**קשר מאייר** (הנקרא גם "**נוסחת מאייר**") פותח על ידי יוליוס רוברט פון מאייר ומתאר קשר בין קיבול החום בלחץ קבוע וקיבול החום בנפח קבוע עבור חומרים אחידים בכלל וגז אידיאלי בפרט.

עבור גז אידיאלי, הקשר הוא:


C

P

−

C

V

=
R

{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=R}

{\displaystyle C_{P}-C_{V}=R}
כאשר R זהו קבוע הגזים ו- {\displaystyle C\_{P}} הוא קיבול החום המולרי.

עבור חומרים אחידים כלליים יותר, ההפרש נראה כך,


C

P

−

C

V

=
V
T

α

V

2

β

T



{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=VT{\frac {\alpha \_{V}^{2}}{\beta \_{T}}}}

{\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha _{V}^{2}}{\beta _{T}}}}
(ראו יחס קיבולי החום) כאשר T הטמפרטורה, V הנפח, {\displaystyle \alpha \_{V}} מקדם ההתפשטות התרמית ו- {\displaystyle \beta \_{T}} הוא מקדם הדחיסות (אנ').

מקשר זה ניתן להסיק כמה מסקנות:

* משום שריבוע מקדם ההתפשטות התרמית {\displaystyle \alpha \_{V}^{2}} ומקדם הדחיסות {\displaystyle \beta \_{T}} הם ערכים חיוביים, מקשר מאייר נובע כי קיבול החום בלחץ קבוע הוא תמיד גדול מקיבול החום בנפח קבוע.
* כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס (הטמפרטורה נמדדת בקלווין, לכן אפס זהו האפס המוחלט), ההפרש בין קיבולי החום הולך לאפס.
* עבור חומרים בלתי דחיסים, שני קיבולי החום הם שווים. עבור חומרים כמעט בלתי דחיסים (נוזלים, מוצקים), ההפרש בין שני קיבולי החום הוא קטן.

פיתוח הקשר
----------

נפתח את הקשר מזהויות תרמודינמיות בסיסיות.

הדיפרנציאל המלא של האנטרופיה הוא


d
s
=

(

∂
s

∂
T

)

V

d
T
+

(

∂
s

∂
V

)

T

d
V

{\displaystyle ds=\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)\_{V}dT+\left({\frac {\partial s}{\partial V}}\right)\_{T}dV}

{\displaystyle ds=\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial s}{\partial V}}\right)_{T}dV}
אם נציב אותו לתוך החוק הראשון של התרמודינמיקה ונשווה לדיפרנציאל האנרגיה, נקבל כי



(

∂
u

∂
T

)

V

d
T
+

(

∂
u

∂
V

)

T

d
V
=
d
u
=
T
d
s
−
p
d
V
=
T

(

∂
s

∂
T

)

V

d
T
+

[

T

(

∂
s

∂
V

)

T

−
P

]

d
V

{\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)\_{V}dT+\left({\frac {\partial u}{\partial V}}\right)\_{T}dV=du=Tds-pdV=T\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)\_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial s}{\partial V}}\right)\_{T}-P\right]dV}

{\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial u}{\partial V}}\right)_{T}dV=du=Tds-pdV=T\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial s}{\partial V}}\right)_{T}-P\right]dV}
ולכן {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial V}}\right)\_{T}=T\left({\frac {\partial s}{\partial V}}\right)\_{T}-P} וגם {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)\_{V}=T\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)\_{V}}

כעת נציב את שני הקשרים שמצאנו בדיפרנציאל האנטרופיה {\displaystyle ds}, ובעזרת קשרי מקסוול השלישי והרביעי נקבל שני קשרים,
{\displaystyle ds={\frac {C\_{V}}{T}}dT+\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{V}dV} ו-
{\displaystyle ds={\frac {C\_{P}}{T}}dT-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}dP}.

נשווה ביניהם ונפתור לדיפרנציאל הטמפרטורה



(

∂
T

∂
V

)

P

d
V
+

(

∂
T

∂
P

)

V

d
P
=
d
T
=

T

C

P

−

C

V


(

∂
P

∂
T

)

V

d
V
+

T

C

P

−

C

V


(

∂
V

∂
T

)

P

d
P

{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)\_{P}dV+\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\_{V}dP=dT={\frac {T}{C\_{P}-C\_{V}}}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{V}dV+{\frac {T}{C\_{P}-C\_{V}}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}dP}

{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{P}dV+\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}dP=dT={\frac {T}{C_{P}-C_{V}}}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV+{\frac {T}{C_{P}-C_{V}}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}dP}
נשווה בין מקדמי הדיפרנציאל ונקבל כי
{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{V}=-T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}^{2}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\_{T}},
ובעזרת הגדרות מקדם ההתפשטות התרמית
{\displaystyle \alpha \_{V}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{T}}
ומקדם הדחיסה
{\displaystyle \beta \_{T}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}}
נקבל את הקשר הכללי


C

P

−

C

V

=
V
T

β

T

2

α

V



{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=VT{\frac {\beta \_{T}^{2}}{\alpha \_{V}}}}

{\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\beta _{T}^{2}}{\alpha _{V}}}}

שימושים
-------

עבור גזים, ניתן למדוד בקלות יחסית את {\displaystyle C\_{V}} (הרי גז תופס את כל הנפח שהוא יכול).
בניגוד לכך, כאשר הטמפרטורה של נוזלים ומוצקים משתנה גם נפחם משתנה- ולכן קשה למדוד את {\displaystyle C\_{V}} בשבילם (צריכים להפעיל לחצים כדי למנוע את התפשטותם).

