**משפט לסקר-נתר** או משפט **הפירוק הפרימרי** הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידיאל של חוג קומוטטיבי נתרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא **יחיד** מבחינת הרדיקלים של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נתרי.

ניסוח המשפט
-----------

יהי {\displaystyle A} חוג נתרי וקומוטטיבי. כל אידיאל {\displaystyle I} של A הוא חיתוך {\displaystyle I=Q\_{1}\cap Q\_{2}\cap ...\cap Q\_{n}}, עבור אידיאלים פרימריים {\displaystyle Q\_{1},Q\_{2},...Q\_{n}}. בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את I כחיתוך כזה עם n מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים {\displaystyle {\sqrt {Q\_{1}}},{\sqrt {Q\_{2}}},...{\sqrt {Q\_{n}}}} (עד כדי סדר).

הוכחת הקיום
-----------

**למה ראשונה**: בחוג נתרי כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים).

הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נתריים, ניתן להניח שיש אידיאל M שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו.
M בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום {\displaystyle M=A\cap B} כאשר {\displaystyle M\subsetneq \ A,B}. מתוך המקסימליות של {\displaystyle M} נובע ש-{\displaystyle A,B} הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, M, הוא כזה – בסתירה להנחה.
**למה שנייה**: בחוג קומוטטיבי נתרי A, כל אידיאל אי פריק {\displaystyle Q} הוא פרימרי.

הוכחה: נניח ש-{\displaystyle Q} אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש-{\displaystyle Q} אינו פרימרי, קיימים איברים {\displaystyle b,c\in A} כך ש-{\displaystyle c\not \in Q} וגם {\displaystyle \forall n:\ b^{n}\not \in Q}.
נסמן {\displaystyle I\_{k}=\{x\in A|xb^{k}\in Q\}}. מכיוון ש-{\displaystyle Q} הוא אידיאל, אם {\displaystyle xb^{k}\in Q} אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם {\displaystyle xb^{k+1}\in Q}.
מבנייה זו מתקבלת השרשרת העולה {\displaystyle Q=I\_{0}\subset I\_{1}\subset I\_{2}\subset \dots }. מכיוון שהחוג נתרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים {\displaystyle l} כך ש-{\displaystyle I\_{l}=I\_{l+1}}.
לכן, אם {\displaystyle xb^{l+1}\in Q} אזי {\displaystyle xb^{l}\in Q}.
כעת נסתכל על הקבוצות {\displaystyle M=Q+Ab^{l}} ו-{\displaystyle N=Q+Ac}. הן בוודאי שונות מ-{\displaystyle Q} מכיוון ש-{\displaystyle b^{l}\not \in Q} ו-{\displaystyle c\not \in Q}.
נוכיח ש-{\displaystyle (Q+Ab^{l})\cap (Q+Ac)=Q}.
ברור ש-{\displaystyle Q\subset \ M\cap N} מכיוון ש-{\displaystyle Q\subsetneq \ M} וגם {\displaystyle Q\subsetneq \ N}. נראה ש-{\displaystyle M\cap N\subset \ Q}.
ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: {\displaystyle q+ab^{l}=q'+a'c} כאשר {\displaystyle q,q'\in Q} ו-{\displaystyle a,a'\in A}.
נכפול את שני צידי המשוואה ב-b ונקבל {\displaystyle qb+ab^{l+1}=q'b+a'bc}.
עכשיו, נתון ש-{\displaystyle bc\in Q} ומכיוון ש-Q הוא אידיאל, אז {\displaystyle a'bc\in Q}. מכיוון ש-Q אידיאל גם {\displaystyle qb,q'b\in Q}. זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל-{\displaystyle Q}, דהיינו: {\displaystyle ab^{l+1}\in Q}.
אבל הראנו שזה גורר ש-{\displaystyle ab^{l}\in Q}. ולכן {\displaystyle q+ab^{l}\in Q}, כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל-{\displaystyle Q} ולכן {\displaystyle M\cap N\subset \ Q}.
אם כן, {\displaystyle M\cap N=Q} כלומר הצלחנו לפרק את {\displaystyle Q} ל-M ו-N ולכן Q **פריק** כפי שרצינו.
משתי הלמות מתקבל פירוק סופי של כל אידיאל לאידיאלים פרימריים.