|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**חוק האפס-אחד של קולמוגורוב** הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפט
-----------

**נוסח ראשון**: יהי {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי {\displaystyle \left\{X\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }} קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.

נגדיר "מאורע זנב" {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך {\displaystyle \left\{X\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }}.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב A, מתקיים {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}.

**נוסח שני**: יהי {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי {\displaystyle \left\{F\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }} קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-\mathcal{F} ובלתי-תלויות.

עבור {\displaystyle n=0,1,2,...}, נגדיר {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{n}=\sigma \left(\bigcup \_{i=n}^{\infty }F\_{i}\right)}, ונתבונן ב**סיגמא-אלגברת הזנב**, {\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap \_{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}\_{n}}. מאורעות {\mathcal {T}} מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}} מתקיים {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}.

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת {\displaystyle F\_{i}=\sigma \left(X\_{i}\right)}, כלומר F\_{i} היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה X\_i מדיד.

### הוכחה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

**למה**: תהי {\mathcal {A}} אלגברה של קבוצות על X. תהי {\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)}.

אזי לכל {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}, לכל {\displaystyle \epsilon >0} קיימת {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}, כך שמתקיים {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }.

**הוכחה בקצרה**: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את {\mathcal {A}}, ולכן היא מכילה את \mathcal{F}.

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור {\displaystyle n=1,2,3,...} נגדיר {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{n}=\sigma \left(F\_{1},...F\_{n-1}\right)}, ונגדיר {\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup \_{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}\_{n}}. נשים לב כי {\displaystyle {\mathcal {G}}} היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right)}.

בהינתן מאורע {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}, מהלמה נובע כי לכל {\displaystyle \epsilon >0} יש מאורע {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}} שעבורו מתקיים {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }, כלומר {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon }.

יהי N שעבורו {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}\_{N}}. נשים לב כי {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}\_{N+1}}, ולכן {\displaystyle A,B} בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right)}.

אבל \epsilon  שרירותי, ולכן נובע כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2}}, כלומר {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}.

דוגמאות
-------

נתבונן במרחב {\displaystyle X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }}, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה {\displaystyle C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x\_{n}=a\right\}} (כאשר {\displaystyle x\_{n}} הוא הקואורדינטה ה-n של {\mathbf {x}}), עבור {\displaystyle a\in \left\{0,1\right\}} כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות {\displaystyle \mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}}} לכל a ולכל n. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור {\displaystyle i=1,2,3,...} נגדיר {\displaystyle F\_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right)}, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים {\displaystyle X\_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x\_{i}}{i}}}.

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:

* {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum \_{i=1}^{\infty }X\_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}}
* {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim \_{i\to \infty }X\_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}}
* {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup \_{i\to \infty }X\_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\}} לאיזשהו {\displaystyle c\in \mathbb {R} }

### היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי

באופן כללי יותר, אם {\displaystyle \left\{A\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }} אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע {\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A\_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup \_{i}\left(A\_{i}\right)=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{i=n}^{\infty }A\_{i}} הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A\_{i}\right)} מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup \_{i\to \infty }A\_{i}\right)=1}.

לקריאה נוספת
------------

* אנדריי קולמוגורוב, **Foundations of the Theory of Probability**,‏ 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"

הערות שוליים
------------

1. ↑  המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
2. ↑  כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}}, לכל קבוצת מאורעות {\displaystyle A\_{i\_{1}},...A\_{i\_{k}}}, מתקיים כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(X\_{i\_{1}}\in A\_{i\_{1}},...X\_{i\_{k}}\in A\_{i\_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X\_{i\_{1}}\in A\_{i\_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X\_{i\_{k}}\in A\_{i\_{k}}\right)}.
3. ↑  כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}}, עבור {\displaystyle X\_{i\_{1}},...X\_{i\_{k}}}, מתקיים כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\mid X\_{i\_{1}},...X\_{i\_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right)}.
4. ↑  כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}}, לכל קבוצת מאורעות {\displaystyle A\_{i\_{1}}\in F\_{i\_{1}},...A\_{i\_{k}}\in F\_{i\_{k}}}, מתקיים כי {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\_{i\_{1}}\cap ...\cap A\_{i\_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\_{i\_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A\_{i\_{k}}\right)}.
5. ↑  חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.