אין לבלבל עם אין לבלבל ערך זה, העוסק בקשר בין ממדים של מרחבים וקטוריים שונים, עם הערך "משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות", העוסק בקשר בין ממד גרעין ותמונת העתקה ליניארית לתחום ההעתקה הליניארית.
**מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים** (בשפות אחרות ידוע בשם **זהות גראסמן** או **נוסחת גראסמן**, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית:



dim
⁡
(
U
+
W
)
=
dim
⁡
(
U
)
+
dim
⁡
(
W
)
−
dim
⁡
(
U
∩
W
)

{\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)}

{\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)}.

הוכחה
-----

יהיו U ו-W תת-מרחבים של V, שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

נניח כי {\displaystyle \dim(U\cap W)\neq \{0\}} וניקח בסיס לחיתוך {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k}\}} (ההוכחה עובדת גם עבור {\displaystyle \dim(U\cap W)=\{0\}})

נשלים אותו בשתי דרכים:

* לבסיס של U: {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k},u\_{1},...u\_{l}\}}
* לבסיס של W: {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k},w\_{1},...w\_{m}\}}

כעת נשאר להוכיח: {\displaystyle \dim(U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m}, ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה {\displaystyle \{v\_{1},...v\_{k},u\_{1},...u\_{l},w\_{1},...w\_{m}\}} היא בסיס ל-{\displaystyle U+W}. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):

פרישה
יהי {\displaystyle v\in U+W}, קיימים {\displaystyle u\_{0}\in U} ו-{\displaystyle w\_{0}\in W} כך ש {\displaystyle v=u\_{0}+w\_{0}} הקבוצה {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k},u\_{1},...u\_{l}\}} היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים {\displaystyle \alpha \_{1},...\alpha \_{k},\beta \_{1},...\beta \_{l}} כך שמתקיים


u

0

=

∑

i
=
1

k

α

i

v

i

+

∑

i
=
1

l

β

i

u

i

{\displaystyle u\_{0}=\sum \_{i=1}^{k}\alpha \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{l}\beta \_{i}u\_{i}}

{\displaystyle u_{0}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}}
באופן דומה, עבור W,


w

0

=

∑

i
=
1

k

γ

i

v

i

+

∑

i
=
1

m

δ

i

w

i

{\displaystyle w\_{0}=\sum \_{i=1}^{k}\gamma \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{m}\delta \_{i}w\_{i}}

{\displaystyle w_{0}=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}}
מכאן שמתקיים



,

u

0

+

w

0

=

∑

i
=
1

k

(

α

i

+

γ

i

)

v

i

+

∑

i
=
1

l

β

i

u

i

+

∑

i
=
1

m

δ

i

w

i

{\displaystyle ,u\_{0}+w\_{0}=\sum \_{i=1}^{k}(\alpha \_{i}+\gamma \_{i})v\_{i}+\sum \_{i=1}^{l}\beta \_{i}u\_{i}+\sum \_{i=1}^{m}\delta \_{i}w\_{i}}

{\displaystyle ,u_{0}+w_{0}=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}}
ולכן הקבוצה פורשת.

תלות ליניארית
יהיו {\displaystyle \alpha \_{1},...\alpha \_{k},\beta \_{1},...\beta \_{l},\gamma \_{1},...\gamma \_{m}} סקלרים כך ש:



.

∑

i
=
1

k

α

i

v

i

+

∑

i
=
1

l

β

i

u

i

+

∑

i
=
1

m

γ

i

w

i

=
0

{\displaystyle .\sum \_{i=1}^{k}\alpha \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{l}\beta \_{i}u\_{i}+\sum \_{i=1}^{m}\gamma \_{i}w\_{i}=0}

{\displaystyle .\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0}
כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:


∑

i
=
1

k

α

i

v

i

+

∑

i
=
1

l

β

i

u

i

=
−

∑

i
=
1

m

γ

i

w

i

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}\alpha \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{l}\beta \_{i}u\_{i}=-\sum \_{i=1}^{m}\gamma \_{i}w\_{i}}

{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}}
קיבלנו וקטור ב{\displaystyle U\cap W} (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב-W ובאגף שמאל וקטור ב-U). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k}\}} שהוא בסיס ל-{\displaystyle U\cap W}.

קיימים {\displaystyle \delta \_{1},...\delta \_{k}} כך שמתקיים:

* {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}\delta \_{i}v\_{i}=-\sum \_{i=1}^{m}\gamma \_{i}w\_{i}}
* {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}\delta \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{m}\gamma \_{i}w\_{i}=0}

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי W ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור {\displaystyle \gamma \_{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq m}

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}\alpha \_{i}v\_{i}+\sum \_{i=1}^{l}\beta \_{i}u\_{i}=0}

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי U ולכן הקבוצה בת"ל.

לכן בפרט, {\displaystyle \beta \_{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq l} {\displaystyle \alpha \_{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq k}

מש"ל ■

ראו גם
------

* משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות
* עקרון ההכלה וההפרדה

קישורים חיצוניים
----------------

* הוכחה, באתר ProofWiki

| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |
| וקטורים | תלות ליניארית • צירוף ליניארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |