ז'אן ד'אלמבר
**עקרון ד'אָלֶמְבֶּר** (D'Alembert), הידוע גם כ**עקרון לגרנז'-ד'אלמבר** (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס. לפיכך, עקרון ד'אלמבר הוא:

{\displaystyle \sum \_{i}(\mathbf {F} \_{i}-m\_{i}\mathbf {a} \_{i})\cdot \delta \mathbf {r} \_{i}=0,}

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {F} \_{i}} | הם הכוחות המופעלים על המערכת, |
| {\displaystyle \delta \mathbf {r} \_{i}} | הם ההעתקים הווירטואליים המצייתים לאילוצי המערכת, |
| {\displaystyle m\_{i}\scriptstyle } | הם מסות החלקיקים במערכת, |
| {\displaystyle \mathbf {a} \_{i}} | הם תאוצות החלקיקים במערכת, |
| {\displaystyle m\_{i}\mathbf {a} \_{i}} | ביחד מייצגים את הנגזרת הזמנית של התנע, |
| i | הוא מספר טבעי המייצג משתנים השייכים לחלקיקים שונים. |

משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות. הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקואורדינטות ובזמן.

הוכחה
-----

העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן dt, העתקה וירטואלית נעשית מידית.
כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:

{\displaystyle F\_{i}-{\dot {p\_{i}}}=0}

ומכאן נקבל מידית:

{\displaystyle \sum \_{i}(F\_{i}-{\dot {p\_{i}}})\delta {r\_{i}}=0}

קבלת משוואת אוילר לגרנז'
------------------------

נבדיל בין כוחות ממשיים {\displaystyle {F\_{i}}^{(a)}} לכוחות אילוצים f\_{i}:

{\displaystyle \sum \_{i}({F\_{i}}^{(a)}-{\dot {p\_{i}}})\delta {r\_{i}}+\sum \_{i}f\_{i}\delta {r\_{i}}=0}

כאשר האיבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. לדוגמה חלקיק המוגבל לנוע על משטח- כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואליים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא החלקה, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.

אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקואורדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה.

נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:

{\displaystyle r\_{i}=r\_{i}(q\_{1},q\_{2},...q\_{n},t)}

באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי תלויות).  

ההעתקה הווירטואלית {\displaystyle \delta {r\_{i}}} קשורה להעתקה הווירטואלית **הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \delta {q\_i}}**
 על ידי:

{\displaystyle \delta {r\_{i}}=\sum \_{j}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}}

על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים {\displaystyle Q\_{j}}

{\displaystyle \sum \_{i}F\_{i}\delta {r\_{i}}=\sum \_{i,j}F\_{i}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}=\sum \_{j}Q\_{j}\delta {q\_{j}}}

{\displaystyle Q\_{j}=\sum \_{i}F\_{i}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}}

שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקוארדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.

עוד איבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים:


∑

i



p
˙

i

δ

r

i

=

∑

i
,
j

m

r

i

¨



∂

r

i

∂

q

j


δ

q

j

=

∑

i
,
j

d

d
t

(
m

r

i

˙



∂

r

i

∂

q

j


)
δ

q

j

−

∑

i
,
j

m

r

i

˙


d

d
t

(

∂

r

i

∂

q

j


)
δ

q

j


{\displaystyle \sum \_{i}{\dot {p}}\_{i}\delta r\_{i}=\sum \_{i,j}m{\ddot {r\_{i}}}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}=\sum \_{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r\_{i}}}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}})\delta {q\_{j}}-\sum \_{i,j}m{\dot {r\_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}})\delta {q\_{j}}}

{\displaystyle \sum _{i}{\dot {p}}_{i}\delta r_{i}=\sum _{i,j}m{\ddot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}m{\dot {r_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}}
נוכל לבטא את המהירויות:

{\displaystyle v\_{i}={\frac {dr\_{i}}{dt}}=\sum \_{j}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}{\dot {q\_{j}}}+{\frac {\partial r\_{i}}{\partial t}}}

נזכור כי r\_{i} אינם תלויים באופן מפורש ב {\displaystyle {\dot {q}}\_{j}} ולכן:

{\displaystyle {\frac {\partial v\_{i}}{\partial {\dot {q\_{j}}}}}={\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}}

