k שורשים שונים, הפתרון הכללי יהיה 



z

n

=

c

1

λ

1

n

+
.
.
.
+

c

k

λ

k

n

{\displaystyle z\_{n}=c\_{1}\lambda \_{1}^{n}+...+c\_{k}\lambda \_{k}^{n}}

{\displaystyle z_{n}=c_{1}\lambda _{1}^{n}+...+c_{k}\lambda _{k}^{n}}
כאשר את המקדמים {\displaystyle c\_{1},...c\_{k}} מוצאים באמצעות תנאי ההתחלה. אם יש שורש מריבוי m אז במקום m מופעים שלו רושמים את הביטוי 



c
~

1

λ

m

n

+

c
~

2

n

λ

m

n

+
.
.
.
+

c
~

m

n

m
−
1

λ

m

n

{\displaystyle {\tilde {c}}\_{1}\lambda \_{m}^{n}+{\tilde {c}}\_{2}n\lambda \_{m}^{n}+...+{\tilde {c}}\_{m}n^{m-1}\lambda \_{m}^{n}}

{\displaystyle {\tilde {c}}_{1}\lambda _{m}^{n}+{\tilde {c}}_{2}n\lambda _{m}^{n}+...+{\tilde {c}}_{m}n^{m-1}\lambda _{m}^{n}}. אם יש שורש מרוכב, אז הוא בא עם שורש צמוד. נרשום את שני השורשים כך {\displaystyle \lambda \_{\pm }=\alpha \pm i\beta =r\cdot e^{i\theta }=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )} ואז נשתמש בנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ונוסחת דה-מואבר כדי לרשום אותם בצורה 



c

+

λ

+

n

+

c

−

λ

−

n

=

k

1

r

n

cos
⁡
(
n
θ
)
+

k

2

r

n

sin
⁡
(
n
θ
)

{\displaystyle c\_{+}\lambda \_{+}^{n}+c\_{-}\lambda \_{-}^{n}=k\_{1}r^{n}\cos(n\theta )+k\_{2}r^{n}\sin(n\theta )}

{\displaystyle c_{+}\lambda _{+}^{n}+c_{-}\lambda _{-}^{n}=k_{1}r^{n}\cos(n\theta )+k_{2}r^{n}\sin(n\theta )}
כאשר {\displaystyle k\_{1},k\_{2}} הם קבועים ממשיים אותם מוצאים מתנאי ההתחלה (ביחד עם שאר מקדמי הצירוף הליניארי).

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **נוסחת נסיגה** |

* RecurrenceRelation.html נוסחת נסיגה, באתר MathWorld (באנגלית)
* משוואות פרש, דף שער בספרייה הלאומית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007553021405171
* GND: 4012264-5
* LCCN: sh85037879
* NKC: ph119449

 |