סכימה של גל בלוך במימד אחד (רק החלק הממשי של הגל)
גל בלוך שווה פוטנציאל בשריג סיליקון
**משפט בלוך** בפיזיקת המצב המוצק מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות **פונקציות בלוך**.

המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928.

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.

ניסוח מתמטי
-----------

למשפט מספר ניסוחים שקולים.

### ניסוח 1

נתון המילטוניאן מן הצורה:



H

=



p
→

2

2
m

+
V
(

r
→

)

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}

{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}
כאשר {\displaystyle V({\vec {r}})} פוטנציאל מחזורי עם מחזוריות של סריג כלשהו, כלומר עבור כל וקטור {\displaystyle {\vec {r}}} בסריג ועבור הזזה סריגית {\displaystyle {\vec {R}}}, מתקיים:
{\displaystyle V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})}.
  
 אזי, הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן ניתנות לרישום כ:


ψ

n

k
→


(

r
→

)
=

e

i

k
→

⋅

r
→



u

n

k
→


(

r
→

)

{\displaystyle \psi \_{n{\vec {k}}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u\_{n{\vec {k}}}({\vec {r}})}

{\displaystyle \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u_{n{\vec {k}}}({\vec {r}})}
כאשר גם ל-{\displaystyle u\_{n{\vec {k}}}} יש את אותה המחזוריות של הסריג: {\displaystyle u\_{n{\vec {k}}}({\vec {r}}+{\vec {R}})=u\_{n{\vec {k}}}({\vec {r}})} לכל {\displaystyle {\vec {r}}} בסריג ולכל הזזה סריגית {\displaystyle {\vec {R}}}.

### ניסוח 2

בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור {\displaystyle {\vec {k}}}, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:



ψ
(

r
→

+

R
→

)
=

e

i

k
→

⋅

R
→


ψ
(

r
→

)

{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}

{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}
לכל הזזה סריגית {\displaystyle {\vec {R}}}.

הוכחה
-----

כיוון שהפוטנציאל אינווריאנטי להזזה בווקטור סריג, ההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג, המוגדרים על ידי:
{\displaystyle T\_{\vec {R}}f({\vec {r}})=f({\vec {r}}+{\vec {R}})}. כמו כן אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה. כלומר, ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:


T

R
→

ψ
(

r
→

)
=
C
(

R
→

)
ψ
(

r
→

)

{\displaystyle T\_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})}

{\displaystyle T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})}
כיוון שהזזה ב-{\displaystyle {\vec {R}}\_{2}} ואחריה הזזה ב-{\displaystyle {\vec {R}}\_{1}} שקולה להזזה ב-{\displaystyle {\vec {R}}\_{1}+{\vec {R}}\_{2}}, מתקיים:



C
(

R
→

1

+

R
→

2

)
ψ
(

r
→

)
=

T


R
→

1

+

R
→

2

ψ
(

r
→

)
=

T


R
→

1


T


R
→

2

ψ
(

r
→

)
=
C
(

R
→

1

)
C
(

R
→

2

)
ψ
(

r
→

)

{\displaystyle C({\vec {R}}\_{1}+{\vec {R}}\_{2})\psi ({\vec {r}})=T\_{{\vec {R}}\_{1}+{\vec {R}}\_{2}}\psi ({\vec {r}})=T\_{{\vec {R}}\_{1}}T\_{{\vec {R}}\_{2}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}}\_{1})C({\vec {R}}\_{2})\psi ({\vec {r}})}

{\displaystyle C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}}T_{{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})}
ומכאן ש: {\displaystyle C({\vec {R}}\_{1}+{\vec {R}}\_{2})=C({\vec {R}}\_{1})C({\vec {R}}\_{2})}. הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:
{\displaystyle C({\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}}.
לסיום:



ψ
(

r
→

+

R
→

)
=

T

R
→

ψ
(

r
→

)
=
C
(

R
→

)
ψ
(

r
→

)
=

e

i

k
→

⋅

R
→


ψ
(

r
→

)

{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=T\_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}

{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}
וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

לקריאה נוספת
------------

* Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
* Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)

הערות שוליים
------------

1. ↑  יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר