מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה
באלגברה מופשטת, **קוואזי-חבורה** (מאנגלית: Quasigroup) או **כמו-חבורה** היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. לולאה אסוציאטיבית היא חבורה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה.

הגדרה
-----

קבוצה Q עם פעולה בינארית \cdot  נקראת **קוואזי-חבורה** אם לכל {\displaystyle a,b\in Q} קיימים פתרונות יחידים למשוואות {\displaystyle a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b}. פתרונות אלו מסומנים כ-{\displaystyle x=a/b,\quad y=a\setminus b}.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: {\displaystyle x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x}. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות {\displaystyle (\cdot ,/,\setminus )} אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל {\displaystyle n\times n} בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר {\displaystyle e\in Q} המקיים {\displaystyle xe=ex=x}, נקראת **לולאה**. על ההיסטוריה של תורת הלולאות, ראו .

איזוטופיה
---------

שתי קוואזי-חבורות {\displaystyle Q,Q'} הן **איזוטופיות** זו לזו אם קיימות שלוש העתקות הפיכות {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q'} כך ש-{\displaystyle \gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b)} (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-Q' בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה {\displaystyle Q=Q'}, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים {\displaystyle Q\sim Q(\circ )}, כאשר {\displaystyle Q(\circ )} היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים {\displaystyle a,b\in Q} והגדרת הפעולה {\displaystyle \circ } על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים {\displaystyle x\cdot y=xb\circ ay}. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי {\displaystyle (R\_{b},L\_{a},\operatorname {id} )}.

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות
-------

* קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
* קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
* קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
* קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.

ראו גם
------

* מאגמה
* חבורה למחצה
* חבורה

לקריאה נוספת
------------

* Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.

קישורים חיצוניים
----------------

* קוואזי-חבורה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  כְּמוֹ-חֲבוּרָה במילון מתמטיקה (תשמ"ה, 1985), באתר האקדמיה ללשון העברית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NKC: ph370214

 |