באנליזה מרוכבת, **פונקציה אוניוולנטית** (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד חד ערכית. **פונקציה מולטי-ולנטית** היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים.

התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת. משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים {\displaystyle b\_{n}} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים {\displaystyle |b\_{n}|\leq n}. המשפט נוסח תחילה כהשערה בשנת 1916 והיה בגדר בעיה פתוחה עד להוכחתו בשנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

הגדרה והצורה הנורמלית
---------------------

### הגדרה

פונקציה מרוכבת {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} } תקרא

* **אוניוולנטית** (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד חד ערכית.
* **מולטי-ולנטית** (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים. עבור p המקסימלי נקרא לה p-ולנטית.

### הצורה הנורמלית

בהינתן פונקציה אוניוולנטית {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}}, ניתן להגיע ל**צורה נורמלית** שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו. ניתן גם לחלק במקדם {\displaystyle b\_{1}} של z, ולכן להניח מלכתחילה {\displaystyle b\_{0}=0,b\_{1}=1}, כלומר הפונקציה מהצורה {\displaystyle f(z)=z+\sum \_{n=2}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}}.

רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר {\displaystyle \Omega =D=\{z:|z|<1\}}. את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב-S.

בהינתן פונקציה {\displaystyle f(z)=z+\sum \_{n=2}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}\in S}, ניתן להביט בפונקציה {\displaystyle {\hat {f}}:D^{c}\to \mathbb {C} } הנתונה על ידי {\displaystyle z+\sum \_{n=2}^{\infty }{b\_{n}{\frac {1}{z^{n}}}}}. מתקיים ש- {\displaystyle {\frac {1}{\hat {f}}}} אוניוולנטית ב-{\displaystyle D^{c}} ולא מקבלת את אפס. היא נקראת **פונקציה דואלית** ל-f. אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב-{\displaystyle \Sigma \_{0}}. מובן שיש התאמה 1:1 בין {\displaystyle \Sigma \_{0}} לבין S, הנתונה כנ"ל.

דוגמאות
-------

* הפונקציה {\displaystyle (1+z)^{2}} היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש-{\displaystyle (1+z)^{3}} איננה אוניוולנטית שם.
* פונקציית קוב הנתונה על ידי {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} היו אוניוולנטית בעיגול היחידה. זוהי פונקציה חשוב מאוד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'.

אם עוברים לפונקציה ב-{\displaystyle \Sigma \_{0}}, נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב - {\displaystyle {\hat {f}}(\eta )={\frac {1}{\eta }}+\eta -2}.
* נניח {\displaystyle f(z)\in S}, ולכל {\displaystyle |a|<1} נגדיר {\displaystyle \phi (z)={\frac {z+a}{1+{\overline {a}}z}}}, אז גם {\displaystyle {\frac {f(\phi (z))-f(a))}{f'(a)(1-|a|^{2})}}\in S}.

פעולות בסיסיות
--------------

בהינתן פונקציה {\displaystyle f(z)=z+\sum \_{n=2}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}\in S}, גם הפונקציות הבאות הן ב-S:

* סיבוב (Rotation) - {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} :e^{-i\alpha }f(e^{i\alpha }z)=z+\sum \_{n=2}^{\infty }{b\_{n}e^{i(n-1)\alpha }z^{n}}}
* הצמדה {\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}=z+\sum \_{n=2}^{\infty }{{\overline {b\_{n}}}z^{n}}}
* {\displaystyle {\sqrt[{k}]{f({z}^{k})}}} (כאשר בוחרים ענף).

נוסחאות שטח
-----------

השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ-S טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים.

**משפט** אם {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}} אוניוולנטית על {\displaystyle D\_{r}=\{|z|<r\}}, השטח של {\displaystyle {\overline {f(D\_{r})}}} נתון על ידי {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\pi n|b\_{n}|^{2}r^{2n}}}. בפרט, כאשר {\displaystyle r=1} אז {\displaystyle f\in S} והשטח הוא {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\pi n|b\_{n}|^{2}}}.

**מסקנה** - אם f אוניוולנטית על טבעת מהצורה {\displaystyle A=\{r<|z|<R\}}, השטח של {\displaystyle {\overline {f(A)}}} הוא {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\pi n|b\_{n}|^{2}(R^{2n}-r^{2n})}}.

**מסקנה** - אם f אוניוולנטית על {\displaystyle D\_{r}^{c}=\{z:|z|>r\}}. אז השטח של {\displaystyle ({\overline {f(D\_{r}^{c})}}} הוא {\displaystyle \pi (|b\_{1}|r^{2}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n|b\_{n}|^{2}}{r^{2n}}})}. בפרט, נקבל {\displaystyle |b\_{1}|r^{2}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n|b\_{n}|^{2}}{r^{2n}}}\geq 0}.

כעת, אם משאיפים {\displaystyle r\to 1} במסקנה, ניתן לקבל את **משפט השטח**:

**משפט השטח** (The Area Theorem, Gronwall, 1914): אם {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{b\_{n}z^{n}}\in \Sigma \_{0}} אז {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{|b\_{n}|^{2}}\leq 1}. שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה {\displaystyle f(D^{c})} מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס.

טענות על המקדמים
----------------

אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים. לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות. הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור **השערת ביברבך** או **השערת המקדמים**, הטוען כי {\displaystyle |b\_{n}|\leq n}. הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת.

ראו גם
------

* משפט דה ברנז'
* השערת גודמן
* משפט הרבע של קוב

לקריאה נוספת
------------

* Goodman, A.W. (1983). *Univalent functions*. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.
* Goodman, A.W. (1983). *Univalent functions*. Univalent Functions. Vol. 2. Mariner Pub. Co.
* AN INVITATION TO THE STUDY OF UNIVALENT AND MULTIVALENT FUNCTIONS, A.W. GOODMAN


|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NDL: 00572705

 |