במתמטיקה, **מבחני התכנסות לסדרות** מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.

הגדרת התכנסות וסימונים
----------------------

### סימונים

גבול של סדרה מסומן כך:

* \lim \_{{n\to \infty }}a\_{n}=L

וניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת:

* \ a\_{n}\to L

כאשר:

* lim - הוא קיצור של המילה הלועזית Limit שפירושה "גבול".
* בסימון \!\, a\_n, האות a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה.
* \infty מסמל את מושג האינסוף.
* הסימן \to  מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש n \to \infty מציין ש- n שואף לאינסוף.
* L מייצג את המספר שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה ככל ש -n גדל

### הגדרת התכנסות

ייצוג גרפי של סביבת הנקודה a על ישר המספרים. המרחק של כל מספר אשר נמצא בסביבה מנקודה a קטן מרדיוס הסביבה, המיוצג על ידי ε ויכול להיות קטן כרצוננו.
על גבי הישר הממשי המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של ההפרש שלהם
כמו שציינו קודם, \ a\_{n}\to L   

* סדרה נקראת מתכנסת אם רק אם L הוא מספר ממשי שונה מאינסוף
* סדרה נקראת מתבדרת אם ורק אם {\displaystyle L=\pm \infty }

בפרט, הגדרה רגורוזית להתכנסות היא:   

**הגדרה**: תהא \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{\infty } סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא **מתכנסת** למספר הממשי \!\,L, או ש-\ L הוא **הגבול** של הסדרה, ונסמן זאת \lim \_{{n\to \infty }}a\_{n}=L או בקיצור \ a\_{n}\to L אם לכל מספר ממשי \ \varepsilon >0 (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי \ N\_{0} כך שלכל \ n המקיים \ n>N\_{{0}} מתקיים \left|a\_{n}-L\right|<\varepsilon .
צורת כתיבה נוספת:

 L = \lim\_{n \to \infty} a\_n
{\displaystyle \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,\left|a\_{n}-L\right|<\varepsilon \;}

מבחן המנה להתכנסות סדרות
------------------------

משפט
תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} נסמן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n\_{+1}}}{a\_{n}}}=L} .

* אם {\displaystyle L<1} אז {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0} .
* אם {\displaystyle L>1} אז {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty } .

הוכחה
* מקרה א': {\displaystyle L<1}

בדומה למבחן המנה של ד'אלמבר, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}=L<1}, אז המבחן קובע כי הטור {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }a\_{n}} מתכנס, אז לפי תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי גבול הסדרה הוא אפס: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0}.
{\displaystyle \blacksquare }
* מקרה ב': {\displaystyle L>1\ ,\ L=\infty }

נבחר מספר r המקיים {\displaystyle L>r>1}. כיוון ש־{\displaystyle L>1}, קיים {\displaystyle k\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq k} מתקיים {\displaystyle {\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}>r}, או באופן שקול: {\displaystyle a\_{n+1}>a\_{n}\cdot r} לכל {\displaystyle n\geq k} .
נציב את n להיות {\displaystyle k,k+1,k+2} וכו' באי־שוויון זה ונקבל:



a

k
+
1

>

a

k

⋅
r


a

k
+
2

>

a

k
+
1

⋅
r
>

a

k

⋅

r

2


a

k
+
3

>

a

k
+
2

⋅
r
>

a

k

⋅

r

3



{\displaystyle {\begin{matrix}a\_{k+1}>a\_{k}\cdot r\\a\_{k+2}>a\_{k+1}\cdot r>a\_{k}\cdot r^{2}\\a\_{k+3}>a\_{k+2}\cdot r>a\_{k}\cdot r^{3}\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}a_{k+1}>a_{k}\cdot r\\a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_{k}\cdot r^{2}\\a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_{k}\cdot r^{3}\end{matrix}}}
באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי {\displaystyle a\_{k+m}>a\_{k}\cdot r^{m}} לכל {\displaystyle m\geq 1} .
{\displaystyle {\Big \{}a\_{k}\cdot r^{m}{\Big \}}\_{m=1}^{\infty }} היא סדרה הנדסית עם מנה {\displaystyle r>1} ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי {\displaystyle {\Big \{}a\_{k+m}{\Big \}}\_{m=1}^{\infty }} שואפת לאינסוף.
לכן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty } .
{\displaystyle \blacksquare }

מבחן השורש לסדרות
-----------------

נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}=L}. אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{n}}}=L} .

