עקומת אטוצ'ירפ עבור שדה מקוטב ליניארית. הקו האדום מתאר את סט אנרגיות הרקומבינציה עבור זמני יינון שונים בעוד הקו הירוק מתאר אותן עבור זמן רקומבינציה שונים. הקווים הכחולים האופקיים מתאימים בין זמני יינון ורקומבינציה. כמו כן, ניתן לראות את אנרגיית הקטעון 3.17Up
בפיזיקה של אטו-שניות, **עקומת האטוצ'ירפ (attochirp curve)** היא דרך גרפית להציג אילו הרמוניות גבוהות ייפלטו כתלות בעוצמה הרגעית של השדה החשמלי המופעל על המדיה הלא ליניארית.

רקע
---

יצירת הרמוניות גבוהות היא תהליך יסודי באופטיקה לא ליניארית הניתן לתיאור באמצעות מודל שלושת השלבים שפיתח פול קורקם. לפי מודל זה, אלקטרון קשור המופעל עליו שדה חשמלי חזק ובעל תדירות נמוכה, ינוע על פי הדינמיקה הבאה:

1. יינון במנגנון מנהור
2. פרופגציה ברצף הקלאסי
3. רקומבינציה (התנגשות)

על מנת לתאר את המסלול הקלאסי שעובר האלקטרון, ניתן לבצע את קירוב השדה החזק (Strong Field Approximation; SFA), בו מניחים שהשדה החשמלי החיצוני מכתיב בצורה בלעדית את הדינמיקה האלקטרונית, והכוח הקולומבי המופעל על ידי הפוטנציאל האטומי איננו משפיע כלל על התנועה. מאחר שמנהור הוא מנגנון אסור-קלאסית, ניתן לתאר את תנועת האלקטרון החל מהיציאה מהמחסום ועד התנגשותו ביון (כלומר, שלבים 2 ו-3 לעיל). תנועה זו היא קלאסית לכל צורך מעשי, ועל כן ניתן לחזותה באמצעות אינטגרציה של החוק השני של ניוטון בנוכחות שדה חשמלי:

{\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {r}}}=q{\vec {E}}(t)}

כאשר m היא מסת האלקטרון, q מטען האלקטרון, ו-{\displaystyle {\vec {E}}(t)} הוא השדה החשמלי, התלוי בזמן בלבד (את התלות במקום ניתן להזניח שכן הדיפול המתפתח באלקטרון זניח לאור גודלו). בהינתן שדה {\displaystyle {\vec {E}}(t)} כלשהו, נרצה לקבל את משוואת התנועה {\displaystyle {\vec {r}}(t)} עבור האלקטרון. לשם כך, יש לבצע אינטגרציה בזמן שתי פעמים עוקבות, כאשר גבולות האינטגרציה הם {\displaystyle t\_{i}} (רגע היציאה מהמחסום, הוא רגע היינון), ו-t כללי כלשהו. היה והשדה מחזורי, ניתן לסרוק {\displaystyle t\_{i}} שונים הנעים בין {\displaystyle 0} לבין T, זמן המחזור האופייני של השדה.

משוואת התנועה בצורתה הכללית ביותר, תהיה:

{\displaystyle {\vec {r}}(t)={\frac {q}{m}}[{\vec {r}}\_{0}+{\vec {v}}\_{0}(t-t\_{i})+\int \_{t\_{i}}^{t}{\vec {E}}(t')dt']}

כאשר {\displaystyle {\vec {r}}\_{0}} ו-{\displaystyle {\vec {v}}\_{0}} הם המיקום והמהירות ההתחלתית של האלקטרון, בהתאמה. פעמים רבות, נהוג להניח כי המיקום ההתחלתי של האלקטרון הוא הראשית, וכי המהירות ההתחלתית המוקנית לו בעת היציאה מהמחסום, היא אפסית. ביחידות אטומיות, מתקיים עבור אלקטרון כי {\displaystyle {\frac {q}{m}}=-1}.

