שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 

בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה. **משפט אוריסון** (על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון), הידוע גם כ**משפט המטריזביליזציה**, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:

* כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי.

באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.

מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות \ \ell \_{2}, ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

הוכחה
-----

### סכמת ההוכחה

1. בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב T4.
2. בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי \ \ell \_{2} (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון.
3. מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה.

### בניית השיכון

המרחב שלנו מקיים את תכונת המנייה השנייה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מנייה. כל נקודה \ x במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס, \ x\in B\_{i}. בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס \ B\_{j} כך ש \ x\in B\_{j}\subset \overline {B\_{j}}\subset B\_{i}. לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון \ f\_{{ij}}:X\to [0,1] כך ש \ f\_{{ij}}(\overline {B\_{j}})=0 ו \ f\_{{ij}}((B\_{i})^{c})=1. את הפונקציות \ f\_{{ij}} אפשר לסדר, ולסמן \ \{g\_{n}\}\_{{n=1}}^{{\infty }}, לשם הפשטות.

כעת נגדיר \ G:X\to \ell \_{2}
באמצעות הנוסחה {\displaystyle \ \forall x\in X:G(x)=\left({\frac {g\_{1}(x)}{1}},{\frac {g\_{2}(x)}{2}},\cdots ,{\frac {g\_{n}(x)}{n}},\cdots \right)}. פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.

### בדיקות לגבי G

נותר להוכיח ש:

1. הפונקציה G מוגדרת היטב.
2. הפונקציה G היא חח"ע.
3. הפונקציה G רציפה.
4. הפונקציה G פתוחה.

**1)** הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,

\ \|G(x)\|=\sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{{\frac {g\_{n}(x)}{n^{2}}}}\leq \sum \_{{n=1}}^{{\infty }}{{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty ,
ולכן \ \forall x\in X\ :\ G(x)\in \ell \_{2}. מכאן ש G מוגדרת היטב.

**2)** הפונקציה G היא חח"ע כי אם \ x\neq y אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש {\displaystyle \ x\in B\_{j}\,\ y\in B\_{i}} (כי מרחב \ T\_{3} הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן \ x\in B\_{j}\subset \overline {B\_{j}}\subset (B\_{i})^{c}. עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון \ g\_{n}=f\_{{ij}} שעבורה בבירור מתקיים ש {\displaystyle \ g(x)=0\,\ g(y)=1}. לכן,
\ \|G(x)-G(y)\|\geq {\frac {1}{n^{2}}}>0, כלומר, \ G(x)\neq G(y) ולכן G חח"ע.

**3)** נוכיח ש G רציפה. תהי \ \|G(x)-G(x\_{0})\|<\varepsilon  קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב-X שעבור כל איבר בה האי-שוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש \sum \_{{k=n+1}}^{{\infty }}{\frac {|g\_{k}(x)-g\_{k}(x\_{0})|^{2}}{k^{2}}}<0.5\varepsilon . כמו כן, לכל רכיב k=1,..n נדרוש ש \ |g\_{k}(x)-g\_{k}(x\_{0})|<{\frac {k}{{\sqrt {2n}}}}\varepsilon. מאחר ש gk רציפות, קיימות סביבות Vk שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר \ V=V\_{1}\cap \cdots \cap V\_{n} (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן:

\ \forall x\in V\ :\ \|G(x)-G(x\_{0})\|\leq |\sum \_{{k=1}}^{{n}}{{\frac {|g\_{k}(x)-g\_{k}(x\_{0})|^{2}}{k^{2}}}}+\sum \_{{k=n+1}}^{{\infty }}{{\frac {|g\_{k}(x)-g\_{k}(x\_{0})|^{2}}{k^{2}}}}<
{\displaystyle \ <\sum \_{k=1}^{n}{\frac {|g\_{k}(x)-g\_{k}(x\_{0})|^{2}}{k^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varepsilon }{2n}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon }
ומכאן G רציפה.

### השריית המטריקה

נשים לב ש \ {\mathrm {Im}}G\subset \ell \_{2} הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא:

\ d(x,y)=\|G(x)-G(y)\|\_{{\ell \_{2}}}
ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי.

ראו גם
------

* פונקציית אוריסון
* מרחב רגולרי
* מרחב נורמלי
* מרחב מטרי

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |