|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

גרף הפונקציה {\displaystyle y=W(x)} עבור {\displaystyle x<6} ו {\displaystyle y>-4}. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי {\displaystyle y\geq -1} היא גרף הפונקציה {\displaystyle W\_{0}} (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי {\displaystyle y\leq -1} היא גרף הפונקציה {\displaystyle W\_{-1}}. הערך המינימלי של x הוא ב-{\displaystyle (-{\frac {1}{e}},-1)}
במתמטיקה, **פונקציית W של למברט** (נקראת גם: **פונקציית אומגה**), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה {\displaystyle f(w)=we^{w}}, כש-w הוא מספר מרוכב כלשהו ו-{\displaystyle e^{w}} היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם k משויך ענף אחד, המסומן בצורה {\displaystyle W\_{k}({\text{z}})}. {\displaystyle W\_{0}} מוגדר כענף הראשי (אנ'). לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם {\displaystyle {\text{z}}} ו-w הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי:

{\displaystyle we^{w}=z}
מתקיים אם ורק אם:

{\displaystyle w=W\_{k}({\text{z}})} עבור k שלם כלשהו.
אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים {\displaystyle W\_{0}} ו-{\displaystyle W\_{-1}} בלבד; עבור המספרים הממשיים x ו-y והמשוואה:

{\displaystyle ye^{y}=x}
למשוואה זו יש פתרון רק עבור {\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}; אנו מקבלים כי {\displaystyle y=W\_{0}(x)} אם {\displaystyle x\geq 0}, ואת שני הערכים {\displaystyle y=W\_{0}(x)} וגם {\displaystyle y=W\_{-1}(x)} אם {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0} (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה
-----------

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי {\displaystyle W\_{0}} מסומן כ-{\displaystyle W\_{p}} והענף {\displaystyle W\_{-1}} מסומן כ-{\displaystyle W\_{m}}.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "**לוגריתם המכפלה**" (באנגלית **product logarithm**) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של {\displaystyle f(w)=e^{w}} נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה {\displaystyle we^{w}} בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-{\displaystyle W\_{0}(1)}.

ייצוגים
-------

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות. אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי (אנ') שלה בדרכים אחרות.

### באמצעות אינטגרלים מסוימים

בתחום {\displaystyle |x|<{\frac {1}{e}}}, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W\_{0}(-x)=\int \_{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt}
ועבור התחום הרחב יותר {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq e}, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:

{\displaystyle W\_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int \_{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt}
קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:

{\displaystyle W\_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt}
עבור התחום {\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}} בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:

{\displaystyle {\begin{aligned}W\_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int \_{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}}}
(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

### באמצעות שברים משולבים

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:

{\displaystyle W\_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}
ועבור התחום {\displaystyle |W\_{0}(x)|<1}:

{\displaystyle W\_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}
ובאופן דומה, עבור התחום {\displaystyle |W\_{0}(x)|>e}:

{\displaystyle W\_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}

דיפרנציאביליות ואינטגרביליות
----------------------------

### נגזרת

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של W יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

{\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})}
(W אינה גזירה עבור {\displaystyle z=-{\frac {1}{e}}}) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של W:

{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}}
ובאמצעות שימוש בזהות {\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}} נקבל את הנוסחה הבאה:

{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})}
בענף הראשי נקבל {\displaystyle W\_{0}'(0)=1}.

### אינטגרל

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה {\displaystyle W(x)}, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: {\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})}

{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}}
המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור x=0.

אם נשתמש בעובדה כי {\displaystyle W\_{0}(e)=1} נקבל:

{\displaystyle \int \_{0}^{e}W\_{0}(x)dx=e-1}
#### אינטגרלים מסוימים

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

{\displaystyle \int \_{0}^{\pi }W\_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {W\_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }W\_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}}
את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה {\displaystyle u=W\_{0}(x)}, ואז ניתן גם להחליף את:

{\displaystyle x=ue^{u}}
{\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}}
ואז ניתן להראות כי:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{0}^{\infty }{\frac {W\_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int \_{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int \_{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int \_{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int \_{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int \_{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int \_{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int \_{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int \_{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int \_{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}
המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה {\displaystyle u=x^{-2}}, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x}.

#### אינטגרלים לא מסוימים

{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}

**הוכחה ראשונה**

אם נציב את המשתנה {\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}} נקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\frac {\cancel {\color {green}u}}{{\cancel {\color {green}u}}{\cancel {\color {red}e^{u}}}}}(u+1){\cancel {\color {red}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}+u+C\\\ &\qquad u=W(x)\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}}

**הוכחה שנייה**

{\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int e^{-W(x)}dx\\\ &\qquad u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\\\ &\qquad {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}\\\ &=\int e^{-u}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\cancel {\color {green}e^{-u}}}(u+1){\cancel {\color {green}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}u+C\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}}

{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}

**הוכחה**

{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}

{\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}

{\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}

{\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}

{\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}

{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}

{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt}

{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}

{\displaystyle t=W\left(w\right)}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}

{\displaystyle w=Av}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}

{\displaystyle v=e^{u}}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}

{\displaystyle u=Bx}
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}

{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}

**הוכחה**

אם נציב את המשתנה {\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}} נקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}

{\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}

{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}

{\displaystyle v=-u}
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}

{\displaystyle u=W(x)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}

ערכים מיוחדים
-------------

עבור כל x מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי {\displaystyle W(x)} הוא מספר טרנסצנדנטי. אם {\displaystyle W(x)} הוא 0, אז x חייב להיות גם הוא 0, ואם {\displaystyle W(x)} הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, {\displaystyle e^{W(x)}} חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן {\displaystyle x=W(x)e^{W(x)}} חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ({\displaystyle W\_{0}}):

* {\displaystyle W\_{0}(-{\frac {\pi }{2}})={\frac {i\pi }{2}}}
* {\displaystyle W\_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1}
* {\displaystyle W\_{0}(2\ln 2)=\ln 2}
* {\displaystyle W\_{0}(0)=0}
* {\displaystyle W\_{0}(1)=\Omega =\left(\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}\approx 0.56714329} (קבוע אומגה)
* {\displaystyle W\_{0}(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1)}
* {\displaystyle W(e)=1}
* {\displaystyle W(e^{1+e})=e}

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **פונקציית W של למברט** בוויקישיתוף
* פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
* פונקציית W של למברט, באתר MathWorld (באנגלית)
* מימוש הפונקציה בשפת C++

הערות שוליים
------------

1. ↑  Timothy Y. Chow, What Is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, ‏1999
2. ↑  Finch, S. R. **Mathematical constants**, 2003, עמ' 450
3. ↑  Mező, István, An integral representation for the principal branch of the Lambert W function
4. ↑  Mező, István, An integral representation for the Lambert W function, ‏2020
5. ↑  Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M. Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W, ‏2011
6. ↑  The Lambert W Function, Ontario Research Centre for Computer Algebra
7. ↑  Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K. **The Lambert W Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics**, 2006, עמ' 53. (ברוסית)
8. ↑  Robert M. Corless; David J. Jeffrey; Donald E. Knuth, A sequence of series for the Lambert W function (עמ' 197-204), ‏יולי 1997