בתורת החבורות, **ייצוג חבורה על ידי יוצרים ויחסים** היא דרך הגדרה או אפיון של חבורה. בשיטה זו ישנה קבוצת יוצרים, המקיימים יחסים מסוימים. למשל, חבורה ציקלית סופית מסדר {\displaystyle n} ניתן לייצג על ידי {\displaystyle \langle a\mid {a}^{n}=1\rangle }.

הגדרה
-----

חבורה חופשית מעל קבוצה {\displaystyle S} מוגדרת כקבוצת כל המילים (הסופיות) מחזקות של איברי {\displaystyle S}, והפעולה היא שרשור. נסמנה {\displaystyle {F}\_{S}}. התכונה המיוחדת של חבורה חופשית הוא שאיבריה לא מקיימים אף יחס לא טריוויאלי ביניהם, ומכאן שמה.

בהינתן קבוצה כלשהי של מילים {\displaystyle R} באיברי {\displaystyle S}, מגדירים את **החבורה הנוצרת על ידי {\displaystyle S} עם היחסים {\displaystyle R}** בתור חבורת המנה של {\displaystyle {F}\_{S}} עם הסגור המוצמד (אנ') שלו, שהוא תת-החבורה הנורמלית הקטנה ביותר שמכילה את {\displaystyle R}. את הייצוג מסמנים ב- {\displaystyle \langle S\mid R\rangle }.

את איברי {\displaystyle S} נהוג לכנות **יוצרי החבורה**, ואילו איברי {\displaystyle R} הם **יחסי החבורה**. 

אם לחבורה {\displaystyle G} יש ייצוג מהצורה {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } שבו הקבוצה {\displaystyle S} סופית, אומרים כי **{\displaystyle G} נוצרת סופית**. אם קיים ייצוג שבו {\displaystyle S,R} שתיהן סופיות, נאמר כי **{\displaystyle G} מוצגת סופית**.

לעיתים, במקום לסמן את היחס בתור מילה {\displaystyle w}, כותבים {\displaystyle w=1}. כך למשל, החבורה הציקלית הסופית מקבלת את הייצוג {\displaystyle \langle a\mid {a}^{n}=1\rangle }.

תכונות
------

ראשית, לכל חבורה יש ייצוג על ידי יוצרים ויחסים: כדי להוכיח זאת, נביט באפימורפיזם הטבעי מ{\displaystyle {F}\_{G}\rightarrow G}, השולח כל יוצר של החבורה החופשית לעצמו. הגרעין {\displaystyle K} של העתקה זו הוא ודאי קבוצה נורמלית, והיא בדיוק הקבוצה שמייצגת את היחסים של החבורה {\displaystyle G}. אם כן, הייצוג של החבורה הוא {\displaystyle \langle G\mid K\rangle }.

יש להדגיש כי ההוכחה שהוצגה לעיל איננה בעלת אופי יישומי, משום שבייצוג שהוגדר ישנו שימוש בכל איברי החבורה ובכמות גדולה של יחסים (לרוב אינסופי); מציאת ייצוג נוח עלולה להיות משימה קשה.

לכל חבורה סופית יש ייצוג סופי, משום שאפשר לקחת את איברי החבורה {\displaystyle G} כיוצרים, ואת קבוצת היחסים להיות טבלת הכפל של החבורה.

ייצוג של חבורה איננו יחיד - הבעיה של לזהות שני ייצוגים לאותה החבורה היא בעיה נפוצה בתחומים שונים במתמטיקה; בעיה זו איננה כריעה, ולעיתים מתגלה כמאוד קשה ומהותית.

דוגמאות
-------

* כאמור לעיל, חבורה חופשית מעל קבוצה {\displaystyle S} היא בעלת קבוצת יחסים ריקה, וייצוגה הוא: {\displaystyle \langle S\mid \emptyset \rangle }.

* החבורה הדיהדרלית מסדר {\displaystyle n} היא בעלת הייצוג {\displaystyle {D}\_{n}=\langle s,r\mid r^{n},s^{2},s^{-1}rsr\rangle }. אינטואיטיבית, {\displaystyle r} הוא סיבוב ב-{\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}} רדיאנים נגד השעון ו-{\displaystyle s} הוא שיקוף.

* לחבורה הסימטרית ישנם מספר ייצוגים שונים, אליהם ניתן להגיע מתפישות גאומטריות שונות של החבורה. להלן אחד הייצוגים הנפוצים שלה:


S

n

=
⟨

σ

1

,
…
,

σ

n
−
1

∣

σ

i

2

=
1
,

σ

i

σ

j

=

σ

j

σ

i

(
i
≠
j
+
1
)
,

σ

i

σ

i
+
1

σ

i

=

σ

i
+
1

σ

i

σ

i
+
1

⟩

{\displaystyle S\_{n}=\langle \sigma \_{1},\dots ,\sigma \_{n-1}\mid \sigma \_{i}^{2}=1,\sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i}\quad (i\neq j+1),\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}=\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\rangle }

{\displaystyle S_{n}=\langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2}=1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad (i\neq j+1),\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\rangle }
* לחבורת הצמות ישנו הייצוג הבא:

{\displaystyle B\_{n}=\left\langle \sigma \_{1},...\sigma \_{n-1}\left|{\begin{matrix}\sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i},\quad \quad \quad \quad \quad |i-j|\geq 2\\\sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}=\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i},\quad 1\leq i\leq n-2\end{matrix}}\right.\right\rangle }.

* חבורת הקווטרניונים מיוצגת על ידי {\displaystyle \langle i,j,k\mid {i}^{2}={j}^{2}={k}^{2}=ijk=-1\rangle }.

* לחבורת הייזנברג ייצוג {\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle \,\!}.

ראו גם
------

* חבורה חופשית
* חבורה מוצגת סופית
* ייצוג של אלגברה