בתורת הקבוצות, **מסנן** מעל קבוצה X הוא: משפחה לא ריקה של תת-קבוצות של X, הסגורה להגדלה ולחיתוך סופי, ואינה כוללת את הקבוצה הריקה. למסננים שימושים רבים בתורת הקבוצות המודרנית, לרבות לוגיקה מתמטית, ואלגברה בוליאנית, ובטופולוגיה (דרך קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך).

מבוא
----

### הגדרות

תהי X קבוצה. משפחה {\displaystyle \ {\mathcal {F}}\subset P(X)}, שאינה ריקה ואינה כוללת את הקבוצה הריקה, נקראת **מסנן**, כאשר לכל {\displaystyle \ A\in {\mathcal {F}}} כל B המקיים {\displaystyle \ A\subset B\in P(X)} מקיים גם {\displaystyle \ B\in {\mathcal {F}}}, ולכל {\displaystyle \ A\_{1},A\_{2}\in {\mathcal {F}}} מתקיים {\displaystyle \ A\_{1}\cap A\_{2}\in {\mathcal {F}}}. 

**דוגמאות**. 

1. הדרך הקלה ביותר לבנות מסנן היא לקחת את כל הקבוצות המכילות קבוצה קבועה. מסנן כזה נקרא **מסנן ראשי**. במובנים רבים המסננים הראשיים הם טריוויאליים.
2. אוסף הסביבות של נקודה במרחב טופולוגי הוא מסנן.
3. כאשר X קבוצה אינסופית, אוסף הקבוצות שהמשלים להן סופי הוא **המסנן הקו-סופי** או **מסנן פרשה** (על-שם מוריס פרשה, אחד ממייסדי הטופולוגיה). באופן כללי יותר אפשר להגדיר את המסנן הקו-\lambda , לכל עוצמה {\displaystyle \ \lambda <|X|}.

כל אוסף תת-קבוצות S המקיים את תכונת החיתוך הסופי יוצר מסנן: אברי המסנן הם הקבוצות המכילות חיתוך סופי כלשהו מ-S.

### על-מסננים

מסנן מקסימלי, כלומר, כזה שאינו מוכל באף מסנן גדול יותר, נקרא **על-מסנן** (ultrafilter). עבור כל קבוצה {\displaystyle \ A\subset X}, על-מסנן מוכרח להכיל את A או את המשלים {\displaystyle \ X-A}. על-מסנן המכיל קבוצה סופית מכיל גם יחידון, ולכן הוא ראשי. על-מסנן שאינו ראשי מוכרח להכיל את המסנן הקו-סופי.

מסנן שחיתוך כל הקבוצות בו הוא ריק, נקרא **מסנן חופשי**; לדוגמה, המסנן הקו-סופי הוא כזה. מסנן חופשי אינו יכול להיות ראשי. מסנן הסביבות של נקודה במרחב T1 קשיר אינו חופשי, וגם אינו ראשי. לעומת זאת, על-מסנן הוא חופשי אם ורק אם אינו ראשי.

האיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. לפי הלמה של צורן, נובע מכך שכל מסנן מוכל בעל-מסנן. תוצאה זו נקראת **משפט העל-מסנן**, ובעזרת מסנן פרשה נובע ממנה שיש על-מסננים לא ראשיים.

### ניסוח במונחי אלגברה בוליאנית

לכל קבוצה X, קבוצת החזקה {\displaystyle \ P(X)} היא אלגברה בוליאנית; זהו חוג קומוטטיבי, ביחס לפעולות ההפרש הסימטרי כחיבור, והחיתוך ככפל. באלגברה הזו, אידיאל הוא משפחה של תת-קבוצות, הסגורה להקטנה ולאיחוד סופי. מכאן ש{\displaystyle \ {\mathcal {F}}\subset P(X)} הוא מסנן, אם ורק אם אוסף המשלימים {\displaystyle \ {\mathcal {F}}^{c}=\{A^{c}:A\in {\mathcal {F}}\}} הוא אידיאל. המסנן ראשי אם ורק אם האידיאל המתאים לו ראשי, והוא על-מסנן אם ורק אם האידיאל המתאים לו הוא אידיאל מקסימלי.

### בסיס

קבוצה {\displaystyle \ B\subset P(X)} תיקרא **בסיס** למסנן {\displaystyle \ {\mathcal {F}}} אם היא סגורה לחיתוכים סופיים ולכל {\displaystyle \ f\in {\mathcal {F}}} יש {\displaystyle \ b\in B} כך ש-{\displaystyle \ b\subset f}. (מסנן כזה, אם קיים, הוא יחיד) באופן שקול, {\displaystyle \ {\mathcal {F}}} הוא המסנן הקטן ביותר שמכיל את B.

