במתמטיקה, **ממוצע מוכלל** (נקרא גם **ממוצע חזקות**, או **ממוצע הולדר** על שם המתמטיקאי אוטו הולדר), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים.

הגדרה מתמטית
------------

בהינתן מספר טבעי n\in {\mathbb {N}}, אוסף מספרים חיוביים {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} ומספר ממשי {\displaystyle p\neq 0}, **הממוצע המוכלל של \bar{x} מדרגה p** מוגדר להיות:

{\displaystyle M\_{p}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}

באופן דומה, בהינתן משקולות {\displaystyle {\bar {w}}=(w\_{1}\dots ,w\_{n})}, **הממוצע המשוקלל של \bar{x} מדרגה p עם המשקולות {\displaystyle {\bar {w}}}** מוגדר להיות:

{\displaystyle M\_{p,{\bar {w}}}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}{w\_{i}x\_{i}^{p}}}{\sum \_{i=1}^{n}{w\_{i}}}}\right)^{\frac {1}{p}}}

שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות {\displaystyle {\bar {w}}=(1/n,\dots ,1/n)}

תכונות
------

הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות:

* **חסימות** - עבור כל {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} מתקיים {\displaystyle \min({\bar {x}})\leq M\_{p}({\bar {x}})\leq \max({\bar {x}})}. כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב-\bar{x}.
* **סימטריות** - עבור כל {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} ו-{\displaystyle \sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}} תמורה כלשהי, מתקיים כי {\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=M\_{p}(x\_{\sigma (1)},\dots ,x\_{\sigma (n)})}. כלומר, הפונקציה {\displaystyle M\_{p}} סימטרית לסדר איברים.
* **הומוגניות** - עבור כל {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} ו-{\displaystyle \alpha >0} כלשהו, ניתן להוכיח כי {\displaystyle M\_{p}(\alpha x\_{1},\dots ,\alpha x\_{n})=\alpha M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}. כלומר, {\displaystyle M\_{p}} היא פונקציה הומוגנית.
* **ערך בשוויון איברים** - עבור {\displaystyle x>0} מתקיים כי {\displaystyle M\_{p}(x,x,\dots ,x)=x}. כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו.
* **מונוטוניות באיברים** - עבור {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} ו-{\displaystyle {\bar {y}}=(y\_{1},\dots ,y\_{n})} כך ש-{\displaystyle x\_{i}\leq y\_{i}} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n}, מתקיים כי {\displaystyle M\_{p}({\bar {x}})\leq M\_{p}({\bar {y}})}. כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים.
* **מונוטוניות לפי** p - עבור {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} כלשהו ו-{\displaystyle p\_{1}\leq p\_{2}} מתקיים כי {\displaystyle M\_{p\_{1}}({\bar {x}})\leq M\_{p\_{2}}({\bar {x}})}. כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים.
* **קיבוציות** - עבור {\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }, {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{11},x\_{12},\dots ,x\_{ij},\dots ,x\_{nm})} ו-{\displaystyle y\_{i}=M\_{p}(x\_{i1},\dots ,x\_{im})} לכל {\displaystyle 1\leq i\leq n}, מתקיים {\displaystyle M\_{p}(y\_{1},\dots ,y\_{n})=M\_{p}({\bar {x}})}. כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל.
* **רציפות לפי ערכים** - עבור {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} כלשהו מתקיים כי {\displaystyle \lim \_{{\bar {y}}\to {\bar {x}}}{M\_{p}({\bar {y}})}=M\_{p}({\bar {x}})}. כלומר, הפונקציה {\displaystyle M\_{p}} רציפה ב-n ממדים.
* **רציפות לפי p** - עבור {\displaystyle {\bar {x}}=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} ו-{\displaystyle p\neq 0} כלשהם מתקיים כי {\displaystyle \lim \_{p'\to p}{M\_{p'}({\bar {x}})}=M\_{p}({\bar {x}})}. כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר p.

כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל.

מקרים פרטיים
------------

### p שואף לאינסוף

ניתן להוכיח כי {\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{M\_{p}({\bar {x}})}=\max({\bar {x}})}. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש-p שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר {\displaystyle M\_{\infty }({\bar {x}}):=\max({\bar {x}})}.

