**אי־יציבות פלטו-ריילי** מסבירה מדוע ואיך זרם נופל נשבר לחבילות קטנות בעלות אותו הנפח אבל שטח פנים קטן יותר.
משתמשים באי יציבות זו כאשר מתכננים מדפסות הזרקת דיו בהם פרץ דיו הופך לטיפות.

התופעה נגרמת מכך שנוזלים, בהשפעת מתח הפנים, שואפים להקטין את שטח הפנים שלהם.

היסטוריה
--------

התופעה קרויה על שם ז'וזף פלטו ולורד ריילי. בשנת 1873 מצא פלטו בניסוייו שזרם מים הנופל אנכית יישבר לטיפות אם אורך הגל שלו גדול ממכפלת קוטרו פי 3.13–3.18. לאחר מכן ריילי הראה תאורטית כי זרם של נוזל לא צמיג הנופל אנכית יישבר כאשר אורך הגל שלו יעבור את קוטרו.

תאוריה
------

שלב ביניים בשבירת זרם לטיפות. ניתן לראות את רדיוס הקמר. רדיוס הזרם נתון בביטוי
{\displaystyle \scriptstyle R\left(z\right)=R\_{0}+A\_{k}\cos \left(kz\right)}
חוסר היציבות קשור בהפרעות קטנות בנוזל. הן תמיד קיימות, לא משנה עד כמה הנוזל חלק. אם להפרעות צורת סינוסיאדה, נמצא שחלק מההפרעות גדלות בזמן וחלקן דועך. מבין אלה שגדלים בזמן, ישנם כאלה שגדלים מהר יותר, תלוי במספר הגל ובזרם.

בהנחה שכל ההפרעות מתחילות עם אותן אמפליטודות, ניתן לחזות את גודל הטיפה הסופי מתוך מספר הגל של הרכיב שגדל בקצב הגבוה ביותר.
כעבור זמן, הרכיב הזה הוא זה שיצבוט את הזרם לטיפה.

אף שהבנה מלאה של התהליך דורשת פיתוח מתמטי, ניתן להבין אותו באופן איכותי מתוך התרשים.
נביט בשתי טבעות שמקיפות את הזרם: אחת ברוחב המרבי ("הזרם הרחב") ואחת ברוחב המזערי ("הזרם הצר"). בזרם הצר, רדיוס הזרם קטן יותר, וממשוואת יאנג-לפלס נובע כי הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים גדל. בדומה, בזרם הרחב הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים קטן. לו זו הייתה ההשפעה היחידה היינו מצפים שהלחץ הגבוה בזרם הצר ידחף את הנוזל לפסגה, אזור עם לחץ נמוך, בדרך זו מבינים מדוע אמפליטודת הגל עולה בזמן.

אבל משוואת יאנג-לפלס במקרה זה מושפעת משני רכיבי רדיוס. במקרה זה, אחד הוא רדיוס הזרם והשני הוא רדיוס הקמר של הגל עצמו.
נבחין בתרשים שרדיוס הקמר בזרם הצר הוא למעשה שלילי, כלומר על פי משוואת יאנג לפלס הוא מקטין את הלחץ בעמק.
באותו אופן רדיוס הקמר בזרם הרחב הוא חיובי ומגדיל את הלחץ באזור. כלומר השפעת רכיבי הרדיוס הפוך מהשפעת רדיוס הזרם עצמו.

שני האפקטים, ככלל, אינם מבטלים זה את לחלוטין. לאחד מהם יש השפעה גדולה יותר, תלוי במספר הגל וברדיוס ההתחלתי של הזרם.
כאשר מספר הגל הוא כזה שהשפעת רדיוס הקמר של הגל גדולה מהשפעת רדיוס הזרם, הגל ידעך כעבור זמן. כאשר מספר הגל הוא כזה שהשפעת רדיוס הזרם גדולה מהשפעת רדיוס הקמר של הגל, הגל יגדל אקספוננציאלית בזמן.
ניתן להראות מתמטית שהרכיבים שיגדלו בזמן הם רק אלה המקיימים שמכפלת מספר הגל ברדיוס ההתחלתי קטנה מאחת.

