בטופולוגיה, **בסיס** ו**תת-בסיס** הן דרכים חסכוניות לתיאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

הגדרות
------

### בסיס

**בסיס** של מרחב טופולוגי {\displaystyle (X,\tau )} הוא אוסף {\displaystyle {\mathcal {B}}} של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של איברים מן הבסיס; במילים אחרות, {\displaystyle \tau =\left\{\bigcup \_{i\in I}B\_{i}:I\neq \emptyset ,\forall i\in I\;B\_{i}\in {\mathcal {B}}\right\}}. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף {\displaystyle {\mathcal {B}}} של קבוצות פתוחות, כך שלכל x\in X ולכל קבוצה פתוחה {\displaystyle x\in U}, קיימת קבוצה בבסיס {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}, כך ש-{\displaystyle x\in B\subseteq U}.

ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף {\displaystyle {\mathcal {B}}} של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) אם ורק אם X מכוסה על ידי האוסף (דהיינו {\displaystyle X=\bigcup \_{B\in {\mathcal {B}}}B}), ולכל שתי קבוצות {\displaystyle B\_{1},B\_{2}\in {\mathcal {B}}} ונקודה בחיתוך {\displaystyle x\in B\_{1}\cap B\_{2}}, קיימת קבוצה בבסיס {\displaystyle B\_{3}\in {\mathcal {B}}}, כך ש- {\displaystyle x\in B\_{3}\subseteq B\_{1}\cap B\_{2}}. כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהפך. יתרונה של הגדרה זו הוא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף הקטעים הפתוחים עם נקודות קצה רציונליות מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי.

בסיס נקרא לפעמים גם **מערכת סביבות יסודית**.

### תת-בסיס

**תת-בסיס** של מרחב טופולוגי {\displaystyle (X,\tau )} הוא אוסף S של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ-S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ-S.

### בסיס מקומי

**בסיס מקומי**: אוסף {\displaystyle {\mathcal {B}}} של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי הוא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של {\displaystyle {\mathcal {B}}} המכיל את x.

דוגמאות
-------

* במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
* בישר הממשי, הקבוצה {\displaystyle \mathbb {B} =\{(a,\infty ):a\in \mathbb {R} \}} היא טופולוגיה ובפרט בסיס. לכן, כבסיס לטופולגיה, יוצרת משפחה זו את עצמה.
* במרחב \mathbb{R} עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה {\displaystyle \mathbb {S} =\{(a,\infty ):a\in \mathbb {R} \}\cup \{(-\infty ,b):b\in \mathbb {R} \}} היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
* הישר של סורגנפריי מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה {\displaystyle [a,b)} כאשר a ו-b מספרים ממשיים כלשהם.

ראו גם
------

* אקסיומות המנייה

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |

קישורים חיצוניים
----------------

* בסיס, באתר MathWorld (באנגלית)