|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, פונקציה מקבוצה {\displaystyle A} לקבוצה {\displaystyle B} היא **על** אם כל איבר בקבוצה {\displaystyle B} מתקבל כערך של הפונקציה. באופן פורמלי, פונקציה {\displaystyle f:X\rightarrow Y} היא **על** {\displaystyle Y}, אם לכל איבר בטווח ({\displaystyle Y}) של הפונקציה מתאים לפחות איבר אחד בתחום ({\displaystyle X}) שלה. במילים אחרות: התמונה של {\displaystyle f} שווה לטווח שלה. בסימון מתמטי: לכל  y \in Y  קיים  x \in X  כך ש-{\displaystyle f(x)=y}. במקרה זה לעיתים מסמנים: f : X \twoheadrightarrow Y כדי לציין ש-{\displaystyle f} היא על.

קיומה של התכונה תלוי בטווח עליו מוגדרת הפונקציה: כך למשל, הפונקציה המתאימה לכל אדם את אמו היא **על** אם הטווח הוא קבוצת הנשים שיש להן ילדים, אבל **לא על** אם הטווח שלה מוגדר כקבוצת כל הנשים (כי יש נשים שאין להן ילדים). מסיבה זו, מקובל לציין שפונקציה היא על קבוצה מסוימת (שפירושו: אם קבוצה זו תילקח כטווח הפונקציה, יתקיימו הדרישות לפונקציה על).

דוגמאות ודוגמאות נגד
--------------------

* הפונקציה המתאימה לכל מצביע בבחירות 2006 את המפלגה שעבורה הצביע היא על קבוצת המפלגות שהתמודדו בבחירות אלה, כי לכל מפלגה הצביע לפחות אדם אחד (לא היו מפלגות שזכו לאפס קולות).
* תהי {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה {\displaystyle f(x)=2x+1} לכל x ממשי. פונקציה זו היא "על", משום שלכל  y \in \mathbb{R} , {\displaystyle f({\frac {y-1}{2}})=y}.
* לעומת זאת, הפונקציה {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } המוגדרת להיות {\displaystyle g(x)=x^{2}} אינה על, כיוון שבעבור {\displaystyle y=-1}, למשל, לא קיים מקור {\displaystyle x} ממשי המקיים את המשוואה {\displaystyle x^{2}=-1}.
* תהי {\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+0}} (פונקציה מקבוצת הממשיים לקבוצת הממשיים האי שליליים) המוגדרת באותה צורה, אזי {\displaystyle h} היא על, כיוון שלכל {\displaystyle x} ממשי אי שלילי קיים המקור  \sqrt x .

* דוגמה לפונקציה על – לכל האיברים יש מקור בתחום**דוגמה לפונקציה על** – לכל האיברים יש מקור בתחום
* דוגמה לפונקציה שאינה על – לאיבר C שבטווח, אין מקור בתחום**דוגמה לפונקציה שאינה על** – לאיבר C שבטווח, אין מקור בתחום

תכונות
------

עבור קבוצות סופיות, אם קיימת פונקציה מקבוצה {\displaystyle A} לקבוצה {\displaystyle B} שהיא על, אזי מספר האיברים ב-{\displaystyle B} קטן או שווה למספר האיברים ב-{\displaystyle A}. אם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית, אזי מספר האיברים ב-{\displaystyle A} קטן או שווה למספר האיברים ב-{\displaystyle B} ואם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל, אזי מספר האיברים ב-{\displaystyle A} שווה למספר האיברים ב-{\displaystyle B}.

על הבסיס הזה בנה גאורג קנטור שיטה להשוות קבוצות אינסופיות, המהוות נושא מרכזי בתורת הקבוצות. קנטור הציג את המושג עוצמה כך ששתי קבוצות שיש ביניהן פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל הן שוות עוצמה.

### משפטים מתורת הקבוצות

* אם {\displaystyle f:X\rightarrow Y} על, אז עוצמת {\displaystyle X} גדולה או שווה לעוצמת {\displaystyle Y} ({\displaystyle |X|\geq |Y|}). משפט זה דורש שימוש באקסיומת הבחירה.
* אם {\displaystyle f\circ g} על, אז {\displaystyle f} על.
* אם f ו-g שתיהן על, אזי {\displaystyle f\circ g} על גם היא.

אפימורפיזמים
------------

בתורת הקטגוריות, מורפיזם \,f:X \rightarrow Y נקרא **אפימורפיזם** אם לכל אובייקט {\displaystyle Z} ולכל זוג מורפיזמים \,g,h:Y\rightarrow Z מתקיים שאם g\circ f = h \circ f אז {\displaystyle g=h}. בקטגוריה של קבוצות, המושגים פונקציה על ואפימורפיזם מתלכדים, אך יש קטגוריות, כגון הקטגוריה של חוגים, שבהן יש אפימורפיזמים שאינם פונקציות על.

ראו גם
------

* מונחים בתורת הקבוצות
* פונקציה חד-חד-ערכית
* פונקציה חד-חד-ערכית ועל

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **פונקציה על** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **פונקציה על** |

* פונקציה על, באתר MathWorld (באנגלית)
* פונקציה על, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - פונקציות חד-חד-ערכיות, על והפיכות, באתר "לא מדויק", 15 במאי 2020