**מבחן F** הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס.
השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George Waddel Snedecor), כמחווה לרונלד פישר.

דוגמאות למבחן F
---------------

להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.

* בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
* בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

דוגמה להשוואה בין שונויות
-------------------------

יהיו {\displaystyle X\_{1},...X\_{n}\sim N(\mu \_{1},\sigma \_{1}^{2})} ו-{\displaystyle Y\_{1},...Y\_{m}\sim N(\mu \_{2},\sigma \_{2}^{2})} שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות.
נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:


H

0

:

σ

1

2

=

σ

2

2

{\displaystyle H\_{0}:\sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}}

{\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}}


H

1

:

σ

1

2

≠

σ

2

2

{\displaystyle H\_{1}:\sigma \_{1}^{2}\neq \sigma \_{2}^{2}}

{\displaystyle H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}
כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית:




μ
^

1

=

X
¯

,


σ
^

1

2

=

1
n

∑
(

X

i

−

X
¯

)

2

{\displaystyle {\hat {\mu }}\_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}\_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}}

{\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}



μ
^

2

=

Y
¯

,


σ
^

2

2

=

1
m

∑
(

Y

i

−

Y
¯

)

2

{\displaystyle {\hat {\mu }}\_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}\_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}}

{\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}
פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: 


L
(

μ
^

1

,

μ
^

2

,

σ
^

1

,

σ
^

2

)
=

(

1

2
π



σ
^

1


)

n

e

−

n
2



(

1

2
π



σ
^

2


)

m

e

−

m
2



{\displaystyle L({\hat {\mu }}\_{1},{\hat {\mu }}\_{2},{\hat {\sigma }}\_{1},{\hat {\sigma }}\_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}\_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}\_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}}

{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}}
תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן {\displaystyle {\hat {\sigma }}\_{0}^{2}={\frac {\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}}. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא:



L
(

μ
^

1

,

μ
^

2

,

σ
^

0

)
=

(

1

2
π



σ
^

0


)

n
+
m

e

−

n
+
m

2



{\displaystyle L({\hat {\mu }}\_{1},{\hat {\mu }}\_{2},{\hat {\sigma }}\_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}\_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}}

{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}}
משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:



λ
(
X
,
Y
)
=

L
(

μ
^

1

,

μ
^

2

,

σ
^

1

,

σ
^

2

)

L
(

μ
^

1

,

μ
^

2

,

σ
^

0

)

=

(



σ
^

1

2



σ
^

0

2

)

n
2


(



σ
^

2

2



σ
^

0

2

)

m
2


{\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}\_{1},{\hat {\mu }}\_{2},{\hat {\sigma }}\_{1},{\hat {\sigma }}\_{2})}{L({\hat {\mu }}\_{1},{\hat {\mu }}\_{2},{\hat {\sigma }}\_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}\_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}\_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}\_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}\_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}

{\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}
ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:



λ
(
X
,
Y
)
=

(

(

1
+

∑
(

Y

i

−

Y
¯

)

2

∑
(

X

i

−

X
¯

)

2



)

n
+
m

n

)

−

n
2



(

(

1
+

∑
(

X

i

−

X
¯

)

2

∑
(

Y

i

−

Y
¯

)

2



)

n
+
m

m

)

−

m
2



{\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}}

{\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}}
כעת, נביט בסטטיסטי {\displaystyle T(X,Y)={\frac {\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, {\displaystyle \lambda (X,Y)} שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם {\displaystyle T(X,Y)>C\_{1}} או {\displaystyle T(X,Y)<C\_{2}}, כאשר רמת הביטחון מקיימת



α
=
P

(

{
T
(
X
,
Y
)
<

C

2

}
∪
{
T
(
X
,
Y
)
>

C

1

}

)

{\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C\_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C\_{1}\}\right)}

{\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)}.

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: {\displaystyle {\frac {\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}={\frac {S\_{Y}^{2}}{S\_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi \_{m-1}^{2}/(m-1)}{\chi \_{n-1}^{2}/(n-1)}}=F\_{m-1,n-1}}

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי {\displaystyle T'(X,Y)={\frac {\sum (Y\_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}}.
כדי לקבל אותו, נחלק ב-{\displaystyle n-1,m-1} את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם {\displaystyle T'(X,Y)>C\_{1}^{\*}} או {\displaystyle T'(X,Y)<C\_{2}^{\*}} כאשר רמת הביטחון מקיימת {\displaystyle \alpha =P(T'(X,Y)<C\_{2}^{\*}orT'(X,Y)>C\_{1}^{\*})}.

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : {\displaystyle C\_{1}^{\*}=F\_{m-1,n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}},C\_{2}^{\*}=F\_{m-1,n-1;{\frac {\alpha }{2}}}}

ראו גם
------

* מבחן t

קישורים חיצוניים
----------------