בתורת החבורות, **מגוון** הוא משפחה של חבורות, הסגורה ביחס לתת-חבורות, לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות, ולכן חקר המגוונים השונים שקול להבנת מערכות של זהויות. 

סריג המגוונים הוא סריג מודולרי .

דוגמאות
-------

אוסף החבורות האבליות {\displaystyle {\mathcal {A}}} הוא מגוון, המוגדר על ידי הזהות {\displaystyle [x\_{1},x\_{2}]=1}. אוסף החבורות המקיים את הזהות {\displaystyle x^{n}=1} הוא מגוון ברנסייד {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{n}}. אוסף החבורות הנילפוטנטיות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון, המוגדר על ידי הקומוטטור המרובה באורך המתאים. גם אוסף החבורות הפתירות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון. עם זאת אוסף כל החבורות הנילפוטנטיות אינו מגוון (מכפלה של חבורות נילפוטנטיות שהמחלקה שלהן אינה חסומה, אינה נילפוטנטית).

לכל חבורה G, המגוון הקטן ביותר המכיל את G מסומן ב-VarG. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי החבורה הסימטרית {\displaystyle S\_{3}} מוגדר על ידי הזהויות {\displaystyle x^{6}=[x^{2},y^{2}]=1}, והמגוון הנוצר על ידי חבורת הקווטרניונים מסדר 8 מוגדר על ידי הזהויות {\displaystyle x^{4}=1,[x,[y,z]]=1}. החבורה הדיהדרלית מסדר 8 יוצרת את אותו מגוון.

כל זהות של חבורה סופית מאקספוננט e שקולה לזהויות {\displaystyle x^{e}=1,w=1} כאשר w מכפלה של קומוטטורים.

מכפלה ופירוק
------------

המכפלה AB של מגוונים A,B מוגדרת כאוסף ההרחבות של חבורה מ-B בחבורה מ-A (כלומר כאוסף החבורות G עם תת-חבורה נורמלית N מ-A, עם מנה G/N השייכת ל-B). כל מגוון של חבורות, מלבד המגוונים הטריוויאליים (זה שכולל רק את החבורה הטריוויאלית וזה הכולל את כל החבורות) ניתן לפירוק באופן יחיד כמכפלה של מגוונים אי-פריקים.

מכפלה AB נוצרת על ידי חבורה סופית אם ורק אם האקספוננטים של A ו-B זרים, A נילפוטנטי ו-V אבלי; ומכפלה ABC לעולם אינה נוצרת על ידי חבורה סופית (Smelkin, 1964).

בסיס סופי
---------

קבוצת זהויות המגדירה מגוון, נקראת **בסיס** של המגוון הזה. אחת השאלות היסודיות על מגוון של חבורות היא האם יש לו בסיס סופי. למגוון הנוצר על ידי חבורה סופית תמיד יש בסיס סופי (משפט Oates-Powell), והוא קטן (ראו להלן). הדוגמאות הראשונות למגוונים שאין להם בסיס סופי ניתנו ב-1969 (על ידי Olshanski, Adyan, Voghan-Lee, בשיטות שונות). דוגמה פשוטה יותר ניתנה ב-1973 (על ידי Bryant ו-Kleinman): אוסף הזהויות {\displaystyle \ (x\_{1}^{2}\cdots x\_{n}^{2})^{4}} מגדיר מגוון, {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{4}{\mathcal {B}}\_{2}}, שאין לו בסיס סופי (לעומת זאת אם n,m זרים אז {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{n}{\mathcal {B}}\_{m}} מוגדר לפי הזהות {\displaystyle (x^{m}y^{m})^{n}}). בשפה של חבורות מנוקדות (היינו עם יחס 0-ארי), יש חבורה סופית עם קבוע, היוצרת מגוון שאינו בעל בסיס סופי (Bryant, 1982).

מגוון הוא **קטן** אם הוא מכיל רק מספר סופי של תת-מגוונים. יש רצף של מגווני חבורות המכילים 3 תת-מגוונים.

מלים חיוביות
------------

זהות של חבורות נכתבת באמצעות כפל והפכי. אבל יש זהויות שאפשר לכתוב גם באופן חיובי, כזהות של חבורה למחצה. למשל, הזהות {\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}=1} שקולה לזהות {\displaystyle xy=yx}. יש מגוונים שאפשר להציג באמצעות מלים חיוביות, ויש כאלה שלא: Neumann-Taylor (1963) הראו שאפשר להציג את המגוון של חבורות נילפוטנטיות ממחלקה נתונה באמצעות זהות חיובית אחת. מאידך, Lewin-Lewin (1969) הראו שבמגוון המקיים זהות חיובית, כל חבורה פתירה נוצרת סופית היא נילפוטנטית-מעל-סופית; בפרט, המגוון של חבורות פתירות ממחלקה קבועה אינו ניתן להצגה באמצעות זהויות חיוביות.

ראו גם
------

* מגוון (אלגברה אוניברסלית)

לקריאה נוספת
------------

* Variety of Groups באנציקלופדיה המקוונת של המתמטיקה.

קישורים חיצוניים
----------------

* מגוון, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  הערה=.

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007539152105171
* LCCN: sh87001104

 |