גרף של מספר איברים בגרעין פייר
באנליזה מתמטית, **גרעין פייר** (באנגלית: **Fejér kernel**), הנקרא על שם המתמטיקאי ההונגרי־יהודי ליפוט פייר, הוא שמו של גרעין סכימה המוגדר להיות סיכום צזארו של גרעין דיריכלה.

הגדרה
-----

גרעין דיריכלה מוגדר בדרך כלל להיות סדרת הממוצעים החשבוניים של גרעין דיריכלה: {\displaystyle F\_{N}(x)={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=0}^{N}D\_{n}(x)}, כאשר {\displaystyle D\_{n}} הוא האיבר ה־n־י בגרעין דיריכלה המוגדר על ידי: {\displaystyle D\_{n}(x)=\sum \_{k=-n}^{n}{e}^{ikx}}.

ניתן להציב את הביטוי המפורש של גרעין דיריכלה בהגדרת גרעין פייר, על מנת לקבל הצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי באופן מפורש:



F

N

(
x
)

=

1

N
+
1

∑

n
=
−
N

N

D

n

(
x
)

=

1

N
+
1

∑

n
=
0

N

∑

k
=
−
n

n

e

i
k
x

=

∑

n
=
−
N

N

(

1
−

|
n
|

N
+
1

)

e

i
n
x

{\displaystyle F\_{N}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=-N}^{N}D\_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=0}^{N}\sum \_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\sum \_{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {\left|n\right|}{N+1}}\right)e^{inx}}

{\displaystyle F_{N}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=-N}^{N}D_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {\left|n\right|}{N+1}}\right)e^{inx}}

על מנת לקבל נוסחה סגורה לגרעין פייר, נשתמש בהצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי, תוך שימוש בנוסחה לסכום של סדרה הנדסית ובזהות הטריגונומטרית {\displaystyle \cos 2x=1-2\sin ^{2}x}:




F

N

(
x
)

=

1

N
+
1

∑

n
=
0

N

D

n

(
x
)

=

1

N
+
1

∑

n
=
0

N

∑

k
=
−
n

n

e

i
k
x

=

1

N
+
1

∑

n
=
0

N



e

−
i
n
x

−

e

i

(

n
+
1

)

x

1
−

e

i
x


=



=

1

N
+
1


1

1
−

e

i
x



[

∑

n
=
0

N

e

−
i
n
x

−

e

i
x

∑

n
=
0

N

e

i
n
x

]

=

1

N
+
1


1

1
−

e

i
x



[

1
−

e

−
i

(

N
+
1

)

x

1
−

e

−
i
x


−

e

i
x


1
−

e

i

(

N
+
1

)

x

1
−

e

i
x



]

=



=

1

N
+
1


1

1
−

e

i
x



[

1
−

e

−
i

(

N
+
1

)

x

1
−

e

−
i
x


−

1
−

e

i

(

N
+
1

)

x


e

−
i
x

−
1

]

=

1

N
+
1



2
−

e

−
i

(

N
+
1

)

x

−

e

i

(

N
+
1

)

x

2
−

e

i
x

−

e

−
i
x


=



=

1

N
+
1



1
−
cos
⁡

(

(

N
+
1

)

x

)

1
−
cos
⁡

(
x
)

=

1

N
+
1


sin

2

⁡

(

N
+
1

2

x

)

sin

2

⁡

(

x
2

)




{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{N}\left(x\right)&={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=0}^{N}D\_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=0}^{N}\sum \_{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{N+1}}\sum \_{n=0}^{N}{\frac {e^{-inx}-e^{i\left(n+1\right)x}}{1-e^{ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[\sum \_{n=0}^{N}e^{-inx}-e^{ix}\sum \_{n=0}^{N}e^{inx}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-e^{ix}{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{1-e^{ix}}}\right]=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{e^{-ix}-1}}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {2-e^{-i\left(N+1\right)x}-e^{i\left(N+1\right)x}}{2-e^{ix}-e^{-ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1-\cos \left(\left(N+1\right)x\right)}{1-\cos \left(x\right)}}={\frac {1}{N+1}}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {N+1}{2}}x\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{N}\left(x\right)&={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}D_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}{\frac {e^{-inx}-e^{i\left(n+1\right)x}}{1-e^{ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[\sum _{n=0}^{N}e^{-inx}-e^{ix}\sum _{n=0}^{N}e^{inx}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-e^{ix}{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{1-e^{ix}}}\right]=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{e^{-ix}-1}}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {2-e^{-i\left(N+1\right)x}-e^{i\left(N+1\right)x}}{2-e^{ix}-e^{-ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1-\cos \left(\left(N+1\right)x\right)}{1-\cos \left(x\right)}}={\frac {1}{N+1}}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {N+1}{2}}x\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}\end{aligned}}}

תכונות
------

גרעין פייר הוא "גרעין טוב", כלומר הוא מקיים את שלושת התכונות הבאות:

* בדומה לגרעין דיריכלה, {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }F\_{N}\left(x\right)dx=1}.
* בדומה לגרעין דיריכלה, לכל \delta>0 מתקיים {\displaystyle \int \_{\left|x\right|\geq \delta }F\_{N}\left(x\right)dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0}, כלומר עיקר המסה מתרכזת בקטע {\displaystyle \left[-\delta ,\delta \right]}.
* תכונתו המרכזית של גרעין פייר, המבדילה אותו מגרעין דיריכלה, היא היותו אי שלילי, תכונה הגורמת לחסימות של האינטגרל המוחלט שלו: {\displaystyle \int \_{-\pi }^{\pi }\left|F\_{N}\left(x\right)\right|dx=\int \_{-\pi }^{\pi }F\left(x\right)dx=2\pi }, ובפרט, חסום.

שימושים
-------

ראו גם
------

* גרעין דיריכלה
* טור פורייה
* משפט פייר

הערות שוליים
------------