במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **אינטגרל רימן-ליוביל** הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב.

אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי.

האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל.

מבוא ומוטיבציה
--------------

בהינתן זוג מספרים ממשיים {\displaystyle c<d} מסמנים ב-{\displaystyle L^{1}([c,d])} את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע {\displaystyle [c,d]}. עבור {\displaystyle a\in [c,d]} מגדירים אופרטור {\displaystyle J\_{a}:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])} להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-a. כלומר, עבור פונקציה {\displaystyle f\in L^{1}([c,d])} ו-{\displaystyle x\in [c,d]}:

{\displaystyle J\_{a}f(x):=\int \_{a}^{x}{f(t)dt}}

עבור {\displaystyle f} כזו ומספר טבעי {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל {\displaystyle x\in [c,d]} מתקיים השוויון הבא:

{\displaystyle J\_{a}^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}}

כאשר {\displaystyle J\_{a}^{n}f:=\underbrace {J\_{a}(J\_{a}(\dots J\_{a}} \_{n{\text{ times}}}(f)))}.

אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי {\displaystyle n} במספר מרוכב \alpha  עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" ({\displaystyle \alpha =1/2}) או "שליש אינטגרל" ({\displaystyle \alpha =1/3}).

הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה {\displaystyle f} מהקטע {\displaystyle [c,d]} לקטע חצי סופי או ל-\mathbb {R}  כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר {\displaystyle a} כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות {\displaystyle \alpha =\infty } או {\displaystyle \alpha =-\infty } במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.

הגדרה מתמטית
------------

בהינתן תחום ממשי קמור {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} } (קטע סופי, חצי סופי או \mathbb {R}  כולו), מספר ממשי {\displaystyle a\in U} (או {\displaystyle \pm \infty } במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב \alpha  בעל חלק ממשי חיובי ({\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}), **אופטור רימן-ליוביל מסדר** \alpha  הוא האופרטור {\displaystyle J\_{a}^{\alpha }:L^{1}(U)\to L^{1}(U)} כך שלכל פונקציה {\displaystyle f\in L^{1}(U)} ולכל {\displaystyle x\in U}:

{\displaystyle J\_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}}

תכונות
------

### ליניאריות

באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל {\displaystyle f,g\in L^{1}(U)} ולכל {\displaystyle c,d\in \mathbb {R} }:

{\displaystyle J\_{a}^{\alpha }(cf+dg)=cJ\_{a}^{\alpha }f+dJ\_{a}^{\alpha }g}

### הפעלת נגזרת

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}J\_{a}f(x)=f(x)}

הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}J\_{a}^{\alpha +1}f(x)=J\_{a}^{\alpha }f(x)}

### הרכבה

ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים {\displaystyle \alpha ,\beta } עם חלק ממשי חיובי מתקיים:

{\displaystyle J\_{a}^{\alpha }(J\_{a}^{\beta }f)=J\_{a}^{\alpha +\beta }f}

בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה.

### חסימות, רציפות, והרחבה לסדר אפס

מסמנים ב-{\displaystyle L^{p}(U)} מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור p>1 ותחום ממשי U כלשהו. עבור כל {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור {\displaystyle J\_{a}^{\alpha }} הפועל על {\displaystyle L^{p}(U)} הוא אופרטור חסום ועל כן רציף.

יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל {\displaystyle f\in L^{p}(U)}, מתקיים:

{\displaystyle \lim \_{\alpha \to 0^{+}}{\lVert J\_{a}^{\alpha }f-f\rVert \_{p}}=0}

כלומר, סדרת הפונקציות {\displaystyle J\_{a}^{\alpha }f} שואפת ל-f כאשר {\displaystyle \alpha \to 0} כמעט בכל מקום. מסיבה זו טבעי להגדיר {\displaystyle J\_{a}^{0}=I} כאשר I הוא אופרטור הזהות.

דוגמאות
-------

### חזקה

עבור הפונקציה {\displaystyle f(x)=x^{\beta }} המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר {\displaystyle \alpha >0} כלשהו:

{\displaystyle J\_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{0}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}t^{\beta }dt}}

על ידי החלפת משתנים {\displaystyle u=xt} מתקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}J\_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{0}^{1}{(1-u)^{\alpha -1}u^{\beta }du}\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}B(\alpha ,\beta +1)\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\\={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}x^{\alpha +\beta }\\\end{aligned}}}

כאשר הפונקציה {\displaystyle B} היא פונקציית בטא. תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.

### אקספוננט

עבור הפונקציה {\displaystyle f(x)=\exp(x)} המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר {\displaystyle \alpha >0} כלשהו:

{\displaystyle J\_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{-\infty }^{x}{(x-t)^{\alpha -1}\exp(t)dt}}

על ידי החלפת משתנים {\displaystyle u=x-t} מתקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}J\_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(x-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\int \_{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\Gamma (\alpha )\\=\exp(x)\end{aligned}}}

זאת באופן דומה לכך ש-{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(x)=\exp(x)}.

נגזרת רימן-ליוביל
-----------------

על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש-{\displaystyle J\_{a}^{1}} ({\displaystyle \alpha =1}) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב {\displaystyle \alpha =-1} באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).

עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי {\displaystyle \alpha >0} ניתן להגדיר את {\displaystyle D\_{a}^{\alpha }} להיות **נגזרת רימן-ליוביל מסדר \alpha**  כך שלכל פונקציה f אינטגרבילית לפי לבג ולכל x בתחום שלה:

{\displaystyle D\_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J\_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)}

זאת כאשר {\displaystyle \lceil \cdot \rceil } היא פונקציית התקרה. כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את \alpha  למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור \alpha  טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.

באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל \alpha  ממשי:

{\displaystyle D\_{a}^{\alpha }f(x):={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J\_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha >0\\f(x)&{\text{if }}\alpha =0\\J\_{a}^{-\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha <0\\\end{cases}}}

באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.

הערות שוליים
------------

1. ↑  Roudy El Haddad, Repeated Integration and Explicit Formula for the $n$-th Integral of $x^m (\ln x)^{m'}$, **Open Journal of Mathematical Sciences** 6, 2022-12-31, עמ' 51–75 doi: 10.30538/oms2022.0178
2. ↑  Eric W. Weisstein, Riemann-Liouville Operator, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
3. ↑  Paulo Mendes Carvalho-Neto, Renato Fehlberg Júnior, The Riemann-Liouville fractional integral in Bochner-Lebesgue spaces I, 2021
4. ↑  Yuri Luchko, Fractional derivatives and the fundamental theorem of Fractional Calculus, **Fractional Calculus and Applied Analysis** 23, 2020-08, עמ' 939–966 doi: 10.1515/fca-2020-0049