כפתור 'עצור' באוטובוס: לאחר לחיצה ראשונה, אין השפעה ללחיצות נוספות.
במתמטיקה, **אידמפוטנט** הוא איבר e של מבנה אלגברי המקיים את התכונה {\displaystyle e^{2}=e}. ההגדרה חלה גם על פונקציות: פונקציה היא אידמפוטנטית אם הפעלתה פעמיים שווה להפעלתה פעם אחת. לדוגמה, פעולת ערך מוחלט היא אידמפוטנטית שכן: {\displaystyle |-5|=||-5||}. באלגברה מופשטת מושג זה משמש בעיקר בחקר אופרטורים של הטלה וסגירות.

את המונח אידמפוטנטיות טבע במאה ה-19 בנג'מין פירס בהקשר של איברים באלגברה שאינם משתנים כאשר הם מועלים בחזקה של מספר שלם חיובי. מדובר בהלחם בלטינית (idem + potentia שיש לו אותה חזקה) אך תחום השימוש במונח, כמו גם הגדרתו, התרחבו.

הגדרה
-----

במאגמה (קבוצה עם פעולה בינארית יחידה) (• ,*M*) איבר הוא אידמפוטנטי אם: x • x = x.

איברים אידמפוטנטים - דוגמאות
----------------------------

* המספר הטבעי 1 הוא איבר אידמפוטנטי ביחס לכפל היות ש 1 × 1 = 1 וכך גם 0: 0 × 0 = 0. יתר המספרים הטבעיים אינם מקיימים תכונה זו ולכן הכפל אינו פעולה אידמפוטנטית בקבוצת המספרים הטבעיים.  
באופן פורמלי במונואיד (×,{\mathbb {N}}) האיברים האידמפוטנטיים היחידים הם 0 ו-1.
* במאגמה איבר היחידה e הוא אידמפוטנטי. מהגדרתו כאיבר אדיש: e = e • e. כך גם איבר האפס a, אם קיים, בשל תכונת הבליעה שלו: a = a • a.
* בחבורה איבר היחידה הוא האיבר האידמפוטנטי היחידי:  
 אם קיים x • x = x אז x • x = x • e ועל ידי הכפלה משמאל באיבר ההופכי נקבל x = e.
* איחוד וחיתוך של כל שתי קבוצות x ו y הם אידמפוטנטים.  
באופן פורמלי: במונואידים (∪ ,(𝒫(E)) ו (∩ ,(𝒫(E)) של קבוצת החזקה E עם פעולת איחוד ∪ ופעולת חיתוך ∩ בהתאמה, כל האיברים הם אידמפוטנטים ולכן הפעולות ∪ ו ∩ הן אידמפוטנטיות.
* במונואידים (∧, {0,1}) ו (∨, {0,1}) באלגברה בוליאנית עם הקשרים הלוגים של וגם ואו בהתאמה, כל האיברים הם אידמפוטנטים.

פונקציות אידמפוטנטיות - דוגמאות
-------------------------------

כשתחום הדיון הוא קבוצת המספרים הטבעיים, הפונקציות הבאות - מדגימות פונקציות אידמפוטנטיות: פונקציה קבועה, פונקציית הזהות, והפונקציה המוגדרת בתור: המספר **הקרוב ביותר** בעל תכונה נתונה.

כשתחום הדיון מורחב - לקבוצת המספרים הרציונליים האי שליליים, גם הפונקציות הבאות - מדגימות פונקציות אידמפוטנטיות: פונקציית תקרה, ופונקציית רצפה; וכשלחלופין הוא מורחב - לקבוצת המספרים השלמים, גם פונקציית הערך המוחלט - מדגימה פונקציה אידמפוטנטית.

כשתחום הדיון מורחב - לקבוצת המספרים הרציונליים, גם הפונקציות הבאות - מדגימות פונקציות אידמפוטנטיות: פונקציית הערך השלם, ופונקציית קיטום.

כשתחום הדיון מורחב - לקבוצת המספרים המרוכבים - או אפילו רק לקבוצת המספרים המרוכבים בעלי רכיבים רציונליים, גם פונקציית הרכיב הממשי של מספר מרוכב - מדגימה פונקציה אידמפוטנטית.

במרחב אפיני: הקְמוֹר, ובמרחב וקטורי: ההטלה, ובמרחב טופולוגי: הסְגוֹר והפְּנים, הם אידמפוטנטים.

דוגמאות נוספות: כוכב קלין {\displaystyle V^{\*}} ו**פלוס קלין** {\displaystyle V^{+}} (כוכב קלין ללא איבר האפס V*0).*

אידמפוטנטים והמבנה של חוגים
---------------------------

באלגברה, **אידמפוטנט** הוא איבר e של חוג או של מבנה אלגברי אחר, המקיים את השוויון {\displaystyle \ e^{2}=e}.
פרט ל-0 (איבר האפס), שאינו נחשב בדרך כלל לאידמפוטנט, איבר היחידה הוא אידמפוטנט טריוויאלי; ואכן, האידמפוטנטים קרובים להיות איברי יחידה, לפחות באופן מקומי, וזה תפקידם בתורת המבנה של חבורות למחצה ושל חוגים.

בחוג, אידמפוטנטים e ו-f המקיימים את התנאי {\displaystyle ef=fe=0} נקראים **אידמפוטנטים אורתוגונליים**. לדוגמה, אם e הוא אידמפוטנט, אז גם {\displaystyle \ 1-e} אידמפוטנט, והשניים אורתוגונליים זה לזה. אם אי-אפשר לפרק אידמפוטנט e לסכום {\displaystyle \ e=e'+e''} של אידמפוטנטים אורתוגונליים, אז e הוא **אידמפוטנט פרימיטיבי**.

