בלוגיקה, עקרון ה**קונטרה פוזיטיב** (באנגלית: **Contrapositive**) קובע שמצב שבו טענה {\displaystyle a} גוררת לוגית מסקנה {\displaystyle b}, שקול טאוטולוגית למצב בו שלילת המסקנה {\displaystyle \neg b} גוררת את שלילת הטענה המקורית {\displaystyle \neg a}.

בכתיב מתמטי: {\displaystyle a\to b\iff \neg b\to \neg a}.

הביטוי הימני הוא הקונטרה פוזיטיב של הביטוי השמאלי, ואחד מהם מתקיים אם ורק אם האחר מתקיים.

|  |
| --- |
|  |

הסבר
----

### דוגמה

נתון ש־"אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל".

שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב על המשפט יוביל למסקנה שאם אני לא לובש מעיל, אז בהכרח לא יורד גשם – כי אילו היה יורד גשם, בהכרח הייתי לובש מעיל.

הצרנה של התהליך תהיה:

* {\displaystyle a} – "יורד גשם"
* {\displaystyle b} – "לובש מעיל"

היות שנתון {\displaystyle a\to b} ("אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל") אז מתקיים גם הקונטרה פוזיטיב של הנתון, {\displaystyle \neg b\to \neg a} ("אם אני **לא** לובש מעיל, אז **לא** יורד גשם").

### המחשה חזותית

קבוצה A מוכלת ב־B, או במילים אחרות, כל האיברים ששייכים ל־A שייכים גם ל־B.
בדיאגרמת ון שבתמונה, אם איבר {\displaystyle x} שייך לקבוצה {\displaystyle A}, הוא בהכרח גם שייך ל־{\displaystyle B}.

כשמסמנים {\displaystyle {\begin{matrix}a={\text{"}}x\in A{\text{"}}\\b={\text{"}}x\in B{\text{"}}\end{matrix}}}, הטענה הזו נכתבת {\displaystyle a\to b}. כך שעל פי עקרון הקונטרה פוזיטיב בהכרח {\displaystyle \neg b\to \neg a}.

במילים אחרות, אם {\displaystyle x} **לא** שייך ל־{\displaystyle B} אז הוא גם **לא** שייך ל־{\displaystyle A}. ואכן, על פי התמונה אם איבר נמצא מחוץ ל־{\displaystyle B} אז הוא בהכרח מחוץ ל־{\displaystyle A} – כי כל איבר בתוך {\displaystyle A} הוא גם בתוך {\displaystyle B}.

הוכחה
-----

הוכחה לשקילות הטאוטולוגית בין שני הפסוקים באמצעות לוח אמת פשוט:



a
→
b

⟺

¬
b
→
¬
a

{\displaystyle a\to b\iff \neg b\to \neg a}

{\displaystyle a\to b\iff \neg b\to \neg a}| {\displaystyle \neg b\to \neg a} | {\displaystyle \neg a} | {\displaystyle \neg b} | {\displaystyle a\to b} | {\displaystyle b} | {\displaystyle a} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| T | F | F | T | T | T |
| F | F | T | F | F | T |
| T | T | F | T | T | F |
| T | T | T | T | F | F |

עמודת ה־{\displaystyle a\to b} שווה לעמודת ה־{\displaystyle \neg b\to \neg a} בכל צירוף ערכים אפשרי של {\displaystyle a,b}, כלומר שהביטויים שקולים טאוטולוגית:

{\displaystyle a\to b\equiv \neg b\to \neg a}
**{\displaystyle \blacksquare }**

שימושים
-------

### מודוס טוֹלֶּנְס

 ערך מורחב – **מודוס טולנס**  

עקרון המודוס **טולנס** קובע שאם נתון {\displaystyle a\to b} ו־{\displaystyle \neg b}, אזי גם {\displaystyle \neg a}.

עיקרון זה מוכח על ידי שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב כטאוטולוגיית בסיס. המעבר לכלל ההיסק הבא מתבצע תוך שימוש במודוס **פוננס**, שקובע שמרגע שקיימת גרירה {\displaystyle p\to q}, והרישא {\displaystyle p} אמת, אז גם הסיפא {\displaystyle q} אמת.

* נתון {\displaystyle a\to b}, ולכן על פי הקונטרה פוזיטיב מתקיים {\displaystyle \neg b\to \neg a}.
* היות שנתון {\displaystyle \neg b}, על פי עקרון המודוס פוננס והמסקנה הקודמת ({\displaystyle \neg b\to \neg a}), גם הסיפא {\displaystyle \neg a} מתקיימת.
* מכאן שבצירוף הנתונים {\displaystyle a\to b} ו־{\displaystyle \neg b} אכן ניתן להסיק את {\displaystyle \neg a}, כך שעקרון המודוס טולנס מתקיים.|

### תנאים הכרחיים

 ערך מורחב – **תנאי הכרחי**  

עקרון המודוס טולנס הוא זה שמאפשר את קיומם של תנאים הכרחיים – טענות שאם הן לא מתקיימות, ניתן להסיק בוודאות שטענה אחרת גם היא לא מתקיימת.

{\displaystyle b} הוא תנאי הכרחי לקיומה של טענה {\displaystyle a} אם {\displaystyle a\to b}. במצב שבו התנאי אינו מתקיים, כלומר {\displaystyle \neg b}, אזי על פי הקונטרה פוזיטיב ועקרון המודוס טולנס שנובע ממנו, בהכרח הטענה {\displaystyle a} אינה נכונה, ומתקיים {\displaystyle \neg a}. במילים אחרות – התנאי הכרחי, מפני שאם הוא לא מתקיים, אזי גם הטענה בהכרח לא מתקיימת.

למשל, נתון ש־"אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל", ובנוסף ש־"אני **לא** לובש מעיל". לכן, בהכרח גם **לא** יורד גשם. יש הכרח שתתקיים הטענה "אני לובש מעיל", מפני שאילולא כן, בוודאות "**לא** יורד גשם". הגרירה לא בהכרח נכונה בכיוון ההפוך, מכיוון שיכולה להתקיים הטענה "אני לובש מעיל" מבלי שירד גשם.

ראו גם
------

* גרירה לוגית
* הוכחה

לקריאה נוספת
------------

* Converse, Inverse, and Contrapositive of Conditional Statement - ChiliMath, ChiliMath, ‏4 בפברואר 2020
* Frederick T. Sheldon, Review 1.2 | Conditional Statement Forms, Oak Ridge National Laboratory, Computer Science and Mathematics Division
* Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; A formalism for Reasoning Under Uncertainty Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **קונטרה פוזיטיב** בוויקישיתוף

הערות שוליים
------------

1. ↑  "The Law of Contraposition". *beisecker.faculty.unlv.edu*. נבדק ב-2019-11-26.
2. ↑  "Definition of CONTRAPOSITIVE". *www.merriam-webster.com* (באנגלית). נבדק ב-2019-11-26.
3. ↑  Richard Hammack, Contrapositive Proof, VIRGINIA COMMONWEALTH UNIVERSITY (באנגלית)
4. ↑  Eric W. Weisstein, Modus Tollens, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
5. ↑  Frederick T. Sheldon, Section 1.3 Review | Argument Forms, Oak Ridge National Laboratory, Computer Science and Mathematics Division
6. ↑  Michael Shaffer, Necessary and Sufficient Conditions, 2020-11-18