|  |
| --- |
| 
בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי. |

במתמטיקה, **משוואה ליניארית** היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת: \ \alpha \_{1}x\_{1}+\alpha \_{2}x\_{2}+...+\alpha \_{n}x\_{n}=b. משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים". **פתרון** של המשוואה הוא n-יה \ {a\_{1},a\_{2},...a\_{n}} כך שהצבת הערכים המספריים \ a\_{i} במקום הנעלמים \ x\_{i} תניב את השוויון המבוקש. האיברים \ x\_{i} נקראים **הנעלמים** במשוואה, והאיברים \ \alpha \_{i} נקראים **המקדמים** של הנעלמים. האיבר b נקרא **מקדם חופשי**. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר.

תיאור קו ישר במישור
-------------------

מערכת צירים קרטזית במישור
איור של קו ישר (פונקציה ליניארית)
איור הממחיש את הגדרת השיפוע של קו ישר
רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.

משוואתו הכללית של קו ישר במישור היא ax+by=c, בתנאי שאחד המקדמים a,b אינו אפס. אם {\displaystyle b\neq 0} הקו הוא גרף הפונקציה {\displaystyle \ y=(-a/b)x+(c/a)}. הקו מקביל לציר ה-x אם a=0 ומקביל לציר ה-y אם b=0. 

האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא

y=mx+n
כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור x=0 מקבלים y=n). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan \theta 
כאשר \theta  היא הזווית בין הישר לציר ה-x.

משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי

y-b=m\cdot (x-a)
או באופן שקול

y=mx+b-am.
משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות {\displaystyle (a\_{1},b\_{1})\,\ (a\_{2},b\_{2})} (בהנחה ש-a\_{1}\neq a\_{2}, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא

y={\frac {b\_{2}-b\_{1}}{a\_{2}-a\_{1}}}(x-a\_{2})+b\_{2}={\frac {b\_{2}-b\_{1}}{a\_{2}-a\_{1}}}\cdot x-a\_{2}{\frac {b\_{2}-b\_{1}}{a\_{2}-a\_{1}}}+b\_{2}.
*פיתוח הנוסחה*: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת {\displaystyle a=a\_{2},b=b\_{2}} והשיפוע m שנתון על ידי
m={\frac {b\_{2}-b\_{1}}{a\_{2}-a\_{1}}}.
הצבת כל אלה תיתן
y-b\_{2}={\frac {b\_{2}-b\_{1}}{a\_{2}-a\_{1}}}\cdot (x-a\_{2})
ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.

ישר במרחב וקטורי כללי
---------------------

במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו {\vec {v}},{\vec {u}}\in V שני וקטורים כאשר {\displaystyle {\vec {v}}\neq {\vec {0}}}:   

ישר שכיוונו {\vec {v}} העובר דרך הנקודה {\vec {u}} ("ישר אפיני") מתואר על ידי

{\displaystyle \{{\vec {u}}+t{\vec {v}}\mid t\in F\}}.
ישר העובר דרך הראשית ({\displaystyle {\vec {u}}={\vec {0}}}) מתואר בפשטות על ידי

{\displaystyle \mathrm {Span} \_{F}\{{\vec {v}}\}=\{t{\vec {v}}\mid t\in F\}}.
הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים {\vec {v}}\_{1},{\vec {v}}\_{2}\in V

{\displaystyle L=\{{\vec {v}}\_{1}t+(1-t){\vec {v}}\_{2}|t\in F\}=\{{\vec {v}}\_{2}+t({\vec {v}}\_{1}-{\vec {v}}\_{2})\mid t\in F\}}.

מערכת משוואות ליניאריות
-----------------------

 ערך מורחב – **מערכת משוואות ליניאריות**  

במקרים רבים יש לפתור **מערכת משוואות ליניארית**, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

\ \alpha \_{{11}}x\_{1}+\alpha \_{{12}}x\_{2}+...+\alpha \_{{1n}}x\_{n}=b\_{1}

\ \alpha \_{{21}}x\_{1}+\alpha \_{{22}}x\_{2}+...+\alpha \_{{2n}}x\_{n}=b\_{2}

:
:
\ \alpha \_{{m1}}x\_{1}+\alpha \_{{m2}}x\_{2}+...+\alpha \_{{mn}}x\_{n}=b\_{m}

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה \ b\_{1}=b\_{2}=...=b\_{m}=0 תיקרא מערכת משוואות **הומוגנית**.

### הצגה באמצעות מטריצות

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה {\vec {x}} מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר \ m\times n ואילו m-ית המקדמים החופשיים {\vec {b}} מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: \ A{\vec {x}}={\vec {b}}. באופן מפורש:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \_{11}&\cdots &\alpha \_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha \_{m1}&\cdots &\alpha \_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\_{1}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\\vdots \\b\_{m}\end{pmatrix}}}

ראו גם
------

* משוואה דיפרנציאלית ליניארית

קישורים חיצוניים
----------------

| מיזמי קרן ויקימדיה |
| --- |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **ליניארי** |
| ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: **משואה ליניארית** |
| ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: **משוואה ליניארית** |

* מבוא לאלגברה ליניארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
* משוואה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)
* משוואה ליניארית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |
| וקטורים | תלות ליניארית • צירוף ליניארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין (אלגברה) • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |

| פולינום |
| --- |
| משוואות פולינומיות לפי מעלה | משוואה ליניארית (1) • משוואה ממעלה שנייה (2) • משוואה ממעלה שלישית (3) • משוואה ממעלה רביעית (4) • משוואה ממעלה חמישית (5) • משוואה ממעלה שישית (6) • משוואה ממעלה שביעית (7) |
| פונקציות פולינומיות לפי מעלה | פונקציה ממעלה שלישית |
| אישים הקשורים במציאת פתרונות או הוכחת אי פתירות | לודוביקו פרארי • מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי • אברהם בר חייא • שיפיונה דל פרו • ניקולו טרטליה • ג'ירולמו קרדאנו • נילס הנריק אבל • אווריסט גלואה • פאולו רופיני • פליקס קליין • ולדימיר ארנולד |
| כללי | היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות • משפט אבל-רופיני • תורת גלואה • הבעיה השלוש-עשרה של הילברט • פתרון באמצעות רדיקלים • רדיקל ברינג • i (מספר) |

  


|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NLI: 987007553018705171
* BnF: cb11940360c (data)
* GND: 4234490-6
* LCCN: sh85044522

 |