**קואליציה מהותית** (Essential Coalition) הוא מושג בתורת המשחקים בתחום המשחקים השיתופיים המגדיר תכונה של קואליציה במשחק בצורה קואליציונית. חשיבות הקואליציות המהותיות בא לידי ביטוי בחישוב הליבה של המשחק.

סימונים:

* {\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}} קבוצה סופית של שחקנים.
* {\displaystyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} } היא פונקציה המתאימה לכל תת-קבוצה {\displaystyle \!S} של שחקנים מספר ממשי {\displaystyle \!v(S)} ומקיימת v(\emptyset )=0.
* {\displaystyle \!v} נקראת הפונקציה הקואליציונית.
* נסמן ב- {\displaystyle \!G} את המשחק: {\displaystyle G=\left(N,v\right)}.

הגדרה
-----

נתחיל מהגדרת המושג **קואליציה לא מהותית**.

יהי {\displaystyle \!G} משחק בצורה קואליציונית. קואליציה {\displaystyle \!S} נקראת **לא מהותית** (inessential) במשחק G אם קיימת חלוקה {\displaystyle \!S\_{1},S\_{2},...S\_{r}} של S שבה {\displaystyle r\geq 2}

כך שמתקיים {\displaystyle v(S)\leq \sum \_{j=1}^{r}v(S\_{j})}.

**קואליציה מהותית** היא קואליציה שאינה לא מהותית.

תכונות
------

1. כל קואליציה הכוללת שחקן בודד היא מהותית, מאחר שכל חלוקה כוללת את הקואליציה עצמה ותו לא. כלומר {\displaystyle \!r=1}.
2. כל קואליציה לא מהותית {\displaystyle \!S} ניתנת לחלוקה לקואליציות **מהותיות** {\displaystyle \!S\_{1},S\_{2},...S\_{r}} כך שמתקיים {\displaystyle v(S)\leq \sum \_{j=1}^{r}v(S\_{j})}. אכן, תהי {\displaystyle \!S} קואליציה שאינה מהותית. נבצע חלוקה כלשהי של {\displaystyle \!S}, אם קיבלנו בחלוקה קואליציה שאינה מהותית נמשיך ונחלק גם אותה. תהליך זה הוא בהכרח סופי לפי תכונה 1.
3. הקואליציה {\displaystyle \!N} לאו דווקא מהותית. ממשפט שפלי-בונדרבה מסיקים כי כדי שהליבה לא תהיה ריקה, יש לדרוש כי לכל חלוקה של {\displaystyle \!N} יתקיים {\displaystyle v(N)\geq \sum \_{j=1}^{r}v(S\_{j})}.

לכן, במשחקים בהם הליבה איננה ריקה ו-{\displaystyle \!N} איננה מהותית, בהכרח מתקיים שוויון בנוסחא לעיל לכל חלוקה של {\displaystyle \!N}.

חשיבות בחישוב הליבה
-------------------

**1.** לצורך חישוב הליבה של משחק {\displaystyle \!G}, יש למצוא את כל וקטורי התשלומים {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{|N|}} כך ש:

{\displaystyle x(N)=v\left(N\right)} וגם {\displaystyle \forall S\subseteq N:x(S)\geq v\left(S\right)}. 

מדובר ב- 
{\displaystyle 2^{\left|N\right|}} 
אי שוויונים ושוויון אחד שיש לפתור כדי למצוא את הליבה. 

  

ניתן לראות כי אפשר להסתפק אך ורק באי השוויונים עבור **הקואליציות המהותיות**.
כלומר וקטור {\displaystyle \!X} נמצא בליבה של {\displaystyle \!G} אם ורק אם:

{\displaystyle x(N)=v\left(N\right)} וגם {\displaystyle x(S)\geq v\left(S\right)} לכל {\displaystyle \!S} **מהותית** ב {\displaystyle \!N}. 

  

**2.** יהיו {\displaystyle G\_{1}=(N,v),G\_{2}=\left(N,u\right)} שני משחקים בצורה קואליציונית המקיימים
ש {\displaystyle v(S)=u\left(S\right)} לכל קואליציה **מהותית** ב-{\displaystyle \!G\_{1}} או ב- {\displaystyle \!G\_{2}}.

אז לשני המשחקים יש את אותן **קואליציות מהותיות** ואת אותה **הליבה**.

  

נוכיח זאת במספר שלבים:

**א.** נראה כי קואליציה {\displaystyle \!S} היא קואליציה מהותית ב-{\displaystyle \!G\_{1}} אם ורק אם היא קואליציה מהותית ב-{\displaystyle \!G\_{2}}. 

נניח שהטענה לא נכונה. תהי {\displaystyle \!S} קואליציה מינימלית שהיא מהותית באחד המשחקים, {\displaystyle \!G\_{1}} ולא מהותית בשני {\displaystyle \!G\_{2}}.

{\displaystyle u(S)=v\left(S\right)\ \leq \sum \_{j=1}^{r}v(S\_{j})=\sum \_{j=1}^{r}u(S\_{j})}

כאשר המעבר האחרון נובע מההנחה ומכך ש {\displaystyle \!S\_{j}} מהותית לפי {\displaystyle \!v} 
(מסעיף א נובע כי ניתן להציג את הסכום כך ש {\displaystyle \!S\_{j}} מהותיות לפי {\displaystyle \!v}).

כל הקואליציות {\displaystyle \!S\_{j}} הן תת-קואליציות ממש של {\displaystyle \!S}, בסתירה. 

**ב.** מכאן נסיק שאם {\displaystyle u(N)=v\left(N\right)} אז הליבה של {\displaystyle \!G\_{1}} שווה לליבה של {\displaystyle \!G\_{2}}. 

**ג.** נראה כי אם הליבות של {\displaystyle \!G\_{1}} ושל {\displaystyle \!G\_{2}} אינן ריקות אז {\displaystyle u(N)=v\left(N\right)}.

יהי {\displaystyle \!x} בליבה של {\displaystyle \!G\_{1}}, {\displaystyle \!y} בליבה של {\displaystyle \!G\_{2}}. 

- אם {\displaystyle \!N} מהותית לפי {\displaystyle \!u} או לפי {\displaystyle \!v} אז מהתנאי {\displaystyle u(N)=v\left(N\right)}.

- אם {\displaystyle \!N} אינה מהותית לפי {\displaystyle \!u} ולפי {\displaystyle \!v} אז:

{\displaystyle x(N)=v\left(N\right)\leq \sum \_{j=1}^{r}v(S\_{j})\ =\sum \_{j=1}^{r}u(S\_{j})\ \leq \sum \_{j=1}^{r}y(S\_{j})\ =y(N)}.

קיבלנו {\displaystyle x(N)\leq y(N)}. 
באופן סימטרי נקבל {\displaystyle y(N)\leq x(N)} ולכן בסה"כ 
{\displaystyle \!y(N)=x(N)}. 

מכך שהווקטורים יעילים נקבל ש {\displaystyle \!u(N)=v(N)}. 

נשים לב שמטענות ב ו-ג נובע כי אם הליבות של {\displaystyle \!G\_{1}} ושל {\displaystyle \!G\_{2}} אינן ריקות אז הן שוות זו לזו. קיבלנו כי לשני המשחקים הנ"ל יש את אותן הקואליציות המהותיות ואת אותה הליבה, כנדרש.

ראו גם
------

* תורת המשחקים - מונחים
* פתרון (תורת המשחקים)
* ליבה של משחק שיתופי
* קואליציה (תורת המשחקים)

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946