|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית** (סימון מתמטי: \times ) היא פעולה בינארית על קבוצות היוצרת קבוצה חדשה, שאבריה הם הזוגות הסדורים שרכיביהם מגיעים משתי הקבוצות, בהתאמה.

המכפלה נקראת כך על שמו של רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רֶנַאטוּס קַרְטֶזִיּוּס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים - ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

הגדרה
-----

**הגדרה**: {\displaystyle A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ \land \ b\in B\,\}}.

תהיינה A ו-B קבוצות. המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת {\displaystyle A\times B} והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-A והאיבר השני שייך ל-B.

דוגמה
-----

אם קבוצה X מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { *A*, *K*, *Q*, *J*, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} וקבוצה Y מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים ‎{ (2, ♣), (3, ♣), ... (A, ♥), ... (K, ♠), (A, ♠) }.

הכללה
-----

באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

{\displaystyle X\_{1}\times X\_{2}\times ...\times X\_{N}=\left\{(x\_{1},x\_{2},...x\_{N})\ |\ \forall n:x\_{n}\in X\_{n}\right\}}

בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה של קבוצות (גם אינסופית) באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:

{\displaystyle \prod \_{n\in \Lambda }X\_{n}=\{f:\Lambda \to \bigcup \_{n\in \Lambda }X\_{n}\ \ |\ \forall n:f(n)\in X\_{n}\}}. כאן \Lambda  היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם \Lambda  היא קבוצה של אינדקסים ולכל
{\displaystyle n\in \Lambda } הקבוצה {\displaystyle \ X\_{n}} לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית
{\displaystyle \prod \_{n\in \Lambda }X\_{n}} לא ריקה.

דוגמאות
-------

* המרחב {\mathbb {R}}^{n} הוא מכפלה קרטזית של n פעמים הישר הממשי \mathbb{R}. בכתיב פורמלי: {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dots \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}} (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את \mathbb{R} בחזקת n).

כל וקטור במרחב זה הוא n-יה סדורה {\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})}. על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה {\displaystyle f:\Lambda \to \mathbb {R} } כאשר {\displaystyle \Lambda =\left\{1,2,\dots ,n\right\}}. עבור נקודה כלשהי {\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})} במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת {\displaystyle f(k)=x\_{k}}.
* נביט בקבוצות {\displaystyle X\_{n}=\left\{1,\dots ,n\right\}} כאשר {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. המכפלה {\displaystyle \prod \_{n\in \mathbb {N} }X\_{n}} היא קבוצת הפונקציות {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} } המקיימות {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :f(n)\leq n}.

הקבוצה הריקה:
נניח: {\displaystyle A=\{1,2\}\,\ B=\emptyset }

{\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \emptyset =\emptyset }

{\displaystyle B\times A=\emptyset \times \{1,2\}=\emptyset }

ראו גם
------

* עקרון הכפל
* סכום ישר
* מרחב מכפלה

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **מכפלה קרטזית** בוויקישיתוף
* מכפלה קרטזית, באתר MathWorld (באנגלית)
* גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - מכפלות קרטזיות כלליות, באתר "לא מדויק", 20 ביוני 2020

הערות שוליים
------------

1. ↑  Warner, S: *Modern Algebra*, page 6. Dover Press, 1990.
2. ↑  ללא קלפי הג'וקר

| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • סדר חלקי • יחס הופכי • יחס אנטי-סימטרי |
| סדר | סדר מלא • סדר טוב • סדר חלקי • טיפוס סדר • מספר סודר |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |