אין לבלבל עם אין לבלבל ערך זה, העוסק במשפט פרמה לנקודות קיצון, עם הערך "המשפט האחרון של פרמה", העוסק במשפט ידוע יותר של פייר דה פרמה, עליו גם נכתב ספר בעל אותו השם.
בחשבון אינפיניטסימלי, **משפט פרמה** של פייר דה פרמה לפיו אם פונקציה גזירה, אז ערך הנגזרת בנקודת קיצון מקומית שווה לאפס. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. יש לשים לב כי ההפך לא תמיד נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.

ניסוח המשפט
-----------

|  |
| --- |
| תהי {\displaystyle \ f} פונקציה המוגדרת בקטע {\displaystyle \left(a,b\right)} ותהי {\displaystyle x\_{0}\in (a,b)} נקודת קיצון מקומית בה הפונקציה גזירה, אז {\displaystyle f'\left(x\_{0}\right)=0}. |

הוכחה
-----

**דוגמה**: נקודת המקסימום של של הפונקציה {\displaystyle f(x)=-x^{2}+5} היא {\displaystyle (0,5)} המשיק לה הוא {\displaystyle g(x)=5} כשהשיפוע שווה לערך הנגזרת הוא {\displaystyle 0}
נוכיח במקרה שבו {\displaystyle \ x\_{0}} היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה לנקודות מינימום דומה.

מאחר ש-{\displaystyle \ x\_{0}} נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה {\displaystyle \ U=(x\_{0}-\delta ,x\_{0}+\delta )} המוכלת כולה בקטע {\displaystyle \ (a,b)}, כך שלכל {\displaystyle x\in U} מתקיים {\displaystyle f(x)\leq f(x\_{0})}. מכאן כי עבור כל {\displaystyle \ \Delta x} שעבורו {\displaystyle x\_{0}+\Delta x\in U} מתקיים {\displaystyle f(x\_{0}+\Delta x)\leq f(x\_{0})}.

ולכן: {\displaystyle f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})\leq 0}. נחלק ב־{\displaystyle \Delta x}:

עבור {\displaystyle 0<{\Delta x}}:

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}\leq 0} ולכן גם {\displaystyle f'\_{+}(x\_{0})=\lim \_{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}\leq 0}.

ועבור {\displaystyle 0>{\Delta x}}:

{\displaystyle {\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}\geq 0} ולכן גם {\displaystyle f'\_{-}(x\_{0})=\lim \_{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}{\Delta x}}\geq 0}

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה {\displaystyle \ x\_{0}} הרי שמתקיים {\displaystyle f'\_{-}\left(x\_{0}\right)=f'\_{+}(x\_{0})} ולכן בהכרח {\displaystyle f'\left(x\_{0}\right)=0}.

הכללה למקרה מרובה המשתנים
-------------------------

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים {\displaystyle \ f(x\_{1},\dots ,x\_{n}):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }. אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.

קישורים חיצוניים
----------------

* ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', נגזרת - בשביל מה זה טוב? (בעיות קיצון, חלק ב'), באתר "לא מדויק", 16 בינואר 2011.
* ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית - מציאת ערכי קיצון, באתר "לא מדויק", 15 באוקטובר 2015.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |