בתורת המספרים, **נוסחת לז'נדר** (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר; נקראת גם **נוסחת דה פוליניאק** על שם אלפונס דה פוליניאק) קובעת את הפירוק לגורמים ראשוניים של {\displaystyle n!}, כאשר הסימן "{\displaystyle !}" מסמן את פעולת העצרת:

{\displaystyle n!=\prod \_{p\,\leq \,n}p^{a},\quad a=\sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }
כאשר {\displaystyle p} מספר ראשוני ו-{\displaystyle \lfloor {x}\rfloor } היא פונקציית הערך השלם (עיגול כלפי מטה).

בניסוח שקול, הנוסחה קובעת שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle n!} הוא {\displaystyle \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }. הסכום האינסופי לכאורה הוא למעשה סכום סופי, שכן החל משלב מסוים כל איברי הסכום מתאפסים משום של-{\displaystyle p^{k}>n} מתקיים {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =0}.

הוכחה
-----

"{\displaystyle n} עצרת" הוא מכפלת המספרים מ-1 עד {\displaystyle n}:

{\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}
לכן המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני {\displaystyle p} המחלקת אותו הוא סכום המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של {\displaystyle p} המחלקות כל אחד מהמספרים מ-1 עד {\displaystyle n}. 

לכל ראשוני {\displaystyle p}, אנחנו יודעים כי {\displaystyle p} מחלק בדיוק {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor } מספרים מ-1 עד {\displaystyle n} שכן כפולותיו הן {\displaystyle p,2p,3p,\ldots ,\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor p}. 

ביניהם {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor } מספרים שמתחלקים אפילו ב-{\displaystyle p^{2}}, ולכן יש לספור אותם פעם נוספת. 

ובאופן כללי, יש ביניהם בדיוק {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } המתחלקים ב-{\displaystyle p^{k}}, ויש לספור אותם שוב. נסכום את כל המקרים יחדיו ונקבל שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle n!} הוא {\displaystyle V\_{p}(n!)=\sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }.

דוגמה
-----

נמצא כמה אפסים מופיעים בסוף הכתיב העשרוני של המספר {\displaystyle 199!}. מספר האפסים שווה למעריך של החזקה הגבוהה ביותר של 10 המחלקת את {\displaystyle 199!}. הפירוק לגורמים של חזקות של 10 הוא {\displaystyle 10^{m}=2^{m}\cdot 5^{m}}. לכן המעריך המבוקש יהיה הקטן מבין המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של הראשוניים 2 ו-5 המחלקות את {\displaystyle 199!}. ברור כי המעריך הגבוה יותר מבין השניים הוא זה של 2 (שכן הוא מחלק יותר מספרים בין 1 ל-199) ולכן מספיק למצוא את המעריך של 5. לפי הנוסחה המעריך הוא:

{\displaystyle \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {199}{5^{k}}}\right\rfloor =39+7+1+0+0+\cdots =47}
מכאן שהמספר {\displaystyle 199!} מסתיים ב-47 אפסים.

ניסוח שקול
----------

נסמן ב-{\displaystyle S\_{p}(n)} את סכום הספרות של {\displaystyle n} בבסיס {\displaystyle p}. ניסוח שקול לנוסחת לז'נדר קובע שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle n!} הוא {\displaystyle {\frac {n-S\_{p}(n)}{p-1}}}.

### הוכחה

נציג את {\displaystyle n} בבסיס {\displaystyle p}:

{\displaystyle n=a\_{r}p^{r}+a\_{r-1}p^{r-1}+\cdots +a\_{1}p+a\_{0}\quad ;\quad a\_{r},\ldots ,a\_{0}<p}
כעת נשים לב כי

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a\_{r}p^{r}+\cdots +a\_{0}}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor a\_{r}p^{r-k}+\cdots +a\_{k}+a\_{k-1}p^{-1}+\cdots +a\_{0}p^{-k}\right\rfloor =a\_{r}p^{r-k}+\cdots +a\_{k}}
זאת מכיוון ש-{\displaystyle a\_{k-1}p^{-1}+\cdots +a\_{0}p^{-k}<1}. מכאן לפי נוסחת לז'נדר המעריך של חזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle n!} הוא:

{\displaystyle \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\sum \_{k\,=\,1}^{\infty }(a\_{r}p^{r-k}+\cdots +a\_{k})=}
נבחין כי בטור האחרון לכל {\displaystyle 1\leq i\leq r}, המקדם {\displaystyle a\_{i}} מופיע פעם אחת בדיוק כמקדם של כל אחד מבין {\displaystyle 1,p,\ldots ,p^{i-1}}. לכן נוכל לסדר מחדש את הטור האחרון בצורה:

{\displaystyle =\sum \_{i\,=\,1}^{r}a\_{i}(1+p+\cdots +p^{i-1})=\sum \_{i\,=\,1}^{r}a\_{i}{\frac {p^{i}-1}{p-1}}={\frac {1}{p-1}}\left(\sum \_{i\,=\,1}^{r}a\_{i}p^{i}-\sum \_{i\,=\,1}^{r}a\_{i}\right)={\frac {(n-a\_{0})-(S\_{p}(n)-a\_{0})}{p-1}}={\frac {n-S\_{p}(n)}{p-1}}}
במעבר הראשון עשינו שימוש בנוסחה לסכום טור הנדסי.

שימושים
-------

מקדם בינומי {\displaystyle {\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}} שווה למספר התת-קבוצות מגודל {\displaystyle r} שיש לקבוצה בגודל {\displaystyle n}. מכאן שהוא בהכרח מספר שלם. עם זאת, זוהי הוכחה קומבינטורית לטענה, ואילו נוסחת לז'נדר מספקת הוכחה אלמנטרית לטענה (כזו המסתמכת רק על תכונות מספרים).

פונקציית הערך השלם מקיימת את האי-שוויון הטריוויאלי {\displaystyle \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor }. לכן מתקיים:

{\displaystyle \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {r}{p^{k}}}\right\rfloor +\sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n-r}{p^{k}}}\right\rfloor \leq \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }
לפי נוסחת לז'נדר אגף ימין הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle n!}, בעוד אגף שמאל הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle r!(n-r)!}. מהאי-שוויון אנו מסיקים שלכל חזקת ראשוני בפירוק של {\displaystyle r!(n-r)!} לגורמים, כפולה שלו מופיעה בפירוק של {\displaystyle n!}, ולכן {\displaystyle n!} מתחלק ב-{\displaystyle r!(n-r)!}, כלומר {\displaystyle {\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}} מספר שלם.

לפי נוסחת לז'נדר המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של {\displaystyle p} המחלקת את {\displaystyle {\binom {2n}{n}}} הוא {\displaystyle \sum \_{k\,=\,1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {2n}{p^{k}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)}, עובדה המשמשת בהוכחה האלמנטרית של פאול ארדש להשערת ברטראן.