במתמטיקה, **מכפלת ואליס** לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.

הוכחה
-----

### הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס

{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}
נציב *x* =π/2:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&=\prod \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}
### הוכחה על בסיס אינטגרציה

נגדיר:

{\displaystyle I(n)=\int \_{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx}
נבצע אינטגרציה בחלקים:

{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos xdx\\dv&=\sin xdx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int \_{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx=\int \_{0}^{\pi }udv=uv|\_{x=0}^{x=\pi }-\int \_{0}^{\pi }vdu\\{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x|\_{x=0}^{x=\pi }-\int \_{0}^{\pi }-\cos x(n-1)\sin ^{n-2}x\cos xdx\\{}&=0-(n-1)\int \_{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}xdx,n>1\\{}&=(n-1)\int \_{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}xdx\\{}&=(n-1)\int \_{0}^{\pi }\sin ^{n-2}xdx-(n-1)\int \_{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx\\{}&=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\\Rightarrow {\frac {I(n)}{I(n-2)}}\\&={\frac {n-1}{n}}\Rightarrow {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}\\&={\frac {2n+1}{2n}}\end{aligned}}}
נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:

{\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int \_{0}^{\pi }dx=x|\_{0}^{\pi }=\pi \\I(1)&=\int \_{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|\_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\I(2n)&=\int \_{0}^{\pi }\sin ^{2n}xdx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)\\\end{aligned}}}
נחזור על התהליך ונראה כי:

{\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod \_{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}
{\displaystyle I(2n+1)=\int \_{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}xdx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}
נחזור על התהליך ונראה כי:

{\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod \_{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}
{\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi }
{\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)}
{\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}, (מהתוצאות הנ"ל)
ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:

{\displaystyle \Rightarrow \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}
{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim \_{n\rightarrow \infty }\prod \_{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }

קישורים חיצוניים
----------------

* מכפלת ואליס, באתר MathWorld (באנגלית)