**השיטה העשרונית** (נקראת גם **בסיס דצימלי**) היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. בשיטה זו, הרישום {\displaystyle \ 61.3} מתפרש כסכום {\displaystyle \ 6\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}+3\cdot 10^{-1}}. השיטה הומצאה בהודו, החליפה את הכתיבה בספרות רומיות באירופה בסוף ימי הביניים, והיא מקובלת כיום בכל העולם.

היסטוריה
--------

השיטה המשלבת שימוש בבסיס 10 עם חשיבות לפי מיקום הספרה במספר פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה והשתמשו בה החל מהמאה ה-9 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את השיטה והשימוש בה. אברהם אבן עזרא, ואחריו פיבונאצ'י, הביאו את השיטה לאירופה, בה אומצה במהירות כתחליף לשיטה הרומית, וזכתה לשימוש נרחב במסחר ולאחר מכן במדע.

שיטת ייצוג זו נראית כיום טבעית ופשוטה, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות; ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן, כפי שמעידים שמות המספרים וכתיבתם במילים (לדוגמה "וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים", בראשית, כ"ג, א'; "מֵהֹדּוּ וְעַד כּוּשׁ שֶׁבַע וְעֶשְׂרִים וּמֵאָה מְדִינָה", אסתר, א', א'). אך השיטה העשרונית היא מבוססת-מיקום (פוזיציונלית) ובה מיקום הסיפרה קובע את חשיבותה (החזקה של 10 בה היא מוכפלת), רעיון שאינו מובן מאליו. עד כה סברו שהשימוש הראשוני בנקודה עשרונית בדרך זו באירופה, נעשה על ידי המתמטיקאי והאסטרונום הישועי גרמני כריסטופר קלאוויוס, שהיה המתכנן הראשי של הלוח הגרגוריאני. לאחרונה התגלה במחקר חדש, שממצאיו פורסמו בכתב העת Historia Mathematica,  כי השימוש הראשוני בנקודה עשרונית נעשה על ידי סוחר ונציאני, 150 שנים לפני שקלאוויוס השתמש בה לטובת כתיבת שברים. את התגלית חשף ד"ר גלן ואן ברומלן, היסטוריון של מתמטיקה ואסטרונומיה בתרבויות עתיקות ובימי הביניים מאוניברסיטת טריניטי ווסטרן בקנדה. מדובר בג'ובאני ביאנקיני, שרכש את התמחותו במתמטיקה ובאסטרונומיה באוניברסיטת פרארה, עבד לאחר מכן כסוחר בוונציה, ובסופו של דבר מונה לתפקיד אדמיניסטרטיבי באחוזה גדולה שהייתה בבעלות משפחת ד'אסטה (בית אסטה), שם שימש כאסטרולוג החצר של לאונלו ד'אסטה. ד"ר ואן ברומלן מציין שכסוחר, ביאנקיני היה מבלה זמן רב בנסיעות, כולל ליעדים מוסלמיים, שבהם התפתחו מושגים מתמטיים, מה שאולי השפיע על השימוש שלו במספרים שאינם שלמים בשיטה העשרונית. 

שיטה פוזיציונלית הייתה נהוגה גם בבבל, על פי בסיס 60, עם ספרות אחרות וללא סימן מיוחד ל-0, אך זו לא התפשטה ולא השפיעה על השיטה ההודית. רוב שיטות הרישום האחרות שהיו בשימוש לאורך ההיסטוריה (ביניהן ספרות מצריות, ספרות רומיות, וספרות עבריות) אינן פוזיציונליות, וביצוע חישובים אריתמטיים בעזרתן הוא מסובך בהרבה.

הצגה עשרונית של מספרים
----------------------

הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ-9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל-9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, {\displaystyle \ 23=2\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}=2\cdot 10+3\cdot 1}. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.

להצגת מספרים לא שלמים, משתמשים גם בחזקות השליליות של 10 (למשל, {\displaystyle \ 10^{-1}={\tfrac {1}{10}}}, {\displaystyle \ 10^{-2}={\tfrac {1}{10^{2}}}}), המופרדות מן החזקות החיוביות באמצעות נקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו {\displaystyle \ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot {\tfrac {1}{10}}}. את אותו מספר אפשר להציג גם כ־25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.

