בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, **התפלגות ברנולי**, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך {\displaystyle X=1} או ערך {\displaystyle X=0} בהסתברות {\displaystyle \Pr(X=1)=p} ו-{\displaystyle \Pr(X=0)=1-p}. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-q (כלומר: {\displaystyle q=1-p}).

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על 6 היא{\displaystyle {\frac {1}{6}}}, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא {\displaystyle {\frac {5}{6}}}. אם תסומן התוצאה 6 כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר {\displaystyle p={\frac {1}{6}}}.

את העובדה שלמשתנה מקרי X יש התפלגות ברנולי מסמנים {\displaystyle X\sim \ {\text{b}}(p)} (לעיתים {\displaystyle X\sim \ {\text{Bernoulli}}(p)}). והשונות שלו היא {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p(1-p)}. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה {\displaystyle X^{n}=X} לכל n (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־p.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של n משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, {\displaystyle B(n,p)} (ובפרט, ההתפלגות {\displaystyle B(1,p)} היא התפלגות ברנולי).

תכונות
------

אם X הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

{\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}
פונקציית הסתברות f של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

{\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}
צורה שקולה לביטוי זה היא:

{\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}
או:

{\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור {\displaystyle n=1}.

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של p. עבור ערכי {\displaystyle 0\leq p\leq 1} ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של p עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת
-----

התוחלת של משתנה מקרי X המתפלג ברנולי היא:

{\mathbb {E}}[X]=p

זאת משום שעבורX בו {\displaystyle \Pr(X=1)=p} יחד עם {\displaystyle \Pr(X=0)=1-p} מתקבל:

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}

שונות
-----

השונות של משתנה מקרי X המתפלג ברנולי היא:

{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}
#### הוכחה

ראשית,

{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}
ומכאן:

{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}
כמובטח.

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: **הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות ברנולי** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **התפלגות ברנולי** |

* התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)

| התפלגויות |
| --- |
| התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון |  |
| התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע |
| התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא |
| התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית |
| סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |