בתורת הגרפים, **משפט ארדש-צ'באטאל** הוא משפט המספק תנאי מספיק לקיום מעגל המילטון בגרף נתון.

את המשפט הוכיחו פאול ארדש וווצלאב צ'באטאל(אנ'), במאמר שפרסמו יחדיו.

נוסח המשפט
----------

יהי {\displaystyle G={\big (}V,E{\big )}} גרף פשוט עם לפחות 3 קודקודים. יהי {\displaystyle \alpha (G)} מספר האי תלות של G (גודל הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר) ויהי {\displaystyle K\left(G\right)} הקשירות הקודוקדית של G (המספר הקטן ביותר של קודקודים שיש להסיר מG על מנת להפוך אותו לגרף לא קשיר).

המשפט אומר שאם מתקיים {\displaystyle \alpha \left(G\right)\leq K\left(G\right)}, אז G מכיל מעגל המילטון.

הוכחת המשפט
-----------

נסמן {\displaystyle k=K\left(G\right)}, {\displaystyle n=\left|V\right|}. אז אם {\displaystyle k=1} נקבל כי {\displaystyle \alpha \left(G\right)\leq 1} ולכן {\displaystyle \alpha \left(G\right)=1}. לכן בין כל שני קודקודים בG יש צלע ולכן G קליקה. אבל אז {\displaystyle k=K\left(G\right)=n-1}, סתירה.

לכן נוכל להניח כי {\displaystyle k\geq 2}. יהי C המעגל בעל האורך הגדול ביותר בG. נטען כי C מעגל המילטון. מאחר ש{\displaystyle k=K\left(G\right)\leq \delta \left(G\right)} (כאשר {\displaystyle \delta \left(G\right)} הדרגה המזערית בG), מתקיים כי C מכיל לפחות {\displaystyle k+1} קודקודים.

נסתכל בגרף {\displaystyle G\left(V\setminus V\left(C\right)\right)} (כלומר בG בלי הקודקודים של C והצלעות שנוגעות בקודוקדים אלה). נניח בשלילה כי הוא אינו ריק. יהי U רכיב קשירות בגרף זה. אז בגרף המקורי G, קבוצת קודקודי U מחוברת לk שכנים שונים בC - אחרת נוכל לנתק את U מהמעגל C על ידי הסרת פחות מk קודקודים, בסתירה לכך שהקשירות הקודקודית של G היא k.

נכוון את צלעות המעגל C לכיוון אחיד. תהי {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dotsc ,a\_{k}} סדרת k השכנים השונים שיש לU על המעגל C, מסודרים לפי סדר הופעתם במעגל. לכל {\displaystyle 1\leq i\leq k} נסמן בu\_{i} את השכן של {\displaystyle a\_{i}} בU ובb\_{i} את האיבר המופיע מיד אחרי {\displaystyle a\_{i}} במעגל C. נשים לב כי איברי b\_{i} שונים אחד מהשני, מכיוון שאיברי {\displaystyle a\_{i}} שונים אחד מהשני.

יהי u\in U כלשהו. נטען כי הקבוצה {\displaystyle \left\{b\_{1},b\_{2},\dotsc ,b\_{k}\right\}\cup \left\{u\right\}} היא קבוצה בלתי תלויה. זה יגרור סתירה, כי זו קבוצה בלתי תלויה בגודל {\displaystyle k+1}, כאשר הנחנו שהקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר היא בגודל לכל היותר k.

נראה ראשית שאין צלע בין b\_{i} ל{\displaystyle b\_{j}} כאשר {\displaystyle i<j}. לו הייתה כזו, יכולנו ליצור מעגל באורך גדול יותר בG בצורה הבאה: נתחיל ב{\displaystyle b\_{j}}, נמשיך לאורך C עד שנגיע ל{\displaystyle a\_{i}}, משם נמשיך לu\_{i} וממנו ל{\displaystyle u\_{j}} (זה אפשרי כי u\_{i} ו{\displaystyle u\_{j}} באותו רכיב קשירות) ומ{\displaystyle u\_{j}} נמשיך ל{\displaystyle a\_{j}} משם נלך על C בכיוון הנגדי עד לb\_{i} ומשם לבסוף ניקח את הצלע {\displaystyle b\_{i}b\_{j}} כדי לחזור ל{\displaystyle b\_{j}}.

בנוסף, נראה שאין צלע בין b\_{i} ל-u, לו הייתה כזאת יכולנו לקבל מעגל ארוך יותר באופן הבא: נתחיל בb\_{i}, נמשיך לאורך C עד אשר נגיע ל{\displaystyle a\_{i}} נמשיך לu\_{i} ומשם לu (זה אפשרי כי {\displaystyle u,u\_{i}} באותו רכיב קשירות) ולבסוף ניקח את הצלע {\displaystyle ub\_{i}} כדי לחזור לb\_{i}.

לכן קיבלנו כי הקבוצה {\displaystyle \left\{b\_{1},b\_{2},\dotsc ,b\_{k}\right\}\cup \left\{u\right\}} היא קבוצה בלתי תלויה באורך {\displaystyle k+1}, סתירה.

קישורים חיצוניים
----------------

* "A note on Hamiltonian circuits