באלגברה מופשטת, **טבלת קרקטרים** (Character table) של חבורה סופית היא טבלה המייצגת את המידע על הקרקטרים האי-פריקים שלה. בעמודותיה נתונות מחלקות הצמידות של החבורה, ובשורותיה שמים את הקרקטרים האי-פריקים שלה.

את טבלת הקרקטרים של חבורה נתונה ניתן לבנות בשיטות שונות, כמו יחסי האורתוגונליות של שור, הרמה של הצגות מחבורות מנה ופעולה של הקרקטרים החד-ממדיים.

הבנת טבלת הקרקטרים של חבורה סופית (ואף קומפקטית) תורמת להבנת כל הקרקטרים וההצגות שלה באופן מלא. לטבלת הקרקטרים שימושים גם בתחומים נוספים, כמו פיזיקה, כימיה, קריסטלוגרפיה ועוד.

הקדמה והגדרה
------------

טבלת קרקטרים
תהי G חבורה סופית ויהי F שדה נתון (לרוב שדה המספרים המרוכבים). אם מאפיין השדה לא מחלק את סדר החבורה, לפי משפט משקה חוג החבורה {\displaystyle F[G]} הוא פשוט למחצה, ולכן לפי משפט ודרברן-ארטין מתפרק לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק: {\displaystyle F[G]={\overset {t}{\underset {i=1}{\oplus }}}{M\_{n\_{i}}(D\_{i})}}. לחוגים כאלה מודול אי-פריק יחיד, ולכן **מספר ההצגות האי-פריקות** של החבורה סופי, שווה למספר המחוברים t, השווה גם לממד המרכז {\displaystyle Z(F[G])}, **שווה למספר מחלקות הצמידות** של G.

לכן, ניתן לבנות טבלה **ריבועית**, אשר בעמודותיה שמים את הקרקטרים {\displaystyle \{\chi \_{i}\}\_{i=1}^{t}} (=העקבה) של ההצגות האי-פריקות, ובשורותיה את מחלקות הצמידות {\displaystyle \{C\_{i}\}\_{i=1}^{t}} של החבורה. מעל מחלקות הצמידות נהוג לרשום את גודל המחלקה h\_{i}. במקום ה-{\displaystyle (u,j)} של הטבלה שמים את {\displaystyle \chi \_{u}(C\_{j})}. טבלה זו נקראת **טבלת קרקטרים** של החבורה.

לכל חבורה יש את הקרקטר הטרוויאלי, ולכן בשורה הראשונה יש אחדות; בעמודה הראשונה שמים את פעולת הקרקטרים על המחלקה של איבר היחידה, היינו את המספרים {\displaystyle n\_{i}}, כלומר הממדים של ההצגות האי-פריקות.

שיטות
-----

כדי למלא את טבלת הקרקטרים ניתן להשתמש במספר שיטות.

### גדלים

בנוגע לגדלים, מתקיימים מספר כללים:

* כדי לדעת את גודל הטבלה יש לדעת את מספר מחלקות הצמידות.
* מתקיים {\displaystyle |G|=\sum \_{i=1}^{t}{n\_{i}^{2}}}, ולעיתים (נדירות) הצגה כזו היא יחידה, ואז יודעים את t.
* מתקיים {\displaystyle n\_{i}\mid |G|} (ממד ההצגה מחלק את גודל החבורה), ואפילו {\displaystyle n\_{i}\mid [G:Z(G)]}.
* אם {\displaystyle A\leq G} תת-חבורה אבלית, ממדי ההצגות האי-פריקות {\displaystyle n\_{i}} קטנים מהאינדקס: {\displaystyle n\_{i}\leq [G:A]}.
* כדי לדעת (בוודאות) את {\displaystyle n\_{i}}, יש להכיר את מבנה החבורה (למשל, את תתי החבורות הנורמליות שלה).

### יחסי האורתוגונליות של שור

יחסי האורתוגונליות של שור הם יחסי אורתוגונליות על שורות ועמודות טבלת הקרקטרים העוזרים לחשב את איבריה. שני יחסי שור השימושיים ביותר הם:

{\displaystyle \sum \_{u}{{\overline {\chi \_{u}(g\_{i})}}\chi \_{u}(g\_{j}})={\frac {|G|}{h\_{j}}}\delta \_{i,j}} (עמודות)

{\displaystyle \sum \_{j}{h\_{j}\chi \_{u}(g){\overline {\chi \_{v}(g)}}=\delta \_{u,v}|G|}} (שורות)

### הרמה מחבורות מנה

ניתן להרים הצגות (ולכן טבלאות חלקיות) של חבורת מנה נתונה אל הצגה של החבורה. כלומר, אם H תת-חבורה נורמלית וידועה הצגה \phi  של {\displaystyle G/H}, מקבלים הצגה של G על ידי הרכבה עם העתקת המנה {\displaystyle \rho \circ \phi }.

