**תלות ליניארית** הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי, אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

לדוגמה, שלושת הווקטורים {\displaystyle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} **בלתי תלויים ליניארית**.  

אולם שלושת הווקטורים {\displaystyle (2,-1,1),(1,0,1),(3,-1,2)} **תלויים ליניארית** (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה
-----

יהי {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה {\displaystyle \mathbb {F} }. עבור {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}\in V} נאמר כי הם **תלויים ליניארית** מעל {\displaystyle \mathbb {F} } אם ישנם סקלרים {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\in \mathbb {F} }, לא כולם אפסים, עבורם

{\displaystyle \sum \_{i\,=\,1}^{n}a\_{i}\mathbf {v} \_{i}=a\_{1}\mathbf {v} \_{1}+a\_{2}\mathbf {v} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {v} \_{n}=\mathbf {0} }
אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}} **בלתי תלויים ליניארית**, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}} הם בלתי תלויים ליניארית אם ורק אם מן השוויון {\displaystyle a\_{1}\mathbf {v} \_{1}+a\_{2}\mathbf {v} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {v} \_{n}=\mathbf {0} } נובע בהכרח כי {\displaystyle a\_{i}=0} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n}.

המרחב המוקרן על ידי תלות ליניארית
---------------------------------

**תלות ליניארית** בין וקטורים {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}} היא וקטור {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})} בעל {\displaystyle n} סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים

{\displaystyle a\_{1}\mathbf {v} \_{1}+a\_{2}\mathbf {v} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {v} \_{n}=\mathbf {0} }
אם קיימת תלות כזו, הווקטורים תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\ldots ,\mathbf {v} \_{n}} יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}.

דוגמאות
-------

#### דוגמה א

הווקטורים {\displaystyle (1,1),(2,-3)} ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} בלתי תלויים ליניארית.

**הוכחה:**
יהיו {\displaystyle a,b} מספרים ממשיים כך שמתקיים

{\displaystyle {\begin{aligned}a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)\\(a-3b,a+2b)=(0,0)\\a-3b=0\\a+2b=0\end{aligned}}}
אם נפתור עבור {\displaystyle a,b} נמצא כי {\displaystyle a=b=0}.

#### דוגמה ב

יהי {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}. נסתכל על הווקטורים הבאים ב-{\displaystyle V}:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} \_{1}&=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} \_{2}&=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots &\\\mathbf {e} \_{n}&=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}
אזי {\displaystyle \mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2},\ldots ,\mathbf {e} \_{n}} בלתי תלויים ליניארית.

**הוכחה:**
נתבונן בקבוצת סקלרים {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\in \mathbb {R} } שעבורם מתקיים

{\displaystyle a\_{1}\mathbf {e} \_{1}+a\_{2}\mathbf {e} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {e} \_{n}=\mathbf {0} =(a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})}
מתקיים {\displaystyle a\_{i}=0} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n}.

ראו גם
------

* אי-תלות אלגברית

| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |
| וקטורים | תלות ליניארית • צירוף ליניארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |

קישורים חיצוניים
----------------

* תלות ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)