משפט
תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה חיובית. נסמן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{n}}}=L} .

* אם {\displaystyle L<1} אז {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0} .
* אם {\displaystyle L=\infty } ,{\displaystyle L>1} אז {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty } .

הוכחה
* מקרה א': {\displaystyle L<1}

בדומה למבחן השורש של קושי, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{n}}}=L<1}, אז המבחן קובע כי הטור {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }a\_{n}} מתכנס,
וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=0} .
{\displaystyle \blacksquare }
* מקרה ב': {\displaystyle L>1\ ,\ L=\infty }

נבחר מספר r המקיים {\displaystyle L>r>1}. כיוון ש־{\displaystyle L>1} קיים {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq N} מתקיים {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}>r}, או באופן שקול: {\displaystyle a\_{n}>r^{n}} לכל {\displaystyle n\geq N} .
{\displaystyle \{r^{n}\}\_{n=1}^{\infty }} היא סדרה הנדסית עם מנה {\displaystyle r>1} ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{N=1}^{\infty }} שואפת לאינסוף.
לכן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\infty } .
{\displaystyle \blacksquare }

אפיון התכנסות לפי קושי
----------------------

**תנאי קושי** הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

**הגדרה**: תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרת מספרים ממשיים. הסדרה מקיימת את תנאי קושי אם לכל \varepsilon>0 קיים אינדקס N כך שלכל {\displaystyle m,n>N} מתקיים {\displaystyle |a\_{m}-a\_{n}|<\varepsilon } .
### משפט קושי לסדרות

הסדרה {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי.

הוכחה
נוכיח את הכיוון הראשון.

נניח כי {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}. יהי \varepsilon>0. לכן קיים אינדקס N כך שלכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}} .

נבחר מספרים {\displaystyle m,n>N} ונקבל לפי אי-שוויון המשולש כי:


|

a

m

−

a

n

|

=

|

a

m

−
L
+
L
−

a

n

|

≤

|

a

m

−
L

|

+

|

a

n

−
L

|

<

ε
2

+

ε
2

=
ε

{\displaystyle |a\_{m}-a\_{n}|={\Big |}a\_{m}-L+L-a\_{n}{\Big |}\leq |a\_{m}-L|+|a\_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }

{\displaystyle |a_{m}-a_{n}|={\Big |}a_{m}-L+L-a_{n}{\Big |}\leq |a_{m}-L|+|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
אזי הסדרה היא סדרת קושי.

{\displaystyle \blacksquare }

נוכיח את הכיוון השני.

נניח כי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים אינדקס N כך שלכל {\displaystyle m,n>N} מתקיים {\displaystyle |a\_{m}-a\_{n}|<\varepsilon }. אזי לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle a\_{N}-\varepsilon <a\_{n}<a\_{N}+\varepsilon } אז הסדרה חסומה בקטע {\displaystyle [N,\infty )}. בקטע {\displaystyle [\varepsilon ,N]} יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.

על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, לכן לסדרה {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} יש תת־סדרה מתכנסת {\displaystyle \{a\_{m\_{k}}\}\_{n=1}^{\infty }}. נסמן {\displaystyle L=\lim \_{n\to \infty }a\_{m\_{k}}} ונוכיח ש־{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל־L.

יהי \varepsilon>0. ראשית, מהתכנסות {\displaystyle a\_{m\_{k}}} נקבל כי קיים K טבעי כך שלכל {\displaystyle k>K} מתקיים {\displaystyle |a\_{m\_{k}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. שנית, מהיות הסדרה סדרת קושי, קיים אינדקס N כך שלכל {\displaystyle m,n>N} מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-a\_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. נסמן {\displaystyle k\_{0}=\max \left\{K+1,N+1\right\}}, אז {\displaystyle k\_{0}\geq K+1>K} ולכן {\displaystyle |a\_{m\_{k\_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. בנוסף, סדרת האנדקסים {\displaystyle m\_{k}} מוגדרת כסדרה עולה של טבעיים וניתן להוכיח באינדוקציה שלכל k טבעי מתקיים {\displaystyle m\_{k}\geq k}, ובפרט {\displaystyle m\_{k\_{0}}\geq k\_{0}\geq N+1>N} ולכן לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-a\_{m\_{k\_{0}}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}. מכאן לכל {\displaystyle n\geq N} מתקיים:


