**טריגנומטריה ספֵירִית** היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

* הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או \alpha ,\beta ,\gamma \,).
* הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות a',b',c'\,).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : a'={\tfrac aR},b'={\tfrac bR},c'={\tfrac cR}\, ).
ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים
------

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

### משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם \ a ו-\ b, ואורך היתר הוא \ c, אז \ a^{2}+b^{2}=c^{2}.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה \cos {\alpha }\, לטור מקלורן: \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}2}+...   

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right).
  
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^{2}\,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R\to \infty  את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

**הוכחת המשפט:**

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
B(R,0,0)\, ,
C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,, 
A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
\cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b').

הצבת השוויונות: a'={\tfrac aR},b'={\tfrac bR},c'={\tfrac cR}\, במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: 
\cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right).

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה \gamma =90^{0}.

### משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a,b,c והזוויות שמולן הן \ \alpha ,\beta ,\gamma  בהתאמה, מתקיים: {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: {\frac {\sin {\tfrac aR}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac bR}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac cR}}{\sin \gamma }}.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה \sin {\alpha }\, 
לטור מקלורן: \sin \alpha =\alpha +...\,.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R\to \infty   : {\frac {{\tfrac aR}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac bR}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac cR}+...}{\sin \gamma }}.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:{a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }.

**הוכחת המשפט:**

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי AF\perp OC, AE\perp OB וגם \angle {AED}=\beta , \angle {AFC}=\gamma .

במשולש AED מתקיים: \sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}} 
ובמשולש AFD מתקיים: \sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}
ולכן {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}.

במשולש AOE מתקיים: \sin {c'}={\tfrac {AE}R} 
ובמשולש AOF מתקיים: \sin {b'}={\tfrac {AF}R} .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
{\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}},
כלומר:{\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {{\frac bR}}}{\sin {{\frac cR}}}}.

### משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a,b,c והזוויות שמולן הן \ \alpha ,\beta ,\gamma  בהתאמה, מתקיים: \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma 

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
\,\cos {\frac cR}=\cos {\frac aR}\cdot \cos {\frac bR}+\sin {\frac aR}\cdot \sin {\frac bR}\cdot \cos \gamma .

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: \,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac cR}).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות \cos {\alpha },\sin {\alpha }\, לטור מקלורן: \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}2}+... \sin \alpha =\alpha +...\,.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right).

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^{2}\,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R\to \infty  את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .

זהויות
------

|  |  |
| --- | --- |
| מכפלת סינוס וקוסינוס | \,\sin a'\cdot \cos \beta =\cos b'\cdot \sin c'-\sin b'\cdot \cos c'\cdot \cos \alpha  |
| מכפלת סינוס וקוטנגנס | \,\sin \alpha \cdot \cot \beta =\cot b'\cdot \sin c'-\cos c'\cdot \cos \alpha  |
| משפט הטנגסים | {\frac {\tan {{\frac {a'+b'}{2}}}}{\tan {{\frac {a'-b'}{2}}}}}={\frac {\tan {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}{\tan {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}}} |
| נוסחאות נפייר | \tan {{\frac {a'+b'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}=\tan {{\frac {c'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}
\tan {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}\cdot \cos {{\frac {a'+b'}{2}}}=\cot {{\frac {\gamma }{2}}}\cdot \cos {{\frac {a'-b'}{2}}}
\tan {{\frac {a'-b'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}=\tan {{\frac {c'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}
\tan {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {a'+b'}{2}}}=\cot {{\frac {\gamma }{2}}}\cdot \sin {{\frac {a'-b'}{2}}} |
| נוסחאות דלאמבר | \sin {{\frac {a'+b'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\gamma }{2}}}=\cos {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {c'}{2}}}
\sin {{\frac {a'-b'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\gamma }{2}}}=\sin {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {c'}{2}}} |
| חצי זווית (סימון: s={\frac {a'+b'+c'}{2}}). | \sin {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}
\cos {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s)\cdot \sin(s-a')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}
\tan {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin s\cdot \sin(s-a')}}}} |
| חצי צלע (סימון: \sigma ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}} ). | \sin {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}
\cos {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}
\tan {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}}}} |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **טריגונומטריה ספירית** בוויקישיתוף
* טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)
* טריגונומטריה ספרית, דף שער בספרייה הלאומית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007548880505171
* BnF: cb120983095 (data)
* GND: 4182230-4
* LCCN: sh85137523
* NDL: 00570155

 |