בתורת הקבוצות, **סריג** הוא קבוצה עם יחס סדר חלקי, שבו לכל שני איברים {\displaystyle a,b} יש אינפימום וסופרמום. פירושו של דבר שיש איבר גדול ביותר מבין כל אלה המקיימים {\displaystyle x\leq a,b}, ואיבר קטן ביותר מבין כל אלה המקיימים {\displaystyle a,b\leq x}. 

בצורה זו מתקבלות שתי פעולות בינאריות על איברי הקבוצה הסדורה: 

* פעולת המצרף (join) שמחזירה לכל זוג איברים את הסופרמום של שניהם. פעולה זו מסומנת {\displaystyle a\vee b}.
* פעולת המפגש (meet) שמחזירה לכל זוג איברים את האינפימום של שניהם. פעולה זו מסומנת {\displaystyle a\wedge b}.

אחת הדוגמאות הבסיסיות לסריג הוא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות האיחוד והחיתוך כמצרף ומפגש, בהתאמה. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות הוא סריג. כל יחס סדר מלא הוא סריג כי בו המצרף של שני איברים הוא הגדול מביניהם, והמפגש של שני איברים הוא הקטן מביניהם.

סריגים שלמים
------------

בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל קבוצה סופית. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרמום הסריג נקרא **שלם**. כל סריג שלם הוא **חסום**: יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של הקבוצה הריקה), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, אם ורק אם הסדר וההפכי לו שניהם יחסי סדר טובים.

סריגים למחצה
------------

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה **סריג-למחצה עליון**. באופן דומה, אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה **סריג-למחצה תחתון**. היפוך של יחס הסדר מחליף בין שני טיפוסי הסריגים-למחצה.

### הגדרה אלגברית

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות אלגבריות חשובות: היא אסוציאטיבית ({\displaystyle (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)}), קומוטטיבית ({\displaystyle a\vee b=b\vee a}), ואידמפוטנטית ({\displaystyle a\vee a=a}). מאידך, בכל קבוצה עם פעולה בינארית \bullet המקיימת את שלוש התכונות האלה, אפשר להגדיר יחס סדר ({\displaystyle a\leq b} אם ורק אם {\displaystyle a\bullet b=a}), שביחס אליו {\displaystyle a\bullet b} הוא המצרף של a ו-b. לכן יש התאמה מלאה בין סריגים-למחצה לבין קבוצות עם פעולה אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית. לדוגמה, פעולת החיתוך של קבוצות {\displaystyle A\bullet B=A\cap B} היא אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית; ויחס הסדר שהיא מגדירה, {\displaystyle A\leq B} אם ורק אם {\displaystyle A\cap B=A}, אינו אלא יחס ההכלה הרגיל.

באופן דומה לזה, יש התאמה מלאה בין סריגים לבין אלגברות בוליאניות.

סריגים מודולריים
----------------

בכל סריג, אם {\displaystyle a\leq b}, אז לכל c מתקיים {\displaystyle a\vee (c\wedge b)\leq (a\vee c)\wedge b}. אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא **מודולרי**. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של חבורה, או סריג תת-המודולים של מודול. 

אומרים שאיבר a בקבוצה סדורה מכסה את האיבר b, אם {\displaystyle b<a}, ולא קיים {\displaystyle b<x<a}. אם המצרף עם x שומר על היחס "מכסה או שווה" (ובאופן שקול: אם {\displaystyle a\vee b} מכסה את b כל אימת ש-a מכסה את {\displaystyle a\wedge b}), אז הסריג נקרא **מודולרי-למחצה עליון**. אם המפגש עם x שומר על היחס "מכסה או שווה", אז הסריג הוא **מודולרי-למחצה תחתון**. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ולהפך: אם אין בסריג שרשראות אינסופיות, והוא מודולרי-למחצה עליון ותחתון, אז הוא מודולרי.

כאשר אין בסריג שרשראות אינסופיות, מן המודולריות למחצה (מאחד הטיפוסים) נובע שכל השרשראות המקסימליות מ-a ל-b הן באותו אורך. אם {\displaystyle a\leq b}, אפשר להגדיר את המרחק {\displaystyle d(a,b)} כארכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. סריג הוא מודולרי-למחצה עליון, אם ורק אם {\displaystyle d(a\wedge b,a)\geq d(b,a\vee b)} לכל a ו-b; ומודולרי אם ורק אם {\displaystyle d(a\wedge b,a)=d(b,a\vee b)} לכל a ו-b.

ראו גם
------

* סריג חופשי

לקריאה נוספת
------------

* Steven Roman, 2008. **Lattices and Ordered Sets**.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **סריג** בוויקישיתוף
* סריג, באתר MathWorld (באנגלית)
* תיאוריית הסריג, דף שער בספרייה הלאומית

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007558164405171
* BNE: XX4425800
* BnF: cb119793307 (data)
* LCCN: sh85074991
* NDL: 00571394
* SUDOC: 027837866

 |