במתמטיקה, **אי-שוויון קנטורוביץ'** הוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ, שהוא בעצמו הכללה של אי-שוויון המשולש, ונקרא על שם הכלכלן, המתמטיקאי וזוכה פרס נובל הסובייטי, לאוניד קנטורוביץ', שהיה חלוץ בתחום התכנון הליניארי.

בצורתו הפשוטה, אי-שוויון המשולש, קובע כי בכל משולש, סכום אורכי כל שתי צלעות יהיה שווה לאורך הצלע השלישית או גדול ממנה. במילים פשוטות, אי-שוויון קנטורוביץ׳ מתרגם את הרעיון הבסיסי של אי-שוויון המשולש למונחים ולסימונים של תכנון ליניארי.

ניסוח פורמלי
------------

פורמלית, ניתן לבטא את אי-שוויון קנטורוביץ' כך:

נסמן {\displaystyle A\_{n}=\{1,2,\cdots ,n\}}. אם לכל i ב-A\_{n}, קיימים {\displaystyle p\_{i}\geq 0}, ו-x\_{i} המקיים {\displaystyle 0<a\leq x\_{i}\leq b}, אזי



(

∑

i
=
1

n

p

i

x

i

)

(

∑

i
=
1

n


p

i

x

i


)

≤

(
a
+
b

)

2

4
a
b


(

∑

i
=
1

n

p

i

)

2



−

(
b
−
a

)

2

4
a
b

⋅
min

{

(

∑

i
∈
X

p

i

−

∑

j
∈
Y

p

j

)

2

:

X
∪
Y
=

A

n

,

X
∩
Y
=
∅

}

.



{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}\right)\left(\sum \_{i=1}^{n}{\frac {p\_{i}}{x\_{i}}}\right)&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum \_{i\in X}p\_{i}-\sum \_{j\in Y}p\_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A\_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}}
### ניסוח הסתברותי

אם, בניסוח הקודם, מתקיים גם {\displaystyle \sum \_{i}p\_{i}=1}, ניתן לפרש את המקדמים כהסתברויות. לכן, אם נגדיר משתנה מקרי X המקבל את כל אחד מהערכים x\_{i} בהסתברות p\_{i}, אזי




E
[
X
]
⋅
E

[

1
X

]

=

(

∑

i
=
1

n

p

i

x

i

)

(

∑

i
=
1

n


p

i

x

i


)


≤

(
a
+
b

)

2

4
a
b


(

∑

i
=
1

n

p

i

)

2



−

(
b
−
a

)

2

4
a
b

⋅

min

Y
∈

A

n


{

(

1
−
2

∑

j
∈
Y

p

j

)

2

}


=

(
a
+
b

)

2

4
a
b

−

(
b
−
a

)

2

4
a
b

⋅

min

Y
∈

A

n


{

1
−
4

∑

j
∈
Y

p

j

+
4

(

∑

j
∈
Y

p

j

)

2

}


=
1
−

(
b
−
a

)

2

a
b

⋅

min

Y
∈

A

n


{

∑

j
∈
Y

p

j

(

1
−

∑

j
∈
Y

p

j

)

}

.



{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]\cdot E\left[{\frac {1}{X}}\right]&=\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}\right)\left(\sum \_{i=1}^{n}{\frac {p\_{i}}{x\_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min \_{Y\in A\_{n}}\left\{\left(1-2\sum \_{j\in Y}p\_{j}\right)^{2}\right\}\\&={\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}-{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min \_{Y\in A\_{n}}\left\{1-4\sum \_{j\in Y}p\_{j}+4\left(\sum \_{j\in Y}p\_{j}\right)^{2}\right\}\\&=1-{\frac {(b-a)^{2}}{ab}}\cdot \min \_{Y\in A\_{n}}\left\{\sum \_{j\in Y}p\_{j}\left(1-\sum \_{j\in Y}p\_{j}\right)\right\}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]\cdot E\left[{\frac {1}{X}}\right]&=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{\left(1-2\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\right\}\\&={\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}-{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{1-4\sum _{j\in Y}p_{j}+4\left(\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\right\}\\&=1-{\frac {(b-a)^{2}}{ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{\sum _{j\in Y}p_{j}\left(1-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)\right\}.\end{aligned}}}
הביטוי שצריך למזער מקבל ערך מינימלי כאשר מחלקים את ההסתברויות בצורה הכי קרובה לקבוצות שוות הסתברות, כלומר, {\displaystyle \sum \_{j\in Y}p\_{j}\approx {\frac {1}{2}}}, ואז החסם יהיה הכי גדול. במילים אחרות, אם ניתן לחלק את A\_{n} באופן זר ל-X ול-Y כך שמתקיים {\displaystyle \sum \_{i\in X}p\_{i}=\sum \_{j\in Y}p\_{j}}, אז


