בהינתן רביעיית נקודות {\displaystyle (a,b,c,d)} במישור (הממשי או המרוכב), **היחס הכפול** ביניהן מוגדר בנוסחה: {\displaystyle {\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}}. שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס {\displaystyle {\frac {(a-c)}{(a-d)}}} ובין היחס {\displaystyle {\frac {(b-c)}{(b-d)}}}.

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות {\displaystyle (a,b,c,d)} יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את {\displaystyle (a,b,c,d)} ב-{\displaystyle (b,a,d,c)} נקבל את הביטוי {\displaystyle {\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}}, השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול \lambda , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

| תמורה | תיאור קצר | ערכו של היחס הכפול |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{2};z\_{3},z\_{4})} | תמורת הזהות | \lambda  |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{2};z\_{4},z\_{3})} | {\displaystyle z\_{3}\leftrightarrow z\_{4}} | {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}} |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{3};z\_{2},z\_{4})} | {\displaystyle z\_{2}\leftrightarrow z\_{3}} | {\displaystyle 1-\lambda } |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{3};z\_{4},z\_{2})} | {\displaystyle z\_{2}\leftarrow z\_{4}\leftarrow z\_{3}\leftarrow z\_{2}} | {\displaystyle {\frac {1}{1-\lambda }}} |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{4};z\_{3},z\_{2})} | {\displaystyle z\_{2}\leftrightarrow z\_{4}} | {\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -1}}} |
| {\displaystyle (z\_{1},z\_{4};z\_{2},z\_{3})} | {\displaystyle z\_{2}\leftarrow z\_{3}\leftarrow z\_{4}\leftarrow z\_{2}} | {\displaystyle {\frac {\lambda -1}{\lambda }}} |

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית
-------------------------------

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו
{\displaystyle a={\begin{pmatrix}a\_{0}\\a\_{1}\end{pmatrix}},\ b={\begin{pmatrix}b\_{0}\\b\_{1}\end{pmatrix}},\ c={\begin{pmatrix}c\_{0}\\c\_{1}\end{pmatrix}},\ d={\begin{pmatrix}d\_{0}\\d\_{1}\end{pmatrix}}}
ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה T העתקה פרויקטיבית המקיימת {\displaystyle T(a)=\infty }, {\displaystyle T(b)=0} ו־{\displaystyle T(c)=1}. היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות {\displaystyle T(d)}.

### הוכחת השקילות

מהיות a,b,c שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את c כצירוף ליניארי: {\displaystyle c=\alpha a+\beta b}. אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש {\displaystyle a=\alpha a} ו־{\displaystyle b=\beta b}. כלומר, מתקיים 
{\displaystyle T(\alpha a)=(1,0)} (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן
{\displaystyle T(\beta b)=(0,1)} (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כמו את c, ניתן לבטא גם את d כצירוף ליניארי: {\displaystyle d=\gamma a+\delta b}. מכך נובע:



T
(
d
)
=
T

(

γ
α

(
α
a
)
+

δ
β

(
β
b
)

)

=

γ
α

(
1
,
0
)
+

δ
β

(
0
,
1
)
=

(

γ
α

,

δ
β

)

=

(

γ
β

α
δ

,
1

)

{\displaystyle T(d)=T\left({\frac {\gamma }{\alpha }}(\alpha a)+{\frac {\delta }{\beta }}(\beta b)\right)={\frac {\gamma }{\alpha }}(1,0)+{\frac {\delta }{\beta }}(0,1)=\left({\frac {\gamma }{\alpha }},{\frac {\delta }{\beta }}\right)=\left({\frac {\gamma \beta }{\alpha \delta }},1\right)}

{\displaystyle T(d)=T\left({\frac {\gamma }{\alpha }}(\alpha a)+{\frac {\delta }{\beta }}(\beta b)\right)={\frac {\gamma }{\alpha }}(1,0)+{\frac {\delta }{\beta }}(0,1)=\left({\frac {\gamma }{\alpha }},{\frac {\delta }{\beta }}\right)=\left({\frac {\gamma \beta }{\alpha \delta }},1\right)}
באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α‏, β‏, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.

קישורים חיצוניים
----------------

* יחס כפול, באתר MathWorld (באנגלית)
* יחס כפול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)