**גז אולטרה-יחסותי** (באנגלית: **Ultra-relativistic Gas**) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

{\displaystyle \varepsilon ^{2}=(pc)^{2}+(m\_{0}c^{2})^{2}}

כאשר p הוא התנע של החלקיק, m\_{0} מסת המנוחה שלו, ו-c מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים {\displaystyle pc>>m\_{0}c^{2}}, ועל כן האנרגיה שלו היא:

{\displaystyle \varepsilon \approx pc=\hbar kc}

כאשר \hbar  הוא קבוע פלאנק המצומצם.

משתנים תרמודינמיים
------------------

נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל N חלקיקים בנפח V, המצומד למאגר חום בטמפרטורה \tau (כאשר {\displaystyle \tau =k\_{B}T}, ו-k\_{B} הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות {\displaystyle d\varepsilon } הוא {\displaystyle g(\varepsilon )d\varepsilon }, כאשר {\displaystyle g(\varepsilon )} צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

{\displaystyle g(\varepsilon )={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar c)^{3}}}\varepsilon ^{2}}

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

{\displaystyle Z\_{single}=\int \_{0}^{\infty }{g\left(\varepsilon \right)e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{\varepsilon ^{2}e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}}

כאשר {\displaystyle \beta ={\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{k\_{B}T}}}.

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

{\displaystyle Z={\frac {\left(Z\_{single}\right)^{N}}{N!}}={\frac {\left[{\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}\right]^{N}}{N!}}}

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

**האנרגיה הפנימית:** {\displaystyle U=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\left(Z\right)}={\frac {3N}{\beta }}=3N\tau }

**האנרגיה החופשית של הלמהולץ:** {\displaystyle F=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\left(Z\right)}=-N\tau \ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau \left\{\ln {\left[{\frac {N\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}{V\tau ^{3}}}\right]}-1\right\}}

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.

**האנטרופיה:** {\displaystyle \sigma =-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)\_{V,N}=N\left\{\ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{{N\pi }^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+4\right\}}

**הלחץ:** {\displaystyle p=-\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)\_{\tau ,N}={\frac {N\tau }{V}}}

ניתן לשים לב שמתקיים:

{\displaystyle {\frac {p}{u}}={\frac {1}{3}}}

(כאשר {\displaystyle u={\frac {U}{V}}})

אפקטים קוונטיים בגז
-------------------

בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-{\displaystyle g\_{s}} הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{n-1}}{{z^{-1}e}^{x}\pm 1}}dx}=\mp \ \Gamma \left(n\right)Li\_{n}(\mp z)}

כאשר {\displaystyle \Gamma (z)} היא פונקציית גמא, {\displaystyle Li\_{n}(z)} הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- {\displaystyle z\equiv e^{\mu /\tau }}.

גז פרמיונים אולטרה-יחסותי
-------------------------

### בגבול {\displaystyle T\rightarrow 0} (גז פרמיונים מנוון)

בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי ({\displaystyle \varepsilon \_{F}}) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

{\displaystyle N=\int \_{0}^{\varepsilon \_{F}}g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon }

כאשר {\displaystyle g(\varepsilon )} היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- {\displaystyle g\left(\varepsilon \right)={\frac {g\_{s}V}{{2\pi ^{2}\hbar }^{3}}}p^{2}{\frac {dp}{d\varepsilon }}}. לכן:

{\displaystyle N={\frac {g\_{s}V}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int \_{0}^{p\_{F}}{p^{2}dp}={\frac {g\_{s}V}{6\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p\_{F}^{3}\ \Longrightarrow p\_{F}=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g\_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar }

כאשר תנע פרמי {\displaystyle p\_{F}} הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה {\displaystyle \varepsilon \_{F}}. עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

{\displaystyle \varepsilon \_{F}=p\_{F}c=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g\_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar c}

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

{\displaystyle U=\int \_{0}^{\varepsilon \_{F}}\varepsilon g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon ={\frac {g\_{s}Vc}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int \_{0}^{p\_{F}}{p^{3}dp}={\frac {g\_{s}Vc}{8\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p\_{F}^{4}={\frac {3}{4}}N\varepsilon \_{F}}

{\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{4}}N\varepsilon \_{F}}

### בטמפרטורה כללית

**האנרגיה הפנימית** מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות {\displaystyle d\varepsilon }, כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא {\displaystyle f\_{FD}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/\tau }+1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }+1}}}

{\displaystyle U=\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f\_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{z^{-1}e^{\varepsilon /\tau \ }+1}}d\varepsilon }={\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li\_{4}\left(-z\right)=-{\frac {3g\_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(-z\right)}

**מספר החלקיקים**:

{\displaystyle N=\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)f\_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}+1}}d\varepsilon }={\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li\_{3}\left(-z\right)=-{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{3}\left(-z\right)}

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

{\displaystyle {\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=\sum \_{i}\ln {\left({1+e}^{-\varepsilon \_{i}/\tau \ }\right)}}

({\displaystyle {\mathcal {Q}}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ל**לחץ**:

{\displaystyle p={\frac {\tau }{V}}\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1+e}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }={\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1+e^{-x}\right)}dx}={\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li\_{4}\left(-z\right)=-{\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(-z\right)}

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם {\displaystyle Nd\mu =-\sigma d\tau +Vdp}, ניתן לקבל את הקשר {\displaystyle {\frac {\sigma }{V}}=\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)\_{\mu }}, כאשר {\displaystyle \sigma ={\frac {S}{k\_{B}}}} היא ה**אנטרופיה**. מכאן:

{\displaystyle \sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)\_{\mu }=-{\frac {4g\_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(-z\right)}

גז בוזונים אולטרה-יחסותי
------------------------

ל**אנרגיה הפנימית** ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: {\displaystyle f\_{BE}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{\frac {\varepsilon -\mu }{\tau }}-1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}}

{\displaystyle U=\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f\_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}d\varepsilon }={\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li\_{4}\left(z\right)={\frac {{3g}\_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(z\right)}

האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס
כאשר בוצעה החלפת משתנים {\displaystyle x={\frac {\varepsilon }{\tau }}}. באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור **מספר החלקיקים**:

{\displaystyle N=\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)f\_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}-1}}d\varepsilon }=}

{\displaystyle ={\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li\_{3}\left(z\right)={\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{3}\left(z\right)}

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

{\displaystyle {\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=-\sum \_{i}\ln {\left({1-ze}^{-\varepsilon \_{i}/\tau \ }\right)}}

({\displaystyle {\mathcal {Q}}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את **הלחץ**:

{\displaystyle p=-{\frac {\tau }{V}}\int \_{0}^{\infty }{g\_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1-ze}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }=-{\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}={\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int \_{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li\_{4}\left(z\right)={\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(z\right)}

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

{\displaystyle \sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)\_{\mu }={\frac {4g\_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li\_{4}\left(z\right)}

חשיבות המודל
------------

### התפשטות היקום המוקדם

למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח {\displaystyle \mu =0}, וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים, {\displaystyle \mu =0}|  | בוזונים | פרמיונים |
| --- | --- | --- |
| אנרגיה פנימית | {\displaystyle U={\frac {\pi ^{2}}{30}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}} | {\displaystyle U={\frac {7\pi ^{2}}{240}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}} |
| מספר חלקיקים | {\displaystyle N={\frac {\zeta \left(3\right)}{\pi ^{2}}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}} | {\displaystyle N={\frac {3\zeta \left(3\right)}{4\pi ^{2}}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}} |
| לחץ | {\displaystyle p={\frac {\pi ^{2}}{90}}{\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}} | {\displaystyle p={\frac {7\pi ^{2}}{720}}{\frac {g\_{s}\tau ^{4}}{(\hbar {c)}^{3}}}} |
| אנטרופיה | {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{2}}{45}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}} | {\displaystyle \sigma ={\frac {7\pi ^{2}}{180}}{\frac {g\_{s}V\tau ^{3}}{(\hbar {c)}^{3}}}} |

כאשר {\displaystyle \zeta (x)} היא פונקציית זטא של רימן.

היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים {\displaystyle \sigma =const}. כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר {\displaystyle V\tau ^{3}=const}. מכאן ניתן לרשום:

{\displaystyle \tau \left(t\right)a\left(t\right)=const}

כאשר {\displaystyle a(t)} הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

### יציבות של ננסים לבנים

נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

{\displaystyle p={\frac {\hbar c}{4}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\ n^{4/3}}

(כאשר {\displaystyle n={\frac {N}{V}}})

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

{\displaystyle p={\frac {\hbar ^{2}}{5m\_{e}}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}\ n^{5/3}\ }

מכיוון ש- {\displaystyle n\approx {\frac {Z\rho }{Am\_{p}}}} (כאשר Z המספר האטומי של האטומים בכוכב, A מספר המסה שלהם, \rho הצפיפות של הננס הלבן ו- {\displaystyle m\_{p}} מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

{\displaystyle p\_{non-relativistic}\propto \rho ^{5/3}}

{\displaystyle p\_{ultra-relativistic}\propto \rho ^{4/3}}

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

{\displaystyle p\_{gravitation}=-{\frac {G}{5}}\left({\frac {4\pi }{3}}\right)^{\frac {1}{3}}M^{\frac {2}{3}}\ \rho ^{4/3}}

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

ביבליוגרפיה
-----------

* Pathria, R.K; Beale, Paul D. **Statistical Mechanics**, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
* Blundell, S.; Blundell, K. **Concepts in Thermal Physics** (2006), Oxford University Press

לקריאה נוספת
------------

* גז פרמי