|

a

n

−
L

|

=

|

a

n

−

a

m

k

0



+

a

m

k

0



−
L

|

≤

|

a

n

−

a

m

k

0


|

+

|

a

m

k

0



−
L

|

<

ε
2

+

ε
2

=
ε

{\displaystyle |a\_{n}-L|={\Big |}a\_{n}-a\_{m\_{k\_{0}}}+a\_{m\_{k\_{0}}}-L{\Big |}\leq |a\_{n}-a\_{m\_{k\_{0}}}|+|a\_{m\_{k\_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }

{\displaystyle |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k_{0}}}+a_{m_{k_{0}}}-L{\Big |}\leq |a_{n}-a_{m_{k_{0}}}|+|a_{m_{k_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
לכן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L} .

{\displaystyle \blacksquare }

התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'
-------------------------

**כלל הסנדוויץ'** הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם {\displaystyle a\_{n},b\_{n},c\_{n}} סדרות המקיימות:

{\displaystyle a\_{n}\leq c\_{n}\leq b\_{n}\ ,\ \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\lim \_{n\to \infty }b\_{n}=L}
אז גם לסדרה {\displaystyle c\_{n}} קיים גבול, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }c\_{n}=L} .

כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

הוכחה
יהי \varepsilon>0. נרצה למצוא מספר טבעי N כך שלכל {\displaystyle n>N} יתקיים {\displaystyle |c\_{n}-L|<\varepsilon } .

קיים {\displaystyle N\_{1}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{1}} מתקיים {\displaystyle L-\varepsilon <a\_{n}<L+\varepsilon } .

קיים {\displaystyle N\_{2}} כך שלכל {\displaystyle n>N\_{2}} מתקיים {\displaystyle L-\varepsilon <b\_{n}<L+\varepsilon } .

נסמן {\displaystyle N=\max\{N\_{1},N\_{2}\}}. מהנתון מתקיים {\displaystyle a\_{n}\leq c\_{n}\leq b\_{n}}, לכן

לכל {\displaystyle n>N} מתקיים {\displaystyle L-\varepsilon <a\_{n}\leq c\_{n}\leq b\_{n}<L+\varepsilon }
לכן {\displaystyle L-\varepsilon <c\_{n}<L+\varepsilon } .

כלומר {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }c\_{n}=L} .

{\displaystyle \blacksquare }

התכנסות סדרה לפי תת־הסדרות שלה
------------------------------

### הגדרת תת־סדרה

תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהי {\displaystyle \{n\_{k}\}\_{k=1}^{\infty }} סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה {\displaystyle \{a\_{n\_{k}}\}\_{k=1}^{\infty }} נקראת תת־סדרה של {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} .

### התכנסות סדרה לפי תת־סדרות

משפט
תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה. {\displaystyle a\_{n}\to L} אם ורק אם כל תת־סדרה של {\displaystyle \{a\_{n}\}} מתכנסת ל־L .

הוכחה
נניח כי {\displaystyle a\_{n}\to L}. אזי לכל \varepsilon>0 קיים {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq N} מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-L|<\varepsilon }. ניקח תת־סדרה שרירותית {\displaystyle \{a\_{n\_{k}}\}} ונראה כי היא מתכנסת ל־L. מתקיים {\displaystyle n\_{k}\geq k} (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור {\displaystyle k\geq N} מתקיים כי {\displaystyle n\_{k}\geq N} ולכן נקבל כי {\displaystyle |a\_{n\_{k}}-L|<\varepsilon }. לכן {\displaystyle a\_{n\_{k}}\to L} .

כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי {\displaystyle \{a\_{n}\}} היא תת־סדרה של עצמה שמתכנסת ל־L ולכן זה טריוויאלי שמתקיים {\displaystyle a\_{n}\to L} .