#### הוכחה

מניחים בלי הגבלת הכלליות כי {\displaystyle x\_{1}>x\_{2}\geq \dots \geq x\_{n}}. מסמנים:

{\displaystyle M=\lim \_{p\to \infty }{M\_{p}({\bar {x}})}=\lim \_{p\to \infty }{\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}}

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim \_{p\to \infty }{\frac {\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim \_{p\to \infty }{\frac {\sum \_{i=1}^{n}{\ln(x\_{i})x\_{i}^{p}}}{\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}}}\\=\lim \_{p\to \infty }{\frac {\ln(x\_{1})x\_{1}^{p}+\sum \_{i=2}^{n}{\ln(x\_{i})x\_{i}^{p}}}{x\_{1}^{p}+\sum \_{i=2}^{n}{x\_{i}^{p}}}}\\=\lim \_{p\to \infty }{\frac {\ln(x\_{1})+\sum \_{i=2}^{n}{\ln(x\_{i})\overbrace {\left(x\_{i}/x\_{1}\right)^{p}} ^{\to 0}}}{1+\sum \_{i=2}^{n}{\underbrace {\left(x\_{i}/x\_{1}\right)^{p}} \_{\to 0}}}}\\=\ln(x\_{1})\end{aligned}}}

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

{\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{M\_{p}({\bar {x}})}=M=x\_{1}}

*מש"ל*.

### p=2

במקרה שבו {\displaystyle p=2} מתקבל כי:

{\displaystyle M\_{2}({\bar {x}})={\sqrt {\frac {\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{2}}}{n}}}}

זהו שורש ממוצע הריבועים.

### p=1

במקרה שבו {\displaystyle p=1} מתקבל כי:

{\displaystyle M\_{1}({\bar {x}})={\frac {\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}}}{n}}}

זהו הממוצע החשבוני.

### p=0

על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור {\displaystyle p=0}, ניתן להוכיח כי {\displaystyle \lim \_{p\to 0}{M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}={\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdots x\_{n}}}}, וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב-{\displaystyle p=0} להיות הממוצע ההנדסי.

#### הוכחה

מסמנים:

{\displaystyle M=\lim \_{p\to 0}{M\_{p}({\bar {x}})}=\lim \_{p\to 0}{\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}}

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim \_{p\to 0}{\frac {\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim \_{p\to 0}{\frac {\sum \_{i=1}^{n}{\ln(x\_{i})x\_{i}^{p}}}{\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{p}}}}\\={\frac {\sum \_{i=1}^{n}{\ln(x\_{i})}}{\sum \_{i=1}^{n}{1}}}\\=\ln \left({\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdots x\_{n}}}\right)\\\end{aligned}}}

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}=M={\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdots x\_{n}}}}

### p=-1

במקרה שבו {\displaystyle p=-1} מתקבל כי:

{\displaystyle M\_{-1}({\bar {x}})={\frac {n}{\sum \_{i=1}^{n}{\frac {1}{x\_{i}}}}}}

זהו הממוצע ההרמוני.

### p שואף למינוס אינסוף

ניתן להוכיח כי {\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }{M\_{p}({\bar {x}})}=\min({\bar {x}})}. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש-p שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר {\displaystyle M\_{-\infty }({\bar {x}}):=\min({\bar {x}})}.

#### הוכחה

ניתן להראות כי:

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{p\to -\infty }{M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}={\frac {1}{\lim \_{p\to \infty }{M\_{p}(1/x\_{1},\dots ,1/x\_{n})}}}\\={\frac {1}{\max(1/x\_{1},\dots ,1/x\_{n})}}\\=\min(x\_{1},\dots ,x\_{n})\end{aligned}}}

*מש"ל*.

הערות שוליים
------------

1. ↑  Eric W. Weisstein, Power Mean, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
2. 1 2  P. S. Bullen, **Handbook of Means and Their Inequalities**, Springer Science & Business Media, 2013-04-17, מסת"ב 978-94-017-0399-4. (באנגלית)