פירוש נוסף ערך זה עוסק בסדרה שיש לה גבול. אם התכוונתם לאיבר הגבול של סדרה מתכנסת, ראו גבול של סדרה.

|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**סדרה מתכנסת** היא סדרה שיש לה גבול, כלומר, איבריה הולכים ושואפים למספר כלשהו. הסדרה {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\dots \}} מתכנסת למספר {\displaystyle L} אם לכל ערך חיובי {\displaystyle \varepsilon } יש מספר טבעי {\displaystyle N} שממנו והלאה מתקיים {\displaystyle |a\_{n}-L|<\varepsilon }. סדרה שאינה מתכנסת נקראת **סדרה מתבדרת**. את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל מרחב מטרי, ואפילו בכל מרחב טופולוגי (ראו גבול (טופולוגיה)).

סדרות מתכנסות במרחבים מטריים
----------------------------

למושג הסדרה המתכנסת תפקיד מרכזי באנליזה של מרחבים מטריים. אומרים שסדרה {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\dots \}} של נקודות במרחב מטרי {\displaystyle X} (עם מטריקה {\displaystyle d}) **מתכנסת** לנקודה {\displaystyle x} (**גבול הסדרה**), אם לכל ערך חיובי {\displaystyle \varepsilon } יש מספר {\displaystyle N} שממנו והלאה מתקיים {\displaystyle \ d(a\_{n},x)<\varepsilon }. במרחב מטרי, לסדרה מתכנסת יש גבול יחיד.

את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. התכונה הזו מלמדת הרבה על מרחב המספרים הממשיים. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההפך לא תמיד נכון; למשל, סדרת קושי של מספרים רציונליים אינה מוכרחה להתכנס (במרחב המספרים הרציונליים). מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מרחב מטרי שלם. כל מרחב מטרי אפשר להשלים, כלומר לשכן באופן צפוף במרחב מטרי שלם.

התכנסות במרחבים טופולוגיים
--------------------------

את התנאי {\displaystyle d(a\_{n},x)<\varepsilon } אפשר לנסח קצת אחרת: {\displaystyle a\_{n}\in B\_{\varepsilon }(x)}, כאשר {\displaystyle B\_{r}(x)} הוא הכדור ברדיוס {\displaystyle r} סביב {\displaystyle x}. ניסוח זה מוביל להגדרה הכללית של סדרה מתכנסת במרחב טופולוגי {\displaystyle X}: אומרים שסדרה {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\dots \}} של נקודות ב-{\displaystyle X} **מתכנסת** לנקודה {\displaystyle x} (**גבול הסדרה**), אם לכל סביבה פתוחה {\displaystyle U} של {\displaystyle x}, יש מספר {\displaystyle N} שממנו והלאה מתקיים {\displaystyle a\_{n}\in U}.

מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא **מרחב-US**. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל **מרחב-KC** הוא מרחב-US, וכל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC. 

בין מרחבים המקיימים את אקסיומת המניה הראשונה, מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.

### רשתות מתכנסות

בסדרה, מותאמת נקודה של המרחב לכל מספר טבעי. ברשת, מחליפה את קבוצת המספרים הטבעיים קבוצה מכוונת. ההגדרה נותרת בעינה: הרשת {\displaystyle a\_{\lambda }} **מתכנסת** לנקודה {\displaystyle x} (**גבול הרשת**), אם לכל סביבה פתוחה {\displaystyle U} של {\displaystyle x}, יש מקום {\displaystyle \lambda \_{0}} שממנו והלאה (כלומר לכל {\displaystyle \lambda >\lambda \_{0}}) מתקיים {\displaystyle a\_{\lambda }\in U}. 

סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמה, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד. (אם ורק אם לכל מסנן מתכנס יש גבול יחיד).

קצב התכנסות וסדר התכנסות
------------------------

פעמים רבות נרצה לבדוק עד כמה מהר מתכנסת סדרה כלשהי. פרמטר זה חשוב במיוחד בבעיות אופטימיזציה שבהן אנו מנסים לשער ערך מסוים על-ידי פעולה איטרטיבית כלשהי אשר מתכנסת לערך הרצוי (לדוגמה, חישוב שורש של פונקציה באמצעות שיטת ניוטון-רפסון).

אחת הדרכים לייצוג מהירות ההתכנסות היא באמצעות חישוב קצב התכנסות וסדר התכנסות. בהינתן סדרה {\displaystyle \left\{x\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} המתכנסת לערך {\displaystyle L} נאמר שהסדרה **מתכנסת בקצב {\displaystyle \mu }** ו**מסדר {\displaystyle q}** אם ורק אם:

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {\left|x\_{n+1}-L\right|}{\left|x\_{n}-L\right|^{q}}}=\mu }

זאת כאשר {\displaystyle q\geq 1}. ככל ש-{\displaystyle q} גדול יותר, כך הסדרה הלכה למעשה מתכנסת מהר יותר אל הגבול שלה.

ראו גם
------

* מבחני התכנסות לסדרות

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **סדרה מתכנסת** בוויקישיתוף
* סדרה מתכנסת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה
2. ↑  Senning, Jonathan R. "Computing and Estimating the Rate of Convergence" (PDF). *gordon.edu*. Retrieved 2020-08-07.

  


| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |