בתורת הקבוצות, **מטריצת אוּלַם** (באנגלית: Ulam matrix) היא מערך של תתי קבוצות של מונה עם תכונות מסוימות. מטריצות אולם הוצגו על ידי סטניסלב אולם והן שימושיות למספר הוכחות, בהן ההוכחה שמונה מדיד ממשית הוא אי-נשיג חלש.

הגדרה
-----

נניח כי {\displaystyle \lambda ,\kappa } הם מונים. יהי F מסנן על \lambda. מטריצת אולם היא אוסף של תתי קבוצות של \lambda , {\displaystyle \langle A\_{\alpha \beta }|\alpha <\kappa \land \beta <\lambda \rangle }, כך שמתקיים:

* לכל {\displaystyle \alpha <\kappa } ו- {\displaystyle \beta \neq \gamma }, חיתוך הקבוצות {\displaystyle A\_{\alpha \beta },A\_{\alpha \gamma }} ריק ("כל שורה מורכבת מקבוצות זרות בזוגות").
* לכל {\displaystyle \beta <\lambda } מתקיים {\displaystyle \bigcup A\_{\alpha \beta }\in F} ("איחוד הקבוצות לאורך עמודה הוא גדול").

הדוגמה הסטנדרטית למטריצת אולם מתקבלת במקרה שבו {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}}, ו-{\displaystyle F} מסנן כך ש- {\displaystyle F\supseteq \{X\subseteq \lambda \colon |\lambda \setminus X|<\lambda \}}. לכל סודר {\displaystyle \xi <\lambda } נקבע פונקציה על {\displaystyle f\_{\xi }\colon \kappa \to \xi }. כעת, נגדיר {\displaystyle A\_{\alpha \beta }=\{\xi <\lambda \colon f\_{\xi }(\alpha )=\beta \}}. נבדוק שמתקבלת מטריצת אולם:

התנאי הראשון מתקיים: נניח {\displaystyle \alpha <\kappa } ו- {\displaystyle \beta ,\gamma <\lambda }. אם קיים {\displaystyle \xi \in A\_{\alpha \beta }\cap A\_{\alpha \gamma }}, אז, מההגדרה, {\displaystyle \gamma =f\_{\xi }(\alpha )=\beta }.

התנאי השני מתקיים: נניח {\displaystyle \beta <\lambda }. לכל סודר {\displaystyle \xi } בין {\displaystyle \beta } ל- \lambda , קיים {\displaystyle \alpha <\kappa } כך ש- {\displaystyle f\_{\xi }(\alpha )=\beta }. לפיכך {\displaystyle \xi \in \bigcup \_{\alpha <\kappa }{A\_{\alpha \beta }}}. זה מראה ש-{\displaystyle \lambda \setminus \bigcup \_{\alpha <\kappa }{A\_{\alpha \beta }}\subseteq \beta } ולכן {\displaystyle \bigcup \_{\alpha <\kappa }{A\_{\alpha \beta }}\in F}.

יישומים
-------

נניח {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} והמסנן F הוא \lambda -שלם (כלומר, סגור לחיתוך של פחות מ-\lambda  קבוצות) ומרחיב את המסנן {\displaystyle \{X\subseteq \lambda \colon |\lambda \setminus X|<\lambda \}}. תהי {\displaystyle \langle A\_{\alpha \beta }|\alpha <\kappa \land \beta <\lambda \rangle } מטריצת אולם. לכל {\displaystyle \beta <\lambda } נתבונן בעמודה המתאימה לו. יש בעמודה זו \kappa  קבוצות, ואיחודן במסנן; מה-\lambda -שלמות, יש אינדקס {\displaystyle \alpha (\beta )<\kappa } כך ש-{\displaystyle A\_{\alpha (\beta )\beta }\in F^{+}}, כלומר {\displaystyle A\_{\alpha (\beta )\beta }} נחתכת באופן לא ריק עם כל קבוצה מ-F. מאחר ש-{\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}}, קיים {\displaystyle \alpha ^{\*}<\kappa } כך ש-{\displaystyle S=\{\beta <\lambda \colon \alpha (\beta )=\alpha ^{\*}\}} מעוצמה \lambda. קיבלנו קבוצה {\displaystyle \{A\_{\alpha ^{\*}\beta }\colon \beta \in S\}} של קבוצות זרות ב-{\displaystyle F^{+}}. לעובדה זו יש מספר יישומים:

* כל מונה מדיד ממשית הוא אי נשיג חלש: נניח \lambda  מונה מדיד ממשית, כלומר קיימת עליו מידה {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {P}}(\lambda )\to [0,1]} שהיא \lambda -אדיטיבית. לא קשה להראות ש-\lambda  מונה סדיר. לכן מספיק להוכיח שאינו עוקב. נניח בשלילה שיש מונה \kappa  כך ש-{\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}}. יהי {\displaystyle F=\{X\subseteq \lambda \colon \mu (X)=1\}}. זה מסנן \lambda -שלם. מהאמור לעיל, קיימת קבוצה של \lambda  קבוצות זרות בזוגות ממידה חיובית, סתירה.
* משפט סולוביי למונים עוקבים: נניח {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} ו-{\displaystyle S\subseteq \lambda } קבוצה שבת. נוכיח שניתן לחלק את {\displaystyle S} ל-\lambda  קבוצות שבת זרות בזוגות. נבנה מטריצת אולם עבור המסנן ה-\lambda  שלם {\displaystyle F=\{X\subseteq \lambda \colon {\mbox{ for some club }}C\subseteq \lambda ,C\cap S\subseteq X\}}. נובע שקיימת קבוצה מעוצמה \lambda של קבוצות זרות בזוגות ששייכות ל-F. נקבל חלוקה של (תת קבוצה של) S ל-\lambda  קבוצות שבת זרות בזוגות.