בתורת המספרים האלגברית, **שדה ציקלוטומי** הוא שדה מספרים מהצורה {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{n}]}, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר {\displaystyle \ U\_{n}}. בפרט, ממד ההרחבה הוא {\displaystyle \ \phi (n)}, כאשר {\displaystyle \ \phi } היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של {\displaystyle \ \zeta \_{n}} הוא הפולינום הציקלוטומי {\displaystyle \ \Phi \_{n}}.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{1}]=\mathbb {Q} [\zeta \_{2}]=\mathbb {Q} }; 
{\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{3}]=\mathbb {Q} [\zeta \_{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]} (משום ש-{\displaystyle \ \zeta \_{3}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}});
{\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]}; 
{\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{5}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {\frac {-(5+{\sqrt {5}})}{2}}}]}; ו-
{\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}]}. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{nm}]=\mathbb {Q} [\zeta \_{n},\zeta \_{m}]}. למשל, {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{24}]=\mathbb {Q} [\zeta \_{3},\zeta \_{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}.

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{n}]} מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם {\displaystyle \ \phi (n)} הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, {\displaystyle \ \cos({\frac {2\pi }{17}})={\frac {{\frac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})({\sqrt {17}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}})}}}{8}}}.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\zeta \_{p}]}. הדיסקרימיננטה של ההרחבה {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{p}]/\mathbb {Q} } היא {\displaystyle \ (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}}, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של {\displaystyle \ p^{\*}=(-1)^{(p-1)/2}p} (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- {\displaystyle \ {\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta \_{5}]}, ובדומה לזה {\displaystyle \ {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta \_{7}]}). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו 
כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{m}]}. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא ה**קונדקטור** של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{p}]/\mathbb {Q} } הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: {\displaystyle \ \langle p\rangle =\langle 1-\zeta \_{p}\rangle ^{p-1}}.

קישורים חיצוניים
----------------

* גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
* שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

| מערכות מספרים |
| --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {N} } (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים {\displaystyle \mathbb {Z} } (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים {\displaystyle \mathbb {Q} } (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים {\displaystyle \mathbb {R} } (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים {\displaystyle \mathbb {C} } (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} • חוג השלמים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}} • חוג השלמים של אייזנשטיין {\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]} |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים {\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון {\displaystyle \ {\mathbb {H} }}) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי {\displaystyle \ {\mathbb {O} }}) • אלגברות קיילי-דיקסון |