קונפיגורציות לדוגמה של הפנטגרם המופלא
**Pentagramma mirificum** (בעברית: **הפנטגרם המופלא**) הוא מצולע כוכבי על פני ספירה, המורכב מחמש קשתות מעגלים גדולים, כך שכל קשת חותכת את הקשת הסמוכה לה בזווית ישרה. צורה זו תוארה על ידי ג'ון נפייר בספרו מ-1614 *Mirifici logarithmorum canonis descriptio* (*תיאור החוקיות המופלאה של הלוגריתמים*) יחד עם הכללים ("כללי נפייר") שקושרים יחד את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של חמשת החלקים של משולש כדורי ישר-זווית. תכונותיו של *הפנטגרם המופלא* נחקרו, בין היתר, על ידי קרל פרידריך גאוס.

תכונות גאומטריות
----------------

על ספירת היחידה, הן הזוויות והן הצלעות של משולש (שצלעותיו הן קשתות של מעגלים גדולים) נמדדות כזוויות. בפטנגרם המופלא, הזוויות A, B, C, D, ו-E הן זוויות ישרות. כמו כן, הקשתות {\displaystyle PC}, {\displaystyle PE}, {\displaystyle QD}, {\displaystyle QA}, {\displaystyle RE}, {\displaystyle RB}, {\displaystyle SA}, {\displaystyle SC}, {\displaystyle TB}, ו-{\displaystyle TD} כולן שוות באורכן ל-{\displaystyle \pi /2}. ב"ליבה" של הפנטגרם - המחומש הפנימי {\displaystyle PQRST} - כל קודקוד הוא הקוטב של הצלע הנגדי. לדוגמה, הנקודה P היא הקוטב של "קו המשווה" {\displaystyle RS}, בעוד הנקודה Q היא הקוטב של {\displaystyle ST}, וכו'. המחומש {\displaystyle PQRST} נקרא על כן "מחומש קוטבי לעצמו" (self-polar pentagon).

הצורה כולה ניתנת לבנייה על בסיס משולש כדורי ישר-זווית יחיד (למשל, המשולש *ABC* שבאיור השני) באמצעות הארכת כל אחת מצלעות המשולש באורך {\displaystyle \pi /2} ולאחר מכן שרטוט המעגלים הגדולים אשר הקטבים המתאימים להם הם הקודקודים *B* ו-*A*. אם ניעזר בגרש כדי לסמן את הזווית המשלימה ל-90 מעלות של זווית כלשהי, אז נקבל שחמש הצלעות של המחומש הפנימי של הפנטגרם הן:
{\displaystyle (A,B,b',c,a')}, כאשר אות גדולה מסמלת את ערך הזווית של הקודקוד ואות קטנה מסמלת את אורך הצלע שמול אותו קודקוד. נפייר העלה על הכתב רשימה של {\displaystyle {5 \choose 3}=10} נוסחאות הקושרות בין כל שלושה גדלים (אורך צלע או ערך זווית) המקושרים למשולש ישר הזווית המקורי, מה שקשר למעשה בין אורכיהן של כל שלוש צלעות של המחומש הפנימי:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}

נוסחאות גאוס
------------

קשרים בין הזוויות והצלעות של הפנטגרם המופלא.
גאוס הציג את המינוח:



(
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ϵ
)
=
(

tan

2

⁡
T
P
,

tan

2

⁡
P
Q
,

tan

2

⁡
Q
R
,

tan

2

⁡
R
S
,

tan

2

⁡
S
T
)
.

{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).}

{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).}
באמצעות המינוח החדש הזה הוא פירש מחדש את כללי נפייר, והראה שהזהויות הבאות, המאפשרות לקבוע כל שלושה מהערכים האלו בהינתן השניים הנותרים, מתקיימות:




1

+
α

=

γ
δ

1

+
β

=

δ
ϵ

1

+
γ

=

ϵ
α

1

+
δ

=

α
β

1

+
ϵ

=

β
γ
.



{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1&+\alpha &=&\gamma \delta \\1&+\beta &=&\delta \epsilon \\1&+\gamma &=&\epsilon \alpha \\1&+\delta &=&\alpha \beta \\1&+\epsilon &=&\beta \gamma .\end{alignedat}}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1&+\alpha &=&\gamma \delta \\1&+\beta &=&\delta \epsilon \\1&+\gamma &=&\epsilon \alpha \\1&+\delta &=&\alpha \beta \\1&+\epsilon &=&\beta \gamma .\end{alignedat}}}
גאוס הוכיח את "המשוואה היפה" (*schöne Gleichung*) הבאה:



3
+
α
+
β
+
γ
+
δ
+
ϵ
=
α
β
γ
δ
ϵ
=

(
1
+
α
)
(
1
+
β
)
(
1
+
γ
)
(
1
+
δ
)
(
1
+
ϵ
)

.

{\displaystyle 3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =\alpha \beta \gamma \delta \epsilon ={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\epsilon )}}.}

{\displaystyle 3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =\alpha \beta \gamma \delta \epsilon ={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\epsilon )}}.}
ונתן דוגמה למספרים שמקיימים זאת: {\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)} - אשר מכפלתם {\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \epsilon } שווה ל-{\displaystyle 20}.

גאוס הוכיח גם את הקשר:



(
1
+
i





α

)
(
1
+
i

β

)
(
1
+
i





γ

)
(
1
+
i

δ

)
(
1
+
i





ϵ

)
=
α
β
γ
δ
ϵ

e

i
S

,

{\displaystyle (1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\epsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \epsilon e^{iS},}

{\displaystyle (1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\epsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \epsilon e^{iS},}
כאשר {\displaystyle S=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)}.

הטלה גנומונית
-------------

התמונה של המחומש הכדורי {\displaystyle PQRST} תחת פעולת ההטלה הגנומונית (הטלה ממרכז הספירה) אל כל מישור שמשיק לספירה יוצרת מחומש (שכן ההטלה הגנומונית מעתיקה מעגלים גדולים לקווים ישרים). חמשת הקודקודים שלו {\displaystyle P'Q'R'S'T'} מגדירים חתך חרוט יחיד שעובר דרכם; במקרה זה - אליפסה. גאוס הוכיח שכל חמשת הגבהים של המחומש {\displaystyle P'Q'R'S'T'} (ישרים שעוברים דרך הקודקודים וניצבים לצלעות המחומש הנגדיות להן) נחתכים בנקודה אחת {\displaystyle O'}, שהיא התמונה של נקודת ההשקה של המישור לספירה.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **Pentagramma mirificum** בוויקישיתוף

הערות שוליים
------------

1. ↑  Draft Translation of Gauss’ Fragmentary Notes on the Pentagramma Mirificum
2. ↑  H.S.M. Coxeter (1971). "Frieze patterns" (PDF). *Acta Arithmetica*. **18**: 297–310.
3. ↑  Bruce Director. "On the 375th Anniversary of Kepler's Passing". נבדק ב-2018-12-25.