בתורת ההסתברות **חלוקה מקרית של קבוצה** היא משתנה מקרי המקבל את ערכיו בקבוצת החלוקות של קבוצה. חלוקות מקריות משמשות ביישומים בגנטיקה.

### דוגמה

לדוגמה, נגדיר חלוקה מקרית {\displaystyle \Pi \_{3}} של {\displaystyle N\_{3}=\{1,2,3\}} באמצעות מתן ההסתברות של כל אחת מחמש ההחלוקות של {\displaystyle N\_{3}} להתקבל:
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}},
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{6}}},
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}},
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)=0}.

חלוקה מקרית של המספרים הטבעיים
------------------------------

סדרה אינסופית של חלוקות מקריות {\displaystyle \Pi \_{1},\Pi \_{2},...} כך ש-{\displaystyle \Pi \_{i}} חלוקה מקרית של {\displaystyle N\_{i}} לכל {\displaystyle i=1,2,...}, תקרא חלוקה מקרית של {\displaystyle \mathbb {N} } (קבוצת כל המספרים הטבעיים) אם לכל שני מספרים טבעיים {\displaystyle m<n} מתקיים שהצמצום של {\displaystyle \Pi \_{n}} ל-{\displaystyle N\_{m}} נותן את {\displaystyle \Pi \_{m}}.

### דוגמה לצמצום

נניח ש-{\displaystyle \Pi \_{2}} מתקבלת מהצמצום של {\displaystyle \Pi \_{3}} מהדוגמה למעלה ל-{\displaystyle N\_{2}=\{1,2\}}.
נחשב את {\displaystyle \Pi \_{2}}:
ממחיקת המספר 3 מכל אחת מהחלוקות {\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\{\{1\},\{2,3\}\}} מקבלים את החלוקה {\displaystyle \{\{1\},\{2\}\}} ולכן

```
{\displaystyle \Pr(\Pi \_{2}=\{\{1\},\{2\}\})=\Pr(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi \_{3}=\{\{1,3\},\{2\}\})+\Pr(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2,3\}\})={\frac {1}{2}}}
```

באופן דומה מקבלים ש-

```
{\displaystyle \Pr(\Pi \_{2}=\{\{1,2\}\})=\Pr(\Pi \_{3}=\{\{1,2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi \_{3}=\{\{1,2,3\}\})={\frac {1}{2}}}
```

חלוקה מקרית חילופית של {\displaystyle \{1,...n\}}
--------------------------------------------------

חלוקה מקרית חילופית {\displaystyle \Pi \_{n}} של {\displaystyle N\_{n}=\{1,...n\}} היא חלוקה מקרית של {\displaystyle N\_{n}} כך שלכל חלוקה {\displaystyle A} של {\displaystyle N\_{n}} ולכל תמורה {\displaystyle \theta } על {\displaystyle N\_{n}} מתקיים {\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{n}=A\right)=\Pr \left(\Pi \_{n}=\theta (A)\right)}.
כלומר, ההסתברות לקבלת חלוקה נשמרת תחת תמורות.

### דוגמה

החלוקה המקרית בדוגמה למעלה איננה חילופית. כדי לראות זאת נבחר את התמורה {\displaystyle \theta (1)=3,\theta (2)=2,\theta (3)=1} ואת החלוקה {\displaystyle A=\{\{1,2\},\{3\}\}}. מצד אחד
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{n}=A\right)={\frac {1}{6}}} ומהצד השני {\displaystyle \theta (A)=\{\{\theta (1),\theta (2)\},\{\theta (3)\}\}=\{\{3,2\},\{1\}\}=\{\{1\},\{2,3\}\}} ו- {\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{n}=\theta (A)\right)=0}. ראינו ש- {\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{n}=A\right)\neq \Pr \left(\Pi \_{n}=\theta (A)\right)} ולכן החלוקה המקרית אינה חילופית.
אם לעומת זאת נגדיר את {\displaystyle \Pi \_{3}} באופן הבא:
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}},
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)=\Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)={\frac {1}{18}}},
{\displaystyle \Pr \left(\Pi \_{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}},
נקבל חלוקה מקרית חילופית.

חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים
--------------------------------------

אם סדרה אינסופית של חלוקות מקריות {\displaystyle \Pi \_{1},\Pi \_{2},...} כך ש-{\displaystyle \Pi \_{i}} חלוקה מקרית חילופית של {\displaystyle N\_{i}} לכל {\displaystyle i=1,2,...}, היא גם חלוקה מקרית של {\displaystyle \mathbb {N} } אז היא חלוקה מקרית חילופית של {\displaystyle \mathbb {N} }.

בניית חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים באמצעות תהליך "המסעדה הסינית"
--------------------------------------------------------------------------

בתהליך המסעדה הסינית הלקוחות הממוספרים {\displaystyle i=1,2,...} נכנסים למסעדה בזה אחר זה. הלקוח ה-{\displaystyle n} שנכנס בוחר אם להתיישב ליד שולחן שכבר יושבים לידו בהסתברות שהיא בגודל יחסי למספר האנשים היושבים ליד השולחן או יושב ליד שולחן ריק מאנשים בהסתברות {\displaystyle {\frac {1}{n}}}. בתהליך זה ניתן להראות שהחלוקה של {\displaystyle n} הלקוחות הראשונים לשולחנות היא חלוקה מקרית חילופית של {\displaystyle N\_{n}}, והסדרה האינסופית של החלוקות המקריות החילופיות עבור {\displaystyle n=1,2,...} היא חלוקה מקרית חילופית של {\displaystyle \mathbb {N} }.

הערות שוליים
------------

1. 1 2 3 4  Pitman, Jim (1995). "Exchangeable and Partially Exchangeable Random Partitions". *Probability Theory and Related Fields*. **102** (2): 145–150. doi:10.1007/BF01213386.