בתורת החבורות, **חבורת הייזנברג** היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל {\displaystyle 3\times 3}, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה
-----

יהי R חוג חילופי. **חבורת הייזנברג** (מממד 3) מעל החוג R היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}}, כאשר {\displaystyle a,b,c\in R}. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,}

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים {\displaystyle a,b,c\in R} יהיו הפיכים בעצמם):{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,}.

**חבורת הייזנברג מסדר {\displaystyle 2n+1}** היא: {\displaystyle H\_{2n+1}(R)={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1&a\_{1}&a\_{2}&\cdots &\cdots &a\_{n+1}\\0&1&0&\cdots &0&a\_{n+2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&a\_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1&a\_{2n+1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\ {\Bigg |}\ a\_{1},\dots ,a\_{2n+1}\in R{\Bigg \}}}.

דוגמאות
-------

### חבורת הייזנברג הממשית

כאשר החוג R הוא שדה המספרים הממשיים \mathbb{R}, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

### חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר החוג R הוא חוג המספרים השלמים \mathbb{Z}, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:{\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}

לחבורה הייצוג הבא: {\displaystyle <x,y,z|z\_{}^{}=[x,y],\ [x,z]=e,\ [y,z]=e>}, כאשר x,y הם כדלעיל ו-{\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}.

במקרה זה, האיבר z יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,}.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.

### מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} היא מסדר {\displaystyle p^{3}} ומאקספוננט p. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

{\displaystyle z=[x,y],\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e}

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז C איזומורפי ל-{\mathbb {Z}}\_{p} וחבורת המנה {\displaystyle G/C} היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר p.

במקרה של {\displaystyle p=2}, מתקבלת החבורה הדיהדרלית {\displaystyle D\_{4}}.

אלגברת לי המתאימה
-----------------

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}},

עם הבסיס הבא:

{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

{\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

קישורים חיצוניים
----------------

* חבורת הייזנברג, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים
------------

1. ↑  Moon Duchin, Michael Shapiro, The Heisenberg group is pan-rational, **Advances in Mathematics** 346, 2019-04-13, עמ' 219–263 doi: 10.1016/j.aim.2019.01.046

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* BnF: cb15603497x (data)
* GND: 4314104-3
* SUDOC: 122706277

 |