בתאוריה הקינטית של הגזים, **המשוואה הקינטית של לנדאו** היא משוואת טרנספורט, המתארת חלקיקים טעונים בגבול הדליל המבצעים התנגשויות קולון בפלזמה (מצב צבירה).

המשוואה פורסמה על ידי לב לנדאו ב-1936 כתיקון למשוואת בולצמן עבור אינטראקציית קולון. בשילוב עם משוואת ולסוב, המשוואה נותנת את האבולוציה בזמן של המערכת, ולכן מהווה מודל קינטי חשוב בתורת הפלזמה.

סקירה
-----

### הגדרה

עבור פונקציית התפלגות של חלקיק אחד, {\displaystyle f(v,t)}, המשוואה נתונה על-ידי:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v\_{i}}}(\int \_{\mathbb {R^{3}} }dw{\frac {(u^{2}\delta \_{ij}-u\_{i}u\_{j})}{u^{3}}}({\frac {\partial }{\partial v\_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w\_{j}}})f(v)f(w))}

{\displaystyle u=v-w}

צד ימין של המשוואה ידוע כ-Landau collision integral (בהקבלה לBoltzmann collision integral).

הקבוע B מתקבל על-ידי אינטגרציה על הפוטנציאל התוך-מולקולרי {\displaystyle U(r)}:

{\displaystyle B={\frac {1}{8\pi }}\int \_{0}^{\infty }drr^{3}{\hat {U}}(r)^{2}}

{\displaystyle {\hat {U}}(|k|)=\int \_{\mathbb {R^{3}} }dxU(|x|)e^{ikx}}

יש לשים לב כי עבור הרבה פוטנציאלים תוך-מולקולריים (דוגמה נפוצה היא כאשר {\displaystyle U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}}) הביטוי עבור B מתבדר. לנדאו מתמודד עם בעיה זו על-ידי קטיעת האינטגרל עבור זוויות קטנות וגדולות.

### שימושים

המשוואה בנמצאת בשימוש למידול של פלזמה במכניקה סטטיסטית ופיזיקת חלקיקים. לכן, נעשה בה שימוש נרחב במחקר של פלזמה בכורים תרמו-גרעיניים. 

המשוואה ותכונותיה נחקרו לעומק על-ידי אלכסנדר בובילב.

פיתוחים
-------

הפיתוח הראשון של משוואה נתון במאמר המקורי של לנדאו כאשר הרעיון הוא כדלקמן:

נתבונן בגז הומוגני במרחב המורכב ממסות נקודתיות המתוארת על-ידי *{\displaystyle f(v,t)}*. נבחר פוטנציאל {\displaystyle {\hat {U\_{ij}}}=U\_{ij}exp({\frac {-r\_{ij}}{r\_{D}}})} כך ש-{\displaystyle U\_{ij}} פוטנציאל קולון, {\displaystyle U\_{ij}={\frac {e\_{i}e\_{j}}{|x\_{i}-x\_{j}|}}}, ו-{\displaystyle r\_{D}} הוא רדיוס דביי. נציב את הפוטנציאל {\displaystyle {\hat {U\_{ij}}}} בתוך איבר ההתנגשות במשוואת בולצמן ונפתור עבור האיבר האסימפטוטי הראשי בגבול {\displaystyle r\_{D}\rightarrow \infty }.

הפיתוח הפורמלי הראשון מתוך היררכיית BBGKY פורסם לראשונה ב-1946 על-ידי ניקולאי בוגוליובוב.

