במתמטיקה, **אי-שוויון הממוצעים** הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} מתקיים



n

1

a

1


+
⋯
+

1

a

n



≤

a

1

⋯

a

n

n

≤

a

1

+
⋯
+

a

n

n

≤


a

1

2

+
⋯
+

a

n

2

n


{\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a\_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a\_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}}}\leq {\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a\_{1}^{2}+\cdots +a\_{n}^{2}}{n}}}}

{\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}
1. הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי.
2. הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני.
3. הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים.

בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} שווים זה לזה.

רקע
---

אם {\displaystyle a\_{1},\cdots ,a\_{n}} מספרים חיוביים, הרי

* הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב-n: {\displaystyle A\_{n}={\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}}{n}}}
* הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: {\displaystyle G\_{n}={\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}}}}
* הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: {\displaystyle H\_{n}={\frac {n}{{\dfrac {1}{a\_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a\_{n}}}}}}

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}}.

במקרה n=2 טענה זו קובעת כי {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}}, ושוויון מתקיים אם ורק אם {\displaystyle a=b}.

הוכחות
------

### המקרה n = 2

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. באדום הממוצע החשבוני של a,b, בתכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם
נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\4ab&\leq (a+b)^{2}\\G\_{2}&={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A\_{2}\end{aligned}}}
קל לראות כי {\displaystyle H\_{2}A\_{2}=G\_{2}^{2}} ולכן משום ש-{\displaystyle G\_{2}\leq A\_{2}} בהכרח {\displaystyle H\_{2}\leq G\_{2}}.

### הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את האי-שוויון {\displaystyle G\_{n}\leq A\_{n}} בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות {\displaystyle 2^{m}} מספרים, לכל m. בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.

**הצעד הראשון**: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} חיוביים. אז





a

1

+
⋯
+

a

2
n

2
n



=

a

1

+
⋯
+

a

n

+

a

n
+
1

+
⋯
+

a

2
n

2
n




=



a

1

+
⋯
+

a

n

n

+


a

n
+
1

+
⋯
+

a

2
n

n

2



≥


a

1

⋯

a

n

n

+

a

n
+
1

⋯

a

2
n

n

2



≥



a

1

⋯

a

n

n

⋅

a

n
+
1

⋯

a

2
n

n





=


a

1

⋯

a

n

⋅

a

n
+
1

⋯

a

2
n

n





=

a

1

⋯

a

2
n

2
n



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{2n}}{2n}}&={\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}+a\_{n+1}+\cdots +a\_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}}{n}}+{\dfrac {a\_{n+1}+\cdots +a\_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a\_{n+1}\cdots a\_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a\_{n+1}\cdots a\_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}\cdot a\_{n+1}\cdots a\_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a\_{1}\cdots a\_{2n}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}}
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה n=2.

**הצעד השני**: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{m}} כאשר {\displaystyle m<n}, נסמן {\displaystyle a={\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{m}}{m}}} ונקבל

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{m}+(n-m)a}{n}}=a}
ולכן {\displaystyle {\sqrt[{m}]{a\_{1}\cdots a\_{m}}}\leq a}.

את האי-שוויון {\displaystyle H\_{n}\leq G\_{n}} אפשר להוכיח בדרך דומה.

### הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

{\displaystyle f\left({\frac {x\_{1}+\cdots +x\_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x\_{1})+\cdots +f(x\_{n})}{n}}}
לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה exp, ומציבים {\displaystyle x\_{i}=\ln(a\_{i})}, מתקבל

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{1}\cdots a\_{n}}}\leq {\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}}{n}}}

הממוצע הלוגריתמי
----------------

 ערך מורחב – **ממוצע לוגריתמי**  

במקרה n=2 ניתן להוסיף לשרשרת אי השוויונות גם את הממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:

{\displaystyle {\sqrt {x\_{1}x\_{2}}}\leq {\frac {x\_{1}-x\_{2}}{\ln x\_{1}-\ln x\_{2}}}\leq {\frac {x\_{1}+x\_{2}}{2}}}

הכללות
------

אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב {\displaystyle a\_{k}} מספר פעמים, למשל {\displaystyle p\_{k}}.

אם {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} חיוביים ו-{\displaystyle p\_{1},\ldots ,p\_{n}} שלמים חיוביים וסכומם P, אז האי-שוויון הופך להיות

{\displaystyle {\frac {P}{{\dfrac {p\_{1}}{a\_{1}}}+\cdots +{\dfrac {p\_{n}}{a\_{n}}}}}\leq {\sqrt[{P}]{a\_{1}^{p\_{1}}\cdots a\_{n}^{p\_{n}}}}\leq {\frac {p\_{1}a\_{1}+\cdots +p\_{n}a\_{n}}{P}}}
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים {\displaystyle p\_{k}} במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם {\displaystyle P=1}. כאשר כל המקדמים שווים ל-{\displaystyle {\frac {1}{n}}} מתקבל אי־שוויון הממוצעים.

בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: {\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{\sum {\frac {x\_{i}^{\alpha }}{n}}}}} זו פונקציה עולה ביחס ל-\alpha , כאשר x\_{i} אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר {\displaystyle \alpha =1} הפונקציה גדולה יותר מכאשר {\displaystyle \alpha \to 0^{+}}.