בחשבון אינפיניטסימלי, **משפט שטולץ**, שנקרא גם **משפט שטולץ-צ'זארו**, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}} ו-{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a\_{n+1}-a\_{n}}{b\_{n+1}-b\_{n}}}} שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (אנ') (1842–1905) וארנסטו צזארו (אנ') (1859–1906).

ניסוח המשפט
-----------

תהא {\displaystyle \left\{x\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהא {\displaystyle \left\{y\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה {\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}\right\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול {\displaystyle L=\lim \_{n\to \infty }\textstyle {\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}}, אז גם הסדרה {\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}\right\}\_{n=1}^{\infty }} מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה
-----

נוכיח את המקרה בו {\displaystyle \,L} סופי.

יהי \varepsilon >0 כלשהו.
לפי הגדרת הגבול, קיים {\displaystyle N\,} טבעי, כך שלכל {\displaystyle n>N\,} מתקיים

{\displaystyle L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}
.

כיוון שהסדרה {\displaystyle \left\{y\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} מונוטונית עולה ממש, {\displaystyle y\_{n+1}>y\_{n}\,}, כלומר {\displaystyle y\_{n+1}-y\_{n}>0\,} וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:


(

L
−

ε
2

)

(

y

n
+
1

−

y

n

)

<

x

n
+
1

−

x

n

<

(

L
+

ε
2

)

(

y

n
+
1

−

y

n

)

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y\_{n+1}-y\_{n}}\right)<x\_{n+1}-x\_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y\_{n+1}-y\_{n}}\right)}

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)}
יהא {\displaystyle k>N\,} טבעי כלשהו כך ש- {\displaystyle y\_{k}>0\,} (בהכרח קיים {\displaystyle k\,} כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל {\displaystyle N+1\leq n\leq k} נקבל את האי שוויון הבא:


(

L
−

ε
2

)

∑

i
=
N
+
1

k

(

y

i
+
1

−

y

i

)

<

∑

i
=
N
+
1

k

(

x

i
+
1

−

x

i

)

<

(

L
+

ε
2

)

∑

i
=
N
+
1

k

(

y

i
+
1

−

y

i

)

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits \_{i=N+1}^{k}{\left({y\_{i+1}-y\_{i}}\right)}<\sum \limits \_{i=N+1}^{k}{\left({x\_{i+1}-x\_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits \_{i=N+1}^{k}{\left({y\_{i+1}-y\_{i}}\right)}}

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}}

⇕

{\displaystyle \Updownarrow }

{\displaystyle \Updownarrow }


(

L
−

ε
2

)

(

y

k
+
1

−

y

N
+
1

)

<

x

k
+
1

−

x

N
+
1

<

(

L
+

ε
2

)

(

y

k
+
1

−

y

N
+
1

)

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y\_{k+1}-y\_{N+1}}\right)<x\_{k+1}-x\_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y\_{k+1}-y\_{N+1}}\right)}

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon  \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)}
נחלק את אי השוויון ב- {\displaystyle y\_{k+1}>0\,} ונקבל

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)<\textstyle {\frac {x\_{k+1}}{y\_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)}


⇕

{\displaystyle \Updownarrow }

{\displaystyle \Updownarrow }

{\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}<{\frac {x\_{k+1}}{y\_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+{\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}

ברור כי
{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}.
לכן קיים {\displaystyle M\,} טבעי כך שלכל {\displaystyle k>M\,}
מתקיים {\displaystyle \left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}<L+\varepsilon }.
כן ברור כי {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2}} לכן קיים A\, טבעי כך שלכל {\displaystyle k>A\,} מתקיים {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y\_{N+1}}{y\_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x\_{N+1}}{y\_{k+1}}}>L-\varepsilon }. לפיכך, אם נבחר {\displaystyle Q=\max\{A,M,N\}\,}, נקבל שלכל {\displaystyle k>Q\,} יתקיים:

{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x\_{k+1}}{y\_{k+1}}}<L+\textstyle \varepsilon }, כלומר - {\displaystyle \left|{{\frac {x\_{k+1}}{y\_{k+1}}}-L}\right|<\textstyle \varepsilon }

ולפיכך, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}=L}.

דוגמאות
-------

* נחשב את הגבול {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}} כאשר {\displaystyle a\_{n}={\frac {2+{({3 \over 2})}^{2}+{({4 \over 3})}^{3}+...+{({n+1 \over n})}^{n}}{n}}}.

נסמן {\displaystyle x\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}\textstyle {\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}, ו־{\displaystyle y\_{n}=n\,}. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: {\displaystyle y\_{n}\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum \_{k=1}^{n+1}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}-\sum \_{k=1}^{n}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}{n+1-n}}}=\lim \_{n\to \infty }{\textstyle \left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}}=\lim \_{n\to \infty }{\textstyle \left(1+{1 \over n+1}\right)^{n+1}}=e}
ולכן, לפי המשפט, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\lim \_{n\to \infty }{x\_{n} \over y\_{n}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}=e}.
* נחשב את הגבול {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{1}+e\cdot a\_{2}+e^{2}\cdot a\_{3}+...+e^{n-1}\cdot a\_{n}}{e^{n}}}} כאשר {\displaystyle a\_{n}\rightarrow e}.

נסמן {\displaystyle x\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}e^{k-1}a\_{k}}, ו־{\displaystyle y\_{n}=e^{n}\,}. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: {\displaystyle y\_{n}\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum \_{k=1}^{n+1}e^{k-1}a\_{k}-\sum \_{k=1}^{n}e^{k-1}a\_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a\_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n+1}}{e-1}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}}
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
ולכן, לפי המשפט, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{1}+e\cdot a\_{2}+e^{2}\cdot a\_{3}+...+e^{n-1}\cdot a\_{n}}{e^{n}}}=\lim \_{n\to \infty }{x\_{n} \over y\_{n}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{y\_{n+1}-y\_{n}}}={\frac {e}{e-1}}}.

שימושים
-------

* הוכחת כלל לופיטל.
* בהינתן \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{{\infty }} סדרה מתכנסת:
	+ הממוצעים המשוקללים של a\_{n} מתכנסים לאותו גבול כמו \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{{\infty }} (זאת בתנאי שסדרת המשקולות {\displaystyle \left\{\alpha \_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }} מקיימת {\displaystyle \alpha \_{1}+\alpha \_{2}+\cdots +\alpha \_{n}\to \infty }).
	+ הממוצע החשבוני של a\_{n} מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{{\infty }} (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
	+ הממוצע ההרמוני של a\_{n} מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{{\infty }}.
		- משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של a\_{n} מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a\_{n}\right\}\_{{n=1}}^{{\infty }}.

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |