שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות   
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים 


בטופולוגיה, **פונקציה רציפה** היא פונקציה בין מרחבים טופולוגיים, שעבורה המקור של כל קבוצה פתוחה בטווח הוא קבוצה פתוחה בתחום. תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות, והיא מרכזית במידה כזו שלמעשה כל המשפטים הטופולוגיים על פונקציות עוסקים בפונקציות רציפות.

מרחב טופולוגי {\displaystyle X} הוא מרחב דיסקרטי אם ורק אם כל פונקציה מ-{\displaystyle X} היא רציפה. מרחב טופולוגי {\displaystyle Y} הוא מרחב בעלת טופולוגיה טריוויאלית אם ורק אם כל פונקציה אל {\displaystyle Y} היא רציפה.

מבוא
----

הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה {\displaystyle x\_{0}} היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- {\displaystyle x\_{0}} קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, אף על פי שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את הדרישה על המרחק בדרישה שיש "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתי הנקודות. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.

הגדרה
-----

יהיו {\displaystyle X,Y} מרחבים טופולוגיים, ו-{\displaystyle f\colon X\to Y} פונקציה. אומרים ש-{\displaystyle f} **רציפה** בנקודה {\displaystyle x\_{0}\in X}, אם לכל קבוצה פתוחה {\displaystyle f(x\_{0})\in U\subseteq Y} קיימת קבוצה פתוחה {\displaystyle x\_{0}\in V\subseteq X}, כך ש- {\displaystyle f(V)\subseteq U}.

הפונקציה **רציפה**, או **רציפה בכל המרחב**, אם היא רציפה בכל נקודה {\displaystyle x\_{0}\in X}. ניסוח שקול וקצר יותר: 

{\displaystyle f\colon X\to Y} היא **פונקציה רציפה** אם לכל קבוצה פתוחה {\displaystyle U\subseteq Y}, הקבוצה {\displaystyle f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}\subseteq X} פתוחה. דהיינו, פונקציה היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה תחתיה הוא פתוח.
בפרט, אם {\displaystyle X,Y} הם מרחבים מטריים עם מטריקות {\displaystyle d,\rho } בהתאמה, פונקציה {\displaystyle f\colon X\to Y} היא רציפה אם לכל כדור סביב {\displaystyle x} קיים כדור סביב {\displaystyle f(x)} כך ש-{\displaystyle f} מעתיקה את הכדור הראשון אל תוך השני. כלומר, אם לכל {\displaystyle x} ולכל {\displaystyle \varepsilon >0} קיים {\displaystyle \delta >0} כך ש-{\displaystyle f(B\_{\delta }(x))\subseteq B\_{\varepsilon }(f(x))}. במילים אחרות, אם {\displaystyle y} מקיים {\displaystyle d(x,y)<\delta } אז {\displaystyle \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }. בפרט הגדרת הרציפות שהגדרנו מתלכדת עם זאת שהגדיר ויירשטראס עבור מרחבים מטריים ועם הגדרת היינה בפרט (כתוצאה ממשפט באנליזה)

### הגדרות שקולות

התכונות הבאות לגבי העתקה {\displaystyle f\colon X\to Y} בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:

1. {\displaystyle f} היא פונקציה רציפה.
2. התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב-{\displaystyle Y} .
3. התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
4. {\displaystyle f} רציפה נקודתית בכל {\displaystyle x} במרחב. כלומר, לכל {\displaystyle x}, לכל סביבה {\displaystyle V} של {\displaystyle f(x)} קיימת סביבה {\displaystyle W} של {\displaystyle x} כך ש-{\displaystyle f(W)\subseteq V}.
5. לכל {\displaystyle A\subseteq X} מתקיים: {\displaystyle f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}} כאשר {\displaystyle {\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)} הוא הסגור של קבוצה {\displaystyle B}.

קומפקטיות
---------

כל פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום. תכונה זו אינה מאפיינת קומפקטיות: מרחב שלכל פונקציה ממשית רציפה ממנו יש מקסימום נקרא מרחב פסאודו-קומפקטי. כל מרחב קומפקטי מנייתית הוא פסאודו-קומפקטי, אבל ההפך אינו נכון.

פונקציות פתוחות
---------------

התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה **פונקציה פתוחה** (אנ'), דהיינו פונקציה כזו שלכל {\displaystyle V\subseteq X} פתוחה, הקבוצה {\displaystyle f(V)\subseteq Y} גם היא פתוחה. באופן דומה מגדירים גם **פונקציה סגורה**. יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה. לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהפך. פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד-חד-ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים.

פונקציות ההטלה הן דוגמה לפונקציות פתוחות: אם {\displaystyle X=\prod \_{i\in I}X\_{i}} הוא מרחב מכפלה ו-{\displaystyle p\_{i}\colon X\to X\_{i}} היא פונקציית היטל, אז {\displaystyle p\_{i}} היא פונקציה פתוחה.בטופולוגיה, בכדי לבנות מרחבי מנה מתוך מרחבים טופולוגים קיימים נשתמש בפונקציית ההטלה כפונקציה רציפה בינן

ראו גם
------

* פונקציה רציפה
* טופולוגיה
* פונקציה
* הומיאומורפיזם
* פונקציה מדידה

| טופולוגיה קבוצתית |
| --- |
| מושגי יסוד | מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם |
| בתוך המרחב | קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי |
| תכונות של מרחבים טופולוגיים |
| אקסיומות ההפרדה | T0 • ‏ T1 • ‏ T2 (מרחב האוסדורף) • T2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T3 (מרחב רגולרי) • T3.5 • ‏ T4 (מרחב נורמלי) • T5 • ‏ T6 • מרחב מטריזבילי |
| אקסיומות המנייה | С1 • ‏ С2 • מרחב ספרבילי |
| קומפקטיות | קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי |
| תכונות נוספות | מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני |
|  ק  |
| בניות | מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • 
קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה |
| משפטים | הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר |
| דוגמאות | קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי |
| שונות | טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי |
| 

---

נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית

---

נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה

---

 |