שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 

פירוש נוסף ערך זה עוסק במרחבי מכפלה בטופולוגיה. אם התכוונתם למרחבי מכפלה פנימית באלגברה ליניארית, ראו מרחב מכפלה פנימית.
בטופולוגיה, **מרחב מכפלה** הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם, עם טופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה", המוגדרת כך שההטלות על הרכיבים הן פונקציות רציפות.

הגדרה פורמלית
-------------

תהיה {\displaystyle \left\{X\_{n}\right\}\_{n\in \Lambda }} משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

{\displaystyle X=\prod \_{n\in \Lambda }X\_{n}}.
עבור כל קואורדינטה n קיימת פונקציית ההטלה {\displaystyle p\_{n}:X\rightarrow X\_{n}} שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקואורדינטה n שלה. טופולוגיית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית תת-בסיס של טופולוגיה זו: התת-בסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה {\displaystyle V\_{N}\subset X\_{N}} בשאר המרחבים. כלומר, {\displaystyle U\_{N}=V\_{N}\times \prod \_{n\neq N}X\_{n}}. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים ה**סופיים** של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה אז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה לכמעט כל המרחבים היא המרחב כולו. כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת-הבסיס הוא קבוצות גליליות, ואם קבוצה היא פתוחה אז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה.

ההטלות הן תמיד העתקות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת-מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - אם הן היו סגורות אז קבוצות במרחב המכפלה היו פתוחות **אם ורק אם** ההטלה שלהן לכל רכיב הייתה פתוחה, וזה לא מתקיים. ניתן לקחת כדוגמה נגדית פשוטה את ההטלות של גרף פונקציה ההפכית: {\displaystyle \{(x,{\frac {1}{x}})|x\neq 0\}\subset \mathbb {R} ^{2}}. הגרף סגור ב-\mathbb {R} ^{2} (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.

התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה
---------------------------------

ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה:

אם {\displaystyle Y} הוא מרחב טופולוגי, ולכל {\displaystyle i} ההטלה {\displaystyle f\_{i}:Y\to X\_{i}} היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, {\displaystyle f:Y\to X} כך שלכל n מתקיים כי {\displaystyle f\_{i}=p\_{i}\circ f}.

תכונות נשמרות
-------------

אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים {\displaystyle X\_{n}} המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה {\displaystyle \prod X\_{n}} מקיים את התכונה.

### אקסיומות ההפרדה

תכונות נשמרות:

* {\displaystyle T\_{0}}
* {\displaystyle T\_{1}}
* {\displaystyle T\_{2}} (האוסדורף)
* {\displaystyle T\_{3{\frac {1}{2}}}} (טיכונוף)
* רגולריות

לעומת זאת, נורמליות לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה.

### קומפקטיות

משפט טיכונוף מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית (עובדה זו מוליכה להגדרת חוג האדלים של שדה גלובלי, שהוא כן קומפקטי מקומית).

### קשירות

קשירות וגם קשירות מסילתית- שתיהן תכונות הנשמרות תחת מכפלה כל שהיא.

טופולוגיית התיבות
-----------------

ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף כל המכפלות של קבוצות פתוחות ב-{\displaystyle X\_{n}} בכל אורך. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה והיא פחות נפוצה. כאשר מדובר בטופולוגיית התיבות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה, כגון משפט טיכונוף או שימור של אקסיומות הפרדה, אינן תקפות.

קישורים חיצוניים
----------------

* מרחב מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |