**משחק רוב משוקלל** הוא מושג מתורת המשחקים המתאר משחק פשוט אשר בו קואליציה זוכה (ביחידה אחת) אם היא מהווה רוב (משקלה של הקואלציה גדול ממכסה נתונה כלשהי).

הגדרה פורמלית
-------------

**משחק רוב משוקלל** (weighted majority game) הוא משחק בצורה קואליציונית הנתון ע"י:

* קבוצת שחקנים {\displaystyle \;N={1,2,...n}\;}
* **מכסה** (quata) {\displaystyle \;q\geq 0\;}
* **משקולות** {\displaystyle \;w\_{1},w\_{2},...w\_{n}\;}. כאשר {\displaystyle \;w\_{i}\;} - **משקולת של שחקן i** מקיימת: {\displaystyle \;w\_{i}\geq 0\;}

כאשר השווי של קואליציה {\displaystyle \;S\;} נתון ע"י:

{\displaystyle v(s)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ w(S)\geq q\\0&{\mbox{if}}\ w(S)<q\end{matrix}}\right.}
כאשר {\displaystyle \;w(S)=\sum \_{i\in S}w\_{i}\;}

ונהוג לסמן את המשחק באופן הבא: {\displaystyle \;[q;w\_{1},w\_{2},...w\_{n}]\;} או בקיצור, כאשר ברור על איזה וקטור משקולות מדובר: {\displaystyle \;[q;w]\;}

דוגמה
-----

דוגמה טובה למשחק רוב משוקלל היא הבחירות לכנסת.
נניח שבכנסת ישראל- בה יושבים 120 חברי כנסת ובה על מנת להרכיב ממשלה יש צורך ברוב של יותר מ-61 חברים מתקבלות התוצאות הבאות:

* מפלגה 1 זכתה ב-47 מנדטים.
* מפלגה 2 זכתה ב-35 מנדטים.
* מפלגה 3 זכתה ב-20 מנדטים.
* מפלגה 4 זכתה ב-13 מנדטים.
* מפלגה 5 זכתה ב-5 מנדטים.

אזי תתקבל מערכת המשקולות הבאה:

* {\displaystyle \;w\_{1}=47\;}
* {\displaystyle \;w\_{2}=35\;}
* {\displaystyle \;w\_{3}=20\;}
* {\displaystyle \;w\_{4}=13\;}
* {\displaystyle \;w\_{5}=5\;}

המשחק יכתב כך: {\displaystyle \;[61;47,35,20,13,5]\;}
והפונקציה הקואליציונית תוגדר בצורה הבאה:

{\displaystyle v(s)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ \sum \_{i\in S}w\_{i}\geq 61\\0&{\mbox{if}}\ \sum \_{i\in S}w\_{i}<61\end{matrix}}\right.}
ניתן לשים לב שישנן מספר קואליציות שונות המסוגלות ליצור רוב משוקלל. כך למשל: {\displaystyle \;v(1,2)=v(1,3,5)=v(2,3,4)=1\;} אבל {\displaystyle \;v(1,4)=v(2,3,5)=0\;}

הצגה הומוגנית והצגה מנורמלת
---------------------------

משחק פשוט ומונוטוני נקבע על ידי **אוסף הקואליציות המינימליות הזוכות** בו, המסומן ע"י: {\displaystyle \;{\mathcal {W}}^{m}\;}
  

הצגה {\displaystyle \;[q;w\_{1},w\_{2},...w\_{n}]\;} של משחק פשוט {\displaystyle \;(N;v)\;} נקראת **הצגה הומוגנית** אם {\displaystyle \;\textstyle \sum \_{i\in S}w\_{i}\;} שווה, לכל קואליציה מינימלית זוכה {\displaystyle \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\;}.
  

הצגה {\displaystyle \;[q;w\_{1},w\_{2},...w\_{n}]\;} של משחק פשוט {\displaystyle \;(N,v)\;} נקראת **הצגה מנורמלת** אם {\displaystyle \;w(N)=\textstyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}=1\;}.
  

משחק פשוט {\displaystyle \;(N;v)\;} נקרא **משחק הומוגני** אם יש לו הצגה הומוגנית.
  

