שלוש פונקציות ליניאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)
**פונקציה ליניארית** או **פונקציה קווית** היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת.

בגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: {\displaystyle \!\,f(x)=mx+n} כאשר m ו- n הם קבועים.
יש המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות.

באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

* אדיטיביות: {\displaystyle \!\,f(x+y)=f(x)+f(y)}
* הומוגניות מסדר 1: {\displaystyle \!\,f(\alpha x)=\alpha f(x)}

כאשר x ו-y וקטורים במרחב ו {\displaystyle \!\ \alpha } קבוע בשדה שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים.

תחת הגדרה זו, קל להראות שפונקציה אפינית על המספרים הממשיים היא ליניארית אם ורק אם {\displaystyle \ n=0}.

גרף הפונקציה
------------

פונקציה ליניארית. כפי שרואים השיפוע קבוע
פונקציות ליניאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה {\displaystyle \!\,y=mx+n} וממוקמות על מערכת צירים קרטזית. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה.

הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים {\displaystyle \!\,\left(m={\frac {dy}{dx}}\right)}. יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הן מקבילות.

בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקווית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקווית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון.

הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב {\displaystyle \!\,x=0} וכדי למצוא את נקודת חיתוך עם הציר האופקי יש להציב {\displaystyle \!\,y=0}.

כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה ליניארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות.

### דוגמאות

* {\displaystyle \!\,y=2x-1} - השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא (1-).
* {\displaystyle \!\,y=-x+5} - השיפוע הוא (1-)ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא 5.
* {\displaystyle \!\,f(x)=3x} - השיפוע הוא 3 ונקודת החיתוך היא ראשית הצירים (0,0).
* {\displaystyle \!\,f(x)=4} - השיפוע הוא אפס. זהו קו אופקי שחוצה את הציר האנכי ב-4.

המשוואה מסוג {\displaystyle \!\,x=n} אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות.

### דוגמאות לשימושים מעשיים

כפי שהוסבר הפונקציה הליניארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה ליניארי. פונקציה מהסוג {\displaystyle \ y=mx} נקראת יחס ישר.

**דוגמאות מעשיות נוספות**:

* במכניקה קלאסית- הדרך (x) כפונקציית הזמן (t) או המהירות (v) (במהירות קבועה): {\displaystyle \!\,x=vt+x\_{0}}
* בתנועה מעגלית- המהירות זוויתית (ω) כפונקציית (f) התדירות: {\displaystyle \!\,\omega =2\pi f}
* בחוק אוהם- המתח (V) כפונקציית הזרם (I) או (R) ההתנגדות החשמלית: {\displaystyle \!\,V=RI}

ראו גם
------

* העתקה ליניארית
* משוואה ליניארית (ובפרט הפרק על משוואות המתארות קווים ישרים)
* ישר

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פונקציה ליניארית** בוויקישיתוף
* פונקציה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)

* פונקציה קווית, אתר לרגו

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4744418-6

 |