באנליזה מתמטית, **משפט הפונקציה ההפוכה**, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח
-----

תהי {\displaystyle f\in C^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})} (גזירה ברציפות) כאשר {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} פתוחה ותהי נקודה {\displaystyle \mathbf {a} \in U}. נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים {\displaystyle \det \mathrm {J} \_{f}(\mathbf {a} )\neq 0} (כלומר הדיפרנציאל בה, {\displaystyle \mathrm {D} f(\mathbf {a} )}, הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U} כך ש-{\displaystyle W=f(V)} אף היא פתוחה, והפונקציה {\displaystyle f\colon V\to W} חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית {\displaystyle f^{-1}\colon W\to V} אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות W מתקבל על ידי

{\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}}

לכל {\displaystyle \mathbf {x} \in V}, כאשר {\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )} (צורות רישום נוספות: {\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(f^{-1}(\mathbf {y} ))]^{-1}} או {\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(f(\mathbf {x} ))=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}}).

דוגמה
-----

תהי הפונקציה {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} המוגדרת על ידי {\displaystyle f(x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)}. פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור 2\pi  של ערכי y. עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

{\displaystyle \mathrm {J} \_{f}(x,y)={\begin{pmatrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\end{pmatrix}}}

ואזי היעקוביאן הוא {\displaystyle \det \mathrm {J} \_{f}(x,y)=e^{2x}\neq 0}. מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת {\displaystyle f(z)=e^{z}} ולכל סביבה של נקודה קיים ענף (אנ') של פונקציית הלוגריתם המרוכבת {\displaystyle g(w)=\log w} המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: {\displaystyle e^{z+i2\pi k}=e^{z}} לכל {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }).

מקרה פרטי
---------

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו n=1: תהי {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } גזירה ברציפות. תהי {\displaystyle a\in U} נקודה המקיימת {\displaystyle f'(a)\neq 0}.

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת \delta>0 כך שלכל {\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )} ,{\displaystyle f'(x)\neq 0}.

נניח כי {\displaystyle f'(a)>0} אז מהיות \ f' רציפה, לכל {\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )}, {\displaystyle \ f'(x)>0} שהרי אחרת היה קיים {\displaystyle x\_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )} עבורו {\displaystyle f'(x\_{0})=0} ממשפט ערך הביניים.

לכן f מונוטונית עולה ממש בכל {\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}, מה שגורר כי f חד-חד-ערכית בכל {\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}. מכאן ניתן להגדיר {\displaystyle f^{-1}\colon f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )} הגזירה בכל נקודה פנימית ב-{\displaystyle y\_{0}\in f(a-\delta ,a+\delta )} (נסמן {\displaystyle y\_{0}=f(x\_{0})}), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

{\displaystyle (f^{-1})'(y\_{0})=\lim \_{y\to y\_{0}}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y\_{0})}{y-y\_{0}}}=\lim \_{y\to y\_{0}}{\frac {1}{\frac {y-y\_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y\_{0})}}}=\lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {1}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}}={\frac {1}{f'(x\_{0})}}}

כלומר

{\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}}

(אכן {\displaystyle f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )} ובקטע זה הנגזרת של f שונה מ-{\displaystyle 0}).

הערות שוליים
------------

1. ↑  Michael Spivak, **Calculus on Manifolds**, Addison-Wesley Publishing Company, 1965, p. 34-39
2. ↑  James R. Munkres, **Analysis on Manifolds**, Addison-Wesley Publishing Company, 1991, p. 62-69

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות בבלוג "לא מדויק"
* משפט הפונקציה ההפוכה, באתר MathWorld (באנגלית)