בשיטה העשרונית אפשר להציג כ**שבר עשרוני סופי** את המספרים השווים למנה {\displaystyle \ {\frac {a}{10^{n}}}} של מספר טבעי a וחזקה של 10. רצף הספרות הסופי {\displaystyle \ 0.a\_{1}a\_{2}\dots a\_{n}} מובן כסכום {\displaystyle \ {\frac {a\_{1}}{10}}+{\frac {a\_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a\_{n}}{10^{n}}}} השווה למנה זו. מספרים אחרים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). ניתן לקרב מספרים כאלה בעזרת שברים עשרוניים סופיים בקירוב טוב כרצוננו, אך הייצוג המדויק ידרוש אינסוף ספרות. שברים כאלה נכתבים בעזרת קירוב סופי ואחריו שלוש נקודות ({\displaystyle \dots }). לדוגמה, הסימון {\displaystyle 0.33\dots } מציין כי הכוונה למספר שלייצוגו המדויק נדרשות ספרות 3 נוספות, עד אינסוף.

מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום **אינסופי** של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן הארכימדיות של שדה המספרים הממשיים. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם המספרים הרציונליים שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש **גם** פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה רצף אינסופי של תשיעיות.

בחיי המעשה לא ניתן לטפל בביטויים אינסופיים, ולעיתים מסתפקים בקירוב המתקבל מן הספרות הראשונות של המספר העשרוני. במחשבון כיס שרמת הדיוק שלו מגיעה לשמונה ספרות עשרוניות, יופיע הביטוי 0.33333333 במקום 1/3.

מפריד האלפים
------------

במספרים ארוכים, אפשר ליצור קבוצות מספרים ולהפריד ביניהם, כדי לאפשר קריאה מהירה ללא צורך בספירת הספרות. לדוגמה, בעברית, אפשר לכתוב 1,000,000,000 במקום 1000000000.

סימן ההפרדה ודרך החלוקה תלוי בשפה. בעברית ובשפות אירופאיות מפרידים כל שלוש ספרות משמאל לנקודה העשרונית (הנקרא "מפריד האלפים"). בעברית ובאנגלית נהוג להשתמש בפסיק כמפריד האלפים (10,000), ובמדינות אירופה נהוג להשתמש בנקודה (10.000) או במרווח (000 10). בכל השפות, הסימן המפריד בין הקבוצות שונה מהסימן של "הנקודה העשרונית" כדי למנוע בלבול.

לאחדות במסמכים בינלאומיים, התקן ISO 31-0 ממליץ להשתמש ברווח, בעוד הלשכה הבינלאומית למידות ולמשקלות ו-IUPAC ממליצים להשתמש ב"חצי רווח" (יוניקוד U+2009, ו-;&#8201 ב-HTML).

#### דוגמאות לשימוש במפריד אלפים ונקודה עשרונית מסביב לעולם

| סגנון | מדינות |
| --- | --- |
| 1 234 567,89 | SI (הגרסה הצרפתית), אלבניה, אוסטריה, בלגיה, בוסניה, ברזיל, בולגריה, צ'כיה, דנמרק, אסטוניה, פינלנד, צרפת, גרמניה, יוון, הונגריה, איטליה, אירופה הלטינית, ליטא, הולנד (במספרים שאינם במטבע), פולין, פורטוגל, רומניה, רוסיה, סרביה, סלובקיה, סלובניה, דרום אפריקה, ספרד, שוודיה |
| 1 234 567.89 | SI (הגרסה האנגלית), קנדה, סין |
| 1,234,567.89 | אוסטרליה, סין, הונג קונג, אירלנד, ישראל, יפן, קוריאה, מלזיה, מקסיקו, ניו זילנד, פיליפינים, סינגפור, טאיוואן, תאילנד, בריטניה, ארצות הברית |
| 1,234,567·89 | אירלנד, קוריאה, מלזיה, ניו זילנד, פיליפינים, סינגפור, טאיוואן, תאילנד, בריטניה, ארצות הברית (ישנה, בדרך כלל בכתב היד) |
| 1.234.567,89 | טורקיה, אוסטריה, ברזיל, דנמרק, גרמניה, יוון, אינדונזיה, איטליה, הולנד (מטבע), פורטוגל, רומניה, רוסיה, סלובניה, ספרד, שוודיה |
| 1˙234˙567,89 | איטליה (כתב יד) |
| 12,34,567.89 | הודו |
| 1'234'567.89 | שווייץ |
| 1'234'567,89 | שווייץ (כתב יד) |
| 1.234.567'89 | ספרד (כתב יד) |
| 123,4567.89 | סין (חלופי) |

