בתורת המטריצות, **מטריצת תמורה** היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים. כל מטריצה P כזאת מייצגת תמורה של m איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת *A*, גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר {\displaystyle PA}) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר {\displaystyle AP}) של המטריצה A.

כיוון שבמטריצת תמורה יש בדיוק אחדה אחת בכל שורה או עמודה, ניתן להיעזר בדימוי מתחום השחמט כדי להבין איך היא נראית; אוסף מטריצות התמורות נמצא בהתאמה חד-חד ערכית עם אוסף ההעמדות של m צריחים על לוח בגודל {\displaystyle m\times m} כך שאף אחד לא יאיים על השני, כאשר מיקומי הצריחים מתאימים למיקומי האחדות במטריצות התמורה. מקומבינטוריקה עולה שיש {\displaystyle m!} מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית {\displaystyle S\_{m}}.

הגדרה
-----

בהינתן תמורה \pi של m איברים,

{\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }
המיוצגת בסימון שתי שורות כ-

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}}
ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר {\displaystyle m\times m}, כלומר {\displaystyle I\_{m}}, אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל-\pi. מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו.

למטריצת התמורה מסדר *{\displaystyle m\times m}*, כלומר {\displaystyle P\_{\pi }=(p\_{ij})}, המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות {\displaystyle I\_{m}}, כלומר הפועלת כך שלכל i, מתקיים {\displaystyle p\_{ij}=1} אם {\displaystyle j=\pi (i)} ו-0 אחרת, נתייחס כ**הצגת העמודות** בערך זה. כיוון שהאיברים בשורה *i* כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה 
{\displaystyle \pi (i)}, ניתן לכתוב 

{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (m)}\end{bmatrix}}}
כאשר {\displaystyle \mathbf {e} \_{j}}, **וקטור בסיס סטנדרטי**, מסמן וקטור שורה באורך m עם 1 במיקום ה-j ו-0 בכל מיקום אחר.

לדוגמה, מטריצת התמורה {\displaystyle P\_{\pi }} המתאימה לתמורה: {\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},}, היא:

{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\mathbf {e} \_{\pi (3)}\\\mathbf {e} \_{\pi (4)}\\\mathbf {e} \_{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}\\\mathbf {e} \_{4}\\\mathbf {e} \_{2}\\\mathbf {e} \_{5}\\\mathbf {e} \_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.}
ניתן להבחין בכך שהעמודה ה-j של מטריצת הזהות {\displaystyle I\_{5}} מופיעה כעת כעמודה ה-{\displaystyle \pi (j)} של {\displaystyle P\_{\pi }}.

תכונות אלגבריות
---------------

הכפלת {\displaystyle P\_{\pi }} בווקטור עמודה **g** תערבב את השורות של הווקטור:

{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\_{1}\\g\_{2}\\\vdots \\g\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g\_{\pi (1)}\\g\_{\pi (2)}\\\vdots \\g\_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.}
שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם M היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה {\displaystyle P\_{\pi }M} היא פשוט תמורה של השורות של *M*. 

המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: {\displaystyle P\_{\pi }^{-1}=P\_{\pi ^{-1}}=P\_{\pi }^{\mathsf {T}}}. 

העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה. אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ-{\displaystyle \pi =(a\_{1})(a\_{2})\dots (a\_{k})\sigma }, כאשר \sigma  היא תמורה ללא נקודות שבת, ו-{\displaystyle e\_{a\_{1}},e\_{a\_{2}},\dots ,e\_{a\_{k}}} הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת).

כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה {\displaystyle P\_{\sigma }}, נכתוב את \sigma  כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר {\displaystyle \sigma =C\_{1}C\_{2}\cdots C\_{t}}. יהיו האורכים של המחזורים הללו {\displaystyle l\_{1},l\_{2}...l\_{t}} בהתאמה, ויהי {\displaystyle R\_{i}(1\leq i\leq t)} אוסף הפתרונות המרוכבים של {\displaystyle x^{l\_{i}}=1} (כלומר שורשי היחידה מסדר {\displaystyle l\_{i}}). אז האיחוד של כל ה-{\displaystyle R\_{i}}-ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה. הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה-{\displaystyle R\_{i}}-ים שמכילים אותו.

מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. לפיכך כל מטריצת תמורה *P* ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-. לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה *P* היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה.

ראו גם
------

* תמורה (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **מטריצת תמורה** בוויקישיתוף
* מטריצת תמורה, באתר MathWorld (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4811820-5

 |