ניתוח מתמטי
-----------

ניתוחם המתמטי המקורי של ריילי ופלטו את בעיית ההתפרקות של סילון נוזלי לטיפות מים נעשה דרך תורת ההפרעות מסדר ראשון, ולעיתים קרובות הוא משמש כמקרה מבוא לבעיה של יציבות הידרודינמית בפרט ותורת ההפרעות בכלל. אף על פי כן, הוא מתייחס לסילון זרם בהיעדר שדה כבידה (על אף שהכבידה היא הסיבה הראשונית לנפילה האנכית של נוזל) ובעל צמיגות מאוד נמוכה; ההנחה הראשונה גוררת שבסדר האפס מהירות הזורם קבועה לאורכו, ואילו ההנחה השנייה מאפשרת להזניח איברים מסוימים במשוואות נאוויה-סטוקס ובכך לפשט את התיאור המתמטי. 

נניח אם כן שבסדר האפס הסילון הוא בצורת גליל בעל רדיוס {\displaystyle R\_{0}}, מהירות {\displaystyle U\_{0}}, ולחץ פנימי {\displaystyle p\_{0}}, ושנוספת הפרעה אינפיניטסימלית מחזורית בצורת הסילון, כך שכעת צורתו היא {\displaystyle {\tilde {R}}=R\_{0}+\epsilon e^{\omega t+i\kappa z}}. באותו אופן, נניח באופן מושכל שקיימת הפרעה דומה בלחץ {\displaystyle {\tilde {p}}} וברכיבי המהירות {\displaystyle {\tilde {u\_{r}}},{\tilde {u\_{z}}}} של פרודות הזורם אשר עוקבת אחרי ההפרעה בצורת הסילון, ושלפיכך היא בעלת צורה פונקציונלית דומה. בשל אחידות מהירות הזורם לאורכו של הסילון ניתן לעבוד במערכת ייחוס הנעה ביחד עם הזורם, שבה הזורם בגליל במנוחה. 

מכיוון שבמערכת הסילון מהירות הזורם היא אפס, משוואות נאוויה סטוקס יתייחסו רק להפרעה המחזורית הקטנה במהירות הרדיאלית והצירית של פרודות הזורם. בהזנחת צמיגות הזורם, משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות גליליות יקבלו את הצורה (משוואות אוילר לשימור מסה ותנע):

{\displaystyle \rho ({\frac {\partial {\tilde {u\_{r}}}}{\partial t}}+{\tilde {u\_{r}}}{\frac {\partial {\tilde {u\_{r}}}}{\partial r}}+{\tilde {u\_{z}}}{\frac {\partial {\tilde {u\_{r}}}}{\partial z}})=-{\frac {\partial p}{\partial r}}}
{\displaystyle \rho ({\frac {\partial {\tilde {u\_{z}}}}{\partial t}}+{\tilde {u\_{r}}}{\frac {\partial {\tilde {u\_{z}}}}{\partial r}}+{\tilde {u\_{z}}}{\frac {\partial {\tilde {u\_{z}}}}{\partial z}})=-{\frac {\partial p}{\partial z}}}
מאחר וכוונתנו לפתור את המשוואה עד לסדר הראשון ב-{\displaystyle \epsilon }, איברי ההאצה הקונבקטיבית במשוואת שימור התנע, שסדר הגודל שלהם הוא {\displaystyle \epsilon ^{2}}, נופלים. נותרנו אם כן עם זוג המשוואות:

{\displaystyle \rho {\frac {\partial {\tilde {u\_{r}}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial r}}}
{\displaystyle \rho {\frac {\partial {\tilde {u\_{z}}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial z}}}
המייצגות שימור תנע, ועם משוואת הרציפות:

{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u\_{r}}}}{\partial r}}+{\frac {\tilde {u\_{r}}}{r}}+{\frac {\partial {\tilde {u\_{z}}}}{\partial z}}=0}
המייצגת שימור מסה. בשל הסימטריה הגלילית של הבעיה ניתן להניח שלחץ הזורם וכל אחד מרכיבי המהירות תלויים רק בקואורדינטה הרדיאלית *r* ובקואורדינטה האנכית *z* באופן הבא:

{\displaystyle {\tilde {u\_{r}}}=R(r)e^{\omega t+i\kappa z}}
{\displaystyle {\tilde {u\_{z}}}=Z(r)e^{\omega t+i\kappa z}}
{\displaystyle {\tilde {p}}=P(r)e^{\omega t+i\kappa z}}
בעזרת הצבת הניחושים עבור הלחץ והמהירות במשוואות הזרימה נקבל:

{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=-\rho \omega R}
{\displaystyle i\kappa P=\rho \omega Z}
{\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial r}}+{\frac {R}{r}}+i\kappa Z=0}
ומשלוש משוואות אלו ניתן להגיע למשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה עבור {\displaystyle R(r)}:

