|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, **משפט הפירוק של לבג** הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

ניסוח פורמלי
------------

בהינתן מרחב מדיד {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב {\displaystyle \mu ,\nu }, אזי קיימות זוג מידות על המרחב {\displaystyle \nu \_{\text{cont}},\nu \_{\text{sing}}} כך ש:

1. {\displaystyle \nu =\nu \_{\text{cont}}+\nu \_{\text{sing}}}.
2. {\displaystyle \nu \_{\text{cont}}\ll \mu }. כלומר, {\displaystyle \nu \_{\text{cont}}} רציפה בהחלט ביחס ל {\displaystyle \mu }.
3. {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}\perp \mu }. כלומר, {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}} סינגולרית ביחס ל {\displaystyle \mu }.

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

תקציר ההוכחה
------------

### עבור מידה סופית

במקרה שבו \nu  היא מידה סופית, מגדירים:

{\displaystyle {\mathcal {L}}:=\left\{f:\Omega \to [0,\infty )\mid \forall A\in \Sigma ,\int \_{A}{fd\mu }\leq \nu (A)\right\}}

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל-{\mathcal {L}} קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-z. בגלל סופיות המידה \mu , בהכרח מתקיים כי z מקבלת את הערך \infty עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-\mu ). כמו כן, לכל {\displaystyle f\in {\mathcal {L}}} מתקיים כי {\displaystyle f\leq z}

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-\mu ). לכל {\displaystyle A\in \Sigma } מגדירים:

* {\displaystyle \nu \_{\text{cont}}(A):=\int \_{A}{zd\mu }}
* {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}(A):=\nu (A)-\nu \_{\text{cont}}(A)}.

מובן כי:

* {\displaystyle \nu =\nu \_{\text{cont}}+\nu \_{\text{sing}}}
* {\displaystyle \nu \_{\text{cont}}\ll \mu }, (מתכונות אינטגרל לבג).

נותר רק להוכיח כי {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}\perp \mu }. לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים {\displaystyle \lambda \_{n}:=\nu \_{\text{sing}}-{\frac {1}{n}}\mu }. זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית {\displaystyle P\_{n}\in \Sigma } כך ש-{\displaystyle \Omega \backslash P\_{n}} היא קבוצה שלילית. מגדירים {\displaystyle P:=\bigcup \_{n}{P\_{n}}}. לכל {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} } מתקיים {\displaystyle \Omega \backslash P=\Omega \backslash \bigcup \_{n}{P\_{n}}=\bigcap \_{n}{\Omega \backslash P\_{n}}\subseteq \Omega \backslash P\_{n\_{0}}}. לכן:

{\displaystyle \nu \_{\text{sing}}(\Omega \backslash P)-{\frac {1}{n\_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)=\lambda \_{n\_{0}}(\Omega \backslash P)\leq 0\implies \nu \_{\text{sing}}(\Omega \backslash P)\leq {\frac {1}{n\_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)}

הדבר נכון לכל {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} }, לכן בהכרח {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0}. עבור כל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים:

{\displaystyle z\_{n}(x):={\begin{cases}z(x)+{\frac {1}{n}},&{\text{if }}x\in P\_{n}\\z(x),&{\text{else}}\end{cases}}}

בגלל החיובית של {\displaystyle P\_{n}} ניתן להוכיח כי {\displaystyle z\_{n}\in {\mathcal {L}}}. מצד שני, בגלל המקסימליות של z, מחויב כי {\displaystyle \mu (P\_{n})=0}. הדבר נכון לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, לכן בהכרח {\displaystyle \mu (P)=\mu \left(\bigcup \_{n}{P\_{n}}\right)=0}. התקבל אפוא כי {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0} ו-{\displaystyle \mu (P)=0}, לכן {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}\perp \mu }. *מ.ש.ל.*

### עבור מידה סיגמא-סופית

במקרה שבו \nu  היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב {\displaystyle \Omega } לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה \nu  היא סופיות {\displaystyle \left\{C\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }}. לכל {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ולכל {\displaystyle A\in \Sigma } מגדירים

* {\displaystyle \mu \_{n}(A):=\mu (A\cap C\_{n})} ו-
* {\displaystyle \nu \_{n}(A):=\nu (A\cap C\_{n})}.

ברור כי {\displaystyle \nu \_{n}} מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור {\displaystyle \mu \_{n},\nu \_{n}}, לפרק אותה ל-{\displaystyle \nu \_{\text{cont}}^{n},\nu \_{\text{sing}}^{n}} כתוצאת המשפט. מגדירים:

{\displaystyle \nu \_{\text{cont}}:=\sum \_{n=1}^{\infty }{\nu \_{\text{cont}}^{n}}}

{\displaystyle \nu \_{\text{sing}}:=\sum \_{n=1}^{\infty }{\nu \_{\text{sing}}^{n}}}

ניתן להוכיח כי {\displaystyle \nu \_{\text{cont}},\nu \_{\text{sing}}} הוא הפירוק הרצוי. *מ.ש.ל.*

פירוק מידות לפי מידת לבג
------------------------

ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה \mu  המוגדרת על המרחב {\mathbb {R}}^{n} לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

{\displaystyle \mu =\mu \_{\text{ac}}+\mu \_{cs}+\mu \_{a}} כך ש:

* {\displaystyle \mu \_{\text{ac}},\mu \_{cs},\mu \_{a}} סינגולריות אחת ביחס לשנייה
* {\displaystyle \mu \_{\text{ac}}} רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
* {\displaystyle \mu \_{cs}} סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
* {\displaystyle \mu \_{a}} מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

הכללות והרחבות
--------------

### הכללה למידות מסומנות ומרוכבות

משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

### משפט רדון-ניקודים

 ערך מורחב – **משפט רדון־ניקודים**  

בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו {\displaystyle \nu \ll \mu }, לפי משפט הפירוק של לבג {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}=\nu -\nu \_{\text{cont}}}, אבל במקרה זה {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}} היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-\mu , לכן אף היא רציפה ביחס ל-\mu. מקבלים אם כן כי {\displaystyle \nu \_{\text{sing}}} היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר {\displaystyle \nu =\nu \_{\text{cont}}}. כזכור, {\displaystyle \nu \_{\text{cont}}} נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה {\displaystyle z:\Omega \to [0,\infty ]} כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.

באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט הפירוק של לבג, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Lebesgue decomposition theorem, planetmath.org
2. ↑  The Lebesgue Decomposition Theorem, University of Colorado (באנגלית)