במתמטיקה, ישנן דרכים שונות להגדיר מהו שדה המספרים הממשיים, רובן משתמשות בקיום שדה המספרים הרציונליים. לא כל הבניות מובילות בסופו של התהליך אל אותה הקבוצה, אך העיקר הוא האיזומורפיזם בין המבנים הנוצרים בכל אחת מהבניות; כלומר, בכל הבניות מגיעים לשדה סדור שלם שהוא גם ארכימדי. בכל הבניות מגיעים גם לקבוצה בעלת אותה עוצמה. משמעות הבנייה היא יצירת קבוצה שמוגדרות עליה שתי פעולות (כפל וחיבור), ויחס סדר מלא (חזק או חלש) אשר מקיימת מספר אקסיומות (שיתוארו להלן).

היסטוריה
--------

במשך מאות שנים, מספר ממשי היה מספר שמייצג אורך של קטע, לאחר שהוסיפו לו כיוון (כלומר הוא יכול להיות גם שלילי). לאחר שהגאומטריה תוארה באמצעים אלגבריים, הובן שיש פה בעיה של הגדרה מעגלית: השדה הממשי מוגדר באמצעות גאומטריה, והגאומטריה מוגדרת באמצעות השדה הממשי. לכן, ב־1872, פרסם גאורג קנטור את דרכו לבניית השדה הממשי מתוך השדה הרציונלי, כשהוא עושה שימוש בסדרות קושי של מספרים רציונליים. מעט מאוחר יותר באותה שנה פרסם ריכרד דדקינד את הגדרתו שלו, העושה שימוש בחתכי דדקינד. מאז פורסמו עוד הרבה מאוד בניות, וחלקן מובאות בערך זה.

אקסיומות
--------

המטרה של כל הבניות זהה: יש ליצור קבוצה {\displaystyle \mathbb {R} }, שעליה מוגדרות פעולות {\displaystyle \cdot ,+} ויחס סדר \le (או {\displaystyle <}), כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )} הוא שדה.
2. {\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )} היא קבוצה סדורה בסדר מלא.
3. כשדה, {\displaystyle \mathbb {R} } הוא שדה סדור שלם ביחס הסדר \le, כלומר:
	* {\displaystyle \forall x\leq y\forall z\in \mathbb {R} :x+z\leq y+z}
	* {\displaystyle \forall x\leq y\forall z\geq 0:xz\leq yz}
	* לכל תת־קבוצה לא־ריקה {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } וַחסומה מלמעלה יש חסם עליון: קיים {\displaystyle M\in \mathbb {R} } כך שלכל {\displaystyle x\in S} מתקיים {\displaystyle x\leq M}, וכל {\displaystyle y\in \mathbb {R} } שעבורו לכל {\displaystyle x\in S} מתקיים {\displaystyle x\leq y}, מקיים {\displaystyle M\leq y}.

אם הסדר המוגדר הוא חזק ({\displaystyle <}), אז יש להחליף כל מופע של \le באקסיומות ב{\displaystyle <}, למעט האקסיומה האחרונה, בה יש להשתמש ביחס הסדר החזק {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x<y\lor x=y}. ניתן לראות כי כל מודל ביחס חזק {\displaystyle <} הוא גם מודל ביחס החלש המוגדר כמו קודם, וכן כל מודל ביחס \le הוא גם מודל ביחס החזק {\displaystyle x<y\Leftrightarrow x\leq y\land x\neq y}.

בנייה
-----

### סדרות קושי של מספרים רציונליים

בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים. נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו. מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו. נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.

תהי R קבוצת כל סדרות קושי ב-\mathbb{Q}, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} כך שלכל \varepsilon>0 (רציונלי) קיים N טבעי כך שלכל זוג טבעיים {\displaystyle m,n>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{m}-x\_{n}|<\varepsilon }.

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} ו-{\displaystyle \{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} שקולות אם ורק אם לכל \varepsilon>0 (רציונלי) קיים N טבעי כך שלכל {\displaystyle n>N} טבעי מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|<\varepsilon }.
  

נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:

* רפלקסיביות: לכל סדרה {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, לכל \varepsilon>0 ולכל n, מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-x\_{n}|=0<\varepsilon }.
* סימטריות: {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|=|y\_{n}-x\_{n}|} ולכן אם האחד קטן מ-\varepsilon  גם השני קטן ממנו.
* טרנזיטיביות: יהי {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, ו- {\displaystyle \{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}. יהי \varepsilon>0 קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}} ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n}-z\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N}: {\displaystyle |x\_{n}-z\_{n}|=|x\_{n}-y\_{n}+y\_{n}-z\_{n}|\leq |x\_{n}-y\_{n}|+|y\_{n}-z\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon } (על פי אי-שוויון המשולש), לכן {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}.

קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן \mathbb{R} - זהו שדה המספרים הממשיים.

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי q מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה {\displaystyle \{q\}\_{n=1}^{\infty }}.

את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
  

{\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]+[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]:=[\{x\_{n}+y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}
  

{\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]:=[\{x\_{n}\cdot y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}
  

נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
יהו {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty },\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{w\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}. יש להוכיח כי {\displaystyle \{x\_{n}+y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}+w\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, ו- {\displaystyle \{x\_{n}\cdot y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}\cdot w\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}.

* חיבור: יהי \varepsilon>0. קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-z\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}} ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n}-w\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N}:

{\displaystyle |x\_{n}+y\_{n}-z\_{n}-w\_{n}|\leq |x\_{n}-z\_{n}|+|y\_{n}-w\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
* כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי A המקסימום בין החסמים של {\displaystyle \{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty },\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, כלומר לכל n מתקיים {\displaystyle |y\_{n}|<A} וכן {\displaystyle |z\_{n}|<A}. קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-z\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}} ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n}-w\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}}. נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N}:

{\displaystyle |x\_{n}y\_{n}-z\_{n}w\_{n}|=|x\_{n}y\_{n}-z\_{n}y\_{n}+z\_{n}y\_{n}-z\_{n}w\_{n}|\leq |y\_{n}||x\_{n}-z\_{n}|+|z\_{n}||y\_{n}-w\_{n}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon }
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה {\displaystyle \mathbb {R} } היא שדה:

* תכונות החיבור:

1. סגירות: יהי \varepsilon>0. קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}, ולכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n\_{1}}-y\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N}: {\displaystyle |(x\_{n\_{1}}+y\_{n\_{1}})-(x\_{n\_{2}}+y\_{n\_{2}})|\leq |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|+|y\_{n\_{1}}-y\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס וקיום האיבר הנגדי נובעות מידית מתכונות אלו בשדה {\displaystyle \mathbb {Q} }, כאשר מגדירים {\displaystyle 0=[\{0\}\_{n=1}^{\infty }]}, וכן {\displaystyle -[\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]=[\{-x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}.

* תכונות הכפל:

1. סגירות: יהי \varepsilon>0. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן בA את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}} ולכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n\_{1}}-y\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}}. נסמן {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N}: {\displaystyle |x\_{n\_{1}}y\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}y\_{n\_{2}}|=|x\_{n\_{1}}y\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}y\_{n\_{1}}+x\_{n\_{2}}y\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}y\_{n\_{2}}|\leq |y\_{n\_{1}}||x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|+|x\_{n\_{2}}||y\_{n\_{1}}-y\_{n\_{2}}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon }.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מתכונות אלו בשדה {\displaystyle \mathbb {Q} }, כאשר מגדירים {\displaystyle 1=[\{1\}\_{n=1}^{\infty }]}.
3. קיום איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב{\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל N קיים {\displaystyle n>N} כך ש{\displaystyle x\_{n}=0}. יהי \varepsilon>0. קיים N כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<\varepsilon }. יהי {\displaystyle n\_{0}>N} כך ש-{\displaystyle x\_{n\_{0}}=0}. לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-0|=|x\_{n}-x\_{n\_{0}}|<\varepsilon }, לכן {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim 0}. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי N כך שלכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle x\_{n}\not =0}. נסמן ב{\displaystyle \{x\_{n}'\}\_{n=1}^{\infty }} את הסדרה המוגדרת על פי {\displaystyle x'\_{n}={\begin{cases}x\_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}}. ברור ש-{\displaystyle \{x'\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, וכן שכל איברי הסדרה {\displaystyle \{x'\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} שונים מאפס, לכן ניתן להניח כי {\displaystyle x\_{n}\neq 0} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. נגדיר {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]^{-1}=[\{x\_{n}^{-1}\}\_{n=1}^{\infty }]}. נרצה להראות כי זוהי סדרת קושי: נניח בשלילה שלכל B>0 ולכל {\displaystyle N\in \mathbb {N} } קיים {\displaystyle n>N} כך ש-{\displaystyle |x\_{n}|<B}. אז בהינתן \varepsilon>0, קיים N כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. בנוסף מההנחה קיים {\displaystyle n\_{0}>N} כך ש{\displaystyle |x\_{n\_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. לכן, לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-0|\leq |x\_{n}-x\_{n\_{0}}|+|x\_{n\_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }, כלומר {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim 0}, בניגוד לכך ש-{\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\neq 0}. לכן קיימים {\displaystyle B>0,N\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle |x\_{n}|>B} לכל {\displaystyle n>N}. נגדיר {\displaystyle A=\min\{|x\_{1}|,|x\_{2}|,...|x\_{N}|,B\}} ונקבל {\displaystyle A>0} (כי מתקיים {\displaystyle x\_{n}\neq 0\Rightarrow |x\_{n}|>0}, וכן B>0), וכן {\displaystyle |x\_{n}|>A} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. כעת יהי \varepsilon>0. קיים {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<A^{2}\varepsilon }, לכן לכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}^{-1}-x\_{n\_{2}}^{-1}|={\frac {|x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|}{|x\_{n\_{1}}||x\_{n\_{2}}|}}<{\frac {A^{2}\varepsilon }{A\cdot A}}=\varepsilon }. כלומר {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]^{-1}} היא סדרת קושי, וקל לראות {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]^{-1}\cdot [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]=1}.

