שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 


באנליזה מרוכבת, **נוסחת האינטגרל של קושי** היא נוסחה מרכזית, המתארת פונקציה הולומורפית בעיגול באמצעות הערכים שהיא מקבלת על שפת העיגול. הנוסחה ניתנת להכללה גם אל הנגזרות של פונקציה כזו.

את נוסחת האינטגרל של קושי מוכיחים באמצעות משפט האינטגרל של קושי. מהוכחת הנוסחה נובע בין היתר כי כל פונקציה הולומורפית היא פונקציה אנליטית - בעלת אינסוף נגזרות וניתנת לפיתוח לטור חזקות. כמו כן נובעים ממנה משפטים חשובים דוגמת משפט ליוביל.

ניסוח פורמלי
------------

תהא \ U קבוצה פתוחה במישור המרוכב, המכילה עיגול \ D=\left\{z|\left|z-z\_0\right|\le R\right\}. אז לכל פונקציה \ f:U\rarr\mathbb{C} שהיא הולומורפית ב-\ U ולכל \ a בפנים של העיגול,
{\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint \_{\partial D}{f(z) \over z-a}\,dz}, כאשר \ \partial D היא שפת העיגול ומגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.

ניתן להרחיב את הנוסחה לכל הנגזרות של \ f:
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint \_{\partial D}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz}.

למעשה, על פי משפט האינטגרל של קושי, המשפט תקף לא רק בעבור מעגלים אלא גם בעבור עקומים פשוטים סגורים כלשהם (כאשר הנקודה \ a נמצאת בתוך התחום המוגדר על ידי המסילה). כמו כן, די לדרוש כי הפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום, ורציפה בלבד על השפה.

מנוסחאות אלו ניתן להוכיח את משפט השאריות, שמהווה הכללה מרחיקת לכת שלהן.

הוכחה
-----

נוכיח גרסה בסיסית של המשפט, עבור המקרה {\displaystyle a=z\_{0}}, שממנה מסיקים את השאר:

f(z\_0) = {1 \over 2\pi i} \oint\_{\partial D} {f(z) \over z-z\_0}\, dz 
מכיוון ש-\ f(z) הולומורפית, היא בפרט רציפה, כלומר עבור \ \varepsilon>0 כלשהו קיים \ r>0 כך ש-\ |f(z)-f(z\_0)|<\varepsilon לכל \ |z-z\_0|\le r, וכך שהעיגול הזה מוכל כולו בקבוצה \ U. כעת, לפי משפט אינטגרל קושי, אפשר להחליף את העקומה \ \partial D במעגל \ z: |z-z\_0|=r, שהרי {\displaystyle \ {1 \over 2\pi i}\oint \_{\partial D}{f(z) \over z-z\_{0}}\,dz={1 \over 2\pi i}\oint \_{|z-z\_{0}|=r}{f(z) \over z-z\_{0}}\,dz}.

כעת:

\ {1 \over 2\pi i} \oint\_{|z-z\_0|=r} {f(z) \over z-z\_0}\, dz=
{1 \over 2\pi i} \oint\_{|z-z\_0|=r} {f(z)-f(z\_0) \over z-z\_0}\, dz+f(z\_0)\cdot {1 \over 2\pi i} \oint\_{|z-z\_0|=r} {1 \over z-z\_0}\, dz.

ראשית נחסום את האינטגרל השמאלי בסכום:

\ \left|{1 \over 2\pi i} \oint\_{|z-z\_0|=r} {f(z)-f(z\_0) \over z-z\_0}\, dz\right|\le
{1 \over 2\pi} \oint\_{|z-z\_0|=r} {\left|f(z)-f(z\_0)\right| \over \left|z-z\_0\right|}\, |dz|<
\frac{\varepsilon}{2\pi r}\oint\_{|z-z\_0|=r}|dz|=\varepsilon

כעת נחשב במדויק את האינטגרל הימני בסכום. תוך כדי כך נחשב גם את כל האינטגרלים הדומים לו, ונשיג תוצאה שימושית גם להוכחת משפט השאריות, שהוא הכללה של נוסחת אינטגרל קושי.

נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל {\displaystyle \ \oint \_{|z-z\_{0}|=r}{1 \over z-z\_{0}}\,dz}. נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס \ r סביב הנקודה \ z\_0. לכן נשתמש בפרמטריזציה {\displaystyle \ z=z\_{0}+re^{i\theta }} (המשתנה הוא הזווית \ \theta  ). בפרמטריזציה זו, {\displaystyle \ dz=ire^{i\theta }d\theta =i(z-z\_{0})d\theta }, כלומר קיבלנו \ \frac{dz}{z-z\_0}=id\theta .

נקבל את האינטגרל: {\displaystyle \ \oint \_{|z-z\_{0}|=r}{1 \over z-z\_{0}}\,dz=\int \_{0}^{2\pi }id\theta =2\pi i}. מכאן נובע {\displaystyle \ f(z\_{0})\cdot {1 \over 2\pi i}\oint \_{|z-z\_{0}|=r}{1 \over z-z\_{0}}\,dz=f(z\_{0})}.

כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל לחזקות שונות מ-1 ({\displaystyle \ n\neq 1}).

{\displaystyle \ \oint \_{|z-z\_{0}|=r}{1 \over (z-z\_{0})^{n}}\,dz=\int \_{0}^{2\pi }{\frac {id\theta }{r^{n-1}e^{i\theta (n-1)}}}=ir^{1-n}\int \_{0}^{2\pi }e^{i\theta (1-n)}d\theta =ir^{1-n}\int \_{0}^{2\pi }(\cos \theta (1-n)+i\sin \theta (1-n))d\theta =0}.

בסיכומו של דבר, הראינו כי עבור \ \varepsilon>0 כלשהו מתקיים \ \left|{1 \over 2\pi i} \oint\_{\partial d} {f(z) \over z-z\_0}\, dz-f(z\_0)\right|=
\left|{1 \over 2\pi i} \oint\_{|z-z\_0|=r} {f(z)-f(z\_0) \over z-z\_0}\, dz\right|<\varepsilon.

מכיוון שזה נכון עבור \ \varepsilon  חיובי שרירותי, בהכרח \ \left|{1 \over 2\pi i} \oint\_{\partial d} {f(z) \over z-z\_0}\, dz-f(z\_0)\right|=0.

על כן, קיבלנו {\displaystyle \ {1 \over 2\pi i}\oint \_{\partial D}{f(z) \over z-z\_{0}}\,dz=f(z\_{0})}, כמבוקש.

**מ.ש.ל.**

קישורים חיצוניים
----------------

* נוסחת האינטגרל של קושי, באתר MathWorld (באנגלית)

| אנליזה מרוכבת |
| --- |
| 

|  |
| --- |
| מספר מרוכב • שדה המספרים המרוכבים • פונקציה מרוכבת • פונקציה הולומורפית • פונקציה שלמה • נוסחת אוילר • משוואות קושי-רימן • משפט האינטגרל של קושי • נוסחת האינטגרל של קושי • משפט מוררה • משפט ליוביל • המשפט היסודי של האלגברה • טור לורן • סינגולריות • קוטב • משפט השאריות • עקרון הארגומנט • משפט רושה |

 |
| אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |