פירוש נוסף ערך זה עוסק בנוסחה לחישוב אינטגרל חוזר של פונקציה ממשית. אם התכוונתם לנוסחה לחישוב נגזרת של פונקציה מרוכבת, ראו נוסחת האינטגרל של קושי.
במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **נוסחת האינטגרל החוזר של קושי** היא נוסחה המאפשרת לחשב את התוצאה של הפעלה חוזרת ונשנית של אינטגרל על פונקציה ממשית.

הנוסחה קובעת כי:


∫

a

x

∫

a

σ

1


∫

a

σ

2

…

∫

a

σ

n
−
1


f
(

σ

n

)
d

σ

n

d

σ

n
−
1

…
d

σ

1

=

1

(
n
−
1
)
!

∫

a

x

(
x
−
t

)

n
−
1

f
(
t
)
d
t

{\displaystyle \int \_{a}^{x}\int \_{a}^{\sigma \_{1}}\int \_{a}^{\sigma \_{2}}\dots \int \_{a}^{\sigma \_{n-1}}{f(\sigma \_{n})d\sigma \_{n}d\sigma \_{n-1}\dots d\sigma \_{1}}={\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}}

{\displaystyle \int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\int _{a}^{\sigma _{2}}\dots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}{f(\sigma _{n})d\sigma _{n}d\sigma _{n-1}\dots d\sigma _{1}}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}}
נוסחה זו היא הבסיס להגדרת אינטגרל רימן-ליוביל.

הנוסחה נוסחה לראשונה על-ידי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1823.

רקע ומוטיבציה
-------------

בהינתן שני מספרים ממשיים {\displaystyle c<d\in \mathbb {R} } מסמנים ב-{\displaystyle L^{1}([c,d])} את מרחב הפונקציות הממשיות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע {\displaystyle [c,d]}.

עבור מספר ממשי {\displaystyle a\in [c,d]}, מגדירים אופרטור {\displaystyle J:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])} כך שלכל {\displaystyle f\in L^{1}([c,d])} ולכל {\displaystyle x\in [c,d]}:

{\displaystyle Jf(x):=\int \_{a}^{x}{f(t)dt}}

עבור כל בחירה של הגבול התחתון של האינטגרל {\displaystyle a}, אם f רציפה אז גם {\displaystyle J(f)} רציפה.

עבור מספר טבעי {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מסמנים:

{\displaystyle J^{n}f:=\underbrace {J(\dots J(J} \_{n{\text{ times}}}f)\dots )}

כלומר, {\displaystyle J^{n}} מסמן את הפעלת אופרטור האינטגרציה {\displaystyle n} פעמים. נוסחת האינטגרל החוזר של קושי קובעת כי:

{\displaystyle J^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}}

בכך היא מאפשרת חישוב ישיר של הפונקציה {\displaystyle J^{n}f} כאינטגרל יחיד.

הוכחה
-----

הוכחת נוסחת האינטגרל החוזר מתבססת על שימוש באינדוקציה על המשתנה {\displaystyle n}.

עבור המקרה {\displaystyle n=1} נכונות הנוסחה טריוויאלית:

{\displaystyle Jf(x)=\int \_{a}^{x}{f(t)dt}={\frac {1}{0!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{0}f(t)dt}}

כעת ניתן להניח את נכונות הנוסחה עבור {\displaystyle n=k} ולהוכיח אותה עבור {\displaystyle n=k+1}. באמצעות כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל ניתן להראות כי:




d

d
x

[

1

n
!

∫

a

x

(
x
−
t

)

n

f
(
t
)
d
t

]

=
(
x
−
x

)

n

f
(
x
)
⋅
1
+

1

n
!

∫

a

x


d

d
x

[

(
x
−
t

)

n

f
(
t
)

]

d
t


=

1

n
!

∫

a

x

n
(
x
−
t

)

n
−
1

f
(
t
)
d
t


=

1

(
n
−
1
)
!

∫

a

x

(
x
−
t

)

n
−
1

f
(
t
)
d
t


{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{n}f(t)dt}\right]=(x-x)^{n}f(x)\cdot 1+{\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}{{\frac {d}{dx}}\left[(x-t)^{n}f(t)\right]dt}\\={\frac {1}{n!}}\int \_{a}^{x}{n(x-t)^{n-1}f(t)dt}\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n}f(t)dt}\right]=(x-x)^{n}f(x)\cdot 1+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}{{\frac {d}{dx}}\left[(x-t)^{n}f(t)\right]dt}\\={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}{n(x-t)^{n-1}f(t)dt}\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}\\\end{aligned}}}
לכן:

{\displaystyle {\begin{aligned}J^{k+1}f(x)=J(J^{k}f)(x)\\=\int \_{a}^{x}{{\frac {1}{(k-1)!}}\int \_{a}^{\sigma \_{1}}{(\sigma \_{1}-t)^{k-1}f(t)dtd\sigma \_{1}}}\\=\int \_{a}^{x}{{\frac {d}{d\sigma \_{1}}}\left[{\frac {1}{k!}}\int \_{a}^{\sigma \_{1}}{(\sigma \_{1}-t)^{k}f(t)dt}\right]d\sigma \_{1}}\\={\frac {1}{k!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{k}f(t)dt}\end{aligned}}}

ובכך השלמנו את צעד האינדוקציה, ולכן הנוסחה נכונה לכל {\displaystyle n} טבעי.

*מש"ל*.

מגבלות והרחבה
-------------

עבור האופרטור {\displaystyle J} שהוגדר לעיל נהוג להגדיר כי {\displaystyle J^{0}:=I} כאשר I הוא אופרטור הזהות ולכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } להגדיר {\displaystyle J^{-n}=D^{n}} כאשר D הוא אופרטור הגזירה. בכך ניתן להרחיב את הגדרת {\displaystyle J^{n}} לכל מספר שלם {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }. אף על פי כן, נוסחת האינטגרל של קושי *איננה* נכונה עבור n שלילי או 0.

עם זאת, ישנה דרך להרחיב את נוסחת האינטגרל החוזר עבור חזקות מרוכבות עם חלק ממשי חיובי. כלומר, עבור {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } שעבורו {\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0} ניתן להגדיר:

{\displaystyle J^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}}

כאשר \Gamma  היא פונקציית גמא. הגדרה זו מתלכדת עם נוסחת האינטגרל החוזר עבור ערכי \alpha  שהם מספרים טבעיים. אינטגרל מסוג זה נקרא אינטגרל רימן-ליוביל.

ניתן להוכיח כי אינטגרל רימן-ליוביל מקיים חיבוריות. כלומר, לכל {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } עם חלק ממשי חיובי מתקיים:

{\displaystyle J^{\alpha }\left(J^{\beta }f\right)(x)=J^{\alpha +\beta }f(x)}

ראו גם
------

* כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל
* נוסחת האינטגרל של קושי
* אינטגרל רימן-ליוביל

קישורים חיצוניים
----------------

* Alan Beardon (2000). "Fractional calculus II". University of Cambridge.
* Maurice Mischler (2023). "About some repeated integrals and associated polynomials".

הערות שוליים
------------

1. ↑  Roudy El Haddad, Repeated Integration and Explicit Formula for the $n$-th Integral of $x^m (\ln x)^{m'}$, **Open Journal of Mathematical Sciences** 6, 2022-12-31, עמ' 51–75 doi: 10.30538/oms2022.0178
2. ↑  Eric W. Weisstein, Riemann-Liouville Operator, mathworld.wolfram.com (באנגלית)