באלגברה קומוטטיבית, **קוהומולוגיה מקומית** (**Local Cohomology**) היא הפונקטור הנגזר של פונקטור הפיתול ביחס לאידיאל. בהינתן חוג קומוטטיבי A ואידיאל {\displaystyle I\subsetneq A}, פונקטור ה-I-פיתול הוא תת-הפונקטור של פונקטור הזהות של {\displaystyle \operatorname {Mod} (A)} המוגדר על ידי הנוסחה:

{\displaystyle \Gamma \_{I}(M):=\varinjlim \_{n}\operatorname {Hom} \_{A}(A/I^{n},M)=\{m\in M\mid \exists n,I^{n}\cdot m=0\}}.

ניתן להראות כי פונקטור זה הוא אדיטיבי ומדויק משמאל, ולכן יש עניין בבניית הפונקטור הנגזר הימני שלו. הפונקטור הנגזר הטוטאלי הנ"ל הוא פונקטור
{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma \_{I}:D(\operatorname {Mod} A)\to D(\operatorname {Mod} A)}
מהקטגוריה הנגזרת של מודולים מעל A לעצמה. הוא מחושב על ידי החלפת מודול (או קומפלקס) ברזולוציה אינג'קטיבית שלו, והפעלת פונקטור הפיתול על הרזולוציה. 
הקוהומולוגיות של פונקטור זה, נותנות את הפונקטור הנגזר הימני הקלאסי שלו, המסומן על ידי
{\displaystyle \mathrm {H} \_{I}^{n}(M):=\mathrm {H} ^{n}\left(\mathrm {R} \Gamma \_{I}(M)\right)}. ונקרא הקוהומולוגיה המקומית ה-n של M ביחס לאידיאל I.
לעיתים פונקטור זה מכונה גם פונקטור הקוהמולוגיה עם תמיכה ב-I, או קוהומולוגיה עם תמיכה ב-{\displaystyle V(I)}.

תכונות בסיסיות
--------------

הקוהומולוגיה המקומית מעניינת במיוחד במקרה בו החוג מעליו היא מוגדרת הוא נתרי, ובמיוחד במקרה בו מדובר בחוג מקומי וקוהומולוגיה מקומית ביחס לאידיאל המקסימלי.
בהינתן חוג נתרי מקומי {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}, ובהינתן מודול {\displaystyle {\ce {M}}} מעל A, אלכסנדר גרותנדיק הראה את התכונות הבאות של קוהומולוגיה מקומית:

* לכל {\displaystyle i>\dim(M)} מתקיים ש {\displaystyle \mathrm {H} \_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0}, כאשר {\displaystyle \dim(M)} מסמל את ממד קרול של M.
* מתקיים {\displaystyle \inf\{n\in \mathbb {N} \mid \mathrm {H} \_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0\}=\operatorname {depth} (M)}

כאשר {\displaystyle \operatorname {depth} (M)}, ה**עומק** של M, מסמל את אורכה הארוך ביותר של סדרה M-רגולרית המורכבת מאיברים המוכלים באידיאל המקסימלי {\displaystyle {\mathfrak {m}}}.

* תחת ההנחה שהמודול M הוא נוצר סופית, גרותנדיק הראה בנוסף כי {\displaystyle \sup\{n\in \mathbb {N} \mid \mathrm {H} \_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0\}=\dim(M)}
* שוב, בהנחה כי M נוצר סופית, מתקיים כי מודולי הקוהומולוגיה המקומית {\displaystyle \mathrm {H} \_{\mathfrak {m}}^{n}(M)} הם כולם ארטיניים.
* מסקנה מיידית מתכונות אלו היא שמודול נוצר סופית M הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקומפלקס

{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma \_{\mathfrak {m}}(M)} הוא הזזה של מודול. באופן כללי יותר, אם M הוא קומפלקס חסום עם קוהומולוגיה נוצרת סופית, אז M נקרא כהן-מקולי אם הקומפלקס 
{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma \_{\mathfrak {m}}(M)} הוא הזזה של מודול.

