T1, T2, T3, T4, T5
סדרת **פולינומי צ'בישב** (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) היא סדרה של פולינומים בעלי מקדמים שלמים, {\displaystyle T\_{0}(x),T\_{1}(x),\ldots }, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן {\displaystyle p(x)} מקיים את האי-שוויון {\displaystyle \max \_{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}}, והפולינומים {\displaystyle 2^{1-n}T\_{n}(x)} הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם: 

{\displaystyle {\begin{aligned}&T\_{0}(x)=1\\T\_{1}(x)&=x\\T\_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T\_{3}(x)&=4x^{3}-3x\end{aligned}}}

הגדרה ותכונות יסוד
------------------

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה {\displaystyle T\_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}, שבגללה {\displaystyle T\_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}} לכל {\displaystyle x}. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: 

{\displaystyle {\begin{aligned}T\_{0}(x)&=1\\T\_{1}(x)&=x\\T\_{n+1}(x)&=2x\,T\_{n}(x)-T\_{n-1}(x)\end{aligned}}}
מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-{\displaystyle n}-י היא {\displaystyle n}.

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות


T

n

(
x
)
=

{

cos
⁡
(
n
arccos
⁡
(
x
)
)

:
x
∈
[
−
1
,
1
]

cosh
⁡
(
n

arccosh

(
x
)
)

:
x
≥
1

(
−
1

)

n

cosh
⁡
(
n

arccosh

(
−
x
)
)

:
x
≤
−
1



{\displaystyle T\_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in [-1,1]\\\cosh(n\,{\text{arccosh}}(x))&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,{\text{arccosh}}(-x))&:x\leq -1\end{cases}}}

{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in [-1,1]\\\cosh(n\,{\text{arccosh}}(x))&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,{\text{arccosh}}(-x))&:x\leq -1\end{cases}}}
מן ההגדרה נובע כי 



T

n

(

T

m

(
x
)
)
=

T

n
m

(
x
)



T

n

(
1
)
=
1
,

T

n

(
−
1
)
=
(
−
1

)

n

,

T

2
n
+
1

(
0
)
=
0
,

T

2
n

(
0
)
=
(
−
1

)

n



{\displaystyle {\begin{matrix}T\_{n}(T\_{m}(x))=T\_{nm}(x)\\\\T\_{n}(1)=1,\qquad T\_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T\_{2n+1}(0)=0,\qquad T\_{2n}(0)=(-1)^{n}\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}(T_{m}(x))=T_{nm}(x)\\\\T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\end{matrix}}}
באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה


T

n

(
x
)
=

(
x
+

x

2

−
1

)

n

+
(
x
−

x

2

−
1

)

n

2

=

∑

k

=

0

⌊
0.5
n
⌋


(

n

2
k

)

(

x

2

−
1

)

k

x

n
−
2
k

{\displaystyle T\_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum \_{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}

{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}
ולקבל את הפונקציה היוצרת


∑

n

=

0

∞

T

n

(
x
)

t

n

=

1
−
t
x

1
−
2
t
x
+

t

2


{\displaystyle \sum \_{n\,=\,0}^{\infty }T\_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}

{\displaystyle \sum _{n\,=\,0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}
מתקיים גם השוויון {\displaystyle T\_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod \_{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \!{\bigl (}{\frac {k\pi }{n}}{\bigr )}^{2}}}\right)}.

פולינומי צ'בישב {\displaystyle \{T\_{n}\}\_{n=0}^{\infty }} מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת {\displaystyle \langle f\_{1},f\_{2}\rangle =\int \limits \_{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f\_{1}(x)f\_{2}(x)dx}.

השלכות לבניות גאומטריות
-----------------------

מכך שמעלת {\displaystyle T\_{n}} היא {\displaystyle n} נובע כי {\displaystyle \cos(\theta )} פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה {\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}, ובפרט הממד {\displaystyle {\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n}. אם בוחרים {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}} מתקבל {\displaystyle T\_{n}(\cos(\theta ))=0}, ולעיתים קרובות {\displaystyle T\_{n}} הוא הפולינום המינימלי של {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)}.

ראו גם
------

* מסנני צ'בישב

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פולינומי צ'בישב** בוויקישיתוף

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007285081305171
* BNE: XX5250030
* BnF: cb12390415z (data)
* GND: 4147437-5
* LCCN: sh85022808
* NDL: 00561176
* SUDOC: 032990200

 |