באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, **פונקציה תת-ליניארית** (נקראת גם **פונקציונל תת-ליניארי**) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית. פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך.

שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך. כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה.

הגדרה מתמטית
------------

עבור מרחב וקטורי V מעל שדה {\mathbb {K}} שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל {\displaystyle \rho :V\to \mathbb {R} } יקרא **פונקציונל תת-ליניארי** אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:

1. **תת-חיבוריות (Subadditivity)**: לכל שני וקטורים {\displaystyle x,y\in V} מתקיים {\displaystyle \ \rho (x+y)\leq \rho (x)+\rho (y)}
2. **הומוגניות חיובית (Positive homogeneity)**: לכל וקטור {\displaystyle x\in V} במרחב ולכל סקלר אי-שלילי {\displaystyle \lambda \geq 0} מתקיים {\displaystyle \rho (\lambda x)=\lambda \rho (x)}.

תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל.

תכונות
------

### ערך בראשית והכפלה בסקלר שלילי

מתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר {\displaystyle \rho (0)=0}, זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב-V בסקלר {\displaystyle 0}.

מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, *לא ניתן להסיק* כי {\displaystyle \rho (-x)} משתווה ל-{\displaystyle \rho (x)} עבור {\displaystyle x\in V} כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה. לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי:

{\displaystyle 0=\rho (0)=\rho (x+(-x))\leq \rho (x)+\rho (-x)}

כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ-{\displaystyle \rho (-x)} ו-{\displaystyle \rho (x)} הוא חיובי.

### אריתמטיקה

עבור פונקציונל תת-ליניארי \rho מעל V וסקלר אי-שלילי {\displaystyle \alpha \geq 0} הפונקציונל {\displaystyle \alpha \rho } הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים עבור {\displaystyle \alpha <0}.

כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים {\displaystyle \rho \_{1},\rho \_{2}} מעל V הפונקציונל {\displaystyle \rho \_{1}+\rho \_{2}} אף הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור {\displaystyle \rho \_{1}-\rho \_{2}}.

בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים {\displaystyle \rho \_{1},\rho \_{2}} מעל V הפונקציונל {\displaystyle q:=\max(\rho \_{1},\rho \_{2})} אף הוא תת-ליניארי. כלומר לכל {\displaystyle x\in V}:

{\displaystyle q(x):=\max(\rho \_{1}(x),\rho \_{2}(x))}

### קמירות

כל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה. ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה:

עבור {\displaystyle x,y\in V} ו-{\displaystyle 0\leq t\leq 1} מתקיים:

{\displaystyle \rho (tx+(1-t)y)\leq \rho (tx)+\rho ((1-t)y)=t\rho (x)+(1-t)\rho (y)}

כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית.

כל פונקציה {\displaystyle p:V\to \mathbb {R} } שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת {\displaystyle p(0)\leq 0} היא בהכרח תת-ליניארית.

#### *הוכחה*

לכל {\displaystyle x\in V} ולכל {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1} כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי:

{\displaystyle p(\lambda x)=p((1-\lambda )0+\lambda x)\leq (1-\lambda )p(0)+\lambda p(x)\leq \lambda p(x)}

מכיוון ש-{\displaystyle 0\leq 1-\lambda \leq 1} ניתן להסיק באותו אופן כי {\displaystyle p((1-\lambda )x)\leq (1-\lambda )p(x)}.

כעת לפי תכונת התת-חיבוריות:

{\displaystyle p(x)=p((1-\lambda )x+\lambda x)\leq p((1-\lambda )x)+p(\lambda x)\leq (1-\lambda )p(x)+p(\lambda x)}

מהעברת אגפים נקבל כי {\displaystyle \lambda p(x)\leq p(\lambda x)}.

מכיוון וגם {\displaystyle \lambda p(x)\leq p(\lambda x)} וגם {\displaystyle \lambda p(x)\geq p(\lambda x)} בהכרח {\displaystyle p(\lambda x)=\lambda p(x)} ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}. עבור {\displaystyle \lambda \geq 1} מתקיים כי {\displaystyle 0\leq {\frac {1}{\lambda }}\leq 1} ולכן:

{\displaystyle p(x)=p({\frac {1}{\lambda }}\lambda x)={\frac {1}{\lambda }}p(\lambda x)}

משמע {\displaystyle p(\lambda x)=\lambda p(x)} גם עבור {\displaystyle \lambda \geq 1}. מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור p. מאחר ש-p תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית. **מש"ל.**

### רציפות

אם מרחב התחום V של פונקציה תת-ליניארית \rho הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם \rho רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב.

ניתן להוכיח כי אם \rho רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים). בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה.

#### *הוכחה*

עבור \varepsilon >0 קיימת סביב פתוחה U של הראשית כך ש-{\displaystyle |\rho (v)|<\varepsilon } לכל {\displaystyle v\in U}. ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה {\displaystyle U'=U\cap (-U)} שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל {\displaystyle v\in U} מתקיים {\displaystyle -v\in U})

עבור {\displaystyle x,y\in V} כך ש-{\displaystyle x-y\in U'} מתקיים:

{\displaystyle \rho (x)=\rho (x-y+y)\leq \rho (x-y)+\rho (y)<\varepsilon +\rho (y)}

לכן {\displaystyle \rho (x)-\rho (y)<\varepsilon }. מכיוון שגם {\displaystyle y-x\in U'} ניתן להסיק שגם {\displaystyle \rho (y)-\rho (x)<\varepsilon } לכן בסך הכל {\displaystyle |\rho (x)-\rho (y)|<\varepsilon }.

מתקבל כי לכל \varepsilon >0 קיימת סביבה פתוחה {\displaystyle U'} כך שלכל {\displaystyle x,y\in V} עבורם {\displaystyle x-y\in U'} מתקיים {\displaystyle |\rho (x)-\rho (y)|<\varepsilon }. מכל זה \rho רציפה במידה שווה. **מש"ל**.

מקרים פרטיים
------------

### פונקציה ליניארית

 ערך מורחב – **פונקציה ליניארית**  

כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון).

אם מגדירים ב-{\displaystyle V^{\#}} את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי V כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי {\displaystyle \preceq } כך שלכל {\displaystyle \rho \_{1},\rho \_{2}\in V^{\#}}, {\displaystyle \rho \_{1}\preceq \rho \_{2}} אם ורק אם {\displaystyle \rho \_{1}(x)\leq \rho \_{2}(x)} לכל {\displaystyle x\in V} (סימון זה *אינו* סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד).

על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית \rho מעל מרחב V כלשהו, התנאים הבאים שקולים:

1. \rho היא פונקציה ליניארית.
2. \rho היא פונקציה אי-זוגית. כלומר, {\displaystyle \rho (-x)=-\rho (x)} לכל {\displaystyle x\in V}.
3. \rho היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס {\displaystyle \preceq }.

מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו \rho מעל מרחב V ניתן למצוא פונקציה ליניארית {\displaystyle f:V\to \mathbb {R} } כך ש-{\displaystyle f(x)\leq \rho (x)} לכל {\displaystyle x\in V}.

### נורמה-למחצה

 ערך מורחב – **נורמה-למחצה**  

עבור מרחב וקטורי V מעל שדה {\mathbb {K}} (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה {\displaystyle \rho :V\to \mathbb {R} } תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. \rho היא תת-חיבורית.
2. \rho הומוגנית בהחלט (Absolute homogeneity). כלומר, לכל וקטור {\displaystyle x\in V} במרחב ולכל סקלר {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } מתקיים {\displaystyle \rho (\lambda x)=|\lambda |\rho (x)}.

כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.

כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית. כלומר, {\displaystyle \rho (-x)=\rho (x)} לכל {\displaystyle x\in V}. אם {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית \rho היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית.

מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ-{\displaystyle \rho (-x)} ו-{\displaystyle \rho (x)} הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית. כלומר, לכל {\displaystyle x\in V} מתקיים ש-{\displaystyle \rho (x)\geq 0}.

בהינתן פונקציה תת-ליניארית \rho כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה {\displaystyle q:V\to \mathbb {R} } כך שלכל {\displaystyle x\in V}:

{\displaystyle q(x):=\max(\rho (x),\rho (-x))}

נורמה למחצה זו תקרא **הנורמה-למחצה המשויכת ל-\rho**.

לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים.

### נורמה

 ערך מורחב – **נורמה (אנליזה)**  

\rho תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite). כלומר, אם {\displaystyle \rho (x)=0} בהכרח x=0. כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון.

לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך.

דוגמאות
-------

* כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי.
* פונקציית האפס {\displaystyle \rho (x)=0,\forall x\in V} היא פונקציונל תת-ליניארי.
* כל פונקציונל ליניארי על שדה V מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ-\mathbb{R} לעצמו.
* הפונקציה {\displaystyle \rho :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } מהצורה {\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}ax,&x\leq 0\\bx,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} כאשר {\displaystyle a\leq b} היא פונקציונל תת-ליניארי.

הערות שוליים
------------

1. ↑  Worawit Tepsan, Functional Analysis, Math 7320, University of Houston, ‏2016-11-8 (באנגלית)
2. ↑  Adam Bowers, Nigel J. Kalton, **An introductory course in functional analysis**, New York, NY [u.a.]: Springer, 2014, An Introductory Course in Functional Analysis, מסת"ב 978-1-4939-1945-1