בתורת המספרים, **בעיית וארינג** שואלת האם לכל מספר טבעי {\displaystyle \ k} יש חסם עליון {\displaystyle \ s} על מספר החזקות ה-k-יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.

הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה {\displaystyle \ g(k)}, כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של {\displaystyle \ g(k)} חזקות k-יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על {\displaystyle \ g(k)} עבור {\displaystyle \ k=2,3,4} בהתאמה.

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך ש {\displaystyle \ g(2)=4}. ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.

במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה ש {\displaystyle \ g(4)} הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.

ויפריך וקמפנר הראו ש {\displaystyle \ g(3)=9} בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. 
בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז ש-{\displaystyle \ g(4)=19}.
ג'נגרון הראה ש-{\displaystyle \ g(5)=37} בשנת 1964. פילאי הוכיח ש-{\displaystyle \ g(6)=73} בשנת 1940.

במהלך שנות החמישים, הוכיח יורי ליניק את קיום {\displaystyle \ g(k)}בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן. 

כל הערכים של {\displaystyle \ g} ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא:
{\displaystyle g(k)=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2} לכל {\displaystyle k\geq 6}, כאשר {\displaystyle \lfloor x\rfloor } הוא הערך השלם של {\displaystyle \ x}, שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על {\displaystyle \ x}. הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}-\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >1-\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}} אז הנוסחה ל {\displaystyle \ g(k)} שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר {\displaystyle \ k\geq 6} כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.

ערכי {\displaystyle \ g(k)} הראשונים הם:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר {\displaystyle \ G(k)} של חזקות-{\displaystyle \ k} הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור ש-{\displaystyle \ G(k)\leq g(k)}. שלא כמו בפונקציה {\displaystyle \ g(k)}, מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של {\displaystyle \ G(k)}, והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל-{\displaystyle \ G(2)=g(2)=4} שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו-{\displaystyle \ G(4)=16} שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק ש-{\displaystyle \ 4\leq G(3)\leq 7} (נכון ל- 2005). 

עוד פונקציה דומה נקראת {\displaystyle \ G^{+}(k)} ({\displaystyle \ G\_{1}(k)} בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-{\displaystyle \ k} הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ-{\displaystyle \ n} ובין {\displaystyle \ n} יתכנס ל-0 כאשר {\displaystyle \ n} ילך ויגדל). ברור ש- {\displaystyle \ G^{+}(k)\leq G(k)}. נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל- {\displaystyle \ G^{+}(2)=g(2)=4}. הם {\displaystyle \ G^{+}(3)=4}, {\displaystyle \ G^{+}(4)=15}, {\displaystyle \ G^{+}(8)=32}, {\displaystyle \ G^{+}(16)=64}, ו-{\displaystyle \ G^{+}(32)=128}.

חזקות עד כדי סימן
-----------------

וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור k קבוע, מהו המספר s הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה {\displaystyle \ \pm n\_{1}^{k}\pm \cdots \pm n\_{s}^{k}}. את המספר הזה מסמנים ב-{\displaystyle \ v(k)}. ידוע ש-{\displaystyle \ v(2)=3}, אבל הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, {\displaystyle \ 4\leq v(3)\leq 5}: כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות.

קישורים חיצוניים
----------------

* בעיית וארינג, באתר MathWorld (באנגלית)
* הוכחתו של יורי ליניק: .
* Hardy and Wright, פרקים XX ו-XXI.
* בעיית וארינג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)