|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**לכסון** הוא כלי הוכחה נפוץ בתורת הקבוצות אשר השימוש העיקרי שנעשה בו הוא הפרכת היותן של קבוצות  בנות מנייה, זאת אומרת הוכחה שעוצמתן גדולה ממש מ{\displaystyle \!\ \aleph \_{0}}. השימוש המפורסם ביותר של השיטה הוא באלכסון של קנטור, אך יש לציין שפול דו בואה ריימון עשה בה שימוש כבר ב1875.

אופן ההוכחה
-----------

תהי{\displaystyle \!\ X} קבוצה. מטרתנו להוכיח ש{\displaystyle \aleph \_{0}} < {\displaystyle |X|}.

1.נניח בשלילה ש{\displaystyle \!\ X}  בת מנייה, זאת אומרת שקיימת לקבוצה מנייה (פונקציה מהטבעיים ל{\displaystyle \!\ X}). נסמן מנייה זו {\displaystyle \!\ \langle x\_{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle }.

2.נבנה איבר {\displaystyle \!\ x} מתוך איברי המנייה כך שהוא שונה מכל איבר בה. באלכסון של קנטור, למשל, בונים מספר {\displaystyle \!\ r} ב קטע הפתוח {\displaystyle \!\ (0,1)}, כך שלכל {\displaystyle \!\ n\in \mathbb {N} }, הספרה באינקדס {\displaystyle \!\ n} אחרי הנקודה מוגדרת להיות שונה מהספרה באינדקס ה-{\displaystyle \!\ n} של{\displaystyle \!\ r\_{n}} במנייה (לכאורה) של {\displaystyle \!\ (0,1)}.

3.נוכיח שאכן מתקיים{\displaystyle \!\ x\in X}.

4.נשים לב שלכל {\displaystyle \!\ n\in \mathbb {N} }, מתקיים {\displaystyle \!\ x\neq x\_{n}} (כפי שבנינו את {\displaystyle \!\ x}).

5. מכאן יש איבר ב-{\displaystyle \!\ X} שאינו במנייה, אך זוהי סתירה להגדרת האחרונה. לכן{\displaystyle \!\ X} לא בת מנייה, קרי,{\displaystyle \aleph \_{0}} < {\displaystyle |X|}, כנדרש.

האלכסון של קנטור
----------------

הדוגמה המפורסמת ביותר לשימוש בלכסון היא האלכסון של קנטור, המשמש להוכחה שעוצמת המספרים הממשיים גדול ממש מעוצמת המספרים הטבעיים. קנטור הוכיח זאת בהתבסס על כך ש{\displaystyle \!\ |\mathbb {R} |=|(0,1)|} (למשל, הפונקציה {\displaystyle \!\ f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto tan(\pi \cdot x-{\frac {\pi }{2}}))} היא חד חד ערכית ועל ולכן מתקיים השוויון).

ההוכחה מתחילה בהנחה בשלילה שהקבוצה {\displaystyle \!\ (0,1)} היא בת מנייה, זאת אומרת שקיימת לה מנייה
{\displaystyle \!\ \langle x\_{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle }.

ידוע שלכל מספר יש פיתוח עשרוני יחיד (עד כדי החלפת זנב של תשיעיות בזנב של אפסים), ולכן עבור {\displaystyle \!\ r\in (0,1)} נסמן {\displaystyle \!\ r=0.r^{(0)}r^{(1)}...}.

קנטור יצר מספר {\displaystyle \!\ r=0.r^{(0)}r^{(1)}r^{(2)}...} בקטע {\displaystyle \!\ (0,1)} ששונה מכל המספרים במנייה של {\displaystyle \!\ (0,1)}, באופן הבא:
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~r^{(n)}=\left\{{\begin{matrix}1&r\_{n}^{(n)}=7\\7&r\_{n}^{(n)}\neq 7\end{matrix}}\right.}

כאשר {\displaystyle \!\ r\_{n}^{(n)}} היא הספרה באינדקס ה{\displaystyle \!\ n} אחרי הנקודה ב{\displaystyle \!\ r\_{n}} (למשל, אם נניח
{\displaystyle \!\ r\_{3}=0.672...} אז {\displaystyle \!\ r\_{3}^{(0)}=6,r\_{3}^{(1)}=7,r\_{3}^{(2)}=2} וכן הלאה.
למעשה, 'סידרנו' את המנייה בשורות ויצרנו את {\displaystyle \!\ r} בעזרת האלכסון שהתקבל בסידור זה, ומכאן שם השיטה.)

בבירור {\displaystyle \!\ r\in (0,1)}, אך היות שבהכרח {\displaystyle \!\ \forall n\in \mathbb {N} ~r^{(n)}\neq r\_{n}^{(n)}} מתקבל {\displaystyle \!\ \forall n\in \mathbb {N} ~r\neq r\_{n}} ומכאן {\displaystyle \!\ r} לא במנייה. זו סתירה, ולכן מנייה כזו לא קיימת. מכאן {\displaystyle \!\ |(0,1)|\neq \aleph \_{0}}, זאת אומרת {\displaystyle \!\ |\mathbb {R} |\neq \aleph \_{0}}.

קישורים חיצוניים
----------------

* גדי אלכסנדרוביץ', אז מדוע קשה להוכיח ש-P שונה מ-NP? (בלכסון), באתר "לא מדויק", 16 באוגוסט 2010