בתורת ההסתברות התפלגות מולטינומית היא הכללה של ההתפלגות הבינומית. וניתן לקבלה באופן הבא: נתון ניסוי מסוים, עם {\displaystyle k} תוצאות אפשריות שונות {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{k}} (מאורעות זרים או קטגוריות) כאשר ההסתברות לקבל תוצאה {\displaystyle A\_{i}} היא {\displaystyle p\_{i}}. חוזרים על הניסוי {\displaystyle n} פעמים בלתי תלויות ומסכמים את התוצאות באמצעות משתנים מקריים בינומיים {\displaystyle X\_{i}\sim Bin(n,p\_{i})} , כאשר {\displaystyle X\_{i}} מציין את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה {\displaystyle A\_{i}} מתוך {\displaystyle n} החזרות. לווקטור המקרי {\displaystyle X=(X\_{1},X\_{2},...X\_{k})} יש התפלגות מולטינומית. עבור {\displaystyle k=1} מקבלים את ההתפלגות קטגוריאלית.

פונקציית הסתברות
----------------

פונקציית ההסתברות של הוקטור המקרי {\displaystyle X} היא:

{\displaystyle {\begin{aligned}P(X=(x\_{1},x\_{2},...x\_{n}))&{}=P(X\_{1}=x\_{1},\dots ,X\_{k}=x\_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x\_{1}!\cdots x\_{k}!}p\_{1}^{x\_{1}}\cdots p\_{k}^{x\_{k}}}\quad &,\sum \_{i=1}^{k}x\_{i}=n&{\mbox{םא }}\\\\0&&{\mbox{תרחא }}\end{cases}}\end{aligned}}}
###### הסבר לנוסחה

מאחר והחזרות בלתי תלויות, ההסתברות ל-{\displaystyle n}-יה ספציפית של תוצאות שבה {\displaystyle A\_{1}} התקבל {\displaystyle x\_{1}} פעמים, {\displaystyle A\_{2}} התקבל {\displaystyle x\_{2}} פעמים,... ו- {\displaystyle A\_{k}} התקבל {\displaystyle x\_{k}} פעמים, היא {\displaystyle p\_{1}^{x\_{1}}\cdots p\_{k}^{x\_{k}}}. את המספר הזה נכפול במספר ה-{\displaystyle n}-יות מסוג זה ואותו ניתן לחשב בדרך באה: תחילה נחשב את מספר הדרכים למקם {\displaystyle x\_{1}} פעמים את התוצאה {\displaystyle A\_{1}} ב-{\displaystyle n}-יה -{\displaystyle {\tbinom {n}{x\_{1}}}={\tfrac {n!}{x\_{1}!(n-x\_{1}!)}}}. את המספר הזה נכפול במספר הדרכים למקם {\displaystyle x\_{2}} פעמים את התוצאה {\displaystyle A\_{2}} ב-{\displaystyle n-x\_{1}} המקומות הריקים שנותרו- {\displaystyle {\tbinom {n-x\_{1}}{x\_{2}}}={\tfrac {(n-x\_{1})!}{x\_{2}!(n-x\_{1}-x\_{2}!)}}}. כך נמשיך עד שבסוף נכפול את התוצאה במספר הדרכים למקם את התוצאה {\displaystyle A\_{k-1}} ב- {\displaystyle n-x\_{1}-...-x\_{k-2}} המקומות שנותרו-{\displaystyle {\tbinom {n-x\_{1}-...-x\_{k-2}}{x\_{k-1}}}={\tfrac {(n-x\_{1}-...-x\_{k-2})!}{x\_{k-1}!(n-x\_{1}-...-x\_{k-1})!}}={\tfrac {(n-x\_{1}-...-x\_{k-2})!}{x\_{k-1}!x\_{k}!}}}. עבור {\displaystyle x\_{k}} הפעמים של התוצאה {\displaystyle A\_{k}} יוותרו בדיוק {\displaystyle x\_{k}} מקומות ולכן רק דרך אחת למקם אותם. בסופו של דבר תוצאת הכפל תהיה:




(

n

x

1

)



(

n
−

x

1

x

2

)

⋯

(

n
−

x

1

−
.
.
.
−

x

k
−
2

x

k
−
1

)

=

n
!

x

1

!
(
n
−

x

1

!
)



(
n
−

x

1

)
!

x

2

!
(
n
−

x

1

−

x

2

!
)

⋯

(
n
−

x

1

−
.
.
.
−

x

k
−
2

)
!

x

k
−
1

!
(
n
−

x

1

−
.
.
.
−

x

k
−
1

)
!

