פירוש נוסף ערך זה עוסק בפעולה מתמטית. אם התכוונתם לשיטה לקביעת הריכוז של חומרים שונים בתמיסה, ראו טיטור.

|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

גרף הפונקציה {\displaystyle ^{x}e}
במתמטיקה, **טֶטְרָצְיָה** (באנגלית: **Tetration** או **Hyper-4**) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"**בסיס**" וה"**גובה**". טטרציה מסמנים בסימון {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} או {\displaystyle ^{a}b} כאשר a הוא הבסיס ו-b הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-b־ית של a היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:  
     {\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdots ^{a}}}}}} \_{b}}

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

{\displaystyle ^{b}a={\begin{cases}1,&{\text{if }}b=0\\a^{^{b-1}a},&{\text{if }}b>0\end{cases}}}

מבוא
----

ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה (אנ'), המוגדרת כ-{\displaystyle a'=a+1} נחשבת להיפר-פעולה האפס.

1. חיבור:  
{\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} \_{b{\text{ times}}}}
2. כפל:  
{\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} \_{b{\text{ times}}}}
3. חזקה:  
{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} \_{b{\text{ times}}}}
4. טטרציה:  
{\displaystyle ^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}}} \_{b{\text{ times}}}}

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, {\displaystyle {3^{5}}^{7}} משמעותו {\displaystyle 3^{(5^{7})}} ולא {\displaystyle {(3^{5})}^{7}}.

תכונות
------

* כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות {\displaystyle ^{a}(^{b}x)={}^{ab}x} ו {\displaystyle ^{a}xy={}^{a}x^{a}{}y} אינן נכונות ברוב המקרים.
* בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה {\displaystyle ^{({^{a}}b)}c={}^{^{a}}(^{b}c)} אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
* בדומה לחזקה, מתקיים כי {\displaystyle ^{0}x=1} ו {\displaystyle ^{1}x=x}
* מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: {\displaystyle ^{a}x=x^{(^{a-1}x)}}
* ממהגדרה למעלה נובע כי: {\displaystyle (^{b}a)^{(^{c}a)}=(^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}} מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}

הכללות
------

את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

### הכללת הבסיס

#### בסיס אפס

החזקה {\displaystyle 0^{0}} אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה {\displaystyle ^{n}0} אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{}^{n}x} מוגדר וקיים:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}
ולכן, ניתן להגדיר כי {\displaystyle ^{n}0=\lim \_{x\rightarrow 0}{}^{n}x}

#### בסיס מרוכב

מאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה {\displaystyle z=a+bi}.

לדוגמה, עבור {\displaystyle ^{n}z} כאשר {\displaystyle z=i}, ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:

{\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את {\displaystyle ^{n+1}i=a'+b'i} באמצעות {\displaystyle ^{n}i=a+bi}:

{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
### הכללת הגובה

#### גובה אינסופי

ערכי הגבול {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}, שמתכנס רק עבור {\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}}
ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}. זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}
לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!} מתכנס עבור {\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}}.

#### גובה שלילי שלם

באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

{\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}
ניתן למצוא את {\displaystyle {}^{-1}a}:

{\displaystyle ^{k}a=\log \_{a}\left(^{k+1}a\right);}
אם במקום k נציב -1 נקבל:

{\displaystyle {}^{-1}a=\log \_{a}\left({}^{0}a\right)=\log \_{a}1=0}
ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:

{\displaystyle {}^{-2}a=\log \_{a}\left({}^{-1}a\right)=\log \_{a}0}
וזהו מספר שאינו מוגדר.

פעולות הופכיות
--------------

לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: ה**סופר-שורש** וה**סופר-לוגריתם**. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

### סופר-שורש

הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם {\displaystyle ^{n}y=x} אז y הוא הסופר-שורש ה-n־י של x, והוא יסומן בצורה {\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}\_{s}}

לדוגמה, אם {\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65,536} אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ({\displaystyle 2={\sqrt[{4}]{65,536}}\_{s}}).

#### סופר-שורש ריבועי

גרף הפונקציה {\displaystyle y={\sqrt {x}}\_{s}}
הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה {\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}\_{s}}, או בפשטות {\displaystyle {\sqrt {x}}\_{s}}.

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה {\displaystyle x^{x}}, וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'):

{\displaystyle {\sqrt {x}}\_{s}=e^{W(\ln {x})}={\frac {\ln {x}}{W(\ln {x})}}}
### סופר-לוגריתם

הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם {\displaystyle ^{y}n=x} אז y הוא הסופר-לוגריתם מבסיס n של x, והוא יסומן בצורה {\displaystyle y={\text{slog}}\_{n}{x}}. פונקציה זו מוגדרת עבור כל {\displaystyle n>1}.

#### תכונות

* {\displaystyle {\text{slog}}\_{b}(b^{x})={\text{slog}}\_{b}(x)+1}
* {\displaystyle {\text{slog}}\_{b}1=0}
* {\displaystyle {\text{slog}}\_{b}(x)={\text{slog}}\_{b}(\log \_{b}{(x)})+1}
* לכל x ממשי מתקיים {\displaystyle {\text{slog}}\_{b}(x)>-2}

ראו גם
------

* היפר-פעולות
* מספרים גדולים
* לוגריתם חוזר

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **טטרציה** בוויקישיתוף
* טטרציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014
2. ↑  George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015
3. ↑  Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996