מקרה שימושי במיוחד של הרמה הוא עבור {\displaystyle H=[G,G]}, תת-חבורת הקומוטטורים. במקרה זה {\displaystyle G/[G,G]} היא האבליניזציה של G ובפרט אבלית - כלומר כל הצגה שלה היא חד־ממדית (אל השדה), ויותר מכך - **כל** הצגה אבלית של G היא הרמה של הצגה כלשהי של {\displaystyle G/[G,G]}, בדיוק לפי התכונה האוניברסלית של האבליניזציה. בפרט, מספר הגורמים האי-פריקים מדרגה 1 (ולכן גם מספר ה-{\displaystyle 1^{2}} שמשתתפים בסכום {\displaystyle |G|=\sum \_{i=1}^{t}{n\_{i}^{2}}}) שווה ל-{\displaystyle |G/[G,G]|}.

### פעולת הקרקטרים החד-ממדיים

אם \rho הצגה חד-ממדית, אז לכל הצגה k-ממדית \phi , גם {\displaystyle \rho \circ \phi } אף היא הצגה. לכן מוגדרת פעולת חבורה של הקרקטרים החד-ממדיים (או בשקילות של {\displaystyle G/[G,G]}) על הקרקטרים, השומרת על ממד. ולכן, אם ידוע כי יש שתי הצגות שונות מאותו ממד, *יכול להיות* שאחת תתקבל מהשנייה על ידי הפעלה של קרקטר חד-ממדי לא טריוויאלי (אם זה קיים).

### מכפלת חבורות

טבלת הקרקטרים של מכפלה ישרה של חבורות {\displaystyle G\times H} היא המכפלה טנזורית של הטבלאות שלהן.

דוגמאות
-------

* חבורות ציקליות - במקרה של חבורות ציקליות המצב פשוט יותר, כי אנו יודעים מראש את כל ההצגות - הן מהצורה {\displaystyle 1\mapsto \rho \_{n}^{j}}, כלומר העברת היוצר אל חזקה של שורש יחידה. בפרט, טבלת הקרקטרים היא {\displaystyle (\rho \_{n}^{ij})\_{i,j=1}^{n}}. למשל, הטבלה של {\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } היא



(

1

1

1

1

ρ

3


ρ

3

2



1

ρ

3

2


ρ

3


)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\rho \_{3}&\rho \_{3}^{2}\\1&\rho \_{3}^{2}&\rho \_{3}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\rho _{3}&\rho _{3}^{2}\\1&\rho _{3}^{2}&\rho _{3}\end{pmatrix}}}
* חבורות אבליות - לפי הטענה לעיל על הטבלה של מכפלת חבורות ולפי מיון חבורות אבליות סופיות, מקבלים את כל הטבלאות של כל החבורות האבליות הסופיות.
* {\displaystyle S\_{3}} - נחשב ישירות את הטבלה של החבורה הסימטרית השלישית. יש בה 6 איברים, וההצגה היחידה של 6 כסכום של ריבועים שלמים היא {\displaystyle 6=1^{2}+1^{2}+2^{2}}. ואכן, יש שלוש מחלקות צמידות, מהצורה: {\displaystyle (\cdot ),(\cdot \cdot \cdot ),(\cdot \cdot )}. ההצגה השנייה היא הצגה הסימן, הצגה שיש בכל חבורה סימטרית על ידי העתקת הסימן. את השורה השלישית ניתן למצוא לפי יחס האורתוגונליות. סה"כ הטבלה היא {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&-1&0\end{pmatrix}}}.
* חבורות הסימטריה S\_n - באופן כללי, מבנה ההצגות של חבורות הסימטריה ידוע על פי דיאגרמות יאנג. כך ניתן למצוא את טבלת הקרקטרים, שאיברי יהיו תמיד מספרים שלמים. לפרטים, ראו למשל כאן.
* חבורות דיהדרליות {\displaystyle D\_{n}} - במקרה זה יש מבנה מפורש של מחלקות הצמידות ושל הטבלאות, התלוי בזוגיות של n. למבנה המלא ראו למשל כאן.

קישורים חיצוניים
----------------

* טבלת קרקטרים, באתר MathWorld (באנגלית)