למת עזר
תהי {\displaystyle \{a\_{n\_{k}}\}\_{k=1}^{\infty }} תת־סדרה של {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}. אזי {\displaystyle n\_{k}\geq k} לכל {\displaystyle k\in \mathbb {N} } .

הוכחה
נוכיח באינדוקציה. בבירור {\displaystyle n\_{1}\geq 1}. נניח כי {\displaystyle n\_{k-1}\geq k-1} ונוכיח כי {\displaystyle n\_{k}\geq k}. נשים לב כי {\displaystyle \{n\_{k}\}} סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן {\displaystyle n\_{k}>n\_{k-1}\geq k-1}. כלומר {\displaystyle n\_{k}>k-1} ולכן {\displaystyle n\_{k}\geq k} .

משפט שטולץ לסדרות
-----------------

משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)
תהי {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהי {\displaystyle \{y\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת {\displaystyle y\_{n}\to \infty } .

אם {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}=L} במובן הרחב, אזי גם {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}=L} .

הוכחה
לפי הגדרת הגבול, לכל \varepsilon>0 קיים {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n>N} מתקיים:



L
−
ε
<

x

n
+
1

−

x

n


y

n
+
1

−

y

n


<
L
+
ε

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}<L+\varepsilon }

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\varepsilon }
{\displaystyle y\_{n}} מונוטונית עולה ממש, לכן {\displaystyle y\_{n+1}>y\_{n}} או {\displaystyle y\_{n+1}-y\_{n}>0} וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:



(
L
−
ε
)
(

y

n
+
1

−

y

n

)
<

x

n
+
1

−

x

n

<
(
L
+
ε
)
(

y

n
+
1

−

y

n

)

{\displaystyle (L-\varepsilon )({y\_{n+1}-y\_{n}})<x\_{n+1}-x\_{n}<(L+\varepsilon )(y\_{n+1}-y\_{n})}

{\displaystyle (L-\varepsilon )({y_{n+1}-y_{n}})<x_{n+1}-x_{n}<(L+\varepsilon )(y_{n+1}-y_{n})}
יהי {\displaystyle K\in \mathbb {N} } המקיים {\displaystyle K>N}. סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:



(
L
−
ε
)

∑

i
=
N

K

(

y

i
+
1

−

y

i

)
<

∑

i
=
N

K

(

x

i
+
1

−

x

i

)
<
(
L
+
ε
)

∑

i
=
N

K

(

y

i
+
1

−

y

i

)



(
L
−
ε
)
(

y

K
+
1

−

y

N

)
<

x

K
+
1

−

x

N

<
(
L
+
ε
)
(

y

K
+
1

−

y

N

)



{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle (L-\varepsilon )\sum \limits \_{i=N}^{K}(y\_{i+1}-y\_{i})<\sum \limits \_{i=N}^{K}(x\_{i+1}-x\_{i})<(L+\varepsilon )\sum \limits \_{i=N}^{K}(y\_{i+1}-y\_{i})\\\\(L-\varepsilon )(y\_{K+1}-y\_{N})<x\_{K+1}-x\_{N}<(L+\varepsilon )(y\_{K+1}-y\_{N})\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle (L-\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})<\sum \limits _{i=N}^{K}(x_{i+1}-x_{i})<(L+\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})\\\\(L-\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})<x_{K+1}-x_{N}<(L+\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})\end{matrix}}}
נחלק את אי־השוויון ב־{\displaystyle y\_{K+1}>0} ונקבל:




(
L
−
ε
)

(

1
−

y

N

y

K
+
1



)

<

x

K
+
1

y

K
+
1


−

x

N

y

K
+
1


<
(
L
+
ε
)

(

1
−

y

N

y

K
+
1



)



(
L
−
ε
)

(

1
−

y

N

y

K
+
1



)

+

x

N

y

K
+
1


<

x

K
+
1

y

K
+
1


<
(
L
+
ε
)

(

1
−

y

N

y

K
+
1



)

+

x

N

y

K
+
1



{\displaystyle {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y\_{N}}{y\_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x\_{K+1}}{y\_{K+1}}}-{\dfrac {x\_{N}}{y\_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y\_{N}}{y\_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y\_{N}}{y\_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x\_{N}}{y\_{K+1}}}<{\dfrac {x\_{K+1}}{y\_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y\_{N}}{y\_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x\_{N}}{y\_{K+1}}}\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}-{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}\end{matrix}}}
{\displaystyle y\_{n}\to \infty }, לכן קיים {\displaystyle M\in \mathbb {N} } המקיים {\displaystyle M\geq K} כך שיתקיים:



L
−
ε
<

x

K
+
1

y

K
+
1

<
L
+
ε

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x\_{K+1}}{y\_{K+1}}}<L+\varepsilon }

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<L+\varepsilon }
לכן {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}=L} .

