|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, **מספר p-אדי** הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות {\displaystyle \ p^{-N}}, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות
------

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

{\displaystyle \ a\_{-N}p^{-N}+\dots +a\_{0}+a\_{1}p+a\_{2}p^{2}+\dots },
עשויים המקדמים {\displaystyle \ a\_{-N},\dots ,a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots } להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח {\displaystyle \ 0\leq a\_{i}<p}, והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.
מבין מספרים ה-p-אדיים, **השלמים ה-p-אדיים** הם הביטויים {\displaystyle \ a\_{0}+a\_{1}p+a\_{2}p^{2}+\dots }, שבהם אין חזקות שליליות של p.

מרחק בין שני מספרים
-------------------

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם {\displaystyle a=a\_{0}+a\_{1}p+a\_{2}p^{2}+...} אזי {\displaystyle |a|\_{p}=p^{-k}} כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים {\displaystyle a\_{k}\neq 0}. כמו כן, מגדירים {\displaystyle |0|\_{p}=0}. המטריקה היא {\displaystyle d(a,b)=|a-b|\_{p}}.
תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים {\displaystyle \ a\_{n}p^{n}} הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה {\displaystyle \ 1,p,p^{2},p^{3},\dots } שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה {\displaystyle \ 1,p^{-1},p^{-2},\dots } היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי
---------------

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם {\displaystyle a\_{n}\in \{0,1,...p-1\}} שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי {\displaystyle p=3} ונסתכל על המספר 

{\displaystyle ...222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+...}
נחבר לו את המספר 1, נקבל

{\displaystyle {\begin{array}{r}...{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}...001\\\hline ...000\end{array}}}
שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים: 

{\displaystyle ...222+1=0}
ולכן {\displaystyle -1=...222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+...}

במקרה הכללי מתקיים ש-{\displaystyle -1=\sum \_{n=0}^{\infty }(p-1)\cdot p^{n}}. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של {\displaystyle p=3} אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן {\displaystyle a\_{0}=p-1,q=p} ולכן

{\displaystyle S={\frac {a\_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1}
כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של {\displaystyle |m|} בהצגה הפיאדית של -1.

הצגת מספר רציונלי
-----------------

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 
{\displaystyle \ {\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots }. אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור {\displaystyle \ S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots } מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, {\displaystyle \ S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}}. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- {\displaystyle \ 4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}}. 

השבר המצומצם \ \frac{a}{b} הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, {\displaystyle \ {\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+...} (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר {\displaystyle \ p\neq 2}, ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי {\displaystyle \ 1-p^{3}} תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית
--------------

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

{\displaystyle x=\left(...x\_{n},...x\_{1}\right)=(x\_{n})\_{n=1}^{\infty }}
כך שלכל {\displaystyle n\geq 1} :{\displaystyle x\_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

* הם מקיימים {\displaystyle \forall n\leq m:x\_{n}=x\_{m}\mod p^{n}}
* או באופן שקול, המעבר מ-{\displaystyle x\_{n}} ל-{\displaystyle x\_{n-1}} נעשה על ידי {\displaystyle x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}}.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים {\mathbb {Z}}\_{p}. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

* חיבור: {\displaystyle x+y=\left(...x\_{n},...x\_{1}\right)+\left(...y\_{n},...y\_{1}\right)=\left(...x\_{n}+y\_{n},...x\_{1}+y\_{1}\right)}
* כפל: {\displaystyle x\cdot y=\left(...x\_{n},...x\_{1}\right)\cdot \left(...y\_{n},...y\_{1}\right)=\left(...x\_{n}y\_{n},...x\_{1}y\_{1}\right)}

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: {\displaystyle x\_{n}+y\_{n}\ ,\ x\_{n}\cdot y\_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }).   

זהו חוג עם אפס {\displaystyle 0=(...0,0)} ויחידה {\displaystyle 1=(...1,1,1)}. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן \mathbb{Q}\_p.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

### מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

{\displaystyle \left(...x\_{n},...x\_{1}\right)=a\_{0}+a\_{1}p+a\_{2}p^{2}+a\_{3}p^{3}+...}
כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

{\displaystyle x\_{n+1}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}p^{k}}
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a\_{0}&=&x\_{1}\\a\_{1}&=&{\frac {x\_{2}-x\_{1}}{p}}\\a\_{2}&=&{\frac {x\_{3}-x\_{2}}{p^{2}}}\\a\_{3}&=&{\frac {x\_{4}-x\_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a\_{n}&=&{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\\\end{array}}}
או בנוסחה מפורשת: 

{\displaystyle a\_{n}={\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{p^{n}}}=x\_{n+1}\ \mathrm {div} \ p^{n}}
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: {\displaystyle 8\ \mathrm {div} \ 3=(2+3\cdot 2)\ \mathrm {div} \ 3=2}).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים
---------------------------------

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-{\mathbb {Z}}\_{p}, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר \ p^{n}. אוסף ההעתקות הרציפות מ-{\mathbb {Z}}\_{p} למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup \_{n=1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }.

ראו גם
------

* שדה המספרים ה-p-אדיים
* חוג השלמים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **מספר p-אדי** בוויקישיתוף
* מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, **איגרת** 37, דצמבר 2015
* אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
* מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים \mathbb{N} (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים \mathbb{Z} (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים \mathbb{Q} (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים \mathbb{R} (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים \mathbb{C} (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס \ \mathbb{Z}[i] • חוג השלמים האלגבריים \ \overline{\mathbb{Z}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים \ \overline{\mathbb{Q}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים \mathbb{Q}\_p (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון \ {\mathbb{H}}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי \ {\mathbb{O}}) • אלגברות קיילי-דיקסון |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007555720905171
* BnF: cb12266608w (data)
* GND: 4044292-5
* LCCN: sh85096402

 |