**חבורת אוילר** (נקראת בדרך כלל **חבורת ההפיכים מודולו {\displaystyle n}**) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל-{\displaystyle n} (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו {\displaystyle n}. לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה – עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם – כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".

מקובל לסמן את החבורה ב-{\displaystyle U\_{n}}, {\displaystyle {\text{Euler}}(n)} או {\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}^{\times }} (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג {\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}}). בחבורת אוילר של {\displaystyle n} יש {\displaystyle \phi (n)} איברים, כאשר {\displaystyle \phi } היא פונקציית אוילר. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.

לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים {\displaystyle U\_{15}=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}}. קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם {\displaystyle a,b} שני מספרים הזרים ל-{\displaystyle n}, אזי גם המכפלה {\displaystyle ab} זרה ל-{\displaystyle n}. במילים אחרות, הקבוצה {\displaystyle U\_{n}} סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם {\displaystyle a} זר ל-{\displaystyle n} אזי אלגוריתם אוקלידס המורחב מאפשר למצוא מספרים שלמים {\displaystyle x,y} עבורם {\displaystyle xa+yn=1}, ובחישוב מודולו {\displaystyle n} מתקבל כי {\displaystyle u} הוא ההופכי של {\displaystyle a} (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של {\displaystyle a}); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי – ולכן היא חבורה.

חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו {\displaystyle n}, ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA. 

בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר {\displaystyle n} שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי).

המבנה של חבורת אוילר
--------------------

על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }. אם המספרים {\displaystyle m,n} זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות {\displaystyle \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }, את האיזומורפיזם {\displaystyle U\_{mn}\cong U\_{m}\times U\_{n}}. מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור {\displaystyle n} שהוא חזקת ראשוני.

כאשר {\displaystyle p} ראשוני, חבורת אוילר {\displaystyle U\_{p}} היא ציקלית. לדוגמה, החבורה {\displaystyle U\_{13}} נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות. טענה זו, על הציקליות של {\displaystyle U\_{p}}, היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה {\displaystyle x^{d}=1} יש (בשדה) לכל היותר {\displaystyle d} פתרונות; מצד שני, אם {\displaystyle d} מחלק את {\displaystyle p-1}, אז הפולינום {\displaystyle x^{d}-1} מחלק את הפולינום {\displaystyle x^{p-1}-1}, וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק {\displaystyle d} פתרונות. אם {\displaystyle r\_{d}} יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל-{\displaystyle d}, אפשר להוכיח באינדוקציה על {\displaystyle d} את השוויון {\displaystyle r\_{d}=\phi (d)}. 

כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות {\displaystyle p^{t}}, די להצביע על איבר מסדר {\displaystyle p^{t-1}} (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר {\displaystyle p-1} היא מסדר {\displaystyle \phi (p^{t})=(p-1)p^{t-1}}). ואכן, כאשר {\displaystyle p} אי-זוגי, האיבר {\displaystyle p+1} הוא כזה. לדוגמה, בחבורה {\displaystyle U\_{3125}}, האיבר 2057 הוא מסדר 4, ואילו 6 מסדר 625. המכפלה, 2967, יוצרת את החבורה.

במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה {\displaystyle U\_{2^{t}}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2^{t-2}\mathbb {Z} } (כאשר {\displaystyle t\geq 3}). את החבורה יוצרים המספרים {\displaystyle U\_{2^{t}}=\langle -1,5\rangle }. 

כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי. למשל,

{\displaystyle U\_{1600}\cong U\_{64}\times U\_{25}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /20\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }
ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא {\displaystyle 16\cdot 5=80}. במילים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים {\displaystyle a^{80}\equiv 1\!\!\!{\pmod {1600}}}, והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו.

את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר {\displaystyle n} מסמנים ב-{\displaystyle \lambda (n)}, בעוד שפונקציית אוילר של {\displaystyle n=p\_{1}^{s\_{1}}\cdots p\_{k}^{s\_{k}}} מתקבלת מהכפלת כל המספרים {\displaystyle p\_{i}^{s\_{i}-1}(p\_{i}-1)}, הפונקציה {\displaystyle \lambda } שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם {\displaystyle 2^{s-1}} מוחלף ב-{\displaystyle 2^{s-2}}, אם {\displaystyle s\geq 2}).

ראו גם
------

* פונקציית אוילר
* משפט אוילר
* איבר פרימיטיבי

קישורים חיצוניים
----------------

* חבורת אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)