בטופולוגיה, **מרחב נורמלי באופן מושלם** הוא מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת ההפרדה החזקה ביותר.

הגדרות ותכונות
--------------

מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי באופן מושלם, אם אפשר להפריד בו כל שתי קבוצות סגורות, במדויק, באמצעות פונקציה רציפה: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה {\displaystyle \ f:X\rightarrow \mathbb {R} }, כך ש- {\displaystyle \ f^{-1}(0)=A} ו- {\displaystyle \ f^{-1}(1)=B}. בהגדרה זו אפשר להחליף את הישר הממשי בקטע \ [0,1]. 
הפרדה זו חזקה יותר מן ההפרדה הרגילה באמצעות פונקציה, אותה מבטיחה הלמה של אוריסון בכל מרחב נורמלי. בפרט, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי.

מרחב נורמלי באופן מושלם המקיים בנוסף לזה את תכונת ההפרדה {\displaystyle \ T\_{1}} (כלומר: כל נקודה מהווה קבוצה סגורה), נקרא **מרחב {\displaystyle \ T\_{6}}**.

במרחב נורמלי באופן מושלם אפשר להפריד (באמצעות קבוצות פתוחות) גם בין כל שתי קבוצות מופרדות - קבוצות שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה. לכן מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי לחלוטין, ומרחב {\displaystyle \ T\_{6}} הוא גם מרחב {\displaystyle \ T\_{5}}. 

כהגדרה חלופית לנורמליות באופן מושלם, אפשר לקחת את התכונה הבאה: המרחב הוא נורמלי וכל קבוצה סגורה היא קבוצת G-דלתא, כלומר חיתוך של סדרת קבוצות פתוחות.

כל מרחב מטרי הוא {\displaystyle \ T\_{6}}
-----------------------------------------

הדוגמה החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שבמרחב מטרי {\displaystyle \ (X,d)} כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדויק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B. 

נסמן ב- {\displaystyle \ d\_{A}:X\rightarrow \mathbb {R} } את הפונקציה {\displaystyle \ d\_{A}(x)=\inf \_{a\in A}d(a,x)}, המחזירה את המרחק מן הקבוצה A. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון {\displaystyle \ |d\_{A}(y)-d\_{A}(x)|\leq d(x,y)}, ולכן היא רציפה. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A סגורה נובע ש- {\displaystyle \ d\_{A}(x)=0} אם ורק אם {\displaystyle \ x\in A}. באופן דומה מגדירים את הפונקציה {\displaystyle \ d\_{B}}. 

מכיוון ש- A ו- B זרות, {\displaystyle \ d\_{A}(x)+d\_{B}(x)>0} לכל x. מכאן נובע שהפונקציה {\displaystyle \ f(x)={\frac {d\_{A}(x)}{d\_{A}(x)+d\_{B}(x)}}\quad } מוגדרת היטב ורציפה. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדויק בין A ל- B.

ראו גם
------

* אקסיומות ההפרדה
* מרחב נורמלי לחלוטין
* מרחב נורמלי

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (הקומפקטיפיקציה החד נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |

קישורים חיצוניים
----------------

* מרחב נורמלי באופן מושלם, באתר MathWorld (באנגלית)