|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**הלמה של בורל-קנטלי** הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20. המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי
-----------

יהי {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי {\displaystyle \left\{A\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }} סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, 



{

infinitely many of the 

A

i

 occur

}

=

lim sup

i

(

A

i

)

=

⋂

n
=
1

∞

⋃

i
=
n

∞

A

i

{\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A\_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}}

{\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}}.

### הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A\_{i}\right)<\infty }, אז {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)\right)=0}

### הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים. אם מתקיים כי 
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A\_{i}\right)=\infty }, אז {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \_{i}A\_{i}\right)=1}.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע {\displaystyle \limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)} הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

**הערה:** למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

### הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר {\displaystyle A\_{1}\subset A\_{2}\subset A\_{3}\subset ...}. נשים לב כי במקרה זה, {\displaystyle \limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)=\left\{\exists \_{j},A\_{j}{\text{ occures}}\right\}}. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים {\displaystyle \left\{i\_{k}\right\}\_{k=1}^{\infty }} שעבורה {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A\_{i\_{k+1}}\mid A\_{i\_{k}}^{c}\right)=\infty }.

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה
----------------------------------

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות {\displaystyle A\_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]} במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על \left[0,1\right]. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן \ A\_{i} גורר את {\displaystyle \ A\_{j}} לכל {\displaystyle i<j}. ואכן, למרות שמתקיים {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty }, עדיין {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0}.

ראו גם
------

* משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
* מספר נורמלי

הערות שוליים
------------

1. ↑  E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" *Rend. Circ. Mat. Palermo* (2) **27** (1909) pp. 247–271.
2. ↑  F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", *Atti Accad. Naz. Lincei* 26:1 (1917) pp.39–45.
3. ↑  כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}}, לכל קבוצת מאורעות {\displaystyle A\_{i\_{1}},...A\_{i\_{k}}}, מתקיים כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(X\_{i\_{1}}\in A\_{i\_{1}},...X\_{i\_{k}}\in A\_{i\_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X\_{i\_{1}}\in A\_{i\_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X\_{i\_{k}}\in A\_{i\_{k}}\right)}.