|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **סדרה** היא קבוצה סדורה של עצמים, הנקראים **איברי** הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שאיברים במקומות שונים יכולים להיות שווים זה לזה. סדרה יכולה להיות סופית, או אינסופית. סדרה סופית קרויה גם וקטור, או רשימה סדורה. 

מקובל לסמן את אברי הסדרה בסימון {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\dots } ובקיצור {\displaystyle \left\{a\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }}, או {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3},\dots } וכדומה. בסימון {\displaystyle a\_{n}}, האות {\displaystyle a} היא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-{\displaystyle n} הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעיים {\displaystyle \left\{a\_{n}\right\}\_{n=1}^{\infty }=\left\{1,2,3...\right\}} מתקיים {\displaystyle a\_{1}=1,a\_{2}=2,a\_{3}=3,\dots }.

פורמלית, ניתן להגדיר סדרה אינסופית בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת ערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת). האינדקסים של סדרה הם מספרים טבעיים, אולם ניתן להכליל ולהגדיר סדרות עם אינדקסים סודרים.

סדרות באנליזה מתמטית
--------------------

סדרות הן מרכיב יסודי בשפה של האנליזה המתמטית. מושג ההתכנסות של סדרה, המתאר את ההתנהגות של אבריה כאשר האינדקס גדל לאינסוף, מאפשר לתאר מושגים חשובים אחרים, כגון רציפות של פונקציות או תכונות של המרחב שממנו מגיעים אברי הסדרה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא **סדרה חסומה** אם קיים מספר ממשי {\displaystyle R} כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה {\displaystyle x} אינו עולה על {\displaystyle R}. הסדרה היא סדרת קושי אם המרחק בין שני איברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף.

סדרה שאבריה הם מספרים ממשיים נקראת **סדרה ממשית**. על סדרות כאלה אפשר להחיל את מושג המונוטוניות: סדרה היא **עולה ממש** אם לכל אינדקס {\displaystyle n} מתקיים {\displaystyle a\_{n}<a\_{n+1}}, ו**עולה** (או "לא יורדת") אם מתקיים {\displaystyle a\_{n}\leq a\_{n+1}}. באותו אופן אומרים שהסדרה **יורדת ממש** אם מתקיים {\displaystyle a\_{n}>a\_{n+1}} ושהיא **יורדת** (או "לא עולה") אם מתקיים {\displaystyle a\_{n}\geq a\_{n+1}}. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה **מונוטונית**. סדרה שהיא גם עולה וגם יורדת מוכרחה להיות **סדרה קבועה**, כלומר סדרה שכל איבריה זהים. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית.

סדרת הסכומים החלקיים של סדרה נתונה נקראת טור.

תת-סדרה
-------

 ערך מורחב – **תת-סדרה**  

תת-סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם {\displaystyle \left\{a\_{n}\right\}} היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש {\displaystyle \left\{n\_{k}\right\}} שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז {\displaystyle \left\{a\_{n\_{k}}\right\}} היא תת-סדרה של {\displaystyle \left\{a\_{n}\right\}} לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שכל תת-קבוצה סגורה וחסומה בישר הממשי היא קומפקטית סדרתית.

סדרות מיוחדות
-------------

יש סדרות שאפשר לתאר בקלות את האיבר הכללי שלהן. סדרה חשבונית היא סדרה שבה {\displaystyle a\_{n}=\alpha n+\beta }, כאשר {\displaystyle \alpha ,\beta } קבועים; סדרה כזו מאופיינת בהפרש {\displaystyle a\_{n+1}-a\_{n}} קבוע. סדרה הנדסית היא סדרה שבה {\displaystyle a\_{n}=\alpha q^{n}}, כאשר {\displaystyle \alpha ,q} קבועים; סדרה כזו מאופיינת במנה {\displaystyle q=a\_{n+1}/a\_{n}} קבועה. 

**סדרה פולינומית** היא סדרה שבה האיבר הכללי מתואר על ידי פולינום, {\displaystyle p(n)=a\_{k}n^{k}+\ldots +a\_{1}n+a\_{0}}. המעבר מסדרה {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\dots } לסדרת ההפרשים {\displaystyle a\_{2}-a\_{1},a\_{3}-a\_{2},a\_{4}-a\_{3},\dots }, שבה האיברים הם הפרשי האיברים העוקבים בסדרה המקורית, מוריד את מעלת הפולינום. לכן, כאשר נתונים איברים מסדרה פולינומית, ודרגת הפולינום ידועה, אפשר למצוא את הפולינום על ידי המעבר לסדרת ההפרשים, סדרת הפרשי ההפרשים וכו'. 

דוגמה: מצא את האיבר הכללי של הסדרה הבאה: {\displaystyle -2,-2,0,4,10,\dots }.

פתרון: נתבונן בסדרת ההפרשים, שהיא: {\displaystyle 0,2,4,6,...}. זוהי סדרה חשבונית, שאיברה הראשון ({\displaystyle a\_{1}}) הוא {\displaystyle 0}, והפרשה ({\displaystyle d}) הוא {\displaystyle 2}. סכומה של סדרה כזו הוא {\displaystyle S\_{n}={[2a\_{1}+(n-1)d]\cdot n \over 2}={[2\cdot 0+(n-1)\cdot 2]\cdot n \over 2}={(n-1)\cdot 2n \over 2}=n^{2}-n}.

לכן:

{\displaystyle S\_{n-1}=(n-1)^{2}-(n-1)=n^{2}-3n+2}.

האיבר הראשון בסדרה המקורית הוא {\displaystyle -2}, ולכן {\displaystyle a\_{n}=-2+n^{2}-3n+2=n^{2}-3n}.

סדרות כמרחב וקטורי
------------------

אוסף הסדרות מעל שדה נתון (כלומר, הסדרות שאיבריהן הן איברים בשדה) מהוות מרחב וקטורי מעל {\displaystyle \mathbb {F} }, כאשר פעולת החיבור מוגדרת {\displaystyle (a+b)\_{n}=a\_{n}+b\_{n}} ופעולת הכפל בסקלר מוגדרת {\displaystyle (c\cdot a)\_{n}=c\cdot (a\_{n})}.

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **סדרה קבועה** |
| ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: **סדרות** |

* סדרה, באתר MathWorld (באנגלית)
* סדרות (מתמטיקה), דף שער בספרייה הלאומית

* Sequences 2: Notation – סרטון הסבר של MathTV על סימונים מתמטיים של סדרות (באנגלית) סרטונים

| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |
| אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007531611205171
* BNE: XX533577
* BnF: cb121105993 (data)
* GND: 4017790-7
* LCCN: sh85120145
* NDL: 01207024
* NKC: ph124397

 |