T1, T2, T3, T4, T5
סדרת **פולינומי צ'בישב** היא סדרה של פולינומים בעלי מקדמים שלמים, {\displaystyle T\_{0}(x),T\_{1}(x),\dots }, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן {\displaystyle p(x)} מקיים את אי-השוויון {\displaystyle \max \_{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}}, והפולינומים {\displaystyle 2^{1-n}T\_{n}(x)} הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם: 

{\displaystyle T\_{0}(x)=1}
{\displaystyle T\_{1}(x)=x}
{\displaystyle T\_{2}(x)=2x^{2}-1}
{\displaystyle T\_{3}(x)=4x^{3}-3x}

הגדרה ותכונות יסוד
------------------

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה {\displaystyle T\_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}, שבגללה {\displaystyle T\_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}} לכל {\displaystyle x}. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: 
{\displaystyle T\_{0}(x)=1\,\!}, 
{\displaystyle T\_{1}(x)=x\,\!} ו- {\displaystyle T\_{n+1}(x)=2xT\_{n}(x)-T\_{n-1}(x).\,\!}. מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-{\displaystyle n}-י היא {\displaystyle n}. 

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

{\displaystyle T\_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}

מן ההגדרה נובע ש- 

{\displaystyle T\_{n}(T\_{m}(x))=T\_{n\cdot m}(x)\,\!},

וכן

{\displaystyle T\_{n}(1)=1,\qquad T\_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T\_{2n+1}(0)=0,\qquad T\_{2n}(0)=(-1)^{n}\,}.

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה


T

n

(
x
)
=

(
x
+

x

2

−
1

)

n

+
(
x
−

x

2

−
1

)

n

2

=

∑

k
=
0

⌊
n

/

2
⌋


(

n

2
k

)

(

x

2

−
1

)

k

x

n
−
2
k

{\displaystyle T\_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum \_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}

{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}ולקבל את הפונקציה היוצרת

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }T\_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}.

מתקיים גם השוויון {\displaystyle T\_{n}(x)=1+n^{2}{(x-1)}\prod \_{k=1}^{n-1}\left({1+{{x-1} \over 2\sin ^{2}\left({k\pi \over n}\right)}}\right)}.

פולינומי צ'ביצ'ב {\displaystyle \left\{T\_{n}\right\}\_{n=0}^{\infty }} מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת {\displaystyle \langle f\_{1},f\_{2}\rangle =\int \_{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f\_{1}(x)f\_{2}(x)\,dx}.

השלכות לבניות גאומטריות
-----------------------

מכך שמעלת {\displaystyle T\_{n}} היא {\displaystyle n} נובע כי {\displaystyle \cos(\theta )} פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה {\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}, ובפרט הממד
{\displaystyle [\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]]\leq n}. אם בוחרים {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}} מתקבל {\displaystyle T\_{n}(\cos \theta )=0}, ולעיתים קרובות {\displaystyle T\_{n}} הוא הפולינום המינימלי של {\displaystyle \cos({\frac {\pi }{2n}})}.

ראו גם
------

* מסנני צ'בישב

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פולינומי צ'בישב** בוויקישיתוף

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007285081305171
* BNE: XX5250030
* BnF: cb12390415z (data)
* GND: 4147437-5
* LCCN: sh85022808
* NDL: 00561176
* SUDOC: 032990200

 |