חישוב
-----

על פי ההגדרה, על מנת לחשב קוהומולוגיה מקומית של מודול M, יש להחליפו ברזולוציה אינג'קטיבית, ולהפעיל עליה את הפונקטור {\displaystyle \Gamma \_{I}(-)}. 
במקרה שבו החוג A הוא חוג נתרי, דרך אלנטרנטיבית לחשב את הקוהומולוגיה המקומית היא בעזרת קומפלקס צ'ך.
בהינתן חוג נתרי A, ואידיאל I, בוחרים סדרה כלשהי של יוצרים {\displaystyle I=(a\_{1},\dots ,a\_{n})}. 
לכל אחד מאיברי הסדרה הזו, מייחסים את קומפלקס צ'ך:

{\displaystyle K(A;a\_{i})=0\to A\to A[a\_{i}^{-1}]\to 0}

המרוכז בדרגות קוהומולוגיות 0,1.
לסדרה כולה, יש קומפלקס צ'ך המוגדר על ידי:

{\displaystyle K(A;a\_{1},\dots ,a\_{n}):=K(A;a\_{1})\otimes \_{A}K(A;a\_{2})\otimes \_{A}\dots \otimes \_{A}K(A;a\_{n})}.

בעזרת קומפלקס זה, ותחת ההנחה שהחוג A הוא נתרי, מתקיים כי

{\displaystyle \mathrm {R} \Gamma \_{I}(M)\cong K(A;a\_{1},\dots ,a\_{n})\otimes \_{A}M}

אם החוג A אינו נתרי, ייתכן כי נוסחה זו תהיה שגויה. במקרים כאלו, ההתנהגות של הקוהומולוגיה המקומית היא גרועה במיוחד, ויש פונקטורים טובים יותר המחליפים אותה, בעלי תכונות טוב יותר.

הגדרה פונקטוריאלית
------------------

אם החוג A הוא נתרי, קיימת דרך נוספת לבנות את פונקטור הקוהומולוגיה המקומית. בהינתן אידיאל {\displaystyle I\subsetneq A}, קומפלקס שרשרת M נקרא קומפלקס עם קוהמולוגיה I-פיתולית אם לכל {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }, המודול {\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(M)} מקיים את השוויון {\displaystyle \Gamma \_{I}\left(\mathrm {H} ^{n}(M)\right)=\mathrm {H} ^{n}(M)}, כלומר אם כל איברי הקוהומולוגיות של M הם מודולים I-פיתוליים.

אוסף כל קומפלקסי השרשרת בעלי קוהומולוגיה I-פיתולית מהווה תת-קטגוריה משולשית (Triangulated) של הקטגוריה הנגזרת {\displaystyle D(A)}. נסמן קטגוריה זו ב {\displaystyle D(A)\_{I-tor}}. ניתן להראות כי לפונקטור ההכלה

{\displaystyle Q:D(A)\_{I-tor}\to D(A)}

קיים פונקטור צמוד מימין

{\displaystyle G:D(A)\to D(A)\_{I-tor}}

ההרכבה

{\displaystyle Q\circ G:D(A)\to D(A)}

היא פונקטור, שבמקרה שבו A הוא חוג נתרי, ניתן להראות שהוא איזומורפי בצורה טבעית לפונקטור הקוהומולוגיה המקומית {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma \_{I}}.
במקרים בהם A אינו נתרי, ייתכן שפונקטורים אלו יתנו תוצאות שונות. מתברר כי במקרים אלו, לפונקטור {\displaystyle Q\circ G} יש לעיתים תכונות טובות יותר מלפונקטור הקוהומולוגיה המקומית, ולכן הוא מהווה במובן מסוים פונקטור קוהומולוגיה מקומית טוב יותר.

לקריאה נוספת
------------

\*Brodman, M. P.; Sharp, R. Y. (1998), *Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications* (2nd ed.), Cambridge University Press Book review by Hartshorne