  

כך למשל ההצגה {\displaystyle \;[3;2,2,2]\;} היא הצגה הומוגנית, {\displaystyle \;[{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}]\;} הצגה הומוגנית מנורמלת ו-{\displaystyle \;[5;4,4,1]\;} הצגה לא הומוגנית (וכולן הצגות של אותו משחק רוב משוקלל!).   
 לעומת זאת, למשחק {\displaystyle \;[5;2,2,2,1,1,1]\;} אין הצגה הומוגנית כלל.

גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע
------------------------------------

### סימונים

יהי {\displaystyle \;(N;v)\;} משחק פשוט ו-{\displaystyle \;y\in \mathbb {R} ^{n}\;} וקטור כלשהו. נסמן:
{\displaystyle \;q(y)=\min \_{S\in {\mathcal {W}}^{m}}y(S)\;}.
  

  
 ע"פ סימון זה, {\displaystyle \;[q(w),w]\;} היא הצגה של משחק הרוב המשוקלל {\displaystyle \;[q;w]\;}.
  
 {\displaystyle \;[q(w),w]\;} הצגה הומוגנית אם ורק אם לכל {\displaystyle \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\;} מתקיים {\displaystyle \;w(S)=q(w)\;}

### גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע

**משפט:** יהי {\displaystyle \;[q(w);w]\;} משחק רוב משוקלל סכום קבוע, ויהי {\displaystyle \;[q(w);w]\;} הגרעינון של המשחק, אזי {\displaystyle \;[q(w);w]\;} היא הצגה מנורמלת של המשחק.   

  

**הוכחת המשפט**   

על מנת להוכיח את המשפט, להלן שתי טענות עזר:
  
   

**טענת עזר 1:** יהי {\displaystyle \;x\in \mathbb {R} \_{+}^{n}\;} וקטור המקיים {\displaystyle \;\textstyle \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}=1\;}. יהי {\displaystyle \;(N;v)\;} משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. {\displaystyle \;[q(x);x]\;} היא הצגה של {\displaystyle \;(N;v)\;} אם ורק אם {\displaystyle \;q(x)>{\tfrac {1}{2}}\;}.
  

**הוכחת טענת עזר 1:**   

בתחילה, נניח {\displaystyle \;[q(x);x]\;} הצגה של {\displaystyle \;(N;v)\;}. קואליציה מנצחת במשחק אם ורק אם סכום המשקולות של חבריה גדול או שווה ל-{\displaystyle \;q(x)\;}. נניח בשלילה {\displaystyle \;q(x)\leq {\tfrac {1}{2}}\;}. כלומר, קיימת קואליציה מינימלית מנצחת {\displaystyle \;{\hat {S}}\;} כך ש:   

{\displaystyle \;x(N\smallsetminus {\hat {S}})=x(N)-x({\hat {S}})=1-x({\hat {S}})=1-q(x)\geq {\tfrac {1}{2}}\geq q(x)\;}   

כלומר, גם {\displaystyle \;N\smallsetminus {\hat {S}}\;} מנצחת, בסתירה לכך שהמשחק סכום קבוע ({\displaystyle \;v({\hat {S}})+v(N\smallsetminus {\hat {S}})=2>1=v(N)\;}).
  

כעת, נניח {\displaystyle \;q(x)>{\tfrac {1}{2}}\;}. תהי קואליציה {\displaystyle \;S\;}.
  

אם {\displaystyle \;S\;} מנצחת אזי היא מכילה קואליציה זוכה מינימלית {\displaystyle \;{\tilde {S}}\;} ולכן {\displaystyle \;x(S)\geq x({\tilde {S}})\geq q(x)\;}.
  

אם {\displaystyle \;S\;} מפסידה אזי {\displaystyle \;N\smallsetminus S\;} מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים {\displaystyle \;x(N\smallsetminus S)\geq {\tfrac {1}{2}}\;}. כלומר {\displaystyle \;x(S)=x(N)-x(N\smallsetminus S)=1-x(N\smallsetminus S)\leq 1-q(x)\leq {\tfrac {1}{2}}<q(x)\;}
  

בסה"כ קיבלנו {\displaystyle \;v(S)=1\;} (כלומר {\displaystyle \;S\;} זוכה) אם ורק אם {\displaystyle \;x(S)\geq q(x)\;}.
  

