במכניקת הקוונטים, **מקדמי קלבש-גורדן** הם מקדמים המשמשים לבניית מצבים עצמיים של התנע הזוויתי הכולל של מערכת מורכבת מתוך מצבים עצמיים של תנע זוויתי של תת-מערכות שלה.

מרחב המכפלה החיצונית
--------------------

נתונה מערכת המורכבת משתי תת-מערכות.

יהי {\displaystyle \ V\_{1}} מרחב וקטורי {\displaystyle \ 2j\_{1}+1} ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של {\displaystyle j\_{1}^{2},j\_{z1}}, התנע הזוויתי של תת-המערכת הראשונה ורכיב \ z שלו:

{\displaystyle |j\_{1}m\_{1}\rangle \quad m\_{1}=-j\_{1},-j\_{1}+1,\ldots j\_{1}}
ויהי {\displaystyle \ V\_{2}} מרחב וקטורי {\displaystyle \ 2j\_{2}+1} ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של {\displaystyle j\_{2}^{2},j\_{z2}}, של תת-המערכת השנייה:

{\displaystyle |j\_{2}m\_{2}\rangle \quad m\_{2}=-j\_{2},-j\_{2}+1,\ldots j\_{2}}
מרחב המצבים של המערכת הכוללת הוא מרחב {\displaystyle \ (2j\_{1}+1)(2j\_{2}+1)} ממדי, הנתון על ידי המכפלה של שני המרחבים הנפרדים {\displaystyle V\_{12}\equiv V\_{1}\otimes V\_{2}}.
בסיס אפשרי למרחב זה הוא סט מצבי המכפלה החיצונית של המצבים הנפרדים

{\displaystyle |j\_{1}m\_{1}\rangle |j\_{2}m\_{2}\rangle \equiv |j\_{1}m\_{1}\rangle \otimes |j\_{2}m\_{2}\rangle }
כאשר הסימון {\displaystyle \otimes } מייצג את אופרטור המכפלה טנזורית.

התנע הזוויתי הכולל של המערכת המורכבת
------------------------------------

נגדיר אופרטורים הפועלים במרחב {\displaystyle \ V\_{12}} באמצעות רכיבי התנעים הזוויתיים הנפרדים (כאן {\displaystyle \mathbf {1} } מייצג את אופרטור היחידה)

{\displaystyle J\_{i}\equiv j\_{i1}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes j\_{i2}\quad \mathrm {for} \quad i=x,y,z}
כל מכפלה כזאת פועלת על מרחב המצבים של המערכת הכוללת באופן הבא

{\displaystyle (j\_{i1}\otimes \mathbf {1} )|j\_{1}m\_{1}\rangle |j\_{2}m\_{2}\rangle \equiv (j\_{i1}|j\_{1}m\_{1}\rangle )\otimes |j\_{2}m\_{2}\rangle }
{\displaystyle (\mathbf {1} \otimes j\_{i2})|j\_{1}m\_{1}\rangle |j\_{2}m\_{2}\rangle )\equiv |j\_{1}m\_{1}\rangle \otimes j\_{i2}|j\_{2}m\_{2}\rangle }
אופרטורים אלו מקיימים את יחסי החילוף של רכיבי תנע זוויתי

{\displaystyle [J\_{k},J\_{l}]=i\sum \_{m=1}^{3}\epsilon \_{klm}J\_{m}}
לפיכך נוכל להגדיר את התנע הזוויתי הכולל של המערכת, שאופרטורים אלו הם רכיביו, ואשר מקיים

{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}|j\_{1}j\_{2}JM\rangle =J(J+1)|j\_{1}j\_{2}JM\rangle }
{\displaystyle J\_{z}|j\_{1}j\_{2}JM\rangle =M|j\_{1}j\_{2}JM\rangle ,\quad \mathrm {for} \quad M=-J,\ldots ,J}
כאשר {\displaystyle |j\_{1}j\_{2}JM\rangle } הם המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל (וגם של התנעים הזוויתיים הנפרדים), והם פורסים את המרחב {\displaystyle \ V\_{12}}. כמו כן {\displaystyle \ J} מקיים את אי שוויון המשולש

{\displaystyle |j\_{1}-j\_{2}|\leq J\leq j\_{1}+j\_{2}}

הגדרת מקדמי קלבש גורדן
----------------------

מצבי המכפלה מהווים בסיס של המרחב {\displaystyle \ V\_{12}}, מכאן שניתן להביע כל מצב במרחב כצירוף ליניארי שלהם. בפרט, ניתן להביע את המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל בבסיס זה:

{\displaystyle |j\_{1}j\_{2}JM\rangle =\sum \_{m\_{1}=-j\_{1}}^{j\_{1}}\sum \_{m\_{2}=-j\_{2}}^{j\_{2}}|j\_{1}m\_{1}\rangle |j\_{2}m\_{2}\rangle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|j\_{1}j\_{2}JM\rangle }
מקדמי הצירוף הליניארי {\displaystyle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|j\_{1}j\_{2}JM\rangle } נקראים **מקדמי קלבש גורדן**. נהוג להשמיט את {\displaystyle \ j\_{1}j\_{2}}, ולסמן את המקדמים בקיצור {\displaystyle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|JM\rangle }.

על ידי הגדרת אופרטורי סולם של התנע הזוויתי הכולל ניתן למצוא יחסי רקורסיה שבאמצעותם ניתן לחשב את מקדמי קלבש גורדן במפורש. את יחסי הרקורסיה מצא יואל רקח בשנת 1941.

תכונות
------

הפעלת האופרטור {\displaystyle J\_{z}=j\_{z1}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes j\_{z2}} על המשוואה המגדירה את המקדמים מראה שהמקדמים מתאפסים אלא אם מתקיים

{\displaystyle \ M=m\_{1}+m\_{2}}
בנוסף, המקדמים מקיימים

{\displaystyle \langle JM|j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}\rangle \equiv \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|JM\rangle }
ואת יחסי האורתוגונליות:

{\displaystyle \sum \_{J=|j\_{1}-j\_{2}|}^{j\_{1}+j\_{2}}\sum \_{M=-J}^{J}\langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|JM\rangle \langle JM|j\_{1}m\_{1}'j\_{2}m\_{2}'\rangle =\delta \_{m\_{1},m\_{1}'}\delta \_{m\_{2},m\_{2}'}}
{\displaystyle \sum \_{m\_{1}m\_{2}}\langle JM|j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}\rangle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|J'M'\rangle =\delta \_{J,J'}\delta \_{M,M'}}

שימושים
-------

כאמור, המקדמים משמשים לבניית מצבים של התנע הזוויתי הכולל מתוך מצבים של התנעים הזוויתיים הנפרדים. 
בנוסף, לתכונות מקדמי קלבש גורדן יש חשיבות בקביעת כללי ברירה של מעברים קרינתיים תוך שימוש במשפט ויגנר-אקרט.

קישורים חיצוניים
----------------

* קובץ המכיל טבלת מקדמי קלבש-גורדן, הרמוניות ספריות ומטריצות d של ויגנר.
* טבלאות של מקדמי קלבש גורדן, מתוך ויקיפדיה האנגלית
* מקדמי קלבש-גורדן, באתר MathWorld (באנגלית)