* דיסטריבוטיביות: נובע מהדיסטריבוטיביות ב-{\displaystyle \mathbb {Q} }.

בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-\mathbb{Q} נגדיר כך: {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]<[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]} אם ורק אם קיים r>0 וקיים N טבעי כך שלכל {\displaystyle n>N} טבעי מתקיים {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r}.

נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:

נניח ש-{\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty },\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\sim \{w\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} וכן שקיימים {\displaystyle r>0(r\in \mathbb {Q} ),N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r}. במקרה זה קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-z\_{n}|<{\frac {r}{2}}} (או בנוסח אחר: {\displaystyle x\_{n}-{\frac {r}{2}}<z\_{n}<x\_{n}+{\frac {r}{2}}}), ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n}-w\_{n}|<{\frac {r}{4}}} (או בנוסח אחר: {\displaystyle w\_{n}-{\frac {r}{4}}<y\_{n}<w\_{n}+{\frac {r}{4}}}). נבחר {\displaystyle N'=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N'}: {\displaystyle z\_{n}<x\_{n}+{\frac {r}{2}}<y\_{n}-r+{\frac {r}{2}}=y\_{n}-{\frac {r}{2}}<w\_{n}-{\frac {r}{2}}+{\frac {r}{4}}=w\_{n}-{\frac {r}{4}}}.

נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:

* אנטי-רפלקסיביות: לכל r>0 ולכל {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}, מתקיים {\displaystyle x\_{n}-r<x\_{n}} ולכן לא מתקיים {\displaystyle x\_{n}<x\_{n}-r}, כלומר {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}.
* טרנזיטיביות: יהיו {\displaystyle r\_{1},r\_{2}>0}, וכן {\displaystyle N\_{1},N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r\_{1}}, ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle y\_{n}<z\_{n}-r\_{2}}. אז נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\},r=r\_{1}+r\_{2}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N}: {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r\_{1}<z\_{n}-r\_{1}-r\_{2}=z\_{n}-(r\_{1}+r\_{2})=z\_{n}-r}.
* השוואה: נניח שמתקיים {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\not <[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\land [\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}. אז לכל r>0 ולכל N, קיים {\displaystyle n>N} כך ש-{\displaystyle x\_{n}\geq y\_{n}-r} וכן {\displaystyle y\_{n}\geq x\_{n}-r}. בנוסח אחר נאמר כי {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|\leq r}. יהי \varepsilon>0. קיימים {\displaystyle N\_{1},N\_{1}} כך שלכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{1}}-x\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}}, ולכל {\displaystyle n\_{1},n\_{2}>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle |y\_{n\_{1}}-y\_{n\_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}}. נסמן {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}}. קיים {\displaystyle n\_{0}>N} כך שמתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{0}}-y\_{n\_{0}}|\leq {\frac {\varepsilon }{3}}}. לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n\_{0}}-y\_{n}|\leq |x\_{n\_{0}}-y\_{n\_{0}}|+|y\_{n\_{0}}-y\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}={\frac {2\varepsilon }{3}}}. לכן לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|\leq |x\_{n}-x\_{n\_{0}}|+|x\_{n\_{0}}-y\_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {2\varepsilon }{3}}=\varepsilon }, ולכן {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]=[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}.

  
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:

נניח כי {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]<[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}:

* לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r} ולכן גם {\displaystyle x\_{n}+z\_{n}<y\_{n}+z\_{n}-r} ובסה"כ {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]+[\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]<[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]+[\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}.
* נניח בנוסף כי {\displaystyle [\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]>0} (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות {\displaystyle [\{0\}\_{n=1}^{\infty }]}). לכל {\displaystyle n>N\_{1}}, מתקיים {\displaystyle z\_{n}-r\_{1}>0\Rightarrow z\_{n}>r\_{1}\Rightarrow -z\_{n}<-r\_{1}} (ובפרט {\displaystyle z\_{n}>0}), ולכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle x\_{n}<y\_{n}-r}. נבחר {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל לכל {\displaystyle n>N}: {\displaystyle x\_{n}z\_{n}<(y\_{n}-r\_{2})z\_{n}=y\_{n}z\_{n}-r\_{2}z\_{n}<y\_{n}z\_{n}-r\_{1}r\_{2}}. לכן {\displaystyle [\{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]<[\{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }]}.

העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:תהי S תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי u. נגדיר {\displaystyle u\_{1}} כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-u (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-S אינה ריקה, קיים מספר רציונלי {\displaystyle l\_{1}} שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי S. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם {\displaystyle a\_{n}={\frac {u\_{n}+l\_{n}}{2}}} חסם מלעיל אז {\displaystyle u\_{n+1}=a\_{n}} ו-{\displaystyle l\_{n+1}=l\_{n}}, אם הוא אינו חסם מלעיל אז {\displaystyle l\_{n+1}=a\_{n}} ו-{\displaystyle u\_{n+1}=u\_{n}}.
  
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-r. קל להראות באינדוקציה כי לכל n טבעי {\displaystyle u\_{n}} חסם מלעיל ל-S בעוד ש-{\displaystyle l\_{n}} לא, מעובדה זו נובע כי r חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי t מקיים {\displaystyle t<r}, אז קיים {\displaystyle n\_{0}} טבעי עבורו {\displaystyle t<l\_{n\_{0}}}, ומכיוון ש-{\displaystyle \{l\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} מונוטונית עולה נקבל כי לכל {\displaystyle n\geq n\_{0}} גם מתקיים {\displaystyle t<l\_{n}}, אך ראינו כבר ש-{\displaystyle l\_{n}} אינו חסם מלעיל ולכן t שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

### חתכי דדקינד

בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה A המקיימת:

* {\displaystyle \emptyset \subset A\subset \mathbb {Q} }
* לכל x\in A וגם {\displaystyle y<x}, מתקיים {\displaystyle y\in A}
* לA אין מקסימום: לא קיים x\in A כך שלכל {\displaystyle y\in A} מתקיים {\displaystyle y\leq x}.

לכל מספר רציונלי q, החתך {\displaystyle \{x:x<q\}} הוא החתך המייצג את q.

עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור {\sqrt 2} יתאים החתך {\displaystyle \{x:x<0\lor x^{2}<2\}}, ועבור {\displaystyle e=2.71...} (מספר אוילר) יתאים החתך {\displaystyle \left\{x:\exists n\in \mathbb {N} ,x<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}}.

את קבוצת חתכי דדקינד נסמן {\displaystyle \mathbb {R} } - שדה המספרים הממשיים.

נגדיר יחס סדר על השדה: {\displaystyle A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B}.

נגדיר פעולות על השדה:

* **חיבור**: {\displaystyle A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}}.

