|  |
| --- |
| **יש לערוך ערך זה**. הסיבה היא: **ויקיזציה, בחירת צד קבוע לנוסחאות, ימין או שמאל, הוספת קישורים פנימיים, הוספת קטגוריות**. |
| אתם מוזמנים לסייע ולערוך את הערך. אם לדעתכם אין צורך בעריכת הערך, ניתן להסיר את התבנית. |

**מודל הקשירה ההדוקה** (באנגלית: **Tight Binding Method**) הוא מודל בפיזיקת המצב המוצק המתאר את פסי האנרגיה של אלקטרונים במתכת על ידי שימוש בקירוב של פונקציות הגל (פו"ג) שמתבסס על סופרפוזיציה של פו"ג של אטומים מבודדים הממוקמים בסריג. השימוש במודל זה נפוץ עבור מגוון של מוצקים. על אף היותו מודל המתאר אלקטרון יחיד, המודל משמש כבסיס עבור חישובים מתקדמים יותר כגון בעיות רב גופיות וחישוב קוואזי-חלקיקים.

הקדמה
-----

מודל הקשירה ההדוקה הוא מודל במכניקת הקוונטים שמתאר את תכונותיהם של אלקטרונים הכבולים בחוזקה אל האטומים שאליהם הם שייכים בחומר מוצק. השפעתם של פוטנציאלים ומצבים אחרים בסביבת האלקטרון - זניחה. כתוצאה מכך פו"ג של האלקטרון תהיה דומה למדי לאורביטל האטומי של האטום אליו הוא שייך והאנרגיה של האלקטרון תהיה קרובה לאנרגיית היינון של האלקטרון מאטום בודד.

באופן כללי יש מספר רמות אנרגיה המעורבות במודל.

פיתוח מתמטי
-----------

יהיו {\displaystyle \varphi \_{m}(\mathbf {r} )} פונקציות הגל של האורביטלים האטומיים של ההמילטוניאן {\displaystyle H\_{atom}} המתאר אטום מבודד. כאשר האטום ממוקם בגביש, פו"ג של מיקומי אטומים סמוכים חופפות חלקית זו לזו, ולכן תיאור זה אינו התיאור של הפונקציות העצמיות של המערכת כולה. החפיפה קטנה יותר כאשר האלקטרונים קשורים בחוזקה אל האטומים, וזהו מקור הביטוי "קשירה הדוקה". כדי לקבל את התיאור הנכון עבור המערכת כולה נוסיף איבר פוטנציאל {\displaystyle \Delta U} להמילטוניאן של המערכת שמבטא את התיקונים לפוטנציאל של אטום יחיד לעומת הפוטנציאל בגביש.

{\displaystyle H(r)=\sum \_{R\_{n}}H\_{atom}(r-R\_{n})+\Delta U(r)}

קירוב לפונקציית הגל {\displaystyle \psi \_{r}} של אלקטרון יחיד המתואר על ידי המילטוניאן זה נתון כצירוף ליניארי של פונקציות הגל המתארות את האורביטלים האטומיים {\displaystyle \varphi \_{m}(r-R\_{n})}:

{\displaystyle \psi (r)=\sum \_{m,R\_{n}}b\_{m}(R\_{n})\varphi \_{m}(r-R\_{n})}.

כאשר m היא רמת האנרגיה האטומית ו {\displaystyle R\_{n}} מיקום האטום בסריג.

פונקציות הגל הן  פונקציות בלוך בסריג, ולכן הן מהצורה

{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r+R\_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{\ell }}}}\psi ({\boldsymbol {r}})},
כלומר, השינוי בפונקציית הגל הוא בפאזה בלבד. {\displaystyle \mathbf {k} } הוא וקטור הגל של הפונקציה.
כתוצאה מכך, הפרישה של פונקציית הגל על ידי האורביטלים האטומיים מקיימת,

{\displaystyle \sum \_{m,{\boldsymbol {R\_{n}}}}b\_{m}({\boldsymbol {R\_{n}}})\ \varphi \_{m}({\boldsymbol {r-R\_{n}+R\_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{\ell }}}}\sum \_{m,{\boldsymbol {R\_{n}}}}b\_{m}({\boldsymbol {R\_{n}}})\ \varphi \_{m}({\boldsymbol {r-R\_{n}}})}

נציב

{\displaystyle {\boldsymbol {R\_{p}}}={\boldsymbol {R\_{n}}}-{\boldsymbol {R\_{\ell }}}} ,

ונקבל

{\displaystyle b\_{m}({\boldsymbol {R\_{p}+R\_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{\ell }}}}b\_{m}({\boldsymbol {R\_{p}}})}

או

{\displaystyle b\_{m}({\boldsymbol {R\_{l}}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{l}}}}b\_{m}({\boldsymbol {0}})}

מתכונת הנרמול של פונקציית הגל

{\displaystyle \int d^{3}r\ \psi ^{\*}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}})=1}
נובע:

{\displaystyle \int d^{3}r\ \psi ^{\*}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}})=\sum \_{\boldsymbol {R\_{n}}}b^{\*}({\boldsymbol {R\_{n}}})\sum \_{\boldsymbol {R\_{\ell }}}b({\boldsymbol {R\_{\ell }}})\int d^{3}r\ \varphi ^{\*}({\boldsymbol {r-R\_{n}}})\varphi ({\boldsymbol {r-R\_{\ell }}})}
{\displaystyle =b^{\*}(0)b(0)\sum \_{\boldsymbol {R\_{n}}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R\_{n}}}}\sum \_{\boldsymbol {R\_{\ell }}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{\ell }}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{\*}({\boldsymbol {r-R\_{n}}})\varphi ({\boldsymbol {r-R\_{\ell }}})}
{\displaystyle =Nb^{\*}(0)b(0)\sum \_{\boldsymbol {R\_{p}}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R\_{p}}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{\*}({\boldsymbol {r-R\_{p}}})\varphi ({\boldsymbol {r}})\ }

{\displaystyle =Nb^{\*}(0)b(0)\sum \_{\boldsymbol {R\_{p}}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{p}}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{\*}({\boldsymbol {r}})\varphi ({\boldsymbol {r-R\_{p}}})\ =1}
נקבל ביטוי עבור {\displaystyle b(0)}:

{\displaystyle b^{\*}(0)b(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum \_{\boldsymbol {R\_{p}\neq 0}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R\_{p}}}}\alpha ({\boldsymbol {R\_{p}}})}}}
כאשר α (***R***p ) היא פונקציית החפיפה האטומית. נהוג להזניח איבר זה ולהניח α (***R***p ) =1
במקרה כזה:

{\displaystyle b\_{n}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\,}
ולכן פונקציית הגל בקירוב הקשירה ההדוקה היא מהצורה

{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum \_{m,{\boldsymbol {R\_{n}}}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R\_{n}}}}\ \varphi \_{m}({\boldsymbol {r-R\_{n}}})\ .}

ראו גם
------

* מבנה פסים

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **מודל הקשירה ההדוקה** בוויקישיתוף