במתמטיקה, **תבנית פיסטר** (**Pfister form**) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית {\displaystyle \langle 1,-a\rangle }. כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים {\displaystyle I^{n}(F)}, ולכן יוצרות את המנות {\displaystyle I^{n}(F)/I^{n+1}(F)}, ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה
-----

יהי F שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור {\displaystyle a\in F^{\times }}, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית {\displaystyle \langle 1,-a\rangle } נקראת **תבנית פיסטר מסדר ראשון**, ומסומנת {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle }. **תבנית פיסטר מסדר n** היא מכפלה טנזורית של n תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה {\displaystyle \langle \langle a\_{1},...a\_{n}\rangle \rangle =\langle \langle a\_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle a\_{n}\rangle \rangle }, עבור {\displaystyle a\_{i}\in F}.

התבנית מהצורה {\displaystyle \langle \langle 1,..1\rangle \rangle } היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה
------------

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

### תכונות

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle \perp \langle \langle b\rangle \rangle \cong \langle \langle ab\rangle \rangle \perp \langle \langle a,b\rangle \rangle }. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות {\displaystyle disc:I/I^{2}\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}}}. בפרט, מתקיים {\displaystyle disc(\langle \langle a\rangle \rangle )=a} ו-{\displaystyle disc(\langle \langle a\_{1},a\_{2},...a\_{n}\rangle \rangle ))=1} לכל {\displaystyle n\geq 2}.

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר n יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים {\displaystyle I^{n}(F)}, משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר {\displaystyle \langle a,b\rangle =\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle \langle {\frac {-b}{a}}\rangle \rangle }.

התבנית {\displaystyle \langle \langle -1,...-1\rangle \rangle } היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא {\displaystyle 1,2,4,8}. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

### מבנה

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

**משפט** - תהי \phi  תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב {\displaystyle \phi =\langle 1\rangle \perp \phi '}. אז מתקיים {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle |\phi } אם ורק אם -a מתקבל כערך של {\displaystyle \phi '}.

כמסקנה מקבלים:

*משפט*: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

**משפט** - נסמן ב-{\displaystyle D(q)} את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-{\displaystyle G(q)} את החבורה {\displaystyle G(q)=\{t\in F^{\times }:\langle t\rangle \otimes q\cong q\}}. אם {\displaystyle q=\phi } תבנית פיסטר מתקיים {\displaystyle G(q)=D(q)}.

כ*מסקנה*, נובע כי אם \phi  תבנית פיסטר אז {\displaystyle D(\phi )} סגורה לכפל. תכונה זו נקראת **תכונת הכפליות של תבניות פיסטר**.

**משפט**: התכונות הבאות שקולות:

* q היא תבנית פיסטר.
* לכל הרחבת שדות {\displaystyle \mathbb {K} /F}, אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן {\displaystyle D\_{\mathbb {K} }(q)}, הוא חבורה.
* {\displaystyle q(\lambda \_{1},...\lambda \_{n})\in G\_{F(\lambda \_{1},...\lambda \_{n})}(q)}.

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

**משפט**: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-{\displaystyle I^{n}(F)} הוא לפחות 2^{n}. אם הוא שווה ל-2^{n}, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

**מסקנה**: {\displaystyle \cap \_{n\in \mathbb {N} }I^{n}(F)=\{0\}}

הקשר לתורת K
------------

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה {\displaystyle f\_{n}:K\_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F)}, הנתונה על ידי {\displaystyle f\_{n}(a\_{1},...a\_{n})=\langle \langle a\_{1},...a\_{n}\rangle \rangle }.

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין {\displaystyle 2K\_{n}({F})}, ולכן מתקבל איזומורפיזם {\displaystyle k\_{n}(F)\cong I^{n}(F)/I^{n+1}(F)}, כאשר {\displaystyle k\_{n}(F)=K\_{n}(F)/2K\_{n}(F)}.

ראו גם
------

* תבנית ריבועית
* חוג ויט
* משפט הורוויץ
* רמה של שדה

לקריאה נוספת
------------

* עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.