כלומר {\displaystyle \;[q(x);x]\;} היא הצגה של {\displaystyle \;(N;v)\;}
  
   

**טענת עזר 2:** יהי {\displaystyle \;(N;v)\;} משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. ויהי {\displaystyle \;x^{\*}={\mathcal {N}}(N;v)\;} הגרעינון של המשחק. אזי לכל {\displaystyle \;x\in X(N;v)\;} מתקיים {\displaystyle \;q(x^{\*})\geq q(x)\;}. (הערה: {\displaystyle \;X(N;v)\;} היא קבוצת וקטורי התשלומים ב-{\displaystyle \;(N;v)\;})
  

**הוכחת טענת עזר 2:**  

יהי {\displaystyle \;x\in X(N;v)\;} כלשהו. {\displaystyle \;x^{\*}\;} הוא הגרעינון ולכן {\displaystyle \;\theta \_{1}(x^{\*})\geq \theta \_{1}(x)\;} כלומר:  
   
 {\displaystyle \;\max \_{S\subseteq N}e(S,x^{\*})\leq \max \_{S\subseteq N}e(S,x)\;}.   

כמו כן מתקיים:   

{\displaystyle \;\max \_{S\subseteq N}e(S,x){\underset {(1)}{=}}\max {\big \{}\max \_{S\;win}e(S,x),\max \_{S\;lose}e(S,x){\big \}}{\underset {(2)}{=}}\max \_{S\;win}e(S,x)=\max \_{S\;win}(1-x(S))=\max \_{S\in {\mathcal {W}}^{m}}(1-x(S)){\underset {(3)}{=}}1-\min \_{S\in {\mathcal {W}}^{m}}(1-x(S))=1-q(x)\;}
  
  

כאשר שוויון (1) מתקיים, שכן {\displaystyle \;\max \_{S\;win}e(S,x)=\max \_{S\;win}(v(S)-x(S))\geq 0\;} (כי למשל {\displaystyle \;N\;} היא קואליציה זוכה עם עודף 0),   

השוויון (2) מתקיים שכן {\displaystyle \;\max \_{S\;lose}e(S,x)\leq 0\;} (עבור קואליציה מפסידה {\displaystyle \;v(S)=0\;} ו- {\displaystyle \;x(S)\geq 0\;}, מכיוון ש- {\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}).   

השוויון (3) מתקיים שכן {\displaystyle \;x\_{i}\geq 0\;} לכל השחקנים ( {\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}) ולכן על מנת למקסם את {\displaystyle \;1-x(S)\;} יש למזער את {\displaystyle \;x(S)\;} על פני הקואליציות הזוכות המינימליות (וניתן למקסם עליהן בלבד, שכן המשחק מונוטוני).   
  

לפיכך מתקיים:   

{\displaystyle \;q(x^{\*})=1-\max \_{S\subseteq N}e(S,x^{\*})\geq \ 1-max\_{S\subseteq N}e(S,x)=q(x)\;}
  
  

**הוכחת המשפט:**  

תהי {\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;} הצגה מנורמלת של {\displaystyle \;[q;w]\;}. ע"פ טענת עזר 1 מתקיים {\displaystyle \;q({\hat {w}})>{\tfrac {1}{2}}\;}. מטענת עזר 2, מתקיים {\displaystyle \;q(x^{\*})\geq q({\hat {w}})\;}, כלומר {\displaystyle \;q(x^{\*})>{\tfrac {1}{2}}\;}.   

מכיוון ש- {\displaystyle \;x^{\*}(N)=v(N)=1\;}, ע"פ טענת עזר 1 נקבל {\displaystyle \;[q(x^{\*});x^{\*}]\;} היא הצגה מנורמלת של המשחק.

### גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני

**טענה:** יהי {\displaystyle \;(N;v)\;} משחק רוב משוקלל הומוגני. אז יש לו הצגה הומוגנית שבה שחקני אפס מקבלים 0.  

**הוכחה:** תהי {\displaystyle \;[q;w]\;} הצגה הומוגנית של המשחק. לכל קואליציה זוכה מינימלית {\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;} מתקיים {\displaystyle \;q(w)=w(S)\;}. תהי {\displaystyle \;D\;} קבוצת שחקני האפס. נגדיר:
  

{\displaystyle \;{\hat {q}}={\tfrac {q(w)}{\sum \_{j\notin D}w\_{j}}}\;}
  

{\displaystyle \;{\hat {w}}\_{i}={\begin{cases}{\tfrac {w\_{i}}{\sum \_{j\notin D}w\_{j}}}&i\notin D\\0&i\in D\end{cases}}\;}
  

נותר לראות כי {\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;} היא הצגה הומוגנית של המשחק:   

תהי קואליציה זוכה מינימלית {\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;}. ממינימליות {\displaystyle \;S\;}, נקבל כי {\displaystyle \;S\;} לא מכילה שחקני אפס, ולכן מתקיים:   

  

{\displaystyle \;{\hat {w}}(S)=\sum \_{i\in S}{\tfrac {w\_{i}}{\sum \_{j\notin D}w\_{j}}}={\tfrac {\sum \_{i\in S}w\_{i}}{\sum \_{j\notin D}w\_{j}}}={\tfrac {q(w)}{\sum \_{j\notin D}w\_{j}}}={\hat {q}}\;}
  

כלומר: {\displaystyle \;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;{\hat {w}}(S)={\hat {q}}\;}. ולכן {\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;} הצגה הומוגנית של המשחק.
  

  

**משפט:** יהי {\displaystyle \;[q(w);w]\;} משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני. הגרעינון הוא ההצגה המנורמלת ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.

**הוכחת המשפט:**   

**מקרה א':** קיים שחקן i עבורו {\displaystyle \;v(i)=1\;}.   

{\displaystyle \;(N;v)\;} משחק סכום קבוע ולכן {\displaystyle \;1+v(N\smallsetminus {i})=v(i)+v(N\smallsetminus {i})=v(N)=1\;}, כלומר {\displaystyle \;v(N\smallsetminus {i})=0\;}. המשחק מונוטוני ולכן: {\displaystyle \;\forall S\subseteq N\smallsetminus {i}=0\;},  

וסה"כ נקבל {\displaystyle \;v(S)={\begin{cases}1&i\in S\\0&i\notin S\end{cases}}\;},   

כלומר i דיקטטור.   

במקרה זה, ההצגות ההומוגניות המנורמלות של המשחק נתונות על ידי {\displaystyle \;[q;w]\;} עבור כל {\displaystyle \;q\in ({\tfrac {1}{2}},1]\;} ועבור וקטור משקולות {\displaystyle \;w=(w\_{j})\_{j=1}^{n}\;} המקיים {\displaystyle \;w\_{i}=q\;} ו-{\displaystyle \;\textstyle \sum \_{j=1}^{n}w\_{j}=1\;}.   

ההצגה המנורמלת היחידה בה משקל כל שחקן אפס הוא 0, היא זו בה {\displaystyle \;q=1\;} ווקטור המשקולות הוא: {\displaystyle \;w\_{j}={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}\;}.   

וקטור משקולות זה הוא הגרעינון של המשחק (וגם ערך שפלי), מכיוון ששחקני אפס מקבלים 0 בגרעינון.

**מקרה ב':** לכל שחקן i מתקיים {\displaystyle \;v(i)=0\;}.   

נסמן את קבוצת שחקני האפס במשחק ב-{\displaystyle \;D\;}. מהטענה שהוכחנו - יש למשחק הצגה הומוגנית שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0. נסמן את ההצגה ב-{\displaystyle \;[q(y),y]\;}, ומתקיים {\displaystyle \;\forall S\subseteq N\;.\;y(S)=q(y)\;}. נגדיר את הפאון (פוליטופ) {\displaystyle \;P\;} הבא:
  

{\displaystyle \;P={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\big |}\;\forall i\in N\;.\;x\_{i}\geq v(i)\;\;;\;\;x(N)=v(N)\;\;;\;\;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;x(S)\geq q(y)\;\;;\;\;\forall i\in D\;.\;x\_{i}=0{\big \}}\;}
  

  

הווקטורים ב-{\displaystyle \;P\;} יעילים וסבירים פרטית, כלומר {\displaystyle \;P\subseteq X(N;v)\;}.   

