בתורת הקבוצות האקסיומטית, **אקסיומת ההחלפה** היא סכימה של אקסיומות שמבטיחות כי תמונה של הפעלת פונקציה גדירה על קבוצה היא גם קבוצה.

הרעיון מאחורי האקסיומה הוא שכל האובייקטים ה"קטנים" ביקום של תורת הקבוצות, הן קבוצות; ובפרט, כל אובייקט שעוצמתו קטנה מקבוצה - הוא קבוצה בעצמו. כיוון שב-ZFC אנחנו לא יכולים לכמת על פני אובייקטים שהם אינם קבוצות, אנחנו מגבילים את האקסיומות לאוסף כל הפונקציות אותן אנחנו יכולים להגדיר באמצעות נוסחה.

הגדרה פורמלית
-------------

נניח כי עבור קבוצה X, הנוסחה {\displaystyle \varphi (x,y,X)} מגדירה פונקציה חד חד ערכית לאובייקטים y. כלומר, לכל איבר x של X קיים y יחיד בו מתקיים {\displaystyle \varphi (x,y,X)}; **אקסיומת ההחלפה** תטען כי התמונה של הפונקציה הזו היא גם כן קבוצה:

{\displaystyle Y=\{y|\exists x\in X,\,\varphi (x,y,X)\}}
בכתיב מתמטי:{\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall a\in A&\,\exists !b\,\phi (a,b,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall b\,[b\in B\Leftrightarrow \exists a\in A\,\phi (a,b,A)])\end{aligned}}}

אקסיומת ההחלפה איננה אקסיומה בודדת כיוון שלא ניתן לכמת על פני הנוסחאות - זהו אוסף אינסופי רקורסיבי של אקסיומות.

היסטוריה
--------

אקסיומת ההחלפה לא הייתה חלק ממערכת האקסיומות המקורית אותה הציע צרמלו ב-1908. מערכת האקסיומות של צרמלו, Z, הכילה את אקסיומת ההפרדה, החלשה יותר. אקסיומת ההחלפה הוספה על ידי פרנקל בשנת 1922 ומערכת האקסיומות החדשה נקראה ZF. אקסיומת ההחלפה הוצעה באופן בלתי תלוי, מאוחר יותר באותה שנה, גם על ידי סקולם.

אקסיומת ההחלפה מגדילה באופן ניכר את החוזק של ZF במובן של המשפטים אותם ZF יכולה להוכיח לעומת Z. כך למשל, ב-ZF יש מודל עבור Z - {\displaystyle V\_{2\cdot \omega }} (בסימונים של ההיררכיה של פון-נוימן). בנוסף, התורה Z אינה יכולה להוכיח כי המונה {\displaystyle \aleph \_{\omega }} קיים, בעוד שבתורה ZF ניתן להוכיח כי לכל סודר \alpha  קיים \aleph \_{\alpha }.

נעיר, כי חלק משמעותי מהמתמטיקה הסטנדרטית ניתנת לפיתוח כבר בתורה Z, ללא אקסיומת ההחלפה, אך קיימות תכונות משמעותיות של קבוצות של המספרים הממשיים אותן לא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. דוגמה מפתיעה היא הכריעות של קבוצות בורל - כדי להוכיח את המשפט המודל חייב להכיל את קבוצת החזקה ה-\alpha  של הטבעיים, לכל סודר בן-מנייה.

בתחום של תורת הקבוצות קיימות תוצאות בסיסיות בהרבה שלא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. כך, למשל, לא ניתן להוכיח כי הסודר {\displaystyle \omega +\omega } קיים במובן של פון-נוימן (כלומר כקבוצה שיחס הסדר שלה הוא יחס השייכות). זהו הסודר הראשון שלא ניתן להוכיח את קיומו במסגרת Z. נעיר כי ב-Z יש קבוצה סדורה היטב שטיפוס הסדר שלה הוא {\displaystyle \omega +\omega } אבל לא ניתן להמיר אותה לצורה הסטנדרטית ללא שימוש באקסיומת ההחלפה.

לעומת זאת, בהינתן אקסיומת ההחלפה טיפוס הסדר של מחלקת הסודרים הוא במובן מסוים אי נשיג (למעט העובדה שהוא לא מונה) - אין שום דרך להגדיר סדרה לא חסומה של סודרים שאורכה הוא סודר, כיוון שאז באמצעות ההחלפה ואקסיומת האיחוד נוכל למצוא סודר שגדול יותר מכל הסדרה.

אקסיומות קשורות
---------------

**אקסיומת האוסף** היא הכללה של אקסיומת ההחלפה, בה אנחנו לא דורשים שהנוסחה תגדיר פונקציה אלא רק יחס, R, בו לכל איבר של x מתאים לפחות איבר אחד ביחס R. במקרה הזה היא מבטיחה שיש קבוצה z בה לכל איבר של x יש לפחות איבר אחד שמתאים לו ביחס R.

הצמצום של אקסיומה זו למקרים בהם הנוסחה מגדירה פונקציה ייתן בדיוק את אקסיומת ההחלפה. מצד שני, ZF (ללא אקסיומת הבחירה) מוכיחה את הנכונות של אקסיומת האוסף.

**אקסיומת ההפרדה** היא סכימת אקסיומות שמכילה עבור כל נוסחה (עם פרמטרים) את הטענה שלכל קבוצה A קיימת קבוצה B שמורכבת בדיוק מאוסף כל האיברים של A שמקיימים את הנוסחה. אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה (בהנחה שקיימת קבוצה ריקה). נניח כי A קבוצה ואנחנו רוצים להראות שיש קבוצה B כך שיתקיים: {\displaystyle B=\{x\in A|\varphi (x,u)\}} (עבור קבוצה u מסוימת כפרמטר). נפריד לשני מקרים:

* אם אין איבר של x שמקיים את הנוסחה, אז {\displaystyle B=\emptyset }, והנחנו שזו קבוצה.
* אם יש איבר כזה, z, אז נגדיר את הפונקציה שעל קלט y תחזיר את y אם הוא מקיים את הנוסחה ואחרת את z. כעת, תמונת A תחת הפונקציה שהגדרנו היא בדיוק הקבוצה הרצויה.

כיוון שאקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יש ספרים מודרניים בתורת הקבוצות שמשמיטים אותה מרשימת האקסיומות.

מצד שני, ניתן להחליש את אקסיומת ההחלפה, ולדרוש רק שנוכל לחסום את תמונת כל פונקציה גדירה שמופעלת על קבוצה על ידי קבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו עדיין נדרשים לאקסיומת ההפרדה.

**אקסיומת הזוג הלא סדור** נובעת מאקסיומת ההחלפה, בהנחה שקיימת קבוצה כלשהי עם לפחות שני איברים שונים. נניח כי A מכילה איבר a ולפחות עוד איבר ששונה מ-a. נפעיל על A את אקסיומת ההחלפה עם הפונקציה שמעבירה את a ל-x וכל איבר שאינו a ל-y. תמונת A תחת הפונקציה הזו היא הזוג הלא-סדור {x,y}.

קיום קבוצה עם לפחות שני איברים נובעת מאקסיומת האינסוף.

קישורים חיצוניים
----------------

* אקסיומת ההחלפה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  כך קונן מגדיר את האקסיומה בספרו set theory

| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • סדר חלקי • יחס הופכי • יחס אנטי-סימטרי |
| סדר | סדר מלא • סדר טוב • סדר חלקי • טיפוס סדר • מספר סודר |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |