באלקטרודינמיקה, **פוטנציאלים מעוכבים** (**retarded potentials**) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר. 

השדות מתפשטים במהירות האור *c*, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה.

בכיול לורנץ
-----------

 מיקום הווקטורים **r** ו- **r ′** המשמשים בחישוב.
נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

{\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon \_{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu \_{0}\mathbf {J} }
כאשר φ( **r**, *t* ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- **A** ( **r**, *t* ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( **r**, *t* ) וצפיפות הזרם **J** ( **r**, *t* ), וכן {\displaystyle \Box } הוא הד'אלמבריאן.  פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

### עבור שדות תלויי זמן

עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: 

{\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t\_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t\_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}
כאשר **r** הוא נקודה במרחב, *t* הוא הזמן, ו-

{\displaystyle t\_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
הוא הזמן המעוכב, ו-{\displaystyle d^{3}\mathbf {r'} } הוא גורם האינטגרציה לפי {\displaystyle \mathbf {r'} } .

מ-φ( **r**, t) ו- **A** ( **r**, *t* ), **ניתן לחשב את השדות E** ( **r**, *t* ) ו- **B** ( **r**, *t* ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

{\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}
### השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן

במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור {\displaystyle \Box } מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon \_{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu \_{0}\mathbf {J} \,,}
כאשר \nabla ^{2} הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור **A**), והפתרונות שלהן הם:

{\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}
אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

### פוטנציאל ליאנארד-ויקרט

במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו {\displaystyle \mathbf {r\_{s}} (t)}, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} \_{s}\cdot \mathbf {\beta } \_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}|}}\right)\_{t\_{r}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu \_{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {\beta } \_{s}}{(1-\mathbf {n} \_{s}\cdot \mathbf {\beta } \_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}|}}\right)\_{t\_{r}}}

זאת כאשר:

* {\displaystyle \mathbf {\beta } \_{s}={\frac {1}{c}}{\frac {d\mathbf {r} \_{s}}{dt}}} היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
* {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}|} הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
* {\displaystyle \mathbf {n} \_{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}|}}} הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
* הסימן {\displaystyle (...)\_{t\_{r}}} משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב {\displaystyle t\_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}|}

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{s}(t\_{r})|=c(t-t\_{r})}

בכיול קולון
-----------

בכיול קולון, משוואות מקסוול הן

{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon \_{0}}}}
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \_{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}
הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-**A** הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה *באופן מיידי*, לפי:

{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int \_{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t\_{r}{\dfrac {t\_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t\_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}
התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך **לא ניתן לחשב את A** מההתפלגות הנוכחית **j**. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}

בכבידה ליניארית
---------------

הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה {\displaystyle {\tilde {h}}\_{\mu \nu }=h\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta \_{\mu \nu }h} ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני {\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}\_{,\mu }=0} מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן {\displaystyle \Box {\tilde {h}}\_{\mu \nu }=-16\pi GT\_{\mu \nu }}, ופתרון הגל המעוכב הוא:

{\displaystyle {\tilde {h}}\_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T\_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t\_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.

ראו גם
------

* משוואות מקסוול
* זמן מאוחר
* חוק לנץ

הערות שוליים
------------

1. ↑  Rohrlich, F (1993). "Potentials". In Parker, S.P. (ed.). *McGraw Hill Encyclopaedia of Physics* (2nd ed.). New York. p. 1072. ISBN 0-07-051400-3.
2. ↑  Garg, A. *Classical Electromagnetism in a Nutshell*, 2012, p. 129
3. ↑  Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, מסת"ב 978-0-471-92712-9
4. 1 2  Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, מסת"ב 81-7758-293-3
5. ↑  Andrew T. Hyman, Non-Uniqueness of the Lienard-Wiechert Potential, **arXiv:1206.0931 [physics]**, 2019-03-15
6. ↑  J. M. Aguirregabiria, A. Hernández, M. Rivas, The Liénard–Wiechert potential and the retarded shape of a moving sphere, **American Journal of Physics** 60, 1992-07-01, עמ' 597–599 doi: 10.1119/1.17112
7. ↑  Sean M. Carroll, "Lecture Notes on General Relativity" (arXiv:gr-qc/9712019), equations 6.20, 6.21, 6.22, 6.74