{\displaystyle \;[q(y);y]\;} היא הצגה הומוגנית שבה משקל כל שחקן אפס הוא 0 ולכן {\displaystyle \;y\in P\;}, כלומר {\displaystyle \;y\in X(N;v)\;}.   

מהמשפט הקודם (אודות גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע), הגרעינון, נסמנו ב-{\displaystyle \;x^{\*}\;}, הוא הצגה מנורמלת של המשחק, ולכן לכל {\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;} מתקיים {\displaystyle \;x^{\*}(S)\geq q(x^{\*})\;}.   

מטענת עזר ב' (שבהוכחת המשפט הקודם), {\displaystyle \;y\in X(N;v)\;} גורר {\displaystyle \;q(x^{\*})\geq q(y)\;}, ולכן לכל {\displaystyle \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\;} מתקיים {\displaystyle \;x^{\*}(S)\geq q(y)\;}.   

כלומר, {\displaystyle \;x^{\*}\in P\;}.   

נניח בשלילה {\displaystyle \;y\neq x^{\*}\;}. כלומר ב-{\displaystyle \;P\;} יש לפחות שתי נקודות קיצון: {\displaystyle \;y\;} ו-{\displaystyle \;z\;} כך ש-{\displaystyle \;z\neq y\;}. כלומר, קיים אי שוויון בהגדרת {\displaystyle \;P\;} שמקבל שוויון עבור {\displaystyle \;z\;} אך מתקיים אי שוויון חזק עבור {\displaystyle \;y\;}. עבור {\displaystyle \;y\;} כל האי-שוויונים {\displaystyle \;x(S)\geq q(y)\;} מתקיימים כשוויון (שכן {\displaystyle \;[q(y),y]\;} הצגה הומוגנית, כלומר: {\displaystyle \;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;y(S)=q(y)\;}). לכן בהכרח {\displaystyle \;\exists i\;.\;(z\_{i}=0=v(i))\,\land \,(y\_{i}>0=v(i))\;}.   

בפרט {\displaystyle \;\exists i\notin D\;.\;z\_{i}=0=v(i)\;} (שכן לכל {\displaystyle \;i\in D\;} מתקיים {\displaystyle \;y\_{i}=0=v(0)\;}).   

נסמן ב-j את השחקן שמקיים {\displaystyle \;j\notin D\;} ו- {\displaystyle \;z\_{j}=0\;}.   

j אינו שחקן 0 ולכן קיימת קואליציה {\displaystyle \;S\;} כך ש-{\displaystyle \;v(S)=0\;} אך {\displaystyle \;v(S\cup {i})=1\;}. תהי {\displaystyle \;S\_{0}\;} קואליציה מינימלית שעבורה מתקיים הדבר. מתקיים אפוא: {\displaystyle \;S\cup {j}\in {\mathcal {W}}^{m}\;}.
  

{\displaystyle \;S\_{0}\;} מפסידה, ולכן, {\displaystyle \;N\smallsetminus S\_{0}\;} מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים: {\displaystyle \;j\in N\smallsetminus S\_{0}\;}. לכן:   

  

{\displaystyle \;q(y){\underset {(1)}{\leq }}z(N\smallsetminus S\_{0})=1-z(S\_{0})=1-z(S\_{0}\cup {j}){\underset {(2)}{\leq }}1-q(y)\;}
  

  

אי שוויון (1) מתקיים כיוון ש-{\displaystyle \;z(T)\geq q(y)\;} לכל קואליציה {\displaystyle \;T\;} מנצחת, ו-{\displaystyle \;N\smallsetminus S\_{0}\;} היא קואליציה מנצחת   

אי שוויון (2) מתקיים מסיבה דומה, עבור הקואליציה המנצחת {\displaystyle \;S\_{0}\cup {j}\;}.   

  

סה"כ מתקיים {\displaystyle \;q(y)\leq {\tfrac {1}{2}}\;}, וזוהי סתירה לטענת עזר 1 (שבהוכחת המשפט הקודם).   

לפיכך מתקבל: {\displaystyle \;y=x^{\*}\;}. כלומר הגרעינון הוא ההצגה ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.

ראו גם
------

* תורת המשחקים - מונחים

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.
* האוניברסיטה הפתוחה- "תורת המשחקים" יחידה 4 ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה 1981.