באנליזה מרוכבת, **פונקציה כוכבית** (אנגלית: **Starlike function**) היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים. **פונקציה הולומורפית קמורה** (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור.

לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת הפונקציות האוניוולנטיות. **משפט אלכסנדר** נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.

הגדרה
-----

תהי {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} } פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית). נאמר ש-f היא

* **פונקציה כוכבית** (Starlike function) אם {\displaystyle f(\Omega )} תחום כוכבי סביב ראשית הצירים.
* **פונקציה הולומורפית קמורה** (Convex function) אם {\displaystyle f(\Omega )} תחום קמור.

פונקציות כוכביות וקמורות נחקרות בדר"כ עבור {\displaystyle \Omega =D=\{z:|z|<1\}} עיגול היחידה.

דוגמאות
-------

* הפונקציה {\displaystyle {\frac {z+i}{z-i}}} היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה.

* פונקציית קוב {\displaystyle k(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} היא כוכבית, שכן תמונתה היא {\displaystyle \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})} וזהו תחום כוכבי.

תכונות
------

ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית f קמורה או כוכבית.

**משפט**: הפונקציה האוניוולנטית {\displaystyle f:{\overline {D}}\to f({\overline {D}})} היא קמורה אם ורק אם מתקיים {\displaystyle \forall |z|=1:Re(1+{\frac {zf''(z)}{f'(z)}})\geq 0}.

*משפט*: אם בנוסף {\displaystyle f(0)=0}, אז הפונקציה היא כוכבית אם ורק אם {\displaystyle \forall |z|=1:Re({\frac {zf'(z)}{f(z)}})\geq 0}.

כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:

**משפט אלכסנדר** (J.W. Alexander,1915): נניח ש-{\displaystyle f:D\to f(D)} אוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה {\displaystyle zf'(z)} כוכבית.

### דוגמה

נפעיל את המשפט על פונקציית קוב, שהראינו שהיא כוכבית - עבור {\displaystyle K(z)={\frac {z}{1-z}}} מתקיים {\displaystyle zK'(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=k(z)}, ולכן הפונקציה {\displaystyle {\frac {z}{1-z}}} קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: {\displaystyle K(D)=\{w:Rew>-{\frac {1}{2}}\}}.

המחלקות ST ו-CV
---------------

את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות המנורמלות על מעגל היחידה נסמן ב-{\displaystyle ST} וב-{\displaystyle CV} בהתאמה.

לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות:

* לכל {\displaystyle f\in CV}, מתקיים {\displaystyle zf'(z)\in ST}.
* לכל {\displaystyle F\in ST}, מתקיים {\displaystyle \int \_{0}^{z}{{\frac {F(w)}{w}}dw}\in CV}.

### השערת המקדמים

משפט דה ברנז' טוען כי המקדמים {\displaystyle b\_{n}} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים {\displaystyle |b\_{n}|\leq n}.

כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה **השערת המקדמים**, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים. ביניהם:

**משפט** (R. Nevanlinna, 1921): במחלקה {\displaystyle ST} מתקיימת השערת המקדמים. יותר מכך - אם מתקיים שוויון עבור {\displaystyle n\_{0}\geq 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של פונקציית קוב - {\displaystyle e^{i\alpha }k(e^{-i\alpha }z)}.

במחלקה {\displaystyle CV} מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר:

**משפט** (C. Lowner,1921): במחלקה {\displaystyle CV} מתקיים {\displaystyle \forall n:|b\_{n}|\leq 1}. במידה ומתקיים שוויון עבור {\displaystyle n\_{0}\geq 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה {\displaystyle {\frac {z}{1-z}}}.

למעשה, שני המשפטים שקולים - אפשר להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל). כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל.

ראו גם
------

* קבוצה קמורה
* תחום כוכבי

לקריאה נוספת
------------

* Goodman, A.W. (1983). *Univalent functions*. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.pages 107-180
* CONVEX AND STARLIKE UNIVALENT FUNCTIONS, S. D. BERNARDI
* Star-like function, Encyclopedia of Mathematics