באנליזה פונקציונלית, **משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי** (**Arzelà–Ascoli**, נקרא גם **משפט אסקולי**) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי
------------

אם **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): K**
 הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-{\displaystyle C(K)} את מרחב הפונקציות הרציפות {\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת {\displaystyle L\_{\infty }}: {\displaystyle \|f\|\_{\infty }=\sup \_{x\in K}|f(x)|}.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של {\displaystyle C(K)} היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

**משפט ארצלה אסקולי:** תהי {\displaystyle A\subseteq C(K)} קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A רציפה במידה אחידה.
**מסקנה:** אם {\displaystyle A\subseteq C(K)} סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
**הוכחה:** ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם A חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
**מסקנה:** אופרטור האינטגרל {\displaystyle T\colon C(K)\to C(K)} המוגדר {\displaystyle \ T(f)=\int \_{a}^{b}k(s,t)f(t)\,\mathrm {d} t}, כאשר {\displaystyle k} גרעין רציף על {\displaystyle K\times K}, הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט
-----------

### כיוון ראשון

תהי {\displaystyle A\subseteq C\left(K\right)} קבוצה חסומה ונניח שאיברי A רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-A יש תת-סדרה מתכנסת. תהי {\displaystyle \left\{f\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} סדרת פונקציות ב-A. תהי {\displaystyle \left\{x\_{k}\right\}\_{k=1}^{\infty }} סדרה צפופה ב-K (קיימת כזאת כי K מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה {\displaystyle \left\{f\_{n}\left(x\_{1}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }}. זוהי סדרה חסומה ב-\mathbb{C} בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-{\displaystyle \left\{f\_{n}^{1}\left(x\_{1}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה ב-{\displaystyle \xi \_{1}}. כעת נתבונן בסדרה {\displaystyle \left\{f\_{n}^{1}\left(x\_{2}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }}. גם זו סדרה חסומה ב-\mathbb{C} לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-{\displaystyle \left\{f\_{n}^{2}\left(x\_{2}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה ב-{\displaystyle \xi \_{2}}. וכך בתהליך איטרטיבי לכל {\displaystyle m\in \mathbb {N} } נגדיר את הסדרה {\displaystyle \left\{f\_{n}^{m}\left(x\_{m}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} להיות תת-סדרה מתכנסת של {\displaystyle \left\{f\_{n}^{m-1}\left(x\_{m}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה נסמן ב-{\displaystyle \xi \_{m}}.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון {\displaystyle \left\{g\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} המוגדרת לכל n כך {\displaystyle g\_{n}:=f\_{n}^{n}} (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-n-י שלה הוא האיבר ה-n-י בסדרה ה-n-ית).

1. זוהי תת-סדרה של {\displaystyle \left\{f\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }}.
2. לכל {\displaystyle k\in \mathbb {N} } הסדרה {\displaystyle \left\{g\_{n}\left(x\_{k}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל-{\displaystyle \xi \_{k}} שכן הזנב שלה, {\displaystyle \left\{g\_{n}\left(x\_{k}\right)\right\}\_{n=k}^{\infty }}, הוא תת-סדרה של {\displaystyle \left\{f\_{n}^{k}\left(x\_{k}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }}.

יהי \varepsilon>0. אברי A רציפים במידה אחידה לכן קיים \delta>0 כך שלכל {\displaystyle x,y\in K} ולכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, אם {\displaystyle d\left(x,y\right)<\delta } אזי {\displaystyle |g\_{n}\left(x\right)-g\_{n}\left(y\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}} (כאשר d היא פונקציית המטריקה ב-K). אבל K קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר \delta שנסמנם ב-{\displaystyle O\_{1},\dots ,O\_{l}}.

לכל {\displaystyle 1\leq i\leq l} קיים {\displaystyle k\_{i}\in \mathbb {N} } כך ש-{\displaystyle x\_{k\_{i}}\in O\_{i}} (כי {\displaystyle \left\{x\_{k}\right\}\_{k=1}^{\infty }} צפופה ב-K). כמו כן הסדרה {\displaystyle \left\{g\_{n}\left(x\_{k\_{i}}\right)\right\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל-{\displaystyle \xi \_{k\_{i}}} לכן לפי תנאי קושי קיים {\displaystyle N\_{i}} כך שלכל {\displaystyle n,m>N\_{i}} מתקיים {\displaystyle |g\_{n}\left(x\_{k\_{i}}\right)-g\_{m}\left(x\_{k\_{i}}\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}}. נסמן {\displaystyle N:=\max(N\_{i})}. כעת, לכל {\displaystyle n,m>N} ולכל {\displaystyle x\in K} קיים {\displaystyle 1\leq i\leq l} כך ש-{\displaystyle x\in O\_{i}} ומתקיים מאי שוויון המשולש{\displaystyle |g\_{n}\left(x\right)-g\_{m}\left(x\right)|\leq |g\_{n}\left(x\right)-g\_{n}\left(x\_{k\_{i}}\right)|+|g\_{n}\left(x\_{k\_{i}}\right)-g\_{m}\left(x\_{k\_{i}}\right)|+|g\_{m}\left(x\_{k\_{i}}\right),g\_{m}\left(x\right)|<\varepsilon }. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה {\displaystyle \left\{g\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת במידה שווה.

קישורים חיצוניים
----------------

* דניאלה ליבוביץ, 7: קומפקטיות, **טופולוגיה קבוצתית**, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, עמ' 159–160 (הקישור אינו פעיל, 2020-06-11) (אורכב 11.06.2020 בארכיון Wayback Machine). הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.