במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, **סדרה מדויקת** היא סדרה מהצורה {\displaystyle \cdots A\_{i}{\stackrel {f\_{i}}{\rightarrow }}A\_{i+1}{\stackrel {f\_{i+1}}{\rightarrow }}A\_{i+2}\cdots }, שבה כל הרכבה {\displaystyle f\_{i+1}\circ f\_{i}} שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו. 

המבנים A\_{i} יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

הגדרה
-----

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים {\displaystyle G\_{i}} ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות {\displaystyle f\_{i}:G\_{i}\rightarrow G\_{i+1}}.
נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב-{\displaystyle G\_{i}} אם מתקיים השוויון {\displaystyle {\mbox{Im}}f\_{i-1}=\ker f\_{i}}.
הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב-{\displaystyle G\_{i}} לכל i.

למשל:

* הסדרה {\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B} מדויקת אם ורק אם f הוא מונומורפיזם.
* הסדרה {\displaystyle A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B\rightarrow 0} מדויקת אם ורק אם f הוא אפימורפיזם.
* ביחד, הסדרה {\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B\rightarrow 0} היא מדויקת, אם ורק אם f הוא איזומורפיזם.

סדרה מדויקת קצרה
----------------

כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה

{\displaystyle 0\longrightarrow H{\stackrel {i}{\longrightarrow }}G{\stackrel {p}{\longrightarrow }}N\longrightarrow 0}.
סדרה כזו, הקרויה **סדרה מדויקת קצרה**, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח {\displaystyle G/H\cong N} - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של {\displaystyle i:H\hookrightarrow G}, שהוא {\displaystyle \mathrm {coker} (i)=G/\mathrm {Im} (i)}.

### סדרה מדויקת מתפצלת

הסדרה המדויקת הקצרה

{\displaystyle 0\longrightarrow H{\stackrel {i}{\longrightarrow }}G{\stackrel {p}{\longrightarrow }}N\longrightarrow 0}.
נקראת **מתפצלת**, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

* קיים {\displaystyle r:G\to H} כך ש-{\displaystyle r\circ i=id\_{H}}.
* קיים {\displaystyle q:N\to G} כך ש-{\displaystyle p\circ q=id\_{N}}
* קיימת תת-חבורה {\displaystyle J\subseteq G} כך ש-{\displaystyle G=im(i)\oplus J}.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק {\displaystyle G=H\oplus N}.

כאשר האובייקט N הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

### דוגמה

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

{\displaystyle \mathbb {Z} {\stackrel {z\mapsto 2z}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\stackrel {z\mapsto z{\pmod {2}}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

כאשר ההעתקה מ-\mathbb{Z} ל-\mathbb{Z} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-\mathbb{Z} ל-{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } היא העתקת המנה.
התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה {\displaystyle 2\mathbb {Z} } איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

פונקטור מדויק
-------------

פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי {\displaystyle F:A\rightarrow B} בין שתי קטגוריות אבליות הוא **מדויק** אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, F הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת {\displaystyle \dots \rightarrow A\_{i}\rightarrow A\_{i+1}\rightarrow A\_{i+2}\rightarrow \dots } הסדרה {\displaystyle \dots \rightarrow FA\_{i}\rightarrow FA\_{i+1}\rightarrow FA\_{i+2}\rightarrow \dots } המתקבלת לאחר הפעלת F גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **סדרה מדויקת** בוויקישיתוף
* סדרה מדויקת, באתר MathWorld (באנגלית)