נוסחת ניוטון-קוטס עבור {\displaystyle n=2}
באנליזה נומרית, **הנוסחאות של ניוטון-קוטס**, הנקראות גם **כללי הריבוע של ניוטון-קוטס** או פשוט **כללי ניוטון-קוטס**, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם *ריבוע*) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס מתאימות יותר.

תיאור
-----

ההנחה היא שערך הפונקציה f המוגדרת ב {\displaystyle [a,b]} ידוע ב {\displaystyle n+1} נקודות שוות מרחק: {\displaystyle a\leq x\_{0}<x\_{1}<\dots <x\_{n}\leq b}. ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר {\displaystyle x\_{0}=a} ו {\displaystyle x\_{n}=b}, כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר {\displaystyle x\_{0}>a} ו {\displaystyle x\_{n}<b}, כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות {\displaystyle n+1} נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- 



∫

a

b

f
(
x
)

d
x
≈

∑

i
=
0

n

w

i

f
(

x

i

)
,

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum \_{i=0}^{n}w\_{i}\,f(x\_{i}),}

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}כאשר

* עבור נוסחה סגורה, {\displaystyle x\_{i}=a+ih}, עם {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}} ,
* עבור נוסחה פתוחה, {\displaystyle x\_{i}=a+(i+1)h}, עם {\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}} .

המספר h נקרא *גודל צעד*, {\displaystyle w\_{i}} נקראות *משקולות* .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב {\displaystyle x\_{i}} ולא על הפונקציה f .

יהי {\displaystyle L(x)} פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות {\displaystyle (x\_{0},f(x\_{0})),(x\_{1},f(x\_{1})),\ldots ,(x\_{n},f(x\_{n}))}, אזי



∫

a

b

f
(
x
)

d
x
≈

∫

a

b

L
(
x
)

d
x
=

∫

a

b

(

∑

i
=
0

n

f
(

x

i

)

l

i

(
x
)

)

d
x
=

∑

i
=
0

n

f
(

x

i

)


∫

a

b

l

i

(
x
)

d
x

⏟

w

i

.

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int \_{a}^{b}L(x)\,dx=\int \_{a}^{b}\left(\sum \_{i=0}^{n}f(x\_{i})l\_{i}(x)\right)\,dx=\sum \_{i=0}^{n}f(x\_{i})\underbrace {\int \_{a}^{b}l\_{i}(x)\,dx} \_{w\_{i}}.}

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}

חוסר יציבות לדרגה גבוהה
-----------------------

ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה n. עם זאת, עבור n גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת Runge הקטסטרופלית  שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור n גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות *בנקודות הקצה* של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות.

נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס
-----------------------------

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור {\displaystyle 0\leq i\leq n}, יהי {\displaystyle x\_{i}=a+ih} כאשר {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}, ו {\displaystyle f\_{i}=f(x\_{i})}.

**נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות**| n | גודל צעד h | שם נפוץ | נוּסחָה | מונח שגיאה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle b-a} | כלל טרפז | {\displaystyle {\frac {1}{2}}h(f\_{0}+f\_{1})} | {\displaystyle -{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )} |
| 2 | {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}} | כלל סימפסון | {\displaystyle {\frac {1}{3}}h(f\_{0}+4f\_{1}+f\_{2})} | {\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )} |
| 3 | {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}} | חוק 3/8 של סימפסון | {\displaystyle {\frac {3}{8}}h(f\_{0}+3f\_{1}+3f\_{2}+f\_{3})} | {\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )} |
| 4 | {\displaystyle {\frac {b-a}{4}}} | הכלל של בולה | {\displaystyle {\frac {2}{45}}h(7f\_{0}+32f\_{1}+12f\_{2}+32f\_{3}+7f\_{4})} | {\displaystyle -{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )} |

הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. 

המעריך של גודל הצעד *h* ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של *f* ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר {\displaystyle \xi } יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר {\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b} .

נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות
--------------------------

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור {\displaystyle 0\leq i\leq n}, יהי {\displaystyle x\_{i}=a+(i+1)h} כאשר {\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}, ו {\displaystyle f\_{i}=f(x\_{i})} .

**פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס**| n | גודל צעד h | שם נפוץ | נוּסחָה | מונח שגיאה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}} | כלל מלבן, או</br> כלל נקודת האמצע | {\displaystyle 2hf\_{0}} | {\displaystyle {\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )} |
| 1 | {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}} |  | {\displaystyle {\frac {3}{2}}h(f\_{0}+f\_{1})} | {\displaystyle {\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )} |
| 2 | {\displaystyle {\frac {b-a}{4}}} | כלל מילן | {\displaystyle {\frac {4}{3}}h(2f\_{0}-f\_{1}+2f\_{2})} | {\displaystyle {\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )} |
| 3 | {\displaystyle {\frac {b-a}{5}}} |  | {\displaystyle {\frac {5}{24}}h(11f\_{0}+f\_{1}+f\_{2}+11f\_{3})} | {\displaystyle {\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )} |

כללים מורכבים
-------------

כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד h צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה {\displaystyle [a,b]} חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול {\displaystyle [a,b]} לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא *כלל מורכב*. ראה אינטגרציה נומרית .

ראו גם
------

* ריבוע (מתמטיקה)
* שִׁרבּוּב
* אינטרפולציה של ספליין

הפניות
------

1. ↑  Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). *Numerical Mathematics* (Second ed.). Springer. pp. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
2. ↑  Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). *Numerical Mathematics* (Second ed.). Springer. pp. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
3. ↑  Pavel Holoborodko (2011-03-24). "Stable Newton-Cotes Formulas". נבדק ב-2015-08-17.
4. ↑  Pavel Holoborodko (2012-05-20). "Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)". נבדק ב-2015-08-18.
5. ↑  Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")

* מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i>. ניו יורק: דובר, 1972. *(ראה סעיף 25.4.)*
* ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. *שיטות מחשב לחישובים מתמטיים*. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. *(ראה סעיף 5.1.)*
* 
* יוסף סטואר ורולנד בולירש. *מבוא לניתוח נומרי*. ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. *(ראה סעיף 3.1.)*

קישורים חיצוניים
----------------

* Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com
* Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
* Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com