**משוואת קושי-אוילר** (לעיתים נקראת **משוואת אוילר** בלבד) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים אוגוסטן לואי קושי ולאונרד אוילר.

הגדרה פורמלית
-------------

צורתה הכללית של **משוואות אוילר ההומוגנית** היא כלהלן:

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{{{a}\_{i}{x}^{i}}\cdot {y}^{(i)}(x)}={a}\_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}\_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}\_{0}{y}=0}

כאשר המקדמים {\displaystyle a\_{i}} הם מספרים ממשיים, ו-{\displaystyle y(x)} היא פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא n אם מתקיים {\displaystyle a\_{n}\neq 0}. במקרה זה, היות שמדובר במשוואה ליניארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים מרחב וקטורי.

**משוואות אוילר הלא הומוגנית** היא מהצורה:

{\displaystyle {a}\_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}\_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}\_{0}{y}=f(x)}

כאשר המקדמים ממשיים ו-f היא פונקציה ממשית כלשהי.

לעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר {\displaystyle n>0}, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:

{\displaystyle {x}^{n}{y}^{(n)}+{a}\_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}\_{0}{y}=f(x)}

דוגמאות
-------

נציג מספר משוואות אוילר.

1. {\displaystyle {x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0} - אפשר להיווכח בכך ש-{\displaystyle y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}} וגם {\displaystyle y(x)=x} הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן צירוף ליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי.
2. {\displaystyle {x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0} - הפונקציה {\displaystyle y(x)=x} היא פתרון למשוואה, כמו גם {\displaystyle y(x)=xln(x)}. היות שהם בלתי-תלויים ליניארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף ליניארי של שני אלו.
3. {\displaystyle {x}^{2}{y}''+xy'+y=0} - שני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם {\displaystyle {y}\_{1}(x)=sin(ln(x)),{y}\_{2}(x)=cos(ln(x))}.

מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים
-----------------------------

עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה למשוואה ליניארית עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{{{a}\_{i}}\cdot {y}^{(i)}(x)}={a}\_{n}{y}^{(n)}+{a}\_{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}\_{0}{y}=0}

השקילות מתבצעת על ידי ההצבה {\displaystyle x=\operatorname {sgn} (x){e}^{t}}. לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה: {\displaystyle {x}^{2}y''+{a}\_{1}xy'+{a}\_{0}{y}=0}

אם נגביל את הדיון עבור {\displaystyle x>0}, נשתמש בהצבה {\displaystyle x={e}^{t}}, ומתוכה נקבל {\displaystyle t=ln(x)}. הנגזרות נתונות, לפי כלל השרשרת, על ידי:

{\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dt}}={e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}}

{\displaystyle y''={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dt}}({e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}){\frac {dt}{dx}}=(-{e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}+{e}^{-t}{\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}){e}^{-t}}

אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל:
{\displaystyle {\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}+({a}\_{1}-1){\frac {dy}{dt}}+{a}\_{0}y=0}, אכן משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים.

שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית
----------------------------

משוואת אוילר ההומוגנית שקולה למשוואה ליניארית עם מקדמים קבועים. פתרון של משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט ולכן גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: {\displaystyle y(t)={e}^{rt}}. אם נחזור למשתנה x, נקבל: {\displaystyle y(x)={x}^{r}}. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.

לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה ליניארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: {\displaystyle y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}}.

על ידי הצבה:

{\displaystyle {x}^{2}\cdot r(r-1){x}^{r-2}+{a}\_{1}x\cdot r{x}^{r-1}+{a}\_{0}{x}^{r}=0}

כלומר

{\displaystyle {x}^{r}\cdot [r(r-1)+{a}\_{1}r+{a}\_{0}]=0}.

זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: {\displaystyle r(r-1)+{a}\_{1}r+{a}\_{0}=0}. פולינום זה נקרא **המשוואה האינדיציאלית** של המד"ר. פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.

### דוגמה

כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: {\displaystyle {x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0}.

המשוואה האינדיציאלית היא {\displaystyle r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2)} ששורשיה הם {\displaystyle r=1,-2}. לכן, הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם {\displaystyle y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}} וגם {\displaystyle y(x)=x}, כנאמר לעיל.

### סוגי פתרונות אפשריים

השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:

1. שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש r המופיע בריבוי m במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: {\displaystyle {x}^{r},{x}^{r}\ln(x),...{x}^{r}{\ln }^{m-1}x}.
2. שורש מרוכב - אם {\displaystyle a+bi} הוא שורש, אז גם {\displaystyle a-bi} הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי: {\displaystyle {x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),\quad {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))}
3. שורש מרוכב עם ריבוי - אם {\displaystyle a+bi} הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: {\displaystyle {x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x)),...{\ln }^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{ln}^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))}

שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית
-------------------------------

כמו בכל משוואה ליניארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.

תהי המשוואה:
{\displaystyle {x}^{n}{y}^{(n)}+{a}\_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}\_{0}{y}=f(x)}

ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם

{\displaystyle f(x)={x}^{a}[{c}\_{11}+{c}\_{12}\ln(x)...+{c}\_{1p}{\ln }^{p-1}(x)]\sin(b\cdot \ln(x))+{x}^{a}[{c}\_{21}+{c}\_{22}\ln(x)...+{c}\_{2p}{\ln }^{p-1}(x)]\cos(b\cdot \ln(x))}

ואם {\displaystyle a+bi} הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:

{\displaystyle {x}^{a}{ln}^{m+k}(x)sin(b\cdot \ln(x)),{x}^{a}{ln}^{m+k}(x)cos(b\cdot ln(x))\quad ,k=1,...p}

קישורים חיצוניים
----------------

* משוואת קושי-אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)