**כללי דה מורגן**, הקרויים על-שמו של המתמטיקאי והלוגיקן בן המאה ה-19, אוגוסטוס דה מורגן, הם שני כללים בלוגיקה, בתורת הקבוצות ובאלגברה בוליאנית (בפרט, לוגיקה בוליאנית), הקושרים את הפעולות הבסיסיות בתחומים אלה.

* **לוגיקה**: הכללים קושרים את הפעולות "או", "גם", "לא". באופן מילולי בכתיב לא פורמלי, קובעים הכללים כי השלילה של- קיום א' **וגם** קיום ב', היא אי קיום א' **או** אי קיום ב'; וכן כי השלילה של קיום א' **או** קיום ב', היא אי קיום א' **וגם** אי קיום ב'.

בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

{\displaystyle \neg (P\wedge Q)\equiv (\neg P)\vee (\neg Q)}
{\displaystyle \neg (P\vee Q)\equiv (\neg P)\wedge (\neg Q)}
לדוגמה, המשפט "היום לא יום ראשון או שלא יורד עכשיו גשם" שקול לוגית למשפט: "לא נכון ש'היום יום ראשון וגם יורד עכשיו גשם'"

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
|  |  |
| הדגמה של אחד הכללים בעזרת דיאגרמת ון. שתי התמונות העליונות הן המשלימים של הקבוצות המיוצגות על ידי המעגלים. התמונה התחתונה מייצגת את החיתוך שלהן- השטח המשותף שלהן |

* **תורת הקבוצות**: הכללים קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

{\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}
{\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
ובאופן כללי: {\displaystyle \ \left(\bigcup \_{}A\_{i}\right)^{C}=\bigcap \_{}A\_{i}^{C}}, ו-{\displaystyle \ \left(\bigcap \_{}A\_{i}\right)^{C}=\bigcup \_{}A\_{i}^{C}}

* **אלגברה בוליאנית**: הכללים קושרים את הפעולות "חיבור", "כפל", "שלילה".

בהתאם להגדרת השלילה, הביטוי '(P+Q) הוא שלילת הביטוי (P+Q), ועל כן יקבל ערך אמת רק אם P+Q הוא בעל ערך 0, כלומר ערך שקרי. כללי דה מורגן קובעים כי שלילת P+Q זהה למכפלת שלילת P בשלילת Q, ואילו שלילת P\*Q זהה לחיבור שלילת P עם שלילת Q. בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:
{\displaystyle (P+Q)^{\prime }=P'\cdot Q'}
{\displaystyle \!\,(P\cdot Q)'=P'+Q'}
או כך:

\overline{p + q}=\bar{p}\cdot \bar{q}
\overline{p \cdot q}=\bar{p} + \bar{q}
למעשה, ההבדל בין הגרסאות השונות לניסוח הכלל אשר הוצגו לעיל הוא בסימון בלבד.

שימוש בכללי דה מורגן
--------------------

לכללים אלה מספר שימושים, ביניהם:

* פישוט של ביטויים מתחומי הלוגיקה והמתמטיקה המתוארים לעיל.
* פישוט התניות בעת כתיבת תוכניות מחשב.
* שימוש באלקטרוניקה ספרתית (בה במקרים רבים נעשה שימוש בשתי רמות מתח בלבד) לצורכי פישוט תכנונם של מעגלים חשמליים, למשל, כאלה העושים שימוש בשערים לוגיים.
* ניתן לעשות שימוש בכללים אלה לצורך ייצוג של ביטויים על ידי שימוש בסוג אחד בלבד של פעולות, למשל פעולות NAND. להרחבה ראו הערך NAND לוגי.

הוכחה
-----

ההוכחה של כללי דה-מורגן מתבצעת באינדוקציה שלמה. כלומר, הצבה של כל הצירופים האפשריים בכל אחד מהפסוקים, נותנת ערכים שווים. כך, אם נציב ערכי אמת ב-P וב-Q, אזי הביטוי (P+Q) יקבל את הערך "אמת" והביטוי '(P+Q), ערכו יהי שקר, כמו גם ערכו של 'p'\*q. לאחר הצבת כל הצירופים האפשריים של P ו-Q מתקבל, למעשה, הכלל.

הכלל בנוגע לתורת הקבוצות, ניתן להוכחה על נקלה בעזרת הכללים הנ"ל, זאת, בהינתן ההגדרות של חיתוך, איחוד ומשלים של קבוצה.
ההוכחה היא כדלהלן:

{\displaystyle a\in (A\cap B)^{C}}

{\displaystyle \iff a\not \in (A\cap B)}

{\displaystyle \iff \neg (a\in (A\cap B))}

{\displaystyle \iff \neg (a\in A\wedge a\in B)}

{\displaystyle \iff (a\not \in A)\vee (a\not \in B)}

{\displaystyle \iff a\in A^{C}\vee a\in B^{C}}

{\displaystyle \iff a\in A^{C}\cup B^{C}}
ובצורה דומה מוכח גם המשפט השני.

קישורים חיצוניים
----------------

* כללי דה מורגן, באתר MathWorld (באנגלית)