התפלגות פרמי-דיראק משורטטת עבור טמפרטורות שונות. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך ההתפלגות קרובה יותר לפונקציית מדרגה.
**התפלגות פרמי-דיראק** (או **סטטיסטיקת פרמי-דיראק**) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. 
ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.

הגדרה
-----

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:


n

F
D

(
ϵ
)
=

1

e

(
ϵ
−
μ
)

/

k

B

T

+
1


{\displaystyle n\_{FD}(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k\_{B}T}+1}}}

{\displaystyle n_{FD}(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}}
כאשר:

* {\displaystyle \ n\_{FD}} הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת חלקיק במצב).
* {\displaystyle \ \epsilon } היא האנרגיה של מצב זה.
* {\displaystyle \ \mu } הוא הפוטנציאל הכימי.
* {\displaystyle \ T} היא הטמפרטורה.
* {\displaystyle \ k\_{B}} הוא קבוע בולצמן.

בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים {\displaystyle \ g(\epsilon )}, ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:



 
U
=
∫
ϵ
g
(
ϵ
)

n

F
D

(
ϵ
)
d
ϵ

{\displaystyle \ U=\int \epsilon g(\epsilon )n\_{FD}(\epsilon )d\epsilon }

{\displaystyle \ U=\int \epsilon g(\epsilon )n_{FD}(\epsilon )d\epsilon }

פיתוח
-----

את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני.
במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם {\displaystyle \ N\_{i}} חלקיקים ואנרגיה כוללת {\displaystyle \ E\_{i}} נתונה על ידי 
{\displaystyle P\_{i}={\frac {1}{\mathcal {Z}}}e^{-{\frac {(E\_{i}-\mu N\_{i})}{k\_{B}T}}}}, כאשר {\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum \_{i}e^{-{\frac {(E\_{i}-\mu N\_{i})}{k\_{B}T}}}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת {\displaystyle \epsilon }. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים {\displaystyle \ E\_{i}=n\epsilon } כאשר {\displaystyle \ n=N\_{i}} הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק {\displaystyle \ n=0,1}. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה {\displaystyle {\mathcal {Z}}=1+e^{-{\frac {(\epsilon -\mu )}{k\_{B}T}}}}. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש
ב{\displaystyle \langle n\rangle =\sum \_{n}nP(n)}, או על ידי {\displaystyle \langle n\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}} כאשר {\displaystyle \Omega =-k\_{B}T\ln {\mathcal {Z}}}.

תכונות ההתפלגות
---------------

* מתקיים {\displaystyle \ n\_{FD}(\epsilon )\leq 1}. דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.

* בגבול של טמפרטורה נמוכה ( {\displaystyle \ T\to 0}) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה {\displaystyle \ \epsilon <\mu =\epsilon \_{F}} מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה {\displaystyle \ \epsilon >\mu =\epsilon \_{F}} אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת {\displaystyle \ \epsilon \_{F}} ונקראת אנרגיית פרמי.

| התפלגויות |
| --- |
| התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון |  |
| התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע |
| התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא |
| התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית |
| סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **התפלגות פרמי-דיראק** בוויקישיתוף
* התפלגות פרמי-דיראק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 1280437820

 |