**התפלגות בינומית** היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של {\displaystyle n} ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה {\displaystyle p} בכל אחד. אם {\displaystyle X} משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)}.

ההתפלגות הבינומית
-----------------

ההתפלגות של משתנה בינומי {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} היא

{\displaystyle p\_{X}(k)=\Pr \left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}

עבור {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}, ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד {\displaystyle q=1-p}. הסימון {\displaystyle {\binom {n}{k}}} מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק {\displaystyle k} פעמים בסדרה של {\displaystyle n} ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה {\displaystyle p} שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן {\displaystyle k} הצלחות ו-{\displaystyle n-k} כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה {\displaystyle p^{k}q^{n-k}}. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את {\displaystyle k} הניסויים המוצלחים מתוך כלל {\displaystyle n} הניסויים, שהוא המקדם הבינומי {\displaystyle {\binom {n}{k}}}, כפול {\displaystyle p^{k}q^{n-k}}.

### סכום ההסתברויות

כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1}.

### תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא {\displaystyle np}, והשונות שלו היא {\displaystyle npq}.

דוגמה
-----

מטילים {\displaystyle 7} פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של {\displaystyle 0.6}. נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב-{\displaystyle X} אז {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (7,0.6)}. ההסתברות לקבלת "עץ" {\displaystyle 4} פעמים בדיוק היא
{\displaystyle \Pr(X=4)={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot 0.4^{3}=0.290304}

התפלגות בינומית שלילית
----------------------

 ערך מורחב – **התפלגות בינומית שלילית**  

נאמר שמשתנה מקרי {\displaystyle X} מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים {\displaystyle (r,p)} אם

{\displaystyle p\_{X}(k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\cdot \Gamma (r)}}p^{r}(1-p)^{k}}

כאשר {\displaystyle \Gamma } היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

קשרים להתפלגויות אחרות
----------------------

### סכום של משתנים מקריים בינומיים

אם {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} וכן {\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (m,p)} הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה {\displaystyle p} אז {\displaystyle X+Y\sim \mathrm {Bin} (n+m,p)}, זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי.

### התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (1,p)} ונהוג לסמן {\displaystyle X\sim \mathrm {Ber} (p)}. למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית Bin(*n*, *p*) כסכום של {\displaystyle n} התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות {\displaystyle p}.

### קירוב על ידי התפלגות פואסון

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי {\displaystyle n} גדולים מאוד וערכי {\displaystyle p} קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר {\displaystyle \lambda =np}. באופן פורמלי, אם {\displaystyle \{X\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} סדרת משתנים מקריים המתפלגים {\displaystyle X\_{n}\sim \mathrm {Bin} \left(n,{\frac {\lambda }{n}}\right)} אז {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\Pr(X=k)=\Pr(Y=k)} כאשר {\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda )}.

### קירוב על ידי התפלגות נורמלית

אם {\displaystyle n} גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית {\displaystyle X\sim N(np,np(1-p))}. כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

התפלגויות קשורות
----------------

|  | עם החזרה | בלי החזרה |
| --- | --- | --- |
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות | התפלגות בינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
| מספר הוצאות עד מספר הצלחות | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |

ראו גם
------

* תיבת גלטון

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: **הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות בינומית** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **התפלגות בינומית** |

* התפלגות בינומית, באתר MathWorld (באנגלית)
* התפלגות בינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

| התפלגויות |
| --- |
| התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון |  |
| התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע |
| התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא |
| התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית |
| סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |


|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007282570105171
* GND: 4145587-3
* LCCN: sh85014113
* LNB: 000327257
* NKC: ph249419

 |