{\displaystyle \blacksquare }

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה {\displaystyle y\_{n}} תהיה חיובית ומונוטונית רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.

התכנסות סדרת הממוצעים
---------------------

תהי {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה המתכנסת לגבול סופי L. אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול L :

1. סדרת הממוצעים החשבונית: {\displaystyle A\_{n}={\frac {a\_{1}+\cdots +a\_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{n}a\_{k}}
2. סדרת הממוצעים ההנדסית: {\displaystyle G\_{n}={\sqrt[{n}]{a\_{1}\times \cdots \times a\_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod \limits \_{k=1}^{n}a\_{k}}}} אם {\displaystyle a\_{n}>0} לכל n
3. סדרת הממוצעים ההרמונית: {\displaystyle H\_{n}={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a\_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a\_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}}}} אלא אם כן {\displaystyle L=0} והסדרה אינה שוות סימן

הוכחה
תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ. ברור כי {\displaystyle \{n\}\_{n=1}^{\infty }} היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:


lim

n
→
∞



∑

k
=
1

n
+
1

a

k

−

∑

k
=
1

n

a

k

(
n
+
1
)
−
n

=

lim

n
→
∞


a

n
+
1

1

=

lim

n
→
∞

a

n
+
1

=
L

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n+1}a\_{k}-\sum \limits \_{k=1}^{n}a\_{k}}{(n+1)-n}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n+1}}{1}}=\lim \_{n\to \infty }a\_{n+1}=L}

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{(n+1)-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{1}}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=L}
אזי {\displaystyle A\_{n}={\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\to L} כדרוש.

{\displaystyle \blacksquare }

כעת נוכיח את הטענה השלישית.

אם {\displaystyle L\neq 0} אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם {\displaystyle a\_{n}\to L} נקבל כי {\displaystyle {\frac {1}{a\_{n}}}\to {\frac {1}{L}}} ואז כיוון ש־{\displaystyle H\_{n}={\frac {n}{\displaystyle \sum \limits \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}}}=\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}}\right)^{-1}} ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של {\displaystyle {\frac {1}{a\_{n}}}} נקבל מהטענה הראשונה כי {\displaystyle H\_{n}\to \left({\frac {1}{L}}\right)^{-1}=L} .

{\displaystyle \blacksquare }

המקרה הפרטי {\displaystyle L=0} הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי {\displaystyle a\_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}}. עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq N} אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי {\displaystyle \left\{{\frac {1}{a\_{n}}}\right\}} מתכנסת ל־\infty או ל־-\infty . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו {\displaystyle L\neq 0} .

נותר לנו כעת רק להוכיח כי {\displaystyle G\_{n}\to L} אם {\displaystyle a\_{n}>0} לכל n. זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:



L
←

H

n

≤

G

n

≤

A

n

→
L

{\displaystyle L\leftarrow H\_{n}\leq G\_{n}\leq A\_{n}\to L}

{\displaystyle L\leftarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\to L}
לכן על־פי כלל הסנדוויץ' גם {\displaystyle G\_{n}\to L} ובזאת הושלמה ההוכחה.

{\displaystyle \blacksquare }

הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור {\displaystyle L=0} אך כאן {\displaystyle a\_{n}>0} לכל n, לכן הטענה נכונה במקרה זה כיוון שהסדרה שוות סימן.

#### הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.

יהי \varepsilon>0. {\displaystyle a\_{n}\to L}, לכן קיים {\displaystyle K\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq K} מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}} .

