בתורת המספרים האלגברית, **משפט גרונוולד-ואנג** קובע שפרט ליוצאי דופן ידועים, איבר של שדה מספרים {\displaystyle \ K} הוא חזקת-n של מספר אחר, אם ורק אם הוא חזקת-n כמעט בכל השלמה {\displaystyle \ K\_{\mathfrak {p}}}. למשל, מספר רציונלי הוא ריבוע אם ורק אם הוא ריבוע כמעט בכל שדה מספרים p-אדי. למשפט יש גם גרסאות המאפשרות לבנות הרחבות ציקליות של K באמצעות מידע על השדות המקומיים המתאימים לו.

המשפט פורסם לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני וילהלם גרונוולד בשנת 1933 ותוקן על ידי המתמטיקאי הסיני ואנג בשנת 1948.

היסטוריה
--------

גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 את הטענה שאיבר בשדה מספרים הוא חזקת-n אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל השלמה של השדה. ב-1948 מצא ואנג דוגמה נגדית: 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה מספרים p-אדי ל-p אי זוגי, אבל אינו כזה בשדה המספרים ה-2-אדי (וגם לא בשדה המספרים הרציונליים). בתזת הדוקטורט שלו, שנכתבה (ב-1950) תחת הנחייתו של אמיל ארטין, מצא ואנג גרסה נכונה למשפט, שבה מטפלים בגורמים הדיאדיים (הראשוניים המחלקים את 2) באופן מיוחד. 

המספר 16 אינו יכול להיות חזקה שמינית ב-{\displaystyle \ \mathbb {Q} \_{2}}, משום שהערך ה-2-אדי שלו, 4, אינו מתחלק ב-8. מעל כל שדה F,‏ 16 הוא חזקה שמינית אם ורק אם לפולינום {\displaystyle \ x^{8}-16=(x^{2}-2)(x^{2}+2)(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)} יש שורש בשדה, כלומר, אם ורק אם בשדה יש שורש לאחד המספרים {\displaystyle \ 2,-2,-1}. לפי התכונות הבסיסיות של שאריות ריבועיות, אחד המספרים האלה מוכרח להיות ריבוע מודולו p, וזאת לכל ראשוני p. לפי הלמה של הנזל, מקיום הפתרון מודולו p, כאשר p אי-זוגי, נובע שיש פתרון גם ב-{\displaystyle \ \mathbb {Z} \_{p}\subseteq \mathbb {Q} \_{p}}.

משפט גרונוולד-ואנג
------------------

לשם הקיצור, נסמן ב- {\displaystyle \ \zeta \_{s}} את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר {\displaystyle \ 2^{s}}. לכל {\displaystyle \ s\geq 2}, השדה הציקלוטומי מסדר {\displaystyle \ 2^{s}} הוא השדה {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta \_{s}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},\zeta \_{s}+\zeta \_{s}^{-1}]}. נאמר ששדה הוא s-מיוחד, אם הוא כולל את {\displaystyle \ \zeta \_{s}+\zeta \_{s}^{-1}}, אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים {\displaystyle \ {\sqrt {-1}},\zeta \_{s+1}+\zeta \_{s+1}^{-1},{\sqrt {-1}}(\zeta \_{s+1}+\zeta \_{s+1}^{-1})}. 

יהי K שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים S, ויהי n מספר שלם. **משפט גרונוולד-ואנג** קובע שכל מספר שהוא חזקה n-ית בכל השלמה {\displaystyle \ K\_{\mathfrak {p}}} עבור {\displaystyle \ {\mathfrak {p}}\not \in S}, פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים s כך ש-{\displaystyle \ 2^{s+1}|n}, K הוא s-מיוחד, ו-S כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים {\displaystyle \ {\mathfrak {p}}} שעבורם {\displaystyle \ K\_{\mathfrak {p}}} הוא s-מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח דיאדיים, ולכן מספרם סופי). אפילו במקרה המיוחד, העיקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות-n-מקומיות מודולו חזקות-n היא מסדר 2.

לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג. שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את {\displaystyle \ \zeta \_{2}+\zeta \_{2}^{-1}=0}, אבל לא אף אחד מהמספרים {\displaystyle \ {\sqrt {-1}},\zeta \_{3}+\zeta \_{3}^{-1}={\sqrt {2}},{\sqrt {-1}}(\zeta \_{3}+\zeta \_{3}^{-1})={\sqrt {-2}}}. הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם n מתחלק ב-8 ו-S כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו. אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה n-ית \*בכל\* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת-n רציונלית.

מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית K מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר {\displaystyle \,K\_{2}/\mathbb {Q} \_{2}} ממימד 8).