פירוש נוסף ערך זה עוסק במושג מתורת הקבוצות. אם התכוונתם ליחס {\displaystyle Y={\frac {\lambda }{X}}}, ראו יחס הפוך.
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, **היחס ההופכי** ליחס בינארי \mathcal{R} על קבוצה A, הוא היחס המסומן {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} ומוגדר על ידי {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x}. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס {\displaystyle <} על \mathbb{R} הוא היחס {\displaystyle >}.

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי
------------------------------------

* סימטריה. בפרט אם \mathcal{R} סימטרי, אז {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}={\mathcal {R}}}.

**הוכחה**: {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}^{-1}x}.
* רפלקסיביות.

**הוכחה**: {\displaystyle \forall x,x{\mathcal {R}}x\Rightarrow \forall x,x{\mathcal {R}}^{-1}x}.
* טרנזיטיביות.

**הוכחה**: {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}z\Rightarrow y{\mathcal {R}}x\land z{\mathcal {R}}y\Rightarrow z{\mathcal {R}}x\Rightarrow x{\mathcal {R}}^{-1}z}.
* אנטי רפלקסיביות.

**הוכחה**: מההגדרה {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x} נובע כי {\displaystyle \lnot x{\mathcal {R}}^{-1}y\Leftrightarrow \lnot y{\mathcal {R}}x}, ולכן {\displaystyle \forall x,\lnot x{\mathcal {R}}x\Rightarrow \forall x,\lnot x{\mathcal {R}}^{-1}x}.
* אנטי סימטריה וכן א-סימטריה.

**הוכחה**: {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\Rightarrow y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y\Rightarrow x=y} ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y} ולכן אם \mathcal{R} א-סימטרי אז {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} א-סימטרי.

תכונות נוספות של היחס ההופכי
----------------------------

* ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: {\displaystyle ({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}={\mathcal {R}}}. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ-"אם ב\mathcal{R} אז ב{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}" ל-"ב\mathcal{R} אם ורק אם ב{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}".

**הוכחה**: לכל x,y - {\displaystyle x({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}y\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}^{-1}x\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}y}
* הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: {\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {T}}\Leftrightarrow {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {R}}}.

**הוכחה**: לכל x,y - {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x\Rightarrow y{\mathcal {T}}x\Rightarrow x{\mathcal {T}}^{-1}y} ולכן {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}\subseteq {\mathcal {T}}^{-1}}.
* ההופכי מתפלג מעל החיתוך: {\displaystyle ({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1}}.

**הוכחה**:לכל x,y - {\displaystyle x({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}y\Leftrightarrow y({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})x\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x\land y{\mathcal {T}}x\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}y\Leftrightarrow x({\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1})y}.
* ההופכי מתפלג מעל האיחוד: {\displaystyle ({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1}}.

**הוכחה**: לכל x,y - {\displaystyle x({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}y\Leftrightarrow y({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})x\Leftrightarrow y{\mathcal {R}}x\lor y{\mathcal {T}}x\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}^{-1}y\lor x{\mathcal {T}}^{-1}y\Leftrightarrow x({\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1})y}.
* ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: {\displaystyle ({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1}}.

**הוכחה**: לכל x,y - {\displaystyle x({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}y\Leftrightarrow y({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})x\Leftrightarrow \exists z,y{\mathcal {R}}z\land z{\mathcal {T}}x\Leftrightarrow \exists z,z{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}z\Leftrightarrow x({\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1})y}.
* מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאות
-------

* לכל קבוצה A, היחס ההופכי ליחס {\displaystyle \subseteq } על {\mathcal {P}}(A) הוא {\displaystyle \supseteq }.
* לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
* היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

ראו גם
------

* יחס (תורת הקבוצות)
* פונקציה הופכית

קישורים חיצוניים
----------------

* תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.

| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |