בחשבון אינפיניטסימלי, **משפט קנטור** (הידוע גם כ**משפט קנטור-היינה**) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו. 

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה
-----

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה f היא רציפה בנקודה x\_0 אם ורק אם עבור כל סדרה a\_{n} השואפת לנקודה זו, {\displaystyle a\_{n}\rightarrow x\_{0}} מתקיים {\displaystyle f(a\_{n})\rightarrow f(x\_{0})}. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת f(x) פונקציה רציפה בקטע הסגור {\displaystyle [a,b]}. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים \varepsilon \_{0} כך שעבור כל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } קיימות שתי נקודות {\displaystyle x\_{n},y\_{n}\in [a,b]} כך שמתקיים {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|<{\frac {1}{n}}}, אבל {\displaystyle |f(x\_{n})-f(y\_{n})|\geq \varepsilon \_{0}}.

נביט כעת בסדרה {\displaystyle \left\{x\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }}. כל אברי הסדרה שייכים לקטע {\displaystyle [a,b]}, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר {\displaystyle x\_{n\_{k}}\rightarrow x\_{0}\in [a,b]}.

כעת נוכיח כי {\displaystyle y\_{n\_{k}}\rightarrow x\_{0}} - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש-{\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|<{\frac {1}{n}}} נובע כי {\displaystyle |x\_{n\_{k}}-y\_{n\_{k}}|<{\frac {1}{n\_{k}}}}, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי 

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }(y\_{n\_{k}})=\lim \_{k\to \infty }(x\_{n\_{k}})-\lim \_{k\to \infty }(x\_{n\_{k}}-y\_{n\_{k}})=x\_{0}}

על פי רציפות f, מתקיים: {\displaystyle f(x\_{n\_{k}})\rightarrow f(x\_{0}),f(y\_{n\_{k}})\rightarrow f(x\_{0})}. מאריתמטיקה של גבולות נקבל {\displaystyle f(x\_{n\_{k}})-f(y\_{n\_{k}})\rightarrow 0}, וזו סתירה לכך שמתקיים {\displaystyle |f(x\_{n})-f(y\_{n})|\geq \varepsilon \_{0}} לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |