בטופולוגיה, **קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך** היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי X למרחב האוסדורף קומפקטי {\displaystyle \beta X}, שיש לה חשיבות אפילו כאשר X מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך {\displaystyle \beta X} של X היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי X, במובן שכל העתקה מ-X למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך {\displaystyle \beta X}. אם X הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת X ב-{\displaystyle \beta X} הומיאומורפית ל-X, וכך אפשר לחשוב על X כתת-מרחב צפוף של {\displaystyle \beta X}. במקרה הכללי, ההעתקה {\displaystyle X\rightarrow \beta X} אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-{\displaystyle \beta \mathbb {N} \neq \mathbb {N} } אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של {\displaystyle \beta \mathbb {N} } באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות
--------------------------

המרחב {\displaystyle \beta X} והפונקציה מ-X אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה {\displaystyle f\colon X\to K}, כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש הרחבה יחידה לפונקציה רציפה {\displaystyle \beta f\colon \beta X\to K}. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את {\displaystyle \beta X} עד כדי הומיאומורפיזם. 

ההעתקה {\displaystyle X\rightarrow \beta X} היא הומיאומורפיזם אל התמונה אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה {\displaystyle X\rightarrow \beta X} היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי \beta  הוא פונקטור מן הקטגוריה *Top* של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה *CHaus* של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-{\displaystyle u\colon \operatorname {CHaus} \to \operatorname {Top} } את הפונקטור השכחן. אז כל מורפיזם {\displaystyle \beta X\to K} (עבור {\displaystyle K\in \operatorname {Obj} (\operatorname {CHaus} )}) מתאים באופן יחיד למורפיזם {\displaystyle X\to uK} (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר {\displaystyle \operatorname {Hom} (\beta X,K)=\operatorname {Hom} (X,uK)}. היינו, הפונקטור \beta  הוא פונקטור צמוד משמאל ל-u.

בניה
----

אם X מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את {\displaystyle \beta X} כמרחב כל העל-מסננים על X, עם **טופולוגיית סטון**. אברי X מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה
--------------------------------------

אם S חבורה למחצה דיסקרטית, יש הרחבה יחידה של הפעולה מ-S ל-{\displaystyle \beta S} כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של S הוא רציף. הרחבה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש-{\displaystyle \beta S} אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם {\displaystyle S\subseteq T} חבורות למחצה דיסקרטיות, אז {\displaystyle \beta S\subseteq \beta T} גם היא תת-חבורה למחצה.

**המרכז הטופולוגי** של {\displaystyle \beta S} (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם S חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז {\displaystyle S^{\*}=\beta S-S} הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה. 

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות {\displaystyle \beta \mathbb {N} } ו-{\displaystyle \beta \mathbb {Z} } סבוך להפליא. למשל, במרכזים של {\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,+)}, {\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,\cdot )} ו-{\displaystyle (\beta \mathbb {Z} ,+)} אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב-{\displaystyle \beta \mathbb {Z} } כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורות
------

* Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).