**הלמה של אוריסון** היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פאבל סמואילוביץ' אוריסון, ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים, נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום.

הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי, אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות {\displaystyle A} ו-{\displaystyle B}, קיימת פונקציה רציפה {\displaystyle f} מן המרחב כולו לקטע {\displaystyle [0,1]}, כך ש-{\displaystyle f(A)=0} ו-{\displaystyle f(B)=1}. הלמה אינה מבטיחה **הפרדה מדויקת** בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם, ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי.

כל מרחב מטרי, וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרויה משפט טיצה.

מסקנות מן הלמה
--------------

* כל מרחב T4 הוא מרחב רגולרי לחלוטין (ראו אקסיומות ההפרדה).

* משפט אוריסון: מרחב T3 המקיים את  אקסיומת המנייה השנייה הוא T4 ואפילו מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה עליו את הטופולוגיה הנתונה.

הוכחת הלמה של אוריסון
---------------------

### רעיון ההוכחה

בין {\displaystyle A} ל-{\displaystyle B} בונים באופן אינדוקטיבי מעין טבעות בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא {\displaystyle A} מתאימה לערך 0 והטבעת האחרונה, שמחוץ לה יש רק את {\displaystyle B}, מתאימה לערך 1. עבור נקודה שלא ב-{\displaystyle A} ולא ב-{\displaystyle B} הערך ניתן באמצעות האינדקס המינימלי של הטבעת שעדיין מכילה אותו.

### בניית הבצל

יהיו {\displaystyle A} ו-{\displaystyle B} סגורות וזרות. תהי {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]=\{r\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} מניה של המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות") {\displaystyle \ \{V\_{r}\}\_{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}} שמקיימות:

1. {\displaystyle \ V\_{0}=A\ ,\ V\_{1}=B^{c}}.
2. לכל זוג רציונלים {\displaystyle \ {\overline {V\_{r}}}\subset V\_{q}\Leftarrow r<q}.

האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובעת מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות {\displaystyle F} סגורה ו-{\displaystyle G} פתוחה כך ש {\displaystyle \ F\subset G} קיימת קבוצה פתוחה {\displaystyle V} כך ש {\displaystyle \ F\subset V\subset {\overline {V}}\subset G} (אנו אומרים שבמקרה זה אפשר להשחיל "טבעת" בין קבוצה סגורה לקבוצה פתוחה המכילה אותה).

הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה.

### בניית פונקציית אוריסון

פונקציית אוריסון {\displaystyle f} מוגדרת באופן הבא:

* לכל {\displaystyle x\in A}, {\displaystyle f(x)=0}.
* לכל {\displaystyle x\in V\_{r}}, נגדיר {\displaystyle f(x)=\inf {\left\{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\ |\ x\in V\_{r}\right\}}}.
* לכל {\displaystyle x\in B}, {\displaystyle \ f(x)=1}.

מכאן ברור ש {\displaystyle A\subset f^{-1}(0),B\subset f^{-1}(1)}, נותר להוכיח ש-{\displaystyle f} אכן רציפה.

### הוכחה ש f רציפה

תהי {\displaystyle W} קבוצה פתוחה בקטע {\displaystyle [0,1]}. מתכונות של רציפות טופולוגית מספיק להוכיח שכל הקבוצות מהצורה {\displaystyle f^{-1}[0,t)} ו-{\displaystyle f^{-1}(t,1]} הן פתוחות ב-{\displaystyle X}. 

ראשית, {\displaystyle x\in f^{-1}[0,t)} אם ורק אם {\displaystyle f(x)<t} (הרציפות של {\displaystyle f} בנקודה {\displaystyle t=1} ברורה מעצם הבניה). כעת, {\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V\_{r}\}}<t} אם ורק אם לכל {\displaystyle r<t} קיים ש {\displaystyle x\in V\_{r}}.
לכן {\displaystyle \ f^{-1}[0,t)=\bigcup \_{r<t}{V\_{r}}} וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות.
שנית, {\displaystyle \ x\in f^{-1}(t,1]} אם ורק אם {\displaystyle t<f(x)}. כעת, {\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V\_{r}\}}>t} אם ורק אם קיים {\displaystyle t<r} כך ש {\displaystyle \forall q\leq r:x\notin {\overline {V\_{q}}}} אך בגלל ההכלה של "טבעות" הבצל מספיק קיום קבוצה אחת כזאת.
לכן {\displaystyle f^{-1}(t,1]=\bigcup \_{t<r}{{\overline {V\_{r}}}^{c}}} וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות.
מכאן נובע ש {\displaystyle f} פונקציה רציפה.

**בכך הושלמה ההוכחה.**

ראו גם
------

* מרחב רגולרי לחלוטין
* מרחב נורמלי
* משפט אוריסון
* משפט טיצה

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **הלמה של אוריסון** בוויקישיתוף
* הלמה של אוריסון, באתר MathWorld (באנגלית)