בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, **האיחוד** של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה ששייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר.

הגדרה
-----

דיאגרמת ון של ה**איחוד** של **A** ו-**B**
אם A ו-B הן קבוצות, אז האיחוד של A ו-B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של A ואת כל האיברים של B, בלי איברים אחרים. האיחוד של A ו-B נכתב בדרך כלל כך: {\displaystyle A\cup B}.

מבחינה פורמלית:

{\displaystyle x\in A\cup B} (x הוא איבר ב-{\displaystyle A\cup B}) אם ורק אם x\isin A או {\displaystyle x\in B}.
נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר x יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה **איחוד זר**.   

הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה-⋃ של האיחוד (למשל \uplus).

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי {\displaystyle \left\{A\_{i}\right\}\_{i\in \Lambda }} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס i השייך לקבוצת אינדקסים \Lambda ), אז האיחוד שלהן יסומן {\displaystyle \bigcup \_{i\in \Lambda }A\_{i}} ומתקיים {\displaystyle x\in \bigcup \_{i\in \Lambda }A\_{i}} אם ורק אם קיים {\displaystyle k\in \Lambda } כלשהו כך ש-{\displaystyle x\in A\_{k}}.

דוגמאות
-------

* אם {\displaystyle A=\left\{1,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}} אז {\displaystyle A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,r,t\right\}}.
* אם B\subseteq A (B הוא קבוצה חלקית של A) אז {\displaystyle A\cup B=A}.
* אם {\displaystyle B=\emptyset } (קבוצה ריקה) אז לכל A מתקיים {\displaystyle A\cup B=A}. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
* אם {\displaystyle A=\left\{1,2\right\},B=\left\{1,\left\{2\right\}\right\}} אז {\displaystyle A\cup B=\left\{1,2,\left\{2\right\}\right\}}.
* אם {\displaystyle A\_{n}=\left\{1,2,\dots ,n\right\}} אז {\displaystyle \bigcup \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}=\mathbb {N} }.
* בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
	+ בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A\_{n}, אז הקבוצה {\displaystyle \bigcup \_{n=1}^{\infty }\bigcap \_{k\geq n}A\_{k}} היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס n כלשהו.
	+ בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A\_{n}, אז הקבוצה {\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{k\geq n}A\_{k}} היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה **הגבול התחתון** ו**הגבול העליון** של סדרת הקבוצות A\_{n} ומסומנות {\displaystyle \liminf A\_{n}} ו-{\displaystyle \limsup A\_{n}}).

תכונות אלגבריות
---------------

איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר 
{\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}. בשל כך הביטוי 
{\displaystyle A\cup B\cup C} מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן.

באופן פורמלי:

* אסוציאטיביות: {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}
* קומוטטיביות: {\displaystyle A\cup B=B\cup A}
* דיסטריבוטיביות של חיתוך על איחוד: {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
* דיסטריבוטיביות של איחוד על חיתוך: {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
* משלים: {\displaystyle A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}}

ראו גם
------

* עקרון החיבור
* OR

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **איחוד** בוויקישיתוף
* איחוד, באתר MathWorld (באנגלית)

| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • סדר חלקי • יחס הופכי • יחס אנטי-סימטרי |
| סדר | סדר מלא • סדר טוב • סדר חלקי • טיפוס סדר • מספר סודר |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |