בתחום המשחקים השיתופיים ישנו נושא העוסק במשחקים בצורה קואליציונית. משחק בצורה קואליציונית יכול להיות (או לא להיות) **משחק מאוזן**.   

המשחק {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} יקרא **משחק מאוזן** אם לכל **אוסף קואליציות מאוזן** {\displaystyle \;D\;} ולכל **וקטור מקדמים מאזנים** של האוסף מתקיים: {\displaystyle \;\sum \limits \_{S\in D}{\delta \_{S}v\left(S\right)\leq v\left(N\right)}\;}

**משחק מאוזן** הוא משחק אשר עונה על תנאי בונדרבה שפלי, לכן נוכל לתת ניסוח שקול למשפט זה – "הליבה של משחק איננה ריקה אם ורק אם המשחק הוא משחק מאוזן".

מושגים
------

משחק בצורה קואליציונית {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} מוגדר על ידי קבוצת **שחקנים** {\displaystyle \;N=\left\{1,2,...n\right\}\;} ו**פונקציה קואליציונית** {\displaystyle \;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;}. פונקציה זו "נותנת" רווח כלשהו לכל תת-קבוצה (קואליציה) של השחקנים. כך לדוגמה, אם שחקנים 1,2,3 יתאגדו לקואליציה, הרווח המשותף שלהם במשחק יהיה {\displaystyle \;v\left(\left\{1,2,3\right\}\right)\;}. בהמשך גם יצטרכו להחליט איך לחלק את הרווח ביניהם.   
 
הסימון המקובל לקואליציה הוא {\displaystyle \;S\;}. ({\displaystyle \;S\in 2^{N}\;}).

### וקטור החילה

לכל קואליציה {\displaystyle \;S\;}, נגדיר וקטור {\displaystyle \;\chi \;}, ({\displaystyle \;\chi \in \mathbb {R} ^{n}\;}) באופן הבא: {\displaystyle \;\chi \_{i}^{S}=\left\{{\begin{matrix}1&i\in S\\0&i\notin S\\\end{matrix}}\right.\;}.   

כלומר, וקטור החילה של הקואליציה {\displaystyle \;S\;} הוא וקטור שהקואורדינאטה ה {\displaystyle \;i\;}'ית שלו היא 1 אם שחקן {\displaystyle \;i\;} נמצא בקואליציה, ו 0 אחרת.

### אוסף קואליציות מאוזן

נתבונן באוסף קואליציות {\displaystyle \;D\;}, המכיל {\displaystyle \;K\;} קואליציות:{\displaystyle \;D=\left\{S\_{1},...S\_{K}\right\}\;}. נרצה לקבוע האם אוסף {\displaystyle \;D\;} הוא **אוסף מאוזן** או לא.

#### הסבר 1

אם קיים וקטור {\displaystyle \;\delta >0\;} (באורך {\displaystyle \;K\;}) כך שיתקיים: {\displaystyle \;\sum \limits \_{S\_{i}\in D}{\delta \_{i}\chi ^{S\_{i}}=\left(1,...1\right)}\;}(הכוונה ב {\displaystyle \;\delta \_{i}\;} היא הרכיב ה {\displaystyle \;i\;} בווקטור {\displaystyle \;\delta \;}).
נאמר שהאוסף הוא **אוסף מאוזן** והווקטור {\displaystyle \;\delta \;} הוא **וקטור מקדמים מאזנים**.

סכום זה הוא למעשה סכום של וקטורים, כאשר כל וקטור הוא כפל של הקבוע {\displaystyle \;\left(\delta \_{i}\right)\;} בווקטור החילה המתאים לקואליציה {\displaystyle \;S\_{i}\;}. אם סכום הווקטורים (חיבור "רכיב-רכיב") מסתכם לווקטור {\displaystyle \;\left(1,...1\right)\;} נאמר שהאוסף הוא **אוסף מאוזן** והווקטור {\displaystyle \;\delta \;} הוא **וקטור מקדמים מאזנים**.

#### הסבר 2

לכל קואליציה {\displaystyle \;S\_{i}\in D\;} נסמן את וקטור החילה שלה ב-{\displaystyle \;\chi ^{S\_{i}}\;}. 
נתבונן במטריצה {\displaystyle \;A=\left({\begin{matrix}-&\chi ^{S\_{1}}&-\\{}&\cdots &{}\\-&\chi ^{S\_{K}}&-\\\end{matrix}}\right)\_{K\times n}\;} (מספר העמודות הוא {\displaystyle \;n\;} - כמספר השחקנים). 

אם קיים וקטור {\displaystyle \;\delta >0\;} (באורך {\displaystyle \;K\;}) כך ש 
{\displaystyle \;\delta \cdot A=\left(1,...1\right)\;} (מכפלת מטריצות) אזי נאמר שהווקטור {\displaystyle \;\delta \;} הוא **וקטור מקדמים מאזנים** וגם נאמר על אוסף הקואליציות {\displaystyle \;D\;} שהוא **אוסף מאוזן**. 

נשים לב שמשני ההסברים נובע בקלות שכל **חלוקה** של {\displaystyle \;N\;} מהווה אוסף מאוזן עם וקטור מקדמים מאזנים {\displaystyle \;\left(1,...1\right)\;}.

ניתן לראות במושג האוסף המאוזן הכללה של מושג החלוקה. נניח שהשחקנים יכולים לחלק את זמנם בין הקואליציות השונות: כל שחקן יכול לקבוע איזה חלק מזמנו יקדיש לכל קואליציה שאליה הוא שייך. למשל החלוקה {\displaystyle \;\{N\}\;} מתאימה למצב שבו כל השחקנים מקדישים את מלוא זמנם לקואליציה {\displaystyle \;N\;}. ב"אוסף מאוזן" כל שחקן מקדיש מזמנו לכל קואליציה בה הוא נמצא את המקדם של קואליציה זו, ומשמעות העובדה שהסכום הנ"ל הוא 1 לכל שחקן היא שאף שחקן לא יעבוד "שעות נוספות" או "יתבטל".

### הערות

* אם במקום לדרוש {\displaystyle \;\delta >0\;}, נדרוש רק {\displaystyle \;\delta \geq 0\;} אז נאמר שהוא **וקטור מקדמים מאזנים *חלש*** .

בהתאמה, נאמר שהאוסף הוא **אוסף מאוזן *חלש*** .

* אוסף מאוזן של קואליציות {\displaystyle \;D\;} יקרא **מינימלי** אם כל תת-אוסף שלו אינו מאוזן.

לדוגמה - האוסף
{\displaystyle \;\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\}\right\}\;}
הוא מאוזן מינימלי, בעוד שהאוסף
{\displaystyle \;\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1\right\}\right\}\;}
מאוזן אך אינו מאוזן מינימלי.  

במשפט בונדרבה-שפלי דורשים כי שהמשוואה
{\displaystyle \;{\hat {v}}(S)=Max\left\{\sum \limits \_{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta \_{R}v\left(R\right):\sum \limits \_{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta \_{R}\chi ^{R}}=\chi ^{S},\delta \_{R}\geq 0,\forall R}\right\}\;}
(ראו  כיסוי מאוזן) תתקיים לכל אוסף מאוזן.   

מסתבר שדי לדרוש שמשוואה זו תתקיים רק עבור אוספים מאוזנים מינימליים. משפט זה נקרא **משפט בונדרבה-שפלי החזק**.

ראו גם
------

* מונחים בתורת המשחקים
* משפט בונדרבה שפלי