במתמטיקה, **שדה המספרים ה-p-אדיים** הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה p-אדי אחד לכל מספר ראשוני p, ומקובל לסמן אותו באות \mathbb{Q}\_p. כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-p-אדיים נקראת "שדה p-אדי".

על שדה המספרים ה-p-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא p-אדי לאיזשהו p.

את המספרים ה-p-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות
------

כל מספר p-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה {\displaystyle \sum \_{i=-N}^{\infty }a\_{i}p^{i}} כאשר N שלם, ו-{\displaystyle a\_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}}. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

### אלגברה

המספרים מהצורה {\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}p^{i}} נקראים "שלמים p-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים {\mathbb {Z}}\_{p}, שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של \mathbb{Q}\_p; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר p: {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}=\mathbb {Z} \_{p}[p^{-1}]}. חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }.

### טופולוגיה

על שדה המספרים ה-p-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית {\displaystyle \nu (\sum \_{i=-N}^{\infty }a\_{i}p^{i})=-N} (בהנחה ש-{\displaystyle a\_{-N}\neq 0}), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי {\displaystyle |f|=p^{-\nu (f)}} ומטריקה ({\displaystyle d(x,y)=|x-y|}), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

### אריתמטיקה

שורשי היחידה ב-\mathbb{Q}\_p הם אלו שסדרם מחלק את p-1. כאשר p אי-זוגי, לשלם רציונלי a שאינו מתחלק ב-p יש שורש p-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו p (כך למשל {\displaystyle {\sqrt {-1}},{\sqrt {11}},{\sqrt {19}}\in \mathbb {Q} \_{5}}); עבור {\displaystyle p=2} התנאי הוא שיהיה ל-a שורש מודולו 8, ולדוגמה {\displaystyle {\sqrt {3}}\not \in \mathbb {Q} \_{2}}. הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-p-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }.

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-p-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם p אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} \_{p}}}} אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}}, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), {\displaystyle \mathbb {C} \_{p}} איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, \mathbb{C}.

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של \mathbb{Q}\_p היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית {\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}\_{p}/\mathbb {Q} \_{p})} היא פרו-פתירה.

ראו גם
------

* חוג האדלים
* משפט גרונוולד-ואנג

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים \mathbb{N} (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים \mathbb{Z} (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים \mathbb{Q} (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים \mathbb{R} (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים \mathbb{C} (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס \ \mathbb{Z}[i] • חוג השלמים האלגבריים \ \overline{\mathbb{Z}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים \ \overline{\mathbb{Q}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים \mathbb{Q}\_p (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון \ {\mathbb{H}}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי \ {\mathbb{O}}) • אלגברות קיילי-דיקסון |