בתורת החבורות, **איזוקליניוּת** היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה G למבנה המשותף של המנה {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} ותת-חבורת הקומוטטורים {\displaystyle G'=[G,G]}. היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

הגדרה
-----

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)\times G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow [G,G]} מוגדרת היטב.

חבורות {\displaystyle G,H} הן **איזוקליניוֹת** אם יש איזומורפיזמים {\displaystyle \alpha :G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow H/\!\operatorname {Z} (H)} ו-{\displaystyle \beta :[G,G]\rightarrow [H,H]}, המקיימים {\displaystyle \beta ([{\bar {x}},{\bar {y}}])=[\alpha ({\bar {x}}),\alpha ({\bar {y}})]} (כאשר {\displaystyle {\bar {x}},{\bar {y}}} הם הנציגים של x,y בחבורות המנה).

חבורה G היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} סופית.

אינווריאנטים
------------

נסמן ב-{\displaystyle \gamma \_{i}(G),\zeta \_{i}(G)} את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה G, בהתאמה. המנות {\displaystyle \gamma \_{i}(G)\!\operatorname {Z} (G)/\!\operatorname {Z} (G)} והחיתוכים {\displaystyle G'\cap \zeta \_{i}(G)} אינם תלויים ב-G, אלא עד כדי איזוקליניות.

איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה
-----------------------------------

חבורה G היא איזוקלינית לתת-החבורה H אם {\displaystyle G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)} (אם {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} סופית, גם ההפך נכון). כאשר G סופית, G איזוקלינית לתת-החבורה H אם ורק אם {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)\cong H/\!\operatorname {Z} (H)}.

חבורה G היא איזוקלינית לחבורת המנה {\displaystyle G/N} אם {\displaystyle N\cap G'=1} (אם {\displaystyle G'} סופית, גם ההפך נכון). כאשר G סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה {\displaystyle G/N} אם ורק אם {\displaystyle \!\operatorname {Z} (G)\cong \!\operatorname {Z} (G/N)}.

לכל שתי חבורות איזוקליניות {\displaystyle G,H} יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה M, איזוקלינית ל-{\displaystyle G,H}, כך ש-{\displaystyle G,H} מנות של M; ויש חבורה N, איזוקלינית ל-{\displaystyle G,H}, כך ש-{\displaystyle G,H} תת-חבורות של N. אם {\displaystyle G,H} סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

נציגים מינימליים
----------------

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה T המקיימת {\displaystyle T'\subseteq \!\operatorname {Z} (T)} (חבורה כזו נקראת **חבורת גזע**). יתרה מזו, אם G נוצרת סופית ו-{\displaystyle G'} סופית, אז G איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל-G היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע.

נאמר שחבורה G היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה H כך ש-{\displaystyle G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)} (אחרת, כפי שצוין לעיל, G איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת {\displaystyle \operatorname {Z} (G)\subseteq \Phi (G)}, כאשר {\displaystyle \Phi (G)} היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם {\displaystyle \ \operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')} נוצרת סופית.

נאמר שחבורה G היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית N כך ש-{\displaystyle N\cap G'=1} (אחרת, כפי שצוין לעיל, G איזוקלינית לחבורת המנה {\displaystyle G/N}). חבורה G היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-{\displaystyle G'}, ו-{\displaystyle \operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')} חבורה מפותלת.

לקריאה נוספת
------------

* On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.