במתמטיקה, **תורת שדות המחלקה** מתארת את ההרחבות האבליות (כלומר, הרחבות גלואה עם חבורת גלואה אבלית) של שדות מקומיים ושדות גלובליים. חלק אחד של התורה מוקדש למיון ההרחבות האבליות; חלק נפרד של התורה, ברובו עדיין לא ידוע, מוקדש לבניות מפורשות שלהן.

ההרחבה האבלית המקסימלית
-----------------------

יהא {\displaystyle K} שדה מקומי או שדה גלובלי ויהא {\displaystyle K^{s}} סגור פריד של {\displaystyle K}. חוץ מהמקרים {\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } יש אינסוף הרחבות אבליות של {\displaystyle K}. הניסוחים המודרניים של תורת שדות המחלקה מאגדים את כל הטענות על ההרחבות האבליות הללו בעזרת ההרחבה האבלית המקסימלית, {\displaystyle K^{ab}}, שהיא איחוד כל ההרחבות האבליות של {\displaystyle K} בתוך {\displaystyle K^{s}}.

ההרחבה {\displaystyle K^{ab}/K} היא הרחבת גלואה אינסופית, וחבורת גלואה שלה, {\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}, היא לכן חבורה פרו-סופית. החבורה {\displaystyle Gal(K^{ab}/K)} היא האבליזציה של חבורת גלואה האבסולוטית {\displaystyle Gal(K^{s}/K)}.

במונחים הללו, משפט קרונקר-ובר, שהוא אחד המשפטים הראשונים בתורת שדות המחלקה, הוא הטענה ש-{\displaystyle \mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q} } היא ההרחבה הנוצרת על ידי כל שורשי היחידה. כמסקנה, מקבלים איזומורפיזם

{\displaystyle Gal(\mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q} )\cong \prod \_{p}\mathbb {Z} \_{p}^{\times }},

כאשר המכפלה היא על כל המספרים הראשוניים ו-{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}^{\times }} הוא חבורת ההפיכים בחוג השלמים הp-אדים.

תורת שדות המחלקה המקומית
------------------------

תורת שדות המחלקה המקומית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות מקומיים. מכיוון שלשדה {\displaystyle \mathbb {C} } אין הרחבות אלגבריות לא טריביאליות ולשדה {\displaystyle \mathbb {R} } יש רק הרחבה אלגברית לא טריביאלית אחת, המיון של הרחבות אבליות לשדות הארכימדים ברור.

יהא {\displaystyle K} שדה מקומי לא ארכימדי עם חוג הערכה {\displaystyle O\_{K}}. המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה המקומית הוא שהחבורה {\displaystyle Gal(K^{ab}/K)} היא ההשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית {\displaystyle K^{\times }}. ליתר דיוק, יש הומומורפיזם {\displaystyle \theta \_{K}:K^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)}, שהוא השיכון של {\displaystyle K^{\times }} בהשלמה הפרו-סופית שלו. מכיוון ש-{\displaystyle K^{\times }\cong O\_{K}^{\times }\times \mathbb {Z} }, נובע ש-{\displaystyle Gal(K^{ab}/K)\cong O\_{K}^{\times }\times {\widehat {\mathbb {Z} }}}, כאשר {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}} היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים.

ההעתקה {\displaystyle \theta \_{K}} נקראת העתקת ארטין המקומית.

תורת שדות המחלקה הגלובלית
-------------------------

תורת שדות המחלקה הגלובלית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות גלובלים. התיאור במקרה זה פחות מפורש מהמקרה המקומי ונעשה דרך חוג האדלים של השדה.

אם {\displaystyle \mathbf {A} \_{K}} מסמן את חוג האדלים של {\displaystyle K}, יש שיכון {\displaystyle K^{\times }\rightarrow \mathbf {A} \_{K}^{\times }} בין חבורות ההפיכים של {\displaystyle K} ושל {\displaystyle \mathbf {A} \_{K}}. התמונה של {\displaystyle K^{\times }} היא דיסקרטית והמנה {\displaystyle K^{\times }\backslash \mathbf {A} \_{K}^{\times }} נקראת חבורת מחלקות האידלים.

המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה הגלובלית הוא שהחבורה {\displaystyle Gal(K^{ab}/K)} איזומורפית להשלמה הפרו-סופית של החבורה {\displaystyle K^{\times }\backslash \mathbf {A} \_{K}^{\times }}. ליתר דיוק, קיים הומומורפיזם {\displaystyle \theta \_{K}:K^{\times }\backslash \mathbf {A} \_{K}^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)} שהוא ההומומורפיזם של ההשלמה הפרו-סופית. ההומומורפיזם {\displaystyle \theta \_{K}} נקרא העתקת ארטין הגלובלית.

במקרה שהמציין של {\displaystyle K} הוא אפס, רכיב הקשירות של 0 בחוג {\displaystyle \mathbf {A} \_{K}} הוא מהצורה {\displaystyle \mathbb {R} ^{d\_{1}}\times \mathbb {C} ^{d\_{2}}} ורכיב הקשירות של 1 בחבורה {\displaystyle \mathbf {A} \_{K}^{\times }} הוא מהצורה {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}^{d\_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d\_{2}}}. לכן רכיב הקשירות של 1 בחבורת מחלקות האידלים גם הוא {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}^{d\_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d\_{2}}}. רכיב הקשירות הזה שווה לגרעין של העתקת ארטין הגלובלית. במקרה שהמציין של {\displaystyle K} חיובי, העתקת ארטין הגלובלית חד חד ערכית.

הקשר בין העתקות ארטין
---------------------

עבור שדה גלובלי {\displaystyle K}, העתקת ארטין הגלובלית {\displaystyle \theta \_{K}} והעתקות ארטין המקומיות {\displaystyle \theta \_{K\_{v}}} קשורות על ידי הנוסחה

{\displaystyle \theta \_{K}((a\_{v})\_{v\in V})=\prod \_{v\in V}\theta \_{K\_{v}}(a\_{v})}

שבה V הוא אוסף ההערכות של {\displaystyle K}, {\displaystyle (a\_{v})\_{v\in V}} הוא איבר של {\displaystyle \mathbf {A} \_{K}^{\times }}, האיברים {\displaystyle \theta \_{K\_{v}}(a\_{v})\in Gal(K\_{v}^{ab}/K\_{v})} מזוהים עם איברים בחבורה {\displaystyle Gal(K^{ab}/K)} על ידי העתקת הצמצום {\displaystyle Gal(K\_{v}^{ab}/K\_{v})\rightarrow Gal(K^{ab}/K)}, והמכפלה מוגדרת היטב מכיוון שלכמעט כל הערכה v, מתקיים {\displaystyle \theta \_{K\_{v}}(a\_{v})=1}.

לקריאה נוספת
------------

* Bjorn Boonen, A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory
* Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, מסת"ב 978-3-540-15251-4

קישורים חיצוניים
----------------

* Keith Conrad, History of class field theory
* Bjorn Poonen, A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory
* J.S. Milne, Class Field Theory


|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007283952905171
* LCCN: sh85026684
* NDL: 00569797
* NKC: ph1086047

 |