במתמטיקה, **מיוֹריזציה**, **מג'וֹריזציה** או **מיוּר** הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

הגדרה פורמלית
-------------

בהינתן מספר טבעי {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ווקטור {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}}, אומרים כי {\displaystyle a} הוא **וקטור לא-עולה** אם ורק אם לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n-1} מתקיים ש-{\displaystyle a\_{i}\geq a\_{i+1}}.

עבור זוג וקטורים {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} לא-עולים אומרים כי {\displaystyle a} **ממייר את** {\displaystyle b} (**{\displaystyle a}** או **גובר על** *{\displaystyle b}*) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. {\displaystyle \sum \_{i=1}^{d}a\_{i}=\sum \_{i=1}^{d}b\_{i}}
2. לכל {\displaystyle 1\leq k\leq d-1} מתקיים כי {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}a\_{i}\geq \sum \_{i=1}^{k}b\_{i}}

ומסמנים {\displaystyle a\succeq b}.

עבור **{\displaystyle a}** ו-*{\displaystyle b}* כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי **{\displaystyle a}** או גובר על *{\displaystyle b}* אם ורק אם {\displaystyle a^{\downarrow }\succeq b^{\downarrow }} כאשר **{\displaystyle a^{\downarrow }}** ו-*{\displaystyle b^{\downarrow }}* הם הוקטורים הנוצרים על-ידי סידור **{\displaystyle a}** ו-*{\displaystyle b}* בסדר לא-עולה בהתאמה.

הגדרות אלטרנטיביות
------------------

ניתן להוכיח כי בהינתן {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ו-{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}}, {\displaystyle a\succeq b} לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית {\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{d\times d}} כך ש-{\displaystyle b=Da}.

כמו כן, ניתן להוכיח כי באופן שקול ניתן להגדיר כי {\displaystyle a\succeq b} אם ורק אם ניתן לייצג את {\displaystyle b} כצירוף קמור של תמורות על איברי {\displaystyle a}. כלומר, קיימות מטריצות תמורה {\displaystyle P\_{1},\dots ,P\_{k}\in \mathbb {R} ^{d\times d}} ומקדמים {\displaystyle c\_{1},\dots ,c\_{k}\in \mathbb {R} } כך ש-

1. {\displaystyle c\_{i}>0} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq k}
2. {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}c\_{i}=1}
3. {\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}c\_{i}P\_{i}a=b}

משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-{\displaystyle b} נמצא בתוך הפאון הרב-מימדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי {\displaystyle a}.

הוכחת ההגדרה האחרונה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.

יישומים
-------

* בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים {\displaystyle H} ו-{\displaystyle 'H} נאמר כי {\displaystyle H} גובר על {\displaystyle 'H} אם אוסף הערכים העצמיים של {\displaystyle H} גובר על זה של {\displaystyle 'H}.

* **אי-שוויון קאמאראטה:** בהינתן פונקציה קמורה {\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ושתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים *a,b*, מתקיים: *a* גובר על *b* אם ורק אם {\displaystyle \sum \_{i=1}^{d}h(a\_{i})\geq \sum \_{i=1}^{d}h(b\_{i})}
* אי-שוויון מוירהד: בהינתן {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} כך ש-{\displaystyle a\succeq b}, לכל {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{d}>0} מתקיים: {\displaystyle \sum \_{\sigma \in S\_{d}}{x\_{\sigma 1}^{b\_{1}}x\_{\sigma 2}^{b\_{2}}\cdots x\_{\sigma d}^{b\_{d}}}\leq \sum \_{\sigma \in S\_{d}}{x\_{\sigma 1}^{a\_{1}}x\_{\sigma 2}^{a\_{2}}\cdots x\_{\sigma d}^{a\_{d}}}} כאשר {\displaystyle S\_{d}} היא החבורה הסימטרית על {\displaystyle d}.

קישורים חיצוניים
----------------

* מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
* מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה מאת שי גירון ורן טסלר

הערות שוליים
------------

1. ↑  Rajendra Bhatia, **Matrix Analysis**, Springer Science & Business Media, 2013-12-01, ISBN 978-1-4612-0653-8. (באנגלית)
 ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח **"מיוריזציה"**.