תרשים המציג את כל תתי הקבוצות האפשריות של קבוצה בת 3 נקודות {*x*,*y*,*z* }. מידת דיראק *δx* קובעת גודל של 1 לכל הקבוצות בחצי השמאלי העליון של התרשים ו-0 לכל הקבוצות בחצי הימני התחתון.
במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, **מידת דיראק** היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע {\displaystyle x} על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.

הגדרה
-----

בהינתן מרחב מדיד {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ואיבר {\displaystyle x\in \Omega }, מידת דיראק המתאימה ל-{\displaystyle x} מסומנת על ידי {\displaystyle \delta \_{x}} ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי {\displaystyle A\in \Sigma }:

{\displaystyle \delta \_{x}(A)=1\_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}}
כאשר {\displaystyle 1\_{A}} היא הפונקציה המציינת של {\displaystyle A}.

מידת דיראק היא מידה אטומית, ו-{\displaystyle x} הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה {\displaystyle x} כמעט בוודאות במרחב המדגם {\displaystyle \Omega }. מידות דיראק הן נקודות הקצה (אנ') של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על {\displaystyle \Omega }.

מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:

{\displaystyle \int \_{\Omega }f(y)\,\mathrm {d} \delta \_{x}(y)=f(x)}

אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }f(y)\delta (y-x)\,\mathrm {d} y=f(x)}

תכונות
------

יהי {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} מרחב מדיד ותהי {\displaystyle \delta \_{x}} מידת דיראק שמרכזה {\displaystyle x\in \Omega }.

* {\displaystyle \delta \_{x}} מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית.

נניח ש-{\displaystyle (\Omega ,\tau )} הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה {\displaystyle \Sigma } עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של {\displaystyle (\Omega ,\tau )} (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).

* {\displaystyle \delta \_{x}} מידה חיובית ממש אם ורק אם {\displaystyle x} שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה {\displaystyle \tau }. לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית {\displaystyle \{\emptyset ,\Omega \}}.
* מכיוון ש-{\displaystyle \delta \_{x}} מידת הסתברות, היא מידה סופית-מקומית (אנ').
* אם {\displaystyle \Omega } הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז {\displaystyle \delta \_{x}} היא מידה רגולרית פנימית (אנ'), משום שיחידון כמו {\displaystyle \{x\}} הוא תמיד קומפקטי.
* בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש-{\displaystyle \{x\}} קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז {\displaystyle \delta \_{x}} היא גם מידה רגולרית חיצונית (אנ').
* במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו.
* אם {\displaystyle \{x\}} סגורה, אז התומך של {\displaystyle \delta \_{x}} הוא {\displaystyle \{x\}} (אחרת, התומך הוא הסגור של {\displaystyle \{x\}} ב-{\displaystyle (\Omega ,\tau )}). בנוסף, {\displaystyle \delta \_{x}} היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא {\displaystyle \{x\}}.
* {\displaystyle \delta \_{x}} היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

הכללות
------

**מידה בדידה** דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.

קישורים חיצוניים
----------------

* Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". *Treatise on analysis, Part 2*. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
* Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, *δ*". *Harmonic analysis and applications*. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.