שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 

באנליזה מתמטית, **מרחבי L*p*** הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים **מרחבי לבג**, על שמו של אנרי לבג.

מרחבי lpn מממד סופי
-------------------

הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי {\mathbb {R}}^{n} היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור {\displaystyle x=\left(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}\right)} נתון על ידי {\displaystyle \|x\|\_{2}=\left(x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}\right)^{1/2}}.

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-{\mathbb {R}}^{n}. אם {\displaystyle p\geq 1} הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת {\displaystyle {\ell }^{p}} של וקטור x להיות

{\displaystyle \|x\|\_{p}=\left(|x\_{1}|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\cdots +|x\_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
(ולכן נורמת {\displaystyle {\ell }\_{n}^{2}} היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת {\displaystyle {\ell }\_{n}^{1}} ידוע בתור מטריקת מנהטן).

ניתן גם להגדיר נורמה ל-{\displaystyle p=\infty } על ידי

{\displaystyle \|x\|\_{\infty }=\max \left\{|x\_{1}|,|x\_{2}|,\ldots ,|x\_{n}|\right\}}
למעשה מתקיים {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert \_{\infty }=\lim \_{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert \_{p}} ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

לכל {\displaystyle p\geq 1} ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה. מפורשות:

* **חיוביות** - {\displaystyle ||x||\_{p}\geq 0} ו-{\displaystyle ||x||\_{p}=0} אם ורק אם x=0,
* **הומוגניות חיובית** - {\displaystyle ||c\cdot x||\_{p}=|c|\cdot ||x||\_{p}}, ו-
* **אי-שוויון המשולש** (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי) - {\displaystyle ||x+y||\_{p}\leq ||x||\_{p}+||y||\_{p}}.

יתרה מזאת, לכל {\displaystyle p\geq 1},{\mathbb {R}}^{n} יחד עם נורמת {\displaystyle {\ell }^{p}} (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי {\displaystyle \ell \_{n}^{p}}.

לעיתים מגדירים את {\displaystyle \ell \_{n}^{p}} להיות המרחב הווקטורי {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).

### p בין 0 ל-1

ב-{\mathbb {R}}^{n} כאשר n>1, הנוסחה

{\displaystyle \|x\|\_{p}=\left(|x\_{1}|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\cdots +|x\_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם {\displaystyle 0<p<1}, אבל ההעתקה המתקבלת {\displaystyle x\mapsto \left\Vert x\right\Vert \_{p}} איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

{\displaystyle d\_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert \_{p}^{p}=\sum \_{i=1}^{n}\left|x\_{i}-y\_{i}\right|^{p}}
היא מטריקה. בדומה למקרה {\displaystyle p\geq 1}, נהוג לסמן את המרחב המטרי {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},d\_{p}\right)} ב-{\displaystyle \ell \_{n}^{p}} וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי שכדור היחידה במטריקה {\displaystyle d\_{p}}, המסומן {\displaystyle B\_{n}^{p}}, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על {\mathbb {R}}^{n} על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על {\mathbb {R}}^{n} ולכן {\displaystyle \ell \_{n}^{p}} הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של {\displaystyle \ell \_{n}^{p}} היא להתבונן ב-{\displaystyle C\_{p}\left(n\right)}, הקבוע הקטן ביותר C שעבורו הניפוח {\displaystyle C\cdot B\_{n}^{p}} של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של {\displaystyle B\_{n}^{p}} (שהוא למעשה {\displaystyle B\_{n}^{1}} לכל {\displaystyle 0<p<1}). מסתבר שמתקיים {\displaystyle C\_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}} לכל n טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר n \to \infty (עבור {\displaystyle 0<p<1} קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי {\displaystyle \ell ^{p}} (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

### p=0

במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור {\displaystyle p=0} לפי

{\displaystyle \left\Vert x\right\Vert \_{0}=\lim \_{p\searrow 0}\left(\left|x\_{1}\right|^{p}+\left|x\_{2}\right|^{p}+\cdots +\left|x\_{n}\right|^{p}\right)}
שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור x. אם נגדיר {\displaystyle 0^{0}=0}, אז נורמת האפס של x שווה ל-{\displaystyle \left|x\_{1}\right|^{0}+\cdots +\left|x\_{n}\right|^{0}}. זוהי **אינה** נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.

מרחבי Lp מממד בן מניה
---------------------

כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב {\displaystyle \ell ^{p}} להיות אוסף הסדרות {\displaystyle \{x\_{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }} כך ש-{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{|x\_{n}|^{p}}<\infty }, ומגדירים את נורמת-p להיות {\displaystyle ||x\_{n}||\_{p}={\sqrt[{p}]{\sum \_{n=1}^{\infty }{|x\_{n}|^{p}}}}}.

