באנליזה נומרית, **שיטת המיתר** היא שיטה איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה רציפה של משתנה אחד. 

שיטה זו דומה לשיטת ניוטון-רפסון למציאת שורשים. בשיטת ניוטון-רפסון יש צורך בנגזרת הפונקציה בנקודה האחרונה. שיטת המיתר מקרבת את הנגזרת על ידי שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות האחרונות שחושבו, ומכאן שמה. סדר ההתכנסות של השיטה נמוך יותר מזה של שיטת ניוטון-רפסון: בשיטת ניוטון-רפסון הסדר הוא 2, ואילו בשיטת המיתר, הסדר הוא יחס הזהב (1.618 לערך). יתרונה של שיטת המיתר היא בכך שהיא אינה משתמשת בנגזרת: אם הנגזרת אינה ידועה, או שחישובה גוזל משאבי חישוב רבים, שיטת המיתר מתכנסת מהר יותר.

השיטה
-----

שיטת המיתר: העקומה באדום מייצגת את הפונקציה והקווים הכחולים את הישרים שמחשבים בכל איטרציה של השיטה
ניקח שני ערכים התחלתיים, \,x\_{0} ו-{\displaystyle \,x\_{1}}, הקרובים יחסית לשורש המבוקש.  

נבנה את הישר העובר דרך הנקודות {\displaystyle \,(x\_{0},f(x\_{0}))} ו- {\displaystyle \,(x\_{1},f(x\_{1}))}. משוואת הישר היא:



y
=

f
(

x

1

)
−
f
(

x

0

)

x

1

−

x

0


(
x
−

x

1

)
+
f
(

x

1

)
.

{\displaystyle y={\frac {f(x\_{1})-f(x\_{0})}{x\_{1}-x\_{0}}}(x-x\_{1})+f(x\_{1}).}

{\displaystyle y={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{1})+f(x_{1}).}
נבחר את {\displaystyle \,x\_{2}}, הערך הבא באיטרציה, להיות החיתוך של ישר זה עם ציר ה-x.


x

2

=

x

1

−
f
(

x

1

)

x

1

−

x

0

f
(

x

1

)
−
f
(

x

0

)


{\displaystyle x\_{2}=x\_{1}-f(x\_{1}){\frac {x\_{1}-x\_{0}}{f(x\_{1})-f(x\_{0})}}}

{\displaystyle x_{2}=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}}}
כעת נבנה ישר בין הנקודות {\displaystyle \,(x\_{1},f(x\_{1}))} ו- {\displaystyle \,(x\_{2},f(x\_{2}))}, נחפש את החיתוך שלו בציר ה-x וכן הלאה. התהליך מוגדר בנוסחת הנסיגה הבאה:  



x

n

=

x

n
−
1

−
f
(

x

n
−
1

)

x

n
−
1

−

x

n
−
2

f
(

x

n
−
1

)
−
f
(

x

n
−
2

)


{\displaystyle x\_{n}=x\_{n-1}-f(x\_{n-1}){\frac {x\_{n-1}-x\_{n-2}}{f(x\_{n-1})-f(x\_{n-2})}}}

{\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}}
ככל שנחשב יותר איטרציות של נוסחת הנסיגה, כך נקבל ערך קרוב יותר לערך השורש האמיתי.

התכנסות
-------

דוגמה ויזואלית הממחישה את התכנסות השיטה
השיטה לא תמיד מתכנסת, אך אם הפונקציה \,f רציפה וגזירה, הערכים ההתחלתיים \,x\_{0} ו-{\displaystyle \,x\_{1}} קרובים מספיק לשורש, והשורש הוא שורש פשוט (כלומר נגזרתה של \,f לא מתאפסת באותה נקודה), אזי ניתן להראות כי השיטה מתכנסת לשורש של הפונקציה \,f. סדר ההתכנסות הוא יחס הזהב {\displaystyle \,\varphi }, כאשר {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}.

קוד דוגמה
---------

להלן קוד בשפת C אשר מיישם את שיטת המיתר. הקוד נכתב בדגש על בהירות ולא על יעילות. הבעיה: למצוא את המספר החיובי \,x המקיים {\displaystyle \ x^{3}=\cos(x)}. הבעיה מומרת לבעיית מציאת שורש של הפונקציה {\displaystyle \ f(x)=x^{3}-\cos(x)}.

בקוד הרשום מטה, שיטת המיתר ממשיכה כל עוד מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. {\displaystyle \,|x\_{n+1}-x\_{n}|<e}
2. {\displaystyle \,n<m}

כאשר {\displaystyle \,e} הוא קבוע (השגיאה המקסימלית המותרת), \,n הוא מספר האיטרציה ו-\,m הוא חסם על מספר האיטרציות.

```
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x)
 {
 return x\*x\*x - cos(x);
 }

double SecantMethod(double xn\_1, double xn, double e, int m)
 {
 int n;
 double d;
 for (n = 1; n <= m; n++)
 {
 d = (xn - xn\_1) / (f(xn) - f(xn\_1)) \* f(xn);
 if (fabs(d) < e)
 return xn;
 xn\_1 = xn;
 xn = xn - d;
 }
 return xn;
 }

 int main(void)
 {
 printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
 return 0;
 }

```

אחרי הרצה של הקוד התוצאה הסופית תהיה 0.865474033101614. הערכים המתקבלים הם:

{\displaystyle x\_{0}=0\,\!}
{\displaystyle x\_{1}=1\,\!}
{\displaystyle x\_{2}=0.685073357326045\,\!}
{\displaystyle x\_{3}=0.841355125665652\,\!}
{\displaystyle x\_{4}=0.870353470875526\,\!}
{\displaystyle x\_{5}=0.865358300319342\,\!}
{\displaystyle x\_{6}=0.865473486654304\,\!}
{\displaystyle x\_{7}=0.865474033163012\,\!}
{\displaystyle x\_{8}=0.865474033101614\,\!}
הגרף הבא מראה את הפונקציה \,f באדום וקו המיתר האחרון בכחול. בגרף ניתן לראות שנקודת החיתוך של המיתר עם ציר ה-\,x קרובה מאוד לשורש של \,f.


| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

קישורים חיצוניים
----------------

* שיטת המיתר, באתר MathWorld (באנגלית)