**מצב בֶּל** הוא מצב קוונטי של מערכת המכילה שני קיוביטים שזורים. מצבי בל קרויים על שם החוקר ג'ון בל (John S. Bell), לאור העובדה שמצבים אלו מפירים אי-שוויון ידוע, אי שוויון בל אשר נוסח על ידו.

אי שוויון בל
------------

על מנת להסביר את הרעיון העומד מאוחרי מצבי בל, נתחיל עם דוגמה בעולם הקלאסי. נניח שאליס ובוב משחקים את המשחק הבא:

1. כל אחד מהם מקבל 2 קיוביטים זהים
2. כל אחד מהם מודד את אחד הקיוביטים שלו בבסיס החישוב ({\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }) ואת השני בבסיס הדמר ({\displaystyle |+\rangle ,|-\rangle }).
3. אליס שומרת את התוצאה של המדידה בבסיס החישוב במשתנה {\displaystyle a} ואת התוצאה של המדידה בבסיס הדמר במשתנה {\displaystyle a\_{H}}. באופן זהה בוב שומר את התוצאה במשתנים {\displaystyle b,b\_{H}}
4. אם נמדד המצב {\displaystyle |0\rangle } או המצב {\displaystyle |+\rangle } שומרים במשתנה את הערך 1, ואחרת את הערך 1-.

אי שוויון בל קובע כי התוחלת הבאה קטנה או שווה לערך 2:



E
[
a
b
]
−
E
[

a

H

b
]
+
E
[

a

H

b

H

]
+
E
[
a

b

H

]
≤
2

{\displaystyle E[ab]-E[a\_{H}b]+E[a\_{H}b\_{H}]+E[ab\_{H}]\leq 2}

{\displaystyle E[ab]-E[a_{H}b]+E[a_{H}b_{H}]+E[ab_{H}]\leq 2}
אי השוויון נובע משיקולים של תורת ההסתברות, ונכון באופן כללי, ללא קשר למכניקת הקוונטים.

באופן מפתיע, אם נבצע את הניסוי המתואר לעיל, כאשר אליס מקבלת חצי ממצב בל, ובוב מקבל את החצי השני, אי-השוויון מופר, והתוחלת מקבלת ערך הגבוה מ-2.

מצבי בל
-------

ארבעת מצבי בל הם מצבים של שני קיוביטים שזורים מקסימלית (כלומר - מפירים את אי-שוויון בל באופן מקסימלי) המוגדרים באופן הבא

{\displaystyle {\begin{matrix}|\Phi ^{+}\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B}+|1\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B}-|1\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}+|1\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}-|1\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B})\end{matrix}}}

ניקח לדוגמה את המצב {\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle } (מצב זה יידוע גם בשם סינגלט). בהנחה שאליס מדדה בבסיס החישוב אל הערך {\displaystyle |0\rangle }
המדידה של בוב תתן את הערך {\displaystyle |1\rangle }, ולהפך, אם אליס מדדה {\displaystyle |1\rangle } בוב ימדוד {\displaystyle |0\rangle }. אין חשיבות לסדר בו הם מודדים או למיקומם. למשל - אליס יכולה להיות על הירח בעוד בוב על כדור הארץ, עדיין, כאשר אליס מודדת את הקיוביט שברשותה, בו-ברגע נקבע מצב הקיוביט אצל בוב. חשוב לציין כי טרם ביצוע המדידה (אצל הראשון מביניהם), לא ניתן לקבוע מה תהיה תוצאת המדידה: קיימת הסתברות שווה לקבל 0 או 1.

תכונה זו אינה משתנה כאשר אליס ובוב משתמשים בבסיס אחר. להדגמה, נניח שימוש בבסיס הדמר. נשתמש בשיוונות הבאים
{\displaystyle |0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +|-\rangle \right)} ו
{\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle -|-\rangle \right)}
ונקבל

{\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}-|1\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B})\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +|-\rangle \right)\_{A}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle -|-\rangle \right)\_{B}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle -|-\rangle \right)\_{A}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +|-\rangle \right)\_{B}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle \_{A}\otimes |-\rangle \_{B}-|-\rangle \_{A}\otimes |+\rangle \_{B})\end{aligned}}}

באופן דומה, הסינגלט ניתן לרישום בצורה {\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|e\_{1}\rangle \_{A}\otimes |e\_{2}\rangle \_{B}-|e\_{2}\rangle \_{A}\otimes |e\_{1}\rangle \_{B})} עבור כל בסיס נתון {\displaystyle \{|e\_{1}\rangle ,|e\_{2}\rangle \}}.

### השלכות על שוויון בל

נחזור על הניסוי המתואר לעיל (באופן מחשבתי). 

1. אליס מקבלת קיוביט אחד ממצב הסינגלט, ובוב מקבל את החצי השני.
2. כל אחד מהם בוחר באיזה בסיס לבצע מדידה - בבסיס החישוב או בבסיס הדמר.
3. את התוצאה שומרים כמקודם במשתנה המתאים

קל לראות, כי אם אליס ובוב מדדו באותו הבסיס, תמיד יקבלו **ערכים שונים**, כלומר {\displaystyle E[ab]=E[a\_{H}b\_{H}]=-1} בעוד כאשר הבסיסים שלהם אינם תואמים, המשתנים שלהם יהיו שווים בהסתברות חצי, ושונים בהסתברות חצי, לפיכך {\displaystyle E[a\_{H}b]=E[ab\_{H}]=0}. 
במקרה זה אי-השוויון של בל עודנו תקף.

נחזור על הניסוי אך טרם המדידה של בוב נבצע סיבוב של הקיוביט של בוב בעזרת השער הקוונטי המוגדר על ידי האופרטור 
{\displaystyle R\_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}
(הפעלת השער ומדידה בבסיס החישוב/הדמר, שקולה לביצוע מדידה על ידי בסיסים המסובבים בזווית {\displaystyle \theta } מבסיס החישוב/הדמר).
חישוב התוחלת מחדש מראה כי 



E
[
a
b
]
=
E
[

a

H

b

H

]
=
−
cos
⁡
(
2
θ
)
,

E
[
a

b

H

]
=
−
sin
⁡
(
2
θ
)
,

E
[

a

H

b
]
=
sin
⁡
(
2
θ
)

{\displaystyle E[ab]=E[a\_{H}b\_{H}]=-\cos(2\theta ),\,E[ab\_{H}]=-\sin(2\theta ),\,E[a\_{H}b]=\sin(2\theta )}

{\displaystyle E[ab]=E[a_{H}b_{H}]=-\cos(2\theta ),\,E[ab_{H}]=-\sin(2\theta ),\,E[a_{H}b]=\sin(2\theta )}
כך שעבור {\displaystyle \theta =5\pi /8} מתקבל ערך תוחלת של {\displaystyle 2{\sqrt {2}}} אשר מפר את אי-השוויון.

שימושים והערות
--------------

* מצבי בל הם כלי עיקרי בחישוב קוונטי ומאפשרים ביצוע פעולות כגון טלפורטציה קוונטית.
* חלק מפרוטוקולי הצפנה קוונטית עושים שימוש במצבי בל.
* ארבעת מצבי בל מהווים בסיס עבור מערכת קוונטית ארבע-ממדית (כלומר - בסיס עבור שני קיוביטים).

ראו גם
------

* הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן