**משפט מוסנר** או **"הקסם של מוסנר"** הוא כינוי לתהליך המחשב עבור כל n קבוע, את סדרת החזקות {\displaystyle a^{n}} על ידי פעולות של דילוג וחישוב סכומים חלקיים בסדרת המספרים הטבעיים. את התהליך גילה המתמטיקאי הגרמני אלפרד מוסנר (Alfred Moessner). תהליכים דומים מייצרים גם את מספרי העצרת וטורים נוספים.

היסטוריה
--------

היוונים הקדמונים ידעו שטור הסכומים החלקיים של המספרים האי-זוגיים יוצר טור של ריבועים:

|  |  |
| --- | --- |
| סדרת השלמים | {\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...} |
| בדילוג על כל מספר שני | {\displaystyle 1,3,5,7,9,11...} |
| סכומים חלקיים | {\displaystyle 1,4,9,16,25,36...} |
| שהם טור הריבועים | {\displaystyle 1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},5^{2},6^{2}...} |

  
פיתגורס או אחד מחברי האסכולה הפיתגוראית הוכיח שזה נכון תמיד, ובמשך מעל אלפיים שנה היה נראה שאין מה לחקור עוד בנושא הזה, עד שב-1951 גילה מוסנר שטור הריבועים הוא רק אחד מתוך אינסוף טורים שאפשר ליצור באופן דומה מטור השלמים.

בניית הסדרה לחזקה n
-------------------

מתחילים מטור השלמים ומסמנים לדילוג כל מספר n-י. מחשבים את טור הסכומים החלקיים ללא המספרים המדולגים. חוזרים על הפעולה, הפעם מסמנים לדילוג כל מספר {\displaystyle (n-1)}, ויוצרים סדרת סכומים חדשה. עבור השלב ה-k-י יש לסמן לדילוג את האיברים {\displaystyle (n-k+1)}. התהליך מסתיים בשלב ה-n-י, והסדרה שתישאר היא {\displaystyle 1^{n},2^{n},3^{n},4^{n},5^{n},6^{n},7^{n},8^{n}...}.

לדוגמה, כדי לבנות את טור השלמים בחזקה רביעית מתחילים בסדרת המספרים השלמים (השורה ה-1). משמיטים כל מספר רביעי (השורה ה-2). מחשבים את הסכומים החלקיים (3). משמיטים כל מספר שלישי (4). מחשבים את הסכומים החלקיים (5). משמיטים כל מספר שני (6); ומחשבים את הסכומים החלקיים (השורה השביעית והאחרונה). הסדרה המתקבלת היא סדרת החזקות הרביעיות של השלמים.

{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\1&2&3&&5&6&7&&9&10&11&&13&14&15&&17\\1&3&6&&11&17&24&&33&43&54&&67&81&96&&113\\1&3&&&11&17&&&33&43&&&67&81&&&113\\1&4&&&15&32&&&65&108&&&175&256&&&369\\1&&&&15&&&&65&&&&175&&&&369\\1&&&&16&&&&81&&&&256&&&&625\end{array}}}

מוסנר פרסם את האלגוריתם ב-1951 ושיער שהוא נכון תמיד אך לא הוכיח זאת. הראשון שהוכיח את משפט מוסנר היה אוסקר פרון (Oskar Perron) בהמשך אותה שנה.

משפט פאשה
---------

הבנייה של מוסנר נעשית בדילוג בצעד קבוע, למשל עבור {\displaystyle n=4} מדלגים על שלושה מספרים ומשמיטים כל מספר רביעי. ב-1952, שנה אחרי התגלית של מוסנר, הציע איוון פאשה (Ivan Paasche) לדלג במרווחים שגדלים באחד כל פעם: למחוק את המספר הראשון, להשאיר את השני, למחוק את השלישי, להשאיר את 2 הבאים בתור, למחוק את השישי, וכן הלאה, לפי הסדר 1, 3, 6, 10 וכולי, או {\displaystyle {k+1 \choose 2}}. מחשבים את הסכומים ללא המספרים המחוקים, ובאיטרציה הבאה מוחקים מספרים לפי אותו סדר ומחשבים את הסכומים החלקיים, עד השורה האחרונה. הטור המתקבל הוא טור \ n!.

  

בסימון בכתום אפשר לראות שהאלגוריתם של פאשה הפך חיבור לכפל. זה אינו מקרי, האלגוריתם של מוסנר הופך כפל לחזקה. למשל באלגוריתם מוסנר עבור {\displaystyle n=4}:

לקריאה נוספת
------------

* The Moessner Miracle. Why wasn't this discovered for over 2000 years?, בערוץ היוטיוב המתימטי Mathologer
* On Moessner's Theorem, Dexter Kozen and Alexandra Silva

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט מוסנר, באתר MathWorld (באנגלית)

ביאורים
-------

1. ↑  הוכחה גרפית שטור האי זוגיים יוצר טור של ריבועים

הערות שוליים
------------

1. ↑  John H. Conway, Richard K. Guy, **The Book of Numbers עמ' 64-65**
2. ↑  Ein neuer Beweis des Moessnerschen Satzes