**שיטת הדלתה** בסטטיסטיקה היא תוצאה המאפשרת את אמידת השונות של פונקציה של אמד לפרמטר, כאשר התפלגותו האסימפטוטית של האמד היא נורמלית וסטיית התקן של האמד ידועה או ניתנת לאמידה.

היסטוריה
--------

סקירה של ההיסטוריה של שיטת הדלתה ניתנה על ידי והר הוף ומכתב תשובה מאת פורטנוי.
הרעיון שליו מבוססת שיטת הדלתה היה ידוע כבר במאה התשע עשרה. ב-1838 הוצג הרעיון הבסיס על ידי בסל, וב-1838 הוא הוצג בספרו של איירי. השימוש הסטטיסטי הראשון בשיטה נעשה ככל הנראה ב-1928 על ידי קלי. הניסוח הפורמלי הוצג ב-1935 על ידי דוב.

שיטת הדלתה
----------

**משפט**

תהי {\displaystyle X\_{n}} סדרה של משתנים מקריים בעלת התפלגות אסימפטוטית נורמלית, ובאופן פורמלי {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X\_{n}-\theta ]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})},}, כאשר \theta  ו-\sigma^2 קבועים ממשיים, ו-{\displaystyle {\xrightarrow {D}}} מציין התכנסות בהתפלגות.

כן תהא g פונקציה הגזירה בנקודה \theta  כך ש-{\displaystyle g'(\theta )} רציפה ו-{\displaystyle g'(\theta )\neq 0}.

אזי: {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X\_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\cdot [g'(\theta )]^{2})}}.

**הוכחה:**

על פי משפט הערך הממוצע של לגראנז' (משפט ערך הביניים) קיים {\displaystyle {\tilde {\theta }}} כך ש-{\displaystyle g(X\_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X\_{n}-\theta )}, כך ש-{\displaystyle {\tilde {\theta }}} נמצא בין {\displaystyle X\_{n}} ובין \theta. (זהו למעשה פיתוח טיילור של g סביב \theta .)

נסדר מחדש את האיברים ונכפיל ב-{\displaystyle {\sqrt {n}}}, ונקבל כי {\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X\_{n})-g(\theta )]=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}[X\_{n}-\theta ]}.

מכיוון ש-{\displaystyle X\_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta } (כאשר {\displaystyle {\xrightarrow {P}}} מציין התכנסות בהסתברות) מקבלים כי {\displaystyle {\tilde {\theta }}{\xrightarrow {P}}\,\theta }, ומכיוון ש-{\displaystyle g'(\theta )} רציפה אנו מקבלים כי גם {\displaystyle g'({\tilde {\theta }}){\xrightarrow {p}}g'(\theta )}.

כזכור, על פי תנאי המשפט {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X\_{n}-\theta ]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})},}, ולכן על פי משפט סלוצקי מקבלים באופן מיידי כי {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X\_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\cdot [g'(\theta )]^{2})}}.

הערה: ניתן להוכיח כי השגיאה בקירוב שואפת בהסתברות לאפס. כן קיימת גרסה רב ממדית.

דוגמאות
-------

### ריבוע התוחלת

על פי משפט הגבול המרכזי, הממוצע של n משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת \mu  ושונות סופית וחיובית \sigma^2 מתפלג אסימפטוטית נורמלית, כלומר {\displaystyle {\sqrt {n}}[{\bar {X}}\_{n}-\mu ]{\xrightarrow {D}}N(0,\sigma ^{2})}. תהי {\displaystyle g(x)=x^{2}}, ולכן {\displaystyle g'(x)=2x}. מכאן נקבל כי ל-{\displaystyle {\bar {X}}\_{n}^{2}} יש התפלגות אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת {\displaystyle \mu ^{2}} ושונות {\displaystyle {\frac {4\mu ^{2}\sigma ^{2}}{n}}}.

### רגרסיה לוגיסטית

נתבונן במודל {\displaystyle \log {\frac {\pi (x)}{1-\pi (x)}}=\alpha +\beta \ x}, ונסמן ב-{\displaystyle {\hat {\beta }}\_{n}} את אמדן הנראות המקסימלית ל-\beta. מכיוון שזהו אמד נראות מקסימלית ידוע כי התפלגותו היא אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת \beta  ושגיאת תקן {\displaystyle s>0}, כאשר s נאמדת על ידי שימוש באינפורמציה של פישר. חוקרים מתעניינים בדרך כלל בערך {\displaystyle OR=e^{\beta }} שמפורש כיחס הסיכויים של Y בהינתן X. מכיוון ש-{\displaystyle g(x)=e^{x}} היא פונקציה רציפה שנגזרתה רציפה, נקבל כי לאמדן יחס הסיכויים {\displaystyle e^{\hat {\beta }}} יש התפלגות אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת {\displaystyle e^{\beta }}, ולאמוד את שגיאת תקן שלו על ידי {\displaystyle se^{\hat {\beta }}}.

מכאן נוכל לקבל כי רווח סמך ברמת סמך {\displaystyle 100(1-\alpha )\%} ליחס הסיכויים הוא {\displaystyle e^{\hat {\beta }}\ \pm \ Z\_{\frac {\alpha }{2}}se^{\hat {\beta }}}. כן נוכל לבדוק את ההשערה כי יחס הסיכויים שווה ל-1 על ידי הסטטיסטי {\displaystyle Z={\frac {e^{\hat {\beta }}-1}{se^{\hat {\beta }}}}}.

ראו גם
------

* רגרסיה לוגיסטית
* משפט הגבול המרכזי
* התכנסות בהתפלגות
* התכנסות בהסתברות
* משפט סלוצקי

לקריאה נוספת
------------

* Lehmann, E. L.; Casella, G. (2006). *Theory of point estimation, 2nd edition*. Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-98502-6.

קישורים חיצוניים
----------------

* Standard error of a nonlinear function of estimated regression coefficients - R alr package

* How can I estimate the standard error of transformed regression parameters in R using the delta method? - UCLA: Statistical Consulting Group.

הערות שוליים
------------

1. ↑  Ver Hoef, J. M. Who invented the delta method?, **The American Statistician**, 2 66, 2012, עמ' 124-127
2. ↑  Portnoy, S. Who invented the delta method? - Comment by S. Portnoy and Reply, **The American Statistician**, 3 67, 2013, עמ' 190
3. ↑  Bessel, R. Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler, **Astronomische Nachrichten**, 3 6, 1838, עמ' 369-404
4. ↑  Airy, G. B. **On the algebraical and numerical theory of errors of observations and the combination of observations.**, Macmillan & Company, 1861
5. ↑  Kelley, T. L. **Crossroads in the mind of man: A study of differentiable mental abilities**, Stanford University Pres, 1928, עמ' 41
6. ↑  Doob, J. L. The limiting distributions of certain statistics, **The Annals of Mathematical Statistics**, 3 6, 1935, עמ' 160-169