בטופולוגיה, **מרחב טופולוגי** הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.

הגדרה פורמלית
-------------

מרחב טופולוגי הוא קבוצה {\displaystyle {\displaystyle X}}X ומשפחה \tau של תת קבוצות של X המקיימת שלושה תנאים:

1. הקבוצה הריקה והקבוצה X שייכים ל־\tau.
2. \tau סגורה תחת איחוד: איחוד של כל אוסף קבוצות מ־\tau שייך ל־\tau.
3. חיתוך של שתי קבוצות מ־\tau שייך גם הוא ל־\tau. (אין הכרח שחיתוך מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו שייך למשפחה.) מתכונה זו נובע שכל חיתוך סופי של קבוצות מ-\tau שייך לה, ויש המגדירים מראש כך.

הקבוצות השייכות ל-\tau ייקראו קבוצות פתוחות. \tau נקראת **הטופולוגיה** על X. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה. איברי X יקראו "נקודות".

פורמלית, ניתן להסתפק בתנאי השני והשלישי בלבד להגדרת הטופולוגיה. אלו גוררים את התנאי הראשון מכיוון שהטופולוגיה סגורה לאיחוד ריק (הקבוצה הריקה) וחיתוך ריק (המרחב כולו).

הערות
-----

כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.

אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב X יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לאוסף ייקרא "בסיס". לעיתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. לא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב X מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.

אוסף של קבוצות מ־\tau כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.

ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.

דוגמאות
-------

### מרחב טריוויאלי

לכל מרחב X ניתן להגדיר טופולוגיה {\displaystyle \tau =\{X,\varnothing \}}.

קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.

ניתן להבחין שלכל X בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)

### מרחב דיסקרטי

טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב X היא הטופולוגיה הדיסקרטית - {\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}. כלומר, טופולוגיה בה **כל** תת-קבוצה של X היא קבוצה פתוחה.

גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.

בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל {\displaystyle x\neq y}, {\displaystyle d(x,y)=c}).

### הטופולוגיה הקו־סופית

דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב X כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן). בניסוח מתמטי:

{\displaystyle \tau \_{\text{co-finite}}=\{A\subseteq X\mid |A^{c}|<\infty \}\cup \{\emptyset \}}.

עבור X אינסופי, טופולוגיה זו **עשירה** מהטופולוגיה הטריוויאלית **וענייה ממש** מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדורף.

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **מרחב טופולוגי** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **מרחב טופולוגי** |

* מרחב טופולוגי, באתר MathWorld (באנגלית)
* מרחב טופולוגי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007541466005171
* BnF: cb13162791j (data)
* GND: 4137586-5
* LCCN: sh85136087
* NDL: 00564270

 |