**נוסחת אוילר** היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: {\displaystyle \ e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }} לכל {\displaystyle \ \theta } ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה. את {\displaystyle \cos {\theta }+i\sin {\theta }} יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת {\displaystyle \ cis{\theta }}.

זהות אוילר
----------

 ערך מורחב – **זהות אוילר**  

כאשר מציבים בנוסחה את {\displaystyle \ \pi } כערכה של הזווית {\displaystyle \ \theta }, מתקבל:
{\displaystyle \ e^{i\pi }=-1} או {\displaystyle \ e^{i\pi }+1=0},
תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

הקשר להצגה קוטבית
-----------------

הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר
בהינתן מספר מרוכב {\displaystyle z} השונה מאפס, ניתן למתוח קטע {\displaystyle l} במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה {\displaystyle z}. האורך של {\displaystyle l}, {\displaystyle r}, מכונה הערך המוחלט של {\displaystyle z}, ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל-{\displaystyle l} (נגד כיוון השעון), {\displaystyle \theta }, מכונה הארגומנט של {\displaystyle z}. הזוג {\displaystyle (r,\theta )} מכונה ההצגה הקוטבית של {\displaystyle z}.

אם נציג את {\displaystyle z} בצורה {\displaystyle z=x+iy}, אז {\displaystyle x} ו-{\displaystyle y} הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא {\displaystyle l}. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים {\displaystyle x=r\cos \theta } ו-{\displaystyle y=r\sin \theta }. לכן לפי נוסחת אוילר:

{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }}
הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: {\displaystyle z\_{1}\cdot z\_{2}=r\_{1}e^{i\theta \_{1}}\cdot r\_{2}e^{i\theta \_{2}}=r\_{1}r\_{2}e^{i(\theta \_{1}+\theta \_{2})}}.

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי {\displaystyle \ (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)} ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון {\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{i(nx)}}.

משמעות אלגברית
--------------

מנוסחת אוילר נובע שההעתקה {\displaystyle \ f(x)=e^{ix}=\cos x+i\sin x} היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן {\displaystyle f(x)=f(x+2\pi )}.

הגרעין של {\displaystyle f} הוא הקבוצה {\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} } ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-{\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }, או אחרי נרמול {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }.

הוכחות
------

קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

### באמצעות טור טיילור

זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של {\displaystyle \ i}:

{\displaystyle {\begin{aligned}i^{4n}&{}=1,\quad &i^{4n+1}&{}=i,\quad &i^{4n+2}&{}=-1,\quad &i^{4n+3}&{}=-i\end{aligned}}}
לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות **הממשיות** {\displaystyle \ e^{x}},‏ {\displaystyle \ \cos(x)} ו-{\displaystyle \ \sin(x)} באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}}
עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי {\displaystyle \ x} במספר המדומה {\displaystyle \ i\theta } (כאשר {\displaystyle \ \theta }עצמו ממשי).

לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&{}=1+i\theta +{\frac {(i\theta )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\theta )^{5}}{5!}}+{\frac {(i\theta )^{6}}{6!}}+{\frac {(i\theta )^{7}}{7!}}+{\frac {(i\theta )^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+i\theta -{\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {i\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {i\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-{\frac {i\theta ^{7}}{7!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos \theta +i\sin \theta \end{aligned}}}
(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).

### באמצעות חשבון דיפרנציאלי

נגדיר את הפונקציה {\displaystyle \ f(x)}, במשתנה ממשי {\displaystyle \ x}, בתור:

{\displaystyle f(x)=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\ }
הנגזרת של *(f*(x, לפי חוק המכפלה, היא:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&{}=(\cos x+i\sin x)\cdot {\frac {d}{dx}}e^{-ix}+{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(\cos x+i\sin x)(-ie^{-ix})+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(-i\cos x-i^{2}\sin x)\cdot e^{-ix}+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\\&{}=(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=0\end{aligned}}}
לכן, {\displaystyle \ f(x)} חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-{\displaystyle \ x}. משום ש-{\displaystyle \ f(0)} ידוע, הקבוע ש- {\displaystyle \ f(x)} שווה אליו עבור כל {\displaystyle \ x} ממשי גם ידוע. כלומר:

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=f(x)=f(0)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{0}=1\,}.
על ידי הכפלת שני הצדדים ב-{\displaystyle \ e^{ix}} ושימוש בשוויון

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\cdot e^{ix}=1\cdot e^{ix}\,}
נקבל כי:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }.

הכללות
------

ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה {\displaystyle \exp(xr)=\cos x+r\sin x\ ,} כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **נוסחת אוילר** בוויקישיתוף
* גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני, באתר "לא מדויק", 6 באפריל 2010
* נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* נוסחת אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
* נוסחת אוילר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

| אנליזה מרוכבת |
| --- |
| 

|  |
| --- |
| מספר מרוכב • שדה המספרים המרוכבים • פונקציה מרוכבת • פונקציה הולומורפית • פונקציה שלמה • נוסחת אוילר • משוואות קושי-רימן • משפט האינטגרל של קושי • נוסחת האינטגרל של קושי • משפט מוררה • משפט ליוביל • המשפט היסודי של האלגברה • טור לורן • סינגולריות • קוטב • משפט השאריות • עקרון הארגומנט • משפט רושה |

 |
| אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |