**כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל** (הקרוי על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה {\displaystyle \int \_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x}.

ניסוח הכלל
----------

תהי {\displaystyle f(x,y)} פונקציה רציפה במלבן {\displaystyle [a,b]\times [\alpha ,\beta ]}, וגזירה ברציפות לפי {\displaystyle y} ({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות {\displaystyle a(y),b(y)} גזירות בקטע {\displaystyle [\alpha ,\beta ]}. אזי



d

d

y

∫

a
(
y
)

b
(
y
)

f
(
x
,
y
)

d

x
=

∫

a
(
y
)

b
(
y
)


∂
f

∂
y

(
x
,
y
)

d

x
+
f
(
b
(
y
)
,
y
)

b
′

(
y
)
−
f
(
a
(
y
)
,
y
)

a
′

(
y
)

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int \_{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)}

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)}.

**מקרה פרטי** ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות {\displaystyle a(y),b(y)} קבועות, כלומר {\displaystyle a(y)\equiv a,b(y)\equiv b}. אז נקבל כי

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \_{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x}.

הוכחת הכלל
----------

### שלב א' - הוכחת המקרה הפרטי

תהי {\displaystyle g(x,y)} רציפה. נגדיר

{\displaystyle G(y)=\int \_{a}^{b}g(x,y)\,\mathrm {d} x}

ונטען שהיא רציפה. יהי {\displaystyle \varepsilon >0}. כיוון ש-{\displaystyle g} רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים {\displaystyle \delta >0} כך שאם {\displaystyle d((x\_{1},y\_{1}),(x\_{2},y\_{2}))<\delta } אז {\displaystyle |g(x\_{1},y\_{1})-g(x\_{2},y\_{2})|<\varepsilon }.

יהיו {\displaystyle y\_{1},y\_{2}\in [\alpha ,\beta ]} המקיימים {\displaystyle |y\_{1}-y\_{2}|<\delta }. אבל {\displaystyle d((x,y\_{1}),(x,y\_{2}))=|y\_{1}-y\_{2}|<\delta } ולכן


|

G
(

y

1

)
−
G
(

y

2

)

|

=

|

∫

a

b

g
(
x
,

y

1

)

d

x
−

∫

a

b

g
(
x
,

y

2

)

d

x

|

=

|

∫

a

b

(
g
(
x
,

y

1

)
−
g
(
x
,

y

2

)
)

d

x

|

≤

∫

a

b

|

g
(
x
,

y

1

)
−
g
(
x
,

y

2

)

|

d

x
<

∫

a

b

ε

d

x
=
ε
(
b
−
a
)

{\displaystyle |G(y\_{1})-G(y\_{2})|=\left|\int \_{a}^{b}g(x,y\_{1})\,\mathrm {d} x-\int \_{a}^{b}g(x,y\_{2})\,\mathrm {d} x\right|=\left|\int \_{a}^{b}(g(x,y\_{1})-g(x,y\_{2}))\,\mathrm {d} x\right|\leq \int \_{a}^{b}|g(x,y\_{1})-g(x,y\_{2})|\,\mathrm {d} x<\int \_{a}^{b}\varepsilon \,\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a)}

{\displaystyle |G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int _{a}^{b}g(x,y_{1})\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x,y_{2})\,\mathrm {d} x\right|=\left|\int _{a}^{b}(g(x,y_{1})-g(x,y_{2}))\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|g(x,y_{1})-g(x,y_{2})|\,\mathrm {d} x<\int _{a}^{b}\varepsilon \,\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a)}.

מכאן ש-{\displaystyle G} אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר {\displaystyle G(y)=\int \_{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x} היא רציפה מההנחה ש-{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} רציפה. כעת, נביט בהפרש:



Δ
G
=
G
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
G
(
x
,
y
)
=

∫

a

b

f
(
x
,
y
+
Δ
y
)

d

x
−

∫

a

b

f
(
x
,
y
)

d

x
=

∫

a

b

(
f
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
)

d

x

{\displaystyle \Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int \_{a}^{b}f(x,y+\Delta y)\,\mathrm {d} x-\int \_{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))\,\mathrm {d} x}

{\displaystyle \Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int _{a}^{b}f(x,y+\Delta y)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))\,\mathrm {d} x}.

כיוון ש-{\displaystyle f} רציפה וגזירה לפי {\displaystyle y}, נוכל להיעזר במשפט לגרנז' ולקבל שקיימת {\displaystyle 0<\theta <1} כך ש-{\displaystyle f(x,y+\Delta y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\cdot \Delta y} (זאת כי קיבענו את {\displaystyle x}). לכן:



Δ
G

Δ
y

=

∫

a

b


∂
f

∂
y

(
x
,
y
+
θ
Δ
y
)

d

x
=
G
(
y
+
θ
Δ
y
)

→

Δ
y
→
0

G
(
y
)
=

∫

a

b


∂
f

∂
y

(
x
,
y
)

d

x

{\displaystyle {\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int \_{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\,\mathrm {d} x=G(y+\theta \Delta y)\xrightarrow {\Delta y\to 0} G(y)=\int \_{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x}

{\displaystyle {\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\,\mathrm {d} x=G(y+\theta \Delta y)\xrightarrow {\Delta y\to 0} G(y)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x}
כי {\displaystyle G} רציפה. כלומר, הראנו כי {\displaystyle G'(y)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \_{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x}.