חישוב בשיטה העשרונית
--------------------

פעולות החשבון חיבור וחיסור במספרים עשרוניים נעשות בדיוק כמו במספרים השלמים, אלא שכאן מבדילים בנקודה בין השלמים לחלקים העשרוניים. בפתרון במאונך יש להקפיד שהנקודה העשרונית של שני המספרים תהיה באותו המקום, לצורך כך ניתן להוסיף אפסים למספר בו ישנן פחות ספרות אחרי הנקודה. לדוגמה: את התרגיל 12.36 + 45.098, ניתן לרשום גם 12.360 + 45.098 על מנת למנוע טעויות בזמן החישוב.

המצב שונה מעט עבור פעולות הכפל והחילוק. בכפל, כאשר אחד המספרים הוא עשרוני אפשר להכפיל אותם כשלמים ולהוסיף במכפלה נקודה עשרונית לפי מספר הספרות אחרי הנקודה בנכפל ובכופל. בחילוק, כאשר המונה עשרוני והמכנה שלם, ניתן לחלק כמספרים שלמים ולהוסיף נקודה עשרונית לפי מספר הספרות העשרוניות במונה.

טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים
---------------------------------


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **עשרוני**: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| **הקסדצימלי**: | **0** | **1** | **2** | **3** | **4** | **5** | **6** | **7** | **8** | **9** | **A** | **B** | **C** | **D** | **E** | **F** | **10** |
| **אוקטלי**: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| **בינארי:** | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |

ראו גם
------

* שיטת ספירה
* בסיס בינארי
* בסיס אוקטלי
* בסיס הקסדצימלי

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **השיטה העשרונית** בוויקישיתוף
* יורם שורק, ‏דברים שיורמים יודעים: למה אנחנו חיים בבסיס 10?, באתר "הידען"
* המחשה אינטראקטיבית של ספירה בבסיס עשרוני, בינארי והקסדצימלי מתוך אתר לילדים המלמד מושגים במדעי המחשב
* TED Ed - A brief history of numerical systems - Alessandra King, סרטון באתר יוטיוב כולל כתוביות בעברית
* השיטה העשרונית, באתר MathWorld (באנגלית)

| ספרות |
| --- |
| 

|  |
| --- |
| ספרות הודיות-ערביות • ספרות ערביות • ספרות ארמניות • ספרות בבליות • ספרות ברהאמיניות • ספרות אטרוסקיות • ספרות עבריות • ספרות חמריות • ספרות יווניות • ספרות אטיקות • ספרות יפניות • ספרות מאיה • ספרות מצריות • ספרות סיניות • ספרות סוג'ואו • ספרות קוריאניות • ספרות קיריליות • ספרות מונגוליות • ספרות רומיות • ספורות תאילנדיות • ספרות טיבטיות |

 |

| בסיסי ספירה |
| --- |
| 

|  |
| --- |
| בסיס אונרי • בסיס בינארי • בסיס אוקטלי • השיטה העשרונית • בסיס דואודצימלי • בסיס הקסדצימלי • בסיס ויגסימלי • בסיס סקסגסימלי |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007283946805171
* GND: 4149429-5

 |

1. ↑  Glen Van Brummelen, Decimal fractional numeration and the decimal point in 15th-century Italy, **Historia Mathematica**, 2024-02 doi: 10.1016/j.hm.2024.01.001
2. ↑  התגלית המפתיעה על הנקודה העשרונית, באתר ynet, ‏2024-02-21