באנליזה מתמטית, **משפט דארבו** (על שם המתמטיקאי ז'אן גסטון דארבו) הוא הכללה של משפט ערך הביניים עבור פונקציות שהן נגזרת (כלומר, קיימת להן פונקציה קדומה).

על-פי המשפט, אם פונקציה גזירה בקטע סגור, פונקציית הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע, גם אם פונקציית הנגזרת אינה רציפה בעצמה.

ניסוח פורמלי
------------

תהא \ F(x) פונקציה גזירה בקטע הפתוח \ (a,b), גזירה מימין בנקודה \ a וגזירה משמאל בנקודה \ b. נסמן את נגזרתה \ F'(x)=f(x), כך שהנגזרת מימין בנקודה \ a היא \ f(a) והנגזרת משמאל בנקודה \ b היא {\displaystyle \ f(b)}. אז לכל \ y שבין \ f(a) ו-{\displaystyle \ f(b)} קיים {\displaystyle \ t\in [a,b]} כך ש-{\displaystyle \ f(t)=y}.

משפט דארבו מהווה הכללה של משפט ערך הביניים שכן כל פונקציה רציפה מקיימת את משפט ערך הביניים, אך כוחו בכך שהנגזרת אינה חייבת להיות בהכרח רציפה כדי שהמשפט יתקיים.

מסקנה ממשפט דארבו
-----------------

מסקנה מעניינת ממשפט דארבו היא שנקודות אי-הרציפות של הנגזרת הן מסוג "אי-רציפות עיקרית" בלבד. בפרט, לפונקציה בעלת נקודת אי-רציפות סליקה או אי-רציפות מסוג ראשון (״קפיצה״/״דילוג״) אין פונקציה קדומה.

מסקנה נוספת היא שהמשפט ההפוך למשפט ערך הביניים אינו נכון, כיוון שקיימות נגזרות שאינן רציפות אבל כן מקיימות את תכונת ערך הביניים. גם המשפט ההפוך למשפט דארבו אינו נכון. לא לכל פונקציה המקיימת את תכונת ערך הביניים יש פונקציה קדומה. דוגמה נגדית היא פונקציית הבסיס-13 של קונוויי.

הוכחה
-----

אם {\displaystyle \ f(b)=f(a)}, הטענה ברורה מאליה.

  

ללא הגבלת הכלליות נניח כי {\displaystyle \ f(b)>f(a)}, ויהי {\displaystyle \ f(b)>y>f(a)}. (נראה שקיימת נקודה בה מקבלת \ f ערך זה)

נגדיר {\displaystyle \ g(x)=F(x)-xy}. מתקיים:

{\displaystyle \ g'(x)=f(x)-y}
{\displaystyle \ g'(b)>0>g'(a)}

  

\ g(x) גזירה ובפרט רציפה, ולכן, לפי המשפט השני של ויירשטראס, קיימת נק' {\displaystyle \ a\leq t\leq b} בה מקבלת \ g ערך מינימלי. ערך זה לא יכול להתקבל ב-\ a כיוון ש-{\displaystyle \ 0>g'(a)} ולכן הפונקציה יורדת בסביבת \ a, ולא יכול להתקבל ב-\ b כיוון ש-{\displaystyle \ 0<g'(b)} ולכן הפונקציה עולה בסביבת \ b.

לפי משפט פרמה, {\displaystyle \ g'(t)=0}, ולכן {\displaystyle \ f(t)=y} כרצוי.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט דארבו, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)