|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

**מחלקה מונוטונית** היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

הגדרה
-----

תהי X קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות {\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)} נקראת **מחלקה מונוטונית**, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:

1. לכל סדרה {\displaystyle \left\{E\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}} המקיימת {\displaystyle E\_{1}\subset E\_{2}\subset E\_{3}\subset ...}, מתקיים כי {\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\in {\mathcal {M}}}.
2. לכל סדרה {\displaystyle \left\{E\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}} המקיימת {\displaystyle E\_{1}\supset E\_{2}\supset E\_{3}\supset ...}, מתקיים כי {\displaystyle \bigcap \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\in {\mathcal {M}}}.

משפט המחלקה המונוטונית
----------------------

תהי X קבוצה ותהי {\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(X)} משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי P להיות {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)}, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי P להיות {\displaystyle \sigma (P)}. לא קשה לראות כי {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)} היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את P וכי {\displaystyle \sigma (P)} היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את P.

**משפט:** תהי {\mathcal {A}} אלגברה של קבוצות על קבוצה X (כלומר {\mathcal {A}} משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}})}.

### הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}})}. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי {\displaystyle {\mathcal {C}}(A)} מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי {\displaystyle {\mathcal {C}}(A)} היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי {\displaystyle E\in {\mathcal {C}}(A)}. נגדיר {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\}}. לא קשה לראות כי {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)} מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי {\displaystyle \emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E)} מהיות {\mathcal {A}} אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל {\displaystyle E\_{1},E\_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים {\displaystyle E\_{1}\in {\mathcal {R}}(E\_{2})\iff E\_{2}\in {\mathcal {R}}(E\_{1})}.

לכל {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}, לכל {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} מתקיים כי {\displaystyle B\in {\mathcal {R}}(E)} מהיות {\mathcal {A}} אלגברה. לכן נובע כי {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E)}. נזכור כי {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)} מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E)}.

אם כך לכל {\displaystyle F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים {\displaystyle F\in {\mathcal {R}}(E)}, ובאופן שקול {\displaystyle E\in {\mathcal {R}}(F)}, ולכן נובע כי גם {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F)} לכל {\displaystyle F\in {\mathcal {R}}(E)}.

אם כך לכל {\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F)}, כלומר {\displaystyle F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}, ולכן {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מהווה אלגברה.

משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות
--------------------------------

**משפט:** תהי {\mathcal {A}} מערכת-π ותהי \Omega  קבוצה השייכת ל-{\mathcal {A}}, ותהי {\mathcal {H}} משפחה של פונקציות {\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} }, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:

1. לכל {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} מתקיים {\displaystyle 1\_{A}\in {\mathcal {H}}}, כאשר {\displaystyle 1\_{A}} היא הפונקציה המציינת.
2. אם {\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}} אז {\displaystyle f+g\in {\mathcal {H}}} וכן {\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}} לכל {\displaystyle c\in \mathbb {R} }.
3. לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות {\displaystyle \left\{f\_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {H}}} המתכנסת לפונקציה גבולית f, מתקיים {\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}.

אזי {\mathcal {H}} מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי {\mathcal {A}}.

### הוכחה

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}} יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה {\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{A|1\_{A}\in {\mathcal {H}}\right\}} מהווה מערכת-λ.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {G}}}.

תכונה 2 מראה כי {\mathcal {H}} מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.