בתורת המשחקים, **פתרון קלעי-סמורודינסקי** ({\displaystyle {\mathcal {KS}}}) הוא פתרון למשחקי מיקוח, השונה מפתרון נאש. פתרון זה נקרא גם **נקודת ההסכמה של קלעי וסמורודינסקי**.
פתרון זה נוצר כתוצאה מביקורת על העקרונות עליהם התבסס נאש ובראשם עיקרון האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות. המשפט המוכיח קיום ויחידות פתרון זה התפרסם על ידי אהוד קלעי ומאיר סמורודינסקי ב-1975.

משפחת המשחקים הרלונטיים לפתרון
------------------------------

נגדיר משפחה {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{d}} של משחקי מיקוח {\displaystyle (S,d)} המקיימים את התכונות הבאות:

* S קמורה וקומפקטית.
* {\displaystyle \exists x:x\in S,x\gg d}. כלומר, קיימת נקודה {\displaystyle x\in S} כך ש {\displaystyle x\_{1}>d\_{1},x\_{2}>d\_{2}}.
* {\displaystyle \forall x\in S,[d\_{1},x\_{1}]\times [d\_{2},x\_{2}]\subseteq S}. כלומר, לכל {\displaystyle x\in S}, המלבן המוגדר על ידי  x  ו־d מוכל בתוך S. תכונה זאת נקראת קומפרהנסיביות.

שתי התכונות הראשונות זהות לדרוש על ידי פתרון נאש.

עקרונות הפתרון
--------------

פתרון קלעי סמורודינסקי חולק עם פתרון נאש את שלושת העקרונות הראשונים:

### עקרון הסימטריה

משחק מיקוח {\displaystyle (S,d)} הוא סימטרי אם הוא מקיים את התנאים הבאים:

* {\displaystyle d\_{1}=d\_{2}}. כלומר, נקודת אי ההסכמה סימטרית.
* {\displaystyle (x\_{1},x\_{2})\in S\Leftrightarrow (x\_{2},x\_{1})\in S}. כלומר, נקודה שייכת ל־S אם ורק אם הנקודה הסימטרית לה סביב האלכסון הראשי אף היא ב־S.

פתרון \varphi  מקיים את **עקרון הסימטריה** אם לכל משחק מיקוח סימטרי {\displaystyle (S,d)} הפתרון אף הוא סימטרי: 
{\displaystyle \varphi \_{1}(S,d)=\varphi \_{2}(S,d)}.

### עקרון היעילות

נקודה {\displaystyle x\in S} היא **יעילה** ב S אם לא קיימת נקודה אחרת {\displaystyle y\in S} עבורה {\displaystyle x\leq y}.
כלומר, עבור משחק מיקוח (S,d), נאמר כי נקודה היא **יעילה** ב S אם לא קיימת נקודה אחרת ב-S שעבורה ניתן להגדיל את התועלת של לפחות אחד השחקנים מבלי לפגוע בתועלת של השחקן השני.   

פתרון \varphi  מקיים את **עקרון היעילות** אם לכל משחק מיקוח {\displaystyle (S,d)} הנקודה {\displaystyle \varphi (S,d)} היא יעילה. 

### עקרון הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות חיוביות

פתרון \varphi  מקיים את **עקרון הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות חיוביות** אם לכל משחק מיקוח {\displaystyle (S,d)} ולכל שני ווקטורים   

{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{2}} כך ש־{\displaystyle a\_{1},a\_{2}>0} מתקיים: {\displaystyle \varphi (aS+b,ad+b)=a\varphi (S,d)+b}

### עקרון המונוטוניות החלשה

עיקרון רביעי, שיחד עם שלושת העקרונות הקודמים מאפיין את פתרון נאש, הוא עיקרון האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות. כדי לאפיין את פתרון קלעי סמורודינסקי משתמשים בעיקרון המונוטוניות החלשה הבא:

#### נקודת אוטופיה

נגדיר נקודת אוטופיה m במשחק {\displaystyle (S,d)}:
  

* {\displaystyle m\_{1}(S)=\max\{x\_{1}:x\in S,x\geq d\}}
* {\displaystyle m\_{2}(S)=\max\{x\_{2}:x\in S,x\geq d\}}

כלומר, זוהי הנקודה בעלת ערכי הקואורינטות הגדולים ביותר המתקבלים על ידי נקודות ב־S.
  

פתרון \varphi  מקיים את **עיקרון המונוטוניות החלשה** אם לכל שני משחקי מיקוח {\displaystyle (S,d),(T,d)} המקיימים:  

* {\displaystyle S\subseteq T}
* {\displaystyle m\_{1}(T)=m\_{1}(S),m\_{2}(T)=m\_{2}(S)\!}

מתקיים 
{\displaystyle \varphi (T,d)\geq \varphi (S,d)}.
כלומר, אם משחק אחד מכיל את השני, הפתרון יהיה טוב לשחקנים לפחות כמו הפתרון הקודם. זהו שינוי לעומת פתרון נאש שאינו מבטיח מונוטוניות זאת.

אפיון הפתרון
------------

דוגמה לפתרון בשיטת קלעי-סמורודינסקי
קיים פתרון יחיד {\displaystyle {\mathcal {KS}}} עבור משפחת המשחקים {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{d}} המקיים את עקרונות הסימטריה, היעילות, אי תלות בטרנספורמציות אפיניות והמונוטוניות החלשה. פתרון זה מתקבל במשחק {\displaystyle (S,d)} בנקודת החיתוך בין השפה של S ובין הקטע המחבר את d ואת נקודת האוטופיה {\displaystyle m(S)}.
בגרסאות אחרות של הפתרון נקבעת נקודת אי ההסכמה כ־{\displaystyle (0,0)}, ואז מחלישים את הדרישה לאי תלות בטרנספורמציות אפיניות ומשתמשים בעיקרון אי תלות ביחידות מדידה. עיקרון זה דומה לאי תלות; הוא מאפשר לכפול ב־a, אך לא מאפשר להוסיף b.

ראו גם
------

* מונוטוניות (משחק מיקוח)
* משחק מיקוח

לקריאה נוספת
------------

* שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, **תורת המשחקים**, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946
* המאמר של קלעי וסמורודינסקי ב־JSTOR.