במתמטיקה, **ממוצע סטולרסקי** הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים. ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני, הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי.

בהינתן שני מספרים חיוביים a ו-b ומספר ממשי {\displaystyle p\neq 0,1}, **ממוצע סטולרסקי מחזקה p** מוגדר להיות:

{\displaystyle S\_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975.

מוטיבציה
--------

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים {\displaystyle a<b} ופונקציה {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בקטע הסגור {\displaystyle [a,b]} וגזירה בקטע הפתוח (a,b), אזי קיים {\displaystyle a<c<b} כך ש:

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}

אם הנגזרת f' היא פונקציה חד-חד-ערכית, c זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של a ו-b לפי הפונקציה f.

ממוצע סטולרסקי מחזקה p מתקבל מקביעת {\displaystyle f(x)=x^{p}}.

תכונות
------

### סימטריות

ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי:

{\displaystyle S\_{p}(a,b)=\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=S\_{p}(b,a)}

### מונוטוניות

ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן {\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}} ו-{\displaystyle b\_{1}\leq b\_{2}} ניתן להוכיח כי {\displaystyle S\_{p}(a\_{1},b\_{1})\leq S\_{p}(a\_{2},b\_{2})}

### הומוגניות

ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני. כלומר, לכל a ו-b ולכל מקדם {\displaystyle \alpha >0}:

{\displaystyle S\_{p}(\alpha a,\alpha b)=\left({\frac {(\alpha a)^{p}-(\alpha b)^{p}}{p(\alpha a-\alpha b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left(\alpha ^{p-1}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha \left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha S\_{p}(a,b)}

### רציפות

ממוצע סטולרסקי {\displaystyle S\_{p}(x,y)} הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן {\displaystyle x\neq y} הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן {\displaystyle x=y} ניתן להיעזר בגבול:

{\displaystyle \lim \_{x\to y}{\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=py^{p-1}}

כדי לקבל ש:

{\displaystyle \lim \_{x\to y}{S\_{p}(x,y)}=\lim \_{x\to y}{\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {py^{p-1}}{p}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=y=S\_{p}(y,y)}

מקרים פרטיים
------------

### p שואף לאינסוף

ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a ו-b מתקיים:

{\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{S\_{p}(a,b)}=\max(a,b)}

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר {\displaystyle p\to \infty } שואף למקסימום של a ו-b. על כן ניתן להגדיר כי {\displaystyle S\_{\infty }(a,b):=\max(a,b)}

### p=2

במקרה שבו {\displaystyle p=2} מתקבל:

{\displaystyle S\_{2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}}\right)^{\frac {1}{2-1}}={\frac {(a-b)(a+b)}{2(a-b)}}={\frac {a+b}{2}}}

זהו למעשה הממוצע החשבוני.

### p=1

על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור {\displaystyle p=1}, ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי:

{\displaystyle \lim \_{p\to 1}{S\_{p}(a,b)}={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}

ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי. על כן, ניתן להגדיר כי {\displaystyle S\_{1}} היא פונקציית הממוצע הזהותי.

#### הוכחה

מגדירים:

{\displaystyle L=\lim \_{p\to 1}{S\_{p}(a,b)}=\lim \_{p\to 1}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}}

על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:

{\displaystyle \ln L=\lim \_{p\to 1}{\frac {\ln(a^{p}-b^{p})-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}=\lim \_{p\to 1}{{\frac {\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}}{a^{p}-b^{p}}}-{\frac {1}{p}}}={\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1}

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:

{\displaystyle \lim \_{p\to 1}{S\_{p}(a,b)}=L=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}

*מש"ל*.

### p=0

גם במקרה {\displaystyle p=0} ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{S\_{p}(a,b)}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}

ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי. על כן, ניתן להגדיר כי {\displaystyle S\_{0}} היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי.

#### הוכחה

על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p}}=\lim \_{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}\right)}=\ln a-\ln b}

לכן:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{S\_{p}(a,b)}=\lim \_{p\to 0}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {\ln a-\ln b}{a-b}}\right)^{\frac {1}{0-1}}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}

*מש"ל*.

### p=-1

במקרה שבו {\displaystyle p=-1} מתקבל:

{\displaystyle S\_{-1}(a,b)=\left({\frac {a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{\frac {1}{-1-1}}=\left({\frac {{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left({\frac {\frac {b-a}{ab}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {ab}}}

זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.

### p שואף למינוס אינסוף

ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a ו-b מתקיים:

{\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }{S\_{p}(a,b)}=\min(a,b)}

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר {\displaystyle p\to -\infty } שואף למינימום של a ו-b. על כן ניתן להגדיר כי {\displaystyle S\_{-\infty }(a,b):=\min(a,b)}

קישורים חיצוניים
----------------

* the Stolarsky mean, בביצוע Michael Penn, סרטון באתר יוטיוב

הערות שוליים
------------

1. ↑  Eric W. Weisstein, Stolarsky Mean, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
2. ↑  Kenneth B. Stolarsky, Generalizations of the Logarithmic Mean, **Mathematics Magazine** 48, 1975-03, עמ' 87–92 doi: 10.1080/0025570X.1975.11976447