בתורת החבורות, **חבורת-p** היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני p, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p. 

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית.

מבנה
----

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של p) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

חבורת-p היא **חזקה** (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות {\displaystyle x^{p}} (או {\displaystyle x^{4}} אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.

מספרן של חבורות-p
-----------------

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר n הוא הגדול ביותר כאשר n הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. 
Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר {\displaystyle p^{n}} גדל כמו {\displaystyle p^{2n^{3}/27}}. 

יש חבורה יחידה מכל סדר p; 
2 חבורות מסדר {\displaystyle p^{2}};
5 חבורות מסדר {\displaystyle p^{3}}; ו-15 חבורות מסדר {\displaystyle p^{4}}. 
מספר החבורות מסדר {\displaystyle p^{5}} הוא {\displaystyle 2p} ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-p; 
מספר החבורות מסדר {\displaystyle p^{6}} הוא {\displaystyle 3p^{2}} ועוד גורם ליניארי התלוי ב-p; 
מספר החבורות מסדר {\displaystyle p^{7}} הוא {\displaystyle 3p^{5}} ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-p. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל n יש N גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר {\displaystyle p^{n}} (עבור p גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של p, התלוי ב-{\displaystyle p{\pmod {N}}} בלבד.

החבורות מכל סדר {\displaystyle p^{n}}, עבור {\displaystyle n\leq 7} (וכאשר {\displaystyle p=2}, עבור {\displaystyle n\leq 9}) מויינו באופן מלא. יש {\displaystyle 49478365422} חבורות מסדר {\displaystyle 2^{10}}.

אוטומורפיזמים
-------------

משערים שאם P חבורת-p מסדר שאינו p או {\displaystyle p^{2}}, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים {\displaystyle |\operatorname {Aut} (P)|} מתחלק בזה של P. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר p (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני מסדר p עודנה פתוחה.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים
-------------------------------------

חבורת פרטיני {\displaystyle \Phi (P)} של חבורת-p P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן {\displaystyle P/\Phi (P)} היא מהצורה {\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{d}} עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה {\displaystyle H\_{2}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

אלגברת החבורה
-------------

**בעיית האיזומורפיזם המודולרי** (האם אלגברת החבורה {\displaystyle \ \mathbb {F} \_{p}[G]}, כאשר P היא חבורת-p, קובעת את P עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.

ראו גם
------

* חבורה פרו-p

קישורים חיצוניים
----------------

* חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)