במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, **פונקציונל מינקובסקי** הוא פונקציונל המוגדר על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים אשר מוגדר ביחס לקבוצה מסוימת בתוך המרחב הווקטורי.

לפונקציונל מינקובסקי יש קשר הדוק למושג הנורמה-למחצה והנורמה, ולמעשה ניתן להוכיח כי כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי של קבוצה כלשהי. מעבר לכך, פונקציונל מינקובסקי משמש למספר הוכחות, בהן הוכחת גרסה מוכללת של משפט האן-בנך למרחב קמור מקומית.

הפונקציונל נקרא על שמו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי.

הגדרה מתמטית
------------

בהינתן מרחב וקטורי V מעל שדה הממשיים, {\displaystyle B\subseteq V} ו-{\displaystyle r\in \mathbb {R} }, מסמנים:

{\displaystyle rB:=\{rv\mid v\in B\}}

קבוצה זו מהווה הרחבה בקנה מידה שווה של קבוצה B בסקלר r.

מגדירים את **פונקציונל מינקובסקי לפי B** להיות הפונקציונל {\displaystyle \rho \_{B}:V\to [0,\infty ]} כך שלכל {\displaystyle v\in V}:

{\displaystyle \rho \_{B}(v):=\inf\{r>0\mid v\in rB\}}

זאת כאשר {\displaystyle \inf } היא פונקציית האינפירמום. כאשר לא קיים r כזה (כלומר, הקבוצה ריקה ולכן אין לה אינפימום), מגדירים {\displaystyle \rho \_{B}(v):=\infty }.

תכונות
------

* {\displaystyle \rho \_{B}(0)=0} אם ורק אם {\displaystyle 0\in B}, אחרת {\displaystyle \rho \_{B}(0)=\infty }.
* כל פונקציונל מינקובסקי הוא הומוגני חיובי. כלומר, לכל {\displaystyle v\in V} ולכל {\displaystyle \alpha >0} מתקיים {\displaystyle \rho \_{B}(\alpha v)=\alpha \rho \_{B}(v)}.
* אם הקבוצה B היא קבוצה סימטרית ({\displaystyle v\in B\Leftrightarrow -v\in B}) אז פונקציונל מינקובסקי {\displaystyle \rho \_{B}} הומוגני בהחלט ({\displaystyle \rho \_{B}(\alpha v)=|\alpha |\rho \_{B}(v)})
* אם הקבוצה B היא קבוצה קמורה אז פונקציונל מינקובסקי {\displaystyle \rho \_{B}} הוא פונקציונל תת-ליניארי
* אם הקבוצה B היא קבוצה קמורה וסימטרית (ולכן היא קבוצה מאוזנת ובולעת) אז פונקציונל מינקובסקי {\displaystyle \rho \_{B}} הוא נורמה למחצה.

קשר לנורמה למחצה
----------------

נורמה למחצה היא פונקציונל על מרחב וקטורי המקיים תת-ליניאריות והומוגניות בהחלט. ניתן להוכיח כי כל נורמה למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי ביחס לכדור היחידה שלה.

### הוכחה

נתון מרחב וקטורי V מעל שדה הממשיים ועליו נורמה למחצה \rho. מגדירים את {\displaystyle B:=\{v\in V\mid \rho (v)\leq 1\}}. יש להוכיח כי {\displaystyle \rho \_{B}=\rho }.

בוחרים {\displaystyle v\in V} כלשהו. ייתכנו שני מקרים:

**מקרה ראשון:** במקרה שבו {\displaystyle \rho (v)=0}. בגלל הומוגניות בהחלט, לכל r>0 מתקיים כי:

{\displaystyle \rho \left({\frac {1}{r}}v\right)={\frac {1}{r}}\rho (v)=0}

לכן {\displaystyle {\frac {1}{r}}v\in B\Rightarrow v\in rB}. הדבר נכון לכל r>0, לכן בהכרח {\displaystyle \rho \_{B}(v)=0}

**מקרה שני:** במקרה שבו {\displaystyle \rho (v)>0} מסמנים {\displaystyle \rho (v)=\alpha }. מתקיים כי:

{\displaystyle \rho \left({\frac {1}{\alpha }}v\right)={\frac {1}{\alpha }}\rho (v)={\frac {\alpha }{\alpha }}=1}

משמע {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}v\in B\Rightarrow v\in \alpha B} ובהכרח {\displaystyle \rho \_{B}(v)\leq \alpha }. מצד שני, לכל {\displaystyle r<\alpha } מתקיים כי:

{\displaystyle \rho \left({\frac {1}{r}}v\right)={\frac {1}{r}}\rho (v)={\frac {\alpha }{r}}>1}

כלומר {\displaystyle {\frac {1}{r}}v\notin B\Rightarrow v\notin rB} ולכן {\displaystyle \rho \_{B}(v)\geq \alpha }. מכל זה יוצא כי {\displaystyle \rho \_{B}(v)=\alpha =\rho (v)}.

שני מקרים אלו מכסים את כל האפשרויות של v, על כן {\displaystyle \rho \_{B}=\rho }.

*מש"ל*.

ראו גם
------

* נורמה-למחצה
* נורמה (אנליזה)
* משפט האן-בנך

הערות שוליים
------------

1. ↑  Lawrence Narici, Edward Beckenstein, **Topological Vector Spaces**, CRC Press, 2010-07-26, מסת"ב 978-1-58488-867-3. (באנגלית)
2. ↑  H. H. Schaefer, M. P. Wolff, Topological Vector Spaces, **Graduate Texts in Mathematics**, 1999 doi: 10.1007/978-1-4612-1468-7