בתורת השדות, ה**רמה של שדה** F, המסומנת {\displaystyle s(F)}, היא המספר הקטן ביותר \ell  כך ש--1 הוא סכום של \ell  ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה.

הגדרה
-----

יהי {\mathbb {F}} שדה. ה**אורך** של כל {\displaystyle a\in \mathbb {F} } הוא המספר המינימלי \ell  עבורו a הוא סכום של \ell  ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. ה**רמה** של השדה היא האורך של -1, ומסמנים אותה {\displaystyle s(\mathbb {F} )}

אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר:

**משפט** (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה {\displaystyle x\_{0}^{2}+...+x\_{2n}^{2}=0} הוא מרמה 
{\displaystyle s(\mathbb {F} )=2^{n}}.

שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום.

דוגמאות
-------

* משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם -1 איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית.
* הרמה של שדה סופי מסדר n היא 1 אם {\displaystyle n=1({\bmod {4}})} ו-{\displaystyle 2} אם {\displaystyle n=3({\bmod {4}})}.
* הרמה של שדה מספרים מהצורה {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} כאשר d מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4.
* האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף.
* מתקיים {\displaystyle s(\mathbb {F} )=s(\mathbb {F} (t))=s(\mathbb {F} ((t)))}.
* אם הרמה של שדה לא ממשי היא {\displaystyle 2^{r}}, אז חוג ויט {\displaystyle W(\mathbb {F} )} הוא בעל פיתול {\displaystyle 2^{r+1}}.
* הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של {\displaystyle \mathbb {R} ((x\_{1},\dots ,x\_{n}))} היא לכל היותר {\displaystyle 2^{n-1}}.

רמה ביחס לתבנית ריבועית
-----------------------

יהי {\mathbb {F}} שדה ו-q תבנית ריבועית מעל {\mathbb {F}}. ה**רמה של השדה ביחס לתבנית** היא המספר המינימלי \ell  עבורו -1 הוא סכום של \ell  ערכים של q, כלומר {\displaystyle -1=q(x\_{1})+...+q(x\_{l})} (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית {\displaystyle q(x)=x^{2}}, והאורך של איבר a הוא הרמה ביחס לתבנית {\displaystyle q(x)=a^{-1}x^{2}}. את הרמה ביחס לתבנית נסמן {\displaystyle s\_{q}(\mathbb {F} )}.

מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות:

* {\displaystyle 1\leq s\_{q}(\mathbb {F} )\leq s(\mathbb {F} )+1}.
* אם {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת שדות אז {\displaystyle s\_{q}(\mathbb {F} )\geq s\_{q}(\mathbb {K} )}, לכל תבנית משדה הבסיס.
* אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - {\displaystyle s\_{q}(\mathbb {F} )=s\_{q}(\mathbb {K} )}
* בדומה לרמה הרגילה, אם {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבה טרנסצנדנטית אז {\displaystyle s\_{q}(\mathbb {F} )=s\_{q}(\mathbb {K} )=s\_{q}(\mathbb {K} ((t)))}.

אם {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת שדות ריבועית, ונניח {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]}, אז מתקיים {\displaystyle s(K)=s\_{\langle 1,-a\rangle }(\mathbb {F} )=s\_{\langle \langle a\rangle \rangle }(\mathbb {F} )}, כאשר {\displaystyle \langle \langle \cdot \rangle \rangle } היא תבנית פיסטר. 

ביתר כלליות, אם {\displaystyle Q=(a,b)\_{2}} אלגברת קווטרניונים מעל {\mathbb {F}} אז {\displaystyle s(Q)=s\_{\langle \langle a,b\rangle \rangle }(\mathbb {F} )}.

אם \phi  תבנית פיסטר אז {\displaystyle s\_{\phi }(\mathbb {F} )} הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } עם {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]}, אז {\displaystyle \ell \_{\phi }(-a)\leq 2s\_{\phi }(\mathbb {K} )}.

שאלת הרמה
---------

**שאלת הרמה** (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים {\displaystyle q(\mathbb {F} )=|\mathbb {F} ^{\times }/\mathbb {F} ^{\times ^{2}}|} סופי, שהרמה שלו {\displaystyle 4<s(\mathbb {F} )<\infty }. שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת).

**משפט** (Djokovic): אם {\mathbb {F}} שדה בעל רמה {\displaystyle 8\leq s<\infty } אז מתקיים:

{\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2\sum \_{i=1}^{s/2}{\frac {1}{s-i+2}}\cdot {{s+1} \choose i}>{\frac {2^{s+2}}{s}}}

עבור {\displaystyle s=8,16} מתקבלות תוצאות טובות יותר:

**משפט**:

* אם {\displaystyle s(\mathbb {F} )=8} אז {\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2^{9}}.
* אם {\displaystyle s(\mathbb {F} )=16} אז {\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2^{15}}.

ראו גם
------

* משפט ארטין-שרייר

לקריאה נוספת
------------

* Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974
* On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level, Karim Johannes Becher, 2011
* Sums of values represented by a quadratic form, G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011