במתמטיקה, **סדרת לוקאס** היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה {\displaystyle \ a\_{n+2}=P\cdot a\_{n+1}-Q\cdot a\_{n}}, כאשר {\displaystyle \ P} ו-{\displaystyle \ Q} קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס, דוגמה: 1,3,4,7,11,18,29......

הגדרה פורמלית
-------------

לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה {\displaystyle \ L\_{n}=PL\_{n-1}-QL\_{n-2}}, ותנאי ההתחלה הקובעים את {\displaystyle \ L\_{0},\,L\_{1}}. בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה {\displaystyle \ U\_{0}(P,Q)=0,U\_{1}(P,Q)=1} (ונוסחת הנסיגה {\displaystyle \ U\_{n}=PU\_{n-1}(P,Q)-QU\_{n-2}(P,Q)}) נקראת **סדרת לוקאס מהסוג הראשון**, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה {\displaystyle \ V\_{0}(P,Q)=2,V\_{1}(P,Q)=P} (ונוסחת הנסיגה {\displaystyle \ V\_{n}=PV\_{n-1}(P,Q)-QV\_{n-2}(P,Q)}) נקראת **סדרת לוקאס מהסוג השני**. 

למשל, {\displaystyle \ U\_{n}(1,-1)} היא סדרת פיבונאצ'י, {\displaystyle \ V\_{n}(1,-1)} הם מספרי לוקאס, {\displaystyle \ U\_{n}(2,-1)} היא סדרת פל, {\displaystyle \ V\_{n}(2,-1)} היא סדרת פל-לוקאס, {\displaystyle \ U\_{n}(3,2)} הם מספרי מרסן ו-{\displaystyle U\_{n}(6,8)=2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)} היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת
------------

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות: {\displaystyle \left({\begin{array}{c}L\_{n}\\L\_{n-1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}P&Q\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}L\_{n-1}\\L\_{n-2}\end{array}}\right)}. לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא {\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}. נסמן את הדיסקרימיננטה {\displaystyle \ D=P^{2}-4Q}, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}\,}
ולכן אם שני השורשים שונים אז

{\displaystyle U\_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}} ו-
{\displaystyle V\_{n}=a^{n}+b^{n}\,}
ואם שני השורשים זהים, {\displaystyle U\_{n}=nS^{n-1}\,} ו- {\displaystyle V\_{n}=2S^{n}\,} כאשר מתקיים ש-{\displaystyle \ S={\sqrt {Q}}={\tfrac {P}{2}}}.

זהויות
------

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

{\displaystyle F\_{n}=U\_{n}(1,-1)}, {\displaystyle L\_{n}=V\_{n}(1,-1)}. 

| זהות כללית | מקרה פרטי |
| --- | --- |
| {\displaystyle (P^{2}-4Q)U\_{n}={V\_{n+1}-QV\_{n-1}}=2V\_{n+1}-PV\_{n}\,} | {\displaystyle 5F\_{n}={L\_{n+1}+L\_{n-1}}=2L\_{n+1}-L\_{n}\,} |
| {\displaystyle V\_{n}=U\_{n+1}-QU\_{n-1}=2U\_{n+1}-PU\_{n}\,} | {\displaystyle L\_{n}=F\_{n+1}+F\_{n-1}=2F\_{n+1}-F\_{n}\,} |
| {\displaystyle U\_{2n}=U\_{n}V\_{n}\,} | {\displaystyle F\_{2n}=F\_{n}L\_{n}\,} |
| {\displaystyle V\_{2n}=V\_{n}^{2}-2Q^{n}\,} | {\displaystyle L\_{2n}=L\_{n}^{2}-2(-1)^{n}\,} |
| {\displaystyle U\_{n+m}=U\_{n}U\_{m+1}-QU\_{m}U\_{n-1}={\frac {U\_{n}V\_{m}+U\_{m}V\_{n}}{2}}\,} | {\displaystyle F\_{n+m}=F\_{n}F\_{m+1}+F\_{m}F\_{n-1}={\frac {F\_{n}L\_{m}+F\_{m}L\_{n}}{2}}\,} |
| {\displaystyle V\_{n+m}=V\_{n}V\_{m}-Q^{m}V\_{n-m}\,} | {\displaystyle L\_{n+m}=L\_{n}L\_{m}-(-1)^{m}L\_{n-m}\,} |

קישורים חיצוניים
----------------

* סדרת לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)