באנליזה מרוכבת, **למת האומדן**, הידועה גם בשם **אי-שוויון ML**, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטרגלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.

אם {\displaystyle f} היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה {\displaystyle \Gamma } ואם המודול שלה {\displaystyle |f(z)|} חסום על ידי הקבוע {\displaystyle M} עבור כל {\displaystyle z} על {\displaystyle \Gamma }, אז:

{\displaystyle \left|\int \_{\Gamma }f(z)dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma )}

כאשר {\displaystyle \ell (\Gamma )} הוא אורך הקשת של {\displaystyle \Gamma }. בפרט, ניתן לקחת את המקסימום {\displaystyle M:=\sup \_{z\in \Gamma }|f(z)|} כחסם עליון.

טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים האלה אינו רחוק מהחסם {\displaystyle M} על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של {\displaystyle f(z)} על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.

באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:

{\displaystyle \left|\int \_{\Gamma }f(z)dz\right|=\left|\int \limits \_{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\right|\leq \int \limits \_{\alpha }^{\beta }|f(\gamma (t))||\gamma '(t)|dt\leq \int \limits \_{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|dt=M\int \limits \_{\alpha }^{\beta }|\gamma '(t)|dt=M\,\ell (\Gamma )}

דוגמה
-----

 המסילה {\displaystyle \Gamma }
**בעיה:** חשב את האינטגרל {\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}dz}.

**פתרון**. במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את {\displaystyle \int \_{-a}^{a}{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}dz} ונשאיף את a לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל {\displaystyle |z|=a} מ-z=a לכיוון z=-a (עם כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-{\displaystyle \Gamma }.

לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל-{\displaystyle 2\pi i} כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריות. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה z=i. אפשר לפתח לטור לורן 
{\displaystyle {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)-{\frac {5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots }; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של 
{\displaystyle (z-i)^{-1}}, שווה ל-{\displaystyle {\frac {-i}{4}}}. מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא {\displaystyle (\int \_{-a}^{a}+\int \_{\Gamma }){\frac {dz}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi i{\frac {-i}{4}}={\frac {\pi }{2}}}.

אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו {\displaystyle a}, ומכאן {\displaystyle \ell (\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a}. מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:
{\displaystyle |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0} כאשר a>1. מכאן

{\displaystyle \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}}
כלומר {\displaystyle M={\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}}, והחסם הוא:

{\displaystyle \left|\int \_{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}}. הערך הזה שואף לאפס כאשר a שואף לאינסוף, ומכאן ש-הוא {\displaystyle \int \_{-infty}^{\infty }{\frac {dz}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}}.

ראו גם
------

* הלמה של ז'ורדן

לקריאה נוספת
------------

* Saff, E.B; Snider, A.D. (1993), *Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering* (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615.
* Howie, J.M. (2003), *Complex Analysis*, Springer.