בתורת המספרים, **המשפט הקטן של פרמה** (על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה) קובע כי:

לכל מספר ראשוני {\displaystyle p} ולכל מספר שלם {\displaystyle a} הזר ל-{\displaystyle p}, ההפרש {\displaystyle a^{p-1}-1} מתחלק ב-{\displaystyle p}, כלומר {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1\!\!\!{\pmod {p}}}.
משפט אוילר מכליל את המשפט הקטן של פרמה, שכן {\displaystyle \phi (p)=p-1} לכל {\displaystyle p} ראשוני.

למשפט מגוון שימושים בתורת המספרים. הוא עומד בבסיסם של מבחני ראשוניות רבים (למשל אלגוריתם מילר-רבין) ומכאן חשיבותו הגדולה בקריפטוגרפיה.

הוכחות
------

### השוואה של מערכות שאריות

יהי {\displaystyle p} ראשוני ויהי {\displaystyle a} זר ל-{\displaystyle p}.

תהי {\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,p-1\}} קבוצת כל השאריות (מלבד 0) מודולו {\displaystyle p}. נכפיל את כל איברי הקבוצה ב-{\displaystyle a} ונקבל {\displaystyle B={\bigl \{}a,2a,\ldots ,(p-1)a{\bigr \}}}.

ראשית, {\displaystyle B} אינה כוללת את 0, מפני שכל המספרים הם מכפלות של שני מספרים זרים ל-{\displaystyle p}, ולכן גם מכפלתם זרה ל-{\displaystyle p}.  

שנית, כל איברי {\displaystyle B} שונים מודולו {\displaystyle p} – נניח בשלילה כי שנים מהם שקולים זה לזה. נקבל כי

{\displaystyle {\begin{aligned}n\_{1}a&\equiv n\_{2}a\!\!\!{\pmod {p}},\qquad :1\leq n\_{1}<n\_{2}\leq p-1\\n\_{1}&\equiv n\_{2}\!\!\!{\pmod {p}},\qquad \quad :\gcd\{a,p\}=1\end{aligned}}}
כלומר {\displaystyle p\mid (n\_{2}-n\_{1})}. אבל {\displaystyle 1<n\_{2}-n\_{1}<p}, בסתירה.

לכן איברי {\displaystyle B} שקולים מודולו {\displaystyle p} לאיברי {\displaystyle A} בסדר כלשהו. כלומר

{\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot 2a\cdots (p-1)a&\equiv 1\cdot 2\cdots (p-1)\!\!{\pmod {p}}\\a^{p-1}(p-1)!&\equiv (p-1)!\!\!{\pmod {p}}\qquad :\gcd {\bigl \{}(p-1)!,p{\bigr \}}=1\\a^{p-1}&\equiv 1\!\!{\pmod {p}}\end{aligned}}}
בהכללה, לכל {\displaystyle p} ראשוני ולכל {\displaystyle a} שלם מתקיים {\displaystyle a^{p}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}}}.

### אינדוקציה

לכל {\displaystyle 0<k<p}, במקדם הבינומי {\displaystyle {\binom {p}{k}}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}} המונה מתחלק ב-{\displaystyle p} והמכנה לא, ולכן המנה מתחלקת ב-{\displaystyle p}. מכאן שלכל {\displaystyle a,b} מתקיים

{\displaystyle (a+b)^{p}=\sum \_{k\,=\,0}^{p}{\binom {p}{k}}a^{p-k}b^{k}\equiv a^{p}+b^{p}\!\!\!{\pmod {p}}}
בפרט, באינדוקציה על {\displaystyle a} מתקיים {\displaystyle (a+1)^{p}\equiv a^{p}+1\equiv a+1\!\!\!{\pmod {p}}}.

### פעולת החבורה הראשונית

החבורה הציקלית {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} פועלת, על ידי סיבוב, על קבוצת הווקטורים באורך {\displaystyle p} מעל קבוצת הערכים {\displaystyle \{1,\ldots ,a\}}, שגודלה כמובן {\displaystyle a^{p}}. וקטור מהווה נקודת שבת ביחס לפעולה רק אם כל הרכיבים שלו שווים, וכאלה וקטורים יש בדיוק {\displaystyle a}. גודלו של כל מסלול חייב לחלק את סדר החבורה {\displaystyle p}, ולכן {\displaystyle a^{p}-a} הווקטורים שאינם נקודות שבת שייכים למסלולים בגודל {\displaystyle p}; מכאן ש-{\displaystyle p} מחלק את {\displaystyle a^{p}-a}.

רעיון דומה מאפשר להוכיח את משפט קושי על קיום איבר מסדר ראשוני בחבורה. פעולה מסוג זה, של חבורה על וקטורים, היא נקודת המוצא של תורת פולייה.

### הוכחה קומבינטורית

ניתן להוכיח את המשפט באמצעות פתרון השאלה הבאה (זהו ניסוח אלמנטרי של ההוכחה הקודמת):  

צובעים את הצלעות של מצולע משוכלל עם {\displaystyle p} צלעות, כל צלע באחד מ-{\displaystyle a} צבעים נתונים. כמה מצולעים ניתן ליצור, השונים זה מזה גם לאחר סיבוב?  

אם הצביעה מכילה יותר מצבע אחד, אז כל סיבוב של המצולע מביא אותו לצורה שונה מפני ש-{\displaystyle p} ראשוני. המקרה היחיד שבו הסיבוב אינו משפיע הוא כאשר כל הצלעות צבועות באותו הצבע. מספר האפשרויות לצבוע את המצולע הוא {\displaystyle a^{p}}, מתוכן {\displaystyle a} צביעות בצבע אחד, והשאר, {\displaystyle a^{p}-a}, בשני צבעים שונים לפחות. כל צביעה כזו מופיעה בדיוק {\displaystyle p} פעמים, ולכן מספר המצולעים השונים הוא {\displaystyle {\frac {a^{p}-a}{p}}+a}. זהו מספר שלם, ולכן {\displaystyle a^{p}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}}}. (חישוב זה הוא מקרה פרטי של הלמה של ברנסייד, עבור הפעולה של החבורה הציקלית מסדר {\displaystyle p} על אוסף הצביעות).

ראו גם
------

* מספר פסאודו-ראשוני
* מספר קרמייקל

קישורים חיצוניים
----------------

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא **המשפט הקטן של פרמה** בוויקישיתוף
* המשפט הקטן של פרמה, באתר MathWorld (באנגלית)
* המשפט הקטן של פרמה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

|  |  |
| --- | --- |
| בקרת זהויות עריכת הנתון בוויקינתונים | 
* NKC: ph158529

 |