**1089** (נכתב גם **1,089**; במילים: **אלף שמונים ותשע**) הוא מספר טבעי, עוקב ל-1088 וקודם ל-1090.

תכונות
------

1089 הוא הריבוע של 33, כלומר {\displaystyle 33\times 33=1089}.

הכפלה של המספר 1089 בשני מספרים שלמים חיוביים שסכומם הוא 10 נותן שתי תוצאות שמתקבלות מהיפוך סדר הספרות זו של זו:

1 × 1089 = **1089** ↔ 9 × 1089 = **9801**
2 × 1089 = **2178** ↔ 8 × 1089 = **8712**
3 × 1089 = **3267** ↔ 7 × 1089 = **7623**
4 × 1089 = **4356** ↔ 6 × 1089 = **6534**
5 × 1089 = **5445** ↔ 5 × 1089 = **5445**
למספר 1089 יש תכונה מעניינת נוספת והיא שהכפלת המספר במספרים השלמים מ-1 ועד ל-9 מייצרת תבנית שבה כל טור ספרות במכפלה עולה או יורד בקפיצות של 1 בין תוצאה לתוצאה. לדוגמה, ספרת המאות של המכפלות לפי הסדר יוצרת את הספרות 0 עד 8.

{\displaystyle 1089\times 1=1089}
{\displaystyle 1089\times 2=2178}
{\displaystyle 1089\times 3=3267}
{\displaystyle 1089\times 4=4356}
{\displaystyle 1089\times 5=5445}
{\displaystyle 1089\times 6=6534}
{\displaystyle 1089\times 7=7623}
{\displaystyle 1089\times 8=8712}
{\displaystyle 1089\times 9=9801}

האלגוריתם הקבוע
---------------

למספר 1089 יש תכונה מעניינת - הוא תמיד יתקבל בתור התוצאה של סדרת הפעולות הבאה:

1. בחרו מספר תלת-ספרתי כלשהו שספרת המאות וספרת האחדות בו שונות.
2. הפכו את סדר ספרותיו וחסרו את המספר הקטן יותר מבין השניים, מהמספר הגדול יותר מביניהם.
3. הפכו את סדר ספרותיה של התוצאה וחברו את המספר המתקבל עם התוצאה עצמה.

לדוגמה, אם ניקח את המספר {\displaystyle 537} ונהפוך את סדר ספרותיו נקבל {\displaystyle 735}. נחסר את המספר הקטן יותר מהגדול יותר: {\displaystyle 735-537=198}. כעת נהפוך את סדר ספרותיה של התוצאה ונקבל {\displaystyle 891}. נחבר את התוצאה עם היפוך הספרות של התוצאה: {\displaystyle 198+891=1089}. התוצאה המתקבלת היא אכן 1089, כפי שציפינו לקבל.

בחישוב זה מתייחסים גם למספרים דו-ספרתיים או חד-ספרתיים כאל תלת-ספרתיים, על ידי הוספת אפסים מובילים אליהם. כלומר המספר 99 ייחשב 099, ולכן לאחר שהופכים את ספרותיו מקבלים 990.

### הוכחה

אם {\displaystyle abc} הוא המספר שלנו, כאשר כל אות מייצגת את אחת מספרותיו, אז ערכו הוא {\displaystyle 100\cdot a+10\cdot b+c} וערכו של המספר ה"הפוך" {\displaystyle cba} הוא {\displaystyle 100\cdot c+10\cdot b+a}. מכאן שאחרי שמחסרים את הקטן מהגדול (נניח כי הגדול הוא {\displaystyle abc}; אותו טיעון תקף גם במקרה ההפוך) מתקבל {\displaystyle \ 99a-99c=99(a-c)}. אם המספר המקורי לא היה פלינדרום הרי ש-{\displaystyle \ a\neq c}, ולכן תוצאת החיסור היא כפולה של 99.

ניתן לראות (למשל, על ידי בדיקה ישירה) כי כל כפולה של 99 בת 3 ספרות מקיימת את התכונה שהספרה האמצעית שלה היא 9 וסכום שתי הספרות האחרות גם הוא 9 (למשל - 99 כפול 3 הוא 297 המקיים את התכונה; וגם על 99 ניתן לחשוב כעל המספר "התלת ספרתי" 099 המקיים את התכונה. הסיבה לכך היא כי {\displaystyle 90+9=99} ולכן כל כפולה שלו במספר קבוע נותנת {\displaystyle 90a+9a}. על פי החוק שכל מספר חד-ספרתי המוכפל ב9 נותן מספר שסכום ספרותיו הוא 9, נקבל{\displaystyle 90a+9a=100c+10d+10c+d\left(c+d=9\right)\Rightarrow 99a=100c+90+d}).

אם כך, תוצאת החיסור היא {\displaystyle x9y} עם {\displaystyle x+y=9}. לאחר שמחברים את {\displaystyle x9y} עם {\displaystyle y9x} מקבלים {\displaystyle 101\cdot (x+y)+2\cdot 90=101\cdot 9+180=909+180=1089}.

ראו גם
------

* 1729 (מספר)

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **1089** בוויקישיתוף

הערות שוליים
------------

1. ↑  1089 and a Property of 3-digit Numbers, www.cut-the-knot.org

|  |
| --- |
| **מספרים טבעיים** |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
| 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
| 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 |
| 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1,000 | 2,000 | 10,000 | 100,000 | 600,000 | 1,000,000 |

 |
| **אחרים** |
| שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | גוגולפלקס | מספר גרהאם |