במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, **קו-מכפלה** של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה
-----

נניח כי *C* היא קטגוריה וכי {\displaystyle \,\{X\_{j}|j\in I\}} היא משפחה של אובייקטים ב-*C*. הקו-מכפלה של הקבוצה {\displaystyle \,\{X\_{i}\}} היא אובייקט *X* ביחד עם אוסף מורפיזמים {\displaystyle \,i\_{j}:X\_{j}\to X} (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט *Y* ואוסף מורפיזמים {\displaystyle \,f\_{j}:X\_{j}\to Y} קיים מורפיזם יחיד {\displaystyle \,f:X\to Y} כך שלכל {\displaystyle \,j\in I} מתקיים {\displaystyle f\_{j}=f\circ i\_{j}}. במילים אחרות, לכל *j* הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של קו-מכפלההתכונה האוניברסלית של קו-מכפלה
במילים אחרות, *X* הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה {\displaystyle {}\_{\{X\_{j}\}}C=\left\{(Z,\{g\_{j}:X\_{j}\to Z\})\ |\ \forall i:X,X\_{j}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g\_{j}\in \mathrm {Mor} (Z,X\_{j})\right\}} עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). 

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב{\displaystyle \,X\_{1}\coprod X\_{2}}, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטיםהתכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים
המורפיזם היחיד *f* ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-*f*1 ∐ *f*2 או *f*1 ⊕ *f*2 או *f*1 + *f*2 או [*f*1, *f*2].

באופן כללי, הקו-מכפלה של {\displaystyle \,\{X\_{j}|j\in I\}} מסומנת

{\displaystyle X=\coprod \_{j\in I}X\_{j}}
ולעיתים 

{\displaystyle X=\bigoplus \_{j\in I}X\_{j}}.

דוגמאות
-------

* בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים {\displaystyle i\_{A}} ו-{\displaystyle i\_{B}} הם פשוט ההכלות (כגון {\displaystyle A\subset A\uplus B}). בפרט, {\displaystyle A\coprod B=A\uplus B}, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
* אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם {\displaystyle A\cap B\neq \emptyset } לוקחים קבוצה {\displaystyle B'} שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד {\displaystyle A\uplus B'} עם שיכון {\displaystyle i\_{B'}\circ f} כאשר {\displaystyle f:B\to B'} היא פונקציית שקילות של קבוצות.
* קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת {\displaystyle G\oplus H}.
* קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת {\displaystyle V=\bigoplus \_{j\in I}V\_{j}} כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל {\displaystyle j\in I} האיבר שבא מ-{\displaystyle V\_{j}} שווה לאפס. למשל: {\displaystyle v\_{1}+v\_{2}\in \bigoplus \_{n=1}^{\infty }V\_{n}} אך {\displaystyle 0+0+v\_{3}+v\_{4}+v\_{5}+...=\sum \_{n=3}^{\infty }v\_{j}\notin \bigoplus \_{n=1}^{\infty }V\_{n}}.
* בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב {\displaystyle A\otimes B} היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים {\displaystyle a\mapsto a\otimes 1\in A\otimes B} ו-{\displaystyle b\mapsto 1\otimes b\in A\otimes B}.

קיום ויחידות
------------

לא בכל קטגוריה *C* קיימת לכל משפחה {\displaystyle \,\{X\_{j}\}} קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם {\displaystyle \,i\_{j}:X\_{j}\to X} ו-{\displaystyle \,i'\_{j}:X\_{j}\to X'} הן זוג מכפלות של המשפחה {\displaystyle \,\{X\_{j}\}} אז קיים איזומורפיזם יחיד {\displaystyle \,f:X\to X'} כך ש {\displaystyle i\_{j}'=f\circ i\_{j}}.

ראו גם
------

* מכפלה (תורת הקטגוריות)
* מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
* גבול ישר (תורת הקטגוריות)
* פונקטור מיוצג
* אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **קו-מכפלה** בוויקישיתוף