**כיסוי מאוזן** הוא מושג בתורת המשחקים השיתופיים.   

**הגדרה** : יהי {\displaystyle \!\,(N;v)} משחק בצורה קואליציונית, ה**כיסוי המאוזן של המשחק** הוא המשחק {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} כך ש-{\displaystyle {\hat {v}}(s)} הוא המינימלי המקיים {\displaystyle v(s)\leq {\hat {v}}(s)} לכל s וכן שהמשחק {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} הוא משחק מאוזן לחלוטין.

מושגים רלוונטיים והגדרה
-----------------------

* הליבה של משחק בצורה קואליציונית היא אוסף וקטורי התשלומים הסבירים קבוצתית (מתארים אפשרויות חלוקה של שווי הקואליציה שלא יעודדו תת-קבוצה של הקואליציה ליצור קואליציה משלהם).
* יהי {\displaystyle \!\,(N;v)} משחק בצורה קואליציונית. תת-משחק שלו {\displaystyle \!\,(T;v)} הוא המשחק בצורה קואליציונית שבו {\displaystyle T\subseteq N} קבוצת שחקנים לא ריקה ו-{\displaystyle \!\,v} היא הפונקציה הקואליציונית המצומצמת לקואליציות המוכלות ב-{\displaystyle \!\,T}
* משחק מאוזן הוא משחק שהליבה שלו אינה ריקה
* משחק מאוזן לחלוטין הוא משחק שהליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה

  

מתעוררת המוטיבציה לשאלה הבאה - בהינתן משחק שאינו מאוזן (ליבתו ריקה), מהו השינוי/כיסוי המינימלי שנוכל לבצע בפונקציה הקואליציונית {\displaystyle \!\,v(S)} על מנת להפוך את המשחק למאוזן? או למאוזן לחלוטין?.
שינוי/כיסוי זה מוגדר להיות **הכיסוי המאוזן של המשחק**

נוסחה לכיסוי המאוזן
-------------------

תנאי כללי שהוא תנאי הכרחי ומספיק לאי-ריקות הליבה נוסח במשפט בונדרבה-שפלי.  

מובא להלן תנאי בונדרבה-שפלי : (ניתן לקרוא יותר בתוך הערך)   
  

נסמן את אוסף הקואליציות הלא ריקות ב - {\displaystyle D^{\*}:=\left\{S\subseteq N:S\neq \emptyset \right\}}. נסמן ב-{\displaystyle \;P\;} את אוסף כל **המשקלות המאזנים חלש** את {\displaystyle \;D^{\*}\;}:



P
=

{

δ
=

(

δ

S

)

S
∈

D

∗

:

δ

S

≥
0

∀
S
∈

D

∗

,

∑

S
∈

D

∗



δ

S

χ

S

=

χ

N

}

{\displaystyle P=\left\{\delta =\left(\delta \_{S}\right)\_{S\in D^{\*}}:\delta \_{S}\geq 0\quad \forall S\in D^{\*},\sum \_{S\in D^{\*}}{\delta \_{S}{\chi ^{S}}}={\chi ^{N}}\right\}}

{\displaystyle P=\left\{\delta =\left(\delta _{S}\right)_{S\in D^{*}}:\delta _{S}\geq 0\quad \forall S\in D^{*},\sum _{S\in D^{*}}{\delta _{S}{\chi ^{S}}}={\chi ^{N}}\right\}}
כאשר נשים לב כי {\displaystyle \;\chi ^{S}} הוא וקטור החילה של הקואליציה {\displaystyle \;S}.
  
  

**משפט בונדרבה-שפלי:** תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} איננה ריקה הוא שלכל {\displaystyle \;\delta \in P} מתקיים:
{\displaystyle \;\sum \limits \_{S\in D\*}{\delta \_{S}v\left(S\right)\leq v\left(N\right)}\;}.

תנאי בונדרבה-שפלי הרשום לעיל הוא אוסף של אי שוויונים, ניתן לראות שאם נגדיל את שווי הקואליציה N דיה, אי השוויונים יתקיימו ונקבל משחק חדש ומאוזן שליבתו אינה ריקה.   

ממשפט בונדרבה-שפלי ניתן לראות שלכל משחק {\displaystyle \!\,(N;v)} ניתן להגדיר משחק {\displaystyle \!\,(N;{\tilde {v}})} באופן הבא :

{\displaystyle {\tilde {v}}(S)={\begin{cases}v(S)&{\mbox{ S≠N }}\\\;Max\left\{\sum \limits \_{S\in D\*}{\delta \_{S}v\left(S\right)}:\delta \in P\right\}&{\mbox{S=N}}\\\end{cases}}}
קיבלנו אם כן משחק חדש ומאוזן אך זה אינו מבטיח שהמשחק מאוזן לחלוטין,  

בשביל להבטיח שאי השוויונים יתקיימו לכל תתי המשחקים, נפעיל את אותו שיקול שהפעלנו לגבי הקואליציה N עבור כל קואליציה S,   
 ונקבל שעל מנת שהמשחק יהיה מאוזן לחלוטין השווי של כל קואליציה צריך להיות לפחות:

  

{\displaystyle \;{\hat {v}}(S)=Max\left\{\sum \limits \_{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta \_{R}v\left(R\right):\sum \limits \_{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta \_{R}\chi ^{R}}=\chi ^{S},\delta \_{R}\geq 0,\forall R}\right\}\;}

המשחק {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} נקרא  **הכיסוי המאוזן** של המשחק {\displaystyle \!\,(N;v)}

משפטים רלוונטיים ללא הוכחה
--------------------------

* למשחק {\displaystyle \!\,(N;v)} בצורה קואליציונית ליבה לא ריקה אם ורק אם {\displaystyle {\tilde {v}}(N)=v(N)}
* משחק {\displaystyle \!\,(N;v)} הוא מאוזן לחלוטין אם ורק אם {\displaystyle {\hat {v}}(N)=v(N)} לכל קואליציה {\displaystyle S\subseteq N}כאשר הפונקציה {\displaystyle {\hat {v}}} מוגדרת בהגדרה לעיל

ראו גם
------

* מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946