**מבחן t** בסטטיסטיקה הוא שם כולל למספר מבחנים סטטיסטיים העוסקים בהשערות על התוחלת של נתונים המגיעים מהתפלגות נורמלית, כאשר השונות אינה ידועה.

במבחנים אלו, סטטיסטי המבחן מתפלג בהתפלגות t בהינתן שהשערת האפס H\_0 נכונה. אם המדגם גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות של האוכלוסייה שווה לשונות המדגם.

מבחני t מכונים גם **מבחני סטודנט** על פי שם העט של החוקר ויליאם גוסט(אנ') שפיתח אותם. ניתן לנצל אותם רק במידה והנתונים מקיימים התפלגות נורמלית. במקרים אחרים ניתן לנצל מבחנים שפותחו על ידי פרנק וילקוקסון.

סוגי מבחן t
-----------

ישנם שלושה סוגים של מבחן t:

* **מבחן t למדגם יחיד**. מבחן זה מסייע לבדוק האם הממוצע באוכלוסייה שמתוכה המדגם שונה באופן מובהק מערך קבוע כלשהו. שימוש לדוגמא במבחן t למדגם יחיד: בדיקה האם ילדים נמצאים בטווח ההתפתחות התקינה במדד כלשהו, כאשר הערך שממנו ומעלה ההתפתחות נחשבת לתקינה ידוע ותוקף במחקרים קודמים.
* **מבחן t למדגמים בלתי תלויים**. מבחן זה משמש לבדיקה האם הממוצעים בשתי קבוצות נפרדות שונים זה מזה באופן מובהק. דוגמא לשימוש במבחן t למדגמים בלתי תלויים: בדיקה האם יש הבדל מובהק ברמת ההתפתחות בין שתי קבוצות ילדים שונות.
* **מבחן t למדגמים מזווגים**. מבחן זה משמש לבדיקה האם יש הבדל בין שני משתנים כאשר המקרים קשורים זה בזה, ולא בקבוצות נפרדות כמו במבחן t למדגמים בלתי תלויים. דוגמא לשימוש במבחן t למדגמים מזווגים: בדיקה האם יש הבדל מובהק בתנובה הממוצעת של חלקות לפני ואחרי מתן דשן.

שימושים עיקריים למבחני t
------------------------

* בדיקת השערות על ההפרש בין התוחלות של שתי אוכלוסיות (בהינתן מדגם מזו ומדגם מזו). (הגרסה שבה אין מניחים כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות נקראת לעיתים מבחן ולץ').
* בדיקת השערות על ההפרש בין תוחלות של זוג משתנים, בהינתן מדגם של זוגות.
* בדיקת השערות בנוגע לקורלציה בין שני משתנים מקריים.

דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה
-----------------------------------------

מעוניינים לבדוק את השערת האפס, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת :{\displaystyle H\_{0}:\mu =\mu \_{0}}, כאשר השונות \sigma^2 אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, x\_{1},\dots ,x\_{n} (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), רוצים לדחות או לקבל את ההשערה ש-{\displaystyle \mu =\mu \_{0}} עבור {\displaystyle \mu \_{0}} נתון כלשהו.

לשם ההמשך, נסמן:

* ההשערה החלופית, {\displaystyle H\_{1}:\mu \neq \mu \_{0}}
* ממוצע המדגם: {\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}.
* סטיית התקן שנאמדה מתוך המדגם: {\displaystyle S\_{x}}

בסימונים אלו, אם מתקיימת H\_0, אז הסטטיסטי {\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu \_{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}} יתפלג לפי התפלגות נורמלית סטנדרטית (ראו משפט הגבול המרכזי). אולם, היות שהשונות \sigma^2 אינה ידועה, לא ניתן להשתמש בסטטיסטי זה.

עם זאת, ניתן להשתמש בסטטיסטי העושה שימוש באמד חסר הטיה לשונות המחושב מתוך המדגם: {\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu \_{0}}{\frac {S\_{x}}{\sqrt {n}}}}}. מכיוון שהמכנה אינו קבוע, סטטיסטי זה אינו מתפלג נורמלית; ההתפלגות שלו היא התפלגות t, עם n-1 דרגות חופש.

נותר רק לקבוע את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית H\_0 עבור שגיאת \alpha  (לשגיאה מהסוג הראשון), כלשהי:

{\displaystyle \mathbb {P} \left(-T<{\frac {{\bar {X}}-\mu \_{0}}{S\_{x}}}<T\right)=1-\alpha \Rightarrow T=t\_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}}

כלומר,

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(-t\_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}<{\frac {{\bar {X}}-\mu \_{0}}{\frac {S\_{x}}{\sqrt {n}}}}<t\_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\end{aligned}}}

לפי המבחן שחושב, בהתקבל מדגם, תידחה H\_0 אם {\displaystyle \left|{\frac {{\bar {X}}-\mu \_{0}}{\frac {S\_{x}}{\sqrt {n}}}}\right|>t\_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}}.

#### הערה

התפלגות t מתכנסת להתפלגות נורמלית ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-{\displaystyle 30<n}) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי התפלגות נורמלית סטנדרטית.

קישורים חיצוניים
----------------

* מבחן t, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* מבחן t, באתר Analysis4U.co.il **(בעברית)**

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4420602-1

 |