הגדרות
------

**משחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד**  
(games in coalitional form with side payments(TU) games)

זה הוא משחק שיתופי המוגדר על ידי הזוג {\displaystyle \left(N;v\right)} כך שמתקיים:

* {\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}} הוא קבוצה סופית של שחקנים.
* {\displaystyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} } היא פונקציה המתאימה לכל תת-קבוצה S של שחקנים מספר ממשי {\displaystyle v(S)} ומקיימת v(\emptyset )=0. {\displaystyle \!v} נקראת הפונקציה הקואליציונית של המשחק.

**פתרון של משחק קואליציוני עם תשלומי צד**

תהי U משפחת משחקים בצורה קואליציונית (על קבוצה כלשהי של שחקנים).
מושג פתרון (עבור המשפחה U) הוא פונקציה \varphi  המתאימה לכל משחק {\displaystyle (N;v)\in U} תת-קבוצה {\displaystyle \varphi (N;v)} של RN.

ייתכן כי עבור משחק מסוים {\displaystyle (N;v)\in U} יתקיים {\displaystyle \varphi (N;v)=\emptyset }.

מושג הפתרון נקרא נקודתי אם לכל משחק {\displaystyle (N;v)\in U} הקבוצה {\displaystyle \varphi (N;v)} בת איבר אחד.

**שקילות אסטרטגית**

משחקים בצורה קואליציונית {\displaystyle \left(N;w\right)}, {\displaystyle \left(N;v\right)} **שקולים אסטרטגית** אם קיימים מספרים a>0 ו-{\displaystyle b\_{1},\cdots ,b\_{n}\in \mathbb {R} } כך שלכל {\displaystyle S\subseteq N} מתקיים: {\displaystyle w\left(S\right)=av\left(S\right)+\sum \_{i\in S}b\_{i}}.

דוגמאות וסוגים של משחקים בצורה קואליציונית
------------------------------------------

**משחק פשוט**

משחק {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק פשוט אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל תת-קבוצה S של N מתקיים {\displaystyle \ v(S)=0} או {\displaystyle \ v(S)=1}. להרחבה ניתן לקרוא ב משחק פשוט .

**משחק סכום קבוע**   

משחק {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק סכום קבוע אם {\displaystyle \ \forall S\subseteq N\;.\;v(S)+v(N\smallsetminus S)=v(N)}. 

**משחק רוב משוקלל**

משחק {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק רוב משוקלל אם הוא משחק פשוט וקיימים משקלות חיוביים {\displaystyle \left(w\_{1},w\_{2}...w\_{n}\right)} (אחד לכל שחקן) ומיכסה {\displaystyle q\geq 0} כך שלכל {\displaystyle \ S\subseteq N} מתקיים:

{\displaystyle V(s)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ \sum \_{i\in S}w\_{i}\geq q\\0&{\mbox{if}}\ \sum \_{i\in S}w\_{i}<q\end{matrix}}\right.}

  

**משחק סופר אדיטיבי**

משחק {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק סופר אדיטיבי אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל שתי קבוצות זרות {\displaystyle \ T,S\subseteq N} מתקיים:
{\displaystyle \ v(\ T\cup S)\geq v(S)+v(T)}

  

**משחק קמור**

משחק
{\displaystyle \,(N;v)} 
יקרא משחק קמור אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל זוג קואליציות 
{\displaystyle \,S,\,T} 
מתקיים: 
{\displaystyle v(S)+v(T)\leq v(S\cup T)+v(S\cap T)}.
(בפרט הוא משחק סופר אדיטיבי)

**משחק מונוטוני**

משחק {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק מונוטוני אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל שתי קואליציות \ S,T כך ש- {\displaystyle S\subseteq T}, מתקיים: {\displaystyle v(S)\leq v(T)}

**משחק שוק**

להרחבה ניתן לקרוא במשחק שוק.

משפטים
------

  

**משפט** 
אם משחק {\displaystyle \ (N;v)} הוא סופר אדיטיבי ומשחק {\displaystyle \ (N;w)} שקול לו אסטרטגית אזי, המשחק {\displaystyle \ (N;w)} הוא סופר אדטיבי .

**משפט** 
כל משחק {\displaystyle \ (N;v)} שקול אסטרטגית למשחק מונוטוני.

דוגמאות לפתרונות למשחקים בצורה קואליציונית
------------------------------------------

**פתרונות נקודתיים**

**ערך שפלי**

{\displaystyle \varphi \_{i}(N;v)={\frac {1}{|N|!}}\sum \_{R}\left[\ v(P\_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-\ v(P\_{i}^{R})\right]\,\!}
כאשר R הוא יחס סדר על השחקנים, הסכום רץ על כל יחסי הסדר האפשריים (קיימים !n כאלה) ו-{\displaystyle P\_{i}^{R}} היא קבוצת כל השחקנים שמקדימים את i ביחס הסדר R.
להרחבה ניתן לקרוא בערך שפלי.

**גרעינון**   

להרחבה ניתן לקרוא בגרעינון (משחק שיתופי).

**פתרונות קבוצתיים**

**הליבה**   

להרחבה ניתן לקרוא בליבה של משחק שיתופי

ראו גם
------

* משחק שיתופי
* מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946