**משפט השאריות הסיני** הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.

מקורו של המשפט בספר מהמאה השלישית של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו. המשפט פורסם פעם נוספת במאה השלוש העשרה על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו.

המשפט עבור משוואות מודולריות
----------------------------

נניח ש- {\displaystyle \ m\_{1},m\_{2},\dots ,m\_{k}} הם מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר, המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1). אז בהינתן מספרים שלמים כלשהם {\displaystyle \ a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{k}}, (כאשר {\displaystyle \ a\_{i}} נמצא בקבוצת השאריות מודולו {\displaystyle \ m\_{i}}) יש למערכת המשוואות (קונגרואנציות)

{\displaystyle x\equiv a\_{i}{\pmod {m\_{i}}}\quad \mathrm {for} \;i=1,\cdots ,k.}
פתרון, ויתר על כן, כל שני פתרונות הם שקולים מודולו {\displaystyle \ m=m\_{1}\cdot m\_{2}\cdots m\_{k}} (כלומר, הפתרון יחיד מודולו m).

בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג {\displaystyle \ \mathbb {Z} /(m\_{1}\cdots m\_{k})\mathbb {Z} } איזומורפי לסכום הישר של החוגים {\displaystyle \ \mathbb {Z} /m\_{1}\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} /m\_{k}\mathbb {Z} }.

### הוכחה

רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס בו מודולו {\displaystyle m\_{i}} הם 1 ומודולו {\displaystyle m\_{j}} (כאשר {\displaystyle j\neq i}) הם 0. תוצאות אלה בונות בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף-ליניארי של איברי-בסיס עם המקדמים-החופשיים במשוואות-המודולריות.

נגדיר {\displaystyle \ n\_{i}=m/m\_{i}} ואז מתקיים ש {\displaystyle \ n\_{i},m\_{i}} זרים (מאחר ש-mi זר לכל גורם במכפלה המרכיבה את ni. אם הם לא היו זרים היה מספר ראשוני המחלק את שניהם, ובפרט את אחד הגורמים במכפלה, ואז היה מתקבל מספר ראשוני המחלק הן את mi והן mj אחר, בסתירה להנחה). כיוון שהם זרים, קיימים ri ו si עבורם:

{\displaystyle \ r\_{i}m\_{i}+s\_{i}n\_{i}=1} או {\displaystyle \ s\_{i}n\_{i}\equiv 1{\pmod {m\_{i}}}}.
כעת נגדיר {\displaystyle \ e\_{i}=n\_{i}s\_{i}} ואז {\displaystyle \ e\_{i}\equiv 1{\pmod {m\_{i}}}}. בנוסף, לכל j ששונה מ - i, {\displaystyle \ e\_{i}\equiv 0{\pmod {m\_{j}}}} כי mj מחלק את ni. 

בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר: 

{\displaystyle \ n\_{i}s\_{i}=e\_{i}\equiv \delta \_{ij}{\pmod {m\_{j}}}}
באמצעותו קל לבנות את הפתרון, שהוא:

{\displaystyle \ x=\sum \_{i=1}^{k}{a\_{i}e\_{i}}}
שכן {\displaystyle \ {\pmod {m\_{j}}}x=\sum \_{i}{a\_{i}e\_{i}}\equiv \sum \_{i}{a\_{i}\delta \_{ij}}\equiv a\_{j}} כנדרש.

לסיום, יהי y פתרון אחר, אזי לכל i מתקיים ש {\displaystyle \ m\_{i}|x-y} ומאחר שכל ה-mi זרים נובע שגם {\displaystyle \ m|x-y} ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו m.

בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות. {\displaystyle \blacksquare }

### דוגמה

נפתור את מערכת המשוואות הבאה:

1. {\displaystyle x\equiv 2{\pmod {3}}}
2. {\displaystyle x\equiv 1{\pmod {5}}}

כאן {\displaystyle m\_{1}=3\ ,\ m\_{2}=5} ו-{\displaystyle n\_{1}=5\ ,\ n\_{2}=3}.

נשים לב ש-

{\displaystyle n\_{1}s\_{1}=5\times 2=10\equiv 1{\pmod {3}}}
ו-

{\displaystyle n\_{2}s\_{2}=3\times 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}
ולכן {\displaystyle e\_{1}=10\ ,e\_{2}=6}. מצאנו את הבסיס ולכן הפתרון הוא 

{\displaystyle x\equiv a\_{1}e\_{1}+a\_{2}e\_{2}=2e\_{1}+e\_{2}=2\times 10+6\times 1=26\equiv 11{\pmod {15}}}.
נוודא שזה אכן פתרון, ואכן: {\displaystyle 11\equiv 2\ ({\bmod {3}})} ו- {\displaystyle 11\equiv 1\ ({\bmod {5}})}.

### מסקנה: האיזומורפיזם בין החוגים

מסקנה של המשפט היא ש-{\displaystyle \ \mathbb {Z} /(m\_{1}\cdots m\_{k})\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /m\_{1}\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} /m\_{k}\mathbb {Z} }.

יהי {\displaystyle x\in \mathbb {Z} /m\_{1}\dots m\_{k}\mathbb {Z} }, אפשר לשכן אותו ב-{\displaystyle \mathbb {Z} /m\_{1}\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} /m\_{k}\mathbb {Z} } על ידי

{\displaystyle x\mapsto \left(x\ \mathrm {mod} \ m\_{1},...x\ \mathrm {mod} \ m\_{k}\right)}
ובכיוון ההפוך, יהי {\displaystyle \left(a\_{1},...a\_{k}\right)\in \mathbb {Z} /m\_{1}\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} /m\_{k}\mathbb {Z} }. לפי משפט השאריות הסיני קיים {\displaystyle x\in \mathbb {Z} /(m\_{1}\cdots m\_{k})\mathbb {Z} } כך שמתקיים {\displaystyle \forall j=1,...k:x\equiv a\_{j}{\pmod {m\_{j}}}}, ולכן נתאים

{\displaystyle \left(a\_{1},...a\_{k}\right)\mapsto x}
כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו {\displaystyle m=m\_{1}\cdot ...\cdot m\_{k}}.

שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים.

גרסה כללית של משפט השאריות הסיני
--------------------------------

יהי {\displaystyle \ R} חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח שהאידיאלים {\displaystyle \ I\_{1},\dots ,I\_{k}} הם זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר {\displaystyle \ I\_{i}+I\_{j}=R} לכל {\displaystyle \ i\neq j}. אז חוג המנה {\displaystyle \ R/(I\_{1}\cap \dots \cap I\_{k})} איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים {\displaystyle \ R/I\_{1}\oplus \dots \oplus R/I\_{k}}. בפרט, אם R קומוטטיבי והאידיאלים {\displaystyle \ I\_{1},\dots ,I\_{k}} כולם אידיאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז {\displaystyle \ R/(I\_{1}\cap \dots \cap I\_{k})} הוא מכפלה ישרה של שדות.

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט השאריות הסיני באתר howMath
* גדי אלכסנדרוביץ', משפט השאריות הסיני, באתר "לא מדויק", 12 בספטמבר 2012
* משפט השאריות הסיני, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* משפט השאריות הסיני, באתר MathWorld (באנגלית)
* משפט השאריות הסיני, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007558793905171
* GND: 4470755-1
* LCCN: sh97002778

 |