בתורת ההסתברות, **התפלגות רב-נורמלית**, או **התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית**, (באנגלית: **Multivariate normal distribution**) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה
-----

יהי {\displaystyle X=(X\_{1},\dots ,X\_{n})} וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-{\displaystyle X} **מתפלג רב-נורמלית** (או **גאוסיאנית**) אם לכל {\displaystyle a\_{1},\dots ,a\_{n}\in \mathbb {R} } המשתנה המקרי (החד־ממדי) {\displaystyle \langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle =a\_{1}X\_{1}+\dots +a\_{n}X\_{n}} מתפלג נורמלית, כלומר קיימים {\displaystyle \mu ,\sigma } (תלויים ב-{\displaystyle a\_{i}}) כך ש-{\displaystyle \langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}.

אם {\displaystyle X} משתנה רב-נורמלי, מסמנים {\displaystyle X\sim N({\bar {\mu }},V)} כאשר {\displaystyle {\bar {\mu }}} הוא וקטור התוחלות, ו-{\displaystyle V} היא מטריצת השונויות המשותפות - {\displaystyle V\_{i,j}=\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})}

תכונות
------

### הפונקציה האופיינית

ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

{\displaystyle \varphi \_{X}({\bar {a}})=e^{i\langle {\bar {\mu }},{\bar {a}}\rangle -{\frac {1}{2}}{\bar {a}}^{T}V{\bar {a}}}}

מטריצה השונויות {\displaystyle V} היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שלא נכון באופן כללי).

### לכסון

לכל משתנה מקרי רב-נורמלי {\displaystyle X} קיימים משתנה מקרי {\displaystyle Y} ומטריצה אורתוגונלית {\displaystyle A} כך ש-{\displaystyle X={\bar {\mu }}+YA}, כאשר {\displaystyle Y\_{i}\sim N(0,\lambda \_{i})} ו-{\displaystyle \lambda \_{i}} הם הערכים עצמיים של {\displaystyle V} (מטריצת השונויות המשותפות). 

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי {\displaystyle X} ולכל מטריצה אורתוגונלית {\displaystyle A}, המשתנה המקרי {\displaystyle AX} גם הוא רב נורמלי: {\displaystyle Y\sim N(A\mu ,V)}.

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על {\displaystyle V} (בפרט, המטריצה {\displaystyle A} נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

### פונקציית צפיפות

כאשר מטריצת השונויות {\displaystyle V} איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים {\displaystyle \lambda \_{i}} שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

{\displaystyle f\_{X}({\bar {x}})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|V|}}}e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {x}}-{\bar {\mu }})^{T}{V}^{-1}({\bar {x}}-{{\bar {\mu }})}}}

כאשר {\displaystyle |V|=\det(V)} מסמן את הדטרמיננטה של {\displaystyle V}.

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית
----------------------------

בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות {\displaystyle V} איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל **משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי**. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה **אין פונקציית צפיפות** (ביחס למידת לבג) - ערכיה כל פונקציית צפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-{\displaystyle n} משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב {\displaystyle \operatorname {rank} (V)}-ממדי של {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים
-------

בעזרת התפלגות רב-נורמלית, ניתן להוכיח תוצאות חשובות בסטטיסטיקה. 

למשל, אם {\displaystyle X\_{1},X\_{2},\dots } משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים {\displaystyle N(0,1)}, נסמן {\displaystyle {\bar {X}}\_{n}={\frac {X\_{1}+\dots +X\_{n}}{n}}} ו-{\displaystyle S\_{n}={\frac {1}{n-1}}\sum \_{i=1}^{n}{(X\_{i}-{\bar {X}}\_{n})^{2}}}. אז מתקיים {\displaystyle {\bar {X}}\_{n}/{\sqrt {\frac {S\_{n}}{n}}}\sim t\_{n-1}}, כלומר מתפלג סטודנט עם {\displaystyle n-1} דרגות חופש.

קישורים חיצוניים
----------------

* התפלגות רב-נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4227589-1

 |