באלגברה מופשטת, **אלגברה ציקלית** היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

הגדרה
-----

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

### הגדרה ישירה

תהי {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה {\displaystyle G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )=\langle \sigma \rangle } מסדר n, ויהי {\displaystyle \beta \in \mathbb {F} ^{\times }}. נגדיר {\displaystyle A=\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} z\oplus ...\oplus \mathbb {K} {z}^{n-1}} (כמרחב וקטורי עם בסיס {\displaystyle \{1,z,...{z}^{n-1}\}}), עם פעולת הכפל:



(
a

z

i

)
(
b

z

j

)
=

{

a

σ

i

(
b
)

z

i
+
j


i
+
j
<
n

β
a

σ

i

(
b
)

z

i
+
j
−
n

i
+
j
≥
n



{\displaystyle (a{z}^{i})(b{z}^{j})={\begin{cases}a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j}\quad \quad \quad i+j<n\\\beta a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j-n}\quad i+j\geq n\end{cases}}}

{\displaystyle (a{z}^{i})(b{z}^{j})={\begin{cases}a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j}\quad \quad \quad i+j<n\\\beta a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j-n}\quad i+j\geq n\end{cases}}}
בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת **אלגברה ציקלית** ומסומנת {\displaystyle (\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )}. (להוכחת טענות אלו ראו **[Row]**).

### הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי

תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מעל {\mathbb {F}}. נאמר ש-A **אלגברה ציקלית** אם קיים תת-שדה (מקסימלי) {\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \mathbb {K} \subseteq A} המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

### הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים

**אלגברה ציקלית** היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: {\displaystyle A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=y\sigma (a)\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle }.

### שקילות ההגדרות

ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

***משפט*** **[Row, 24.45]**: אלגברה פשוטה מרכזית A היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

*סקירת ההוכחה*: בכיוון \Rightarrow, תהי {\displaystyle G=\langle \sigma \rangle } חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש z כך ש-{\displaystyle za{z}^{-1}=\sigma (a)}, ולכן גם {\displaystyle \forall i:{z}^{i}a=\sigma ^{i}(a){z}^{i}}. לכן {\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} :z^{n}a=\sigma ^{n}(a)z^{n}=az^{n}}, כלומר {\displaystyle z^{n}} שייך למרכז שהוא {\mathbb {K}}, כלומר {\displaystyle {z}^{n}=\beta }, ומתקיים {\displaystyle A\cong (\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )}.

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

***משפט*** **[GS, 2.5.3]**: אם אלגברה פשוטה מרכזית A היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה {\displaystyle A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=\sigma (a)y\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle } (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

*סקירת הוכחת המשפט*: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם \sigma  של K הוא הצמדה באיבר כלשהו y: {\displaystyle \forall x\in \mathbb {K} :{y}^{-1}xy=\sigma (x)}. נגדיר {\displaystyle \beta =y^{m}}, ונוכיח כי {\displaystyle y^{m}\in \mathbb {F} }: משום ש-{\displaystyle x=\sigma ^{m}(x)=y^{-m}xy^{m}}, כלומר {\displaystyle y^{m}\in K}; הפעלת ההצמדה על {\displaystyle y^{m}} מראה כי {\displaystyle \sigma (y^{m})=y^{m}}, ולכן {\displaystyle y^{m}\in \mathbb {F} }. כעת, קל לבדוק כי {\displaystyle 1,...y^{m-1}} בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

דוגמאות
-------

* יהי {\mathbb {F}} שדה, ויהי m הפיך בשדה. עוד נניח כי {\mathbb {F}} מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר m, נסמנו \omega. נגדיר {\displaystyle (a,b)\_{\omega }=\langle x,y|x^{m}=a,y^{m}=b,xy=\omega yx\rangle }. מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר {\displaystyle m=2,\omega =-1}.

לפי משפט **[GS,4.3.9]**, כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה {\displaystyle \mathbb {F} ({\sqrt[{m}]{a}})}. כל האלגברות הציקליות עבור {\displaystyle b\in \mathbb {F} ^{\times }} הן בדיוק {\displaystyle (a,b)\_{\omega }}, עבור כל שורש יחידה m-פרימיטיבי \omega .
* יהי {\mathbb {F}} שדה ממאפיין ראשוני p, ויהי {\displaystyle m=p}. עבור {\displaystyle a,b\in \mathbb {F} ^{\times }}, נביט ב-{\displaystyle [a,b)=\langle x,y|x^{p}-x=a,y^{p}=b,xy=y(x+1)\rangle }. קל לראות שכל שורש של הפולינום {\displaystyle x^{p}-x-a} מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט **[GS,4.3.13]**, כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה {\displaystyle \mathbb {F} [\alpha ]} עבור אלפא עם שורש מינימלי {\displaystyle x^{p}-x-a=0}.

מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור b הן מהצורה {\displaystyle [a,b)}.

ראו גם
------

* אלגברה פשוטה מרכזית
* משפט סקולם-נתר

לקריאה נוספת
------------

* **[Row]**; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464

* **[GS]**; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]