|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

בתורת ההסתברות, **משפטי התכנסות מרטינגלים** של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.

נוסח פורמלי
-----------

יהי {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} מרחב הסתברות, ותהי {\displaystyle \left\{F\_{t}\right\}\_{t\geq 0}} פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של \mathcal{F}.

יהי {\displaystyle \left\{N\_{t}\right\}\_{t\geq 0}}, כאשר
{\displaystyle N\_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל {\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty } מתקיים {\displaystyle N\_{s}\geq \mathbf {E} \left[N\_{t}\mid F\_{s}\right]}.

### משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון

לכל {\displaystyle 0\leq t<\infty }, נגדיר {\displaystyle N\_{t}^{-}:=\max \left(-N\_{t},0\right)}.

אם מתקיים כי {\displaystyle \sup \_{t\geq 0}\mathbf {E} \left[N\_{t}^{-}\right]<\infty }, אז בהסתברות 1 קיים הגבול {\displaystyle \lim \_{t\to \infty }N\_{t}} במובן של התכנסות נקודתית.

### משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני

הדברים הבאים שקולים:

* {\displaystyle \left\{N\_{t}\right\}\_{t>0}} אינטגרבילית במידה שווה.
* קיים משתנה מקרי N בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים {\displaystyle N\_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}N} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

### מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים

יהי {\displaystyle \left\{M\_{t}\right\}\_{t\geq 0}}, כאשר {\displaystyle M\_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל {\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty } מתקיים {\displaystyle M\_{s}=\mathbf {E} \left[M\_{t}\mid F\_{s}\right]}.

אם קיים {\displaystyle 1<p<\infty } שעבורו {\displaystyle \sup \_{t>0}\mathbf {E} \left[\left|M\_{t}\right|^{p}\right]<\infty }, אזי קיים משתנה מקרי M עם {\displaystyle \int \_{\Omega }\left|M\right|^{p}d\mu <\infty }, כך שמתקיים {\displaystyle M\_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}M} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

**הערה**: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

### משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי

יהי {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} מרחב הסתברות, ויהי X משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.

תהי {\displaystyle \left\{F\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של \mathcal{F}. נגדיר {\displaystyle F\_{\infty }=\sigma \left(F\_{1},F\_{2},...\right)}.

אזי מתקיים {\displaystyle \mathbf {E} \left[X\mid F\_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[X\mid F\_{\infty }\right]} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם {\displaystyle E\in F\_{\infty }} מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\mid F\_{n}\right)=\mathbf {E} \left[1\_{E}\mid F\_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[1\_{E}\mid F\_{\infty }\right]=1\_{E}}.

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1\_{E}} בהסתברות 1, ובמילים אחרות {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)\in \left\{0,1\right\}}.