במתמטיקה, **הנגזרת הכיוונית** היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. זוהי הכללה של הנגזרת החלקית, שבה כיוון הנגזרת הוא במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה
-----

עבור מספר טבעי {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, פונקציה סקלרית {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ווקטורים {\displaystyle {\vec {v}}=(v\_{1},\ldots ,v\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ו-{\displaystyle {\vec {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}, מגדירים את ה**נגזרת הכיוונית של {\displaystyle f} בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה {\displaystyle {\vec {x}}}** על ידי הגבול:

{\displaystyle D\_{\vec {v}}{f}({\vec {x}}):=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h|{\vec {v}}|}}}

כאשר {\displaystyle |{\vec {v}}|} היא הנורמה של {\displaystyle {\vec {v}}}, כלומר {\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v\_{1}^{2}+v\_{2}^{2}+\dots +v\_{n}^{2}}}}.

אם נגזרת כיוונית זו קיימת אומרים כי **{\displaystyle f} גזירה בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה {\displaystyle {\vec {x}}}.**

תתכנה פונקציות אשר עבור נקודה {\displaystyle {\vec {x}}} כלשהי אינן גזירות לכל כיוון {\displaystyle {\vec {v}}}. באופן דומה, תתכנה פונקציות אשר עבור כיוון {\displaystyle {\vec {v}}} כלשהו אינן גזירות בכל נקודה {\displaystyle {\vec {x}}}.

תכונות
------

### ליניאריות

בהינתן זוג פונקציות {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } גזירות בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה {\displaystyle {\vec {x}}}, ובהינתן {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } מתקיים כי:

{\displaystyle D\_{\vec {v}}(\alpha f+\beta g)({\vec {x}})=\alpha D\_{\vec {v}}f({\vec {x}})+\beta D\_{\vec {v}}g({\vec {x}})}

כלומר, פעולת הנגזרת הכיוונית היא ליניארית.

### כלל לייבניץ

בהינתן זוג פונקציות {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } גזירות בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה {\displaystyle {\vec {x}}}, מתקיים כי:

{\displaystyle D\_{\vec {v}}(fg)({\vec {x}})=g({\vec {x}})D\_{\vec {v}}f({\vec {x}})+f({\vec {x}})D\_{\vec {v}}g({\vec {x}})}

כלומר, הנגזרת הכיוונית מקיימת את כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה.

### כלל השרשרת

בהינתן הפונקציה הסקלרית {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ופונקציה ממשית {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, כאשר {\displaystyle f} כזירה בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה {\displaystyle {\vec {x}}} וכן {\displaystyle g} גזירה בנקודה {\displaystyle f({\vec {x}})}, מתקיים כי:

{\displaystyle D\_{\vec {v}}(g\circ f)({\vec {x}})=g'(f({\vec {x}}))D\_{\vec {v}}f({\vec {x}})}

זאת כאשר {\displaystyle g'} היא הנגזרת של {\displaystyle g}. זוהי גרסה כיוונית של כלל השרשרת.

עבור פונקציות דיפרנציאביליות
----------------------------

אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט {\displaystyle \nabla f} של {\displaystyle f} באמצעות:

{\displaystyle D\_{\vec {v}}{f}=\nabla f\cdot {\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=\nabla f\cdot {\hat {v}}}

כאשר {\displaystyle \cdot } מציין מכפלה סקלרית, ו־{\displaystyle {\hat {v}}} מציין את וקטור היחידה בכיוון {\displaystyle {\vec {v}}}.

| אנליזה וקטורית |
| --- |
| מושגים | אנליזה מתמטית - מונחים • מרחב וקטורי • שדה סקלרי • שדה וקטורי • גרדיאנט • נגזרת כיוונית • דיברגנץ • רוטור • לפלסיאן • דל במערכות צירים שונות • ד'אלמברטיאן • פוטנציאל וקטורי |
| משפטים | משפט גאוס • משפט גרין • משפט הגרדיאנט • משפט סטוקס |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה • גאומטריה דיפרנציאלית |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **נגזרת כיוונית** בוויקישיתוף
* נגזרת כיוונית, באתר MathWorld (באנגלית)