הגרף של {\displaystyle |\cos z|} בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.
באנליזה מרוכבת, **עקרון המקסימום** קובע שאם \ f פונקציה הולומורפית בתחום \ D וקיים {\displaystyle \ z\in D} שהוא מקסימום מקומי של {\displaystyle \ |f|} אז \ f קבועה.

בנוסח שקול, אם f רציפה בקבוצה קומפקטית {\displaystyle {\bar {D}}}, והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של {\displaystyle |f|} ב-{\displaystyle {\bar {D}}} מתקבל על השפה {\displaystyle \partial {\bar {D}}}.

הוכחה
-----

יהי {\displaystyle z\_{0}\in D} מקסימום מקומי של {\displaystyle |f|}. משמע קיים {\displaystyle 0<R} קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס R סביב z\_{0}, f הולומורפית ו-z\_{0} מקסימום מוחלט של {\displaystyle |f|}. יהי {\displaystyle 0\leq r<R}. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

{\displaystyle f(z\_{0})={1 \over 2\pi }\int \_{0}^{2\pi }{f(z\_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta }
לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

{\displaystyle |f(z\_{0})|\leq {1 \over 2\pi }\int \_{0}^{2\pi }{|f(z\_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta \leq {1 \over 2\pi }\int \_{0}^{2\pi }{|f(z\_{0})|}\,d\theta =|f(z\_{0})|}
זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

{\displaystyle (\*)\ \ \int \_{0}^{2\pi }{|f(z\_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta =\int \_{0}^{2\pi }{|f(z\_{0})|}\,d\theta }
נגדיר {\displaystyle g(x)=\int \_{0}^{x}{|f(z\_{0})|-|f(z\_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta } בקטע {\displaystyle [0,2\pi ]}. g עולה חלש, שכן מהמקסימליות של {\displaystyle |f(z\_{0})|}:

{\displaystyle g'(\theta )=|f(z\_{0})|-|f(z\_{0}+re^{i\theta })|\geq 0}
אולם מ-{\displaystyle (\*)} נובע ש-{\displaystyle g(0)=g(2\pi )=0}, ולכן {\displaystyle g(x)=0} לכל {\displaystyle x\in [0,2\pi ]}. מכאן ש-{\displaystyle g'(\theta )=0} לכל {\displaystyle x\in [0,2\pi ]}, כלומר:

{\displaystyle |f(z\_{0}+re^{i\theta })|=|f(z\_{0})|}
קיבלנו ש-{\displaystyle |f|} קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם f קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש-f קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית
-------------------------------

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה {\displaystyle u(x,y)=x} עם {\displaystyle \{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\}} שווה זהותית לאפס על {\displaystyle \{0\}\times (0,1)} אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

**משפט** - אם u פונקציה הרמונית בתחום \Omega , ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה {\displaystyle z\_{0}\in \Omega }, אז היא קבועה בסביבת z\_{0}.

הגרסה הכללית היא:

**משפט** - אם u הרמונית בתחום חסום \Omega , ורציפה בשפה \partial \Omega, אז אם קיימת {\displaystyle z\_{0}\in \Omega } כזו 
ש-{\displaystyle \max \_{z\in {\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z\_{0})} אז היא קבועה ב-\Omega .

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם f פונקציה שלמה ומתקיים {\displaystyle \forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R} }, אז f קבועה, משום שמתקיים {\displaystyle \forall |z|=1:Im(f(z))=0} ולפי עקרון המקסימום {\displaystyle \forall |z|\leq 1:Imf(z)=0}, ואז הפונקציה {\displaystyle e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}} איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם f קבועה.

קישורים חיצוניים
----------------

* עקרון המקסימום, באתר MathWorld (באנגלית)