(

∑

i
=
1

n

p

i

x

i

)

(

∑

i
=
1

n


p

i

x

i


)

≤

(
a
+
b

)

2

4
a
b


{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}\right)\left(\sum \_{i=1}^{n}{\frac {p\_{i}}{x\_{i}}}\right)\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}}

{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}}
והחסם הדוק.

### ניסוח מטריציוני

מרשל ואולקין ניסחו גם גרסה מטריציונית לאי-שוויון קנטרוביץ':

תהי A מטריצה הרמיטית חיובית לחלוטין שכל אחד מערכיה העצמיים, {\displaystyle \alpha \_{i}}, מקיים



0
<
m
≤

α

i

≤
M

{\displaystyle 0<m\leq \alpha \_{i}\leq M}

{\displaystyle 0<m\leq \alpha _{i}\leq M}
עבור m ו-M חיוביים כלשהם. כמו כן, תהי U מטריצה כלשהי המקיימת

{\displaystyle UU^{\*}=I},
כאשר {\displaystyle U^{\*}} הוא הצמוד ההרמיטי של U, ו-I היא מטריצת היחידה מסדר מתאים.

בתנאים אלה,

{\displaystyle UA^{-1}U^{\*}\leq {\frac {m+M}{mM}}I-{\frac {UAU^{\*}}{mM}}\leq {\frac {\left(m+M\right)^{2}}{4mM}}\left(UAU^{\*}\right)^{-1}}.
הדמיון לאי-שוויון קנטורוביץ' שהוצג לעיל מתגלה אם מכפילים מימין ב-{\displaystyle UAU^{\*}} את הביטויים בקצוות האי-שוויון, ומתקבל


(

U

A

−
1

U

∗

)

(

U
A

U

∗

)

≤

(

m
+
M

)

2

4
m
M


{\displaystyle \left(UA^{-1}U^{\*}\right)\left(UAU^{\*}\right)\leq {\frac {\left(m+M\right)^{2}}{4mM}}}

{\displaystyle \left(UA^{-1}U^{*}\right)\left(UAU^{*}\right)\leq {\frac {\left(m+M\right)^{2}}{4mM}}}

הוכחה
-----

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

שימושים
-------

אי-שוויון קנטורוביץ׳ משמש בראש ובראשונה באנליזת התכנסות, שם הוא מטיל חסם על קצב ההתכנסות של אלגוריתם הירידה התלולה ביותר (steepest descent) של קושי.

קישורים חיצוניים
----------------

* אי-שוויון קנטורוביץ', באתר MathWorld (באנגלית)
* אי-שוויון קנטורוביץ', במילון תכנון מתמטי

הערות שוליים
------------

1. ↑  ראו מרחב וקטורי, מכפלה פנימית ומרחב נורמי לדוגמאות אחרות כיצד ניתן להכליל את הרעיונות הבסיסיים הטמונים באי-שוויון המשולש – קטע, קו ישר ומרחק – להקשר רחב יותר.
2. ↑  Marshall, A. W.; Olkin, I. (1990). "Matrix versions of the Cauchy and Kantorovich inequalities". *Aequationes Mathematicae*. Springer Science and Business Media LLC. **40** (1): 89–93. doi:10.1007/bf02112284. ISSN 0001-9054.