גרף הפונקציה קוסינוס

|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**קוסינוס** (מסומן ב-\cos) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים.

הגדרות
------

### הגדרה בסיסית

במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה {\displaystyle {\frac {b}{c}}}
בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או {\frac {\pi }{2}} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב.

### הרחבה

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר \ \theta  הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא \ \theta  (ברדיאנים).

### טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור:

{\displaystyle \cos x=\ 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: {\displaystyle \cos x\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}\approx 1}, מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:

{\displaystyle \ \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

תכונות
------

* פונקציית הקוסינוס היא זוגית, משום שמתקיים {\displaystyle \cos \ (-x)=\cos \ (x)}.
* פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של \ 2\pi. זאת משום שסיבוב של \ 2\pi מחזיר אותך לנקודת המוצא.
* פונקציית הקוסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל \ x. לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה {\displaystyle \ x=\ 2\pi k} (מקסימום) ו-{\displaystyle \ x=\pi +\ 2\pi k} (מינימום), כאשר \ k מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1.
* לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k}, כאשר \ k מספר שלם.
* התמונה של הפונקציה היא \ [-1,1].

נגזרת
-----

הנגזרת של פונקציית הקוסינוס, כאשר x מבוטא ברדיאנים, היא מינוס פונקציית הסינוס:

{d \over dx} \cos x = -\sin x
זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:

{\displaystyle {d \over dx}\cos x={d \over dx}\sin({\frac {\pi }{2}}-x)=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x}.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה {\displaystyle \ f''(x)=-f(x)} כאשר \ f(0)=1 ו-{\displaystyle \ f'(0)=0}.

הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס: {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C}

ערכים
-----

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

| *x* (זווית) | cos *x* |
| --- | --- |
| מעלות | רדיאנים | גראדים | במדויק | קירוב עשרוני |
| 0° | 0 | 0g | 1 | 1 |
| 15° | {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} | 162/3g | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} | 0.965925826289068 |
| 30° | {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} | 331/3g | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | 0.866025403784439 |
| 45° | {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | 50g | {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}} | 0.707106781186548 |
| 60° | {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} | 662/3g | {\frac {1}{2}} | 0.5 |
| 75° | {\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{12}}} | 831/3g | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} | 0.258819045102521 |
| 90° | {\frac {\pi }{2}} | 100g | 0 | 0 |

זהויות
------

 ערך מורחב – **זהויות טריגונומטריות**  

* פונקציית הקוסינוס מקיימת: {\displaystyle \ \cos(-\theta )=\cos \theta } וכן {\displaystyle \ \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }
* בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): {\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} ‏**,** {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} ‏**,** {\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ‏**,** {\displaystyle \csc \theta ={1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ‏**,** {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }}
* סכום זוויות: {\displaystyle \cos(\theta \pm \varphi )=\cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi }
* זווית כפולה: {\displaystyle \ \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta } ‏**,** {\displaystyle \ \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta } ובאופן כללי {\displaystyle \cos n\theta =\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
* חצי זווית: {\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}
* סכום קוסינוסים: {\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)} ‏**,** {\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}

הפונקציה ההפוכה
---------------

גרף הפונקציה ארכקוסינוס
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת **ארכקוסינוס** ומסומנת {\displaystyle \ \arccos } או {\displaystyle \ \cos ^{-1}}. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
{\displaystyle \ [-1,1]}, וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים {\displaystyle \ [0,\pi ]}. הנגזרת שלה היא {d \over dx} \arccos x = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}.

משפט הקוסינוסים
---------------

 ערך מורחב – **משפט הקוסינוסים**  

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:

\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma 
כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- \ \gamma נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, {\displaystyle \ \cos \gamma =0} ומתקבל משפט פיתגורס.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **קוסינוס** בוויקישיתוף
* קוסינוס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  גדי אלכסנדרוביץ', נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית), באתר "לא מדויק", 31 במרץ 2010

| טריגונומטריה |
| --- |
| משפטים בטריגונומטריה | זהויות טריגונומטריות • משפט הסינוסים • משפט הקוסינוסים • משפט הטנגנסים • משפט לז'נדר על משולשים כדוריים • הגבול של sin(x)/x |
| פונקציות טריגונומטריות | טנגנס • סינוס • קוסינוס • פונקציות טריגונומטריות הפוכות |