באלגברה ליניארית, **שחלוף** (לפעמים גם **חילוף**; אנגלית: **Transpose**) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף **A**T של מטריצה **A** יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית
-------------

תהא {\displaystyle \!\,A} מטריצה מסדר {\displaystyle n\times m}. המטריצה המשוחלפת שלה, {\displaystyle A^{\top }} 
(מקובלים גם הסימונים {\displaystyle \ A^{T},A^{t},{}^{t}A,A^{tr},A'})
היא מטריצה מסדר {\displaystyle \!\,m\times n} שמוגדרת כך: {\displaystyle \!\,(A^{\top })\_{ij}=(A)\_{ji}}, עבור כל {\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.

דוגמאות: 

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad }
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

תכונות
------

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

* {\displaystyle \!\,(A+B)^{\top }=A^{\top }+B^{\top }}.
* {\displaystyle \!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{\top })}.
* {\displaystyle \!\,(AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }}
* {\displaystyle \!\,(A^{\top })^{\top }=A}

מן התכונות האלה נובע גם שאם {\displaystyle \!\,A} הפיכה אז גם {\displaystyle \ A^{\top }} הפיכה ו-{\displaystyle \!\,(A^{\top })^{-1}=(A^{-1})^{\top }}.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של {\displaystyle \ A^{t}} שווה לזה של {\displaystyle \ A}, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף
------------------------------

מטריצה ריבועית {\displaystyle \ A} נקראת סימטרית אם {\displaystyle A^{\top }=A}, כלומר {\displaystyle \ A} שווה למטריצה המשוחלפת שלה. {\displaystyle \ A} נקראת אנטי-סימטרית אם {\displaystyle A^{\top }=-A}.

אם {\displaystyle \ A} היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים {\displaystyle \ A^{-1}=A^{\top }}, אז {\displaystyle \ A} נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית {\displaystyle \ A} היא אורתוגונלית אם ורק אם {\displaystyle \ AA^{\top }=A^{\top }A=I}, כאשר {\displaystyle \ I} היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת **הצמדה הרמיטית** הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה {\displaystyle \ A} מסומן {\displaystyle \ A^{\*}} וכאמור מוגדר לפי {\displaystyle \ (A^{\*})\_{ij}={\overline {A\_{ji}}}}. אם {\displaystyle \ A} מקיימת {\displaystyle \ A^{\*}=A}, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה ליניארית
-----------------------

 ערך מורחב – **מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית**  

אם {\displaystyle \ V} ו-{\displaystyle \ W} הם מרחבים וקטוריים מעל שדה {\displaystyle \mathbb {F} } ו-{\displaystyle T:V\to W} היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה {\displaystyle T^{\top }:W^{\*}\to V^{\*}} בין המרחבים הדואליים של {\displaystyle \ W} ו-{\displaystyle \ V} המוגדרת באופן הבא:

{\displaystyle \left(T^{\top }g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)} לכל {\displaystyle v\in V} ולכל {\displaystyle g\in W^{\*}}.

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת {\displaystyle \ T}. הפונקציונל {\displaystyle \ T^{\top }g} מכונה לעיתים המשיכה לאחור של {\displaystyle \ g} במקביל ל-{\displaystyle \ T}.

אם {\displaystyle \ V} ו-{\displaystyle \ W} הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, {\displaystyle {\mathfrak {B}}} הוא בסיס סדור ל-{\displaystyle \ V} עם בסיס דואלי {\displaystyle {\mathfrak {B}}^{\*}}, {\displaystyle {\mathfrak {B}}'} הוא בסיס סדור ל-{\displaystyle \ W} עם בסיס דואלי {\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{\*}} ו-{\displaystyle \ A} היא המטריצה המייצגת של {\displaystyle \ T} ביחס לבסיסים {\displaystyle {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}'}, אז המטריצה המייצגת של {\displaystyle \ T^{\top }} ביחס לבסיסים {\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{\*},{\mathfrak {B}}^{\*}} היא בדיוק {\displaystyle \ A^{\top }}.

| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |
| וקטורים | תלות ליניארית • צירוף ליניארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |

קישורים חיצוניים
----------------

* שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)