הצגת המספר 3+2i במישור המרוכב
**מישור המספרים המרוכבים** הוא אמצעי להצגת המספרים המרוכבים בצורה גאומטרית, כשם שציר המספרים משמש להצגת המספרים הממשיים. מישור המספרים המרוכבים נקרא גם "**מישור גאוס**" על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס שהשתמש בו לצורך פיתוח חלק מרעיונותיו.

מישור המספרים המרוכבים מורכב למעשה משני צירים חד-ממדיים שביחד יוצרים מישור דו-ממדי. כל נקודה במישור מייצגת מספר מרוכב. קואורדינטת (שיעור) הציר המאוזן של הנקודה מייצג את הערך הממשי וקואורדינטת הציר המאונך מייצג את הערך המדומה של המספר. כך לדוגמה מיוצג המספר המרוכב {\displaystyle z} הנתון על ידי {\displaystyle z=x+yi} (עבור {\displaystyle x} ו-{\displaystyle y} ממשיים) על ידי הנקודה {\displaystyle (x,y)}. הדבר דומה מאוד למערכת צירים רגילה, רק שכאן כל ציר מייצג חלק אחר של המספר המרוכב במקום את קואורדינטות הנקודה. הצגה כזאת לפי קואורדינטות נקראת **הצגה קרטזית**.

הצגה פולארית
------------

בנוסף להצגה הקרטזית ניתן גם להציג מספרים מרוכבים ב**הצגה פולארית** (בעברית נקראת הצגה זאת **הצגה קטבית**). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב {\displaystyle z} שמרחקו מראשית הצירים הוא {\displaystyle r} והזווית היא {\displaystyle \theta } יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה {\displaystyle (r,\theta )}.

הקשר בין שתי ההצגות נתון בנוסחאות הבאות:

{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}}
ובכיוון ההפוך:

{\displaystyle x=r\cos \theta }
{\displaystyle y=r\sin \theta }
כאשר המספר המרוכב {\displaystyle z} נתון על ידי: {\displaystyle z=x+yi} ,{\displaystyle r} הוא הרדיוס של {\displaystyle z} ו-{\displaystyle \ \theta } היא הזווית שלו בהצגה פולארית.

מנוסחאות אלו קל לראות ש: {\displaystyle x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )}. נהוג לקצר את הביטוי {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta } ל- {\displaystyle \operatorname {cis} \theta }.

על פי נוסחת אוילר, ניתן לקבל גם את הקשר הבא: {\displaystyle z=re^{i\theta }}.

השפעת פעולות חשבון על ההצגה של מספרים מרוכבים במישור
----------------------------------------------------

### חיבור

חיבור של שני מספרים מרוכבים ייתן מספר מרוכב חדש כך שהקואורדינטות הקרטזיות של המספר החדש יהיו סכום הקואורדינטות של המספרים המקוריים. הדבר דומה לכל חיבור וקטורי רגיל.
  

{\displaystyle \ (x\_{1}+y\_{1}i)+(x\_{2}+y\_{2}i)=(x\_{1}+x\_{2})+(y\_{1}+y\_{2})i}

### כפל

#### הצגה קרטזית

כפל של שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגה קרטזית ייתן מספר מרוכב חדש.
{\displaystyle (x\_{1}+y\_{1}i)\cdot (x\_{2}+y\_{2}i)=(x\_{1}\cdot x\_{2}-y\_{1}\cdot y\_{2})+(x\_{1}\cdot y\_{2}+y\_{1}\cdot x\_{2})i}

#### הצגה פולארית

כפל של שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגה פולארית ייתן מספר מרוכב חדש כך שרדיוסו של המספר החדש יהיה שווה למכפלת הרדיוסים של המספרים המקוריים והזווית שלו תהיה שווה לסכום הזוויות של המספרים המקוריים.
  

{\displaystyle (r\_{1}(\operatorname {cis} \theta \_{1}))\cdot (r\_{2}(\operatorname {cis} \theta \_{2}))=(r\_{1}r\_{2})\cdot \operatorname {cis} (\theta \_{1}+\theta \_{2})}

### חזקה

חזקה של מספר מרוכב ב-n ניתנת לחישוב על פי משפט דה מואבר. מקבלים מספר שהרדיוס שלו הוא בחזקת n, והזווית היא כפול n.
  

{\displaystyle [r(cis\,\theta )]^{n}=r^{n}(cis\,n\theta )}

### שורש

הוצאת שורש מסדר n למספר מרוכב הנתון בהצגה פולארית (נסמנו כ-{\displaystyle r(\operatorname {cis} \theta )}), ייתן סדרה של n מספרים מרוכבים שמהווים תשובות אפשריות. המספרים נמצאים על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}, והם מהווים קודקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות. אם נסמן את סדרת התשובות האפשריות כ-{\displaystyle \ z\_{k}} (כל תשובה מסומנת על ידי {\displaystyle k} שלם שונה, בין {\displaystyle 0} ל-{\displaystyle n-1} (כולל), למשל {\displaystyle z\_{0},z\_{1}} וכו'), התשובות מקיימות:

{\displaystyle z\_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \exp \left(i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)}
כאשר {\displaystyle \pi } ברדיאנים שקול לזווית של {\displaystyle 180^{\circ }}).

טופולוגיה של המישור המרוכב
--------------------------

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

ראו גם
------

* הספירה של רימן
* משפט דה מואבר
* i (מספר)

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **המישור המרוכב** בוויקישיתוף
* המישור המרוכב, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  לחישוב מדויק יותר, ראו קואורדינטות קוטביות#מציאת הזווית

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {N} } (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים {\displaystyle \mathbb {Z} } (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים {\displaystyle \mathbb {Q} } (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים {\displaystyle \mathbb {R} } (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים {\displaystyle \mathbb {C} } (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} • חוג השלמים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון {\displaystyle \ {\mathbb {H} }}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי {\displaystyle \ {\mathbb {O} }}) • אלגברות קיילי-דיקסון |