{\displaystyle r^{2}{\frac {\partial ^{2}R}{\partial r^{2}}}+r{\frac {\partial R}{\partial r}}-(1+\kappa ^{2}r^{2})R=0}
שפתרונה הוא מכפלה של מקדם לא ידוע *C* בפונקציית בסל מתוקנת מסדר *1* במשתנה {\displaystyle \kappa r}:

{\displaystyle R(r)=CI\_{1}(\kappa r)}
כדי לקבוע את המקדם *C* נכפיף את הפתרון לתנאי שפה מתאימים:

* **תנאי השפה הקינמטי** – קצב ההשתנות בזמן של רדיוס הסילון בנקודה מסוימת על פני השטח שלו צריך להיות שווה למהירות הרדיאלית של פרודות הזורם באותה נקודה, כלומר מתקיים:

{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {R}}}{\partial t}}={\tilde {u\_{r}}}(r=R\_{0})\implies \epsilon \omega e^{\omega t+i\kappa z}=R(R\_{0})e^{\omega t+i\kappa z}\implies \epsilon \omega CI\_{1}(\kappa R\_{0})\implies C={\frac {\epsilon \omega }{I\_{1}(\kappa R\_{0})}}}
גרף המתאר את הקשר בין קצב הגידול {\displaystyle \omega } למכפלה {\displaystyle \kappa R\_{0}}.
* התנאי השני נובע מהפעלת משוואת יאנג-לפלס להערכת ההפרעה בלחץ בתוך הסילון:

{\displaystyle p\_{0}+{\tilde {p}}=\gamma ({\frac {1}{R\_{1}}}+{\frac {1}{R\_{2}}})}
רדיוס העקמומיות הראשון הוא {\displaystyle R\_{1}={\tilde {R}}=R\_{0}+\epsilon e^{\omega t+i\kappa z}} , ומכיוון ש-{\displaystyle \epsilon <<R\_{0}} נקבל שמתקיים:

{\displaystyle {\frac {1}{R\_{1}}}\approx {\frac {1}{R\_{0}}}(1-{\frac {\epsilon }{R\_{0}}}e^{\omega t+i\kappa z})}
ורדיוס העקמומיות השני מקיים:

{\displaystyle {\frac {1}{R\_{2}}}\approx -{\frac {\partial ^{2}{\tilde {R}}}{\partial ^{2}z}}=\epsilon \kappa ^{2}e^{\omega t+i\kappa z}}
ולכן ההפרעה בלחץ היא:

{\displaystyle {\tilde {p}}=-{\frac {\gamma \epsilon }{R\_{0}^{2}}}(1-\kappa ^{2}R\_{0}^{2})e^{\omega t+i\kappa z}}
מן הקשר בין {\displaystyle P(r)} ל-{\displaystyle R(r)} וכמו כן מן התכונה {\displaystyle I\_{1}(x)=I\_{0}'(x)} של פונקציית בסל, נובע שההפרעה בלחץ מקיימת גם:

{\displaystyle {\tilde {p}}=-{\frac {\epsilon \omega ^{2}\rho }{\kappa I\_{1}(\kappa R\_{0})}}I\_{0}(\kappa r)e^{\omega t+i\kappa z}}
מהשוואה עם הביטוי ללחץ ב-{\displaystyle r=R\_{0}} שהתקבל דרך משוואת יאנג לפלס נקבל את הקשר הבא בין קצב הגידול של ההפרעות {\displaystyle \omega } למספר הגל {\displaystyle \kappa }:

{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\gamma \kappa }{\rho R\_{0}^{2}}}{\frac {I\_{1}(\kappa R\_{0})}{I\_{0}(\kappa R\_{0})}}(1-\kappa ^{2}R\_{0}^{2})}
בגלל הגורם {\displaystyle (1-\kappa ^{2}R\_{0}^{2})} באגף ימין, ניתן לראות שקצב הגידול ממשי ולא מדומה רק כאשר מתקיים {\displaystyle \kappa R\_{0}<1}. הערך המירבי של {\displaystyle \omega } הוא שמתאים לרכיב הגל שגדל הכי מהר ושגורם בסופו של דבר להתפרקות הסילון. ערך מירבי זה מושג עבור {\displaystyle \kappa R\_{0}\approx 0.697}.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **אי-יציבות פלטו-ריילי** בוויקישיתוף