במתמטיקה, **מרחבי (CAT(k** הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה *k*. העקמומיות של מרחבי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T). 

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} אפשר לכייל למרחבי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')} אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

הגדרות
------

### מרחבי המודל

עבור מספר ממשי *k*, מסמנים ב- {\displaystyle \ M\_{k}} את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה *k*. לדוגמה, {\displaystyle \ M\_{0}} הוא המישור האוקלידי \ {\mathbb {R}}^{2} עם המטריקה הרגילה שלו; {\displaystyle \ M\_{1}} הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- {\displaystyle \ M\_{-1}} הוא המישור ההיפרבולי. 

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} (אחרת הקוטר אינסופי).

### משולשי השוואה

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}. אז קיים ב-{\displaystyle \ M\_{k}} משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא **משולש ההשוואה** של T.

### תנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)
נניח ש-{\displaystyle \ (X,d)} הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה {\displaystyle \ \gamma :[a,b]\rightarrow X}, כאשר \ [a,b] הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים {\displaystyle \ d(\gamma (t),\gamma (s))=|t-s|} לכל {\displaystyle \ a\leq t\leq s\leq b}). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב {\displaystyle \ M\_{k}}. 

המרחב X נקרא **מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}**, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}), מקיים את תנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית". 

התנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם {\displaystyle \ k<k'}, אז כל מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא גם מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')}. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')} לכל {\displaystyle \ k<k'}, הוא גם {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}.

דוגמאות
-------

המרחב {\displaystyle \ M\_{k}} הוא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}. 

המרחב האוקלידי {\displaystyle \ \mathbb {E} ^{n}} (מכל ממד) הוא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}.
המרחב ההיפרבולי {\displaystyle \ \mathbb {H} ^{n}} (מכל ממד) הוא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(-1)}.
ספירת היחידה {\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}} (בכל ממד) היא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(1)} (אבל לא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות {\displaystyle \ {\frac {1}{\sqrt {r}}}}) היא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}({\frac {1}{\sqrt {r}}})}.
כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} לכל k.

כל מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}, עבור k<0, הוא מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}
-------------------------------------------------

יהי X מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}.

### תכונות מקומיות

* בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
* כל עקום (שאורכו אינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
* כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
* כדורים (שרדיוסם אינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) הם כוויצים.
* נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) ולכל {\displaystyle \ \epsilon >0} קיים \ \delta >0, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta }, נמצאת במרחק \ \epsilon  לכל היותר מ-m.

### מרחב הכיסוי האוניברסלי

* מתכונות אלה נובע שאם {\displaystyle \ k\leq 0}, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות {\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}} מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}.

### היפרבוליות

כל מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} (עבור {\displaystyle \ k<0}) הוא מרחב היפרבולי. מרחב {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי \ {\mathbb {R}}^{2} (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם
------

* מרחב (CAT(0