המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.
משולש ישר-זווית
**משולש יְשַׁר-זווית** הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות **ניצבים**, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת **יתר**.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות
------

* משולש ישר-זווית מקיים את **משפט פיתגורס**: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
* משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
* הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
* חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

נוסחאות
-------

אם הניצבים של המשולש הם {\displaystyle \ a} ו-{\displaystyle \ b}, היתר הוא {\displaystyle \ c} והגובה ליתר הוא {\displaystyle \ h}, אז מתקיים:

{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}} (משפט פיתגורס)
וכן:

{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}
שטח המשולש הוא:

{\displaystyle {\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}}
אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא {\displaystyle \ r}, אז מתקיים:

{\displaystyle r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}}
אם התיכונים לניצבים הם {\displaystyle \ m\_{a}} ו-{\displaystyle \ m\_{b}} והתיכון ליתר הוא {\displaystyle \ m\_{c}}, אז מתקיים:

{\displaystyle m\_{a}^{2}+m\_{b}^{2}=5m\_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}}

הגדרת פונקציות טריגונומטריות
----------------------------

 ערך מורחב – **פונקציות טריגונומטריות**  

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ({\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית {\displaystyle \alpha } הכלואה בין הניצב {\displaystyle \ b} והיתר {\displaystyle \ c} ומול הצלע {\displaystyle \ a} מוגדר:

{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}}
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים
--------------------------

משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

שלשה פיתגורית
-------------

**שלשה פיתגורית** (או **שלשה פיתגוראית**) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.

ראו גם
------

* המשולש הישר של פרמה

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **משולש ישר-זווית** |

* אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, freewebs (בעברית)
* אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, mathportal (באנגלית)
* משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)

| מצולעים ופאונים |
| --- |
| מושגים | מצולע • פאון • קודקוד • צלע • מקצוע • פאה • זווית חיצונית • אלכסון |
| מצולעים |
| לפי מספר צלעות | משולש • מרובע • מחומש • משושה • משובע • מתומן |
| משולשים | משולש ישר-זווית • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות |
| מרובעים | מקבילית • טרפז • טרפז שווה-שוקיים • מרובע ציקלי • דלתון • דלתון ריצוף • מעוין • מלבן • ריבוע |
| כוכבים | פנטגרם • מגן דוד • אניאגרם |
| תכונות | מצולע משוכלל • מצולע שווה-צלעות • מצולע קמור • כוכב |
| פאונים |
| פאונים משוכללים | ארבעון • קובייה • תמניון • תריסרון • עשרימון |
| פאונים ארכימדיים | ארבעון קטום • קובוקטהדרון • קובייה קטומה • תמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת |
| פאונים אחרים | פירמידה • מנסרה • אנטי-מנסרה • מקבילון • מעוינון • תיבה • איקוסיטטרהדרון |
| תכונות | פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי |
| הכללות |
| הכללות | סימפלקס • היפרקובייה • טסרקט |