|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; בקבוצת המספרים הטבעיים שעד מיליון יש חצי-מיליון מספרים זוגיים, ורק אלף מספרים ריבועיים (המילה "יותר" נתונה במירכאות משום שלשתי הקבוצות עוצמה זהה, {\displaystyle \aleph \_{0}}). טיפול מתמטי מסודר בשאלות כאלה נעשה בעזרת מושג ה**צפיפות**, שאפשר להגדיר בכמה דרכים.

ההגדרה הפשוטה ביותר היא של **צפיפות טבעית**: נניח ש- A קבוצה של מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים ב- {\displaystyle \ A(n)=A\cap \{1,2,\dots ,n\}}. העוצמה של הרישא מקיימת {\displaystyle \ 0\leq |A(n)|\leq n}, וההשוואה בין הקבוצה A לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה {\displaystyle \ {\frac {|A(n)|}{n}}}. הגבול של סדרה זו (אם הוא קיים) נקרא בשם "הצפיפות הטבעית של הסדרה". צפיפות זו (אם קיימת) היא בהכרח מספר בין 0 ל-1. אם הגבול אינו קיים, אין לקבוצה צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון של הסדרה שקיימים תמיד, לתיאור הצפיפות; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה. 

בתורת המספרים האנליטית שכיחה יותר צפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנירלמן.

### צפיפות עליונה וצפיפות תחתונה

תהי {\displaystyle A} תת-קבוצה של קבוצת המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}. לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } נגדיר {\displaystyle A(n)} כחיתוך {\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,} ו- {\displaystyle a(n)=|A(n)|} יהיה מספר האיברים של {\displaystyle A} שקטן או שווה ל-{\displaystyle n}.

נגדיר **צפיפות עליונה** {\displaystyle {\overline {d}}(A)} של {\displaystyle A} כ-



d
¯

(
A
)
=

lim sup

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
כאשר lim sup הוא גבול עליון.

באופן דומה נגדיר **צפיפות תחתונה** {\displaystyle {\underline {d}}(A)} של {\displaystyle A} כ- 



d
\_

(
A
)
=

lim inf

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
כאשר lim inf הוא גבול תחתון. לקבוצה {\displaystyle A} יש צפיפות {\displaystyle d(A)} כאשר {\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}, ובמקרה זה {\displaystyle d(A)} שווה לערך משותף זה.

ניתן לנסח הגדרה זו באופן הבא:



d
(
A
)
=

lim

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle d(A)=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
כאשר גבול זה קיים.

תכונות
------

נסמן את הצפיפות של קבוצה *A* ב-*d*(*A*). מתקיימות התכונות הבאות:

* לכל קבוצה סופית *F* של מספרים טבעיים מתקיים *d*(*F*) = 0.

* אם *d*(*A*) קיים לקבוצה מסוימת *A* ו- *A*c מסמן את המשלים שלה ב-{\displaystyle \mathbb {N} }, מתקיים *d*(*A*c) = 1 − *d*(*A*).
	+ מסקנה: אם {\displaystyle F\subset \mathbb {N} } היא קבוצה סופית (כולל המקרה {\displaystyle F=\emptyset }), מתקיים {\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1}.

* אם קיימים {\displaystyle d(A),d(B),} ו-{\displaystyle d(A\cup B)}, אז מתקיים 

max
{
d
(
A
)
,
d
(
B
)
}
≤
d
(
A
∪
B
)
≤
min
{
d
(
A
)
+
d
(
B
)
,
1
}
.

{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}

{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}

דוגמאות
-------

* אם {\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}} היא קבוצת כל המספרים הריבועיים, אז *d*(*A*) = 0.

* אם {\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}} היא קבוצת כל המספרים הזוגיים, אז *d*(*A*) = 0.5. באופן דומה, לכל סדרה חשבונית {\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}} נקבל {\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}}.

* לסדרה *P* של כל המספרים הראשוניים נקבל, לפי משפט המספרים הראשוניים, ש- *d*(*P*) = 0.

* לקבוצת המספרים השופעים יש צפיפות גדולה מ-0. מרק דלגליז (Marc Deléglise) הראה ב-1998 שהצפיפות של קבוצה זו היא בין 0.2474 ל-0.2480.

* הקבוצה

{\displaystyle A=\bigcup \_{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}
של המספרים שהייצוג הבינארי שלהם כולל מספר אי-זוגי של ספרות היא דוגמה לקבוצה שאין לה צפיפות טבעית, משום שהצפיפות העליונה שלה היא
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim \_{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim \_{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}
ואילו הצפיפות התחתונה שלה היא:
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim \_{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim \_{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}
* לקבוצת המספרים שהייצוג העשרוני שלהם מתחיל בספרה 1 אין צפיפות טבעית: הצפיפות התחתונה היא 1/9 והצפיפות העליונה היא 5/9. (ראו: חוק בנפורד.)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Nathanson, Melvyn B. (2000). *Elementary Methods in Number Theory*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002. pp.256–257
2. ↑  Deléglise, Marc (1998). "Bounds for the density of abundant integers". *Experimental Mathematics*. **7** (2): 137–143. doi:10.1080/10586458.1998.10504363.
3. ↑  Tenenbaum, Gérald (1995). *Introduction to analytic and probabilistic number theory*. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001. p. 261