בתורת החבורות, אחד המאפיינים של חבורות סופיות הוא העובדה המפתיעה שאפשר להסיק רבות על המבנה של חבורה מתוך הסדר שלה. אחת הדוגמאות המוקדמות לתופעה הזו היא **משפט קושי** (שגילה אוגוסטין קושי ב- 1845): אם {\displaystyle \,G} חבורה סופית, אז לכל p מספר ראשוני שמחלק את סדר החבורה (כלומר {\displaystyle |G|/p} מספר שלם) קיים ב-G איבר מסדר p.

תוצאה כללית יותר, העוסקת בקיום של תת-חבורות מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני, מנוסחת במשפטי סילו.

שימושים
-------

למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים באלגברה, בפרט בתורת גלואה. לדוגמה, אם f(x) הוא פולינום אי-פריק ממעלה p מעל שדה F, אז שדה ההרחבה {\displaystyle F[x]/(f(x))} הוא ממימד p, ולכן גם הממד של שדה הפיצול K של f, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב-p. אבל לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, הסדר של חבורת גלואה שווה לממד של K מעל F, ולכן - לפי משפט קושי - היא כוללת איבר מסדר p.

הוכחה
-----

### הוכחה באינדוקציה

תהי G חבורה מסדר המתחלק בראשוני p. צריך להוכיח שיש ב-G איבר מסדר p. 
ראשית צריך להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל באינדוקציה על הסדר: אם {\displaystyle e\neq x} הוא איבר מסדר המתחלק ב-p, אז יש לו חזקה מסדר p. אחרת, אפשר לעבור לחבורת מנה ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על ידי x. 

כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם {\displaystyle |G|=p} אז כל איבר לא-טריוויאלי הוא מסדר p (לפי משפט לגראנז'). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-{\displaystyle |G|}. 

* **מקרה א** - קיים איבר {\displaystyle x\in G}, {\displaystyle x\not \in Z(G)} עבורו {\displaystyle p\mid |Z\_{x}|} (לא להתבלבל: {\displaystyle Z\_{x}} הוא **הַמְּרַכֵּז** של x המוגדר: {\displaystyle Z\_{x}:=\{g\in G\mid gx=xg\}} ואילו {\displaystyle Z(G)} הוא מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה {\displaystyle Z(G):=\{z\in G\mid \forall g\in G,zg=gz\}}). {\displaystyle Z\_{x}\neq G} כי {\displaystyle x\not \in Z(G)} ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-{\displaystyle Z\_{x}} לכן {\displaystyle |Z\_{x}|<|G|}, הנחנו {\displaystyle p\mid |Z\_{x}|}, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר p ב-{\displaystyle Z\_{x}}, אבל זו תת-חבורה של G.
* **מקרה ב** - לכל איבר {\displaystyle x\in G} {\displaystyle x\not \in Z(G)}, p לא מחלק את {\displaystyle |Z\_{x}|}. לפי משפט לגראנז' {\displaystyle |G|=|Z\_{x}|\cdot [G:Z\_{x}]} ומשני הנתונים נובע ש-{\displaystyle p\mid [G:Z\_{x}]}. לפי משוואת המחלקות {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum \_{i=1}^{k}[G:Z\_{x\_{i}}]} כש-{\displaystyle x\_{1},...x\_{k}} נציגי מחלקות הצמידות שסדרן גדול מ-1, כמובן, {\displaystyle x\_{1},...x\_{k}} אינם איברים ב-{\displaystyle Z(G)} כי גודל מחלקת הצמידות של איבר במרכז הוא 1. הנחנו {\displaystyle p\mid |G|}, הראנו {\displaystyle p\mid \sum \_{i=1}^{k}|[G:Z\_{x\_{i}}]|} לפי משוואת המחלקות {\displaystyle p\mid |Z(G)|}. {\displaystyle Z(G)} חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר p וסיימנו.

### הוכחה באמצעות פעולה של {\displaystyle Z\_{p}}

נסתכל על קבוצת ה-p-יות של איברים שמכפלתם היא היחידה: 

{\displaystyle A=\{(g\_{0},g\_{1},...g\_{p-1})\mid g\_{0}g\_{1}\cdots g\_{p-1}=e\}}

מכיוון שלכל {\displaystyle g\_{0},\dots ,g\_{p-2}} יש השלמה יחידה לווקטור ב-A, גודל הקבוצה הוא {\displaystyle |A|=|G|^{p-1}}, המתחלק ב-p. אנו רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה A מהצורה {\displaystyle (g,g,...g)} כאשר {\displaystyle g\neq e}. על ידי הצמדה ב-{\displaystyle g\_{p-1}}, קל לראות ש {\displaystyle g\_{0}g\_{1}...g\_{p-1}=e} אם ורק אם {\displaystyle g\_{p-1}g\_{0}g\_{1}...g\_{p-2}=e}. לכן, נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את A למחלקות שקילות, כך ששני איברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני. 

ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור {\displaystyle (g\_{0},g\_{1},...g\_{p-1})} הוא ראשוני. לכן, גודל כל מחלקת שקילות חייב להיות p או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של n צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של 2n צעדים, {\displaystyle 3n} צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש-p ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב-n צעדים. זאת מכיוון שלכל {\displaystyle m<p} קיים {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } כך ש-{\displaystyle a=m\ ({\mbox{mod }}p)} (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר בחבורה הציקלית {\mathbb {Z}}\_{p} יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה {\displaystyle (g,g,...g)}
.

נשים לב ש-A היא איחוד זר של מחלקות השקילות שלה, ולכן גודלה הוא סכום גודלי מחלקות השקילות, שגודל כל אחת מהן הוא 1 או p. נזכור גם ש-p מחלק את גודל |A| ושאנו יודעים כי קיימת מחלקת שקילות בגודל 1 - המחלקה {\displaystyle (e,e,...e)}. אך אם גודל כל מחלקות השקילות האחרות היה p, אז p לא יכול היה לחלק את |A|, כי סכום של מספרים המתחלקים ב-p ועוד 1 לא יכול להתחלק ב-p. לכן, קיבלנו כי חייבת להיות לפחות עוד מחלקה בגודל 1 (למעשה חייבות להיות עוד p-1 כאלה), כלומר מחלקות מהצורה {\displaystyle (g,g,...g)}, ולכן קיים g כך ש-{\displaystyle g^{p}=e}.