**חבורת וייטהד המצומצמת** של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים {\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)}, המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד {\displaystyle \operatorname {K} \_{1}(A)} המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.

חוגים קומוטטיביים
-----------------

יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב-{\displaystyle \operatorname {GL} (A)} את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת {\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{\*}\to 1}. חלוקה בחבורת הקומוטטורים {\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]} מגדירה את הסדרה {\displaystyle 1\to \operatorname {SK} \_{1}(A)\to \operatorname {K} \_{1}(A)\to A^{\*}\to 1}, כאשר {\displaystyle \operatorname {K} \_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}, ו-{\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)} הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: {\displaystyle \operatorname {K} \_{1}(A)=A^{\*}\oplus \operatorname {SK} \_{1}(A)}.

אלגברות פשוטות מרכזיות
----------------------

תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית {\displaystyle N:A^{\times }\rightarrow F^{\times }} (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-{\displaystyle \operatorname {SL} \_{1}(A)}. תת-חבורת הקומוטטורים {\displaystyle A'} של {\displaystyle A^{\times }} מוכלת ב-{\displaystyle \operatorname {SL} \_{1}(A)}, וחבורת המנה {\displaystyle \operatorname {SL} \_{1}(A)/A'} היא **חבורת וייטהד המצומצמת** של A; מסמנים אותה ב-{\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)}.

**השערת Tannaka-Artin** (שהיא **השערת Kneser-Tits** לחבורות אלגבריות מטיפוס {\displaystyle A\_{n}}) סברה ש-{\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)=1} פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).

תוצאות כלליות
-------------

החבורה {\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}} טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את {\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)} כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).

תלות בתכונות של שדה הבסיס
-------------------------

{\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}} טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש-{\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)=1} אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה {\displaystyle C\_{2}^{0}} (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה {\displaystyle C\_{2}} הוא גם {\displaystyle C\_{2}^{0}}, אבל לא להפך). מהתכונה {\displaystyle C\_{2}^{0}} נובע ש-{\displaystyle \operatorname {cd} (F)\leq 2} כאשר {\displaystyle \operatorname {cd} (F)} הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).

תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז {\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(A)=1}.

אם {\displaystyle \operatorname {cd} (F)\leq 3} אז {\displaystyle \operatorname {SK} \_{1}(Q\otimes Q')=1} לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. **השערת סוסלין** היא שזה נכון לכל אלגברה.

מקורות
------

* Nicolas Grenier-Boley, *On the triviality of certain Whitehead groups*, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).