בתורת המספרים, **מספר קרמייקל** או **מספר פסאודו-ראשוני מוחלט** הוא מספר טבעי פריק n המקיים את מסקנת המשפט הקטן של פרמה: {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} לכל b שלם.

המספרים נקראים כך על שם המתמטיקאי רוברט דניאל קרמייקל, שמצא את מספר קרמייקל הקטן ביותר: {\displaystyle \,561=3\cdot 11\cdot 17}, והעלה את ההשערה שישנם אינסוף מספרים כאלו.

רקע
---

משפט פרמה הקטן קובע שאם n ראשוני, אז {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} לכל b. כאשר n אינו ראשוני השוויון בדרך כלל אינו מתקיים, ואפשר לבסס על כך מבחנים פשוטים לראשוניות של n. אם n אינו ראשוני ובכל-זאת {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}, הוא נקרא פסאודו-ראשוני ביחס ל-b. מספרי קרמייקל הם פסאודו-ראשוניים ביחס לכל הבסיסים. 

מספרי קרמייקל נדירים יחסית. למשל, יש 20,138,200 מספרי קרמייקל בין 1 ל-1021, כלומר בערך 1 מכל 50 מיליארד מספרים בטווח זה, והם נעשים נדירים יותר ככל שהמספרים גדלים.

קריטריון קורסלט
---------------

התנאים הבאים שקולים עבור מספר פריק n: 

1. n חופשי מריבועים (כלומר מכפלת ראשוניים שונים) ולכל מחלק ראשוני p מתקיים גם {\displaystyle p-1\mid n-1}.
2. לכל b מתקיים {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} (כלומר n הוא מספר קרמייקל).
3. לכל b זר ל-n מתקיים {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}.

השקילות של 1 ו-2 קרויה **קריטריון קורסלט** (Korselt). קריטריון זה משמש לזיהוי מספרי קרמייקל באלגוריתמים לבדיקת ראשוניות כמו אלגוריתם מילר-רבין. מסקנה מיידית מקריטריון קורסלט היא שכל מספרי קרמייקל הם אי-זוגיים: מתנאי 1 נובע שקיים למספר קרמייקל n מחלק ראשוני אי-זוגי p (כי הוא לא חזקה של 2). כעת, אם מספר קרמייקל הוא זוגי, לפי תנאי 2 נובע {\displaystyle p-1|n-1}. אבל {\displaystyle n-1} הוא אי-זוגי, ואילו {\displaystyle p-1} הוא זוגי, ומספר זוגי לעולם לא יכול לחלק מספר אי-זוגי. ולכן לא ייתכן ש-n הוא מספר זוגי. 

מסקנה נוספת: למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים. אחרת המספר הוא מהצורה \ pq כאשר p,q ראשוניים, ו-p-1 מחלק את {\displaystyle pq-1=(p-1)q+(q-1)}, כלומר p-1 מחלק את q-1; וגם להפך; לכן p=q, בסתירה לתנאי הראשון.

### הוכחה

1 גורר את 2: נניח ש-n חופשי מריבועים ולכל מחלק ראשוני p שלו מתקיים גם {\displaystyle p-1\mid n-1}. ראשית נניח ש-b זר ל-n. לכל גורם ראשוני p של n מתקיים {\displaystyle b^{n-1}=(b^{p-1})^{(n-1)/(p-1)}\equiv 1{\pmod {p}}} לפי משפט פרמה הקטן, ולפי משפט השאריות הסיני נובע מכך שגם {\displaystyle \ b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}. שנית נניח ש-b ראשוני המחלק את n. לכל גורם ראשוני {\displaystyle p\neq b} מתקיים {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {p}}} מאותה סיבה כמו במקרה הראשון, ולכן {\displaystyle \ b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n/b}}}, ומכאן ש-{\displaystyle \ b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}. אבל כל מספר אפשר לכתוב כמכפלה של מספר זר ל-n וגורמים ראשוניים המחלקים את n, ולכן הטענה {\displaystyle \ b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} נכונה לכל \ b.

2 גורר את 3: אם b זר ל-n, אז {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} נובע מההנחה {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} משום ש-b הפיך מודולו n. 

3 גורר את 1: יהי {\displaystyle p^{r}\mid n} מחלק שהוא חזקת מספר ראשוני. אם p=2 נניח מלכתחילה ש-{\displaystyle r\leq 2}. בעזרת משפט השאריות הסיני, נבחר מספר a שהוא גם שורש פרימיטיבי a של {\displaystyle p^{r}} (זהו איבר מסדר {\displaystyle p^{r-1}(p-1)} בחבורת אוילר {\displaystyle U\_{p}}; נאלצנו להניח ש-{\displaystyle p^{r}} אינו מתחלק ב-8, משום של-8 אין שורש פרימיטיבי), וגם זר לכל גורם ראשוני אחר של n. לכן a זר ל-n, ולפי ההנחה **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}}**
, ולכן גם {\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}}. מכאן ש-n-1 מתחלק בסדר של a בחבורת אוילר {\displaystyle U\_{p^{r}}}, כלומר {\displaystyle p^{r-1}(p-1)\mid n-1}. בפרט, {\displaystyle (p-1)\mid (n-1)}, כנדרש. לצד זה, אם r>1 מתקבל גם {\displaystyle p\mid (n-1)}, וזו סתירה לכך ש-{\displaystyle p\mid n}, ומכאן ש-n גם חופשי מריבועים.

