**משפט אוילר בגאומטריה**, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק \ d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: {\displaystyle {\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}}}, כאשר \ R הוא רדיוס המעגל החוסם ו-\ r הוא רדיוס המעגל החסום.

הוכחה
-----

תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת GeoGebra
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס השני זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן
2Rr = AI × BL. מתקיים 

{\displaystyle \angle BIL=\angle {A \over 2}+{\angle ABC \over 2}} וכן
{\displaystyle \angle IBL=\angle {ABC \over 2}+\angle CBL=\angle {ABC \over 2}+\angle {A \over 2}} (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d2 = R(R − 2r. מש"ל.

הכללות
------

נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן {\displaystyle \ \alpha ={\frac {r}{R+d}}} ו-{\displaystyle \ \beta ={\frac {r}{R-d}}}. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם {\displaystyle \alpha +\beta =1}. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו **מרובע**, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי): {\displaystyle \ \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1} (זהו משפט פס, (אנ')). יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון,. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא {\displaystyle \ (\alpha +\beta +1)^{3}=4(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+1)}; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא {\displaystyle 3+(\beta ^{2}-\alpha ^{2})^{2}=2(\alpha ^{2}+\beta ^{2})}. 

כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-P'. באופן כזה מוגדרות הנקודות {\displaystyle \ P''=(P')'}, ‏{\displaystyle \ P'''=(P'')'}, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה {\displaystyle \ P^{(n)}={P^{(n-1)}}'}. אם {\displaystyle P'''=P}, פירושו של דבר הוא ש-{\displaystyle P,P',P''} הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם {\displaystyle P''''=P}, אז {\displaystyle P,P',P'',P'''} הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה, (אנ')) קובע שאם {\displaystyle \ P^{(n)}=P} לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים.

מקורות
------

* Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12.
* A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **משפט אוילר** בוויקישיתוף
* משפט אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)