בחשבון אינפיניטסימלי, **כלל לוֹפּיטָל** (L'Hôpital) הוא כלל המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): \textstyle \frac{ \infty}{ \infty}**
 או {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}, באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי.
טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה \ 0 \cdot \infty או חזקה מהצורה \ 1^{\infty} או \ \infty^0.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו, המרקיז דה לופיטל, היה הראשון שפרסם אותו בספר.

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}})
-----------------------------------------------------------------------

נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim\_{x\to a} f(x)=\lim\_{x\to a} g(x)=0. אם הגבול \,L = \lim\_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim\_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל L.

### הוכחה

לכל {\displaystyle 0<\varepsilon } קיים {\displaystyle 0<\delta } כך שלכל x המקיים 0<|x-a|<\delta מתקיים {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon } ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x\_{1})-f(x\_{2})}{g(x\_{1})-g(x\_{2})}}<L+\varepsilon } לכל x\_1,x\_2 המקיימים {\displaystyle |x\_{1}-a|<\delta \,\,\,,|x\_{2}-a|<\delta }.

אם נשאיר את x\_1 קבוע ואת x\_2 נשאיף לa נקבל

{\displaystyle L-\varepsilon \leq \lim \_{x\_{2}\to a}{\frac {f(x\_{1})-f(x\_{2})}{g(x\_{1})-g(x\_{2})}}={\frac {f(x\_{1})}{g(x\_{1})}}\leq L+\varepsilon }

כלומר, {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x\_{1})}{g(x\_{1})}}<L+\varepsilon } כאשר {\displaystyle |x\_{1}-a|<\delta }.

לכן, \lim\_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L. **מש"ל.**

כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה \textstyle \frac{ \infty}{ \infty})
----------------------------------------------------------------

נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim\_{x\to a} f(x)= \pm \infty, \lim\_{x\to a} g(x)= \pm \infty. אם הגבול \,L = \lim\_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim\_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל L.

### הוכחה

לכל \varepsilon>0 קיים {\displaystyle \delta >0} כך שלכל x המקיים 0<|x-a|<\delta מתקיים {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon } ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x\_{1})-f(x\_{2})}{g(x\_{1})-g(x\_{2})}}<L+\varepsilon } לכל x\_1,x\_2 המקיימים 0<|x\_1-a|<\delta\,\,\, ,0<|x\_2-a|<\delta.

נגדיר \beta(x\_1,x\_2)= \frac{g(x\_1)}{g(x\_1)-g(x\_2)} \cdot \frac{f(x\_1)-f(x\_2)}{f(x\_1)}

נשים לב ש \beta(x\_1,x\_2) \cdot \frac{f(x\_1)}{g(x\_1)}=\frac{f(x\_1)-f(x\_2)}{g(x\_1)-g(x\_2)}

נשים לב שאם נשאיר את x\_2 קבוע ואם יהיה {\displaystyle x\_{1}\rightarrow a} נקבל \lim\_{x\_1\to a} \beta(x\_1,x\_2) = 1.

מכאן קל להוכיח שעבור x\_2 קבוע המקיים 0<|x\_2-a|<\delta קיים \delta > \delta\_1 כך שלכל x\_1 כך ש 0<|x\_1-a|<\delta\_1 מתקיים \beta(x\_1,x\_2) >0 וכן,

{\displaystyle L-2\varepsilon <{\frac {L-\varepsilon }{\beta (x\_{1},x\_{2})}}<{\frac {f(x\_{1})}{g(x\_{1})}}<{\frac {L+\varepsilon }{\beta (x\_{1},x\_{2})}}<L+2\varepsilon }

לכן, \lim\_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L

גבולות נוספים
-------------

בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה 0\cdot\infty, 1^\infty:
נניח כי \ f(x)\rarr 0, g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim\_{x\to a}f(x)\cdot g(x)

אז f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\rarr\frac{0}{0},f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\rarr\frac{\infty}{\infty}

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי \ f(x)\rarr 1,g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim\_{x\to a}f(x)^{g(x)}.

אז מתקיים:

\lim\_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\lim\_{x\to a}\exp{\left( \ln(f(x)^{g(x)}) \right) }=
\exp{\left( \lim\_{x \to a}g(x)\ln{f(x)} \right)}

וכעת יש במעריך גבול מהצורה 0\cdot\infty שבו כבר יודעים לטפל.

דוגמאות
-------

* לכל n טבעי, נחשב את הגבול x^{n} חלקי e^x כאשר x שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:

{\displaystyle \ \lim \_{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=\cdots =\lim \_{x\to \infty }{\frac {n!}{e^{x}}}=0}
זאת כי \ \left( e^x \right) ' = e^x והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.
* דוגמה נוספת:

{\displaystyle \ \lim \_{x\to 1}{\frac {(x-1)^{2}}{\ln x}}=\lim \_{x\to 1}{\frac {2(x-1)}{1/x}}=0}
זאת כי \ \left( \ln x \right) ' = 1/x.
* דוגמה נוספת:

{\displaystyle \ \lim \_{x\to 1}{\frac {(x-1)}{\ln x}}=\lim \_{x\to 1}{\frac {1}{1/x}}=1}
בכך הוכחנו שעבור מספרים \ u << 1 מתקיים \ \ln(1+u) \approx u.
* השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:

\ \lim\_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
מאחר ש {\displaystyle e^{\ln {x}}=x} אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:
\ \left( e^{\ln x} \right) ' = e^{\ln x} / x ו \ (x)' = 1
אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:
{\displaystyle \ \lim \_{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}/x}{1}}=\lim \_{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}}
כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.
* יש להיזהר מהוכחות מעגליות. למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול \ \lim\_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} בעזרת כלל לופיטל.

מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל:
\ \lim\_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}= \lim\_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1}=1
אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x, מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים.

ראו גם
------

* גבול (מתמטיקה)
* נגזרת
* משפט שטולץ

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **כלל לופיטל** בוויקישיתוף
* הוכחה לכלל לופיטל באתר Planet Math (באנגלית)
* כלל לופיטל, באתר MathWorld (באנגלית)

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |