**קומפקטיפיקציה חד נקודתית** היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה
------

יהא {\displaystyle (X,\tau \_{X})} מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית {\displaystyle \infty \notin X} ונגדיר {\displaystyle Y=X\cup \left\{\infty \right\}}. נגדיר טופולוגיה {\displaystyle \tau \_{Y}} על Y - קבוצה {\displaystyle U\subseteq Y} תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

1. U הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-X, כלומר {\displaystyle U\in \tau \_{X}}.
2. {\displaystyle \infty \in U} וגם {\displaystyle Y\setminus U} היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה
-------------------

נראה ש-Y הוא מרחב קומפקטי. יהא \mathcal{U} כיסוי פתוח של Y. קיימת {\displaystyle V\_{0}\in {\mathcal {U}}} כך ש-{\displaystyle \infty \in V\_{0}}, ומשום ש-{\displaystyle V\_{0}\in \tau \_{Y}} אזי {\displaystyle Y\setminus V\_{0}} היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-{\displaystyle Y\setminus V\_{0}} יש תת-כיסוי סופי {\displaystyle \left\{V\_{1},...V\_{n}\right\}}, לכן {\displaystyle \left\{V\_{0},V\_{1},...V\_{n}\right\}} הוא כיסוי סופי של Y ונקבל ש-Y קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של Y
----------------

 ערכים מורחבים – **מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף**  

אם נניח ש-X הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם Y הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות {\displaystyle x,y\in Y}. אם {\displaystyle x,y\in X} אזי משום ש-X הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-X וזרות U ו-V כך ש-{\displaystyle x\in U} ו-{\displaystyle y\in V} ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-X היא קבוצה פתוחה ב-Y. אחרת, {\displaystyle x=\infty } או {\displaystyle y=\infty } ונניח בלי הגבלת הכלליות כי {\displaystyle x=\infty }. משום ש-X הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת {\displaystyle V\in \tau \_{X}} (ובפרט, {\displaystyle V\in \tau \_{Y}}) כך ש-{\displaystyle y\in V} וש-{\displaystyle {\overline {V}}} היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה {\displaystyle U:=Y\setminus \left\{{\overline {V}}\right\}} היא קבוצה פתוחה ב-Y. בנוסף, נשים לב כי {\displaystyle x=\infty \in U} ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-Y וזרות כך ש-{\displaystyle x\in U} ו-{\displaystyle y\in V} ולכן נקבל ש-Y הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם
------

* הטלה סטריאוגרפית
* קומפקטיפיקציה
* קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך


| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |