**משפטי סילו** הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני p נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה n=1. 

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות
------

אם p הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית G, אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר {\displaystyle p^{n}} מחלק את סדר החבורה, אבל {\displaystyle p^{n+1}} אינו מחלק. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל-{\displaystyle p^{n}} קוראים **חבורת p-סילו** של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם {\displaystyle |G|=24=2^{3}\cdot 3} אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של G, ותת-חבורה מסדר {\displaystyle 8} היא חבורת {\displaystyle 2}-סילו של G.

ניסוח המשפטים
-------------

נניח ש-G חבורה סופית וש-{\displaystyle p^{n}} היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב-{\displaystyle n\_{p}} את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

### משפט סילו הראשון

לכל חבורה G קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו {\displaystyle n\_{p}>0}).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p המחלקת את הסדר של G, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

### משפט סילו השני

כל חבורות p-סילו של G צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של G, שהיא חבורת p, מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של G.

מסקנה
חבורת p-סילו היא יחידה (כלומר {\displaystyle n\_{p}=1}) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של G.

### משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות p-סילו של G שקול לאחת מודולו p. כלומר {\displaystyle n\_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}.

מסקנה
{\displaystyle n\_{p}} מחלק את הסדר של G. אם נסמן {\displaystyle |G|=p^{n}m} (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-{\displaystyle n\_{p}} מחלק את m, משום שלפי משפט סילו השלישי {\displaystyle n\_{p}} זר ל־p.

**הוכחה**: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H של G שווה לאינדקס של המנרמל של H ב-G, שהוא תת-חבורה המכילה את H. אבל המנרמל מכיל את H, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H, וממילא הוא זר ל-p.

דוגמה לשימוש
------------

נראה שלכל חבורה G מסדר {\displaystyle 105} מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. {\displaystyle 105=3\cdot 5\cdot 7}, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, {\displaystyle 5} ו-{\displaystyle 7}. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את {\displaystyle 35} - ולכן הוא 1 או {\displaystyle 7}. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר {\displaystyle 5} הוא 1 או {\displaystyle 21}, ושל אלו מסדר {\displaystyle 7} הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש {\displaystyle 7} חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן {\displaystyle 7\cdot (3-1)=14} איברים מסדר 3. באופן דומה יש {\displaystyle 84} איברים מסדר {\displaystyle 5} ו-{\displaystyle 90} מסדר {\displaystyle 7}. ביחד יותר מ-{\displaystyle 105}, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות
------

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון. 

**הוכחת המשפט הראשון**. נסמן ב-X את אוסף כל תת-ה**קבוצות** בגודל {\displaystyle p^{n}} של G. מכיוון ש-{\displaystyle |X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}}}, קל לחשב ש-p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: {\displaystyle g\colon B\mapsto gB=\{gb:b\in B\}}. 

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב-p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב-p. תהי {\displaystyle B\in X} נקודה באותו מסלול; נבחר {\displaystyle b\in B}, אז גם {\displaystyle b^{-1}B} היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- {\displaystyle 1\in B}. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב-B (שהרי {\displaystyle x\in xB=B}), ולכן גודלו {\displaystyle p^{n}} לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את {\displaystyle p^{n}m}, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-p ומחלק את m. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-{\displaystyle p^{n}}, ואם כך הוא שווה ל-B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב-S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש-S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה. 

**טענה**. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p.

**הוכחה**. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם {\displaystyle P,Q} שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- {\displaystyle {\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}}}, וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש-Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת {\displaystyle PQ=QP} היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב-p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם {\displaystyle Q=P}. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל-1 מודולו p.

**הוכחת המשפט השלישי**. מספיק לבחור {\displaystyle T=S} בטענה. 

**הוכחת המשפט השני**. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפטי סילו, באתר MathWorld (באנגלית)