במתמטיקה, **הלמה של גייל** היא למה העוסקת בפיזור כללי של נקודות על פני הספירה ה-n-ממדית. הלמה קובעת שלכל n ו-k טבעיים קיימת קבוצה בת {\displaystyle 2k+n} נקודות על פני הספירה כך שכל המיספירה פתוחה בספירה מכילה לפחות k נקודות מהקבוצה. הלמה הוכחה על ידי דייוויד גייל (David Gale) ב-1956.

קל לראות שזוהי התוצאה הטובה ביותר שבגדר האפשר. לכל n נקודות בספירה יש מעגל גדול n-1 ממדי שעובר דרך כולן, והוא מחלק את הספירה לשתי המיספרות בנות k נקודות לכל היותר.

הוכחה
-----

נוכיח טענה שקולה: קיימות קבוצה של נקודות {\displaystyle \{x\_{1},\ldots ,x\_{2k+n}\}} ב-{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} כך שבכל חצי מרחב n+1 ממדי שמוגדר על ידי על-מישור העובר דרך הראשית (תת מרחב וקטורי ממעלה n) יש לפחות k נקודות מהקבוצה. אפשר לתרגם טענה זו ללמה של גייל על ידי הטלה של {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} על ספירת היחידה {\displaystyle S^{n}} באמצעות קרניים היוצאת מהראשית (דרך כל נקודה במרחב מעבירים קרן היוצאת מהראשית והנקודה מועתקת לנקודת החיתוך של הקרן עם הספירה).

נבנה את הנקודות {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{2k+n}}. נסתכל על עקום המומנטים ה-n ממדי משוכן בעל-מישור בגובה 1: {\displaystyle \gamma (t)=(1,t,t^{2},\ldots ,t^{n})}. נגדיר: {\displaystyle x\_{i}=(-1)^{i}\gamma (i)} (למעשה יכולנו לבחור כל {\displaystyle 2n+k} נקודות שונות על העקום). יהי h על-מישור העובר דרך הראשית. אנו צריכים להוכיח שבכל צד שלו יש k נקודות לפחות.

החיתוך בין h לעל-מישור {\displaystyle (1,t\_{1},\ldots ,t\_{n})} הוא על-מישור n-1 ממדי. על-מישור זה חותך את עקום המומנטים ב-n נקודות לכל היותר (ראו בערך עקום המומנטים). מכאן ש-h חותך את \gamma  ב-n נקודות לכל היותר. אם החיתוך לא מכיל בדיוק n נקודות מתוך {\displaystyle A=\{\gamma (1),\ldots ,\gamma (2k+n)\}} נזיז את h כך שזה אכן יהיה. נעשה זאת כך: נתייחס אל נקודות החיתוך שכבר יש לנו עם A כציר ונסובב את h ביחס אליו עד ש-h יפגוש נקודה נוספת של A. נחזור על התהליך הזה שוב ושוב עד ש-h יחתוך את \gamma  בדיוק n נקודות. מכיוון שבכל שלב שמרנו על נקודות החיתוך ולקחנו את האיבר הראשון של A שפגשנו, בשום שלב לא העברנו נקודות של A מצד אחד של h לצד השני. לכן מספר הנקודות בכל צד של העל מישור יכל רק לרדת. כמו כן מכיוון שיש n נקודות חיתוך, בהכרח \gamma  עובר מצד אחד של h לצד השני בכל נקודת חיתוך. 

נסמן את קבוצת n הנקודות החיתוך ב-{\displaystyle A\_{\text{on}}} ואת קבוצת 2k נקודות A שלא נמצאות על h ב-{\displaystyle A\_{\text{off}}}. נצבע את נקודות {\displaystyle A\_{\text{off}}} באופן הבא: נקודה {\displaystyle \gamma (i)} תהיה שחורה אם i זוגי והנקודה נמצאת מימין ל-h, או אם i אי-זוגי והנקודה נמצאת משמאל ל-h. בהתאמה נקודה היא לבנה אם i זוגי והנקודה משמאל ל-h, או אם i אי-זוגי והנקודה מימין ל-h. נבחין כי שתי נקודות סמוכות ב-{\displaystyle A\_{\text{off}}} הן בצבעים שונים: אם בין {\displaystyle a\_{1},a\_{2}\in A\_{\text{off}}} סמוכות יש מספר זוגי של נקודות מ-{\displaystyle A\_{\text{on}}}, אז הן באותו הצד ועם זוגיות שונה, ולכן צבעים שונים. ואם מפרידים ביניהן מספר אי-זוגי של נקודות מ-{\displaystyle A\_{\text{on}}} הן בצדדים שונים ומאותה זוגיות ולכן בצבעים שונים.

מכיוון שהצבע מתחלף בין שתי נקודות סמוכות, יש בדיוק k נקודות שחורות ובדיוק k נקודות לבנות. אם {\displaystyle \gamma (i)} נקודה שחורה, אז או שהיא מימין ל-h ו-i זוגי ולכן {\displaystyle x\_{i}=\gamma (i)} מימין ל-h. או שהיא משמאל ל-h ו-i אי-זוגי ולכן {\displaystyle x\_{i}=-\gamma (i)} מימין ל-h. קיבלנו שכל הנקודות השחורות מתאימות ל-x\_{i} מימין ל-h, ובאופן דומה כל הנקודות הלבנות מתאימות ל-x\_{i} משמאל ל-h, ולכן יש בדיוק k נקודות מבין {\displaystyle \{x\_{1},\ldots ,x\_{2k+n}\}} בכל צד של h. נזכור שהזזנו את h באופן שהחסיר נקודות מהצדדים, ולכן יש לפחות k נקודות בכל צד של h המקורית.