בתורת המספרים, **סימן יעקובי** הוא הכללה של סימן לז׳נדר.

שימושו העיקרי הוא בפירוק ובדיקת ראשוניות של מספרים שלמים, בעיקר בשביל יישומים שונים בתחום הקריפטוגרפיה.

הגדרה
-----

עבור מספר שלם {\textstyle a} וּמספר טבעי אי־זוגי {\textstyle n}, סימן יעקובי {\textstyle \left({\frac {a}{n}}\right)} מוגדר כמכפלת סימני לז׳נדר המתאימים לפירוק של {\textstyle n} לגורמיו הראשוניים:

{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p\_{1}}}\right)^{\alpha \_{1}}\left({\frac {a}{p\_{2}}}\right)^{\alpha \_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p\_{k}}}\right)^{\alpha \_{k}}} כאשר {\displaystyle n=p\_{1}^{\alpha \_{1}}p\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots p\_{k}^{\alpha \_{k}}}.
עבור כל זוג {\textstyle \langle p,a\rangle } סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

|  |  |
| --- | --- |
| * {\textstyle a} מתחלק ב־{\textstyle p} ללא שארית;
* {\textstyle a} אינו מתחלק ב־{\textstyle p} וקיים {\textstyle x} שלם המקיים {\textstyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}, כלומר {\textstyle a} שארית ריבועית של {\textstyle p};
* {\textstyle a} אינו מתחלק ב־{\textstyle p} ולא קיים {\textstyle x} שלם המקיים {\textstyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}, כלומר {\textstyle a} אינו שארית ריבועית של {\textstyle p}.
 | {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left\{{\begin{matrix}0&a\equiv 0{\pmod {p}}&\\1&a\not \equiv 0{\pmod {p}};&a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\pmod {p}};&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.} |

תכונות
------

התכונות של סימן יעקובי נובעות ישירות מהקשר שלו לסימן לז׳נדר.

* אם {\textstyle n} ראשוני אי־זוגי, סימן יעקובי הוא פשוט סימן לז׳נדר (כלומר, סימן לז׳נדר הוא מקרה פרטי של סימן יעקובי כאשר {\textstyle n} ראשוני אי־זוגי).
* אם {\textstyle a\equiv b{\pmod {n}}} אז {\textstyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}
* {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}\gcd(a,n)\neq 1\\\pm 1{\mbox{ if }}\gcd(a,n)=1\end{cases}}}
* {\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)} ולכן {\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{n}}\right)=1} (או {\displaystyle 0})
* {\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)} ולכן {\displaystyle \left({\frac {a}{n^{2}}}\right)=1} (או {\displaystyle 0})
* משפט ההדדיות הריבועית: אם {\textstyle m} ו־{\textstyle n} מספרים אי־זוגיים שלמים וזרים, אזי מתקיים:

{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{{\tfrac {m-1}{2}}{\tfrac {n-1}{2}}}={\begin{cases}\;\;\;\left({\frac {n}{m}}\right)&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ or }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-\left({\frac {n}{m}}\right)&{\text{if }}n\equiv m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}

* {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n-1}{2}}={\begin{cases}\;\;\,1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
* {\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n^{2}-1}{8}}={\begin{cases}\;\;\,1&{\text{if }}n\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{cases}}}

  

בדומה לסימן לז׳נדר,
  

אם {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1} אז a הוא שארית אי־ריבועית {\displaystyle {\pmod {n}}}
  

אם a הוא שארית ריבועית {\displaystyle {\pmod {n}}} אז {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}
  

אבל, בשונה מסימן לז׳נדר, אם {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1} אז a לא בהכרח שארית ריבועית {\displaystyle {\pmod {n}}}.

דוגמאות
-------

{\displaystyle \left({\frac {33}{5045}}\right)=\left({\frac {33}{5\cdot 1009}}\right)=\left({\frac {33}{5}}\right)\cdot \left({\frac {33}{1009}}\right)}
  

  

{\displaystyle \left({\frac {33}{5}}\right)=\left({\frac {3\cdot 11}{5}}\right)=\left({\frac {3}{5}}\right)\cdot \left({\frac {11}{5}}\right)=\left({\frac {5}{3}}\right)\cdot (-1)^{{{5-1} \over 2}\cdot {{3-1} \over 2}}\left({\frac {1}{5}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)\cdot 1=-1=-1}
  

  

{\displaystyle \left({\frac {33}{1009}}\right)=\left({\frac {3}{1009}}\right)\cdot \left({\frac {11}{1009}}\right)}
  

  

{\displaystyle \left({\frac {3}{1009}}\right)=\left({\frac {1009}{3}}\right)\cdot (-1)^{{1009-1} \over 2}=\left({\frac {1009}{3}}\right)=\left({\frac {1}{3}}\right)=1}
  

  

{\displaystyle \left({\frac {11}{1009}}\right)=\left({\frac {1009}{11}}\right)\cdot (-1)^{{{1009-1} \over 2}\cdot {{11-1} \over 2}}=\left({\frac {1009}{11}}\right)=\left({\frac {8}{11}}\right)={\left({\frac {2}{11}}\right)}^{3}=(-1)^{3}=-1}
  

  

{\displaystyle \left({\frac {33}{5045}}\right)=\left({\frac {33}{5\cdot 1009}}\right)=\left({\frac {33}{5}}\right)\cdot \left({\frac {33}{1009}}\right)=(-1)\cdot (-1)=1}
  

  

ולכן, סימן יעקובי אינו מגלה אם 33 הוא שארית ריבועית {\displaystyle {\pmod {5045}}}

קישורים חיצוניים
----------------

* סימן יעקובי, באתר MathWorld (באנגלית)