התפתחות בזמן של פונקציית גל של חלקיק בקופסה
**דינמיקה קוונטית** היא תחום פיזיקלי העוסק בהתפתחות בזמן של מערכת קוונטית.

אופרטור ההתפתחות בזמן
---------------------

האובייקט המרכזי בדינמיקה הקוונטית הוא **אופרטור ההתפתחות בזמן**. אופרטור זה מקדם (באופן שיפורט להלן) את המערכת הפיזיקלית ממצבה ההתחלתי הנתון בזמן כלשהו {\displaystyle \ t\_{0}} לזמן מאוחר יותר {\displaystyle \ t>t\_{0}}. אופרטור זה מסומן לרוב ב-{\displaystyle \ U(t,t\_{0})}. כאשר {\displaystyle \ t\_{0}=0} מקצרים פעמים רבות את הסימון ל-{\displaystyle \ U(t)}. לאופרטור התכונות הבאות:

* {\displaystyle \ U(t,t\_{0})} אופרטור אוניטרי (כמו כל אופרטור המייצג טרנספורמציה פיזיקלית של מערכת שאמורה לשמר הסתברות).
* תכונת ההרכבה - {\displaystyle \ U(t\_{2},t\_{0})=U(t\_{2},t\_{1})U(t\_{1},t\_{0})} (שני צעדי קידום מ{\displaystyle \ t\_{0}} ל{\displaystyle \ t\_{1}} ואז מ{\displaystyle \ t\_{1}} ל{\displaystyle \ t\_{2}} שקולים לצעד גדול מ{\displaystyle \ t\_{0}} ל{\displaystyle \ t\_{2}})
* {\displaystyle \lim \_{t\rightarrow t\_{0}}U(t,t\_{0})=1} (רציפות - אם עבר זמן קצר המערכת משתנה רק מעט)

משוואת שרדינגר
--------------

על ידי שימוש בתכונות הנ"ל ניתן להראות כי אופרטור ההתפתחות בזמן מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה, המכונה משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן:



i
ℏ

∂

∂
t

U
(
t
,

t

0

)
=

H

(
t
)
U
(
t
,

t

0

)

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t\_{0})={\mathcal {H}}(t)U(t,t\_{0})}

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})={\mathcal {H}}(t)U(t,t_{0})}
כאשר {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם ו-{\displaystyle {\mathcal {H}}(t)} הוא אופרטור הרמיטי בעל ממדים של אנרגיה, המזוהה עם ההמילטוניאן.

### פתרון משוואת שרדינגר

צורת הפתרון של משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן תלויה בצורת ההמילטוניאן.

* אם ההמילטוניאן לא תלוי בזמן {\displaystyle \left({\mathcal {H}}(t)={\mathcal {H}}\right)} :



U
(
t
,

t

0

)
=
exp
⁡

(

−

i
ℏ

H

(
t
−

t

0

)

)

{\displaystyle U(t,t\_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}(t-t\_{0})\right)}

{\displaystyle U(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}(t-t_{0})\right)}
* אם ההמילטוניאן תלוי בזמן אך חילופי עם עצמו בזמנים שונים {\displaystyle \left([{\mathcal {H}}(t\_{1}),{\mathcal {H}}(t\_{2})]=0\right)} :



U
(
t
,

t

0

)
=
exp
⁡

(

−

i
ℏ

∫

t

0

t

H

(

t

′

)
d

t

′

)

{\displaystyle U(t,t\_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int \_{t\_{0}}^{t}{\mathcal {H}}(t^{\prime })dt^{\prime }\right)}

{\displaystyle U(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {H}}(t^{\prime })dt^{\prime }\right)}
* אם ההמילטוניאן תלוי בזמן ולא מתחלף עם עצמו בזמנים שונים - במקרה זה אופרטור ההתפתחות בזמן נתון על ידי טור דייסון:



U
(
t
,

t

0

)
=
1
+

∑

n
=
1

∞

(

−
i

ℏ

)

∫

t

0

t

d

t

1

∫

t

0


t

1

d

t

2

⋯

∫

t

0


t

n
−
1

d

t

n

H

(

t

1

)