בנוסף לכך:



d

d
t



∂

r

i

∂

q

j


=

∑

k



∂

2

r

i

∂

q

j

∂

q

k



q
˙

k

+

∂

2

r

i

∂

q

j

∂
t

=

∂

∂

q

j



d

r

i

d
t


{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}=\sum \_{k}{\frac {\partial ^{2}r\_{i}}{\partial q\_{j}\partial q\_{k}}}{\dot {q}}\_{k}+{\frac {\partial ^{2}r\_{i}}{\partial q\_{j}\partial t}}={\frac {\partial }{\partial q\_{j}}}{\frac {dr\_{i}}{dt}}}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}r_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}r_{i}}{\partial q_{j}\partial t}}={\frac {\partial }{\partial q_{j}}}{\frac {dr_{i}}{dt}}}
נציב ביטוים אלו באיבר התנע ונפתח:


∑

i



p
˙

i

δ

r

i

=

∑

i
,
j

d

d
t

(
m

r

i

˙



∂

r

i

∂

q

j


)
δ

q

j

−

∑

i
,
j

m

r

i

˙


d

d
t

(

∂

r

i

∂

q

j


)
δ

q

j

=

∑

i
,
j

d

d
t

(
m

v

i


∂

v

i

∂

q

j

˙



)
δ

q

j

−

∑

i
,
j

m

v

i


∂

v

i

∂

q

j


δ

q

j

=

∑

i
,
j

d

d
t

(

1
2

m

∂

v

i

2

∂

q

j

˙



)
δ

q

j

−

∑

i
,
j

1
2

m

∂

v

i

2

∂

q

j


δ

q

j

=

{\displaystyle \sum \_{i}{\dot {p}}\_{i}\delta r\_{i}=\sum \_{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r\_{i}}}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}})\delta {q\_{j}}-\sum \_{i,j}m{\dot {r\_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}})\delta {q\_{j}}=\sum \_{i,j}{\frac {d}{dt}}(mv\_{i}{\frac {\partial v\_{i}}{\partial {\dot {q\_{j}}}}})\delta {q\_{j}}-\sum \_{i,j}mv\_{i}{\frac {\partial v\_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}=\sum \_{i,j}{\frac {d}{dt}}({\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v\_{i}}^{2}}{\partial {\dot {q\_{j}}}}})\delta {q\_{j}}-\sum \_{i,j}{\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v\_{i}}^{2}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}=}

{\displaystyle \sum _{i}{\dot {p}}_{i}\delta r_{i}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}m{\dot {r_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(mv_{i}{\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}mv_{i}{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}({\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v_{i}}^{2}}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v_{i}}^{2}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=}
{\displaystyle ={\frac {d}{dt}}({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q\_{j}}}}})\delta {q\_{j}}-{\frac {\partial T}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}}

כאשר T היא האנרגיה הקינטית מבוטאת בקואורדינטות המוכללות.

אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:

{\displaystyle F\_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial r\_{i}}}}

לכן בקואורדינטות מוכללות איבר הכוחות נראה כך:

{\displaystyle \sum \_{i,j}-{\frac {\partial V}{\partial r\_{i}}}{\frac {\partial r\_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}=\sum \_{j}-{\frac {\partial V}{\partial q\_{j}}}\delta {q\_{j}}}

והכוח המוכלל ניתן על ידי:

{\displaystyle Q\_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q\_{j}}}}

נסכום את האיברים:

{\displaystyle \sum \_{j}({\frac {\partial (T-V)}{\partial q\_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q\_{j}}}}})\delta {q\_{j}}=0}

כאשר {\displaystyle \delta {q\_{j}}} הם העתקים וירטואליים שרירותיים. לכן מתקיים לכל איבר בסכום:

{\displaystyle {\frac {\partial (T-V)}{\partial q\_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q\_{j}}}}}=0}

ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}}.
לכן על ידי הוספת איבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה כ:

{\displaystyle {\frac {\partial (T-V)}{\partial q\_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q\_{j}}}}}=0}

נגדיר את פונקציית הלגרנז'יאן כ

{\displaystyle L=T-V}

ובכך קיבלנו את משוואת אוילר לגרנז':

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q\_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q\_{j}}}}}=0}

קישורים חיצוניים
----------------

* עקרון ד'אלמבר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)