פירוש נוסף ערך זה עוסק בפעולה מתמטית על שני וקטורים. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו סקלר.
**מכפלה סקלרית** היא פעולה על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי {\mathbb {R}}^{n} שמחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי.

הגדרה פורמלית
-------------

המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}}, מסומנת על ידי {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}} (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל עבה יותר, ולכן באנגלית מכפלה זו נקראת **Dot product**).

כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.

### ההגדרה הגאומטרית

יהיו שני וקטורים {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}}. מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים:

{\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\|\mathbf {\alpha } \|\|\mathbf {\beta } \|\cos(\alpha ,\beta )}.
בניגוד לזווית בין ישרים, שאינה יכולה לעלות על 90 מעלות, הזווית בין וקטורים יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.

### ההגדרה האלגברית

במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -

{\displaystyle {\vec {\alpha }}=(a\_{1},...a\_{n})}
{\displaystyle {\vec {\beta }}=(b\_{1},...b\_{n})}
מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי

{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =a\_{1}b\_{1}+\dots +a\_{n}b\_{n}}
הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-3, שם מושג ה**זווית** בין הווקטורים טעון הגדרה. למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית. כיוון שאי שוויון קושי-שוורץ מבטיח כי בכל ממד מתקיים 
{\displaystyle \left|{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}\right|\leq \left|{\vec {\alpha }}\right|\cdot \left|{\vec {\beta }}\right|}, ניתן להגדיר

{\displaystyle \cos \theta \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,{\frac {{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}}{|{\vec {\alpha }}|\cdot |{\vec {\beta }}|}}}.

תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה או שווה בערכה המוחלט ל-1.

במקרה הפרטי של קואורדינטות קרטזיות במרחב תלת־ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי

{\displaystyle \left(\alpha \_{x}{\hat {x}}+\alpha \_{y}{\hat {y}}+\alpha \_{z}{\hat {z}}\right)\cdot \left(\beta \_{x}{\hat {x}}+\beta \_{y}{\hat {y}}+\beta \_{z}{\hat {z}}\right)=\alpha \_{x}\beta \_{x}+\alpha \_{y}\beta \_{y}+\alpha \_{z}\beta \_{z}}
נוסחה זו נכונה עבור כל בסיס אורתונורמלי.

תכונות ומאפיינים
----------------

המכפלה הסקלרית היא ביליניארית (כלומר, {\displaystyle {\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}} ולכל סקלר t, {\displaystyle (t{\vec {A}})\cdot {\vec {B}}=t({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})}) סימטרית (כלומר {\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}}).

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא {\displaystyle 0} אם ורק אם הם ניצבים זה לזה, כיוון ש-{\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}. ההכללה של תכונה זו במרחבי מכפלה פנימית כלליים היא האורתוגונליות (ביוונית, אורתוגונלי משמעו ניצב). כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים **אורתוגונליים**, או **ניצבים**.

משמעות
------

מכפלה סקלרית של וקטור מסוים בווקטור יחידה נותנת את ההטלה של הווקטור המסוים על אותו כיוון: ההיטל של וקטור {\vec {B}} על {\displaystyle {\hat {A}}} נתון על ידי {\displaystyle {\mbox{Projection}}=({\hat {A}}\cdot {\vec {B}}){\hat {A}}} כאשר ה"כובע" מסמן וקטור יחידה.

שימושים
-------

בפיזיקה, עבודה של כוח קבוע שווה למכפלה הסקלרית של הכוח בהעתק.

בתוכנה, ניתן לבדוק כמה קרובים שני וקטורים נורמלים (באורך 1) להצביע לאותו הכיוון לפי המכפלה הסקלרית שלהם.

ראו גם
------

* מרחב וקטורי
* מכפלה פנימית (הכללה של מכפלה סקלרית)
* מכפלה וקטורית (מכפלה מסוג שונה ב-{\mathbb {R}}^{3})
* מכפלה מעורבת (מכפלה סקלרית של וקטור במכפלה וקטורית של שני וקטורים אחרים).
* דיברגנץ

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **מכפלה סקלרית** |
| ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: **מכפלה סקלרית** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **מכפלה סקלרית** |

* מכפלה סקלרית, באתר MathWorld (באנגלית)

| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |
| וקטורים | תלות ליניארית • צירוף ליניארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4181619-5

 |