כעת נסתכל על תת־סדרת האיברים עד K, כלומר: {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{K-1},a\_{K}}. כיוון ש־K קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{K}a\_{k}\ {\xrightarrow {n\to \infty }}\ 0}. אזי קיים {\displaystyle N\_{1}\in \mathbb {N} } כך שלכל {\displaystyle n\geq N\_{1}} מתקיים {\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{K}a\_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}} .

כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי K, כלומר {\displaystyle a\_{K+1},\ldots ,a\_{n-1},a\_{n}} (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים {\displaystyle |a\_{k}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}} לכל {\displaystyle K+1\leq k\leq n} טבעי. נסמן {\displaystyle N\_{2}=\left\lceil {\frac {4K}{\varepsilon }}|L|\right\rceil } ונשים לב שהדבר גורר כי לכל {\displaystyle n\geq N\_{2}} מתקיים {\displaystyle {\frac {K}{n}}|L|<{\frac {\varepsilon }{4}}}. אזי,




|

1
n

∑

k
=
K
+
1

n

a

k

−
L

|

=

|

1
n

∑

k
=
K
+
1

n

a

k

−

n
L

n

|

=

1
n

|

∑

k
=
K
+
1

n

(

a

k

−
L
)
+
(
−
K
L
)

|

 

≤

 

1
n

(

|

∑

k
=
K
+
1

n

(

a

k

−
L
)

|

+
K

|

L

|

)



≤

 

1
n

[

∑

k
=
K
+
1

n

|

a

k

−
L

|

+
K

|

L

|

]

=

1
n

∑

k
=
K
+
1

n

|

a

k

−
L

|

+

K
n

|

L

|

<

1
n

∑

k
=
K
+
1

n


ε
4

+

K
n

|

L

|

 

<

 

ε
4

⋅

n
−
K

n

+

ε
4

 

<

 

ε
4

+

ε
4

=

ε
2




{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum \_{k=K+1}^{n}a\_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum \_{k=K+1}^{n}a\_{k}-{\frac {nL}{n}}\right|={\dfrac {1}{n}}\left|\sum \limits \_{k=K+1}^{n}(a\_{k}-L)+(-KL)\right|\ {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left({\bigg |}\sum \limits \_{k=K+1}^{n}(a\_{k}-L){\bigg |}+K|L|\right)\\\displaystyle {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left[\sum \limits \_{k=K+1}^{n}|a\_{k}-L|+K|L|\right]={\dfrac {1}{n}}\sum \_{k=K+1}^{n}|a\_{k}-L|+{\dfrac {K}{n}}|L|<{\dfrac {1}{n}}\sum \_{k=K+1}^{n}{\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {K}{n}}|L|\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}\cdot {\dfrac {n-K}{n}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}={\dfrac {\varepsilon }{2}}\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-{\frac {nL}{n}}\right|={\dfrac {1}{n}}\left|\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L)+(-KL)\right|\ {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left({\bigg |}\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L){\bigg |}+K|L|\right)\\\displaystyle {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left[\sum \limits _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+K|L|\right]={\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+{\dfrac {K}{n}}|L|<{\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}{\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {K}{n}}|L|\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}\cdot {\dfrac {n-K}{n}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}={\dfrac {\varepsilon }{2}}\end{matrix}}}
נסכם: נסמן {\displaystyle N=\max\{K,N\_{1},N\_{2}\}} ונקבל כי לכל {\displaystyle n\geq N} מתקיים:


|

1
n

∑

k
=
1

n

a

k

−
L

|

=

|

1
n

∑

k
=
1

K

a

k

+

1
n

∑

m
=
K
+
1

n

a

m

−
L

|

 

≤

 

|

1
n

∑

k
=
1

K

a

k

|

+

|

1
n

∑

m
=
K
+
1

n

a

m

−
L

|

 

<

 

ε
2

+

ε
2

=
ε

{\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{K}a\_{k}+{\frac {1}{n}}\sum \_{m=K+1}^{n}a\_{m}-L\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{K}a\_{k}\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum \_{m=K+1}^{n}a\_{m}-L\right|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }

{\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
אזי {\displaystyle A\_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{n}a\_{k}\to L} כדרוש.

{\displaystyle \blacksquare }

ראו גם
------

* חשבון אינפיניטסימלי
* מבחני התכנסות לטורים
* גבול של סדרה
* סדרת קושי