במתמטיקה, **אלגברת ז'ורדן ריבועית** היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

הגדרה
-----

יהי k חוג קומוטטיבי. **אלגברת ז'ורדן ריבועית** מעל k היא מודול J, עם העתקה {\displaystyle U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} \_{k}(J)} (שמסמנים {\displaystyle \,U\_{x}=U(x)}) ואיבר מיוחד {\displaystyle 1\in J}, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא **העתקה ריבועית**; כלומר, {\displaystyle \,U\_{\alpha x}=\alpha ^{2}U\_{x}}, ו-{\displaystyle \,U\_{x,y}=U\_{x+y}-U\_{x}-U\_{y}} היא תבנית ביליניארית; שנית, {\displaystyle \,U\_{1}={\bf {1}}}; ושלישית, מתקיימות **הזהות היסודית** {\displaystyle \,U\_{U\_{x}y}=U\_{x}U\_{y}U\_{x}}, והזהות {\displaystyle \,U\_{x}V\_{y,x}=V\_{x,y}U\_{x}} כאשר {\displaystyle \,V\_{x,y}z=U\_{x,z}y}.

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים {\displaystyle \,\{xyz\}=U\_{x,z}y}; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה {\displaystyle \,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\}} היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, {\displaystyle \,U\_{x,y},V\_{x,y}} הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

### הקשר לאלגברות ז'ורדן

כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה {\displaystyle \,xy={\frac {1}{2}}x\circ y}; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי {\displaystyle \,U\_{x}=2L\_{x}^{2}-L\_{x^{2}}} (כאשר {\displaystyle \,L\_{x}y=xy}), ואז {\displaystyle \,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y)} (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים {\displaystyle \,U\_{x}y=xyx}). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

### דוגמאות

אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה {\displaystyle \,U\_{x}y=xyx} הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-{\displaystyle A^{+}}. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא **מיוחדת**; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא **יוצאת דופן**.

איברים, אידיאלים ומנות
----------------------

איבר x הוא **הפיך** אם הפונקציה {\displaystyle \,U\_{x}} המתאימה לו הפיכה (באלגברה {\displaystyle \,A^{+}} איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים {\displaystyle \,U\_{x}y=x} הוא **ההפכי** של x, ומסמנים אותו ב-{\displaystyle x^{-1}}. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא **אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק**. 

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם {\displaystyle \,U\_{I}J,U\_{J}I\subseteq I}. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה **פשוטה** אם אין לה אידיאלים, ו**פשוטה לחלוטין** אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית). 

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה {\displaystyle \,p^{-1}} והפעולות {\displaystyle \,U'\_{x}=U\_{x}U\_{p}}, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, **איזוטופית** לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא **חבורת המבנה** של J. אוסף ההעתקות ההפיכות {\displaystyle \,U\_{x}} יוצר תת-חבורה הנקראת **חבורת המבנה הפנימית**.