בתורת המספרים, **רצף סידון** (או אשכול סידון), הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההונגרי-יהודי שמעון סידון, הוא רצף סופי או אינסופי {\displaystyle A=\{a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots \}} של מספרים טבעיים, בו כל הסכומים {\displaystyle a\_{i}+a\_{j}\ (i\leq j)} שונים אחד מהשני.

סידון הציג את המושג בחקירותיו על טורי פורייה.

דוגמה
-----

המספרים {\displaystyle \{1,2,5,7\}} יוצרים רצף סידון ועל פי ההשערה שטרם הוכחה, גם רצף המספרים הטבעיים בחזקה החמישית {\displaystyle \{0,1,32,243,\dots \}} יוצרים רצף סידון.

היחס לסרגל גולומב
-----------------

סרגל גולומב הוא קבוצת מספרים שלמים, כך שלכל זוג מהם הפרש ייחודי.

כל סרגל גולומב סופי הוא רצף סידון סופי, ולהפך, כל רצף סידון סופי הוא סרגל גולומב.

**הוכחה**: נניח בשלילה ש-S הוא רצף סידון סופי, אך לא סרגל גולומב.

מכיוון שהוא לא סרגל גולומב נובע שקיימים ארבעה איברים ברצף כך ש-{\displaystyle a\_{i}-a\_{j}=a\_{k}-a\_{l}}, ולאחר העברת אגפים מתקבל {\displaystyle a\_{i}+a\_{l}=a\_{k}+a\_{j}}. בסתירה לכך ש-S הוא רצף סידון.

לכן, כל רצף סידון סופי הוא סרגל גולומב.

בנימוק דומה ניתן להוכיח שכל סרגל גולומב סופי הוא רצף סידון סופי.

אורך רצף צידון סופי
-------------------

פאול ארדש ופאל טוראן העלו את השאלה כמה איברים קטנים מ-X יכולים להיות ברצף סידון.

למרות שרבים עסקו בשאלה זו, השאלה עדיין פתוחה גם בימינו.

ארדש וטוראן הוכיחו שכמות האיברים ב-*A* שקטנים מ-x (המסומן *{\displaystyle A(x)}*), הוא לכל היותר {\displaystyle {\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})}.

רצף סידון אינסופי
-----------------

לעומת זאת, אם *A* הוא רצף אינסופי של רצף סידון ו-{\displaystyle A(x)} מציין את כמות האיברים ב-*A* שקטנים מ-x, אז לפי התוצאות של פאול ארדש:

{\displaystyle \liminf {\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1}

כלומר, רצפים אינסופיים דלילים יותר מהרצפים הסופיים הצפופים ביותר.

בכיוון השני הראו ס. צ'ולה ומיאן שניתן ליצור רצף סידון אינסופי עם אלגוריתם חמדן, שעבורו

{\displaystyle A(x)>c{\sqrt[{3}]{x}}} לכל *x.*

מיקלוש אייטאי ואנדרה סמרדי שיפרו תוצאה זו ל:

{\displaystyle A(x)>{\sqrt[{3}]{x\log x}}}.

החסם התחתון הטוב ביותר הידוע כיום ניתן על ידי אימרה רוז'ה, שהראה שיש רצף סידון שעבורו:

{\displaystyle A(x)>x^{{\sqrt {2}}-1-o(1)}}.

פאול ארדש ואלפרד רניי הוכיחו שיש רצף אינסופי {\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dots } שבו לכל n טבעי יש לכל היותר C פתרונות למשוואה {\displaystyle a\_{i}+a\_{j}=n}.

ראו גם
------

* Moser–de Bruijn sequence
* Sumset

קישורים חיצוניים
----------------

* רצף סידון, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Erdős, P.; Turán, P. (1941), "On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems" (PDF), *J. London Math. Soc.*, **16**: 212–215, doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212. Addendum (אורכב 18.07.2011 בארכיון Wayback Machine)  {{{תיאור}}}, בארכיון האינטרנט, **19** (1944), 208.
2. ↑  O'Bryant, K. (2004), "A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences" (PDF), *Electronic Journal of Combinatorics*, **11**: 39, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2011-06-06, נבדק ב-2020-05-27.
3. ↑  Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E. (1981), "A dense infinite Sidon sequence", *European Journal of Combinatorics*, **2** (1): 1–11.
4. ↑  Ruzsa, I. Z. (1998), "An infinite Sidon sequence", *Journal of Number Theory*, **68**: 63–71, doi:10.1006/jnth.1997.2192.
5. ↑  Erdős, P.; Rényi, A. (1960), "Additive properties of random sequences of positive integers" (PDF), *Acta Arithmetica*, **6**: 83–110.