בהינתן משוואת התנועה, ניתן לשאול מה יהיה רגע הרקומבינציה, אשר מסומן לרוב כ-{\displaystyle t\_{r}}. זאת, בהנחה שבכלל ישנה רקומבינציה. התשובה אמורה להתקבל מתוך הדרישה:

{\displaystyle {\vec {r}}(t\_{r})=0}

לאחר קבלת המיפוי בין אוסף הרגעים {\displaystyle t\_{i}} לאוסף הרגעים {\displaystyle t\_{r}} השאלה המתבקשת הבאה היא לגבי אנרגיית הרקומבינציה. זו, תחושב מיידית מתוך משוואת התנועה, שכן האנרגיה הקינטית בזמן ההתנגשות היא תבנית ריבועית של המהירות בזמן ההתנגשות, וזו הרי ידועה מעצם תהליך הפתרון. אנרגיות הרקומבינציה הללו ניתנות לפרשנות כהרמוניות גבוהות.

שדה ליניארי
-----------

שדה ליניארי הוא השדה היחיד שבו לכל זמן יינון מתקבל זמן רקומבינציה, כך שהמיפוי בין השניים הוא חד-חד ערכי ועל. כלומר, זהו השדה החשמלי היעיל ביותר ביצירת הרמוניות גבוהות. כמו כן, מתברר כי שדה זה גם מניב את תדר הקטעון הגבוה ביותר בהשוואה לכל שדה חשמלי אחר.

נרצה לפתור את המשוואה הבאה (לשם פשטות, אכן נניח כי האלקטרון מתחיל תנועתו בראשית ובמנוחה, וכי השדה הוא חד-ממדי):

{\displaystyle x(t)={\frac {q}{m}}\int \_{t\_{i}}^{t}E\_{0}\cos(\omega t)dt'}

לאחר אינטגרציה אחת נקבל:

{\displaystyle {\dot {x}}(t)={\frac {qE\_{0}}{m\omega }}[\sin(\omega t)-\sin(\omega t\_{i})]}

ולאחר אינטגרציה נוספת:

{\displaystyle x(t)={\frac {qE\_{0}}{m\omega ^{2}}}[\cos(\omega t\_{i})-\cos(\omega t)-\omega (t-t\_{i})\sin(\omega t\_{i})]}

עבור כל זמן יינון {\displaystyle t\_{i}}, נקבל מסלול מסוים x(t). בפרט, נשווה לאפס ונקבל, כי לכל זמן יינון {\displaystyle t\_{i}}, ישנו זמן רקומבינציה {\displaystyle t\_{r}}.

מתברר כי ישנו זמן עבורו מתקבלת אנרגיית רקומבינציה מקסימלית (תדר קטעון), השווה ל-{\displaystyle 3.17U\_{p}}, כאשר {\displaystyle U\_{p}} היא האנרגיה הפונדרומוטיבית של השדה. עד היום, לא נמצא שדה חשמלי שמאפשר קבלה של תדר קטעון גבוה מזה של שדה ליניארי.

שדה מעגלי
---------

ברמה הקוונטית, שדה מעגלי איננו מאפשר קבלת הרמוניות גבוהות מטעמי שימור תנע זוויתי כולל. הדבר מקבל ביטוי גם בפתרון קלאסי של משוואות התנועה: אינטגרציה של החוק השני של ניוטון איננה מניבה ולו מסלול אלקטרוני אחד אשר נוטה להתנגש בראשית.

שיטות אינטגרציה
---------------

### שיטת רונגה-קוטה

בשיטה זו מפרידים את החוק השני של ניוטון לשתי משוואות: משוואה אחת שבה מוגדרת המהירות כנגזרת ראשונה של המיקום, ומשוואה שנייה שבה מוגדרת התאוצה כנגזרת ראשונה של המהירות. המשוואות ניתנות להתרה על ידי שימוש בצעד ביניים, כמפורט בערך שיטת רונגה-קוטה.

### אינטגרציה נומרית מיידית (סכימה)

אם צעד הזמן הנבחר להגדרת וקטור הזמן הכולל בו מתבצעת האינטגרציה הוא קטן דיו, מובטח כי סכימה נומרית מצטברת של וקטור השדה (במאטלאב, באמצעות הפקודה "cumsum") וכפל בצעד הזמן dt, אמורה לאפשר קבלתו של המסלול בצורה מדויקת.

### אינטגרציה אנליטית

עבור שדה פשוט מספיק, ניתן לבצע את האינטגרציה בזמן על ידי פתרון אנליטי של החוק השני של ניוטון. לרוב, האינטגרציה האנליטית משמשת לצורך אישוש הפתרון הנומרי ובדיקת התכנסותו.