1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר
**פונקציית אוילר**, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית {\displaystyle \varphi } (פי), מוגדרת באופן הבא: {\displaystyle \varphi (n)} שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל-{\displaystyle n} ואינם גדולים ממנו. למשל, {\displaystyle \varphi (5)=|\{1,2,3,4\}|=4}, {\displaystyle \varphi (6)=|\{1,5\}|=2}, ואילו {\displaystyle \varphi (1)=|\{1\}|=1} (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר המתאימה ל-{\displaystyle n}: {\displaystyle \varphi (n):=|U\_{n}|}. 

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר {\displaystyle n} מחלק את {\displaystyle \varphi (n)}.

חישוב הפונקציה
--------------

אם {\displaystyle p} מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ-{\displaystyle p} זרים לו, ולכן {\displaystyle \varphi (p)=p-1}. באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל-{\displaystyle p^{s}} הם כל אלו שמתחלקים ב-{\displaystyle p}, שמספרם {\displaystyle p^{s}/p=p^{s-1}}, ולכן {\displaystyle \varphi (p^{s})=p^{s}-p^{s-1}=p^{s-1}(p-1)=p^{s}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}. ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר, {\displaystyle \varphi (nm)=\varphi (n)\varphi (m)} כל אימת שהמספרים {\displaystyle n,m} זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה {\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{1 \over p\_{1}}\right)\left(1-{1 \over p\_{2}}\right)\cdots \left(1-{1 \over p\_{k}}\right)}, כאשר {\displaystyle p\_{1},p\_{2},...p\_{k}} הם הגורמים הראשוניים השונים של {\displaystyle n}. לדוגמה {\displaystyle \varphi (45)=45\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=24}. נראה זאת. נכתוב {\displaystyle n=p\_{1}^{k\_{1}}\dots p\_{r}^{k\_{r}}} ואז נקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(p\_{1}^{k\_{1}}\right)\cdots \varphi \left(p\_{r}^{k\_{r}}\right)\\&=p\_{1}^{k\_{1}}\left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\cdots p\_{r}^{k\_{r}}\left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right)\\&=p\_{1}^{k\_{1}}\cdots p\_{r}^{k\_{r}}\left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right)\\&=n\left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right).\end{aligned}}}

תכונות הפונקציה
---------------

* פונקציית אוילר מקיימת את הזהות {\displaystyle \sum \_{d|n}\varphi (d)=n}, אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }.

* נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה {\displaystyle \varphi \*1=i} כאשר {\displaystyle i} היא פונקציית הזהות. לכן, מנוסחת ההיפוך של מוביוס נובע כי

{\displaystyle \varphi (n)=(\mu \*i)(n)=\sum \_{d\mid n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum \_{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}}

כאשר {\displaystyle \mu } היא פונקציית מוביוס.

נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה {\displaystyle \varphi (n)=n\prod \_{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)} לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם נסמן ב-{\displaystyle p\_{1},\dots ,p\_{r}} את הגורמים הראשוניים השונים שמחלקים את {\displaystyle n}, נוכל להבחין כי

{\displaystyle {\begin{aligned}\prod \_{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)&=\left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p\_{2}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right)\\&=\sum \_{k=0}^{r}\sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\dots <i\_{k}\leq r}(-1)^{k}{\frac {1}{p\_{i\_{1}}p\_{i\_{2}}\dots p\_{i\_{k}}}}\\&=\sum \_{k=0}^{r}\sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\dots <i\_{k}\leq r}{\frac {\mu (p\_{i\_{1}}p\_{i\_{2}}\dots p\_{i\_{k}})}{p\_{i\_{1}}p\_{i\_{2}}\dots p\_{i\_{k}}}}\\&=\sum \_{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}\end{aligned}}}

שהרי לכל מחלק {\displaystyle d>1,d\mid n}, אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז {\displaystyle \mu (d)=0} מהגדרת פונקציית מוביוס.

* לכל {\displaystyle 2<n}, {\displaystyle \varphi (n)} מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם {\displaystyle n=2^{k}} בעבור {\displaystyle 1<k}, אז {\displaystyle \varphi (n)=2^{k}(1-1/2)=2^{k-1}}. אחרת, ל-{\displaystyle n} יש מחלק {\displaystyle p} ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה {\displaystyle n=p^{k}m}, ולכן: {\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})\varphi (m)=p^{k-1}(p-1)\varphi (m)}, ו-{\displaystyle p-1} זוגי.

* הערך הממוצע של הפונקציה הוא {\displaystyle {\frac {\varphi (1)+\cdots +\varphi (n)}{n}}\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}n}. הגבול התחתון של היחס {\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n/\ln \ln n}}} הוא {\displaystyle e^{-\gamma }}, כאשר {\displaystyle \gamma } הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
* ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:

{\displaystyle F\_{\varphi }(s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}

כאשר {\displaystyle \zeta } היא פונקציית זטא של רימן.

* {\displaystyle \sum \_{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}.

* בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית {\displaystyle \mathbb {Q} [\rho \_{n}]/\mathbb {Q} } של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר {\displaystyle n} (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורות
------

* Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פונקציית אוילר** בוויקישיתוף
* פונקציית אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
* סדרת מספרי פונקציית אוילר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

הערות שוליים
------------

1. ↑  זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz.