פונקציה f מ-X ל-Y. האליפסה הכחולה Y היא הטווח של f, הצהובה היא התמונה של f, והאדומה היא התחום שלה.
במתמטיקה, **טווח של פונקציה** אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} הטווח של הפונקציה f הוא הקבוצה Y.

הגדרה
-----

באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה f, אם f מוגדרת על ידי השלשה הסדורה {\displaystyle (X,Y,G)} כאשר X הוא התחום של f, Y הטווח שלה ו-G כלל ההתאמה ביניהם.

ההבדל בין טווח לתמונה
---------------------

טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה f(x), כאשר x נע על פני איברי התחום X, נקרא התמונה של f. באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה f(x)=y אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של f שווים, אז f היא פונקציה על.

דוגמאות
-------

עבור הפונקציה {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } המוגדרת על ידי כלל ההתאמה {\displaystyle f(x)\ =\ x^{2}} הטווח של f הוא {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }, אבל f לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של f היא הקבוצה {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} \_{0}^{+}}; כלומר, הקטע {\displaystyle [0,\infty )}.

דוגמה נוספת היא הפונקציה g: {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \_{0}^{+}} עם כלל ההתאמה {\displaystyle g(x)\ =\ x^{2}}.

אף על פי שהפונקציות f ו-g מתאימות לכל x בתחום את אותו ה-y בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים.

נגדיר פונקציה שלישית h על ידי כלל ההתאמה {\displaystyle h(x)={\sqrt {x}}}. התחום של h לא יכול להיות {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }, אבל ניתן להגדיר בתור תחום את {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} \_{0}^{+}}: {\displaystyle h\colon \mathbb {R} \_{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} }.

נבדוק את ההרכבות {\displaystyle h\circ f} ו-{\displaystyle h\circ g}.

{\displaystyle h\circ f} אינו שימושי. התמונה של f אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }. מסיבה זו, ייתכן ש-h, כאשר היא מורכבת עם f, עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של h, שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה f היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה g.

הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, g פונקציה על בעוד f לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית.

דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ-{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות 2×2 עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} וטווח {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}. עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה 2) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה 1 או 0). למשל, המטריצה:{\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}} מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה (x,y) ל-{\displaystyle (x,x)}. הנקודה {\displaystyle (2,3)} אינה בתמונה של T אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ-{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} ל-{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}. בדיוק כמו כל המטריצות בגודל 2×2, T מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של-T אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח.

תורת הקבוצות
------------

בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה X, ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה {\displaystyle (X,Y,G)}. עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}.

קישורים חיצוניים
----------------

* אביב צנזור, קורס הכנה – מבוא לפונקציות, "הטכניון מלמדים", בעמוד היוטיוב של הטכניון, ‏18 בנובמבר 2020
* טווח של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  אלי לוין, אלגברה לינארית I (עמ' 128), האוניברסיטה הפתוחה, הגדרה 10.I, ‏1993
2. ↑  אלי לוין, אלגברה לינארית I (עמ' 128), האוניברסיטה הפתוחה, הגדרה 12.I, ‏1993