|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**משפט מוררה** הוא משפט באנליזה מרוכבת שנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.

המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה (אנ'), שהוכיח אותו בשנת 1886.

ניסוח פורמלי
------------

תהי {\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {C} } פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }. אם לכל משולש {\displaystyle \Delta } שמוכל יחד עם פנימו ב-{\displaystyle D} מתקיים {\displaystyle \oint \_{\partial \Delta }f(z)\,\mathrm {d} z=0}, אזי {\displaystyle f} הולומורפית ב-{\displaystyle D}.

הוכחה
-----

ראשית נוכיח שלפונקציה {\displaystyle f} קיימת פונקציה קדומה ב-{\displaystyle D}.

תהי {\displaystyle z\_{0}\in D} נקודה בתחום. מכיוון ש-D היא קבוצה פתוחה, קיים עיגול {\displaystyle B(z\_{0},r)\subset D}.

לכל {\displaystyle z\in B(z\_{0},r)} נגדיר {\displaystyle F(z)=\int \_{[z\_{0},z]}f(w)\,\mathrm {d} w}.

יהי {\displaystyle \Delta =[z\_{0},z,z+h,z\_{0}]} משולש המוכל בעיגול {\displaystyle B(z\_{0},r)} (מתקיים בעבור {\displaystyle h} קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע {\displaystyle \oint \_{\partial \Delta }f(z)\,\mathrm {d} z=0}.

נוכל לרשום את השוויון כך: {\displaystyle 0=\oint \_{\partial \Delta }f(z)\,\mathrm {d} z=\int \_{[z\_{0},z]}f(z)\,\mathrm {d} z+\int \_{[z,z+h]}f(z)\,\mathrm {d} z+\int \_{[z+h,z\_{0}]}f(z)\,\mathrm {d} z}

ולאחר העברת אגפים נקבל {\displaystyle \int \_{[z,z+h]}f(z)\,\mathrm {d} z=\int \_{[z\_{0},z+h]}f(z)\,\mathrm {d} z-\int \_{[z\_{0},z]}f(z)\,\mathrm {d} z}, ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון {\displaystyle \int \_{[z,z+h]}f(w)\,\mathrm {d} w=F(z+h)-F(z)}.

כעת, נוכיח שהפונקציה {\displaystyle F} היא פונקציה קדומה של {\displaystyle f}. כלומר מתקיים {\displaystyle \lim \_{h\to 0}\left\vert {\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right\vert =0}.

נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל: {\displaystyle \left\vert {\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right\vert =\left\vert {\frac {\int \_{[z,z+h]}f(w)\,\mathrm {d} w}{h}}-f(z)\right\vert ={\frac {1}{h}}\left\vert \int \_{[z,z+h]}f(w)-f(z)\,\mathrm {d} w\right\vert }.

נעריך את הביטוי האחרון: {\displaystyle {\frac {1}{h}}\left\vert \int \_{[z,z+h]}f(w)-f(z)\,\mathrm {d} w\right\vert \leq {\frac {1}{h}}\int \_{[z,z+h]}\left\vert f(w)-f(z)\right\vert \,\mathrm {d} w\leq {\frac {1}{h}}\cdot h\cdot \sup \_{\zeta \in (z,z+h)}\left\vert f(\zeta )-f(z)\right\vert }.

מרציפות {\displaystyle f} נקבל שכאשר {\displaystyle h} שואף לאפס גם הביטוי {\displaystyle {\frac {1}{h}}\cdot h\cdot \sup \_{\zeta \in (z,z+h)}\left\vert f(\zeta )-f(z)\right\vert } שואף לאפס, כלומר מתקיים {\displaystyle \lim \_{h\to 0}\left\vert {\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right\vert =0}, ולכן {\displaystyle F} היא פונקציה קדומה של {\displaystyle f}.

ומכיוון ש-{\displaystyle F} הולומורפית ב-{\displaystyle D} נובע שגם נגזרתה הולומרפית, כלומר {\displaystyle f} הולומורפית ב-{\displaystyle D}.

שימושים
-------

משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.

דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא {\displaystyle \Gamma (z)} על ידי כך שנוכיח את השוויון {\displaystyle \oint \_{C}\Gamma (z)\,\mathrm {d} z=0} לכל מסילה סגורה {\displaystyle C}.

מהגדרת פונקציית גמא מתקיים: {\displaystyle \oint \_{C}\Gamma (z)\,\mathrm {d} z=\oint \_{C}\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z}.

ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל: {\displaystyle \oint \_{C}\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z=\int \_{0}^{\infty }\oint \_{C}x^{z-1}e^{-x}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}\oint \_{C}x^{z-1}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x}.

הפונקציה {\displaystyle f(z)=x^{z-1}} אנליטית, ולכן מתקיים {\displaystyle \oint \_{C}x^{z-1}\,\mathrm {d} z=0} (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר, {\displaystyle \oint \_{C}\Gamma (z)\,\mathrm {d} z=0} לכל מסילה סגורה {\displaystyle C}, ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.

לקריאה נוספת
------------

* **פונקציות מרוכבות** (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט מוררה, באתר MathWorld (באנגלית)
* משפט מוררה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

| אנליזה מרוכבת |
| --- |
| 

|  |
| --- |
| מספר מרוכב • שדה המספרים המרוכבים • פונקציה מרוכבת • פונקציה הולומורפית • פונקציה שלמה • נוסחת אוילר • משוואות קושי-רימן • משפט האינטגרל של קושי • נוסחת האינטגרל של קושי • משפט מוררה • משפט ליוביל • המשפט היסודי של האלגברה • טור לורן • סינגולריות • קוטב • משפט השאריות • עקרון הארגומנט • משפט רושה |

 |
| אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |