|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

באנליזה פונקציונלית, **משפט נקודת השבת של קאקוטאני**, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת.

ניסוח המשפט
-----------

יהי X מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי {\displaystyle K\subset X} קבוצה קמורה קומפקטית. תהי {\displaystyle G} חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ-K ל-K. נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה W של אפס קיימת סביבה V של אפס כך שלכל {\displaystyle T\in G,x,y\in K} אם {\displaystyle x-y\in V} אז {\displaystyle Tx-Ty\in W}. אז לכל העתקות שב-{\displaystyle G} יש נקודת שבת משותפת ב-K.

הוכחה
-----

נעזר בלמה הטופולוגית הבאה:

**למה:** יהיו {\displaystyle A,B} מרחבים טופולוגיים כך ש-B קומפקטי. תהי {\displaystyle \pi :A\times B\to A} ההטלה הטבעית ו-{\displaystyle E\subset A\times B}. נניח ש {\displaystyle p\in {\overline {\pi (A)}}} אז קיימת נקודה {\displaystyle q\in B} כך ש {\displaystyle (p,q)\in {\overline {E}}}.

**הוכחה:** נניח שלא. לכן לכל {\displaystyle q\in B} קיימות סביבות {\displaystyle q\in W\_{q}} וכן {\displaystyle p\in V\_{q}} כך ש-{\displaystyle (V\_{q}\times W\_{q})\cap E=\emptyset }. מהקומפקטיות של B ישנן {\displaystyle \{q\_{i}\}\_{1\leq i\leq n}} כך ש-{\displaystyle B=\cup \_{i=1}^{n}W\_{q\_{i}}}. לכן עבור {\displaystyle p\in \cap \_{i=1}^{n}V\_{i}:=V} נקבל ש-{\displaystyle V\cap E=\emptyset } סתירה לכך ש-{\displaystyle p\in {\overline {\pi (A)}}}.

**המשך הוכחה**: תהי \Omega  אוסף כל תתי הקבוצות {\displaystyle H\subset K} הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות {\displaystyle T(H)\subset H} לכל {\displaystyle T\in G}. כיוון ש-{\displaystyle K\in \Omega } נקבל כי {\displaystyle \Omega \neq \emptyset }. כמו כן אם {\displaystyle \{H\_{i}\}\_{i\in I}\subset \Omega } אז גם החיתוך {\displaystyle \cap \_{i\in I}H\_{i}} נמצא ב-\Omega  (הוא לא ריק מקומפקטיות). מהלמה של צורן נקבל שיש ב-\Omega  איבר מינימלי Q. אם נראה ש-Q מכילה נקודה בודדת נסיים. נניח שלא. לכן קיימות {\displaystyle x,y\in Q,x-y\not \in W} עבור W סביבה של 0. תהי V הסביבה המתאימה ל-W מתנאי הרציפות במידה אחידה. אם יש {\displaystyle T\in G} כך ש-{\displaystyle Tx-Ty\in V} אז נקבל {\displaystyle x-y=T^{-1}(Tx)-T^{-1}(Ty)\in W} (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש-{\displaystyle G} חבורה) סתירה. לכן לכל {\displaystyle T\in G}, {\displaystyle Tx-Ty\not \in V}. תהי {\displaystyle z={\tfrac {x+y}{2}}}. מקמירות {\displaystyle z\in Q}. נתבונן במסלול של {\displaystyle z} תחת הפעולה של {\displaystyle G}, {\displaystyle G(z)=\{Tz|T\in G\}}. זוהי קבוצה {\displaystyle G} אינווריינטית ולכן גם {\displaystyle K\_{0}={\overline {G(z)}}} וגם {\displaystyle K\_{1}={\overline {conv(K\_{0})}}} קבוצות {\displaystyle G} אינווריינטיות. K\_1 קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו-{\displaystyle G} אינווריינטית המוכלת ב-Q. ממינימליות Q נקבל ש-{\displaystyle K\_{1}=Q}. ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה {\displaystyle p} קיצונית של הקבוצה Q. {\displaystyle p\in K\_{0}}. נתבונן בקבוצה הבאה {\displaystyle E=\{(Tx,Ty,Tz)|T\in G\}}. כיוון ש-{\displaystyle p\in K\_{0}={\overline {G(z)}}} וכן {\displaystyle Q\times Q} קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה {\displaystyle x',y'\in Q} כך ש-{\displaystyle (x',y',p)\in {\overline {E}}}. כיוון ש-{\displaystyle 2Tz=Tx+Ty\forall T\in G}, נקבל ש-{\displaystyle 2p=x'+y'} ומהקיצוניות של {\displaystyle p} נקבל ש-{\displaystyle x'=y'}. אבל לכל {\displaystyle T\in G}, {\displaystyle Tx-Ty\not \in V} ולכן {\displaystyle x'-y'\not \in V\ni 0} סתירה. קיבלנו סתירה ולכן Q מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.￼

שימושים
-------

משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר.

תוצאות נוספות
-------------

* משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו {\displaystyle X} מרחב וקטורי טופולוגי ו-{\displaystyle K\subset X} קמורה קומפקטית ולא ריקה. נניח \mathcal{F} קבוצה של העתקות אפיניות **מתחלפות** ({\displaystyle S\circ T=T\circ S\forall S,T\in {\mathcal {F}}}) מ-{\displaystyle K} ל-{\displaystyle K}. אז יש ל-\mathcal{F} נקודת שבת משותפת. המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות.
* ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}} קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה. תהי {\displaystyle \phi :K\to P(K)} פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל {\displaystyle x\in K}, {\displaystyle \phi (x)} קבוצה קמורה לא ריקה. אז יש ל-\phi  נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה {\displaystyle a\in K} כך ש {\displaystyle a\in \phi (a)}. המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'.

לקריאה נוספת
------------

* וולטר רודין, **אנליזה פונקציונלית**, 1973, Tata MacGraw-HiIl

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט נקודת השבת של קאקוטאני, באתר Wolfram
* סקירה של משפט נק' השבת של קאקוטאני באתר Springer (המאמר בתשלום)

הערות שוליים
------------

1. ↑  ראה למשל בוויקיפדיה האנגלית Kakutani fixed-point theorem.