במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, **תת חבורת הקומוטטורים** {\displaystyle G'} של חבורה G היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה {\displaystyle G/G'} היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה {\displaystyle g\_{1}\cdot g\_{2}\cdot \dots \cdot g\_{n}} שכך שיש תמורה \pi המקיימת {\displaystyle g\_{\pi (1)}\cdot g\_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g\_{\pi (n)}=e} כאשר e הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה
-----

הקומוטטור של שני איברים {\displaystyle g,h} בחבורה G הוא האיבר [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}. תת-חבורת הקומוטטורים של G היא החבורה הנוצרת {\displaystyle \langle [h,g]|h,g\in G\rangle }. את החבורה המתקבלת מסמנים {\displaystyle G'} או {\displaystyle [G,G]}. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם {\displaystyle A,B} תת-חבורות נורמליות של G, אז {\displaystyle [A,B]} היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים {\displaystyle [a,b]} עבור {\displaystyle a\in A,b\in B}; זו תת-חבורה נורמלית גם של A וגם של B.

תכונות
------

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה {\displaystyle G/G'} היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה {\displaystyle G/N} אבלית אם ורק אם {\displaystyle G'\subseteq N}. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה {\displaystyle G/G'} נקראת ה**אבליזציה** של G.

מכיוון שהומומורפיזם {\displaystyle f:G\to H} מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה {\displaystyle f(G')\subset H'}. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-{\displaystyle [A/N,B/N]=[A,B]N/N} ובפרט {\displaystyle (G/N)'=G'N/N}.

הכללות
------

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: {\displaystyle G^{(0)}:=G}, ולכל n, {\displaystyle G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]}. בפרט מקצרים וכותבים {\displaystyle G'=[G,G]}, {\displaystyle G''=[G',G']} וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון 
{\displaystyle G'=G} נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות S\_n היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, A\_{n}, בעוד ש-A\_{n} מושלמת לכל {\displaystyle 5\leq n} (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים {\displaystyle G\_{n+1}=[G,G\_{n}]}, כאשר {\displaystyle G\_{1}:=G}. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית. 

**נוסחת קומוטטורים מוכללת** היא הנוסחה {\displaystyle \psi =x\_{1}}, או נוסחה מהצורה {\displaystyle \psi =[\psi ',\psi '']} כאשר {\displaystyle \psi ',\psi ''} הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות {\displaystyle [G\_{n},G\_{n}]\subseteq \psi (G)} (לכל חבורה G), ואלו המקיימות {\displaystyle \psi (G)\subseteq [G,G'']}; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות {\displaystyle \psi (G)=1}, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות {\displaystyle \psi (G)=1}, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את **למת שלוש התת-חבורות**: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות {\displaystyle A,B,C} של G, מתקיים {\displaystyle [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]}.

### האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. ה**אורך** של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על {\displaystyle \lceil \log \_{4}|G'|\rceil }, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2). 

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות A\_{n}. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס {\displaystyle L\_{r}(q)}, עבור {\displaystyle q>8}. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

ראו גם
------

* חבורה נילפוטנטית

קישורים חיצוניים
----------------

* תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
2. ↑  P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z. 79 (1962), 122-6
3. ↑  Liebeck, Martin & A. O’Brien, E & Shalev, Aner & Tiep, Pham. (2010). **The Ore conjecture**, Journal of The European Mathematical Society - J EUR MATH SOC. 12. 939-1008. 10.4171/JEMS/220.

| אלגברה מופשטת |
| --- |
| ענפים | אלגברה לינארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות |
| מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית |
| מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה לינארית |