קבוצה B יכולה להיות בסיס למסנן אם ורק אם היא לא ריקה, לא מכילה את הקבוצה הריקה ולכל {\displaystyle \ b1,b2\in B} יש {\displaystyle \ b\in B} כך ש-{\displaystyle \ b\subset b1\cap b2}.

מסננים מיוחדים
--------------

תורת הקבוצות המודרנית עוסקת רבות במסננים על קבוצת המספרים הטבעיים. לצורך ההגדרות בהמשך, מסמנים (עבור קבוצות של מספרים טבעיים) {\displaystyle A\subseteq ^{\*}B} אם ההפרש B-A סופי, ו-{\displaystyle A=^{\*}B} אם {\displaystyle A\subseteq ^{\*}B\subseteq ^{\*}A}. מסנן \mathcal{F} המקיים את התכונות השקולות הבאות נקרא **נקודת-P**: 

1. כל שרשרת יורדת ב-\mathcal{F} (לגבי היחס {\displaystyle \subseteq ^{\*}}), חסומה מלרע שם (לגבי אותו יחס).
2. לכל פירוק {\displaystyle \mathbb {N} =P\_{1}\cup P\_{2}\cup \cdots } לקבוצות אינסופיות, או שאחד החלקים P\_i שייך למסנן, או שיש במסנן קבוצה X שהחיתוך שלה עם כל חלק הוא סופי.
3. לכל פירוק {\displaystyle \mathbb {N} =P\_{1}\cup P\_{2}\cup \cdots } לקבוצות אינסופיות, המסנן \mathcal{F} אינו מכיל את המסנן {\displaystyle {\mathcal {F}}(P)} (שהוא, לפי ההגדרה, המסנן הנוצר על ידי הקבוצות {\displaystyle \bigcup \_{i>n}(P\_{i}-\{0,1,\dots ,f(i)\})}, כאשר n מספר כלשהו ו-f פונקציה כלשהי.

מהשערת הרצף, או אפילו מההנחה החלשה יותר {\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {c}}}, נובע שיש נקודות-P.

הגדרה זו מוליכה ל"היררכיית-P" בת \omega \_{1} שכבות (שיש גם מסננים מעליה). המסננים הראשיים שייכים לשכבה הראשונה {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{1}}, ואלו שהם נקודות-P לשכבה {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{2}}. ידוע שאם יש מסננים בשכבה כלשהי של ההיררכיה (מעבר לשכבת המסננים הראשיים; למשל, אם יש נקודות-P), אז יש מסננים בכל שכבה של ההיררכיה.

על-מכפלות
---------

 ערך מורחב – **על מכפלה**  

נקבע מסנן {\displaystyle \ {\mathcal {F}}} מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל {\displaystyle \ i\in X} יש קבוצה \ A\_{i}, אפשר להגדיר יחס שקילות על המכפלה קרטזית בהתאם למסנן: {\displaystyle \ (a\_{i})\sim (b\_{i})} אם אוסף האינדקסים שעבורם {\displaystyle \ a\_{i}=b\_{i}} שייך ל-{\displaystyle \ {\mathcal {F}}}. במילים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה {\displaystyle \ \prod A\_{i}/{\mathcal {F}}} נקרא "מכפלה מצומצמת". אם {\displaystyle \ {\mathcal {F}}} על-מסנן, זוהי ה**על-מכפלה** של הקבוצות \ A\_{i}. 

המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של שפה מסדר ראשון L, מקיימת פסוק של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית בתורת המודלים. לדוגמה, לא רק שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של שדות היא שדה -- גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה {\displaystyle \ i\in X} את אותו מודל {\displaystyle \ A\_{i}=A}, מתקבלת **על-חזקה** {\displaystyle \ A^{X}/{\mathcal {F}}}, והיא שקולה אלמנטרית ל-A. 

מן המשפט היסודי מתקבלת בנייה מפורשת עבור משפט הקומפקטיות: אם T תורה ספיקה-סופית בשפה מסדר ראשון L (כלומר, יש מודל לכל תת-קבוצה סופית של פסוקים מתוכה), ו-X קבוצת תת-הקבוצות הסופיות של T עם מודלים \ M\_i לכל קבוצה סופית {\displaystyle \ i\in X}, אז קיים על-מסנן {\displaystyle \ {\mathcal {F}}} על X כך ש- {\displaystyle \ \prod \_{i\in X}M\_{i}/{\mathcal {F}}} הוא מודל לתורה T. ההוכחה אינה קונסטרוקטיבית, משום שהיא נסמכת על הקיום של על-מסננים המכילים את המסנן הקו-סופי, וזו תוצאה של גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה.

קישורים חיצוניים
----------------

* מסנן, באתר MathWorld (באנגלית)