### אידמפוטנטים מרכזיים

אידמפוטנט המתחלף עם כל אברי החוג נקרא **אידמפוטנט מרכזי**. הדוגמה הטיפוסית מופיעה בחוגים המתפרקים לסכום ישר: אם {\displaystyle \ R=R\_{1}\oplus R\_{2}}, אז {\displaystyle \ e=(1,0)} הוא אידמפוטנט מרכזי. גם להפך, אם e אידמפוטנט מרכזי של R, אז אפשר לפרק {\displaystyle \ R=Re\oplus R(1-e)}, וזהו סכום ישר של תת-חוגים. (חוג שבו כל האידמפוטנטים מרכזיים נקרא **חוג אבלי**).

### פירוק פירס

לכל אידמפוטנט e בחוג אסוציאטיבי R, גם אם אינו מרכזי, {\displaystyle \ eRe=\{exe:x\in R\}} הוא תת-חוג ללא יחידה של R, עם יחידה משלו - e. חוג זה נקרא לעיתים 'פינה' (על שום המקרה שבו R הוא חוג מטריצות ו-e יחידת מטריצות בפינה השמאלית העליונה). אידמפוטנט שהאידיאל הדו-צדדי שהוא יוצר הוא החוג כולו נקרא **אידמפוטנט מלא**. חוגים הם שקולי מוריטה זה לזה אם ורק אם אחד מהם איזומורפי לפינה של חוג מטריצות מעל השני, ביחס לאידמפוטנט מלא (בחוג המטריצות).

**פירוק פירס** של החוג הוא הפירוק לסכום ישר של חבורות {\displaystyle \ R=eRe\oplus eR(1-e)\oplus (1-e)Re\oplus (1-e)R(1-e)}, שבו שני המרכיבים {\displaystyle \ eRe} ו- {\displaystyle \ (1-e)R(1-e)} הם תת-חוגים עם היחידות e ו- {\displaystyle \ 1-e}, ואילו שני האחרים הם בי-מודולים מעליהם (האחד ימני ושמאלי, והשני שמאלי וימני, בהתאמה).

הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות {\displaystyle \ e\_{11}} בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות {\displaystyle \ \operatorname {M} \_{2}(F)} נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים {\displaystyle \ Fe\_{ij}}. באלגברת מטריצות {\displaystyle \ \operatorname {M} \_{n}(A)}, היחידות {\displaystyle \ e\_{ii}} הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.

לפירוק פירס בכמה מחלקות לא אסוציאטיביות, ראו אלגברה אלטרנטיבית#הרחבות מרכזיות ופירוק פירס, אלגברת ז'ורדן#פירוק פירס, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית#פירוק פירס.

### הרמת אידמפוטנטים

אם לכל איבר a של אידיאל A בחוג R, המשלים {\displaystyle \ 1-a} הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה {\displaystyle \ R/A} הוא מהצורה {\displaystyle \ e+A} כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא **אידיאל מרים אידמפוטנטים**. אם A הוא אידיאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.

כל אידיאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידיאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה {\displaystyle \ f:P\rightarrow M} שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).

בחוג קומוטטיבי **מקסימלי** (נקרא גם **קומפקטי ליניארית**), רדיקל ג'ייקובסון מרים אידמפוטנטים; חוג מקסימלי הוא מכפלה סופית של חוגים מקסימליים מקומיים.

יחידות מטריצות
--------------

המטריצות {\displaystyle \ e\_{ij}} שיש להן 1 ברכיב ה-ij ואפס בכל מקום אחר, מהוות בסיס סטנדרטי של אלגברת המטריצות. מטריצות אלה מקיימות את היחסים {\displaystyle \ e\_{ij}e\_{k\ell }=\delta \_{jk}e\_{i\ell }} ו-{\displaystyle \ e\_{11}+\cdots +e\_{nn}=1}. כל קבוצת איברים בחוג המקיימת את היחסים האלה נקראת מערכת של יחידות מטריצות. חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות הוא בהכרח חוג מטריצות מעל חוג אחר. האיברים {\displaystyle \ e\_{ii}} הם אידמפוטנטים אורתוגונליים.

במדעי המחשב
-----------

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. 
משמעות המושג היא תלויית הקשר:

בתכנות אימפרטיבי שגרה היא אידמפוטנטית אם מצב המערכת נותר זהה ללא קשר למספר ההפעלות של שגרה זו. דוגמה: שגרה של חיפוש שם לקוח במסד נתונים תיתן תוצאה זהה ללא קשר למספר הקריאות. כך גם שגרת מיון נתונים - תוצאת המיון הראשון לא תשתנה. שגרה להוספת רשומת קנייה של סחורה אינה אידמפוטנטית (כל קריאה לה תוסיף עוד קנייה), אך שגרת ביטול קניה מסוימת היא אידמפוטנטית.

קישורים חיצוניים
----------------

* אידמפוטנט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  אידמפוטנט, באתר MathWorld (באנגלית)
2. ↑  חוג הוא קומפקטי ליניארית אם כאשר לכל תת-קבוצה סופית של מערכת משוואות {\displaystyle \ x\equiv a\_{i}{\pmod {L\_{i}}}} יש פתרון, אז יש פתרון גם למערכת כולה