את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:

1. סגירות: {\displaystyle A,B\not =\emptyset \Rightarrow \exists x\in A,y\in B\Rightarrow \exists z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset }. יהי {\displaystyle M\_{1},M\_{2}\in \mathbb {Q} } כך שלכל {\displaystyle x\in A,y\in B} מתקיים {\displaystyle x<M\_{1},y<M\_{2}}. נגדיר {\displaystyle M=M\_{1}+M\_{2}} ולכן לכל {\displaystyle z\in A+B} מתקיים {\displaystyle z=x+y<M\_{1}+M\_{2}=M}, לכן {\displaystyle A+B\not =\mathbb {Q} }. יהי {\displaystyle x\in A+B,y<x}. אז קיימים {\displaystyle a\in A,b\in B} כך ש-{\displaystyle x=a+b}. נקבל {\displaystyle w:=x-y=a+b-y>0}. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-{\displaystyle \alpha :=a-{\frac {w}{2}}\in A\land \beta :=b-{\frac {w}{2}}\in B}. אז מתקיים {\displaystyle y=x-w=\alpha +\beta \in A+B}. לכל x\in A קיים a\in A כך ש-{\displaystyle x<a}, וכן לגבי B. יהי {\displaystyle z=x+y\in A+B}. אז קיימים {\displaystyle a>x,b>y} בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים {\displaystyle c:=a+b\in A+B}, וכן {\displaystyle c>z}, לכן ל{\displaystyle A+B} אין מקסימום. לכן {\displaystyle A+B} הוא חתך.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר האפס נובעות מידית מתכונות אלו בשדה {\displaystyle \mathbb {Q} }, כאשר מגדירים {\displaystyle 0=\{q\in \mathbb {Q} |q<0\}}.
3. קיום איבר נגדי: נגדיר את {\displaystyle -A=\{x-y|x<0\land y\in A^{c}\}}. נראה שמתקיים {\displaystyle A+(-A)=0}: יהי {\displaystyle a\in A+(-A)}. אז קיימים {\displaystyle x\in A,y<0,z\in A^{c}} כך ש-{\displaystyle x+y-z=a}. מתקיים {\displaystyle z>x}, ולכן {\displaystyle a=x+y-z<x+y-x=y<0}. לכן {\displaystyle A+(-A)\subseteq 0}. יהי {\displaystyle a\in 0}, אז מתקיים {\displaystyle a<0}. הקבוצה {\displaystyle A} היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי {\displaystyle M\in \mathbb {Q} ,M>0} כך שלכל x\in A מתקיים {\displaystyle x<M}. יהי {\displaystyle x<-M,x\in A} ונגדיר {\displaystyle z=-x>M}, כלומר {\displaystyle y\in A^{c}}, וכן נגדיר {\displaystyle y=a<0}. מתקיים {\displaystyle x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a}. קיבלנו ייצוג של a כ- {\displaystyle a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^{c}}, לכן {\displaystyle a\in A+(-A)}. בסה"כ קיבלנו {\displaystyle A+(-A)=0}.

כעת נגדיר את הכפל:

* עבור {\displaystyle A,B\geq 0}, נגדיר {\displaystyle A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0}. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר {\displaystyle A\cdot B=-(A\cdot -B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot -B}.

כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:

1. סגירות: נראה זאת כאשר {\displaystyle A,B\geq 0}. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. {\displaystyle 0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset }. נגדיר את {\displaystyle M\_{1},M\_{2}} כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר {\displaystyle M=M\_{1}\cdot M\_{2}}. לכל {\displaystyle 0<z=xy\in AB} מתקיים {\displaystyle z=xy<M\_{1}M\_{2}=M}. עבור {\displaystyle z\leq 0} שוב מתקיים {\displaystyle z<M}. לכן {\displaystyle AB\not =\mathbb {Q} }. נניח כי {\displaystyle 0<y<x\in AB}. אז קיימים {\displaystyle a\in A\setminus 0,b\in B\setminus 0} כך ש-{\displaystyle x=ab}. מתקיים {\displaystyle w:={\frac {x}{y}}>1}. נגדיר {\displaystyle \alpha ={\frac {a}{w}}<a} אז מתקיים {\displaystyle y=\alpha \cdot b\in A\cdot B}. לכל x\in A קיים a\in A כך ש-{\displaystyle x<a}, וכן לגבי B. יהי {\displaystyle z=xy\in AB}.אז קיימים {\displaystyle a>x,b>y} בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים {\displaystyle c:=ab\in AB} וכן {\displaystyle c>z}, לכן ל{\displaystyle AB} אין מקסימום. לכן {\displaystyle AB} הוא חתך.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו בשדה {\displaystyle \mathbb {Q} }, כאשר מגדירים {\displaystyle 1=\{q\in \mathbb {Q} |q<1\}}.
3. קיום איבר הופכי: נגדיר {\displaystyle \forall A\geq 0:A^{-1}=\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x<1\land y\in A^{c}\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}}. יהי {\displaystyle x\in A\cdot A^{-1}} כאשר {\displaystyle A\geq 0}. אז קיימים {\displaystyle a\in A\setminus 0,b<1,c\in A^{c}} כך ש{\displaystyle x={\frac {ab}{c}}}. מכיוון ש{\displaystyle a<c}, נקבל {\displaystyle x=b\cdot {\frac {a}{c}}<b<1}, לכן {\displaystyle x\in 1}.

* דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור {\displaystyle A\geq 0\land B+C\geq 0}: על פי ההגדרה, {\displaystyle A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus 0\land y\in B\land z\in C\land y+z\geq 0\}\cup 0=(\{xy|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0)+(\{xz|x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}\cup 0)=AB+AC}.

נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, {\displaystyle A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B}, הוא אכן יחס סדר חלש:
מכיוון שהיחס {\displaystyle \subseteq } הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו {\displaystyle A,B\in \mathbb {R} }, ונניח כי {\displaystyle A\not \subseteq B}, כלומר קיים a\in A כך ש{\displaystyle a\not \in B}. יהי {\displaystyle x\in B}. לא ייתכן כי {\displaystyle x\geq a}, כי אז יתקיים {\displaystyle a\in B}. לכן {\displaystyle x<a}, ומכיוון שA חתך נקבל x\in A. לכן B\subseteq A.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:

* איזוטוניות ביחס לחיבור: {\displaystyle A\leq B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow \forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow \forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\leq B+C}.
* איזוטוניות ביחס לכפל: יהי {\displaystyle C\geq 0}, ונניח כי {\displaystyle 0\leq A\leq B}. לכן {\displaystyle 0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0,x\in B\setminus 0\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0,x\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\leq BC}.

נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר {\displaystyle M=\bigcup \_{A\in S}A}. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:

* {\displaystyle S\not =\emptyset \Rightarrow \exists A\in S\Rightarrow A\subseteq M}. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון שS חסומה, קיים N כך שלכל {\displaystyle A\in S} מתקיים {\displaystyle A\leq N}, כלומר {\displaystyle A\subseteq N}. לכן {\displaystyle M\subseteq N\subset \mathbb {Q} }.
* יהי {\displaystyle x\in M}, ויהי {\displaystyle y<x}. אז קיים {\displaystyle A\in S} כך שx\in A. לכן {\displaystyle y\in A}, כלומר {\displaystyle y\in M}.
* יהי {\displaystyle x\in M}. אז קיים {\displaystyle A\in S} כך שx\in A. מכיוון שA חתך, קיים {\displaystyle y>x} כך ש{\displaystyle y\in A}. לכן {\displaystyle y\in M}.

נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: {\displaystyle \forall A\in S,A\subseteq \bigcup \_{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\leq M}. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי N חסם מלעיל של S. יהי {\displaystyle x\in M}. קיים {\displaystyle A\in S} כך שx\in A. מכיוון ש{\displaystyle A\subseteq N}, נקבל {\displaystyle x\in N}. לכן {\displaystyle M\leq N}. לכן M הוא החסם העליון הקטן ביותר של S.

### קוואזי-הומומורפיזמים של חוג השלמים

כל מספר ממשי {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\lfloor n\alpha \rfloor }{n}}=\alpha }. מספיק לדבר על הפונקציה {\displaystyle f(n)=\lfloor n\alpha \rfloor }. תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים {\displaystyle f(n+m)\approx f(n)+f(m)}, במובן שיתואר להלן. אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.

בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.

נאמר כי פונקציה {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } היא **קוואזי-הומומורפיזם**, אם קיים {\displaystyle k\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} } מתקיים {\displaystyle |f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k}. הקבוע k יכונה **קבוע-האדיטיביות** של f.

ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים {\displaystyle |f(mn)-mf(n)|\leq (|m|+1)k}, ולכן גם {\displaystyle |mf(n)-nf(m)|\leq (|m|+|n|+2)k} (מתכונה זו נובע כי {\displaystyle \left\{{\frac {f(n)}{n}}\right\}\_{n=1}^{\infty }} היא סדרת קושי, המתכנסת ל\alpha. ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).

את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן {\displaystyle \mathrm {qh} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}. נגדיר יחס שקילות על {\displaystyle \mathrm {qh} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}: {\displaystyle f(n)\sim g(n)} אם ורק אם קיים {\displaystyle k\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle |f(n)-g(n)|\leq k} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא ש{\displaystyle \left\{{\frac {f(n)}{n}}\right\}\_{n=1}^{\infty }\sim \left\{{\frac {g(n)}{n}}\right\}\_{n=1}^{\infty }} במובן שתואר בבנייה של קנטור).
נראה כי זהו אכן יחס שקילות:

* רפלקסיביות: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-f(n)|=0\leq 0}
* סימטריה: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-g(n)|\leq k\Rightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,|g(n)-f(n)|\leq k}
* טרנזיטיביות: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-g(n)|\leq k\_{1}\land |g(n)-h(n)|\leq k\_{2}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-h(n)|\leq |f(n)-g(n)|+|g(n)-h(n)|\leq k\_{1}+k\_{2}}

את קבוצת המנה {\displaystyle \mathrm {qu} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )/\sim } נסמן {\displaystyle \mathbb {R} } - יצרנו את קבוצת הממשיים.
לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה {\displaystyle \,f\_{q}(n)=\lfloor qn\rfloor }; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם. במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה {\displaystyle f\_{m}(n)=mn}.

נגדיר פעולות על הקבוצה:

* חיבור: החיבור הרגיל של פונקציות, כלומר {\displaystyle (f+g)(n)=f(n)+g(n)}. נחבר מחלקות שקילות באמצעות חיבור נציגים.
* כפל: הרכבת פונקציית, כלומר {\displaystyle (f\cdot g)(n)=(f\circ g)(n)=f(g(n))}. נכפול מחלקות שקילות באמצעות כפל נציגים.

נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו {\displaystyle f\sim h,g\sim p} כאשר {\displaystyle k\_{1}} מקיים {\displaystyle |f(n)-h(n)|\leq k\_{1}}, וk\_2 מקיים את התכונה לגבי {\displaystyle g,p}.

* חיבור: {\displaystyle |f(n)+g(n)-h(n)-p(n)|\leq k\_{1}+k\_{2}}, לכן {\displaystyle f+g\sim h+p}.
* כפל: {\displaystyle f(g(n))-h(p(n))=f(g(n)-p(n)+p(n))-h(p(n))}. מתקיים {\displaystyle g(n)-p(n)\leq k\_{2}}, לכן הביטוי {\displaystyle f(g(n)-p(n)+p(n))} חסום בסביבה כלשהי של {\displaystyle f(p(n))}, כלומר קיימים {\displaystyle k',k''} כך ש{\displaystyle f(p(n))+k'\leq f(g(n)-p(n)+p(n))\leq f(p(n))+k''}. לכן {\displaystyle k\_{2}+k'\leq f(g(n)-p(n)+p(n))-f(p(n))+f(p(n))-h(p(n))=f(g(n))-h(p(n))\leq k\_{2}+k''}. כלומר {\displaystyle |f(g(n))-h(p(n))|\leq K} עבור {\displaystyle K\in \mathbb {Z} } כלשהו.

נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה:

* תכונות החיבור:

1. סגירות: {\displaystyle |f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k\_{1}\land |g(n+m)-g(n)-g(m)|\leq k\_{2}\Rightarrow |(f+g)(n+m)-(f+g)(n)-(f+g)(m)|\leq k\_{1}+k\_{2}}.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס והאיבר הנגדי נובעות מידית מקיום תכונות אלו בחוג {\displaystyle \mathbb {Z} }, כאשר מגדירים {\displaystyle 0(n)=0} ו-{\displaystyle 0=[0]}, וכן {\displaystyle (-f)(n)=-f(n)} ו-{\displaystyle -[f]=[-f]}.

* תכונות הכפל:

1. סגירות: נגדיר {\displaystyle d\_{f}(m,n)=f(m+n)-f(m)-f(n)}. כעת מתקיים {\displaystyle {\begin{aligned}f(g(m+n))-f(g(m))-f(g(n))&=f(g(m)+g(n)+d\_{g}(m,n))-f(g(m))-f(g(n))\\&=f(g(n)+d\_{g}(m,n))+d\_{f}(g(m),g(n)+d\_{g}(m,n))-f(g(n))\\&=f(d\_{g}(m,n))+d\_{f}(g(n),d\_{g}(m,n))+d\_{f}(g(m),g(n)+d\_{g}(m,n))\end{aligned}}}. מכיוון ש{\displaystyle d\_{f},d\_{g}} הם פונקציות חסומות, והפונקציה f חסומה על קבוצה סופית (כי תמונת קבוצה סופית היא סופית, ובפרט חסומה), הביטוי כולו חסום.
2. תכונות האסוציאטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו לכל קבוצה של פונקציות, כאשר מגדירים {\displaystyle 1=[I]} (I היא פונקציית הזהות ב{\displaystyle \mathbb {Z} })
3. קומוטטיביות: אם נציב {\displaystyle m=g(n)} באי-שוויון {\displaystyle |nf(m)-mf(n)|\leq (|m|+|n|+2)k}, נקבל {\displaystyle |n(fg)(n)-f(n)g(n)|\leq (|n|+|g(n)|+2)k\_{1}}, ולכן גם {\displaystyle |n(gf)(n)-f(n)g(n)|\leq (|n|+|f(n)|+2)k}. לכן מתקיים {\displaystyle |n|\cdot |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq (2|n|+|f(n)|+|g(n)|+4)k} כאשר {\displaystyle k=\max\{k\_{1},k\_{2}\}}. נשים לב שמתקיים {\displaystyle |f(n)|\leq |f(n\cdot 1)-n\cdot f(1)|+|n||f(1)|\leq (|n|+1)k+|n||f(1)|\leq |n|(2k+|f(1)|):=k'|n|}, לכן {\displaystyle |n|\cdot |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq (2|n|+|n|k'+|n|k'+4)k\leq |n|(6+2k')k:=k''|n|}, לכן {\displaystyle |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq k''}. בכל זאת הנחנו כי {\displaystyle 4\leq 4|n|}, מה שמתקיים רק עבור {\displaystyle n\not =0}. לכן נגדיר {\displaystyle K=\max\{k'',|(fg)(0)-(gf)(0)|\}}, ונקבל {\displaystyle |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq K}. קיבלנו {\displaystyle fg\sim gf}, כלומר {\displaystyle [f][g]=[g][f]}.

לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר **חיוביות** של קוואזי-הומומורפיזם: f חיובית אם"ם קיים {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } כך שלכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, {\displaystyle f(n)\geq k}. ברור שאם f חיובית ו{\displaystyle g\sim f}, אז g חיובית (במובן של סדרות קושי, המשמעות היא ש{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}\geq 0}, מה שמסתדר מצוין עם העובדה שהסדרה מתכנסת למספר אותו הפונקציה מייצגת). לכן ניתן לדבר על חיוביות של {\displaystyle [f]}, כחיוביות של f. נראה כי אם f לא חיובית, אז {\displaystyle -f} חיובית: כל קוואזי-הומומורפיזם שקול לקוואזי-הומומורפיזם המקיים {\displaystyle f(0)=0}, לכן מספיק להוכיח רק לגבי אלו המקיימים {\displaystyle f(0)=0}: נניח בשלילה שגם f וגם {\displaystyle -f} לא חיוביות. אז לכל k קיים {\displaystyle r\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle f(r)>k}, וקיים s כך ש{\displaystyle -f(s)>k}, כלומר {\displaystyle f(s)<-k}. f קוואזי הומומורפיזם, לכן קיים {\displaystyle k\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} } מתקיים {\displaystyle |f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k}. יהי r המספר הטבעי המינימלי שעבורו {\displaystyle f(r)>k}, ויהי {\displaystyle s\in \mathbb {N} } המספר הטבעי המינימלי שעבורו {\displaystyle f(s)<-k}. בבירור {\displaystyle r,s>0}, וכן {\displaystyle r\not =s}. אם {\displaystyle r>s}, אז {\displaystyle 0<r-s<r}, ומהמינימליות של r נקבל {\displaystyle f(s-r)\leq k}, ולכן {\displaystyle f(r)-f(r-s)-f(s)>k-k+k=k}, בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. אם {\displaystyle s>r}, אז {\displaystyle 0<s-r<s}, ומהמינימליות של s נקבל {\displaystyle f(r-s)\geq -k}, ולכן {\displaystyle f(s)-f(s-r)-f(r)<-k+k-k=-k}, שוב בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. לכן תמיד אם f לא חיובית, {\displaystyle -f} חיובית.

