**ריבוע קסם-על** או **ריבוע קסם מושלם** הוא ריבוע קסם בגודל 4 על 4, שבו כל שורה, כל עמודה וכל אלכסון, וכן רביעיית המספרים בפינות, הרביעייה הפנימית, וארבעת רבעוני הריבוע, מסתכמים כולם לאותו מספר. ריבועי קסם-על ידועים במתמטיקה ובאמנות עוד מזמנים עברו, וזכו לעדנה במאה ה-20 באדריכלות ובתחום שעשועי המתמטיקה.

קוסמים משתמשים בריבוע קסם-על לתעלול מרשים. במסגרת התעלול, מבקש המבצע מאחד האנשים בקהל להציע לו מספר יעד, גיל המשתתף למשל, ובונה מול הקהל במהירות ריבוע קסם-על המקיים שסכומו הוא המספר המבוקש. קוסם מיומן עשוי להגדיל את רושם התעלול על ידי בקשה מאחד השומעים לנחש מספר יעד, התבוננות בשומע תוך כדי דו-שיח אתו, ניחוש מספר היעד ובנית ריבוע קסם-על עבור מספר היעד.

תעלול הקוסמים
-------------

ביצוע התעלול על ידי שינון ריבוע קסם אחד ועשית חישובים להשגת מספר יעד חדש
הדגמות של התעלול באנגלית ובעברית, מראות ביצוע של התעלול. התעלול מתבצע באופן הבא:

1. המבצע מצייר ריבוע קסם-על עבור מספר יעד 30 אשר כולל את המספרים 0–15. המבצע משנן את הריבוע בעל פה.
2. המבצע בוחר ארבעה "מספרי מפתח" בריבוע הקסם כך שבכל אחת מהרביעיות המסתכמות במספר היעד 30 יש מספר מפתח אחד ולא יותר.
3. המבצע נדרש לשנות את ריבוע קסם-על עם מספר יעד אחר. נניח 49 (במקום 30).
4. המבצע מוסיף ל"מספרי מפתח" את ההפרש בין בין מספרי היעד. בדוגמה שלנו מוסיף 49-30=19.
5. מתקבל ריבוע קסם-על עבור מספר יעד 49.

דרך חדשה לבצע את התעלול פורסמה ב-2023. בדרך זו מאפשר מדגים התעלול לאחד מהצופים לרשום ספרה במקום שרירותי, דבר שמונע מהמבצע לשחזר מזיכרונו את רוב הריבוע ומעמיד אותו בפני אתגר של סידור מחדש של הריבוע.

יצירת ריבוע קסם-על
------------------

ריבוע לטיני הוא ריבוע של n שורות ו-n עמודות, שבכל שורה ובכל עמודה שלו כתובים אותם n סמלים שונים, בלי חזרות. לדוגמה:

2 0 3 1

0 1 2 3

1 3 0 2

3 2 1 0

ריבוע גרקו-לטיני (אנ') הוא ריבוע עם שתי מערכות סימנים (אלפבית יווני ולטיני, לדוגמה) שכל אחת מהן מסודרת כריבוע לטיני, ואין חזרה בכל הריבוע על זוג סימנים משתי מערכות הסימנים. ריבוע גרקו-לטיני מודגם בציור 5 שבו מערכת סימנים אחת היא של צבעים שונים ומערכת הסימנים השנייה היא של צורות גאומטריות שונות. הדוגמה של ציור 5 היא של ריבוע גרקו-לטיני מיוחד שבו גם האלכסונים מסודרים כך שאין חזרה על סימנים. אפשר להוכיח בקלות כי בריבוע גרקו-לטיני 4X4 קיום הדרישה על ידי האלכסונים גורם לכך שגם ארבע הפינות, ריבוע 2X2 האמצעי וארבעת הרבעונים מקיימים את הדרישה שאין חזרה על סימנים.

השגת ריבוע קסם-על על ידי התאמת מספרים לסימנים של הריבוע הגרקו-לטיני
אוילר הציע בניית ריבוע קסם תוך שימוש בריבוע גרקו-לטיני. לשם כך, יש להתאים כל סימן למספר, כפי שמראה ציור 6. כל אתר בריבוע, כולל סימן אחד ממערכת הסימנים הראשונה, סימן שני ממערכת הסימנים השנייה, ומספר שהוא הסכום של המספרים המותאמים לשני הסימנים,

כאשר מסדרים את הריבוע כריבוע גרקו-לטיני מיוחד, מתקבל ריבוע גרקו-לטיני עם ריבוע קסם-על של מספרים. בדוגמה של ציור 7 מספר היעד הוא 20.

הערות שוליים
------------

1. ↑  A. T. Benjamin, E.. J. Brown, Challenging Magic Squares for Magicians, **The college Mathematics Journal** 45, 2014
2. ↑  בדרישות אלה יש עודף. אפשר לוותר על אחת השורות או העמודות, על הרביעייה הפנימית או החיצונית, ועל שלושה מארבעת הרבעונים. מרחב ריבועי הקסם המושלמים עם סכום אפס הוא 5 ממדי
3. ↑  מאמר על המתמטיקה במאה ה-16 עם הרחבה על ריבוי קסם-על, באתר The Story of Mathematics
4. ↑  יצירה של דירר מהמאה ה-16 הכוללת ריבוע קסם על
5. ↑  מאמר על שיבוץ ריבוע קסם בקתדרלת סגרדה פמיליה בברצלונה, באתר recmath
6. ↑  C. Dudley Langford, Super Magic Squares, **The mathematical gazette** 40, 1956, עמ' 86-97
7. ↑  פרוספקט של מוצר לקוסמים על בסיס ריבוע קסם-על, באתר Penguin Magic
8. ↑  הדגמת ריבוע קסם-על באנגלית, באתר youtube
9. ↑  הדגמת תעלול ריבוע קסם-על בעברית, באתר youtube
10. ↑   הדגמה, סרטון באתר יוטיוב
11. ↑  מרדכי לנדו, Arbitrary replacement of a two-symbol entry of a given 4X4 diagonal MOLS and subsequent entry replacements, Submitted to Recreational Mathematics Magazine (Ludus association) by 7.5.2023, ‏7.5.2023
12. ↑  קיט לבניה עצמית של ריבוע קסם-על, באתר youtube