באלגברה ליניארית, **משפט ההתמדה של סילבסטר** קובע שסימנם של המקדמים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס שבו היא מתוארת. מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: אליפסה, פרבולה או היפרבולה) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.

מבוא
----

אחד השימושים הנאים של תורת המטריצות הוא לתיאור ולטיפול בתבניות ריבועיות, שהן פונקציות כדוגמת {\displaystyle \ f(x,y,z)=4x^{2}-5y^{2}+z^{2}+8xy-2xz}. (נניח מעתה שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2). פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה {\displaystyle \ f(v)=v^{T}Av} כאשר A היא מטריצה סימטרית, והוקטור הוא {\displaystyle \ v=(x,y,z)}. בייצוג כזה, החלפה ליניארית של המשתנים שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה {\displaystyle \ P^{T}AP} כאשר P מטריצה הפיכה.

כל מטריצה מן הצורה {\displaystyle \ P^{T}AP} (כאשר P הפיכה) "חופפת" למטריצה A, והגדרה זו קובעת יחס שקילות בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה. לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים. אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית. 

אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה {\displaystyle \ xy}, שאותה קל יותר לנתח. לדוגמה, הצבת המשתנים {\displaystyle \ x'=x+y-z/4,y'=y-z/9,z'=z} מביאה את התבנית f לצורה {\displaystyle \ f(x',y',z')=4(x')^{2}-9(y')^{2}+{\frac {31}{36}}(z')^{2}}.

כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה {\displaystyle \ x\mapsto cx}. החלפה כזו מכפילה את המקדם של \ x^2 בתבנית בסקלר {\displaystyle \ c^{2}}. 

כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם מספרים ממשיים, כל מספר שקול, עד כדי ריבוע, לאחד מבין המספרים {\displaystyle \ +1,-1,0}, ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה. לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה {\displaystyle \ f(x\_{1},x\_{2},x\_{3})=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}-x\_{3}^{2}}. באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה {\displaystyle \ x\_{1}^{2}+\dots +x\_{k}^{2}-x\_{k+1}^{2}-\dots -x\_{k+s}^{2}}. 

משפט יעקובי מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של מטריצות חיוביות ומטריצות בעלות תכונות קרובות.

משפט סילבסטר
------------

הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם {\displaystyle \ +,+,-}. לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם {\displaystyle \ +,-,-}. משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.

**משפט סילבסטר**: אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה {\displaystyle \ x\_{1}^{2}+\dots +x\_{k}^{2}-x\_{k+1}^{2}-\dots -x\_{k+s}^{2}}. במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר). 

המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "**סימן סילבסטר** של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).

שימושים בגאומטריה
-----------------

חתכי חרוט, גופי הסיבוב שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה {\displaystyle \ f(x,y,z)=1}. משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים. לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 (כדור), {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}-z^{2}=1} (היפרבולואיד חד-יריעתי), {\displaystyle \ x^{2}-y^{2}-z^{2}=1} (היפרבולואיד דו-יריעתי), {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=-1} או {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=-1} או \ x^2=-1 (קבוצה ריקה), \ x^{2}+y^{2}=1 (גליל), {\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1} (יריעה היפרבולית לא קשירה), {\displaystyle \ x^{2}=1} (זוג מישורים מקבילים), {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=0} (נקודה), {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}-z^{2}=0} (חרוט כפול), {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=0} (ישר), {\displaystyle \ x^{2}=0} (מישור) או {\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=0} (זוג מישורים נחתכים).

במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת {\displaystyle \ x^{2}+2yz+4z=1}. בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.

הוכחת המשפט
-----------

נניח ש- {\displaystyle \ A,A'} שתי מטריצות אלכסוניות מעל הממשיים, ושהן חופפות זו לזו, כלומר, קיימת מטריצה הפיכה T כך ש-{\displaystyle \ A'=T^{tr}AT}. אפשר להניח שאברי האלכסון בכל אחת מן המטריצות מסודרים - החיוביים קודמים לכל האחרים. נסמן ב- {\displaystyle \ k,k'} את מספר המקדמים החיוביים בשני האלכסונים. מנקודת המבט של תבניות ריבועיות, אפשר לנסח הנחה זו כך: קיים בסיס {\displaystyle \ v\_{1},\dots ,v\_{n}} כך ש- {\displaystyle \ v\_{i}^{tr}Av\_{i}>0} עבור {\displaystyle \ i\leq k}, ו- {\displaystyle \ v\_{i}^{tr}Av\_{i}\leq 0} אחרת; וכך גם עבור \ A', בשינויים המתחייבים. 

נסמן ב- \ P את המרחב הנפרש על ידי {\displaystyle \ v\_{1},\dots ,v\_{k}}, וב- {\displaystyle \ ,N} את המרחב הנפרש על ידי n-k הווקטורים האחרים בבסיס המתאים ל- A. באופן דומה, נגדיר {\displaystyle \ P',N'} עבור המטריצה \ A'. קל לראות שכל וקטור שונה מאפס במרחב \ P מקיים {\displaystyle \ x^{tr}Ax>0}, בעוד שלכל וקטור במרחב {\displaystyle \ N'} מתקיים {\displaystyle \ x^{tr}T^{tr}ATx=x^{tr}A'x\leq 0}. לכן, לכל וקטור y במרחב {\displaystyle \ T(N')} מתקיים {\displaystyle \ y^{tr}Ay\leq 0}. הוכחנו שהמרחבים מוכרחים להיחתך טריוויאלית: {\displaystyle \ P\cap T(N')}. לכן סכומם הוא סכום ישר, והממדים מקיימים 
{\displaystyle \ n-\dim(N)+\dim(N')=\dim(P)+\dim(N')=\dim(P+N')\leq n}; לכן {\displaystyle \ n-k=\dim(N)\geq \dim(N')=n-k'}. 
אבל טענה זו נכונה גם בחילופי התפקידים, ולכן {\displaystyle \ k=k'}. באופן דומה גם {\displaystyle \ s=s'}.

ראו גם
------

* תבנית ריבועית
* גופי סיבוב של חתכי חרוט
* אלגברה ליניארית
* ג'יימס ג'וזף סילבסטר

קישורים חיצוניים
----------------

* משפט ההתמדה של סילבסטר, באתר MathWorld (באנגלית)