H

(

t

2

)
⋯

H

(

t

n

)

{\displaystyle U(t,t\_{0})=1+\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)\int \_{t\_{0}}^{t}dt\_{1}\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}dt\_{2}\cdots \int \_{t\_{0}}^{t\_{n-1}}dt\_{n}{\mathcal {H}}(t\_{1}){\mathcal {H}}(t\_{2})\cdots {\mathcal {H}}(t\_{n})}

{\displaystyle U(t,t_{0})=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}{\mathcal {H}}(t_{1}){\mathcal {H}}(t_{2})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})}
זהו פתרון פורמלי ששימושי בעיקר במקרים פשוטים של המילטוניאן שאינו תלוי בזמן. כאשר ההמילטוניאן תלוי בזמן יש לרוב להשתמש בשיטות קירוב שונות.

תמונות
------

לשאלה כיצד מקדם אופרטור ההתפתחות בזמן את המערכת אין תשובה חד משמעית. קיימות מספר אינטרפטציות המכונות תמונות באשר לפעולת אופרטור זה. תמונות אלו שקולות מבחינת הפיזיקה שהן מתארות וניתן להשתמש בכל אחת מהן על פי הצורך והנוחות.

### תמונת שרדינגר

התמונה האינטואיטיבית ביותר היא תמונת שרדינגר. בתמונה זו, אופרטור ההתפתחות בזמן פועל על המצבים ומקדם אותם בזמן. בהינתן מצב התחלתי {\displaystyle |\psi (t\_{0})\rangle } הוא יתפתח למצב:


|

ψ
(
t
)
⟩
=
U
(
t
,

t

0

)

|

ψ
(

t

0

)
⟩

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle }

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }
בתמונה זו האופרטורים מייצגים גדלים מדידים קבועים בזמן (למעט תלות מפורשת).

בעזרת שימוש במשוואת שרדינגר לאופרטור ההתפתחות בזמן ובאופן שבו הנ"ל פועל על המצבים ניתן לראות כי המצבים מקיימים את משוואת שרדינגר:



i
ℏ

∂

∂
t

|

ψ
(
t
)
⟩
=

H

|

ψ
(
t
)
⟩

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\mathcal {H}}|\psi (t)\rangle }

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\mathcal {H}}|\psi (t)\rangle }
אם עובדים בבסיס המקום מקבלים את משוואת שרדינגר לפונקציית הגל:



i
ℏ

∂

∂
t

ψ
(

x
→

,
t
)
=

H

ψ
(

x
→

,
t
)

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {x}},t)={\mathcal {H}}\psi ({\vec {x}},t)}

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {x}},t)={\mathcal {H}}\psi ({\vec {x}},t)}
תמונת שרדינגר שימושית במיוחד כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן ועובדים בבסיס האנרגיה - {\displaystyle {\mathcal {H}}|n\rangle =E\_{n}|n\rangle }.
במקרה זה עבור מצב התחלתי {\displaystyle |\psi (t\_{0})\rangle =\sum \_{n}c\_{n}|n\rangle }, נקבל כי:


|

ψ
(
t
)
⟩
=

∑

n

c

n

e

−

i
ℏ

E

n

t

|

n
⟩

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum \_{n}c\_{n}e^{-{\frac {i}{\hbar }}E\_{n}t}|n\rangle }

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t}|n\rangle }
במקרה בו המערכת מתחילה ממצב עצמי של ההמילטוניאן היא תישאר במצב זה (המצב יוכפל בפאזה שאינה משפיעה).

### תמונת הייזנברג

בתמונת הייזנברג מצב המערכת קבוע בזמן {\displaystyle |\psi (t)\rangle =|\psi (t\_{0})\rangle }, ולעומת זאת האופרטורים מתפתחים בזמן על פי:


A

H

(
t
)
=

U

†

(
t
,

t

0

)
A
(

t

0

)
U
(
t
,

t

0

)

{\displaystyle A\_{H}(t)=U^{\dagger }(t,t\_{0})A(t\_{0})U(t,t\_{0})}

{\displaystyle A_{H}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0})A(t_{0})U(t,t_{0})}
בזמן {\displaystyle \ t\_{0}} תמונות הייזנברג ושרדינגר מתלכדות, כלומר: 
{\displaystyle |\psi \rangle \_{H}=|\psi (t\_{0})\rangle \_{S}\ ,\ A\_{H}(t\_{0})=A\_{S}}, כאשר האינדקסים H,S מסמנים מצבים ואופרטורים בתמונות שרדינגר והייזנברג בהתאמה.

