|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

בתורת המידה, **קדם-מידה** (באנגלית: **Pre-measure**) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה **משפט ההרחבה**, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה
-----

תהי X קבוצה, ותהי {\displaystyle {\mathcal {S}}} אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל X.

פונקציה {\displaystyle \mu \_{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} \_{+}} נקראת **קדם מידה**, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. {\displaystyle \mu \_{0}\left(\emptyset \right)=0}
2. אם {\displaystyle A=A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots } איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך {\displaystyle {\mathcal {S}}}, המקיים גם כי {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}, אז  


μ

0

(
A
)

=

μ

0

(

A

1

)

+

μ

0

(

A

2

)

+
…

{\displaystyle \mu \_{0}\left(A\right)=\mu \_{0}\left(A\_{1}\right)+\mu \_{0}\left(A\_{2}\right)+\dots }

{\displaystyle \mu _{0}\left(A\right)=\mu _{0}\left(A_{1}\right)+\mu _{0}\left(A_{2}\right)+\dots }

הסיבה לסימון {\displaystyle \mu \_{0}} היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל \mu .

משפט ההרחבה
-----------

נסמן ב-{\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות {\displaystyle {\mathcal {S}}}. לכל קדם-מידה {\displaystyle \mu \_{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} \_{+}}, קיימת מידה {\displaystyle \mu :\sigma \left({\mathcal {S}}\right)\to \mathbb {R} \_{+}} המרחיבה את {\displaystyle \mu \_{0}}. כלומר, לכל {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}} מתקיים {\displaystyle \mu \left(A\right)=\mu \_{0}\left(A\right)}.

כמו כן, במצב בו {\displaystyle \mu \_{0}} היא סיגמא-סופית, אז \mu  יחידה. במצב זה, כמובן גם \mu  היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת **משפט ההרחבה של קרתאודורי** על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת **משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב**, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

### אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב {\displaystyle X=\mathbb {Q} \cap \left[0,1\right]}, ותהי {\displaystyle {\mathcal {S}}} האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה {\displaystyle \left[a,b\right)}.

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על {\displaystyle {\mathcal {S}}} המקיימת {\displaystyle \mu \_{0}\left(\left[a,b\right)\right)=\infty } לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} מידה {\displaystyle \mu \left(A\right)=\left|A\right|} ועוד מידה {\displaystyle \nu \left(A\right)=2\cdot \left|A\right|}, כאשר \left|A\right| הוא הגודל של הקבוצה A, והוא \infty בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה {\displaystyle \mu \_{0}}, שכן כל קטע {\displaystyle \left[a,b\right)} במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן {\displaystyle \mu \left(\left[a,b\right)\right)=\nu \left(\left[a,b\right)\right)=\infty }.

### בניית מידת לבג

 ערך מורחב – **מידת לבג**  

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי {\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{\left(a,b\right]:a<b\right\}}, כאשר b יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר {\displaystyle \mu \_{0}\left(\left(a,b\right]\right)=b-a}. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה \infty. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} המרחיבה את {\displaystyle \mu \_{0}}. מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)}.

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע {\displaystyle \left(a,b\right]} היא האורך שלו, {\displaystyle b-a}.

לקריאה נוספת
------------

* Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים
----------------

* קדם-מידה, באתר MathWorld (באנגלית)

* משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
* משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
* Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
* An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"

הערות שוליים
------------

1. ↑  כלומר, ניתן להציג את X כאיחוד בן-מניה של קבוצות מתוך {\displaystyle {\mathcal {S}}}, שקדם המידה של כל אחת מהן היא סופית.