דוגמאות למספרי קרמייקל
----------------------

קורסלט היה הראשון שציין תכונות של מספרי קרמייקל, אך הוא לא מצא דוגמאות למספרים כאלו. ב-1910, מצא קרמייקל את מספר קרמייקל הקטן ביותר, {\displaystyle 561}, ומשום כך נקראים המספרים על שמו. ניתן לראות ש-{\displaystyle 561} מקיים את תנאי משפט קורסלט: הפירוק לגורמים {\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17} לא מכיל ראשוני ממעלה שנייה, ומתקיים {\displaystyle 2|560} וגם {\displaystyle 10|560} וגם {\displaystyle 16|560}.

מספרי קרמייקל הבאים הם (סדרה A002997 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים):

{\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17}
{\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19}
{\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29}
{\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31}
{\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41}
{\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67}

התפלגות
-------

נסמן ב-{\displaystyle C(X)} את מספר מספרי קרמייקל שקטנים או שווים ל-X. התפלגות מספרי קרמייקל לפי חזקות 10 היא:


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| {\displaystyle C(10^{n})} | 1 | 7 | 16 | 43 | 105 | 255 | 646 | 1547 | 3605 | 8241 | 19279 | 44706 | 105212 | 246683 | 585355 | 1401644 | 3381806 | 8220777 | 20138200 |

בשנת 1953, הוכיח קנדל (Knödel) את החסם:

{\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k\_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)}
עבור {\displaystyle k\_{1}} קבוע כלשהו. 

ב-1956, שיפר ארדש את החסם:

{\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k\_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)}
עבור k\_2 קבוע כלשהו. 
ההערכה של k\_2 עבור X=10^N כאשר N הולך וגדל היא באזור: {\displaystyle k\_{2}=1.86619}.

  

לכיוון השני, הוכיחו ב-1994 ויליאם אלפורד, אנדרו גרנוויל וקרל פומרנץ שקיימים אינסוף מספרי קרמייקל. בפרט, הם הוכיחו שעבור X גדול דיו:

{\displaystyle C(X)>X^{2/7}.}
ב-2005 שיפר הרמן את החסם ל:

{\displaystyle C(X)>X^{0.332}}
צ'רניק הבחין ב-1939 שכל מספר מהצורה (6k+1)(12k+1)(18k+1), כאשר שלושת הגורמים ראשוניים, הוא מספר קרמייקל. השאלה האם קיימים אינסוף מספרי קרמייקל מצורה זו היא בעיה פתוחה.

לו וניבור מצאו ב-1992 כמה מספרי קרמייקל גדולים במיוחד, כולל מספר קרמייקל עם 1,101,518 גורמים ומעל 16 מיליון ספרות.

השערת להמר
----------

המספר הטבעי n הוא מספר קרמייקל אם האקספוננט {\displaystyle \operatorname {exp} U\_{n}} של חבורת אוילר של n מחלק את n-1. מכיוון שהאקספוננט תמיד מחלק את הסדר {\displaystyle \ \varphi (n)}, הדרישה {\displaystyle \ \varphi (n)\,|\,n-1} היא דרישה חזקה יותר. **השערת להמר** (אנ'), שעודנה פתוחה, קובעת שאין מספרים כאלה שאינם ראשוניים.

קישורים חיצוניים
----------------

* מספרי קרמייקל/ טיפוסי מספרים בתורת המספרים, אתר המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי בבאר-שבע
* מספר קרמייקל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* מספר קרמייקל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  R. D. Carmichael (1910). "Note on a new number theory function". *Bulletin of the American Mathematical Society*. **16** (5): 232–238.
2. ↑  Erdős, P. (1956). "On pseudoprimes and Carmichael numbers" (PDF). *Publ. Math. Debrecen*. **4**: 201–206. MR 0079031.
3. ↑  W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance (1994). "There are Infinitely Many Carmichael Numbers" (PDF). *Annals of Mathematics*. **139**: 703–722. doi:10.2307/2118576.`{{cite journal}}`: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
4. ↑  Glyn Harman (2005). "On the number of Carmichael numbers up to *x*". *Bull. Lond. Math. Soc*. **37**: 641–650. doi:10.1112/S0024609305004686.
5. ↑  Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). *Bull. Amer. Math. Soc*. **45**: 269–274. doi:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X.