מסיבה זאת, בשביל נוזלים ומוצקים מחשבים קודם כל את {\displaystyle C\_{P}}, בעזרת הכנסת כמות אנרגיה ידועה (על ידי קלורימטר) לגוף בטמפרטורה ידועה והסתכלות על הפרשי הטמפרטורות בסוף התהליך (קיימות גם שיטות מדויקות יותר, שמשתמשים בהן בטמפרטורות נמוכות).

לאחר חישוב {\displaystyle C\_{P}} ניתן להשתמש בקשר מאייר כדי לחלץ את {\displaystyle C\_{V}}.

הערות שוליים
------------

1. ↑  Boles, Yunus A. Çengel, Michael A. *Thermodynamics : an engineering approach* (7th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-736674-3.
2. ↑  Quick, C. R.; Schawe, J. E. K.; Uggowitzer, P. J.; Pogatscher, S. (2019-07-01). "Measurement of specific heat capacity via fast scanning calorimetry—Accuracy and loss corrections". *Thermochimica Acta*. Special Issue on occasion of the 65th birthday of Christoph Schick. **677**: 12–20. doi:10.1016/j.tca.2019.03.021. ISSN 0040-6031.
3. ↑  Pogatscher, S.; Leutenegger, D.; Schawe, J. E. K.; Uggowitzer, P. J.; Löffler, J. F. (בספטמבר 2016). "Solid–solid phase transitions via melting in metals". *Nature Communications*. **7** (1): 11113. doi:10.1038/ncomms11113. ISSN 2041-1723. PMC 4844691. PMID 27103085. `{{cite journal}}`:  (עזרה)

  


| תרמודינמיקה |
| --- |
| חוקי יסוד | חוקי שימור (החומר, האנרגיה) • חוקי התרמודינמיקה: אפס, ראשון, שני (ראו גם: תנועה נצחית, השד של מקסוול), שלישי |
| קבועים | קבוע הגזים • קבוע בולצמן • קבוע אבוגדרו • קבוע פלאנק |
| משתנים | אינטנסיבים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי) • אקסטנסיבים (אנטרופיה, נפח, מספר חלקיקים) • משוואת מצב |
| יחידות מידה | טמפרטורה (צלזיוס, קלווין, יח' אחרות) • נפח (ליטר, מטר מעוקב) • לחץ (בר, אטמוספירה, פסקל) • מספר חלקיקים (מול) • אנרגיה (ג'אול, קלוריה) |
| אפיון | הפיכות • שינוי האנתלפיה (תהליך אקסותרמי, תהליך אנדותרמי) • שינוי באנרגיה (תהליך ספונטני, תהליך מאולץ) • תהליך (איזוברי, איזותרמי, איזוכורי, אדיאבטי, איזנטרופי, איזואנתלפי) |
| פוטנציאלים תרמודינמיים | אנרגיה פנימית • אנתלפיה • האנרגיה החופשית של הלמהולץ • האנרגיה החופשית של גיבס |
| מצבי צבירה ומעברי פאזות | מצבי צבירה (מוצק, נוזל, גז) • מעברי פאזות (התכה, התאדות, המראה, התעבות, הקפאה) • נקודת התכה • נקודת רתיחה • נקודה משולשת • נקודה קריטית • דיאגרמת פאזות • משוואת קלאוזיוס-קלפרון • חוק הפאזות של גיבס |
| גזים | גז אידיאלי • גז ואן דר ואלס • התאוריה הקינטית של הגזים • לחץ חלקי • חוק ראול • מודל דלטון • חוק בויל-מריוט • חוק גה-ליסאק • חוק שארל• משוואת הגז האידיאלי |
| חום וטמפרטורה | האפס המוחלט • יח' מידה לטמפרטורה • שיווי משקל תרמודינמי • קיבול חום • יחס קיבולי החום • חום כמוס • חוק הס • קלורימטר • אפקט ג'ול-תומסון • הסעת חום • מוליכות חום • מעבר חום • קרינה תרמית • קשר מאייר • האינדקס האדיאבטי |
| מעגלי עבודה | מעגלים תרמודינמיים (קרנו, סטרלינג, ברייטון, אריקסון, רנקין, סטירלינג, דיזל, לנואר, אוטו, היגרוסקופי, סקודירי, סטודרד) • נצילות |
| יישומים | מכונות חום • מנועים • משאבות • משאבת חום • מחליף חום • מיזוג אוויר • מקרר • קירור תרמואלקטרי • תחנות כוח |
| מונחים נוספים | תאוריית הקלוריק • תנועה בראונית • פונקציית מצב • תרמודינמיקה סטטיסטית • קשרי מקסוול • תרמוכימיה |
| דמויות בולטות | דניאל ברנולי (1700–1782) • בנג'מין תומפסון (1753–1814) • סאדי קרנו (1796–1832) • אמיל קלפרון (1799–1874) • רוברט מאייר (1814–1878) • ג'יימס ג'ול (1818–1889) • ויליאם ג'ון מקורן רנקין (1820–1872) • הרמן פון הלמהולץ (1821–1894) • רודולף קלאוזיוס (1822–1888) • ויליאם תומסון (1824–1907) • ג'יימס קלרק מקסוול (1831–1879) • יוהנס דידריק ואן דר ואלס (1837–1923) • ג'וסיה וילארד גיבס (1839–1903) • לודוויג בולצמן (1844–1906) • מקס פלאנק (1858–1947) • פייר דוהם (1861–1916) • קונסטנטין קרתיאודורי (1873–1950) • לארס אונסגר (1903–1976) |