ניתן להראות כי בתמונת הייזנברג, האופרטורים מקיימים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:



d

A

H

d
t

=

1

i
ℏ

[

A

H

,

H

]

+

∂
A

∂
t


{\displaystyle {\frac {dA\_{H}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[A\_{H},{\mathcal {H}}\right]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}

{\displaystyle {\frac {dA_{H}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[A_{H},{\mathcal {H}}\right]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}
משוואה זו דומה בצורה למשוואת התנועה של הגודל הקלאסי המתואר על ידי האופרטור \ A ומסיבה זו מכונה לעיתים "משוואת התנועה של האופרטור". על ידי שימוש במשוואה קל לחשב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים (ראו משפט ארנפסט) ולקבל חוקי שימור (כל אופרטור המתחלף עם ההמילטוניאן ייתן קבוע תנועה).

### תמונת האינטראקציה

בתמונה זו מפרידים את ההמילטוניאן לשני חלקים {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}\_{0}+V}, כאשר {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{0}} אינו תלוי בזמן ואילו \ V "אינטראקציה" שיכולה להיות תלויה בזמן. המצבים והאופרטורים בתמונת האינטראקציה מוגדרים על ידי:


|

ψ
(
t
)

⟩

I

=

U

†

(
t
,

t

0

)

|

ψ
(
t
)

⟩

S

=

e

i
ℏ

V
t

|

ψ
(
t
)

⟩

S

{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{I}=U^{\dagger }(t,t\_{0})|\psi (t)\rangle \_{S}=e^{{\frac {i}{\hbar }}Vt}|\psi (t)\rangle \_{S}}

{\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}=U^{\dagger }(t,t_{0})|\psi (t)\rangle _{S}=e^{{\frac {i}{\hbar }}Vt}|\psi (t)\rangle _{S}}
כלומר פונקציית הגל בתמונת האינטראקציה תהיה ההתקדמות של פונקציית הגל אך ורק בהשפעת ההפרעה התלויה בזמן.


A

I

(
t
)
=

e

i
ℏ


H

0

t

A

S

e

−

i
ℏ


H

0

t

{\displaystyle A\_{I}(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}\_{0}t}A\_{S}e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}\_{0}t}}

{\displaystyle A_{I}(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}_{0}t}A_{S}e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {H}}_{0}t}}
והם מקיימים את המשוואות:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle \_{I}=V\_{I}|\psi (t)\rangle \_{I}}

{\displaystyle {\frac {dA\_{I}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[A\_{I},{\mathcal {H}}\_{0}\right]+{\frac {\partial A\_{I}}{\partial t}}}

בתמונה זו משתמשים במסגרת תורת ההפרעות התלויה בזמן.

המשמעות היא שבתמונת האינטראקציה יש שילוב של פונקציית גל שמתפתחת בזמן (לפי תמונת שרדינגר) ואופרטורים שמתפתחים בזמן (לפי משוואת הייזנברג).

קירובים
-------

חישובים מדויקים של התפתחות בזמן ניתן לבצע באופן כללי רק עבור מערכת בעלת המילטוניאן בלתי תלוי בזמן. עבור מערכות עם המילטוניאן תלוי בזמן יש צורך להיעזר בשיטות קירוב שונות, כגון: תורת ההפרעות התלויה בזמן, קירובים אדיאבטיים ועוד.

הערות שוליים
------------

1. ↑  שינוי במערכת הנגרם עקב פעולת מדידה אינו מתואר באמצעות אופרטור ההתפתחות בזמן.
2. ↑  או על ידי אקספוננט סדור בזמן
3. ↑  מתמטית, כל אלמנטי המטריצה שווים בתמונות השונות.