=

n
!

x

1

!
⋯

x

k

!



{\displaystyle {\tbinom {n}{x\_{1}}}{\tbinom {n-x\_{1}}{x\_{2}}}\cdots {\tbinom {n-x\_{1}-...-x\_{k-2}}{x\_{k-1}}}={\tfrac {n!}{x\_{1}!(n-x\_{1}!)}}{\tfrac {(n-x\_{1})!}{x\_{2}!(n-x\_{1}-x\_{2}!)}}\cdots {\tfrac {(n-x\_{1}-...-x\_{k-2})!}{x\_{k-1}!(n-x\_{1}-...-x\_{k-1})!}}={\tfrac {n!}{x\_{1}!\cdots x\_{k}!}}}

{\displaystyle {\tbinom {n}{x_{1}}}{\tbinom {n-x_{1}}{x_{2}}}\cdots {\tbinom {n-x_{1}-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}}={\tfrac {n!}{x_{1}!(n-x_{1}!)}}{\tfrac {(n-x_{1})!}{x_{2}!(n-x_{1}-x_{2}!)}}\cdots {\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_{1}-...-x_{k-1})!}}={\tfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}}
התוצאה הסופית של הכפל, המתקבלת כתוצאה של צמצומים, שווה למספר ה-{\displaystyle n}-יות המבוקש. זהו המקדם המולטינומי שמופיע כחלק מהנוסחה.

דוגמה
-----

נתון כד ובו 10 כדורים. חמישה מהכדורים בכד כחולים, שלושה אדומים ושניים ירוקים. בכל פעם מוציאים כדור מהכד ומחזירים אותו. חוזרים על הפעולה 8 פעמים. מהי ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 פעמים הוצא כדור כחול, ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום?

###### תשובה

במקרה כזה, הניסוי שחוזר על עצמו הוא הוצאה והחזרה של הכדור. יש לניסוי הזה שלוש תוצאות אפשריות {\displaystyle (k=3)}: {\displaystyle A\_{1}}- התקבל כדור כחול, {\displaystyle A\_{2}}- התקבל כדור אדום ו-{\displaystyle A\_{3}}- התקבל כדור ירוק. ההסתברות לקבל כדור כחול בניסוי בודד היא {\displaystyle p\_{1}={\frac {5}{10}}=0.5} , לקבל כדור אדום {\displaystyle p\_{2}={\frac {3}{10}}=0.3} ולקבל כדור ירוק {\displaystyle p\_{3}={\frac {2}{10}}=0.2}. חוזרים על הניסוי 8 פעמים {\displaystyle (n=8)}. ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 הוצא כדור כחול {\displaystyle (x\_{1}=3)}, ב-4 הוצא כדור ירוק {\displaystyle (x\_{2}=3)} ופעם אחת הוצא כדור אדום {\displaystyle (x\_{3}=1)} היא:



Pr
(
X
=
(
3
,
4
,
1
)
)
=
Pr
(

X

1

=
3
,

X

2

=
4
,

X

3

=
1
)
=

8
!

3
!
4
!
1
!

0.5

3

0.3

4

0.2

1


{\displaystyle \Pr(X=(3,4,1))=\Pr(X\_{1}=3,X\_{2}=4,X\_{3}=1)=\displaystyle {8! \over 3!4!1!}0.5^{3}0.3^{4}0.2^{1}}

{\displaystyle \Pr(X=(3,4,1))=\Pr(X_{1}=3,X_{2}=4,X_{3}=1)=\displaystyle {8! \over 3!4!1!}0.5^{3}0.3^{4}0.2^{1}}

| התפלגויות |
| --- |
| התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון |  |
| התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע |
| התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא |
| התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית |
| סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |

קישורים חיצוניים
----------------

* התפלגות מולטינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* התפלגות מולטינומית, באתר MathWorld (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* GND: 4263656-5

 |