כאשר {\displaystyle p=\infty } מגדירים, כמו במקרה הסופי, {\displaystyle ||\{x\_{n}\}||\_{\infty }=sup\{x\_{n}\}}, וגם כאן מתקיים {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert \_{\infty }=\lim \_{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert \_{p}} .

המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.

מרחבי Lp ממד כללי
-----------------

ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.

פורמלית, עבור {\displaystyle 1\leq p<\infty } מגדירים את {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )} עבור מרחב מידה {\displaystyle (X,S,\mu )} ושדה {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} להיות-

{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )=\{f:X\to \mathbb {K} :\int \_{X}{|f|^{p}d\mu }<\infty \}}

כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות {\displaystyle ||f||\_{p}={\sqrt[{p}]{\int \_{X}{|f|^{p}}d\mu }}}. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב {\displaystyle L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, {\displaystyle ||\cdot ||\_{p}} היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).

מרחבי {\displaystyle L^{p}} הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה.

### במקרה p=2

המקרה {\displaystyle p=2} הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב L^{2} הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא {\displaystyle <f,g>=\int \_{X}{f\cdot {\overline {g}}d\mu }}. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - **כל** מרחב הילברט איזומורפי למרחב {\displaystyle L^{2}(A,P(A),\#)}, כאשר A קבוצה כלשהי.

### המקרה ∞=p

במקרה {\displaystyle p=\infty } אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את {\displaystyle L^{\infty }} להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים **essential supremum** של פונקציה:

{\displaystyle \operatorname {esssup} f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}

והמרחב {\displaystyle L^{\infty }} הוא אוסף הפונקציות עבורן {\displaystyle \operatorname {esssup} |f|<\infty }, הנקראות גם **פונקציות חסומות בעיקר** (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך, ומתקיים {\displaystyle ||f||\_{\infty }=\lim \_{p\rightarrow \infty }{||f||\_{p}}}. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם.

### ביחס למקרים הקודמים

המקרה הסוף-ממדי {\displaystyle \ell \_{n}^{p}} מתקבל כמקרה פרטי של {\displaystyle L^{p}}, עבור {\displaystyle X=\{1,...n\}} ו-{\displaystyle \mu =\#} מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).

המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור {\displaystyle X=\mathbb {N} } ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-{\displaystyle \ell ^{p}} מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-{\displaystyle \ell ^{2}} הוא מרחב הילברט, ומפורשות ניתן לאמר ש-{\displaystyle \ell ^{2}\cong L^{2}(\mathbb {N} ,P(\mathbb {N} ),\#)}.

תכונות מרחבי Lp
---------------

### התכנסות בנורמה

היות שהמרחב {\displaystyle L^{p}} הוא מרחב נורמי, מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות {\displaystyle \{f\_{n}\}} **מתכנסת בנורמה-p** לפונקציה f אם {\displaystyle ||f\_{n}-f||\_{p}\to 0} כאשר n \to \infty. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:

*משפט*: תהי {\displaystyle \{f\_{n}\}\subseteq L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} כך ש- f\_{n}\to f **נקודתית** כמעט בכל מקום, וכן נניח שיש {\displaystyle g\in L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} כך ש-{\displaystyle |f\_{n}|\leq g} (כלומר {\displaystyle f\_{n}} נשלטת על ידי g), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{||f\_{n}-f||\_{p}}=0}.

בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-

*משפט* - תהי {\displaystyle f\in L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} ונניח שיש סדרה {\displaystyle \{f\_{n}\}} כך ש-{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{||f\_{n}-f||\_{p}}=0}. אזי ל-{\displaystyle \{f\_{n}\}} יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל-f כמעט בכל מקום.

במקרה של התכנסות במידה שווה, הטיעון 'חלק' יותר:

*משפט*: במרחב ממידה סופית, אם f\_{n}\to f במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.

תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-{\displaystyle L^{p}}. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות \phi \_{n} שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים {\displaystyle |f-\phi \_{n}|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|\phi \_{n}|^{p})\to 2^{p}|f|^{p}}, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב {\displaystyle L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.

### שיכונים

במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי {\displaystyle L^{p}}, ביחס הפוך לסדר.

*משפט* - יהי {\displaystyle (X,M,\mu )} מרחב מידה סופי, כלומר {\displaystyle \mu (X)<\infty }. אזי:

* אם {\displaystyle 1<p<q} יש שיכון טבעי - {\displaystyle L\_{\mathbb {K} }^{q}(X,S,\mu )\hookrightarrow L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}. יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום. מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי {\displaystyle ||f||\_{p}\leq \mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\cdot ||f||\_{q}}.
* לכל p>1 מתקיים {\displaystyle L\_{\mathbb {K} }^{\infty }(X,S,\mu )\subseteq L\_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )}.

קישורים חיצוניים
----------------

* מרחב Lp, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

* The Lp Spaces


|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NKC: ph797955

 |