AD תיכון ל-BC
השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום
בגאומטריית המישור, **משפט התיכון** קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}}

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים: 

{\displaystyle \ mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}}
במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה
-----

  

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם {\displaystyle \angle ABC>{\frac {\pi }{2}}} אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: {\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2p\cdot BC}

נעביר אגפים, ונקבל: {\displaystyle 2p\cdot BC=AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: {\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD}

נציב {\displaystyle BD={\frac {BC}{2}}}, ונקבל: {\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC}

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: {\displaystyle 2p\cdot BC=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}}

על פי כלל המעבר, נקבל: {\displaystyle AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}}

לאחר העברת אגפים, נקבל: {\displaystyle 2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}}

הוכחה גאומטרית
--------------

  

נסמן {\displaystyle AB=a,AC=b,BC=c}. כמו כן נסמן {\displaystyle AD=x}

אם {\displaystyle a=b}, המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

  

אחרת, {\displaystyle a\neq b}, נחשב את שטח המשולש {\displaystyle \Delta ABD} לפי נוסחת הרון:

  

{\displaystyle S\_{\Delta ABD}={\sqrt {{\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-x{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-a{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-{\frac {c}{2}}{\Bigl )}}}=}

{\displaystyle {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})+x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})-x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x-(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}}}=}

{\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {{\Bigl (}(a+{\frac {c}{2}})^{2}-x^{2}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}x^{2}-(a-{\frac {c}{2}})^{2}{\Bigl )}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}

  

נחשב את שטח המשולש {\displaystyle \Delta ACD} ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

{\displaystyle S\_{\Delta ACD}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}

  

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר {\displaystyle S\_{\Delta ABD}=S\_{\Delta ACD}}. נשווה ביניהם ונמצא את {\displaystyle x}

  

{\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: 

{\displaystyle -x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}=-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}

נסדר את המשוואה:

{\displaystyle x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}-2b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}

{\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}-(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}+(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}}

{\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}=(a^{2}-b^{2})\cdot {\Bigl (}a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}}

נצמצם ב {\displaystyle a^{2}-b^{2}} (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי {\displaystyle a\neq b}) ונקבל את התוצאה: {\displaystyle 2x^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}}