1. קיום איבר הופכי: אם {\displaystyle [f]\not =0} חיובית, נגדיר {\displaystyle g(n)=\min\{m\in \mathbb {N} |f(m)\geq n\}}. נראה שמתקיים {\displaystyle [f][g]=1}: {\displaystyle f(g(n))\geq n}, לכן {\displaystyle f(g(n))-n\geq 0}. מכיוון שf היא קוואזי-הומומורפיזם, נקבל {\displaystyle f(g(n))-f(g(n)-1)-f(1)\leq k}. מכיוון ש{\displaystyle f(g(n)-1)>n} (על פי ההגדרה), נקבל {\displaystyle f(g(n))-n\leq k+f(1)}. קיבלנו {\displaystyle 0\leq f(g(n))-n\leq k+f(1)}, לכן קיים {\displaystyle K\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle |f(g(n))-I(n)|\leq K}. קיבלנו {\displaystyle fg\sim I}. לכן {\displaystyle g=f^{-1}}. אם f לא חיובית, נגדיר {\displaystyle [f]^{-1}=-[-f]^{-1}}.

* דיסטריבוטיביות: {\displaystyle |f(g(n)+h(n))-f(g(n))-f(h(n))|\leq k}, לכן {\displaystyle |(f(g+h))(n)-(fg+fh)(n)|\leq k}, כלומר {\displaystyle f(g+h)\sim fg+fh}.

נגדיר יחס סדר על השדה: {\displaystyle [f]\leq [g]} אם ורק אם {\displaystyle g-f} חיובית. נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים: נניח כי {\displaystyle |f(n)-h(n)|\leq k\_{1}\ \ ,\ \ |g(n)-p(n)|\leq k\_{2}\ \ ,\ \ g(n)-f(n)\geq k\_{3}}. אז מתקיים {\displaystyle p(n)-h(n)=p(n)-g(n)+g(n)-h(n)\geq -|p(n)-g(n)|+g(n)-f(n)+f(n)-h(n)\geq -k\_{2}+k\_{3}-|f(n)-h(n)|\geq -k\_{2}+k\_{3}-k\_{1}}. מעתה נוכל לדבר פשוט על {\displaystyle f\leq g}, במקום {\displaystyle [f]\leq [g]}.

נראה כי זהו אכן יחס סדר מלא חלש:

* רפלקסיביות: {\displaystyle f(n)-f(n)=0\geq 0}, לכן {\displaystyle f\leq f}.
* אנטי-סימטריה: עלינו להראות כי אם {\displaystyle f-g,g-f} חיוביות, אז {\displaystyle f\sim g}. מספיק שנראה כי אם {\displaystyle f,-f} חיוביות, אז {\displaystyle f\sim 0}. נניח כי {\displaystyle f(n)\geq k\_{1}\ \ ,\ \ -f(n)\geq k\_{2}} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. אז מתקיים {\displaystyle -k\_{2}\leq f(n)\leq k\_{1}}, ואם נסמן {\displaystyle k'=\max\{|k\_{1}|,|k\_{2}|\}}, נקבל {\displaystyle |f(n)|\leq k} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. כעת עלינו להראות כי קיים {\displaystyle k''} כך ש{\displaystyle |f(-n)|\leq k''} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, ואז על ידי סימון {\displaystyle K=\max\{k',k''\}} נקבל {\displaystyle |f(n)-0|\leq K} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }. קיים {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } כך ש{\displaystyle |f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k}, לכן {\displaystyle |f(-n)|\leq |f(-n)+f(n)-f(0)|+|f(n)|+|f(0)|\leq k+k'+|f(0)|:=k''}.
* טרנזיטיביות: נניח כי {\displaystyle g(n)-f(n)\geq k\_{1}\ \ ,\ \ h(n)-g(n)\geq k\_{2}} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. אז לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle h(n)-f(n)=h(n)-g(n)+g(n)-f(n)\geq k\_{1}+k\_{2}}, לכן {\displaystyle f\leq h}.

נראה כי השדה הוא שדה סדור:

* איזוטוניות ביחס לחיבור: אם {\displaystyle g-f} חיובית, אז גם {\displaystyle (g+h)-(f+h)=g-f} חיובית, כלומר {\displaystyle f+h\leq g+h}.
* איזוטוניות ביחס לכפל: מספיק שנראה כי אם f,g חיוביות, אז {\displaystyle fg} חיובית. נניח כי {\displaystyle f(n)\geq k\_{1}\ \ ,\ \ g(n)\geq k\_{2}} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. אם נגדיר {\displaystyle h(n)=g(n)-k\_{2}} נקבל ש{\displaystyle h\sim g}, לכן מספיק שנראה כי {\displaystyle fh} חיובית. לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle h(n)=g(n)-k\_{2}\geq 0}, כלומר {\displaystyle h(n)\in \mathbb {N} }, לכן {\displaystyle (fh)(n)=f(h(n))\geq k\_{1}}.

לפני שנוכיח את שלמות השדה, נוכיח כי ניתן להגדיר את פונקציית הערך השלם על {\displaystyle \mathbb {R} }: יהי {\displaystyle [f]\in \mathbb {R} } כאשר קבוע האדיטיביות של f הוא k. מתקיים {\displaystyle |1\cdot f(n)-n\cdot f(1)|\leq 2k}, כלומר {\displaystyle |f(n)|\leq 2k+|n||f(1)|\leq (2k+|f(1)|)|n|:=m|n|}. קיבלנו כי {\displaystyle -mn\leq f(n)\leq mn} לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, כלומר {\displaystyle -m\leq [f]\leq m} (במילים אחרות, {\displaystyle \mathbb {R} } ארכימדי). קיבלנו כי הקבוצה {\displaystyle A:=\{n\in \mathbb {Z} |-m\leq n\leq [f]\}} חסומה ולא ריקה, לכן ניתן להגדיר {\displaystyle \lfloor [f]\rfloor =\max A}. קל לראות שמתקיימות כל תכונות פונקציית הערך השלם.
כעת נוכיח כי השדה הוא שלם: תהי {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } תת-קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל על ידי X. אם לS יש מקסימום, אז הוא האינפימום שלה. לכן נניח שלכל {\displaystyle x\in S} קיים {\displaystyle y\in S} כך ש{\displaystyle x<y}. נגדיר {\displaystyle f(n)={\begin{cases}\max\{\lfloor nx\rfloor |x\in S\}&n\geq 0\\-f(-n)&\mathrm {else} \end{cases}}}.

נראה כי f היא קוואזי-הומומורפיזם: לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } קיים {\displaystyle x\_{n}\in S} כך ש{\displaystyle f(n)=\lfloor nx\_{n}\rfloor }, ואז לכל {\displaystyle x\in S} מתקיים {\displaystyle \lfloor nx\rfloor \leq \lfloor nx\_{n}\rfloor }. יהו {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }, ונגדיר {\displaystyle x=\max\{x\_{n},x\_{m},x\_{n+m}\}}. מתקיים {\displaystyle \lfloor nx\_{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor \ ,\ \lfloor mx\_{m}\rfloor =\lfloor mx\rfloor \ ,\ \lfloor (n+m)x\_{n+m}\rfloor =\lfloor nx+mx\rfloor }, כלומר {\displaystyle f(n+m)-f(n)-f(m)=\lfloor nx+mx\rfloor -\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor }. מתקיים {\displaystyle 0\leq nx-\lfloor nx\rfloor <1\ ,\ 0\leq mx-\lfloor mx\rfloor <1}, לכן {\displaystyle 0\leq nx+mx-\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor <2}. אם נפעיל את פונקציית הערך השלם על אי-השוויון, נקבל {\displaystyle 0\leq \lfloor nx+mx\rfloor -\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor <2}, כלומר {\displaystyle 0\leq f(n+m)-f(n)-f(m)<2}. אם {\displaystyle m,n<0}, נקבל {\displaystyle |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(-m)+f(-n)-f(-m-n)|\leq 2}. במקרה השלישי נוכל להניח כי {\displaystyle m\geq 0,n<0}. אם {\displaystyle m+n\leq 0}, נגדיר {\displaystyle a=m\ ,\ b=-m-n}. אם {\displaystyle m+n>0}, נגדיר {\displaystyle a=n+m\ ,\ b=-n}. בשני המקרים מתקיים {\displaystyle a,b\geq 0}, וכן {\displaystyle |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|-f(b)-f(a)+f(a+b)|\leq 2} במקרה הראשון, ו{\displaystyle |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(a)-f(a+b)+f(b)|\leq 2}.

נגדיר {\displaystyle s=[f]}. נוכיח כי s הוא סופרמום: יהי {\displaystyle x\in S}. הנחנו כי לקבוצה S אין מקסימום, לכן יהי {\displaystyle x<y\in S}. קל להשתכנע ש-{\displaystyle \mathbb {Q} } צפופה ב-{\displaystyle \mathbb {R} }, לכן קיימים {\displaystyle M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle x<{\frac {M}{N}}<y}. לכל n טבעי מתקיים {\displaystyle f(Nn)=\max\{\lfloor Nnx\rfloor |x\in S\}\geq \lfloor Nny\rfloor \geq \lfloor Nn{\frac {M}{N}}\rfloor =\lfloor Mn\rfloor =Mn}. נובע מכך בקלות ש{\displaystyle sN=[f]N=[n\mapsto f(Nn)]\geq [n\mapsto Mn]=M}, לכן {\displaystyle s\geq {\frac {M}{N}}>x}, כלומר s חסם מלעיל של S.

כעת יהי y חסם מלעיל, ונניח בשלילה ש{\displaystyle y<s}: שוב קיימים {\displaystyle M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle y<{\frac {M}{N}}<s}, כלומר {\displaystyle Ny<M<Ns}. מתקיים {\displaystyle (sN)(n)=f(Nn)}, וכן {\displaystyle M(n)=Mn}, לכן מכך ש{\displaystyle M<sN} נקבל שעבור אינסוף ערכי n טבעיים, מתקיים {\displaystyle f(Nn)>Mn}. מצד שני, מתקיים {\displaystyle f(Nn)=\lfloor Nnx\rfloor } עבור {\displaystyle x\in S} כלשהו. מכיוון ש{\displaystyle Nnx\leq nNy<nM}, נקבל {\displaystyle f(nN)=\lfloor Nnx\rfloor \leq \lfloor Mn\rfloor =Nn}, בסתירה לכך ש{\displaystyle f(Nn)>Mn}. לכן {\displaystyle s=\sup S}.

### בניות נוספות

* שדה המספרים הסוריאליסטיים מכיל עותק של כל שדה סדור. מכך נובע שיש בו גם עותק של הממשיים. למעשה, ניתן להגדיר את שדה המספרים הממשיים כתת-השדה הארכימדי המקסימלי של שדה המספרים הסוריאליסטיים.
* כל מספר ממשי ניתן לייצג באמצעות שבר משולב אינסופי. כך, אם השבר המשולב המייצג מספר ממשי {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } הוא {\displaystyle a\_{0}+{\frac {1}{a\_{1}+{\frac {1}{a\_{2}+{\frac {1}{a\_{3}+\cdots }}}}}}}, נוכל להגדיר את המספר \alpha  להיות הסדרה {\displaystyle (a\_{0},a\_{1},a\_{2},a\_{3},...)}. לכן {\displaystyle \mathbb {R} } תוכל להיות מוגדרת כאוסף האיברים {\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} \times (\mathbb {N} ^{+})^{\mathbb {N} }}, כאשר {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} \cup \{\omega \}}, המקיימים שאם {\displaystyle n<m} ו{\displaystyle \alpha \_{n}=\omega }, אז {\displaystyle a\_{m}=\omega }. (הרעיון הוא שנגדיר {\displaystyle {\frac {a}{\omega }}=0} לכל {\displaystyle a\in \mathbb {Z} }, ולכן גם שבר משולב סופי המייצג מספר רציונלי יוכל להפוך לשבר אינסופי, שמנקודה כלשהי והלאה כל האיברים בו הם \omega )
* את אי-השלמות של שדה הרציונליים ניתן לבטא בכך שהוא אינו מקיים את משפט החיתוך של קנטור, כלומר קיימות סדרות יורדות של קטעים לא ריקים {\displaystyle \{[a\_{n},b\_{n}]\}\_{n=1}^{\infty }} המקיימות {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }|b\_{n}-a\_{n}|=0}, אך למרות זאת {\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }[a\_{n},b\_{n}]=\emptyset }. ניתן להגדיר את הממשיים כאוסף כל הסדרות האלו, תחת יחס שקילות מתאים.

שקילות
------

כל שני מודלים של המספרים הממשיים (כלומר קבוצה עם פעולות וסדר המקיימת את האקסיומות לעיל) הם איזומורפיים, כלומר אם {\displaystyle (\mathbb {R} \_{1},+\_{1},\cdot \_{1},\leq \_{1}),(\mathbb {R} \_{2},+\_{2},\cdot \_{2},\leq \_{2})} הם מודלים של המערכת, אז קיימת פונקציה {\displaystyle f:\mathbb {R} \_{1}\to \mathbb {R} \_{2}} חד חד ערכית ועל כך שמתקיים:

* {\displaystyle f(x+\_{1}y)=f(x)+\_{2}f(y)}
* {\displaystyle f(x\cdot \_{1}y)=f(x)\cdot \_{2}f(y)}
* {\displaystyle x\leq \_{1}y\Leftrightarrow f(x)\leq \_{2}f(y)}

פונקציה מסוג זה נקראת **איזומורפיזם**.

### הוכחה

נקדים במעט תכונות הנכונות לכל מודל {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )} של המערכת:

בהינתן {\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }, נגדיר {\displaystyle A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}}. אז מתקיים {\displaystyle \sup(A+B)=\sup A+\sup B}: נסמן {\displaystyle s\_{A}=\sup A,s\_{B}=\sup B}. אז לכל {\displaystyle x\in A,y\in B} מתקיים {\displaystyle x\leq s\_{A},y\leq s\_{B}}, לכן {\displaystyle x+y\leq s\_{A}+s\_{B}}, כלומר {\displaystyle s\_{A}+s\_{B}} חסם מלעיל של {\displaystyle A+B}. כעת נראה כי הוא החסם מלעיל הקטן ביותר: נניח בשלילה ש{\displaystyle M<s\_{A}+s\_{B}} הוא חסם מלעיל. נגדיר {\displaystyle \varepsilon =s\_{A}+s\_{B}-M>0}. אז {\displaystyle M=s\_{A}+s\_{B}-\varepsilon }. מתקיים {\displaystyle s\_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<s\_{A}}, לכן {\displaystyle s\_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}} אינו חסם מלעיל של A, כלומר קיים x\in A כך ש{\displaystyle s\_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<x}. באותה דרך קיים {\displaystyle y\in B} כך ש{\displaystyle s\_{B}-{\frac {\varepsilon }{2}}<y}. לכן {\displaystyle x+y>s\_{A}+s\_{B}-\varepsilon =M}, בסתירה לכך שM חסם מלעיל של {\displaystyle A+B}. לכן {\displaystyle \sup(A+B)=s\_{A}+s\_{B}=\sup A+\sup B}.

השדה {\displaystyle \mathbb {R} } הוא ארכימדי, כלומר לכל {\displaystyle x\in \mathbb {R} } קיים {\displaystyle n\in \mathbb {N} } כך ש {\displaystyle n>x}. נראה זאת: נניח בשלילה שקיים {\displaystyle X\in \mathbb {R} } כך שלכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle n\leq X}. אז הקבוצה {\displaystyle \mathbb {N} } חסומה מלעיל על ידי X, ולכן על פי תכונת השלמות (האקסיומה האחרונה) יש לה סופרמום, שיסומן s. לכן לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle n\leq s} ומכך ש{\displaystyle n+1\in \mathbb {N} } נקבל גם {\displaystyle n+1\leq s}, כלומר {\displaystyle n\leq s-1}. כלומר {\displaystyle s-1} הוא חסם מלעיל של {\displaystyle \mathbb {N} }. מהגדרת הסופרמום כחסם מלעיל הקטן ביותר נקבל {\displaystyle s\leq s-1}. מתכונות הסדר נוכל לחסר s ולקבל {\displaystyle 0\leq -1}. לכן ניתן לכפול ב-1 מבלי לשנות את הסדר (כפל במספר חיובי הוא שומר סדר, ראו באקסיומות), ונקבל {\displaystyle 0=0\cdot -1\leq -1\cdot -1=1}, ואם נחסר 1 משני אגפי המשוואה נקבל {\displaystyle -1\leq 0}. היחס \le הוא יחס סדר חזק, לכן {\displaystyle 0=-1}, ולכן {\displaystyle 1=0}, בסתירה לכך שבהגדרת השדה דורשים {\displaystyle 0\neq 1}.

