**שברון** (באנגלית: **quantile**) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן {\displaystyle 0\leq q\leq 1}) מהאוכלוסייה.

שברון של משתנה מקרי
-------------------

יהי {\displaystyle X\sim F} משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת 


F
(
x
)
=
P

[

X
≤
x

]

{\displaystyle F(x)=P\left[X\leq x\right]}

{\displaystyle F(x)=P\left[X\leq x\right]} כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור {\displaystyle 0\leq q\leq 1} הוא הערך {\displaystyle \xi \_{q}\in \mathbb {R} } כך שמתקיים 


F
(

ξ

q

)
=
P

[

X
≤

ξ

q

]

=
q

{\displaystyle F(\xi \_{q})=P\left[X\leq \xi \_{q}\right]=q}

{\displaystyle F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q}
אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי {\displaystyle \xi \_{q}=F^{-1}(q)}.

שברון של התפלגות אמפירית
------------------------

נניח שדגמנו n נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: 



min

i

X

i

=

X

1

≤

X

2

≤
.
.
.
≤

X

n
−
1

≤

X

n

=

max

i

X

i

{\displaystyle \min \_{i}X\_{i}=X\_{1}\leq X\_{2}\leq ...\leq X\_{n-1}\leq X\_{n}=\max \_{i}X\_{i}}

{\displaystyle \min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}} ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית: 



F

n

(
x
)
=

#
{

X

i

≤
x
}

n

{\displaystyle F\_{n}(x)={\frac {\#\{X\_{i}\leq x\}}{n}}}

{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}}
השברון ה-q הוא המספר {\displaystyle \xi \_{q}} ש-{\displaystyle qn} מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר {\displaystyle qn\notin \mathbb {Z} } איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן 


m
=

⌊

q
n
+

1
2

⌋

{\displaystyle m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }

{\displaystyle m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } ואז 



ξ

q

=

X

m

⋅

(

m
+
1
−
(
q
n
+

1
2

)

)

+

X

m
+
1

(

q
n
+

1
2

−
m

)

{\displaystyle \xi \_{q}=X\_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X\_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)}

{\displaystyle \xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)}
אנו רואים שכאשר {\displaystyle m=qn+1/2\in \mathbb {Z} } אזי {\displaystyle \xi \_{q}=X\_{m}}.

### דוגמה

לדוגמה, החציון {\displaystyle q={\frac {1}{2}}}. עבור n אי-זוגי ({\displaystyle n=2k+1}),‏ מתקיים {\displaystyle m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+2}{2}}\right\rfloor =k+1} 
ואז



,

ξ

0.5

=

X

k
+
1

{\displaystyle ,\xi \_{0.5}=X\_{k+1}}

{\displaystyle ,\xi _{0.5}=X_{k+1}}
ועבור n זוגי ({\displaystyle n=2k}) נקבל {\displaystyle m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k} ואז 



ξ

0.5

=

X

k

⋅

(

k
+
1
−
(
k
+

1
2

)

)

+

X

k
+
1

(

k
+

1
2

−
k

)

=

X

k

+

X

k
+
1

2

{\displaystyle \xi \_{0.5}=X\_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X\_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X\_{k}+X\_{k+1}}{2}}}

{\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}}

שברונים שימושיים
----------------

מלבד החציון, שהוא השברון {\displaystyle q=1/2}, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון {\displaystyle q=3/4} והתחתון {\displaystyle q=1/4}, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **שברון** בוויקישיתוף
* שברון, באתר MathWorld (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4224812-7

 |