משוואת פוקר-פלאנק-לנדאו
-----------------------

ב-1957, המשוואה פותחה בנפרד על-ידי מרשל רוזנבלות. נפתור את משוואת פוקר פלאנק תחת חוק ריבוע ההפכים לקבלת:

{\displaystyle {\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f\_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v\_{\alpha }}}(-f\_{i}{\frac {\partial h\_{i}}{\partial v\_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v\_{\beta }}}(f\_{i}{\frac {\partial ^{2}g\_{i}}{\partial v\_{\alpha }\partial v\_{\beta }}}))}

כאשר {\displaystyle h\_{i},g\_{i}} ידועים כ**פוטנציאלי רוזנבלות**:

{\displaystyle h\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}K\_{ij}\int dw{\frac {f\_{i}(w,t)}{|v-w|}}}

{\displaystyle g\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}K\_{ij}{\frac {m\_{j}}{m\_{i}}}\int dw{\frac {f\_{i}(w,t)}{|v-w|}}}

for {\displaystyle K\_{ij}={\frac {e\_{i}^{2}e\_{j}^{2}}{m\_{i}m\_{j}}},i=1,2,...n}

צורת פוקר-פלאנק של המשוואה נמצאת בשימוש בעיקר לטובת נוחות בחישובים נומריים.

גרסה יחסותית
------------

תיקון יחסותי של המשוואה פורסמה על-ידי גרש בודקר וספרטק בלייב ב-1956. 

עבור חלקיקים יחסותיים בעלי תנע {\displaystyle p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R} ^{3}} ואנרגיה {\displaystyle p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}}, המשוואה מקיימת:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p\_{i}}}\int \_{\mathbb {R} ^{3}}dq\Phi ^{ij}(p,\ q)[h(q){\frac {\partial }{\partial p\_{j}}}g(p)-{\frac {\partial }{\partial q\_{j}}}h(q)g(p)]}

כאשר הקרנל נתון על-ידי {\displaystyle \Phi ^{ij}=\mathrm {A} (p,q)S^{ij}(p,q)} כך שמתקיים:

{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\left(\rho \_{-}+1\right)^{2}}{p^{0}q^{0}}}\left(\rho \_{+}\rho \_{-}\right)^{-{\frac {-3}{2}}}}

{\displaystyle S^{ij}=\rho \_{+}\rho \_{-}\delta \_{ij}-\left(p\_{i}-q\_{i}\right)\left(p\_{j}-q\_{j}\right)+\rho \_{-}\left(p\_{i}q\_{j}+p\_{j}q\_{i}\right)}

{\displaystyle \rho \_{\pm }=p^{0}q^{0}-pq\pm 1}

גרסה יחסותית למשוואה נחוצה שכן חלקיקים בפלזמה חמה מסוגלים להגיע למהירות הקרובות למהירות האור.

ראו גם
------

* משוואת בולצמן
* משוואת ולסוב

הערות שוליים
------------

1. 1 2  Landau, L.D. (1936). "Kinetic equation for the case of coulomb interaction". *Phys. Zs. Sov. Union*. **10**: 154–164.
2. ↑  Bobylev, Alexander (2015). "On some properties of the landau kinetic equation". *Journal of Statistical Physics*. **161**.
3. ↑  Robert M. Strain, Maja Tasković (2019). "Entropy dissipation estimates for the relativistic Landau equation, and applications". *Journal of Functional Analysis*.
4. ↑  Landau kinetic equation. *Encyclopedia of Mathematics.* URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Landau\_kinetic\_equation&oldid=47573
5. ↑  J. Killeen, K.D. Marx, "Methods in computational physics", **9**, Acad. Press (1970)
6. ↑  J. Killeen, A.A. Mirin, M.E. Rensink, "Methods in computational physics", **16**, Acad. Press (1976)
7. ↑  Alexander Bobylev. *ResearchGate*. URL: https://www.researchgate.net/profile/Alexander-Bobylev
8. ↑  Bogolyubov, N.N. (1946). *Problems of a Dynamical Theory in Statistical Physics*. USSR: State Technical Press.
9. ↑  Rosenbluth, M.N. (1957). "Fokker-Planck equation for an inverse-square force". *Phys. Rev*. **107**: 1–6.
10. ↑  S. T. Belyaev and G. I. Budker. Relativistic kinetic equation. Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 107:807–810, 1956.