|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, **משפט שני הטורים של קולמוגורוב** מתאר תנאי להתכנסות בהסתברות של תהליך מקרי. משפט זה נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב, ויש לו תפקיד באחת מההוכחות המקובלות של החוק החזק של המספרים הגדולים.

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי
-----------

תהי {\displaystyle \left(X\_{n}\right)\_{n=1}^{\infty }} סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים במרחב הסתברות {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}. נניח כי הם בעלי תוחלות סופיות שנסמן {\displaystyle \mathbf {E} \left[X\_{n}\right]=\mu \_{n}} ובעלי שונויות סופיות שנסמן {\displaystyle \mathbf {Var} \left(X\_{n}\right)=\sigma \_{n}^{2}}.

אם הטור {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\mu \_{n}} מתכנס והטור {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{n}^{2}} מתכנס, אז גם הטור {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }X\_{n}} מתכנס בהסתברות 1. כלומר,


P

(

ω
∈
Ω
∣

∑

n
=
1

∞

X

n

(
ω
)

 

converges

)

=
1

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\omega \in \Omega \mid \sum \_{n=1}^{\infty }X\_{n}\left(\omega \right)~{\text{converges}}\right)=1}

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\omega \in \Omega \mid \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}\left(\omega \right)~{\text{converges}}\right)=1}

הוכחה
-----

נניח ללא הגבלת הכלליות כי {\displaystyle \mu \_{n}=0} (אחרת נתבונן בסדרת המשתנים המקריים {\displaystyle \left(X\_{n}-\mu \_{n}\right)\_{n=1}^{\infty }}, שתוחלתם היא אפס ושונויותיהם זהות לאלה של {\displaystyle \left(X\_{n}\right)\_{n=1}^{\infty }}). נסמן {\displaystyle S\_{N}=\sum \_{n=1}^{N}X\_{n}}, ונראה שמתקיים {\displaystyle \limsup \_{N}S\_{N}-\liminf \_{N}S\_{N}=0} בהסתברות 1.

נשים לב שעבור כל {\displaystyle m\in \mathbb {N} } מתקיים,


lim sup

N
→
∞

S

N

−

lim inf

N
→
∞

S

N

=

lim sup

N
→
∞

(

S

N

−

S

m

)

−

lim inf

N
→
∞

(

S

N

−

S

m

)

≤
2

max

k
∈

N

|

∑

i
=
1

k

X

m
+
i

|

{\displaystyle \limsup \_{N\to \infty }S\_{N}-\liminf \_{N\to \infty }S\_{N}=\limsup \_{N\to \infty }\left(S\_{N}-S\_{m}\right)-\liminf \_{N\to \infty }\left(S\_{N}-S\_{m}\right)\leq 2\max \_{k\in \mathbb {N} }\left|\sum \_{i=1}^{k}X\_{m+i}\right|}

{\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|}
ולכן לכל {\displaystyle m\in \mathbb {N} } ולכל {\displaystyle \epsilon >0} מתקיים,



P

(

lim sup

N
→
∞

(

S

N

−

S

m

)

−

lim inf

N
→
∞

(

S

N

−

S

m

)

≥
ϵ

)

≤

P

(

2

max

k
∈

N

|

∑

i
=
1

k

X

m
+
i

|

≥
ϵ
 

)


=

P

(

max

k
∈

N

|

∑

i
=
1

k

X

m
+
i

|

≥

ϵ
2

 

)


≤

lim sup

N
→
∞

4

ϵ

−
2

∑

i
=
m
+
1

m
+
N

σ

i

2



=
4

ϵ

−
2

lim

N
→
∞

∑

i
=
m
+
1

m
+
N

σ

i

2



{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup \_{N\to \infty }\left(S\_{N}-S\_{m}\right)-\liminf \_{N\to \infty }\left(S\_{N}-S\_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max \_{k\in \mathbb {N} }\left|\sum \_{i=1}^{k}X\_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max \_{k\in \mathbb {N} }\left|\sum \_{i=1}^{k}X\_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup \_{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum \_{i=m+1}^{m+N}\sigma \_{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim \_{N\to \infty }\sum \_{i=m+1}^{m+N}\sigma \_{i}^{2}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}}
כאשר אי השוויון שבשורה השלישית נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב.

מההנחה כי הטור {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{n}^{2}} מתכנס, נובע כי הביטוי האחרון שואף לאפס כאשר {\displaystyle m\to \infty }. בחרנו {\displaystyle \epsilon >0} שרירותית, ולכן ההסתברות הזאת היא בהכרח {\displaystyle 0} לכל {\displaystyle \epsilon >0}, כנדרש.

לקריאה נוספת
------------

* Durrett, Rick. *Probability: Theory and Examples.* Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
* M. Loève, *Probability theory*, Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
* W. Feller, *An introduction to probability theory and its applications*, 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9