**משפט ארבעת הריבועים של יעקובי** (באנגלית: **Jacobi's four squares theorem**) נותן נוסחה לגבי מספר הדרכים בהן מספר *n* ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הוא הרחבה של משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בכך שהוא מראה לא רק שהצגה כזאת תמיד קיימת, אלא גם מניב מידע על **מספר ההצגות** של מספר כסכום של ארבעה ריבועים.

היסטוריה
--------

המשפט הוכח ב-1834 על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי.

המשפט
-----

שתי הצגות נחשבות לשונות אם הסדר של האיברים בהן שונה או אם המספרים השלמים שמעלים בריבוע שונים (לא רק ערך הריבוע עצמו); למשל, אלו הן 3 מתוך 8 ההצגות האפשריות של 1 כסכום של ארבעה ריבועים:

{\displaystyle {\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}
המשפט של יעקובי קובע שמספר ההצגות של n כסכום של ארבעה ריבועים שווה לשמונה פעמים סכום המחלקים של n אם n אי-זוגי ול-24 פעמים סכום המחלקים האיזוגיים של n אם n זוגי:

{\displaystyle r\_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits \_{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits \_{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}

באופן שקול, זהו 8 פעמים סכום המחלקים של n שלא מתחלקים ב-4,כלומר : 

{\displaystyle r\_{4}(n)=8\sum \_{m\,:\,4\nmid m|n}m.}

סקירה של ההוכחה
---------------

**ההוכחה בקווים כללים**:

ההוכחה עושה שימוש בשיטות מתורת הפונקציות האליפטיות כדי להראות שפונקציית תטא המקושרת לסריג **Z**4 היא תבנית מודולרית מרמה מסוימת, ולכן שווה לצירוף ליניארי של טורי איזנשטיין. הטכניקות הללו אפשרו ליעקובי לגזור את הזהות הקריטית {\displaystyle (1+2\sum \_{n=1}^{\infty }q^{n^{2}})^{4}=1+8\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-1)^{n}q^{n}}}}, כאשר הפונקציה היוצרת (אגף ימין של הזהות) של החזקה הרביעית של פונקציית תטא (אגף שמאל של הזהות) היא כזו שהמקדם ה-*i* בה שווה למספר ההצגות של *i* כסכום של ארבעה ריבועים {\displaystyle r\_{4}(i)}.

**קבלת הנוסחה המפורשת של יעקובי מן הזהות**:

כאשר מקבלים זהות זאת כנכונה, התוצאה של יעקובי נובעת אז מביצוע מניפולציות מסוימות על אגף ימין; מתקיים:
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-1)^{n}q^{n}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }n(\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn})}, כאשר המעבר נובע מנוסחת הסכימה לטור הנדסי אינסופי (כאשר q < 1). המקדם של החזקה ה-*i* בטור המתקבל מתקבל כמובן מכל אותם מחוברים מהצורה: {\displaystyle b\cdot q^{i}} כאשר b מספר שלם כלשהו. כעת נבחין כי עבור כל *n*, הביטוי {\displaystyle n\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn}} מניב רק מחוברים שהמעריך שלהם מתחלק ב-*n*. זה מרמז על כך שהתרומות למקדם של {\displaystyle q^{i}} נעשות רק על ידי מחוברים מהצורה {\displaystyle (-1)^{(k+1)(n+1)}nq^{i}} כאשר *n* מחלק את *i* (שכן {\displaystyle i=kn}). לכן מתקבל שבשקלול שתי הסכימות, המקדם של {\displaystyle q^{i}} שווה ל-: 
{\displaystyle 8\sum \_{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d}.

כעת נראה כי הביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת שהופיעה לעיל. נוכיח באינדוקציה על *p* שהביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת של יעקובי עבור 
{\displaystyle i=2^{p}m} כאשר m אי זוגי. כאשר *i* אי זוגי כל מחלקיו אי זוגיים, לכן תמיד {\displaystyle (-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}=1} ולפיכך הסכום הוא על כל המחלקים של *i*, ובכך תמו הוכחת החלק הראשון של הנוסחה של יעקובי ובדיקת בסיס האינדוקציה (p = 0). עבור כל מחלק אי זוגי *o* של *i* ניתן לייצר מחלקים זוגיים של *i* על ידי הכפלתו בחזקות של 2 עם מעריך שקטן או שווה ל-*p*. מבדיקת זוגיות המעריך של 1- נקבל, שפרט למקרים של {\displaystyle d=1,i}, עבור כל המחלקים הזוגיים שנוצרים על ידי מחלק אי זוגי פרימיטיבי *o* המעריך של 1- הוא אי זוגי, לכן מתקבלת התוצאה למספר ההצגות: 
{\displaystyle 8\sum \_{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d=8\sum \_{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2^{p}-2^{p-1}-...-2)=8\sum \_{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2)=24\sum \_{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o}.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט ארבעת הריבועים של יעקובי, באתר MathWorld (באנגלית)