כעת נגדיר את פונקציית הערך השלם על {\displaystyle \mathbb {R} }. למעשה ניתן להגדיר באותה דרך על כל שדה ארכימדי {\displaystyle (\mathbb {A} ,+,\cdot ,\leq )}: יהי {\displaystyle x\in \mathbb {A} }. מתכונות הארכימדיות נובע כי קיים {\displaystyle n\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle |x|<n} (כאשר {\displaystyle |x|=\max\{x,-x\}}), כלומר {\displaystyle -n<x<n}. לכן הקבוצה {\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\}} חסומה מלעיל על ידי n ומלרע על ידי {\displaystyle -n}, וכקבוצה חסומה של מספרים שלמים, היא סופית. לכן יש לה מקסימום, שיסומן {\displaystyle \lfloor x\rfloor }. זהו המספר השלם המקסימלי שאינו גדול מx. (כי כל איבר בקבוצה {\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} |m\leq x\}} הוא בקבוצה {\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\}}, או קטן מ{\displaystyle -n}, ובשני המקרים מתקיים {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor }). נשים לב שמתקיים {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1} (החלק השמאלי נובע ממהגדרה, והימני מכך שאם {\displaystyle \lfloor x\rfloor +1\leq x}, אז {\displaystyle \lfloor x\rfloor +1\in \{n\in \mathbb {Z} |n\leq x\}}, ולכן {\displaystyle \lfloor x\rfloor +1\leq \lfloor x\rfloor }).

כעת נראה כי {\displaystyle \mathbb {Q} } צפופה ב{\displaystyle \mathbb {R} }. גם תכונה זו נכונה לכל שדה ארכימדי {\displaystyle \mathbb {A} }: יהו {\displaystyle x,y\in \mathbb {A} ,x<y}. אז מתקיים {\displaystyle y-x>0}. מהארכימדיות קיים {\displaystyle n\in \mathbb {N} } כך ש{\displaystyle {\frac {1}{y-x}}<n}, כלומר {\displaystyle ny-nx>1}, או במילים אחרות {\displaystyle nx+1<ny}. נגדיר {\displaystyle m=\lfloor nx\rfloor +1}. אז מתקיים {\displaystyle m>nx}, וכן {\displaystyle m=\lfloor nx\rfloor +1\leq nx+1<ny}, כלומר {\displaystyle nx<m<ny}, ולכן {\displaystyle x<{\frac {m}{n}}<y}.

לכל מודל {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )} ולכל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה {\displaystyle \emptyset \neq S\subseteq \mathbb {R} }, נסמן ב{\displaystyle \sup \_{\mathbb {R} }S} את הסופרמום של S ב{\displaystyle \mathbb {R} } (שקיים על פי אקסיומת השלמות). בנוסף, לכל {\displaystyle x\in \mathbb {R} } נסמן {\displaystyle C\_{x}=\{q\in \mathbb {Q} |q<x\}}. נשים לב שקבוצה זו תמיד חסומה (על ידי x) ולא ריקה.

כעת ניגש להוכיח את השקילות בין שני מודלים {\displaystyle (\mathbb {R} \_{1},+\_{1},\cdot \_{1},\leq \_{1}),(\mathbb {R} \_{2},+\_{2},\cdot \_{2},\leq \_{2})}: נגדיר {\displaystyle f:\mathbb {R} \_{1}\to \mathbb {R} \_{2}} על פי {\displaystyle f(x)=\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}. נראה כי זו פונקציה חד-חד-ערכית ועל: נגדיר {\displaystyle g:\mathbb {R} \_{2}\to \mathbb {R} \_{1}} על פי {\displaystyle g(x)=\sup \_{\mathbb {R} \_{1}}C\_{x}}. נראה שמתקיים {\displaystyle g\circ f=I\_{\mathbb {R} \_{1}},f\circ g=I\_{\mathbb {R} \_{2}}}: לכל {\displaystyle x\in \mathbb {R} \_{1}} מתקיים {\displaystyle g(f(x))=\sup \_{\mathbb {R} \_{1}}C\_{f(x)}=\sup \_{\mathbb {R} \_{1}}C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}}. לכל {\displaystyle q\in C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}} מתקיים {\displaystyle q<\_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}, כלומר q אינו חסם מלעיל של {\displaystyle C\_{x}}, ולכן קיים {\displaystyle p\in C\_{x}} כך ש{\displaystyle q<p}. מההגדרה של {\displaystyle C\_{x}} נקבל {\displaystyle p<\_{1}x}, ולכן {\displaystyle q<\_{1}p<\_{1}x}, כלומר {\displaystyle q<\_{1}x}. לכן x חסם מלעיל של {\displaystyle C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}}. כעת נראה שהוא חסם עליון: נניח בשלילה כי {\displaystyle y<\_{1}x} הוא חסם של
{\displaystyle C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}}. אז מהצפיפות של {\displaystyle \mathbb {Q} } ב{\displaystyle \mathbb {R} \_{1}} נקבל שקיים {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } כך ש{\displaystyle y<\_{1}q<\_{1}x}. מכך ש{\displaystyle q<\_{1}x} נקבל {\displaystyle q\in C\_{x}}, לכן {\displaystyle q<\_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}, כלומר {\displaystyle q\in C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}}, ומכיוון שy הוא חסם מלעיל של {\displaystyle C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}}, נקבל {\displaystyle q\leq \_{1}y}, בסתירה לכך ש{\displaystyle y<\_{1}q}. לכן {\displaystyle x=\sup \_{\mathbb {R} \_{1}}C\_{\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}}=g(f(x))}. באותה דרך מתקיים {\displaystyle f(g(x))=x} לכל {\displaystyle x\in \mathbb {R} \_{2}}. לכן {\displaystyle g\circ f=I\_{\mathbb {R} \_{1}},f\circ g=I\_{\mathbb {R} \_{2}}}, כלומר {\displaystyle g=f^{-1}}, ובפרט f פונקציה הפיכה, ולכן חד-חד-ערכית ועל.

כדי להראות כי {\displaystyle f(x+\_{1}y)=f(x)+\_{2}f(y)}, נוכיח קודם כל כי בכל מודל {\displaystyle \mathbb {R} } מתקיים {\displaystyle C\_{x+y}=C\_{x}+C\_{y}:=\{p+q|p\in C\_{x}\land q\in C\_{y}\}}: יהי {\displaystyle p+q\in C\_{x}+C\_{y}}. אז {\displaystyle p<x,q<y}. לכן {\displaystyle p+q<x+y}, כלומר {\displaystyle p+q\in C\_{x+y}}. יהי {\displaystyle q\in C\_{x+y}}. אז {\displaystyle x+y-q>0}, ומצפיפות הרציונליים בממשיים נקבל שקיים {\displaystyle p\in \mathbb {Q} } כך ש-{\displaystyle 0<p<x+y-q}. בפרט {\displaystyle p>0}, כלומר {\displaystyle x-p<x}, לכן קיים {\displaystyle r\in \mathbb {Q} } כך ש-{\displaystyle x-p<r<x}. נגדיר {\displaystyle s=q-r}. אז {\displaystyle s=q-r<q+p-x<q+(x+y-q)-x=y}, וכן {\displaystyle q=q-r+r=s+r}, לכן {\displaystyle q\in C\_{x}+C\_{y}}. לכן מתקיים {\displaystyle f(x+\_{1}y)=\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x+\_{1}y}=\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}(C\_{x}+C\_{y})=\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{x}+\_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{y}=f(x)+\_{2}f(y)}.

