**משפט פרובניוס** בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק d של הסדר של חבורה G, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה {\displaystyle x^{d}=1} מתחלק ב-d. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

ניסוח המשפט
-----------

תהי G חבורה ויהי d מחלק של הסדר {\displaystyle |G|}. נסמן ב {\displaystyle A\_{d}=\{x\in G\mid x^{d}=e\}} את אוסף האיברים מסדר המחלק את d. אזי {\displaystyle d\mid |A\_{d}|}.

הוכחה
-----

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר {\displaystyle nm}, כאשר {\displaystyle n,m} זרים, אפשר לפרק בצורה {\displaystyle x=yz} כאשר {\displaystyle zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m} (למעשה אפשר לבחור את {\displaystyle y,z} להיות חזקות של x).

נעזר גם בלמה הבאה:

**למה:** לכל n אם A\_{n} לא ריקה אז {\displaystyle \phi (n)\mid |A\_{n}|} כאשר \phi  היא פונקציית אוילר. בנוסף אם {\displaystyle d\mid |G|} מהצורה {\displaystyle d=p^{\alpha }s} כאשר {\displaystyle p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1} ואם {\displaystyle A=A\_{dp}\setminus A\_{d}} אז A ריקה או ש {\displaystyle \phi (p^{\alpha +1})\mid |A|}.

**הוכחה**: נתבונן ביחס השקילות הבא: {\displaystyle x\equiv y\iff \langle x\rangle =\langle y\rangle }, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים {\displaystyle x\equiv x^{t}\iff (t,o(x))=1}. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא {\displaystyle \phi (o(x))}. מקבלים ש A\_{n} איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש {\displaystyle \phi (n)\mid |A\_{n}|}. נרשום את A בצורה הבאה: {\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s\_{1},s1\mid s\}}. אם A אינה ריקה נקבל ש{\displaystyle A=\bigcup \_{s1\mid s}\bigcup \_{o(x\_{i})=p^{\alpha +1}s\_{1}}[x]} כאשר {\displaystyle [x]} מסמן את המחלקה של x. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב {\displaystyle \phi (p^{\alpha +1}s\_{1})=\phi (p^{\alpha +1})\phi (s\_{1})}. ונקבל את הדרוש.

**הוכחת המשפט:**

יהו {\displaystyle d\mid n:=|G|}. ההוכחה באינדוקציה כפולה על {\displaystyle n,d}. מקרה הבסיס n=1 או {\displaystyle d=n} טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי {\displaystyle p\mid {\tfrac {|G|}{d}},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1}. תהי {\displaystyle A=A\_{dp}\setminus A\_{d}}. מתקיים {\displaystyle |A\_{d}|=|A\_{dp}|-|A|}.

מאינדוקציה נקבל כי {\displaystyle dp\mid |A\_{dp}|} ולכן מספיק להראות ש {\displaystyle d\mid |A|}. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה {\displaystyle p^{\alpha }(p-1)=\phi (p^{\alpha +1})\mid |A|} ולכן מספיק להראות ש {\displaystyle s\mid |A|}. נרשום{\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s\_{1},s1\mid s\}} ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש {\displaystyle x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^{s}=e}. נסמן ב {\displaystyle C(a)=C(\langle a\rangle )} את המרכז של a וב {\displaystyle \operatorname {conj} (a)} את מחלקת הצמידות של a. עבור a ב G נגדיר {\displaystyle S\_{a}=\{ab\mid b^{s}=e,b\in C(a)\},S\_{\operatorname {conj} (a)}=\bigcup \_{x\in \operatorname {conj} (a)}S\_{x}}. מקבלים ש {\displaystyle A=\bigcup \_{o(a)=p^{\alpha +1}}S\_{a}}. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו {\displaystyle o(a)=o(a\_{1})=p^{\alpha +1},ab=ba=b\_{1}a\_{1}=a\_{1}b\_{1},b^{s}=b\_{1}^{s}=1}. נקבל ש {\displaystyle a^{s}=a^{s}b^{s}=(ab)^{s}=(a\_{1}b\_{1})^{s}=a\_{1}^{s}b\_{1}^{s}=a\_{1}^{s}}. כיוון ש{\displaystyle o(a)=o(a\_{1})=p^{\alpha +1}} וכן {\displaystyle (s,p)=1}נקבל ש {\displaystyle a=a\_{1}} והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש {\displaystyle s\mid |S\_{\operatorname {conj} (a)}|} לכל a מסדר {\displaystyle p^{\alpha +1}}. נשים לב שהעתקה {\displaystyle \Phi \colon S\_{a}\to S\_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}axx^{-1}bx} היא התאמה חח"ע ועל ולכן {\displaystyle |S\_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S\_{a}|}. יהי {\displaystyle k=|C(a)/\langle a\rangle |,m=(s,k)}. ההתאמה {\displaystyle ab\to b\langle a\rangle } היא התאמה חח"ע ועל מ {\displaystyle S\_{a}} ל {\displaystyle \{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{s}=e\}=\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}}. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש {\displaystyle m\mid |\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}|=|S\_{a}|} ולכן {\displaystyle |S\_{a}|=cm}. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש {\displaystyle |\operatorname {conj} (a)|={\tfrac {|G|}{|C(a)|}}} ולכן {\displaystyle |S\_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S\_{a}|={\tfrac {|G||S\_{a}|}{|C(a)|}}={\tfrac {ncm}{kp^{\alpha +1}}}}. כיוון שגם k וגם s מחלקים את n נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם {\displaystyle \operatorname {lcm} (k,s)={\tfrac {ks}{m}}} מחלקת את n. לכן s מחלק את {\displaystyle {\tfrac {ncm}{k}}}. מכיוון ש {\displaystyle (s,p)=1} נקבל ש {\displaystyle s\mid |S\_{\operatorname {conj} (a)}|} וסיימנו.

