באלגברה מופשטת, ה**נורמה** של אלגברה A מעל שדה F היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה {\displaystyle N(x+yi)=x^{2}+y^{2}}, שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך {\displaystyle 0} גם באיברים שאינם {\displaystyle 0}.

הגדרה כללית
-----------

אם A אלגברה מממד סופי מעל שדה F, אפשר לבחור לה בסיס \ b\_{1},\dots ,b\_{n}, ולהתבונן באיבר {\displaystyle X=x\_{1}b\_{1}+\cdots +x\_{n}b\_{n}} של האלגברה {\displaystyle A\otimes \_{F}F(x\_{1},\dots ,x\_{n})} המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות {\displaystyle F(x\_{1},\dots ,x\_{n})}. ל-X יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא **הפולינום המינימלי הגנרי** של A, והמעלה שלו, m, היא ה**דרגה** של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני {\displaystyle (-1)^{m-1}N} ממעלה m במקדמים x\_{1},\dots ,x\_{n}, הוא ה**נורמה** של איברים מ-A. הנורמה מקיימת את התנאי {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}, ואם \ \alpha \in F אז {\displaystyle N(\alpha )=\alpha ^{m}}.

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" - ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

הנורמה בתורת גלואה
------------------

אם {\displaystyle K/F} הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-K אלגברה מעל השדה F, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- {\displaystyle \{\sigma \_{1},\dots ,\sigma \_{n}\}} את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר n שווה לממד ההרחבה). כל איבר {\displaystyle a\in K} מאפס את הפולינום {\displaystyle f(\lambda )=(\lambda -\sigma \_{1}(a))\cdots (\lambda -\sigma \_{n}(a))}, שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת F, ופולינום זה (עבור a גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K. מכאן מתקבלת הנוסחה {\displaystyle N\_{K/F}(a)=\sigma \_{1}(a)\cdots \sigma \_{n}(a)}. 

לדוגמה, אם {\displaystyle K=F\left[{\sqrt {d}}\right]}, אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה {\displaystyle \sigma (a+b{\sqrt {d}})=a-b{\sqrt {d}}}, ואז הנורמה היא {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}. 

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה {\displaystyle K/F} ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" {\displaystyle K\subseteq E}, היינו שדה E המהווה הרחבת גלואה של F. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים {\displaystyle \sigma \_{1},\dots ,\sigma \_{n}} של E המשרים פעולות שונות על K, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם {\displaystyle F\subseteq L\subseteq K}, אז {\displaystyle N\_{L/F}\circ N\_{K/L}=N\_{K/F}}.

הנורמה בתורת המספרים האלגבריים
------------------------------

אפשר להגדיר נורמה של אידיאלים בתחום שלמות D, לפי גודלו של חוג המנה {\displaystyle N(I)=|D/I|}. ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידיאל {\displaystyle \ n\mathbb {Z} } בחוג המספרים השלמים היא {\displaystyle |\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} |=n}. עבור אידיאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: {\displaystyle |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|}.

אם {\displaystyle D={\mathcal {O}}\_{K}} הוא חוג השלמים של שדה מספרים K, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידיאלים, כלומר, {\displaystyle N(IJ)=N(I)N(J)}. יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של איברים שלמים ב-K: {\displaystyle N(a{\mathcal {O}}\_{K})=N\_{K/F}(a)}. אם {\displaystyle {\mathfrak {P}}} הוא אידיאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים {\displaystyle \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {P}}=p\mathbb {Z} } עבור ראשוני שלם p, אז {\displaystyle N({\mathfrak {P}})=p^{f}}, כאשר f הוא "מקדם הממד" של {\displaystyle {\mathfrak {P}}} (השווה לממד של {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}/{\mathfrak {P}}} מכל \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}).

ראו גם
------

* נורמה (אנליזה)