כעת נראה כי {\displaystyle f(x\cdot \_{1}y)=f(x)\cdot \_{2}f(y)}: לכל מודל {\displaystyle \mathbb {R} } ולכל {\displaystyle x\geq 0}, נסמן {\displaystyle P\_{x}=C\_{x}\setminus C\_{0}}. קל לראות כי {\displaystyle \sup P\_{x}=\sup C\_{x}}. כעת לכל {\displaystyle x,y\geq 0}, נראה כי מתקיים {\displaystyle P\_{xy}=P\_{x}P\_{y}:=\{pq|p\in P\_{x}\land q\in P\_{y}\}}. אם {\displaystyle pq\in P\_{x}P\_{y}}, אז {\displaystyle 0\leq p<x,0\leq q<y}, לכן {\displaystyle 0\leq pq<xy}. כלומר {\displaystyle P\_{x}P\_{y}\subseteq P\_{xy}}. אם {\displaystyle 0\leq p<xy}, אז {\displaystyle 0\leq p<xy}, לכן {\displaystyle {\frac {p}{y}}<x}, ומצפיפות הרציונלים נקבל שקיים {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } כך ש{\displaystyle {\frac {p}{y}}<q<x}. נגדיר {\displaystyle r={\frac {p}{q}}}. אז {\displaystyle r<{\frac {p}{p/y}}=y}, וכן {\displaystyle q<x}, וגם {\displaystyle p=q{\frac {p}{q}}=qr}, לכן {\displaystyle p\in P\_{x}P\_{y}}. כלומר {\displaystyle P\_{xy}=P\_{x}P\_{y}}. יהי {\displaystyle pq\in P\_{xy}}. אז {\displaystyle p\in P\_{x},q\in P\_{y}}, לכן {\displaystyle p\leq \_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}P\_{x}=f(x),q\leq \_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}P\_{y}=f(y)}, כלומר {\displaystyle pq\leq \_{2}f(x)\cdot \_{2}f(y)}. לכן {\displaystyle f(x)\cdot \_{2}f(y)} חסם מלעיל של {\displaystyle P\_{xy}}. כעת יהי {\displaystyle 0\leq \_{2}s<\_{2}f(x)\cdot \_{2}f(y)}. אז {\displaystyle {\frac {f(x)\cdot \_{2}f(y)}{s}}>\_{2}1}, לכן {\displaystyle s':={\sqrt {\frac {f(x)\cdot \_{2}f(y)}{2}}}>\_{2}1}, כלומר {\displaystyle {\frac {f(x)}{s'}}<\_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<\_{2}f(y)}, לכן {\displaystyle {\frac {f(x)}{s'}},{\frac {f(y)}{s'}}} שניהם אינם חסמים מלעיל של {\displaystyle P\_{x},P\_{y}} בהתאמה, לכן קיימים {\displaystyle p\in P\_{x},q\in P\_{y}} כך ש{\displaystyle {\frac {f(x)}{s'}}<\_{2}p<\_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<\_{2}q<\_{2}f(y)}, לכן {\displaystyle s={\frac {f(x)\cdot \_{2}f(y)}{\frac {f(x)\cdot \_{2}f(y)}{s}}}={\frac {f(x)\cdot \_{2}f(y)}{s'\cdot \_{2}s'}}={\frac {f(x)}{s'}}\cdot \_{2}{\frac {f(y)}{s'}}<pq}, כלומר s אינו חסם עליון של {\displaystyle P\_{xy}} (כי {\displaystyle pq\in P\_{x}P\_{y}=P\_{xy}}), לכן {\displaystyle f(x)\cdot \_{2}f(y)} הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של {\displaystyle P\_{xy}}, כלומר {\displaystyle f(x)\cdot \_{2}f(y)=\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}P\_{xy}=f(x\cdot \_{1}y)}. אם {\displaystyle x,y<0}, אז מתכונות בסיסיות של הומומורפיזמים של חבורות, נקבל {\displaystyle f(-x)=-f(x)}, לכן {\displaystyle f(x\cdot \_{1}y)=f(-x\cdot \_{1}-y)=f(-x)\cdot \_{2}f(-y)=f(x)\cdot \_{2}f(y)}. אם {\displaystyle x<0,y\geq 0} (או ההפך, באותה דרך), נקבל {\displaystyle f(x\cdot \_{1}y)=f(-(-x)\cdot \_{1}y)=-f(-x\cdot \_{1}y)=-f(-x)\cdot \_{2}f(y)=f(x)\cdot \_{2}f(y)}.

כעת נראה כי מתקיים {\displaystyle x\leq \_{1}y\Leftrightarrow f(x)\leq \_{2}f(y)}: מתכונת החד-חד-ערכית נקבל כי {\displaystyle x=y\Leftrightarrow f(x)=f(y)}, לכן מספיק להוכיח כי {\displaystyle x<\_{1}y\Leftrightarrow f(x)<\_{2}f(y)}. נניח כי {\displaystyle x<\_{1}y}. אז מהצפיפות נקבל שקיים {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } כך ש{\displaystyle x<\_{1}q<\_{1}y}. לכן {\displaystyle q\in C\_{y}\setminus C\_{x}}. כלומר {\displaystyle q<\_{2}\sup \_{\mathbb {R} \_{2}}C\_{y}=f(y)}. כעת נניח בשלילה {\displaystyle q<\_{2}f(x)}. אז q אינו חסם מלעיל של {\displaystyle C\_{x}}, כלומר קיים {\displaystyle p<\_{1}x} כך ש{\displaystyle q<p}. לכן {\displaystyle q<\_{1}x}, בסתירה להגדרת q. לכן {\displaystyle f(x)\leq \_{2}q<\_{2}f(y)}. כעת נניח כי {\displaystyle f(x)<\_{2}f(y)}. נניח בשלילה {\displaystyle x\geq \_{1}y}. אז מתקיימת אחת מהאפשרויות {\displaystyle x=y\ \ ,\ \ x>\_{1}y}, כלומר {\displaystyle f(x)=f(y)\ \ ,\ \ f(x)>\_{2}f(y)}, בסתירה לכך ש{\displaystyle f(x)<\_{2}f(y)}. לכן {\displaystyle x<\_{1}y}.

למעשה, בהינתן שדה ארכימדי {\displaystyle \mathbb {A} }, הפונקציה {\displaystyle f(x)=\sup \_{\mathbb {R} }C\_{x}} היא שיכון של {\displaystyle \mathbb {A} } לתוך {\displaystyle \mathbb {R} }.

הערות שוליים
------------

1. ↑  קיים N כך שלכל {\displaystyle n>N}, מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-a\_{m}|<1} כאשר {\displaystyle m>N} קבוע, כלומר {\displaystyle a\_{m}-1<a\_{n}<a\_{m}+1} לכן הסדרה חסומה החל מN. הוספת מספר סופי של איברים לסדרה לא יהפכו אותה ללא חסומה, לכן היא חסומה לגמרי
2. ↑  המעבר השני חוקי אף על פי שהנחנו בו ש{\displaystyle y\geq 0}, כי מתקיים {\displaystyle A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}}, מאחר שx יכול להיות גם קטן מ1 ולכן כל מספר שיתקבל ב{\displaystyle x(y+z)} כאשר {\displaystyle y+z\geq 0} יכול להתקבל גם כאשר {\displaystyle y,z\geq 0} באמצעות הכפלה בx קטן מספיק
3. ↑  המקרה {\displaystyle A\leq B\leq 0} נובע בקלות ממקרה זה. המקרה {\displaystyle A\leq 0\leq B} נובע מכך ש{\displaystyle A\leq 0\leq 0\land 0\leq 0\leq B}, ולכן על פי המקרים הקודמים מתקיים {\displaystyle AC\leq 0\cdot C\leq BC}
4. ↑  The Efficent Real Numbers
5. ↑  הקבוצה {\displaystyle \{m\in \mathbb {N} |f(m)\geq n\}} לעולם אינה ריקה, כי אז f חסומה מלעיל ומלרע (כי היא חיובית), ולכן {\displaystyle [f]=0}
6. ↑  The Eudoxus Real Numbers
7. ↑  הקבוצה שעליה לוקחים את המקסימום חסומה, כי {\displaystyle x\in S\Rightarrow x\leq X\Rightarrow \lfloor nx\rfloor \leq \lfloor nX\rfloor }.
8. ↑  מתכונת הארכימדיות נובע כי קיים N כך ש{\displaystyle {\frac {1}{N}}<y-x}, כלומר {\displaystyle Nx+1<Ny}, לכן אם נבחר {\displaystyle M=\lfloor Ny\rfloor -1} נקבל {\displaystyle Nx<M<Ny}. ראו בפסקה 'שקילות' את הדרך בה עושים זאת לכל שדה ארכימדי.
9. ↑  {\displaystyle Ns-M} חיובית ושונה מאפס, לכן היא חסומה מלרע ולא מלעיל על פני קבוצת המספרים הטבעיים.
10. ↑  Completeness of Ordered Fields, עמוד 10