שימושים
-------

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

**מסקנה 1**: תהי G חבורה כך ש {\displaystyle |G|=\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{\alpha \_{i}}} ו p\_{i} סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת {\displaystyle p\_{r}} סילו היא נורמלית ב G ובנוסף G חבורה פתירה. בפרט אם {\displaystyle |G|}חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת {\displaystyle p\_{r}} סילו שלה היא נורמלית.

**הוכחה**: נוכיח באינדוקציה על d ש {\displaystyle d=|A\_{d}|} עבור {\displaystyle d\mid |G|} כך ש {\displaystyle d=p\_{k}^{\beta \_{k}}\prod \_{i=k+1}^{r}p\_{i}^{\alpha \_{i}}1\leq k\leq r,\beta \_{k}\leq \alpha \_{k}}. המקרה של {\displaystyle d=|G|} ברור. נניח שהראנו לכל מחלק {\displaystyle d'} מהצורה לעיל הגדול מ d, ונוכיח כעת עבור d. יהי p המחלק הראשוני הגדול ביותר של {\displaystyle {\tfrac {|G|}{d}}}. תהי{\displaystyle A=A\_{dp}/A\_{d}}. כיוון שחבורות p סילו ציקליות, A לא ריקה. מהנחת האינדוקציה {\displaystyle |A\_{dp}|=dp}. ממשפט פרובניוס קיים {\displaystyle 1\leq t<p} כך ש {\displaystyle |A\_{d}|=dt}. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש {\displaystyle p-1\mid dp-dt=d(p-t)} מהצורה של d כל מחלק של d הוא לפחות p ולכן {\displaystyle (p-1,d)=1} לכן {\displaystyle p-1\mid (p-t)} ולכן t=1. קיבלנו לכן ש {\displaystyle d=|A\_{d}|} עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור {\displaystyle d=p\_{r}^{\alpha \_{r}}}נקבל ש {\displaystyle |A\_{p\_{r}^{\alpha \_{r}}}|=p\_{r}^{\alpha \_{r}}} ונקבל שתת-חבורת ה {\displaystyle p\_{r}} סילו N יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה N,{\displaystyle G/N} פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

**מסקנה 2**: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ {\displaystyle (n,\phi (n))\neq 1}.

2) על ידי חישוב {\displaystyle |A\_{d}|} בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל {\displaystyle p\leq n} על ידי חישוב {\displaystyle |A\_{p}|} בחבורה הסימטרית S\_n ניתן להראות כי מתקיים:{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor }{\tfrac {n!}{p^{k}k!(n-pk)!}}\equiv -1{\pmod {p}}}.

תוצאות נוספות
-------------

* גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם C היא מחלקת צמידות עם h איברים אזי מספר האיברים k כך ש {\displaystyle k^{n}} נמצא ב C מתחלק ב {\displaystyle (hn,|G|)}.
* פרובניוס שיער שאם {\displaystyle d\mid |G|} ו {\displaystyle d=|A\_{d}|} אז {\displaystyle A\_{d}\vartriangleleft G}, תת-חבורה נורמלית של G. ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה של אנשי תורת החבורות.

ראו גם
------

* משפטי סילו

קישורים חיצוניים
----------------

* הוכחת המשפט ושימושים

הערות שוליים
------------

1. ↑  F. G. Frobenius, Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes, **Berliner Sitz**
2. ↑  Hall Jr.Marshall, **Theory of Groups**, 1959
3. ↑  NOBUO IIYORI AND HIROYOSHI YAMAKI, ON A CONJECTURE OF FROBENIUS