בסטטיסטיקה, **פונקציית הניקוד** (באנגלית: Score function) של פרמטר \theta  היא הגרדיאנט של לוג פונקציית הנראות {\displaystyle L(\theta ;X)} בכיוון של הפרמטר. הפונקציה מציינת עד כמה רגישה פונקציית הנראות לשינויים ב-\theta. 

פונקציית הנראות ממלאת תפקיד חשוב במספר היבטים של הסקה סטטיסטית, כגון:

* מציאת סטטיסטי מבחן (אנ') בעל עוצמה מקסימלית מקומית
* הערכת גודל השגיאה של אומד נראות מקסימלית
* מציאת רווחי סמך
* הוכחה של חסם קרמר-ראו

פונקציית הניקוד ממלאת גם תפקיד חשוב בסטטיסטיקה חישובית (אנ'), שכן היא יכולה לקחת חלק בחישוב של אומדי נראות מקסימלית.

הגדרה
-----

הערך של פונקציית הניקוד (או בקיצור: "הניקוד") הוא הגרדיאנט (וקטור של נגזרות חלקיות), בהתייחס לפרמטר מסוים \theta , של הלוגריתם (בדרך כלל הלוגריתם הטבעי) של פונקציית הנראות. אם התצפית היא X והנראות שלה היא {\displaystyle L(\theta ;X)}, אז הניקוד V ניתן לחישוב לפי כלל השרשרת באופן הבא:

{\displaystyle V\equiv V(\theta ,X)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}
לכן הניקוד V מציין את הרגישות (אנ') של {\displaystyle L(\theta ;X)} (הנגזרת כשהיא מנורמלת על ידי ערך הפונקציה). יש לשים לב ש-V היא פונקציה גם של התצפית X אך גם של הפרמטר \theta , לכן זהו לא סטטיסטי. אף על פי כן ניתן להשתמש בו ביישומים מסוימים, על ידי חישוב ערך הפונקציה עבור ערך \theta  ספציפי (כמו ערך ה-\theta  של השערת האפס, או אומד הנראות המקסימלית של \theta ), והתוצאות של חישובים אלו הן סטטיסטים.

תכונות
------

### תוחלת

תחת תנאי רגולריות מסוימים, התוחלת של פונקציית הניקוד V בהתייחס לתצפית x, בהינתן הפרמטר האמיתי \theta , כלומר {\displaystyle \mathbb {E} (V\mid \theta )}, שווה ל-0. על מנת לראות זאת נכתוב מחדש את פונקציית הנראות L כפונקציית צפיפות: {\displaystyle L(\theta ;x)=f(x;\theta )}, ואז:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} (V\mid \theta )&=\int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\log L(\theta ;X))f(x;\theta )\,dx\\&=\int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\log f(\theta ;X))f(x;\theta )\,dx\\&=\int \_{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{f(x;\theta )}}\cdot {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)f(x;\theta )\,dx\\&=\int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx\end{aligned}}}

אם תנאי גזירות מסוימים מתקיימים, אינטגרל זה שווה ל:

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\int \_{-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}

מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0 כאמור לעיל, אם נדגום פעם אחר פעם מהתפלגות מסוימת, ובכל פעם נחשב את הניקוד, אז ממוצע ערכי הניקוד ישאף ל-0 כשמספר הדגימות ישאף לאינסוף.

### שונות

 ערך מורחב – **האינפורמציה של פישר**  

השונות של פונקציית הניקוד ידועה בשם אינפורמציה של פישר, ומסומנת: {\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}. מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0, ניתן לנסח את השונות בצורה הבאה:

{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {{\frac {\partial }{\partial \theta }}L(\theta ;X)}{L(\theta ;X)}}\right]^{2}\right|\theta \right\}}
יש לשים לב שהאינפורמציה של פישר כפי שהוגדרה לעיל, איננה פונקציה של תצפית מסוימת (אלא רק של הפרמטר \theta ), שכן המשתנה המקרי X מתקזז בנוסחה. מושג זה של אינפורמציה שימושי כשמבצעים השוואה בין שתי שיטות תצפית מתהליך סטוכסטי כלשהו.

קישורים חיצוניים
----------------

* פונקציית הניקוד, באתר MathWorld (באנגלית)