פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי {\displaystyle ?(x)}
**פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי** היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים. את הפונקציה מסמנים על ידי {\displaystyle ?(x)}; השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה.

הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים.

הגדרה
-----

הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים.

עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},...a\_{n}]}, ומגדירים

{\displaystyle ?(x)=a\_{0}+2\sum \_{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i-1}}{2^{a\_{1}+\dots +a\_{i}}}}}

עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},...]}, ומגדירים

{\displaystyle ?(x)=a\_{0}+2\sum \_{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i-1}}{2^{a\_{1}+\dots +a\_{i}}}}}

הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ.

הסבר אינטואיטיבי
----------------

מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים).

בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות. על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},...a\_{n},...]}, כאשר המספרים הטבעיים {\displaystyle a\_{i}} הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר.

לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית {\displaystyle 00100100100100100...}. הייצוג הבינארי שלה הוא המספר {\displaystyle {\frac {2}{7}}}; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא {\displaystyle [0;2,1,2,1,2,1,...]}, ששווה ל-{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}.

אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג. בפרט, על פי הדוגמה מתקיים {\displaystyle ?({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}})={\frac {2}{7}}}.

תכונות
------

עבור שני שברים מצומצמים {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ו- {\displaystyle {\frac {r}{s}}} כך ש-{\displaystyle |ps-rq|=1}, מתקיים: .

{\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?{\bigg (}{\frac {p}{q}}{\bigg )}+{}?{\bigg (}{\frac {r}{s}}{\bigg )}\right)}

בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי.

פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט. היא גם פונקציה סינגולרית.

הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת {\displaystyle {\frac {x}{2^{y}}}}), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים. עבור x אי-רציונלי, {\displaystyle ?(x)} הוא או אלגברי מדרגה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי.

מתקיים {\displaystyle ?(x+1)=?(x)+1} ועל כן הפונקציה {\displaystyle ?(x)-x} היא מחזורית בעלת מחזור 1.

הפונקציה 
  
    
      
        ?
        (
        x
        )
        −
        x
      
    
    {\displaystyle ?(x)-x}הפונקציה {\displaystyle ?(x)-x}

הפונקציה ההופכית - פונקציית הקופסה של קונוויי
---------------------------------------------

היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה. ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי. הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל-{\displaystyle ?^{-1}(x)}.

ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר {\displaystyle {\frac {\{x\}}{2}}={\frac {x-\lfloor x\rfloor }{2}}}, ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},\dots ]}, כאשר {\displaystyle a\_{0}=\lfloor x\rfloor }.

ראו גם
------

* פונקציה סינגולרית
* פונקציית הקופסה של קונוויי

לקריאה נוספת
------------

* Arnaud Denjoy, On the real function of Minkowski.
* LINAS VEPŠTAS, On the Minkowski Measure
* R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי** בוויקישיתוף
* פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)