שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 


**שדה המספרים הניתנים לבנייה** הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך {\displaystyle 0} ו-{\displaystyle 1}, ואת שני המעגלים שרדיוסם {\displaystyle 1}, ומרכזיהם {\displaystyle 0} ו-1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות {\displaystyle -1,2,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}},{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}}. כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף {\displaystyle S} של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב-{\displaystyle S} סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך {\displaystyle x\mapsto 1/x}. מזה נובע ש-{\displaystyle S} (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש-{\displaystyle S} סגור גם לכפל וחילוק.

תכונה חשובה של השדה {\displaystyle S} היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-{\displaystyle S} שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, {\displaystyle S} הוא תת-השדה הקטן ביותר של {\displaystyle \mathbb {C} } הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של {\displaystyle S} הוא חזקת-{\displaystyle 2}. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת-{\displaystyle 2} (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל-{\displaystyle S}, ולכן אינו ניתן לבנייה.

הבעיות של ימי קדם
-----------------

כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת, {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}, יוצרת שדה מממד {\displaystyle 3}. אי אפשר לבנות זווית של {\displaystyle 20} מעלות, משום ש - {\displaystyle \cos(20^{\circ })} הוא שורש של הפולינום האי-פריק {\displaystyle 8x^{3}-6x-1} (את הזווית של {\displaystyle 60} מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש - {\displaystyle \ {\sqrt {\pi }}} מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי {\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}, ו-{\displaystyle 6} אינו חזקה של {\displaystyle 2}.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **שדה המספרים הניתנים לבנייה** בוויקישיתוף
* שדה המספרים הניתנים לבנייה, באתר MathWorld (באנגלית)

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {N} } (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים {\displaystyle \mathbb {Z} } (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים {\displaystyle \mathbb {Q} } (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים {\displaystyle \mathbb {R} } (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים {\displaystyle \mathbb {C} } (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} • חוג השלמים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון {\displaystyle \ {\mathbb {H} }}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי {\displaystyle \ {\mathbb {O} }}) • אלגברות קיילי-דיקסון |

הערות שוליים
------------

1. ↑  Martin, George E. **Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics**, New York: Springer-Verlag, 1998