|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'**  הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

נוסח פורמלי
-----------

תהי \mu  מידת הסתברות על {\displaystyle \left(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}\right)}, כאשר {\displaystyle {\mathcal {B}}} היא סיגמא אלגברת בורל.

נדון במרחב המכפלה {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}, כאשר {\displaystyle {\mathcal {F}}=\otimes \_{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {B}}} וכן {\displaystyle \mathbb {P} =\otimes \_{i\in \mathbb {N} }\mu }. נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים {\displaystyle \left\{X\_{i}\right\}\_{i\in \mathbb {N} }} המוגדרים {\displaystyle X\_{i}\left(\left(x\_{i}\right)\_{x\in \mathbb {N} }\right)=x\_{i}} הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות \mu .

נתבונן בחבורה {\displaystyle {\mathcal {S}}} של התמורות הסופיות על \mathbb{N}, כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי {\displaystyle {\mathcal {S}}} פועלת על {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}, על ידי כך שכל תמורה סופית {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}},\pi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }, משרה העתקה {\displaystyle T\_{\pi }:\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}, על ידי {\displaystyle T\_{\pi }\left(\left(x\_{i}\right)\_{i\in \mathbb {N} }\right)=\left(x\_{\pi (i)}\right)\_{i\in \mathbb {N} }}.

אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}, אם {\displaystyle T\_{\pi }^{-1}\left(A\right)=A} לכל {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}}}, אז {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}.

הוכחה
-----

תחילה ניתן להראות כי המשפחה {\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{E\mid T^{-1}\left(E\right)=E\right\}\subset {\mathcal {F}}} מהווה תת-סיגמא-אלגברה.

אם כך תהי {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}. נתבונן בהעתקה המציינת {\displaystyle 1\_{E}}, ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות {\displaystyle \left(g\_{n}\right)\_{n=1}^{\infty }} החסומות על ידי 1, כך שלכל n ההעתקה {\displaystyle g\_{n}} היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}=\sigma \left(X\_{1},X\_{2},...X\_{n}\right)}, ומתקיים {\displaystyle \mathbb {E} \left|1\_{E}-g\_{n}\right|\to 0} כאשר n \to \infty.

תהי {\displaystyle g\_{n}} העתקה כלשהי שהיא {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}}-מדידה. נבחר תמורה {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}}} שמקיימת {\displaystyle \left\{1,2,...n\right\}\cap \left\{\pi \left(1\right),\pi \left(2\right),...\pi \left(n\right)\right\}=\emptyset }. יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים 1,2,...n עם המספרים {\displaystyle n+1,n+2,...2n}, ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם.

תחילה נשים לב כי {\displaystyle g\_{n}\circ T\_{\pi }} היא העתקה בלתי-תלויה ב-{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}}, ולכן מתקיים {\displaystyle \mathbb {E} \left[g\_{n}\right]^{2}=\mathbb {E} \left[g\_{n}\right]\cdot \mathbb {E} \left[g\_{n}\circ T\_{\pi }\right]=\mathbb {E} \left[g\_{n}\cdot g\_{n}\circ T\_{\pi }\right]}. כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי E נובע כי {\displaystyle 1\_{E}\circ T\_{\pi }=1\_{T^{-1}\left(E\right)}=1\_{E}}, ולכן נובע כי {\displaystyle \mathbb {E} \left[1\_{E}\right]=\mathbb {E} \left[1\_{E}^{2}\right]=\mathbb {E} \left[1\_{E}\cdot 1\_{E}\circ T\_{\pi }\right]}.

עוד נשים לב כי מתקיים:

{\displaystyle \left|\mathbb {E} \left[1\_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g\_{n}\right]^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1\_{E}\cdot 1\_{E}\circ T\_{\pi }-g\_{n}\cdot g\_{n}\circ T\_{\pi }\right]\right|}
{\displaystyle \leq \mathbb {E} \left|\left(1\_{E}-g\_{n}\right)\cdot 1\_{E}\circ T\_{\pi }\right]+\mathbb {E} \left|g\_{n}\cdot \left(1\_{E}\circ T\_{\pi }-g\_{n}\circ T\_{\pi }\right)\right|}

{\displaystyle \leq \mathbb {E} \left|1\_{E}-g\_{n}\right|+\mathbb {E} \left|1\_{E}\circ T\_{\pi }-g\_{n}\circ T\_{\pi }\right|=2\cdot \mathbb {E} \left|1\_{E}-g\_{n}\right|{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow 0}}}
כעת נוכל להסיק כי:

,{\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(E\right)-\mathbb {P} \left(E\right)^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1\_{E}\right]-\mathbb {E} \left[1\_{E}\right]^{2}\right|\leq \left|\mathbb {E} \left[1\_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g\_{n}\right]^{2}\right|+\left|\mathbb {E} \left[1\_{E}\right]^{2}-\mathbb {E} \left[g\_{n}\right]^{2}\right|}

ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=\mathbb {P} \left(E\right)^{2}}, כלומר {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=0} או {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1}.

דוגמאות
-------

בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת {\displaystyle \left\{\sum \_{i=1}^{\infty }X\_{i}<\infty \right\}}, הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1.

דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט {\displaystyle \left\{X\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} על המספרים השלמים, בהסתברות p ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר {\displaystyle \mathbb {P} \left(X\_{n}=X\_{n-1}+1\right)=1-\mathbb {P} \left(X\_{n}=X\_{n-1}-1\right)=p} באופן בלתי תלוי לכל n. במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים {\displaystyle \left\{S\_{N}\right\}\_{N=1}^{\infty }} המוגדרים {\displaystyle S\_{N}=\sum \_{n=1}^{N}X\_{n}}, כלומר {\displaystyle S\_{N}} קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה-N. אזי המאורע {\displaystyle \left\{\limsup \_{N}\left\{S\_{N}=0\right\}\right\}}, כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל-{\displaystyle 0}, הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי {\displaystyle \left\{X\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }}, והוא לא תלוי באף תמורה סופית על N. לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן {\displaystyle \left\{S\_{N}\right\}\_{N=1}^{\infty }} הם משתנים מקריים תלויים.

קישורים חיצוניים
----------------

* Bruce K. Driver, Probability Tools with Examples , 2010

הערות שוליים
------------

1. ↑  Hewitt, E.; Savage, L. J. (1955). "Symmetric measures on Cartesian products". Trans. Amer. Math. Soc. 80: 470–501. doi:10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8.
2. ↑  ההעתקה {\displaystyle T\_{\pi }} מדידה, שכן בכל קואורדינטה j היא שווה למשתנה המקרי {\displaystyle X\_{\pi \left(j\right)}\left(\left(x\_{i}\right)\_{i\in \mathbb {N} }\right)=x\_{\pi \left(j\right)}}.

 ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח **"חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'"**.