באלגברה, **משפט הצפיפות הכללי** (General density theorem) הוא משפט על מודולים פשוטים למחצה ו**ההצגה הרגולרית** מעליהם. ממשפט זה נובע **משפט הצפיפות של ג'ייקובסון**, אשר בעזרתו מוכיחים את משפט ודרברן-ארטין.

הקדמה
-----

יהי מודול שמאלי {\displaystyle \_{R}M} מעל חוג R. יהי {\displaystyle T=\operatorname {End} (\_{R}M)} חוג האנדומורפיזמים של M, כמודול שמאלי מעל R. אזי M הוא מודול ימני מעל T לפי הפעולה {\displaystyle x\cdot S=S(x)}, ולמעשה הוא מהווה בי-מודול, שמאלי מעל R וימני מעל T.

יהי {\displaystyle {\hat {R}}=\operatorname {End} (M\_{T})}, חוג האנדומורפיזמים מעל M בתור מודול ימני מעל {\displaystyle T=\operatorname {End} (M)}, ונגדיר {\displaystyle \phi :R\to {\hat {R}}} על ידי {\displaystyle a\mapsto [x\mapsto ax]}. זהו הומומורפיזם בין חוגים, בעל גרעין {\displaystyle \ker \phi =\operatorname {Ann} (\_{R}M)=\{a\in R:aM=0\}}, המאפס של {\displaystyle \_{R}M}, ולכן מהווה שיכון כאשר המודול נאמן.

תת חוג {\displaystyle R\_{0}\subseteq {\hat {R}}} נקרא **n-צפוף** ב-{\displaystyle {\hat {R}}} אם לכל {\displaystyle \phi \in {\hat {R}}} ולכל {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}\in \_{R}M\_{T}} קיים {\displaystyle \phi \_{0}\in R\_{0}} כך ש-{\displaystyle \phi (x\_{i})=\phi \_{0}(x\_{i})=a\_{0}x\_{i}}. מונח זה באמת מתאר צפיפות במובן הטופולוגי - ניתן להגדיר טופולוגיה על {\displaystyle {\hat {R}}}, בעלת תת-בסיס המורכב מהקבוצות {\displaystyle B(\varphi ,x)=\{\psi \in {\hat {R}}:\psi (x)=\varphi (x)\}}. נובע ש-{\displaystyle R\_{0}\subseteq {\hat {R}}} הוא **n-צפוף** לכל n אם ורק אם הוא צפוף במובן הטופולוגי.

ניסוח
-----

יהי {\displaystyle \_{R}M} מודול פשוט למחצה. אז תמונת R ב-{\displaystyle {\hat {R}}} צפופה.

כלומר: לכל {\displaystyle \phi \in {\hat {R}}} ולכל {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}\in R} קיים {\displaystyle a\in R} כך ש-{\displaystyle \phi (x\_{i})=ax\_{i}}.

הוכחה
-----

ניעזר בלמה:

**למה**: נניח ש-{\displaystyle M=N\oplus N'}, אז לכל {\displaystyle \varphi \in R} מתקיים {\displaystyle \varphi (N)\subseteq N}.

*הוכחת הלמה*: ידוע כי כאשר {\displaystyle M=N\oplus N'} קיים אידמפוטנט {\displaystyle e\in T} כך ש-{\displaystyle \operatorname {Im} (e)=N}. לכן, מתקיים {\displaystyle \varphi (e(x))=\varphi (xe)=\varphi (x)e=e(\varphi (x))\in \operatorname {Im} (e)=N}.

כעת, נוכיח את ש-{\displaystyle \phi (R)} היא 1-צפופה ב-{\displaystyle {\hat {R}}}. לכל {\displaystyle x\in M}, נביט ב-{\displaystyle N=Rx}; לפי הלמה:{\displaystyle \varphi (x)\in \phi (Rx)\subseteq Rx}, כלומר קיים {\displaystyle a\in R} כך ש-{\displaystyle \varphi (x)=ax}, כדרוש.

לכל n אחר, נפעיל את המקרה הקודם עבור {\displaystyle M^{n}}, עבורו {\displaystyle M^{n}\cong M\_{n}(T)}, חוג מטריצות מעל T. לפי המקרה n=1, תמונת R היא 1-צפופה ב-{\displaystyle {\hat {R}}^{n}=\operatorname {End} (M\_{T^{n}}^{n})}. כעת נגדיר {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi \oplus \dots \oplus \varphi }; מתקיים {\displaystyle \phi ^{n}\in {\hat {R}}^{n}}, ולכן לפי החלק n=1 יש {\displaystyle a\in R} כך ש-{\displaystyle \varphi ^{n}({\bar {x}})=a{\bar {x}}}, כלומר {\displaystyle \varphi (x\_{i})=ax\_{i}}, כדרוש.

משפט הצפיפות של ג'ייקובסון
--------------------------

מקרה פרטי וחשוב של משפט הצפיפות הכללי הוא משפט הצפיפות של ג'ייקובסון (Jacobson density theorem), על שם המתמטיקאי נתן ג'ייקובסון.

יהי {\displaystyle \_{R}M} מודול פשוט ונאמן, ונסמן {\displaystyle D=\operatorname {End} (\_{R}M)}. אזי לכל {\displaystyle y\_{1},\dots ,y\_{n}\in M\_{D}} ולכל {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}\in M\_{D}} בלתי תלויים מעל D, קיים {\displaystyle a\in R} כך ש-{\displaystyle ax\_{i}=y\_{i}}.

### הוכחה

M פשוט ולכן פשוט למחצה, ולפי הלמה של שור D חוג עם חילוק. לכן, ניתן להשלים את x\_{1},\dots ,x\_{n} לבסיס. נגדיר {\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (M\_{D})} על ידי {\displaystyle \varphi (x\_{i})=y\_{i}} ולכל איבר בסיס אחר אפס. כעת נפעיל את משפט הצפיפות הכללי, ונקבל שקיים {\displaystyle a\in R} כך ש-{\displaystyle ax\_{i}=y\_{i}}, כדרוש.

### מסקנות

משפט הצפיפות של ג'ייקובסון הוא משפט חשוב בתורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים.

כמסקנה מידית, נקבל כי אם {\displaystyle \operatorname {dim} (D)<\infty }, אז {\displaystyle R\cong M\_{n}(D)}. האיזומורפיזם נתון, בעזרת משפט הצפיפות, כך: נקבע בסיס {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}} עבור D. לכל {\displaystyle a\in R} מתאימים את ההעתקה {\displaystyle \sum {x\_{i}d\_{i}}\mapsto \sum {ax\_{i}d\_{i}}}; מיפוי זה מוגדר היטב, חד-חד ערכי (כי M נאמן), ועל בגלל משפט הצפיפות - לכל מטריצה (או בשקילות אנדומורפיזם מעל D) הפעולה על הבסיס (הסופי) נקבעת על ידי כפל משמאל באיבר כלשהו a.

משפט ודרברן-ארטין, הקובע את המבנה של חוגים ארטיניים פשוטים, נובע מהמסקנה לעיל כמעט ישירות.

ראו גם
------

* משפט ודרברן-ארטין