**פונקציות ברילואן ולנז'וון** הן זוג פונקציות מיוחדות [דרושה הבהרה] המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואן
----------------

פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן) היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

> 
> {\displaystyle B\_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}
> 

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו **x** הוא משתנה ממשי ו-**J** הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר {\displaystyle x\to +\infty } ול-1- כאשר x\to -\infty .

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה **M** בשדה המגנטי **B** ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל **J** של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:

{\displaystyle M=Ng\mu \_{B}J\cdot B\_{J}(x)}

כאשר:

* {\displaystyle N} הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
* g הוא פקטור g.
* {\displaystyle \mu \_{B}} הוא מגנטון בוהר.
* x הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית {\displaystyle k\_{B}T}:

{\displaystyle x={\frac {g\mu \_{B}JB}{k\_{B}T}}}
* k\_{B} הוא קבוע בולצמן ו-T היא הטמפרטורה.

במערכת היחידות SI, השדה המגנטי Bנמדד ביחידות טסלה ו-{\displaystyle B=\mu \_{0}H} כאשר H הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו-{\displaystyle \mu \_{0}} הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'ווין
-----------------

בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי {\displaystyle J\to +\infty }. אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

> 
> {\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}
> 

עבור ערכים קטנים של **x**, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:

{\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת {\displaystyle \tanh(x)} כשבר משולב על פי למברט:

{\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}

פונקציית לנז'וון ההפוכה {\displaystyle L^{-1}(x)}, מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של **x**, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:

{\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }

גבול טמפרטורה גבוהה
-------------------

כאשר {\displaystyle x\ll 1}, כלומר, כאשר {\displaystyle \mu \_{B}B/k\_{B}T} קטן מאוד - בגבול טמפרטורה {\displaystyle T} גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

{\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}
כאשר, {\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu \_{B}^{2}}{3k\_{B}}}} הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא {\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}\mu \_{B}}.

גבול שדה רחוק
-------------

כאשר {\displaystyle x\to +\infty } פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

{\displaystyle M=Ng\mu \_{B}J}

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פונקציות ברילואן ולנז'וון** בוויקישיתוף

הערות שוליים
------------

1. 1 2  C. Kittel, **Introduction to Solid State Physics**, .John Wiley & Sons, Inc, 8th Edition, 2004, עמ' 303-304, מסת"ב 978-0-471-41526-8
2. ↑  .Darby, M.I, "Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization", **Brit. J. Appl. Phys.** 18, 1967, עמ' 1415–1417
3. 1 2  Johal, A. S.; Dunstan, D. J. "Energy functions for rubber from microscopic potentials", **Journal of Applied Physics** 101, 2007