בתורת ההסתברות, **אי-שוויון קולמוגורוב** או **אי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב** מתאר חסם הסתברותי למאורע שהמקסימום של סדרת הסכומים החלקיים של סדרה סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים גדול מערך קבוע כלשהו.

האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי
-----------

יהיו {\displaystyle X\_{1},...X\_{n}} משתנים מקריים בלתי תלויים, שתוחלת כולם היא אפס ושונות כולם סופית.

נסמן {\displaystyle S\_{k}=X\_{1}+\dots +X\_{k}} לכל {\displaystyle k=1,\dots n}. אזי לכל {\displaystyle \lambda >0} מתקיים,


P

(

max

1
≤
k
≤
n

|

S

k

|

≥
λ

)

≤

1

λ

2

⋅

V
a
r

(

S

n

)

=

1

λ

2

⋅

∑

k
=
1

n

V
a
r

(

X

k

)

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\max \_{1\leq k\leq n}\left|S\_{k}\right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \mathbf {Var} \left(S\_{n}\right)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \sum \_{k=1}^{n}\mathbf {Var} \left(X\_{k}\right)}

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\max _{1\leq k\leq n}\left|S_{k}\right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \mathbf {Var} \left(S_{n}\right)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\mathbf {Var} \left(X_{k}\right)}

הוכחה
-----

ניתן להראות כי הסדרה {\displaystyle S\_{1},S\_{2},...S\_{n}} היא מרטינגל. נניח ללא הגבלת הכלליות כי {\displaystyle S\_{0}=0} וכי {\displaystyle S\_{k}\geq 0} לכל {\displaystyle k=1,\dots ,n}.

נגדיר בצורה אינדוקטיבית {\displaystyle Z\_{0}=0}, וכן


Z

k
+
1

=

{



S

k
+
1


max

1
≤
j
≤
k

S

j

<
λ


Z

k



otherwise





{\displaystyle Z\_{k+1}={\begin{cases}{\begin{array}{cc}S\_{k+1}&\max \_{1\leq j\leq k}S\_{j}<\lambda \\Z\_{k}&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\end{cases}}}

{\displaystyle Z_{k+1}={\begin{cases}{\begin{array}{cc}S_{k+1}&\max _{1\leq j\leq k}S_{j}<\lambda \\Z_{k}&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\end{cases}}}
ניתן להראות כי הסדרה {\displaystyle \left(Z\_{k}\right)\_{k=0}^{n}} גם היא מרטינגל.

נשים לב שמתקיים,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} [(S\_{k}-S\_{k-1})^{2}]&=\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} [S\_{k}^{2}-2S\_{k}S\_{k-1}+S\_{k-1}^{2}]\\&=\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[S\_{k}^{2}-2(S\_{k-1}+S\_{k}-S\_{k-1})S\_{k-1}+S\_{k-1}^{2}\right]\\&=\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[S\_{k}^{2}-S\_{k-1}^{2}\right]-2\mathbf {E} \left[S\_{k-1}(S\_{k}-S\_{k-1})\right]\\&=\mathbf {E} [S\_{n}^{2}]-\mathbf {E} [S\_{0}^{2}]=\mathbf {E} [S\_{n}^{2}].\end{aligned}}}
ניתן לראות כי אותו הדבר נכון עבור הסדרה {\displaystyle \left(Z\_{k}\right)\_{k=0}^{n}}. לכן נובע על ידי אי-שוויון צ'בישב כי,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\max \_{1\leq k\leq n}S\_{k}\geq \lambda \right)&=\mathbb {P} \left(Z\_{n}\geq \lambda \right)\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {E} \left[Z\_{n}^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[(Z\_{k}-Z\_{k-1})^{2}\right]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[(S\_{k}-S\_{k-1})^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {E} \left[S\_{n}^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {Var} \left(S\_{n}\right)\end{aligned}}}

שימוש
-----

נתבונן בהילוך מקרי פשוט על \mathbb{Z}, בו כל צעד הוא משתנה מקרי {\displaystyle X\_{k}} בעל התפלגות אחידה בדידה {\displaystyle \mathbb {P} \left(X\_{k}=1\right)=\mathbb {P} \left(X\_{k}=-1\right)={\frac {1}{2}}}. לכן השונות של כל צעד היא 1.

בצעד ה-n, מיקומו של ההילוך הוא {\displaystyle S\_{n}=X\_{1}+\dots +X\_{n}}. לפיכך מאי-שוויון קולמוגורוב ניתן להסיק כי אם אנחנו בצעד ה-n, ההסתברות שהמיקום הרחוק ביותר אליו הגיע ההילוך הוא {\displaystyle {\frac {1}{2n}}}, היא לכל היותר {\displaystyle {\frac {1}{4n^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}\mathbf {Var} \left(X\_{k}\right)={\frac {1}{4n^{2}}}\cdot n={\frac {1}{4n}}}

לקריאה נוספת
------------

\* Billingsley, Patrick (1995). *Probability and Measure*. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
* Feller, William (1968) [1950]. *An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1* (Third ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. xviii+509. ISBN 0-471-25708-7.