במכניקת הזורמים, **משוואת ריילי-פלסט** (לחלופין, משוואת **בסנט-ריילי-פלסט**) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה לא ליניארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם אי-דחיס:

{\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu \_{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho \_{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho \_{L}}}=0}

כאשר:

{\displaystyle \rho \_{L}} היא צפיפות הנוזל,
{\displaystyle R(t)} הוא רדיוס הבועה,
{\displaystyle \nu \_{L}} היא הצמיגות הנוזל,
\sigma  הוא מתח הפנים בממשק של הבועה והנוזל,
{\displaystyle \Delta P(t)=P\_{\infty }(t)-P\_{B}(t)} הפרש הלחצים, כאשר {\displaystyle P\_{B}(t)} הוא הלחץ בתוך הבועה ו-{\displaystyle P\_{\infty }(t)} הוא הלחץ החיצוני "רחוק" מהבועה.
בהנחה ש-{\displaystyle P\_{B}(t)} ידוע ו־{\displaystyle P\_{\infty }(t)} נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן {\displaystyle R(t)}.

היסטוריה
--------

משוואת ריילי-פלסט מיושמת לעיתים קרובות למידול הקביטציה שנוצרת מאחורי מדחפי אוניות.
בהזנחת מתח הפנים והצמיגות, המשוואה נגזרה לראשונה על ידי ויליאם הנרי בסנט בספרו על הידרודינמיקה מ-1859 במסגרת פתרון בעיה שמנוסחת כדלהלן:
"מסה אינסופית של זורם אי-דחיס והומוגני שלא פועלים עליו שום כוחות נמצא במנוחה, כשלפתע נפער חלל כדורי בתחום הזורם; נדרש למצוא את השינוי בלחץ בכל נקודה של המסה, ואת הזמן שייקח לחלל להתמלא לגמרי בזורם, בהינתן שהלחץ במרחק אינסופי נשאר קבוע". תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא

{\displaystyle {\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p\_{\infty }}}\right)^{1/2}\int \_{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p\_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p\_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}
כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי לורד ריילי ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות חוק בויל, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של {\displaystyle 4^{1/3}}, אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של מתח פנים במשוואה.

גזירת המשוואה משימור מסה ואנרגיה
--------------------------------

לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של שימור אנרגיה ומסה. נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן {\displaystyle R(t)} המצויה בתוך נוזל בעל צפיפות קבועה {\displaystyle \rho \_{L}}. יהי {\displaystyle P\_{\infty }} הלחץ רחוק מהבועה.

### שימור מסה

אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של נפח הנוזל. תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: {\displaystyle R^{2}dR=r^{2}dr} ומכאן ניתן להסיק כי {\displaystyle u(r,t)={\Bigl (}{\frac {R}{r}}{\Bigr )}^{2}{\dot {R}}={\frac {R^{2}{\dot {R}}}{r^{2}}}}

### שימור אנרגיה

משפט עבודה-אנרגיה קובע כי:

{\displaystyle W=\Delta E\_{kin}}

סך האנרגיה הקינטית של הזורם:{\displaystyle E\_{kin}={\frac {1}{2}}\int \_{R}^{\infty }4\pi \rho \_{L}r^{2}u^{2}(r,t)dr=\int \_{R}^{\infty }2\pi \rho \_{L}R^{4}{\Bigl (}{\frac {\frac {dR}{dt}}{r}}{\Bigr )}^{2}dr=2\pi \rho \_{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}}

העבודה שנוצרת על ידי לחץ חיצוני {\displaystyle P\_{\infty }(t)} היא:

{\displaystyle W={\frac {4\pi }{3}}(R\_{0}^{3}-R^{3})P\_{\infty }(t)}

השוואת שני הגורמים נותנת:

{\displaystyle {\frac {2}{3}}(R\_{0}^{3}-R^{3})P\_{\infty }(t)=\rho \_{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}}

מגזירה בזמן נקבל:

{\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {P\_{\infty }(t)}{\rho \_{L}}}=0}

פתרונות
-------

אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז, והוכללו ל-*N*

ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים חשוב נחקרו לעומק גם כן.

בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים.

במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת למשוואת יאנג-לפלס:

{\displaystyle P\_{B}-P\_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}

בקירוב ליניארי של תנודות קטנות ניתן לקבל ביטוי לתדירות העצמית של הבועה:

{\displaystyle \omega \_{0}^{2}={\frac {1}{\rho R\_{0}^{2}}}{\Bigl (}3\kappa {\bigl (}P\_{0}-P\_{V}{\bigr )}-2(3\kappa -1){\frac {\sigma }{R\_{0}}}{\Bigr )}}
כאשר {\displaystyle R\_{0}} רדיוס המנוחה של הבועה, {\displaystyle P\_{0}} הלחץ ההידרוסטטי, {\displaystyle P\_{V}} לחץ האדים, {\displaystyle \rho } צפיפות הנוזל, {\displaystyle \sigma } מקדם מתח הפנים ו-{\displaystyle \kappa } הוא הקבוע הפוליטרופי.

הערות שוליים
------------

1. 1 2  William Henry Besant, **A Treatise on Hydrostatics and Hydrodynamics**, Deighton, Bell, 1859. (באנגלית)
2. ↑  Lord Rayleigh, VIII. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity, **The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science** 34, 1917-08, עמ' 94–98 doi: 10.1080/14786440808635681
3. ↑  M. S. Plesset, The Dynamics of Cavitation Bubbles, **Journal of Applied Mechanics** 16, 1949-09, עמ' 277–282
4. 1 2  Christopher E. Brennen, **Cavitation and Bubble Dynamics**, Cambridge: Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-33876-0
5. ↑  ריילי הניח שבהכרח מצוי בחלל אדים (למשל, אדי מים), גם אם צפיפותם מזערית.
6. ↑  Lord Rayleigh, VIII. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity, **The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science** 34, 1917-08, עמ' 94–98 doi: 10.1080/14786440808635681
7. ↑  Nikolay A Kudryashov, Dmitry I Sinelshchikov, Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble, **Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical** 47, 2014-10-10, עמ' 405202 doi: 10.1088/1751-8113/47/40/405202
8. ↑  Nikolai A. Kudryashov, Dmitry I. Sinelshchikov, Analytical solutions for problems of bubble dynamics, **Physics Letters A** 379, 2015-04-03, עמ' 798–802 doi: 10.1016/j.physleta.2014.12.049
9. ↑  S. C. Mancas, H. C. Rosu, Evolution of spherical cavitation bubbles: parametric and closed-form solutions, **Physics of Fluids** 28, 2016-02-01, עמ' 022009 doi: 10.1063/1.4942237
10. ↑  D. Obreschkow, M. Bruderer, M. Farhat, Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble, **Physical Review E** 85, 2012-06-05 doi: 10.1103/PhysRevE.85.066303