### שלב ב' - הוכחת המקרה הכללי

אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה

{\displaystyle F(y)=\int \_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x}.

לשם כך, נגדיר פונקציה חדשה

{\displaystyle \phi (s,t,y)=\int \_{s}^{t}f(x,y)\,\mathrm {d} x}

ונבחין כי

{\displaystyle F(y)=\phi (a(y),b(y),y)}

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של {\displaystyle \phi } לפי {\displaystyle s} ולפי {\displaystyle t} הן

{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y)}

ואלו רציפות מההנחה ש-{\displaystyle f(x,y)} רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של {\displaystyle \phi } לפי {\displaystyle y} היא

{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int \_{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x}

וזו פונקציה רציפה מההנחה ש-{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של {\displaystyle \phi } קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם {\displaystyle F} דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים



F
′

(
y
)

=

∂
ϕ

∂
s

(
a
(
y
)
,
b
(
y
)
,
y
)
⋅

a
′

(
y
)
+

∂
ϕ

∂
t

(
a
(
y
)
,
b
(
y
)
,
y
)
⋅

b
′

(
y
)
+

∂
ϕ

∂
y

(
a
(
y
)
,
b
(
y
)
,
t
)



=
−
f
(
a
(
y
)
,
y
)

a
′

(
y
)
+
f
(
b
(
y
)
,
y
)

b
′

(
y
)
+

∫

a
(
y
)

b
(
y
)


∂
f

∂
y

(
x
,
y
)

d

x



{\displaystyle {\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int \_{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}
כנדרש. {\displaystyle \blacksquare }

דוגמאות
-------

### דוגמה 1 - גבולות התלויים במשתנה הגזירה

נחשב את הנגזרת הבאה ({\displaystyle x>0}):



d

d

x

∫

x

x

2


cos
⁡
t

t

d

t
=

cos
⁡
(

x

2

)

x

2

⋅

d

d

x

(

x

2

)
−

cos
⁡
(
x
)

x

⋅

d

d

x

(
x
)
=

cos
⁡
(

x

2

)

x

2

⋅
2
x
−

cos
⁡
(
x
)

x

⋅
1
=

2
cos
⁡
(

x

2

)
−
cos
⁡
(
x
)

x

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int \_{x}^{x^{2}}{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}}

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}}.

### דוגמה 2 - שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים

נחשב את האינטגרל

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x}.

לשם כך, נסמן

{\displaystyle f(\alpha )=\int \_{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x}

עבור {\displaystyle \alpha \geq 0} והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא {\displaystyle f(2)}. נגזור ונקבל


f
′

(
α
)
=

d

d

α

∫

0

1



x

α

−
1

ln
⁡
(
x
)


d

x
=

∫

0

1

1

ln
⁡
(
x
)


∂

∂
α

(

e

α
ln
⁡
(
x
)

−
1

)

d

x
=

∫

0

1

1

ln
⁡
(
x
)

ln
⁡
(
x
)
⋅

e

α
ln
⁡
(
x
)

d

x
=

∫

0

1

x

α

d

x
=



x

α
+
1

α
+
1

|

x
=
0

1

=

1

α
+
1


{\displaystyle f'(\alpha )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\int \_{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x=\int \_{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(e^{\alpha \ln(x)}-1\right)\mathrm {d} x=\int \_{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}\,\mathrm {d} x=\int \_{0}^{1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x=\left.{\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\right|\_{x=0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}}

{\displaystyle f'(\alpha )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(e^{\alpha \ln(x)}-1\right)\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x=\left.{\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\right|_{x=0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}}.

מכאן

{\displaystyle f(\alpha )=\int {\frac {1}{\alpha +1}}\,\mathrm {d} \alpha =\ln(\alpha +1)+C}.

נבחין ש-{\displaystyle f(0)=\int \_{0}^{1}0\,\mathrm {d} x=0}. אזי

{\displaystyle f(0)=\ln(0+1)+C=C=0}

כלומר

{\displaystyle f(\alpha )=\ln(\alpha +1)}

ולכן

{\displaystyle {\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x}=\ln(3)}.

קישורים חיצוניים
----------------

* כלל האינטגרל של לייבניץ, באתר MathWorld (באנגלית)
* על הכלל באתר Brilliant
* Leibniz integral rule, סרטון באתר יוטיוב