במתמטיקה, **מספר מחלק-הרמוני**, או **מספר אור (Ore)**, ולעיתים אף **מספר אור-הרמוני**, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

{\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2}
ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

{\displaystyle {\frac {12}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5}
גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים
-------------------------

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו {\displaystyle M}, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל-{\displaystyle M} עצמו. מכאן נובע ש-{\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את {\displaystyle M}.

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם {\displaystyle M} הוא בדיוק {\displaystyle 2M}. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא {\displaystyle 2M \over d(M)}, כאשר {\displaystyle d(M)}‎ הוא מספר המחלקים של {\displaystyle M}. לכל {\displaystyle M}, {\displaystyle d(M)} הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם {\displaystyle M} הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק {\displaystyle m} של {\displaystyle M}, מחלק שונה ממנו - {\displaystyle M \over m}. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה {\displaystyle q^{\alpha }}, כאשר {\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו {\displaystyle M}, {\displaystyle d(M)} הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא {\displaystyle {\frac {2M}{d(M)}}}. לכן, {\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני.

אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב
---------------------------

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,‏ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות
------

* אם *{\displaystyle M}* הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז {\displaystyle M=1} או {\displaystyle M=6}.
* אם *{\displaystyle M}* הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז *{\displaystyle M}* הוא לא אור-הרמוני.
* אם *{\displaystyle M}* הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז *{\displaystyle M}* הוא מספר מושלם זוגי.

ראו גם
------

* שבר יסודי

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **מספר אור** |

* מספר אור, באתר MathWorld (באנגלית)
* סדרת מספרי אור באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

* Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers. Retrieved on 2006-09-10
* Cohen, Graeme L. (1997). "Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean". *Mathematics of Computation* **66**: 883–891

הערות שוליים
------------

1. ↑  אם {\displaystyle d} הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים {\displaystyle m} של {\displaystyle M}, אז {\displaystyle {\frac {d}{\sum {\frac {1}{m}}}}\cdot {\frac {\sum m}{d}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum {\frac {M}{m}}}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum m}}=M}
2. ↑  אך לא פרסם. Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". *Mathematics of Computation* **20** (93): 141–144. doi:10.2307/2004277
3. ↑  Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". *American Mathematical Monthly* **55**: 615–619
4. ↑  M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean". *American Mathematical Monthly* **61** (1954), 89-96
5. ↑  C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices *American Mathematical Monthly* **20** (1913) A-648.