מקצוע חסר תועלת חבל שמלמדים אותו

היסטוריה
--------

איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס
גאומטריה היא מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר. הגאומטריה התחילה להתפתח במזרח אסיה ובמצרים העתיקה. היוונים הקדמונים עסקו בה בהרחבה והביאו אותה לכדי מיצוי. הבסיס והמבוא השיטתי לה, מופיע בספריו של אוקלידס "יסודות".

המלה "גאומטריה" באה מלשון גאיה – אלת האדמה במיתולוגיה היוונית ומטריה – מדידה. מקור זה מעיד על שורשיה המעשיים של הגאומטריה – מדידת חלקות אדמה, אך כבר היוונים הקדמונים הפכו את הגאומטריה למדע עיוני העומד בפני עצמו, שאינו זקוק לתמריצים חיצוניים. המחשת המשמעות העיונית המנותקת מצרכים מעשיים של הגאומטריה, ניתנת – למשל – בבעיות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

התיאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים (מגילות) "יסודות" של אוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה (להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית). יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה לא הורגש צורך לשפר את הטיפול במושגי היסוד הגאומטריים. במשך השנים נעשו ניסיונות רבים להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך האקסיומות האחרות. ניסיונות אלה נכשלו כולם, עד השליש הראשון של המאה ה-19, שבו הביאו לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים 'טבעיים', והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתיאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.

כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, מערכת האקסיומות של הילברט שבה עשרים אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, כמו למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. אף על פי שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.

כמו כן, התפתחה במאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית, ועליה התבססה מאוחר יותר תורת היחסות של אלברט איינשטיין.

התפתחות נוספת בגאומטריה המודרנית היא פיתוחה של הגאומטריה הלא-קומוטטיבית. מכיוון שמבנים גאומטריים רבים ניתנים לתיאור אלגברי כמבנים קומוטטיבים, הרי שפעמים רבות ניתן לראות במבנים אלגבריים לא קומוטטיבים הכללה גאומטרית של המבנים הקומוטטיבים ובכך לקבל גם להם תמונה גאומטרית. לדוגמה: מאחר שמרחב הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית מהווה אלגברת סי כוכב קומוטטיבית, ומאחר שניתן להראות (משפט הייצוג של גלפנד) שכל אלגברת סי כוכב קומוטטיבית היא מהצורה הזו, הרי שניתן לראות באלגברת סי כוכב לא-קומוטטיבית כמודל למושג המופשט מרחב טופולוגי לא-קומוטטיבי.

החיבור הראשון בשפה העברית שעסק בגאומטריה באופן שיטתי הוא ספרו של אברהם בר חייא, שחי במאות ה-11 וה-12 בספרד, 'חיבור המשיחה והתשבורת'. במבוא לספרו מסביר בר חייא שהגאומטריה חיונית לחישוב מדויק של שטחי קרקעות המאפשר חלוקה הוגנת של קרקעות המתחייבת ממצוות התורה.

ראו גם
------

* גאומטריה אוקלידית
* גאומטריה לא-אוקלידית

לקריאה נוספת
------------

* דיבשה אמירה, **ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה**, הוצאת עם עובד ודביר, 1962.
* אברהם הלוי פרנקל, **מבוא למתמטיקה - בעיות ושיטות מן המתמטיקה החדישה**, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה שנייה: גאומטריה, הוצאת מסדה, 1954.
* טימותי גוורס, **מתמטיקה**, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "גאומטריה", עמ' 103–129.

* Marvin J. Greenberg, **Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History**, 4th edition, W. H. Freeman, 2008

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **גאומטריה** |
| ויקיציטוט ציטוטים בוויקיציטוט: **גאומטריה** |
| ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: **גאומטריה** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **גאומטריה** |

* מילון מונחים בגאומטריה, באתר משרד החינוך.
* אתר עזר לפתרון בעיות בגאומטריה
* הדגמה ויזואלית של המשפטים בגאומטריה אוקלידית (הנדסת המישור) לבחינת הבגרות במתמטיקה, לפי רשימת משרד החינוך – אתר המרכז לתכנון לימודים, מכללת קיי
* גאומטריה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* גאומטריה, דף שער בספרייה הלאומית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007563084805171
* BnF: cb119315301 (data)
* GND: 4020236-7
* LCCN: sh85054133
* NDL: 00565738
* NKC: ph114624
* NLK: KSH1998005448
* TDVİA: hendese

 |