פירוש נוסף ערך זה עוסק בחבורת התמורות של מספר עצמים. אם התכוונתם לחבורת סימטריות של מבנה מורכב, ראו חבורת סימטריות.
במתמטיקה, **החבורה הסימטרית** של קבוצה \ X היא החבורה שאבריה הם הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ-\ X ל- \ X, עם פעולת הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון {\displaystyle \ S\_{X}} או {\displaystyle \ \operatorname {Sym} (X)}.

כאשר הקבוצה \ X סופית, ניתן להניח שאבריה הם {\displaystyle \ X=\{1,...n\}}, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-\ S\_n, שבה יש \ n! איברים הנקראים תמורות.

הגדרות וסימונים
---------------

### מחזורים וחילופים

מחזור מסדר r הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן **ציקלי**). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר התמונה של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, {\displaystyle \ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S\_{9}} הוא מחזור מסדר 4, שבו {\displaystyle \ f(1)=4,f(4)=7,f(7)=9,f(9)=1} ולכל שאר המספרים מתקיים \ f(x)=x. 

שני מחזורים נקראים **זרים** אם קבוצות האיברים שאותם הם **לא** משאירים במקום הן זרות. לדוגמה, המחזור {\displaystyle (1\ 2\ 9)} זר למחזור {\displaystyle (4\ 8\ 5)}. מחזורים זרים מתחלפים. ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים באופן יחיד (עד כדי סדר). אורכי המחזורים בהצגה זו מהווים חלוקה, הנקראת **מבנה המחזורים** של התמורה.

מחזור באורך 2 נקרא **חילוף**.

### רישום תמורות באמצעות מטריצה

דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מייצגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

{\displaystyle f=(1\ 2\ 3)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}}
הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו {\displaystyle \ f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1}.

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

### דוגמה לכפל (הרכבה) תמורות

יהיו {\displaystyle f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}}

ו- {\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}}

משמעות הסימון {\displaystyle f\cdot g} היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את f. {\displaystyle fg=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}}. (כי g מעביר את 1 ל-2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו חילופי, כלומר {\displaystyle f\cdot g\neq g\cdot f}.

סימן של תמורה
-------------

כאמור, **חילוף** היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמה, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השוויון {\displaystyle (a\ b\ c\ d\dots y\ z)=(bc)(cd)\dots (yz)(za)}.

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהיה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, g היא מכפלה של שלושה חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד \ fהיא תמורה זוגית.

היות שמספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט *סכום* מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי. 

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי {\displaystyle \operatorname {sign} (f)=1} אם f תמורה זוגית ו-{\displaystyle \operatorname {sign} (f)=-1} אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה{\displaystyle \operatorname {sign} :S\_{n}\rightarrow \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } היא הומומורפיזם של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות A\_{n}. זוהי תת חבורה נורמלית של \ S\_nמאינדקס 2, ויש בה לכן בדיוק {\displaystyle \ n!/2} איברים. עבור n\geq 5, זוהי תת-החבורה הנורמלית הלא-טריוויאלית היחידה של S\_n.

הסימן של מחזור מאורך k הוא {\displaystyle (-1)^{k-1}}.

תכונות של החבורות הסימטריות
---------------------------

לכל החבורות הסימטריות (מסדר \ n>2) יש מרכז טריוויאלי. האוטומורפיזמים של כל החבורות \ S\_n פרט לחבורה {\displaystyle \ S\_{6}} הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה); לחבורה {\displaystyle \ S\_{6}} יש אוטומורפיזם חיצוני. לכן החבורות \ S\_n (כאשר {\displaystyle \ n\neq 2,6}) הן שלמות.

### יוצרים

את החבורה הסימטרית אפשר ליצור בעזרת שני יוצרים: החילוף {\displaystyle (1\ 2)} והמחזור {\displaystyle (2\ \cdots \ n)}. ההוכחה לכך מורכבת משלוש העובדות הבאות: 

* כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים.
* כל חילוף {\displaystyle (i\ j)} ניתן להצגה כהרכבה של חילופים מהצורה {\displaystyle (1\ k)} באופן הבא: {\displaystyle (i\ j)=(1\ j)(1\ i)(1\ j)}.
* כל חילוף מהצורה {\displaystyle (1\ k)} מקיים: {\displaystyle (1\ k)=(2\ \cdots \ n)^{(k-2)}(1\ 2)(2\ \cdots \ n)^{-(k-2)}}.

ייצוג חשוב נוסף של החבורה הסימטרית ניתן על ידי אוסף החילופים {\displaystyle \sigma \_{i}=(i\ i+1)} עבור {\displaystyle 1\leq i\leq n-1}. אוסף היחסים על יוצרים אלו נוצר על ידי יחסי ההתחלפות של חילופים זרים (דהיינו, {\displaystyle \sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i}} כאשר {\displaystyle |i-j|>1}), יחס הצמה ({\displaystyle \sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}=\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}}) והיותו של כל חילוף אינוולוציה ({\displaystyle \sigma \_{i}^{2}={\text{id}}}).

### מחלקות צמידות

הצמדה של מחזור שומרת על מבנה המחזור: {\displaystyle \sigma (i\_{1}\ i\_{2}\ \cdots \ i\_{k})\sigma ^{-1}=(\sigma (i\_{1})\ \sigma (i\_{2})\ \cdots \ \sigma (i\_{k}))} ולפיכך מחלקות הצמידות ב-\ S\_nמתאימות למבני מחזורים זרים.

תורת ההצגות
-----------

ההצגות הליניאריות האי-פריקות של החבורה הסימטרית S\_n נמצאות בהתאמה לחלוקות של n, ואכן מספר ההצגות האי-פריקות שווה ל-p(n). כמו בחבורות אחרות, תורת ההצגות המודולרית מורכבת יותר: ההצגות האי-פריקות מתאימות לחלוקות "p-רגולריות" (אלו שבהן כל חלק חוזר פחות מ-p פעמים), אבל יש גם הצגות אי-פרידות שאינן אי-פריקות.

ראו גם
------

* סימטריה
* תמורה
* חבורת סימטריות
* דטרמיננטה
* חבורת התמורות הזוגיות

קישורים חיצוניים
----------------

* החבורה הסימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007553676705171
* BnF: cb12364813q (data)
* LCCN: sh85131444

 |