**משפט הקירוב של ויירשטראס** הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט
-----

**משפט הקירוב**: לכל פונקציה רציפה מהצורה {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } עבור קטע ממשי {\displaystyle [a,b]} סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על {\displaystyle [a,b]} המתכנסת אליה במידה-שווה.
פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות.
באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום {\displaystyle [a,b]} כלשהו, מסמנים ב-{\displaystyle C([a,b])} את מרחב הפונקציות הרציפות {\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} }, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת L-אינסוף": {\displaystyle \|f\|\_{\infty }=\sup \_{x\in [a,b]}|f(x)|}.
לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת L-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

**נוסח שקול:** מרחב הפולינומים על קטע ממשי {\displaystyle [a,b]} צפוף במרחב {\displaystyle C([a,b])} תחת נורמת L-אינסוף.
**מסקנה:** המרחב {\displaystyle C([a,b])} הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.
**הוכחה:** קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב {\displaystyle C([a,b])}.

הוכחה
-----

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב {\displaystyle C([a,b])}.

**פולינומי בסיס של ברנשטיין** הם פולינומים מהצורה {\displaystyle p\_{k}(x,n)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}.
קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}p\_{k}(x,n)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^{n}=1}

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל {\displaystyle 0<\delta } מתקיים אי השוויון:

{\displaystyle \sum \_{|{k \over n}-x|\geq \delta }p\_{k}(x,n)\leq {1 \over n\delta ^{2}}}.

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }, לכל {\displaystyle 0<\epsilon } קיים פולינום {\displaystyle g} מתאים כך שמתקיים {\displaystyle \sup \_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|<\epsilon }.

אם כך, בהינתן פונקציה {\displaystyle f} כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום {\displaystyle B\_{n}(f(x))=\sum \_{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p\_{k}(x,n)}. נראה שלכל {\displaystyle 0<\epsilon }, לכל n מספיק גדול מתקיים כי {\displaystyle \sup \_{x\in [0,1]}|f(x)-B\_{n}(x)|<\epsilon }.

  

יהי {\displaystyle 0<\epsilon }. נזכור שהפונקציה {\displaystyle f} רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי {\displaystyle M\in \mathbb {R} } כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל {\displaystyle 0<\epsilon }, בפרט עבור {\displaystyle {\epsilon \over 2}} הנתון, קיים {\displaystyle 0<\delta } מתאים כך שלכל {\displaystyle x,y\in [a,b]} אם {\displaystyle |x-y|<\delta } אז {\displaystyle |f(x)-f(y)|<{\epsilon \over 2}}. נחשב:

{\displaystyle |B\_{n}(f(x))-f(x)|=|\sum \_{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p\_{k}(x,n)-f(x)|=}

{\displaystyle =|\sum \_{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p\_{k}(x,n)-f(x)\cdot \sum \_{k=0}^{n}p\_{k}(x,n)|=}

{\displaystyle =|\sum \_{k=0}^{n}\left[f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right]\cdot p\_{k}(x,n)|\leq \sum \_{k=0}^{n}\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p\_{k}(x,n)=}

{\displaystyle =\sum \_{|{k \over n}-x|<\delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p\_{k}(x,n)+\sum \_{|{k \over n}-x|\geq \delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p\_{k}(x,n)<}

{\displaystyle <\sum \_{|{k \over n}-x|<\delta }{\epsilon \over 2}\cdot p\_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}\leq }

{\displaystyle \leq {\epsilon \over 2}\cdot \sum \_{k=0}^{n}p\_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}={\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}}

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על {\displaystyle [0,1]}, שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:

{\displaystyle |B\_{N}(f(x))-f(x)|<{\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over N\delta ^{2}}<\epsilon }

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט הקירוב של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי מפולג בינומית {\displaystyle {\textrm {B}}\left(n,p\right)}.
2. ↑  שוויון זה הוא יישום של אי-שוויון צ'בישב להתפלגות בינומית.
3. ↑  כל קטע ממשי סגור וחסום הוא הומאומורפי לקטע [0,1].

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007546739505171
* BnF: cb15014506g (data)
* GND: 4341745-0
* LCCN: sh94005265
* SUDOC: 092475205

 |