**מונואיד חופשי** הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרה
-----

קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי {\displaystyle (F,\cdot ,1\_{F},S)} הוא רביעייה סדורה של קבוצה F, פעולה {\displaystyle \cdot :F\times F\rightarrow F}, איבר {\displaystyle 1\_{F}\in F}, וקבוצה נוספת {\displaystyle S\subset F} כך ש {\displaystyle (F,\cdot ,1\_{F})} מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

1. לכל {\displaystyle (M,\*,1\_{M})}מונואיד, ולכל {\displaystyle f:S\rightarrow M} פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד {\displaystyle {\tilde {f}}:F\rightarrow M} כך שמתקיים {\displaystyle {\tilde {f}}\circ i=f} כאשר i העתקת ההכלה (כלומר {\displaystyle i:S\rightarrow F,\forall a\in S:i(a)=a}). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה S. כל ההומומורפיזמים של המונואיד F נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי S "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי S.
2. S יוצרת את F, וגם לכל מספר טבעי {\displaystyle n>0} ולכל {\displaystyle \left\{s\_{i}\right\}\_{i=1}^{n}\subset S} מתקיים: {\displaystyle s\_{1}\cdot \ldots \cdot s\_{n}=\prod \_{i=1}^{n}s\_{i}\neq 1\_{F}}. ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה S. אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל{\displaystyle 1\_{F}} יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.

דוגמאות
-------

### המספרים הטבעיים {\displaystyle \mathbb {\mathbb {N} } }

הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר {\displaystyle 0} המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר {\displaystyle 0}), ו{\displaystyle \left\{1\right\}} מהווה את S.

כלומר הקבוצה F מכילה מספרים כמו {\displaystyle 0,1,2,3,45,100,6} וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: {\displaystyle 1+1=2,20+5=25} וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: {\displaystyle 0+1=1,4+0=4,84+0=84} וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

### כוכב קלין

 ערך מורחב – **כוכב קלין**  

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים A מסומן ב-A^{\*} ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו-A המהווה את הקבוצה S. לדוגמה אם {\displaystyle A=\left\{a,b,c\right\}} אז A^{\*} מכיל איברים כגון {\displaystyle a,abab,aaabbcba} וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: {\displaystyle ab\*ca=abca}.

תתי-מונואידים של המונואיד החופשי
--------------------------------

### הגדרת תת-מונואיד

יהי {\displaystyle (M,\*,1\_{M})} מונואיד. אומרים כי L תת-מונואיד של {\displaystyle (M,\*,1\_{M})} אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

1. {\displaystyle L\subseteq M}.
2. אם {\displaystyle a,b\in L} אזי {\displaystyle a\*b\in L}.
3. {\displaystyle 1\_{M}\in L}.

### חיתוך של תתי-מונואידים

משפט: יהי {\displaystyle (F,\cdot ,1\_{F},S)} מונואיד חופשי. תהי {\displaystyle \left\{L\_{\alpha }\right\}\_{\alpha \in I}} קבוצה של תתי-מונואידים של {\displaystyle (F,\cdot ,1\_{F},S)} כך שלכל {\displaystyle \alpha \in I} מתקיים כי {\displaystyle L\_{\alpha }} מונואיד חופשי. אזי מתקיים {\displaystyle \bigcap \_{\alpha \in I}L\_{\alpha }} מונואיד חופשי.

ראו גם
------

* חבורה חופשית
* מונואיד (מבנה אלגברי)

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **מונואיד חופשי** בוויקישיתוף
*

הערות שוליים
------------

1. 1 2 3  words, ‏02
2. ↑  Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, **Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland**, American Mathematical Soc. 2005. (באנגלית)